Metodi matematici della meccanica quantistica

Metodi Matematici della Meccanica Quantistica Paolo Caressa, Roma, 1994 PREMESSA Questo libro origina dalla rielaborazione degli appunti di lezione da me presi durante il corso Meccanica quantistica tenuto dal prof. Sergio Doplicher presso l’istituto matematico G. Castelnuovo di Roma I nell’A.A.1993/94: gli appunti delle lezioni corrispondono grosso modo alla seconda parte ed agli ultimi tre capitoli della terza parte, mentre il restante materiale è una aggiunta di nozioni più o meno preliminari prese dalla letteratura classica e da me rielabolate: in particolare mi sono posto l’obiettivo di dimostrare ogni nozione introdotta, partendo dagli assiomi della teoria degli insiemi. Va da sé che anche la parte originata da appunti è stata rielaborata e che questi non rappresentano né lo stile, né l’erudizione, né l’ecletticità delle lezioni del professor Doplicher, che queste note non possono e non intendono sostituire: questa versione più o meno definitiva si mette liberamente a disposizione per uso personale o didattico ma senza fini di lucro (una versione preliminare è circolata per anni, specie fra gli studenti di Roma I). Questo libro non rappresenta un testo didattico o una introduzione ai metodi matematici della fisica: non ci sono esercizi e l’esposizione è mirata a raggruppare logicamente le nozioni più che a suddividerle affinché siano più facilmente apprese. Piuttosto può essere impegato come un testo di riferimento da quanti abbiano la necessità di utilizzare il macchinario matematico (o meglio parte di esso) fondamentale per la meccanica quantistica, in particolare la teoria algebrica dei campi. La mia intenzione è che questo libro possa essere un utile vademecum per studenti di matematica, fisica, chimica e altre materie scientifiche, a complemento di testi didatticamente più appropriati: la prima parte è un rapido riassunto di nozioni matematiche fondamentali ma che generalmente non si affrontano, o almeno non completamente, nei corsi istituzionali del primo anno o primo biennio di una facoltà scientifica. La seconda parte costituisce un corso di analisi funzionale (orientato alle algebre di operatori e non alle equazioni a derivate parziali). La terza parte introduce il concetto di simmetria attraverso l’esplorazione della teoria dei gruppi topologici e di Lie, ed è seguita da alcune applicazioni alla meccanica quantistica dei sistemi in finiti gradi di libertà ed alla teoria dei campi liberi (seconda quantizzazione). In particolare non si discute in modo sistematico la meccanica quantistica se non nei suoi tratti elementari: non si troveranno né rinormalizzazione, né QED, né stringhe, etc. Nella bibliografia alla fine del volume sono elencati solo i titoli consultati nella preparazione delle presenti note: ai testi specialistici sono rinviati i lettori desiderosi di una bibliografia coerente sull’argomento. Ovviamente errori, refusi, incongruenze e quant’altro sono responsabilità del sottoscritto: potevano essercene di più, se Tommaso Addabbo, Sebastiano Carpi, Roberto Conti, Ezio Vasselli ed altri (che ringrazio) non me ne avessero segnalato qualcuno in precedenti versioni. Paolo Caressa Queste note in formato elettronico sono a disposizione di chiunque voglia farne uso, purché non a fini di lucro: precisamente possono essere copiate, alterate e ridistribuite sia in parte che totalmente in modo libero purché questo non comporti nessun guadagno, ma solo per uso personale o per fini didattici. Indice I Prolegomeni di Algebra, Analisi e Topologia 1 Insiemi 1.1 Un sistema di assiomi . . . . . 1.2 Ordinamento e Lemma di Zorn 1.3 Numeri ordinali e cardinali . . 1.4 Categorie e funtori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Topologie 2.1 Spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Spazi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Spazi normali e generalizzazioni della compattezza 2.4 Spazi connessi e localmente connessi . . . . . . . 2.5 Spazi semplicemente connessi . . . . . . . . . . . 3 Metriche 3.1 Spazi metrici . . . . . . . 3.2 Spazi metrici completi . . 3.3 Categorie di spazi metrici 3.4 Spazi metrici compatti . . 3.5 Teorema di Ascoli–Arzelà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Misure 4.1 Algebre di insiemi e spazi di misura . . . . . . 4.2 Completamenti ed estensioni di misure . . . . . 4.3 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Misure con segno, complesse e misure prodotto. 4.5 Misure di Borel, Radon e integrale di Stieltjes. 4.6 Spazi Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 9 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 32 38 44 49 . . . . . 57 57 62 68 71 75 . . . . . . 81 81 86 91 99 108 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Gruppi, algebre e rappresentazioni 118 5.1 Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 vi 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 II Azioni di gruppi . . . . . . . . . . . . Rappresentazioni di gruppi . . . . . . Algebra di gruppo . . . . . . . . . . . Algebre associative . . . . . . . . . . . Appendice: Cenni di algebra tensoriale 5.6.1 Algebra tensoriale . . . . . . . 5.6.2 Algebra simmetrica . . . . . . 5.6.3 Algebra esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analisi Funzionale 6 Spazi normati ed operatori lineari 6.1 Spazi di Hilbert e di Banach . . 6.2 Somme e complementi ortogonali 6.3 Funzionali lineari . . . . . . . . . 6.4 Operatori lineari . . . . . . . . . 6.5 I tre principi di Banach . . . . . . . . . . . . . 123 129 141 147 157 157 161 165 173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 . 175 . 182 . 187 . 191 . 198 7 Spazi di Hilbert e teoria di Fourier 7.1 Basi ortonormali negli spazi di Hilbert . . . . . . . 7.2 Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert . . . 7.3 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Integrale di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 . 208 . 213 . 220 . 228 8 Spazi vettoriali topologici 8.1 Topologie e seminorme . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Dualità e topologie deboli . . . . . . . . . . . . 8.3 Compattezza e convessità . . . . . . . . . . . . 8.4 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Trasformata di Fourier di funzioni differenziabili 8.5.1 Appendice: l’integrale di Gauss . . . . . 8.6 Distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 . 281 . 288 . 298 . 306 . 313 . 319 9 Algebre di Banach e C*-algebre 9.1 Algebre di Banach . . . . . . . . . . . . 9.2 L’algebra C(X) . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Spettro e risolvente . . . . . . . . . . . 9.4 Morfismi e quozienti . . . . . . . . . . . 9.5 Teorema di Gel’fand–Najmark . . . . . 9.6 Appendice: elementi di analisi complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 236 242 248 254 263 270 272 9.6.1 9.6.2 9.6.3 9.6.4 Funzioni e integrali complessi Sviluppi in serie di potenze . Continuazione Analitica . . . Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Teoria spettrale 10.1 Teorema della Mappa Spettrale . . . . . . . . . 10.2 Calcolo funzionale continuo . . . . . . . . . . . 10.3 Calcolo funzionale boreliano . . . . . . . . . . . 10.4 Misure spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 11 Algebre di von Neumann 11.1 Misure e Rappresentazioni . . . . . . . 11.2 Sottoalgebre commutative massimali in 11.3 Topologie ultradeboli e ultraforti. . . . 11.4 Teoremi di Densità . . . . . . . . . . . 11.5 Cenni sulla teoria dei fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 324 329 333 . . . . . 340 . 340 . 349 . 357 . 365 . 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 . 391 . 402 . 411 . 418 . 426 12 Teoria delle rappresentazioni 12.1 Irriducibilità di rappresentazioni . . . . . . . . 12.2 Stati e rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . 12.3 Il teorema di Gel’fand–Najmark–Segal . . . . . 12.4 Stati puri e rappresentazioni irriducibili . . . . 12.5 Rappresentazioni di operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 . 479 . 487 . 494 . 499 . 506 13 Operatori non limitati 13.1 Chiusura di operatori . . . . . . 13.2 Estendibilità di operatori . . . . 13.3 Un esempio: la derivata in L2 [0, 1] 13.4 Teoria delle perturbazioni . . . . 13.5 Un esempio: Il laplaciano in R3 . III . . . . . . . . . . . . . . . . . . B(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppi, Operatori e Quantizzazione 14 Gruppi topologici 14.1 Gruppi topologici e misure di Haar . . . . . 14.2 Gruppi compatti e rappresentazioni . . . . 14.3 Gruppi a un parametro e teorema di Stone 14.4 Vettori analitici . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Gruppi commutativi e dualità di Pontriagin . . . . . 431 431 441 452 463 472 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 . 515 . 522 . 533 . 548 . 554 15 Gruppi classici 15.1 Gruppi di matrici. . . . . . . . 15.2 Semplice connessione e Spin . . 15.3 Esponenziale di matrici . . . . 15.4 Coordinate canoniche sui gruppi 15.5 Varietà differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 . 561 . 568 . 576 . 583 . 589 16 Gruppi e algebre di Lie 16.1 Gruppi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Funtore di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Algebre di Lie, rappresentazioni e coomologia 16.4 Teorema di Nelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 595 599 612 625 17 Sistemi quantistici 17.1 Stati ed osservabili . . . . . 17.2 Gruppi di simmetria . . . . 17.3 Rappresentazioni del gruppo 17.4 Equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 630 640 651 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . riducibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 667 673 680 685 19 Seconda quantizzazione 19.1 Prodotti tensoriali e limiti induttivi. . . . . . . 19.2 Rappresentazione di Fock . . . . . . . . . . . . 19.3 Caratterizzazioni della rappresentazione di Fock 19.4 Teorema di Gårding–Wightman . . . . . . . . . 19.5 Sul concetto di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 694 703 710 718 723 . . . . . . . . . . . . . . . classici . . . . . . . . . . . . . . . . . di Lorentz . . . . . . 18 Quantizzazione canonica 18.1 Formalismo canonico . . . . . . . . 18.2 Rappresentazione di Schrödinger . 18.3 Teorema di Stone–von Neumann . 18.4 Regole di commutazione e completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parte I Prolegomeni di Algebra, Analisi e Topologia Capitolo 1 INSIEMI Il concetto di insieme è cosı̀ generale che non ha senso cercare di definirlo in termini di nozioni più semplici: quindi si darà qui una caratterizzazione assiomatica degli insiemi, scrivendo dei postulati che generalizzino ciò che alla nostra intuizione si presenta come “famiglia”, “aggregato” o generica “collezione” di oggetti. Per evitare i paradossi della teoria ingenua degli insiemi distingueremo fra classi ed insiemi immaginando intuitivamente che le classi siano insiemi cosı̀ grandi da non poter figurare come elementi di altri insiemi. 1.1 Un sistema di assiomi Introduciamo alcuni assiomi1 per determinare il concetto di classe: supponiamo di avere solo, oltre al concetto indefinibile di classe, un altro concetto primitivo, vale a dire la relazione di “inclusione” x∈y che interpretiamo come l’appartenenza dell’elemento x alla classe y. Il primo assioma stabilisce il legame fra il concetto logico di uguaglianza e quello insiemistico di appartenenza: intuitivamente equivale a dire che un insieme è determinato dagli elementi che gli appartengono, e da null’altro: Assioma 1. (di estensionalità) Se A e B sono classi allora A = B se e solo se A e B hanno gli stessi elementi. Volendo questa può essere presa come una definizione della relazione di uguaglianza in termini di appartenenza: ovviamente, a meno che non si lavori come fanno i logici con i linguaggi al primo ordine, si può definire l’uguaglianza come un concetto logico, seguendo Leibniz: Principio di identità degli indiscernibili. Se A = B allora per ogni proprietà P si ha P (A) ⇐⇒ P (B). 1 Si tratta sostanzialmente dell’assiomatica proposta da J. von Neumann, K. Gödel, e P. Bernays. 1 2 Capitolo 1. Insiemi Quest’ultimo è uno schema di assiomi , perché da esso si può desumere un assioma data una qualsiasi proposizione2 P (x) che contenga una variabile libera x. Quando tutti gli elementi di una classe A sono anche elementi di una classe B scriviamo A ⊂ B: questo si può definire come 1.1.1 Definizione A ⊂ B se e solo se per ogni x∈A si ha pure x ∈ B. Se A ⊂ B e B ⊂ A allora le classi sono uguali: A = B; in vista del prossimo assioma la seguente definizione è cruciale: 1.1.2 Definizione Una classe A è un insieme se esiste una classe B tale che A ∈ B. Il secondo assioma è appunto uno schema di assiomi Assioma 2. (di formazione delle classi) Esiste una classe i cui elementi sono esattamente gli insiemi che soddisfano la proposizione P (X). Si noti che la classe la cui esistenza è postulata dall’assioma 2 è formata dagli insiemi e non dalle classi che soddisfano P . 1.1.3 Esempio Esibiamo una classe che non è un insieme: si consideri la proposizione P (x) definita come x ∈ / x (il segno ∈ / è la negazione dell’appartenenza: cioè x ∈ / y se e solo se non è vero che x ∈ y); allora possiamo formare la classe R degli insiemi tali che P (x): cioè R contiene gli insiemi x tali che x ∈ / x; si noti che questa classe è univocamente determinata (assioma di estensionalità) ma non può essere un insieme: supponiamo infatti che R sia un insieme: allora possiamo chiederci se R ∈ R e questo è vero se e solo se P (R) cioè se e solo se R ∈ / R: un assurdo. Quindi R non è un insieme. La classe postulata dall’assioma 2 si denota {x | P (x)} Ad esempio la classe vuota si può definire come ∅ = {x | x 6= x} Che questo sia un insieme, dobbiamo peró assumerlo assiomaticamente.3 2 In una trattazione rigorosa bisognerebbe definire il concetto di “proposizione” e caratterizzare quelle che si possono utilizzare per generare istanze di questo schema di assiomi; in questo caso supporremo che le nostre proposizioni siano formate con i quantificatori ∀, ∃ ed i soliti operatori logici usati in matematica (e, o, implica, se e solo se)... ed impiegati per connettere termini che siano altri predicati, negazioni di altri predicati o relazioni della forma t = s o Y ∈ X. 3 Si potrebbe obiettare che la classe ∅ è elemento della classe {∅} (la classe che ha come elemento esattamente l’insieme vuoto): ma per formare questa classe, dobbiamo sapere che ∅ sia un insieme. 1.1. Un sistema di assiomi 3 Assioma 3. La classe ∅ è un insieme. L’unione e l’intersezione sono ovviamente A ∪ B = {X | X ∈ A oppure X ∈ B} e A ∩ B = {X | X ∈ A e X ∈ B}. In generale definiamo unione e intersezione di una famiglia di insiemi (“famiglia” è un altro sinonimo di “classe”) come [ [ Ai = {Ai }i∈I = {X | ∃i ∈ I X ∈ Ai } i∈I \ Ai = \ {Ai }i∈I = {X | ∀i ∈ I X ∈ Ai } i∈I Osserviamo che in queste costruzioni otteniamo in generale delle classi. Per garantire che questi procedimenti diano luogo ad insiemi, dobbiamo imporre qualche altro assioma. Assioma 4. Se A e B sono insiemi allora {A, B} è un insieme. Assioma 5. Se A è un insieme e B ⊂ A allora B è un insieme. T Dato che si dimostra facilmente che, se j ∈ I allora i∈I Ai ⊂ Aj , questo assioma implica ad esempio che l’intersezione di una famiglia qualsiasi di insiemi S è un insieme. Per l’unione, vale invece la relazione j ∈ I ⇒ Aj ⊂ i∈I Ai e quindi non si può usare l’assioma 5. S Assioma 6. Se A è un insieme di insiemi allora l’unione A è un insieme. Se A è un insieme, è naturale considerare l’insieme delle parti di A, ovvero la classe dei suoi sottoinsiemi: è pure naturale imporre che si tratti a sua volta di un insieme. Assioma 7. Se A è un insieme, allora P (A) = {X | X ⊂ A} è un insieme. L’assioma 2 consente anche la formazione di coppie ed in genere successioni ordinate di elementi: (a, b) = {a, {a, b}} In generale, una n-pla (a1 , ..., an ) si definisce iterando la definizione di coppia. L’insieme di tutte le possibili coppie di elementi di A e B è il prodotto (cartesiano) di A per B: A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B} Se A = B lo denotiamo anche A2 . Ricordiamo che 4 Capitolo 1. Insiemi 1.1.4 Definizione Una relazione fra due classi A e B è una sottoclasse del prodotto A × B. 1.1.5 Definizione Una funzione da A in B è una relazione fra A e B tale che un elemento di B non possa essere in relazione con piú di un elemento di A, cioè se (a, b) ∈ f e (a, c) ∈ f allora c = b. Definiamo Dom(f ) = {a | a ∈ A e ∃b ∈ B b = f (a)} (dominio della funzione f ) e im(f ) = {b | b ∈ B e ∃a ∈ A b = f (a)} (immagine della funzione f ). Notiamo che se A è un insieme, certamente lo è Dom(f ); non è detto che lo sia im(f ). Assioma 8. Se f : A −→ B è una funzione e A è un insieme, allora im(f ) è un insieme. Siamo ora in grado di definire una nozione generale di prodotto Q di insiemi: se {Ai }i∈I è una famiglia di insiemi allora il loro insieme prodotto iI Ai è l’insieme delle funzioni f : I −→ A. Gli assiomi che abbiamo dato implicano che sia un insieme a patto che siaQ gli Ai che I siano insiemi. Se per ogni i ∈ I è Ai = A I allora denotiamo A = i∈I Ai . Nel caso di famiglie qualsiasi, se un prodotto di insiemi non è vuoto, possiamo dire che ognuno degli insiemi che figurano nel prodotto non è vuoto? Per rispondere questo quesito è necessario chiarire il significato della parola “infinito” in teoria degli insiemi. Assioma 9. (assioma dell’infinito) Esiste un insieme U tale che ∅ ∈ U e se u ∈ U allora u ∪ {u} ∈ U . Questo assioma implica l’esistenza di un insieme infinito perché consente, ad esempio, di costruire i numeri naturali. L’insieme postulato da questo assioma contiene almeno un elemento, il vuoto, ma contiene anche l’insieme formato dal vuoto {∅}, ed anche l’insieme {∅, {∅}} e cosı̀ via. Definiamo allora i numeri naturali come 0=∅ 1 = {∅} 2 = {∅, {∅}} ... e quindi l’insieme N dei numeri naturali. Formalmente, basta considerare la classe degli insiemi X tali che ∅ ∈ X e se x ∈ X allora x ∪ {x} ∈ X; l’intersezione di questa classe è l’insieme N. 5 1.1. Un sistema di assiomi Ora dimostriamo che si tratta esattamente dei numeri naturali, cioè che N soddisfa gli assiomi di Peano. Intanto 0 = ∅ ∈ N. Poi, definiamo n + 1 come n ∪ {n} e lo chiamiamo il successore di n; in questo modo se n ∈ N allora n + 1 ∈ N ed è ovvio che 0 non è mai della forma n + 1 per qualche n ∈ N. Inoltre abbiamo che: ∀n, m ∈ N n+1=m+1⇒n=m Infatti n + 1 = n ∪ {n} e quindi n + 1 = m + 1 implica n ∪ {n} = m ∪ {m} cioè, per ogni x ((x ∈ n oppure x ∈ {n}) ⇐⇒ (x ∈ m oppure x ∈ {m})), il che è vero se e solo se x = n = m oppure n e m hanno gli stessi elementi e quindi ancora n = m. Infine vale il principio di induzione matematica: ∀N ⊂ N 0 ∈ N e (∀x ∈ N x + 1 ∈ N) ⇒ N = N Infatti l’insieme N è l’intersezione della classe degli insiemi che soddisfano le ipotesi del principio di induzione, quindi N ⊂ N . Abbiamo in questo modo i numeri naturali, ciascuno dei quali è un insieme. Allora, ricordando la seguente 1.1.6 Definizione Una funzione f : A −→ B si dice (1) iniettiva se f (a) = f (b) implica a = b e si dice in tal caso che A va in B. (2) suriettiva se im(f ) = B e si dice in tal caso che A va su B. (3) biunivoca se è iniettiva e suriettiva e si dice in tal caso che A è biunivoco a B. possiamo dare quella di insieme finito: 1.1.7 Definizione Un insieme è finito se è biunivoco a un numero naturale; in caso contrario si dice infinito. Torniamo ora ai prodotti di insiemi: notiamo che se {AQ i }i∈I è una famiglia di insiemi, e se per qualche i ∈ I si ha che Ai = ∅ allora i∈I Ai = ∅, esattamente come nel caso dei numeri (se uno dei fattori è nullo anche il prodotto è nullo; il viceversa è pure una proprietà che sembra naturale imporre (la “legge di annullamento del prodotto”), ma che non è possibile dimostrare a partire dagli assiomi fin qui dati. Q Assioma 10. (assioma moltiplicativo) Se i∈I Ai = ∅ allora esiste i ∈ I tale che Ai = ∅. 6 Capitolo 1. Insiemi Ora ricaviamo da questo assioma un altro famoso enunciato: l’assioma di scelta. Per formularlo, diamo una 1.1.8 Definizione Una funzione f : A −→ B si dice funzione di scelta se per ogni C ∈ Dom(A) si ha che f (C) ∈ C. 1.1.9 Teorema (assioma di scelta) Ogni insieme non vuoto ha una funzione di scelta che lo ammette come dominio. Dimostrazione: Consideriamo ora un insieme A: possiamo immaginarlo come una famiglia di insiemi (i suoi elementi) indicizzata da A stesso; cioè A = {Aa }a∈A Q (dove Aa = a). In questo modo, il prodotto a∈A Aa della famiglia A è l’insieme delle funzioni da A −→ A, che in questo caso sono tutte funzioni di scelta (dato che (f (a)) ∈ Aa = a). Dunque, dato che esiste a ∈ A in modo che Aa è non vuoto (un modo contorto di dire che A 6= ∅), l’assioma moltiplicativo ci dice che anche Q a∈A Aa è non vuoto, cioè che l’insieme delle funzioni di scelta su A è non vuoto. qed L’ultimo assioma è il seguente: Assioma 11. (assioma di fondazione) Ogni classe A non vuota contiene un elemento X tale che A ∩ X = ∅. Il significato intuitivo di questo assioma è che un insieme non può contenere se stesso come elemento. Un modo equivalente di esprimerlo è dire che un insieme non può contenere catene infinite di elementi, cioè a dire se A è un insieme, non può aversi una catena di appartenenze ... ∈ An ∈ ... ∈ A2 ∈ A1 ∈ A 1.2 Ordinamento e Lemma di Zorn Le seguenti definizioni catturano il concetto di “relazione” ed in particolare di “ordinamento”: 1.2.1 Definizione Una relazione R ⊂ A2 su un insieme A si dice (1) di ordine parziale se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, ovvero se per ogni a ∈ A (a, a) ∈ R, per ogni a, b ∈ A (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R e per ogni a, b, c ∈ A ((a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R) ⇒ (a, c) ∈ R; (2) di ordine totale se è di ordine e se per ogni a, b ∈ R (a, b) ∈ R oppure (b, a) ∈ R; 1.2. Ordinamento e Lemma di Zorn 7 (3) di buon ordinamento se è di ordine totale e se ogni B ⊂ A non vuoto possiede un elemento minimo m (cioè per ogni b ∈ B tale che (b, m) ∈ R segue che b = m). (4) di equivalenza se è riflessiva, transitiva e simmetrica cio per ogni a, b ∈ R (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R ⇒ a = b. (5) Un insieme A parzialmente ordinato da R è diretto se per ogni a, b ∈ A esiste un c ∈ A tale che aRc e bRc. Se R è una relazione in un insieme A, in genere si scrive aRb in luogo di (a, b) ∈ R. 1.2.2 Definizione Sia A un insieme ordinato dalla relazione ≤. (1) Una catena C in A è un sottoinsieme totalmente ordinato da ≤. (2) Un confine superiore (inferiore) di un sottoinsieme B di A è un elemento s ∈ A tale che per ogni b ∈ B si abbia b ≤ s (s ≤ b). (3) Un massimale (minimale) in A è un elemento m ∈ A tale che per ogni a ∈ A tale che m ≤ a si abbia a = m (tale che a ≤ m si abbia a = m). (4) Il estremo inferiore (superiore) inf B (sup B) di un sottoinsieme B ⊂ A è il minimo dei confini superiori (massimo dei confini inferiori) di B. Si noti che un elemento massimale non è necessariamente un massimo. 1.2.3 Definizione Sia A un insieme bene ordinato dalla relazione ≤A . Un sottoinsieme B ⊂ A si dice (1) Segmento iniziale di A se per ogni a, b ∈ A da a ∈ B e b ≤A a segue che b ∈ B. (2) Segmento iniziale chiuso di A se esiste un a∈A tale che B = {b∈A|b ≤A a} e l’elemento a si dice estremo di B. (3) Segmento iniziale aperto di A se esiste un a∈A tale che B = {b∈A|b <A a}. Osserviamo che ∅ è segmento iniziale di ogni insieme bene ordinato (notare l’analogia con le definizioni di intervalli aperti e chiusi a destra nei numeri reali). Passiamo ora alla dimostrazione del principale risultato che coinvolge queste definizioni: Lemma di Zorn. Sia A un insieme ordinato dalla relazione ≤; se ogni catena in A ha un confine superiore, allora A possiede un elemento massimale. 8 Capitolo 1. Insiemi Dimostrazione: Consideriamo l’insieme C = {B ⊂ A | B è una catena in A} e, per ogni c ∈ C, l’insieme S(c) = {a ∈ A | a è confine superiore di C} Supponiamo per assurdo che A non possieda un massimale; allora la famiglia F = {S(B) \ B}B∈C è formata da sottoinsiemi di A non vuoti. Per l’assioma di scelta esiste una funzione f : C −→ A tale che, per ogni B ∈ C, f (B) = S(B) \ B. Sia ora Z l’insieme delle catene B (non vuote) tali che per ogni segmento iniziale B 0 di B (diverso da B) di abbia f (B 0 ) = inf{B \ B 0 } i.e. una catena B di A sta in Z se e solo se la funzione di scelta sceglie in ogni suo segmento iniziale un elemento che è piú piccolo di ogni elemento di B che non è in B 0 . Ovviamente f (∅) ∈ Z che è quindi non vuoto e se B 0 , B 00 ∈ Z, dato che f (∅) è il minimo, in B 0 e B 00 deve esistere un segmento iniziale comune a B 0 ed a B 00 , e quindi l’unione di tali segmenti è un insieme S non vuoto: si tratta naturalmente di un segmento iniziale sia per B 0 che per B 00 . Per quanto si è visto, l’insieme S ∪ {f (S)} è ancora un segmento iniziale (la f sceglie un elemento apposta in questo modo) e quindi è un sottoinsieme di C: questo non può essere a meno che non sia C = B 0 oppure C = B 00 . Ne concludiamo che se B 0 , B 00 ∈Z allora deve aversi B 0 ⊂ B 00 oppure B 00 ⊂ B 0 ; quindi l’insieme [ B∗ = B B∈Z è una catena in A. Ma, di nuovo, B ∗ ∪ {f (B ∗ )} ∈ Z il che contraddice sia la definizione di B ∗ che il fatto f (B ∗ ) ∈ S(B ∗ ) \ B ∗ . L’assurdo deriva dunque dall’ipotesi che esistano elementi non vuoti nella famiglia F , e cioè dall’aver supposto l’insieme A privo di massimali. qed Il primo e principale esempio di applicazione del lemma di Zorn è il teorema di Zermelo secondo il quale ogni insieme è bene ordinabile: in séguito si avrà occasione di dare molte applicazioni del lemma di Zorn. 1.3. Numeri ordinali e cardinali 9 Teorema del Buon Ordinamento. (Zermelo) Per ogni insieme A esiste una relazione d’ordine ≤A su A rispetto alla quale A è bene ordinato. Dimostrazione: Consideriamo l’insieme W = {(B, ≤B ) | B ⊂ A e ≤B è un buon ordinamento su B} Definiamo su W un ordinamento << come segue: (B, ≤B ) < < (B 0 , ≤B 0 ) ⇐⇒ 0 B ⊂ B , ≤B 0 ristretto a B è ≤B e B è segmento iniziale di B. Cioè un elemento B ∈ W è piú piccolo di un altro B 0 ∈ W se è piú piccolo come insieme (B ⊂ B 0 ), se è pure piú piccolo come insieme ordinato (nel senso che la relazione di ordine su B 0 ristretta agli elementi di B sia esattamente la relazione di ordine su B) e se non esistano elementi in B 0 ⊂ B piú piccoli di un qualsiasi elemento di B. Ora consideriamo una <. S catena {Bi }i∈I in W rispetto all’ordine parziale < ∗ Allora l’insieme B = i∈I Bi unione di questa catena è totalmente ordinato rispetto alla relazione unione delle relazioni d’ordine {≤Bi }i∈I . Sia C è un sottoinsieme non vuoto di B ∗ ; ciò vuol dire che esiste un indice i0 ∈ I tale che C ∩ Bi0 6= ∅. L’insieme Bi0 è bene ordinato dalla sua relazione ≤B0 (per definizione) e quindi il suo sottoinsieme C ∩ Bi0 ha un elemento minimo c0 (rispetto all’ordinamento ≤Bi0 ). Ma Bi0 è segmento iniziale di A, e dunque c0 è anche un minimo rispetto all’ordinamento di ogni altro Bi , col che c0 è minimo rispetto all’ordinamento di B ∗ . Quindi A ∈ W . è poi ovvio che A è un confine superiore per la catena {(Bi , ≤i )}i∈I in W rispetto all’ordinamento <<. Cioè l’insieme ordinato W soddisfa alle ipotesi del lemma di Zorn e quindi deve avere un elemento massimale (M, ≤M ). Per dimostrare il teorema basta far vedere che M = A. Se esistesse un elemento a0 ∈ A \ M allora M ∪ {a0 }, con la relazione d’ordine che su M coincide con ≤M e che rende a0 maggiore di ogni elemento di M , è ancora un elemento di W , il che contraddice la massimalità di M . qed 1.3 Numeri ordinali e cardinali Contare gli elementi di un insieme finito significa metterli in corrispondenza biunivoca con un numero naturale: abbiamo cosı̀ la possibilità di determinarne il numero di elementi di un insieme finito, che, in linguaggio insiemistico, si dice cardinalità. Vogliamo ora estendere il concetto di “numero di elementi di un insieme” anche al caso infinito. 10 Capitolo 1. Insiemi 1.3.1 Definizione Due insiemi A e B si dicono equipotenti ovvero si dice che hanno la stessa cardinalità se sono biunivoci e si scrive in tal caso Card(A) = Card(B). 1.3.2 Esempio (1) Due numeri naturali sono equipotenti se e solo se sono uguali. (2) L’insieme dei numeri reali R è equipotente all’intervallo (0, 1): un modo per vederlo è osservare che questo intervallo è equipotente ad una circonferenza del piano privata di un punto (ad esempio t 7−→ (cos 2πt, sin 2πt) è biunivoca fra (0, 1) e la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 privata del punto (1, 0)). Che poi una circonferenza privata di un punto sia equipotente a R si vede considerando un proiezione: se consideriamo ad esempio la circonferenza di centro (0, 1) e raggio 1 privata del punto N = (0, 2), possiamo associare ad un punto P di questo insieme l’unico punto f (P ) dell’asse reale {y = 0} che interseca la retta per P e per il punto (0, 2). N ¡ q '$ ¡ P ¡ q ¡ q ¡ &% f (P ) 1.3.3 Definizione Un insieme è numerabile se è equipotente a N. Stabiliamo una notazione: avendo denotato col simbolo Card(A) = Card(B) l’esistenza di una funzione biunivoca fra A e B, denotiamo col simbolo Card(A) ≤ Card(B) l’esistenza di una funzione iniettiva da A in B, e col simbolo Card(A) < Card(B) l’esistenza di una funzione iniettiva fra A e B e la non esistenza di funzioni biunivoche fra A e B. 1.3.4 Teorema (Cantor–Schröder–Bernstein) Card(A) ≤ Card(B) e Card(B) ≤ Card(A) ⇒ Card(A) = Card(B) Dimostrazione: (Birkhoff–MacLane) Osserviamo preliminarmente che, come in ogni questione riguardante la cardinalità, possiamo considerare gli insiemi A e B disgiunti (cioè A ∩ B = ∅), dato che se non lo sono, possiamo considerare C = A ∩ B e porre B 0 = (B \ C) ∪ C 0 con C 0 insieme equipotente a C e disgiunto da C in modo che, ovviamente, Card(B) = Card(B 0 ). 1.3. Numeri ordinali e cardinali 11 Dimostriamo quindi il teorema nell’ipotesi che sia A∩B = ∅; consideriamo due funzioni (che esistono per ipotesi) f : A −→ B e g : B −→ A iniettive. Definiamo per un elemento a di A o B un suo discendente come un elemento che sia stato ottenuto con applicazioni successive delle funzioni f e g (ad esempio g(f (g(b)))∈A è discendente di b ∈ B). Allora possiamo decomporre A in tre insiemi: AP che consiste degli elementi di A che hanno un numero pari di discendenti, AD che consiste degli elementi di A che hanno un numero dispari di discendenti e AI che consiste degli elementi di A con un numero infinito di discendenti. Analogamente decomponiamo B ed osserviamo che f manda AP su BD e AI su BI e che g −1 manda AD su BP . Quindi la funzione che, su AP ∪ AI è definita come f e che su AD è definita come g −1 è biunivoca da A in B. qed 1.3.5 Teorema (Cantor) Se A è un insieme, allora Card(A) < Card(P (A)). Dimostrazione: Che si abbia Card(A) ≤ Card(P (A)) è ovvio: la funzione f : A −→ P (A) definita come f (a) = {a} è manifestamente iniettiva. Ora dimostriamo per assurdo che Card(A) 6= Card(P (A)). Supponiamo cioè che esista una funzione biunivoca f : A −→ P (A), e definiamo l’insieme B = {a ∈ A | a ∈ / f (a)} Per definizione è B ⊂ A e quindi B∈P (A). Deve allora esistere un unico elemento aB ∈ A tale che f (aB ) = B; ma se aB ∈ B allora aB ∈ / f (aB ) = B che è assurdo; quindi deve aversi aB ∈ / B, cioè a dire aB ∈ f (aB ) = B che è un altro assurdo. Quindi la funzione biunivoca f non può esistere. qed Osserviamo che i numeri che abbiamo incontrato finora (i naturali e ω stesso) sono insiemi che hanno due particolarità, espresse dalle definizioni seguenti: 1.3.6 Definizione (1) Un insieme A è pieno se per ogni B ∈ A si ha pure B ⊂ A. (2) Un insieme A è transitivo se per ogni B ∈ A e per ogni C ∈ B si ha che C ∈ A. (3) Un numero ordinale è un insieme pieno e transitivo. Cioè un ordinale contiene come elementi esattamente i suoi sottoinsiemi e gli elementi dei suoi elementi. 12 Capitolo 1. Insiemi 1.3.7 Teorema Un numero ordinale è bene ordinato dalla relazione ∈. Dimostrazione: Consideriamo un numero ordinale α: che la relazione ∈ sia un ordinamento parziale in α è ovvio; dimostriamo che ogni sottoinsieme A non vuoto di α ha un primo elemento. Per l’assioma di fondazione v’è un elemento a ∈ A tale che a ∩ A = ∅ e quindi nessun elemento di a appartiene ad A, il che vuol dire che a è il primo elemento di A. qed 1.3.8 Lemma Sia α un ordinale. (1) Se A ⊂ α, A 6= α e A è pieno allora A ∈ α. (2) Se β è un ordinale allora α ⊂ β oppure β ⊂ α. (3) Se β è un ordinale allora α ∈ β oppure β ∈ α oppure β = α. (4) Se A ∈ α allora A è un ordinale. Dimostrazione: (1) Per transitività di A esiste un B ∈ A tale che A = {a ∈ α|a ∈ B}. Infatti l’insieme α \ A ha un primo elemento B per la relazione ∈, ed è un esercizio vedere che A è formato dagli elementi che appartengono a questo B. Per concludere basta allora osservare che, essendo ogni elemento di B anche elemento di α ne segue che A = B. (2) L’insieme α ∩ β è piena e per (1) è α = α ∩ β oppure α ∩ β ∈ α; nel primo caso troviamo immediatamente α ⊂ β, mentre nel secondo caso, otteniamo α∩β ∈ / β (dato che α ∩ β ∈ α ∩ β), e quindi, per (1), α ∩ β = β (dato che α∩β ∈ / β) sicché β ⊂ α. (3) Ovvio! (4) Che A sia pieno segue dal fatto che lo è α; per vedere che è transitivo, si osservi che α è bene ordinato da ∈ e che A ∈ α: allora se C ∈ B e B ∈ A allora C ∈ A. qed 1.3.9 Definizione Una funzione f : A −→ B fra due insiemi totalmente ordinati A e B si dice un isomorfismo (ordinale) se è suriettiva e monotona: ∀a, b ∈ A a ≤A b ⇒ f (a) ≤B f (b) Un isomorfismo ordinale è necessariamente iniettivo ed il suo inverso è un isomorfismo ordinale. 1.3. Numeri ordinali e cardinali 13 1.3.10 Lemma Siano A e B insiemi totalmente ordinati. (1) Se f : A −→ B è un isomorfismo ordinale e S è un segmento iniziale (aperto, chiuso) in A, allora f (S) è un segmento iniziale (aperto, chiuso) in B. (2) Se S è un segmento iniziale di A e A è bene ordinato, allora (se S 6= A) S è aperto. (3) Se f : A −→ B e g : B −→ A sono isomorfismi ordinali fra un insieme bene ordinato A ed un segmento iniziale di un insieme totalmente ordinato B allora f = g. 1.3.11 Teorema Per ogni insieme A bene ordinato dalla relazione ≤ esiste un unico ordinale α che sia isomorfo (con la relazione ∈) ad A come insieme ordinato. Dimostrazione: L’unicità segue facilmente dalla (3) del lemma precedente. Dimostriamo l’esistenza di α: denotiamo con B l’insieme di tutti gli a ∈ A tali che esistano un ordinale αa e un isomorfismo fa dell’insieme bene ordinato αa sul segmento chiuso Sa di estremo a: notiamo che per il lemma precedente questa funzione fa è univocamente determinata da a. Ora sia c ∈ B tale che b ≤ c. Allora l’insieme α0 = {fc−1 (a)}a∈Sb è un numero ordinale. la funzione f ristretta a α0 è un isomorfismo su Sb e quindi b ∈ B e fb = fc |α0 . In altri termini fb ⊂ fcS . Ma allora la funzione f = 0 a∈B fa è un isomorfismo dell’ordinale β0 = S a∈B αa su B. Ora, se A = B il teorema è dimostrato, altrimenti, se A 6= B, comunque B è segmento iniziale di A, che è bene ordinato, sicché deve esistere un a0 ∈ A tale che B = Sa0 . Dunque f0 ∪ {(β0 , α0 )} è un isomorfismo dell’ordinale β0 + 1 = β0 ∪ {β0 } su B ∪ {α0 } = Sa0 il che implica a0 ∈ B che è un assurdo. Quindi A = B. qed Dato che ogni insieme è bene ordinato, per una opportuna relazione d’ordine totale, dal teorema precedente segue che ogni insieme è isomorfo a un numero ordinale: in particolare un isomorfismo è una funzione biunivoca e quindi 1.3.12 Corollario Ogni insieme è equipotente a un numero ordinale. Un insieme qualsiasi è ordinato dalla relazione di uguaglianza: a ≤ a se e solo se a = a. Questo è un ordinamento banale, che non aggiunge alcuna ulteriore informazione alla natura dell’insieme stesso e definiamo i numeri cardinali come gli ordinali che tengano conto di questa relazione. 14 Capitolo 1. Insiemi 1.3.13 Definizione Un numero ordinale α è un numero cardinale se per ogni ordinale β ≤ α4 , β e α non sono equipotenti. Dimostriamo ora che per ogni insieme A possiamo trovare un solo numero cardinale che sia equipotente ad A; chiameremo questo numero la cardinalità di A e lo indicheremo con Card(A) 1.3.14 Teorema Per ogni insieme A esiste un unico cardinale a ad esso equipotente. Dimostrazione: Dato che A è bene ordinabile, per il corollario 1.3.12 esiste un unico ordinale α isomorfo (in particolare equipotente) a A; ora vogliamo trovare un cardinale a equipotente a α (e quindi ad A). Questo è facilissimo: dato che α è bene ordinato da ∈ esiste un ordinale a ≤ α equipotente a α ma i cui elementi siano tutti non equipotenti a α; questo a è quindi un cardinale. L’unicità di a segue dall’unicità di α sancita nel corollario 1.3.12 e dalla definizione di numero cardinale. qed 1.3.15 Corollario Per ogni numero ordinale α esiste un unico numero cardinale equipotente a α. 1.3.16 Teorema Se A è un insieme infinito, allora Card(A2 ) = Card(A). Dimostrazione: Consideriamo la funzione f : A −→ A2 a 7−→ (a, a) Dato che è iniettiva, abbiamo subito che Card(A) ≤ Card(A2 ). Ora procediamo per assurdo: supponiamo che non valga la Card(A2 ) ≤ Card(A); allora l’insieme C dei cardinali infiniti a tali che a ≤ Card(A) e a < Card(a2 ) è non vuoto e, i cardinali sono bene ordinati, sia a0 il suo minimo. Sull’insieme a20 definiamo una relazione d’ordine ≤ come (α, α0 ) ≤ (β, β 0 ) ⇐⇒ max(α, α0 ) < max(β, β 0 ) oppure α < β e max(α, α0 ) < max(β, β 0 ) oppure α = β e α0 ≤ β 0 e max(α, α0 ) < max(β, β 0 ) 4 Ricordiamo che per gli ordinali la relazione ≤ significa ∈. 1.3. Numeri ordinali e cardinali 15 In questo modo a2 è totalmente ordinato; ma è pure bene ordinato: per ogni insieme non vuoto B ⊂ a2 i seguenti sottoinsiemi sono non vuoti (in virtù della definizione della relazione ≤ su a2 ): B1 = {(α, α0 ) ∈ B|∀(β, β 0 ) ∈ B max(α, α0 ) ≤ max(β, β 0 )} B2 = {(α, α0 ) ∈ B1 |∀(β, β 0 ) ∈ B1 α < β} B3 = {(α, α0 ) ∈ B2 |∀(β, β 0 ) ∈ B2 α0 < β 0 } e B3 non può che contenere esattamente un elemento, che è proprio il minimo in B rispetto alla relazione ≤. Dato che a0 < Card(a20 ), l’insieme bene ordinato (dalla relazione ∈) a0 è isomorfo al segmento iniziale S (aperto di estremo (α0 , β0 )) dell’insieme bene ordinato a20 . Ora consideriamo il massimo δ0 fra α0 e β0 ; evidentemente deve aversi B ⊂ (δ ∪ {δ})2 (notare che δ + 1 = δ ∪ {δ}). Ma α0 è infinito e quindi anche B e δ0 lo sono e si ha Card(δ0 + 1) = Card(δ0 ) < a0 Allora, per minimalità di a0 in C, abbiamo a0 = Card(B) ≤ Card((δ0 + 1)2 ) ≤ Card(δ0 + 1) ≤ a0 che è assurdo. Quindi l’insieme C è vuoto e il teorema è dimostrato. qed 1.3.17 Corollario Siano A e B insiemi, con A infinito. (1) Se B 6= ∅ allora Card(A × B) = max(Card(A), Card(B)). (2) Card(A ∪ B) = max(Card(A), Card(B)). (3) Se n ∈ N oppure se n = N allora Card(An ) = Card(A). Si può dimostrare che il teorema precedente non solo è conseguenza, ma equivale al teorema del buon ordinamento. Concludiamo riportando alcuni fondamentali risultati dovuti a Cantor. n Ricordiamo che possiamo identificare i numeri razionali con le frazioni m (con n, m 6= 0 interi) e quindi delle coppie (n, m) ∈ N × N \ {0} modulo la relazione di equivalenza (n, m) ≡ (n0 , m0 ) ⇐⇒ ∃a ∈ Z an = n0 , am = m0 . Usando il teorema precedente abbiamo che Q è numerabile. 1.3.18 Definizione Una successione in un insieme A è una funzione s : N −→ A; si denota pure {sn }n∈N e si scrive quindi s(n) = sn . 16 Capitolo 1. Insiemi 1.3.19 Teorema (Cantor) L’insieme R non è numerabile. Dimostrazione: Basta dimostrare la non numerabilità dell’intervallo I = (0, 1) che è infatti biunivoco con R. Supponiamo per assurdo che I sia numerabile: allora deve esistere una successione {rn } = I. Un elemento di rn ∈ I è un numero reale positivo minore di 1, che ha dunque uno sviluppo decimale della forma −1 rn = cn1 10 −2 + cn2 10 −3 + cn3 10 + ... = ∞ X cnk 10−k k=1 (le cnk sono le cifre dello sviluppo decimale di rn ). La successione {rn } dà quindi luogo ad una “tabella infinita” r0 ←→ r01 r1 ←→ r11 r2 ←→ r21 .. . r02 r03 ... r12 r13 ... r22 r23 ... .. . Ora, combinando arbitrariamente una successione di cifre a1 , a2 , a3 ,... possiamo P costruire il numero reale r∈I il cui sviluppo è k∈N+ ak 10−k e questo deve figurare da qualche parte nella successione (rn ), deve cioè esistere un n0 (dipendente da (am )) tale che r = rn0 . Come successione (am ) prendiamo quella il cui elemento m-mo am è zero se il termine rmm della tabella precedente è diverso da zero, e 1 se il termine rmm della tabella precedente è uguale a zero. L’elemento r non potrà mai figurare nella tabella, cioè la successione (am ) non corrisponde a nessuna (rnk ); infatti se fosse am = rn0 m per un certo numero naturale n0 allora, se an0 = 0 avremmo rn0 n0 6= 0 e quindi an0 6= 0 e se an0 6= 0 avremmo rn0 n0 = 0 e quindi an0 = 0. In ogni caso un assurdo, e quindi la successione (rn ) non può esistere. qed 1.3.20 Teorema (Cantor) Card(R) = 2N . Il significato di 2N è evidente: 2 è l’insieme con due elementi 2 = {0, 1}. Allora se A è un insieme e B è un altro insieme, poniamo per definizione Card(A)Card(B) = Card(AB ) In questo modo definiamo l’esponenziale per i numeri cardinali. Se A è finito e B è numerabile allora Card(AB ) = 2N . Il teorema di Cantor afferma che la cardinalità dei numeri reali (che si dice cardinalità del continuo) è proprio questa. 1.4. Categorie e funtori 17 Per dimostrarlo si tenga presente il fatto che 2A è semplicemente l’insieme delle funzioni da A in {0, 1} cioè un insieme di cifre binarie indicizzato da A; ogni numero reale ammette sviluppi in base due (abbiamo usato prima quelli in base dieci) ove, ad esempio, i numeri 0,111111... e 1 sono esattamente lo stesso (in base due... in base dieci l’esempio è 0,999999... = 1). 1.4 Categorie e funtori Sarà utile, nel seguito, il linguaggio astratto delle categorie. 1.4.1 Definizione Una categoria C è determinata da una classe Ob C i cui elementi si dicono oggetti della categoria e da due funzioni: (1) Una funzione che ad ogni coppia di oggetti X, Y associ un insieme hom(X, Y ) i cui elementi si diranno morfismi. (2) Una funzione che, per ogni tripla di oggetti X, Y, Z associ una funzione hom(Y, Z) × hom(Y, X) −→ hom(X, Z) (denotata con (f, g) 7−→ g ◦ f e che si dirà composizione dei morfismi f e g), tale che valgano i seguenti assiomi: h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f 1Y ◦ f = f e g ◦ 1Y = g Il morfismo 1Y si dice identità e la classe dei morfismi {hom(X, Y )}X,Y ∈Ob C si denota con Mor C. Vediamo alcuni esempi importanti di categorie. La categoria S: i suoi oggetti sono tutti gli insiemi e, se X, Y sono insiemi un morfismo è una qualsiasi funzione f : X −→ Y . La composizione è esattamente la composizione di funzioni e le identità sono esattamente le funzioni identità di ciascun insieme. Ovviamente gli oggetti di S ed i suoi morfismo sono classi che non sono insiemi. La categoria G dei gruppi: i suoi oggetti sono tutti i gruppi (si noti che una classe C non può essere un gruppo, perché per definire l’operazione bisogna considerare una funzione C × C −→ C) ed i suoi morfismi gli omomorfismi fra i gruppi. Si tratta di una sottocategoria di S nel senso della seguente 1.4.2 Definizione Se C è una categoria, una sua sottocategoria è una categoria D tale che Ob D ⊂ Ob C. Una sottocategoria D di una categoria C si dice piena se per ogni X, Y ∈ Ob D ⊂ Ob C si ha che homD (X, Y ) = homC (X, Y ) ove homC (X, Y ) denota i morfismi fra X e Y nella categoria C. 18 Capitolo 1. Insiemi 1.4.3 Esempio La categoria AB dei gruppi abeliani (i suoi oggetti sono gruppi abeliani e i morfismi gli omomorfismi) è una sottocategoria piena della categoria G dei gruppi. In generale, tutte le categorie che avremo modo di considerare sono sottocategorie di S: ogni qual volta si definisce una struttura su un insieme ed una classe di applicazioni che preserva tale struttura, si può considerare la categoria associata: gli anelli, gli spazi vettoriali, i campi,... sono tutti esempi di categorie. Non ogni esempio di categoria sorge in questo modo: se K è un anello commutativo, possiamo considerare la categoria MK i cui oggetti sono gli interi positivi e i cui morfismi hom(m, n) sono le matrici Mn,m (K) m × n a coefficienti in K. La composizione di morfismi sarà il prodotto di matrici. Non bisogna cioè pensare che i morfismi di una categoria siano necessariamente applicazioni fra insiemi. 1.4.4 Esempio Se P è un insieme parzialmente ordinato dalla relazione ≤ allora individua una categoria P i cui oggetti sono gli elementi di P (i.e. Ob P = P ) ed i morfismi sono cosı̀ definiti: ( {ipq } se p ≤ q hom(p, q) = ∅ altrimenti Cioè esiste un solo morfismo fra p e q (che è un simbolo univocamente determinato da p e q) se p ≤ q; altrimenti non esiste nessun morfismo (si noti che le identità sono i simboli ipp ). In generale, dato un qualsiasi grafo composto da vertici e frecce orientate, questo definisce una categoria, i cui oggetti sono i vertici ed i cui morfismi le frecce. 1.4.5 Esempio Un gruppo G induce una categoria C(G) con: Ob C(G) = {e} (identità del gruppo) e hom(e, e) = G; la composizione è il prodotto del gruppo. In questo esempio abbiamo una proprietà particolare: per ogni morfismo f esiste un inverso i.e. un morfismo g tale che f ◦ g = 1 e g ◦ f = 1. è un esercizio verificare che ogni categoria i cui morfismi siano tutti invertibili è della forma C(G) per un opportuno gruppo G. Evidentemente fra due categorie C(G) e C(H) esistono delle applicazioni che è naturale considerare, e che sono indotte dagli omomorfismi del gruppo G nel gruppo H. Si tratta di un caso particolare della nozione seguente. 1.4.6 Definizione Se C e D sono categorie, un funtore F : C −→ D è determinato da 19 1.4. Categorie e funtori (1) Una funzione F : Ob C −→ Ob D. (2) Una funzione F : Mor C −→ Mor D. in modo che ∀X ∈ Ob C F(1X ) = 1F(X) ∀f ∈ hom(Y, Z)∀g ∈ hom(X, Y ) F(f ◦ g) = F(f ) ◦ F(g) Quindi un funtore è un “morfismo” fra categorie, nel senso che preserva la struttura categorica. In particolare, se un funtore F è tale che le applicazioni F : Ob C −→ Ob D e F : Mor C −→ Mor D sono biunivoche si dice una equivalenza fra le categorie C e D: questo significa che, anche se realizzate con insiemi diversi, dal punto di vista categorico C e D vanno considerate come indistinguibili. Ovviamente se C è una categoria esiste sempre il funtore identico 1 : C −→ C e due funtori si possono comporre. 1.4.7 Definizione Una categoria è piccola se la classe dei suoi oggetti è un insieme. Osserviamo che, in virtù degli assiomi che abbiamo dato per le classi, una funzione f : S −→ C ove S sia un insieme e C una classe è un insieme: infatti il suo grafico {(s, f (s))}s∈S è l’immagine della funzione s 7−→ (s, f (s)) e quindi, per l’assioma 8 del §1, è un insieme. Se ora C è una categoria piccola, la classe Ob C × Ob C è un insieme e quindi lo è l’insieme dei morfismi Mor C. In altri termini, esiste la categoria delle categorie piccole: i suoi oggetti sono tutte le categorie ed i cui morfismi sono i funtori. Per le categorie costruite a partire da insiemi esiste sempre il funtore “distratto”: ad esempio se G è la categoria dei gruppi, il suo funtore distratto è F : G −→ S (nella categoria degli insiemi) che assegna ad un oggetto G ∈ Ob G se stesso (in quanto insieme) e ad ogni morfismo f ∈ Mor G se stesso in quanto funzione: questo funtore dimentica quindi la struttura gruppale. In molti casi il concetto di funtore non soddisfa pienamente le proprietà che si vorrebbero: ad esempio se V è la categoria degli spazi vettoriali, esiste una applicazione ∗ : V −→ V che ad ogni spazio vettoriale associa il suo duale: non si tratta però di un funtore, perché (f ◦ g)∗ = g ∗ ◦ f ∗ Cioè ∗ “inverte il senso delle frecce”. Si tratta di un nuovo tipo di funtore: 1.4.8 Definizione Se C e D sono categorie, un funtore controvariante F : C −→ D è determinato da 20 Capitolo 1. Insiemi (1) Una funzione F : Ob C −→ Ob D. (2) Una funzione F : Mor C −→ Mor D. in modo che ∀X ∈ Ob C F(1X ) = 1F(X) ∀f ∈ hom(Y, Z) ∀g ∈ hom(X, Y ) F(f ◦ g) = F(g) ◦ F(f ) Spesso anziché scrivere identità fra morfismi si scrivono diagrammi e si dichiara che sono commutativi, cioè che le applicazioni ottenute componendo frecce che inizino e finiscano sugli stessi vertici sono uguali. Ad esempio anziché scrivere f ◦ g = h ◦ i si dice che il diagramma X ² g i Z h /Y ² f /W è commutativo. Quindi, se F : C −→ D è un funtore controvariante, la seconda proprietà che lo definisce equivale alla commutatività del diagramma F(f ) / F(Y ) HH HH HH F(g) H F(f ◦g) HH$ ² F(Z) F(X) Cosı̀ il funtore ∗ : V −→ V è controvariante (i funtori propriamente detti si dicono anche covarianti). In generale il funtore che a un oggetto V ∈ V associa lo spazio hom(V, W ) (ove W ∈ Ob V) è controvariante da V in V. Osserviamo che questa asserzione è imprecisa: per meglio formalizzarla introduciamo la 1.4.9 Definizione Se C è una categoria, la sua categoria opposta C op è la categoria cosı̀ determinata: Ob C op = Ob C e ogni X univocamente un Y f op f / Y ∈ Mor C determina / X ∈ Mor(C op ), in modo che (f ◦ g)op = g op ◦ f op Quindi fra una categoria e la sua opposta esiste un funtore controvariante : C −→ C op . è ovvio che questo funtore è una equivalenza di categorie e che il suo funtore inverso è op : C op −→ (C op )op = C. Questa dualità è simile alla dualità degli spazi vettoriali di dimensione finita. op 21 1.4. Categorie e funtori 1.4.10 Esempio Esiste fra la categoria degli insiemi S e la sua opposta Sop il funtore controvariante P : Sop −→ S dato dall’insieme potenza: fissato un insieme X il funtore Y 7−→ X Y è controvariante. Analizziamo meglio l’esempio (che ha dato origine alla teoria) della dualità per gli spazi vettoriali: sappiamo che il funtore ∗ : V −→ Vop è controvariante come pure lo è ∗ : Vop −→ V. Il fatto che abbia l’isomorfismo canonico i fra uno spazio vettoriale V ed il suo biduale V ∗∗ è di natura puramente categorica: se f : V −→ W è un morfismo di spazi vettoriali (i.e. un’applicazione lineare) allora il seguente diagramma è commutativo i V / (V ∗ )∗ f ² i W ² (f ∗ )∗ / (W ∗ )∗ Quindi la mappa i in un certo senso trasforma il funtore identità nel funtore ∗∗ . 1.4.11 Definizione Se F, G : C −→ D sono funtori, una trasformazione naturale t : F −→ G è una funzione che ad ogni oggetto X ∈Ob C associa un morfismo tX / G(X) ∈ Mor D in modo che per ogni morfismo X F(X) il seguente diagramma sia commutativo: F(X) F(f ) ² F(Y ) tX tY f / Y ∈ Mor C / G(X) ² G(f ) / G(Y ) Quindi una trasformazione naturale è in un certo senso un morfismo fra funtori: precisamente, se C è una categoria piccola e D una categoria qualsiasi, per l’assioma 8 del §1 una funzione Ob C −→ Ob D è un insieme: quindi i funtori F : C −→ D sono insiemi. Possiamo cioè considerare l’insieme Fun(C, D) dei funtori F : C −→ D; ora dimostriamo che la classe delle trasformazioni naturali t : F −→ G del funtore F∈Fun(C, D) nel funtore G∈Fun(C, D), è, some applicazione, è un insieme. Evidentemente, dato che C è piccola e F, G sono insiemi, S la classe M = X∈Ob C hom(F(X), G(X)) è un insieme (assioma 6 del §1) ed una trasformazione naturale è una funzione t : Ob C −→ M ed il suo grafico è una sottoclasse del prodotto C × M che è un insieme. Ma l’insieme P(C × M) potenza di un insieme è un insieme (assioma 7 del §1) e quindi la classe delle trasformazioni naturali da F in G è una sottoclasse di un insieme, cioè (assioma 5 del §1) è un insieme essa stessa. 22 Capitolo 1. Insiemi Fatte tutte queste verifiche, che sono ovvie ma che abbiamo voluto esplicitare per mostrare l’importanza dell’assiomatica insiemistica, possiamo considerare l’insieme dei funtori Fun(C, D) e definire una categoria che ha come insieme degli oggetti proprio Fun(C, D), e come classe di morfismi le trasformazioni naturali fra elementi di Fun(C, D). Questa categoria è la categoria dei funtori. Una trasformazione naturale t : F −→ G si dice equivalenza naturale se per ogni X ∈ Ob C il morfismo tX è invertibile in Mor D. Quindi la teoria della dualità degli spazi vettoriali di dimensione finita si riassume nella frase: esiste una equivalenza naturale fra il funtore identità e il funtore ∗∗ effettuata dalla funzione iV : x ∈ V 7−→ (ϕ 7−→ ϕ(x)) ∈ V ∗∗ tale che, per ogni morfismo f : V −→ W : V f iV ² W / V ∗∗ ² iW f ∗∗ / W ∗∗ Per concludere questa rapida rassegna sul concetto di categoria, introduciamo i concetti forse più importanti della teoria. 1.4.12 Definizione Se F : C −→ S è un funtore da una categoria nella categoria degli insiemi, una rappresentazione di F è determinata da un oggetto R ∈ Ob C e da una famiglia di trasformazioni naturali {ϕX : homC (R, X) ←→ F(X)}X∈Ob C In altri termini, una rappresentazione di F è una equivalenza naturale f : F −→ HR ove HR : C −→ S è il funtore (covariante) Hr (X) = homC (R, X) Osserviamo che una rappresentazione t del funtore F determina un elemento S ∈ F(R) tale che per ogni Y ∈ Ob C e per ogni T ∈ F(Y ) esiste un unico morfismo f : R −→ X tale che F(f )S = T . L’oggetto S si dice allora universale per la rappresentazione del funtore. Moltissimi oggetti dell’algebra astratta sono determinati da proprietà universali: ad esempio il prodotto tensoriale, i gruppi liberi, l’insieme quoziente modulo una relazione, &c. 1.4.13 Lemma (Yoneda) Se F : C −→ S è un funtore covariante, e se X, Y ∈ Ob C allora esiste una biiezione canonica fra la classe delle trasformazioni naturali di HX −→ HY e homC (X, Y ). 23 1.4. Categorie e funtori Dimostrazione: Ogni g ∈ hom(X, Y ) induce una trasformazione naturale di funtori tg (f ) = f ◦ g. Ovviamente g = tg (1X ). Viceversa, una trasformazione f naturale t : HX −→ HY dà luogo, per ogni X −→ Z ∈ Mor C al diagramma commutativo t HX (X) X / HY (X) HX (f ) ² HX (Z) ² tZ HY (f ) / HY (Z) Allora definiamo un morfismo in g ∈ hom(X, Y ) ponendo g = tX (1X ): che si tratti di un morfismo segue dal diagramma: f = f ◦ 1X = HX (f )(1X ) e tZ (f ) = HY (f )(tX (1X )) = f ◦ g. qed Il seguente risultato è un modo diverso di esprimere il lemma di Yoneda: 1.4.14 Teorema La categoria C op opposta a C è equivalente alla categoria dei funtori rappresentabili, che è una sottocategoria piena della categoria dei funtori. Capitolo 2 TOPOLOGIE Ogni spazio che si considera in gran parte della matematica e delle sue applicazioni è uno spazio topologico di qualche tipo: qui introduciamo in generale le nozioni di base della topologia, facendo perno sugli esempi che il lettore certamente già conosce (spazi euclidei, spazi di funzioni, superficie). In particolare l’esempio guida sarà la retta reale: discuteremo anche il concetto di omotopia, nelle sue linee fondamentali. 2.1 Spazi topologici 2.1.1 Definizione Una coppia (X, T ) si dice spazio topologico se X è un insieme e T è una famiglia di suoi sottoinsiemi (detta topologia su X) tale che (1) X, ∅ ∈ T . (2) {Xα }α∈A ⊂ T ⇒ S α Xα ∈ T . (3) A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T . Gli elementi di una topologia si dicono aperti ed i loro complementari in X chiusi. Se Y ⊂ X, la chiusura Y di Y è l’intersezione di tutti i chiusi che o contengono Y , e l’interno Y di Y è l’unione di tutti gli aperti contenuti in Y . o Ovviamente Y è chiuso (risp. aperto) se e solo se Y = Y (risp. Y = Y ). I chiusi di uno spazio topologico soddisfano le seguenti proprietà, dedotte dagli assiomi di topologia passando ai complementari, che ovviamente caratterizzano una topologia: (1) X, ∅ sono chiusi. (2) Se {Xα }α∈A sono chiusi allora T α Xα è chiuso. (3) Se A, B sono chiusi allora A ∪ B è chiuso. 24 25 2.1. Spazi topologici Gli esempi fondamentali sono ovviamente gli spazi cartesiani Rn e Cn della geometria elementare, dotati delle topologie naturali, cioè quelle per le quali un aperto è un sottoinsieme A che, con ogni suo punto x, contiene una palla aperta {y | |x − y| < ε} di raggio ε > 0. Se (X, T ) è uno spazio topologico ogni suo sottoinsieme è uno spazio topologico con la topologia relativa TA definita come segue: U ∈ TA ⇐⇒ ∃V ∈ T U =A∩V Gli assiomi sono cosı̀ generali che ogni insieme può considerarsi in svariati modi uno spazio topologico: anche l’insieme vuoto. Infatti se X è un insieme qualsiasi, la collezione P(X) di tutte le sue parti è una topologia, che si dice topologia discreta, come pure lo è la collezione {∅, X}, che si dice topologia banale. Nella topologia discreta ogni sottoinsieme è aperto: ad esempio ogni punto. Inoltre ogni sottoinsieme è anche chiuso. 2.1.2 Definizione Sia X uno spazio topologico. (1) Un insieme Y ⊂ X è denso se Y = X. o (2) La frontiera di un insieme Y ⊂ X è l’insieme ∂Y = Y \ Y . o (3) Un insieme Y ⊂ X è raro se Y = ∅. Un insieme Y è raro se e solo se il complementare della sua chiusura è denso, se e solo se Y = ∂Y . L’esempio più familiare di insieme denso è il sottoinsieme Q dei numeri razionali nei numeri reali R. L’insieme delle topologie su un insieme X è ordinato dalla relazione di inclusione fra famiglie di sottoinsiemi di X, e se T ⊂ T 0 si dice che T è meno fine o più debole di T 0 . L’insieme delle topologie su uno spazio X forma manifestamente un reticolo; gli elementi 0 e 1 di questo reticolo sono la topologia banale formata dal solo elemento ∅ e la topologia discreta che coincide con l’insieme delle parti P(X) di X. Una famiglia di sottoinsiemi di uno spazio X genera una topologia, che è la più piccola topologia su X contenente gli elementi della famiglia, ed è la più debole delle topologie che ammettono gli insiemi appartenenti agli elementi della famiglia come aperti. 2.1.3 Definizione Se X è uno spazio topologico per la topologia T , un sottoinsieme B ⊂ T è una base se ogni aperto in T è unione di elementi di B, mentre si dice una sottobase se le intersezioni finite di elementi di B sono una base. 26 Capitolo 2. Topologie 2.1.4 Esempio Una base per la topologia di Rn è data dalle palle aperte Br (x) = {y ∈ Rn | |x − y| < r} di raggio r e centro x. Infatti un aperto A di Rn , per definizione, possiede con ogni suo punto x una palla Brx (x) di centro quel punto completamente contenuta in A: allora [ A= Brx (x) x∈A e quindi A è unione di palle aperte. In R una palla aperta è semplicemente un intervallo (x − ε, x + ε); gli intervalli della forma (x, ∞) e (−∞, x) formano una sottobase. 2.1.5 Definizione Una topologia T su un insieme X si dice a base numerabile se esiste una base numerabile di aperti. 2.1.6 Esempio Rn ha base numerabile: possiamo infatti scegliere le palle aperte Br (x) in cui r ∈ Q e x ∈ Qn per densità dei razionali nei reali. Se Y ⊂ X è un sottoinsieme di uno spazio topologico con topologia T , allora è a sua volta uno spazio topologico rispetto alla topologia indotta da T su Y , i cui aperti sono intersezioni di aperti di X con Y . 2.1.7 Definizione Un intorno di un punto x in uno spazio topologico X è un aperto di X contenente x. Una base di intorni di x ∈ X è una famiglia di intorni di x tale che ogni intorno di x contenga un intorno di questa famiglia. 2.1.8 Definizione Uno spazio topologico X si dice (1) T1 se per ogni coppia x, y ∈ X esiste un aperto contenente x ma non y. (2) T2 (o di Hausdorff) se per ogni coppia x, y ∈ X esistono un aperto contenente x ma non y e un aperto contenente y ma non x disgiunti. (3) regolare (T3 se è anche T1 ) se per ogni chiuso F di X ed ogni punto x∈X\F esistono un aperto contenente x ma non F ed un aperto contenente F ma non x disgiunti. (4) normale (T4 se è anche T1 ) se per ogni coppia di chiusi F1 , F2 disgiunti di X esistono un aperto contenente F1 ma non F2 ed un aperto contenente F2 ma non F1 disgiunti. Con degli esempi potrebbe mostrarsi che queste classi di spazi sono contenute propriamente le une dentro le altre nel seguente modo: T4 ⊂ T3 ⊂ T2 ⊂ T1 : per una discussione più approfondita rimandiamo ai testi specialistici (dove si definiscono anche altre classi di spazi, come i T0 e T 3 ); qui ci limitiamo a segnalare 2 alcuni semplici controesempi. 27 2.1. Spazi topologici 2.1.9 Esempio Uno spazio T1 ma non T2 è ad esempio il seguente: consideriamo nello spazio Rn gli insiemi della forma V (f ) = {x ∈ Rn | f (x) = 0} (ove f ∈R[x] è un polinomio). È un semplice esercizio verificare che generano una topologia come insiemi chiusi: gli aperti sono effettivamente i complementari delle curve algebriche piane1 ; è facile constatare che in questa topologia ogni aperto è denso, quindi non può essere di Hausdorff. Tuttavia i punti sono insiemi chiusi, della forma V (x − c0 ) con c0 costante, quindi la topologia è T1 in virtù della semplice 2.1.10 Proposizione Uno spazio topologico X è T1 se e solo se per ogni suo punto x l’insieme {x} è chiuso. Dimostrazione: Se x ∈ X preso un altro punto y ∈ X gli insiemi Ux := {{x} = X \ {x} contenente x e Uy := {{y} = X \ {y} contenente y sono aperti e x ∈ / Ux e y ∈ / Uy . Viceversa, se lo spazio è T1 e X ∈ X non fosse chiuso allora {x} conterrebbe almeno un altro punto y. Ma allora dovrebbero esistere due intorni x ∈ Ux e y ∈ Uy con x ∈ / Uy e y ∈ / Ux , il che è assurdo. qed 2.1.11 Esempio Uno spazio T2 non T3 è dato dall’intervallo [0, 1] ⊂ R con la topologia una cui base di intorni, in ogni punto che non sia lo zero, è quella della topologia naturale (indotta da R), mentre come intorni dello zero prendiamo gli insiemi [0, r) \ {1/n}n∈N cioè gli intervalli destri privati di una successione numerabile tendente a zero. Ovviamente lo spazio è di Hausdorff, ma non è possibile separare un punto ed un insieme chiuso con due suoi aperti disgiunti. La classe degli spazi di Hausdorff è, come si vede, sensibilmente più vasta di quella degli spazi regolari o, peggio ancora, normali. 2.1.12 Definizione Una successione generalizzata o rete in uno spazio topologico X è una famiglia {xα }α∈A di elementi di X indicizzata da un insieme parzialmente ordinato e diretto A. Evidentemente, se A è numerabile otteniamo il classico concetto di successione considerato in Analisi. Se lo spazio ha base numerabile in quel che segue ci si può limitare a queste successioni senza considerare quelle generalizzate. 1 Si tratta della topologia di Zariski . 28 Capitolo 2. Topologie 2.1.13 Definizione Una successione generalizzata {xα }α∈A si dice convergente ad un elemento x ∈ X se per ogni intorno U 3 x esiste un elemento αx ∈ A tale che per ogni α > αx xα ∈ U , e si scrive lim xα = x α∈A L’elemento x si dice limite della successione. In uno spazio di Hausdorff, il limite di una successione generalizzata, se esiste, è unico, il che si vede esattamente come nel caso delle successioni: se una successione generalizzata converge a due punti limite, questi non potranno in alcun modo essere separati con intorni disgiunti (due tali intorni conterranno sempre ambedue i punti), e viceversa. Ora vogliamo caratterizzare la topologia di uno spazio in termini di convergenza di successioni generalizzate. Se x è limite della successione {xα }α∈A allora x ∈ {xα }α∈A Se Y è un sottoinsieme di X e x ∈ Y , allora per ogni intorno U di x esiste un elemento xU ∈ U ∩ Y ; l’insieme Ux degli intorni di x munito della relazione di ordine parziale U < U 0 ⇐⇒ U ⊃ U 0 è diretto e x = lim xU U ∈Ux Ogni punto di Y è limite di una successione generalizzata di elementi di Y : cosı̀ abbiamo una caratterizzazione dei chiusi (e quindi della topologia su X) in termini di convergenza generalizzata. 2.1.14 Definizione Un punto limite per una successione {xα }α∈A è un x ∈ X tale che per ogni intorno U 3 x e per ogni α ∈ A esiste un αU > α in A tale che xαU ∈ U . In altri termini, se Eα := {xα0 }α0 >α T allora l’insieme dei punti limite è α Eα : si tratta ovviamente di un chiuso. 2.1.15 Definizione Una sottosuccessione di una successione generalizzata {xα }α∈A è una famiglia {xβ }β∈B di elementi di X tale che l’insieme B sia parzialmente ordinato e diretto, ed esista una funzione i : B −→ A tale che ∀α ∈ A ∃βα ∈ B ∀β ∈ B β > βα ⇒ i(β) > α Come nel caso della retta reale, le sottosuccessioni giocano un ruolo importante nella topologia generale: 29 2.1. Spazi topologici 2.1.16TProposizione Se {xα }α∈A è una successione generalizzata e se l’insieme E := α Eα è non vuoto allora esiste una sottosuccessione generalizzata che converge ad ogni elemento di E. In altri termini l’insieme dei punti limite è non vuoto se e solo se esistono sottosuccessioni convergenti. Dimostrazione: Se x è un punto limite della successione generalizzata {xα }α∈A in X e Ux una base di intorni di x, tali che ∀U ∈ Ux ∀α ∈ A U ∩ Eα 6= ∅ allora (gli elementi di Ux sono aperti): U ∩ {xα0 }α0 >α 6= ∅ e quindi per ogni α ∈ A esiste α0 > α tale che xα0 ∈ U . La relazione (α, U ) > (α0 , U 0 ) ⇐⇒ α > α0 e U ⊂ U 0 rende l’insieme A × Ux parzialmente ordinato e diretto (dato che Ux è un sistema fondamentale di intorni); per ogni β = (α, U ) ∈ A × Ux sia i(β) ∈ A tale che i(β) > α e xi(β) ∈ U (l’esistenza di questo elemento i(β) è garantita dall’assioma di scelta). Allora, dato che B è parzialmente ordinato e diretto, {xi(β) }β∈B è una sottosuccessione della {xα }α∈A , tale che x = lim xi(β) β i.e. convergente a x. qed Quindi una successione generalizzata in uno spazio topologico ammette sottosuccessioni convergenti se e solo se l’insieme dei suoi punti limite non è vuoto. Ovviamente se la cardinalità dell’insieme dei punti limite è uno, di certo la successione converge all’unico elemento di questo insieme. Si noti che, se nessun punto di X ammette una base numerabile di intorni, può succedere che {xn }n∈N sia densa in X ma che nessuna sottosuccessione (numerabile) sia convergente. 2.1.17 Definizione Una successione universale è una successione generalizzata {xα }α∈A tale che per ogni S ⊂ X, la successione {xα }α∈A appartiene definitivamente all’insieme S ovvero all’insieme X \ S. T Osserviamo che se {xα } è T una successione universale allora Eα = ∅ oppure (se lo spazio è di Hausdorff) Eα = {x}. 2.1.18 Definizione Una famiglia di sottoinsiemi F ⊂ P(X) di un insieme X possiede la proprietà dell’intersezione finita se per ogni sottofamiglia F 0 ⊂ F finita: \ F 0 6= ∅ 30 Capitolo 2. Topologie Questa definizione è duale a quella di ricoprimentoSfinito: una famiglia di sottoinsiemi U ricopre uno spazio topologico se X = U; se ogni sottofamiglia finita U 0 ⊂ U ricopre X allora la famiglia formata dai complementari di U possiede la proprietà dell’intersezione finita e viceversa. 2.1.19 Teorema Se {xα }α∈A è una successione generalizzata nello spazio topologico X e possiede la proprietà dell’intersezione finita, possiede una sottosuccessione universale. Dimostrazione: Consideriamo l’insieme delle famiglie F di sottoinsiemi di X con la proprietà dell’intersezione finita che contengano la successione generalizzata {xα }: evidentemente si tratta di un insieme parzialmente ordinato rispetto all’inclusione. Verifichiamo che soddisfa alle ipotesi del lemma di Zorn. Se L è una catena di famiglie con la proprietà dell’intersezione finita che conS tengano la successione generalizzata {xα }, la famiglia L è un confine superiore S rispetto all’ordinamento dato dall’inclusione. è facile rendersi conto che L ha ancora la proprietà dell’intersezione finita. Possiamo quindi applicare il Lemma di Zorn e dedurre l’esistenza di un massimale F; questa famiglia, vista come insieme parzialmente ordinato rispetto all’inclusione di sottoinsiemi di X fornisce un sistema di indici per {xα } che determina una sottosuccessione in {Eα } universale. qed Il classico concetto di funzione reale continua si estende agli spazi topologici qualsiasi 2.1.20 Definizione Se (X, T ) e (Y, S) sono spazi topologici, una funzione f : X −→ Y si dice continua se per ogni A ∈ S f −1 (A) ∈ T , si dice aperta se per ogni A ∈ T f (A) ∈ S e si dice omeomorfismo se è biunivoca, continua e aperta. Ad esempio è chiaro che una funzione f : R −→ R è continua nel senso dell’Analisi se e solo se lo è nel senso della definizione precedente. Se (X, T ) è uno spazio topologico e Y un insieme qualsiasi, e se f : X −→ Y è una applicazione suriettiva, possiamo definire su Y una topologia, che si dice topologia quoziente come segue: Q = {U ⊂ Y | f −1 (U ) ∈ T } In questo modo la mappa f diviene continua per definizione. Lo spazio Y si dice spazio topologico quoziente. Fare il quoziente di uno spazio topologico equivale ad identificare fra loro i punti di un suo sottospazio: in effetti se y ∈ Y , i punti dell’insieme f −1 (y) ⊂ X vengono, tramite f , tutti identificati in y. 31 2.1. Spazi topologici 2.1.21 Esempio Consideriamo R con la sua topologia naturale e l’insieme S 1 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} (si tratta della circonferenza in R2 ). La funzione f : R −→ S 1 f (t) := e2πit è ovviamente suriettiva; inoltre se f (t) = (x, y) allora, per ogni n ∈ Z, f (t + n) = (x, y); cioè f identifica i punti che abbiano distanza intera fra loro, e quindi possiamo scrivere S 1 = R/Z intendendo che lo spazio quoziente S 1 è ottenuto identificando fra loro i punti del sottospazio Z in R. S 1 si dice anche toro di dimensione 1 e si denota pure T. La categoria T op degli spazi topologici ha per oggetti gli spazi topologici e per morfismi le applicazioni continue: evidentemente due spazi vanno considerati equivalenti dal punto di vista topologico se sono omeomorfi, i.e. se esiste un omeomorfismo fra essi. Vogliamo definire i prodotti nella categoria degli spazi topologici. Sia X un insieme, A un insieme di indici e per ogni α∈A sia (Xα , Tα ) uno spazio topologico con una funzione fα : X −→ Xα . 2.1.22 Definizione La topologia debole T su X definita dalla famiglia di funzioni {fα }α∈A è la più debole delle topologie T 0 per le quali fα : X −→ Xα sia continua per ogni α ∈ A. Una sottobase per la topologia debole è [ fα−1 (Tα ) α∈A Un esempio di topologia debole si ha proprio considerando i prodotti: siano {Xα }α∈A spazi topologici e X l’insieme prodotto cartesiano2 Y X= Xα α∈A La topologia prodotto (o di Tichonov) è la topologia debole rispetto alla famiglia di proiezioni {pα : X −→ Xα }α∈A . Una successione generalizzata {xξ }ξ∈I converge ad x in X se e solo se per ogni α ∈ A la successione {pα (xξ )}ξ∈I converge a pα (x) (non necessariamente in modo uniforme da α). 2 Ricordiamo che si tratta di un insieme non vuoto in virtù dell’assioma di scelta. 32 Capitolo 2. Topologie Se U è un intorno di x∈X, la condizione y ∈U pone restrizioni solo un numero finito di proiezioni pα1 (y), ..., pαn (y): ad esempio per definire U basta assegnare un sottoinsieme A0 finito di A e, per ogni suo elemento α0 dare un intorno Uα0 di pα0 (x) mediante le condizioni y ∈ U se pα0 (y) ∈ Uα0 Al variare di A0 e α0 si ottiene una base di intorni per la topologia prodotto su X. 2.2 Spazi compatti 2.2.1 Definizione Una famiglia di sottoinsiemi U di uno spazio topologico X si dice ricoprimento di X se [ U =X U si dice ricoprimento aperto (risp. chiuso) se è formato da sottoinsiemi aperti (risp. chiusi). La seguente definizione è fra le principali della Topologia: 2.2.2 Definizione Uno spazio topologico si dice compatto se da ogni suo ricoprimento aperto se ne può estrarre uno finito. 2.2.3 Esempio Il classico teorema di Heine–Borel afferma che i sottoinsiemi compatti di Rn sono esattamente quelli chiusi e limitati. 2.2.4 Proposizione Se X è uno spazio topologico allora sono equivalenti le: (1) X è compatto. (2) Da ogni famiglia di chiusi con l’intersezione vuota se ne può estrarre una finita con l’intersezione vuota. (3) Ogni famiglia di chiusi con la proprietà dell’intersezione finita ha intersezione non vuota. (4) Ogni successione generalizzata in X ammette una sottosuccessione convergente. (5) Ogni successione universale in X è convergente. 33 2.2. Spazi compatti Dimostrazione: L’equivalenza delle (1)-(3) è basata sulle leggi di de Morgan3 . (1) implica (2): se F è una famiglia di chiusi con l’intersezione vuota, allora, passando ai complementari, \ [ { C = {∅ =⇒ {C = X C∈F C∈F il che vuol dire che la famiglia di aperti U = {{C | C ∈ F} è un ricoprimento: per compattezza possiamo allora estrarne uno finito {{C1 , ..., {Cn }, cioè n [ i=1 {Ci = X =⇒ { n \ Ci = {∅ =⇒ n \ Ci = ∅ i=1 i=1 dunque abbiamo la famiglia finita di chiusi che volevamo. Lo stesso ragionamento, scambiando i chiusi con gli aperti, dimostra che (2) implica (1). L’equivalenza di (1) con (3) è un fatto puramente logico: dire che X è compatto vuol dire che à ! n [ [ ∀U ⊂ T X = U =⇒ ∃U1 , ..., Un ∈ U X = Ui i=1 Dato che P ⇒ Q è la stessa cosa che non Q ⇒ non P , possiamo scrivere questa definizione come ! à n [ [ Ui =⇒ X 6= U ∀ U ⊂ T ∀U1 , ..., Un ∈ U X 6= i=1 o anche, prendendo i complementari degli insiemi, come (con C indichiamo la famiglia di tutti gli insiemi chiusi di X) à ! n \ \ ∀ F ⊂ C ∀C1 , ..., Cn ∈ F ∅ 6= Ci =⇒ ∅ 6= F i=1 Quest’ultima è esattamente la (3). Per quel che riguarda l’equivalenza fra la (3) e le (4)-(5) si procede nel seguente modo: se X è compatto e {xα }α∈A una successione generalizzata in X, i chiusi Fα ; = {xα0 }α0 >α 3 Il complementare di una unione è l’intersezione dei complementari e il complementare di una intersezione è l’unione dei complementari. 34 Capitolo 2. Topologie hanno la proprietà dell’intersezione finita (essendo A un insieme diretto). Dunque per la (3) \ Fα 6= ∅ α∈A Questo insieme è esattamente l’insieme dei punti limite di {xα } e quindi, essendo non vuoto, esistono delle sottosuccessioni convergenti; inoltre, dato che gode della proprietà dell’intersezione finita, esiste una sottosuccessione universale. Viceversa, sia F è una famiglia di chiusi con la proprietà dell’intersezione finita in uno spazio topologico X, T Ge la famiglia delle sottofamiglie finite di F e, e sia dato un xG ∈ F (possiamo supporre che ciò sia possibile per ogni G ∈ G, grazie all’assioma di scelta). T Allora, se la successione {xG }G∈Ge ha un punto limite x, deve aversi x ∈ F. qed 2.2.5 Esempio R non è compatto: ci sono svariati e facili modi per vederlo: ad esempio, per la (4) della proposizione precedente: la successione {n}n∈N non possiede alcuna sottosuccessione convergente. Per determinare la compattezza esistono alcuni potenti criteri, il più importante dei quali è il teorema di Tichonov: 2.2.6 Teorema (Tichonov) Se {Xα }α∈A è una famiglia di spazi compatti allora il prodotto topologico Y X := Xα α∈A è compatto. Dimostrazione: Dimostriamo la compattezza verificando la (4) della proposizione precedente. Sia dunque {xβ }β∈B una successione generalizzata in X: costruiremo una sottosuccessione tale che, se il suo insieme di punti limite è non vuoto, sia convergente. Sia Eβ := {xβ 0 }β 0 >β La famiglia {Eβ } gode per definizione della proprietà dell’intersezione finita e soddisfa alle ipotesi del lemma di Zorn: ne segue che esiste una famiglia G ⊂ P(X) massimale rispetto alla proprietà dell’intersezione finita ed alla {Eβ }β∈B ⊂ G Se β ∈ B e M ∈ G sono tali che M ∩ Eβ 6= ∅ e se fβ,M ∈ B è tale che fβ,M > β e xfβ,M ∈ M allora l’insieme B × G è parzialmente ordinato dalla relazione (β, M ) > (β 0 , M 0 ) ⇐⇒ β > β 0 e M ⊂ M 0 35 2.2. Spazi compatti e la sottosuccessione {xfη }η∈B×G ⊂ {xβ }β∈B converge oppure non ha punti limite. Dato che Xα è compatto, la successione {pα (xfη,M )}η∈B×G (ove pα : X −→ Xα sono le proiezioni canoniche) ha un punto limite xα : definiamo allora x = (xα )α∈A ∈ X Dimostriamo che si tratta di un punto limite per {xβ }β∈B : se A0 ⊂ A è un sottoinsieme finito, e, per α ∈ A0 : Uα un intorno di xα , se \ U := p−1 α (Uα ) α∈A0 Evidentemente, al variare di α ∈ A0 e degli Uα , U descrive una base di intorni di x in X. Quindi per dimostrare che x è un punto limite per {xβ }β∈B , basta dimostrare che ∀β ∈ B Eβ ∩ U 6= ∅ i.e. che se α ∈ A0 allora p−1 α (Uα ) ∈ G (dato che G ha la proprietà dell’intersezione finita, ed Eβ ∈ G). Ma questo equivale a dimostrare che ∀α ∈ A M ∩ p−1 α (Uα ) 6= ∅ ovvero, essendo M ∈ G e G massimale, che ∀α ∈ A pα (M ) ∩ Uα 6= ∅ Ma xα è un punto limite per la successione {pα (xfη,M )}η∈B×G e Uα è un intorno di xα : quindi, per ogni η = (β, M ) ∈ B × G esiste un η 0 > η tale che pα (xfη0 ) ∈ Uα Dunque pα (M ) ∩ Uα 6= ∅. qed 2.2.7 Proposizione Se X è uno spazio topologico compatto e F ⊂ X un sottospazio chiuso allora F è compatto. Se inoltre X è di Hausdorff, un sottospazio F ⊂ X compatto è necessariamente chiuso. 36 Capitolo 2. Topologie Dimostrazione: La prima asserzione è ovvia: se F non fosse compatto esisterebbe T una famiglia G di chiusi in F con la proprietà dell’intersezione finita tale che G = ∅; ma un sottoinsieme chiuso di un sottoinsieme chiuso è chiuso, quindi la famiglia G è una famiglia di chiusi di X che ne contraddice la compattezza. Viceversa, se F è compatto in X e x ∈ F esiste una successione generalizzata {xα } ⊂ F convergente a x: dato che F è compatto la successione ammette un limite x0 ∈ F e, essendo X di Hausdorff, deve aversi x = x0 . qed 2.2.8 Proposizione Se K è compatto e f : K −→ X è continua a valori nello spazio topologico X allora l’immagine f (K) di K tramite la f è un sottospazio compatto di X. Dimostrazione: Se A è un ricoprimento aperto di f (K) allora {f −1 (U )}U ∈A è un ricoprimento aperto di K, dal quale possiamo estrarne uno {f −1 (Uα1 ), ..., f −1 (Uαn )} finito: è ovvio che allora {Uα1 , ..., Uαn } è un ricoprimento finito estratto da A. qed 2.2.9 Corollario Siano K uno spazio topologico compatto e X uno spazio di Hausdorff: (1) Una funzione continua f : K −→ R sulla retta reale (con la topologia naturale) ammette massimo e minimo. (2) Una funzione continua ed iniettiva f : K −→ X è chiusa. (3) Una funzione continua e biunivoca f : K −→ X è un omeomorfismo. Dimostrazione: (1) Dato che f (K) è compatto è chiuso e limitato in R, quindi ammette massimo e minimo per il classico teorema di Weierstrass. (2) Se F ⊂ K è chiuso è pure compatto, quindi lo è f (F ) che risulta essere chiuso, perché X è di Hausdorff. (3) Segue immediatamente da (2). qed Il terzo punto del corollario fornisce un criterio utilissimo per determinare se due spazi topologici sono omeomorfi e quindi, dal punto di vista topologico, equivalenti: ad esempio 2.2. Spazi compatti 37 2.2.10 Corollario Se X è un insieme ed è uno spazio topologico rispetto a due diverse topologie T e T 0 e se rispetto alla topologia T è uno spazio compatto e rispetto alla topologia T 0 è uno spazio di Hausdorff allora la mappa identica id : (X, T ) −→ (X, T 0 ) è continua se e solo se T 0 < T . In altri termini: la topologia che rende uno spazio X compatto è minima nel reticolo delle topologie di Hausdorff su X. 2.2.11 Definizione Uno spazio topologico è localmente compatto se ogni suo punto possiede un intorno la cui chiusura è compatta. 2.2.12 Esempio Rn è localmente compatto, perché se x ∈ Rn basta considerare l’intorno {y ∈ Rn | |x − y| ≤ 1}, che è compatto, essendo una sfera (chiuso e limitato in Rn ). 2.2.13 Teorema Uno spazio localmente compatto è regolare. Dimostrazione: Se x ∈ X e F ⊂ X è un chiuso (non contenente x), allora x appartiene all’aperto X \ F e, per locale compattezza, esiste un intorno Vx di x a tale che Vx ⊂ X \ F , quindi Vx ∩ F = ∅. Ora costruiamo un aperto che contenga F e sia disgiunto da Vx : se y ∈F esiste certamente un intorno US y di y disgiunto da Vx (dato che X è in particolare T2 e Vx è compatto) e UF := y∈F Uy è l’aperto richiesto. qed 2.2.14 Definizione Se X è uno spazio topologico, una compattificazione per X è uno spazio compatto CX dotato di una immersione continua i : X ,→ CX tale che i(X) = CX. Lo spazio Rn non è compatto, mentre lo spazio proiettivo PnR sı̀: lo spazio proiettivo si può ottenere quozientando la sfera S n ⊂ Rn+1 identificandone i punti antipodali: questa è una mappa continua e la sfera è compatta, quindi, per la proposizione 2.2.8, il quoziente è compatto; dato che PnR può vedersi come Rn con aggiunto un “piano improprio”, vediamo che si tratta di una sua compattificazione. 2.2.15 Definizione Se X è uno spazio topologico, una sua compattificazione di Alexandroff (o compattificazione a un punto) è una compattificazione X 0 = X ∪ {ξ} ottenuta aggiungendo un punto ξ all’insieme X e dotando l’unione X ∪ {ξ} di una topologia per la quale ξ non sia un punto isolato. L’esempio più elementare è la sfera S n , che è la compattificazione a un punto dello spazio Rn . 38 Capitolo 2. Topologie 2.2.16 Teorema (Alexandroff) Uno spazio topologico X ammette una compattificazione di Alexandroff se e solo se è localmente compatto. In questo caso la topologia di X determina univocamente la topologia di X 0 e, come sottospazio di X 0 , X ha la topologia relativa. Dimostrazione: Se X 0 = X ∪ {ξ} è una compattificazione di Alexandroff di X, X è aperto in X 0 (ovviamente ogni suo punto contiene un intorno interamente contenuto in X): in particolare, per ogni x∈X esiste un intorno Ux nella topologia di X 0 ; essendo X 0 compatto, anche Ux lo è, quindi ogni punto di x ha un intorno a chiusura compatta. Viceversa, sia X è localmente compatto (diciamo T la sua topologia) e consideriamo sull’insieme X 0 = X ∪ {ξ} la topologia T 0 := T ∪ {A ∪ {ξ} | A ∈ T e X \ A compatto} (la famiglia degli aperti il cui complementare sia compatto è non vuota per locale compattezza di X). Che si tratti di una topologia su X 0 è immediato. Verifichiamo che è compatta: se {Uα } è un ricoprimento di X 0 , deve esistere un Uα0 contenente ξ e quindi Uα0 = A ∪ {ξ} per un certo aperto di X a complementare compatto. Ma allora il ricoprimento {Uα } \ {Uα0 } ricopre X \ A, che è compatto, quindi se ne può estrarre un ricoprimento finito: aggiungendo a questo ricoprimento finito l’insieme {Uα0 } si ottiene un sottoricoprimento finito di {Uα }. Quindi X 0 è compatto. qed Evidentemente la compattificazione di Alexandroff di uno spazio localmente compatto è unica a meno di omeomorfismi: si tratta effettivamente di un funtore: 2.2.17 Definizione Una funzione f : X −→ Y fra spazi topologici si dice propria se per ogni compatto K ⊂ Y , f −1 (K) è compatto. Le funzioni proprie sono esattamente quelle estendibili da uno spazio compatto alla sua compattificazione di Alexandroff in modo che i punti aggiunti nella compattificazione si corrispondano: quindi la compattificazione di Alexandroff è un funtore dalla categoria i cui oggetti sono gli spazi di Hausdorff localmente compatti ed i cui morfismi le funzioni proprie nella categoria i cui oggetti sono gli spazi compatti ed i morfismi le funzioni continue. Osserviamo che X è Hausdorff se e solo se X 0 lo è. 2.3 Spazi normali e generalizzazioni della compattezza Ricordiamo che uno spazio topologico X è normale se è T1 ed è possibile separare due chiusi disgiunti in X con aperti disgiunti. 2.3. Spazi normali e generalizzazioni della compattezza 39 2.3.1 Proposizione Uno spazio di Hausdorff X compatto è normale. Dimostrazione: Se F1 , F2 ⊂ X sono chiusi e disgiunti e sia y2 ∈ F2 . Allora, essendo X di Hausdorff, per ogni x ∈ F1 esistono intorni disgiunti Ux (y) di y e Uy (x) di x: per compattezza di F1 (è un chiuso in un compatto), dal ricoprimento {Uy (x)}x∈F1 se ne può estrarre uno finito {Uy (x1 ), ..., Uy (xn )}. Poniamo Ay := Uy (x1 ) ∪ ... ∪ Uy (xn ) ⊃ F1 Wy := Ux1 (y) ∪ ... ∪ Uxn (y) Per definizione Wy è un intorno di y e per compattezza di F2 dal ricoprimento {Wy }y∈F2 possiamo estrarne uno finito {Wy1 , ..., Wym }. Poniamo allora A1 := Ay1 ∩ ... ∩ Aym A2 := Wy1 ∪ ... ∪ Wym A1 e A2 sono ovviamente aperti disgiunti, tali che F1 ⊂ A1 e F2 ⊂ A2 . qed 2.3.2 Lemma (Urysohn) Se X è uno spazio normale e F0 , F1 ⊂ X chiusi disgiunti in X allora esiste una funzione continua f : X −→ [0, 1] tale che f |F1 = 0 e f |F2 = 1. Dimostrazione: Notiamo intanto il 2.3.3 Sublemma Se F è un chiuso e A è un aperto in X tali che F ⊂ A allora esiste un aperto B ⊂ X tale che F ⊂B⊂B⊂A Infatti i chiusi F e {A sono disgiunti e quindi per normalità di X esistono due aperti disgiunti B ⊃ F e B 0 ⊃ {A che li separano. Dunque B ∩ B 0 = ∅ e F ⊂ B ⊂ {B 0 ⊂ A. Usiamo questo fatto nel caso in cui F = F0 e A = A1 = {F1 : esiste allora un aperto A0 tale che F0 ⊂ A0 ⊂ A0 ⊂ A1 = {F0 Applichiamo nuovamente il sublemma con F = {A0 e A = A1 ottenendo un aperto A 1 . Iterando il procedimento, possiamo costruire per ogni numero razionale 2 diadico r ∈ [0, 1] (i.e. della forma k/2n con k = 0, ..., 2n ) un aperto Ar tale che ∀s > r Ar ⊂ As 40 Capitolo 2. Topologie Poniamo quindi per ogni numero reale t ∈ [0, 1]: [ Ay := Ar r≤t r razionale diadico Evidentemente si ha ancora la proprietà (M ) ∀u > t At ⊂ Au Se 0 ≤ t1 < t2 ≤ 1 e r1 , r2 sono razionali diadici tali che t1 < r1 < r2 < t2 allora At1 ⊂ Ar1 e Ar2 ⊂ At2 per definizione, mentre per la proprietà (M): Ar1 ⊂ Ar2 Se poniamo e ( 1 f (x) := inf x∈At t At1 ⊂ At2 se x ∈ F1 se x ∈ A1 allora f : X −→ [0, 1] è una funzione che, ristretta a F0 vale identicamente 0 (dato che F0 ⊂ A0 ) e che ristretta a F1 vale identicamente 1. Resta da provare che è continua. Dimostriamo quindi che la controimmagine f −1 (t1 , t2 ) di un intervallo aperto di [0, 1] è un aperto di X. Intanto, se t, t0 ∈ [0, 1]: f −1 (t0 , t) ⊂ At \ At0 ⊂ f −1 [t0 , t] Infatti se x ∈ At ⊂ At allora f (x) ≤ t e, viceversa, se f (x) < t0 deve aversi x ∈ At0 . Se quindi t < f (x) e t0 ≤ f (x) si ha che x ∈ / At ∪ At0 e, per la (M) si hanno le inclusione volute. A questo punto non resta che osservare che [ f −1 (t1 , t2 ) = At \ At0 t2 <t0 <t<t1 e che At \ At0 è ovviamente aperto. qed Ovviamente non è necessario che il codominio della funzione sia l’intervallo [0, 1]: se consideriamo un intervallo [a, b] evidentemente la funzione ga,b (x) := (b − a)f (x) + a ha valori in [a, b] ed è tale che g|F0 = a e g|F1 = b. 2.3.4 Teorema (Tietze) Se X è uno spazio normale, A un chiuso in X e f : A −→ R una funzione continua e limitata allora esiste una funzione continua F : X −→ R tale che F |A = f e supa∈A |f (a)| = supx∈X |F (x)|. 2.3. Spazi normali e generalizzazioni della compattezza 41 Dimostrazione: Costruiremo la funzione F come limite di una opportuna successione; poniamo f0 := f e, per a0 := supa∈A |f (a)|: n n a0 o a0 o A0 := a ∈ A | f0 (a) ≤ − e B0 := a ∈ A | f0 (a) ≥ 3 3 Evidentemente A0 e B0 sono chiusi e disgiunti: per il lemma di Urysohn esiste quindi una funzione continua g0 : X −→ R tale che |g0 (x)| ≤ a30 e ( − a0 se x ∈ A0 g0 (x) = a0 3 se x ∈ B0 3 Poniamo ora f1 := f0 −g0 : si tratta di una funzione continua a valori reali tale che a1 := supa∈A |f1 (a)| ≤ 23 a0 . Iterando allora il procedimento possiamo costruire degli insiemi chiusi e disgiunti A1 e B1 ed una funzione g1 con |g1 | ≤ a31 che valga −a1 /3 su A1 e a1 /3 su B1 , e cosı̀ via. Quello che si ottiene è una successione {fn } di funzioni reali e continue su A ed una successione {gn } di funzioni reali e continue su X tali che an fn+1 = fn − gn e |gn (x)| ≤ 3 2 con an+1 ≤ 3 an e an := supa∈A |fn (a)|. Quindi µ ¶n µ ¶n 2 a0 2 a0 e |gn (x)| ≤ |fn (a)| ≤ 3 3 3 P Ne segue che la serie n≥0 gn (x) = converge assolutamente ed uniformemente ad una funzione F perciò continua e reale su X. Ovviamente ∞ µ ¶n X 2 a0 |F (x)| ≤ = a0 3 3 n=0 Si noti che, se x ∈ A, per definizione si ha F (x) = f0 (x) = f (x). qed In particolare, per la proposizione data in precedenza, il teorema di Tietze si applica agli spazi compatti di Hausdorff: in questo caso non è necessario assumere che f sia limitata, visto che, essendo continua e definita in un compatto, deve esserlo necessariamente. Consideriamo ora collezioni di funzioni su uno spazio X localmente compatto di Hausdorff: ricordiamo che, se f : X −→ R, il supporto si f è l’insieme chiuso supp f := {x ∈ X | f (x) 6= 0} Diciamo che una collezione {ϕα } di funzioni continue reali su X è subordinata ad un ricoprimento {Aβ } di aperti di X se per ogni α esiste un β tale che supp ϕα ⊂ Aβ . 42 Capitolo 2. Topologie 2.3.5 Teorema (Partizione dell’unità) Sia X uno spazio localmente compatto di Hausdorff, K in sottoinsieme compatto e {Aα } un ricoprimento aperto di K; allora esiste una collezione finita {ϕ1 , ..., ϕn } di funzioni continue reali non negative subordinate alla collezione {Aα } e tali che ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕn = 1 su K. Dimostrazione: Sia A un aperto tale che K ⊂ A e A sia compatto; allora per ogni k ∈ K esiste una funzione continua reale fk tale che (1) per ogni x ∈ X: 0 ≤ f (x) ≤ 1; (2) fk (k) = 1 (3) esiste β tale che supp fk ⊂ A ∩ Aβ . Per ciascun k ∈ A \ K sia gk la funzione reale continua tale che (1) per ogni x ∈ X: 0 ≤ g(x) ≤ 1; (2) gk (k) = 1 (3) supp gk ⊂ {K Ma A è compatto, quindi esiste un numero finito di funzioni f1 ,...,fn ,g1 ,...,gm tali che gli insiemi sui quali assumano valori positivi ricoprano A. Poniamo allora f := n X fi e g := m X gj j=1 i=1 Si ha ovviamente che, su K, f > 0, supp f ⊂ A e su A: f + g > 0 e g|K = 0. Quindi f f +g è continua e ristretta a K è identicamente 1: basta prendere allora ϕi := fi f +g per avere la tesi qed 2.3. Spazi normali e generalizzazioni della compattezza 43 La costruzione effettuata in questa proposizione può farsi, ad esempio in Rn , considerando funzioni differenziabili e non semplicemente continue. In questo caso la possibilità di definire una partizione dell’unità differenziabile4 è legata ad un’altra proprietà di Rn che si può assiomatizzare per uno spazio topologico qualunque: 2.3.6 Definizione Una famiglia U di sottoinsiemi di uno spazio topologico X si dice localmente finita se per ogni x∈ esiste un intorno U 3 x la cui intersezione con gli elementi di U sia non vuota solo per un numero finito di essi. Uno spazio topologico si dice paracompatto se ogni ricoprimento aperto possiede un raffinamento localmente finito. Ricordiamo che un raffinamento di un ricoprimento U è un ricoprimento V tale che ogni elemento di V è contenuto in qualche elemento di U: in questo modo la relazione di raffinamento introduce un ordine parziale fra i ricoprimenti di uno spazio. Ovviamente uno spazio compatto è paracompatto; uno spazio localmente compatto non è necessariamente paracompatto, ma lo è se possiede un’altra proprietà che generalizza la compattezza: 2.3.7 Definizione Uno spazio topologico è σ-compatto se è unione numerabile di sottospazi compatti. Vale allora il 2.3.8 Lemma Se X è uno spazio di Hausdorff localmente compatto allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: (1) Da ogni ricoprimento aperto di X se ne può estrarre uno numerabile (uno spazio con questa proprietà si dice di Lindelöf). (2) X è σ-compatto. (3) Esiste una successione {An } di aperti a chiusura compatta tali che: An ⊂ An+1 e X= [ An n (4) Esiste una funzione continua e propria ϕ : X −→ (0, ∞). 4 Cosa per la quale si rimanda ai testi specialistici di Geometria Differenziale, ad esempio [17], pp. 272–274. 44 Capitolo 2. Topologie Dimostrazione: (1) implica (2) dato che se X si può ricoprire con una famiglia di aperti a chiusura compatta (essendo localmente compatto) allora possiamo estrarne un sottoricoprimento numerabile le chiusure dei cui elementi forniscono la famiglia numerabile desiderata. S (2) implica (3) perché se X = n Kn con Kn compatti, possiamo prendere come A1 un aperto a chiusura compatta tale che K ⊂ A1 e procedere induttivamente, prendendo come An un aperto a chiusura compatta contenuto in Kn ∪An−1 ottenendo cosı̀ la successione voluta. (3) implica (4) ovviamente: basti prendere una famiglia {ϕn } di funzioni reali a supporti contenuti in An e tali che ϕn |An−1 = 1 e porre ∞ X ϕ := (1 − ϕn ) n=1 Infine (4) implicaS (1) perché se ϕ : X −→ (0, ∞) è una mappa propria continua allora X = n Kn con Kn = ϕ−1 ([0, n]): si tratta di compatti perché ϕ è propria. Dunque ogni ricoprimentoSaperto U di X ammette un sottoricoprimento finito Un che ricopre Kn e quindi n Un è il ricoprimento numerabile richiesto. qed 2.3.9 Teorema Se X è uno spazio localmente compatto e σ-compatto allora è paracompatto. Dimostrazione: Sia U un ricoprimento aperto di X e {An } una famiglia come nella (3) del teorema precedente. Se Un è la famiglia degli insiemi Un = {U ∩ (An+1 \ An−2 )}U ∈U allora ogni Un è un raffinamento di U ed è un ricoprimento degli insiemi compatti fn A − n \ An−1 : quindi, per compattezza, possiede un sottoricoprimento finito U S S f di Kn . Ma X = n Kn , quindi V := n Un è un ricoprimento numerabile di X ed è un raffinamento di U. Ora, dato che per ogni x ∈ X esiste n ∈ N tale che x ∈ An \ An−2 e dato che fk (che questi aperti possono intersecare soltanto quattro elementi della famiglia U è una famiglia finita) ne segue che An \ An−2 interseca solo un numero finito di elementi di V. In altre parole, V è localmente finito. qed 2.4 Spazi connessi e localmente connessi Una nozione fondamentale che abbiamo trascurato fin qui è quella di spazio connesso. 2.4. Spazi connessi e localmente connessi 45 2.4.1 Definizione Uno spazio topologico (X, T ) si dice connesso non è unione di due suoi aperti A, B ∈ T disgiunti (A ∩ B = ∅) non banali. In altri termini, se X = A ∪ B con A, B ∈ T e A ∩ B = ∅ allora A e B devono essere ∅ o X. 2.4.2 Proposizione Uno spazio è connesso se e solo se non esistono sottoinsiemi S propri (S 6= X, ∅) tali che S sia aperto e chiuso allo stesso tempo. Dimostrazione: In effetti se S è chiuso e aperto allora X = S ∪ {S è unione di aperti propri disgiunti e quindi non è connesso. Se X non è connesso allora esistono A, B ∈ T con A ∩ B = ∅ e X = A ∪ B: ma allora A = {B è chiuso (essendo il complementare di un aperto) e aperto (per ipotesi). qed 2.4.3 Esempio Un insieme X non ridotto ad un sol punto (e.g. X = N) con la topologia discreta non è connesso. Diamo qualche altro esempio di di insieme connesso. 2.4.4 Teorema Un segmento [a, b] ⊂ R è connesso. Dimostrazione: Sia per assurdo5 [a, b] = A ∪ B con A ∩ B = ∅ aperti e supponiamo ad esempio a ∈ A; allora, si ricordi che A è aperto, i segmenti [a, ε) per ε abbastanza piccolo sono contenuti in A; possiamo allora considerare il sup di questi ε: sia esso a0 . Ovviamente a0 6= b (altrimenti [a, b) ⊂ A e quindi A = [a, b] dato che B deve essere aperto e quindi non può essere {b}). Dunque: a0 ∈ / B (perché A e B sono aperti disgiunti); quindi deve essere 0 a ∈ A. Ma allora esiste un intorno di a0 contenuto in [a, b) (a 6= b) e quindi deve esistere un a00 > a0 tale che [a, a00 ) ⊂ A, il che è assurdo per definizione di a0 . Ne segue che a0 ∈ A e quindi A = [a, b] e B = ∅. qed Dalla seguente combinazione di proposizione e teorema segue in particolare la connessione degli spazi Rn : 2.4.5 Proposizione Se f : X −→ Y è continua fra spazi topologici e X è connesso allora f (X) è connesso. 5 Quasi tutte le dimostrazioni sugli spazi connessi si fanno per assurdo... 46 Capitolo 2. Topologie Dimostrazione: Sia f (X) = A ∪ B con A, B aperti disgiunti in f (X) (con la topologia relativa di X); allora f −1 (A), f −1 (B) sono aperti in X (dato che f è continua) tali che X = f −1 (f (X)) = f −1 (A)∪f −1 (B) e f −1 (A)∩f −1 (B) = f −1 (A∩B) = ∅ Ne segue che X non è connesso. qed Questa proposizione implica che la connessione è una proprietà topologica: se X e Y sono omeomorfi allora X è connesso se e solo se Y è connesso. 2.4.6 Teorema Un sottoinsieme convesso X ⊂ Rn è connesso. Dimostrazione: Per assurdo, sia X = A ∪ B e siano a ∈ A e b ∈ B; allora, dato che X è convesso, il segmento ab è contenuto in X e quindi ab = (ab∩A)∪(ab∩B) contraddice la connessione del segmento ab (per la proposizione e la connessione di un segmento in R). qed n In particolare R è convesso, quindi è connesso. Inoltre il classico teorema di Bolzano del valor medio ammette una generalizzazione agli spazi connessi: 2.4.7 Teorema Se f : X −→ R è una funzione continua da uno spazio topologico connesso alla retta reale, e se x, y ∈ X e c ∈ R sono tali che f (x) < c < f (y) allora esiste z ∈ X tale che f (z) = c. Dimostrazione: Se un tale z non esistesse, gli insiemi f −1 ((−∞, c)) e f −1 ((c, ∞)) sarebbero aperti disgiunti in X e X ne risulterebbe unione, il che è assurdo perché è connesso. qed Il seguente criterio è utile per verificare la connessione di uno spazio: 2.4.8 Proposizione Uno spazio X è connesso se per ogni x, y ∈ X esiste un sottospazio C ⊂ X connesso tale che x, y ∈ C. Dimostrazione: Sia X non è connesso per mezzo della decomposizione in aperti X = A ∪ B (A ∩ B)∅), e siano a ∈ A e b ∈ B; allora esiste per ipotesi un connesso C contenente sia a che b. Gli insiemi A − 1 = A ∩ C e B1 = B ∩ C sono aperti e non vuoti in C (rispetto alla topologia relativa di C) ed ovviamente C = C ∩ X = C ∩ (A ∪ B) = A1 ∪ B1 . Quindi C non è connesso, dato che A1 ∩ B1 ⊂ A ∩ B = ∅, il che è assurdo. qed 2.4. Spazi connessi e localmente connessi 47 Possiamo limitare la scelta di C, nella proposizione precedente, alle curve: 2.4.9 Definizione Un cammino fra x e y in uno spazio topologico X è una funzione continua c : [0, 1] −→ X tale che c(0) = x e c(1) = y. 2.4.10 Esempio Una curva nel piano è un esempio di cammino: dato che [0, 1] è connesso l’immagine di un cammino è connessa, e quindi soddisfa le ipotesi della proposizione precedente. 2.4.11 Definizione Uno spazio topologico X è connesso per archi se per ogni x, y ∈ X esiste un cammino fra x e y. Possiamo allora riformulare il criterio precedente come 2.4.12 Teorema Uno spazio connesso per archi è connesso. Si danno tuttavia esempi di insiemi connessi ma non connessi per archi: 2.4.13 Esempio Si consideri il sottoinsieme di R2 [ µ1 ¶µ1 ¶ ,0 , 1 ∪ (0, 1) X = (0, 0)(1, 0) ∪ n n n≥1 (il lettore dovrebbe provare a disegnarlo) ove P Q denota il segmento che unisce i punti P e Q: allora X è connesso, ma il punto (0, 1) non può essere connesso da alcun cammino agli altri punti di X. 2.4.14 Teorema Il prodotto di due spazi connessi è connesso. Dimostrazione: Siano X e Y gli spazi connessi in questione e supponiamo che X × Y = A ∪ B con A, B aperti disgiunti (propri). Possiamo supporre che A sia connesso (se A = A1 ∪ A2 consideriamo A = A1 e B = A2 ∪ B, e cosı̀ via fino ad ottenere A connesso). Ora, se (x, y) ∈ A ⊂ X × Y i sottoinsiemi di X × Y dati da {x} × Y e X × {y} sono connessi (perché omeomorfi a Y e X rispettivamente); quindi {x} × Y ∩ A ⊂ A e X × {y} ∩ A ⊂ A (dato che A è connesso). Dunque, avendosi [ X ×Y = X × {y0 } y0 ∈Y esprimiamo X × Y come unione di sottoinsiemi di A, per cui B = ∅, il che è assurdo. qed Questo teorema si estende, col medesimo ragionamento, al prodotto di insiemi qualsiasi. 48 Capitolo 2. Topologie Ora osserviamo che se uno spazio è connesso, è naturale tentare di decomporlo in sottospazi connessi, come si è fatto nella dimostrazione del teorema precedente. Se x∈X possiamo considerare la famiglia di tutti i sottoinsiemi connessi di X che contengono x: dato che, per la proposizione 2.4.8, l’unione di due insiemi connessi è connessa, l’insieme unione Cx della famiglia dei connessi che contengono x è un insieme connesso “massimale” contenente x: ogni insieme più grande che contenga x non può essere connesso. Chiamiamo Cx componente connessa di X contenente y; ovviamente ∀y ∈ Cx Cy = Cx Inoltre la relazione x ∼ y ⇐⇒ Cx = Cy è di equivalenza, e le componenti connesse ne sono le classi. Si noti che, se x, y ∈ X allora o Cx = Cy oppure Cx ∩ Cy = ∅. Evidentemente una componente connessa è chiusa, dato che Cx è un connesso contenente Cx e quindi deve coincidere con esso. Quindi 2.4.15 Teorema Uno spazio topologico è unione disgiunta delle sue componenti connesse. Osserviamo che una componente connessa Cx non è necessariamente un aperto: tuttavia S se lo spazio X ha un numero finito di componenti connesse, allora X = Cx ∪ y∈C / x Cy e quindi il complementare di Cx è una unione finita di chiusi, quindi un chiuso, quindi Cx è aperto. Si osservi inoltre che il numero di componenti connesse (in generale un numero cardinale) è un invariante topologico dello spazio. 2.4.16 Definizione Uno spazio topologico si dice localmente connesso se possiede una base formata da connessi. (In modo equivalente, ogni suo punto contiene un sistema di intorni connessi). Non è affatto detto che uno spazio connesso sia localmente connesso: vale infatti il 2.4.17 Teorema Uno spazio topologico X è localmente connesso se e solo se, per ogni A aperto in X le componenti connesse di A sono aperti. Questo segue dalla definizione: ogni aperto è unione di elementi di una base, che può supporsi connessa. 2.5. Spazi semplicemente connessi 49 2.4.18 Esempio Lo spazio connesso ma non connesso per archi [ µ1 ¶µ1 ¶ X = (0, 0)(1, 0) ∪ ,0 , 1 ∪ (0, 1) n n n≥1 visto in precedenza, non è neanche localmente connesso: infatti il punto (1, 0) non possiede nessun sistema di intorni connessi. I concetti di connessione e locale connessione sono quindi indipendenti: è infatti facile esibire spazi localmente connessi ma non connessi, non connessi e non localmente connessi e connessi e localmente connessi. 2.5 Spazi semplicemente connessi Abbiamo visto come considerare cammini su uno spazio topologico sia utile, ad esempio nel dimostrarne la connessione: è naturale chiedersi se la scelta di un cammino possa essere arbitraria e, altrimenti, come distinguere fra cammini che uniscano gli stessi punti. Una nozione utile per questo è la seguente 2.5.1 Definizione Due cammini c, c0 : [0, 1] −→ X che congiungano due stessi punti x e y (i.e. c(0) = c0 (0) = x e c(1) = c0 (1) = y) si dicono omotopi se esiste una funzione continua F : [0, 1] × [0, 1] −→ X tale che ∀t ∈ [0, 1] F (t, 0) = c(t) e F (t, 1) = c0 (t) e ∀s ∈ [0, 1] F (0, s) = x e F (1, s) = y Si scrive c ≈ c0 e si dice che F è una omotopia fra i due cammini x e y. Intuitivamente due cammini sono omotopi se è possibile deformare (in modo continuo) l’uno sull’altro. Questa nozione è particolarmente significativa se i cammini sono cicli i.e. se x = y: allora li immaginiamo come due “cappi” che abbiano un punto in comune. In particolare, se c0 (t) := x è il cammino costante cioè il cappio “degenere” che coincide con x, un cammino è omotopo a c0 se è possibile “contrarlo” fino a farlo sparire nel punto x: ad esempio questo non è possibile se il cammino c racchiude un “buco” dello spazio: Ovviamente l’omotopia è una relazione di equivalenza, e l’insieme delle classi di equivalenza di cammini chiusi su un punto x0 si denota con π1 (X, x0 ), e si dice gruppo fondamentale. Infatti vale il 50 Capitolo 2. Topologie 2.5.2 Teorema Rispetto alla composizione di cammini ( c(2t) se 0 ≤ t ≤ 12 cc0 (t) = c0 (2t − 1) se 12 ≤ t ≤ 1 le classi di omotopia di cammini su un punto fissato formano un gruppo (potrebbe essere un interessante esercizio per il lettore) con inverso c−1 (t) = c(1 − t) e con identità data dal cammino costante x0 . Dimostrazione: Scriviamo esplicitamente le omotopie per dei cammini nelle classi di equivalenza di π1 (X, x0 ): per dimostrare l’associatività del prodotto di cammini c, c0 , c00 definiamo  ¡ ¢ 4t  se 0 ≤ t ≤ 14 (s + 1) c s+1 F (t, s) := c0 (4t − s − 1) se 14 (s + 1) ≤ t ≤ 14 (s + 2)   00 ¡ 4t−s−2 ¢ c se 14 (s + 2) ≤ t ≤ 1 2−s che stabilisce una omotopia fra (cc0 )c00 e c(c0 c00 ). Per dimostrare che il cammino costante x0 è l’elemento neutro definiamo ( ¡ ¢ 2t se 0 ≤ t ≤ s+1 c s+1 2 F (t, s) = x0 se s+1 ≤ t ≤ 1 2 Infine il fatto che [c−1 ] è l’inverso di [c] segue definendo   se 0 ≤ 2t ≤ s c(2t) F (t, s) = c(s) se s ≤ 2t ≤ 2 − s   −1 c (2t − 1) se 2 − s ≤ 2t ≤ 2 qed Si verifica facilmente che, se lo spazio X è connesso per archi, al variare del punto x0 , i gruppi fondamentali π1 (X, x0 ) sono isomorfi, e che quindi si può parlare del gruppo fondamentale di uno spazio topologico connesso per archi: in effetti se x − 1 è un altro punto e γ un cammino che connetta x0 con x1 allora la mappa γ∗ : [c] 7−→ [γcγ −1 ] è un isomorfismo fra i gruppi fondamentali π1 (X, x0 ) e π1 (X, x1 ) (il suo inverso è infatti (γ −1 )∗ ). 51 2.5. Spazi semplicemente connessi Osserviamo che, se f : X −→ Y è una mappa continua fra spazi connessi per archi tale che f (x0 ) = y0 allora esiste un morfismo di gruppi f∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 ) dato semplicemente da f∗ ([c]) := [f ◦ c] La mappa non dipende che dalla classe di omotopia: se c0 ≈ c allora esiste una omotopia F fra c e c0 allora f ◦ F è una omotopia fra f ◦ c e f ◦ c0 . Evidentemente, se X = Y allora (idX )∗ = idπ1 (X,x0 ) e se f : X −→ Y e g : Y −→ Z sono continue e f (x0 ) = y0 e g(y0 ) = z0 allora (g ◦ f )∗ = g∗ f∗ Dunque π1 (−, x0 ) è un funtore covariante dalla categoria degli spazi topologici con un punto fissato (i cui oggetti sono le coppie (X, x0 ) e i cui morfismi le mappe continue f : X −→ Y tali che f (x0 ) = y0 ) nella categoria dei gruppi. 2.5.3 Definizione Uno spazio topologico si dice semplicemente connesso se è connesso per archi ed il suo gruppo fondamentale è banale (i.e. è ridotto all’identità {e}). Vedremo fra breve come gli spazi Rn siano semplicemente connessi; prima introduciamo il concetto di omotopia fra mappe. 2.5.4 Definizione Due mappe continue f, g : X −→ Y fra spazi topologici sono omotope se esiste una mappa continua F : X × [0, 1] −→ Y tale che ∀x ∈ X F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x) e si scrive f ≈ g. Se X = [0, 1] otteniamo il concetto di omotopia fra cammini: quindi due mappe sono omotope se le loro immagini possono essere “deformate” l’una sull’altra. Di nuovo l’omotopia fra mappe è una relazione di equivalenza sull’insieme delle funzioni continue da X in Y . Questa nozione può generalizzarsi ulteriormente come segue: 52 Capitolo 2. Topologie 2.5.5 Definizione Due mappe continue f, g : X −→ Y fra spazi topologici sono omotope relativamente ad un sottoinsieme A ⊂ X fissato se esiste una mappa continua F : X × [0, 1] −→ Y tale che ∀x ∈ X F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x) e ∀a ∈ A ∀t ∈ [0, 1] F (a, t) = f (a) = g(a) e si scrive f ≈A g. In particolare due mappe omotope relativamente a A coincidono su A. Se A = ∅ ritroviamo la definizione di omotopia precedente. Il seguente risultato è immediata conseguenza della definizione: 2.5.6 Teorema Se f, g : X −→ Y sono omotope relativamente all’insieme {x0 } ⊂ X allora f∗ = g∗ . Cioè f e g inducono lo stesso omomorfismo di gruppi π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y.y0 ) ove y0 = f (x0 ) = g(x0 ). 2.5.7 Definizione Un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio topologico si dice retratto di X se esiste una mappa continua r : X −→ A tale che pre ogni a ∈ A r(a) = a. r si dice ritrazione. Si tratta di una nozione molto forte: ad esempio il cerchio S 1 = {(x, y) | x2 + y 2 = 1} è un retratto del piano “bucato” R2 \ 0: basta considerare r(x, y) := x2 1 (x, y) + y2 Le ritrazioni sono interessanti in omotopia per il seguente motivo: se r : X −→ A è una ritrazione e i : A −→ X è l’inclusione (A ⊂ X) allora possiamo considerare, fissato un a ∈ A, i morfismi di gruppi: r∗ : π1 (X, a) −→ π1 (A, a) i∗ : π1 (A, a) −→ π1 (X, a) Dato che r ◦ i = idA allora r∗ i∗ = idπ1 (A,a) e da questo segue che i∗ è iniettivo e r∗ suriettivo6 . 6 Se i∗ ([c]) = i∗ ([c0 ]) allora [c] = r∗ (i∗ ([c])) = r∗ (i([c0 ])) = [c0 ]; se [c] ∈ π1 (A, a) allora [c0 ] = i∗ ([c]) ∈ π1 (X, a) è tale che r∗ ([c0 ]) = r∗ (i∗ ([c])) = [c]. 2.5. Spazi semplicemente connessi 53 2.5.8 Definizione Un sottoinsieme A ⊂ X è un retratto di deformazione di X se esistono una ritrazione r : X −→ A ed una omotopia F : X × [0, 1] −→ X tali che ∀x ∈ X F (x, 0) = x e F (x, 1) = r(x) e ∀a ∈ A ∀t ∈ [0, 1] F (a, t) = a In altre parole, A è un retratto di deformazione se esiste una ritrazione r : X −→ A che sia omotopa all’identità X −→ X. 2.5.9 Teorema Se A è un retratto di deformazione di X allora, per ogni a ∈ A, l’inclusione i : A −→ X induce un isomorfismo fra i gruppi fondamentali π1 (A, a) e π1 (X, a). Dimostrazione: Sappiamo che r∗ i∗ è l’identità: basta mostrare quindi che anche i∗ r∗ è l’identità per concludere che i∗ = r∗−1 è l’isomorfismo cercato. Ma i ◦ r è omotopo alla mappa identità per ipotesi e quindi induce l’identità in omotopia per il teorema 2.5.6. qed Questo semplice risultato è utilissimo per dimostrare che due spazi hanno lo stesso gruppo fondamentale o per contraddire questo fatto. 2.5.10 Definizione Uno spazio topologico X è contraibile se esiste un punto x ∈ X tale che {x} è un retratto di deformazione di X. Se uno spazio è contraibile, dal punto di vista dell’omotopia è sostanzialmente banale, come mostra la seguente immediata conseguenza del teorema precedente: 2.5.11 Corollario Se X è contraibile allora è semplicemente connesso. 2.5.12 Esempio Dimostriamo che ogni insieme convesso K in Rn è contraibile, e quindi che è semplicemente connesso: questo in particolare si applica a Rn stesso. Sia k0 ∈ K e definiamo una F : K × [0, 1] −→ K come F (k, t) = (1 − t)k + tk0 (k e k0 sono elementi di Rn e con tk si intende la moltiplicazione di uno scalare per un vettore). In altri termini, fissato k, F (k, t) descrive, al variare di t ∈ [0, 1] il segmento kk0 che è contenuto in K (per convessità). È immediato che F è continua e che F (k, 0) = k e F (k, 1) = k0 . Si tratta cioè dell’omotopia richiesta7 7 Si noti che il ragionamento funziona non solo con i convessi ma con i sottoinsiemi stellati, cioè tali che esista un punto k0 tale che per ogni altro punto k il segmento kk0 è completamente contenuto in K. 54 Capitolo 2. Topologie 2.5.13 Esempio La sfera S n è un retratto di deformazione di Rn+1 : basta considerare la palla piena bucata P := {x ∈ Rn+1 | 0 < |x| ≤ 1} e definire l’omotopia F : P × [0, 1] −→ P come F (p, t) = (1 − t)p + t p |p| Ora dimostriamo un risultato fondamentale: 2.5.14 Teorema Il gruppo fondamentale del cerchio è infinito ciclico: π1 (S 1 ) = Z. Dimostrazione: Consideriamo il cerchio come immerso nel piano complesso C = R2 : S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} Allora esiste una funzione continua f : R −→ S 1 f (t) := e2πit che è aperta: in effetti si tratta della proiezione di R sul quoziente S 1 = R/Z (il nucleo di f è esattamente Z ed è suriettiva). Ora necessitiamo di un lemma Lemma (del sollevamento). Se c : [0, 1] −→ S 1 è un cammino tale che c(0) = 1 ∈ S 1 ⊂ C allora (1) Esiste un unico cammino e c : [0, 1] −→ R tale che e c(0) = 0 e che f ◦ e c=c (e c si dice sollevamento di c). (2) Se c0 : [0, 1] −→ S 1 è un altro cammino con c0 (0) = 1 omotopo a c relativamente all’insieme {0, 1} ⊂ C per mezzo dell’omotopia F allora esiste un’unica omotopia Fe fra e c e ce0 relativamente all’insieme {0, 1} tale che f ◦ Fe = F (Fe si dice sollevamento di F ). Assumendo il lemma definiamo una mappa χ : π1 (S 1 , 1) −→ Z come χ([c]) := e c(1) Per il lemma questa mappa è ben definita, infatti il punto e c(1) non dipende da c ma dalla sua classe di omotopia [c] (come affermato dalla (2)). Dimostriamo che si tratta di un morfismo di gruppi: siano [c], [c0 ] ∈ π1 (S 1 , 1) e m = e c(1), n = ce0 (1); allora se γ : [0, 1] −→ R è il cammino da m a n dato da γ(t) = ce0 (t) + m 55 2.5. Spazi semplicemente connessi allora f ◦ γ = c0 e quindi e cce0 è il sollevamento di cc0 con punto iniziale 0 e punto terminale m + n. In altre parole: χ([c][c0 ]) = χ([c])χ([c0 ]) χ è ovviamente suriettivo: se n ∈ Z allora per c(t) := f (nt) si ha χ([c]) = n; infine χ è iniettivo: se χ([c]) = 0 allora e c(1) = 0 i.e. e c è un cammino chiuso in R; ma R è contraibile, quindi questo cammino è omotopo al cammino costante 0, sicché (per la (1) del lemma) c(t) = f (0) = 1 e quindi [c] è l’identità di π1 (S 1 , 1). Dunque χ è un isomorfismo di gruppi. Dimostriamo infine il lemma: ne dimostreremo ambo gli enunciati allo stesso tempo. Scriveremo Y per [0, 1] oppure per [0, 1] × [0, 1], ϕ : Y −→ S 1 per c oppure per F e 0 per 0 ∈ [0, 1] oppure per (0, 0) ∈ [0, 1] × [0, 1]. Dato che Y è compatto e ϕ continua, è uniformemente continua (teorema di Heine–Cantor) i.e. esiste δ > 0 tale che, se |y − y 0 | < δ allora |ϕ(y) − ϕ(y 0 )| < 1 In particolare ϕ(y) 6= −ϕ(y 0 ) e quindi è ben definita la funzione µ ¶ ϕ(y) λ ϕ(y 0 ) ove λ : S 1 \ {1} −→ (− 12 , 12 ) è la funzione che inverte f (determinazione del logaritmo naturale). Possiamo dunque trovare N ∈ N tale che ∀y ∈ Y Poniamo allora ϕ(y) e := λ à ϕ(y) ¡ N −1 ¢ ϕ N y ! |y| < N δ à ¡ à ¡ ¢! ¢! ϕ NN−1 y ϕ N1 y ¡ ¢ + .... + λ +λ ϕ(0) ϕ NN−2 y La funzione ϕ e : Y −→ R è ovviamente continua e tale che ϕ(0) e =0 e f ◦ϕ e=ϕ Dimostriamone ora l’unicità: nel caso ϕ = c, se esistesse ce0 : [0, 1] −→ R tale che ce0 (0) = 0 e f ◦ ce0 = c allora e c − ce0 sarebbe una funzione continua da Y nel nucleo di f i.e. in Z; ma Y è connesso, quindi anche la sua immagine per una mappa continua lo è, e se ne deduce che e c − ce0 è costante, i.e. e c = ce0 . 0 Nel caso ϕ = F , Fe è una omotopia fra c e c : lo è infatti relativamente al sottoinsieme {0, 1} e, su 0 × [0, 1]: f ◦ Fe = F = 1, quindi Fe(0 × [0, 1]) ⊂ Z e quindi, di nuovo per connessione di, Fe(0 × [0, 1]) = 0. In modo analogo anche Fe(1 × [0, 1]) è costante. qed 56 Capitolo 2. Topologie Come corollario diamo uno dei più famosi teoremi della topologia generale, una cui dimostrazione elementare si rivelerebbe sorprendentemente complicata. 2.5.15 Teorema (del punto fisso di Brouwer) Se E n = {x∈Rn | |x| ≤ 1} è la palla piena di centro l’origine e raggio 1 in Rn allora ogni mappa continua f : E n −→ E n ha un punto fisso, i.e. esiste x ∈ E n tale che f (x) = x. Dimostreremo questo teorema solo per n = 2: il caso generale richiede (seppure nei suoi sviluppi elementari) la nozione di omologia. Quello che ci serve è il seguente 2.5.16 Lemma Il cerchio S 1 non è retratto di deformazione di E 1 . Dimostrazione: Supponiamo che esista una ritrazione r : E 2 −→ S 1 tale che R|S 1 = idS 1 ; allora, se i : S 1 −→ E 2 è l’inclusione, la mappa in omotopia r∗ i∗ è l’identità del gruppo Z. Ma è π1 (S 1 ) i∗ / π (E 2 ) 1 r∗ / π (S 1 ) 1 Z i∗ /0 r∗ /Z e quindi r∗ = i∗ = 0, il che è assurdo. qed Il teorema di Brouwer si dimostra ora in modo agevolissimo: supponiamo che f : E 2 −→ E 2 non abbia nessun punto fisso: quindi per ogni x ∈ E 2 , f (x) 6= x. Possiamo dunque considerare la retta che passa pe i punti f (x) e x: questa retta incontrerà il cerchio S 1 (che è il bordo di E 2 ) in due punti; consideriamo fra questi due punti quello più vicino a x (stiamo su un segmento: basta prendere il punto di S 1 che è dall’altra parte di f (x) rispetto a x) e chiamiamolo r(x). Abbiamo cosı̀ definito una funzione r : E 2 −→ S 1 che è continua (lo è f ) e che ristretta a S 1 è l’identità, cioè una ritrazione di E 2 su S 1 , che non può esistere per il teorema precedente. qed Capitolo 3 METRICHE In molti esempi la topologia può definirsi in termini del concetto di “distanza fra due punti”, e le topologie indotte da distanze caratterizzano gli spazi utilizzati nell’analisi (spazi euclidei, di Hilbert, di Banach etc.). Richiamiamo qui le nozioni fondamentali sugli spazi metrici ponendo l’accento sulle nozioni di completezza e compattezza, e sul loro legame. 3.1 Spazi metrici 3.1.1 Definizione Se X è un insieme, una funzione d : X × X −→ R si dice metrica se (1) d(x, y) = d(y, x). (2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. (3) d(x, y) ≤ d(x, z)+ ≤ d(z, y). Uno spazio X equipaggiato di una metrica d si dice spazio metrico. Ovviamente, in uno spazio metrico (X, d): ¯ ¯ ¯d(x, z) − d(z, y)¯ ≤ d(x, y) (30 ) In particolare, d(x, y) > 0 per x 6= y. In uno spazio metrico (X, d) gli insiemi Br (x) := {y ∈ X | d(x, y) < r} si dicono palle aperte di centro x e raggio r; è immediato verificare che {Br (x)}x∈X è una sottobase di aperti per una topologia che si dice indotta dalla metrica. Ad 57 58 Capitolo 3. Metriche esempio, la topologia della retta reale è usualmente definita in questo modo, con d(x, y) = |x − y|. Si osservi che, nella topologia indotta dalla distanza, la funzione x 7−→ d(x, y) è continua per la (30 ). 3.1.2 Proposizione Uno spazio metrico è di Hausdorff. Dimostrazione: Se x, y ∈ X sono distinti e hanno distanza positiva ε = d(x, y) allora sono separabili dalle palle B 2ε (x) e B 2ε (y). In effetti se esistesse z ∈ B 2ε (x) ∩ B 2ε (y), avremmo ε = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < ε ε + 2 2 che è assurdo a meno che ε = 0 i.e. x = y. qed Oltre a R e C con le topologie naturali l’esempio fondamentale è il seguente: n n 3.1.3 Esempio L’insieme delle funzioni C[0, 1] continue sull’intervallo [0, 1] ⊂ R è uno spazio metrico rispetto alla metrica uniforme d(f, g) := max |f (x) − g(x)| x∈[0,1] Questo dovrebbe essere ben noto dai rudimenti dell’Analisi: l’unico assioma non immediato è la disuguaglianza triangolare, che segue da |f (t) − h(t)| ≤ |f (t) − g(t)| + |g(t) − h(t)| ≤ max |f (t) − g(t)| + max |g(t) − h(t)| t t È inoltre facile constatare come la convergenza in questo spazio metrico sia la convergenza uniforme delle funzioni continue. 3.1.4 Esempio Lo spazio B[0, 1] delle funzioni qualsiasi f : [0, 1] −→ R limitate è uno spazio metrico rispetto alla metrica d(f, g) := sup |f (t) − g(t)| t∈[0,1] 59 3.1. Spazi metrici 3.1.5 Esempio Siano (Xn , dn ) spazi metrici per n ∈ N; sul prodotto X= Y Xn n∈N (che è uno spazio topologico con la topologia prodotto) consideriamo la metrica d(x, y) := X 1 dn (xn , yn ) 2n 1 + dn (xn , yn ) n∈N (con xn indichiamo la n-sima componente di x: si rammenti che possiamo vedere x come una funzione N −→ X, e scriviamo xn in luogo di x(n)). t Questa d è effettivamente una distanza: più in generale, la funzione f (t) := 1+t verifica sempre la f (t + s) ≤ f (t) + f (s); inoltre è chiaro che d(x, y) = 0 implica dn (xn , yn ) = 0 e quindi xn = yn dato che le dn sono distanze, i.e. x = y. Ora questa distanza induce una topologia su X: si tratta esattamente della topologia prodotto delle topologie indotte dalle distanze dn . Per vederlo osserviamo intanto che, se Td è la topologia indotta dalla distanza d su X e T è la topologia prodotto, allora Td < T : una palla aperta in X è certo aperta in T , dato che le funzioni x 7−→ δn (x, x0 ) (con x0 fissato) sono continue e quindi Br (x0 ) è certamente aperta. Viceversa consideriamo la base di intorni di x0 ∈ X per T : ( \ ) p−1 n (Br (pn (x0 ))) n∈I I⊂N finito;r>0 (con pn : X −→ Xn denotiamo la proiezione sulla n-sima componente). Basta far vedere che ogni elemento di questa base contiene una palla aperta di Td ; si fissi quindi un elemento della base (i.e. si fissi un sottoinsieme finito I ⊂ N e un r > 0) e si prenda il massimo intero N dell’insieme I: allora 2N r ≤ r 1+r T e quindi Br (x0 ) ∈ n∈I p−1 n (Br (pn (x0 ))). Ad esempio, se ciascuno degli Xn è lo spazio metrico R con la distanza usuale, il prodotto X è lo spazio delle successioni di numeri reali. Nell’esempio precedente le funzioni pn : X −→ Xn non sono soltanto continue, ma hanno anche un’ulteriore proprietà, espressa dalla seguente 60 Capitolo 3. Metriche 3.1.6 Definizione Se (X, d) e (X 0 , d0 ) sono spazi metrici, una funzione f : X −→ X 0 si dice uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste un δε > 0 tale che, per ogni scelta di x, y ∈ X tali che d(x, y) < δε , si abbia d(f (x), f (y)) < ε Ogni funzione uniformemente continua è anche continua (per definizione!) ma non vale il viceversa: ad esempio, il classico teorema di Heine–Cantor afferma che su un compatto in R ogni funzione continua è uniformemente continua; in generale, su un intervallo qualsiasi, questo non è vero: basti considerare su [0, 1) ⊂ 1 R la funzione h(t) = 1−t . 3.1.7 Definizione Se (X, d) e (X 0 , d0 ) sono spazi metrici, una funzione f : X −→ X 0 si dice isometrica (isometria) se ∀x, y ∈ X d(f (x), f (y)) = d(x, y) Una isometria è un drastico esempio di funzione uniformemente continua: si noti ad esempio che una isometria è sempre iniettiva: f (x) = f (y) ⇒ 0 = d(f (x), f (y)) = d(x, y) ⇒ x = y Quindi se f : X −→ X 0 è una isometria, X è un “sottospazio metrico” di X 0 : se f è anche suriettiva, gli spazi metrici si dicono isometrici. Due spazi isometrici sono equivalenti dal punto di vista della teoria degli spazi metrici: sono inoltre omeomorfi, perché una isometria suriettiva f : X −→ X 0 possiede una inversa, che per definizione è pure una isometria: d(f −1 (x0 ), f −1 (y 0 )) = d(f (f −1 (x0 )), f (f −1 (y 0 ))) = d(x0 , y 0 ) e quindi continua. Se (X, d) è uno spazio metrico, x ∈ X e S ⊂ X definiamo d(x, S) := inf d(x, y) y∈S (distanza del punto x dall’insieme S). 3.1.8 Teorema Uno spazio metrico è normale. Dimostrazione: Se C, C 0 sono chiusi disgiunti in X dobbiamo trovare due aperti disgiunti che li contengano. Basta porre A := {x ∈ X | d(x, C) < d(x, C 0 )} e A0 := {x ∈ X | d(x, C 0 ) < d(x, C)} 61 3.1. Spazi metrici Dato che d è continua si tratta di due insiemi aperti. Inoltre C ⊂ A e C 0 ⊂ A0 : se x ∈ C allora 0 = d(x, C) < d(x, C 0 ) ed analogamente per C 0 . Infine A ∩ A0 = ∅: se infatti x ∈ A ∩ A0 allora d(x, C) < d(x, C 0 ) < d(x, C) (abbiamo usato nell’ordine x ∈ A e x ∈ A0 ). Assurdo. qed Questo ci permette di dare molti esempi di spazi topologici non metrizzabili: in particolare è naturale chiedersi quando uno spazio topologico è metrizzabile. La risposta è contenuta nel classico 3.1.9 Teorema (Uryshon) Uno spazio T1 , regolare a base numerabile è metrizzabile. Dimostrazione: Sappiamo già, lo abbiamo visto come esempio, che un prodotto numerabile di spazi metrizzabili è metrizzabile. Ora usiamo il seguente 3.1.10 Lemma Se X è uno spazio topologico T1 e F è una famiglia di funzioni continue f : X −→ Yf che separino punti e chiusi (i.e. per ogni x ∈ X e ogni chiuso C ⊂ X esiste una funzione Q zero in x e identicamente 1 su C) allora la mappa di valutazione e : X −→ f ∈F Yf (definita come e(x)(f ) = f (x)) è un omeomorfismo fra X e e(X). Q Dimostrazione: Se pf : f ∈F Yf −→ Yf è la proiezione sulla f -sima coordinata (che è continua) allora pf ◦ e = f è continua e quindi lo è e; inoltre è una mappa aperta: basta mostrare che l’immagine tramite e di un intorno aperto U di un punto x ∈ X contiene l’intersezione di e(X) con un intorno di e(x); si scelga per questo un elemento f ∈ F tale che f (x) ∈ / f (X \ U ) (il che è possibile per le ipotesi su F); l’insieme Y {y ∈ Yf | yf ∈ / f (X \ U )} f ∈F è aperta e la sua intersezione con e(x) è ovviamente contenuta in e(U ). Dunque e è una mappa aperta. Infine, dato che i punti di X sono chiusi, è chiaro che e è iniettiva. qed Quello che abbiamo in mente è applicare questo lemma trovando per questo una famiglia numerabile di funzioni continue definite da X a uno spazio metrico Yf che separi i punti dai chiusi: ne dedurremo che X sarà omeomorfo ad uno spazio metrico per tramite della mappa di valutazione, e quindi avremo la tesi del teorema di Uryshon. Tutto quello che ci occorre è il seguente teorema di immersione, interessante di per sé. 62 Capitolo 3. Metriche 3.1.11 Teorema Uno spazio T1 regolare a base numerabile è omeomorfo a un sottospazio del cubo di Hilbert, i.e. del prodotto topologico numerabile [0, 1]ω di copie dell’intervallo [0, 1] (che è uno spazio metrico perché lo è [0, 1]). Dimostrazione: [0, 1]ω è lo spazio delle funzioni f : N −→ [0, 1]; quindi basta dimostrare che esiste una famiglia numerabile di funzioni continue X −→ [0, 1] che separi i punti dai chiusi di X. Se B è una base numerabile per la topologia di X e A := {(U, V ) ∈ B × B | U ⊂ V } allora A è numerabile e per ogni (U, V ) ∈ A possiamo scegliere una funzione continua che sia zero su U e 1 su X \ U (lemma di Uryshon); sia F la famiglia di tutte queste funzioni continue, Ovviamente F è numerabile e non ci resta che mostrare la proprietà di separazione. Se C ⊂ X è chiuso e x ∈ X \ C scegliamo V ∈ B tale che x ∈ V ⊂ X \ C (C è una base) e U ∈ B tale che x ∈ U ⊂ V ; allora (U, V ) ∈ A e, se f è il corrispondente elemento di F, allora f (x) = 0 e f |C = 1. qed 3.2 Spazi metrici completi Il concetto di uniforme continuità non ha luogo negli spazi topologici generali, ed è mediato dalla teoria delle funzioni in R: un altro concetto che si ritrova in questa teoria è quello di successione di Cauchy. Consideriamo una successione {xn } in uno spazio metrico (X, d) che sia convergente al punto x: intuitivamente i punti xn si avvicinano (al crescere di n) a x, quindi le loro distanze reciproche dovrebbero divenire sempre più piccole: in effetti d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xn ) Dato che xn converge a x se e solo se d(x, xn ) converge a zero abbiamo che (C) lim n,m−→∞ d(xn , xm ) = 0 Una successione che goda della proprietà (C) si dice di Cauchy. Una successione di Cauchy che ammette dei punti limite converge, ed il limite è unico. Ad esempio, in R, ogni successione di Cauchy converge: si dice che R è completo nel senso della 3.2.1 Definizione Uno spazio metrico è completo se ogni successione di Cauchy converge. 63 3.2. Spazi metrici completi In generale non è vero: basti prendere Q con la metrica d(q, q 0 ) = |q − q 0 |: la successione (1+ n1 )n non converge ad alcun numero razionale, pur essendo di Cauchy. Cantor costruı̀ i numeri reali proprio aggiungendo ai razionali i limiti delle successioni di Cauchy: questo procedimento può darsi per ogni spazio metrico. 3.2.2 Esempio Il classico teorema di Weierstrass (del quale dimostreremo una profonda generalizzazione) afferma che lo spazio delle funzioni P : [0, 1] −→ R polinomiali rispetto alla metrica d(P, Q) = sup |P (t) − Q(t)| t∈[0,1] è denso in C[0, 1], quindi non è completo. 3.2.3 Esempio Lo spazio C[a, b] delle funzioni continue f : [a, b] −→ R è completo: infatti se {fn } è una successione di Cauchy, allora per ogni ε > 0 e per ogni x ∈ [a, b], esiste Nε ∈ N tale che se n, m > Nε si abbia |fn (x) − fm (x)| < ε Quindi la successione {fn } converge uniformemente ed il suo limite è dunque una funzione continue f ∈ C[a, b]. Allora per m −→ ∞ nella disugualianza precedente troviamo la |fn (x) − f (x)| ≤ ε e quindi che f è il limite di {fn } nella metrica di C[a, b]. Si noti che la completezza di uno spazio metrico è una nozione metrica e non topologica: se consideriamo lo spazio [0, 1), questo non è completo: la successione 1 − n1 è di Cauchy ma si guarda dal convergere; lo spazio [0, ∞) (sempre con la metrica abituale) è completo (facile esercizio). Ora, questi due spazi sono omeomorfi. La funzione 1 h(t) = 1−t già considerata è in effetti biunivoca e bicontinua fra [0, 1) e [0, ∞); ma non può essere una isometria (dato che la completezza è una proprietà che si conserva per isometrie). Si osservi inoltre che la successione di Cauchy 1 − n1 viene trasformata da h nella successione n − 1 che non è di Cauchy. Tutti questi accidenti derivano dall’essere h non uniformemente continua: 3.2.4 Proposizione Se f : X −→ X 0 è una funzione uniformemente continua fra spazi metrici allora l’immagine, tramite f di una successione di Cauchy in X, è una successione di Cauchy in X 0 ; inoltre se f è un omeomorfismo e sia f che f −1 sono uniformemente continue allora X è completo se e solo se X 0 lo è. (La dimostrazione si riduce ad applicare le definizioni). 64 Capitolo 3. Metriche 3.2.5 Teorema Se (X, d) è uno spazio metrico allora esiste uno spazio metrico e completo ed una isometria i : X −→ X e d) e tale che i(X) è denso in X. (X, Dimostrazione: Consideriamo l’insieme C delle successioni di Cauchy di X, e su di esso la relazione {xn }R{x0n } ⇐⇒ (†) lim d(xn , x0n ) = 0 n−→∞ Si tratta evidentemente di una relazione di equivalenza (la transitività segue da d(xn , zn ) ≤ d(xn , yn ) + d(yn , zn ) = 0) e quindi possiamo considerare l’insieme e delle classi di equivalenza di C modulo R. quoziente X e se x e una metrica d: e e se {xn } ∈ x Definiamo su X e, ye ∈ X, e e {yn } ∈ ye allora poniamo e x, ye) := lim d(xn , yn ) d(e n−→∞ Questo limite esiste perché la successione {d(xn , yn )} è di Cauchy in R: d(xn , yn ) − d(xm , ym ) ≤ d(xn , ym ) + d(ym , yn ) − d(xm , ym ) < d(xn , ym ) − d(xm , ym ) + ε ≤ d(xn , xm ) + d(xm , ym ) − d(xm , ym ) + ε < ε + ε e quindi converge, ed è ben definito perché, se {x0n } ∈ x e e {yn0 } ∈ ye allora (usando la disuguaglianza triangolare e la (†)) lim d(xn , yn ) = lim (d(xn , yn ) + d(xn , x0n ) + d(yn , yn0 )) ≥ lim d(x0n , yn0 ) n−→∞ n−→∞ n−→∞ e, viceversa (scambiando i ruoli delle variabili senza apice e quelle con apice): lim d(x0n , yn0 ) ≥= lim d(xn , yn ) n−→∞ n−→∞ e x, ye) non dipende dalle successioni scelte in x i.e. il valore d(e e e ye, ma solo dalla classe di equivalenza. Che de sia una distanza segue passando al limite le proprietà della distanza e e mostrando di nuovo che il calcolo non d (usando i rappresentanti {xn } ∈ x dipende da questa scelta ma solo dalla classe). e sia completo segue dalla definizione: se {e e d) Che lo spazio (X, xn } è di Cauchy, (n) e che contiene la successione sia {xm }∈ x en ; allora il limite di {e xn } è la classe x e∈ X (n) {xn }. Infatti e xn , x e) = lim d(e n−→∞ lim n,m−→∞ (dato che {e xn } è di Cauchy). (m) d(x(n) m , xm ) = lim n,m−→∞ e xn , x d(e em ) = 0 65 3.2. Spazi metrici completi Dimostriamo ora che X si immerge isometricamente in un sottospazio denso e e di X: l’isometria sarà i : X −→ X: i(x) := {xn | ∀n ∈ N xn = x} cioè la mappa che associa a x la successione costante {x}. Che si tratti di una isometria è banale: e d(i(x), i(y) = lim d(x, y) = d(x, y) n−→∞ e e {xn } ∈ x Dimostriamo che i(X) è denso; sia x e∈X e. Ovviamente e x, i(xn )) = lim d(xm , xn ) d(e m−→∞ e, dato che {xn } è di Cauchy, per ogni ε > 0 esiste un nε ∈ N tale che ∀n, m > nε d(xm , xn ) < ε Al limite per m −→ ∞ otteniamo e x, i(xn )) < ε d(e Quindi x e = limn i(xn ); inoltre questo limite (i.e. x e) appartiene alla chiusura di i(X). Dunque i(X) è denso. qed Notiamo che, se (X, d) è completo allora (1) Se Y ⊂ X è un sottospazio, è uno spazio metrico rispetto a d|Y , ed è completo se e solo se è chiuso. (2) Se f : X −→ X 0 è una isometria allora f (X) è chiuso in X 0 . e costruito nel teorema precedente è unico Osserviamo inoltre che lo spazio X a meno di isometrie suriettive: infatti se (X 0 , d0 ) è uno spazio metrico completo nel quale X si immerge isometricamente per mezzo della j : X −→ X 0 , la e funzione j ◦ i−1 : X −→ X è una isometria dal sottoinsieme denso i(X) ⊂ X 0 al sottoinsieme denso j(X) ⊂ X . Esiste quindi un unico modo di estenderla ad e e X 0 suriettiva. una isometria fra X Infatti ogni punto x0 ∈ X 0 è limite di una successione di punti di j(X), e ogni e è limite di una successione {i(xn )} di punti di i(X). Poniamo quindi punto x e∈X e −→ X 0 f :X x e 7−→ lim j(i(xn )) n Si tratta ovviamente di una mappa biunivoca, ed isometrica: 66 Capitolo 3. Metriche e associato a X si dice il suo completamento. 3.2.6 Definizione Lo spazio X Un risultato sugli spazi completi che non si può passare sotto silenzio è il principio delle contrazioni , largamente usato nella risoluzione di equazioni (ad esempio per dimostrare i teoremi di esistenza per equazioni differenziali ordinarie). 3.2.7 Definizione Una funzione T : X −→ X di uno spazio metrico in sé si dice contrazione se esiste una costante positiva c < 1 tale che, per ogni x, y ∈ X: d(T (x), T (y)) ≤ cd(x, y) Una tale funzione “accorcia” le distanze fra i punti di X. 3.2.8 Teorema (Principio delle Contrazioni) Se (X, d) è uno spazio metrico completo e T : X −→ X una contrazione allora esiste x0 ∈ X tale che T (x0 ) = x0 . Dimostrazione: Se x ∈ X poniamo: x1 = T (x), x2 = T 2 (x) = T (x1 ),... in modo da ottenere una successione {xn = T n (x)}. Dimostriamo che si tratta di una successione di Cauchy: infatti d(x1 , x2 ) =d(T (x), T (x1 )) ≤ cd(x, x1 ) = cd(x, T (x)) d(x2 , x3 ) =d(T (x1 ), T (x2 )) ≤ cd(x1 , x2 ) ≤ c2 d(x, T (x)) ....................................................... d(xn , xn+1 ) ≤cn d(x, T (x)) Quindi, supponendo ad esempio m > n: d(xn , xm ) ≤d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm ) ≤(cn + cn+1 + ... + cm−1 )d(x, T (x)) cn − cm = d(x, T (x)) 1−c Ma c < 1, sicché per n, m −→ ∞ otteniamo d(xn , xm ) −→ 0. Per completezza di X la successione {xn } converge dunque ad un punto x0 . Ora: d(x0 , T (x0 )) ≤d(x0 , xn ) + d(xn , T (x0 )) = d(x0 , xn ) + d(T (xn−1 ), T (x0 )) ≤d(x0 , xn ) + cd(xn−1 , x0 ) −→ 0 n−→∞ i.e. d(x0 , T (x0 )) = 0 e quindi T (x0 ) = x0 . qed 67 3.2. Spazi metrici completi Le applicazioni al problema di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie di questo teorema dovrebbero essere note dai rudimenti dell’Analisi: diamo qui alcune applicazioni alle classiche equazioni integrali. 3.2.9 Esempio L’equazione integrale di Fredholm di seconda specie è l’equazione non omogenea Z b f (x) = λ K(x, y)f (y)dy + ϕ(x) a dove K : [a, b] × [a, b] −→ R e ϕ : [a, b] −→ R sono funzioni continue (K si dice il nucleo dell’equazione integrale). In particolare, dato che è continua su un compatto, |K(x, y)| ≤ M per una certa costante M ∈ R. Consideriamo la funzione T : C[a, b] −→ C[a, b] data da, se g ∈ C[a, b] Z b T (f )(x) := λ K(x, y)f (y)dy + ϕ(x) a Abbiamo che d(T (f1 ), T (f2 )) = max |T (f1 )(x) − T (f2 )(x)| x∈[a,b] ≤ |λ|M (b − a) max |f1 (x) − f2 (x)| x∈[a,b] 1 e quindi per |λ| < M (b−a) la mappa T è una contrazione nello spazio metrico completo C[a, b]. Dunque l’equazione di Fredholm ha, in questo caso, una unica soluzione per il principio delle contrazioni. 3.2.10 Esempio L’equazione integrale di Volterra è un’equazione del tipo Z x f (x) = λ K(x, y)f (y)dy + ϕ(x) a con x ∈ [a, b] e le stesse ipotesi su f , K e ϕ del caso precedente: si potrebbe considerare questa equazione un caso particolare della precedente, definendo e y) = 0 se y > x e considerando l’equazione di Fredholm corrispondenK(x, e Tuttavia in questo caso possiamo svincolarci dalla limitazione te di nucleo K. 1 |λ| < M (b−a) , se notiamo che l’operatore Z x V (f )(x) := λ K(x, y)f (y)dy + ϕ(x) a non è una contrazione, ma una sua opportuna potenza T n lo è: infatti per ogni f, g ∈ C[a, b] |V (f )(x) − V (g)(x)| ≤ |λ|M (x − a) max |f (y) − g(y)| y∈[a,x] 68 Capitolo 3. Metriche con M = max K(x, y). Da questa segue la |V (V (f ))(x) − V (V (g))(x)| ≤ |λ|2 M 2 (x − a)2 max |f (y) − g(y)| y∈[a,x] 2 ed in generale la |V n (f )(x) − V n (g)(x)| ≤ |λ|n M n (x − a)n max |f (y) − g(y)| y∈[a,x] n! Dato che (x−a) < (b−a) basta prendere n tale che |λ|n M n (x−a)n maxy∈[a,x] |f (y)− g(y)| < n! (cosa sempre possibile) per avere che V n è una contrazione. Allora esiste un’unica f ∈ C[a, b] tale che V n (f ) = f , per cui V (f ) = V (V n (f )) = V n (V (f )) = V n (g) dove g = V (f ): dato che V n è una contrazione, {V n (g)} converge al punto fisso f di V n qualsiasi sia g, e quindi, passando al limite per n −→ ∞ nell’equazione precedente, troviamo V (f ) = f . 3.3 Categorie di spazi metrici Il seguente teorema esprime una proprietà cruciale degli spazi completi, che sarà ampliamente sfruttata nel séguito: 3.3.1 Teorema (Baire) Se (X, d) è uno T spazio metrico completo e {An } è una successione di aperti densi in X allora n An è un insieme denso in X. Dimostrazione: Sia U un aperto in X, x1 ∈ A1 ∩ U e B1 la palla di centro x1 (e raggio r1 > 0) contenuta in A1 ∩ U . Per densità di A2 in X deve esistere x2 ∈ A2 ∩ B1 e, dato che A2 è aperto, deve esistere una B2 palla di centro x2 (e raggio r2 > 0 contenuta in A2 . Possiamo supporre (a meno di rimpicciolire B2 ) che 1 r2 < r1 e r2 < r1 − d(x! , x2 ) 2 Con queste condizioni si ha che B2 ⊂ B1 . Iteriamo questa costruzione ottenendo una successione di palle {Bn } tali che Bn ⊂ Bn−1 e Bn ⊂ An , i cui raggi ri siano una successione di numeri reali che tende a zero. Consideriamo anche la successione dei centri {xn } di queste palle: per costruzione, dato N ∈ N, per ogni n, m > N si ha che xn , xm ∈ BN , i.e. d(xn , xm ) ≤ 2rN N →∞ /0 69 3.3. Categorie di spazi metrici Quindi {xn } è una successione di Cauchy e, per completezza di X, deve convergere ad un punto x∈X. Dato che xn ∈BN +1 (se n > N ) allora x∈BN +1 ⊂ BN ⊂ AN . In altre parole, per ogni N ∈ N: x ∈ An , i.e. x ∈ ∩N AN ; ora si rammenti che ogni BN era contenuta in AN ∩ U , quindi, in particolare, x ∈ U . Dunque abbiamo dimostrato che, per ogni aperto U , esiste x ∈ ∩N AN tale che x ∈ U . Cioè ∩N AN è denso in X. qed Osserviamo che, dalla dimostrazione del teorema di Baire, traiamo la seguente generalizzazione del principio di Cantor dei segmenti nidificati in R: diciamo che una successione di palle aperte {Bn } è nidificata se Bn ⊂ Bn+1 e se la successione dei raggi converge a zero. 3.3.2 Teorema Se {Bn } è una successione di palle aperte nidificate in uno T spazio metrico completo allora esiste un unico punto interno in n Bn . Dimostrazione: Che esista un tale punto interno segue dalla dimostrazione del teorema precedente: se x0 è un altro punto interno dell’intersezione delle palle {Bn } allora d(x, x0 ) ≤ d(x, xn ) + d(xn ), x0 ) < ε + ε ove {xn } è la successione dei centri delle palle {Bn }. qed Come nel caso reale, questa proprietà caratterizza la completezza: 3.3.3 Teorema Se (X, d) è uno spazio metrico tale che ogni successione di palle aperte nidificate possiede intersezione non vuota allora X è completo. Dimostrazione: Se {xn } è una successione di Cauchy in X, possiamo associarle una successione di palle aperte nidificate {Bn } come segue: scegliamo una sottosuccessione {xnk } imponendo la condizione ∀m > 0 d(xnk +m , xnk ) < 1 2k Allora definiamo Bk come la palla aperta di centro xnk e raggio 1/2k−1 . La successione {Bk } è nidificata: infatti Bk ⊂ Bk+1 dato che ∀x ∈ Bk+1 d(x, xnk ) ≤ d(x, xnk+1 ) + d(xnk+1 , xnk ) < 1 1 1 + = 2k 2k 2k−1 (si ricordi che il centro di Bk è xnk ). Inoltre, dato che {xn } è di Cauchy, i raggi delle Bk tendono a zero. 70 Capitolo 3. Metriche Ora, per ipotesi, esiste x0 comune a tutte le palle; evidentemente si tratta del limite della successione: infatti, dato che la successione {xn } è di Cauchy: d(x0 , xn ) ≤ d(x0 , xnk ) + d(xnk , xn ) < 1 2k−1 +ε qed 3.3.4 Definizione Un sottoinsieme S ⊂ X di uno spazio metrico X si dice: (1) raro (o mai denso) se X \ S è denso; (2) di prima categoria (o magro) se è unione di una famiglia numerabile di insiemi rari; (3) di seconda categoria se non è di prima categoria. Notiamo che S è raro se e solo se non contiene aperti non vuoti. Con questa terminologia classica possiamo dare il 3.3.5 Teorema (della Categoria di Baire) Se X è uno spazio metrico completo allora non contiene sottoinsiemi aperti di prima categoria (eccetto il vuoto). Dimostrazione: Sia {Rn } una collezione numerabile di sottoinsiemi rari di X: allora, per definizione, An := X \Rn sono aperti T densi; se U è un S aperto qualsiasi, per il teorema di Baire, esiste x ∈ U tale che x ∈ n An = X \ n Rn , i.e. per ogni n, x ∈ / Rn ed in particolare x ∈ / Rn . Ne segue che U non può essere contenuto in S R . n n qed In altri termini in uno spazio metrico completo non esistono aperti (non vuoti) che siano l’unione di una famiglia numerabile di sottoinsiemi rari. 3.3.6 Esempio Q con la metrica abituale è di prima categoria; il suo completamento R è di seconda categoria, dato che è completo. Come conseguenza del teorema di Baire possiamo ottenere la non numerabilità dell’insieme dei numeri reali, che è uno spazio metrico completo: 3.3.7 Corollario I numeri reali sono un insieme non numerabile. Dimostrazione: Supponiamo che R sia numerabile: in questo caso potremmo trovare una successione (xn ) i cui termini siano tutti i numeri reali; in altre parole [ R= {xn } n∈N 3.4. Spazi metrici compatti 71 i numeri reali sarebbero esattamente gli elementi di questa successione; ma è ovvio che l’insieme formato da un singolo elemento è raro (possiede un unico punto di accumulazione: se stesso, quindi i numeri reali che non sono suoi punti di accumulazione sono tutti quelli diversi da lui, che formano ovviamente un insieme denso). Questo contraddice il teorema di Baire. qed Questi risultati sono notevoli perché traggono conclusioni puramente topologiche (densità) da ipotesi metriche (completezza). Ovviamente ci sono spazi che non sono completi ma che non sono di prima categoria: ad esempio se (X, d) è completo e A ⊂ X è un aperto il cui complementare X \ E non sia aperto allora A con la metrica indotta non è completo, ma non è di prima categoria: in effetti esiste una metrica compatibile con la topologia di A che lo rende completo, ad esempio ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 0 ¯ d (x, y) := d(x, y) + ¯¯ − d(x, X \ A) d(y, X \ A) ¯ 3.4 Spazi metrici compatti In generale uno spazio metrico non sarà compatto (basti pensare a Rn ) né localmente compatto (ad esempio C[0, 1] non lo è): è un risultato notevole che sia sempre paracompatto e vogliamo qui dimostrarlo anche come applicazione della teoria del transfinito alla topologia generale. 3.4.1 Teorema (Stone) Uno spazio metrico (X, d) è paracompatto. Dimostrazione: (M.E. Rudin) Consideriamo un ricoprimento aperto {Aα } di X e supponiamo che gli indici α di questo ricoprimento siano numeri ordinali1 . Sia Br (x) = {y ∈ X | d(x, y) ≤ r} la palla di centro x e raggio r in X: per ogni intero positivo n definiamo induttivamente su n l’insieme Dα,n come l’unione delle sfere B 1 n (x) tali che 2 (1) α è il più piccolo ordinale tale che x ∈ Aα ; (2) se j < n allora x ∈ / Dβ,j ; (3) B 3n (x) ⊂ Aα ; 2 Abbiamo quindi una famiglia {Dα,n }n>0,α di aperti di X: dimostriamo che si tratta di un raffinamento localmente finito di {Aα }. 1 Ricordiamo che è sempre possibile: ogni insieme bene ordinato è isomorfo a un numero ordinale. 