Conservación de la energía

Conservación de la energía. Tipler. Capítulo 7. Conservación de la energía mecánica. 1. ¿Cuáles son las ventajas e inconvenientes de utilizar el principio de conservación de la energía mecánica en lugar de las leyes de Newton para resolver problemas? Trabajamos con magnitudes escalares, pero hay magnitudes que no se pueden calcular, tiempo, trayectoria, … 2. Dos objetos de masas desiguales están conectados por una cuerda sin masa que pasa por una polea sin rozamiento. Una vez liberados del reposo, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas? (U= energía potencial gravitatoria, E c= energía cinética del sistema). a) ∆U<0 y ∆Ec>0. b) ∆U=0 y ∆Ec>0. c) ∆U<0 y ∆Ec=0. d) ∆U=0 y ∆Ec=0. e) ∆U>0 y ∆Ec<0. Si no hay rozamiento y el sistema se mueve, al aumentar la energía cinética ha de disminuir la potencial y al contrario, al aumentar la potencial ha de disminuir la cinética. El proceso espontaneo es disminuir la potencial y aumentar la cinética. Opción a. 3. Dos piedras se lanzan con la misma velocidad inicial y en el mismo instante desde el tejado de un edificio. Una piedra se lanza bajo un ángulo de 30º por encima de la horizontal; la otra se lanza horizontalmente. (Despreciar la resistencia del aire). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Las piedras chocan contra el suelo al mismo tiempo y con iguales velocidades. b) Las piedras chocan contra el suelo al mismo tiempo y con diferentes velocidades. c) Las piedras chocan contra el suelo en tiempos distintos y con velocidades iguales. d) Las piedras chocan contra el suelo en tiempos distintos y con velocidades diferentes. Respuesta correcta la c. Al ser la misma la enrgia de salida ha de ser la misma la final. La piedra vertical tiene componente vertical de la velocidad y por tanto llegará más tarde. 4. Un bloque de masa m comprime un muelle hasta una distancia x y luego se deja en libertad. El muelle proyecta el bloque a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad v. El mismo muelle proyecta un segundo bloque de masa 4m con una velocidad 3v. ¿A qué distancia se comprimió el muelle en este último caso? En el primer caso: 𝟏 𝟐 𝟏 En el segundo caso: 𝟏 𝟐 𝒌 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ; 𝒗𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒙𝟐 𝟏 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝒎 ∗ 𝟗 ∗ 𝒗𝟐 Sustituyendo v de la primera situación: 𝒙𝟐 = 𝟔 ∗ 𝒙 5. Una muchacha en bicicleta que circula por una carretera horizontal a 10 m/s deja de pedalear cuando inicia una cuesta inclinada 30º con la horizontal. Ignorando las fuerzas de rozamiento, ¿qué distancia recorrerá sobre la colina antes de detenerse? a) 5,1 m b) 30 m c) 97 m d) 10,2 m e) La respuesta depende de la masa de la muchacha. 𝟏 𝒗𝟐 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ; 𝒉 = 𝟐∗𝒈 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒉 ; 𝒙 = Respuesta c. 𝒗𝟐 𝒉 𝟏𝟎𝟐 = 𝟐∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝒔𝒆𝒏𝟓 = 𝟗𝟕, 𝟒 𝒎 𝒔𝒆𝒏𝜽 6. Un péndulo de longitud L con una lenteja de masa m se separa lateralmente hasta que la lenteja se encuentra a una distancia L/4 por encima de su posición de equilibrio. La lenteja se deja entonces en libertad. Determinar la velocidad de la lenteja cuando sobrepasa la posición de equilibrio. 𝑳 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟒 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒗=√ 𝒈∗𝑳 𝟐 7. En una fiesta al aire libre, una niña se divierte lanzando balines de papel arrollado a sus amigos con un juguete de muelle que ella se ha construido. Uno de estos “proyectiles” de masa 200 g se apoya sobre el muelle cuya constante de fuerza es 300 N/m y éste se comprime 9 cm. a) Determinar el trabajo realizado por la niña y por el muelle en el lanzamiento. b) Si el balín sale despedido del muelle cuando éste se encuentra en su posición de equilibrio, determinar la velocidad del balín en este punto. c) Si el aparato está a 2,2 m sobre el césped, ¿Cuál será el alcance horizontal del balín si su masa es de 200 g? 𝟏 a) 𝑾𝒄𝒐𝒏𝒔 = −∆𝑼 = − (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 ) = −𝟎, 𝟓 ∗ 𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟗𝟐 = −𝟏, 𝟐𝟏𝟓 𝑱 El trabajo de la niña será positivo y con el mismo valor. b) 𝟏 𝟏 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ; 𝒗 = √ 𝟐 c) Suponemos tiro horizontal. 𝟏 𝟎 = 𝒚𝒐 − 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕𝟐 𝒌∗𝒙𝟐 𝒎 =√ 𝟑𝟎𝟎∗𝟎,𝟎𝟗𝟐 𝟎,𝟐 = 𝟑, 𝟒𝟗 𝒎/𝒔 𝒕 = 𝟎, 𝟔𝟕 𝒔 𝒙 = 𝒗 ∗ 𝒕 = 𝟑, 𝟒𝟗 ∗ 𝟎, 𝟔𝟕 = 𝟐, 𝟑𝟒 𝒎 8. Un bloque de 3 kg se desliza a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 7 m/s (figura). Después de recorrer una distancia de 2 m, encuentra una rampa sin rozamiento inclinada un ángulo de 40º con la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá el bloque en la rampa ascendente antes d detenerse? 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟐 𝟐 Por trigonometría: 𝒉 = 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 Por tanto: 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 𝒗𝟐 𝟕𝟐 𝟏 𝒙 = 𝟐∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 = 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 = 𝟑, 𝟖𝟗 𝒎 9. Un objeto de 3 kg en reposo (figura) se deja libre a una altura de 5m sobre una rampa curva y sin rozamiento. Al pie de la rampa existe un muelle cuya constante es k=400 N/m. El objeto se desliza por la rampa y choca contra el muelle comprimiéndole una distancia x antes de alcanzar momentáneamente el reposo. a) Determinar x. b) ¿Qué ocurre con el objeto después de alcanzar el reposo? a) 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟏 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝒙=√ 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒉𝟏 𝒌 =√ 𝟐∗𝟑∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟓 𝟒𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟖 𝒎 b) El cuerpo volverá a coger velocidad conforme se descomprime el muelle, pierde energía potencial elástica y gana cinética. Al desacoplarse del muelle saldrá con energía cinética igual a la inicial y llegar a la rampa, aquí la energía cinética se irá convirtiendo en potencial gravitatoria, llegará a la altura final de 5 m, igual a la inicial. 10. Un muelle vertical comprimido una distancia x se apoya sobre un suelo de hormigón. Cuando un bloque de masa m1 se sitúa sobre el muelle y este se libera, el bloque se proyecta hacia arriba hasta una altura h. Si un bloque de masa m 2=2m1 se sitúa sobre el muelle y éste se comprime de nuevo una distancia x y se libera, ¿a qué altura llegará? d) h a) h/4 b) h/2 c) h/√𝟐 En el primer lanzamiento: 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 ; 𝒌 = En el segundo lanzamiento: 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟐 𝒌∗𝒙𝟐 𝒉𝟐 = 𝟒∗𝒎 𝟏 ∗𝒈 Respuesta B. = 𝟐∗𝒎𝟏 ∗𝒈∗𝒉 ∗𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟒∗𝒎𝟏∗𝒈 𝟐∗𝒎𝟏∗𝒈∗𝒉 𝒙𝟐 𝒉 =𝟐 11. Si el muelle del problema 10 se comprime una distancia 2 x y sobre él se coloca el bloque de masa 2 m, ¿a qué altura llegará el bloque al liberar el muelle? b) √𝟐 h a) 2 h 𝟏 𝟐 c) h d) h/√𝟐 ∗ 𝒌 ∗ (𝟐 ∗ 𝒙)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟐 𝒉𝟐 = 𝒌∗𝟒∗𝒙𝟐 𝟒∗𝒈 = 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒉 ∗𝟒∗𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟒∗𝒎𝟏∗𝒈 =𝟐𝒉 Respuesta a. 12. Se lanza una pequeña pelota de 15 g mediante una pistola de juguete que posee un muelle cuya constante de fuerza es 600 N/m. El muelle puede comprimirse hasta 5 cm. ¿Qué altura puede alcanzar la pelota si se apunta verticalmente? 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝒌∗𝒙𝟐 𝟔𝟎𝟎∗𝟎,𝟎𝟓𝟐 𝒉 = 𝟐∗𝒎∗𝒈 = 𝟐∗𝟎,𝟎𝟏𝟓∗𝟗,𝟖𝟏 = 𝟓, 𝟏𝟎 𝒎 13. Una piedra se lanza horizontalmente con una velocidad de 20 m/s desde un puente de 16 m de altura sobre la superficie del agua. ¿Qué velocidad tiene la piedra al chocar con el agua? 𝟏 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 𝒗𝒇 = √𝒗𝟐𝒐 + 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = √𝟐𝟎𝟐 + 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟔 = 𝟐𝟔, 𝟕𝟐 𝒎/𝒔 14. Una grúa de un puerto levanta un contenedor de 4000 kg hasta una altura de 30 m, lo lleva oscilando sobre la cubierta de un buque y finalmente se deposita en la bodega que está 8 m por debajo del nivel del suelo del puerto. ¿Cuánto trabajo ha realizado la grúa? (Despreciar las perdidas por rozamiento) 𝑾𝒈𝒓ú𝒂 = ∆𝑬𝒎 𝑾𝒈𝒓ú𝒂 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝒇 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (−𝟖) = −𝟑𝟏𝟑 𝟗𝟐𝟎 𝑱 15. Un muchacho de 16 kg sobre un columpio de jardín lleva una velocidad de 3,4 m/s cuando el columpio de 6 m de longitud se encuentra en el punto más bajo de sus oscilaciones. ¿Qué ángulo forma el columpio con la vertical cuando el niño se encuentra en el punto más elevado? 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝟐 Por trigonometría: 𝒉 = 𝑳 − 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝜽) 𝟐 𝟑, 𝟒𝟐 𝒗𝟐 ) = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 (𝟏 − ) = 𝟔𝟒, 𝟒𝒐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝟏 − ( 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟔 𝟐∗𝒈∗𝑳 El ángulo pedido es el complementario: 90-64,4=25,6º 16. En 1983, Jacqueline De Creed, conduciendo un Ford Mustang 1967, dio un salto de 71 m, despegando de una rampa inclinada 30º con la horizontal. Si la masa del coche y el conductor era de 900 kg, determinar la energía cinética Ec y la energía potencial U del vehículo de De Creed en el punto más alto de su vuelo. Como tenemos un salto de 71 m, tiro parabólico: 𝟏 𝒚 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝒕 − 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕𝟐 𝒙 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒕 Del punto de caída: 𝒙 𝒕 = 𝒗 ∗𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒐 𝟎 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝒗 𝒗𝒐 = √ 𝒈∗𝒙 𝟐∗𝒔𝒆𝒏𝜽∗𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒙 𝒐 ∗𝒄𝒐𝒔𝜽 =√ 𝟏 − 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒗 𝟗,𝟖𝟏∗𝟕𝟏 𝟐∗𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 𝒙 𝒐 ∗𝒄𝒐𝒔𝜽 ) 𝟐 = 𝟐𝟖, 𝟑𝟔 𝒎/𝒔 En el punto más alto el coche tendrá una velocidad v 0x=vo*cos30 𝟏 𝟏 𝟏 𝑬𝒎𝟏 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐𝒙 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = ∗ 𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟖, 𝟑𝟔𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝟎 = 𝟐𝟕𝟏𝟒𝟒𝟖 𝑱 𝟐 𝟐 𝟐 Para la energía potencial: 𝟏 𝟏 𝑼 = 𝑬𝒄𝒐 − 𝑬𝒎𝟏 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 − 𝑬𝒎𝟏 = ∗ 𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟖, 𝟑𝟔𝟐 − 𝟐𝟕𝟏𝟒𝟒𝟖 = 𝟗𝟎𝟒𝟖𝟑 𝑱 𝟐 𝟐 17. El sistema que se muestra en la figura está en reposo cuando se corta la cuerda inferior. Determina la velocidad de los objetos cuando están a la misma altura. 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 En la situación 1 tenemos únicamente energía potencial: 𝑼𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟐 = 𝟑 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟎, 𝟓 + 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (−𝟎, 𝟓) = 𝟒, 𝟗𝟏 𝑱 En la situación final tota la energía será cinética (h=0) y las dos velocidades son iguales: 𝑬𝒄𝟐 = 𝑼𝟏 𝟏 ∗ (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) ∗ 𝒗𝟐 = 𝑼𝟏 𝟐 𝟐∗ 𝑼𝟏 𝒗 = √(𝒎 𝟏 +𝒎𝟐 ) =√ 𝟐∗𝟒,𝟗𝟏 𝟓 = 𝟏, 𝟒𝟎 𝒎/𝒔 18. Tres expedicionarios viajan por tierras del norte totalmente heladas. Uno de ellos experimenta una ceguera producida por el reflejo de la nieve y otro le conduce cogiéndole del brazo. Más atrás, el tercer compañero sufre una caída y se desliza por la superficie sin rozamiento del valle de un río helado como se indica en la figura. Si el punto Q está 4,5 m por encima del punto P, en donde el compañero está cayendo a una velocidad vo por la pendiente, ¿cómo se describiría esta situación al compañero ciego si a) V0=2m/s b) vo=5 m/s c)¿Cuál debe ser la velocidad inicial mínima para que el viajero que sufrió la caída alcance el punto Q? a) 𝑬𝒎𝒐 = 𝑬𝒎𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝑷 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒗 = √𝒗𝟐𝒐 + 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝒑 = √𝟐𝟐 + 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟎, 𝟏 𝒎/𝒔 b) 𝒗 = √𝒗𝟐𝒐 + 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝒑 = √𝟓𝟐 + 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟏, 𝟏 𝒎/𝒔 c) 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝑸 𝒗𝒐 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉𝑸 − 𝒉𝑷 ) = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝟗, 𝟓 − 𝟓) = 𝟗, 𝟒𝟎 𝒎/𝒔 19. Un bloque reposa sobre un plano inclinado como indica la figura. Por medio de una polea, el bloque está conectado a un muelle del cual se tira hacia abajo con una fuerza gradualmente creciente. El valor de µe es conocido. Determinar la energía potencial U del muelle en el momento que el bloque comienza a moverse. En el caso considerado: 𝑭𝒔𝒑 = 𝒇𝒔 𝒎𝒂𝒙 + 𝑷𝒙 = 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 En el muelle: 𝑭𝒔𝒑 = 𝒌 ∗ 𝒙 De ello: 𝒙= 𝝁𝒆 ∗𝒎∗𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 Para la energía potencial: 𝟏 𝑼 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 = (𝒎∗𝒈∗(𝝁𝒆 ∗𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒔𝒆𝒏𝜽))𝟐 𝟐∗𝒌 20. Una muchacha se desliza sin remedio por una superficie helada arrastrando con ella la cuerda de alpinismo. Un compañero que corre detrás de la muchacha consigue atrapar la cuerda cuando ella está justamente sobre el borde de un precipicio e intenta agarrarse a un árbol para evitar ser también arrastrado hacia el precipicio. Sea U=0 la energía potencial en la posición de la muchacha que oscila al aire libre en el extremo de la cuerda. Desgraciadamente la rama del árbol que mantiene a su compañero se rompe. a) Expresar la energía mecánica total de este sistema de dos cuerpos cuando la muchacha ha descendido la distancia y. b) Existe otro árbol que se encuentra 2 m más próximo del borde del acantilado que el primero. ¿Qué velocidad lleva el joven cuando logra alcanzar este segundo árbol? a) 𝑼 = −𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒚 b) 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 ∗ (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) ∗ 𝒗𝟐 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 = 𝟎 𝟐 𝟒∗𝒎𝟏∗𝒈 𝒗 = √𝒎 𝟏 +𝒎𝟐 21. Un bloque de 2,4 kg se lanza desde una altura de 5,0 m sobre un muelle cuya constante de fuerza es de 3955 N/m. Cuando el bloque alcanza momentáneamente el reposo, el muelle se ha comprimido 25 cm. Determinar la velocidad del bloque cuando la compresión del muelle es de 15,0 cm. 