Resumen de Logica Prposicional

DESARROLLO La lógica simbólica considera lenguajes cuyo propósito esencial es simbolizar el razonamiento, encontrados no sólo en matemática sino también en la vida diaria. Primero estudiaremos la lógica simbólica más simple – lógica proposicional (o cálculo proposicional)-, y posteriormente una más general, la lógica de primer orden – o cálculo de predicados de primer orden. En lógica proposicional nos interesan las frases u oraciones que pueden ser verdaderas o falsas; pero no ambas. En términos más exactos, una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas cosas. Ejemplos: P Q P1 P2 P3 : : : : : Alberto es un hombre, La nieve es ocre, María es una mujer; Shakira es una excelente cantante, García Márquez escribió “El Siglo de las Luces”. Los símbolos P, Q, P1,... utilizados para denotar proposiciones se denominan fórmulas atómicas o átomos. A partir de proposiciones simples se pueden obtener proposiciones compuestas usando los conectores lógicos. Ejemplo de este tipo de proposiciones son: “Hace calor y la humedad está alta”, “Si voy al cine, entonces no veo el partido de fútbol”. En los ejemplos anteriores usamos para componer las proposiciones los conectores lógicos “y”, “si...entonces” y “no”. En la lógica proposicional usamos cinco (5) conectores lógicos: ¬ (no), ∧ (y), ∨ (o), → (si..entonces) y ↔ (si y solo si). Estos cinco conectores nos permiten elaborar proposiciones compuestas a partir de otras proposiciones, ya sean simples o compuestas. Ejemplos: P Q R : : : Hace calor La humedad está alta Me siento cómodo Luego la proposición “Si hace calor y la humedad está alta, entonces no me siento cómodo” se simboliza de la forma siguiente: ( P∧ Q ) → ¬ R La expresión ( P∧ Q ) → ¬ R recibe el nombre de fórmula bien formada. Definición: Una de fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula se define en la lógica proposicional de forma recursiva como sigue a continuación: 1. 2. 3. 4. Un átomo es una fórmula. Si G es una fórmula, entonces (¬G) es una fórmula. Si G y H son fórmulas, entonces (G∧H), (G∨H), (G→H) y (G↔H) son fórmulas. Todas la fórmulas generados por la aplicación de las reglas anteriores. Expresiones como (P→) , (∧Q) y otras de esta naturaleza no son fórmula. En las expresiones anteriores pueden omitirse los paréntesis. En una operación compuesta la prioridad de los conectores lógicos en orden creciente es la siguiente: ↔ → ∧ ∨ ¬ Luego la expresión: P→Q∧R P → Q ∧ ¬R ∨ S es equivalente a es equivalente a (P →( Q ∧ R)) (P →( Q ∧((¬ ¬ R)∨ ∨S))) Los valores de verdad de las fórmulas (¬G), (G∧H), (G∨H), (G→H) y (G↔H) están en dependencia de los valores de verdad que tomen las proposiciones G y H. La tabla siguiente resume estos valores. G H V V F F V F V F ¬G F F V V (G∧ ∧H) V F F F (G∨ ∨H) V V V F (G→ →H) V F V V (G↔ ↔H) V F F V Consideremos la fórmula G : ( P ∧Q ) → ( R ↔ ( ¬S ) ). Asignando los valores de verdad correspondientes a los átomos P, Q, R y S obtenemos diferentes combinaciones posibles para arribar a un valor de verdad de la fórmula G en cada combinación. Cada combinación recibe el nombre de interpretación de G. Como existen cuatro átomos en la fórmula, entonces se presentan 24=16 interpretaciones de G. En la tabla siguiente se muestra como representar este conjunto de interpretaciones. Este tipo de tabla, donde se muestran los valores de verdad de una fórmula G para todos los posibles valores de los átomos que parecen en la fórmula recibe el nombre de Tabla de Verdad de G o Tabla Veritariva de G. P Q R S V V V V V V V V V V F F F V V V F F F F V V V F F V ¬S F (P∧ ∧Q) V (R↔ ↔(¬ ¬S)) F (P∧ ∧Q) →(R↔ ↔(¬ ¬S)) F V F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V F V F V F V F V F V V V F F F F F F F V V F F V V F F V V V V F V V V V V V V V F F V F V V F F F F F