72 Capitolo 3. Metriche Che si tratti di un raffinamento di {Aα } è ovvio dalla definizione: per vedere che {Dα,n } è un ricoprimento di X basta notare che, se x ∈ X e se α è il minimo ordinale per cui x ∈ Cα allora esiste n abbastanza grande perché valga la (3) (essendo Cα aperto) e quindi, per la (2), esiste j ≥ n tale che x ∈ Dβ,j . Dimostriamo infine che {Dα,n } è localmente finito. Sia x ∈ X e sia α il più piccolo ordinale tale che x ∈ Dα,n per qualche n; scegliamo j tale che B 1j (x) ⊂ Dα,n 2 Allora basta dimostrare che (a) Se i ≥ n + j allora B2−n−j (x) non interseca nessun Dβ,i ; (b) Se i < n + j allora B2−n−j (x) interseca Dβ,i per al più un β. Dimostriamo (a): dato che i > n, per (2) ciascuna palla di raggio 2−i coinvolta nella definizione di Dβ,i ha centro y fuori da Dα,n , e dato che B 1j (x) ⊂ Dα,n 2 allora d(x, y) ≤ 2−j ; ma i ≥ j + n e n + j ≥ j + 1, sicché B 1 2n+j (x) ∩ B 1i (y) = ∅ 2 Dimostriamo infine (b): siano p ∈ Dβ,i , q ∈ Dγ,i e β < γ; vogliamo mostrare che 1 2n+j−1 < d(p, q) Ma esistono y, z ∈ X tali che p ∈ B2−j (y) ⊂ Dβ,i e q ∈ B2−i (z) ⊂ Dγ,i e, per la (3): B 3i (y) ⊂ Cβ 2 da cui (per la (2)) z ∈ / Cβ . Ne segue che 1 2n+j−1 < 1 ≤ d(p, q) 2i qed In molti esempi, specie negli spazi di funzioni, una proprietà cruciale è la separabilità: 3.4.2 Definizione Uno spazio topologico si dice separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile. 73 3.4. Spazi metrici compatti L’esempio ispiratore è ovviamente quello di Q ⊂ R. Più in generale, ogni spazio topologico X a base numerabile è separabile: infatti se {An } è una base numerabile di aperti, per l’assioma di scelta possiamo dare una successione S = {xn } di elementi di X tali che xn ∈ An : evidentemente S = X; infatti se x ∈ X esiste un intorno Un di x che contiene xn ∈ S. Tuttavia non è vero il viceversa: consideriamo su un insieme qualsiasi X la topologia cofinita CX ; si tratta della famiglia degli insiemi il cui complementare è un insieme finito (si dimostra facilmente che si tratta di una topologia). Allora, se X è più che numerabile, la topologia cofinita non può avere base numerabile, e tuttavia è separabile: infatti ogni sottoinsieme infinito di X è denso (per definizione), quindi in particolare ogni sottoinsieme numerabile. 3.4.3 Teorema Se X è uno spazio topologico T1 allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: (1) X è metrizzabile e separabile; (2) X è regolare a base numerabile; (3) X è omeomorfo ad un sottospazio del cubo di Hilbert. Dimostrazione: (1) implica (2): se D ⊂ X è denso e numerabile allora la famiglia numerabile B := {B 1 (x)}x∈D,n∈N n è una base di aperti: infatti per ogni aperto A ⊂ X e per ogni x0 ∈ A esiste un R > 0 tale che BR (z0 ) ⊂ A e quindi, se x ∈ D è tale che d(x, x0 ) < n1 ≤ R2 allora x0 ∈ B 1 (x) ⊂ BR (x) ⊂ A, sicché ciascun punto di A appartiene ad un elemento n di B contenuto in A. (2) implica (3) per il teorema di metrizzabilità di Uryshon. Infine il cubo è metrizzabile ed ha base numerabile (la ha [0, 1]) sicché ogni suo sottospazio possiede queste proprietà2 : dunque (3) implica (1). qed La situazione è molto più semplice nel caso compatto: 3.4.4 Proposizione Uno spazio metrico compatto è separabile. Dimostrazione: Per ogni ε > 0 la famiglia {Bε (x)}x∈X 2 Si noti comunque che un sottospazio di uno spazio separabile non è necessariamente separabile. 74 Capitolo 3. Metriche è un ricoprimento aperto di X, e quindi esiste sottoricoprimento indicizzato da un insieme finito Xε ⊂ X. Ponendo [ D= X1 n n≥1 otteniamo un insieme numerabile che è denso, dato che per ogni x ∈ X e n ≥ 1 esiste x0 ∈ X 1 tale che d(x, x0 ) < 1/n. n qed Se X è compatto metrizzabile, ogni successione possiede un insieme di punti limite, e quindi ogni successione di Cauchy converge: 3.4.5 Proposizione Uno spazio metrizzabile compatto è completo. Un sottoinsieme compatto in Rn è chiuso e limitato: ci chiediamo se una proprietà analoga non valga anche per gli spazi metrici qualsiasi; intanto è ovvio che un compatto K in uno spazio metrico (X, d) è chiuso e limitato: è chiuso perché uno spazio metrico è di Hausdorff (un compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso); è limitato perché la funzione distanza è continua e quindi, fissato x0 ∈X: x 7−→ d(x0 , x) ristretta al compatto K assume un massimo e minimo. 3.4.6 Definizione Uno spazio metrico (X, d) si dice totalmente limitato se, per ogni ε > 0 esiste una famiglia finita di punti {x1 , ..., xn } ⊂ X tali che, per ogni x ∈ X esiste un kε tale che d(x, xkε ) < ε. Equivalentemente, uno spazio totalmente limitato si può ricoprire con una famiglia finita di palle di raggio ε. 3.4.7 Teorema Uno spazio metrico (X, d) è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato. Dimostrazione: Se K è compatto è totalmente limitato e completo in modo ovvio. Viceversa, se X è completo e totalmente limitato, dimostriamo che ogni successione {xn } ammette una sottosuccessione convergente; ricopriamo X con palle di raggio 1 (totale limitatezza) e scegliamone una B1 che contenga infiniti elementi della successione (deve esistere per forza, dato che le palle ricoprono X). Ora, di nuovo per totale limitatezza, ricopriamo X con sfere di raggio 1/2 e scegliamone una B2 che contenga infiniti elementi della successione, ed iteriamo il procedimento per ogni n (assioma di scelta). Abbiamo cosı̀ una successione di palle {Bk } di raggi 1/k tale che B1 ∩ ... ∩ Bk contiene infiniti punti della successione. 75 3.5. Teorema di Ascoli–Arzelà Possiamo allora scegliere, fissato n, un nk tale che nk > nk−1 e xnk ∈B1 ∩...∩Bk ; questo determina la scelta di una sottosuccessione {xnk } che è di Cauchy: d(xnk , xnh ) ≤ 2 N se N ≤ k, h. Per completezza di X si ha la convergenza. qed 3.5 Teorema di Ascoli–Arzelà L’applicabilità pratica del teorema con cui si è conclusa la sezione precedente, è assai limitata: tuttavia è importante determinare la compattezza di uno spazio, perché nelle applicazioni si costruiscono oggetti come limiti di sottosuccessioni: un teorema classico di teoria delle funzioni che serve a questo scopo è il teorema di Ascoli–Arzelà. 3.5.1 Definizione Un sottoinsieme M ⊂ C(X) dell’algebra delle funzioni continue definite su uno spazio metrico compatto a valori reali si dice equicontinuo se per ogni ε > 0 esiste δε > 0 tale che ∀x, y ∈ X d(x, y) < δε ⇒ ∀f ∈ M |f (x) − f (y)| < ε e si dice equilimitato se esiste un N ≥ 0 tale che, per ogni f ∈ M : d(f, 0) < N (ovvero sup |f (x)| < N ). Il seguente teorema caratterizza i sottoinsiemi a chiusura compatta di C(X) come equicontinui ed equilimitati. 3.5.2 Teorema (Ascoli–Arzelà) Se (X, d) è uno spazio metrico compatto e {fn } ⊂ C(X) una successione equicontinua ed equilimitata allora possiede una sottosuccessione convergente. Dimostrazione: Dato che X è compatto metrizzabile, è separabile: sia D ⊂ X un denso numerabile e supponiamo che D = {xn }. Ora la chiusura dell’insieme {fn (x1 )} è compatta, quindi esiste una sottosuccessione {fn(1) (x1 )} convergente. Ora consideriamo la successione {fn(1) (x2 )} e scegliamone una sottosuccessione {fn(2) (x2 )} convergente. Iterando il procedimento otteniamo una successione {fn(k) } in C(X) tale che le successioni numeriche fn(k) (xk ) sono convergenti. 76 Capitolo 3. Metriche La sottosuccessione diagonale fn(n) (xk ) converge allora per ogni xk ∈ D; si definisca gn := fn(n) Dimostriamo che si tratta di una successione di Cauchy, e quindi che converge (per compattezza e quindi completezza dello spazio). Dato che le fn sono equicontinue lo sono anche le gn , e quindi, per ogni ε > 0 esiste mε tale che ∀x, x0 ∈ X d(x, x0 ) < 1 ⇒ |gn (x) − gn (x0 )| < ε mε Ma X è compatto, quindi totalmente limitato, dunque esiste un insieme finito {y1 , ..., ynε } tale che ∀k = 1...nε ∀n, m > nε |gn (yk ) − gm (yk )| < ε Sia ora x ∈ X; per equilimitatezza deve esistere k tale che d(x, x0 ) < 1 nε e quindi, per ogni n, m > nε : |gn (x) − gm (x)| ≤ |gn (x) − gn (yk )| + |gn (yk ) − gm (yk )|+ + |gm (yk ) − gm (x)| < 3ε Quindi {gn } è di Cauchy, e, per completezza di C(X) è una sottosuccessione convergente di {fn }. qed Diamo una applicazione del teorema di Ascoli–Arzelà: il teorema di Peano. 3.5.3 Teorema Se f : D −→ R è una funzione continua nel dominio chiuso D ⊂ R2 allora per ogni punto interno (x0 , y0 ) ∈ D passa almeno una curva integrale dell’equazione differenziale df = f (x, y) dx Dimostrazione: Poiché è continua su un chiuso, f è limitata: |f (x, y)| ≤ M . Ora consideriamo le rette per il punto (x0 , y0 ) di coefficienti angolari M e 77 3.5. Teorema di Ascoli–Arzelà −M e due rette verticali x = a e x = b tali che i due triangoli di vertice (x0 , y0 ) delimitati da queste rette siano contenuti in D, e chiamiamo ∆ l’insieme chiuso dato dall’unione di questi due triangoli. Ora costruiamo una spezzata di Eulero L0 per l’equazione differenziale data nell’enunciato: dal punto (x0 , y0 ) tracciamo una retta r0 di coefficiente angolare f (x0 , y0 ) (che quindi è compresa fra le rette che delimitano ∆; su r0 ∩ ∆ scegliamo un punto (x1 , y1 ) e tracciamo da esso una retta r1 di coefficiente angolare f (x1 , y1 ); su r1 ∩ ∆ scegliamo un punto (x2 , y2 ) e cosı̀ via (stiamo usando l’assioma di scelta). Possiamo costruire ovviamente infinite spezzate L0 , L1 , L2 , ... in questo modo partendo da (x0 , y0 ) e scegliendo punti differenti sulle rette rn che andiamo a considerare: consideriamo ora una successione di tali spezzate (Ln ) in modo che la massima lunghezza lk di un segmento di estremi (xk , yk ) e (xk+1 , yk+1 ) appartenente alla spezzata tenda a zero per k −→ ∞. Alla successione di curve {Ln } corrisponde una successione di funzioni {ϕn } i cui grafici sono dati dalle {Ln }: queste funzioni hanno le seguenti proprietà: (1) ϕn è definita sull’intervallo [a, b]; (2) Le ϕn sono uniformemente limitare; (3) La successione {ϕn } è equicontinua. Per il teorema di Ascoli–Arzelà, esiste allora una sottosuccessione {ϕnk } convergente ad una certa funzione ϕ. Ovviamente ϕ(x0 ) = y0 Mostriamo che ϕ è la soluzione dell’equazione differenziale dell’enunciato. Precisamente mostriamo che, per ogni ε > 0, se |x0 −x00 | è abbastanza piccolo, allora ¯ ¯ ¯ ϕ(x00 ) − ϕ(x0 ) ¯ 0 0 ¯ ¯ − f (x , ϕ(x ))¯ < ε ¯ 00 0 x −x cioè che, per k abbastanza grande, ¯ ¯ ¯ ϕnk (x00 ) − ϕnk (x0 ) ¯ 0 0 ¯ ¯<ε (∗) (x )) − f (x , ϕ n k ¯ ¯ x00 − x0 Ora sfruttiamo la continuità di f in D: dato ε > 0, esiste δ > 0 tale che |x − x0 | < 2δ , |y − y 0 | < 4M δ =⇒ |f (x, y) − f (x0 , y 0 )| < ε 78 Capitolo 3. Metriche Consideriamo i punti del rettangolo R = {(x, y) | |x − x0 | < 2δ , |y − y 0 | < 4M δ}, e prendiamo N ∈ N grande abbastanza affinché, per k > N si abbia |ϕ(x) − ϕnk (x)| < 2M δ e lk < δ (lk è la lunghezza massima di un segmento della spezzata Lk ). In questo modo, se x − x0 | < 2δ, le spezzate di Eulero Lk giacciono interamente nel rettangolo R. Per fissare le idee supponiamo ora che x0 < x00 (il resto della dimostrazione nell’altro caso è del tutto analoga), e supponiamo che la spezzata Lk abbia come vertici dei segmenti che la compongono i punti (x0 , y0 ) = (a0 , b0 ), (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), ..., (an+1 , bn+1 ) in modo che x0 = a0 ≤ x0 < a1 < a2 < · · · < an < x00 ≤ an+1 Allora, se ϕnk è la funzione corrispondente a questa spezzata, si ha ϕnk (a1 ) − ϕnk (x0 ) = f (a0 , b0 )(a1 − x0 ) ϕnk (a2 ) − ϕnk (a1 ) = f (a1 , b1 )(a2 − a1 ) ··· ··· 00 ϕnk (x ) − ϕnk (an ) = f (an , bn )(x00 − an ) da cui, per |x00 − x0 | < δ, troviamo (f (x0 , y 0 ) − ε)(a1 − x0 ) < ϕnk (a1 ) − ϕnk (x0 ) < (f (x0 , y 0 ) + ε)(a1 − x0 ) (f (x0 , y 0 ) − ε)(a2 − a1 ) < ϕnk (a2 ) − ϕnk (a1 ) < (f (x0 , y 0 ) + ε)(a2 − a1 ) ··· ··· 0 0 00 (f (x , y ) − ε)(x − an ) < ϕnk (x00 ) − ϕnk (an ) < (f (x0 , y 0 ) + ε)(x00 − an ) Sommando queste disequazioni troviamo la (f (x0 , y 0 ) − ε)(x00 − x0 ) < ϕnk (x00 ) − ϕnk (x0 ) < (f (x0 , y 0 ) + ε)(x00 − x0 ) cioè la (*). qed Notiamo che la soluzione non è unica: infatti costruendo una sottosuccessione non attraverso le spezzate di Eulero si ottengono soluzioni diverse. Vediamo un’altra applicazione del teorema di Ascoli–Arzelà che segue lo spirito della dimostrazione del teorema di Peano. Per prima cosa diamo una 3.5.4 Definizione Una curva parametrizzata in uno spazio metrico (X, d) è una funzione continua c : [0, 1] −→ X. 79 3.5. Teorema di Ascoli–Arzelà Geometricamente la curva è l’immagine della funzione: comunque uno stesso insieme di punti può essere immagine di moltissime funzioni distinte, che possono individuare la stessa curva o meno. 3.5.5 Definizione Due curve parametrizzate c, c0 : [0, 1] −→ X si dicono equivalenti se esistono due funzioni continue crescenti ϕ, ϕ0 : [0, 1] −→ [0, 1] tali che ϕ(0) = ϕ0 (0) = 0, ϕ(1) = ϕ0 (1) = 1 e ∀t ∈ [0, 1] c(ϕ(t)) = c0 (ϕ0 (t)) Si tratta ovviamente di una relazione di equivalenza. 3.5.6 Definizione Una curva continua in uno spazio metrico (X, d) è una classe di equivalenza di curve parametrizzate in (X, d). Una curva continua congiunge due punti x, y ∈ X quando per una (e quindi per ogni) sua rappresentazione parametrica c : [0, 1] −→ X si ha che c(0) = x e c(1) = y. Possiamo allora dire quando una successione {Cn } di curve converge ad una curva C: precisamente quando è possibile parametrizzare le Cn con delle funzioni cn e C con una funzione c in modo che d(c, cn ) −→ 0. Ovviamente il limite di una famiglia di curve che congiungono due punti x, y ∈ X congiunge gli stessi punti. 3.5.7 Definizione Se C è una curva continua in uno spazio metrico (X, d) parametrizzata da c : [0, 1] −→ X, la sua lunghezza è il numero reale l(C) = sup n X d(c(ti−1 ), c(ti )) (t0 ,t1 ,...,tn )∈T i=1 dove T è l’insieme dei punti (t0 , t1 , ..., tn ) tali che a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b e n ∈ N. Questa definizione non dipende dalla parametrizzazione scelta, dato che d(c(ti−1 ), c(ti )) = d(c(ϕ(t0i−1 )), c(ϕ(t0i ))) = d(c0 (ϕ0 (t0i−1 )), c0 (ϕ0 (t0i ))) = d(c0 (t00i−1 ), c0 (t00i )) (le ϕ trasformano elementi di T in elementi di T ). 80 Capitolo 3. Metriche 3.5.8 Teorema Se K ⊂ X è compatto in uno spazio metrico (X, d) e se due suoi punti x, y ∈ K si possono congiungere con una curva continua di lunghezza finita, allora esiste una curva che li congiunge di lunghezza minima. Dimostrazione: Consideriamo una successione di curve {Cn } tale che: (1) l(Cn ) ≤ L dove L è la lunghezza di una curva fissata che congiunga x e y (che esiste per ipotesi); (2) l(Cn ) −→ l dove l è l’estremo inferiore delle lunghezze delle curve che congiungono x e y. Mostriamo ora come si possano parametrizzare le curve Cn con una funzioni equicontinue: se C è una curva che congiunge x e y, e c : [0, 1] −→ X una sua rappresentazione parametrica, allora la funzione ϕ : [0, 1] −→ R data da ϕ(t) = l(Ct ) dove Ct è la curva che congiunge x con c(t): allora c0 (t) = c(ϕ−1 (t)) è una rappresentazione parametrica per C, tale che d(c0 (t1 ), c0 (t2 )) ≤ l(C)|t1 − t2 | Poiché tutte le curve della famiglia {Cn } hanno lunghezza minore L, la condizione precedente implica la loro equicontinuità; ovviamente sono equilimitate (perché definite in [0, 1]), quindi il teorema di Ascoli–Arzelà 3 implica che da {Cn } si può estrarre una sottosuccessione convergente ad una curva C. La lunghezza di C sarà maggiore o uguale a l, e sarà minore o uguale all’estremo inferiore delle lunghezze delle Cn (cioè la lunghezza è una funzione semicontinua inferiormente), che è ancora l, quindi C è la curve di lunghezza minima cercata. qed 3 O meglio una sua generalizzazione al caso dello spazio C(X, Y ) delle funzioni continue da uno spazio metrico (X, d) ad un altro spazio metrico (Y, d0 ), che si dimostra in modo analogo al caso Y = R. Capitolo 4 MISURE La teoria moderna dell’integrazione può svolgersi a partire dalla teoria dei funzionali lineari e continui sugli spazi di funzioni continue, o a partire dalla teoria della misura: il primo approccio, più analitico, consente profonde generalizzazioni (distribuzioni, correnti, etc.) mentre il secondo approccio è più insiemistico e legato alla topologia. Qui diamo le linee portanti della teoria della misura, che è alla base dell’integrazione e del calcolo delle probabilità. 4.1 Algebre di insiemi e spazi di misura Se A ⊂ X è un sottoinsieme di un fissato insieme X denoteremo il complemento X \ A anche col simbolo {A. 4.1.1 Definizione Un’algebra di sottoinsiemi di un insieme X è una famiglia A ⊂ P(X) tale che: (1) ∅ ∈ A. (2) Se A, B ∈ A allora A ∪ B ∈ A. (3) Se A ∈ A allora {A ∈ A. Ad esempio P(X) è un’algebra di sottoinsiemi di X. Per le leggi di de Morgan: {(A ∪ B) = {A ∩ {B e {(A ∩ B) = {A ∪ {B si ha che, se A è un’algebra di insiemi e se A, B ∈ A allora A ∩ B ∈ A. Le algebre di insiemi sono in particolare algebre di Boole: queste ultime sono infatti arbitrari insiemi dotati di tre operazioni (∩, ∪ e {) e di due elementi (0 e 1) tali da soddisfare le regole dell’algebra degli insiemi. Evidentemente le unioni e le intersezioni finite di elementi di un’algebra appartengono ancora all’algebra. Osserviamo che un’algebra di insiemi è sempre un insieme parzialmente ordinato rispetto alla relazione ⊂: in effetti potremmo definire questa relazione 81 82 Capitolo 4. Misure semplicemente come a ⊂ b ⇐⇒ a ∩ b = a Evidentemente rispetto a questo ordinamento un’algebra di insiemi è un reticolo, cioè ogni coppia di elementi A, B ∈ A ha un massimo e minimo dati rispettivamente da A ∪ B e a ∩ B. Ovviamente non ogni famiglia di sottoinsiemi di un insieme X è un’algebra, ma possiamo sempre associargliene una: 4.1.2 Proposizione Se X ⊂ P(X) è una famiglia di sottoinsiemi di un insieme X, esiste un’algebra A(X ) contenente X e minima rispetto a questa proprietà, i.e. ogni altra algebra contenente X deve contenere A(X ). Dimostrazione: Sia F la famiglia di tutte le algebre di sottoinsiemi di X contenenti X : certamente F = 6 ∅ dato che almeno P(X) ∈ F. Consideriamo A(X ) := \ A A∈F Una semplice verifica mostra che si tratta di un’algebra di sottoinsiemi di X che, per definizione, è la minima rispetto all’inclusione. qed 4.1.3 Definizione L’algebra A(X ) si dice generata da X . 4.1.4 Definizione Una σ-algebra è un’algebra A di sottoinsiemi diSun insieme X tale che per ogni successione {An }n∈N di elementi di A l’insieme n∈N An sia un elemento di A. Dato che i complementari di un elemento di A appartengono ancora a A anche le intersezioni numerabili di elementi di una σ-algebra appartengono alla σ-algebra. La proposizione precedente vale ovviamente anche per le σ-algebre sicché possiamo parlare di σ-algebra generata da una famiglia di sottoinsiemi di X. 4.1.5 Esempio Se X è uno spazio topologico, la sua topologia è una famiglia di sottoinsiemi di X: dunque esiste la σ-algebra β(X) generata dalla topologia di X, che si dice σ-algebra di Borel ed i cui elementi si dicono boreliani. Equivalentemente, β(X) è la σ-algebra generata dai chiusi, ovvero da una qualsiasi base per la topologia di X: ad esempio la σ-algebra di Borel associata alla topologia naturale della retta reale R è la σ-algebra generata dagli intervalli aperti. 4.1. Algebre di insiemi e spazi di misura 83 4.1.6 Definizione Se X è uno spazio topologico, un suo sottoinsieme si dice Fσ se è unione numerabile di chiusi e si dice Gδ se è intersezione numerabile di aperti. Evidentemente i chiusi e le unioni numerabili di Fσ sono ancora Fσ , cosı̀ come gli aperti e le intersezioni numerabili di aperti sono Gδ : per definizione, gli insiemi di tipo Fσ e Gδ sono boreliani, come pure sono boreliani tutte le possibili combinazioni di Fσ e Gδ . Ad esempio, un insieme è Fσδ se è intersezione numerabile di insiemi Fσ , è cosı̀ via; gli insiemi Fσδ... e Gδσ... sono tutti boreliani ma, si può dimostrare, non tutti i boreliani sono di questo tipo. 4.1.7 Definizione Uno spazio misurabile è una coppia (X, B) formata da un insieme X e da una σ-algebra B di sottoinsiemi di X. Un elemento A ∈ B si dice misurabile. 4.1.8 Definizione Una misura esterna µ∗ su un insieme X è una funzione µ∗ : P(X) −→ [0, ∞] tale che (1) µ∗ (∅) = 0. (2) Se E ⊂ F allora µ∗ (E) ≤ µ∗ (F ) (monotonia). (3) Se {En } è una successione di insiemi misurabili disgiunti allora Ã∞ ! ∞ X [ ∗ µ∗ Ei µ Ei ≤ i=1 i=1 (Subadditività numerabile). 4.1.9 Esempio La misura esterna di Lebesgue sulla retta reale è definita come X l(In ) l∗ (E) = inf S E⊂ In n ove {In } sono successioni di intervalli in R e l(I) è la lunghezza dell’intervallo I. In questo caso, classicamente si definisce un insieme E misurabile secondo Lebesgue se per ogni altro insieme F si ha che l∗ (F ) = l∗ (E ∩ F ) + l∗ ({E ∩ F ). Forti di questo esempio definiamo 4.1.10 Definizione Se µ∗ è una misura esterna su un insieme X, un sottoinsieme Y ⊂ X tale che ∀Z ⊂ X µ∗ (Z) = µ∗ (Y ∩ Z) + µ∗ ({Y ∩ Z) si dice misurabile (rispetto a µ∗ ). 84 Capitolo 4. Misure 4.1.11 Teorema Se µ∗ è una misura esterna su un insieme X l’insieme dei sottoinsiemi di X misurabili rispetto a µ∗ è una σ-algebra. Dimostrazione: Sia B := {Y ⊂ X | Y misurabile rispetto a µ∗ }; ovviamente ∅ ∈ B, e se E ∈ B, anche {E ∈ B. Consideriamo quindi le unioni fra due insiemi misurabili E1 , E2 ∈ B: dato che sono misurabili si ha, per ogni F ⊂ X: µ∗ (F ) = µ∗ (E2 ∩ F ) + µ∗ ({E2 ∩ F ) µ∗ (F ∩ {E2 ) = µ∗ (E1 ∩ F ∩ {E2 ) + µ∗ ({E1 ∩ F ∩ {E2 F ) Ma F ∩ (E1 ∪ E2 ) = (F ∩ E1 ) ∪ (F ∩ E1 ∩ {E2 ) e quindi, per subadditività di µ∗ : µ∗ (F ∩ (E1 ∪ E2 )) + µ∗ (F ∩ E1 ∩ {E2 ) ≤ µ∗ A Cioè E1 ∪ E2 è misurabile per la legge di de Morgan. Quindi B è un’algebra di insiemi. S Ora consideriamo E = En unione di insiemi misurabili disgiunti; poniamo Fn := n [ Ei i=1 Fn è misurabile e, dato che {E ⊂ {Fn : µ∗ (F ∩ Fn ) + µ∗ (F ∩ {E) ≤ µ∗ (F ∩ Fn ) + µ∗ (F ∩ {Fn ) = µ∗ F Ma Fn ∩ En = En ∈ B e Fn ∩ {En = Fn−1 sicché µ∗ (F ∩ Fn ) = µ∗ (F ∩ En ) + µ∗ (F ∩ Fn−1 ) e, per induzione: ∗ µ (F ∩ Fn ) = da cui (dato che F ∩ E = S∞ i=1 (F ∞ X µ∗ (F ∩ Ei ) i=1 ∩ Ei ) µ∗ (F ∩ {E) + µ∗ (F ∩ E) ≤ µ∗ (F ∩ {E) + ∞ X µ∗ (F ∩ Ei ) ≤ µ∗ A i=1 qed 4.1.12 Definizione Una misura µ su uno spazio misurabile (X, B) è una funzione µ : B −→ [0, ∞] tale che (1) µ(∅) = 0. 85 4.1. Algebre di insiemi e spazi di misura (2) Se {En } è una successione di insiemi misurabili disgiunti allora Ã∞ ! ∞ [ X µ Ei = µEi i=1 i=1 (Additività numerabile). Uno spazio di misura è una tripla (X, B, µ) ove µ è una misura sullo spazio misurabile (X, B). 4.1.13 Esempio Se X è un insieme non vuoto a B = P(X) l’insieme delle parti, data una funzione f : X −→ [0, ∞] poniamo X ∀E ∈ B µE := f (x) x∈E ove si intende che X x∈E f (x) = sup x1 ,...,xn ∈E n∈N n X f (xk ) k=1 Evidentemente si tratta di una misura. Ad esempio, per f = 1 otteniamo la misura # che conta, i.e. tale che ( Card(E) se E è finito #E = ∞ se E è infinito Se x0 ∈ X è fissato, per f (x) = δxx0 otteniamo la misura δx0 di Dirac concentrata in x0 : ( 1 se x0 ∈ E δx0 E = 0 se x0 ∈ /E Un esempio notevole di misura è ottenuto a partire da misure esterne: 4.1.14 Teorema Se µ∗ è una misura esterna su un insieme X e B è la σ-algebra degli insiemi misurabili rispetto a µ∗ allora la restrizione µ di µ∗ a B è una misura su B. Dimostrazione: Dato che µ = µ∗ |B è una misura esterna, per dimostrare che è una misura basta far vedere che soddisfa l’additività numerabile. Intanto dimostriamo che soddisfa l’additività finita: se E1 e E2 sono misurabili e disgiunti, la misurabilità di E2 implica µ(E1 ∪ E2 ) = µ∗ (E1 ∪ E2 ) = µ∗ ((E1 ∪ E2 ) ∩ E2 ) + µ∗ ((E1 ∪ E2 ) ∩ {E2 ) = µ∗ E2 + µ∗ E1 86 Capitolo 4. Misure Ora, se {En } sono misurabili e disgiunti allora Ãn ! n X [ µEi = µ Ei ≤ µE i=1 per ogni n, quindi i=1 ∞ X µEi ≤ µE i=1 Ma la disuguaglianza opposta vale sempre dato che µ è una misura esterna e quindi (tenendo conto che µ∅ = µ∗ ∅ = 0) si ha la tesi. qed 4.1.15 Esempio Sulla retta reale, partendo dalla misura esterna di Lebesgue l∗ associata alla lunghezza degli intervalli, la misura indotta sull’insieme degli insiemi misurabili è la misura di Lebesgue in R; dato che gli intervalli sono misurabili, la classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue contiene i boreliani della retta reale. Se f : R −→ R è una funzione monotona, possiamo definire una misura esterna sulla retta reale come sf (I) s∗f (E) = inf S E⊂ In ove sf ([a, b] = f (b) − f (a) (osserviamo che se f è la funzione identità sf è la lunghezza dell’intervallo). La misura esterna e la misura che ne derivano si chiamano di Lebesgue–Stieltjes e sono fondamentali nel calcolo delle probabilità: le approfondiremo in séguito. 4.2 Completamenti ed estensioni di misure Diamo alcune proprietà essenziali delle misure. 4.2.1 Proposizione Se (X, B, µ) è uno spazio di misura: (1) Se A ⊂ B sono misurabili allora µA ≤ µB. (2) Se {En }n∈N sono misurabili e µE1 < ∞ e En ⊂ En+1 allora Ã∞ ! \ µ Ei = lim µEn i=1 n−→∞ 4.2. Completamenti ed estensioni di misure 87 (3) Se {En }n∈N sono misurabili allora Ã∞ ! ∞ X [ µEi Ei ≤ µ i=1 i=1 Dimostrazione: (1) Segue daTB = A ∪ (B \ A) e A ∩ (B \ A) = ∅. (2) Se E = Ei allora ! Ã∞ [ E1 = E ∪ Ei \ Ei+1 i=1 (unione disgiunta) e quindi µE1 = µE+ quindi P µ(Ei \Ei+1 ). Ma Ei = Ei+1 ∪(Ei \Ei+1 ) n−1 ∞ X X (µEi −µEi+1 ) = µE+µE1 −lim µEn µE1 = µE+ (µEi −µEi+1 ) = µE+ lim n−→∞ i=1 (3) Se Fn = En \ µFn ≤ µEn e ¡Sn−1 i=1 µ i=1 ¢ Ei allora Fn ⊂ En e gli Fn sono disgiunti. Quindi ³[ ´ X X µFi ≤ µEi Ei = qed 4.2.2 Definizione Una misura µ su uno spazio X si dice finita se µ(X) < ∞ e σ-finita se è possibile ricoprire l’insieme X con insiemi misurabili {Xn }n∈N : X= ∞ [ Xi i=1 tali che per ogni i: µXi < ∞. Un insieme misurabile E è di misura finita se µE < ∞ ed è di misura σ-finita se è unione di una famiglia numerabile di insiemi di misura finita. 4.2.3 Definizione Uno spazio (X, B, µ) è completo (e la misura µ si dice completa) se B contiene tutti i sottoinsiemi degli insiemi di misura nulla: ∀E ∈ B ∀A ⊂ E µE = 0 ⇒ A ∈ B 4.2.4 Esempio La misura µ indotta (per restrizione) da una misura esterna µ∗ sulla σ-algebra dei suoi insiemi misurabili è completa. 88 Capitolo 4. Misure 4.2.5 Teorema Se (X, B, µ) è uno spazio di misura allora esiste uno spazio di eµ misura (X, B, e) tale che e (1) B ⊂ B. (2) Se E ∈ B allora µE = µ eE. (3) E ∈ Be se e solo se esistono B ⊂ B e A ⊂ C con C ∈ B tali che µC = 0 e E = A ∪ B. Dimostrazione: Consideriamo la σ-algebra B0 generata da B e P(N ) ove N := {N ∈ B | µN = 0} e i.e. che è caratterizzata dalla (3). Che Mostriamo che questa σ-algebra è B, sia Be ⊂ B0 è ovvio. Dimostriamo allora che Be è una σ-algebra: dovrà quindi contenere B0 per definizione di σ-generata da una famiglia di insiemi. Un elemento di Be può scriversi come E = A ∪ B con A ∩ B = ∅ (sostituendo se necessario C con E \ C. Allora il complementare di E è {(B ∪ C) ∪ ({A ∩ C) Ma B, C ∈ B e quindi {A ∩ N ⊂ N i.e. {A ∩ C ∈ P(N ), cioè il complementare di e Infine, che l’unione numerabile di elementi di Be stia in Be è ovvio. E sta in B. Ora definiamo µ e: se B è completa allora Be = B e basta porre µ e = µ. e Altrimenti, se E ∈ B è E = A ∪ B, con B ∈ B e A ⊂ C e µC = 0; poniamo µ e(E) := µ(B) Questa definizione è ben posta: se E = A0 ∪ B 0 con A0 ⊂ C 0 allora B ⊂ B ∪ A = B 0 ∪ A0 ⊂ B 0 ∪ C 0 ∈ B e quindi µB ≤ µB 0 . Scambiando B on B 0 si ha µB = µB 0 . Verifichiamo che si tratta di una misura: se {En }n∈N sono disgiunti, allora ciascuno è della forma En = An ∪ Bn e quindi gli Bn debbono essere disgiunti, quindi ! à [ [ X X µ e En = µ( Bn ) = µ(Bn ) = µ e(En ) n∈N n∈N n∈N n∈N qed 4.2.6 Esempio La misura di Lebesgue è il completamento della misura di Borel ottenuta restringendo la misura esterna di Lebesgue alla classe dei boreliani. 89 4.2. Completamenti ed estensioni di misure Per concludere stabiliamo un risultato fondamentale, che ci fornisce un metodo molto potente per costruire misure. 4.2.7 Definizione Se A è un’algebra di insiemi, una misura su A è una funzione µ : A −→ [0, ∞] tale che (1) µ∅ = 0. (2) Se {An } è una successione di elementi di A disgiunti tale che allora ! Ã∞ ∞ [ X An = µ µAn n=1 S An ∈ A n=1 L’unica differenza con le misure propriamente dette è che queste ultime sono definite sulle σ-algebre. Osserviamo ora che, data una misura µ su un’algebra A di sottoinsiemi di un insieme X, esiste su X una misura esterna µ∗ associata a µ. Infatti basta porre, per ogni E ⊂ X: ∞ X ∗ µ (E) := inf µAi S E⊂ i Ai i=1 (l’inf varia su tutte le successioni {Ai } in A). 4.2.8 Lemma µ∗ è una misura esterna e µ∗ |A = µ. Dimostrazione: L’unica cosa da dimostrare è la subadditività numerabile. Sia S quindi E = n En con gli {En } disgiunti; se per ogni En si ha che µ∗ En = ∞ la subadditività è ovvia. Supponiamo quindiSche, per ogni ε > 0 ed ogni n esista la successione {Ani }i∈N in A tale che En ⊂ i Ani e ∞ X µAni < µ∗ En + i=1 Quindi ∗ µE≤ ∞ X i=1 µAni < ∞ X ε 2 µ∗ En + ε n=1 Per arbitrarietà di ε segue allora la subadditività di µ∗ . La seconda parte del lemma è ovvia. qed 90 Capitolo 4. Misure 4.2.9 Teorema di Estensione di Carathéodory Se µ è una misura su un’algebra A è µ∗ la misura esterna indotta da µ allora la restrizione µ di µ∗ alla σ-algebra dei suoi insiemi misurabili è una misura sulla σ-algebra (contenente A) di questi insiemi. Se µ è una misura finita, anche µ lo è, e se µ è una misura σ-finita allora µ è l’unica misura definita sulla σ-algebra generata da A tale che µ|A = µ. Dimostrazione: La prima parte è praticamente già stata dimostrata: data una misura sull’algebra A abbiamo costruito una misura esterna che quindi dà luogo ad una misura sulla σ-algebra dei suoi insiemi misurabili; l’unica cosa da dimostrare, per avere che effettivamente µ|A = µ∗ è che gli elementi di A sono misurabili rispetto a µ∗ . Per questo basta far vedere che, per ogni A ∈ A, se E è un insieme qualsiasi allora µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ {A) ≤ µ∗ E ∗ (la disuguaglianza opposta è vera sempre per S subadditività di µ ). Sia dunque {An } una successione in A tale che E ⊂ n An tale che, per ogni ε > 0 (se ciò non è possibile ogni Ei ha misura esterna infinita è non abbiamo nulla da dimostrare): X µAn < µ∗ E + ε Per additività di µ su A abbiamo ∗ ∗ µ (E ∩ A) + µ (E ∩ {A) ≤ ∞ X µ(An ∩ A) + n=1 ∞ X µ(An ∩ {A) < µ∗ E + ε n=1 S S (dato che E ∩ A ⊂ (An ∩ A) e E ∩ {A ⊂ (An ∩ {A)). Per arbitrarietà di ε si ha quindi la misurabilità di A. Che µ sia finita non appena lo sia µ è ovvio. Resta quindi solo da dimostrare l’unicità di µ nel caso in cui µ sia σ-finita. Sia dunque ν una misura definita sulla σ-algebra B generata dall’algebra A, che coincida con µ su A. Se Aσ denota l’insieme delle unioni numerabili di elementi di A, ogni suo elemento può esprimersi come unione numerabile di elementi disgiunti di A: sia ora B ∈ B di misura esterna finita e dimostriamo che esiste un A ∈ Aσ tale che B ⊂ A e µ∗ A ≤ µ∗ B + ε (basta prendere A come unione di una successione {An } ⊂ A tale che B ⊂ Quindi, dato che B ⊂ A: νB ≤ νA = µ∗ A ≤ µ∗ B + ε S An ). 91 4.3. Integrazione e, per arbitrarietà di ε: ∀B ∈ B νB ≤ µ∗ B Ma gli insiemi misurabili rispetto a µ∗ sono una σ-algebra contenente A, quindi ogni tale B è misurabile. Ora, se B è misurabile, A ∈ Aσ , B ⊂ A e µ∗ A ≤ µ∗ B + ε allora, se µ∗ B < ∞: µ∗ A = µ∗ B + µ∗ (A \ B) ⇒ ν(A \ B) ≤ µ∗ (A \ B) ≤ ε Per arbitrarietà di ε si ha quindi µ∗ A ≤ νB ⇒ µ∗ B = νB A questo punto facciamo intervenire l’ipotesi di σ-finitezza S della misura µ: se {Xi } è una successione di elementi di A tali che X = i Xi con, per ogni i, µXi < ∞ allora, per ogni B ∈ B: [ X X B = (Xi ∩ B) ⇒ νB = ν(Xi ∩ B) e µB = µ(Xi ∩ B) i i i (perché (Xi ∩ B) ∩ (Xj ∩ B) = ∅). Ma µ∗ (Xi ∩ B) < ∞ e quindi µ(Xi ∩ B) = ν(Xi ∩ B) qed 4.3 Integrazione Assumeremo d’ora innanzi che le misure prese in considerazione siano sempre complete, ed adotteremo la seguente efficace terminologia: una proprietà qualsiasi che si riferisca a spazi di misura si dice valere quasi ovunque (q.o.) se non vale al più su un insieme di misura nulla. 4.3.1 Definizione Se (X, A, µ) e (Y, B, ν) sono spazi di misura, una funzione f : X −→ Y si dice misurabile se per ogni insieme E ∈ B l’insieme f −1 (E) appartiene alla σ-algebra A. Ad esempio, se X e Y sono spazi topologici, una funzione continua è anche misurabile rispetto alle misure di Borel; in particolare, una funzione f : X −→ R definita su uno spazio misurabile è misurabile se la controimmagine di un aperto è misurabile, e quindi se g : Y −→ Z è una mappa continua fra spazi topologici e f : X −→ Y è misurabile dallo spazio misurabile X allo spazio topologico Y allora la composta g ◦ f è misurabile. 92 Capitolo 4. Misure 4.3.2 Proposizione Se (X, A, µ) è uno spazio di misura, una funzione f : X −→ R ∪ {±∞} è misurabile se e solo se vale uno dei seguenti enunciati equivalenti: (1) Per ogni a {x | f (x) > a} è misurabile. (2) Per ogni a {x | f (x) ≥ a} è misurabile. (3) Per ogni a {x | f (x) < a} è misurabile. (4) Per ogni a {x | f (x) ≤ a} è misurabile. In questi casi, l’insieme {x | f (x) = a} è misurabile. Dimostrazione: Si tratta di ovvie verifiche, per le quali è utile osservare che, ad esempio ¾ ∞ ½ \ 1 {x | f (x) ≥ a} = x | f (x) > a − n n=1 e cosı̀ via, ed il fatto che ogni aperto di Rn è unione di intervalli qed Ad esempio la funzione caratteristica χE di un insieme misurabile è misurabile; viceversa se la funzione caratteristica di un insieme A è misurabile, l’insieme è misurabile. Usando il teorema precedente è immediato verificare che somme, prodotti e limiti di funzioni misurabili sono ancora funzioni misurabili. Vogliamo ora definire nel contesto generale degli spazi di misura il concetto di integrale: per farlo considereremo classi sempre più generali di funzioni. Partiamo dalle funzioni semplici , cioè quelle della forma ϕ(x) = n X ci χEi (x) i=1 ove ci sono costanti e gli insiemi Ei sono misurabili. 4.3.3 Teorema Se f : X −→ [0, ∞] è una funzione misurabile allora esiste una successione monotona {ϕn } di funzioni semplici che converge puntualmente a f . Se la misura su X è σ-finita, possiamo scegliere le ϕn a supporto in insiemi di misura finita. Dimostrazione: Dato che, per ogni intero positivo n ed ogni numero reale t esiste un unico intero kt,n tale che kt,n kt,n + 1 ≤t≤ n 2 2n 93 4.3. Integrazione possiamo definire ( kt,n 2−n sn (t) := n se 0 ≤ t < n se n ≤ t ≤ ∞ Evidentemente si tratta di funzioni misurabili sull’insieme [0, ∞] (sono addirittura boreliane) e tali che, per ogni t: 0 ≤ s1 (t) ≤ s2 (t) ≤ ... ≤ t. è anche ovvio che limn−→∞ sn (t) = t in [0, ∞] e quindi le funzioni ϕn (x) := sn (f (t)) soddisfano la tesi del teorema qed Se ϕ è una funzione semplice non negativa e E un insieme misurabile, definiamo Z n X ϕdµ := ci µ(E ∩ Ei ) E i=1 Se E = X si omette ed in genere si omette anche la misura. Evidentemente una funzione semplice ammette diverse rappresentazioni in termini di diversi insiemi Ei , ma è ovvio verificare che l’integrale cosı̀ definito non dipende dalla rappresentazione scelta per ϕ. Osserviamo che una funzione semplice può definirsi come una funzione misurabile che assume solo un numero finito di valori {a1 , ..., aN }; allora possiamo rappresentarla sempre come N X ϕ= a i χA i i=1 ove Ai = {x | ϕ(x) = ai }. In questa rappresentazione gli Ai sono disgiunti e gli ai distinti e non nulli. La adotteremo sistematicamente. 4.3.4 Proposizione Se ϕ e ψ sono funzioni semplici i cui supporti abbiano misure finite, allora Z Z Z ∀a, b ∈ R (aϕ + bψ) = a ϕ + b ψ e, se ϕ ≥ ψ q.o. allora Z Z ϕ≥ ψ Dimostrazione: Se consideriamo gli insiemi Ek = Ai ∩Bj ottenuti intersecando in tutti i modi possibili gli insiemi delle rappresentazioni canoniche di ϕ e ψ, allora ϕ= N X k=1 ak χEk e ψ= N X k=1 bk χEk 94 Capitolo 4. Misure quindi aϕ + bψ = X (aak + bbk )χEk e, per additività della misura si ha il primo enunciato. Per dimostrare il secondo basta notare che Z Z Z ϕ − ψ = (ϕ − ψ) ≥ 0 qed 4.3.5 Proposizione Se f è una funzione reale definita e limitata su un insieme misurabile E di misura finita allora Z Z inf ψ = sup ϕ f ≤ψ ϕ≤f E E per tutte le funzioni semplici ϕ e ψ se e solo se f è misurabile. Dimostrazione: Se |f | ≤ M e f è misurabile allora gli insiemi ½ ¾ (k − 1)M kM Ek := x | < f (x) ≤ n n −n≤k≤n sono disgiunti, misurabili e la loro unione è E. Quindi µ(E) = n X µ(Ek ) i=−n Evidentemente le funzioni semplici n M X ψn (x) := kχEk (x) n k=−n e n M X ϕn (x) := (k − 1)χEk (x) n k=−n sono tali che ϕn ≤ f ≤ ψn e quindi Z Z n M X inf kµ(Ek ) ψ≤ ψn = n k=−n E E e Z Z n M X sup ϕ ≤ (k − 1)µ(Ek ) ϕn = n k=−n E E Quindi, per ogni n: Z 0 ≤ inf Z ψ − sup E ϕ≤ E M µE n 95 4.3. Integrazione Z i.e. Z inf ψ = sup ϕ E Viceversa, se vale la E Z Z inf f ≤ψ ϕ ψ = sup ϕ≤f E E allora, per ogni n, esistono funzioni semplici ϕn e ψn tali che ϕn ≤ f ≤ ψn e Z Z 1 ψn − ϕ < n Allora le funzioni ψ ∗ = inf ψn e ϕ∗ = sup ϕn sono misurabili e ϕ∗ ≤ f ≤ ψ ∗ . Dunque se D := {x | ϕ∗ (x) < ψ ∗ (x)} è unione degli insiemi ½ Dν = 1 x | ϕ (x) < ψ (x) − ν ∗ ¾ ∗ Ogni tale insieme è contenuto in {x | ϕn (x) < ψn (x) − 1/ν} che ha misura minore di ν/n. Allora, per arbitrarietà di n: ∀ν µDν = 0 ⇒ µD = 0 Dunque ϕ∗ = ψ ∗ q.o. e ϕ∗ = f q.o. Ma una funzione uguale q.o. ad una funzione misurabile è pure misurabile, per definizione. qed 4.3.6 Definizione Se f : X −→ [0, ∞] è misurabile sullo spazio di misura (X, A, µ) allora definiamo l’integrale di f come Z Z ϕdµ f dµ := sup 0≤ϕ≤f ove ϕ varia fra le funzioni semplici. Una conseguenza immediata della definizione è che Z Z f ≤g⇒ f ≤ g Z e che ∀c ∈ R c Z f= cf Vogliamo ora dimostrare i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale per l’integrale che abbiamo appena definito. 96 Capitolo 4. Misure 4.3.7 Lemma di Fatou Se {fn } è una successione di funzioni misurabili non negative che converge q.o in un insieme E ad una funzione f allora Z Z f ≤ lim fn E E Dimostrazione: Possiamo assumere che fn −→ f ovunque. Allora basta mostrare che se ϕ è una funzione semplice non negativa tale che ϕ ≤ f allora Z Z ϕ ≤ lim fn E R E Se E ϕ = ∞ allora esiste un insieme misurabile A ⊂ E con µA = ∞ e tale che su A 0 < a < ϕ. Poniamo allora An = {x ∈ E | ∀k ≥ n fk (x) > a} ottenendo cosı̀ una successione crescente di insiemi misurabili la cui unione contiene A, dato che ϕ ≤ lim fn . Quindi lim µA = ∞ e, essendo Z fn ≥ aµAn E Z allora Z fn = ∞ = lim ϕ R Se E ϕ < ∞ allora l’insieme A = {x ∈ E | ϕ(x) > 0} è misurabile ed ha misura finita; se ϕ ≤ M e ε > 0, gli E E An := {x ∈ E | ∀k ≥ n fk (x) > (1 − ε)ϕ(x)} definiscono una successione crescente di insiemi la cui unione contiene A; quindi {A \ An } è una successione descrescente di insiemi la cui intersezione è vuota. Ne segue che µ(A \ An ) = 0 e quindi esiste n tale che, per k ≥ n µ(A \ An ) < ε. Quindi, per k ≥ n: Z Z Z Z Z fk ≥ fk ≥ (1 − ε) ϕ ≥ (1 − ε) ϕ − ϕ E Ak Ak E A\Ak µZ ¶ Z ≥ ϕ−ε ϕ+M E Dunque E Z µZ Z fn ≥ lim E ϕ−ε ϕ+M E e, per arbitrarietà di ε: ¶ E Z Z fn ≥ lim E ϕ E qed 97 4.3. Integrazione 4.3.8 Teorema della Convergenza Monotona (B.Levi) Se {fn } è una successione di funzioni misurabili non negative che converge q.o. ad una funzione f e tale che per ogni n fn ≤ f allora Z Z f = lim fn R R Dimostrazione: Dato che fn ≤ f si ha fn ≤ f e quindi, per il lemma di Fatou: Z Z Z Z f ≤ lim fn ≤ lim fn ≤ f qed 4.3.9 Proposizione Se f e g sono funzioni misurabili non negative e a, b > 0 costanti allora Z Z Z (af + bg) = a f + b g Inoltre si ha q.o: Z 0≤ con R f f = 0 se e solo se f = 0 q.o. Dimostrazione: Per dimostrare il primo asserto usiamo il teorema di convergenza monotona: consideriamo due successioni {ϕn } e {ψn } crescenti di funzioni semplici non negative convergenti a f e g, col che la successione {aϕn + bψn } soddisfa le stesse ipotesi e converge a af + bg. Allora µ Z ¶ Z Z Z Z Z (af + bg) = lim (aϕn + bψ) = lim a ϕn + b ψn = a f + b g Che sia 0 ≤ R f è ovvio; se poi è R f = 0 presi gli insiemi An = {x | f (x) > si ha che, essendo χA /n ≤ f è µAn = positivi di f ha misura nulla. R 1 } n χAn = 0 e quindi l’insieme dei valori qed 4.3.10 Corollario Se {fn } è una successione di funzioni misurabili non negative allora Z X ∞ ∞ Z X fn = fn n=1 n=1 98 Capitolo 4. Misure 4.3.11 Definizione Una funzione non negativa f si dice integrabile su un insieme E misurabile se Z f <∞ E Se f non è non negativa possiamo comunque dire se è integrabile: lo è se e solo se lo sono la sua parte positiva f+ e parte negativa f− definite come f+ (x) = max(f (x), 0) e f− (x) = min(f (x), 0) L’integrale di una funzione integrabile qualsiasi è Z Z Z f = f+ − f− 4.3.12 Teorema della convergenza dominata (Lebesgue) Se g è integrabile e {fn } è una successione di funzioni misurabili convergenti q.o. a f su un insieme E e tali che, su E si abbia |fn | ≤ g Z allora Z f = lim E fn E Dimostrazione: Basta applicare il lemma di Fatou alle successioni {g + fn } e {g − fn }. qed Osserviamo infine che, avendo a disposizione il concetto di integrale per funzioni positive, possiamo estenderlo a funzioni reali e complesse qualsiasi, semplicemente ponendo, se f è una funzione misurabile reale: Z Z Z f dµ = f+ dµ − f− dµ E E E e, se f = u + iv è una funzione misurabile complessa: Z Z Z f dµ = udµ + i vdµ E E E 99 4.4. Misure con segno, complesse e misure prodotto. 4.4 Misure con segno, complesse e misure prodotto. Osserviamo che, se µ1 e µ2 sono misure definite sullo stesso spazio (X, A) possiamo considerare una loro combinazione lineare a coefficienti positivi: µ(E) := c1 µ1 (E) + c2 µ2 (E) per c1 , c2 ≥ 0. Quello a cui vogliamo dare senso, sono tuttavia anche misure del tipo ν(E) := µ1 (E) − µ2 (E) Ovviamente, dobbiamo supporre che sia µ1 che µ2 siano misure finite1 . 4.4.1 Definizione Una misura con segno sullo spazio misurabile (X, A) è una funzione ν : A −→ [−∞, ∞] tale che (1) ν assume al più uno fra i due valori ±∞. (2) ν(∅) = 0. (3) Se {En } è una successione di insiemi misurabili e disgiunti allora ! Ã∞ ∞ [ X En = ν(En ) ν n=1 n=1 ove il segno = significa che la serie converge assolutamente se ν( è finito e diverge positivamente altrimenti. S∞ n=1 En ) Quindi una misura con segno non è una misura nel senso fin qui inteso. Un insieme A è positivo (negativo) se è misurabile e per ogni suo sottoinsieme E ⊂ A misurabile si ha che ν(E) ≥ 0 (≤ 0). Un insieme è nullo se è sia positivo che negativo., ovvero se ogni suo sottoinsieme misurabile ha misura nulla: evidentemente un insieme nullo è di misura nulla, mentre un insieme di misura nulla può benissimo essere unione di un insieme positivo ed un insieme negativo. 4.4.2 Lemma (1) Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme positivo è positivo. (2) L’unione numerabile di insiemi positivi è positivo. (3) Se E è misurabile e 0 < ν(E) < ∞ allora esiste un insieme positivo A ⊂ E con ν(A) > 0. 1 è impossibile dare senso, anche a livello puramente convenzionale, ad espressioni della forma ∞ − ∞! 100 Capitolo 4. Misure Dimostrazione: La (1) è ovvia. La (2) segue facilmente considerando una successione {an } di insiemi positivi la cui unione sia A; allora per ogni insieme E ⊂ A misurabile si ha che En := E ∩ An ∩ {An−1 ∩ ... ∩ {A1 sono misurabili e quindi ν(En ) ≥ 0; sono anche disgiunti e la loro unione è E, da cui ∞ X ν(En ) ≤ 0 ν(E) = n=1 Qundi A è positivo. Dimostriamo la (3): E è positivo oppure deve contenere un insieme di misura negativa in modo che n − 1 sia il più piccolo intero positivo tale che esista Sk−1 un insieme misurabile E1 ⊂ E con ν(E1 ) < −1/n1 ; ricorsivamente, se E \ i=1 Ei non è positivo, sia nS k il più piccolo intero positivo tale che esista un insieme k−1 misurabile Ek ⊂ E \ i=1 Ei e ν(Ek ) < −1/nk . Ponendo ∞ [ Ei A := E \ i=1 allora E è unione disgiunta di A e degli Ei , quindi ν(E) = ν(A) + ∞ X ν(Ei ) i=1 P (la serie converge assolutamente per finitezza di ν(E). Quindi la serie 1/nk converge ed in particolare nk −→ ∞. Ora dimostriamo che A è positivo. Sia ε > 0; allora possiamo scegliere k tale che 1 <ε nk − 1 S (perché nk tende ad ∞). Ma A ⊂ E \ ki=1 Ei e quindi non può contenere insiemi misurabili di misura minore di −1/(nk −1) che è maggiore di −ε. Per arbitrarietà di ε A non può quindi contenere insiemi misurabili di misura negativa. qed 4.4.3 Teorema (decomposizione di Hahn) Se ν è una misura con segno su uno spazio misurabile (X, A) allora esiste un insieme positivo A ed un insieme negativo B tali che X = A ∪ B con A ∩ B = ∅. 4.4. Misure con segno, complesse e misure prodotto. 101 Dimostrazione: Supponiamo ad esempio che ν non assuma il valore +∞; se λ è il sup di ν(A) al variare di tutti gli insiemi positivi A, dato che ∅ è positivo, si ha che λ ≥ 0. Se {An } è una successione di insiemi positivi tali che λ = lim µ(An ) n−→∞ e se A è l’unione degli An allora per il lemma 4.4.2(2) A è positivo e quindi λ ≥ ν(A). Ma A \ Ai ⊂ A e quindi ν(A \ Ai ) ≥ 0 col che ν(A) = ν(Ai ) + ν(A \ Ai ) ≥ ν(Ai ) ≥ λ Quindi ν(A) = λ < ∞. Se B = {A e E ⊂ B è positivo allora A ∩ E = ∅ e E ∪ A è positivo, sicché λ ≥ ν(E ∪ A) = ν(E) + ν(A) = ν(E) + λ i.e. ν(E) = 0 dato che λ ∈ [0, ∞). Allora B non può contenere nessun insieme positivo di misura positiva e quindi per il lemma 4.4.2(3) nessun sottoinsieme di misura positiva. Quindi B è negativo. qed La decomposizione di Hahn non è necessariamente unica. Lo è a meno di insiemi nulli, come si può facilmente osservare. 4.4.4 Definizione Due misure µ1 e µ2 su uno spazio misurabile (X, A) si dicono mutuamente singolari se esistono insiemi A e B disgiunti tali che X = A ∪ B e µ1 (A) = µ2 (B) = 0. Si scrive in tal caso µ1 ⊥µ2 . 4.4.5 Teorema (decomposizione di Jordan) Se ν è una misura con segno sullo spazio misurabile (X, A) allora esistono uniche due misure mutuamente singolari ν ∗ e ν − su (X, A) tali che ν = ν + − ν − . Dimostrazione: Se X = A ∪ B è una decomposizione di Hahn definiamo ν + (E) := ν(E ∩ A) e ν − (E) := −ν(E ∩ B) Per definizione queste misure sono mutuamente singolari. La loro unicità è pure un fatto semplice: se µ+ e µ− sono due misure che pure soddisfano la decomposizione di Jordan, allora possiamo considerare gli insiemi C e D disgiunti e tali che X = C ∪ D e µ+ (C) = µ− (D) = 0. Evidentemente questi insiemi danno luogo ad una decomposizione di Hahn, e quindi le misure µ+ , ν + e µ− e ν − differiscono solo su insiemi di misura nulla. qed 102 Capitolo 4. Misure La decomposizione di Jordan di una misura ci consente di definire il valore assoluto (o variazione totale) di una misura con segno ν come |ν|(E) := ν + (E) + ν − (E) Si tratta ovviamente di una misura; gli insiemi nulli sono esattamente gli insiemi E tali che |ν|(E) = 0. 4.4.6 Definizione Se µ e ν sono misure definite su uno spazio misurabile (X, A) si dice che ν è assolutamente continua rispetto a µ se per ogni A tale che µ(A) = 0 si ha che ν(A) = 0. Si scrive in questo caso ν ¿ µ. In caso di misure con segno, la mutua singolarità e l’assoluta continuità si riferiscono ai loro valori assoluti. Il risultato fondamentale sull’assoluta continuità delle misure, il teorema di Radon–Nikodym, verrà dimostrato usando il teorema di rappresentazione di Riesz per funzionali lineari su uno spazio di Hilbert. Considerando le misure di Lebesgue su R, R2 ,...,Rn è lecito chiedersi se non si possano definire tutte in termini della misura su R utilizzando la decomposizione Rn = R×...×R. Ci chiediamo cioè se si possa effettuare il prodotto nella categoria degli spazi di misura. Siano quindi (X, A, µ) e (Y, B, ν) spazi di misura completi e consideriamo l’insieme X × Y . Se A ∈ A e B ∈ B chiamiamo l’insieme A × B un rettangolo misurabile. La famiglia dei rettangoli misurabili R := {A × B}A∈A,B∈B non è una σ-algebra e nemmeno un’algebra in generale: tutto quello che possiamo dire è che l’intersezione di elementi di R appartiene a R dato che (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B × D) e che il complementare di un elemento di R è unione disgiunta di elementi di R2 , avendosi: {(A × B) = ({A × B) ∪ (A × B) ∪ ({A × {B) Possiamo comunque definire una funzione su R come λ(A × B) = µA · νB 2 Si dice che R è una semialgebra di insiemi . 4.4. Misure con segno, complesse e misure prodotto. 103 4.4.7 Lemma Se {(An × Bn )} è una successione di elementi di R a due a due disgiunti, la cui unione sia A × B allora λ(A × B) = ∞ X λ(An × Bn ) i=1 Dimostrazione: Se x ∈ A allora, per ogni y ∈ B esiste un unico ny tale che (x, y) ∈ Any × Bny e quindi X νBn · χAn (x) = νB · χA (x) (per additività numerabile di ν). Per il corollario 4.3.10 si ha quindi Z XZ νBi χAi dµ = νBχA dµ i.e. X νBn · µAn = νB · µA qed 4.4.8 Lemma Esiste un’unica misura λ sull’algebra A generata dalla famiglia R. Dimostrazione: A contiene l’insieme vuoto, e ogni suo elemento è unione finita disgiunta di elementi di R. Definiamo allora λA := n X λRi i=1 se A = R1 ∪ ... ∪ Rn e Ri ∈ R. Dato che la decomposizione di A in elementi disgiunti di R non è unica bisogna dimostrare che questa definizione è ben posta e dà luogo ad un’unica λ. Intanto notiamo che la funzione λ è non negativa e ovviamente λ∅ = 0. Inoltre, per il lemma, se A ∈ A è unione disgiunta di due famiglie {Ri } e {Si } in R allora X X λCi = λDi P (infatti λCi = λ(Ci ∩ Di )). Inoltre, sempre per il lemma, λ è numerabilmente additiva su A; quindi l’estensione λ è ben definita e unica. qed 104 Capitolo 4. Misure Abbiamo quindi una misura λ su un’algebra, e quindi, per il teorema di estensione di Carathéodory, una misura completa λ sulla σ-algebra S generata da A: questa misura si dice misura prodotto delle µ e ν e si denota con µ ⊗ ν: è finita (o σ-finita) se lo sono µ e ν. La misura di Lebesgue su R2 è definita quindi come dx ⊗ dy, ove dx e dy sono misure di Lebesgue sui fattori R. Il teorema fondamentale sulle misure prodotto è dovuto a Fubini. Per dimostrarlo avremo bisogno di alcuni lemmi preliminari: il seguente è un sottoprodotto della dimostrazione del teorema di estensione di Carathéodory. 4.4.9 Lemma Se µ è una misura su un’algebra A e µ∗ la misura esterna indotta da µ, allora per ogni insieme E ⊂ X e ε > 0 esiste un A ∈ Aσ (l’insieme delle unioni numerabili di elementi di A) tale che E ⊂ A e µ∗ A ≤ µ∗ E + ε ed esiste un B ∈ Aσδ (l’insieme delle intersezioni numerabili di elementi di Aσ ) tale che E ⊂ B e µ∗ E = µ∗ B Dimostrazione: La prima parte del lemma è provata nel corso della dimostrazione del teorema di Carathéodory. Il secondo enunciato si dimostra considerando, per ogni numero naturale T n, ∗ ∗ un insieme An ∈ A con E ⊂ An e µ An ≤ µ E + 1/n, e ponendo B = An . Ovviamente B ∈ Aσδ e E ⊂ B. Infine 1 µ∗ E ≤ µ∗ B ≤ µ∗ An ≤ µ∗ E + n ∗ ∗ e, per arbitrarietà di n, µ E = µ B. qed Definiamo, se E ⊂ X × Y le sezioni di E in x e y come Ex := {y ∈ Y | (x, y) ∈ E} e Ey := {x ∈ X | (x, y) ∈ E} Osserviamo che se E ∈ Rσδ allora è ν-misurabile. Se E ∈ R questo è ovvio. Se S E = En ∈ Rσ segue da χEx (y) = χE (x, y) = sup χEn (x, y) = sup χ(En )x (y) n (gli En ∈ R sono misurabili). Analogamente se E = n T n En ∈ Rσδ segue da χEx (y) = χE (x, y) = inf χEn (x, y) = inf χ(En )x (y) n n (gli En ∈ Rσ sono misurabili come si è appena visto). 4.4. Misure con segno, complesse e misure prodotto. 105 4.4.10 Lemma Se E ∈ Rσδ e µ ⊗ ν(E) < ∞ allora la funzione g(x) := νEx è misurabile in (X, A, µ) e Z gdµ = µ ⊗ ν(E) Dimostrazione: Se E ∈ R il lemma è banale. Se {En } è una successione in R di insiemi a due a due disgiunti e se X gn (x) := ν(En )x e g := gn n allora g è misurabile e, dato che gn ≥ 0, per il teorema della convergenza monotona di B.Levi: Z XZ X gdµ = gn dµ = µ ⊗ ν(En ) = µ ⊗ ν(E) n n quindi il lemma è vero per E ∈ Rσ . Infine, se E ∈ Rσδ haTmisura finita, allora esiste una successione {En } ⊂ Rσ con En+1 ⊂ En e E = n En . Quindi, per il lemma precedente, possiamo assumere µ ⊗ ν(E1 ) < ∞. Poniamo gn (x) := ν(En )x Dato che Z g1 dµ = µ ⊗ ν(E1 ) < ∞ si ha g1 < ∞ q.o: se dunque x è tale che g(x) < ∞ allora la successione {(En )x } è descrescente e la sua intersezione è Ex . Per la proposizione 4.2.1(2) si ha g(x) = ν(Ex ) = lim ν(En )x = lim gn (x) n n i.e. gn −→ g q.o., da cui la misurabilità di g. Infine, essendo 0 ≤ gn ≤ g1 , per il teorema della convergenza dominata di Lebesgue (e di nuovo per la proposizione 4.2.1(2)): Z Z gdµ = lim n gn dµ = lim µ ⊗ νEn = µ ⊗ νE n qed Diciamo che una funzione misurabile f : X −→ C su uno spazio di misura (X, A, µ) è integrabile se Z |f |dµ < ∞ X L’insieme delle funzioni integrabili modulo la relazione che identifica due funzioni se sono uguali quasi ovunque è uno spazio vettoriale (rispetto alla somma e moltiplicazione per uno scalare delle classi di equivalenza definite come [f ]+[g] = [f + g] e a[f ] = [af ], che si indica con L1 (X, µ). 106 Capitolo 4. Misure 4.4.11 Teorema (Fubini) Se (X, A, µ) e (X, B, ν) sono spazi completi di misura e f ∈ L1 (X × Y, µ ⊗ ν) allora (1) per quasi ogni x la funzione fx (y) := f (x, y) appartiene a L1 (Y, ν) e Z fx (y)dν(y) ∈ L1 (X, µ) Y (2) per quasi ogni y la funzione fy (x) := f (x, y) appartiene a L1 (Y, µ) e Z fy (x)dµ(x) ∈ L1 (Y, ν) X (3) Z Z Z f dµ ⊗ ν = fx dνdµ = X Y Z Z X×Y fy dµdν Y X Dimostrazione: Data la simmetria fra x e y nell’enunciato basta dimostrare la (1) e la prima uguaglianza della (3); inoltre basta limitarsi a funzioni non negative, perché se il teorema vale per funzioni qualsiasi, evidentemente vale anche per le loro differenze. L’idea della dimostrazione è di verificare il teorema per classi sempre più vaste di funzioni. Iniziamo col verificarne la validità per le funzioni caratteristiche di insiemi misurabili di misura finita. Per il lemma 4.4.9 esiste un F ∈ Rσδ contenente E e tale che µ ⊗ ν(F ) = µ ⊗ µ(E): l’insieme G := F \ E è misurabile (lo sono E e F ) e µ ⊗ ν(F ) = µ ⊗ ν(E) + µ ⊗ ν(G) e quindi µ ⊗ ν(G) = 0. Ora, a sua volta, esiste un insieme H ⊂ Rσδ contenente G e con µ ⊗ ν(H) = µ ⊗ ν(G) = 0; quindi, per il lemma 4.4.10, ν(Hx ) = 0 per quasi ogni x ∈ X e quindi (Gx ⊂ Hx ) ν(Gx ) = 0 (per completezza di ν). Quindi g(x) = ν(Ex ) = ν(Fx ) q.o. e quindi (ancora per il lemma 4.4.10) g è misurabile e Z gdµ = µ ⊗ ν(F ) = µ ⊗ (E) Ne segue: Z Z Z χE dµ ⊗ ν (χE )x dνdµ = X Y X×Y 4.4. Misure con segno, complesse e misure prodotto. 107 Il teorema è quindi dimostrato per funzioni caratteristiche di insiemi misurabili di misura finita, e quindi (per linearità) per funzioni semplici nulle fuori da insiemi di misura finita; ma, per il teorema 4.3.3, ogni ogni funzione integrabile non negativa è limite di una successione crescente di tali funzioni: f = limn ϕn e quindi fy = limn (ϕn )y , dunque, per il teorema della convergenza monotona di B. Levi (si noti che le ϕn sono integrabili, essendolo la f ): Z Z fx (y) = dν(y) = lim (ϕn )x (y)dy n Y Y In altri termini questo integrale è una funzione misurabile della x e, di nuovo per il teorema della convergenza monotona: Z Z Z Z Z Z ϕdµ ⊗ ν = f dνdµ = lim (ϕn )y dνdµ = lim f dµ ⊗ ν X Y n X n Y X×Y X×Y qed Questo teorema è visibilmente di fondamentale importanza: tuttavia spesso non è immediata la verifica della sua applicabilità. A questo scopo è spesso utile considerare un criterio che permette di dedurre le ipotesi del teorema di Fubini: 4.4.12 Teorema (Tonelli) Se (X, A, µ) e (X, B, ν) sono spazi di misura σfiniti e f è una funzione misurabile su X × Y e non negativa, allora (1) per quasi ogni x la funzione fx (y) := f (x, y) è misurabile e Z fx (y)dν(y) è misurabile Y (2) per quasi ogni y la funzione fy (x) := f (x, y) è misurabile e Z fy (x)dµ(x) è misurabile X (3) Z Z Z f dµ ⊗ ν = fx dνdµ = X Y Z Z X×Y fy dµdν Y X Dimostrazione: Osserviamo semplicemente che, nella dimostrazione del teorema di Fubini l’unico punto nel quale si usa l’ipotesi di integrabilità della f (rispetto a µ ⊗ ν) è per dedurre l’integrabilità delle funzioni semplici ϕn } che approssimano la f : nel nostro caso non è necessario, perché basta la σ-finitezza degli spazi di misura in questione per dedurre l’esistenza delle {ϕn }. Quindi la stessa dimostrazione del teorema di Fubini fornisce, con questa modifica, il teorema di Tonelli. qed 108 4.5 Capitolo 4. Misure Misure di Borel, Radon e integrale di Stieltjes. Vogliamo qui accennare a qualche procedimento che consente la costruzione di misure di Borel. Consideriamo uno spazio topologico X localmente compatto di Hausdorff: in questo paragrafo ogni spazio topologico sarà di questo tipo. Se f : X −→ R è una funzione continua, il suo supporto è l’insieme supp f := {x | f (x) 6= 0} L’insieme Cc (X) delle funzioni reali continue a supporto compatto è uno spazio vettoriale, e costituisce il protagonista della teoria dell’integrazione su X. 4.5.1 Definizione La σ-algebra degli insiemi di Radon è la σ-algebra R(X) di sottoinsiemi di X tali che gli elementi di Cc (X) siano funzioni misurabili. Quindi R(X) è generata da insiemi della forma {x | f (x) ≥ a} con f ∈ Cc (X). Se a > 0 questi sono insiemi compatti Gδ e, dato che i compatti Gδ sono evidentemente insiemi di Radon, R(X) è generata da essi. Ricordiamo che 4.5.2 Definizione La σ-algebra degli insiemi di Borel è la σ-algebra B(X) generata dagli insiemi chiusi. Quindi R(X) ⊂ B(X). Il viceversa vale se X è uno spazio metrico separabile localmente compatto. 4.5.3 Definizione Una misura di Radon su X è una misura completa sulla σ-algebra R(X) tale che ogni insieme compatto abbia misura finita. (Come sappiamo la richiesta di completezza può sempre soddisfarsi, completando la misura data). Ricordiamo che una misura di Borel è una misura sui boreliani di X: spesso considereremo il suo completamento e lo chiameremo sempre misura di Borel. 4.5.4 Definizione Una misura µ su una σ-algebra A contenente R(X), si dice quasi-regolare se (1) ∀E ∈ A µE = inf µA E⊂A A∈A∩T (T denota la topologia di X) e (2) ∀A ∈ A ∩ T µA = inf K⊂A K∈A compatto µK Se la (2) vale per ogni A ∈ A la misura si dice regolare. 4.5. Misure di Borel, Radon e integrale di Stieltjes. 109 Ad esempio, la misura di Lebesgue sulla retta reale è regolare. Mimando la costruzione della misura di Lebesgue vogliamo ora definire delle misure quasiregolari sul nostro spazio X localmente compatto di Hausdorff. 4.5.5 Definizione Una misura esterna µ∗ su X si dice topologicamente regolare se ∀E ⊂ X (1) (2) (3) ∀A1 , A2 ∈ T µ∗ E = inf µ∗ A E⊂A A⊂T A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ µ∗ (A1 ∪ A2 ) = µ∗ A1 + µ∗ A2 ∀A ∈ T µ∗ A = sup µ∗ K K⊂A K compatto 4.5.6 Teorema Se µ∗ è una misura esterna topologicamente regolare su X allora ogni boreliano è µ∗ -misurabile. Dimostrazione: Dato che gli insiemi misurabili rispetto ad una misura esterna formano una σ-algebra, basterà mostrare che i chiusi F sono µ∗ -misurabili. Sia A un aperto di misura finita e ε > 0; allora A ∩ {F è aperto e ha misura esterna finita. Ora, per la (3) nella definizione di regolarità topologica della µ∗ , si ha che ∀A ∈ T µ∗ A = sup µ∗ U U ⊂A U ∈T U compatto i.e. esiste un U aperto tale che U ⊂ A ∩ {F e µ∗ U > µ∗ (A ∩ {F ) − ε Allora, se V := A \ U , V ∩ U = ∅ e A ∩ F ⊂ V , quindi µ∗ (A ∩ F ) + µ∗ (A ∩ {F ) < µ∗ V + µ∗ U + ε < µ∗ (U ∪ V ) + ε < µ∗ A + ε (per la (2) nella definizione di regolarità topologica). Per arbitrarietà di ε si ha dunque la misurabilità di F : µ∗ (A ∩ F ) + µ∗ (A ∩ {F ) ≤ µ∗ A (la disuguaglianza opposta è vera per monotonia della µ∗ ). qed 110 Capitolo 4. Misure 4.5.7 Teorema Se µ : T −→ [0, ∞] è una funzione definita sugli aperti di X tale che (1) Se A è compatto allora µA < ∞. (2) Se A1 ⊂ A2 allora µA1 ≤ µA2 . (3) Se A1 ∩ A2 = ∅ allora µ(A1 ∪ A2 ) = µA1 + µA2 . S P (4) µ ( n An ) ≤ n µAn . (5) µA = sup U ⊂A U compatto Allora la funzione µU . µ∗ E := inf E⊂A⊂T µA è una misura esterna topologicamente regolare. Dimostrazione: La monotonia e subadditività numerabile della µ∗ sono immediate per le (2) e (4); inoltre, se A ∈ T : µ∗ A = µA e quindi, per la (5), la (3) della definizione di regolarità topologica è vera per i K che siano chiusure di aperti, e quindi è vera per ogni compatto. Infine le (1) e (2) della definizione di regolarità topologica seguono dalla definizione di µ∗ e dalla (3). qed Quindi, a partire da una funzione definita sugli aperti, possiamo definire una misura sui boreliani associata alla misura esterna del teorema precedente: la regolarità topologica della misura esterna garantisce la quasi-regolarità della misura indotta. Alternativamente, si può partire da una funzione definita sui compatti e cercare di estenderla ad una funzione che soddisfi le ipotesi del teorema precedente; per questi ed altri approfondimenti si rimanda ai testi specialistici di teoria della misura. Consideriamo ora le misure di Radon sulla retta reale R: si tratta evidentemente di misure finite sui sottoinsiemi limitati di R; quindi, ad ogni tale misura µ possiamo associare una funzione F (x) := µ(−∞, x] che si dice3 funzione di distribuzione della misura µ. Viceversa, data una funzione F possiamo definire µ(a, b] := F (b) − F (a) 3 Dato l’esteso utilizzo che se ne fa in teoria delle probabilità, usiamo il termine probabilistico. 4.5. Misure di Borel, Radon e integrale di Stieltjes. 111 4.5.8 Teorema La distribuzione associata ad una misura di Radon è una funzione monotona crescente, limitata, continua da destra e tale che lim F (x) = 0 x−→−∞ Viceversa, una funzione F monotona crescente e continua da destra induce una misura di Radon la cui distribuzione è esattamente la F . Dimostrazione: Per le proprietà di µ è evidente che F è una funzione monotona crescente a valori reali. Inoltre µ(a, b] = F (b) − F (a) e, dato che (a, b] = T n (a, b + 1/n], per la proposizione 4.2.1(2): µ ¸ 1 µ(a, b] = lim µ a, b + n−→∞ n µ i.e. F (b) = lim F n−→∞ 1 b+ n ¶ = F (b+) il che significa che la funzione di distribuzione è continua da destra (o superiormente). Si noti che µ ¸ 1 µ{b} = lim b − , b = F (b) − F (b−) n−→∞ n Quindi F è continua in b se T e solo se l’insieme {b} ha misura nulla. Nel caso x = −∞ si trova, dato che n (−∞, −n) = ∅: lim F (x) = 0 x−→−∞ Viceversa, sia F una funzione monotona crescente e continua da destra: allora la µ(a, b] = F (b) − F (a) definisce una funzione sulla classe I degli intervalli aperti a sinistra e chiusi a destra; questa classe non è una σ-algebra (non è neanche un’algebra) tuttavia, procedendo come nel lemma 4.4.2, possiamo estendere µ ad una misura sull’algebra S generata da I, dato che, se (a, b] ⊂ n (an , bn ], allora F (b) − F (a) ≤ ∞ X n=1 F (bn ) − F (an ) 112 Capitolo 4. Misure Allora, usando il teorema di estensione di Carathéodory, abbiamo una misura sulla σ-algebra dei boreliani (che è quella generata da I) il cui completamento è una misura di Radon; questa estensione è unica, dato che R è unione numerabile di elementi di I e quindi µ è σ-finita. qed Quindi, se ϕ è una funzione boreliana su R possiamo integrarla rispetto ad una funzione F monotona crescente continua da destra ponendo Z Z ϕdF := ϕdµ ove µ è la misura di Radon associata a F ; questo integrale si dice integrale di Lebesgue–Stieltjes. Uno spazio di misura (Ω, A, P ) tale che P (Ω) = 1 si dice spazio di probabilità e la misura P si dice probabilità su Ω; ad esempio, l’intervallo [0, 1] con la misura di Lebesgue è uno spazio di probabilità. In questo caso le distribuzioni delle misure di Radon soddisfano alla lim F (x) = 1 x−→∞ Una funzione misurabile X : [0, 1] −→ R si dice in questo contesto variabile aleatoria: ad una variabile aleatoria possiamo associare una funzione di distribuzione ponendo F (x) = P (X < x) := P {y | X(y) < x} La F permette di calcolare le grandezze fondamentali associate ad una variabile aleatoria, come la speranza matematica Z EX := xdF (x) Z e la varianza DX := (x − EX)2 dF (x) che infatti valgono Z EX = Z e DX = xF 0 (x)dx (x − EX)F 0 (x)dx Se ad esempio ϕ : [0, 1] −→ R è una funzione boreliana, avremo una nuova variabile aleatoria Y = ϕ ◦ X, la cui speranza è Z xdG(x) 4.6. Spazi Lp . 113 (ove G è la distribuzione di Y ): ma se ϕ è integrabile rispetto alla misura di Radon associata alla funzione di distribuzione di X, allora Z EY = Eϕ(X) = ϕ(x)dF (x) Quindi la conoscenza di F determina la conoscenza delle distribuzioni di tutte le variabili aleatorie ottenute trasformando X con funzioni boreliane. 4.6 Spazi Lp . Da ultimo introduciamo gli spazi Lp : sia (X, A, µ) uno spazio di misura; definiamo, per 1 ≤ p < ∞. ½ ¾ Z p p L (X, µ) := f : X −→ C | f misurabile e |f | dµ < ∞ / ≡ come lo spazio delle classi di equivalenza (modulo la relazione f ≡ g ⇐⇒ f = g q.o.) di funzioni la cui potenza p-sima abbia integrale finito in modulo. Per p = ∞ definiamo L∞ (X, µ) := {f : X −→ C | f misurabile e misurabile} Si tratta ovviamente di spazi vettoriali. Per brevità scriviamo ¶ 1p µZ p |f | dµ ||f ||p := e ||f ||∞ := esssupx∈X |f (x)| ove il supremo essenziale è l’inf del sup di g per ogni g che sia uguale a f q.o: esssupx∈X g(x) := inf{M | µ{x | M < f (x)}} Nel séguito gli spazi Lp costituiranno l’esempio classico di spazi di Banach: per il momento limitiamoci a dimostrare i risultati classici che permettono di effettuare il calcolo in Lp : ricordiamo intanto la 4.6.1 Definizione Una funzione convessa è una funzione ϕ : (a, b) −→ R (con −∞ ≤ a < b ≤ ∞) tale che ∀x, y ∈ (a, b) ∀λ ∈ [0, 1] ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y) 114 Capitolo 4. Misure Ovviamente ϕ è convessa se e solo se (C) ϕ(t) − ϕ(s) ϕ(u) − ϕ(t) ≤ t−s u−t ∀s, t, u ∈ [a, b] Da questo segue la continuità di ϕ in (a, b). 4.6.2 Lemma (disuguaglianza di Jensen) Se (X, A, µ) è uno spazio di misura con µ(X) = 1 e f ∈ L1 (X, µ) ha valori in (a, b) e ϕ è convessa in (a, b) allora µZ ¶ Z ϕ f dµ ≤ ϕ ◦ f dµ X X Z Dimostrazione: Poniamo t := f dµ X (da cui t ∈ (a, b)) e β = sups∈(a,b) (t − s). Allora ∀s ∈ (a, b) ϕ(t) + β(s − t) ≤ ϕ(s) i.e. ∀x ∈ X ϕ(f (x)) − ϕ(t) − β(f (x) − t) ≥ 0 Dato che ϕ è continua, ϕ ◦ f è misurabile e quindi, integrando la disuguaglianza precedente abbiamo Z Z ϕ(t)µ(X) + β( f dµ − tµ(X)) ≤ ϕ ◦ f dµ X X R i.e. la tesi, dato che µ(X) = 1 e t = X f dµ. qed 4.6.3 Teorema (disuguaglianza di Hölder) Se p, q > 0 sono tali che 1/p+ 1/q = 1 (oppure se p = 1 e q = ∞) e (X, A, µ) uno spazio di misura, per ogni coppia di funzioni f, g : X −→ [0, ∞] misurabili si ha µZ Z f gdµ ≤ ¶ 1p µZ ¶ 1q q f dµ g dµ p X X Dimostrazione: Siano µZ ¶ p1 p A := f dµ X X µZ e ¶ 1q g dµ q B := X 4.6. Spazi Lp . 115 Se A = 0 allora f = 0 q.o. quindi f g = 0 q.o. ed il teorema è dimostrato; se A > 0 e B = ∞ pure il teorema è banale. Possiamo dunque supporre che siano A, B ∈ (0, ∞). Poniamo f A F := in modo che e Z G= g B Z p Gq dµ = 1 F dµ = X X Ora, se F (x), G(x) ∈ (0, ∞), allora esistono s, t ∈ R tali che F (x) = es/p e G(x) = et/q ; ma 1/p + 1/q = 1 e la funzione esponenziale è convessa: quindi t s ep+q ≤ es et + p q i.e. ∀x ∈ X e, integrando: F (x)G(x) ≤ Z F Gdµ ≤ X F (x)p G(x)q + p q 1 1 + =1 p q cioè la tesi. qed 4.6.4 Corollario (disuguaglianza di Schwartz) Se (X, A, µ) uno spazio di misura, per ogni coppia di funzioni f, g : X −→ [0, ∞] misurabili si ha sZ Z sZ f gdµ ≤ X f 2 dµ g 2 dµ X X 4.6.5 Teorema (disuguaglianza di Minkowski) Se p, q > 0 sono tali che 1/p + 1/q = 1 (oppure se p = 1 e q = ∞) e (X, A, µ) uno spazio di misura, per ogni coppia di funzioni f, g : X −→ [0, ∞] misurabili si ha µZ p (f + g) dµ X ¶ 1p µZ ≤ p f dµ X µZ ¶ p1 ¶ 1q g dµ q + X 116 Capitolo 4. Misure Dimostrazione: Applichiamo all’identità (f + g)p = f (f + g)p−1 + g(f + g)p−1 la disuguaglianza di Hölder: µZ Z p−1 f (f + g) dµ ≤ ¶ 1p µZ ¶ 1q (p−1)q f dµ (f + g) dµ p X X X ma (p − 1)q = p e quindi µZ Z (f + g)p dµ ≤ (f + g)p dµ ¶ 1q õZ µZ g p dµ + X X X f p dµ ¶ p1 ¶ p1 ! X Ora, supponiamo che in questa disuguaglianza la parte sinistra sia non nullo e la parte destra non infinito (altrimenti il teorema è banale): dato che la funzione tp è convessa per t ∈ (0, ∞): µ ¶p f +g 1 ≤ (f p + g p ) 2 2 e quindi R (f + g)p dµ X ¡R ¢1 ≤ p dµ q (f + g) X à µZ ¶ p1 µZ ¶ p1 ! p f dµ g dµ + p X X cioè, dato che 1 − 1/q = 1/p, la disuguaglianza di Minkowski. qed Vogliamo infine dimostrare dei risultati molto utili di approssimazione per le funzioni in Lp : consideriamo uno spazio di Hausdorff localmente compatto X, A una σ-algebra su X contenente i boreliani e µ una misura regolare su X. 4.6.6 Teorema Se 1 ≤ p < ∞ per ogni funzione f ∈Lp (X, µ) esiste una funzione continua a supporto compatto g tale che ||f − g||p −→ 0 Cioè ogni funzione Lp è approssimabile con funzioni continue a supporto compatto. Dimostrazione: Dimostreremo in realtà di più: ogni funzione Lp si approssima con funzioni “di salto”, cioè con funzioni semplici s che hanno supporto in insiemi 4.6. Spazi Lp . 117 di misura finita. Sia S l’insieme delle funzioni s : X −→ C misurabili semplici tali che µ({x ∈ X | s(x 6= 0)} < ∞ Dimostriamo che gli elementi di questo insieme approssimano Lp . Intanto è ovvio che S ⊂ Lp (X, µ); consideriamo poi, data f : X −→ [0, ∞) in Lp (X, µ), una successione {sn } monotona di funzioni semplici che converga a f (teorema 4.3.3); dato che f − sn ≤ f (stiamo considerando funzioni reali positive in Lp : basta dimostrare il teorema per esse): |f − sn |p ≤ f p Quindi possiamo usare il teorema della convergenza dominata: Z lim ||f − sn ||p = lim |f − sn |p dµ = 0 X Per dimostrare il teorema ci basta sapere che, dato ε > 0, per ogni funzione s ∈ S esiste g ∈ Cc (X) tale che µ{x | g(x) 6= f (x)} < ε e |g| ≤ ||s||∞ : infatti in questo caso 1 ||f − g||p = ||f − g + s − s|| ≤ ||f − s||p + ||g − s||p < ε + 2ε p ||s||∞ Ora consideriamo la nostra s ∈ S e l’insieme A = {x | s(x) 6= 0}: sappiamo che è diversa da zero su un insieme di misura finita, quindi, per regolarità della misura, possiamo supporre che esista un compatto K un aperto U tali che K ⊂ U , s|U = 0 e µ(A \ K) < ε. Allora, per il lemma di Uryshon, esiste una funzione continua h tale che h|K = 1 e g|{U = 0: evidentemente µ{x | g(x) 6= s(x)} < ε La g è la funzione cercata. qed Implicita nella dimostrazione di questo risultato è quella del seguente 4.6.7 Teorema (Lusin) Una funzione misurabile su un insieme di misura finita è approssimabile con funzioni continue a supporto compatto. Capitolo 5 GRUPPI, ALGEBRE E RAPPRESENTAZIONI In questo capitolo collezioniamo alcune definizioni, teoremi ed esempi relativi alle strutture algebriche più pervasive nella matematica: i gruppi, le algebre e le loro rappresentazioni. Diamo solo alcune conseguenze quasi immediate della definizione di gruppo (nella III parte studieremo a fondo le strutture di gruppo che intervengono in meccanica quantistica: i gruppi topologici e di Lie), mentre per le algebre ci limitiamo alle definizioni ed agli esempi di dimensione finita, dato che una classe importante di algebre a dimensione infinita, le algebre di operatori, saranno esaminate dettagliatamente nella II parte. Le rappresentazioni sono pure introdotte nel caso di dimensione finita: in appendice 5.6 è data una trattazione elementare dei prodotti tensoriali per rendere autosufficiente l’esposizione di questi concetti. 5.1 Gruppi 5.1.1 Definizione Un insieme G dotato di una operazione · : G × G −→ G si dice un gruppo se l’operazione · (che si indicherà semplicemente per giustapposizione dei suoi operandi) è: (1) associativa, cioè g(g 0 g 00 ) = (gg 0 )g 00 ; (2) possiede identità e ∈ G, cioè ge = eg = g; (3) ogni elemento g possiede un inverso, cioè esiste g −1 ∈ G tale che gg −1 = g −1 g = e. 5.1.2 Definizione Un gruppo si dice abeliano (o commutativo) se l’operazione è commutativa (i.e. gg 0 = g 0 g). Se un gruppo è finito, la sua cardinalità si dice ordine del gruppo. 118 119 5.1. Gruppi 5.1.3 Esempio (1) Uno spazio vettoriale rispetto alla somma di vettori è un gruppo abeliano. (2) L’insieme SX delle funzioni biunivoche di un insieme X in sé è un gruppo (non abeliano a meno che Card X ≤ 2). (3) L’insieme degli interi Z è un gruppo rispetto alla somma, come pure il “reticolo” Zn dei vettori in Rn a coordinate intere. (4) Se V è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita, l’insieme delle applicazioni lineari invertibili (isomorfismi lineari) di V n sé è un gruppo GL(V ) rispetto alla composizione, che si dice gruppo lineare generale; se fissiamo una base in V , i.e. un isomorfismo V ∼ = Rn allora GL(V ) = GLn (R) è il gruppo delle matrici invertibili di ordine n: l’operazione di gruppo è in questo caso il prodotto di matrici (righe per colonne). Se G e H sono gruppi e f : G −→ H è una funzione, si dice che f è un omomorfismo 1 se f (gg 0 ) = f (g)f (g 0 ). Se inoltre f è iniettiva (risp. suriettiva, biunivoca) si dice che è un monomorfismo (risp. epimorfismo, isomorfismo) del gruppo G nel gruppo H. Gruppi isomorfi sono da considerarsi equivalenti ed ovviamente la classe dei gruppi rispetto agli omomorfismi forma una categoria. 5.1.4 Esempio Se G è il gruppo dei numeri reali rispetto alla somma e H il gruppo dei numeri reali positivi rispetto al prodotto, allora la funzione esponenziale x ∈ G 7−→ ex ∈ H è un isomorfismo. Se G è un gruppo e S, T ⊂ G sono sottoinsiemi, definiamo ST := {s · t | s ∈ S, t ∈ T } Se f : G −→ H è un omomorfismo allora la sua immagine im f = f (G) è un sottoinsieme di H tale che (im f )(im f ) ⊂ im f dato che f (g)f (g 0 ) = f (gg 0 ). 5.1.5 Definizione Un sottoinsieme H di un gruppo G tale che HH ⊂ H si dice sottogruppo di G e si scrive in questo caso H < G. Anche il nucleo del morfismo f ker f := {g ∈ G | f (g) = e} è un sottogruppo, che gode anche della proprietà (ker f )G = G(ker f ) (infatti se k ∈ ker f e g ∈ G: f (kg) = f (k)f (g) = f (g) = f (g)f (k) = f (gk)). In altri termini, se g ∈ G e k ∈ ker f allora gkg −1 ∈ ker f . 1 Si tratta della nozione analoga a quella di applicazione lineare nel caso degli spazi vettoriali: molte definizioni che si danno per gli spazi vettoriali (funzioni lineari, sottospazi, quozienti, prodotti) si generalizzano ai gruppi.. 120 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni 5.1.6 Definizione Un sottogruppo H < G tale che HG = GH si dice normale e si scrive H C G. 5.1.7 Esempio Se G è abeliano, ogni sottogruppo è automaticamente normale: in particolare nel caso di uno spazio vettoriale rispetto alla somma. Come nel caso degli spazi vettoriali, un omomorfismo f : G −→ H è iniettivo se e solo se ker f = {e}; in generale i : ker f ,→ G; ovviamente f : G −→ im f è un epimorfismo, e la composizione i ◦ f è identicamente e. Si esprime questo dicendo che la successione (∗) {e} / ker f /G / im f / {e} è esatta. Nel caso degli spazi vettoriali esiste una nozione analoga: se V, W e Z sono spazi vettoriali e f : V −→ W , g : Z −→ V sono mappe lineari, la successione Z g /V f /W è esatta se ker f = im g; quindi se Z = 0 l’esattezza vuol dire l’iniettività di f e se W = 0 vuol dire la suriettività di g. La stessa cosa nel caso di gruppi qualsiasi. Un modo diverso di esprimere la (*) è dire che il gruppo im f è quoziente del gruppo G modulo il sottogruppo ker f . In generale, se G è un gruppo e K C G è un sottogruppo normale allora l’insieme G/K := {gK | g ∈ G} dei sottoinsiemi di G della forma gK è un gruppo rispetto al prodotto (gK)(g 0 K) = (gg 0 )K e si dice gruppo quoziente modulo K. Gli elementi gK di G/K si dicono classi laterali (sinistre) di G modulo K. 5.1.8 Proposizione I sottogruppi normali di G sono esattamente i nuclei dei possibili omomorfismi di G in un altro gruppo. Dimostrazione: Che se f : G −→ H è un omomorfismo allora ker f C G già lo sappiamo; viceversa, se K C G allora la proiezione p : G −→ G/K è un epimorfismo di nucleo K. qed 121 5.1. Gruppi Nel caso della (*) G/ ker f è isomorfo, tramite l’isomorfismo G/ ker f 7−→ im f , a im f . Si noti che, se H non è normale, G/H non è un gruppo. Se G e H sono gruppi il prodotto G × H è un gruppo rispetto a (g, h)(g 0 , h0 ) := (gg 0 , hh0 ) Evidentemente questa definizione si generalizza al prodotto di una famiglia qualsiasi di gruppi; il gruppo G×H si dice prodotto diretto dei gruppi G e H: i fattori si immergono nel prodotto con due immersioni iG : G ,→ G × H g 7−→ (g, e) iH : H ,→ G × H h 7−→ (e, h) che sono monomorfismi: quindi G < G × H e H < G × H. Inoltre i sottogruppi G e H sono normali, e si ha G × H/G ∼ =H e G × H/H ∼ =G (un isomorfismo fra i gruppi G e G0 si indica con G ∼ = G0 ). Quindi la struttura di G × H è in un certo senso determinata da quella di G e H: ogni volta che un gruppo ha sottogruppi normali, passando ai quozienti si trovano gruppi “meno complicati” del gruppo di partenza. Questo motiva la seguente 5.1.9 Definizione Un gruppo G è semplice se non ha sottogruppi normali non banali. “Non banali” vuol dire diversi da {e} e G stesso, che sono ovviamente sottogruppi normali di G. Se H, H 0 < G sono sottogruppi, anche H ∩ H 0 lo è, ovviamente; se S ⊂ G è un sottoinsieme qualsiasi, il sottogruppo generato da S è \ hSi := H S⊂H<G l’intersezione di tutti i sottogruppi che contengono S. In particolare, per S = {s} si scrive hgi per il sottogruppo generato dall’elemento g ∈ G. Naturalmente g è formato da e, g, gg,... Usiamo la notazione esponenziale scrivendo g n in luogo di g · · · g (n volte): allora è ovvio che g n g m = g n+m e quindi che hgi è abeliano. 5.1.10 Esempio Consideriamo il gruppo Z rispetto alla somma: l’identità è e = 0; se consideriamo 1 ∈ Z allora ogni elemento di Z è della forma 1 + · · · + 1 (n volte) e quindi Z = h1i. 122 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni 5.1.11 Definizione Se un gruppo G è generato da un suo elemento g ∈ G, i.e. se G = hgi, si dice ciclico. Quindi Z è ciclico. Notiamo che possiamo definire un gruppo ciclico finito per ogni numero naturale n: basta considerare un insieme Cn = {c0 , ..., cn−1 } e definire il prodotto ponendo ck1 := ck (k = 0, ..., n−1.) Otteniamo cosı̀ un gruppo ciclico generato da c1 con n elementi, il cui elemento unità è c0 = e. Un modo familiare di rappresentare questo gruppo è considerare le classi di congruenza di numeri interi modulo n: Zn . Rispetto alla somma (modulo n) si tratta esattamente di Cn (l’isomorfismo è la mappa c : Zn −→ Cn data da c(n) = cn ). Notiamo che, se n è un numero primo allora Cn è un gruppo semplice: in effetti, dato che è abeliano, bisogna mostrare che non ha sottogruppi non banali; sia C < Cn un sottogruppo e sia ck ∈ C; se c1 = ck allora C = Cn ; altrimenti, C contiene di certo il sottogruppo (ciclico) generato da ck ; ma dato che cm k = e per un certo m e ck ∈ Cn , deve essere m|n; se n è primo questo non è possibile a meno che m = n (col che ck = c1 ) oppure m = 1 (col che ck = e); quindi C = {e} oppure C = Cn . Il gruppo Z lo consideriamo come C∞ ; non esistono in effetti gruppi ciclico di cardinalità maggiore al numerabile: 5.1.12 Teorema Un gruppo ciclico è finito o numerabile e due gruppi ciclici Cn e Cm sono isomorfi se e solo se n = m (n, m ∈ N ∪ {∞}). Dimostrazione: Sia hgi un gruppo ciclico infinito: allora, per definizione, le potenze g n sono tutte distinte fra loro, e quindi la mappa g n 7−→ n è un isomorfismo fra hgi e Z: è ovviamente biunivoca, ed è un omomorfismo perché g n g m = g n+m . Se invece hgi è un gruppo ciclico finito, esiste un n tale che g n = e; sia n minimo rispetto a questa proprietà; allora la mappa c : g n 7−→ cn è un isomorfismo di hgi in Cn . qed Nei gruppi, a differenza che negli spazi vettoriali, può manifestarsi il fenomeno della torsione, vale a dire, un elemento g ∈ G può avere una potenza pari all’unità e: ∃n > 0 g n = e. Il minimo intero che soddisfa questa relazione si dice ordine 123 5.2. Azioni di gruppi dell’elemento g. Ad esempio nel caso di un gruppo ciclico finito, il suo generatore ha ordine pari all’ordine del gruppo. Esiste, nel caso dei gruppi, una nozione analoga a quella di base per gli spazi vettoriali. Se ogni elemento di G si esprime come prodotto di numero finito di elementi di un certo sottoinsieme fissato S ⊂ G, si dice che gli elementi di S generano il gruppo. In altri termini, S è un insieme di generatori di G se G = hSi In generale la cardinalità di un sistema di generatori potrà variare, non si può cioè parlare di “dimensione” di un gruppo. Tuttavia un gruppo può essere finitamente generato, cioè può avere un insieme finito di generatori. Un teorema fondamentale, per il quale si rimanda ai testi specialistici, afferma che un gruppo abeliano finitamente generato è il prodotto diretto di un gruppo ciclico finito Cn e di un reticolo Zm di interi. 5.2 Azioni di gruppi Abbiamo visto che se X è un insieme, possiamo considerare l’insieme di tutte le funzioni biunivoche di X in sé: si tratta di un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni (l’elemento unità è la funzione identità x 7−→ x e l’inverso è la funzione inversa). In particolare, se X è un insieme finito, otteniamo il gruppo Sn delle permutazioni di n oggetti: ¶ µ 1 2 3 ... n i= i(1) i(2) i(3) ... i(n) Possiamo infatti vedere Sn come l’insieme delle funzioni biunivoche i : {1, .., n} −→ {1, .., n}. Questo gruppo è di fondamentale importanza, specie nelle applicazioni in Fisica e Chimica; osserviamo che contiene tutte le permutazioni possibili di n oggetti, quindi ha ordine2 n!. 5.2.1 Teorema (Cayley) Ogni gruppo finito di ordine n è (isomorfo a) un sottogruppo del gruppo simmetrico Sn . 2 In effetti per costruire una permutazione i su n oggetti {1, 2, ..., n} cominciamo a stabilire quale sia il suo valore i(1) su 1; abbiamo n scelte possibili per questo, e ne restano (n − 1) per il valore i(2); una volta assegnato anche questo valore, restano (n − 2) scelte possibili per i(3) e cosı̀ via fino a i(n) che risulterà una scelta obbligata. In definitiva abbiamo n(n − 1)(n − 2)...2 possibili permutazioni. 124 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Dimostrazione: Sia G un gruppo finito di ordine n: possiamo supporre che Sn sia l’insieme delle funzioni biunivoche di G in sé (nella definizione di gruppo simmetrico non conta affatto la natura degli elementi che permuta: tutti gli insiemi finiti della stessa cardinalità sono equivalenti da questo punto di vista). Allora, se g ∈ G definiamo Lg : G −→ G come Lg (g 0 ) := gg 0 Fissato g ∈ G, Lg è una funzione biunivoca: infatti Lg (g 0 ) = Lg (g 00 ) ⇐⇒ gg 0 = gg 00 ⇐⇒ g 0 = g 00 (poiché esistono gli inversi in un gruppo vale la legge di cancellazione). Quindi Lg ∈ Sn , ed abbiamo quindi definito una funzione L : G −→ Sn Dimostriamo che si tratta di un monomorfismo di gruppi. Intanto è iniettiva: se g, g 0 ∈ G allora ∀h ∈ G Lg (h) = Lg0 (h) ⇐⇒ gh = g 0 h ⇐⇒ g = g 0 (di nuovo per cancellazione), e quindi L : g 7−→ Lg è iniettiva; infine è un omomorfismo di gruppi: Lgg 0 (h) = gg 0 h = g(g 0 h) = Lg (g 0 h) = Lg Lg0 (h) qed L’idea usata in questa dimostrazione è di fondamentale importanza: la funzione Lg si dice rappresentazione regolare, ed è un caso particolare del concetto generale di rappresentazione. Osserviamo intanto che, chiaramente, la dimostrazione si estende al caso di cardinalità qualsiasi: ogni gruppo G è un sottogruppo del gruppo SX delle trasformazioni biunivoche di un insieme X, della stessa cardinalità di G, in sé. Ovviamente l’insieme SG è in generale molto misterioso; tuttavia possiamo sempre ridurci a particolari classi di trasformazioni biunivoche, e precisamente a quelle lineari. Per il momento studiamo comunque il concetto di rappresentazione più in generale. 5.2.2 Definizione Se G è un gruppo e X un insieme, si dice che G agisce su X se esiste un omomorfismo di gruppi A : G −→ SX (che si dice azione del gruppo sull’insieme). 125 5.2. Azioni di gruppi Esplicitamente, una azione A soddisfa le ∀g, g 0 ∈ G ∀x ∈ X Agg0 x =Ag Ag0 x ∀x ∈ X 0 Ae x = x (5.1) (5.2) Si scrive più semplicemente gx in luogo di Ag x (o, ancora peggio, di A(g)x che sarebbe la scrittura più pedantemente corretta). Ad esempio, la rappresentazione regolare Lg è una azione di G su sé stesso; bisognerebbe chiamarla “rappresentazione regolare sinistra”, dato che, se il gruppo non è commutativo, Lg h 6= Lh g, e si può definire una rappresentazione regolare destra come Rg h := hg Un’altra rappresentazione di G in sé è la rappresentazione coniugata: Ag h := ghg −1 Si noti che Ag = Lg Rg−1 . Un elemento della forma ghg −1 si dice coniugato di h rispetto a g; il coniugio è una relazione di equivalenza, come è facile verificare (vedremo questo fatto più in generale fra breve). 5.2.3 Definizione Se G agisce su un insieme X e sia x ∈ X; allora (1) Lo stabilizzatore dell’elemento x è il sottogruppo Gx di G definito come Gx := {g ∈ G | gx = x} (2) L’orbita di x in X è il sottoinsieme Gx di X definito come Gx := {y ∈ X | ∃g ∈ G gy = x} Quindi lo stabilizzatore di un elemento è il sottogruppo (che lo sia segue dalle definizioni) formato dagli elementi del gruppo che “fissano” un punto dell’insieme X, mentre l’orbita di un elemento è l’insieme degli altri punti di X che possono “essere spostati” su x agendo con elementi di G. Intuitivamente pensiamo a X come ad uno spazio e a G come ad un gruppo di trasformazioni di quello spazio. 5.2.4 Esempio Se X = Rn e G = GLn (R) allora la moltiplicazione di una matrice per un vettore fornisce una azione di G su Rn . 126 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni 5.2.5 Teorema Le orbite dell’azione di un gruppo G su un insieme X formano la partizione di X in classi rispetto alla relazione di equivalenza x ≈ y ⇐⇒ ∃g ∈ G gx = y Questo segue dalle definizioni; quindi possiamo sempre decomporre X in unione di sottoinsiemi disgiunti: [ X= Gx x∈X che si chiamano orbite dell’azione. Osserviamo che la rappresentazione regolare può definirsi da G sull’insieme dei sotto-gruppi di G: se H < G: gH = {gh | h ∈ H} i.e. g manda H nella sua classe laterale sinistra gH: evidentemente lo stabilizzatore di H è H stesso GH = {g ∈ G | gH = H} = H e l’orbita GH = {H 0 < G | ∃g ∈ G gH 0 = H} è in corrispondenza biiunivoca con l’insieme dei laterali sinistri G/H. In particolare, se il gruppo G è finito, abbiamo, per il teorema precedente: X Card G = Card gH gH∈G/H Ma gH è in corrispondenza biunivoca con H, quindi le classi hanno tutte la stessa cardinalità Card H: Card G = Card H · · · Card H = [G : H] Card H ove [G : H] è l’intero che moltiplicato per Card H dà Card G: si dice indice del sottogruppo H in G. In particolare 5.2.6 Teorema (Lagrange) Un sottogruppo H di un gruppo finito G ha ordine che divide l’ordine di G. Questo teorema è un criterio notevole per determinare la struttura di un gruppo (e.g: se l’ordine di un gruppo è un numero primo, non possiede sottogruppi non banali). 127 5.2. Azioni di gruppi 5.2.7 Definizione Se un’azione di G su X ha come unica orbita X stesso, si dice transitiva. Quindi un’azione è transitiva se ogni elemento di X può essere trasformato in qualsiasi altro per mezzo di qualche g ∈ G. 5.2.8 Lemma Se G agisce su X e x, y ∈ X stanno nella stessa orbita allora gli stabilizzatori Gx e Gy sono coniugati. Dimostrazione: Se y ∈ Gx allora esiste g ∈ G con gx = y; consideriamo dunque l’azione di coniugio in g Ag : h 7−→ ghg −1 ; allora gGx g −1 = Gy dato che se h ∈ Gx se e solo se ghg −1 y = ghx = gx = y. qed Quindi se y ∈ Gx esiste g ∈ G tale che gx = y e questo g è unico a meno di elementi di Gx : infatti gx = y e g 0 x = y implicano che gx = g 0 x i.e. g −1 g 0 ∈ Gx . Quindi ogni classe gGx corrisponde in modo unico ad un elemento y ∈Gx tramite la gGx 7−→ gx. Ne segue il 5.2.9 Teorema Se G agisce su X e x ∈ X allora esiste una corrispondenza biunivoca fra Gx e G/Gx . Importante è il caso transitivo: 5.2.10 Corollario Se G agisce transitivamente su un insieme X allora, per ogni x ∈ X, esiste una corrispondenza biunivoca G/Gx ←→ X Ad esempio, consideriamo l’azione di G su se stesso data dal coniugio: g · h = ghg −1 Osserviamo che, per ogni gruppo, è definito il suo centro Z(G) := {g ∈ G | ∀g 0 ∈ G gg 0 = g 0 g} Si tratta cioè del sottoinsieme degli elementi di G che commutano con tutti gli altri. Si tratta evidentemente di un sottogruppo normale, e notiamo che, se z ∈ Z(G): zhz −1 = zz −1 h = h Viceversa, se ghg −1 = h allora g ∈ Z(G); quindi Z(G) è il nucleo dell’azione di coniugio, secondo la 128 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni 5.2.11 Definizione Se G agisce su X, il nucleo dell’azione è il sottogruppo normale Z := {g ∈ G | ∀x ∈ X gx = x} In altri termini il nucleo di un’azione è l’intersezione degli stabilizzatori di tutti gli elementi di X: \ Z= Gx x∈X Un’azione che abbia nucleo banale (Z = {e}) si dice fedele: ad esempio la rappresentazione regolare sinistra (o destra) è fedele. Tornando all’esempio dell’azione di coniugio, chiediamoci come sono fatte le orbite e gli stabilizzatori. Se h ∈ G allora Gh = {g ∈ G | gh = hg} =: Zh (G) è il centralizzante dell’elemento h in G, i.e. il sottogruppo degli elementi che commutano con un elemento fissato h. Le orbite dell’azione coniugata sono Gh = {h0 ∈ G | ∃g ∈ G gh0 g −1 = h} e si dicono classi coniugate di G contenenti h. Se il gruppo è finito, allora la decomposizione in orbite [ G= Gh g∈G decompone il gruppo nelle sue classi coniugate: dato che Ge = Z(G) (la classe coniugata dell’identità è il centro), e dato che ogni singola classe è l’orbita, per i teoremi precedenti: X Card G = Card Z(G) + [G : Gg ] g (g varia in G modulo l’appartenenza ad uno stesso stabilizzatore) ove [G : H] denota l’indice del sottogruppo H; questa si chiama equazione delle classi , ed è fondamentale in teoria dei gruppi finiti. Ad esempio deduciamo da essa un lemma della teoria dei p-gruppi, importante nell’ambito della teoria dei gruppi finiti. 5.2.12 Teorema Se G è un p-gruppo (i.e. è finito ed ha ordine pN ove p è un numero primo) allora Z(G) non è banale. 129 5.3. Rappresentazioni di gruppi Dimostrazione: Se G è abeliano, si ha per definizione G = Z(G) e quindi il teorema è banale; altrimenti l’equazione delle classi è pn = Card Z(G) + X [G : Gh ] Ma se Card G = pn , la cardinalità di un suo sottogruppo è della forma pm con m < n e quindi Card[G : H] = pn−m . Quindi p divide l’ordine di Z(G). qed Osserviamo che l’azione di coniugio non solo opera sull’insieme G, ma anche sull’insieme dei sottogruppi di G: se H < G allora Ag H := gHg −1 Rispetto a questa azione, lo stabilizzatore di un punto è GH = {g < G | gHg −1 = H} =: N (H) il normalizzante del sottogruppo H: per definizione si tratta del più piccolo sottogruppo di G che contenga H come sottogruppo normale (in particolare, H C G ⇐⇒ N (H) = G). L’orbita di un punto è G · H = {H 0 < G | ∃g ∈ G gH 0 g −1 = H} Si noti che la mappa h 7−→ ghg −1 è un isomorfismo del gruppo in sé: quindi gli elementi di GH sono sottogruppi fra loro isomorfi. In particolare, al variare di g ∈ G, l’insieme dei coniugati gHg −1 di H è esattamente l’insieme G/H: G · H = G/H 5.3 Rappresentazioni di gruppi Rappresentare un gruppo vuol dire realizzarlo come il gruppo delle trasformazioni di un opportuno insieme X: in realtà, spesso X sarà un insieme dotato di qualche struttura, ad esempio uno spazio topologico, ed in questo caso si richederà che le trasformazioni del gruppo preservino questa struttura, ad esempio che siano degli omeomorfismi. 5.3.1 Definizione Se V è uno spazio vettoriale, una rappresentazione lineare di G è un omomorfismo del gruppo nel gruppo GL(V ) delle applicazioni lineari ed invertibili di V in sé. 130 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Spesso si dice semplicemente che lo spazio V è la rappresentazione del gruppo, qualora sia chiara l’azione di G su GL(V ). Sono possibili altri tipi di rappresentazioni: ad esempio, se X è uno spazio proiettivo, una rappresentazione proiettiva di G è un omomorfismo del gruppo nel gruppo P GL(X) delle trasformazioni proiettive invertibili di X in sé. Tuttavia, nella discussione sulle rappresentazioni di un gruppo ci si limita al caso lineare, ed alle particolarizzazioni di questo (ad esempio le rappresentazioni unitarie, se X non solo è uno spazio vettoriale ma ha anche una struttura euclidea o hermitiana). Questa non è una limitazione troppo forte: se infatti è data una rappresentazione ρ di un gruppo G nel gruppo SX di tutte le applicazioni (invertibili) di un insieme X in se stesso, possiamo sempre associargli una rappresentazione π lineare ponendo (π(g)f )(x) = f (ρ(g −1 )(x)) ove f appartiene allo spazio vettoriale di tutte le funzioni definite su X. Quindi per noi una rappresentazione di un gruppo G sarà un omomorfismo di G nel gruppo GL(V ) di un certo spazio vettoriale complesso: potremmo considerare spazi vettoriali su campi qualsiasi, ma la teoria classicamente si sviluppa su C, che ha proprietà notevoli come l’essere algebricamente chiuso e di caratteristica zero; inoltre nel caso di rappresentazioni di dimensione infinita, si usa l’Analisi Funzionale (cfr. capitolo ??) che essenzialmente ha luogo negli spazi complessi. Per ora limiteremo la discussione al caso di rappresentazioni di dimensione finita, ove la dimensione di una rappresentazione è la dimensione dello spazio V . In altri termini, siamo interessati a vedere quanto un gruppo possa considerarsi un gruppo di matrici... Ad esempio consideriamo un gruppo che già è un gruppo di matrici, GL(V ); esiste una rappresentazione ovvia di questo gruppo in V : A · v := Av che si dice rappresentazione identica. In generale gli elementi del gruppo verranno fatti corrispondere a matrici, i cui coefficienti saranno i coefficienti della rappresentazione; naturalmente questi coefficienti dipendono dalla scelta della base; tuttavia, il cambiamento di base in V avviene per coniugio rispetto ad elementi di GL(V ), cosı̀ che, se π : G −→ GL(V ) è una rappresentazione e A∈GL(V ) una matrice di cambiamento di base, allora π(g)v = π(g)(Av 0 A−1 ) e quindi la rappresentazione non deve dipendere dalla coniugazione per una matrice: Aπ(g) = π(g)A 5.3. Rappresentazioni di gruppi 131 5.3.2 Definizione Due rappresentazioni π : G −→ GL(V ) e π 0 : G −→ GL(V 0 ) si dicono equivalenti se esiste un isomorfismo A : V −→ V 0 tale che Aπ(g) = π 0 (g)A Dato che una rappresentazione agisce su uno spazio vettoriale, possiamo provare ad estendere le nozioni dell’Algebra Lineare alla teoria delle rappresentazioni: in particolare considereremo i concetti di sottospazio, quoziente, morfismi, dualità, somma diretta, prodotto tensoriale e prodotto scalare. Se π : G −→ GL(V ) è una rappresentazione del gruppo G, un sottospazio W di V si dice invariante se ∀g ∈ G π(g)W ⊂ W Evidentemente, in questo caso, la restrizione π|W è una rappresentazione π|W : G −→ GL(W ) che si dice sottorappresentazione di π. In modo analogo, sul quoziente V /W di uno spazio per un sottospazio invariante è definita una rappresentazione π e : G −→ GL(V /W ) che si dice quoziente della rappresentazione π. 5.3.3 Definizione Se V è una rappresentazione di G e W una sottorappresentazione, V si dice riducibile se il complemento di W in V è pure un sottospazio invariante: in questo caso la rappresentazione π si decompone in somma diretta delle rappresentazioni π|W e π|W ⊥ . Se W ⊂ V è una sottorappresentazione, allora la matrice che rappresenta V sarà a blocchi della forma ¶ µ A(g) B(g) π(g) = 0 C(g) ove A(g) = π|W (g) e C(g) è la matrice della rappresentazione quoziente; se V è riducibile, allora possiamo trovare una base in cui la matrice B è zero. 5.3.4 Definizione Una rappresentazione V che non abbia sottorappresentazioni non banali (cioè diverse da V stesso e dalla rappresentazione nulla) si dice irriducibile. 5.3.5 Esempio Una rappresentazione di dimensione 1 è irriducibile: si tratta semplicemente di un omomorfismo di gruppi π : G −→ C \ 0 = GL1 (C) ed uno spazio di dimensione 1 non ha sottospazi non banali. 132 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni 5.3.6 Definizione Se una rappresentazione V è tale che ogni sua sottorappresentazione ammetta una sottorappresentazione complementare, si dice che V è completamente riducibile. Non è affatto detto che una rappresentazione di dimensione finita sia completamente riducibile. 5.3.7 Esempio Consideriamo G = R (gruppo additivo dei numeri reali) e la sua rappresentazione bidimensionale ¶ µ 1 t t 7−→ 0 1 Allora V = R2 , e t(x, y) = (x + ty, y); il sottospazio {(x, 0)} è invariante, mentre {(0, y)} non lo è, quindi la rappresentazione non è completamente riducibile. 5.3.8 Esempio Se G = R è ancora il gruppo additivo dei numeri reali e V = R[x] lo spazio dei polinomi su R, possiamo considerare la rappresentazione di G in V (che ha dimensione infinita): (π(t)p)(x) := p(x + t) Se Vk è il sottospazio di V dei polinomi di grado al più k, evidentemente è un sottospazio invariante per π. Le rappresentazioni Vk sono tutte riducibili (per k ≥ 1) me non completamente riducibili, dato che in esse i sottospazi invarianti Vk−1 non hanno complementi invarianti. Gli elementi di homG (Vk , Vh ) sono operatori differenziali a coefficienti costanti: da questo segue che dim homG (Vk , Vh ) = 1 + min(h, k) per ogni k, h, e quindi anche dim homG (Vk , V ) = 1 + k. D’altra parte si trova che dim homG (V, Vk ) = 0: infatti ogni polinomio f può scriversi come derivata (k + 1)-ma di un altro polinomio F e se A ∈ homG (Vk , V ) allora deve commutare con le traslazioni, e quindi anche con le derivate, sicché Af = A (dato che Af ∈ Vk ). dk+1 f dk+1 Af = =0 dxk+1 dxk+1 133 5.3. Rappresentazioni di gruppi 5.3.9 Definizione Se π1 : G −→ GL(V1 ) e π2 : G −→ GL(V2 ) sono rappresentazioni di un gruppo G negli spazi vettoriali V1 e V2 , l’insieme degli operatori di allacciamento è (π1 , π2 ) := {A ∈ hom(V1 , V2 ) | Aπ1 = π2 A} Questo insieme si denota anche homG (V1 , V2 ) ed i suoi elementi si dicono anche morfismi fra le rappresentazioni π1 e π2 . L’insieme delle rappresentazioni di un gruppo forma una categoria rispetto ai morfismi di rappresentazioni, come è immediato verificare. Evidentemente A è un morfismo fra la rappresentazione π1 : G −→ GL(V1 ) e la rappresentazione π2 : G −→ GL(V2 ) se e solo se il seguente diagramma V1 π1 (g) A ² V1 / V2 ² A π2 (g) / V2 è commutativo per ogni g ∈ G. La dimensione dello spazio vettoriale homG (V1 , V2 ) si dice numero di allacciamento delle rappresentazioni π1 e π2 . Per rappresentazioni di dimensione finita, si ha che dim homG (V1 , V2 ) = dim homG (V2 , V1 ) 5.3.10 Definizione Se dim homG (V1 , V2 ) = 0 le rappresentazioni si dicono disgiunte. Ovviamente 5.3.11 Proposizione Le rappresentazioni sono equivalenti se e solo se l’insieme dei morfismi homG (V1 , V2 ) contiene un isomorfismo. Osserviamo che se due rappresentazioni di dimensione finita sono equivalenti, allora le loro dimensioni coincidono, ed è possibile trovare basi in questi spazi vettoriali tali che le matrici che rappresentano gli operatori della rappresentazione coincidano. Il risultato fondamentale sulle rappresentazioni irriducibili è il 5.3.12 Lemma (Schur) Se V1 e V2 sono rappresentazioni irriducibili di un gruppo G allora ogni elemento (non nullo) di homG (V1 , V2 ) è invertibile. 134 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Dimostrazione: Sia A ∈ homG (V1 , V2 ) non nullo: allora il nucleo di A è un sottospazio di V1 : ker A = {v ∈ V1 | Av = 0} Dato che g · Av = Ag · v allora se v ∈ ker A: Ag · v = gAv = 0, quindi gv ∈ ker A. Dunque ker A è una sottorappresentazione di V1 , che però è irriducibile. Ne segue che ker A = 0 oppure ker A = V1 . Se ker A = V1 allora A = 0 per definizione; se ker A = 0 allora A è invertibile. Ma l’immagine di A è un sottospazio di V2 im A = {w ∈ V2 | ∃v ∈ V1 Av = w} ed è una sottorappresentazione di V2 : infatti se w ∈ im A allora gw = gAv = Agv, quindi gw è immagine di gv tramite A i.e. gw ∈ im A. Per irriducibilità di V2 segue che im A = 0 oppure im A = V2 ; ma A era invertibile, quindi im A 6= 0, i.e. im A = V2 sicché A è un isomorfismo. qed In altri termini, un morfismo fra due rappresentazioni irriducibili è zero oppure è un isomorfismo: in particolare due rappresentazioni irriducibili distinte non possono essere contenute l’una nell’altra. Questo ci dice che le rappresentazioni irriducibili sono le più semplici possibili: in effetti una rappresentazione irriducibile si chiama anche semplice. Consideriamo ora una rappresentazione π : G −→ GL(V ) di un gruppo; osserviamo che, se dim V = 1 allora V = K e quindi ∀g ∈ G π(g) = idK (infatti π(g)(k) = kπ(g)(1) = k: cioè im π = {idV } è il sottogruppo banale formato dal solo isomorfismo v 7−→ v). Una rappresentazione la cui immagine si riduca al solo elemento idV si dice banale; abbiamo appena visto che su uno spazio vettoriale di dimensione 1 esiste solo la rappresentazione banale π0 . Se π : G −→ GL(V ) è una rappresentazione allora gli operatori di (π, π0 ) sono quindi funzionali lineari f ∈ V ∗ tali che f π = f . 5.3.13 Definizione Gli elementi di (π, π0 ) si dicono invarianti della rappresentazione. In realtà è significativo considerare come invarianti non solo le funzioni lineari su V , ma anche i polinomi su V , che possono esser visti come gli elementi dell’algebra simmetrica Sym(V ∗ ). Se π : G −→ GL(V ) è una rappresentazione, possiamo considerare sullo spazio duale V ∗ una rappresentazione π ∗ : G −→ GL(V ∗ ) definita come: hπ ∗ (g)(A), vi = hf, π(g −1 )vi 5.3. Rappresentazioni di gruppi 135 (h, i è la dualità fra V e V ∗ ). è immediato verificare che si tratta in effetti di una rappresentazione, che viene detta duale (o controgradiente) di π: in coordinate, la matrice di π ∗ (g) è la trasposta di π(g −1 ). Torniamo ora alle sottorappresentazioni: se V è una rappresentazione (di dimensione finita) e V1 ⊂ V una sottorappresentazione che ammette un complementare, questo vuol dire che il sottospazio vettoriale V2⊥ ⊂ V (i.e. lo spazio tale che V1 ⊕ V2 = V ) è pure una sottorappresentazione: in questo caso V di decompone in somma diretta di sottorappresentazioni . La matrice che rappresenta un elemento di G in GL(V ) è della forma ¶ µ A1 (g) 0 π(g) = 0 A2 (g) ove A1 è la matrice che rappresenta G in GL(V1 ) e A2 è la matrice che rappresenta G in GL(V1 ). Una rappresentazione che si decompone in somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili si dice talvolta semisemplice: dimostriamo ora che le rappresentazioni semisemplici sono esattamente quelle completamente riducibili: lo faremo per rappresentazioni di dimensione qualsiasi. 5.3.14 Lemma Se V è una rappresentazione completamente riducibile allora ogni sua sottorappresentazione è completamente riducibile. Dimostrazione: Sia V una rappresentazione completamente riducibile, e W una sottorappresentazione di V : allora ogni sottorappresentazione Z di W è anche una sottorappresentazione di V , quindi esiste una sottorappresentazione Z 0 di V tale che Z 0 ⊕ Z = V ; dato che Z ⊂ W ⊂ V allora Z 0 ∩ W = (0) Inoltre W = Z + (Z 0 ∩ W ) e questa somma è diretta; quindi Z 0 ∩ W è una sottorappresentazione complementare di Z in W . qed 5.3.15 Lemma Se V è una rappresentazione completamente riducibile allora possiede una sottorappresentazione irriducibile. Dimostrazione: Se V ha dimensione finita questo si vede facilmente per induzione; dimostriamolo tuttavia in generale: se V 6= 0 esisterà v ∈ V \ 0; sia R(v) l’insieme delle sottorappresentazioni di V che non contengono v. R(v) è non vuoto, dato che 0 è una sottorappresentazione che non contiene v, ed è un insieme parzialmente ordinato dall’inclusione: dimostriamo che soddisfa le ipotesi del 136 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Lemma di Zorn. Se {Ri } è un sottoinsieme totalmente ordinato di R(v) l’unione S i Ri è chiaramente una sottorappresentazione di V che non contiene v, ed è un confine superiore per gli {Ri }: quindi possiamo applicare il lemma di Zorn e dedurre l’esistenza di un massimale R ⊂ V che non contenga v. Ora, dato che V è completamente riducibile, esiste una sottorappresentazione Q complementare a R, che contiene v. Dimostriamo che è irriducibile. Supponiamo che Q contenga una sottorappresentazione Q1 : allora (essendo Q completamente riducibile per il lemma precedente) esiste una sottorappresentazione Q2 di Q tale che Q = Q1 ⊕ Q2 ; supponiamo che v ∈ / Q1 . Allora Q1 + R è una sottorappresentazione di V che non contiene v e contiene R, il che contraddice la massimalità di R. Quindi una tale decomposizione di Q non esiste e Q è irriducibile. qed 5.3.16 Teorema Una rappresentazione è completamente irriducibile se e solo se si decompone in somma diretta di rappresentazioni irriducibili. Dimostrazione: Dimostriamo che se V è somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili allora è completamente riducibile: sia W una sottorappresentazione di V ; dobbiamo mostrare che ammette una sottorappresentazione complementare. Sia R l’insieme di tutte le sottorappresentazioni irriducibili S tali che S ∩ W = 0 e consideriamo la famiglia S degli elementi della forma ⊕i Si con Si ∈ R; S è non vuota (non lo è R: contiene 0) ed è ordinata dall’inclusione: dimostriamo che soddisfa le ipotesi del lemmaL di Zorn. Se {Rj } è una sottofamiglia di S totalmente ordinata, basta porre R = j Rj per avere un confine superiore in questa famiglia. Quindi per L il lemma di Zorn esiste un elemento massimale irriducibili di V tali in S, i.e. una somma diretta i Si di sottorappresentazioni L che Si ∩ W = 0. Dimostriamo che V = i Si ⊕ W . Sappiamo per ipotesi che V è M V = Vj j L ove le Vj sono irriducibili e quindi, per ogni i, Si = Si ∩ Vj i.e. Si = Vji per qualche ji (per irriducibilità delle Si e Vj ed il lemma di Schur). Quindi M M V = Si ⊕ Vj i j6=ji L Ci basta quindi dimostrare che W = j6=ji Vj . Ora certamente W ⊂ j6=ji Vj ; se l’inclusione fosse stretta, esisterebbe j 6= ji tale che W ∩ Vj = 0 (infatti Vj è L irriducibile); ma allora Vj ⊕ i Si sarebbe un elemento di S il che contraddice L la massimalità di ⊕i Si . Quindi W = j6=ji Vj . L 5.3. Rappresentazioni di gruppi 137 Viceversa, se V è completamente riducibile consideriamo la somma diretta W di tutte le sottorappresentazioni irriducibili di V (si tratta di un sottospazio 6= 0 per il lemma 5.3.15): vogliamo dimostrare che W = V . In effetti, se W ⊂ V , allora, per completa riducibilità di V , W avrebbe una sottorappresentazione complementare W ⊥ ; ma questa sottorappresentazione è completamente riducibile per il lemma 5.3.14 e quindi deve possedere una sottorappresentazione irriducibile Z (per il lemma 5.3.15) quindi Z è una sottorappresentazione irriducibile di V , e, per definizione, Z ⊂ W . Il che è assurdo (W ∩ W ⊥ = 0) a meno che W ⊥ = 0 e quindi W = V . qed Assieme alla somma diretta, la costruzione più importante dell’Algebra Lineare è il prodotto tensoriale (cfr. 5.6): ci limitiamo nella discussione seguente al caso di dimensione finita. Se πi : G −→ GL(Vi ) (i = 1, 2) sono rappresentazioni di un gruppo G, definiamo una funzione π1 ⊗ π2 : G −→ GL(V1 ⊗ V2 ) π1 ⊗ π2 (g)(v1 ⊗ v2 ) := (π1 (g)v1 ) ⊗ (π2 (g)v2 ) che di dice prodotto tensoriale delle rappresentazioni. 5.3.17 Proposizione Se V1 e V2 sono rappresentazioni di un gruppo allora il prodotto tensoriale V1 ⊗ V2 è una rappresentazione del gruppo. Dimostrazione: Ovviamente π1 ⊗ π2 (e)(v1 ⊗ v2 ) = v1 ⊗ v2 . Inoltre π1 ⊗ π2 (gh)(v1 ⊗ v2 ) =π1 (gh)v1 ⊗ π2 (gh)v2 =π1 (g)π1 (h)v1 ⊗ π2 (g)π2 (h)v2 =π1 ⊗ π2 (g)π1 ⊗ π2 (h)(v1 ⊗ v2 ) qed Il prodotto tensoriale di rappresentazioni è legato al prodotto diretto di gruppi: 5.3.18 Teorema Ogni rappresentazione irriducibile (di dimensione finita) V del prodotto diretto G = G1 × G2 è equivalente al prodotto tensoriale di rappresentazioni irriducibili Vi dei gruppi Gi . Dimostrazione: V1 e V2 sono rappresentazioni irriducibili di Gi se e solo se V1 ⊗ V2 è una rappresentazione irriducibile di G: infatti ogni rappresentazione V1 ⊗ V2 induce due rappresentazioni ottenute considerando gli operatori idV1 ⊗ π2 (g) e π1 (g) ⊗ idV2 . 138 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni L’unica cosa che dobbiamo verificare è che ogni rappresentazione di G1 × G2 sia della forma V1 ⊗ V2 ; sia π una rappresentazione in V di G1 × G2 , e siano V1 = π(g, e)(V ) e V2 = π(e, g)(V ) Si tratta di rappresentazioni, rispetto alle restrizioni di π sul primo e sul secondo fattore diretto di G1 × G2 ; ovviamente π(g, h)(v1 , v2 ) = (π(g, e)(v1 ), π(e, h)v2 ) e quindi abbiamo una famiglia di funzioni bilineare V1 × V2 −→ V data da π(g, h)(v1 , v2 ) = π(g, h)(v1 , v2 ) Per la proprietà del prodotto tensoriale abbiamo quindi V = V1 ⊗ V2 . qed Si noti che se V e W sono rappresentazioni irriducibili di G non è affatto vero che V ⊗ W sia irriducibile per G: lo è solo per G × G. In generale decomporre un prodotto tensoriale in somma di rappresentazioni irriducibili è un problema fondamentale (teoria di Clebsh–Gordan) per il quale si rimanda ai testi specialistici. Infine consideriamo ancora una costruzione degli spazi vettoriali che ha un significativo riverbero in teoria delle rappresentazioni: supponiamo infatti che lo spazio V sia unitario, i.e. che (sia complesso e) possegga un prodotto hermitiano (v, w) definito positivo (i.e. quella che si dice una forma sesquilineare: (av+bw) = ab(v, w)). Ricordiamo che una trasformazione lineare A : V −→ V è unitaria se ∀v, w ∈ V (Av, Aw) = (v, w) In termini di matrici questo significa, ovviamente, che AT A = I In particolare | det A| = 1 i.e. det A ∈ T = {|z| = 1} e quindi una matrice unitaria è invertibile, cioè determina necessariamente un isomorfismo di V in sé. Dunque le matrici unitarie formano un sottogruppo del gruppo lineare generale (complesso3 ) U (V ) = {A : V −→ V | AT A = I} ⊂ GL(V ) 3 Si noti che GLn (C) ⊂ GL2n (R): infatti una struttura complessa su uno spazio vettoriale è sempre una struttura di spazio vettoriale reale 2n-dimensionale, mentre non ogni matrice reale 2n × 2n preserva la struttura complessa, i.e. la moltiplicazione per i numeri complessi. 5.3. Rappresentazioni di gruppi 139 5.3.19 Definizione Una rappresentazione πG −→ GL(V ) è unitaria se V è uno spazio unitario e im π ⊂ U (V ). In altri termini, π è unitaria se G agisce per operatori unitari su V . Scriveremo A∗ in luogo di AT . Le rappresentazioni unitarie sono le più importanti, perché vige il seguente 5.3.20 Teorema Una rappresentazione unitaria (di dimensione finita) è completamente riducibile. Dimostrazione: Consideriamo una rappresentazione unitaria V di un gruppo G; se W ⊂ V è un sottospazio invariante per G basta costruire un complementare invariante per avere la completa riducibilità. Consideriamo quindi il complemento ortogonale W ⊥ rispetto al prodotto hermitiano di V . Allora ∀v ∈ W ∀w ∈ W ⊥ (π(g)w, v) = (π(g)−1 π(g)w, π(g)−1 v) = (w, π(g)−1 v) = 0 dato che π(g) ∈ U (V ) e v è invariante; quindi π(g)w ∈ W ⊥ e W ⊥ è invariante. qed Abbiamo quindi una condizione sufficiente per la completa riducibilità di una rappresentazione: che sia equivalente ad una rappresentazione unitaria. 5.3.21 Definizione Due rappresentazioni π1 , π2 qualsiasi di un gruppo G in uno stesso spazio unitario V sono unitariamente equivalenti se esiste un operatore unitario A ∈ (π1 , π2 ). Questa condizione, per rappresentazioni unitarie, non è più restrittiva della semplice equivalenza: 5.3.22 Proposizione Se due rappresentazioni unitarie sono equivalenti allora sono unitariamente equivalenti. Dimostrazione: Utilizziamo un fatto ben noto dall’Algebra Lineare: la decomposizione polare di un operatore: supponiamo che A sia un isomorfismo di V in sé appartenente a (π1 , π2 ); allora A = U |A| ove |A| è un operatore hermitiano (i.e. |A| + |A|∗ = 0) e U è unitario. Quindi la π1 (g)A = Aπ2 (g) diviene π1 (g)U |A| = U |A|π2 (g) 140 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Sostituendo g −1 e tenendo conto che π(g −1 ) = π(g)∗ abbiamo che π1 (g)∗ U |A| = U |A|π2 (g)∗ i.e. applicando ∗ e tenendo conto che A∗ B ∗ ) = (BA)∗ : |A|∗ U π1 (g) = π2 (g)|A|∗ U i.e. (U ∗ U = I) |A|2 π2 (g) =|A|∗ U ∗ U |A|π2 (g) = |A|U ∗ Aπ2 (g) =|A|U ∗ π1 (g)U |A| = |A|∗ U π1 (g)U |A| = =π2 (g)|A|∗ U U |A| = π2 (g)|A|2 quindi |A|2 (e dunque anche |A|) commuta con π2 (g). Allora U π2 (g)|A| = U |A|π2 (g) = π1 (g)U |A| e, dato che |A| è invertibile π1 (g)U = U π2 (g) i.e. U ∈ (π1 , π2 ) e quindi le rappresentazioni sono unitariamente equivalenti. qed Concludiamo con un risultato cruciale per la teoria dei gruppi finiti: 5.3.23 Teorema Ogni rappresentazione di dimensione finita di un gruppo finito è equivalente ad una rappresentazione unitaria. Dimostrazione: Sia V una rappresentazione di G: possiamo considerare su V un prodotto hermitiano P qualsiasi,Pad esempio fissando una base (e1 , ..., en ) di V e ponendo, se v = i vi ei e w = i wi ei : (v, w) = n X v i wi i=1 Ovviamente rispetto a questo prodotto non è affatto detto che la rappresentazione sia unitaria: possiamo comunque definire un nuovo prodotto hermitiano per il quale lo è: basta considerare4 (il gruppo è finito) (v, w)0 := X 1 (π(g)v, π(g)w) Card G g∈G 4 Stiamo sommando sul gruppo, cioè “integrando”: in effetti questo ragionamento si estende a tutti i gruppi sui quali esista una misura invariante, e.g. i gruppi compatti. 141 5.4. Algebra di gruppo (.)0 è un prodotto hermitiano: è lineare perché lo sono π, (.) e la somma; inoltre è definito positivo perché lo è (.); infine la rappresentazione è unitaria rispetto ad esso: X 1 (π(g)π(h)v, π(g)π(h)w) Card G g∈G X 1 = (π(gh)v, π(gh)w) Card G g∈G X 1 = (π(k)v, π(k)w) = (v, w)0 Card G k∈G (π(h)v, π(h)w)0 = ove k = gh; se g descrive G anche gh descrive G con h costante. qed 5.3.24 Corollario Ogni rappresentazione di dimensione finita un gruppo finito è completamente riducibile. 5.4 Algebra di gruppo Approfondiamo ora la teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti: G sarà sempre un gruppo finito con elemento neutro e. Molti concetti che svilupperemo sono validi in generale, come la nozione di carattere. Ricordiamo dall’Algebra Lineare le proprietà della traccia tr A = n X aii i=1 di una matrice A ∈ Mn (K) su un campo K (ad esempio sui numeri complessi): 5.4.1 Proposizione (1) tr(aA + bB) = a tr A + b tr B se a, b ∈ C e A, B ∈ Mn (C) (2) tr AB = tr BA (3) tr I = n (4) tr ABA−1 = tr B (5) La traccia di A è la somma degli autovalori di A contati con le loro molteplicità. 142 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Consideriamo ora una rappresentazione π : G −→ GL(V ) di un gruppo finito: per la (4) della proposizione, per ogni operatore F ∈ End(V ) è ben definita la sua traccia, come la traccia di una qualsiasi matrice che rappresenti F in qualche base di V . 5.4.2 Definizione Il carattere della rappresentazione π è la funzione χπ : G −→ C data da χπ (g) = tr π(g) Evidentemente il carattere di una rappresentazione ha valori in GL(C) = C\0, ed è un invariante nel senso seguente 5.4.3 Proposizione I caratteri di due rappresentazioni equivalenti coincidono. (Questo segue direttamente da tr ABA−1 = tr B). Inoltre χπ ∗ (g) = χπ (g −1 )∗ e quindi, se π è unitaria χ(g −1 ) = χ(g) Notiamo anche che χπ1 ⊕π2 = χπ1 + χπ2 Per il prodotto vale la 5.4.4 Proposizione χπ1 ⊗π2 = χπ1 χπ2 . Dimostrazione: Basta fissare due basi (e1 , ..., en ) di V1 e (f1 , ..., fm ) di V2 ; allora π1 (g) = ((aij )) π2 (g) = ((brs )) e quindi π1 ⊗ π2 (g) è una matrice i cui indici sono coppie di indici: ((cirjs )) = ((aij brs )); ne segue che χπ1 ⊗π2 = n X i,r=1 cirir = n X i,r=1 aii brr = n X i=1 aii n X brr = χπ1 χπ2 i=1 qed La traccia si dice essere una “funzione di classe”, perché è invariante rispetto alla coniugazione di matrici: il riverbero di questo fatto a livello di caratteri è il 143 5.4. Algebra di gruppo 5.4.5 Teorema Il carattere di una rappresentazione è costante sulle classi coniugate del gruppo. Ricordiamo ora che ogni rappresentazione finito-dimensionale di un gruppo finito G è completamente riducibile: vogliamo trovare una tale decomposizione per ogni rappresentazione: i caratteri giocano un ruolo in questa ricerca. Consideriamo la rappresentazione regolare sinistra del gruppo, che già ci è venuta in soccorso, ad esempio nel dimostrare che il gruppo è un sottogruppo di Sn : Lg (h) = gh Questa rappresentazione ne induce una sullo spazio di tutte le funzioni del gruppo: C[G] = CG = {F : G −→ C} come (Lg (F ))(h) = F (gh) Lo spazio C[G] è uno spazio vettoriale di dimensione Card G rispetto alla somma di funzioni, e quindi è una rappresentazione, ed è unitaria rispetto al prodotto hermitiano X 1 (F, G)F = F (g)G(g) Card G g∈G P P dato che g∈G H(hg) = g∈G H(g) (invarianza per traslazioni). Vedremo che tutte le rappresentazioni irriducibili del gruppo sono sottorappresentazioni di C[G]. Sia π : G −→ GL(V ) una rappresentazione (di dimensione finita) di G, e consideriamo lo spazio degli invarianti di V V G := {v ∈ V | ∀g ∈ G π(g)v = v} e la funzione di media I(v) := X 1 π(g)(v) Card G g∈G Ora, I : V −→ V G è un epimorfismo di spazi vettoriali: infatti è per definizione lineare, e se v ∈ V G allora, sempre per definizione X 1 π(g)v v = π(g)v = Card G g∈G quindi I è una proiezione sul sottospazio V G : I(I(v)) = I(v) = v 144 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Rammentiamo che V può supporsi unitaria (il gruppo è finito) e quindi completamente riducibile: il metodo della media ci dà uno spunto per tentare di decomporre V nelle sue sottorappresentazioni irriducibili. Dato che I 2 = I su V G : X X 1 1 dim V G = dim im I = tr I = tr π(g) = χ(g) Card G g∈G Card G g∈G Osserviamo che, se V è irriducibile, dato che V G è una sottorappresentazione, si ha V G = V oppure V G = 0: nel primo caso V è la rappresentazione banale π(g) = idV , nel secondo X χ(g) = 0 g∈G Ora consideriamo due rappresentazioni irriducibili π : G −→ GL(V ) e ρ : G −→ GL(W ), e la loro rappresentazione associata hom(V, W ) (si noti che è hom(V, W ) = V ∗ ⊗ W ); dato che è il prodotto tensoriale di W per la rappresentazione duale di V abbiamo che χhom(π,ρ) = χπ χρ Osserviamo inoltre che hom(V, W )G = (π, ρ) e quindi, per il lemma di Schur, dim hom(V, W )G = δV W è zero se le rappresentazioni non sono equivalenti e 1 se lo sono. Dalla formula precedente per la dimensione di V G segue che 5.4.6 Teorema (Ortogonalità dei caratteri) Se V e W sono rappresentazioni irriducibili di dimensione finita di un gruppo finito allora ( X 1 se V ∼ 1 =W χW (g)χV (g) = Card G g∈G 0 altrimenti Dato che χ ∈ C[G], questo si scrive anche (χW , χW )F = δV W Quindi i caratteri sono un insieme ortonormale in C[G]: di più, sono una base ortonormale nel sottospazio delle funzioni costanti sulle classi coniugate. 5.4.7 Corollario Il numero di rappresentazioni irriducibili di un gruppo finito G è minore o uguale al numero di classi coniugate di G. 145 5.4. Algebra di gruppo Infatti, due rappresentazioni irriducibili sono equivalenti se e solo se i loro caratteri coincidono, la corrispondenza che assegna ad una rappresentazione il suo carattere è iniettiva. 5.4.8 Esempio Se il gruppo è abeliano, le classi coniugate coincidono con gli elementi del gruppo: in questo caso i caratteri delle rappresentazioni irriducibili sono una base ortonormale di C[G] e le rappresentazioni irriducibili sono di dimensione 1; in definitiva coincidono con i loro caratteri, e questi sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi del gruppo. 5.4.9 Corollario Una rappresentazione qualsiasi è determinata dal suo carattere Dimostrazione: Se V è irriducibile questo è l’ortogonalità; altrimenti V sarà somma diretta di rappresentazioni irriducibili V = ⊕ki=1 Vi⊕mi ove Vi è irriducibile e mi è la molteplicità con la quale figura nella decomposizione di V ; ma allora k X χV = mi χVi i=1 e le χVi sono linearmente indipendenti. Si noti in particolare, che se Vi = Vj allora 1 = (χVi , χVj )F = P 2 i mi qed e quindi 5.4.10 Corollario V è irriducibile se e solo se (χV , χV )F = 1. Evidentemente mi = (χV , χVi )F Dimostriamo ora un teorema fondamentale: 5.4.11 Teorema Se V1 , ..., Vn sono tutte le rappresentazioni irriducibili di G (a meno di equivalenza) allora i coefficienti akij delle matrici πk (g) sono una base ortogonale dello spazio C[G]. Dimostrazione: L’ortogonalità degli elementi segue dall’ortonormalità dei caratteri delle rappresentazioni Vi : dato che il carattere è la traccia, se dim Vi = ni allora ( 0 se k 6= h o i 6= r o j 6= s (akij , ahrs ) = 1 se k = n, i = r, j = s nk 146 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Dimostriamo ora che le funzioni akij : G −→ C sono una base di C[G]; consideriamo la rappresentazione regolare sinistra: sappiamo che è completamente riducibile, dato che è unitaria (per definizione del prodotto hermitiano (.)F ) e quindi C[G] = X1 ⊕ ... ⊕ Xp ove Xj sono sottorappresentazioni tali che la restrizione Lj della rappresentazione regolare ad esse è irriducibile: quindi, poiché le Vi esauriscono le rappresentazioni irriducibili di G, Lj è equivalente ad una certa Vij : allora esiste una base (ej1 , ..., ejni ) di Xj nella quale la matrice che rappresenta Lj ha come coefficienti j i arsj , quindi ejs (gh) = L(g)ejs (h) = Lj (g)ejs (h) = X airsj (h)er (g) r Per g = e e csj = ejs (e) si ha ejs (h) = X ij (h) csj ars r Dunque ciascuna funzione ejs appartiene ad una base di Xj (e quindi ciascuna i funzione su Xj ) è combinazione lineare delle arsj . Dato che C[G] è somma diretta degli Xj si ottiene la tesi. qed Definiamo ora sullo spazio vettoriale C[G] una operazione, la convoluzione di funzioni: X 1 F ∗ G(g) = F (h)G(gh−1 ) Card G h∈G 5.4.12 Teorema L’operazione ∗ è associativa, possiede un elemento neutro ed è commutativa se e solo se lo è il prodotto del gruppo. Dimostrazione: Basta osservare che una base dello spazio vettoriale C[G] sono gli elementi del gruppo G, e che la convoluzione su essi coincide con il prodotto del gruppo. L’elemento neutro è lo stesso del gruppo. qed Dato che C[G] è lo spazio della rappresentazione regolare, si decompone in sottorappresentazioni irriducibili di G: questa decomposizione rispetta la struttura algebrica di C[G]. Per formulare correttamente questi risultati, dobbiamo introdurre alcuni concetti algebrici generali. 147 5.5. Algebre associative 5.5 Algebre associative Gli esempi fondamentali di gruppi che abbiamo considerato erano il gruppo delle trasformazioni biunivoche di uno spazio in sé, in particolare i gruppi simmetrici Sn , ed il gruppo degli isomorfismi lineari di uno spazio vettoriale GL(V ). In generale ha interesse considerare trasformazioni che non siano necessariamente biunivoche: ad esempio, nel caso degli spazi vettoriali, ha interesse considerare lo spazio End(V ) di tutte le funzioni lineari di V in sé che, nel caso di dimensione finita, corrisponde allo spazio di tutte le matrici Mn (C). Questo non è semplicemente uno spazio vettoriale, ma i suoi elementi possono essere moltiplicati fra loro, componendo le mappe lineari o (equivalentemente) moltiplicando le matrici righe per colonne. Motivati da questi esempi diamo la 5.5.1 Definizione Uno spazio vettoriale A su un campo K (che per noi sarà sempre C o al più R) si dice un’algebra se è data una funzione µ : A × A −→ A bilineare (il prodotto dell’algebra). Si scrive ab in luogo di µ(a, b). Questo concetto è estremamente generale: notiamo che, per bilinearità del prodotto µ, possiamo scrivere µ : A ⊗ A −→ A 5.5.2 Esempio (1) I numeri complessi, le matrici complesse e gli endomorfismi di uno spazio vettoriale sono esempi di algebre complesse. (2) Se X è un insieme, lo spazio vettoriale F (X) delle funzioni X −→ C possiede un prodotto, definito come segue: se f, g ∈ F (X) allora f g(x) = f (x)g(x) (prodotto di numeri complessi). (3) A = Mn (C) non è un’algebra solo per il prodotto AB di matrici; ponendo [A, B] := AB − BA 148 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni otteniamo un nuovo prodotto [.] su A, che si dice prodotto di Lie. Una ulteriore struttura di algebra sulle matrici è data dal prodotto di Jordan: (A, B) = AB + BA (4) Lo spazio dei polinomi complessi C[x1 , ..., xn ] è un’algebra rispetto al prodotto: P Q(x1 , ..., xn ) := P (x1 , ..., xn )Q(x1 , ..., xn ) come si verifica immediatamente. (5) Più in generale, lo spazio delle funzioni continue su uno spazio topologico è un’algebra rispetto alla stessa moltiplicazione (punto per punto). Notiamo che in questi esempi, i prodotti godono di proprietà differenti: ad esempio il prodotto di funzioni è commutativo: f g = gf , mentre il prodotto di matrici non lo è; il prodotto di matrici verifica tuttavia l’identità associativa A(BC) = (AB)C mentre il prodotto di Lie di matrici non lo è, ma verifica invece la [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0 (identità di Jacobi ) e la anticommutatività: [A, B] = −[B, A] Il prodotto di Jordan verifica invece l’identità di Jordan: ((A, B), (A, A)) = (A, (B, (A, A))) 5.5.3 Esempio Si consideri A = C ∞ (R2n ) (algebra delle funzioni differenziabili) e si definisca il prodotto ¶ n µ X ∂f ∂g ∂g ∂f {f, g}(x1 , ..., x2n ) = − ∂xi ∂xi+n ∂xi ∂xi+n i=1 (parentesi di Poisson). Il classico teorema di Jacobi afferma che queste parentesi verificano l’identità di Jacobi. 5.5.4 Definizione Un’algebra A si dice (1) associativa se il prodotto verifica la proprietà associativa; 5.5. Algebre associative 149 (2) commutativa se il prodotto verifica la proprietà commutativa; (3) di Lie se il prodotto verifica le proprietà anticommutativa e di Jacobi; (4) di Jordan se il prodotto verifica le proprietà commutativa e di Jordan. Questi assiomi sono indipendenti fra loro, ma si possono utilmente combinare: ad esempio l’algebra dei polinomi è associativa e commutativa. 5.5.5 Definizione Un’algebra (associativa) si dice con identità o con unità se possiede un elemento neutro e ∈ A tale che ∀a ∈ A ea = ae = a Ad esempio le algebre delle matrici e dei polinomi posseggono gli elementi neutri I e 1. Un’algebra anticommutativa (e.g. un’algebra di Lie) non può possedere un elemento neutro e, dato che a = ae = ea = −ae implica a = ae = 0. Se un’algebra associativa non possiede elemento neutro è sempre possibile aggiungerglielo, considerando Ae = A ⊕ K col prodotto (a, k)(a0 , k 0 ) = (aa0 + ka0 + k 0 a, kk 0 ) Si vede facilmente che (0, 1) è un elemento neutro per Ae e che A è la sottoalgebra di Ae degli elementi (a, 0). Convenzione. Supporremo nel seguito che le nostre algebre, se non altrimenti specificato, siano algebre associative con elemento neutro e di dimensione finita. 5.5.6 Esempio Lo spazio C[G] della rappresentazione regolare di un gruppo finito è un’algebra rispetto al prodotto di convoluzione; sappiamo che si tratta di un’algebra associativa con elemento neutro, commutativa se e solo se lo è il gruppo. 5.5.7 Definizione Un elemento a di un’algebra con unità A si dice invertibile se esiste un b ∈ A tale che ab = ba = e. Si scrive b = a−1 . Ovviamente in un’algebra (associativa, con unità) l’insieme A−1 degli elementi invertibili forma un gruppo rispetto al prodotto dell’algebra: ad esempio se A = End(V ) allora A−1 = GL(V ). 5.5.8 Definizione Se in un’algebra A ogni elemento è invertibile, A si dice un corpo. Ad esempio C è un corpo commutativo, cioè un campo (notiamo che si tratta di una R-algebra oltre che di una C-algebra). 150 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni 5.5.9 Esempio Consideriamo il corpo dei quaternioni: partiamo dallo spazio vettoriale reale H = R4 con la base (1, i, j, k): 1 = (1, 0, 0, 0) i = (0, 1, 0, 0) j = (0, 0, 1, 0) k = (0, 0, 0, 1) Per definire un prodotto basta definirlo sui generatori ed estenderlo per bilinearità: sia ij = k = −ji jk = i = −kj ki = j = −ik i2 = j 2 = k 2 = −1 e 1 l’elemento neutro. Un elemento a1 + bi + cj + dk ∈ H (a, b, c, d ∈ R) si dice quaternione e può essere rappresentato con una matrice (come spazi vettoriali R4 ∼ = M2 (C)) µ ¶ a b (Q) −b a ove a, b ∈ C; allora il prodotto di quaternioni è il prodotto di queste matrici. Non ogni matrice 2 × 2 (ovviamente) è un quaternione, ed infatti la sottoalgebra di M2 (C) dei quaternioni è un corpo: infatti ogni matrice della forma (Q) ammette come inversa la µ ¶ 1 a −b |a|2 + |b|2 b a (ove |a|2 = aa è il modulo del numero complesso a). Dato che il prodotto in un’algebra qualsiasi A è bilineare, resta completamente determinato una volta che lo si sia definito su una base dello spazio vettoriale A. Ad esempio, se dim A < ∞ e se (e1 , ..., en ) ne è una base, i coefficienti del sistema di equazioni X ei ej = ckij ek k si dicono costanti di struttura dell’algebra e la determinano completamente. In analogia con i gruppi, avremo i concetti di sottoalgebra, morfismo e quoziente di algebre. Una sottoalgebra B ⊂ A è un sottospazio vettoriale tale che BB ⊂ B (se S, T ⊂ A sono sottoinsiemi di un’algebra scriviamo ST per l’insieme {st | s ∈ S, t ∈ T }), un morfismo fra algebre è una mappa lineare f : A −→ B tale che f (ab) = f (a)f (b) Sia il nucleo ker f = {a ∈ A | f (a) = 0} che l’immagine im f di un morfismo sono sottoalgebre di A e B rispettivamente. Inoltre il nucleo è un ideale nel senso della 151 5.5. Algebre associative 5.5.10 Definizione Una sottoalgebra B di un’algebra A è un ideale destro se BA ⊂ B e un ideale sinistro se AB ⊂ B; se è un ideale sia destro che sinistro si dice bilatero. Dato che B è un ideale sinistro se per ogni a ∈ A e b ∈ B: ba ∈ B. Quindi se B è un ideale di A sullo spazio vettoriale quoziente A/B il prodotto di A induce un prodotto e quindi una struttura di algebra. È inoltre ovvio che il quoziente è un’algebra associativa. 5.5.11 Teorema Un’algebra commutativa è un campo se e solo se è priva di ideali non banali. Dimostrazione: Osserviamo che un ideale I non può contenere e altrimenti per ogni a ∈ A ea ∈ I i.e. I = A. Per lo stesso motivo non può contenere un elemento invertibile, dato che in questo caso a−1 a ∈ I i.e. e ∈ I. Ora, se A è un corpo, ogni elemento non nullo è invertibile e quindi un ideale non può contenere elementi non nulli, i.e. non può che essere 0. Viceversa, se I è un ideale non banale, un suo elemento non nullo non può essere invertibile, quindi A non è un corpo. qed A differenza del caso dei gruppi, in un’algebra associativa commutativa non è vero che le sottoalgebre sono ideali; ad esempio, in ogni algebra esiste il centro: Z(A) = {z ∈ A | ∀a ∈ Aaz = za} In generale non si tratta di un ideale: se z ∈ Z(A) e a, b ∈ A allora a(bz) = azb 6= bza. Se l’algebra è commutativa allora A = Z(A). All’opposto abbiamo il concetto di algebra semplice, motivato anche dal teorema precedente, che è falso nel caso non commutativo: mostreremo fra breve, ad esempio, che l’algebra delle matrici non possiede ideali non banali (ma ovviamente non è un campo). 5.5.12 Definizione Un’algebra A si dice semplice se non possiede ideali bilateri non banali. Le algebre semplici, come suggerisce il nome, sono “prive di struttura interna” e sono usate per produrre nuove algebre per mezzo della somma diretta, ad esempio. Se {Aα } è una famiglia di algebre L(sullo stesso campo e dello stesso tipo) sul prodotto diretto di spazi vettoriali α Aα v’è un ovvia struttura di algebra: ab(α) = a(β)b(β) 152 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni (si rammenti che il prodotto è l’insieme delle applicazioni dall’insieme degli indici alla totalità degli addendi diretti). Ad esempio, su A ⊕ B abbiamo (a ⊕ b)(a0 ⊕ b0 ) = (aa0 ) ⊕ (bb0 ) Ogni addendo diretto è un ideale del prodotto. 5.5.13 Definizione Un’algebra si dice semisemplice se è somma diretta di algebre semplici. Diamo ora qualche esempio. 5.5.14 Teorema L’algebra associativa delle matrici Mn (K) è semplice. Dimostrazione: Sia J in ideale in Mn (K) non nullo e sia A ∈ J una matrice non nulla, che possiamo esprimere in termini di matrici “elementari” Eij (ove Eij è la matrice ((δij )) che ha zero in ogni entrata, tranne che nell’elemento della riga i e della colonna j ove ha 1): X A= aij Eij i,j Se h, k sono tali che ahk 6= 0 (A 6= 0) allora ∀r, s ∈ {1, ..., n} Ers = a−1 hk Erh AEks ∈ J e quindi ogni matrice Ers ∈ J cioè J = Mn (K). qed Si noti che la dimostrazione funziona per l’algebra delle matrici a coefficienti in un corpo K qualsiasi. Notiamo inoltre che Mn (K) possiede centro non banale: Z(Mn (K)) = {kI | k ∈ K} (di dimensione 1) formato dai multipli costanti della matrice I. Dal teorema segue che le somme dirette di algebre di matrici sono semisemplici. 5.5.15 Esempio Consideriamo le matrici triangolari superiori:   a11 a12 ... a1n  0 a22 ... a2n     .. .. .. ..   . . . .  0 0 ... ann Quest’algebra non è semisemplice, dato che possiede molti ideali: ad esempio quello delle matrici triangolari i cui elementi diagonali siano tutti nulli (il quoziente è l’algebra delle matrici diagonali). Il fatto che i nostri esempi siano tutti basati sulle matrici non è un caso: 153 5.5. Algebre associative 5.5.16 Teorema Ogni algebra associativa di dimensione n su un campo K è isomorfa ad una sottoalgebra di Mk (K) con k ≤ n + 1. Dimostrazione: Sia A un’algebra associativa con unità 1 e consideriamo la rappresentazione regolare sinistra L : A −→ End(A) = Mn (K) definita da L(a)(b) = ab; si tratta evidentemente di un omomorfismo di A nell’algebra associativa End(A): dimostriamo che è iniettivo, il che ci fornisce la tesi. Se L(a)(b) = 0 per ogni b ∈ A allora ab = 0 per ogno b e quindi per b = 1, da cui a = 0; cioè il nucleo di L è banale. Se A non possiede l’unità, possiamo considerare lo spazio vettoriale Ae = A ⊕ K, e definire su di esso un prodotto (a + k, b + h) = (ab + kb + ha, kh) associativo; evidentemente l’algebra Ae possiede un elemento neutro: (0, 1). Ma allora Ae (e quindi anche A, per restrizione) si immerge in Mk (K). qed Questo teorema è analogo al teorema di Cayley per i gruppi: l’idea è la stessa e ci dà lo spunto per parlare di rappresentazioni di algebre; prima facciamo un’ulteriore convenzione: Convenzione. D’ora in avanti un’algebra sarà un’algebra associativa con elemento neutro di dimensione finita sui numeri complessi: K = C. 5.5.17 Definizione Una funzione a 7−→ A∗ in un’algebra A si dice una involuzione se (1) a∗∗ = a (2) (λa)∗ = λa∗ se λ ∈ C. (3) (a + b)∗ = a∗ + b∗ (4) (ab)∗ = b∗ a∗ 5.5.18 Definizione Un’algebra dotata di involuzione ∗ si dice una *-algebra. L’esempio ispiratore è l’algebra delle matrici complesse: l’involuzione è semplicemente la coniugazione della trasposta: A∗ = AT Si noti che, sebbene ogni algebra sia una sottoalgebra delle matrici, non è detto che sia una sotto-*-algebra. Anche le matrici reali rispetto alla semplice trasposizione sono una *-algebra. 154 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni 5.5.19 Definizione Un elemento a ∈ A si dice autoaggiunto se a∗ = a e si dice normale se a∗ a = aa∗ . Ovviamente ogni elemento a ∈ A si scrive in modo unico come a = a1 + ia2 ove a1 , a2 sono autoaggiunti: basta porre 1 a1 = (a + a∗ ) 2 e a2 = 1 (a − a∗ ) 2i Inoltre per ogni a, a∗ a e aa∗ sono autoaggiunti, come pure autoaggiunto è e. Ora vogliamo dare per una *-algebra il concetto di rappresentazione: ovviamente un omomorfismo di *-algebre è un omomorfismo ϕ tale che ϕ(a∗ ) = ϕ(a)∗ e si dice anche *-omomorfismo. 5.5.20 Definizione Un modulo su una *-algebra A è uno *-omomorfismo di *-algebre ϕ : A −→ End(M ) ove M è uno spazio vettoriale complesso. In altri termini, se scriviamo am := ϕ(a)(m) allora (1) (λa + µb)m = λ(am) + µ(bm) se λ, µ ∈ C, a, b ∈ A e m ∈ M ; (2) (ab)m = a(bm) (3) 1m = m Il concetto è del tutto analogo a quello di rappresentazione, ed infatti, come nel caso delle rappresentazioni abbiamo i concetti di (1) sottomodulo, cioè di A-modulo N che sia un sottospazio di M ; (2) modulo irriducibile, cioè di A-modulo M che non possiede sottomoduli diversi da 0 e M ; 155 5.5. Algebre associative (3) morfismo di moduli , cioè di applicazione lineare A : M −→ N fra due sottomoduli tale che A(am) = a(Am) per ogni a ∈ A e m ∈ M ; l’insieme dei morfismi si denota con homA (M, N ); (4) somma diretta di moduli , del tutto ovvia; (5) completa riducibilità di moduli , cioè un modulo è completamente riducibile se è somma diretta di sottomoduli irriducibili. Esattamente come nel caso delle rappresentazioni dei gruppi abbiamo il 5.5.21 Lemma (Schur) Se M e N sono A-moduli irriducibile allora ogni morfismo di moduli F : M −→ N è un isomorfismo oppure è zero. 5.5.22 Corollario Se M è un A-modulo irriducibile allora homA (M, M ) = C. Osserviamo che se lo spazio M possiede una struttura hermitiana (.), si dice uno *-modulo se (am, m0 ) = (m, a∗ m0 ) ovvero a∗ m = (am)∗ . Esattamente come per le rappresentazioni unitarie, si dimostra il seguente 5.5.23 Teorema Uno *-modulo su una *-algebra A è completamente riducibile. Ad esempio l’algebra di gruppo di un gruppo finito è completamente riducibile, dato che 5.5.24 Teorema Se G è un gruppo, esiste una corrispondenza biunivoca fra C[G]-moduli e rappresentazioni di G: ai moduli irriducibili corrispondono rappresentazioni irriducibili. Dimostrazione: Se π : G −→ GL(V ) è una rappresentazione di G possiamo estenderla per linearità ad una funzione X X ϕ( ag g) = ag ϕ(g) g g su C[G] ottenendo cosı̀ una funzione C −→ End(V ) X X ( aa g)(v) := ag ϕ(g)(v) g g che si verifica facilmente essere una struttura di C[G]-modulo su V . Per ricostruire la rappresentazione del gruppo a partire dall’algebra basta restringere la rappresentazione di C[G] a G ⊂ C[G]. qed 156 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Dimostriamo ora che l’algebra di gruppo è semisemplice: in effetti vale molto di più: ogni rappresentazione di un’algebra semisemplice è completamente riducibile (teorema di Wedderburn) ed è somma diretta di algebre di matrici, che ne costituiscono i “fattori”; ogni tale fattore F verifica la relazione F ∩ F 0 = C ove F 0 = {A∈A | ∀F ∈F AF = F A} è il commutante del fattore F. La teoria ammette una vastissima generalizzazione al caso di dimensione infinita, generalizzazione dovuta a von Neumann e Murray. 5.5.25 Teorema Se G è un gruppo finito, l’algebra C[G] è somma diretta delle algebre Mn1 (C) ⊕ ... ⊕ Mnk (C) ove ni sono le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili di G e k è il loro numero. Dimostrazione: Siano π1 : G −→ GL(V1 ), ..., πk : G −→ GL(Vk ) le rappresentazioni irriducibili non equivalenti di G e supponiamo che sia dim Vi = ni ; allora, se poniamo Φ : C[G] −→ Mn1 (C) ⊕ ... ⊕ Mnk (C) g 7−→ (π1 (g), ..., πk (g)) (definendola su G, che è una base di C[G] ed estendendola per linearità) abbiamo un omomorfismo di algebre: si tratta di uno *-omomorfismo, dato che le rappresentazioni Vi sono unitarie. Per vedere che è un isomorfismo ci basta dunque mostrare che è iniettivo e suriettivo. è iniettivo perché se ker Φ 6= 0 allora πi (a) = 0 e quindi tutti i coefficienti delle matrici πi (g) sono nulli; ma questi sono una base dello spazio C[G] e quindi a = 0. P Dimostriamo infine che è suriettivo: abbiamo che, se a = g a(g)g: πi (a) = X a(g)πi (g) g∈G L Se quindi A1 ⊕ ... ⊕ Ak è un generico elemento di Mni (C) allora vogliamo mostrare che esiste a ∈ C[G] tale che Φ(a) L = A1 ⊕ ... ⊕ Ak . Sia perciò A1 ⊕ ... ⊕ Ak un elemento di Mni (C); le matrici Ai sono matrici delle rappresentazioni πi (g) rispetto a certe basi di Vi ; sappiamo che questi elementi generano come spazio vettoriale C[G], dato che ne costituiscono una base 157 5.6. Appendice: Cenni di algebra tensoriale ortogonale, quindi ogni elemento a di C[G] è, in una certa base, combinazione lineare di queste funzioni, da cui à Φ(a) = Φ X g∈G ! a(g)g = X a(g)(π1 (g) ⊕ ... ⊕ πk (g)) = g∈G X a(g)A1 ⊕ ... ⊕ Ak g∈G qed 5.6 Appendice: Cenni di algebra tensoriale In questa appendice supporremo di avere a che fare con spazi vettoriali di dimensione finita su un campo K, che potremo limitarci a pensare come i numeri reali R o complessi C. 5.6.1 Algebra tensoriale Consideriamo quindi due spazi vettoriali V e W . Vogliamo costruire a partire da questi due un nuovo spazio vettoriale di dimensione finita che abba il diritto di dirsi “prodotto” dei due dati. L’idea è che i suoi elementi, che saranno formati a partire dagli elementi di V e W non dovranno soddisfare altre relazioni se non quelle di bilinearità. Ricordiamo che una mappa bilineare fra gli spazi vettoriali V , W e Z è una applicazione f : V × W −→ Z tale che, fissato un qualsiasi v ∈ V la mappa w 7−→ f (v, w) sia lineare da W a Z e, fissato un qualsiasi w ∈ W la mappa v 7−→ f (v, w) sia lineare da V a Z. Quando Z = K, f si dice forma bilineare. Ad esempio un prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale è una forma bilineare. Il problema che ora ci poniamo è di trovare uno spazio vettoriale “universale” rispetto al concetto di bilinearità, e la risposta è fornita dal seguente 5.6.1 Teorema Se V e W sono spazi vettoriali su K allora esiste uno spazio vettoriale T su K ed una mappa bilineare τ : V × W −→ T tale che 158 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni (1) Per ogni mappa bilineare f : V × W −→ Z esiste un’unica mappa lineare f∗ : T −→ Z tale che f = f∗ ◦ τ , i.e. che il seguente diagramma τ V ×W HH HH HH f HHH # Z /T Ä ÄÄ ÄÄf∗ Ä ÄÄ (2) Se (v1 , ..., vn ) è una base di V e (w1 , ..., wm ) è una base di W allora {τ (vi , wj )}i,j è una base di T . Dimostrazione: Questa dimostrazione non è la più raffinata ma ha il pregio della concretezza: consideriamo la base (v1 , ..., vn ) di V e la base (w1 , ..., wm ) di W , ed associamo ad ogni coppia (vi , wj ) un simbolo τij . Allora lo spazio vettoriale T generato su K dai simboli τij ha dimensione nm, ed è formato da tutti le combinazioni lineari formali X aij τij i,j con aij ∈ K. In altri termini le {τij } sono per definizione una base di T . Definiamo ora la mappa τ su unaP coppia qualsiasi Pdi vettori di V e W , espressi in termini delle loro basi come v = i xi vi e w = j yj wj , nel modo seguente: X τ (v, w) := xi yj τij i,j Per definizione questa mappa è bilineare. Verifichiamo ora i due enunciati del teorema. Sia dunque f la nostra mappa bilineare. Se definiamo f∗ (τij ) := f (vi , wj ) questo determina un’unica mappa lineare su T (infatti l’abbiamo definita sulla sua base {τij }) e per definizione si ha f = f∗ ◦ τ . Per dimostrare il secondo enunciato, basta considerare due altre basi di V e W : (v10 , ..., vn0 ) e (w10 , ..., wn0 ). Dobbiamo dimostrare che gli elementi {τ (vi0 , wj0 )} costituiscono una base di T . Ma di certo questi elementi generano T , in quanto, per ogni coppia (v, w) ∈ V × W esistono dei coefficienti in K tali che X X e w= yi wi0 v= xi vi0 Sicché, per bilinearità di τ : τ (v, w) = X i,j xi yj τ (vi0 , wj0 ) 5.6. Appendice: Cenni di algebra tensoriale 159 e quindi ogni elemento di T si esprime come combinazione lineare degli {τ (vi0 , wj0 )}. Inoltre, dato che questi elementi sono nm e che la dimensione di T pure è nm, devono necessariamente costituirne una base. qed Osserviamo che la definizione di T è ben posta in virtù del secondo enunciato del teorema, non dipende cioè dalla scelta delle basi fissate in V e W per costruire i generatori di T . Un altro corollario immediato del teorema è che lo spazio T è unico a meno di isomorfismi: infatti se ne esiste un altro, diciamo T 0 , soddisfacente alla proprietà (1) del teorema, possiamo applicare il teorema a T 0 con Z = T e f = τ ed a T con Z = T 0 e f = τ 0 , ottenendo cosı̀ due mappe τ∗ e τ∗0 che sono ovviamente l’una l’inversa dell’altra e dunque realizzano un isomorfismo di T con T 0 . D’ora in poi indicheremo lo spazio T associato a V e W con V ⊗ W , e lo chiameremo prodotto tensoriale di V e W . Inoltre al posto di τ (v, w) scriveremo v ⊗ w e chiameremo gli elementi di V ⊗ W tensori. Per costruzione si ha dim V ⊗ W = dim(V ) dim(W ) è ovvia la verifica dell’esistenza dei seguenti isomorfismi canonici (tutto ciò che bisogna usare è il teorema 1): V ⊗W ∼ =W ⊗V ∼ V ⊗ (W ⊗ Z) = (V ⊗ W ) ⊗ Z) 5.6.2 Proposizione V ∗ ⊗ W ∼ = hom(V, W ). Dimostrazione: Definiamo esplicitamente: F : V ∗ ⊗ W −→ hom(V, W ) ϕ ⊗ w 7−→ (v 7−→ ϕ(v)w) Cioè, al tensore ϕ ⊗ w (ove ϕ ∈ V ∗ e w ∈ W ) assegnamo la mappa lineare Fϕ⊗w : V −→ W che calcolata su un elemento v dà come risultato ϕ(v)w. è un’ovvia verifica che F è ben definita, lineare e iniettiva, dunque un isomorfismo. qed Il seguente fatto è banale, ma molto importante, ed esprime la funtorialità del prodotto tensoriale: se f : V −→ U e g : W −→ Z sono mappe lineari di spazi vettoriali allora è definita la mappa lineare f ⊗ g : V ⊗ W −→ U ⊗ Z 160 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni come (f ⊗ g)(v ⊗ w) := f (v) ⊗ g(w) In altri termini, tensorizzare per uno spazio vettoriale fissato è un funtore nella categoria degli spazi vettoriali: il prodotto tensoriale lo possiamo vedere come un “funtore in due variabili”. 