Un enfoque integrado

DISEÑO DE MÁQUINAS Un enfoque integrado Cuarta edición Robert L. Norton PROPIEDADES DE SECCIONES TRANSVERSALES A  área I x  segundo momento de área con respecto al eje x C  ubicación del centroide I y  segundo momento de área con respecto al eje y k x  radio de giro con respecto al eje x k y  radio de giro con respecto al eje y J z  segundo momento polar de área con respecto al eje z pasando por C y b 2 A  bh Jz  Ix 3 h C x h 2 bh 12 Ix  Iy  b h 12 Iy Ix A ky  A PD2 4 Jz  PD 4 32 Ix  PD 4 64 Iy  PD 4 64 kx  Ix A ky  kx  b Iy 3 A (a) Rectángulo y D x C Iy A (b) Círculo y P 2 D d2 4 P Ix  D4 d 4 64 d  x C  A D Ix A kx  P D4 32 P Iy  D4 64   Jz  Iy ky  A (c) Círculo hueco y A b C x a PD2 8 I x  0.109 8 R 4 a  0.424 4 R R Ix A kx  D Jz  Ix Iy P 4 R 8 b  0.575 6 R Iy  ky  Iy A (d ) Semicírculo sólido y b 3 h 3 h x b (e) Triángulo rectángulo A bh 2 Jz  Ix Ix  bh 3 36 Iy  kx  Ix A ky  Iy b 3h 36 Iy A d4 d4 PROPIEDADES DE LA MASA DE FORMAS BÁSICAS V  volumen m  masa I x  segundo momento de masa con respecto al eje x I y  segundo momento de masa con respecto al eje y I z  segundo momento de masa con respecto al eje z k x  radio de giro con respecto al eje x k y  radio de giro con respecto al eje y kz  radio de giro con respecto al eje z a V  abc c y Cg  ubicación del centro de masa b z xCg @ y r z l mr 2 2 l 2  b2 y r V xCg Ix m (e) Esfera k y  kz  x c2 12 Iz m sobre el eje zCg  m 3r 2 l2 12 Iy m sobre el eje zCg  m 3a 2 3b 2 l2 12 Iy m sobre el eje yCg I y  Iz  k y  kz  4 3 Pr 3 en el centro k x  k y  kz   m b2 m  V – densidad de masa Ix m I x  I y  Iz  z I y  Iz  2 kx  ( d ) Cono circular recto m sobre el eje yCg 3 Ix  mr 2 10 x kz  a 2 m  V – densidad de masa r 2h 3 3h xCg @ 4 z h a2 l VP r Iy k y  kz  m a2 Ix  kx  y Iz  12 I y  Iz  Ix m x (c) Cilindro hueco c2 sobre el eje yCg xCg @ a  m a2 m  V – densidad de masa  z zCg @ l xCg @ 2 V  P b2 b 3h 4 ky  b 2 V  Pr 2 l kx  y Iy  Ix m x (b) Cilindro b2 12 Ix  l yCg @  kx  (a) Prisma rectangular c 2 m a2 Ix  x m  V – densidad de masa sobre el eje zCg  m 12 r 2 3h 2 80 Iy m m  V – densidad de masa yCg en el centro 2 2 mr 5 Iy m zCg en el centro DISEÑO DE MÁQUINAS Un enfoque integrado Cuarta edición Robert L. Norton Traducción: Antonio Enríquez Brito Traductor especialista en Ingeniería Mecánica Revisión técnica: Sergio Saldaña Sánchez Ángel Hernández Fernández Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, (ESIME), Zacatenco Instituto Politécnico Nacional Mario Acevedo Alvarado Universidad Panamericana IV Datos de catalogación bibliográfica NORTON, ROBERT L. DISEÑO DE MÁQUINAS Un enfoque integrado Cuarta edición Pearson Educación, México, 2011 ISBN: 978-607-32-0589-4 Área: Ingeniería Formato 21 × 27 cm Páginas: 888 Authorized translation from the English language edition, entitled MACHINE DESIGN, 4th Edition, by Robert Norton, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall © 2011. All rights reserved. ISBN 9780136123705 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada MACHINE DESIGN, 4a Edición, por Robert Norton publicada por Pearson Education Inc., publicada como Prentice Hall Copyright © 2011. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de producción: Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: [email protected] Felipe Hernández Carrasco Rodrigo Romero Villalobos CUARTA EDICIÓN, 2011 D.R. © 2011 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-0589-4 ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-0590-0 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0591-7 PRIMERA IMPRESIÓN Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 14 13 12 11 Prentice Hall es una marca de www.pearsoneducacion.net V ACERCA DEL AUTOR Robert L. Norton obtuvo las licenciaturas en ingeniería mecánica y tecnología industrial en la Northeastern University, así como una maestría en diseño de ingeniería en la Tufts University. Está registrado como ingeniero profesional en Massachusetts. Tiene amplia experiencia en diseño y manufactura de ingeniería industrial, y muchos años de experiencia como docente de ingeniería mecánica, diseño de ingeniería, ciencias de la computación, y materias afines en la Northeastern University, la Tufts University y el Worcester Polytechnic Institute. Trabajó 10 años en la corporación Polaroid, diseñando cámaras, mecanismos afines y maquinaria automática de alta velocidad. Pasó tres años en Spray Cooler Inc., diseñando maquinaria y productos para el manejo de alimentos. Participó durante cinco años en el desarrollo de un corazón artificial y de dispositivos no invasivos de circulación asistida (sincronía cardiaca) en el Tufts New England Medical Center y en el Boston City Hospital. Desde que dejó la industria para unirse a la academia, continuó como consultor independiente en proyectos de ingeniería que van desde productos médicos desechables hasta maquinaria de producción de alta velocidad. Tiene 13 patentes en Estados Unidos. Desde 1981 Norton ha estado en la facultad del Worcester Polytechnic Institute y actualmente es Profesor Distinguido Milton P. Higgins II de ingeniería mecánica, Instructor Distinguido Rusell P. Searle, jefe del grupo de diseño en ese departamento, y director del Centro de Proyectos Gillette en el Worcester Polytechnic Institute. Da clases en la licenciatura y posgrado de ingeniería mecánica con énfasis en diseño, cinemática, vibraciones, y dinámica de maquinaria. Es autor de diversos artículos técnicos y periodísticos que cubren cinemática, dinámica de maquinaria, diseño de levas y manufactura, computadoras en la educación, y educación en ingeniería, así como de los libros de texto Design of Machinery y Cam Design and Manufacturing Handbook. Es miembro de la junta de gobierno en la American Society of Mechanical Engineers y es integrante de la Society of Automotive Engineers. Pero, como su principal interés es la enseñanza, está más orgulloso del hecho de que, en 2007, fue seleccionado como Profesor del Año en Estados Unidos, por el estado de Massachussetts, por el Council for the Advancement and Support of Education (CASE) y la Carnegie Foundation for the Advancement of Teaching, quienes otorgaron conjuntamente por primera vez el premio nacional de excelencia en la enseñanza que se otorga en Estados Unidos de América. VI DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado VII Este libro está dedicado a: Donald N. Zwiep Rector, Jefe de Departamento, y Profesor Emérito Worcester Polytechnic Institute Un caballero y un líder, sin cuya fe y previsión, este libro nunca se habría escrito. VIII DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Contenido PREFACIO ____________________________________________________ CAPÍTULO 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS XXIII 1 1.0 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 3 1.1 CLASES DE CARGA ........................................................................................ 3 1.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE ................................................................... 5 1.3 ANÁLISIS DE CARGAS ................................................................................... 6 1.4 Análisis tridimensional 6 Análisis bidimensional 7 Análisis de cargas estáticas 8 ESTUDIOS DE CASO DE CARGA ESTÁTICA BIDIMENSIONAL ...................... 8 Estudio de Caso 1A: Análisis de carga de la palanca de freno manual de una bicicleta 1.5 14 Estudio de Caso 3A: Análisis de carga de un gato de tijera para automóvil 18 ESTUDIO DE CASO DE CARGA ESTÁTICA TRIDIMENSIONAL .................... 23 Estudio de Caso 4A: Análisis de carga del brazo del freno de una bicicleta 1.6 1.8 1.10 28 CARGAS POR VIBRACIÓN .......................................................................... 31 Frecuencia natural 32 Fuerzas dinámicas 34 Estudio de Caso 5B: Medición de la carga dinámica en el mecanismo de cuatro barras 35 CARGAS DE IMPACTO ................................................................................ 36 Método de la energía 1.9 24 ESTUDIO DE CASO DE CARGA DINÁMICA ................................................ 28 Estudio de Caso 5A: Análisis de carga de un mecanismo de cuatro barras 1.7 9 Estudio de Caso 2A: Análisis de carga de una pinza de presión operada manualmente 37 CARGA EN UNA VIGA ................................................................................. 41 Cortante y momento 41 Funciones de singularidad 42 Superposición 52 RESUMEN .................................................................................................... 53 Ecuaciones importantes usadas en este capítulo 54 1.11 REFERENCIAS ............................................................................................... 55 1.12 REFERENCIAS WEB ...................................................................................... 56 1.13 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 56 1.14 PROBLEMAS ................................................................................................ 56 IX X DISEÑO DE MÁQUINAS CAPÍTULO 2 - Un Enfoque Integrado ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 69 2.0 INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 69 2.1 ESFUERZO.................................................................................................... 69 2.2 DEFORMACIÓN UNITARIA ......................................................................... 73 2.3 ESFUERZOS PRINCIPALES ............................................................................ 73 2.4 ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIÓN PLANA ............................................ 76 Esfuerzo plano 76 Deformación plana 76 2.5 CÍRCULOS DE MOHR .................................................................................. 76 2.6 ESFUERZOS APLICADOS CONTRA ESFUERZOS PRINCIPALES .................... 81 2.7 TENSIÓN AXIAL ........................................................................................... 82 2.8 ESFUERZO CORTANTE DIRECTO, ESFUERZOS DE CONTACTO Y DESGARRAMIENTO ................................................................................. 83 2.9 Cortante directo 83 Presión de contacto directa 84 Falla por desgarramiento 84 VIGAS Y ESFUERZOS DE FLEXIÓN ............................................................... 84 Vigas con flexión pura Cortante debido a cargas transversales 2.10 DEFLEXIÓN EN VIGAS ................................................................................. 92 Deflexión por funciones de singularidad Vigas estáticamente indeterminadas 2.11 85 88 94 101 MÉTODO DE CASTIGLIANO ..................................................................... 103 Deflexión por el método de Castigliano 105 Determinación de reacciones redundantes con el método de Castigliano 105 2.12 TORSIÓN ................................................................................................... 107 2.13 ESFUERZOS COMBINADOS ...................................................................... 113 2.14 RAZONES DEL RESORTE ............................................................................ 115 2.15 CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO ........................................................... 116 2.16 Concentración de esfuerzo bajo carga estática 117 Concentración de esfuerzos con carga dinámica 118 Determinación de los factores de concentración de esfuerzos geométricos 118 Diseño para eliminar concentraciones de esfuerzos 121 COMPRESIÓN AXIAL: COLUMNAS........................................................... 123 Razón de esbeltez 123 Columnas cortas 123 Columnas largas 123 Condiciones de extremo 125 Columnas intermedias 127 Columnas excéntricas 130 CONTENIDO 2.17 2.18 2.19 ESFUERZOS EN CILINDROS ....................................................................... 133 Cilindros de pared gruesa 134 Cilindros de pared delgada 135 ESTUDIOS DE CASO DE ESFUERZO ESTÁTICO Y ANÁLISIS DE DEFLEXIÓN........................................................................ 135 Estudio de Caso 1B: Esfuerzo en la palanca del freno de una bicicleta y análisis de deflexión 136 Estudio de Caso 2B: Análisis de esfuerzo y deflexión de una pinza de presión 139 Estudio de Caso 3B: Análisis de esfuerzos y deflexiones en un gato de tijera para automóvil 144 Estudio de Caso 4B: Análisis de esfuerzo en el brazo del freno de una bicicleta 147 RESUMEN .................................................................................................. 151 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo 154 2.20 REFERENCIAS ............................................................................................. 157 2.21 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 158 2.22 PROBLEMAS .............................................................................................. 158 CAPÍTULO 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 173 3.0 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 173 3.1 FALLA DE MATERIALES DÚCTILES BAJO CARGA ESTÁTICA ..................... 175 3.2 3.3 Teoría de Von Mises-Hencky o de energía de distorsión 176 Teoría del esfuerzo cortante máximo 182 Teoría del esfuerzo normal máximo 184 Comparación de datos experimentales con las teorías de fallas 184 FALLA DE MATERIALES FRÁGILES BAJO CARGAS ESTÁTICAS .................. 188 Materiales uniformes y no uniformes 188 La teoría de Coulomb-Mohr 189 La teoría de Mohr modificada 190 MECÁNICA DE LA FRACTURA................................................................... 195 Teoría de la mecánica de fractura 196 Tenacidad a la fractura Kc 199 3.4 USO DE TEORÍAS DE FALLA POR CARGA ESTÁTICA ................................ 203 3.5 ESTUDIOS DE CASO CON ANÁLISIS DE FALLAS ESTÁTICAS .................... 204 3.6 Estudio de Caso 1C: Análisis de falla de la palanca del freno de una bicicleta 204 Estudio de Caso 2C: Análisis de falla de una pinza de presión 207 Estudio de Caso 3C: Análisis de fallas de un gato de tijera para automóvil 210 Estudio de Caso 4C: Factores de seguridad para el brazo del freno de una bicicleta 212 RESUMEN .................................................................................................. 215 Ecuaciones importantes usadas en este capítulo 216 XI XII DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 3.7 REFERENCIAS ............................................................................................. 218 3.8 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 219 3.9 PROBLEMAS .............................................................................................. 220 CAPÍTULO 4 4.0 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 233 Historia de las fallas por fatiga 4.1 233 MECANISMO DE LA FALLA POR FATIGA .................................................. 236 Fase de inicio de la grieta 4.2 233 237 Fase de propagación de la grieta 237 Fractura 238 MODELOS DE FALLA POR FATIGA ............................................................ 239 Regímenes de fatiga 239 El procedimiento de esfuerzo-vida 241 El procedimiento deformación-vida 241 El procedimiento de LEFM 241 4.3 CONSIDERACIONES DEL DISEÑO DE MÁQUINAS.................................... 242 4.4 CARGAS POR FATIGA ................................................................................ 243 4.5 4.6 4.7 Carga en máquinas rotatorias 243 Carga de equipo en servicio 244 CRITERIO DE FALLA PARA MEDICIÓN DE LA FATIGA............................... 245 Ciclo de esfuerzo invertido 246 Esfuerzos medio y alternativo combinados 252 Criterio de mecánica de la fractura 253 Pruebas en montajes reales 256 ESTIMACIÓN DEL CRITERIO DE FALLA POR FATIGA ................................ 257 Estimación de la resistencia a la fatiga teórica Sƒ’ o el límite de resistencia a la fatiga Se’ 258 Factores de corrección para la resistencia a la fatiga teórica o el límite de resistencia a la fatiga 260 Cálculo de la resistencia a la fatiga corregida St o límite de resistencia a la fatiga corregido Se 267 Creación de diagramas S-N estimados 267 MUESCAS Y CONCENTRACIONES DE ESFUERZOS ................................... 272 Sensibilidad a la muesca 273 4.8 ESFUERZOS RESIDUALES ........................................................................... 277 4.9 DISEÑO PARA LA FATIGA DE ALTO CICLO ............................................... 282 4.10 DISEÑO PARA ESFUERZOS UNIAXIALES TOTALMENTE INVERTIDOS ....... 282 Pasos de diseño para esfuerzo totalmente invertido con carga uniaxial 283 CONTENIDO 4.11 4.12 DISEÑO PARA ESFUERZOS UNIAXIALES FLUCTUANTES ........................... 290 Elaboración del diagrama de Goodman modificado 291 Aplicación de los efectos de concentración de esfuerzos con esfuerzos fluctuantes 294 Determinación del factor de seguridad con esfuerzos variables 296 Pasos de diseño para esfuerzos fluctuantes 299 DISEÑO PARA ESFUERZOS MULTIAXIALES DE FATIGA ............................. 306 Relaciones de frecuencia y fase 307 Esfuerzos multiaxiales simples totalmente invertidos 307 Esfuerzos multiaxiales fluctuantes simples 308 Esfuerzos multiaxiales complejos 309 4.13 PROCEDIMIENTO GENERAL PARA EL DISEÑO CON FATIGA DE ALTO CICLO ......................................................................................... 311 4.14 ESTUDIO DE CASO DE DISEÑO POR FATIGA............................................ 316 Estudio de Caso 6: Rediseño de un transportador que falla en un telar a chorro de agua 4.15 317 RESUMEN .................................................................................................. 329 Ecuaciones importantes usadas en este capítulo 330 4.16 REFERENCIAS ............................................................................................. 333 4.17 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 336 4.18 PROBLEMAS .............................................................................................. 337 CAPÍTULO 5 FALLA DE SUPERFICIES 349 5.0 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 349 5.1 GEOMETRÍA DE LA SUPERFICIE ................................................................ 351 5.2 SUPERFICIES APAREADAS.......................................................................... 353 5.3 FRICCIÓN .................................................................................................. 354 Efecto de la aspereza sobre la fricción 5.4 Efecto de la velocidad sobre la fricción 355 Fricción por rodamiento 355 Efecto del lubricante sobre la fricción 356 DESGASTE ADHESIVO ............................................................................... 356 Coeficiente de desgaste adhesivo 5.5 5.6 355 359 DESGASTE ABRASIVO ............................................................................... 360 Materiales abrasivos 363 Materiales con resistencia a la abrasión 363 DESGASTE POR CORROSIÓN ................................................................... 364 Fatiga por corrosión 365 Corrosión por frotamiento 365 XIII XIV DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 5.7 FATIGA SUPERFICIAL ................................................................................. 366 5.8 CONTACTO ESFÉRICO .............................................................................. 368 5.9 5.10 5.11 Presión de contacto y huella de contacto en contacto esférico 368 Distribuciones del esfuerzo estático en el contacto esférico 370 CONTACTO CILÍNDRICO .......................................................................... 374 Presión de contacto y huella de contacto en el contacto cilíndrico paralelo 374 Distribuciones de esfuerzo estático en el contacto cilíndrico paralelo 375 CONTACTO GENERAL ............................................................................... 378 Presión de contacto y huella de contacto en el contacto general 378 Distribuciones de esfuerzos en el contacto general 380 ESFUERZOS DE CONTACTO DINÁMICOS ................................................. 383 Efecto de la componente de deslizamiento sobre esfuerzos de contacto 383 5.12 MODELOS DE FALLA POR FATIGA SUPERFICIAL: CONTACTO DINÁMICO ............................................................................ 391 5.13 RESISTENCIA A LA FATIGA SUPERFICIAL................................................... 394 5.14 RESUMEN .................................................................................................. 400 Diseño para evitar fallas superficiales 401 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo 402 5.15 REFERENCIAS ............................................................................................. 404 5.16 PROBLEMAS .............................................................................................. 406 CAPÍTULO 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 411 6.0 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 411 6.1 EJES CARGADOS ....................................................................................... 411 6.2 SUJECIONES Y CONCENTRACIONES DE ESFUERZOS ............................... 413 6.3 MATERIALES PARA EJES............................................................................. 415 6.4 POTENCIA DEL EJE .................................................................................... 415 6.5 CARGAS SOBRE EJES ................................................................................. 416 6.6 ESFUERZOS EN EL EJE ................................................................................ 416 6.7 FALLA DEL EJE POR CARGAS COMBINADAS ........................................... 417 6.8 DISEÑO DE EJES......................................................................................... 418 Consideraciones generales 6.9 418 Diseño para ciclo de flexión y torsión constantes invertidas 419 Diseño con flexión y torsión fluctuantes 421 DEFLEXIÓN EN EJES ................................................................................... 