V V F F F F V F F V V F F F V V V V F F F F V F F V Una definición formal de una interpretación de una fórmula proposicional se ofrece a continuación: Definición: Dada una fórmula proposicional G, sean A1, A2, A3,....,An átomos que parecen en la fórmula G. Entonces una interpretación de G es una asignación de valores de verdad a las proposiciones A1, A2, A3,....,An; donde a cada Ai se le asigna V o F; pero no ambos. Definición: Una fórmula proposicional G se dice que es verdadera bajo una (en una) interpretación, si y solo si G es evaluada de V en la interpretación, de lo contrario se dice que es falsa bajo la interpretación. Si en una fórmula hay n átomos diferentes entonces existirán 2n interpretaciones distintas de la fórmula. En algunas ocasiones si A1, A2, A3,....,An son átomos que intervienen en una fórmula, resulta más conveniente representar una interpretación por el conjunto { m1, m2, m3,....,mn }, donde mi es Ai, o ¬ Ai. Por ejemplo, el conjunto {P, ¬Q, ¬R, S} representa una interpretación en la cual P, Q, R y S tienen los valores de verdad V, F, F y V. Quiere esto decir que si un átomo A está en un conjunto que representa una interpretación, entonces A tiene asignado V, mientas si aparece la negación del átomo A en este conjunto, entonces A tiene asignado F. VALIDEZ E INCONSISTENCIA Consideremos la fórmula G ( ( P →Q ) ∧ P) → Q En la formula intervienen los átomos P y Q, por lo tanto existirán cuatro interpretaciones de la misma. La tabla de verdad de la fórmula G se da a continuación. Observe que G es verdadera bajo todas sus interpretaciones. Esta fórmula se llama fórmula válida o tautología. P Q (P→ →Q) ( P →Q ) ∧ P (( P →Q ) ∧ P) → Q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V Sea ahora G la fórmula G (P →Q ) ∧ ( P ∧ ¬ Q) La tabla de verdad de la fórmula G se da a continuación. Observe que G es falsa bajo todas sus interpretaciones. Esta fórmula se llama fórmula inconsistente o contradicción. P Q V V F F (P → Q) (P ∧ ¬Q) V F V ¬Q F V F V F V F V F (P →Q ) ∧ ( P ∧ ¬ Q) F F F F V V F F Formalicemos las definiciones de los conceptos tratados en los ejemplos anteriores. Definición: Una fórmula se dice que es válida, si y solo si es verdadera bajo todas sus interpretaciones. Una fórmula se dice que es no válida en caso que no cumpla lo anteriormente planteado. Definición: Una fórmula se dice que es inconsistente, si y solo si es falsa bajo todas sus interpretaciones. Una fórmula se dice que es consistente en caso que no cumpla lo anteriormente planteado. Las siguientes observaciones se derivan de las definiciones anteriores: 1. Una fórmula es válida si y solo si su negación es inconsistente. 2. Una fórmula es no válida si y solo si existe al menos una interpretación bajo la cual la fórmula es falsa. 3. Una fórmula es consistente si y solo si existe al menos una interpretación bajo la cual la fórmula es verdadera. 4. Toda fórmula válida es consistente; pero no viceversa. 5. Toda fórmula inconsistente es no válida; pero no viceversa. Ejemplo: Mediante el uso de la tabla de verdad el lector puede establecer las siguientes conclusiones: a) (P ∧ ¬P) b) (P ∨ ¬P) c) (P → ¬P) inconsistente y no válido válida y consistente no válida y consistente Si una fórmula F es verdadera bajo una interpretación I, entonces decimos que I satisface F, o F es satisfecha por I. Por otro lado, si una fórmula F es falsa bajo una interpretación I, entonces decimos que I falsea a F, o que F es falseada por I. Ejemplo: (P ∧ (¬Q)) es satisfecha por la interpretación {P, ¬Q} y falseada por {P, Q}. Cuando una interpretación I satisface una fórmula F, I es llamada modelo de F. Más adelante mostraremos que las pruebas de validez o inconsistencia de una fórmula representan un elemento importante. FORMA NORMAL EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL Como se aclarará más adelante, en ocasiones es necesario transformar una fórmula de una forma en otra, especialmente a una “forma normal”. Esto se logra reemplazando una fórmula expresada en determinada forma por otra fórmula equivalente, y así sucesivamente se repite este proceso hasta lograr el resultado deseado. Pero primero definamos el término equivalente. Definición: Dos fórmulas F y G se dice que son equivalentes ( o F es equivalente a G) y se denota por F ⇔ G, si y solo si las tablas de verdad de F y G son similares bajo cualquier interpretación de F y G Ejercicio: Verifique mediante el uso de una tabla veritativa que las fórmulas F : (P → Q) y G : ( ¬P ∨ Q) son equivalentes ( F ⇔ G ) Para facilitar el proceso de transformación de fórmulas, adoptemos el siguiente convenio desde el punto de vista de la notación. En la lógica proposicional denotaremos las fórmulas que siempre son verdaderas por el símbolo Σ y las fórmulas que siempre son falsas por ζ A continuación mostraremos algunos pares de fórmulas equivalentes donde G, H y F son fórmulas. Para mayor comodidad llamaremos a cada uno de ellos leyes. Adoptemos, para referirnos a cualquiera de estas leyes, como convenio anteponer L al numeral que identifica la ley, así por ejemplo, para referirnos a la conmutatividad de la ∨ escribimos L3.1. 1. 2. 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 9. 10.1 F ↔ G ⇔ ( F→ G ) ∧ (G → F) F → G ⇔ ¬F ∨ G F∨G⇔G∨F (F ∨ G) ∨ H ⇔ F ∨ (G ∨ H) F ∨ ( G ∧ H) ⇔ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H) F∨ζ⇔F F∨Σ⇔Σ F ∨ ¬F ⇔ Σ ¬(¬F) ⇔ F ¬(F ∨ G) ⇔ ¬F ∧ ¬G 3.2 4.2 5.2 6.2 7.2 8.2 F∧G⇔G∧F (F ∧ G) ∧ H ⇔ F ∧ (G ∧ H) F ∧ ( G ∨ H) ⇔ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H) F∧Σ⇔F F∧ζ⇔ζ F ∧ ¬F ⇔ ζ 10.2 ¬(F ∧ G) ⇔ ¬F ∨ ¬G Estas leyes son de gran importancia para la lógica proposicional y muchas de ellas son conocidas a través de la Matemática por su aplicación a las operaciones en los diferentes dominios numéricos o en las estructuras algebraicas. Así tenemos que (L3.1), (L3.2) son conocidas como leyes conmutativas; (L4.1), (L4.2) leyes asociativas; (L5.1), (L5.2) leyes distributivas; y (L10.1), (L10.2) leyes De Morgan. En virtud de la ley asociativa, los paréntesis en (F ∨ G) ∨ H o bien en F ∨ (G ∨ H) pueden ser eliminados sin que esto afecte el resultado. En sentido general podemos escribir F1 ∨ F2 ∨ ... ∨ Fn sin ambigüedad alguna, donde F1, F2, ...,Fn son fórmulas. F1 ∨ F2 ∨ ... ∨ Fn es verdadera si al menos una Fi, 1 i n, es verdadera, de lo contrario es falsa. F1 ∨ F2 ∨ ... ∨ Fn se llama disyunción de las fórmula F1, F2, ...,Fn. De manera análoga podemos escribir F1 ∧ F2 ∧ ... ∧ Fn la cual es verdadera si todas las fórmulas F1, F2, ...,Fn son verdaderas, de lo contrario es falsa. F1 ∧ F2 ∧ ... ∧ Fn se llama conjunción de las fórmula F1, F2, ...,Fn. Después de conocer estos elementos que acabamos de tratar estamos en condiciones de definir forma normal. Definición: Un literal es un átomo o la negación de un átomo. Definición: Una fórmula F se dice que está en forma normal conjuntiva, si y solo si F tiene la forma F F1 ∧ F2 ∧ ... ∧ Fn , n ƒ 1, donde cada F1, F2, ...,Fn es una disyunción de literales. Ejemplo: Sean P, Q y R átomos, entonces F conjuntiva. F1 ( P ∨ ¬Q ∨ R) y F2 ( P ∨ ¬Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ Q) es una fórmula en forma normal ( ¬P ∨ Q) son disyunciones de literales. Definición: Una fórmula F se dice que está en forma normal disyuntiva, si y solo si F tiene la forma F F1 ∨ F2 ∨ ... ∨ Fn , n ƒ 1, donde cada F1, F2, ...,Fn es una conjunción de literales. Ejemplo: Sean P, Q y R átomos, entonces F (¬P ∧ Q) ∨ ( P ∧ ¬Q ∧ R) es una fórmula en forma normal disyuntiva. F1 ( ¬P ∧ Q) y F2 ( P ∧ ¬Q ∧ R) son conjunciones de literales. Una fórmula cualquiera puede ser transformada a una