Lógica e Inteligencia Artificial

E N C I C L O P E D I A 7 I B E R O D E A M E R I C A N A F I L O S O F Í A Lógi ca Consejo Superior de Investigaciones Científicas Editorial Trotta Edición de Carlos E. Alchourrón José M. Méndez Raúl Orayen Lógica Lógica Edición de Carlos E. Alchourrón Editorial Trotta Consejo Superior de Investigaciones Científicas Reservados todos los derechos por la legislación en materia de Propiedad Intelectual. Ni la totalidad ni parte de este libro, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en manera alguna por medio ya sea electrónico, químico, mecánico, óptico, informático, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo por escrito de la editorial. Las noticias, asertos y opiniones contenidos en esta obra son de la exclusiva responsabilidad del autor o autores. La editorial, por su parte, sólo se hace responsable del interés científico de sus publicaciones. 7 E N C I C L O P E D I A I B E R O A M E R I C A N A D E F I L O S O F Í A Primera edición: 1995 Primera reimpresión: 2005 © Editorial Trotta, S.A., 1995, 2005, 2013 Ferraz, 55. 28008 Madrid Teléfono: 91 543 03 61 Fax: 91 543 14 88 E-mail: [email protected] http://www.trotta.es © Consejo Superior de Investigaciones Científicas, 1995, 2005, 2013 Departamento de Publicaciones Vitruvio, 8. 28006 Madrid Teléfono: 91 561 62 51 Fax: 91 561 48 51 E-mail: [email protected] Diseño Joaquín Gallego ISBN: 978-84-87699-48-1 (Obra completa) ISBN (edición digital pdf): 978-84-9879-392-5 (vol. 7) Comité d e Di r e c Manuel Reyes Mate Director d el proyecto León Olivé Osvaldo Guariglia Miguel A. Quintanilla Co or d in ad or general d el proyecto Pedro Pastur Secre tari o admin istrativo Comité Ac a d é mi c o Javier Muguerza Coordinador José Luis L. Aranguren España Ernesto Garzón Valdés Argentina Elías Díaz España Fernando Salmerón México Luis Villoro Ezequiel de Olaso México Argentina Perú David Sobrevilla Carlos Alchourrón Argentina Humberto Giannini Chile Guillermo Hoyos Javier Sasso Colombia Venezuela Institucion es académicas responsables Instituto de Filosofía del eS.I.e, Madrid. Instituto de Investigaciones Filosóficas de México. Centro de Investigaciones Filosóficas, Buenos Aires. La Enciclopedia IberoAmericana de Filosofía es un proyecto de investigación y edición, puesto en marcha por el Instituto de Filosofía del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (Madrid), el Instituto de Investigaciones Filosóficas de la Universidad Nacional Autónoma de México y del Centro de Investigaciones Filosóficas (Buenos Aires), y realizado por filósofos que tienen al español por instrumento lingüístico. Existe una pujante y emprendedora comunidad filosófica hispanoparlante que carece, sin embargo, de una obra común que orqueste su plural riqueza y contribuya a su desarrollo. No se pretende aquí una enciclopedia de filosofía española sino articular la contribución de la comunidad hispanoparlante a la filosofía, sea mediante el desarrollo cualificado de temas filosóficos universales, sea desentrañando la modalidad de la recepción de esos temas filosóficos en nuestro ámbito lingüístico. La voluntad del equipo responsable de integrar a todas las comunidades filosóficas de nuestra área lingüística, buscando no sólo la interdisciplinariedad sino también la internacionalidad en el tratamiento de los temas, nos ha llevado a un modelo específico de obra colectiva. No se trata de un diccionario de conceptos filosóficos ni de una enciclopedia ordenada alfabéticamente sino de una enciclopedia de temas monográficos selectos. La monografía temática permite un estudio diversificado, como diverso es el mundo de los filósofos que escriben en español. La Enciclopedia IberoAmericana de Filosofía es el resultado editorial de un Proyecto de Investigación financiado por la Comisión Interministerial de Ciencia y Tecnología y por la Dirección General de Investigación Científica y Técnica del Ministerio de Educación y Ciencia. Cuenta también con la ayuda de la Consejería de Educación y Cultura de la Comunidad Autónoma de Madrid. CONTENIDO Introducción: Concepciones de la lógica: Carlos E. Alchourrón Historia de la lógica: José A. Robles Carda . . . Lógica clásica de primer orden: Daniel Quesada Lógica de orden superior: Ignacio Jané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . ........... . . . . . . . . . . . 49 71 105 Lógica deóntica: Eugenio Bulygin. ....................... 129 Lógica e Inteligencia Artificial: Raúl J. Carnota. 143 . ........... Lógica paraconsistente: Newton C.A.da Costa y Renato A.Lewin 185 Lógica epistémica: Max Freund 205 . ........................ Lógica temporal: Margarita Vázquez Campos .. ............ 215 Lógica cuántica: Sergio F. Martínez Muñoz 227 . ............... Lógica de la relevancia: José M. Méndez. ................. 237 Computabilidad: Jesús Mosterín. ........................ 271 Lógica modal: Raúl Orayen . ..... 289 Lógicas multivalentes: Lorenzo Peña Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Índice de nombres. ................................... Nota biográfica de autores ............................. 9 323 351 359 365 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL Raúl J. Carnota ... there is very little difference between traditional work in philosophical logic and logical research in theoretical Al. . (R. Thomason). . 1. INTRODUCCiÓN En las primeras épocas de la Inteligencia Artificial (lA), dos de sus pio­ neros señalaban: ... A computer program capable of acting intelligently in the world must have a general representation of the world in terms of which its inputs are interpreted. Designing such a program requires commitments about what knowledge is and how it is obtai­ ned. Thus, some of the major traditional problems of philosophy arise in artificial intelligence... More specifically we want a computer program that decides what ro do by inferring in a forllla l language that a certain strategy will achieve its assig­ ned goal. This requires forlllalizing concepts of causality, ability, and knowledge. Such forlllalisllls are also considered in philosophical logic... (McCarthy y Hayes, 1969). Esta cita es representativa de la fascinación que ejerció la Lógica sobre una buena parte de los pioneros de la lA. Sin embargo, durante mucho tiempo existió un cierto aislamiento entre los dos campos, hasta que a fines de los 70 y comienzos de los 80, el auge de la lA promovió el inte­ rés de científicos de disciplinas como la filosofía, la lógica, la lingüística y la psicología, que se introdujeron, con su bagaje previo, en el nuevo campo. A partir de ese momento, las interconexiones comenzaron a ser más ricas: no sólo desde la lA se utilizaban los resultados de la Lógica, sino que las necesidades surgidas de la aspiración de inculcar raciocinio «inte143 RAÚL J. CARNOTA ligente» a una máquina y la intención de hacerlo a través de reconstruir formalmente los procesos del razonamiento, motivaron a muchas perso­ nas relevantes del área de la lógica. Este artículo intenta reflejar algunas de las facetas de estas relacio­ nes, poniendo el énfasis en cómo las dificultades halladas en los intentos de uso de la Lógica Clásica, reverdecen discusiones que vienen de anti­ guo en el campo filosófico y en cómo el objetivo de producir el diseño de sistemas computacionalmente operables provoca al interior de la Lógica un nuevo estímulo para responder a viejas preguntas en una forma que debe ahora ser mucho más concreta y no discursiva. No pretendemos ignorar que la lA está atravesada por distintas corrientes, cada una de ellas con sus puntos de vista notoriamente diver­ gentes acerca de cómo llevar adelante los objetivos del campo, y que muchos de sus más prominentes investigadores no son, ni mucho menos, partidarios del uso de la Lógica (incluso en sus variantes no clásicas) para reconstruir la «inteligencia» en los robots. Las propias expresiones de McCarthy-Hayes que citamos antes, podrían ser refutadas por otros investigadores y la referencia al «conoci­ miento» que el programa posee como el resultado de un proceso inferen­ cial en un lenguaje formal sería señalada, más como una limitación (en el sentido de sus hipótesis acerca de la inteligencia humana), que como una aspiración. No abordaremos aquí esta polémica (salvo una mínima referencia en la sección II) y consideraremos sólo los enfoques «proposicionales» de representación y manipulación de la información que han sido los esti­ muladores del desarrollo de nuevos formalismos basados en lógica. Una discusión extensa de los fundamentos de la lA y de las distintas corrien­ tes que coexisten en la disciplina puede encontrarse, entre otras fuentes, en números especiales de las revistas Dedalus (1987) y Artificial Intelli­ gence, Al (1991). Un objetivo esencial en la lA es la formalización del «razonamiento de sentido común». En la vida cotidiana extraemos conclusiones en base a generalizaciones que tienen excepciones «<1os pájaros vuelan», «si el auto tiene combustible y batería, arranca»). Sin embargo estas conclu­ siones, ante la adquisición de nueva información (que el pájaro en cues­ tión es un pingüino, que existe un cable cortado en el motor), pueden resultar erróneas. La representación directa en Lógica Clásica (LC) de estos razonamien­ tos trae problemas. Si tenemos: Yx (Mamífero(x) ---> - Vuela(x)), y Yx (Murciélago(x) ---> Vuela(x)), se deriva en LC que no pueden existir individuos que sean a la vez mamí­ feros y murciélagos. Esto es debido a que la LC es monótona en el sen­ tido de que, al ser las premisas condición suficiente para la conclusión, el agregado de nuevas premisas no puede invalidar nunca la conclusión. 144 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL Los intentos de formalización del Razonamiento No Monótono (RNM) son, quizás, el caso más claro de desarrollos que han afectado al propio campo de la lógica, tal vez por sus conexiones con viejos pro­ blemas ya planteados en aplicaciones científicas (suposiciones «ceteris paribus»), deónticas (obligaciones «prima facie»), del discurso cotidiano (condicionales contrafácticos), etc. Su análisis será el tema central del pre­ sente trabajo. La búsqueda de inspiración para el diseño de sistemas inteligentes en las características de la inteligencia humana es una fuente de otras críti­ cas y de desafíos que afectan a la lógica. La constatación de que los seres humanos no siempre somos consistentes ha motivado la aplicación de lógicas paraconsistentes. El convencimiento de que la mente humana toma decisiones sin analizar todas las alternativas (sorteando los problemas de complejidad computacional por medio de supuestos) es también una incitación al desarrollo de procedimientos y lenguajes que reconstruyan esa performance. Lo mismo puede decirse de las caracterizaciones vagas o difusas, los razonamientos por analogía, el aprendizaje como proceso inductivo, etc. Si bien es imposible en pocas páginas desarrollar todos estos aspectos, vale su mención por tratarse de cuestiones vivas y actua­ les en la investigación conjunta de Lógica e Inteligencia Artificial. Final­ mente, la Lógica es usada, también, como «metalenguaje» de los lengua­ jes de representación, esto es, como herramienta para caracterizar el poder inferencial de un lenguaje, tal como ha sido propuesto por A. Newell, en Newell (1981), al caracterizar el <<nivel del conocimiento» en los sis­ temas inteligentes. En la próxima sección se hace un breve repaso de los objetivos de la lA. La sección III presenta, bajo la hipótesis de una representa­ ción «declarativa» del conocimiento, las conexiones «naturales» entre la Lógica y la lA. La sección IV reseña los principales cuestionamien­ tos al uso de la Lógica Clásica, en particular a su capacidad para cap­ turar el razonamiento «de sentido común». En la sección V, la cen­ tral del trabajo, se discuten algunas cuestiones lógicas ligadas a la formalización del raciocinio no monótono. Finalmente, en la sección VI se realizan algunas reflexiones finales sobre el rol de la Lógica en la lA. 11. INTELIGENCIA ARTIFICIAL ... Most practitioners would agree on two main goals in Al. The primary goal is to build an intelligent machine. The second goal is ro find out about the nature of intelligence... (R. Schank). Desde tiempos inmemoriales los seres humanos han imaginado artefactos animados -ídolos, imprevisibles dioses, obedientes esclavos, robots-, 145 RAÚL J. CARNOTA que compartieran la «esencia humana». Qué componía esa «esencia" es algo que fue cambiando con el tiempo, pero con un elemento invariante: ser humano es pensar, razonar, asociar, crear. Mitos, historias, argumentos filosóficos o búsquedas científicas -co­ mo elixir de la vida- reflejan a través de los siglos esa obsesión. Pero recién con la existencia de las computadoras, los primeros ins­ trumentos aptos para procesar símbolos en forma totalmente general, es que esta búsqueda mítica pasa a constituirse en una zona de investiga­ ción formal, con posibilidad de definir rigurosamente aspectos de la acti­ vidad inteligente, testearlos y lograr la realimentación rápida que per­ mita el avance de la experimentación. Y hemos dicho aspectos, porque la definición de inteligencia es una bruma que envuelve a cualquiera que desee comenzar a caracterizar el área. Desde su fundación formal en la Conferencia de Darmouth en 1956, la investigación en lA se ha realizado siguiendo dos enfoques conectados y enfrentados mutuamente. El primero tiene por meta principal la cons­ trucción de sistemas orientados a la resolución de problemas, sin necesa­ riamente imitar la forma en que la mente humana realiza esta tarea aun­ que sí buscando alcanzar su performance. El segundo intenta imitar los modos de funcionamiento de la inteligencia humana por medio de un programa de computación, buscando arrojar luz sobre el proceso cogni­ tivo humano En un caso se busca producir conductas que podrían ser producidas a través del uso de la inteligencia, independientemente de los medios empleados en obtener el resultado. Si la conducta obtenida tiene un grado considerable de inteligencia, la simulación es exitosa. En el otro se pretende construir modelos. Un modelo debe producir también una salida apropiada, pero debe hacerlo mediante procesos y representaciones de información que sean espejo de los procesos inteli­ gentes que se producen en la mente humana. En esta dirección la corriente que iniciaron en los 40 McCulloch y Pitts y que se inspiraba en los paralelos entre la naturaleza binaria de las neuronas y los componentes electrónicos de las computadoras, luego de casi dos décadas de marginalidad, revive en la investigación actual en redes neuronales. Sin embargo, más que por aquella analogía, mucho del impulso actual de esta corriente se explica por su aparente capacidad para encarar eficientemente problemas que el enfoque simbólico no ha resuelto. l. El paradigma simbólico A physical symbol system has the necessary and sufficient means for general intelligent action. By necessary, we mean that any system that exhibits general intelligence will prove upon analysis ro be a physical symbol system. By suf­ ficient we mean that any physical sym bol system of sufficient size can be organized further ro exhibit general intelligence (Newell y Simon, 1976). 1 46 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL En la primera corriente, Newell y Simon suponen que el cerebro humano y la computadora, siendo totalmente distintos en estructura y en mecanismos, tienen una descripción funcional común en cierto nivel de abstracción. En ese nivel ambos pueden ser vistos como ejemplos de un «aparato» que genera conductas inteligentes manipulando símbolos por medio de reglas formales. En la cita previa, physical significa que dichos sistemas obedecen las leyes de la física -en particular son construcciones ingenieriles concre­ tas-. Por symbol system se entiende una colección de patrones y proce­ sos. Los procesos son capaces de producir, destruir y modificar los sím­ bolos. Los patrones tienen la capacidad de designar objetos, procesos u otros patrones. Cuando un patrón designa a un proceso, puede ser «inter­ pretado», lo que implica llevar adelante el susodicho proceso. Inteligencia es, en este punto de vista, la habilidad para procesar sím­ bolos. Dentro del paradigma simbólico, se pueden distinguir numerosas pos­ turas diferentes sobre la naturaleza de los procesos mentales y las subse­ cuentes actividades de los científicos de la lA. En un extremo se encuen­ tran los llamados «logicistas», cuyas posiciones están desarrolladas en Nilsson (1991), que sostienen la posición de que la «inteligencia» está basada en una representación declarativa de las creencias acerca del mundo y que la actividad cognitiva está basada esencialmente en procesos infe­ renciales. En este enfoque, la cuestión determinante para un diseñador de una Base de Conocimientos sería la conceptualización del «mundo» que quiere reflejar. Esta conceptualización se volcaría luego en esta Base bajo la forma de un conjunto de sentencias de algún lenguaje proposicional. La representación así alcanzada aspira a ser lo más independiente posible del modo en que puede llegar a ser usada la información. Alrededor de la aceptación o rechazo de algunas de estas hipótesis giran otras corrientes de investigadores. Polemizando con Nilsson, en Birnbaum (1991) se resalta la imposibilidad de una caracterización del conocimiento totalmente independiente del uso y se propone, como alter­ nativa a la semántica de la teoría de modelos, una «semántica funcio­ na]", basada en la idea de que la representación toma sentido en función de su rol causal en los procesos mentales, y, en última instancia, en la percepción y en la acción. El concepto de número primo, ejemplifica, no significa lo mismo para mí (Birnbaum), que para un matemático espe­ cializado en teoría de números. Y su sentido cambiará también para mí si comienzo a estudiar alguna de tales teorías. Con esta aproximación, no se puede lograr una especificación de lo que un organismo conoce independientemente de lo que hace. En el resto de este trabajo vamos a adoptar un enfoque de tipo «sim­ bolista», por ser el marco en el cual se producen las conexiones más ricas entre la Lógica y la lA. En particular, al hablar de estructuras de Representación del Cono­ cimiento (RC) en un sistema, nos limitaremos a las «proposicionales», 147 RAÚL J. CARNOTA es decir, estructuras de datos interpretables como fórmulas lógicas de algún tipo. De acuerdo con Levesque (1986a), este tipo de estructuras deben ser interpretables proposicionalmente, es decir, como expresiones en un lenguaje con una teoría de verdad. Debe ser posible señalar una de dichas estructuras y decir cómo debe ser el mundo para que ella sea verdadera. 