Integrais Simples

Moritz Kaltmutt Integrais Simples 1 Integrais simples A Integral como Soma de Riemann Área em coordenadas cartesianas Área em coordenadas polares Volume de sólidos de revolução Área da superfície de sólidos de revolução Comprimento de arco de curva Trabalho de força variável 2 I. A Integral como Soma de Riemann levada ao infinito 1) Área sob a parábola y = 100 − x 2 . Considere o problema de calcular a área da figura compreendida entre a parábola y = 100 − x 2 e o eixo das abscissas, no intervalo −10  x  +10 . Área sob a parábola y = 100 − x 2 a) Como primeira aproximação da área procurada, calcule a área do triângulo inscrito S  , cujos vértices inferiores são os interceptos da parábola com o eixo das abscissas e cujo vértice superior coincide com o vértice da parábola, conforme figura abaixo. Triângulo inscrito sob a parábola y = 100 − x 2 b) Como uma segunda aproximação, divida agora o intervalo −10  x  +10 em 10 intervalos iguais (cada qual com duas unidades de comprimento) e calcule a área total S10 das 10 fatias retangulares sob a parábola, conforme figura abaixo. 3 Aproximação da área sob a curva com fatiamento de passo x = 2 10 S10 =  f ( xi )x , onde x = 2 . Para facilitar, note que, por simetria: i =1 5 S10 = 2. f ( xi )x i =1 c) Como uma aproximação melhor, divida agora o intervalo −10  x  +10 em 20 intervalos iguais (cada qual com uma unidade de comprimento) e calcule a área total S20 das 20 fatias retangulares sob a parábola, conforme figura abaixo. Aproximação da área sob a curva com fatiamento de passo x = 1 20 S20 =  f ( xi )x , onde x = 1. Para facilitar, note que, por simetria: i =1 10 S20 = 2. f ( xi )x i =1 d) Como uma aproximação ainda melhor, divida agora o intervalo −10  x  +10 em 40 intervalos iguais (cada qual com meia unidade de comprimento) e calcule a área total S40 das 40 fatias retangulares sob a parábola. 4 40 S40 =  f ( xi )x , onde x = 1/ 2 . Para facilitar, note que, por simetria: i =1 20 S40 = 2. f ( xi )x i =1 e) Lembrando que a área S sob a curva corresponde à Soma de Riemann levada ao infinito, expressa pela integral definida, isto é, S = lim n→ b n  f ( x )x =  f ( x)dx , calcule agora o i =1 i a valor exato da área S sob a parábola resolvendo a integral definida: 10 S= 10  −10 (100 − x 2 )dx = 2. (100 − x 2 )dx 0 f) Calcule o erro absoluto (S = S − S10 ) e o erro percentual relativo ( S 100%) S cometido na aproximação da área pelas 10 fatias retangulares. g) Calcule o erro absoluto (S = S − S20 ) e o erro percentual relativo ( S 100%) S cometido na aproximação da área pelas 20 fatias retangulares. h) Calcule o erro absoluto (S = S − S40 ) e o erro percentual relativo ( S 100%) S cometido na aproximação da área pelas 40 fatias retangulares. i) Calcule o erro cometido na aproximação da área procurada pela área do triângulo inscrito. Em seguida, calcule a relação S / S . j) Um resultado conhecido afirma que a área interna de uma parábola é 4/3 da área do triângulo nela inscrito, ou seja: S = podemos concluir que S = 4 2b.h = bh , S  . Como, na figura abaixo, S  = 3 2 4 bh . Verifique se os valores obtidos nos itens (a) e (e) 3 satisfazem essas igualdades. 2) Área sob a curva y = 5x.e− x 2 /20 . Considere o problema de calcular a área da figura compreendida entre a curva y = 5x.e− x 2 /20 e o eixo das abscissas. 5 A curva y = 5x.e− x 2 /20 Admita, inicialmente, que a área sob a curva procurada esteja compreendida no intervalo 0  x  10 , conforme figura abaixo. Área sob a curva para 0  x  10 a) Como primeira aproximação da área procurada, calcule a área do triângulo S  , cujos vértices inferiores são os pontos (0, 0) e (10, 0) e cujo vértice superior coincide com o ponto de máximo da curva, tal como delineado na figura abaixo. Para tanto, extreme a função e mostre que o ponto de máximo da curva possui coordenadas ( 10; 5 10 / e ) . 6 b) Fazendo agora uma aproximação pelo fatiamento da figura, divida o intervalo 0  x  10 em 10 intervalos iguais (cada qual com uma unidade de comprimento) e calcule a área total S10 das 10 fatias retangulares sob a curva, conforme figura abaixo. Aproximação da área sob a curva com fatiamento de passo x = 1 10 S10 =  f ( xi )x , onde x = 1. i =1 c) Como uma aproximação ainda melhor, divida agora o intervalo 0  x  10 em 20 intervalos iguais (cada qual com meia unidade de comprimento) e calcule a área total S20 das 20 fatias retangulares sob a gaussiana. 20 S20 =  f ( xi )x , onde x = 1/ 2 . i =1 d) Calcule agora o valor exato da área S sob a curva e o eixo das abscissas, no intervalo 0  x  10 , resolvendo a integral definida: 10 S =  5 x.e− x 2 /20 dx 0 Como sugestão para resolver a integral, empregue o método da mudança de variável, fazendo u = − x / 20 . e) Calcule o erro cometido na aproximação da área procurada pela área do triângulo. Em seguida, calcule a relação S / S . 2 f) Calcule o erro absoluto (S = S − S10 ) e o erro percentual relativo ( S 100%) S cometido na aproximação da área pelas 10 fatias retangulares. g) Calcule o erro absoluto (S = S − S20 ) e o erro percentual relativo ( S 100%) S cometido na aproximação da área pelas 20 fatias retangulares. h) Por fim, calcule o valor exato da área S sob a curva e o eixo das abscissas, para x  0 , resolvendo a integral imprópria: + S=  5x.e 0 Responda, então, às seguintes questões: 7 − x 2 /20 dx • Qual a diferença entre essa área e a área calculada no item (d)? Dê o resultado em termos absolutos e percentuais; • Considere um retângulo cuja base possuísse 10 unidades de comprimento. Qual deveria ser sua altura para que sua área fosse equivalente à área sob a curva calculada? 3) Área sob a gaussiana y = 10.e− x 2 /20 . Considere o problema de calcular a área da figura compreendida entre a curva gaussiana y = 10.e− x seguir, e o eixo das abscissas. 2 /20 , cujo gráfico está representado a a) Como primeira tentativa de aproximação da área procurada, calcule a área do triângulo S  , cujos lados laterais (tracejados na figura) passam pelos dois pontos de inflexão da curva, conforme figura abaixo. A gaussiana y = 10.e− x 2 /20 b) Fazendo uma aproximação pelo fatiamento da figura, divida agora o intervalo −10  x  +10 em 20 intervalos iguais (cada qual com uma unidade de comprimento) e calcule a área total S20 das 20 fatias retangulares sob a gaussiana, conforme figura abaixo. A gaussiana y = 10.e− x 2 /20 Aproximação da área sob a curva com fatiamento de passo x = 1 8 20 S20 =  f ( xi )x , onde x = 1. Para facilitar, note que, por simetria: i =1 10 S20 = 2. f ( xi )x i =1 c) Como uma aproximação ainda melhor, divida agora o intervalo −10  x  +10 em 40 intervalos iguais (cada qual com meia unidade de comprimento) e calcule a área total S40 das 40 fatias retangulares sob a gaussiana. 40 S40 =  f ( xi )x , onde x = 1/ 2 . Para facilitar, note que, por simetria: i =1 20 S40 = 2. f ( xi )x i =1 d) Calcule agora o valor exato da área S sob a gaussiana e o eixo das abscissas, resolvendo a integral imprópria: + S= −x  10.e 2 /20 dx − x2 x u = Como sugestão, faça a mudança de varável u = e utilize o resultado 20 20 2  conhecido: e −u2 du =  . − e) Calcule o erro cometido na aproximação da área procurada pela área do triângulo. Em seguida, calcule a relação S / S f) Calcule o erro absoluto (S = S − S20 ) e o erro percentual relativo ( S 100%) S cometido na aproximação da área pelas 20 fatias retangulares. g) Calcule o erro absoluto (S = S − S40 ) e o erro percentual relativo ( cometido na aproximação da área pelas 40 fatias retangulares. 