de las formas normales definidas anteriormente mediante el uso de las leyes estudiadas anteriormente y una sucesión de equivalencias que garanticen la equivalencia entre la fórmula dada originalmente y la forma normal obtenida. Ejemplo: Obtener una forma normal disyuntiva para la fórmula ( P ∨ ¬Q ) → R Como ( P ∨ ¬Q ) → R ⇔ ¬( P ∨ ¬Q) ∨ R ⇔ (¬P ∧ ¬(¬Q)) ∨ R ⇔ (¬P ∧ Q ) ∨ R por L2 por L10.1 por L9 Luego una forma normal disyuntiva para ( P ∨ ¬Q ) → R es (¬P ∧ Q ) ∨ R. Ejercicio: Obtener una forma normal conjuntiva para la fórmula ( P ∧ ( Q → R )) → S. CONSECUENCIAS LÓGICAS Tanto en la matemática como en la vida diaria, con frecuencia necesitamos decidir si un enunciado es consecuencia de otro. Esta idea nos conduce al concepto de “consecuencias lógica”. Pero antes de dar una definición formal examinemos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Supongamos que los precios accionarios baja si sube la tasa de interés básica. Suponga además que la mayoría de la gente está descontenta cuando los precios accionarios bajan. De por hecho que la tasa de interés básica subió. Muestre que la mayoría de la gente está descontenta. Para probar la conclusión antes planteada, denotemos las oraciones de la forma siguiente: S : Las tasas de interés básicas suben B : Los precios accionarios bajan. D : La mayoría de la gente está descontenta Existen cuatro enunciados en el ejemplo. Estos son: (1). Si la tasa de interés básico sube, los precios accionarios bajan. (2). Si los precios accionarios bajan, la mayoría de la gente está descontenta. (3). La tasa de interés básico subió. (4). La mayoría de la gente está descontenta. De forma simbólica tenemos: (1) (2) (3) (4) S→B B→D S D Ahora demostraremos que (4) es verdadera siempre que (1) ∧ (2) ∧ (3) sean verdaderas. Transformemos primeramente la expresión (1) ∧ (2) ∧ (3) a forma normal: ( (S → B) ∧ ( B → D) ∧ S)) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ((¬S ∨ B) ∧ (¬B ∨ D) ∧ S) (S ∧ (¬S ∨ B) ∧ (¬B ∨ D)) ((S ∧ ¬S) ∨ ( S ∧ B ) ∧ (¬B ∨ D)) ( ζ ∨ ( S ∧ B ) ∧ (¬B ∨ D)) (( S ∧ B ) ∧ (¬B ∨ D)) ( S ∧ B ∧ ¬B) ∨ ( S ∧ B ∧ D) ( S ∧ ζ ) ∨ ( S ∧ B ∧ D) ζ ∨ ( S ∧ B ∧ D) S∧B∧D por por por por por por por por por L2 L3.2 L5.2 L8.2 L6.1 L5.2 L8.2 L7.2 L6.1 Por consiguiente si S ∧ B ∧ D es verdadera entonces las tres proposiciones que forman la conjunción han de ser verdaderas. Concluimos entonces que D es verdadera. Como D es verdadera siempre que (S → B), ( B → D) y S sean verdaderas, en lógica, D es llamada una consecuencia lógica de (S → B), ( B → D) y S. De manera formal se define consecuencia lógica a continuación: Definición: Dadas las fórmulas F1, F2, ...,Fn y una fórmula G se dice que G es una consecuencia lógica de F1, F2, ...,Fn , si y solo si para cualquier interpretación I donde F1 ∧ F2 ∧ ... ∧ Fn, es verdadera, G también es verdadera. F1, F2, ...,Fn se llaman axiomas ( o también postulados o premisas) de G. Teorema 1: Dadas las fórmulas F1, F2, ...,Fn y una fórmula G, G es una consecuencia lógica de F1, F2, ...,Fn si y solo si la fórmula ((F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ) → G) es válida. Demostración: ( υ ) Supongamos que G es una consecuencia lógica de F1, F2, ...,Fn. Sea I una interpretación cualquiera. Si F1, F2, ...,Fn son verdaderas para I, entonces, por la definición de consecuencia lógica, G es verdadera y por tanto (((F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ) → G) es verdadera.. Si por el contrario F1, F2, ...,Fn son falsas para I, entonces ((F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ) → G) es verdadera. En conclusión hemos probado que ((F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ) → G) es verdadera bajo cualquier interpretación. Por tanto ((F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ) → G) es una fórmula válida. ( σ ) Supongamos que ((F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ) → G) es una fórmula válida. Luego para cualquier interpretación I, si (F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ) es verdadera para I, entonces G es verdadera para I. Por tanto G es una consecuencia lógica de F1, F2, ...,Fn. Teorema 2: Dadas las fórmulas F1, F2, ...,Fn y una fórmula G, G es una consecuencia lógica de F1, F2, ...,Fn si y solo si la fórmula (F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ∧ ¬G) es inconsistente. Proponemos al lector la demostración de este teorema 2. Ambos teoremas son muy importantes ya que ambos muestran que probando que una fórmula es una consecuencia lógica de un conjunto finito de fórmulas es equivalente a probar que una fórmula relativa es válida o inconsistente. Si G es una consecuencia lógica de F1, F2, ...,Fn, la fórmula ((F1 ∧ F2 ∧ ... ∧Fn ) → G) es llamada teorema, y G es también llamada conclusión o tesis del teorema. Tanto en matemática como en otros campos, muchos problemas pueden ser formulados como problemas de demostración de teoremas. Veamos de forma simple como podemos utilizar estos tipos de formulación. Ejemplo: Consideremos las fórmulas ( P → Q) F1 F2 ¬Q G ¬P Muestre que G es una consecuencia de F1 y F2. Vía 1. Podemos usar la tabla de verdad para mostrar que G es verdadero en cualquier modelo de ( P → Q ) ∧ ¬Q . Elaboremos la tabla donde se verifique que (( P → Q ) ∧ ¬Q) → ¬P es una tautología. P Q ¬Q ¬P (P→ →Q) ( P →Q ) ∧ ¬ Q (( P →Q ) ∧¬Q) → ¬P V V F F V F V V F V F F F V F V F V V F V F F V V V V V Vía 2. Utilizando el teorema 1 probemos la validez de (( P → Q ) ∧ ¬Q) → ¬P mediante la transformación a forma normal conjuntiva. (( P → Q ) ∧ ¬Q) → ¬P ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ¬(( P → Q ) ∧ ¬Q) ∨ ¬P ¬(( ¬P ∨ Q) ∧ ¬Q) ∨ ¬P ¬(( ¬P ∧ ¬Q) ∨ ( Q ∧ ¬Q)) ∨ ¬P ¬(( ¬P ∧ ¬Q) ∨ ζ ) ∨ ¬P ¬(( ¬P ∧ ¬Q)) ∨ ¬P ( P ∨ Q) ∨ ¬ P (Q ∨ P ) ∨ ¬P Q ∨ (P ∨ ¬P) Q∨ Σ Σ por L2 por L2 por L5.2 por L8.2 por L6.1 por L10.2 por L3.1 por L4.1 por L8.1 por L7.1 De esta forma hemos probado que (( P → Q ) ∧ ¬Q) → ¬P es válida Vía 3. Podemos usar el teorema 1 y probar que (( P → Q ) ∧ ¬Q) ∧ ¬( ¬P) es inconsistente. Para probarlo se puede utilizar la tabla de verdad o transformando la fórmula a forma normal conjuntiva. Ambas pruebas se las proponemos al lector. APLICACIONES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Hasta el momento hemos discutido varios conceptos, leyes y teoremas, por lo que estamos en condiciones de analizar algunas aplicaciones de la lógica proposicional. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Si el congreso rehúsa promulgar nuevas leyes, entonces la huelga no se acaba, a menos que la huelga dure más de un año y el presidente de la firma renuncie. ¿La huelga no se acabará si el congreso rehúsa firmar nuevas leyes y la huelga recién comienza?. Transformemos a forma simbólica los planteamientos del problema. P : El congreso rehúsa decretar nuevas leyes. Q : La huelga acaba R : El presidente de la firma renuncia. S : La huelga dura más de un año. Los hechos dados pueden ser simbolizados de la forma siguiente: (P → (¬Q ∨ (R ∧ S))). Si el congreso rehúsa firmar nuevas leyes, entonces la huelga no se acaba a menos que dure más de un año y el presidente de la firma renuncie. F1 F2 P El congreso rehúsa firmar nuevas leyes. F3 ¬S La huelga apenas inicia. ¿De los hechos F1 , F2 y F3 podemos concluir que la huelga no acabará?. Es decir, ¿ podemos probar que ¬Q es una consecuencia lógica de F1 , F2 y F3?. Solución: Probar las suposiciones planteadas anteriormente conlleva a emplear el teorema 1 y demostrar que : (F1 ∧ F2 ∧ F3 ) → ¬Q donde F1 : (P → (¬Q ∨ (R ∧ S))), F2 : P y F3 : ¬S Se puede usar la tabla de verdad para comprobar la fórmula anterior es válida (propuesto).