2. La Inteligencia Artificial como interdisciplina En todo caso, más allá de las facciones, la lA se constituye creciente­ mente en una zona de convergencia de las más diversas disciplinas: la lógica, la psicología, la filosofía, la economía, la matemática y, también, las ciencias de la computación. Un resultado valedero en lA lo es en la medida en que aporte en alguno de los aspectos que requerimos para con­ siderar un agente como inteligente: capacidad de comunicación, conoci­ miento de sí mismo (conocimiento de su conocimiento), conocimiento del mundo, acumulación de experiencia para reusarla en la interacción con él, intencionalidad en sus objetivos (capacidad de construir y adap­ tar planes según las circunstancias), creatividad (al menos en algún sen­ tido débil, como la adaptación a cambios en el ambiente, en suma, apren­ dizaje). Tópicos que, sin duda, están mejor tratados en libros de psicología o filosofía que en los textos de lA. En consecuencia, si ese resultado existe, deberá ser reconocido «fuera» de la lA, como un aporte. La caracterís­ tica específica de estos aportes de la lA es la mecanización, particular­ mente cuando las formas standard de mecanización han demostrado ser intratables (en el sentido de la complejidad computacional). Todos los campos del conocimiento son, en alguna medida, lA. Todos tratan acerca de la naturaleza del hombre. La importancia de la lA está dada en la medida en que sus aportes tecnológicos sean significa­ tivos. Las preguntas que intentamos responder es lo único que realmente importa. IlI. LA CONEXIÓN CON LA LÓGICA ...Iogic is at the heart of reasoning, and reasoning is at the heart of intelli­ gence (W. J. Rapaport). Como ya vimos, en el contexto del paradigma simbólico de la lA, un sistema «inteligente» es aquel con habilidad para procesar símbolos mediante reglas formales. En un sistema que se inspire en las funciones inteligentes de los huma­ nos, podemos distinguir varios tipos de procesamientos de símbolos. Las funciones perceptuales, que detectan los distintos datos del mundo; los procesos de memorización, que almacenan y organizan la información 148 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL y luego son capaces de recuperarla de acuerdo a ciertos objetivos; los que podríamos llamar procesos deliberativos, el núcleo del «razona­ miento», en los que se construyen hipótesis, se analizan alternativas, se deciden caminos, etc.; y las funciones efectoras que actúan sobre el mundo de acuerdo a las acciones decididas en los procesos delibe­ rativos. Para construir un sistema computacional que realice estas activida­ des, se precisan definir ciertos procedimientos destinados a cumplir esas funciones. En particular nos interesan los procedimientos destinados a elaborar la información. Aceptemos que las unidades mínimas en que se recoge y almacena la información son los enunciados de algún lenguaje formal. El asunto no es trivial, ya que según como sea el instrumento que usemos para receptar y almacenar la información, será el modo en que podamos ela­ borarla. Supongamos que Al ...An son distintas oraciones del lenguaje ele­ gido, almacenadas mediante algún procedimiento. Ese conjunto finito de oraciones representará cierta información significativa que interesa retener. Convengamos que «elaborar inteligentemente» esa información sig­ nifica obtener nueva información a partir de la misma. Esta nueva infor­ mación será representada por enunciados, en principio diferentes de los de partida y que, de alguna manera, están vinculados a éstos. Estos enun­ ciados amplían la información que el sistema posee. Si AI,...,An es la información de partida, llamaremos B a la infor­ mación que se alcanza luego de un número finito de pasos. Esta imagen secuenciada de pasos en los que la información poseída se va enriqueciendo, tiene una cierta connotación psicológica y no es extraño que haya sido tomada como una metáfora del funcionamiento del raciocinio humano. ¿De qué manera, bajo qué condiciones y qué cosas se agregan en cada paso a la Base de Conocimientos existente? Bajo nuestras hipótesis de partida, esto tiene que estar bien especificado por medio de «reglas for­ males», para que la máquina sepa qué hacer frente a cada situación o estado. Cada información agregada se vincula a algunas de las informa­ ciones existentes (eventualmente a todas). Por ejemplo, cierto Bl se agre­ gará a resultas de la presencia de Al y A2• Llamemos al procedimiento que permitió este paso Regla 1 (regla de transformación 1). Así, cada uno de los pasos estarán justificados por algún conjunto R¡, R2,•••, Rm de reglas de transformación, cuyo sentido es incorporar nuevas informa­ ciones a partir de las originales. El proceso así descrito no es otra cosa que lo que la lógica siempre tuvo en su historia como su objetivo: cómo (bajo qué condiciones) justi­ ficar ciertos enunciados, apoyándose en otros enunciados. Siguiendo la tradición escolástica, dadas las oraciones: 149 RAÚL J. CARNOTA Sócrates es un hombre Todos los hombres son mortales, cómo justificar la oración Sócrates es mortal y (B) Si tenemos los enunciados Al'...,An y se ha podido construir un pro­ ceso de transformaciones que terminan en B, anotamos: (".) Al, ...,An f-- B, que se lee «B es conclusión sintáctica de las premisas A¡, ...,An». Lo que (".) representa es abreviatura de la siguiente afirmación exis­ tencial: existe una secuencia de enunciados del lenguaje utilizado, tal que el último de la secuencia es B, y tal que los enunciados de la secuencia, o bien son los A;, o bien se van construyendo, a partir de los anterio­ res, en base a reglas de transformación (reglas de inferencia en el len­ guaje de la lógica). La clave de lo enunciado hasta aquí, parece estar en las reglas de trans­ formación. Si lo único que le pedimos a una regla es que transforme unos enun­ ciados en otros, una regla podría, por ejemplo, convertir enunciados que comienzan en vocal en otros que terminan con consonante. Ver a las reglas lógicas como reglas de transformación es correcto. Pero no cualquier regla de transformación es considerada una regla lógica. ¿Cuál es el «control de calidad» que tenemos que reclamar de las reglas de transformación? La respuesta de la filosofía de la lógica contemporánea está en el con­ cepto de consecuencia lógica. Para evitar meras transformaciones sintác­ ticas que puedan llevar a verdaderos absurdos, las transformaciones deben tener cierta calidad que, según Tarski (1956), puede formularse así: (1) Si A" ...,An f-- B entonces A¡, ...,An 1= B y se lee «para que B sea una conclusión de A; "aceptada", debe ocurrir que B sea lógicamente implicado por los enunciados A;». La noción de <<lógicamente implicado» se define así: B está lógica­ mente implicado por los A; si, en cualquier contingencia posible en la que los A; sean verdaderos, B no tenga más remedio que ser verdadero. O sea que la verdad se hereda a todo lo que se va obteniendo como resul­ tado de la aplicación de las reglas de transformación. O también que B tenga justificada su verdad toda vez que se tenga justificada la verdad de los A;. Esta relación de justificación la tendrá cada enunciado de la secuencia respecto a los enunciados de partida y es una condición adi­ cional en la construcción de la secuencia. La idea central de la lógica vira hacia el estudio de estas «condicio­ nes de calidad» de las inferencias. Una inferencia será «buena» si cumple con la condición de (1). Se está pidiendo que la conclusión tenga garan­ tizada su verdad a partir de la verdad de las premisas. 150 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL La cuestión conversa es pedir que, en el caso de que la verdad de B esté garantizada por la verdad de los A, se pueda construir una secuen­ cia, mediante reglas de transformación, que empiece por los A; y ter­ mine con B: (2) Si A" ...,An � B entonces A, ,...,An f- B. Cómo encontrar, dado B, y un conjunto de reglas de transforma­ ción, una secuencia de pasos que partiendo de nuestras «premisas», lle­ gue a B, es el problema de la decisión para la noción de consecuencia sintáctica. De lo expuesto hasta aquí se podría concluir que existe una casi total superposición entre las actividades de la lógica y los procedimientos de elaboración de la información en un sistema de lA. Aquí surge, sin embargo, una pregunta: ¿Son las restriccione.s expresadas en (1) y (2) adecuadas respecto a los objetivos de la lA? Este es el tema que discutiremos en la próxima sección. IV. LOS CUESTIONAMIENTOS A LA LÓGICA DEDUCTIVA ...Iogical reasoning is more appropiate for displaying or confirming the results of thinking than for thinking itself... (M. Minsky). ¿Cómo impartir nociones de sentido común a un robot? ¿Cómo diseñar un robot con una capacidad de razonamiento sufi­ cientemente poderosa y útil como para que, una vez provisto de un sub­ conjunto de ese «sentido común», sea capaz de generar suficiente del resto como para adaptarse a su entorno y operar inteligentemente sobre él? ¿Será la Lógica el marco adecuado para afrontar este desafío? Partiendo de su referente básico, la naturaleza del raciocinio humano, muchos investigadores de la lA encuentran a la lógica como demasiado formal y limitada, y perciben que los procesos de razonamiento abarcan un espectro mucho más amplio que el análisis lógico deductivo. Curiosamente, estos cuestionamientos no son nuevos: Stuart Mili (citado en Cohen y Nagel, 1957), afirmaba que era incon­ testable que, en el ejemplo de Sócrates, (B) está presupuesta en (A 1 ) Y que -peor aún- no podemos asegurar la mortalidad de todos los hombres, a menos que estemos convencidos de la de cada hombre en particular. Por su parte, en Cohen y Nagel (1957), se formula así la llamada «paradoja de la inferencia»: Si en una inferencia la conclusión no está contenida en la premisa, la inferencia no puede ser válida; y si la conclu­ sión no es diferente de las premisas, la inferencia es inútil; pero la con­ clusión no puede estar contenida en las premisas y al mismo tiempo poseer novedad; en consecuencia las inferencias no pueden ser a la vez válidas y útiles. 151 RAÚL J. CARNOTA M. Minsky, exponente de los que consideran inadecuada a la pos­ tura logicista (entendida como la reducción del proceso de construcción de un sistema inteligente a la selección de un conjunto de sentencias en un lenguaje lógico, sobre el que opera un demostrador de teoremas como emulador de los mecanismos de razonamiento), sintetiza, en Minsky (1975), sus cuestionamientos. Los principales problemas que señala son los siguientes: 1. El problema de la relevancia. La información contenida en una Base de Conocimientos (BC) precisa de meta-información que indique en qué circunstancias y de qué manera va a ser usada. Asimismo un sis­ tema inteligente debería tener claro cuándo es pertinente o no realizar ciertas deducciones. 2. El problema de la monotonía, que ya se ilustró en la Introducción. 3. La separación entre axiomas y deducción (que equivale a inde­ pendizar el conocimiento de su forma de uso), dificulta la clasificación de las proposiciones y el control del proceso deductivo. Si, por ejemplo, se desea axiomatizar la relación de proximidad, resulta natural que sea transitiva: (A prox B) /\ (B prox C) ---> (A prox C). Sin embargo, una aplicación irrestricta de esta regla, puede conducir a que todo esté próximo a todo. En un sistema lógico «puro» no es fácil hacer un nuevo axioma que «prohíba» aplicar la transitividad más de cierto número de veces. 4. La explosión combinatoria. Los sistemas basados en lógica no esca­ pan al problema de la explosión combinatoria, cuando se encaran domi­ nios complejos. 5. La exigencia de consistencia. En un sistema basado en la LC, no es posible representar una sentencia y su negación, sin que el proceso inferencial «trivialice» las conclusiones (permita derivar cualquier sen­ tencia). Esta propiedad, lejos de ser una virtud, es, para M. Minsky, ni necesaria ni deseable, ya que hace que los sistemas así constreñidos resul­ ten muy débiles en relación al poder de raciocinio de los agentes huma­ nos inteligentes. Nadie es completamente consistente. Lo que es impor­ tante es cómo el agente maneja paradojas o conflictos, cómo aprende de los errores, cómo intenta sortear las situaciones de las que sospecha que puedan resultar inconsistentes. Minsky reconoce la necesidad del uso de mecanismos deductivos, pero los circunscribe: ...T do not mean to suggest that «thinking» can be proceeded very far without some­ thing Iike «reasoning». We certainly need (and use) something like syllogistic deduc­ tion; but 1 expect mechanisms for doing such things to emerge in any case from processes for «matching» and «instantiation» required for other functions. Tradi­ tional formal logic is a technical tool for discussing either everything that can be deduced from sorne data or whether a certain consequence can be so deduced; it 152 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL cannot discuss at all what ought to be deduced under ordinary circunstances. Like the abstract theory of Sintax, formal Logic without a powerful procedural seman­ tics cannot deal with meaningful situations... (Minsky, 1975). Como se ve, Minsky señala las dificultades de la LC, tanto para la representación de propiedades «típicas», como para decidir qué debería inferirse en condiciones «típicas» o «normales». 1. La relevancia ...The logical view of thinking has considerable attraction, since logic offers valuable insight into the relation between rational held beliefs. Unfortuna­ tely, it does not cover all such relations. Its more striking omission is any consideration of the purpose (or purposes) of reasoning. That is, the logical view of thinking ignores questions of whether one should or should not draw sorne inference, and whether one inference is better or more appropiate than another. .. (J. Doyle). La lógica propone inferencias seguras, pero no siempre las útiles para determinados propósitos. Una inferencia apropiada en un dominio, puede ser irrelevante en otro. Similares reclamos se realizan desde el campo filosófico (teoría de la argumentación). En ambos casos se pos­ tula la necesidad de una «racionalidad útih>, ya que el mero razonar correcto -que es lo que garantizan los procesos deductivos- puede ser «irraciona],> considerando los propósitos del razonador y el domi­ nio en que está operando. Un concepto de «racionalidad útil», presentado en Doyle (1989), pos­ tula que cada paso de razonamiento sea dado en el sentido de maximizar la función de valor que el agente establece en base a sus expectativas y preferencias. En ese caso, antes que formular la pregunta acerca de si las inferencias son «seguras», importa preguntarse si los pasos de razo­ namiento dados y las conclusiones alcanzadas sirven eficientemente a los propósitos del razonador. En otras palabras, si el razonar del robot tiene como paradigma el razonar humano y quiere, al menos, imitar su performance no le servirá cualquier inferencia, por más que sea lógicamente válida, si no es rele­ vante para sus objetivos. Contrario sensu, hay situaciones en las que el sistema debe actuar aun­ que no posea una descripción completa del estado de cosas existente o aunque, en caso de poseerla, no resulte tolerable en el tiempo el análisis de todos los factores en juego. En este caso actuará a partir de extraer conclusiones no seguras (en el sentido del «control de calidad» exigido por la lógica standard), corriendo el riesgo de que, ante la llegada de nueva información, las decisiones adoptadas hayan resultado erróneas. Esta con­ tracara de la racionalidad útil nos lleva a la cuestión de las extensiones no monótonas de las inferencias deductivas. 153 RAÚL 2. J. CARNOTA La monotonía ... A key property of intelligence -whether exhibited by man or by machine­ is f1exibility. This f1exibility is intimetely connected with the defeasible nature of commonsense inference(s)... ; we are all capable of drawing conclusions, acting on them, and then retracting them, if necessary in the face of new evidence. Jf our computer programs are ro act intelligently, they will need ro be similarly flexible . (M. Ginsber). . . Supongamos que un amigo nos menciona un pájaro, llamado Pi-pio, que tiene en su casa. Seguramente lo imaginaremos en una jaula ya que, si no tenemos más información sobre el mismo, es razonable suponer que vuela. ¿Cómo representar esta asociación heurística? U n camino en Lógica de primer orden es la formulación «Todos los pájaros vuelan»: Vx Pájaro(x) --> Vuela(x) (1). ¿Qué ocurre en ese caso si Pi-pio es un pingüino? Podemos representar nuestro conocimiento sobre los pmgüinos mediante otro condicional standard: Vx Pingüino(x) --> Vuela(x) (2). El problema es que la representación conjunta de (1) y (2) determina que no pueden existir individuos que sean a la vez pájaro y pingüino. En la LC, si T es un conjunto de sentencias y P es una sentencia, si T 1- P entonces T U N 1- P, para cualquier conjunto N de sentencias. Si consideramos que: Pájaro(Pi-pio) (3), y T es (1), (2) y (3) resulta que T 1- Vuela(Pi-pio). Por la monotonía de la consecuencia clásica, si conocemos el nuevo hecho: Pingüino(Pi-Pio) (4), tendremos que T U [Pingüino(Pi-pio)] 1- Vuela(Pi-pio), y, a la vez, de (2) y (4) se deduce -, Vuela(Pi-pío). Sin embargo, una persona normal, aun aceptando las «reglas» antes señaladas, resolvería la situación aplicando un «principio de predomino de la información más específica», que jerarquiza (2) sobre (1), y descar­ taría esta última sentencia al opinar sobre Pi-pio, sabiendo que es pin­ güino. En esta deducción, hemos aplicado un esquema parecido al ejemplo de Sócrates. ¿Qué es lo que falla? Parecería que no hay dudas sobre que 154 L6GICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL «Todos los hombres son mortales», mientras que al representar nuestra creencia en la forma «Todos los pájaros vue!an» estamos «forzando» una cuantificación universal, que no es el adecuado reflejo de la expresión del lenguaje corriente «Los pájaros vue!an» (o al menos no lo es en nues­ tro mundo real, aunque tal vez lo sea en un mundo hipotético alterna­ tivo, sin pájaros excepcionales). Una solución sería representar así nuestro criterio para decidir sobre la capacidad de vuelo de los pájaros: Vx Pájaro(x) & --, Pingüino(x) --+ Vuela(x) (5). El problema es si Pi-pio es avestruz, o tiene e! ala rota o las patas amarradas a una piedra, o... La regla tiene excepciones y no sabemos enumerarlas todas. Sin embargo la seguimos usando a propósito de cualquier pájaro que nos es mencionado, mientras no existan evidencias en contrario (como que es pingüino, que tiene alas rotas, que tiene las patas atadas, etc.). A estos casos se refería Minsky al indicar la incapacidad de la LC para tratar las propiedades «típicas» de los individuos de un dominio. Otro ejemplo, inspirado en J. McCarthy, es e! siguiente. Suponga­ mos que entre nuestras creencias se encuentra que: «Si el tanque de com­ bustible no está vacío y la batería está cargada, e! auto va a arrancaf». Pero este condicional no va a ser verdad en un mundo (que podría ser e! real), en e! que e! carburador está roto, o en el cual estén cortados los cables de la batería, o en e! cual el tanque, si bien no está vacío, está lleno de agua, o «qualifications», que sería necesario verificar para que se pueda deducir que e! auto arranca. Sin embargo, planeamos e! día de trabajo sobre la base de verificar sólo las premisas de la regla simple ante­ rior. Si luego se adiciona la información de que e! tanque estaba lleno de agua, la conclusión nueva será que e! auto no arranca. La conclusión previa es «derrotada» siendo que sus premisas siguen siendo verdaderas. El llamado Nixon Diamond, nos enfrenta a una situación más com­ plicada. Si entre nuestras creencias tenemos que «Normalmente los cuá­ queros son pacifistas» y que «Normalmente los republicanos son be!icis­ tas», ¿qué podremos afirmar de Nixon, de! que sabemos que es cuáquero y republicano? En una formalización «clásica» de este problema, esas dos características no pueden ser verdaderas a la vez en ningún individuo. Si en e! caso de los pájaros existía una heurística llamada «principio de predominancias de lo específico», y en el caso del auto otra heurística sobre la relevancia de los distintos factores que condicionan el arranque normal, en este caso, no existen principios intuitivos generales que guíen la respuesta de un agente inteligente. Cada uno podrá preferir una u otra respuesta, según la fortaleza que le asigne a cada creencia, o permanecer agnóstico. Problemas como los que hemos presentado, han aparecido, desde antes de! nacimiento de la lA, en otros campos, notoriamente en el Dere­ cho, la Ética y la Metodología de la Ciencia. 