9 S 100%) S II. Área em coordenadas cartesianas 1) No ensaio “De dimensione parabolae”, publicado na obra Opera geometrica, de 1644, Torricelli fornece 21 provas de um resultado que já era conhecido desde Arquimedes, segundo o qual a área interna de uma parábola é 4/3 da área de um triângulo com mesma base e altura. Destas 21 provas, 10 delas recorrem a um método novo em sua época, então denominado “método dos indivisíveis”, que está nas origens do cálculo infinitesimal elaborado anos mais tarde. Empregando integral simples, comprove este resultado x2 calculando a área sob a parábola y = h(1 − 2 ) . Como sugestão, observe que esta b parábola tem vértice sobre o eixo y e altura h, sendo que seus interceptos no eixo das 4 abscissas são x =  b . Portanto, trata-se de mostrar que a área S sob a parábola é S = bh 3 . 2) Calcule a área da figura delimitada pelas curvas y = x 2 , y = 1/ x 2 e pelas retas x = 3 e y = 0. Resposta: 1 u.a. 10 3) Calcule a área da figura hachurada abaixo compreendida entre a cúbica y = x3 + x 2 − 2 x e o eixo x no intervalo −2  x  1 . Resposta: 37/12 u.a. 4) Calcule a área da figura hachurada abaixo compreendida entre a parábola y2 = 4 − x 2 e a reta y1 = 2 − x . Resposta: 9/2 u.a. 5) Considere a parábola y1 = − ax 2 + bx seccionada pela reta y2 = kx , em que a, b e k são coeficientes positivos. Mostre que: a) quando k = b / 4 , a abscissa não nula do ponto de intersecção entre a reta e a parábola 3 situa-se em x = (b / a ) ; 4 b) neste caso, a área S2 do triângulo sob a reta, cuja base é ¾ da base da parábola, e é igual à área S1 da figura compreendida entre a reta e a parábola; c) S1 = S2 = 32 b3 27 a 2 11 6) Calcule a área da figura hachurada abaixo compreendida entre as parábolas y2 = 1 − x 2 e y1 = x 2 − 2 x + 1 . Resposta; 1/3 u.a. 7) Calcule a área da figura hachurada abaixo compreendida entre as curvas y1 = −2 x 2 + 10 x − 8 e y2 = x 2 − 2 x + 1 . Resposta: 4 u.a. 12 8) Calcule a área da figura hachurada abaixo, compreendida entre a parábola y1 = 2 x 2 e a curva de quarto grau y2 = x 4 − 2 x 2 . Resposta: 128/15 u.a. 9) Calcule a área da figura representada abaixo, compreendida entre a curva y1 = x 4 − 5 x 2 + 4 e a parábola y2 = 8 − 2 x 2 . Resposta: 96/5 u.a. 13 10) Calcule a área da figura representada abaixo, compreendida entre a parábola y = 4 x 2 − 6 x − 6 e a cúbica y = x3 − 3x 2 + 2 x + 10 . Resposta: 625/12 u.a. 11) Calcule a área da figura representada abaixo, compreendida entre a parábola y1 = 1 − x 2 e a cúbica y2 = x3 − x . Resposta: 4/3 u.a. 14 12) Calcule a área da figura representada abaixo, compreendida entre a cúbica y1 = 3x − 3x 3 e a cúbica y2 = x3 − x . Resposta: 2 u.a. 13) Calcule a área da figura hachurada abaixo, compreendida entre as parábolas y1 = 5 − x 2 , y2 = − x 2 + 2 x + 3 e y3 = − x 2 − 2 x + 3 . Resposta: 2 u.a. 15 2 14) Calcule a área da figura hachurada abaixo, delimitada pelas parábolas y1 = 5 − x , y2 = − x 2 + 2 x + 3 , y3 = − x 2 − 2 x + 3 e pelo eixo das abscissas. Resposta: 4 (5 5 − 4) u.a. 3 15) O gráfico abaixo representa a exponencial crescente y1 = e x e a exponencial decrescente y2 = e − x . Calcule a área da figura hachurada compreendida entre estas exponenciais e as retas x = −1 e x = +1 . Resposta: 2(e + 1/ e) − 4 u.a. 16) O gráfico abaixo representa a exponencial y1 = −e x e a exponencial y2 = e − x . Calcule a área da figura hachurada compreendida entre estas exponenciais e as retas x = −1 e x = +1 . Resposta: 2(e − 1/ e) u.a. 16 17) O gráfico abaixo representa a exponencial y1 = 1 − e x e a exponencial y2 = −1 + e − x . Calcule a área da figura hachurada compreendida entre estas exponenciais e as retas x = −1 e x = +1 . Resposta: 2(e − 1/ e) − 4 u.a. 18) Calcule a área da figura hachurada abaixo, compreendida entre a reta y = x e a serpentina de Newton y = 5x . x +1 2 Resposta: 5ln 5 − 4  4, 05 u.a. 17 19) Considere a função f ( x) = a) resolva a integral  f ( x) dx 4x cujo gráfico está abaixo: ( x + 1) 2 2 pelo método da mudança de variável; b) calcule a área da figura hachurada; c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x −2 + C ; b) 2 u.a.; c) 4 u.a. Resposta: a) 2 x +1 20) Considere a função f ( x) = a) resolva a integral  f ( x) dx 8x , cujo gráfico está representado abaixo: ( x + 1)3 2 pelo método da mudança de variável; b) calcule a área da figura hachurada; c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x. Resposta: 18 21) Considere a função f ( x) = a) resolva a integral  f ( x) dx 4 x3 , cujo gráfico está representado abaixo: ( x 4 + 1) 2 pelo método da mudança de variável; b) calcule a área da figura hachurada; c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x −1 + C ; b) 1 u.a.; c) 2 u.a. Resposta: a) 4 x +1 2 22) Considere a função f ( x) = 4 x.e− x cujo gráfico está abaixo: a) resolva a integral  f ( x) dx pelo método da mudança de variável; b) calcule a área da figura hachurada; c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x. 19  1 − x2 Resposta: a) −2.e + C ; b) 2  1 −   1, 26 ; c) 2 u.a.  e 2 23) Considere a função f ( x) = x.e1− x cujo gráfico está abaixo: a) resolva a integral  f ( x) dx pelo método da mudança de variável; b) calcule a área da figura hachurada; c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x, para x  0 . Resposta: e−1/ x cujo gráfico, para x  0 , está representado abaixo: x2 f ( x) dx pelo método da mudança de variável; 24) Considere a função f ( x) = a) resolva a integral  20 b) mostre que a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x, para x  0 , corresponde a 1 u.a. Resposta: a) e−1/ x + C 25) Considere as funções exponenciais y1 = e− x e y2 = e−1/ x cujos gráficos estão x2 representados abaixo para x  0 . Mostre que: a) a área total sob cada uma das curvas, para x  0 , é a mesma e vale 1 u.a.; b) a área sob a curva y1 no intervalo 0  x  1 é igual à área sob a curva y2 no intervalo x  1 e vale 1 − 1/ e ; c) a área sob a curva y2 no intervalo 0  x  1 é igual à área sob a curva y1 no intervalo x  1 e vale 1/ e ; d) a área entre as curvas no intervalo 0  x  1 é idêntica à área entre as curvas no intervalo x  1 e vale 1 − 2 / e . As curvas y1 = e −x (em azul) e y2 = 21 e−1/ x (em vermelho) x2 26) Considere a função f ( x) = −3xe x , cujo gráfico está representado abaixo: a) resolva a integral  f ( x) dx pelo método da integração por partes; b) calcule a área da figura hachurada; c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x, para x<0. Resposta: 27) Considere a função f ( x) = 4 x 2 .e− x , cujo gráfico está representado abaixo: a) resolva a integral  f ( x) dx pelo método da integração por partes; b) calcule a área da figura hachurada; c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x, para x  0 . 5  −x 2 Resposta: a) −4.e ( x + 2 x + 2) + C ; b) 8 1 − 2   2,59 u.a. c) 8 u.a.  e  28) Considere a função f ( x) = 2 x3 .e− x , cujo gráfico está representado abaixo: a) resolva a integral  f ( x) dx pelo método da integração por partes; b) calcule a área da figura hachurada; 22 c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x, para x>0. Resposta: 29) Considere a função f ( x) = a) resolva a integral  f ( x) dx 1− 2x 1− 2x cujo gráfico está representado abaixo: = 2 x − 4 x x( x − 4) pelo método da integração por frações parciais; b) calcule a área da figura hachurada. 