428 Ejes como vigas 429 Ejes como barras de torsión 429 CONTENIDO 6.10 CUÑAS Y CUÑEROS .................................................................................. 432 Cuñas paralelas 432 Cuñas cónicas 433 Cuñas Woodruff 434 Esfuerzos en cuñas 434 Materiales para cuñas 435 Diseño de cuñas 435 Concentraciones de esfuerzos en cuñeros 436 6.11 RANURAS .................................................................................................. 440 6.12 AJUSTES DE INTERFERENCIA ..................................................................... 442 Esfuerzos en ajustes de interferencia 6.13 6.14 Concentración de esfuerzos en ajustes de interferencia 443 Desgaste por frotamiento con corrosión 444 DISEÑO DE VOLANTES ..................................................................................................... 447 Variación de la energía en un sistema en rotación 448 Determinación de la inercia del volante 450 Esfuerzos en volantes 452 Criterio de falla 453 VELOCIDADES CRÍTICAS EN EJES ............................................................. 455 Vibración lateral de flechas y vigas: método de Rayleigh 6.15 6.16 442 458 Cabeceo de ejes 459 Vibración torsional 461 Dos discos sobre un eje común 462 Discos múltiples sobre una flecha común 463 Control de las vibraciones torsionales 464 ACOPLAMIENTOS ..................................................................................... 466 Acoplamientos rígidos 467 Acoplamientos flexibles 468 ESTUDIO DE CASO .................................................................................... 470 Diseño del eje de transmisión de un compresor portátil de aire 470 Estudio de Caso 8B: Diseño preliminar de los ejes del tren de transmisión de un compresor 470 6.17 RESUMEN .................................................................................................. 474 6.18 REFERENCIAS ............................................................................................. 476 6.19 PROBLEMAS .............................................................................................. 477 CAPÍTULO 7 7.0 COJINETES Y LUBRICACIÓN 485 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 485 Advertencia 487 7.1 LUBRICANTES ............................................................................................ 487 7.2 VISCOSIDAD.............................................................................................. 489 XV XVI DISEÑO DE MÁQUINAS 7.3 - Un Enfoque Integrado TIPOS DE LUBRICACIÓN ........................................................................... 490 Lubricación de película completa 491 Lubricación límite 493 7.4 COMBINACIONES DE MATERIALES EN COJINETES DE DESLIZAMIENTO ....................................................................................... 493 7.5 TEORÍA DE LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA .......................................... 494 Ecuación de Petroff para torque sin carga 7.6 495 Ecuación de Reynolds para cojinetes planos excéntricos 496 Pérdida de torque y potencia en cojinetes planos 501 DISEÑO DE COJINETES HIDRODINÁMICOS ............................................. 502 Diseño del factor de carga: El número de Ocvirk 502 Procedimientos de diseño 504 7.7 CONTACTOS NO CONCORDANTES ......................................................... 508 7.8 COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES ................................................... 515 Comparación de cojinetes rodantes y deslizantes 516 Tipos de cojinetes de elementos rodantes 516 7.9 FALLA DE COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES................................... 520 7.10 SELECCIÓN DE COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES .......................... 521 Valor C de la carga dinámica básica 521 Valor modificado de la vida del cojinete 522 Valor C0 para carga estática básica 523 Cargas radiales y de empuje combinadas 524 Procedimientos de cálculo 525 7.11 DETALLES DEL MONTAJE DEL COJINETE .................................................. 527 7.12 COJINETES ESPECIALES ............................................................................. 528 7.13 ESTUDIO DE CASO .................................................................................... 530 Estudio de Caso 10B: Diseño de cojinetes hidrodinámicos para un dispositivo de prueba de levas 7.14 530 RESUMEN .................................................................................................. 532 Ecuaciones importantes usadas en este capítulo 533 7.15 REFERENCIAS ............................................................................................. 535 7.16 PROBLEMAS .............................................................................................. 537 CAPÍTULO 8 ENGRANES RECTOS 543 8.0 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 543 8.1 TEORÍA DEL DIENTE DE ENGRANE ............................................................ 545 Ley fundamental del engranaje 545 Dientes con forma de involuta 546 Ángulo de presión 547 Geometría del engranaje 548 Piñón y cremallera 549 CONTENIDO Cambio de la distancia entre centros 549 Holgura (juego) 551 Movimiento relativo del diente 551 8.2 NOMENCLATURA DEL DIENTE DEL ENGRANE ......................................... 551 8.3 INTERFERENCIA Y REBAJE ENTRE DIENTES ............................................... 554 Formas de dientes de adendo desigual 555 8.4 RAZÓN DE CONTACTO ............................................................................ 556 8.5 TRENES DE ENGRANES .............................................................................. 558 8.6 Trenes de engranes simples 558 Trenes de engranes compuestos 559 Trenes compuestos invertidos 560 Trenes de engranes planetarios o epicíclicos 561 MANUFACTURA DE ENGRANES ................................................................ 564 Formado de dientes de engrane 564 Maquinado 565 Procesos de rectificado 565 Procesos de acabado 567 Calidad del engrane 567 8.7 CARGA SOBRE ENGRANES RECTOS.......................................................... 568 8.8 ESFUERZOS EN ENGRANES RECTOS ......................................................... 570 8.9 Esfuerzos de flexión 571 Esfuerzos superficiales 580 MATERIALES PARA ENGRANES .................................................................. 584 Resistencia de materiales 585 Resistencias de la AGMA de fatiga a la flexión en materiales para engranes 586 Resistencias a la fatiga superficial de la AGMA para materiales de engranes 587 8.10 LUBRICACIÓN DE ENGRANAJES ............................................................... 594 8.11 DISEÑO DE ENGRANES RECTOS ............................................................... 594 8.12 ESTUDIO DE CASO .................................................................................... 596 Estudio de Caso 8C: Diseño de engranes rectos para el tren impulsor de un compresor 8.13 596 RESUMEN .................................................................................................. 600 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo 602 8.14 REFERENCIAS ............................................................................................. 603 8.15 PROBLEMAS .............................................................................................. 604 CAPÍTULO 9 9.0 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 609 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 609 XVII XVIII DISEÑO DE MÁQUINAS 9.1 9.2 - Un Enfoque Integrado ENGRANES HELICOIDALES ........................................................................ 609 Geometría del engrane helicoidal 611 Fuerzas en un engrane helicoidal 612 Número virtual de dientes 613 Razones de contacto 614 Esfuerzos en engranes helicoidales 614 ENGRANES CÓNICOS................................................................................ 622 Geometría y nomenclatura del engrane cónico 9.3 9.4 Montaje de un engrane cónico 624 Fuerzas sobre engranes cónicos 624 Esfuerzos en engranes cónicos 625 ENGRANES DE TORNILLOS SIN FIN .......................................................... 630 Materiales para engranajes sin fin 632 Lubricación de engranajes sin fin 632 Fuerzas en los engranajes sin fin 632 Geometría de un engranaje sin fin 632 Métodos de medición 633 Procedimiento de diseño de engranajes sin fin 635 ESTUDIO DE CASO ................................................................................... 636 Estudio de Caso 9B: Diseño de un engranaje sin fin de reducción de velocidad para la grúa de un malacate 9.5 623 636 RESUMEN .................................................................................................. 639 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo 641 9.6 REFERENCIAS ............................................................................................. 643 9.7 PROBLEMAS .............................................................................................. 644 CAPÍTULO 10 DISEÑO DE RESORTES 647 10.0 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 647 10.1 CONSTANTE DE RESORTE ......................................................................... 647 10.2 CONFIGURACIONES DE RESORTE ............................................................ 650 10.3 MATERIALES PARA RESORTES ................................................................... 652 10.4 Alambre para resortes 652 Resortes de tiras planas 655 RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN ........................................... 657 Longitudes del resorte 658 Detalles de extremos 658 Espiras activas 659 Índice de resorte 659 Deflexión del resorte 659 Constante de resorte 659 Esfuerzos en las espiras de un resorte helicoidal de compresión 660 Resortes con espiral helicoidal de alambre que no está redondeado 661 CONTENIDO Esfuerzos residuales 662 Pandeo en resortes de compresión 664 Oscilación en resortes de compresión 664 Resistencias permisibles para resortes de compresión 665 Diagrama S-N de corte por torsión para el alambre de un resorte 666 Diagrama de Goodman modificado para un resorte de alambre 668 10.5 DISEÑO DE RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN PARA CARGA ESTÁTICA ............................................................................ 670 10.6 DISEÑO DE RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESIÓN CON CARGA DE FATIGA ........................................................................... 674 10.7 RESORTES HELICOIDALES DE EXTENSIÓN ................................................ 682 10.8 Espiras activas en los resortes de extensión 683 Constante de resorte en resortes de extensión 683 Índice de resorte en los resortes de extensión 683 Precarga de la espira en resortes de extensión 683 Deflexión en resortes de extensión 684 Esfuerzos en la espira en resortes de extensión 684 Esfuerzos en los extremos en resortes de extensión 684 Oscilaciones en resortes de extensión 685 Resistencias de materiales para resortes de extensión 685 Diseño de resortes helicoidales de extensión 686 RESORTES HELICOIDALES DE TORSIÓN ................................................... 693 Terminología de los resortes de torsión 10.9 694 Número de espiras en resortes de torsión 694 Deflexión en resortes de torsión 694 Constante de resorte en resortes de torsión 695 Cierre de la espira 695 Esfuerzos en la espira de resortes de torsión 695 Parámetros del material para resortes de torsión 696 Factores de seguridad para resortes de torsión 697 Diseño de resortes helicoidales de torsión 698 ARANDELAS PARA RESORTES BELLEVILLE ................................................ 700 Función carga-deflexión en arandelas Belleville 702 Esfuerzos en arandelas Belleville 703 Carga estática en arandelas Belleville 704 Carga dinámica 704 Resortes apilados 704 Diseño de resortes Belleville 705 10.10 ESTUDIOS DE CASO .................................................................................. 707 Diseño de un resorte de retorno en una máquina para probar levas 707 Estudio de Caso 10C: Diseño de un resorte de retorno del brazo seguidor de una leva 708 10.11 RESUMEN .................................................................................................. 712 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo 713 10.12 REFERENCIAS ............................................................................................. 715 10.13 PROBLEMAS .............................................................................................. 716 XIX XX DISEÑO DE MÁQUINAS CAPÍTULO 11 - Un Enfoque Integrado TORNILLOS Y SUJETADORES 721 11.0 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 721 11.1 PERFILES DE CUERDAS ESTÁNDARES ........................................................ 724 11.2 Área de esfuerzo a la tensión 725 Dimensiones estándares de cuerda 726 TORNILLOS DE POTENCIA ........................................................................ 727 Cuerdas cuadradas, Acme y reforzadas 11.3 11.4 727 Aplicación de tornillos de potencia 728 Análisis de fuerza y torque en un tornillo de potencia 730 Coeficientes de fricción 731 Autobloqueo y retroceso en tornillos de potencia 732 Eficiencia del tornillo 733 Tornillos de bolas 734 ESFUERZOS EN CUERDAS.......................................................................... 736 Esfuerzo axial 737 Esfuerzo cortante 737 Esfuerzo de torsión 738 TIPOS DE TORNILLOS SUJETADORES ....................................................... 738 Clasificación por su uso esperado 739 Clasificación por tipo de cuerda 739 Clasificación por forma de cabeza 739 Tuercas y arandelas 741 11.5 FABRICACIÓN DE SUJETADORES .............................................................. 742 11.6 RESISTENCIAS DE PERNOS ESTÁNDARES Y DE TORNILLOS DE MÁQUINA ............................................................................................ 743 11.7 SUJETADORES PRECARGADOS A LA TENSIÓN ......................................... 744 11.8 11.9 Pernos precargados bajo carga estática 747 Pernos precargados bajo carga dinámica 752 DETERMINACIÓN DEL FACTOR DE RIGIDEZ EN LA JUNTA ...................... 757 Juntas de dos placas del mismo material 759 Juntas con dos placas de materiales diferentes 760 Juntas con empaques 761 CONTROL DE LA PRECARGA .................................................................... 766 El método de giro de la tuerca 767 Sujetadores de torque limitado 767 Arandelas indicadoras de carga 767 Esfuerzos de torsión debidos a torques aplicados a los pernos 768 11.10 SUJETADORES EN CORTANTE ................................................................... 769 Pasadores de espiga 770 Centroides de grupos de sujetadores 771 Determinación de las cargas de cortante en sujetadores 772 CONTENIDO 11.11 ESTUDIO DE CASO ................................................................................... 774 Diseño de los pernos de un compresor de aire 774 Estudio de Caso 8D: Diseño de los perros de un compresor de aire 774 11.12 RESUMEN .................................................................................................. 779 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo 780 11.13 REFERENCIAS ............................................................................................. 782 11.14 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 783 11.15 PROBLEMAS .............................................................................................. 783 CAPÍTULO 12 SOLDADURA 789 12.0 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 789 12.1 PROCESOS DE SOLDADURA ..................................................................... 791 12.2 Tipos de soldadura de uso común 792 ¿Por qué un diseñador debe intervenir en el proceso de soldadura? 793 JUNTAS SOLDADAS Y TIPOS DE SOLDADURA ......................................... 793 Preparación de la junta 795 Especificación de la soldadura 795 12.3 PRINCIPIOS DE DISEÑO DE SOLDADURA................................................. 796 12.4 CARGA ESTÁTICA EN SOLDADURAS ........................................................ 798 12.5 RESISTENCIA ESTÁTICA DE SOLDADURAS ............................................... 798 12.6 Esfuerzos residuales en soldaduras 799 Dirección de la carga 799 Esfuerzo cortante permisible, en soldaduras de filete y con PJP cargadas estáticamente 799 CARGA DINÁMICA EN SOLDADURAS ...................................................... 802 Efecto del esfuerzo medio sobre la resistencia a la fatiga en un ensamble soldado 802 ¿Son necesarios los factores de corrección para la resistencia a la fatiga de ensambles soldados? 802 Efecto de la configuración del ensamble soldado sobre la resistencia a la fatiga 803 ¿Existe un límite de resistencia a la fatiga para las soldaduras? 807 ¿Falla por fatiga en carga de compresión? 808 12.7 CONSIDERAR LA SOLDADURA COMO UNA LÍNEA ................................. 809 12.8 PATRONES DE SOLDADURAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE .............. 815 12.9 CONSIDERACIONES DE DISEÑO PARA ENSAMBLES SOLDADOS EN MÁQUINAS ...................................................................... 816 12.10 RESUMEN .................................................................................................. 817 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo 818 12.11 REFERENCIAS ............................................................................................. 818 12.12 PROBLEMAS .............................................................................................. 819 XXI XXII DISEÑO DE MÁQUINAS CAPÍTULO 13 - Un Enfoque Integrado EMBRAGUES Y FRENOS 821 13.0 INTRODUCCIÓN ....................................................................................... 821 13.1 TIPOS DE FRENOS Y EMBRAGUES ............................................................ 823 13.2 SELECCIÓN Y ESPECIFICACIÓN DE EMBRAGUES Y FRENOS .................... 828 13.3 MATERIALES PARA EMBRAGUES Y FRENOS ............................................. 830 13.4 EMBRAGUES DE DISCO............................................................................. 830 Presión uniforme 831 Desgaste uniforme 831 13.5 FRENOS DE DISCO .................................................................................... 833 13.6 FRENOS DE TAMBOR ................................................................................ 834 Frenos de tambor con zapata externa 13.7 835 Frenos de tambor externos con zapata larga 837 Frenos de tambor con zapata interna larga 841 RESUMEN .................................................................................................. 841 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo 843 13.8 REFERENCIAS ............................................................................................. 844 13.9 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 844 13.10 PROBLEMAS .............................................................................................. 