155 RAÚl J. CARNOTA Consideremos el cuerpo legal total en un momento y país dado. Las premisas para que el juez resuelva el pago de un siniestro por parte de una compañía de seguros están todas estipuladas de un modo u otro. Sin embargo el juez resuelve el caso verificando algunas de esas premisas y dejando a la parte demandada el trabajo de presentar prue­ bas para las otras (por ejemplo una condición de excepcionalidad que invalida el pago). Mientras la compañía no presente pruebas, el juez supone «por defecto» que dichas condiciones de excepcionalidad no existieron, y, si se verifican las premisas principales, concluye que debe pagarse. En este caso, si bien son conocidas todas las posibles excepciones, su verificación completa resulta muy «costosa». Las conclusiones que surgen son derrotabIes, en el sentido de que la presentación de prue­ bas que contraríen la «asignación por defecto», significará su retrac­ tación. En Ética, la discusión sobre el carácter prima jacie de los principios morales ya trajo antaño conflictos respecto a su formalización. Conside­ remos el principio moral: «Las promesas deben ser respetadas». Una for­ malización universal como «Toda promesa debe ser respetada», pierde de vista el carácter prima jacie del principio, donde las posibles excep­ ciones serán reflejos de conflictos morales (una ruptura de una promesa que sirva para aliviar un sufrimiento). El filósofo W. D. Ross (1927), refiriéndose a este tipo de casos afirma: ... Any acr rhar we do contains various elements in virrue of which ir falls under various caregories. In virtue of being rhe breaking of a promise, for insrance, rends ro be wrong; in virtue of being an insrance of relieving disrress ir rends ro be right... Sin embargo, para Ross, la ruptura de la promesa, aun justificada, no elimina el reconocimiento de la obligación «prima facie» de mantener las promesas. ¿Cómo decidir sobre la conveniencia o no de aplicar en cada caso los «principios prima jacie» o sus excepciones, de forma de sortear el con­ flicto? En el campo del Método Científico, en Black, 1935, se afirma que, en general, es imposible explorar cada una de las posibilidades que podrían ser relevantes para la solución de un problema. El único proce­ dimiento factible es tomar la verdad de cierto número de supuestos como dada, y concentrar la atención en el testeo de las hipótesis principales. La decisión acerca de cuáles proposiciones serán consideradas hipótesis principales y cuáles subsidiarias, no puede especificarse en una regla y debe remitirse a un juicio sensato. La alternativa a una larga y completa, pero muy costosa, si no impo­ sible, descripción de las precondiciones de una regla es basar las conclu­ siones sólo en información parcial, y rezar para que los factores que han sido ignorados no aparezcan. En ese caso habrá que estar preparados 156 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTifiCIAL para que cada tanto se produzcan errores en las conclusiones (el costo de relajar el «control de calidad de las inferencias»). Este problema de equilibrar el monto de conocimiento requerido para hacer una inferen­ cia por un lado, con la exactitud de la inferencia por el otro, es el lla­ mado en lA qualification problem (el problema desaparece, por supuesto, si se suponen mundos ideales, de modo de operar como si las excepcio­ nes no existieran, pero el sistema así construido no será muy util). Tomar los atajos e ignorar mucha de la información que es poten­ cialmente relevante, pagando el precio de tener que retraer algunas con­ clusiones frente a evidencia contradictoria, es el camino que recorren los procedimientos para el razonamiento no monótono. 3. Lógica y complejidad Supongamos que se desea interrogar al sistema, cuyas informaciones alma­ cenadas son Al , ...,An, sobre si «cree» en B. Si entendemos esto como la pregunta acerca de si B se da en los estados del mundo concebidos por el agente en que se dan Al,'" ,An, la lógica standard nos propor­ ciona un método de prueba puramente sintáctico. La aplicación de este método equivale a hallar alguna secuencia de fórmulas del lenguaje, que termine en B y que esté compuesta sólo por Al,'" ,An y los axiomas de la lógica subyacente o por fórmulas derivadas de las anteriores de la secuencia por medio de las reglas de inferencia RI ,... ,Ron' El primer inconveniente es que, si el lenguaje es el del cálculo de predi­ cados de primer orden, esto no es posible en general, ya que dicho cálculo no es decidible. Existen subconjuntos decidibles de dicho lenguaje, pero incluso en esos casos, considerando que el lenguaje posea negación y dis­ yunción, el problema de la decisión (decidir si una fórmula es o no teo­ rema) resulta computacionalmente intratable. Por lo tanto existirán situa­ ciones en que la respuesta no aparecerá en tiempos razonables, y no se puede prever cuándo estas situaciones van a ocurrir. Esto es preocupante si el robot tiene que actuar en tiempo real (por ejemplo un robot industrial). La aceleración de los tiempos de proceso por mejoras tecnológicas no resuelve el problema, precisamente porque el peor caso no tiene una cota de tiempo fija. Imaginemos disyunciones del siguiente tipo: Hecho 1: Adolfo es profesor de lA o de Programación. Hecho 2: Jorge es profesor de Lingüística o de Sistemas Operativos. Es claro que tenemos cuatro posibilidades a considerar. Si los hechos aumentan, los casos crecen exponencialmente. Si agregamos procesado­ res para su cómputo, los tiempos decrecen linealmente. Esto conduce a la siguiente tabla, extraída de Levesque (1986b), donde TIEMPO 1 repre­ senta una velocidad de análisis de un millón de posibilidades por segundo, el TIEMPO 2, un millón de millones de posibilidades por segundo, y el TIEMPO 3, un millón de máquinas en paralelo, cada una de ellas ana­ lizando un millón de millones de casos por segundo: 157 RAÚl Hechos Casos J. CARNOTA Tiempo 1 Tiempo 2 Tiempo 3 2 2 4 5 32 10 25 50 100 1.024 30 millones 10 '"'" 15 10 ,:.,. 30 30 seg. 30 años 20 mino 0,001 seg. 10 ,: . ,: . 16 años 30.000 milI. años 30.000 años Si estamos representando hechos simples por medio de expresiones atómicas o sus negaciones, las disyunciones del tipo ejemplificado arriba van a ser usadas cuando el conocimiento del dominio es incompleto. Del mismo modo, la negación de un hecho puede sugerir una dis­ yunción de muchos otros, si el dominio es rico en individuos: -, Profesor(Raúl), que nos dice que Raúl no es profesor, pero no nos dice qué es Raúl ni quiénes de los otros individuos es profesor, 3x.Profesor(x) 1\ Dicta(x,IA) que dice que existe al menos un profe­ sor de Inteligencia Artificial, sugiriendo una disyunción sobre los indivi­ duos que podrían serlo. La pobreza de conocimientos acerca del dominio requiere, para ser representada, una mayor riqueza del lenguaje, independientemente de si se utiliza o no un formalismo basado en Le. En este sentido, la Lógica de primer orden permite un alto grado de expresión de estas «indetermi­ naciones» del conocimiento. El precio a pagar consiste, en cualquier caso, en mayor complejidad computacional. Empobrecer el lenguaje, al menos si la expresión del problema lo admite, es una forma de restringir la complejidad. Un ejemplo son los lenguajes basados en cláusulas de Horn, en que se evitan la disyunción, la negación y la cuantificación existencial. Esto evita reescrituras com­ plejas de hechos simples, como las derivadas de equivalencias lógicas (P == (p&q) V (p&-' q)). Otra alternativa consiste en el «forzar el completamiento» de la infor­ mación de la BC, mediante ciertos mecanismos ad-hoc que se supone que los agentes inteligentes utilizan para actuar frente a incertidumbre (valo­ res por defecto, reglas heurísticas, supuestos de mundo cerrado, etc.). Esto permite llegar a conclusiones que no están implicadas deductiva­ mente por aquello que la BC conoce y que luego pueden ser derrotadas al adquirirse nueva información. Dentro de estos mecanismos pueden encuadrarse, ahora desde otra motivación, las caracterizaciones prototípicas de los objetos del domi­ nio: «Si es pájaro, entonces vuela» (condiciones necesarias prototípicas del ser pájaro) o «Si vuela y canta, entonces es pájaro» (condiciones sufi­ cientes prototípicas). Consideremos el caso de un robot que, de acuerdo con sus objetivos, decide trasladarse en una habitación desde un punto A hasta otro punto B. 158 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL Las modificaciones que esta acción produzca en su BC, le permitirán saber que, luego de dicho traslado, su posición en el escenario en que está ope­ rando será B. Pero también necesitará saber qué ocurre con el escenario en su totalidad luego de ese movimiento. En verdad, nada asegura que otros factores presentes en la escena no hayan cambiado mientras el robot ejecutaba su movimiento. Volver a un proceso deliberativo que analice el curso de acción posterior requeriría, entonces, una nueva caracteriza­ ción de todo el escenario. Esto es muy costoso. Por otra parte no es el modo de actuar inteligente que queremos construir. Luego del movimiento del robot no parece razonable que la pintura del techo haya cambiado de color (¡aunque no es imposible!). Un supuesto «razonable» es que sólo cambia lo mínimo imprescindible de acuerdo con las acciones explicita­ das y las proposiciones que describen el escenario. Este supuesto, cono­ cido como ¡rame axiom, completa la descripción del escenario en forma no segura, pero permite operar al sistema con mayor eficiencia (evitando considerar todas las alternativas de cambios), a riesgo de cometer errores. Estos mecanismos de completamiento nos llevan nuevamente al campo del razonamiento no monótono, ya que el agregado de informa­ ción puede llevar a deshacer inferencias previas. Si bien esto también tiene su costo, si la elección de las suposiciones es razonable, en el sentido de que sea poco probable que luego deban ser levantadas, el balance final de limitar los casos sobre los que se razona será ventajoso. Este también es el caso en que se posee información completa, pero en que el análisis exhaustivo es muy complejo. Sin embargo, pese a lo atractivo del planteo, los mecanismos de «com­ pletamiento» no siempre redundan en una reducción de la complejidad, como se comenta en la próxima sección. 4. La consistencia Otro cuestionamiento a la utilización de la lógica estándar, según las ideas de Minsky, es la condición de consistencia como requisito para desarro­ llar teorías no triviales (en las que no toda fórmula del lenguaje es deri­ vable de los axiomas de la teoría). Puede ocurrir que una BC tenga alguna inconsistencia <docal», que puede considerarse «irrelevante» en vista del conjunto total de informa­ ción contenida. La aspiración es poder continuar sacando conclusiones interesantes. Sin embargo, en LC, esta Base sería trivial, en el sentido de no poseer ningún modelo. En el área de Sistemas Expertos, distintos expertos suelen no coinci­ dir sobre un mismo aspecto del conocimiento del dominio. Si se consi­ dera un problema de diagnóstico médico, es natural que, a partir de los mismos síntomas observables, distintos especialistas tengan opiniones con­ flictivas. En los textos estándar del área se recomienda «evitar» esta situa­ ción por medio de algún tipo de arbitraje. Esto no siempre es posible, ni tampoco es posible, en general, «depurar» grandes Bases de Conoci159 RAÚl J. CARNOTA miento. Probablemente, en casos como el de la medicina, tampoco sea deseable: conocer la existencia de diagnósticos en conflicto es muy impor­ tante para el paciente. En los últimos tiempos se han desarrollado aplicaciones a lA de las lógicas paraconsistentes. Una lógica es paraconsistente si puede ser la lógica subyacente de teorías inconsistentes, pero no triviales. Estas lógi­ cas fueron propuestas en forma independiente por el lógico polaco Jas­ kowsky y por el brasileño Newton Da Costa, y desarrolladas amplia­ mente por éste último, con aplicaciones interesantes a la lA. Entre muchos artículos, se puede consultar Da Costa y Marconi (1989); Da Costa y Subrahmanian (1989) y D'Ottaviano (1990). El problema de mantener consistencia es central en las formalizacio­ nes del RNM, y produce una complejidad computacional extra. Los con­ flictos que se desean evitar al usar las inferencias por defecto, como en el caso del Nixon diamond, pueden, en un contexto paraconsistente, verse como situaciones normales, causadas por la falta de información com­ pleta: «... thinking is a process of resolution of conflicts, by the analysis of evidences. Better saying, thinking is a process of resolution of con­ flicts, if possible. It may perfectly happen two opposite conclusions having equal rights to be achieved, under the light of available knowledge. Thus contradiction could not be removed, unless by the drastic measure of dis­ missing both conflicting conclusions. An alternative, not seriously con­ sidered so far, (is) ... holding both conclusions and keep on reasoning them out, no matter the contradiction, until incoming knowledge may evan­ tually enable a decision... » T. Pequeno (1990). En Pequeno (1990) se sugieren formalizaciones próximas a la Lógica Default, pero con una lógica de base paraconsistente. 5. Discusión Hemos mostrado cómo, a partir de algunos cuestionamientos básicos al uso de la LC en los sistemas de lA, se motivan búsquedas en Lógica que intentan salvar esos problemas. Pero la lista es muy incompleta. El aprendizaje, aspecto clave en la definición de inteligencia, se intenta formalizar como un proceso inductivo. Esto reaviva el viejo proyecto de fundar una lógica inductiva, que viene desde los albores de la ciencia expe­ rimental. El proyecto consistía en ampliar los conocimientos elaborados a partir de los datos experimentales incluyendo algunos que no están total­ mente justificados por la verdad de las premisas. Nuevamente, este enfo­ que determina una noción no monótona de inferencia, ya que nuevos datos (nuevas experiencias de aprendizaje) pueden no encajar en las reglas generalizadoras e invalidar conclusiones previas. Se intentan desarrollar también «lógicas de la analogía», siempre con vistas a inferir consecuen­ cias plausibles a partir de casos previos similares. La pregunta desde la lógica es: ¿cuál es el control de calidad que le pedimos a estas transformaciones? Obviamente, la respuesta no podría 160 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL ser «ninguno», ya que entonces las conclusiones serían totalmente arbi­ trarias y no podríamos hablar de procesos inferenciales más o menos gene­ rales. Aun relajando el control de calidad de las inferencias, éstas deben tener cierto grado de confianza, en el sentido de que no nos van a defrau­ dar en la mayoría de los casos. Esto sugiere una definición ad-hoc de cuándo algo va a ocurrir más frecuentemente que lo opuesto. Si para infe­ rir B a partir de A ya no exijo que B sea verdadero en todas las situacio­ nes en que A es verdadero, quiere decir que existirán situaciones en que ---, B y A son verdaderos y otras en que B y A son verdaderos. Qué será lo más conveniente aceptar en esos casos, dependerá de algún criterio de preferencia entre los A&B estados y los A& ---, B estados. V. INFERENCIAS NO MONÓTONAS ...Monoronic logics lack the phenomenon of new information leading to a revision of old conc1usions... (McDermott y Doyle). Los ejemplos de la sección IV sugieren que, dada una colección de items de información, representados como un conjunto P de proposiciones en algún lenguaje lógico, las conclusiones deductivas no son suficientes para satisfacer los requisitos del razonamiento de «sentido común». Esta constatación motivó, a partir de fines de los años 70, el desarrollo de numerosos procedimientos para formalizar el razonamiento no monó­ tono. En estos procedimientos se establecen reglas de inferencia que per­ miten «saltar» a conclusiones no establecidas deductivamente a partir de las premisas. Estas conclusiones no son seguras, en el sentido de que las premisas no son condiciones suficientes para su obtención. El agregado de nuevas evidencias puede llevar a la cancelación de inferenclas previas. El tipo de reglas inferenciales utilizadas ya no puede ser las del tipo: Si P¡"",Pn entonces Q (lógica estándar) porque en ese caso el agregado de nuevas premisas no invalida la conclusión. Las reglas de inferencia no monótonas son de tipo global y siguen patterns como el siguiente: Si PI'''',Pn, Y no se da que R¡, ... R"" entonces Q, donde el añadido de Rj puede invalidar la conclusión. Lo que se espera de un sistema inferencial no monótono es que, dados P y P' conjuntos (finitos) de sentencias y A una sentencia, si se da que P 1-- A, no se siga que PUP' 1-- A, donde 1-- es el símbolo usado para denotar una tal relación de inferencia. Esta caracterización negativa es muy vaga y abarca demasiados for­ malismos, motivados a veces desde perspectivas diferentes. Una de ellas 161 RAÚl J. CARNOTA es la de! razonamiento «presuntivo» o por defecto, en contraposición a los sistemas basados en estimaciones de probabilidad o plausibilidad. No siempre el razonamiento presuntivo tiene una interpretación estadística. Esta última puede darse en e! caso de supuestos como «si me hablan de un pájaro, supondré que vuela», pero no en el de los criterios presunti­ vos utilizados por los jueces, como «todo acusado es inocente mientras no se demuestre su culpabilidad», ni en el caso de razonamientos «autoe­ pistémicos» como «no tengo hermano mayor, porque si tuviera uno lo sabría». Los sistemas más conocidos para formalizar e! razonamiento por defecto son: la negación por falla de Prolog, caracterizada en Clark (1978), la Lógica Default, en Reiter (1980), Circunscription, en McCarthy (1980 y 1986), Lógica Modal No Monótona, en McDermott y Doyle (1980), Lógica Autoepistémica, en Moore (1985), y Redes con Heren­ cia, en Touretzky (1986). Cada uno de estos sistemas se presentó con sus propios principios, sin que existiese un marco general en e! cual todos pudiesen ser comparados. La generación de formalismos para reconstruir e! RNM, y la bús­ queda de sus principios generales ha sido uno de los estímulos más des­ tacados desde la lA sobre el campo de la Lógica, y muchos investigado­ res de esta última disciplina se han involucrado activamente. 