1 7 3 Resposta: a) − ln x − ln x − 4 + C ; b) ln 3  1, 65 u.a. 4 4 2 30) Calcule a área da figura compreendida entre a cossenóide y2 = cos( y1 = 1 − x 2 . Resposta: 4 4 4 ( − 3) = −  6,0110−2 u.a. 3 3  23  2 x) e a parábola 31) O problema da curva epidemiológica. Consideremos a família de curvas na forma y =  x 2e−  x , onde  e  são parâmetros de ajuste da curva. Se essas curvas modelam satisfatoriamente a progressão de uma epidemia infectocontagiosa, como é o caso da virose causada pelo covid-19, elas são chamadas curvas epidemiológicas. Na figura abaixo, encontram-se traçadas duas curvas desta família. O eixo das abscissas é o eixo do tempo [expresso, por exemplo, em meses decorridos], enquanto o eixo das ordenadas representa o número de casos confirmados por unidade de tempo [em centenas de casos por dia, por exemplo]. 2 −x 2 − x /2 (em vermelho) A curva y = 8 x e (em azul) e a curva y = x e A área total sob cada uma dessas curvas fornece o número total de pessoas infectadas na duração total da epidemia. Note-se que a área sob as curvas pode ser idêntica, significando que o número total de indivíduos contaminados será o mesmo, muito embora o valor de máximo das curvas seja distinto. Uma curva epidemiológica mais achada, como é o caso da curva vermelha, apresenta um valor de máximo que é a metade do valor de máximo da curva em azul. Um comportamento deste tipo pode ocorrer quando são adotadas medidas eficazes de contenção da progressão da epidemia (tais como reclusão e 24 isolamento), fazendo com que o número máximo de indivíduos contaminados por unidade de tempo caia substancialmente com relação ao número que seria esperado quando essas medidas não são adotadas. A queda do valor de máximo pode ser uma providência necessária para que o sistema de saúde existente não seja sobrecarregado e tenha condições de atender, em tempo hábil, aos pacientes infectados, sem a necessidade de recorrer a medidas extraordinárias para que não se instale o caos na rede hospitalar. 2 − x Considerando novamente as famílias de curvas epidemiológicas na forma y =  x e , mostre que: a) o número  total N =   x 2e−  x dx  N = 0 N de indivíduos infectados é dado por 2 ; 3 b) curvas epidemiológicas mais ou menos suaves, mas com mesma área N, são ditas N  3 2 − x xe ; normalizadas e serão dadas por y = 2 c) o ponto de máximo da curva ocorre sempre para x = 2 /  ; portanto, o valor de máximo da curva será yMáx = 2N . e2 As expressões obtidas permitem extrair as seguintes conclusões. Para que uma curva epidemiológica seja achatada de modo que seu pico caia pela metade, o parâmetro  deve ser dividido por dois; com isso, o tempo necessário para que a epidemia atinja seu ponto de máximo deve duplicar. Quanto ao parâmetro  , este deverá ser oito vezes menor que o anterior para que as curvas sejam normalizadas. 32) O problema da curva epidemiológica revisitado. Uma curva que modela satisfatoriamente a progressão de uma epidemia infectocontagiosa é chamada de curva 2 − x epidemiológica. Considere que a família de curvas na forma y =  x e , onde  e  são parâmetros de ajuste da curva, possa descrever adequadamente a progressão da pandemia provocada pelo vírus covid-19. Na figura abaixo, encontram-se traçadas duas curvas desta família. O eixo das abscissas é o eixo do tempo [que expresso o número de meses decorridos], enquanto o eixo das ordenadas representa o número de casos confirmados por unidade de tempo [em centenas de casos por dia]. 25 2 −x 2 − x (em vermelho) A curva y1 = 8 x e (em azul) e a curva y2 =  x e A área total sob cada uma dessas curvas fornece o número total de pessoas infectadas na duração total da epidemia. Quando a área sob as curvas é idêntica, o número total de indivíduos contaminados na duração completa da pandemia será o mesmo. Note-se que isso pode se dar muito embora o valor de máximo das curvas seja distinto. Uma curva epidemiológica mais achada, como é o caso da curva vermelha, apresenta um valor de máximo que é a metade do valor de máximo da curva em azul. Um comportamento deste tipo pode ocorrer quando são adotadas medidas eficazes de contenção da progressão da epidemia, tais como medidas de restrição do contato social, que incluem reclusão e isolamento, além de medidas de reforço de higiene pessoal e pública. Tais medidas fazem com que o número máximo de indivíduos contaminados por unidade de tempo caia substancialmente com relação ao número que seria esperado quando essas medidas não são adotadas. A queda do valor de máximo pode ser uma providência necessária para que o sistema de saúde existente não seja sobrecarregado e tenha condições de atender, em tempo hábil, aos pacientes infectados, sem a necessidade de recorrer a medidas extraordinárias. 2 −x Admita que a curva epidemiológica em azul, cuja expressão é y = 8 x e , modele adequadamente a progressão da pandemia do coronavírus, em uma determinada cidade, quando nenhuma medida de contenção da epidemia é adotada. a) calcule o número total N1 de indivíduos que serão infectados ao longo de toda a duração da pandemia resolvendo a integral:  N1 =  8 x 2e− x dx ; 0 2 −x b) extreme a função y1 = 8 x e e determine o instante de tempo em que a curva atingirá seu ápice; em seguida, encontre o valor de máximo da curva, y1Máx , que representa número máximo de indivíduos que serão contaminados por unidade de tempo. Imagine agora que o sistema de saúde tenha capacidade instalada para atender apenas a metade desse valor de máximo encontrado. Assim sendo, seria preciso adotar medidas eficazes para restringir a progressão da pandemia e achatar a curva epidemiológica, tornando-a semelhante à curva traçada em vermelho. 26 Seja então o problema que consiste em determinar os parâmetros da nova curva 2 − x epidemiológica, na forma y2 =  x e , de tal modo que duas condições sejam satisfeitas: 1) seu valor de máximo seja metade do anterior; 2) a área sob a nova curva achatada seja a mesma da anterior, o que significa que o número de indivíduos contaminados na duração total da epidemia continuará sendo o mesmo. Para tanto: c) mostre que o número total N de indivíduos infectados é dado por:  N 2 =   x 2e−  x dx  N 2 = 0 2 ; 3 2 − x e mostre que o ponto de máximo da curva ocorre d) extreme a função y2 =  x e sempre para x = 2 /  ; portanto, o valor de máximo da curva será y2 Máx = 4 . Como e2  2 desejamos que este valor de máximo seja metade do anterior, devemos escrever que: y y2 Máx = 1Máx . 2 Por conseguinte, para determinar os parâmetros  e  , resolva o sistema de equações: y1Máx  4  e2  2 = 2    2 = N 1   3 , onde N1 e y1Máx foram determinados nos itens a e b. Para concluir, responda em que instante de tempo a curva achatada, cujos parâmetros foram determinados, deverá atingir seu ápice. 