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 El nivel h=0 lo cogemos en la posición final del muelle para compresión máxima. Para la compresión máxima: Para una compresión de 15,0 cm tenemos: 𝟏 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + 𝒙) = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 + ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 + ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒗=√ 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒉−𝒌∗𝒙𝟐 𝒎 =√ 𝟐 𝟐 𝟐∗𝟐,𝟒∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟓,𝟏𝟓−𝟑𝟗𝟓𝟓∗𝟎,𝟏𝟓𝟐 𝟐,𝟒 = 𝟖, 𝟎𝟎 𝒎/𝒔 22. Una muchacha de masa m lleva una cesta de comida a su abuela. Para cruzar un riachuelo ata una cuerda de longitud R a la rama de un árbol y comienza o oscilar desde el reposo en el punto A que se encuentra a una distancia R/2 por debajo de la rama(figura). ¿Cuál es la tensión mínima de rotura de la cuerda para que esta no se rompa y la muchacha no caiga en el arroyo? 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝑹 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒗 = √𝒈 ∗ 𝑹 𝑻−𝒎∗𝒈 = 𝒎∗ 𝒗𝟐 𝑹 ;𝑻 = 𝒎 ∗𝒈+ 𝒎 ∗ 𝒈∗𝑹 𝑹 =𝟐∗𝒎∗𝒈 23. Una pelota en el extremo de una cuerda se mueve en un círculo vertical con energía constante E. ¿Qué diferencia existe entre la tensión en la parte más baja del círculo y la tensión en la parte más alta del mismo? En el punto más bajo: 𝟏 𝟐∗𝑬 𝑬 = 𝟐 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ; 𝒗 = √ 𝒎 𝑻𝒂𝒓𝒓𝒊𝒃𝒂 − 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ En el punto más alto: 𝟏 𝒗𝟐 𝟐∗𝑬 ; 𝑻𝒂𝒓𝒓𝒊𝒃𝒂 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒎 ∗ 𝒎∗𝑹 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝑹 𝟐∗𝑬 𝑹 𝟐∗𝑬 𝑬 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹; 𝒗 = √ 𝒎 − 𝒈 ∗ 𝟒 ∗ 𝑹 𝑻𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 + 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝑻𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 = 𝟐∗𝑬 𝑹 𝒗𝟐 𝑹 −𝟓∗𝒎∗𝒈 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂: |∆𝑻| = 𝟔 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ; 𝑻𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 = 𝒎 ∗ 𝟐∗𝑬 −𝒈∗𝟒∗𝑹 𝒎 𝑹 −𝒎∗𝒈 24. La vagoneta de una montaña rusa de masa 1500 kg parte de un punto situado a una altura H de 23 m sobre la parte más baja de un rizo de 15 m de diámetro(figura). Si el rozamiento es despreciable, la fuerza hacia debajo de los carriles sobre la vagoneta cuando están cabeza abajo en lo alto del rizo es a) 4,6 104N b) 3,1 104N c) 1,7 104N d) 980 N e)1,6 103N 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑯 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝑯 − 𝟐 ∗ 𝑹) 𝑭𝒏 + 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝑭𝒏 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝑹 𝒗𝟐 𝑹 −𝒎∗𝒈= 𝒎∗ 𝑭𝒏 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ ( Respuesta c. 𝟐∗𝟐𝟑 𝟕,𝟓 𝟐∗𝒈∗(𝑯−𝟐∗𝑹) 𝑹 −𝒎∗𝒈 = 𝒎∗𝒈∗( − 𝟓) = 𝟏, 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵 𝟐∗𝑯 𝑹 − 𝟓) 25. Una piedra se lanza hacia arriba bajo un ángulo de 53º por encima de la horizontal. Su altura máxima durante la trayectoria es de 24 m. ¿Cuál fue la velocidad de la piedra? 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑯 + ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒗=√ 𝟐∗𝒈∗𝑯 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 =√ 𝟐 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟐𝟒 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝟓𝟑 = 𝟐𝟕, 𝟐 𝒎/𝒔 26. Una pelota de béisbol de masa 0,17 kg se lanza desde el tejado de un edificio situado a 12 m por encima del suelo. Su velocidad inicial es de 30 m/s y el ángulo de lanzamiento 40º sobre la horizontal. a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la gravedad cuando la pelota se mueve desde el tejada hasta su altura máxima? c) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo? a) 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟏 + ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑯 𝟐 𝟏 𝑯 = 𝒉𝟏 + 𝟐 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝒈 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑𝟎𝟐 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽) = 𝟏𝟐 + 𝟐 ∗ 𝟗,𝟖𝟏 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟒𝟎) = 𝟑𝟏, 𝟎 𝒎 b) 𝑾𝑷 = −∆𝑼 = −𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝑯 − 𝒉𝟏 ) = 𝟎, 𝟏𝟕 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝟏𝟐 − 𝟑𝟏, 𝟎) = −𝟑𝟏, 𝟕 𝑱 𝟏 𝟏 c) 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟏 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝟐 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟏 + 𝒗𝟐𝒐 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟐 + 𝟑𝟎𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟕 𝒎/𝒔 27. Un péndulo de 80 cm de longitud con una lenteja de 0,6 kg se deja libre desde el reposo cuando forma un ángulo inicial θo con la vertical. En la parte más baja de su oscilación, la velocidad de la lenteja es 2,8 m/s. a) ¿Cuál era el ángulo inicial del péndulo? b) ¿Qué ángulo formará el péndulo con la vertical cuando la velocidad de la lenteja sea de 1,4 m/s? a) 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒐 + 𝒉 ; 𝒉 = 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒐 ) 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒐 ) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒐 = 𝟏 − b) 𝒗𝟐𝒇 𝟐∗𝒈∗𝑳 𝟐 ; 𝜽𝒐 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟏 − 𝟐,𝟖𝟐 𝜽𝒐 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟏 − 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟎,𝟖𝟎) = 𝟔𝟎, 𝟎 º 𝟏 𝟐 𝒗𝟐𝒇 𝟐∗𝒈∗𝑳 ) 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽 = (𝟏 − 𝟏 𝟐∗𝒈∗𝑳 ∗ (𝒗𝟐𝒇 − 𝒗𝟐 )) 𝟏 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟏 − 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟎,𝟖𝟎 ∗ (𝟐, 𝟖𝟐 − 𝟏, 𝟒𝟐 )) = 𝟓𝟏, 𝟑º 28. El puente Royal Gorge sobre el rio Arkansas tiene una altura aproximada L=310 m. Un saltador de masa 60 kg tiene una cuerda elástica atada a sus pies de longitud d= 50 m. Suponer que la cuerda actúa como un muelle de constante de fuerza k. El saltador se lanza, apenas toca el agua y después de numerosas subidas y bajadas se detiene a una altura h sobre el agua. a) Determinar h. b) Determinar la velocidad máxima alcanzada por el saltador. a) Por el dibujo, en la situación de máxima elongación del muelle: 𝑳 = 𝒅+𝒉+𝒙 En la situación de elongación máxima h=0. L=d+x ; xmax=310-50=260 m. En la situación final: 𝒎∗𝒈 =𝒌∗𝒙 Por energías entre la situación inicial y el de máxima elongaciónl: 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝑻𝒐𝒎𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂: 𝟏 𝟎 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝒎𝒂𝒙 𝟐 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 𝒌= 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝑳 𝒙𝒎𝒂𝒙 𝟐 = 𝟐∗𝟔𝟎∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟑𝟏𝟎 𝟐𝟔𝟎𝟐 = 𝟓, 𝟒𝟎 𝑵/𝒎 En el punto final tenemos equilibrio de fuerzas: 𝒌 ∗ 𝒙𝒇 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝒙𝒇 = 𝒎∗𝒈 𝒌 = 𝒎∗𝒈∗𝒙𝒎𝒂𝒙 𝟐 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝑳 Según el dibujo: 𝟐𝟔𝟎𝟐 = 𝟐∗𝟑𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟗 𝒎 L=d+h+xf 𝒉 = 𝑳 − 𝒅 − 𝒙𝒇 = 𝟑𝟏𝟎 − 𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟗 = 𝟏𝟓𝟏 𝒎 b) Consideramos el punto inicial y el punto de máxima velocidad: 𝟏 𝟏 𝟎 = −𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒅 + 𝒙) + ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 Despejamos v2: 𝒗 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒅 + 𝒙 ) − 𝒌 𝟐 𝒎 ∗ 𝒙𝟐 𝟐 La velocidad ha de ser máxima, por tanto, también la velocidad al cuadrado, derivamos e igualamos a cero: 𝒅𝒗𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐∗𝒈−𝟐∗ 𝒙= 𝒈∗𝒎 𝒌 𝒌 𝒎 = 𝟏𝟎𝟗 𝒎 ∗𝒙=𝟎 Substituimos en la expresión de v: 𝒌 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒅 + 𝒙) − 𝒎 ∗ 𝒙𝟐 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝟓𝟎 + 𝟏𝟎𝟗) − 𝟓,𝟒𝟎 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟗𝟐 = 𝟒𝟓, 𝟑 𝒎/𝒔 29. Un péndulo está formado por una lenteja de 2 kg atada a una cuerda ligera de longitud 3 m. La lenteja se golpea horizontalmente, de modo que alcanza una velocidad horizontal de 4,5 m/s. En el punto en que la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical a) ¿Cuál es la velocidad de la lenteja? b) ¿Cuál es su energía potencial? c) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? d) ¿Qué ángulo forma la cuerda con la vertical cuando la lenteja alcanza su máxima altura? a) 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 Altura cero en el punto 1. 𝟏 𝟐 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟐 𝒗𝟐𝟏 = 𝒗𝟐𝟐 + 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝑳 − 𝑳 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝒗𝟏 = √𝒗𝟐𝟏 − 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = √𝟒, 𝟓𝟐 − 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟑 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎) = 𝟑, 𝟓𝟐 𝒎/𝒔 b) 𝑼 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟑 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎) = 𝟕, 𝟖𝟗 𝑱 c) 𝑻 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝑻 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎 ∗ 𝟏 d) 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 𝟏 𝒗𝟐 𝑳 𝒗𝟐 𝑳 = 𝟑 ∗ (𝟗, 𝟖𝟏 + 𝟑,𝟓𝟐𝟐 𝟑 ) = 𝟐𝟓, 𝟑 𝑵 e) 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 𝟐 𝒗𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 − 𝟐∗𝒈∗𝑳 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟏 − 𝒗𝟐𝟏 𝟐∗𝒈∗𝑳 ) = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟏 − 𝟒,𝟓𝟐 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟑 ) = 𝟒𝟗, 𝟎𝒐 30. Un muchacho travieso está intentando matar ratones mediante un reloj de masa m atado al extremo de una estaca ligera (sin masa) de 1,4 m de longitud que cuelga de un clavo en la pared (figura). El extremo de la estaca con el reloj puede girar alrededor del otro extremo en un círculo vertical. El muchacho eleva el reloj hasta poner horizontalmente la estaca y cuando os ratones asoman su hocico por el agujero de su madriguera, empuja el reloj con una velocidad hacia abajo v. Pero el reloj falla el golpe y continúa su trayectoria circular con la energía suficiente para completar el círculo y golpear al muchacho en su cabeza, mientras los ratones gritan alborozados. a) ¿Cuál fue el valor de v? b) ¿Cuál fue la velocidad del reloj en la parte más baja de su oscilación? a) Cogemos como origen de altura la parte inferior del círculo. Comparamos el punto inicial con el punto superior del círculo y la velocidad mínima para girar (T=0 en el punto superior): 𝒎∗𝒈 = 𝒎∗ 𝒗𝟐𝟑 𝑳 ; 𝒗𝟑 = √𝑳 ∗ 𝒈 Comparamos ahora el punto inicial y el superior: 𝟏 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑳 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟑 𝒗 = √𝒗𝟐𝟑 + 𝟐 ∗ 𝐠 ∗ 𝐋 = √𝒈 ∗ 𝑳 + 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 = √𝟑 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 = √𝟑 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏, 𝟒 = 𝟔, 𝟒𝟐 𝒎/𝒔 b) 𝟏 