5.6.3 Proposizione (1) V ⊗ K ∼ =V (2) V ∗ ⊗ W ∗ ∼ = (V ⊗ W )∗ (3) Se V è uno spazio vettoriale reale, possiamo considerare V C := V ⊗C ove C è visto come spazio reale bidimensionale. Allora V C è uno spazio vettoriale complesso. Dimostrazione: V soddisfa evidentemente la proprietà universale del prodotto tensoriale V ⊗ K rispetto alla mappa F : V × K −→ V data da F (v, k) = kv. La (2) è pure ovvia: se F : V ∗ × W ∗ −→ (V ⊗ W )∗ è data da F (ϕ, ψ)(v ⊗ w) := ϕ(v)ψ(w) allora la proprietà universale di V ∗ ⊗ W ∗ è verificata da (V ⊗ W )∗ . Infine, se V C = V ⊗ C, vediamo che è definita una moltiplicazione fra gli elementi di V C e quelli di C che rende V C uno spazio complesso: basti porre ∀v ∈ V C ∀z ∈ C zv = v ⊗ z Le proprietà del prodotto tensoriale dicono esattamente che lo spazio V C è complesso. Si noti che dimR V = dimC V C : in effetti una R-base (e1 , ..., en ) di V è anche una C-base di V C . qed Per concludere questa discussione del prodotto tensoriale notiamo il motivo per quale lo si può considerare una versione intrinseca del concetto di multilinearità: ha luogo infatti l’isomorfismo (V ⊗ W )∗ ∼ = Bil(V, W ) ove Bil(v, W ) denota lo spazio delle forme bilineari su V ×W . Questo isomorfismo è semplicemente un modo differente di esprimere la proprietà (1) del Teorema 1. In modo del tutto analogo, considerando per uno spazio vettoriale V le sue potenze tensoriali V ⊗2 := V ⊗ V , V ⊗3 := V ⊗ V ⊗ V ,... possiamo identificare le forme multilineari sullo spazio vettoriale V con le forme lineari sui tensori di V . 5.6. Appendice: Cenni di algebra tensoriale 161 Introduciamo ora un oggetto molto importante, l’algebra tensoriale. Partiamo dal solito spazio vettoriale V su K. Scriviamo V ⊗2 in luogo di V ⊗V . Ovviamente possiamo iterare il prodotto tensoriale quante volte vogliamo, e cosı̀ considerare le potenze tensoriali di V : V ⊗0 := K, V ⊗1 = V ,...,V ⊗n , ... Lo spazio vettoriale (di dimensione infinita) T (V ) := ∞ M V ⊗n n=1 si chiama algebra tensoriale. è infatti un’algebra associativa rispetto ad un ovvio prodotto che possiamo definire nel modo seguente: se (v1 , ..., vn ) è una base di V , allora un tipico elemento di T (V ) è della forma X X ai1 ,...,ik vi1 ⊗ ... ⊗ vik k i1 ,...,ik ove la somma su k è finita e gli indici possono anche essere ripetuti, ed i coefficienti stanno ovviamente in K. Cioè i tensori che stanno in T (V ), che sono tutti i tensori possibili su V , sono una specie di polinomi nelle variabili {vi }, con la notevole eccezione di non essere commutativi, in quanto ovviamente v ⊗ w 6= w ⊗ v. Che T (V ) sia uno spazio vettoriale è vero per costruzione, mentre la struttura di algebra si ha considerando il prodotto definito come: vi1 ⊗ ... ⊗ vik · vj1 ⊗ ... ⊗ vjh := vi1 ⊗ ... ⊗ vik ⊗ vj1 ⊗ ... ⊗ vjh Questo è ovviamente un prodotto associativo ed ha un’unità che è poi l’1 di K ⊂ T (V ). L’algebra tensoriale è ovviamente di dimensione infinita (possiamo pensare i suoi elementi come “polinomi non commutativi” negli elementi di V ), e graduata, nel senso che si decompone in somma diretta di sottospazi vettoriali (per costruzione). Ha cosı̀ senso parlare di grado di un tensore: un elemento x ∈ T (V ) ha grado n se si scrive come somma di elementi di potenze tensoriali di V non maggiori della n-ma (del tutto analogamente al grado dei polinomi: l’algebra K[X1 , ..., Xn ] è infatti graduata ed il grado è quello usuale dei polinomi). 5.6.2 Algebra simmetrica Mostriamo ora come possiamo considerare i polinomi su V (le funzioni polinomiali V −→ K) come quoziente dell’algebra tensoriale. Consideriamo in T (V ) l’ideale I(V) generato dagli elementi della forma v ⊗ w − w ⊗ v con v, w ∈ V , e quindi il quoziente Sym(V ) := T (V )/I(V ) 162 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni Denotiamo l’immagine di un tensore vi1 ⊗ ... ⊗ vik ∈ T (V ) nel quoziente ∧(V ) con la scrittura vi1 · ... · ∧vik . Poichè l’ideale I(V ) è graduato, nel senso che se I k (V ) := I(V ) ∩ V ⊗k allora M I(V ) = I k (V ) k anche l’algebra Sym(V ) è graduata: Sym(V ) = M S k (V ) k con S k (V ) = V ⊗k /I k (V ) Questa nuova algebra è stata costruita in modo che i suoi elementi, oltre a soddisfare le relazioni multilineari dei tensori qualsiasi, soddisfino anche la commutatività, cioè se v e w sono in V allora vw = wv Gli elementi di Sym(V ) si dicono tensori simmetrici, e Sym(V ) si dice algebra simmetrica su V . Si tratta effettivamente di un’algebra associativa con elemento neutro perché l’ideale I(V ) è un ideale per la struttura associativa. Inoltr el’algebra simmetrica è per definizione commutativa. Notiamo che l’algebra simmetrica può ottenersi considerando la rappresentazione di Sn su V n data da σ(v1 ⊗ ... ⊗ vn ) = vσ(1) ⊗ ... ⊗ vσ(n) e considerando gli invarianti della rappresentazione, i,e, gli elementi υ di V ⊗n tali che συ = υ: si tratta degli elementi di S n (V ). Ora ci concentreremo sui singoli addendi S k (V ) dell’algebra simmetrica. Consideriamo cioè il solito spazio vettoriale V di dimensione n con la solita base (v1 , ..., vn ), e l’algebra simmetrica di grado k su V : S k V . Vogliamo caratterizzare questo spazio in termini di mappe multilineari, come abbiamo fatto per i tensori. Intanto osserviamo che S k V si ottiene da V ⊗k quozientando per il sottospazio generato dai vettori v ⊗ v − w ⊗ v, e quindi i suoi elementi, che hanno la forma X ai1 ...ik vi1 ...vik i1 ,...,ik 5.6. Appendice: Cenni di algebra tensoriale 163 verificano la commutatività, i.e. si può sempre scrivere vi1 ...vik = vj1 ...vjk se {i1 , ..., ik } = {j1 , ..., jk }. Ora consideriamo le applicazioni multilineari simmetriche di V in sé, cioè le funzioni f : V k −→ W multilineari e tali che f (v1 , ..., vk ) = f (vi1 , ..., vik ) = 0 per ogni permutazione i : j −→ ij degli interi {1, ..., n}. Se W = K abbiamo il concetto di forma multilineare simmetrica in k variabili: ad esempio un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica. Notiamo ora che 5.6.4 Proposizione I tensori S k (V ) sono esattamente i polinomi omogenei di grado k negli elementi di V . Dimostrazione: Basta osservare che, dato che un elemento di S k (V ) è della forma X s= ai1 ...ik vi1 ...vik i1 ,...,ik Quindi se (e1 , ..., en ) è una base di V allora X s= aj1 ...jn ej11 ...ejnn j1 ,...,jn convenendo che jk possa anche essere zero, ed in tal caso ejkk venga omesso. qed Dunque l’algebra simmetrica Sym(V ) può vedersi come l’algebra dei polinomi K[V ] ovvero K[e1 , ..., en ]; in particolare, Sym(V ∗ ) sono le funzioni polinomiali su V , quindi i polinomi nel senso elementare del termine. Si noti che K[V × W ] = K[V ] ⊗ K[W ]. L’algebra simmetrica verifica una proprietà universale: 5.6.5 Teorema Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n su K e se k è un intero positivo allora esiste un unico spazio vettoriale Σ di dimensione finita su K, ed una mappa multilineare simmetrica σ : V k −→ Σ tale che 164 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni (1) Se W è uno spazio vettoriale e se f : V k −→ W è una mappa multilineare simmetrica, allora esiste un’unica mappa lineare f∗ : Σ −→ W tale che f = f∗ ◦ σ, i.e. che il seguente diagramma V k BB σ BB BB BB ! f W /Σ ~ ~~ ~~ ~ f ~~ ~ ∗ (2) Se (v1 , ..., vn ) è una base di V allora {σ(vi1 , ..., vik )} con 1 ≤ i1 ≤ ... ≤ ik è una base di W . Dimostrazione: Procediamo in modo analogo al teorema 5.6.1, considerando per ogni sottoinsieme S di {1, ..., n} di k elementi anche ripetuti5 (ad esempio può essere S = (1, 1, ..., 1) e si noti che (2, 1, 1, .., 1) e (1, 2, 1, ..., 1) corrispondono alla stessa scelta) un simbolo σS , e prendendo ¢ lo spazio vettoriale generato da ¡ , e che denotiamo Σ. Se {v1 , ..., vn } questi simboli su K, che ha dimensione n+1+k k è una base di V , allora S è lo spazio delle combinazioni lineari X ai1 ...ik vi1 ...vik i1 ≤i2 ≤...≤ik Sia ora v ∈ V k della forma X v= ai1 ...ik (vi1 , ..., vik ) i1 ,...,ik e definiamo la mappa σ come σ(v) := X ai1 ...ik (i1 , ..., ik ) i1 ≤i2 ≤...≤ik (S è generato da elementi del tipo (i1 , ..., ik )). Che si tratti di una mappa multilineare simmetrica segue dalla definizione, ed è pure un fatto ovvio che σ(vi1 , ..., vik ) = σS se S = {i1 , ..., ik } con i1 ≤ ... ≤ ik . La dimostrazione della (1) si riduce alla semplice osservazione che se f : V k −→ W è multilineare simmetrica, la mappa f∗ (σS ) := f (vi1 , ..., vik ) 5 Si tratta sostanzialmente dei monomi di grado k nelle indeterminate 1, .., n. 5.6. Appendice: Cenni di algebra tensoriale 165 è ben definita su una base di Σ e quindi si estende ad un’unica mappa lineare da Σ in W . Per la dimostrazione della (2) basta ¢ notare che gli elementi {σ(vi1 , ..., vik )} ¡n+k+1 . generano Σ e sono esattamente k qed Di nuovo possiamo dedurre l’unicità dello spazio Σ dalla sua proprietà universale, ed è evidente che la potenza simmetrica S k (V ) soddisfa questa proprietà: ne segue che abbiamo una naturale identificazione Σ∼ = S k (V ) che, a livello di basi, è σ(vi1 , ..., vik ) ←→ vi1 ...vik Osserviamo che il risultato precedente può riformularsi dicendo che lo spazio delle forme multilineari simmetriche è isomorfo allo spazio duale dei tensori simmetrici: Sym(V k , K) ∼ = (S k (V ))∗ Inoltre, è possibile associare ad una mappa f : V −→ W lineare la sua potenza simmetrica k-sima S k f : S k V −→ S k W definita come S k f (u1 , ..., uk ) = f (u1 )...f (uk ) L Notiamo che l’algebra simmetrica completa k S k (V ) è di dimensione infinita e corrisponde all’algebra dei polinomi su V . 5.6.3 Algebra esterna Costruiamo ora un’altra algebra tensoriale: l’algebra esterna. Consideriamo in T (V ) l’ideale I(V) generato dagli elementi della forma v ⊗ v per v ∈ V , e quindi il quoziente ∧(V ) := T (V )/I(V ) Denotiamo l’immagine di un tensore vi1 ⊗ ... ⊗ vik ∈ T (V ) nel quoziente ∧(V ) con la scrittura vi1 ∧ ... ∧ vik . Poichè l’ideale I(V ) è graduato, nel senso che se I k (V ) := I(V ) ∩ V ⊗k allora M I(V ) = I k (V ) k anche l’algebra ∧(V ) è graduata: ∧(V ) = M k ∧k (V ) 166 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni con ∧k (V ) = V ⊗k /I k (V ) Questa nuova algebra è stata costruita in modo che i suoi elementi, oltre a soddisfare le relazioni multilineari dei tensori qualsiasi, soddisfino anche quelle antisimmetriche, cioè se v e w sono in V allora v ∧ w = −w ∧ v e quindi v∧v =0 Da qui per induzione: ∀x ∈ ∧k (V ) ∀y ∈ ∧h (V ) x ∧ y = (−1)kh y ∧ x Gli elementi di ∧(V ) si dicono tensori antisimmetrici, e ∧(V ) si dice algebra esterna su V . Si tratta di un’algebra associativa, che per definizione è anticommutativa. Notiamo che wk (V ) può essere costruito considerando la rappresentazione del gruppo An su V ⊗n data da σ(v1 ⊗ ... ⊗ vn ) = vσ(1) ⊗ ... ⊗ vσ(n) e considerandone gli invarianti. Ora ci concentreremo sui singoli addendi ∧k (V ) dell’algebra esterna. Consideriamo cioè il solito spazio vettoriale V di dimensione n con la solita base (v1 , ..., vn ), e l’algebra esterna di grado k su V : ∧k V . Vogliamo caratterizzare questo spazio in termini di mappe multilineari, come abbiamo fatto per i tensori. Intanto osserviamo che ∧k V si ottiene da V ⊗k quozientando per il sottospazio generato dai vettori v ⊗ v, e quindi i suoi elementi, che hanno la forma X ai1 ...ik vi1 ∧ ... ∧ vik i1 ,...,ik verificano relazioni del tipo: vi1 ∧ ... ∧ vij ∧ ... ∧ vij ∧ ... ∧ vik = 0 Ora consideriamo le applicazioni multilineari alterne di V in sé, cioè le funzioni f : V k −→ W multilineari e tali che f (vi1 , ..., v, ..., v, ..., vik ) = 0 167 5.6. Appendice: Cenni di algebra tensoriale il che ovviamente implica f (vi1 , ..., v, ..., w, ..., vik ) = −f (vi1 , ..., w, ..., v, ..., vik ) Se W = K abbiamo il concetto di forma multilineare alternante in k variabili. 5.6.6 Esempio Se guardiamo ad una matrice A come alla successione ordinata dei vettori colonna che la compongono, A = (A1 , ..., An ), il determinante det : V n −→ K è multilineare alternante, e si può completamente caratterizzare aggiungendo la condizione det(1) = 1 che il determinante della matrice identica sia 1. 5.6.7 Esempio Consideriamo i tensori di grado due, i.e. degli elementi di V ⊗ V : ogni tale tensore è comma di un tensore antisimmetrico e di un tensore simmetrico, in altri termini V ⊗ V = S 2 (V ) ⊕ ∧2 (V ) Il determinante interviene nella dimostrazione del seguente teorema: 5.6.8 Teorema Se V e W sono spazi vettoriali su K e se f : V k −→ W è una funzione multilineare alternante, dati qualsiasi w1 , ..., wk ∈ V e se A = ((aij )) è una matrice e u1 = k X a1i wi , ... uk = k X aki wi i=1 i=1 allora f (u1 , .., uk ) = det(A)f (w1 , ..., wk ) Dimostrazione: Intanto si ha k k X X f (u1 , .., uk ) = f ( a1i wi , ..., aki wi ) i=1 i=1 168 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni e, per multilinearità, si ottiene X f (a1,σ(1) wσ(1) , ..., a1,σ(k) wσ(k) ) σ ove la somma è estesa a tutte le possibili mappe σ : {1, ..., k} −→ {1, ..., k} che riordinano k elementi. Questa somma è pari a X a1,σ(1) ...ak,σ(k) f (wσ(1) , ..., wσ(k) ) σ sempre per multilinearità. Osserviamo che la somma in realtà non è estesa a tutte le combinazioni possibili di elementi, ma solo alle permutazioni, cioè alle mappe σ biunivoche, perché nel caso di una combinazione di termini che non sia una permutazione, nel termine f (wσ(1) , ..., wσ(k) ) due o più argomenti sono uguali e quindi il termine è nullo, per alternanza di f . Otteniamo cioè X a1,σ(1) ...ak,σ(k) f (wσ(1) , ..., wσ(k) ) σ∈Sk ove Sk è il gruppo simmetrico su k elementi. Ora, ogni permutazione σ ∈Sk si può ottenere come una sequenza di scambi fra coppie di elementi: quando scambiamo due argomenti nel termine f (wσ(1) , ..., wσ(k) ) il segno cambia (per alternanza) e quindi una volta effettuata la permutazione, otteniamo un fattore (−1)sgn(σ) ove il segno di una permutazione è il numero di scambi che la compongono. Insomma, trasformare il termine f (wσ(1) , ..., wσ(k) ) in f (w1 , ..., wk ) comporta unicamente l’apparizione di un segno (−1)sgn(σ) , e quindi la somma precedente si trasforma in X f (u1 , ..., uk ) = (−1)sgn(σ) a1,σ(1) ...ak,σ(k) f (w1 , ..., wk ) σ∈Sk che è uguale a det(A)f (w1 , ..., wk ) qed Il fatto che il determinante di A sia definito come X det(A) = (−1)sgn(σ) a1,σ(1) ...ak,σ(k) σ∈Sk segue dal familiare sviluppo di Laplace, e costituisce un esercizio di calcolo combinatorio (nel farlo può essere utile esaminare i casi k = 2 e k = 3 separatamente...) 5.6. Appendice: Cenni di algebra tensoriale 169 La comprensione del teorema precedente è cruciale per capire le forme alternanti. Abbiamo comunque bisogno di una versione più generale di questo teorema, la cui dimostrazione proveremo a lasciare per esercizio, non prima d’aver messo in grado il lettore di risolverlo, per via delle seguenti osservazioni. Consideriamo una matrice A di dimensioni k × n e con k ≤ n ed un sottoinsieme S dell’insieme di interi {1, ..., n} con k elementi. Di tali sottoinsiemi ve ne sono µ ¶ n k come noto dal calcolo combinatorio. Se questi elementi sono S = {i1 , ..., ik } allora possiamo assumere che siano ordinati: i1 < ... < ik . Consideriamo una funzione σ : {1, ..., k} −→ S cioè un modo di associare ad un numero fra 1 e k un elemento di S e supponiamo che questa funzione sia iniettiva. Allora è biunivoca (perché?) e quindi definisce una permutazione di S. 5.6.9 Esempio Se n = 4 e k = 3, e S = {1, 3, 4}, la permutazione σ definita da σ(1) = 4 σ(3) = 1 σ(4) = 3 ha segno +1. Se chiamiamo P (S) l’insieme delle permutazioni degli elementi di S (che è dire l’insieme delle biiezioni di S in sé, e se torniamo alla nostra matrice A = ((aij )), per ogni insieme S di cardinalità k possiamo considerare il minore k × k di A costituito dagli elementi aij tali che j ∈ S. Denotiamo con det(A) S il determinante di questo minore. Allora è X det(A) = (−1)sgn(σ) a1,σ(1) ...ak,σ(k) S σ∈P (S) Ora siano w1 , ..., wn elementi in V , e per ognuno degli insiemi S definiamo wS = (wi1 , ..., wik ) ove gli elementi di S sono tali che i1 < ... < ik . A questo punto, usando le notazioni introdotte, il lettore dovrebbe dimostrare il seguente 170 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni 5.6.10 Teorema Se V e W sono K-spazi vettoriali, e se f : V k −→ W è una mappa multilineare alternante, se w1 , ..., wn sono elementi di V e A è una matrice k × n e se u1 = n X a1i wi , ... uk = i=1 n X aki wi i=1 allora f (u1 , .., uk ) = X S det(A)f (wS ) S (Come suggerimento si osservi che la dimostrazione è simile a quella del teoP rema P precedente, salvo in un punto nel quale bisogna spezzare la somma σ P come S σ∈P (S) ). Siamo ora in grado di dimostrare una proprietà universale dei prodotti esterni, analoga al teorema 5.6.1: 5.6.11 Teorema Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n su K e se k è un intero tale che 1 ≤ k ≤ n allora esiste un unico spazio vettoriale Λ di dimensione finita su K, ed una mappa multilineare alternante λ : V k −→ Λ tale che (1) Se W è uno spazio vettoriale e se f : V k −→ W è una mappa multilineare alternante, allora esiste un’unica mappa lineare f∗ : Λ −→ W tale che f = f∗ ◦ λ, i.e. che il seguente diagramma V k BB BB f BB BB ! λ W /Λ ~ ~ ~~ ~~ f∗ ~ ~~ (2) Se (v1 , ..., vn ) è una base di V allora {λ(vi1 , ..., vik )} con 1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n è una base di W . Dimostrazione: Procediamo in modo analogo al teorema 5.6.1, considerando per ogni sottoinsieme S di {1, ..., n} di k elementi un simbolo λS , e prendendo lo ¡ ¢ spazio vettoriale generato da questi simboli su K, che ha dimensione nk , e che 5.6. Appendice: Cenni di algebra tensoriale 171 denotiamo Λ. Se ora {v1 , ..., vn } è una base di V , se {u1 , ..., uk } sono elementi di V e la matrice A è definita come ui = n X aij vj j=1 allora la mappa λ si definisce come: λ(u1 , ..., uk ) := X det(A)λS S S Che si tratti di una mappa multilineare alternante segue dalle proprietà dei determinanti, ed è pure un fatto ovvio che λ(vi1 , ..., vik ) = λS se S = {i1 , ..., ik } con i1 < ... < ik . La dimostrazione della (1) si riduce alla semplice osservazione che se f : V k −→ W è multilineare alternante, la mappa f∗ (λS ) := f (vi1 , ..., vik ) è ben definita su una base di Λ e quindi si estende ad un’unica mappa lineare da Λ in W . Per la dimostrazione della (2) ¡ ¢basta notare che gli elementi {λ(vi1 , ..., vik )} generano Λ e sono esattamente nk . qed Di nuovo possiamo dedurre l’unicità dello spazio Λ dalla sua proprietà universale, ed è evidente che la potenza esterna ∧k (V ) soddisfa questa proprietà: ne segue che abbiamo una naturale identificazione Λ∼ = ∧k (V ) che, a livello di basi, è λ(vi1 , ..., vik ) ←→ vi1 ∧ ... ∧ vik Osserviamo che il risultato precedente può riformularsi dicendo che lo spazio delle forme multilineari alternanti è isomorfo allo spazio duale dei tensori antisimmetrici: Alt(V k , K) ∼ = (∧k (V ))∗ Inoltre, è possibile associare ad una mappa f : V −→ W lineare la sua potenza esterna k-ma ∧k f : ∧k V −→ ∧k W definita come ∧k f (u1 , ..., uk ) = f (u1 ) ∧ ... ∧ f (uk ) 172 Capitolo 5. Gruppi, algebre e rappresentazioni In particolare, dato che µ dim ∧ (V ) = k dim V k ¶ osserviamo che la massima potenza esterna (k = n) di V è unidimensionale: inoltre, dato che v ∧ v = 0, non possono esservi potenze esterne (n + 1)-dimensionali o più, e quindi l’algebra esterna è finito dimensionale! Questa è una profonda differenza rispetto all’algebra simmetrica. Dato che ∧n (V ) ∼ = K, una sua base è data da un qualsiasi scalare non nullo: una scelta naturale è proprio la funzione determinante, che si caratterizza con la condizione det(1) = 1. 5.6.12 Proposizione Se dim V = n e se f : V −→ V è una mappa lineare, allora la mappa ∧n f : ∧n (V ) −→ ∧n (V ) è semplicemente una mappa lineare di K in sè, cioè la moltiplicazione per uno scalare, e precisamente (∧n f )(x) = det(f )x Si tratta di una riformulazione dello sviluppo di Laplace del determinante. Per finire vogliamo osservare che un caso particolare di prodotto esterno è certo noto al lettore: si tratta del prodotto vettoriale. Ricordiamo infatti che se V ha dimensione 3, è definito il prodotto vettoriale di due suoi elementi:   v2 w3 − v3 w2 [v, w] := v3 w1 − v1 w3  v1 w2 − v2 w1 se v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ). Ma si ha [v, w] = v ∧ w Infatti dim ∧2 V = dim V = 3 (in questo caso e solo in questo caso la dimensione di V coincide con quella della sua seconda potenza esterna), e dato che il prodotto vettoriale è una funzione bilineare alternante, per universalità si ha la formula precedente. L’algebra R3 col prodotto ∧ verifica l’identità di Jacobi (v1 ∧ v2 ) ∧ v3 + (v3 ∧ v1 ) ∧ v2 + (v2 ∧ v3 ) ∧ v1 = 0 cioè, ponendo [v, w] = v ∧ w R3 diviene un’algebra di Lie. Si tratta dell’algebra so(3) associata al gruppo delle rotazioni del piano. Parte II Analisi Funzionale Capitolo 6 SPAZI NORMATI ED OPERATORI LINEARI I principali esempi di spazi vettoriali di dimensione infinita sono tutti spazi di funzioni: come abbiamo visto, questi spazi sono in genere anche spazi metrici, e spesso possiedono la proprietà di essere completi rispetto alla loro metrica: si può dare una teoria generale per gli spazi vettoriali che soddisfino queste proprietà, che generalizza profondamente quella degli spazi con prodotto scalare in dimensione finita. In questo capitolo gettiamo le fondamenta di questa teoria, e diamo numerosi esempi. 6.1 Spazi di Hilbert e di Banach 6.1.1 Definizione Uno spazio vettoriale H sul campo C dei numeri complessi si dice spazio pre-hilbertiano se è data una funzione H × H −→ C, il cui valore scriveremo come (x, y), tale che, se x, y, z ∈ H e a, b ∈ C: • (x, y) = (y, x) • (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) • x 6= 0 =⇒ (x, x) > 0 La mappa (−, −) si dice prodotto hilbertiano in H. Notiamo che la (3) ha senso, dato che (x, x) = (x, x) è un numero reale. In generale, se V e W sono spazi vettoriali complessi, una funzione f : V ×W −→ C che soddisfi le (1)–(2) si dice funzione sesquilineare: le (1)–(2) equivalgono alla f (au + bv, cw + dz) = acf (u, w) + adf (u, z) + bcf (v, w) + bdf (v, z) 175 176 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari 6.1.2 Esempio I seguenti sono spazi pre-hilbertiani: • Lo spazio vettoriale complesso Cn con il prodotto 0 (z, z ) := n X zi zi i=1 • Lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile L2 (R, ds) rispetto alla misura di Lebesgue sulla retta reale rispetto al prodotto Z (f, g) := f (s)g(s)ds R • lo spazio l2 (N) delle funzioni ϕ : N −→ C non nulle solo in un numero finito di punti con il prodotto (ϕ, ψ) := ∞ X ϕ(n)ψ(n) n=0 Se x, y ∈ X (spazio pre-hilbertiano) e a, b ∈ C allora (ax + by, ax + by) ≥ 0 (l’eguaglianza vale, con a e b opportuni, se x e y sono linearmente dipendenti). Si osservi che (ax + by, ax + by) = aa(x, x) + ab(y, x) + ab(x, y) + bb(y, y) è la forma quadratica associata alla matrice ¶ µ (x, x) (x, y) A= (y, x) (y, y) e quindi 0 ≤ det(A) = (x, x)(y, y) − (x, y)(y, y) (il segno = vale se x e y sono linearmente dipendenti) cioè abbiamo la diseguaglianza di Cauchy–Schwartz : (x, x)(y, y) ≥ |(x, y)|2 6.1.3 Definizione La norma di x∈X (spazio pre-hilbertiano) è il numero ||x|| := p (x, x). 6.1. Spazi di Hilbert e di Banach 177 6.1.4 Proposizione Se X è uno spazio pre-hilbertiano: • Per ogni x ∈ X: ||x|| ≥ 0 e, se x 6= 0 allora ||x|| > 0. • Per ogni x ∈ X e a ∈ C: ||ax|| = |a| · ||x||. • Per ogni x, y ∈ X: ||x + y||2 ≤ (||x|| + ||y||)2 Si tratta di riformulare le proprietà precedenti in termini della norma. 6.1.5 Definizione Uno spazio vettoriale X sul campo dei numeri complessi C si dice spazio normato se è data una mappa || − || : X −→ C (la norma di X) che verifichi le (1)–(3) della proposizione precedente. Ponendo z = x + y nella (3) si ottiene ¯ ¯ ¯||x|| − ||z||¯ ≤ ||z − x|| Quindi se (X, || − ||) è uno spazio normato possiamo renderlo uno spazio metrico con la distanza d(x, y) = ||x − y|| Dunque possiamo considerare in uno spazio normato il concetto di convergenza: in particolare ha senso chiedersi se la convergenza relativa alla distanza d indotta dalla norma sia o meno completa. 6.1.6 Esempio Lo spazio pre-hilbertiano X delle successioni s : N −→ C di numeri complessi a supporto finito (cioè sn 6= 0 per un numero finito di n: possiamo dunque immaginarle come successioni di numeri complessi definitivamente nulle) rispetto al prodotto X (s, t) = sn tn n∈N (la serie è in realtà una somma finita) non è completo, dato che la successione {sn } degli elementi di X dati da sn (m) = 0 se n 6= m e 1/2n se n = m è di Cauchy ma non ammette limite in X. 6.1.7 Definizione Uno spazio normato completo si dice spazio di Banach ed uno spazio pre-hilbertiano completo si dice hilbertiano o spazio di Hilbert. 6.1.8 Esempio • Lo spazio Cn è di Hilbert, come noto dall’Analisi elementare. 178 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari • Lo spazio l2 (N) delle successioni {an } di numeri complessi tali che X |an |2 < ∞ n∈N è uno spazio pre-hilbertiano rispetto al prodotto X ({an }, {bn }) = an b n n∈N Dimostreremo fra breve che si tratta di uno spazio di Hilbert1 . • Lo spazio lp (N) delle successioni {an } di numeri complessi tali che à ||a||p := X ! 1p |an |p <∞ n∈N e lo spazio l∞ (N) delle successioni complesse limitate con la norma ||a||∞ := sup |an | n∈N sono pure spazi normati: sempre fra breve dimostreremo che si tratta di spazi di Banach. • In generale, se A è un insieme qualsiasi possiamo definire lp (A) come l’insieme delle successioni generalizzate indicizzate da A di numeri complessi che verifichino le condizioni di finitezza precedenti: si tratterà sempre di spazi di Banach. Come noto, ogni spazio metrico (X, d) ammette un unico completamento e ed è dotato di una isometria Ψ : X −→ X e e la cui immagine sia densa in X: e (X, d) applicando questa costruzione al caso di uno spazio normato (o pre-hilbertiano) si ottiene un unico spazio di Banach (o di Hilbert) che si dice completamento di X, con relativa isometria Ψ. 6.1.9 Proposizione Uno spazio normato X è di Banach se e solo se ogni serie assolutamente convergente in X è convergente. P Dimostrazione: Per definizione la serie n xn è assolutamente convergente in P X se la serie numerica n ||xn || è convergente. 1 Non è difficile dimostrarlo “a mano”, cfr. [20], pp. 24–25. 179 6.1. Spazi di Hilbert e di Banach Ora, sia X uno spazio di Banach e sia la serie gente; allora per N X zN := xn P n xn assolutamente conver- n=1 si ha M N ¯¯ X ¯¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ xn ≤ ||xn || ||zN − zM || = n=N n=M da cui segue la convergenza della serie per il criterio di Cauchy. Supponiamo invece che ogni serie assolutamente convergente in X sia convergente: vogliamo dimostrare che ogni successione {xn } di Cauchy sia convergente in X. Ma se poniamo yn = xmn ove la sottosuccessione {mn } venga scelta dalla definizione di successione di Cauchy: ∀n ∈ N ∃mn ∀i, j > mn ||xi − xj || < 1 2n+1 allora la successione {yn } converge: infatti la serie y − 1 + (y2 − y1 ) + (y3 − y2 ) + ... converge (perché converge assolutamente). qed Possiamo ad esempio, usando questo criterio, dimostrare il teorema di Riesz– Fischer secondo il quale gli spazi Lp sono di Banach. Ricordiamo che se (X, B, µ) è uno spazio di misura completo lo spazio vettoriale Lp (X, µ) (1 ≤ p ≤ ∞) è l’insieme delle funzioni misurabili e tali che Z |f |p dµ < ∞ X modulo la relazione che identifica due funzioni che coincidano quasi ovunque. 6.1.10 Teorema (Riesz–Fischer) Rispetto alle norme µZ ||f ||p := |f |P dµ ¶ p1 X e ||f ||∞ := esssup |f | Lp (X, µ) sono spazi di Banach. 180 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari Dimostrazione: Il caso p = ∞ è elementare: si tratta di applicare la disuguaglianza triangolare per i moduli delle somme. Sia quindi 1 ≤ p < ∞. Le diseguaglianze di Minkowski e di Hölder implicano che Lp è uno spazio normato rispetto a ||−||p . Basta dimostrarne la completezza. Sia dunque {fn } una successione assolutamente convergente in Lp : ∞ X ||fn ||p = M < ∞ n=0 e definiamo gn (x) := n X |fk (x)| k=1 Per la diseguaglianza di Minkowski: ||gm || ≤ n X ||fk || ≤ M k=0 i.e. Z (gn )p ≤ M p Per ogni x la successione {gn (x)} è crescente (a valori in R ∪ {±∞}) e quindi deve convergere ad un elemento g(x) ∈ R ∪ {±∞}. La funzione cosı̀ definita g è misurabile e, dato che gn ≥ 0 si ha che Z g p ≤ mp (per il Lemma di Fatou). Quindi g p è integrabile (i.e. sta in L1 ) e g(x) è finita quasi ovunque. P Nei valori di x per i quali g è finita, la serie numerica ∞ k=1 fk (x) converge assolutamente ad un numero reale s(x). Ponendo s(x) = 0 per gli x tali che g(x) = ∞ abbiamo definito cosı̀ una funzione s che è quasi ovunque limite delle Pn somme parziali sn = k=1 fk . È quindi misurabile e |sn (x)| ≤ g(x) ⇒ |s(x)| ≤ g(x) Dunque s ∈ Lp e |sn (x) − s(x)|p ≤ 2p (g(x))p Ma 2p g p ∈ L1 e |sn (x) − s(x)| −→ 0 per quasi ogni x sicché per il teorema della convergenza dominata di Lebesgue: Z |sn − s|p −→ 0 181 6.1. Spazi di Hilbert e di Banach Dunque ||sn − s||p −→ 0 i.e. ||sn − s|| −→ 0. La serie {fn } converge quindi in Lp che è quindi uno spazio di Banach. qed 6.1.11 Esempio La stessa tecnica, applicata allo spazio di misura (A, P(A), #) con la misura che conta # consente di dimostrare che gli spazi lp (A) sono spazi di Banach. 6.1.12 Esempio L’insieme C(X) delle funzioni continue a valori reali (o complessi) definite su uno spazio topologico compatto di Hausdorff X, è uno spazio di Banach rispetto alla norma: ||f || := max |f (x)| x∈X Evidentemente si tratta di uno spazio normato, e la completezza segue dal fatto che la condizione ||fn − fm || −→ 0 implica la convergenza uniforme della successione {fn } che tende quindi ad una funzione continua, cioè ad un elemento di C(X). Infine osserviamo che ogni spazio vettoriale (reale o complesso) di dimensione finita è uno spazio di Banach: 6.1.13 Teorema (Tichonov) Se X è uno spazio vettoriale di dimensione finita allora tutte le norme possibili su di esso lo rendono uno spazio di Banach e sono equivalenti. Dimostrazione: Possiamo fissare una base (e1 , ..., en ) di X, e le coordinate indotte da questa base: ∀x ∈ X∃x1 , ..., xn ∈ R x = x1 e1 + .. + xn en ∼ = stabiliscono un isomorfismo di spazi vettoriali ι : X −→ Rn . Dimostriamo che questo isomorfismo è un omeomorfismo rispetto alle topologie indotte dalle norme. Per ogni x ∈ X: v v u n u n n n X X uX uX |xi | ||ei || ≤ t xi ei || ≤ ||x|| = || ||ei ||2 t x2i = c||ι(x)|| i=1 i=1 i=1 i.e. ||x − y|| ≤ c||ι(x) − ι(y)|| ove c è una costante che non dipende né da x né da y. i=1 182 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari Stabiliamo la disuguaglianza opposta: sulla sfera unitaria S n−1 ⊂ Rn consideriamo la funzione f (ι(x)) = f (x1 , ..., xn ) = ||x|| P 2 Evidentemente f > 0 perché xi = 1 e ei sono una base; la disuguaglianza ¯ ¯ |f (x1 , ..., xn ) − f (y1 , ..., yn )| = ¯||x|| − ||y||¯ ≤ ||x − y|| ≤ c||ι(x) − ι(y)|| mostra la continuità di f , che quindi, sul compatto S n−1 ⊂ Rn ammette un minimo α, che deve ovviamente essere positivo. Quindi, se i(x) ∈ S n−1 si ha che f (ι(x)) = ||x|| ≥ α e, per ogni x ∈ X: ¯¯ X ¯¯ n xi ei qP f (ι(x)) = ||ι(x)|| ¯¯¯¯ n i=1 j=1 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ≥ α||ι(x)|| ¯¯ 2 xj Quindi la ι è un omeomorfismo. qed 6.1.14 Corollario Un sottospazio vettoriale di uno spazio normato di dimensione finita è chiuso. 6.1.15 Corollario Ogni spazio normato localmente compatto è di dimensione finita. Dimostrazione: Se X è localmente compatto e U è un intorno dello zero a chiusura compatta e tale che, per ogni |α| < 1 si abbia αU ⊂ U , allora, possiamo ricoprire U con un numero finito di intorni ottenuti traslando U per degli elementi x1 , ..., xn ∈ X: 1 1 U ⊂ x1 + U ∪ ... ∪ xn + U 3 3 Allora, ogni elemento di X si ottiene come combinazione lineare degli {x1 , ..., xn }. Scegliendo n minimo, questi elementi formano quindi una base di X. qed 6.2 Somme e complementi ortogonali Abbiamo visto in precedenza una caratterizzazione degli spazi di Banach fra gli spazi normati: un altro quesito che è naturale porsi è quando uno spazio di Banach sia di Hilbert: la risposta è data dalla seguente 183 6.2. Somme e complementi ortogonali 6.2.1 Proposizione Uno spazio normato (X, ||−||) è uno spazio pre-hilbertiano rispetto ad un prodotto scalare (−) se e solo se vale la seguente identità di polarizzazione, che definisce il prodotto (−): X ε||x + εy||2 = 4(x, y) ε ove ε varia nell’insieme {1, −1, i, −i}. Dimostrazione: Si tratta di osservare che, nell’ovvia identità ||ax + by||2 = |a|2 (x, x) + |b|2 (y, y) + 2 Re (ab(x, y)) ponendo a = 1 e b = ±1 e sommando, si ottiene ¡ ¢ ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2 (identità del parallelogramma). Moltiplicando per ±1, ±i e ripetendo il ragionamento per b = ±i si ottiene l’identità di polarizzazione. qed Se H1 e H2 sono spazi di pre-hilbertiani anche la loro somma diretta H1 ⊕ H2 lo è rispetto al prodotto (x1 ⊕ y1 , x2 ⊕ y2 ) := (x1 , y1 )1 + (x2 , y2 )2 Se H1 e H2 sono di Hilbert anche H1 ⊕ H2 lo è, dato che ||xn ⊕ yn − xm ⊕ ym ||2 = ||(xn − xm ) ⊕ (yn − ym )||2 ¯2 ¯ = ¯(xn − xm ) + (yn − ym )¯ In modo analogo la somma diretta di spazi di Banach è uno spazio di Banach con una delle norme 1 ||x ⊕ y||p := (||x||p + ||y||p ) p ||x ⊕ y||∞ := sup(||x||, ||y||) 1≤p≤∞ Tutte queste norme sono equivalenti, nel senso che inducono le medesime topologie). Possiamo generalizzare questa costruzione nel modo seguente: sia A un insieme arbitrario di indici e {Hα }α∈A una famiglia di spazi di Hilbert indicizzata da A. Allora2 M [ X H := Hα = {x : A −→ Hα |x(α) ∈ Hα e ||x(α)||2 < ∞} α α∈A 2 Per definizione si ha P α∈A ||x(α)||2 := supI⊂A α∈A P i∈I ||x(i)||2 ove gli insiemi I sono finiti. 184 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari è uno spazio di Hilbert. Le operazioni di somma e prodotto sono definite punto per punto: (ax + by)(α) = ax(α) + by(α) e l’identità del parallelogramma implica che rendono H uno spazio vettoriale. Il prodotto si definisce pure punto per punto: X (x, y) := (x(α), y(α)) α∈A Questo ha senso, dato che |(x, y)| ≤ ||x|| ||y|| ≤ X 1 |(x, y)| ≤ 2 α∈A à X 1 2 (||x||2 + ||y||2 ) e quindi ! ||x(α)||2 + ||y(α)||2 α∈A col che (x, y) è definita da una somma assolutamente convergente. La completezza del prodotto segue osservando che, se3 {xn } è una successione di Cauchy allora per ogni ε > 0 esiste un nε ∈ N tale che per n, m > nε si abbia ||xn − xm ||2 < ε2 allora X ||xn (α) − xm (α)||2 < ε2 α∈A e quindi, per ogni α ∈ A: ||xn (α) − xm (α)||2 < ε2 . Dunque, fissato α la successione {x(α)} è di Cauchy in Hα e, per completezza di Hα , converge ad un elemento x(α) ∈ Hα . Allora X sup ||xn (i) − xm (i)||2 < ε2 I⊂A i∈I sicché ε2 < lim sup m I⊂A = X X ||xn (i) − xm (i)||2 = i∈I X α∈A lim ||xn (α) − xm (α)||2 m ||xn (α) − x(α)||2 ≤ ε2 α∈A Dunque la funzione α 7−→ (xn (α) − x(α)) appartiene a H: xn − x ∈ H, da cui x ∈ H (dato che xn ∈ H). Infine 4 X ||xn − x||2 = ||xn (α) − x(α)||2 ≤ ε2 α∈A e quindi xn 7−→ x appartiene a H che risulta per questo essere completo. Osserviamo cheS la cardinalità dell’insieme {α| ||x(α)|| = 6 0} è numerabile, dato che {α| ||x(α)|| 6= 0} = n An ove An = {α| ||x(α)|| > n1 } sono ovviamente finiti. 4 È un fatto generale che dalla ||xn − x|| −→ 0 seguano le y + xn −→ x + y e ||xn || −→ ||x||. 3 6.2. Somme e complementi ortogonali 185 Osserviamo che gli spazi Hα si immergono isometricamente in H: infatti se x ∈ Hα e se, per α0 ∈ A, poniamo ψα (x)(α0 ) := δαα0 x (delta di Kronecker) allora le ψα : Hα −→ H sono isometrie. Naturalmente, per completezza di H, i sottoinsiemi Hα ⊂ H sono chiusi. Inoltre, se α1 , α2 ∈ A i sottospazi ψα1 (Hα1 ) e ψα2 (Hα2 ) sono ortogonali fra loro. Osserviamo che P il sottospazio vettoriale di H generato dai sottospazi {ψα (Hα )} (cioè la somma ψα (Hα ) definita come insieme delle funzioni a supporto finito S : A −→ α ψα (Hα )) è denso in H. Infatti se ε > 0 allora esiste un sottoinsieme Aε ⊂ A finito e tale che5 X ||x(α)||2 < ε2 α∈A\Aε Quindi, la ( x(α) xε (α) := 0 se α ∈ Aε se α ∈ / Aε P è una funzione a supporto finito (dunque in ψα (Hα )) tale che ||x − xε ||2 < ε2 P ψα (Hα ) = H. Questo significa che Ad esempio, se per ogni α ∈ A, si ha che Hα = C allora la somma diretta H è lo spazio X l2 (A) := {f : A −→ C| |f (α)|2 < ∞} che dunque risulta essere uno spazio di Hilbert. In modo perfettamente analogo si definisce la somma di spazi di Banach e si dimostra essere uno spazio di Banach. 6.2.2 Definizione Se S ⊂ H è un sottoinsieme di uno spazio di Hilbert, il suo ortogonale è l’insieme S ⊥ := {y ∈ H| ∀x ∈ S (y, x) = 0} Evidentemente, se S ⊂ H è M è il sottospazio vettoriale generato da S in H allora S⊥ = M ⊥ 5 Si ricordi che P α ||x(α)||2 = ||x||2 < ∞. 186 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari e possiamo dunque limitarci a considerare sottospazi vettoriali, nelle questioni di ortogonalità. Si osservi inoltre che la diseguaglianza di Cauchy–Schwartz implica che, se xn converge a x in H allora, per ogni y ∈ H: (y, xn ) −→ (y, x) (questo significa semplicemente che il prodotto hilbertiano (x, y) è una funzione continua nelle due variabili x e y). Quindi M⊥ = M ⊥ e il sottospazio vettoriale M ⊥ risulta sempre essere chiuso. I sottospazi chiusi di uno spazio di Hilbert sono interessanti e naturali da considerare, in virtù del seguente 6.2.3 Teorema (Riesz) La somma diretta6 di un sottospazio M ⊂ H e del suo ortogonale M ⊥ esaurisce l’intero spazio di Hilbert: M + M ⊥ = H. Dimostrazione: Basta ovviamente dimostrare che per ogni x ∈ H esista un xM ∈ M tale che (x − xM , M ) = 0; questo equivale a dimostrare che esiste una successione {xn } di Cauchy in M tale che7 d(x, xn ) −→ d(x, M ) =: d.Infatti, in questo caso, detto xM il limite di {xn }, (che esiste perché H è completo), si avrebbe x − xM ∈ M ⊥ (dato che d(x − xM ) = 0 e M è chiuso). Dimostriamo dunque che • Se xn −→ x allora x − xM ∈ M ⊥ . • {xn } è di Cauchy. (1) L’ipotesi significa che lim ||x − xn || = d e quindi, se y ∈ M , xM + y ∈ M , da cui ||x − (xm + y)||2 ≥ d2 , e d2 ≤ ||(x − xM ) + y||2 = ||y||2 + 2 Re(y, x − xM ) + ||x − xM ||2 Ma, per ogni a ∈ C: ||ay||2 + 2 Re(ay, x − xM ) ≥ 0 e quindi Re(y, x − xM ) = 0 (per arbitrarietà di a). In modo analogo si vede che Im(y, x − xM ) = 0, e quindi (y, x − xM ) = 0 per y ∈ M . (2) Si ha che ||xn − xm ||2 = ||(xn − x) − (xm − x)||2 e quindi ||xn − xm ||2 + ||xn + xm − 2x||2 = s||x − xn ||2 + 2||x − xm ||2 6 Come spazi vettoriali e non di Hilbert. Ricordiamo che la distanza d(x, M ) di un punto da un insieme è definita come l’inf y∈M {d(x, y)} e che un punto x che abbia distanza nulla da un insieme M appartiene a M se e solo se M = M . 7 187 6.3. Funzionali lineari Ma {xn } ⊂ M , quindi xn +xm 2 ∈ M , i.e. ¯¯ xn + xm ¯¯2 4d2 ≤ 4¯¯ − x¯¯ = ||xn + xm − 2x||2 2 col che si ha ||xn − xm ||2 ≤ 2(||x − xn ||2 − d2 ) + 2(||x − xm ||2 − d2 ) e, dato che d = lim ||x − xn ||: ||xn − xm ||2 −→ 0 qed Osserviamo che la somma diretta nel teorema di Riesz risulta essere in realtà una somma di spazi di Hilbert: infatti se x = xM +xM ⊥ è ovvio che (xM , xM ⊥ ) = 0 e quindi che ||x||2 = ||xM ||2 + ||xM ⊥ ||2 (che M ∩ M ⊥ = {0} è ovvio). Se M è un sottospazio vettoriale chiuso di H, dato che per ogni S ⊂ H: S ⊂ S ⊥⊥ , si ha che M ⊂ M ⊥⊥ ; ma per il teorema di Riesz è M ⊕ M ⊥ = H = M ⊥ ⊕M ⊥⊥ e quindi M = M ⊥⊥ . Rileviamo esplicitamente che, come conseguenza di questo fatto, se S ⊂ H allora S ⊥⊥ = {sottospazio di H generato da S} 6.3 Funzionali lineari 6.3.1 Definizione Se X è uno spazio normato, un funzionale lineare è una mappa lineare f : X −→ C di spazi vettoriali. Se, come applicazione fra spazi topologici, f è continua, si dice funzionale lineare continuo e se, come applicazione fra spazi metrici, è limitata, si dice funzionale lineare limitato. Osserviamo che un funzionale lineare è limitato se, per definizione, esiste una costante L tale che ∀x ∈ X |f (x)| ≤ L||x|| Ovviamente questo implica la continuità nel punto 0 ∈ X e, dato che la somma è una applicazione continua e ogni punto si scrive come somma di se stesso e dello zero, in tutto lo spazio. Quindi 6.3.2 Proposizione Un funzionale lineare limitato è continuo. Ad esempio, in uno spazio di Hilbert H, per y ∈ H fissato, il funzionale f (x) := (y, x) è limitato; si tratta in un certo senso del caso più generale, come afferma il 188 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari 6.3.3 Teorema di Rappresentazione (Riesz) Se f : H −→ C è un funzionale lineare limitato su uno spazio di Hilbert, allora esiste un unico elemento xf ∈ H tale che ∀x ∈ H f (x) = (xf , x) Dimostrazione: f è continuo, essendo limitato, quindi l’insieme Nf := {x ∈ H | f (x) = 0} (il nucleo di f ) è un sottospazio vettoriale chiuso. Possiamo supporre che sia Nf 6= H (altrimenti il teorema è banalmente verificato con xf = 0) e quindi Nf⊥ 6= 0 Se x0 ∈Nf⊥ possiamo supporre, a meno di normalizzare dividendo per uno scalare, che sia f (x0 ) = 1. Ora sia g(x) := (x0 , x) Si tratta di un funzionale lineare limitato, tale che Nf ⊂ Ng (ovvio!) e quindi f deve essere proporzionale8 a g, dato che dodim Nf = 1 per ogni funzionale lineare (evidentemente l’insieme degli zeri di un funzionale è un iperpiano di H): g(x) = (x0 , x) = (x0 , x0 )f (x) cioè f (x) = (xf , x) se xf := x0 . (x0 ,x0 ) qed 6.3.4 Corollario Se f è un funzionale lineare, ||f || = ||xf ||. Come notevole applicazione di questo teorema diamo la dimostrazione di von Neumann9 del teorema di Radon–Nikodym. 6.3.5 Definizione Se µ e ν sono misure definite su uno spazio misurabile (X, A) si dice che ν è assolutamente continua rispetto a µ se per ogni A tale che µ(A) = 0 si ha che ν(A) = 0. Si scrive in questo caso ν ¿ µ. In caso di misure con segno, l’assoluta continuità si riferisce ai loro valori assoluti. Ad esempio, se µ è una misura su (X, A) e f una funzione misurabile non negativa su X, la misura Z ν(E) := f dµ E (che è finita se e solo se f è integrabile) è assolutamente continua rispetto a µ. Il teorema di Radon–Nikodym fornisce delle condizioni per le quali ogni misura assolutamente continua è di questo tipo. 8 9 Infatti x = x − f (x)x0 + f (x)x0 e x − f (x)x0 ∈ Nf ⊂ Ng , i.e. g(x) = f (x)g(x0 ). On Rings of Operators III Ann. Math. 41 (1950) pp. 124–130. 189 6.3. Funzionali lineari 6.3.6 Teorema (Radon–Nikodym) Se (X, A, µ) è uno spazio di misura σfinito e ν ¿ µ allora esiste una funzione non negativa misurabile su X tale che, per ogni E ∈ A: Z ν(E) = f dµ E La funzione f è unica µ-q.o. Dimostrazione: (von Neumann) Osserviamo che, assumendo il risultato vero nel caso il caso σ-finito: infatti decomponiamo S∞ S∞di misure finite, segue facilmente X = i=1 Ai con µAi < ∞ e X = i=1 Bi con νBi < ∞ ove possiamo assumere che le successioni {Ai } e {Bi } siano formate da insiemi a due a due disgiunti. Dato che [ X = (Ai ∩ Bj ) possiamo assumere che X = i,j S i Xi con µXi , νXi < ∞. Ora definiamo le σ-algebre An := {E ∩ Xn }E∈A sugli insiemi Xn e le restrizioni µn , νn si µ e ν agli spazi misurabili (Xn , An ). Supponendo vero il teorema nel caso finito, esistono le funzioni misurabili non negative {fn } tali che Z ∀F ∈ An ν(F ) = fn dµ F S Allora decomponendo un insieme E ∈ A come E = En ed En ∈ Bn definendo una funzione f in modo che f |Xn = fn si ottiene un funzione non negativa e misurabile (l’unione delle funzioni {fn }) tale che ∀E ∈ A ν(E) = ∞ Z X i=1 Z fn dµ = E f dµ E Basta quindi dimostrare il teorema nel caso di misure finite. Per prima cosa si osservi che, se µ e ν sono misure finite sullo spazio misurabile (X, A) tali che λ = µ + ν, allora il funzionale Z F (f ) := f dµ è lineare e continuo sullo spazio di Hilbert L2 (X, dλ). Infatti, se f ∈ L2 (X, dλ), per la disuguaglianza di Schwartz: ¯ Z ¯Z µZ ¶ 12 Z p ¯ ¯ 2 ¯ ¯ ≤ |f |dµ ≤ |f |dλ ≤ |f | dλ f dµ λ(X) ¯ ¯ X X X X 190 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari R e λ(X) < ∞. Quindi F (f ) := X f dµ è lineare e continuo su L2 (X, λ). 2 R Ora, per il teorema di Riesz, esiste una g ∈ L (X, λ) tale che F (f ) = (f, g) := f gdλ; inoltre 0 ≤ g ≤ 1: infatti, per f = χE (ove E sia misurabile con λE > 0) X Z Z µE = χE dµ = gdλ X per cui (avendosi 0 ≤ µ ≤ λ): 1 0≤ λE E Z gdλ = E µE ≤1 λE Dunque g ∈ [0, 1] λ-q.o. Possiamo allora scrivere Z νE = (1 − g)dλ E Osserviamo che, se ν ¿ µ allora λ ¿ µ e g 6= 0 µ-q.o. In questo caso Z λE = g −1 dµ E In effetti Z Z −1 g dµ = E Z −1 χE g dµ = X Z −1 χE g gdλ = X dλ = λE E Infine, se ν ¿ µ allora (1 − g)g −1 ∈ L1 (X, µ): infatti ¯ Z ¯Z ¯ ¯ ¯ (1 − g)g −1 dµ¯ ≤ |1 − g| |g|−1 dµ ¯ ¯ X X ¶ 12 µZ µZ ¶ 12 2 −2 |1 − g| dµ ≤ |g| dµ <∞ X X (si rammenti che g ∈ L2 (λ) e che µ ≤ λ, quindi g ∈ L2 (µ)). Si trova allora che Z Z Z Z −1 νE = (1 − g)dλ = λE − gdλ = g dµ − 1dµ E E E E Z = (1 − g)g −1 dµ E qed La funzione f si dice derivata di Radon–Nikodym e si denota f= dν dµ Il nome si giustifica esaminandone alcune proprietà elementari. 191 6.4. Operatori lineari 6.3.7 Proposizione Se µ, ν e λ sono misure σ-finite allora: • Se ν ¿ µ e f è misurabile non negativa: Z Z dν f dν = f dµ dµ • d(ν1 + ν2 ) dν1 dν2 = + dµ dµ dµ • Se ν ¿ µ ¿ λ allora dν dν dµ = dλ dµ dλ • Se ν ¿ µ e µ ¿ ν allora dν = dµ 6.4 µ dµ dν ¶−1 Operatori lineari I funzionali lineari sono un caso particolare degli operatori lineari: è noto dall’Algebra Lineare che un operatore lineare fra due spazi vettoriali qualsiasi è una applicazione A : X −→ Y tale che A(ax + by) = aA(x) + bA(y) Se gli spazi X e Y sono normati ha senso chiedersi se A è continuo o meno. Ovviamente, se A è continuo allora se xn −→ 0 anche A(xn ) −→ 0. 6.4.1 Definizione Un operatore lineare A : X −→ Y fra spazi normati è limitato se esiste un L ∈ R tale che ∀x ∈ X ||Ax||Y ≤ L||x||X 6.4.2 Teorema Le tre seguenti condizioni sono equivalenti per un operatore A : X −→ Y fra spazi normati: • A è continuo. • A è continuo nell’origine 0 ∈ X. • A è limitato. 192 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari Dimostrazione: (1) ⇒ (2) è ovvio. (3) ⇒ (1) segue dal fatto che ||A(x − x0 )|| ≤ L||x − x0 ||. (2) ⇒ (3): Per ipotesi, se x ∈ X è tale che ||x|| < δ allora ||Ax|| < 1 e quindi ||Aδ(||x|| + ε)−1 x|| < 1 i.e. ||Ax|| < δ −1 (||x|| + ε) ⇒ ||Ax|| < δ −1 ||x||. qed Lo spazio vettoriale10 B(X, Y ) := {A : X −→ Y | A operatore lineare limitato} è normato dalla ||A|| := inf{M | ∀x ∈ X ||Ax|| ≤ L||x||} che può scriversi come ||A|| : = sup{||Ax|| | ∀x ∈ X ||x|| ≤ 1} = sup{||Ax|| | ∀x ∈ X ||x|| = 1} = sup{||Ax|| | ∀x ∈ X ||x|| < 1} Naturalmente se A è limitato lo è pure aA e ||aA|| = |a| · ||A|| Inoltre ||(A + B)x|| ≤ ||Ax|| + ||Bx|| da cui (per ||x|| = 1) ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| e ||A|| = 0 ⇒ A = 0 6.4.3 Teorema Se Y è uno spazio di Banach, anche B(X, Y ) è uno spazio di Banach. Dimostrazione: Se {An } è una successione di Cauchy in B(X, Y ) allora per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n, m > nε allora ||An − Am || < ε 10 Ovviamente si pone (aA + bB)(x) = aAx + bBx. 193 6.4. Operatori lineari i.e. ∀x ∈ X ||An (x) − Am (x)|| < ε||x|| Ma allora {An x} è una successione di Cauchy in Y (per ogni x), che è uno spazio completo, quindi deve esistere un yx ∈ Y che ne sia il limite. Evidentemente la mappa x 7−→ yx è lineare e quindi possiamo scrivere y = Ax ove A è un operatore lineare A : X −→ Y . Mostriamo che A è continuo: per continuità della norma in uno spazio normato si ha che, per n > nε : ε||x|| ≥ lim ||An x − Am x|| = ||An x − |x|| = ||(An − A)x|| m Dunque An − A è limitato e ||An − A|| ≤ ε, i.e A = An − (An − A) ∈ B(X, Y ) e si ha ||An − A|| < ε, cioè limn An = A. qed Il seguente risultato spiega perché nel teorema precedente non interviene la completezza dello spazio X: e il suo completamento (rispetto 6.4.4 Teorema Se X è uno spazio normato e X e∈ alla distanza indotta dalla norma di X) allora per ogni A ∈ B(X, Y ) esiste A e Y ) tale che A| e X = A e ||A|| e = ||A||. In altri termini, la mappa B(X, e Y ) 7−→ B(X, Y ) B(X, e 7−→ A| eX A è un operatore lineare isometrico e suriettivo. e che sia lineare è ovvio. Dimostrazione: Consideriamo la mappa A 7−→ A: e = ||A||. Se x ∈ X e allora esiste una successione {xn } ⊂ X Dimostriamo che ||A|| che converge ad X e quindi e = lim ||Ax e n || = lim ||Axn || ≤ ||A|| ||x|| ||Ax|| e Cioè ||A|| e ≤ ||A||. (per continuità di || − ||, A). e estende A e quindi ||A|| ≤ ||A|| e (per definizione di estremo superiore!) Ma A e = ||A||. dunque ||A|| 194 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari e e per una Dimostriamo infine la suriettività: sia A ∈ B(X, Y ) allora per x ∈ X e la successione {Axx } successione di Cauchy {xn } in X che converga a x in X è di Cauchy in Y , che è completo, dunque converge ad un elemento yx ∈ Y . La mappa x 7−→ yx è manifestamente lineare e quindi possiamo scrivere y = Ax in modo che ||y|| ≤ ||A|| || lim xn || = ||A|| ||x|| e ∈ B(X, e Y ). Cioè A è la restrizione a X di un A qed Due casi particolari ma notevoli si hanno per Y = C ovvero per Y e X ambedue spazi di Banach. 6.4.5 Definizione Il duale topologico di uno spazio normato X è lo spazio di Banach X ∗ := B(X, C). La norma in X ∗ è definita come ||f || = sup {|f (x)|} ||x||=1 Osserviamo esplicitamente che, nel caso di spazi di Hilbert, il teorema di Riesz implica che H spazio di Hilbert ⇒ H∗ spazio di Hilbert e H∗ ∼ =H In particolare uno spazio di Hilbert è riflessivo, cioè è canonicamente isomorfo al suo biduale H∼ = H∗∗ In generale, lo spazio normato X ∗∗ = B(B(X, C), C) è sempre di Banach e l’immersione naturale (che ha luogo per X spazio vettoriale qualsiasi) X ,→ X ∗∗ x 7−→ (f 7−→ f (x)) è ovviamente una isometria. In vista del prossimo esempio enunciamo il11 11 Non dimostreremo questo teorema, perché in seguito ne daremo una versione più generale, dovuta a Markov, che caratterizza i funzionali lineari e continui su C(X) ove X è un qualsiasi spazio di Hausdorff compatto. 195 6.4. Operatori lineari 6.4.6 Teorema (Riesz) Un elemento F ∈ C([0, 1])∗ è sempre della forma Z 1 F (f ) = f (t)dg(t) 0 ove g è una funzione a variazione limitata (integrale di Stieltjes). 6.4.7 Esempio Lo spazio di Banach C([0, 1]) delle funzioni continue a valori reali sull’intervallo compatto [0,1] non è riflessivo. Infatti, supponiamo per assurdo che lo sia: allora ogni funzionale lineare definito sullo spazio V delle funzioni a variazione limitata deve essere della forma ∀F ∈ C[0, 1]∗ ϕf (F ) = F (f ) ove f ∈ C[0, 1]. Ma usando il teorema di Riesz otteniamo Z 1 ϕf (F ) = F (f ) = f (t)dg(t) 0 Consideriamo allora ψ(F ) := g(t0 + 0) − g(t0 − 0) Si tratta di un funzionale additivo e |ψ(F )| = |g(t0 + 0) − g(t0 − 0)| ≤ V01 (g) Quindi ψ(F ) è limitato e di norma ≥ 1. Evidentemente non è il funzionale nullo: basti calcolarlo sulla ( 0 se 0 ≤ t ≤ t0 h(t) = 1 se t0 < t ≤ 1 Di nuovo per il teorema di Riesz, deve esistere una f0 ∈ C[0, 1] tale che Z 1 ψ(f ) = ϕf0 (f ) = f0 (t)dg(t) 0 Se ora consideriamo la funzione Z F0 (t) = t f0 (τ )dτ 0 dato che è continua si ha ϕf0 (F0 ) = 0. Ma da ψ(F ) 6= 0 segue f0 6= 0 e Z 1 Z 1 Φf0 (F0 ) = f0 (t)df0 (t) = f02 (t)dt > 0 0 0 Questo assurdo dimostra che non ogni funzionale su C[0, 1]∗ è della forma ΦF e quindi che C[0, 1] non è riflessivo. Esempi di spazi riflessivi sono gli Lp (X, µ) per 1 < p < ∞. Di nuovo il risultato fondamentale è dovuto a Riesz: 196 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari 6.4.8 Teorema (Riesz) Se F è un funzionale lineare continuo su Lp (X, µ) con 1 ≤ p < ∞ e µ misura σ-finita, allora esiste un unico g ∈ Lq (X, µ) con 1p + 1q = 1 tale che Z F (f ) = f gdµ X e tale che ||F || = ||g||q . Dimostrazione: Consideriamo prima il caso di misure finite. Allora ogni funzione misurabile limitata sta in Lp e possiamo definire una funzione definita sui sottoinsiemi misurabili di X come νE := F (χE ) Se E è unione numerabile P degli insiemi misurabili e disgiunti {En }, poniamo αn = sgn F (χE ) e f = αn χEn . Allora, dato che F è limitato: ∞ X |νEn | = F (f ) < ∞ n=1 e ∞ X νEn = F (χE ) = νE n=1 Quindi ν è una misura con segno che, per definizione, è assolutamente continua rispetto a µ: allora per il teorema di Radon–Nikodym, esiste una funzione misurabile g tale che, per ogni insieme misurabile, E si abbia Z νE = gdµ E Ma ν è finita e quindi g integrabile. Ora dimostriamo che g soddisfa la relazione dell’enunciato. Prima verifichiamolo sulle funzioni semplici: se ϕ è semplice, per linearità si ha Z F (ϕ) = ϕgdµ X Ma il |F (ϕ)| ≤ ||F || ||ϕ||p e, se {ψn } è una successione crescente di funzioni 1/p semplici non negative che tende a |g|q , per ϕn = ψn sgn g si ha Z Z ψn ≤ ϕn g ≤ ||F || ||ϕn ||p ¶1/p µZ ≤ ||F || ψn 197 6.4. Operatori lineari i.e. R ψn ≤ ||F ||q e, per il teorema della convergenza monotona: Z |g|q dµ ≤ ||F ||q e quindi g ∈ Lq . Ora se G è un funzionale lineare limitato che si annulla sul sottospazio delle funzioni semplici, per densità di queste in LP , deve aversi F = G, i.e. per ogni f ∈ Lp : Z F (f ) = f gdµ X Che sia ||F || = ||G|| = ||g||q è ovvio. Passiamo ora al caso σ-finito: sia {Xn } una successione crescente di spazi misurabili di misura finita la cui unione sia X. Per il risultato nel caso di misura finita, per ogni n esiste una funzione gn ∈ Lq che si annulla fuori da Xn e tale che Z p ∀f ∈ L (Xn ) F (f ) = f gn dµ X Inoltre, ||gn ||q ≤ ||F || e dato che ogni gn con questa proprietà è unica su Xn (a meno di insiemi di misura nulla) possiamo assumere che su Xn sia gn = gn+1 = ... (essendo Xn ⊂ Xn+1 ). Cosı̀ possiamo porre g(x) = gn (x) se x ∈ Xn ed ottenere una funzione misurabile ben definita tale che {|gn } tenda a |g|. Quindi per il teorema ella convergenza monotona: Z Z q |g| dµ = lim |gn |q dµ ≤ ||F ||q i.e. g ∈ Lq . Infine, da f ∈ Lp e fn è definita essere uguale a f su Xn e zero fuori da Xn allora fn −→ f in Lp , e dato che |f g| è integrabile e |fn g| ≤ |f g| per il teorema della convergenza dominata: Z Z Z f gdµ = lim fn gdµ = lim fn gn dµ = lim F (fn ) = F (f ) qed Questo dimostra la riflessività di L (X, µ) per 1 < p < ∞: nel caso p = 1 possiamo dire che (L1 (x, µ)∗ = L∞ (X, µ) ma non abbiamo la riflessività: lo dimostreremo nel prossimo paragrafo dopo aver discusso il teorema di Hahn– Banach. Osserviamo inoltre che la riflessività degli Lp implica che siano spazi di Banach, dato che li presenta come duali di spazi normati. p 198 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari Nei casi generali, sui funzionali lineari, partendo solo dalla definizione, sappiamo molto poco: in realtà non è chiara nemmeno la loro esistenza, in uno spazio normato qualsiasi. Un principio fondamentale che è indispensabile al loro studio è il teorema di Hahn–Banach, sul quale faremo una digressione nel prossimo paragrafo. 6.5 I tre principi di Banach Trattando con spazi di dimensione infinita, seppure normati, molti fatti che, in dimensione finita sono evidenti o facilmente verificabili usando le coordinate, risultano ardui da dimostrare e talvolta cessano di essere validi. Per procedere nella teoria, classicamente si enunciano tre principi, dovuti a S. Banach, che costituiscono gli strumenti più indispensabili per uno studio più approfondito degli spazi di Banach. Il primo di questi principi ha validità estremamente generale, e per enunciarlo ci occorre una definizione, peraltro interessante di per sé. 6.5.1 Definizione Una seminorma su uno spazio vettoriale reale X è una funzione p : X −→ R ∪ {∞} tale che • ∀x, y ∈ X p(x + y) ≤ p(x) + p(y). • ∀x ∈ X ∀a ≥ 0 p(ax) = ap(x). Osserviamo che la (2) implica che p(0) = 0. Ad esempio, ogni norma || − || su uno spazio vettoriale è una seminorma. Precisamente, una seminorma p è una norma se e solo se per ogni x ∈ X \ (0) p(x) è un numero reale non nullo. 6.5.2 Esempio Se B è un sottoinsieme di X, il suo funzionale di Minkowski è la seminorma pB (x) := inf a a>0 x∈aB (se x ∈ / aB poniamo pB (x) := ∞). 6.5.3 Lemma Se B è un insieme convesso ed equilibrato12 , allora pB è una seminorma, e viceversa, se p è una seminorma, l’insieme Bp := {x∈X | p(x) ≤ 1} è convesso ed equilibrato. 12 Cioè per ogni a ∈ R con |a| ≤ 1 si ha che se x ∈ U anche ax ∈ U . 199 6.5. I tre principi di Banach Dimostrazione: La (2) nella definizione di seminorma è ovviamente verificata. Resta solo da dimostrare la (1): per questo useremo la convessità. Siano x, y ∈ X; se pB (x) o pB (y) sono ∞ non c’è nulla da dimostrare. Se pB (x) = 0 allora per ogni a > 1 ax ∈ B e quindi se y ∈ B allora y ∀ε ∈ (0, 1) (1 − ε)y + x(1 − ε)y + ε ∈ B ε e dunque la pB (y) < 1 implica che pB ((1 − ε)y + x) ≤ 1 e quindi la (1). Resta solo il caso in cui sia pB (x) che pB (y) sono diversi da zero. Allora prendiamo gli elementi di X: xε := 1−ε x pB (x) e yε := 1−ε pB (y) Per definizione di pb si ha che xε , yε ∈ B se ε > 0. Ma B è convesso e quindi ∀t ∈ [0, 1] txε + (1 − t)yε ∈ B Per t = pB (x) pB (x)+pB (y) si ha 1−ε (x + y) ∈ B pB (x) + pb (y) Quindi pB (x + y) ≤ pB (x) + pB (y) 1−ε per ε > 0, da cui segue la (1). Cosı̀ abbiamo dimostrato la prima asserzione; il viceversa è ovvio. qed 6.5.4 Teorema (Hahn–Banach) Se p è una seminorma su uno spazio vettoriale reale X e f un funzionale lineare definito su un sottospazio S di X tale che ∀s ∈ S f (s) ≤ p(s) allora esiste un funzionale lineare F : X −→ R tale che • ∀x ∈ X • ∀s ∈ S F (x) ≤ p(x). F (s) = f (s). 200 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari Dimostrazione: Consideriamo l’insieme F dei funzionali lineari g definiti su un sottospazio di X e tali che, per ogni punto x ove g sia definito, si abbia g(x) ≤ p(x). L’insieme F è parzialmente ordinato dalla relazione g < g 0 ⇐⇒ g 0 estende g i.e. se e solo se il dominio di definizione di g 0 contiene quello di g e sul dominio di definizione di g si abbia g = g 0 . Osserviamo intanto che F 6= ∅ dato che certamente f ∈ F. Inoltre l’insieme ordinato (F, <) soddisfa alle ipotesi del lemma di Zorn, S dato che se {fα } è un sottoinsieme totalmente ordinato di F, la funzione α fα (che ristretta al dominio si fα coincide per definizione con fα per ogni α) è evidentemente un confine superiore per l’insieme {fα }. Quindi l’insieme F ha un massimale F . Sia L il sottoinsieme di X sul quale F è definito. Per dimostrare il teorema basta dunque far vedere che F è definito per su tutto X, i.e. che L = X. Supponiamo allora che esista un x ∈ X \ L. Dimostreremo allora che, sullo spazio vettoriale L ⊕ xR, è possibile costruire una estensione del funzionale F contraddicendone cosı̀ la massimalità. Una tale estensione F 0 di F dovrebbe soddisfare l’equazione F 0 (l + ax) := F (l) + aF (x) Dunque per determinarlo basta dire quanto vale sull’elemento x. Per l, l0 ∈ L abbiamo: F (l) + F (l0 ) = f (l + l0 ) ≤ p(l + l0 ) ≤ p(l − x) + p(x − l0 ) Dunque −p(l − x) + F (l) ≤ p(l0 + x) − F (l0 ) sicché sup (−p(l − x) + F (l)) ≤ inf (p(l + x) − F (l)) l∈L l∈L Definiamo allora F 0 (x) = a ove a è un numero reale tale che sup (−p(l − x) + F (l)) ≤ a ≤ inf (p(l + x) − F (l)) l∈L l∈L Dobbiamo a questo punto solo dimostrare che, se b ∈ R F 0 (l + bx) = ba + F (l) ≤ p(l + bx) Ma, per b > 0: ab + F (l) = b(a + F (l/b)) ≤ b(((p(l/b + x) − F (l/b)) + F (l/b) = bp(l/b + x) = p(l + bx) 201 6.5. I tre principi di Banach mentre per b = −c < 0: −ac + F (l) = c(−a + F (l/c)) ≤ c((p(l/c − x) − F (l/c)) + F (l/c)) = cp(l/c − x) = p(l − cx) e quindi F 0 (l + ax) ≤ p(l + ax), contro la massimalità di F . qed Questo risultato è estremamente potente: ad esempio ci dice che ogni spazio normato ha “abbastanza funzionali lineari per separare i suoi punti”: 6.5.5 Corollario Se x, y ∈ X sono punti distinti allora esiste un funzionale f tale che f (x) 6= f (y). Dimostrazione: Infatti, dato che x 6= y, esiste un intorno U dello zero in X che non contiene x − y. Possiamo supporre che questo intorno sia convesso ed equilibrato e quindi, per il lemma, il suo funzionale di Minkowski pU è una seminorma. Ora applichiamo il teorema di Hahn–Banach al funzionale f definito sul sottospazio (x − y)R come f (x − y) = 1. Allora esiste un funzionale F su X tale che f (x) − f (y) = 1 e |f (x)| ≤ pU (x). qed 6.5.6 Corollario Se x ∈ X spazio normato allora esiste un funzionale lineare f su X tale che f (x) = ||f || ||x|| Dimostrazione: Definiamo su xR il funzionale f (cx) = c||x||. Per il teorema di Hahn–Banach (applicato alla seminorma p = || − ||) esiste una estensione di f a X in modo che f (y) ≤ ||y||. Ma si ha pure f (−y) ≤ ||y|| i.e. ||f || ≤ 1. Inoltre f (x) = ||x|| ≤ ||f || ||x|| e quindi ||f || = 1 e f (x) = ||f || ||x||. qed 6.5.7 Esempio Possiamo ora dimostrare quanto avevamo promesso in precedenza parlando della dualità negli spazi Lp [0, 1], e cioè che il duale di L∞ [0, 1] non è isomorfo a L1 [0, 1]; in particolare non possiamo rappresentare, come avviene nel caso 1 < p < ∞, un funzionale lineare su L∞ per mezzo di elementi di L1 : l’idea è che le funzioni continue C[0, 1] sono un sottospazio chiuso di L∞ [0, 1] e che se f è il funzionale lineare su C[0, 1] che al punto x ∈ C[0, 1] assegna il numero x(0), questo funzionale ha norma 1 e possiamo estenderlo ad un funzionale limitato F su tutto L∞ [0, 1]. Ma non esiste alcun y ∈ L1 [0, 1] tale che Z 1 ∀x ∈ C[0, 1] F (x) = xydt 0 202 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari Infatti se {xn } è una successione in C[0, 1] di funzioni limitate da 1 e tali che xn (o) = 1 e per ogni t 6= 0 xn (t) −→ 0, allora per ogni y ∈ L1 [0, 1] si ha che Z 1 xn y −→ 0 0 mentre F (xn ) −→ 1. Tornando al concetto generale di riflessività, è semplice ora dimostrare come l’immersione j : X −→ X ∗∗ che all’elemento x associa il funzionale su X ∗ : f 7−→ f (x) sia in realtà una isometria: ||j(x)|| = sup |j(x)(f )| ≥ ||x|| ≥ ||j(x)|| ||f ||=1 Osserviamo, a proposito del concetti di riflessività di uno spazio normato X, che X può essere isometrico con X ∗∗ senza essere tuttavia riflessivo, cioè senza che la mappa canonica j : X −→ X ∗∗ sia un isomorfismo isometrico. Concludiamo la discussione del teorema di Hahn–Banach osservando che ne esiste una versione per spazi vettoriali complessi, che poggia su quella reale: in questo caso una seminorma è una funzione p : X −→ R tale che • ∀x, y ∈ X p(x + y) ≤ p(x) + p(y). • ∀x ∈ X ∀a ∈ C p(ax) = |a|p(x). 6.5.8 Teorema (Hahn–Banach complesso) Se p è una seminorma su uno spazio vettoriale complesso X e f un funzionale lineare definito su un sottospazio S di X tale che ∀s ∈ S |f (s)| ≤ p(s) allora esiste un funzionale lineare F : X −→ C tale che • ∀x ∈ X |F (x)| ≤ p(x). • ∀s ∈ S F (s) = f (s). Dimostrazione: Vogliamo usare il teorema di Hahn–Banach reale, e possiamo farlo osservando che uno spazio vettoriale complesso è anche uno spazio vettoriale reale, nel quale semplicemente si ignora la moltiplicazione per scalari complessi. Dato che anche C è uno spazio vettoriale reale, il funzionale F : X −→ C può vedersi come una applicazione lineare fra spazi vettoriali reali. Osserviamo che, viceversa, una applicazione R-lineare F : X −→ C è anche un funzionale lineare (complesso) se e solo se per ogni x ∈ X F (ix) = iF (x). 203 6.5. I tre principi di Banach Ora, il funzionale f definito su S come nelle ipotesi del teorema, dà luogo a due funzionali reali g e h su S, semplicemente ponendo f (x) = g(x) + ih(x) Ma allora, per ogni s ∈ S, g(s) ≤ |f (s)| ≤ p(s) e cosı̀ possiamo estendere g ad un funzionale G : X −→ R tale che G(x) ≤ p(x). Poniamo F (x) := G(x) − iG(ix) Evidentemente F (s) = f (s) per ogni s ∈ S, e dato che F (ix) = G(ix) − iG(i2 x) = i(G(x) − iG(ix)) = iF (x) F è un funzionale lineare complesso su X. Infine scegliamo, per ogni x ∈ X, un numero complesso zx tale che |zx | = 1 e zx F (x) = |F (x). Allora |F (x)| = zx F (x) = F (zx x) = G(zx x) ≤ p(zx x) = p(x) il che dimostra completamente il teorema. qed Il secondo principio che vogliamo esporre vale negli spazi di Banach, ed è il cosiddetto teorema del grafo chiuso; per dimostrarlo avremo bisogno di qualche preliminare. Intanto ricordiamo che, in uno spazio normato, la palla di centro x ∈ X e raggio r ∈ R è il sottospazio B(r, x) = Br (x) := {y ∈ X | ||y − x|| < r} La palla B1 (0) si dice palla unitaria di X. 6.5.9 Lemma Se A∈B(X, Y ) è un operatore lineare continuo e suriettivo fra gli spazi di Banach X e Y , allora l’immagine di A della palla unitaria di X contiene una palla di centro l’origine di Y . Dimostrazione: Siano 1 } 2n S Dato che A è suriettivo, e che, come spazio metrico, X = k≥1 kS1 , si ha che Sn := {x | ||x|| < Y = [ k≥1 kA(S1 ) 204 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari Ora usiamo il fatto che lo spazio completo Y non è di prima categoria, e quindi che A(S1 ) non può essere mai denso, sicché A(S1 ) deve contenere qualche palla, ad esempio la Bη (z) = {y | ||y − z|| < η} Quindi A(S1 ) − z deve contenere la palla Bη (0). Ma A(S1 ) − z ⊂ A(S1 ) − A(S1 ) ⊂ 2A(S1 ) = A(S0 ) e quindi A(S0 ) contiene una palla di centro l’origine e raggio η. Ma A è lineare, sicché A(Sn ) contiene una palla di centro 0 e raggio η/2n . Ora dimostriamo che A(S0 ) contiene una palla di centro l’origine e raggio η/2: sia y ∈ Y con ||y|| < η/2. Dato che y ∈ A(S1 ) possiamo scegliere x1 ∈ S1 tale che η ||y − A(x1 )|| < 4 e, proseguendo, un x2 ∈ S2 tale che ||y − A(x1 ) − A(x2 )|| < η 8 è cosı̀ via (usando l’assioma di scelta) per ogni n ∈ N; il generico xn ∈ Sn è tale che n X ¯¯ ¯¯ η ¯¯y − A(xk )¯¯ < n+1 2 k=1 P Ma ||xn || < 1/2n e quindi la serie k xk converge assolutamente13 ad un elemento x ∈ S0 . Inoltre Ã∞ ! ∞ X X Ax = A A(xk ) = y xk = k=1 k=1 da cui y ∈ A(S0 ) e quindi B η2 (0) ⊂ A(S0 ). qed 6.5.10 Teorema della mappa aperta (Banach) Un operatore lineare continuo e suriettivo A : X −→ Y fra spazi di Banach è necessariamente aperto, come mappa fra spazi topologici. In particolare, se A è biunivoco allora è un isomorfismo di spazi di Banach. 13 Evidentemente in uno spazio normato la convergenza di una serie si definisce in termini della convergenza della successione delle ridotte. 205 6.5. I tre principi di Banach Dimostrazione: Sia S un aperto si X e y ∈ A(S). Allora esiste x ∈ S tale che y = Ax per suriettività di A, e, dato che S è aperto, deve contenere una palla di centro x. Ma allora, per il lemma, A(S − x) deve contenere una palla di centro l’origine, i.e. A(S) deve contenere una palla di centro y. Cosı̀, per ogni y ∈ A(S) abbiamo esibito una palla di centro y completamente contenuta in A(S), che risulta dunque essere aperto. Ne segue che la controimmagine per tramite dell’operatore A di un aperto di Y è un aperto di X. qed 6.5.11 Corollario Se X è uno spazio vettoriale e || − ||1 , || − ||2 sono norme per le quali X è di Banach, e se esiste una costante C tale che ∀x ∈ X ||x||1 ≤ C||x||2 allora le norme sono equivalenti, i.e. esiste un’altra costante C 0 tale che ∀x ∈ X ||x||2 ≤ C 0 ||x||1 Dimostrazione: La mappa identità fra gli spazi di Banach (X, ||−||1 ) e (X, ||− ||2 ) è lineare, continua e biunivoca, quindi un isomorfismo, i.e. la sua inversa pure è continua. qed 6.5.12 Teorema del grafo chiuso (Banach) Supponiamo che A : X −→ Y sia un operatore lineare fra gli spazi di Banach X e Y , che goda della seguente proprietà: se per ogni successione {xn } ⊂ X convergente ad un x ∈ X e la successione {Axn } ⊂ Y converge ad un punto y ∈ Y allora y = Ax. Allora A è continuo. Dimostrazione: Definiamo in X una norma ||x||1 := ||x|| + ||Ax|| Dimostriamo che lo spazio X è completo anche per la norma || − ||1 : se ||xn − xm ||1 −→ 0 allora ||xn − xm || −→ 0 e ||Axn − Axm || −→ 0; dunque (X e Y sono completi) esistono x ∈ X e y ∈ Y tali che ||xn − x|| −→ 0 e ||Axn − y|| −→ 0. Ma l’operatore A soddisfa la proprietà enunciata nell’ipotesi del teorema, sicché y = Ax, il che vuol dire ||xn − x||2 −→ 0. Quindi X è completo per la norma || − ||2 . Ora possiamo applicare il corollario del teorema della mappa aperta alle norme || − || e || − ||1 ottenendone l’equivalenza: ∃C ||x|| + ||Ax|| ≤ C||x|| 206 Capitolo 6. Spazi normati ed operatori lineari Dunque A è limitato. qed Se A : X −→ Y è una applicazione, il suo grafo è l’insieme {(x, Ax)}x∈X ⊂ X × Y . Allora l’ipotesi del teorema precedente equivale a dire che il grafo di A è chiuso in X × Y . Il terzo pilastro sul quale poggia la teoria degli spazi di Banach è il principio di uniforme limitatezza, che segue dalla teoria della categoria negli spazi metrici. Per dimostrarlo utilizziamo un principio analogo di natura puramente topologica: 6.5.13 Lemma Se F è una famiglia di funzioni continue reali definite su uno spazio metrico X, tale che, per ogni x ∈ X esista una costante Mx in modo che ∀f ∈ F |f (x)| ≤ Mx allora esistono un aperto non vuoto S ⊂ X ed una costante M tali che ∀f ∈ F∀s ∈ S |f (s)| ≤ M Dimostrazione: Sia, per ogni m ∈ N: Efm := {x | |f (x)| ≤ m} e poniamo E m := \ Efm f ∈F Per continuità di f ciascun Efm è chiuso e dunque anche E m lo è. Per conseguenza esiste un m ∈ N tale che x ∈ E m , i.e. X= [ Em m∈N Ma X è uno spazio metrico completo, e quindi, per il teorema di Baire, deve esistere un m per il quale E m non sia mai denso. Dato che questo E m è chiuso, deve contenere qualche palla S, e, per ogni s ∈ S deve aversi ∀f ∈ F |f (s)| ≤ m qed 207 6.5. I tre principi di Banach 6.5.14 Teorema di Uniforme Limitatezza (Banach–Steinhaus) Se X è uno spazio di Banach, Y uno spazio normato e F ⊂ B(X, Y ) una famiglia di operatori lineari limitati da X in Y tale che, per ogni x ∈ X esista una costante Mx tale che ∀A ∈ F ||Ax|| ≤ Mx Allora gli operatori di F sono uniformemente limitati, cioè esiste una costante M tale che ∀f ∈ F ||A|| ≤ M Dimostrazione: Per ogni A ∈ F, la funzione f (x) := ||Ax|| è continua su X e dato che la famiglia di queste funzioni (al variare di A ∈ F) soddisfa le ipotesi del teorema precedente e X è completo, ne segue che esistono un aperto S ⊂ X ed una costante M tali che ∀s ∈ S ||As|| ≤ M Sia ora y ∈ S. Dato che S è aperto, esiste una palla Bδ (y) contenuta in S; se ||z|| ≤ δ allora Az = A(z + y) − Ay con z + y ∈ Bδ (y) ⊂ S e quindi ||Az|| ≤ ||A(z + y)|| + ||Ay|| ≤ M + My in modo che ∀f ∈ F ||A|| ≤ M + My δ qed Capitolo 7 SPAZI DI HILBERT E TEORIA DI FOURIER In questo capitolo ci concentriamo sugli spazi di Hilbert: per questi spazi si possono generalizzare molte nozioni geometriche valide negli spazi euclidei, ad esempio i procedimenti di ortogonalizzazione, che forniscono i sistemi ortonormali completi: questi ultimi si inquadrano nella teoria di Fourier, della quale ci occuperemo in fondo al capitolo, e che costituisce il primo e principale esempio di applicazione degli spazi di Hilbert 7.1 Basi ortonormali negli spazi di Hilbert Uno spazio di Hilbert, come ogni spazio vettoriale, possiede delle basi, che tuttavia si dimostrano inadatte a descriverne la geometria, dato che “ignorano” l’esistenza del prodotto hilbertiano; il concetto “giusto” di base per uno spazio di Hilbert è quello di sistema ortonormale completo. 7.1.1 Definizione Un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert H è una famiglia {eα }α∈A di elementi di H di norma 1 (∀α ∈ A ||eα || = 1) tali che ∀α, β ∈ A (eα , eβ ) = δαβ A priori un sistema ortonormale può essere del tutto insufficiente a descrivere la totalità degli elementi di uno spazio di Hilbert; per questo diamo la 7.1.2 Definizione UnPsistema ortonormale {eα }α∈A si dice base ortonormale (b.o.) se il sottospazio α eα C (generato dalla famiglia {eα }α∈A ) è denso in H. 7.1.3 Proposizione Se {eα }α∈A è un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert H allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: 208 7.1. Basi ortonormali negli spazi di Hilbert 209 • {eα }α∈A è una base ortonormale. • Se ∀x ∈ H ∀α ∈ A (eα , x) = 0 allora x = 0. P • ∀x ∈ H ||x||2 = α |(eα , x)|2 (identità di Parceval). P • ∀x ∈ H x = α (eα , x)eα . Dimostrazione: (1) ⇐⇒ (2) è ovvio per definizione di densità. (1) ⇐⇒ (4) Segue dal fatto che M = M ⊥⊥ ; infatti se B ⊂ A è finito e N è il sottospazio generato da {eβ }β∈B , che è chiuso, allora per x ∈ H: X xN = (eβ , x)eβ β∈B e, se M0 è il sottospazio (non chiuso!) generato da {eα }α∈A , si ha che, per x ∈ M0 : X x= (eα , x)eα α∈A e ||x||2 = X |(eα , x)|2 α∈A (ove le somme sono estese ad un numero finito di termini non nulli). Consideriamo ora il sottospazio N0 denso in l2 (A) definito come N0 := {f : A −→ C | Card{α ∈ A | f (α) 6= 0} < ∞} L’applicazione Φ : N0 −→ M0 X f 7−→ f (α)eα α∈A è una isometria lineare e suriettiva. Ma sia L2 (A) che H sono completi e quindi Φ si estende per continuità ad una funzione e : l2 (A) −→ H Φ lineare isometrica e suriettiva, i.e. un isomorfismo di spazi di Hilbert. Quindi, P per ogni x ∈ M esiste f ∈ l2 (A) tale che x = α∈A f (α)eα e quindi esiste α0 ∈ A tale che f (α0 ) = (eα0 , x). Quindi (1) ⇐⇒ (4). Inoltre X ||xM ⊥ ||2 = ||x||2 − ||xM ||2 = ||x||2 − |(x, eα )|2 α∈A 210 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier da cui, per ogni x ∈ H: X |(x, eα )|2 ≤ ||x||2 α∈A e quindi l’equivalenza (1) ⇐⇒ (3). qed Notiamo due conseguenze della dimostrazione: 7.1.4 Corollario Se {eα }α∈A è una base ortonormale in uno spazio di Hilbert H allora H ∼ = l2 (A). Cioè spazi di Hilbert che ammettano basi della stessa cardinalità sono isomorfi 2 a l (A) e quindi fra loro. 7.1.5 Corollario (Identità di Bessel) X |(x, eα )|2 ≤ ||x||2 α∈A 7.1.6 Teorema Uno spazio di Hilbert ha sempre una base ortonormale. Dimostrazione: La famiglia S formata dai sistemi ortonormali in H è un insieme parzialmente ordinato dall’inclusione (e non vuoto, visto che un qualsiasi vettore di norma 1 forma da solo un sistema ortonormale). Se Σ è una catena in S (i.e. per ogni S, S 0 ∈ Σ si ha S ⊂ S 0 oppure S 0 ⊂ S) allora l’insieme unione di Σ: [ S S S∈Σ è un sistema ortonormale: se x, y ∈ S∈Σ S allora esistono S, S 0 ∈Σ tali che x∈S e y ∈ S 0 e quindi, dato che Σ è una catena, si ha x, y ∈ S ⊂ S 0 oppure x, y ∈ S 0 ⊂ S: in ogni caso x, y appartengono ad un medesimo sistema ortonormale (che sia S o S 0 ) e quindi devonoSverificare la (x, y) = δx,y . Inoltre l’insieme S∈Σ S è evidentemente un confine superiore della famiglia Σ rispetto all’ordine ⊂ e quindi, per il lemma di Zorn, l’insieme S dei sistemi ortonormali ammette un elemento massimale: per definizione di massimalità (e per la (2) della proposizione precedente) questo massimale deve essere una base ortonormale; infatti la massimalità di una base è ovvia, mentre un sistema ortonormale massimale S che non sia una base è tale che S ⊥ 6= 0 e quindi deve esistere e ∈ S ⊥ con ||e|| = 1 in modo che S ∪ {e} sia un sistema ortonormale, contro la massimalità di S. qed 7.1. Basi ortonormali negli spazi di Hilbert 211 7.1.7 Definizione La cardinalità di una base ortonormale in uno spazio di Hilbert si dice dimensione hilbertiana dello spazio. Evidentemente se la dimensione di H come spazio vettoriale è finita allora anche la dimensione hilbertiana lo è e questi due numeri coincidono. In generale questo non sarà vero: molti spazi di funzioni, ad esempio L2 (R), avranno dimensione hilbertiana numerabile (lo vedremo fra breve rammentando che si tratta di uno spazio separabile): tuttavia L2 (R), come spazio vettoriale, ha dimensione continua: i suoi punti sono parametrizzati dagli elementi di R. Nel caso generale non è ovvio nemmeno che tutte le basi ortonormali abbiano la stessa cardinalità. 7.1.8 Teorema Tutte le basi ortonormali in uno spazio di Hilbert hanno la stessa cardinalità, che è poi pari alla dimensione hilbertiana. Dimostrazione: Siano {eα }α∈A e {fβ }β∈B basi ortonormali di H, allora X ∀α ∈ A eα = (fβ , eα )fβ β∈B Ma l’insieme Gα := {β ∈ B | (fβ , eα ) 6= 0} S è numerabile, quindi l’unione B = α∈A Gα è una unione di insiemi numerabili indicizzata da A: Card(B) ≤ Card(A) · ℵ0 = Card(A) (stiamo supponendo Card(A) infinita, i.e. ≥ ℵ0 ). Viceversa, scrivendo gli elementi fβ in termini della base {eα }α∈A otteniamo Card(A) ≤ Card(B) e quindi, per il teorema di Cantor–Bernstein: Card(A) = Card(B). qed 7.1.9 Teorema Gli spazi di Hilbert di dimensione hilbertiana numerabile (o finita) sono tutti e soli quelli separabili1 . Dimostrazione: Il caso di dimensione finita segue ovviamente da quello di dimensione numerabile. 1 Cioè che contengono una successione densa. 212 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier Sia la dimensione hilbertiana di H numerabile: allora esiste una base ortonormale {en }n∈N ed, evidentemente, il sottospazio X (Q + iQ)en P n∈N è denso in n∈N Cen , la cui chiusura è H. Sia viceversa lo spazio H è separabile; dimostreremo che possiede una base ortonormale indicizzata da N. Sia {xn }n∈N una successione di vettori totale2 , che deve esistere per l’ipotesi di separabilità: usando un procedimento alla Gram– Schmidt la renderemo ortonormale in modo da avere la base voluta. Basta per questo osservare che il sottospazio Mn generato dall’insieme finito di vettori {x1 , ..., xn } è chiuso (perché ha dimensione finita e quindi è completo) e ovviamente non contiene xn+1 . Decomponiamo allora xn+1 secondo la somma diretta Mn + Mn⊥ e chiamiamo yn+1 la componente di xn+1 in Mn⊥ . Ponendo per ogni n ∈ N: yn+1 en := ||yn+1 || otteniamo ovviamente un sistema ortonormale in H qed La seguente definizione è di fondamentale importanza: 7.1.10 Definizione Un operatore unitario fra due spazi di Hilbert H1 e H2 è un operatore U : H1 −→ H2 lineare isometrico tale che U ∗ = U −1 Un operatore unitario è una realizzazione concreta di un isomorfismo fra spazi di Hilbert: in particolare 7.1.11 Teorema Se due spazi di Hilbert H1 e H2 hanno la stessa dimensione hilbertiana allora esiste un operatore unitario U : H1 −→ H2 . Dimostrazione: Possiamo per ipotesi scegliere due basi ortonormali {eα }α∈A e {fα }α∈A in H1 e H2 indicizzate dallo stesso insieme A. Quindi esistono gli isomorfismi di spazi di Hilbert Φ1 : H1 −→ l2 (A) e Φ2 : H2 −→ l2 (A) (per il corollario 7.1.4) e componendo l’uno con l’inverso dell’altro otteniamo l’operatore unitario voluto. qed 2 Cioè gli {xn } sono linearmente indipendenti ed il sottospazio vettoriale che generano è denso. 7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 213 Ad esempio, se H = l2 (N), e se consideriamo come insieme di indici i numeri naturali pari 2N, allora esiste un operatore unitario in B(H) isometrico su un sottospazio proprio: U en := e2n tale che ||U x||2 = ||x||2 e quindi (U x, U x) = (x, U ∗ U x) = (x, x) i.e. U ∗ U = I. Tuttavia U non è unitario, dato che non è suriettivo. Osserviamo inoltre che se A = {1, 2, 3, 4, ...} = N \ {0} allora esiste un operatore S : H −→ L2 (A) en 7−→ en+1 tale che im(S)⊥ = Ce0 e che si dice shift unilatero. Si tratta di un operatore isometrico. 7.2 Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert Consideriamo uno spazio di Hilbert H ed un suo sottospazio vettoriale chiuso M . Per il teorema di Riesz ogni elemento x∈H si decompone come x = xM +xM ⊥ . Quindi la mappa x 7−→ xM è lineare3 e suriettiva. Denotiamola EM . 2 Osserviamo che EM = EM , cioè che l’operatore E : H −→ H è idempotente: 2 infatti EM (x) = EM (xM ) = xM . Questo è un fatto del tutto generale che si verifica ogni qual volta uno spazio vettoriale X si decomponga in somma di sottospazi e si considerino le proiezioni di X su questi suoi sottospazi. Un altro fatto generale che probabilmente è ben noto al lettore è che, viceversa, se X è uno spazio vettoriale e E : X −→ X un operatore lineare idempotente, X si decompone in somma diretta di due sottospazi, precisamente l’immagine M = im(E) di E ed il suo conucleo N = im(I − E) (ove I è l’operatore identità su X). Nel caso di un sottospazio chiuso M di uno spazio di Hilbert H la proiezione EM : X −→ X è un operatore continuo: ||x||2 = ||xM ||2 + ||xM ⊥ ||2 3 Se X è un qualsiasi spazio vettoriale che sia somma diretta di due sottospazi M e N allora la decomposizione di un elemento x ∈ X come somma di un elemento xM ∈ M ed un elemento xN ∈ N è unica, e quindi le mappe x 7−→ xM e x 7−→ xN sono lineari. 214 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier da cui segue ||EM x|| = ||xM || ≤ ||x||. Osserviamo esplicitamente che, E 6= 0 se e solo se im(E) 6= (0), il che avviene se e solo se esiste un elemento x0 ∈ H non nullo tale che Ex0 = x0 . Dunque ||E|| = 1. Naturalmente (y, Ex) = (yM + yM ⊥ , xM ) = (yM , xM ) = (Ey, Ex) = (y, E ∗ Ex) e quindi un proiettore E è autoaggiunto. Dunque ( E = E2 E = E ∗ E ⇐⇒ E = E∗ sono condizioni equivalenti all’essere E un proiettore su un sottospazio chiuso. 7.2.1 Definizione Una isometria parziale in uno spazio di Hilbert H è un elemento W ∈ B(H) tale che l’operatore W |N (W )⊥ sia una isometria (si ricordi che N (A) è il nucleo dell’operatore A, i.e. l’insieme {x ∈ H | Ax = 0}). Ad esempio, se M e N sono sottospazi chiusi di H della stessa dimensione allora esiste un operatore unitario W0 : M −→ N che possiamo comporre ad esempio con il proiettore EM ottenendo W := W0 EM che è evidentemente una isometria parziale. 7.2.2 Proposizione Esiste una corrispondenza biunivoca {M ⊂ H | M = M } ←→ {E ∈ B(H) | E = E ∗ E} Dimostrazione: Se E ∈B(H) è tale che E = E ∗ E allora prendiamo M = im(E) e N = im(I − E). Ovviamente H = M + N . Inoltre M ∩ N = (0), dato che M = N ⊥ : (Ey, (I − E)x) = (y, (E ∗ − E ∗ E)x) = 0, ed analogamente N = M ⊥ . qed 7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 215 Se M1 e M2 sono sottospazi chiusi di H, con proiettori E1 , E2 , allora M1 ⊂ M2⊥ ⇐⇒ E1 E2 = 0 Infatti 0 = (Ex , E2 y) ⇐⇒ (x, E1∗ E2 y) = 0 ⇐⇒ E1∗ E2 = 0 ⇐⇒ E1 E2 = 0 (essendo i proiettori autoaggiunti). Ovviamente E1 E2 = 0 ⇐⇒ E2 E1 = 0 e M1 ⊂ M2⊥ ⇐⇒ M2 ⊂ M1⊥ . Osserviamo che in generale la somma E1 + E2 non è necessariamente idempotente, ma tuttavia, se M1 ⊥M2 : (E1 + E2 )2 = E12 + E1 E2 + E2 E1 + E22 = E1 + E2 e quindi E1 + E2 è in questo caso il proiettore di M1 + M2 . qed Questi fatti si estendono al caso di n proiettori, cosı̀ P ad esempio, se M1 , ..., Mn sono sottospazi chiusi mutuamente ortogonali, allora Ei è il proiettore dello P spazio Mi . In particolare la somma di sottospazi chiusi è chiuso. Ancora più in generale, se {Mα } è una famiglia qualsiasi di sottospazi vettoriali chiusi di H mutuamente ortogonali: ∀α 6= β Mα ⊥Mβ P allora lo spazio Mα può non essere affatto chiuso. Bisogna considerare esplicitamente la sua chiusura in H. Ad esempio, si noti che se {Ei }i∈N sono idempotenti autoaggiunti (non nulli!) e tali che ∀i 6= j Ei Eh = 0 P allora i∈N Ei non converge in norma. Se cosı̀ non fosse si avrebbe infatti, per ogni ε > 0 e per n, m > nε : n ¯¯ X ¯¯ Ei || < ε i=1 P il che è assurdo, visto che l’idempotente autoaggiunto Ei ha norma 1. Questo esempio mostra come sia necessario considerare topologie alternative sullo spazio degli operatori lineari. 7.2.3 Definizione Se X è uno spazio di Banach e {An } ⊂ B(X) allora si dice che la successione {An } converge fortemente a A, e si scrive An se per ogni x ∈ X: limn An x = Ax. f /A 216 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier Osserviamo che se ||An − A|| −→ 0 allora sup||x||=1 |An x − Ax| −→ 0 e quindi ||−|| (scriviamo An −→ A per la convergenza in norma): ||−|| f An −→ A ⇐⇒ An −→ A uniformemente sulla palla unitaria in H Ricordando la definizione di topologia debole su uno spazio topologico (definizione 2.1.22), diamo la 7.2.4 Definizione La topologia forte sullo spazio B(X) è la topologia debole definita dalla famiglia di funzioni {f : B(X) −→ X | ∀A ∈ B(X) f (A) = Ax}x∈X Per capire meglio la definizione, scriviamo come sono fatti gli intorni di un operatore A nella topologia forte: Ux1 ,...,xn (A) = {B ∈ B(X) | ∀k = 1, ..., n ||(B − A)xk || ≤ 1} (l’intorno U dipende da A e da n elementi x1 , ..., xn ∈ X). Evidentemente questa topologia non possiede una base numerabile di intorni, e non può dunque caratterizzarsi semplicemente con i limiti di successioni, bensı̀ con i limiti di successioni generalizzate. Supponiamo quindi di avere una famiglia di proiettori {Eα }α∈A con {Mα }α∈A relativi sottospazi e consideriamo l’insieme B := {β ⊂ A | Card(β) < ∞} parzialmente ordinato dalla relazione di inclusione ⊂. Si tratta di un insieme diretto e quindi possiamo definire la successione generalizzata X Fβ := Eβ α∈β il cui limite (se esiste) è P α∈A Eα . 7.2.5 Proposizione La serie X α∈A converge nella topologia forte. Eα =: E 7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 217 Dimostrazione: Dobbiamo dimostrare che per ogni x ∈ H esiste un β0 ∈ B tale che se β0 ⊂ β allora ||Fβ x − Ex|| < 1 Sia x ∈ M con M := X Mα α∈A 0 Dato che M è chiuso P deve esistere x ∈ 0 norma) i.e. x = α∈A Eα x. Dunque x− X Eα x = x − α∈β X P E Ea(x − x0 ) + ||x − X Mα arbitrariamente vicino a x (in X Eα x0 = x − x0 + Fβ (x − x0 ) α∈β α∈β i.e. α∈β0 Eα x|| ≤ ||x − x0 || + ||Fβ (x − x0 )|| −→ 0 α∈β P per ||x − x0 || −→ 0. Dunque, se x ∈ M allora x = α∈A Eα x. Se ora x ∈ H è qualsiasi, Ex ∈ M e quindi, applicando il ragionamento precedente (tenendo conto che Eα Ex = Eα x, avendosi Mα ⊂ M ) si trova X X Ex = Eα Ex = Eα x α∈A α∈A qed Osserviamo che, se β ⊂ A (con Card(β) < ∞), allora ¯¯ X ¯¯2 X ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯Eα x¯¯2 Eα x¯¯ = α∈β α∈β Se x ∈ H, per la proposizione precedente si ha ¯¯ X ¯¯2 X ||Eα x||2 ||Ex||2 = lim ¯¯ Eα x¯¯ = β α∈β α Allora le seguenti proposizioni sono equivalenti 4 : P • α∈A Mα = H. • H = M. P • α Eα = I (nella topologia forte). 4 Un sottoinsieme è totale se il suo inviluppo lineare, il sottospazio vettoriale che genera, è denso. 218 • Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier S α∈A Mα è un sottoinsieme totale in H. S • ( α∈A Mα )⊥ = 0 (S è totale se e solo se S ⊥ = 0). Non appena una di esse sia verificata allora ha luogo l’isomorfismo di spazi di Hilbert M H∼ Mα = α∈A realizzato dalla mappa x 7−→ {α ∈ A 7−→ χ(α) = Eα x ∈ Mα }. Si noti che X ||χ(α)||2 = ||x||2 α e si osservi che, se ciascuno degli spazi Mα è di dimensione 1, allora la teoria che abbiamo svolto è semplicemente quella delle basi ortonormali in H. Concludiamo la nostra analisi di B(H) indagandone alcune particolarità della struttura algebrica. Prima svolgiamo qualche semplice osservazione sui proiettori e sui loro sottospazi associati: 7.2.6 Proposizione (x, Ex) = (x, x) ⇐⇒ x ∈ M . Dimostrazione: Basta osservare che (Ex, Ex) = (x, Ex) = (x, x) = (Ex, Ex) + ((I − E)x, (I − E)x) e che (I − E)x = 0 ⇐⇒ x = Ex. qed Se M e N sono sottospazi chiusi, allora M ⊂ N ⇐⇒ EM EN = EM Ma EF è autoaggiunto se e solo se EF = F E i.e. EM EN = EM ⇐⇒ EN EM = EM : M ⊂ N ⇒ EM EN = EN EM Inoltre M ⊥M ⇒ EM EN = EN EM Se poi M = M1 + M2 allora E1 + E2 = EM := E e dunque, se F := EN , EF = F E. In B(H) c’è una relazione di ordine parziale che possiamo determinare stabilendo quali sono gli elementi positivi: B(H)+ := {B ∈ B(H) | ∀x ∈ H (x, Bx) ≥ 0} Evidentemente, per l’identità di polarizzazione: B ∈ B(H)+ ⇒ B = B ∗ Ad esempio per ogni A∈B(H) l’operatore AA∗ è semi-definito positivo: AA∗ ≥ 0. In particolare, un autoaggiunto idempotente E è positivo. 7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 219 7.2.7 Proposizione M ⊂ N ⇐⇒ EM EN = EM ⇐⇒ EM ≤ EN . Dimostrazione: Dato che N = M + (M ⊥ ∩ N ) si ha EN = EM + EM ⊥ ∩N e quindi: (x, EN x) = (x, EM x) + (x, EM ⊥ ∩N x) quindi, dato che il secondo addendo del secondo membro è ≥ 0, troviamo (x, EN x) ≥ (x, EM x). Viceversa, x ∈ M ⇐⇒ (x, EM x) = (x, x). Ma se EM ≤ EN allora (x, x) = (x, EM x) ≤ (x, EN x) = (EN x, EN x) ≤ ||x||2 = (x, x) (dato che EN è un proiettore). Quindi, per la proposizione precedente: M ⊂N qed 7.2.8 Teorema Se E e F sono idempotenti autoaggiunti in B(H) (e quindi esistono i sottospazi chiusi M e N in modo che E = EM e F = EN ) allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: • EF = F E. • EF = EM ∩N . • N = (N ∩ N ) + (N ∩ M ⊥ ). Dimostrazione: (3) ⇒ (1) è già stato dimostrato. (1) ⇒ (2): EF = F E ⇒ EF = (EF )∗ e ⇒ (EF )2 = E 2 F 2 = EF . Quindi EF è un proiettore se EF = F E. Ma, se x ∈ M ∩ N allora Ex = x = F x e quindi EF x = x, cioè M ∩ N ⊂ im(EF ). Inoltre, se x ∈ im(EF ) allora x = EF x e Ex = E(EF )x = E 2 F x = x. Scambiando il ruolo di E e F si ottiene anche F x = x e quindi M ∩N = im(EF ). (2) ⇒ (1) è banale. (2) ⇒ (3): Se EF = EM ∩N allora: F = (F − EF ) + EF = F (I − E) + EF Ma vale (1) (perché vale (2)) e quindi F e I − E commutano: F (I − E) = EN ∩M ⊥ e EF = EN ∩M , sicché F = EN ∩M ⊥ + EN ∩M ⇒ N = M ⊥ ∩ N + M ∩ N qed Possiamo formulare quanto fin qui ottenuto dicendo che il reticolo dei sottospazi chiusi (o equivalentemente degli idempotenti autoaggiunti) di uno spazio di Hilbert è un’algebra di Boole. 220 7.3 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier Serie di Fourier Corrediamo ora la teoria con gli esempi fondamentali: le serie e l’integrale di Fourier5 . Vogliamo considerare funzioni f : R −→ C periodiche, di periodo 2π (come le classiche funzioni trigonometriche): f (t) = f (t + 2π); il modo più naturale di procedere non è considerare queste funzioni definite sulla retta reale ma sulla circonferenza T = {|z| = 1} ⊂ C. Osserviamo che T è lo spazio topologico (compatto) ottenuto dall’intervallo [0, 2π] identificandone gli estremi 0 ≈ 2π, ovvero è il quoziente R/2πZ (via la mappa t 7−→ eit ). Consideriamo dunque lo spazio T, con la misura di Lebesgue: ricordiamo che la misura di Lebesgue è invariante per traslazioni: Z Z f (t − s)dt = f (t)dt T T per ogni 0 ≤ s < 2π (integrare su T è come integrare sull’intervallo (0, 2π)). Consideriamo lo spazio L1 (T) con la norma di Banach Z 1 ||f ||1 = |f (t)|dt 2π T (supponiamo che le funzioni abbiano valori complessi). Ad esempio sia N X p(t) = an eint n=−N (una tale funzione si dice polinomio trigonometrico). I coefficienti an del polinomio sono tutto ciò che dobbiamo conoscere per determinarlo completamente; inoltre si possono ricavare dal polinomio stesso, per mezzo della formula Z 1 an = p(t)e−int dt 2π T Questa formula segue direttamente dalle relazioni di ortogonalità Z 1 eint dt = δn0 2π T 5 Si tratta degli esempi che storicamente hanno dato impulso sia alla teoria della misura di Lebesgue che alla teoria degli spazi di Hilbert. 221 7.3. Serie di Fourier 7.3.1 Definizione Una serie trigonometrica è una espressione formale S= ∞ X an eint n=−∞ con an ∈ C. Notiamo che si tratta di una serie formale, nel senso che può benissimo non convergere; tuttavia, motivati dall’esempio dei polinomi trigonometrici, ci chiediamo se una tale serie non possa rappresentare una funzione. Sia f ∈ L1 (T) e definiamo l’n-simo coefficiente di Fourier di f come Z 1 b f (n) := f (t)e−int dt 2π T Se f è un polinomio otteniamo esattamente il suo coefficiente in grado n; in generale abbiamo non un polinomio ma una serie trigonometrica Sf := ∞ X fb(n)eint n=−∞ che si dice serie di Fourier associata alla funzione f . Si verificano immediatamente le seguenti proprietà: 7.3.2 Proposizione Siano f, g ∈ L1 (T); • f[ + g(n) = fb(n) + gb(n). c (n) = z fb(n). • ∀z ∈ C zf • Se la traslata di t ∈ T della funzione f è la funzione ft (s) := f (s − t) allora fbt (n) = fb(n)e−int . • |fb(n)| ≤ ||f ||1 Forse solo la (4) merita un commento: ¯ ¯Z Z ¯ 1 ¯¯ 1 −int ¯ b |f (n)| = f (t)e dt¯ ≤ |f (t)|dt = ||f ||1 2π ¯ T 2π T (ricordiamo che eit è un numero complesso di modulo 1, se t∈R). Evidentemente, se {fn } è una successione convergente in L1 (T) allora fbn converge uniformemente. Definiamo ora una operazione sullo spazio L1 (T) che riflette il fatto che T è un gruppo rispetto alla somma (modulo 2π). 222 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier 7.3.3 Lemma Se f, g ∈ L1 (T) allora, per quasi ogni s ∈ T, la funzione t 7−→ f (t)g(s − t) è integrabile. Dimostrazione: La funzione di due variabili (s, t) 7−→ f (t)g(s − t) è misurabile (è prodotto di funzioni misurabili!) e quindi, per quasi ogni t, la funzione s 7−→ f (t)g(s − t) è multiplo costante di gt e quindi è integrabile e Z Z Z 1 1 1 |f (t)g(s − t)|dsdt = |f (t)| ||g||1 dt = ||f ||1 ||g||1 2π T 2π T 2π T Quindi f (t)g(s − t) è integrabile (per il teorema di Fubini) come funzione di t, per quasi ogni s. qed Abbiamo quindi, per ogni f, g ∈ L1 (T) la loro convoluzione f ∗ g ∈ L1 (T) definita come Z 1 f ∗ g(s) = f (t)g(s − t)dt 2π T Ovviamente ||f ∗ g||1 ≤ ||f ||1 ||g||1 dato che 1 2π Z Z Z 1 1 |f ∗ g(s)|ds = |f (t)g(s − t)|dtds 2π 2π ZZ 1 ≤ 2 |f (t)g(s − t)dt ⊗ ds = ||f ||1 ||g||1 4π 7.3.4 Proposizione f[ ∗ g(n) = fb(n)b g (n) Dimostrazione: Si tratta di un semplice cambiamento di variabile nell’integrale combinato col teorema di Fubini: ZZ Z 1 1 −ins [ f (t)e−int g(s − t)e−in(s−t) dsdt f ∗ g(n) = f ∗ g(s)e ds = 2 2π 4π Z Z 1 1 −int = f (t)e dt g(s)e−ins ds = fb(n)b g (n) 2π 2π qed A questo punto, usando calcoli analoghi a quelli fin qui svolti, è un facile esercizio dimostrare la 223 7.3. Serie di Fourier 7.3.5 Proposizione Rispetto alla convoluzione, lo spazio L1 (T) diviene un’algebra associativa e commutativa. 7.3.6 Esempio Calcoliamo la convoluzione di una funzione f ∈ L1 (G) con un polinomio trigonometrico p: 1 f ∗ p(t) = 2π = Z f (s) N X i(t−s)n an e N X ds = n=−N N X int an e n=−N 1 2π Z f (s)e−ins ds an fb(n)eint n=−N Consideriamo ora una successione di funzioni in L1 (T) (si tratta di polinomi trigonometrici) nota come nucleo di sommabilità di Fejér : (†) µ N X KN (t) := n=−N |n| 1− N +1 ¶ eint 7.3.7 Proposizione Il nucleo di Fejér soddisfa alle proprietà seguenti: • Per ogni N ∈ N: 1 2π • Esiste una costante c tale che KN (t)dt = 1 Z 1 2π • Se 0 < δ < π: Z |KN (t)|dt ≤ c Z 2π−δ |KN (t)|dt = 0 lim N −→∞ δ • KN (t) ≥ 0. int Dimostrazione: R int La (2) e la (4) sono ovvie, dato che |e | = 1. La (1) segue dal fatto che e = δn0 : 1 2π Z KM (t)dt = µ N X n=−N |n| 1− 1+N ¶ 1 2π Z int e = µ N X n=−N |n| 1− 1+N ¶ δn0 = 1 224 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier La (3) segue dalla formula 1 KN (t) = 1+N à sin N 2+1 t sin 2t !2 che si dimostra osservando che ¶ ¶ N µ µ |n| 1 −it 1 1 it X eint = 1− − e + − e 4 2 4 1+N n=−N µ ¶ 1 1 −i(N +1)t 1 1 i(N +1)t = − e + − e 1+N 4 2 4 ed utilizzando l’identità trigonometrica sin2 t 1 − cos2 t 1 1 1 = = − e−it + − eit 2 2 4 2 4 qed Una successione di funzioni che verifichi queste proprietà si dice nucleo (positivo) di sommabilità. Notiamo che, per la (†): f ∗ KN (t) = µ N X n=−N |n| 1− N +1 ¶ fb(n)eint Il nucleo di Fejér è di fondamentale utilità: ad esempio possiamo dimostrare per mezzo di esso6 il 7.3.8 Teorema di Approssimazione (Weierstrass) Ogni funzione f ∈C(T) è limite uniforme di polinomi trigonometrici. Dimostrazione: Osserviamo che una funzione continua è in L1 (T) e che ||f ||1 ≤ ||f ||0 ove ||.||0 è la norma dello spazio di Banach C(T): ||f ||0 = max |f (t)| t∈T Infatti 1 ||f ||1 = 2π Z 1 |f (t)|dt ≤ 2π Z ||f ||0 dt = 1 ||f ||0 = ||f ||0 2π 2π 6 Questo teorema seguirà immediatamente da un risultato generale, il teorema di Stone– Weierstrass 9.2.9, che daremo in seguito: ci sembra interessante darne comunque una dimostrazione particolare in questa sede. 225 7.3. Serie di Fourier Quindi la convergenza in L1 implica la convergenza uniforme; ora se f ∈ C(T) ⊂ L1 (T) dimostriamo che si può approssimare con i polinomi trigonometrici f ∗KN . Dobbiamo dimostrare che ||f − f ∗ KN ||1 −→ 0, il che faremo in due passi: prima dimostreremo che, se k ∈ C(T) e f ∈ L1 (T) allora 1 2π (∗) Z k(t)ft dt = f ∗ k e poi dimostreremo che 1 f = lim N −→∞ 2π (∗∗) Z KN (t)ft dt (limite nella norma ||.||1 ). Da (*) e (**) segue la tesi. Dimostriamo (*): se f ∈ C(T) scriviamo l’integrale alla Riemann: 1 2π Z k(t)ft dt = X 1 lim (tn+1 − tn )k(tn )ftn 2π n per una partizione {tn } di [0, 2π): ma X 1 lim (tn+1 − tn )k(tn )f (t − tn ) = f ∗ k(t) 2π n (limite nella norma uniforme) sempre per definizione di integrale di Riemann: quindi per funzioni continue il teorema è dimostrato. Ma le funzioni continue approssimano le funzioni L1 (T), e, se f ∈ L1 (T) e g ∈ C(T) è tale che ||f − g|| ≤ ε allora, dato che la (*) vale per le funzioni continue: 1 2π da cui Z 1 k(t)ft t − f ∗ k = 2π Z k(t)(f − g)t dt − (f − g) ∗ k ¯¯ Z ¯¯ ¯¯ 1 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ 2π k(t)ft dt − f ∗ k ¯¯ ≤ 2ε||k||1 1 Questo dimostra la (*); passiamo alla (**): ricordiamo che f è continua su un compatto (T), quindi uniformemente continua. Cioè, per ogni ε > 0 esiste δε tale che se |s − t| < δε allora |f (s) − f (t)| < ε. Allora, ricordando le proprietà del 226 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier nucleo di Fejér (proposizione 7.3.7), se 0 < δ < π: ¯ Z ¯ Z ¯1 ¯ 1 |f ∗ KN (s) − f (s)| = ¯¯ Kn (t)f (t − s)dt − f (s)KN (t)dt¯¯ 2π 2π Z 1 ≤ |f (t − s) − f (s)|KN (t)dt 2π ÃZ δ 1 |f (t − s) − f (s)|KN (t)dt+ = 2π 0 Z 2π−δ + |f (t − s) − f (s)|KN (t)dt+ δ ! Z 2π |f (t − s) − f (s)|KN (t)dt + 1 < 2π ÃZ 2π−δ Z δ |f (t − s) − f (s)|KN (t)dt+ εKN (t)dt + Z 0 ! 2π + 2π−δ δ εKN (t)dt 2π−δ µ ¶ Z 2π−δ 1 2δεc + Ms KN (t)dt < 2π δ <Cε (ove Ms = maxt∈T |f (t − s) − f (s)| e R |KN (t)| ≤ c). qed Osserviamo che l’algebra L1 (T) non ha elemento neutro, ma che il nucleo di Fejér può essere considerato una “identità approssimante”. I coefficienti di Fourier fb(n) di una funzione f ∈L1 (T) soddisfano un “teorema di unicità”: 7.3.9 Teorema Se f ∈ L1 (T) e per ogni n ∈ N fb(n) = 0 allora f = 0. Dimostrazione: Dato che si tratta di un polinomio trigonometrico, i coefficienti di f ∗KN = 0 sono tutti nulli essendo multipli dei fb(n)) e, dato che f ∗KN −→ f , ne segue f = 0. qed In altri termini, se due funzioni hanno eguali coefficienti di Fourier, debbono coincidere: la serie di Fourier determina univocamente la funzione stessa. Inoltre la successione {fb(n)} è infinitesima: 227 7.3. Serie di Fourier 7.3.10 Lemma (Riemann–Lebesgue) Se f ∈ L1 (T) allora lim fb(n) = 0 |n|−→∞ Dimostrazione: Se p è un polinomio trigonometrico che approssima f ∈ L1 (T) per meno di ε: ||f − p||1 < ε e se |n| è maggiore del grado di p, allora |fb(n)| = |f[ − p(n)| ≤ ||f − p||1 < ε qed Osserviamo che la serie di Fourier non converge necessariamente: possiamo, usando il teorema di Banach–Steinhaus, dare un esempio di funzione la cui serie di Fourier è non convergente in un punto di T: ricordiamo che la serie Sf = ∞ X fb(n)eitn n=−∞ converge se converge (in norma ||.||1 ) la successione delle sue ridotte N -sime SN (f ) = N X fb(n)eitn n=−N Evidentemente la mappa SN : C(T) −→ R f 7−→ SN (f )(0) = N X fb(n) n=−N è un funzionale lineare continuo sullo spazio di Banach C(T); come esercizio si può dimostrare che la successione di funzionali lineari {SN } non è uniformemente limitata e quindi, per il teorema di Banach–Steinhaus, esiste f ∈ C(T) tale che {SN (f )(0)} non è limitata e quindi la serie di Fourier diverge in 0. Ora consideriamo lo spazio di Hilbert L2 (T): osserviamo che la famiglia di funzioni {eint } in L2 (T) forma un sistema ortonormale completo: è completo per il teorema di unicità delle serie di Fourier, dato che Z 1 int (f, e ) = f (t)eint dt = fb(n) 2π ed è ortonormale in virtù delle identità Z 1 eint eimt dt = δnm 2π Da quello che sappiamo sulle basi ortonormali negli spazi di Hilbert segue il 228 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier 7.3.11 Teorema Se f ∈ L2 (T) allora Z X 1 2 b • |f (n)| = |f (t)|2 dt 2π n • ||f − SN (f )||1 −→ 0 • Se {an }n∈Z è una successione in l2 (Z) (i.e. un’unica f ∈ L2 (T) tale che an = fb(n). P |an |2 < ∞) allora esiste • Se g ∈ L2 (T): 1 (f, g) = 2π In altri termini, l’operatore Z ∞ X f (t)g(t)dt = fb(n)b g (n) n=−∞ U : L2 (T) −→ l2 (Z) che ad una funzione f fa corrispondere la successione dei suoi coefficienti di Fourier (si noti che U (f ) ∈ l2 (Z) per l’identità di Parceval) è unitario. Osserviamo inoltre che l’operatore di shift Sen := en+1 è unitario su l2 (Z) e che ¡ −1 ¢ U SU (f ) (z) = zf (z) 7.4 Integrale di Fourier Ora consideriamo le funzioni integrabili su L1 (R); di nuovo la misura di Lebesgue è invariante per traslazioni Z ∞ Z ∞ f (t − s)dt = f (t)dt −∞ −∞ per ogni s ∈ R. Consideriamo sullo spazio L1 (T) la norma di Banach Z ||f ||1 = |f (t)|dt R (supponiamo che le funzioni abbiano valori complessi). Osserviamo che, a differenza di L1 (T), L1 (R) non contiene tutte le funzioni che ha interesse considerare: ad esempio non contiene le funzioni Lp (R) (dato 229 7.4. Integrale di Fourier che la misura è infinita). In particolare non abbiamo qualcosa come i polinomi trigonometrici in R: tuttavia, se poniamo ϕ(t) = 2π ∞ X f (t + 2πn) n=−∞ otteniamo una funzione ϕ ∈ L1 (T): ||ϕ||1 ≤ ||f ||1 e quindi possiamo calcolarne i coefficienti di Fourier: Z Z Z ∞ X 1 −int −int ϕ(n) b = ϕ(t)e dt = f (t + 2πm)e dt = f (x)einx dx 2π T R m=−∞ T S (infatti R = ∞ m=−∞ [m, m + 2π)). Osserviamo che in questa formula, n “agisce” su x per moltiplicazione: possiamo allora definire, per ogni ξ ∈ R∗ (ovviamente R∼ = R∗ non appena si fissi un numero reale non nullo), la trasformata di Fourier di f ∈ L1 (R): Z b f (ξ) = f (x)eiξ(x) dx R Quindi ϕ b è semplicemente la restrizione agli interi di fb. Analizziamo meglio il legame che esiste fra trasformata di Fourier e coefficienti di Fourier: se ϕ ∈ L1 (T) associata a f è definita come sopra, consideriamo la ϕy (t) = 2π ∞ X yf (ty + 2πy) n=−∞ Allora, per definizione: µ ¶ n b ϕ cy (n) = f y Supponendo che la serie di Fourier di ϕy converga a ϕy (0) in 0 abbiamo che ϕy (0) = ∞ X ϕ cy (n) n=−∞ e quindi la formula di Poisson µ ¶ ∞ X n b 2πy f (2πny) = f y n=−∞ −∞ ∞ X Come nel caso delle serie di Fourier valgono le seguenti proprietà della trasformata di Fourier: 230 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier 7.4.1 Proposizione Siano f, g ∈ L1 (R); • f[ + g(ξ) = fb(ξ) + gb(ξ). • ∀z ∈ C c (ξ) = z fb(ξ). zf • Se la traslata di x ∈ R della funzione f è la funzione fx (y) := f (y − x) allora fbx (ξ) = fb(ξ)e−iξ(x) • |fb(ξ)| ≤ ||f ||1 Se f ∈ L1 (R) allora fb è uniformemente continua: infatti ¯ ¯Z ¯ ¯ −i(ξ+η)(x) −iξ(x) b b ¯ −e )dx¯¯ |f (ξ + η) − f (ξ)| = ¯ f (x)(e Z ≤ |f (x)||e−iξ(x) | |e−iη(x) |dx e |e−iξ(x) | = 1, sicché l’integrando |f (x)||e−iη(x) | tende a zero per η −→ 0 (|f (x)| è limitato). Definiamo ora una convoluzione sullo spazio L1 (R). Esattamente come nel caso di L1 (T) si dimostra il seguente 7.4.2 Lemma Se f, g ∈ L1 (R) allora, per quasi ogni y ∈ R, la funzione x 7−→ f (x)g(y − x) è integrabile. Possiamo quindi, per ogni f, g∈L1 (R) definire la loro convoluzione f ∗g∈L1 (R) come Z f ∗ g(y) = f (x)g(y − x)dx R Come nel caso delle serie di Fourier: ||f ∗ g||1 ≤ ||f ||1 ||g||1 7.4.3 Proposizione Rispetto alla convoluzione, lo spazio L1 (R) diviene un’algebra associativa commutativa, ed inoltre f[ ∗ g(ξ) = fb(ξ)b g (ξ) 231 7.4. Integrale di Fourier 7.4.4 Esempio Calcoliamo la convoluzione di una funzione f ∈ L1 (R) con una funzione g ∈ L1 (R) della forma: Z 1 g(x) = h(ξ)eiξ(x) dξ 2π R∗ (queste funzioni sono l’analogo dei polinomi trigonometrici7 ) ove h ∈ L1 (R∗ ). Si ha che Z Z Z 1 f ∗ g(x) = f (y)g(x − y)dy = f (y) h(ξ)eiξ(x−y) dξdy 2π Z Z 1 = h(ξ)eiξ(x) f (y)e−iξ(y) dydξ 2π Z 1 h(ξ)fb(ξ)eiξ(x) dξ = 2π Quindi, se fb ∈ L1 (R∗ ) otteniamo la formula di inversione di Fourier : Z 1 f (x) = fb(ξ)eiξ(x) dξ 2π (il secondo membro di questa espressione si dice antitrasformata di Fourier ). Vogliamo ora costruire l’analogo del nucleo di Fejér nel contesto della trasformata di Fourier: consideriamo la funzione µ ¶ Z 1 1 sin x2 1 K(x) = = (1 − |ξ|)eiξ(x) dξ x 2π 2π −1 2 La famiglia di funzioni Ky (x) = yK(xy) (y ∈ R) si dice nucleo di Fejér . 7.4.5 Proposizione Il nucleo di Fejér soddisfa alle proprietà seguenti: • 1 2π Z Ky (x)dx = 1 7 Osserviamo che R∗ gioca il ruolo che Z ha nelle serie di Fourier: le variabili continue ξ sostituiscono quelle discrete n, gli integrali su R∗ sostituiscono le somme su Z e cosı̀ via. Esistono comunque polinomi trigonometrici anche nel caso delle funzioni reali: vengono considerati nell’approssimazione delle funzioni quasi-periodiche, importanti ad esempio in Meccanica Celeste. 232 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier • Per y −→ ∞: ||Ky ||1 = O(1) • Per ogni δ > 0: Z lim y−→∞ |x|>δ |Ky (x)|dx = 0 Dimostrazione: Calcoliamo la norma ||.||1 di K(x), usando la nostra conoscenza del nucleo di Fejér per le serie trigonometriche: sappiamo che à ! Z δ (n+1)x 2 sin 1 1 2 lim dx = 1 x N −→∞ 2π −δ N + 1 sin 2 R R R R Dato che Ky (x)dx = yK(yx)dx = K(yx)d(yx) = K(x)dx possiamo prendere y = N + 1, ottenendo à !2 sin (n+1)x 1 2 Ky (x) = x 2π(N + 1) 2 e quindi µ sin δ δ ¶2 1 2π Z δ −δ 1 N +1 à !2 Z δ sin (n+1)x 2 dx < Ky (x)dx sin x2 −δ à !2 Z π sin (n+1)x 1 1 2 dx < 2π −π N + 1 sin x2 R Rδ Per δ −→ 0 il numero K(x) = limy−→∞ −δ Ky (x)dx è compreso fra sin2 δ/δ 2 e R 1. Quindi, per arbitrarietà di δ, K(x)dx = 1. Questo calcolo implica le (1)–(3). qed A questo punto, come nel caso delle serie di Fourier, si trova che lim ||f ∗ Ky (x) − f ||1 = 0 y−→∞ e si dimostra il 7.4.6 Teorema Se f ∈ L1 (R) allora ¶ Z yµ 1 |ξ| b f = lim 1− f (ξ)eiξ(x) dξ y−→0 2π −y y (in norma ||.||1 ). da cui si deduce un “teorema di unicità”: 233 7.4. Integrale di Fourier 7.4.7 Teorema Se f ∈ L1 (R) e per ogni ξ ∈ R∗ fb(ξ) = 0 allora f = 0. In altri termini, se due funzioni hanno eguali trasformate di Fourier, debbono coincidere: la trasformata di Fourier determina univocamente la funzione stessa. Inoltre la funzione fb è nulla all’infinito: Vogliamo ora un analogo del teorema di approssimazione di Weierstrass: 7.4.8 Teorema Le funzioni la cui trasformata di Fourier ha supporto compatto sono un sottospazio denso in L1 (R). Dimostrazione: Ogni funzione f ∈ L1 (R) si approssima con una famiglia {f ∗ Ky } di funzioni: dimostriamo che gli elementi di questa famiglia hanno trasformata di Fourier a supporto compatto. Per la formula di inversione di Fourier applicata al nucleo di Fejér: µ ¶ |ξ| cy (ξ) = max 1 − , 0 K y e, dato che f[ ∗ g = fbgb: f\ ∗ Ky (ξ) = (³ 1− |ξ| y ´ fb(ξ) 0 se |ξ| ≤ y se |ξ| > y Quindi queste trasformate di Fourier hanno supporto compatto. qed Possiamo ora dedurre il 7.4.9 Lemma (Riemann–Lebesgue) Se f ∈ L1 (R) allora lim fb(ξ) = 0 |ξ|−→∞ Dimostrazione: Se g ha trasformata di Fourier a supporto compatto e approssima f ∈ L1 (T) per meno di ε: ||f − g||1 < ε allora |fb(ξ) − gb(ξ)| = |f[ − g(ξ)| ≤ ||f − g||1 < ε Ma |b g (ξ)| −→ 0 per |ξ| −→ ∞ avendo supporto compatto, quindi anche fb è nulla all’infinito. qed Sia A(R∗ ) lo spazio delle funzioni che sono trasformate di Fourier di funzioni 1 L (R). 234 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier 7.4.10 Teorema A(R∗ ) è un’algebra (rispetto alla moltiplicazione F G(ξ) = F (ξ)G(ξ)) di funzioni continue nulle all’infinito. Ora consideriamo lo spazio di Hilbert L2 (R): cerchiamo un sistema ortonormale in L2 (R), in analogia a quanto fatto nel caso di T; sia f : R −→ C una funzione misurabile tale che |f (x)| ≤ ce−a|x| ove C e a sono costanti positive. Ad esempio, la funzione di Gauss G(x) = e− x2 2 verifica questa ipotesi. 7.4.11 Lemma Se f e xf sono in L1 (R) allora fb è derivabile e [ fb0 = −ixf Dimostrazione: Basta derivare fb: Z Z d 0 −iξ(x) b f (ξ) = f (x)e dx = −i xf (x)e−iξ(x) dx dx qed In generale, se f, xf, x2 f, ..., xn f ∈ L1 (R) allora fb sarà derivabile n volte: \n f fb(n) = (−ix) 7.4.12 Teorema Le funzioni f (x), xf (x), x2 f (x), ..., xn f (x), ... sono un sistema completo in L2 (R). Dimostrazione: Assumiamo il contrario: allora, per il teorema di Hahn–Banach, deve esistere una funzione non nulla h ∈ L2 (R) tale che, per ogni n ∈ N: Z xn f (x)h(x)dx = 0 R Ovviamente f h ∈ L1 (R) e quindi anche ea1 |x| f h ∈ L2 (R) per ogni a1 < a. Ora sia g(ξ) := fch 235 7.4. Integrale di Fourier Allora, per il lemma, la funzione g è derivabile infinite volte: f ∈C ∞ (R), e tutte le sue derivate sono nulle in 0. Ma la funzione g si prolunga ad una funzione analitica nella striscia del piano complesso {ζ = ξ + iη | |η| < a}, perché l’integrale Z f (x)h(x)e−iζ(x) dx converge e coincide, sulla parte reale della striscia, con g; quindi g è una funzione analitica con tutte le derivate nulle in 0, sicché g(0) = 0 e, per il teorema di unicità della trasformata di Fourier: f (x)h(x) = 0 q.o. Dunque h = 0 in L2 (R), che è assurdo. qed Questo dimostra la completezza del sistema di funzioni {xn f (x)}, ma noi vorremmo in più un sistema ortogonale. Nel prossimo capitolo vedremo come la trasformata di Fourier sia un isomorfismo di L2 (R) in sé, e mostreremo come costruire un sistema ortonormale: avremo bisogno, per questo, di considerare spazi di funzioni differenziabili, che non sono spazi di Banach, e che necessitano di una teoria a parte. Capitolo 8 SPAZI VETTORIALI TOPOLOGICI Gli spazi di Hilbert e Banach hanno come esempi principali gli spazi di funzioni sommabili e gli spazi di funzioni continue: tuttavia esiste un’altra classe di spazi vettoriali molto importanti in Analisi, gli spazi di funzioni differenziabili, per i quali non è possibile trovare una struttura hilbertiana o di Banach. Per ovviare a questo inconveniente di solito si considerano sottospazi di questi spazi che siano di Hilbert, ad esempio nella teoria delle equazioni a derivate parziali si considerano gli spazi di Sobolev. Tuttavia è possibile dare una teoria per spazi vettoriali topologici non di Banach, i cui esempi sono gli spazi delle funzioni differenziabili: la teoria della dualità di questi spazi conduce al concetto di distribuzione, che generalizza quello di funzione e di misura. 8.1 Topologie e seminorme Gli spazi di Hilbert e, più in generale, gli spazi normati, sono al tempo stesso spazi vettoriali e spazi topologici, e la loro struttura vettoriale è compatibile con quella topologica, nel senso che le funzioni di somma fra vettori e moltiplicazione per uno scalare sono continue; questo suggerisce la seguente definizione: 8.1.1 Definizione Se X è uno spazio vettoriale sul campo fissato1 K e T una topologia sull’insieme X, la coppia (X, T ) si dice uno spazio vettoriale topologico se le applicazioni di addizione e prodotto per uno scalare sono continue. Una base U0 di intorni dell’elemento zero 0 ∈ X gode delle proprietà seguenti • U0 determina la topologia di X: infatti se x0 ∈X, la continuità della somma implica immediatamente che {x0 + U |U ∈ U0 } è una base di intorni di x0 , ovvero, la traslazione per un certo vettore di un intorno dello zero fornisce un intorno del vettore dato. 1 Per noi il campo K sarà sempre C o R. 236 237 8.1. Topologie e seminorme • Ogni intorno dello zero U ∈ U0 è un insieme assorbente, il che significa che ∀x ∈ X ∃k ∈ R \ {0} kx ∈ U il che segue immediatamente dalla continuità del prodotto per uno scalare. è ovvio che possiamo scegliere una base U0 di intorni dello zero di X tale che ogni suo elemento sia un insieme equilibrato, vale a dire tale che ∀U ∈ U0 ∀k ∈ R |k| ≤ 1 ⇒ kU ⊂ U 8.1.2 Definizione Uno spazio vettoriale topologico di dice localmente convesso se esiste una base U0 di intorni dello zero convessi, cioè tali che ∀U ∈ U0 ∀x, y ∈ X ∀a, b ∈ R+ a + b = 1 ⇒ ax + by ∈ U Una conseguenza immediata di questa definizione è che in uno spazio localmente convesso esiste sempre una base di intorni dello zero convessi ed equilibrati. Finora gli unici esempi che conosciamo di spazi vettoriali topologici sono gli spazi normati, nei quali la topologia è indotta da una metrica; vedremo fra breve tuttavia degli esempi di spazi vettoriali topologici non normati: gli spazi delle funzioni differenziabili. In generale, se F (S) è un insieme di funzioni da un insieme qualsiasi S in R o C munito di somma e prodotto per scalari definiti punto per punto, la stessa base di intorni rende F (S) uno spazio localmente convesso. In generale uno spazio vettoriale topologico non è di Hausdorff (lo sono certamente gli spazi normati, perché metrizzabili): 8.1.3 Proposizione In ogni spazio vettoriale topologico X esiste un sottospazio X0 tale che • Ogni intorno non vuoto di un punto x ∈ X contiene l’insieme x + X0 . • Lo spazio quoziente X/X0 (con la topologia quoziente2 è di Hausdorff. Dimostrazione: Definiamo X0 := \ U U ∈U0 come intersezione degli intorni (non vuoti!) dello zero; allora X0 è ovviamente (per continuità delle operazioni di somma e prodotto) un sottospazio di X che verifica la (1). 2 Che ovviamente lo rende uno spazio vettoriale topologico. 238 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Se x, y∈X/X0 deve esistere un intorno U ⊂ X/X0 dello zero che non contenga x − y e, per continuità della somma, deve quindi esistere un intorno V ⊂ X/X0 dello zero tale che V − V ⊂ U : allora x + V e y + V sono intorni disgiunti che contengono x e y. qed Se la topologia di uno spazio vettoriale topologico è indotta da una distanza d(x, y), allora possiamo definire la funzione q : X −→ R+ come q(x) := d(0, x) osserviamo che in questa situazione lo spazio è certamente separabile (si sfrutta la densità di Q+ in R+ ). Un’altra osservazione immediata è che se la funzione q determina la metrica, cioè se vale la ∀x, y ∈ X d(x, y) = q(x − y) allora la funzione q è simmetrica, subadditiva e non degenere, cioè verifica le relazioni (Q) q(x) = q(−x) q(x + y) ≤ q(x) + q(y) q(x) = 0 ⇒ x = 0 Viceversa, se X è uno spazio vettoriale topologico metrizzabile e q : X −→ R una funzione soddisfacente alle relazioni (Q) e tale che d(x, y) = q(x − y) per una distanza che induca la topologia di X allora q si dice quasinorma compatibile per X. 8.1.4 Definizione Uno spazio vettoriale topologico localmente convesso, metrizzabile e completo si dice spazio di Fréchet. L’esempio principale è quello degli spazi di funzioni differenziabili; le topologie che vi introdurremo sono definite in termini di seminorme. Osserviamo che la definizione di seminorma, di funzionale di Minkowski ed il teorema di Hahn–Banach che abbiamo discusso nel capitolo precedente valgono per ogni spazio vettoriale reale (o complesso), quindi possiamo darle per uno spazio vettoriale topologico. Se S è una famiglia di seminorme in uno spazio vettoriale X, possiamo considerare la topologia T (S) generata dalla sottobase di aperti Up,ε (x) := {y ∈ X | p(x − y) < ε} al variare di x ∈ X, p ∈ S e ε > 0. Si dice che S è una sl sottobase di seminorme per X. Osserviamo che 239 8.1. Topologie e seminorme 8.1.5 Proposizione La topologia T (S) su X è di Hausdorff se e solo se ∀x ∈ X ∀p ∈ S p(x) = 0 ⇒ x = 0 8.1.6 Definizione Se X è uno spazio vettoriale topologico la cui topologia coincida con T (S), l’insieme S si dice base di seminorme per X se • Per ogni p ∈ S, λ ∈ R+ : λp ∈ S. • Per ogni p1 , p2 ∈ S esiste p ∈ S tale che ∀x ∈ X p1 (x) ≤ p(x) e p2 (x) ≤ p(x) 8.1.7 Teorema X è uno spazio vettoriale localmente convesso se e solo se è uno spazio vettoriale topologico la cui topologia sia definita da una base di seminorme ed è di Hausdorff. Se S e S 0 sono basi di seminorme per le topologie T e T 0 su X allora la topologia T 0 è più fine di T se e solo se ogni seminorma di S è maggiorata da qualche seminorma di S 0 . Dimostrazione: Osserviamo intanto che se S0 è una famiglia di seminorme l’insieme dei multipli positivi delle somme finite di elementi di S0 è una base di seminorme per T (S0 ). ora sia S una base di seminorme; una base di intorni dello 0 ∈ X è data dagli aperti US (0) := {Bp }p∈S ove Bp := {x ∈ X | p(x) < 1}. Ovviamente si tratta di una base di intorni, e, per ogni x, x0 ∈ X, λ, λ0 ∈ R e p ∈ S: p(λx − λ0 x0 ) ≤ |λ|p(x − x0 ) + |λ − λ0 |p(x0 ) il che prova che la topologia definita da US (0) rende X uno spazio vettoriale topologico, localmente convesso perché le p sono seminorme. Viceversa, se X è localmente convesso e U(0) è una base invariante per omotetie di intorni dello 0 convessi ed equilibrati, i funzionali di Minkowski S := {pB }B∈U(0) sono ovviamente una base di seminorme per la topologia di X perché gli elementi di U(0) sono aperti e x ∈ B ⇐⇒ pB (x) < 1. Dimostriamo la seconda parte del teorema: che la condizione sia sufficiente è ovvio. Ma T è meno fine di T 0 se e solo per ogni intorno convesso equilibrato dello zero U ∈ T contiene un intorno convesso equilibrato dello zero U 0 ∈ T 0 , sicché pU 0 (x) < 1 ⇒ pU (1) < 1 240 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Per ogni ε > 0 si ha allora che pU ((pU 0 (x) + ε)−1 x) < 1 e quindi ∀x ∈ X pU (x) < pU 0 (x) + ε Per arbitrarietà di ε si ha che pU ≤ pU 0 . qed Se Ω ⊂ Rn è un aperto, lo spazio vettoriale C ∞ (Ω) delle funzioni infinitamente differenziabili su Ω è uno spazio vettoriale topologico, la cui topologia è indotta dalle seminorme pKi (f ) := max |∂ i f (x)| x∈K ove K ⊂ Ω è un compatto e i = (i1 , ..., ih ) un multiindice rispetto al quale si effettuano le derivate parziali che figurano nella definizione (cioè si deriva ik volte rispetto alla variabile xk ). 8.1.8 Teorema Lo spazio C ∞ (Ω) è di Fréchet. Dimostrazione: Dimostriamo che la topologia di C ∞ (Ω) è indotta da una famiglia numerabile di seminorme. Sia ½ ¾ 1 Km := x ∈ Ω | d(x, ∂Ω) ≥ e d(x, 0) ≤ m m S o Ovviamente Km è compatto, Km ⊂−→ Km+1 e m Km = Ω. Definiamo le seminorme pm (f ) := sup sup |∂ i f (x)| x∈Km |i|≤m Se K ⊂ Ω è un qualsiasi compatto allora la funzione δ(x) := d(x, ∂Ω) è continua e positiva su K, dunque ha un minimo δ0 su K; analogamente la funzione ∆(x) = d(x, 0) assume un massimo ∆0 su K. Allora scegliamo m in modo che 1 < δ0 m e ∆0 < m Con questa scelta di m si ha che Km ⊂ K e, se |i| ≤ m, la seminorma pK,i è P p maggiorata da pm . Che poi ogni seminorma pm sia maggiorata da m i=0 Km ,i è ovvio. Quindi la topologia di C ∞ (Ω) è generata dalle {pm }, ed in particolare lo spazio è metrizzabile. Ora proviamo che C ∞ (Ω) è completo. Se {fn } è una successione di Cauchy, il che significa che è di Cauchy rispetto a qualsiasi seminorma pm che genera la topologia di C ∞ (Ω). Ma allora la restrizione di {fn } a Kn è una successione di Cauchy di funzioni definite sul compatto Km : ora sfruttiamo il fatto che lo 241 8.1. Topologie e seminorme spazio delle funzioni differenziabili C ∞ (K) su un compatto K ⊂ Rn è di Banach rispetto alla norma ||f ||C ∞ := sup sup |∂ i f (x)| x∈K i come si constata facilmente (la convergenza in questo spazio è la convergenza uniforme della f e di tutte le sue derivate parziali). Dunque esiste una funzione Fm ∈ C ∞ (K) alla quale la successione ristretta a Km converge. Per definizione di Km le funzioni Fm cosı̀ definite coincidono sulle intersezioni Km ∩ Kl e quindi inducono una funzione F ∈ C ∞ (Ω) tale che, per definizione, lim pm (fn − Fm ) = 0 n−→∞ qed In C (Ω) è contenuto lo spazio delle funzioni differenziabili a supporto compatto. Non si tratta di un sottospazio chiuso, quindi non è certo completo per la topologia indotta da quella di C ∞ (Ω). Definiamo ora su Cc∞ (Ω) una topologia più forte di quella indotta da C ∞ (Ω). Se Km è il sistema di compatti definito nella dimostrazione del teorema precedente, ad ogni successione N = {Nn } di numeri naturali associamo la seminorma ∞ X pN (f ) := Nm sup sup |∂ i f (x)| ∞ Cc∞ (Ω) m=1 x∈Km \Km−1 |i|≤Nm (assumiamo K0 := ∅). 8.1.9 Teorema Lo spazio Cc∞ (Ω) è completo e non metrizzabile. Dimostrazione: Consideriamo una successione di Cauchy {fn }; dimostriamo ∞ allora che tutte le funzioni fn appartengono a CK (Ω), ove K è un fissato compatto ∞ ∞ e CK (Ω) denota lo spazio delle funzioni f ∈ C (Ω) a supporto in K: si tratta di un sottospazio di Fréchet di C ∞ (Ω), quindi la successione {fn } dovrà convergere ∞ ad un elemento di CK (Ω) ⊂ C ∞ (Ω) col che avremo la prima parte del teorema. Per assurdo supponiamo dunque che i supporti delle {fn } non stiano in nessun compatto K fissato. Possiamo supporre (a meno di rinumerare le {fn }) che sia supp fm ∈ / Km , i.e. che esista xm ∈ / Km con fm (xm ) 6= 0. Allora se ¾ ½ |fm (xm )| ∞ V := f ∈ Cc (Ω) | ∀m ≥ 1 |f (xm )| ≤ m ∞ l’intersezione V ∩ CK (Ω) è aperta (dato che ogni compatto K contiene solo un numero finito di xm e quindi questa intersezione è intersezione finita di aperti) i.e. V è aperto in Cc∞ (Ω). Se pV è il funzionale di Minkowski di V allora, dato che V 242 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici è equilibrato e convesso, pV è una seminorma continua in Cc∞ (Ω), precisamente la ¯ ¯ ¯ mf (xm ) ¯ ¯ pV (f ) = sup ¯¯ fm (xm ) ¯ m ∞ Quindi m ≤ pV (fm ) e la successione di Cauchy {fn } non converge in CK (Ω) il che è assurdo. Dunque lo spazio Cc∞ (Ω) è completo nella sua topologia. Dimostriamo che però non è metrizzabile. Se lo fosse, infatti, presa una sua successione {fm } tale che supp fm ∈ / Km dalla continuità della moltiplicazione per uno scalare si deduce che esiste un numero δm > 0 tale che d(0, δm fm ) < 1/m e quindi la successione {δm fm } tende a zero; ma si è visto nelle dimostrazione della prima parte che questo non è possibile a meno che tutte le funzioni {fn } appartengano ad un ∞ medesimo spazio CK (Ω) per un compatto K fissato. L’assurdo prova che Cc∞ (Ω) non è metrizzabile. qed ∞ n p n Si può dimostrare che lo spazio Cc (R ) è denso in L (R ) per 1 ≤ p < ∞ ed in C ∞ (Rn ). Limitiamoci qui a fornire un esempio di funzione appartenente a Cc∞ (R): ( exp x22−1 se |x| < 1 f (x) = 0 se |x| ≥ 1 Funzioni di questo tipo sono considerate nella costruzione di partizioni dell’unità e nello studio delle trasformate di Fourier e delle convoluzioni negli spazi di funzioni differenziabili. 8.2 Dualità e topologie deboli 8.2.1 Definizione Due spazi vettoriali X e Y su K si dicono in dualità se esiste una forma bilineare h, i : V × W −→ K tale che ∀x ∈ X (∀y ∈ Y ∀y ∈ Y (∀x ∈ X hx, yi = 0) ⇒ x = 0 hx, yi = 0) ⇒ y = 0 Evidentemente una dualità fra X e Y induce due applicazioni lineari X −→ Y ∗ x 7−→ (y 7−→ hx, yi) e Y −→ X ∗ y 7−→ (x 7−→ hx, yi) 243 8.2. Dualità e topologie deboli La forma bilineare h, i si dice fortemente non degenere se queste mappe sono isomorfismi: in questo caso X = Y ∗ . Se X e Y sono in dualità possiamo considerare una topologia su X, la σ(X, Y )-topologia, che è per definizione la topologia debole rispetto alle applicazioni {x 7−→ hx, yi}y∈Y Questa topologia è indotta dalla base di seminorme {pF }F ⊂Y X pF (x) := |hy, xi| finito ove y∈F 8.2.2 Lemma Se X è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e F un funzionale lineare, allora F è continuo se e solo se per ogni base S di seminorme della topologia di X esiste p ∈ S tale che ∀x ∈ X |F (x)| ≤ p(x) Dimostrazione: Che la condizione sia sufficiente è ovvio. Se poi F è un funzionale lineare continuo, la x 7−→ |F (x)| è una seminorma continua per X, quindi vale la condizione dell’enunciato. qed 8.2.3 Proposizione Se X e Y sono spazi vettoriali in dualità e F è un funzionale lineare su X allora sono equivalenti le • ∃y ∈ Y ∀x ∈ X F (x) = hy, xi. • F è continuo nella σ(X, Y )-topologia. Dimostrazione: Che (1) implichi (2) è ovvio. Se vale la (2), per il lemma deve esistere un F = {y1 , ..., yn } ⊂ Y finito tale che ∀x ∈ X |F (x)| ≤ pF (x) i.e. ∀x ∈ X hy1 , xi = ... = hyn , xi = 0 da cui F (x) = 0 per dualità. Quindi se M è il sottospazio vettoriale di Kn generato dai vettori {(hy1 , xi, ..., hyn , xi)}x∈X deve esistere un funzionale lineare f ∈ M ∗ tale che il diagramma x NNN / (hy1 , xi, ..., hyn , xi) NNN NNN NNN NN' ² f F (x) 244 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici sia commutativo. Ma ogni tale funzionale f è determinato univocamente da un vettore v = (v1 , ..., vn ) ∈ Rn in modo che f (r1 , ..., rn ) = n X vi c i i=1 e quindi F (x) = n X vi hyi , xi = hy, xi i=1 qed Ovviamente possiamo definire per uno spazio vettoriale topologico qualsiasi, proprio come avevamo fatto per gli spazi normati, lo spazio X ∗ duale topologico dei funzionali lineari continui su X. Per ogni funzionale f ∈ X ∗ esiste la forma bilineare fra X e X ∗ : x 7−→ hf, xi := f (x) che è una dualità fra X e X ∗ : ∀x ∈ X hf, xi = 0 ⇒ f = 0 8.2.4 Definizione Su uno spazio vettoriale topologico la topologia debole è la σ(X, X ∗ )-topologia e la topologia *-debole è la σ(X ∗ , X)-topologia. Infatti dato che X ,→ X ∗∗ la dualità fra X e X ∗ induce una dualità fra X ∗ e X: si noti che ciascuna di queste dualità è fortemente non degenere se e solo se lo spazio X è riflessivo. Il nome della topologia debole viene dal fatto (evidente) che si tratta di una topologia più debole di quella di X. Per la caratterizzazione precedente dei funzionali lineari e continui abbiamo che 8.2.5 Proposizione Un funzionale lineare su X è continuo se e solo se è debolmente continuo. 8.2.6 Definizione Se X e Y sono spazi vettoriali in dualità, il polare di un sottoinsieme E ⊂ X è il sottoinsieme di Y : E o := {y ∈ Y | ∀x ∈ X Rehy, xi ≤ 1} (La parte reale è ovviamente superflua nel caso K = R). Ovviamente: 245 8.2. Dualità e topologie deboli 8.2.7 Proposizione Il polare è un insieme convesso, chiuso nella σ(Y, X)-topologia, contenente lo zero e tale che E ⊂ E oo . In particolare, se X è localmente convesso, il polare E o ⊂ X ∗ è *-debolmente chiuso e se F ⊂ X ∗ il polare F o ⊂ X è debolmente chiuso. Se E ⊂ X allora o evidentemente E = E o . Prima di affrontare il risultato principale sui polari, diamo alcuni lemmi sulla convessità, che sono in realtà corollari del teorema di Hahn–Banach, applicato a spazi vettoriali topologici. 8.2.8 Lemma Sia X uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e K un chiuso convesso in X contenente l’origine. Allora se 0 ∈ K, per ogni x0 ∈ /K esiste un funzionale lineare continuo F su X tale che Re f (x0 ) > 1 ma ∀x ∈ X Re f (x) < 1 (nel caso K = R la parte reale è superflua). Dimostrazione: Dato che per ipotesi {K è aperto, deve esistere un intorno V di 0 tale che x0 + V ⊂ {K; ma la topologia di X è localmente convessa, quindi V può scegliersi convesso ed equilibrato, sicché x0 + V ∩ K = ∅ implica 1 1 x0 + V ∩ K + V = ∅ 2 2 1 Ora, U := K + 2 U è aperto (essendo unione di aperti) e convesso, dato che, se k1 , k2 ∈ K, v1 , v2 ∈ V e a + b = 1 (a, b > 0): µ ¶ µ ¶ 1 1 av1 + bv2 a k1 + v1 + b k2 + v2 = ak1 + bk2 + ∈U 2 2 2 Ma x0 ∈ / U e, se M := Rx0 e pU è il funzionale di Minkowski di U , allora per f0 : M −→ R rx0 7−→ rpU (x0 ) (r ∈ R) si ha che f0 (x0 ) = pU (x0 ) > 1 (perché x0 ∈ / U) e ∀x ∈ M f0 (x) ≤ pU (x) Ora per il teorema di Hahn–Banach esiste un funzionale lineare f su X che estende f0 ed è maggiorato dalla seminorma pU . Ma per definizione pU ≤ 1 su U , quindi su U la tesi è verificata. Infine usiamo la linearità di f per ottenere: |f (x)| ≤ (pU (x) + pU (−x)) = p(x) i.e. la continuità di f . qed 246 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici 8.2.9 Teorema del bipolare Se X è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e K ⊂ X è un insieme convesso contenente l’origine di X allora la chiusura di K nella topologia di X coincide con la chiusura nella topologia debole e si ha deb K = K = K oo (i polari si riferiscono alla dualità fra X e X ∗ ). oo Dimostrazione: Dato che K ⊂ K = K oo e K oo è debolmente chiuso, basta dimostrare che K oo ⊂ K. Sia x ∈ / K; allora, per il lemma, esiste f ∈ X ∗ tale che ∀x ∈ K Rehf, xi < 1 o / K oo . i.e. f ∈ K = K o e Rehf, x0 i > 1 cioè x0 ∈ qed Osserviamo che se f : X −→ Y è una mappa lineare continua fra spazi vettoriali topologici, possiamo definirne al solito modo la trasposta come f ∗ :Y ∗ −→ X ∗ ψ 7−→ (x 7−→ ψ(f (x))) che è ovviamente lineare e continua (consideriamo i duali topologici). 8.2.10 Teorema Se f : X −→ Y è una mappa lineare continua e iniettiva fra spazi vettoriali topologici allora ker f ∗ = (im f )o Dimostrazione: Se consideriamo le dualità h, i fra X e X ∗ , e Y e Y ∗ , ovviamente: ∀x ∈ X ∀ψ ∈ Y ∗ hψ, f (x)i = hf ∗ (ψ), xi perciò, se ψ ∈ (im f )o allora per ogni x ∈ X: hf ∗ (ψ), xi = 0 e quindi f ∗ (ψ) = 0; viceversa, se ψ ∈ ker f ∗ allora per ogni x ∈ X; hf ∗ (ψ), xi = 0, dunque ψ⊥ im f . qed 8.2.11 Corollario Una mappa lineare continua f : X −→ Y fra spazi vettoriali topologici, ove Y sia localmente convesso, è biunivoca se e solo se im f è denso in Y . Dimostrazione: Per il teorema di Hahn–Banach: se M 6= Y è un sottospazio vettoriale di Y allora esiste un funzionale lineare continuo non identicamente nullo che si annulla identicamente su M ; quindi se im f non è denso, esiste un funzionale ψ ∈ Y ∗ non nullo che si annulla su im f , i.e. tale che f ∗ (ψ) = 0. qed 247 8.2. Dualità e topologie deboli Il seguente fondamentale teorema sancisce la compattezza *-debole della palla associata al funzionale di Minkowski p: {f ∈ X ∗ | ∀x ∈ X |f (x)| ≤ p(x)} 8.2.12 Teorema (Alaoglu–Banach–Bourbaki) Se X è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e W un intorno convesso ed equilibrato dello zero allora il polare W o di W in X ∗ è σ(X, X ∗ )-compatto. Dimostrazione: Sia p il funzionale di Minkowski di W allora per x∈W : p(x) < 1, e quindi se |f (x)| ≤ p(x) la parte reale di hf, xi è ≤ 1 e f ∈ W o ; ma W è equilibrato, cioè |hf, xi| ≤ p(x) e quindi W o = {f ∈ X ∗ | ∀x ∈ X |f (x)| ≤ p(x)} Dimostriamo che si tratta di un insieme *-debolmente compatto. Se, per x ∈ X: Kx := {z ∈ C | |z| ≤ p(x)} Si tratta ovviamente di un compatto in C, quindi, per il teorema di Tychonoff, l’insieme Y K := Kx x∈X pure è compatto (nella topologia prodotto, che è quella debole rispetto alle proiezioni px : K −→ Kx ). Se Ψ : W o −→ K f 7−→ (x ∈ X 7−→ f (x) ∈ Kx ) κ evidentemente, Q se πx : K −→ C è la proiezione che alla funzione (X −→ S x {Kx }) ∈ X Kx associa il numero κ(x) ∈ C, allora \ \ Ψ(W o ) = (πzx+wy − zπx − wπy )−1 ({0}) x,y∈X z,w∈C Ma le proiezioni πx sono continue (per definizione) e quindi lo è la funzione πzx+wy − zπx − wπy : K −→ C; ne segue che la controimmagine tramite essa dell’insieme chiuso {0} (cioè Ψ(W o )) è un chiuso in K, che è compatto, dunque a sua volta un compatto. Infine osserviamo che Ψ è biunivoca e quindi 3 è un omeomorfismo. Dunque, essendolo Ψ(W o ), anche W o è compatto. qed 3 Una funzione biunivoca e continua da un compatto ad uno spazio di Hausdorff è un omeomorfismo. 248 8.3 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Compattezza e convessità 8.3.1 Definizione Un insieme B ⊂ X in uno spazio vettoriale topologico si dice limitato se per ogni intorno dello zero U ⊂ X esiste un numero C > 0 tale che B ⊂ CU . Dato che esiste una base di intorni chiusi dello zero, la chiusura di un insieme limitato è limitato: in generale non si tratta di un insieme compatto, a differenza del caso di dimensione finita (teorema di Heine–Borel). Tuttavia: 8.3.2 Teorema Un insieme compatto in uno spazio vettoriale topologico è limitato. Dimostrazione: Se K ⊂ X è compatto e U un intorno equilibrato dello zero allora ∞ [ K⊂ nU = X n=0 quindi, per compattezza, esiste un insieme finito di interi {n1 , ..., nk } tali che ¶ µ K ⊂ n1 U ∪ ... ∪ nk U = max nj U j=1,...,k qed Il viceversa non è vero: ad esempio, se X è normato, l’essere un insieme chiuso e limitato compatto implicherebbe la locale compattezza di X e quindi dim X < ∞ (corollario 6.1.15). 8.3.3 Teorema Uno spazio X localmente convesso di Hausdorff è normato se e solo se possiede un intorno dello zero limitato. Dimostrazione: Se X è normato, ogni palla centrata nello zero è limitata. Viceversa, se X è Hausdorff e localmente convesso, e se contiene©un intorno U ª 1 dello zero, che possiamo supporre equilibrato, allora la famiglia n U fornisce una base di intorni dello zero in X: infatti se V è un intorno dello zero, che possiamo assumere equilibrato, c’è un intero n > 0 tale che U ⊂ nV . Dato che X è Hausdorff si ha \ 1 U = {0} n n>0 e quindi il funzionale di Minkowski pU associato a U è in realtà una norma. qed In alcuni casi importanti, tuttavia, un insieme limitato ha effettivamente chiusura compatta: ad esempio negli spazi C ∞ (Ω) e Cc∞ (Ω); per dimostrarlo dobbiamo prima trarre una conseguenza dal teorema di Ascoli–Arzelà 3.5.2: 8.3. Compattezza e convessità 249 8.3.4 Teorema Se K è un compatto contenuto in un aperto limitato Ω di Rn allora la mappa di restrizione, che ad una funzione f in Ω assegna la sua restrizione f |K a K trasforma insiemi limitati di C 1 (Ω) in insiemi compatti di C(K). Dimostrazione: Per il teorema di Ascoli–Arzelà basta dimostrare che la restrizione a K di un insieme limitato in C 1 (Ω) è equicontinuo in K (che sia limitato è ovvio): possiamo in effetti limitarci alle palle di centro l’origine in C 1 (Ω). Se dunque f ∈ C 1 (Ω) allora è un fatto elementare che per ogni x0 ∈ Ω esista un r0 > 0 tale che se |x − x0 | ≤ r0 allora x ∈ Ω e ¯ ¯¶ µ ¯ ∂f (y) ¯ ¯ ¯ |x − x0 | ≤ ||f ||1 |x − x0 | |f (x) − f (x0 )| ≤ sup sup ¯ ∂xj ¯ y∈Ω j=1,...,n Quindi ogni palla centrata nell’origine di C 1 (Ω) è equicontinua in Ω e quindi l’immagine di questa palla per tramite della mappa di restrizione è pure un insieme equicontinuo in K. qed 8.3.5 Teorema Ogni insieme chiuso e limitato in C ∞ (Ω) è compatto. Dimostrazione: Esprimiamo Ω come unione numerabile di compatti K0 ⊂ K1 ⊂ ... tali che, se Ωi è l’interno di Ki allora Ki ⊂ Ωi+1 ; dato che in uno spazio metrico un insieme è compatto se e solo se ha un punto di accumulazione, ci basterà dimostrare questa proprietà. Ci servirà il 8.3.6 Lemma Per ogni i ≥ 1 ed ogni successione S limitata in C ∞ (Ki ) esiste una sottosuccessione S1 ⊂ S tale che le restrizioni delle funzioni f ∈ S1 a Ωi−1 formino una successione convergente in C ∞ (Ki ). Dimostriamo il lemma: che S sia limitata in C ∞ (Ki ) vuol dire che per ogni multiindice p la successione sul campo fissato4 K e T una topologia di Hausdorff sull’insieme V ½ p ¾ ∂ f ∂xp è equilimitata in C 1 (Ki ) e quindi, per il teorema di Ascoli–Arzelà, possiede una ∂ pf a Ωi−1 siano sottosuccessione S1 tale che per ogni f ∈ S1 , le restrizioni delle ∂xp convergenti in C 1 (Ki−1 ) e, essendo la convergenza uniforme, le derivate qualsiasi degli elementi di S1 convergono in C ∞ (Ki−1 ). Questo dimostra il lemma. 4 Per noi il campo K sarà sempre C o R. 250 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Sia ora S una successione limitata in C ∞ (Ω); la restrizione S|Ω1 dà luogo ad una successione limitata in C ∞ (K1 ) che, per il lemma, ammette una sottosuccessione convergente in C ∞ (K0 ). Lo stesso discorso possiamo ripetere per K2 , K3 , ... ottenendo una successione di sottosuccessioni della S: S = S0 ⊃ S1 ⊃ S2 ⊃ ... tale che Si |Ωi−1 converga in C ∞ (Ki−1 ); se {f1 , f2 , ...} sono i limiti di queste sottosuccessioni in C ∞ (K0 ), C ∞ (K1 ), ... allora esistono elementi gi ∈ Si tali che ¯ p ¯ ¯∂ ¯ 1 sup sup ¯¯ p (gi − fi )¯¯ ≤ i p x∈Ωi−1 ∂x Evidentemente la successione S 0 := {gi } converge in C ∞ (Ω) ed il suo limite è la funzione f le cui restrizioni a Ωi−1 coincidono con le fi ; quindi S 0 ⊂ S è la sottosuccessione convergente voluta. qed La nozione di compattezza si rivela particolarmente interessante se combinata con quella di convessità: se K è un compatto convesso in uno spazio vettoriale topologico localmente convesso X, per ogni f ∈ X ∗ , la funzione reale continua x 7−→ Rehf, xi assume un massimo α su K; l’iperpiano M determinato dall’equazione lineare Rehf, xi = α è tangente a K, cioè, se per ogni x, y ∈ K tali che, se a, b > 0 e a + b = 1, ax + by ∈ M allora x, y ∈ M . Ovviamente M ∩ K è convesso e ogni convesso F ⊂ K tangente a K si dice una faccia di K. Ad esempio, la faccia M ∩ K è compatta. Specifichiamo meglio queste nozioni. 8.3.7 Definizione Una faccia di un convesso K è un punto k ∈ K tale che per ogni a, b ∈ [0, 1] con a + b = 1 e k 0 , k 00 ∈ K tali che k = ak 0 + bk 00 e k 6= k 0 , k 6= k 00 , k 0 6= k 00 allora k 0 e k 00 giacciono su uno stesso segmento. 8.3.8 Proposizione Se K non è ridotto ad un sol punto esiste un iperpiano tangente M tale che M ∩ K 6= K. Dimostrazione: Basta osservare che se k, k 0 ∈K sono distinti, scegliendo f ∈X ∗ tale che f (k 0 − k) = 1 8.3. Compattezza e convessità 251 (il che è possibile per il lemma 8.2.8) e M = {x ∈ X | Rehf, xi = α} ove α è il massimo di Rehf, xi su K. Se k 0 ∈ M ∩ K allora Rehf, ki = α = 1 e K∈ / M ∩ K. qed 0 Se F ⊂ K è una faccia del convesso K e f ⊂ F è una faccia del convesso F allora F 0 è una faccia di K (per definizione!). 8.3.9 Definizione I punti estremali di un convesso K costituiscono l’insieme ¯ ) ( ¯ ∀k 0 , k 00 ∈ K ∀a, b ∈ [0, 1] a + b = 1 ¯ Extr(K) := k ∈ K ¯ ¯ e k = ak 0 + bk 00 ⇒ ab = 0 oppure k 0 = k 00 In altri termini, x è un punto estremale se {x} è una faccia di K. 8.3.10 Teorema (di Krejn–Millman) Se X è uno spazio localmente convesso e K ⊂ X un sottoinsieme convesso e compatto allora • Ogni iperpiano tangente a K contiene un punto estremale. • L’inviluppo convesso dell’insieme Extr(K) dei punti estremali di K è denso in K (si dice che genera K). Dimostrazione: (1) Sia M un iperpiano tangente a K; mostriamo che F = M ∩ K contiene una faccia chiusa minimale e quindi un punto estremale. Sia F l’insieme delle facce chiuse di K contenute in F . Ovviamente è un insieme parzialmente ordinato rispetto alla relazione di inclusione, ma, di più, soddisfa anche le ipotesi del lemma di Zorn. Infatti, se L ⊂ F è un sottoinsieme totalmente ordinato di F mostriamo che esiste un F0 ∈ F contenuto in ogni elemento di L; per farlo usiamo la compattezza di K. Si noti che L, T essendo totalmente ordinato, verifica la proprietà dell’intersezione finita, i.e. L = F0 6= ∅. Ma F0 ∈ F, i.e. è una faccia chiusa: proprio l’elemento minimale richiesto dalle ipotesi del lemma di Zorn (ne stiamo applicando una versione “dualizzata” in cui si richiede che ogni sottoinsieme totalmente ordinato abbia un minimo per dedurre l’esistenza di un elemento minimale). L’elemento minimale fornito dal lemma di Zorn è il punto estremale di K richiesto dalla tesi. (2) Sia K0 l’inviluppo convesso di Extr(K), ovvero il più piccolo convesso di X contenente Extr(K) (i.e. l’intersezione di tutti questi convessi); allora K0 è 252 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici formato dalle combinazioni convesse finite di punti estremali di K. Supponiamo che 0 ∈ K0 (a meno di traslare possiamo sempre farlo). Per il teorema del bipolare K = K oo e quindi basta dimostrare K ⊂ K0oo per avere la tesi (dato che K0 ⊂ K implica K0oo ⊂ K), ovvero basta dimostrare che K0o ⊂ K o Sia dunque f ∈ K0o , i.e. f ∈ X ∗ tale che ∀x ∈ K0 Rehf, xi ≤ 1 e consideriamo il minimo β della funzione (reale e continua) x 7−→ Rehf, xi sull’insieme compatto K; vogliamo dimostrare che f ∈ K o , ovvero che β ≤ 1. Ma l’iperpiano di equazione Rehf, xi = β è tangente a K, quindi (per la (1)), contiene un punto estremale xo ∈ Extr(K) ⊂ K0 . Allora β = Rehf, x0 i ≤ 1 (dato che su K0 Rehf, xi ≤ 1). qed Un risultato fondamentale sugli insiemi compatti e convessi è il seguente teorema, di grande utilità nella ricerca di soluzioni a svariati tipi di equazioni differenziali, che enunciamo senza dimostrazione Teorema (Del punto fisso di Schauder). Se X è uno spazio vettoriale localmente convesso e K ⊂ X un sottoinsieme compatto e convesso allora ogni mappa continua f : K −→ K possiede un punto fisso, i.e. esiste x0 ∈ K tale che f (x0 ) = x0 . Notiamo che la funzione f nel teorema di Schauder può essere non lineare: nel risultato seguente diamo un teorema di punto fisso per una famiglia qualsiasi di applicazioni lineari che commutino fra loro. 8.3.11 Teorema (Markov–Kakutani) Se X è uno spazio vettoriale topologico e K ⊂ X un sottoinsieme convesso e compatto, e se F è una famiglia di applicazioni lineari continue f : X −→ X tali che • ∀f ∈ F f (K) ⊂ K. • ∀x ∈ X ∀f, g ∈ F f (g(x)) = g(f (x)). 253 8.3. Compattezza e convessità allora esiste un punto fisso in K comune a tutte le funzioni della famiglia F: ∃x0 ∈ K ∀f ∈ F f (x0 ) = x0 Dimostrazione: Siano f ∈ F e n ∈ N e poniamo f (n) := 1 (I + f + ... + f n ) n+1 (col prodotto f g denotiamo la composizione di applicazioni) e Kn,f = f (n) (K) Consideriamo la famiglia K = {Kn,f }n∈N,f ∈F . Dato che K è convesso, la (1) implica che Kn,f ⊂ K e la (2) che f (n) g (m) (K) = g (m) f (n) (K) Quindi f (n) g (m) ⊂ Kn,f ∩ Km,g (†) Ma K è compatto e f ∈ F continua, sicché gli elementi di K sono chiusi e la famiglia K verifica la proprietà dell’intersezione T T finita, come afferma la (†). Quindi, K = 6 ∅. Esiste dunque un x0 ∈ K: se f ∈F mostriamo che f (x0 ) = x0 . Basta far vedere che per ogni intorno U dello 0 in X si ha Ma x0 ∈ T f (x0 ) − x0 ∈ U K, quindi esiste xN ∈ K tale che x0 = 1 (I + f + ... + f N )xN N i.e. 1 N +1 1 (T xN − xN ) ∈ (K − K) N N (K − K è l’insieme degli elementi di X della forma k − k 0 con k, k 0 ∈ K). Quindi basta dimostrare che esiste un N tale che 1 (K − K) ⊂ U N f (x0 ) − x0 = Questo si vede facilmente, dato che K − K è compatto (ad esempio perché è immagine, tramite la mappa continua (x, y) 7−→ x − y, del compatto K × K) e quindi è limitato; la famiglia {nU }n∈N è un ricoprimento di X perché U è un insieme assorbente, quindi esiste N tale che K − K ⊂ N U . qed Si noti che lo spazio X non è stato supposto localmente convesso. 254 8.4 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Distribuzioni Consideriamo lo spazio delle funzioni C ∞ (Ω) infinitamente differenziabili in un aperto Ω ⊂ Rn : sappiamo che è uno spazio di Fréchet, mentre il suo sottospazio Cc∞ (Ω) delle funzioni a supporto compatto non è metrizzabile pur essendo completo. In ambedue i casi si tratta di spazi non normabili: vogliamo studiare su essi la teoria della dualità. 