1. Características de los procedimientos no monótonos El antecedente más difundido de los procedimientos no monótonos es la «hipótesis de mundo cerrado» (HMC), que se agrega a la información contenida en una Base de Datos (BD). La HMC estipula que, si una por­ ción atómica de información no se puede extraer de la BD, se supone que vale su negación. El efecto de este supuesto en una BD en que se representan conexiones aéreas, es que, si no se puede obtener de la BD una conexión entre Jujuy y Río Gallegos, es porque no existe tal cone­ xión. En ese caso, se considera que la no existencia de la conexión es una consecuencia de la BD extendida con la HMC. Si luego se agrega a la BD información que permite establecer dicha conexión, la conclu­ sión negativa previa desaparece. En el caso más general de una Base de Conocimientos (BC) consti­ tuida por una colección de cláusulas Horn (por ejemplo, un programa Prolog con negación por falla), este principio se formula aSÍ, para cual­ quier literal positivo «ground» P(t): (RHMC) Si BCifP(t), entonces BC 1-- ----, P(t), donde 1-- representa la inferencia no monótona inducida por la HMC. Si analizamos la estructura de la regla (RHMC), hallamos varias carac­ terísticas distintivas: 1) la regla es de tipo global, es decir, que la inferencia depende de todas las consecuencias de la BC, 162 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL 2) la inferencia depende de los conocimientos presentes en la BC, pero también de los ausentes, 3) desde el punto de vista del control de calidad de las inferencias, si bien la regla no es segura (la presencia del conocimiento almacenado en la BC no es suficiente para garantizar la conclusión), sin embargo esta­ blece un criterio de resguardo de consistencia en la primera parte de su formulación. Este criterio estipula que ----, P(t) se satisfaga en al menos alguno de los mundos descritos por la BC, 4) satisfechas las garantías, se efectiviza el «salto a las conclusiones» que era el objetivo original. De este modo se incorpora ----, P(t) a las con­ secuencias ampliadas de la BC (o sea, las consecuencias no monótonas de BC). Los modelos de la BC ampliada serán el subconjunto de los mode­ los de la BC original en que se satisface ----, P(t). Mas en general, las con­ secuencias no monótonas de la BC original serán las consecuencias stan­ dard de BC U HMC(BC), donde HMC(BC) es el conjunto de informaciones agregadas por la (RHMC). Podemos ejemplificar este mecanismo con nuestro caso canónico: 1) Vx (Pájaro(x)& ----, Anormal(pájaro(x))->Vuela(x)) 2) Vx (Pingüino(x)->Anormal(pájaro(x))) 3) Pájaro(Pi-pio), que nos expresa que «normalmente los pájaros vuelan», <<1os pingüinos son pájaros anormales» y que «Pi-pio es un pájaro». En principio nada podemos afirmar sobre la capacidad de volar de Pi-pio, dado que no sabe­ mos que sea o no anormal como pájaro. Pero si aplicamos la (RHMC) a Anormal(pájaro(Pi-pio)), podemos concluir no monotónicamente: 4) ----, Anormal(pájaro(Pi-pio)), y por lo tanto, 5) Vuela(Pi-pio). Si luego se agrega: 6) Pingüino(Pi-pio), ya no podremos derivar 4) ni 5) de la Be. Los «criterios de control de calidad» de las inferencias no monóto­ nas suelen tener por objetivo el impedir que la BC se convierta en incon­ sistente ante la llegada de nueva evidencia (como que Pi-pio es pingüino). La (RHMC) no puede aplicarse a una BC que no sea formada por cláusulas Horn, porque en ese caso fracasa el «control de calidad» impuesto por la primera parte de la regla. En efecto, si tenemos una BC compuesta sólo por la disyunción PVQ, la aplicación reiterada de la (RHMC) permite inferir ----, P y ----, Q, y luego ----, (PVQ), lo que consti­ tuye una contradicción con la BC original. El procedimiento de Circunscripción de McCarthy generaliza la noción de inferencia no monótona basada en la HMC para superar sus limitaciones. Se basa en la idea de seleccionar como modelos «preferi­ dos» de una BC los que posean extensiones minimales de ciertos predi­ cados como por ejemplo Anormal. Esta restricción de los modelos equi­ vale a reforzar la BC, lo que se hace por medio del «Axioma de Circunscripción» (AC), que depende de la BC y de los predicados que 163 RAÚL J. CARNOTA se están circunscribiendo. Las conclusiones por defecto serán las que se obtengan deductivamente de la BC U AC(BC, Anormal), y serán satisfe­ chas en todos los modelos de esta Base ampliada, es decir, en los mode­ los preferidos seleccionados de la BC original. En la Lógica Default (LD) de Reiter, otro de los formalismos conoci­ dos, se aumentan las conclusiones deductivas de un conjunto de axio­ mas W, mediante el agregado de reglas de la forma: A:B/C Una lectura informal de dicha regla es: «si A se da en la extensión y no se da ----,B (es consistente suponer B), entonces infiera C>. Su uso genera extensiones de las consecuencias standard de W. Una Teoría Default es un par (W,D), donde W es un conjunto de fórmulas y D un conjunto de reglas Default. En nuestro ejemplo: D (Pájaro(x): Vuela(x)/Vuela(x)J W (Pájaro(Pi-pio) J. Dado que en el contexto de esa teoría no es inconsistente suponer que Pi-pio vuela, la extensión (única) de la teoría incluirá la conclusión (derrotable) Vuela(Pi-pio). No es difícil observar que el mecanismo de la LD, aunque distinto al de Mundo Cerrado y Circunscripción, man­ tiene las características generales comentadas más arriba. En particular, en cada regla del tipo <<norma¡": A:B/B, la condición «es consistente suponer B» constituye el control de calidad que, si es satisfecho, nos permite pasar de la premisa A a la conclusión por defecto B. Incluyendo conocimientos sobre pingüinos, obtenemos: = = DI = ( Pájaro(X): Vuela(x) Vuela(x) ; Pingüino(x): ----,Vuela(x) ----,Vuela(x) 1 Wl (Pingüino(Pi-pio), Vx Pingüino(x) --->Pájaro(x)J. En este caso nos encontramos con dos posibles «extensiones» o esce­ narios, en uno de los cuales Pi-pio vuela y en el otro no vuela. Si adopta­ mos una visión escéptica (considerar sólo las consecuencias que surgen en todas las extensiones) nada podemos afirmar sobre esa propiedad de Pi-pio. La razón del comportamiento antiintuitivo es que falta la informa­ ción de que los pingüinos son pájaros excepcionales respecto al volar (que en el ejemplo de aplicación de la HMC se reflejaba en (2)). Esto nos lleva a modificar las reglas, incluyendo en las mismas las excepciones conocidas: D2 (Pájaro(x) & Pingüino(x): Vuela(x)/Vuela(x); Pingüino(x): ----, Vuela(x)/ ----, Vuela(x) J. Por un lado esto revela una cierta «fragilidad» en la representación, ante la aparición de nuevas excepciones. Por otra parte, nótese que la regla modificada sigue siendo una regla por defecto, ya que, en el mundo real, existen otros casos de pájaros que no vuelan. = = ----, 164 LOGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL Desde el punto de vista semántico, en la Lógica Default, se restrin­ gen los modelos de W de acuerdo a las reglas Default. En nuestro primer ejemplo, se descartan aquéllos en que Pi-pio no vuela. Los restantes mode­ los seleccionados de la BC son exactamente los modelos de la extensión. Entre estos últimos puede no estar el mundo real. La inferencia Vuela (Pi-pio), a partir de Pájaro(Pi-pio), puede no ser válida en dicho mundo. El «control» de la regla sólo nos asegura que existe algún mundo com­ patible con la BC, en que Pi-pio vuela. En el caso de la teoría (Wl, Di), existen dos subconjuntos de modelos de la BC en competencia. La modi­ ficación de la regla en D2 representa la preferencia por uno de los dos. En el caso de la HMC, si considero las sentencias (1) a (3), entre todos sus modelos existirán algunos en que Pi-pio es anormal (y no vuela) y otros en que no es anormal (y vuela). La condición de la regla (RHMC) nos asegura que estos últimos existen, y los modelos de las conclusiones extendidas serán aquellos en que la extensión de Anormal es mínima (en este caso, vacía). Si se agrega (4), el panorama cambia, la extensión mínima de Anormal ahora incluye el individuo Pi-pio, y el control de calidad de la (RHMC) impide la aplicación de la regla, ya que, ahora, en todos los mundos compatibles con la nueva BC, Pi-pio es anormal. La aplicación de las reglas de la Lógica Default o de esquemas como Circunscripción sobre alguna propiedad reflejada en la BC, equivale a restringir el conjunto de modelos de la BC según ciertas heurísticas que el constructor de la BC tiene en mente: por ejemplo, que un pájaro, del que no se conoce más información, vuela. Estos modelos preferidos por el diseñador de la BC, serán los modelos de la extensión generada por el procedimiento no monótono. En el "Nixon diamond» la preferencia puede establecerse a partir de una mayor confianza en un supuesto que en otro. Si no es posible establecer esta preferencia, no hay restricción de modelos y el sistema se mantiene «agnóstico» (o presenta las dos alter­ nativas contradictorias). 2. La lógica de las inferencias no monótonas D. Gabbay, en Gabbay (1985), fue el primero en preguntarse, dada una relación 1-- entre enunciados, cuáles serían las propiedades formales que la podrían caracterizar como la relación de inferencia de un sistema no monótono. El punto de partida para este análisis fue la consideración del caso de una relación estándar deductiva 1- . La respuesta en este caso había sido dada por A. Tarski. Si 1- satisface las tres condiciones que siguen (y que están expuestas en una versión finitaria, es decir, conside­ rando sólo conjuntos finitos de premisas), es la relación de inferencia de algún sistema de lógica deductiva. Reflexividad: A¡,...,A", B 1- B Cut: A¡,...,A"I-X; Aj,...,A", XI-B Aj,...,A"I-B 165 RAÚl J. CARNOTA Aj,...,An�B Aj,...,An, X�B Los distintos sistemas deductivos conocidos se obtienen agregando diversas propiedades a este conjunto mínimo. En particular, si se desea trabajar con un lenguaje más rico, que contenga las conectivas clásicas, deben agregarse las propiedades que caracterizan a dichas conectivas. Gabbay propuso, análogamente, unas propiedades mínimas, que debería satisfacer una relación de inferencia no monótona. Estas son Reflexividad, Cut y una forma más débil de monotonía, que fuera bauti­ zada en Makinson (1989) como Monotonía Cautelosa (cautious Monotonía: monotony): Aj,..., An 1-- X; A" ...,An 1-- B Monotonía Cautelosa: A" ...,An, XI-- B En este contexto, el Cut expresa el hecho de que una conclusión plau­ sible es tan segura como los supuestos en los que está basada, y por lo tanto se puede «acumular» en las premisas. En otras palabras, no hay pérdida de confianza en la cadena de derivaciones plausibles. Esto no ocurre en las inferencias de tipo probabilístico, y es un hecho que este tipo de inferencias no satisface Cut. Cautious Monotony expresa el hecho de que incorporar una nueva premisa, cuya verdad había sido concluida plausiblemente de los cono­ cimientos previos, no debería invalidar las viejas conclusiones. Siguiendo a Makinson, se define una relación de inferencia como cumulativa si y sólo si satisface Reflexividad, Cut y Monotonía Cautelosa. Independientemente, en Shoham (1987), se propuso una teoría de modelos general para las inferencias no monótonas. Sabemos que, en lógica estándar, una proposición B se sigue lógicamente de otra proposi­ ción A, y lo notamos: A 1= B si y sólo si B se satisface en todos los modelos de A. Es inmediato que con dicha definición, por ser los modelos de A&X un subconjunto de los de A, la consecuencia lógica 1= es monótona. Sho­ ham sostiene que una noción de consecuencia lógica no monótona puede caracterizarse a partir de algún subconjunto de los modelos de A: A 1-- B si y sólo si B se satisface en los modelos «preferidos» de A. Dada una lógica estándar L, Shoham construye una Lógica Preferen­ cial Lo añadiendo al conjunto de interpretaciones de L, una relación de «preferencia» ( <) entre ellas. La relación de preferencia es un orden par­ cial y un mundo V es preferible a otro mundo W, si el agente considera a V como «más norma),> que W. Así es posible, dado A, concluir «por defecto» B, si todos los mundos «más normales» entre los A-mundos, también satisfacen B. En otras palabras, B se sigue «por defecto» de A en Lo si los B-mundos son un superconjunto de los A-mundos «más normales». Esta noción de «normalidad» es una generalización de la HMC y Cir­ cunscripción, tal como lo muestra el ejemplo de V.1. Allí los mundos 166 lÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL «más normales» eran aquellos modelos de la BC que poseían la mínima extensión de Anormal posible. Si en todos esos mundos «más preferi­ dos», según dicho criterio, Pi-pio no es anormal, entonces concluimos, por defecto, que vuela. Para Shoham, todo sistema no monótono puede tener una semántica en términos de una relación de preferencia adecuada. En Makinson (1989) se generaliza la definición de las estructuras de modelos preferenciales. Una estructura M es una terna: M=(S, �, O, donde S es un conjunto arbitrario no vacío «<estados»), ( una relación (de «preferencias») en S y � una relación entre las sentencias del len­ guaje y los elementos de S (de «satisfacibilidad»). Una estructura de modelo preferencial M induce una relación de infe­ rencia 1-- m de la siguiente manera: A 1-- m B si y sólo si, para todo s E S, si s � (A, (satisface preferen­ cialmente A según la relación (J, entonces s � B, donde s � (A si y sólo si s � A y no existe s' E S, con s' (s tal que s' �( A. La caracterización más precisa de los elementos del modelo permite definir distintas familias de relaciones de inferencia inducidas, y estudiar las propiedades que poseen. En particular, la clase de las relaciones cumulativas definidas por Gab­ bay coincide con las inducidas por las estructuras de modelo preferen­ cial stoppered (se dice que M (S, �, (> es stoppered si, dado cualquier subconjunto T de S y un elemento t en él, o bien t es (minimal, o bien existe t' en T, t' (t Y t' minimal). Con estas herramientas es posible analizar los sistemas de RNM pro­ puestos en la literatura. Esto se realiza en Makinson (1991). El procedimiento inferencial basado en la HMC y aplicable a cláusu­ las de Horn extendidas, resulta ser cumulativo. Si se considera S, el con­ junto de todas las cláusulas Horn expresables usando un conjunto de sím­ bolos de predicado y símbolos de función primitivos, { A A2, ,An) un subconjunto finito de S, que denominaremos A, y B una sentencia, la relación de inferencia inducida por este procedimiento es: AI-- B si y sólo si A U HMC(A) 1-- B, donde HMC(A) es el conjunto de los átomos negativos ground que se infieren de A por la (RHMC), es decir: HMC(A) { ---, P(t): A VP(t)). Con esta definición es fácil verificar que 1-- cumple las tres propie­ dades de Gabbay. Makinson demostró también que la noción de inferencia subyacente en Circunscripción de McCarthy es cumulativa. Por el contrario, la Lógica Default de Reiter, no resulta cumulativa, aun en su versión más «conservadora» (considerando las inferencias plau­ sibles de un conjunto A, con reglas Default normales D, como aquellas válidas en todas las extensiones Default del mismo). Consideremos una teoría Default con dos reglas: = 1, = 167 • • • RAÚl J. CARNOTA W,: {0] y D: (0:P/P; PVQ: --,P/--,P]. Las consecuencias no monótonas C(W,) coinciden con Cn( (P]). Consideremos ahora otra teoría con las mismas dos reglas y con: W2:{PVQ]. Esta teoría tiene tiene dos extensiones, ya que las dos reglas son apli­ cables, pero no compatibles. Una extensión es E¡ =Cn( (P]) y la otra es E2=Cn({ --,P, Q]). Definiendo C(W2)=E¡ n E2, es claro que P no pertenece a C(W2). La situación es, entonces, la siguiente: Wl � W2 � C(Wl), pero C(Wl) rJ;. C(W2), y equivale a la falla de (CM), si definimos AI-- B si B E C(A) 3. Sistemas no monótonos condicionales Un camino parcialmente distinto es el seguido en Kraus, Lehman y Magi­ dar (1990), al caracterizar varias familias de relaciones de consecuencia preferenciales en términos sintácticos y semánticos. Con este propósito aumentan el conjunto de propiedades propuesto por Gabbay, de modo de tratar con un lenguaje que posea las conectivas clásicas. Su objetivo es elucidar las relaciones entre pruebas y modelos, con el objeto de per­ mitir el diseño de procedimientos de decisión que sirvan para realizar infe­ rencias plausibles a partir de Bases de Conocimientos. Cada familia de relaciones se identifica con cierto tipo de modelos de tipo preferencial. A la vez, todas las relaciones de consecuencia defi­ nidas por los distintos modelos de una dada familia están cerradas por un determinado conjunto de reglas de inferencia que las caracterizan sin­ tácticamente. La relación de inferencia Cumulativa se presenta como la más débil de la familia, y coincide con la propuesta por Gabbay. Las dos familias que han sido mas tratadas desde entonces son la Pre­ ferencial y la Racional. . Una estructura de modelo preferencial KLM es una terna M= (S, 1 ( > , donde S es un conjunto «<estados»), l:S� U una función que asigna a cada estado un «mundo posible» y ( es un orden parcial estricto en S, que satisface la smoothness condition (stoppered, en el léxico de Makinson). La función 1 permite caracterizar la noción de satisfacción de una pro­ posición A en un estado s, como l(s) 1= A en el sentido usual de satisfac­ ción en un mundo. En Kraus et al. se prueba un resultado de representación del sistema P de reglas en términos de los modelos preferenciales definidos arriba. El sistema P está constituido del siguiente modo: 168 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL (RW) (LLE) (AND) �A--->B, q--A (CM) q--B �A+-->B, AI--C (REF) BI--C AI--B, AI--C (OR) AI--B&C AI--B, AI--C A&BI--C AI--A AI--C, BI--C AvBI--C Donde «1--» es una relación de inferencia: 1-- � Lx L, y consideramos que el par A, B es equivalente a la con­ junción A&B, por lo que la representación finitaria se reduce a una sola fórmula en el lado izquierdo de la relación. En el sistema P la regla Cut es una regla derivada, lo que permite definir a la operación de inferencia caracterizada por el sistema P como cumulativa: (Cut) AI--B, A&BI--C AI--C Una relación de inferencia es racional, si es la relación inducida por un modelo ranked. Los modelos ranked son modelos preferenciales en los cuales la relación de orden tiene la propiedad ranked: existe una fun­ ción r: S--->T, donde T es un conjunto totalmente ordenado por la rela­ ción [, tal que s < s' en S si y sólo si r(s) [ r(s') en T. Las relaciones racionales resultan ser las cerradas por el sistema R, que incluye todas las reglas de P, más la siguiente de monotonía racional (rational monotony): (RM) AI--B, AI-- --, C A&q--B que expresa el grado más alto de monotonía compatible con una noción de inferencia no monótona. Llegada a este punto, la relación de inferencia 1-- ha sido embutida en un lenguaje, en el que juega el rol de un conectivo especial, lenguaje gobernado por reglas del tipo deductivo. Las expresiones de este lenguaje son llamadas por KLM «aserciones condicionales». Formalmente, exis­ ten notorias similaridades con los sistemas de la Lógica Condicional (LCOND), como algunos de los propuestos, entre otros, en Lewis (1973), y con los sistemas de la obligación condicional, que fueron presentados en van Wright (1971), y en Hansson (1971). Desde el punto de vista sin­ táctico, el condicional especial de las LCOND, que notaremos ), no posee la propiedad de refuerzo del antecedente, que sí posee el condicional stan­ dard o material, es decir que: de (A)B) no se sigue (A&C)B), lo que le da una característica de «no monotonía» en el plano del lenguaje. Ade­ más los axiomas y reglas de inferencia típicos de los sistemas de LCOND muestran una fuerte similaridad con las reglas de P y R. 169 RAÚL J. CARNOTA La siguiente caracterización sintáctica del sistema de Lógica Condicional NP de Delgrande (1987) es ilustrativa al respecto: (ID)f-A)A (CC) f- ((A)B)&(A)C)) ---+(A)(B&C)) (RT) f- A)B---+((A&B))C)---+(A)C)) (CV) f- ----, (A)B)---+((A)C)---+(A& ----, B)C)) (CC) f- ((A)C)&(B)C))---+((AVB))C) RCM Si f-B---+C, de A)B se sigue A)C. Nótese la similaridad entre los 5 axiomas y las reglas (REF), (AND), (CUT), (RM) y (OR), respectivamente, así como entre la regla RCM y la regla (RW), todas del sistema R. En realidad las analogías son más profundas, ya que una motivación de dichas lógicas fue el poder representar situaciones en las que el agre­ gado de condiciones «derrote» las conclusiones del condicional, sin gene­ rar conflicto (inconsistencias potenciales). En otras palabras, que pue­ dan representarse simultáneamente los condicionales: A)B, A&C) ----, B, sin que esto acarree la imposibilidad de A&C. Por otra parte, las similitudes semánticas se hacen evidentes a partir del trabajo de Shoham. En la LCOND se tiene una medida de similari­ dad entre mundos posibles. La verdad de un condicional A)B en un mundo de referencia W se establece cuando B es verdadero en ciertos A-mundos «seleccionados», respecto de W. En los sistemas de LCOND contrafácticos clásicos, estos mundos «seleccionados» se caracterizan como los «más próximos» al de referencia en los cuales A es verdadero. En el extremo, si el mundo de referencia W es un A-mundo, el seleccio­ nado será el mismo W. Sin embargo, hay que señalar como restricción en estas comparacio­ nes que el signo 1--, definido por reglas como las presentadas antes, no permite anidamiento (ocurrencias iteradas), ya que está reflejando una noción metalingüística de consecuencia. Por lo tanto, una correspondencia con el condicional especial ) de las LCOND, sólo debería tener en cuenta aquellas fórmulas A)B donde ni A ni B contienen a su vez el símbolo ) (fórmulas no anidadas o «flat»). Tampoco aparece en las LNM la noción de mundo de referencia, con lo que la relación de preferencia entre mundos es única en cada modelo preferencial. A partir de Arlo Costa y Camota (1989a y 1989b), se comenzaron a establecer formalmente los primeros resultados que conectan sistemas de LCOND y los sistemas de tipo preferencial de las LNM. Posterior­ mente los mapeos entre LNM y LCOND fueron extendidos en Arlo Costa y Shapiro (1991). 4. El dilema de las lógicas condicionales Antes del desarrollo de los sistemas preferenciales, ya existieron intentos de utilizar sistemas de la LCOND para la formalización del RNM. La 170 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL idea era reconstruir afirmaciones prototípicas y «reglas por defecto» mediante el condicional especial. Así, «normalmente los pájaros vuelan», se representaría como: Vx Pájaro(x) ) Vuela(x). El filósofo D. Nute, atraído por las propiedades del condicional con­ trafáctico, se propuso implementar un razonador no monótono mediante un demostrador de teoremas de algún sistema de Lógicas de la obliga­ ción condicional, como las presentadas en Hansson (1971), que son un antecedente importante de los sistemas condicionales que buscan la expre­ sión del Razonamiento No Monótono. En el campo deóntico, los mun­ dos «absolutamente normales» son los «mundos ideales» donde todas las obligaciones y deberes son respetados. Las únicas conclusiones que se pueden extraer con los condicionales derrotabies son conclusiones en los mundos ideales o «más normales» (para un análisis más detallado, ver Alchourrón, 1986 y 1991, y Car­ nota, 1991). Tanto en las LNM preferenciales P yR, como en las LCOND correspondientes es válida esta regla (o teorema) de «modus ponens debi­ litado»: (WMP) True 1--A, AI--B Truel--B El (WMP) nos dice que si A es verdadero en los mundos «absoluta­ mente más preferidos» (que no suelen incluir al actual), entonces, de la verdad de la aserción condicional AI--B se puede inferir que B es ver­ dadero en dichos mundos «ideales». Nada nos dice sobre el mundo actual. El (WMP) sirve para razonar sobre las condiciones ideales, pero no sobre las condiciones reales. Los sistemas de la LCOND sin detachment, resultan ser los que for­ malmente corresponden a los sistemas de la LNM preferencial, del tipo de P oR, por lo que estos últimos resultan compartir las dificultades infe­ renciales de los primeros. En Kraus, Lehman y Magidor (1990) se sugiere la posibilidad de usar sistemas como P para obtener respuestas de una Be. La propuesta es: si se tiene A en un stock de hechos y se deriva, mediante las reglas de P, el condicional AI--B, a partir de la BC, a la pregunta «¿Es esperable B?» se respondería positivamente. Esto parece equivaler a sostener el «detachment» para 1--. Dado lo informal del comentario es difícil inda­ gar lo que los autores tienen en mente, pero si también es derivable CI-- ----, B Y el stock de hechos contiene A&C, se vuelve al conflicto ya comentado, salvo que se use una lógica especial en los hechos, que no permita derivar ni A ni C de la conjunción. 5. Las LNM y el detachment de las reglas Default ¿Cómo funcionan los formalismos conocidos para extraer conclusiones por defecto? 171 RAÚl J. CARNOTA Como se vio al inicio de esta sección, los procedimientos del RNM poseen reglas para autorizar o bloquear el detachment de los condicio­ nales Default, de acuerdo a determinados criterios (por ejemplo criterios de consistencia). Nuevas evidencias incorporadas a la BC pueden provo­ car el bloqueo del detachinent de ciertos condicionales Default (para evi­ tar una inconsistencia en la BC), por lo que no se siguen derivando con­ secuencias previamente establecidas. Repasemos el funcionamiento de nuestro ejemplo: 1) Vx (Pájaro(x)& ----, Anormal(aspectol(x)))-+ Vuela(x) 2) Pájaro(Pi-pio). Con la (RHMC) aplicada a Anormal (aspectol(Pi-pio)), donde aspectol define «ser anormal como pájaro respecto al volaf», obtene­ mos Vuela(Pi-pio). De entre todos los modelos de la BC hemos preferido los que minimizan la extensión de Anormal. El mundo real puede no estar entre ellos, pero al menos sabemos que no es un conjunto vacío. Si ahora sabemos que Pi-pio es pingüino y que, normalmente, los pingüinos no vuelan, agregamos a la BC: 3) Vx (Pingüino&----, Anormal(aspect02(x)))-+ ----, Vuela(x) 4) Pingüino(Pi-pio). Si aplicamos (RHMC) nuevamente, nos encontramos en la misma situación anómala señalada para el caso de la Le. Si agregamos: 5) Vx (Pingüino(x)-+Anormal(aspectol(x))), la aplicación de la (RHMC) ya no permite inferir Vuela(Pi-pio). Esto restringe los modelos de la BC a aquellos donde vale Anor­ mal(aspectol(Pi-pio)). En este punto no podemos inferir nada sobre Pi­ pio. Aquí interviene entonces la (RHMC), que infiere por defecto: ----, Anormal(aspect02(Pi-pio)), garantizando, como «control de cali­ dad», que exista al menos algún modelo de la BC en que dicha conse­ cuencia se satisfaga (y donde Pi-pio no vuela). Evidentemente no tene­ mos certidumbre alguna de que las conclusiones por defecto sean valederas en el mundo real. Sólo tenemos la garantía de que, si son extraídas, no es imposible que se verifiquen en dicho mundo. La autorización del detach­ ment del condicional por defecto consiste en la aceptación -provisoria­ del consecuente, dado el antecedente y provista la garantía de consistencia. La restricción de los modelos equivale a afirmar en el antecedente del condicional por defecto la negación de todas las excepciones aun no conocidas. Al especificarse las propiedades de un operador 1-- mediante reglas al estilo de los sistemas P oR, se establecen las condiciones de deriva­ ción de condicionales a partir de condicionales, pero no se determinan los mecanismos concretos que controlan el «salto a las conclusiones». En ese sentido son postulados generales que caracterizan completamente una clase de relaciones de inferencia, pero no una relación de inferencia concreta. Cada modelo concreto de esos postulados es una LNM, en la que, bajo ciertos resguardos, se afirma la verdad por defecto del conse­ cuente. 172 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL 6. Lógica no monótona y revisión de creencias La teoría del cambio de creencias trata de la dinámica de los estados de creencias, con el objetivo de modelizar las actualizaciones de los estados de creencias de un agente o de un sistema de computación, como resul­ tado de recibir nueva información. Existen varios tipos de cambios de creencias. El más simple es el que surge por el aprendizaje de algo nuevo y es conocido como expansión. A veces, sin embargo, estas nuevas evi­ dencias contradicen creencias previamente aceptadas, lo que lleva a una revisión del estado de creencias con vistas a mantener su consistencia. Esta revisión requiere la eliminación de viejas creencias. Otras veces el descubrimiento de que las razones para sostener una creencia han desa­ parecido conduce a una contracción del estado de creencias. Una revi­ sión de un conjunto de creencias K, como resultado del aprendizaje de una evidencia A, puede ser considerada como la sucesión de una con­ tracción de dicho conjunto por la negación de A, y luego el agregado (por expansión) de A. El primer paso asegura que la incorporación de la nueva evidencia no provocará inconsistencia en K. Una operación de contracción (y por ende una revisión) no es sencilla de definir: dado un conjunto K y una sentencia e, existen varias formas de eliminar senten­ cias que puedan implicar C. Si incorporamos, como criterio de raciona­ lidad, que la operación redunde en la menor pérdida de información posi­ ble, una manera informal de visualizar una contracción de K por una creencia e, es en términos de la familia de los subconjuntos maximales de K que no implican e, que se nota K..l C. Alchourrón, Gardenfors y Makinson desarrollaron una teoría del cam­ bio racional de creencias, presentando construcciones explícitas de las operaciones de cambio (en particular, las basadas en los subconjuntos maximales citados), así como postulados que dichas operaciones debe­ rían cumplir. Los dos enfoques son conectados en Alchourrón, Garden­ fors, Makinson (1985) a través de teoremas de representación. Los postulados AGM de revisión racional de creencias son ocho, seis de los cuales son denominados básicos y dos complementarios. Si deno­ tamos con ". la función de revisión, y consideramos conjuntos de creen­ cias cerrados por consecuencia lógica clásica (teorías), siguiendo a Gar­ denfors (1988), ellos son: K"-1) Si K es una teoría y A una sentencia, K ,,-A es una teoría. K"-2) A E K"-A. K"-3) K"-A <; K+A (la expansión de K por A). K ""4) Si --, A�K, entonces K+A <; K"-A. K"-5) K"-A = Kfalso si y sólo si 1- --, A (donde Kfalso denota el conjunto de creencias inconsistente). K"-6) Si I-A-B entonces K"-A=K"-B. K""7) K"-(A&B) <; (K"-A) +B. K"-8) Si --, B�K"-A, entonces (K"-A) +B <; K"-(A&B). 173 RAÚL J. CARNOTA Consideremos un ejemplo en el que un estado de creencias de un sis­ tema está reflejado por una BC y sus consecuencias lógicas. Esta situa­ ción es la normal en la práctica, y se dice que BC es una base del con­ junto de creencias K. Las funciones que efectivizan cambios en teorías apelando a cambios en sus bases, son llamadas «revisiones de bases» y están siendo estudiadas entre los investigadores de lA. Sea, en una situación dada, la BC constituida por: 1) Vx (Pájaro(x)--->Vuela(x)) 2) Vx (Pingüino(x)--->-,Vuela(x)) 3) Pájaro(Pi-pio). Entre las creencias implícitas del sistema estarán: 4) Vuela(Pi-pio), y 5) -,Pingüino(Pi-pio). Si ahora obtenemos una nueva evidencia: 6) Pingüino(Pi-pio), para acomodar (6) a la BC, manteniendo la con­ sistencia, debemos eliminar alguna creencia previa, entre 1), 2) ó 3). La elección de qué creencias se eliminan (o de qué subconjunto se prefiere conservar) dependerá de algún criterio de preferencia entre las creencias (o entre los subconjuntos maximales que no implican (5)). Entre las funciones de contracción propuestas en Alchourrón, Gar­ denfors y Makinson (1985), la «partial meet contraction» de K por una sentencia C, se define como la intersección de una subfamilia de K..LC. Esta subfamilia es elegida por medio de una función de selección S, que, si bien puede ser arbitraria, es razonable de suponer que escoja los sub­ conjuntos «mejores» de un cierto orden: S (K..LC)= {K' E K..LC:K"{K' para todo K" E K..LCJ. La contracción K� resulta luego: K� =nS(K..LC). De acuerdo al criterio indicado antes, la revisión de K por A, notada K':·A, (': En Makinson y Gardenfors (1990), se sugiere un método de traduc­ ción entre postulados de revisión de creencias y propiedades de las LNM. La idea básica es ver una expresión de la forma: B E K':'A, K como conjunto de hipótesis (o expectativas por defecto) auxiliares. A la inversa, una expresión de la forma: AI--B de una LNM, se traduce a una de la forma B E K':'A sión, donde K es introducido como un conjunto de creencias fijo. La forma de traducción es, entonces: AI--B si y sólo si B E K':'A Usando esta receta, es posible traducir los 8 postulados de revisión de AGM en reglas que definen propiedades del operador 1--, en parti­ cular, válidas casi todas en el sistema R. A la inversa, los distintos postu­ lados para las LNM se traducen en condiciones de cambio de creencias que son derivadas de los 8 postulados de la revisión AGM. Por ejemplo, la monotonía cautelosa (CM), se traduce en: 174 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL Si B E K"-A Y C E K"-A, entonces B E K"-A&C, que se deriva de los postulados de revisión. Posteriormente, en Gardenfors y Makinson (1991), se proponen diver­ sos formalismos, «basados en expectativas» para generar procedimien­ tos de inferencias no monótonas. Estos formalismos se inspiran directa­ mente en distintos modelos de la teoría de cambio de creencias, y pueden verse como generalizaciones del trabajo de Poole (1988). Una operación de inferencia basada en conjuntos de expectativas puede definirse infor­ malmente así: A implica no monotónicamente B si y sólo si B se sigue lógicamente de A junto con tantos elementos como sea posible del conjunto fijo K de expectativas, con la condición de que sean compatibles con A. Más formalmente, dado un conjunto de expectativas K no vacío y una función de selección S del tipo de la mencionada más arriba, la ope­ ración de inferencia C se define como: C[K,S] (A)=n{Cn({AjUK':K' E S(K.l----,A)J. Esta caracterización es la misma de ("-), donde se define una revisión de K por A basada en una «partial meet contraction function». Lo inte­ resante es que si S selecciona los mejores subconjuntos según un orden transitivo, C [K,S] satisface todas las reglas del sistema R (así como la respectiva revisión cumple los 8 postulados), más una regla adicional que no todos los sistemas R cumplen, llamada «Preservación de Consisten­ cia» y que es la traducción del K"-5 (si AI-- falso, entonces Al- falso). Del punto de vista semántico, es fácil ver que hay una relación uno a uno entre los A-mundos y los subconjuntos de la familia K.l ----,A, por lo que la aplicación a esta última de una función de selección que elige según un orden transitivo, tiene las mismas características de una selección de mun­ dos «preferidos» en una lógica preferencial del tipo de la de Shoham. Llegado a este punto, se evidencia una correspondencia formal muy sólida entre cierto tipo de revisión de creencias (la denominada AGM) y las relaciones de inferencia no monótonas preferenciales más «fuertes» (más próximas a la LC). En una inferencia no monótona basada en expectativas se considera un conjunto K fijo de hipótesis y se extraen del mismo conclusiones por defecto (que mantienen el control de consistencia al restringirse a las con­ secuencias clásicas de sólo un subconjunto de K). En revisión, las con­ clusiones son siempre deductivas a partir de un nuevo conjunto K', resul­ tante de la previa contracción de las premisas. En ambos casos, dado el mismo criterio de «preferencia» los resultados (las conclusiones extrai­ das) son los mismos. Esta vinculación complementa y confirma resultados previos obteni­ dos en Alchourrón y Makinson (1981) que, en su momento, por el aisla­ miento mutuo de los campos de la Lógica y la lA no tuvo repercusión en este último. Una interpretación epistemológica de esta correspondencia, sugerida por Gardenfars y Makinson (1991), es pensar el conjunto de creencias 175 RAÚl J. CARNOTA K en dos fases. Mientras se lo está utilizando, sus elementos sonfull beliefs y se extraen las consecuencias deductivas de los mismos. Pero tan pronto se procede a su revisión, estos elementos son cuestionados, por lo que pier­ den su status de full beliefs, para convertirse en expectativas o hipótesis sobre el dominio, algunas de las cuales deberán ser descartadas con el fin de introducir creencias nuevas, preservando la consistencia del conjunto. 