33) O problema da função Gama. Considere a família de curvas yn ( x) = x n e − x , onde n é número natural não nulo. a) empregando integração por partes, mediante a construção de diagramas tabulares, mostre que a área Sn da figura infinita compreendia entre a curva yn e o eixo x, com x  0 , é: Sn = n ! ; b) por conseguinte, comprove que possuem área unitária as figuras sob as curvas 1 f n ( x) = x n e − x ; n! c) mostre que a curva f n ( x) passa por um máximo em x = n e comprove que f n (n) = f n−1 (n) . d) constate que a equação da curva que percorre os pontos de máximos desta família de x x e− x ; curvas é dada por: h( x) = x! 27 Figuras sob as curvas f n ( x) = 1 n −x x e possuem área unitária n! e) empregando a relação de Stirling, segundo a qual n! nn e− n 2n (válida para n>>), mostre que h( x) = x x e− x 1 tende assintoticamente para a curva y = . x! 2x Em azul claro, a curva y = 1 2x − x /2 34) Considere a curva y = e sen( x) representada abaixo: a) calcule a integral indefinida I =  e − x /2 sen( x)dx ; b) calcule a área entre a curva e o eixo x no primeiro semiciclo positivo ( 0  x  1 ); c) calcule a área entre a curva e o eixo x no primeiro semiciclo negativo ( 1  x  2 ); d) que se pode afirmar sobre a relação entre as áreas de dois semiciclos sucessivos? −2e− x /2 Resposta: a) I = 2 ( senx + 4 cos x) + C 4 + 1 28 8 1 (1 + ) 2 4 + 1 e 8 1 1 c) S2 = 2 ( + ) 4 + 1 e e b) S1 = Curvas dadas na forma paramétrica  x = 2t 35) Seja a parábola dada parametricamente por:   y = 8t (2 − t ) a) represente a parábola no plano cartesiano; b) calcule a área da figura compreendida entre a parábola e o eixo x com 1  t  2 ; c) hachure a figura cuja área foi calculada. Resposta:  x = 4 cos  36) Considere a elipse dada por:   y = 3sen ; 0    2 a) Calcule a área S1 da secção da elipse em que 0     3 ; b) Calcule a área S2 da secção da elipse em que  3     2 . 1 Resposta: a) S1 = (4 − 3 3) ; 2 b) S 2 = 1 (2 + 3 3) 2 29 37) Considere a cicloide gerada pela circunferência de raio r dada parametricamente por:  y = r (1 − cos )   x = r ( − sen) ; 0    2 Mostre que a área da figura delimitada superiormente pela cicloide e inferiormente pelo eixo x equivale ao triplo da área do círculo de raio r. 30 III. Área em coordenadas polares 38) Mostre que a área S da figura dada em coordenadas polares por r =  .(2 −  ) , 8 5  u.a. 15 Lembre que a área S da figura dada em coordenadas polares por r = r ( ) , com      0    2 , é: S = , pode ser calculada por: S = 1  2 r d . 2  39) Calcule a área da figura hachurada abaixo compreendida entre a espiral r1 = 1 − (com 0    2 ) e a circunferência r2 = 1 . Resposta: S = 2 u.a. 3 31  2 40) Calcule a área da figura hachurada abaixo compreendida entre as espirais de Arquimedes r1 () =  e r2 () = 2 . Lembre que a área S de uma figura compreendida entre curvas dadas em coordenadas polares por r1 () e r2 () , no intervalo      , pode ser calculada por: S= 1  2 2 (r2 − r1 )d  , onde r2  r1 no intervalo considerado. 2  3 Resposta: S = u.a. 2 41) Calcule a área da figura hachurada compreendida entre a espiral crescente r1 = a espiral decrescente r2 = 1 − Resposta: S =  e 2  , em que 0    2 . 2  u.a. 4 42) Calcule a área S da figura hachurada abaixo, delimitada pela espiral de Arquimedes r1 = 2 −  (com 0    2 ) e pela circunferência r2 = 1 .  32 Resposta: S =  u.a. 43) Calcule a área da figura hachurada abaixo compreendida entre a espiral r1 () = 1 −  2 2    e a espiral r2 () = 1 −   .  2  Resposta: S =  u.a. 5 44) Calcule a área de cada uma das figuras hachuradas abaixo compreendidas entre as  espirais cujas equações são: espiral intermédia: r1 () = 1 − ; espiral externa: 2 2 2       r2 () = 1 −  − 1 .  ; espiral interna: r3 () =  2 2       Resposta: 33 45) Mostre que a área S da figura hachurada abaixo, delimitada pela espiral logarítmica r1 = e / 2 (com 0    2 ) e pela circunferência r2 = 1 é dada por S = que a área em coordenadas polares pode ser calculada por: S =  2 (e − 3) . Lembre 2 1  2 r d . 2  46) Considere a espiral logarítmica dada em coordenadas polares por Demonstre que: a) a área do primeiro laço desta espiral é S1 =  2 (e 2 − 1); ; b) a área entre o primeiro e o segundo laço é S 2 =  2 e 2 .(e 2 − 1); c) a razão r entre as áreas de laços subsequentes é r = e 2 . 34 r = e /2 . Dois primeiros laços da espiral r = e /2 ( 0    4 ) 47) Considere a espiral dada em coordenadas polares por r = 1 − e− /2 . Demonstre que: 4e − 1 a) a área do primeiro laço desta espiral é S1 =  ( 2 − 1); e b) se Sn é a área do enésimo laço, então lim S n =  . n → Cinco primeiros laços da espiral r = 1 − e− /2 ;( 0    10 ) 35 Gráfico da espiral r = ln  48) O problema da espiral do logaritmo natural. Mostre que a área do primeiro laço da espiral do logaritmo natural r = ln  é: S = (ln 2 − 2.ln 2 + 2) − 1 4,347 . Sugestão: Empregue o método da integração por partes para 2  ln 2 obter: x.dx = x(ln 2 x − 2 ln x + 2) . Gráfico da espiral r = ln ; 1    2 49) Considere a espiral dada, em coordenadas polares, por r = 9  :  +1 3 a) calcule a área do primeiro laço desta espiral ( 0    2 ); b) calcule a área do segundo laço desta espiral ( 2    4 ). Você esperava encontrar uma diferença grande em relação ao valor encontrado no item anterior? c) como desafio, escreva a integral que fornece o comprimento total desta espiral infinita. Seria possível estimar o seu valor? 27  1  27 Resposta. a) S1 = 1 − 3   2  8 + 1  2 36 b) S 2 = 27  1 1 189  −  3  3 2  8 + 1 64 + 1  128 3 4,8 10−2 Gráfico da espiral r = 9   +1 3 50) Considere a espiral dada, em coordenadas polares, por r = 4 :  +1 a) calcule a área do primeiro laço desta espiral ( 0    2 ); b) mostre que tende a zero a diferença entre a área do enésimo laço e a área do laço seguinte, desde que n seja muito grande ( n →  ). Resposta: a) S = 8ln(2 + 1) u.a. Gráfico da espiral r = 4 ; 0    20  +1 51) Calcular a área hachurada na figura abaixo, compreendida entre o primeiro e o segundo laço da espiral de Fermat r 2 = ; 0    4 . 37 2 2 1 1 32 Resposta. Área hachurada no primeiro laço: S1 =  r 2 d  =  d  = 2 2 4 4 Área hachurada no segundo laço: S2 = Área total hachurada: S1 + S2 = 3 1 2 1 r d  −  r 2 dr = 2  2 2 2 7 2 4 Espiral r 2 = ; 0    4 52) O problema da espiral de Fermat r 2 = a 2  . Mostre que a área compreendida entre o enésimo laço e seu laço subsequente da espiral de Fermat r 2 = a 2  é constante e vale a 2 2 . Um resultado surpreendente! Para realizar a demonstração, verificar que: ( n + 3)  1 1 S= r 2d  −  2 ( n+1)  2 ( n + 2)   r 2 dr = a 2 2 n 38 Espiral r 4 =  39 IV. Volume de sólidos de revolução 53) Mostre que o volume V de um paraboloide cilíndrico de altura h e base de raio r é 1 dado por V = r 2 h . Como sugestão, calcule o volume do sólido de revolução gerado 2 r 1/ 2 x , com 0  x  h . pela rotação, em torno do eixo x, da parábola y = h A partir desse resultado, pode-se concluir que o volume do paraboloide corresponde à metade o volume do cilindro circunscrito (de mesma base e altura) e a 3/2 do volume do cone inscrito (de mesma base e altura). Pode-se ainda concluir que o volume do sólido compreendido entre o cone e o paraboloide 1 é de V = r 2 h , correspondendo à metade do volume do cone. 6 54) Considere a figura compreendida entre o ramo de hipérbole y = 1/ x e o eixo x, para 1/ 2  x  3 . Calcule o volume V do sólido de revolução infinito gerado pela rotação dessa figura em torno do eixo x. 5 Resposta. V =  u.v. 3 40 55) Considere a figura infinita abaixo, compreendida entre a curva y = 1 x e o eixo x. Mostre que sua área é infinita, mas que o volume V do sólido gerado por sua revolução em torno no eixo x é finito e vale V =  . 