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Modélisation et prévision

Conclusion

aj εt−j avec (εt) bruit blanc gaussien.

→ sous-classe des processus stationnaires : processus linéaires Gaussiens (stationnaires).

En particulier :

Kurtosis : ∀t, κ(Xt) = Cste = 3 (sous sas : 0) Skewness : ∀t, s(Xt) = Cste = 0.

→ la distribution des (Xt) est aussi "plate" que la gaussienne, et symétrique. Rendement instantané (return) : rt = ∇ log(Xt).

Analogie avec actif non-risqué et temps continu :

Observations sur la distribution des rt : périodes de forte volatilité → distribution "aplatie" ; volatilité plus faibleà la hausse qu'à la baisse → asymétrie par rapportà la valeur moyenne.

Remarques : ARCH = autoregressive conditional heteroscedasticity, Variance conditionnelle croissante avec les valeurs passées de X 2 t . bien sûr, non-conditionnellement homoscédastique, Kurtosis > 3, processus ARCH = bruit blanc faible (non gaussien).

Propriété : ARCH(p) et processus AR(p) Soit (Xt) ARCH(p) stationnaire t.q. (X 2 t ) stationnaire. Alors (X 2 t ) est un processus AR(p) : Le modèle GARCH (1986 : Tim Bollerslev) Rappel : ARCH Xt = htεt avec :

Définition : GARCH(p,q) (Xt) est un processus GARCH(p,q) s'il vérifie :

Alors (X 2 t ) est un processus ARMA(max(p,q),q) :

bj Zt−j + Zt où Zt (= X 2 t − ht) est un bruit blanc non gaussien.

→ identification de p et q sur ACF/PACF de (X 2 t ). Remarque : ne suffit bien sûr pas. On peut comparer les σ et AIC/SBC de différents modèles candidats. . .

A major contribution of the ARCH literature is the finding that apparent changes in the volatility of economic time series may be predictable and result from a specific type of nonlinear dependence rather than exogenous structural changes in variables.

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Autorégression (AR(p)) :

φi Xt−i + Zt.

Berra & Higgins 1993

Financial decisions are generally based upon the tradeoff between risk and return ; the econometric analysis of risk is therefore an integral part of asset pricing, portfolio optimization, option pricing and risk management. This paper has presented an example of risk measurement that could be the input to a variety of economic decisions. The analysis of ARCH and GARCH models and their many extensions provides a statistical stage on which many theories of asset pricing and portfolio analysis can be exhibited and tested.