845 ÍNDICE I-1 El siguiente material se encuentra en español en el sitio Web del libro: APÉNDICE A INTRODUCCIÓN AL DISEÑO 849 APÉNDICE B MATERIALES Y PROCESOS 875 APÉNDICE C ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS 919 APÉNDICE D ESTUDIOS DE CASO DE DISEÑO 959 APÉNDICE E PROPIEDADES DE MATERIALES 985 APÉNDICE F TABLAS DE VIGAS 993 APÉNDICE G FACTORES DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO 997 APÉNDICE H RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS 1005 Prefacio Introducción Este libro está dirigido a los cursos de Diseño de elementos de máquinas que generalmente se imparten en los primeros semestres de la mayoría de los programas de ingeniería mecánica. Los prerrequisitos comunes son un curso introductorio de Estática y dinámica y otro de Resistencia de materiales. El propósito de esta obra es presentar la materia de forma actualizada, con gran énfasis en el diseño. El nivel es adecuado para estudiantes tanto principiantes como avanzados de ingeniería mecánica. La meta principal fue escribir un texto que fuera muy fácil de leer y que también los usuarios disfrutaran su estudio, no obstante la aridez intrínseca del tema. Este material fue diseñado para mejorar los libros que actualmente existen, así como para ofrecer métodos y técnicas que aprovechen totalmente el análisis asistido por computadora. El texto enfatiza tanto el análisis como el diseño y la síntesis. Los problemas resueltos, los estudios de caso y las técnicas de solución se explican con todo detalle y son relativamente independientes. En cada capítulo hay problemas cortos y, donde resulte adecuado, se incluyen tareas de diseño más significativas de proyectos no estructurados. El libro es independiente de cualquier programa específico de computadora. En el CDROM contiene los archivos con las soluciones de todos los ejemplos y estudios de caso, escritos en varios lenguajes diferentes (Mathcad, MATLAB, Excel y TK Solver). También se proporcionan como archivos ejecutables varios programas escritos por el autor. Éstos incluyen un generador del círculo de Mohr (MOHR.exe), un calculador de esfuerzo dinámico superficial (CONTACT.exe), un solucionador de matrices (MATRIX.exe) y varios programas de diseño de eslabones y levas. En el disco se encuentra también la tabla de contenido del CD-ROM. Si bien el libro intenta ser integral en los temas de ingeniería mecánica relacionados con el análisis y la teoría de fallas, también destaca los aspectos de diseño y síntesis de la materia, en mayor grado que la mayoría de los demás textos existentes sobre el tema. Señala los enfoques analíticos comunes necesarios para diseñar una gran variedad de elementos y resalta la aplicación de la ingeniería asistida por computadora, como un enfoque para el diseño y análisis de este tipo de problemas. El enfoque del autor para este curso se basa en 50 años de experiencia práctica en el diseño de ingeniería mecánica, tanto en la industria como en la consultoría. También ha enseñado el diseño en ingeniería mecánica a nivel universitario durante 30 de esos 50 años. ¿Qué hay de nuevo en la cuarta edición? • Un capítulo nuevo acerca del diseño de soldaduras presenta los datos y métodos más recientes sobre el tema. • El apéndice sobre análisis de elementos finitos (FEA) se amplió con soluciones de FEA adicionales para los estudios de caso que se desarrollan en los primeros capítulos. • En el CD-ROM se incluyen las soluciones de FEA de modelos espaciales para varios estudios de caso. • El CD-ROM contiene modelos espaciales de muchos problemas asignados de geometría, con la finalidad de acelerar las soluciones de FEA de esos problemas a juicio del instructor. • En el capítulo 11 sobre sujetadores se presenta una nueva técnica de cálculo de rigidez de juntas atornilladas. • Se agregaron o se revisaron aproximadamente 150 problemas para enfatizar las unidades del SI. XXIII XXIV DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Filosofía A menudo éste es el primer curso que los estudiantes de ingeniería mecánica ven que les presenta retos de diseño, en vez de problemas de elaboración de piezas. Sin embargo, el tipo de diseño que se estudia en este curso es de diseño detallado, el cual tan sólo es una parte del espectro total del proceso de diseño. En el diseño detallado, el concepto general, la aplicación e incluso la forma general del dispositivo requerido, generalmente se conocen desde el principio. No se trata de inventar un nuevo dispositivo, sino que se intenta definir la forma, el tamaño y el material del elemento de una máquina específica, de manera que no falle en las condiciones de carga y ambientales que se esperan durante el servicio. El enfoque tradicional en la enseñanza del curso de Elementos ha sido enfatizar el diseño de piezas o elementos de una máquina individual, como engranes, resortes, ejes, etcétera. La crítica que algunas veces se hace al curso de Elementos (o al libro de texto) es que se convierte fácilmente en un “libro de cocina”, con temas inconexos que no preparan al estudiante para resolver otro tipo de problemas que no sean los de las recetas. Existe un riesgo en este hecho. Es relativamente fácil para el instructor (o autor) permitir que el curso (o texto) degenere al modo: “Bueno, es martes, diseñemos resortes; el viernes diseñaremos engranes”. Si esto sucede, se causaría un perjuicio al estudiante, ya que de esa manera no necesariamente desarrolla una comprensión fundamental de la aplicación práctica de las teorías subyacentes en los problemas de diseño. Sin embargo, muchos de los elementos de máquinas que por lo general se abordan en este curso brindan ejemplos magníficos acerca de la teoría subyacente. Si se ven desde esa óptica y se presentan en un contexto general, pueden ser un vehículo excelente para que el estudiante desarrolle una comprensión integral de las teorías relevantes y complejas de la ingeniería. Por ejemplo, el tema de tornillos precargados es perfecto para introducir el concepto de preesfuerzo, utilizado como un remedio contra cargas de fatiga. Quizás en la práctica el estudiante nunca vaya a diseñar un tornillo precargado, no obstante, él o ella utilizarán bien el conocimiento de preesfuerzo obtenido de esta manera. El diseño de engranes helicoidales para soportar cargas variables en el tiempo brinda un excelente vehículo para desarrollar en el estudiante la comprensión de los esfuerzos combinados, los esfuerzos hertzianos y la falla por fatiga. De modo que el enfoque en los elementos es válido y defendible en la medida en que el enfoque adoptado en el texto sea lo suficientemente global. Es decir, no se debería permitir que degenere en un conjunto de ejercicios sin relación aparente; por el contrario, se tiene que proporcionar un enfoque integral. Otra área donde el autor ha encontrado que textos (y cursos de Elementos de máquinas) presentan deficiencias es en la falta de conexión entre la dinámica de un sistema y el análisis de esfuerzo de ese sistema. Generalmente, esos textos exponen los elementos de máquinas con fuerzas (mágicamente) predefinidas sobre ellos. Luego, se muestra al estudiante cómo determinar los esfuerzos y las deflexiones causadas por dichas fuerzas. En el diseño de máquinas reales, las fuerzas no siempre están predefinidas y pueden deberse, en gran parte, a las aceleraciones de las masas de las piezas en movimiento. Sin embargo, las masas no se pueden determinar exactamente hasta que se define la geometría y se realiza un análisis de esfuerzos, para determinar la resistencia de la pieza supuesta. Entonces, hay un punto muerto que sólo se resuelve con iteración, es decir, se supone una geometría de la pieza y se definen sus propiedades geométricas y de masa, se calculan las cargas dinámicas debidas en parte al material y a la geometría de la pieza. Luego se calculan los esfuerzos y las deflexiones resultantes a partir de estas fuerzas, se averigua si falla, se rediseña y se vuelve a empezar. El enfoque integral El texto se divide en dos partes. La primera parte presenta los fundamentos de esfuerzos, deformación unitaria, deflexión, propiedades de los materiales, teorías de falla, fenómenos de fatiga, mecánica de fractura, FEA, etcétera. Estos aspectos teóricos se presentan de manera similar a la de otros textos. La segunda parte presenta los tratamientos de los elementos de diseño específicos comunes, utilizados como ejemplos de aplicaciones de la teoría, pero también intenta evitar la presentación de un conjunto de temas dispares, en favor de un enfoque integral que vincule los diferentes temas mediante los estudios de caso. PREFACIO La mayoría de los textos de Elementos contienen mucho más temas y más contenido del que se puede cubrir en un curso semestral. Antes de escribir la primera edición de este libro, se envió un cuestionario a 200 catedráticos estadounidenses del curso de Elementos, con la finalidad de solicitarles sus opiniones sobre la importancia y la conveniencia de los temas recurrentes en un texto de Elementos. En cada revisión a la segunda, tercera y cuarta ediciones, los usuarios fueron consultados de nueva cuenta, para determinar qué debería cambiarse o agregarse. Se analizaron y usaron las respuestas para modificar la estructura y el contenido de este libro en todas las ediciones. Una de las solicitudes más fuertemente expresada originalmente por los consultados fue que los estudios de caso trataran problemas de diseño reales. Hemos intentado cumplir con esta petición, estructurando el texto en torno a una serie de diez estudios de caso, los cuales presentan diferentes aspectos del mismo problema de diseño en capítulos sucesivos; por ejemplo, la definición de cargas estáticas o dinámicas en el capítulo 1, el cálculo de esfuerzos debidos a cargas estáticas en el capítulo 2, y la aplicación de la teoría de falla adecuada para determinar su factor de seguridad en el capítulo 3. Los capítulos posteriores presentan estudios de caso más complejos, con mayor contenido de diseño. El estudio de caso del capítulo 4 sobre diseño contra la fatiga es un ejemplo de un problema real tomado de la práctica del autor como consultor. El apéndice C presenta el análisis de elementos finitos de varios de estos estudios de caso, y compara tales resultados con las soluciones clásicas obtenidas en capítulos anteriores. A lo largo del libro, los estudios de casos brindan una serie de proyectos de diseño de máquinas, que contienen diversas combinaciones de los elementos generalmente tratados en este tipo de textos. Los ensambles contienen un conjunto de elementos como eslabones sujetos a cargas axiales y de flexión combinadas, miembros de columnas, ejes que combinan flexión y torsión, engranajes bajo cargas alternantes, resortes de regreso, sujetadores bajo cargas de fatiga, cojinetes de rodamiento, etcétera. Este enfoque integral tiene varias ventajas. Presenta al estudiante un problema de diseño general en el contexto adecuado, en vez de un grupo de entidades dispares y sin relación. Entonces, el estudiante observa las interrelaciones y los fundamentos lógicos de las decisiones de diseño que afectan los elementos individuales. Estos estudios de casos más integrales se encuentran en la parte II del texto. Los estudios de caso de la parte I están más limitados en alcance y están orientados a los temas de ingeniería mecánica del capítulo. Además de los estudios de caso, cada capítulo incluye una selección de ejemplos resueltos para reforzar temas específicos. El apéndice D, Estudios de caso de diseño, está dedicado a la organización de tres estudios de caso sobre diseño, los cuales se usan en los últimos capítulos para reforzar los conceptos detrás del diseño y el análisis de ejes, resortes, engranes, sujetadores, etcétera. No todos los aspectos de estos estudios de caso de diseño se tratan como ejemplos resueltos, ya que otro objetivo consiste en ofrecer material para la asignación de tareas de proyecto al estudiante. El autor utilizó con mucho éxito estos temas de estudio de caso, como tareas de proyecto para varias semanas, o de largo plazo, para grupos de estudiantes o algún estudiante en particular. La asignación de tareas de proyecto abierto-cerrado sirve para reforzar mucho mejor los aspectos de análisis y diseño del curso, que partes de tarea para realizar en casa. Grupos de problemas La mayoría de los 790 problemas (590 o 75%) son independientes dentro del capítulo, en respuesta a las solicitudes de los usuarios de la primera edición para independizarlos. El otro 25% de los problemas aún están construidos sobre capítulos sucesivos. Estos problemas relacionados tienen el mismo número en cada capítulo y su número de problema está en negritas para indicar su continuidad entre capítulos. Por ejemplo, el problema 1-4 requiere el análisis de fuerza estática sobre el gancho de un remolque; el problema 2-4, un análisis de esfuerzo del mismo gancho con base en las fuerzas calculadas en el problema 1-4; el problema 3-4, el factor de seguridad estático para el gancho usando los esfuerzos calculados en el problema 2-4; el problema 4-4, un análisis de falla por fatiga del mismo gancho; y el problema 5-4, un análisis de esfuerzo superficial. El mismo gancho del remolque se usa como un estudio de caso para FEA en el apéndice C. De modo que, la complejidad subyacente del problema de diseño XXV XXVI DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado se extiende conforme se introduce un nuevo tema. Un profesor que desee usar este enfoque puede asignar problemas con el mismo número identificador en capítulos subsiguientes. Si uno no quiere asignar un problema anterior sobre el cual se basa uno posterior, se puede dar al estudiante los datos de la solución del problema anterior. Los profesores a quienes no les gusta vincular problemas tienen la opción de descartarlos completamente y elegir de entre los 590 problemas con números de problema sin negritas que son independientes de otros capítulos. Organización del texto El capítulo 1 presenta un repaso del análisis de cargas estáticas y dinámicas, incluyendo vigas, vibración y cargas de impacto; asimismo, establece una serie de estudios de caso que se utilizan en capítulos posteriores, con la finalidad de ilustrar los temas del análisis de esfuerzo y deflexión con cierta continuidad. El curso Diseño de elementos de máquinas, en esencia, es realmente un curso de análisis de esfuerzo aplicado de nivel intermedio. Por lo tanto, en el capítulo 2 se ofrece un repaso de los fundamentos del análisis de esfuerzo y deflexión. Las teorías de falla estática se presentan con detalle en el capítulo 3, ya que el estudiante generalmente no cuenta todavía con conocimientos sólidos acerca de tales conceptos, a partir de su curso introductorio de análisis de esfuerzo. También se introduce el análisis de la mecánica de la fractura para cargas estáticas. El curso de Elementos suele ser el primer contacto del estudiante con el análisis de fatiga, ya que la mayoría de los cursos de introducción al análisis de esfuerzos únicamente tratan con problemas de carga estática. Por lo tanto, se presenta con todo detalle la teoría de falla por fatiga en el capítulo 4, con énfasis en los enfoques de esfuerzo-vida para el diseño contra fatiga de alto-ciclo, el cual por lo general se utiliza en el diseño de maquinaria giratoria. Además, la teoría de la mecánica de la fractura se analiza en relación con la propagación de una grieta en condiciones de carga cíclica. No se presentan los métodos de análisis con base en la deformación por fatiga de bajo ciclo; sin embargo, se introduce al lector en su aplicación y objetivos, junto con referencias bibliográficas para un estudio más detallado. También se abordan los esfuerzos residuales. El capítulo 5 presenta una discusión completa sobre los mecanismos de los fenómenos de desgaste, esfuerzos de contacto superficiales y fatiga superficial. La parte II del texto presenta el diseño de elementos de máquinas en el contexto de las piezas como una máquina completa. Los capítulos de la parte II son básicamente independientes entre sí y se pueden estudiar (o saltar) en cualquier orden que el instructor desee (excepto el capítulo 8 sobre engranes rectos, que debe estudiarse antes del capítulo 9 sobre engranes helicoidales cónicos y tornillos sin fin). Es improbable que todos los temas del libro se cubran en un curso de un semestre. Los capítulos no cubiertos servirán como una referencia para los ingenieros durante su vida profesional. El capítulo 6 investiga el diseño de ejes usando las técnicas de análisis de fatiga desarrolladas en el capítulo 4. En el capítulo 7 se analiza la teoría de la película de fluido y de cojinetes de rodamiento y su aplicación, usando la teoría desarrollada en el capítulo 5. El capítulo 8 ofrece una introducción meticulosa a la cinemática, y al análisis de diseño y esfuerzos en engranes rectos, mediante los procedimientos más recientes recomendados por la AGMA. El capítulo 9 amplía el diseño de engranes a engranajes helicoidales cónicos y tornillos sin fin. El capítulo 10 cubre el diseño de resortes incluyendo los resortes helicoidales de compresión, de extensión y de torsión, así como un tratamiento meticuloso de los resortes Belleville. El capítulo 11 trata de tornillos y sujetadores, incluyendo tornillos de potencia y sujetadores precargados. El capítulo 12 es un tratamiento actualizado del diseño de ensambles soldados para cargas tanto estáticas como dinámicas. El capítulo 13 introduce al diseño y a la especificación de embragues de disco y tambor, y de frenos. Con la finalidad de hacer que este libro fuera más accesible, los apéndices se incluyen sólo en su página Web (pearsoneducacion.net/norton). El apéndice A ofrece una introducción al proceso de diseño, la formulación de problemas, los factores de seguridad y las unidades. En el apéndice B se revisan las propiedades de los materiales, en vista de que incluso el PREFACIO estudiante que ha tenido un primer contacto con la ciencia de los materiales, o la metalurgia, suele tener un conocimiento superficial del amplio espectro de las propiedades de materiales en ingeniería, que son necesarios para el diseño de máquinas. El apéndice C es una introducción al análisis de elementos finitos (FEA). Muchos profesores usan el curso de elementos de máquinas para introducir a los estudiantes al FEA, así como para instruirlos en las técnicas de diseño de máquinas. El material del capítulo 8 no intenta sustituir la enseñanza de la teoría del FEA. Ese material está disponible en muchos otros libros de texto dedicados a la materia y se sugiere que el estudiante se familiarice con la teoría del FEA mediante un taller o estudiándola por su cuenta. En cambio, el apéndice C presenta las técnicas adecuadas para la aplicación del FEA para resolver problemas prácticos de diseño de máquinas. Los temas de selección de elementos, afinación de engranaje y definición de condiciones limitantes adecuadas se desarrollan con cierto detalle. Estos asuntos por lo general no se tratan en los libros de teoría del FEA. En la actualidad, muchos ingenieros en activo usarán en la práctica de su vida profesional, el software de modelado espacial CAD y el código comercial del análisis de elementos finitos. Es importante que tengan algún conocimiento de las limitaciones y la aplicación adecuada de tales herramientas. Si se desea, este apéndice se puede tomar con anticipación en el curso, sobre todo cuando los estudiantes esperan usar el FEA para resolver las tareas asignadas. Es relativamente independiente de los otros capítulos. En varios capítulos, muchos de los problemas asignados como tareas tienen modelos en Solidworks de su geometría, incluidos en el CD-ROM. El apéndice D presenta un conjunto de estudios de caso de diseño que se usan como tareas y como estudios de caso de ejemplo en los últimos capítulos del libro y, también, proporciona un conjunto de proyectos de diseño sugeridos como tarea, junto con los estudios de caso detallados, como se describió anteriormente. Los demás apéndices contienen datos de resistencia de materiales, tablas de vigas y factores de concentración de esfuerzos, así como las respuestas de problemas seleccionados. Complementos (en inglés) En el sitio Web del libro, está disponible un manual de soluciones para los profesores y, además, se encuentran diapositivas en PowerPoint de todas las figuras y tablas del texto (protegidas con password) en: www.pearsoneducacion.net/norton Para la descarga de estos recursos, seleccione Instructor Support para registrarse como un profesor y siga las instrucciones en el sitio para obtener los recursos que se ofrecen. Los archivos Mathcad de soluciones a todos los problemas tienen la solución en el manual. Este enfoque computarizado de las soluciones a problemas tiene ventajas significativas para el profesor, ya que cambia con facilidad los datos de cualquier problema y lo resuelve instantáneamente. De modo que se dispone de un suministro infinito de problemas, mucho más allá de los definidos en el texto. El instructor también puede preparar y resolver fácilmente problemas, cambiando únicamente los datos en los archivos proporcionados. Cualquiera puede descargar información complementaria acerca de la organización y operación del curso del autor (planes de estudios, proyectos de tarea, etcétera) del sitio Web en la universidad del autor en: http://www.me.wpi.edu/People/Norton/design.html Las erratas que se descubran se colocarán en el sitio de Web personal del autor en: http://www.designofmachinery.com/MD/errata.html Los profesores que adopten el libro pueden registrarse en el Website personal del autor para obtener información adicional relevante acerca de la materia y el texto, y descargar software actualizado (protegido con password). Vaya a: http://www.designofmachinery.com/registered/professor.html Cualquiera que compre el libro puede registrarse en el Website personal del autor para solicitar software actualizado de la edición actual (protegido con password). Vaya a: http://www.designofmachinery.com/registered/student.html XXVII XXVIII DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Reconocimientos El autor desea expresar su aprecio sincero a todos quienes revisaron la primera edición del texto en las diferentes etapas de su desarrollo, incluyendo a los profesores J. E. Beard, Michigan Tech; J. M. Henderson, U. de California, Davis; L. R. Koval, U. de Missouri, Rolla; S. N. Kramer, U. de Toledo; L. D. Mitchell, Virginia Polytechnic; G. R. Pennock, Purdue; D. A. Wilson, Tennessee Tech; Sr. John Lothrop; y al profesor J. Ari-Gur, Western Michigan University, quien también enseño a partir de una versión de prueba del texto. Robert Herrmann (WPI-ME ’94) proporcionó algunos problemas y Charles Gillis (WPI-ME ’96) resolvió la mayoría de los conjuntos de problemas de la primera edición. Los profesores John R. Steffen de la Valparaíso University, R. Jay Conant de Montana State, Norman E. Dowling del Virginia Polytechnic, y Francis E. Kennedy de Dartmouth, hicieron muchas sugerencias útiles para mejorar y detectar muchos errores. Una gratitud especial al profesor Hartley T. Grandin de WPI, quien brindó mucho aliento y muchas buenas sugerencias e ideas meticulosas durante la gestación del libro, y también dio clases a partir de varias versiones de prueba. Los tres editores anteriores y actuales de Prentice Hall merecen una mención especial por su esfuerzo en el desarrollo de este libro: Doug Humphrey, quien nunca aceptó un no por respuesta al persuadirme para escribirlo; Bill Stenquist, quien usualmente dijo que sí a mis peticiones y condujo sabiamente el libro para completar la primera edición; y Eric Svendsen, quien ayudó a llevar a impresión la tercera edición y agregó valor al libro. La asesoría de Tacy Quinn ayudó a poner en orden la impresión de la cuarta edición. Como desde la primera impresión del libro en 1995, varios usuarios han reportado amablemente errores y sugerido mejoras. Mi agradecimiento a los profesores R. Boudreau de U. Moncton, Canadá, V. Glozman de Cal Poly Pomona, John Steele de Colorado School of Mines, Burford J. Furman de San José State University, y Michael Ward de California State University, Chico. Muchos otros catedráticos han sido lo suficientemente amables para señalar errores y ofrecer críticas constructivas, así como sugerencias para mejorar las ediciones más recientes. Entre éstos destacan los profesores Cosme Furlong del Worcester Polytechnic Institute, Joseph Rencis de la University of Arkansas, Annie Ross de la Universite de Moncton, Andrew