𝟐 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟑 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒗𝟑 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 + 𝟑 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 = √𝟓 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 = √𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏, 𝟒 = 𝟖, 𝟐𝟗 𝒎/𝒔 31. Un péndulo está formado por una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. La cuerda se dispone en posición horizontal y se da a la lenteja la velocidad inicial mínima para que el péndulo de una vuelta completa en el plano vertical. a) ¿Cuál es la máxima energía cinética E c de la lenteja? b) ¿Cuál es en ese momento la tensión de la cuerda? a) De la condición de velocidad mínima: 𝒎∗𝒈 = 𝒎∗ 𝒗𝟐𝟑 𝑳 ; 𝒗𝟑 = √𝑳 ∗ 𝒈 Comparamos punto 1 y punto 3: 𝟏 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑳 + ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟑 𝟐 𝒗𝟏 = √𝒗𝟐𝟑 + 𝟐 ∗ 𝐠 ∗ 𝐋 = √𝒈 ∗ 𝑳 + 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 = √𝟑 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 La energía cinética es máxima en el punto inferior, tota energía mecáncia es cinética: 𝟏 𝟏 𝑬𝒄𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟑 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑳 𝑬𝒄𝟐 = 𝟐, 𝟓 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 b) La velocidad en el punto 2 es: 𝒗𝟐 = √𝟓 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 Por dinámica: 𝑻𝟐 − 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟐 𝑹 ;𝑻 = 𝒎 ∗𝒈+ 𝒎∗ 𝟓∗𝒈∗𝑳 𝑳 = 𝟔∗𝒎∗𝒈 32. Un muchacho de peso 360 N se balancea sobre una balsa de agua mediante una cuerda atada a la rama de un árbol en el borde de la balsa. La rama está a 12 m por encima del nivel del suelo y la superficie del agua de la balsa está a 1,8 m por debajo del suelo. El muchacho con la cuerda en la mano, se sitúa en un punto a 10,6 m de la rama y se mueve hacia atrás hasta que la cuerda forma un ángulo con la vertical de 23º. Entonces se lanza y cuando la cuerda está en posición vertical se suelta de la cuerda y cae en la balsa. Determinar la velocidad del muchacho en el momento de caer en el agua. 𝟏𝟎, 𝟔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟗, 𝟖 𝒎 ; 𝟏𝟎, 𝟔 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = 𝟎, 𝟖 12+1,8=10,6 +h ; h=3,2 m 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 = 𝑬𝒎𝟑 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽)) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟑 𝟐 Comparando los puntos 1 y 3, despejamos v3 : 𝒗𝟑 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽)) = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝟑, 𝟐 + 𝟏𝟎, 𝟔 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑) = 𝟖, 𝟗 𝒎/𝒔 33. Paseando junto a un estanque, un muchacho encuentra una cuerda atada a la rama de un árbol a 5,2 m del suelo y decide utilizarla para balancearse sobre el estanque. La cuerda está algo deteriorada, pero soporta su peso. El muchacho estima que la cuerda se romperá si la tensión supera en 80 N su propio peso. Agarra la cuerda en un punto que está a 4,6 m de la rama y se mueve hacia atrás para balancearse sobre el estanque. a) ¿Cuál es el ángulo inicial máximo entre la cuerda y la vertical que permite al muchacho balancearse con seguridad sin que se rompa la cuerda? b) Si el muchacho comienza con este ángulo máximo y la superficie del estanque está a1,2 m por debajo del nivel del suelo, ¿con qué velocidad entrará en el agua si se suelta cuando ésta pasa por la posición vertical? Suponer una masa de 66,3 kg para el muchacho. a) Comparamos los puntos 1 y 2: 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 − 𝒗𝟐𝟐 𝟐∗𝒈∗𝑳 𝟐 ; 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟏 − 𝒗𝟐𝟐 𝟐∗𝒈∗𝑳 ) Por la condición de rotura de la cuerda en el punto inferior: 𝑻−𝒎∗𝒈 = 𝒎∗ 𝒗𝟐𝟐 𝑳 =𝒎 𝒗𝟐𝟐 𝑳 ∗ (𝑻 − 𝑷 ) = 𝟒,𝟔 𝟔𝟔,𝟑 𝟓,𝟓𝟓 ∗ 𝟖𝟎 = 𝟓, 𝟓𝟓 𝒎𝟐 /𝒔𝟐 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟏 − 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟒,𝟔) = 𝟐𝟎, 𝟐𝒐 b) Si miramos las alturas indicadas: 5,2+1,2=4,6+h; h=1,8 m Comparamos los puntos 1 y 3: 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟑 𝟐 𝒗𝟑 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝟏, 𝟖 + 𝟒, 𝟔 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎, 𝟐) 𝒗𝟑 = 𝟔, 𝟑𝟗 𝒎/𝒔 34. Un péndulo de longitud L tiene una lenteja de masa m atada a una cuerda ligera y conectada a un muelle de constante de fuerza k. Con el péndulo en la posición indicada en la figura, el muelle se encuentra en su posición natural. Si ahora tiramos lateralmente de la lenteja hasta que la cuerda forme un ángulo pequeño θ con la vertical, ¿Cuál será la velocidad de la lenteja después de soltarla cuando pase por la posición de equilibrio? Comparamos la posición 1 y 2: 𝟏 𝟐 𝟏 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟐 𝟐 Para ángulo pequeño: 𝒙 ≈ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 𝟏 ∗ 𝒌 ∗ (𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟐 𝟐 Por ser ángulo pequeño: 𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝜽 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏 − ∗ 𝜽𝟐 Por tanto: 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 ∗ 𝒌 ∗ 𝑳𝟐 ∗ 𝜽𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝜽𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟐 𝒗𝟐 = 𝜽 ∗ √𝑳 ∗ (𝑲 ∗ 𝑳 + 𝟐 ∗ 𝒈) 35. Un péndulo está suspendido del techo y conectado a un muelle fijo en el extremo opuesto justo por debajo del soporte del péndulo (figura). La masa de la lenteja es m, la longitud del péndulo, L y la constante del muelle k. La longitud del muelle sin deformar es L/2 y la distancia entre la parte más baja del muelle y el techo es 1,5 L. el péndulo se desplaza lateralmente hasta formar un pequeño ángulo θ con la vertical y después se deja en libertad desde el reposo. Obtener una expresión para la velocidad de la lenteja cuando θ=0. Consideramos los puntos 1 y 2, tomamos altura cero en el punto 2: 𝟏 𝟏 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝟐 𝟐 Por Pitágoras en el triángulo inferior: 𝑳 (𝒙 + 𝑳/𝟐)𝟐 = 𝑳𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 + ( + 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽))𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 (𝒙 + 𝑳/𝟐) = 𝑳 ∗ (𝒔𝒊𝒏 𝜽 + 𝟏𝟒 + 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 − 𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝟐 ∗ ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽)) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 (𝒙 + 𝑳/𝟐) = 𝑳 ∗ (𝟏 + 𝟒 + 𝟏 − 𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝟏𝟑 𝟐 (𝒙 + 𝑳/𝟐)𝟐 = 𝑳𝟐 ∗ ( 𝟒 − 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝟏𝟑 𝒙 = 𝑳 ∗ [√ 𝟒 − 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟏/𝟐] Considerando la conservación de energía inicial: 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏𝟑 ∗ 𝒌 ∗ 𝑳𝟐 ∗ [√ − 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟏/𝟐] + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 Despejando v obtenemos la expresión pedida: 𝒌 𝒗 = √ ∗ 𝑳𝟐 ∗ [√ 𝒎 𝟏𝟑 𝟒 𝟏 𝟐 − 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − ] + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝟐 Conservación de la energía 36. Verdadero o falso: a) La energía total de un sistema no puede variar. b) Cuando una persona salta en el aire, el suelo, trabaja sobre ella incrementando su energía potencial. a) Falso, si actúan fuerzas no conservativas la energía del sistema cambia. b) Al saltar nuestro cuerpo hace una fuerza sobre el suelo y la fuerza de reacción del suelo sobre nosotros produce el movimiento. En este sentido la afirmación es correcta. En sentido energético nosotros gastamos energía al saltar y esta energía se convierte en energía potencial. 37. Un hombre se encuentra de pie sobre patines de ruedas junto a una pared rígida. Para iniciar el movimiento se apoya y empuja contra la pared. Analizar los cambios energéticos que tienen lugar en esta situación. La persona gasta energía haciendo una fuerza sobre la pared, la pared hace una fuerza sobre nosotros y no devuelve esta energía en forma de energía cinética. 38. Analizar los cambios energéticos que tienen lugar cuando un parte del reposo y acelera de modo que las ruedas no se deslizan. ¿qué fuerza externa acelera el coche? ¿Realiza trabajo esta fuerza? La energía química del combustible (o de la batería si es eléctrico) se convierte en energía cinética del vehículo. La fuerza que acelera el coche es la fuerza que hace el suelo sobre las ruedas (reacción a la de las ruedas sobre el suelo). Esta fuerza si hace trabajo. 39. Un cuerpo que cae a través de la atmósfera (la resistencia del aire está presente) aumenta su energía cinética en 20 J. La cantidad de energía potencial gravitatoria perdida es a) 20 J b) más de 20 J c) menos de 20 J d)imposible de conocer sin saber la masa del cuerpo e)imposible de conocer sin saber la distancia recorrida por el cuerpo Respuesta b. La energía potencial perdida se invierte en calor y energía cinética. 40. Supongamos que una persona puede suministrar energía a una tasa constante de 250 W. Estimar la rapidez con que puede subir cuatro tramos de escalera, cada uno de ellos de 3,5 m de altura. La altura total a subir son 4*3,5m=14 m Si suponemos una masa de 70 kg la persona ha de ganar una energía de: ∆𝑬𝒑 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 = 𝟕𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟒 = 𝟏𝟗𝟐𝟑 𝑱 El tiempo mínimo para subir (si no hay fricciones): ∆𝒕 = 𝑾 𝑷 = 𝟏𝟗𝟐𝟑 𝟐𝟓𝟎 = 𝟕, 𝟕 𝒔 En función de su masa: 𝟏𝟑𝟕, 𝟑𝟒 ∗ 𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟓 ∗ 𝒎 𝒔 𝟐𝟓𝟎 41. Un patinador de 70 kg, empujando contra la pared de una pista de patinaje, adquiere una velocidad de 4 m/s. a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el patinador? b) ¿Cuál es la variación de energía mecánica del mismo? c) Analizar el principio de conservación de la energía aplicada al patinador. ∆𝒕 = 𝟏 𝟏 a) b) 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔 = ∆𝑬𝒎 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟕𝟎 ∗ 𝟒𝟐 = 𝟓𝟔𝟎 𝑱 c)La persona gasta energía que se convierte en energía cinética. 42. En una erupción volcánica se expulsó una masa de 4 km 3 de montaña con una densidad de 1600 kg/m3 hasta una altura media de 500 m. a) ¿Cuánta energía en julios se liberó en esta erupción? b) La energía liberada en una bomba termonuclear se mide en megatones de TNT, siendo 1 megatón de TNT=4,2*1015 J. Expresar la respuesta de a en megatones de TNT. a) ∆𝑬𝒑 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 = 𝝆 ∗ 𝑽 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟓𝟎𝟎 = 𝟑𝟏, 𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑱 b) 𝟑𝟏, 𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑱 ∗ 𝟏 𝑴𝒆𝒈𝒂𝒕ó𝒏 𝟒,𝟐∗𝟏𝟎𝟓𝑱 = 𝟕, 𝟓 𝑴𝒆𝒈𝒂𝒕𝒐𝒏𝒆𝒔 43. Un estudiante de física de 80 kg sube a un monte de 120 m de altura. a) ¿Cuál es el incremento de energía potencial gravitatoria del estudiante al llegar a la cumbre del monte? b) ¿De dónde procede esta energía? c) El organismo del estudiante tiene un rendimiento del 20 por ciento, es decir por cada 100 J de energía interna consumida, 20 J se convierten en energía mecánica y 80 J se pierden en forma de calor. ¿Cuánta energía química es consumida por el estudiante durante el ascenso al monte? a) ∆𝑬𝒑 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 = 𝟖𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟐𝟎 = 𝟗𝟒𝟏𝟕𝟔 𝑱 b) Procede de la energía metabólica de la persona. c) 𝟗𝟒𝟏𝟕𝟔 𝑱 ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎 = 𝟒𝟕𝟎 𝟖𝟖𝟎 𝑱 44. En 1993, Carl Fentham de Gran Bretaña levantó un barril de cerveza (masa 62 kg) a una altura de unos 2 m, 676 veces en 6 h. Suponiendo que el trabajo se realizaba solo cuando ascendía el barril, estimar cuántos barriles de cerveza debería beber para recuperar la energía consumida en aquel ejercicio. (Un litro de cerveza tiene una masa próxima a 1 kg y proporciona alrededor de 1,5 MJ de energía. Despreciar en los cálculos la masa del barril vacío). ∆𝑬𝒑 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 = 𝟔𝟐 ∗ 𝟔𝟕𝟔 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟐 = 𝟖𝟐𝟐𝟑𝟏𝟑 𝑱 𝟖𝟐𝟐 𝟑𝟏𝟑 𝑱 ∗ 𝟏 𝑴𝑱 𝟏𝟎𝟔𝑱 ∗ 𝟏𝑳 𝟏,𝟓 𝑴𝑱 Rozamiento cinético ∗ 𝟏 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒊𝒍 𝟔𝟐 𝑳 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟖 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒊𝒍𝒆𝒔 45. Analizar las implicaciones energéticas que tienen lugar al tirar de un bloque a lo largo de una carretera rugosa. Al tirar gastamos energía que trasladamos al cuerpo, esta energía se invierte en energía cinética del bloque y calor que se disipa como consecuencia de la fricción. 