55) Calcule o volume do carretel gerado pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, compreendida entre a parábola y = x 2 + 1 e o eixo x, para −2  x  2 . Resposta. V = 412  u.v. 15 41 56) 2) Calcule o volume da ampulheta gerada pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, compreendida entre a curva y = 4 x 2 − x 4 e o eixo x, para −2  x  2 Resposta. V = ? u.v. 42 57) Considere a figura infinita abaixo compreendida entre a exponencial decrescente y = e− x e o eixo x, para x  0 . Mostre que sua área S é finita e corresponde a 1 u.a. Portanto, sua área é equivalente a área de um quadrado de lado unitário. Considere agora o sólido de revolução infinito gerado pela revolução, em torno do eixo x, da figura compreendida entre a curva da questão anterior, y = e− x , e o x, para x  0 . Mostre que seu volume V é finito e é dada por: V =  / 2 u.v. 43 58) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da 2 −x figura infinita compreendia entre a curva y = x e e o eixo x, com x  0 . 3 Resposta. V =  u.v. 4 59) Mostre que o volume V do sólido infinito gerado pela rotação, em torno do eixo x, da figura compreendida entre a curva y = 2 xe1− x e o eixo x, sendo x  0 , é V=  e . 2 44 60) Mostre que o volume V do sólido de revolução infinito gerado pela rotação da curva 2 de Gauss y = e− x em torno do eixo x é: V =   / 2 u.v. + Como sugestão, lembre que  2 e − x dx =  , que corresponde à área sob a curva de Gauss. − 61) Calcule o volume do carretel gerado pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, delimitada pela circunferência x 2 + y 2 = 5 , pelas retas y = 1  x e pelo eixo x. Resposta: 2 (10 5 − 7) u.v. 3 45 62) Calcule o volume do carretel gerado pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, delimitada pela circunferência x 2 + y 2 = 5 , pela parábola y = x 2 + 1 (com −1  x  1 ) e pelo eixo x. Resposta: 63) Mostre que o volume V do carretel gerado pela revolução do segmento de hipérbole 8 2 y x2 − = 1 , em torno do eixo x, com −a  x  a , é dado por: V = b a . 2 2 3 b a 8 Note que este volume equivale ao volume de um cilindro de raio b e altura a 3 2 46 64) Calcule o volume do anel gerado pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, compreendida entre a parábola y = x 2 + 1 e a parábola y = 3 − x 2 . Resposta: 32  u.v. 3 47 65) Considere o triângulo delimitado pelas retas y1 = 3 − x , y2 = x + 1 e pelo eixo y. Calcule o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação dessa figura em torno do eixo x. Resposta. V = 4 u.v. 66) Considere a figura delimitada pelas parábolas y1 = 2 − x 2 , y2 = 2 x − x 2 e pelo eixo y. Calcule o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação dessa figura em torno do eixo x. 7 Resposta. V =  u.v. 3 48 67) Considere a figura delimitada pelas parábolas y1 = x 2 − 2 x + 2 , y2 = 2 x − x 2 e pelo eixo y. Calcule o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação dessa figura em torno do eixo x. 4 3 Resposta. V =  u.v. 49 68) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da figura 1 1 hachurada abaixo, compreendida entre a parábola y = (13 − x 2 ) e a reta y = ( x + 5) 4 2 Resposta. ? 50 69) Mostre que o volume V do espelho côncavo gerado pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, delimitada pelas circunferências y 2 + x 2 = 4 , y 2 + x 2 = 4 x e o eixo y é V = 2 . 70) Mostre que o volume V do disco gerado pela revolução, em torno do eixo x da figura hachurada abaixo, delimitada pela circunferência x 2 + y 2 = 4 , a reta y = 3.x e o eixo y é V = 8 . 3 51 71) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, situada no primeiro quadrante e compreendida entre as circunferências y 2 + x 2 = 4 e y 2 + ( x − 2)2 = 1 . Resposta: 72) Calcule o volume V da esfera furada gerada pela revolução, em torno do eixo x, da 2 2 figura hachurada abaixo, compreendida entre a circunferência x + y = 25 e a reta y = 3. 44 256 =  u.v. Interessante notar que o volume da esfera furada de 3 3 raio 5 (com furo de raio 3) é equivalente ao volume de uma esfera inteiriça de raio 4. Resposta: V = 73) Calcule o volume da esfera oca gerada pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, compreendida entre a circunferência x 2 + y 2 = 1 e a parábola y = 1 − x2 . Resposta: 4  u.v. 15 52 74) Mostre que o volume V da esfera oca gerada pela revolução, em torno do eixo x, da figura hachurada abaixo, compreendida entre a circunferência x 2 + y 2 = 1 e a elipse x 2 + 4 y 2 = 1 é V =  u.v. 75) O envoltório metálico da ogiva de um míssil balístico é gerado pela rotação, em torno do eixo x, da figura representada abaixo. Sabendo que esta figura é delimitada pelas curvas y = x ( 0  x  9 ) e y = x − 1 ( 1  x  9 ), com x e y dados em decímetros, calcule o volume total da casca metálica. 17  dm3. Resposta: 2 53 76) Um cadinho tem seu formato gerado pela rotação, em torno do eixo x, da figura representada abaixo, onde. Sabendo que esta figura é delimitada pelas curvas y = 2 4 x ( 4 0  x  4 ) e y = 2 x − 1 ( 1  x  4 ), com x e y dados em decímetros, calcule o volume total Vc do cadinho metálico. Em seguida, calcule o volume máximo Vi que pode ser contido no cadinho. Resposta. Vc = 8 (8 / 3 − 3) dm3; Vi = 8 3 dm3. 77) O problema das cascas de revolução. Considere o problema que consiste em determinar o volume de uma casca de revolução cuja superfície externa é gerada pela rotação, em torno do eixo x, da curva y2 = y , e cuja superfície interna é gerada pela rotação, também em torno do eixo x, da curva y1 = y −  , com a  x  b . 54 Mostre que o volume V desta casca é dado por: V =  [2 S − h] , onde S é área sob a curva y = y2 , geratriz da casca de revolução, e h = b − a é a altura da casca ao longo do eixo de rotação. Note que, no caso geral, a casca assim gerada não apresentará uma espessura uniforme: terá espessura  ao longo dos pontos em que y = 0 , que são extremantes da curva geratriz, mas espessura menor que muito menor que casca.   ao longo dos pontos em que y  0 , sendo quanto maior for o valor absoluto da inclinação da curva geratriz da Resolução. Como y2 = y e y1 = y −  , podemos escrever que o volume da casca de revolução será dado por: b b b a a a V =  ( y2 2 − y12 )dx =  ( y2 + y1 )( y2 − y1 )dx =   (2 y − )dx  b V =  [2 ydx − (b − a)] =  [2S − h] a Como, em geral, 2S  h , especialmente se a casca é bastante fina ( ) , o volume da casca pode ser aproximado por: V 2S . O que significa que o volume da casca corresponde a 2 vezes o volume de uma chapa plana de espessura  cuja área é justamente a área S sob a curva geratriz da casca. 55 78) Calcule o volume V da casca de revolução cuja superfície externa é gerada pela rotação, em torno do eixo x, da curva y2 = cos x + 2 , com 0  x  2 , e a superfície interna pela revolução, no mesmo intervalo, de y1 = cos( x) + 1,8 . A espessura dessa casca será, portanto,  = 0, 2 u.c. ao longo dos círculos gerados pelos extremantes da curva ( x = 0; ; 2) , e menor que 0,2 u.c. nas demais regiões da casca, tendo valor mínimo, de 0, 2 / 2 = 0,14 u.c., ao longo dos círculos gerados pelos pontos ( x =  / 2;3 / 2) . Resposta. V 15, 00 u.v. Resolução. Empregando a fórmula deduzida na questão 74, temos que a área sob a 2 curva y 2 será: S =  (cos x + 2)dx = senx + 2 x 2 0 = 4 . Como  = 0, 2 e h = 2 , vem: 0 V =  (2S − h) = 2 0, 2.