Ruina de la Cornell University, Douglas Walcerz del York College, y Thomas Dresner de Mountain City, CA. El Dr. Duane Miller de la Lincoln Electric Company brindó ayuda invaluable con el capítulo 12 sobre ensambles soldados y revisó varios borradores. El profesor Stephen Covey de la St. Cloud State University, y los ingenieros Gregory Aviza y Charles Gillis de Gillette de P&G también dieron retroalimentación valiosa sobre el capítulo de ensambles soldados. El profesor Robert Cornwell de la Seattle University revisó el estudio del capítulo 11 acerca de su nuevo método para el cálculo de rigidez en juntas atornilladas, así como de su método de cálculo de concentración de esfuerzos en resortes de alambre rectangular, estudiados en el capítulo 10. Los profesores Fabio Marcelo Peña Bustos de la Universidad Autónoma de Manizales, Caldas, Colombia, y Juan L. Balsevich-Prieto de la Universidad Católica Nuestra Señora de la Asunción, Asunción, Paraguay, fueron lo suficientemente amables para señalar erratas en la traducción al español. Debo agradecer especialmente a William Jolley de la compañía Gillette que creó los modelos de FEA en los ejemplos y revisó el apéndice C, y a Edwin Ryan, vicepresidente retirado de ingeniería en Gillette, quien brindó asesoría invaluable. Donald A. Jacques de la división UTC Fuel Cells de la United Technologies Company también revisó el apéndice C sobre el análisis de elementos finitos e hizo muchas sugerencias útiles. El profesor Eben C. Cobb del Worcester Polytechnic Institute y su estudiante Thomas Watson crearon los modelos Solidworks de muchos problemas de tarea y estudios de caso, y resolvieron con el FEA los estudios de caso que se encuentran en el CD-ROM. PREFACIO XXIX Le debo gratitud a varias personas que respondieron encuestas de la cuarta edición e hicieron muy buenas sugerencias: Kenneth R. Halliday de la Ohio State University, Mohamed B. Trabia de la University of Nevada Las Vegas, H.J. Summer III de Penn State University, Rajeev Madhavan Nair de Iowa State University, Ali P. Gordon de la University of Central Florida, Robert Jackson de Auburn University, Cara Coad de Colorado School of Mines, Burford J. Furman de la San José State University, Steven J. Covey de la St. Cloud State University, Nathan Crane de University of Central Florida, César Augusto Álvarez Vargas de la Universidad Autónoma de Manizales, Caldas, Colombia, Naser Nawayseh de Dhofar University, Oman, Hodge E. Jenkins de Mercer University, John Lee de San José State University, Mahmoud Kadkhodaei de Isfahan University of Technology, Steve Searcy de Texas A&M University, Yesh P. Singh de University of Texas en San Antonio, y Osornio C. Cuitláhuac de la Universidad Iberoamericana en Santa Fe, México. El autor tiene una gran deuda con Thomas A. Cook, profesor emérito, de la Mercer University, quien elaboró el manual de soluciones de este libro, los ejemplos actualizados de Mathcad y contribuyó en la mayoría de los problemas de esta edición. Gracias también a la Dra. Adriana Hera del Worcester Polytechnic Institute, quien actualizó los modelos de MATLAB y Excel de todos los ejemplos y estudios de casos, y también examinó exhaustivamente sus correcciones. Finalmente, Nancy Norton, mi infinitamente paciente esposa por los pasados 50 años, se merece elogios renovados por su apoyo y aliento infalibles durante sus muchos veranos de “viudez por el libro”. No lo pude haber logrado sin ella. Se ha realizado mucho trabajo para eliminar errores de este texto. Cualquier remanente es responsabilidad del autor. Él apreciará enormemente que se le informe sobre cualquier error que aún permanezca, de modo que se corrija en futuras impresiones. Un correo electrónico será suficiente: [email protected]. Robert L. Norton, Mattapoisett, Mass. 1 de agosto de 2009 DISEÑO DE MÁQUINAS Un enfoque integrado DETERMINACIÓN DE CARGAS Si un constructor edifica una casa para una persona, su trabajo no es resistente, la casa colapsa y mata a su propietario, el constructor deberá ser ejecutado. CÓDIGO DE HAMMURABI, 2150 A.C. 1.0 INTRODUCCIÓN Este capítulo ofrece un repaso de los fundamentos del análisis de fuerzas estáticas y dinámicas, fuerzas de impacto y vigas de carga. Se supone que el lector ya tomó cursos sobre estática y dinámica. Por consiguiente, el capítulo sólo presenta un repaso general breve acerca de tales temas, aunque también contiene técnicas de solución poderosas, como el uso de funciones de singularidad para el cálculo de vigas. Se revisa el método de solución newtoniano de análisis de fuerzas y se agregan varios ejemplos de estudio de casos, para reforzar la comprensión de esta materia. El estudio de casos también sienta las bases para el análisis de estos sistemas de esfuerzo, deflexión y modos de falla en los capítulos posteriores. La tabla 1-0 muestra las variables que se utilizan en este capítulo y da las referencias de ecuaciones, secciones o estudios de caso donde se mencionan. Al final se incluye una sección de resumen, que agrupa las ecuaciones más significativas para facilitar su consulta e identificar la sección del capítulo donde se estudian. 1.1 CLASES DE CARGA Los tipos de cargas se dividen en varias clases, con base en el carácter de las cargas aplicadas, y la presencia o ausencia de movimiento en el sistema. Una vez que se define la configuración general de un sistema mecánico y se calculan sus movimientos cinemáticos, el siguiente paso consiste en determinar las magnitudes, así como direcciones de todas las fuerzas y los pares que hay en los diferentes elementos. Estas cargas pueden ser constantes o variables con el tiempo. Los elementos en el sistema pueden ser estacionarios o estar en movimiento. La clase más general es un sistema en movimiento con cargas que varían con el tiempo. Las demás combinaciones son variaciones de la clase general. 3 1 4 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 1-0 1 Un Enfoque Integrado Variables que se usan en este capítulo Símbolo La fotografía de inicio de capítulo es cortesía de la División Chevrolet de la General Motors Co., Detroit, Mich. - Variable unidades ips unidades SI Véase a distancia de la carga in m Secc. 1.9 b distancia de la carga in m Secc. 1.9 d amortiguamiento lb-seg/in N-seg/m Ec . 1.6 E energía in-lb joules Ec . 1.9, 1.10 F fuerza o carga lb N Secc. 1.3 fd frecuencia natural amortiguada Hz Hz Ec. 1.7 fn frecuencia natural Hz Hz Ec. 1.4 g aceleración gravitacional in/seg2 m/seg2 Ec. 1.12 Ix momento de inercia de la masa alrededor del eje x lb-in-seg2 kg-m2 Secc. 1.3 Iy momento de inercia de la masa alrededor del eje y lb-in-seg2 kg-m2 Secc. 1.3 Iz momento de inercia de la masa alrededor del eje z lb-in-seg2 kg-m2 Secc. 1.3 k razón o constante del resorte lb/in N/m Ec. 1.5 l longitud in m Secc. 1.9 m masa lb-seg2/in kg Secc. 1.3 N fuerza normal in m Caso 4A M momento, función de momento lb-in N-m Secc. 1.3, 1.9 q función de carga de la viga lb N Secc. 1.9 R vector de posición in m Secc. 1.4 R fuerza de reacción lb N Secc. 1.9 v velocidad lineal in/seg m/seg Ec . 1.10 V función cortante de la viga lb N Secc. 1.9 W peso lb N Ec . 1.14 x variable de longitud generalizada in m Secc. 1.9 y desplazamiento in m Ec . 1.5, 1.8 D deflexión in m Ec . 1.5 H factor de corrección ninguna ninguna Ec . 1.10 M coeficiente de fricción ninguna ninguna Caso 4A W velocidad angular o rotacional rad/seg rad/seg Caso 5A Wd frecuencia natural amortiguada rad/seg rad/seg Ec. 1.7 Wn frecuencia natural rad/seg rad/seg Ec. 1.4 La tabla 1-1 muestra las cuatro clases posibles. La clase 1 es un sistema estacionario con cargas constantes. Un ejemplo de sistema de clase 1 es la base de una prensa de husillo utilizada en un taller mecánico. Se necesita el bastidor base para soportar el peso muerto de la prensa, el cual, en esencia, es constante en el tiempo y el bastidor base no se mueve. Las piezas que se manejan en la prensa de husillo (al efectuar presión sobre ellas) agregan temporalmente su peso a la carga que actúa sobre la base, pero, en general, se trata de un porcentaje pequeño del peso muerto. El análisis de cargas estáticas es todo lo que se requiere para un sistema de clase 1. Capítulo 1 Tabla 1-1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 5 Clases de carga 1 Cargas constantes Cargas variables con el tiempo Elementos estacionarios Clase 1 Clase 2 Elementos móviles Clase 3 Clase 4 La clase 2 describe un sistema estacionario con cargas variables en el tiempo. Por ejemplo, aunque es esencialmente estacionario, un puente está sujeto tanto a las cargas variables de los vehículos que circulan sobre él como a la afectación del viento en su estructura. La clase 3 define un sistema en movimiento con cargas constantes. Aun cuando las cargas externas aplicadas sean constantes, cualquier aceleración significativa de los miembros que se mueven puede crear fuerzas de reacción que varían con el tiempo. Un ejemplo sería una cortadora de césped giratoria. Excepto en el caso de cortar por accidente una piedra, cuando se usa las aspas experimentan una carga externa casi constante. No obstante, las aceleraciones de las aspas giratorias pueden crear grandes cargas en sus uniones. El análisis de cargas dinámicas es necesario en las clases 2 y 3. Observe que si los movimientos en un sistema de clase 3 son tan lentos como para generar aceleraciones insignificantes sobre sus miembros, calificaría como un sistema de clase 1 y, por ende, recibiría el nombre de casi-estático. Un gato de tijera para automóvil (véase la figura 1-5, p. 18) se considera un sistema de clase 1, puesto que la carga externa (cuando se utiliza) es en esencia constante y los movimientos de los elementos son lentos con aceleración insignificante. La única complejidad introducida por los movimientos de los elementos en este ejemplo es la determinación de la ubicación, donde las cargas internas sobre los elementos del gato serán máximas, pues varían conforme el gato se eleva, a pesar de que la carga externa es esencialmente constante. La clase 4 describe el caso general de un sistema que, sujeto a cargas variables en el tiempo, se mueve muy rápido. Observe que incluso si las cargas externas son esencialmente constantes en un caso específico, las cargas dinámicas desarrolladas sobre los elementos, debido a sus aceleraciones, simplemente variarán con el tiempo. La mayoría de las máquinas, sobre todo si se mueven con un motor eléctrico o de gasolina, son de clase 4. Un ejemplo del sistema es el motor de su automóvil. Las piezas internas (cigüeñal, bielas y pistones, entre otros) están sujetas a cargas que varían con el tiempo, por las explosiones de gasolina, pero también experimentan cargas inerciales variables, como consecuencia de sus aceleraciones. Un análisis de carga dinámica es necesario en la clase 4. 1.2 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE Para identificar correctamente todas las fuerzas y los momentos potenciales sobre un sistema, se requiere dibujar con precisión diagramas de cuerpo libre (DCL) para cada miembro del sistema. Estos DCL deben mostrar la forma general de la parte, así como identificar todas las fuerzas y los momentos que actúan sobre ella. Quizás haya fuerzas y momentos externos aplicados a la pieza desde afuera del sistema, así como fuerzas y/o momentos de interconexión ahí donde cada pieza se une o hace contacto con partes adyacentes del montaje o sistema. Además de las fuerzas, así como de los pares conocidos y desconocidos mostrados en el DCL, se definen las dimensiones y los ángulos de los elementos del sistema con respecto a un sistema de coordenadas local ubicado en los centros de gravedad (CG) de cada elemento.* Para el análisis de carga dinámica, las aceleraciones cinemáticas, tanto angular como lineal (en el CG), necesitan conocerse o calcularse para cada elemento, antes de efectuar el análisis de carga. * Aun cuando no es un requisito que el sistema de coordenadas local esté ubicado en el centro de gravedad, dicho enfoque proporciona consistencia y facilita los cálculos dinámicos. Además, la mayoría de los sistemas de modelado de CAD/CAE calcularán automáticamente las propiedades de la masa de las piezas con respecto a sus centros de gravedad. El enfoque utilizado aquí consiste en aplicar un método consistente que funcione, tanto para problemas estáticos como dinámicos, pero que también sea susceptible de resolverse por computadora. 6 DISEÑO DE MÁQUINAS 1.3 - Un Enfoque Integrado ANÁLISIS DE CARGAS 1 Esta sección presenta un breve repaso de las leyes de Newton y las ecuaciones de Euler, aplicadas a sistemas cargados estática y dinámicamente en tres y dos dimensiones. El método de solución presentado aquí podría ser algo diferente del utilizado en los anteriores cursos de estática y dinámica que el lector haya tomado. El enfoque utilizado aquí, en la aplicación de las ecuaciones en el análisis de fuerzas y momentos, fue diseñado para facilitar la programación de la solución por computadora. Dicho enfoque supone que todas las fuerzas momentos desconocidos en el sistema son de signo positivo, sin importar lo que la intuición personal o una revisión del diagrama de cuerpo libre digan sobre sus direcciones probables. No obstante, se indican los signos de todos los componentes de fuerza conocidos con el propósito de definir sus direcciones. La solución simultánea del conjunto de ecuaciones resultante provocará que todos los componentes desconocidos tengan los signos adecuados cuando se llegue a la solución. Se trata, en última instancia, de un enfoque más sencillo que el que se enseña en los cursos de estática y dinámica, los cuales requieren que el estudiante suponga direcciones para todas las fuerzas y los momentos desconocidos (no obstante, ésta es una práctica que le ayuda a desarrollar su intuición). Aun con el enfoque tradicional, un supuesto de dirección incorrecto dará como resultado un signo invertido sobre el componente en la solución. Suponer que todas las fuerzas y los momentos desconocidos son positivos, permite que el programa de computadora resultante sea más sencillo que en cualquier otro caso. El método que se emplea en la solución de ecuaciones simultáneas es bastante sencillo en concepto; sin embargo, se requiere la ayuda de una computadora para resolverlo. Junto con el texto, se proporciona un software para resolver las ecuaciones simultáneas. Véase el programa MATRIX del CD-ROM. Los sistemas dinámicos reales son tridimensionales; por lo tanto, deben analizarse como tales. Sin embargo, muchos sistemas tridimensionales se analizan con métodos bidimensionales más sencillos. Por consiguiente, se investigarán ambos enfoques. Análisis tridimensional Puesto que tres de los cuatro casos requieren potencialmente análisis de carga dinámica, mientras el análisis de fuerza estática es justamente una variante del análisis dinámico, tiene sentido iniciar con el caso dinámico. El análisis de carga dinámica se puede efectuar con cualquiera de varios métodos; no obstante, el que brinda la mayor información acerca de las fuerzas internas es el enfoque newtoniano, que se basa en las leyes de Newton. PRIMERA LEY DE NEWTON Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras un cuerpo en movimiento a velocidad constante y en línea recta tenderá a mantener esa velocidad, a menos que actúe sobre él una fuerza externa. SEGUNDA LEY DE NEWTON La razón temporal del momento de un cuerpo es igual a la magnitud de la fuerza aplicada, y actúa en dirección de la fuerza. La segunda ley de Newton para un cuerpo sólido se escribe de dos formas, una para fuerzas lineales y otra para momentos o torques: ∑ F = ma ∑M G = Ḣ G (1.1a) donde F
fuerza, m
masa, a
aceleración, MG
momento con respecto al centro de gravedad y ḢG
la razón de tiempo del cambio del momento (momentum) o el momento Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 7 angular con respecto al CG. Los primeros miembros respectivos de tales ecuaciones suman todas las fuerzas y todos los momentos que actúan sobre el cuerpo, ya sean fuerzas conocidas aplicadas o de interconexiones con cuerpos adyacentes en el sistema. 1 Para un sistema tridimensional de cuerpos rígidos conectados, la ecuación vectorial de las fuerzas lineales se puede escribir como tres ecuaciones escalares, que incluyen componentes ortogonales a lo largo de un sistema local de ejes coordenados x, y, z con origen en el CG del cuerpo: ∑F x = ma x ∑F y = ma y ∑ F = ma z z (1.1b) Si se eligen coincidentes los ejes x, y, z con los principales ejes de inercia del cuerpo,* el momento angular del cuerpo se define como H G = I x ω x ˆi + I y ω y ˆj + I z ω z kˆ (1.1c) donde Ix, Iy e Iz son los principales momentos de inercia centroidales de la masa (segundos momentos de masa) alrededor de los ejes principales. Dicha ecuación vectorial se sustituye en la ecuación 1.1a para obtener las tres ecuaciones escalares conocidas como ecuaciones de Euler. ∑M ∑M ∑M ( ) x = I x α x − I y − Iz ω yω z y = I y α y − ( I z − I x )ω z ω x z = Iz α z − I x − I y ω x ω y ( (1.1d ) ) donde Mx, My, Mz son los momentos alrededor de esos ejes, mientras que αx, αy y αz representan las aceleraciones angulares alrededor de los mismos ejes. Lo anterior supone que los términos de la inercia permanecen constantes en el tiempo, es decir, la distribución de la masa alrededor de los ejes es constante. TERCERA LEY DE NEWTON Establece que cuando dos partículas interactúan, en el punto de contacto habrá dos fuerzas de reacción. Estas dos fuerzas tendrán la misma magnitud y actuarán a lo largo de la misma línea de dirección, pero con sentidos opuestos. Se requiere aplicar esta relación y la de la segunda ley para determinar las fuerzas sobre los montajes de elementos que actúan uno sobre otro. Las seis ecuaciones 1.1b y 1.1d se aplican para un cuerpo rígido en un sistema tridimensional. Adicionalmente, se escribirán tantas ecuaciones de fuerzas de reacción (tercera ley) como sean necesarias; como consecuencia, el conjunto de ecuaciones resultantes de fuerzas y momentos se resolverá en forma simultánea. El número de ecuaciones de la segunda ley será hasta seis veces el número de piezas individuales en un sistema tridimensional (más las ecuaciones de reacción), lo cual significa que incluso los sistemas simples dan como resultado grandes conjuntos de ecuaciones simultáneas. Se necesita una computadora para resolver tales ecuaciones; sin embargo, calculadoras de bolsillo de alta calidad resuelven también conjuntos grandes de ecuaciones simultáneas. Las ecuaciones de las fuerzas de reacción (tercera ley) se sustituyen con frecuencia por las ecuaciones de la segunda ley, para reducir el número total de ecuaciones a resolver en forma simultánea. Análisis bidimensional Todas las máquinas reales existen en tres dimensiones; por otro lado, muchos sistemas tridimensionales se analizan de manera bidimensional, cuando sus movimientos sólo se dan en un plano o en planos paralelos. * Ésta es una buena selección para cuerpos simétricos, aunque sería una elección menos conveniente para otras formas. Véase F. P. Beer y E. R. Johnson, Vector Mechanics for Engineers, 3a. ed., 1977, McGraw-Hill, Nueva York, cap. 18, “Kinetic of Rigid Bodies in Three Dimensions”. 8 1 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Las ecuaciones de Euler 1.1d muestran que si los movimientos de rotación (ω, α) y los momentos o pares de fuerzas aplicados existen tan sólo alrededor de un eje (por decir el eje z), por lo tanto, el conjunto de esas tres ecuaciones se reduce a una ecuación, ∑ Mz = Iz α z (1.2a) porque los términos de ω y α alrededor de los ejes x y y ahora son iguales a cero. La ecuación 1.1b se reduce a ∑ Fx = max ∑ Fy = may (1.2b) Las ecuaciones 1.2 se pueden aplicar a todos los cuerpos interconectados en un sistema bidimensional, así como a la solución simultánea del conjunto completo de fuerzas y momentos. El número de ecuaciones de la segunda ley será ahora hasta tres veces el número de elementos en el sistema, más las ecuaciones de reacción necesarias de todos los puntos conectados, lo cual resulta otra vez en un sistema de ecuaciones grande, incluso para sistemas simples. Observe que aun cuando todo el movimiento se da únicamente alrededor del eje z, en un sistema de dos dimensiones pueden existir componentes de carga en la dirección z debido a fuerzas o pares externos. Análisis de cargas estáticas La diferencia entre un escenario de carga dinámica y uno de estática es la presencia, o ausencia de aceleraciones. Si todas las aceleraciones en las ecuaciones 1.1 y 1.2 son iguales a cero; entonces, para el caso tridimensional, estas ecuaciones se reducen a ∑F = 0 ∑M = 0 x x ∑F = 0 ∑M = 0 ∑F = 0 ∑M = 0 (1.3a) ∑F ∑M (1.3b) y y z z y para el caso bidimensional ∑F x =0 y =0 z =0 Se observa que el escenario de carga estática es justamente un caso especial de un escenario de carga dinámica, donde las aceleraciones son cero. La solución con un enfoque basado en el caso dinámico también funcionará para un caso estático, si se sustituyen adecuadamente los valores iguales a cero de las aceleraciones. 1.4 ESTUDIOS DE CASO DE CARGA ESTÁTICA BIDIMENSIONAL Esta sección presenta tres estudios de caso de complejidad creciente, todos acotados a escenarios de carga estática en dos dimensiones. La palanca del freno manual de una bicicleta, una pinza de presión y un gato de tijera son los sistemas a analizar. Tales casos presentan los ejemplos de la forma más sencilla del análisis de fuerzas que no tienen aceleraciones significativas, y que tienen fuerzas que actúan tan sólo en dos dimensiones. Capítulo 1 E S T U D I O D E C A S O DETERMINACIÓN DE CARGAS 1 A Análisis de carga de la palanca de freno manual de una bicicleta Problema Determine las fuerzas, durante el frenado, sobre los elementos del sistema de freno de palanca de una bicicleta, cuyo montaje se ilustra en la figura 1-1. Se proporciona La geometría de cada elemento. La mano humana promedio puede desarrollar una fuerza de presión de alrededor de 267 N (60 lb) en la posición de palanca mostrada. Suposiciones La aceleración es despreciable. Todas las fuerzas son coplanares y bidimensionales. El modelo adecuado es de clase 1 y es aceptable un análisis estático. Solución Véase las figuras 1-1, 1-2 y la tabla 1-2, piezas 1 y 2. 1. La figura 1-1 ilustra el montaje de la palanca del freno manual, que consiste en tres subensambles: el manubrio (1), la palanca (2) y el cable o chicote (3). La palanca se pivota hacia el manubrio y el cable está conectado a la palanca. El cable corre dentro de una funda de plástico (de baja fricción) hacia el montaje calibrador de frenos que se encuentra en el aro (rin) de la bicicleta. La funda brinda una fuerza de compresión para equilibrar la tensión en el cable (Ffunda