7. Inferencias no monótonas y complejidad En la sección 4 el problema de la complejidad computacional apareció vinculada al tema del RNM, a partir del uso de supuestos, como el «frame axiom», para llenar lagunas del conocimiento. La hipótesis subyacente, tal como se presenta en Levesque (1988), es la siguiente: ... The deviations from c1assical logic that will be necessary ro ensure the tractabi­ lity of reasoning stand in very c10se correspondence ro the deviations from logic that we would have ro make anyway to be psychologically realistic. If we look at the kinds of mistakes people make, the kinds of problems people run inro, and the corners that are cut ro get around them, we will find modifications ro c1assical logic that ensure the computational tractability of the associated thinking ... Uno de los caminos sugeridos para el completamiento de las BC es el de las inferencias por defecto. Como ya se discutió, este camino puede verse como una restricción en el análisis de los modelos sólo a aquellos «preferidos», en algún sentido, por el diseñador del sistema (precisamente aquellos donde no se verifican ciertas excepciones). El efecto de esta restricción es que se deben analizar menos modelos con la consiguiente simplificación de los procesos de decisión. Pero el reflejo de esta restricción en la teoría de prueba es inverso. Ahora las inferencias son globales y deben realizar «controles» (usualmente de con­ sistencia), para justificar los «saltos a las conclusiones» no deductivos. La simplificación del proceso de decisión lleva a la pérdida de la <<natu­ ral computabilidad» de las reglas de inferencia deductivas. Si bien a la hora de decidir si B se sigue de A" ...,A", ya no debemos explorar exhaustivamente todos los factores en juego (todos los modelos de Al ,...,A,,), en cambio trasladamos a las reglas <<no monótonas» un pro­ blema de decisión aún más complejo como es el de probar que una senten­ cia no se deriva de otras (problema ni siquiera semidecidible en el caso general de primer orden). Es claro que muchas veces la motivación de dicha infe­ rencia no monótona es la falta de conocimiento y la imposibilidad de infe­ rencia alguna (costosa o no). Pero el problema del test de consistencia ha hecho que los formalismos de raciocinio no monótono carezcan, en gene­ ral, de implementaciones efectivas, salvo para casos particulares. Distinguiendo las dos etapas del proceso, es posible extraer conclu­ siones por defecto en forma rápida. El costo computacional está en los controles de calidad. 176 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL Este resultado es paradojal si con el «salto a las conclusiones» se intenta imitar el «razonar de la gente», cuando evita el análisis de todas las circunstancias posibles. Como se afirmó en 11.2., el abordaje de problemas característico de la lA consiste en buscar heurísticas que eviten los análisis de todas las posibles alternativas. De hecho estas heurísticas son «inferencias por defecto ad hoc». El problema que detectamos es, entonces, el fracaso en construir marcos formales generales de estas inferencias, que sean <<natu­ ralmente computables». En la práctica, sin embargo, existen casos particulares en los que los formalismos son implementables de modo que realicen inferencias en tiem­ pos razonables. Estos casos particulares surgen de imponer restricciones al lenguaje en que se expresan las premisas del razonamiento o al tipo de teorías expresables. Ejemplos de esto son las restricciones que se hacen para lograr computar ciertos casos de circunscripción en Gelfond y Lifschitz (1988), o las que se hacen en Shoham (1988), sobre la expresividad de las teorías representadas, o el éxito del procedimiento de negación por falla en programas Prolog, o el uso de valores por defecto en redes semán­ ticas representando taxonomías. En su trabajo, Shoham demuestra que ciertas restricciones expresi­ vas en las teorías formuladas llevan a restringir el análisis a un único modelo. Una de las restricciones consiste en no permitir reglas Default con efectos opuestos y donde las premisas puedan ser consistentes (tener instancias comunes). En el caso conocido del Nixon diamond: los cuáqueros son pacifistas, los republicanos son no pacifistas, resulta claro que las premisas son consistentes y ese tipo de situaciones no pueden ser expresadas para asegurar condiciones de computabilidad. En particular, esta restricción evita el tener que establecer criterios de preferencias y tener que optar entre distintos conjuntos de Defaults con­ sistentes. Lo antedicho sugiere la idea de que el factor de complejidad sólo puede ser resuelto por una combinación de inferencias Default y restricciones expresivas. El proceso de control para poder aplicar una regla no monó­ tona, es naturalmente más tratable en lenguajes pobres (por ejemplo que sólo admiten cláusulas de Horn). En lenguajes más ricos expresivamente, las inferencias no monótonas conocidas constituyen operaciones de alta complejidad. 8. La pragmática de las inferencias no monótonas ¿Cómo deben entenderse estos mecanismos o reglas de «salto a las con­ clusiones»? ¿Son reglas de inferencia clásicas? Por un lado, una regla de inferencia lógica se caracteriza por inter­ actuar con los conectivos del lenguaje al margen de todo tipo de denota- 177 RAÚL J. CARNOTA ciones. Una regla que afirma ----, ( ----, a)- a, no tiene «contenido» extra, ligado a una teoría de un dominio particular. En ese sentido, podemos decir que es «vacua» de contenido. Las hipótesis de completamiento, de uso corriente en lA, tales como el Frame Axiom, la HMC, etc. suponen una gran cantidad de conocimiento específico. Aceptar ----, P(t) si no es derivable P(t) no es una decisión trivial. La justificación de estas hipótesis está en supuestos heurísticos sobre el com­ portamiento del mundo (o de ciertos dominios o contextos). Las reglas Default tampoco son generales. En realidad, son sustanti­ vas, en el sentido de que proveen conocimiento específico de lo que se espera que ocurra con ciertas propiedades de ciertos individuos en cier­ tos dominios. Si proponemos un Default que afirme: «Si una casa es habitable entonces está calefaccionada», resultará muy razonable en Escandinavia, pero muy irrazonable en zonas tropicales. Esto es así, ya que la razón de la adopción de una hipótesis derrota­ ble es económica. Se espera que, a la larga, si el Default esta bien ele­ gido, la mayoría de las inferencias será correcta. El caso es que el con­ cepto de «bien elegido» depende de factores externos -y dependientes del dominio- como el daño que puede hacer una inferencia errónea. Si el 5% de los pájaros no vuela, adoptar el supuesto «Los pájaros vuelan» es razonable. Si el 5% de la gente que anda por la calle tiene la costum­ bre de dar puñaladas en la espalda, el Default «si se cruza una persona por la calle, no es preciso cuidarse la espalda» es peligroso (si el porcen­ taje cae a 0,000005%, ya sería aceptable). Este mismo criterio pragmático es el que guía la utilización de nor­ mas presuntivas en el sistema jurídico. Un principio que afirma: «Si alguien falta de su domicilio y no da noticias por 5 años, se lo considera, a todos los efectos legales, como fallecido» es adoptado por la justicia considerando que el margen de error será muy bajo (esta vez en base a consideraciones referidas a las normas de convivencia social, y no consi­ deraciones estadísticas) y el beneficio de resolver cuestiones legales tra­ badas es muy alto. Los formalismos basados en ordenamientos de sentencias o de con­ juntos de estados, en cada caso apelan a criterios pragmáticos (considé­ rese lo que implica en este sentido «preferir» una conclusión u otra en el problema de Nixon diamond). Si bien se pueden señalar sus propieda­ des generales, dadas las propiedades del orden subyacente, cada lógica preferencial concreta es la que se construye a partir de un orden especí­ fico. En cada modelo preferencial, el orden particular < refleja un cono­ cimiento del dominio (una intuición del diseñador acerca de cuáles son los «modelos preferidos» en una aplicación de lA). En realidad, cada vez se están considerando teorías parciales de los dominios representados, teorías que engendran los casos particulares de reglas, meta-reglas, orde­ namientos, etc. en que se sustentan las inferencias no monótonas. 178 LOGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL En resumen, podemos decir que el RNM se inscribe dentro del razo­ namiento pragmático, en el sentido en que es particular a un contexto, en el cual la información es limitada, y que emplea criterios heurísticos para arribar a conclusiones razonables. Sus reglas son, en realidad, meta­ reglas para razonar sobre dichos contextos particulares. La monotonía es una propiedad característicamente libre de contexto, y por eso no puede caber en este tipo de raciocinio. Cada LNM particular esta definida en una sola estructura de modelo y las inferencias en este modelo, que podríamos llamar inferencias prag­ máticas, se caracterizan por la verdad del antecedente en sólo un sub­ conjunto preferido pragmáticamente de los estados del modelo. Estas res­ tricciones hacen que tal vez sea más adecuado hablar de «Procedimientos lnferenciales No Monotónicos basados en Lógica» y que el problema de la nomonotonía, más que un problema con la lógica sea un problema acerca de cómo la lógica es usada. VI. LA LÓGICA EN LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL (A MODO DE CONCLUSIÓN) ... Ir may appear that logical proof is being opposed ro reasoning. The correct view seems ro be that logical proof is a rool used in reasoning... (D. Israel). La pregunta que formulamos al final de la sección III era: ¿es el pro­ ceso de elaboración de la información del «robot» un proceso deduc­ tivo? De lo discutido hasta aquí, parece evidente que no. Los objetivos de la lA no se satisfacen reduciendo el proceso de elaboración de infor­ mación de un sistema inteligente a un demostrador de teoremas. Esta evidencia ha promovido en la lA y en la Lógica, desarrollos de lógicas no clásicas. Los más característicos han sido los motivados por el Razo­ namiento No Monótono. Sin embargo, los formalismos lógicos para el RNM no han resultado satisfactorios, hasta ahora, salvo en casos particulares. A partir de estas dificultades, cabe preguntarse: ¿Cuál es el lugar de la lógica en los procesos de reconstrucción formal del «racio­ cinio inteligente»? Creemos que la lógica retiene al menos dos roles de importancia, uno al interior y otro al exterior de los procesos deliberativos de los sistemas inteligentes. El primero surge a partir de entender las diferencias entre razonar y deducir. Como hemos visto, el razonar incluye el deducir, pero requiere tam­ bién ir más allá de lo absolutamente seguro. Es un fenómeno global (y no local, como la inferencia deductiva) y debe tener en cuenta juicios acerca de la relevancia y los pesos de evidencia de los argumentos en juego. Puede juzgar que las evidencias no son suficientes y solicitar más infor­ mación. Puede (y debe) eliminar viejas creencias, a la luz de nuevas evi179 RAÚl J. CARNOTA dencias, de acuerdo a criterios racionales determinados para cada caso. Supongamos que aceptamos una sentencia de la forma «si P entonces Q» y aceptamos el antecedente. ¿Nos obligaría este hecho a aceptar Q? No necesariamente. Tal vez tengamos muy buenas razones «de jerarquía supe­ rior» para creer no-Q. En todo caso esto no llevará a rever nuestra creencia en el condicional o en el antecedente. Eliminar viejas creencias no es en manera alguna ilógico, especial­ mente si ellas implican conflictos con las que ahora tenemos buenas razo­ nes para sostener. El punto es que no debemos esperar que sea la lógica la que nos diga qué retener y qué eliminar, ni que nos diga que hacer cuando -gracias a su ay uda- descubrimos que poseemos creencias inconsistentes. La deducción lógica, lejos de estar enfrentada al razonamiento, debe verse como una herramienta usada en el proceso de razonar. Los crite­ rios de calidad de la lógica son un punto de referencia sólido para eva­ luar la confiabilidad de las reglas del razonar. Razonar es más próximo a revisar creencias. En la base de un sis­ tema de revisión racional de creencias, tendremos alguna lógica, aunque luego el sistema inteligente decida las acciones a tomar en base a un esquema de preferencias de tipo pragmático. Las reglas de inferencia deductivas sirven para explicitar el contenido informativo de la Base de Creencias, pero no alcanzan para determinar las políticas racionales de transformación de dicha Base, que den cuenta de los procesos de «apren­ dizaje», a partir de las interacciones entre el robot y su medio. El paradigma del razonamiento de sentido común ha sido, en la última década, el RNM. Hemos visto que es posible entender estas inferencias no deductivas en términos de una combinación de inferencias deductivas y revisión de creencias, evitando la proliferación de nuevas lógicas, que muchas veces llevan a resultados antiintuitivos y / o poco operativos. En segundo lugar, la lógica tiene un rol descriptivo y, en cierto modo normativo, respecto de los mecanismos implementados en los sistemas de lA. Aun cuando descartemos la Lógica como simbolismo de representa­ ción y elaboración de los datos que el sistema posee, ella es una herra­ mienta adecuada para dar cuenta de los procesos que el sistema realiza en términos más confiables que una descripción computacional. Frente al argumento de que la lógica es «demasiado prolija» para ata­ car problemas inherentemente complejos y poco claros -los procesos cognitivos-, hay que coincidir en que cualquier modelo que pretenda echar luz sobre los fenómenos del razonamiento, tiene que poder ser enten­ dido claramente. De lo contrario, dado que el objeto modelado es de por sí poco conocido y la conducta del modelo no es totalmente clara, poco es lo que se podrá concluir o resolver. «In extremis» dicha argumenta­ ción contra la lógica es una argumentación contra todo rigor. Puede argumentarse que la comprensión de los alcances del modelo también puede hacerse en alguna teoría matemática. Esto es cierto. Sin embargo, considerando que: 180 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL a) asumimos la restricción de la representación de conocimientos declarativa, que implica una estructura proposicional (aunque no nece­ sariamente en un lenguaje de la lógica), donde una pieza de estructura del formalismo representará una aserción (conocimiento o creencia) acerca del dominio, y b) dada una representación declarativa (red semántica, «frame», estructura ad hoc para posiciones del ajedrez o cualquier otra), interesa determinar exactamente qué conocimiento está siendo representado (no sólo explícitamente, lo que finalmente se reduce a una enumeración, sino implícitamente) y caracterizar, mediante alguna «teoría de la verdad», cuán confiables son los conocimientos implícitos que el sistema puede inferir de los explícitos, en términos del universo que queremos modeli­ zar, entonces la lógica parece la herramienta más adecuada para anali­ zar y comprender el comportamiento del sistema. Este enfoque es el aplicado por Brachman y Levesque (1984), a la caracterización funcional de un esquema de Representación de Conoci­ miento (RC). En esta visión, no interesa el detalle de cómo está cons­ truido el sistema de RC o qué estrategias usa para ser eficiente. Lo que importa es lo que sabe del mundo (en términos de sus creencias básicas y de su capacidad de derivar de ellas otras creencias). De hecho Makin­ son ha utilizado la lógica con ese sentido metateórico al estudiar las pro­ piedades de los formalismos del RNM. La lógica es también usada en Balkenius y Gardenfors (1990) para caracterizar el poder inferencial de ciertos tipos de redes neuronales. En síntesis, un rol fundamental de la lógica en lA es como herramienta para el análisis del contenido de conocimiento involucrado en la Base de Conocimientos (KB) del robot, antes que para reconstruir el modo de razonar de seres inteligentes. Es decir, que la lógica es el marco ade­ cuado para analizar el sentido de las expresiones que aparecen en los for­ malismos de representación y para juzgar la validez de las inferencias, independientemente de que los lenguajes lógicos sean, en sí mismos, ade­ cuados formalismos de representación, y de que la aplicación de reglas de inferencia deductivas a fórmulas lógicas sea un buen método para reconstruir el razonar de sentido común. BIBLIOGRAFÍA Al (1991), Número especial dedicado a los Fundamentos de lA: Artilicial Intelligence, 47. Alchourrón, C. y Makinson, D. (1981), "Hierarchies of Regulations and their Logic», en R. Hilpinen (ed.), New Studies in Deontic Logic, 125-148, Reidel, Dordrecht. Alchourrón, c., Gardenfors, P. y Makinson, D. (1985), "On the Logic of Theory Change: Partial Meet Contraction and Revision Functions»: The ¡oumal 01 Symbolic Logic, 510-530. (1986), "Conditionality and the Representation of Legal Norms», en Auto­ mated Analysis 01 Legal Texts: Logic, Inlormation, Law, Elsevier North-Holland. 