8.4.1 Definizione Se Ω ⊂ Rn è un aperto, una distribuzione in Ω è un elemento del duale topologico Cc∞ (Ω)∗ . La nostra conoscenza della topologia di Cc∞ (Ω) ci permette immediatamente di dare un criterio perché un funzionale lineare sia una distribuzione 8.4.2 Proposizione Se f ∈ Cc∞ (Ω)∗ , le tre seguenti affermazioni sono equivalenti: • f è una distribuzione. • Per ogni compatto K ⊂ Ω esistono un intero m ≥ 0 ed una costante C > 0 tali che ¯ p ¯ ¯∂ ¯ ∞ ¯ ∀ϕ ∈ Cc (Ω) supp ϕ ⊂ K ⇒ |f (ϕ)| ≤ C sup sup ¯ p ϕ(x)¯¯ |p|≤m x∈Ω ∂x • Se la successioni {∂ p /∂xp (ϕn )} ⊂ Cc∞ (Ω) convergono uniformemente a zero (per ogni multiindice p) e se i supporti delle {ϕn } sono contenuti in K ⊂ Ω (compatto) allora f (ϕn ) −→ 0. 8.4.3 Esempio Se X è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso di funzioni Ω −→ C, contenente Cc∞ (Ω), e tale che la topologia di X ristretta a Cc∞ (Ω) sia meno fine della topologia di Cc∞ (Ω), allora, per ogni funzionale lineare continuo f ∈ X ∗ , f |Cc∞ (Ω) è una distribuzione. Evidentemente, se Cc∞ (Ω) è denso in E allora se f 6= g sono elementi di X ∗ , le loro restrizioni sono distribuzioni diverse, per il teorema di Hahn–Banach. 8.4.4 Esempio Se consideriamo lo spazio X = Cc (Ω) delle funzioni continue complesse a supporto compatto, abbiamo che ogni funzionale µ continuo su X 5 induce una distribuzione Tµ . 5 Cioè ogni misura di Radon complessa, per il teorema di Riesz–Markov che sarà dimostrato a pagina 289. 255 8.4. Distribuzioni In realtà, nell’esempio precedente, la mappa µ 7−→ Tµ è iniettiva (cioè una misura può considerarsi una particolare distribuzione): questo segue dal fatto che ogni funzione continua può approssimarsi con funzioni C ∞ a supporto compatto. Stabiliamo dunque questo risultato. Preliminarmente consideriamo un esempio di funzione a supporto compatto e infinitamente differenziabile: ³ ´ ( 1 a exp − 1−|x| se |x| < 1 2 ρ(x) := 0 se |x| ≥ 1 ove la costante a è definita come a= R in modo che si abbia 1 ´ ³ 1 dx exp − 1−|x|2 |x|<1 Z ρ(x)dx = 1 Rn La funzione ρ è analitica in ogni punto della palla aperta {|x| < 1} ed è ovviamente C ∞ in {|x| > 1}; verifichiamo che è C ∞ anche sul bordo {|x| = 1}. Dato che la funzione è invariante per rotazioni basta verificarne la regolarità nel caso n = 1, i.e. basta verificare che la funzione ( ¡ ¢ exp − 1t se t > 0 f (t) = 0 se t ≤ 0 è C ∞ . Ma questo è ovvio: µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 exp − = exp − exp − 1 − t2 2(1 − t) 2(1 + t) Se ε > 0, una funzione C ∞ a supporto in {|x| ≤ ε} è ρε (x) := ρ(εx) εn 8.4.5 Teorema Se Ω è un aperto in Rn , ogni funzione in C(Ω) è limite di una successione di funzioni in Cc∞ (Ω). Dimostrazione: Consideriamo una successione di aperti {Ωi } la cui unione sia Ω e tali che, per i ≥ 1, Ωi−1 sia compatto e contenuto in Ωi . Possiamo allora considerare la successione numerica {di }, ove di := d(Ωi−1 , {Ωi ) > 0 256 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici e la funzione continua   1 se d(x, {Ωi ) > 3di 4 gi (x) := di  0 se d(x, {Ωi ) < 2 Scegliamo allora εi := di /4 e consideriamo la funzione Z hi (x) := ρεi ((x − y)gi (y)dy Rn Ora sia x ∈ Ωi−1 : allora, per x − y ∈ supp ρεi , si ha d(y, {Ωi ) ≥ d(x, {Ωi ) − |x − y| ≥ di − e quindi gi (y) = 1, i.e. di 3di = 4 4 Z ρεi (x − y)dy = 1 hi (x) = Pertanto hi |Ωi−1 = 1. Dato che le {hi } sono ovviamente a supporto compatto e che convergono a 1 ∈ C ∞ (Ω). Ora sia f ∈ C(Ω): è immediato che possiamo approssimarla con funzioni continue a supporto compatto: infatti hi f ∈ Cc (Ω) e, dato che f hi = f su Ωi−1 la funzione f hi converge a f in C(Ω); se K ⊂ Ω è compatto, per i grande abbastanza si ha K ⊂ Ωi−1 e quindi supp f ∩ K = supp(f hi ) ∩ K. Vediamo infine che l’approssimazione può farsi effettivamente con funzioni C ∞ : per questo basta mostrare che le funzioni f hi ∈ Cc (Ω) sono approssimabili con funzioni Cc∞ (Ω), il che si vede considerando Z Fi,ε (x) := ρε (x − y)f (y)hi (y)dy Rn Derivando sotto il segno di integrale si trova immediatamente che queste sono funzioni in Cc∞ (Ω); dimostriamo che, per ε −→ 0, la Fi,ε converge uniformemente a f hi , col che avremo la tesi del teorema. Dato che le f hi sono continue a supporto compatto, sono uniformemente continue, quindi per ogni η > 0 esiste un ε > 0 tale che e quindi, dato che R ∀x, y |x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| < η ρε = 1: f (x)hi (x) − Fi,ε (x) = Z ρε (x − y)(f (x)hi (x) − f (y)hi (y))dy 257 8.4. Distribuzioni pertanto Z |f (x)hi (x) − Fi,ε (x)| ≤ sup |f (x)hi (x) − f (y)hi (y)| |x−y|<ε ρε (x − y)dy ≤ η qed ∞ Osserviamo che, se la funzione f è C nel teorema precedente, la stessa dimostrazione ci permette di approssimarla con funzioni Cc∞ date dalle f hi . Quindi 8.4.6 Corollario Cc∞ (Ω) è denso in C ∞ (Ω). Avvertiamo che nel teorema seguente, col termine “misura di Radon” intendiamo un funzionale lineare e continuo su Cc (Ω), mentre in precedenza (definizione 4.5.1) avevamo usato un’altra definizione: il già citato teorema di Riesz–Markov 9.2.2, mostrerà l’equivalenza di queste definizioni. 8.4.7 Teorema Se T è una distribuzione su Ω allora le seguenti affermazioni sono equivalenti: • T è una misura di Radon. • T è continuo nella topologia su Cc∞ (Ω) indotta da quella di Cc (Ω). • Per ogni compatto K ⊂ Ω esiste una costante C > 0 tale che ∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω) supp ϕ ⊂ K ⇒ |hT, ϕi| ≤ C sup |ϕ(x)| x∈Ω • Se una successione di funzioni {ϕn } converge uniformemente a zero e se i supporti delle {ϕn } sono contenuti in un compatto K ⊂ Ω allora hT, ϕn i −→ 0. Dimostrazione: In vista della proposizione 8.4.2, l’unica cosa che dobbiamo dimostrare per avere il teorema è che T è una (distribuzione indotta da una) misura di Radon se e solo se vale la (1): che la condizione sia necessaria è ovvio; se poi vale la (1), possiamo estendere T (che è continuo nella topologia indotta da Cc (Ω)) in modo unico ad un funzionale lineare continuo su Cc (Ω) per densità di Cc∞ (Ω) in Cc (Ω). qed Quindi le misure di Radon sono casi particolari di distribuzioni (storicamente infatti i primi esempi di distribuzioni sono state le misure di Dirac); in particolare 258 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici anche le funzioni possono essere viste come distribuzioni. Infatti, se f ∈ L1 (K), con K ⊂ Ω compatto, allora il funzionale Z T (ϕ) := ϕ(x)f (x)dx Ω è una distribuzione (modulo uguaglianza q.o.). Usualmente lo spazio delle distribuzioni su Ω si denota come D0 (Ω). 8.4.8 Definizione Una distribuzione T ∈ D0 (Ω) si dice svanire in un aperto A ⊂ Ω se ∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω) supp ϕ ⊂ U ⇒ hT, ϕi = 0 Vogliamo definire il concetto di supporto anche per le distribuzioni: per questo necessitiamo del 8.4.9 Teorema L’unione degli aperti di Ω nei quali una distribuzione svanisce è un aperto nel quale la distribuzione svanisce. che è immediata conseguenza del 8.4.10 Lemma Se {Uα }α∈A è una famiglia di aperti di Ω e {Tα }α∈A una famiglia di distribuzioni sugli {Uα } e se,Sper ogni α, β ∈A, Tα |Uα ∩Uβ = Tβ |Uα ∩Uβ allora esiste un’unica distribuzione T su α Uα tale che, per ogni α ∈ A: T |Uα = Tα . n Dimostrazione: Intanto ricordiamo S che Ω ⊂ R è paracompatto e quindi esiste un raffinamento {Vβ }β∈B di U := α Uα localmente finito. Sappiamo poi che esiste una partizione C ∞ dell’unità subordinata al ricoprimento {Vβ }: se ϕ ∈ Cc∞ (U ), allora X ϕ= gβ ϕ β∈B Poniamo, se αβ è tale che Vβ ⊂ Uαβ , hT, ϕi := X hTαβ , gβ ϕi β∈B (la somma ha senso perché ha senso quella precedente). Questa definizione non dipende dal raffinamento scelto, perché sulle intersezioni di elementi di {Uα } le distribuzioni {Tα } coincidono. Dimostriamo che non dipende nemmeno dalla partizione dell’unità {gβ }: se infatti {hγ } è un’altra partizione dell’unità subordinata al raffinamento {Wγ } localmente finito di {Uα } allora per ogni γ esiste un indice αγ tale che Wγ ⊂ Uαγ e quindi X X X X hTαβ , gβ ϕi = hTαβ , gβ hγ ϕi = hTαγ , gβ hγ ϕi = hTαγ , hγ ϕi β β,γ β,γ γ 259 8.4. Distribuzioni Vediamo ora che T è effettivamente una distribuzione, cioè che è un funzionale continuo: se ϕ∈Cc∞ (K) converge a zero uniformemente (K ⊂ U compatto) allora esiste un sottoinsieme finito B 0 ⊂ B tale che ∀β ∈ B 0 gβ ϕ = 0 e quindi gβ ϕ −→ 0 in Cc∞ (Uαβ ), i.e. hTαβ , gβ ϕi −→ 0. Quindi T è continuo in Cc∞ (U )∗ . L’unicità segue facilmente dal fatto che le distribuzioni {Tα } coincidono sulle intersezioni di elementi della famiglia {Uα }. qed In virtù del teorema appena dimostrato, ha senso la 8.4.11 Definizione Se T è una distribuzione in Ω, il suo supporto supp T è il complementare dell’unione di tutti gli aperti nei quali T svanisce. 8.4.12 Esempio La misura di Dirac δx0 è il funzionale che a f ∈ Cc∞ (Ω) associa f (x0 ): il supporto della misura R di Dirac δx0 è il singolo punto {x0 }. Il supporto della distribuzione T (ϕ) = ϕ(x)f (x)dx è il complementare dell’insieme sul quale f è q.o. nulla. Dato che Cc∞ (Ω) è denso in C ∞ (Ω), possiamo identificare il duale E 0 (Ω) di C ∞ (Ω) con un sottospazio di D0 (Ω) = Cc∞ (Ω)∗ . Come è naturale attendersi si ha il 8.4.13 Teorema Una distribuzione T ∈ D0 (Ω) appartiene a E 0 (Ω) se e solo se ha supporto compatto. Dimostrazione: Se T ∈ E 0 (Ω) è una distribuzione allora, per definizione della topologia di C ∞ (Ω), esistono un compatto K ⊂ Ω, un intero m ≥ 0 ed una costante C > 0 tali che ¯ p ¯ ¯∂ ¯ ∞ ∀ϕ ∈ C (Ω) |hT, ϕi| ≤ C sup sup ¯¯ p ϕ(x)¯¯ x∈K ∂x |p|≤m e quindi, se supp ϕ ⊂ {K allora hT, ϕi = 0, i.e. supp T ⊂ K. Viceversa, se T ∈ D0 (Ω) è una distribuzione a supporto compatto K, e se f ∈ Cc∞ (Ω) è una funzione identicamente 1 in un intorno U di K 6 allora ∀ϕ ∈ C ∞ (Ω) hT, ϕi = hT, gϕi 6 La cui costruzione è semplicissima: se W = Ω \ U , allora {U, W } è un ricoprimento aperto di Ω localmente finito (!) e quindi esiste una partizione dell’unità {gU , gW } ad esso subordinata: dato che gW = 0 in U e gU + gW = 1 deve essere gW = 1 in U ; si tratta della nostra funzione g. 260 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici (supp(1 − g)ϕ ⊂ { supp T ). Ma su Cc∞ (supp g) le topologie indotte da C ∞ (Ω) e Cc∞ (Ω) coincidono allora gϕ −→ 0 in Cc∞ (Ω) per C ∞ (Ω) e quindi la distribuzione T è continua su Cc∞ (Ω) rispetto alla topologia indotta da C ∞ (Ω): dunque T ∈ E 0 (Ω). qed ∞ Osserviamo ora che, per ogni m ≥ 1, C (Ω) è un sottospazio dello spazio delle funzioni m volte differenziabili C k (Ω); un ragionamento analogo a quello del teorema 8.4.5 mostra che Cc∞ (Ω) è denso in Ccm (Ω); ha quindi senso la 8.4.14 Definizione Una distribuzione T appartenente allo spazio Dm (Ω) = Ccm (Ω)∗ si dice di ordine minore di m. Se T ∈ D0 (Ω) è una distribuzione ed esiste un intero m ≥ 0 tale che T sia di ordine minore di m allora T si dice di ordine finito. 8.4.15 Esempio Le distribuzioni di ordine (minore di) zero sono le misure di Radon. Sulle distribuzioni possiamo calcolare gli operatori differenziali, usandone la dualità; ricordiamo che un operatore differenziale è una espressione della forma X ∂p P = ap p ∂x |p|≤m con ap ∈ C ∞ (Ω) e p = (p1 , ..., pr ) è un multiinidice con |p| = p1 + ... + pr . Ovviamente P è un operatore lineare e continuo di C ∞ (Ω) in se stesso. Vogliamo definire il suo operatore “aggiunto” P ∗ : D0 (Ω) −→ D0 (Ω) Sulle distribuzioni della forma ψ = f (x)dx otteniamo, se ϕ ∈ C ∞ (Ω), µ p ¶ Z X Z ∂ ∗ ap (x) hP ψ, ϕi = ψ(x)P ϕ(x)dx = ϕ(x) ψ(x)dx ∂xp |p|≤m Possiamo ora integrare per parti ottenendo (non ci sono integrali sul bordo ∂Ω perché supp ϕ ⊂ Ω) X Z ∂p ϕ(x)(−1)|p| p (ap (x)ψ(x)) dx ∂x |p|≤m ottenendo P ∗ψ = X |p|≤m ϕ(x)(−1)|p| ∂p (ap (x)ψ(x)) ∂xp 261 8.4. Distribuzioni Se vogliamo esprimerlo come operatore differenziale, scriviamo ∗ P ψ= X |p|≤m dove X ∂p ∂p ϕ(x)(−1) (ap (x)ψ(x)) = bp (x) p ∂xp ∂x |p| |p|≤m µ ¶ q−p X ∂ |q| q a (x) bp (x) = (−1) p ∂xq−p q p≤q e dove q ≤ p significa q1 ≤ p1 , ..., qr ≤ pr e µ ¶ µ ¶ µ ¶ q q q := 1 ... r p p1 pr Abbiamo quindi un operatore differenziale lineare continuo P ∗ sullo spazio delle distribuzioni. 8.4.16 Teorema Una distribuzione a supporto compatto ha ordine finito. Dimostrazione: Sia T ∈ E 0 (Ω); se U ⊂ Ω ha chiusura compatta e supp T ⊂ U allora T |U è di ordine finito. Infatti è evidente dalle definizioni che la topologia di Cc∞ (Ω) è l’intersezione delle topologie di Ccm (Ω) e quindi la restrizione di T a U è continua in Cc∞ (U ) nella topologia indotta da Ccm (U ) per qualche m ≥ 0, e quindi è continua su Cc∞ (U ) ⊂ Cc∞ (U ); ma la topologia di Ccm (U ) è più fine di quella indottavi da Ccm (U ), dunque T è continua su Cc∞ (U ) rispetto alla topologia indotta da Ccm (U ): ioè T |U ∈ Dm (U ). Ma T = 0 su { supp T e quindi T è di ordine finito in tutto Ω. qed Concludiamo questa introduzione alla dualità negli spazi C m (Ω) dimostrando la proprietà fondamentale delle distribuzioni di ordine finito. 8.4.17 Teorema Se T è una distribuzione di ordine finito m < ∞ in Ω allora, per ogni intorno aperto U di supp T esiste una famiglia di misure di Radon {µp }p∈Nm ;|p|<m in Ω tali che T = X ∂p µp ∂xp |p|≤m e tali che per ogni p ∈ Nn , |p| ≤ m: supp µp ⊂ U . 262 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Dimostrazione: Sia N = Nn,m il numero di multiindici p con |p| ≤ 1: esiste allora una inclusione naturale nel prodotto Ψm : Ccm (Ω) −→ (Cc (Ω))N µ p ¶ ∂ ϕ ϕ 7−→ ∂xp p∈Nn ,|p|≤m Si tratta ovviamente di una applicazione lineare che, pur non essendo suriettiva, è un isomorfismo (su im Ψm ) fra spazi vettoriali topologici7 . Dato che ∼ = Ψm : Ccm (Ω) −→ im Ψ, ogni funzionale lineare continuo su Ccm (Ω) ne determina univocamente uno su im Ψm , che può quindi, per il teorema di Hahn–Banach, estendersi ad un funzionale sull’intero spazio Cc (Ω)N . Ma il duale di un prodotto diretto di spazi vettoriali topologici è canonicamente isomorfo al prodotto dei duali8 e quindi un funzionale lineare continuo su Cc (Ω)n può identificarsi con un insieme di N misure di Radon (λp ) su Ω tali che X h(λp ), (ϕp )i = hλp , ϕp i p∈N;|p|≤m Questo funzionale estende il funzionale ϕ 7−→ hT, ϕi su im Ψm ; quindi, per ϕp := ∂ pϕ (se ϕ ∈ Ccm (Ω)): ∂xp X ∂p T = (−1)|p| p λp ∂x |p|≤m Ora dobbiamo verificare la condizione sui supporti delle misure λp ; consideriamo una funzione g ∈ C ∞ (Ω) che sia identicamente 1 in un intorno U di supp T ed identicamente zero fuori da qualche chiuso contenuto in U e consideriamo il prodotto gT : ovviamente gT = T (per definizione, hgT, ϕi = hT, gϕi) i.e. T = gT = X ∂p λp ∂xp (−1)|p| g |p|≤m ϕ converge a zero in Ccm (Ω) se e solo se ciascuna delle sue derivate di ordine ≤ m converge a zero in Cc (Ω) 8 Se X1 , ..., Xn sono spazi vettoriali topologici, basta considerare l’isomorfismo 7 ∗ X1∗ × ... × Xn∗ −→ (X1 × ... × Xn ) à (ϕ1 , ..., ϕn ) 7−→ (x1 , ..., xn ) 7−→ n X i=1 ! hϕi , xi i 8.5. Trasformata di Fourier di funzioni differenziabili 263 e, per l’identità di Leibniz: X µp ¶ ∂ p λp ∂ p (gϕ) ∂ p−q g ∂ q ϕ |p| |p| hg p , ϕi = (−1) hλp , i = (−1) i hλ , p p−q ∂xq q ∂x ∂xp ∂x q≤p ¶ p−q X ∂q µ ∂ g = h q (−1)|p−q| p−q λp , ϕi ∂x ∂x q≤p e quindi ∂ p λp X ∂ q g p = ∂x ∂xq q≤p µ |p−q| ∂ (−1) p−q g ∂xp−q ¶ λp Sostituendo nell’espressione precedente per la T : µ ¶ p−q q X X g |p−q| ∂ |p| ∂ (−1) T = λ (−1) q p−q p ∂x ∂x q≤p |p|≤m ∂ p−q g con i supporti delle misure λp sono contenuti in supp g ⊂ U . ∂xp−q qed Da questo teorema segue che le distribuzioni di ordine ≤ m sono somme finite di derivate al più di ordine m di misure di Radon. 8.5 Trasformata di Fourier di funzioni differenziabili Vogliamo esemplificare alcune idee qui introdotte proseguendo la discussione della trasformata di Fourier iniziata alla fine del capitolo precedente: tratteremo direttamente il caso in n dimensioni. Consideriamo quindi in Rn la dualità con Rn∗ data dal prodotto euclideo hx, yi = n X xi y i i=1 n 1 n Evidentemente, se (e1 , ..., P Pen ) iè unan∗base di R e (e , ..., e ) una base duale, se n x = i xi ei ∈ R e ξ = i ξi e ∈ R : hξ, xi = n X ξ i xi i=1 In Rn consideriamo poi la misura di Lebesgue (che è determinata univocamente una volta che si fissi, ad esempio, una base, imponendo che il volume dell’ipercubo 264 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici avente per vertici i vettori della base sia 1), che determina univocamente la misura di Lebesgue su Rn∗ . Definiamo ora uno spazio di funzioni “intermedio” fra Cc∞ (Rn ) e C ∞ (Rn ): si tratta dello spazio di Schwartz S(Rn ) delle funzioni f ∈ C ∞ (Rn ) tali che, per ogni coppia di polinomi P, Q ∈ C[X1 , ..., Xn ] ¯ ¯ µ ¶ ¯ ¯ ∂ ¯ sup ¯P (x)Q f (x)¯¯ < ∞ ∂x x∈Rn Oltre ad essere (come è ovvio) uno spazio vettoriale, S(Rn ) è localmente convesso rispetto alla famiglia di seminorme ¯ ¯ µ ¶ ¯ ¯ ∂ ¯ p(f ) := sup ¯P (x)Q f (x)¯¯ ∂x x∈Rn Osserviamo che gli elementi di S(Rn ) si dicono anche funzioni a decrescenza rapida nel senso che tutte le loro derivate tendono a zero (per |x| −→ ∞) più velocemente di ogni potenza di |x|−1 . Infatti la condizione p(f ) < ∞ equivale alla ¯ p ¯ ¯ ¯ k¯ ∂ lim |x| ¯ p f (x)¯¯ = 0 |x|−→∞ ∂x per ogni multiindice p ed ogni intero k ≥ 0. Una famiglia di seminorme per la topologia di S(Rn ) è ¯ p ¯¶ µ ¯ ¯ k¯ ∂ |f |m,k = sup sup (1 + |x|) ¯ p f (x)¯¯ ∂x |p|≤m x∈Rn Cosı̀ lo spazio S(Rn ) è metrizzabile; osserviamo che la sua topologia è più fine di quella indotta da C ∞ (Rn ). Una successione {fi } ⊂ S(Rn ) tende infatti a zero se e solo se le funzioni ¯ p ¯ ¯ ¯ k¯ ∂ (1 + |x|) ¯ p fi (x)¯¯ ∂x convergono uniformemente (ovunque in Rn ) a zero per ogni k e p. In particolare questo implica la convergenza uniforme delle derivate e quindi della successione {fi } in C ∞ (Rn ). 8.5.1 Teorema S(Rn ) è uno spazio di Fréchet. Dimostrazione: Dobbiamo mostrare la completezza della topologia di S(Rn ); se {fi } è una successione di Cauchy in S(Rn ), a maggior ragione lo è in C ∞ (Rn ) 8.5. Trasformata di Fourier di funzioni differenziabili 265 e quindi converge ad una f ∈ C ∞ (Rn ). Dato che la successione è di Cauchy, per ogni m e k, esiste un intero N = Nm,k tale che ∀i ≥ N |fi − fN |m,k ≤ 1 e quindi ∀i |fi |m,k ≤ 1 + sup |fj |m,k j=1,...,N i.e. esiste una costante Mm,k tale che ∀i |fi |m,k ≤ Mm,k In altri termini ∀x ∈ R n ¯ p ¯ ¯∂ ¯ Mm,k ¯ sup ¯ p fi (x)¯¯ ≤ (1 + |x|)k |p|≤m ∂x Ma le derivate delle fi convergono uniformemente alle corrispondenti derivate della f e quindi ¯ p ¯ ¯∂ ¯ Mm,k n ∀x ∈ R sup ¯¯ p f (x)¯¯ ≤ (1 + |x|)k |p|≤m ∂x Quindi f ∈ S(Rn ); che, infine, la convergenza avvenga anche nella topologia di S(Rn ) è ovvio. qed Ovviamente, sebbene abbiamo considerato la scelta di una base per definire la topologia di S(Rn ) la definizione è intrinseca. Osserviamo che, se f ∈ S(Rn ) allora anche x 7−→ e−2πihξ,xi f (x) (per ξ fissato) è a decrescenza rapida. Possiamo ripetere allora una definizione che già conosciamo per L1 (R): 8.5.2 Definizione La trasformata di Fourier di una funzione f ∈ S(Rn ) è la funzione Z fb(ξ) := e−2πihξ,xi f (x)dx Rn Notiamo il fattore 2π: nel caso n = 1 lo avevamo inglobato nel prodotto scalare (che era semplicemente il prodotto di numeri reali). Ricordiamo le seguenti proprietà seguenti della trasformata di Fourier: 266 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici 8.5.3 Proposizione Se f, g ∈ S(Rn ): • f[ + g = fb + gb. c = afb per a ∈ C. • af • fb(ξ) = fb(−ξ) (complessa coniugata). • Se fy (x) := f (x − y) allora fby (ξ) = fb(ξ)e−2πihξ,yi . 8.5.4 Esempio Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f (x) = e−ax 2 in S(R) (con a costante). Per definizione Z 2 b f (ξ) = e−ax −2πiξx dx R e l’integrando è una funziona olomorfa intera, che tende a zero lungo ogni retta parallela all’asse reale del piano complesso; quindi, per il teorema di Cauchy9 , l’integrale non cambia valore se l’integrazione è svolta non lungo l’asse R ma lungo un suo traslato Ry {x + iy}x∈R per y fissato: quindi Z Z 2 −2πiξx 2 −ax fb(ξ) = e dx = e−a(x+iy) −2πiξ(x+iy) dx Ry R Z 2 2 = eay +2πξy e−ax −2aixy−2πiξx dx ZR 2 2 = eay +2πξy e−ax −2ix(ay+πξ) dx R Ora consideriamo y costante in modo che nell’esponente della funzione integranda la parte immaginaria, ponendo cioè y = −πξ/a e ricordando che p R scompaia −ax2 π/a (cfr. appendice al paragrafo 8.5.1): e dx = R r Z (πξ)2 (πξ)2 (πξ)2 π 2 a −2 −ax − a fb(ξ) = e a2 e dx = e a a R In particolare, per a = π: 2 −πx2 (ξ) = e−πξ e[ 9 Alcuni richiami di Analisi Complessa, compreso questo teorema, sono dati in appendice al prossimo capitolo. 8.5. Trasformata di Fourier di funzioni differenziabili 267 8.5.5 Teorema La trasformata di Fourier b : S(Rn ) −→ S(Rn∗ ) è un isomorfismo di spazi di Fréchet. Dimostrazione: Dimostriamone per prima cosa la continuità: se P, Q∈C[X1 , ..., Xn ] allora, per l’identità di Leibniz e la derivazione sotto il segno di integrale: µ ¶ Z ∂ b Q f (ξ) = e−2πihξ,xi Q(−2πix)f (x)dx ∂ξ e, integrando per parti: P (ξ)fb(ξ) = Z µ −2πihξ,xi e P 1 ∂ 2πi ∂x ¶ f (x)dx Combinando queste formule: µ ¶ µ ¶ Z ∂ b 1 ∂ −2πihξ,xi P (ξ)Q f (ξ) = e P (Q(−2πix)f (x)) dx ∂ξ 2πi ∂x e quindi, per ogni ξ ∈ Rn∗ : ¯ ¯ ¯ Z ¯ µ µ ¶ ¶ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ∂ ¯P (ξ)Q ∂ fb(ξ)¯ ≤ ¯P (Q(−2πix)f (x)) ¯¯dx ≤ ¯ ¯ ¯ ∂ξ 2πi ∂x ¯ µ ¯¶ Z µ ¶ ¶n+1 µ ¯ ¯ 1 1 ∂ n+1 ¯ ¯ (Q(−2πix)f (x)) ¯ dx ≤ sup (1 + |x|) ¯P 2πi ∂x 1 + |x| x∈Rn Da qui la continuità. Consideriamo ora l’operatore e: S(Rn∗ ) −→ S(Rn ) definito dalla Z ge(x) := e2πihξ,xi g(ξ)dξ Rn∗ Lo stesso calcolo effettuato per b ci mostra che e è continuo: dimostriamo che si tratta dell’operatore inverso di b, col che avremo la tesi del teorema. Sia quindi g ∈ S(Rn∗ ): Z ZZ 2πihξ,xi b g(ξ)f (ξ)e dξ = g(ξ)f (y)e2πihξ,x−yi dydξ Z Z = f (y)e g (x − y)dy = f (x − y)e g (y)dy (abbiamo usato il teorema di Fubini: (y, ξ) 7−→ f (y)g(ξ) è integrabile in Rm ×Rn∗ rispetto alla misura dx ⊗ dξ). Dunque Z Z 2πihξ,xi g(ξ)fb(ξ)e dξ = f (x − y)e g (y)dy 268 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Dato che vogliamo dimostrare che la composizione e ◦ b è idS(Rn ) (l’altra identità b ◦ e = idS(Rn∗ ) segue in modo analogo), è sufficiente dimostrare che se ge converge alla misura di Dirac concentrata nell’origine di S(Rn )∗ allora {fn } ⊂ S(Rn∗ ) converge funzione 1: basta considerare, ad esempio {e− Infatti limk e− |ξ|2 k |ξ|2 k }k≥1 =1e √ ] |ξ|2 2 lim e− k dξ = lim kπe−k(|πξ|) dξ = δ0 k−→∞ k−→∞ qed La formula f g fb(x) = Z f (x − y)e g (y)dy è uno dei modi di esprimere la formula di inversione di Fourier . 8.5.6 Teorema Se f, h ∈ S(Rn ): Z Z h(ξ)dξ fb(ξ)b f (x)h(x)dx = (Formula di Parseval) RN ∗ Rn Z Z |f (x)| dx = 2 (Formula di Plancherel) Rn Rn∗ |fb(ξ)|2 dξ Dimostrazione: Se nella formula di inversione di Fourier consideriamo x = 0 ed effettuiamo il cambiamento di variabile y 7−→ −y otteniamo Z Z b (∗) g(ξ)f (ξ)dξ = f (y)e g (−y)dy Allora per g ∈ S(Rn∗ ) tale che ge(−y) = h(y) (una tale scelta è possibile per il teorema precedente) otteniamo h(ξ) g(ξ) = b e quindi, sostituendo nella (*), otteniamo la formula di Parseval. La formula di Plancherel è la formula di Parseval nel caso f = h. qed è denso in Sappiamo che lo spazio Cc (R ) è denso in L (R ); inoltre n p n Cc (R ) e quindi lo è in L (R ). Questo fatto e la formula di Plancherel implicano immediatamente che n p n Cc∞ (Rn ) 8.5. Trasformata di Fourier di funzioni differenziabili 269 8.5.7 Corollario La trasformata di Fourier si può estendere ad una isometria fra spazi di Hilbert b: L2 (Rn ) −→ L2 (Rn∗ ) Le formule di Parseval e Plancherel si scrivono in L2 (Rn ) come (x, y) = (b x, yb) e ||x||2 = ||b x||2 Sono ovviamente equivalenti per le identità di polarizzazione. Costruiamo ora un sistema ortogonale per L2 (R) (per semplicità consideriamo il caso n = 1): precisamente ne troveremo uno nel quale la trasformata di Fourier è una matrice (infinita) diagonale. Partiamo dall’osservazione che l’equazione (†) f 00 (x) − x2 f (x) = cf (x) è trasformata in sé dalla trasformata di Fourier, se f ∈ S(R). In effetti sappiamo che (indichiamo con l’apice la derivata rispetto a x): [ = (fb)0 −ixf Inoltre fb0 = iξ fb Infatti, integrando per parti (la f è nulla all’infinito). Z Z 0 iξ(x) f (x)e dx = iξ f (x)eiξ(x) dx Quindi la (†) è mutata in sé dalla trasformata di Fourier. Consideriamo ora soluzioni della (†) della forma f = p(x)e− x2 2 ove p è un polinomio. Sostituendo nella (†) troviamo che p00 (x) − 2xp0 (x) = (c + 1)p(x) Se p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn otteniamo le identità k(k − 1)ak − 2(k − 2)ak−2 = (c + 1)ak−2 (per k = 2, ..., n). Dato che an 6= 0 (per definizione è il coefficiente direttore del polinomio) si ha c = −(2n + 1) e an−1 = 0 270 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Evidentemente ak = 0 se k è un intero di parità diversa da n, mentre se k e n hanno la stessa parità allora ak 6= 0, e, per induzione: ak−2 = k(k − 1) ak 2k − 2n − 4 Quindi sono tutti definiti in termini di an ; non scriviamo esplicitamente una formula per p (cosa che sarebbe assai facile a questo punto), ma osserviamo che le funzioni x2 fn (x) = pn (x)e− 2 sono in L2 (R), ove pn (x) è semplicemente il polinomio p in grado n: la scelta di un tale polinomio si riduce infatti a quella di una costante (il suo coefficiente direttore) che possiamo fissare e del suo grado, che è l’intero n. Queste funzioni sono ortogonali: siano n 6= m; allora, dato che fn e fm soddisfano la (†): fn00 (x) − x2 p0n (x) = −(2n + 1)fn (x) e 00 fm (x) − x2 p0m (x) = −(2m + 1)fm (x) Sottraendo queste equazioni si ottiene 0 (fn0 fm − fm fn )0 = 2(m − n)fm fn che, integrata, dà luogo alla Z Z ¯∞ 1 1 ¯ 0 0 fn fm = (fn0 fm − fm fn )0 = =0 (fn0 fm − fm fn )¯ 2(m − n) 2(m − n) −∞ I polinomi pn si dicono polinomi di Hermite. Sappiamo già che le {fn } costituiscono un sistema completo, quindi una base ortonormale per lo spazio di Hilbert L2 (R). Si potrebbe dimostrare che la trasformata di Fourier ammette queste funzioni come autovettori: fbn = cn fn √ √ con cn = ± 2π oppure cn = ±i 2π 8.5.1 Appendice: l’integrale di Gauss Vogliamo calcolare l’integrale di Gauss Z ∞ 2 e−ax dx −∞ 271 8.5. Trasformata di Fourier di funzioni differenziabili Dato che e−ax = e−a(−x) si osserva per prima cosa che Z ∞ Z ∞ 2 −ax2 e dx = 2 e−ax dx 2 2 −∞ 0 Calcoliamo quindi questo secondo integrale: se Cr := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ r2 e x, y ≥ 0} e Qr è il quadrato Qr := {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x, y ≤ r} allora, dato che e−a(x +y ) > 0 e Cr ⊂ Qr ⊂ Cr√ 2 : Z Z Z −a(x2 +y 2 ) −a(x2 +y 2 ) (∗) e dx ⊗ dy < e dx ⊗ dy < 2 Cr 2 e−a(x 2 +y 2 ) Cr √ 2 Qr dx ⊗ dy Inoltre, per il teorema di Fubini: µZ r ¶2 Z Z r Z r −a(x2 +y 2 ) −ax2 −ay 2 −ax2 (∗∗) e dx ⊗ dy = e e dydx = e dx Qr 0 0 0 Infine, usando le coordinate polari in Cr : Z Z r Z ´ π π ³ π r −aρ2 2 2 −a(x2 +y 2 ) e ρdρ = e−aρ d(aρ2 ) = 1 − e−ar e dx ⊗ dy = 2 0 4a 0 4a Cr da cui otteniamo Z Z −a(x2 +y 2 ) e dx ⊗ dy = lim lim r−→∞ Cr r−→∞ e−a(x 2 +y 2 ) Cr √ 2 dx ⊗ dy = π 4a Quindi, passando al limite nella (*) ed usando la (**): µZ r ¶2 π −ax2 e dx = lim r−→∞ 4a 0 Abbiamo quindi il valore dell’integrale di Gauss: r r Z π π −ax2 e = dx = 2 4a a R In maniera del tutto analoga, se A è una matrice simmetrica invertibile n × n, si trova r Z πn −hAx,xi e dx = det A Rn (le condizioni sulla matrice sono indispensabili per l’integrabilità della funzione) che generalizza la formula dell’integrale di Gauss. 272 8.6 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Distribuzioni temperate Osserviamo che le immersioni continue Cc∞ (Rn ) −→ S(Rn ) −→ C ∞ (Rn ) sono dense, e quindi danno luogo alle immersioni continue E 0 (Rn ) −→ S 0 (Rn ) −→ D0 (Rn ) ove S 0 (R∗ ) := S(Rn )∗ è lo spazio delle distribuzioni temperate. 8.6.1 Esempio • Una distribuzione a supporto compatto è temperata. • Ogni funzione continua f che tenda all’∞ più lentamente di ogni polinomio induce una distribuzione f dx temperata: infatti una distribuzione è temperata se e solo se è continua nella topologia su Cc∞ (Rn ) indotta da quella di S(Rn ); per lo stesso motivo ogni funzione f ∈ Lp (con 1 ≤ p ≤ ∞) induce una distribuzione f dx temperata. 8.6.2 Teorema Una distribuzione è temperata se e solo se è somma (finita) di derivate di funzioni continue che tendono all’∞ più lentamente di qualsiasi polinomio. Dimostrazione: La sufficienza della condizione è ovvia; Se T è una distribuzione temperata allora esistono m, h ≥ 0 ed una C > 0 tali che ¯ ¯ p ¯ ¯ ∂ 2 h ∞ n ¯ ∀ϕ ∈ Cc (R ) |hT, ϕi| ≤ C sup sup ¯¯(1 + |x| ) ϕ(x) ¯ ∂xp |p|≤m x∈Rn Se ϕh := (1 + |x|2 )h ϕ(x) ovviamente ϕh ∈Cc∞ (Rn ). è poi ovvio che la mappa ϕ 7−→ ϕh è lineare e biunivoca da Cc∞ (Rn ) in se stesso; per induzione: ¯ p ¯ ¯ X ¯¯ ∂ p ¯∂ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂xp ϕ(x)¯ ≤ Cp,h (1 + |x|2 )h ¯ ∂xp ϕh (x)¯ q≤p quindi ¯ p ¯ ¯∂ ¯ |hT, ϕi| ≤ C sup sup ¯¯ p ϕh (x)¯¯ x∈Rn ∂x 0 |p|≤m 273 8.6. Distribuzioni temperate Consideriamo ora il monomio differenziale D := ∂ ∂ ... ∂x1 ∂xn Ovviamente (per x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn ): Z x1 Z xn ϕ(x) = ... Dϕ(y)dy1 ...dyn −∞ −∞ e quindi sup |ϕ(x)| ≤ ||Dϕ||L1 x∈Rn Sostituendo nella stima precedente: |hT, ϕi| ≤ C ¯¯ µ ¶p ¯¯ ¯¯ ∂ ¯¯ sup ¯¯¯¯ ϕh (x)¯¯¯¯ ∂x 00 |p|≤m+n L1 Un modo di interpretare questa stima è considerare la mappa iniettiva ¡ ¢N J : Cc∞ (Rn ) −→ L1 (Rn ) µµ ¶p ¶ ∂ ψ 7−→ ψ ∂x |p|≤m+n (ove N è il numero delle n-ple p tali che |p| ≤ m+n) ed affermare che il funzionale lineare (si ricordi che ogni funzione ϕ ∈ Cc∞ (Rn ) è univocamente rappresentabile come ϕh ) Jϕh 7−→ hT, ϕi è continuo su JCc∞ (Rn ) rispetto alla topologia indotta da (L1 (Rn )N ; Quindi, per il teorema di Hahn–Banach, si estende ad un funzionale su tutto L1 (Rn ))N . Ma, dato che L1 (Rn )∗ = L∞ (Rn ), allora (per il teorema di Riesz 6.4.8) (L1 (Rn ))N ∗ = L∞ (Rn )N e quindi esistono N funzioni hp ∈ L∞ (Rn ) (|p| ≤ m + n) tali che µ ¶p X ∂ hT, ϕi = ϕh i hhp , ∂x |p|≤m+n i.e. T = X µ |p| (1 + |x| ) (−1) 2 h |p|≤m+n ∂ ∂x ¶p hp Se, per ogni p poniamo Z gp (x) := Z x1 ... 0 xn hp (y1 , ..., yn )dy1 ...dyn 0 274 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici allora, dato che le hp sono essenzialmente limitate, le gp sono continue e |gp (x)| ≤ |x1 |...|xn | ||hp ||L∞ Ma, dato che hp = Dgp : X T = µ (1 + |x| ) 2 h |p|≤m+n ∂ ∂x ¶p kp ove kp = (−1)|p| Dgp . Per induzione su h segue infine che µ ¶p X µ ∂ ¶p ∂ 2 h (1 + |x| ) kp (x) = (P (x)kp (x)) ∂x ∂x q≤p per qualche polinomio P che dipende da p, q, h, e quindi la tesi. qed 8.6.3 Definizione L’applicazione lineare duale della trasformata di Fourier in S(Rn ) è la trasformata di Fourier nello spazio delle distribuzioni temperate. Osserviamo che, essendo L2 (Rn )∗ = L2 (Rn ), questo concetto è autoduale sullo spazio delle funzioni a quadrato integrabile. Applicando l’operatore di dualità * al teorema 8.5.5 si ha il 8.6.4 Teorema La trasformata di Fourier è un isomorfismo fra gli spazi vettoriali topologici S 0 (Rn ) e S 0 (Rn∗ ). Ricordiamo che lo spazio di Banach L1 (Rn ) è un’algebra associativa e commutativa rispetto alla convoluzione: ricordiamo in particolare che, se f, g ∈C( Rn ), la loro convoluzione è la funzione Z f ∗ g(x) := f (x − y)g(y)dy Rn Le seguenti proprietà sono state già enunciate nel caso di L1 (R): dimostriamole in dettaglio nel caso di funzioni continue a supporto compatto. 8.6.5 Proposizione Se f, g, h ∈ Cc (Rn ) allora • f ∗g =g∗f • f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h • (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h 8.6. Distribuzioni temperate 275 • Se fy (x) := f (x − y) allora (f ∗ g)y = fy ∗ g = f ∗ gy Dimostrazione: Le (1) e (2) seguono dall’invarianza della misura di Lebesgue per traslazioni d(ax + c) = adx: Z Z f ∗ g(x) = f (x − y)g(y)dy = f (−y)g(y + x)dy Rn Rn Z =− g(x − y)f (y)d(−y) = g ∗ f (x) Rn e, per il teorema di Fubini 10 : Z Z Z f ∗ (g ∗ h)(x) = f (x − y)g ∗ h(y)dy = f (x − y) g(y − z)h(z)dzdy Rn Rn Rn Z = f (x − y)g(y − z)h(z)dz ⊗ dy Rn ×Rn Z Z = f (x − z − y)g(y)dyh(z)dz Rn Rn Z = f ∗ g(x − z)h(z)dz = (f ∗ g) ∗ h(x) Rn La (3) si riduce alla linearità dell’integrale, e la (4) è pure un molto semplice: intanto Z fy ∗ g(x) = f (x − y − z)g(z)dz = (f ∗ g)y (x) Rn e quindi fy ∗ g = (f ∗ g)y = (g ∗ f )y = gy ∗ f = f ∗ gy qed Evidentemente basta che solo una delle funzioni f, g sia a supporto compatto perché la definizione abbia senso. Esistono comunque condizioni più generali per l’esistenza della convoluzione di due funzioni. 8.6.6 Teorema Se p, q, r sono tali che 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ e 1 1 1 = + −1 r p q allora, per ogni f, g ∈ Cc (Rn ): ||f ∗ g||Lr ≤ ||f ||Lp ||g||Lq 10 Possiamo applicarlo perché le funzioni a supporto compatto sono integrabili rispetto alla misura di Lebesgue in Rn . 276 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Dimostrazione: Poniamo h(x) := f ∗ g(x) e s = p(1 − 1/q); per la disuguaglianza di Hölder: µZ |h(x)| ≤ |f (x − y)| (1−s)q Rn |g(y)| dy q ¶ 1q ¯¯ s ¯¯ ¯¯|f | ¯¯ Lt ove t è tale che 1/t + 1/q = 1. Ma allora st = p e quindi Z sq q |h(x)| ≤ ||f ||Lp |f (x − y)|(1−s)q |g(y)|q dy Rn Consideriamo ora la funzione F : Rn −→ Lα (Rn ) ¡ ¢ y 7−→ x 7−→ |f (x − y)|1−s)q |g(y)|q (per α opportuno): evidentemente F è continua a supporto compatto e, per la proprietà del modulo dell’integrale11 ¯¯ Z ¯¯ Z ¯¯ ¯¯ ¯¯ ≤ ¯¯ ||F (y)||dy F (y)dy ¯¯ ¯¯ Rn Rn otteniamo ¯¯ q ¯¯ ¯¯|h| ¯¯ Lα ¯¯ (1−s)q ¯¯ ¯¯ q ¯¯ ¯¯ ¯¯ p ¯¯|g| ¯¯ 1 ≤ ||f ||sq Lp |f | L L vale a dire (1−s)q q ||h||qLα ≤ ||f ||sq Lp ||f ||Lα(1−s)q ||g||Lq Allora, per α = r/q ||h||Lr ≤ ||f ||sLp ||f ||L1−s (1−s)r ||g||Lq cioè la tesi, dato che µ (1 − s)r = p 1−p− q ¶ µ r = pr ¶ 1 1 + −1 =p p q qed n p n Dato che Cc (R ) è denso in L (R ) segue il 11 Osserviamo che stiamo integrando una funzione continua a valori in uno spazio di Banach Lα : dovrebbe essere ovvio che la definizione di questo integrale procede come nel caso di funzioni a valori reali; ad esempio, essendo la funzione continua, possiamo definire l’integrale come limite (nella norma di Lα ) di somme integrali alla Riemann; in generale l’integrazione ha valori in uno spazio di Banach ha perfettamente senso e si dice integrazione alla Bochner . 277 8.6. Distribuzioni temperate 8.6.7 Corollario Se p, q, r sono tali che 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ e 1 1 1 = + −1 r p q allora, per ogni f ∈ Lp (Rn ) e g ∈ Lq (Rn ): Z f (x − y)g(y)dy Rn definisce un elemento di Lr (Rn ) che si denota f ∗ g ed è tale che ||f ∗ g||Lr ≤ ||f ||Lp ||g||Lq In particolare: per q = 1 deduciamo che la mappa lineare ϕ : Lp (Rn ) −→ Lp (Rn ) g 7−→ f ∗ g è continua e ||ϕ|| ≤ ||f ||L1 , mentre per p = q = 1 deduciamo cha la mappa bilineare L1 (Rn ) × L1 (Rn ) −→ L1 (Rn ) (f, g) 7−→ f ∗ g è continua e ||f ∗ g||L1 ≤ ||f ||L1 ||g||L1 . Cioè lo spazio di Banach L1 (Rn ) dotato dell’operazione di convoluzione è un’algebra di Banach commutativa (cfr. capitolo seguente). Osserviamo ora che se f, g ∈ C 1 (Rn ), le formule di Leibniz e di derivazione sotto il segno di integrale implicano che f ∗ g è derivabile rispetto a x e ∂ ∂f ∂g (f ∗ g) = ∗g =f ∗ ∂xi ∂xi ∂xi Ora, se A ⊂ Rn e f, g∈C(Rn ) (ed una delle due ha supporto compatto), definendo ( f (x) se x ∈ A \ supp g fA (x) := 0 altrimenti abbiamo allora, per x ∈ A f ∗ g(x) = Z Rn fA (x)g(y)dy = fA ∗ g(x) Applicando questa osservazione a ∂f /∂xi otteniamo, per ogni x ∈ A: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ ¯ ∂f ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ sup ¯ ¯ f ∗ g(x) (y) ¯ ∂xi ¯ ∂xi ¯ ||g||L1 ¯ y∈A\supp g Se supp g e A sono compatti la parte destra di questa disuguaglianza è finita, quindi 278 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici 8.6.8 Proposizione Se 0 ≤ m ≤ ∞ e g ∈ L1 (Rn ) ha supporto compatto allora la convoluzione f 7−→ f ∗ g è lineare e continua da C m (Rn ) in sè. Osservando che supp(f ∗ g) ⊂ supp f + supp g (somma vettoriale in Rn ) si trae facilmente il 8.6.9 Corollario Se 0 ≤ m ≤ ∞ e g ∈ L1 (Rn ) ha supporto compatto allora la convoluzione f 7−→ f ∗ g è lineare e continua da Ccm (Rn ) in sè. Dimostriamo ora che la trasformata di Fourier si comporta come un morfismo di algebre fra prodotto punto per punto e convoluzione. 8.6.10 Teorema fcg = fb ∗ gb e f[ ∗ g = fbgb Dimostrazione: Usiamo ovviamente il teorema di Fubini Z Z Z −2πihξ,xi f[ ∗ g(ξ) = f ∗ g(x)e dx = f (y)g(x − y)e−2πihξ,xi dydx Z Z −2πihξ,yi = f (y)e g(x − y)e−2πihξ,x−yi dydx =fb(ξ)b g (ξ) Il viceversa segue per il teorema 8.5.5: ogni funzione di Schwartz è della forma b h c [ cosı̀ che fcg = b ∗ k = h ∗ k = fb ∗ gb. kb h = h[ qed In analogia a quanto abbiamo fatto per la trasformata di Fourier, vogliamo ora definire una operazione di convoluzione fra distribuzioni. 8.6.11 Definizione Se T ∈ S 0 (Rn ) è una distribuzione temperata allora la distribuzione temperata Tb definita da ∀ϕ ∈ S(Rn ) hTb, ϕi = T (ϕ) b è la sua trasformata di Fourier. Dato che la trasformata di Fourier è un isomorfismo fra gli spazi di Schwartz, vale la formula di inversione per le trasformate di Fourier delle distribuzioni temperate: prima osserviamo che, se Tf è l’unica distribuzione associata alla funzione f : Z Tf (ϕ) = f ϕ 279 8.6. Distribuzioni temperate allora cf Tfb = T Infatti, se f, ϕ ∈ S(Rn ) allora, per il teorema di Parceval: Z Tfb(ϕ) = fbϕ = Z b fbϕ b= Z fϕ b = Tf (ϕ) b 8.6.12 Teorema La trasformata di Fourier è l’unica estensione debolmente continua dell’isomorfismo b : S(Rn ) −→ S(R∗n ) agli spazi delle distribuzioni temperate corrispondenti. Si tratta di una mappa lineare e biunivoca. Dimostrazione: Sia T ∈ S 0 (Rn ); allora, se ϕn −→ ϕ i S(Rn ): ϕ cn −→ ϕ b e quindi T (c ϕn ) −→ T (ϕ) b e, per definizione Tb(ϕn ) −→ Tb(ϕ). Quindi la T 7−→ Tb è debolmente continua. qed 8.6.13 Esempio La trasformata di Fourier della derivata della δξ0 è: δc b = ξ0 (ϕ) = δξ0 (ϕ) Z ϕ(x)e−2πihξ0 ,xi −2πihξ,xi i.e. δc . ξ0 è la funzione e Infine definiamo anche la convoluzione di una distribuzione temperata T con una funzione di Schwartz f (se f è una funzione denotiamo con fe la funzione fe(x) = f (−x)): ∀ϕ ∈ S(Rn ) hT ∗ f, ϕi := hT, fe ∗ ϕi Dimostriamo che gode delle proprietà attese da una convoluzione. 8.6.14 Teorema La funzione T 7−→ T ∗ f è debolmente continua ed estende la convoluzione in S(Rn ). Inoltre (T ∗ f ) ∗ g = T ∗ (f ∗ g) e T[ ∗ f = fbTb 280 Capitolo 8. Spazi vettoriali topologici Dimostrazione: La debole continuità è ovvia, come pure il fatto che estenda la convoluzione usuale: Z Z Tf ∗ g(ϕ) =hTf , ge ∗ ϕi = f (y) g(−x)ϕ(y − x)dxdy Z Z Z Z = f (y) g(−y − x)ϕ(−x)dxdy = f (y) g(z − y)ϕ(z)dzdy Z Z = f (y)g(z − y)dyϕ(z)dz = Tf ∗g (ϕ) La debole densità di S(Rn ) in S 0 (Rn ) implica che le due identità per la convoluzione di funzioni si estendano alle convoluzioni. qed Capitolo 9 ALGEBRE DI BANACH E C*-ALGEBRE In questo capitolo introduciamo le algebre di operatori: in realtà definiamo una classe più generale di oggetti, le algebre di Banach, che combinano una struttura di spazio vettoriale normato e di algebra associativa: gli esempi che ci interessano sono le C*-algebre di operatori, delle quali ci occuperemo nei capitoli seguenti; comunque nel caso commutativo, queste algebre sono algebre di funzioni, e come esempio chiave analizzeremo in dettaglio il caso dell’algebra delle funzioni continue su uno spazio di Hausdorff compatto, dimostrandone tutte le principali proprietà. In appendice al capitolo diamo dei rapidi cenni di analisi complessa, per rendere indipendente la nostra esposizione autosufficiente. 9.1 Algebre di Banach Osserviamo che se A : X −→ Y è un operatore lineare e B ∈ B(Y, Z) allora l’operatore composto B ◦ A(x) := B(Ax) è lineare (ovvio) e limitato: ||B ◦ A(x)|| ≤ ||B|| ||Ax|| ≤ ||A|| ||B|| ||x|| cioè ||BA|| ≤ ||A|| ||B|| Se X = Y = Z lo spazio vettoriale B(X) := B(X, X) è un’algebra rispetto al prodotto dato dalla composizione di operatori ed è normata nel senso della seguente 9.1.1 Definizione Un’algebra (associativa sui complessi) A si dice normata se, come spazio vettoriale, è normato e la norma è compatibile col prodotto: ∀a, b ∈ A ||ab|| ≤ ||a|| ||b|| 281 282 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Se un’algebra normata A è uno spazio di Banach rispetto alla sua norma, si dice algebra di Banach. Osserviamo che un’algebra di Banach, dal punto di vista algebrico, è semplicemente un’algebra associativa, non necessariamente commutativa e non necessariamente dotata di un elemento identità. 9.1.2 Esempio (1) Se X è uno spazio di Banach, allora B(X) è un’algebra di Banach. (2) Ogni algebra di dimensione finita è un’algebra di Banach, dato che uno spazio di dimensione finita è di Banach rispetto a qualsiasi norma si possa immaginare. (3) Se dim X < ∞ allora B(X) è l’algebra degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, cioè l’algebra completa delle matrici Mn (C): una norma che tipicamente si considera sullo spazio delle matrici (reali o complesse) è ||A|| = n max |aij | i,j ove ((aij )) = A sono le entrate della matrice. Ovviamente rispetto a ||.|| Mn (C) è uno spazio normato: è inoltre un’algebra di Banach, dato che ¯ ¯ ¯ ¯X X ¯ ¯ |aik | |bkj | aik bjk ¯ ≤ n max ||AB|| = n max ¯ i,j i,j ¯ ¯ k k   |A| |B|   |A| |B| ≤ n + ··· +  = |A| |B| n n n n | {z } n volte Introduciamo un po’ di terminologia: ovviamente una sottoalgebra di un’algebra normata A è un sottospazio vettoriale che sia anche un’algebra rispetto al prodotto indotto da A: avrà interesse particolare considerare sottoalgebre chiuse. Un morfismo ϕ : A −→ B di algebre normate è un operatore lineare e continuo che sia anche un omomorfismo di algebre: ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Evidentemente le algebre normate formano una categoria. Sia A un’algebra normata e S ⊂ A; se a(S) denota la sottoalgebra generata da S allora a(S) è una sottoalgebra normata di A. Infatti la mappa A × A −→ A (A, B) 7−→ AB 283 9.1. Algebre di Banach è continua (su A × A si mette la topologia prodotto). Per vederlo basta osservare che An Bn − An B + An B − AB = An (Bn − B) + (An − A)B e quindi che ||An Bn − AB|| ≤ ||An || ||Bn − B|| + ||An − A|| ||B|| ≤ c||Bn − B|| + ||An − A|| ||B|| xn −→∞ / 0 (dato che An −→ A). Quindi {An }, {Bn } ⊂ a(S) implica AB ∈ a(S): cioè la chiusura di una sottoalgebra è una sottoalgebra. Un caso interessante è quando X = H è uno spazio di Hilbert: ad un elemento A dell’algebra di Banach A = B(H) si associa la funzione hx, yi := (x, Ay) che è una forma sesquilineare limitata su A: |hx, yi| ≤ ||A|| ||x|| ||y|| (per la diseguaglianza di Schwartz). Viceversa, se h, i è una forma sesquilineare limitata sullo spazio di Hilbert H allora, fissato x ∈ H, la mappa y 7−→ hx, yi è un funzionale lineare limitato di norma N tale che ||hx, −i|| ≤ N ||x|| Ma allora, per il teorema di Riesz, esiste x0 ∈ H tale che ∀y ∈ H hx, yi = (x0 , y) In modo analogo, fissando y, si ottiene la forma antilineare x 7−→ hx, yi e di nuovo, per il teorema di Riesz (o meglio per il complesso coniugato del teorema di Riesz...), deve esistere y 0 ∈ H tale che ∀x ∈ H hx, yi = (x, y 0 ) Dunque ogni forma sesquilineare limitata è del tipo h, i ed esiste un operatore A ∈ B(H) tale che y 0 = Ay e hx, yi = (x, Ay) con ||A|| ≤ ||h, i||. Si noti che in realtà ||h, i|| = ||A||: infatti ||h, i|| = sup |hx, yi| = ||A|| x,y∈H1 284 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre dato che M |(x, Ay)| ||y|| ≤ 1 (denotiamo con H1 l’insieme dei vettori di H di norma minore o uguale a 1). Dalla discussione precedente si ha che la forma hx, yi∗ := hx, yi è sesquilineare limitata e si dice forma aggiunta di h, i. Ovviamente ||h, i|| = ||h, i∗ || e l’operatore A∗ tale che, per ogni x, y ∈ H: hx, yi∗ = (x, A∗ y) si dice operatore aggiunto dell’operatore A. Per ogni A ∈ B(H) esiste dunque un unico operatore aggiunto A∗ ∈ B(H) tale che (Ax, y) = (y, Ax) = (x, A∗ y) La corrispondenza A 7−→ A∗ è una involuzione di algebre in B(H): cioè B(H) è una *-algebra. 9.1.3 Proposizione Se A è un’algebra normata con involuzione *: (1) (aA + bB)∗ = aA∗ + bB ∗ . (2) (A∗ )∗ = A. (3) (AB)∗ = B ∗ A∗ . 9.1.4 Definizione Una *-algebra normata è un’algebra A normata che sia anche una *-algebra in modo che ∀A ∈ A ||A|| = ||A∗ || Abbiamo appena visto che B(H) è una *-algebra normata. In realtà la norma in B(H) possiede una proprietà ben più notevole. Infatti, dato che ||A||2 = sup ||Ax||2 ||x||=1 e ||Ax||2 = (Ax, Ax) = (x, A∗ Ax) ≤ ||A∗ Ax|| (per la disuguaglianza di Schwartz) allora ||A||2 ≤ sup ||A∗ Ax|| = ||A∗ A|| ≤ ||A∗ || ||A|| = ||A|| ||A|| = ||A||2 ||x||≤1 e quindi ||A∗ A|| = ||A||2 285 9.1. Algebre di Banach 9.1.5 Definizione Una *-algebra di Banach A tale che, per ogni a ∈ A: ||a∗ a|| = ||a||2 (∗) si dice C*-algebra e la proprietà (∗) si dice identità-C*. In una C*-algebra A ogni *-sottoalgebra chiusa è una sotto-C*-algebra. 9.1.6 Esempio (1) La C*-algebra B(H) non è commutativa: infatti due operatori in generale non sono commutabili (a meno che H = C e quindi B(H) = M1 (C) = C \ {0}). (2) Consideriamo le funzioni continue (a valori complessi) C(X) definite su uno spazio topologico compatto X. Si tratta di uno spazio vettoriale che, rispetto alla norma ||f || = max |f (x)| x∈X è uno spazio di Banach. Se poi consideriamo le operazioni (f · g)(x) := f (x)g(x) (f ∗ )(x) := f (x) allora C(X) diviene una C*-algebra commutativa. In seguito dimostreremo che, in un certo senso, si tratta del modello più generale di C*-algebra commutativa. Osserviamo che la funzione 1 che vale identicamente 1 su X sta in C(X) e ne costituisce l’identità: ∀f ∈ C(X) f · 1 = 1 · f = f (3) Un altro esempio di C*-algebra commutativa strettamente imparentato con C(X) è quello delle funzioni continue a supporto compatto definite su uno spazio topologico localmente compatto X: Cc (X). La norma è la medesima di C(X) (dato che il luogo dei punti ove un elemento di Cc (X) è diverso da zero è compatto ha senso parlare di massimo su tutto X), come pure le operazioni di prodotto e *. Osserviamo che tuttavia Cc (X) non possiede una identità, dato che la funzione identicamente 1 (unico candidato possibile) non ha supporto compatto. 9.1.7 Definizione Un elemento a ∈ A di una *-algebra si dice normale se a∗ a = aa∗ , e si dice autoaggiunto se a∗ = a. 286 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Considereremo sempre algebre di Banach con unità I. 9.1.8 Definizione Se A è un’algebra di Banach, un elemento A ∈ A si dice invertibile se esiste B ∈ A tale che AB = BA = I Si scrive in tal caso A−1 = B. Un’algebra di Banach possiede sempre elementi invertibili, come segue ad esempio dal 9.1.9 Lemma Per ogni B ∈ A tale che ||I − B|| < 1 si ha che B ∈ A−1 . Dimostrazione: Scriviamo A := I − B. Allora l’ipotesi è che ||A|| < 1 e possiamo prendere la serie formale X (I − A)−1 := An n≥0 Si tratta in realtà di una serie convergente, dato che converge assolutamente (cfr. proposizione 6.1.9): infatti la serie numerica X X X X ||An || = ||AAn−1 || ≤ ||A|| ||An−1 || ≤ ... ≤ ||A||n n≥0 n≥0 n≥0 n≥0 P converge dato che ||A|| < 1. Quindi la serie n≥0 An converge ad un elemento C ∈ A, e si ha à ! N N X X n CB = lim A B = lim (An B) N −→∞ = lim N −→∞ n=0 N X N −→∞ n=0 An (IA ) = lim (I − AN +1 ) = I − 0 = I n=0 N −→∞ (abbiamo usato la continuità del prodotto in A ed il fatto che se una serie converge il suo termine generico tende a zero). In modo analogo si trova BC = I. qed Osserviamo che ¯¯ X ¯¯ X X ¯¯ ¯¯ 1 ||An || ≤ ||A||n = An ¯¯¯¯ ≤ ||(I − A)−1 || = ¯¯¯¯ 1 − ||A|| n≥0 n≥0 n≥0 287 9.1. Algebre di Banach ed in modo analogo ||(I − A) −1 ¯¯ X ¯¯ ¯¯ ¯¯ ||A|| An ¯¯¯¯ ≤ − I|| = ¯¯¯¯ 1 − ||A|| n≥1 Da ciò segue la continuità della mappa A 7−→ A−1 nel punto I ∈ A, e questo significa che se consideriamo l’insieme A−1 degli elementi invertibili di un’algebra di Banach, questo è un gruppo topologico (rispetto alla moltiplicazione in A) per la topologia della norma (cfr. capitolo ??: evidentemente è localmente compatto solo se l’algebra di Banach ha dimensione finita. 9.1.10 Esempio Se A = Mn (C) allora A−1 è il gruppo lineare generale GLn (C) formato dalle matrici invertibili a coefficienti complessi. 9.1.11 Corollario Se A è un’algebra di Banach e B ∈ A−1 allora per ogni ε > 0 esiste un intorno Uε di B in A tale che ∀A ∈ Uε ||A−1 − B −1 || < ε Dimostrazione: Infatti A−1 = A−1 BB −1 e quindi A−1 −B −1 = (A−1 B −I)B −1 i.e. ||A−1 − B −1 || ≤ ||A−1 B − I|| ||B −1 || Ma A−1 B = (B −1 A)−1 e quindi basta esibire un intorno di B tale che, per ogni suo elemento A si abbia ||A−1 B − I|| < ε. Consideriamo A = B(X −I) di modo che B −1 A = I −X e quindi se ||X|| < 1 allora B −1 A è invertibile e quindi A è invertibile. Cosı̀ scegliamo X in modo che soddisfi alla ||A−1 B − I|| = ||(I − X)−1 − I|| ≤ ||X|| < ε||B −1 || 1 − ||X|| ottenendo ||B −1 A − I|| = ||B −1 (A − B)|| ≤ ||B −1 || ||A − B|| Ma allora, per ||A − B|| ≤ ||B −1 ||−1 δε , abbiamo il risultato voluto. qed Consideriamo un esempio di algebra di Banach che può non essere una C*algebra. Sia L1 (Rn ) lo spazio di Banach delle funzioni integrabili rispetto alla misura di Lebesgue. I risultati del capitolo precedente sulle convoluzioni e le trasformate di Fourier possono riassumersi con il 288 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre 9.1.12 Teorema Lo spazio di Banach L1 (Rn ) è un’algebra di Banach commutativa rispetto alla convoluzione. Dimostrazione: Ricordiamo che la convoluzione di due elementi di L1 (Rn ) come Z ∞ f ∗ g(x) := f (y)g(x − y)dy −∞ Sappiamo (proposizione 7.4.3) che la convoluzione rende L1 (R) un’algebra associativa; dimostriamo dunque che è un’algebra di Banach. Infatti ¯ Z Z Z ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ |f (y)| |g(x − y)|dydx ||f ∗ g||1 = ¯ f (y)g(x − y)dy ¯ dx ≤ Z Z Z Z = |g(x − y)|dx|f (h)dy = |g(x)|dx |f (y)|dy = ||f ||1 ||g||1 qed Lo stesso ragionamento potevamo farlo nel caso L (T), per quello che sappiamo sulle serie di Fourier; osserviamo che sia L1 (T) che L1 (Rn ) non hanno un elemento neutro (tuttavia posseggono delle “identità approssimate, o “nuclei approssimanti: ne abbiamo costruite una famiglia, quando abbiamo considerato il nucleo di Fejér). Notiamo infine che l’algebra di Banach L1 (Rn ) (cosı̀ come L1 (T)) possiede una involuzione: f ∗ (x) := f (−x) 1 Tuttavia L1 (Rn ) è una *-algebra ma non una C*-algebra in generale. 9.2 L’algebra C(X) In questo paragrafo ci concentriamo sulla C*-algebra commutativa C(X) delle funzioni continue definite su uno spazio di Hausdorff compatto. Per essere precisi dovremmo specificare se le funzioni in C(X) sono reali oppure complesse: i risultati che otterremo possono formularsi in ambedue i casi. Nel seguito, comunque, con C(X) intenderemo sempre le funzioni continue complesse, denotando con CR (X) quelle reali. Consideriamo uno spazio topologico di Hausdorff localmente compatto X e l’algebra di Banach commutativa Cc (X) delle funzioni reali continue a supporto compatto su X. 9.2.1 Definizione Un funzionale I : Cc (X) −→ R lineare si dice positivo se per ogni f ∈ Cc (X): f ≥ 0 ⇒ I(f ) ≥ 0. 9.2. L’algebra C(X) 289 Il seguente teorema è stato anticipato quando abbiamo considerato le distribuzioni di ordine zero (cfr. esempio 8.4.4 e seguenti). 9.2.2 Teorema (Riesz–Markov) Se I è un funzionale lineare positivo sull’algebra Cc (X) delle funzioni reali continue a supporto compatto definite su uno spazio di Hausdorff localmente compatto X allora esiste un’unica misura di Borel µ su X tale che Z ∀f ∈ Cc (X) I(f ) = f dµ X Dimostrazione: Dovremo usare alcune delle nozioni di teoria della misura (capitolo ??). Precisamente, per costruire la nostra misura di Borel considereremo una misura esterna topologicamente regolare (definizione 4.5.5), usando il criterio 4.5.7. Per ogni aperto S ⊂ X definiamo l’insieme MS := {f ∈ Cc (X) | f ∈ Cc (X, [0, 1]), supp f ⊂ S} e la funzione µS := sup I(f ) f ∈MS Si tratta di una funzione a valori in [0, ∞] definita su tutti gli aperti di X, monotona, finita sugli insiemi limitati e che soddisfa l’ipotesi (5) del teorema 4.5.7. Dimostriamo che si tratta di una funzione numerabilmente subadditiva sugli aperti: sia S = ∪Si e sia f ∈Cc (X, [0, 1]) e supp f ⊂ S; consideriamo ora una partizione dell’unità (teorema 2.3.5), cioè una famiglia di funzioni non-negative ϕ1 , ..., ϕn ∈ MSi tali che ∀x ∈ supp f n X ϕi (x) = 1 i=1 Allora f = P i ϕi f e quindi I(f ) = n X I(ϕi f ) ≤ n X µSi ≤ i=1 i=1 Passando al sup per ogni f ∈ Cc (X) si trova µS ≤ ∞ X i=1 µSi ∞ X i=1 µSi 290 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre cioè la subadditività numerabile di µ. Ora dimostriamo che µ soddisfa alle altre ipotesi del teorema 4.5.7 col che potremo dedurne che si estende ad una misura di Borel (quasi-regolare) su X. Se S = S1 ∪ S2 con S1 ∩ S2 = ∅ e se f1 ∈ MS1 e f2 ∈ MS2 , allora f1 + f2 ∈ MS , cioè I(f1 ) + I(f2 ) ≤ µ(S) Al variare di f1 ∈ MS1 e di f2 ∈ MS2 otteniamo dunque µS1 + µS2 ≤ µS quindi µS1 + µS2 = µS Con ciò la funzione µ soddisfa tutte le ipotesi necessarie perché possa estendersi ad una misura boreliana µ su X. Ora mostriamo che Z ∀f ∈ Cc (X) I(f ) = f dµ X Dato che ogni f ∈ Cc (X) è differenza di funzioni non negative, possiamo limitarci al caso f ≥ 0 e, per linearità, possiamo anche assumere che f ≤ 1. Sia dunque S un aperto limitato tale che supp f ⊂ S e sia Sk := {x ∈ X | nf (x) > k − 1} (si noti che S0 = S e Sk = ∅ per k > n). Ovviamente Sk+1 ⊂ Sk e definiamo quindi   1 ϕk (x) := nf (x) − k + 1   0 Allora se x ∈ Sk+1 se x ∈ Sk \ Sk+1 se x ∈ X \ Sk 1X ϕk n k=1 n f= e si ha supp ϕk ⊂ S k ⊂ Sk−1 e ϕk = 1 su Sk+1 . Quindi ∀k ≥ 1 µSk+1 ≤ I(ϕk ) ≤ µSk−1 9.2. L’algebra C(X) 291 Z e ∀k ≥ 1 µSk+1 ≤ ϕk dµ ≤ µSk X Ne segue che −µS1 ≤ n µ X k=1 ¶ Z I(ϕk ) − ϕk ≤ µS0 + µS1 X ¯ ¯ Z ¯ 2 ¯ ¯ ≤ µS ¯I(f ) − f dµ ¯ n ¯ X R Ma n era arbitrario e quindi troviamo I(f ) = f dµ. da cui qed Questo teorema è di cruciale importanza perché ci fa vedere come le misure possano considerarsi funzionali lineari sullo spazio Cc (X): in particolare ci fornisce una caratterizzazione dei funzionali lineari positivi su CR (X) se X è uno spazio di Hausdorff compatto, cosa che ora torneremo a supporre. Il risultato preliminare che ci occorre afferma che ogni funzionale lineare limitato su CR (X) è differenza di due funzionali lineari positivi: in realtà questo risultato non dipende dalla natura dello spazio CR (X), ma può formularsi in una maggiore generalità. 9.2.3 Definizione Uno spazio vettoriale L di funzioni (qualsiasi!) a valori reali definite su X si dice reticolo vettoriale se per ogni f, g∈L anche max(f, g), min(f, g)∈ L. Imponendo la solita norma ||f || = supx∈X |f (x)| un reticolo vettoriale diviene uno spazio normato. 9.2.4 Lemma Se L è un reticolo vettoriale di funzioni reali limitate definite su un insieme X e se 1 ∈ L allora per ogni funzionale lineare limitato F su L esistono due funzionali lineari positivi F+ e F− tali che F = F+ − F− e ||F || = F+ (1) + F− (1) Dimostrazione: Se f ∈ L è non-negativa poniamo F+ (f ) := sup F (ϕ) 0≤ϕ≤f Allora (1) F+ (f ) ≥ 0. 292 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre (2) F+ (f ) ≥ F (f ). (3) ∀c ≥ 0 F+ (cf ) = cF+ (f ). Se f, g ∈ L sono non-negative e 0 ≤ ϕ ≤ f e 0 ≤ ψ ≤ g allora F+ (f + g) ≥ F (ϕ) + F (ψ) e, passando al sup su tutte le ϕ e ψ: F+ (f + g) ≥ F+ (f ) + F+ (g) Ma, se 0 ≤ χ ≤ f + g allora 0 ≤ max(chi, f ) ≤ f e quindi 0 ≤ χ − max(χ, f ) ≤ g, sicché F (χ) = F (max(χ, f )) + F (χ − max(χ, f )) ≤ F+ (f ) + F+ (g) Passando ancora al sup su tutte le χ: F+ (f + g) ≤ F+ (f ) + F+ (g) cioè F+ (f + g) = F+ (f ) + F+ (g). Ora sia f ∈ L qualsiasi e M, N ≥ 0 costanti tali che f + M, f + N ≥ 0; allora F+ (f + M + N ) = F+ (f + M ) + F+ (N ) = F+ (f + N ) + F+ (M ) cioè F+ (f + M ) − F+ (M ) = F+ (f + N ) − F+ (N ) Quindi il valore di F+ (f + M ) − F+ (M ) non dipende dalla scelta di M : definiamo dunque F+ (f ) := F+ (f + M ) − F+ (M ) ed il funzionale F+ è lineare 1 . Per le (1) e (2) sia F+ che il funzionale lineare F− := F+ − F sono positivi e si ha ovviamente F = F+ − F− . Ora dimostriamo la relazione fra le norme: si ha sempre che ||F || ≤ ||F+ || + ||F− || = F+ (1) + F− (1) Per avere la disuguaglianza nel verso opposto consideriamo una funziona 0 ≤ ϕ ≤ 1 di L; allora |2ϕ − 1| ≤ 1 e ||F || ≥ F (2ϕ − 1) = 2F (ϕ) − F (1) passando al sup per ogni ϕ otteniamo ||F || ≥ 2F+ (1) − F (1) = F+ (1) + F− (1) qed 1 Da F+ (cf ) = cF+ (f ) per c ≥ 0 e dato che F+ (−f ) + F+ (f ) = F+ (0) = 0 abbiamo che F+ (cf ) = cF+ (f ) per ogni c. 9.2. L’algebra C(X) 293 9.2.5 Teorema (Riesz) Se X è uno spazio di Hausdorff compatto e CR (X) lo spazio delle funzioni reali continue su X allora ad ogni funzionale limitato F su CR (X) corrisponde un’unica misura di Radon finita con segno ν su X tale che Z ∀f ∈ CR (X) F (f ) = f dν X e ||F || = |ν|(X). Dimostrazione: Sia F = F+ − F− come nel lemma. Allora per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2 esistono delle misure finite µ1 e µ2 tali che Z Z F+ (f ) = f dµ1 F− (f ) = f dµ2 X X Ponendo ν := µ1 − µ2 otteniamo una misura di Radon finita con segno tale che Z F (f ) = f dν X Ora calcoliamo la norma di F : si ha intanto che Z |F (f )| ≤ |f |d|ν| ≤ ||f || |ν|(X) X Quindi ||F || ≤ |ν|(X). Ma |ν|(X) ≤ µ1 (X) + µ2 (X) = F+ (1) + F− (1) = ||F || i.e. ||F || = |ν|(X). L’unicità è ovvia. qed Possiamo riformulare il teorema di Riesz dicendo che il duale topologico dello spazio di Banach CR (X) è isomorfo allo spazio delle misure di Radon finite con segno su X con la norma ||ν|| = |ν|(X). Questo fatto rende immediate molte proprietà non banali dello spazio delle misure, ad esempio il fatto che sia uno spazio di Banach. Un risultato del tutto analogo vale per C(X) relativamente allo spazio delle misure di Radon complesse. Utilizziamo questi risultati per stabilire una proprietà fondamentale delle algebre C(X) e CR (X) (nel seguito con X denoteremo sempre uno spazio compatto di Hausdorff). Osserviamo per prima cosa che l’algebra C(X) separa i punti di X, vale a dire: ∀x1 6= x2 ∃f ∈ C(X) f (x1 ) 6= f (x2 ) Questo segue immediatamente dal lemma di Urysohn 2.3.2. 294 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre 9.2.6 Esempio La proprietà di separare i punti di X è goduta da molte sottoalgebre di C(X): (1) L’algebra dei polinomi definiti sull’intervallo della retta reale [0, 1] ha certamente questa proprietà. (2) Un esempio meno immediato è il seguente: consideriamo lo spazio Y X= Dα α∈A ove Dα := {z ∈ C | |z| ≤ rα } e gli rα sono numeri positivi. Per il teorema di Tychonoff si tratta di uno spazio compatto, che è manifestamente di Hausdorff. Se consideriamo le proiezioni di X sui suoi fattori: pα (x) := xα ∈ Dα si tratta di funzioni continue, cioè pα ∈C(X), che quindi generano una certa C*-sottoalgebra (con unità) P in C(X) (si tratta semplicemente dell’intersezione di tutte le C*-sottoalgebre (con unità) di C(X) che contengono P). Un generico elemento di P si scrive X m ...m ,l ...l mk l1 Cα11...αn n,β11...βkk pα1 (x)m1 ...pαn (x)mn pβ1 (x) ...pβk (x) ...mn ,l1 ...lk appartenenti a C). (con li , mi ≥ 0 ed i coefficienti Cαm11...α n ,β1 ...βk Questa sottoalgebra separa i punti: infatti se x 6= y sono elementi di X allora esiste un α tale che pα (x) 6= pα (y). In ambedue gli esempi precedenti, le sottoalgebre in questione sono in realtà dense nelle rispettive algebre di funzioni continue, e questo segue dal teorema di Stone–Weiestrass che ora vogliamo dimostrare: daremo un elegante argomento di de Branges, sebbene il teorema possa dimostrarsi con tecniche essenzialmente elementari. 9.2.7 Lemma (de Branges) Se R è una sottoalgebra di CR (X) e K = {µ ∈ R⊥ | ||µ|| ≤ 1}, per ogni punto µ estremale di K e per ogni funzione continua f : R −→ (0, 1) f è costante sul supporto della misura µ. Dimostrazione: Se µ = 0 certamente supp µ = ∅ ed il lemma è banale. Cosı̀ sia µ 6= 0, quindi ||µ|| = 1; definiamo le misure (di Radon) con segno Z Z ν(E) := f dµ e λ(E) := (1 − f )dµ E E 9.2. L’algebra C(X) 295 (E boreliano). Dato che f ∈ R segue che ν, λ ∈ R⊥ e quindi non sono nulle (dato che f 6= 0). Dunque ν λ µ = ||ν|| + ||λ|| ||ν|| ||λ|| è una combinazione convessa di elementi di K, dato che Z Z ||ν|| + ||λ|| = f d|µ| + (1 − f )d|µ| = |µ|(X) = ||µ|| = 1 X X Ma µ è un punto estremale e quindi µ = ν/||ν||, i.e. ν = ||ν||µ: Z Z f dµ = ||ν||dµ E E per ogni boreliano E. Dunque f = ||ν|| |µ|-q.o. Ma f è continua, quindi f = ||ν|| sul supporto di µ. qed 9.2.8 Teorema (Stone–Weierstrass) Se X è uno spazio compatto di Hausdorff e R è una *-sottoalgebra di CR (X) tale che (1) I ∈ R. (2) R separa i punti di X. allora R = C(X). Dimostrazione: Consideriamo K = {µ ∈ R⊥ | ||µ|| ≤ 1}: si tratta di un insieme non vuoto, convesso e *-debolmente compatto (teorema di Alaoglu 8.2.12), quindi, per il teorema di Krejn–Milman 8.3.10, contiene un estremale µ. Supponiamo che il supporto di µ contenga almeno due punti distinti x, y: allora esiste f ∈ R con 0 < f < 1 che separa i punti. Ma per il lemma di de Branges questo è impossibile; quindi supp µ = {x}, dunque Z 1dµ = 0 X (perché R contiene le costanti) i.e. µ = 0. Ma allora K = {0} e quindi R⊥ = {0}. Per concludere la dimostrazione applichiamo infine il teorema di Hahn–Banach: se la chiusura di R non fosse tutta C(X) dovrebbe esistere un funzionale lineare non nullo in R, mentre abbiamo dedotto che R⊥ = {0}. qed Il teorema di Stone–Weiestrass può formularsi anche per l’algebra C(X) delle funzioni complesse: 296 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre 9.2.9 Teorema (Stone–Weierstrass complesso) Se X è uno spazio compatto di Hausdorff e R è una *-sottoalgebra di C(X) (cioè contiene, con ogni funzione f la coniugata f ∗ := f ) tale che (1) I ∈ R. (2) R separa i punti di X. allora R = C(X). Dimostrazione: Basta dimostrare che l’algebra reale R0 := {f ∈ R | f = f ∗ } delle funzioni autoconiugate (cioè a valori reali!) è densa in CR (X), e quindi che soddisfa le ipotesi del teorema di Stone–Weierstrass reale. Evidentemente 1 ∈ R0 , quindi R0 contiene le costanti reali; che separi i punti è immediato: se x1 6= x2 sono punti di X, esiste una funzione complessa F che li separa, quindi delle due funzioni reali F +F F −F f= e g= 2 2i almeno una separa i punti x1 e x2 . qed Come controesempio, vedremo in seguito che l’algebra A(D) delle funzioni complesse continue nel disco chiuso D = {z ∈ C | |z| ≤ 1} olomorfe al suo interno non soddisfa le ipotesi del teorema di Stone–Weierstrass (il coniugio non è olomorfo). Dimostriamo infine che lo spazio C(X) gode di una notevole proprietà universale, postulata da Urysohn e dimostrata da Banach e Mazur: questa proprietà si articola in due risultati estremamente interessanti. 9.2.10 Teorema Ogni spazio di Banach B è isomorfo ad un sottospazio chiuso di C(X) per un opportuno spazio topologico compatto X. Se B è separabile può assumersi X = [0, 1]. Dimostrazione: Utilizzeremo in modo essenziale le nozioni generali introdotte nel capitolo sugli spazi vettoriali topologici. Sia X la palla unitaria in V ∗ : sappiamo dal teorema di Alaoglu 8.2.12 che si tratta di un insieme *-debolmente compatto. Allora l’applicazione che ad ogni elemento di B fa corrispondere un funzionale lineare su X si estende ad una mappa B −→ C(X) 9.2. L’algebra C(X) 297 che è un isomorfismo di B su un sottospazio chiuso di C(X). Supponiamo ora che B sia separabile; allora X ⊂ B ∗ è uno spazio topologico metrizzabile. Costruiamo esplicitamente una funzione f da C[0, 1] allo spazio metrico convesso compatto X: a questo punto la funzione B −→ C[0, 1] x 7−→ (t 7−→ (f (t)(x)) sarà, per la prima parte della dimostrazione, l’immersione isometrica di B in C[0, 1] desiderata. Possiamo supporre che il diametro dello spazio metrico compatto X sia 1; sempre per compattezza possiamo scrivere X= n [ Xi i=1 ove gli Xi sono chiusi e hanno diametro 1/2. Per ogni i possiamo allora scrivere Xi = ni [ Xij j=1 ove gli Xij sono chiusi e hanno diametro 1/4. In generale, iterando il procedimento, perverremo ad una successione {Xi1 ...ik } di chiusi di diametri 2−k . Costruiamo ora la funzione f : [0, 1] −→ X con un procedimento iterativo: dividendo [0, 1] in 2n1 − 1 intervalli ∆i , definiamo f su ∆i come una curva continua che congiunga un punto xk di Xk con un punto xk+1 di Xk+1 . (lo spazio X è convesso dunque ciò è possibile). Iteriamo il procedimento dividendo ∆2k−1 in 2n2 − 1 intervalli ∆i,2k−1 e definendo su questi f come il cammino che congiunga un punto xkh ∈ Xkh con un punto xk,h+1 ∈ Xk,h+1 . Iterando il procedimento indefinitamente la funzione f resta cosı̀ definita su un sottoinsieme denso di [0, 1] ed ivi continua, i.e. sarà possibile prolungarla ad una funzione continua f : [0, 1] −→ X. qed 9.2.11 Teorema (Fréchet) Ogni spazio metrico separabile X è isometrico ad un sottospazio di uno spazio di Banach separabile. Dimostrazione: Sia D = {xn }n∈N = {x0 , x1 , ...} un insieme denso numerabile in X; definiamo allora una mappa Φ : X −→ M 298 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre ove M è lo spazio delle successioni numeriche limitate (che è uno spazio metrico rispetto alla distanza d({xn }, {yn }) := supn |xn − yn |), nel modo seguente: Φ(x) := {yn := d(x, xn ) − d(x0 , xn )}n∈N\{0} (che Φ(x) sia una successione numerica limitata segue dalla disuguaglianza triangolare: ∀n ≥ 1 |yn | ≤ d(x, x0 )). Siano ora x.x0 ∈ X e Φ(x) = {yn } e Φ(x0 ) = {yn0 }. Allora ||Φ(x) − Φ(x0 )|| = sup |yn − yn0 | n = sup |(d(x, xi ) − d(x0 , xi )) − (d(x0 , xi ) − d(x0 , xi ))| n = sup |d(x, xi ) − d(x0 , xi )|‘d(x, x0 ) n Quindi, se 0 < ε < d(x, x0 ) esiste xn ∈ M tale che d(x, xn ) < ε/2 sicché: d(x0 , xn ) ≥ d(x0 , x) − d(x, xn ) > d(x0 , x) − ε >0 2 vale a dire |yn − yn0 | = |d(xn , x) − d(x, x0 )| > ε ε ε > d(x0 , xn ) − > d(x0 , x) − − = d(x, x0 ) − ε 2 2 2 da cui ||Φ(x) − Φ(x0 )|| > d(x, x0 ) − ε e, per arbitrarietà di ε: d(x, x0 ) ≤ ||Φ(x) − Φ(x0 )|| Abbiamo cioè dimostrato che ||Φ(x)−Φ(x0 )|| = d(x, x0 ) e quindi X è isometrico ad un sottospazio M0 separabile dello spazio M delle successioni numeriche limitate. Allora lo spazio di Banach generato da M0 in M è separabile e contiene X. qed Conclusione: 9.2.12 Teorema (Banach–Mazur) Ogni spazio metrico separabile è isometrico ad un sottospazio di C[0, 1]. 9.3 Spettro e risolvente Come in precedenza, d’ora in avanti tutte le algebre e gli spazi normati, salvo esplicita avviso contrario, saranno supposti complessi: in questo e nel paragrafo seguente sarà chiaro il perché di questa assunzione. 299 9.3. Spettro e risolvente 9.3.1 Definizione Se A è un’algebra di Banach definiamo lo spettro di A∈A come σ(A) := {λ ∈ C | A − λI ∈ / A−1 } ed il risolvente di A come P (A) := C \ σ(A) = {λ ∈ C | A − λI ∈ A−1 } Stabiliamo anche la notazione: R(λ) := (A − λI)−1 9.3.2 Proposizione Lo spettro di un elemento di un’algebra di Banach è compatto in C. Dimostrazione: Per continuità di λ 7−→ A − λI l’insieme P (A) è aperto e quindi σ(A) è chiuso; ovviamente P (A) è limitato: dimostriamo che lo è anche σ(A). ||λ−1 A|| < 1 ⇒ I − λ−1 A ∈ A−1 quindi per |λ| > ||A|| si ha che λ ∈ P (A) e σ(A) ⊂ {λ ∈ C | |λ| ≤ ||A||} che è limitato. qed Dimostreremo in séguito che per ogni A ∈ A: α(A) 6= ∅. Osserviamo che se |λ| > ||A|| allora ||(A − λI|−1 || ≤ |λ|−1 1 1 − ||λ−1 A|| è analitica. Vogliamo dare, più in generale, una definizione di analiticità per funzioni a valori in uno spazio di Banach: 9.3.3 Definizione Se D ⊂ C è un aperto e A : D −→ X è una funzione a valori in uno spazio di Banach, si dice che A è analitica in z ∈ D se esiste la sua derivata A0 : D −→ X nella topologia della norma: ¯¯ ¯¯ ¯¯ (A(z + h) − A(z)) ¯¯ 0 ¯ ¯ lim ¯¯ − A (z)¯¯¯¯ = 0 |h|−→0 h I casi interessanti saranno quando X è della forma B(X, Y ) o Y ∗ . Diamo ora una utile caratterizzazione del concetto di analiticità di una funzione a valori in uno spazio di Banach: ci serve un risultato di Analisi Complessa2 2 Per alcuni richiami sulla teoria delle funzioni olomorfe si veda l’Appendice al capitolo, pag. 319 e seguenti). 300 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre 9.3.4 Lemma Se f : D −→ C è olomorfa nell’aperto D e se la palla {||z 0 −z|| ≤ r}z∈D è contenuta in D allora, per ogni h, k ∈ C con |h|, |k| ≤ r2 si ha la ¯ ¯ ¯ f (z + h) − f (z) f (z + k) − f (z) ¯ ¯ ¯ ≤ M |h − k| − ¯ ¯ h k ove M non dipende da h né da k. Dimostrazione: Utilizziamo la formula integrale di Cauchy 9.6.6: abbiamo che ||ξ − z 0 || ≥ r 2 per z 0 ∈ {z, z + h, z + k} e ζ ∈ γ := {w ∈ C | |w − z 0 | = r}. Cioè la curva chiusa γ è completamente contenuta nel dominio D. Applichiamo a questa curva la formula di Cauchy: I 1 f (ξ) 0 f (z) = dξ 2πi Γ ξ − z 0 al primo membro della disuguaglianza dell’enunciato, ottenendo ¯ ! à à µ ¶ ! ¯¯ ¯ 1 I 1 1 1 1 1 1 ¯ ¯ − f (ζ) dζ ¯ − − ¯ ¯ ¯ 2πi Γ h ζ − (z + h) ζ − z k ζ − (z + k) ζ − z ¯ ¯ ¯ 1 I ¯ z − (z + k) − z + (z + h) ¯ ¯ =¯ f (ζ) dζ ¯ ¯ 2πi Γ (ζ − (z + h))(ζ − z)(ζ − (z + k)) ¯ ¯ ¯ ¯ 1 I ¯ 1 ¯ ¯ =¯ f (ζ) dζ ¯ ¯ 2πi Γ (ζ − z)(ζ − (z + h))(ζ − (z + k)) ¯ ≤ |h − k| sup f (ζ) |ζ−z|=r 4r r3 Cioè la disequazione voluta. qed 9.3.5 Definizione Se Y è uno spazio di Banach, un E ⊂ Y ∗ sottospazio vettoriale chiuso si dice sottospazio determinante se, considerando la restrizione della mappa canonica j : Y ,→ Y ∗∗ a E si ha che ∀y ∈ Y ||j|E (y)|| = ||y|| 301 9.3. Spettro e risolvente 9.3.6 Lemma Se X e Y sono spazi di Banach, F è un sottoinsieme di B(X, Y ) e E un sottospazio determinante di Y ∗ allora, se per ogni x ∈ X e y ∈ E l’insieme {hy, Axi | A ∈ F} è limitato, F è limitato in B(X, Y ) (cioè è equilimitato in norma). Dimostrazione: Se J : X ,→ X ∗ è l’immersione canonica allora ∀x ∈ X sup |hJ(Ax), yi| < ∞ y∈E Allora, per il teorema di Banach–Steinhaus 6.5.14: sup ||J|E (Ax)|| = sup ||J(Ax)|| = sup ||Ax|| < ∞ x∈X x∈X x∈X e quindi, ancora per il teorema di Banach–Steinhaus, la tesi. qed 9.3.7 Teorema Una funzione A : D −→ B(X, Y ) è analitica se e solo se per ogni F ∈ X ∗ la funzione D −→ C z 7−→ hF |A(z)i è olomorfa (scriviamo hF |xi = F (x) per la valutazione del funzionale F sull’elemento x). Dimostrazione: Evidentemente una funzione A analitica soddisfa la condizione del teorema: dimostriamo il viceversa. La funzione z 7−→ hF |A(z)xi è analitica a valori in C, quindi soddisfa le ipotesi del lemma 9.3.4. Consideriamo ora la famiglia µ ¶¾ ½ A(z + h) − A(z) A(z + k) − A(z) 1 F := − h−k h k (per h, k ∈ C con |h|, |k| < 2r ). Per il lemma 9.3.4 questa famiglia soddisfa le ipotesi del lemma 9.3.6 e quindi F è limitato in norma. Questo vuol dire che la successione ½ ¾ A(z + h) − A(z) h è di Cauchy e quindi converge alla derivata A0 (z) nella norma di B(X, Y ). qed 302 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Osserviamo che, ovviamente dn hy, A(z)xi = hy, A(n) (z)xi n dz L’importanza di questo teorema sta nel fatto che ci consente di estendere al caso di funzioni a valori in uno spazio di Banach molti dei risultati della teoria delle funzioni di una variabile complessa. Osserviamo a questo proposito, che se Γ è una curva chiusa regolare nel piano complesso e x : Γ −→ E una funzione continua a valori in uno spazio di Banach E ha perfettamente senso il vettore I x(z)dz Γ dato che la continuità della x implica che le somme parziali (alla Riemann, ad esempio) che definiscono l’integrale formano una successione di Cauchy, dunque convergono in E ad un elemento ben determinato che è poi il valore dell’integrale. Il teorema di Cauchy 9.6.5, cioè che se D è compatto e Γ := ∂D è una curva regolare chiusa, e se A : D −→ B(X, Y ) è analitica in D \ Γ e continua in D allora I A(z)dz = 0 Γ non è completamente immediato: si tratta di osservare che, per il teorema precedente: ¶ À I ¿ µI ∗ A(z)dz x = hy, A(z)xi dz = 0 ∀x ∈ X ∀y ∈ Y y, Γ Γ Il teorema di Hahn–Banach permette allora di inferire il teorema di Cauchy. Si estendono immediatamente al nostro contesto le formule di Cauchy 9.6.6 e le sue conseguenze, ad esempio il principio di continuazione analitica, in virtù del quale si può definire il dominio di analiticità di una funzione analitica a valori in uno spazio di Banach come il più grande aperto connesso di C ove la funzione sia definita ed analitica. Similmente le formule di Taylor 9.6.16, Caychy–Hadamard 9.6.11 e Laurent 9.6.29 si generalizzano immediatamente al caso di funzioni olomorfe a valori in B(X, Y ). Torniamo ora alle algebre di Banach. 9.3.8 Teorema Se A è un’algebra di Banach (con unità) allora la funzione R : P (A) −→ A: R(λ) := (A − λI)−1 è analitica. 303 9.3. Spettro e risolvente Dimostrazione: Se z ∈ P (A) allora A − λI = A − zI − (z − λ)I = (A − zI)(I − (λ − z)R(z)) Cioè se (A−zI) e I −(λ−z)R(z) sono invertibili allora lo è (A−λI); ma (A−zI) è invertibile e I − (λ − z)R(z) lo è se ||A − zI|| < ||R(z)||−1 In questo caso, λ ∈ P (A) e ³X ´ X R(λ) = (λ − z)n R(z)n R(z) = (λ − z)n R(z)n+1 e quindi λ 7−→ (A − λI)−1 è analitica. qed Applicando allora il teorema di Liouville 9.6.26 abbiamo che 9.3.9 Corollario σ(A) 6= ∅. Osserviamo che (A − λI) −1 −1 −1 = (−λ(I − λ A)) = −λ ∞ X An n=0 λn P n n La serie z A converge per |z| < ||A||−1 ed il suo raggio di convergenza è 1/ supλ∈σ(A) |λ|. 9.3.10 Definizione Il raggio spettrale di un elemento A ∈ A è il numero spr(A) := lim ||An ||1/n n−→∞ 9.3.11 Teorema Per ogni elemento A di un’algebra di Banach A: spr(A) = lim ||A||n ||1/n = inf ||An ||1/n n−→∞ n∈N Dimostrazione: Per continuità e monotonia del logaritmo basta dimostrare che an := log ||An ||1/n converge al proprio estremo inferiore, i.e. che an an −→ inf n n an è subadditiva (cioè an+m ≤ an + am ) dato che an+m = log ||An Am || ≤ log(||An || ||A||m ) = an + am 304 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Ma la subadditività di una successione implica che questa converga al proprio estremo inferiore: infatti fissato q tale che n = qm + r (r = 0, ..., q − 1) si ha an ≤ aqm + ar ≤ maq + ar (applicando m volte la subadditività) e quindi an maq ar ≤ + n n n Il secondo membro converge al variare di n dunque ³ ma ar ´ aq q lim = + n n q i.e, per ogni q: lim aq an an aq aq ≤ ⇒ lim ≤ inf ≤ lim q q n q n q e quindi la successione an /n converge al proprio inf. qed 9.3.12 Esempio (1) Sia H = l2 (N) e {ei } una base ortonormale. Definiamo gli operatori diagonali come Den := dn en con dn ∈ C, che soddisfano alle condizioni imposte dalla ! ¯¯ ¯¯ ÃX ¯¯2 X ¯ ¯ 2 ¯ ¯ |dn |2 |xn |2 ≤ ||d||2∞ ||xn ||2 xn en ¯¯¯¯ = ||Dx|| = ¯¯D n∈N cioè ||D|| = ||d||∞ = supn |dn |. Il raggio spettrale di un operatore diagonale è la sua norma: spr(D) = ||D|| (2) Se consideriamo lo shift Sen := en+1 , dato che (essendo una isometria) è ||S|| = 1 abbiamo che spr(S) = 1 (3) Una generalizzazione sono gli operatori di shift pesato T en := tn en+1 (con {tn } ∈ l∞ ) tali che ||T || = ||t||∞ . 305 9.3. Spettro e risolvente (4) Consideriamo gli operatori di Volterra (cfr. esempio 3.2.10). Siano X = L2 [0, 1], K ∈ C([0, 1]2 ) e definiamo K : X −→ X come Z (Kx)(t) := t K(t, s)x(s)ds 0 La funzione K si dice nucleo dell’operatore. (In particolare si può considerare un operatore di Volterra sullo spazio X = C[0, 1]). Ovviamente ||K|| ≤ ||K||∞ ⇒ ||K n || ≤ ||X||n∞ (n − 1)! (il fattore numerico è il volume del dominio di integrazione) e quindi spr(K) = 0 P n Infatti la serie K è assolutamente convergente in B(X) e quindi defini−1 sce (I − K) e, dato che se λ 6= 0 λK è pure un operatore di Volterra, il risolvente di K contiene tutti i numeri complessi non nulli e σ(K) = {0} L’operatore K è invertibile se ∀t ∈ [0, 1] K(t, t) 6= 0 Infatti in questo caso, se x ∈ N (K): Z t K(t, s)x(s)ds = 0 0 derivando per t (K rispetto alla prima variabile): Z t K 0 (t, s)x(s)ds + K(t, t)x(t) = 0 0 da cui (per l’ipotesi su K): Z 0 t K 0 (t, s) x(s)ds + x(t) = 0 K(t, t) i.e. x ∈ N (I + H) ove H è l’operatore di Volterra con nucleo K 0 /K e quindi, x = 0. 306 9.4 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Morfismi e quozienti Le algebre di Banach non sopportano strutture algebriche troppo forti: in particolare debbono sempre possedere elementi non invertibili (e quindi ideali) a meno di non ridurli ai soli numeri complessi. 9.4.1 Teorema (Mazur) Un’algebra di Banach con unità e in cui ogni elemento sia invertibile è isomorfa a C. Dimostrazione: Un elemento A ∈ A ha spettro non vuoto e quindi esiste λ ∈ σ(A); in particolare (A − λI) non è invertibile, quindi deve essere nullo. Abbiamo cioè dimostrato che ogni elemento non nullo di A è multiplo dell’identità. Quindi A∼ = C. qed Un’algebra in cui ci siano elementi non invertibili possiede delle notevoli sottoalgebre: gli ideali. 9.4.2 Definizione Un ideale sinistro di un’algebra di Banach A è un sottospazio vettoriale J ⊂ A tale che ∀B ∈ J ∀C ∈ A CB ∈ J Si scrive J C A. Se un’algebra di Banach ha unità I ovviamente nessun ideale (non banale, cioè non uguale a A) può contenerla e, viceversa, un ideale non banale ha intersezione vuota con l’insieme A−1 degli elementi invertibili di A. In ogni algebra di Banach v’è abbondanza di elementi invertibili, infatti B := {B ∈ A | ||I − B|| < 1} ⊂ A−1 In particolare se J C A è un ideale proprio (cioè non banale) allora J ∩ B = ∅ e quindi J è contenuto nell’insieme chiuso {B, che deve quindi contenere anche la chiusura J di J. Dunque se J C A allora J ⊂ A, anzi 9.4.3 Proposizione Se J è un ideale sinistro (destro, bilatero) allora J è un ideale sinistro (destro, bilatero). Dimostrazione: Se {Bn } ⊂ J converge a B ⊂ J allora, per ogni A ∈ A la {ABn } ⊂ J converge (per continuità del prodotto) a AB ∈ J. qed 307 9.4. Morfismi e quozienti D’ora in avanti conveniamo che il termine “ideale” voglia dire “ideale sinistro”; se un ideale sarà destro o bilatero lo diremo esplicitamente. Rispetto all’inclusione gli ideali sinistri (destri, bilateri) di un’algebra di Banach formano un reticolo (con 0 = {0} ideale zero e 1 = A ideale banale): inoltre questo insieme parzialmente ordinato soddisfa S le ipotesi del lemma di Zorn, dato che se {Jα } è una catena di ideali allora α Jα è un ideale, il che significa che ogni ideale è contenuto in un ideale (proprio!) massimale3 . Ovviamente, dato che la chiusura di un insieme contiene l’insieme stesso: 9.4.4 Corollario Ogni ideale massimale è chiuso. Sappiamo che possiamo definire il quoziente di un’algebra A per un ideale J ottenendo ancora un’algebra A/J. Effettuiamo questa costruzione per le algebre di Banach. L’insieme A/J è senz’altro un’algebra associativa: dobbiamo verificare se sia un’algebra di Banach. Denotando gli elementi di A/J come A + J (sono classi di equivalenza rispetto alla relazione A ≡ B ⇐⇒ A − B ∈ J), poniamo ||A + J|| := inf ||B|| B∈A+J 9.4.5 Proposizione Se J è un ideale chiuso allora A/J è un’algebra di Banach. Dimostrazione: Scrivendo B = A − C con C ∈ J abbiamo che inf ||A − C|| = d(A, J) ove d è la distanza indotta dalla norma dello spazio di Banach A. Dunque se ||A + J|| = 0 si ha che d(A, J) = 0 e quindi (per chiusura di J) A ∈ J i.e. A + J = J, l’elemento 0 ∈ A/J. Le altre proprietà della norma sono ovvie dalla definizione di distanza d(A, J). Verifichiamo infine che la norma indotta su A è completa. Sia ∞ X ||An + J|| < ∞ n=0 una serie assolutamente convergente in A/J; prendiamo nella classe An + J degli elementi Bn tali che ||Bn || < ||An || + εn con ∞ X εn < ∞ n=0 3 Questa e diverse altre asserzioni valgono nelle algebre associative qualsiasi e negli anelli: in particolare l’esistenza di un ideale massimale che contenga un ideale dato è nota in Algebra come Lemma di Krull . 308 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre P (ad esempio basta considerare ε = 2−1 ). Dunque ||Bn || è assolutamente conP vergente e, dato che A è di Banach, la serie Bn converge ad un elemento B ∈A, in modo che ¯¯ ¯¯ N X ¯¯ ¯¯ ¯¯ −→ 0 ¯¯B − B n ¯¯ ¯¯ n=1 e (per definizione la norma della classe di un elemento A + J ∈ A/J è minore o uguale alla norma di A in A): ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ N N X X ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯(A + J) − Bn ¯¯¯¯ (An + J)¯¯¯¯ ≤ ¯¯¯¯B − ¯¯ n=1 n=1 Quindi ogni serie assolutamente convergente in A/J converge in A/J. Infine, se A + J, B + J ∈ A/J esistono rappresentanti Aε ∈ A + J e Bε ∈ B + J tali che ||Aε || ≤ ||(A + J)|| + ε e ||Bε || ≤ ||(B + J)|| + ε. Quindi ||(A + J)(B + J)|| = ||(AB) + J|| ≤ ||Aε Bε || ≤ ||Aε || ||Bε || ≤ ||A + J|| ||B + J|| + 2ε qed Naturalmente un ideale J è massimale se e solo se A/J = C per il teorema di Mazur. 9.4.6 Lemma Se A è un’algebra di Banach con unità allora A−1 = {{A | ∃J ideale massimale proprio e A ∈ J} Se fissiamo un elemento A ∈ A l’insieme degli ideali che contengono A è pure parzialmente ordinato e soddisfa le ipotesi del lemma di Zorn, quindi il teorema di Mazur può formularsi come 9.4.7 Teorema Un’algebra di Banach con unità che non abbia ideali non banali è isomorfa a C. Naturalmente un’algebra può non avere ideali bilateri pur possedendo moltissimi ideali sinistri, mentre in un’algebra commutativa i concetti di ideale sinistro, destro e bilatero coincidono. Tutte le costruzioni algebriche che si effettuano sugli anelli possono darsi anche per le algebre di Banach: ad esempio un morfismo ϕ : A −→ B fra algebre di Banach è un operatore lineare continuo fra gli spazi di Banach A e B tale che ∀A ∈ A ∀B ∈ B ϕ(AB) = ϕ(A)ϕ(B) 9.4. Morfismi e quozienti 309 Ovviamente le algebre di Banach formano in questo modo una categoria. I concetti di nucleo e immagine di un morfismo sono ovvi: il nucleo ker(ϕ) è l’insieme degli elementi di A la cui immagine è zero e l’immagine im(ϕ) l’insieme degli elementi di B che siano immagine di un elemento di A. L’insieme degli omomorfismi fra due algebre di Banach A e B si denota hom(A, B). Un omomorfismo si dice isomorfismo se è un operatore lineare continuo e biunivoco (quindi una isometria). Si possono formulare e dimostrare esattamente come nel caso algebrico i teoremi di isomorfismo: ad esempio 9.4.8 Teorema Se ϕ : A −→ B un morfismo fra algebre di Banach allora ker(ϕ) è un ideale bilatero e l’algebra A/J è isomorfa alla sottoalgebra im(ϕ) ⊂ B. 9.4.9 Definizione Un modulo su un’algebra di Banach A è uno spazio di Banach M dotato di un morfismo µ : A −→ B(M, M) che si dice azione di A su M. Si scrive in genere A·M in luogo di µ(A)(M ). Quindi gli elementi di un modulo si possono moltiplicare per gli elementi dell’algebra. Ad esempio un C-modulo X non è altri che uno spazio di Banach. Osserviamo che un ideale J, cosı̀ come l’insieme quoziente A/J sono Amoduli. 9.4.10 Definizione Un’algebra di Banach priva di ideali bilateri non banali si dice semplice. 9.4.11 Esempio (1) C è semplice. (2) Le algebre (di dimensione finita) Mn (C) sono algebre semplici (teorema 5.5.14). (3) Il teorema di Mazur implica che un’algebra semplice commutativa (con unità) è isomorfa a C. Consideriamo dunque un ideale massimale J nell’algebra di Banach (con unità) A; dato che il quoziente A/J è C possiamo definire la mappa ∀A ∈ A ϕ(A) := λ 310 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre con A + J = λI, ovvero A + J = ϕ(A)I. La mappa ϕ non è altri che il morfismo naturale dato dalla proiezione di A sul quoziente A/J: ϕ : A −→ C che è ovviamente suriettivo. Viceversa, se ϕ : A −→ C è un morfismo allora ker ϕ = ϕ−1 (0) è un ideale bilatero che deve essere massimale, dato che A/ ker ϕ = im ϕ è una sottoalgebra di C e quindi {0} (da cui A = ker ϕ) oppure C stessa (da cui ker ϕ massimale). Quindi 9.4.12 Teorema Esiste una corrispondenza biunivoca {J C A | J 6= A} ←→ {ϕ : A −→ C | ϕ morfismo} Si noti che il funzionale ϕ associato ad un ideale massimale è continuo (perché l’ideale è chiuso) ed ha norma 1. 9.4.13 Esempio Gli ideali massimali dell’algebra di Banach C(X) delle funzioni continue su uno spazio compatto di Hausdorff sono tutti della forma Mx := {f ∈ C(X) | f (x) = 0} In effetti, se ϕ : C(X) −→ C allora ϕ(1) = 1 e ϕ ha lo stesso nucleo del funzionale δx : X −→ C che vale 1 su x e zero altrove (misura di Dirac concentrata in x), quindi ϕ = δx . Ma il nucleo di δx è esattamente Mx . Si noti che la corrispondenza x 7−→ Mx è biunivoca, fra X e l’insieme degli ideali massimali, dato che se x 6= y per il lemma di Urysohn esiste una funzione f con f (x) 6= f (y) e quindi δx 6= δy . 9.4.14 Teorema Se A ∈ A algebra di Banach, allora {ϕ(A)}ϕ∈hom(A,C) = σ(A) Dimostrazione: Se ϕ ∈ hom(A, C) allora, per ogni A ∈ A si ha che ϕ(A − ϕ(A)I) = 0 e quindi A − ϕ(A)I ∈ ker ϕ; dunque (A − ϕ(A)I) non è invertibile, i.e. ϕ(A) ∈ σ(A). Viceversa, se λ ∈ σ(A), A − λI) non è invertibile ed è pertanto contenuto in un ideale massimale proprio J. Ma allora la proiezione canonica ϕ : A −→ A/J è tale che ϕ(A − λI) = 0 i.e. ϕ(A) = λI. qed 311 9.4. Morfismi e quozienti 9.4.15 Corollario Se A è un’algebra di Banach, A ∈ A e ϕ ∈ hom(A, C): (1) |ϕ(A)| ≤ spr(A) ≤ ||A|| (2) Se ϕ ∈ B(A, C) con ϕ(I) = 1 allora ||ϕ|| = 1. 9.4.16 Teorema In un’algebra di Banach lo spettro è debolmente compatto. Dimostrazione: Basta, per il teorema di Alaoglu 8.2.12, far vedere che σ(A) è contenuto nella palla unitaria. Si ha intanto che, per ogni ϕ ∈ σ(A): ϕ(I) = 1, e dunque possiamo prendere \ A∗1 ∩ {f ∈ A∗ | f (I) = 1} ∩ {f ∈ A∗ | f (AB) − f (A) − f (B) = 0} A,B∈A che è esattamente σ(A) (per definizione!). Abbiamo cosı̀ scritto σ(A) come intersezione di un insieme *-debolmente compatto (la palla unitaria) e di insiemi *-debolmente chiusi (per continuità delle f ∈ A∗ e dell’operazione di valutazione di un funzionale su un elemento dell’algebra); cioè σ(A) è debolmente chiuso in un debolmente compatto, dunque è debolmente compatto. qed Il morfismo b : A −→ C(σ(A)) A 7−→ (ϕ 7−→ ϕ(A)) si dice trasformata di Gel’fand . Dato che i funzionali ϕ sono lineari, moltiplicativi e continui, la trasformata di Gel’fand è un operatore lineare: b + bB)(ϕ) b \ aA + bB(ϕ) = ϕ(aA + bB) = aϕ(A) + bϕ(B) = (aA un morfismo di algebre: d bB)(ϕ) b AB(ϕ) = ϕ(AB) = ϕ(A)ϕ(B) = (A ed è continuo: b = sup |A(ϕ)| b ||A|| = sup λ = spr(A) ≤ ||A|| ϕ∈σ(A) λ∈σ(A) (per definizione di σ(A) = {ϕ(A)}ϕ∈σ(A) ). 9.4.17 Definizione Un elemento A di un’algebra di Banach A si dice topologicamente nilpotente se spr(A) = 0. 312 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre 9.4.18 Corollario Gli elementi topologicamente nilpotenti di un’algebra di Banach A costituiscono il nucleo della trasformata di Gel’fand. In particolare sono un ideale. Il nucleo della trasformata di Gel’fand si dice nilradicale dell’algebra A. 9.4.19 Esempio Consideriamo il disco unitario del piano complesso D := {z ∈ C | |z| ≤ 1} e l’algebra o A(D) := {f ∈ C(D) | f ∈ O(−→ D)} delle funzioni olomorfe nell’interno di D e continue in D; rispetto alla norma del sup si tratta ovviamente di un’algebra di Banach, e, essendo compatta l’immagine di un compatto per tramite di una mappa continua: σ(A(D)) = {Φz : A(D) −→ D}z∈C = D ove Φz (f ) := f (z). In questo caso la trasformata di Gel’fand è la mappa identica, quindi, ad esempio, il nilradicale è {0}. Osserviamo esplicitamente che non esiste una operazione * in quest’algebra, e che la sua immagine in C(σ(A(D))) per tramite della trasformata di Gel’fand non esaurisce tutta l’algebra delle funzioni continue: questo fatto, dato che, come si vede facilmente, A separa i punti e contiene le costanti, fornisce un esempio che mostra come la condizione di essere una *-sottoalgebra è essenziale nelle ipotesi del teorema di Stone–Weierstrass complesso. Se invece del prodotto punto per punto, consideriamo su A(D) il prodotto Z 1 (f · g)(z) := f (z − tz)g(tz)zdt 0 otteniamo un’algebra di Banach priva di unità; in questi casi, come vedremo meglio in seguito, possiamo sempre estenderla ad un’algebra con unità, ponendo B := A ⊕ C. Allora ogni elemento della forma A ⊕ 0 (con A ∈ A(D)) ha raggio spettrale zero, sicché σ(A(D)) si riduce ad un sol punto. 9.4.20 Esempio Nell’algebra delle matrici ¶¾ ½µ z z0 0 z z,z 0 ∈C (rispetto al solito prodotto matriciale) il nilradicale non si riduce al solo zero. In tutti questi esempi le difficoltà presentate da queste algebre sono dovute al fatto che non sono C*-algebre. 9.5. Teorema di Gel’fand–Najmark 9.5 313 Teorema di Gel’fand–Najmark In questo paragrafo dimostreremo un teorema che in un certo senso è definitivo per la teoria delle C*-algebre abeliane. 9.5.1 Teorema (Gel’fand–Najmark) Se A è una C*-algebra abeliana allora la trasformata di Gel’fand è (1) uno *-morfismo di C*-algebre; (2) una isometria (in particolare è iniettivo); (3) suriettiva. Dimostrazione: Cominciamo col dimostrare che se valgono le (1)–(2) allora vale anche la (3); infatti l’immagine della trasformata di Gel’fand è una *-sottoalgebra chiusa (per le (1) e (2)) di C(σ(A)) che contiene l’unità 1 di b e separa i punti di σ(A): se ϕ1 , ϕ2 ∈ σ(A) deve esistere C(σ(A)) (infatti 1 = I) b 1 ) 6= A(ϕ b 2 ). Quindi, per il teorema A ∈ A tale che se ϕ1 (A) 6= ϕ2 (A) allora A(ϕ di Stone–Weierstrass: Ab = C(σ(A)) Ma Ab è chiusa e quindi Ab = C(σ(A)). Possiamo dunque limitarci a dimostrare le (1) e (2). 9.5.2 Definizione Un elemento A ∈ A di una C*-algebra qualsiasi, si dice normale se A∗ A = AA∗ . Osserviamo che in un’algebra commutativa ogni elemento è normale: ora la (2) del teorema di Gel’fand–Najmark sarà conseguenza del 9.5.3 Lemma Se A è un elemento normale in una C*-algebra A con unità allora spr A = ||A||. Prima di dimostrare il lemma vediamo anche l’idea della dimostrazione della c∗ = A∗. b Dato che (1), ovvero che A b c∗ (ϕ) = A b∗ (ϕ) = A(ϕ) = ϕ(A) ϕ(A∗ ) = A basta dimostrare che per ogni ϕ ∈ σ(A): ϕ(A∗ ) = ϕ(A). Ora si osservi che, per ogni A ∈ A: 1 1 A = (A + A∗ ) + i (A − A∗ ) =: A1 + iA2 2 2i 314 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre (decomposizione che vale in ogni *-algebra) e che A1 e A2 sono ovviamente autoaggiunti; allora ϕ(A) = ϕ(A1 ) + iϕ(A2 ) e quindi basta dimostrare che ϕ(Ai ) ∈ R per avere che ϕ(A∗ ) = ϕ(A), i.e. che se A = A∗ allora ϕ(A) ∈ R. Dunque la (1) sarà dimostrata se proveremo il 9.5.4 Lemma Se A è una C*-algebra con unità e A ∈ A è autoaggiunto allora σ(A) ⊂ R. Dunque per dimostrare il teorema di Gel’fand–Najmark non resta che dimostrare i lemmi 9.5.3 e 9.5.4. Dimostrazione: (Lemma 9.5.3) Sappiamo che ||A∗ A|| = ||A||2 e quindi che ||An ||2 = ||An∗ An || e quindi, se A è normale: ||An ||2 = ||(A∗ A)n ||. Quindi per studiare il limite lim ||An ||1/n basta studiare il lim ||(A∗ A)n || n = spr(A∗ A) = spr(A2 ) 1 n−→∞ Ma se B = B ∗ , per calcolare lim ||B n ||1/n basta considerare una sottosuccessione, ad esempio n = 2m , in modo che m m−1 ||B 2 || = ||(B 2 m−1 )2 || = ||B 2 ||2 (essendo B autoaggiunto). Iterando questo calcolo si trova m m ||B 2 || = ||B||2 e quindi spr(B) = ||B|| (convergendo la sottosuccessione ad un certo limite, anche la successione converge al medesimo limite). qed ∗ Dimostrazione: (Lemma 9.5.4) Sia A = A in A e z ∈ σ(A). Vogliamo dimostrare che la parte immaginaria Im z è nulla. Intanto si noti che, ogni algebra con unità: σ(A − λI) = σ(A) − λ (per definizione di spettro!). Quindi basta dimostrare che se i Im z ∈ σ(A − Re zI) allora Im z = 0, cioè basta supporre che sia λ0 ∈ R e iλ0 ∈ σ(A) e dimostrare che λ0 = 0. Ma, per ogni λ ∈ R: ||A + iλI||2 = ||(A + iλI)∗ (A + iλI)|| = ||(A − iλI)(A + iλI)|| = ||A2 + λ2 I|| ≤ ||A||2 + λ2 9.5. Teorema di Gel’fand–Najmark 315 cioè, ∀z ∈ σ(A) |z + iλ|2 ≤ ||A||2 + λ2 Ma se iλ0 ∈ σ(A) allora |λ0 + λ|2 ≤ ||A||2 + λ2 e, per ogni λ ∈ R: |λ0 + λ|2 = λ20 + 2λλ0 − ||A||2 ≤ 0 il che è assurdo, a meno che λ0 = 0. qed Con ciò i due lemmi sono dimostrati, e quindi lo è anche il teorema di Gel’fand–Najmark. Osserviamo che se un’algebra di Banach A non ha unità, possiamo estenderla come B : A ⊕ C col prodotto (A ⊕ z)(B ⊕ w) := (AB + zB + wA) ⊕ zw e con la norma data dal sup delle norme di A e C. B ha palesemente un’unità, che è 0 ⊕ 1. 9.5.5 Definizione Se A è una C*-algebra anche non commutativa e priva di unità, la rappresentazione regolare sinistra di A è il morfismo di C*-algebre L : A −→ B(A) A 7−→ (B 7−→ AB) 9.5.6 Proposizione Se L : A −→ B(A) è la rappresentazione regolare sinistra di A allora lo spazio L(A) ⊕ C ⊂ B(A) è una sotto-C*-algebra (con unità) di B(A). Dimostrazione: L(A) ⊕ C è una *-algebra il cui *-operatore è definito come (L(A) + zI)∗ := L(A∗ ) + zI Vogliamo dimostrare che L(A) è chiusa4 e che è una sotto-C*-algebra di B(A): con ciò la proposizione sarà provata. A questo scopo basta dimostrare le (1) ∀A ∈ A ||L(A)|| = ||A||. (2) ∀B ∈ L(A) ⊕ C ||B ∗ B|| = ||B||2 . 4 Questo implicherà che L(A) ⊕ C è una sottoalgebra di Banach di B(A): infatti se X è uno spazio di Banach e M, N suoi sottospazi, con M chiuso e N di dimensione finita, allora M + N = M + N. 316 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre La (1) si dimostra osservando che ||L(A)L(B)|| = ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| e quindi ||L(A)|| ≤ ||A||; inoltre, per B = A∗ si ha che ||AB|| = ||AA∗ || = ||A||2 = ||A|| ||A∗ || = ||A|| ||B|| con B 6= 0 ovviamente e quindi si ha anche ||L(A)|| ≥ ||A||. Dimostriamo infine la (2); dato che ||B||2 = sup ||BC||2 C∈A1 e B = L(A) + zI da cui BC = AC + zC, troviamo che ||AC + zC||2 = ||BC||2 = ||(BC)∗ BC|| = ||(AC + zC)∗ BC|| = ||C ∗ (A∗ (BC) + z(BC))|| = ||C ∗ L(A∗ )(BC) + zBC|| = ||C ∗ B ∗ (BC)|| ≤ ||C|| ||B ∗ BC|| ≤ ||BB ∗ || (dato che ||C|| = 1). Passando al sup: ||B||2 ≤ ||BB ∗ || ≤ ||B ∗ || ||B|| ≤ ||B||2 qed Ne segue che una C*-algebra A si immerge in una C*-algebra Ae con unità. e Ovviamente A è commutativa se e solo se lo è A. Dunque possiamo applicare il teorema di Gel’fand–Najmark anche al caso di algebre prive di unità, estendendole ed ottenendo e b: Ae −→ C(σ(A)) Vediamo come la trasformata di Gel’fand riflette l’effetto del passaggio da A a e intanto l’algebra Ae possiede un funzionale lineare che A non ha, definito come A: ϕ∞ (A ⊕ z) := z e \ {ϕ∞ }, che è localmente comPossiamo quindi considerare lo spazio Y = σ(A) patto di Hausdorff; per definizione, la compattificazione ad un punto di Y è esattamente X = σ(B). L’immagine della restrizione della trasformata di Gel’fand a A ⊂ B è l’algebra C0 (Y ) delle funzioni continue nulle all’infinito su Y . In effetti A ∈ A ⇐⇒ ϕ∞ (A) = 0 e quindi la restrizione della trasformata di Gel’fand di Ae a A: A −→ C(σ(A)) bX A 7−→ A è la trasformata di Gel’fand di A. pertanto 317 9.5. Teorema di Gel’fand–Najmark 9.5.7 Corollario Se A è una C*-algebra commutativa esiste uno spazio topologico di Hausdorff localmente compatto X tale che A ∼ = C0 (X) (isomorfismo di C*-algebre). Se A possiede unità, allora X è compatto. Si può ulteriormente precisare questo risultato usando il linguaggio delle categorie. Le C*-algebre formano ovviamente una categoria (i cui morfismi sono i morfismi di C*-algebre) che contiene la sottocategoria delle C*-algebre commutative A0 . Per quanto detto in precedenza, l’estensione da A a Ae è un funtore F : A0 −→ A dalla categoria delle C*-algebre commutative alla categoria A delle C*-algebre commutative con unità. Inoltre, se consideriamo la categoria T degli spazi topologici localmente compatti di Hausdorff (i cui morfismi sono le mappe continue) esiste anche un funtore G : T −→ T0 dato dalla compattificazione di Alexandroff, che ad ogni oggetto X di T fa corrispondere la sua compattificazione ad un punto, e che quindi manda la categoria T nella categoria T0 degli spazi compatti di Hausdorff. 9.5.8 Teorema Esiste una equivalenza naturale fra i funtori F e G che induce una equivalenza fra le categorie A e T e A0 e T0 . Dimostrazione: La trasformazione naturale fra i funtori F e G è indotta dalla trasformata di Gel’fand: infatti il diagramma A F ² A0 /T ² G /T 0 è commutativo, ove le frecce orizzontali sono le trasformate di Gel’fand. L’unica cosa che resta da mostrare è che la trasformata di Gel’fand è un morfismo di funtori, cioè che per ogni morfismo di C*-algebre induce una mappa continua fra i relativi spettri e che ogni mappa continua fra gli spettri proviene in questo modo da un morfismo di C*-algebre. Se η : A −→ B è un morfismo fra la C*-algebra con unità A e la C*-algebra commutativa B allora η(A) è una sotto-*-algebra di B con unità η(I) e quindi possiamo supporre che sia η(A) = B 318 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre i.e. η(I) = I, dunque, per ogni ϕ ∈ σ(B): ϕ ◦ η ∈ σ(A). Evidentemente la mappa η ∗ : σ(B) −→ σ(A) ϕ 7−→ η ∗ (ϕ) := ϕ ◦ η è continua (su σ(A) e σ(B) le topologie sono quelle deboli rispetto alle mappe σ(A) −→ C e σ(A) −→ C, che quindi sono continue per definizione): infatti5 [ b ◦ η ∗ = η(A) A Ma σ(A) e σ(B) sono compatti di Hausdorff, quindi l’insieme E := η ∗ (σ(B)) è chiuso in σ(A). Dimostriamo allora che E 6= σ(A) ⇐⇒ ker η 6= 0 Infatti E 6= σ(A) se e solo se σ(A) \ E è aperto e non vuoto, se e solo se esiste f ∈ C(σ(A)) non nulla che ristretta ad E sia zero (per il lemma di Urysohn b0 (per il teorema di Gel’fand– 2.3.2). Ma per ogni f ∈ C(σ(A)) si ha che f = A b0 (η ∗ (ϕ)) = 0, se e Najmark) e quindi F |E = 0 se e solo se per ogni ϕ ∈ σ(B): A \ solo se η(A 0 )(ϕ) = 0 se e solo se η(A0 ) = 0 (di nuovo per il teorema di Gel’fand– Najmark). Questa catena di equivalenze dimostra che E 6= σ(A) ⇐⇒ ker η 6= 0. In altri termini, η ∗ è suriettiva se e solo se ker η = 0. Ma η ∗ è suriettiva se e solo se η è isometrica, dato che [ = sup |η(A)(ϕ)| [ b ∗ (ϕ))| = sup |A(ψ)| b ||η(A)|| = ||η(A)|| = sup |A(η = ||A|| ϕ∈σ(B) ϕ∈σ(B) ψ∈σ(A) In particolare se ker η = 0 allora ||η(A)|| = ||A||. Questo dimostra che ogni morfismo di *-algebre determina in modo unico una mappa continua fra gli spettri. qed Il seguente risultato afferma che su una C*-algebra commutativa con unità esiste una sola struttura normata. 9.5.9 Teorema Se η : A −→ B è uno *-omomorfismo di C*-algebre allora: fα Nella topologia debole su uno spazio X indotta dalle mappe {X −→ Xα } un’applicazione f : Y −→ X è continua se e solo se per ogni α l’applicazione fα ◦ f : Y −→ Xα è continua. 5 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 319 (1) ∀A ∈ A ||η(A)|| ≤ ||A||. (2) ∀A ∈ A ||η(A)|| ≤ ||A|| ⇐⇒ ker η = 0. (3) η(A) è chiusa (in norma, cioè è una C*-sottoalgebra di B. Dimostrazione: Se A è commutativa possiamo supporre che anche B lo sia, dato che η(A) è una *-sottoalgebra commutativa di B e quindi η(A) è una C*sottoalgebra commutativa di B. A meno di estendere A ad una Ae con unità (e con ηe(I) := I), per ipotesi si ha che: ||η(A)||2 = ||η(A)∗ η(A)|| = ||η(A∗ )η(A)|| = ||η(A∗ A)|| Ma A∗ A, essendo un elemento normale, appartiene ad una sottoalgebra commutativa: la chiusura dell’algebra generata dai polinomi in A∗ A e quindi ||η(A)||2 ≤ ||A∗ A|| = ||A||2 il che dimostra (1) e (2). Si osservi ora che se η è un morfismo di C*-algebre allora certamente η(A) è una *-sottoalgebra; inoltre, dato che ker η ⊂ A è uno *-ideale (bilatero) chiuso in norma, ed il quoziente A/ ker η ∼ = im η è certamente una C*-algebra e quin0 di il morfismo η : A/ ker η −→ B ottenuto componendo η con la proiezione A −→ A/ ker η è una isometria. Da ciò risulta che η 0 (A/ ker η) = η(A) è una C*-sottoalgebra di B. qed 9.5.10 Corollario Se A è una *-algebra che sia una C*-algebra rispetto a due norme di Banach ||-||1 e ||-||2 allora le C*-algebre (A, ||-||1 ) e (A, ||-||2 ) sono isomorfe. Dimostrazione: Si applichi il teorema allo *-isomorfismo i : (A, ||-||1 ) −→ (A, ||-||2 ). qed 9.6 Appendice: elementi di analisi complessa Raccogliamo qui alcuni richiami sulle nozioni essenziali di Analisi Complessa in una variabile: stabiliamo solo i teoremi che abbiamo utilizzato in questo capitolo, e non nella loro massima generalità: per questo si rimanda ai testi specialistici, come l’ottimo [18]. 320 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre 9.6.1 Funzioni e integrali complessi 9.6.1 Definizione Una funzione f : U −→ C definita in un aperto U del piano complesso si dice olomorfa nel punto z0 ∈ U se esiste finito il limite f (z0 + δz) − f (z0 ) |δz|−→0 δz f 0 (z0 ) := lim Scriviamo f (z) = u(z) + iv(z) (u = Re(f ) e v = Im(f )), osservando le che funzioni u e v dipendono dalle variabili reale x e y tali che z = x + iy. Allora possiamo dare la seguente caratterizzazione: 9.6.2 Teorema (Cauchy–Riemann) Una funzione f : U −→ C è olomorfa in z0 se e solo se ∂u ∂v ∂u ∂v = e =− ∂x ∂y ∂y ∂x Dimostrazione: Consideriamo il limite che definisce l’olomorfia di f e, scrivendo z = x + iy, poniamo δz = δx (il limite dipende solo dal fatto che il modulo di δz tende a zero, indipendentemente dall’argomento): u(x0 + δx, y0 ) − u(x0 , y0 ) v(x0 + δx, y0 ) − v(x0 , y0 ) + i lim δx−→0 δx−→0 δx δx f 0 (z0 ) = lim Quindi se f è olomorfa in z0 le derivate parziali di u e v rispetto a x esistono e f 0 = ux +iuy (indichiamo le derivate parziali con un indice che denota la variabile rispetto alla quale si deriva). Analogamente, per δz = iδy: f 0 (z0 ) = −iuy (x0 , y0 ) + vy (x0 , y0 ) Confrontando le due espressioni di f 0 (z0 ) cosı̀ ottenute, abbiamo el equazioni di Cauchy–Riemann nel punto z0 . Viceversa, supponiamo che le u e v ammettano derivate parziali rispetto alle x e y e che valgano le relazioni di Cauchy–Riemann: allora, u(x0 + δx0 , y0 + δy0 )−u(x0 , y0 ) = = ux (x0 , y0 )δx + uy ((x0 , y0 )δy + o((δx)2 + (δy)2 ) v(x0 + δx0 , y0 + δy0 )−v(x0 , y0 ) = = vx (x0 , y0 )δx + vy ((x0 , y0 )δy + o((δx)2 + (δy)2 ) 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 321 Quindi, per δz = δx + iδy e le relazioni di Cauchy–Riemann: f (z0 + δz) − f (z0 ) δx + iδy iδx − δy = ux (x0 , y0 ) + vx (x0 , y0 ) + δz δx + iδy δx + iδy o((δx)2 + (δy)2 ) + δx + iδy o((δx)2 + (δy)2 ) = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) + δz e quindi la funzione f è olomorfa in z0 . qed 9.6.3 Esempio Sono olomorfe: le funzioni lineari (complesse), le funzioni razionali complesse e la funzione f (z) = exp z, mentre non è olomorfa la funzione g(z) = |z|2 . Ci limiteremo qui a considerare come insiemi di definizione delle funzioni olomorfe i domini regolari U cioè gli aperti connessi del piano complesso la cui frontiera sia una curva regolare (non necessariamente connessa, cioè i nostri domini potranno avere dei “buchi”). Il numero di componenti connesse della curva ∂U si dice ordine di connessione del dominio 6 : se la curva che delimita il dominio è connessa (e quindi il dominio non ha “buchi”), è semplicemente connesso. Evidentemente se Γ è una curva regolare nel piano complesso è chiaro cosa debba intendersi con Z f (z)dz Γ per una funzione f : Γ −→ C: l’integrale si calcola infatti per mezzo di una qualsiasi rappresentazione parametrica c = c(t) (con c : [a, b] −→ C continua e regolare) della curva Γ: Z Z b f (z)dz = f (c(t))c0 (t)dt Γ a 9.6.4 Esempio Vogliamo calcolare l’integrale Z dz Γρ z − z0 ove Γρ è il cerchio di centro z0 e raggio ρ. Rappresentando la curva in coordinate polari per mezzo della funzione c(t) = z0 + eit , troviamo: Z Z 2π Z 2π dz iρeit dt = =i dt = 2πi ρeit Γρ z − z0 0 0 6 Si tratta del primo numero di Betti di U incrementato di uno. 322 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Una ipotesi che faremo spesso è che f : U −→ C sia una funzione olomorfa in U e continua in U : esprimeremo questa ipotesi con la notazione f ∈ O(U ). 9.6.5 Teorema di Cauchy Se f ∈ O(U ) nel dominio semplicemente connesso U e se derivata f 0 : U −→ C continua, allora per ogni curva chiusa Γ contenuta in U : Z f (z)dz = 0 Γ Dimostrazione: Per definizione: Z Z Z f (z)dz = (udx − vdy) + i (udy + vdx) Γ Γ Γ (diamo per nota la teoria elementare delle forme differenziali nel piano ed il teorema di Gauss–Green) ove, per ipotesi e per il teorema precedente, le u e v sono parzialmente derivabili dunque, per il teorema di Gauss–Green (la curva regolare connessa Γ è la frontiera di un dominio semplicemente connesso G del piano) Z ZZ ZZ f (z)dz = (−vx − uy )dxdy + i (ux − vy )dxdy Γ G G Ma questi integrali sono zero per le relazioni di Cauchy–Riemann. qed Il caso realmente interessante è quando Γ = ∂U . Osserviamo che, dalla definizione e dalla sua caratterizzazione, non discende immediatamente la continuità della derivata di una funzione olomorfa: abbiamo dunque dovuto supporla nelle ipotesi del teorema di Cauchy7 . Il teorema di Cauchy può estendersi ad un dominio non semplicemente connesso, osservando che un tale dominio può sempre rendersi semplicemente connesso a meno di effettuarne dei tagli8 : Supponiamo cioè che U sia delimitato da una curva Γ con n + 1 componenti connesse Γ0 , ..., Γn (quattro nella figura) e consideriamo dei segmenti che uniscano le componenti “interne” al dominio con la componente “esterna”9 . Se γ1 , ..., γn 7 In realtà, questa supposizione è superflua, come dimostrato da Goursat nel 1904: per questa versione più generale del teorema di Cauchy (che infatti ne rivela la natura topologica) si veda [18] §5. 8 Precisamente il numero di tagli che bisogna effettuare per renderlo semplicemente connesso è pari al primo numero di Betti del dominio stesso. 9 Dovrebbe essere chiaro al lettore come rendere rigoroso questo ragionamento intuitivo. 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 323 sono questi segmenti, il dominio che si ottiene dopo il taglio è semplicemente connesso e ha come frontiera Γ ∪ γ1 ∪ ... ∪ γn . Allora il teorema di Cauchy applicato a questo nuovo dominio implica che (tenendo conto delle diverse orientazioni fra le componenti “interne” e quelle “esterne” della curva Γ, e del fatto che i segmenti γ1 , ..., γn sono presenti due volte e con segni opposti nell’integrazione): Z n+1 Z X f (z)dz = f (z)dz i=1 Γ0 Γi il che si esprime (tenendo conto che l’orientazione su Γ0 è opposta a quella delle restanti componenti connesse) ancora come Z f (z)dz = 0 Γ 9.6.6 Teorema (Formula di Cauchy) Se f ∈O(U ) nel dominio regolare semplicemente connesso U allora, per ogni z0 ∈ U : Z 1 f (z) f (z0 ) = dz 2πi ∂U z − z0 Dimostrazione: Consideriamo un disco Dr = {z | |z − z0 | < ρ} di centro z0 e completamente contenuto in U (ciò è possibile perché U è aperto. Allora la funzione f (z) ϕ(z) = z − z0 324 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre è olomorfa in U \ {z0 } (che non è un dominio regolare, dato che una componente connessa della sua frontiera si riduce al solo punto {z0 }), e quindi è pure olomorfa in U \ Dr che è un dominio regolare (non semplicemente connesso, ma tale che il suo bordo sia ∂U ∪ ∂Dr ): allora per il teorema di Cauchy in questo dominio: Z Z ϕ(z)dz = ϕ(z)dz ∂U ∂Dr Questo vale per ogni scelta di r tale che Dr ⊂ U : quindi l’integrale a primo membro non dipende da r: in particolare la relazione precedente vale per r −→ 0 e quindi, dato che un elemento sul bordo ∂Dr = {z | |z − z0 | = r} si scrive come z = z0 + reit al variare di t ∈ [0, 2π), otteniamo Z Z ϕ(z)dz = lim ∂U r−→0 Z ϕ(z)dz = lim r−→0 ∂Dr 0 2π f (z0 + reit ) it re dt = 2πif (z0 ) reit qed Il teorema precedente, del pari del teorema di Cauchy, vale per un dominio regolare qualsiasi, anche non semplicemente connesso. Se il dominio U è un disco aperto di centro z0 e raggio r evidentemente la formula di Cauchy diviene 9.6.7 Teorema (Formula del valor medio) Z 1 f (z0 + reit )dt f (z0 ) = 2πr |z−z0 |=r Dunque i valori di una funzione olomorfa all’interno di un disco sono determinati dai valori che assume sul bordo: esaminando ulteriormente questo fenomeno giungeremo al principio del massimo per funzioni olomorfe. 9.6.2 Sviluppi in serie di potenze Le funzioni olomorfe sono talvolta chiamate analitiche: questo perché possiamo confonderle con le funzioni sviluppabili in serie di potenze. 9.6.8 Definizione Una serie di potenze è una serie della forma ∞ X an (z − z0 )n n=0 con cn ∈ C costanti, z0 ∈ C e z variabile complessa. 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 325 Ricordiamo10 che una serie di funzioni si dice uniformemente convergente in un dominio U se per ogni ε > 0 esiste un nε tale che per ogni n ≥ nε si abbia: ¯ ¯ n X ¯ ¯ ¯<ε ¯f (z) − f (z) k ¯ ¯ k=1 e che una condizione necessaria per la convergenza uniforme è la possibilità di maggiorare i termini della serie di funzioni con quelli di una serie numerica assolutamente convergente (criterio di Weierstrass). In generale sarà interessante stabilire il dominio di convergenza uniforme di una serie di potenze: 9.6.9 Definizione Il raggio di convergenza di una serie di potenze è il valore ρ tale che, per ogni disco di centro z0 e raggio r < ρ la serie converga uniformemente in quel disco e per ogni r > ρ la serie non converga in nessun punto esterno al disco chiuso di centro z0 e raggio r. 9.6.10 Definizione Se una serie di potenze converge in un aperto U , la funzione che a z ∈ U associa il valore della serie in z si dice analitica. Cioè le funzioni analitiche sono le funzioni definite da serie di potenze convergenti. 9.6.11 Teorema (Cauchy–Hadamard) Il raggio di convergenza ρ di una serie di potenze vale11 1 ρ= limn−→∞ |an |1/n (inverso del massimo limite della successione |an |1/n .) Dimostrazione: Se 0 < r < ρ allora limn−→∞ |an rn |1/n = r lim |an |1/n < 1 n−→∞ Dunque la serie numerica ∞ X |an rn | n=0 converge (per il criterio della radice per serie numeriche), e per ogni z tale che |z − z0 | < r: |an (z − z0 )n | ≤ |an rn | 10 11 Assumiamo la conoscenza della teoria elementare delle serie di funzioni. Il valore di ρ è in [0, ∞] con la convenzione simbolica che 1/0 = ∞ e 1/∞ = 0. 326 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Cosı̀ il termine generico della serie di potenze è maggiorato dal termine generico di una serie assolutamente convergente. Rimane il caso ρ < ∞. Consideriamo in questo caso z tale che |z − z0 | > ρ e quindi 1 < |z − z0 |limn−→∞ |an |1/n = limn−→∞ |an (z − z0 )n |1/n Quindi il termine generico della serie di potenze non è infinitesimo e, come noto, questo implica che la serie non può convergere. qed 9.6.12 Esempio Consideriamo la serie ∞ X (z − z0 )n n=0 (i coefficienti sono tutti 1). Per il criterio del rapporto per la convergenza delle serie numeriche, la serie converge nel cerchio di centro z0 e raggio 1 a qualche funzione analitica f : allora, per definizione di convergenza di una serie: n X 1 − (z − z0 )n 1 (z − z0 ) = lim f (z) = lim = n−→∞ q − (z − z0 ) n−→∞ 1 − (z − z0 ) k=0 n (per la formula di sommazione di una serie geometrica con un numero finito di addendi). Il teorema fondamentale sulla convergenza delle serie di potenze è il 9.6.13 Teorema (Abel) Se una serie di potenze ∞ X an (z − z0 )n n=0 converge in un punto z1 6= z0 allora converge assolutamente in ogni punto interno al disco di centro z0 e raggio |z1 − z0 | ed in un disco chiuso di centro z0 e raggio r < |z1 − z0 | la serie converge uniformemente. Dimostrazione: Se z è tale che |z − z0 | < |z1 − z0 | definiamo q < 1 come q= |z − z0 | |z1 − z0 | Poiché la serie converge in z1 il suo termine generico è infinitesimo, i.e. esiste una costante M tale che |aN | |z1 − z0 |n ≤ M 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 327 e quindi ¯ X ¯X ¯ ∞ ∞ ¯ X ¯ z − z0 ¯n ¯ ¯ ∞ n n ¯ ¯ ¯ |an | |z − z0 | ≤ M an (z − z0 ) ¯¯ ≤ ¯ z1 − z0 ¯ ¯ n=0 n=0 =M ∞ X n=0 |q|n = n=0 M 1−q (q < 1 e quindi la serie geometrica converge). Questo dimostra la convergenza della serie. Per vedere l’uniforme convergenza nel disco di centro z0 e raggio r < |z1 − z0 | usiamo il criterio di Weierstrass: infatti la serie M ∞ X n=0 rn |z1 − z0 |n (che ovviamente converge perché è una serie geometrica con r/|z1 − z0 | < 1) maggiora la serie di potenze per costruzione. qed Nel suo dominio di convergenza, una funzione analitica può integrarsi e derivarsi un numero arbitrario di volte, ottenendo sempre funzioni analitiche nel medesimo dominio. Inoltre i termini generici di una serie di potenze soddisfano in modo ovvio le relazioni di Cauchy–Riemann: quindi 9.6.14 Corollario Una funzione analitica è olomorfa. Quello che ci proponiamo di dimostrare è che vale anche il viceversa. 9.6.15 Teorema Una funzione olomorfa è analitica nel suo dominio di olomorfia. Dimostrazione: Sia f : U −→ C olomorfa nell’aperto U ; se z0 ∈ U allora esiste un disco Dr di centro z0 e raggio r interamente contenuto in U . Usando la formula integrale di Cauchy ed i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale 328 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre (usando la teoria di Lebesgue oppure la convergenza uniforme delle serie): Z Z 1 f (w) 1 f (w) f (z) = dw = dw 2πi ∂Dr w − z 2πi ∂Dr w − z0 − (z − z0 ) Z 1 f (w) ´ dw ³ = 2πi ∂Dr (w − z ) 1 − z−z0 0 w−z0 µ ¶n Z ∞ 1 f (w) X z − z0 dw = 2πi ∂Dr w − z0 n=0 w − z0 Z ∞ X 1 f (w) = dw (z − z0 )n n+1 2πi (w − z ) 0 ∂Dr n=0 Quindi, intorno a z0 la funzione f è analitica. qed Lo sviluppo in serie di una funzione analitica è ovviamente unico: i coefficienti dello sviluppo sono Z 1 f (w) an = dw 2πi ∂Dr (w − z0 )n+1 e devono quindi coincidere con i termini della serie di Taylor della funzione f intorno a z0 : dn f (z0 ) = n!an dz n Dunque 9.6.16 Teorema Una funzione olomorfa è infinitamente derivabile e Z n! f (w) (n) f (z) = dw 2πi ∂Dr (w − z0 )n+1 in un opportuno disco Dr di centro z0 e raggio r. 9.6.17 Esempio La funzione f (z) = 1 1 + z2 è analitica in tutto il piano complesso eccettuati i punti12 ±i. Considerando la formula di sommazione di una serie geometrica che abbiamo stabilito in precedenza ∞ X f (z) = (−1)n z 2n n=0 12 Osserviamo che non si tratta di un dominio regolare, ma basta prendere C a cui si tolgano due dischi chiusi intorno a questi punti per ottenere un dominio regolare. 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 329 troviamo che f che deve quindi essere l’espansione di Taylor in ogni disco del piano complesso che non contenga i punti ±i. Applichiamo ora le formule precedenti per calcolare l’espansione di Taylor √ intorno al punto 1 in un disco di raggio r = 2. Scrivendo µ ¶ 1 1 1 1 f (z) = = − 1 + z2 2i z − i z + i ed utilizzando ancora la formula di sommazione della serie geometrica: f (z) = ∞ X sin π4 (n + 1) (−1)n (z − 1)n (n+1)/2 2 n=0 √ (abbiamo usato le rappresentazioni polari 1 ± i = 2e±iπ/4 ). Il√raggio di convergenza di questa serie è, per la formula di Cauchy–Hadamard, 2. 9.6.3 Continuazione Analitica Il seguente principio è di fondamentale importanza: stabilisce infatti una proprietà determinante delle funzioni olomorfe. 9.6.18 Teorema Se f ∈ O(U ) nell’aperto connesso U allora, se l’insieme degli zeri di f contiene un punto di accumulazione, f = 0. Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che esista una successione {zn }n∈N di zeri di f (i.e. f (zn ) = 0) convergente ad uno zero z di f . Intorno a z possiamo scrivere ∞ X f (w) = an (w − z)n n=0 Consideriamo il più piccolo intero m tale che am 6= 0. Allora f (zn ) = lim (am + a − m + 1(zn − z) + ...) = am n−→∞ (zn − z)m n−→∞ 0 = lim Questo assurdo dimostra che f deve essere identicamente nulla intorno a z, e quindi l’insieme dei punti di accumulazione dell’insieme degli zeri di f è aperto (osserviamo che questo insieme non è vuoto, perché contiene z e non esaurisce tutto U perché f non è identicamente nulla). Ma questo insieme è anche chiuso, dato che contiene (per definizione) i suoi punti di accumulazione. Quindi U contiene un insieme chiuso e aperto e questo è impossibile, dato che lo si era supposto connesso. qed 330 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre 9.6.19 Corollario Se f ∈ O(U ) in un aperto connesso del piano complesso C e se |f | è una funzione costante in U allora anche f è costante in U . Dimostrazione: Osserviamo che, se f = u + iv, per le relazioni di Cauchy– Riemann: f 0 f = (ux + ivx )(u − iv) = (uux + vvx ) + i(uvx − vux ) ∂u2 + v 2 ∂u2 + v 2 ∂|f | ∂|f | = −i = −i =0 ∂x ∂y ∂x ∂y (infatti (uvx − vux = −uuy − vvy )). ma il implica che se un prodotto di funzioni olomorfe è nullo, almeno una delle due funzioni deve essere identicamente zero, e quindi f = 0 oppure f è costante in U . qed 9.6.20 Corollario (Principio di identità delle funzioni olomorfe) Se f, g ∈ O(U ) e se l’insieme dove f = g ha un punto di accumulazione allora f = g su tutto U . In particolare, mentre una funzione olomorfa è certamente infinitamente differenziabile, non è detto che una funzione C ∞ sia olomorfa: può benissimo darsi che una funzione infinitamente differenziabile sia, ad esempio, nulla in un intero intervallo, ma non identicamente nulla in tutto l’insieme di definizione. Se un insieme A è unione di due insiemi B e C e se sono date due funzioni f : B −→ X e g : C −→ X tali che fB∩C = g|B∩C allora esiste una sola funzione f ∪ G : A −→ X che ristretta a B e C coincide con f e g. Usando questa ovvia definizione possiamo dare un altro corollario del teorema: 9.6.21 Corollario Se f1 ∈ O(U1 ) e f2 ∈ O(U2 ) e se f1 |V = f2 |V ove V è un aperto connesso contenuto in U1 ∩ U2 allora la funzione f 1 ∪ f2 è univocamente ben definita e analitica. L’applicazione di questo corollario per estendere il dominio di definizione di una funzione si dice continuazione analitica. Ad esempio, non appena una serie di potenze sia definita sull’asse reale, possiamo estenderla in modo unico ad una funzione olomorfa in un aperto del piano complesso. 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 331 9.6.22 Esempio Le classiche funzioni sin x = ∞ X x2n+1 (−1)n (2n + 1)! n=0 ∞ X x2n (−1)n cos x = (2n)! n=0 exp x = ∞ X xn n=0 n! danno luogo a funzioni olomorfe in opportuni aperti del piano complesso. Evidentemente, il dominio (connesso) di olomorfia di una funzione può rendersi massimale in virtù del principio di continuazione analitica. 9.6.23 Definizione Una funzione olomorfa si dice intera se il suo dominio di olomorfia è l’intero piano complesso C. Torniamo ora a considerare funzioni olomorfe ed il loro comportamento al bordo dei dischi chiusi. 9.6.24 Teorema (Principio del massimo) Se f ∈O(U ) nel dominio regolare U allora la funzione reale |f | (se non è costante) assume il suo valore massimo sul bordo ∂U = U \ U di U . Dimostrazione: La funzione reale che stiamo considerando p |f (z)| = u2 (x, y) + v 2 (x, y) è continua in U . Dunque assume un massimo M in qualche punto z0 = (x0 , y0 )∈U . Supponiamo per assurdo che z0 ∈ U non sia un punto del bordo di U : esiste allora un disco Dr di centro z0 e raggio r interamente contenuto in U , per il quale la formula del valor medio, ed il fatto che per ogni z ∈ U |f (z)| ≤ M , implicano che ¯ Z 2π ¯ Z 2π ¯ ¯ it |f (z0 + reit )|dt ≤ 2πM f (z0 + re )dt¯¯ ≤ 2πM = ¯¯ 0 0 cioè che Z 2π |f (z0 + reit )|dt = 2πM 0 da cui, per continuità di f in U e per la definizione di massimo M : ∀z |z − z0 | = r ⇒ |f (z)| = M Quindi f è costante in modulo su in intorno di f e, per continuazione analitica, è costante in tutto U , il che è assurdo. qed 332 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Possiamo ora dimostrare il teorema che, in un certo senso, inverte il teorema di Cauchy: 9.6.25 Teorema (Morera) Una funzione continua f : U −→ C definita in un dominio regolare semplicemente connesso tale che, per ogni curva regolare chiusa Γ ⊂ U si abbia Z f (z)dz = 0 Γ è necessariamente olomorfa in U . Dimostrazione: Consideriamo, per z0 , z ∈ U e per un cammino γ ⊂ U che connetta z0 e z (i.e. se γ : [a, b] ∈ U allora γ(a) = z0 e γ(b) = z), la funzione Z F (z) := f (w)dw γ Dimostriamo che si tratta di una funzione olomorfa: se scriviamo f = u + iv e F = U + iV , allora (per le relazioni di Cauchy–Riemann): Z Z Ux = ux dξ − vx dη = vy dξ + uy dη = Vy γ Zγ Z Uy = uy dξ − vy dη = − vx dξ + ux dη = −Vx γ γ Quindi F soddisfa alle equazioni di Cauchy–Riemann e dunque è olomorfa. Ovviamente Z Z 0 F (z) = Ux (x, y) + iVx (x, y) = ux dξ − vx dη + i vx dξ + ux dη γ γ Z = f 0 (z)dw = f (z) γ qed Il teorema si generalizza in modo ovvio a domini non semplicemente connessi. 9.6.26 Teorema (Liouville) Una funzione intera e limitata (in modulo) è costante. Dimostrazione: Usiamo la formula di Taylor per la derivata di f ∈ O(C): Z 1 f (w) 0 f (z) = dw 2πi ∂Dr (w − z)2 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 333 (ove Dr è il solito disco di centro z e raggio r). Ora sfruttiamo la limitatezza di |f |: Z 1 |f (w)| M 0 |f (z)| ≤ dw ≤ 2 2πi ∂Dr r R Ma r può essere scelto arbitrariamente grande (perché f è intera) e |f 0 | è indipendente da R: quindi |f 0 | = 0 su tutto il piano complesso, quindi |f | è costante. qed Ad esempio, la funzione sin z, continuazione analitica della funzione reale sin x non può essere limitata (come accade nel caso reale), perché ovviamente non è costante. Una notevole applicazione è la seguente: 9.6.27 Teorema fondamentale dell’Algebra Un polinomio a coefficienti complessi e di grado positivo ammette sempre almeno uno zero. Dimostrazione: Un polinomio complesso è una funzione della forma p(z) = an z n + an−1 z n−1 + ... + a0 Si noti che, per |z| abbastanza grande, possiamo scrivere µ ¶ |an−1 | n |p(z)| ≥ |z | |an | − n−1 − ... − |a0 | > |an | |z n | z Ora supponiamo che p non abbia zeri nel piano complesso: allora la funzione 1/p(z) è intera e, per la disuguaglianza precedente: 1 1 ≤ lim =0 |z|−→∞ |p(z)| |z|−→∞ |an | |z n | lim Quindi |1/p(z)| è limitata e, per il teorema di Liouville, deve essere costante, il che è assurdo. qed 9.6.4 Residui 9.6.28 Definizione Una serie di potenze bilatera ∞ X n=−∞ si dice serie di Laurent. an (z − z0 )n 334 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre Per determinare il dominio di convergenza di una serie di Laurent, spezziamola come ∞ X an (z − z0 ) = n=−∞ n ∞ X an (z − z0 ) + n=0 n ∞ X n=1 a−n 1 (z − z0 )n Il dominio di convergenza della serie di Laurent sarà l’intersezione dei domini di convergenza delle due serie che figurano a secondo membro; nel caso della prima di queste serie si tratta di un disco di centro z0 e raggio ρ. Mostriamo che nel caso della seconda serie il dominio è il complementare di un disco di centro z0 . Poniamo 1 ζ= z − z0 in modo che ∞ ∞ X X 1 a−n ζ n a−n = n (z − z ) 0 n=1 n=1 Si tratta quindi di una serie di di centro 0; sia R1 il suo raggio di converPpotenze ∞ genza: evidentemente la serie n=1 a−n (z−z0 )−n ha come dominio di convergenza il complementare del disco di centro z0 e raggi R. Dunque una serie di Laurent definisce una funzione olomorfa nella corona circolare CR,ρ = {z ∈ C | R < |z − z0 | < ρ}. Ovviamente può benissimo accadere che sia ρ <≤ R e quindi CR,ρ = ∅: in questo caso la serie di Laurent non definisce alcuna funzione olomorfa. 9.6.29 Teorema (Laurent) Una funzione f ∈ O(CR,ρ ) è univocamente determinata in CR,ρ dal suo sviluppo in serie di Laurent. Dimostrazione: Se z ∈CR,ρ consideriamo due cerchi Γ1 e Γ2 di centro z0 e raggi tali che R < r2 < |z − z0 | < r1 < Er. Per la formula di Cauchy (in un dominio non semplicemente connesso) si trova Z Z 1 f (w) f (w) 1 f (z) = dw − dw 2πi Γ1 w − z 2πi Γ2 w − z Ora, sul cerchio Γ1 vale la |z − z0 | <1 |w − z0 | quindi ¶n ∞ µ 1 1 1 X z − z0 1 1 = = z−z0 = w−z (w − z0 ) − (z − z0 ) w − z0 1 − w−z w − z0 n=0 w − z0 0 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa 335 Integrando e scambiando il segno di integrale con quello della serie (per la teoria di Lebesgue o per uniforme convergenza)13 : 1 2πi con, per n ≥ 0: Z X f (w) an (z − z0 )n dw = w−z n=0 ∞ Γ1 1 an = 2πi In modo analogo, dalla Z Γ1 f (w) dw (w − z0 )n+1 |w − z0 | <1 |z − z0 | sul cerchio Γ2 si trova 1 − 2πi Z ∞ Γ2 con, per n ≥ 0: a−n X 1 f (w) a−n dw = w−z (z − z0 )n n=1 1 = 2πi Z Γ2 f (w) dw (w − z0 )−n+1 Le an e a−n cosı̀ ottenute sono olomorfe in CR,ρ e quindi, i corrispondenti integrali non dipendono dai cammini di integrazione: dunque possiamo combinare le formule per an e a−n ottenendo Z 1 f (w) an = dw 2πi Γ (w − z0 )n+1 con n ∈ Z e Γ qualsiasi curva regolare chiusa contenuta nell’anello CR,ρ . Quindi f (z) = ∞ X an (z − z0 )n n=−∞ ove la serie converge nella corona circolare CR,ρ ed uniformemente nella corona circolare chiusa {z ∈ C | r2 ≤ |z − z0 | ≤ r1 }. Dimostriamo infine l’unicità dell’espansione di Laurent della f ; supponiamo che sia ∞ X f (z) = bn (z − z0 )n n=−∞ 13 Il ragionamento è il medesimo che abbiamo svolto nel dimostrare l’analiticità delle funzioni olomorfe. 336 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre ove esista almeno un n ∈ Z tale che an 6= bn . Quindi in CR,ρ abbiamo che f (z) = ∞ X an (z − z0 ) = n n=−∞ ∞ X bn (z − z0 )n n=−∞ Considerando il cerchio Γr di centro z0 e raggio R < r < ρ, queste serie vi convergono uniformemente e, moltiplicandole per (z−z0 )n−m−1 (per m∈Z fissato) ed integrando termine a termine otteniamo: Z Z 2π n−m−1 n−m (z − z0 ) dz = ir ei(n−m)t dt = 2πiδnm Γr 0 Cosı̀, dopo aver integrato le serie in an e bn , avremo solo un termine non nullo per ciascuna serie, e precisamente am = b m Ma m può scegliersi arbitrariamente, e quindi le serie debbono coincidere. qed 9.6.30 Definizione Se una funzione olomorfa f è definita in un dominio U privato di un punto z0 interno a U , si dice che z0 è singolare per f . Dato che U è aperto esiste un disco D centrato in z0 e completamente contenuto in U tale che la funzione sia olomorfa in D \ {z0 } e quindi in una corona circolare di centro z0 e contenuta in D. Possiamo dunque limitarci a studiare i punti singolari come se fossero centri di corone circolari. 9.6.31 Definizione Un punto singolare z0 per una funzione olomorfa f si dice: (1) singolarità eliminabile se la serie di Laurent di f intorno a z0 non contiene termini di esponente negativo (i.e. se an = 0 per n < 0); (2) polo di ordine m se la serie di Laurent di f intorno a z0 non contiene termini di esponente minore di −m (i.e. se an = 0 per n < −m); (3) singolarità essenziale se la serie di Laurent di f intorno a z0 contiene termini di esponente negativo arbitrariamente basso (i.e. se per ogni n < 0 esiste un m < n con am 6= 0); Se z0 è una singolarità eliminabile, la funzione f può estendersi ad una funzione olomorfa in z0 : infatti facendo tendere z a z0 (da qualunque direzione) otteniamo come limite della serie di Laurent il valore a0 ; definendo allora f (z0 ) = a0 otteniamo l’estensione voluta. 337 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa Se z0 è una singolarità essenziale, il comportamento della funzione olomorfa in un suo intorno può essere estremamente bizzarro, in particolare, profondi teoremi dovuti a Casorati, Weierstrass e Picard dimostrano che non è possibile controllare in alcun modo il comportamento di f intorno ad una singolarità essenziale. Infine, se z0 è un polo di ordine m possiamo scrivere, in una corona circolare centrata in z0 : ∞ X f (z) = an (z − z0 )n n=−m In questo caso non possiamo eliminare la singolarità, dato che per z che tende a z0 il valore di |f (z)| cresce arbitrariamente: infatti X a−m a−1 f (z) = + ... + + an (z − z0 )n (z − z0 )m z − z0 n=0 ∞ = (z − z0 ) (a−m + ... + a−1 (z − z0 ) m m−1 )+ ∞ X an (z − z0 )n n=0 = (z − z0 )m ϕ(z) + ∞ X an (z − z0 )n n=0 ove ϕ è olomorfa in z0 . è immediato ora che per z −→ z0 |f (z)| cresce arbitrariamente. 9.6.32 Definizione Il residuo di una funzione olomorfa in una sua singolarità z0 è il valore del coefficiente a−1 nel suo sviluppo di Laurent intorno a z0 . Per unicità della serie di Laurent il residuo è ben definito ed è pari a Z 1 f (w)dw Resz0 f (z) := c−1 = 2πi Γ per ogni curva regolare chiusa Γ nel dominio di olomorfia di f che racchiuda il punto z0 (e nessun altro punto singolare di f ). Il calcolo dei residui è estremamente utile, e, nel caso di poli, può effettuarsi in modo semplice. Sia infatti z0 un polo di ordine m: i.e. f (z) = (z − z0 ) (a−m + ... + a−1 (z − z0 ) m m−1 )+ ∞ X an (z − z0 )n n=0 Moltiplicando ambo i membri per (z − z0 ) , derivando (m − 1) volte e passando al limite per z −→ z0 si ottiene m Resz0 f (z) = 1 dm−1 ((z − z0 )m f (z)) lim (m − 1)! z−→z0 dz m−1 338 Capitolo 9. Algebre di Banach e C*-algebre 9.6.33 Definizione Una funzione olomorfa in un dominio U e che abbia in questo dominio al più singolarità polari si dice meromorfa in U . Ad esempio una funzione razionale (un quoziente di polinomi) è meromorfa nel piano complesso. 9.6.34 Teorema dei Residui Se f è meromorfa nel dominio regolare chiuso U con un numero finito di singolarità z1 , ..., zn ∈ U allora Z X 1 f (z)dz = Resz0 f (z) 2πi ∂U z ∈U 0 (la somma è finita perché le uniche singolarità non eliminabili della f sono i poli z1 , ..., zn ). Dimostrazione: Poiché i punti z1 , ...zn sono isolati possiamo trovare dei dischi D1 , ..., Dn centrati in essi e che non contengano altri punti singolari (di più: i dischi Di sono a due a due disgiunti): l’idea è di applicare il teorema di Cauchy al dominio U \ ∪ni=1 Di , nel quale la funzione è olomorfa, ottenendo 1 2πi Z Z n n X X X 1 f (z)dz = f (z)dz = Reszk f (z) = Resz0 f (z) 2πi ∂U ∂D k z ∈U k=1 k=1 0 qed Non ci soffermiamo sulle applicazioni di questo teorema, in particolare al calcolo di integrali definiti per mezzo di una scelta opportuna dei domini di integrazione: per questo rimandiamo ai testi specialistici. Concludiamo con qualche semplice ma notevole conseguenza. 9.6.35 Corollario Se f è una funzione meromorfa nel dominio regolare U e g ∈ O(U ) allora, per z0 ∈ U : µ 0 ¶ f (z) Resz0 g(z) = νz0 (f )g(z0 ) f (z) ove νz0 (f ) è l’ordine di f in z0 (minimo intero per il quale il coefficiente dello sviluppo di Laurent non è nullo). Dimostrazione: Supponiamo che U sia un disco centrato in z0 (possiamo assumerlo senza ledere la generalità). Sia f (z) = (z − z0 )n h(z) 339 9.6. Appendice: elementi di analisi complessa con h(z) olomorfa e mai nulla in U . Allora n = νz0 (f ) e f 0 (z) n(z − z0 )n−1 h(z) + (z − z0 )n h0 (z)) g(z) g(z) = f (z) (z − z0 )n h(z) 0 g(z) h (z) =n + g(z) z − z0 h(z) ma h0 g/h è olomorfa, quindi il suo residuo è zero in z0 e µ 0 ¶ Z f (z) 1 ng(z) Resz0 dz = ng(z0 ) g(z) = f (z) 2πi ∂U z − z0 qed 9.6.36 Corollario (Teorema dell’indicatore logaritmico) Sia U un dominio regolare, una funzione f meromorfa in U e z1 , ..., zn gli zeri di f in U e p1 , ..., pm i poli di f in U : supponendo che f non abbia zeri su ∂U e che g sia olomorfa in U allora 1 2πi Z ∂U m n X X f 0 (z) g(pk )νpk (f ) g(z)dz = g(zk )νzk (f ) − f (z) k=1 k=1 In particolare, per g = z si ha 1 2πi Z ∂U n m X X f 0 (z) zdz = zk νzk (f ) − pk νpk (f ) f (z) k=1 k=1 e per g = 1: 1 2πi Z ∂U n m X X f 0 (z) dz = νzk (f ) − νpk (f ) = #{zeri di f } − #{poli di f } f (z) k=1 k=1 Capitolo 10 TEORIA SPETTRALE In questo capitolo affrontiamo la teoria spettrale nelle C∗ -algebre: questa è una profonda generalizzazione della teoria spettrale delle matrici (l’algebra delle matrici complesse è una C∗ -algebra), che consente di trattare gli elementi di una C∗ -algebra come dei numeri: possiamo cioè calcolare su di essi classi di funzioni sempre più generali. Cominceremo con le funzioni analitiche, per passare a quelle continue ed infine a quelle boreliane: questo rende in grado, nelle applicazioni, di dare senso a leggi fisiche in cui gli osservabili siano operatori in uno spazio di Hilbert piuttosto che valori assunti da funzioni differenziabili, come nel caso classico. Discuteremo come esempi alcuni classici tipi di operatori: gli operatori compatti, gli operatori di Hilbert–Schmidt e gli operatori nucleari. 10.1 Teorema della Mappa Spettrale Iniziamo generalizzando l’ultimo risultato ottenuto nel capitolo precedente: 10.1.1 Proposizione Se (A, ||-||1 ) è una C*-algebra, che sia un’algebra di Banach rispetto alla norma ||-||2 allora ∀A ∈ A ||A||1 ≤ ||A||2 che segue immediatamente dal 10.1.2 Lemma Se A è una *-algebra di Banach e C una C*-algebra, e ρ : A −→ B è uno *-omomorfismo allora ∀A ∈ A ||ρ(A)|| ≤ ||A|| Dimostrazione: Se A ∈ A: ||ρ(A)||2 = ||ρ(A)∗ ρ(A)|| = ||ρ(A∗ A)|| = spr(ρ(A∗ A)) 340 10.1. Teorema della Mappa Spettrale 341 (essendo ρ(A∗ A) autoaggiunto in B e quindi normale). Ora, se A ∈ A−1 e η : A −→ B è un morfismo (con η(I) = I) allora η(A−1 )η(A) = η(A−1 A) = I i.e. η(A−1 ) ⊂ B −1 (si noti che non vale l’inclusione opposta). Quindi A−λI ∈A−1 , cioè η(A − λI) ∈ B −1 ovvero η(A) − λI ∈ B −1 . In altri termini, se λ ∈ P (A) allora λ ∈ P (η(A)) e quindi σ(η(A)) ⊂ σ(A): spr ρ(A∗ A) ≤ spr(A∗ A) ≤ ||A∗ A|| ≤ ||A||2 (vale solo il segno ≤ perché A non è necessariamente una C*-algebra). Ne concludiamo che ||ρ(A)|| ≤ ||A|| qed Osserviamo che, se A ⊂ B e A è unitaria (con la stessa unità di B) allora per A ∈ A−1 invertibile, A−1 è l’inverso di A anche in B; potrebbe tuttavia aversi A−1 ∈B\A, nel qual caso si avrebbe A−λI ∈B−1 \A−1 . Si deve quindi considerare PA (A), il risolvente relativo ad A (di A). Ovviamente PA (A) ⊂ PB (A) σB (A) ⊂ σA (A) e (ma non necessariamente il viceversa). Se A è un’algebra di Banach commutativa con unità e se {Ai } è un suo insieme di generatori, allora la funzione Y Φ : σ(A) −→ σ(Ai ) i ϕ 7−→ {ϕ(A1 )} è (per definizione delle topologie su σ(A) e sul prodotto) continua, sebbene in generale non sia suriettiva. L’immagine dello spettro di A per tramite della mappa Q Φ è quindi un compatto in σ(A). 10.1.3 Definizione L’immagine Φ(σ(A)) si dice spettro congiunto di A e si denota con jσ({Ai }). Dato che gli {Ai } generano A, la mappa Φ : σ(A) −→ jσ(A) è iniettiva: infatti da ϕ1 = ϕ2 sugli {Ai } allora ϕ1 = ϕ2 sull’algebra generata dagli {Ai } (cioè i polinomi nelle {Ai }) e quindi, la chiusura di questa algebra 342 Capitolo 10. Teoria spettrale è A per definizione, per continuità dei ϕi , ϕ1 = ϕ2 su A. Dunque la mappa in questione è un omeomorfismo1 . Ad esempio, se A è generata da un solo elemento A, allora Φ : σ(A) −→ σ(A) ⊂ C è un omeomorfismo. Se A ∈ A (algebra di Banach con unità) consideriamo A := hA, Ii (con le parentesi acute denotiamo l’algebra generata dagli elementi che racchiudono: in questo caso l’algebra generata da A e I) che è esattamente la chiusura (uniforme) dell’algebra dei polinomi in A. Dunque A è una sottoalgebra di Banach commutativa con unità e si ha σ(A) = σA (A) ⊂ σA (A) 10.1.4 Teorema Se A ∈ A (algebra di Banach con unità) e A è la sottoalgebra 0 generata da A e I in A allora PA (A) è un aperto e, se P∞ (A) è la componente 2 connessa del punto ∞ in PA (A), allora 0 PA (A) = P∞ (A) ∪ U (ove U denota le rimanenti componenti connesse) e 0 σA (A) = C \ P∞ (A) Dimostrazione: è facile rendersi conto che 0 P∞ (A) ⊂ PA (A) Infatti la mappa PA (A) 3 λ 7−→ (A − λI)−1 è olomorfa, e X ||A|| < |λ0 | ⇒ (A − λI)−1 = (λ − λ0 )n RA (λ)n+1 à !n+1 X X Ak 1 = (λ − λ0 )n − λ k λk Ma, per definizione di A: − 1 2 1 X Ak ∈A λ k λk Essendo continua da un compatto in un compatto di Hausdorff ed iniettiva. Cioè la componente connessa che contiene i punti di modulo opportunamente grande. 10.1. Teorema della Mappa Spettrale 343 quindi per ogni λ che soddisfi la relazione precedente, la serie X (λ − λ0 )n RA (λ0 )n+1 ∈ A 0 converge e, per continuazione analitica, si trova che P∞ (A) ⊂ PA (A). 0 0 (A) allora / P∞ Viceversa dimostriamo che PA (A) ⊂ P∞ (A), cioè che se λ ∈ λ∈ / PA (A). Per assurdo sia λ∈PA (A), i.e. (A−λI)−1 ∈A cioè esistano i polinomi complessi pn ∈ C[z] tali che ||pn (A) − (A − λI)−1 || −→ 0 il che, per continuità del prodotto, implica ||(A − λI)pn (A) − I|| −→ 0 Ma se qn (z) := (z − λ)pn (z) − 1 evidentemente ||qn (A)|| −→ 0, e tuttavia ∀p ∈ C[z] ∀ϕ ∈ σ(A) ϕ(p(A)) = p(ϕ(A)) (per linearità e moltiplicatività delle ϕ), quindi (si rammenti che ||ϕ|| = 1): |p(ϕ(A))| ≤ ||p(A)|| ovvero, per ogni z ∈ σA (A): |p(z)| ≤ ||p(A)||. Supponiamo ora che λ appartenga ad una componente connessa che non sia 0 P∞ (A): per il principio del massimo 9.6.24, in questa componente connessa (che per definizione è chiusa ma anche aperta): |p(z)| ≤ ||p(A)||; in particolare ciò è vero nel punto λ. Ma ||qn (A)|| −→ 0 mentre qn (λ) = 1 il che viola il principio del massimo per qn (che ovviamente sono olomorfe, essendo polinomi!). L’assurdo è derivato dall’aver supposto falsa 0 l’inclusione PA (A) ⊂ P∞ (A). qed 10.1.5 Proposizione Se A è una C*-algebra con unità I, A ∈ A e A ∈ B ⊂ B (C*-sottoalgebra con unità I) allora σA (A) ⊂ σB (A) Se A è autoaggiunto vale il segno di uguaglianza. 344 Capitolo 10. Teoria spettrale Dimostrazione: Se A é autoaggiunto allora σA (A) ⊂ R è compatto e quindi 0 c’è solo la componente connessa P∞ (A). Nel caso generale, certamente A∗ A è autoaggiunto e quindi σB (A∗ A) = σA (A∗ A) Ora osserviamo che se A ∈ B è invertibile in A allora basta dimostrare che il suo inverso appartiene a B; infatti ciò equivale a PA (A) = PB (A) i.e. a σA (A) = σB (A). Ma in questo caso A∗−1 = A−1∗ e (A∗ A)−1 = A−1 A−1∗ in A e, essendo A∗ A autoaggiunto, A∗ A ∈ B (l’unità I è la stessa sia in A che B). Quindi A−1 = (A∗ A)−1 A∗ e, dato che (A∗ A)−1 , A ∗ ∈B, anche A−1 ∈ B. qed Consideriamo ora una C*-algebra A con unità I ed un suo elemento A; si definisce A = C ∗ (A, I) := hA, A∗ , Ii i.e. come la chiusura uniforme dei polinomi in A e A∗ : X p(A) = cnm An A∗m ove le {cnm } sono nulle tranne che per un numero finito di coppie (n, m). A è ovviamente una C*-algebra commutativa con unità I e quindi, per il teorema di Gel’fand–Najmark: ∀ϕ ∈ σ(A) ϕ(A∗ ) = ϕ(A) Si ha cioè l’omeomorfismo σ(A) ∼ = σA (A) = σA (A) Dunque la trasformata di Gelfand è uno *-isomorfismo isometrico di A su C(σ(A)). D’altro canto abbiamo anche l’omeomorfismo ϕ : σ(A) ∼ = σ(A) (che manda λ 7−→ ϕλ in ϕλ (A) = λ) e quindi, per funtorialità, si ha uno *-isomorfismo isometrico che rende commutativo il diagramma seguente: / C(σ(A)) HH HH ∗ HH HH ϕ # ² A HH C(σ(A)) 345 10.1. Teorema della Mappa Spettrale (dove ϕ∗ (f )(λ) = f (ϕλ )). Se definiamo una mappa C(σ(A)) −→ A come f 7−→ f (A) allora f (I) = I (per unitarietà dello *-isomorfismo ϕ∗ ) e, se f (λ) = λ allora b λ ) = λ deve essere ϕλ (B) = f (A) = A: infatti in questo caso, se B è tale che B(ϕ λ = ϕλ (A) i.e. ϕλ (B − A) = 0 e quindi B = A. Quindi la freccia diagonale C(σ(A)) ←→ A nel diagramma commutativo precedente è l’unica estensione isometrica della mappa C[z] −→ A di valutazione di un polinomio su A (p 7−→ p(A)) alla chiusura (uniforme) dello spazio dei polinomi e di A, per il teorema di Stone–Weierstrass. La mappa C(σ(A)) −→ A che abbiamo ottenuto si dice calcolo funzionale continuo per un operatore normale A. Infatti ci consente di calcolare il valore di una funzione continua su un operatore normale, analogamente a quanto accade per i polinomi. 10.1.6 Teorema della Mappa Spettrale Se A è un operatore normale in una C*-algebra A, per ogni f ∈ C(σ(A)) si ha che σ(f (A)) = f (σ(A)) Dimostrazione: A questo punto è una facile verifica: σ(f (A)) = {ϕ(f (A))}ϕ∈σ(A) = {f[ (A)(ϕ)}ϕ∈σ(A) = {f[ (A)(ϕλ )}λ∈σ(A) = {f (λ)}λ∈σ(A) = f (σ(A)) qed Se la C*-algebra A è commutativa, allora ogni operatore è normale e quindi il teorema della mappa spettrale ci consente di calcolare funzioni continue su elementi di A: da questo punto di vista, gli operatori di A sono una generalizzazione dei numeri complessi. 10.1.7 Esempio Se f è una funzione olomorfa intera, allora ∀λ ∈ C f (λ) = ∞ X c n λn n=0 (la somma converge assolutamente in tutto il piano complesso) e quindi ∀A ∈ A f (A) = ∞ X cn An n=0 converge assolutamente, quindi (A è uno spazio di Banach) converge in A. 346 Capitolo 10. Teoria spettrale Se A è commutativa, possiamo valutare su f (A) un funzionale moltiplicativo ϕ (si rammenti che un tale funzionale è continuo): ∀ϕ ∈ σ(A) ϕ(f (A)) = f (ϕ(A)) In realtà non è necessario limitarsi a funzioni intere. Più precisamente, sia f ∈ O(Ω) ove Ω è un dominio regolare (cioè un aperto connesso il cui bordo sia una curva regolare Γ) del piano complesso, con chiusura Ω compatta, contenente σ(A), e sia A(Ω) l’insieme delle funzioni olomorfe su Ω e continue su Ω = Ω ∪ Γ; si tratta di una sottoalgebra di Banach di C(Ω) per la norma ||f ||A(Ω) = max |f (z)| = max |f (z)| z∈Γ z∈Ω Per la formula di Cauchy 9.6.6: 1 ∀z ∈ Ω f (z) = 2π I Γ f (w) dw w−z dunque è naturale definire l’integrale di Dunford I 1 f (A) := f (λ)RA (λ)dλ 2π Γ (RA (λ) denota al solito il risolvente). Dato che la funzione f (λ)RA (λ) è olomorfa in Ω, questo integrale non dipende da Γ. 10.1.8 Lemma Se A ∈ A (algebra di Banach con unità) allora l’integrale di Dunford induce un morfismo continuo f 7−→ f (A) tale che • Se f (z) = 1 su Ω allora f (A) = I. • Se f (z) = z su Ω allora f (A) = A. P • Se f (z) = n≥0 cn z n è una serie assolutamente convergente in Ω allora f (A) = ∞ X cn An n=0 Dimostrazione: La mappa f − 7 → f (A) è ovviamente lineare e limitata, dato che 1 ||f (A)|| ≤ |Γ| max ||R(λ)|| ||f ||A(Ω) 2π 347 10.1. Teorema della Mappa Spettrale (|Γ| denota la lunghezza della curva Γ), ed è un omomorfismo di algebre: di più, verifichiamo che se Γ1 e Γ2 sono curve regolari chiuse in Ω, allora ∀f1 , f2 ∈ A(Ω) f1 (A)f2 (A) = f1 f2 (A) Intanto, dato che f2 (A) non dipende dalla scelta di Γ1 , possiamo supporre che sia Γ2 ⊂ Ω1 (le curve regolari chiuse delimitano domini regolari) e quindi µ f1 (A)f2 (A) = µ = 1 2πi 1 2πi ¶2 I I f1 (λ1 )R(λ1 )dλ1 Γ1 f2 (λ2 )R(λ2 )dλ2 = Γ2 ¶2 I f1 (λ1 )f2 (λ2 ) Γ1 R(λ1 ) − R(λ2 ) dλ1 dλ2 λ1 − λ − 2 (si ricordi che R(λ1 ) − R(λ2 ) = (λ1 − λ2 )R(λ1 )R(λ2 )). Ma la funzione λ2 7−→ R(λ1 ) − R(λ2 ) λ1 − λ2 è olomorfa in Ω2 e quindi, per la formula integrale di Cauchy: µ ¶2 I I 1 R(λ1 ) − R(λ2 ) f1 (A)f2 (A) = dλ2 dλ1 f1 (λ1 ) f2 (λ2 ) 2πi λ1 − λ2 Γ1 Γ2 µ ¶2 I I 1 f2 (λ2 )R(λ2 ) =− f1 (λ1 ) dλ2 dλ1 2πi λ1 − λ2 Γ1 Γ2 ¶ µ I I 1 f1 (λ1 ) 1 f2 (λ2 )R(λ2 ) dλ1 dλ2 =− 2πi Γ2 2πi Γ1 λ1 − λ2 I 1 =− f2 (λ2 )f1 (λ2 )R(λ2 )dλ2 2πi Γ2 = f1 f2 (A) Ora la (3) del teorema è immediata. La (2) è un facile calcolo: 1 f (A) = − 2πi I 1 λR(λ)dλ = A + 2πi Γ I (A − λI)R(λ)dλ = A Γ mentre la (1) si dimostra osservando che, essendo una funzione identicamente 1 intera, possiamo scegliere Γ come una circonferenza di centro l’origine del piano 348 Capitolo 10. Teoria spettrale complesso e raggio arbitrariamente grande, ottenendo quindi ¯¯ I ¯¯ I ¯¯ 1 ¯¯¯¯ I ¯¯ 1 · R(λ)dλ − ||f (A) − I|| = dλ ¯ ¯ ¯¯ −1 2π Γ Γ λ ¯¯ I µ ¶ ¯¯ ¯¯ I 1 ¯¯¯¯ ¯¯ R(λ) + = − dλ ¯¯ 2π ¯¯ λ−1 Γ ! ¯¯ ¯¯ I õ ¶−1 ¯¯ 1 dλ ¯¯¯¯ A = ¯¯¯¯ I − −1 −I 2π Γ λ λ ¯¯ ¯¯ µ ¯¯ I ¶−1 ¯¯ ¯¯ 1 A 1 ¯ ¯ ≤ max ¯¯ I − −1 − I ¯¯¯¯ dλ λ∈Γ λ 2π Γ |λ| ||A|| ≤ max λ∈Γ |λ| − ||A|| che tende a zero per |λ| −→ ∞. qed Questo teorema si estende immediatamente al caso in cui σ(A) sia sconnesso: infatti se σ(A) = σ1 (A) ∪ σ2 (A) sono le componenti connesse, possiamo considerare l’integrale di Dunford I 1 f (A) = − f (λ)R(λ)dλ 2πi Γ ove Γ è una curva regolare chiusa, che delimiti3 un dominio regolare contenente σ1 (A) e il cui complementare (illimitato) contenga σ2 (A), e l’algebra A(Ω) è quella delle funzioni olomorfe in Ω continue in Ω. In questo caso, se f = 1, allora f (A) è un proiettore (continuo), cioè f (A)2 = f (A) che commuta con A e tale che Af (A) = f (A). Dunque, se σ(A) è sconnesso, A possiede un idempotente e quindi una proprietà topologica dello spettro ne implica una algebrica dell’algebra. 10.1.9 Teorema della Mappa Spettrale Olomorfo Se A è un’algebra di Banach con unità, A ∈ A e Γ una curva regolare che delimiti un dominio regolare Ω tale che σA (A) ⊂ Ω, allora per ogni funzione f ∈ A(Ω): σA (f (A)) = f (σA (A)) Dimostrazione: Se A è commutativa, allora, per ogni ϕ ∈ σ(A): ¶ µI I 1 1 f (λ) ϕ(f (A)) = − f (λ)R(λ)dλ = − ϕ dλ = f (ϕ(A)) 2πi 2πi Γ ϕ(A) − λ Γ 3 In tutti questi ragionamenti si assume il teorema di Jordan secondo il quale una curva siffatta divide in piano in due parti: una limitata ed una illimitata. 10.2. Calcolo funzionale continuo 349 e quindi il teorema segue immediatamente dal lemma. Se A non è commutativa, possiamo, per ogni A ∈ A considerare l’algebra commutativa massimale che contiene A (intersezione di tutte le sottoalgebre commutative B ⊂ A che contengano A). Una costruzione di B è la seguente: consideriamo l’algebra generata da A, I e dagli elementi {RA (λ)}λ∈P (A) Dato che i risolventi commutano fra loro, quest’algebra è commutativa e, per definizione, tale che σB (A) = σA (A) Quindi, dato che il teorema vale per B, vale anche per A. qed 10.2 Calcolo funzionale continuo Sia A una C*-algebra con unità I e A un elemento autoaggiunto A = A∗ di A. Allora σ(A) ⊂ R 10.2.1 Teorema Se A è una C*-sottoalgebra dell’algebra B(H) degli operatori continui su uno spazio di Hilbert allora le seguenti condizioni sono equivalenti: • Per ogni x ∈ H: (x, Ax) ≥ 0 (i.e. A è positivo). • Esiste B ∈ B(H) tale che A = B ∗ B. • A è autoaggiunto e σ(A) ⊂ [0, ∞]. Dimostrazione: (3) ⇒ (2): se A = A∗ allora per ogni funzione f ∈ C([0, ∞]) √ possiamo usare il calcolo funzionale continuo: in particolare per f (t) := + t, abbiamo che f (A) ∈ A ⊂ A e, avendo f valori reali: f (A)∗ = f (A) i.e. f (A)2 ) = f 2 (A) = A. Prendiamo allora semplicemente B := f (A) ottenendo B = B ∗ e B ∗ B = f (A)2 = A. (2) ⇒ (1) è ovvio: per ogni x ∈ H: (x, B ∗ Bx) = (Bx, Bx) ≥ 0 350 Capitolo 10. Teoria spettrale (1) ⇒ (3): Se (x, Ax) ∈ R: (x, Ax) = (x, Ax) = (Ax, a) quindi A = A∗ è autoaggiunto. Allora σ(A)∈R e, per λ > 0, vogliamo dimostrare che (A + λI)−1 ∈ B(H) (il che implicherà che (A + λI)−1 ∈ A avendo A e B(H) la stessa unità I). Ma λ(x, x) < (x, (A + λI)x) ≤ ||x|| ||(A + λI)x|| e quindi λ||x|| ≤ ||(A + λI)x|| cioè ker(A + λI) = 0. Esiste dunque l’inverso di (A + λI) e quello che vogliamo dimostrare è che questo operatore è definito in tutto H. Di certo il suo dominio è denso, ed inoltre: Dom(A + λI)−1 = Im(A + λI) Infatti, dato che ker(A + λI) = 0: ∀x ∈ H (y, (A + λI)x) = 0 ⇒ y = 0 Consideriamo ora z ∈ im(A + λI): z = lim zn = lim(A + λI)xn n z Dunque {(A + λI)xn } è di Cauchy, da cui λ|xn − xm || ≤ ||(A + λI)(xn − xm )|| < ε cioè {xn } pure è di Cauchy, e deve quindi convergere a un x ∈ H. Questo dimostra che z ∈ im(A + λI), che quindi risulta essere chiuso; dato che è anche denso in H segue che H = im(A + λI), e quindi l’operatore (A + λI)−1 è definito ovunque. Ora si noti che (A + λI)−1 z = (A + λI)−1 (A + λI)x = x e, dato che λ||x|| ≤ ||z||: ||x|| ≤ ||(A + λI)−1 z|| Ne concludiamo che (A + λI)−1 è lineare e continuo su H, ed è un inverso sinistro (e anche destro) di A + λI, il che significa che λ ∈ P (A). Abbiamo quindi dimostrato che σ(A) ⊂ [0, ∞). qed 10.2. Calcolo funzionale continuo 351 Osserviamo che se A è autoaggiunto, dato che (x, Ax) ∈ R, per la disuguaglianza di Schwartz: (x, Ax) ≤ ||A||(x, x) Ma vale ovviamente anche la disugualianza opposta. Quindi è naturale chiedersi quali a e b possano scegliersi in modo che a(x, x) ≤ (x, Ax) ≤ b(x, x) 10.2.2 Proposizione Se A ∈ B(H) è autoaggiunto allora una coppia di numeri reali (a, b) soddisfa alla ∀x ∈ H a(x, x) ≤ (x, Ax) ≤ b(x, x) se e solo se l’intervallo [a, b] contiene lo spettro σ(A). Dimostrazione: L’equivalenza (1) ⇐⇒ (3) del teorema precedente, con la scelta A − aI e bI − A fornisce immediatamente la tesi. qed In particolare si possono considerare a = min σ(A) e b = max σ(A). 10.2.3 Definizione Se A ∈ A (C*-algebra con unità I) allora (essendo A∗ un operatore autoaggiunto e positivo), il modulo di A è l’operatore autoaggiunto √ |A| := A∗ A ∈ A Dato che ker |A| = ker A (infatti (|A|x, |A|x) = 0 ⇐⇒ (x, |A|2 x) = 0 ⇐⇒ (x, A∗ Ax) = 0) si ha il 10.2.4 Teorema Se A è una C*-sottoalgebra di B(H) esiste un’unica isometria parziale V in H tale che ker V = ker A e A = |A|V Il seguente teorema è una generalizzazione della decomposizione polare delle matrici: 10.2.5 Teorema Se A ∈ B(H) esiste un’unica coppia (V, H) di operatori in H, ove V è un’isometria parziale e H un operatore autoaggiunto positivo tali che ker A = ker V = ker H e A=VH 352 Capitolo 10. Teoria spettrale Dimostrazione: Ovviamente poniamo H = |A|; dato che, per ogni x ∈ H: ¯¯ ¯¯ ¯¯ |A|x¯¯2 = ||Ax||2 si ha quindi che la corrispondenza |A|x ←→ Ax è una isometria e (im |A|)⊥ = ker |A| = ker A (infatti (im B)⊥ = ker B ∗ sempre). Possiamo dunque estendere la corrispondenza |A|x ←→ Ax ponendola zero su im |A|⊥ = ker A. Infine vediamo l’unicità della decomposizione: se fosse A = V H = V 0 H 0 sarebbe anche A∗ = H 0 V 0∗ ⇒ A∗ A = H 02 ⇒ H 0 = |A| ed inoltre A = V 0 H = V |A| da cui V = V 0 . qed Se A1 , ..., An ∈ A sono tali che ∀i, k = 1, ..., n Ai Ak = Ak Ai allora la C*-algebra e Ai A∗k = A∗k Ai A = C ∗ hI, A1 , ..., An i generata da {I, A1 , ..., An } è commutativa e quindi, per il teorema di Gelfand– Najmark, isomorfa alla C*-algebra C(σ(A)), ove lo spazio σ(A) è omeomorfo allo spettro congiunto jσ(A1 , ..., An ). Notiamo che, in generale jσ(A1 , ..., An ) * σ(A1 )× ... × σ(An ) (ad esempio per A1 = A e A2 = A∗ ); un caso in cui vale invece il segno di = è per A = C[0, 12 ] con A1 = f1 e A2 = f2 , ove f1 (s, t) = s e f2 (s, t) = t. Possiamo comunque estendere la teoria svolta per un solo operatore A alla famiglia di operatori {A1 , ..., An } ottenendo il calcolo funzionale continuo (la freccia diagonale nel seguente diagramma): A HH / C(σ(A)) HH HH ∗ HH HH ϕ # ² C(σ(A)) (dove ϕ∗ (f )(λ) = f (ϕλ )) in più variabili: f 7−→ f (A1 , ..., An ) come l’unico *-isomorfismo isometrico C(jσ(A1 , ..., An )) ∼ = A tale che 10.2. Calcolo funzionale continuo 353 • Se f = 1 allora f (A1 , ..., An ) = I. • Se f (λ1 , ..., λn ) = λi allora f (A1 , ..., An ) = Ai . Osserviamo che, A∗ A = AA∗ e A = A1 + iA2 se e solo se A1 A2 = A2 A1 e quindi σ(A) = jσ(A1 , A2 ), dato che jσ(A1 , A2 ) = {(ϕ(A1 ), ϕ(A2 ))}ϕ∈σ(A) ←→ {ϕ(A) = ϕ(A1 ) + iϕ(A2 )}ϕ∈σ(A) 10.2.6 Definizione Lo spettro puntuale di un operatore A ∈ A (C*-algebra con unità) è l’insieme σp (A) := {λ ∈ C | ∃x 6= 0 Ax = λx} e lo spettro continuo di A è l’insieme σc (A) := {λ ∈ C |∀ε > 0∃x ||Ax − λx|| < ε} Ovviamente σ(A) = σp (A) ∪ σc (A) 10.2.7 Esempio Sia X uno spazio topologico separabile e consideriamo una misura atomica µ su X (o meglio sulla σ-algebra dei boreliani di X), cioè costruita prendendo una successione {xn } ⊂ X densa e ponendo µ= ∞ X cn δxn n=0 (ove δx è laP misura di Dirac concentrata in {x} e i cn sono positivi e normalizzati in modo che n cn = 1). Per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2, esiste un funzionale Fn associato alla misura δxn tale che Z Fn (f ) = f (x)dδxn (x) X Se consideriamo l’operatore di moltiplicazione per f : Mf allora σp (Mf ) = σ(Mf ) 354 Capitolo 10. Teoria spettrale 10.2.8 Lemma Se A1 , ..., An ∈ A (C*-algebra con unità I) soddisfano alle ∀i, k = 1, ..., n Ai Ak = Ak Ai e Ai A∗k = A∗k Ai allora lo spettro congiunto jσ(A1 , ..., An ) è l’insieme ½ ¾ ||(Ak − λk )B|| n (λ1 , ..., λn ) ∈ C | ∀ε > 0 ∃B ∈ A \ 0 <ε ||B|| Dimostrazione: Se λ = (λ1 , ..., λn ) ∈ Cn non appartiene a jσ(A1 , ..., An ) deve aversi d(jσ(A1 , ..., An ), λ) = δ > 0 Per z ∈ jσ(A1 , ..., An ) consideriamo la funzione f (z) := 1 1 = ||λ − z|| d(λ, z) Allora f : jσ(A1 , ..., An ) −→ C è continua e ||f || < 1/δ, quindi, se C := f (A1 , ..., An ) sta in A e ||λ − z||2 = n X |λi − zi |2 ⇒ n X |(λi − zi )f (z)|2 = 1 i=1 i=1 Applicando il calcolo funzionale continuo: n X C ∗ (Ai − λi I)∗ (Ai − λi I)C = I i=1 Dunque, se B ∈ A: n X (CB)∗ (Ai − λi I)∗ (Ai − λi I)CB B B= ∗ = i=1 n X ((Ai λi )B)∗ C ∗ C(Ai − λi I)B i=1 (dato che C commuta con gli Ai per definizione). Quindi ∗ ||B B|| = ||B|| ≤ 2 n X ||C(Ai − λi I)B|| = ||C|| i=1 = 1 δ n X i=1 ||(Ai − λi I)B||2 2 n X i=1 ||(Ai − λi I)B||2 355 10.2. Calcolo funzionale continuo Questo vale per ogni B e λ ∈ / jσ(A1 , ..., An ), perciò l’insieme {(λ1 , ..., λn ) ∈ Cn | ∀ε > 0∃B ⊂ A \ 0 ||(Ak − λk )B|| < ε||B||} è contenuto in jσ(A1 , ..., An ). Viceversa, sia λ ∈ jσ(A1 , ..., An ); allora, se g : [0, ∞) −→ R è continua e tale che ∀t ≥ ε g(t) = 0 e g(0) = 1 abbiamo che la funzione f (z) := g(||λ − z||) verifica la f (A1 , ..., An ) ∈ A \ 0. Dunque |(zi − λi )f (z)| < ε =⇒ ||(Ai − λi I)B|| ≤ ε||B|| se B = f (A1 , ..., An ) (si rammenti che ||f || = 1). qed 10.2.9 Teorema Se A ⊂ B è una C*-sottoalgebra e A1 , ..., An ∈ A sono tali che ∀i, k = 1, ..., n Ai Ak = Ak Ai allora lo spettro congiunto jσ(A1 , ..., An ) è n (λ1 , ..., λn ) ∈ Cn | ∃{xn } ⊂ H1 e Ai A∗k = A∗k Ai lim ||Ak xn − λk xn || = 0 o n−→∞ (ove H1 = {x ∈ H | ||x|| = 1}). Dimostrazione: Per il lemma sappiamo che λ ∈ jσ(A1 , ..., An ) ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃B ∈ A ||B|| = 1 e ||(Ak − λk )B|| ≤ ε Se A ⊂ B(H) allora ||B|| = supx∈H1 ||Bx|| quindi ||(Ak − λk I)Bx|| ≤ ε e, per ogni δ > 0 esiste un xδ ∈ H1 per il quale ||Bxδ || > 1 − δ Dunque, per y := Bxδ ||Bxδ || 356 Capitolo 10. Teoria spettrale troviamo che ||(Ak − λk I)y|| ≤ ε ε < ||Bxδ || 1−δ ovvero λ ∈ jσ(A1 , ..., An ) ⇐⇒ ∀ε > 0 ||(Ak − λk )x|| ≤ ε Per ogni n possiamo quindi scegliere un xn che soddisfi la relazione precedente per un εn arbitrario. qed Osserviamo che, se esiste x ∈ H \ 0 tale che, per ogni k, (Ak − λk I)x = 0, allora \ K := ker(Ak − λk I) 6= 0 k Se la dimensione di H non è finita, possiamo scegliere gli {xn } del teorema precedente in modo che formino una base ortonormale; nella costruzione si considerano le εn (tendenti a zero) e le gn : [0, ∞) −→ R tali che ∀z εn < ||z − λ|| =⇒ g(z) = 0 e gn (0) = 1 ma sarebbe lo stesso porre, per n 6= m: gn (z)gm (z) = 0 con ||gn || = 1, in modo che Bn∗ Bm = 0 e quindi: n 6= m =⇒ (Bn x, Bm x) = 0 Questo è possibile perché λ non è un punto isolato dello spettro congiunto ed i punti isolati dello spettro congiunto fanno parte in realtà della sua componente puntuale, come dimostreremo ora. 10.2.10 Definizione Se A è normale in B(H), il suo spettro essenziale è l’insieme σess (A) := {λ ∈ σ(A) | λ punto isolato e dim ker(A − λI) < ∞} 10.2.11 Proposizione Se λ è un punto isolato in σ(A) allora λ ∈ σp (A). Dimostrazione: Ovviamente {λ} è un chiuso (essendo lo spettro uno spazio di Hausdorff) ed aperto (essendo un punto isolato), il che vuol dire che la sua funzione caratteristica χ{x} è continua. Quindi χ{x} (A) ∈ A se e solo se χ{x} è un idempotente autoaggiunto E nell’algebra C(σ(A)). Se A ∈ B(H) è normale allora 10.3. Calcolo funzionale boreliano 357 E è un proiettore sul sottospazio ker(A − λI); infatti (z − λ)χ{x} = 0 e quindi (A − λI)E = 0. Applicando il calcolo funzionale continuo si ottiene (ricordando che se x ∈ ker(A − λI) allora A∗ x = λX): ∀p ∈ C[x, y] p(A, A∗ )(x) = p(λ, λ)(x) Ma, dato che per il teorema di Stone–Weierstrass 9.2.9 esiste una successione {pn } di polinomi che approssimano la funzione continua χ{x} , si ha ||pn (A) − E|| −→ 0 e, dato che pn (A)X −→ Ex, pn (λ)x −→ x e pn (A)x = pn (λ)x, ne viene Ex = x. Quindi l’immagine di E è ker(A − λI). qed Lo stesso ragionamento può farsi per un numero finito qualsiasi di operatori A1 , ..., An , che commutino con i loroTaggiunti: in questo caso χ{x} corrisponde ad un operatore E la cui immagine è i ker(Ai − λi I). Dunque si ha il 10.2.12 Teorema (Weyl) σess (A) = {λ ∈ C | ∃{xn } base ortonormale ||Axn − λxn || −→ 0} 10.3 Calcolo funzionale boreliano Prendiamo spunto da un esempio: sia H uno spazio di Hilbert di dimensione finita (spazio euclideo); allora se A è normale, per ogni λ ∈ C tale che A∗ x = λx: ker(A − λI)⊥ ⊂ N (A − λI)⊥ Se Pλ è l’operatore di proiezione Eker(A−λI) si ha che P • λ∈σ(A) Pλ = I. • Se λ 6= λ0 : Pλ Pλ0 = 0. P • A = λ∈σ(A) λPλ . Questo non è che un altro modo di esprimere la nota proprietà di diagonalizzazione delle matrici hermitiane. Il calcolo delle funzioni su tali matrici si riduce a quello sui suoi autovalori: X ∀p ∈ C[z] p(A) = p(λ)Pλ 358 Capitolo 10. Teoria spettrale Ad esempio se f |σ(A) = χ{λ} allora Pλ = f (A). Se A è autoaggiunto allora il suo spettro è reale e possiamo definire X E(λ) := Pλ0 λ0 ≤λ La proprietà (3) si esprime allora come Z A = λdE(λ) ove la misura E è definita sugli intervalli come E(λ, λ0 ] := E(λ) − E(λ0 ) Ovviamente E(λ) = χ(−∞,λ] (A) Questa funzione è continua solo se la dimensione dello spazio H è finita. Nel caso generale, che è quello che ci interessa, non possiamo quindi usare il calcolo funzionale che abbiamo fin qui sviluppato: dobbiamo perciò cercare di estenderlo ad una classe di funzioni più vasta di quelle continue. Consideriamo quindi uno spazio di Hilbert H ed un operatore A continuo e normale su H; allora esiste un isomorfismo isometrico ∼ = C(σ(A)) −−−−→ A = C ∗ hA, Ii Ora osserviamo che, per il teorema di Tietze 2.3.4, gli elementi di C(σ(A)) si ottengono da quelli di Co (C) (funzioni continue e limitate su C) per restrizione a σ(A), e quindi che il calcolo funzionale continuo induce una mappa (che non è un isomorfismo): Co (C) −→ A al solito ponendo f 7−→ f (A). Quindi, dare un operatore normale è equivalente ad assegnare un morfismo di C*-algebre (un tale morfismo verrà in sèguito chiamato rappresentazione della C*-algebra A) π : A −→ B(H) (con A := Co (C)) il cui nucleo è ker π = {f ∈ Co (C) | f |σ(A) = 0} Infatti, data π, se f0 ∈ Co (C) è tale che f0 (λ) = λ su σ(A), e se A := π(f0 ) 359 10.3. Calcolo funzionale boreliano si trova che, per ogni altra f ∈ Co (C) con f |σ(A) ∈ C(σ(A)) si ha π(f ) = f (A) (questo è vero ovviamente per f costante, e quindi, per linearità e moltiplicatività, sui polinomi ed infine, per continuità, sulle funzioni continue qualsiasi). Osserviamo che, se A1 , A2 ∈ B(H) sono operatori normali allora σ(A1 ) = σ(A2 ) ⇐⇒ ker π1 = ker π2 10.3.1 Definizione Due operatori A1 e A2 si dicono unitariamente equivalenti, e si scrive A1 ∼ = A2 , se esiste un operatore unitario U in H tale che U A1 U −1 = A2 e U A2 U −1 = A1 È immediato verificare che se A1 ∼ = A2 allora σ(A1 ) = σ(A2 ) e, di più, σp (A1 ) = σp (A2 ). Torniamo ora alla nostra rappresentazione π(f ) = f (A) Se A1 ∼ = A2 le rappresentazioni associate si dicono unitariamente equivalenti e si scrive π1 ∼ = π2 : ciò significa che esiste un operatore unitario U in H tale che U π1 (f ) = π2 (f )U Inoltre possiamo definire (π1 , π2 ) := {T ∈ B(H) | ∀f ∈ Co (C) T π1 (f ) = π2 (f )T } Gli elementi di questo insieme si dicono operatori di allacciamento. Dato che due rappresentazioni equivalenti hanno gli stessi nuclei, segue che gli spettri degli operatori associati sono equivalenti e, di più, gli operatori sono unitariamente equivalenti. Vale anche il viceversa: se U A1 U −1 = A2 allora U An1 U −1 = An2 ⇒ U p(A1 )U −1 = p(A2 ) con p ∈ C[z]. Di nuovo per continuità e per il teorema di Stone–Weierstrass 9.2.9: U f (A1 )U −1 = f (A2 ) per ogni funzione continua sullo spettro di A1 (che poi coincide con lo spettro di A2 ). Quindi U π1 (f )U −1 = π2 (f ) In questo modo lo studio degli operatori e delle rappresentazioni si equivale: in effetti, rappresentare un’algebra vuol dire proprio presentarla concretamente come l’algebra degli operatori di qualche spazio. 360 Capitolo 10. Teoria spettrale Studiamo ora le rappresentazioni di A = C(X), ove X è uno spazio topologico di Hausdorff compatto in uno spazio di Hilbert H: π : A −→ B(H) Vogliamo associare a π delle misure (boreliane) su X. Preliminarmente osserviamo che, per x, y ∈ H, la mappa f 7−→ (x, π(f )y) è un funzionale lineare su A, continuo in virtù della |(x, π(f )y)| ≤ ||x|| ||y|| ||π(f )|| ≤ ||x|| ||y|| ||f || Allora, per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2: ∗ Z F ∈ C(X) ⇐⇒ F (f ) = f (t)dµ(t) X ove µ è una misura boreliana complessa regolare e limitata (cioè è una combinazione lineare finita di misure regolari di probabilità). Quindi Z (x, π(f )y) = f (t)dµx,y (t) X 10.3.2 Definizione Gli elementi della famiglia {µx,y }x,y∈H si dicono misure spettrali associate alla rappresentazione π. Consideriamo ora lo spazio B(X) delle funzioni boreliane limitate su X a valori complessi: sappiamo che, con la norma ||f || := sup |f (x)| x∈X è un’algebra di Banach4 : ovviamente l’involuzione f ∗ (x) := f (x) la rende una C*-algebra commutativa. Per il teorema di Riesz–Markov esiste l’estensione π e : B(X) −→ B(H) 4 Se {fn } sono boreliane ed equilimitate e convergenti puntualmente in X il loro limite è una funzione boreliana limitata. 361 10.3. Calcolo funzionale boreliano (tale che π e|C(X) = π). Infatti, se µ è la misura che corrisponde al funzionale F per mezzo del teorema di Riesz–Markov, allora l’integrale Z f (t)dµ(t) X è definito sugli elementi di B(X) e quindi per ogni funzione boreliana f ed ogni misura spettrale µx,y ha senso l’espressione Z f (t)dµx,y (t) X Si tratta di una funzione sesquilineare nelle x e y, dato che µx,ay1 +by2 = aµx,y1 + bµx,y2 e µax1 +bx2 ,y = aµy1 ,x + bµx2 ,y Dato che, per definizione, ||µ| := ||F ||, questa forma sesquilineare è limitata (||µ|| ≤ ||x|| ||y||), deve esistere π e tale che Z f (t)dµx,y (t) = (x, π e(f )y) X Questa π e è ovviamente lineare in f , ed è uno *-morfismo, dato che Z Z (x, π e(f )y) = e(f )x) f (t)dµx,y (t) = f (t)dµy,x (t) = (y, π X X Effettivamente è proprio una rappresentazione, avendosi π(f g) = π(f )π(g) sulle funzioni continue, e quindi Z Z f (t)g(t)dµx,y (t) = (x, π(f g)y) = (x, π(f )π(g)y) = f (t)dµx,π(g)y (t) X X da cui µx,π(g)y) = gµx,y ; integrando quindi una funzione boreliana rispetto a questa misura si trova (x, π e(f g)y) = (x, π e(f )e π (g)y) per ogni boreliana f ed ogni funzione continua g, vale a dire π e(f g) = π e(f )π(g) 362 Capitolo 10. Teoria spettrale Ma inoltre Z ∗ (x, π e(f )e π (g)y) = (e π (f ) x, π(g)y) = X Ne concludiamo che Z g(t)dµπe(f )∗ x,y (t) Z f (t)g(t)dµx,y (t) = X X g(t)dµπe(f )∗ x,y (t) e quindi µπe(f )∗ x,y = f µx,y . Di nuovo integrando sulle boreliane queste misure si ottiene π e(f g) = π e(f )e π (g) stavolta con f, g ∈ B(X). Questo conclude la verifica che π e è una rappresentazione della C*-algebra B(X): si noti che ||e π (f )| ≤ ||f ||. 10.3.3 Teorema Se {fn } è una successione in B(X) equilimitata e convergente puntualmente, allora la successione π e(fn ) converge fortemente. Dimostrazione: Si tratta di applicare il teorema della convergenza dominata di Lebesgue 4.3.12: basta infatti dimostrare che, per ogni x ∈ X: ||e π (fn )(x) − π e(f )(x)||2 −→ 0 ove f = lim fn . Ora notiamo che ||e π (fn )(x) − π e(f )(x)||2 = ||e π (fn − f )(x)||2 = (e π (fn − g)(x), π e(fn − f )(x)) ∗ = (x, π e((fn − f ) (fn − f ))(x)) = (x, π e(|fn − f |2 )(x)) Ma |fn − f |2 è equilimitata per ipotesi e tende a zero puntualmente: quindi il teorema della convergenza dominata implica che Z Z 2 |(fn − f )(t)| dµx,y (t) = lim lim |(fn − f )(t)|2 dµx,y (t) = 0 n X X n qed Consideriamo di nuovo la rappresentazione π associata all’operatore normale A; sappiamo che π(C(X)) = A è naturale chiedersi cosa sia π(B(X)): vedremo che questo insieme è contenuto nella chiusura forte dell’algebra A e per dimostrarlo ci occorrerà un notevole risultato, il teorema di densità di von Neumann, che verrà dimostrato in séguito. 363 10.3. Calcolo funzionale boreliano 10.3.4 Definizione Se S ⊂ B(H) è un sottoinsieme qualsiasi, il commutante di S (o centralizzante di S) è l’insieme S 0 := {T ∈ B(H) | ∀A ∈ S T A = AT } Evidentemente il commutante S 0 è un’algebra che contiene l’unità I. 10.3.5 Esempio Se consideriamo un operatore T ∈ B(H) tale che T π(f ) = π(f )T possiamo esprimerlo scrivendo T ∈ A0 . 10.3.6 Proposizione Il commutante S 0 di un insieme è un’algebra chiusa nella topologia debole di B(H). Dimostrazione: Ricordiamo qualche proprietà della topologia debole su B(H): se A ∈ B(H) e x, y ∈ H i funzionali lineari fx,y (A) := hfx,y , Ai sono continui (||fx,y || ≤ ||x|| ||y||), quindi l’insieme M0 := {fx,y }x,y∈H è un sottospazio vettoriale di B(H)∗ . Ricordiamo che la topologia debole su B(H) è definita in modo equivalente dalle seguenti proposizioni: • è la più debole topologia su B(H) per la quale gli elementi di M0 sono funzioni continue. • è la (σ(B(H), M0 )-topologia. • è la topologia definita dalle seminorme ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ (xi , Axi )¯¯ px−1,...,xn (A) := ¯ i Torniamo ora alla dimostrazione della proposizione: T ∈ S 0 se e solo se, per ogni A ∈ S, AT = T A, cioè ∀x, y ∈ X∀A ∈ S (x, T Ay) = (x, AT y) = (A∗ x, T y) se e solo se (x, T Ay) − (A∗ x, T y) ∈ M0 , il che equivale a \ T∈ ker(fx,Ay − fA∗ x,y ) x,y∈H;A∈S il che significa esattamente che S 0 è debolmente chiusa. qed 364 Capitolo 10. Teoria spettrale Notiamo che, in generale, S 0 non è una *-algebra. 10.3.7 Definizione Una *-sottoalgebra A ⊂ B(H) si dice non degenere se ∀x ∈ H Ax = 0 =⇒ x = 0 Evidentemente A è non degenere ⇐⇒ (AH)⊥ = 0 Ovviamente se I ∈ A allora A è non degenere. 10.3.8 Proposizione Se A ⊂ B(H) è una *-sottoalgebra e N := {x ∈ H | Ax = 0} allora A|N ⊥ è non degenere. Dimostrazione: Basta osservare che A(N ⊥ ) ⊂ N ⊥ , dato che (Ax, y) = (x, A∗ y) = 0 ⇒ Ax⊥N qed Possiamo ora enunciare il 10.3.9 Teorema di Densità (von Neumann) Se A ⊂ B(H) è una *-sottoalgebra non degenere allora f A = A00 (la chiusura forte di A è il doppio commutante di A stesso). La dimostrazione verrà data in séguito (cfr. teorema 11.4.1: qui osserviamo semplicemente che, con questo risultato a disposizione, possiamo dimostrare che f π(B(X)) ⊂ A Questo segue direttamente dal teorema di densità e dal risultato seguente: 10.3.10 Lemma Se f ∈ B(X) e T ∈ A0 allora π e(f )T = T π e(f ) Dimostrazione: Per ogni T ∈ A0 : π(f )T = T π(f ) =⇒ (y, π(f )T x) = (y, T π(f )x) = (T ∗ y, π(f )x) cioè µy,T x = µT ∗ y,x . qed 00 f Questo lemma implica che π(B(X)) ⊂ A che è proprio A per il teorema di densità. Osserviamo una conseguenza del teorema di densità di von Neumann: 365 10.4. Misure spettrali 10.3.11 Corollario Se A ⊂ B(H) è una *-sottoalgebra non degenere allora f d A =A (la chiusura forte e la chiusura debole di A coincidono). Dimostrazione: Infatti si ha sempre la f A ⊂A d Ma A0 è debolmente chiusa (per ogni A) e quindi il teorema di densità implica che f d f A ⊂ A ⊂ A00 = A qed La discussione precedente e l’esempio dell’algebra A rendono naturale la seguente definizione: 10.3.12 Definizione Una *-sottoalgebra debolmente chiusa A ⊂ B(H) che possieda l’unità I si dice algebra di von Neumann. Per il teorema di densità, una caratterizzazione immediata è A di von Neumann ⇐⇒ A = A00 o, come si dice, le algebre di von Neumann sono quelle che verificano la proprietà del doppio commutante. 10.3.13 Esempio Le algebre di matrici Mn (C) sono algebre di von Neumann: in effetti sappiamo che l’algebra A = Mn (C) è semplice (cfr. teorema 5.5.14) e che quindi il suo commutante A0 è ridotto alle sole matrici scalari (multipli della matrice identità): ∀A ∈ Mn (C) AX = XA =⇒ ∃a ∈ C X = aI Questo stesso enunciato ci dice che (A0 )0 = A (le matrici che commutano con le matrici scalari sono tutte le matrici). 10.4 Misure spettrali Consideriamo un operatore normale A su uno spazio di Hilbert H, a l’algebra A = C ∗ hA, Ii = {ϕ(A)}ϕ∈C(σ(A)) . Ovviamente, se f è una funzione boreliana in H (essendo uno spazio topologico è anche uno spazio misurabile rispetto alla σ-algebra di Borel) allora f (A) ∈ A00 . 366 Capitolo 10. Teoria spettrale Osserviamo che, se ∆ è un boreliano in C allora χ∆ è boreliana e quindi l’operatore χ∆ (A), avendo valori in R è autoaggiunto. In particolare: χ∗∆ χ∆ = χ∆ quindi E∆ := χ∆ (A) è un idempotente tale che ∗ E∆ E∆ = E∆ e pertanto è un proiettore; dunque esiste un sottospazio chiuso H∆ ⊂ H tale che E∆ = EH∆ . Per definizione, E∆ commuta con tutte le funzioni di A, ed in particolare ⊥ A AE∆ = E∆ A, da cui segue che AH∆ ⊂ H∆ ; quindi, dato che H = H∆ ⊕ H∆ si decompone in somma diretta di operatori. Osserviamo tre proprietà interessanti, anche se immediate, della mappa ∆ 7−→ E∆ : • EC = I (dato che χC = 1). • Se ∆1 , ∆2 sono boreliani in C allora E∆1∩∆2 = E∆1 E∆2 . • Se {∆n } è una famiglia numerabile di boreliani disgiunti allora X ESn ∆n = E∆n n (La (2) segue da χA χB = χA∩B e la (3) dal fatto che le {χ∆n } sono equilimitate). Quindi la mappa E : {Boreliani di C} −→ {Proiettori di H} ha le proprietà di una misura, con la differenza che non assume valori in C ma in uno spazio di Hilbert. 10.4.1 Definizione Una funzione E che soddisfi le (1)–(3) si dice misura spettrale associata all’operatore A. Osserviamo che σ(A|H∆ ) ⊂ σ(A) ∩ ∆. Infatti la restrizione è uno *-omomorfismo, quindi σ(A|N ) ⊂ σ(A) per ogni sottospazio N ; se poi g|∆ = 0 allora g(A)χ∆ (A) = 0 e, per g continua: g(A|H∆ ) = g(A)|H∆ Quindi σ(A|H∆ ) ⊂ σ(A) ∩ ∆. In realtà l’inclusione non è stretta, ma si ha σ(A|H∆ ) ⊂ σ(A) ∩ ∆: la dimostrazione è però molto più complicata. 367 10.4. Misure spettrali 10.4.2 Teorema χ{λ} (A) = E{λ} = E{x | Ax=λx} . Dimostrazione: Se x ∈ ker(A − λI) allora A∗ x = λx (dato che A è normale) e quindi per ogni funzione continua f : f (A)x = f (λ)x In particolare, se f (λ) = 1 si trova f (A)x = x. Consideriamo le funzioni ( 0 se t < 0 oppure t > gn (t) := 1−t se 0 ≤ t ≤ n1 n 1 n e quindi le fn (z) = gn (|z − λ|) che sono equilimitate su σ(A) e tendenti a zero per z 6= λ, mentre sono ovviamente identicamente 1 se z = λ. Dunque la successione {fn } converge a χ{λ} , i.e. fn (A) −→ E{λ} Ma fn (A)x = x e quindi E{λ} x = x: ker(A − λI) ⊂ H{λ} Inoltre (z − λ)χ{λ} (z) = 0: allora applicando il calcolo boreliano si trova che (A − λI)E{λ} = 0 ovvero H{λ} ⊂ ker(A − λI) qed Dunque il calcolo funzionale boreliano in un punto fornisce gli operatori E{x | Ax=λx} e pertanto una funzione f che si annulli su A deve essere della forma X f= cn χ{λn } n (con λn ∈ / σp (A)). 368 Capitolo 10. Teoria spettrale 10.4.3 Corollario Se T è un operatore su H tale che ∀x ∈ H 0 ≤ (x, T x) ≤ (x, x) allora T è autoaggiunto e 0 ≤ T ≤ I, il suo spettro è quindi contenuto nell’intervallo [0, 1] e si ha la convergenza forte: f T n −−−−→ Eker(I−T ) Dimostrazione: Se t ∈ [0, 1], {tn } è equilimitata e convergente a zero, per cui tn −→ χ{1} (t). qed 10.4.4 Teorema Se definiamo E ∧ F := EEH∩F H allora E ∧ F = s-lim (EF )n = s-lim (F E)n n−→∞ n−→∞ (s-lim indica il limite nella topologia forte). Dimostrazione: Intanto (∗) (EF E)n f /E∧F Infatti, per T = EF E = (F E)∗ (F E) si ha 0 < T ≤ I (dato che (x, T x) = ||F Ex||2 ≤ ||x||2 ) e, per il corollario precedente: lim T n = Eker(I−T ) Allora, se x ∈ (E ∧ F )H segue che EF Ex = x e quindi Ex = x, ovvero x ∈ im E da cui ||x|| = ||EF Ex|| ≤ ||F x|| ≤ ||x|| cioè, F x = EF x = x, dunque x∈im F . Ma era anche x∈im E, quindi x∈(E∧F )H. Cosı̀ abbiamo che x ∈ (E ∧ F )H ⇐⇒ EF Ex = x e la (*) segue. Ma F xn −→ F x se xn −→ x e quindi si ha il teorema. qed 369 10.4. Misure spettrali 10.4.5 Corollario Se U ∈ B(H) è un operatore unitario (e quindi normale) con σ(U ) ⊂ T (circonferenza unitaria del piano complesso) si ha che, se χ{1} (U ) = Eker(I−U ) =: E0 : N N 1 X n 1 X n E0 = s-lim U = s-lim U N −→∞ N N −→∞ 2N n=0 n=−N Dimostrazione: Consideriamo la funzione µ ¶ N 1 − z N +1 1 1 X n z = fN (z) := N + 1 n=0 1−z N +1 Allora, per z 6= 1: 1 X n z = lim lim fN (z) = lim N N N N +1 n=0 N dato che µ 1 − z N +1 1−z ¶ 1 =0 N +1 ¯ ¯ N ¯ ¯ 1 X n ¯≤1 ¯ z ¯ ¯N + 1 n=0 e, essendo fN (1) = 1: ¯ ¯ ¯fN (z)¯ ≤ 1 2 N + 1 |1 − z| Ma la famiglia {fN } è equilimitata, quindi s-lim fN (U ) = E0 N Analogamente N 1 X ∗n U = Eker(I−U ∗ ) = E0 s-lim N N n=0 Quindi ! à N N 1 1 X −n 1 1 X n U + U (E0 + E0 ) = E0 = s-lim N 2 2 N n=0 N n=0 à ! N 1 X n 1 = s-lim U N 2N 2N n= N qed 370 Capitolo 10. Teoria spettrale 10.4.6 Corollario Se G è un sottogruppo del gruppo U(H) degli operatori unitari, allora f E0 := E{x | ∀U ∈G U x=x} ∈ Conv(G) (chiusura forte dell’inviluppo convesso di G). Dimostrazione: Si ha che ^ E0 = E{x | U x=x} U ∈G N 1 X n U = s-lim N −→∞ N n=0 U ∈G ^ Ad esempio, nel caso di due elementi U1 , U2 ∈ G si ha N1 Eker(I−U1 ) ∧ Eker(I−U2 ) = s-lim(E0 (U1 )E0 (U2 ))n = s-lim n N 1 2N1 2N2 n N2 X U1n1 U2n2 1 =−N1 n2 =−N2 La combinazione lineare sotto il segno di limite è convessa ad elementi in G, quindi m ^ f Eker(I−UN ) ∈ Conv(G) N =1 V E{x | U x=x} è limite forte di elementi di questo spazio. qed Consideriamo ora un operatore A autoaggiunto su H: il suo spettro è contenuto in un certo intervallo [a, b] ⊂ R; dato che le funzioni fλ := χ(−∞,λ] sono boreliane limitate, applicando il calcolo funzionale boreliano ad A otteniamo l’operatore idempotente autoaggiunto Ma ogni elemento di U ∈G fλ (A) = E(λ) Osserviamo che • E(λ) = 0 se λ < a. • E(λ) = I se λ ≥ b. • Se λ1 ≤ λ2 allora scrivendo (−∞, λ2 ] = (−∞, λ1 ] ∪ (λ1 , λ2 ] otteniamo E(λ2 ) = E(λ1 ) + E(λ2 ,λ1 ] In particolare: E(λ1 ) ≤ E(λ2 ) 371 10.4. Misure spettrali • Se {fλn } è tale che λn −→ λ con λ ≤ λn , allora per ogni t ≤ λ: fλn (t) = 1 = fλ (t) e, per ogni t > λ, fλn (t) = 0, sicché la successione {fλn } è equilimitata e quindi converge puntualmente a χ(−∞,λ] . Ne segue che s-lim E(λn ) = E(λ) λn −→λ vale a dire, E(λ − 0) = s-lim E(λn ) = E(−∞,λ] , pertanto E(λ) − E(λ − 0) = χ{λ} (A) = Eker(A−λI) 10.4.7 Definizione Una famiglia spettrale sullo spazio di Hilbert H è una funzione E : R −→ {Operatori autoaggiunti di H} tale che • E sia fortemente continua superiormente. • E sia monotona non decrescente. • s-limλ−→−∞ E(λ) = 0. • s-limλ−→+∞ E(λ) = I. Ad esempio, dato un operatore continuo A ∈ B(H) autoaggiunto, la funzione E(λ) := χ(−∞,λ] (A) definisce una famiglia spettrale. Osserviamo che le (1)–(3) sono le proprietà che caratterizzano le funzioni di distribuzione associate alle misure di Radon (teorema 4.5.8: possiamo cioè considerare l’integrale di Stieltjes di una funzione boreliana (limitata) f : Z f (λ)dE(λ) 372 Capitolo 10. Teoria spettrale 10.4.8 Teorema Se A è un operatore continuo autoaggiunto sullo spazio di Hilbert H allora esiste un’unica famiglia spettrale E(λ) tale che Z A = λdE(λ) (integrale di Stieltjes) e per ogni f ∈ B(R) (boreliana) limitata Z f (A) = f (λ)dE(λ) Ciò vale, in particolare, per ogni f ∈ C(σ(A)). Dimostrazione: Consideriamo una funzione f ∈ C(σ(A)); dato che A = A∗ lo spettro σ(A) è contenuto in un intervallo [a, b] ⊂ R. Consideriamo una famiglia finita di valori λ0 < a < λ1 < ... < λn−1 < b ≤ λn e le funzioni boreliane χ(λi−1 ,λi ] = E(λi−1 ,λi ] = E(λi ) − E(λi−1 ) Per λ0i ∈ (λi−1 , λi ]: X uniformemente f (λi )χ(λi−1 ,λi ] −−−−−−−−→ f sup |λi −λi−1 |−→0 per il teorema di Heine–Cantor. Quindi ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ f (λi )χ(λi−1 ,λi ] (λ)¯¯ ≤ δ sup ¯f (λ) − λ (ove δ è è il valore dell’enunciato del teorema di Heine–Cantor 5 ). Dunque X f (λ0i ) (E(λi ) − λi−1 )) i converge a f (A): ¯¯ ¯¯ X ¯¯ ¯¯ 0 ¯¯ ≤ δ ¯¯f (A) − ) (E(λ ) − λ )) f (λ i i−1 i ¯¯ ¯¯ i 5 Per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per x non dipendente da δ con |x − x0 | < δ si ha |f (x) − f (x0 )| < ε (continuità uniforme delle funzioni continue in un compatto). 373 10.4. Misure spettrali cioè Z f (A) = f (λ)dE(λ) (si noti che questo è l’integrale di una funzione continua, quindi definito alla Riemann). Passiamo ora al caso di una funzione boreliana limitata qualsiasi: f ∈ B(R). Per la limitatezza di f , f (λ) ∈ D||f || (disco di raggio ||f ||); certamente possiamo scrivere D||f || ⊂ ¦ [ Dj j come unione disgiunta finita di boreliani Dj tali che diam Dj ≤ δ (ad esempio possono prendersi Dj = (z1 , z10 ] × (z2 , z20 ]). Dato che f è boreliana, gli insiemi ∆j := f −1 (Dj ) sono boreliani e quindi lo è la funzione X f (λj )χ∆j j Ma ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯f (λ) − f (λj )χ∆j ¯¯ ≤ δ ¯ j e quindi, usando il calcolo funzionale boreliano sul primo membro di questa eguaglianza: ¯¯ ¯¯ X ¯¯ ¯¯ ¯¯ ≤ δ ¯¯f (A) − f (λ )E j ∆ j ¯¯ ¯¯ j cioè, per definizione dell’integrale di Lebesgue–Stieltjes: Z f (A) = f (λ)dE(λ) 374 Capitolo 10. Teoria spettrale Dimostriamo ora l’unicità della famiglia spettrale E(λ): se Z A = λdF (λ) con F famiglia spettrale, dato che σ(A) ⊂ [a, b] deve essere ( 0 se λ < a F (λ) = I se λ ≥ b Ma una famiglia spettrale è commutativa (i suoi elementi commutano fra loro dato che F (λ)F (λ0 ) = F (λ ∧ λ0 )) e quindi AF (λ) = F (λ)A poiché A si approssima con combinazioni lineari finite in F (λ) e ne è limite in norma. Allora, dato che per λ0 ≤ λ si ha F (λ)F (λ0 ) = F (λ0 ), troviamo che Z λ X 0 λj (F (λj ) − F (λj−1 ))F (λ) −→ λ0 dF (λ) −∞ j e, per x ∈ F (λ)H otteniamo d(x, F (λ)x) è una misura sulla retta reale): Z λ Z λ 0 (x, Ax) = λ d(x, F (λ)x) = d(x, F (λ)x) = (x, F (λ)x) = (x, x) −∞ −∞ Dunque Z (x, Ax) ≤ λ −∞ 0 λ d(x, F (λ)x) ≤ sup µZ λ −∞ ¶ λ d(x, F (λ)x) = λ(x, x) 0 375 10.4. Misure spettrali Se x ∈ (I − F (λ))H allora Z ∞ (x, Ax) = λ0 d(x, F (λ)x) ≥ λ(x, x) λ Quindi (aI ≤ A ≤ bI): ¢ ¢ ¡ ¡ σ A|F (λ)H ⊂ σ(A) ∩ (−∞, λ] e σ A|(I−F (λ))H ⊂ σ(A) ∩ [λ, ∞) ( 0 F (λ) = I cioè se λ < a se λ ≥ b Se ora F soddisfa alle conclusioni del teorema: Z Z A = λdF (λ) = λdE(λ) allora A2 = R λ2 dE(λ); A2 è approssimato da P j λj Pj ove Pj := F (λj ) − F (λj−1 ) e quindi Pj Pk = δjk Pj , quindi !2 à X X X = λj Pj λ0j 2 Pj2 = λ0j 2 Pj j j j P Per induzione, An è quindi approssimato da j λ0j n Pj e quindi, per ogni polinomio p ∈ R[x]: Z Z p(A) = p(λ)dE(λ) = p(λ)dF (λ) Z i.e. (x, p(A)x) = Z p(λ)d(x, E(λ)x) = p(λ)d(x, F (λ)x) Per il teorema di Stone–Weierstrass in C[a, b] abbiamo quindi che questa identità vale per ogni funzione continua, per cui le misure d(x, E(λ)x) e d(x, F (λ)x) sono uguali, dunque ∀x ∈ H (x, E(λ)x) = (x, F (λ)x) e, per le identità di polarizzazione: ∀x, y ∈ H (x, E(λ)y) = (x, F (λ)y) Ne concludiamo che E = F . qed 376 Capitolo 10. Teoria spettrale 10.4.9 Corollario Ogni operatore continuo autoaggiunto è limite (in norma) di combinazioni lineari di operatori il cui spettro sia finito. Dato che se A ∈ B(H) è qualsiasi allora 1 1 A = (A + A∗ ) + (A − A∗ ) 2 2i segue più in generale che 10.4.10 Corollario Ogni operatore continuo A è limite (in norma) di combinazioni lineari di operatori il cui spettro sia finito. 10.4.11 Corollario Se R ⊂ B(H) è un’algebra di von Neumann allora R coincide con lo spazio di Banach generato dagli insiemi Rp := {E ∈ R | E ∗ E = E} Vogliamo infine dimostrare il teorema spettrale per gli operatori unitari in uno spazio di Hilbert, ricordando che se U ∈ U(H) allora σ(U ) ⊂ T = S 1 , la circonferenza unitaria del piano complesso. 10.4.12 Teorema Spettrale per Operatori Unitari Se U ∈U(H) allora esiste un’unica famiglia spettrale F (λ) tale che Z eiλ dF (λ) e F (λ) = 0 se λ < 0 e F (2π − 0) = I. Dimostrazione: Consideriamo Γλ := {eit }t∈[0,λ] ⊂ T Ovviamente χΓλ (U ) = F (λ) e • Se λ < 0 allora F (λ) = 0; • Se λ ≥ 2π allora F (λ) = I; • Se λ ≤ λ0 allora F (λ) ≤ F (λ0 ); • Se λ ≤ λn per ogni n ∈ N allora lim χΓλn = χΓλ n−→∞ 10.5. Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 377 Da queste asserzioni segue immediatamente che F è una famiglia spettrale e Z ∀f ∈ C(T) f (U ) = f (eiλ )dF (λ) L’unicità si dimostra esattamente come nel caso delle funzioni continue sugli operatori autoaggiunti, verificando prima il risultato sui polinomi e sfruttando la densità dei polinomi nelle funzioni continue. qed Ovviamente, la misura di (0, 2π) secondo dF (λ) è 1 se e solo se 1 ∈ σp (U ) ⇐⇒ ker(I − U ) = 0 ⇐⇒ χ{1} (U ) = 0 10.5 Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari La teoria spettrale degli operatori continui ci fornisce molte informazioni su di essi: in questo paragrafo studiamo una sottoclasse importantissima degli operatori continui e ne analizziamo la teoria spettrale. 10.5.1 Definizione Se X e Y sono spazi di Banach un operatore lineare A : X −→ Y si dice compatto se per ogni insieme F limitato in X A(F ) è un insieme a chiusura compatta in Y . L’insieme degli operatori compatti si denota K(X, Y ). Equivalentemente, A è compatto se e solo se A(X1 ) (immagine della palla unitaria di X) ha chiusura compatta in Y . Si vede immediatamente che un operatore compatto è continuo: K(X, Y ) ⊂ B(X, Y ) 10.5.2 Proposizione K(X, Y ) è un sottospazio chiuso di B(X, Y ). Dimostrazione: Intanto verifichiamo che è un sottospazio vettoriale: che A ∈ K(X, Y ) implichi λA ∈ K(X, Y ) per ogni λ ∈ C è ovvio; inoltre se A, B ∈ K(X, Y ): {Ax + Bx}x∈X1 ⊂ {Ax + By}x,y∈X1 la cui chiusura è compatta (dato che la chiusura di AX1 × BX1 lo è in Y × Y e l’operazione + : Y × Y −→ Y è continua). Vediamo infine che K(X, Y ) è un sottospazio chiuso di X: se {An } è una successione in K(X, Y ) convergente (ad un elemento A ∈ B(X, Y )); vogliamo dimostrare che A ∈ K(X, Y ). 378 Capitolo 10. Teoria spettrale Consideriamo allora la successione {xn } ⊂ X1 : per compattezza di A1 deve (1) (1) esistere una sottosuccessione {xnk1 } ⊂ {xn } tale che {A1 xnk1 } sia convergente. Questa scelta di sottosuccessioni può farsi per ogni operatore compatto An , (i) ottenendo cosı̀ una famiglia {{xnki }i }k di sottosuccessioni della {xn } tali che (i) per ogni n la successione {Ai xnki }i sia convergente in Y . Allora consideriamo la successione “diagonale” zi := x(i) ni Per definizione {zi }i ⊂ {xn }n e {An zi }i è di Cauchy per ogni n. Ora scegliamo un indice n tale che sia ||A − An || < ε 3 Dato che {An zi }i è di Cauchy, deve esistere kε tale che ∀h, k > kε ||An zk − An zh || < ε 3 e quindi ||A(zh − zk )|| ≤ ||(A − An )(yh − yk )|| + ||An (yh − yk )|| ε ε ≤ ||An (yh − yk )|| ≤ 2 + = ε 3 3 Perciò A è compatto. qed 10.5.3 Proposizione K(X, Y ) è un B(X)-modulo a destra e un B(Y )-modulo a sinistra. Dimostrazione: Basta osservare che, se A : X 0 −→ X e B : Y −→ Y 0 sono continui e T : X −→ Y è compatto allora l’operatore X0 A /X T /Y B /Y0 è compatto. Ed infatti BT (X1 ) è compatto dato che B è continuo e T (X1 ) è compatto; quindi (un sottoinsieme compatto in uno spazio normato è chiuso ABT (X1 ) ⊂ ABT (X1 ) = ABT (X1 ) è quindi ABT (X1 ) è chiuso in un compatto e quindi è compatto. qed 10.5. Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 379 10.5.4 Corollario Se T ∈ K(X, Y ), A ∈ B(Y ) e B ∈ B(X) allora AT, T A ∈ K(X, Y ) Naturalmente se X = Y scriviamo K(X) = K(X, Y ). 10.5.5 Corollario K(X) è un ideale bilatero chiuso nell’algebra B(X). 10.5.6 Esempio Se dim X < ∞ ogni operatore continuo è compatto6 : K(X) = B(X) = End(X) Più in generale, un operatore A ∈ B(X) tale che dim im A < ∞ è compatto: infatti la sua immagine è uno spazio isomorfo a Cn : non vale il viceversa; se T x := f (x)x0 ove x0 ∈ X e f : X −→ C è un funzionale lineare ma non continuo allora T non è continuo e quindi non può essere compatto: tuttavia dim im T = 1. In generale: {A ∈ B(X) | dim im A < ∞} ⊂ K(X) Se X è uno spazio di Hilbert questi due sottospazi di B(X) sono effettivamente uguali, mentre se X è solo uno spazio di Banach, l’inclusione è stretta. Osserviamo inoltre che, se al solito I è l’operatore identico: I ∈ K(X) ⇐⇒ dim X < ∞ ⇐⇒ X1 è compatto In altri termini, se dim X = ∞ un operatore compatto A non è invertibile (questo è anche evidente dal fato che K(X) è un ideale: se contenesse un invertibile conterrebbe I e quindi ogni elemento di B(X), e questo è possibile solo, appunto, nel caso di dimensione finita). Dato che K(X) C B(X) lo spazio di Banach B(X)/K(X) è un’algebra di Banach. 10.5.7 Teorema Se H è uno spazio di Hilbert (di dimensione infinita) e se A ∈ K(H) allora A∗ ∈ K(H). 6 Ad esempio perché X1 è compatto... 380 Capitolo 10. Teoria spettrale Dimostrazione: Sappiamo che A∗ ∈ B(H); dato che A è compatto (e K(H) C B(H)) anche A∗ A ∈ K(H). A∗ A è autoaggiunto, quindi possiamo usare il calcolo funzionale continuo: se f ∈ Cc (R) allora è limite di polinomi privi di termine noto (i.e. di elementi dell’ideale xR[x] nell’algebra dei polinomi) in σ(A∗ A) e quindi √ A∗ A = |A| è compatto. Abbiamo quindi dimostrato che se A è compatto lo è anche |A| e quindi, considerando la decomposizione polare A∗ = |A|V ∗ di A∗ , di nuovo essendo K(H) C B(H), deve aversi A∗ = |A|V ∗ ∈ K(H) qed Osserviamo che se A è autoaggiunto allora Z ∗ A = A = λdE(λ) ´ ³ e σ A|E(−ε,ε] H ⊂ [−ε, ε], per cui ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ≤ ε ¯¯A|E H (−ε,ε] ¯¯ ¯¯ Quindi, se A = A∗ ∈ K(H): ||.|| A − AE(−ε,ε] = A(I − E(−ε,ε] ) −−−→ A ε−→0 ¡ ¢ Se Hε := E(−ε,ε] H, allora σ A|Hε⊥ ⊂ σ(A) ∩ {(−ε, ε]: infatti ¢ ¡ Hε⊥ = im I − E(−ε,ε] = im(I − E(ε) + E(−ε)) e quindi A|Hε⊥ = A|(I−E(ε))H ⊕ A|E(−ε)H Ma se A1 ⊕ A2 = A evidentemente σ(A) ⊂ σ(A1 ) ∪ σ(A2 ) (basta osservare i risolventi per convincersene immediatamente) e quindi ¢ ¡ σ A|(I−E(ε))H ∩ (−ε, ε) = ∅ Cioè 0 sta nel risolvente di A|(I−E(ε))H che risulta perciò essere invertibile. Si noti che se A è compatto, la sua restrizione ad un sottospazio pure è un operatore compatto; quindi A|(I−E(−ε,ε] )H è invertibile ed è compatto, il che può solo avvenire (essendo K C B) se dim Hε⊥ = dim(I − E(−ε,ε] )H < ∞. 10.5. Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 381 Abbiamo cioè che la restrizione A|Hε⊥ è un operatore autoaggiunto su uno spazio di dimensione finita e quindi possiamo esprimerlo come X λPλ A|Hε⊥ = ş ť λ∈σ A|H⊥ ε ove i Pλ sono definiti su spazi di dimensione finita: ma si ha ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ X ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ≤ ε ¯¯ ≤ ε ⇒ ¯¯A − ¯¯A|E λP λ H (−ε,ε] ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ e quindi, per ε −→ 0: 10.5.8 Teorema Se A è un operatore compatto autoaggiunto: X A= λPλ λ∈σ(A) Questa è la forma del teorema spettrale per un operatore compatto: osserviamo che sussiste quindi la decomposizione M H= ker(A − λI) λ∈σ(A) 10.5.9 Definizione Il numero ν(λ) := dim Pλ = dim Eker(A−λI) si dice molteplicità del valore λ. 10.5.10 Corollario Se A è un operatore compatto autoaggiunto allora, ∀λ 6= 0 ν(λ) < ∞ In virtù del teorema, possiamo disporre gli autovalori σ(A) di A in una successione di modulo non crescente, nella quale ogni λ figuri tante volte quanta è la sua molteplicità λ1 = ... = λν(λ1 ) , λ2 = ... = λν(λ2 ) , ... con |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ .... Dato che i numeri ν(λ) sono finiti è allora chiaro che 382 Capitolo 10. Teoria spettrale 10.5.11 Corollario Se A è un operatore compatto autoaggiunto allora l’unico punto di accumulazione in σ(A) può essere lo zero. In generale possiamo dare la 10.5.12 Definizione Se A ∈ B(H) si dice che • A è privo di molteplicità se A è normale ed esiste un vettore ciclico per la C*-algebra generata da A e I. • A ha molteplicità uniforme pari a n se esiste un operatore normale B privo di molteplicità e tale che A = B ⊕ ... ⊕ B (n volte). Il seguente risultato sarà dimostrato più in generale come teorema conclusivo del §1 del prossimo capitolo: 10.5.13 Teorema Un operatore normale privo di molteplicità è sempre un operatore di moltiplicazione M su L2 (σ(A), µ) (ove µ è una misura regolare di probabilità): ∀f ∈ L2 (σ(A), µ) M f (z) := zf (z) Se A1 e A2 sono operatori normali privi di molteplicità allora sono unitariamente equivalenti se e solo le le misure µ1 e µ2 su σ(A1 ) e σ(A2 ) associate dal teorema sono equivalenti (cioè µ1 ¿ µ2 e µ2 ¿ µ1 ). Questo teorema è un caso particolare di un risultato più profondo, che però non dimostreremo (cfr. [23], pp. 82–97). 10.5.14 Esempio Gli operatori di Volterra sono compatti. Sia H = L2 [0, 1] e, per f ∈ H: Z s (Af )(s) := K(s, t)x(t)dt 0 Evidentemente σ(A) = {0}, inoltre, se K ∈ C 1 ([0, 1] × [0, 1]) e, per ogni s, il nucleo K(s, s) 6= 0 allora σp (A) = ∅. Infatti, se Ax = 0, allora Z s K(s, t)x(t)dt = 0 0 e, derivando, Z K(s, s)x(s) + 0 s ∂ K(s, t)x(t)dt = 0 ∂s −1 Ma allora K(s, s) ∂K(s, t)/∂s ∈ C([0, 1] × [0, 1]) è il nucleo di un operatore di Volterra B e Bx + x = 0 ⇒ x = 0 (a meno che −1 ∈ σp (B) che è assurdo, avendosi σ(A) = {0}. Quindi 0 ∈ / σp (A). 10.5. Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 383 10.5.15 Teorema Se A1 e A2 sono operatori compatti allora A1 ∼ = A2 ⇐⇒ ν1 = ν2 Dimostrazione: Se ν1 = ν2 allora X A2 = λn Pλ2 e A2 = X λn Pλ2 (1) Se {en } è la base ortonormale di H formata con i vettori che generano gli spazi ker(A1 − λI) al variare di λ ∈ σ(A1 ) (ed analogamente per A2 ) allora possiamo definire (2) U e(1) n = en Si tratta di un operatore unitario e quindi (1) (2) (2) (1) U A1 e(1) n = U λn en = λn en = A2 en = A2 U en cioè A1 e A2 sono unitariamente equivalenti. Viceversa, se A1 ∼ = A2 allora esiste U ∈ U(H) tale che A2 = U A1 U −1 e quindi ∀f ∈ C(σ(A1 ) ∪ σ(A2 )) f (A2 ) = U f (A1 )U −1 Per λ 6= 0 si ha Pλ = f (A) (per continuità di f , se f (0) = 0) e quindi Pλ = U Pλ U −1 (2) (1) da cui ν1 = ν2 . qed 10.5.16 Definizione Se A ∈ K(H) è autoaggiunto e se, per ogni λ ∈ σ(A) si ha ν(λ) ∈ {0, n} (con n ∈ N costante fissata), allora si dice che A ha molteplicità uniforme n. Se n = 1 allora A si dice privo di molteplicità. Ad esempio, si può verificare che A ha molteplicità uniforme n se e solo se esiste un operatore B ∈ K(H) autoaggiunto privo di molteplicità e tale che A = B ⊕ ... ⊕ B. Osserviamo ora che, per ogni x ∈ H, dal teorema di Stone–Weierstrass 9.2.9, segue che: {An x}n∈N = {f (A)x}f ∈Cc (R) 10.5.17 Definizione Se A ⊂ B(H), un vettore x ∈ H si dice ciclico per A se Ax = H. 384 Capitolo 10. Teoria spettrale 10.5.18 Lemma Se A è un operatore autoaggiunto compatto in H allora esiste un vettore x ∈ H ciclico per {An x}n∈N (i.e. tale che {An x}n∈N = H) se e solo se A è privo di molteplicità. Dimostrazione: Poiché A è compatto autoaggiunto possiamo scrivere X f (A) = f (λ)Pλ i.e. f (A)x = P f (λ)Pλ x; dunque x è ciclico ⇐⇒ ∀y ∈ H∀f ∈ Cc (R) y⊥f (A)x ⇒ y = 0 che vale se e solo se dim Pλ H = 1. Infatti se x è ciclico allora per ogni λ ∈ σp (A): f (A)x = f (A)Pλ x = f (λ)Pλ x e quindi dim Pλ H = 1. Viceversa, se dim Pλ H = 1 allora, essendo ogni punto di σp (A) \ {0} isolato, esiste una f ∈ C(σ(A)) tale che f (|El) = 1 e f (λ0 ) = 0 con λ0 ∈ σ(A) \ {λ}. Quindi Pλ = f (A) e, per x ∈ H tale che Pλ x 6= 0 per nessun λ ∈ σ(A), deve aversi f (A)x = Pλ x = ||Pλ x||eλ ove {eλ } è una base ortonormale; quindi ∀λ ∈ σ(A) \ {0} eλ ∈ {f (A)x}f ∈C(σ(A)) e χ{0} (A)x = c0 e0 ∈ {f (A)x}f ∈C(σ(A)) Si osservi infatti che {eλ }λ∈σp (A) è una base ortonormale di H e, dato che Card σp (A) = ℵ0 allora esiste cλ ∈ C tale che ¯¯ ¯¯ X X ¯¯ ¯¯ 2 cλ Eλ ¯¯¯¯ = 1 |cλ | = 1 ⇒ ¯¯¯¯ λ∈σp (A) λ∈σp (A) Quindi Pλ x = cλ eλ , cioè x è un vettore ciclico. qed Consideriamo ora un operatore autoaggiunto A ∈ B(H) e ricordiamo che σess (A) := {λ ∈ σ(A) | λ punto isolato e dim ker(A − λI) < ∞} 10.5. Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 385 10.5.19 Teorema (H. Weyl) Se A ∈ B(H) è un operatore autoaggiunto e K ∈ K(H) è autoaggiunto allora σess (A + K) = σess (A) Dimostrazione: Osserviamo che • λ ∈ σess (A) se e solo se esiste un sistema ortonormale {en } in H tale che ||Aen − λen || −→ 0. • K∈B(H) è compatto se e solo se per ogni successione {xn } ⊂ H convergente nella topologia debole, {Kxn } converge in norma. La (1) è un fatto noto (teorema 10.2.12); dimostriamo la (2). Se K è compatto e xn converge debolmente a x allora ∀n ||xn || ≤ M (per il teorema di Banach–Steinhaus 6.5.14) e quindi esiste una sottosuccessione di {Kxn } convergente; se per assurdo {Kxn } non convergesse dovrebbe possedere una sottosuccessione {Kxnk } tale che (∗) ||Kxnk − Kx|| ≥ ε > 0 Passando ad una ulteriore sottosuccessione {yi := xnki } tale che Kyi −→ z ∈ H (K è compatto!) avremmo z = Kx; infatti ∀x0 ∈ H (x0 , Byi ) = (B ∗ x0 , yi ) −−−−−−→ (B ∗ x0 , x) = (x0 , Bx) debolmente cioè Byi −→ Bx per ogni B ∈ B(H). Quindi debolmente Kyi −−−−−−→ Kx il che contraddice la (*). Dunque {Kxn } è convergente e la (2) è dimostrata. Passiamo ora al teorema: se {en } è un sistema ortonormale, ovviamente converge debolmente a zero (gli elementi (x, en ) sono i coefficienti di Fourier di x, che sono a quadrato sommabile); quindi, per la (2): ||.|| Ken −→ 0 Ma λ ∈ σess (A) ⇐⇒ ||Aen − λen || −→ 0 e quindi ||(A + K)en − λen || = ||Aen − λen + Ken || ≤ ||Aen − λen || + ||Ken || Ma ||Aen − λen || −→ 0 e ||Ken || −→ 0 (per compattezza di K), quindi λ ∈ σess (A + K) (viceversa, se λ ∈ σess (A + K), posto A0 = A + K e K 0 = K lo stesso ragionamento mostra che λ ∈ σess (A)). qed 386 Capitolo 10. Teoria spettrale 10.5.20 Teorema (von Neumann) Se A, B ∈ B(H) sono operatori autoaggiunti e σess (A) = σess (B) allora esiste un operatore compatto K ∈ K(H) tale che ∀ε > 0 tr(K ∗ K) < ε2 e tale che A + K ∼ = B. Gli operatori come il K coinvolto nel teorema di von Neumann rientrano in una classe notevole: 10.5.21 Definizione Un A si dice operatore di Hilbert–Schmidt se esiste un sistema completo ortonormale {eα } in H tale che la serie X ||Aeα ||2 α converga. Notiamo che la definizione implica che solo una quantità numerabile di ||T eα ||2 può essere diversa da zero. Se A è di Hilbert–Schmidt allora il valore s X ||A||HS := ||Aeα ||2 α non dipende dalla scelta della base: infatti se {fα } è un’altra base, possiamo scrivere X XX XX X ||Afβ ||2 = |(Afβ , eα )|2 = |(fβ , A∗ eα )|2 = ||A∗ eα ||2 β β α α β α (identità di Parseval); ma se scriviamo questa formula per eα = fα otteniamo ||A||HS = ||A∗ ||HS e quindi, ancora per la formula, ||A||HS non dipende dalla base fissata. Osserviamo inoltre che, se ||x|| = 1 allora, se A è di Hilbert–Schmidt: ||Ax|| ≤ ||Ax||HS cioè ||A|| ≤ ||A||HS . Infine si noti la ||A||HS = sX α,β che segue dalla ||Aeα ||2 = P β |(Aeα , eβ )|2 . |(Aeα , eβ )|2 10.5. Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 387 10.5.22 Teorema ||.||HS rende gli operatori di Hilbert–Schmidt un’algebra di Banach. Dimostrazione: Se A è di Hilbert–Schmidt anche λA lo è per ogni λ ∈ C; inoltre, se A e B sono di Hilbert–Schmidt: sX sX X 2 ||A + B||HS = |(A + B)eα , eβ )| ≤ |(Aeα , eβ )| + |(Beα , eβ )| α,β α,β α,β =||A||HS + ||B||HS Dimostriamo che la ||.||HS è una norma di Banach: se {An } è una successione di Cauchy allora ||An − Am || ≤ ||An − Am ||HS −→ 0 e quindi {An } converge a A ∈ B(H): dimostriamo che A è di Hilbert–Schmidt. Basta notare che X ||A||HS ≤ ||Aeα ||2 ≤ sup ||An ||HS < ∞ n α Infine notiamo che, se A è di Hilbert–Schmidt e B ∈ B(H) allora X X ||BA||2HS = ||BAeα ||2 ≤ ||B||2 ||Aeα ||2 = ||B|| ||A||HS α α e quindi anche ||AB||HS = ||(AB)∗ ||HS = ||B ∗ A∗ ||HS ≤ ||B|| ||A||HS . In particolare, se B è di Hilbert–Schmidt allora ||B|| ≤ ||B||HS e quindi gli operatori di Hilbert–Schmidt formano un’algebra di Banach. qed Dalla dimostrazione segue che gli operatori di Hilbert–Schmidt sono un ideale bilatero (ovviamente non chiuso) in B(H): la chiusura di questo ideale è ovviamente ancora un ideale di B(H), e deve quindi coincidere con B(H) oppure con K(H); vale questo secondo caso: intanto 10.5.23 Proposizione Un operatore di Hilbert–Schmidt è compatto. Dimostrazione: Basta mostrare che si approssima con operatori di rango finito: sia {eα } un sistema ortonormale completo in H e A un operatore di Hilbert– Schmidt. Allora ||Aeα ||2 6= 0 al più per una famiglia numerabile di indici α e, se n ∈ N allora esiste un insieme di indici finito An tale che X α∈A / n ||Aeα ||2 < 1 n2 388 Capitolo 10. Teoria spettrale Ma se definiamo ( Aeα An eα = 0 se α ∈ An se α ∈ / An è ovvio che gli An hanno rango finito e approssimano A: ||A − An || ≤ ||A − An ||HS = sX α∈A / n ||Aeα ||2 < 1 n qed Non ogni operatore compatto di è di Hilbert–Schmidt: basti prendere in uno spazio separabile Aen = n−1/2 en . 10.5.24 Corollario L’algebra degli operatori compatti è la chiusura dell’algebra degli operatori di Hilbert–Schmidt. Gli operatori di Hilbert–Schmidt sono ancor più simili agli operatori negli spazi di dimensione finita di quanto non lo siano i compatti: comunque non possiamo estendere tutte le proprietà desiderate degli operatori finiti al caso di Hilbert–Schmidt: ad esempio non riusciamo in generale a definire la traccia di un operatore. Per farlo dobbiamo ulteriormente restringere la classe di operatori in esame: l’idea è che, in uno spazio vettoriale di dimensione finita V , vale l’isomorfismo End(V ) = V ∗ ⊗ V ; cioè gli operatori si possono pensare come tensori e questo permette di definire la traccia di un operatore in modo intrinseco: se T ∈ End(V ) e se ϕ ⊗ v è la sua immagine per mezzo dell’isomorfismo precedente allora basta porre tr T = ϕ(v). Naturalmente in dimensione infinita non possiamo aspettarci l’isomorfismo precedente, ma lo spazio V ∗ ⊗ V sarà un sottospazio dello spazio degli operatori, sottospazio i cui elementi andiamo ora a definire. 10.5.25 Definizione A si dice operatore nucleare se si può esprimere come il prodotto A = BC di due operatori di Hilbert–Schmidt B e C. 10.5.26 Proposizione Se A = BC è un operatore nucleare e {eα } è un sistema completo ortonormale in H allora la serie X (Ceα , B ∗ eα ) α converge assolutamente ad un valore che non dipende dal sistema ortonormale scelto. 10.5. Operatori compatti, Hilbert–Schmidt e nucleari 389 Dimostrazione: Se {fα } è un altro sistema ortonormale allora X |(Ceα , fβ )(B ∗ eα , fβ )| ≤ α,β sX s = |(Ceα , fβ α,β X )|2 s ||Ceα ||2 α sX |(B ∗ eα , fβ )|2 α,β X ||B ∗ eα ||2 α ∗ = ||C||HS ||B ||HS Quindi la serie doppia esiste e, in particolare X X X (Ceα , B ∗ eα ) = (Ceα , fβ )(B ∗ eα , fβ ) = (Bfβ , eα )(C ∗ fβ , eα ) α α,β = X β,α (Bfβ , C ∗ fβ ) β Di nuovo l’indipendenza dalle basi segue usando questa formula prima con eα = fα e poi nel caso generale. qed Il numero tr A = X (Ceα , B ∗ eα ) α si dice traccia dell’operatore nucleare A. Dalla dimostrazione della proposizione segue immediatamente che 10.5.27 Proposizione La traccia è un operatore lineare e continuo dallo spazio degli operatori nucleari in C ed inoltre tr AB = tr BA || tr AB|| ≤ ||A||HS ||B||HS tr AA∗ = ||A||2HS 10.5.28 Teorema Lo spazio N (H) degli operatori nucleari su uno spazio di Hilbert H è uno spazio di Banach rispetto alla norma ||A||N = tr |A| ove A = |A|U è la decomposizione polare dell’operatore nucleare A. Lo spazio di Banach N (H) è isomorfo al duale di K(H) ed il duale di N (H) è isomorfo a B(H). 390 Capitolo 10. Teoria spettrale Dimostrazione: Per vedere che si tratta di una norma di Banach, notiamo che ||A||N = sup | tr U AV | U,V al variare di U, V nelle isometrie parziali: infatti ¯ ¯ ¯ X ¯X ¯ ¯ |(AV eα , U ∗ eα )| = tr |A| = ||A||N | tr U AV | = ¯ (U AV eα , eα )¯ ≤ ¯ ¯ α α per U e V tali che A = |A|V ∗ U ∗ . Per ottenere gli isomorfismi basta osservare che un elemento A∈N (H) induce in modo unico un operatore lineare su K(H) definito come K 7−→ tr AK, e che un elemento B ∈ B(H) induce in modo unico un operatore lineare su N (H) definito come A 7−→ tr AB. qed Capitolo 11 ALGEBRE DI VON NEUMANN Nella nostra esposizione della teoria spettrale ci eravamo imbattuti nella definizione di algebra di von Neumann: queste sono le sottoalgebre di operatori che soddisfano la proprietà del doppio commutante A00 = A, analoga a quella delle algebre di matrici nel caso di dimensione finita. Per queste algebre esiste una grandiosa teoria, dovuta a Murray e von Neumann, che generalizza quella classica delle algebre semisemplici di dimensione finita, làmbita nel capitolo ??. Diamo qui alcuni frammenti di questa teoria. 11.1 Misure e Rappresentazioni 11.1.1 Definizione Una rappresentazione di una C*-algebra A è un morfismo di C*-algebre π : A −→ B(H) ove H è lo spazio (di Hilbert) della rappresentazione tale che π(IA ) = I. Si noti che, per definizione: ||π(A)|| ≤ ||A||. Ricordiamo le definizioni che abbiamo dato nello studio degli operatori normali: 11.1.2 Definizione Se A è una C*-algebra, due sue rappresentazioni π1 : A −→ B(H1 ) e π2 : A −→ B(H2 ) si dicono unitariamente equivalenti e si scrive π1 ∼ = π2 se esiste un operatore unitario U : H1 −→ H2 tale che U π1 (f ) = π2 (f )U Si definisce (π1 , π2 ) := {T ∈ B(H) | ∀f ∈ Co (C) T π1 (f ) = π2 (f )T } 391 392 Capitolo 11. Algebre di von Neumann e gli elementi di questo insieme si dicono operatori di allacciamento. Ci occuperemo in questo capitolo, delle rappresentazioni π : C(X) −→ B(H) (tali che π(1) = I). La teoria (commutativa) della molteplicità spettrale è lo studio delle rappresentazioni di C(X) ove X è uno spazio compatto di Hausdorff: vedremo che questo è legato alla teoria della misura sui boreliani di X. Ricordiamo che, per x, y ∈ H, la mappa f 7−→ (x, π(f )y) è un funzionale lineare su C(X), continuo in virtù della |(x, π(f )y)| ≤ ||x|| ||y|| ||π(f )|| ≤ ||x|| ||y|| ||f || Allora, per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2: Z ∗ F ∈ C(X) ⇐⇒ F (f ) = f (t)dµ(t) X ove µ è una misura boreliana complessa regolare e limitata (cioè è una combinazione lineare finita di misure regolari di probabilità). Quindi Z (x, π(f )y) = f (t)dµx,y (t) X 11.1.3 Definizione Gli elementi della famiglia {µx,y }x,y∈H si dicono misure spettrali associate alla rappresentazione π. 11.1.4 Definizione Una misura regolare di probabilità µ su X si dice basica per una rappresentazione π : C(X) −→ B(H) se • Per ogni x ∈ H, µx,x ¿ µ. • Se µ0 è una misura che soddisfa la (1) allora µ ¿ µ0 . 11.1.5 Teorema Se H è separabile allora esiste ξ ∈ H tale che per ogni x ∈ H: µx,x ¿ µξ,ξ Cioè esiste una misura basica per la rappresentazione π. 393 11.1. Misure e Rappresentazioni Dimostrazione: Se X è compatto di Hausdorff e µ è una misura regolare di probabilità su X allora ν ¿ µ se e solo se dν(s) = f (s)dµ(s) ove f è la derivata di Radon–Nikodym (teorema di Radon–Nikodym 6.3.6), che è una funzione ||.|| integrabile rispetto a ν e non negativa; si noti che se νn −→ ν allora dνn L1 dν −−→ dµ dµ e ν ¿ µ. Ora, dato che H è separabile, esiste una successione {ξn } densa in H1 (gli elementi di norma 1) e se {cn } è una successione numerica tale che ∞ X cn = 1 n=0 la misura µ := ∞ X cn µξn ,ξn n=0 è basica. qed 11.1.6 Definizione Se π : A −→ B(H) è una rappresentazione di una C*algebra A, un vettore x ∈ H si dice ciclico per π se π(A)x = H (lo spazio degli elementi ottenuti da x operando tramite π è denso in H.) Il nostro obiettivo è dimostrare che se π : C(X) −→ B(H) è una rappresentazione ed il vettore ξ ∈ H è ciclico per π(C(X))0 (commutante di π(C(X)) in B(H) allora µξ,ξ è basica: dedurremo questo teorema da un risultato già di per sé interessante, e cioè l’esistenza di un vettore ciclico per ogni rappresentazione di C(X) su uno spazio separabile. Per dimostrare questi risultati servono alcuni preliminari. 11.1.7 Definizione Se A è una C*-algebra e {πα : A −→ B(Hα )}α∈A è una famiglia di rappresentazioni di A allora lo spazio M H := Hα α∈A 394 Capitolo 11. Algebre di von Neumann è lo spazio di una rappresentazione π : A −→ B(H) definita come (π(A)x)(α) := πα (A)xα (si rammenti la definizione di prodotto di una famiglia di insiemi) che si dice somma diretta delle rappresentazioni {πα }. Osserviamo che questa definizione ha perfettamente senso: ¯¯ X ¯¯2 ¯¯2 ¯¯ X ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ 2 ¯¯ = ||A||2 ||x||2 ¯¯ ≤ ||A|| ¯¯ ¯¯ x (π(A)x)α α ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ α∈A α∈A da cui ||π(A)x|H ≤ ||A|| ||x|| e quindi π(A) ∈ B(H). Se {Mα }α∈A è una famiglia di sottospazi vettoriali chiusi in H a due a due ortogonali che generino H: X Mα = H α∈A e se π : A −→ B(H) è una rappresentazione tale che, per ogni α ∈ A: π(A)Mα ⊂ Mα allora le rappresentazioni π|α : A −→ B(Mα ) ottenute per restrizione sono tali che M π= πα α∈A 11.1.8 Definizione Una rappresentazione π : A −→ B(H) si dice non degenere se la *-sottoalgebra π(A) ⊂ B(H) è non degenere, nel senso che ∀x ∈ H π(A)x = 0 ⇒ x = 0 11.1.9 Proposizione Se π : A −→ B(H) è una rappresentazione di una C*algebra A allora sono equivalenti le • π è non degenere; • π(A)H = H; • Per ogni x ∈ H, x ∈ π(A)x. Dimostrazione: Poniamo per brevità B := π(A). (1)⇒(2): se y⊥BH allora, per ogni B ∈ B e y ∈ H: 0 = (y, Bx) = (B ∗ y, x) ⇒ B ∗ y = 0 ⇒ By = 0 ⇒ y = 0 395 11.1. Misure e Rappresentazioni (perché B è una *-algebra e vale la (1)). (2)⇒(1): Se (BH)⊥ = 0 allora Bx = 0 per ogni x ∈ H, i.e. x = 0. (3) ⇐⇒ (2): La (3) implica che H ⊂ BH ⊂ H e quindi la (2); se vale (2), consideriamo x ∈ H e Bx, che deve essere B-invariante: Bx ∈ BH ⇒ ∀B 0 ∈ B B 0 Bx = (B 0 B)x ∈ Bx Per la continuità degli operatori in B si ha anche Bx è B-stabile1 . Posto M = Bx e E = EM : x ∈ BH ⇐⇒ x = Ex Ma B(x − Ex) = 0: infatti B(x − Ex) = Bx − BEx = Bx − EBx = Bx − Bx = 0 (dato che Bx ∈ M ⇒ EBx = Bx). Quindi se B è non degenere, x = Ex. qed 11.1.10 Teorema Una rappresentazione non degenere di una C*-algebra è somma diretta di rappresentazioni cicliche. Dimostrazione: Al solito sia π : A −→ B(H) la rappresentazione e B = π(A); consideriamo, per ξ ∈ H, i sottospazi chiusi Mξ := π(A)ξ Per definizione sono spazi invarianti per π ed evidentemente π|Mξ è una rappresentazione ciclica (infatti ξ ∈ πMξ (A) se π è non degenere per la (3) della proposizione precedente). Ora dimostriamo che M è π-stabile ⇐⇒ M ⊥ è π-stabile In effetti se per ogni B ∈ B: BM ⊂ M allora, se x ∈ M ⊥ : ∀y ∈ M (Bx, y) = (x, B ∗ y) = 0 cioè BM ⊂ M e quindi BM ⊥ ⊂ M ⊥ . Il viceversa è ovvio. Quindi (per ogni *-sottoalgebra B ⊂ B(H)), se M è un sottospazio B-stabile si ha H = M ⊕ M⊥ 1 Osserviamo che se B ⊂ B(H) è una *-sottoalgebra e M è chiuso in H, M è B-stabile se e solo se EM ∈ B 0 . Infatti BE = EBE e EB ∗ = EB ∗ E = B ∗ E (E è autoaggiunto). 396 Capitolo 11. Algebre di von Neumann Ogni elemento B ∈ B(H) si rappresenta nella forma µ ¶ A1 A2 B= A3 A4 con A1 := EM BEM A3 := EM BEM ⊥ A2 := EM ⊥ BEM A4 := EM ⊥ BEM ⊥ e, se B è una *-sottoalgebra (come nel nostro caso B = π(A)) e M è B-stabile: ¶ µ A1 0 B= 0 A2 Se ora consideriamo ξ ∈ M ⊥ \ {0} (M 6= H) allora Bξ =: Mξ è tale che Mξ ⊂ M ⊥ Quindi un sottospazio M stabile, chiuso (e proprio) induce una rappresentazione sul sottospazio ortogonale. Se S è l’insieme delle famiglie M di sottospazi vettoriali chiusi B-stabili a due a due ortogonali su H e tali che π|M sia ciclica per ogni M ∈ M allora l’inclusione M1 ⊂ M2 è una relazione di ordine parziale su S: se S 0 ⊂ S è un sottoinsieme totalmente ordinato e [ M0 := M M∈S 0 evidentemente M0 ∈ S è un maggiorante del sottoinsieme S 0 ; quindi l’insieme parzialmente ordinato (S, ⊂) soddisfa alle ipotesi del lemma di Zorn, che implica l’esistenza di una famiglia massimale M0 in S. Il sottospazio di H generato dagli elementi densi di M0 esaurisce tutto H: X N := M =H M ∈M 0 M =H Infatti se esistesse ξ ∈ N ⊥ \ {0} avremmo Bξ = Nξ con Nξ ⊂ N ⊥ , il che darebbe luogo ad una rappresentazione ciclica: ma allora M0 ∪ {Nξ } sarebbe un elemento di S contenente M0 , il che ne contraddirebbe la massimalità. Quindi N = H. Dunque π si esprime come somma di rappresentazioni cicliche. qed Se la rappresentazione π è degenere, il sottospazio M0 := {x ∈ H | ∀A ∈ A π(A)x = 0} 397 11.1. Misure e Rappresentazioni è B-stabile, quindi lo è pure M := M0⊥ e π|M è non degenere. Cioè à ! M π = 0 ⊕ π|M = 0 ⊕ πα α∈A con le πα cicliche. Osserviamo che se H è separabile, la famiglia A nella somma M π= πα α∈A è numerabile ed ogni Mα è del tipo En H (con En ∈ B). 11.1.11 Teorema Se A ⊂ B(H) è una *-sottoalgebra commutativa e se H è separabile allora esiste un vettore ciclico per A. Dimostrazione: Consideriamo la rappresentazione identica π : A −→ B(H) A 7−→ A Per il teorema precedente π= M πn n∈N (con le πn cicliche) e π|Mn = πn . Se ξn è il vettore ciclico di πn si ha Aξ = H; possiamo scegliere ξn in modo che ||ξn || = 1 Allora consideriamo c ∈ l2 (N) con ||c|| = 1; allora, se X ξ := cn ξn n∈N si ha ||ξ||2 = ||c||2l2 = 1. Dimostriamo che ξ è un vettore ciclico per A0 : in effetti En ∈ A0 e A ⊂ A0 (per commutatività di A), quindi A0 ξ ⊃ AEn ξ cioè A ⊂ A0 ⊂ AEn ξ che, essendo En ξ = cn ξn , è uguale a cn Aξn = Aξn = Mn qed Possiamo finalmente dimostrare il teorema che abbiamo enunciato in precedenza: 398 Capitolo 11. Algebre di von Neumann 11.1.12 Teorema Se π : C(X) −→ B(H) è una rappresentazione ed il vettore ξ ∈ H è ciclico per A0 (commutante di A = π(C(X)) in B(H) allora µξ,ξ è basica. Dimostrazione: Basta dimostrare che µx,x < µξ,ξ . Ma se (xn ) ⊂ H converge in norma a x allora µxn ,xn −→ µx,x e quindi per densità di A0 ξ basta far vedere che (∗) ∀T ∈ A0 µT ξ,T ξ < µξ,ξ Per dimostrare la (*) notiamo che2 Z f (s)dµT ξ,T ξ (s) = (T ξ, π(f )T ξ) = (T f, π(g)∗ π(g)T ξ) = (T π(g)ξ, T π(g)ξ) = ||T π(g)ξ||2 ≤ ||T |2 ||π(g)ξ||2 = ||T ||2 (ξ, π(f )ξ) Z 2 = ||T || f (s)dµξ,ξ Quindi µT ξ,T ξ ≤ ||T ||2 µξ,ξ Ma allora per ogni insieme ∆ µξ,ξ -misurabile si ha µT ξ,T ξ (∆) ≤ ||T ||2 µξ,ξ (∆) sicché µT ξ,T ξ è dominata da µξ,ξ e, a fortiori, si trova la (*). Da questa, per densità di A0 ξ deduciamo che µx,x < µξ,ξ . qed 11.1.13 Teorema Se π è una rappresentazione dell’algebra C(X) delle funzioni continue su uno spazio compatto metrizzabile in uno spazio di Hilbert H separabile, allora π è ciclica se e solo se esiste una misura regolare µ di probabilità su X tale che π∼ = πµ ove πµ (f ) è la moltiplicazione per f nello spazio di funzioni L2 (X, µ) e tale che µ sia equivalente3 ad una misura basica di π. Infine, se π1 e π2 sono rappresentazioni cicliche, allora π1 ∼ = π2 se e solo se le classi di equivalenza delle loro misure basiche coincidono. Usiamo il fatto che se f è positiva allora esiste g in modo che f = g ∗ g Si rammenti che due misure sono equivalenti se assolutamente continue l’una rispetto all’altra. 2 3 399 11.1. Misure e Rappresentazioni Dimostrazione: Supponiamo che ξ sia un vettore ciclico per A = π(C(X)) ⊂ A0 ; per il teorema precedente la misura µ := µξ,ξ è basica. Consideriamo poi in L2 (X, µ) l’operatore Mf ∈ B(L2 (X, µ)) definito, per x ∈ L2 (X, µ), come (Mf x)(s) := f (s)x(s) Osserviamo che Z Z 2 2 |f (s)x(s)| dµ(s) ≤ ||f || |x(s)|2 dµ(s) = ||f ||2 ||x||2 X X e quindi Mf manda effettivamente L2 (X, µ) in sé: dato che è lineare e continuo la mappa f 7−→ Mf è una rappresentazione di C*-algebre, che è ciclica. Infatti X è uno spazio compatto e µ una misura finita, quindi la funzione identicamente 1 appartiene a C(X) ed è in L2 (X, µ). Pertanto Mf 1 = f ||.|| 2 è una immersione C(X) ,→ L2 (X, µ) e, come noto, C(X) L = L2 (X, µ). Quindi 1 è un vettore ciclico per la rappresentazione Mf . Ora consideriamo l’operatore U : H −→ K 2 (X, µ) definito come U π(f )ξ := Mf 1 Vogliamo dimostrare che è unitario e di allacciamento fra π e Mf . Per dimostrare che è unitario, dato che C(X) è denso in L2 (X, µ), basta far vedere che è isometrico (nella norma L2 ); ed infatti ||π(f )ξ||2 = (π(f )ξ, π(f )ξ) = (ξ, π(f ∗ f )ξ) Z Z ∗ = (f f )(s)dµ(s) = |f (s)|2 dµ(s) = ||f ||2L2 X X Vediamo ora che si tratta di una equivalenza unitaria fra le rappresentazioni π e Mf . Intanto U π(f )ξ = πµ (f )1 cioè U π(f g)ξ = πµ (f g)1 ⇒ U π(f )π(g)ξ = πm u(f )πµ (g)1 = πµ (f )U π(g)ξ 400 Capitolo 11. Algebre di von Neumann Ma π(g)ξ è un generico vettore in un sottoinsieme denso di H e quindi, passando al limite nell’equazione precedente, si ottengono due operatori U π(f ) e πµ (f )U che coincidono su un sottoinsieme denso, sicché U π(f ) = πµ (f )U Questo conclude la dimostrazione della necessità della condizione. Vediamo ora che la condizione del teorema è pure sufficiente per la ciclicità della rappresentazione π; infatti è quasi ovvio: se π ∼ = π1 e π1 (A)ξ = Hπ1 allora esiste un operatore unitario U di allacciamento fra π1 e π2 ed il vettore ξ := U ξ1 è ciclico per π: U π1 (A)ξ1 = π(A)U ξ1 = π(A)ξ (si rammenti che U ∈ (π1 , π2 ) ⇒ U ∗ ∈ (π2 , π1 ). Dimostriamo infine la seconda parte del teorema. Consideriamo cioè due misure regolari µ1 e µ2 di probabilità equivalenti: µ1 = dµ1 µ2 dµ2 e µ2 = dµ2 µ1 dµ1 Definiamo poi un operatore V : L2 (X, µ1 ) −→ L2 (X, µ2 ) nel modo seguente: per ogni x ∈ L2 (X, µ1 ) s dµ1 (V x)(s) := (s) x(s) dµ2 Per dimostrare che V x ∈ L2 (X, µ2 ) osserviamo che |(V x)(s)|2 = dµ1 (s)|x(s)|2 dµ2 (la derivata di Radon–Nikodym dµ1 /dµ2 appartiene a L2 (X, µ2 )) e quindi Z Z 2 |(V x)(s)| dµ2 (s) = |x(s)|2 dµ1 (s) X X cioè V è una isometria lineare L2 (X, µ1 ) −→ L2 (X, µ2 ) che deve essere unitaria, in quanto, se s dµ2 (s) x(s) (V 0 x)(s) := dµ1 401 11.1. Misure e Rappresentazioni allora (allo stesso modo di V ) V 0 è una isometria lineare ed è tale che VV0 =I V 0V = I e (dato che le misure sono equivalenti, le derivate di Radon–Nikodym dell’una rispetto all’altra sono l’una la funzione reciproca dell’altra.) Dunque, per ogni s: s s dµ1 dµ1 (V πµ1 (f )x)(s) = (s)(πµ1 (f )x(s) = (s)f (s)x(s) dµ2 dµ2 s dµ1 = f (s) (s)x(s) = f (s)(V x)(s) =: (πµ2 (f )(V x))(s) dµ2 e quindi ∀x ∈ L2 (X, µ1 ) V πµ1 (f )x = πµ2 (f )V x ovvero V πµ1 (f ) = πµ2 (f )V Viceversa, se V è un operatore unitario di allacciamento fra πµ1 e πµ2 allora, se 1 è la funzione identicamente 1 in L2 (X, µ1 ): V πµ1 (f )1 = πµ2 (f )V 1 =: ξ ∈ L2 (X, µ2 ) Definendo (ξ, V πµ1 (f )1) := (V 1, V πµ1 (f )1) si ottiene Z (ξ, V πµ1 (f )1) = (1, πµ1 (f )1) = f (s)dµ1 (s) X Z Z ξ(s)ξ(s)f (s)dµ2 (s) = ξ(s)(πµ2 (f )ξ)(s)dµ2 (s) = X X Dunque Z Z ∀f ∈ C(X) 2 f (s)|ξ(s)| dµ2 (s) = X f (s)dµ1 (s) X e, per il teorema di Riesz–Markov, µ1 = |ξ|2 µ2 cioè µ1 ¿ µ2 . In modo analogo si trova µ2 ¿ µ1 . qed 402 11.2 Capitolo 11. Algebre di von Neumann Sottoalgebre commutative massimali in B(H) Consideriamo un operatore normale A: il suo spettro è puntuale se i suoi autovettori formano un sistema totale cioè Aei = λi ei Se ora U : H −→ l2 (N) è l’operatore unitario determinato dalla scelta della base {en } di H, allora l’operatore U AU −1 è diagonale ed i suoi elementi diagonali sono la successione degli autovalori, ripetuti ciascuno tante volte quanta è la sua molteplicità. Quindi l2 (N) = L2 (σ(A), µ) ove µ è una misura di probabilità totalmente atomica nel senso che è concentrata nei singoli punti dello spettro. Ad esempio µ= X cn δλn P con cn > 0, cn = 1 e δλ misura di Dirac concentrata in λ; allora f (A) diviene, per tramite di U , la moltiplicazione per f : U f (A) = πµ (f )U ove, per x ∈ L2 (σ(A), µ): (πµ (f )x)(s) := f (s)x(s) In questo caso è x= X xn en n con xn ∈l2 (N) e quindi U f (A)U −1 è diagonale con autovalori dati dalla successione {f (λn )}. 11.2.1 Teorema Se X è uno spazio compatto metrizzabile e π una rappresentazione non degenere (π(1) = I) di A = C(X) nello spazio di Hilbert separabile H allora (l’indice f denota che la chiusura è nella topologia forte) f π(A) = R := π(A)00 (si noti che R ⊂ R0 essendo commutativa). 11.2. Sottoalgebre commutative massimali in B(H) 403 Dimostrazione: Intanto notiamo che se π è ciclica allora R = R0 = π e(L∞ (X, µ)) ove π e è la rappresentazione π e : β(X) −→ B(H) dell’algebra delle funzioni boreliane limitate definita da Z (x, π e(f )y) := f (s)dµx,y (s) X Infatti, se f è µ-misurabile e limitata µx,y = n X ci µxi ,yi i=1 (per polarizzazione). Ora ker π e = {f | f = 0 µ-q.o.} Infatti che il nucleo di π e contenga questo insieme è ovvio; se poi f ∈ ker π e allora, dato che µπ(g1 )x,π(g2 )x (s) = g1 (s)g2 (s)µξ,ξ (s) per un vettore ξ ciclico per π allora Z ∀g ∈ C(X) f (s)g(s)dµ = 0 X e quindi, per il teorema di Lusin 4.6.7, f = 0 µ-q.o. Quindi se f ∈ L∞ (X, µ) allora π e(f ) = 0 implica f = 0 (come elemento di ∞ L (X, µ), i.e. a meno di equivalenza q.o.) e quindi la rappresentazione π e è fedele (cioè iniettiva). Allora, come *-algebre L∞ (X, µ) ∼ = π(A) Quello che vogliamo dimostrare è che π e(L∞ (X, µ)) = R = R0 . Che sia π e(L∞ (X, µ)) ⊂ R ⊂ R0 è ovvio. Quindi basta provare che R0 ⊂ π e(L∞ (X, µ)); ora, essendo π ciclica, per una misura basica µ si ha π = πµ e quindi4 4 ³ ´ f 0 π eµ (L∞ (X, µ)) ⊂ πµ C(X) ⊂ (πf (C(X))0 ) Osserviamo che se S ⊂ B(H) e U : H −→ H1 è unitario e U SU −1 ⊂ B(H1 ) allora f f U S U −1 = U SU −1 e U S 0 U −1 = (U SU −1 )0 . 404 Capitolo 11. Algebre di von Neumann Se dimostriamo che l’ultimo termine è incluso in π eµ (L∞ (X, µ)) abbiamo finito. Consideriamo quindi T ∈ πf (C(X))0 : fT := T 1 ∈ L2 (X, µ) (1 è la funzione identicamente 1 in L2 (X, µ)) sicché T πµ (f )I = πµ (f )T 1 = fT f cioè T 1 = fT . Osserviamo che, se fT ∈ L∞ (X, µ) allora T πµ (f )I = f fT = π e(fT )f = π e(fT )π(f )I e, per densità: T =π e(fT ) ∈ π e(L∞ (X, µ)) Quindi ci siamo ridotti a dover dimostrare la fT ∈ L∞ (X, µ). Per questo notiamo che T ∈ πµ (C(X))0 ⇒ T ∈ π eµ (L∞ (X, µ))0 ||.|| f debole debole (Infatti S ⊂ S ⊂ S (ovvio) e se S ⊂ B(H) allora (S )0 = S 0 : intanto debole debole S⊂S e S1 ⊂ S2 ⇒ S20 ⊂ S10 implicano che (S )0 ⊂ S 0 ; inoltre se B ∈ S 0 allora per ogni A ∈ S: AB = BA i,e, ABx = BAx per ogni x ∈ H e, per ogni debole 0 ) ). y ∈ H: (y, ABx) = (y, BAx) col che B ∈ (S Dunque ∆ := {s ∈ X | |fT (s)| > ||T ||} è misurabile (lo è fT ) e quindi la sua funzione caratteristica χ∆ è essenzialmente limitata; ma L∞ (X, µ) ⊂ L2 (X, µ) (dato che la misura dello spazio è finita) sicché ||χ∆ fT ||2L2 ≤ ||T ||2 ||χ∆ ||2L2 || Z Z Z 2 2 2 ||T || dµ(s) < |fT (s)| dµ(s) ≤ ||T || dµ(s) ∆ ∆ ∆ il che è assurdo a meno che la misura di {s ∈ X | |fT (s)| > ||T ||} non sia zero. Quindi |fT | ≤ ||T || µ-q.o. e ne concludiamo che fT ∈ L∞ (X, µ). qed 11.2. Sottoalgebre commutative massimali in B(H) 405 Se H è uno spazio di Hilbert allora l’insieme delle *-sottoalgebre commutative di B(H) è parzialmente ordinato dalla relazione di inclusione; dato che verifica le ipotesi del lemma di Zorn se ne deduce che esistono sempre sottoalgebre massimali commutative di B(H). 11.2.2 Definizione Una sottoalgebra massimale commutativa di B(H) la chiameremo MASA (maximal abelian subalgebras). Ovviamente, per massimalità, una MASA è *-debolmente chiusa, quindi è una sottoalgebra di von Neumann. 11.2.3 Teorema Se H è uno spazio di Hilbert separabile e R ⊂ B(H) una *-sottoalgebra commutativa allora sono equivalenti le • R è MASA. • R = R0 . • R è di von Neumann e possiede un vettore ciclico. Dimostrazione: (1) ⇔ (2): Se R = R0 allora R è abeliana (ovvio: R ⊂ R0 ) ed è massimale poiché, se R ⊂ R1 ⊂ R01 , allora R001 ⊂ R01 ⊂ R0 e quindi, per ogni R1 contenente R: R = R1 . Viceversa, se R è MASA e R ( R0 allora esiste T ∈ R0 \ R, quindi, dato che R0 è una *-algebra, T = T1 + iT2 (T1 , T2 autoaggiunti) e quindi o T1 ∈ / R oppure T1 ∈ / R, i.e. esiste un autoaggiunto T non appartenente a R. Questo autoaggiunto T genera un’algebra commutativa che commuta con R, (vi commuta T : T ∈ R0 ) e quindi l’algebra generata da R e T contiene R ed è commutativa, il che contraddice la massimalità di R. (3) ⇒ (2) segue dal teorema di densità di von Neumann che dimostreremo in sèguito. (2) ⇒ (3) segue dall’esistenza di un vettore ciclico per R0 che abbiamo già dimostrato. qed Abbiamo visto fin qui che se π : C(X) −→ B(H) è una rappresentazione non degenere dell’algebra delle funzioni continue di uno spazio compatto metrizzabile in uno spazio di Hilbert separabile allora esiste un vettore ξ ciclico per π(C(X))0 ed una misura µ = µξ,ξ basica; inoltre, considerando l’estensione π e : L∞ (X, µ) −→ R = π(C(X))00 abbiamo visto che π e è un *-isomorfismo isometrico in R. 11.2.4 Definizione Se T ∈A0 è un elemento del commutante di una C*-algebra, si dice che separa i punti se T ξ = 0 ⇒ T = 0; si dice che ξ è separante per A0 . 406 Capitolo 11. Algebre di von Neumann 11.2.5 Teorema π e è suriettivo ed è un omeomorfismo se su L∞ (X, µ) consideriamo la topologia *-debole e su R la topologia debole degli operatori. Dimostrazione: Consideriamo Hξ := π(C(X))ξ Evidentemente πξ := π|Hξ è ciclica (per definizione!) con vettore ciclico ξ, sicché πξ (C(X))00 = π eξ (L∞ (X, µ)) Inoltre π g π )|Hξ Hξ = (e (1) f e, se T ∈ R = π(C(X)) allora T Hξ ⊂ Hξ ; infatti se f ∈ C(X): ∀x ∈ Hξ π(f )(x) ∈ Hξ Più in generale: se A è una *-algebra e M un sottospazio chiuso di H tale che AM ⊂ M allora AM ⊂ M (infatti questa condizione equivale alla EM ∈ A0 = (A)0 ). Dunque, dato che f T x = lim π(fα )x = lim πξ (fα )x ∈ πξ (C(X)) α α si trova (2) f T |Hξ ∈ πξ (C(X)) Infine (3) ξ ciclico per R0 ⇒ ξ separante per A0 Infatti se T ξ = 0 allora per ogni B ∈ A ⊂ B(H): BT ξ = 0 e quindi T Bξ = 0 (T ∈ A0 ); ma Aξ = H e quindi T è continuo e nullo su un sottospazio denso, dunque T = 0. Possiamo cioè affermare che la mappa T −→ T |Hξ è uno *-isomorfismo, e la (1) implica che f e(L∞ (X, µ))|Hξ πξ (C(X)) = π 11.2. Sottoalgebre commutative massimali in B(H) 407 Quindi, per la (2): π e f C(X) −−→ R −−−−−→ R|Hξ ⊂ πξ (C(X)) = π eξ (L∞ (X, µ)) = π e(L∞ (X, µ))|Hξ restrizione In altri termini, per ogni T ∈ R esiste fT ∈ L∞ (X, µ) tale che T |Hξ = π(fT )|Hξ ; ma allora, per la (3): T =π e(fT ) e quindi π e è suriettiva. Ribadiamo che è un isomorfismo: ||f ||L∞ = ||e π (f )|Hξ || ≤ ||e π (f )|| ≤ ||f ||L∞ Dimostriamo che si tratta di un omeomorfismo: per g ∈ L1 (X, µ) consideriamo le seminorme Z pg (f ) := f (s)g(s)dµ(s) X 1 Ogni funzione in L (X, µ) è il prodotto di due funzioni in L2 (X, µ), ad esempio p p g(s) = ( |g(s)|z(s))( |g(s)|) ove z(s) è la fase di g(s) (funzione di modulo 1). Scriviamo cioè g = x 1 x2 Quindi ¯Z ¯ ¯ ¯ pg (f ) = ¯¯ x1 (s)x2 (s)f (s)dµ(s)¯¯ = |(x1 , Mf x2 )| X Ma esiste un operatore unitario U : L2 (X, µ) −→ Hξ tale che U Mf = π eξ (f ) = π e(f )|Hξ pertanto pg (f ) = |(U x! , U Mf x2 )| = |(ξ1 , U Mf U −1 ξ2 )| = |(ξ1 , π(f )ξ2 )| che è la seminorma che definisce la topologia debole in R. Viceversa, per x, y ∈ H e f ∈ L∞ (X, µ): ¯ ¯Z ¯ ¯ f (s)dµx,y (s)¯¯ (x, π e(f )y) = ¯¯ X Ma, per il teorema di Radon–Nikodym 6.3.6 µx,y = g(s)µ e quindi ¯ ¯Z ¯ ¯ f (s)g(s)dµ(s)¯¯ (x, π e(f )y) = ¯¯ X qed 408 Capitolo 11. Algebre di von Neumann Questo teorema è definitivo per la teoria delle algebre di von Neumann commutative, ed è l’analogo del teorema di Gel’fand–Najmark: ogni algebra di von Neumann commutativa è generata dalle moltiplicazioni per le funzioni L∞ su un certo spazio di misura regolare: questi spazi di misura sono sostanzialmente gli spazi [0, 1] con la misura di Lebesgue con al più una quantità numerabile di “atomi”, cioè punti di misura positiva, che corrispondono a proiezioni minimali in R. Ora consideriamo una famiglia {An } di operatori autoaggiunti che commutino a due a due, ed il loro spettro congiunto X := jσ(A1 , A2 , ...) ⊂ Y σ(An ) n∈N Sappiamo che f 7−→ f (A1 , A2 , ...) è uno *-isomorfismo fra C(X) è la C*-algebra A generata dall’identità e dalla famiglia {An }; possiamo quindi estendere questa rappresentazione (calcolo funzionale continuo) ad una rappresentazione L∞ (X) −→ R := A00 f 7−→ f (A1 , A2 , ...) ottenendo, in virtù del teorema precedente, uno *-isomorfismo isometrico suriettivo. Quindi per ogni B ∈ B(H) che commutati con qualsiasi A esiste f tale che B = f (A1 , A2 , ...). 11.2.6 Definizione Un insieme {An } è completo se per ogni B ∈ B(H) che commuti con ogni An si ha per una opportuna f : B = f (A1 , A2 , ...) Per i sistemi completi di operatori autoaggiunti a due a due permutabili abbiamo che ∀B ∈ R0 B ∈ R i.e. R0 ⊂ R. Ma R ⊂ R0 e quindi {An } completo ⇐⇒ R = R0 cioè se e solo se R è MASA. Questo dimostra il 11.2. Sottoalgebre commutative massimali in B(H) 409 11.2.7 Teorema Se {An } è un sistema completo di operatori autoaggiunti a due a due permutabili su uno spazio di Hilbert separabile H allora esiste un operatore unitario U : H −→ L2 (X, µ) (X è lo spettro congiunto degli operatori) tale che ∀f ∈ L∞ (X, µ) U f (A1 , A2 , ...)U −1 = Mf Se R = R00 ⊂ R ⊂ B(H) allora esiste una C*-algebra separabile (in norma) tale che A ⊂ R tale che A = A00 . Questo è vero, in realtà, per ogni algebra A di von Neumann e per l’insieme B(H)1 (palla unitaria) con la topologia debole (rispetto alla quale è un compatto metrizzabile); in altri termini: per ogni R ⊂ B(H), l’algebra R1 := R ∩ B(H)1 è separabile (X è compatto, quindi metrizzabile se e solo se soddisfa il primo assioma di numerabilità) essendolo la palla unitaria in B(H). Se {Tn } ⊂ R1 è una successione debolmente densa allora, denotando con A la C*-algebra generata dall’identità e dagli elementi {Tn }, abbiamo che d R⊂A ⊂R (R è debolmente chiusa), cioè d R=A Basta quindi, per separabilità, considerare famiglie totali numerabili; ad esempio i monomi nelle Tn e nei loro aggiunti, i.e. la successione A1 := T1 A2 = T1∗ A3 = T2 ... e considerare le funzioni f a supporto compatto definite su N a valori in N: f (1) A1 , f (2) A2 , ... il che fornisce una successione totale nel caso commutativo. Nel caso non commutativo bisogna considerare i “monomi non commutativi”, cioè le parole che si possono formare con le “lettere ” {An }. Infine, B(H)1 è compatto metrizzabile per il teorema di Alaoglu 8.2.12; vogliamo ora dimostrare che B(H) = M∗0 = M∗ ove M∗0 è uno spazio normato tale che M0 ⊂ B(H)∗ 410 Capitolo 11. Algebre di von Neumann ||.|| e M = M0 ne è il completamento; definiamo M0 come il sottospazio di B(H)∗ generato dai funzionali fx,y : B(H) −→ C A 7−→ (x, Ay) (per x, y ∈ H). Ovviamente ||fx,y || ≤ ||x|| ||y|| (essendo |fx,y (A)| ≤ ||A|| ||x|| ||y||) e ∀f ∈ M0 f (A) = 0 ⇒ A = 0 Quindi basta osservare che ∀F ∈ M∗0 ∃A ∈ B(H) F (fx,y ) = fx,y (A) come segue immediatamente dal teorema di rappresentazione di Riesz. Notiamo inoltre che la topologia debole su B(H)1 è quella definita da M0 , i.e. è la topologia debole degli operatori, nella quale B(H)1 risulta dunque essere compatto; infatti, in generale, se X è uno spazio normato con la σ(X ∗ , X)-topologia, su X1 è σ(X1∗ , X) = σ(X1∗ , N ) ove N è denso in X, il che si dimostra osservando che, per ogni ε > 0 ed x ∈ X esiste xε tale che ||x − xε || < ε per il quale ∀f ∈ X1∗ |f (x − xε )| < ε cioè |px (f ) − pxε (f )| < ε uniformemente sulle f . Se H è separabile al posto di M0 basta considerare le combinazioni lineari a supporto finito e coefficienti in Q + iQ X qij fxi ,yj i,j ove {xi } è una successione densa. Quindi la topologia debole degli operatori su B(H) è in questo caso definita dalla famiglia (numerabile) di seminorme ¯ ¯ X ¯ ¯ qij fxi ,xj (A)¯¯ pk (A) := ¯¯ i+j=k 11.3. Topologie ultradeboli e ultraforti. 411 Da questo segue immediatamente che B(H)1 è metrizzabile rispetto alla distanza d(A, B) := ∞ X k=1 ck pk (A − B) 1 + pk (A − B) P (ove cn > 0 e n cn = 1), che induce la topologia debole degli operatori. Abbiamo cioè dimostrato che B(H)1 è compatto e metrizzabile (il che è equivalente a dire che è compatto e verifica il secondo assioma di numerabilità, ovvero che è compatto e separabile). Osserviamo che se {An } è una successione di autoaggiunti e f ∈ L∞ (X, µ) allora, per il teorema di Stone–Weierstrass, se pn (s) := sn ∈ σ(An ) (si ricordi che X ⊂ Q σ(An )) un insieme totale in C(X) è {f (s) := sn1 1 sn2 2 ...} Z Per calcolare f (s)dµ(s) X su qualsiasi funzione continua f basta quindi conoscere i valori Z sn1 1 sn2 2 ...dµ(s) := (ξ, An1 1 An2 2 ...ξ) X che, mediando il linguaggio probabilistico, si dicono momenti della misura µ. 11.3 Topologie ultradeboli e ultraforti. Abbiamo considerato sull’insieme B(H) degli operatori continui di uno spazio di Hilbert H (non necessariamente separabile) alcune topologie: la topologia della norma, la topologia debole e la topologia forte. Vogliamo introdurne altre due, la ultradebole e la ultraforte. Introdurremo queste topologie per mezzo di seminorme: intanto osserviamo che la topologia debole e la topologia forte sono pure indotte da seminorme: px,y (A) := |(x, Ay)| nel caso debole e px (A) := ||Ax|| 412 Capitolo 11. Algebre di von Neumann nel caso forte. Ricordiamo che la topologia forte è effettivamente più fine della topologia debole, avendosi px,y (A) ≤ ||x|| ||Ay|| ≤ ||x||py (A) e che certamente queste topologie non coincidono (a meno che dim H < ∞). Ad esempio, il morfismo ∗ : B(H) −→ B(H) di passaggio all’aggiunto è un omeomorfismo per la topologia debole: px,y (A) = |(x, Ay)| = |(x, Ay)| = |(A∗ x, y)| = |(y, A∗ x)| = py,x (A∗ ) mentre per la topologia forte non è nemmeno una funzione continua: per vederlo basti considerare l’operatore di shift Sen := en+1 (lo abbiamo scritto su una base ortonormale) che, per ogni k ≥ 1 dà luogo ad una isometria S k : ||S k x|| = ||x|| Quindi S k non può convergere a zero fortemente (perché la successione numerica delle sue norme è costantemente 16= 0), mentre ∗k ||S x|| = (x, S S x) = 2 k k∗ ∞ X |(em , x)|2 −→ 0 m=k+1 (si noti infatti che S k S k∗ = E{e1 ,...,ek }⊥ ); quindi, per An := S ∗n otteniamo una successione fortemente infinitesima ma tale che A∗n non converga fortemente a zero. Tornando alle considerazioni precedenti, ricordiamo che la topologia debole è la (σ(B(H), M0 )-topologia, e quindi se x = {xn } e y = {yn } sono successioni a quadrato sommabile ||x||l2 = ∞ X ||xn ||2 < ∞ ||y||l2 = n=1 allora ∞ X n=1 ¯ ¯X ¯ ¯ ∞ ¯ (xn , Ayn )¯¯ ¯ n=1 ||yn ||2 < ∞ 413 11.3. Topologie ultradeboli e ultraforti. converge assolutamente per ogni A ∈ B(H), dato che ¯ ¯X ∞ X ¯ ¯ ∞ ¯ ¯ ||xn || ||yn || ≤ ||A|| ||x||l2 ||y||l2 (xn , Ayn )¯ ≤ ||A|| ¯ n=1 n=1 (abbiamo usato la disuguaglianza di Schwartz in l2 ); quindi, se ∞ X f (A) := (xn , Ayn ) ∞ X fn (A) := (xi , Ayi ) e n=1 i=1 si trova che |(f − fn )(A)| ≤ ||A|| e quindi ||f − fn || ≤ ∞ X ||xi || ||yi ||@ À> 0 i=n cioè f ∈ M := M0 . 11.3.1 Definizione La topologia ultradebole è la topologia definita dalle seminorme ¯ ¯X ¯ ¯ ∞ ¯ (xi , Ayi )¯¯ p{xn },{yn } (A) := ¯ i=1 L ove {xn }, {yn } ∈ i H. Consideriamo ora e := H ∞ M H i=1 e la somma diretta delle rappresentaEvidentemente possiamo considerare su H zione identica πn : B(H) −→ B(H) (π(A) = A): π= ∞ M πn n=1 In altri termini π(A) opera su x = {xn } come π(A)(x) = ∞ M Axn n=1 Dunque f (A) = (x, π(A)y) e p{xn },{yn } (A) = |(x, π(A)y)| 414 Capitolo 11. Algebre di von Neumann 11.3.2 Definizione La topologia ultraforte è quella indotta dalle seminorme v u∞ uX px (A) := ||π(A)x|| = t ||Axn ||2 n=1 ove P n ||xn ||2 < ∞. Ovviamente la topologia ultradebole è (strettamente) più fine della topologia debole e la topologia ultraforte è strettamente più fine della topologia ultradebole. Ad esempio, se B(H)N è la palla di centro l’origine e raggio N in B(H) allora su B(H)N la topologia debole coincide con quella ultradebole e la topologia forte coincide con quella ultraforte. Infatti se ||A|| ≤ N si ha ∞ X i=n ||Axi || ≤ N 2 2 ∞ X ||xi ||2 i=n cioè per ogni ε > 0 esiste un nε tale che per ogni A ∈ B(H)N il modulo delle differenze delle seminorme forti ed ultraforti sia minore di ε. Un enunciato analogo vale nel caso ultradebole. Ora ricordiamo che, per la proposizione 8.2.3 un funzionale lineare su uno spazio normato X è continuo nella σ(X, Y )-topologia se è della forma y 7−→ hx, yi per un fissato x ∈ X; nel nostro caso otteniamo B(H)∗ = {f 7−→ hf, Ai}f ∈M0 11.3.3 Proposizione I funzionali lineari su B(H) continui nella topologia ultradebole (ultraforte) e debole (forte) coincidono. Dimostrazione: Basta dimostrare che un funzionale lineare ultrafortemente continuo è anche ultradebolmente continuo. Se f è ultrafortemente continuo allora esiste una seminorma ultraforte p tale che |f (A)| ≤ p(A) = ||π(A)x|| L per qualche x ∈ H. Se M M := π(B(H))x ⊂ H allora, per il teorema di rappresentazione di Riesz, esiste un unico g continuo tale che g(z) = (z1 , z) 11.3. Topologie ultradeboli e ultraforti. 415 (per un fissato z1 ) e quindi hf, Ai = g(π(A)x) = z1 , π(A)x) Analogamente si procede nel caso ultradebole. qed Ricordiamo ora che, per il teorema di Hahn–Banach, due topologie su uno spazio vettoriale hanno gli stessi funzionali lineari e continui se e solo se hanno gli stessi insiemi chiusi e convessi, e che in uno spazio vettoriale topologico un chiuso convesso contenente l’origine è intersezione di semispazi della forma {x | Re < f, x >≤ 1} 11.3.4 Proposizione Con le notazioni precedenti: M0 ⊂ B(H)∗ ⊂ M (la continuità dei funzionali è intesa essere quella debole). Dimostrazione: Sia f un funzionale lineare debolmente continuo: X f= fxi ,yi cioè tale che hf, f i = X (xi , Ayi ) i con (x, Ay) = tr(ATx,y ) (il rango di Tx,y è 1). ove Tx,y z = y(x, z) = |yihx|z P Sugli operatori B a rango finito tr B = α (eα , Beα ) (ed è indipendente dalla scelta della base (eα )), quindi X X tr(ATx,y ) = (eα , Ay)(x, eα ) = (x, eα )(eα , Ay) = (x, Ay) α da cui, se T = P i Txi ,yi : α X i fxi ,yi = tr(AT ) 416 Capitolo 11. Algebre di von Neumann cioè (†) f ∈ M0 ⇐⇒ hf, Ai = tr(AT ) = tr(T A) (rk T < ∞) Applicando a T la decomposizione polare T = V |T | (dato che rk T < ∞ anche rk V, rk |T | < ∞): X T = V |T | = λi Tfi ,ei i dunque (per A = V ∗ nella (†)) ||f || = tr |T | = X λi i Ma M = M0 e quindi gli elementi di M sono serie assolutamente convergenti negli elementi di M0 : ∞ X ∀f ∈ M f = fn con fn ∈ M0 e P n n=1 ||fn || < ∞. Ma fn (A) = tr(Tn A) (al solito Tn = Vn |Tn | = P i (n) λi Tf (n) ,e(n) ) e i i X (n) λi <∞ i,n Dunque considerando le successioni p (n) xk := λi ei si ottiene X ||yk ||2 = k X eyk := ||xk ||2 = f= X X (n) λi fi (n) λi <∞ i,n k sicché p fn = n X fxk ,yk k è un funzionale ultradebolmente continuo. qed 11.3. Topologie ultradeboli e ultraforti. Osserviamo che la (A) ∀(eα ), (fα ) basi ortonormali X 417 |(eα , Bfα )| < ∞ α è equivalente a X |(eα , Beα )| < ∞ α (cioè per tali B ha senso calcolare la traccia di |B|) che pure è equivalente all’essere B compatto e X λν(λ) < ∞ λ∈σ(|B|) Quindi, se B verifica la (A) allora, per ogni base ortonormale (eα ): X tr B = (eα , Beα ) α La totalità degli operatori che soddisfano questa condizione definisce un ideale bilatero che è uno spazio di Banach rispetto alla norma ||B||1 := tr |B| e che si denota L1 (B(H)). Quindi ∀B ∈ B(H) ∀T ∈ L1 (B(H)) tr(T B) = tr(BT ) e f ∈ M ⇐⇒ ∃T ∈ L1 (B(H)) hf, Ai = tr(AT ) e ||f || = ||T ||1 da cui segue che M ∼ = L1 (B(H)) come spazi di Banach. Ora consideriamo un sottospazio N ⊂ B(H) ultradebolmente chiuso: si ha, per il teorema di Hahn–Banach: N = N⊥⊥ (osserviamo che se N è un sottospazio si ha sempre No = N⊥ ) e, dato che N⊥ ⊂ M allora ¢∗ ¡ N⊥⊥ = M/N⊥ Inoltre osserviamo che come spazi di Banach: M/N⊥ ∼ = M/N e quindi che N = N⊥⊥ = (M/N)∗ Dunque, definendo il preduale di N come N∗ := {funzionali lineari ultradebolmente continui su N} di trova che N ∼ = (N∗ )∗ in modo canonico. 418 11.4 Capitolo 11. Algebre di von Neumann Teoremi di Densità Le topologie che abbiamo considerato sullo spazio degli operatori sono cinque: norma > ultraforte > ultradebole > debole forte Osserviamo che l’operatore ∗ nella C*-algebra B(H) non è continuo rispetto alla topologia ultraforte: si definisce comunque la topologia *-(ultra)forte con le seminorme p(A) + p(A∗ ) al variare di p nelle seminorme che definiscono la topologia (ultra)forte. Cosı̀ la convergenza *-forte è caratterizzata da An −→ 0 ⇐⇒ An xn −→ 0 e A∗n x −→ 0 e la convergenza *-ultraforte da An −→ 0 ⇐⇒ π(An )xn −→ 0 e π(A∗n )x −→ 0 Dimostriamo ora un risultato fondamentale più volte citato ed utilizzato: 11.4.1 Teorema di Densità (von Neumann) Se A ⊂ B(H) è una *-sottoalgebra non degenere di B(H) allora uf A = A00 Dimostrazione: Dobbiamo solo verificare che uf T ∈ A00 ⇒ T ∈ A cioè che se T ∈ A00 allora per ogni seminorma ultraforte p esiste un A ∈ A tale che p(T − A) < 1 Ma la più generale seminorma ultraforte è p(B) = ||π(B)x|| e quindi dobbiamo dimostrare che (tesi) e ∃A ∈ A ||π(T )x − π(A)x|| < 1 ∀T ∈ A00 ∀x ∈ H Ovvero che π(T )x ∈ π(A)x. Usiamo ora un 419 11.4. Teoremi di Densità Lemma A. A è non degenere se e solo se π(A) è non degenere. per dedurre che π(A) è non degenere. Quindi x ∈ π(A)x (sappiamo già che non degenere vuol dire che per ogni x ∈ H x ∈ Ax). Consideriamo allora l’operatore di proiezione E = Eπ(A)x Il sottospazio π(A)x è ciclico, quindi E ∈ π(A)0 . Quindi, se B ∈ π(A)00 allora BE = EB: ora usiamo un altro Lemma B. π(A00 ) = π(A)00 . per dedurre che B ∈ π(A00 ); in particolare π(T )E = Eπ(T ). Ma allora, dato che Ex = x essendo x ∈ π(A)x: π(T )x = π(T )Ex = Eπ(T )x ∈ π(A)x il che conclude la dimostrazione. qed Ora dimostriamo i due lemmi. Dimostrazione: (A) π(A) è non degenere se e solo se (π(A)x = 0 ⇐⇒ x = 0). Ma π(A)x = {Ax1 ⊕ Ax2 ⊕ ... | A ∈ A e x1 ⊕ x2 ⊕ ... = x} e quindi π(A)x = 0 ⇐⇒ ∀i Axi = 0 qed Dimostrazione: (B) Se x := ∞ M xi i=1 e se En x := 0 ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ xn ⊕ 0 ⊕ ... (proiezione sull’n-simo elemento) allora Ma e∼ En H =H P En = I, quindi X X X X e Tx = T ∀x = En x ∀T ∈ B(H) En x = Em T x = Em T En x n n n m (per continuità di T ), cioè (T x)m = X n Em T E n x n n,m 420 Capitolo 11. Algebre di von Neumann Dunque associamo a T una matrice infinita (Tnm )n,m∈N ove Tnm = En T Em : H −→ H Il che vuol dire che     x1 x1 x2  x2  x =   =⇒ T x = ((Tnm ))   .. .. . . Ma T ∈ π(A)0 ⇐⇒ ∀A ∈ A T π(A) = π(A)T , e, a livello di matrici: ! ! à à X X X Em = s-lim En T En T Em T = IT I = m n n,m da cui T = 0 ⇐⇒ ∀n, m ∈ N Tnm = 0. Dunque la T π(A) = π(A)T diviene ∀n, m ∈ N En T π(A)Em = En π(A)T Em Ma π(A)En = AEn , cioè π(A)(0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ xn ⊕ 0 ⊕ ...) = (0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ Axn ⊕ 0 ⊕ ...) e quindi En π(A) = En A. Dato che, per definizione di π(A), En ∈ π(B(H)), troviamo En T En A = En T π(A)En ⇒ En T Em A = AEn T Em Dunque T ∈ π(A)0 ⇐⇒ Tnm ∈ A0 e e | Tnm ∈ A0 ⇒ RT = T R} π(A)00 = {R ∈ B(H) Ma π(B(H))0 ⊂ π(A)0 (infatti A ⊂ B(H)) e quindi R ∈ π(A)00 ⇒ REn = En R per cui, se Rn := Rnn sono gli elementi diagonali, si trova R ∞ M xi = ∞ M Ri xi i=1 i=1 e quindi R è diagonale. Se à Vnm ∞ M i=1 ! := δjn xn xi j 421 11.4. Teoremi di Densità ∗ allora Vnn è un’isometria parziale tale che (Vnm = Vmn ) ∗ Vnm Vmn = Em cioè En = Vnn . Le Vnm sono le unità matriciali , i.e. matrici che hanno 1 all’incrocio fra n-sima riga e m-sima colonna e 0 altrove. Ogni operatore è quindi della forma X Tnm Vnm n,m (con Tnm ∈ B(H)) e Vm0 n0 Vnm = Vm0 m δn0 n . Tornando alla dimostrazione del lemma, abbiamo trovato che Vnm ∈ π(B(H))0 (dato che π(A)Vnm ⊕i xi = π(A)(⊕j δjn xm )) e quindi R ∈ π(A)00 , cioè R commuta con Vnm e pertanto i suoi elementi diagonali coincidono: R1 = R2 = ... Infatti, per ogni y ∈ H e Rn y = RVnm En y = Vnm REn y = Rm y ∈ En H dunque Rn = Rm , e quindi   R1 0 0    0 R1 0  π(A)00 = π(B) =  0 0 R 1     .. ..  ... . .  ···     · · ·   · · ·  ...   ove π(A0 ) ⊂ π(A), dato che da B ∈ A0 e A ∈ A segue BA = AB e quindi π(A)π(B) = π(AB) = π(BA) = π(B)π(A). Dunque π(B) ⊂ π(A0 )0 Ma T ∈π(A0 ) se e solo se En π(R1 )T Em = En T π(R1 )Em i.e. R1 En T Em = En T Em . Ne segue che per ogni B ∈ A0 si ha T = Vnm B e quindi R1 commuta con ogni elemento di A0 , sicché π(A)00 = π(A00 ) qed Dal teorema di von Neumann segue che le seguenti inclusioni sono tutte uguaglianze: f A uf d A ⊂ ud ⊂ (A )00 = A00 A 422 Capitolo 11. Algebre di von Neumann 11.4.2 Teorema di Densità (Kaplanski) Se A è una *-sottoalgebra di B(H) f e se R := A allora f R1 = A1 f f cioè (A )1 = A1 . Dimostrazione: Si tratta di dimostrare, per una *-sottoalgebra A ⊂ B(H), che f (A )1 = A1 f Iniziamo con la seguente osservazione: se S ⊂ B(H) è un insieme convesso allora f d S = S ; in particolare, se A è una *-sottoalgebra di B(H) consideriamo Aaa (la sua parte autoaggiunta), A1 (i suoi elementi di norma 1) e l’intersezione Aaa ∩A1 : si tratta di insiemi convessi, quindi per ognuno di essi le chiusure nelle topologie forti e deboli coincidono. Ora, nella topologia debole l’operazione * è un omeomorfismo, quindi, se A è convessa: ³ d´ d A = Aaa aa Pertanto, malgrado A 7−→ A∗ non sia fortemente continua, si ha: ³ d´ ³ f´ A = A aa || d Aaa aa = || f Aaa Consideriamo dunque la topologia uniforme (la topologia della norma): allora ||.|| B ∈ (A )1 ⇐⇒ ||B|| ≤ 1 ∃(An ) ⊂ A e B = lim An (ove il limite è nella topologia uniforme). A meno di moltiplicare gli elementi An per numeri reali di modulo minore o uguale a 1 possiamo supporre che sia ||B|| = 1 e ||An || −→ 1, cioè ||.|| ||An ||−1 An −→ B ovvero ||.|| (A ||.|| f )1 = A1 ||.|| Ma A ⊂ A ⊂ A e quindi basta dimostrare il teorema per la chiusura uniforme di A. e =H⊕H e Definiamo H ) (µ ¶ ¯¯ A A ¯ 11 12 Ae = M2 (A) = ¯A ∈ A A21 A22 ¯ ij 423 11.4. Teoremi di Densità f e = M2 (R), si ha Allora, per R = A e R f e = Ae R (infatti una successione (An ) ⊂ Ae converge fortemente a T se e solo se Ei An Ej converge a Ei T Ej per i, j ∈ {1, 2}). Ora quello che vogliamo dimostrare è che, per ogni T ∈ R1 : T = s-lim Aα α con Aα ∈ A1 . Ma se Te = allora ||Te|| = µ sup ||x1 ⊕x2 ||=1 0 T T∗ 0 ¶ e ∈R ||T x2 ⊕ T ∗ x1 || = ||T || · 1 Ora usiamo il f f f 11.4.3 Lemma A1 ∩ Aaa = (A )1 ∩ (A )aa . per dedurre che eα Te = s-lim A α eα ∈ A1 ∩ Aaa ). e quindi (con A eα )12 = T = E1 TeE2 = s-lim E1 A eα E2 s-lim(A α eα )12 ∈ A1 il che conclude la dimostrazione. e quindi (A Resta da provare il lemma: basta trovare una funzione f : Raa −→ R1 ∩ Aaa tale che • f è suriettiva; • f è fortemente continua; • f (Aaa ) ⊂ A1 ∩ Aaa ; • la restrizione f |R1 ∩Raa è biunivoca. 424 Capitolo 11. Algebre di von Neumann In effetti, se questo è vero allora T ∈ R1 ∩ Raa è limite forte di Aα ∈ A1 ∩ Aaa , dato che T = f (S) con S ∈ R1 ∩ Raa ⊂ Raa ; ma f Raa = (A )aa = Aaa f (la seconda uguaglianza è un risultato noto). Quindi esistono Bα ∈ Aaa tali che S = s-lim Bα α e dunque f (S) = s-lim f BAα ) α (per la (2)); ma f (Bα ) ∈ A1 (per la (3)) e quindi S è limite forte di Aα ∈ A1 ∩ Aaa (per la (4) dimostrare il risultato per S o T è la stessa cosa). Non resta quindi che trovare una funzione con le proprietà (1)–(4). Se f (t) := 2t t∈R 1 + t2 allora f : R −→ [−1, 1] è una funzione continua tale che f (0) = 0 e, ristretta all’intervallo [−1, 1] è un omeomorfismo, cioè esiste una funzione g tale che f |[−1,1] = g Se ora A è autoaggiunto allora f (A) = f (A)∗ e ||f (A)|| ≤ 1 (teorema spettrale), ||.|| sicché f (A) ∈ A . Ma, ricordando che A1 ||.|| = (A ||.|| )1 possiamo assumere f (A)∈A1 , ed analogamente per R, quindi la funzione soddisfa le (1), (3) e (4). Dimostriamo per essa anche la (2). Dobbiamo cioè far vedere che per ogni seminorma p della topologia forte esiste una seminorma p0 (della topologia forte) tale che, se p(Ts ) < 1 allora p(f (T ) − f (S)) < 1. Basta per questo prendere p in una sottobase di seminorme: f (T ) − f (S) = (I + T 2 )−1 2T − (I + S 2 )−1 2S = (I + T 2 )−1 2T (I + S 2 )(I + S 2 )−1 − (I + T 2 )−1 (I + T 2 )2S(I + S 2 )−1 ¡ ¢ = 2(I + T 2 )−1 T (I + S 2 ) − (I + T 2 )S (I + S 2 )−1 (si rammenti che S, T commutano col loro calcolo funzionale). Ma (T (I + S 2 ) − (I + T 2 )S) = T − S + T (S − T )S 425 11.4. Teoremi di Densità e quindi, dato che ||f (T )|| ≤ 1 e ||(I + T 2 )−1 || ≤ 1 (essendo T autoaggiunto): ||(f (T ) − f (S))x|| ≤ 2||(T − S)z1 || + ||(S − T )z2 || (con z1 = (I + S 2 )−1 x e z2 = 2S(I + S 2 )−1 x). Questo conclude la dimostrazione del lemma, e quindi del teorema. qed Traiamo ora qualche conseguenza dai teoremi di densità appena dimostrati. Sia A ⊂ B(H) una sottoalgebra degenere e si consideri la proiezione E0 = EAH Allora A|E0 H è non degenere e A|(I − E0 )H = 0 µ ¶ 0 0 Infatti se A0 = A|E0 H, dato che H = E0 H ⊕ (I − E0 )H allora A = . 0 A0 Applicando il teorema di densità di von Neumann: A000 = A0 otteniamo ¶ µ ¶ µ 0 0 0 0 = A000 ⊕ 0 A= =⇒ A = 0 A000 0 A0 come segue dalla decomposizione H = E0 H ⊕ (I − E0 )H. Dunque per ogni *-sottoalgebra A ⊂ B(H) le chiusure nelle topologie debole, forte, ultraforte, ultradebole e uniforme coincidono: f d A =A =A uf =A ud =A ||.|| Scriviamo quindi semplicemente A. Inoltre A00 = C · I ⊕ A000 e quindi 0 ⊕ I = E0 ∈ A, da cui segue che A ( A00 (strettamente) se A è degenere e A contiene una identità E0 che non è I. 11.4.4 Corollario Se R ⊂ B(H) è un’algebra di von Neumann e J un suo ideale bilatero chiuso5 e se E0 = EJH allora E0 ∈ J ne è l’identità. In particolare J è proprio ⇐⇒ J è degenere (altrimenti E0 = I ∈ R). 5 Abbiamo osservato che le chiusure nelle varie topologie coincidono, quindi non è necessario specificare quale. 426 Capitolo 11. Algebre di von Neumann 11.4.5 Proposizione Se J ⊂ R è uno *-ideale bilatero chiuso nell’algebra di Von Neumann R allora esiste un idempotente autoaggiunto E0 ∈ R ∩ R0 =: Z(R) (centro dell’algebra di von Neumann) tale che J = RE0 . Dimostrazione: Sappiamo per il corollario che E0 è l’identità di J e quindi E0 A = AE0 per ogni A ∈ J; dunque, se A ∈ R: AE0 ∈ J E0 A ∈ J ) ⇒ E0 AE0 = AE0 ⇒ E0 A = AE0 Dunque RE0 ⊂ J ⊂ RE0 (dato che A = AE0 ). qed 11.4.6 Corollario Se R ha centro banale6 , cioè R ∩ R0 = C · I allora R è una C*-algebra semplice, i.e. non possiede ideali bilateri ultradebolmente chiusi propri). 11.5 Cenni sulla teoria dei fattori Le algebre di von Neumann con centro banale si dicono fattori e sono di fondamentale importanza nella teoria: infatti già nei lavori che gettarono le basi della teoria, von Neumann e Murray dimostrarono che ogni algebra di von Neumann si spezza in (integrale diretto di) fattori, che quindi costituiscono “i mattoni” con i quali ogni algebra di Von Neumann può essere costruita, e stabilirono una classificazione parziale di questi fattori, la cui struttura è governata in una certa misura dagli operatori di proiezione che contengono; non possiamo soffermarci su questa teoria vasta quanto affascinante: ci limitiamo a citare i risultati fondamentali senza dimostrazione. Consideriamo le algebre di von Neumann rappresentate come algebre di operatori limitati R autoaggiunte (R ⊂ R∗ ) debolmente chiuse in B(H) e contenenti l’identità. Prima di procedere alla discussione dei fattori vediamo perché basta limitarsi a questo caso; se H è uno spazio di Hilbert separabile e F è l’insieme di tutti i fattori in B(H) allora esiste su F una σ-algebra boreliana; se (X, A, µ) è uno spazio di probabilità (che immaginiamo come insieme di indici) e x 7−→ M(x) una funzione boreliana da X a F, possiamo definire una C*-algebra i cui elementi siano le mappe boreliane essenzialmente limitate m : x 7−→ m(x) ∈ M(x). 6 Un’algebra di von Neumann contiene sempre almeno C dato che contiene l’identità. 11.5. Cenni sulla teoria dei fattori 427 Questa C*-algebra è in realtà un’algebra di von Neumann che si dice integrale diretto della famiglia {M(x)}x∈X rispetto alla misura µ,e si scrive Z M= M(x)dµ(x) X von Neumann ha dimostrato il seguente 11.5.1 Teorema Ogni algebra di von Neumann M su uno spazio di Hilbert separabile è algebricamente isomorfa a un integrale diretto di fattori. Con questo von Neumann mostrò che la teoria dei fattori (da lui sviluppata con Murray) bastava alla descrizione delle algebre di Von Neumann. Ricordiamo che se E è una proiezione (in uno spazio di Hilbert) allora è minimale in un’algebra di von Neumann R di operatori di H se E 6= 0 e per ogni F ∈ R proiezione, da F ≤ E (i.e. F E = F ) segue che F = E oppure F = 0. Se E, F sono proiezioni in R, le diciamo equivalenti se esiste qualche V ∈ R tale che V V ∗ = E e V ∗ V = F , e scriviamo E ∼ F . Se E è equivalente ad una proiezione F ≤ G si scrive E - G. 11.5.2 Definizione Una proiezione E in un’algebra di von Neumann si dice infinita se è equivalente ad una proiezione F < E; altrimenti si dice finita. Se R è un fattore, ogni proiezione non nulla ha una sottoproiezione equivalente non nulla: in altri termini, in un fattore, due proiezioni E, F soddisfano una “dicotomia”: o E - F oppure F ≺ E. Il primo risultato fondamentale è il seguente 11.5.3 Teorema Se un fattore M contiene una proiezione minimale allora è isomorfo all’algebra B(H0 ) di un certo spazio di Hilbert H0 la cui dimensione hilbertiana è il numero di proiezioni minimali di M contenute in una famiglia ortogonale massimale di proiezioni minimali. Se M è un fattore e E0 ∈ M è una proiezione finita non nulla (ammesso che esista) possiamo assegnare alla classe di equivalenza delle proiezioni a lei equivalenti “dimensione 1”: confrontata con questa proiezione, ogni altra proiezione del fattore possiede una dimensione d(E) ∈ [0, ∞]. 11.5.4 Definizione Sia M un fattore: • Se M possiede, come nel teorema precedente, una proiezione minimale E0 , assegnamole dimensione 1: quindi, per ogni altra proiezione E abbiamo che d(E) ∈ {0, 1, 2, 3, ..., n} (ove n ∈ N ∪ {∞}); in questo caso M si dice un fattore di tipo In . 428 Capitolo 11. Algebre di von Neumann • Se M non possiede proiezioni minimali e l’elemento I è finito (non è equivalente ad una proiezione E < I), poniamo d(I) = 1: quindi, per ogni altra proiezione E abbiamo che d(E) ∈ [0, 1] e M si dice un fattore di tipo II1 . • Se M non possiede proiezioni minimali e l’elemento I è infinito allora per ogni proiezione E abbiamo che d(E) ∈ [0, ∞] e M si dice un fattore di tipo II∞ . • Se M non possiede proiezioni finite non nulle si pone, per ogni E 6= 0: d(E) = ∞ e M si dice un fattore di tipo III. 11.5.5 Esempio • Un fattore di tipo In (n < ∞) è l’algebra delle matrici M = Mn (C). • Un fattore di tipo I∞ è B(H) (spazio di Hilbert separabile). Quest’ultimo dovrebbe essere l’analogo di dimensione infinita di un fattore di tipo In ; tuttavia esiste una forte analogia fra i fattori In e II1 , che manca con quelli di tipo I∞ : l’esistenza di una traccia. Se M è di tipo In e A ∈ M allora possiamo considerare la sua decomposizione spettrale e definire la sua traccia come Z ||A|| τ (A) = λd(dE(λ)) −||A|| (ove d(E) è la dimensione della proiezione: d(I) = 1). Si tratta di un funzionale lineare su M ed il nome si giustifica per via della τ (A) = 1 tr(A) 2 Se M è di tipo II1 possiamo definire allo stesso modo la traccia ed otteniamo di nuovo un funzionale lineare: la sua additività è tuttavia non banale da dimostrare (Teorema di Murray). 11.5.6 Teorema (Murray–von Neumann) Se M è un fattore di tipo II1 allora esiste un unico funzionale τ ∈ M∗ tale che • τ (I) = 1 • τ (AB) = τ (BA) • τ (A∗ A) ≥ 0 11.5. Cenni sulla teoria dei fattori 11.5.7 Esempio allora 7 429 Se G è un gruppo (discreto) di ordine numerabile e H = l2 (G) Lg ϕ(h) = ϕ(g −1 h) è un operatore unitario in l2 (G). Consideriamo la chiusura forte L della sottoalgebra di B(l2 (H)) generata dalla famiglia {Lg }g∈G : vige il seguente 11.5.8 Teorema L è un fattore se e solo se tutte le classi coniugate (a parte {e}) del gruppo G sono insiemi infiniti. In questo caso L è di tipo II1 . 11.5.9 Esempio Il gruppo S(∞) delle applicazioni biunivoche di N in sé che spostano solo un numero finito di elementi è un fattore di tipo II1 . Diamo ora un esempio di fattore di tipo II∞ : partiamo da un fattore M di e è la somma diretta numerabile di tipo II1 e supponiamo che M ⊂ B(H); se H copie di H, allora possiamo far agire una matrice infinita   A11 A12 ... A21 A22 ...    .. .. . . . . . ove Aij ∈ M, per moltiplicazione a sinistra sui “vettori infiniti” ad elementi in H. Denotiamo con M ⊗ B(K) le matrici di questo tipo che sono operatori limitati e su H. 11.5.10 Teorema M ⊗ B(K) è un fattore di tipo II∞ e viceversa ogni fattore di tipo II∞ è di questa forma. I fattori di tipo III, che sono sfuggiti per molto tempo alla comprensione degli studiosi, sono più ardui a costruirsi. Per i fattori esiste una teoria della molteplicità spettrale, che conduce a risultati di isomorfismo: ne diamo un esempio. Se R agisce su H (separabile!) e x ∈ H, le proiezioni Ex0 e Ex con immagini hRxi ⊂ R0 e hR0 xi ⊂ R (R0 è il commutante: si rammenti il teorema di densità R00 = R). 7 von Neumann, oltre alle motivazioni legate ai fondamenti della Meccanica Quantistica, gettò le basi della teoria dei fattori per affrontare lo studio delle algebre di gruppo dei gruppi discreti. 430 Capitolo 11. Algebre di von Neumann 11.5.11 Teorema (Murray–von Neumann) Se M è un fattore di tipo II1 , il numero d(Ex ) c(M, M0 ) := 0 0 d (Ex ) non dipende da x. Questa costante si dice costante di accoppiamento; se M è di tipo In e M0 di tipo Im allora il teorema vale ed afferma che c= m n Se M0 è di tipo II∞ , d0 ha senso solo a meno di un multiplo positivo e quindi c(M, M0 ) è indefinito. 11.5.12 Teorema Due fattori di tipo II1 che agiscano su uno stesso spazio di Hilbert separabile sono unitariamente equivalenti se e solo se hanno la stessa costante di accoppiamento oppure se ambedue i commutanti sono di tipo II∞ . Questi risultati sono solo la punta dell’iceberg: per una immersione più approfondita nella teoria si può ad esempio consultare [12]. Capitolo 12 TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI In questo capitolo studiamo le rappresentazioni delle C∗ -algebre non necessariamente commutative: la teoria commutativa è stata sviluppata nel capitolo precedente, mentre qui ci occuperemo della ben più complicata situazione nel caso non commutativo. 12.1 Irriducibilità di rappresentazioni Ricordiamo la definizione fondamentale 12.1.1 Definizione Una rappresentazione di una C*-algebra A è uno spazio di Hilbert H dotato di uno *-morfismo di C*-algebre: π : A −→ C(H) Se π è isometrica, la rappresentazione si dice fedele. Dimostreremo in séguito che una C*-algebra ammette rappresentazioni fedeli. Se A è una C*-algebra e π : A −→ B(H) una rappresentazione, allora, per un sottospazio vettoriale chiuso M di H sappiamo già che le seguenti affermazioni si equivalgono: • M è π-stabile (i.e. π(A)M ⊂ M ). • M ⊥ è π-stabile. • EM ∈ π(A)0 . • π∼ = π|M ⊕ π|M ⊥ . 12.1.2 Definizione Una rappresentazione π si dice topologicamente irriducibile se non ha sottospazi chiusi e π-stabili oltre a 0 e H. 431 432 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni 12.1.3 Lemma (Schur) π è irriducibile se e solo se π(A)0 = C · I. Dimostrazione: π(A)0 è un’algebra di von Neumann e quindi è il sottospazio di Banach di B(H) generato dagli idempotenti autoaggiunti che sono proiettori ortogonali sui sottospazi chiusi π-stabili: cioè solo su 0 e H, quindi gli unici tali proiettori sono 0 e 1, e l’algebra da loro generata è C · 1. qed 12.1.4 Corollario Se π : A −→ B(H) è una rappresentazione allora sono equivalenti le • π è (topologicamente) irriducibile; uf • π(A) = B(H); f • π(A1 ) = B(H)1 . • Ogni x ∈ H \ 0 è ciclico per la rappresentazione π. Dimostrazione: Per l’equivalenza delle (1)–(3) basta notare che se π è irriducibile allora π(A) è non degenere e quindi π(A)uf = π(A)00 . Ma π(A)0 = C·I e quindi π(A)00 = B(H). In modo analogo, usando il teorema di densità di Kaplanski 11.4.2, seguono le altre equivalenze. La (4) equivale alla (3), dato che se Mx = π(A)x è π-stabile allora EMx ∈π(A)0 ; ma se E ∈ π(A)0 e x ∈ H allora Ex = x e quindi π(A)x = Eπ(A)x; dunque Mx = EH. Ne segue che se E ∈π(A)0 è idempotente autoaggiunto Ex = x allora Ex ⊂ E; ma se π è irriducibile Ex è 0 oppure I e quindi se π è irriducibile ogni vettore non nullo è ciclico, mentre se π non è irriducibile non ogni vettore non nullo è ciclico. qed Osserviamo inoltre che π è topologicamente irriducibile se e solo se per ogni ε > 0, x ∈ H \ 0 e y ∈ H esiste un A ∈ A tale che |π(A)x − y| < ε Per una rappresentazione di un’algebra qualsiasi (non necessariamente normata) esiste il concetto algebrico di irriducibilità: una tale rappresentazione è irriducibile se gli unici sottospazi π-stabile (anche non chiusi ) sono 0 e H. Ovviamente l’irriducibilità algebrica implica quella topologica, e, per il lemma di Schur 12.1.3: π algebricamente irriducibile ⇐⇒ ∀x 6= 0, y ∈ H ∃A ∈ A π(A)x = y Non dobbiamo comunque preoccuparci delle rappresentazioni algebriche, come mostra il seguente 12.1. Irriducibilità di rappresentazioni 433 12.1.5 Teorema (Kadison) Una rappresentazione π di una C*-algebra A è topologicamente irriducibile se e solo se è algebricamente irriducibile. Dimostrazione: Una delle implicazioni è ovvia: dimostriamo quindi che una rappresentazione topologicamente irriducibile lo è anche algebricamente. Il sottospazio π(A) è chiuso in norma per ogni π; denotiamo π(A) ⊂ B(H) ancora con A e scriviamo moltiplicativamente l’azione della rappresentazione: Ax = π(A)x; supponiamo ora che A0 = C · I Vogliamo dimostrare che per ogni x 6= 0 e y∈H esiste un A∈A tale che Ax = y (il che, come si è osservato esprime l’irriducibilità algebrica della rappresentazione). Se y = 0 è A = 0 quindi possiamo supporre anche y 6= 0 e, normalizzando: ||x|| = ||y|| = 1 L’operatore Ty,x (z) := (x, z)y è lineare e continuo di norma 1, e tale che Ty,x (x) = y. Dunque esiste un A1 ∈ A1 tale che 1 ||A1 x − y|| < 2 sostituendo y1 := −(A1 x − y) a y in questa maggiorazione si trova ||Ty1 ,x || < 1 2 Dunque esiste un A2 nella palla di raggio 1/2 di A tale che ||A2 x − y1 || < 1 22 Iterando il ragionamento otteniamo una successione di operatori An nella palla di raggio 1/2n tali che 1 ||An x − yn−1 || < n 2 ove n−1 X yn = Ai x − y i=1 Ma ∞ ∞ ¯¯ X ¯¯ X ¯¯ ¯¯ ||Ai || ≤ 2 Ai ¯¯ ≤ ¯¯ i=1 i=1 434 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni e quindi la serie P i Ai converge ad A ∈ A; allora limn−→∞ yn = 0 || || P limn−→∞ ni=1 Ai − y = Ax − y qed Esistono delle generalizzazioni di questo risultato che ci limitiamo ad enunciare: la prima è dovuta a Dixmier Teorema. Se π : A −→ B(H) è una rappresentazione irriducibile di una C*algebra A, T ∈ B(H) è un operatore di rango finito in H e N è un sottospazio vettoriale di dimensione finita di H allora esiste un A ∈ A tale che ||A|| = ||T |N || e π(A)|N = T |N La seconda a Glimm e Kadison: Teorema. Se nel teorema precedente T è autoaggiunto (risp. unitario) allora anche A può scegliersi autoaggiunto (risp. unitario). Per le dimostrazioni si rimanda a [7], § 2.8. Sia A una C*-algebra e π1 , π2 rappresentazioni di A negli spazi di Hilbert H1 , H2 . Definiamo l’insieme degli operatori di allacciamento: (π1 , π2 ) := {T : H1 −→ H2 | T continuo e ∀A ∈ A T π1 (A) = π2 (A)T } Notiamo che π(A)0 = (π, π) Ricordiamo che le rappresentazioni sono equivalenti, e si scrive π1 ∼ = π2 , se esiste un operatore unitario U ∈ (π1 , π2 ). 12.1.6 Definizione Se (π1 , π2 ) = 0 le rappresentazioni si dicono disgiunte e si scrive1 π1 ◦p π2 . 12.1.7 Lemma Se π1 , π2 , π3 sono rappresentazioni di una C*-algebra A allora: • (π1 , π2 )∗ = (π2 , π1 ). • (π2 , π3 )(π1 , π2 ) ⊂ (π1 , π3 ). • (π1 , π2 )∗ (π1 , π2 ) ⊂ π1 (A)0 e (π1 , π2 )(π1 , π2 )∗ ⊂ π2 (A)0 . 1 Seguendo George Mackey. 12.1. Irriducibilità di rappresentazioni 435 Dimostrazione: Sia T ∈ (π1 , π2 ): allora la (1) segue da (T π1 (A∗ ))∗ = (π2 (A∗ )T )∗ Se R ∈ (π2 , π3 ) allora RT ∈ (π1 , π3 ) il che dimostra la (2). Infine la (1) e la (2) implicano direttamente la (3). qed 12.1.8 Lemma (Schur) Se π1 , π2 sono rappresentazioni della C*-algebra A e se (π1 , π2 ) 6= 0 allora esistono due sottospazi vettoriali chiusi M1 ⊂ H1 e N ⊂ H2 tali che π1 M1 ⊂ M1 e π2 M2 ⊂ M2 e π 1 | M1 ∼ = π2 |M2 Dimostrazione: Consideriamo un operatore non nullo T ∈ (π1 , π2 ) e la sua decomposizione polare T = V |T |; dimostriamo che |T | ∈ π1 (A)0 e V ∈ (π1 , π2 ) Dato che T è di allacciamento, si ha che T ∗ T ∈ π1 (A)0 e T T ∗ ∈ π2 (A)0 e quindi, per ogni x ∈ H1 : (x, T ∗ T x) = (T x, T x) ≥ 0 dunque T ∗ T ≥ 0; abbiamo allora B = |T | autoaggiunto e positivo tale che B 2 = T ∗ T , i.e. |T | ∈ π1 (A)0 . Quindi V |T |π1 (A) = π2 (A)V |T | i.e. per ogni x (V π1 (A) − π2 (A)V )|T |x = 0 Ma la chiusura del sottospazio {|T |x} è (ker T )⊥ , e ker T è un sottospazio π1 stabile, dato che T ∈ (π1 , π2 ). Quindi in H1 : (V π1 (A) − π2 (A)V ) = 0 e V è di allacciamento, V V ∗ ∈ π2 (A)0 , V ∗ V ∈ π1 (A)0 e V V ∗ H2 = M2 e V ∗ V H1 = M1 qed 436 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni 12.1.9 Definizione Si dice che π1 è una sottorappresentazione di π2 se esiste una isometria in (π1 , π2 ) e si scrive π1 ≤ π2 . In altri termini, π1 ≤ π2 se π1 ∼ = π2 |M ove M è un sottospazio di H2 . 12.1.10 Definizione Si dice che π1 è quasi-contenuta in π2 se non esistono sotto-rappresentazioni (a parte 0) di π1 disgiunte da π2 e si scrive π1 < < π2 . 12.1.11 Definizione Si dice che π1 è quasi-equivalente a π2 se π1 << π2 e π2 < < π1 e si scrive π1 ≈ π2 . Nota. Le nostre rappresentazioni saranno sempre non degeneri. Se π1 , π2 sono rappresentazioni si A e π1 ∼ = π2 allora π1 ⊕ π2 (A) = {T ⊕ U T U −1 | T ∈ π1 (A)00 } Un elemento di questo spazio è limite forte di elementi della forma ¶ µ π1 (Aα ) 0 0 π2 (Aα ) Se π1 ◦p π2 allora π1 ⊕ π2 (A) = {T ⊕ R | T ∈ π1 (A)00 , R ∈ π2 (A)00 } 12.1.12 Proposizione (µ (π1 ⊕ π2 )(A)0 = µ Dimostrazione: Se B = T S S0 R ) ¶ ¯¯ ¯ T ∈ (π1 , π1 ) = π10 , S ∈ (π1 , π2 ), ¯ ¯ R ∈ (π2 , π2 ) = π20 , S 0 ∈ (π2 , π1 ) R11 R12 R21 R22 ¶ allora per B ∈ (π1 ⊕ π2 )(A)0 : Ei BEj = Rij ∈ (πi , πj ) = (π1 ⊕ π2 (A))0 Il viceversa è ovvio. qed 12.1. Irriducibilità di rappresentazioni 437 12.1.13 Teorema Se π1 , π2 sono rappresentazioni (non degeneri) di A allora π1 ◦p π2 ⇐⇒ π1 ⊕ π2 (A) = π1 (A) ⊕ π2 (A) Dimostrazione: Osserviamo che ¶ µ π1 (A)0 0 0 ⇐⇒ π1 ◦p π2 (π1 ⊕ π2 )(A) = 0 π2 (A)0 Dato che di π1 ⊕ π2 (A)00 è diagonale (commuta quindi almeno con ¶ ¶ un µ elemento µ I 0 0 0 ) allora e 0 0 0 I µ ¶ T1 0 00 T ∈ π1 ⊕ π2 (A) ⇐⇒ T = 0 T2 ¶ µ R 0 commuta con T se T1 commuta con R e ove un elemento della forma 0 S T2 commuta con S. Quindi ) (µ ¶ ¯¯ T 0 ¯ 1 π1 ◦p π2 ⇐⇒ π1 ⊕ π2 (A) = π1 ⊕ π2 (A)00 = ¯ T ∈ πi (A)00 0 T2 ¯ i qed Osserviamo che se ker π1 = ker π2 allora esiste uno *-isomorfismo di C*algebre ρ : π(A) −→ π2 (A) 12.1.14 Definizione Se π è una rappresentazione di una C*-algebra A e n è un numero cardinale, definiamo M nπ := πα α∈A ove A è un insieme qualsiasi con Card(A) = n e ciascuna πα è una copia della rappresentazione π. 12.1.15 Teorema Se π1 , π2 sono rappresentazioni di A allora sono equivalenti le • π1 ≈ π2 (quasi-equivalenza). • Esiste un numero cardinale n tale che nπ1 ∼ = nπ2 . 438 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni • Esiste uno *-isomorfismo di C*-algebre ρ : π1 (A)00 −→ π2 (A)00 tale che ρ ◦ π1 = π2 Osserviamo che la (3) equivale anche alla (π1 ⊕ π2 )(A)00 = {T ⊕ ρ(T ) | T ∈ π1 (A)00 , ρ *-isomorfismo} Di questo teorema non dimostreremo l’implicazione (3)⇒(2), che richiede alcuni risultati sulle algebre di von Neumann, essenzialmente quello che enunciamo qui di seguito: Teorema. Se R1 e R2 sono algebre di von Neumann e ρ : R1 −→ R2 è uno *-isomorfismo (suriettivo) allora • ρ è un omeomorfismo rispetto alle topologie ultradeboli. • Esiste un operatore unitario U che renda commutativo il seguente diagramma: ρ /R 3A A ∈ R1 2 ² A ⊕ A ⊕ A ⊕ ··· ∈ Rℵ1 0 ² / Rℵ0 3 A ⊕ A ⊕ A ⊕ · · · 2 U 12.1.16 Esempio • ρ(A) = U AU −1 • ρ(A) = A ⊕ A ⊕ A ⊕ ... • ρ(A) = A|M ove M è un sottospazio stabile e tale che A|M = 0 se e solo se A = 0, e EM ∈ R0 , con R0 M insieme totale. Nel terzo esempio, ρ è uno *-isomorfismo se e solo se il minimo proiettore ortogonale su R0 M (che si dice supporto centrale) è l’operatore identico I. In un’algebra di von Neumann R consideriamo degli operatori {Eα } idempotenti, a due a due ortogonali, tali che X fortemente Eα −−−−−−→ E ∈ R α 12.1.17 Definizione ρ è normale se ! à X X Eα = ρ(Eα ) ρ α α 439 12.1. Irriducibilità di rappresentazioni 12.1.18 Proposizione Se ρ : R1 −→ R2 è uno *-isomorfismo fra algebre di Von Neumann, allora è normale. P Dimostrazione: Sia E = α Eα ; allora Eα ≤ E. Se E1 , E2 sono idempotenti ortogonali fra loro, anche ρ(E1 ) e ρ(E2 ) lo sono, sicché E1 ≤ E2 ⇒ ρ(E1 ) ≤ ρ(E2 ) Quindi X Eα ≤ E X e α ρ(Eα ) ≤ ρ(E) α Ma ρ è uno *-isomorfismo (suriettivo) e quindi: F := X à ρ(Eα ) ≤ ρ E= X ! Eα = ρ(E) α α da cui X ρ−1 ρ(Eα ) ≤ ρ−1 α X ρ(Eα ) ≤ ρ−1 (F ) α Dunque ρ(E) ≤ F ≤ ρ(E) (gli *-isomorfismi conservano le disuguaglianze di operatori), cioè F = ρ(E). qed Consideriamo un controesempio: sia R = L∞ ([0, 1]), e ω ∈ σ(R); se f ∈ R poniamo ρ(f ) := f ⊕ ω(f ) ∈ R ⊕ C Si tratta di uno *-isomorfismo che tuttavia non è ultradebolmente continuo: si noti che questo è perfettamente compatibile col risultato precedente, dato che ρ non è normale e dunque im ρ non è un’algebra di von Neumann. Affrontiamo ora la dimostrazione del teorema 12.1.15. (1)⇒(3) Consideriamo lo spazio M π2 -stabile e E = EM ; se T ∈(π1 , π2 ) allora E ◦ T ∈ (π1 , π2 |M ); viceversa, se T0 ∈ (π1 , π2 |M ) allora T0 ∈ (π1 , π2 ): quindi E(π1 , π2 ) = (π1 , π2 |M ) ne segue che (π1 , π2 )H1 π1 ≈ π2 ⇐⇒ (π2 , π1 )H1 ) sono totali nei rispettivi spazi di Hilbert 440 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni P Ora consideriamo i Ri Xi (con Xi ∈ H1 e Ti ∈ (π1 , π2 )): in virtù dell’equivalenza precedente, lo spazio di questi elementi è denso in H2 , quindi X X X π2 (A)y =π2 (A) Ti Xi = π2 (A)Ti Xi = Ti π1 (A)Xi i i e dunque, se ρ(T )y := i X Ti T Xi i (T ∈ π1 (A)00 ) allora ||ρ(T )y||2 ≤ ||T ||2 ||y||2 (†) il che significa he ρ(T ) è un operatore lineare ben definito e continuo (ed ovviamente uno *-omomorfismo). Definiamo ora ρ0 scambiando nella definizione di ρ il ruolo di π1 e π2 ; si noti che allora ρ−1 = ρ0 , quindi ρ è invertibile e risulta uno *-isomorfismo. Non resta dunque da dimostrare che la (†). Notiamo che X ¯¯2 X ¯¯ X ¯¯ (Ti T Xi , Tj T Xj ) = Ti T Xi ¯¯ = (T Xi , Ti∗ Tj T Xj ) i,j i e quindi che ||T ||2 i,j X X (Xi , Ti∗ Tj Xj ) − (T Xi , Ti∗ Tj T Xj ) i,j = X¡ i,j ||T ||2 (Xi , Ti∗ Tj Xj ) − (T λi , Ti∗ Tj Ti Xj ) ¢ i,j è positiva (il che ci fornisce la diseguaglianza voluta): infatti Ti∗ Tj ∈(π1 , π2 ) quindi commuta con T , e ´ X³ 2 ∗ ∗ ||T || (Xi , Ti Tj Xj ) − (T λi , Ti Tj Ti Xj ) = i,j = X (Xi , TI∗ Tj (||T ||2 I − T ∗ T )Xj ) i,j = X (B ∗ Xi , Ti∗ Tj BXj ) = i,j = || X X (Ti B ∗ Xi , Tj BXj ) i,j Ti BXi || ≥ 0 2 i (ove (||T ||2 I − T ∗ T ) che figura al secondo membro è un elemento positivo dell’algebra di von Neumann che è della forma B ∗ B, con B ∈ π1 (A)00 ). qed 441 12.2. Stati e rappresentazioni 12.2 Stati e rappresentazioni Consideriamo due rappresentazioni (come al solito non degeneri) π1 , π2 di una C*-algebra A: allora 12.2.1 Proposizione Ch(π1 , π2 )H1 i = H2 ⇐⇒ π1 < < π2 (ove con ChSi denotiamo il sottospazio vettoriale generato dall’insieme S in uno spazio di Hilbert). Dimostrazione: Se M := Ch(π1 , π2 )H1 i ovviamente M è π2 -invariante: T ∈ π2 (A)0 ⇒ T ∈ (π2 , π2 ) ma (π2 , π2 )(π1 , π2 ) ⊂ (π1 , π2 ) i.e. T M ⊂ M . Dunque M è l’immagine di un operatore G idempotente autoaggiunto che deve commutare con π2 (A): M = GH2 e G ∈ π2 (A)00 Ma π2 (A)M ⊂ M , dato che π2 (A)T X = T π1 (A)X ∈ M , sicché G ∈ π2 (A)0 , e quindi G ∈ π2 (A)0 ∩ π2 (A)00 = Z(π2 (A)00 ) Dunque, π1 ⊕ π2 ha la sottorappresentazione (†) π2 = π2 |GH2 ⊕ π2 |GH2⊥ che quindi è somma diretta di rappresentazioni quasi-contenute in π1 e disgiunte da π1 . Ne segue che, a meno che G = I (e quindi M = H2 ) non può aversi π1 < < π2 e viceversa. qed Osserviamo che, se A = C(X) e π1 , π2 sono sue rappresentazioni in spazi di Hilbert separabili allora π1 ≈ π2 ⇐⇒ µb1 = µb2 (le misure associate basiche sono uguali). La decomposizione (†) precedente diviene, a livello di misure, la decomposizione µb2 = µ02 + µ002 con µ02 ¿ µb1 e µ002 ⊥µb1 . 442 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Sia ora A una C*-algebra qualsiasi (con unità). 12.2.2 Definizione Un elemento A ∈ B(H) si dice positivo se per ogni x ∈ H: (x, Ax) ≥ 0 e si scrive A ≥ 0. Equivalentemente, A ≥ 0 è positivo se e solo se è autoaggiunto ed il suo spettro è contenuto nel “semiasse positivo” [0, ∞], cioè se esiste B tale che A = B ∗ B. Quest’ultima caratterizzazione può scegliersi come definizione di positività in una C*-algebra qualsiasi. 12.2.3 Definizione La parte positiva di una C*-algebra A è l’insieme A+ := {B ∗ B | B ∈ A} ed i suoi elementi si dicono positivi. 12.2.4 Lemma Se A è una C*-algebra con identità I e A1 , A2 ∈ A allora: • σ(A1 A2 ) \ 0 = σ(A2 A1 ) \ 0. • Se A1 , A2 ∈ A sono autoaggiunti, da σ(Ai ) ⊂ [0, ∞] segue che σ(A1 + A2 ) ⊂ [0, ∞]. Dimostrazione: (1) Sia λ 6= 0 un elemento del risolvente di A1 A2 : R := (A1 A2 − λI)−1 ∈ A Ma dato che (A2 A1 − λI)−1 = λ−1 (A2 RA1 − I) ( (A2 RA1 − I)(A2 A1 − λI) = λI (A2 A1 − λI)(A2 RA1 − I) = λI Infatti (A2 RA1 A2 A1 − λA2 RA1 − A2 A1 + λI) = = A2 R(A2 A1 − λI)A1 − A2 A1 + λI = A2 IA1 − A2 A1 + λI = λI 443 12.2. Stati e rappresentazioni Analogamente per l’altra espressione. (2) Ricordiamo intanto che σ(B) ⊂ [0, ∞] ⇐⇒ ∀λ > 0 σ(λB) ⊂ [0, ∞] Dunque possiamo scegliere λ in modo che ||λA1 ||, ||λA2 || ≤ 1 e σ(λ(A1 + A2 )) ⊂ [0, ∞] ⇒ σ(A1 + A − 2) ⊂ [0, ∞] e quindi supporre che sia ||A1 ||, ||A2 || ≤ 1 Dunque σ(Ai ) ∈ [0, 1] i.e. σ(I − Ai ) ∈ [0, 1]. Ora consideriamo Ti = I − Ai ; ovviamente ¯¯ 1 ¯¯ ¯¯ ¯¯ 1 ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ (T1 + T2 )¯¯ ≤ 1 =⇒ ¯¯I − (A1 + A − 2)¯¯ ≤ 1 2 2 il che implica σ(I − 12 (A1 + A2 )) ⊂ [0, ∞]. e quindi µ σ ¶ 1 (A1 + A − 2) ⊂ [0, 2] 2 e σ(A1 + A2 ) ⊂ [0, 4] qed 12.2.5 Teorema • A+ = {A ∈ A | A = A∗ e σ(A) ⊂ [0, ∞]} • A+ è un cono, tale che – A+ ∩ −A+ = 0. – A+ + A+ ⊂ A + . – R + · A+ ⊂ A + . – A+ − A+ = {A ∈ A | A = A∗ }. Dimostrazione: La (2c) segue dalla (1) in modo ovvio. Dimostriamo la (2d): sia A = A∗ , e consideriamo le funzioni continue ( |λ| se ± λ ≥ 0 f± (λ) := 0 altrove 444 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Ovviamente (f+ − f− )(λ) = λ e f± ≥ 0. Possiamo applicare il calcolo funzionale continuo (dato che A è autoaggiunto) ottenendo (f+ − f− )(A) = A e f± (A) = A± ove A± è autoaggiunto con spettro positivo (teorema della mappa spettrale); dunque, per ogni A autoaggiunto si ha A = A+ − A− ove A± ∈ {B ∈ A | B = B ∗ e σ(B) ⊂ [0, ∞]}. Quindi anche la (2d) segue dalla (1): dimostriamo quest’ultima. Che si abbia A ⊃ {A | A = A∗ e σ(A) ⊂ [0, ∞]} √ segue di nuovo dal calcolo funzionale continuo con f (λ) = + λ, λ ≥ 0; con questa funzione si trova che f (A) = B è autoaggiunto e tale che B 2 = A (in particolare B ∗ B = A). Dimostriamo quindi l’inclusione opposta. Sia B ∗ B ∈ A+ : ovviamente B ∗ B è autoaggiunto, e quindi il suo spettro è contenuto in R; calcoliamo su B ∗ B le funzioni f± introdotte in precedenza, ottenendo: B ∗ B = f+ (B ∗ B) − f− (B ∗ B) = u2 − v 2 (un operatore a spettro positivo è il quadrato di un operatore autoaggiunto). Ma A+ A− = 0 e quindi uv = 0 che, con vB ∗ Bv = v(u2 − v 2 ) = vu2 v − v 4 implica che vB ∗ Bv = −v 4 . Quindi se definiamo A := Bv otteniamo A∗ A = −v 4 . Ora, sappiamo dalla (1) del lemma che σ(A∗ A) \ 0 = σ(AA∗ ) \ 0 pertanto, se σ(A∗ A) ⊂ [0, ∞] allora anche σ(AA∗ ) ⊂ [0, ∞], e, per A = Bv si trova σ(A∗ A) = σ(v 4 ) ⊂ [0, ∞] =⇒ σ(A∗ A + AA∗ ) ⊂ [0, ∞] Dunque, scrivendo A = A1 + iA2 (Ai autoaggiunti) otteniamo A∗ = A1 − iA2 A∗ A = A21 + A22 + i(A1 A2 − A2 A1 ) AA∗ = A21 + A22 − i(A1 A2 − A2 A1 ) 445 12.2. Stati e rappresentazioni cioè A∗ A + AA∗ = 2(A21 + A22 ) e σ(A∗ A + AA∗ ) ⊂ [−∞, 0] i.e. σ(A21 + A22 ) ⊂ [−∞, 0]. Ma σ(A21 ) ⊂ [0, ∞] e σ(A22 ) ⊂ [0, ∞] e, per la (2) del lemma: σ(A21 + A22 ) ⊂ [0, ∞] Le due inclusioni dimostrate significano che σ(A21 + A22 ) = 0 cioè che A21 +A22 è un operatore nilpotente (ed autoaggiunto), dunque A21 +A22 = 0 ovvero A1 = A2 = 0. Ne segue A = 0, e quindi. v = 0. Risulta dunque B ∗ B = u2 . In definitiva ogni B ∗ B è autoaggiunto con spettro positivo e quindi A+ = {A | A∗ A e σ(A) ⊂ [0, ∞]} Questo dimostra la (1). La (2a) segue immediatamente e, per la (2) del lemma, anche la (2b). qed Il cono A+ genera lo spazio degli elementi autoaggiunti. 12.2.6 Definizione f si dice hermitiano se f = f ∗ . Osserviamo che, per ogni f ∈ A∗ : 1 1 f = (f + f ∗ ) + i (f − f ∗ ) 2 2i e quindi f si decompone in somma di hermitiani. I funzionali lineari continui hermitiani formano uno spazio di Banach reale ∗ Ah , e, se A ∈ Aaa e f ∈ A∗h allora f (A) ∈ R. Se f ∈ A∗ allora si definisce f ∗ (A) := f (A∗ ) Evidentemente ||f ∗ || = ||f ||, f ∗∗ = f e la mappa f 7−→ f ∗ è antilineare. 12.2.7 Definizione • Se A e B sono autoaggiunti e se A − B ∈ A+ allora scriviamo A ≥ B. • Il cono duale della C*-algebra A è l’insieme A∗+ := {f ∈ A∗ | ∀A ∈ A+ f (A) ≥ 0} 446 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Ovviamente A∗+ ⊂ A∗h e, se f ∈ A+ allora la mappa (A, B) 7−→ f (A∗ B) definisce una forma sesquilineare semidefinita positiva: ogni tale forma soddisfa la disuguaglianza di Schwartz: |f (A∗ B)|2 ≤ f (A∗ A)f (B ∗ B) e f ((αA + βB)2 (αA + βB)) ≥ 0 da cui segue f (A∗ B) = f (AB ∗ A) (per B = I si trova f ∈ A∗h ). 12.2.8 Teorema Un funzionale lineare f qualsiasi è positivo se e solo se è continuo e f (I) = ||f ||. Dimostrazione: Se f è positivo allora (ricordando che σ(A∗ A) ⊂ [0, ||A||2 ] e dunque che ||A||2 I − A∗ A ∈ A+ ): ¡ ¢ f ||A||2 I − A∗ A = ||A||2 f (I) − f (A∗ A) cioè f (A∗ A) ≤ ||A||2 − f (I); ma |f (A)|2 = |f (IA)|2 ≤ f (I)f (A∗ A) ≤ ||A||2 f (I)2 da cui la continuità di f . Che sia f (I) = ||f || segue da f (I) ≤ ||A||. Viceversa, se f 6= 0 è continuo e f (I) = ||f ||, allora esiste un λ tale che ||λf || = 1, dunque possiamo assumere f (I) = 1. A questo punto la dimostrazione del teorema si riduce a quella del lemma seguente: 12.2.9 Lemma Se ||f || = f (I) = 1 allora per ogni operatore normale A f (A) ∈ {Conv σ(A)} = \ {dischi chiusi contenenti σ(A)} 447 12.2. Stati e rappresentazioni Dimostrazione: Si tratta di far vedere che per ogni λ∈σ(A) tale che |λ−z| ≤ a si ha |f (λ) − z| ≤ a Ma A è normale, quindi anche (A − zI) lo è, sicché ||A − zI|| = spr(A − zI) (raggio spettrale), pertanto |f (A) − z| = |f (A − zI)| ≤ a qed 12.2.10 Definizione Lo spazio degli degli stati della C*-algebra A è S(A) := {f ∈ A∗+ | ||f || = 1} 12.2.11 Proposizione S(A)) è convesso, *-debolmente chiuso e compatto. Dimostrazione: È un convesso dato che lo è A∗+ . Inoltre S(A) = \ {f ∈ A∗ | f (A∗ A) ≥ 0} ∩ {f | f (I) − 1 = 0} a∈A quindi è intersezione di insiemi *-debolmente chiusi. Infine è S(A) ⊂ A∗1 (palla unitaria in A∗ ) che è un compatto di Hausdorff nella topologia *-debole (teorema di Alaoglu 8.2.12); pertanto S(A) è compatto in quanto chiuso in un compatto. qed Una conseguenza del teorema di Hahn–Banach è il 12.2.12 Teorema Se A ⊂ B sono C*-algebre con la stessa unità I e se ω∈S(A) allora esiste un ω e ∈ S(B) tale che ω e |A = ω. 448 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni 12.2.13 Esempio Si consideri una C*-algebra commutativa A e ϕ∈σ(A); allora ϕ(A∗ A) = |ϕ(A)|2 ≥ 0 cioè ϕ è uno stato. Ne segue che, per ogni A ∈ A esiste ω ∈ S(A) tale che ω(A∗ A) = ||A||2 Infatti A∗ A è autoaggiunto e genera la C*-algebra commutativa C ∗ (A∗ A, I) che possiede uno stato ϕ (infatti σ(C ∗ (A∗ A, I)) ∼ = σ(A∗ A)), quindi esiste ϕ ∈ σ(A) tale che ϕ(A∗ A) = ||A||2 . Usando il teorema precedente possiamo estendere ϕ e ω. Dato che lo spazio degli stati S(A) è un convesso compatto (in uno spazio vettoriale topologico localmente convesso A∗ ), per il teorema di Krejn–Millman 8.3.10 l’insieme dei suoi punti estremali è non vuoto e: S(A) = Conv(Extr(S(A))) 12.2.14 Definizione I punti estremali di S(A) si dicono stati puri; l’insieme degli stati puri si denota con P(A). b = B(ϕ) b 2; 12.2.15 Esempio Se A è commutativa allora per A = B ∗ B si ha Aϕ inoltre, se f ∈A∗ , per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2, esiste una misura regolare positiva µ tale che Z f (A) = b A(ϕ)dµ(ϕ) dunque f ≥ 0 ⇐⇒ µ è positiva 12.2.16 Definizione Se ω, ϕ ∈ S(A) si dice che ω è uno stato dominato da ϕ e scriviamo ω << ϕ se esiste una costante M ≥ 0 tale che Mϕ − ω ≥ 0 L’insieme degli stati dominati da ϕ ∈ S(A) si denota con Cϕ . Il seguente lemma mostra che gli stati puri corrispondono alle misure di Dirac 449 12.2. Stati e rappresentazioni 12.2.17 Lemma ω ∈ P(A) ⇐⇒ supp µω = {x} Dimostrazione: Se il supporto della misura µω contiene almeno due punti distinti ϕ1 , ϕ2 ∈ supp µω allora, dato che siamo in uno spazio di Hausdorff, per il lemma di Urysohn 2.3.2 esiste una funzione continua f : σ(A) −→ [0, 1] tale che f (0) = ϕ1 e f (1) = ϕ0 : in questo modo dµω = f dµω + (1 − f )dµω e Z Z Z b b b dµω = f1 (A) + f2 (A) ω(A) = A(ϕ)dµω (ϕ) = A(1 − f )dµω + Af (ove f1 , f2 sono funzionali positivi che possiamo normalizzare in modo da avere Z Z ω(A) = (1 − f )dµ ω1 (A) + f dµ ω2 (A) Quindi ω si decompone in combinazione convessa propria di due stati. Viceversa, sia ω uno stato puro e dimostriamo che supp µω è ridotto ad un punto. Questo segue da una osservazione generale: se A è una C*-algebra qualsiasi e ω ∈ S(A) è tale che ω = aω1 + bω2 Allora se B ∈ A+ : con a, b ∈ [0, 1] e a + b = 1 (ω − aω1 )(B) ≥ 0 cioè aω1 ≤ ω (nell’ordinamento determinato da A+ ) e quindi M ω := 1 1 ω ≥ ω1 =⇒ ϕ − ω = bω 2 M (il primo termine è positivo) con b = ||ϕ − 1 ω||. M Ne segue che ϕ = aω + bω 0 (con a = 1/M ). Abbiamo quindi dimostrato il lemma, il cui enunciato è infatti equivalente al seguente ω ∈ P(A) ⇐⇒ l’unico stato dominato da ω è ω qed Possiamo ulteriormente parafrasare il lemma precedente nella ω ∈ P(A) ⇐⇒ Cω = {ω} 450 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni 12.2.18 Proposizione Se A è commutativa allora P(A) = σ(A). Dimostrazione: Notiamo che ϕ(A∗ A) = ϕ(A)∗ ϕ(A) = |ϕ(A)|2 ≥ 0 cioè, se ϕ ∈ σ(A) allora ϕ ∈ P(A). Se viceversa ω ∈ S(A) abbiamo una misura µω tale che Z b ω(A) = A(ϕ)dµ ω (ϕ) σ(A) Supponendo che µω sia concentrata in un punto vogliamo dedurre che ω è uno stato puro; ma se ω << ω 0 allora per ogni insieme ∆ µω -misurabile abbiamo che µω0 (∆) ≤ M µω (∆) e quindi supp µω0 ⊂ supp µω che è un punto. Ma µω0 è una misura positiva (normalizzata), quindi è una misura di Dirac. qed Ricordiamo che nel caso di una C*-algebra commutativa A avevamo la decomposizione dei funzionali f = f1 + if2 in funzionali hermitiani, con associata decomposizione di misure positive supportate su insiemi disgiunti dµfj = dµfj + − dµfj − e dunque fj = fj+ − fj− e ||fj || = ||fj+ || + ||fj− ||. 12.2.19 Proposizione Se A è una C*-algebra qualsiasi e f = f ∗ un funzionale allora esiste la decomposizione f = f+ − f− con f± ∈ A∗+ tale che ||f || = ||f+ || + ||f− ||. Dimostrazione: Se A ∈ A consideriamo il funzionale b :S(A) −→ C A ω 7−→ ω(A) (si tratta di una generalizzazione della trasformata di Gel’fand), che è uno *c∗ = A b∗ ed è continuo: |ω(A)| ≤ ||A||. omomorfismo: A 451 12.2. Stati e rappresentazioni La mappa f : Aaa −→ CR (S(A)) := {fS (A) −→ R | f continua} b A 7−→ A è un isomorfismo isometrico di spazi di Banach, dato che b = sup |ω(A)| = ||A|| ||A|| ω Dimostriamo in effetti che esiste un ω tale che |ω(A)| = ||A|| Se A := C ∗ hA, Ii ∼ = C(σ(A)) è la C*-algebra (commutativa) generata dall’operatore autoaggiunto A, dato che spr(A) = ||A|| (essendo autoaggiunto) i casi sono due: o ||A|| ∈ σ(A) oppure −||A|| ∈ σ(A). Ma in entrambi questi casi esiste uno stato su A che, calcolato in A, valga ||A|| oppure −||A||: estendendo questo stato ad A si ottiene ω. Ora torniamo a considerare la mappa f e consideriamone l’immagine X: per ogni f ∈ A∗ tale che f = f ∗ si ha che f (A) ∈ R se A = A∗ , cioè l’immagine fe di f in X ∗ è tale che fe(A) = f (A) e che ||fe|| = ||f ||. Allora, per il teorema di Hahn–Banach, fe ammette una estensione a CR (S(A))∗ e quindi esiste F ∈ CR (S(A))∗ tale che ³ ´ b = f (A) ||F || = ||fe|| = ||f || e F A Ad una tale F possiamo far corrispondere, mercé il teorema di Riesz–Markov, una misura reale µ tale che (tenendo conto del teorema precedente di decomposizione µ = µ+ − µ− , µ+ ⊥µ− ): Z Z Z F (g) = g(ω)dµ(ω) = g(ω)dµ+ (ω) − g(ω)dµ− (ω) := F+ (g) − F− (g) ove ||F+ || + ||F− || = ||F || (dato che µ+ ⊥µ− ). Dunque ³ ´ ³ ´ ³ ´ b = F+ A b − F− A b =: f+ (A) − f− (A) f (A) = F A con f± funzionali lineari positivi e ||f± || = f± (I) = Z g(ω)dµ± (ω) = ||F± || 452 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Quindi ||f || = ||F || = ||F+ || + ||F− || = ||f+ || + ||f− || Per concludere non resta che definire f± (A) := f± (A1 ) + if± (A2 ) qed 12.3 Il teorema di Gel’fand–Najmark–Segal Affrontiamo ora un argomento fondamentale ed affascinante: la costruzione di Gel’fand–Najmark–Segal (GNS). Consideriamo una C*-algebra qualsiasi A con unità I ed una sua rappresentazione (non degenere) π in uno spazio di Hilbert H: riordiamo esplicitamente che, dato che π è non degenere, abbiamo π(I) = I. Sia ora ξ ∈ H1 : ω(A) := ωξ ◦ π(A) = (ξ, π(A)ξ) è un funzionale lineare (lo è π) positivo: infatti ω(A∗ A) = (ξ, π(A)∗ π(A)ξ) = (π(A)ξ, π(A)ξ) = ||π(A)ξ||2 ≥ 0 Inoltre (||ξ|| = 1 e π(I) = I): ω(I) = ||ξ||2 = 1 Dunque ω ∈ S(A). In realtà possiamo dimostrare molto di più: 12.3.1 Teorema (Gel’fand–Najmark–Segal) Se A è una C*-algebra con unità I e ω ∈ S(A) esistono unici: • uno spazio di Hilbert Hω ; • una rappresentazione πω : A −→ B(Hω ) non degenere; • un vettore ξ ∈ Hω di norma 1: ||ξ|| = 1; tali che per ogni A ∈ A: (ξω , πω (A)ξω ) = ω(A) e πω (ξω ) = Hω (cioè ξω è ciclico per la rappresentazione πω ). 12.3. Il teorema di Gel’fand–Najmark–Segal 453 Dimostrazione: Prima di affrontare la dimostrazione del teorema, osserviamo che se al posto di πω consideriamo la rappresentazione πξ := πω |πω (A) allora la mappa πω 7−→ ω non cambia, e che l’unicità è data dalla ciclicità del vettore ξω . Dimostriamo per prima cosa l’unicità della tripla (Hω , πω , ξω ). Sia (H, π, ξ) un’altra tripla siffatta, e sia U0 l’operatore definito su π(A) e tale che ∀A ∈ A U0 π(A)ξ = πω (A)ξ (†) Basta dimostrare che (††) ||U0 π(A)ξ|| = ||πω (A)ξ|| per avere che U0 è ben definito ed isometrico. Ed infatti ||πω (A)ξ||2 = ω(A∗ A) = ||π(A)ξ||2 da cui segue (††). f0 ovunque Estendiamo a questo punto U0 in modo unico ad un operatore U definito (ciò è possibile per la ciclicità di ξ e ξω ). Osservando che U π(A)π(B)ξ = U π(AB)ξ = πω (A)U π(B)ξ ed usando la ciclicità di ξ e la (†) otteniamo U π(A) = πω (A)U e U ξ = ξω . Dunque la tripla (Hω , πω , ξω ) è unica a meno di equivalenze unitarie. Dimostriamo ora l’esistenza di una tale tripla: prima considereremo lo schema della dimostrazione, per passare poi nei dettagli. Sia ω ∈ S(A): allora su A∗ abbiamo la forma sesquilineare definita positiva (A, B) 7−→ ω(A∗ B) Questa forma induce, sul completamento dello spazio quoziente di A∗ modulo il sottospazio generato dai vettori che sono nel nucleo della forma, una struttura di spazio di Hilbert. Infatti, se consideriamo l’ideale sinistro Nω := {A ∈ A | ω(A∗ A) = 0} sullo spazio A/Nω abbiamo il prodotto scalare (A, B) := ω(A∗ B) 454 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Ma A/Nω è un A-modulo (dato che Nω è un ideale) per tramite della rappresentazione regolare π(A)B; = AB (Si noti che, se B 0 = B allora B − B 0 ∈ Nω e quindi A(B − B 0 ) ∈ Nω , da cui AB − AB 0 = 0). Dunque completando lo spazio A/Nω rispetto a questo prodotto scalare otteniamo uno spazio di Hilbert Hω sul quale possiamo estendere unicamente π(A) ad una rappresentazione πω (A). Considerando ξω = I abbiamo la terna (Hω , πω , ξω ) desiderata, dato che (ξω , πω (A)ξω ) = (I, A) = ω(A) Passiamo ora ai dettagli della dimostrazione: intanto dobbiamo verificare che Nω è un ideale sinistro: di certo lo è l’insieme Iω := {A ∈ A | ∀B ∈ A ω(BA) = 0} Dimostriamo che si tratta esattamente di Nω . Se A ∈ Iω allora, per B = A∗ si trova A ∈ Nω , i.e. Iω ⊂ NΩ . Viceversa: |ω(B ∗ A)| ≤ ω(B ∗ B)ω(A∗ A) il che dà l’inclusione opposta. Quindi Nω = Iω è un ideale sinistro. Verifichiamo ora che la posizione π(A)B := AB definisce effettivamente una rappresentazione (il che è ovvio) continua, cioè che ||π(A)B|| ≤ ||A|| ||B|| Questo segue dalla (AB, AB) ≤ ||A||2 (B, B) (†††) Dimostriamola: si ha (AB, AB) = ω((AB)∗ AB) ≤ ||A||2 ω(B ∗ B) ove la disuguaglianza vale in quanto ω((AB)∗ AB) = ω(B ∗ (A∗ A)B) ≤ ||A||2 ω(B ∗ B) (si rammenti che siamo in una C*-algebra: ||A∗ A|| = ||A||2 ). Dunque ||A|| ||B|| − ||π(A)B|| = ω(B ∗ C ∗ CB) = ω((CB)∗ CB) ≥ 0 12.3. Il teorema di Gel’fand–Najmark–Segal 455 ove C ∗ C = ||A||2 I − A∗ A. Quindi π(A) è un operatore lineare e continuo, ed inoltre ||π(A)|| ≤ ||A|| sicché, essendo definito su un sottoinsieme denso, π(A) si estende univocamente ad un πω (A) tale che ||πω (A)|| ≤ ||A|| Osserviamo inoltre che π(AB)C = (AB)C = A(BC) = π(A)π(B)C e quindi, dato che è vera sul sottoinsieme denso, vale la πω (AB) = πω (A)πω (B) Infine, dato che (C, πω (A∗ )B) = (C, A∗ B) = ω(C ∗ A∗ B) = ω((AC)∗ B) = (AC, B) = (πω (A)C, B) sempre per densità abbiamo (x, πω (A∗ )y)) = (x, πω (A)∗ y) Resta solo da osservare la ciclicità di ξω : ma questa segue immediatamente dalla densità di πω (A)ξω = A/Nω . qed Una conseguenza notevolissima di questo importante risultato è la possibilità di dimostrare che ogni C*-algebra ammette una rappresentazione fedele, cioè con nucleo 0. Consideriamo una C*-algebra A e A ∈ A: allora esiste uno stato ω ∈ S(A) tale che ω(A∗ A) = ||A||2 , quindi, applicando la costruzione GNS, otteniamo una famiglia di rappresentazioni {πω }ω∈S(A) mediante la quale possiamo definire la rappresentazione universale di A: M π b := πω ω∈S(A) Questa sarà la rappresentazione fedele della nostra C*-algebra: 456 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni 12.3.2 Teorema π b è una rappresentazione isometrica. Dimostrazione: Per ogni A ∈ A abbiamo: ||b π (A)|| = ||A|| Infatti πω è una contrazione (3.2.7) e quindi anche la somma diretta2 delle πω lo è: ||b π (A)|| ≤ ||A||; dunque ||b π (A)||2 = ||b π (A∗ A)|| = ||A∗ A|| = ||A||2 Ma ||b π (A)||2 = sup ||π(A)ξ||2 ||ξ||=1 Ora, se poniamo ( ξω ξω := 0 sulla ω-sima componente di π b sulle altre componenti di π b troviamo che ξω ω 0 = δωω0 ξω e quindi (b π (A)ξω )(ω 0 ) = δωω0 πω (A)ξω pertanto (ξω , π(A)ξω ) = ω(A) Ne segue che ||b π (A)ξω ||2 = ω(A∗ A) = ||A||2 cioè ||b π (A)||2 = sup ||π(A)ξ||2 ≥ 0 ||ξ||=1 il che finalmente ci dà la tesi: ||b π (A)|| = ||A||. qed Osserviamo che la costruzione della rappresentazione universale è canonica, nel senso che non dipende che da proprietà naturali della C*-algebra: tuttavia esistono altre costruzioni che, sebbene non canoniche, sono più semplici da utilizzare. 2 Basti osservare che ogni rappresentazione di una C*-algebra è una contrazione. 12.3. Il teorema di Gel’fand–Najmark–Segal 457 12.3.3 Teorema (Segal) Se A ⊂ B sono C*-algebre con la stessa unità I allora ogni stato puro di A si estende unicamente ad uno stato puro di B. Dimostrazione: Consideriamo, fissato un ω ∈ P(A): Cω := {ω 0 ∈ S(B) | ω 0 |A = ω} Ovviamente Cω ⊂ S(B); inoltre Cω è un convesso, dato che ∀A ∈ A (aω 0 + bω 00 )(A) = ω(A) (con a + b = 1) e Cω è l’intersezione di S(B) con l’insieme \ {f ∈ B ∗ | f (A) = ω(A)} A∈A che è *-debolmente chiuso: dunque Cω pure è *-debolmente chiuso e quindi *debolmente compatto (dato che lo è S(B)). Allora il teorema di Krejn–Millman garantisce l’esistenza di punti estremali in Cω . Sia ω b in tale estremale: dato che ω è uno stato puro, ω b è estremale anche in S(B): se infatti ω b = aω 0 + bω 00 (con ω 0 , ω 00 ∈ S(B) e ab 6= 0) allora |Eo0 , ω 00 ∈ Cω , dato che (aω 0 + bω 00 )|A = ω(A) := ω b |A = a + ω 0 |A + bω 00 |A Ma ω è puro e quindi ω 0 |A = ω 00 |A = ω cioè ω 0 , ω 00 ∈ Cω . Dall’estremalità di ω b segue allora che ω 0 = ω 00 . qed Prima di dimostrare il teorema di Segal che caratterizza gli stati puri come quelli associati alle rappresentazioni irriducibili per tramite della rappresentazione GNS svolgiamo alcune osservazioni. Ora consideriamo A separabile e quindi scegliamo {An } ⊂ A densa e {ωn } successione di stati puri tali che ωn (A∗n An ) = ||An ||2 Allora π := M π ωn n è tale che ||π(A)||2 = ||A||2 e lo spazio Hω della rappresentazione GNS è separabile, visto che contiene la successione densa {π(An )ξ}: dunque la rappresentazione GNS è fedele in uno spazio di Hilbert separabile. 