Fcable). La mano del ciclista aplica fuerzas iguales y opuestas en algunos puntos sobre la palanca y el mango del manubrio. Dichas fuerzas se transforman en fuerzas más grandes en el cable, por la razón de palanca de la pieza 2. La figura 1-1 es un diagrama de cuerpo libre del montaje completo, ya que ilustra todas las fuerzas y los momentos potenciales que actúan sobre él, excepto su peso, el cual es pequeño, si se compara con las fuerzas aplicadas y, por lo tanto, se desprecia en este análisis. La porción “separada” del manubrio proporciona las componentes de fuerza x y y, así como el momento requerido para efectos de equilibrio. A las fuerzas y los momentos de reacción se les asigna arbitrariamente un signo positivo. Sus signos reales “saldrán” a partir de los cálculos. Las fuerzas aplicadas conocidas se presentan actuando en sus direcciones y sentidos reales. 2. La figura 1-2 muestra por separado los elementos de los tres subensambles, así como sus diagramas de cuerpo libre con todas las fuerzas y los momentos importantes para cada elemento, otra vez, despreciando los pesos de las piezas. La palanca (pieza 2) tiene tres fuerzas sobre ella, Fb2, F32 y F12. La notación de los subíndices Fb2 Fcable Ffunda 3 palanca de freno 2 cable pivote Px 1 Mh Py manubrio mango Fb1 FIGURA 1-1 Montaje de la palanca de frenos de una bicicleta 9 1 10 1 DISEÑO DE MÁQUINAS Estudio de caso 1A Datos conocidos Valor Unidad F13x 0.0 N Fb2x 0.0 N Fb2y –267.0 N 184.0 grad 180.0 grad Q F Rb2x Un Enfoque Integrado de los dos caracteres utilizados aquí se deben leer como fuerza del elemento 1 sobre 2 (F12) o fuerza en B sobre 2 (Fb2), etcétera. Lo anterior define el origen de la fuerza (primer subíndice) y el elemento sobre el cual actúa (segundo subíndice). Tabla 1-2 - parte 1 Variable - 39.39 mm Rb2y 2.07 mm R32x –50.91 mm R32y 4.66 mm R12x –47.91 mm R12y –7.34 mm R21x 7.0 mm R21y 19.0 mm Rb1x 47.5 mm Rb1y –14.0 mm R31x –27.0 mm R31y 30.0 mm Rpx –27.0 mm Rpy 0.0 mm Rdx –41.0 mm Rdy 27.0 mm * En la actualidad, para un análisis estático simple tal como el de este ejemplo, se puede tomar cualquier punto (dentro o fuera del elemento) como el origen del sistema de coordenadas local. Sin embargo, en un análisis de fuerzas dinámicas, el análisis se simplifica si el sistema de coordenadas se coloca en el CG. Entonces, en beneficio de la consistencia, y como preparación para el análisis dinámico más complicado de los problemas posteriores, se usará aquí el CG como el origen, incluso para los casos estáticos. † Quizás el lector no haya hecho esto en sus clases de estática, pero el enfoque hace el problema más susceptible de solucionarse por computadora. Observe que, sin importar la dirección mostrada de cualquier fuerza desconocida sobre el DCL, en las ecuaciones se supondrá que sus componentes son positivos. Sin embargo, los ángulos de las fuerzas conocidas (o los signos de sus componentes) deben introducirse correctamente en las ecuaciones. Dicha notación se utilizará consistentemente a lo largo del libro, tanto para fuerzas como para vectores de posición, como Rb2, R32 y R12 de la figura 1-2, los cuales sirven para localizar las tres fuerzas mencionadas anteriormente, en un sistema de coordenadas local no rotacional, cuyo origen está en el centro de gravedad (CG) del elemento o subensamble que se analiza.* Sobre la palanca del freno, Fb2 es una fuerza aplicada cuya magnitud y dirección se conocen. F32 es la fuerza en el cable. Se conoce su dirección, pero no su magnitud. La fuerza F12 es ejercida por la pieza 1 sobre la pieza 2 en el perno del pivote. Tanto su magnitud como su dirección son desconocidas. Se pueden escribir las ecuaciones 1.3b de este elemento para sumar las fuerzas en las direcciones x y y, así como sumar los momentos con respecto del CG. Observe que en las ecuaciones las fuerzas y los momentos desconocidos se suponen inicialmente como positivos. Sus signos verdaderos se obtendrán con el cálculo.† No obstante, todas las fuerzas conocidas o proporcionadas deben tener su propio signo. ∑ Fx = F12 x + Fb2 x + F32 x = 0 ∑ Fy = F12 y + Fb2 y + F32 y = 0 ∑ M z = (R12 × F12 ) + (R b2 × Fb2 ) + (R32 × F32 ) = 0 (a) Los productos cruz en la ecuación de momento representan las “fuerzas decisivas” o los momentos creados por la aplicación de tales fuerzas en puntos alejados del CG del elemento. Recuerde que dichos productos cruzados se pueden expandir a ∑ Mz = ( R12 x F12 y − R12 y F12 x ) + ( Rb2 x Fb2 y − Rb2 y Fb2 x ) +( R32 x F32 y − R32 y F32 x ) = 0 (b) En este punto, hay tres ecuaciones y cuatro incógnitas (F12x, F12y, F32x y F32y), de modo que se necesita otra ecuación, la cual se obtendrá conociendo la dirección de F32. (El cable sólo puede jalar a lo largo de su eje.) Se expresa una componente de la fuerza F32 del cable, en términos de su otra componente y el ángulo θ conocido del cable. F32 y = F32 x tan θ (c ) Ahora es posible resolver las cuatro incógnitas del elemento, aunque se esperará para hacerlo hasta que estén definidas las ecuaciones de los otros dos eslabones. 3. En la figura 1-2, la pieza 3 es el cable que pasa por el orificio de la parte 1. Este orificio está revestido con un material de baja fricción, el cual permite suponer que no hay fricción en la junta entre la pieza 1 y la pieza 3. Se supone, asimismo, que las tres fuerzas F13, F23 y Fcable forman un sistema concurrente de fuerzas que pasan por el CG sin crear, de este modo, un momento. Con tal suposición, para este elemento sólo se requiere una suma de fuerzas. ∑ Fx = Fcable ∑ Fy = Fcable x + F13 x + F23 x = 0 y + F13 y + F23 y = 0 (d ) 4. El montaje de elementos de la pieza 1, en la figura 1-2, puede tener tanto fuerzas como momentos sobre él (es decir, no es un sistema concurrente), por lo que son necesarias las tres ecuaciones 1.3b. Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS Q C F32 Fb2 y R32 F32 11 2 x 1 Fb2 B F12 A Diagrama vectorial para la palanca del freno R12 F13 F Fcable F12 3 F23 1 F31 R31 Ffunda F21 y A D Rd R21 Px Mh Rp x 1 Py Fb1 Rb1 FIGURA 1-2 Diagramas de cuerpo libre de la palanca del freno de una bicicleta ¤ Fx  F21x ¤ Fy  F21y ¤ Mz  Mh Ffundax  0 Fb1x F31x Px Fb1y F31y Py  0 (e) R p s P R d s Ffunda R 21 s F21 R b1 s Fb1 R 31 s F31 0 Si se expanden los productos cruz en la ecuación del momento, se obtiene la magnitud del momento como ¤ Mz  Mh  R21x F21y R21y F21x  Rb1x Fb1y Rb1y Fb1x  R31x F31y  RPx Py RPy Px  Rdx Ffunda Rdy Ffunda  0 y R31y F31x (f) x 5. El total de incógnitas en este punto (incluyendo las listadas en el paso 2 anterior) son 21: Fb1x, Fb1y, F12x, F12y, F21x, F21y, F32x, F32y, F23x, F23y, F13x, F13y, F31x, F31y, Fcablex, Fcabley, Ffundax, Ffunday, Px, Py, y Mh. Aquí se tienen sólo nueve ecuaciones, cuando mucho; tres en el conjunto de ecuaciones (a), una en el conjunto (c), dos en el conjunto (d ) y tres en el conjunto (e). Se necesitan doce ecuaciones más para resolver el sistema. Se pueden obtener siete de ellas a partir de la tercera ley de Newton, que relaciona los elementos en contacto: F23 x  F32 x F23 y  F32 y F21x  F12 x F21y  F12 y F31x  F13 x F31y  F13 y Ffundax  Fcablex ( g) Rb2 12 1 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 1-2 - parte 1 repetida Estudio de caso 1A Datos conocidos Variable Valor Un Enfoque Integrado Dos ecuaciones más surgen del supuesto (que se muestra en la figura 1-1) de que las dos fuerzas, ejercidas por la mano sobre la palanca del freno y el mango del manubrio, son iguales y opuestas:* Unidad Fb1x = − Fb 2 x Fb1y = − Fb 2 y F13x 0.0 N Fb2x 0.0 N Fb2y –267.0 N 184.0 grad Q F - 180.0 grad Rb2x 39.39 mm Rb2y 2.07 mm R32x –50.91 mm R32y 4.66 mm R12x –47.91 mm R12y –7.34 mm R21x 7.0 mm R21y 19.0 mm Rb1x 47.5 mm Rb1y –14.0 mm R31x –27.0 mm R31y 30.0 mm Rpx –27.0 mm Rpy 0.0 mm Rdx –41.0 mm Rdy 27.0 mm (h) Las tres ecuaciones restantes se obtienen de la geometría que se conoce y de las suposiciones hechas para el sistema. Se sabe que la dirección de las fuerzas Fcable y Ffunda es la misma hasta el final del cable. En la figura esto se ve horizontal; entonces, se dice que Fcable y  0 ; Ffunda y  0 (i) Debido a la suposición de que no hay fricción, se supone que la fuerza F31 es normal con respecto a la superficie de contacto entre el cable y el orificio en la pieza 1. Tal superficie es horizontal en este ejemplo, de modo que F31 es vertical y F31x = 0 ( j) 6. Lo anterior completa el conjunto de 21 ecuaciones (conjuntos de ecuaciones a, c, d, e, g, h, i y j), que se resuelven de manera simultánea para las 21 incógnitas “como si”, es decir, es posible colocar las 21 ecuaciones en una matriz y resolverlas con un programa de computadora de reducción de matrices. Sin embargo, el problema se simplifica al sustituir manualmente las ecuaciones c, g, h, i y j en las otras, para reducirlas a un conjunto de ocho ecuaciones y ocho incógnitas. Los datos conocidos o proporcionados son los que se muestran en la tabla 1-2, parte 1. 7. Como primer paso, se sustituyen, para el eslabón 2, las ecuaciones b y c para obtener: F12 x + Fb 2 x + F32 x = 0 F12 y + Fb 2 y + F32 x tan θ = 0 (k ) ( R12 x F12 y − R12 y F12 x ) + ( Rb2 x Fb2 y − Rb2 y Fb2 x ) + ( R32 x F32 x tan θ − R32 y F32 x ) = 0 8. Después, para el eslabón 3, se toman las ecuaciones d y se sustituye la ecuación c, así como F32x por F23x y F32y por F23y de la ecuación g para eliminar esas variables. Fcable x + F13 x − F32 x = 0 (l ) Fcable y + F13 y − F32 x tanθ = 0 9. Para el eslabón 1, se sustituye la ecuación f en e y se reemplaza F21x con – F12x, F21y con F12y, F31x con F13x, F31y con F13y y Ffundax con Fcablex en la ecuación g, − F12 x + Fb1x − F13 x + Px − Fcable x = 0 − F12 y + Fb1y − F32 x tanθ + Py = 0 ( ) +( − R31x F13 y + R31y F13 x ) + ( RPx Py − RPy Px ) + Rdy Fcable ( m) ) ( Mh + − R21x F12 y + R21y F12 x + Rb1x Fb1y − Rb1y Fb1x * Pero no necesariamente colineales. x =0 10. Finalmente, se sustituyen las ecuaciones h, i y j en las ecuaciones k, l y m, para obtener el conjunto de ocho ecuaciones simultáneas con las siguientes ocho incógnitas: F12x, F12y, F32x, F13y, Fcablex, Px, Py y Mh. Se colocan en forma estándar, con todas las incógnitas en el primer miembro y todos los términos conocidos en el segundo miembro del signo igual. Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 13 F12 x + F32 x = − Fb 2 x 1 F12 y + F32 x tan θ = − Fb 2 y Fcable x − F32 x = 0 F13 y − F32 x tan θ = 0 ( n) − F12 x + Px − Fcable x = Fb 2 x − F12 y − F13 y + Py = Fb 2 y ( ) R12 x F12 y − R12 y F12 x + R32 x tan θ − R32 y F32 x = − Rb 2 x Fb 2 y + Rb 2 y Fb 2 x Mh − R21x F12 y + R21y F12 x − R31x F13 y + RPx Py − RPy Px + Rdy Fcable x = Rb1x Fb 2 y − Rb1y Fb 2 x 11. Se da forma matricial a la ecuación n. ⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ −1 ⎢ ⎢ 0 ⎢− R ⎢ 12 y ⎢⎣ R21y 0 1 0 0 0 −1 R12 x − R21x 1 tan θ −1 − tan θ 0 0 R32 x tan θ − R32 y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Rdy − RPy RPx 0 −1 0 − R31x 0 ⎤ ⎡ F12 x ⎤ 0 ⎥ ⎢ F12 y ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ F32 x ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢⎢ F13 y ⎥⎥ × = 0 ⎥ ⎢ Fcable ⎥ x ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ Px ⎥ 0 ⎥ ⎢ Py ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ Mh ⎥⎦ ( o) − Fb 2 x ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ − Fb 2 y ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Fb 2 x ⎢ ⎥ Fb 2 y ⎢ ⎥ ⎢− R F + R F ⎥ b 2 x b 2 y b 2 y b 2 x ⎢ ⎥ ⎢⎣ Rb1x Fb 2 y − Rb1y Fb 2 x ⎥⎦ Tabla 1-2 - parte 2 Estudio de caso 1A Datos calculados 12. Se sustituyen los datos conocidos de la tabla 1-2 parte 1 (repetida opuesta). 0 1 0 0 ⎡ 1 ⎢ 0 1 0.070 0 0 ⎢ ⎢ 0 −1 0 0 1 ⎢ −0.070 1 0 0 ⎢ 0 ⎢ −1 0 0 0 −1 ⎢ − − 0 1 0 1 0 ⎢ ⎢7.34 −47.91 −0.324 0 0 ⎢ −7 0 27 27 ⎢⎣ 19 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 −27 0 ⎤ ⎡ F12 x ⎤ 0 ⎥ ⎢ F12 y ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ F32 x ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ F13 y ⎥ × = 0 ⎥ ⎢ Fcable x ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎢ Px ⎥ 0 ⎥ ⎢ Py ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ Mh ⎥⎦ ⎡ 0 ⎤ ⎢ 267 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −267 ⎥ ⎢ 93.08 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣−112.25⎥⎦ ( p) 13. La solución se muestra en la tabla 1-2, parte 2. La ecuación matricial se resuelve con cualquier solucionador de matrices comercial como Mathcad, MATLAB, Maple o Mathematica, así como con muchas calculadoras de bolsillo de ingeniería. En el CD-ROM de este libro se incluye un programa hecho a la medida llamado MATRIX, que es útil para resolver un sistema lineal de hasta 16 ecuaciones. La ecuación p se Variable Valor Unidad F32x –1 909 N F32y –133 N F12x 1 909 N F12y 400 N F23x 1 909 N F23y 133 N F13y –133 N Fcablex –1 909 N Fcabley 0 N Fb1x 0 N Fb1y 267 N F31x 0 N F31y 133 N F21x –1 909 N F21y –400 N 0 N Py 0 N Mh 9 N-m Px Ffunda x 1 909 N 14 1 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 1-2 - parte 2 repetida Estudio de caso 1A Datos calculados Variable Valor Unidad F32x –1 909 N F32y –133 N F12x 1 909 N F12y 400 N F23x 1 909 N F23y 133 N F13y –133 N Fcablex –1 909 N Fcabley 0 N Fb1x 0 N Fb1y 267 N F31x 0 N F31y 133 N F21x –1 909 N F21y –400 N Px 0 N Py 0 N Mh 9 N-m Ffunda x 1 909 N - Un Enfoque Integrado resolvió con el programa MATRIX para encontrar las 8 incógnitas listadas en el paso 10. Tales resultados se sustituyeron después en las otras ecuaciones, con la finalidad de despejar las variables eliminadas previamente. 14. La tabla 1-2, parte 2, muestra los datos de la solución para los datos proporcionados en la figura 1-2 y la tabla 1-2, parte 1. Esto supone que la mano de la persona aplica una fuerza de 267 N (60 lb) a la palanca del freno. Entonces, la fuerza generada en el cable (Fcable) es de 1 909 N (429 lb) y la fuerza de reacción contra el manubrio (F21) es de 1 951 N (439 lb) a 168°. E S T U D I O D E C A S O 2 A Análisis de carga de una pinza de presión operada manualmente Problema Determine las fuerzas sobre los elementos de la pinza para cortar cable mostrada en la figura 1-3, cuando está en funcionamiento. Se proporciona La geometría y la herramienta desarrolla una fuerza de presión de 2 000 lb (8 896 N) al cerrarse en la posición mostrada. Suposiciones Las aceleraciones son despreciables. Todas las fuerzas son coplanares y bidimensionales. Un modelo de carga de clase 1 es adecuado y un análisis estático es aceptable. Solución Véase las figuras 1-3 y 1-4, y la tabla 1-3, partes 1 y 2. 1. La figura 1-3 muestra la herramienta en posición cerrada en el proceso de unión de un conector de metal sobre un alambre. La mano del usuario genera las fuerzas de entrada en los eslabones 1 y 2, mostrados como el par de fuerzas de reacción Fh. El usuario puede apretar el mango en cualquier parte de su longitud, pero se supone un momento nominal del brazo de Rh para la aplicación de la fuerza de sujeción resultante del usuario (véase la figura 1-4). La elevada ventaja mecánica de la herramienta transforma la fuerza de sujeción en una fuerza de presión grande. La figura 1-3 es un diagrama de cuerpo libre del montaje completo, que desprecia el peso de la herramienta, que es pequeño en comparación con la fuerza de sujeción. Hay cuatro elementos, o eslabones, en el montaje, todos ellos interconectados. El eslabón 1 se considerará como “el eslabón guía”, en tanto que el otro eslabón se mueve con respecto a él conforme se cierra la pinza. La magnitud deseada de la fuerza de presión Fc está definida y su dirección es normal a las superficies de cierre. La tercera ley relaciona el par de fuerzas de acción-reacción que actúa sobre los eslabones 1 y 4: Fc1x = − Fc 4 x Fc1y = − Fc 4 y * Nuevamente, en un análisis estático no es necesario tomar el CG como el origen del sistema de coordenadas (se puede usar cualquier punto), pero se efectúa así para hacerlo consistente con el enfoque del análisis dinámico, en el cual es muy útil realizarlo así. ( a) 2. La figura 1-4 muestra los elementos del montaje de la herramienta por separado, como diagramas de cuerpo libre con todas las fuerzas que se aplican a cada elemento, despreciando, de nuevo, sus pesos, que son insignificantes comparados con las fuerzas aplicadas. Los centros de gravedad de los elementos respectivos se utilizan como los orígenes de los sistemas locales de coordenadas no giratorios, en los cuales se ubican los puntos de aplicación de todas las fuerzas sobre los elementos.* 3. Se considerará el eslabón 1 como el plano guía y se analizarán los movimientos de los demás eslabones. Observe que inicialmente todas las fuerzas y los momentos desconocidos se suponen positivos. El eslabón 2 tiene tres fuerzas que actúan sobre ella: Fh es la fuerza desconocida de la mano, en tanto que F12 y F32 son las fuerzas Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS Fh Tabla 1-3 - parte 1 2 Variable 4 3 fuerza de la mano –1 956.30 lb 415.82 lb Fc Rc4x 0.45 in fuerza de presión Rc4y 0.34 in R12x 1.40 in R12y 0.05 in R32x 2.20 in R32y 0.08 in Rh –4.40 in R23x –0.60 in R23y 0.13 in R43x 0.60 in R43y –0.13 in R14x –0.16 in R14y –0.76 in R34x 0.16 in R34y 0.76 in de reacción de los eslabones 1 y 3, respectivamente. La fuerza F12 es generada por la pieza 1 sobre la pieza 2 en el perno pivote; y la fuerza F32, por la pieza 3 que actúa sobre la pieza 2 en su perno pivote. Se desconocen la magnitud y las direcciones de tales fuerzas. Se escriben las ecuaciones 1.3b de dicho elemento para sumar las fuerzas en las direcciones x y y, así como para sumar los momentos con respecto al CG (con productos cruz expandidos). ∑ Fx = F12 x + F32 x = 0 ∑ Fy = F12 y + F32 y + Fh = 0 ∑ Mz = Fh Rh + ( R12 x F12 y − R12 y F12 x ) + ( R32 x F32 y − R32 y F32 x ) = 0 (b) 4. Se ejercen dos fuerzas sobre el eslabón 3, F23 y F43. Se escriben las ecuaciones 1.3b para este elemento: ∑ Fx = F23x + F43x = 0 ∑ Fy = F23y + F43y = 0 ∑ Mz = ( R23x F23y − R23y F23x ) + ( R43x F43y − R43y F43x ) = 0 (c ) 5. Se ejercen tres fuerzas sobre el eslabón 4: Fc4 es la fuerza conocida (deseada) de presión, mientras que F14 y F34 son las fuerzas de reacción de los eslabones 1 y 3, respectivamente. Se desconocen las magnitudes y direcciones de tales fuerzas. Se escriben las ecuaciones 1.3b para este elemento: ∑ Fx = F14 x + F34 x + Fc4 x = 0 ∑ Fy = F14 y + F34 y + Fc4 y = 0 ∑ Mz = ( R14 x F14 y − R14 y F14 x ) + ( R34 x F34 y − R34 y F34 x ) + ( Rc 4 x Fc 4 y − Rc 4 y Fc 4 x ) = 0 (d ) 6. Las nueve ecuaciones de los conjuntos b a d tienen 13 incógnitas: F12x, F12y, F32x, F32y, F23x, F23y, F43x, F43y, F14x, F14y, F34x, F34y y Fh. Se pueden escribir las relaciones de la tercera ley entre los pares de fuerzas de acción-reacción en cada una de las uniones, para obtener las cuatro ecuaciones adicionales necesarias: F32 y = − F23 y ; Unidad Fc4y Pinza de presión para conectores de alambre F34 x = − F43 x ; Valor Fc4x FIGURA 1-3 F32 x = − F23 x ; 1 Estudio de caso 2A Datos calculados 1 Fh 15 F34 y = − F43 y (e ) 16 DISEÑO DE MÁQUINAS Un Enfoque Integrado y Fh 1 - R21 Rc1 x y R23 F23 R43 B dimensiones en pulgadas F21 A Fc1 3 1 x 1.23 R41 F43 C F41 D 0.7 1.0 y Rh F12 Fh C R34 B x 2 y F34 A Rc4 1.55 F32 1.2 F14 R12 R32 Fc4 x 0.80 4 D FIGURA 1-4 R14 Diagramas de cuerpo libre de unas pinzas de presión para conector de alambre Tabla 1-3 - parte 2 Estudio de caso 2A Datos calculados Variable Valor Unidad 7. Las 13 ecuaciones b a e se resuelven simultáneamente por reducción matricial o por iteración con un algoritmo de búsqueda de raíces. Para una solución matricial, las incógnitas se colocan a la izquierda; los términos conocidos, a la derecha del signo igual. 53.1 lb F12 x + F32 x = 0 F12x 1 513.6 lb F12 y + F32 y + Fh = 0 F12y –381.0 lb F32x Rh Fh + R12 x F12 y − R12 y F12 x + R32 x F32 y − R32 y F32 x = 0 –1 513.6 lb F32y 327.9 lb F23 x + F43 x = 0 F43x –1 513.6 lb F43y 327.9 lb F23x 1 513.6 lb F23y –327.9 lb F34x 1 513.6 lb F34y –327.9 lb F32 x + F23 x = 0 F14x 442.7 lb F34 x + F43 x = 0 F14y –87.9 lb F32 y + F23 y = 0 F21x F34 y + F43 y = 0 Fh –1 513.6 lb F21y 381.0 lb F41x –442.7 lb F41y 87.9 lb F23 y + F43 y = 0 R23 x F23 y − R23 y F23 x + R43 x F43 y − R43 y F43 x = 0 F14 x + F34 x = − Fc 4 x F14 y + F34 y = − Fc 4 y R14 x F14 y − R14 y F14 x + R34 x F34 y − R34 y F34 x = − Rc 4 x Fc 4 y + Rc 4 y Fc 4 x 8. Se sustituyen los datos proporcionados en la tabla 1-3 parte 1. (f) Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 17 F12 x + F32 x = 0 F12 y + F32 y + Fh = 0 1 −4.4 Fh + 1.4 F12 y − 0.05 F12 x + 2.2 F32 y − 0.08 F32 x = 0 F23 x + F43 x = 0 F23 y + F43 y = 0 −0.6 F23 y − 0.13F23 x + 0.6 F43 y + 0.13F43 x = 0 3 F14 x + F34 x = 1 956.3 ( g) F14 y + F34 y = −415.82 −0.16 F14 y + 0.76 F14 x + 0.16 F34 y − 0.76 F34 x = −0.45( 415.82) − 0.34(1 956.3) F32 x + F23 x = −852.26 =0 F34 x + F43 x = 0 F32 y + F23 y = 0 F34 y + F43 y = 0 9. Se forman las matrices de solución. 