50, Alchourrón, C. 181 RAÚL J. CARNOTA Alchourrón, C. (1991),"Philosophical Foundations ofDeontic Logic and itsPracticalAppli­ cations in Computational Contexts»,manuscrito, Universidad de Buenos Aires. ArloCosta,H. yCamota, R. (1989a),"NonMonotonicPreferential Logic andConditio­ nal Logic»: Proceedings IX Congo Internacional Soco Chilena de Computación, Santiago. Arlo Costa,H. yCamota,R. (1989b),"NonMonotonic Logics: ConsequenceRelations and Conditional Operators»: Anales VI SBIA, Rio de Janeiro. Arlo Costa,H. y Shapiro,S. (1991), "Maps between Non Monotonic and Conditional Logics»,manuscrito,Department Philosophy,Columbia University,New York. Balkenius, C. y Gardenfors,P. (1990),"NonMonotonic I nferences inNeuralNetworks», en Alles,Fikes y Sandewall (eds.),Proceedings of the Second Tnt. Conf. on Principies of Knowledge Representation and Reasoning, Morgan-Kauffman,SanMateo, Calif. Bimbaum,L. (1991),"RigorMortis: a response to Nilsson's "Logic and Artificiallntelli­ gence": Artificial Intelligence, 47, 31-56. Black,M. (1935), Critical Thinking, Prentice-Hall lnc.,New York. Brachman, R. y Levesque,H. (1984),"A FundamentalTradeoff in Knowledge Represen­ tation andReasoning»,en Levesque y Brachman (eds.),Readings in Knowledge Repre­ sentation, Morgan-Kauffman,Los Altos. Camota,R. (1991), "Condicionales Derrotables e Inferencias No Monótonas»,manus­ crito,Departamento Ciencias Computación, Universidad de Buenos Aires. Clark,R. (1978),"Negation as Failure»,en Gallaire yMinker (eds.),Logic and Data Bases, Plenum,New York. Cohen, M. yNagel,E. (1957),An Introduction to Logic and Scientific Method, Routledge and Kegan Paul,London. DaCosta,N. yMarcani,D. (1989),"An Overview of Paracansistent Logic in the 80's»: The Journal of Non Classical Logic, 1, vol. 6,5-32. Da Costa,N. y Subrahmanian,V. S. (1989), "Paraconsistent Logics as a formalism for reasoning about inconsistent knowledge bases»: Artificial Intelligence in Medicine, 1, 167-174. Dedalus (1987),A special issue in Artificial Intelligence, Pub. of theAcademy of Sciences of New York. Delgrande,]. P. (1987), "A First Order Conditional Logic for Prototypical Properties»: Artificial Intelligence, 33 (1). DO ' ttaviano, The Journal of Non Classical Logic, 1-2, vol. 7,89-152. Doyle,]. (1989),"RationalControl ofReasoning inArtificiallntelligence»,en Fuhrmann and Morreau (eds.), The Logic of Theory Change, Springer Verlag,Lect. Notes in Art. lnt.,465,19-48,Berlin. Gabbay,D. (1985), "Theoretical foundations for Non Monotonic Reasoning in Expert Systems»,en Logics and Models of Concurrent Systems, Springer Verlag. Gardenfors, P. (1988),Knowledge in Flux: Modeling the Dynamics of Epistemic System, The MIT Press-Bradford Books,Cambridge,Mass. Gardenfors, P. y Makinson, D. (1991),"Non Monotonic Inference Based on Expectations», manuscrito,Dpt. Philosophy, Lundt University. Gelfond, M. y Lifschitz,V. (1988),"CompilingCircunscriptive Theories into Logic Pro­ grams»,en Proceedings AAAI-88, Morgan-Kauffman,Los Altos,Calif. Ginsberg, M. (1988),"lntroduction toReadings inNon MonotonicReasoning»,en Gins­ berg (ed.),Morgan-Kauffman. Hansson,B. (1971),"AnAnalysis of some Deontic Logics»,enR. Hilpinen (ed.),Deontic Logic: Introductory and Systematic Readings, D. Reidel,Dordrecht. Kraus,S.,Lehmann,D. yMagidor,M. (1990),"NonmonotonicReasoning, Preferential Models and Cumulative Logics»: Artificial Intelligence, 44. 182 LÓGICA E INTELIGENCIA ARTifiCIAL Levesque,H. (1986a),"Knowledge Representation and Reasoning»: Annual Reviews of Computer Science, 1, 255-287. Levesque,H. (1986b),"Making Believers Out of Computers»: Artificial Intelligence, 30. Levesque,H. (1988),"Logic and the Complexity of Reasoning»: ¡ournal of Philosophical Logic, 17, 355-389. Lewis,D. (1973),Counterfactuals, Cambridge University Press,Cambridge. Makinson,D. (1989),"General Theory of Cumulative Inference»,en Second Int. Work­ shop in Non Monotonic Reasoning, Springer Verlag. Makinson,D. y Gardenfors,P. (1990),"Relations between the Logic of Theory Change and Nonmonotonic Logic»,en Fuhrmann y Morreau (eds.), The Logic of Theory Change, Springer Verlag,Lect. Notes in Art. Int.,465,185-205,Berlin. Makinson,D. (1991), "General patterns in nonmonotonic reasoning»,en Handbook of Logic in Al and Logic Programming, rr, OUP. McCarthy,J. y Hayes,P. (1969),"Some Philosophical Problems from the Standpoint of 4, 463-502, Artificial Intelligence»,en Meltzer y Michie (eds.),Machine Intelligence, Edinburgh Univ. Press,Edinburgh. McCarthy,J. (1980), "Circumscription - a form of non-monotonic reasoning»: Journal of Artificial Intelligence, 13. McCarthy,J. (1986),"Applications of Circumscription to Fonnalizing Common-Sense Rea­ soning»: Artificial Intelligence, 28 (1),89-116. McDermott,D. y Doyle,J. (1980),"Non Monotonic Logic 1»: Artificial Tntelligence, 13. Minsky,M. (1975),"A Framework for Representing Knowledge»,en 'J'he Psychology of Computer Vision, McGraw-Hill. Moore, R. (1985),"Semantical considerations on Nonmonotonic Logic»: Artificial Tnte­ lIigence, 25 (1), 75-94. Newell,A. y Simon,H. (1976), "Computer Science as Empirical Inquiry: Symbols and Search»,en Communications of ACM, marzo de 1976. Newell,A. (1981),"The Knowledge Level»: Artificial Intel/igence Magazine, verano de 1981. Nilsson,N. (1991), "Logic and Artificial Intelligence»: Artificial Intelligence, 47, 31-56. Pequeno,T. (1990),"A Logic for Inconsistent Nonmonotonic Reasoning»: Tech. Report 90/6, Dept. of Computing Sc. Imperial College, London. Poole,D. (1988), "A Logical Framework for Default Reasoning»: Artificiallntelligence, 36, 27-47. Reiter,R. (1980), "A Logic for Default Reasoning»: Artificial Intelligence, 13, 81-132. Reiter,R. (1987),"Non Monotonic Reasoning»: Annual Reviews in Computer Science, vol. 2. Ross,W. D. (1927), The Right and 'J'he Good, Clarendon Press, Oxford. Shoham,Y. (1987),"A Semantical Approach ro Non Monotonic Logics»,en Proceedings Logics in Computer Science, Ithaca,New York. Shoham,Y. (1988),Reasoning about Change, Cambridge University Press,Cambridge. Tarski,A. (1956),Logic, Semantic, Metamathematics. Papers from 1923 to 1938, Cla­ rendon Press, Oxford. Touretzky,D. (1986),The Mathematics oflnheritance Systems: Research Notes in Artifi­ cial lntelligence, Pitman,London. Wrighr G. H.,von (1971),"A new system of Deontic Logic»,en R. Hilpinen (ed.),Deon­ tic Logic: lntroductory and Systematic Readings, D. Reidel, Dordrecht. 183 INDICE ANALÍTICO Accesibilidad (relación de): 32,210-211, -de Lób: 319 -de permutación: 338 234-235,249,314-315,319 Álgebra: 58-59,193,324-326,327-330, -de separación: 185-186 (/rame): 333,335-336,338-339 -del marco -cuasibooleana: 331 -«mingle»: 262-263,338 159,176,178 Axiomatizabilidad: 287 -de Boole: 230,288,333 -de clases: 59 Base de conocimientos o datos: 149,152, -de conjuntos: 230 158-159, 162-165, 167-168, 171, -de De Morgan: 331 172,174,176,181 -de Kleene: 331-332 Bicondicional: 79,110,245 -de Lindenbaum (-Tarski): 191,197198, 228, 230, 233, 238, 346 Cadena: 255 -de 5tone: 325,331-333,344 Cálculo analítico: 84,94 -intensional: 237 Cambio de creencias: 173,175 -proposicional: 229,230,231 -contracción: 173-175,191 Algebrización: 191,197-198 -expansión: 173 Algoritmo (método recusivo): 271-274 -revisión: 173-176,180 -de computación: 274-276 Categorema: 54-55,57 Ambigüedad: 18,46,73-74,192 Circunscripción: 162-167,177 Anáfora: 99 Cláusula de Hom: 158,162-163,167,177 Analiticidad: 292-294 Compacidad: 19,30,37,97-98,102,110, Analogía: 145-146, 160 114,125,335-336 Anidamiento: 170 Comple(ti)tud, incomple(ti)tud: 23, 62, Aprendizaje: 145,160,173,180 66,86,94-95,102,116-117,125, Aritmética (teoría de números): 105,108, 136-139,197,220,223-224,233, 111,147,207,288 249, 254, 258, 261, 265-267, -de Peano: 213,288 287-288,304,317-319 -relevante: 267 Complejidad computacional: 145, 148, Asignación: 91,120, 211 157-160,176-177 Autómatas: 205,216 Computabilidad: 176-177,206,271 ss. Axioma: -recursiva (T uring-computabilidad): -de elección: 127,336 279-286 351 IN DICE ANALITICO Continuidad: 112, 113, 115 Concepción expresiva de las normas: 139- Contradicción: 66, 83, 131, 138, 163, 140 Condicional: 74,93,242-243,249,309, 185-186, 189, 252 -principio de (no) contradicción: 27, 311,333,337,339 -contrafáctico: 40,43, 145, 170- 79,186-190,199,332,334,339 Contraposición: 171 79, 82, 257, 260, 263-264, 266 -(implicación) intuicionista: 43,45 Corrección (consistencia semántica): 66, -(implicación) material: 16,18,21, 26, 32, 45, 53, 56, 64, 79,81, 86, 95, 115-117, 125, 233, 251, 154,169,188,300 317-318 Corte (cut): 18,21,39,42,46,165-166, -por defecto: 172 -relevante: 40, 244 ss., 261 169-170 Conexivismo: 332 Creencias: 205 ss. Conflicto moral: 156 Crónica: 223 -inducida: 223 Congruencia: 197, 198,333-335,343 -perfecta: 223, 225 -de Glivenko: 344 Cuadrado de oposición: 50, 61-62, 297 Conj(y)unción: 16,26,44-45,97,187, Cuantificar, cuantificación: 16,28,34,39, 230, 245, 255-256, 308, 328 ss., 64-65,87,89,93-94,99-100,106- 333 ss. 108,113,118-120,123-126,190,196, -asimétrica (temporal): 40 208, 249, 293-295, 326, 339 -superconyunción: 337 ss. Conocimiento: 205 ss. -existencial: 87-88, 158 Consecuencia (lógica, deductiva) o impli­ -plural: 122-123, 127 cación lógica: 15,17-18,22,28-30, -singular: 122 35-38, 40-42, 54-56, 58, 71-72, -universal: 18,33, 35, 87-88, 92, 155, 208 76-77,81,85,92,96-97,113-116, Cumulatividad: 166-169 120,125,131,134,137,139-140, 150,154,162,164,166,173,207, 209,250,287,324, 327-329, 337, De Morgan (leyes de): 79 345 Decidibilidad, indecidibilidad: 116-117, -abstracta: 36, 41-42, 140 157,197,233,253,267,273-274, -no monótona: 37,163,166,168 287-288 -preferencial: 168 Deducción automática: 200, 216 -regular: 330 -semántica: Deducción natural: 40, 82-83 18, 19, 21, 23-24, Derecho: 35, 131, 139, 155, 187, 189 28-30,33-34,36,38-39,42,197, -derogación: 139 229 -laguna: 137-139 -sintáctica (derivabilidad): 19-24, Derrotabilidad: 27-30, 36, 38-39, 42, 151 40, 155-156, 164, 170-171, 178 Consistencia, inconsistencia: 66,136-138, Dialéctica: 186, 189 140, 145, 152, 159-160, 163-164, Dilema de Jc/>rgensen: 35-36,42,130-131, 172-177, 180, 186-187, 207, 139 220-222, 249-250, 265-266, 287, 309-310, 312 Disyunción: 16,26,97,157-158,188,245, 256, 308, 328, 330-331, 333, 347 Constante (lógica): 55, 87-90, 92, 94, - exclusiva: 230 100-101, 106-109, 113-114, 122, 126, 208 Economía: 148, 200 Enunciado: - atómico: 16-17, 32 - deóntico descriptivo: 35-36 -de predicado: 106-109,114,116, 119, 126 -funcional: 106-109 Contingencia: 290, 296 352 INDICE ANALíTICO - deóntico prescriptivo: Inducción: 111,145,160,223-224,280, 35-36 16-17 Epistemología: 57, 98 Escolástica: 26-27, 54-55, 149 - molecular: 283,285-286,308 Información: 144, 147, 149, 151-153, - de Hilbert: 156-162,164-165, 173, 179, 187, 199-200,210-211 Informática: 199,216,267-268 - euclidiano: Inteligencia: Espacio: 231, 234 231 Estoicos: 52, 54, 296, 299 Estructura: 31-32,76-78,84,89-92,97,101, 108-110,112-115,119-124,126,211, 248-249,254,258,260,265-266,312, 314-315, 318 Ética: 155-156, 187, 189 Excepción: 155-157, 164, 172, 176 Expectativas: 153, 175, 176 Exportación: 79 Extensión ancestral: 328 Filosofía: -artificial (lA): 37, 143 ss., 187- 188,191-192,199-200 -humana: 144,146-147,160 Intencionalidad: 148 Interpretación: 15-18,21,31-32,34,90, 108, 122, 126 Lema: -de Lindenbaum: 221,255 -de Zorn: 255-256,259,335 Lenguaje: 148 - artificial (formal, simbólico): 16, - de la ciencia: 11, 20, 155 150, 188, 237 - paraconsistente: 192 Filtro: 331, 332, 338 18,44,46,53,55,57,63,71,80, 144,149,207,219 -de representación: 145 -metalenguaje: 73,137,145 - natural (corriente, cotidiano): 16, 18,44,46-47,53,55,57,63,72, 73,80-81,93-95,98-99,131-132, 216,237 -semi-interpretado: 228-229,233 -universal (characteristica): 57-58, 64 - de la lógica: Física (mecánica): - clásica: 228, 234 193,199,227 ss., 325,347 Forma normal: 287, 336 Función de Ackermann: 286 Funciones recursivas: 275, 286 - primitivas: 280, 286, 288 - iniciales: 280-281 - cuántica: Ley: -de aserción: 262 Geometría: 58-59, 187, 191, 193, 199 323, 335, 342, 346 -de distribución: 130 Grados de verdad/falsedad y de realidad: Hipótesis del continuo: -de permutación de premisas: 263 - reductivas (modal): 302-303,305, 309,311 127 Hipótesis del mundo cerrado: Lingüística: 192,216 158,162-167, Literal: 162 172, 178 Lógica: -algebraica: 191,324 -anotada: 200,324 Ideal: 118, 337 Identidad: 64,87,89,92,94,110,125,185, 190, 206 -antinómica: 192 -autoepistémica: 162 -condicional: 169-171,320 - de los indiscernibles (principio de): - contradictorial: 332,338 110 Ideografía -cronológica: 216 (Begriffsschrift): 63,65 Igualdad: 106,119,125,288 -cuántica: 227 ss. Implicación estricta: 29,32,39,53,67, -de las normas: 239,241,246,301,306 Incertidumbre: 158 -de las proposiciones normativas: 35, 131, 134, 136-137,139-141 134,137-140 Indeterminación de la traducción: 293 353 INDICE ANALíTICO -de lo difuso: 324, 332 -paraconsistente: 46-47, 67, 145, -de orden superior: 97,102,105 ss., 160,185 ss., 325, 326, 332, 334, 345 123, 126, 190, 207 -pétrea: 333 -de primer orden o clásica: 63, 65, -proposicional o lógica (clásica) de 71,76,80,83,87-88,92-94, 96,98-99,101-102,109-110, enunciados: 40, 71, 74-75, 114-115,144-145,154,157- 79-80,83,86,89-90,92-94, 158,185-188,190,196,199, 96,101,130,205,218,227, 206-207,212,233,237,247, 230,238-239,246,253,272, 287,302-307,309-310,312 253,272,287,293,312,319, -relevante (de la relevancia): 46-47, 325, 329 ss. 67, 189, 191-193, 237 ss., -de segundo orden: 102,115,123, 287 \ 309, 326, 344 - clásica: 261 -de términos: 65 -default: 160, 162, 164-165, 167 -de orden superior: 267 -deóntica: 35, 67, 129 ss., 191, - E: 261 ss. - profunda: 261 193, 320 -dialéctica: 193,198 -R: 238, 241 ss., 338 -discusiva: 190-194 -RO: 244-245, 261 -epistémica: 205 ss. -RM: 337-338 -imaginaria: 190 -Rm:: 261 ss. -inductiva: 160 -RMO: 261 ss. -infinivalente: 67,324,326,335 ss., -RMOm: 261 ss. -radical: 261 339 -temporal: 215 ss., 299, 320 -intencional general: 210 -gramatical: 216 -intuicionista: 28,40,67,186,189, 230,233-234,246,261-262, -lineal: 216 264 -ramificada: 216 Logicismo: 66 -modal: 28,30-31,34,45,53,67, 191,216,227,233-234,238239, 248, 262, 268, 289 ss. Máquina de Turing: 275-278, 284 -normal: 318-319 Marco de Kripke: 227,315-316,318-319 -51: 240, 302 Matemática: 58,65-67,96,98,127-128, -52: 302 148,180,213, 230-231, 288,315 -53: 302-303 -epistémica: 212-213 -54:234,246,302-305,309-312, -fuzzy: 191 314-319 -paraconsistente: 188, 191, 193, -55:32,190,194,240,302-305, 329 310-312, 314-318 Matriz: 65, 197, 327-328, 329 ss. - T: 303-307, 309-312, 314-319 -booleana: 333 -multivalente (polivalente, de varios -de Cragg: 330 valores): 28, 67, 81, 189, -de Kleene: 334 191,193,227,230,232,324 -de Lindenbaum: 338 ss. Medicina: 200 -no alética: 189 Megáricos: 52, 215, 296, 298 -no monótona: 21, 170-172, 174, Metafísica: 20 179 Metateorema: -modal: 162, 170 -de intercambio de los equivalentes: -preferencial: 166,171,175,178 196, 206, 248, 308-309, 311 -paracompleta: 188-189 -de la deducción: 21, 27, 79, 248 354 íNDICE ANALíTICO -interna: 135-136 - relevante: 248 -mínima: 261-262 -de la equivalencia: 307 -paraconsistente: 186 Modalidad: -por falla de Prolog: 162,177 -alética: (ver contingencia, necesi­ dad, posibilidad): 129-130, -selectiva: 230,232 -simple: 334 ss. 290,296,299,305,308 Norma: 131-133,135-137,139-140 -de dicto: 291,297-299,301 -de re: 291, 297-299 -condicional: 140 - normal: 305,308-311 -jurídica: 139 - presuntiva: 178 - reiterada: 30,305,309 Numerabilidad: 112,115 -deóntica: 129 ss. Modelo: 32,33,76,92-93,97-98,101, -recurSIva 108-110, 112, 159, 167-168, 172, 276,287 (generabilidad): 273, 177,179,197,220,223,249-250, 253-255,258,265-266,324,329 ss. Obligatoriedad (deber): 35,129 ss., 145, -canónico: 254-255, 258 171 -de Kripke: 194,234,249,315-318 -preferido, preferencial: 163-168, 170,176,178 -condicional: 169,171 Omnisciencia lógica: 212 Ontología: 121,123,189,199 -recio: 329 Operación de junta: 231 -reducido: 252 Operadores: Modularidad: 232,235 Monotonía, no monotonía: 18,21,37, 39,42,144,152-154,166,169,179 -deónticos: 129 ss. -epistémicos: 207-208,210,213 -modales: 290-291,313 -cautelosa: 166, 168, 174 -temporales: 218 -racional: 169 Ortocomplementación: 231-232,235 Morfismo: 328 Ortogonalidad: 234 -automorfismo: 235,328 Ortomodularidad: 232-235 -endomorfismo: 328-329,335 -epimorfismo: 328,346 Paradoja: 44,52-53,152 -isomorfismo: 109,112-113,117, -de la implicación estricta: 240-241, 126,230,328,338,346 308 -monomorfismo: 328,346 -de la inferencia: 151 Mundo (posible): 31-33,45,166, 168, -de la relevancia: 241,242,249 170,210-211,212,216,248-249, -de Priest: 188 254,267,295-296,303,312-317 -de Russell: 65,185,186,199 -no estándar: 312,237 -de Skolem: 97 -del condicional material (clásico): Necesidad: 15,17-18,30,32-33,56,81, 43,237-240,300 129, 219, 239-240, 242-243, 262, -del mentiroso: 53 290-296,308,312 -deóntica: 130 -de dicto (semántica): 294-295 Permisión: 35,129 ss -de re (metafísica) o esencialismo: -débil: 133 294-295,298 Negación: -fuerte: 133 -negativa: 133-134, 138 16, 26, 64, 79, 87, 129, -positiva: 133-134 134-137, 157-158, 162, 186-187, Posibilidad, imposibilidad: 15,17-18,29, 198,245,263-264,296,308-309, 323,326 ss. 31,33,56,81,129,219,239-240, -exclusiva: 233 290,296,299,308 -externa: 135 -de dicto: 298 -fuerte: 195,334 -de re: 298 355 íNDICE ANALíTICO Pragmática: 19,81,94,139,179-180 -no monótona: 161,176-177 - por defecto: 164, 178 Predicado: 16,86,88-91,93,98-99,101, Representación del conocimiento: 147, 121, 124, 208, 229 -diádico: 88,287 181 Resolución de problemas: 146 -monádico: 16,88, 90,287 Retículo: 227,229, 231-233, 235-236, Preferencia: 153, 161, 165-166, 170, 288, 330 ss. 174-175,180 Principio de Escoto (de Cornubia): 46-47, 332 Satisfacibilidad, insatisfacibilidad: 84-85, Principio de Peirce: 45 91,96,108,218,223 Programa de Hilbert: 66 Secuentes (cálculo de): 82,84 Programación: 200,216 Semántica: 15,19,23,25,28,32,34,44, Prohibición: 129 ss. 81, 121, 122, 124, 125-127, 139, Propiedad de Ackermann: 262 147,194,197,199,210-211,213, Psicología: 148 216-217,219,231,233,234,238, Psicologismo: 14 248,253, 265-268,295, 302-304, 310,312-317,337 Semiótica: 19,63 Razonamiento, argumentación: 13-14,49, Significado (sentido): 24,63, 78,293 51, 80, 143-144, 149, 151-152, Silogismo: 27, 49,60-61 179-181,205,213,216,238-239 -categórico: 12,26-28 -autoepistémico: 162 -disyuntivo: 46,334 -no monótono: 145,157,159-162, -modal: 26,296-298 170-172,176,179-180 Silogística aristotélica (tradicional): 50-52, -presuntivo o por defecto: 162,216 61,93,297-298 Realismo modal: 339 Sincategorema: 25,44,54-55,57 Recursión, recursividad: 271,273,286 Sintaxis: 19,23, 44,100 Redes: Sistema: -con herencia: 162 -distribuido: 211 -neuronales: 146,181 -experto: 159,200 -semánticas: 177,181 -normativo: 133-134, 136-139 Reducción al absurdo: 83,195,256-257, Situación: 210 263,264,266 Subalternación: 50-51,61 Referencia: 16,31,63 Reflexividad: 18,21,39,42,165-166 Reglas de inferencia (de derivación, de Tabla de verdad: 26,28,34,74,77-78, deducción, de transformación): 21- 86,233 22, 24-28, 34, 38, 41-42, 82, 85, Tautología: 78-79,81,86,92,216,219, 115,149-151,180-181,209,244, 272,306-308, 318,324,326 328-329,332,333 Teorema: -adjunción: 245-246, 248, 251, -de coincidencia: 77 255,260,263,264-265 -de finitud: 96 -de generalización universal: 334, -de Lindstróm: 98 -de Lówenheim-Skolem: 336 -de introducción de la disyunción: 97-98, 102, 115,125 46 Teoría: -de sustitución: 306,318 -de conjuntos: 94, 108, 120-121, - modus ponens: 20-21,64,82,83, 123,127,185-186,191-192,199, 188,195,218,220,243,245-247, 213, 230, 232, 237, 288 - difusos: 325-326,336 251,263-265,306,318,338 - debilitado: 171 -de la argumentación: 153 -de la probabilidad: 227,232 -necesitación: 263,265,306,318 356 INDICE ANAlITICO -de la prueba: 176, 324 -de la suppositio: 55 -de los objetos (de Meinong): 186, 198 -de modelos: 147, 166, 199-200 Tercero excluido o tercio excluso: 27,79, 189, 323, 332, 334, 339 Término: 91, 119, 121 Tesis de Church: 286 Tiempo: 139, 215 ss., 299 -lineal: 218-219 -ramificado: 219 - en el futuro: 220 Tipos (lógicos): 65, 118-120, 124-125 Ulterioridad (relación de): 217-218 Vaguedad: 18, 46, 145, 190-191 Valor veritativo (de verdad): 24, 34-35, 357 42, 50, 67, 72, 74-77, 80, 81, 90, 122, 131-132, 139-140, 215, 299, 313,315,323-326,335,337-340,342 Valuación: 34, 191, 197, 229, 333-334, 339 Variable: 87-89, 92, 100-101, 107, 118-119, 121-122, 125-126, 130, 208, 250, 252, 290 -de