46. Un coche de 2000 kg se mueve sobre una carretera horizontal con velocidad inicial de 25 m/s. Se detiene a los 60 m por la acción de una fuerza de rozamiento constante. a) ¿Cuánto trabajo se realiza por la fuerza de rozamiento cinético? b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético entre los neumáticos y la carretera? 𝟏 𝟏 a) 𝑾𝑹𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 = − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 = − ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟓𝟐 = −𝟔𝟐𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝑱 𝟐 𝟐 b) 𝝁 ∗ 𝑵 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎 = 𝑾𝑹𝒐𝒛 ; 𝝁 = −𝑾𝑹𝒐𝒛 𝑵∗∆𝒙 = −𝑾𝑹𝒐𝒛 𝑷∗∆𝒙 𝟔𝟐𝟓 𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟓𝟑 47. Un trineo de 8 kg se encuentra inicialmente en reposo sobre una carretera horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el trineo y la carretera es 0,4. El trineo se empuja a lo largo de una distancia de 3 m con una fuerza de 40 N que forma un ángulo de 30º con la horizontal. a) Determinar el trabajo realizado por la fuerza aplicada. b) Determinar la energía disipada por rozamiento. c) Calcular la variación de energía cinética experimentada por el trineo. d) Determinar la velocidad del trineo después de recorrer la distancia de 3m. a) 𝑾𝑭 = 𝑭 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟒𝟎 ∗ 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 = 𝟏𝟎𝟒 𝑱 b) 𝑭𝒏 + 𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 ; 𝑭𝒏 = 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑭 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑾𝑭𝒌 = 𝒇𝒌 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎 = − 𝝁 ∗ (𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑭 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝜽) ∗ ∆𝒙 𝑾𝑭𝒌 = −𝟎, 𝟒 ∗ (𝟖 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 − 𝟒𝟎 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎) ∗ 𝟑 = 𝟕𝟎, 𝟐 𝑱 c) 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔 = ∆𝑬𝒎 ∆𝑬𝒄 = 𝑾𝑭 + 𝑾𝑹𝒐𝒛 = 𝑭 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝝁 ∗ (𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑭 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝜽) ∗ ∆𝒙 ∆𝑬𝒄 = 𝟒𝟎 ∗ 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 − 𝟎, 𝟒 ∗ (𝟖 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 − 𝟒𝟎 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎) ∗ 𝟑 = 𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟎, 𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟖 𝑱 𝟏 d) ∆𝑬𝒄 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 ; 𝒗𝒇 = √ 𝟐∗∆𝑬𝒄 𝒎 =√ 𝟐∗𝟑𝟑,𝟖 𝟖 = 𝟐, 𝟗𝟏 𝒎/𝒔 48. Suponer que las superficies del problema 8 poseen rozamiento y que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y las superficies es 0,30. Determinar a) La velocidad del bloque cuando alcanza la rampa y b) La distancia que alcanzará el objeto en su deslizamiento antes de quedar momentáneamente en reposo (Despreciar la energía disipada a lo largo de la curva de transición). a) Distancia a la rampa 2 m 𝟏 𝑾𝑹𝒐𝒛 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 𝟏 −𝟐∗𝒎 𝟏 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟐 𝟐 𝒗𝒇 = √𝒗𝟐𝒐 − 𝟐 ∗ 𝝁 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 = √𝟕𝟐 − 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟑𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟐 = 𝟔, 𝟏𝟎 𝒎/𝒔 b) Consideramos el movimiento en la rampa: 𝟏 𝟏 𝑾𝑹𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ ∆𝒙 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ∆𝒙 = 𝒗𝟐 𝟐∗𝒈∗(𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎+𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎) = 𝟔,𝟓𝟕𝟐 (𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗(𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎+𝟎,𝟑𝟎∗𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎) = 𝟐, 𝟏𝟕 𝒎/𝒔 49. Un bloque de 2 kg situado a una altura de 3 m se desliza por una rampa curva y lisa desde el reposo (figura). Resbala 9 m sobre una superficie horizontal rugosa antes de llegar al reposo. a) ¿Cuál es la velocidad del bloque en la parte inferior de la rampa? b) ¿Cuánta energía se ha disipado por rozamiento? c) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal? a) La única fuerza que actúa es el peso, conservativa, por tanto, la energía mecánica se conserva. 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ; 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟑 = 𝟕, 𝟔𝟕 𝒎/𝒔 b) Como el bloque al final está en reposo y la única fuerza no conservativa es la fricción, toda la energía inicial se ha perdido por rozamiento. 𝑾𝑹𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 = −𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = −𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟑 = −𝟓𝟖, 𝟗 𝑱 c) −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 = −𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝒉 𝝁 = ∆𝒙 = 𝟎, 𝟑𝟑 50. Una niña de 20 kg se desliza por un tobogán de 3,2 m de altura. Cuando alcanza su parte inferior lleva una velocidad de 1,3 m/s. a) ¿Cuánta energía se ha disipado por rozamiento? b) Si el tobogán está inclinado 20º, ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre la niña y la superficie de deslizamiento? 𝟏 𝟏 a) ∆𝑬𝒎 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝟐𝟎 ∗ 𝟏, 𝟑𝟐 − 𝟐𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟑, 𝟐 = −𝟔𝟏𝟏 𝑱 b) 𝑾𝑹𝒐𝒛 = 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ ∆𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎 = −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝝁= −𝑾𝒓𝒐𝒛 ∗𝒕𝒈𝜽 𝒎∗𝒈∗∆𝒉 = 𝟔𝟏𝟏∗𝒕𝒈𝟐𝟎 𝟐𝟎∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟑,𝟐 = 𝟎, 𝟑𝟓𝟒 ∆𝒉 𝒔𝒆𝒏𝜽 = −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 𝒕𝒈𝜽 51. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque de 4 kg y la plataforma de la figura es 0,35. a) Determinar la energía disipada por rozamiento cuando el bloque de 2 kg cae una distancia y. b) Calcular la energía mecánica total del sistema después de caer el bloque de 2 kg la distancia y, suponiendo que inicialmente E=0. c) Utilizar el resultado de b para determinar la velocidad de cualquiera de los bloques después que el bloque de 2 kg cae 2 m. a) 𝑾𝑹𝒐𝒛 = −𝝁 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒚 = −𝟎, 𝟑𝟓 ∗ 𝟒 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝒚 = −𝟏𝟑, 𝟕 ∗ 𝒚 𝟏 b) 𝑬𝒎 = [ ∗ (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) ∗ 𝒗𝟐 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒚] 𝟐 c) 𝑾𝑹𝒐𝒛 = −𝟏𝟑, 𝟕 ∗ 𝒚 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝟏𝟑, 𝟕 ∗ 𝒚 = [ ∗ (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) ∗ 𝒗𝟐 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒚] − 𝟎 𝒗= 𝟐 𝟐∗𝒚∗(𝒎 ∗𝒈−𝟏𝟑,𝟕) √ (𝒎 𝟐+𝒎 ) 𝟏 𝟐 =√ 𝟐∗𝟐∗(𝟐∗𝟗,𝟖𝟏−𝟏𝟑,𝟕) (𝟒+𝟐) = 𝟏, 𝟗𝟖 𝒎/𝒔 52. Niels Lied, un meteorólogo australiano jugaba en una ocasión al golf sobre el hielo de la Antártida y lanzó una pelota a una distancia horizontal de 2400 m. En una primera estimación, supongamos que la pelota despegó según un ángulo de 45º, recorrió una distancia horizontal de 200 m sin resistencia del aire y luego se deslizó por el hielo sin rebotar con una velocidad igual a la componente horizontal de la velocidad inicial. Estimar el coeficiente de rozamiento cinético µc entre el hielo y la bola. 𝒙 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒕 𝟏 𝒚 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝒕 − ∗ 𝒈 ∗ 𝒕𝟐 𝟐 Para la caída al suelo: 𝟏 𝟎 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝒕 − 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒕𝟐 ; 𝒕 = 𝒙𝑺𝒖𝒆𝒍𝒐 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝟐∗𝒗𝒐 ∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐∗𝒗𝒐 ∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒈 𝒙 ∗𝒈 𝒈 𝑺𝒖𝒆𝒍𝒐 ; 𝒗𝒐 = √𝟐∗𝒄𝒐𝒔𝜽∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 𝒙 Para el movimiento horizontal una vez ha caído: 𝟏 𝑾𝒓𝒐𝒛 = −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝟐𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎) = 𝟎 − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 ∗𝒈 𝟐 𝑺𝒖𝒆𝒍𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝝁 ∗ 𝒈 ∗ (𝟐𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎) = 𝟐 ∗ 𝟐∗𝒄𝒐𝒔𝜽∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝝁 = 𝟐∗𝒕𝒈𝜽∗(𝟐𝟒𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟎) = 𝟐∗(𝟐𝟒𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟎) = 𝟎, 𝟎𝟒𝟓 53. Una partícula de masa m se mueve en un círculo horizontal de radio r sobre una mesa rugosa. La partícula está sujeta a una curda fija en el centro del círculo. La velocidad de la partícula es inicialmente v o. Después de completar una vuelta alrededor del círculo la velocidad de la partícula es ½ v o. a) Determinar el trabajo realizado por rozamiento durante una vuelta en función de m, vo y r. b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético? c) ¿Cuántas vueltas dará la partícula antes de alcanzar la situación de reposo? a) 𝑾𝑹𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝑾𝑹𝒐𝒛 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝟐 ∗ 𝒗𝒐 ) − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟑 𝑾𝑹𝒐𝒛 = − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟖 𝟑 b) −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = − 𝟖 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝝁=− 𝟑 𝟏𝟔 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝝅∗𝒈∗𝒓 𝟏 c) −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒏 = − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝒗𝟐 𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟒 𝒐 = 𝟐 ∗ 𝟑∗𝟐 = 𝟑 𝒓𝒆𝒗𝒐𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒏 = 𝟒 ∗ 𝝁∗𝒈∗𝟐∗𝝅∗𝒓 4/3 vueltas desde el principio, después de la primera vuelta 1/3 de vuelta hasta pararse. 54. En 1987, el esquiador británico Grahan Wilkie alcanzó una velocidad de v=211 km/h cuesta abajo. Suponiendo que después de alcanzar la máxima velocidad al final de la pista de descenso hubiese continuado deslizándose sobre una superficie horizontal, determinar la máxima distancia d que hubiera recorrido en esta superficie. Suponer el coeficiente de rozamiento cinético µc es constante en todo el recorrido; despreciar la resistencia del aire. Suponer que la colina tiene 225 m de altura con una pendiente constante de 30º sobre la horizontal. Considerando el final de la colina y el movimiento horizontal: 𝑾𝑹𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒅 = − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝟏 𝒅= ∗ 𝟐 𝒗𝟐 𝝁∗𝒈 En la colina: 𝑾𝑹𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 Por geometría en el plano inclinado: h=x*senθ. 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝝁= 𝟏 𝟐 ( ∗𝒗𝟐 −𝒈∗𝒉)∗𝒕𝒈𝜽 𝟏 𝝁 = (𝟐 ∗ 𝒈∗𝒉 𝟐𝟏𝟏 𝟐 ) 𝟑,𝟔 ( 𝟗,𝟖𝟏∗𝟐𝟐𝟓 𝒉 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 𝟏 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝟐 𝒗𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒈∗𝒉 − 𝒕𝒈𝜽 − 𝒕𝒈𝟑𝟎) = 𝟎, 𝟐𝟎 55. Durante el rodaje de una película, una pareja de cómicos han de empujar una estufa de 80 kg por una rampa rugosa, inclinada un ángulo de 10º, para cargarla en un camión. Comienzan por empujar la estufa sobre el suelo horizontal para coger velocidad y cuando llegan a la rampa le dan un empuje final esperando que todo irá bien. Desgraciadamente la estufa se detiene a corta distancia sobre la rampa y a continuación se desliza hacia abajo, con lo cual los cómicos salen dando tumbos. a) Si la estufa alcanza una velocidad de 3,0 m/s en la parte más baja de la rampa y una velocidad de 0,8 m/s cuando está 2 m más arriba, ¿Cuál es la máxima altura alcanzada? b) ¿Cuál es la velocidad de la estufa cuando vuelve a pasar por el punto de 2 m? c) ¿Cuánta energía se disipo por rozamiento durante el viaje de ida y vuelta al fondo de la rampa? a) De los datos en los dos puntos del enunciado: 𝟏 𝟏 𝑾𝒓𝒐𝒛 = (𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟏 ) − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟏 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒙 = (𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽) − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟐 𝝁= 𝟏 ∗(𝒗𝟐𝒐 −𝒗𝟐𝟏 )−𝒈∗𝒙∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐 𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽∗𝒙 Substituimos valores con x= 2 m: 𝟏 ∗(𝟗−𝟎,𝟖𝟐 )−𝟗,𝟖𝟏∗𝟐∗𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎 𝝁=𝟐 𝟗,𝟖𝟏∗𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎∗𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟒 Comparando el punto inicial y la altura máxima: 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒙 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟏 𝒙=𝟐∗ 𝒗𝟐𝒐 𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∗𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟑𝟐 𝒙 = 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗(𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎+𝟎,𝟎𝟒∗𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎) = 𝟐, 𝟏𝟓 𝒎 b) Comparamos el punto de altura máxima y el punto de 2 m al bajar (distancia recorrida 0,15 m): 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ ∆𝒙 = (𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ) − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙𝒎𝒂𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎 c) 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒙𝒎𝒂𝒙 − 𝒙) ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎 − 𝝁 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟒 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟑 𝒎/𝒔 𝑾𝒓𝒐𝒛 = −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ ∆𝒙 𝑾𝒓𝒐𝒛 = −𝟎, 𝟎𝟒 ∗ 𝟖𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎 ∗ (𝟐, 𝟏𝟓 ∗ 𝟐) = −𝟏𝟑𝟑 𝑱 56. Un bloque de 2,4 kg posee una velocidad inicial de 3,8 m/s dirigida hacia arriba sobre un plano rugoso inclinado 37º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es 0,30. ¿Qué distancia sobre el plano inclinado sube el bloque? ¿Cuál es su velocidad cuando llega al punto de partida en el viaje de regreso cuesta abajo? 