(8 − 0, 4) = 2 .1,52 15, 00 u.v. 79) O problema da torre de resfriamento. Estruturas em forma de cascas hiperbólicas possuem muitas aplicações. Devido à sua curvatura, as cascas hiperbólicas apresentam resistência estrutural adequada para diversos carregamentos simétricos. As construções de parede fina em formato de hiperboloide de revolução são dotadas de boa aerodinâmica, resistência e estabilidade. Estruturas hiperbólicas são empregadas em torres de resfriamento de usinas nucleares, reservatórios de água e torres de TV, entre outros projetos. Nos últimos anos, as dimensões desta estrutura especial têm aumentado 56 consideravelmente, chegando a 200 metros de altura e 150 metros de diâmetro de base, com espessura de parede em torno de 25 centímetros para a maioria das cascas. Considere que esteja sendo projetada, para uma usina nuclear, uma torre de resfriamento no formato de casca hiperbólica com 160 metros de altura, 67 metros de raio da base e cuja espessura da parede seja aproximadamente de 25 cm. Considere ainda que a superfície externa da torre seja gerada pela revolução, em torno do eixo x, do segmento y2 x2 de hipérbole − = 1 , com −40  x  120 , em metros. Para estimar o volume de 402 902 concreto que deverá ser empregado na construção da torre, calcule o volume V da casca hiperbólica. Como sugestão, considere que a superfície interna da torre seja gerada pela ( y + 1/ 4) 2 x 2 revolução, em torno do eixo x, do segmento de hipérbole − 2 = 1 , com 402 90 −40  x  120 e y  0 . [Vale observar que, com essa consideração, a casca hiperbólica não possuirá uma espessura uniforme, sendo de 25 cm ao longo do círculo gerado por x = 0 , mas pouco menor nas extremidades da torre] Resposta: V = 3.804  m3 Linhas gerais da resolução. 1/2  x2  Superfície externa é gerada por y2 = 40 1 + 2   90  1/2  x2  Superfície interna é gerada por y1 = 40 1 + 2   90  120 120 −40 −40 V =   ( y2 2 − y12 )dx =   ( y2 + y1 )( y2 − y1 )dx 57 − 1 4 120   2 120  1  x2 V =    20 1 + 2 −  dx =    x 2 + 902 dx − 10  = 3.804    90 16  −40   9 −40  80) O problema do anel semi-toroidal. Considere o semicírculo hachurado de raio r, cujo centro encontra-se sobre o eixo y distante R unidades acima da origem. Mostre que o volume V do anel gerado pela revolução deste semicírculo em torno do eixo x é dado por 4 4 V = 2 r 2 R + r 3 = 2 r 2 ( R + r ) . 3 3 Já o volume do sólido gerado pela revolução do semicírculo inferior será 4 4 V = 2 r 2 R − r 3 = 2 r 2 ( R − r ) . A resolução mais simples se dá pela aplicação do 3 3 teorema de Pappus-Guldinus, mediante o qual se mostra facilmente que o volume do toróide é dado por V = 22 r 2 R . Para tanto, convém que a ordenada do centroide do semicírculo é y = 4 r. 3 81) O problema do deslocamento do eixo de rotação. Considere a figura plana, cuja área é S, delimitada superiormente pela curva y = g ( x ) , inferiormente pela curva y = f ( x) e 58 lateralmente pelas retas x = a e x = b , conforme figura abaixo. Considere ainda a reta y = L , tal que g  f  L no intervalo a  x  b . Se V é o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da figura de área S em torno do eixo x, mostre que o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da mesma figura em torno do eixo y = L será dado por: VL = V − 2LS . Como sugestão, note que: ( g − L)2 − ( f − L)2 = g 2 − f 2 − 2 L( g − f ) . Em seguida, comprove o mesmo resultado empregando o teorema de Pappus-Guldinus. 82) O problema dos toneis de Kepler 1. Admita que o formato de um barril de vinho seja adequadamente modelado pela revolução de um segmento de elipse em torno do eixo x. Se o barril tem altura H, diâmetro maior D e diâmetro das tampas d, conforme figura y2 x2 abaixo, então a equação analítica da elipse geradora será: + = 1 , onde a pode ( D / 2)2 a 2 ser determinado em função de H, D e d. a) Mostre que a = D.H ; 2 D2 − d 2 b) Calcule o volume V do barril resolvendo a integral V = 2 H /2  0 Resposta: V = H 12 ( 2D 2 + d2 ) 59 y 2 dx . 83) O problema dos toneis de Kepler 2. Admita que o formato de um barril de vinho seja adequadamente modelado pela revolução de um segmento de parábola em torno do eixo x. Se o barril tem altura H, diâmetro maior D e diâmetro das tampas d, conforme figura abaixo, então a equação analítica da parábola geradora será: y = ax 2 + D / 2 , onde a pode ser determinado em função de H, D e d. a) Mostre que a = 2( D − d ) ; H2 b) Calcule o volume V do barril resolvendo a integral V = 2 H /2  y 2 dx . 0 Resposta: V = H (8D 2 + 4 Dd + 3d 2 ) 60 1 x( x − 4) 2 + 1 4 em torno do eixo das abscissas, com x em decímetros e limitado ao intervalo 0  x  5 , conforme figura abaixo. 8905   26,5 u.v. Resposta: 336 84) Determine o volume total do vaso gerado pela revolução da curva y = 60 85) O problema da ânfora. Uma ânfora grega para armazenagem de vinho tem a forma da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo das abscissas, da curva y = x 2 .e− x /2 + 1 , sendo −1  x  10 , com x em decímetros. Calcule o volume de vinho que pode ser armazenado caso se encontre cheia até a boca. Resposta: V = (9e + 20 e + 8,3) 65 61 86) O problema da revolução das curvas Gama. Considere a família de curvas  yn ( x) = x n e− x , onde n é número natural não nulo. a) empregando integração por partes, mediante a construção de diagramas tabulares, mostre que o volume Vn do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da figura infinita compreendia entre a curva yn e o eixo x, com x  0 , é: Vn = (2n)!  2 2 n +1 u.v. b) por conseguinte, comprove que possuem mesmo volume  os sólidos gerados pela 22 n +1 n − x xe revolução das figuras sob as curvas f n ( x) = (2n)! Sólidos de revolução possuem mesmo volume  Cálculo de volume pelo método das cascas cilíndricas 2 87) Considere a figura representada abaixo, compreendida entre a parábola y = − x + 4 x , a reta x = 1 e o eixo x. Calcule o volume V do sólido de revolução gerado pela revolução dessa figura em torno do eixo y, da. Como sugestão, empregue o método b das cascas cilíndricas, de acordo com o qual V = 2 y.x.dx . a Resposta. V = 81  u.v. 2 62 88) Considere a figura hachurada abaixo, compreendida entre a função f(x) e o eixo x, 1, 0  x  1  sendo f(x) dada por: f ( x) =  x 2 − 4 x + 4, 1  x  3 − x 2 + 6 x − 8, 3  x  4  Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela revolução dessa figura em torno do eixo y. Como sugestão, empregue o método das cascas, de acordo com o qual b V = 2 y.x.dx . a Resposta. V = 43  u.v. 6 63 89) A parte interna de uma forma de pudim é gerada pela rotação, em torno do eixo y, da 1 parábola y = ( x − 7) 2 , com 3  x  11 , sendo x e y dados em centímetros. Considerando 3 que, para fazer o pudim, a forma seja cheia completamente, calcule o volume do pudim feito nesta forma. Resposta: V = 3584  1251 cm3 9 Representação do pudim enformado 90) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela revolução, em torno do eixo y, da catenária y = cosh x , com −1  x  1 . Como sugestão, empregue o método das b cascas cilíndricas, de acordo com o qual V = 2 y.x.dx . a −1 Resposta. V = (e − 2 − e ) u.v. 64 Superfície gerada pela rotação da catenária em torno do eixo y 91) Calcular o volume da casca de revolução gerada pela rotação, em torno do eixo y das curvas y2 = y e y1 = y −  , onde y = ( x − 2)3 + ( x − 2)2 + 1 e  = 0,1 , com 1  x  3 / 2 . Resposta: 65 V. Área da superfície de sólidos de revolução 92) Calcule a área da superfície cônica gerada pela rotação, em torno do eixo das abscissas, do segmento de reta y = 4 x , com 0  x  2 . Lembre que a superfície S do sólido gerado pela revolução da curva y = y ( x ) em b torno do eixo x é dada por: S = 2  y 1 + ( y) 2 dx . a Resposta: 16 17 u.a. 93) A porção frontal de um ônibus espacial que está sendo projetado possui a forma da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo das abscissas, da curva y = 4 x , compreendida entre os planos x = 0 e x = 4 , onde x é dado em metros. Empregando integral simples, calcule a área dessa superfície. 