458 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Se f ∈ A∗ allora esistono x, y tali che f (A) = (x, π b(A)y) (∗) Infatti f = f1 + if2 = a1 ω1 + ... + a4 ω4 (con fi hermitiani e ω ∈ S(A)); allora, per x := 4 X ξωk e y := k=1 4 X ak ξωk k=1 si ha la (*): in effetti, per ogni ω ∈ S(A): δωω0 ω(A) = (ξω , π b(A)ξω ) 12.3.4 Teorema (Segal) Uno stato ω è puro se e solo se la rappresentazione GNS associata πω è irriducibile. Dimostrazione: Dimostriamo che, posto Cω = {ϕ ∈ S(A) | ϕ ¿ ω} allora ω ∈ P(A) ⇐⇒ Cω = {ω} Ma π è irriducibile se e solo se π(A) = C · I (lemma di Schur 12.1.8) cioè π(A)0+ = R+ · I, che è vero se e solo se {T ∈ πω (A)0+ | (ξω , T ξω ) = 1} = {I} Dunque ci basta far vedere che ∀ω ∈ S(A) Cω ≈ D := {T ∈ πω (A)0+ | (ξω , T ξω ) = 1} ove ≈ indica un isomorfismo di insiemi convessi. Dunque sia T ∈ D; allora la mappa T 7−→ ϕT ove ϕT (A) = (T ξω , πω (A)ξω ), è un funzionale lineare continuo su A, ed è (a) positivo e (b) ϕT << ω. Per T positivo abbiamo T = B ∗ B, con B ∈ πω (A)0 e quindi πT (A∗ A) =(B ∗ Bξω , πω (A)∗ πω (A)ξω ) = (πω (A)Bξω , Bπω (A)ξω ) = ||Bπω (A)ξω ||2 ≥ 0 Dunque la (a); la (b) segue da ||Bπω (A)ξω ||2 ≤ ||B||2 ||πω (A)ξω ||2 = ||T ||ω(A∗ A) 12.3. Il teorema di Gel’fand–Najmark–Segal 459 La mappa T 7−→ ϕT è inoltre convessa, quindi, per concludere, dobbiamo solo mostrare che è biunivoca. Ma, se ξ è un vettore ciclico per πω (A) allora ξ è separante per πω (A)0 e quindi, se ϕT1 = ϕT2 allora ∀A ∈ A ((T1 − T2 )ξ, πω (A)ξ) = 0 i.e. (T1 −T2 )ξ⊥πω (A)ξ e, per ciclicità: (T1 −T2 )ξ = 0. Un tale vettore è certamente ξω : quindi possiamo dedurre T1 = T2 . Sia infine ϕ ∈ Cω ; dimostriamo che esiste T ∈ D tale che ϕ = ϕT . Ma il funzionale di due variabili {πω (A)ξω (B)ξω } := ϕ(A∗ B) è sesquilineare e ben definito: infatti ϕ << ω, quindi se ω(A ∗ A) = 0 allora ϕ(A∗ A) = 0; per A = B si trova {πω (A)ξω (A)ξω } ≤ M ω(A∗ A) = M ||πω (A)ξω ||2 (ove ϕ(A∗ A) ≤ M ω(A∗ A)). Quindi, per il teorema di rappresentazione di Riesz, esiste un unico operatore lineare positivo T con ||T || ≤ M tale che {πω (A)ξω (B)ξω } := ϕ(A∗ B) = (πω (A)ξω , T πω (B)ξω ) Per A = B = I si ha ovviamente 1 = (ξω , T ξω ). Infine T ∈ π(A)0 , dato che ϕ(A∗ CB) = ϕ((C ∗ A)∗ B) e quindi (πω (A)ξω , T πω (C)πω (B)ξω ) = (πω (CA)ξω , T πω (B)ξω ) qed Si noti che l’operatore T considerato nella dimostrazione del teorema si comporta come una “derivata di Radon–Nikodym” della ϕT . Si osservi inoltre che se π è una rappresentazione irriducibile di una C*algebra allora π ∼ = πω . Se A ⊂ B (con la stessa unità I) allora si può estendere ω ad uno stato puro di B: infatti ω è puro per irriducibilità di π (il teorema appena dimostrato) e quindi è estendibile a B; si consideri poi la rappresentazione GNS associata a questo stato esteso ω b in B. Allora Hω ,→ Hωb , dato che b ∀B ∈ A (ξωb , πωb (B)ξωb ) = ω b (B) = ω(B) Cioè πωb |A è una rappresentazione (di A) che ristretta al sottospazio ciclico generato da ξωb è ciclica per A ed induce lo stato ω: insomma, ritroviamo πω . 460 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Consideriamo ora la rappresentazione universale π b; se f ∈ A∗ allora f (A) =< g, π b(A) ove g ∈ M0 ⊂ B(Hπb )∗ . Sia A è una *-sottoalgebra di B(H) e se U = M|A ⊂ A∗ (funzionali lineari ultradebolmente continui): allora uf 12.3.5 Teorema U ∗ ∼ =A . uf Dimostrazione: Consideriamo R = A ; la mappa di restrizione R∗ −→ U: f 7−→ f |A è un isomorfismo isometrico di spazi di Banach: ||f |A || = ||f || Per dimostrarlo basta applicare il teorema di densità di Kaplanski 11.4.2 ((A)1 = A1 ): ||fA || = sup |f (A)| = sup |f (A)| = sup |f (A)| = ||f || A∈A1 A∈A1 A∈(A)1 qed Si noti che se A è non degenere allora U ∼ = A via la mappa che a F associa TF tale che f (TF ) = F (f ) ∗ 00 (teorema di rappresentazione di Riesz). Allora π(A)00 ∼ = Uπ∗ , ove Uπ∗ ⊂ A∗ è il sottospazio dei funzionali lineari ultradebolmente continui in π: Uπ∗ := {f ◦ π | f ∈ M ⊂ B(Hπ )∗ } Infatti, se g ∈ A∗ allora π(A) 7−→ g(A) è ben definita (ker π ⊂ ker g) ed è ultradebolmente continua dunque, per il teorema di Hahn–Banach, estendibile a B(Hπ ). Quindi, per tramite della mappa F 7−→ T tale che F (fx,y ◦ π) = x (T y) otteniamo Uπ∗ ∼ = π(A)00 . Le osservazioni precedenti implicano Uπb ∼ = A∗ : 12.3.6 Definizione L’algebra di von Neumann inviluppante di una C*-algebra A è π b(A)00 . Si noti che, come spazi di Banach: π b(A)00 ∼ = A∗∗ . 12.3. Il teorema di Gel’fand–Najmark–Segal 461 Se π è una rappresentazione ciclica di A allora π ≤ π b: infatti se ξ è il vettore ciclico e ω(A) =: (ξ, π(A)ξ) si ha (teorema GNS) π ∼ b. = πω ≤ π Quindi Lemma. Ogni rappresentazione di una C*-algebra ha una sottorappresentazione ciclica equivalente ad una sottorappresentazione della rappresentazione universale: ∀π π ¿ π b 12.3.7 Teorema Se Z(b π (A)00 ) = π b(A)00 ∩ π b(A)0 , allora gli idempotenti autoaggiunti di Z(b π (A)00 ) sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni di A in modo che π ≈ π 0 ⇐⇒ Z(π) = Z(π 0 ) π << π 0 ⇐⇒ Z(π) ≤ Z(π 0 ) π ◦p π 0 ⇐⇒ Z(π)Z(π 0 ) = 0 Dimostrazione: Come noto, se π1 ¿ π2 allora esiste uno *-omomorfismo normale ρ : π2 (A)00 −→ π1 (A)00 tale che ρ ◦ π1 = π2 (In realtà questa è una caratterizzazione delle relazione di quasi-inclusione, ma questo non l’abbiamo dimostrato). Quindi, per il lemma, l’algebra di von Neumann inviluppante è tale che, per ogni rappresentazione π esiste uno *-omomorfismo normale ρπ : π b(A)00 −→ π(A)00 tale che ρπ ◦ π b=π Il nucleo di ρπ è un ideale ultradebolmente chiuso, quindi (come segue dalla proposizione 11.4.5) esiste un proiettore F ∈ Z(b π (A)00 ); ponendo Z(π) = (I − F ) si ottengono le relazioni dell’enunciato. qed Osserviamo che, se ω è lo stato ω(A) = (x, π b(A)x) ove x = ξbω e x(ω 0 ) = δωω0 ξω , pre B ⊂ B(H) non degenere e ω = ωx |B esiste Eω ∈ B 00 più piccolo idempotente autoaggiunto di B00 che contenga x: 462 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni 12.3.8 Proposizione Eω = EB0 x . Dimostrazione: Si ha intanto Eω ∈ B 00 e Eω x = x (in quanto B è non degenere) e quindi, se F = F ∗ = F 2 ∈ B00 è tale che Fx = x allora, per ogni T ∈ B 0 : x ∈ FH ⇒ Tx = TFx = FTx ∈ FH i.e. B 0 x ⊂ F H, onde E ≤ F . qed In altri termini, per ogni ω abbiamo identificato un idempotente autoaggiunto Eω dell’algebra di von Neumann inviluppante Eω = Eπb(A)0 ξωb che è il più piccolo idempotente autoaggiunto di A∗∗ contenente ξbω . Ma F ∈ A∗∗ se e solo se F ξbω = ξbω i.e. (ξωb , F ξωb ) = 1 12.3.9 Proposizione ω b (F ) = 1 e quindi Eω è il più piccolo idempotente autoaggiunto F di A∗∗ = π b(A)00 tale che ω(F ) = 1, cioè che F (ω) = 1. Dimostrazione: Se B ∈ π b(A)00 e ω ∈ S(A) allora ∀A (ξbω , π b(A)ξbω ) = ω(A) e la mappa fξcω ,ξcω : B(Hπb ) −→ C determinata da fξcω ,ξcω (T ) = (ξωb , T ξωb ) è debolmente continua e tale che fξcω ,ξcω |πe(A)00 sia l’unica estensione debolmente continua del funzionale π b(A) 7−→ ω(A); se chiamiamo ω e questa estensione allora ω e (T ) = T (ω). qed 12.3.10 Definizione La probabilità di transizione da uno stato ϕ a uno stato ω è Pϕ,ω := ω e (Pω ) = Pω (ϕ) 463 12.4. Stati puri e rappresentazioni irriducibili 12.4 Stati puri e rappresentazioni irriducibili Rammentiamo ora due fatti noti che utilizzeremo in forma di lemmi nella dimostrazione del prossimo risultato: 12.4.1 Lemma • Se A ⊂ B(H) è una *-sottoalgebra, R := A+ e f ∈ R∗ allora la mappa f 7−→ f |A è una isometria. • Inoltre se π1 , π2 sono rappresentazioni disgiunte di A allora f f f (π1 ⊕ π2 )(A) = π1 (A) ⊕ π2 (A) 12.4.2 Teorema (Glimm–Kadison) Se ω, ϕ ∈ S(A) sono stati tali che ||ω − ϕ|| < 2 allora le rappresentazioni πω e πϕ non possono essere disgiunte. Dimostrazione: Dimostriamo per assurdo che, se πω ◦p πϕ allora ||ω − ϕ|| = 2 (infatti si ha sempre ||ω − ϕ|| ≤ ||ω|| + ||ϕ|| = 2). Ma sappiamo che πω ◦p πϕ equivale alla (2) del lemma, quindi I ⊕ (−I) ∈ f f πω (A) ⊕ πϕ (A) è limite forte di elementi di π(A) := πω (A) ⊕ πϕ (A). Inoltre, per la (1) del lemma, se ξ = ξω ⊕ 0 e η = 0 ⊕ ξϕ allora ω(A) = (ξ, π(A)ξ) e ϕ(A) = (η, π(A)η) sicché ||ω − ϕ|| = ||(fξ,ξ − fη,η ) ◦ π|| = ||(fξ,ξ − fη,η )|π(A)00 || (dato che π(A1 ) = π(A)1 e per il teorema di Kaplanski 11.4.2). Ma se πω ◦p πϕ allora (tenendo presente che fξ,ξ (I ⊕ 0) = fη,η (0 ⊕ −I) = 1): ||(fξ,ξ − fη,η )|π(A)00 || ≥< fξ,ξ − fη,η |I ⊕ (−I) >= 2 cioè ||ω − ϕ|| ≥ 2. qed 464 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Consideriamo ora ω = ωx (ove ||x|| = 1) e Pω ∈ R tale che ^ ^ Pω = {P ∈ R | P x = x} = {P ∈ R | ω(P ) = 1} = ER0 x Se inoltre allora Hω = {B ∈ R | ω(B ∗ B) = 0} = R(I − Pω ) ω(B ∗ B) = 0 ⇐⇒ BPω = 0 Infatti ω(B ∗ B) = 0 ⇐⇒ Bx = 0 ⇐⇒ ∀T ∈R0 T Bx = 0 ⇐⇒ B(T x) = 0 ⇐⇒ B|R0 x = 0 che, per la definizione di Pω , equivale a BPω = 0, cioè a B(I −Pω ) = B, e quindi a B ∈ R(I − Pω ). Osserviamo inoltre che, identificando gli spazi di Banach A∗∗ e π b(A)00 : ω e (T ) = (ξbω , T ξbω ) = (η, T η) = T (ω) 12.4.3 Definizione Il supporto di uno stato ω ∈ S(A) è l’elemento Pω ∈ A∗∗ idempotente autoaggiunto tale che ω e (Pω ) = 1 = Pω (ω) e che sia minimale rispetto a tale proprietà. 12.4.4 Proposizione Se ϕ, ω ∈ S(A): • Pϕ,ω = 0 ⇐⇒ Pω,ϕ = 0 ⇐⇒ Pω ⊥Pϕ . • Pϕ,ω = 1 ⇐⇒ Pϕ ≤ Pω . Dimostrazione: Per (1) basta osservare che ϕ(B e ∗ B) = 0 ⇐⇒ BPϕ = 0. La (2) segue dalle equivalenze: Pϕ,ω = 1 ⇐⇒ ϕ(P e ω ) = 1 ⇐⇒ ϕ(I e − Pω ) = 0 ⇐⇒ I − Pω ⊥Pϕ ⇐⇒ Pϕ ≤ Pω qed 12.4.5 Teorema Se Cω := {ψ ∈ S(A) | ψ << ω} allora • Pϕ,ω = 1 ⇐⇒ ϕ ∈ Cω • ∀ω ∈ P(A) ||.|| (chiusura in norma) Pϕ,ω = 1 ⇐⇒ ϕ = ω Dimostrazione: Se Pϕ,ω = 1 allora 1 = ϕ(P e ω ) = (ξbϕ , Pω ξbϕ ) e quindi ξbϕ ∈ π (A)0 π b(A)0 ξbϕ . Ne segue che ξbϕ è limite in norma di una successione Tn ξbω con Tn ∈b tali che ||Tn ξbω || = 1. 465 12.4. Stati puri e rappresentazioni irriducibili Ora la stessa dimostrazione del teorema di Segal ci permette di concludere che, se b(A)Tn ξbω ) ϕn (A) := (Tn ξbω , π allora ϕ << ω, sicché, se ||xn || = 1 convergono a x in norma allora ||ωxn − ωx || −→ 0 =⇒ ||ωxn ◦ π − ωx ◦ π|||to0 ||.|| b, col che abbiamo dimostrato che ϕ ∈ Cω . Ma ϕ − ϕn = (ωξcω − ωTn ξcω ) ◦ π Viceversa, sia ψ∈Cω : allora esiste R con R∗ R = T tale che ψ(A) = (Rξω , π(A)Rξω ) (per il teorema di Segal); ma si ha pure (†) ψ(A) = (B ξbω , π b(A)B ξbω ) per qualche B ∈ π b(A)0 . Infatti π b = ⊕ω πω e quindi I= X Eω con Eω ∈ π b(A)0 ω Allora basta porre B = R ◦ Eω per avere ´ ³ b(A)Rξω π b(A)B ξbω (ω 0 ) = δωω0 π e quindi la (†); da questa segue che e ω ) = (B ξbω , Pω B ξbω ) = 1 ψ(P b ove B ξbω ∈ π b(A)0 ξbω ⊂ Pω H. Dunque ψ << ω, cioè Pψ,ω = 1. Ma se questo è vero per un certo insieme di stati, vale anche per la sua chiusura: infatti se ψn ⊂ S ⊂ S(A) converge a ψ e Pψn ,ω = 1 allora Pψ,ω = 1. Per rendersene conto basta osservare che e | Eo)| ≤ ||ψen − ψ|| ||Pω || |ψen (Pω ) − ψ(P Ma ||ψn − ψ|| −→ 0 e quindi, per il teorema di Kaplanski: fn − ψ|| e = ||ψ^ ||ψ n − ψ|| = ||ψn − ψ|| −→ 0 Con ciò abbiamo che se ψ << ϕ allora Pψ,ω = 1 per gli elementi di un certo insieme di stati, questa proprietà vale sulla sua chiusura: nel caso di Cω otteniamo la tesi. qed 466 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni 12.4.6 Proposizione Se ω ∈ P(A) allora ½ ¾ (ξ, π b (A)ξ) b | ∀A ω(A) = b \ (0) = ξ ∈ H Pω H ||ξ|| b1 (||ξ|| = 1) e se Dimostrazione: Se ξ ∈ H ∀A ω(A) = (ξ, π b(A)ξ) allora, per il teorema di Segal, ξ = T ξbω ove T ∈ π b(A)0 è unitario e quindi si estende ad una isometria parziale B di π b(A)0 . qed Se π1 , π2 sono rappresentazioni irriducibili, definiamo l’insieme dei loro stati vettoriali come Vπi := {ωx ◦ πi | x ∈ Hπi e ||x|| = 1} 12.4.7 Lemma Se π1 ∼ = π2 allora Vπ1 = Vπ2 , mentre se π1  π2 allora Vπ1 ∩ Vπ2 = ∅. Dimostrazione: Se Vπ1 ∩ Vπ2 6= ∅ allora esiste un ϕ ∈ Vπ1 ∩ Vπ2 ed esistono x1 ∈ H1 e x2 ∈ H2 tali che ∀A ∈ A (x1 , π1 (A)x1 ) = (x2 , π2 (A)x2 ) Per unicità della rappresentazione GNS deve quindi esistere un operatore di allacciamento fra π1 e π2 e quindi, dato che le rappresentazioni sono irriducibili, per il Lemma di Schur 12.1.8, si ha π1 ∼ = π2 . ∼ Viceversa, sia π − 1 = π2 : esista cioè un operatore di allacciamento unitario fra π1 e π2 , i.e. ∀A ∈ A (x, π1 (A)x) = (U x, π2 (A)x) Allora {U x}x∈(Hpi1 )1 = (Hπ2 )1 e quindi Vπ1 = Vπ2 . qed Osserviamo inoltre che se x ∈ (Hπ )1 allora ωx ◦ π non può essere iniettiva, dato che (ωx ◦ π)(A) = (x, π(A)x). Ne segue che 12.4.8 Lemma Se π è una rappresentazione irriducibile, allora la x 7−→ ωx π (per ||x|| = 1) è iniettiva vista come mappa definita sullo spazio proiettivo associato allo spazio di Hilbert Hπ (lo spazio dei sottospazi vettoriali di dimensione uno di Hπ ). 12.4. Stati puri e rappresentazioni irriducibili 467 12.4.9 Teorema Se ω, ϕ ∈ P(A) sono stati puri allora ( 0 se πϕ  πω Pω,ϕ = |(ξ, η)|2 se πϕ ∼ = πω Dimostrazione: Dato che si tratta di stati puri, le rappresentazioni GNS associate a ω e ϕ sono irriducibili, quindi o sono equivalenti o sono disgiunte: in questo secondo caso Pϕ,ω = 0. Infatti πω ◦p πϕ se e solo se (πω , πϕ ) = 0, il che equivale a dire Hϕ ⊥b π (A)0 Hω . Ma allora ξbϕ ⊥b π (A)0 ξbω π (A)0 ξbϕ che, a sua volta, è equivalente a Pϕ ⊥Pω . cioè π b(A)0 ξbω ⊥b Supponiamo ora che piϕ ∼ = πω ed osserviamo che Pϕ,ω = ϕ(P e ω ) = (ξbϕ , Pω ξbϕ ) b ove Ma Pω ∈ π(A)00 e ξbϕ ∈ Eϕ H, (Eϕ x)(ω) = δω,ϕ x(ϕ) pertanto, Eϕ ∈ π b(A). Quindi ϕ(P e ω ) = (Eϕ ξbϕ , Pω ξbω ) = (ξbϕ , Pω Eϕ ξbω ) = (ξϕ , Pω Eϕ ξω ) (dato che Eϕ Pω = EHϕ ∩ πb(A)0 ξω ). Ma per la purezza degli stati possiamo usare la proposizione 12.4.6, dunque ω(A) = (ξ, π b(A)ξ) ||ξ|| Dunque Pω Eϕ = E{ξ∈Hϕ | ∀A (ξ,π(A)ξ)=ω(A)||ξ||}∪{0} ove {ξ ∈ Hϕ | ∀A (ξ, π(A)ξ) = ω(A)||ξ||} ∪ {0} ha ovviamente dimensione 1. Quindi se ξ è l’unico vettore di modulo 1 definito a meno di un fattore complesso di modulo 1 tale che (ξ, πϕ (A)ξ) = ω(A): ECξ x = (ξ, x)ξ dunque (ξϕ , ECξ ξϕ ) = (ξ, ξϕ )(ξϕ , ξ) 468 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Ora supponiamo che le rappresentazioni πϕ e πω siano equivalenti ad una stessa rappresentazione π, per mezzo di un operatore unitario U ∈ (πϕ , πω ); allora ϕ = ωη ◦ π ω = ωξ ◦ π e con ||η|| = ||ξ|| = 1, e quindi esiste z ∈ C tale che U ξϕ = zη MaU PCξϕ U −1 = PCη (proiettore) e U Gω Hϕ = Cξ ove U Gω U −1 = PCξ . Ne segue che Pϕ,ω =(ξϕ , Gω ξϕ ) = (U ξϕ , U Gω ξϕ ) = z(η, U Gω U −1 U ξϕ ) = z(η, PCξ zη) cioè che Pϕ,ω = |(η, ξ)|2 = Pω,ϕ qed Se Gϕ e Gω sono le proiezioni di rango 1 in B(Hπ ) corrispondenti agli stati ϕ e ω allora Pϕ,ω = tr(Gϕ Gω ) Inoltre, considerando che πϕ = π b|Eϕ Hb e Eϕ ∈ π b(A)0 : Gϕ = Pϕ |Eϕ Hb = π fϕ (Pϕ ) (rappresentazione estesa all’algebra di von Neumann inviluppante). Osserviamo esplicitamente che se T ∈ π b(A)00 allora T |Eϕ = π fϕ (T ) con Eϕ ∈ π b(A)0 (avendosi T = limα Tα =limα π b(Aα ), con Tα ∈ π b(A)). Possiamo ripetere questa costruzione per ogni rappresentazione irriducibile (che è sempre della forma πψ per qualche stato vettoriale ψ), dato che in questo caso la rappresentazione è equivalente a πϕ ∼ = πω e quindi P] ω Pϕ = Gω Gϕ tr π e(Pω πϕ ) = Pϕ,ω e 12.4.10 Lemma Se ω ∈ Conv P(A) allora3 allora esistono {λj } ⊂ C e {ωj } ⊂ P(A) tali che X ω= λj ωj j ove ωi ⊥ωj ( ⇐⇒ Pωi ,ωj = 0). 3 Ricordiamo che per il teorema di Krejn–Millman 8.3.10 un tale stato è combinazione convessa di un numero finito o numerabile di stati puri. 12.4. Stati puri e rappresentazioni irriducibili 469 P Dimostrazione: Consideriamo ω = j αj ϕj : possiamo supporre che gli ϕj siano stati vettoriali relativi alla medesima rappresentazione (altrimenti basta riscrivere la somma raggruppando gli stati relativi a rappresentazioni equivalenti). Se ϕj (A) = tr(π(A)Ej ) (ove Ej = ECξj ) allora ω = tr(π(A)T ) P per T = j αj Ej (operatori di rango finito). Possiamo diagonalizzare T usando il teorema spettrale: X T = λj Pj j in modo che i 6= j ⇒ Pj ⊥Pj , da cui 1 = tr T = X λj j (dato che λj ≥ 0 la combinazione è convessa) e quindi concludere che X ω= λj tr(π(A))Pj j qed 12.4.11 Teorema Se ω, ϕ ∈ S(A) con ϕ⊥ω allora ∀a, b > 0 a + b = 1 ⇒ Paω+bϕ = Pω + Pϕ Dimostrazione: Sia P := Pω + Pϕ : si ratta di un idempotente autoaggiunto in A∗∗ . Se ψ := aω + bϕ allora ψ(P ) = 1 e P è minimale rispetto a questa proprietà, i.e. è il supporto di ψ. Ora dimostriamo che ψe = ae ω + bϕ e Infatti e ) =< T |ψ >= a < T |ω > +b < T |ϕ >= ae ψ(T ω (T ) + bϕ(T e ) sicché e ) = ae ψ(P ω (P ) + bϕ(P e ) = ae ω (Pω + Pϕ ) + bϕ(P e ω + pϕ ) = a + b = 1 Ora Paω+bϕ ≤ P (per definizione di supporto), quindi, dato che aω + bϕ = ψ e dunque ω << ψ, ϕ << ψ: Pω ≤ Pψ e Pϕ ≤ Pψ =⇒ P = Pω + Pϕ ≤ Pψ ≤ P cioè la nostra tesi. qed 470 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni P 12.4.12 Corollario P ω = j Pωj . P Se ϕ, ω ∈ S(A) e se ω ∈ Conv P(A), per il lemma precedente è ω = j λj ωj con i 6= j ⇒ ωi ⊥ωj , quindi à ! X X X Pϕ,ω = ϕ(P e ω) = ϕ e Pωj = Pϕ,ωj ϕ(P e ωj ) = j Se inoltre ϕ = P k j P µk ϕk , si ha ϕ e = k µk ϕ ek e dunque X X Pϕ,ω = µk ϕ ek (Pωj ) = µk Pϕk ,ωj k j,k 12.4.13 Teorema Se ω, ϕ ∈ P(A) allora Pω,ϕ = 1 − 14 ||ϕ − ω||2 . Dimostrazione: Se πω  πϕ allora (per irriducibilità) πϕ ◦p πω e quindi ||ω−ϕ|| = 2 (teorema di Glimm–Kadison 12.4.2), per cui 1 Pω,ϕ = 0 = 1 − 22 4 banalmente. Dunque sia πω ∼ = πϕ , col che ω = ωξ ◦ π, ϕ = ωη ◦ π e ||(ωξ − ωη ) ◦ π|| = ||ωξ − ωη || (per i teoremi di densità di von Neumann e Kaplanski). Consideriamo ora M = Cξ + Cη; se M = EH si trova ||ωξ − ωη || = ||(ωξ − ωη )|EB(H)E || (ξ e η sono linearmente indipendenti dato che Pω,ϕ = 1). Quindi EB(H)E = M2 (C) (matrici complesse di ordine due), e, considerando le normalizzazioni e1 e e2 degli elementi ξ + η e ξ − η (che formano una base): ξ + η = a1 e1 e η − ξ = a2 e2 ovvero ϑ ϑ ξ = cos e1 + sin e2 2 2 ϑ ϑ η = cos e1 − sin e2 2 2 12.4. Stati puri e rappresentazioni irriducibili 471 (ϑ è l’angolo fra ξ e η) si trova ωξ − ωη ∈ S(M2 (C)), dunque |(ωx i − ωη )(B)| = max |(ωx i − ωη )(B)| sup B∈SL2 (C) cioè esiste B1 ∈ M2 (C) tale che (ωξ − ωη )(B1 ) = ||ωξ − ωη || (†) Ma allora B1∗ pure soddisfa la (†) (ωξ − ωη è un funzionale hermitiano) e quindi anche 12 (B1 + B1∗ ) la soddisfa. In altri termini, possiamo supporre che B1 sia autoaggiunto; ora se J(a1 e1 + a2 e2 ) := a1 e1 + a2 e2 allora Jξ = ξ e Jη = η e quindi anche JBJ soddisfa la (†). Consideriamo allora 12 (B1 +JB1 J) e notiamo che ¶ ¶ µ µ 1 0 1 0 η=ξ ξ=η e 0 −1 0 −1 ¶ µ 1 0 allora4 Dunque, se σ3 = 0 −1 ωξ (σ3 B1 σ3 ) = ωη (B1 ) ωη (σ3 B1 σ3 ) = ωξ (B1 ) sicché (ωξ − ωη )(σ3 B1 σ3 ) = −||ωξ − ωη || e la matrice 1 A := (B1 − σ3 B1 σ3 ) 2 è reale (A = A), autoaggiunta di norma 1 e tale che (ωξ − ωη )(A) = ||ωξ − ωη || Notiamo inoltre che Aσ3 + σ3 A = 0. Ma esiste un’unica matrice siffatta in M2 (C), vale a dire ¶ µ 1 0 A= 0 1 dunque (ωx i − ωη )(A) fornisce la tesi. qed 4 Si tratta di una notazione dovuta a Pauli. 472 12.5 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Rappresentazioni di operatori compatti Come esempio notevole consideriamo l’algebra K(H) degli operatori compatti su uno spazio di Hilbert separabile H (di dimensione infinita, altrimenti K(H) = B(H)). K è una C*-algebra priva di elemento identità: possiamo tuttavia aggiungere a K una unità I ottenendo K ⊕ CI. 12.5.1 Teorema I soli ideali bilateri chiusi in norma della C*-algebra B(H) sono: (0), B(H) e K(H). Dimostrazione: Supponiamo che esista un ideale bilatero chiuso J tale che K ( J ( B(H) J è uno *-ideale (per la decomposizione polare: T = |T |V , sicché V ∗ T V ∗ = |T |V ∗ = T ∗ ), quindi se T ∈ J anche T ∗ T ∈ J. Ora consideriamo T ∈ J \ K; per definizione T non è compatto, quindi non lo è neanche T ∗ T (altrimenti lo sarebbe |T | e pertanto anche V |T | = T ), dunque Eσ = χ[ε,||T ||2 ] (T ∗ T ) non può avere rango finito, sicché ||T ∗ T (I − Eε )|| ≤ ε da cui segue che T ∗ T è limite di operatori di rango finito e quindi è compatto. Deve perciò esistere un ε > 0 tale che Eε non abbia rango finito, sebbene Eε ∈ J, dato che, considerando la funzione ( 0 se λ < ε f (λ) := −1 λ se λ ≥ ε per il calcolo funzionale boreliano f (T ∗ T )T ∗ T ∈J, essendo T ∗ T ∈J e J un ideale. Ma se esiste un tale ε allora pure esiste una isometria da H sull’immagine di Eε (per separabilità di H) in modo che Eε = V V ∗ e Eε V = V ove V ∗ V = I e quindi V ∗ V = (Eε V )∗ Eε V = V ∗ Eε V , ovvero Eε ∈ J, da cui segue I ∈ J e, per linearità e continuità di V : J = B(H). Ora supponiamo che esista un ideale J tale che (0) ) J ) K 473 12.5. Rappresentazioni di operatori compatti Allora J deve contenere un idempotente autoaggiunto E (non zero) contenuto in J (per lo stesso argomento del caso precedente). Ma allora per ogni F idempotente di rango 1 contenuto in E si ha F E = F i.e. F ∈ J. Quindi J contiene un proiettore di rango 1, il che implica che in realtà li contiene tutti: se Cξ = F (H) allora, per ogni η ∈ H considerando l’operatore Tξη ξ := ξ si ha T F T ∗ = ECη . Ma gli operatori di rango finito sono densi in quelli compatti e quindi, dato che l’ideale è chiuso, deve aversi J = K. qed 12.5.2 Corollario L’algebra A := B(H)/K è semplice. Chiamiamo algebra di Calkin l’algebra B(H)/K; inoltre introduciamo la notazione |ηihξ| per l’operatore Tξη ξ := ξ nella dimostrazione precedente. 12.5.3 Teorema Se π è una rappresentazione non degenere di K allora M π= πα α∈A ove le πα sono rappresentazioni equivalenti alla rappresentazione identica π0 (A) = A. Dimostrazione: Se T ∈ K \ 0 allora π(T ) 6= 0 (perché il nucleo di π è un ideale bilatero chiuso in norma) e consideriamo un E ∈ K idempotente autoaggiunto di rango 1 (dim EH = 1), per cui E = ECx0 = |x0 ihx0 | con ||x0 || = 1, e, per ogni T : ET E = (x0 , T x0 )E cioè Ex = (x0 , x)x0 . Ma F := π(E) 6= 0 è un idempotente autoaggiunto (lo è E) tale che F Hπ è ciclico per π: infatti, se cosı̀ non fosse, il sottospazio ⊥ π(K)F (Hπ ) sarebbe stabile e quindi π = π|π(K)F (H ⊥ π) π(E)0 = π(E)|π(K)F (H 6= 0 diverrebbe degenere: ⊥ π) = F |π(K)F (H π) ⊥ =0 474 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Quindi F Hπ è ciclico. Questo implica la tesi. Infatti π(ET E) = π(E)π(T )π(E) || || ω0 (T )F = F π(T )F ove ω0 (T ) := (x0 , T x0 ). Se (eα )α∈A è una base ortonormale di F Hπ allora (si noti che eα = F eα e F = F ∗ ): (eα , π(T )eβ ) =(eα , F π(T )F eβ ) = ω0 (T )(eα , F eβ ) =ω0 (T )(eα , eβ ) = ω0 (T )δαβ cioè π(T )Hα ⊥π(T )Hβ se α 6= β, che implica π(K)Hα ⊥π(K)Hβ . Ne segue che, per Mα := π(K)eα si trova α 6= β ⇒ Mα ⊥Mβ e M Mα = Hπ α∈A (per ciclicità di F Hπ ) ove (eα , π(T )eα ) = ω0 (T ), e dunque π|Mα ∼ = π0 . qed Sia ora π b la rappresentazione universale dell’algebra degli operatori compatti K: sappiamo che M π b= π0 α∈A Ci chiediamo come sia fatta l’algebra di von Neumann inviluppante, notando immediatamente che, per la decomposizione precedente, π(K)00 = π(K00 ) = π(B(H)) (questo vale anche nel caso di una somma più che numerabile). Ma sappiamo anche che K∗ = {fx,y ◦ π b} = M = M0 dato che la f 7−→ f |K è una isometria di spazi di Banach, e quindi K∗∗ = M∗ = B(H) Conclusione: l’algebra inviluppante di von Neumann di K è proprio B(H). 12.5.4 Teorema Se H è uno spazio di Hilbert separabile e π è una rappresentazione di B(H) allora π = π1 ⊕ π2 ove π1 è una rappresentazione singolare (i.e. π1 (K) = 0) e π2 = ⊕α∈A π0 . 12.5. Rappresentazioni di operatori compatti 475 Dimostrazione: Consideriamo la decomposizione ortogonale H=N ⊕M ove π(K)N = 0 e π(K)(M ) = M = π(K)Hπ . Questa decomposizione è stabile rispetto alle rappresentazioni di B(H), dato che, se K ∈ K e x ∈ M : π(A)π(K)x = π(AK)x ∈ M (π(AK) ∈ K C B(H)). Dunque M è stabile e quindi anche N = M ⊥ lo è; quindi π = π1 ⊕ π2 ove, per definizione, π1 |K = 0 ed esiste un unitario U ∈ (⊕α∈A π0 , π2 ). Infatti AK ∈ K per ogni A ∈ B(H), sicché U π2 (AK) =U π2 (A)π2 (K) = (⊕π0 ) (A) (⊕π0 ) (K)U = (⊕π0 ) (A)U π2 (K) cioè (U π2 (A) − π e(A))U = 0. qed 12.5.5 Esempio Consideriamo lo spazio di Hilbert L2 [0, 1] (con la misura di Lebesgue) e l’operatore di moltiplicazione: (T f )(s) := sf Allora se A := C ∗ hT, Ii = C[0, 1] alla mappa s 7−→ ϕs (f (T )) = f (s) corrisponde uno stato puro ω (teorema di Segal) di B(H) tale che ω|A = ϕs Dunque πω è irriducibile, se πω (T )ξω = sξω 12.5.6 Definizione Se A è una C*-algebra, uno *-isomorfismo suriettivo di A in sé si dice isomorfismo di A; l’insieme degli automorfismi di A si denota Aut(A). 476 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Ovviamente Aut(A) è un gruppo rispetto alla composizione; si tratta inoltre di un gruppo topologico5 : se A ∈ A e α ∈ Aut(A) si ha per definizione ||α(A)|| = ||A|| quindi su Aut(A) resta indotta la topologia uniforme (cioè della norma) rispetto alla quale il prodotto è per definizione continuo. Notiamo che, ovviamente, se dim A < ∞ allora Aut(A) è un gruppo di Lie di matrici6 . Vogliamo ora determinare Aut(B(H)) 12.5.7 Lemma Una C*-algebra con identità I è la chiusura dello spazio dei suoi elementi unitari. Dimostrazione: Osserviamo che per ogni A ∈ A: A = A1 + iA2 e quindi possiamo limitarci agli autoaggiunti con norma ≤ 1; ma se A ∈ A è un tale elemento allora, per √ U := A + i I − A2 si trova U ∗ U = U U ∗ = I e 1 A = (U + U ∗ ) 2 Quindi gli unitari generano A. qed 12.5.8 Teorema Aut(B(H)) = U(H)/T. Dimostrazione: Sia α ∈ Aut(B(H)); allora la mappa A 7−→ α(A) definisce una rappresentazione di B(H) irriducibile che è diversa da zero su K, e quindi, per il teorema precedente, esiste U ∈ U(H) tale che α(A) = U AU −1 . Abbiamo quindi che gli unici automorfismi di B(H) sono quelli interni, ovvero quelli della forma A 7−→ U AU −1 ove U ∈ U(H). Ma U e U 0 inducono lo stesso automorfismo se e solo se esiste un z ∈ C con |z| = 1 tale che U 0 = zU ; quindi la tesi. qed 5 6 Nel capitolo ?? discuteremo questo importante concetto. cfr. i capitoli ?? e ??. 12.5. Rappresentazioni di operatori compatti 477 12.5.9 Definizione Una funzione α : A −→ A che sia moltiplicativa (α(AB) = α(A)α(B)), biunivoca e *-antilineare si dice antiautomorfismo di A. 12.5.10 Esempio In B(H), considerando una base ortonormale (en ) di H, la mappa X X J ci ei ci ei := i i definisce una mappa antilineare di H in sé; di più, dato che J 2 = I, si dice antiunitario. Allora la mappa A 7−→ JAJ −1 è un elemento antiunitario in B(H). Inoltre A 7−→ Jα(A)J −1 è un automorfismo, dato che Jα(A)J −1 = U AU −1 e quindi α(A) = JU A(JU )−1 Cioè, ogni antiautomorfismo è indotto da un operatore antiunitario. 12.5.11 Teorema Sia V ∈ B(H); allora sono equivalenti le • V è una isometria parziale. • V ∗ V è idempotente. • V ∗ è una isometria parziale. Dimostrazione: (1) equivale a dire che l’operatore V |(ker V )⊥ è isometrico; considerando allora M := (ker V )⊥ e x ∈ M si ha ||V x||2 = ||x||2 cioè, (per polarizzazione), ∀x, y ∈ M (V x, V y) = (x, y) il che significa che y − V ∗ V y ∈ M ⊥ = ker V . Ma allora per ogni x ∈ ker V : (x, y − V ∗ V y) = 0 dunque y − V ∗ V y⊥M, M ⊥ , ovvero y − V ∗ V y = 0. 478 Capitolo 12. Teoria delle rappresentazioni Se y ∈ M ⊥ allora 0 = V ∗ V y, sicché V ∗ V è la proiezione ortogonale su M , quindi idempotente. Questo dimostra che (1) implica (2). Viceversa, se (V ∗ V )2 = V ∗ V allora per x ∈ V ∗ V K = M con V ∗ V x = x si ha (x, V ∗ V x) = ||x||, i.e. (2) implica (1). Infine (1) implica (3): infatti basta far vedere che V ∗ V è idempotente. Ma (V V ∗ )2 = V (V ∗ V )V ∗ = V EM V ∗ = V ∗ V (dato che V EM x = V x = V Ex + V (I − E)x, e quindi V E = V ). qed Capitolo 13 OPERATORI NON LIMITATI La teoria degli operatori limitati negli spazi di Hilbert è soddisfacente per molti versi, ma non cattura diversi esempi che sono pervasivi nella Fisica Matematica: gli operatori differenziali. Per studiare questa classe di operatori si possono introdurre degli spazi di Hilbert opportuni nei quali questi sono definiti o si debbono considerare gli operatori non limitati e densamente definiti in uno spazio di Hilbert qualsiasi. Privilegiamo il secondo approccio, basato sulla teoria delle estensioni degli operatori hermitiani, dovuta a von Neumann. 13.1 Chiusura di operatori Consideriamo due spazi vettoriali X e Y ed un operatore lineare T : X −→ Y definito su un sottoinsieme D(T ) = Dom T ⊂ X (il suo dominio); ricordiamo che abbiamo anche gli insiemi nucleo ker T = {x ∈ D(T ) | T x = 0} = T −1 (0) (che si denota tradizionalmente anche con N (T )) e immagine im T = {T x | x ∈ D(T )} (che si denota tradizionalmente con R(T ) perché talvolta è chiamato rango dell’operatore T ). Infine abbiamo il grafico dell’operatore T : GT := {x ⊕ T x | x ∈ D(T )} ⊂ X ⊕ Y Osserviamo che non ogni sottoinsieme di X ⊕ Y è il grafico di un operatore. 13.1.1 Definizione Se T1 , T2 : X −→ Y sono operatori tali che D(T1 ) ⊂ D(T2 ) e se T2 |D(T1 ) = T1 si dice che T2 estende T1 , e si scrive T1 ⊂ T2 . 479 480 Capitolo 13. Operatori non limitati Evidentemente T1 ⊂ T2 ⇐⇒ GT1 ⊂ GT2 Osserviamo inoltre che GT determina completamente T : infatti se G è un grafico di un operatore, possiamo intanto ricostruire il dominio dell’operatore, come D = PX G (ove PX : X ⊕ Y −→ X e PY : X ⊕ Y −→ Y sono le proiezioni sui due fattori). Osserviamo che G è il grafico di un operatore se e solo se ∀x ∈ G PX z = 0 ⇐⇒ z = 0 Questo implica che PX |G è lineare e biunivoca, quindi possiamo porre T := PY ◦ (PX |G )−1 Per definizione GT = G. Ovviamente T è invertibile (i.e. esiste T −1 ) se e solo se N (T ) = 0 e D(T −1 ) = R(T ). Siano ora X e Y spazi di Banach. 13.1.2 Definizione Un operatore T : X −→ Y è chiuso se lo è il suo grafico come sottospazio di Banach in X ⊕ Y . Un operatore è chiuso se e solo se per ogni {xn } ⊂ D(T ) convergente a x ∈ X tale che {Tn x} converga a y ∈ Y si ha x ∈ D(T ) e y = T x. 13.1.3 Definizione Se GT è ancora il grafico di un operatore, si dice che T è chiudibile; inoltre, se GT = GT si dice che T è la chiusura di T . Ovviamente T è chiudibile se e solo se esiste un T chiuso che lo estenda: in effetti T si può definire come il più piccolo (rispetto alla relazione di estendibilità) operatore chiuso che estenda T . Possiamo riformulare il teorema del grafo chiuso 6.5.12 come Teorema (del grafico chiuso). Se T : X −→ Y è un opeatore chiuso fra spazi di Banach allora D(T ) è chiuso ⇐⇒ T è continuo 13.1. Chiusura di operatori 481 In effetti la condizione di convergenza enunciata nel teorema del grafo chiuso 6.5.121 si riduce alla chiusura di D(T ). Dunque T è chiudibile se e solo se la chiusura GT è il grafico di un operatore se e solo se ∀ 0 ⊕ y ∈ GT y = 0. In altri termini, T è chiudibile se e solo se ∃{xn } ⊂ D(T ) xn −→ 0 e T xn −→ y =⇒ y = 0 Tuttavia si noti che l’essere T chiuso non implica che sia necessariamente continuo. Quello che possiamo dire è che T lineare e chiuso ⇒ N (T ) chiuso Infatti N (T ) = {x ⊕ 0 | x ∈ N (T )} = GT ∩ (X ⊕ 0). Inoltre T lineare, chiuso e invertibile ⇒ T −1 chiuso dato che GT −1 = {T x ⊕ x | x ∈ D(T )} = U GT , con U (x ⊕ y) := y ⊕ x (si tratta di un isomorfismo). Consideriamo ora operatori lineari A; H −→ H in uno spazio di Hilbert, tali che D(A) sia denso in H. Possiamo definire l’aggiunto di A come ∀y ∈ D(A) D(A∗ ) := {x ∈ H | y 7−→ (x, Ay) è continua} Quindi, per ogni y ∈ D(A), esiste un unico A∗ x ∈ H tale che (A∗ x, t) = (x, Ay) Osserviamo che GA∗ = {x ⊕ x∗ | ∀y ∈ D(A) (x∗ , y − (x, Ay) = 0} 1 Richiamiamone la dimostrazione, che poggia sul teorema della mappa aperta (cfr. 6.5.10). Sia D(T ) chiuso; allora PX |GT è biunivoco, lineare e continuo da GT in D(T ) e, per il teorema −1 della mappa aperta, PX |G pure è continuo, quindi anche PY ◦ PX |−1 GT lo è, e, per quanto visto, T è esattamente T . Viceversa, se T è continuo, allora definiamo su D(T ) una norma come |||x||| := ||x ⊕ T x|| che lo rende uno spazio di Banach (questo è sempre vero). Ma ||x|| ≤ |||x||| = ||x ⊕ T x|| ≤ ||x|| + ||T x|| ≤ ||x|| + ||T || ||x|| (per continuità di T ). Ne segue che D(T ) è completo in X, quindi è un sottospazio chiuso. 482 e che, se Capitolo 13. Operatori non limitati (x ⊕ x∗ , (−Ay) ⊕ y) := (x∗ , y) − (x, Ay) allora GA∗ = (V GA )⊥ ove è l’isomorfismo unitario V (x ⊕ y) := (−y) ⊕ x (V 2 = −I). Evidentemente, dato che D(A) è denso, A∗ è chiuso. 13.1.4 Teorema (von Neumann) Se A : H −→ H è un operatore lineare densamente definito allora DA∗ è denso se e solo se A è chiudibile. In questo caso A = A∗∗ . Dimostrazione: Supponiamo che A sia chiudibile: allora GA ∩ (0 ⊕ H) = 0. Ma ⊥⊥ ⊥⊥ ⊥ GA = G⊥⊥ A = −GA = V (V GA ) = V (V GA ⊥) dato che V 2 = −I e V M ⊥ = U M ⊥ (essendo V unitario). Dunque A è chiudibile ⊥ se e solo se V (V G⊥ A ) ∩ (0 ⊕ H) = 0 cioè ⊥ (V G⊥ A ) ∩ (H ⊕ 0) = 0 Ma V G⊥ A = GA∗ , quindi x ⊕ 0⊥GA∗ ⇒ x = 0 e dunque D(A∗ ) è denso. Viceversa se D(A∗ ) è denso allora GA∗∗ = G⊥⊥ A = GA . qed 13.1.5 Lemma Se A : H −→ H è un operatore lineare, le seguenti condizioni sono equivalenti: • ∀x ∈ D(A) (x, Ax) ∈ R. • ∀x, y ∈ D(A) (x, Ay) = (Ax, y). • A ⊂ A∗ . Dimostrazione: La (2) implica la (3) per definizione; la (3) implica la (1) dato che (x, Ax) = (Ax, x) = (x, Ax) La (1) implica la (2) perché, se (x, Ax) ∈ R allora (Ax, x) = (x, Ax) e quindi, per polarizzazione (x, Ay) = (Ax, y) qed 13.1. Chiusura di operatori 483 Notiamo che la (2) non implica che A = A∗ se A non è limitato. 13.1.6 Definizione Un operatore lineare A : H −→ H è hermitiano se è densamente definito e se vale una delle condizioni equivalenti del lemma. Notiamo che se A è hermitiano allora è chiudibile (in quanto estendibile dall’operatore chiuso A∗ ) e quindi A∗∗ = A. Notiamo inoltre che T ⊂ R implica R∗ ⊂ T ∗ ; quindi A ⊂ A∗ implica A∗∗ ⊂ ∗ A , dunque A ⊂ A∗ , cioè A∗∗∗ = A∗ Quindi la chiusura di un operatore hermitiano è hermitiano. 13.1.7 Definizione A : H −→ H è autoaggiunto se A = A∗ . Per quanto detto è chiaro che se A autoaggiunto allora è hermitiano, mentre non vale il viceversa. Se A ⊂ B sono hermitiani allora B ∗ ⊂ A∗ e quindi A ⊂ B ⊂ B ∗ ⊂ A∗ : “estendere” A vuol dire quindi “ridurre la distanza fra A e A∗ ”, per cui se A = A∗ allora A è hermitiano massimale (cioè non ha altre estensioni se non se stesso). Ovviamente non vale il viceversa. 13.1.8 Teorema (von Neumann) Se T è un operatore lineare chiuso densamente definito allora T ∗ T è autoaggiunto Dimostrazione: Basta dimostrare che I +T ∗ T è autoaggiunto: per questo basta dimostrare che I + T T ∗ è densamente definito e che R(I + T ∗ T ) = H. Infatti, per ogni x ∈ D(I + T ∗ T ): (x, (I + T ∗ T )x) = (x, x) + (T x, T x) ≥ (x, x) ≥ 0 (essendo T chiuso). Quindi I + T ∗ T è hermitiano. Ma, se R(I +T ∗ T ) = H allora vi è definito (I +T ∗ T )−1 , che è una contrazione: infatti abbiamo appena visto come (x, (I + T ∗ T )x) ≥ 0 e quindi ||x||2 = (x, x) ≤ (x, (I + T ∗ T )x) ≤ ||x|| ||(I + T ∗ T )x|| cioè ||x|| ≤ ||I + T ∗ T ||. Per questo basta dimostrare che R(I + T ∗ T ) = H per avere la tesi 2 . 2 Un argomento alternativo è il seguente: se A ⊂ A∗ è biunivoco e R(A) = H allora A = A∗ . 484 Capitolo 13. Operatori non limitati Dunque dimostriamo questa identità. Per ipotesi GT è chiuso, quindi GT + V GT ∗ = GT + (GT )⊥ = H ⊕ H da cui x ⊕ 0 = (x1 + ⊕T x1 ) + V (x2 ⊕ T ∗ x2 ) = (x1 − T ∗ x2 ) ⊕ (T x1 + x2 ) pertanto x2 = −T x1 x = x1 − T ∗ x2 = (I + T ∗ T )(x2 ) e (si noti che x1 ∈ D(T ) e quindi x2 ∈ D(T ∗ T )). Non resta allora che da mostrare che D(T ∗ T ) è denso: ma se esistesse un x0 ⊥D(T ∗ T ) allora ∃x1 ∈ D(T ∗ T ) x0 = (I + T ∗ T )(x1 ) quindi (x0 , x1 ) = 0 il che è assurdo (infatti (x1 , x1 ) ≤ ((I + T ∗ T )x1 , x1 ) = 0). qed Si noti il 13.1.9 Corollario T ∗ T è densamente definito. Possiamo ora discutere il teorema di decomposizione polare per operatori non limitati: come nel caso limitato proviamo prima a definire la radice quadrata di un operatore autoaggiunto positivo. 13.1.10 Lemma B = B ∗ (non necessariamente limitato) è positivo se e solo se Z B = λdE(λ) ⇒ ∀λ < 0 E(λ) = 0 Dimostrazione: Per ogni λ∈R− , se x∈DB allora E(λ)x∈DB quindi, definendo y = E(λ)x: Z (y, By) = 0 0 Z λ λ d(y, E(λ )y) = −∞ λ0 d(y, E(λ0 )y) ≤ λ(y, y) (osservando che, se λ1 , λ2 ≥ λ allora (E(λ1 )−E(λ2 ))y = E(λ1 )E(λ) = E(λ2 )E(λ) > 0). Quindi, per λ < 0, (y, By) ≤ λ(y, y) se e solo se y = 0. qed 485 13.1. Chiusura di operatori Quindi, per ogni operatore B autoaggiunto positivo esiste un unico operatore Z ∞ √ 1 B := λ 2 dE(λ) 0 √ la cui famiglia spettrale è G(λ) = E(λ2 ) (l’unicità di B segue da quella della famiglia spettrale). Osserviamo inoltre che DB ⊂ D√B : infatti Z ∞ x ∈ D√B ⇐⇒ λ2 d(x, G(λ)x) < ∞ 0 Z e x ∈ DB ⇐⇒ ∞ Z λ d(x, E(λ)x) < ∞ ⇒ 2 0 ∞ √ λd(x, G( λ)x) < ∞ 0 13.1.11 Teorema (Decomposizione polare) Se A è un operatore lineare chiuso e densamente definito su uno spazio di Hilbert H allora esistono unici H e V operatori tali che H = H ∗ è positivo e V è una isometria parziale e che A=VH ove N (AH) = N (V ) = N (A). Dimostrazione: Consideriamo un operatore lineare A densamente definito su uno spazio di Hilbert H, chiuso (A = A); per il teorema di Von Neumann 13.1.8 A∗ A è un operatore positivo autoaggiunto, quindi possiamo definire √ H = A∗ A (quindi DA∗ A ⊂ DH ). Ora, se x ∈ DA∗ A allora ||Ax|| = ||Hx||, dato che (Ax, Ax) = (x, A∗ Ax) = (x, H 2 x) = (Hx, Hx) = ||Hx|| Ora utilizziamo il seguente lemma Lemma. L’insieme {x ⊕ Ax | x ∈ DA∗ A } è denso nel grafico di A. Possiamo quindi affermare che ∀x ∈ DA = DH ||Ax|| = ||Hx|| e definire una isometria su HDA = HDH : V (Hx) := Ax 486 Capitolo 13. Operatori non limitati (si tratta di una isometria perché ||Ax|| = ||Hx||), la cui chiusura è una isometria parziale: N (V )⊥ = R(V ∗ V ) = R(H) = N (H)⊥ (essendo H = H ∗ ). Ne segue che H è chiuso e V è una isometria parziale: N (V ) = N (H) Ma N (H) = N (A) (sempre perché ||Hx|| = ||Ax||) e quindi, per definizione di V: V Hx = Ax i.e. A = V H. Che la decomposizione V H sia unica si dimostra come al solito: se A = H 0 V 0 con N (H 0 ) = N (V 0 ) = N (A), H 0 = H 0∗ , H 0 ≥ 0 e V è una isometria parziale, allora3 (V 0 H 0 )A0∗ = H 0 V 0∗ e A∗ A = H 0 (V 0∗ V 0 )H 0 = H 02 √ sicché H 0 = A∗ A = H e, dato che A = V 0 H = V H allora V 0 = V (perché questa identità è valida su un sottospazio denso e sul nucleo N ). Per concludere non resta che dimostrare il lemma. Ovviamente {x ⊕ Ax | x ∈ DA∗ A } ⊂ GA (GA è il grafico di A). Ma A = A, quindi GA è uno spazio di Hilbert; per avere la tesi basta dimostrare che, come sottospazio di Hilbert di GA : {x ⊕ Az}⊥ = 0 vale a dire che se z ∈ GA e, per ogni x ∈ DA∗ A : (z, x + Ax) = 0 allora z = 0. Infatti z = y + Ay (con y ∈ DA ) e quindi (y + Ay, x + Ax) = (y, x) + (Ay, Ax) = (y, x) + (y, A∗ Ax) = (y, (I + A∗ A)x) Ma, (I + A∗ A)x descrive, al variare di x ∈ DA∗ A l’intero H. qed 3 Se B ∈ B(H) e T è un operatore qualsiasi in H allora (BT )∗ = T ∗ B ∗ . Infatti D(BT )∗ = {x ∈ H | y 7−→ (x, BT y) è continua su DT } (si noti che DT = DB perché B è limitato). Ma (x, BT y) = (B ∗ x, T y) (sempre perché B è limitato) i.e. B ∗ x ∈ DT ∗ e quindi D(BT )∗ = {x ∈ H | B ∗ x ∈ DT ∗ }. 487 13.2. Estendibilità di operatori 13.2 Estendibilità di operatori Consideriamo un operatore hermitiano densamente definito A.H −→ H: si ∗ ha A ⊂ A e ||(A + λI)x||2 = (Ax, Ax) + λ2 (x, x) + 2 Re(λ(x, Ax)) Quindi, per λ = ±i ((x, Ax) ∈ R): ||(A ± iI)x||2 = ||Ax||2 + ||x||2 = ||x ⊕ Ax||2 e le mappe (A + iI)x MMM MMM MMM M& S0 (A) ² x ⊕ Ax qq8 q q qqq qqq (A − iI)x sono isometrie. Quindi D± (A) := R(A ± iI) è immagine isometrica di GA , sicché D± (A) = D± (A) La S0 (A) si dice trasformata di Cayley 4 , ed è una isometria tale che D(S0 ) = D+ e R(§0 ) = D− e quindi tale che S0 (A) = S0 (A). Si noti che ⊥ H± := D± = R(A ± iI) cioè che H± = N ((A ± iI)∗ ) = N (A∗ ∓ iI) Ma H± , D(A) ⊂ D(A∗ ) (z ∈ H± ⇐⇒ z ∈ D(A∗ ) e A∗ z = ±iz): gli interi n± := dim H± si dicono indici di difetto di A. Abbiamo dunque D(S0 ) = R(A + iI) e quindi S0 := (A − iI)(A + iI)−1 4 Si tratta di una generalizzazione della funzione z 7−→ z+i z−i = eiα 7−→ cot α2 = z. 488 Capitolo 13. Operatori non limitati cioè S0 (A + iI)x = (A − iI)x = (A + iI)x − 2ix, da cui (I − S0 )(A + iI)x = 2ix ⇒ (A + iI)x = 2i(I − S0 )−1 x col che R(I − S0 ) = D(A) (che è denso) e N (I − S0 ) = 0 (in quanto (I − S0 )z = 0 implica 2ix = 0, vale a dire z := (A + iI)x = 0). In definitiva, esiste un (I − S0 )−1 densamente definito tale che ∀x ∈ D(A) Ax = −ix + 2i(I − S0 )−1 x = −i(I − S0 )(I − S0 )−1 x + 2i(I − S0 )−1 x = i(I + S0 )(I − S0 )−1 x (dato che (I − S0 )(I − S0 )−1 x = x in D(A)), per cui ∀x ∈ D(A) Ax = i(I + S0 )(I − S0 )−1 x 13.2.1 Lemma Se A = A ⊂ A∗ allora S0 (A) = S0 (A) e D(S0 ) = D+ ; ponendo E := ED+ si ha quindi che S := S0 E è una isometria parziale. 13.2.2 Teorema Se A = A ⊂ A∗ allora D(A∗ ) = D(A)⊕H+ ⊕H− come somma diretta di spazi vettoriali (non di Hilbert). Dimostrazione: Se x ∈ D(A) e z± ∈ H± allora x + z+ + z− = 0 ⇒ x = z+ = z− = 0 Infatti H± , D(A) ⊂ D(A∗ ) e quindi (A∗ z = ±iz) 0 = (A∗ + iI)(x + z+ + z− ) = (A∗ + iI)x + 2iz+ = 0 ∈ D+ + H+ ⊥ Ma H+ = D+ , dunque abbiamo una somma di due vettori ortogonali che fa zero, pertanto i due vettori sono nulli e questo dimostra che z± e x sono linearmente indipendenti. Ora per avere il teorema basta dimostrare che D(A∗ ) ⊂ D(A) + H+ + H− Ricordando che z = (A + iI)x ∈ D(S0 ) e (I − S0 )(A + iI)x = 2ix e (A + iI)(I − S0 )x = 2iz 489 13.2. Estendibilità di operatori abbiamo che (I − S − 0) è inverso (bilatero) di (A + iI); ma D(A∗ ) = D((A + iI)∗ ) (in quanto, se B è continuo: D((A + B)∗ ) = D(A∗ )) e quindi y ∈ D((A + iI)∗ ) ⇐⇒ ∃y ∗ (y, (A + iI)(I − S0 )z) = (y ∗ , (I − S0 )z) Dato che (y, (A + iI)(I − S0 )z) = (y, 2iz), e che (usando il lemma) (y, z) =(−(2i)−1 y ∗ , (I − S0 )z) =: (y1 , (I − S0 )z) =(y1 , (I − S)z) troviamo y − (I − S)∗ y1 ∈ H+ e D(A∗ ) ⊂ H+ + R(I − S ∗ ). Ma (I − S)∗ = (I − SS ∗ ) + SS ∗ − S ∗ = (I − SS ∗ ) + (S − I)S ∗ e dunque (tenendo conto che R(A + B) ⊂ R(A) + R(B)): R(I − S)∗ ⊂R(I − SS ∗ ) + R((I − S)S ∗ ) = H− + R(I − S0 ) =H− + D(A) qed 13.2.3 Corollario Se A = A ⊂ A∗ allora A = A∗ se e solo se n+ = n− = 0. Il che equivale a dire A∗ z = ±iz ⇒ z = 0; inoltre n± (A) = n± (A) (dato che (D± (A) = D± (A)), e quindi ∗ 13.2.4 Corollario Se A ⊂ A∗ allora A = A se e solo se n+ = n− = 0. 13.2.5 Teorema La trasformata di Cayley è un isomorfismo suriettivo che preserva l’ordine (cioè A1 ⊂ A2 ⇐⇒ S0 (A1 ) ⊂ S0 (A2 )) fra {A | A = A ⊂ A∗ } e lo spazio delle isometrie chiuse S tali che R(I − S) è denso, e fra lo spazio degli autoaggiunti (A = A∗ ) e l’insieme degli operatori unitari U tali che R(I − U ) è denso (cioè N (I − U ) = 0). 490 Capitolo 13. Operatori non limitati Dimostrazione: Che A1 ⊂ A − 2 ⇐⇒ S0 (A1 ) ⊂ S0 (A2 ) è ovvio dalla definizione. Sia ora S una isometria tale che R(I − S) è denso: allora basta provare le • N (I − S0 ) = 0 • A := i(I + S0 )(I − S0 )−1 è densamente definito e A ⊂ A∗ . Per quel che riguarda (1), sappiamo che esiste S0 ⊂ S isometria parziale tale che N (I − S) ⊂ N (I − S) = R((I − S)∗ )⊥ ⊂ R((I − S)∗ |S )⊥ = R((I − S ∗ )S)⊥ = R(I − S0 )⊥ = 0 (per densità di R(I − S0 )). Il penultimo passaggio si giustifica osservando che (S è una isometria parziale) (I − S ∗ )S = S − S ∗ S = S(S ∗ S) − S ∗ S = (S − I)S ∗ S e quindi R((S − I)S ∗ S) = R(I − S0 ) (per chiusura di S0 ). Ne segue che N (I − S0 ) = 0. Per avere la (2) basta dimostrare che per ogni x ∈ D(A) (x, Ax) ∈ R, cioè che ∀x ∈ D(A) (x, i(I + S0 )(I − S0 )−1 x) ∈ R e dunque x = (I − S0 )z (z ∈ D(S0 ) per le ipotesi). Allora (x, Ax) = ((I − S0 )z, i(I + S0 )z) quindi ((I − S0 )z, i(I + S0 )z) = i((z, z) − (S0 z, S0 z) + (z, S0 z) − (S0 z, z)) = i((z, S0 z) − (z, S0 z)) ∈ R ((z, z) = 0 perché S0 è isometrico). qed Osserviamo che R(I − S0 ) è denso perché coincide con D(A); ma, per ogni S0 ⊂ S isometria si ha I − S0 ⊂ I − S e quindi I − S ha codominio denso: il teorema implica allora che in questo modo si ottengono tutte le estensioni isometriche di A. Se A ⊂ A∗ , S0 (A) ⊂ S0 e quindi S0 è una estensione isometrica, per cui esiste A0 ⊂ A0∗ tale che A ⊂ A0 . Se ne conclude che studiare le estensioni di A si riduce a studiare le estensioni isometriche degli operatori di Cayley. 13.2. Estendibilità di operatori 491 Se A = A allora S0 (A) : D+ −→ D− e quindi D+ ⊂ D(S0 ) è determinato da ⊥ D(S0 ) = D+ ⊕ (D+ ∩ D(S0 )) ⊥ ⊥ Ma D+ ∩ D(S0 ) ⊂ H+ e S0 (D+ ∩ D(S0 )) ⊂ H− . In effetti S0 è una isometria, quindi ||S0 x||2 = ||x||2 ⇐⇒ (S0 x, S0 y) = (x, y) (per polarizzazione) e, se x ∈ D+ , y ∈ H+ ∩ D(S0 ) si ha S0 y ∈ H− . Dunque 13.2.6 Corollario A ⊂ A∗ è hermitiano massimale (cioè inestendibile) se e solo se A = A e n+ (A) = 0 oppure n− (A) = 0. Osserviamo anche che se V : H+ −→ H− è una isometria allora S0 (z + z 0 ) := S0 (A)z + V z 0 pure è una isometria. 13.2.7 Teorema A ⊂ A∗ ammette una estensione autoaggiunta se e solo se n+ = n− . Dimostrazione: Se A possiede estensioni autoaggiunte allora sia B una di esse: S0 (A) ⊂ U := S0 (B) ove U è unitario (dato che B è autoaggiunto e R(B ± iI) = H) e U H+ = H− , per cui dim H− = dim H+ . Viceversa, se dim H+ = dim H− allora deve esistere una isometria V : H+ −→ H− per mezzo della quale ottenere l’estensione U (z + z 0 ) := S0 (A)z + V z 0 e B ⊂ B ∗ tale che n+ (B) = n− (B) = 0 e U = S0 (B); ovvero B = B ∗ . Quindi D(V ) = R(I − U ) = {x + (I − V )z | x ∈ D(A) e z ∈ H+ } Cioè B è tale che B(x + (I − V )z 0 ) = Ax + i(I + V )z 0 . qed Se n+ = n− = n allora le estensioni autoaggiunte sono parametrizzate dal gruppo unitario U (n). 492 Capitolo 13. Operatori non limitati 13.2.8 Proposizione R(I − U ) è denso se e solo se R(I − U )⊥ = 0 se e solo se 1 ∈ σp (U ). Dimostrazione: 1 ∈ / σp (U ) ⇐⇒ (I − U )−1 è limitato ⇐⇒ A = i(I + U )(I − U )−1 è autoaggiunto limitato. qed Cioè la trasformata di Cayley non solo pone in corrispondenza gli operatori autoaggiunti A con gli operatori unitari U tali che R(I − U ) è denso, ma anche pone in corrispondenza gli operatori autoaggiunti limitati con gli operatori unitari tali che 1 ∈ / σ(U ); in effetti l’inverso della trasformata di Cayley A = i(I + U )(I − U )−1 è ovunque definito, dunque è limitato (dato che è chiuso), se e solo se R(I −U ) = H, che equivale a 1 ∈ / σ(U ), essendo I − U chiuso e iniettivo. 13.2.9 Esempio Consideriamo l’operatore di shift su uno spazio di Hilbert (separabile): Sen = en+1 e S0 (A) = S; allora R(S) = {e1 }⊥ sicché S non è unitario; tuttavia è una trasformazione di Cayley. Intanto R(I − S) è denso, dato che R(I − S)⊥ = N (I − S ∗ ) = 0: infatti se S ∗ x = x allora x = 0. Ma S ∗ En+1 = en e quindi N (S ∗ ) = e1 : ( en−m se n > m S ∗m en = 0 se n ≤ m Dunque per ogni x = P n cn en (ove P n S ∗m x −−−−→ 0 m−→0 |cn |2 = ||x||) si ha fortemente e S ∗ x = x implica allora S ∗m = x; ma S ∗m −→ 0 e quindi x = 0. Gli indici di difetto sono 0 e 1. Notiamo che in questo caso A ⊂ A∗ e non ci sono sottospazi invarianti chiusi non banali per A: in effetti, se M fosse un tale sottospazio allora A(D(A) ∩ M ) ⊂ M e, se E = EM , avremmo ∀x ∈ D(A) Ex ∈ D(A) ovvero AEx = EAx, i.e. EA ⊂ AE, da cui S0 (A)E = ES0 (A). Quindi ES = SE, S ∗ E = ES ∗ , perciò E ∈ {0, I}, dato che l’algebra generata 493 13.2. Estendibilità di operatori da S e S ∗ è irriducibile e contiene gli operatori compatti. Contiene inoltre ECe1 = I − SS ∗ . Ma Sen = en+1 e quindi S(I − SS ∗ )S∗ = ECe2 Iterando il procedimento ne concludiamo che, per ogni n ∈ N ECen è generata da S e S ∗ e quindi S0 (A) = S è hermitiano massimale ed irriducibile (questa situazione è opposta al caso di un operatore autoaggiunto che, per il teorema spettrale, è “completamente riducibile”). Se in luogo di A si considera −A allora S0 (A) = S ha indici (1, 0). In realtà ogni operatore hermitiano massimale è somma diretta di un autoaggiunto e di un certo numero di operatori hermitiani che agiscono come l’operatore A (o −A) nell’esempio precedente. 13.2.10 Teorema (Wold) Se H è uno spazio di Hilbert e S una isometria di H allora S = U ⊕ (S0 ⊕ S0 ⊕ ...) ove U è un operatore unitario e S0 è l’operatore di shift. Lo spazio di Hilbert H si decompone quindi in somma diretta H = HU ⊕ (HS0 ⊕ HS0 ⊕ ...) ove S|HU è un operatore unitario di B(HU ) e gli HS0 sono isomorfi a l2 (N) con SHS0 operatori di shift. Dimostrazione: Si ponga HU := \ S nH n≥0 Evidentemente HU è un sottospazio chiuso S-invariante di H e S|HU ∈ U(HU ). Anche il sottospazio H0 := HU⊥ è S-invariante: se H0 6= 0 allora H0 + SH0 = H0 ∩ (SH0 )⊥ è non nullo, e [ H0 = S n (H0 + SH0 ) n≥0 Se {eα }α∈A è una base ortonormale in H0 + SH0 e se, per α ∈ A: HS0 := heα , Seα , S 2 eα , ...i è lo spazio di Hilbert (separabile!) generato dalla famiglia {S n eα }n≥0 allora possiamo identificarlo con l2 (N), per ogni α ∈ A, e S|HS−0 è un operatore di shift. L Ma H0 = α∈A HS0 e quindi H = HU ⊕ (HS0 ⊕ HS0 ⊕ ...) qed 494 Capitolo 13. Operatori non limitati 13.3 Un esempio: la derivata in L2 [0, 1] d Sia H = L2 [0, 1] rispetto alla misura di Lebesgue ds e A = i ds definito sul dominio D(0, 1) delle funzioni f assolutamente continue5 tali che f (0) = f (1) = 0. Allora (indichiamo le derivate con un apice) f 7−→ if 0 = Af è un operatore hermitiano, come si vede integrando per parti: (g, if 0 ) = (ig 0 , f ) e (A∗ x)s = ix0 (s) con D(A∗ ) = {x ∈ H | x0 ∈ H ∈ AC(0, 1)} Quindi A non è chiuso né A è autoaggiunto, dato che D(A∗∗ ) = {x ∈ AC[0, 1] | x0 ∈ H, x(0) = x(1) = 0} e dunque A∗∗ ) A∗ . Possiamo usare la teoria delle estensioni in questo caso semplice (che si potrebbe agevolmente trattare “a mano”: è un esercizio determinare le estensioni autoaggiunte di A senza ricorrere alla teoria che stiamo delineando). Determiniamo gli spazi H± le cui dimensioni danno gli indici di difetto: ad esempio, per identificare H+ dobbiamo considerare le soluzioni della A∗ x = ix Dato che x∈D(0, 1) allora x∈AC(0, 1) e quindi (Ax = ix) x0 ∈AC(0, 1); iterando questo ragionamento troviamo che x ∈ C ∞ (0, 1) e soddisfa l’equazione x0 = x: quindi x = ces , con c ∈ C; abbiamo cioè H± = {ce±s }c∈C e quindi gli indici di difetto sono (1, 1). Ora consideriamo le due funzioni √ 2 ϕ± := √ e±s ∈ H± 2 e −1 5 Ricordiamo che f è assolutamente continua (AC) se X X ∀ε > 0 ∃δ > 0 |si − ti | < δ ⇒ |f (si ) − f (ti )| < ε 13.3. Un esempio: la derivata in L2 [0, 1] 495 Dato che le uniche isometrie parziali V : H+ −→ H− sono le mappe ϕ+ 7−→ αϕ− con α ∈ C di modulo 1 (i.e. |α| = 1 si può considerare un elemento della circonferenza unitaria S 1 = T ⊂ C), per la corrispondenza fra isometrie parziali e estensioni autoaggiunte, ogni tale estensione H di A è della forma H = Aα = i d ds con dominio di definizione Dα := {f + zϕ+ + zαϕ− | f ∈ D(0, 1) z ∈ C} Si noti che questi domini sono: Dα = {f ∈ AC(0, 1) | f (1) = αf (0)} dato che, se f ∈ Dα : e dunque √ z 2(1 + αe) f (0) = √ e2 − 1 √ z 2(α + e) α+e f (1) = √ = f (0) = βf (0) 1 + αe e2 − 1 ¯ α+e ¯ ¯ = 1. Viceversa ogni tale funzione è un elemento di Dα . Dunque con |β| = ¯ 1+αe le estensioni autoaggiunte di A sono parametrizzate da T. 13.3.1 Esempio • Sia H = L2 (R, ds) e A=i d ds con DA = {x ∈ H | x ∈ AC(R), x0 ∈ H} Quindi A = A∗ eA∗ f = ±if , sicché f (s) = ce±s ∈ L2 )(R). • Se invece ci limitiamo alla semiretta H = L2 ([0, ∞), ds) e A0 = i d ds con DA0 = S(0, ∞) allora A∗0 = i d ds con DA∗0 = {x ∈ H | x ∈ AC[0, ∞), x0 ∈ H} 496 Capitolo 13. Operatori non limitati dunque A∗0 f = ±f i.e. f (s) = ce±s che appartiene a H se il segno è − ma non vi appartiene se il segno è +. Ora: A∗∗ 0 = i d ds con DA∗∗ = {x ∈ H | x ∈ AC[0, ∞), x0 ∈ H, x(0) = 0} 0 è un operatore hermitiano con indici (0, 1) ed è l’antitrasformata di Cayley dell’operatore di shift: S0 (A∗∗ 0 ) = S Se A = A∗∗ ⊂ A∗ è un operatore hermitiano chiuso densamente definito con indici (m, n) allora −A ha indici (n, m) e quindi A ⊕ (−A) ha indici (n+m, n+m), dunque possiede estensioni autoaggiunte. Ne concludiamo che, a meno di estendere lo spazio di Hilbert, possiamo dotare A di estensioni autoaggiunte. Se A = A∗ è densamente definito (e quindi esiste un operatore unitario U tale che 1 ∈ / σ(U ) allora, scrivendo la decomposizione spettrale di U : Z 2π eiϑ dF (ϑ) U= 0 ove la famiglia spettrale F è tale che s-lim F (ϑ) = 0 ϑ−→0 e s-lim F (ϑ) = I ϑ−→2π con F (0, 2π) = I. Notando che U = (A − iI)(A + iI)−1 A = i(I + U )(I − U )−1 e definendo E(λ) := F (ϑ(λ)) ove ϑ(λ) := −2 arctan λ = F (−2 arctan λ) si ha s-lim E(λ) = 0 λ−→−∞ Questa sarà la famiglia spettrale di A: e s-lim E(λ) = I λ−→∞ 13.3. Un esempio: la derivata in L2 [0, 1] 497 13.3.2 Teorema Se A = A∗ è densamente definito allora esiste un’unica famiglia spettrale E(λ) tale che valgano le Z ∞ • x ∈ DA ⇐⇒ λ2 d(x, E(λ)x) < ∞ −∞ Z • x ∈ DA ⇒ Ax = ∞ λdE(λ)x (ove l’integrale è alla Riemann–Stieltjes). −∞ Dimostrazione: (1) x ∈ DA se e solo se x ∈ R(I − U ) i.e. se esiste z ∈ H tale che x = (I − U )z; ma ¶2 Z ∞ Z 2π µ 1 + eiϑ 2 i λ d(x, E(λ)x) = d(x, F (ϑ)x) 1 − eiϑ −∞ 0 Dato che µ ¶2 µ ¶ ¶ µ 1+z (1 + z)(1 − z) 2 + (z + z − 2) + 2 4 i = = = −1 2 1−z (1 − z) 2 − (z + z) |1 − z|2 ci basta far vedere che esiste z tale che x(I − U )z se e solo se Z 2π 1 d(x, F (ϑ)x) < ∞ |1 − eiϑ |2 0 Ma se x = (I − U )z e se consideriamo, per 0 < ϑ1 < ϑ2 < ϑ: g12 (ϑ) := χ[ϑ1 ,ϑ2 ] (ϑ)(1 − eiϑ )−1 iϑ Rallora, se G12 (ϑ) = g12 (e ) (g12 è una funzione boreliana per definizione) e quindi g12 (ϑ)dF (ϑ) = G12 (U ), abbiamo Z 2π |g12 (ϑ)|2 d(x, E(λ)x) = ||G12 (U )x||2 0 Infatti, per definizione di g12 : G12 (U )(I − U ) = F (ϑ2 ) − F (ϑ1 ) quindi ||(F (ϑ2 ) − F (ϑ1 ))z||2 = (z, F (ϑ2 ) − F (ϑ − 2)z) −−−−→ (z, z) ϑ2 −→2π ϑ1 −→0 da cui Z 0 2π 1 d(x, F (ϑ)x) = (z, z) < ∞ |1 − eiϑ |2 498 Capitolo 13. Operatori non limitati (n) Viceversa, se vale questa disuguaglianza allora, se ϑ1 è una successione con(n) (n) (n) vergente a 0 e ϑ2 è una successione convergente a 2π, con 0 < ϑ1 < ϑ2 < ϑ: Z 2π 0 1 d(x, F (ϑ)x) = |1 − eiϑ |2 = Z lim (n) ϑ1 −→0 (n) ϑ2 −→2π ∞ Z X n=1 (n) (n−1) (n−1) (n) ϑ2 In (n) ϑ1 1 d(x, F (ϑ)x) |1 − eiϑ |2 1 d(x, F (ϑ)x) |1 − eiϑ |2 (n) ove In = [ϑ1 , ϑ1 ] ∪P[ϑ2 , ϑ2 ] e quindi In ∩ Im = ∅ (abbiamo inoltre tenuto ∞ presente che lim cn = n=1 (cn − cn−1 ). Dunque abbiamo che En := F (In ) sono proiettori a due a due ortogonali e, applicando ad essi (per tramite del calcolo funzionale boreliano) le funzioni Gn (eiϑ ) := χIn (ϑ)(1 − eiϑ )−1 otteniamo n 6= m ⇒ Gn (U )Gm (U )∗ = 0 e quindi Z (m) ϑ2 (m) ϑ1 cioè X 1 Gm (U )x dF (ϑ)x = |1 − eiϑ |2 n=1 m ¯¯2 ¯¯ ¯¯ ¯¯X XZ 1 ¯¯ ¯¯ Gm (U )x¯¯ = d(x, F (ϑ)x) < ∞ ¯¯ iϑ 2 ¯¯ ¯¯ m In |1 − e | n Sicché la serie sotto il segno di norma converge e quindi, poiché si tratta di una serie di vettori a due P a due ortogonali, per il criterio di Cauchy, converge anche la serie numerica m ||Gm (U )x||. Allora poniamo Z (n) ϑ2 z := lim n (n) ϑ1 1 dF (ϑ)x < ∞ |1 − eiϑ |2 ottenendo (I − U )z = x e quindi x ∈ DA . (2) Se x ∈ DA allora x = (I − U )z e Ax = i(I + U )z, sicché Z z= lim (n) ϑ1 −→0+ (n) ϑ2 −→2π − 0 2π 1 dF (ϑ)x 1 − eiϑ 499 13.4. Teoria delle perturbazioni Per continuità di i(I + U ) e dato che G12 (U )x = Ax = lim (n) ϑ1 −→0+ (n) ϑ2 −→2π − = 0 1 dF (ϑ)x 1−eiϑ si ha i(I + U )G12 (U )x Z ϑ2 lim (n) ϑ1 −→0+ (n) ϑ2 −→2π − R 2π ϑ1 1 + eiϑ i dF (ϑ)x = 1 − eiϑ Z λ2 λdE(λ)x lim λ1 −→−∞ λ−→∞ λ1 (per definizione di λ). Non resta quindi che da appurare l’unicità della famiglia spettrale: se G è un’altra famiglia allora Z λ2 λ−i Ux = dG(λ)x λ1 λ + i e, passando dai λ ai ϑ, G diviene una famiglia spettrale su T; ma la decomposizione spettrale di un operatore unitario è unica, dunque lo è E: F 0 (ϑ) := G(λ(ϑ)) = F (ϑ) ⇒ G(λ) = E(λ) qed 13.4 Teoria delle perturbazioni Ricordiamo che un operatore è estendibile se e solo se ha indici di difetto uguali: cerchiamo ora delle condizioni perché questa uguaglianza sia verificata. Cominciamo con il 13.4.1 Teorema (Criterio di von Neumann) Se A ⊂ A∗ è densamente definito e se esiste un operatore antiunitario V tale che V A = AV allora n+ (A) = n− (A). Dimostrazione: Se V (A + I)x = (A − I)V x allora V : D+ (A) −→ D− (A) è suriettivo e quindi lo è V : H+ (A) −→ H− (A): ne segue che dim H+ (A) = dim H− (A). qed ∗ Osserviamo che se A ⊂ A allora BA ⊂ AB e quindi BS0 (A) ⊂ S0 (A)B; se A = A∗ e V = S(A) otteniamo V B = BV . Ad esempio, se A ⊂ A∗ e A possiede un vettore ciclico x0 : ∀n ∈ N x0 ∈ D(An ) (un tale x0 si dice vettore differenziabile per A e si scrive x0 ∈ C ∞ (A)) e se supponiamo che l’insieme {x0 , Ax0 , A2 x0 , ...} sia totale in H allora 500 Capitolo 13. Operatori non limitati 13.4.2 Teorema • Se il sottospazio generato da {An x0 } coincide con DA allora A possiede autoaggiunte. • Se Ax0 := A|Dx0 (ove Dx0 è il sottospazio generato dall’insieme {An x0 }) ha indici di difetto (n, n) con n < ∞ allora A ha estensioni autoaggiunte. Dimostrazione: (1) Definiamo un operatore antiunitario V ; sia X X v0 ( an An x0 an An x0 ) := n n Dimostriamo che si tratta di una isometria: dato che x0 ∈C ∞ (A) e A è hermitiano ¯¯2 ¯¯ ¯¯ ¯¯X X X ¯¯ n ¯¯ an A x0 ¯¯ = an am (An x0 , Am x0 ) = an am (x0 , An+m x0 ) ¯¯ ¯¯ ¯¯ n n,m n,m X X an am (x0 , Am+n x0 ) = am an (Am x0 , An x0 ) = n,m ¯¯2 ¯¯ ¯¯ ¯¯ X ¯¯ ¯¯ an An x0 ¯¯ = ¯¯V0 ¯¯ ¯¯ n n,m Dunque, dato che V0 è definito su un insieme totale, esiste un operatore antiunitario V per cui possiamo applicare il criterio di Von Neumann. (2) Sia Ax0 := A|Dx0 ove Dx0 è il sottospazio generato dall’insieme {An x0 }; allora Ax0 ⊂ A e, dato che gli indici di difetto di Ax0 sono uguali, lo sono anche quelli di A. qed 13.4.3 Definizione Un vettore differenziabile x0 ∈ C ∞ (A) si dice vettore di unicità per A ⊂ A∗ se Ax0 := A|Dx0 (ove Dx0 è il sottospazio generato dall’insieme {An x0 }) è un operatore (densamente definito in Hx0 = Dx0 ) essenzialmente autoaggiunto in Hx0 . 13.4.4 Teorema (Criterio di Nussbaum) Se A ⊂ A∗ ammette un insieme totale di vettori di unicità allora A è essenzialmente autoaggiunto. Dimostrazione: Sia x0 un vettore di unicità; allora i sottospazi chiusi (A ± iI)D(A) 501 13.4. Teoria delle perturbazioni coincidono con H se contengono un insieme totale. Quindi basta dimostrare che per ogni vettore di unicità x0 , x0 ∈ (A ± iI)D(A). Ed infatti (A ± iI)D(A) ⊃ (Ax0 ± iI)D(Ax0 ) = D± (Ax0 ) = D± (Ax0 ) Ma Ax0 è essenzialmente autoaggiunto per ipotesi, sicché D± (Ax0 ) = H. qed Ricordiamo che se B è un operatore limitato, vi possiamo valutare le funzioni analitiche, e.g. X λn eλB = Bn n! n≥0 Più in generale diamo l’importantissima 13.4.5 Definizione x è un vettore analitico per un operatore T se x ∈ C ∞ (T ) è differenziabile per quell’operatore e se esiste un λ > 0 tale che X λn n≥0 n! ||T n x|| < ∞ (cioè se la serie ha raggio di convergenza diverso da zero). In seguito dimostreremo il risultato fondamentale di Nelson secondo il quale, se A ⊂ A∗ ha un insieme totale di vettori analitici allora è essenzialmente autoaggiunto. Vogliamo formulare per il momento un risultato che appartiene alla “teoria delle perturbazioni” degli operatori: il teorema di Kato–Rellich. Partiamo dall’osservazione che n± = dim{z | A∗ z = ±iz} = dim{z | A∗ z = λz} con im λ > 0 ovvero im λ < 0. Inoltre notiamo che, se, se T è un operatore lineare chiuso e nul T := dim N (T ) < ∞ o def T := dim R(T ) < ∞ possiamo definire l’indice dell’operatore T come ind T := def T − nul T 13.4.6 Definizione Un operatore T si dice quasi-Fredholm se nul T < ∞ o def T < ∞ e si dice di Fredholm se nul T, def T < ∞. 502 Capitolo 13. Operatori non limitati Sia T un operatore di Fredholm e B un operatore tale che DB ⊂ DT : 13.4.7 Definizione Se T è tale che ∀x ∈ DT ||Bx|| ≤ M (||x|| + ||T x||) si dice che T è relativamente limitato limitato rispetto a B (ovvero limitato nel senso di Kato) se ∃ a0 , b0 ∀x ∈ DT ||Bx|| ≤ a0 ||x|| + b0 ||T x|| Se poniamo |||x||| := a||x|| + b||T x|| allora B è relativamente limitato se lo è come operatore fra gli spazi di Hilbert (DT , |||.|||) e H. Notiamo che se A = A ⊂ A∗ (densamente definito) allora, se z = µ + iν ∈ C e λ 6= 0: ||(A + zI)x||2 = ||(A − µI)x − iλx||2 = ||(A − µI)x||2 + λ2 ||x||2 (i termini misti si elidono); quindi, per ogni λ 6= 0 l’insieme R(A − zI) è chiuso, dato che è isometrico al grafo di A − µI munito della topologia della norma equivalente a |||.||| con T = A − µI. ( n+ 13.4.8 Proposizione dim R(A − zI)⊥ = n− se im z > 0 se im z < 0 Dimostrazione: A − zI = A − z0 I − (z − z0 )I e quindi, applicandolo a x: (A − zI)(x) = (A − z0 I)x − (z − z0 )x Ma se z0 ∈ C \ {0 + iy}y∈R si trova che (A − z0 I)−1 è densamente definito su Dz0 (che è chiuso) ed è ivi continuo, dato che ||(A − z0 I)x||2 =||(A − z Re z0 I)x||2 + | Im z0 |2 ||x||2 ≥| Im z0 |2 ||x||2 e quindi x = (A − z0 I)−1 (A − z0 I)x e x = (A − z0 I)−1 E0 (A − z0 I)x ove E0 è la proiezione sul sottospazio R(A − z0 I); sia inoltre B := (A − z0 I)−1 E0 13.4. Teoria delle perturbazioni 503 Si tratta di un operatore limitato ovunque definito, sicché, per ogni x ∈ DA : (A − zI)x = (A − z0 I)x − (z − z0 )x = I − (z − z0 )B(A − z0 I)x Ma, se |z − z0 | < ||B|| ≤ | Im z0 |−1 allora l’operatore S := I − (z − z0 )B è invertibile, sicch é (A − zI)x = S(A − z0 I)x e quindi R(A − zI) = SR(A − z0 I) (si noti che ambedue questi ranghi sono chiusi) e S è lineare ed invertibile, dunque dim R(A − z0 I)⊥ = dim R(A − z0 I) dato che, se x ∈ R(A − zI)⊥ allora, per ogni z ∈ R(A − z0 I): (x, Sz) = 0 ⇐⇒ X ∗ x ∈ R(A − z0 I)⊥ CIOè S ∗ R(A − z0 I)⊥ = R(A − zI)⊥ . Ma S è invertibile, quindi anche S ∗ lo è; inoltre, se T := S ∗ |R(A−zI)⊥ allora T = V |T | (decomposizione polare) e N (T ) = 0 (per invertibilità), sicché V è una isometria il cui codominio è la chiusura del codominio di T , che è già un chiuso: quindi V è l’isometria che realizza l’uguaglianza fra le dimensioni degli spazi. qed Osserviamo che, se esiste λ ∈ R tale che ∀x ∈ DA ||(A − λI)x|| ≥ δ||x|| allora gli indici di difetto dell’operatore coincidono: questo è vero, ad esempio, se λ(x, x) ≤ (x, Ax) dato che, in questo caso, per la disuguaglianza di Schwartz: (x, Ax) ≤ ||x|| ||Ax|| e quindi λ||x|| ≤ ||Ax|| Se, per esempio, A ⊂ A∗ è definito positivo ((x, Ax) ≥ 0) allora ha indici di difetto uguali: questa situazione avviene in molte applicazioni, ad esempio nella formulazione di problemi per equazioni differenziali a derivate parziali. 504 Capitolo 13. Operatori non limitati 13.4.9 Definizione Se A ⊂ A∗ e B ⊂ B ∗ sono operatori tali che DA ⊂ DB , si dice A-limite di B il numero inf {b | ∃ab ∀x ∈ DA ||Bx|| ≤ ab ||x|| + b||Ax||} Ad esempio, se l’A-limite è zero allora B è limitato. 13.4.10 Teorema (Kato–Rellich) Se A ⊂ A∗ , B ⊂ B ∗ , DA ⊂ DB e B è A-relativamente limitato, cioè ∃a, b ∀x ∈ DA ||Bx|| ≤ ab ||x|| + b||Ax|| e se l’A-limite di B è minore di 1 allora n± (A + B) = n± (A) In particolare, se A è essenzialmente autoaggiunto allora anche B lo è e DA+B = DA . Dimostrazione: Sia b < 1 (ciò che possiamo supporre in quanto, per ipotesi, l’A-limite di B è minore di 1); vogliamo studiare l’insieme R((A+B)±iI) ovvero sia R((A + B) − zI). Si noti intanto che ¯¯ ¯¯ p √ ¯¯ 1 ¯¯ ||Bx|| ≤a||x|| + b||Ax|| ≤ a2 + b2 ||x ⊕ Ax|| = (aε)2 + b2 ¯¯¯¯ x ⊕ Ax¯¯¯¯ ε Ma b < 1, sicché esiste ε > 0 con (aEe)2 + b2 < 1 e quindi r ¯¯ ¯¯ p ¯¯ 1 ¯¯ 1 (aε)2 + b2 ¯¯¯¯ x ⊕ Ax¯¯¯¯ = bε ||x||2 + ||Ax||2 = bε ||(A ± iε−1 I)x|| ε ε2 (infatti ε−2 ||x||2 + ||Ax||2 è una norma equivalente sul grafico di A). Dunque, come in precedenza: (A + B ± iε−1 I)x = (A ± iε−1 )x + Bx e scriviamo Bx = B(A ± iε−1 I)−1 (A ± iε−1 I)x ove (A ± iε−1 I)−1 è continuo e e diviene densamente definito componendo con E± = ER(A±iε−1 I) . Sicché Bx = B(A ± iε−1 I)−1 E± (A ± iε−1 I)x 13.4. Teoria delle perturbazioni 505 Ma ||B(A ± iε−1 I)−1 z|| ≤ bε ||(A ± iε−1 I)B(A ± iε−1 I)−1 z|| = bε ||z|| e ||B(A ± iε−1 I)−1 E± x|| ≤ bε ||E± z|| ≤ bε ||z|| Quindi la chiusura C± di B(A ± iε−1 I)−1 E± ha norma ≤ bε < 1; ne segue che (A + B ± iε−1 I)x = (I + C± )(A ± iε−1 I) ed il complemento ortogonale del codominio di (A + B ± iε−1 I) ha la stessa dimensione di quello di (A ± iε−1 I). qed Si noti che D a = R(A + iI)−1 Ovviamente, se λ ∈ / σ(T ) allora (T − λI) è di Fredholm e quindi abbiamo il suo spettro essenziale σess (T ) = {λ ∈ C | (T − λI) non di Fredholm} Se T è normale si tratta dello spettro essenziale da noi già definito; ricordiamo in effetti il teorema di Weyl 10.5.19 se T è normale e limitato e K compatto allora σess (T ) = σess (T + K). Menzioniamo soltanto che esiste una versione di questo teorema per operatori non limitati: i risultati sono i seguenti: Teorema. Se B è una perturbazione limitata nel senso di Kato rispetto a T allora σess (T + B) = σess (T ). Teorema. Se B è relativamente compatto rispetto a T allora σess (T + B) = σess (T ). ove 13.4.11 Definizione B è relativamente compatto rispetto a T se DT ⊂ DB e l’operatore B è compatto fra lo spazio di Hilbert DT rispetto alla norma |||.|||T e H. 13.4.12 Proposizione Se T è un operatore autoaggiunto non necessariamente limitato e B ⊂ B ∗ è T -compatto allora σess (T + B) = σess (T ). 506 Capitolo 13. Operatori non limitati Dimostrazione: In effetti σess (T ) = {λ ∈ R | ∃{en } ⊂ DT b.o. ||T eN − λen || −→ 0} (“b.o.” sta per “base ortonormale”). Ma se {en } è una base ortonormale allora en −→ 0 debolmente e quindi debolmente T en = λen + (T en − λen ) −−−−−−−→ 0 debolmente cioè en ⊕ T en −−−−−−−→ 0 e quindi (per T -compattezza di B): in norma Ben −−−−−−→ 0 Dunque ||(T + B)en − en || −→ 0. qed 13.5 Un esempio: Il laplaciano in R3 Consideriamo l’operatore di Laplace (a meno del segno) A = −∆; in coordinate di Rn : ¶ µ 2 ∂2 ∂ + ··· + 2 ∆=− ∂s21 ∂sn Il nostro spazio di Hilbert è H = L2 (Rn , dsn ), e D = Cc∞ (Rn ) (funzioni a supporto compatto); consideriamo lo spazio di Schwartz ¯¯ ¯¯ ¾ ½ n ¯¯ ¯¯ 2 m ∂ ∞ ¯¯ ¯ ¯ = pmn (f ) ⇒ pmn (f ) < ∞ S = f ∈ C | ¯¯(1 + s ) f ∂sn ¯¯∞ Sappiamo che D ⊂ S è denso nella topologia di D e che la trasformata di Fourier è un isomorfismo di S in sé (teorema 8.5.5). Allora, se A0 := −∆|D e A1 := −∆|S e (f, i si ha A0 ⊂ A∗0 e A1 ⊂ A∗1 e (f, i ∂f ∂g ) = (i , g) ∂sh ∂sh ∂ 2g ∂ 2f ) = ( , g) ∂s2h ∂s2h (integrazione per parti), sicché ∆ e −∆ sono hermitiani. Ora dimostriamo che A1 ⊂ A0 13.5. Un esempio: Il laplaciano in R3 507 In effetti per ogni f ∈S esiste {gn } ⊂ S tale che p(gn −f ) −→ 0 pr ogni seminorma p della topologia di S, quindi L2 gn −−→ f ∂ ν gn L2 ∂ ν f −−→ ν ∂sν ∂s e (per ogni multiindice ν) dato che f = (1 + s2 )−k (1 + s2 )k f e quindi ||f ||L2 ≤ ||(1 + s2 )k f ||∞ ||(1 + s2 )−k ||L2 il che vale anche per ogni derivata parziale della f . Pertanto ∆gn −→ ∆f Ora “coniughiamo” rispetto alla trasformata di Fourier (che indichiamo con F: Ff = fb): se ( à !) X B1 := FA1 F−1 = f ∈ S 7−→ h 7−→ kj2 f (n) j allora (B1 f )(k) = k 2 f (k) Notiamo poi che B1 è essenzialmente autoaggiunto: infatti R(B1 ± I) = {k 7−→ (k 2 ± i)f (k)}f ∈S = S (dato che g ∈ S ⇒ k 7−→ (k 2 ± i)−1 g(k)) e quindi è un insieme denso. Ora sia (se H0 = −∆): DH0 = {f ∈ L2 | fb ∈ L2 e (k 7−→ k 2 fb(k)) ∈ L2 } Allora, dato che Z ||f ||2B1 = ||f || + 2 |k 2 f (k)|2 dn k si ha DH0 = L2 (Rn , (1 + k 4 )dn s). Consideriamo il caso n = 3 nell’esempio precedente: se f ∈ DH0 allora Z 3 2 −1 2 − fb = (1 + k ) (1 + k )fb ⇒ f (s) = (2π) 2 e−iks (1 + k 2 )−1 (1 + k 2 )fb(k)d3 k 508 Ma che Capitolo 13. Operatori non limitati 1 2 k dk k4 ≈ 1 dk k2 e quindi la funzione integranda è a quadrato sommabile; dato fb = (1 + λk 2 )−1 (1 + λk 2 )fb cioè (ponendo h = λk): Z Z 3 3 2 −2 3 2 (1 + λk ) d k = λ (1 + h2 )−2 d3 h =: λ 2 c ∈ R troviamo 3 3 |f (s)| ≤ cλ− 2 ||fb + λk fb(k)||2 = cλ− ||f + λ2 H0 f ||2 2 Ma ||f ||2 = ||fb||2 (teorema di Plancherel) e quindi 13.5.1 Lemma (Disuguaglianza di Sobolev) |f (s)| ≤ cλ− 2 ||f + λ2 H0 f ||2 3 Ne segue che |f (s)| ≤ cλ− 2 ||f || + cλ 2 ||H0 f || 3 1 In altri termini, il funzionale f 7−→ f (s) (per f ∈ DH0 ) è H0 -limitato, cioè, per ogni x ∈ H l’operatore di rango 1 f 7−→ f (s)x è lineare e relativamente limitato: si badi bene che non è un operatore chiudibile (avendo rango 1 e non essendo continuo). In Meccanica Quantistica si pone p2 } H0 = =− ∆ 2m 2m e l’hamiltoniana del sistema è H0 + V con (V f )(s) = V (s)f (s). Se V ∈ L2loc (R3 , d3 s), cioè V misurabile e Z ∀L > 0 |V (s)|2 ds < ∞ |s|≤L le hamiltoniane corrispondenti ammettono estensioni autoaggiunte. Se (f, (H0 + V )f ) ∈ R allora V ammette estensioni autoaggiunte (V (s) ∈ R). Notiamo che DH0 +V = D (che è lo spazio di Schwartz: se f ∈ D allora V (f ) ∈ L2 ). Dunque, per il criterio di von Neumann, se U è un operatore unitario in L2 : [U, H0 + V ] = 0 ⇒ H0 + V ha estensioni autoaggiunte (ove [A, B] = AB − BA è il commutatore). 13.5. Un esempio: Il laplaciano in R3 509 13.5.2 Teorema Se V = f + g con f ∈ L2 (R3 ) e g ∈ L∞ (R3 ) allora • V è H0 -limitato con H0 -limite pari a 0. |s|−→∞ • Se g(s) −−−−−−→ 0 allora V è H0 -compatto. Dimostrazione: (1) Sia x ∈ D: ||V x||2 ≤||f x||2 + ||gx||2 ≤ ||x||∞ ||f ||2 + ||g||∞ ||x||2 ≤||f ||2 cλ− 2 ||x + λH0 x||2 + ||g||∞ ||x||2 3 ≤(||f ||2 cλ− 2 + ||g||2 )||x||2 + c||f ||2 λ 2 ||H0 x||2 1 3 (per la disuguaglianza di Sobolev). Quindi l’H0 -limite di V è zero. (2) Dato che V : DH0 −→ H = L2 (R3 ), sappiamo che, per x ∈ DH0 : ||V x|| ≤ a||x|| + b||H0 x|| con b ∝ λ 2 e a ∝ λ− 2 (i.e. a ≈ cb−3 ). Dunque, ricordando che 1 3 a = (λ− 2 ||f ||2 + ||g||∞ )c 3 e 1 b = λ 2 ||f ||2 L2 si trova, per Vn := fn + gn (scelte due successioni {fn } e {gn } tali che fn −−→ f L∞ e gn −−−→ g): Vn −→ V nella norma di B(DH0 , H) (ove su DH0 si pone la norma |||.|||). Quindi V è compatto se lo sono i Vn , cioè se le fn sono a supporto compatto in L2 (R3 ) e se |s|−→∞ le gn sono a supporto compatto in L∞ (R3 ) (usando l’ipotesi g(s) −−−−−→ 0). Quindi possiamo supporre supp f, supp g ⊂ K (compatto) e, per dimostrare la compattezza di V basta far vedere che porta insiemi limitati in insiemi compatti. Utilizziamo per questo il teorema di Ascoli–Arzelà 3.5.2. Sia x ∈ DH0 : allora V x = V Ex = EV x (ove E = MχK è l’operatore di moltiplicazione per la funzione caratteristica di K), cioè V (x|K ) ∈ H; prendiamo x in un insieme limitato S rispetto alla norma del grafico di H0 |||.|||: allora, V (x|K ) appartiene a un compatto di H. Infatti se x ∈ S: ||H0 x|| ≤ M e ||x|| ≤ N e quindi (||∆x|| ≤ M ): −(x, ∆x) = − XZ j x(s) ∂2 x(s)ds ≤ M ∂s2j 510 Capitolo 13. Operatori non limitati quindi la famiglia S è equicontinua e, per il teorema di Ascoli–Arzelà, S è compatto in C(K): esiste cioè una successione uniformemente convergente (su K) e V (xn ) = f (xn ) + g(xn ) qed Notiamo che dalla (1) segue che, se V = V allora H0 + V è essenzialmente autoaggiunto su ciascun dominio ove lo sia H0 e DH0 +V = DH0 , per il teorema di Kato–Rellich; dalla (2) possiamo invece inferire che σess (H0 + V ) = σess (H0 ) = c0 è la moltiplicazione per k 2 ). σ(H0 ) = [0, ∞) (ricordando che H 13.5.3 Esempio Se V =− e2 e2 e2 = − χU − χ{U |s| |s| |s| con U intorno limitato, lo spettro che si ottiene è quello dell’atomo di idrogeno: questo esempio ha sostanzialmente motivato la teoria. Osserviamo che se x ∈ DH0 allora − 32 x(s) = (2π) e (1 = (1 + k 2 )−1 (1 + k 2 )): 0 00 − 32 x(s ) − x(s ) = (2π) 0 Z ³ −is0 k e Z 1 · e−isk x b(k)d3 k −is00 k −e ´ (1 + k 2 )−1 (1 + k 2 )b x(k)d3 k 00 Ma (e−is k − e−is k )(1 + k 2 )−1 ∈ L2 (R3 ) e (1 + k 2 )b x(k) ∈ L2 (R3 ), sicché 0 00 |x(s0 ) − x(s00 )| ≤||(e−is k − e−is k )(1 + k 2 )−1 || ||x + H0 x|| =||Gs0 − Gs00 || ||x + H0 x|| =||Gs0 −s00 − G|| ||x + H0 x||†) (() ove G = F−1 ((1+k 2 )−1 ) e Gs è la traslazione per s in L2 (R3 ) ((Gs f )(t) = f (t−s)); quindi Z ||Gs ||2 = |G(h − s)|2 dh = ||G||2 il che giustifica l’ultimo passaggio delle (†). s−→0 Inoltre, ||Gs − G|| −−−−→ 0 in norma (questo vale in Lp con p < ∞: questi spazi sono il completamento di Cc (Rn ) in norma ||.||p ). Osserviamo pure che se ||f − f 0 || < ε allora ||fh − fh0 || < ε e ||fh − f || ≤ ||fh − fh0 || + ||fh0 − f 0 || + ||f 0 − f || < 2ε + ||fh0 − f 0 || 13.5. Un esempio: Il laplaciano in R3 511 Tornando alle (†): |x(s0 ) − x(s00 )| < ε||x + H0 x|| ≤ ε(||x|| + ||H0 x||) = ε|||x||| Quindi se {x} è equilimitato nella norma del grafico |||.||| è pure equicontinuo. Per ulteriori sviluppi di questo esempio si può consultare [29], §10. Parte III Gruppi, Operatori e Quantizzazione Capitolo 14 GRUPPI TOPOLOGICI In questo capitolo discutiamo i gruppi topologici, che generalizzano da un lato i gruppi di matrici dell’Algebra Lineare, dall’altro la teoria delle serie e dell’integrale di Fourier, sviluppata nel capitolo ??. L’intera teoria poggia sulla possibilità di definire un integrale per questi gruppi che generalizza l’integrale di Lebesgue sul gruppo additivo dei numeri reali. 14.1 Gruppi topologici e misure di Haar L’analogia esistente fra la teoria di Fourier in Rn e la teoria delle serie di Fourier non è un caso: possiamo in effetti formulare una generalizzazione di queste teorie che metta in luce quali sono i loro caratteri comuni. Osserviamo ad esempio che, nel definire le convoluzioni in Rn , abbiamo in realtà usato solo due ingredienti essenziali: l’esistenza di una misura boreliana completa su Rn (la misura di Lebesgue), l’operazione di somma vettoriale in Rn che lo rende un gruppo commutativo e la compatibilità esistente fra queste due strutture espressa dall’invarianza della misura di Lebesgue per traslazioni. Nel caso delle serie di Fourier, pure gli unici ingredienti erano l’esistenza di una misura boreliana completa sulla circonferenza unitaria T, l’esistenza di un prodotto commutativo fra gli elementi di T (eit eis = ei(s+t) ) e l’invarianza della misura per le traslazioni di questa struttura gruppale. Possiamo quindi immaginare di generalizzare la teoria di Fourier al caso di un gruppo G commutativo sul quale esista una misura boreliana completa invariante per la moltiplicazione del gruppo. Naturalmente una misura boreliana presuppone l’esistenza di una topologia, e questa topologia dovrà necessariamente essere compatibile con la struttura gruppale, cioè l’operazione di moltiplicazione del gruppo dovrà essere continua. Si arriva in questo modo alla 14.1.1 Definizione Un gruppo topologico è un insieme G che sia al tempo stesso un gruppo rispetto ad una operazione · ed uno spazio topologico rispetto 515 516 Capitolo 14. Gruppi topologici ad una topologia T in modo che la funzione µ : G × G −→ G (g, h) 7−→ g · h−1 sia continua (su G × G si considera la topologia prodotto). Si osservi che non è richiesta la commutatività. 14.1.2 Esempio • Uno spazio vettoriale topologico V , rispetto alla sua topologia ed all’operazione di somma di vettori è un gruppo topologico commutativo. • Ogni gruppo finito è un gruppo topologico rispetto alla topologia discreta (il che fornisce esempi di gruppi non commutativi). • Dato che il prodotto di compatti è compatto, un prodotto infinito di gruppi finiti è un gruppo compatto (rispetto alla struttura gruppale di prodotto diretto e topologica di prodotto topologico) non discreto (ovviamente un gruppo discreto compatto è finito!): un esempio è il prodotto numerabile di copie di Z2 (il gruppo moltiplicativo {−1, +1}) che risulta quindi essere un gruppo topologico compatto non discreto. • Il gruppo Z come sottogruppo topologico di R è un gruppo topologico localmente compatto; inoltre, dato che il quoziente di gruppi è un gruppo, il gruppo T = R/Z (toro unidimensionale ovvero circonferenza unitaria in R2 ) è un gruppo topologico rispetto alla topologia quoziente: dato che si identifica con la circonferenza {z ∈ C| |z| = 1} è compatto. • Il gruppo U(H) degli operatori unitari di uno spazio di Hilbert è pure un gruppo topologico (cfr. il lemma 9.1.9). 14.1.3 Proposizione Un gruppo topologico è T1 se e solo se è T2 . Dimostrazione: Se è T2 è a fortiori T1 ; viceversa, se è T1 la diagonale ∆ ⊂ G×G è la controimmagine m−1 (e) dell’insieme chiuso {e} per la mappa continua m(x, y) := x−1 y, e quindi è chiusa. qed Non ogni gruppo dotato di una topologia è necessariamente topologico: ad esempio R con la topologia di Zariski (gli aperti sono i complementari degli insiemi finiti) non è un gruppo topologico, dato che, come spazio, è T1 (i punti sono chiusi) ma non T2 (ogni aperto è denso!) e quindi per la proposizione precedente non può essere un gruppo topologico. 14.1. Gruppi topologici e misure di Haar 517 14.1.4 Esempio Una classe notevole di gruppi topologici è data dai gruppi di matrici come il gruppo lineare generale reale GL(n, R) := {A ∈ Mn (R) | det A 6= 0} (ed il suo analogo complesso); il prodotto in GL(n, R) è il prodotto di matrici e la 2 sua topologia è quella indotta da Mn (R) ∼ = Rn del quale è un aperto (in quanto è il complementare dell’insieme {A ∈ Mn (R) | det A = 0} che è il luogo degli zeri di una funzione continua, quindi un chiuso). Poiché il prodotto di matrici AB dipende in modo polinomiale dalle entrate delle matrici A e B, l’operazione di gruppo è continua e quindi il gruppo lineare generale è un gruppo topologico 2 non commutativo, ma localmente compatto (lo è Rn ). 14.1.5 Definizione Una misura di Haar sinistra (rispettivamente misura di Haar destra) su un gruppo topologico è una misura boreliana regolare positiva µ invariante a sinistra (rispettivamente a destra) per la moltiplicazione del gruppo, cioè tale che Z Z 1 0 ∀f ∈ L (G) f (g g)dµ(g) = f (g)dµ(g) Se una misura di Haar è invariante sia a sinistra che a destra, si dice misura di Haar biinvariante e si parla di “misura di Haar” senza altre specifiche. Consideriamo un gruppo topologico localmente compatto: esiste il seguente teorema, per il quale si rimanda ad esempio ai classici [32] o [26], oppure a [30]: Teorema (Haar). Se G è un gruppo topologico localmente compatto allora • G possiede una misura di Haar sinistra (rispettivamente destra) unica a meno di un fattore moltiplicativo. • La misura di Haar sinistra e la misura di Haar destra sono assolutamente continue l’una rispetto all’altra. • Se G è compatto allora la misura di Haar sinistra e la misura di Haar destra coincidono e sono finite. Dimostreremo questo teorema solo nel caso commutativo e, più avanti, per i gruppi di Lie; l’esistenza della misura di Haar è un fatto cruciale nella teoria dei gruppi topologici, perché, ad esempio, consente di sviluppare la teoria delle rappresentazioni. Questo spiega perché i gruppi che si considerano sono localmente compatti: solo per essi si può dare una misura di Haar1 . 1 Una domanda che è legittimo porsi è se non si possa dare un concetto di “gruppo misurabile” indipendente dalla topologia: se quello che realmente conta nella teoria è l’esistenza della misura di Haar, a priori non è necessario che il gruppo sia topologico; si dimostra comunque che se un gruppo possiede una misura invariante allora è denso in un gruppo topologico localmente compatto (teorema di Weil, cfr. [32] 518 Capitolo 14. Gruppi topologici 14.1.6 Esempio Un gruppo non localmente compatto è il gruppo additivo di uno spazio vettoriale topologico di dimensione infinita. Osserviamo che, per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2, il teorema di Haar equivale all’esistenza di un funzionale lineare positivo invariante a sinistra (risp. a destra): I : Cc (G) −→ R ove I : Cc (G) è lo spazio delle funzioni complesse a supporto compatto su G. 14.1.7 Definizione La derivata di Radon–Nikodym ∆= dµL dµR delle misure di Haar sinistra e destra si dice funzione unimodulare del gruppo topologico G; se ∆ = 1 il gruppo stesso di dice unimodulare. 14.1.8 Esempio • Un gruppo topologico localmente compatto e commutativo è unimodulare, dato che la misura di Haar destra e sinistra debbono coincidere (gg 0 = g 0 g); anche un gruppo compatto qualsiasi lo è, come segue dal teorema di Haar. • Consideriamo il gruppo delle matrici triangolari superiori a coefficienti in R:    1 a12 a13 ... a1n      0 1 a23 ... a2n    Nn (R) =  .. .. .. .. ..   . . . . .       0 0 0 ... 1 a ∈R ij Si tratta di un gruppo topologico omeomorfo a R misura di Lebesgue Y dµ = daij n(n−1) 2 : esiste quindi la i<j Si vede immediatamente che questa è una misura di Haar su Nn (R), cioè che è invariante a sinistra: infatti, se A, B ∈ Nn (R), il coefficiente nella riga i-sima e nella colonna s-esima della matrice AB è X X (AB)is = aik bks = bis + ais + aik bks k i<k<s cioè è pari a bis + ais più una costante (che non dipende dagli elementi di indici is ): ne segue che dµ(AB) = dµ(B); analogamente si dimostra che dµ è invariante a destra, sicché il gruppo è unimodulare. 14.1. Gruppi topologici e misure di Haar 519 14.1.9 Teorema Se G è un gruppo topologico commutativo localmente compatto allora esiste un’unica misura Haar su G. Dimostrazione: L’operazione di moltiplicazione in G induce l’operatore di traslazione, se g ∈ G: Lg : Cc (G)∗ −→ Cc (G) ϕ 7−→ (f 7−→ ϕ(fg )) (con fg denotiamo la funzione f (h) := f (gh) da G in R). Evidentemente Lg è continua rispetto alle topologie *-deboli e, al variare di g abbiamo la famiglia L := {Lg }g∈G di trasformazioni lineari continue che commutano a due a due (perché G è commutativo: Lg Lh = Lgh = Lhg = Lh Lg ). Se consideriamo il convesso K := {ϕ ∈ Cc (G)∗ | ||ϕ|| ≤ 1} ∩ {ϕ ∈ Cc (G)∗ | F (1) = 1} è immediato verificare che la famiglia L lascia invariante K: LK ⊂ K. Ma, per il teorema di Alaoglu, K è compatto; possiamo quindi applicare alla famiglia L ed al convesso compatto K il teorema del punto fisso di Markov–Kakutani 8.3.11 e dedurre l’esistenza di un punto fisso ϕ0 ∈ K. Abbiamo cioè un funzionale lineare continuo su Cc (G) invariante per ogni traslazione del gruppo: per il teorema di Riesz–Markov 9.2.2 questo funzionale determina univocamente una misura di Radon µ che è proprio la misura invariante cercata. qed La misura di Haar sul gruppo commutativo G è positiva, in quanto lo sono i funzionali lineari in K, ed è finita sui compatti perché ϕ0 è continuo (di nuovo per il teorema di Riesz–Markov). 14.1.10 Esempio • È facile rendersi conto che, nel caso di Rn , questa costruzione dà luogo esattamente alla misura di Lebesgue (a meno di multipli costanti). • Se il gruppo è compatto, µ(G) è finito, ed in genere si normalizza la misura in modo che µ(G) = 1. • Nel caso G = Z la misura di Haar ν è semplicemente la media sulle funzioni a supporto compatto Z −→ R, cioè su quelle che non valgono zero se non in un numero finito di punti: Z X f (n)dν(n) = f (n)ν({n}) Z n∈Z 520 Capitolo 14. Gruppi topologici In questo caso si normalizza la misura in modo che ν({n}) = 1 per ogni punto n ∈ Z e quindi la misura di Haar è la misura # che conta: ν(E) = #E = Card E. • In particolare, su un gruppo abeliano finito (che è della forma Zm : classi di congruenza modulo m), la misura di Haar pure è la misura che conta #. Possiamo quindi considerare la teoria della misura su G: ad esempio gli spazi Lp , il teorema di Fubini ed i teoremi di convergenza degli integrali. Osserviamo che nel definire la convoluzione di funzioni in Cc (Rn ) e L1 (Rn ) non abbiamo usato altro che l’invarianza della misura e le proprietà gruppali della somma di vettori: mutatis mutandis possiamo quindi riformulare tutta la teoria per un gruppo commutativo localmente compatto G; la teoria della trasformata di Fourier è il caso G = Rn e la teoria delle serie di Fourier il caso G = T. 14.1.11 Teorema Se G è un gruppo topologico che ammette una misura di Haar, lo spazio di Banach L1 (G) è un’algebra di Banach rispetto alla convoluzione, che è commutativa se e solo se lo è il gruppo. Dimostrazione: Definiamo la convoluzione di due elementi di L1 (G) come Z ϕ ∗ ψ(g) := ϕ(h)ψ(h−1 g)dh G Vediamo intanto che ϕ ∗ ψ ∈ L (G): dato che la funzione (g, h) 7−→ (h−1 g, h) è un omeomorfismo di G × G in sé, porta funzioni misurabili in funzioni misurabili: quindi, dato che il prodotto punto per punto ϕ(g)ψ(g) è misurabile se lo sono ϕ e ψ, anche ϕ(h)ψ(h−1 g) lo è; allora: Z Z Z Z −1 |ϕ(h)ψ(h g)|dgdh = |ϕ(h)| |ψ(h−1 g)|dg Z Z = |ϕ(h)|dh |ψ(g)|dg < ∞ 1 Cioè ϕ(h)ψ(h−1 g) ∈ L1 (G × G) e quindi, per il teorema di Fubini, ϕ ∗ ψ ∈ L1 (G). Che la convoluzione renda L1 (G) un’algebra associativa si dimostra con gli stessi passaggi del caso G = Rn ; dimostriamo dunque che, rispetto alla sua struttura di spazio di Banach, L1 (G) è un’algebra di Banach. Infatti ¯ ¶ Z µZ Z ¯Z ¯ ¯ −1 −1 ¯ ¯ |ϕ(h)| |ψ(h g)|dh dg ||ϕ ∗ ψ||1 = ¯ ϕ(h)ψ(h g)dh¯ dg ≤ ¶ Z µZ Z Z −1 = |ψ(h g)|dg |ϕ(h)dh = |ψ(g)|dg |ϕ(h)|dh = ||ϕ||1 ||ψ||1 521 14.1. Gruppi topologici e misure di Haar Infine, abbiamo che se G è abeliano allora Z Z −1 ϕ ∗ ψ(g) = ϕ(h)ψ(h g)dh = ϕ(gk −1 )ψ(k)dk Z = ψ(k)ψ(k −1 g)dk = ψ ∗ ϕ(g) (col cambio di variabile h−1 g = k e tenendo conto che dh = d(gh) e dh = dh−1 per invarianza della misura di Haar) e viceversa. qed 14.1.12 Esempio • Su un gruppo abeliano finito G, l’algebra L1 (G) è semplicemente l’algebra di gruppo cioè lo spazio ( ) X C[G] = ag g | ag ∈ C g∈G (infatti una funzione G −→ C è un elemento di CG = CCard G , cioè una (Card G)-pla, che scriviamo come una somma formale negli elementi di g) con la convoluzione Z X X a ∗ b(g) = a(gh−1 )b(h)dh = a(gh−1 b(h) = a(h1 )b(h2 ) G h∈G h1 h2 =g∈G • Se G è un gruppo discreto, possiede ovviamente la misura di Haar che assegna ad ogni {g} (per g ∈ G) un valore positivo fissato, ad esempio 1. 14.1.13 Proposizione L’algebra L1 (G) possiede un elemento neutro e se e solo se il gruppo G è discreto. Dimostrazione: Ovviamente, se G è discreto, la funzione ε : G −→ R ε(g) := δge (che si identifica all’elemento e∈G) è diversa da zero in L1 (G), dato che µ({e}) > 0: Z ε(g)dµ(g) = µ({e}) = 1 G ed è ovviamente l’elemento neutro per la convoluzione. 522 Capitolo 14. Gruppi topologici Viceversa, se L1 (G) contiene un elemento neutro e : G −→ R allora la misura degli insiemi aperti non vuoti possiede un limite inferiore positivo: se cosı̀ non fosse, per ogni ε > 0 esisterebbe un U intorno dell’elemento neutro e ∈ G in G tale che Z |e(g)|dg < ε G Consideriamo allora un intorno V di e ∈ G tale che se g ∈ V anche g −1 ∈ V e che V 2 ⊂ U (V 2 è l’insieme dei prodotti di elementi di V con se stesso). Per g ∈ V si ha quindi Z Z Z −1 1 = χV (g) = χV ∗ e(g) = χV (gh )e(h)dh = e(h)dh ≤ |e(h)|dh < ε G gV U che è assurdo. Quindi deve esistere un a > 0 tale che, per ogni aperto non vuoto A ⊂ G, a ≤ µ(A); se g ∈ G, possiamo considerare una successione di aperti An ⊂ An+1 tali che ∩n An = {e}. Infatti {g} è intersezione della famiglia di intorni che lo contiene (perché la topologia del gruppo è Hausdorff 2 ), e ciascuno di questi intorni contiene un aperto contenente g, quindi possiamo scegliere una successione di questi aperti. Allora ! à \ An = lim An µ({g}) = µ n−→∞ n cioè µ({g}) ≥ a. Quindi i punti hanno misura positiva, e quindi devono essere aperti; infatti se U è un aperto di misura finita (che esiste per locale compattezza del gruppo): à ! Ã∞ ! ∞ [ X [ ∞ > µ(U ) = µ µ({gi }) = ∞ {g} ≥ µ {gi } = g∈U i=1 i=1 per ogni successione {gi } ⊂ U ; dunque ogni {g} è aperto e quindi G è discreto. qed 14.2 Gruppi compatti e rappresentazioni In questa sezione ci occupiamo principalmente di gruppi compatti e delle loro rappresentazioni: tutti i nostri ragionamenti si baseranno sull’esistenza di un’unica misura di Haar finita per questi gruppi, fatto che abbiamo supposto senza dimostrazione ma che dimostreremo per la classe dei gruppi di Lie, sostanzialmente i gruppi di interesse nelle applicazioni. Ricordiamo la seguente 2 Se l’intersezione degli intorni di g fosse un insieme I non ridotto al solo {g}, allora, se h ∈ I e h 6= g, i punti h e g non possiederebbero intorni disgiunti. 14.2. Gruppi compatti e rappresentazioni 523 14.2.1 Definizione Se X è uno spazio vettoriale topologico, una rappresentazione di un gruppo topologico G è un omomorfismo di gruppi topologici ρ : G −→ GL(X) Se H è uno spazio di Hilbert, una rappresentazione unitaria di G in H è un omomorfismo del gruppo nel gruppo U(H) degli operatori unitari di X in sé. Considereremo solo rappresentazioni di G in spazi di Hilbert: si noti che una rappresentazione in uno spazio di Hilbert non è necessariamente unitaria: inoltre la parola “continua” riferita alla rappresentazione vuol dire “fortemente continua”. Ricordiamo che se π1 e π2 sono rappresentazioni di un gruppo topologico G negli spazi di Hilbert H1 e H2 , l’insieme degli operatori di allacciamento è (π1 , π2 ) := {A : H1 −→ H2 ) | Aπ1 = π2 A} Esattamente come nel caso delle C*-algebre, due rappresentazioni di un gruppo topologico G si dicono disgiunte se dim homG (V1 , V2 ) = 0, e si dicono equivalenti se l’insieme homG (V1 , V2 ) contiene un isomorfismo A. Abbiamo i concetti di irriducibilità e completa riducibilità di rappresentazioni per un gruppo topologico come nel caso di un gruppo qualsiasi: π si dice topologicamente irriducibile se non esistono sottospazi invarianti chiusi di V . Ricordiamo inoltre che nel caso di un gruppo topologico, una sottorappresentazione di una rappresentazione H è un sottospazio chiuso di H invariante per la rappresentazione di G (si riveda il capitolo ?? per questi concetti nel caso delle C*-algebre e il capitolo ?? nel caso dei gruppi finiti). Dal fatto che il complemento ortogonale W ⊥ si un sottospazio invariante W di uno spazio di Hilbert pure è invariante, segue che 14.2.2 Lemma Ogni rappresentazione unitaria è completamente riducibile. e quindi il seguente e fondamentale 14.2.3 Teorema Ogni rappresentazione unitaria di dimensione finita è completamente riducibile. Ricordiamo inoltre che il nucleo e l’immagine di un operatore di allacciamento sono sottospazi invarianti, quindi: 14.2.4 Lemma (Schur) Se V1 e V2 sono rappresentazioni irriducibili allora ogni operatore di allacciamento è zero oppure è un isomorfismo. 524 Capitolo 14. Gruppi topologici 14.2.5 Corollario Se V è una rappresentazione irriducibile di G in uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita, allora homG (V, V ) = C. Dimostrazione: Se A ∈ homG (V, V ) allora esiste λ ∈ C tale che A − λI non sia invertibile (infatti C è algebricamente chiuso e quindi ogni matrice ammette sempre autovalori); per il lemma si ha allora A − λI = 0. qed 14.2.6 Lemma Se H è una rappresentazione unitaria topologicamente irriducibile di G allora homG (H, H) = C. Dimostrazione: Per prima cosa notiamo che A ∈ homG (H, H) ⇒ A∗ ∈ homG (H, H) Infatti A∗ π(g) = A∗ π(g −1 )∗ = (π(a−1 )A)∗ = (Aπ(g −1 ))∗ = π(g −1 )∗ A∗ = π(g)A∗ Dato che ogni operatore si decompone in somma di autoaggiunti: 1 1 A = (A + A∗ ) (A − A∗ ) 2 2 basta dimostrare il lemma per gli elementi autoaggiunti di homG (H, H). Usiamo quindi la teoria spettrale: se A commuta con un operatore unitario, lo stesso fa ogni proiezione spettrale Eλ di A (per unicità della decomposizione spettrale di A). Quindi se A ∈ homG (H, H) allora anche ogni Eλ ∈ homG (H, H) e, per l’ipotesi di irriducibilità, ogni Eλ risulta essere 0 oppure I. Ne segue che A è scalare. qed Dato che ogni rappresentazione unitaria è completamente riducibile, il seguente teorema è il più fondamentale nella teoria dei gruppi compatti3 : 14.2.7 Teorema Ogni rappresentazione di dimensione finita di un gruppo compatto è equivalente ad una rappresentazione unitaria. 3 Questo teorema ed i seguenti sono del tutto analoghi a quelli dati per i gruppi finiti nel capitolo ??: in effetti quei risultati sono casi particolari di questi, dato che un gruppo finito è un gruppo topologico e l’integrale di Haar si riduce alla somma sui suoi elementi. 14.2. Gruppi compatti e rappresentazioni 525 Dimostrazione: Sia π : G −→ GL(V ) la rappresentazione; per avere la tesi basterà dotare V di un prodotto hilbertiano invariante rispetto agli operatori {π(g)}g∈G . Consideriamo su V un qualsiasi prodotto scalare (basta ad esempio prendere una base e dichiararla ortogonale) h, i; allora per x, y ∈ V , poniamo Z (x, y) := hπ(g)x, π(g)yidg G Evidentemente la (.) è sesquilineare, non degenere e tale che Z (π(g)x, π(g)y) = hπ(h)(π(g)x), π(g)(π(h)y)idh ZG = hπ(hg)x, π(hg)yidh ZG = hπ(k)x, π(k)yidk = (x, y) G (per invarianza della misura di Haar per traslazioni: d(hg) = dh) qed Se dim V < ∞ possiamo associare alla rappresentazione unitaria π la matrice i cui elementi sono px,y (g) := (π(g)x, y) 14.2.8 Teorema Ogni rappresentazione π : g −→ GL(V ) topologicamente irriducibile di un gruppo compatto è di dimensione finita e gli elementi della sua matrice soddisfano le relazioni Z 1 px,y (g)px0 ,y0 (g)dg = (x, x0 )(y, y 0 ) dim V G Dimostrazione: Consideriamo la funzione Z x 7−→ px,y (g)px0 ,y0 (g)dg G Si tratta evidentemente di un funzionale lineare sullo spazio di Hilbert V , quindi, per il teorema di Riesz, è della forma x 7−→ (x, z) per qualche z ∈ V , che dipende da y, x0 , y 0 . Inoltre, fissati y e y 0 , z dipende in modo continuo da x0 e quindi esiste un operatore A su V tale che z = Ax0 ; si ha che A ∈ homG (V, V ) 526 Capitolo 14. Gruppi topologici Questo segue dall’invarianza per traslazioni dell’integrale di Haar e dalla pπ(g)x,y (h) = πx,y (hg) Quindi, per il lemma di Schur, A = λI, con λ ∈ C (che dipende ovviamente da y e y 0 ). Ragionando come in precedenza troviamo allora che λ = c(y, y 0 ) ove c è una costante che stavolta dipende solo da π. Quindi Z (∗) px,y (g)px0 ,y0 (g)dg = c(x, x0 )(y, y 0 ) G Se ora {x1 , ..., xn } è un insieme ortonormale di V si ha che n X i=1 |px,xi (g)| = 2 n X |(π(g)x, xi )| ≤ ||π(g)x||2 = ||x||2 i=1 Integrando questa disuguaglianza su G ed usando la (*) otteniamo cn||x||2 ≤ ||x||2 cioè n ≤ c−1 . Questo prova che dim V < ∞. Per n = dim V si ottiene immediatamente la seconda asserzione del teorema. qed 14.2.9 Corollario (Relazioni di Ortogonalità) Se π : G −→ GL(V ) e ρ : G −→ GL(W ) sono rappresentazioni irriducibili non equivalenti di un gruppo compatto G allora Z px,y (g)ρx0 ,y0 (g)dg = 0 G Le relazioni di ortogonalità mostrano che gli elementi della matrice associata alla rappresentazione irriducibile π sono un sistema ortonormale nello spazio L2 (G) e che, per rappresentazioni irriducibili non equivalenti, questi sistemi sono fra loro ortogonali. In realtà, l’unione di tutti questi sistemi ortonormali al variare di π nell’insieme di tutte le rappresentazioni irriducibili, è una base ortonormale di L2 (G). 14.2.10 Teorema (Peter–Weyl) Ogni funzione continua su un gruppo compatto G si può approssimare (in norma uniforme) con combinazioni lineari di elementi di matrici associate a rappresentazioni irriducibili di G. 14.2. Gruppi compatti e rappresentazioni 527 Dimostrazione: Sia A(G) lo spazio delle combinazioni lineari finite di elementi di matrici associate a rappresentazioni irriducibili di G; dato che se una rappresentazione π è irriducibile anche la sua aggiunta π ∗ lo è, lo spazio A(G) è chiuso rispetto alla coniugazione: f ∈ A(G) ⇒ f ∈ A(G). Inoltre se π1 e π2 sono rappresentazioni di dimensione finita, il loro prodotto tensoriale V1 ⊗ V2 è uno spazio di dimensione finita e quindi si decompone in somma di rappresentazioni irriducibili, e quindi il prodotto di due elementi di matrici associate a rappresentazioni irriducibili è combinazione lineare di elementi di matrici: questo significa che A(G) è una sottoalgebra di C(G). Per dimostrare che A(G) = C(G) usiamo quindi il teorema di Stone–Weierstrass 9.2.9: l’unica ipotesi che ci resta da verificare per applicarlo è che gli elementi di A(G) separino i punti di G. Ora, ogni rappresentazione unitaria è somma di rappresentazioni irriducibili; in particolare la rappresentazione regolare R : G −→ U(L2 (G)) definita come (R(g))(f )(h) = f (hg) si decompone in irriducibili, i.e. se h 6= h0 sono elementi di G esiste una rappresentazione irriducibile π tale che π(h) 6= π(h0 ) (infatti se cosı̀ non fosse avremmo R(h) = R(h0 ) e quindi, per ogni g ∈ G: gh = gh0 ). qed La teoria delle rappresentazioni dei gruppi topologici che stiamo qui delineando presenta forti analogie con la teoria delle C*-algebre: precisiamo questo legame: cominciamo con l’osservare che il gruppo U(H) degli operatori unitari di uno spazio di Hilbert H è sempre un gruppo topologico (anche se non è localmente compatto a meno che la dimensione di H non sia finita), come si verifica immediatamente. 14.2.11 Teorema Esiste una corrispondenza biunivoca fra le rappresentazioni unitarie continue di un gruppo topologico G e le rappresentazioni non degeneri dell’algebra di Banach L1 (G) (si noti che, in generale, L1 (G) non è una C*algebra). Dimostrazione: Sia U : G −→ U(H) una rappresentazione unitaria di G: definiamo Z 1 ∀f ∈ L (G) (x, π(f )y) := f (g)(x, U (g)y)dg Evidentemente π : L1 (G) −→ B(H) è un omomorfismo di spazi di Banach: ||π(f )|| ≤ ||f ||1 528 Capitolo 14. Gruppi topologici Vediamo che si tratta di una rappresentazione: Z Z 0 0 (x, π(f )π(f )y) = f (g)(x, U (g)π(f )y)dg = f (g)(U (g)∗ x, π(f 0 )y)dg Z Z = f (g) f 0 (h)(U (g)∗ x, U (h)y)dhdg Z Z = f (g) f 0 (g −1 h0 )(x, U (g)U (g −1 h0 )y)dh0 dg Z Z = f (g) f 0 (g −1 h0 )(x, U (h0 )y)dh0 dg = (x, π(f ) ∗ π(f 0 )y) (l’ultimo passaggio usa il teorema di Fubini). Si tratta di una *-rappresentazione: Z ∗ (y, π(f ) x) = (x, π(f )y) = f (g)(x, U (g)y)dµ(g) Z Z = f (g)(U (g)y, x)dµ(g) = f (g)(y, U (g)∗ x)dµ(g) Z dµ(g) = f (g −1 )(y, U (g)x) dµ(g) dµ(g −1 ) dµ(g) cioè f ∗ (g) = λ(g)f (g −1 ) ove λ(g) = dµ(g −1 ) . Osserviamo che U determina univocamente π, dato che U (g)π(f ) = π(fg ) (fg (h) := f (g −1 h) è la traslazione della funzione f ) e ∀x ∈ H x⊥π(f )x ⇒ f = 0 P Dunque, per densità di { i π(fi )xi } π è univocamente determinata. Viceversa, se π è una rappresentazione non degenere della *-algebra di Banach 1 L (G) allora lim ||fg − f ||1 = 0 g−→e e, dato che fg∗ ∗ hg = f ∗ h (analogamente al caso G = R) abbiamo che l’operatore U0 (g) X j π(fj )yj := X π(fj )g)yi j è isometrico e densamente definito: la sua estensione U ∈ U(H) è la rappresentazione di G voluta: le mappe U (g)π(f )x = π(fg )x 14.2. Gruppi compatti e rappresentazioni 529 Z e π(f ) = f (g)U (g)dµ(g) sono l’una inversa dell’altra qed Nel caso dei gruppi finiti, l’algebra di gruppo è una rappresentazione rispetto all’azione del gruppo su se stesso per traslazioni: nel caso di un gruppo compatto qualsiasi, questo non sarà vero che su un sottospazio di L1 (G): lo spazio delle funzioni di quadrato sommabile. Consideriamo dunque lo spazio H = L2 (G) e la rappresentazione regolare di G in H: (λ(g)x)(h) := x(g −1 h) Si tratta di una isometria, dato che Z Z −1 2 |f (g h)| dµ(h) = |f (h)|2 dµ(h) cioè λ : G −→ U(H) è una rappresentazione unitaria di G; le corrisponde quindi una rappresentazione Z (πλ (f )x, h) = f (g)x(g −1 h)dµ(g) dell’algebra L1 (G) nello spazio B(L2 (G)); osserviamo che πλ (f )x = f ∗ x per f ∈ L1 (G), x ∈ L2 (G), sicché ||f ∗ x||2 ≤ ||f ||1 ||x||2 e quindi πλ è una rappresentazione fedele (priva di nucleo), dato che ∀x ∈ L2 (G) f ∗ x = 0 ⇒ f = 0 in L1 (G) Questo si dimostra usando le identità approssimanti in L1 (G), che sono l’analogo dei nuclei di Fejér (cfr. proposizioni 7.3.7 e 7.4.5): la loro esistenza per i gruppi compatti segue dal 14.2.12 Teorema Se f ∈ L1 (G) allora, per ogni ε > 0 esiste una funzione ϕ ∈ L1 (G) tale che ||f ∗ ϕ − f ||1 < ε e ||ϕ ∗ f − f ||1 < ε 530 Capitolo 14. Gruppi topologici Dimostrazione: Consideriamo un intorno U dell’elemento neutro e ∈ G e una funzione ϕU ≥ 0 con supporto in U e tale che Z ϕU (g)dµ(g) = 1 (ad esempio basta prendere ϕU = 1 χ ); µ(U ) U Z ϕU ∗ f (g) = allora Z −1 ϕU (h)f (h g)dµ(h) = ϕU (h)fh (g)dµ(h) e quindi (il gruppo è compatto, quindi µ(G) < ∞ e possiamo supporre, a meno di normalizzare, che µ(G) = 1) ¯¯ ¯¯Z ¯¯ ¯¯Z ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ||ϕU ∗ f − f ||1 = ¯¯ ϕU (h)fh dµ(h) − f ¯¯ = ¯¯ ϕU (h)(fh − f )dµ(h)¯¯¯¯ 1 1 Z ≤ ϕU (h)||fh − f ||1 dµ(g) Per continuità della h 7−→ fh possiamo scegliere Uε tale che ∀h ∈ Uε ||fh − f ||1 < ε Z ottenendo ||ϕUε ∗ f − f || < ε ϕUε (h)dµ(h) = ε Uε In modo analogo si dimostra che ||f ∗ ϕU − f || −→ 0. qed Ora, se f ∈ L (G) allora possiamo definire la norma ridotta di f come 1 ||f ||r := ||πλ (f )|| e considerare quindi la norma ||f || := sup ||π(f )|| π Evidentemente ||f ||r ≤ ||f || e quindi possiamo considerare le C*-algebre Cr∗ (G) := L1 (G) ||.||r e ||.|| C ∗ (G) := L1 (G) che si dicono C*-algebra ridotta e C*-algebra del gruppo G: Cr∗ (G) è quoziente di C ∗ (G); osserviamo che si tratta delle C*-algebre inviluppanti di L1 (G) rispetto alle norme ||.||r e ||.||. 14.2. Gruppi compatti e rappresentazioni 531 Notiamo che, avendosi ||π(f )|| ≤ ||f ||, segue che per ogni rappresentazione π : L1 (G) −→ H, si ha π(f ) = π e|L1 (G) (f ) ove π e è l’estensione di π alla C*-algebra di G: se estendiamo la rappresentazione regolare otteniamo (dato che è fedele) la successione esatta di algebre di Banach: C ∗ (G) −→ Cr∗ (G) −→ 0 In realtà vale il seguente Teorema. ker πλ = 0 se e solo se G è amenabile. (che non dimostreremo) ove 14.2.13 Definizione Un gruppo G è amenabile se lo spazio CB (G) delle funzioni continue limitate su G è una C*-algebra commutativa con unità e se esiste uno stato ω di CB (G) invariante, cioè tale che ∀g ∈ G ω(fg ) = ω(f ) Ad esempio un gruppo commutativo è amenabile, per il teorema di Markov– Kakutani 8.3.114 , cosı̀ come ogni gruppo compatto: la misura di Haar realizza lo stato invariante sulle funzioni continue di G. Consideriamo una rappresentazione non degenere π di C ∗ (G): sappiamo che esistono le corrispondenze biunivoche π ↔ π|L1 (G) ↔ Uπ Ora dimostriamo che 14.2.14 Proposizione π è irriducibile se e solo se lo è U . Dimostrazione: Questo segue dal fatto che L1 (G) è densa in norma in C ∗ G() (per definizione) e quindi π(C ∗ (G))0 = π(L1 (G))0 e, dato che π(f ) = R f (g)U (g)dµ(g): π(L1 (G))0 = U (G)0 qed Evidentemente 4 Esempi di gruppi non amenabili sono i gruppi liberi (su almeno due generatori, ma anche SL(2), il gruppo delle matrici di ordine 2 con determinante 1). 532 Capitolo 14. Gruppi topologici 14.2.15 Proposizione π è ciclica se e solo se lo è U . Consideriamo ora gli stati S(C ∗ (G)) della C*-algebra C ∗ (G): sappiamo per la teoria GNS che corrispondono alle rappresentazioni come ω(f ) = (ξ, πω (f )ξ) Limitandoci, come è sufficiente, ad un sottoinsieme denso in C ∗ (G), ad esempio L1 (G), troviamo che Z ω(f ) = f (g)(ξ, U (g)ξ)dµ(g) pertanto gli stati corrispondono biunivocamente alle funzioni ϕ(g) := (ξ, U (g)ξ) sul gruppo. Osserviamo infatti che se f ha supporto finito allora ¯¯2 ¯¯ ¯¯ ¯¯X X ¯¯ ¯¯ f (g)U (g)ξ ¯¯ = f (g)f (h)(ξ, U (g −1 h)ξ) ¯¯ ¯¯ ¯¯ g∈G g,h∈G X = f (g)f (h)ϕ(g −1 h) ≥ 0 g,h∈G Quindi si tratta di funzioni di tipo positivo, nel senso della seguente 14.2.16 Definizione Una funzione ϕ : G −→ C si dice di tipo positivo se ϕ(e) = 1 e, per ogni f : G −→ C a supporto finito: X f (g)f (h)ϕ(g −1 h) ≥ 0 g,h∈G Il seguente teorema è l’analogo del teorema GNS per i gruppi, ed è una versione del teorema di Bochner : 14.2.17 Teorema ϕ è una funzione di tipo positivo su G se e solo se esiste una rappresentazione unitaria U : G −→ U(H) tale che ϕ(g) = (ξ, U (g)ξ) ove ξ ∈ H è un vettore ciclico per U con ||ξ|| = 1. 14.3. Gruppi a un parametro e teorema di Stone 533 Dimostrazione: Abbiamo appena osservato che la condizione è sufficiente. Sia quindi ϕ una funzione di tipo positivo e consideriamo lo spazio vettoriale delle funzioni a supporto finito (se si vuole delle successioni finite di elementi di G); su questo spazio consideriamo la forma sesquilineare X hp, qi := p(g)q(h)ϕ(g −1 h) g,h∈G Ovviamente hp, pi ≥ 0 e, quozientando per il sottospazio delle funzioni p tali che hp, pi = 0 e completando si ottiene uno spazio di Hilbert H sul quale gli operatori U (g)[p] := [pg ] (con [p] si indica la classe in H della funzione a supporto finito p) definiscono la rappresentazione unitaria richiesta. qed 14.2.18 Proposizione Se ϕ è continua in e ∈ G allora è continua in G e anche U è continua. Dimostrazione: Dimostriamo che lim ||U (g)U (h)ξ − U (h)ξ||2 = 0 g−→e Infatti, se ϕ −→ 1 per g −→ e: ||U (g)U (h)ξ − U (h)ξ|| =2 − 2 Re(U (h)ξ, U (gh)ξ) = 2 − 2 Re(ξ, U (h−1 gh)ξ) g−→e =2 − 2 Re ϕ(h−1 gh) −−−→ 0 g−→e (dato che h−1 gh −−−→ e). qed 14.3 Gruppi a un parametro e teorema di Stone Ci occupiamo ora di un caso rilevantissimo di rappresentazioni: i gruppi a un parametro, cioè le rappresentazioni del gruppo topologico R fortemente continue negli operatori unitari di uno spazi di Hilbert: il teorema di Stone 14.3.6 ne darà una classificazione completa. Consideriamo un operatore autoaggiunto A = A∗ e la trasformata di Cayley: U = S0 (A) = (A − iI)(A + iI)−1 534 Capitolo 14. Gruppi topologici Se f ∈ C0 (R) (funzioni continue nulle all’infinito, cioè il cui limite all’infinito è zero), allora, per il calcolo funzionale continuo, f (A) = g(U ) per una certa g ∈ C0 (T \ {1}) (funzioni continue nulle all’infinito sull’intervallo (0, 1): immaginiamo il toro unidimensionale S 1 come l’intervallo (0, 1) nel quale si identifichino i punti 0 e 1, cioè lo pensiamo come la compattificazione di Alexandroff di (0, 1)). Abbiamo dunque f ∈ C0 (R) 7−→ g ∈ C0 (T \ {1}) Z Inoltre f (A) = f (λ)dE(λ) (integrale alla Riemann–Stieltjes). Ora, se, per t ∈ R ft (λ) := eitλ possiamo calcolare ft (A) = eitA =: U (t) Si tratta di un operatore unitario (dato che il calcolo funzionale è uno *-omomorfismo) ed è ovvio che U (t + t0 ) = U (t)U (t0 ) t0 −→t Inoltre, per ogni λ: ft0 (λ) −−−−→ ft (λ). Ma, ogni tale f ha modulo 1e quindi le ft sono equilimitate: fortemente U (t0 ) −−−−−−→ (t) se t0 −→ t. Cioè l’insieme {U (t)}t∈R soddisfa alla seguente 14.3.1 Definizione Una famiglia {U (t)}t∈R di operatori unitari in uno spazio di Hilbert si dice gruppo ad un parametro fortemente continuo se • U (t + t0 ) = U (t)U (t0 ). fortemente • Se t0 −→ t allora U (t0 ) −−−−−−−→ U (t). L’operatore A si dice generatore infinitesimale del gruppo a un parametro. Un gruppo ad un parametro non è altro che una rappresentazione unitaria fortemente continua del gruppo additivo R. Osserviamo che per un gruppo a un parametro (fortemente continuo) la funzione t 7−→ U (t)x è continua, per ogni x ∈ H fissato e t−→∞ ||U (t) − I|| −−−−−→ 0 ⇐⇒ ||A|| < ∞ 14.3. Gruppi a un parametro e teorema di Stone 535 14.3.2 Teorema • DA = {x ∈ H | t 7−→ U (t)x è una funzione C 1 }. • Se x ∈ DA allora 1 Ax = i µ d U (t)x dt ¶ t=0 e se A = A∗ allora l’equazione di Schrödinger i d x = Ax dt possiede un’unica soluzione x tale che x(0) = x0 ∈ H, e tale soluzione è esattamente x(t) = eitA x0 Dimostrazione: (1) Siano x∈DA , tn una successione di numeri reali infinitesima (tn −→ 0) e 1 zn := (U (tn )x − x) tn Per dimostrare la (2) basta allora far vedere che zn −→ 0. Per farlo basta far vedere che • ∃z (x, zn ) −→ (x, z) (convergenza debole). • ||zn || −→ ||z||. Infatti, se valgono a) e b): ||zn − z||2 = (zn − z, zn − z) = ||zn || + ||z|| − 2 Re(z, zn ) −→ 0 Ora dimostriamo le (a) e (b). ¯¯ ¯¯2 µ ¶∗ µ ¶ ¯¯ 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ ((U (tn ) − I)x)¯¯ =(x, (U (tn ) − I) (U (tn ) − I) x) ¯¯ tn ¯¯ tn tn ¯2 Z ∞ ¯ itn λ ¯ ¯e − 1 ¯ d(x, E(λ)x) ¯ = ¯ ¯ tn −∞ Ma ¯ ¯2 à ¡ ¢ !2 ¯ itλ ¯ ¯ 2 tλ − itλ ¯ e − 1 ¯2 ¯¯ e itλ 2 − e 2 ¯ sin 2 ¯ ¯ ≤ λ2 ¯ λ2 = λ2 ¯ t ¯ = ¯¯ ¯ 2t λ2 t λ2 536 Capitolo 14. Gruppi topologici Possiamo quindi applicare il teorema della convergenza dominata di Lebesgue per passare al limite sotto il segno di integrale (λ2 è una funzione L1 rispetto alla misura d(x, E(λ)x) =) ottenendo ¯¯ ¯¯2 Z ¯¯ 1 ¯¯ ¯¯ ((U (tn ) − I)x)¯¯ −→ λ2 d(x, E(λ)x) < ∞ ¯¯ tn ¯¯ (si rammenti che x ∈ DA ). Dunque ¯¯ ¯¯2 ¯¯ 1 ¯¯ t−→0 ¯¯ ((U (t) − I)x)¯¯ −− −−→ ||Ax||2 ¯¯ t ¯¯ Ma allora 1 (x, ((U (tn ) − I)x)) = tn Z ∞ −∞ eitλ − 1 d(x, E(λ)x) −→ i t Z ∞ λd(x, E(λ)x) −∞ e quindi 1 t−→0 ((U (tn ) − I)x)) −−−−→ i(x, Ax) tn La formula di polarizzazione ci consente allora di scrivere ∀x ∈ H (x, ∀x, y ∈ H (y, 1 t−→0 ((U (tn ) − I)x)) −−−−→ i(y, Ax) tn Ponendo 1 ((U (tn ) − I)x tn otteniamo allora un elemento z(t) convergente debolmente a Ax su DA , e quindi che soddisfa le (a) e (b). Dunque la (2) è dimostrata. Ora dimostriamo la (1). Sia B tale che z(t) := DB = {x ∈ H | t 7−→ U (t)x è di classe C 1 } Osserviamo che, per ogni x ∈ DB : 1 Bx := i µ d U (t)x dt ¶ t=0 Abbiamo appena visto che B è densamente definito, dato che DA ⊂ DB e A ⊂ B; quindi per dimostrare il teorema non resta che mostrare A = B. Ma A è autoaggiunto, e se proviamo che B è hermitiano allora da A ⊂ B seguirà A = B. Che B sia hermitiano segue ovviamente da µ µ ¶ ¶ 1 d 1 (x, U (t)x) − (x, x) ∀x ∈ DB (x, Bx) = (x, U (t)x) ∈R = i dt i t t−→0 t=0 14.3. Gruppi a un parametro e teorema di Stone 537 Infatti (x, U (t)x) − (x, x) 1 (U (t)x, x) − (x, x) 1 lim = − lim i t−→0 t t µi t−→0 ¶ 1 (x, U (−t)x) − (x, x) 1 d = lim = U (t)x = (x, Bx) i t−→0 −t i dt t=0 (x, Bx) = − Quindi (x, Bx) = (x, Bx), cioè (x, Bx) ∈ R. qed Osserviamo che questo teorema è una generalizzazione al caso di dimensione infinita della teoria delle equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti: in effetti ogni tale equazione è risolta dall’esponenziale di una matrice (nel nostro caso l’operatore A). Quello che dobbiamo far vedere, per completare l’analogia, è che ogni gruppo ad un parametro si ottiene come esponenziale di un operatore, ottenendo cosı̀ una profonda generalizzazione di noti risultati sull’esponenziale delle matrici: questa generalizzazione sarà il contenuto del teorema di Stone. Studiamo ora i gruppi a un parametro fortemente continui dal punto di vista della teoria delle rappresentazioni: intanto osserviamo che la forte continuità può essere indebolita nella condizione ∀x, y ∈ H (x, U (t)y) −→ (x, y) dato che ||U (t)y|| = ||y|| (le U (t) sono isometrie). Ricordando le (a) e (b) della dimostrazione del teorema precedente abbiamo quindi che la continuità debole di U (t) implica la continuità in norma. Ora, se U : R −→ B(H) è una rappresentazione unitaria (fortemente continua) del gruppo topologico additivo dei numeri reali, fissati x, y ∈ H, la t 7−→ (x, U (t)y è lineare e continua (disuguaglianza di Schwartz) e quindi ∀f ∈ L1 (R) (x, U (t)y)f (t) ∈ L1 (R) sicché ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ (x, U (t)y)f (t)dt¯ ≤ ||x|| ||y|| ||f ||1 ¯ ¯ e, per il teorema di Riesz, esiste un unico operatore π Z π(f ) := f (t)U (t)dt 538 Capitolo 14. Gruppi topologici lineare e continuo con ||π(f )|| ≤ ||f ||1 . Allora, per ogni f, g ∈ L1 (R): Z Z (y, π(f )π(g)x) = f (t)(y, U (t)π(g)x)dt = f (t)(U (−t)y, π(y)x)dt ¶ µZ Z 0 0 0 = f (t) g(t )(y, U (t + t )x)dt dt Z Z = f (t)g(t0 )(y, U (t + t0 )x)dt0 dt Ma f (t)g(t0 )(y, U (t + t0 )x) ∈ L1 (R × R) come si è detto, quindi possiamo applicare il teorema di Fubini e dedurre: Z (y, π(f )π(g)x) = f (t)g(s − t)(y, U (s)x)dtds (per s = t + t0 ). In altri termini π(f )π(g) = π(f ∗ g) (prodotto di convoluzione). Inoltre Z Z ∗ (y, π(f ) x) = (x, π(f )y) = f (t)(x, U (t)y)dt = f (t)(y, U (−t)x)dt cioè, se f ∗ (t) := f (−t), π(f )∗ = π(f ∗ ) Quindi abbiamo dimostrato il 14.3.3 Lemma π è una rappresentazione dell’algebra di Banach L1 (R) (rispetto al prodotto di convoluzione). Dimostriamo che π è non degenere; se x ∈ {π(f )y | f ∈ L1 (R), y ∈ H}⊥ allora Z ∀f (x, π(f )x) = 0 ⇒ f (t)(x, U (t)x)dt = 0 cioè (x, U (t)x) = 0 q.o. e, per continuità, (x, U (t)x) = 0 ovunque. Quindi x = 0 e U (1) = I. Ora invertiamo questa costruzione: data una rappresentazione non degenere di L1 (R) ricostruiamo U (t): Z Z 0 0 0 (x, U (t)π(f )y) = f (t )(x, U (t + t )y)dt = f (s − t)(x, U (s)y)ds =π(ft )) 14.3. Gruppi a un parametro e teorema di Stone 539 (si rammenti che ft (s) := f (s − t)). Ma la misura di Lebesgue è invariante per traslazioni e quindi t−→0 ||ft − f ||1 −−−−→ 0 =⇒ U (t)π(f )y = π(ft )y e quindi abbiamo una mappa iniettiva ¾ ½ gruppi ad un parametro −→ {π : L1 (R) −→ B(H) non degeneri} fortemente continui Dimostriamo che si tratta di una mappa biunivoca: 14.3.4 Teorema I gruppi unitari ad un parametro fortemente continui corrispondono biunivocamente alle rappresentazioni unitarie non degeneri dell’algebra di Banach L1 (R). Dimostrazione: Consideriamo π come rappresentazione non degenere dell’algebra di Banach L1 (R) (ricordiamo che dato che L1 (R) è l’algebra di gruppo di R, le rappresentazioni del gruppo e quelle dell’algebra si corrispondono biunivocamente) e sia U (t)π(f )y := π(fy )y (dato che la rappresentazione è non degenere l’insieme {π(f )y}y∈H è denso, quindi ci basta aver definito U (t) sugli elementi della forma π(f )y). Dimostriamo che si tratta di un gruppo ad un parametro fortemente continuo: intanto definisce una famiglia ad un parametro di operatori unitari (basta all’uopo far vedere che sono lineari isometrici). Infatti Z Z ∗ 0 0 0 (ft )(s )gt (s − s )ds = ft (−s0 )gt (s − s0 )ds0 Z = f (−(s0 + t))g(s − (s0 + t))ds0 sicché ft∗ ∗ gt = f ∗ ∗ g da cui π(ft∗ ∗ gt ) = π(f ∗ ∗ g) cioè π(ft )∗ π(gt ) = π(f )∗ π(g), dunque (π(ft )x, π(gt )y) = (π(f )x, π(g)y) 540 Capitolo 14. Gruppi topologici Quindi la famiglia ad un parametro {U (t)} è unitaria: è inoltre un gruppo ad un parametro, dato che U (t0 )U (t)π(f )x = π ((ft )t0 ) x = π(ft+t0 )x = U (t + t0 )π(f )x Dimostriamo infine che è fortemente continua: abbiamo che ||U (t)π(f )x − π(f )x|| = ||π(ft )x − π(f )x|| = ||π(ft − f )x|| ≤ ||ft − f ||1 ||x|| e ||ft − f ||1 −→ 0, pertanto ||U (t)y − y|| −→ 0 Il gruppo ad un parametro U (t) dà luogo, per tramite della costruzione precedente, alla rappresentazione π: Z Z U (t)g(t)dtπ(f )x = g(t)π(ft )xdt e, per definizione di convoluzione: Z Z π(g ∗ f )x = π( g(t)ft dt) = U (t)g(t)dtπ(f )x qed Notiamo che abbiamo utilizzato il fatto che ||π(f )|| ≤ ||f ||1 (uno *-omomorfismo di un’algebra di Banach in una C*-algebra è una contrazione). Il seguente criterio ci permette di semplificare questo risultato nel caso di spazi di Hilbert separabili: 14.3.5 Teorema (von Neumann) Se U : R −→ B(H) è una rappresentazione unitaria di R su uno spazio di Hilbert separabile allora t 7−→ (x, U (t)y) è misurabile secondo Lebesgue e la rappresentazione unitaria è fortemente continua. Dimostrazione: Per ipotesi ha senso definire π come Z (x, π(f )y) := f (t)(x, U (t)y)dt in modo da ottenere una rappresentazione di L1 (R); se questa rappresentazione è non degenere allora Z π(f ) = f (t)V (t)dt 541 14.3. Gruppi a un parametro e teorema di Stone e V è fortemente continua. Quindi non resta che dimostrare che π è non degenere. Per separabilità di H, esiste una successione {yn } densa; se x è tale che ∀n x⊥π(f )y − n Z allora ∀f ∈ L (R) 1 (x, U (t)yn )f (t)dt = 0 cioè per ogni n (x, U (t)yn ) = 0 q.o. e quindi (x, U (t)yn ) = 0 in R \ Nn ove Nn è un insieme di misura nulla. Dato che [ N := Nn n ha ancora misura nulla, ∀t ∈ R \ N (x, U (t)yn ) = 0 e quindi (dato che x è ortogonale a tutti i π(f )yn : x = 0. qed L’ipotesi di separabilità è irrinunciabile: se ad esempio H = l (R) allora per 2 (U (t)x)(s) := x(s − t) la funzione (x0 , U (t)x) è misurabile secondo Lebesgue, ma la U si guarda bene dall’essere fortemente continua. 14.3.6 Teorema (Stone) Se U : R −→ B(H) è una rappresentazione unitaria fortemente continua di R allora esiste un unico operatore A autoaggiunto tale che U (t) = eitA Dimostrazione: Abbiamo visto (teorema 14.3.4) che dare un gruppo ad un parametro fortemente continuo è come dare una rappresentazione non degenere π : L1 (R) −→ B(H) tale che Z π(f ) = f (t)U (t)dt (e quindi ||π(f )|| ≤ ||f ||1 ). Se consideriamo lo spazio Cc∞ (R) delle funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto, sappiamo che è denso in L1 (R) e quindi l’insieme {π(f )}f ∈Cc∞ (R) 542 Capitolo 14. Gruppi topologici è un’algebra non degenere, dato che ∀x ∈ H π(Cc∞ (R))x = π(L1 (R))x 3 x Ore definiamo A come 1 Ax := i µ ¶ d U (t) (x) dt t=0 Dimostriamo che DA è denso, osservando che DA = {x ∈ H | t 7−→ U (t)(x) ∈ C 1 (R)} e che, se 1 A0 := i con µ d U (t) dt ¶ t=0 D0 = {π(f )x | x ∈ H , f ∈ Cc∞ (R)} allora D0 è denso, dato che U (t)π(f )x = π(fy )x e Ma, dato che 1 i µ ¶ d π(ft − f ) 1 U (t) (x) y = lim t−→0 dt i t t=0 1 (ft − f ) −→ f 0 in L1 (R), si ha t π(ft − f ) ||.|| π(ft − f ) −−−→ π(f 0 ) =⇒ x −→ π(f 0 )x t t quindi D0 è denso. Abbiamo cioè che (1) A0 è densamente definito. e vogliamo dimostrare inoltre che (2) A0 è hermitiano; (3) A0 è essenzialmente autoaggiunto; (4) A0 = A0 ; Cominciamo con la (2). Se f, g ∈ Cc∞ (R) e y1 := π(f )x e y2 := π(g)y dimostriamo che (y1 , A0 y2 ) = (A0 y1 , y2 ) 14.3. Gruppi a un parametro e teorema di Stone In effetti 543 1 1 (y1 , A0 y2 ) = (π(f )x, π(g 0 )y) = (x, π(f ∗ ∗ g 0 )y) i i e 1 1 (A0 y1 , y2 ) = ( π(f 0 )x, π(g)y) = − (x, π(f 0∗ ∗ g)y) i i ∗ 0 0∗ Basta allora dimostrare che f ∗g = f ∗g per avere la (2), il che è semplicemente la regola di integrazione per parti combinata con la definizione di convoluzione (tenendo conto che f e g hanno supporto compatto). Z Z ∗ 0 ∗ 0 (f ∗ g )(t) = f (s)g (t − s)ds = − f ∗ (s)dg Z Z ∗ ∗ = (f g)|∂K − g(s)df = g(t − s)df ∗ Z = f 0∗ (s)g(t − s)ds = (f 0∗ ∗ g)(t) (ove K = supp f ∩ supp g è compatto). Dimostriamo la (3): abbiamo U (t)D0 = D0 dato che U (t)π(f )x = π(ft )x (se f ∈ Cc∞ (R) anche ft ∈ Cc∞ (R)) e viceversa. Ora, se A∗0 z = ±iz ha come unica soluzione z = 0 abbiamo la (3); ma (U (t)x, A∗0 z) = (U (t), ±iz) e (U (t)x ∈ D0 ) (U (t)x, A∗0 z) = (A0 U (t)x, z), sicché (A0 U (t)x, z) = ±i(U (t)x, z) Si ricordi ora che A0 U (t)y = dato che A0 π(ft )x = 1 d U (t)y i dt 1d 1d π(ft )x = U (t)y i dt i dt e quindi 1d (U (t)x, z) i dt Ne segue che ξ := (U (t)x, z) soddisfa l’equazione (A0 U (t)x, z) = ξ 0 = ∓ξ dunque ξ(t) = ce∓t e |ξ(t)| ≤ ||U (t)x|| ||z|| = ||x|| ||z|| = costante 544 Capitolo 14. Gruppi topologici il che è possibile se e solo se c = 0 e quindi z = 0 (dato che è ortogonale ad un insieme denso). Ne segue la (3). Infine dimostriamo (4). Se A := A0 ha senso considerare eitA che è un gruppo ad un parametro fortemente continuo di operatori unitari; vogliamo dimostrare che per ogni y ∈ D0 (che è denso) si ha che w(t) := eitA y − U (t)y è zero per ogni t ∈ R. Intanto w(0) = 0 per definizione; inoltre d ||w(t)||2 = 0 dt dato che w(t) è ”C 1 in norma” e quindi d d ||w(t)||2 = (w(t), w(t)) = (w0 (t), w(t)) + (w(t), w0 (t)) dt dt e w0 (t) = (eitA y − U (t)y)0 = iAeitA y − iA0 U (t)y Per U (t)y generico in D0 e A = A0 (in particolare A0 ⊂ A), abbiamo che, su D0 , A = A0 , e quindi w0 (t) = iAeitA y − iA0 U (t)y = iAw(t) Dunque d ||w(t)||2 = i ((w(t), Aw(t)) − (Aw(t), w(t))) = 0 dt (A è hermitiano). Allora ||w(t)|| = 0 (è nullo in 0 e ha derivata nulla, quindi è costante) e quindi w(t) = 0. Ne segue eitA = U (t) qed Traiamo alcune conseguenze da questo importante risultato. Se A = A , allora i seguenti oggetti si determinano univocamente a due a due (dare l’uno equivale a dare l’altro): ∗ • Un operatore unitario U con 1 ∈ / σ(U ); • Una famiglia spettrale {E(λ)}; • Una rappresentazione ρ : f 7−→ f (A) di C0 (R) non degenere; • Un gruppo ad un parametro unitario fortemente continuo {U (t)}; 14.3. Gruppi a un parametro e teorema di Stone 545 • Una rappresentazione π della *-algebra di Banach L1 (R); ove, se A è limitato allora nel caso (1) 1 ∈ / σ(A), nel caso (2) supp E è compatto, nel caso (3) supp ρ è compatto, nel caso (4) t 7−→ U (t) è uniformemente continua. Si passa dall’operatore A all’unitario U con la trasformata di Cayley, da questo alla famiglia spettrale con la formula di decomposizione spettrale, da questa alla rappresentazione ρ con il calcolo funzionale continuo, da questa al gruppo U (t) con il teorema di Stone 14.3.6 e da questo alla rappresentazione π col teorema 14.3.4. Consideriamo ora una n-pla di operatori essenzialmente autoaggiunti A1 , ..., An tali che P eitA1 · · · eitAn = eit k Ak Questa scelta determina un gruppo a n parametri fortemente continuo U (t) = eitA1 · · · eitAn = eit P k Ak Ponendo ∀λ ∈ R Ut (λ) := U (λt) otteniamo una rappresentazione del gruppo (topologico) additivo dei numeri reali: λ 7−→ eiλAt ove At = X tk Ak k In questo modo otteniamo una generalizzazione della teoria fin qui svolta da R a Rn (che è sempre un gruppo topologico5 abeliano localmente compatto): ci si potrebbe spingere più oltre e generalizzare questa costruzione ad un gruppo di Lie6 G parametrizzando gli operatori A con gli elementi u dell’algebra di Lie del gruppo ed ottenendo M (exp λx) = eiλAx e [Au , A − v] = iA[u,v] (cioè una rappresentazione dell’algebra di Lie di G). Concludiamo questa discussione sui gruppi ad un parametro con un n-esimo teorema di von Neumann. Osserviamo preliminarmente che, riandando alla dimostrazione del teorema di Stone 14.3.6, abbiamo che da D0 ⊂ DA e eitA D0 = D0 5 6 Per una discussione di questi gruppi, cfr. il capitolo ??. Fra due capitoli si daranno dei cenni su gruppi e algebre di Lie. 546 Capitolo 14. Gruppi topologici (ricordiamo che A = A∗ ) segue che A|D0 è essenzialmente autoaggiunto: cioè D0 un cono per A. Per ogni f ∈ L1 (R) abbiamo Z Z f (t)U (t)dt = f (t)eitA dt Z Ma itA e sicché eitλ dE(λ) = Z Z f (t)U (t)dt = Z f (t) eitλ dE(λ)dt Inoltre, se ¶ µZ Z Z Z itλ e d(x, E(λy) dt (x, f (t)U (t)dty) := f (t)(x, U (t)y)dt = f (t) e quindi, dato che eitλ è continuo teorema di Fubini: Z Z (x, f (t)U (t)dty) = Z = e di norma 1 e f ∈ L1 , possiamo applicare il Z f (t)eitλ dtd(x, E(λ)y)) Z b f (λ)d(x, E(λ)y) = (x, fbdE(λ)y) Osserviamo che, per il lemma di Riemann–Lebesgue 7.4.9, funzionale di A con fb. In definitiva: Z π(f ) = f (t)U (t)dt = fb(A) = ρ(fb) R fbdE(λ) è il calcolo Se U (t) è unitario allora R(n) := U n è una rappresentazione del gruppo additivo Z e, considerando la proiezione ortogonale E0 sul sottospazio ker(I − U ) allora N 1 X n E0 = s-lim U N −→∞ 2N n=−N come già sappiamo. 14.3. Gruppi a un parametro e teorema di Stone 547 14.3.7 Teorema (Ergodico di von Neumann) Se {U (t)} è un gruppo ad un parametro fortemente continuo di operatori unitari in uno spazio di Hilbert e se E0 è la proiezione sul sottospazio dei vettori invarianti di U (t): {x ∈ H | ∀t ∈ R U (t)x = x} allora 1 E0 = s-lim N −→∞ 2N Z N U (t)dt −N Dimostrazione: Siano µ 1 g := χ[−1,1] 2 Allora Z 1 2N e gn (t) := g ¶ 1 N Z N U (t)dt = −N Ma, se f ∈ L1 (R) è tale che t N gn (t)U (t)dt Z f (t)dt = 1 e se fN := 1 f (t/N ) N allora Z n−→∞ fN (t)U (t)dt −−−−−→ E0 fortemente. Infatti, per il teorema di Stone 14.3.6, U (t) = eitA e Z gc gN (t)U (t)dt N (A) = dunque {c gN } è equilimitata e converge puntualmente a χ{0} , il che si dimostra come segue: µ ¶ Z t t dt iN λN e g = gc N (λ) N N da cui gc b(N λ); dunque, se λ = 0 allora gb(0) = gc N (λ) = g N (0), mentre se λ 6= 0 allora lim gc b(N λ) = 0 N (λ) = lim g N N per il lemma di Riemann–Lebesgue. Ne segue che {c gN } è equilimitata e converge a R zero puntualmente; ma gb(0) = g(t)dt = 1 (per scelta di f ) e gc N è uniformemente limitata. Allora gc N (A) −→ χ{0} (A) = E{x∈H | Ax=0} 548 Capitolo 14. Gruppi topologici Ma {x | Ax = 0} = {x |, U (t)x = x} (dato che x ∈ DA ⇐⇒ U (t)x è derivabile con derivata continua in t e U 0 (t)x = iAU (t)x = iU (t)Ax. Quindi N −→∞ gc N (A) −−−−−→ E0 fortemente. qed 14.4 Vettori analitici Vogliamo dare in questa sezione una applicazione importantissima del teorema di Stone: il teorema di Nelson, che fornisce un criterio affinché un operatore sia essenzialmente autoaggiunto. Cominciamo col ricordare una definizione formulata in precedenza en passant: 14.4.1 Definizione Se A è un operatore lineare su uno spazio di Banach X, un vettore x ∈ X si dice analitico se x ∈ C ∞ (A) (cioè se per ogni n x ∈ DAn ) e se esiste λ > 0 tale che X λn ||An x|| < ∞ n! n≥0 P n ovvero se la serie n (iλ) /n! An x ha raggio di convergenza maggiore di zero. Se A è autoaggiunto possiamo trovare moltissimi vettori analitici: per il teorema spettrale Z ∗ A = A = λdE(λ) e quindi, se Hn := E[−n,n] H = (E(n) − E(−n))H e Hω = [ n (ovviamente R = ∪n [−n, n]) allora ∀x ∈ Hω x è analitico per A e il raggio di convergenza della serie X (iλ)n n≥0 è infinito. n! An x Hn 549 14.4. Vettori analitici 14.4.2 Definizione Se per un vettore analitico x il raggio di convergenza della serie X (iλ)n An x n! n≥0 è infinito, x si dice intero. Torniamo ora al nostro esempio x ∈ Hω : esiste n tale che x ∈ Hn , quindi An := A|Hn è autoaggiunto e limitato (infatti ||An || ≤ n dato che |(x, Ax)| ≤ n); ma, per ogni n: Hn ⊂ DA , dato che se x ∈ Hn allora Z Z n 2 λ d(x, E(λ)x) = λ2 d(x, E(λ)x) < ∞ −n Quindi Hω ⊂ DA . Inoltre ogni vettore di Hn è autovettore di A e quindi AHn ⊂ Hn , sicché per ogni x ∈ Hn : x ∈ C ∞ (A) a Akn x = Ak x. Ma X (iλ)m X (iλ)m iλAn Am x = Am x nx = e m! m! m≥0 m≥0 (il raggio di convergenza è, in questo caso, infinito). Dunque ogni elemento di Hω è un vettore analitico per A. Ne segue, dato che Hω = H: 14.4.3 Proposizione Se A è autoaggiunto possiede un insieme denso di vettori analitici. Osserviamo che, se x è un vettore analitico e eitA x = X (iλ)n n≥0 n! An x Per quel che sappiamo sui gruppi ad un parametro: x ∈ DA ⇐⇒ t 7−→ U (t)x ∈ C 1 (R) e quindi x ∈ DAn ⇐⇒ t 7−→ U (t)x ∈ C n (R) In particolare x ∈ C ∞ (A) ⇐⇒ t 7−→ U (t)x ∈ C ∞ (R) 550 Capitolo 14. Gruppi topologici 14.4.4 Teorema Se A è autoaggiunto, un vettore x ∈ C ∞ (A) è analitico per A se e solo se la funzione t 7−→ U (t)x è analitica, cioè è la restrizione a R di una funzione olomorfa in {| Im z| < δ} (ove δ è il raggio di convergenza della serie 14.4.1). Dimostrazione: Sia A autoaggiunto e x ∈ C ∞ (A). Se x è analitico allora, per ogni y ∈ H: à ! à ! X (it)n X (it)n Anm x, y = − Anm y, x = (e−itAm y, x) n! n! n≥0 n≥0 (per continuità passiamo il prodotto scalare sotto il segno di sommatoria). Ma Z itAm itA e y = e y = eitλ dE(λ)y (avendosi E(λ)y = Em (λ)y, ove Em (λ) è la famiglia spettrale associata a Am ), quindi (y, X (it)n n≥0 n! Anm x) = ( X (−it)n n≥0 n! Anm y, x) = (e−itA y, x) = (U (−t)y, x) = (y, U (t)x) Cioè U (t)x = X (it)n n≥0 n! Anm x Ma, se t = z con |z| < δ allora questa serie definisce nel disco {|z| < δ} una funzione analitica e quindi, per |t| < δ è la restrizione di una funzione olomorfa nel disco. Se xλ = U (t)x e se ripetiamo il ragionamento, allora questa funzione olomorfa è definita nel disco di centro λ e raggio δ: possiamo, al variare di λ, descrivere con l’unione di questi dischi l’intera striscia di piano {| Im z| < δ} e, quindi, per continuazione analitica, abbiamo il teorema. qed Ora dimostriamo il risultato chiave sui vettori analitici: 14.4.5 Teorema (Nelson) Se A ⊂ A∗ possiede un insieme totale di vettori analitici allora è essenzialmente autoaggiunto. 551 14.4. Vettori analitici Dimostrazione: Ci basta mostrare che se x è un vettore analitico per A allora è un vettore di unicità, e quindi applicare il criterio di Nussbaum. Ricordiamo che un vettore differenziabile x ∈ C ∞ (A) si dice vettore di unicità per A ⊂ A∗ se Ax := A|Dx (ove Dx è il sottospazio generato dall’insieme {An x}) è un operatore (densamente definito in Hx = Dx ) essenzialmente autoaggiunto in Hx . Consideriamo dunque un vettore x analitico per A e l’operatore Ax : osserviamo che, su Hx esiste un operatore antiunitario V definito come V : aAn x 7−→ aAn x sui generatori (gli elementi di Dx ) ed estendendo per linearità e continuità a tutto Hx ; per definizione V Ax = Ax V e quindi, per il criterio di von Neumann 13.4.1 Ax possiede un’unica estensione autoaggiunta H = H ∗ ; allora x è analitico per H, dato che Anx x = H n x e An x = Anx x, cioè A(An x) = Ax (An x) = H(An x) e quindi x è analitico per H. Allora (se |t| < δ): eitH x = X (it)n n≥0 n! H nx = X (it)n n≥0 n! An x sicché eitH x non dipende dall’estensione H ma solo da A, se |t| < δ; tuttavia, per t qualsiasi, possiamo scrivere eitH = eiH(t1 +...+tn ) con |ti | < δ. Quindi tutte le estensioni autoaggiunte di Ax danno luogo al medesimo gruppo ad un parametro eitH e dunque, per il teorema di Stone 14.3.6, esiste un’unica estensione autoaggiunta di Ax ; ma (criterio di Von Neumann 13.4.1) Ax ne possiede almeno una. quindi è essenzialmente autoaggiunto e x è un suo vettore di unicità. qed Consideriamo una applicazione del teorema di Nelson. Sia µ una misura regolare positiva sull’asse reale R con supporto in un intervallo compatto I: allora è univocamente determinata dai suoi momenti Z qn := λn dµ(λ) I al variare di n ∈ N (per il teorema di Stone–Weierstrass 9.2.9 e la densità delle funzioni continue in I nell’algebra L1 (I)). 552 Capitolo 14. Gruppi topologici Ci chiediamo se questo sia vero per una misura a supporto non compatto: se µ è semplicemente una misura regolare positiva su R e Z an := λn dµ(λ) R possiamo formulare il problema dei momenti (Hamburger): data una successione {an } esiste una misura regolare positiva su R della quale i momenti siano gli elementi della successione? Intanto possiamo osservare che, se una tale misura esiste, allora per ogni polinomio p ∈ C[z]: Z |p(λ)|2 dµ(λ) ≥ 0 e che, se p(z) = P n cn z n allora ¯2 Z ¯¯X Z ¯ X ¯ n¯ cn cm λn+m dµ(λ) cn λ ¯ dµ(λ) = 0≤ ¯ ¯ ¯ n,m n R cosı̀ che an+m = λn+m . in altri termini, la X cn cm an+m ≥ 0 n,m è una condizione necessaria per l’esistenza della misura µ. Il risultato interessante è che questa condizione è anche sufficiente. 14.4.6 Teorema Il problema dei momenti ammette soluzione per una successione {an } se e solo se N X cn cm an+m ≥ 0 n,m=1 per ogni N ∈ N e c1 , ..., cN ∈ C. Dimostrazione: L’idea è di scrivere an = (ξ, An0 ξ) per qualche operatore hermitiano A0 che ammette estensioni autoaggiunte e tale che ξ ∈ C ∞ (A): infatti avremmo in questo caso Z n an = (ξ, A ξ) = λn d(ξ, E(λ)ξ) 553 14.4. Vettori analitici per ogni estensione A0 ⊂ A = A∗ . Consideriamo dunque lo spazio vettoriale X delle funzioni c : N −→ C a supporto finito (i coefficienti cn ) col prodotto ∞ X 0 (c, c ) := cn cm an+m m,n=0 (si tratta di una forma sesquilineare semidefinita positiva per ipotesi). Se N = {c ∈ X | (c, c) = 0} allora sullo spazio vettoriale X/N la forma sesquilineare diviene una struttura prehilbertiana: sia H lo spazio di Hilbert ottenuto completando questo spazio prehilbertiano. Definiamo su X l’operatore (A0 c)(n) := cn−1 (con (A0 c)(0) := 0). Dato che, se (c, c) = 0 allora A0 c = 0 A0 induce su X/N un operatore, che è hermitiano: infatti 0 (c , A0 c) = = = ∞ X c0n (A0 c)(m)an+m ∞ X = c0n cm−1 an+m n=0,m=1 n,m=0 ∞ X ∞ X n,l=0 ∞ X n,l=0 ∞ X c0n cl an+l+1 = c0n cl a(n+1)+l c0k−1 cl ak+l = k=1,l=0 =(A0 c0 , c) (A0 c0 )(k)cl ak+l k=0,l=0 Abbiamo dunque un operatore densamente definito A0 su H (DA0 = X/N ). Ora consideriamo gli elementi di X: ei : N −→ X tale che ei (n) = δin Ovviamente A0 ei = ei+1 ; se ξ = e0 è la sua classe di equivalenza in H, allora ξ ∈ C ∞ (A0 ) e (ξ, Ak0 ξ) = (e0 , ek ) = (e0 , ek ) = ∞ X n,m=0 e0 (n)ek (m)an+m = ∞ X n,m=0 δ0n δkm an+m = ak 554 Capitolo 14. Gruppi topologici Dunque ξ è un vettore ciclico oltre che differenziabile per A0 : ne segue che l’operatore hermitiano A0 ammette estensioni autoaggiunte. qed ∗ Osserviamo che, se A0 ⊂ A = A nella dimostrazione precedente, allora A induce una rappresentazione dell’algebra C(R) π(f ) := f (A) che ha ξ come vettore ciclico, dato che An ξ = s-lim fk (A)ξ k−→∞ se fk ∈ C0 (R) è una funzione nulla all’infinito. Quindi, per la teoria GNS, la rappresentazione è univocamente determinata da uno stato Z ω(f ) := (ξ, f (A)ξ) = f (λ)dµ(λ) Dunque le estensioni autoaggiunte sono in corrispondenza biunivoca con le misure regolari, la cui unicità equivale all’essere A0 essenzialmente autoaggiunto. Ma per il teorema di Nelson A0 è essenzialmente autoaggiunto perché X/N è un insieme di vettori analitici. 14.5 Gruppi commutativi e dualità di Pontriagin Vogliamo infine giustificare l’affermazione fatta in calce al capitolo, secondo la quale è possibile generalizzare la teoria di Fourier al caso di un gruppo commutativo localmente compatto qualsiasi. 14.5.1 Definizione Un morfismo fra i gruppi topologici G e H è una funzione ϕ : G −→ H continua che sia un morfismo di gruppi. Ovviamente i gruppi topologici e i loro morfismi definiscono una categoria. Combinando le proprietà delle applicazioni continue e dei morfismi di gruppi si ottengono le proprietà dei morfismi di gruppi topologici: ad esempio, il nucleo ker ϕ = {g ∈ G | ϕ(g) = e} di un morfismo di gruppi topologici è un sottospazio chiuso (per continuità della ϕ) di G e lo spazio quoziente G/ ker ϕ è un gruppo topologico isomorfo all’immagine im ϕ; ovviamente un isomorfismo di gruppi topologici è un omeomorfismo che sia un morfismo di gruppi. Particolare interesse hanno certi morfismi associati ad un gruppo G: 14.5.2 Definizione Se G è un gruppo topologico, un carattere è un morfismo χ : G −→ T del gruppo topologico G nel gruppo topologico T. 14.5. Gruppi commutativi e dualità di Pontriagin 555 In altri termini un carattere di G è una funzione continua a valori complessi tale che • |χ(g)| = 1 • χ(gh) = χ(g)χ(h) Osserviamo che l’insieme dei caratteri di un gruppo topologico è ancora un gruppo topologico: infatti il prodotto χ1 χ2 di due caratteri soddisfa ancora le (1)-(2) e quindi è un carattere; lo stesso vale per l’inverso, definito come χ−1 := χ (complesso coniugato). Rispetto a queste operazioni, l’insieme b := {χ : G −→ T | χ carattere} G b è uno spazio topologico: basta definire la convergenza è un gruppo. Inoltre, G di una successione {χn } come la convergenze uniforme sui compatti K ⊂ G; in b è data dagli insiemi altri termini, una base di intorni dell’identità e ∈ G b | |χ(g)| < ε}g∈K {χ ∈ G al variare di K fra i compatti di G. Come accade per gli spazi vettoriali topologici, la topologia su un gruppo topologico è completamente determinata una volta che sia data intorno all’elemento e: infatti le traslazioni sono per definizione continue, e, se g ∈ G, e U è un intorno di e allora gU è un intorno di g. b è a sua volta un gruppo topologico: infatti se Rispetto a questa topologia, G χ1 , χ2 , χ3 e χ4 sono caratteri di G, per ogni g ∈ G si ha (denotiamo additivamente la moltiplicazione in T, che immaginiamo come la circonferenza unitaria nel piano b complesso e moltiplicativamente quella in G) |χ3 (x)χ4 (x) − χ1 (x)χ2 (x)| =|(χ3 (x) − χ1 (x))χ4 (x) − χ1 (x)(χ4 (x) − χ2 (x))| ≤|χ3 (x) − χ1 (x)| + |χ4 (x) − χ2 (x)| (dato che χ(x) ∈ T si tratta di numeri complessi di modulo 1) e da questo scende la continuità del prodotto (la continuità del passaggio all’inverso è ovvia). b è indotta dalla topologia su CB (G) (funzioni Osserviamo che la topologia di G continue e limitate su G) data dalle seminorme pK (f ) = sup |f (g)| g∈K b ,→ CB (G). Infatti G b è commutativo, dato che lo è T: Inoltre G (χ1 χ2 )(g) = χ1 (g)χ2 (g) = χ2 (g)χ1 (g) = (χ2 χ1 )(g) Calcoliamo il gruppo dei caratteri degli esempi che abbiamo dato: 556 Capitolo 14. Gruppi topologici b è isomorfo al gruppo topologico T. 14.5.3 Teorema Il gruppo topologico Z b e T: Dimostrazione: Intanto stabiliamo una corrispondenza biunivoca fra Z un carattere χ : Z −→ T è completamente determinato dal valore che assume su 1 ∈ Z, dato che ∀n ∈ Z χ(n) = χ(1 + ... + 1) = χ(1)...χ(1) = χ(1)n (il prodotto in G = Z è la somma +). Per il resto, la funzione χ : Z −→ T è completamente arbitraria: ne segue che per ogni z ∈ T esiste un carattere di Z, determinato dalla χz (1) := z Ovviamente se χz (1) = χw (1) allora z = w e quindi abbiamo una corrispondenza biunivoca χ b ←− Z −→ T Di più, abbiamo che χz 1 z 2 = χz 1 χz 2 e quindi questa corrispondenza biunivoca è un isomorfismo di gruppi. Resta da verificare che si tratta di un omeomorfismo di spazi topologici. Ma Z ha la topologia discreta: quindi i suoi compatti sono precisamente gli insiemi b è, per definizione, quella punto per punto. In finiti e dunque la convergenza in Z particolare: χzn −→ χz ⇐⇒ χzn (1) −→ χz (1) il che accade se e solo se zn −→ z. qed b è isomorfo al gruppo topologico R. 14.5.4 Teorema Il gruppo topologico R Dimostrazione: Per ogni fissato λ ∈ R, la funzione χλ : R −→ T x 7−→ e2πiλx è un carattere di R: ma ogni altro carattere di R è di questa forma (per il teorema di Stone 14.3.6 nel caso dello spazio di Hilbert H = C), pertanto χλ ←→ λ è b che ovviamente è un omeomorfismo, ed un una una mappa biunivoca R −→ R, morfismo di gruppi topologici: χλ+µ (t) = ei(λ+µ)t = eiλt eiµt = χ(λ)χ(µ) qed 14.5. Gruppi commutativi e dualità di Pontriagin 557 Possiamo stabilire dei semplici risultati sulla dualità nei gruppi abeliani: ricordiamo che se H è un sottogruppo di G (gruppo abeliano), un elemento g ∈ G b se χ(x) = 1. Se G è topologico e S è un si dice ortogonale a un elemento χ ∈ G b ortogonali a tutti gli elementi di suo sottoinsieme, l’insieme degli elementi χ ∈ G ⊥ S si dice annullatore di S e si denota S . Si tratta ovviamente di un sottogruppo b chiuso in G. 14.5.5 Lemma Se G è un gruppo topologico localmente compatto abeliano e H è un sottogruppo chiuso di G, il duale del gruppo7 quoziente, è isomorfo b all’annullatore di H in G. Dimostrazione: Consideriamo l’epimorfismo canonico p : G −→ G/H ed il suo duale [ −→ G b pb : G/H [ e g∈G. Allora pb è un monomorfismo definito come pb(χ)(g) = χ(p(g)) ove χ∈ G/H di gruppi: se pb(χ) = 1 allora χ(p(g)) = 1 e quindi χ ∈ H ⊥ , i.e. è il carattere 1 in [ inoltre im pb = H ⊥ : infatti un carattere χ ∈ G b è della forma p(χ0 ) se e solo G/H; se χ è 1 su H. Infine pb è un omeomorfismo: è aperta perché p è continua ed è continua perché p è aperta. qed 14.5.6 Proposizione Il duale di un gruppo finito è isomorfo al gruppo stesso. Dimostrazione: Il duale di Zn è isomorfo all’annullatore in T di nZ ⊂ Z: si tratta quindi del sottogruppo di T, immagine, per mezzo della mappa canonica R −→ R/Z = T, del sottoinsieme dei numeri reali x tali che e2πixn = 1 Si vede facilmente che questo gruppo è ciclico di ordine n, e ne deduciamo che il duale di un gruppo ciclico è isomorfo al gruppo stesso; combinando questo risultato col noto teorema di Algebra secondo il quale ogni gruppo abeliano finito è prodotto di gruppi ciclici, otteniamo la tesi qed Dato che, ovviamente 7 Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale, quindi il quoziente è sempre un gruppo. 558 Capitolo 14. Gruppi topologici 14.5.7 Proposizione Il duale di un prodotto di gruppi è il duale dei prodotti. cn = Rn , T cn = Zn e Z cn = Tn : in particolare osserviamo che ognuno abbiamo che R di questi gruppi è isomorfo al suo biduale (nel caso di Rn questa non è altro che la dualità canonica fra uno spazio vettoriale ed il suo biduale). In generale è vero il seguente 14.5.8 Teorema (dualità di Pontriagin) Il duale del duale di un gruppo topologico G è canonicamente isomorfo al gruppo stesso. In altri termini si tratta di una vastissima generalizzazione dell’isomorfismo canonico fra uno spazio vettoriale ed il suo biduale, al caso di un gruppo topologico commutativo qualsiasi: b∼ b G =G Per la dimostrazione si veda ad esempio [32] oppure, per una dimostrazione che usi l’Analisi Funzionale, [21]. Dato che G è commutativo, anche L1 (G) e quindi C ∗ (G) lo è; allora, per il teorema di Gel’fand–Najmark 9.5.1, esiste uno spazio topologico localmente compatto X tale che C ∗ (G) ∼ = C0 (X) Per definizione, la compattificazione di X è lo spettro dell’algebra A ottenuta aggiungendo un elemento neutro a C ∗ (G): si tratta cioè dello spazio dei funzionali lineari moltiplicativi su C ∗ (G), e quindi dello spazio delle rappresentazioni unitarie di dimensione 1 (continue) di C ∗ (G); ma sappiamo che esiste una corrispondenza biunivoca fra queste rappresentazioni e le rappresentazioni unitarie di dimensione 1 di G, ovvero dei suoi caratteri. Quindi b X↔G La catena di corrispondenze che abbiamo enunciato è continua in ambedue i sensi, quindi ha luogo l’omeomorfismo b X∼ =G Osserviamo in ogni caso, che se G è compatto allora C ∗ (G) = C(X) possiede un’unità, quindi X è discreto; viceversa se G è discreto allora L1 (G) possiede una unità, quindi, per il teorema di Gel’fand–Najmark, X è compatto. Dunque 14.5.9 Corollario Il duale di un gruppo compatto è un gruppo discreto e viceversa. Si noti che, se G è un gruppo commutativo localmente compatto e se consib con la topologia discreta, allora il duale di G b è un gruppo compatto deriamo G nel quale G si immerge, e che si dice compattificazione di Bohr . 14.5. Gruppi commutativi e dualità di Pontriagin 559 Osserviamo che, per la funtorialità espressa dal teorema di Gel’fand–Najmark 9.5.1: b C ∗ (G) ∼ = C0 (G) (isomorfismo di C*-algebre). b corrisponde unicaQuindi: ogni rappresentazione non degenere ρ di C0 (G) ∗ mente ad una rappresentazione non degenere π di C (G) che corrisponde unicamente ad una rappresentazione unitaria (fortemente continua) U di G, e la corrispondenza è realizzata dalle Z π(f ) = f (g)U (g)dµ(g) = ρ(fb) ove fb è la trasformata di Gel’fand di f . Possiamo allora estendere ρ ad una rappresentazione dell’algebra delle funzioni boreliane limitare b −→ B(H) ρe : β(G) in modo che ρe(χ∆ ) = E(∆) b possiamo espri(misura spettrale). Quindi, per ogni funzione boreliana f ∈ β(G) mere ρe(f ) come limite (in norma) di somme alla Lebesgue–Stieltjes: Z ρe(f ) = f (χ)dE(χ) b G b In particolare, per h ∈ C0 (G): Z ρe(h) = ρ(h) = h(χ)dE(χ) b G sicché, per h = fb (trasformata di Gel’fand di una funzione f ∈ L1 (G)): Z b π(f ) = ρ(f ) = fb(χ)dE(χ) b G e quindi, dato che la mappa ηg : χ 7−→ χ(g) b troviamo è un funzionale su β(G), ρe(ηg ) = Z χ(g)dE(χ) b G Ora applichiamo il seguente teorema per concludere che ρe(ηg ) = U (g) 560 Capitolo 14. Gruppi topologici 14.5.10 Teorema (Stone–Najmark–Ambrose–Godement) Z χ(g)dE(χ) = U (g) b G Dimostrazione: Osserviamo che, se, al solito, fg (h) = f (g −1 h) da Z fb(χ) = ω(f ) = f (g)χ(g)dµ(g) segue che fbg (χ) = Z Z −1 f (g h)χ(h)dµ(h) = f (h)χ(gh)dµ(h) = χ(g)fb(χ) cioè fbg (χ) = χ(g)fb(χ), da cui (ρ è un omomorfismo): U (g)π(f ) = π(fg ) = ρ(fbg ) = ρe(fbg ) = ρe(χ(g)e ρ(fb) µZ ¶ = ρe(ηg )π(f ) = χ(g)dE(χ) π(f ) b G Pertanto, dato che π è non degenere, {π(f )x} è totale per ogni x al variare di f : Z U (g) = χ(g)dE(χ) b G qed Definiamo ora la trasformata di Fourier per i gruppi localmente compatti abeliani semplicemente come la trasformata di Gel’fand b b : L1 (G) −→ C0 (G) Evidentemente \ b ∩ L2 (G) b L1 (G) ∩ L2 (G) = C0 (G) b (semplicemente scalandola per un e possiamo scegliere la misura di Haar su G fattore non nullo) in modo che Z Z 2 |f (g)| dµ(g) = |fb(χ)|2 db µ(χ) G b G in modo da generalizzare il teorema di Plancherel al caso dei gruppi: 14.5.11 Teorema La trasformata di Gel’fand si estende ad un isomorfismo b unitario fra lo spazio di Hilbert L2 (G) e lo spazio di Hilbert L2 (G). Capitolo 15 GRUPPI CLASSICI In questo capitolo studiamo una classe notevolissima di gruppi topologici: i gruppi classici di matrici, che hanno origine in Algebra Lineare, ma sono fondamentali nella Fisica moderna (sia relativistica che quantistica). Anche se i concetti introdotti saranno elementari (potrebbero svilupparsi con i soli strumenti forniti dall’Algebra Lineare e dalla Topologia elementare) useremo la teoria generale dei gruppi topologici del capitolo precedente, in particolare quando discuteremo i gruppi semplicemente connessi e i gruppi spin. Nel paragrafo finale introdurremo il concetto di varietà differenziabile, motivato dagli esempi dati dai gruppi classici. 