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝑳 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟐 𝒐 𝒐 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∗𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟐∗𝒈∗(𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝟑,𝟖𝟐 𝑳 = 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗(𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕+𝟎,𝟑𝟎∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕) = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓 𝒎 Comparamos punto más alto y vuelta al punto inferior: 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝑳 = (𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ) − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟎, 𝟖𝟕𝟓 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕 − 𝟎, 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕) = 𝟐, 𝟒𝟗 𝒎/𝒔 57. Un bloque de masa m descansa sobre un plano rugoso inclinado θ grados sobre la horizontal (figura). El bloque está unido a un muelle de constante k próximo a la parte alta del plano. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el bloque y el plano son µe y µc respectivamente. Tiramos del muelle lentamente hacia arriba a lo largo del plano hasta que el bloque comienza a moverse. a) Determinar una expresión para el alargamiento d del muelle en el momento que el bloque se mueve. b) Determinar el valor de µc tal que el bloque se detenga justo cuando el muelle se encuentra en su condición natural, es decir, ni alargado, ni comprimido . a) 𝑭𝒎𝒖𝒆𝒍𝒍𝒆 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎 𝒌 ∗ 𝒅 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁𝒆 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎 𝒅= 𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁𝒆 ∗𝒎∗𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒌 = 𝒎∗𝒈 𝒌 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝝁𝒆 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) b) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = 𝑬𝒎𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝑬𝒎𝒐 𝑾𝒓𝒐𝒛 = −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒅 𝑬𝒎𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝑼𝒆𝒍𝒂𝒔 + 𝑼𝒑𝒐𝒕 + 𝑬𝒄 = 𝟎 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 + 𝟎 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 𝟏 𝑬𝒎𝒐 = 𝑼𝒆𝒍𝒂𝒔 + 𝑼𝒑𝒐𝒕 + 𝑬𝒄 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒅𝟐 + 𝟎 + 𝟎 = ∗ 𝒌 ∗ 𝒅𝟐 𝟐 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒅 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒅 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒅𝟐 𝝁= 𝟏 ∗𝒌∗𝒅𝟐 −𝒎∗𝒈∗𝒅∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐 𝒎∗𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽∗𝒅 Masa y energía 𝒌∗𝒅 = 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒕𝒈𝜽 58. ¿Cuánta masa en reposo se consume en el núcleo de una central eléctrica de combustible nuclear al producir a) Un julio de energía térmica. b) Suficiente energía para mantener encendida una bombilla luminosa de 100 W durante 10 s. 𝑬 𝟏𝑱 a) 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒄𝟐 ; 𝒎 = 𝒄𝟐 = (𝟑∗𝟏𝟎𝟖)𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟕 𝑲𝒈 𝑬 𝟏𝟎𝟑𝑱 b) 𝑾 = 𝑷 ∗ 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟑 𝑱 ; ; 𝒎 = 𝒄𝟐 = (𝟑∗𝟏𝟎𝟖)𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟒 𝑲𝒈 59. a) Calcular la energía en reposo que hay en 1 g de polvo. b)Si se pudiera convertir esta energía en forma eléctrica y venderla a 10 céntimos el kilovatio-hora, ¿Cuánto dinero se obtendría? c) Sí con esta energía se encendiera una lámpara de 100 W, ¿durante cuánto tiempo permanecería encendida? 𝟐 a) 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒄𝟐 = 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 ∗ (𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟖 ) = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝑱 b) 𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝑱 ∗ c) 𝒕 = 𝑾 𝑷 = 𝟏 𝒌𝑾−𝒉𝒐𝒓𝒂 𝟑,𝟔∗𝟏𝟎𝟔 𝑱 𝟏𝟑 𝟗∗𝟏𝟎 𝑱 𝟏𝟎𝟎 𝑾 ∗ 𝟎,𝟏𝟎 𝒆𝒖𝒓𝒐𝒔 𝟏 𝒌𝑾 𝒉𝒐𝒓𝒂 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒖𝒓𝒐𝒔 = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒔 = 25000000 horas 60. Un muon tiene una energía en reposo de 105,7 MeV. Calcular su masa en reposo en kilogramos. 𝟏𝟎𝟔 𝒆𝑽 𝟏𝟎𝟓, 𝟕 𝑴𝒆𝑽 ∗ 𝟏 𝑴𝒆𝑽 ∗ 𝑬 𝒎 = 𝒄𝟐 = 𝟏,𝟔𝟗∗𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑱 (𝟑∗𝟏𝟎𝟖)𝟐 𝟏,𝟔𝟔 𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑱 𝟏𝒆𝑽 = 𝟏, 𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑱 = 𝟏, 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟖 𝒌𝒈 61. Con referencia a la reacción de fusión: 𝟐 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏𝑯 + 𝟏𝑯 → 𝟐𝑯𝒆 + 𝒐𝒏 Calcular el número de reacciones por segundo que serían necesarias para obtener 1 kW de potencia (Energía en reposo: 𝟑 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏𝑯: 𝟏𝟖𝟕𝟓, 𝟔𝟐𝟖 𝑴𝒆𝑽 ; 𝟏𝑯: 𝟐𝟖𝟎𝟖, 𝟗𝟒𝟒 𝑴𝒆𝑽 ; 𝟐𝑯𝒆 : 𝟑𝟕𝟐𝟕, 𝟒𝟎𝟗 ; 𝟎𝒏 ∶ 𝟗𝟑𝟗, 𝟓𝟕𝟑 𝑴𝒆𝑽 ) 𝑬𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝟏𝟖𝟕𝟓, 𝟔𝟐𝟖 + 𝟐𝟖𝟎𝟖, 𝟗𝟒𝟒 − 𝟑𝟕𝟐𝟕, 𝟒𝟎𝟗 − 𝟗𝟑𝟗, 𝟓𝟕𝟑 = 𝟏𝟕, 𝟓𝟗 𝑴𝒆𝑽 𝟏𝒆𝑽 𝟏 𝑴𝒆𝑽 𝟏 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑱 ∗ 𝟏,𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑱 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝒆 𝑽 ∗ 𝟏𝟕,𝟓𝟗 𝑴𝒆𝑽 = 𝟑, 𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 62. Calcular la energía necesaria para extraer un neutrón del 𝟒𝟐𝑯𝒆 convirtiéndose en 𝟑 𝟑 𝟐𝑯𝒆 más un neutrón. ( la energía en reposo del 𝟐𝑯𝒆 es 2808,41 MeV). Energía en reposo: 𝟒𝟐𝑯𝒆: 𝟑𝟕𝟐𝟕, 𝟒𝟎𝟗 𝑴𝒆𝑽 ; 𝟏𝟎𝒏 ∶ 𝟗𝟑𝟗, 𝟓𝟕𝟑 𝑴𝒆𝑽 𝑬𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒂 = 𝟐𝟖𝟎𝟖, 𝟒𝟏 + 𝟗𝟑𝟗, 𝟓𝟕𝟑 − 𝟑𝟕𝟐𝟕, 𝟒𝟎𝟗 = 𝟐𝟎, 𝟓𝟕𝟒 MeV 63. Un neutrón libre en reposo se desintegra en u protón más un electrón: 𝒏 → 𝒑 + 𝒆 . Calcular la energía liberada en este proceso. (Energías en reposo: 𝟏 −𝟏 𝟏 𝟎𝒏 ∶ 𝟗𝟑𝟗, 𝟓𝟕𝟑 𝑴𝒆𝑽 ; 𝟏𝒑 ∶ 𝟗𝟑𝟖, 𝟐𝟖𝟎 𝑴𝒆𝑽 ; 𝟎𝒆 ∶ 𝟎, 𝟓𝟏𝟏𝟎 𝑴𝒆𝑽 ) 𝑬𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝟗𝟑𝟗, 𝟓𝟕𝟑 − 𝟗𝟑𝟖, 𝟐𝟖𝟎−: 𝟎, 𝟓𝟏𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟕𝟖𝟐 𝑴𝒆𝑽 64. En una reacción de fusión nuclear, dos núcleos de 𝟐𝟏𝑯 se combinan para producir 𝟒 𝟐𝑯𝒆 . a) ¿Cuánta energía se libera esta reacción? b) ¿Cuántas reacciones de este tipo tienen lugar por segundo para producir 1 kW de potencia? (𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒓𝒆𝒑𝒐𝒔𝒐: 𝟒𝟐𝑯𝒆: 𝟑𝟕𝟐𝟕, 𝟒𝟎𝟗 𝑴𝒆𝑽¸ 𝟐𝟏𝑯: 𝟏𝟖𝟕𝟓, 𝟔𝟐𝟖 𝑴𝒆𝑽) a) 𝑬𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟖𝟕𝟓, 𝟔𝟐𝟖 − 𝟑𝟕𝟐𝟕, 𝟒𝟎𝟗 =23,847 MeV 𝟏𝒆𝑽 b) 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑱 ∗ 𝟏,𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱 ∗ 𝟏 𝑴𝒆𝑽 𝟏𝟎𝟔 𝒆 𝑽 𝟏 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 ∗ 𝟐𝟑,𝟖𝟒𝟕 𝑴𝒆𝑽 = 𝟐, 𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 65. Una gran central nuclear produce 3000 MW de potencia por fisión nuclear, que convierte la masa m energía. a) ¿Cuánta masa se convierte en energía al cabo de un año? b) En una central térmica de carbón, cada kilogramo de carbón libera en la combustión 31 MJ. ¿Cuántos kilogramos de carbón se necesitarán anualmente para una central de 3000 MW? a) 𝟏 𝒂ñ𝒐 ∗ 𝟑𝟔𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔 𝟏 𝒂ñ𝒐 𝟑𝟏𝟓𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒔 ∗ 𝑬 𝒎 = 𝒄𝟐 = ∗ 𝟐𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝟏 𝒅𝒊𝒂 𝟑𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟎𝟔 𝑱 𝟏𝒔 𝟗,𝟒𝟔𝟎𝟖∗𝟏𝟎𝟏𝟔 𝑱 (𝟑∗𝟏𝟎𝟖)𝟐 b) 𝟑𝟏𝟓𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒔 ∗ Problemas generales 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂 = 𝟑𝟏𝟓𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒔 = 𝟗, 𝟒𝟔𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟔 𝑱 = 𝟏, 𝟎𝟓 𝒌𝒈 𝟑𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟎𝟔𝑱 𝟏𝒔 ∗ ∗ 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 𝟑𝟏∗𝟏𝟎𝟔𝑱 = 𝟑𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟐 𝒌𝒈 66. Un bloque de masa m, inicialmente en reposo, se arrastra con una cuerda hacia arriba por un plano inclinado un ángulo θ sobre la horizontal (sin rozamiento). La tensión en la cuerda es T y la cuerda es paralela al plano. Después de recorrer una distancia L, la velocidad del bloque es v. El trabajo realizado por la tensión es a) mgLsenθ. b) mgLcosθ+1/2mv2. c) mgLsenθ+1/2mv2. d) mgLcosθ. e) TLcosθ. La única fuerza no conservativa es T: 𝟏 𝑾𝑻 = 𝑻 ∗ 𝑳 = ∆𝑬𝒎 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 Respuesta c. 67. Un bloque de masa m se desliza hacia abajo con velocidad constante v por un plano inclinado un ángulo θ con la horizontal. Durante el intervalo de tiempo ∆t, ¿Cuál es la magnitud de la energía disipada por rozamiento? a) mgv∆t tgθ b) mgv∆t senθ c) ½ m v3∆t d) La respuesta no puede determinarse sin conocer el coeficiente de rozamiento cinético. La única fuerza no conservativa es la de rozamiento. 𝑾𝒓𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒗 ∗ ∆𝒕 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 Respuesta b. 68. Suponer que, al aplicar los frenos, actúa una fuerza de rozamiento constante sobre las ruedas de un coche. Si es así, resulta que a) La distancia que el coche recorre antes de detenerse es proporcional a la velocidad que el coche llevaba al aplicar los frenos. b) La energía cinética del coche disminuye a ritmo constante. c) La energía cinética del coche es inversamente proporcional al tiempo transcurrido desde la aplicación de los frenos. d) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta. a) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝑭𝒓𝒐𝒛 ∗ ∆𝒙 = 𝟎 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 La distancia no es proporcional a la velocidad. b) La disminución de la energía cinética varia con el cambio de velocidad al cuadrado. El cambio de velocidad sí que es constante, la fuerza es constante, la aceleración también, cada segundo cambia en el mismo valor la velocidad. Por ejemplo, si a = 2 m/s2 y v inicial es de 10 m/s, en el primer segundo pasamos de 10 m/s a 8 m/s. El cambio de energía cinética será: 𝟏 𝟏 ∆𝑬𝒄 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝟖𝟐 − 𝟏𝟎𝟐) = − ∗ 𝒎 ∗ 𝟑𝟔 𝟐 En el segundo siguiente la velocidad pasará de 8 a 6 m/s, el cambio d energía cinética será: 𝟏 𝟏 ∆𝑬𝒄 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝟔𝟐 − 𝟖𝟐 ) = − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝟐𝟖 Por tanto, no es constante. c) La velocidad en un momento dado es: 𝒗 = 𝒗𝒐 − 𝒂 ∗ 𝒕 La energía cinética en un momento dado es: 𝟏 𝑬𝒄 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ (𝒗𝒐 − 𝒂 ∗ 𝒕 )𝟐 Por tanto, varia con t al cuadrado. d) Correcta. 69. Nuestro cuerpo convierte energía química interna en trabajo y calor a razón de unos 100 W, lo que se denomina potencia metabólica. a) ¿Cuánta energía química interna utilizamos en 24 h? b) La energía procede del alimento que comemos y usualmente se mide en kilocalorías, siendo 1 kcal=4,185 kJ. ¿Cuántas kilocalorías de energía alimentaria debemos ingerir diariamente si nuestra potencia metabólica es 100 W? 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 a) 𝟐𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒆𝒔 ∗ 𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂 ∗ b) 𝟖, 𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟔𝑱 ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑱 𝟏𝒔 𝟏 𝒌𝒄𝒂𝒍 𝟒,𝟏𝟖𝟓∗𝟏𝟎𝟑 𝑱 = 𝟖, 𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑱 = 𝟐𝟎𝟔𝟓 𝒌𝒄𝒂𝒍 70. Un bloque de 3,5 kg descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento en contacto con un muelle de constante 6800 N/m. El muelle está fijo por el otro extremo e inicialmente posee su longitud natural. Una fuerza horizontal constante de 70 N aplicada al bloque comprime el muelle. Determinar la longitud comprimida del muelle cuando el bloque está momentáneamente en reposo. 