128 (2 2 − 1) m2. Resposta: 3 66 94) Calcule a área S da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo das 1 4 x − 1 , compreendida entre os planos x = 1/ 4 e x = 4 , onde abscissas, da curva y = 8 x é dado em metros. Resposta: S = 21  m2 . 8 95) Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo das abscissas, da cúbica y = x , com 0  x  1 . 3 Resposta:  ( 103 − 1) u.a. 27 92) Calcule a área da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo das abscissas, 2 do arco de circunferência y = 16 − x , com − 3  x  3 . Resposta: 48 u.a. 67 y2 z2 93) Para determinar a área da superfície total S do elipsoide x + + = 1 , calcule 2 2 a área gerada pela revolução, em torno do eixo das abscissas, do arco de elipse 2 y = 2 1 − x 2 , com −1  x  1 . Resposta: S = 2 2. .[ 2 + ln(1 + 2)] =  [4 + ln(1 + 2) 2 2 ] u.a. 2 O arco de elipse y = 2 1 − x 2 O elipsoide x + y2 z2 + =1 2 2 94) O problema da superfície mínima. A superfície gerada pela revolução da curva catenária é chamada catenoide. A catenoide é a superfície de menor área possível entre duas bordas circulares. Por esse motivo, a catenoide é conhecida como uma superfície mínima. Lembrando que a superfície S do sólido gerado pela revolução da curva b y = y ( x ) em torno do eixo x pode ser calculada pela integral S = 2  y 1 + ( y) 2 dx , a mostre que: 68 a) a área S da catenoide gerada pela revolução da catenária y = cosh x em torno do h eixo x, com −h  x  h , é S = 4  cosh 2 x dx =  (2h + senh2h) ; 0 b) o volume V do sólido gerado pela revolução da catenária y = cosh x em torno do h eixo x, com −h  x  h , é V = 2  cosh 2 x dx = 0  2 (2h + senh2h) ; c) a relação entre a área S e o volume V do sólido gerado pela revolução da catenária, qualquer que seja seu comprimento h, é constante e vale: V / S = 1/ 2 u.c. A catenária y = cosh x A catenoide 95) O problema da embalagem de área mínima. Uma empresa que comercializa café em pó solúvel vende seu produto acondicionado em uma lata metálica cujo formato é o de um cilindro regular com altura é h = 10 cm e cujo raio da base é r = 5 cosh1 7, 71 cm. Por razões mercadológicas, a empresa considera alterar o design de sua embalagem. Em uma das propostas aventadas, a lata metálica passaria a ter o formato do sólido de revolução gerado pela rotação da catenária y = 5 cosh( x / 5) , com −5  x  5 , dado em centímetros. Com isso, a lata manteria a mesma altura e continuaria com o mesmo 69 diâmetro nas bordas, mas passaria a ter uma cintura central delgada, com 5 centímetros de raio. Calcule: a) a área da superfície lateral desse novo formato e a economia de material que a adoção desse design traria para empresa; b) o volume do sólido de revolução e a redução no volume de café em pó vendido em cada embalagem com novo design. Resposta. a) a área da superfície lateral passaria a ser de S = 140, 7  cm2 (frente a 154 cm2 do formato anterior), trazendo uma economia de 8,7% no consumo de chapa senh 2 ). metálica. Mais exatamente, S = 50  (1 + 2 b) o volume da nova embalagem passaria a ser de V = 351, 6  cm3 (frente a 594, 4  cm2 do formato anterior), acarretando uma redução de 41% no volume de café em pó. Mais exatamente, V = 125  (1 + senh 2 ). 2 70 VI. Comprimento de arcos de curva 1. Em coordenadas cartesianas 2 96) Mostre que o comprimento l da curva y = ( x − 1)3 2 entre x = 1 e x = 2 é: 3 2 l = (23/2 − 1)  1, 219 u.c. 3 3 97) Calcule o comprimento da curva y = x 2 − 4 entre x = 1 e x = 4 . Resposta. 80 10 − 13 13 u.c. 27 1 98) Calcule o comprimento do arco de curva y = (2 + x 2 )3 / 2 entre x = 0 e x = 3 . 3 Resposta. 12 u.c. 71 99) Calcule o comprimento da catenária y = cosh x , entre x = 0 e x = 1 . Resposta. senh1 = 1 (e − e −1 ) u.c. 2 100) Uma linha de transmissão de alta tensão é composta por uma sucessão de torres de estrutura metálica com 60 metros de altura cada uma e distantes entre si 80 metros. Os cabos elétricos suspensos entre as torres embarrigam sob ação da gravidade, fazendo aumentar seu comprimento total de uma torre a outra. Admitindo que os cabos suspensos  x  assumam a forma da curva catenária h( x) = 30 cosh   , onde h fornece a altura do  30  cabo em função da distância x (dada em metros), sendo x = 0 o ponto médio entre duas torres, calcule o comprimento total que os cabos devem ter para alcançar de uma torre a outra. Resposta: 60 senh(4 / 3)  105,9 metros. Consequentemente, o embarrigamento dos cabos acarreta um aumento de 32,4% no consumo de cabos relativamente ao traçado linear. 101) O reservatório de uma refinaria de combustível, utilizado para armazenamento de petróleo, tem o formato de um tanque cilíndrico e é contornado por uma escada metálica em formato helicoidal, para acesso ao tampo superior. 72 Sabe-se que a altura do reservatória é de 30 m e o raio da base é 10 m. Para determinar o número total de degraus da escada e a quantidade de material que deve ser empregada na sua construção, determine o comprimento total da escada. Para tanto, considere que a escada acompanha uma curva C dada parametricamente por: 30 C : r = 10 cos  i + 10sen j +  k ;0      Resposta: 2. Em coordenadas polares 102) Mostre que o comprimento total da cardioide r ( ) = a(1 + cos  ) , onde a é uma constante, corresponde a 8a u.c. A cardioide r ( ) = 1 + cos  , cujo comprimento é de 8 u.c. 103) Mostre que o comprimento l do primeiro laço da espiral parabólica dada em 2 coordenadas l= 8 polares ( 2 + 1)3/2 − 1 3 2 por   r =  ,   9, 412 u.c. 73 sendo 0    2 , é dado por: r = e /2 . 104) Considere a espiral logarítmica dada em coordenadas polares por Demonstre que: a) o primeiro laço desta espiral tem comprimento l1 =  (e − 1); onde  = 4 2 + 1 ; b) o segundo laço tem comprimento l2 =  .e.(e − 1); c) a razão r entre o comprimento de laços subsequentes é r = e. Gráfico da espiral logarítmica r = e /2 , com 0    4 105) Mostre que a espiral logarítmica infinita dada em coordenadas polares por r = e − /n , sendo   0 , tem comprimento l finito, cujo valor é: l = n + 1 u.c. Consequentemente, note que para valores de n muito grandes, l n . 