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ F12 x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢ 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ F12 y ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ F32 x ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢−0.05 1.4 −0.08 2.2 −4.4 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ F32 y ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ Fh ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 0 −0.13 −0.6 0.13 0.6 0 0 0 0 ⎥ ⎢ F23 x ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ⎥ ⎢ F23 y ⎥ = ⎢1 956.30⎥ (h) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 ⎥ ⎢ F43 x ⎥ ⎢ −415.82 ⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.76 −0.16 −0.76 0.16⎥ ⎢⎢ F43 y ⎥⎥ ⎢ −852.26 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ F14 x ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ⎥ ⎢ F14 y ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ F34 x ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎢⎣ F34 y ⎥⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 10. La tabla 1-3, parte 2, muestra la solución del problema para los datos dados en la tabla 1-3, parte 1, suponiendo una fuerza aplicada de 2 000 lb (8 896 N), normal a la superficie de cierre. Se utilizó el programa MATRIX (del CD-ROM). La fuerza generada en el eslabón 3 es de 1 547 lb (6 888 N), la fuerza de reacción (F21) del eslabón 2 contra el eslabón 1 es de 1 561 lb (6 943 N) a 166°, la fuerza de reacción (F41) del eslabón 4 contra el eslabón 1 es de 451 lb (2 008 N) a 169°, además de que se debe aplicar un momento de 233.5 lb-in (26.6 N-m) a los mangos de la pinza para generar la fuerza de cierre especificada. Este momento se obtiene con una fuerza de 53.1 lb (236 N) aplicada en la mitad del mango. Dicha fuerza se ubica dentro de la capacidad fisiológica de fuerza de sujeción del ser humano promedio. 18 1 DISEÑO DE MÁQUINAS E S T U D I O - D E Un Enfoque Integrado C A S O 3 A Análisis de carga de un gato de tijera para automóvil Problema Determine las fuerzas sobre los elementos del gato de tijera, en la posición mostrada en la figura 1-5. Se proporciona La geometría; el gato soporta una fuerza de P = 1 000 lb (4 448 N) en la posición que se indica. Suposiciones Las aceleraciones son despreciables. El gato está sobre el nivel del suelo. El ángulo del chasis del auto elevado no ocasiona un momento que pueda volcar el gato. Todas las fuerzas son coplanares y bidimensionales. Un modelo de carga de clase 1 es adecuado y un análisis estático es aceptable. Solución Véase las figuras 1-5 a 1-8 y la tabla 1-4, partes 1 y 2. 1. La figura 1-5 muestra el esquema de un gato de tijera simple que sirve para elevar un automóvil. Consiste en seis eslabones, los cuales se pivotan y/o se engranan entre sí, así como en un séptimo eslabón con mecanismo de tornillo que gira para elevar el gato. Es claro que se trata de un dispositivo de tres dimensiones; sin embargo, es posible analizarlo como uno de dos dimensiones si se supone que la carga aplicada (debida al automóvil) y el gato están exactamente verticales (en la dirección z). Si es así, todas las fuerzas estarán en el plano xy. Esta suposición es válida si el automóvil se eleva desde una superficie nivelada. En caso contrario, habrá también algunas fuerzas en los planos yz y xz. El diseñador del gato tendrá que considerar el caso más general, aunque para nuestro ejemplo inicialmente se supondrá una carga bidimensional. Para el ensamble completo que se indica en la figura 1-5, se despeja la fuerza de reacción Fg dada la fuerza P, sumando las fuerzas: Fg
P. 2. La figura 1-6 ilustra un conjunto de diagramas de cuerpo libre para todo el gato. Se separó de los otros cada elemento o subensamble de interés, así como de las fuerzas o los momentos que actúan sobre él (excepto su peso, que es pequeño comparado con las fuerzas aplicadas y, por lo mismo, insignificante para el presente análisis). Las fuerzas y los momentos son tanto reacciones internas en las conexiones con otros elementos, como cargas externas del “mundo exterior”. Los centros de P 3 . 6" típ 2 4 1 y 7 2" 5 30o típ. x FIGURA 1-5 Gato de tijera para automóvil 6 Fg Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 19 y 1 P R43 Rp R32 F34 F32 y F43 R23 M42 x F12 y 3 F23 R12 2 R34 x x M24 4 R14 F41 F21 F14 1 F17 F16 F61 F71 y y M75 M57 x x R17 7 y F76 R67 5 R16 F56 F67 x 6 R65 R56 R76 FIGURA 1-6 F65 Fg Rg Diagramas de cuerpo libre del gato de tijera completo gravedad de cada elemento se utilizan como los orígenes de los sistemas de coordenadas locales no giratorios, donde se localizan los puntos de aplicación de todas las fuerzas sobre los elementos. En el diseño, la estabilidad se logra al coincidir las dos fuerzas de los segmentos de engranes (no envolventes) que actúan entre los eslabones 2 y 4, así como entre los eslabones 5 y 7. Dichas interacciones se modelan como fuerzas que actúan a lo largo de una normal común compartida por los dos dientes. Esta normal común es perpendicular a la tangente común en el punto de contacto. Hay tres ecuaciones válidas de la segunda ley para cada uno de los siete elementos, las cuales dan 21 incógnitas. Se necesitarán 10 ecuaciones adicionales de la tercera ley para un total de 31. Se trata de un sistema engorroso de resolver para un dispositivo tan sencillo; sin embargo, se puede aprovechar la ventaja de su simetría para simplificar el problema. 20 1 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado P Tabla 1-4 - parte 1 Estudio de caso 3A Datos conocidos Variable Valor Unidad Px 0.00 lb Py –1 000.00 lb –0.50 in Rpx Rpy 0.87 3 . típ 6" A y 2 4 1 B in x Q R12x –45.00 –3.12 in R12y –1.80 in FIGURA 1-7 R32x 2.08 in Diagrama de cuerpo libre de la mitad superior simétrica de un gato de tijera para automóvil R32y 1.20 in R42x 2.71 in grad R42y 1.00 in R23x –0.78 in R23y –0.78 in R43x 0.78 in R43y –0.78 in R14x 3.12 in R14y –1.80 in R24x –2.58 in R24y 1.04 in R34x –2.08 in R34y 1.20 in FAy FBy 3. La figura 1-7 muestra la mitad superior del montaje del gato. Debido a la simetría de espejo entre las porciones superior e inferior, la mitad inferior se elimina para simplificar el análisis. Las fuerzas calculadas para esta mitad se duplicarán para la otra. Si se desea, las fuerzas de reacción en A y B se resuelven con las ecuaciones 1.3b, a partir de este diagrama de cuerpo libre del montaje de la mitad del gato. 4. La figura 1-8a muestra los diagramas de cuerpo libre de la mitad superior del montaje del gato, los cuales son en esencia los mismos que los de la figura 1-6. Ahora se tienen cuatro elementos, aunque se puede considerar que el subensamble 1 sea la “base”, pero hay que dejar tres elementos para aplicarles las ecuaciones 1.3. Observe que en las ecuaciones todas las fuerzas y los momentos desconocidos se suponen inicialmente positivos. 5. Se ejercen tres fuerzas sobre el eslabón 2: F42 es la fuerza desconocida en el contacto entre el diente del engrane y la parte 4; F12 y F32 son las fuerzas de reacción desconocidas de los eslabones 1 y 3, respectivamente. La fuerza F12 es generada por la pieza 1 sobre la pieza 2 en el perno pivote, mientras que la fuerza F32 es generada por la pieza 3 que actúa sobre la pieza 2 en su perno pivote. Se desconocen las magnitudes y las direcciones de tales fuerzas, así como la magnitud de F42. La dirección de F42 es a lo largo de la normal común mostrada en la figura 1-8b. Se determinan las ecuaciones 1.3b para este elemento, con el propósito de sumar las fuerzas en las direcciones x y y, así como de sumar los momentos en relación con el CG (con los productos cruz expandidos):* ∑ Fx = F12 x + F32 x + F42 x = 0 ( a) ∑ Fy = F12 y + F32 y + F42 y = 0 ∑ Mz = R12 x F12 y − R12 y F12 x + R32 x F32 y − R32 y F32 x + R42 x F42 y − R42 y F42 x = 0 * Observe la similitud con las ecuaciones (b) del estudio de caso 2A. Únicamente es diferente el subíndice del momento de reacción, ya que lo genera un eslabón diferente. La notación consistente de este método de análisis de fuerzas facilita determinar las ecuaciones para cualquier sistema. 6. Se ejercen tres fuerzas sobre la parte 3: la carga aplicada P, F23 y F43. Sólo se conoce P. Escribiendo las ecuaciones 1.3b para este elemento, ∑ Fx = F23x + F43x + Px = 0 ∑ Fy = F23y + F43y + Py = 0 ∑ Mz = R23x F23y − R23y F23x + R43x F43y − R43y F43x + RPx Py − RPy Px = 0 (b) Capítulo 1 P DETERMINACIÓN DE CARGAS 21 normal común y R43 Rp R32 F34 F32 y R12 x 2 F12 3 F23 FAx F42 R23 (b) Detalle del diente del engrane F43 x 4 F41 B 1 R14 F14 FBx FBy FAy (a) Diagramas de cuerpo libre FIGURA 1-8 Diagramas de cuerpo libre de los elementos de la mitad del gato de tijera 7. Se ejercen tres fuerzas sobre el eslabón 4: F24 es la fuerza desconocida del eslabón 2; F14 y F34 son las fuerzas de reacción desconocidas de los eslabones 1 y 3, respectivamente. ∑ Fx = F14 x + F24 x + F34 x = 0 (c ) ∑ Fy = F14 y + F24 y + F34 y = 0 ∑ Mz = R14 x F14 y − R14 y F14 x + R24 x F24 y − R24 y F24 x + R34 x F34 y − R34 y F34 x = 0 8. Las nueve ecuaciones de los conjuntos a a c tienen 16 incógnitas, F12x, F12y, F32x, F32y, F23x, F23y, F43x, F43y, F14x, F14y, F34x, F34y, F24x, F24y, F42x y F42y. Se pueden escribir las relaciones de la tercera ley entre los pares de fuerzas de acción-reacción en cada una de las uniones, para obtener seis de las siete ecuaciones adicionales necesarias: F32 x = − F23 x F32 y = − F23 y F34 x = − F43 x F34 y = − F43 y F42 x = − F24 x F42 y = − F24 y (d ) 9. Las últimas ecuaciones que se requieren provienen de la relación entre las componentes x y y de la fuerza F24 (o bien, F42) en el punto de contacto diente/diente. Una unión de contacto así (o la mitad) transmite fuerza (excepto la fuerza de fricción) tan sólo a lo largo de la normal común,[4] que es perpendicular a la tangente común de la unión, como se indica en la figura 1-8b. La normal común también se conoce como eje de transmisión. La tangente del ángulo de la normal común relaciona las dos componentes de la fuerza en el punto de unión: F24 y = F24 x tan θ Q 4 F24 R24 F21 2 y R42 A x R34 x 1 (e) 22 1 DISEÑO DE MÁQUINAS Estudio de caso 3A Datos calculados Valor Un Enfoque Integrado 10. Las ecuaciones (a) a (e) abarcan un conjunto de 16 ecuaciones simultáneas, que se resuelven por reducción matricial o por métodos iterativos de búsqueda de raíz. Al ponerlas en forma estándar, para una solución matricial, se tiene: Tabla 1-4 - parte 2 Variable - Unidad F12x 877.8 lb F12y 530.4 lb F32x –587.7 lb F32y –820.5 lb F42x –290.1 lb F42y 290.1 lb F23x 587.7 lb F23y 820.5 lb F43x –587.7 lb F43y 179.5 lb F14x –877.8 lb F14y 469.6 lb F24x 290.1 lb F24y –290.1 lb F34x 587.7 lb F34y –179.5 lb F12 x + F32 x + F42 x = 0 F12 y + F32 y + F42 y = 0 R12 x F12 y − R12 y F12 x + R32 x F32 y − R32 y F32 x + R42 x F42 y − R42 y F42 x = 0 F23 x + F43 x = − Px F23 y + F43 y = − Py R23 x F23 y − R23 y F23 x + R43 x F43 y − R43 y F43 x = − RPx Py + RPy Px F14 x + F24 x + F34 x = 0 F14 y + F24 y + F34 y = 0 (f) R14 x F14 y − R14 y F14 x + R24 x F24 y − R24 y F24 x + R34 x F34 y − R34 y F34 x = 0 F32 x + F23 x = 0 F32 y + F23 y = 0 F34 x + F43 x = 0 F34 y + F43 y = 0 F42 x + F24 x = 0 F42 y + F24 y = 0 F24 y − F24 x tanθ = 0 11. Al sustituir los datos de la tabla 1-4, parte 1: −3.12 F12 y + 1.80 F12 x + 2.08 F32 y − 1.20 F32 x F12 x + F32 x + F42 x F12 y + F32 y + F42 y + 2.71F42 y − 0.99 F42 x F23 x + F43 x F23 y + F43 y =0 =0 =0 = 0.0 = 1 000 −0.78 F23 y + 0.78 F23 x + 0.78 F43 y + 0.78 78 F43 x = − 500 F14 x + F24 x + F34 x = 0 F14 y + F24 y + F34 y = 0 3.12 F14 y + 1.80 F14 x − 2.58 F24 y − 1.04 F24 x − 2.08 F34 y − 1.20 F34 x F32 x + F23 x F32 y + F23 y F34 x + F43 x F34 y + F43 y F42 x + F24 x F42 y + F24 y F24 y + 1.0 F24 x 12. Ponga estas ecuaciones en forma matricial. =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 ( g) Capítulo 1 ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢1.80 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0 DETERMINACIÓN DE CARGAS 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −3.12 −1.20 2.08 −1.00 2.71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0` 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.78 −0.78 0.78 0.78 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.80 3.12 −1.04 −2.58 −1.20 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 ⎤ ⎡ F12 x ⎤ ⎥ ⎢ F12 y ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ F32 x ⎥ ⎥ ⎢F ⎥ 0 ⎥ ⎢ 32 y ⎥ 0 ⎥ ⎢ F42 x ⎥ ⎥ ⎢F ⎥ 0 ⎥ ⎢ 42 y ⎥ 0 ⎥ ⎢ F23 x ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ F23 y ⎥ × ⎢F ⎥ = −2.08 ⎥ ⎥ ⎢ 43 x ⎥ 0 ⎥ ⎢ F43 y ⎥ ⎥ ⎢F ⎥ 0 ⎥ ⎢ 14 x ⎥ 0 ⎥ ⎢ F14 y ⎥ ⎥ ⎢F ⎥ 1 ⎥ ⎢ 24 x ⎥ 0 ⎥ ⎢ F24 y ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ F34 x ⎥ 0 ⎥ ⎦ ⎢⎣ F34 y ⎥⎦ 0 0 13. La parte 2 de la tabla 1-4 muestra la solución de este problema, usando el programa MATRIX para los datos de la parte 1 de la tabla 1-4, el cual supone una fuerza vertical aplicada P de 1 000 lb (4 448 N). 14. Las fuerzas sobre el eslabón 1 también se obtienen gracias a la tercera ley de Newton. FAx = − F21x = F12 x FAy = − F21y = F12 y FBx = − F41x = F14 x (i ) FBy = − F41y = F14 y 1.5 ESTUDIO DE CASO DE CARGA ESTÁTICA TRIDIMENSIONAL Esta sección presenta un estudio de caso, el cual implica una carga estática tridimensional sobre el ensamble del calibrador del freno de una bicicleta. Las mismas técnicas empleadas en el análisis de carga bidimensional funcionan también para el caso tridimensional. La tercera dimensión requiere más ecuaciones, que se obtienen a partir de la suma de fuerzas en la dirección z, así como de la suma de momentos con respecto a los ejes x y y, como lo definen las ecuaciones 1.1 y 1.3 para los casos estático y dinámico, respectivamente. Como ejemplo, se analizará el brazo del freno de la bicicleta que es accionado por la palanca del freno de mano, que se analizó en el estudio de caso 1A. 23 ⎡ 0 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1000 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−500 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ (h) ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 1 24 1 DISEÑO DE MÁQUINAS E S T U D I O - Un Enfoque Integrado D E C A S O 4 A Análisis de carga del brazo del freno de una bicicleta Problema Determine las fuerzas que actúan, en tres dimensiones, sobre el brazo del freno de una bicicleta, que funciona en la posición que se muestra en la figura 1-9. Dicho brazo ha estado fallando, por lo que quizá sea necesario volverlo a diseñar. Se proporciona La geometría del brazo del freno, para que sobre el brazo se ejerza una fuerza del cable de 1 046 N en la posición mostrada. (Véase también el estudio de caso 1A.) Suposiciones Las aceleraciones son insignificantes. Un modelo de carga de clase 1 es adecuado y un análisis estático es aceptable. Se midió el coeficiente de fricción entre la almohadilla (goma) del freno y el aro de la rueda, que es de 0.45 a temperatura ambiente, y de 0.40 a 150°F. Solución Véase las figuras 1-9 y 1-10 y la tabla 1-5. 1. La figura 1-9 ilustra un ensamble, comúnmente usado en las bicicletas, del brazo del freno jalado por el centro. Consiste en seis elementos o subensambles: la estructura (el cuadro) y sus pernos pivotes (1), los dos brazos del freno (2) y (4), el montaje de la extensión del cable (3), las almohadillas de los frenos (5) y el aro de la rueda (6). Esto es un dispositivo tridimensional y debe analizarse como tal. 2. El cable es el mismo que está atado a la palanca del freno de la figura 1-1. La fuerza de la mano de 267 N (60 lb) se multiplica por la ventaja mecánica de la palanca del freno y se transmite mediante el cable al par de brazos del freno, como se calculó en el estudio de caso 1A. Se supondrá que no hay pérdida de fuerza en las guías del Fcable y y cable cable 3 3 x brazo del freno z brazo del freno 4 2 4 2 bastidor almoha- almohadilla dilla aro de la llanta 6 5 1 Q 172o N 5 x aro de la llanta FIGURA 1-9 Montaje del brazo del freno jalado por el centro de una bicicleta W 6 V Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 25 cable, de modo que la fuerza total del cable de 1 046 N (235 lb) está disponible en su extremo. 1 3. En la figura 1-9 se observa que la dirección de la fuerza normal entre la almohadilla del freno y el aro de la rueda es θ
172°, con respecto al eje x positivo, en tanto que la fuerza de fricción se dirige a lo largo del eje z. (Véase las figuras 1-9 y 1-10, para las orientaciones de los ejes xyz.) 4. La figura 1-10 presenta los diagramas de cuerpo libre del brazo, el bastidor y el montaje que jala el cable. Interesan sobre todo las fuerzas que actúan sobre el brazo del freno. Sin embargo, se necesita primero analizar el efecto de la geometría del jalador del cable sobre la fuerza aplicada al brazo en A. Este análisis puede ser bidimensional si, por sencillez, se ignora el descentrado z entre los dos brazos. Un análisis más preciso requeriría que se incluyeran las componentes z de las fuerzas de la extensión del cable que actúan sobre los brazos. Observe que el subensamble del cable (3) es un sistema de fuerzas concurrentes. Al escribir las ecuaciones 1.3b en dos dimensiones para este subensamble y al observar la simetría con respecto al punto A, a partir de la revisión del DCL, se tiene: ∑ Fx = F23x + F43x = 0 ∑ Fy = F23y + F43y + Fcable = 0 ( a) Fcable bastidor Fcable 1 cable F21z cable F21x A 3 3 M21y M12y F23x F32y F32x A 2 56o 56o F23y F43y F43x y F32z y R32 2 x R12 F12y brazo del freno B R52 F52x C F52y FIGURA 1-10 Diagramas de cuerpo libre del brazo del freno F23y F43y F32y R32 bastidor z F21y R12 F12z R52 F12x M12x F52z F52y M21x F21z 1 26 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Este conjunto de ecuaciones se resuelve fácilmente para obtener 1 Fcable 1 046 =− = −523 N 2 2 F23 y −523 = = −353 N = tan(56°) 1.483 F23 y = F43 y = − F23 x (b) F43 x = − F23 x = 353 N La tercera ley de Newton relaciona tales fuerzas con sus reacciones sobre el brazo del freno en el punto A: F32 x = − F23 x = 353 N F32 y = − F23 y = 523 N (c ) F32 z = 0 5. Ahora se pueden escribir las ecuaciones 1.3a para el brazo (eslabón 2). Para las fuerzas: ∑ Fx = F12 x + F32 x + F52 x = 0 ; ∑ Fy = F12 y + F32 y + F52 y = 0 ; ∑ Fz = F12z + F32z + F52z = 0 ; F12 x + F52 x = −353 F12 y + F52 y = −523 (d ) F12 z + F52 z = 0 Para los momentos: ∑ M x = M12 x + ( R12 y F12z − R12z F12 y ) + ( R32 y F32 z − R32 z F32 y ) +( R52 y F52 z − R52 z F52 y ) = 0 ∑ My = M12 y + ( R12z F12 x − R12 x F12z ) + ( R32z F32 x − R32 x F32z ) +( R52 z F52 x − R52 x F52 z ) = 0 (e) ∑ Mz = ( R12 x F12 y − R12 y F12 x ) + ( R32 x F32 y − R32 y F32 x ) +( R52 x F52 y − R52 y F52 x ) = 0 Observe que en las ecuaciones las fuerzas y los momentos desconocidos se suponen inicialmente como positivos, sin importar sus direcciones aparentes en los DCL. Los momentos M12x y M12y se deben a que hay un momento en la unión entre el brazo (2) y el perno pivote (1), con respecto a los ejes x y y. Se supone que la fricción es insignificante con respecto al eje z, lo cual hace que M12 sea igual a cero. 6. La unión entre la almohadilla del freno (5) y el aro de la rueda (6) transmite una fuerza normal al plano de contacto. La magnitud de la fuerza de fricción, Ff , en el plano de contacto se relaciona con la fuerza normal por la ecuación de Coulomb para la fricción, Ff = µN (f) donde µ es el coeficiente de fricción y N es la fuerza normal. La velocidad del punto sobre el aro, debajo del centro de la almohadilla del freno, está en la dirección z. Las componentes de fuerza F52x y F52y se deben completamente a la fuerza normal transmitida a través de la almohadilla al brazo y, por lo tanto, están relacionadas por la tercera ley de Newton. Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS F52 x  N x  N cos Q  N cos172o  0.990 N F52 y  N y  N sen Q  Nsen172o  0 .139 N ( g) La dirección de la fuerza de fricción Ff siempre se opone al movimiento; por ende, actúa en la dirección z negativa sobre el aro de la rueda. Su fuerza de reacción sobre el brazo tiene el sentido opuesto. F52 z = − Ff (h) 7. Ahora se tienen 10 ecuaciones (en los conjuntos designados d, e, f, g y h) que contienen 10 incógnitas: F12x, F12y, F12z, F52x, F52y, F52z, M12x, M12y, N y Ff. Las fuerzas F32x, F32y y F32z se conocen a partir de las ecuaciones c. Estas 10 ecuaciones se resuelven de manera simultánea por reducción matricial o por los métodos iterativos de búsqueda de raíces. Primero ordene las ecuaciones; para ello, coloque todas las incógnitas en el primer miembro y todos los valores conocidos o supuestos en el segundo miembro. Tabla 1-5 - parte 1 Estudio de caso 4A Datos conocidos y supuestos Variable M Valor 0.4 Unidad ninguno Q R12x 172.0 5.2 mm R12y –27.2 mm R12z 23.1 mm R32x –75.4 mm R32y 38.7 mm R32z 0.0 mm R52x –13.0 mm R52y –69.7 mm 0.0 mm grados F12 x F52 x  353 F12 y F52 y  523 R52z F32x 353.0 N F52 z  0 F32y 523.0 N F32z 0.0 N M12z 0.0 N–m F12 z M12 x R12 y F12 z R12 z F12 y R52 y F52 z R52 z F52 y  R32 z F32 y R32 y F32 z M12 y R12 z F12 x R12 x F12 z R52 z F52 x R52 x F52 z  R32 x F32 z R32 z F32 x R12 x F12 y R12 y F12 x R52 x F52 y R52 y F52 x  R32 y F32 x R32 x F32 y Ff N cos Q  0 F52 y N sen Q  0 F52 z (i ) MN  0 F52 x Ff  0 8. Al sustituir los valores conocidos y supuestos de la tabla 1-5, parte 1: F12 x + F52 x = −353 F12 y + F52 y = −523 F12 z + F52 z = 0 M12 x − 27.2 F12 z − 23.1F12 y − 69.7 F52 z − 0 F52 y = 0(523) − 38.7(0) = 0 M12 y + 23.1F12 x − 5.2 F12 z + 0 F52 x + 13F52 z = −75.4(0) − 0(353) = 0 5.2 F12 y + 27.2 F12 x − 13F52 y + 69.7 F52 x = 38.7(353) + 75.4(523) = 53 095 Ff − 0.4 N = 0 F52 x − 0.990 N = 0 F52 y + 0.139 N = 0 F52 z + Ff = 0 9. Se forman las matrices para solución. 27 ( j) 1 28 1 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 1-5 - parte 2 Estudio de caso 4A Datos calculados Variable Valor Unidad F12x –1 805 N F12y –319 N F12z 587 N F52x 1 452 N F52y –204 N F52z –587 N M12x 32 304 N–mm M12y 52 370 N–mm N 1 467 N Ff 587 N - Un Enfoque Integrado 0 0 1 0 0 ⎡ 1 ⎢ 0 1 0 0 1 0 ⎢ ⎢ 0 0 1 0 0 1 ⎢ 0 − 23 . 