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔 = ∆𝑬𝒎 𝟏 𝑭 ∗ ∆𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ ∆𝒙𝟐 ∆𝒙 = 𝟐∗𝑭 𝒌 𝟐∗𝟕𝟎 = 𝟔𝟖𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟎𝟔 𝒎 71. La energía medida por unidad de tiempo y unidad de área que llega a la atmósfera superior de la Tierra procedente del Sol, llamada constante solar, es 1,35 kW/m 2. Debido a la absorción y reflexión en la atmósfera, aproximadamente 1 kW/m 2 alcanza la superficie terrestre en un día despejado. ¿Cuánta energía se capta en 8 h de luz al día por un panel solar de 1 m por 2 m de superficie sobre un montaje rotatorio que se encuentra siempre en posición perpendicular a los rayos del Sol? 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 𝟏𝒌𝑱 𝟖 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 ∗ 𝟐 𝒎𝟐 ∗ 𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝟏 𝒎𝟐∗𝟏 𝒔 = 𝟓𝟕, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝑱 72. Cuando el coche movido a reacción Spirit of America perdió el control durante unas pruebas en Benneville Salt Flats, Utah, dejó sobre la pista unas marcas de patinaje de 9,5 km de longitud. a) Si el coche estaba moviéndose inicialmente a una velocidad v=708 km/h, estimar el coeficiente de rozamiento cinético µc. b) ¿Cuál fue su energía cinética en el tiempo t= 60 s después de aplicar los frenos? Tomar la masa del coche como 1250 kg. a) 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 = − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒗𝟐 𝝁 = 𝟐∗𝒈∗∆𝒙 = 𝟐 (𝟕𝟎𝟖∗𝟏𝟎𝟑 /𝟑𝟔𝟎𝟎)𝟐 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟗𝟓𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟖 b) −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂; 𝒂 = −𝝁 ∗ 𝒈 𝒗 = 𝒗𝒐 − 𝝁 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒕 = 𝟏 𝟕𝟎𝟖∗𝟏𝟎𝟑 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟎𝟖 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟔𝟎 𝑬𝒄 = ∗ 𝒎 ∗ (𝒗𝒐 − 𝝁 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒕)𝟐 = ∗ 𝟏𝟐𝟓𝟎 ∗ ( 𝟐 𝟐 𝟕𝟎𝟖∗𝟏𝟎𝟑 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝟐 − 𝟎, 𝟐𝟎𝟖 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟔𝟎) = 𝟑, 𝟒𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑱 73. Determinar la potencia necesaria de un motor para el funcionamiento de un telesquí que permita subir a 80 esquiadores por una pista de 600 m, inclinada 15º sobre la horizontal, a una velocidad de 2,5 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético es 0,06 y la masa media de cada esquiador 75 kg. 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔 = ∆𝑬𝒎 𝑾𝑭 + 𝑾𝒇𝒌 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒍 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑭 ∗ 𝒍 − 𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒍 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒍 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑭= 𝑷= 𝒎∗𝒈∗𝒍∗𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∗𝒎∗𝒈∗𝒍∗𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑾𝑭 ∆𝒕 = 𝒍 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) (𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∗𝒎∗𝒈∗𝒄𝒐𝒔𝜽)∗𝒍 ∆𝒕 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) ∗ 𝒗 𝑷 = 𝟖𝟎 ∗ 𝟕𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟏𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓) ∗ 𝟐, 𝟓 = 𝟒𝟔, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑾 74. Una caja de 2 kg se proyecta hacia arriba, con velocidad inicial de 3 m/s, por un plano inclinado rugoso que forma un ángulo de 60º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético es 0,3. a) Relacionar todas las fuerzas que actúan sobre la caja. b) ¿Qué distancia recorre la caja a lo largo del plano antes de que se detenga momentáneamente? c) Determinar la energía disipada por rozamiento cuando la caja se desliza hacia arriba por el plano. d) Determinar su velocidad cuando alcanza la posición inicial. a) Sobre la caja actúan el peso, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal (esta no hace trabajo). b) 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒍 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒍 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝟏 𝒗𝟐 𝟑𝟐 𝟏 𝒍 = 𝟐∗𝒈∗(𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽) = 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗(𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎+𝟎,𝟑∗𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎) = 𝟎, 𝟒𝟓𝟏 𝒎 c) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒍 = −𝟎, 𝟑 ∗ 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 ∗ 𝟎, 𝟒𝟓𝟏 = 𝟏, 𝟑𝟑 𝑱 d) Para la bajada: 𝑾𝒓𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒍 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒍 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒗𝒇 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒍 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟎, 𝟒𝟓𝟏 ∗ (𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 − 𝟎, 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎) = 𝟐, 𝟓𝟐 𝒎/𝒔 75. Un elevador de 1200 kg accionado por un motor eléctrico puede transportar con seguridad una carga máxima de 800 kg. ¿qué potencia suministra el motor cuando el elevador asciende con la carga máxima a una velocidad de 2,3 m/s? 𝑷 = 𝑭 ∗ 𝒗 = (𝒎 ∗ 𝒈) ∗ 𝒗 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟐, 𝟑 = 𝟒𝟓, 𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑾 76. Para reducir el consumo de potencia de los motores de los elevadores, éstos utilizan contrapesos conectados mediante un cable que pasa por una polea situada en la parte superior del eje del elevador. Si el aparato del problema 75 posee un contrapeso de masa 1500 kg, ¿Cuál es la potencia suministrada por el motor cuando asciende a plena carga a una velocidad de 2,3 m/s? ¿qué potencia suministra el motor cuando el elevador asciende vacío a 2,3 m/s? 𝑷 = 𝑭 ∗ 𝒗 = (𝑴𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 − 𝑴𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒑𝒆𝒔𝒐 ) ∗ 𝒈 ∗ 𝒗 = (𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝟎𝟎) ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟐, 𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝑾 En el caso de ir vacío: 𝑷 = 𝑭 ∗ 𝒗 = (𝑴𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 − 𝑴𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒑𝒆𝒔𝒐 ) ∗ 𝒈 ∗ 𝒗 = (𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝟎𝟎) ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟐, 𝟑 = −𝟔, 𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑾 77. Un juguete de lanzar dardos posee un muelle cuya constante de fuerza es 5000 N/m. Para cargar el disparador, el muelle se comprime 3 cm. El dardo disparado verticalmente hacia arriba, alcanza una altura máxima de 24 m. Determinar la energía disipada por el rozamiento del aire durante el ascenso del dardo. Estimar la velocidad del proyectil cuando retorna a su punto de partida. Masa del dardo: 70 g. 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏 = ∆𝑬𝒎 𝟏 𝟏 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 − ∗ 𝒌 ∗ ∆𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟕 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟐𝟒 − ∗ 𝟓𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟑𝟐 = 𝟐 −𝟎, 𝟔𝟎𝟐 𝑱 Para la bajada: 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏 = ∆𝑬𝒎 𝟏 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝟐 𝒗𝒇 = √𝟐 ∗ (𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉)/𝒎 = √𝟐 ∗ 𝟐 (−𝟎,𝟔𝟎𝟐+𝟎,𝟎𝟕∗𝟗,𝟖𝟐∗𝟐𝟒) 𝟎,𝟎𝟕 = 𝟏𝟕, 𝟑 𝒎/𝒔 78. Un dardo de 0,050 kg se dispara verticalmente hacia arriba con un disparador de muelle cuya constante de fuerza es 4000 N/m. Previamente, el muelle se comprime a 10,7 cm. Cuando el dardo se encuentra a 6,8 m por encima del disparador su velocidad hacia arriba es de 28 m/s. Determinar la altura máxima alcanzada por el dardo. 𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏 = ∆𝑬𝒎 𝟏 𝟏 − 𝑭𝒇 ∗ ∆𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 − ∗ 𝒌 ∗ ∆𝒙𝟐 𝟐 Energía del muelle comprimido: 𝟏 𝟏 𝑬𝒑 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟒𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟎𝟕𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟗 𝑱 Energía en el punto indicado: 𝟏 𝑬𝒎 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 𝟏 𝑬𝒎 = 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 ∗ 𝟐𝟖𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 ∗ 𝟗, 𝟗𝟏 ∗ (𝟎, 𝟏𝟎𝟕 + 𝟔, 𝟖) = 𝟐𝟐, 𝟗 𝑱 No hay fuerza de rozamiento. En el punto más alto: 𝑬 𝟐𝟐,𝟗 𝒎 = 𝟎,𝟎𝟓∗𝟗,𝟖𝟏 = 𝟒𝟔, 𝟕 𝒎 𝑬𝒎 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 ; ∆𝒉 = 𝒎∗𝒈 79. En una erupción volcánica se expulsa verticalmente hacia arriba un trozo de 2 kg de una roca volcánica con una velocidad inicial de 40 m/s, alcanzando una altura de 50 m antes de que comience a caer hacia la tierra. a) ¿Cuál es la energía cinética inicial de la roca? b) ¿Cuál es el incremento de energía térmica debido al rozamiento del aire durante el ascenso? c) Si el incremento de energía térmica debido al rozamiento del aire en el descenso es el 70 % del que tuvo en el ascenso, ¿Cuál es la velocidad de la roca cuando vuelve a su posición inicial? 𝟏 𝟏 a) 𝑬𝒄 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟒𝟎𝟐 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝑱 𝟏 𝟏 b) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟓𝟎 − 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟒𝟎𝟐 = −𝟔𝟏𝟗 𝑱 c) En el descenso el trabajo del rozamiento será: 𝑾𝑹𝒐𝒛↓ = −𝟎, 𝟕𝟎 ∗ 𝟔𝟏𝟗 = −𝟒𝟑𝟑, 𝟑 𝑱 Al llegar al suelo: 𝟏 𝑾𝑹𝒐𝒛↓ = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒇 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝒗𝒇 = √ 𝟐∗𝑾𝑹𝒐𝒛↓ 𝒎 +𝟐∗𝒈∗𝒉= √ −𝟐∗𝟒𝟑𝟑,𝟑 𝟐 + 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟓𝟎 = 𝟐𝟑, 𝟒 𝒎/𝒔 80. Un bloque de masa m parte del reposo a una altura h y se desliza hacia abajo por un plano inclinado sin rozamiento que forma un ángulo ϴ con la horizontal como indica la figura. El bloque, después de deslizarse sobre el plano una distancia L, choca contra un muelle de constante de fuerza k. Determinar la compresión del muelle cuando el bloque se detiene momentáneamente. Comparamos la situación inicial y la final: 𝑬𝒎𝟏 = 𝑬𝒎𝟐 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝒉 = (𝑳 + 𝒙) ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝑳 + 𝒙) ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝒙 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 Resolviendo la ecuación de segundo grado: 𝒙= 𝒙= 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽±√(𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐+𝟒∗𝒌∗𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 +√ 𝟐∗𝒌 𝒎𝟐∗𝒈𝟐 ∗𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒌𝟐 + 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒌 81. Un coche de 1500 kg de masa que se desplaza con una velocidad de 24 m/s se encuentra al pie de una colina de 2,0 km de longitud y cuya altitud es de 120 m. En la cima de la colina la velocidad del coche es de 10 m/s. Si se desprecian los efectos de la fuerza de rozamiento, calcular la potencia media desarrollada por el motor del coche. 𝑾𝑭 = ∆𝑬𝒎 𝟏 𝟏 𝑾𝑭 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟐 𝟏 𝟏 𝑾𝑭 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 ∗ (𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐 + 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟐𝟎 − 𝟐 ∗ 𝟐𝟒𝟐 ) = 𝟏, 𝟖𝟒𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑱 El tiempo de subida: 𝒗𝟐 − 𝒗𝟐𝒐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 𝒂= 𝒗𝟐 −𝒗𝟐𝒐 𝟏𝟎𝟐 −𝟐𝟒𝟐 𝟐∗∆𝒙 = 𝑾𝑭 𝟏,𝟖𝟒𝟎𝟖∗𝟏𝟎𝟔 𝟐∗𝟐𝟎𝟎𝟎 = −𝟎, 𝟏𝟏𝟗 𝒎/𝒔𝟐 𝒗 = 𝒗𝒐 + 𝒂 ∗ ∆𝒕; ∆𝒕 = 𝑷= ∆𝒕 = 𝟏𝟏𝟕,𝟔𝟓 𝒗−𝒗𝒐 𝒂 𝟏𝟎−𝟐𝟒 = −𝟎,𝟏𝟏𝟗 = 𝟏𝟏𝟕, 𝟔𝟓 𝒔 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑾 82. En una nueva modalidad de saltos de esquí, se instala un rizo vertical como muestra la figura. Este problema advierte sobre los requisitos físicos de esta modalidad. Despreciar el rozamiento. a) A lo largo de la pista de la rampa y el rizo, ¿en qué lugar las piernas del esquiador soportan el máximo peso? b) Si el bucle tiene un radio R, ¿dónde debería situarse la plataforma de salida (indicada por h) para que la fuerza máxima sobre las piernas del esquiador sea 4 veces el peso de su cuerpo? c) Con la plataforma de salida en la posición determinada en b, ¿sería capaz el esquiador de completar el rizo? ¿Por qué sí o por qué no? d) ¿Cuál debe ser la altura máxima de h para que el esquiador complete el rizo? ¿Cuál es la fuerza mínima que actuará sobre las piernas del esquiador partiendo de esta altura? a) En el punto más alto de la curva la fuerza normal cumplirá: 𝒗𝟐 𝒗𝟐 𝒗𝟐 𝒗𝟐 𝑵 +𝑷 = 𝒎 ∗ 𝑹 ;𝑵 = 𝒎∗ 𝑹 –𝑷 En el punto inferior de la curva: 𝑵 −𝑷 = 𝒎 ∗ 𝑹 ,𝑵 = 𝒎 ∗ 𝑹 +𝑷 En la rampa: 𝑵 = 𝑷 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 El valor máximo se dará en el punto inferior de la curva. b) En el punto inferior: 𝒗𝟐 𝑵 =𝒎∗ 𝑹 +𝑷 𝒗𝟐 𝟒∗𝒎∗𝒈 = 𝒎∗ 𝑹 +𝒎∗𝒈 𝒗 = √𝟑 ∗ 𝒈 ∗ 𝑹 En el punto de salida: 𝟏 𝒎∗𝒈∗𝒉 =𝟐∗𝒎∗𝟑∗𝒈∗𝑹 𝟑 𝒉=𝟐∗𝑹 c) Para completar el rizo, en el punto superior: 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 𝟑 𝟏 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 = 𝟐 ∗ 𝒗𝟐 + 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝑹 𝟑 ∗ 𝒈 ∗ 𝑹 = 𝒗𝟐 + 𝟒 ∗ 𝒈 ∗ 𝑹 ; 𝒗 = √−𝒈 ∗ 𝑹 La velocidad es negativa, no podrá llegar. d) La velocidad mínima es la que hace la normal cero en el punto superior. 