15.1 Gruppi di matrici. Gli esempi più importanti di gruppi topologici localmente compatti probabilmente si trovano fra i gruppi di matrici: l’insieme (n > 0) GLn (R) := {A ∈ Mn (R) | det A 6= 0} è un gruppo rispetto al prodotto di matrici, ed è topologico visto che è un aperto 2 in Mn (R) ∼ = Rn . Ovviamente il prodotto di matrici è continuo1 . Più intrinsecamente, se V è uno spazio vettoriale topologico, il gruppo Aut V degli endomorfismi invertibili di V è un gruppo topologico, sottospazio di End V . Il gruppo GL(V ) si dice gruppo lineare generale dello spazio vettoriale V . Ovviamente la definizione può darsi nel caso complesso. Si noti che GL1 (R) = R \ {0} (che è uno spazio topologico non connesso) mentre GL1 (C) = C \ {0} (che è uno spazio topologico connesso). Notiamo che, ancora più in generale, se A è un’algebra associativa di dimensione finita, l’insieme A−1 dei suoi elementi invertibili è un gruppo topologico che generalizza GLn (R). 1 Le entrate della matrice prodotto AB sono polinomi nelle entrate di A e B: quindi il prodotto è addirittura una funzione analitica! 561 562 Capitolo 15. Gruppi classici Si noti che R2n = Cn come spazi vettoriali reali: tuttavia GLn (C) ( GLn (R) Infatti il gruppo lineare generale complesso “preserva la struttura complessa” di Cn , cioè la moltiplicazione per i, ovvero la decomposizione di ogni matrice complessa A in A = B + iC con B, C matrici reali: in altri termini ) (µ ¶ ¯¯ A −B ¯ GLn (C) = ¯ A, B ∈ GLn (R) B A ¯ Un altro esempio è il gruppo lineare speciale SLn (R) := {A ∈ Mn (R) | det A = 1} che è un sottogruppo topologico di GLn (R). Osserviamo che si tratta di un 2 chiuso in Mn (R) ∼ = Rn poiché i suoi elementi sono gli zeri della funzione continua det A−1. Non si tratta però di un gruppo compatto: per vederlo consideriamo una qualsiasi norma sullo spazio Mn (R) (che essendo uno spazio vettoriale topologico di dimensione finita è normato e su di esso tutte le norme sono equivalenti), ad esempio ||A|| := n max |aij | 1≤i,j≤n è immediato che, rispetto a questa norma, Mn (R) è un’algebra di Banach; ora una matrice della forma   1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0     .. .. . . .. ..  . . . . .    0 0 ... ε 0  0 0 ... 0 ε−1 appartiene a SLn (R) per ogni ε 6= 0, e quindi il gruppo contiene elementi di norma arbitrariamente grande. Ragionamenti del tutto analoghi possono svolgersi per il gruppo SLn (C). Dato che l’algebra B(H), se H = Cn , è l’algebra delle matrici, il gruppo unitario U(H) diviene un gruppo di matrici: il gruppo unitario U (n) = {A ∈ Mn (C) | AA∗ = I} (ove A∗ = AT è la matrice trasposta coniugata). Questo gruppo dipende dalla presenza di un prodotto hermitiano su Cn , ad esempio X (v, w) = v i wi i 563 15.1. Gruppi di matrici. Si tratta di un gruppo compatto: è chiuso per continuità delle funzioni A∗ A − I (che sono funzioni nelle entrate delle matrici), ed è compatto perché se A ∈ U (n) allora | det A| = 1 e quindi, se ((aij )) = A: X |aij |2 = aij aij ≤ aik aik = 1 k (dato che AA∗ = I). Notiamo che il determinante di una matrice unitaria è un numero complesso di modulo 1: le matrici unitarie che hanno effettivamente determinante 1 sono un sottogruppo, che si dice gruppo unitario speciale SU (n) = {A ∈ U (n) | det A = 1} = U (n) ∩ SLn (C) Ovviamente SU (n) è compatto, dato che è chiuso in U (n). Si noti inoltre che U (1) = T = S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} = SU (1) e che U (n) = U (1) × SU (n). Osserviamo che U (n) è un sottogruppo compatto massimale in GLn (C); infatti se K fosse un sottogruppo compatto contenente U (n) allora la rappresentazione K ,→ GLn (C) sarebbe unitaria (per compattezza di K) e quindi K ⊂ U (n). In particolare, ogni sottogruppo compatto massimale di GLn (C) è coniugato a U (n). Consideriamo ora oggetti analoghi per il caso reale: sia cioè V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita dotato di prodotto scalare, ad esempio X (v, w) = v i wi i Il gruppo ortogonale è allora il gruppo delle matrici che preservano questo prodotto: (Av, Aw) = (v, w), cioè O(n) := {A ∈ Mn (R) | AAT = I} Ovviamente O(n) è chiuso; per vedere che è compatto di nuovo si ragiona in modo analogo a quanto fatto per U (n): in effetti una matrice ortogonale A è tale che | det A| = 1, quindi det A = ±1. ¶ µ a b tali che a2 + b2 = 1 = 15.1.1 Esempio O(2) è il gruppo delle matrici c d c2 + d2 e ac + bc = 0: in altri termini ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ µ µ cos t sin t a b cos t sin t a b = oppure = sin t − cos t c d − sin t cos t c d 564 Capitolo 15. Gruppi classici Il sottogruppo delle matrici di O(n) con determinante 1 è il gruppo ortogonale speciale SO(n) = {A ∈ O(n) | det A = 1} = O(n) ∩ SLn (R) Ovviamente SO(n) è compatto, dato che è chiuso in O(n). Si noti inoltre che SO(2) = {e2πit }t∈R = S 1 = SU (1) e che O(2) = {±1} × SO(2). Osserviamo che i gruppi U (n) e O(n) sono stati definiti considerando forme bilineari definite positive e simmetriche sugli spazi vettoriali di dimensione finita reali e complessi: in effetti basta considerare forme non degeneri per avere dei gruppi di matrici. Una forma bilineare simmetrica non degenere è sempre riconducibile (teorema di Sylvester) alla (v, w)k = k X v i wi − i=1 n X v i wi i=k+1 Il gruppo che preserva questa forma è O(k, n − k) = {A ∈ GLn (R) | (Av, Aw)k = (v, w)} Ad esempio il gruppo O(1, 3) si dice gruppo di Lorentz , perché preserva le trasformazioni di Lorentz nello spazio di Minkowski: questi gruppi non sono compatti. Anche qui possiamo considerare i sottogruppi speciali SO(k, n − k) = O(k, n − k) ∩ SLn (R) Notiamo che SO(k, n − k) = SO(n − k, k). Infine consideriamo una forma bilineare non degenere ed antisimmetrica: intanto osserviamo che uno spazio possiede una tale forma solo se è di dimensione pari: infatti se h, i è una forma bilineare tale che hv, wi = −hw, vi allora hv, vi = 0 e quindi, se la forma e non degenere, fissata una base (e1 , ..., ek ), la matrice A della forma h, i nella base è tale che A = −AT e det A 6= 0 cioè det A = det −AT = (−1)k det A da cui k deve essere pari. Una tale forma è sempre riconducibile (teorema di Darboux) alla k X hv, wi = (vi wi+k − wi vi+k ) i=1 565 15.1. Gruppi di matrici. Il gruppo che preserva questa forma è il gruppo simplettico 2 : Spn (R) = {A ∈ M2n (R) | hAv, Awi = hv, wi} Osserviamo che Spn (R)µ ⊂ GLn¶(C) ⊂ GL2n (R). Precisamente, le matrici di A B tali che Spn (R) sono le matrici −B A ¶ ¶ µ ¶µ ¶µ µ 0 I A B 0 I A B = −I 0 −B A −I 0 −B A ¶ µ 0 I è la matrice della forma simplettica nella base standard. ove J = −I 0 È possibile considerare il gruppo simplettico complesso, se lo spazio ove si considera la forma simplettica è complesso (e.g. C2n ): Spn (C) = {A ∈ M2n (C) | hAv, Awi = hv, wi} Questi gruppi simplettici non sono compatti: un argomento analogo alla decomposizione polare mostra in effetti che sono, topologicamente, il prodotto di U (n) per RN ; è invece compatto il gruppo Sp(n) = Spn (C) ∩ U (2n) Il gruppo Sp(n) può definirsi come gruppo di matrici su uno spazio vettoriale quaternionico: ricordiamo che i quaternioni (cfr. esempio 5.5.9) H = C2 formano un corpo e quindi possiamo considerare spazi vettoriali su di essi, e quindi i gruppi GLn (H) e SLn (H): notiamo che GLn (H) ⊂ GL2n (C) (inclusione propria) è il sottogruppo di GL2n (C) delle matrici che preservano la struttura quaternionica, cioè delle matrici della forma µ ¶ A −B B A con A, B ∈Mn (C). Allora il gruppo simplettico è l’equivalente del gruppo unitario nel caso quaternionico: Sp(n) = {A ∈ GLn (H) | AA∗ = I} ed è formato dalle matrici A a coefficienti quaternionici che preservano la forma hermitiana X (v, u) = ui v i k 2 Il termine, dovuto a H.Weyl, è la versione greca di “complesso”. 566 Capitolo 15. Gruppi classici ove se u = a1 + bi + cj + dk ∈ H, il suo coniugato è u = a1 − bi − cj − dk. Si tratta di un gruppo compatto, che è l’analogo di U (n) e O(n) per gli spazi quaternionici: non esiste un gruppo simplettico speciale, dato che si dimostra che Sp(n) è già speciale: Sp(n) ⊂ SLn (H) I gruppi che abbiamo fin qui introdotti si dicono, nella terminologia di H.Weyl, gruppi classici . Studiamo ora le proprietà topologiche dei gruppi classici: riassumiamo quanto fin qui detto con il 15.1.2 Teorema I gruppi U (n), O(n), Sp(n), SO(n) e SU (n) sono compatti; i gruppi GLn (K), SLn (K) non sono compatti, con K = R, C, H. Notiamo che è definita per ogni gruppo classico G una mappa det : G −→ R \ {0} In particolare, la mappa det : O(n) −→ {±1} è continua e suriettiva, quindi il gruppo O(n) non è connesso. 15.1.3 Teorema O(n) ha due componenti connesse: SO(n) e −I · SO(n). Per dimostrarlo è sufficiente mostrare che SO(n) è connesso; lo dimostreremo fra breve: intanto notiamo il 15.1.4 Corollario GLn (R) ha due componenti connesse: GL+ n (R) = {A∈Mn (R) | det A > + 0} e GLn (R) = {A ∈ Mn (R) | det A < 0}. Dimostrazione: Basta usare la decomposizione polare: ogni matrice A∈GLn (R) si scrive come A = |A|B con |A| matrice simmetrica definita positiva e B ∈ O(n): allora, dato che l’insieme delle matrici simmetriche definite positive è convesso, (tA + (1 − t)A è simmetrica definita positiva se lo è A, al variare di t) è connesso: quindi le componenti connesse di GLn (R) corrispondono a quelle di O(n). qed Osserviamo che questi risultati sono falsi nei casi complesso e quaternionico: in altri termini 15.1.5 Teorema I gruppi GLn (C) e GLn (H) sono connessi. Questo seguirà dal seguente risultato 15.1.6 Teorema I gruppi SO(n), U (n) e Sp(n) sono connessi. 567 15.1. Gruppi di matrici. e dalle decomposizioni polari per i gruppi lineari generali complesso e quaternionico che sono del tutto analoghe a quella reale. La dimostrazione della connessione di U (n), SO(n) e Sp(n) può svolgersi considerando l’importante concetto di toro massimale in un gruppo di matrici. Ricordiamo che il toro n-dimensionale è il gruppo topologico commutativo compatto (connesso) Tn = S 1 × ... × S 1 . Ogni gruppo classico possiede dei tori massimali che si definiscono come segue. In U (n) un toro massimale è semplicemente il sottogruppo delle matrici diagonali con elementi di modulo 1:      z 0 ... 0 1  ¯     0 z2 ... 0  ¯    ¯ n T = A ∈ U (n) ¯ A =  .. .. . . . ¯  . . . ..       0 0 ... zn z ,...,z ∈T 1 n In Sp(n) un toro massimale è semplicemente     c1 0 ... 0   ¯     0 c2 ... 0  ¯    ¯ n T = A ∈ Sp(n) ¯ A =  .. .. . . . ¯  . . . ..       0 0 ... cn  µ ¶ zi 0 ove ci = ∈ U (2) e zi ∈ T. Anche in SO(2n) e SO(2n + 1) c’è un toro 0 zi massimale standard della forma     R1 0 ... 0   ¯     0 R2 ... 0  ¯    ¯ n T = A ∈ SO(2n) ¯ A =  .. .. . . .  ¯   . . ..  .      0 0 ... Rn  µ ¶ cos ti sin ti ove Ri = ed in SO(2n + 1): − sin ti cos ti      R 0 ... 0 0 1      0 R2 ... 0 0 ¯      ¯    ¯ . . . . n . . . . . . T = A ∈ SO(2n + 1) ¯ A =  . . . . .   ¯      0 0 ... Rn 0      0 0 ... 0 I  Ora sia G è uno dei gruppi SO(2n), SO(2n + 1), U (n) o Sp(n): scriviamo A∗ in luogo di AT per i gruppi ortogonali e AT per i gruppi unitari e simplettici. 568 Capitolo 15. Gruppi classici Osserviamo che se A ∈ G allora è normale: A∗ A = A−1 A = I = AA−1 = AA∗ Possiamo allora usare il teorema spettrale nel caso di dimensione finita per dedurre il seguente teorema dovuto (in una forma più intrinseca) ad Èlie Cartan: 15.1.7 Teorema Se G è uno dei gruppi classici compatti SO(2n), SO(2n + 1), U (n) ovvero Sp(n) allora per ogni suo toro massimale: [ G= gT n g −1 g∈G Cioè G è unione dei coniugati del toro massimale T n . Ora, dato che Tn è connesso (è un prodotto di spazi connessi S 1 ) abbiamo scritto G come unione di connessi gT n g −1 che hanno un punto in comune e: quindi 15.1.8 Corollario I gruppi SO(n), U (n) e Sp(n) sono connessi. Segnaliamo che i tori massimali nei gruppi classici giocano un ruolo decisivo nella descrizione di questi gruppi: ad esempio, considerando T n ⊂ G e il normalizzatore N (T n ) (cioè il più grande sottogruppo di G che ammetta T n come sottogruppo normale), il quoziente N (T n )/T n si dice gruppo di Weyl W (G): il gruppo di Weyl agisce su T n come (denotiamo con [n] la classe di n ∈ N (T n )) ([n], t) 7−→ ntn−1 Questa azione è ben definita (non dipende dal rappresentante n ma solo dalla classe) e consente di dimostrare il seguente teorema, per il quale si rimanda ai testi specialistici (ad esempio [26], [3] o [21]): 15.1.9 Teorema Il gruppo di Weyl è finito ed agisce senza punti fissi sul toro massimale. 15.2 Semplice connessione e Spin Vogliamo qui discutere un’altra proprietà topologica che i gruppi di matrici possono avere: la semplice connessione. Ad esempio ricordiamo che S 1 = T = U (1) non è semplicemente connesso: il suo gruppo fondamentale è Z (cfr. 2.5.14). Prima di procedere osserviamo che basta limitarsi ai gruppi classici compatti SO(n), U (n) e Sp(n): infatti 15.2. Semplice connessione e Spin 569 15.2.1 Teorema Il gruppo GL+ n (R) (rispettivamente GLn (C), GLn (H)) ha lo stesso gruppo fondamentale di SO(n) (rispettivamente U (n), Sp(n)). Dimostrazione: Basta ricordare la decomposizione polare: GL+ n (R) = SO(n) × S(n) ove S(n) è lo spazio delle matrici simmetriche definite positive (risp. GLn (C) = U (n) × H(n) con H(n) matrici hermitiane definite positive, GLn (H) = Sp(n) × Q(n) con Q(n) matrici hermitiane quaternioniche definite positive). Ma lo spazio S(n) (risp. H(n), Q(n)) è convesso (infatti se t ∈ [0, 1] a A ∈ S(n) anche tA + (1 − t)A ∈ S(n)) e quindi contraibile. Ne segue che π1 (GLn (R)) = π1 (O(n) × S(n)) = π1 (O(n)) qed Osserviamo che abbiamo considerato GL+ n (R) perché GLn (R) non è connesso, e quindi non ha senso considerare il gruppo fondamentale, ma solo i gruppi fondamentali delle componenti connesse, che in questo caso sappiamo essere due ed omeomorfe fra loro(tramite la A 7−→ −A); basta quindi limitarsi ad una di esse, ad esempio quella contenente l’identità I cioè GL+ n (R). Calcoleremo i gruppi fondamentali dei gruppi classici compatti usando il loro legame con le sfere. Sappiamo già che U (1) = SO(2) = S 1 ha gruppo fondamentale Z. 15.2.2 Teorema Il gruppo SU (2) è omeomorfo come spazio topologico alla sfera S 3 a tre dimensioni. Dimostrazione: Basta scrivere in modo opportuno le matrici unitarie: un elemento di SU (2) è una matrice ¶ µ a b A= c d con a, b, c, d ∈ C tale che A∗ A = I e det A = 1, cioè aa + bb = 1 = cc + dd, ac + bd = 0 = ca + db e ad = bc + 1. Quindi a = d e b = −d e |a|2 + |b|2 = 1; con le posizioni a−a b+b b−b a+a x2 = x3 = x4 = 2 2 2 2 definiamo un omeomorfismo A ↔ (x1 , x2 , x3 , x4 ) fra SU (2) e la sfera di centro l’origine e raggio 1 in R4 . qed x1 = 570 Capitolo 15. Gruppi classici Il seguente risultato è intuitivamente ovvio: un cammino chiuso su una sfera di dimensione maggiore o uguale a due è contraibile. 15.2.3 Teorema Per n > 1 la sfera S n è semplicemente connessa. Dimostrazione: Consideriamo la sfera S n come compattificazione di Alexandroff dello spazio Rn : sia c : [0, 1] −→ S n un cammino in S n con c(0) = c(1) = x0 . Allora, se y0 è un punto tale che non esiste t ∈ [0, 1] per cui c(t) = y0 (un tale punto esiste sempre, dato che l’immagine di [0, 1] tramite c non può essere l’intera S n ), considerando S n = Rn ∪ {y0 } (compattificazione di Alexandroff) il cammino c è contenuto in Rn e quindi si contrae al punto x0 perché Rn è semplicemente connesso. qed 15.2.4 Corollario SU (2) = Sp(1) è semplicemente connesso. Discutiamo ora il più semplice caso nel quale si manifesta il fenomeno dello spin: il gruppo SO(3); per farlo realizziamo la sfera S 3 = SU (2) come sfera di raggio 1 in R4 = H (corpo dei quaternioni): in altri termini realizziamo SU (2) come le unità dei quaternioni, i.e. i quaternioni q tali che q = q −1 . Ora consideriamo lo spazio dei quaternioni puramente immaginari: H0 = {q ∈ H | q = −q} = {bi + cj + dk | , c, d ∈ R} = R3 Ovviamente la forma bilineare (q1 , q2 ) = q1 q2 rende H0 uno spazio euclideo, isomorfo a R3 col prodotto standard. Ora, la mappa Φ : SU (2) −→ GL(H0 ) definita come (rappresentiamo gli elementi di SU (2) come quaternioni) Φ(A)(q) = AqA−1 (prodotto nel corpo dei quaternioni) è lineare e preserva il prodotto scalare in H0 : (Φ(A)q1 , Φ(A)q2 ) = Aq1 A−1 Aq2 A−1 = Aq1 A−1 A−1 q2 A = Aq1 q2 A = −q1 A(−Aq2 ) = q1 q2 (dato che A = A−1 , qi = −qi e, per ogni coppia di quaternioni q, p si ha qp = pq).Quindi Φ(A) ∈ O(3); ovviamente Φ è suriettiva e continua, quindi, dato 15.2. Semplice connessione e Spin 571 che SU (2) è connesso, l’immagine di Φ è connessa: questa immagine è SO(3). Inoltre il nucleo della mappa Φ è formato dagli elementi ±I di SU (2): infatti se Φ(A)(q) = q per ogni q ∈ H0 allora AqA−1 = q, cioè Aq = qA; questo accade solo se il quaternione è reale (cioè se ha nulle le coordinate i, j, k): ma gli elementi di H0 hanno nulla la componente reale e q = −q, e quindi A = ±I. In definitiva abbiamo l’isomorfismo di gruppi topologici: SU (2)/{±I} ∼ = SO(3) o, se si vuole, la successione esatta di gruppi 1 −→ Z2 −→ SU (2) −→ SO(3) −→ 1 In particolare, dato che lo spazio proiettivo si ottiene dalla sfera identificandone coppie di punti (antipodali): 15.2.5 Teorema SO(3) è omeomorfo allo spazio proiettivo reale tridimensionale P3 . Dal punto di vista geometrico l’isomorfismo µ ¶ SU (2)/{±1} = SO(3) può descria b versi come segue: alla matrice A = ∈SU (2) associamo la trasformazione −b a lineare fratta az + b z 7−→ −bz + a 1 della retta proiettiva complessa CP in sé. Ma, per tramite della proiezione stereografica, CP1 si identifica alla sfera S 2 , della quale le trasformazioni lineari fratte divengono le rotazioni. Si ottiene cosı̀ di nuovo la mappa SU (2) −→ SO(3): evidentemente due trasformazioni lineari fratte inducono la medesima rotazione se e solo se differiscono per il segno. Abbiamo visto come i gruppi unitari speciali in dimensione 1 e 2 siano delle sfere; in generale non sarà vero che ogni gruppo unitario è una sfera, ma possiamo stabilire un risultato, valido per i gruppi classici compatti, che lega questi oggetti alle sfere di dimensione qualsiasi. Consideriamo le sfere S n−1 come le sfere di centro l’origine e raggio 1 in Rn . 15.2.6 Teorema Il gruppo SO(n) (rispettivamente SU (n), Sp(n)) agisce in modo transitivo sulla sfera S n−1 (rispettivamente S 2n−1 , S 4n−1 ), lo stabilizzatore nel punto e = (1, 0, ..., 0) ∈ S n è il sottogruppo I × SO(n − 1) (rispettivamente I × U (n − 1), I × Sp(n − 1)). Hanno quindi luogo gli omeomorfismi SO(n)/SO(n − 1) = S n−1 , SU (n)/SU (n − 1) = S 2n−1 , Sp(n)/Sp(n − 1) = S 4n−1 572 Capitolo 15. Gruppi classici Dimostrazione: Facciamo la dimostrazione per SO(n): negli altri casi procede in modo del tutto analogo. Consideriamo quindi l’azione di SO(n) su Rn data dal prodotto di una matrice per un vettore Av: ovviamente v ∈ S n−1 ⇒ Av ∈ S n−1 (dato che ||Av||2 = (Av, Av) = ||v||2 ). Questa azione è transitiva, dato che ogni punto v ∈ S n−1 viene spostato in e da un elemento di A: infatti un elemento v ∈ S n−1 per definizione è tale che ||v||2 = 1; possiamo quindi completare il vettore {v} ad una base ortonormale di Rn : (v, v2 , ..., vn ). Allora la matrice A = (v, v2 , ..., vn ) le cui colonne sono i vettori della base è in SO(n) ed è tale che Av = e. Dunque, dato che l’azione è transitiva, abbiamo che S n−1 = SO(n)/Ge ove Ge è lo stabilizzatore di e: ma ¾ ¶¯ ½µ 1 0 ¯ Ge = {A ∈ SO(n) | Ae = e} = ¯ A ∈ SO(n − 1) = I × SO(n − 1) 0 A e quindi abbiamo l’omeomorfismo cercato. qed Ad esempio, nel caso di SO(3), l’omeomorfismo SO(3)/SO(2) = S 2 è la fibrazione di Hopf S 3 −→ S 2 cioè una mappa suriettiva di S 3 in S 2 le cui controimmagini (le “fibre”) sono isomorfe a S 1 . Per calcolare i gruppi fondamentali dei gruppi classici compatti di dimensione qualsiasi, dobbiamo svolgere qualche considerazione sui gruppi semplicemente connessi. Sappiamo che esistono gruppi non semplicemente connessi, U (1) ad esempio; tuttavia U (1) = S 1 è quoziente di uno spazio semplicemente connesso R, e la mappa p : t 7−→ eit che realizza questo quoziente è un omeomorfismo locale. 15.2.7 Definizione Un rivestimento di uno spazio topologico X è una mappa p continua suriettiva E − → X a uno spazio topologico E in X tale che • per ogni x ∈ X la controimmagine p−1 (x) sia un insieme discreto; • p sia un omeomorfismo locale; • la topologia pdi X sia la topologia quoziente indotta dalla mappa p. L’esempio R − → S 1 è quello fondamentale: in questo caso R soddisfa anche la definizione seguente 573 15.2. Semplice connessione e Spin p 15.2.8 Definizione Un rivestimento E − → X si dice universale se E è semplicemente connesso. Ovviamente, se esiste, il rivestimento universale è unico: due tali rivestimenti p1 p−1 p1 p2 p−1 p2 2 1 E1 − → X e E2 − → X danno luogo a rivestimenti E1 −− −→ E2 e E2 −− −→ E1 che sono omeomorfismi: questo segue dal p 15.2.9 Lemma Se E − → X è un rivestimento, x0 ∈ X e e0 ∈ p−1 (x) allora per ogni mappa continua f : Y −→ X da uno spazio connesso Y tale che f (y0 ) = x0 esiste un unica mappa f 0 : Y −→ E tale che f 0 (y0 ) = e0 e pf 0 = f . Dimostrazione: Supponiamo che f 00 : Y −→ E soddisfi la tesi del lemma e siano A = {y ∈ Y | f 0 (y) = f 00 (y)} e B = {y ∈ Y | f 0 (y) 6= f 00 (y)} Allora Y = A ∪ B e y0 ∈ A. Mostreremo che sia A che B sono aperti, il che è assurdo, dato che Y è connesso (A ∩ B = ∅). Sia y1 ∈ Y e U un intorno di f (y1 ) tale che p−1 (U ) sia unione disgiunta di intorni a lui omeomorfi; se y1 ∈ A allora f 0 (y − 1) = f 00 (y − 1) appartiene a qualche componente connessa C di p−1 (U ) e quindi f 0−1 (C) ∩ f 00−1 (C) è un aperto contenente y1 e contenuto in A; dunque A contiene con ogni suo punto un intorno aperto di questo punto ed è pertanto aperto. Se invece y1 ∈B allora f 0 (y1 ) appartiene a qualche componente connessa C di p−1 (U ) e f 00 (y1 ) appartiene a qualche componente connessa D 6= C di p−1 (U ), da cui f 0−1 (C) ∩ f 00−1 (D) è un intorno aperto di y1 contenuto in D. Quindi anche D è aperto. qed Osserviamo che non è affatto garantita l’esistenza di un rivestimento univere è un rivestimento universale, dato che è localmente omeomorsale: infatti, se X fo a X, ed è semplicemente connesso, X deve essere localmente semplicemente connesso, cioè ogni suo punto deve possedere un intorno aperto semplicemente connesso. Questa condizione è pure sufficiente: 15.2.10 Teorema Se X è uno spazio topologico connesso, localmente connesso e localmente semplicemente connesso allora possiede un rivestimento universale. Dimostrazione: Diamo solo l’idea della dimostrazione, rimandando a [3], [26] o [27], per una trattazione completa. Sia x0 ∈X e consideriamo l’insieme C(x0 ) dei cammini in X con punto iniziale x0 : se c, c0 : [0, 1] −→ X sono due tali cammini, diciamo che sono equivalenti (c ∼ c0 ) se c(1) = c0 (1) e sono omotopi. Poniamo e = C(x0 )/ ∼ X 574 Capitolo 15. Gruppi classici e −→ X come e definiamo p : X p[c] = c(1) p e− Ora rendiamo X uno spazio topologico in modo che X → X sia un rivestimento e la famiglia universale. La topologia si definisce considerando come base in X, degli insiemi A(V, c) := {[cc0 ] | c0 ∈ C(x0 ) c0 (0) = c(1) c0 ([0, 1]) ⊂ V }c∈C(x0 ), V intorno aperto di p[c] Si vede facilmente che si tratta di una base di intorni per una topologia e che rende continua la mappa p: inoltre, se V ⊂ X è un intorno connesso semplicemente connesso di un punto x ∈ X, allora p−1 (x) è unione disgiunta degli A(V, c) tali che p[c] ∈ V , e p(A(V, c)) = V : quindi p è un omeomorfismo locale. Non è e è connesso, mentre la semplice connessione segue quasi difficile verificare che X per definizione. qed Il caso che ci interessa è quello di un gruppo topologico. 15.2.11 Teorema Se G è un gruppo topologico connesso, localmente connesso p e− e localmente semplicemente connesso allora il suo rivestimento universale G → G è in modo unico un gruppo topologico con elemento neutro e0 ∈ p−1 (e) (e è l’elemento neutro in G) e p è un omomorfismo di gruppi topologici. Dimostrazione: Consideriamo la mappa m : G × G −→ G definita come m(x, y) = xy −1 p p×p e − e×G e − Se G → G è il rivestimento universale di G, in G −→ G × G possiamo sollevare unicamente m, ottenendo cosı̀ la struttura di gruppo topologico voluta: l’unicità del sollevamento implica la validità delle proprietà gruppali. qed 15.2.12 Lemma Se G è un gruppo topologico connesso, H un suo sottogruppo chiuso connesso e semplicemente connesso e se il quoziente G/H è semplicemente connesso allora anche G è semplicemente connesso. p e− Dimostrazione: Consideriamo il rivestimento universale G → G di G ed il suo e := p−1 (H) che è chiuso per continuità della p (ed è un sottosottogruppo H gruppo perché p è un omomorfismo di gruppi). Dato che un rivestimento è un e H e sono semplicemente connessi p induce omeomorfismo locale e che G/H e G/ l’omeomorfismo e H e∼ G/ = G/H 15.2. Semplice connessione e Spin 575 p|H e e − −→ H il suo rivestiMa notiamo che, essendo H semplicemente connesso e H e sicché G/H e mento universale, deve essere H = H, = G/H e quindi la mappa e G −→ G/H che si solleva unicamente a G −→ G/H e viene a coincidere con e −→ G/ e H e = G/H: e e∼ G dunque G = G. Ne segue che G è semplicemente connesso. qed Siamo ora in grado di calcolare i gruppi fondamentali dei gruppi classici compatti: 15.2.13 Teorema Per ogni n ≥ 1 SU (n) e Sp(n) sono semplicemente connessi, mentre π1 (SO(2)) = π1 (U (n)) = Z e π1 (SO(n + 2)) = Z2 . Dimostrazione: Usiamo il fatto che S n−1 = SO(n)/SO(n − 1) , S 2n−1 = SU (n)/SU (n − 1) , S 4n−1 =Sp(n)/Sp(n − 1) ed il fatto che le sfere sono semplicemente connesse. Nel caso di SU (n) e Sp(n) si procede per induzione applicando il lemma: per n = 1 abbiamo π1 (SU (1)) = π1 (SO(2)) = Z mentre π1 (Sp(1)) = π1 (SU (2)) = π1 (S 3 ) = 0; quindi, applicando il lemma, otteniamo che SU (n + 1) e Sp(n) sono semplicemente connessi perché lo sono le sfere e SU (n) e Sp(n − 1) per n > 1, per induzione. Per quel che riguarda SO(n) non possiamo applicare il lemma; tuttavia notiamo che le immersioni ιn : SO(n − 1) ,→ SO(n) inducono degli epimorfismi di gruppi ι π1 (SO(n)) −n∗ → π1 (SO(n − 1)) −→ 1 i cui nuclei sono i gruppi π1 (S n−1 ); infatti l’epimorfismo assegna ad una classe [σ] di cammini in SO(n) la classe [σ ◦ ι], e quindi ιn∗ ([σ]) = 0 se e solo se il cammino σ ha immagine in SO(n)/SO(n − 1); ma in questo caso è contraibile a un punto, per la semplice connessione di S n−1 , e quindi ιn∗ sono isomorfismi: Z2 = π1 (SO(3)) = π1 (SO(4)) = ... = π1 (SO(n)) = ... qed Dato che i gruppi ortogonali SO(n), per n ≥ 3 non sono semplicemente connessi (ma si noti che “lo sono quasi”: il loro gruppo fondamentale è il più piccolo gruppo non banale che esista!) ha senso dare la seguente 15.2.14 Definizione Se n ≥ 3 si dice gruppo spinoriale Spin(n) il rivestimento universale di SO(n). 15.2.15 Esempio Spin(3) = SU (2). In generale è possibile realizzare ogni gruppo spinoriale come sottogruppo di un opportuno gruppo unitario. Vediamo qualche altro esempio. 576 Capitolo 15. Gruppi classici 15.2.16 Proposizione Spin(4) = Spin(3) × Spin(3). Dimostrazione: Osserviamo che se u, u0 ∈ SU (2) = Spin(3) sono due quaternioni unitari, la mappa q 7−→ uqu0 è una isometria di H in sé, dato che |uqu0 | = |u| |q| |u0 | = |q| Abbiamo quindi una mappa continua Φ : Spin(3) × Spin(3) −→ SO(4) che è un omomorfismo di gruppi: u(vqv 0 )u0 = (uv)qu0 v 0 Il nucleo di Φ è formato solo da (1, 1) e (−1, −1), mentre l’immagine coincide con SO(4). Quindi si tratta del rivestimento universale di SO(4). qed Seguendo questa linea si può dimostrare che (cfr. ad esempio [27]) 15.2.17 Teorema Spin(5) = Sp(2) e Spin(6) = SU (4). 15.3 Esponenziale di matrici In questa sezione facciamo una digressione sull’esponenziale di matrici, che è lo strumento fondamentale col quale, ad esempio, viene formulata la teoria dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Consideriamo dunque una matrice qualsiasi X ∈ Mn (R), e poniamo eX := 1 + X X2 X3 + + + ... 1! 2! 3! cioè la serie esponenziale classica. Questa è una scrittura che ha formalmente senso perché coinvolge solo somme e prodotti di matrici, e, perché definisca una matrice, dobbiamo trovarne un dominio di convergenza. 15.3.1 Lemma Per ogni matrice X la serie eX converge. 577 15.3. Esponenziale di matrici Dimostrazione: Usiamo il criterio di Cauchy tramite la disuguaglianza triangolare della norma di matrici ¯¯ m ¯¯ m+1 m+k−1 ¯¯ X ¯¯ ||X||m X X ||X||m+k−1 ¯¯ ¯¯ < + + ... + + ... + ¯¯ m! (m + 1)! (m + k − 1)! ¯¯ m! (m + k − 1)! Ma la serie numerica e||X|| converge per ogni X e quindi le somme parziali di eX costituiscono una successione di Cauchy nella norma delle matrici il che dimostra la convergenza della serie. qed Notiamo alcune proprietà immediate dell’esponenziale di matrici: intanto è ovvio che ¡ A ¢T T e = eA Inoltre, se B ∈ GLn (R), dato che per ogni m ∈ N: BAm B −1 = (BAB −1 )m allora BeA B −1 = eBAB −1 Se la matrice A è triangolare superiore, cioè della forma   a11 a12 ... a1n  0 a22 ... a2n    A =  .. .. . . ..   . . .  . 0 0 ... ann allora, dato che gli elementi diagonali delle matrici (triangolari) Am sono {am ii } A aii e quindi anche e è triangolare con elementi diagonali {e }. In particolare 15.3.2 Proposizione ∀A ∈ Mn (R) det eA = etr A Dimostrazione: Infatti per ogni A ∈ Mn (R) esiste una matrice B ∈ GLn (R) tale che BAB −1 è triangolare superiore (con coefficienti in generale complessi) e quindi, dato che tr BAB −1 = tr A si ha la tesi. qed 15.3.3 Corollario Per ogni A ∈ Mn (R), eA ∈ GL+ n (R). Quindi ogni matrice esponenziale è invertibile con determinante positivo: non è però vero che ogni matrice A ∈ GL+ n (R) sia l’esponenziale di qualche matrice B ∈ Mn (R): ad esempio ¶ µ −2 0 ∈ GL+ A= 2 (R) 0 −1 non lo è: il motivo è ovvio, e risiede nel fatto che non è definito il logaritmo di un numero negativo. Nel caso di matrici complesse, la mappa esponenziale è invece suriettiva, ed il motivo risiede proprio nell’esistenza delle determinazioni del logaritmo complesso. 578 Capitolo 15. Gruppi classici 15.3.4 Proposizione Se A e B sono matrici che commutano, cioè AB = BA allora eA+B = eA · eB Dimostrazione: Per l’ipotesi fatta su A e B otteniamo: Ã∞ !à ∞ ! à ! ∞ X Ak X Bh X m! X 1 eA · eB = = Ak B h k! h! m! k!h! m=0 k=0 h=0 h+k=m ∞ X 1 (A + B)m = eA+B = m! m=0 Infatti se A e B commutano, vale la formula del binomiale per calcolare (A + B)n esattamente come per gli scalari. qed 15.3.5 Corollario (eA )−1 = e−A e e0 = I. In generale eA eB 6= eB eA : invece di produrre un controesempio (cosa peraltro semplicissima) produciamone un’intera classe: scriviamo [A, B] = AB − BA per il commutatore delle matrici A e B (che quindi commutano se e solo se [A, B] = 0). Ricordiamo che, ovviamente [A, B] = −[B, A], e che lo spazio Mn (R) è un’algebra di Lie rispetto al commutatore, cioè che vale l’identità di Jacobi: [[A, B], C] + [[C, A], B] + [[B, C], A] = 0 15.3.6 Teorema (Weyl) Se A e B sono matrici tali che [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 allora eA+B = e− 2 [A,B] eA eB 1 Dimostrazione: (Glauber) Consideriamo la funzione F (t) = etA etB Allora d F (t) = (A + etA Be−tA )F (t) dt 579 15.3. Esponenziale di matrici (e−tA = (etA )−1 ). Ma le ipotesi su A e B sono che [A, [A, B]]AAB − 2ABA + BAA = 0 ⇒ AAB + BAA = 2ABA quindi [B, A2 ] = BAA − AAB = BAA + AAB − 2AAB = 2ABA − 2AAB = 2A[B, A]. Per induzione: [B, Am ] = mAm−1 [B, A] e per conseguenza: [B, e−tA ] = X (−t)m m m! [B, Am ] = −te−tA [B, A] L’equazione differenziale precedente si scrive quindi come d F (t) = (A + B + t[A, B])F (t) dt che, con la condizione F (0) = I, ammette la soluzione (tenendo conto del fatto che A e [A, B] commutano e B e [A, B] commutano): 1 2 [A,B] F (t) = et(A+B)+ 2 t 1 2 [A,B] = et(A+B) e 2 t Ma allora, per l’unicità delle soluzioni di un’equazione differenziale ordinaria con coefficienti analitici: 1 2 etA etB = et(A+B) e 2 t [A,B] e, in t = 1, la tesi del teorema. qed 15.3.7 Corollario Se [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 allora eA eB = e[A,B] eB eA Dimostrazione: Per il teorema, abbiamo: e− 2 [A,B] eA eB = eA+B = eB+A = e− 2 [B,A] eB eA 1 1 Ma, per l’identità di Jacobi: [[A, B], [B, A]] = −[[[B, A], A], B] − [[B, [B, A]], A] = 0 (per le ipotesi su A e B). Dunque e[A,B] e−[B,A] = e[A,B]−[B,A] = e2[A,B] e quindi eA eB = e 2 [A,B] e− 2 [B,A] eB eA = e[A,B] eB eA 1 1 qed 580 Capitolo 15. Gruppi classici Il teorema precedente ci permette di esprimere, nelle ipotesi [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, il prodotto di matrici esponenziali in termini della somma e del commutatore degli esponenti. Abbiamo osservato che non ogni matrice invertibile è l’esponenziale di una matrice: consideriamo quindi delle condizioni affinché lo sia. 15.3.8 Proposizione La mappa e : Mn (R) −→ GLn (R) è un diffeomorfismo locale. Dimostrazione: Dobbiamo dimostrare che esistono degli intorni V di 0∈Mn (R) e U di I in GLn (R) tali che e ristretta a V sia un diffeomorfismo, cioè un omeomorfismo differenziabile con inverso differenziabile: dimostreremo addirittura che è analitico. 2 Ovviamente e è una mappa analitica da Mn (R) = Rn nell’aperto (denso) 2 GLn (R) ⊂ Rn , visto che è determinata da una serie di potenze. Per dimostrare il nostro enunciato basterà dimostrare che, nel punto 0 ∈ Mn , lo jacobiano di e è diverso da zero, ed invocare quindi il teorema della funzione inversa. Ora, se X = ((xij )) e eX = A = ((aij )), allora ∂akl = δki δlj + · · · ∂xij dove i puntini indicano i termini che si annulanno in X = 0. Quindi la matrice jacobiana della mappa esponenziale ha la forma µµ ¶¶ ∂akl = ((δki δlj )) ∂xij che è una matrice unitaria di rango massimo, il che dimostra la tesi. qed Questo risultato fondamentale può essere ulteriormente precisato: possiamo cioè cercare di stimare gli intorni U e V nei quali e è un diffeomorfismo: per farlo scriviamo esplicitamente un inverso locale dell’esponenziale di matrici. Ispirandoci al caso n = 1, consideriamo la serie logaritmica (A − I)2 (A − E)m + ... + (−1)m+1 + ··· 2 m P Dato che la corrispondente serie numerica m (−1)m+1 z m /m converge per |1 − z| < 1, la serie logaritmica della matrice A converge assolutamente per ||A − I|| < 1: osserviamo quindi che si ha convergenza nell’intorno U dell’I in GLn (R) individuato dal lemma 9.1.9. Quindi, se A ∈ U possiamo definire ln A come la somma della serie logaritmica di A. Un calcolo del tutto analogo a quello per gli esponenziali mostra le proprietà elementari del logaritmo di matrici: (A − I) − 581 15.3. Esponenziale di matrici 15.3.9 Proposizione Se A, B ∈ U e AB = BA allora ln(AB) = ln A + ln B. Ora notiamo che, se A ∈ U allora ha senso considerare eln A : si tratta proprio di A (basta sostituire formalmente le serie l’una nell’altra): eln A = A Viceversa, se ||A|| < ln 2 ln eA = A Il perché di questa limitazione è semplice: l’equazione ln eA = A può infatti essere falsa anche se ||eA − I|| < 1; ad esempio se ¶ µ 0 −t A= t 0 µ 2n allora (A = −t2n 0 0 −t2n ¶ µ 2n+1 eA µ A e = = 0 −t2n+1 ¶ t2n+1 0 ): 0 ¶ cos t − sin t sin t cos t e quindi, per t = 2π: eA = I, per cui ln eA = 0 = 6 A. Il raggio di convergenza A della serie ln e è ln 2. Osserviamo ora che la mappa esponenziale è suriettiva sullo spazio delle matrici complesse: 15.3.10 Teorema Se X ∈ GLn (C) esiste una A ∈ Mn (C) tale che eA = X. Dimostrazione: Naturalmente, se X è diagonale a blocchi   D1 0 ... 0  0 D2 ... 0    X =  .. .. . . ..   . . . .  0 0 ... Dm Q allora eX = k eDk . Ora rammentiamo che ogni matrice si decompone in blocchi diagonali di Jordan:   C(λ1 ) 0 ... 0  0 C(λ2 ) ... 0    X =  .. .. ..  . .  . . . .  0 0 ... C(λm ) 582 ove Capitolo 15. Gruppi classici   λk 0 0 ... 0 0  1 λk 0 ... 0 0     0 1 λk ... 0 0     0 0 1 ... 0 0  C(λk ) =    .. .. .. . . .. ..  . . . . . .    0 0 0 ... λk 0  0 0 0 ... 1 λk è una matrice k × k con l’autovalore λk di X sulla diagonale. Supponiamo quindi che X = C(λ) con λ 6= 0 (altrimenti det X = 0). Quindi X = λI + Y = λ(I + λ−1 Y ) ove Y ha non nulli solo gli elementi della i-sima riga e (i − 1)-sima colonna uguali a λ; dato che Y è nilpotente (Y k = 0) (quindi lo è λ−1 Y ), pertanto la serie esponenziale è un polinomio, dunque possiamo definire B = ln(I + λ−1 Y ) e quindi X = λI + Y = λeB Dato che λ 6= 0 esiste µ tale che λ = eµ , cioè X = eµ IeB = eµI+B e dunque A = µI + B è la matrice cercata. qed Il calcolo delle matrici esponenziali è fondamentale nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie: infatti un sistema di equazioni differenziali ordinarie può scriversi come: . y = Ay + b ove y è una funzione vettoriale e A una matrice. Allora la soluzione del sistema . omogeneo associato y = Ay si ottiene per y(t) = etA y0 ove y0 rappresenta il vettore che contiene i dati iniziali. Infatti dy(t) d = etA y0 = AetA y0 = Ay(t) dt dt Sappiamo che la mappa t 7−→ etA è un gruppo ad un parametro, e sappiamo che tutti i gruppi ad un parametro sono di questo tipo (teorema di Stone 14.3.6) nel caso di matrici simmetriche (AT = 583 15.4. Coordinate canoniche sui gruppi classici A). Possiamo comunque utilizzare le proprietà dell’esponenziale in dimensione finita3 per dimostrare il teorema di Stone in questo caso: 15.3.11 Teorema Se ρ : R −→ GLn (R) è un gruppo ad un parametro, esiste un’unica matrice A tale che per ogni t ∈ R ρ(t) = etA . Dimostrazione: Consideriamo un intorno V di 0 in Mn (R) ed un intorno U di I in GLn (R) in modo che la mappa esponenziale ristretta a V sia un diffeomorfismo fra V ed U . Definiamo poi: ψ(t) := ln(ρ(t)) per quei t ∈ R tali che ρ(t) ∈ U (l’insieme di questi t starà in un intorno T dello zero in R). Allora, se t ∈ T e s ∈ T sono tali che ρ(t + s) ∈ U si ha ψ(t + s) = ln(ρ(t + s)) = ln(ρ(t)ρ(s)) = ln(ρ(t)) + ln(ρ(s)) = ψ(t) + ψ(s) Dunque ψ è una funzione lineare in t e quindi è della forma ψ(t) = tA per una determinata matrice A, sicché eψ(t) = ρ(t) = etA per ogni t ∈ T . Per ottenere il risultato per qualsiasi t ∈ R scriviamo un qualsiasi numero x ∈ R come x = nt ove t ∈ T e n ∈ Z. Allora ρ(x) = ρ(t)n = (etA )n = exA qed 15.4 Coordinate canoniche sui gruppi classici Diamo una prima interessante applicazione dell’esponenziale di matrici, per determinare su ogni gruppo di matrici delle coordinate come nel caso del teorema 15.3.8. Osserviamo intanto che i gruppi di matrici posseggono delle “coordinate” naturali per mezzo delle quali parametrizzare i loro elementi: le entrate delle 3 Anche definendo in modo opportuno il concetto di “differenziabilità” nell’ambito infinitodimensionale, può mostrarsi che la mappa esponenziale non è in quel caso un diffeomorfismo locale. 584 Capitolo 15. Gruppi classici matrici stesse: a X associamo le coordinate ((xij )); in altri termini abbiamo delle funzioni continue xij : G −→ R che all’elemento X ∈G associano l’elemento xij (X) che figura nella sua i-sima riga e j-sima colonna. In generale l’insieme completo delle coordinate {xij } sarà ridondante, poiché esistono delle relazioni che legano queste coordinate, espresse dalle equazioni che definiscono il gruppo: ad esempio, se il gruppo èPGLn (R) abbiamo la relazione det X 6= 0; nel caso di O(n) abbiamo le relazioni k xik xjk = δij : se possiamo estrarre dalle coordinate {xij } un sottoinsieme di funzioni indipendenti allora otteniamo un sistema di coordinate locali nel senso proprio del termine; va precisato, ovviamente, il concetto di “indipendenza” di funzioni. In generale si può adottare la seguente definizione: 15.4.1 Definizione Se X è uno spazio topologico, x0 ∈ X e U ⊂ X è un aperto di X contenente il punto x0 , un insieme di funzioni {x1 , ..., xn }: xi : U −→ R continue si dice sistema di coordinate locali se la mappa x : U −→ Rn : u 7−→ (x1 (u), ..., xn (u)) è un omeomorfismo di U su un intorno aperto di 0 in Rn . In questo caso, la coppia (U, x = (x1 , ..., xn )) si dice carta locale o sistema di coordinate locali di dimensione n. Le coordinate di un punto u ∈ U sono (x1 (u), ..., xn (u)). Naturalmente, su un gruppo topologico G, basta avere una carta locale (U, x) intorno all’elemento neutro e per averne una intorno ad ogni altro g ∈G: se Lg (h) = gh è la traslazione basti considerare (Lg (U ), x ◦ Lg−1 ). 15.4.2 Esempio • Se G = Rn abbiamo ovviamente le coordinate vettoriali (x1 , ..., xn ) associate ad una base fissata (e1 , ..., en ). Si noti che G può essere visto come gruppo di matrici: basta considerare le matrici diagonali in Mn (R) i cui elementi siano gli esponenziali delle coordinate degli elementi di Rn : preciP samente, all’elemento v ∈ Rn tale che xi (v) = vi , i.e. v = i vi ei , associamo la matrice   evi 0 ... 0  0 ev2 ... 0     .. .. . . ..   . . .  . 0 0 ... evn 15.4. Coordinate canoniche sui gruppi classici 585 Allora, se A è una tale matrice, ponendo xi (A) = vi otteniamo delle coordinate che realizzano un omeomorfismo di G con Rn : in altri termini (G, x) stesso è una carta locale. In questo caso il prodotto di elementi di G è tale che xi (AB) = xi (A) + xi (b) • Il gruppo abeliano Tn = S 1 × ... × S 1 si può parametrizzare con degli angoli (t1 , ..., tn ), dato che i suoi elementi sono prodotti di numeri complessi della forma eitk = cos tk + i sin tk : ovviamente questa parametrizzazione è omeomorfa solo localmente, intorni di un punto (in Rn ) di raggio minore P Q per i k tk i(2π+tk ) di 2π, dato che e . Consideriamo comunque n gruppi ad = ke un parametro γ1 : R −→ U (1) ... γn : R −→ U (1) cioè curve continue tali che γk (t + s) = γk (t)γk (s); sappiamo (teorema di cn = Rn ) che tali gruppi sono della forma Stone 14.3.6 oppure il fatto che R γk (t) = eak t Quindi il prodotto del gruppo Tn determina ed è determinato dalla somma di vettori (a1 , ..., an ) in Rn . Osserviamo che in questo caso non abbiamo delle coordinate globali, cioè l’aperto U nel quale sono definite non può coincidere con tutto G (questo caso si ha ovviamente solo se G è omeomorfo a Rn ). Vogliamo estendere la costruzione dell’ultimo esempio al caso di gruppi qualsiasi: in questo caso la non commutatività del gruppo rende insufficiente la sola somma in Rn nel descrivere il prodotto del gruppo: possiamo comunque utilizzare 2 la topologia che i gruppi di matrici ereditano da Mn (Rn ) = Rn . Consideriamo quindi l’algebra delle matrici Mn (R): sappiamo che rispetto ad ogni norma è uno spazio di Banach: in particolare, rispetto alla norma ||A|| := n max |aij | i,j è un’algebra di Banach: in particolare possiamo considerare in Mn (R) la convergenza delle serie. Rammentiamo il lemma 9.1.9 che possiamo formulare come 15.4.3 Lemma Se X ∈ Mn (R) e ||X|| < 1, allora la matrice A = I + X è invertibile, cioè appartiene a GLn (R). Cioè le matrici A che verificano la condizione ||A − I|| < 1 586 Capitolo 15. Gruppi classici per il lemma formano un intorno U della matrice I in GLn (R). A questo punto, per avere un intorno di una qualsiasi altra matrice B ∈ GLn (R) basta considerare B ·U che è un intorno di B in quanto la moltiplicazione di matrici è C ∞ . In questo modo abbiamo le coordinate locali sul gruppo: scriviamole in concreto. Sia B la matrice intorno alla quale vogliamo le coordinate. Allora, se C = B −1 = ((cij )) si pone: ( P xij (A) = nk=1 cik akj − δij xij (B) = 0 Le coordinate {xij } sono valide per ogni matrice A tale che ||A − B|| < ||B|| Abbiamo quindi determinato per il gruppo GLn (R) delle coordinate del tutto simili a quelle di Rn , in un suo intorno U di I: x1 , ..., xn2 : U −→ R date dalle entrate delle matrici ln A al variare di A ∈ U : (U, ln) risulta quindi una carta locale di dimensione n2 per il gruppo GLn (R). Vogliamo ora trovare delle carte locali per i gruppi classici: basta, per questo, determinare degli intorni di I in essi diffeomorfi, per tramite del logaritmo di matrici, a degli intorni di 0 in qualche sottospazio di Mn (R): dobbiamo cioè determinare dei sottospazi vettoriali di Mn (R) le cui coordinate parametrizzeranno i punti dei gruppi classici. Fissiamo intanto l’intorno U di I in GLn (R) tale che ln sia un diffeomorfismo di U su un intorno V dello zero in Mn (R). 15.4.4 Teorema Se U 0 = U ∩ SLn (R) allora ln è un diffeomorfismo fra U 0 e un intorno dello zero nello spazio delle matrici a traccia nulla. Dimostrazione: Se tr(X) = 0, consideriamo la curva A(t) = etX che è un gruppo a un parametro (A(t+s) = A(t)A(s)) e quindi, se d(t) := det A(t) si ha d(t + s) = d(t)d(s) sicché la funzione d è un gruppo a un parametro in R, per cui deve esistere una costante c tale che d(t) = ect . Dimostriamo che c = 0. In effetti è d(t) = det etX = det(1 + tX + o(t)) = t tr X + o(t) 15.4. Coordinate canoniche sui gruppi classici 587 = 0. Allora l’ipotesi che tr X = 0 ove o(t) è una matrice tale che limt−→0 o(t) t implica che µ ¶ df c= dt t=0 il che dimostra la tesi. qed Abbiamo quindi determinato una carta locale di SLn (R) data dalle coordinate dello spazio vettoriale sln (R) = {A ∈ Mn (R) | tr A = 0} che ha dimensione n2 − 1. 15.4.5 Teorema Se U 00 = U ∩ O(n) (rispettivamente U 00 = U ∩ U (n), U 00 = U ∩Sp(n)) allora ln è un diffeomorfismo fra U 00 e un intorno dello zero nello spazio delle matrici antisimmetriche (rispettivamente antihermitiane, antihermitiane quaternioniche). Per i gruppi speciali SO(n), SU (n) vale lo stesso enunciato rispetto alle matrici antisimmetriche speciali e antihermitiane speciali. Dimostrazione: Dimostriamolo solo nel caso di O(n): negli altri due la dimostrazione è la stessa. Osserviamo che se X è antisimmetrica, i.e. X + X T = 0 allora X e X T commutano, e quindi (eX )T eX = eX T +X = e0 = I cioè eX ∈ O(n). qed Gli spazi delle matrici antisimmetriche, antihermitiane e antihermitiane quaternioniche si denotano con so(n) , su(n) , sp(n) Consideriamo di nuovo l’esempio del gruppo Tn considerato in precedenza: possiamo realizzarlo come toro massimale T n in ciascuno dei gruppi classici compatto SO(n), SU (n) e Sp(n); allora è ovvio che su T n la mappa esponenziale è suriettiva (ogni suo elemento è un esponenziale di un numero reale) e non iniettiva: in effetti la mappa esponenziale da Rn in Tn è esattamente la mappa che realizza il quoziente Rn −→ Rn /Zn = Tn Ma ogni elemento di un gruppo classico compatto è coniugato ad un elemento di un suo toro massimale, quindi 588 Capitolo 15. Gruppi classici 15.4.6 Teorema La mappa esponenziale è suriettiva dallo spazio so(n) delle matrici antisimmetriche (rispettivamente su(n), sp(n)) nel gruppo SO(n) (rispettivamente SU (n), Sp(n)). Abbiamo fin qui considerato gruppi di matrici, ed abbiamo mostrato come, nei nostri esempi, questi gruppi possiedano oltre alla struttura di gruppo topologico, anche una struttura “localmente euclidea”: infatti abbiamo determinato delle carte locali su essi, quindi degli omeomorfismi locali con Rn . Abbiamo inoltre visto il legame esistente fra le coordinate e il prodotto nel gruppo, per tramite della mappa esponenziale. In generale, se G è un gruppo di matrici che possiede per ogni suo punto delle coordinate (basta che le possieda intorno all’I) le sue coordinate canoniche sono le coordinate (x1 , ..., xm ) definite come segue: consideriamo la mappa esponenziale ed un intorno U di I diffeomorfo tramite essa ad un intorno V di 0 in un sottospazio g (di dimensione m) dello spazio delle matrici Mn (R). Se (e1 , ..., em ) è una base dello spazio vettoriale g, possiamo scrivere, per ogni A ∈ g: A= m X ak ek k=1 Se g ∈ U , ln g ∈ V e scriviamo ln g = m X xk (g)ek k=1 In questo modo determiniamo delle coordinate xi su G che si dicono canoniche. Viceversa, se consideriamo un elemento A ∈ g qualsiasi, esisterà certo un t > 0 tale che tA ∈ V . Quindi etA ∈ U ⊂ G. Se A, B ∈ g, possiamo moltiplicare etA e etB rispetto al prodotto in G: dato che il prodotto è continuo, possiamo scrivere etA etB = etC Naturalmente C dipende da A e B, e riuscendo ad esprimerlo in termini di A e B otterremmo un legame completo fra le coordinate ed il prodotto: per il calcolo effettivo di C per mezzo della serie di Campbell–Hausdorff, si rimanda a [26], [27] o [22]. Limitiamoci qui a dare delle approssimazioni per questo elemento C. 15.4.7 Proposizione Se A, B ∈ Mn (R) allora ³ 1 1 ´n eA+B = lim e n A e n B n−→∞ ³ 1 1 ´n2 1 1 e[A,B] = lim e n A e n B e− n A e− n B n−→∞ (1) (2) 589 15.5. Varietà differenziabili Dimostrazione: Utilizziamo l’identità di Weyl 15.3.6 e il suo corollario. Notiamo infatti che, per ogni A, B: 1 1 1 1 1 1 lim [ A, [ A, B]] = lim [ B, [ A, B]] = 0 n−→∞ n n−→∞ n n n n n e dunque le ipotesi per applicare queste formule sono verificate al limite per n −→ ∞. Quindi: ³ 1 A B A B ´n ³ A B ´n ³ A B ´n −2[ n , n ] n n A+B +n n = lim e = lim e n e n e = lim e e e n−→∞ n−→∞ n−→∞ dato che − 2n1 2 [A, B] è infinitesimo di ordine superiore rispetto a An e Bn ), il che prova la (1). Per la (2) si noti che, per il corollario all’identità di Weyl: [A,B] e ³ = lim n−→∞ [A ,B] n n ´n2 e ³ = lim n−→∞ A n B n −A −B n n e e e ´n2 e cioè la (2). qed Usando questa proposizione possiamo scrivere 1 2 [A,B]+O(t3 ) etA etB = etA+tB+ 2 t ed ottenere cosı̀ una approssimazione al secondo ordine per la funzione C. 15.5 Varietà differenziabili La presenza di carte locali intorno ad ogni punto di uno spazio topologico rende quest’ultimo un oggetto geometrico sul quale è possibile sviluppare il calcolo differenziale: non ci addentreremo in questi sviluppi, ma diamo, motivati dagli esempi dei gruppi classici, una fondamentale 15.5.1 Definizione Una varietà differenziabile è uno spazio topologico tale che ogni suo punto possieda una carta locale (U, x) di dimensione n (cioè un omeomorfismo x di U su un aperto di Rn ) in modo che, se (U, x) e (V, y) sono carte locali e U ∩ V 6= ∅ allora la funzione definita da un aperto di Rn ed a valori in Rn y ◦ x−1 : x(U ∩ V ) −→ y(U ∩ V ) è infinitamente differenziabile (condizione di compatibilità per carte locali). In altri termini una varietà differenziabile non solo è localmente omeomorfa a Rn , ma i “cambiamenti di coordinate” fra una carta e l’altra sono effettuati da funzioni differenziabili. 590 Capitolo 15. Gruppi classici Il numero n si dice dimensione della varietà. Ovviamente l’insieme degli intorni U dati dalle carte locali è un ricoprimento della varietà: quindi se la varietà, come spazio topologico, è compatta, possiamo considerare sempre un insieme finito di carte su essa. Gli esempi di varietà pervadono la Matematica moderna e non possiamo dare qui nemmeno i rudimenti della teoria: ci limitiamo a citare i più ovvi. Intanto Rn con le coordinate vettoriali è una varietà differenziabile4 , come pure lo sono Cn e Hn . 15.5.2 Esempio • Ovviamente Rn rispetto alla singola carta data dalla mappa identica Rn −→ Rn è una varietà differenziabile. • Un aperto U di una varietà differenziabile V è ancora una varietà differenziabile rispetto alla carta identica U −→ U . Ad esempio, dato che Mn (R) è 2 omeomorfo a Rn è una varietà per l’esempio (1), come pure è una varietà GLn (R) che è l’aperto {det(A) 6= 0} in Mn (R). • Un modo diretto di notare che GLn (R) è una varietà è rammentare il teorema 15.3.8: esiste un intorno dell’origine nello spazio vettoriale Mn tale che, ristretta a questo intorno, e è un diffeomorfismo su un intorno dell’identità di GLn (R). Quindi il suo inverso costituisce una carta intorno all’identità della varietà GLn (R), e questo introduce delle coordinate privilegiate su GLn (R) che si dicono canoniche. • I teoremi 15.4.4 e 15.4.5 ci dicono che SLn (R), O(n), U (n), Sp(n), SO(n) e SU (n) sono varietà differenziabili: infatti queste proposizioni forniscono delle carte locali intorno agli elementi neutri di questi gruppi, e, per moltiplicazione, queste carte danno luogo a carte locali intorno ad ogni elemento del gruppo. Diamo ora due classi di esempi non banali di varietà (che contengono i casi U (1) = S 1 , SU (2) = S 3 e SO(3) = RP3 ): 15.5.3 Esempio Le sfere S n = {(x0 , x1 , ..., xn ) | x20 + x21 + · · · + x2n = 1} ⊂ Rn+1 sono varietà differenziabili. Consideriamo il punto N = (1, 0, ..., 0) (il “polo nord”); se P = (p0 , p1 , ..., pn ) ∈ S n è un qualsiasi altro punto allora possiamo 4 Notiamo che uno spazio vettoriale di dimensione infinita non è una varietà secondo la nostra definizione. 591 15.5. Varietà differenziabili considerare la retta per P e N , le cui equazioni cartesiane sono x0 − 1 xn x1 = ··· = = p0 − 1 p1 pn Questa retta interseca il piano x0 = 0 nel punto f (P ) di coordinate f (P ) = (0, p1 p2 pn , , ..., ) 1 − p0 1 − p0 1 − p0 (proiezione stereografica di P ). Questa funzione f : S n \ {N } −→ {x0 = 0} risulta essere un omeomorfismo dall’aperto S n \ {N } ⊂ S n allo spazio cartesiano (n − 1)-dimensionale {x0 = 0} = {(0, x1 , ..., xn )} ∼ = ∈Rn−1 . n In modo analogo, se togliamo a S il “polo nord” S = (−1, 0, ..., 0), possiamo costruire un altro omeomorfismo g : S n \ {S} −→ {x0 = 0}: g(P ) = (0, p1 p2 pn , , ..., ) 1 + p0 1 + p0 1 + p0 Sull’intersezione S n \ {N, S} entrambe le funzioni f e g sono definite e sono omeomorfismi sull’aperto {x0 = 0} \ {(0, 0, ..., 0)}; calcoliamo allora g ◦ f −1 (0, t1 , ..., tn ) = g(p0 , p1 , ..., pn ) dove (p0 , p1 , ..., pn ) si ottiene intersecando la retta per N e (0, t1 , ..., tn ) con la sfera S n : p1 p1 1 − p0 = = ··· = , p20 + p21 + · · · + p2n = 1 t1 t1 Se poniamo α := p21 + · · · + p2n troviamo allora p20 (1 + α) − 2p0 α + (α − 1) = 0 quindi (la soluzione p0 = 0 viene ovviamente scartata): p0 = 2t1 2tn α−1 , p1 = , ... , pn = α+1 1+α 1+α Quindi la funzione g ◦ f −1 vale su un punto di {x0 = 0} \ {(0, 0)}: α − 1 2t1 2tn , , ..., ) α+1 1+α 1+α t1 tn = (0, , ..., ) α α g ◦ f −1 (0, t1 , ..., tn ) = g( ed è dunque un omeomorfismo infinitamente differenziabile. 592 Capitolo 15. Gruppi classici 15.5.4 Esempio Lo spazio proiettivo RPn è una varietà differenziabile: rammentiamo che si tratta dell’insieme delle rette per l’origine di Rn+1 . Possiamo rappresentare un punto p∈RPn con le sue coordinate omogenee p = [p0 : p1 : · · · : pn ] dove non tutti i numeri reali p0 , p1 , ..., pn sono nulli. Definiamo per ogni i = 0, ..., n gli aperti Un = {p ∈ RPn | pi 6= 0} e le funzioni fi : Ui −→ Rn definite come fi (p) = ( p0 pi−1 pi+1 pn , ..., , , ..., ) pi pi pi pi È ovvio che si tratta di carte locali: dimostriamo che su Ui ∩ Uj vale la condizione di compatibilità, precisamente calcoliamo fi ◦ fj−1 (p1 , ..., pn ) dove (p1 , ..., pn ) ∈ fj (Ui ∩ Uj ): quest’ultimo è l’insieme dei punti (x1 , ..., xn ) ∈ Rn tali che xj 6= 0. Allora fi ◦ fj−1 (p) = fi ([p1 : · · · : pj−1 : 1 : pj+1 : · · · : pn ])   p p p p p p  ( 1 , ..., i−1 , i+1 , ..., j−1 , j+1 ..., n ) pi pi pi pi pi pi =  p p p p p p  ( 1 , ..., j−1 , j+1 , ..., i−1 , i+1 ..., n ) pi pi pi pi pi pi se i < j se i ≥ j e quindi fi ◦ fj−1 è un omeomorfismo differenziabile. Dato che le coordinate locali sono omeomorfismi locali con Rn , le proprietà locali di Rn sono godute anche dalle varietà differenziabili: 15.5.5 Teorema Una varietà differenziabile è localmente compatta, localmente connessa e localmente semplicemente connessa. In particolare ammette compattificazione di Alexandroff e, se è connessa, un unico rivestimento universale. Non è invece detto che una varietà sia paracompatta: è comunque una condizione molto naturale e utile da imporre, dato che implica l’esistenza di partizioni dell’unità (cfr. teorema 2.3.5) differenziabili, per mezzo delle quali molte costruzioni fondamentali non potrebbero effettuarsi (ad esempio i tensori metrici). Per una varietà, la paracompattezza equivale a proprietà topologiche molto importanti. 593 15.5. Varietà differenziabili 15.5.6 Teorema Se M è una varietà differenziabile di Hausdorff allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: • M è paracompatta. • M è σ-compatta (è unione di una famiglia numerabile di compatti). • M è di Lindelöf (ogni ricoprimento aperto possiede un sottoricoprimento numerabile). • Esiste una funzione propria continua ϕ : M −→ (0, ∞). • M è a base numerabile. Dimostrazione: L’equivalenza delle (1)–(4) segue dall’essere M localmente compatta di Hausdorff e dal lemma 2.3.8. D’altronde ogni spazio topologico a base numerabile è di Lindelöf, quindi non resta che dimostrare il viceversa. Dato che M è una varietà possiede un ricoprimento di carte locali, dal quale se ne può estrarre uno numerabile: ma ogni elemento di questo ricoprimento numerabile è un intorno U omeomorfo a un intorno di Rn , quindi possiede una base numerabile. L’unione numerabile dell’unione numerabile degli elementi di questa base è la base numerabile di M cercata. qed 15.5.7 Esempio Consideriamo la varietà di Calabi–Rosenlicht: si tratta dell’insieme [ X = {x = 0} ∪ {z = 0} ∪ Ua ove Ua = {(x, y, z) ∈ R3 | x 6= 0 oppure y = a} a∈R (unione dei piani Oyz, Oxy e del piano Oxy cui sia stata rimossa la retta {x = 0} ed aggiunta la retta {x = 0, y = a} ⊂ R3 .) Definiamo le funzioni fa : Ua −→ R2 come ( (x, y−a ) se x 6= 0 x fa (x, y, z) = (0, z) se x = 0 Si tratta ovviamente di un omeomorfismo su R2 ; verifichiamo ora la condizione di compatibilità su Ua ∩ Ub : fa ◦ fb−1 (t, s) = (t, s + b−a ) t che è ovviamente differenziabile. La varietà cosı̀ costruita è, come spazio topologico, di Hausdorff e connesso, ma non paracompatto: infatti non soddisfa nessuna delle proprietà del teorema precedente: ad esempio non è σ-compatta, come si vede facilmente. 594 Capitolo 15. Gruppi classici Nel teorema precedente abbiamo supposto che M sia di Hausdorff perché questo non è vero in generale per una varietà: comunque gli esempi di varietà non di Hausdorff sono poco interessanti. 15.5.8 Esempio Nel piano R2 consideriamo l’insieme (R \ {0})∪{(0, 1), (0, −1)}, ed i suoi sottoinsiemi aperti U = (R \ {0}) ∪ {(0, 1)} e V = (R \ {0}) ∪ {(0, 1)}, con le funzioni f : U −→ R e g : V −→ R definite come ( ( x se x 6= 0 x se x 6= 0 g(x, y) = f (x, y) = 0 se x = 0 0 se x = 0 Evidentemente si tratta di due carte locali e, se t ∈ f (U ∩ V ) = R \ {(0, 0)} e s ∈ g(U ∩ V ) = R \ {(0, 0)} troviamo g ◦ f −1 (x) = g(x, 0) = x e f ◦ g −1 (x) = f (x, 0) = x quindi la condizione di compatibilità è verificata. Comunque la varietà cosı̀ ottenuta non è di Hausdorff, dato che (0, 1) e (0, −1) non possono essere separati da nessuna coppia di intorni disgiunti. La morale della discussione precedente è: supporremo che le nostre varietà siano di Hausdorff paracompatte. 15.5.9 Definizione Se M e N sono varietà differenziabili di dimensioni m e n, una funzione f : M −→ N si dice differenziabile se, per ogni carta locale (U, x) in M e (V, y) in N la funzione y ◦ f ◦ x−1 : Rm −→ Rn è differenziabile. L’insieme delle funzioni differenziabili da M in N si denota C ∞ (M, N ); se N = R si scrive semplicemente C ∞ (M ). Una funzione differenziabile è in particolare continua. Ad esempio una carta locale è una funzione differenziabile per definizione. Rispetto alle funzioni differenziabili le varietà formano ovviamente una categoria, i cui isomorfismi si dicono diffeomorfismi (sono cioè le funzioni biunivoche differenziabili con inversa differenziabile). Osserviamo che due varietà possono essere omeomorfe ma non diffeomorfe: cioè possono esistere strutture distinte di varietà differenziabile sul medesimo spazio topologico5 . 5 Un famoso risultato di J. Milnor mostra l’esistenza di strutture differenziabili “alternative” sulla sfera S 7 : risultati più recenti e spettacolari mostrano l’esistenza di strutture differenziabili “esotiche” sullo spazio R4 , cfr Donaldson–Kronheimer The Geometry of 4-manifolds, Oxford. Capitolo 16 GRUPPI E ALGEBRE DI LIE I gruppi di matrici, ai quali abbiamo dedicato spazio perché si tratta dei gruppi che governano la fisica delle particelle, sono gli esempi classici dei gruppi di Lie: questi ultimi vengono di solito definiti in Geometria Differenziale come importanti esempi di varietà differenziabili (cfr. ad esempio [17]). Qui vogliamo invece introdurli come una notevole classe di esempi di gruppi topologici. In particolare non useremo il concetto di fibrato tangente, ma la trattazione delle algebre di Lie associate ai gruppi sarà data in uno spirito più algebrico, anziché nel modo usuale: questo, crediamo, renderà interessante la trattazione anche a chi già conosce queste nozioni per via geometrica. 16.1 Gruppi di Lie Abbiamo visto come GLn (R) sia una varietà in quanto è un aperto di una varietà: anche gli altri gruppi classici sono varietà differenziabili, anzi sono molto di più: 16.1.1 Definizione Un gruppo topologico G si dice gruppo di Lie se ammette una struttura di varietà differenziabile in modo che il prodotto (g, h) 7−→ gh e l’inverso g 7−→ g −1 siano funzioni differenziabili. Si può dimostrare (teorema di Pontriagin) che un gruppo di Lie possiede sempre coordinate non solo differenziabili, ma anche analitiche: lo assumeremo sempre nel seguito (per la dimostrazione si può vedere [26]). Dimostriamo piuttosto che su ogni gruppo di Lie esiste una misura di Haar, ma prima diamo una 16.1.2 Definizione Se M è una varietà differenziabile e µ una misura di Radon su X, diciamo che µ è una misura differenziabile se per ogni carta locale (U, x) 595 596 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie della varietà esiste una funzione continua (positiva) ϕU : U −→ R tale che, per ogni insieme misurabile E ⊂ U : Z µ(E) = ϕU (x1 , ..., xn )dx1 ...dxn E (ove con dx1 ...dxn indichiamo la misura di Lebesgue in Rn ) e tale che se U e V sono carte locali tali che U ∩ V 6= ∅ allora ¯ ¯ ¯ ∂y ¯ ϕV (y) = ¯¯ ¯¯ ϕU (x) ∂x ove abbiamo indicato lo Jacobiano in U ∩ V con ¯ ¯ µµ ¶¶ ¯ ∂y ¯ ∂y i ¯ ¯ = det ¯ ∂x ¯ ∂xj La scelta di una tale funzione ϕu per ogni carta locale spesso si dice forma di volume sulla varietà differenziabile: le varietà per le quali questa scelta è possibile si dicono orientabili . I gruppi di Lie rientrano in questa classe1 : 16.1.3 Teorema (Hurwitz) Su un gruppo di Lie esiste un’unica (a meno di un fattore di scala) misura invariante. Dimostrazione: Consideriamo un gruppo di Lie G e due carte locali (U, x) e (V, y) in G tali che g · U ⊂ V per qualche g ∈ G: perché una forma di volume sia associata ad una misura invariante è necessario che ¯ ¯ ¯ ∂x(g) ¯ ¯ = ϕU (h) (∗) ϕV (gh) ¯¯ ∂x(h) ¯ Fissiamo ora h ∈ U e moltiplichiamo per un fattore costante in modo da avere ϕ(h) = 1: allora ogni forma invariante deve essere, (∗∗) ¯ ¯ ¯ ∂x(g) ¯−1 ¯ ϕV (gh) = ¯¯ ∂x(h) ¯ perché la (*) sia vera. Questo dimostra che, se una forma di volume esiste, allora è unica a meno di un fattore di scala. Ma la (**) può essere usata proprio per definire una tale forma in gh. qed 1 In realtà godono di una proprietà ben più forte: sono parallelizzabili, cfr. [17]. 597 16.1. Gruppi di Lie Ovviamente GLn (R) è un gruppo di Lie, dato che prodotto e inverso sono espressi da funzioni polinomiali e razionali, quindi analitiche. Non è cosı̀ immediato dimostrare che gli altri gruppi classici sono gruppi di Lie: per farlo usiamo un procedimento generale che coinvolge la trasformata di Cayley. 16.1.4 Definizione Un omomorfismo di gruppi di Lie è una funzione differenziabile fra essi che sia anche un omomorfismo di gruppi. Un isomorfismo di gruppi di Lie è un isomorfismo di gruppi che sia un diffeomorfismo di varietà differenziabili. In particolare un omomorfismo di gruppi è un omomorfismo di gruppi topologici. Possiamo anche definire i sottogruppi di Lie, sebbene possano avere in generale un comportamento bizzarro. 16.1.5 Esempio Si consideri il gruppo T2 = R2 /Z2 ; se consideriamo il sottogruppo di R2 dato da una retta R passante per l’origine, questo induce sempre sul quoziente T2 un sottogruppo di Lie: in particolare, se R è una retta che forma un angolo irrazionale con l’asse delle ascisse, ad esempio, allora il sottogruppo indotto in T2 sarà una curva ergodica, cioè denso in T2 , pur essendo un sottogruppo di dimensione 1. Diamo ora una procedura generale per dimostrare che certi gruppi di matrici sono gruppi di Lie. 16.1.6 Definizione Una matrice A ∈ Mn (R) si dice regolare se det(A + I) 6= 0; se A è regolare, la matrice A# := (I − A)(I + A)−1 si dice trasformata di Cayley di A. L’insieme Rn (R) delle matrici regolari è un aperto denso in Mn (R) e quindi è una varietà differenziabile. 16.1.7 Lemma La funzione A 7−→ A# è un diffeomorfismo di Rn (R) in sé ed è involutivo: A## = A. Dimostrazione: Sia B = A# ; allora I + B = I + (I − A)(I + A)−1 = ((I + A)(I − A))(I + A)−1 = 2(I − A)−1 e, analogamente I − B = 2A(I + A)−1 Quindi det(I + B) 6= 0 e B # = (I − B)(I + B)−1 = A Che la mappa A 7−→ A# sia differenziabile è ovvio. qed 598 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie 16.1.8 Teorema Un gruppo di matrici G tale che le trasformate di Cayley delle sue matrici regolari sia un aperto in uno spazio vettoriale di matrici M è un gruppo di Lie. Dimostrazione: Dato che le trasformate di Cayley di G ∩ Rn (R) formano uno spazio vettoriale, la mappa A 7−→ A# può vedersi come un sistema di coordinate locali sull’aperto delle matrici regolari in G (che ovviamente è un intorno di I); cosı̀ abbiamo un sistema di coordinate intorno ad ogni matrice C ∈ G, considerando l’insieme delle matrici della forma AC con A ∈ G ∩ Rn (R) e la mappa AC 7−→ A# : per vedere che G è una varietà differenziabile non resta quindi che verificare che il cambiamento di coordinate fra queste carte è differenziabile. Ma, se C1 , C2 ∈ G, le carte locali intorno ad essi sono formate dai prodotti A1 C1 e A2 C2 ; se esiste un punto in comune a questi due intorni allora A1 C1 = A2 C2 e # quindi le coordinate sono A# 1 e A2 e sono, per definizione, funzioni razionali nelle entrate delle matrici A1 e A2 , quindi la loro composizione è certamente differenziabile. Infine, la trasformata di Cayley del prodotto di matrici è una funzione razionale nelle entrate delle matrici stesse, quindi differenziabile. Ne segue che G è un gruppo di Lie. qed 16.1.9 Esempio Se A ∈ O(n) è una matrice ortogonale e B = A# , allora B T =(I + AT )−1 (I − AT ) = (I + A−1 )−1 (I − A−1 ) =(I + A−1 )−1 A−1 A(I − A−1 ) = (A(I + A−1 ))−1 (A − I) =(A + I)−1 (A − I) = −(I − A)(I + A)−1 = −B cioè B + B T = 0, i.e. B ∈ so(n). Viceversa, un conto analogo mostra che, se B ∈ so(n) allora AT = A−1 i.e. A ∈ O(n). In altri termini le matrici ortogonali regolari sono esattamente le trasformate di Cayley delle matrici antisimmetriche. Un ragionamento analogo vale per i gruppi unitario e simplettico (considerando matrici regolari complesse e quaternioniche), cosı̀ come per i loro sottogruppi speciali. Quindi 16.1.10 Corollario I gruppi di matrici O(n), U (n), Sp(n), SO(n) e SU (n) sono gruppi di Lie. Notiamo che gli spazi vettoriali delle coordinate dei gruppi classici compatti sono algebre di Lie. Ricordiamo che un’algebra di Lie g è uno spazio vettoriale (su un campo fissato: nel nostro caso R o C) fornito di una mappa bilineare l : g × g −→ g 599 16.2. Funtore di Lie che scriviamo [X, Y ] = l(X, Y ) che sia anticommutativo e verifichi l’identità di Jacobi: [X, Y ]+[Y, X] = 0 [[X, Y ], Z] + [[Z, X],Y ] + [[Y, Z], X] = 0 16.1.11 Esempio • L’algebra delle matrici Mn (R) rispetto al commutatore [A, B] = AB − BA è un’algebra di Lie. • In generale, se A è un’algebra associativa (ad esempio un’algebra di Banach), porre [A, B] = AB − BA la rende un’algebra di Lie: ovviamente se A è pure commutativa, la struttura di Lie che si ottiene è banale (cioè nulla). L’algebra di Lie degli operatori lineari di uno spazio vettoriale V rispetto al commutatore [F, G] = F G − GF si denota gl(V ). Ora è immediato che, se A, B ∈ so(n), allora [A, B] + [A, B]T =AB − BA − B T AT + AT B T = AB − AT B − BA + BAT =(A − AT )B − B(A + AT ) = 0 Quindi so(n) è un’algebra di Lie (analogamente lo sono su(n) e sp(n)). Inoltre, per le identità di Weyl, il prodotto del gruppo SO(n) è legato al commutatore dell’algebra so(n) dalla formula eA eB (eA )−1 (eB )−1 = e[A,B] a meno di termini superiori al secondo. 16.2 Funtore di Lie Consideriamo una costruzione che permette di definire algebre di Lie a partire da algebre date qualsiasi (non necessariamente associative): se A è un’algebra qualsiasi, consideriamo lo spazio End(A) degli operatori lineari di A in sé: si tratta di un’algebra associativa rispetto alla composizione di endomorfismi. Sia Der(A) il sottospazio vettoriale degli elementi D ∈ End(A) tali che D(ab) = D(a)b + aD(b) Gli elementi di Der(A) si dicono derivazioni dell’algebra A. 600 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie 16.2.1 Proposizione Der(A) è un’algebra di Lie. Dimostrazione: Basta definire il commutatore come [D, D0 ](a) = D(D0 (a)) − D0 D((a)) Allora [D, D0 ] ∈ Der(A): [D, D0 ](ab) =D(D0 (a)b) + D(aD0 (b)) − D0 (D(a)b) − D0 (aD(b)) =D(D0 (a))b + D0 (a)D(b) + D(a)D0 (b) + aD(D0 (b))− − D0 (D(a))b − D(a)D0 (b) − D0 (a)D(b) − aD0 (D(b)) =(D(D0 (a)) − D0 (D(a)))b + a(D(D0 (b)) − D0 (D(b))) =[D, D0 ](a)b + a[D, D0 ](b) Che [.] definisca una struttura di algebra di Lie si verifica allo stesso modo che per le parentesi [A, B] = AB − BA su Mn (R). qed 16.2.2 Esempio Se g è un’algebra di Lie, Der(g) è l’algebra di Lie degli operatori lineari D : g −→ g tali che D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ] Se consideriamo quindi la rappresentazione aggiunta di g su se stessa, cioè la mappa lineare ad : g −→ End(g) X −→ (Y −→ adX Y = [X, Y ]) l’identità di Jacobi in g vuol dire che adX è una derivazione per ogni X ∈ g. 16.2.3 Definizione Se g è un’algebra di Lie, una rappresentazione di g è un omomorfismo di algebre di Lie ρ : g −→ gl(V ) Un omomorfismo fra le algebre di Lie g e h è un operatore lineare F : g −→ h tale che F [X, Y ] = [F X, F Y ] rispetto ai commutatori di g e h. 601 16.2. Funtore di Lie Prima di continuare la discussione sulle algebre di Lie, vediamo il motivo per il quale le abbiamo introdotte. Se M è una varietà differenziabile, possiamo considerare l’algebra C ∞ (M ) delle funzioni differenziabili da M in R: si tratta di un’algebra rispetto alla moltiplicazione punto per punto: (f g)(x) = f (x)g(x) È quindi un’algebra commutativa e associativa: si tratta una sottoalgebra associativa dell’algebra di Banach C(M ) delle funzioni continue sullo spazio topologico M a noi ben nota, ma non una sottoalgebra di Banach: sappiamo infatti che lo spazio C ∞ (M ) è solo uno spazio di Fréchet. Possiamo comunque considerare le derivazioni dell’algebra C ∞ (M ): 16.2.4 Definizione Un campo di vettori su una varietà differenziabile M è una derivazione dell’algebra C ∞ (M ): l’insieme di tali campi si denota X(M ). 16.2.5 Esempio Se M = R, e se x è una coordinata su R, allora la mappa lineare ∂f f 7−→ ∂x è un campo di vettori (per la regola di Leibniz di derivazione del prodotto di funzioni). Si noti che X(c) = 0 se c è costante, dato che X(c) = X(1)c + X(c)1 e quindi X(1) = 0, da cui X(c) = 0. Naturalmente X(M ) è uno spazio vettoriale reale di dimensione infinita: inoltre, per la proposizione precedente, è un’algebra di Lie rispetto al commutatore di campi [X, Y ](f ) = X(Y (f )) − Y (X(f )). 16.2.6 Teorema I campi vettoriali di Rn sono gli operatori differenziali del primo ordine, cioè funzionali della forma X= X hi ∂ ∂xi con hi ∈ C ∞ (Rn ). Dimostrazione: Intanto notiamo che su una varietà differenziabile M , un campo di vettori è un operatore “locale”, cioè, se f ∈ C ∞ (M ) si annulla in un intorno U di un punto x allora X(f ) è nulla in x: basta considerare una funzione h che sia 1 in U e zero fuori da V (ad esempio come quella considerata a pag. 242) X(f )(x) = X(1 − h)(x)f (x) + X(f )(x)(1 − h(x)) = 0 602 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie Ora mostriamo che in Rn (e quindi nell’intorno di un punto di una qualsiasi varietà) i campi di vettori sono esattamente gli operatori lineari differenziali. Se f ∈ C ∞ (R) e x in un intorno dello zero di Rn : Z 1 f (x) = f (0) + 0 X ∂ f (tx)dt = f (0) + xi ∂t i=1 n Quindi (Xf )(0) = n X X(xi )(0) i=1 sicché, intorno a zero, X(f ) = n X i=1 hi Z 0 1 ∂f (tx)dt ∂xi ∂f (0) ∂xi ∂f ∂xi con hi (0) = X(xi )(0). qed Consideriamo ora un gruppo di Lie G: dato che, in particolare è una varietà differenziabile, possiede la sua algebra di Lie dei campi di vettori X(G). 16.2.7 Definizione Se X ∈ X(G), diciamo che si tratta di un campo invariante a sinistra se ∀f ∈ C ∞ (G) ∀g ∈ G X(fg ) = X(f ) ove fg è la funzione (fg )(h) = f (gh). Dato che, se X e Y sono invarianti a sinistra allora [X, Y ](fg ) = X(Y (fg )) − Y (X(fg )) = X(Y (f )) − Y (X(f )) = [X, Y ](f ) si ha che 16.2.8 Proposizione Il sottospazio L(G) ⊂ X(G) dei campi di vettori invarianti a sinistra è una sottoalgebra di Lie dell’algebra dei campi di vettori, che si dice algebra di Lie del gruppo. Mentre lo spazio X(G) è di dimensione infinita, l’algebra di Lie L(G) ha dimensione finita pari alla dimensione del gruppo: per vederlo interpretiamone gli elementi come curve integrali di equazioni differenziali. Consideriamo cioè X ∈X(M ) su una varietà ed una carta locale (U, x) intorno ad un punto fissato p ∈ M ; supponiamo che x(p) = 0. Possiamo allora scrivere un’equazione differenziale d (f ◦ c)(t) = X(f )(c(t)) dt 603 16.2. Funtore di Lie ove f ∈ C ∞ (M ) e c : I −→ M è differenziabile in un intervallo I della retta reale contenente lo zero. Le soluzioni di questa equazione, tali che c(0) = p si dicono curve integrali del campo vettoriale X nel punto p. Una curva integrale massimale è una curva integrale c : I −→ M di X tale che non esistano curve integrali c0 : I 0 −→ R di X tali che I ⊂ I 0 e c0 |I = c; un campo vettoriale si dice completo se tutte le sue curve integrali sono massimali (e.g. se M è compatta ogni campo è completo). 16.2.9 Definizione Un gruppo a un parametro su un gruppo di Lie G è un omomorfismo di gruppi di Lie c : R −→ G. In particolare c(0) = e. Si noti che i gruppi ad un parametro che abbiamo considerato fin qui sono gruppi ad un parametro nel senso della definizione precedente solo se lo spazio di Hilbert sul quale sono definiti è di dimensione finita. 16.2.10 Teorema I gruppi a un parametro su un gruppo di Lie sono esattamente le curve integrali dei campi invarianti a sinistra. Dimostrazione: Consideriamo un gruppo a un parametro c; la curva differenziabile cg (t) = gc(t) è tale che cg (0) = g per un fissato g ∈ G. Consideriamo una carta (U, x) intorno a g e definiamo un campo di vettori µ ¶ d (Xf )(g) = (f ◦ cg ) dt t=0 Si tratta di una derivazione in C ∞ (U ) per la regola di derivazione delle funzioni composte, e per definizione cg è una sua curva integrale. È un campo invariante perché chg (t) = hgc(t) = h(cg (t)) Sia ora X un campo di vettori invariante a sinistra, c una sua curva integrale massimale tale che c(0) = e; dimostriamo che si tratta di un gruppo a un parametro. Per l’invarianza di X abbiamo che chg = (cg )h (nella notazione precedente). Ora: dato che, fissato s, la curva t 7−→ c(t + s) è integrale per X e in 0 vale h = ce (s) allora ch (t) = ce (t + s) e quindi c(s + t) = c(t + s) = ce (t + s) = ch (t) = hce (t) = ce (s)ce (t) = c(s)c(t) 604 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie Resta solo da far vedere che c è definita in R, dato che a priori una curva integrale massimale è definita su un intervallo I ⊂ R. Ma anche se I ( R allora, per ogni t ∈ R esiste n ∈ N tale che t/n ∈ I e quindi se definiamo c(t) = c(t/n)n otteniamo un gruppo a un parametro che estende c; se mostriamo che è una curva integrale per X abbiamo un assurdo, per massimalità di c. Ed infatti: X(f )(c(t)) =X(f )(c(t/n)n ) = X(f )(c(t/n)...c(t/n)) d =X(fc(t/n)n−1 )(c(t/n)) = (fc(t/n)n−1 ◦ c)(t/n) dt d d = (f (c(t/n)n )) = (f ◦ c)(t) dt dt qed 16.2.11 Corollario Un campo invariante a sinistra su un gruppo di Lie è completo. Ora consideriamo un sistema di coordinate (U, x) di G intorno all’elemento neutro e; se X è un campo invariante a sinistra e c una sua curva integrale massimale, allora c è completamente determinata dai numeri µ ¶ dci ai = dt t=0 ove ci = xi ◦ c : R −→ R; infatti ci (0) = 0 e ci è l’unica soluzione del si. stema differenziale ci = X(xi ) ◦ c (teorema di esistenza e unicità: le ci sono differenziabili). Quindi, localmente, un gruppo a un parametro è determinato dal “vettore tangente” (a1 , ..., an ) e viceversa: questo significa che 16.2.12 Proposizione Lo spazio vettoriale L(G) è isomorfo a Rdim G . Inoltre questo mostra che l’algebra di Lie di un gruppo dipende solo dalla struttura locale del gruppo intorno a e: vogliamo mostrare che L(G) determina effettivamente il gruppo intorno a e; per vederlo, basta mostrare che se due gruppi G e U 0 sono localmente isomorfi , cioè se esiste un diffeomorfismo ϕ : U −→ U 0 fra una carta locale U in G e una carta locale U 0 in G tale che ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) (per g, h tali che gh∈U e ϕ(g)ϕ(h)∈U 0 ), allora le algebre di Lie L(G) e L(G0 ) sono isomorfe (che lo siano come spazi vettoriali segue dal fatto che dim G = dim G0 ). Questo è conseguenza dal 605 16.2. Funtore di Lie 16.2.13 Teorema La mappa L : G 7−→ L(G) che ad un gruppo di Lie associa la sua algebra è un funtore dalla categoria dei gruppi di Lie alla categoria delle algebre di Lie. Dimostrazione: Basta far vedere che se ϕ : G −→ H è un omomorfismo di gruppi di Lie allora è indotto un omomorfismo L(ϕ) : L(G) −→ L(H) di algebre di Lie. In effetti, basta porre, se X ∈ L(G) e f ∈ C ∞ (H): L(ϕ)(X)(f ) = X(f ◦ ϕ) In effetti, se L(ϕ)(X) è un campo di vettori invariante a sinistra se lo è X, dato che (f ◦ ϕ)g (h) = f (ϕ(gh)) = f (ϕ(g)ϕ(h)) = (fϕ(g) ◦ ϕ)(h) e quindi L(ϕ)(X)(fϕ(g) ) =X(fϕ(g) ◦ ϕ) = X((f ◦ ϕ)g ) = X(f ◦ ϕ) = L(ϕ)(X)(f ) Mostriamo infine che L(ϕ) è un omomorfismo: per vederlo dimostriamo intanto che, se X ∈ L(G) allora esiste un unico X 0 ∈ L(H) tale che (†) (X 0 f ) ◦ ϕ = X(f ◦ ϕ) = (L(ϕ)X)(f ) Definiamo la funzione X 0 f : G −→ R in e come (X 0 f )(e) = X(f ◦ ϕ)(e) e, per ogni h ∈ H (si tenga conto che ϕ(e) = e): (X 0 f )(h) = (X 0 fh )(e) = X(fh ◦ ϕ)(e) Allora, per definizione, X 0 è un campo invariante a sinistra e verifica la (†). Ora mostriamo che L(ϕ)[X, Y ] = [X 0 , Y 0 ] ◦ ϕ Infatti L(ϕ)[X, Y ]f =X(Y (f ◦ ϕ)) − Y (X(f ◦ ϕ)) = X((Y 0 f ) ◦ ϕ) − Y ((X 0 f ) ◦ ϕ) =(X 0 (Y 0 f )) ◦ ϕ − (Y 0 (X 0 f )) ◦ ϕ = ([X 0 , Y 0 ]f ) ◦ ϕ Infine mostriamo che ϕ è un omomorfismo di algebre di Lie: [L(ϕ)X, L(ϕ)Y ]f =L(ϕ)X(L(ϕ)Y (f )) − L(ϕ)Y (L(ϕ)X(f )) =(L(ϕ)X)((Y 0 f ) ◦ ϕ) − (L(ϕ)Y )((X 0 f ) ◦ ϕ) =(X 0 (Y 0 f )) ◦ ϕ − (Y 0 (X 0 f )) ◦ ϕ =([X 0 , Y 0 ]f ) ◦ ϕ = L(ϕ)[X, Y ](f ) qed 606 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie Il funtore L si dice funtore di Lie. Abbiamo visto come esista una corrispondenza biunivoca fra gli elementi dell’algebra di Lie L(G) (campi di vettori invarianti a sinistra) e gruppi a un parametro su G: usiamo questa biiezione per costruire la mappa esponenziale su un gruppo di Lie qualsiasi. Precisamente, definiamo exp : L(G) −→ G come exp X = c(1) ove c : R −→ G è l’unico gruppo a un parametro associato a X. Notiamo che exp 0 = e. 16.2.14 Teorema exp è un diffeomorfismo locale intorno a 0 ∈ L(G). Dimostrazione: Fissiamo delle coordinate (U, x) intorno a e∈G e consideriamo un campo di vettori X invariante ed il corrispondente gruppo ad un parametro c; possiamo scrivere la mappa esponenziale in coordinate: x ◦ exp : L(G) −→ Rn ottenendo una funzione differenziabile fra spazi vettoriali della stessa dimensione: per mostrare che è un diffeomorfismo intorno a zero basta notare che la sua matrice jacobiana è invertibile in zero ed usare il teorema della funzione inversa. Ma gli elementi della jacobiana sono le funzioni ∂(xi ◦ exp)/∂xj e si calcolano in 0 come segue: ¶ µ X µ ∂xi ◦ exp ¶ . dxi ◦ c xj (0) = = ai ∂x dt j 0 0 j ove (a1 , ..., an ) è il vettore corrispondente a c nell’isomorfismo fra lo spazio dei gruppi a un parametro e Rn (abbiamo tenuto conto che c(t) = exp tX) che, per c 6= 0 è diverso da zero. qed Nel caso di un gruppo di matrici, la mappa esponenziale è esattamente l’esponenziale di matrici: ogni gruppo a un parametro è infatti della forma t 7−→ etX ove si identificano gli elementi X dell’algebra di Lie con le matrici corrispondenti in una fissata base (si tratta di operatori lineari). Il funtore di Lie permette di realizzare una equivalenza di categorie, come asserito dal seguente teorema dovuto a E. Cartan: 16.2.15 Teorema Il funtore di Lie è una equivalenza fra la categoria dei gruppi di Lie connessi e semplicemente connessi e la categoria delle algebre di Lie. 607 16.2. Funtore di Lie Questo vuol dire che ogni algebra di Lie (di dimensione finita) è l’algebra di Lie di un gruppo di Lie, e che esiste un solo gruppo connesso e semplicemente connesso per cui questo è vero; per la dimostrazione si rimanda ai testi specialistici, come [26] o [27]. L’idea consiste nei seguenti passi: si fa vedere che ogni algebra di Lie g è un’algebra di Lie di matrici (teorema di Ado, cfr. 16.3.18), si dimostra poi l’esistenza di intorni aperti in g tali che la serie di Campbell–Hausdorff che determina C nell’equazione eA eB = eC converga e si dimostra che la struttura di gruppo cosı̀ trovata si può “globalizzare” ad una struttura di gruppo di Lie. Facciamo qualche esempio: consideriamo un gruppo di Lie di matrici G per il quale le trasformate di Cayley dei suoi elementi regolari sono un aperto in uno spazio vettoriale V . 16.2.16 Teorema Lo spazio V è l’algebra di Lie L(G). Dimostrazione: Consideriamo X ∈ L(G) e quindi il corrispondente gruppo a un parametro t 7−→ etX (siamo in un gruppo di matrici); ma per ipotesi lo spazio delle matrici regolari in G forma un intorno dell’I e quindi esiste t tale che (etX )# = (I − etX )(I + etX )−1 ∈ G# = V Ma V è uno spazio vettoriale, quindi la derivata rispetto a t di etX calcolata in zero appartiene ancora a V e d tX # d (e ) = −XetX (I + etX )−1 + (I − etX ) ((I + etX )−1 ) dt dt e quindi µ d tX # (e ) dt ¶ 0 1 =− X 2 i.e. X ∈ V . Quindi L(G) ⊂ V : ma si tratta di spazi vettoriali della medesima dimensione, quindi L(G) = V . qed Ad esempio: L(O(n)) = L(SO(n)) = so(n) , L(SU (n)) = su(n) , L(Sp(n)) = sp(n) Il commutatore dell’algebra di Lie di un gruppo di matrici è esattamente il commutatore di matrici. Dimostriamo ora due risultati fondamentali sul rapporto fra gruppi e algebre di Lie. 608 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie 16.2.17 Lemma Se H è un sottogruppo chiuso di un gruppo di Lie allora V = {X ∈ L(G) | ∀t ∈ R exp tX ∈ H} è un sottospazio vettoriale di L(G). Dimostrazione: Notiamo intanto che, se {Zn } è una successione di elementi non nulli in L(G) tale che per ogni n: exp Zn ∈ H allora (∗) lim Zn = 0 e n−→∞ Zn =Z ⇒Z ∈V n−→∞ ||Zn || lim (ove ||.|| è una norma qualsiasi sullo spazio di dimensione finita V ). Infatti, dato che ||Zn || −→ 0 (e ||Zn || 6= 0) deve esistere una successione di numeri interi {kn } tale che lim kn ||Zn || = t n−→∞ e quindi exp tZ = lim exp(kn Zn ) = lim (exp Zn )kn n−→∞ n−→∞ ove (exp Zn ) ∈ H e, dato che H è chiuso, exp tZ ∈ H, i.e. Z ∈ V . Ora si osservi che, scrivendo in coordinate locali lo sviluppo di Taylor, abbiamo, su un intorno di e diffeomorfo tramite exp a un intorno di L(G): kn (∗∗) exp−1 (exp X · exp Y ) = X + Y + O(||X|| + ||Y ||) Dimostriamo ora che v è un sottospazio vettoriale di L(G): ovviamente se X ∈ V e t ∈ R allora tX ∈ V , mentre se X, Y ∈ V sono tali che X + U 6= 0, allora per Z = (X + Y )/||X + Y || e 1 1 X · exp Y ) n n la (*) è soddisfatta (in virtù della (**)). Quindi X + Y ∈ V e V è un sottospazio vettoriale. qed Zn = exp−1 (exp 16.2.18 Teorema Se H è un sottogruppo topologico chiuso di un gruppo di Lie G allora H è un gruppo di Lie e la sua algebra di Lie è formata dagli elementi di L(G) i cui esponenziali appartengono a H. Dimostrazione: Scegliamo un sistema di coordinate (U, x) intorno a e ∈ G (e quindi, traslando, intorno a ogni suo punto) tale che la mappa esponenziale sia in U un diffeomorfismo; preso V come nel lemma, possiamo definire delle coordinate su H semplicemente considerando exp−1 U ∩ V in L(G) ed usando ivi la mappa esponenziale per definire delle coordinate che, per il lemma, sono coordinate su H. qed 609 16.2. Funtore di Lie Ad esempio ogni sottogruppo chiuso di GLn (R) è un gruppo di Lie: questo è un metodo che va bene per SLn (R) e tutti gli altri gruppi classici. Dimostriamo ora che un gruppo topologico può sostenere al più una struttura di gruppo di Lie. 16.2.19 Lemma Se c : R −→ G è un omomorfismo continuo allora è differenziabile, cioè un gruppo a un parametro. Dimostrazione: Scegliamo al solito un intorno U di e ∈ G sul quale exp sia un diffeomorfismo: possiamo, al più restringendo questo intorno, supporre che per ogni g ∈ U esista h ∈ U tale che h2 = g. Allora se ε > 0 è tale che c([−ε, ε]) ⊂ U , e se c(ε) = exp X, allora µ ¶2 ³ ε ´2 1 c = c(ε) = exp X = exp X 2 2 Iterando: c(ε/2k ) = exp X/2k e quindi c(qε) = exp qX per ogni q ∈ Q della forma n/2n ∈ [−1, 1]: ma questi razionali sono densi in [−1, 1] e, per continuità di c troviamo allora ∀t ∈ [−1, 1] c(tε) = exp tX e quindi per ogni t ∈ R. In particolare c è differenziabile. qed 16.2.20 Teorema Se f : G −→ G0 è un omomorfismo di gruppi topologici fra i gruppi di Lie G e G0 allora è differenziabile. Dimostrazione: Basta mostrare che lo è in un intorno di e ∈ G: fissiamo quindi una carta locale (U, x) intorno a e ∈ G0 e definiamo fi (t) = f (exp tEi ) per una fissata base (E1 , ..., En ) di L(G). Abbiamo cosı̀ degli omomorfismi continui fi : R −→ G, e, per il lemma, sono differenziabili ed esistono Ei0 ∈ L(G0 ) tali che fi (t) = exp tEi0 Ora consideriamo due mappe differenziabili h : Rn −→ G e h0 : Rn −→ G0 h(t1 , ..., tn ) = exp t1 E1 · · · exp tn En e h0 (t1 , ..., tn ) = exp t1 E10 · · · exp tn En0 definite come 610 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie Si tratta, intorno alle e ∈ G, G0 di diffeomorfismi; ora usiamo l’ipotesi che f sia un omomorfismo di gruppi: f (h(t1 , ..., tn )) = f (t1 ) · · · f (tn ) = exp t1 E10 · · · exp tn En0 = h0 (t1 , ..., tn ) Cioè intorno a e abbiamo espresso f come h0 ◦ h−1 composizione di mappe differenziabili. Quindi f è differenziabile. qed 16.2.21 Corollario Su un gruppo topologico esiste al più una struttura di gruppo di Lie. Dimostrazione: Se G è un gruppo topologico che possiede due strutture distinte di gruppo di Lie (per la medesima topologia fissata), indichiamo i gruppi di Lie corrispondenti con G0 e G00 (come gruppi topologico sono esattamente G). L’identità id : G0 −→ G00 è ovviamente una mappa continua fra questi gruppi di Lie, quindi è differenziabile: anche l’inverso dell’identità lo è e quindi G0 e G00 sono isomorfi come gruppi di Lie per mezzo dell’identità: sono cioè lo stesso gruppo di Lie. qed Sorge spontanea la domanda se un gruppo topologico possegga sempre una struttura di gruppo di Lie: si tratta di un arduo problema (il quinto nella famosa lista di Hilbert) risolto da von Neumann, Pontriagin, Montgomery, Zippin, Gleason e Yamabe. Citiamo i loro risultati: osserviamo intanto che un gruppo di Lie, essendo una varietà differenziabile, deve essere localmente compatto e localmente connesso. Un’altra condizione necessaria è che non abbia sottogruppi piccoli, nel senso della 16.2.22 Definizione Un gruppo topologico G non possiede sottogruppi piccoli se esiste un intorno U di e ∈ G che non contiene sottogruppi di G a parte {e}. 16.2.23 Lemma Un gruppo di Lie non contiene sottogruppi piccoli. Dimostrazione: Consideriamo un intorno U di e ∈ G nel quale exp sia un diffeomorfismo e tale che V = exp−1 (U ) sia convesso in L(G). Anche U 0 = exp 12 V è un intorno di questo tipo: se per assurdo G possiede un sottogruppo H (6= {e}) e tale che H ⊂ U 0 , sia h 6= e un suo elemento; allora esiste X ∈ 12 V tale che exp X = h, e, dato che V è limitato e convesso, esiste k ∈N tale che 2k X ∈V \ 12 V . Quindi r h2 = exp 2r X ∈ exp V \ U 0 (dato che exp è iniettiva in V ) il che vuol dire che H non è un sottogruppo. qed Queste condizioni sono anche sufficienti: 611 16.2. Funtore di Lie Teorema (Gleason–Yamabe). Un gruppo topologico di Hausdorff è un gruppo di Lie se e solo se è localmente compatto e non possiede sottogruppi piccoli. Teorema (Montgomery–Zippin). Un gruppo topologico di Hausdorff è un gruppo di Lie se e solo se è localmente omeomorfo ad uno spazio Rn fissato. Per questi risultati si veda ad esempio [19]. Limitiamoci qui al caso compatto. 16.2.24 Teorema Se G è un gruppo topologico compatto allora le seguenti proposizioni sono equivalenti. • G non ha sottogruppi piccoli. • G è un sottogruppo chiuso di O(n) per qualche n > 0. • G è un gruppo di Lie. Dimostrazione: (1) implica (2): ci basta trovare una rappresentazione fedele di G, cioè ρ : G −→ GL(V ) con ker ρ = {e}; infatti, dato che il gruppo è compatto, tale rappresentazione è completamente riducibile e quindi, se π è una sua qualsiasi sottorappresentazione irriducibile, questa ha dimensione finita ed è unitaria, i.e. π(G) ⊂ O(n) per qualche n (cfr. §2 cap. precedente). Per l’ipotesi (1), esiste un intorno U di e ∈ G che non contiene sottogruppi di G; se ρ è una qualsiasi rappresentazione di G, ker ρ è un sottogruppo normale chiuso di G e si ha \ ker ρ = {e} ρ al variare di ρ nell’insieme delle rappresentazioni di G; se F = G \ U si ha quindi \ (ker ρ ∩ F ) = ∅ ρ Ma F è un chiuso nel compatto G, quindi è compatto, cioè possiede la proprietà dell’intersezione finita: esistono ρ1 , ..., ρn rappresentazioni di G tali che (ker ρ1 ∩ F ) ∩ ... ∩ (ker ρn ∩ F ) = ∅ T T i.e. i ker ρi ⊂ U e quindi, per ipotesi (1), i ker ρi = {e}. La somma diretta ρ1 ⊕ ... ⊕ ρn è quindi una rappresentazione fedele di G. (2) implica (3) perché un sottogruppo chiuso di un gruppo di Lie è un gruppo di Lie. (3) implica (1) per il lemma. qed 612 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie 16.3 Algebre di Lie, rappresentazioni e coomologia Consideriamo un’algebra di Lie g su un campo K (che sarà R o C) ed una sua rappresentazione ρ : g −→ gl(V ) di dimensione finita. Conveniamo di scrivere l’azione di g su V come una moltiplicazione, i.e. di scrivere Xv ∈ V in luogo di ρ(X)(v), se X ∈ g e v ∈ V : allora l’essere V una rappresentazione di g si esprime come [X, Y ]v = X(Y v) − Y (Xv) per ogni X, Y ∈ g e v ∈ V . 16.3.1 Definizione Una cocatena m-dimensionale sull’algebra g a coefficienti nella rappresentazione V è una funzione c : gm −→ V multilineare antisimmetrica. In altri termini possiamo supporre c : g ∧ ... ∧ g −→ V Per convenzione una cocatena di dimensione zero è una costante in V . Una cocatena di dimensione uno è semplicemente una mappa lineare c : g −→ V Ovviamente l’insieme C m (g, V ) delle m-cocatene su g a coefficienti in V è uno spazio vettoriale di dimensione finita (se lo sono V e g). Possiamo inoltre definire2 una mappa di cobordo δ : C m (g, V ) −→ C m+1 (g, V ) come (δc)(X0 , X1 , ..., Xm ) = n X ci , ..., Xn )+ (−1)i Xi · c(X1 , ..., X i=0 0...n X + ci , ..., X cj , ..., Xn ) (−1)i+j c([Xi , Xj ], X1 , ..., X i<j b indica l’omissione della variabile X). Per definizione, se c ∈ C m (g, V ) (ove X allora δc ∈ C m+1 (g, V ). 2 Questa definizione si ispira alla definizione del differenziale esterno per le forme su una varietà, che dà luogo al complesso di de Rham. 16.3. Algebre di Lie, rappresentazioni e coomologia 613 16.3.2 Esempio Se c : g −→ V è una 1-cocatena allora δc(X, Y ) = Xc(Y ) − Y c(X) − c([X, Y ]) La successione V −→ C 1 (g, V ) −→ · · · −→ C m (g, V ) −→ C m+1 (g, V ) −→ · · · non è esatta: possiamo comunque misurare quanto non lo sia. Un semplice calcolo per induzione che qui non riportiamo permette infatti di stabilire che 16.3.3 Proposizione δ ◦ δ = 0. Una cocatena c∈C m (g, V ) tale che δc = 0 si dice cociclo, mentre una cocatena c ∈ C m+1 (g, V ) tale che esista una cocatena b ∈ C m (g, V ) in modo che δb = c si dice cobordo. Ovviamente, per la proposizione, un cobordo è un cociclo. Il viceversa non è vero a meno che la successione degli spazi delle cocatene non sia esatta. Possiamo definire gli spazi formati da cocicli e cobordi come: ´ ´ ³ ³ δ δ e B m (g, V ) = im C m−1 − → Cm Z m (g, V ) = ker C m − → C m+1 Quindi la successione delle cocatene è esatta se Z m (g, V ) = B m (g, V ) (definizione di successione esatta). In generale, B m (g, V ) sarà un sottospazio vettoriale di Z m (g, V ): lo spazio quoziente H m (g, V ) = Z m (g, V )/B m (g, V ) si dice m-esimo gruppo di coomologia di g a coefficienti nella rappresentazione V . Questi gruppi (che sono spazi vettoriali) sono tutti nulli se e solo se la successione delle cocatene è esatta: altrimenti la loro dimensione ne misura la “non esattezza”. Consideriamo ad esempio H 0 (g, V ): dato che, per definizione, B 0 (g, V ) = 0, abbiamo che H 0 (g, V ) = Z 0 (g, V ); inoltre H 0 (g, V ) = ker ρ Infatti c ∈ H 0 (g, V ) se e solo se 0 = δc(X) = Xc i.e. c ∈ ker ρ. Notiamo che se ρ è la rappresentazione aggiunta ad : g −→ gl(g) allora ker ad = H 0 (g, g) è il centro dell’algebra di Lie g. Identifichiamo ora H 1 (g, V ): un 1-cociclo è una mappa c : g −→ V tale che Xc(Y ) − Y c(X) = c[X, Y ], mentre un 1-cobordo è una mappa b : g −→ V della 614 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie forma bX = Xv per qualche v ∈V . Quindi se H 1 (g, V ) = 0 allora per ogni mappa lineare c : g −→ V esiste un v ∈ V tale che c(X) = Xv Analogamente, se H 2 (g, V ) = 0 allora per ogni mappa bilineare antisimmetrica c : g ∧ g −→ V esiste una mappa lineare b : g −→ V tale che c(X, Y ) = Xb(Y ) − Y b(X) − b([X, Y ]) Particolarizziamo ora la nostra situazione al caso della rappresentazione banale β : g −→ gl(K) = K data semplicemente da β(X) = 0 (si noti che su K esiste una sola struttura di algebra di Lie: quella identicamente nulla!). Allora una cocatena è una forma multilineare alternante c : g ∧ ... ∧ g −→ K e la formula del cobordo si riduce alla: (δc)(X0 , ..., Xn ) = 0...n X ci , ..., X cj , ..., Xn ) (−1)i+j c([Xi , Xj ], X1 , ..., X i<j In questo caso, H 0 (g) = K; inoltre, un 1-cociclo è un funzionale lineare c ∈ g∗ tale che ∀X, Y ∈ g c[X, Y ] = 0 mentre l’unico cobordo è 0 ∈ g∗ . Quindi H 1 (g) è lo spazio dei funzionali lineari che si annullano sugli elementi della forma [X, Y ]: in particolare H 1 (g) = 0 se e solo se l’unico elemento in g della forma [X, Y ] è 0. 16.3.4 Definizione Un’algebra di Lie si dice semisemplice se g = [g, g], ove [g, g] è la sottoalgebra degli elementi della forma [X, Y ] con X, Y ∈ g. Un’algebra di Lie si dice semplice se non è abeliana e non possiede ideali non banali. Un’algebra semplice è semisemplice, dato che [g, g] è un ideale e quindi [g, g] = g (se fosse [g, g] = 0, g sarebbe abeliana). Esempi di algebre semplici sono le algebre di Lie dei gruppi classici compatti e sl(n); l’algebra Mn (R) non è semisemplice, dato che [Mn (R), Mn (R)] = sl(n) 6= Mn (R). Si noti che g è abeliana se e solo se [g, g] = 0. Più in generale, se i e j sono ideali in g, anche [i, j] (sottoalgebra generata dagli elementi della forma [X, Y ] con X ∈i e Y ∈j) è un ideale. Possiamo quindi generalizzare il concetto di algebra di Lie abeliana nel modo seguente: 16.3. Algebre di Lie, rappresentazioni e coomologia 615 16.3.5 Definizione Un’algebra di Lie si dice risolubile se esiste k ≥ 1 tale che g(k) = 0 ove la successione di ideali {g(k) } è definita come g(1) := g g(2) = [g, g] g(k) := [g(k−1) , g(k−1) ] 16.3.6 Esempio • Un’algebra abeliana è risolubile con k = 2. • L’algebra di Lie delle matrici diagonali superiori rispetto al solito commutatore è risolubile: ad esempio la matrice ¶ µ 1 0 0 1 non è esprimibile µ a [ 0 in alcun modo nella forma ¶ ¶ µ 0 0¶ µ a b 0 b0 (a − a0 ) + b(c0 − c) b , ]= 0 c0 0 0 c Ora notiamo che, se i e j sono ideali risolubili in un’algebra di Lie qualsiasi g allora i + j pure è un ideale risolubile: infatti (i + j)/i ∼ = i/(i ∩ j) (il quoziente di ideali risolubili è ovviamente risolubile). Quindi, se dim g < ∞ esiste un unico ideale risolubile massimale, cioè la somma di tutti gli ideali risolubili in g: questo ideale si dice radicale e si denota con Rad(g). Dato che [g, g] = g implica Rad(g) = 0, se [g, g] ( g allora g/[g, g] è risolubile; dunque 16.3.7 Proposizione g è semisemplice se e solo se Rad(g) = 0. Dalla definizione di semisemplicità segue ovviamente che 16.3.8 Proposizione Se g è semisemplice allora H 1 (g) = 0. In realtà vale un teorema più forte (per il quale si rimanda ai testi specialistici, come [27] o [10]: 16.3.9 Teorema (Primo lemma di Whitehead) Se g è semisemplice allora H 1 (g, V ) = 0 per ogni rappresentazione di dimensione finita V di g. L’idea della dimostrazione consiste nel far vedere che, se g è semisemplice, allora H n (g, V ) è somma diretta di k copie di H n (g), ove k è la molteplicità con la quale la rappresentazione banale figura come sottorappresentazione di V . Una notevole applicazione è il seguente 616 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie 16.3.10 Teorema (Weyl) Ogni rappresentazione di dimensione finita di un’algebra di Lie semisemplice è completamente riducibile. Dimostrazione: Vogliamo dimostrare, data una rappresentazione ρ : g −→ gl(V ), che per ogni sottorappresentazione P ⊂ V ne esiste una complementare Q ⊂ V tale che P ⊕ Q = V . Questo è equivalente a dimostrare che esiste una proiezione EP sul sottospazio P che sia un morfismo di rappresentazioni: ∀X ∈ g ρ(X)EP = EP ρ(X) Per questo consideriamo lo spazio W ⊂ End(V ) degli operatori lineari A : V −→ V tali che im A ⊂ P ⊂ ker A (e quindi tali che A2 = 0). Si tratta non solo di un sottospazio vettoriale di End(V ), ma anche di una rappresentazione di g, rispetto alla mappa π : g −→ gl(W ) data da π(X)(A) = [ρ(X), A] Se E è un operatore di proiezione su P allora ∀X ∈ g [ρ(X), E] ∈ W sicché possiamo definire un operatore lineare c : g −→ W come c(X) := [ρ(X), E] cioè una cocatena in C 1 (g, W ). Ma, per l’identità di Jacobi: Xc(Y ) − Y c(X) − c[X, Y ] = [ρ(X), [ρ(Y ), E]]− − [ρ(Y ), [ρ(X), E]] − [ρ([X, Y ]), E] = 0 e quindi c è un cociclo; ma per il lemma di Whitehead deve allora esistere un cobordo A ∈ W tale che c(A) = (δA)(X) = A(X), sicché [ρ(X), E] = [ρ(X), A] Questo significa che l’operatore EP := E − A commuta con tutti gli operatori ρ(X) e quindi è un morfismo della rappresentazione V in sé; resta solo da notare che si tratta di una proiezione su P : ∀v ∈ P EP v = Ev − Av = v − 0 = v (dato che P ⊂ ker A). qed 16.3. Algebre di Lie, rappresentazioni e coomologia 617 Torniamo a considerare la coomologia a coefficienti nella rappresentazione banale. Definiamo prima una rappresentazione di g sullo spazio vettoriale g∗ come ∀X ∈ g ∀ξ ∈ g∗ ad∗X (ξ) = −ξ ◦ adX che si dice rappresentazione coaggiunta di g; si tratta della rappresentazione duale della rappresentazione aggiunta. Ora definiamo una mappa, per m > 0: ϕ : C m (g) −→ C m−1 (g, g∗ ) come (ϕ(c)(X1 , ..., Xm−1 ))(X) = c(X1 , ..., Xm−1 , X) 16.3.11 Lemma δ ◦ ϕ = ϕ ◦ δ. Dimostrazione: Si tratta di un calcolo: (δϕ(c))(X1 ,.., Xm ))(X) = m X ci , ..., Xm )))(X)+ (−1)i+1 (Xi (ϕ(c)(X1 , ..., X = i=1 1...m X ci , ..., X cj , ..., Xm ))(X) (−1)i+j (ϕ(c)([Xi , Xj ], X1 , ..., X + = i<j m X ci , ..., Xm ))([Xi , X])+ (−1)i+1 (ϕ(c)(X1 , ..., X i=1 1...m X ci , ..., X cj , ..., Xm , X) (−1)i+j c([Xi , Xj ], X1 , ..., X + = i<j m X ci , ..., Xm , [Xi , X])+ (−1)i+1 c(X1 , ..., X i=1 1...m X ci , ..., X cj , ..., Xm , X) (−1)i+j c([Xi , Xj ], X1 , ..., X + i<j =(ϕ(δc)(X1 , ..., Xm ))(X) qed In particolare se c è un cociclo, anche ϕ(c) lo è. 16.3.12 Proposizione Se g è semisemplice allora H 2 (g) = 0. 618 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie Dimostrazione: Se u ∈ Z 2 (g) allora, per il primo lemma di Whitehead, esiste una cocatena ξ ∈ C 0 (g, g∗ ) = g∗ tale che ϕ(c) = δξ e quindi, per ogni X, Y ∈ g: c(X, Y ) =((ϕ(c))(X))(Y ) = ((δξ)(X))(Y ) =(ad∗X ξ)(Y ) = −ξ([X, Y ]) = (δξ)(X, Y ) dunque c = δξ, pertanto H 2 (g) = 0. qed Notiamo che in generale H (g) 6= 0: il funzionale bilineare 3 k(X, Y ) := tr(adX ◦ adY ) induce un 3-cociclo che non è mai un cobordo se g è semisemplice: in effetti se g è semisemplice allora la forma bilineare k è non degenere (teorema di Cartan) e quindi non può essere il cobordo di un funzionale lineare su g. Di nuovo, vale un teorema più forte: 16.3.13 Teorema (Secondo lemma di Whitehead) Se g è semisemplice allora H 2 (g, V ) = 0 per ogni rappresentazione di dimensione finita V . Diamo anche per questo una applicazione. 16.3.14 Definizione Una estensione di un’algebra di Lie a per mezzo di una sottoalgebra g è un’algebra di Lie h tale che la successione α 0 −→ a −→ h −→ g −→ 0 sia esatta. In altri termini a è un ideale di h e h/a = h. Un’estensione si dice banale se h possiede una sottoalgebra di Lie isomorfa a g per mezzo della proiezione α : h/a −→ g. Due estensioni h e h0 si dicono equivalenti se esiste un omomorfismo di algebre di Lie e : h −→ h0 tale che il seguente diagramma 0 0 /a /a /h ² α /g /0 α /g /0 e /h 16.3. Algebre di Lie, rappresentazioni e coomologia 619 sia commutativo. Allora necessariamente e è un isomorfismo. Notiamo che esiste una mappa lineare β : g −→ h tale che α ◦ β = id: l’estensione è banale se e solo se la β può essere scelta in modo che sia un omomorfismo di algebre di Lie; in generale non lo sarà, cioè la funzione c(X, Y ) = [βX, βY ] − β[X, Y ] sarà non identicamente nulla. Se a è abeliana allora c è un 2-cociclo nello spazio delle cocatene C 2 (g, a), ove la rappresentazione di g in a è definita dalla formula, per X ∈ g e Y ∈ a: ρ(X)(Y ) = [βX, Y ] Che si tratti di un cociclo segue dall’identità di Jacobi; se l’estensione è banale il cociclo è un cobordo, quindi 16.3.15 Proposizione Se a è abeliana, lo spazio H 2 (g, a) è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle estensioni di g tramite a a meno di equivalenza. Quindi, per il secondo lemma di Whitehead: 16.3.16 Corollario Una estensione h di un’algebra di Lie semisemplice g per mezzo di un’algebra abeliana a è banale. Abbiamo osservato in precedenza che un’algebra di Lie qualsiasi possiede sempre un unico ideale risolubile massimale, Rad(g), e che g/ Rad(g) è semisemplice. Una immediata conseguenza del corollario precedente è che, se il radicale è abeliano, allora g = Rad(g) ⊕ s oe s è una sottoalgebra semisemplice isomorfa a g/ Rad(g) (la somma diretta è nel senso degli spazi vettoriali). Questo risultato è vero in generale. 16.3.17 Teorema (Levi) Ogni algebra di Lie g è, come spazio vettoriale, somma diretta del radicale e di una sottoalgebra semisemplice. Dimostrazione: Procediamo per induzione sulla dimensione di Rad(g); se Rad(g) = 0 allora g = s è semisemplice e il teorema è banale; se dim Rad(g) = 1 allora Rad(g) è abeliano ed il teorema segue dal corollario precedente. La stessa conclusione vale se l’ideale a = [Rad(g), Rad(g)] è zero (che implica Rad(g) abeliano). Sia, per induzione, valido il teorema per m < n con n > 0; dato che Rad(g) è risolubile, dim Rad(g)/a < n e che Rad(g)/a è il radicale dell’algebra quoziente 620 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie g/a, allora, per ipotesi induttiva, g/a è somma diretta di Rad(g)/a e di una sua sottoalgebra semisemplice, che si solleva ad una sottoalgebra b di g tale che g = Rad(g) + b e Rad(g) ∩ b = a Ma Rad(b) = a; infatti a è un ideale risolubile in b ed il quoziente b/a è semisemplice. Dato che dim b < n, per induzione, esiste un’algebra semisemplice s in b tale che b = a ⊕ s; cioè Rad(g) ∩ s = Rad(g) ∩ b ∩ s = a ∩ s = 0 , Rad(g) + s = Rad(g) + Rad(g) ∩ b + s = Rad(g) + a + s = Rad(g) + b = g Quindi g = Rad(g) ⊕ s. qed Il teorema di Levi ha una conseguenza capitale nel teorema di Ado, secondo il quale ogni algebra di Lie è un’algebra di matrici (in realtà vale un enunciato più preciso). 16.3.18 Teorema (Ado) Ogni algebra di Lie di dimensione finita possiede una rappresentazione fedele. Dimostrazione: Osserviamo intanto che il teorema è vero se g è semisemplice: infatti in questo caso la rappresentazione aggiunta ad : g −→ gl(g) è fedele, dato che il suo nucleo è il centro di g che sta nel radicale (essendo un ideale abeliano è risolubile) che è zero. Se g non è semisemplice ma possiede una rappresentazione ρ che, ristretta al centro z(g) di g è fedele, allora la rappresentazione ad ⊕ρ è fedele su g: infatti ker ad ∩ ker ρ = z(g) ∩ ker ρ = 0. Il teorema si riduce quindi alla ricerca della rappresentazione ρ. Consideriamo ora il centro z(g): possiede sempre rappresentazioni fedeli (uno spazio vettoriale V si immerge in End(V )) e sia ζ una di esse. Vogliamo costruire a partire da ζ una rappresentazione di Rad(g) che sia fedele sul centro. Per farlo notiamo che se r è un’algebra risolubile, allora esiste una successione di ideali (†) z(r) ⊂ r1 ⊂ · · · ⊂ rk ⊂ r tali che dim ri+1 /ri = 1. Infatti abbiamo la successione di ideali z(r) = r(k−1) ⊂ r(k−2) ⊂ · · · ⊂ r(2) = [r, r] ⊂ r 16.3. Algebre di Lie, rappresentazioni e coomologia 621 Se questa sequenza non soddisfa il requisito dim r(k+1) /r(k) = 1 possiamo comunque “infittirla” con altre sottoalgebre di r in modo da ottenere una sequenza (†) con [ri−1 , ri ] ⊂ ri . Per dedurre da z(g) una rappresentazione di Rad(g) usiamo allora questo ragionamento ed il seguente Lemma. Se g è un’algebra di Lie e g = r ⊕ h (come spazi vettoriali) ove r è un ideale risolubile in g e h una sottoalgebra, allora ogni rappresentazione σ di r induce una rappresentazione ρ di g tale che r ∩ ker ρ ⊂ ker σ. Prima di dimostrare il lemma concludiamo la dimostrazione del teorema di Ado: in virtù del lemma possiamo costruire per ogni ri una rappresentazione a partire da una di ri−1 e quindi una rappresentazione di Rad(g) fedele su z(g) a partire da una rappresentazione fedele di z(g). Infine applichiamo il teorema di Levi ed il lemma per indurre una rappresentazione di g fedele sul centro, che era quanto richiesto per avere il teorema di Ado. Resta solo da provare il lemma, il che è facile: infatti se σ è una rappresentazione di r e se consideriamo ρ = σ ⊕ ad (ove ad è la rappresentazione aggiunta di h: ad : h −→ gl(h)) allora otteniamo una rappresentazione di g il cui nucleo è ker ρ = ker σ ⊕ z(h) cioè r ∩ ker ρ = ker σ. qed Un simile risultato è falso per i gruppi di Lie: concludiamo la nostra discussione fornendo un esempio di gruppo di Lie non di matrici. Osserviamo intanto che un gruppo discreto è certamente un gruppo di Lie, di dimensione zero (ogni punto {g} è una carta locale con la mappa g 7−→ 0 come coordinata), e che la sua algebra di Lie è 0. 16.3.19 Definizione Un gruppo di Lie G si dice semplice se non è abeliano e se ogni suo sottogruppo normale è di dimensione zero (e quindi, se è chiuso, è discreto). In particolare, a differenza dei gruppi per sé presi, un gruppo di Lie può essere semplice anche se ha centro non banale: basta che questo centro sia discreto; si noti che un gruppo è semplice se e solo se lo è la sua algebra: questo suggerisce anche la 16.3.20 Definizione Un gruppo di Lie G è semisemplice se lo è la sua algebra di Lie L(G). Notiamo che π : G −→ GL(V ) una rappresentazione di un gruppo di Lie ne induce una dell’algebra: infatti, per funtorialità, se ϕ : G −→ H è un 622 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie omomorfismo di gruppi di Lie, il diagramma L(G) L(ϕ) / L(H) exp exp ² ² g ϕ /h è commutativo 16.3.21 Teorema Il centro di un gruppo semisemplice di matrici è finito. Dimostrazione: Consideriamo A ∈ G, gruppo di matrici in GL(V ): dato che A commuta con ogni elemento di G, commuta anche con ogni elemento della sua algebra di Lie (tramite l’esponenziale) e dato che l’algebra di Lie di G è semisemplice, per il teorema di Weyl, possiamo decomporre V in somma diretta di sue rappresentazioni irriducibili A = A1 ⊕ ... ⊕ An Ora usiamo il lemma di Schur per dedurre che Ai = λi I, con λi ∈ C: che i coefficienti siano complessi non è un problema, dato che possiamo immergere V nello spazio complesso V C = V ⊕ iV preservando l’irriducibilità della rappresentazione. Le matrici della forma Ai sono un sottogruppo Gi di G, quindi, dato che [G, G] = G, anche [Gi , Gi ] = Gi e quindi Gi è composto da matrici di determinante 1. Quindi det Ai = 1 cioè esistono ni ∈ N tali che λni i = 1 Dunque λi è una radice ni -esima di 1 ∈ C; ne esiste solo un numero finito, quindi anche di matrici Ai ne esiste solo un numero finito e, per conseguenza, esiste solo un numero finito di matrici A nel centro di G. qed Quindi un gruppo di Lie semisemplice che possegga centro infinito non può essere un gruppo di matrici: diamone un esempio, ma prima svolgiamo qualche osservazione generale. 16.3.22 Lemma Sia G un gruppo topologico connesso. • G non possiede sottogruppi aperti distinti da G stesso. • Ogni intorno V di e ∈ G genera il gruppo G. • Un sottogruppo discreto normale K di G sta nel centro di G. 16.3. Algebre di Lie, rappresentazioni e coomologia 623 Dimostrazione: (1): Poiché H è aperto, ogni laterale sinistro gH di H è aperto (dato che Lg : h 7−→ gh è un omeomorfismo) e quindi l’insieme [ gH g6=e è aperto, essendo unione di aperti; ma si tratta del complementare di H, che quindi risulta essere chiuso. Dato che G è connesso e H 6= ∅, è H = G (si noti che abbiamo in generale dimostrato che in un gruppo topologico qualsiasi, un sottogruppo aperto è anche chiuso). (2) Sia H il sottogruppo generato da V : si tratta di un sottogruppo aperto per definizione e, per (1), H = G. (3) Sia k ∈ K e U un intorno di k non contenente altri elementi di K; per continuità della mappa g 7−→ g −1 kg esiste un intorno V di e tale che V −1 kV ⊂ U . Ma K è normale in G e U ∩ K = {e}, quindi ∀h ∈ V h−1 kh = k e quindi il sottogruppo Zk degli elementi di G che commutano con k contiene l’intorno V , che genera G per (2), e quindi Zk = G, pertanto k sta nel centro di G. qed Consideriamo ora il gruppo di Lie SLn (R): la sua algebra di Lie è sln (K) = {A ∈ Mn (K) | tr A = 0} Notiamo che tr AB = tr BA allora tr[A, B] = 0 e quindi sln (K) è un ideale in Mn (K); dunque 16.3.23 Proposizione L’algebra di Lie Mn (K) non è semplice. a differenza del caso associativo. Dimostriamo ora la semplicità di sln (K) nel caso più facile di n = 2. Scriviamo una base di sln (K): ¶ ¶ µ ¶ µ µ 1 0 0 0 0 1 H= F = E= 0 −1 1 0 0 0 Il prodotto di Lie è completamente determinato dalle relazioni [E, F ] = H [H, E] = 2E [H, F ] = −2F In altri termini, E e F sono autovettori per l’applicazione lineare LH (X) = [H, X] di autovalori 2 e −2; sia ora I un ideale non nullo e A = aE + bF + cH 624 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie un suo elemento non nullo. Allora [E, [E, A]] = [E, bH − 2cE] = −2bE ∈ I , [F, [F, A]] = [F, −aH + 2cF ] = −2aF ∈ I Quindi, se a 6= 0 oppure b 6= 0 abbiamo E, F ∈ I e quindi H ∈ I, cioè I = sl2 (K). Se invece a = b = 0 allora c 6= 0 e quindi H ∈ I, da cui, dato che [H, E] = 2E e [H, F ] = −2F , E, F ∈ I e di nuovo I = sl2 (K). Dunque il gruppo SL2 (R) è semplice perché lo è la sua algebra di Lie; ricordiamo che si tratta di un gruppo non semplicemente connesso, perché si contrae sul gruppo ortogonale speciale SO(2) = S 1 (abeliano) che ha gruppo fondamenf 2 (R): in tale Z. Possiamo quindi considerare il suo rivestimento universale SL generale, se G è un gruppo di Lie connesso, localmente connesso e localmente e −→ G è semplicemente connesso, sappiamo che il suo rivestimento universale G un gruppo topologico; se G è un gruppo di Lie allora possiamo considerare un suo intorno U di e∈G che sia una carta locale (U, x) e che sia omeomorfo, tramite e componendo p con x otteniamo allora p, a un intorno p−1 (U ) di e0 ∈ p−1 (e) ∈ G; e delle coordinate locali su G: 16.3.24 Teorema (Weyl) Il rivestimento universale di un gruppo di Lie G è un gruppo di Lie che ha la stessa algebra di Lie di G (essendo localmente isomorfo a G). ^ di SL(2) è un gruppo di Lie la cui Quindi il rivestimento universale SL(2) algebra di Lie è sl2 (R); tuttavia, dato che la mappa di rivestimento f 2 (R) −→ SL2 (R) p : SL è un epimorfismo di gruppi di Lie, il nucleo è un sottogruppo normale, che quindi, f 2 (R) è semplice, deve essere discreto. Per la (3) del lemma, ker p sta dato che SL nel centro di SL2 (R): se dimostriamo che ker p è infinito, il teorema 16.3.21 f 2 (R) non può essere un gruppo di matrici. implica che SL Ma il nucleo di p è infinito dato che il gruppo fondamentale di SL2 (R) è Z: infatti, per la decomposizione polare, SL2 (R) è prodotto delle matrici 2 × 2 simmetriche definite positive (uno spazio contraibile, quindi semplicemente connesso) e di SO(2) = S 1 , che ha gruppo fondamentale Z. Cosı̀ il rivestimento universale di SL2 (R) deve contenere il rivestimento universale di SO(2) che è R, e il nucleo di p contiene il nucleo di R −→ S 1 , che è Z. f 2 (R) non è un gruppo di matrici. Quindi SL 625 16.4. Teorema di Nelson 16.4 Teorema di Nelson Discutiamo da ultimo alcuni risultati che combinano la teoria dei vettori analitici con quella delle algebre di Lie, in particolare un altro fondamentale teorema di Nelson. Sia H uno spazio di Hilbert separabile e A = A∗ un operatore autoaggiunto, corrispondente a un gruppo a un parametro U (t) = eiAt . Sappiamo che un vettore x è analitico per A se e solo se la funzione T 7−→ U (t) è la restrizione di una funzione olomorfa in una striscia {a+ib | |b| < δ} ⊂ C; ad esempio se x appartiene 1 2 all’immagine dell’operatore e− 2 A allora x è analitico. Supponiamo ora che A sia completo, i.e. che ∀t ∈ R BU (t) = U (t)B ⇒ B ∈ {U (t)}00t∈R ovvero U (R)0 = U (R)00 = {f (A) | f ∈ C0 (R)} = {f (A) | f ∈ L∞ (R, dµ)} con dµ misura basica. In questo caso x ∈ L∞ (R, dµ) e (U (t)x)(λ) = eitλ x(λ) e possiamo realizzare H come L2 (R, dµ); la misura è determinata da Z (ξ, f (A)ξ) = f (λ)dµ(λ) Basta cioè conoscerne i momenti Z n (ξ, A ξ) = λn dµ(λ) 16.4.1 Proposizione Se per ogni x ciclico consideriamo ξ = e− 2 A x allora ξ è ciclico ed analitico per A. 1 2 Dimostrazione: Vediamo che ξ è ciclico. Se ∀f ∈ C0 (R) (y, f (A)e− 2 A x) = 0 1 2 allora (e− 2 A y, f (A)x); ma {f (A)x} è denso (e e− 2 A è autoaggiunto), sicché 1 1 2 e− 2 A y = 0 1 2 che, siccome e− 2 A è iniettiva, implica y = 0. 1 2 2 626 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie Per mostrare che ξ è analitico basta provare che X zn n≥0 n! An e− 2 A 1 2 è convergente nella norma uniforme degli operatori: ed infatti ¯ ¯¯ ¯¯ ¯ rn ¯ n − 12 s2 ¯ ¯¯ n − 12 A2 ¯¯ ¯¯A e ¯¯ ≤ sup ¯s e ¯= e s (derivando e valutando in s = 0). Ma e− 2 s sn è limitata, e, dato che il raggio di convergenza della serie r X zn n 1 2 n≥0 n! e è infinito, si ha l’analiticità di ξ. qed Estendiamo ora la teoria svolta per un singolo A ad una famiglia finita commutativa: consideriamo cioè una famiglia {A1 , ..., An } di operatori permutabili, nel senso che le famiglie spettrali commutano a due a due e {A1 , ..., An } è completa. Per f1 , ..., fn ∈ C0 (R): C ∗ (A1 , ..., An ) = C ∗ (f1 (A1 ), ..., fn (An )) è una C*-sottoalgebra commutativa di C ∗ (U1 , ..., Un ) (trasformate di Cayley) e si trova che C ∗ (A1 , ..., An ) = C0 (jσ(f1 (A1 ), ..., fn (An ))) (spettro congiunto). La determinazione della misura basica avviene in modo mn − 12 (A21 +...+A2n ) 1 completamente analogo: Am è limitato e i momenti sono 1 ...An e Z m1 mn (ξ, A1 ...An ξ) = λm1 ...λmn dµ(λ) Z e mn i(t1 Am1 1 +...+tn An ) (ξ, e ξ) = ei(λ,t) dµ(t) (trasformata di Fourier). Enunciamo da ultimo il fondamentale teorema di Nelson che generalizza ai gruppi di Lie quello che abbiamo visto in dettaglio nel caso di gruppi a un parametro. Se G è un gruppo di Lie connesso, è generato da un suo intorno dell’identità: a meno di estendere con traslazioni del gruppo possiamo quindi definire i concetti 627 16.4. Teorema di Nelson che non dipendono dalla topologia di G (dalla sua struttura globale) supponendo che i suoi elementi siano della forma exp tX con X ∈ L(G) (algebra di Lie del gruppo) e t ∈ R; ad esempio, se U : G 7−→ U(H) è una rappresentazione unitaria (fortemente continua) in uno spazio di Hilbert di G, per ogni X ∈ L(G) abbiamo U (exp tX) = eiJX t (teorema di Stone) ove JX è autoaggiunto e [JX , JY ] = iJ[X,Y ] Cioè le rappresentazioni unitarie fortemente continue di G inducono rappresentazioni dell’algebra di Lie L(G). Il teorema di Nelson stabilisce delle condizioni per invertire questa corrispondenza ed “integrare” le rappresentazioni dell’algebra al gruppo: in altri termini, dato JX autoaggiunto vogliamo determinare U . Ovviamente, in generale, questo non sarà possibile: ad esempio basta considerare G = U (1) = S 1 , per il quale eiAt = I solo se t ∈ 2πZ; in questo caso la difficoltà è legata alla impossibilità di sollevare in modo unico la rappresentazione, che è conseguenza della struttura topologica di S 1 . Partiamo quindi da una rappresentazione J di un’algebra di Lie g nello spazio degli operatori hermitiani di uno spazio di Hilbert H: ad ogni X ∈ g associamo un JX , in modo che [JX , JY ] = iJ[X,Y ] Dato che l’algebra g ha dimensione finita, fissata una sua base (X1 , ..., Xn ) il suo commutatore è determinato dalle costanti di struttura X [Xi , Xj ] = ckij Xk k Possiamo in particolare scrivere JX = X ci Ji ove Ji = JXi . Poichè data g, la teoria di Lie ci dice che esiste un unico gruppo di Lie connesso semplicemente connesso G tale che L(G) = g, non è sorprendente che dovremo richiedere queste proprietà topologiche. Poiché l’algebra di Lie viene rappresentata in un’algebra di operatori, ha senso considerare, fissata una base (X1 , ..., Xn ) di g l’algebra generata da Xi e Hij = Xi Xj + Xj Xi Denoteremo con U2 questa algebra associativa 3 : si tratta di un’algebra di dimensione finita, al più n + n(n + 1)/2. 3 Si tratta di una sottoalgebra dell’algebra inviluppante universale di g: cfr. [10]. 628 Capitolo 16. Gruppi e algebre di Lie 16.4.2 Teorema (Nelson) Se G è un gruppo di Lie connesso e semplicemente connesso e J è una rappresentazione di L(G) nello spazio degli operatori hermitiani su H in modo che il dominio D di JX (X ∈ L(G)) sia invariante rispetto alla rappresentazione (i.e. JX D ⊂ D) e che valgano le condizioni seguenti • [JX , JY ] = iJ[X,Y ] P • ∆ = k Jk2 è essenzialmente autoaggiunto su D. Allora esiste un’unica rappresentazione unitaria fortemente continua U : G −→ U(H) tale che U (exp tX) = eiJX t Dimostrazione: Scriviamo Ji := JXi e consideriamo ξ = J1 + ... + Jn Dimostriamo intanto che, se α = ∆ − I allora esiste c tale che, per ogni x: (∗) ||ξx|| ≤ c||αx|| ||(adξ )n αx|| ≤ cn ||αx|| e (ove adξ è l’azione aggiunta). Infatti, per la disuguaglianza di Schwartz: µ ¶ X X 1 2 1 2 ||Ji x|| = (Jxi , Jxi ) = (−∆x, x) ≤ ( ∆ − ∆ + x, x) 2 2 i 1 1 =( (∆ − I)2 x, x) = ||(∆ − I)x||2 2 2 cioè X r ||Ji x|| ≤ i n ||(∆ − I)x|| 2 Consideriamo ora l’algebra U2 generata da Ji e Hij = Ji Jj + Jj Ji e notiamo che, rispetto alla norma |||B||| := inf{k | ∀x ||B|| ≤ k||αx||} è un’algebra di Banach. Per definizione U2 è stabile rispetto a adJi e quindi esistono delle costanti c1 , ..., cn tali che |||adJi B||| ≤ ci |||B||| Per c = n max ci otteniamo cioè X ||(adξ )n αx|| = ||adJn ...Ji ∆x|| ≤ ||ci1 ...cin αx|| ≤ cn ||αx|| i1 ...in 629 16.4. Teorema di Nelson Da cui la (*). Ora consideriamo la chiusura ∆ dell’operatore ∆, una sua famiglia spettrale E(λ) e l’insieme B = {x ∈ H | ∃Φ boreliano E(Φ)x = x} Per il teorema spettrale possiamo dedurre che \ B⊂ D(∆n ) e e che la serie X ||e αn x|| n≥0 n! B=H sn e è la restrizione di ∆ all’intersezione ∩D(∆n ) e α converge per s ≥ 0, ove ∆ e= e ∆ + I. Quindi, per X ∈ g, iJX è essenzialmente autoaggiunto (ogni vettore analitico per ξ lo è per X). Ora consideriamo l’unico gruppo di Lie connesso semplicemente connesso G la cui algebra di Lie è g, e un intorno Ne di e ∈ G nel quale exp è un diffeomorfismo: allora il prodotto del gruppo è determinato, in Ne , dal prodotto dell’algebra exp X exp Y = exp Z con Z ∈ exp−1 Ne ; se x è tale che n X ||JX+Y x|| n≥0 n! sn e X ||J n x|| Z n≥0 n! sn convergono allora possiamo “integrare” la rappresentazione J ad una rappresentazione U di G definita in N come U (exp X) = eiJX in modo che, in U : U (g)U (h) = U (gh) Ma sappiamo che questo è vero su un insieme denso B ⊂ H e quindi, nell’intorno N , possiamo effettivamente definire la rappresentazione UG : G −→ U(H): per connessione del gruppo questa si estende a tutto il gruppo G e per semplice connessione questa estensione è unica. Abbiamo quindi la rappresentazione cercata. qed Questo teorema vale anche se la (2) è sostituita dalla (20 ) Ogni x ∈ D è un vettore analitico per Jk . Per discussione più approfondita si vedano: E. Nelson, Annals of Math. 70 (1959), B. Simon Comm. Math. Phys. 28 (1972) oppure J. Frölich, Comm. Math. Phys. 54 (1977). Capitolo 17 SISTEMI QUANTISTICI In questo capitolo introduciamo l’approccio di von Neumann alla Meccanica Quantistica (cfr. [24]) e mostriamo come questo possa inquadrarsi nella teoria delle rappresentazioni delle C*-algebre da noi precedentemente trattata (capitolo ??). Introdurremo nel nostro linguaggio i concetti di base della Meccanica Quantistica, ponendo l’accento sul concetto di simmetria, ed utilizzandolo per dare la formulazione relativistica dell’equazione di Schrödinger, data da Dirac. Utilizzeremo alcune nozioni di Relatività Ristretta, almeno una familiarità con i termini: talora utilizzeremo risultati della letteratura non completamente dimostrati in queste note; comunque, come si vedrà, il formalismo delle algebre di Lie introdotto nel capitolo ?? interverrà pesantemente. 17.1 Stati ed osservabili Consideriamo di un sistema fisico un numero molto grande N di copie, che per definizione si chiama ensemble: si consideri inoltre un numero N 0 ¿ N di copie dell’ensemble, e si immagini di eseguire N 0 misure secondo le procedure di misura in modo da ottenere `1 , . . . , `N 0 valori, che sono proprietà dell’ensemble, posto che gli N 0 campioni siano scelti a caso e N 0 sia abbastanza grande. Il valore ottenuto si dice attesa (expectation), e si denota Exp. 17.1.1 Definizione Dato un sistema fisico definiamo: • Gli stati del sistema sono le classi di equivalenza di ensemble modulo la relazione Ω ≈ Ω0 ⇐⇒ per ogni procedura A Exp(Ω, A) = Exp(Ω0 , A) • Gli osservabili sono le classi di equivalenza di procedure modulo la relazione A ≈ A ⇐⇒ per ogni ensemble Ω 630 Exp(Ω, A) = Exp(Ω, A0 ) 631 17.1. Stati ed osservabili Denotiamo l’insieme degli stati con S e l’insieme degli osservabili con O. Possiamo supporre che S sia un insieme convesso: infatti ∀Ω, Ω0 ∈ S ∀α, β ≥ 0 α + β = 1 ⇒ αΩ + βΩ0 ∈ S Questo può vedersi nel seguente modo: se α, β ∈ Q allora è α= N1 N e β= N2 N e, preso N À 0 tale che N1 e N2 siano le cardinalità di due ensemble Ω1 e Ω2 e se Ω1 e Ω2 sono le rispettive classi di equivalenza, allora Ω = Ω1 ∪ Ω2 è ancora un ensemble: dunque, se Ω è la sua classe di equivalenza: Ω = αΩ1 + βΩ2 La funzione ϕ 7−→ Exp(ϕ, A) è convessa. Infatti se si considerano n1 campioni in Ω1 e n2 campioni in Ω2 , il numero di campioni prelevati in Ω è n = n1 + n2 < N , sicché n1 N1 = n N e n2 N2 = n N Se i campioni sono scelti a caso, abbiamo che `1 + ... + `n1 + `01 + ... + `0n2 n1 `1 + ... + `n1 n2 `01 + ... + `0n2 + = n n n1 n n2 n1 n2 = Exp(Ω1 , A) + Exp(Ω2 , A) = α Exp(Ω1 , A) + β Exp(Ω2 , A) n n Exp(ϕ, A) = Avrà interesse considerare i punti estremali di questo insieme convesso S, che chiameremo stati puri. Ora consideriamo gli osservabili: se A ∈ O, consideriamo lo spettro fisico di A, vale a dire l’insieme σph (A) dei valori (si tratta di numeri reali) delle possibili misurazioni di A. Compatibilmente con la nozione di misurazione di una grandezza, questo insieme sarà supposto limitato in R, ed anziché considerare i suoi punti, sarà fisicamente più significativo limitarsi a parlare degli intorni dei suoi punti, per tener conto dell’errore sistematico che affligge ogni misura. (Come 632 Capitolo 17. Sistemi quantistici regola empirica osserviamo anche che due misure immediatamente successive di uno stesso osservabile devono coincidere). L’altra ipotesi che si farà su σph (S) è che sia chiuso in R, e quindi compatto. Ora è chiaro che, per calcolare il valore di una funzione f su un osservabile A, bisognerà misurare A per trovare ` ∈ σph (A) e quindi calcolare f (`): poiché come abbiamo detto, consideriamo i punti dello spettro fisico sempre associati ad un proprio intorno, diciamo l’intorno di raggio ² del punto `, la funzione f deve essere uniformemente continua, in modo che se ` e `0 differiscono per δε , si avrà |f (`)−f (`0 )| < ε. Dato che σph (A) è compatto la richiesta su f è che sia continua, cosı̀ σph (f (A)) = f (σph (A)) Quindi, fissati A ∈ O e Ω ∈ Σ possiamo calcolare Exp(Ω, f (A)) per una qualsiasi funzione continua f ed avere cosı̀ un funzionale lineare positivo: f 7−→ Exp(Ω, f (A)) Positivo significa che σph (A) ⊂ [0, ∞) e Exp(Ω, A) ≥ 0 per ogni Ω. Allora il teorema di Riesz–Markov ci dice che Z Exp(Ω, f (A)) = f (`)dµΩ,A (`) In particolare, se Q ∈ O è tale che sia σph (Q) ∈ {0, 1}, si dice una questione, e verifica la n1 Exp(Ω, Q) = n ove n1 è il numero di volte in cui si trova il valore 1 in n misurazioni e quindi l’attesa della questione è la probabilità che la risposta alla questione sia “sı̀” (Q = 1). Ora, se A ∈ O, l’insieme {f (A) | f ∈ C(σph (A))} è una R-sottoalgebra di R: se f è boreliana, ad esempio f = χ∆ ove ∆ è un boreliano, si ha Exp(Ω, χ∆ (A)) = µΩ,A (∆) Notiamo che se A e B sono osservabili qualsiasi può non aver senso considerare A + B o AB: ma se A e B sono compatibili (cioè se le misurazioni nelle classi A e B si possono eseguire simultaneamente in modo non contraddittorio) allora A + B e AB hanno come misurazioni la somma ed il prodotto delle misurazioni di A e B: in particolare, se A + B è definita si ha 1 (A + B)2 − A2 − B 2 =: A ◦ B 2 che si dice prodotto di Jordan di A e B. (A, B) 7−→ 17.1. Stati ed osservabili 633 Per procedere dovremo ora, dopo questi preliminari, fare delle ipotesi sulla natura matematica degli oggetti che andiamo considerando: postuleremo quindi che1 17.1.2 Assiomi • Σ = Σ(A) sia l’insieme degli stati di una C*-algebra A. • O = Aaa sia la parte autoaggiunta di A. • Exp(Ω, A) = hΩ|Ai. (scriviamo hΩ|Ai per Ω(A).) Quindi Extr Σ(A) = P(A) sono gli stati puri di A, σph (A) = σ(A) ed il calcolo di funzioni sullo spettro altro non è che il calcolo funzionale. Per giustificare quest’ultima asserzione si può procedere nel seguente modo: ` ∈ σph (A) se esiste un Ω tale che A misurato nello stato Ω dia con certezza il valore `, cioè, considerando lo scarto medio (∆Ω A)2 := hΩ|(A − hΩ|AiI)2 i (qui I è l’identità che corrisponde al non fare misurazione alcuna) la certezza di trovare ` si esprime come ∆Ω = 0 cioè (∆Ω A)2 = hΩ|A2 i − (hΩ|Ai)2 = 0 e quindi, considerando la rappresentazione GNS (ξ, π((A − Ω(A)I)2 )ξ) = ||π(A)(ξ − Ω(A)ξ)||2 si trova che (∆Ω A)2 = 0 ⇐⇒ ξ − Ω(A)ξ è un autovettore di π(A) cioè se e solo se Ω è uno stato puro: π(f (A))ξ = f (Ω(A))(ξ), ovvero hΩ|f (A)i = f (Ω(A)), ovvero Ω(A) ∈ σ(A). Ne concludiamo che ` ∈ σph (A) ⇐⇒ ∃Ω ∈ Σ ∆o A = 0, Ω(A) = ` ⇐⇒ ` ∈ σ( A) e quindi che σph (A) = σ(A). 1 Si rammentino le nozioni del capitolo ??. 634 Capitolo 17. Sistemi quantistici Osserviamo che, se A è commutativa, allora può vedersi come l’insieme delle funzioni continue su uno spazio topologico compatto Ω (ammettendo che 1 ∈ A) e quindi gli osservabili sono funzioni continue e gli stati misure regolari di probabilità su Ω e Z Exp(Ω, A) = A(ϕ)dµ(ϕ) Ω L’insieme Ω corrisponde cioè allo spazio delle fasi e gli stati puri alle misure di Dirac: come si vede, in questo caso in ogni stato puro ogni osservabile assume un valore certo. In generale, per motivi fisici, l’insieme degli stati puri non sarà l’intero Σ(A), ma un suo sottoinsieme Σ. Se consideriamo l’algebra inviluppante di von Neumann A∗∗ di A, allora gli elementi di A∗∗ aa saranno considerati osservabili genera∗∗ lizzati, dato che, per B ∈Aaa , in virtù del Teorema di Kaplanski 11.4.2, B è limite forte delle immagini, via la rappresentazione universale π b di elementi Aα ∈ Aaa e ||aα || ≤ ||B||. Quindi per ogni stato Ω ∈ Σ(A) esiste un’unica estensione normale b∈π b Ω b(A)00∗ = A∗ tale che Ω(B) sia il limite forte degli Ω(Aα ), che si dice valor medio dell’osservabile. Se ora E è un elemento di A tale che E = E 2 = E ∗ allora è una questione e, per ogni stato Ω, Ω(E) è la misura di probabilità che E abbia risposta affermativa nello stato Ω. Se Ω(E) = 1 si dice che Ω possiede la proprietà descritta da E. Denotando con PΩ ∈ A∗∗ il più piccolo idempotente autoaggiunto che verifichi la b )=1 Ω(P (si dice proprietà caratteristica di Ω), ricordiamo che la probabilità di transizione da uno stato ϕ ad uno stato Ω è la Pϕ,Ω = ϕ(P b Ω) (si tenga presente che Pϕ,Ω = 1 non implica che ϕ = Ω a meno che non si tratti di stati puri). 17.1.3 Lemma PΩ ∈ A∗∗ è minimale fra i proiettori di A∗∗ se e solo se Ω è uno stato puro. Dimostrazione: È noto che b = {ξ ∈ H b | (ξ, π PΩ H b(−)) ∈ CΩ } ove CΩ denota la chiusura in norma degli stati dominati da Ω. Ricordiamo inoltre che CΩ = {Ω} se e solo se Ω è puro. 635 17.1. Stati ed osservabili b ⊂ PΩ H b si Ora, sia Ω puro e P ≤ PΩ un proiettore. Ne segue che, se ξ ∈ P H e ) = (ξ, P ξ) = 1. Ma ha che (ξ, π b(−)ξ) = Ω (per quanto appena ricordato) e Ω(P PΩ è il più piccolo proiettore che verifichi questa relazione e quindi PΩ ⊂ P . Viceversa, se PΩ è minimale, allora PΩ π b(A)00 PΩ è un’algebra di von Neumann, alla quale possiamo applicare il Lemma. Se R è un’algebra di von Neumann, e per E ∈R definiamo RE := ERE e R0E := R0 E, allora RE e R0E sono algebre di von Neumann e sono l’una il commutante dell’altra. e dedurre che PΩ π b(A)00 PΩ = APΩ . Quindi per ogni ξ nell’immagine di PΩ ed ogni T in PΩ π b(A)00 PΩ si ha e )PΩ (ξ, T ξ) = Ω(T cioè (ξ, π b(A)ξ) = Ω(A) e quindi Ω è uno stato puro. qed Possiamo allora dedurre che ϕ(P b Ω) = 1 =⇒ ϕ=Ω Ora siano A, B ∈ Aaa , e definiamo C ∈ Aaa come iC := AB − BA Se Ω ∈ Σ(A) vogliamo associare a Ω le indeterminazioni in A e B: ∆Ω A e ∆Ω B: queste grandezze sono importanti, perché se ∆Ω A 6= 0 si dice che A subisce una fluttuazione quantistica in Ω. 17.1.4 Teorema (Relazioni di Heisenberg) 1 ∆Ω A · ∆Ω B ≥ |Ω(C)| 2 Dimostrazione: Se definiamo A0 := A − Ω(A)I allora: A0 B 0 − B 0 A0 = iC e quindi |Ω(A0 B 0 − B 0 A0 )| = |Ω(C)| 636 Capitolo 17. Sistemi quantistici Ma, osservando che se A è autoaggiunto, anche A0 lo è, e che Ω(A0 B 0 ) = Ω((A0 B 0 )∗ ) = Ω(B 0 A0 ) si trova 2| Im Ω(A0 B 0 )| =|Ω(A0 B 0 ) − Ω(A0 B 0 )| = |Ω(A0 B 0 ) − Ω(B 0 A0 ) ≤|Ω(A0 B 0 )| + |Ω(B 0 A0 )| per cui, tenendo conto della diseguaglianza di Schwartz e dell’autoaggiunzione di A e B: 1 1 1 |Ω(C)| ≤ |Ω(A0 B 0 )| ≤ Ω(A02 ) 2 Ω(B 02 ) 2 = ∆Ω A · ∆Ω B 2 qed Osserviamo che, avendosi per ||πΩ (T )ξΩ || = Ω(T ∗ T ) 2 : 1 ∆Ω A = ||πΩ (A)ξΩ − Ω(A)ξΩ || lo scarto quadratico è zero se e solo se ξΩ è un autovettore. 17.1.5 Corollario A e B sono osservabili compatibili se e solo se [A, B] = 0. Dimostrazione: Che la condizione sia sufficiente segue dal teorema di Heisenberg. Dimostriamo che è necessaria: siano dapprima σ(A) e σ(B) insiemi finiti, cioè X X A= `i Pi e B= µi Fi i i con {Pi , Fj } idempotenti autoaggiunti. Dimostriamo che A e B sono compatibili, cioè che esiste un G ∈ Aaa tale che, per opportune funzioni f e g si abbia A = f (G) e B = g(G) e g(`i + aµj ) := µj Ma se G := A + aB, e se poniamo f (`i + aµj ) := `i allora f (G) = A e g(G) = B. Il caso generale si dimostra in modo analogo per mezzo del seguente risultato di analisi reale: Teorema. Per ogni coppia di operatori autoaggiunti A e B in uno spazio di Hilbert H tali che AB = BA esiste un operatore G autoaggiunto e due funzioni boreliane f e g tali che f (G) = A e f (G) = B. 637 17.1. Stati ed osservabili che non dimostreremo. qed La non-commutatività di una C*-algebra è equivalente all’esistenza di sue rappresentazioni irriducibili di dimensione maggiore di uno, come è ovvio osservare se si considera la rappresentazione M A 7−→ πξ (A) b ξ∈A che è fedele: in effetti, se ogni rappresentazione irriducibile fosse di dimensione 1, renderebbe A sottoalgebra di un’algebra commutativa e quindi a sua volta commutativa. Fatta questa precisazione, consideriamo una rappresentazione π della nostra C*-algebra A nello spazio di Hilbert Hπ : sappiamo che questo dato ci fornisce una famiglia di stati puri PHπ ←→ Vπ ⊂ P(A) (stati vettoriali), ove con P indichiamo lo spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale dato. Se ξ, η ∈ Hπ hanno norma 1, e se definiamo gli stati associati ξ 7−→ Ω := (ξ, π(−)ξ) , η 7−→ ϕ := (ξ, π(−)ξ) è ovvio che se ξ e η sono linearmente indipendenti allora Ω 6= ϕ e quindi dim Hπ > 1 ⇐⇒ #Vπ > 1 Se ξ e η sono linearmente indipendenti e x = aξ + bη con a, b ∈ C in modo che ||x|| = 1 allora abbiamo uno stato puro (x, π(−)x) e (x, π(A)x) = |a|2 (ξ, π(A)ξ) + |b|2 (η, π(A)η) + 2 Re ab(ξ, π(A)η) Il terzo termine del secondo membro di questa eguaglianza è l’interferenza nella somma degli stati (in analogia con la teoria delle onde). Ora, se Ω, ϕ ∈ P(A) sono associate a rappresentazioni non equivalenti allora le sovrapposizioni di Ω e ϕ non sono stati puri, cioè esiste una rappresentazione π che estende le πΩ e πϕ per cui esistono ξ, η ∈ Hπ tali che (ξ, π(−)ξ) = Ω , (η, π(−)η) = ϕ Allora, se x = aξ +bη (a, b∈C) si ha (x, π(−)x) = |a|2 Ω+|b|2 ϕ. Ora dimostriamo che se le rappresentazioni associate agli stati Ω e ϕ non sono equivalenti, non si ha interferenza. 638 Capitolo 17. Sistemi quantistici 17.1.6 Proposizione ∀A ∈ A (ξ, π(A)η) = 0 Dimostrazione: Dato che le rappresentazioni πΩ e πϕ sono irriducibili, non sono equivalenti se e solo se sono disgiunte cioè se e solo se (πΩ , πϕ ) = 0. Ma sappiamo che sono estese ambedue da una rappresentazione π, i.e. che πΩ ∼ = π|H1 e πϕ ∼ = π|H2 e quindi i proiettori E1 ed E2 su questi sottospazi di Hilbert sono elementi di π(A)0 , per cui (πΩ , πϕ ) = E1 π(A)0 E2 Allora le rappresentazioni non sono equivalenti se e solo se E1 π(A)0 E2 = 0 e quindi ciò implica che i proiettori E1 e E2 sono ortogonali: E1 E2 = 0. Ma allora, dato che E2 è π-stabile, si ha l’asserto. qed Osserviamo in particolare che, se le rappresentazioni associate a due stati sono disgiunte, allora (x, π(−)x) = |a|2 Ω + |b|2 ϕ, e che quindi si possono sovrapporre solo stati puri di una stessa famiglia Vπ . 17.1.7 Definizione Le famiglie Vπ si dicono settori di superselezione. Possiamo riassumere nel seguente modo le osservazioni che abbiamo fin qui collezionato: 17.1.8 Teorema Se A è una C*-algebra e Σ(A) sono i suoi stati, allora le seguenti proposizioni sono equivalenti: • A non è commutativa. • Esistono stati puri con fluttuazioni quantistiche. • Non tutti gli osservabili sono fra loro compatibili. • Esistono rappresentazioni irriducibili di dimensione maggiore di uno. • Esistono settori di superselezione nei quali vale il principio di sovrapposizione. Per questo motivo, nel caso commutativo parliamo di teorie classiche, e nel caso non commutativo di teorie quantistiche. 639 17.1. Stati ed osservabili 17.1.9 Esempio Supponiamo di avere un solo settore di superselezione (il che vuol dire che stiamo trattando sistemi dinamici con un numero finito di gradi di libertà), di modo che esista un’unica rappresentazione irriducibile e sia A = K(H) con H spazio di Hilbert separabile e A ⊂ A∗∗ = B(H). Ora, gli osservabili sono elementi autoaggiunti di B(H) e gli stati sono gli stati normali su K(H), cioè funzionali positivi normalizzati nel preduale2 B(H)∗ , quindi Ω(A) = tr(AT ) ove T ≥ 0 ha traccia 1. Dunque Ω è puro se e solo se T ha rango 1 i.e. se T = T ∗ = T 2 (ed è minimale rispetto a queste condizioni) ed in tal caso T = PΩ . Inoltre la transizione fra stati è data da PΩ,ϕ = tr(T R) ove Ω = tr(T −) e ϕ = tr(R−). Si noti che gli osservabili {A1 , ..., An , ...} sono compatibili se e solo se commutano a due a due, e formano un insieme completo se, per ogni B ∈ B(H)aa e per ogni i Ai B = BAi , allora B = f (A1 , ..., An , ...), cioè se l’algebra di von Neumann generata dalla famiglia {Ai } degli osservabili in questione è abeliana massimale. 17.1.10 Esempio Consideriamo lo spazio di Hilbert H = L2 (X, dµ) ove X è lo spettro congiunto degli osservabili {Ai } e dµ è la misura basica, allora a f (A1 , ...) corrisponde l’operatore di moltiplicazione Mf in L2 : in altri termini, la famiglia di osservabili si può simultaneamente diagonalizzare. Chiediamoci quale sia il significato di x ∈ L2 (X, dµ), ove Z |x(ξ)|2 dµ(ξ) = 1 X (identifichiamo gli x e x0 se esiste una numero complesso a di modulo 1 tale che x = ax0 ). Intanto osserviamo che il valor medio di B in x è (x, Bx), e che, se B è una questione, allora questo numero rappresenta la probabilità di trovare la proprietà 2 Si rammenti che il duale dello spazio degli operatori compatti è lo spazio degli operatori nucleari, cioè quelli per i quali è definita la traccia: il duale dello spazio degli operatori nucleari è esattamente B(H). 640 Capitolo 17. Sistemi quantistici B nello stato puro x. Consideriamo allora B = Mχ∆ ove ∆ è un insieme µmisurabile. Cosı̀ B descrive la proprietà che le misure simultanee degli osservabili {Ai } diano un valore ξ in ∆, e la probabilità che ciò sia vero è Z Z Z (x, Bx) = x(ξ)f (ξ)x(ξ)dµ(ξ) = x(ξ)x(ξ)dµ(ξ) = |x(ξ)|2 dµ(ξ) X ∆ ∆ Quindi x è una funzione d’onda generalizzata, e se è il vettore ciclico che definisce la misura basica, la densità di probabilità è |x(ξ)|2 dµ(ξ) 17.2 Gruppi di simmetria Una simmetria sugli osservabili è una trasformazione η : Ω −→ Ω che deve godere delle seguenti proprietà: • essere 1–1 su O. • essere R-lineare. • soddisfare alla η(A2 ) = η(A)2 . Se, come stiamo postulando, O = Aaa , allora η(A + iB) = η(A) + iη(B) In particolare µ η ¶ 1 1 (AB + BA) = (η(A)η(B) + η(B)η(A)) 2 2 Se ora scriviamo A = A1 + iA2 e B = B1 + iB2 si ha {A, B} := AB + BA = {A1 , B1 } − {A2 , B2 } + i ({A1 , B2 } + {A2 , B1 }) (prodotto di Jordan) e quindi η : A −→ A deve essere un isomorfismo di spazi vettoriali complessi tale che η({A, B}) = η(A)η(B) + η(B)η(A) dunque un automorfismo di algebre di Jordan. Citiamo, rimandando a [12] per la dimostrazione, il 641 17.2. Gruppi di simmetria Teorema. Se A è una C*-algebra con centro C · I allora ogni automorfismo di Jordan η è un automorfismo oppure un antiautomorfismo della C*-algebra (un antiautomorfismo è semplicemente uno *-isomorfismo di spazi vettoriali tale che η(AB) = η(B)η(A)). 17.2.1 Esempio Se A = K(H) (al solito H spazio di Hilbert separabile) allora ηe(A) = U AU −1 ove η è un automorfismo antilineare e U un operatore unitario o antiunitario. E. Wigner ha formulato una definizione di simmetria come una biiezione Ω −→ Ω0 sugli stati puri tale che PΩ,ϕ = PΩ0 ,ϕ0 Il Teorema di Wigner afferma che se Ω(A) = (ψ, Aψ) allora Ω0 (A) = (ψ 0 , Aψ 0 ) ove ψ 0 = U ψ. 17.2.2 Definizione Un gruppo G si dice gruppo di simmetrie di una teoria quantistica se esiste un omomorfismo α : G −→ Aut(A) ∪ AntiAut(A) (Osserviamo che AntiAut(A) non è un gruppo, e che Aut(A) C Aut(A) ∪ AntiAut(A) con indice 2). Se Ω ∈ Σ allora Ωαg−1 è l’azione di g ∈ G su Ω: G × Σ −→ Σ. Quindi, se A 7−→ αg (A) = A0 si trova che Ω0 (A0 ) = Ω(A). 17.2.3 Esempio Consideriamo il gruppo generato da {g 2 }g∈G : allora ∀g ∈ G αg ∈ Aut(A) dato che αg2 = αg2 e quindi gli antiautomorfismi dell’algebra non intervengono. Tratteremo il caso in cui G sia un gruppo di Lie connesso. È noto che Aut(A) è un gruppo topologico, (è un sottospazio di B(H)), ed è quindi naturale chiedersi se α sia continua o meno. Se lo è, allora ||αg − 1|| −−−→ 0 =⇒ ∀Ω ||Ω · αg − Ω|| −−−→ 0 g−→e il che fisicamente è inaccettabile. Per chiarire diamo la g−→e 642 Capitolo 17. Sistemi quantistici 17.2.4 Definizione Ω si dice stato regolare per α se la sua orbita è continua, cioè se, preso A ∈ A la mappa g 7−→ αa (A) è continua (vale a dire ||αg (A) − A|| −→ 0 per g −→ e) sull’orbita di A. Consideriamo ora l’insieme U = {g | ||Ωαg − Ω|| < 2}, ed osserviamo che se Ω è regolare per α, allora U è un intorno dell’identità del gruppo di Lie G, e che quindi genera G come gruppo (dato che è connesso per ipotesi, cfr. lemma 16.3.22). Se oltre ad essere regolare, Ω è anche puro, allora gli stati Ωαg sono stati vettoriali della rappresentazione GNS π di Ω, cioè: se g ∈ U , la rappresentazione π◦αg = πΩαg è unitariamente equivalente a π, dunque esiste un operatore unitario Vg tale che Vg π(A)Vg−1 = π(αa (A)) e quindi, dato che U genera G, per ogni g = g1 ...gn ∈ G con {gi } ⊂ U , ponendo Vg = Vg1 ...Vgn abbiamo ancora un operatore unitario. In definitiva, quello che richiederemo sarà al più la continuità dell’orbita di un operatore. Consideriamo di nuovo l’operatore Vg unitario, che è definito a meno di multipli complessi di modulo 1 (e quindi a rigore sullo spazio proiettivo associato allo spazio di Hilbert in questione): ciò significa che, se Vg0 = z(g)Vg per z(g) ∈ {|z| = 1} = T è ancora un operatore unitario (in effetti Vg−1 V V ∈ π(A)00 = C). 