predicado: 106-107,113,122, 124, 127 -libre: 89, 92, 94, 107-108, 120, 124, 208 -ligada: 89, 107 Verdad en unaltoda estructura: 81,89-90, 101, 126, 312 Verdad lógica (validez): 19, 23, 27-28, 33-34,78,81,92,95,116,120,127, 140, 211, 249-250, 266, 292, 303, 312-314, 316, 318 INDICE DE NOMBRES Abar, A. A. P.: 19 1 Abe, J.: 19 1,200 Abel, N. H.: 58 Abelardo: 299 Ackermann, W.: 237,262,268,269,286 Adamson, R.: 68 Agazzi, E.: 268 Alberto de Sajonia: 54,55,56,68 Alcántara, L. P. de: 19 1, 198,202 Alchourrón, C. E.: 1 1,67,13 1,133,136, 139- 14 1, 17 1- 174, 18 1, 182 Álvarez, S.: 270 Alves, E. H.: 19 1, 196, 197,200-202 Anderson, A.: 2 10,2 13 Anderson, A. R.: 132, 14 1, 237-238, Baeuerle, R.: 207,2 10,2 13 Bahsoun, J. P.: 2 16,225 Bakker, J. W.: 225 Balbes, R.: 324,347 Balkenills, C.: 18 1-182 Banieqbal, B.: 225 Barba Escrivá, J.: 347 Barringer, H.: 225 Barwise, J.: 99, 102,2 10 Batens, D.: 198,20 1 Bayer, R.: 68 Bazhanov, V. A.: 190, 193,20 1 Becker, O.: 129,14 1,303,320 Belnap,Jr., N. D.: 4 1,47,140,14 1,192, 20 1, 237-238, 24 1, 242, 244-245, 26 1,267-269,309,320,326,344, 24 1-242, 244-245, 26 1, 267-269, 347 309,320,326,344,347 Beltrametti, E.: 236 Bentham, J.: 129, 132, 14 1 Bernays, P.: 185 Beth, E. W.: 84, 102,228 Beuchot, M.: 69 Béziall, J. V.: 193 Birkhoff, G.: 228-229,232,234,236 Birnballm, L.: 147, 182 Black, M.: 156, 182 Blair, H. A.: 200-20 1 Blakey, R.: 68 Blanché, R.: 68 Blok, W.: 192, 197, 198,20 1 Bochenski, l. M. J.: 54-56,68 Bochvar: 324 Anderson, J. M.: 83, 102 Angelis, J. L.: 68 Angsil, H.: 269 Aristóteles: 12,13,26,27,43,49-52,58, 65,68,131,203,2 15,295-300,320, 336 Arlo Costa, H.: 170, 182 Arnauld, A.: 13,57 Arruda, A. l.: 186, 189, 19 1, 197, 200-204,347 Asenjo, F.: 192,20 1 Asher, N.: 207,213 Ashworth, E. J.: 68 Audereau, E.: 2 16,220,225 Avron, A.: 192,20 1,261,268 359 íNDICE DE NOMBRES Boecio: 298,336 Curley, E. M.: 269 Bóhner, Ph.: 54-56,68 Cutland, N.: 288 BolI, M.: 68 Boole, G.: 13,59-61,65,80,102,288 Da Costa, N. C. A.: 67,160,182,186, Boolos, G. S.: 94,102,108,122,128,288 188-192, 194-204, 269, 325-326, 347 Dalgarno, G.: 57 Dalla Chiara, M. L.: 68,193,199,228, 233-234,236 Davidson, D.: 98,102 Davis, c.: 226 De Morgan, A.: 59,79,331 Deaño, A.: 68,83,102 Dedekind, R.: 117 Delgrande, J. P.: 170,182 Demarchi, A.: 322 Descartes, R.: 57 Détouches-Février, P.: 325 Di Prisco, c.: 203 Díaz, J.: 225 Díez y Lozano, B.: 68 Diodoro de Cronos: 53, 56, 67, 215, 298-299 Dishkant, H.: 234,236 Doets, K.: 126,128 D'Ottaviano, 1. M. L.: 160, 182, 189, 191,198,203,326 Doyle, J.: 153,161,162,182-183 Dreben, B.: 288 Dubikajtis, L.: 190,193-194,202 Dugundji, J.: 335 Dummett, M.: 225 Dunn, J. M.: 192,201,203,237,248, 267-269,347 Duns Escoto, J.: 46,47 Dwinger, P.: 324,347 Bottura, P.: 193 Bowne, G. D.: 68 Brachman, R.: 181-182 Brady, R.: 204,261,270 Brandon, R.: 192,204 Bras, M.: 216,225 Bravo Lozano, M.: 68 Brody, B. A.: 68 Broncano, F.: 270 Brouwer, L. E. J.: 67,189,236 Bulygin, E.: 133,136,139,140-141 Bull, R.: 289,303,320 Bunder, M. V.: 193,201 Burgess, J. P.: 215,220,225,268-270 Buridán, J.: 56 Burleigh, W.: 56 Buschbaum, A.: 200-201 Cantor, G.: 127,185 Caorsi, C. E.: 192 Carnap, R.: 19-20,22-23,38,47,63, 134, 141,292-294,301,303-304, 320 Carnielli, W. A.: 191,195,198,200-202, 204 Carnota, R. J.: 170-171, 182 Carrión Wam, R.: 69 Castañeda, H. N.: 67 Cayley, A.: 58 Cenáculo, M. do: 68 Chellas, B.: 318,320 Chuaqui, R.: 190,192,200-203 Church, A.: 63,117,269,275,286,288, 294,320,327 Cicerón: 298 Cignoli, R.: 324,347 Clark, R.: 162,182 Cocchiarella, N.: 219,225 Cohen, M.: 151,182 Cohen, R.: 236 Cooper, R.: 99,102 Copeland, B. J.: 269 Coradeschi, S.: 193 Cornubia, J. de: 332 Cresswell, M. J.: 207,210,212-213,222, 225-226,289,304-305,312,318, 320-321 Ebbinghaus, H.: 94,102 Einstein, A.: 235 Emerson, E. A.: 225 Enderton, H. B.: 94,102-103,108,126, 128 Enjalbert, P.: 216,220,225 Enriques, F.: 68 Epstein, R. L.: 192,201,203,347 Eubúlides: 53 Euclides: 58,59 Fariñas del Cerro, L.: 216,220,225 Ferreira da Silva, V.: 68 Ferrer, V.: 56 Feys, R.: 303,320 360 íNDICE DE NOMBRES Fidel, M.: 192,203 Halpern,].: 210-211,213 Filón de Megara: 53,56,64,299 Hamilton, W.R.: 58-59 Fine, K.: 248,267,269 Hansson, B.: 169,171,182 Finkelstein: 235-236 Hardegree, G.: 233,236 Fisher, M.: 225 Harms, F.: 68 Flaistad, G.: 268 Hart, H. L. A.: 141 Flum, J.: 94, 102 Hartshorne, c.: 103 Fq,lIesdal, D.: 129,141 Hass: 207 Font,]. M.: 269 Hayes, P.: 143-144,183 Forbes, G.: 295,320 Hedenius: 132 Fraenkel, A. A.: 185-186,288 Hegel, G. W. F.: 186,189,193 Franck, A.: 68 Frege, G.: 12-13,25,28-29,49,62-66, 69,82-83,89,99, 103,110,185 Henkin, L.: 95,124-125,128,197,220, 254 Heráclito: 189,323,336 French, S.: 192,199 Hermes, H.: 236,278,288 Freund, M. A.: 213 Heyting, A.: 28,189,203-204,325 Fuhrmann, A.: 182-183,203 Hilbert, D.: 19,66,82,231,234 Gabbay, D.: 103, 128, 165-168, 182, 213,220,225-226,236,269,320, 322,348 Hilpinen, R.: 129,141,181-183 Hintikka,].: 28,84,102-103,209-210, 212-213,304,320-321 Hobbs,].: 214 Galeno: 52 Hodges, W.: 82,84,98,103 Galois, E.: 58 Hodkinson, T.: 225 Gallaire, H.: 182 Hooker, C. A.: 236 Garda de la Sienra, A.: 68 Hopcroft, J.: 205,214 Gardenfors, P.: 172-174,181,182-183 Horn: 158,162,177 Garrido, M.: 83,103 Hughes, G. Garson, ].: 320 E.: 222, 225-226, 289, 304-305,312,318,320-321 Geach, P. Th.: 68 Husserl, E.: 13 Gelfond, M.: 177,182 Gentzen, G.: 38-40,47,83,84,103,140, Israel, D.: 179 192 Ginsberg, M.: 154,182 Jané, T.: 98,103,127-128,207,214 Glivenko, V.: 344 Jansana, R.: 304, 318-321 Gadel, K.: 20,28,65-67,69,95-96,103, Jaskowski, S.: 160, 190-191, 193-194, 117,185,276,287-288,303,320, 202-203,324 325-326 Jauch, J. M.: 232,236 Goldblatt, R.: 225,233-234,236,304, Jeffrey, R. c.: 94,102,108,128,288 319-320 Johannsson, l.: 262 Goldfarb, W.: 288 Johnstone, H. W.: 83 Gouch, G.: 225 Jq,rgensen, J.: 35-36,42,130-131,139 Grana, N.: 189,193,199,203 Grice, P. : 81,103 Kalinowski, G.: 129,132,141 Guccione, S.: 348 Kalish, D.: 83,103 Guenthner, F.: 103,128,213,225-226, Kalmar, L.: 287-288 236,269,320,322,348 Guillaume, M.: 193 Kamp, H.: 207,213,226 Guillermo de Ockham: 56 Kanger, S.: 28,304,321 Guillermo de Shyreswood: 56,299 Kant, T.: 12,58,68 Guttenplan, S.: 83,103 Kaplan, D.: 295,321 Karpenko, A. S.: 193,203 Haak, S.: 67-68,225,325,348 Kelsen, H.: 132 Hacking, 1.: 269 Kelley: 185 361 INDICE DE NOMBRES Kleene, S. c.: 196,203,324,331,332, 334 Magidor, M.: 168,171,182 Makim, M.: 226 Klimovski, G.: 67 Makinson, D.: 11,39, 166, 167, 168, Klug, U.: 132 172-174,181-183 Kneale, M.: 52-53,57,69,298-300,321 Malinowski, G.: 324,348 Kneale, W.: 52-53,57,69,298-300,321 Mally, E.: 129,141 Kneebone, G. T.: 69 Manna, Z.: 226 Knuuttila, S.: 129,141,299-300,321 Mannoury: 230 Kochen, S.: 232,236 Manzano, M.: 97, 103 Kolmogoroff, A. N.: 262 Marconi, D.: Konolige, K.: 212,214 160, 189, 191, 193, 203-204 Koons, R.: 207,214 Markov, A. A.: 286 Kortabinski, T.: 69,348 Marques, M. L.: 200,202 Kotas, J.: 190,193-194,203 Martin, E. P.: 269-270 Kowalski, R.: 216,226 Martino, A. A.: 11,131,140-141 Kraus, S.: 168,171,182 Martín Vide, c.: 348 Krause, D.: 191 Marx, K.: 189 Kripke, S.: 28-33, 194, 211, 227, 234, Mates, B.: 83,103,226 294-296,301,304,312,314-318, McArthur, R. P.: 219,225 321 McCall, S.: 69,300,321,348 McCarthy, J.: 143-144, 155, 162-163, Langford, C. H.: 240,268-269,302,321 167,183 Largeault, J.: 69 McCulloch, W. S.: 146 Leblanc, H.: 269-270 McDermott, D.: 161-162,183 Lehman, D.: 168,171,182 McKinsey: 234 Leibniz, G. W.: 57-58,64,129,206,303, McRobbie, M. A.: 270 312-313 Meinong, A.: 186,193,198,204 Lemmon, E. J.: 132,141,218,304,321 Meltzer, B.: 183 Lenzen, W.: 207-209,214 Mendelson, E.: 306,321 León, J. c.: 226 Méndez, J. M.: 261,269,324,348 Levesque, H.: 148,157,176,181,183, Menne, A.: 269 212,214 Mercado, T. de: 69 Lewin, R. A.: 192,198,203 Mersenne, M.: 57 Lewis, C. 1.: 28-30,32,39,53,67,69, Meyer, R. K.: 191,193,204,248,261, 190,194,238,239-242,244,246, 269,270,344,348 261,267-269,295,300-302,321 Michie, D.: 183 Lewis, D.: 122,128,169,183,347 Mikenberg,1. F.: 192,198,203 Lifschitz, V.: 177,182 Mili, J. S.: 11, 14,151 Lindenbaum: 191, 197, 221, 228, 230, Minker, J.: 182 233,236,255,327,338,346 Minsky, M.: 151-153,155,159,183 Lindstróm, P.: 98,103 Miró Quesada, F.: 68-69,192 Llull (Lulio), R.: 57,323 Lób, M. H.: 319 Moisil, G.: 324,348 Lobachevski, N. 1.: 59 Monk, D.: 288 Loparic, A.: 191 Montague, R.: 83,207,210,214 Loux, J.: 210,214 Monteiro, A.: 324 Lówenheim, L.: 97-98,102-103,115,125 Moore, R.: 162,183,214 Morado, J. R.: 270 Lukasiewicz,J.: 27,65,67,69,189,190, Moraes, L. de: 191 203,232, 324-326, 340,346,348 Morreau, M.: 182-183 MacColl, H.: 301,321 Morris, Ch.: 47 Mackay, D.: 69 Morse, A. P.: 288 362 rNDICE DE NOMBRES Mortensen, c.: 191,193,198,204,270 Prior, A. N.: 41,47,130,132,140-141, Moses, Y.: 210-211, 213 215, 219, 226 Mosterín, J.: 68, 83, 103, 207, 214 Puga, L. Z.: 191, 204 Mostowki, A.: 69, 117, 128 Putnam, H.: 235-236 Muguerza, J.: 69 Muñoz, A.: 56 Quesada, D.: 206, 214, 289, 312, 321 Muñoz, J.: 104 Quine, W. V. O.: 45, 47, 83, 98, 103, 123, 185, 207-208, 214-215, 226, Nagel, E.: 151, 182 292-295, 320, 321 Narski, 1. S.: 193 Quintanilla, M. A.: 270 Neale, S.: 88,99, 103 Nelson, D.: 192, 204 Raggio, A. R.: 67, 192, 204 Neumann,]. von: 185,228-229,232,234 Rantala, V.: 212, 214 Neurath, O.: 47 Rapaport, W. J.: 148 Newell, A.: 145-147,183 Rasiowa, H.: 230, 236, 324, 348 Nicolás de Cusa: 323 Rautenberg, W.: 324, 348 Nicole, P.: 13, 57 Read, S.: 270 Nidditch, P. H.: 69 Reguera, J.: 104 Nilsson, N.: 147, 183 Reichenbach, H.: 232-233, 236, 325 Nishimura, H.: 226 Reinhart, J.: 68 Norman, ].: 189, 192, 204, 270 Reiter, R.: 162, 164, 167, 183 Nute, D.: 171 Rescher, N.: 204,219,226,323,325,348 Orayen, R.: 68,211,214,270,292-293, 321 Reynolds, M.: 225 Reimann, G. F. B.: 59 Rijk, L. M. de: 69 Owens, R.: 225 Risse, W.: 69 Robert, W.: 69 Parry, W.: 303, 321 Robinson, A.: 117, 128 Partee, B.: 210, 214 Robles, ]. A.: 69 Patzig, G.: 69 Ródig: 132 Peacock: 58 Roever, W. P.: 225 Peano, G.: 64, 288 Rogers, H., Jr.: 288 Pedro Hispano: 56, 69 Ross, A.: 132 Peirce, Ch. S.: 45, 65, 78, 103, 323 Ross, W. D.: 156, 183, 298 Peña, L.: 68, 193, 204, 216, 226, 270, Rosser, J. B.: 326, 347 271, 326, 327, 335, 348 Routley, R.: 189,191-193,204,248,252, Pequeno, T.: 160, 183,201 255,261,269-270,340 Perlis, D.: 207,214 Rozemberg, G.: 225 Perry, ].: 210 Russell, B.: 26,53,62-63,65-66,68-69, Petrov, S.: 193 83, 104, 127-128, 185-186, 198, Pigozzi, D.: 192, 197,201 299, 322 Pinter, c.: 191 Piron, c.: 236 Pitts, W. H.: 146 Sacristán, M.: 68, 83, 103, 321 Platón: 54-55, 323 Sainsbury, M.: 295, 322 Plumwood, V.: 204,261,270 Sánchez Pozos, J.: 68 Pnueli, A.: 216, 226 Santos, L. H. dos: 191 Poole, D.: 175, 183 Scarpellini, B.: 326 Popper, K. R.: 20, 186 Schank, R.: 145 Post, E.: 20, 28, 65, 286, 324 Scholz, H.: 69 Prantl, c.: 69 Schwarze, M. G.: 192, 198, 203 Priest, G.: 188-189, 192,193,204 Scott, D.: 270, 304 363 INDICE DE NOMBRES Segerberg, K.: 223, 226, 289, 303-304, Touretzky, D.: 162,183 319-320,322 Sergot, M.: 216,226 Sette, A. M.: 190,192,198,201,203-204 Sexto Empírico: 53 Shapiro, S.: 123, 128,170,182,213 Shearmann, A. Th.: 69 Shoham, Y.: 166-167, 170, 175, 177, 183, 226 Silva, W. da: 191 Simon, H.: 146-147,183 Simpson, Th. M.: 11,320-322 Sito, N.: 68 Skolem, T.: 20,28,97-98,102-103,115, 125 Slupecki, J.: 323 Smirnov, W.: 190, 193 Smolenov, H.: 193 Smullyan, R.: 84, 94, 103 Sobocinski, B.: 303, 324 Sócrates: 50, 54-55 Specker, E. P.: 232, 236 Srinivisan, J.: 225 Stachow: 233,236 Stone: 325, 331 ss., 344 Strauss, M.: 232, 236 Strawson, P. F.: 47, 81, 103, 226 Subrahmanian, V. S.: 160,182,200-201, 204,325,347 Sundholm, G.: 82, 103 Suppes, P.: 83,103 Sylvan, R. (antes R. Routley): 237,270, 326, 348 Trillas, E.: 325,349 Turing, A. M.: 275-286, 288 Turquette, A. R.: 326,348 Ullman, J.: 205,214 Urbas, l.: 196, 204, 326, 349 Urquhart, A.: 219,226,248,267,270, 324-326,348 Vago, c.: 200, 325, 347 Valdés, M.: 321 Valverde, L.: 325, 349 Van Benthem, J.: 126, 128, 226, 304, 319, 322 Van Evra, J. W.: 69 Van Fraassen, B. c.: 228, 230, 236 Van Heijenoort, J.: 69, 103-104 Van Rijen, J.: 298, 300, 322 Vardi, M.: 214 Varlet, J.: 324,349 Vasilev, N. A.: 189-190,200-201,204 Vuillemin, J.: 69 Wajsberg, M.: 324 Wartofsky, M.: 236 Weinberger, c.: 137, 141 Weinberger, O.: 134, 137, 140-141 Whitehead, A. N.: 63,65,83,104,300, 322 Wilheltn, A.: 269 Wilkins, J.: 57 Wittgenstein, L.: 20,28,40,65,78,104 Wolf, R. c.: 186, 192, 203 Tamburino, J.: 192, 201 Tarski, A.: 15-16,18-20,23 31 36-40 Wolper, P.: 226 47,91,103-104,117,12 8 ,140,150 165,183,191,198,228,230,233, 234,346 Tennant, N.: 261, 270 Thayse, A.: 216, 226 Thomas, W.: 94, 102 Thomason, R. H.: 143,207,226 Thomson, J. F.: 81, 104 Tomás de Aquino: 56, 299-300, 322 : Wright, G. H. von: 27-28,47, 129-133, 135,140-141,169,183,207,268, 303, 322,349 Zadeh, L.: 325, 349 Zanardo, A.: 220, 226 Zermelo, E.: 185, 186, 288 Ziehen, Th.: 69 Zorn: 255-256, 259, 341 364 NOTA BIOGRÁFICA DE AUTORES Carlos Eduardo Alchourrón (Buenos Aires, Argentina, 1931), es especialista en lógica y en filosofía del derecho, desarrollando su labor académica en la Universidad de Buenos Aires. Autor, en colaboración con E. Bulygin, de Normative Systems (1971) y Análisis lógico y Derecho (1991). Eugenio Bulygin (Colomb, Rusia, 1931) ejerce la docencia en la Universidad de Buenos Aires, donde se ha especializado en filosofía del derecho. Es autor, entre otras, de las siguien­ tes obras: Naturaleza jurídica de la letra de cambio. Un ensayo de análisis lógico de con­ (1961), Normative Systems (en colaboración con C. Alchourrón) (1971), (1975), Sobre la existen­ cia de las normas jurídicas (1979), Análisis lógico y Derecho (1991). ceptos jurídicos Introducción a la metodología de las ciencias jurídicas y sociales RaúlJorge Carnota (Buenos Aires, Argentina, 1949), especialista en inteligencia artificial, lógicas no-monótonas y revisión de creencias, ejerce la docencia en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad de Buenos Aires. Es autor, entre otras, de las siguientes publica­ (1986), Sistemas expertos y representación del cono­ (1988), Non monotonic Preferential Models and Conditional Logic (1989), Modus Ponens condicional y lógicas no-monótonas (1992). ciones: Inteligencia Artificial aplicada cimiento Newton C. A. da Costa (Curitiba, Brasil, 1929), profesor del Departamento de Filosofía en la Universidad de Sao Paulo donde imparte enseñanzas de lógica, teoría de la ciencia y fundamentos de la física. Autor de numerosos artículos en revistas y medios especializa­ (1978), Mathematical Logic in (1980), Lógica Indutiva e Probabilidade (1993), Essai sur les Fondements de la Logique (1994). dos así como de las siguientes obras: Mathematical Logic Latin America Max Freund Carvajal (Costa Rica, 1954), es profesor del Departamento de Filosofía en la Universidad Nacional de Costa Rica y experto en lógica modal y lógica de segundo orden. Entre sus publicaciones en medios especializados se encuentran: Consideraciones lógico­ (1991), Un sistema lógico (1992), "[he relative consistency of System RRC"· and some of its extensions (1994). epistémicas relativas a una forma de conceptualismo ramificado de segundo orden conceptualista con operadores lambda ramificados 365 NOTA BIOGRÁFICA DE AUTORES Ignacio Jané Palau (Tarragona, España, 1945), es profesor del Departamento de Lógica, Historia y Filosofía de la Ciencia en la Universidad de Barcelona. Entre sus publicaciones se hallan: Álgebras de Boole y Lógica (1989), A critical appraisal of secand-order logic (1993). Sergio F. Martínez Muñoz (Ciudad de Guatemala, Guatemala, 1950), es investigador de historia y filosofía de las ciencias naturales en el Instituto de Investigaciones Filosóficas de la Universidad Nacional Autónoma de México. Entre sus publicaciones en medios especia­ lizados se encuentran: A search for the physical cantent of Liiders Rule (1990), La objetivi­ dad del azar en un mundo determinista (1990), El azar objetivo camo medida matemática de desorden (1990), Liiders Rule as a description of individual state transformations (1991). José Manuel Méndez Rodríguez (Reinosa, España, 1955), catedrático de lógica de la Facul­ tad de Filosofía de la Universidad de Salamanca, está especializado en lógicas no-clásicas. Autor habitual en revistas y medios especializados con títulos como: A Routley-Meyer sernan­ tics for Converse Ackermann Property (1987); A xioamatizing E .... and R .... with A nderson and Benalp's «strong and natural list of valid entailments» (1987), The campatibility of rele­ vance and mingle (1988), Converse Ackermann Property and semiclassical negation (1988). Jesús Mosterín Heras (Bilbao, España, 1941) es especialista en lógica, filosofía de la cien­ cia, teoría de la información y teoría de la racionalidad, desarrolla la docencia en el Depar­ tamento de Lógica, Historia y Filosofía de la Ciencia de la Universidad de Barcelona. Entre otros títulos, ha publicado: Lógica de Primer Orden (31983), Conceptos y teorías en la ciencia (1987), Filosofía de la cultura (1993), Teoría de la escritura (1993). Raúl Orayen, especialista en lógica, filosofía de la lógica y de la matemática, es investiga­ dor del Instituto de Investigaciones Filosóficas de la Universidad Autónoma de México. Además de numerosos artículos, ha publicado La ontología de Frege (1971) y Lógica, sig­ nificado y ontología (1989). Lorenzo Peña Gonzalo (Alicante, España, 1944) es investigador en las áreas de lógica y metafísica en el Instituto de Filosofía del CSIC (Madrid). Entre sus publicaciones se encuen­ tran: El ente y el ser: un estudio lógico-metafísico (1985), Fundamentos de ontología dia­ léctica (1987), Rudimentos de lógica matemática (1991), Hallazgos filosóficos (1992), Intro­ ducción a las lógicas no-clásicas (1993). José Daniel Quesada Casajuana (Barcelona, España, 1947), es especialista en lógica y filo­ sofía de la ciencia, disciplina que imparte en la Universidad Autónoma de Barcelona. Autor de La Lógica y su Filosofía (1985), así como de numerosos artículos y colaboraciones en obras colectivas y revistas especializadas. José Antonio Robles Carda (México, D. F., México, 1938), es investigador del Instituto de Investigaciones Filosóficas de la Universidad Nacional Autónoma de México, especia­ lista en historia de la filosofía y experto en la filosofía de los siglos XVII y XVIII. Cuenta, entre otros, con los siguientes títulos publicados: Ceorge Berkeley: Comentarios filosófi­ cos y Estudios berkeleyanos (1990). Margarita Vázquez Campos (La Coruña, España, 1961), es especialista en lógica tempo­ ral y teoría y dinámica de sistemas y desarrolla su labor académica en la Facultad de Filo­ sofía de la Universidad de La Laguna. Autora, en colaboración, de los siguientes libros: Computer-based management of complex systems (1989) Y Conjuntos y proposiciones (Ejer­ cicios de teoría intuitiva de conjuntos y lógica clásica de proposiciones) (1990). 366