1 − 27 . 2 0 0 − 69 .7 ⎢ ⎢ 23.1 0 −5.2 0 0 13 ⎢ 27 . 2 5 . 2 0 69 . 7 − 13 0 ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 0 ⎢ 0 0 0 1 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 0 0 1 0 ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ F12 x ⎤ 0 0 ⎥ ⎢ F12 y ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ F12 z ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ F52 x ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ F52 y ⎥ ⎥×⎢ ⎥= 0 0 ⎥ ⎢ F52 z ⎥ 1 −0.4 ⎥ ⎢ M12 x ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 −0.990 ⎥ ⎢ M12 y ⎥ 0 0.139 ⎥ ⎢ Ff ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ N ⎥⎦ ⎡ −353 ⎤ ⎢ −523 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢53 095⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ (k ) 10. La parte 2 de la tabla 1-5 muestra la solución del problema con el programa MATRIX, para los datos de la parte 1 de la tabla 1-5. Tal problema se resuelve usando uno de varios programas comerciales para resolver ecuaciones que hay; entre ellos, Mathcad, MATLAB, Maple, Mathematica, o bien, el programa MATRIX incluido en este texto. 1.6 ESTUDIO DE CASO DE CARGA DINÁMICA Esta sección presenta un estudio de caso con una carga dinámica bidimensional, que actúa sobre un mecanismo articulado, diseñado como un dispositivo para demostrar cargas dinámicas. En la figura 1-11 se observa una fotografía de dicha máquina. El análisis de esta máquina se puede realizar en dos dimensiones, ya que todos los elementos se mueven en planos paralelos. La presencia de aceleraciones significativas en los elementos que se mueven en un sistema requiere que se efectúe un análisis dinámico con las ecuaciones 1.1. El enfoque es el mismo que el del análisis precedente para cargas estáticas, excepto la necesidad de incluir los términos mA e Iα en las ecuaciones. E S T U D I O D E C A S O 5 A Análisis de carga de un mecanismo de cuatro barras Problema Determine, para el cuerpo rígido, las fuerzas teóricas que actúan en dos dimensiones sobre el mecanismo de cuatro barras que se muestra en la figura 1-11. Se proporciona La geometría, las masas y los momentos de inercia de la masa, en tanto que el mecanismo es impulsado hasta 120 rpm usando un motor eléctrico de rapidez controlada. Suposiciones Las aceleraciones son significativas. El modelo de carga de clase 4 es adecuado, por lo que se requiere de un análisis dinámico. No hay cargas externas sobre el sistema; todas las cargas se deben a las aceleraciones de los eslabones. Las fuerzas debidas al peso son insignificantes, comparadas con las fuerzas inerciales; por ello, se despreciarán. Se asume que los eslabones son cuerpos rígidos ideales. La fricción y los efectos de los claros en las uniones de perno también se ignorarán. Solución Véase las figuras 1-11 a 1-13 y la tabla 1-6. Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 29 Tabla 1-6 - parte 1 acoplador Estudio de caso 5A Datos conocidos y supuestos balancín manivela Variable volante contrapesos motor de engranes FIGURA 1-11 Modelo dinámico de eslabones de cuatro partes Valor Unidad Q2 30.00 grad W2 120.00 rpm masa 2 0.525 kg masa 3 1.050 kg masa 4 1.050 kg Icg2 0.057 kg-m2 Icg3 0.011 kg-m2 Icg4 0.455 kg-m2 R12x –46.9 mm 1. Las figuras 1-11 y 1-12 ilustran el modelo demostrativo del mecanismo de cuatro barras. Consiste en tres elementos móviles (eslabones 2, 3 y 4), más el bastidor o la bancada del montaje (1). El motor impulsa al eslabón 2 a través de un motor de engranes. Los dos pivotes fijos se instrumentaron, con transductores de fuerza piezoeléctricos, para medir las fuerzas dinámicas que actúan en las direcciones x y y sobre el plano de la bancada. Se montó un par de acelerómetros en un punto sobre el elemento flotante (eslabón 3) para medir sus aceleraciones. R12y –71.3 mm R32x 85.1 mm R32y 4.9 mm R23x –150.7 mm R23y –177.6 mm R43x 185.5 mm 2. La figura 1-12 contiene un esquema del dispositivo. Las partes fueron diseñadas con claros, para reducir sus masas y sus momentos de inercia de masa. La entrada del eslabón 2 puede ser una aceleración angular, una velocidad angular constante o un torque aplicado. El eslabón 2 gira totalmente alrededor de su pivote fijo en O2. Aun cuando el eslabón 2 tenga una aceleración angular α2 igual a cero, si opera a velocidad angular constante ω2, habría incluso aceleraciones angulares variables en el tiempo en los eslabones 3 y 4, ya que oscilan hacia atrás y hacia adelante. En cualquier caso, los centros de gravedad de los eslabones experimentarán aceleraciones lineales variables en el tiempo, conforme el mecanismo se mueva. Tales aceleraciones angulares y lineales generarán fuerzas de inercia y torques de acuerdo R43y 50.8 mm R14x –21.5 mm R14y –100.6 mm R34x –10.6 mm R34y 204.0 mm 3 L1 = 18" (457.2 mm) L2 = 6" (152.4 mm) L3 = 16" (406.4 mm) B L4 = 12" (304.8 mm) m4, IG4 m3, IG3 m2, IG2 2 A W A, T2 FIGURA 1-12 4 O2 1 O4 1 Esquema y dimensiones básicas del mecanismo articulado (véase la tabla 1-6 para más información) 1 30 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado y 1 A AG3 F43 R43 y R32 x F32 F34 y 4 R23 W A, T2 x AG2 F12 3 R12 A R34 F23 R14 2 x AG4 F21 FIGURA 1-13 F41 F14 1 1 Diagrama de cuerpo libre de los elementos de un mecanismo de cuatro barras. con la segunda ley de Newton. De modo que, aun cuando no haya fuerzas externas ni torques aplicados a las partes, las fuerzas inerciales crearán fuerzas de reacción en los pernos. Las fuerzas son las que se desea calcular. 3. La figura 1-13 muestra los diagramas de cuerpo libre de los eslabones individuales. El sistema de coordenadas local, sin rotación, de cada eslabón se ubica en su CG. Se deben resolver las ecuaciones cinemáticas del movimiento para determinar las aceleraciones lineales del CG, de cada eslabón, y la aceleración angular del eslabón, en cada posición de interés durante el ciclo. (Para la explicación de este procedimiento, consulte la referencia 1.) Tales aceleraciones, AGn y αn, se muestran en acción en cada uno de los n eslabones. Las fuerzas de cada conexión de perno se ilustran como pares xy, numeradas como antes, y se supone que inicialmente son positivas. 4. Se pueden escribir las ecuaciones 1.1 para cada eslabón móvil del sistema. Se deben calcular las masas y los momentos de inercia de la masa de cada eslabón, con respecto a su CG, para usarlos en tales ecuaciones. En este estudio de caso, se usó un sistema de modelado sólido de CAD para diseñar la geometría de los eslabones y calcular las propiedades de su masa. 5. Para el eslabón 2: ∑ Fx = F12 x + F32 x = m2 AG2 ∑ Fy = F12 y + F32 y = m2 AG2 ∑ Mz = T2 + ( R12 x F12 y − R12 y F12 x ) + ( R32 x F32 y − R32 y F32 x ) = IG2α 2 x y ( a) 6. Para el eslabón 3: ∑ Fx = F12 x + F32 x = m2 AG2 ∑ Fy = F12 y + F32 y = m2 AG2 ∑ Mz = T2 + ( R12 x F12 y − R12 y F12 x ) + ( R32 x F32 y − R32 y F32 x ) = IG2α 2 x y (b) Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 7. Para el eslabón 4: ∑ ∑ Fy = F14 y + F34 y = m4 AG4 ∑ Mz = ( R14 x F14 y − R14 y F14 x ) + ( R34 x F34 y − R34 y F34 x ) = IG4α 4 Tabla 1-6 - parte 2 Fx = F14 x + F34 x = m4 AG 4 x Estudio de caso 5A Datos calculados (c ) Variable Valor F12x –255.8 N F12y –178.1 N F32x 252.0 N F32y 172.2 N F34x –215.6 N F32 x = − F23 x F34y –163.9 N F32 y = − F23 y F14x 201.0 N F14y 167.0 N F43x 215.6 N F43y 163.9 N F23x –252.0 N F23y –172.2 N y 8. Existen 13 incógnitas en esas nueve ecuaciones: F12x, F12y, F32x, F32y, F23x, F23y, F43x, F43y, F14x, F14y, F34x, F34y y T2. Se pueden escribir cuatro ecuaciones de la tercera ley, con la finalidad de identificar los pares de fuerzas de acción-reacción en las uniones. F34 x = − F43 x (d ) F34 y = − F43 y 9. El conjunto de 13 ecuaciones de a a d se resuelve de manera simultánea para determinar las fuerzas y torques, ya sea por los métodos de reducción matricial o de búsqueda de raíces iterativa. Este estudio de caso se resolvió con ambas técnicas y los archivos correspondientes se encuentran en el CD. Observe que las masas y los momentos de inercia de la masa de los eslabones son constantes independientemente del tiempo y la posición, pero las aceleraciones varían con el tiempo, de modo que un análisis completo requiere que las ecuaciones a a d se resuelvan para todas las posiciones o los tiempos de interés. Los modelos utilizan listas o arreglos para guardar los valores calculados de las ecuaciones a a d para los 13 valores del ángulo de entrada θ2 del eslabón impulsor (de 0 a 360°, en incrementos de 30°). El modelo también calcula las aceleraciones cinemáticas de las partes y sus CG, que son necesarios para el cálculo de las fuerzas. Después, las fuerzas mayores y las menores, presentes en cada eslabón durante el ciclo, se calculan para su uso posterior en análisis de esfuerzo y deflexión. En las partes 1 y 2 de la tabla 1-6, se muestran los datos conocidos y los resultados de este análisis de fuerzas, para una posición de la manivela (θ2
30°). En la figura 1-14 se grafican las fuerzas en los pivotes fijos para una revolución completa de la manivela. 1.7 31 CARGAS POR VIBRACIÓN En los sistemas cargados dinámicamente, por lo general hay cargas por vibración sobrepuestas a las cargas teóricas pronosticadas con las ecuaciones dinámicas. Tales cargas vibratorias suelen tener diferentes causas. Si los elementos del sistema fueran infinitamente rígidos, se eliminarían las vibraciones, pero los elementos reales, de cualquier material, son elásticos y, por ende, actúan como resortes cuando están sujetos a fuerzas. Las deflexiones resultantes pueden causar que se generen fuerzas adicionales, a partir de las fuerzas inerciales asociadas con los movimientos vibratorios del elemento o, si las tolerancias permiten el contacto de las uniones para generar cargas de impacto (choque) cuando vibran (véase más adelante). Un estudio completo acerca de los fenómenos vibratorios está más allá del alcance del libro. Para un análisis más detallado, al final de este capítulo se incluye la bibliografía correspondiente. El tema se introduce aquí sobre todo para alertar al diseñador de máquinas, en cuanto a la necesidad de considerar la vibración como una fuente de carga. Con frecuencia, el único modo para obtener una medida precisa de los efectos de la vibración sobre un sistema es hacer pruebas en prototipos o sistemas de producción Unidad T12 –3.55 N-m A3 56.7 rad/seg 2 A4 138.0 rad/seg 2 Acg2x –7.4 rad/seg 2 Acg2y –11.3 rad/seg 2 Acg3x –34.6 rad/seg 2 Acg3y –7.9 rad/seg 2 Acg4x –13.9 rad/seg 2 Acg4y 2.9 rad/seg 2 1 32 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado fuerzas x y y sobre la unión 12 fuerzas x y y sobre la unión 14 1 200 0 fuerza N fuerza N 100 y –100 –200 x 100 y 0 x –100 –300 0 60 120 180 240 300 360 0 60 120 180 240 300 360 ángulo de la manivela: grados ángulo de la manivela: grados FIGURA 1-14 Fuerzas dinámicas en un cuerpo rígido calculadas para el mecanismo de cuatro barras del estudio de caso 5A bajo condiciones de servicio severas. En el estudio del factor de seguridad en la sección A.7 se mencionó que muchas industrias (automotriz, aérea, etcétera) se comprometen en exhaustivos programas de prueba para desarrollar modelos de carga reales para sus equipos. Se estudiará más de este tema en la sección 4.4, cuando se introduzcan las cargas de fatiga. Las técnicas modernas de análisis de los elementos finitos (FEA) y los elementos límite (BEA) también permiten modelar y calcular los efectos de la vibración en un sistema o una estructura. Incluso, resulta difícil lograr un modelo por computadora de un sistema complejo que sea tan preciso y real como un prototipo. Lo anterior es especialmente cierto cuando los claros (espacios) entre las piezas móviles permiten que haya impactos en las uniones, cuando se invierten las cargas. Los impactos originan fenómenos no lineales muy difíciles de modelar matemáticamente. Frecuencia natural En el diseño de maquinaria es deseable determinar las frecuencias naturales del montaje, o submontaje, para pronosticar y eliminar problemas de resonancia durante la operación. Cualquier sistema real puede tener un número infinito de frecuencias naturales donde vibrará fácilmente. El número de frecuencias naturales necesarias o deseables para el cálculo varía según la situación. Para dicha tarea, el enfoque más completo es utilizar el análisis de los elementos finitos (FEA) al descomponer el montaje en un gran número de elementos discretos. Para mayor información sobre el FEA, véase el apéndice C. Los esfuerzos, las deflexiones y el número de frecuencias naturales que se pueden calcular con esta técnica están limitados básicamente por el tiempo y la disposición de recursos computacionales. Si no se usa el FEA, se desearía determinar la frecuencia natural mínima, la menor o esencial del sistema, puesto que esta frecuencia por lo general creará la mayor magnitud de vibración. La frecuencia natural esencial sin amortiguamiento ωn en unidades de rad/s, o fn, en unidades de Hz, se calcula a partir de las expresiones k m 1 ωn fn = 2π ωn = (1.4) Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 33 donde ωn es la frecuencia natural fundamental, m es la masa móvil del sistema en unidades de masa reales (por ejemplo, kg, g, blob o slug, no lbm) y k es la constante efectiva del resorte del sistema. (El periodo de la frecuencia natural es su recíproco en segundos, Tn
1/fn.) 1 La ecuación 1.4 se basa en un modelo agrupado del sistema con un solo grado de libertad. La figura 1-15 presenta un modelo como éste de un sistema simple de levaseguidor consistente en una leva, un seguidor deslizante y un amortiguador simple. El modelo agrupado más sencillo es una masa conectada al suelo través de un solo resorte y un solo amortiguador. Todas las masas que se mueven en el sistema (seguidor, resorte) están contenidas en m y todos los “resortes”, inclusive el resorte físico y la elasticidad de todas las otras piezas, se agrupan en la constante efectiva k del resorte. CONSTANTE DEL RESORTE La constante k de un resorte se supone como una relación lineal entre la fuerza, F, que se aplica a un elemento y su deflexión resultante δ (véase la figura 1-17): k= F δ (1.5a) Si es posible calcular o deducir la expresión de la deflexión de un elemento, se proporcionará esta relación resorte-constante. El tema se retoma en el siguiente capítulo. En el ejemplo de la figura 1-15, la deflexión δ del resorte es igual al desplazamiento y de la masa. k= F y (1.5b) AMORTIGUAMIENTO Todas las pérdidas por amortiguamiento, o rozamiento, se agrupan en el coeficiente de amortiguamiento d. Para este modelo sencillo se supone que el amortiguamiento es inversamente proporcional a la velocidad ypunto de la masa. d= F y˙ (1.6) seguidor resorte Fresorte Famortiguador resorte k rodillo amortiguador d . .. y,y,y leva m m . .. masa y,y,y W Fleva (a) Sistema real FIGURA 1-15 Modelo agrupado de un sistema dinámico de leva-seguidor (b) Modelo agrupado Fleva (c) Diagrama de cuerpo libre 34 1 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La ecuación 1.4 simplifica este modelo incluso más si se supone que el amortiguamiento d es igual a cero. Si se incluye el amortiguamiento, las expresiones de la frecuencia fundamental natural amortiguada ωd en unidades de radián/seg, o fd, en unidades de Hz, se convierte en ωd = fd = k ⎛ d ⎞2 − m ⎝ 2m ⎠ 1 ωd 2π (1.7) Tal frecuencia de amortiguamiento ωd será ligeramente menor que la frecuencia no amortiguada ωn. VALORES EFECTIVOS La determinación de la masa efectiva de un modelo agrupado es sencilla, sólo requiere sumar todos los valores de las masas móviles conectadas en las unidades de masa adecuadas. La determinación de los valores de la constante efectiva del resorte y el coeficiente de amortiguación efectivo es más complicada, por lo que no se estudiará aquí. Para una explicación de esto, consulte la referencia 2. RESONANCIA Se puede experimentar una condición, llamada resonancia, si la operación o la frecuencia de forzamiento aplicada al sistema son las mismas que cualquiera de sus frecuencias naturales. Es decir, si la velocidad angular de entrada aplicada a un sistema giratorio es la misma que ωn, o está cercana a ésta, la respuesta vibratoria será muy grande. Lo anterior crea fuerzas grandes y causa fallas. Por lo tanto, es necesario descartar, si es posible, la operación en la frecuencia natural o cerca de ésta. Fuerzas dinámicas Si se escribe la ecuación 1.1 para el modelo simple de un GDL (grado de libertad) del sistema dinámico de la figura 1-15, y se sustituyen las ecuaciones 1.5 y 1.6, se tiene ¤ F  ma  my˙˙ y Fleva Fresorte Famortiguador  my˙˙ (1.8) Fleva  my˙˙ dy˙ ky Si se conocen los parámetros cinemáticos de desplazamiento, velocidad y aceleración del sistema, esta ecuación se resuelve directamente para la fuerza sobre la leva como una función del tiempo. Si se conoce la fuerza de la leva y se desean los parámetros cinemáticos, entonces se puede aplicar la solución bien conocida de la ecuación diferencial lineal con coeficiente constante. Para una derivación detallada de la solución, consulte la referencia 3. Aunque se puede seleccionar arbitrariamente el sistema de coordenadas utilizado para un análisis dinámico, es importante notar que tanto los parámetros cinemáticos (desplazamiento, velocidad y aceleración) como las fuerzas de la ecuación 1.8 deben definirse en el mismo sistema de coordenadas. Como un ejemplo del efecto de la vibración sobre las fuerzas dinámicas de un sistema, se regresará al estudio de caso 5A del mecanismo de cuatro barras, donde se verán los resultados de las mediciones reales de las fuerzas dinámicas bajo condiciones de operación. Capítulo 1 E S T U D I O D E C A S O DETERMINACIÓN DE CARGAS 5 B Medición de la carga dinámica en el mecanismo de cuatro barras Problema Determine las fuerzas reales que actúan sobre los pivotes fijos del mecanismo articulado de la figura 1-11 (p. 29) durante una revolución de la manivela de entrada. Se proporciona El mecanismo se impulsa a 60 rpm con un motor eléctrico de rapidez controlada, además de que se colocan transductores de fuerza entre los soportes de los pivotes fijos y la bancada. Suposiciones No hay cargas externas aplicadas sobre el sistema; todas se deben a las aceleraciones de las piezas. Las fuerzas debidas al peso son insignificantes comparadas con las fuerzas inerciales y se despreciarán. Los transductores de fuerza miden sólo fuerzas dinámicas. Solución Véase las figuras 1-12 (p. 29) y 1-16 (p. 36). 1. La figura 1-11 presenta un mecanismo de cuatro barras. Está formado por tres elementos móviles (eslabones 2, 3 y 4), más el marco o la bancada (1). El motor montado de choque impulsa el eslabón 2 a través de una caja de engranes y un eje acoplado. Los dos pivotes fijos se instrumentaron con transductores piezoeléctricos de fuerza para medir las fuerzas dinámicas, que actúan en las direcciones x y y sobre el plano del suelo. 2. La figura 1-16 muestra la fuerza y el torque reales medidos mientras el eslabonamiento giraba a 60 rpm, y los compara con la fuerza y el torque teóricos pronosticados por las ecuaciones a a d, en el estudio de caso 5A.[5] Sólo la componente x de la fuerza en el pivote, entre el eslabón 2 y la bancada, así como el torque sobre el eslabón 2 se muestran como ejemplos. Las otras fuerzas y los demás componentes del perno muestran desviaciones similares de sus valores teóricos pronosticados. Algunas de tales desviaciones se deben a las variaciones en la velocidad angular instantánea del motor. El análisis teórico supone una velocidad angular constante de entrada del eje. Las vibraciones y los impactos se toman en cuenta para otras desviaciones. El ejemplo de desviaciones de las fuerzas teóricas, en un sistema dinámico tan simple, se presenta para señalar que los mejores cálculos de las fuerzas (y, por lo tanto, de los esfuerzos resultantes) sobre un sistema pueden ser erróneos debido a factores que no se incluyen en un análisis de fuerza simplificado. En los pronósticos teóricos de fuerzas para un sistema dinámico, resulta común subestimar la realidad, lo cual es, por supuesto, imprudente. Siempre que sea posible, la prueba de prototipos físicos brindará los resultados más reales y exactos. Los efectos de las vibraciones en un sistema podrían causar cargas significativas y son difíciles de predecir sin datos de prueba, como los que se muestran en la figura 1-16, donde las cargas reales se ven del doble de sus valores pronosticados; esto evidentemente duplica los esfuerzos. Un enfoque tradicional y un tanto rudimentario, que se usa en el diseño de máquinas, consiste en aplicar, con base en la experiencia, factores de sobrecarga a las cargas calculadas teóricas con el mismo equipo o un equipo similar. Como un ejemplo, consulte la tabla 8-17 (p. 577) en el capítulo de diseño de engranes. La tabla lista los factores de sobrecarga recomendados por la industria para engranes sujetos a varios tipos de cargas de choque. Tal clase de factores deberían usarse tan sólo si uno no puede desarrollar datos de prueba más precisos que los del tipo mostrado en la figura 1-16 (p. 36) 35 1 (a) Fuerza dinámica real y teórica, en la dirección x en el pivote de la manivela - Un Enfoque Integrado 10 real 5 0 lbf 1 DISEÑO DE MÁQUINAS –5 –10 teórica –15 –20 (b) Torque dinámico real y teórico, en el pivote de la manivela 400 300 real teórica 200 lbf – in 36 100 0 –100 –200 –300 FIGURA 1-16 Fuerzas y torques dinámicos teóricos, medidos en un mecanismo de cuatro barras 1.8 CARGAS DE IMPACTO Las cargas consideradas hasta ahora han sido estáticas pero, si varían con el tiempo, se ha supuesto que se aplican gradual y suavemente, con todas las uniones en contacto continuo. Muchas máquinas poseen elementos sujetos a cargas o a impactos repentinos. Un ejemplo es el mecanismo manivela-corredera, el cual es el corazón de un motor automotriz. La cabeza del pistón está sujeta a un aumento explosivo de la presión cada dos revoluciones del cigüeñal y cuando el cilindro explota, así como cuando el espacio entre la circunferencia del pistón y la pared superior del cilindro permiten el impacto de tales superficies cuando la carga se invierte en cada ciclo. Un ejemplo más extremo es un martillo neumático, cuyo propósito es golpear el pavimento y romperlo. Las cargas que resultan del impacto pueden ser mucho mayores que las que resultarían de los mismos elementos que contactan gradualmente. Trate de imaginar clavar un clavo con el martillo; para ello, coloque de forma suave la cabeza de éste sobre aquél, en vez de golpearlo. Lo que distingue las cargas de impacto de las cargas estáticas es el tiempo de duración de la aplicación de la carga. Si la carga se aplica lentamente, se considera estática; si se aplica con rapidez, entonces es de impacto. Un criterio que sirve para distinguir entre ambas es comparar el tiempo de aplicación de la carga tl (definido como el tiempo que le toma a la carga para elevarse de cero a su valor pico) con el periodo de la frecuencia natural Tn del sistema. Si tl es menor que la mitad de Tn, se considera que es de impacto. Si tl es mayor que tres veces Tn, se considera estática. Entre esos límites hay un área gris donde puede haber cualquier condición. Se considera que hay dos casos generales de impacto; sin embargo, se verá que uno es el límite del otro. Burr[6] llama a estos dos casos impacto por golpe e impacto por fuerza. El impacto por golpe se refiere a una colisión real de dos cuerpos, tal como en Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 37 el martilleo o el estrechamiento del espacio entre las uniones de las piezas. La fuerza de impacto tiene que ver con una carga aplicada repentinamente sin la velocidad de colisión, como en un peso que súbitamente se levanta con un soporte. Tal condición es común en embragues y frenos de fricción (véase el capítulo 13). Los casos ocurren en forma independiente o en cualquier combinación. 