𝒗𝟐 𝒎∗𝒈 = 𝒎∗ ; 𝒗 = √𝒈 ∗ 𝑹 𝑹 Comparando el punto superior del rizo con el punto de salida: 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐 ∗ 𝑹 𝟐 𝟏 𝒎∗𝒈∗𝒉 = ∗𝒎∗𝒈∗𝑹+𝒎∗𝒈∗𝟐∗𝑹 𝟏 𝟐 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝑹 + 𝟐 ∗ 𝑹 = 𝟐, 𝟓 ∗ 𝑹 83. Se suspende una masa m del techo mediante un muelle que es libre de moverse verticalmente en la dirección y como se indica en la figura. Sabemos que la energía potencial en función de la posición es U=1/2k y 2-mgy. a) Representar U en función de y. ¿Qué valor de y corresponde a la condición no deformada del muelle? b) A partir de la expresión de U, determinar la fuerza neta hacia abajo que actúa sobre m en cualquier posición y. c) La masa se deja libre desde el reposo en y=0; si no hay rozamiento, ¿Cuál es el valor máximo, ymax que alcanzará la masa? Indicar ymax en el esquema de la parte a. d) Considerar ahora el efecto de rozamiento. La masa finalmente se detiene en una posición de equilibrio yeq. Determinar este punto en el esquema. e) Determinar la cantidad de energía térmica producida por rozamiento desde el comienzo de la operación hasta el equilibrio final. a) Tomamos k=2 y mg=1. La condición no deformada del muelle es y=0. 𝒅𝑼 b) 𝑭 = − 𝒅𝒚 = −𝒌 ∗ 𝒚 + 𝒎 ∗ 𝒈 c) Comparamos el punto y=0 y el punto y max. 𝟏 𝟎 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒚𝟐𝒎𝒂𝒙 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝟐∗𝒎∗𝒈 𝒌 PUNTO (1,00 ; 0,0) d) En el equilibrio F=0. 𝟎 = −𝒌 ∗ 𝒚𝒆𝒒 + 𝒎 ∗ 𝒈 𝒚𝒆𝒒 = 𝒎∗𝒈 𝒌 Mínimo de la curva. y=0,5. 𝟏 𝟏 e) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = ( ∗ 𝒌 ∗ 𝒚𝟐𝒆𝒒 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒚𝒆𝒒 ) − 𝟎 = ∗ 𝒌 ∗ 𝟐 𝟏 𝑾𝒓𝒐𝒛 = − ∗ 𝟐 𝟐 𝒎𝟐∗𝒈𝟐 𝒌 𝒎𝟐∗𝒈𝟐 𝒌𝟐 −𝒎∗𝒈∗ 𝒎∗𝒈 𝒌 84. Una pistola lanza señales se carga comprimiendo el muelle una distancia d y dispara una bengala de masa m dirigida verticalmente hacia arriba. La bengala tiene una velocidad vo cuando abandona el muelle y alcanza una altura máxima h desde el punto de lanzamiento. Los efectos de resistencia del aire son importantes. (Expresar las respuestas en función de m, v o, d ,h y g, aceleración de la gravedad). a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el muelle en el proceso de compresión? b) ¿Cuál es el valor de la constante del muelle, k? c) ¿Cuánta energía mecánica se convierte en energía térmica a causa de la fuerza de arrastre del aire sobre la bengala durante el tiempo que transcurre entre el disparo y la llegada a su altura máxima? a) Si no hay fuerzas no conservativas, toda la energía suministrada aparecerá como energía cinética al salir e inicialmente como potencial elástica del muelle. b) 𝟏 𝑾𝒆𝒙𝒕 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟏 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒅𝟐 ; 𝒌 = 𝟐 𝒎∗𝒗𝟐𝒐 𝒅𝟐 c) La energía térmica será la energía mecánica perdida entre los puntos inicial y final: 𝟏 𝑾𝒓𝒐𝒛 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 𝟐 85. Una vagoneta de una montaña rusa de masa total (incluidos los pasajeros) 500 kg se desplaza libremente por la pista sin rozamiento del aire indicada en la figura. Los puntos A,E y G son secciones rectas horizontales, todas ellas de la misma altura de 10 m sobre el suelo. El punto C, que está a una altura de 10 m sobre el suelo pertenece a una pendiente que forma un ángulo de 30º. El punto B está en lo alto de una cuesta, mientras que el punto D pertenece a una hondonada que está a nivel del suelo. El radio de curvatura de cada uno de estos puntos es 20 m. el punto F está en el medio de una curva horizontal con peralte de radio de curvatura 30 m y a la misma altura de 10 m sobre el suelo que los puntos A, E y G. En el punto A, la velocidad de la vagoneta es 12 m/s. a) Si la vagoneta es capaz de llegar justamente al punto B de la cuesta, ¿Cuál es la altura de este punto sobre el suelo? b) Si se cumple la condición a, ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida sobre la vagoneta en el punto B? c) ¿Cuál es la aceleración de la vagoneta en el punto C? d) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida sobre la vagoneta por la pista en el punto D? e) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida sobre la vagoneta por la pista en el punto F? f) Al llegar al punto G se aplica a la vagoneta una fuerza de frenado constante y se alcanza la detención en una distancia de 25 m. ¿Cuál es la fuerza de frenado? a) Comparando los puntos A y B: 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝑨 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝑨 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝑩 𝟏 𝒉𝑩 = 𝒉𝑨 + ∗ 𝟐 𝒗𝟐𝑨 𝒈 𝟏 = 𝟏𝟎 + ∗ 𝟐 𝟏𝟐𝟐 𝟗,𝟖𝟏 = 𝟏𝟕, 𝟑 𝒎 b) N=P =𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 = 𝟒𝟗𝟎𝟓 𝑵 c) En el punto C, tenemos plano inclinado: 𝒂 = 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝟒, 𝟗𝟎𝟓 𝒎/𝒔𝟐 d) En el punto D la velocidad será: 𝟏 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝑨 + 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝑨 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝑫 + ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝑫 𝟐 𝒗𝑫 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉𝑨 − 𝒉𝑫 ) + 𝒗𝟐𝑨 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟎 + 𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟖, 𝟒𝟒 𝒎/𝒔 𝑹 = 𝑵−𝑷 = 𝒎∗ e) 𝑵 = 𝑷+𝒎∗ 𝒗𝟐 𝑹 𝒗𝟐 𝑹 = 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟐∗𝒈∗((𝒉𝑨 −𝒉𝑫 )+𝒗𝟐𝑨 𝑹 = 𝟓𝟎𝟎 ∗ = 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 + 𝟖𝟓𝟎𝟏 = 𝟏𝟑𝟒𝟎𝟔𝑵 𝟏𝟖,𝟒𝟒𝟐 𝟐𝟎 = 𝟖𝟓𝟎𝟏 𝑵 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟒𝟗𝟎𝟓 𝑵 𝑭 =𝒎∗ 𝒗𝟐 𝑹 = 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟐𝟐 𝟑𝟎 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝑵 𝑹 = √𝑭𝟐 + 𝑵𝟐 = √𝟒𝟗𝟎𝟓𝟐 + 𝟐𝟒𝟎𝟎𝟐 = 𝟓𝟒𝟔𝟏 𝑵 Ángulo con la horizontal: 𝑵 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝑭 ) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( f) 𝒗𝟐 − 𝒗𝟐𝒐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 𝟎𝟐 − 𝟏𝟐𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝟐𝟓 𝒎 𝒂 = −𝟐, 𝟖𝟖 𝒔𝟐 𝟒𝟗𝟎𝟓 𝟐𝟒𝟎𝟎 ) = 𝟔𝟒𝒐 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒂 = −𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟐, 𝟖𝟖 = 𝟏𝟒𝟒𝟎 𝑵 86. Un ascensor (masa M=2000 kg) se mueve hacia abajo a v o=1,5 m/s. Un sistema de frenado evita que la velocidad de descenso se incremente. a) ¿A qué ritmo (en J/s) se convierte en el sistema de frenado la energía mecánica en energía térmica? b) Cuando el ascensor se mueve hacia abajo a vo=1,5 m/s, falla el sistema de frenado y cae libremente a lo largo de una distancia d= 5 m antes de chocar contra el tope de un gran muelle de seguridad con una constante de fuerza k=1,5*104 N/m. Después del choque sobre el tope del muelle, queremos saber la distancia ∆y que se comprimió éste antes de que la cabina dl ascensor quedara en reposo. Expresar algebraicamente el valor de ∆y en función de las magnitudes conocidas M, vo, g, k y d y sustituir los valores dados para hallar ∆y. a) 𝑷𝒇𝒓𝒆𝒏𝒂𝒅𝒐 = 𝑭𝒇𝒓𝒆𝒏𝒂𝒅𝒐 ∗ 𝒗 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒗 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏, 𝟓 = 𝟐𝟗𝟒𝟑𝟎 𝑾 b) Comparando energías: 𝟏 𝟐 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ ∆𝒚𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐𝒐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒅 + ∆𝒚) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ ∆𝒚𝟐 𝒌 ∗ ∆𝒚𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒚 − 𝒎 ∗ (𝒗𝟐𝒐 + 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒅) = 𝟎 ∆𝒚 = 𝟐∗𝒎∗𝒈±√𝟒∗𝒎𝟐∗𝒈𝟐 +𝟒∗𝒌∗𝒎∗(𝒗𝟐𝒐 +𝟐∗𝒈∗𝒅) 𝒎𝟐∗𝒈𝟐 ∆𝒚 = 𝒎∗𝒈 ∆𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝟎∗𝟗,𝟖𝟏 𝒌 ±√ 𝒌𝟐 𝟐∗𝒌 + 𝒎∗(𝒗𝟐𝒐 +𝟐∗𝒈∗𝒅) Substituyendo valores: 𝟏,𝟓∗𝟏𝟎𝟒 +√ 𝒌 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟐∗𝟗,𝟖𝟏𝟐 (𝟏,𝟓∗𝟏𝟎𝟒)𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝟎∗(𝟏.𝟓𝟐+𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟓) (𝟏,𝟓∗𝟏𝟎𝟒) = 𝟓, 𝟏𝟗 𝒎 87. Para medir la fuerza de rozamiento sobre un coche en movimiento, un mecánico apaga el motor y deja que el vehículo se deslice hacia abajo en pendientes conocidas. El mecánico registra los siguientes datos: 1. Sobre una pendiente de 2,87º el coche se desliza uniformemente a 20 m/s. 2. Sobre una pendiente de 5,74º la velocidad constante de deslizamiento es 30 m/s. La masa total del coche es 1000 kg. a) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento a 20 m/s (F20) y a 30 m/s (F30). b) ¿Qué potencia útil debe suministrar el motor para que el coche circule sobre una carretera horizontal a las velocidades estacionarias de 20 m/s (P 20) y 30 m/s (P30). c) A todo gas, el motor suministra 40 kW. ¿Cuál es el ángulo máximo de pendiente hacia arriba para el cual el coche puede mantener una velocidad estacionaria de 20 m/s? d) Suponer que el motor suministra el mismo trabajo útil total por cada litro de combustible, cualquiera que sea su velocidad. A 20 m/s sobre una carretera horizontal, el coche recorre 12,7 km/litro. ¿Cuántos kilómetros por litro recorrerá si su velocidad es 30 m/s? a) Caso 1: 𝑭𝟐𝟎 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐, 𝟖𝟕 = 𝟒𝟗𝟏 𝑵 Caso 2: 𝑭𝟑𝟎 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟓, 𝟕𝟒 = 𝟗𝟖𝟏 𝑵 b) 𝑷𝟐𝟎 = 𝑭𝟐𝟎 ∗ 𝒗 = 𝟒𝟗𝟏 ∗ 𝟐𝟎 = 𝟗, 𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝑾 𝑷𝟑𝟎 = 𝑭𝟑𝟎 ∗ 𝒗 = 𝟗𝟖𝟏 ∗ 𝟑𝟎 = 𝟐𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑾 c) El motor habrá de suministrar una fuerza igual a la de rozamiento más la componente del peso: 𝑷𝒎𝒂𝒙 𝑭 = 𝑭𝟐𝟎 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑷 −𝑭𝟐𝟎∗𝒗 ) = (𝑭𝟐𝟎 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽) ∗ 𝒗 ; 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = ( 𝒎𝒂𝒙 𝒎∗𝒈∗𝒗 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 ( 𝑷𝒎𝒂𝒙 −𝑭𝟐𝟎 ∗𝒗 𝒎∗𝒈∗𝒗 ) = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 ( 𝟒𝟎∗𝟏𝟎𝟑−𝟗,𝟖𝟐∗𝟏𝟎𝟑 𝟏𝟎𝟎𝟎∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟐𝟎 d) 𝑾𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 = 𝑭𝟐𝟎 ∗ ∆𝒙𝟐𝟎 Para 30 m/s: 𝑾𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 = 𝑭𝟑𝟎 ∗ ∆𝒙𝟑𝟎 Trabajamos distancias para 1 L de combustible: 𝑭𝟐𝟎 ∗ ∆𝒙𝟐𝟎 = 𝑭𝟑𝟎 ∗ ∆𝒙𝟑𝟎 ∆𝒙𝟑𝟎 = 𝑭𝟐𝟎 ∗∆𝒙𝟐𝟎 𝑭𝟑𝟎 = 𝟒𝟗𝟏∗𝟏𝟐,𝟕 𝒌𝒎 𝟗𝟖𝟏 ) = 𝟖, 𝟖𝒐 = 𝟔, 𝟑𝟔 𝒌𝒎 88. Una barcaza de 50 000 kg es remolcada a lo largo de un canal a la velocidad constante de 3 km/h por un tractor pesado. La cuerda de arrastre forma un ángulo de 18º con el vector velocidad de la barcaza y soporta una tensión de 1200 N. Si esta cuerda se rompe, ¿Cuánto tardará la barcaza en detenerse? Suponer que la fuerza de arrastre entre la barcaza y el agua es independiente de la velocidad. 