1 g2 g1 g2 17.2.5 Definizione Una rappresentazione π di A si dice covariante se esiste una rappresentazione unitaria U di G tale che U (g)π(A)U (g)−1 = π(αg (A)) cioè che Ad U (g)π = π ◦ αg Diciamo che π : Aut(A) −→ Aut(B(Hπ )) è un operatore di allacciamento fra questi due spazi. È ora facile rendersi conto che l’operatore Vg è di allacciamento: resta solo da capire se e quando V sia una rappresentazione, cioè che Vg1 Vg2 = w(g1 , g2 )Vg1 g2 ove w : G × G −→ T è un valore complesso di modulo 1. Ora, Vg01 Vg02 = z(g1 )z(g2 )Vg1 Vg2 = z(g1 )z(g2 )w(g1 , g2 )Vg1 g2 = z(g1 )z(g2 )w(g1 , g2 )z(g1 g2 )−1 Vg01 g2 = δz(g1 , g2 )w(g1 , g2 )Vg01 g2 643 17.2. Gruppi di simmetria ove abbiamo definito δz(g1 , g2 ) = z(g1 )g(z2 )z(g1 g2 )−1 Quindi δz : G × G −→ T. Il simbolo δ indica il cobordo di un complesso di cocatene per il quale w è un 2-cociclo, nel senso seguente: (†) w(g1 , g2 )w(g1 g2 , g3 ) = w(g1 , g2 g3 )w(g2 , g3 ) (in virtù dell’identità (Vg1 Vg2 ) Vg3 = Vg1 (Vg2 Vg3 )). Se cioè denotiamo con C n (G, T) le funzioni da Gn in T abbiamo le mappe di cobordo: δ δ C 1 (G, T) −→ C 2 (G, T) −→ C 3 (G, T) ove la δ : C 1 (G, T) −→ C 2 (G, T) è definita come δz(g1 , g2 ) = z(g1 )z(g2 )z(g1 g2 )−1 e la δ : C 2 (G, T) −→ C 3 (G, T) è definita come δw(g1 , g2 , g3 ) = w(g1 , g2 )w(g1 g2 , g3 )w(g1 , g2 g3 )−1 w(g2 , g3 )−1 Quindi, dato che se z è un omomorfismo di gruppi allora (δz)(g1 , g2 ) = 1, δz “misura quanto z non è un omomorfismo”; analogamente δw “misura quanto w non soddisfa la (†)”. Inoltre δ(δz)(g1 , g2 , g3 ) = (δz)(g1 , g2 )(δz)(g1 g2 , g3 )(δz)(g1 , g2 g3 )−1 (δz)(g2 , g3 )−1 = z(g1 )z(g2 )z(g1 g2 )−1 z(g1 g2 )z(g3 )z(g1 g2 g3 )−1 z(g1 g2 g3 )z(g2 g3 )−1 z(g1 )−1 z(g2 g3 )z(g3 )−1 z(g2 )−1 = 1 cioè δ◦δ =1 Il che ci dice che esiste una coomologia H 2 (G, T) che misura “quanto un cociclo non è esatto”. In particolare, dalle relazioni precedenti, abbiamo che H 2 (G, T) = 0 =⇒ Vg0 è una rappresentazione di G Osserviamo esplicitamente che se ω ∈ Vπ allora ωαg converge fortemente a ω per g −→ e, e quindi le funzioni z e w sono continue: questo significa che stiamo considerando la coomologia continua del gruppo, cioè consideriamo solo le mappe continue come cocatene. Notiamo che se G è connesso e g = L(G) è la sua algebra di Lie, allora possiamo far corrispondere ad ogni elemento di C k (G, T) un elemento di C k (g), 644 Capitolo 17. Sistemi quantistici lo spazio vettoriale delle cocatene di g a coefficienti nella rappresentazione banale. Infatti, il diagramma z / GO TO exp g e2πi ze /R è commutativo: l’immagine di exp è un intorno di e ∈ G che genera G (poiché è connesso). Possiamo analogamente sollevare una 2-cocatena: G ×O G w exp × exp g×g /T O e2πi w e /R In generale i gruppi di coomologia saranno diversi: questo perché la coomologia di G riflette informazioni topologiche che g non può contenere; in generale, il sollevamento di un elemento di G a g per tramite della mappa esponenziale non è unico: in effetti in ogni rivestimento di gruppi G1 −→ G2 le algebre di Lie coincidono. Per avere l’unicità bisogna limitarsi al rivestimento universale, cioè ai gruppi semplicemente connessi. In questo caso, la teoria di Lie ci dice che esiste un unico gruppo (connesso) semplicemente connesso del quale g è l’algebra di Lie e che quindi i morfismi da G in T si sollevano in modo unico. 17.2.6 Teorema (Bargmann–Wigner) Se la mappa g 7−→ αg è fortemente continua, G è semplicemente connesso e H 2 (L(G), R) = 0 allora H 2 (G, T) = 1 e quindi π è covariante. Dimostrazione: Consideriamo un cociclo w del gruppo di Lie G, e scriviamo 1 w(exp tX, exp tY ) t−→0 t Dimostriamo che c è un cociclo per l’algebra di Lie. Per vederlo ci mettiamo in un intorno dell’identità del gruppo nel quale la mappa esponenziale sia invertibile, e quindi nel quale possiamo scrivere gi = exp tXi ; la condizione δw = 1 diviene: (∗) eic(X,Y ) = lim 1 =w(exp tX1 , exp tX2 )w(exp −tX2 , exp −tX3 ) w(exp tX1 exp tX2 , exp tX3 )w(exp tX1 , exp tX2 exp tX3 )−1 =w(exp tX1 , exp tX2 )w(exp −tX2 , exp −tX3 ) µ µ ¶ ¶ 1 2 3 w exp tX1 + tX2 + t [X1 , X2 ] + o(t ) , exp tX3 2 µ µ ¶¶−1 1 2 3 w exp tX1 , exp tX2 + tX3 + t [X2 , X3 ] + o(t ) 2 645 17.2. Gruppi di simmetria e quindi, usando la (*) e la exp(tX1 + tX2 + t2 /2[X1 , X2 ] + o(t3 )) = exp tX1 exp tX2 (∗∗) (cfr. proposizione 15.4.7) otteniamo 1 = e−ic([X1 ,X3 ],X2 ) eic([X1 ,X2 ],X3 ) e−ic(X1 ,[X2 ,X3 ]) che implica 0 = c([X1 , X2 ], X3 ) − c([X1 , X3 ], X2 ) + c([X2 , X3 ], X1 ) = δc(X1 , X2 , X3 ) Quindi c è un 2-cociclo per g; ma, per ipotesi, ogni 2-cociclo per g è un cobordo, i.e. esiste un f ∈ g∗ tale che c(X, Y ) = −f ([X, Y ]) sicché 1 w(exp tX1 , exp tX2 ) = e−if ([X1 ,X2 ]) t−→0 t Ma, di nuovo per la (**): lim w(exp X1 , exp X2 ) =eif (X1 ) eif (X2 ) e−if (X1 −itX2 −i 2 t ([X1 ,X2 ])−io(t =z(g1 )z(g2 )z(g1 g2 )−1 = (δz)(g1 , g2 ) 1 2 3 )) con z(g) = eif (X) . Abbiamo cioè dimostrato, assumendo la forte continuità di w, che se H 2 (g) = 0 allora H 2 (G, T) = 1, dato che il ragionamento svolto è valido in un intorno di G che genera tutto il gruppo (essendo G connesso). qed L’ipotesi di forte continuità della α implica che, per ogni stato ω puro e regolare: g−→e ||ω ◦ αg − ω|| −−−−→ 0 Se ωg := ω ◦ αg−1 allora g−→e g−→e Pω,ωg −−−−→ 1 ⇐⇒ ||ω ◦ αg − ω|| −−−−→ 0 Pertanto la formula di Roberts–Elkstrom3 1 Pω,ϕ = 1 − ||ω − ϕ||2 4 e la forte continuità di α implicano la continuità di Pω0 ,ωg per ogni ω 0 , ω. 3 Per una discussione più approfondita si veda: D.J. Simms, Lect. Notes in Math. #52, oppure le lezioni di Les Houches (1961) di A.S. Wightman. 646 Capitolo 17. Sistemi quantistici 17.2.7 Esempio • Questo teorema si applica ai gruppi ad un parametro (G = R), cioè π : t 7−→ αt è covariante e quindi U (t) = exp(itH) ove l’operatore hamiltoniano H non è in generale limitato. • Invece il teorema non vale per R2 , che non soddisfa l’ipotesi H 2 (L(G), R) = 0, né per SO(3) che non è semplicemente connesso. Tuttavia, per il secondo lemma di Whitehead 16.3.13 ogni gruppo semisemplice semplicemente connesso soddisfa le ipotesi del teorema. Osserviamo che il gruppo H 2 (G) parametrizza, come nel caso delle algebre di Lie, le estensioni centrali di G; un caso fondamentale, che ricorre nelle applicazioni alla Meccanica Quantistica, è quello del prodotto semidiretto con un gruppo abeliano. In generale il prodotto semidiretto è una generalizzazione del prodotto G×H. Nel caso del prodotto, G e H divengono sottogruppi normali G × {e} e {e} × H di G × H; nel caso del prodotto semidiretto non abbiamo questa condizione ma una più debole: un sottogruppo è effettivamente normale, mentre l’altro non lo è ma agisce per automorfismi sul primo. Precisamente, siano H e N gruppi (nel nostro caso gruppi di Lie connessi) e consideriamo un omomorfismo (di gruppi di Lie) η : H −→ Aut(N ) cioè η(hh0 )(n) = (ηh)((ηh0 )(n)). Allora il prodotto semidiretto N n H di N e H rispetto alla rappresentazione η è l’insieme (varietà differenziabile) N × H equipaggiata della struttura di gruppo (di Lie) data dal prodotto (h, n) · (h0 , n0 ) = (hh0 , nη(h)(n0 )) L’inverso è dato da (h, n)−1 = (h−1 , η(h−1 )(n−1 )) Nel caso in cui N = R, abbiamo ad esempio che il prodotto semidiretto equivale ad una estensione centrale 0 −→ R −→ R n G −→ G −→ 0 Se G è un gruppo di Lie connesso ma non semplicemente connesso, è sempre pose (come varietà differenziabile) sibile considerare il suo rivestimento universale G che è un gruppo di Lie a sua volta: e −→ G η:G 647 17.2. Gruppi di simmetria e hanno la stessa algebra di Lie, che è (η è un diffeomorfismo locale, quindi G e G determinata da un intorno dell’identità). e a G nei nostri ragionamenti, per avere almeno Allora possiamo sostituire G una delle ipotesi del teorema di Bargmann–Wigner sempre verificate: in effetti, se α è la solita rappresentazione del gruppo G, evidentemente α e := α ◦ η è una e e se rappresentazione del gruppo G, U |ker(η) = I e allora la rappresentazione (π, V ) è covariante per G. Fino al termine della sezione ci occuperemo di un esempio importantissimo: il gruppo di Lorentz O(1, n − 1). Ricordiamo che si tratta del gruppo di trasformazioni lineari nello spazio Rn che preservano la forma hx, yi = x1 y1 − n X x i yi i=2 Questo gruppo non è connesso: ad esempio, nel caso n = 2, i suoi elementi sono matrici delle forme ¶ ¶ µ µ cosh t − sinh t cosh t sinh t sinh t − cosh t sinh t cosh t ¶ ¶ µ µ − cosh t − sinh t − cosh t sinh t − sinh t − cosh t − sinh t cosh t e ciascun tipo corrisponde ad una componente connessa distinta. In generale O(1, n − 1) ha quattro componenti connesse: per vedere che ne possiede almeno quattro basta osservare che esiste l’omomorfismo di gruppi Φ : O(1, n − 1) −→ Z2 × Z2 definito come Φ(A) = (det A, sgnhe1 , Ae1 i) ove e1 è il versore dell’asse x1 . Qui ci interessa il caso delle trasformazioni dello spazio della Relatività Ristretta R4 con la metrica di Minkowski: O(1, 4); richiamiamo qualche nozione sullo spazio di Minkowski R41 . 17.2.8 Definizione Se v ∈ R41 è un vettore non nullo, v e la retta vR generata da v si dicono • spaziali (space-like) se hv, vi < 0. 648 Capitolo 17. Sistemi quantistici • isotropi (light-like) se hv, vi = 0. • temporali (time-like) se hv, vi > 0. Vettori dello stesso tipo formano un cono nello spazio di Minkowski: cosı̀ abbiamo la decomposizione in unione disgiunta R41 = S ∪ V ∪ T ove V = V+ ∪ V− è il cono di luce, che consta di due componenti connesse: si tratta della superficie di equazione x21 = x22 + x23 + x24 Anche il cono T dei vettori temporali ha due componenti connesse, mentre il cono dei vettori spaziali è connesso: la differenza si spiega considerando le superficie in R41 definite dalle Ωm := {v ∈ R41 | hx, xi = m2 } e Ωim := {v ∈ R41 | hx, xi = −m2 } − che si dicono iperboloidi di massa: Ωm è un iperboloide a due falde Ωm = Ω+ m ∪Ωm 3 (omeomorfe a R ), mentre Ωim è un iperboloide ad una falda (omeomorfo a S 2 × R2 ). Definiamo anche i semiconi C± = T± ∪ V± , che sono chiusi convessi i cui punti estremali sono V± : si tratta dei semiconi dei vettori che orientati al futuro (C+ ) e orientati al passato (C− ). Consideriamo ora il gruppo di Lorentz omogeneo L di tutte le trasformazioni dello spazio di Minkowski (che ne preservano la metrica); abbiamo la decomposizione, esattamente come nel caso delle rotazioni, in trasformazioni proprie e improprie, secondo che il determinante sia 1 o -1: L = L+ ∪ L− Inoltre abbiamo anche una decomposizione in trasformazioni ortocrone e antiortocrone, secondo che preservino V− e V+ oppure li scambino: L = L↑ ∪ L↓ Abbiamo cioè la decomposizione nelle quattro componenti connesse di L data da L = L↑+ ∪ L↑− ∪ L↓+ ∪ L↓− Ad esempio L↑+ è la componente connessa dell’identità, cioè è il sottogruppo delle trasformazioni di determinante 1 che conservano il segno della variabile temporale: dato che questo gruppo contiene SO(3), non è semplicemente connesso. Se Λ∈L↑+ è una trasformazione (non identica) che lascia fisso punto per punto un piano P , ci sono tre possibilità: 649 17.2. Gruppi di simmetria • P è un sottospazio di vettori temporali (Λ è una rotazione); • P è un sottospazio di vettori spaziali; • P è un sottospazio di vettori isotropi (Λ è una “rotazione isotropa”); Procedendo come per i gruppi delle rotazioni, possiamo determinare delle forme canoniche per gli elementi di L↑+ , vedendo i suoi elementi come matrici 4 × 4. Una rotazione si può sempre scrivere nella forma   1 0 0 0 0 1 0 0   Λ1 =  0 0 cos t − sin t 0 0 sin t cos t ove t ∈ [0, π) è un angolo. Un Λ ∈ L↑+ di tipo forma  cosh r sinh r  sinh r cosh r Λ2 =   0 0 0 0 ove r > 0 è una “rapidità”. Una rotazione forma  1 1 0 1 Λ3 =  0 0 0 0 (2) si può sempre scrivere nella  0 0 0 0  1 0 0 1 isotropa si può sempre scrivere nella  1 0 2 1 0  1 0 0 1 Infine una trasformazione Λ può essere della forma V R = RV ove R è una rotazione e V di tipo (2); in questo caso   cosh r sinh r 0 0  sinh r cosh r 0 0   Λ4 =   0 0 cos t − sin t 0 0 sin t cos t Queste trasformazioni sono diagonalizzabili nello spazio di Minkowski complessificato. Il seguente teorema appartiene agli elementi della Teoria della Relatività Ristretta: 17.2.9 Teorema Ogni trasformazione di Lorentz propria ortocrona Λ∈L↑+ (6= I) è della forma Λ1 ,...,Λ4 . 650 Capitolo 17. Sistemi quantistici Il gruppo inomogeneo di L↑+ è il gruppo di Poincarè P+↑ , che per definizione è il prodotto semidiretto di L↑+ con R4 , ed ha quindi come moltiplicazione la: (a, Λ) · (a0 , Λ0 ) := (a + Λa0 , ΛΛ0 ) Determiniamo ora il rivestimento universale di L↑+ : se Λ ∈ M4 (R) è un elemento di L↑+ e se ∀x ∈ R4 (Λx, gΛx) = (x, gx) ove g(x, y) = hx, yi è la metrica di Lorentz con segnatura (+ − −−), cioè se ΛT gΛ = g allora det Λ = 1 e Λ00 > 0. Ora osserviamo che lo spazio delle matrici 2×2 complesse autoaggiunte è, come spazio vettoriale, un R4 , con coordinate µ ¶ a b H= b c (a, c ∈ R e b ∈ C) ed identificazione data da R4 −→ M2 (C) µ ¶ x0 + x3 x1 − ix2 (x0 , ..., x4 ) 7−→ x e := x1 + ix2 x0 − x3 Quindi det x e = x20 − x21 − x22 − x23 mentre tr(e x) = x0 (consideriamo la traccia normalizzata: se A ∈ Mn , tr(A) = Evidentemente la trasformazione 1 n P i Aii ). H 7−→ AHA∗ è un automorfismo delle matrici hermitiane (∼ = R4 ) che preserva il determinante se det A = ±1 (la condizione di ortocronia tr(AA∗ ) ≥ 0 è sempre vera). Con ciò abbiamo che una matrice A ∈ SL(2, C) dà luogo ad una trasformazione che preserva il determinante. Allora abbiamo l’omomorfismo delle matrici speciali nel gruppo di Lorentz SL(2, C) −→ L A 7−→ Λ(A) 17.3. Rappresentazioni del gruppo di Lorentz 651 ove Λ(A)x := Ae xA∗ , che ha nucleo {±1}: si tratta cioè di un rivestimento doppio e, dato che SL(2, C) è semplicemente connesso, del rivestimento universale del gruppo di Lorentz 4 . Osserviamo che ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ µ µ ¶ µ 1 0 0 −i 0 1 x0 + x 3 0 1 0 + x3 + x2 + x1 = x0 0 −1 i 0 1 0 0 x0 − x3 0 1 = x0 I + x · σ ove σ1 , σ2 , σ3 sono le matrici di Pauli. È un esercizio verificare che per ogni vettore di norma 1 u si ha (u · σ)2 = 1, e quindi osservare che ϑ U := ei 2 u·σ è una matrice unitaria per ogni ϑ∈R. Viceversa, ogni matrice unitaria è di questo tipo, e si ha: ^ Ux eU ∗ = R(U )x ove R(U ) è una rotazione di un angolo ϑ attorno all’asse individuato dal versore u. I valori Lu = u · σ si dicono momenti angolari . 17.3 Rappresentazioni del gruppo di Lorentz Abbiamo visto alla fine del paragrafo precedente che per studiare le rappresentazioni del gruppo di Lorentz possiamo concentrarci sulle rotazioni e sulle traslazioni. Consideriamo ora una rappresentazione covariante π e la rappresentazione di G indotta U(a, A). Alle matrici unitarie U dell’esempio precedente corrispondono i generatori infinitesimali del gruppo delle rotazioni ³ ´ i U 0, e 2 ϕu·σ = eiLu ϕ 4 Ricordiamo per quale motivo il gruppo speciale complesso sia semplicemente connesso: intanto abbiamo la decomposizione polare A = V H di ogni matrice speciale A in una matrice V unitaria ed una H hermitiana positiva, entrambe di determinante 1. H è una trasformazione ∗ di Lorentz pura, in quanto H µ γ= U DU ¶ , ove U ∈ SU (2) e D è diagonale definita positiva e e 0 di determinante 1, i.e. D = , per γ ∈ R. Se ora t 7−→ A(t) è una curva (continua) 0 e−γ chiusa (A(0) = A(1)) in SL(2, C), la possiamo deformare in una curva V (t) in SU (2), dato che la mappa (t, s) 7−→ A(t, s) := V (t)H(t)s è evidentemente l’omotopia che realizza questa deformazione. Quindi π1 (SL(2, C)) = π1 (SU (2)) = 1, dato che SU (2) altri non è che la sfera S3. 652 Capitolo 17. Sistemi quantistici Per studiare le rappresentazioni del gruppo delle rotazioni studiamo quelle irriducibili del gruppo SU(2), che è il suo rivestimento universale: sia j un indice variabile nell’insieme dei seminteri non negativi { n2 }n∈N , e sia ¢ ¡ D(j) (U ) := U ⊗2j |Sym2j (C2 ) (ove Symn (V ) denota i tensori simmetrici di grado n su V ). Consideriamo ad esempio una rotazione di un angolo ϕ intorno all’asse x3 : µ iϕ ¶ ϕ e 2 0 = ei 2 σ3 −i ϕ 2 0 e µ ¶ µ ¶ 0 1 , si ha (per k ∈ {−2j, ...2j}): ev= Se u = 1 0 (j) k 2j−k D (U )u v ³ iϕ 2 = e ´k ³ −i ϕ 2 e ´2j−k ϕ ϕ uk v 2j−k = eik 2 −ijϕ+ik 2 = ei(k−j)ϕ e quindi (scrivendo il momento angolare Lxk come Lk ): L3 uk v 2j−k = (k − j)uk v 2j−k Osserviamo esplicitamente che dim D(j) = 2j + 1. Lo spettro di L3 è σ(L3 ) = {j, j − 1, ..., −j} Quindi, L3 è un operatore con molteplicità uniforme pari a uno, ed i suoi autovalori sono tutti interi o tutti seminteri secondoché lo sia o meno j. Ciò naturalmente può dirsi anche per L2 e L3 . Se L2 := L21 + L22 + L23 questo operatore è invariante per rotazioni, dato che U(0, U )L2 U(0, U )−1 = L2 17.3.1 Proposizione Nella decomposizione della rappresentazione U di SU (2) in rappresentazioni irriducibili M U(0, U ) = Un (U ) l’operatore L2 si decompone in somma di scalari: M L2 = kn I 17.3. Rappresentazioni del gruppo di Lorentz 653 Dimostrazione: Ognuna delle componenti di Un (U ) è Un (U ) = Djn (U ), e si ha kn = jn (jn + 1) Ora lavoriamo sull’algebra di Lie su(2) = so(3), che è determinata dai generatori infinitesimali ϕ 1 ei 2 σk 7−→ σk 2 (matrici di Pauli) e ricordiamo le regole di moltiplicazione σj σk = iσl σj2 = I σj σk = −σk σj , se k 6= 0 ove (j, k, l) è una permutazione ciclica di (123), da cui [σj , σk ] = 2σj σk = 2iσl Quindi l’algebra di Lie è determinata da X [Uk , Ul ] = ²m kl Um m ove ²m kl è zero se (klm) non è una permutazione ciclica, altrimenti ne è il segno. Ora consideriamo ³ i ´ U e 2 ϕσk = eiϕLk in modo che [Lk , Lj ] = iLm (al solito (klm) è una permutazione ciclica). Calcoliamo allora L2 : [L3 , (L1 + iL2 )] = iL2 + L1 = L1 + iL2 =: A Quindi L3 A = A(L3 + I) Se Φ è un autovettore di L3 di autovalore j, si ha che L3 AΦ = (j + 1)AΦ Cioè, se Φ sta in un sottospazio di Hilbert Hj ove la rappresentazione sia irriducibile, per Φ = u2j v 0 si trova Lj Φ = jΦ 654 Capitolo 17. Sistemi quantistici e quindi AΦ = 0 (per irriducibilità). Dunque L2 |Hj = kj I con L2 Φ = L23 Φ + (L21 + L22 )Φ = j 2 Φ + (L21 + L22 )Φ Ora, A∗ = L1 − iL2 , il che ci consente di calcolare L21 + L22 : A∗ A =L21 + L22 + i[L1 , L2 ] = L21 + L22 + iL3 = L21 + L22 − L3 ed infine L2 Φ = j 2 Φ + (A∗ A + L3 )Φ = j 2 Φ + jΦ = j(j + 1)Φ qed Osserviamo che si potrebbe dimostrare anche una formula di Clebsh–Gordan: M 0 D(j) ⊗ D(j ) = D(s) |j−j 0 |≤s≤j+j 0 Ora consideriamo il sottogruppo delle traslazioni dato dalla formula spettrale Z a 7−→ U(a, I) = eip·a dE(p) ove la misura ∆ 7−→ E(∆) sui boreliani di R4 è invariante per trasformazioni di Lorentz: U(0, A)E(∆)U(0, A)−1 = E(Λ(A)∆) (le trasformazioni a 7−→ U(a, I) e a 7−→ U(Λ(A)a, I) sono unitariamente equivalenti). Se H è separabile, la misura basica è dµ(p) = (ξ, dE(p)ξ) ove ξ è un vettore separante, ed è invariante per trasformazioni di Lorentz, e la misura dµΛ (p) := dµ(Λp ) è equivalente a dµ. 17.3.2 Teorema Ogni misura regolare positiva invariante su R4 è della forma Z Z Z (4) − − + + dρ (m)dΩm (p) + cδ0 + dρ (m)dΩm (p) + dpdΩim (p) (4) ove δ0 è la misura di Dirac concentrata in 0 ∈ R4 , dp è la misura di Lebesgue del semiasse positivo, e dΩm la misura su un iperboloide di massa m d3 p dΩm (p) := p 2 p2 + m 17.3. Rappresentazioni del gruppo di Lorentz 655 Per questo teorema si veda [29], §IX.8. Se ora ∆ è un boreliano invariante per trasformazioni di Lorentz: Λ(∆) = ∆, e 0 . Ricordiamo che e quindi E(∆) appartiene al commutante di U(P) U(G)00 = π(L1 (G))00 = π e(C0 (b(G))00 e quindi E(∆) appartiene al commutante dell’algebra di von Neumann della e 0 ∩ U(P) e 00 . rappresentazione del gruppo, cioè sta nel centro U(P) Ora, se {P0 , ..., P4 } sono gli operatori fortemente permutabili che generano e si ha che P, M 2 = P02 − P12 − P22 − P32 ≥ 0 Z e M= ∞ mdG(m) 0 ove G(B) = E(∆), se B è un boreliano di R+ e ∆ = {p| ||p|| ∈ B}. e deve essere Se U è una rappresentazione irriducibile di P, M 2 = m2 I e la formula spettrale è E(∆) ∈ {0, I}. Quindi il supporto di E come misura sui boreliani invarianti è una singola orbita, il che significa che esiste un’orbita Ωm tale che E(Ωm ) = I Richiamiamo ora alcuni fatti generali sulle rappresentazioni indotte, che si applicano al nostro caso: se G è un gruppo localmente compatto e ρ la sua rappresentazione regolare in L2 (G, dµ) rispetto alla misura dµ di Haar del gruppo, e se H è un sottogruppo chiuso di G e U : H −→ U(HU ) una rappresentazione unitaria fortemente continua, vogliamo utilizzarla per indurre delle rappresentazioni di G. È noto (cfr. [30], §14) che G/H è uno spazio topologico dotato (come pure H\G, che è il quoziente di G rispetto all’azione sinistra) di misure quasiinvarianti per l’azione di G. Scegliamo quindi una tale misura (regolare) su H\G, e consideriamo le funzioni Ψ : G −→ HU boreliane e covarianti nel senso che ∀h ∈ H ∀g ∈ G Ψ(hg) = U(k)Ψ(g) Allora, dato che (Ψ(g), Ψ(g)) = (Ψ(kg), Ψ(kg)) la Ψ passa al quoziente H\G e si ha Z (Ψ(g), Ψ(g))dµ(g) < ∞ H\G 656 Capitolo 17. Sistemi quantistici Queste funzioni formano uno spazio di Hilbert sul quale è definita la rappresentazione s dµ(hg) (U µ (g)Ψ) (h) := Ψ(hg) dµ(h) (l’espressione sotto radice è la derivata di Radon–Nikodym). Ora sia G = N n H (ove N = R4 e H = SL(2, C)) con N gruppo localmente compatto commutativo e normale in G, e H sottogruppo localmente compatto di G, ove il prodotto semidiretto è effettuato rispetto all’azione continua η : H −→ Aut(N ) b è un carattere, si ha che χ ◦ ηh è un’azione di H sul duale Ovviamente, se χ ∈ N b N . Inoltre osserviamo che se Hχ = {h ∈ H | χ ◦ ηh = χ} è lo stabilizzatore, e se U è una rappresentazione di Hχ allora χU(n, h) = χ(n)U(h) è una rappresentazione di N n Hχ , dato che χU ((n, h)(n0 , h0 )) = χU(nηh (n0 ), hh0 ) = χ(n)χ(n0 )U(hh0 ) Allora inducendo dal sottogruppo N nHχ al gruppo N nH si ottiene una rappresentazione di G: la teoria è dovuta sostanzialmente a Mackey, che ha formulato, fra gli altri, i risultati seguenti: 17.3.3 Teorema b e L è una rappresentazione unitaria fortemente continua di Hχ • se χ ∈ N allora la rappresentazione indotta da χL non varia se χ varia nell’orbita χηH . 0 0 • Se Hχ 6= Hχ0 allora U χL  U χ L . • Se L è una rappresentazione unitaria fortemente continua irriducibile di Hχ allora la rappresentazione indotta U χL è irriducibile. Qui faremo anche le seguenti e più restrittive ipotesi: b che è una sezione dell’azione di H, cioè incontra • Esiste un boreliano in N tutte le orbite esattamente in un punto). • Hχ è un gruppo di tipo I (cioè ogni rappresentazione π della sua C*-algebra il cui centro è ridotto al solo C è tale che π(A)00 = B(H) per un opportuno spazio di Hilbert, in altre parole: π è un multiplo di una rappresentazione irriducibile: il tipo di un gruppo è il tipo dell’algebra di von Neumann π(A)00 , che, per l’ipotesi che il centro di π sia C, è un fattore). 17.3. Rappresentazioni del gruppo di Lorentz 657 In questi caso, anche N è di tipo I (e quindi anche G = N n H lo è) ed ogni rappresentazione irriducibile è della forma U χL ove L è una rappresentazione irriducibile di Hχ . Applichiamo ora queste nozioni al caso in cui N = R4 e H = SL(2, C), con ηA (a) = Λ(A)a essendo Λ il morfismo del rivestimento SL(2, C) −→ L del gruppo di Lorentz. In e questo modo G = N n H = P. c4 ∼ Osserviamo intanto che l’ipotesi (1) precedente è verificata. Le orbite di R = 4 R per l’azione di SL(2, C) sono: • il punto {0}. • il cono di luce positivo o negativo meno l’origine: V ± := {p ∈ R4 | p2 = 0, p0 ≷ 0} • Ω± m e Ωim . Per avere una sezione boreliana, consideriamo l’asse x0 , l’asse x+ 1 (esclusa l’origine), un punto su V + ed uno su V − . Per verificare che vale l’ipotesi (2), identifichiamo come sono fatte le orbite: nel caso (a) è H0 = SL(2, C), mentre nel caso (c) è, ad esempio nel punto p = (1, 0, 0, 0), Hp = SU (2), e questi sono gruppi di tipo I cfr. [15]. Restano i casi (b) e (d). Nel caso (b), preso come p il punto (1, 0, 0, 1), la matrice hermitiana che gli corrisponde è I + σ3 ovvero ¶ µ 2 0 p= 0 0 e ¶ ¶ µ 1 0 1 0 ∗ . Ma se A = A = Cioè gli elementi di Hp sono tali che A 0 0 0 0 ¶ µ a b ∈ SL(2, C) abbiamo che c d ¶µ ¶µ µ ¶ ¶ µ ¶ µ a c 1 0 a b 1 0 aa ac = = 0 0 c d 0 0 ac cc b d µ cioè |a|2 = 1 e c = 0, e quindi ½µ ¶ ¾ a b 2 Hp = | |a| = 1 0 a 658 Capitolo 17. Sistemi quantistici Ma, se µ ¶ µ ¶ a b u uz = 0 a 0 u (u = a e z = ab) e, moltiplicando: µ u uz 0 u ¶µ 0 ¶ µ 0 0 ¶ u u0 z 0 uu z u0 + zuu0 = 0 0 u0 uu0 e, scrivendo le matrici come elementi (u, z): (u, z)(u0 , z 0 ) = (uu0 , z + u2 z 0 ) e quindi Hp è isomorfo al prodotto semidiretto di S 1 e R2 rispetto all’azione di S 1 su R2 data da ¡ ¢ u = eiϑ 7−→ z 7−→ z + e2iϑ z cioè è un rivestimento doppio del gruppo euclideo del piano che ha come orbite circonferenze di centro l’origine e l’origine stessa. Si tratta di un gruppo di tipo I: le rappresentazioni si possono studiare a partire da queste orbite. Nel caso delle circonferenze si ottengono rappresentazioni di dimensione infinita, che non hanno senso fisico (a meno di non concepire spin infiniti!), mentre nel caso dell’orbita ridotta alla sola origine le rappresentazioni sono D(eiϑ , z) = e2ijϑ ove j è lo spin della particella di massa zero. Abbiamo cioè ) (µ ¶ ¯¯ u uz ¯ Hp = ¯u ∈ T e z ∈ C 0 u ¯ con p = (1, 0, 0, 1). Nel caso (d), consideriamo invece il punto p = (0, 0, 1, 0): allora p = σ2 e gli e elementi di Hp sono le A tali che Aσ2 A∗ = σ2 . Ma (A e σ2 sono invertibili, e σ2 è inversa di se stessa): A = σ2 A∗−1 σ2 è una rappresentazione (non unitaria) di SL(2, C) la cui rappresentazione controgradiente (cioè duale) verifica la A = σ2 A∗−1 σ2 17.3. Rappresentazioni del gruppo di Lorentz 659 Infatti Aσ2 A∗ = σ2 implica che Aσ2 AT = σ2 è equivalente a iAσ2 AT = iσ2 . Se scriviamo esplicitamente queste relazioni in termini delle entrate delle matrici, otteniamo ¶ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶µ µ a c b −a a c 0 −1 a b = b d d −c b d 1 0 c d ¶ ¶ µ µ 0 1 0 bc − ad = = −1 0 ad − cb 0 Ne segue che Hp = {A | A = σ2 A∗−1 σ2 = A} = SL(2, R) e Consideriamo ora le rappresentazioni unitarie fortemente continue del gruppo P tali che lo spettro sia σ (U|R4 ) ⊂ V + = {p ∈ R4 | p2 = 0 e p0 ≥ 0} + e precisamente quelle irriducibili associate all’orbita Ω+ m (m > 0): sia Pω ∈ Ωm , Hpω lo stabilizzatore in SL(2, C), D una rappresentazione unitaria irriducibile di Hpω e χ il carattere associato a pω ; dato che si può scegliere pω = (m, 0, 0, 0), si ha Hpω = SU (2) , D = D(j) Quindi la rappresentazione irriducibile è caratterizzata da m e j. Per capire come è fatta, prendiamo una matrice Ap tale che, per ogni p nell’orbita di pω Ap pω A∗p = p f e che p 7−→ Ap sia continua. Componiamo questa funzione con Φ: Ψ(p) := Φ(0, A−1 p ) Evidentemente lo stabilizzatore è {(a, A)}A∈Hpω . Quindi Z ||Ψ(p)||2 dΩm (p) < ∞ Ricordiamo che dΩm (p) = q dp d 12 p dt + m2 660 Capitolo 17. Sistemi quantistici D(j) opera su C2j+1 . Ora abbiamo Ψ 7−→ U(a, A)Ψ, e, se A−1 p AAΛ(A−1 )p sta nello stabilizzatore: −1 −1 −1 U(a, A)Ψ =U(a, A)Φ(0, A−1 p ) = Φ((0, Ap )(a, A)) = Φ((Λ(Ap )a, Ap A)) −1 =Φ((Λ(A−1 p )a, Ap AAΛ(A−1 )p AΛ(A−1 )p )) −1 =Φ((Λ(A−1 p )a, Ap AAΛ(A−1 )p )(0, AΛ(A−1 )p )) −1 =eipω Λ(Ap )a D(j) (A−1 p AAΛ(A−1 )p )Φ(0, AΛ(A−1 )p )) −1 =eipω a D(j) (A−1 p AAΛ(A−1 )p )Ψ(Λ(A )p )) (tenendo conto della covarianza della rappresentazione). Che poi A−1 p AAΛ(A−1 )p stia nello stabilizzatore si verifica facilmente: −1 −1 −1 Λ(A−1 p AAΛ(A−1 )p )pω = Λ(Ap )Λ(A)Λ(A )p = Λ(Ap )p = pω Abbiamo cioè dimostrato il 17.3.4 Teorema (Formula di Wigner) −1 (U(a, A)Ψ)) (p) = eipA D(j) (A−1 p AAΛ(A−1 )p )Ψ(Λ(A )p ) Si noti ora che Λ(Ap )pω = p Ap pω A∗p = p e f e Se pω ∈ Ω+ m e m > 0 possiamo prendere pω = (m, 0, 0, 0) e quindi pω = mI, cioè f la matrice Ap è determinata dalla Ap A∗p = p/m. Osserviamo esplicitamente che, e avendosi det(p) = p2 = m2 e tr(p) = 2p0 ≥ 2m si ha che p > 0 e quindi possiamo considerare e e e r Ap := p/m e che ci fornisce la sezione continua voluta. 17.4 Equazione di Dirac Continuiamo a considerare le rappresentazioni del gruppo di Lorentz: poniamo µ µ ¶ ¶ 2 (j) ||Φ(p)|| = Φ(p), D p/m Φ(p) e 661 17.4. Equazione di Dirac introducendo in questo modo una struttura di spazio di Hilbert Hm,j sulle fun2j+1 zioni da Ω+ misurabili e tali che m in C Z ||D(j) (Ap )Φp ||2 dΩm (p) < ∞ Allora la (V Φ)(p) = D(j) (A−1 p )Φp è una trasformazione unitaria V : Hm,j −→ H, per cui Um,j (a, A) := V −1 U(a, A)V è una rappresentazione unitaria che opera come (Um, j(a, A)Φ)(p) = eipa D(j) (A)Φ(Λ(A−1 )p ) Se Ψ(p) ∈ C2(2j+1) è il vettore   Φ(p) µ ¶  (j)  D p/m Φ(p) µ allora µ Φ(p), D (j) e ¶ ¶ 1 p/m Φ(p) = (Ψ(p), γ ◦ Ψ(p)) 2 e ¶ 0 I . ove γ = I 0 In Hm,j abbiamo una ulteriore struttura hilbertiana H0 la cui la norma è ! µ ¶−1 Z à |||Φ(p)|||2 := ||Ψ||2 = Ψ(p), D(j) p/m Ψ(p) dΩm (p) µ ed un operatore unitario V : H0 −→ H: à (V Φ)(p) = D e ! r p/m Φ(p) e Allora la rappresentazione V U(a, A) opera (tenendo conto della formula di Wigner 17.3.4) come à ! r p/m (U(a, A)V −1 Φ)(p) (V U(a, A)V −1 Φ)(p) = D e v   u u ±  u = eipa D(A)D tΛ(A−1 )p m (V −1 Φ)(Λ(A−1 )p) ^ = eipa D(A)ΦΛ(A−1 )p 662 Capitolo 17. Sistemi quantistici cioè (V U(a, A)V −1 ΦΨ)(p) = eipa D(A)Ψ(Λ(A)−1 p) Stiamo usando la metrica µ ¶ |||Ψ(p)||| := (Ψ(p), D p/m Ψ(p)) 2 e Ma, considerando ¶ ψ1 (p) ψ2 (p) µ Ψ(p) := (con ψi (p) ∈ C2j+1 ) e scrivendo ¶−1 ! õ ψ1 (p) = Ψ(p) e ψ2 (p) = D p/m Ψ(p) e e ricordando le formule per pe e p e che (p/m)−1 = pe/m troviamo che ψ(p) soddisfa e alla e  (e p/m)¶ ψ1 (p) ψ2 (p) = D µ ψ1 (p) = D p/m ψ2 (p) e che scriviamo in forma più compatta usando l’operatore di Dirac ! à 0 D(p) e  P := D(e p) 0 ottenendo l’equazione di Dirac  P Ψ(p) = mΨ(p) Notiamo che |||ψ(p)|||2 = |||Ψ(p)|||2 = 1 = (Ψ(p), γΨ(p)) 2 ¶ 0 I ). Introducendo le matrici di Dirac: I 0 ¶ ¶ µ µ 0 I 0 D(σk ) e γ0 = γk = I 0 −D(σk ) 0 µ (ove γ = 1 ((ψ1 (p), ψ2 (p)) + (ψ2 (p) + ψ1 (p))) 2 663 17.4. Equazione di Dirac possiamo anche scrivere l’equazione di Dirac come  P= X pk γk k Consideriamo ora nuovamente la rappresentazione ¶ µ D(A)ψ1 (Λ(A)−1 (p)) ipa (Um,j (a, A)Ψ)(p) = e D(e p/m)D(A)ψ1 (Λ(A)−1 (p)) ed osserviamo che µ ∗−1 (e p/m) A =A ∗ ∗−1 (A (e p/m) A) = A −1  =A∗−1 Λ(A−1 )p/m µ −1 A ¶ ¶−1 ∗−1 p/m A e ³ ´ −1 )p/m ^ = A∗−1 Λ(A ^ (N.B: A∗−1 = A−1∗ ) e quindi che  D(A)ψ1 (Λ(A)−1 (p))   (Um,j (a, A)Ψ)(p) =eipa  −1 )p/m)ψ (Λ(A−1 )(p)) ^ D(A∗−1 )D(Λ(A 1 ¶ µ −1 D(A)ψ1 (Λ(A) (p)) =eipa D(A∗−1 )ψ2 (Λ(A−1 )(p)) Ora definiamo S(A) := D(j) (A) ⊕ D(j) (A∗−1 ) ove abbiamo scritto D(j) (A) = D(j,0) (A) e D(j) (A∗−1 ) = D(0,j) (A) e quindi S = D(j,0) ⊕ D(0,j) , sicché (Um,j (a, A)Ψ)(p) = eipa S(A)Ψ(Λ(A)−1 (p)) ottenendo cosı̀ la covarianza dell’equazione di Dirac: S(A)−1 = Λ(A)P  S(A)P 664 Capitolo 17. Sistemi quantistici 17.4.1 Esempio Nel caso j = 0 possiamo semplicemente considerare H = L2 (Ω+ m , dΩm ) con la rappresentazione ((U(a, A)Ψ)(p) = eipa Ψ(Λ(A)−1 (p)) Presa l’anti-trasformata di Fourier 1 ϕ(x) = √ 2π e p0 = p Z Ω+ m e−ipx Φ(p)dωm (p) p~2 + m2 , troviamo ϕ(e e p) = Φ(ω(~p), p~) pertanto 1 ϕ(x) = √ 2π Z Ω+ m eipx ϕ(p) e dp 2p0 Abbiamo cosı̀ ottenuto (p2 − m2 )ϕ(p) b = 0, cioè l’equazione di Schrödinger relativisticamente invariante (¤ + m2 )ϕ(x) = 0 Si tratta di un’equazione del secondo ordine in t: per questo motivo Dirac ha considerato in sua vece la X ∂ψ iγk = mψ ∂xk k che si deduce dall’equazione di Dirac per  P. Restringiamo ora la nostra indagine al caso m = 0: questo vuol dire che ci poniamo sul cono di luce futuro con misura invariante (j = 0) dp 2|p0 | Se j 6= 0 consideriamo (1, 0, 0, 1) come vettore di riferimento e costruiamo la sezione per mezzo di (p, p~) := (|~p|, p~) Se Hp è la trasformazione di Lorentz pura (diagonale) tale che Hp (1, 0, 0, 1) = (p, 0, 0, p) 665 17.4. Equazione di Dirac e la componiamo con la rotazione (unitaria) Up tale che Up (0, 0, 0, p) = (p, p~) otteniamo Ap = Up Hp , che non è una matrice definita positiva; tuttavia, se m = 0, l’equazione di Dirac e la relazione di covarianza divengono  PΨ = 0 e S(A)−1 = 0 S(A)P Dunque, considerando lo spazio di Hilbert delle funzioni dal cono di luce futuro ai vettori in C 2j+1 (con la solita metrica definita dalle γk ) otteniamo una e rappresentazione unitaria di P. Dimostriamo ora che questa rappresentazione non è irriducibile. Se pω = (1, 0, 0, 1), lo stabilizzatore è ½µ ¶¾ a b ⊂ SL2 (C) 0 a e le rappresentazioni di dimensione finita sono µ ¶ (±j) a b D = a±2j 0 a Se il segno è (-)+ Lo spin è (anti-)parallelo all’impulso: infatti considerando p nell’orbita di (1, 0, 0, 1) e A nello stabilizzatore troviamo che Λ(A)p = p = Λ(A)−1 p ⇒ AΛ(A)−1 (p) = Ap Inoltre, per p = pω = (1, 0, 0, 1) Ap = I e la formula di Wigner diviene (U(0, A)Ψ)(pω ) = a±2j Ψ(pω ) Per A tale che Λ(A) sia una rotazione di asse p~ω (l’asse x3 ) e angolo ϕ abbiamo ! µ ¶ à iϕ a 0 e2 0 A= = =⇒ (U(0, A)Ψ)(pω ) = e±ijϕ Ψ(pω ) − 2i ϕ 0 a 0 e Dunque, se A appartiene allo stabilizzatore di un punto p dell’orbita di pω allora Ap = AΛ(A)−1 p e la formula di Wigner diviene (si rammenti che Ap = Up Hp ) −1 −1 −1 −1 (U(0, A)Ψ)(p) = D(A−1 p AAp )Ψ(Λ(A) p) = (Hp Up AUp Hp )Ψ(λ(A )p) quindi, se A è una rotazione, Up−1 AUp è una matrice diagonale, precisamente una rotazione di asse x3 , il che consente di affermare che D è una rappresentazione e di scrivere la formula di Wigner come (U(0, A)Ψ)(p) = D(Up−1 AUp )Ψ(Λ(A)−1 p) = e±ijϕ Ψ(Λ(A)−1 (p)) 666 Capitolo 17. Sistemi quantistici Ma allora l’equazione  P Ψ = 0 descrive la rappresentazione 1 1 [0, ] ⊕ [0, − ] 2 2 che è riducibile. Il motivo per cui esiste questa decomposizione è  P Ψ(pπ ) = 0 (pω = (1, 0, 0, 1)); allora  0 0 ¶ µ  0 0 0 I + σ3  = 2 P= 0 0 I − σ3 0 0 1 il seguente: consideriamo 1 0 0 0  0 0  0 0 e quindi  P Ψ(pω ) = 0 se e solo se ψ3 = ψ2 = 0. La rappresentazione è µ ¶ A 0 0 A∗−1 à i ! e2ϕ 0 con A = , rotazione di asse x3 unitaria (A∗−1 = A): i 0 e− 2 ϕ    µ ¶ ψ1 µ ¶ ψ1  0  A 0  A 0   =  µ ¶ 0  0 A∗−1  0   A ψ4 ψ4 Ora la decomposizione nelle due rappresentazioni [0, 12 ] e [0, − 12 ] è del tutto evidente. Capitolo 18 QUANTIZZAZIONE CANONICA In questo capitolo diamo una descrizione matematica del formalismo (ormai classico) della Meccanica Quantistica di un sistema finito di particelle: si tratta della teoria di Schrödinger–Heisenberg, che discuteremo nell’àmbito della teoria delle algebre di operatori e della simmetria del capitolo precedente. In particolare dimostreremo l’unicità della rappresentazione di Schrödinger (d’onde il nome “canonica”) per la forma che Weyl ha dato alle relazioni di Heisenberg: come si vedrà, la differenza degli approcci classici sta solo nella diversa presentazione di stesse algebre di operatori isomorfe fra loro. Preliminarmente richiameremo brevemente il formalismo hamiltoniano per i sistemi classici con finiti gradi di libertà. 18.1 Formalismo canonico Consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione finita: ogni elemento di V ⊗ V si decompone in modo unico come somma di un tensore simmetrico ed un tensore antisimmetrico; questo significa che per studiare le forme bilineari basta limitarsi a queste. Se ϕ : V × V −→ K (K = C oppure K = R) è una forma bilineare, possiamo associarle la ϕ[ : V −→ V ∗ definita come (ϕ[ (v))(v 0 ) = ϕ(v, v 0 ) Dato che V / ker ϕ[ = im ϕ, la forma è non degenere se e solo se ϕ[ è un isomorfismo. Una forma bilineare simmetrica non degenere è una forma pseudo-euclidea; il teorema di Sylvester, noto dall’Algebra Lineare, classifica queste forme in termini delle forme quadratiche loro associate: se ϕ è una forma bilineare non degenere, possiamo associarle una forma quadratica Q(v) = ϕ(v, v) che, in una opportuna 667 668 Capitolo 18. Quantizzazione canonica base (e1 , ..., en ), è sempre del tipo Q(x) = x21 + .. + x2k − x2k+1 − ... − x2n Nel caso antisimmetrico, non possiamo definire la forma quadratica, e la classificazione è molto più semplice. 18.1.1 Definizione Una forma simplettica su uno spazio vettoriale V è una funzione bilineare antisimmetrica e non degenere ϕ : V × V −→ K. Nel caso in cui dim V = ∞, questa definizione non è precisa: bisogna infatti specificare cosa significhi essere non degenere; se V è uno spazio di Banach, un forma bilineare continua ϕ è fortemente non degenere se la mappa lineare e continua ϕ[ è un isomorfismo di spazi di Banach fra V e V ∗ (duale topologico), mentre è debolmente non degenere se ϕ[ è semplicemente una isometria; ovviamente uno spazio di Banach ammette forme fortemente non degeneri se e solo se è riflessivo, e una forma debolmente non degenere e suriettiva, è pure fortemente non degenere, per il teorema della mappa aperta. 18.1.2 Esempio Se H è uno spazio di Hilbert complesso, e (x, y) è la sua forma hilbertiana, questa, come forma bilineare simmetrica, è fortemente non degenere: se scriviamo (x, y) = α(x, y) + iβ(x, y) allora β : H × H −→ R è una forma simplettica fortemente non degenere su H. 18.1.3 Teorema (Darboux) Se ϕ è una forma simplettica su uno spazio vettoriale V di dimensione finita, allora esiste una base (e1 , ..., e2n ) di V nella quale n X ei ∧ ei+n ϕ= i=1 Una tale base si dice base simplettica. Dimostrazione: Procediamo per induzione sulla dimensione N di V . Per prima cosa osserviamo che deve aversi dim V = 2n; infatti in una qualsiasi base la forma simplettica è rappresentata da una matrice A antisimmetrica, A = −AT e quindi tale che det A = det(−AT ) = (−1)N det AT = (−1)N det A, sicché N è pari oppure det A = 0; ma A è non degenere, quindi det A 6= 0, i.e. N = 2n è pari. Ora sia n = 1: allora fissato un vettore non nullo e1 ∈ V , il funzionale lineare fe1 (v) := ϕ(e1 , v) 669 18.1. Formalismo canonico su V è non nullo (la forma è non degenere), quindi esiste un e2 ∈ V tale che fe2 (e1 ) = 1; ovviamente e1 e e2 non possono essere linearmente dipendenti, altrimenti e1 = ae2 e quindi ϕ(e1 , e2 ) = aϕ(e2 , e2 ) = 0. Quindi sono una base di V che ha dimensione 2. Se n > 1 e supponiamo che il teorema sia valido per n − 1 scegliamo di nuovo un vettore e1 ∈ V non nullo e, come nel caso precedente, un vettore en+1 linearmente indipendente da e1 e tale che ϕ(e1 , en+1 ) = 1 Ora consideriamo i funzionali lineari fe1 e fen+1 dati da fe1 (v) := ϕ(e1 , v) fen+1 (v) := ϕ(en+1 , v) e gli spazi N1 e Nn+1 ortogonali a e1 e en+1 rispetto alla forma simplettica: N1 = {v ∈ V | ϕ(e1 , v) = 0} Nn+1 = {v ∈ V | ϕ(en+1 , v) = 0} si tratta di spazi (2n − 1)-dimensionali (nuclei di funzionali lineari), la cui intersezione W = N1 ∩ Nn+1 ha dimensione 2n − 2: infatti e1 ∈ / Nn+1 e en+1 ∈ / N1 . Vogliamo ora dimostrare che su W la forma simplettica ϕ è non degenere, e quindi applicare l’induzione per dedurre l’esistenza di una base simplettica (e2 , ..., en , en+2 , ..., e2n ) per W : aggiungendo a questa base i vettori e1 e en+1 si ottiene ovviamente una base simplettica di V e il teorema è dimostrato. Resta solo quindi da provare che ϕ|W è non degenere, il che è semplice: se esistesse w ∈ W tale che, per ogni w0 ∈ W , ϕ(w, w0 ) = 0, allora, dato che per definizione si ha pure ϕ(e1 , w) = ϕ(en+1 , w) = 0, e W ⊕ e1 K ⊕ en+1 K = V , allora w sarebbe nel nucleo della forma ϕ, i.e. w = 0. qed In altri termini, la forma è, nella base (e1 , ..., e2n ) determinata dalle equazioni ϕ(ei , ej ) = 0 se i, j µ 0 −I ϕ(ei+n , ej+n ) = 0 ϕ(ei , ej+n ) = δij ∈¶{1, ..., n}, ed è quindi, scritta in forma matriciale, la matrice J = I . 0 18.1.4 Definizione Uno spazio simplettico è uno spazio vettoriale dotato di una forma simplettica. 18.1.5 Corollario Uno spazio simplettico di dimensione finita ha dimensione pari. 670 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Una trasformazione lineare simplettica è una funzione lineare f : V −→ W fra spazi vettoriali simplettici che preserva le forme simplettiche ψ(f (v), f (w)) = ϕ(v, w) Una trasformazione lineare simplettica è un simplettomorfismo (o isomorfismo simplettico) se è un isomorfismo di spazi vettoriali. 18.1.6 Corollario Due spazi simplettici della stessa dimensione sono simplettomorfi. 18.1.7 Esempio Il più importante (ed in un certo senso l’unico) spazio vettoriale simplettico è il seguente: consideriamo uno spazio vettoriale qualsiasi V , ed il suo spazio duale V ∗ ; allora possiamo definire una forma simplettica su V × V ∗ come ϕ((v, ϕ), (w, ψ)) = ψ(v) − ϕ(w) Per il teorema di Darboux, ogni spazio vettoriale simplettico di dimensione 2 dim V si ottiene in questo modo. In coordinate, scriviamo una base (q1 , ..., qn ) di V ed una base duale (p1 , ..., pn ) di V ∗ : allora la forma simplettica standard è ϕ= n X pi ∧ q i i=1 Usiamo ora queste nozioni per formalizzare la Meccanica Classica; consideriamo un sistema fisico descritto da energia cinetica E e potenziale U , come ad esempio un sistema di punti con masse mi e distanze dall’origine ri , che ha energia cinetica e potenziale 1X d E= mi ri 2 2 i=1 dt n U= X Vij (ri − rj ) i,j (Vij sono le interazioni fra i punti di masse mi e mj , ad esempio il potenziale gravitazionale newtoniano Vij (r) = −Gmi mj /|r|). I moti t 7−→ q(t) del sistema sono descritti come gli estremali del funzionale Z t1 . (†) L(q(t), q(t))dt t0 ove L = E − U è la lagrangiana del sistema. Se le coordinate lagrangiane q = (q1 , ..., qn ) sono quelle di Rn , la lagrangiana è semplicemente una funzione L : 671 18.1. Formalismo canonico R2n −→ R. Come noto dagli elementi della Meccanica gli estremali del funzionale (†) sono localmente descritti dalle equazioni di Eulero–Lagrange: d ∂L ∂L . = dt ∂ q k ∂qk Sotto opportune condizioni di non degenerazione della lagrangiana, questo sistema può trasformarsi in uno equivalente per mezzo della trasformata di Legendre (cfr. [1] o [2]) in un sistema hamiltoniano: si definiscono gli impulsi pk = ∂L . ∂ qk e le equazioni di Lagrange divengono . pk = ∂L ∂qk Considerando ora la funzione hamiltoniana X . . H(p, q, t) = pk q k − L(q, q, t) k e confrontandone il differenziale dH = ∂H ∂H ∂H dp + dq + dt ∂p ∂q ∂t . . col differenziale della trasformata di Legendre pq − L(q, q, t) della lagrangiana L: . qdp − . . ∂L . . dq − Ldt = qdp − pdq − Ldt ∂q otteniamo le equazioni di Hamilton.  ∂H .   pk = − ∂qk ∂H .  q k = ∂pk 18.1.8 Esempio Se la lagrangiana L : Rn × Rn −→ R è una forma quadratica sullo spazio vettoriale V = Rn , ad esempio L = E − U con E prodotto scalare in V , allora H = E + U . Infatti la trasformata di Legendre di una funzione quadratica coincide con la forma stessa: H(p(q)) = pq − L(q) = 2E − (E − U ) = E + U. 672 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Si può esprimere in forma intrinseca il formalismo hamiltoniano ricorrendo agli spazi simplettici: gli osservabili di un sistema dinamico classico sono le funzioni (differenziabili o comunque che soddisfino ipotesi di regolarità) f : V −→ R definite sullo spazio delle fasi , che in generale sarà una varietà differenziabile (ad esempio un aperto di R2n ); nel caso lineare, V è uno spazio vettoriale simplettico. L’algebra degli osservabili è quindi C ∞ (V ) col prodotto di funzioni punto per punto: si tratta di un’algebra associativa e commutativa. Possiamo definire su C ∞ (V ) anche una struttura di algebra di Lie, considerando le parentesi di Poisson. Per farlo consideriamo una forma simplettica ϕ su V = R2n e l’isomorfismo ϕ# : V ∗ −→ V duale dell’isomorfismo ϕ[ . Possiamo allora definire un campo di vettori in V come XH = ϕ# (dH) ove dH è il differenziale dell’osservabile H : V −→ R. Un campo della forma XH si dice campo hamiltoniano di hamiltoniana H; le parentesi di Poisson su C ∞ (V ) si definiscono come {F, G} = ϕ(XF , XG ) e le equazioni del moto assumono la forma . F = {H, F } ove H è l’hamiltoniana e F è un osservabile. Per F = qk e F = pk otteniamo esattamente le equazioni di Hamilton; gli integrali primi del sistema, le costanti del moto, sono caratterizzati dalla {H, I} = 0 Se il sistema possiede integrali primi I1 , ..., Ik , l’algebra di Lie da essi generata (rispetto alle parentesi di Poisson) corrisponde a un gruppo di Lie che è il gruppo delle simmetrie del sistema: se gli integrali primi sono un sistema completo, nel senso che le relazioni {Ik , F } implicano F = 0 allora il sistema è completamente integrabile (teorema di Liouville). Oltre alla presentazione hamiltoniana, esiste anche un punto di vista indipendente dal tempo: per questo si considerano gli stati del sistema, cioè funzionali lineari sugli osservabili C ∞ (V ) che abbiano valori positivi sulle funzioni positive e 1 sulla funzione 1 (si tratta di misure di probabilità su V ), che variano col tempo secondo le equazioni di Hamilton: se ρ(p, q, t) è la densità di probabilità associata ad uno stato, allora . ρ = {ρ, H} 18.2. Rappresentazione di Schrödinger 673 I due approcci sono legati dalla relazione Z Z {H, F }ρdpdq = F {ρ, H}dpdq V V Questi concetti hanno degli analoghi in Meccanica Quantistica: in questo caso l’algebra degli osservabili non è un’algebra di funzioni ma di operatori (non commutativa), ma esiste un analogo delle parentesi di Poisson dato dal commutatore di operatori: l’equazione del moto è formalmente analoga a quella precedente (Heisenberg picture): . }A = i[H, A] Analogamente al caso classico esiste anche una presentazione nella quale gli operatori che corrispondono agli osservabili non cambiano nel tempo, ma cambiano gli stati (Schrödinger picture). L’equazione del moto in questo caso diviene l’equazione di Schrödinger . }ρ = iHρ La corrispondenza fra un sistema classico e un sistema quantistico, in modo che ad osservabili classici corrispondano osservabili quantistici, a simmetrie classiche simmetrie quantistiche e alle parentesi di Poisson le parentesi di Lie fra operatori si dice quantizzazione del sistema classico: per una discussione precisa di questo concetto si rimanda a [6]. 18.2 Rappresentazione di Schrödinger Consideriamo un sistema nel quale posizione e impulso siano determinati dalle famiglie finite di osservabili q1 , ..., qn e p1 , ..., pn di operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert H, ove, se k 6= h e r 6= s: ( [qk , qh ] = [pr , ps ] = 0 [pr , qk ] ⊂ −i}δrk I (si noti che gli operatori non sono continui, quindi dobbiamo considerare l’estensione del commutatore.) Per semplicità notazionale ci limiteremo al caso n = 1, ponendo anche } = 1: pq − qp ⊂ −iI 674 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Notiamo che, se lo spazio H ha dimensione finita, allora possiamo calcolare la traccia di p e q, cosı̀ come del loro commutatore: tr[p, q] = 0 il che contraddice la relazione di Heisenberg precedente. Quindi lo spazio deve avere dimensione infinita, e lo stesso argomento prova che gli operatori p e q non possono essere nucleari; in realtà 18.2.1 Proposizione Gli operatori p e q non possono essere continui. Dimostrazione: Supponiamo che lo siano: è ben definito allora l’operatore Se ω è uno stato e se ∆ω A = p 1 c := [p, q] i ω(A2 ) − ω(A)2 allora 1 1 ∆ω (p)δω (q) ≥ |ω(c)| = 2 2 Ma, per continuità di p, ∆ω p ≤ ||p|| e quindi ∆ω p ≥ 1 2||p|| ∆ω q ≥ e 1 2||q|| Se ω è uno stato tale che ξω = E(∆)ξω , ove Z p = λdE(λ) con E(∆) 6= 0 e diam(∆) < ε allora p ∆ω p = ω(p2 ) − ω(p)2 ≤ ||(p − ω(p)I)ξω || ≤ ε il che contraddice il principio di Heisenberg. qed 18.2.2 Esempio Consideriamo una particella che si muove sulla circonferenza T = S 1 e lo spazio di Hilbert H = L2 (T, ds) (misura di Lebesgue), e gli operatori (qx)(s) = sx(s) e (px)(s) = −i ∂ x(s) ∂s Notiamo che σ(q) = [0, 2π], mentre σ(p) = Z: si noti che in questo caso p è certamente non limitato, mentre lo è q; questo non è in contraddizione col principio di Heisenberg, dato che p è definita (in quanto operatore di derivazione) sulle funzioni assolutamente continue (periodiche in R di periodo 2π) e quindi il dominio di [p, q] contiene funzioni che in 0 e 2π valgono zero. 675 18.2. Rappresentazione di Schrödinger Se H = L2 (Rn , dsn ) con (qk x)(s) = sk x(s) (pk x)(s) = −i e ∂ x(s) ∂sk allora Dqk = {x ∈ H | (s 7−→ sk x(s)) ∈ H} e Dpk = {x ∈ H | (s 7−→ sk x b(s)) ∈ H} dato che, se Fx = x b è la trasformata di Fourier, allora Fqk F−1 = pk e quindi [pk , qr ] ⊂ −δkr I e [qh , qk ] = 0 Possiamo meglio precisare queste relazioni nel modo seguente: le mappe U, V : Rn −→ Rn definite come U (α) := eihα,qi e v(α) := eihα,pi sono rappresentazioni unitarie fortemente continue di Rn e (U (α)x)(S) = eihα,si x(s) e (V (α)x)(S) = x(s + α) sono operatori unitari (ovvio) fortemente continui (teorema della convergenza dominata). 18.2.3 Definizione La rappresentazione degli operatori q e p per mezzo delle U e V si dice rappresentazione di Schrödinger. Possiamo quindi, per il teorema di Stone 14.3.6, scrivere:  µ ¶  1 ∂   U (α)x (s) = sj x(s) = qj (x)(s)  i ∂αj µ ¶α=0  ∂ 1 ∂   V (α)x (s) = −i x(s) = pj (x)(s)  i ∂αj ∂sj α=0 Ma V (β)U (α)(s) =U (α)(x)(s + β) = eihα,s+βi x(s + β) = eihα,βi ei<α,s> x(s + β) = eihα,βi (U (α)V (β)x)(s) Abbiamo cioè ottenuto le regole di commutazione di Weyl 676 Capitolo 18. Quantizzazione canonica 18.2.4 Teorema V (β)U (α) = eihα,βi U (α)V (β) Viceversa, partendo da due rappresentazioni unitarie U e V fortemente continue, sempre per il teorema di Stone 14.3.6, possiamo dedurre che sono della forma U (α) = eihα,qi e V (β) = eihβ,pi per p e q opportuni operatori autoaggiunti. Allora, supponendo che le rappresentazioni U, V soddisfino alle relazioni di Weyl, si deduce che [pk , qj ] ⊂ −iδjk I La corrispondenza fra la rappresentazione di Schrödinger e le relazioni di Weyl non è precisamente biunivoca: in effetti ogni rappresentazione delle relazioni di Weyl è somma diretta di rappresentazioni di Schrödinger. Prima di dimostrarlo approfondiamo qualche proprietà di queste ultime. 18.2.5 Teorema La rappresentazione di Schrödinger è irriducibile. Dimostrazione: Sia U, V la rappresentazione di Schrödinger: allora {U (α)}00α∈Rn = {U (α)}0α∈Rn (si tratta di un’algebra di von Neumann abeliana massimale); inoltre ¶ µZ f (α)U (α)dαx (s) = fb(s)x(s) dunque {U (α)}00α∈Rn = {Mf }f ∈L∞ (Rn ) (operatori di moltiplicazione). Ma sappiamo che ogni x∈L2 (Rn ) tale che {x = 0} abbia misura nulla è ciclico. Analogamente si procede per V , dato che F−1 U F = V e quindi, se B ∈ B(H) è tale che BU = U B e BV = V B allora B ∈ CI. in particolare, se [B, U ] = [B, V ] = 0 allora B = Mf , con f ∈ L∞ (Rn ); ma (V (β)Mf x)(s) =(Mf x)(s + β) = f (s + β)x(s + β) =f (s + β)(V (β)x)(s) = (Mf−β V (β)x)(s) (ft è la traslazione per t), ovvero V (β)Mf V (β)−1 = Mf−β 677 18.2. Rappresentazione di Schrödinger Ma, dato che [B, U ] = 0, B = Mf e Mf = Mfβ i.e. Mf −fβ = 0 ⇒ f = fβ q.o. e quindi f è quasi ovunque costante, cioé Mf ∈ CI. Quindi la rappresentazione di Schrödinger è irriducibile. qed Consideriamo ora qk , pj operatori autoaggiunti su H che siano una rappresentazione delle relazioni di Heisenberg; ci chiediamo quando una tale rappresentazione sia irriducibile. Una condizione è che, per ogni B ∈ B(H) si abbia Bqk ⊂ qk B e Bpj ⊂ pj B BEqk (λ) = Eqk (λ)B e BEpj (λ) = Epj (λ)B cioè (famiglie spettrali). Nel caso della rappresentazione di Schrödinger, queste condizioni sono una caratterizzazione dell’irriducibilità: ) BU (α) = U (α)B ⇒ B ∈ CI BV (α) = V (α)B Ora definiamo l’operatore di von Neumann, se z = α ⊕ β ∼ = α + iβ: W (z) := e 2 hα,βi U (α)V (β) i La funzione z 7−→ W (z) è fortemente continua ed è una rappresentazione: 0 0 W (z)W (z 0 ) = e 2 (hα,βi+hα ,β i) U (α)U (β)U (α0 )U (β 0 ) i 0 0 0 = e 2 (hα,β>+hα ,β i+2hα ,βi) U (α + α0 )V (β + β 0 ) i 0 0 0 = eihα ,βi W (z + z 0 ) = e 2 (hα ,βi−hα,β i) W (z + z 0 ) i = eiσ(α,β) W (z + z 0 ) ove abbiamo definito 1 1 1 σ(z, z 0 ) = (hα0 , βi − hα, β 0 i) = Imhz 0 , zi = hα + iβ, α0 + iβ 0 i 2 2 2 (prodotto scalare in Cn ). Notiamo che σ è una forma bilineare, antisimmetrica e non degenere: infatti è la parte immaginaria di una forma sesquilineare1 . Si tratta 1 Una tale forma si dice kähleriana. 678 Capitolo 18. Quantizzazione canonica cioè di una forma simplettica; sappiamo ogni tale forma è, in una opportuna µ che ¶ 0 I (teorema di Darboux). base, associata ad una matrice J = −I 0 Notiamo qui che la R-bilinearità e l’antisimmetricità di σ implicano W (z)∗ = W (z)−1 = W (−z) e quindi, se z = λξ (λ ∈ R), λ 7−→ W (λz) è una rappresentazione unitaria e fortemente continua di R; viceversa, ogni tale rappresentazione tale che 0 W (z)W (z 0 ) = eiσ(z,z ) W (z + z 0 ) (†) determina una rappresentazione di Schrödinger U, V come U (α) = W (α + i0) e V (β) = W (0 + iβ) Quindi la (†) e le regole di commutazione di Weyl sono equivalenti. Ora consideriamo l’insieme Hn = {(z, λ) | λ ∈ R e z ∈ Cn } tale che (z, λ) 7−→ eiλ W (z) Vogliamo su Hn una moltiplicazione che renda questa mappa una rappresentazione: 0 0 0 (z, λ) · (z 0 , λ0 ) 7−→ ei(λ+λ ) W (z)W (z 0 ) = ei(λ+λ +σ(z,z )) W (z + z 0 ) Ovviamente basta porre (z, λ) · (z 0 , λ0 ) := (z + z 0 , λ + λ0 + σ(z, z 0 )) vale a dire che Hn = R n Cn è il prodotto semidiretto dei gruppi di Lie additivi R e Cn . 18.2.6 Definizione Il gruppo Hn si dice gruppo di Heisenberg. Usando la terminologia della teoria delle algebre di Lie, che si applica anche ai gruppi, possiamo dire che Hn è estensione centrale del gruppo additivo C n per mezzo del cociclo σ: 0 −→ R −→ Hn −→ Cn −→ 0 Ricordiamo che queste estensioni sono parametrizzate, a meno di equivalenze, da H 2 (Cn ): in effetti la forma simplettica σ usata per definire l’estensione dà luogo esattamente all’elemento di H 2 (Cn ) associato all’estensione stessa. 18.2. Rappresentazione di Schrödinger 679 Notiamo che possiamo realizzare il gruppo Hn come gruppo di matrici nel modo seguente:   ¯   1 xT t ¯ ¯ n   0 1 y ¯x, y ∈ C e t ∈ R Hn =  ¯  0 0 1 Si vede in questo modo che il gruppo di Heisenberg è nilpotente. Con la costruzione precedente abbiamo quindi determinato una rappresentazione unitaria del gruppo di Heisenberg per mezzo dell’operatore di von Neumann UW (λ, z) = eiλ W (z) Naturalmente, per il teorema di Stone 14.3.6, ogni rappresentazione U del gruppo di Heisenberg soddisfa alla relazione U(0, λ) = eiT λ per un opportuno T ; inoltre, dato che σ(z, z) = 0, di nuovo per il teorema di Stone 14.3.6, abbiamo che U(α + i0, 0) = eihα,qi e U(0, 0 + iβ) = eihβ,pi per opportuni p, q; quindi esistono 2n + 1 generatori per la rappresentazione del gruppo tali che 1 [pk , qj ] = δkj T i Dato che a noi interessano operatori che verifichino le relazioni di Heisenberg o, equivalentemente, quelle di Weyl, dobbiamo considerare solo le rappresentazioni tali che T = I. Osserviamo che Hn è connesso e semplicemente connesso: possiamo quindi, per mezzo del teorema di Nelson 16.4.2, determinarne le rappresentazioni a partire da quelle della sua algebra di Lie. L’algebra di Lie hn del gruppo di Heisenberg è ovviamente (come spazio vettoriale) somma diretta di R e Cn (algebre di Lie banali); il prodotto è desunto da quello del gruppo: [(z, λ), (z 0 , λ0 )] = (0, 2σ(z, z 0 )) Notiamo inoltre che la forma simplettica σ : Cn ∧ Cn −→ C determina un 2cociclo sull’algebra di Lie: questo è ovvio se scriviamo la mappa esponenziale exp : hn −→ Hn : usiamo la rappresentazione matriciale che abbiamo dato per il gruppo di Heisenberg. 680 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Per prima cosa, osserviamo che le  0 0 0 matrici di Hn sono della forma  xT t 0 y 0 0 con x, y ∈ Cn e t ∈ R; allora     1 xT t + 12 σ(x, y) 0 xT t  y exp 0 0 y  = 0 1 0 0 0 0 0 1 In questo caso la mappa esponenziale è quindi un diffeomorfismo fra il gruppo Hn e la sua algebra di Lie hn . Consideriamo una rappresentazione dell’algebra di Lie hn , i cui generatori siano p1 , ..., pn ,q1 , ..., qn e I; per applicare il teorema di Nelson 16.4.2 necessita che l’operatore 1X 1 (p + qj2 ) 2 j j sia essenzialmente autoaggiunto (si tratta dell’hamiltoniano dell’oscillatore armonico (} = m = mω = 1)): lo dimostreremo alla fine di questo capitolo. 18.3 Teorema di Stone–von Neumann Affronteremo ora la dimostrazione del seguente e fondamentale teorema che stabilisce la canonicità della rappresentazione di Schrödinger (e quindi, ad esempio, implica la sua equivalenza alla rappresentazione di Heisenberg). 18.3.1 Teorema di unicità (Stone–von Neumann) Ogni rappresentazione unitaria irriducibile delle relazioni di Weyl su Cn è isomorfa alla rappresentazione di Schrödinger. che implicherà il teorema di unicità di Dirac–Dixmier per la rappresentazione di Schrödinger: combinando infatti questo risultato col teorema di Nelson 16.4.2 otteniamo il 18.3.2 Corollario Ogni rappresentazione delle relazioni di Weyl in Cn è somma diretta di copie della rappresentazione di Schrödinger. Procediamo ora nella dimostrazione del teorema di Stone–von Neumann: si tratta di dimostrare in sostanza che il gruppo di Heisenberg possiede, a meno di equivalenze unitarie, la sola rappresentazione di Schrödinger come rappresentazione irriducibile unitaria. 18.3. Teorema di Stone–von Neumann 681 L’algebra di gruppo L1 (Hn , dµ) del gruppo di Heisenberg: è un’algebra di Banach non commutativa (non lo è il gruppo): sia J C L1 (Hn ) un suo ideale chiuso, tale che le rappresentazioni che verificano la U(0, λ) = eiλ siano zero su J, e sia π : L1 (Hn ) −→ L1 (Hn )/J −→ B(H) la rappresentazione associata a U; per questo possiamo ad esempio considerare l’ideale delle funzioni tali che Z eiλ f (z, λ)dλ = 0 (si tratta ovviamente di uno *-ideale bilatero chiuso). Descriviamo ora il quoziente L1 (Hn )/J: un elemento dell’algebra L1 (Hn ) possiamo immaginarlo come una funzione λ 7−→ f (z, λ) la cui trasformata di Fourier sia µ 7−→ fb(z, µ) Quozientare per J significa allora valutare la trasformata di Fourier in λ = 1: fb(z, 1). Quindi, dato che, per ogni f, g ∈ L1 (Hn ), Z (f ∗σ g)(z, λ) := f (z 0 , λ0 )g((z 0 , λ0 )−1 (z, λ))d(z 0 , λ0 ) Z HZn = f (z 0 , λ0 )g(z − z 0 , λ − λ0 + σ(−z 0 , z))dz 0 dλ0 R Cn si trova che f\ ∗σ g(z, s) = Z Cn 0 fb(z 0 , s0 )g(z − z 0 , s)e−iσ(z ,z)s dz 0 1 e quindi, in L (Hn )/J la convoluzione è f\ ∗σ g(z, 1) sicché, come *-algebra di Banach, è isomorfa a L1 (Cn ) con l’involuzione f ∗ (z) = f (−z) e il prodotto: Z Z 0 0 iσ(z 0 ,z) 0 (f ∗σ g)(z) := f (z )g(z − z )e dz = f (z − ζ)g(ζ)eiσ(z−ζ,z) dζ n n C ZC −iσ(ζ,z) = f (z − ζ)g(ζ)e dζ Cn 682 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Quindi le rappresentazioni non degeneri di L1 (Cn ) col prodotto ∗σ sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni delle relazioni di Weyl per mezzo della Z π(f ) = f (z)W (z)dz Cn Infatti W (z)π(f ) = π(f(z) ) iσ(z,z 0 ) ove f(z) (z 0 ) = e f (z 0 − z), pertanto Z π(f )π(g) = f (z)g(z 0 )W (z)W (z 0 )dzdz 0 Z 0 = f (z)g(z 0 )eiσ(z,z ) W (z + z 0 )dzdz 0 Z = f (z)g(ζ − z)eiσ(z,ζ) W (ζ)dζ = π(f ∗σ g) Inoltre Z (f ∗σ g)(ζ) = Z f (z)g(ζ − z)e iσ(z,ζ) dz = 0 f (ζ − z 0 )g(z 0 )e−iσ(z ,ζ) dz 0 Per dimostrare il teorema di Stone–von Neumann ci basterà quindi dimostrare che l’algebra L1 (Cn , ∗σ ) possiede un’unica rappresentazione irriducibile. 18.3.3 Lemma Per ogni rappresentazione π 6= 0 di L1 (Cn , ∗σ ) e ogni funzione f tale che π(f ) = 0 si ha f = 0. Dimostrazione: Abbiamo W (z)π(f )W (z)−1 = 0, dato che Z Z W (z) f (ζ)W (ζ)dζW (−z) = f (ζ)W (z + ζ)eiσ(z,ζ) dζW (−z) Z = f (ζ)W (ζ)ei(σ(z+ζ,−z)+σ(z,ζ)) dζ =π(f (z) ) ove f (z) (ζ) = e2iσ(z,ζ) f (ζ), cioè ∀x, y ∈ H ovvero Z e2iσ(z,ζ) f (ζ)(x, W (ζ)y)dζ = 0 \ f · (x, W (−)y) = 0 sicché f · (x, W (−)y) = 0 q.o. da cui f = 0 q.o. il che vuol dire che f = 0 come elemento di L1 (Cn ). qed 683 18.3. Teorema di Stone–von Neumann Ora introduciamo la funzione f0 (z) := (con ||z|| = P 1 − 1 ||z||2 e 4 (2π)n |zj |2 ); f0 è tale che f0∗ ∗ f0 = f0 ⇒ f0 = f0∗ ed inoltre 18.3.4 Lemma ∀f ∈ L1 (Cn ) f0 ∗ f ∗ f0 = ω(f )f0 Dimostrazione: Basta far vedere che f0 ∗ f0 (ζ) = ω0 (ζ)f0 (∗) con ω0 (0) = 1. Infatti2 , se è vera la (*): Z Z g ∗ f = g(ζ)f(ζ) dζ = g(ζ)f (z − ζ)eiσ(ζ,z) dz e quindi, dato che Z ω0 (f ) = ω0 (ζ)f (ζ)dζ si ha f ∗ ∗ f0 (0) = f0 (0) Z Ma (f0 ∗ f0(w) )(z) = 0 f0 (z − z 0 )f(w) (z 0 )eiσ(z,z ) dz 0 0 e f0 (z 0 − w)eiσ(w,z ) = f0(w) , quindi Z (f0 ∗ f0(w) )(z) = 2 0 0 f0 (z − z 0 )f (z 0 − w)ei(σ(z,z )+σ(w,z )) dz 0 Si rammenti che (per antisimmetricità di σ): Z Z Z f (z)W (ζ)W (z)dz = f (z)eiσ(ζ,z) W (ζ − z)dz f (z − ζ)eiσ(ζ,z) W (z)dz = π(f(ζ) ) ove f(ζ) (z) = eiσ(ζ,z) f (z − ζ). 684 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Dunque, per definizione di f0 : Z 1 1 0 2 0 2 0 0 (f0 ∗ f0(w) )(z) = e− 4 (||z−z || +||z −w|| )+i(σ(z,z )+σ(w,z )) dz 0 2n (2π) Z 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 = e− 2 ||z|| − 4 ||z|| − 4 ||w|| + 2 (Re(z,z )+Re(w,z )+i Im(z ,w+z)) dz 0 2n (2π) Z 1 − 14 ||z||2 − 14 ||w||2 − 12 ||z 0 ||2 + 12 (z 0 ,w+z) = dz 0 e e (2π)2n Z 1 1 0 2 1 0 − 14 ||w||2 e− 2 ||z || + 2 (z ,w+z) dz 0 =f0 (z)e 2n (2π) Per avere la nostra tesi dobbiamo mostrare che Z 1 1 0 2 1 0 e− 2 ||z || + 2 (z ,w+z) dz 0 = 1 2n (2π) Z Ma − 12 ||z 0 ||2 + 21 (z 0 ,z+w) e Z 0 dz = 0 0 e− 2 (z ,z +w+z) dz 0 1 e quindi basta dimostrare l’identità Z 1 1 e− 2 a(a+b) da1 da2 = 1 2π che segue osservando che µ (a1 − ia2 )(a1 + ia2 + b) = da cui 1 2π Z − 12 a(a+b) e Ne segue che 1 da1 da2 = √ 2π Z b a1 + 2 2 − 12 (a1 +i 2b ) e ¶2 µ b + a2 − i 2 1 da1 = √ 2π Z ¶2 e− 2 a1 da1 = 1 1 2 (f0 ∗ f0(w) )(z) = f0 (z)e− 4 ||w|| 1 Z e ω0 (f ) = 2 f0 (z)e− 4 ||z|| dz 1 2 qed Ora consideriamo una rappresentazione irriducibile π non degenere (quindi π(f0 ) 6= 0); se E0 := π(f0 ) allora abbiamo dimostrato che E0∗ E0 = E0 e E0 π(f )E0 = ω0 (f )E0 18.4. Regole di commutazione e completa riducibilità 685 Possiamo dunque, analogamente a quanto fatto per la costruzione GNS, considerare l’operatore unitario U tale che, se {eα } è una base: Uαβ π(f )eβ = π(f )eα cioè πα ∼ = πβ e πα è irriducibile: (eα , π(f )eα ) = ω0 (f ) Ma la rappresentazione di Schrödinger πS è irriducibile e quindi esiste un vettore Ω tale che (Ω, πS (f )Ω) = ω0 (f ) (vedremo in realtà che Ω è il vettore di stato dello stato fondamentale dell’oscillatore armonico). Questo implica il teorema di unicità di Stone–von Neumann. 18.4 Regole di commutazione e completa riducibilità Il teorema di completa decomposizione di una rappresentazione delle regole di commutazione di Weyl in somma diretta di copie della rappresentazione di Schrödinger è stato ottenuto nella sezione precedente come conseguenza del teorema di unicità di Stone–von Neumann e del teorema di Nelson 16.4.2 sull’integrazione di rappresentazioni di algebre di Lie ai gruppi corrispondenti: qui dimostreremo il teorema di completa riducibilità direttamente, senza ricorrere alla teoria di Nelson. Consideriamo la C*-algebra A inviluppante della *-algebra di Banach L1 (Cn , ∗σ ): dato che le rappresentazioni di quest’ultima sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni non degeneri delle regole di commutazione di Weyl, queste sono anche in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni non degeneri di A. Ora dimostriamo un risultato generale 18.4.1 Lemma Se B è una *-algebra di Banach e E0 ∈ B è un idempotente autoaggiunto tale che • Se π è una rappresentazione di B allora π(E0 ) = 0 implica π(B) = 0. • E0 BE0 = E0 C. • B ammette rappresentazioni fedeli su spazi di Hilbert separabili. allora la C*-algebra A inviluppante di B è la C*-algebra degli operatori compatti su H. 686 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Dimostrazione: Sia π una rappresentazione irriducibile di B; π(E0 ) idempotente autoaggiunto è un proiettore di rango 1, quindi π(E0 )∈K(H) e π(A)π(E0 )π(B) è un operatore di rango 1 (π(E0 ) è un proiettore) e se |ΩihΩ| := π(E0 ) allora |π(A)Ωihπ(B ∗ )Ω| P Dunque una somma finita del tipo π(A)π(E0 )π(B) ha rango finito; ma la chiusura in norma di queste somme è un sottospazio dell’algebra degli operatori compatti. Alternativamente: si consideri la C*-algebra inviluppante A e l’intersezione π(A) ∩ K(H) la cui controimmagine in π(B) è un ideale bilatero chiuso J che non può essere proprio, altrimenti le rappresentazioni del quoziente indurrebbero delle rappresentazioni di A nulle su J e quindi nulle su E0 : la (1) implicherebbe allora che π(B) = 0, i.e. che J possiede solo la rappresentazione nulla e quindi J = A. Questo dimostra che π(A) ⊂ K(H). Il viceversa, K(H) ⊂ π(A), si ottiene immediatamente per ciclicità della rappresentazione π. qed Se π0 è una rappresentazione irriducibile allora π0 (A) = K(H) e la mappa A 7−→ π0 (A) è una isometria di le C*-algebre, dato che   π0 (A) 0 ... 0  0 π0 (A) ... 0    M π0 (A) π(A) =  .. .. ..  =  . . ··· .  0 0 ... π0 (A) In particolare ||π(A)|| = ||π0 (A)|| = ||A||, quindi A ∼ = K(H) i.e. A∗∗ ∼ = B(H) (algebra di von Neumann inviluppante della C*-algebra A): in effetti π b(A) = ⊕α π0 (A) è la rappresentazione universale. In generale, se G è un gruppo topologico localmente compatto commutativo possiamo scrivere su di esso le relazioni di Weyl: consideriamo due rappresentazioni unitarie in uno spazio di Hilbert H V : G −→ U(H) e b −→ U(H) U :G 18.4. Regole di commutazione e completa riducibilità 687 tali che U (χ)V (g) = χ(g)V (g)U (χ) Ad esempio, considerando la rappresentazione regolare di G, L2 (G) abbiamo (U (χ)f )(g) = χ(g)f (g) e (V (h)f )(g) = f (gh) Il seguente teorema di Mackey generalizza allora la teoria svolta per il gruppo di Heisenberg: Teorema. (U, V ) è la sola rappresentazione irriducibile delle relazioni di Weyl su G. Anche in questo ambito più generale esiste un teorema di unicità alla Stone– von Neumann. Notiamo comunque che queste generalizzazioni si limitano al caso localmente compatto: ad esempio se X è uno spazio vettoriale topologico non di dimensione finita, non possiamo dire nulla di tutto ciò: possiamo comunque (e questo sarà fatto nel prossimo capitolo) sfruttare la linearità di X per considerare delle forme simplettiche e definire un gruppo di Heisenberg HX = X o R per il quale potremo scrivere delle regole di commutazione di Weyl: tuttavia non avremo più l’unicità, che è propria del caso di dimensione finita, e che giustifica la terminologia “quantizzazione canonica” data a questa teoria. Riassumiamo la procedura di quantizzazione3 fin qui considerata: abbiamo definito Z π(f ) = f (z)W (z)dz ove l’operatore di von Neumann soddisfa alle relazioni di Weyl 0 W (z)W (z 0 ) = eiσ(z,z ) W (z + z 0 ) Ciò induce un gruppo a un parametro fortemente continuo che, per il teorema di Stone 14.3.6, possiamo scrivere come λ 7−→ W (λz) = eiλA ove A = (α, q) + i(β, p), se z = α + iβ: ¶ ¶ µ µµX ¶ X ∂ ∂ 1 ∂ 1 W (z) αk + βk W (λz) = (α, q) + i(β, p) = i ∂λ ∂αk ∂βk z=0 λ=0 i Quindi, se fb ∈ F(L1 ) ⊂ C0 (R2n ) è la trasformata di Fourier: Z b f (q, p) := f (α, β)ei((α,q)+(β,p)) dβdβ = π(f ) 3 Dovuta a Wigner, Von Neumann e Moyal. 688 Capitolo 18. Quantizzazione canonica allora π(f )∗ = π(f ) equivale a f ∗ (z) = f (−z), i.e. fb∗ = fb e quindi fb è autoaggiunto. Se fb è reale allora fb(q, p) è compatto; se fb è continua, fb(q, p) è nucleare (tracciabile). Dimostriamo ora il teorema di completa riducibilità, che abbiamo già dedotto dal teorema di Nelson 16.4.2 e dal teorema di unicità di Stone–von Neumann. 18.4.2 Teorema Se {qk , pk } è una rappresentazione delle regole di commutazione di Heisenberg per mezzo di operatori hermitiani su un dominio comune D, denso e invariante, e se 1X 2 A0 = (pk + qk2 ) 2 è essenzialmente autoaggiunto su D allora la rappresentazione è somma diretta di copie della rappresentazione di Schrödinger. Dimostrazione: Considereremo per semplicità il caso n = 1; per ipotesi abbiamo gli operatori autoaggiunti p, q che soddisfano le regole di Heisenberg e posseggono un dominio comune (denso) D invariante per essi (basta in realtà che D sia contenuto nei domini di p, q e [p, q]) e sappiamo che l’operatore A0 = p2 + q 2 è essenzialmente autoaggiunto sul dominio D. Se A = A0 ne è la chiusura, allora A è un operatore autoaggiunto definito positivo (perché A0 è hermitiano definito positivo) e se 1 η := √ p0 − iq0 2 (ove p0 e q0 sono operatori definiti su D) allora η è definito su D, come pure lo è p0 + iq0 , sicché 1 √ (p0 + iq0 ) ⊂ η ∗ 2 ∗ ∗ Ma η η e ηη sono autoaggiunti definiti positivi (essendo chiusi, teorema di von Neumann 13.1.8) e soddisfano alle 1 η ∗ η|D = (p20 + q02 ) − 2 1 ηη ∗ |D = (p20 + q02 ) + 2 i [p0 , q0 ] 2 i [p0 , q0 ] 2 cioè η ∗ η|D = A0 − 12 I e ηη ∗ |D = A0 + 12 I; ma A0 è essenzialmente autoaggiunto, e A0 ⊂ η ∗ η + 12 I implicano 1 A = η∗η + I 2 e 1 A0 = ηη ∗ − I 2 18.4. Regole di commutazione e completa riducibilità 689 Dato che Dη∗ η = Dηη∗ , se η = |η|V è la decomposizione polare di η allora D|η| = Dη∗ = Dη e quindi ker η 6= 0 mentre ker η ∗ = 0; infatti4 A ≥ 0 e, se x ∈ ker η ∗ allora 1 (x, Ax) = η ∗ x, η ∗ x) − (x, x) 2 dunque x = 0 (per positività di A); se fosse ker η = 0 allora, per unitarietà di V (V V ∗ = I), avremmo µ ¶ 1 1 1 ∗ 2 ∗ 2 2 A + I = ηη = V |η| V ⇒ A = |η| + I = V |η| − I V ∗ 2 2 2 e quindi AV ∗ = V ∗ A + I. A sarebbe dunque unitariamente equivalente a |η|2 − 1 I=A − I, i.e. per ogni n ∈ Z: A ∼ = A + nI, col che lo spettro di A sarebbe 2 Z-invariante e A e quindi illimitato sia inferiormente che superiormente, il che è assurdo, dato che A è definito positivo. Ne segue che V non è un operatore unitario, ma solo una isometria parziale, e ker η 6= 0. Sia ora x0 ∈ker η con ||x0 || = 1 e completiamo {x0 } a un sistema ortonormale, definendo xn := V ∗n x0 Questi sono tutti vettori di norma 1. Si rammenti che se V ∗ è una isometria parziale, allora AV ∗ = V ∗ (A + I) (†) e quindi A|im V ∗ è unitariamente equivalente a (A + I)||imV ∗ ; allora, se n < m: (xn , xm ) = (V ∗n x0 , V ∗n V ∗m−n x0 ) = (x0 , V ∗m−n x0 ) = (V x0 , V ∗m−n x0 ) = 0 (dato che V x0 = 0: x0 ∈ ker η). Quindi {xn } è un sistema ortonormale; inoltre ogni xn appartiene al dominio di definizione di A, dato che, per induzione dalla (†): AV ∗n = V ∗n (A + In) e quindi, dato che η ∗ η = A − 12 I e x0 ∈ ker η: ¶ µ n ´ 1 Axn = A + I x0 = n + xn 2 2 √ Dunque |η|2 xn = nxn , cioè |η|xn = nxn , per il calcolo funzionale. ³ 4 (x, A0 x) = 12 (||px||2 + ||qx||2 ) ≥ 0 690 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Si noti che V ∗ xn = xn+1 e che V è lo shift unilaterale: ( 0 se n = 0 V xn = xn−1 se n > 0 Da questo segue che ηxn = |η|V xn = √ η ∗ xn = |η|V ∗ xn = cioè che Ora: sicché ( 0 nV xn = √ √ nxn−1 se n = 0 se n > 0 n + 1xn+1 1 xn = √ η ∗n x0 n! 1 p|Dp ∩Dq ⊂ √ (η ∗ + η) 2 e 1 q|Dp ∩Dq ⊂ √ (η ∗ − η) i 2 1 p = √ (η ∗ + η) 2 e 1 q = √ (η ∗ − η) i 2 ovvero 1 1 √ (η ∗ + η) ⊂ p √ (η ∗ − η) ⊂ q e 2 i 2 Dunque, per ogni xn ∈ Dp ∩ Dq : ´ ´ √ √ 1 ³√ 1 ³√ nxn−1 + n + 1xn+1 , qxn = √ n + 1xn+1 − nxn−1 pxn = √ 2 i 2 Assumiamo momentaneamente il 18.4.3 Lemma Per ogni n, xn è un vettore analitico intero per p e q. e dimostriamo il teorema con questo assunto: per prima cosa, se (p, q) è una rappresentazione irriducibile allora ogni operatore lineare e continuo che commuti con p e q è multiplo dell’identità I; vogliamo ora dimostrare che il sistema ortonormale {x0 , x1 , ...} costruito è una base hilbertiana, cioè che il sottospazio M0 da esso generato è denso; ma questo equivale a dimostrare che il proiettore ortogonale su questo sottospazio è I, e, come abbiamo osservato, per questo basta far vedere che commuta con p e q. Per assicurarcene, mostreremo che M0 è un sottospazio stabile per i gruppi unitari generati da p e q. In virtù del lemma, le serie eiλp xn = X (iλ)k k≥0 k! pk x n e eiµq xn = X (iµ)k k≥0 k! q k xn 18.4. Regole di commutazione e completa riducibilità 691 convergono per ogni λ; quindi, dato che pk xn e q k xn sono combinazioni lineari di vettori del sistema {x0 , x1 , ...}, le ridotte n-esime di questa serie esponenziale (le somme parziali che la approssimano) appartengono al sottospazio M0 generato dal sistema {x0 , x1 , ...}, quindi, se M = M0 è la chiusura di questo sottospazio: eiλp M ⊂ M e eiµq M ⊂ M Dunque l’irriducibilità della rappresentazione (p, q) implica che M coincide con ª © 1 tutto lo spazio di Hilbert del sistema, e A si diagonalizza con spettro n + 2 . Se supponiamo (p0 , q 0 ) essere un’altra rappresentazione irriducibile, possiamo iterare la costruzione precedente ed esibire un sistema ortonormale {x0n }; allora, l’operatore U xn := x0n è unitario; facciamo vedere che realizza una equivalenza unitaria fra le due rappresentazioni. Infatti (se M0 è il sottospazio generato dal sistema ortonormale {x0n }) p0 |M00 U = p0 U |M0 = U p|M0 dato che U M0 = M00 . Analogamente per q e q 0 , quindi abbiamo le U q0 = q00 U e U p0 = p00 U e quindi U è un operatore di allacciamento fra le rappresentazioni: essendo unitario, le rappresentazioni sono unitariamente equivalenti, considerando q 0 = q00 e p0 = p00 e ricordando che, per il teorema di Nelson 16.4.2: U (q0 ) = q00 U e U (p0 ) = p00 U Abbiamo cioè dimostrato che se la rappresentazione delle relazioni di Heisenberg che soddisfa le ipotesi del teorema è irriducibile allora è unica, e quindi coincide con la rappresentazione di Schrödinger; dimostriamo ora che se non è riducibile è somma diretta di rappresentazioni irriducibili delle relazioni di Weyl, quindi di copie della rappresentazione di Schrödinger. Se la rappresentazione (p, q) non è irriducibile, allora consideriamo il sottospazio di Hilbert H0 = ker η = ker V 6= 0 ed una sua base ortonormale {x(α) }; per ogni α abbiamo un sistema ortonormale formato dagli elementi 1 ∗n (α) (α) x(α) η x0 = V ∗n x0 n := √ n1 692 Capitolo 18. Quantizzazione canonica Di nuovo questi elementi sono vettori analitici interi per p e q e costituiscono una base ortonormale, dato che, se n < m: (α) (β) (β) (x(α) n , xm ) = (x0 , xm−n ) = 0 Allora, per m = n: (α) (β) (β) (x(α) n , xm ) = δnm (x0 , x0 ) = δnm δα,β (per ortonormalità del sistema {x(α) }). Consideriamo ora i complementi ortogonali di questi vettori analitici: si tratta di sottospazi la cui somma è tutto H (altrimenti avremmo ker η = 0); definendo (α) Hα come il sottospazio chiuso generato dalla famiglia {xn }n per α fissato al variare di n, allora M H= Hα α e la restrizione della rappresentazione (p, q) al sottospazio Hα è unica a meno di equivalenze unitarie: questo dà la decomposizione postulata dal teorema. Non resta che da provare il lemma precedente: l’analiticità intera dei vettori xn . Scrivendo η # per η oppure η ∗ , abbiamo che ||q k xn || = ||pk xn || = 2− 2 ||(η ± η ∗ )k xn || ≤ 2− 2 2k ||(η # )k xn || k k (sviluppando (η ± η ∗ )k e maggiorando col massimo dei 2k termini), e r k k k (n + k)! 2− 2 2k ||(η # )k xn || ≤ 2k− 2 ||η ∗k xn || = 2k− 2 n! √ (dato che η ∗ xn = n + 1xn+1 ). Ma allora la serie p X λk X√ (n + k)! 1 ||pk xn || ≤ √ ( 2λ)k k! k! n! k≥0 k≥0 converge per il criterio del rapporto. qed Abbiamo quindi dimostrato che ogni rappresentazione delle regole di commutazione di Heisenberg si decompone in somma diretta di rappresentazioni irriducibili, unitariamente equivalenti alla rappresentazione di Schrödinger. L’applicabilità del teorema è tuttavia condizionata dal supporre l’operatore hamiltoniano dell’oscillatore armonico essenzialmente autoaggiunto. Vediamo che questo accade effettivamente per almeno una rappresentazione. 18.4. Regole di commutazione e completa riducibilità 693 Consideriamo la rappresentazione di Schrödinger (pS , qS ) che opera nello spazio di Hilbert L2 (R, ds); questo spazio contiene le funzioni infinitamente differenziabili rapidamente decrescenti, cioè lo spazio di Schwartz S(R); scegliendo il dominio D come D = DpkS qSh per h + k = 2, abbiamo che S(R) ⊂ D T (in realtà vale un risultato più preciso: S = h,k DpkS qSh ). Ci basta quindi dimostrare, per poter applicare il teorema precedente, che 1 2 (p + qS2 ) è essenzialmente autoaggiunto su S(R). 2 S In effetti, esiste x0 tale che ηx0 = 0 e che tutti i vettori 1 xn = √ η ∗n x0 n siano in S(R). Per vederlo dobbiamo risolvere l’equazione 1 i √ (p − iq)x0 = 0 =⇒ − √ (x00 (s) + sx0 (s)) = 0 2 2 cioè x00 + sx0 = 0, che effettivamente ammette soluzioni x0 (s) = ce− 2 s ∈ L2 (R) 1 2 Normalizzando queste soluzioni, ponendo cioè c = (2π)− 2 abbiamo che x0 ∈S(R), come pure a decrescenza rapida è la funzione µ ¶n 1 √ (p + iq) x0 i 2 1 dato che possiamo scrivere µ ¶n 1 √ (p + iq) x0 (s) = Hn (s)x0 (s) i 2 per opportuni polinomi Hn : incidentalmente questi polinomi sono esattamente i polinomi di Hermite che avevamo incontrato nel capitolo ?? (a pagina 270) nella costruzione di un sistema ortonormale per L2 (R) (nel quale, per giunta, la trasformata di Fourier era in forma diagonale). Abbiamo in questo modo diagonalizzato l’operatore 12 (p2 + q 2 ) che risulta quindi essenzialmente autoaggiunto. Capitolo 19 SECONDA QUANTIZZAZIONE In questo capitolo proviamo ad estendere la teoria del precedente al caso di sistemi con infiniti gradi di libertà: come vedremo la teoria non è più canonica, ma potremo comunque stabilire delle notevoli generalizzazioni che ci consentiranno di costruire lo spazio di Fock, dando cosı̀ un esempio di modello per la teoria dei campi (seppure in un caso semplicissimo: il campo libero). 19.1 Prodotti tensoriali e limiti induttivi. Introduciamo qui alcune nozioni necessarie per trattare la generalizzazione a sistemi con infiniti gradi di libertà della teoria svolta in precedenza, ed in particolare il concetto di prodotto tensoriale di spazi di Hilbert, che consente di formalizzare la nozione di indipendenza fra sistemi quantistici. Consideriamo due spazi di Hilbert H e K e costruiamone il prodotto tensoriale algebrico H £ K nel modo usuale; possiamo rendere questo prodotto tensoriale uno spazio pre-hilbertiano definendo il prodotto X X X ( xi £ xi , x0i £ yi0 ) := (xi x0j )H (yi , yj0 )K i i i,j Definiamo ora H ⊗ K semplicemente come il completamento di H £ K rispetto a questo prodotto1 . Consideriamo ora z ∈ H ⊗ K e due basi ortonormali {eα } di H e {fβ } di K. Per definizione (precisamente per la proprietà universale) {eα ⊗ fβ } è una base ortonormale di H ⊗ K e, per ogni x ∈ H e y ∈ K, fz (x, y) := (z, x ⊗ y) 1 b In genere si denota con V ⊗ W il prodotto tensoriale algebrico e con V ⊗W quello hilbertiano: per non confonderci, qui usiamo una notazione diversa. 694 19.1. Prodotti tensoriali e limiti induttivi. 695 è una forma bilineare tale che X |f (eα , fβ )|2 < ∞ α,β La fz si dice forma di Hilbert–Schmidt e, come ci si può aspettare: 19.1.1 Proposizione H ⊗ K ∼ = {fz | fz forma di HS} Possiamo dare anche un’altra realizzazione dello spazio H ⊗ K considerando la forma sesquilineare g(x, y) := (z, x ⊗ y) e l’operatore T : K −→ H (lineare e continuo) ad essa associato tale che (z, x ⊗ y) = (x, T y) e che tr T ∗ T = X X X (fβ , T ∗ T fβ ) = ||T fβ ||2 = |(eα , T eβ )|2 < ∞ β β α,β (usando la norma degli operatori nucleari). Possiamo quindi identificare H ⊗ K con lo spazio degli operatori di Hilbert– Schmidt T : K −→ H con tr Tz∗ Tz0 = (z, z 0 ) Si riduce ad una semplice osservazione la seguente 19.1.2 Proposizione Se H e K sono spazi di Hilbert e K = M ⊕ N allora H⊗K ∼ = (H ⊗ M ) ⊕ (H ⊗ N ) Naturalmente possiamo generalizzare L al caso in cui K sia somma di una famiglia di sottospazi di Hilbert: K = α Nα ; in questo caso otteniamo M H⊗K ∼ H ⊗ Nα = α Ad esempio, se {eα } è una base ortonormale di K e Nα = C allora M H⊗K ∼ H = α∈A (dato che i prodotti tensoriali sono presi sui complessi V ⊗C ∼ = V ), ove Card A = dim K. 696 Capitolo 19. Seconda quantizzazione Ora rammentiamo che B(H) è un’algebra di von Neumann il cui preduale M = B(H)∗ è lo spazio delle funzioni lineari ultra-debolmente continue su B(H) e tale che X ∀f ∈ M (f, A) = (xi , Ayi ) con P i ||xi || < ∞ e 2 P i i ||yi || < ∞; cioè x, y ∈ 2 L He (f, A) = (x, π(A)y) ove π(A)(⊕xi ) = ⊕Axi . Possiamo quindi osservare che H ⊕ H ⊕ ··· ∼ =H⊗K ove K è uno spazio di Hilbert separabile (l2 (N) ad esempio) e π(A) si ottiene come prodotto tensoriale di operatori, che viene definito nel modo seguente: se H e K sono spazi di Hilbert con A ∈ B(H) e B ∈ B(K) allora possiamo definire l’operatore A ⊗ B ∈ B(H ⊗ K) come A ⊗ B(x ⊗ y) = Ax ⊗ By per ogni x∈Ch e y ∈K (questa definizione è ben posta per la proprietà universale del prodotto tensoriale), in modo che ||A ⊗ B|| = ||A|| · ||B|| Ovviamente esistono due immersioni isometriche B(H) −→ B(H ⊗ K) A 7−→ A ⊗ I B(K) −→ B(H ⊗ K) B 7−→ I ⊗ B Effettivamente sussiste il seguente teorema di von Neumann e Murray: (B(H) ⊗ I)0 = I ⊗ B(H) (I ⊗ B(K))0 = B(K) ⊗ I Torniamo ora al caso precedente: avevamo dim K = ℵ0 , ed una base ortonormale (en ) di K in modo che X M H⊗K = H ⊗ en C ∼ H = n∈N n∈N L il che induce la decomposizione A ⊗ I ∼ = n A e quindi π(A) ∼ =A⊗I sicché (f, A) = (z, A ⊗ Iz 0 ) Si osservi che in generale, se π1 e π2 sono rappresentazioni di una C*-algebra allora π1 ≈ π2 se e solo se π1 ⊗ I ∼ = π2 ⊗ I. 19.1. Prodotti tensoriali e limiti induttivi. 697 Richiamiamo ora brevemente la nozione di limite induttivo di spazi vettoriali (si tratta in realtà di una nozione che si estende a categorie più generali di oggetti: anelli, gruppi, &c.): consideriamo una successione {Xn } di spazi vettoriali ed una successione fmn : Xm −→ Xn di applicazioni lineari definite per m ≤ n in modo che • fnn : Xn −→ Xn sia l’applicazione identica; • se m ≤ n e l ≤ m allora fln = fmn ◦ flm . Si dice che le successioni {Xn } e {fmn } formano un sistema induttivo (o sistema diretto); partendo da un sistema induttivo, possiamo costruire un nuovo spazio vettoriale X nel modo seguente: consideriamo la somma diretta S= M Xn n∈N Ovviamente ciascun Xn si identifica ad un sottospazio di S, e possiamo considerare il sottospazio T di S generato dagli elementi della forma xm − fmn (xm ) Allora si pone X := S/T ; in questo modo, X è una somma diretta degli spazi {Xn } nei quali però gli elementi di indice abbastanza grande sono identificati fra loro. Evidentemente, le inclusioni Xn ⊂ S e la proiezione S −→ X = S/T si compongono a fornire le applicazioni lineari fn : Xn −→ X Per la (2) si ha ovviamente che, se m ≤ n: (3) fm = fn ◦ fmn Si scrive X = lim Xn −→ n∈N e si dice che X è il limite induttivo del sistema induttivo dato. Il tratto fondamentale dei limiti induttivi è la seguente proprietà universale, che li caratterizza: 698 Capitolo 19. Seconda quantizzazione 19.1.3 Lemma Ogni elemento x ∈ X si esprime nella forma fn (xn ) per qualche n ∈ N e xn ∈ Xn . Dimostrazione: Supponiamo che x∈X; allora, per costruzione, x è della forma s = xi1 + · · · + xik ove xij ∈ Xij tenendo conto che xij = fij n (xij ) se ij ≤ n. Allora, per n = max(i1 , ..., ik ) otteniamo che xi1 + · · · + xik = fi1 n (xi1 ) + · · · + fik n (xik che è un elemento di Xn , chiamiamolo yn ; quindi, per la (3): fn (yn ) = fn (fi1 n (xi1 ) + · · · + fik n (xik )) = fn ◦ fi1 n (xi1 ) + · · · + fn ◦ fik n (xik ) = fi1 (xi1 ) + · · · + fi1 (xik ) = xi1 + · · · + xik = x cioè x = fn (yn ) con yn ∈ Xn , come volevamo. qed 19.1.4 Teorema Se ({Xn }, {fmn }) è un sistema induttivo e se Y è uno spazio vettoriale tale che esista una successione di applicazioni lineari {gn : Xi −→ Y } tali che ∀m ≤ n gm = gn ◦ fmn allora esiste un’unica applicazione lineare g : X −→ Y tale che ∀n ∈ N gn = g ◦ fn Viceversa un insieme X che soddisfa questa proprietà è isomorfo a lim Xn . −→ n Dimostrazione: Supponiamo che X = lim Xn : dimostriamo che vale la pro−→ n prietà universale; per il lemma, possiamo immediatamente esibire la funzione g: g(x) = gn (xn ) ove x = fn (xn ) per il lemma. Allora gn = g ◦ fn per definizione. Il viceversa è ovvio: se un insieme soddisfa alla proprietà universale del limite induttivo, per Y = lim Xn otteniamo una mappa h : X −→ lim Xn che inverte −→ n −→ n la g : lim Xn −→ X, che viene quindi ad essere un isomorfismo. −→ n qed 19.1. Prodotti tensoriali e limiti induttivi. 699 19.1.5 Esempio Se consideriamo una successione di sottospazi {Xn } di uno spazio vettoriale X fissato tali che se m ≤ n allora Xm ⊂ Xn , il limite induttivo di questa successione (rispetto alle inclusioni fmn : Xm ,→ Xn ) è la somma di tutti i sottospazi {Xn }, vale a dire lo spazio da essi generato. Una interessante proprietà dei limiti induttivi è il loro comportamento rispetto ai prodotti tensoriali: consideriamo un sistema diretto ({Xn }, {fmn }) di spazi vettoriali ed uno spazio vettoriale Y : è immediato che ({Xn ⊗ Y }, {fmn ⊗ I}) è un sistema diretto. 19.1.6 Teorema Ha luogo l’isomorfismo di spazi vettoriali   lim(Xn ⊗ Y ) = lim Xn  ⊗ Y −→ n∈N −→ n∈N Dimostrazione: Siano X = lim Xn −→ n∈N W = lim(Xn ⊗ Y ) −→ n∈N Per la proprietà universale otteniamo un unico operatore lineare g : W −→ X ⊗ Y ove le mappe gn sono le fn ⊗ I; si tratta di dimostrare che g è un isomorfismo. Per farlo usiamo la proprietà universale dei prodotti tensoriali, dimostrando cioè W la soddisfa ed è quindi isomorfo a X ⊗ Y : consideriamo quindi le funzioni bilineari hn : Xn × Y −→ Xn ⊗ Y date dalla definizione di prodotto tensoriale (gn (xn , y) = xn ⊗ y). Possiamo, per mezzo di esse, definire la funzione lineare h : X × Y −→ W come h(x ⊗ y) = hn (xn ⊗ y) ove x = fn (xn ) per il lemma precedente. La funzione h è bilineare perché lo sono le hn e dato che le fn sono lineari; quindi la proprietà universale del prodotto tensoriale implica l’esistenza di una mappa lineare k : X ⊗ Y −→ W Di nuovo usando il lemma si ottiene che g e k sono l’una l’inversa dell’altra. qed Vogliamo ora approfondire il significato fisico del prodotto tensoriale. 700 Capitolo 19. Seconda quantizzazione Consideriamo una successione {Hn } di spazi di Hilbert ed una successione {Ωn } di vettori in essi (Ωn ∈ Xn ) con ||Ωn || = 1; possiamo definire, per x ∈ H1 ⊗ · · · ⊗ Hm fmn := x ⊗ Ωm+1 ⊗ · · · ⊗ Ωn Si verifica immediatamente che queste mappe e la successione {Hn } definiscono un sistema diretto del quale possiamo considerare il limite induttivo H = lim H1 ⊗ · · · ⊗ Hn −→ n∈N che è uno spazio prehilbertiano rispetto al prodotto scalare (x, y) = (x ⊗ Ωn+1 ⊗ · · · , y ⊗ Ωm+1 ⊗ · · · ) e del quale possiamo considerare il completamento {Ωn } O Hn n∈N 19.1.7 Proposizione Se, per ogni n ∈ N, xn ∈ Hn e se la successione Φn := x1 ⊗ · · · ⊗ xn ⊗ Ωn+1 ⊗ · · · è di Cauchy allora il suo limite è l’elemento x1 ⊗ x2 ⊗ · · · ∈ N{Ωn } n∈N Hn . Dimostrazione: Sia Φ il limite della Φn e poniamo Ω := Ω1 ⊗ Ω2 ⊗ · · · Allora lim (Φn , Ω) = (Φ, Ω) n−→∞ Q cioè il prodotto n (xn , Ωn ) tende a (Φ, Ω). Ora usiamo il seguente lemma (che non dimostreremo) di von Neumann: se zα sono vettori non nulli negli spazi di Hilbert Hα allora Y X zα = z 6= 0 ⇐⇒ |1 − zα | < ∞ α α 701 19.1. Prodotti tensoriali e limiti induttivi. P Nel nostro caso troviamo che n |1 − (xi , Ωi )| < ∞ e, viceversa, che se vale questa condizione allora la successione {Φn } è di Cauchy. Infatti ||Φn − Φm ||2 = ||xm+1 ⊗ · · · ⊗ xn − Ωm+1 ⊗ · · · ⊗ Ωn ||2 n ¯¯ X ¯¯ Ωm+1 ⊗ · · · ⊗ Ωm+i ⊗ (xm+i+1 − Ωm+i+1 ) ⊗ xm+i+2 ⊗ = ¯¯ i=m+1 ¯¯2 ¯¯ ⊗ · · · ⊗ xn ¯ ¯ ≤ n X ||xi − Ωi ||2 + i=m+1 ≤ X 2|1 − ci | + X X Y m+j+1 (1 − cm+i )(cm+j − 1) i<j ck k=m+i+1 |1 − cm+j | · |cm+j − 1| < ε + ε2 i<j ove ci := (Ωi , xi ), e tenendo conto che (xk − Ωk , xk ) = 1 − (Ωk , xk ), |ci | ≤ 1 (per l’ipotesi ||xi || = 1) e che X X X X ( zj , zi ) = ||zi ||2 + Re (zi , zj ) j i i i<j e ||yi − Ωi ||2 = 2 − 2 Re(ci ) ≤ 2|1 − ci | qed Spieghiamo ora la rilevanza fisica di questi concetti: consideriamo due sistemi quantistici S e S 0 totalmente indipendenti, Q e Q0 delle questioni (cfr. 17.1) relative a questi sistemi e ω, ω 0 stati di S e S 0 ; allora ω(Q) esprime la probabilità di trovare la proprietà Q nello stato ω, e quindi la probabilità che nel sistema congiunto formato da S e S 0 le Q e Q0 siano simultaneamente verificate nei rispettivi stati è ω(Q)ω 0 (Q0 ) Ad esempio, se gli stati sono puri, avremo che ω(Q) = (ξ, Qξ) , ω 0 (Q0 ) = (ξ 0 , Q0 ξ 0 ) Se consideriamo H ⊗ H0 , gli stati puri corrispondono agli elementi ξ ⊗ ξ 0 e (ξ ⊗ ξ 0 , Q ⊗ Q0 (ξ ⊗ ξ 0 )) = ω(Q)ω 0 (Q0 ) Se il sistema si evolve nel tempo come U (t) = eiHt , U 0 (t) = eitH 0 702 Capitolo 19. Seconda quantizzazione allora, sempre nell’ipotesi dell’indipendenza dei due sistemi, nel sistema congiunto abbiamo e (t)(ξ ⊗ ξ 0 ) = U (t)ξ ⊗ U 0 (t)ξ 0 U cioè e(t) = U (t) ⊗ U 0 (t) Il generatore di questo gruppo è µ ¶ 1 d e e H= U (t) = H ⊗ I + I ⊗ H0 i dt t=0 (formula di Leibniz). Più in generale, se esiste un’interazione fra i sistemi S e S 0 , il sistema congiunto è ancora descritto da H ⊗ H0 ma l’evoluzione temporale subisce una perturbazione K = H ⊗ I + I ⊗ H0 + V Ricordiamo che nel nostro approccio ai fenomeni quantistici abbiamo modellizzato il sistema microscopico S scindendo il processo di misura (concretamente: lo strumento stesso di misura) in una parte microscopica A ed una macroscopica M : dobbiamo allora immaginare S e A come sistemi da comporre per tenere conto dell’influenza del processo di misura stesso sul fenomeno da misurare. Se prima della misura lo stato del sistema è ω, dopo la misura di una questione E = E ∗ E lo stato è ancora ω se ω(E) = 1 o ω(I − E) = 1; se lo stato ω, dopo il processo di misurazione, è tale che ω(E) 6= 1, 0 allora si ha un miscuglio statistico ω(E)ω1 + ω(I − E)ω0 Gli stati ω0 , ω1 sono determinati come segue: diagonalizziamo per mezzo di un autoaggiunto A dell’algebra degli osservabili PE : A 7−→ ESE + (I − E)A(I − E) e consideriamo ω 0 (A) = ω(EAE) + ω((I − E)A(I − E)) Allora ω1 (A) = ω(EAE) ω(E) ω0 (A) = ω((I − E)A(I − E)) ω(I − E) Una evoluzione temporale ω 7−→ ω ◦ αt manda stati puri in stati puri e la misura ω 7−→ ω(E)ω1 + ω(I − E)ω0 703 19.2. Rappresentazione di Fock manda stati puri in miscugli statistici: si presentano in questo modo diversi fenomeni (riduzione del pacchetto d’onda, paradosso di Podolskij–Einstein–Rosen, gatto di Schrödinger...). Una spiegazione di questa situazione, seguendo von Neumann, procede come segue: supponiamo che, prima della misura, S sia nello stato x0 e A in ψ0 , sicché il sistema composto sia nello stato x0 ⊗ ψ0 ; dopo una interazione di lunghezza T abbiamo U (T ) = U operatore unitario che trasforma x0 ⊗ ψ0 in un nuovo stato U (x0 ⊗ ψ0 ) = Ex0 ⊗ ψ1 + (I − E)x0 ⊗ ψ2 ove le ψi sono tali che (ψ1 , ψ2 ) = 0 ||ψi || = 1 L’osservazione di von Neumann è che ciò descrive il processo di misura, dato che ogni stato di B(H) si scrive ω(A) = tr(T A) = (z, A ⊗ Iz) per un opportuno vettore z di norma 1. Dunque lo stato è restrizione a B(H) di uno stato puro di B(H ⊗ K), e (U x0 ⊗ ξ0 , A ⊗ I(U x0 ⊗ ξ0 )) = (Ex0 , AEx0 ) + ω((I − E)A(I − E)) + 0 dove 0 sono i termini non diagonali: (ψ1 , ψ2 ) = 0), il che spiega perché ω 7−→ ωαg porti stati puri in stati puri mentre ω 7−→ ω(E)ω1 + ω(I − E)ω2 porti stati puri in miscugli statistici. 19.2 Rappresentazione di Fock Consideriamo qui sistemi con infiniti gradi di libertà: vogliamo per prima cosa scrivere in questo caso le relazioni di Weyl: 0 W (z)W (z 0 ) = eiσ(z,z ) W (z + z 0 ) ove σ(z, z 0 ) = 12 Im(z, z 0 ). Nel caso di infiniti gradi di libertà, le variabili z non varieranno più in uno spazio di dimensione finita Cn , ma in uno spazio vettoriale topologico X qualsiasi; possiamo in ogni caso considerare una forma simplettica fortemente non degenere σ su X ed il gruppo di Heisenberg HX = X o R 704 Capitolo 19. Seconda quantizzazione degli elementi (z, λ) ∈ X × R col prodotto (z, λ)(z 0 , λ0 ) = (z + z 0 , λ + λ0 + σ(z, z 0 )) Naturalmente HX è localmente compatto se e solo se dim X < ∞, nel qual caso si tratta del gruppo di Heisenberg Hdim X . Non possiamo quindi applicare a HX gran che della teoria dei gruppi topologici, che dipendeva in massima parte dall’integrale di Haar (che esiste solo nel caso localmente compatto): ad esempio la teoria delle rappresentazioni non si può dare come nel caso dei gruppi localmente compatti, per i quali l’abbiamo in larga misura desunta dalla teoria delle rappresentazioni delle C*-algebre associate; un ponte fra le due teorie è il teorema di Bochner, la cui validità è del tutto generale, e che ricordiamo qui di seguito: Definizione. Una funzione ϕ : G −→ C si dice di tipo positivo se ϕ(e) = 1 e, per ogni f : G −→ C a supporto finito: X f (g)f (h)ϕ(g −1 h) ≥ 0 g,h∈G Se G è un gruppo topologico qualsiasi e U una rappresentazione (fortemente continua) di G che possieda un vettore ciclico ξ, allora la funzione ϕ(g) = (ξ, U (g)ξ) è una funzione (continua) di tipo positivo: sappiamo che vale anche il viceversa: Teorema. ϕ è una funzione di tipo positivo su G se e solo se esiste una rappresentazione unitaria U : G −→ U(H) tale che ϕ(g) = (ξ, U (g)ξ) ove ξ ∈ H è un vettore ciclico per U con ||ξ|| = 1. Inoltre ϕ è continua se e solo se U è fortemente continua. Ricordiamo come possiamo associare ad una funzione di tipo positivo una rappresentazione: data ϕ consideriamo lo spazio vettoriale delle funzioni a supporto finito con la forma sesquilineare X hp, qi := p(g)q(h)ϕ(g −1 h) g,h∈G Ovviamente hp, pi ≥ 0 e, quozientando per il sottospazio delle funzioni p tali che hp, pi = 0 e completando si ottiene uno spazio di Hilbert H sul quale gli operatori U (g)[p] := [pg ] 705 19.2. Rappresentazione di Fock (con [p] si indica la classe in H della funzione a supporto finito p) definiscono la rappresentazione unitaria richiesta. Se ϕ è continua allora U è fortemente continua: g−→e ||U (g)U (h)ξ − U (h)ξ||2 −−−→ 0 Infatti, se ϕ −→ 1 per g −→ e: ||U (g)U (h)ξ − U (h)ξ|| =2 − 2 Re(U (h)ξ, U (gh)ξ) = 2 − 2 Re(ξ, U (h−1 gh)ξ) g−→e =2 − 2 Re ϕ(h−1 gh) −−−→ 0 g−→e (dato che h−1 gh −−−→ e). qed Ispirati da questo risultato, proviamo a cercare delle funzioni di tipo positivo nel caso del gruppo di Heisenberg HX . Supponiamo ad esempio che, come nel caso di un numero finito di gradi di libertà, X sia uno spazio pre-hilbertiano, con prodotto scalare (.) e quindi definiamo 1 σ(z, z 0 ) = Im(z, z 0 ) 2 Evidentemente la funzione ϕ : HX −→ R (†) ϕ(z, λ) := eiλ e− 4 ||z|| 1 2 è di tipo positivo, oltre che continua nella topologia di HX prodotto della topologia di R con la topologia su X indotta dalla seminorma ||.||. 19.2.1 Definizione La rappresentazione unitaria fortemente continua U associata alla funzione di tipo positivo (†) si dice rappresentazione di Fock. Notiamo che se X è uno spazio vettoriale e σ una forma simplettica su X e U(z, λ) = eiλ U(z, 0) = eiλ W (z) vogliamo che questa rappresentazione unitaria possegga almeno la proprietà di continuità seguente: per ogni fissato z ∈ X, la funzione λ 7−→ W (λz) è fortemente continua. In questo caso infatti, possiamo usare il teorema di Stone 14.3.6 per dedurre che W (λz) = eiλΦ(z) . 706 Capitolo 19. Seconda quantizzazione 19.2.2 Teorema La rappresentazione di Fock esiste, è fortemente continua ed irriducibile. Dimostrazione: Dimostriamo che la ϕ definita in (†) è una funzione continua di tipo positivo, il che ci darà la prima parte del teorema. Se g1 , ..., gn ∈ HX sono elementi della forma gi = (zi , λi ) allora zk sta in un sottospazio Xk di dimensione finita di X e, dato che X è pre-hilbertiano, Xk è isomorfo ad uno spazio di Hilbert Cnk ; in questi spazi la X cj ch ϕ(gj−1 gh ) ≥ 0 j,h è soddisfatta, dato che la ϕ è di tipo positivo in Cnk . Dimostriamo ora che la rappresentazione di Fock associata alla funzione ϕ è irriducibile. Sia (WF , ΩF ) la rappresentazione ciclica delle relazioni di Weyl associata a σ(z, z 0 ) = 12 Im(z, z 0 ) e determinata dalla ϕ; possiamo allora considerare la C*-algebra A ottenuta chiudendo in norma la *-algebra generata dagli operatori della rappresentazione WF , cioè la chiusura in norma del sottospazio vettoriale generato da WF (z) per z ∈ X: vogliamo dimostrare che A è irriducibile, nel senso che lo stato definito da ΩF è uno stato puro. (0) Possiamo approssimare A come la chiusura An dei sottospazi An generati da WF (z) (z ∈ Xn ): [ [ 0) A= An = An (∗) n n ove la corrispondenza n 7−→ An conserva l’ordine (n < m implica An ⊂ Am ). Se ω ∈ S(A) è uno stato tale che ω|An è puro allora ω è puro in A, dato che, scrivendo ω = αω1 + βω2 si trova ω|An = αω1 |An + βω2 |An e quindi, per purezza si ω|An , ω1 − ω2 è nullo su An per ogni n, sicché ω è puro, per la (*). Quindi à ! X X 1 2 ω cj WF (zj ) = cj e− 4 ||zj || j j Se prendiamo zj ∈ Xn allora, se ΩS è la rappresentazione di Schrödinger, e Xn è identificato a Cn per mezzo dell’isomorfismo unitario V , si ha (per la (*)): ωn := ω|An = (ΩSdim Xn , WS (VZ )ΩSdim Xn ) = e− 4 ||V z|| = e− 4 ||z|| 1 2 1 2 L’irriducibilità della rappresentazione di Schrödinger implica allora la purezza dello stato ω. qed 707 19.2. Rappresentazione di Fock Abbiamo quindi determinato, con la rappresentazione di Fock, una rappresentazione irriducibile fortemente continua delle relazioni di Weyl: 0 WF (x)WF (x0 ) = eiσ(x,x ) WF (x + x0 ) e è il completamento di X la forte continuità di WF ci Osserviamo che se H = X dice che per ogni x ∈ H, per ogni successione (xn ) in X convergente a x si ha lim WF (xn ) = WF (x) n∈N Ma {WF (x)}x∈X · ΩF è un sottospazio la cui chiusura è una rappresentazione ciclica delle relazioni di Weyl: questa chiusura è {WF (x)}x∈X · ΩF = {Sottosp. vett. generato da WF (x)}x∈H · ΩF (per la forte continuità); in altri termini possiamo tranquillamente considerare H in luogo di X. Ci riferiremo quindi anche a Γ(H) = Γ(X) come allo spazio di Fock. Vogliamo ora discutere la covarianza della rappresentazione di Fock , ovvero la sua funtorialità. Consideriamo quindi un operatore unitario U ∈ U(H): allora2 e− 4 ||x|| = e− 4 ||U x|| 1 1 2 2 e definiamo (∗) Γ(U )WF (x)ΩF = WF (Ux )ΩF Intanto mostriamo che la posizione (*) ha senso: basta evidentemente ragionare sul sottospazio denso di H: l’operatore à ! X X Γ(U ) ai WF (xi )ΩF = ai WF (xi )ΩF i i esiste ed è isometrico. La funzione U 7−→ Γ(U ) α Si rammenti che se A è una C*-algebra e G − → Aut(A) e ω ∈ S(A) allora per ogni g ∈ G tale che ω ◦ αg = ω, se πω è la GNS, la rappresentazione (πω , Uω ) è covariante: 2 ∀A ∈ A Uω (g)πω (A)ξω = πω (αg (A))ξω 708 Capitolo 19. Seconda quantizzazione è una rappresentazione del gruppo unitario U(H): Γ(U )Γ(U 0 ) = Γ(U U 0 ) precisamente una rappresentazione unitaria fortemente continua da U(H) munito della topologia forte a U(Γ(H)) pure topologizzato con la topologia forte. fortemente Nuovamente ragionando sul sottoinsieme denso troviamo che, se Uα −−−−−−→ U allora fortemente Γ(Uα )WF (x)ΩF −−−−−−→ Γ(U )WF (x)ΩF Questo, ed il fatto che WF (Uα x)ΩF −→ WF (U x)ΩF ci permettono di concludere che 19.2.3 Teorema Γ è un funtore, la rappresentazione di Fock è irriducibile, fortemente continua e Γ(C) = L2 (R, ds). Vale inoltre la seguente “proprietà esponenziale” del funtore Γ: Γ(H1 ⊕ H2 ) = Γ(H1 ) ⊗ Γ(H2 ) Si tratta di chiedersi se esista un operatore unitario V tale che (2) (2) (1) (1) V WF (x ⊕ y)ΩF := WF (x)ΩF ⊗ WF (y)ΩF Intanto osserviamo che, se un tale V esiste, allora (†) 0 0 0 0 (WF (x ⊕ y)ΩF , WF (x0 ⊕ y 0 )ΩF ) = e−iσ(x⊕y,x ⊕y ) e− 4 ||x ⊕y −x⊕y|| 1 2 Infatti: (WF (x0 )ΩF ⊗ WF (y 0 )ΩF , WF (x)ΩF ⊗ WF (y)ΩF ) = (1) (1) 0 0 0 (2) (2) (1) (1) (2) (2) 0 =e−iσ(x,x ) e− 4 ||x −x|| e−iσ(y,y ) e− 4 ||y −y|| ‡) 1 2 1 2 (() (la forma simplettica σ è la parte immaginaria del prodotto hilbertiano, quindi i secondi membri della (†) e (‡) sono uguali). Quindi l’operatore V effettivamente esiste ed è tale che V : Γ(H) −→ Γ(H1 ) ⊗ Γ(H2 ) con V WF (x ⊕ y) = WF (x) ⊕ WF (y)V il che dimostra la prima parte del seguente 709 19.2. Rappresentazione di Fock 19.2.4 Teorema Γ(H ⊕ K) = Γ(H) ⊗ Γ(K) e, più in generale: Γ Ã M ! Hα (n) {ΩF } O = Γ(Hα )) α α Dimostrazione: Per definizione x ∈ H ⇐⇒ x = X ||x||2 = ||xn ||2 P∞ n=1 xn con n La definizione di V si legge allora come ! Ã∞ ∞ X O (n) (n) xn Ω F = WF (xn )ΩF V WF n=1 Ora ricordiamo che (WF (xn )ΩF , ΩF ) = e− 4 ||xn || (n) e quindi che, se (∗) n=1 1 (n) (n) 2 ¯ X ¯¯ 1 2¯ ¯1 − e− 4 ||xn || ¯ < ∞ n (si tratta della condizione affinché il prodotto tensoriale di infiniti termini sia definito) allora possiamo definire V come nel caso di n = 2: in effetti la (*) è verificata, dato che ∀λ ≥ 0 1 − e−λ ≤ λ e quindi possiamo scrivere X X P P 0 P 0 2 1 P (WF ( xn )ΩF , WF ( xn )ΩF ) = e−iσ( n xn , n xn ) e− 4 || n xn − n xn || n n P 0 P 0 = e−i n σ(xn ,xn ) e− 4 n ||xn −xn || Y 1 0 2 0 = eiσ(xn ,xn ) e− 4 ||xn −xn || 1 2 n Y (n) (n) (n) (n) = (WF (xn )ΩF , WF (x0n )ΩF ) n Possiamo cioè definire V come V WF (x) = ∞ O (n) {ΩF } (n) WF (xn )V n=1 qed 710 Capitolo 19. Seconda quantizzazione 19.2.5 Esempio • Nel caso H = C si ha Γ(C) = L2 (R, ds) e W (z) = ei(αq+βp) , ove z = α + iβ e q, p sono gli operatori della rappresentazione di Schrödinger. • Se H è uno spazio di Hilbert separabile con base ortonormale {en } allora ∞ M en C H= n=1 e quindi Γ(H) = ∞ O {ΩF } L2 (R, ds) n=1 ove ΩF = Ω0 è lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico e ∞ Y W (x) = ei(αn q+βn p) n=1 ove αn + iβn = (en , x): in altri termini Γ(H) descrive nel caso separabile assemblee di oscillatori armonici. 19.3 Caratterizzazioni della rappresentazione di Fock Cominciamo con l’osservare che, se U ∈ U(H) allora Γ(U ) ∈ U(Γ(H)) e Γ(U )WF (x)Γ(U )−1 = WF (U x) e L∞ Quindi, se U Hi = Hi allora U = i=1 Ui e ∞ O V Γ(U ) = Γ(Ui )V Γ(U )ΩF = ΩF i=1 Vogliamo ora considerare una “versione infinitesimale” del funtore Γ: consideriamo U (t) = eiAt U è fortemente continuo in t e quindi anche Γ(U (t)) lo è (rispetto alla topologia forte degli operatori), sicché Γ(U (t)) = Γ(eiAt ) = eidΓ(A)t ove, per il teorema di Stone 14.3.6, dΓ(A) esiste ed è unico: si tratta di una rappresentazione di algebre di Lie. Se consideriamo U (t) = eit I allora dΓ(I) è autoaggiunto ma non limitato, ed è il numero delle particelle N ; si noti che eiN t WF (x)e−iN t = WF (eit x) e che 19.3. Caratterizzazioni della rappresentazione di Fock 711 19.3.1 Lemma N ΩF = 0 L Si noti in generale che, se H = i Hi allora ∞ O iλ Γ(e ) = Γ(n) (eiλ ) n=1 Ora, sia A = L n An , quindi eiAt = L eiAn t sicché n (n) {ΩF } Γ(eiAt ) = M Γ(n) (eiAn t ) n e dΓ(A) = ∞ X Bn n=1 ove Bn = I ⊗ I ⊗ · · · ⊗ I ⊗ dΓ(An ) ⊗ I ⊗ · · · ed il fattore chePnon è l’identità si trova al posto n-simo; osserviamo inoltre che dΓ(I) = N = i Ni ove Ni è dΓ(1) (l’elemento 1 ∈ C) nel fattore n-simo e 1 altrove e dove, tenendo conto che dΓ(1)Ωn = nΩn si ha 1 2 (p + q 2 − I) 2 Ricordiamo ora che, se z = α + iβ, α, β ∈ Rn e dΓ(1) = η ∗ η = eiΦ(z) := ei((α,q)+(β,p)) = W (z) le relazioni di Weyl 0 W (z)W (z 0 ) = eiσ(z,z ) W (z + z 0 ) implicano la regola di commutazione [Φ(z), Φ(z 0 )] ⊂ 2iσ(z, z 0 )I (dato che z 7−→ Φ(z) è R-lineare scriviamo z = α + iβ e z 0 = α0 + iβ 0 ed usiamo la relazione di Heisenberg). Questo vale anche in infiniti gradi di libertà, considerando z ∈ X (spazio prehilbertiano) e, per ogni z ∈ X, la mappa λ 7−→ W (λz) 712 Capitolo 19. Seconda quantizzazione fortemente continua. Per il teorema di Stone 14.3.6: W (λz) = eiλΦ(z) ove Φ(z) è autoaggiunto e quindi W (z) = eiΦ(z) Se X 0 è un sottospazio di X di dimensione finita, WX 0 è fortemente continua e quindi, pensando z, z 0 ∈ X 0 ⊂ X abbiamo che [Φ(z), Φ(z 0 )] ⊂ 2iσ(z, z 0 )I Rammentiamo che, nel caso di un grado di libertà: Φ(z) = αq + βp e si avevano gli operatori di creazione e distruzione 1 η = √ (p − iq) 2 Vogliamo imitare questa costruzione nel caso di infiniti gradi di libertà. Cominciamo con l’osservare che p = Φ(i) e q = Φ(1), sicché la relazione precedente diviene 1 η = √ (Φ(i) − Φ(1)) 2 Scriviamo 1 a(z) := √ (Φ(iz) − iΦ(z)) 2 ed osserviamo che (antilinearità di z 7−→ a(z)). 1 i a(iz) = √ (−Φ(z) − iΦ(iz)) = − √ (Φ(iz) − iΦ(z)) = −ia(z) 2 2 Ma allora 1 √ (Φ(iz) + iΦ(z)) ⊂ a(z)∗ 2 sicché [a(z), a(z 0 )] ⊂ 0 e [a(z), a(z 0 )∗ ] ⊂ (z, z 0 )I (ove (z, z 0 ) è il prodotto scalare in X) rammentando z, z 0 ∈ X 0 sottospazio finitodimensionale di X e la relazione per Φ. 19.3. Caratterizzazioni della rappresentazione di Fock 713 La rappresentazione di Fock possiede il vettore ciclico ΩF , il livello fondamentale dell’oscillatore armonico: ηΩF = 0, e si ha in questo caso ∀z ∈ H a(z)ΩF = 0 Si noti che ΩF è nell’intersezione dei domini di a e a∗ , e che a(z1 )∗ · · · a(zn )∗ ΩF è un vettore analitico intero per Φ(z) (si ricordi che η ∗n ΩF sono i vettori di stato per i livelli eccitati dell’oscillatore armonico). La dimostrazione di questo fatto procede come nel caso di un grado di libertà. Sia A l’algebra generata dai polinomi negli operatori {Φ(z)}z∈H che applicati a ΩF diano vettori analitici; dato che {WF (z)ΩF }z∈H è totale e che (teorema di Stone 14.3.6 ed analiticità di ΩF ) iΦ(z) WF (z)ΩF = e ΩF = ∞ n X i n=0 n! Φ(z)n ΩF gli elementi di A applicati a ΩF sono uno spazio denso, cioè A possiede ΩF come vettore ciclico, dato che la chiusura di tale algebra applicata a ΩF contiene un sottoinsieme totale. Osserviamo inoltre che ( ) Y a# (zi )ΩF {zi }∈{Sottoinsiemi finiti di H} i è totale, ove a# rappresenta a oppure a∗ ; infatti nella stringa a# a# · · · possiamo eliminare gli a, dato che a# (z1 ) · · · a# (zn−2 )a(zn−1 )a(zn )∗ ΩF =a# (z1 ) · · · a# (zn−2 )[a(zn−1 ), a(zn )∗ ]ΩF + +a# (z1 ) · · · a# (zn−2 )a(zn )∗ a(zn−1 )ΩF Ora consideriamo il vettore vn(z) := a(z1 )∗ · · · a(zn )∗ ΩF Allora 714 Capitolo 19. Seconda quantizzazione 19.3.2 Lemma X (vn (z), vm (z 0 )) = δnm (z1 ⊗ z2 ⊗ · · · ⊗ zm , U (p)z10 ⊗ · · · ⊗ zn0 ) p∈Sn ove Sn è il gruppo simmetrico su n elementi e U (p)(z1 ⊗ · · · ⊗ xn ) := xp−1 (1) ⊗ · · · ⊗ xp−1 (n) è la rappresentazione unitaria di H⊗n data dall’azione di Sn . Dimostrazione: (vm (z), vn (z 0 )) =(a(z2 )∗ · · · a(zm )∗ ΩF , a(z1 )a(z10 )∗ a(z20 )∗ · · · a(zn0 )ΩF ) =(a(z2 )∗ · · · a(zm )∗ ΩF , [a(z1 ), a(z10 )∗ ]a(z20 )∗ · · · a(zn0 )ΩF )+ + (a(z2 )∗ · · · a(zm )∗ ΩF , a(z10 )∗ a(z1 )a(z20 )∗ · · · a(zn0 )ΩF ) =(z1 , z10 )(a(z2 )∗ · · · a(zm )∗ ΩF , a(z20 )∗ · · · a(zn0 )ΩF ) Iterando il procedimento otteniamo (vm (z), vn (z 0 )) =(z1 , z10 )(a(z2 )∗ · · · a(zm )∗ ΩF , a(z20 )∗ · · · a(zn0 )ΩF )+ + (z1 , z20 )(a(z2 )∗ · · · a(zm )∗ ΩF , a(z10 )∗ a(z30 )∗ · · · a(zn0 )ΩF ) 0 · · · + (z1 , zn0 )(a(z2 )∗ · · · a(zm )∗ ΩF , a(z10 )∗ · · · a(zn−1 )ΩF ) che è zero se n 6= m, dato che (ΩF , a(x)∗ · · · a(y)∗ ΩF ) = 0 Altrimenti, se n = m, abbiamo che (vm (z), vn (z 0 )) = X ((z1 , zi1 )(z2 , zi02 ) · · · ) = i1 i2 ···in n XY (zi , zp0 −1 (i) ) p∈Sn i=1 ove i2 6= i1 e i3 6= i1 , i2 e... e in 6= i1 , ..., in−1 . qed In generale, se G è un gruppo finito e U : G −→ U(H) una rappresentazione unitaria allora vige il teorema ergodico elementare: X 1 E0 = E{x|∀g∈G U (g)x=x} = U (g) Card G g∈G Nel caso del gruppo simmetrico Sn il secondo membro è il simmetrizzatore 1 X S := U (p) n! p∈S n 19.3. Caratterizzazioni della rappresentazione di Fock Lo spazio di Hilbert 715 S n H := S(H⊗n ) è la n-sima potenza simmetrica. Consideriamo (z1 , ..., zn ) ∈ Hn ed associamogli 1 a(z1 )∗ · · · a(zn )∗ ΩF n! Possiamo inoltre associargli il simmetrizzatore S(z1 ⊗ · · · ⊗ zn ): per il lemma esiste un operatore Vn tale che µ ¶ 1 ∗ ∗ Vn √ a(z1 ) · · · a(zn ) ΩF = S(z1 ⊗ · · · ⊗ zn ) n! e 1 0 (vn (z), vm (z 0 )) = δnm (S(z1 ⊗ · · · ⊗ zm ), S(z10 ⊗ · · · ⊗ zm )) n! L’operatore Vn è unitario, sempre per il lemma, quindi Γ(H) = ∞ M Γn (H) n=0 ove Γn (H) ∼ = S n H cioè lo spazio di Fock coincide con l’algebra dei tensori simmetrici sullo spazio di Hilbert H. Partendo da V0 (λΩF ) := λ ∈ C possiamo combinare i V1 , V2 , ... per ottenere l’isomorfismo V : Γn (H) −→ S n H. Possiamo ora capire come agiscono gli operatori di creazione e distruzione: √ µ ¶ 1 n+1 ∗ ∗ ∗ a(z) √ a(z1 ) · · · a(zn ) ΩF = p a(z)∗ a(z1 )∗ · · · a(zn )∗ ΩF n! (n + 1)! L’aggiunto (si rammenti: z 7−→ a(z) è antilineare) è ´ ³ 1 ∗ ∗ a(z) √ a(z1 ) · · · a(zn ) ΩF n! n 1 X =√ (z1 , zi )a(z1 )∗ · · · a(zi−1 )∗ a(zi+1 )∗ · · · a(zn )∗ ΩF n! i=1 n 1 X 1 =√ (z, zi ) p a(z1 )∗ · · · a(zi−1 )∗ a(zi+1 )∗ · · · a(zn )a∗ ΩF n i=1 (n − 1)! Questo suggerisce la seguente caratterizzazione dello spazio di Fock: Γ(H) = ∞ M n=0 S nH 716 Capitolo 19. Seconda quantizzazione con a(z)∗ (S(x1 ⊗ · · · ⊗ xn )) := √ n + 1S(z ⊗ x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) 1 X a(z)(S(x1 ⊗ · · · ⊗ xn )) := √ (z, xi )S(x1 ⊗ · · · ⊗ xi−1 ⊗ xi+1 ⊗ · · · ⊗ xn ) n i ΩF := 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · · Quindi a(z)ΩF = 0 ed i campi di Segal si definiscono come 1 Φ(z) := √ (a(z)∗ − a(z)) i 2 Abbiamo quindi tre presentazioni equivalenti dello spazio di Fock: • Come rappresentazione del gruppo di Heisenberg generata dalla rappresentazione 1 2 (z, λ) 7−→ eiλ e− 4 ||z|| • Come prodotto tensoriale hilbertiano Γ(H) = ∞ O {Ωn } Γ(C) n=1 • Come spazio dei tensori simmetrici: Γ(H) = ∞ M S nH n=0 Vogliamo dare una ulteriore caratterizzazione: consideriamo la terza interpretazione di Γ(H) e le formule per gli operatori di creazione e distruzione: x1 = x2 = · · · = xn Allora 1 1 a(x)∗n ΩF = √ x⊗n n! n! Ma ΩF è un vettore analitico, quindi possiamo definire ∞ X 1 ∗ e := a(x)∗n ΩF = ea(z) ΩF n! n=0 x 19.3. Caratterizzazioni della rappresentazione di Fock e constatare che (ex , ey ) = ∞ X (x, y)n n! n=0 717 = e(x,y) Inoltre {e }x∈H è un insieme totale in H, dato che, per x x= n X λ i zi i=1 abbiamo µ ∂ n ex ∂λ1 · · · ∂λn ¶ = a(z1 )∗ · · · a(zn )∗ ΩF λ1 =···=λn =0 ed i vettori al secondo membro formano un insieme totale. Possiamo allora considerare lo spazio E generato dagli elementi della forma ex con le relazioni (ex , ey ) = e(x,y) , considerare in esso il sottospazio N dei vettori di lunghezza zero e definire Γ(H) = E/H Notiamo che, avendosi Γ(U )WF (x)Γ(U )−1 = WF (U x) e W (x) = eiΦ(x) ne segue Γ(U )Φ(x)Γ(U )−1 = Φ(U x) cioè Γ(U )a(x1 )∗ · · · a(xn )∗ ΩF = a(U x1 )∗ · · · a(xn )∗ ΩF Quindi, se Γn (U )S(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) := S(U x1 ⊗ · · · ⊗ U xn ) si ha pure Γ(U ) = ∞ M Γn (U ) n=0 e dΓ(A) = M dΓn (A) n ove dΓn (A) = n X i=1 I ⊗ ··· ⊗ I ⊗ A ⊗ I ⊗ ··· ⊗ I 718 Capitolo 19. Seconda quantizzazione (nel prodotto tensoriale i termini sono n e A figura all’i-simo.) Ad esempio dΓn (I) = nI e dΓ(I) = N , autoaggiunto non limitato. Si noti inoltre che se W (z) è ad esempio una rappresentazione irriducibile delle relazioni di Weyl in un grado di libertà, allora z 7−→ αz (A) := W (z)AW (z)−1 (con A ∈ B(H)) definisce un morfismo fortemente continuo di gruppi: R2 −→ Aut B(H) Non si tratta tuttavia di una rappresentazione unitaria, perché se lo fosse avremmo αz (A) = Vz AVz−1 e la C*-algebra (commutativa!) generata dai Vz sarebbe quella dei W (z), che è irriducibile: essendo commutativa ciò è impossibile. In questo caso i teoremi di Wigner e Bargmann non sono soddisfatti, il che dà conto dei fenomeni non relativistici della teoria. 19.4 Teorema di Gårding–Wightman Consideriamo Γ(H) ∼ = ∞ O {Ω0 } Γ(C) n=1 ove {en } è una base ortonormale; abbiamo che N∼ = ∞ X I ⊗ I ⊗ · · · ⊗ η∗η ⊗ · · · ⊗ I i=1 W( X i λi ei ) ∼ = ∞ O W (λn ) n=1 ∞ X X ∼ Φ( λi ei ) = I ⊗ · · · ⊗ (αn q + βn p) ⊗ · · · ⊗ I i n=1 sicché a(en ) = I ⊗ · · · ⊗ I ⊗ η ⊗ I ⊗ · · · (il fattore non I si trova al posto n-simo) e N= ∞ X n=1 a(en )∗ a(en ) 719 19.4. Teorema di Gårding–Wightman Cioè, nella rappresentazione di Fock: dΓ(I) = N = ∞ X ∗ a(en ) a(en ) = n=1 ∞ X 1 n=1 2 (p2n + qn2 − I) Ora sia X lo spazio vettoriale dei vettori della forma X λi ei i ove λi hanno supporto finito; si tratta di uno spazio prehilbertiano denso in H ed ha senso porre, per ogni x ∈ X: ∞ Y X W (x) = W ( W (λi ei ) λi ei ) = i i=1 Un risultato chiave è il 19.4.1 Teorema (Gårding–Wightman) La rappresentazione W è quasi equivalente alla rappresentazione di Fock se e solo se l’operatore ∞ X a(en )∗ a(en ) n=1 è densamente definito. Piuttosto che dimostrare questo teorema ci limitiamo a darne un esempio di applicazione. Si consideri una funzione n : N \ {0} −→ N i 7−→ ni (cioè un elemento di (N \ {0})N ) e X1 2 (p2i + qi2 − ni I) Esiste una rappresentazione nella quale questo operatore è essenzialmente autoaggiunto; ma il teorema di Gårding–Wightman ci dice inoltre che per ogni funzione n ∈ (N \ {0})N esiste una rappresentazione irriducibile Wn delle relazioni di Weyl tale che questo operatore sia essenzialmente autoaggiunto e Wn ∼ = Wn0 ⇐⇒ [n] = [n0 ] 720 Capitolo 19. Seconda quantizzazione (le parentesi quadre denotano le classi di equivalenza modulo N0 , che è lo spazio delle funzioni n∈(N\{0})N a supporto finito). Abbiamo cioè una infinità continua di rappresentazioni irriducibili. Stabiliamo ora una notazione: Ω0 è lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico in Γ(C), e Ωn lo stato eccitato n-simo: 1 Ωn = √ η ∗n Ω0 n! (ηΩ0 = 0). Consideriamo Hn := ∞ O {Ωni } Γ(C) i=1 e ∞ X O Wn ( λi ei ) = W (λi ) i=1 che possiede solo un numero finito di fattori diversi da 1 (dato che le λi hanno supporto finito; la Wn è irriducibile, il che si vede come nel caso della rappresentazione di Fock. Definiamo ora un operatore N per Wn . Sia b eiN λ Wn (x)Ωn = Wn (eiλ x)Ωn Questa posizione determina un operatore unitario se i prodotti scalari sono conservati, e se questo è vero la forte continuità implica che siamo in presenza di un gruppo di unitari fortemente continuo e quindi, per il teorema di Stone 14.3.6, b è autoaggiunto. N Ma si ha ∞ Y (Wn (e x)Ωn , Wm (e x)Ωm ) = (W (eiλ λi )Ωni , W (eiλ , µi )Ωni ) iλ iλ i=1 ∞ Y = (eiλN W (λi )e−iλni Ωni , W (eiλ , µi )Ωni ) = i=1 ∞ Y (eiλ(N −ni )I W (λi )Ωni , W (eiλ , µi )Ωni ) i=1 ∞ Y = (W (λi )Ωni , W (eiλ , µi )Ωni ) i=1 ove abbiamo usato 721 19.4. Teorema di Gårding–Wightman • al secondo passaggio il fatto che in un grado di libertà si ha N = η ∗ η e W (eiλ z) = eiN λ W (z)e−iN λ (z ∈ C); ∗ • nel terzo membro l’implicazione η ∗ ηΩn = nΩn ⇒ eiλη η Ωn = eiλn Ωn ; • nell’ultimo passaggio l’unitarietà di eiλ(N −ni)I . Ne segue che iλ Wn (e x)Ωn = = ∞ O j=1 ∞ Y iλ W (e λj )Ωnj = ∞ O eiλ(N −nj I) W (λj )Ωnj j=1 eiλ(Nj −nj I) ∞ O W (λj )Ωnj j=1 j=1 P (N −n I) iλ ∞ j j j=1 Wn (x)Ωn =e ove Nj = I ⊗ · · · ⊗ I ⊗ η ∗ η ⊗ I ⊗ · · · = a(ej )∗ a(ej ) (il fattore non identico figura al posto j-simo), sicché b= N ∞ X (Nj − nj I) j=1 Infine mostriamo che Wn ∼ = Wn0 ⇐⇒ n − n0 ∈ N0 Che la condizione sia sufficiente è ovvio: se n − n0 ∈ N0 allora possiamo passare da Ωn a Ωn0 senza cambiare la rappresentazione Hn (a meno di isomorfismi). Per dimostrare che la condizione è necessaria, supponiamo n 6= n0 ; se fosse Wn ∼ = Wn0 allora esisterebbe U unitario tale che ∀x ∈ X U Wn (x)U −1 = Wn0 (x) e, preso Ωn = ∞ O Ωnj ∈ Hn j=1 avremmo Φ := U (Ωn ) ∈ ∞ O {Ωn0 } j Γ(C) j=1 Il vettore Φ verificherebbe cioè la (Φ, Wn0 (x)Φ) = (U Ωn , U Wn (x)U −1 U Ωn ) = (Ωn , Wn (x)Ωn ) 722 Ma se x ∈ Capitolo 19. Seconda quantizzazione Pm j=1 ej C per un certo m, allora gli elementi W (x) = M Ws(k) (x) (somma di copie della rappresentazione di Schrödinger) generano un’algebra di von Neumann che è della forma B(Hl ) ⊗ I, e dove Hm = ⊕m j=1 ek jC. Dunque, per ogni B ∈ B(Hl ) (Φ, B ⊗ IΦ) = (Ωn , B ⊗ IΩn ) Notiamo inoltre che, in questo caso, esisterebbe Tm ∈ (B(Hm ) ⊗ I)0 tale che Tm Ωm = Φ Infatti B(H) ⊗ I ∼ = (∞ M ) A | A ∈ B(H) i=1 (dato che H ⊗ K = ⊕i∈Card K H e quindi 0 (B(H) ⊗ I)0 ∼ = {⊕A} che è un’algebra di matrici a blocchi negli elementi di C(H) (si confronti la discussione sui teoremi di densità). Gli operatori di quest’algebra che hanno la forma (aij I) ∈ ⊕H hanno come immagini in H ⊗ K gli elementi B ⊗ I e quindi (B(H) ⊗ I)0 = I ⊗ B(K) Ora 0 Hm ⊗ Hm = Hn ed abbiamo un vettore Φ tale che (Φ, B ⊗ IΦ) = (Ω(m) ⊗ Ω0 , B ⊗ IΩ(m) ⊗ Ω0 ) cioè Φ = Tm Ω(m) ⊗ Ω0 = Ω(m) ⊗ Ω00 Dunque Φ = Ωn1 ⊗ Ωn2 ⊗ · · · ∈ ∞ O {Ωn0 } j Γ(C) j=1 il che è possibile solo se n = n0 , dato che la successione Ψm := Ωn1 ⊗ · · · ⊗ Ωnm ⊗ Ωn0m+1 ⊗ · · · 723 19.5. Sul concetto di campo è di Cauchy: se m À 0 e l > m: ||Ψm − Ψl ||2 < ε Ma abbiamo anche ||Ψm − Ψl ||2 =||Ωnm+1 ⊗ · · · ⊗ Ωnl − Ωn0l+1 ⊗ · · · ⊗ Ωn0l || =2(1 − Re l Y (Ωnk , Ωn0k ) k=m+1 che è 2 se n 6= n0 . 19.5 Sul concetto di campo In Meccanica Quantistica3 un campo è una distribuzione a valori in un’algebra di operatori, cioè una funzione lineare A : S −→ A ove S è lo spazio delle funzioni di Schwartz su R4 e A un’algebra di operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert H. Il caso al quale questa definizione si ispira è Z A(f ) = f (x)A(x)dx Supponiamo che esista un D0 ⊂ H denso tale che per ogni f ∈ S si abbia D0 ⊂ DA(f ) (contenuto nel dominio dell’operatore A(f )) e tale che, per ogni ψ, ψ 0 ∈ D0 , la funzione f 7−→ (ψA(f ), ψ 0 ) sia una distribuzione (cioè un elemento di S 0 ). Una teoria dei campi consiste in una serie di assiomi per i campi stessi che rispondano alle esigenze fisiche e siano matematicamente coerenti; ne introdurremo alcuni. Osserviamo intanto che se A è la C*-algebra degli osservabili di un sistema quantistico (in R4 visto come spazio-tempo) abbiamo in A delle sottoalgebre A(O) associate ad aperti O di R4 , che immaginiamo come regioni limitate dello spazio-tempo: tipicamente una tale regione sarà intersezioni di coni di luce, che sono aperti stabili rispetto alle trasformazioni di Lorentz (la richiesta minima se si vuole una compatibilità con la Relatività Ristretta). 3 Seguendo Wightman, Ph. Rev. 1956. 724 Capitolo 19. Seconda quantizzazione Consideriamo dunque la famiglia K dei coni “doppi”, cioè di coni la cui intersezione sia un bordo spaziale: si tratta di una famiglia di insiemi stabile per l’azione del gruppo di Poincaré. Possiamo inoltre definire, per O ∈ K: O0 := {y ∈ R4 | ∀x ∈ O ||y − x||2M < 0} (ove ||.||M è la norma di Minkowski). Si noti che, in generale, O ⊂ O00 ma che O ∈ K ⇒ O00 = O (O ∈ K è causalmente completo). La funzione O 7−→ A(O) si dice corrispondenza di Haag–Kastler , e soddisfa alla seguente proprietà di monotonia: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1 ) ⊂ A(O2 ) Con ciò ({A(O)} è un insieme parzialmente ordinato dall’inclusione) la corrispondenza di Haag-Kastler è un morfismo di insiemi ordinati. Inoltre l’insieme [ A(O) O∈K è una sotto-*-algebra di A e vogliamo imporre la condizione A= [ ||−|| A(O) O∈K Veniamo ora ad un assioma fondamentale di ogni teoria dei campi: 19.5.1 Postulato di Località Siano O1 e O2 tali che non possano esservi segnali temporali (timelike) fra essi: in altri termini che siano causalmente disgiunti, vale a dire O1 ⊂ O20 Allora ∀A1 ∈ A(O1 ) ∀A2 ∈ A(O2 ) [A1 , A2 ] = 0 725 19.5. Sul concetto di campo Il significato di questo assioma è che eventi osservati in regioni dello spazio che non possono comunicare fra loro debbono essere indipendenti. Perché una teoria assiomatica soddisfi il requisito base della coerenza basta far vedere che possiede un modello, vale a dire che ne esistono esempi: nel caso delle teorie dei campi questo avviene costruendo i campi liberi. Consideriamo lo spazio di Fock Γ(H) e la funzione Φ(x): vogliamo costruire un campo libero, cioè una distribuzione a valori in Γ(H). Consideriamo H = L2 (Ω+ m , dΩm ) (particella di massa m e spin 0) e ricordiamo che dΩm (p) = e Z Z f (p)dΩ+ m = f ³p p~2 dp 2p0 Z ´ dp + m , p~ p =: f (p)δ(p2 − m2 )ε(p0 )dp 2 2 2 p~ + m 2 e che esiste la rappresentazione indotta (U(a, Λ)f )(p) = eipa f (Λ−1 p) Per f reale definiamo la distribuzione ³ ´ T f := fb e quindi Ω+ m µ ¯ ¯ ϕ(f ) := Φ fb¯ ¶ Ω+ m (Φ è lineare sulle funzioni reali) estendendola a funzioni complesse come ϕ(f ) := ϕ(Re f ) + iϕ(Im f ) Su S agisce il gruppo di Poincaré come g · f := fg essendo g = (a, Λ) e fg (x) = f (g −1 x) Allora T fg = U(g)T f sicché, estendendo la rappresentazione allo spazio di Fock come Υ(a, Λ) = Γ(U(a, Λ)) 726 Capitolo 19. Seconda quantizzazione per funtorialità otteniamo Υ(g)Φ(x)Υ(g)−1 = Φ(U(g)x) ovvero ϕ(fg ) = Φ(T fg ) = Φ(U(g)T f ) = Υ(g)Φ(f )Υ(g)−1 = Υ(g)Tf Υ(g)−1 In altri termini il campo f 7−→ ϕ(f ) possiede una rappresentazione unitaria fortemente continua del gruppo di Poincaré g 7−→ Υ(g) in modo che Υ(g)T f Υ(g)−1 = ϕ(fg ) Notiamo che Υ(g)Ω = Ω. Estendiamo ora la funzione R-lineare f 7−→ ϕ(f ) ai complessi nel modo ovvio: ϕ(f ) := ϕ(f − 1) + iϕ(f2 ) e rammentiamo che eiϕ(f ) = eiΦ(T f ) = W (T f ) da cui, per f, h ∈ S(R4 ) [ϕ(f ), ϕ(h)] = i Im(T f, T h) ovvero eiϕ(f ) eiϕ(h) = ei Im(T f,T h) eiϕ(h) eiϕ(f ) Si noti che T è un operatore di allacciamento: T fg = Υ(g)T f e quindi e Υ(g)W (x)Υ(g)−1 = W (U(g)x) Υ(g)ϕ(f )Υ(g)−1 = ϕ(fg ) Per cui, se ϕ(f ) è una distribuzione regolare, della forma Z ϕ(f ) = f (x)ϕ(x)dx allora Υ(a, Λ)ϕ(x)Υ(a, Λ)−1 = ϕ(Λx + a) 727 19.5. Sul concetto di campo Vogliamo ora presentare ϕ come soluzione di un’equazione differenziale (nel senso delle distribuzioni): precisamente consideriamo l’equazione4 ((¤ + m2 )ϕ)(f ) = ϕ((¤ + m2 )f ) Ma (usando le trasformate di Fourier) (¤\ + m2 )f (p) = (m2 − p2 )fb(p) e quindi (p2 = m2 ) ¯ ¯ (¤\ + m2 )f ¯ Ω+ m =0 Dunque otteniamo, per la distribuzione T f = fb|Ω+m : ϕ((¤ + m2 )f ) = Φ(T (¤ + m2 )f ) = 0 (dato che T (¤ + m2 )f = (¤\ + m2 )f , il che ci permette di caratterizzare le ϕ come soluzioni dell’equazione differenziale (¤ + m2 )ϕ = 0 Ora consideriamo la questione dell’irriducibilità della nostra rappresentazione: intanto ricordiamo che la funzione x 7−→ W (x) (x ∈ H) è fortemente continua, quindi lo sono le f 7−→ eiϕ(f ) e f 7−→ ϕ(f )Φ (f ∈SR (R4 ) e la topologia su S è data da ||T f ||2 = ||f ||2 ): per avere l’irriducibilità basta quindi dimostrare il 19.5.2 Teorema L’immagine T SR (R4 ) è densa in H[m,0] . Dimostrazione: Intanto osserviamo che Z dp 2 |fb(p)|2 p ||f || = 2 p~ + m2 Ω+ Z m dp = |fb(p)|2 (1 + p~ 2 )2r (1 + p~ 2 )−2r p ≤ c||(1 + p~ 2 )rf ||2∞ 2 2 + p~ + m Ωm 4 Si rammenti come si derivano le distribuzioni: T 0 (f ) = −T (f 0 ), sicché (∇T )f = T (∇f ) e (¤T )f = T (¤f ) 728 Capitolo 19. Seconda quantizzazione p con r opportuno, in modo che (1 + p~2 )−2r / p~2 + m2 sia in L1 e quindi abbia luogo la maggiorazione, dove c è una costante. Ma q(f ) := sup |(1 + p~2 )r f (p)| p è una seminorma per la topologia di S ed ovviamente ||f || ≤ q(f ), sicché la norma ||.|| è continua per la topologia di S. Dunque T manda insiemi densi in insiemi densi, sicché basta dimostrare il teorema su DR = {f ∈ SR | supp f compatto} (che è denso in S). 2 3 Per farlo, consideriamo f : Ω+ m −→ C appartenente a L (R , dΩm ), vale a dire tale che Z dp |f (~p)|2 p <∞ 2 p~ 2 + m2 à e definiamo gb(p) := f (~p)h p0 − p p~ 2 + m2 m ! ove h ∈ D(R) è una funzione a supporto compatto tale che h(0) = 1 e supp h ⊂ (−1, 1); allora la gb ha supporto compatto e, se gb1 (p) := gb(p) + gb(−p) allora g1 ∈ S e p (T g1 )( p~ 2 + m2 , p) = f (~p) 729 19.5. Sul concetto di campo (si rammenti che se f ∈ SR allora fb(p) = fb(−p)). qed Le distribuzioni che qui ha interesse considerare sono, rispetto alle variabili spaziali, delle funzioni (infinitamente differenziabili) vere e proprie. Ricordiamo ora che per le distribuzioni può definirsi un prodotto tensoriale nel modo seguente: consideriamo F ∈ D(Rn )0 e G ∈ D(Rm )0 ; allora possiamo definire una distribuzione F ⊗ G in D(Rn+m )0 come hF ⊗ G, f ⊗ gi = hF, f ihG, gi ove abbiamo usato l’isomorfismo D(Rn ) ⊗ D(Rm ) ∼ = D(Rn+m ) che dà luogo al teorema del nucleo di L. Schwartz : D(Rn )0 ⊗ D(Rm )0 ∼ = D(Rn+m )0 (i prodotti tensoriali sono definiti in modo unico perché questi spazi vettoriali topologici sono nucleari: cfr. [31], p.531). Il prodotto tensoriale di distribuzioni è una generalizzazione del prodotto di misure, ed il teorema del nucleo può vedersi come una versione più generale del teorema di Fubini. 19.5.3 Esempio Consideriamo una funzione g ∈ D(R3 ) e la misura di Dirac δ0 ∈ D(R)0 concentrata in un punto x0 : possiamo considerare i prodotti tensoriali f1 = δ0 ⊗ g e f2 = δ00 ⊗ g (che sono distribuzioni in R4 , ove δ00 è la derivata nel senso delle distribuzioni, cfr. capitolo ?? §4); allora fb1 (p) = gb(~p) fb2 (p) = ip0 gb(~p) e Formalmente: Z hf1 , ϕi = Z ϕ(0, ~x)g(~x)d~x e hf2 , ϕi = ϕ0 (0, ~x)g(~x)d~x Data la distribuzione T , consideriamo ora la funzione IT : SR (R4 )⊗SR (R4 ) −→ R definita come IT (f, g) = − Im(T f, T g) 730 Capitolo 19. Seconda quantizzazione Si tratta di una funzione bilineare e continua nelle due variabili rispetto alla topologia di SR (R4 ). Per (a, Λ) ∈ P si ha (T f(a,Λ) , T g(a,Λ) ) = (U(a, Λ)T f, U(a, Λ)T g) = (T f, T g) e, formalmente, possiamo scrivere Z IT (f, g) = F (x, y)f (x)g(y)dxdy cioè esprimere la funzione bilineare IT come un operatore integrale con nucleo F tale che F (x, y) = F (x + a, y + a). Inoltre, per invarianza rispetto alle trasformazioni di Lorentz si ha F (x, y) = ∆(x − y) ove ∆(λz) = ∆(z) e ∆ è una distribuzione in R4 . Naturalmente la distribuzione ∆ si comporta solo formalmente come un nucleo, ma possiamo comunque scrivere delle regole di commutazione5 almeno a livello formale, usando il seguente ragionamento: Z Z IT (f, g) = − Im T f (p)T g(p)dΩm = − Im fb(p)b g (p)dΩ+ m Z ³ ´ 1 p b b = f (p)b f (p)b g (p) d3 p g (p) − √ 2 {p0 = p~2 +m2 } 2 p~2 + m2 f e g sono a valori reali, quindi fb(p) = fb(−p) e gb(p) = gb(−p), sicché Z − 1 dΩ+ m (p) − dΩm (p) b p f (p)b = g (p) 2 {p0 =√p~2 +m2 } p~2 + m2 b m (p)fb) = (g, ∆m ∗ f ) =(b g, ∆ (nell’ultima formula integrale abbiamo integrato rispetto alla differenza delle misure). Abbiamo cioè, a meno di scambiare l’ordine di g e f , la formula per il nucleo: Z ¡ ¢ 1 − ∆m (x) = eipx dΩ+ m (p) − dΩm (p) 2 (2π) 5 La principale motivazione che von Neumann fornisce, nel suo trattato Mathematical Foundations of Quantum Mechanics [24], all’introduzione della teoria degli operatori negli spazi di Hilbert come metodo matematico fondamentale per le questioni quantistiche, è proprio la mancanza di rigore che la formulazione di Dirac [6] aveva all’epoca: il principale ostacolo era l’impossibilità di scrivere gli usuali operatori, come la funzione hamiltoniana, in forma di operatori integrali: per questo Dirac faceva uso delle sue “funzioni improprie” la cui natura non contraddittoria fu chiarita solo in seguito da Schwartz ed altri con l’introduzione del concetto di “distribuzione”; si confronti specialmente i §I–3 e §III–6 del libro di Von Neumann. 19.5. Sul concetto di campo 731 Intuitivamente, abbiamo la seguente formula, anche se priva di senso: [f (ϕ), g(ϕ)] = IT (f, g) = i(f, ∆ ∗ g) = i∆m (x − y)I Si noti che, se ∆m ha supporto nel doppio cono di luce futuro/passato V , vale a dire se per ogni f, g ∈ S i cui supporti siano spazialmente separati, l’integrale di ∆m sulle f e g dà ovviamente zero, dato che [f (ϕ), g(ϕ)] = −[ϕ(x), ϕ(y)] e quindi ∆(−z) = −∆(z); inoltre la ∆(λz) = ∆(z) (che è come dire h∆, fΛ i = h∆, f i) implica ∆ = 0 sui vettori spacelike, perché possiamo scrivere (−) ∆m (x) = ∆(+) m (x) − ∆m (−x) Quindi Z ϕ(x)f (x)dx = ϕ(x) è tale che, se Im(T f, T g) = 0, allora eiλf (ϕ) = W (λT f ) e eiµg(ϕ) commutano in senso forte: questo è il caso, ad esempio, se i supporti di f e g sono spazialmente separati. Naturalmente questo si ricollega al postulato di località: se A(O) := {W (T f ) | f ∈ SR (R4 ) , supp f ⊂ O}00 e O1 , O2 sono aperti spazialmente separati, i.e. O1 ⊂ O20 allora W (T f ) e W (T g) commutano (per ogni f ∈ A(O1 ) e g ∈ A(O2 )): A(O1 ) ⊂ A(O2 )0 e viceversa. In realtà si potrebbe dimostrare il seguente risultato 19.5.4 Teorema Se O ∈ K è un cono doppio e se consideriamo la C*-algebra A(O0 ) generata dalle sottoalgebre {A(Oλ )}Oλ ⊂O0 allora A(O) = A(O0 )0 (dualità di Araki). dove l’inclusione A(O) ⊂ A(O0 )0 è ovvia. Bibliografia [1] V.I. Arnol’d, Metodi matematici della meccanica classica, Ed. Riuniti, Roma, 1979. [2] R. Abraham, J. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin, 1978. [3] C. Chevalley, Theory of Lie groups, I, Princeton Unversity Press, 1946. [4] P.J. Cohen, Set Theory and Continuum Hypotesis, Benjamin, 1963. [5] P.M. Cohn, Universal Algebra,, 1965. [6] P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford,. [7] J. 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Weyl, The theory of groups and quantum mechanics, Dover. 733 Indice analitico A-limite, 504 G agisce su X, 124 σ-algebra, 82 σ-algebra di Borel, 82 σ(X, Y )-topologia, 243 p-gruppi, 128 p-gruppo, 128 *-algebra, 153 *-algebra normata, 284 *-modulo, 155 *-omomorfismo, 154 annullatore di S, 557 antiautomorfismo, 477 anticommutatività, 148 antitrasformata di Fourier, 231 antiunitario, 477 aperta, 30 aperti, 24 assemblee di oscillatori armonici, 710 assioma di scelta, 6 associativa, 148 assolutamente continua, 102, 188 attesa, 630 autoaggiunto, 154, 285 azione del gruppo sull’insieme, 124 a base numerabile, 26 abeliano, 118 algebra, 147 algebra di Banach, 282 algebra di Calkin, 473 algebra di gruppo, 521 algebra di Lie del gruppo, 602 algebra di sottoinsiemi, 81 algebra di von Neumann, 365 algebra di von Neumann inviluppante, 460 algebra esterna, 165, 166 algebra simmetrica, 162 algebra tensoriale, 161 algebre di Boole, 81 algebre di Lie, 598 amenabile, 531 analitica, 325 analitica in, 299 analitiche, 324 analitico, 548 anche non chiusi, 432 banale, 25, 134, 426, 618 base, 25 base di intorni, 26 base di seminorme, 239 base ortonormale, 208 base simplettica, 668 basica, 392 bilatero, 151 biunivoca, 5 boreliani, 82 buon ordinamento, 7 C*-algebra, 285 C*-algebra del gruppo G, 530 C*-algebra ridotta, 530 calcolo funzionale continuo, 345 cammino, 47 cammino costante, 49 campo, 723 734 campo di vettori, 601 campo hamiltoniano, 672 campo invariante a sinistra, 602 carattere, 141, 142, 554 cardinalità, 9, 14 cardinalità del continuo, 16 carta locale, 584 categoria, 17 categoria dei funtori, 22 categoria opposta, 20 catena, 7 causalmente disgiunti, 724 centralizzante, 128, 363 centro, 127, 151 che commutino fra loro, 252 chiudibile, 480 chiusi, 24 chiuso, 32, 480 chiusura, 24, 480 cicli, 49 ciclico, 122, 383, 393 classi, 1 classi coniugate, 128 classi laterali, 120 cobordo, 613 cocatena, 612 cociclo, 613 coefficiente di Fourier, 221 coefficienti della rappresentazione, 130 commutante, 156, 363 commutativa, 149 commutativi, 20 commutativo, 118 commutatore delle matrici, 578 compatibili, 632 compattificazione, 37 compattificazione a un punto, 37 compattificazione di Alexandroff, 37 compattificazione di Bohr, 558 compatto, 32, 377 completa, 87 completa riducibilità di moduli, 155 completamento, 66, 178 completo, 87, 408, 603 componente connessa, 48 composizione, 17 con identità, 149 con unità, 149 condizione di compatibilità per carte locali, 589 confine superiore (inferiore), 7 congiunge due punti, 79 coniugato, 125 connesso, 45 connesso per archi, 47 cono, 546 cono duale, 445 continua, 30 continua da destra, 111 continuazione analitica, 330 contraibile, 53 contrazione, 66 controgradiente, 135 converge fortemente, 215 convergente, 28 convergenza, 177 convessi, 237 convoluzione, 222, 230, 274 convoluzione di funzioni, 146 coordinate, 584 coordinate canoniche, 588 corpo, 149 corpo dei quaternioni, 150 corrispondenza di Haag–Kastler, 724 costante di accoppiamento, 430 costanti di struttura, 150 covariante, 642 covarianti, 20, 655 covarianza dell’equazione di Dirac, 663 735 covarianza della rappresentazione di Fock, 707 curva continua, 79 curva integrale massimale, 603 curva parametrizzata, 78 curve integrali, 603 duale topologico, 194, 244 dualità di Araki, 731 elemento neutro, 149 ensemble, 630 epimorfismo, isomorfismo, 119 equazione delle classi, 128 equazione di Dirac, 662 equazione di Schrödinger, 535 equazione di Schrödinger relativisticamente invariante, 664 equazione integrale di Fredholm di seconda specie, 67 equazione integrale di Volterra, 67 equicontinuo, 75 equilimitato, 75 equipotenti, 10 equivalenti, 79, 131, 183, 434, 523, 618 equivalenza, 7, 19 equivalenza naturale, 22 esatta, 120 esista, 53 estende, 479 estensione, 618 estremo, 7 estremo inferiore (superiore), 7 debolmente non degenere, 668 definito positivo, 503 denso, 25 derivata di Radon–Nikodym, 190 derivazioni, 599 di allacciamento, 133, 523 di Cauchy, 62 di Hausdorff, 26 di Jordan, 149 di Lie, 149 di Lindelöf), 43 di ordine finito, 260 di ordine minore di m, 260 di prima categoria, 70 di seconda categoria, 70 di tipo positivo, 532, 704 diffeomorfismi, 594 differenziabile, 594 dimensione, 427 dimensione della varietà, 590 dimensione di una rappresentazione, 130 dimensione hilbertiana, 211 diretto, 7 discreta, 25 diseguaglianza di Cauchy–Schwartz, 176 disgiunte, 133, 434, 523 distribuzione, 254 distribuzioni temperate, 272 domini regolari, 321 dominio, 479 dominio di analiticità, 302 duale, 135 faccia, 250 famiglia spettrale, 371 fattore di tipo III, 428 fattore di tipo II1 , 428 fattore di tipo II∞ , 428 fattore di tipo In , 427 fattori, 426 fedele, 128, 431 fibrazione di Hopf, 572 finita, 87, 427 finitamente generato, 123 finito, 5 fluttuazione quantistica, 635 736 forma aggiunta, 284 forma bilineare, 157 forma di Hilbert–Schmidt, 695 forma di volume, 596 forma sesquilineare, 138 forma simplettica, 668 formula di inversione di Fourier, 231, 268 formula di Poisson, 229 fortemente non degenere, 243, 668 Fredholm, 501 frontiera, 25 funtore, 18 funtore controvariante, 19 funtore di Lie, 606 funzionale di Minkowski, 198 funzionale lineare, 187 funzionale lineare continuo, 187 funzionale lineare limitato, 187 funzione convessa, 113 funzione di distribuzione, 110 funzione di Gauss, 234 funzione di scelta, 6 funzione sesquilineare, 175 funzione unimodulare, 518 funzioni a decrescenza rapida, 264 funzioni semplici, 92 gruppo ad un parametro fortemente continuo, 534 gruppo delle matrici invertibili di ordine n, 119 gruppo di coomologia, 613 gruppo di Heisenberg, 678 gruppo di Lie, 595 gruppo di Lorentz, 564, 647 gruppo di simmetrie, 641 gruppo di Weyl, 568 gruppo fondamentale, 49 gruppo inomogeneo, 650 gruppo lineare generale, 119, 561 gruppo lineare generale reale, 517 gruppo lineare speciale, 562 gruppo ortogonale, 563 gruppo ortogonale speciale, 564 gruppo quoziente modulo, 120 gruppo simplettico, 565 gruppo simplettico complesso, 565 gruppo spinoriale, 575 gruppo topologico, 515 gruppo unitario, 562 gruppo unitario speciale, 563 hermitiano, 445, 483 hilbertiano, 177 ideale destro, 151 ideale sinistro, 151, 306 identità, 17 identità associativa, 148 identità del parallelogramma, 183 identità di Jacobi, 148 identità di Jordan, 148 identità di polarizzazione, 183 immagine di un morfismo, 309 in dualità, 242 indice, 128 indice del sottogruppo, 126 indice dell’operatore, 501 genera, 251 generano il gruppo, 123 generata, 82 generatore infinitesimale, 534 grafico dell’operatore, 479 grafo, 206 gruppi classici, 566 gruppo, 118 gruppo Sn delle permutazioni, 123 gruppo a n parametri fortemente continuo, 545 gruppo a un parametro, 603 737 indici di difetto, 487 indotta dalla metrica, 57 infinita, 427 infinito, 5 iniettiva, 5 insieme, 2 insieme assorbente, 237 insieme delle parti, 3 insieme equilibrato, 237 insiemi, 1, 2 insiemi di Borel, 108 insiemi di Radon, 108 integrabile, 98, 105 integrale, 95 integrale di Dunford, 346 integrale di Lebesgue–Stieltjes, 112 integrale diretto, 427 integrazione alla Bochner, 276 intera, 331 interferenza, 637 interni, 476 interno, 24 intero, 549 intorno, 26 invariante, 131 invarianti, 134 inverso, 18 invertibile, 149, 286 involuzione, 153 iperboloidi di massa, 648 irriducibile, 459 isometria, 60 isometria parziale, 214 isometrica, 60 isometrici, 60 isomorfismo, 309, 475 isomorfismo (ordinale), 12 isomorfismo di gruppi di Lie, 597 isotropi, 648 Lemma di Krull, 307 limitato, 191, 248 limitato nel senso di Kato, 502 limite, 28 limite induttivo, 697 localmente compatto, 37 localmente connesso, 48 localmente convesso, 237 localmente finita, 43 localmente isomorfi, 604 localmente semplicemente connesso, 573 lunghezza, 79 magro, 70 mai denso, 70 mappa di cobordo, 612 massimale (minimale), 7 matrici di Dirac, 662 media, 143 meno fine, 25 meromorfa, 338 metrica, 57 metrica uniforme, 58 miscuglio statistico, 702 misura, 84, 89 misura # che conta, 85 misura δx0 di Dirac concentrata in x0 , 85 misura con segno, 99 misura di Dirac, 259 misura di Haar biinvariante, 517 misura di Haar destra, 517 misura di Haar sinistra, 517 misura di Lebesgue, 86 misura di Radon, 108 misura differenziabile, 595 misura esterna, 83 misura esterna di Lebesgue, 83 misura finita, 87 misura prodotto, 104 Lebesgue–Stieltjes, 86 738 misura spettrale, 366 misurabile, 83, 91 misurabile (rispetto a µ∗ ), 83 misurabile secondo Lebesgue, 83 misure spettrali, 360, 392 modulo, 154, 351 modulo irriducibile, 154 modulo su un’algebra di Banach, 309 molteplicità, 381 molteplicità uniforme, 382 molteplicità uniforme n, 383 momenti, 411, 551 momenti angolari, 651 monomorfismo, 119 morfismi, 17, 133 morfismo, 150, 282, 308, 554 morfismo di moduli, 155 mutuamente singolari, 101 numero cardinale, 14 numero delle particelle, 710 numero ordinale, 11 oggetti, 17 olomorfa, 320 omeomorfismo, 30 omomorfismo, 119 omomorfismo di gruppi di Lie, 597 omotope, 51 omotope relativamente, 52 omotopi, 49 omotopia, 49 operatore aggiunto, 284 operatore di allacciamento, 642 operatore di Dirac, 662 operatore di Hilbert–Schmidt, 386 operatore di von Neumann, 677 operatore nucleare, 388 operatore unitario, 212 operatori di allacciamento, 359, 392, 434 operatori di Volterra, 305 operatori diagonali, 304 operatori differenziali del primo ordine, 601 operatori lineari, 191 orbita, 125 orbita è continua, 642 orbite, 126 ordine, 118 ordine dell’elemento g, 122 ordine di connessione del dominio, 321 ordine parziale, 6 ordine totale, 6 orientabili, 596 ortogonale, 185 osservabili, 630 negativo, 99 nidificata, 69 nilradicale, 312 non, 439 non è ultradebolmente continuo, 439 non degenere, 364, 394 non possiede sottogruppi piccoli, 610 non può essere un insieme, 2 norma, 176, 177 norma ridotta, 530 normale, 26, 120, 154, 285, 313, 438 normalizzante, 129 normata, 281 nucleo, 119, 127, 188, 305, 309 nucleo (positivo) di sommabilità, 224 nucleo dell’azione, 128 nucleo dell’equazione integrale, 67 nucleo dell’operatore, 214 nucleo di Fejér, 231 nucleo di sommabilità di Fejér, 223 nullo, 99 numerabile, 10 palla, 203 palla unitaria, 203 739 palle aperte, 57 paracompatto, 43 parentesi di Poisson, 672 parte positiva, 442 più debole, 25 piccola, 19 piena, 17 pieno, 11 polare, 244 polinomi di Hermite, 270, 693 polinomio trigonometrico, 220 polo di ordine m, 336 positivi, 442 positivo, 99, 288, 442 preduale, 417 principio delle contrazioni, 66 principio di uniforme limitatezza, 206 priva di elemento identità, 472 privo di molteplicità, 382, 383 probabilità, 112 probabilità di transizione, 462 problema dei momenti (Hamburger), 552 prodotto, 147 prodotto di Jordan, 148, 632 prodotto di Lie, 148 prodotto diretto, 121 prodotto hilbertiano, 175 prodotto semidiretto, 646 prodotto tensoriale, 159 prodotto tensoriale algebrico, 694 prodotto tensoriale delle rappresentazioni, 137 propria, 38 proprietà caratteristica, 634 proprietà dell’intersezione finita, 29 punti estremali, 251 punto limite, 28 quantizzazione, 673 quasi ovunque, 91 740 quasi-contenuta, 436 quasi-equivalente, 436 quasi-Fredholm, 501 quasi-regolare, 108 quasinorma compatibile, 238 quaternione, 150 questione, 632 quoziente, 131, 150 quoziente del gruppo G modulo il sottogruppo ker f , 120 radicale, 615 raffinamento, 43 raggio di convergenza, 325 raggio spettrale, 303 rango dell’operatore, 479 rappresentazione, 22, 124, 431, 523, 600 rappresentazione aggiunta, 600 rappresentazione coaggiunta, 617 rappresentazione coniugata, 125 rappresentazione della C*-algebra, 358 rappresentazione di Fock, 705 rappresentazione di Schrödinger, 675 rappresentazione di una C*-algebra, 391 rappresentazione identica, 130 rappresentazione lineare, 129 rappresentazione proiettiva, 130 rappresentazione regolare, 124, 529 rappresentazione regolare destra, 125 rappresentazione regolare sinistra, 143, 315 rappresentazione unitaria, 523 rappresentazione universale, 455 raro, 25, 70 regolare, 26, 108, 597 regole di commutazione di Weyl, 675 relativamente limitato, 502 relazione, 4 residuo, 337 rete, 27 reticolo vettoriale, 291 retratto, 52 retratto di deformazione, 53 rettangolo misurabile, 102 ricoprimento, 32 ricoprimento aperto, 32 ricoprimento finito, 30 riducibile, 131 riflessivo, 194 risolubile, 615 risolvente di A, 299 risolvente relativo ad A, 341 ritrazione, 52 rivestimento, 572 simmetrizzatore, 714 simplettomorfismo, 670 singolare, 336, 474 singolarità eliminabile, 336 singolarità essenziale, 336 sistema di coordinate locali, 584 sistema induttivo, 697 sistema ortonormale, 208 sollevamento, 54 somma diretta delle rappresentazioni, 394 somma diretta di moduli, 155 somma diretta di sottorappresentazioni, 135 sottoalgebra, 150, 282 sottobase, 25 sottocategoria, 17 sottogruppo, 119 sottogruppo generato da S, 121 sottoinsieme totale, 218 sottomodulo, 154 sottorappresentazione, 131, 436, 523 sottospazio determinante, 300 sottosuccessione, 28 spazi Lp , 113 spaziali, 647 spazio (di Hilbert) della rappresentazione, 391 spazio connesso, 44 spazio degli degli stati, 447 spazio delle fasi, 672 spazio di Banach, 177 spazio di Fréchet, 238 spazio di Hilbert, 177 spazio di misura, 85 spazio di probabilità, 112 spazio di Schwartz, 264 spazio metrico, 57 spazio misurabile, 83 spazio normato, 177 schema di assiomi, 2 se lo spazio X è connesso per archi, 50 segmenti nidificati, 69 Segmento iniziale, 7 Segmento iniziale aperto, 7 Segmento iniziale chiuso, 7 semialgebra di insiemi, 102 seminorma, 198 semisemplice, 135, 152, 614, 621 semplice, 121, 134, 151, 309, 426, 614, 621 semplicemente connesso, 51 separa i punti, 405 separabile, 72 separabilità, 72 serie di Fourier, 221 serie di Laurent, 333 serie di potenze, 324 serie trigonometrica, 221 settori di superselezione, 638 sezioni, 104 shift pesato, 304 shift unilatero, 213 simmetria sugli osservabili, 640 741 spazio pre-hilbertiano, 175 spazio simplettico, 669 spazio topologico, 24 spazio topologico quoziente, 30 spazio vettoriale topologico, 236 speranza matematica, 112 spettro congiunto, 341 spettro continuo, 353 spettro di A, 299 spettro essenziale, 356 spettro fisico, 631 spettro puntuale, 353 spezzata di Eulero, 77 spin, 570 stabilizzatore, 125 stati, 630 stati puri, 448, 631 stati vettoriali, 466 stato dominato, 448 stato regolare, 642 stessa cardinalità, 10 subordinata, 41 successione, 15 successione di Cauchy, 62 successione generalizzata, 27 successore, 5 superiormente, 111 supporto, 41, 108, 259 supporto centrale, 438 supporto di uno stato, 464 supremo essenziale, 113 suriettiva, 5 svanire, 258 teorema del nucleo di L. Schwartz, 729 teorema di Bochner, 532 teorema di Peano, 76 teorema di unicità di Dirac–Dixmier, 680 teorema ergodico elementare, 714 topologia, 24 topologia *-debole, 244 topologia cofinita, 73 topologia debole, 31, 244 topologia di Zariski, 27 topologia discreta, 25 topologia forte, 216 topologia indotta, 26 topologia prodotto, 31 topologia quoziente, 30 topologia relativa, 25 topologia ultradebole, 413 topologia ultraforte, 414 topologicamente irriducibile, 431, 523 topologicamente nilpotente, 311 topologicamente regolare, 109 toro n-dimensionale, 567 toro di dimensione 1, 31 toro massimale, 567 totalmente atomica, 402 totalmente limitato, 74 traccia, 428 traccia dell’operatore nucleare, 389 transitiva, 127 transitivo, 11 trasformata di Cayley, 487, 597 trasformata di Fourier, 229, 265, 274, 278 trasformata di Gel’fand, 311 trasformazione lineare simplettica, 670 trasformazione naturale, 21 trasformazioni ortocrone, 648 trasposta, 246 tangente, 250 temporali, 648 tensori, 159 tensori antisimmetrici, 166 tensori simmetrici, 162 teorema del grafo chiuso, 203 742 uniformemente continua, 60 uniformemente convergente, 325 unimodulare, 518 unità matriciali, 421 unitaria, 138, 139 unitariamente equivalenti, 139, 359, 391 universale, 22, 29, 573 valor medio, 634 valore assoluto, 102 variabile aleatoria, 112 varianza, 112 variazione totale, 102 varietà di Calabi–Rosenlicht, 593 varietà differenziabile, 589 vettore analitico, 501 vettore di unicità, 500, 551 vettore differenziabile, 499 743