2 74 Gráfico da espiral infinita r = e− /10 , cujo comprimento é l = 100 + 1 10 2 106) O problema do campo magnético no centro de espirais logarítmicas. Considere que uma elétrica constante i percorre o primeiro laço da espiral logarítmica r = e /2 . Calcule o campo magnético B gerado pela corrente no centro da espiral. Primeiro laço da espiral logarítmica r = e / 2 Segundo a lei de Biot-Savart, B = 0 i.sen dl , em que  denota o ângulo que a 4 C r 2 corrente i forma com o raio vetor que parte de B. Em uma espiral logarítmica, no entanto, o ângulo  formado com o raio vetor se mantém constante. Esta é uma das características mais notáveis das espirais logarítmicas. Portanto, sen será uma constante. No caso geral, para a espiral r = e k , pode-se demonstrar que: sen = caso, o cálculo de B simplifica-se enormemente: 75 r r 2 + r 2 = 1 1+ k 2 . Neste B= 2 0 .isen 1 0 .i 0 .i 2 − k  .i 1 2 2  = + = dl r r d e d = 0 (1 − e −2 k )  2 2    2 4 4 0 4k r 4 k + 1 0 r C  .i  .i 1 , temos B = 0 (1 − 1/ e) . Como, neste caso, B = 0 , onde 2R 2 2 R = e / (e − 1) , podemos concluir que o campo magnético gerado pelo primeiro laço da Portanto, para k = corrente em espiral r = e / 2 é igual ao campo no centro da espira circular de raio R = e / (e − 1) . Em azul, primeiro laço da corrente em espiral r = e / 2 Em vermelho, espira circular de raio R = e / (e − 1) É interessante notar que, para uma espiral que cresce de forma muito acentuada (k>>),  .i o campo magnético no centro da espiral pode ser aproximado por: B  0 4 k 107) O problema do campo magnético no centro de espirais logarítmicas infinitas. Considere, agora, que uma corrente constante i percorra os n primeiros laços da espiral r = Re k , fazendo 0    2 n . Mostre que, neste caso, o campo magnético gerado pela corrente no centro da espiral será dado por: B= 0i 2 n − k i 1 e d = 0 (1 − e −2 nk )  4 R 0 4 R k Uma conclusão interessante que podemos extrair desta expressão diz respeito ao valor para o qual tende o campo magnético no centro de espirais infinitas. Como: i 1 lim B = 0 , n→  4 R k podemos concluir que, no centro de espirais logarítmicas infinitas percorridas por uma corrente constante, o campo magnético gerado pela corrente será sempre finito. Se 76 imaginarmos, por exemplo, a espiral logarítmica infinita em que k = 1 , isto é a espiral 2 dada por r = Re / 2 , com  variando no intervalo 0,  , o campo magnético em seu centro será B = 0 .i ; portanto, idêntico a campo gerado no centro de uma espira circular 2R de raio R, desde que, evidentemente, ambas sejam percorridas pela mesma corrente i. Campo magnético na origem gerado pela espiral infinita em azul é idêntico ao campo gerado pela espira circular em vermelho 108) O problema do campo magnético no centro de espirais logarítmicas infinitas decrescentes. Mostre que o campo magnético gerado por uma corrente espiralada infinita com a forma da curva espiral decrescente r = Re− /2 e cuja intensidade (da corrente) decai exponencialmente segundo a função i = I .e − / , com  variando no intervalo 0,  , gera em seu centro um campo magnético finito cujo valor é idêntico ao campo gerado no centro de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente constante de intensidade I. 77 VII. Trabalho de força variável 109) Uma mola de constante elástica k = 8 N/m possui comprimento de 1 metro, quando distendida. Calcule o trabalho realizado por uma força que, atuando sobre a mola, comprime a mola até que seu comprimento seja de ½ metro. Lembre que, segundo a Lei de Hook, a força F exercida por uma mola elástica é proporcional à sua deformação. Assim, se a mola se deformou x unidades, F = kx . Lembre que o trabalho realizado por uma força variável F ( x ) pode ser calculado pela integral  = x2  F ( x).dx . x1 Resposta: 1 Joule. Gráfico da força elástica F = 8x [em N] em função da deformação x [em m] 110) Um elevador de carga predial, com motor elétrico no alto, tem um cabo de aço trançado cuja densidade linear é de 25 kg/m. Quando o elevador está no primeiro andar, 50 metros de cabo estão estendidos e, quando o elevador atinge o último andar, todo o cabo encontra-se recolhido (isto é, 0 metro de cabo encontra-se estendido). Assumindo g = 10 m/s2, calcule o valor do trabalho [em kN.m] realizado pelo motor para elevar só o cabo ao transportar o elevador do primeiro ao último andar. Resposta: 312, 5 kN.m 111) Calcule o trabalho para erguer, até a altura h de 10 metros, um balde contendo inicialmente 20 litros de água em duas situações distintas: a) o balde é estanque, de modo que o volume de água se mantém constante em 20 litros; b) o balde apresenta um furo por onde a água vaza, de modo que seu volume V diminui 1 ao longo do processo segundo a função V (h) = (h − 10) 2 [em l], com 0  h  10 [em m]. 5 2 Adote g = 10 m/s e lembre que a massa de 1 l de água é de 1 kg. 78 h2 Lembre que o trabalho exercido pode ser calculado pela integral  =  P(h).dh , onde P h1 representa a força peso variável com a altura. 2000 Resposta: a) 2000 N.m; b) N.m 3 a) P = 200 N Gráfico da força peso P [em N] em função da altura h [em m] b) P = 2(h − 10)2 N Gráfico da força peso P [em N] em função da altura h [em m] 112) Uma partícula eletricamente carregada q1 encontra-se distante x unidades de medida de uma outra partícula eletricamente carregada q2 e que se encontra fixa. Admitindo que as partículas tenham cargas opostas, a Lei de Coulomb afirma que atua sobre as partículas uma força de atração F que é inversamente proporcional ao quadrado k da distância x entre elas. Portanto F = 2 , onde k é uma constante. Determine o trabalho x realizado pela força F ao deslocar a partícula q1 de x = b até x = a , sendo a  b . 79 1 1 Resposta:  = k  −  u. t. a b Gráfico da força F = k [em N] em função da distância x [em m] x2 80 VIII. Força de fluidos sobre comportas planas 113) A comporta do vertedouro da barragem de certa usina hidrelétrica possui o formato quadrangular representado abaixo, com 4 metros de altura e 4 metros de largura. O nível da água situa-se 5 metros acima da parte mais alta da comporta. Calcule a força total exercida pela pressão da água sobre a comporta. Aproxime o peso de 1 m3 cúbico de água por 104 N. Resposta: 112 10 N = 1,120 10 N 4 6 114) A comporta do vertedouro da barragem de certa usina hidrelétrica possui o formato triangular representado abaixo, com 4 metros de altura e 8 metros de largura na parte mais alta. O nível da água situa-se 5 metros acima da parte mais alta da comporta. Calcule a força total exercida pela pressão da água sobre a comporta. Aproxime o peso de 1 m 3 cúbico de água por 104 N. Resposta: 304  104 N = 1, 010 106 N 3 115) A comporta do vertedouro da barragem de certa usina hidrelétrica possui o formato de um triângulo cujos vértices possuem as coordenadas (−1, 3) , (0, 0) e (1, 3) , cujos valores são dados em metros. O nível da água situa-se 10 metros acima da parte mais alta 81 da comporta. Aproximando o peso de 1 m3 cúbico de água por 104 N, pode-se calcular que a força total [em kN] exercida pela pressão da água sobre a comporta é de: Resposta: 33 10 N = 330 kN 4 116) A comporta do vertedouro da barragem de certa usina hidrelétrica possui o formato trapezoidal representado abaixo, com 4 metros de altura, 2 metros de largura na base e 6 metros na parte mais alta. O nível da água situa-se 5 metros acima da parte mais alta da comporta. Calcule a força total exercida pela pressão da água sobre a comporta. Aproxime o peso de 1 m3 cúbico de água por 104 N. Resposta: 320  104 N = 1, 067  106 N 3 117) A comporta do vertedouro da barragem de certa usina hidrelétrica possui o formato 4 9 2 parabólico representado abaixo, dado pela função y = x , com −3  x  3 , sendo x dado em metros. O nível da água situa-se 5 metros acima da parte mais alta da comporta. Calcule a força total exercida pela pressão da água sobre a comporta. Aproxime o peso de 1 m3 cúbico de água por 104 N. Resposta: 528  104 N = 1, 056 105 N 5 82 118) A comporta do vertedouro da barragem de certa usina hidrelétrica possui o formato parabólico representado abaixo, dado pela função y = 3x , com −1  x  1 , sendo x dado em metros. O nível da água situa-se 10 metros acima da parte mais alta da comporta. Calcule a força total exercida pela pressão da água sobre a comporta. Aproxime o peso de 1 m3 cúbico de água por 104 N. 2 Resposta: 224  104 N = 4, 48  105 N 5 83 {CONTRACAPA} 84