𝟑 𝒌𝒎 𝒉 𝟏𝒉 ∗ 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝟏 𝒌𝒎 = 𝟎, 𝟖𝟑 𝒎/𝒔 En las condiciones iniciales: 𝑻𝒙 − 𝑭𝒇 = 𝟎 𝑭𝒇 = 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖 = 𝟏𝟏𝟒𝟏, 𝟑 𝑵 Una vez rota la cuerda: 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝒗 = 𝒗𝒐 − 𝒂 ∗ ∆𝒕 ; ∆𝒕 = La distancia: 𝑻∗𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒎 𝒗−𝒗𝒐 −𝒂 = 𝟏𝟏𝟒𝟏,𝟑 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎−𝟎,𝟖𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 𝒎/𝒔𝟐 = −𝟎,𝟎𝟐𝟑 = 𝟑𝟔, 𝟏 𝒔 𝒗𝟐 − 𝒗𝟐𝒐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ; ∆𝒙 = 𝒗𝟐 −𝒗𝟐𝒐 𝟐∗𝒂 𝟎𝟐−𝟎,𝟖𝟑𝟐 = −𝟐∗𝟎,𝟎𝟐𝟑 = 𝟏𝟓, 𝟎 𝒎 89. Un bloque de 2 kg se deja libre sobre un plano inclinado hacia abajo, sin rozamiento, a una distancia de 4 m de un muelle de constante k=100 N/m. El muelle está fijo a lo largo del plano inclinado que forma un ángulo de 30º (figura). a) Hallar la compresión máxima del muelle, admitiendo que crece de masa. b) Si el plano inclinado no es liso, sino que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2, hallar la compresión máxima. c) En el caso último del plano inclinado rugoso, ¿hasta qué punto subirá el bloque por el plano después de abandonar el muelle? a) Sin rozamiento: 𝟏 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟏 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 ; 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝑳 + 𝒙) ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝒙 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝑳 = 𝟎 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝟐 − 𝟏𝟗, 𝟔𝟐 ∗ 𝒙 − 𝟕𝟖, 𝟒𝟖 = 𝟎 𝒙 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟗 𝒎 b) Con rozamiento: 𝑾𝒓𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ (𝑳 + 𝒙) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝑳 + 𝒙) ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 𝟐 c) ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (−𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) ∗ 𝒙 + 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (−𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝝁 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽) = 𝟎 𝟓𝟎 ∗ 𝒙𝟐 − 𝟔, 𝟒𝟏 ∗ 𝒙 − 𝟐𝟓, 𝟔𝟓 = 𝟎 𝒙 = 𝟎, 𝟕𝟖𝟑 𝒎 𝑾𝒓𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ (𝑳′ + 𝒙) = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝑳′ + 𝒙) ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝑳′ = 𝟏 𝟐 𝒎∗𝒈∗𝒙∗(𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒔𝒆𝒏𝜽)+ ∗𝒌∗𝒙𝟐 −𝒎∗𝒈∗(𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝒌∗𝒙𝟐 = −𝒙 + 𝟐∗𝒎∗𝒈∗(𝒔𝒆𝒏𝜽+𝝁∗𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝟏𝟎𝟎∗𝟎,𝟕𝟖𝟑𝟐 𝑳′ = − 𝟎, 𝟕𝟖𝟑 + 𝟐∗𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗(𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎+𝟎,𝟐∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎) = 𝟏, 𝟓𝟒 𝒎 90. Un tren con masa total de 2 106 kg se eleva 707 m a lo largo de una distancia de 62 km con una velocidad media de 15,0 km/h. Si la fuerza de rozamiento es igual al 0,8 por ciento del peso, a) Calcular la energía cinética del tren, b) La variación total de energía potencial, c) La energía disipada por rozamiento cinético, y d) La potencia de la locomotora. a) 𝟏𝟓, 𝟎 𝒌𝒎 𝟏 𝒉 𝟏𝒉 ∗ 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝟏 𝒌𝒎 𝟏 = 𝟒, 𝟏𝟕 𝒎/𝒔 𝑬𝒄 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟒, 𝟏𝟕𝟐 = 𝟏𝟕, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑱 𝟐 b) ∆𝑬𝒑 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒉 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟕𝟎𝟕 = 𝟏, 𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝑱 c) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = − d) 𝑷 = 𝑾𝒍𝒐𝒄 ∆𝒕 𝟎,𝟖 𝟏𝟎𝟎 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟖 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 = −𝟗, 𝟕𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟗 𝑱 (−𝑾𝒓𝒐𝒛 +∆𝑬𝒄 +∆𝑬𝒑 ) ∆𝒔 ∗𝒗 = 𝟗,𝟕𝟑∗𝟏𝟎𝟗 +𝟏,𝟑𝟗∗𝟏𝟎𝟏𝟎 𝟔𝟐∗𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝟒, 𝟏𝟕 = 𝟏, 𝟓𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑾 91. Parece ser que al acelerar se consume más energía que al conducir con velocidad constante. a) Calcular la energía necesaria para que un coche de 1200 kg alcance la velocidad de 50 km/h despreciando el rozamiento. b) Si los rozamientos de todo tipo dan lugar a una fuerza de rozamiento total de 300 N a la velocidad de 50 km/h, ¿Cuánta energía se necesita para desplazar el coche una distancia de 300 m a una velocidad constante de 50 km/h? c) Suponiendo que las pérdidas de energía por causa del rozamiento en la parte a son el 75 % de las encontradas en la parte b, estimar la relación que existe entre el consumo de energía para los dos casos considerados. 𝟏 𝟏 a) 𝑾𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒐 = ∆𝑬𝒎 = ∗ 𝑴 ∗ 𝒗𝟐 = ∗ 𝟏𝟐𝟎𝟎 ∗ (𝟓𝟎 ∗ 𝟑, 𝟔)𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑱 𝟐 𝟐 b) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = −𝑭 ∗ ∆𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟑𝟎𝟎 = 𝟗, 𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑱 = 𝑬 c) 𝑬′ = ∆𝑬𝒎 + 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝑬 𝑬′ 𝑬 = ∆𝑬𝒎 𝑬 + 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟏𝟏𝟔 𝟗𝟎 + 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟐, 𝟎𝟒 92. En un modelo de carrera deportiva, la energía se consume en el proceso de acelerar y desacelerar las piernas. Si la masa de una pierna es m y la velocidad de la carrera es v, la energía necesaria para acelerarla pierna desde el reposo es 1/2mv2 y la misma energía se necesita para desacelerar la pierna hasta el reposo para iniciar la siguiente zancada. Así, la energía requerida en cada zancada es mv 2. Supóngase que la masa de la pierna de un hombre es 10 kg y que corre con una velocidad de 3 m/s, siendo la distancia entre dos pisadas consecutivas de 1 m. Por tanto, la energía que debe proporcionar a sus piernas cada segundo es 3*mv 2. Calcular con este modelo el consumo de energía del hombre por unidad de tiempo, suponiendo que sus músculos tienen un rendimiento de 25 por ciento. 𝑷 = 𝟑 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎 ∗ 𝟑𝟐 = 𝟐𝟕𝟎 𝑾 𝑷𝑻 = 𝟒 ∗ 𝑷 = 𝟏𝟎𝟖𝟎 𝑾 93. El 31 de julio de 1994 el saltador de pértiga Sergei Bukka alcanzó la marca de 6,14 m. Si el atleta se mantuvo momentáneamente en reposo en la parte superior del salto y toda la energía necesaria para elevar su cuerpo procedía de la energía cinética justamente antes de plantar la pértiga, ¿Cuál era su velocidad en el momento justo antes de despegar del suelo? Despreciar la masa de la pértiga. Si el saltador pudiera mantener esta velocidad durante una carrera de 100 m, ¿en cuánto tiempo cubriría dicha distancia? Como el record mundial de los 100 m está un poco por encima de los 9,8 s, ¿a qué conclusión llegaríamos sobre los saltadores de pértiga de nivel olímpico? 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ; 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟔, 𝟏𝟒 = 𝟏𝟎, 𝟗𝟖 𝒎/𝒔 Suponiendo movimiento uniforme: ∆𝒕 = ∆𝒙 𝒗 = 𝟗, 𝟏 𝒔 El movimiento no es uniforme, y utiliza energía de su metabolismo para convertir en energía cinética y energía potencial. 94. Un bloque de 5 kg se mantiene contra un muelle, cuya constante de fuerza es 20 N/cm, comprimiéndolo 3 cm. El bloque se libera y el muelle se extiende impulsando el bloque a lo largo de una superficie horizontal rugosa. El coeficiente de rozamiento entre la superficie y el bloque es 0,2. a) Determinar el trabajo realizado sobre el bloque por el muelle al extenderse desde su posición comprimida a su posición de equilibrio. b) Determinar la energía disipada por rozamiento sobre el bloque mientras se desplaza los 3 cm hasta la posición de equilibrio del muelle. c) ¿Cuál es la velocidad del bloque al alcanzar el muelle su posición de equilibrio? d) Si el bloque no estuviera sujeto al muelle, ¿qué distancia recorrería sobre la superficie rugosa antes de detenerse? 𝟏 𝟏 a) 𝑾𝒆𝒍𝒂𝒔 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟐𝟎 ∗ 𝟑𝟐 = 𝟗𝟎 𝑱 b) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 = −𝟎, 𝟐 ∗ 𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟎, 𝟎𝟑 = −𝟎, 𝟐𝟗𝟒 𝑱 𝟏 𝟏 c) 𝑾𝒓𝒐𝒛 = ∆𝑬𝒎 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 − ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝟐 𝟐 Comparamos la situación inicial y la final al salir del muelle: 𝟏 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 = ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 − ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝒌 𝟐 𝟐 𝒗 = √𝒎 ∗ 𝒙𝟐 − 𝟐 ∗ 𝝁 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 = √ 𝟐𝟎 𝟓 ∗ 𝟑𝟐 − 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟎, 𝟎𝟑 = 𝟔, 𝟎 𝒎/s d) Comparando el momento de separarse del muelle con el momento de pararse: 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 = 𝟎 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝟏 −𝝁 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 = − ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ; 𝒙 = 𝟐 𝒗𝟐 𝟐∗𝝁∗𝒈∗𝒙 = 𝟔𝟐 𝟐∗𝟎,𝟐∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟎,𝟎𝟑 = 𝟑𝟎𝟓, 𝟖 𝒎 95. Un péndulo de longitud L tiene una lenteja de masa m. Se deja libre desde un cierto ángulo ϴ1. La cuerda choca contra un clavo situado a una distancia x directamente por debajo del propio pivote (figura) acortándose realmente la longitud del péndulo. Determinar el ángulo máximo 𝜽𝟐 que forman la cuerda y la vertical cuando la lenteja está a la derecha del clavo. 𝒉𝟏 = 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 ) 𝒉𝟐 = (𝑳 − 𝒙) ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 ) Igualando energías: 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉𝟐 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 ) = (𝑳 − 𝒙) ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 ) 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 ) = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 (𝑳−𝒙) 𝑳 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 = 𝟏 − (𝑳−𝒙) ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 ) 𝑳 𝜽𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (𝟏 − (𝑳−𝒙) ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 )) 96. Un bloque de masa m se deja caer sobre la parte superior de un muelle vertical cuya constante de fuerza es k. Si el bloque se suelta desde una altura h por encima del muelle, a) ¿Cuál es la energía cinética máxima del bloque? b) ¿Cuál es la máxima compresión del muelle? c) ¿Para qué compresión la energía cinética del bloque es la mitad de su valor máximo? a) Considerando la conservación de energías, tomando cono nivel de alturas 0 la posición inicial del muelle: 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝑬𝒄 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 + 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝟏 𝑬𝒄 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + 𝒙) − 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 Para el valor máximo: 𝒅𝑬𝒄 𝒅𝒙 = 𝒎 ∗𝒈− 𝒌∗𝒙 = 𝟎 ;𝒙 = Para ver si es un máximo: 𝒅𝟐 𝑬𝒄 𝒅𝒙𝟐 𝑬𝒄 ( 𝒎∗𝒈 𝒌 = −𝒌 < 𝟎 ; 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐. 𝒎∗𝒈 𝒙 ) = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + 𝒎∗𝒈 𝒌 𝟏 )− ∗𝒌∗( 𝟐 𝒎∗𝒈 𝟐 𝒌 ) = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉 + b) En el punto de compresión máxima y el punto inicial: 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = −𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 + 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 − 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟎 𝒎∗𝒈 𝟐∗𝒌 ) 𝒙= 𝒙= 𝟐∗𝒎∗𝒈±√𝟒∗𝒎𝟐∗𝒈𝟐 +𝟒∗𝒌∗𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒉 𝒎∗𝒈 𝒌 +√ 𝟐𝒌 𝒎𝟐∗𝒈𝟐 𝒌𝟐 + 𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒉 𝒌 c) En el punto considerado: 𝟏 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = −𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 + 𝑬𝒄 + ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝟐 Donde: 𝑬𝒄 = 𝒎∗𝒈 𝟐 ∗ (𝒉 + 𝒎∗𝒈 𝟐∗𝒌 ) 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = −𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒙 + 𝟐 𝒎∗𝒈 𝟐 ∗ (𝒉 + 𝒌∗𝒙 −𝟐∗𝒎∗𝒈∗𝒙− 𝒎∗𝒈∗𝒉+ 𝒙𝟐 − 𝟐∗𝒎∗𝒈 𝒌 ∗𝒙+( 𝒎𝟐∗𝒈𝟐 𝟐∗𝒌𝟐 La solución positiva: 𝒙= 𝒎∗𝒈 𝒌 +√ 𝒎𝟐∗𝒈𝟐 𝟐∗𝒌𝟐 + − 𝒎∗𝒈∗𝒉 𝒌 𝒎∗𝒈∗𝒉 𝒌 )=𝟎 𝒎∗𝒈 𝟏 ) + ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝟐∗𝒌 𝒎𝟐 ∗𝒈𝟐 𝟐∗𝒌 𝟐 =𝟎 97. Se empuja hacia un lado la lenteja de un péndulo de longitud L de modo que la cuerda forme con la vertical un ángulo ϴo y luego se suelta. Utilizando la segunda ley de Newton se pretende demostrar el principio de conservación de la energía. a) Demostrar que la componente tangencial de la segunda ley de Newton viene dada por dv/dt=-g senϴ, donde v es la velocidad y ϴ el ángulo que forma la cuerda con la vertical. b) Demostrar que v se puede escribir en la forma v= L dϴ/dt. c) Utilizar este resultado y la regla de derivación en cadena para obtener 𝒅𝒗 𝒅𝒗 𝒅𝒗 𝒗 = = 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝜽 𝑳 d) Combinar los resultados a y c para obtener 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒈 𝑳 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 e) Integrar el primer miembro de esta ecuación desde v=0 hasta la velocidad final v y el segundo miembro desde ϴ=ϴo a ϴ=0 y demostrar que el resultado es equivalente a 𝒗 = √𝟐𝒈𝒉, siendo h la altura original de la lenteja del péndulo sobre el punto más bajo de su recorrido. a) 𝑭𝒕𝒂𝒏 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒎 ∗ 𝒂𝒕 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 Teniendo en cuenta la expresión de la aceleración tangencial ( 𝒂𝒕 = 𝒅𝒗⁄𝒅𝒕 : 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 Expresión en módulo. La aceleración está dirigida hacia la parte inferior en el mismo sentido que la fuerza tangencial. b) Teniendo en cuenta 𝒔 = 𝑳 ∗ 𝜽 c) 𝒅𝒔 𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳 ∗ 𝒅𝒕 ; 𝒗 = 𝑳 ∗ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 𝒅𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 𝒅𝜽 ∗ 𝒗 𝑳 Donde hemos utilizado: 𝒅𝒔 𝒅𝒕 =𝒗=𝑳∗ d) En modulo: 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝒅𝜽 ; ∗ 𝒅𝜽 𝒗 𝒅𝒕 = 𝒗 𝑳 𝑳 𝒗 ∗ 𝒅𝒗 = 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝒗 𝟎 e) ∫𝟎 𝒗 ∗ 𝒅𝒗 = − ∫𝜽 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝒐 𝟏 𝒗 [ ∗ 𝒗𝟐 ] = 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ [𝒄𝒐𝒔𝜽]𝟎𝜽𝒐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒐 ) = 𝒈 ∗ 𝒉 ; 𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