1 Las colisiones severas entre cuerpos móviles pueden dar como resultado una deformación permanente de los cuerpos que colisionan, como en un accidente automovilístico. En tales casos, es deseable una deformación permanente, para absorber la gran cantidad de energía de la colisión, y proteger a los ocupantes de lesiones más graves. Aquí sólo se está interesado en los impactos que no causan una deformación permanente, es decir, los esfuerzos permanecerán en la región elástica. Esto es necesario para permitir el uso continuo de la componente después del impacto. Si la masa del objeto que golpea m es grande, en comparación con la masa del objeto golpeado mb, y si el objeto que golpea se considera rígido, entonces la energía cinética poseída por el objeto que golpea se puede igualar con la energía almacenada elásticamente en el objeto golpeado en su deflexión máxima. Este enfoque de energía proporciona un valor aproximado de la carga de impacto. No es exacto porque se supone que el esfuerzo a través del miembro impactado alcanza valores pico al mismo tiempo. Sin embargo, las ondas de esfuerzo que se generan en el cuerpo golpeado viajan a través de éste a la rapidez del sonido y se reflejan a partir de las fronteras. El cálculo de los efectos de tales ondas longitudinales sobre los esfuerzos en medios elásticos da resultados exactos, por lo que es necesario cuando es pequeña la razón entre la masa del objeto que golpea y el objeto golpeado. El método de ondas no se estudiará aquí. Se recomienda al lector consultar la referencia 6 para mayor información. Método de la energía Suponiendo que no hay pérdida de energía por el calor, la energía cinética del cuerpo que golpea se convierte en energía potencial almacenada en el cuerpo golpeado. Si se supone que todas las partículas de los cuerpos combinados llegan al reposo en el mismo instante, entonces, justo antes de rebotar, serán máximos la fuerza, el esfuerzo y la deflexión en el cuerpo golpeado. La energía elástica almacenada en el cuerpo golpeado será igual al área bajo la curva de fuerza-deflexión, que se define por la constante particular del resorte. Una curva generalizada de fuerza-deflexión de un resorte lineal se observa en la figura 1-17. La energía elástica almacenada es el área bajo la curva, entre cero y cualquier combinación de fuerza y deflexión. Por la relación lineal, ésta es el área de un triángulo, A
1/2bh. De tal manera, la energía almacenada en el punto de deflexión pico por impacto δi es E= 1 Fi δ i 2 (1.9a) F Al sustituir la ecuación 1.5, k F2 E= i 2k (1.9b) IMPACTO HORIZONTAL La figura 1-18a muestra una masa a punto de impactar el extremo de una varilla horizontal. Tal dispositivo, que se conoce algunas veces como martillo deslizante, sirve para eliminar abolladuras de la carrocería de metal de un automóvil, entre otros usos. En el punto de impacto, la porción de energía cinética de la masa móvil que se transfiere a la masa golpeada es 1 E = η ⎛ mvi 2 ⎞ ⎝2 ⎠ (1.10) Fi Di D FIGURA 1-17 Energía almacenada en un resorte 38 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 1 Di l m k m k vi (a) Horizontal h (b) Vertical Di FIGURA 1-18 Impacto axial sobre una varilla delgada donde m es su masa y vi su velocidad al momento del impacto. Es necesario modificar la energía cinética, con un factor de corrección η, para considerar la disipación de energía asociada con el tipo específico del elemento elástico que se golpea. Si la disipación es insignificante, η será igual a 1. Si se supone que toda la energía cinética transferida de la masa en movimiento se convierte en energía elástica almacenada en el miembro golpeado, eso permite igualar las ecuaciones 1.9 y 1.10: Fi 2 mv 2 =η i 2k 2 Fi = vi ηmk (1.11) Si a la masa se le permitiera cargar estáticamente el elemento golpeado, la deflexión estática resultante sería δst
W / k, donde W
mg. Al sustituir esto en la ecuación 1.11, da como resultado una razón entre fuerza dinámica y fuerza estática, o bien, entre deflexión dinámica y deflexión estática: δ Fi η = i = vi W δ st gδ st (1.12) El término del segundo miembro de la ecuación se conoce como factor de impacto, que proporciona la razón entre el impacto y la fuerza o deflexión estática. Entonces, si la deflexión estática se calcula al aplicar una fuerza igual al peso de la masa, se obtendría un estimado de la fuerza dinámica y la deflexión dinámica. Observe que las ecuaciones 1.11 y 1.12 son válidas para cualquier caso de impacto horizontal, donde el objeto se carga, como se muestra aquí, axialmente con deflexión o con torsión. Los métodos para el cálculo de deflexiones de varios casos se estudiarán en el siguiente capítulo. La razón de resorte k de cualquier objeto se obtiene al replantear su ecuación de deflexión de acuerdo con la ecuación 1.5. IMPACTO VERTICAL Para el caso de una masa que cae una distancia h sobre una varilla como la de la figura 1-18b, también se aplica la ecuación 1.11 con una velocidad de impacto vi2
2gh. La energía potencial de un descenso a lo largo de la distancia h es: Capítulo 1 E= η DETERMINACIÓN DE CARGAS mvi 2 = ηmgh = Wηh 2 (1.13a) Si la deflexión en el impacto es pequeña, comparada con la distancia de caída h, la ecuación es suficiente. Pero si la deflexión es significativa, comparada con h, la energía de impacto necesita incluir una cantidad debida a la deflexión, a través de la cual el peso cae más allá de h. La energía potencial total dejada por la masa en el impacto es, entonces, E = Wηh + W δ i = W ( ηh + δ i ) (1.13b) Al igualar la energía potencial con la energía elástica, almacenada en el elemento golpeado, además de sustituir la ecuación 1.9b y la expresión W
kδst Fi 2 = W ( ηh + δ i ) 2k W Fi 2 = 2 kW ( ηh + δ i ) = 2 W ( ηh + δ i ) δ st 2 ⎛ Fi ⎞ = 2 ηh + δ i = 2 ηh + 2⎛ Fi ⎞ ⎝W⎠ ⎝W⎠ δ st δ st δ st 2 ⎛ Fi ⎞ − 2⎛ Fi ⎞ − 2 ηh = 0 ⎝W⎠ ⎝ W ⎠ δ st (1.14a) que da una ecuación cuadrática en Fi /W, cuya solución es: δ Fi 2 ηh = i =1+ 1+ δ st W δ st (1.14b) El segundo miembro de la expresión es la razón de impacto, para el caso del peso que cae. La ecuación 1.14b se puede utilizar para cualquier caso de impacto que implique la caída de un peso. Por ejemplo, si el peso se deja caer sobre una viga, se usa la deflexión estática de la viga en el punto de impacto. Si la distancia h a la cual se eleva la masa es igual a cero, la ecuación 1.14b se hace igual a 2. Lo anterior indica que si la masa se mantiene en contacto con el elemento “golpeado” (con el peso de la masa soportado por separado) y, luego, se le permite descargar repentinamente su peso sobre ese elemento, la fuerza dinámica será del doble del peso. Éste es el caso del “impacto de fuerza” ya descrito, en el cual no hay una colisión real entre los objetos. Un análisis más preciso, usando métodos de ondas, pronostica que la fuerza dinámica será de más del doble, incluso en este caso de aplicación repentina de una carga sin colisión.[6] Muchos diseñadores usan 3 o 4 como una estimación más conservadora del factor dinámico, para el caso de aplicación repentina de la carga. Tan sólo se trata de una estimación rudimentaria; sin embargo, y si es posible, se deberían hacer mediciones experimentales, o bien, utilizar el método de análisis por ondas para determinar factores dinámicos más adecuados para cualquier diseño específico. En la referencia 6 se encuentran factores de corrección η para varios casos de impacto derivados por Burr. Roark y Young ofrecen factores de casos adicionales en la referencia 7. Para el caso de una masa que impacta axialmente una varilla como la de la figura 1-18, el factor de corrección es[6] η= 1 m 1+ b 3m (1.15) 39 1 40 DISEÑO DE MÁQUINAS Un Enfoque Integrado donde m es la masa del objeto que golpea y mb es la masa del objeto golpeado. Conforme aumenta la razón masa golpeadora/masa golpeada, el factor de corrección η se aproxima asintóticamente a uno. La figura 1-19 muestra η en función de la razón de la masa para tres casos: una varilla axial (ecuación 1.15) trazada como línea delgada, una viga simple soportada en sus extremos y golpeada en el centro (línea gruesa), así como una viga en voladizo golpeada en el extremo libre (línea punteada).[6] Al suponer que uno es conservador, el factor de corrección η siempre es menor que uno (y  0.9 para razones de masa  5). Sin embargo, se debe estar consciente de que este método de energía da resultados aproximados, no conservadores en general, por lo que necesita utilizarse con factores de seguridad mayores que lo usual. H 1 - 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 5 10 15 20 m razón de masas mb EJEMPLO 1-1 FIGURA 1-19 Carga de impacto sobre una varilla axial Factor de corrección H, como una función de la razón de masas Problema La varilla axial mostrada en la figura 1-18a es golpeada por una masa que se mueve a 1 m/seg. a. Determine la sensibilidad de la fuerza de impacto en la razón longitud/diámetro de la varilla, para una masa constante de 1 kg que se mueve. b. Determine la sensibilidad de la fuerza de impacto en la razón masa en movimiento/masa de la varilla, para una razón constante longitud/diámetro de 10. Se proporciona La varilla redonda tiene 100 mm de longitud. La varilla y la masa que se mueve son de acero con E = 207 Gpa y una densidad de masa de 7.86 g/cm3. Suposiciones Será aceptable un método de aproximación de energía. Se aplicará un factor de corrección de disipación de energía. Solución Véase las figuras 1-18a, 1-20 y 1-21. 1. La figura 1-18a muestra el sistema. La masa que se mueve golpea la pestaña en el extremo de la varilla con la velocidad indicada de 1 m/seg. 2. Para el inciso a), se mantendrá constante la masa que se mueve en 1 kg; la longitud de la varilla, de 100 mm, también es constante, mientras el diámetro de la varilla varía para obtener razones l / d en el intervalo de 1 a 20. En las ecuaciones que siguen, se mostrará sólo un cálculo realizado para la razón l / d igual a 10. También es posible calcular todos los valores para una lista de razones l / d. La deflexión estática, que resultaría de la aplicación de la fuerza del peso de la masa, se calcula de la expresión para la deflexión de una varilla a tensión. (Para la deducción, véase la ecuación 2.8 en el siguiente capítulo.) δ st = 9.81 N (100 mm ) Wl = = 0.06 µm AE 78.54 mm 2 2.07 E 5 N mm 2 ( ) ( a) El factor de corrección η se calcula aquí para una razón de masa estimada de 16.2, η= 1 1 = = 0.98 mb 0.0617 1+ 1+ 3(1) 3m (b) Tales valores (calculados para cada diámetro diferente d de la varilla) se sustituyen después en la ecuación 1.12, para obtener la razón de la fuerza Fi /W y la fuerza dinámica Fi. Para d
10 mm Capítulo 1 Fi η m = vi =1 W gδ st s DETERMINACIÓN DE CARGAS 0.98 = 1 285.9 m 9.81 2 (0.00006 m ) s Fi = 1 285.9(9.81 N ) = 12 612 N 41 razón de fuerza (c ) En la figura 1-20 se muestra la variación, en la razón de la fuerza con cambios en la razón l / d, para una cantidad constante de la masa en movimiento y una velocidad de impacto constante (es decir, energía de entrada constante). Conforme se reduce la razón l / d, la varilla se vuelve mucho más rígida y genera fuerzas dinámicas mucho mayores con la misma energía de impacto. Esto indica claramente que las fuerzas de impacto se pueden reducir incrementando la funcionalidad del sistema impactado. 3. Para el inciso b), se mantendrá constante la razón l / d, con un valor de 10, y se variará la razón masa que se mueve/masa de la varilla en el intervalo de 1 a 20. Los archivos EXE03-01B del CD-ROM calculan todos los valores para un intervalo de razones de masa. Los resultados para una razón de masa de 16.2 son los mismos del inciso a). La figura 1-21a muestra que la razón de la fuerza dinámica Fi/W varía inversamente con la razón de la masa. Sin embargo, el valor de la fuerza dinámica se incrementa con la razón de la masa, como se indica en la figura 1-21b, ya que la fuerza estática W también se incrementa con la razón de masa. 1 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 0 10 20 razón l/d razón de fuerza 70 000 1.9 60 000 CARGA EN UNA VIGA 50 000 Una viga es un elemento cualquiera que soporta cargas transversales a lo largo de su eje longitudinal, pero también soporta cargas en dirección axial. Cuando una viga se sostiene sobre pernos o soportes angostos en cada extremo, se dice que está simplemente apoyada, como se muestra en la figura 1-22a. Una viga fija por uno de sus extremos y sin soporte en el otro es una viga en voladizo (figura 1-22b). Una viga simplemente apoyada que se extiende más allá de sus soportes en cualquiera de sus extremos se llama viga suspendida (figura 1-22c). Si una viga tiene más soportes de los necesarios para proporcionar estabilidad cinemática (es decir, hace el grado de libertad cinemática igual a cero), entonces se dice que la viga es indeterminada, como se indica en la figura 1-22d. Un problema de una viga indeterminada no se resuelve para sus cargas usando sólo las ecuaciones 1.3 (p. 8). Se requieren otras técnicas. Tal problema se estudia en el siguiente capítulo. Las vigas se analizan normalmente como dispositivos estáticos; sin embargo, las vibraciones y las aceleraciones pueden provocar cargas dinámicas. Una viga soporta cargas en tres dimensiones, en cuyo caso se aplican las ecuaciones 1.3a. Para el caso bidimensional, bastan las ecuaciones 1.3b. Los ejemplos de repaso que se manejan aquí, se limitan a casos de dos dimensiones para fines de brevedad. Cortante y momento Una viga puede estar cargada con alguna combinación de fuerzas o momentos distribuidos y/o concentrados, como en la figura 1-22. Las fuerzas aplicadas darán lugar a fuerzas cortantes y momentos de flexión en la viga. Un análisis de la carga debe proporcionar las magnitudes y las distribuciones espaciales de esas fuerzas cortantes, así como momentos de flexión sobre la viga. Las fuerzas cortantes V y los momentos M en una viga se relacionan con la función de carga q(x) mediante q( x ) = dV d 2 M = dx dx 2 (1.16a) 40 000 30 000 20 000 10 000 0 0 10 20 razón l/d FIGURA 1-20 Fuerza dinámica y razón de fuerza en función de la razón l /d para el sistema del ejemplo 1-1 42 1 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Por lo general, se conoce la función de carga q(x), en tanto que las distribuciones de las fuerzas cortantes V y momentos M se obtienen al integrar la ecuación 1.16a: razón de fuerza 5 000 4 500 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0 VB ∫V dV = A xB ∫x qdx = VB − VA (1.16b) A La ecuación 1.16b indica que la diferencia en las fuerzas cortantes entre dos puntos cualesquiera, A y B, es igual al área debajo de la gráfica de la función de carga, ecuación 1.16a. Al integrar la relación entre cortante y momento, MB ∫M 0 10 20 razón de masa dM = A xB ∫x Vdx = M B − M A (1.16c) A lo cual demuestra que la diferencia en el momento entre dos puntos cualesquiera, A y B, es igual al área debajo de la gráfica de la función cortante, ecuación 1.16b. CONVENCIÓN DE SIGNOS La convención usual (y arbitraria) de signos que se utilizan para las vigas, considera un momento positivo si provoca en la viga una deflexión cóncava hacia abajo (como para recolectar agua). Lo anterior pone en compresión la superficie superior y en tensión a la superficie inferior. La fuerza de corte se considera positiva, si causa una rotación en el sentido horario (de las manecillas del reloj) de la sección sobre la cual actúa. Estas convenciones se ilustran en la figura 1-23 y dan como resultado momentos positivos creados por la aplicación de cargas negativas. Todas las cargas aplicadas mostradas en la figura 1-22 son negativas. Por ejemplo, en la figura 1-22a, la magnitud de la carga distribuida de a a l es q
w. fuerza en newtons 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 0 10 20 razón de masa FIGURA 1-21 Fuerza dinámica y razón de fuerza en función de la razón de masa para el sistema del ejemplo 1-1 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN La solución de las ecuaciones 1.3 (p. 8) y 1.16 para cualquier problema de vigas se puede obtener usando uno de varios enfoques. Las soluciones secuenciales y gráficas se describen en libros de texto sobre estática y mecánica de materiales. Un enfoque clásico para estos problemas consiste en obtener las reacciones sobre la viga, para lo cual hay que utilizar las ecuaciones 1.3 y luego dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento, mediante un enfoque de integración gráfica combinado con cálculos de los valores relevantes de las funciones. Desde un punto de vista didáctico, este enfoque tiene mucho valor, ya que se sigue fácilmente; sin embargo, su implementación resulta engorrosa. El enfoque más adecuado para una solución por computadora usa una clase de funciones matemáticas llamadas función de singularidad para representar las cargas sobre la viga. Se presenta el enfoque clásico como una referencia didáctica y, también, se indica el manejo de funciones de singularidad que ofrecen algunas ventajas computacionales. Mientras quizás este enfoque sea nuevo para algunos estudiantes, cuando se compara con los métodos aprendidos comúnmente en otros cursos, tiene ventajas muy importantes en la computarización de la solución. Funciones de singularidad Como las cargas sobre las vigas consisten típicamente en colecciones de entidades discretas, como cargas puntuales o segmentos de cargas distribuidas que pueden ser discontinuas a lo largo de la viga, resulta difícil representar las funciones discretas con ecuaciones válidas para un continuo completo de la longitud de la viga. Para tratar con dichas situaciones matemáticas, se inventó una clase especial de funciones llamada funciones de singularidad, las cuales se representan con frecuencia mediante un binomio entre corchetes angulados, como se observa en las ecuaciones 1.17. La primera cantidad entre corchetes es la variable de interés, en nuestro caso x, la distancia a lo largo de la longitud de la viga. La segunda cantidad a es un parámetro definido por el usuario, que indica dónde la función de singularidad x actúa o empieza a actuar. Por ejemplo, para una carga puntual, la Capítulo 1 l y DETERMINACIÓN DE CARGAS l y a w x–a¯ a 0 R1 V F x–a¯ x R2 (b) Viga en voladizo con carga concentrada y y l M w x–a¯1 momento positivo b Mz w x–a¯0 x x –2 R1 R2 R1 (c) Viga suspendida con momentos y cargas distribuidas linealmente R2 R3 (d) Viga indeterminada estáticamente con carga uniformemente distribuida FIGURA 1-22 Tipos de vigas y cargas en vigas cantidad a representa el valor particular de x, donde actúa la carga (véase la figura 1-22b). La definición de tal función de singularidad, llamada impulso unitario o función delta de Dirac, está dada en la ecuación 1.17d. Observe que todas las funciones de singularidad implican una restricción condicional. El impulso unitario se evalúa hasta  si x
a y es igual a cero para cualquier otro valor de x. La función de paso unitario o función unitaria de Heaviside (ecuación 1.17c) evalúa hasta cero todos los valores de x menores que a y hasta 1 para el resto de las x. Como estas funciones están definidas para evaluar hasta la unidad, al multiplicarlas por un coeficiente se crea cualquier magnitud deseada. En los siguientes tres ejemplos se muestra su aplicación y se explica con el mayor detalle en el ejemplo 1-2B. Si una función de carga inicia y se detiene dentro del intervalo de x deseado, necesita dos funciones de singularidad para describirse. La primera define el valor de a1 en el cual la función empieza a actuar y tiene un coeficiente negativo o positivo adecuado a su dirección. La segunda define el valor de a2 en el cual la función termina de actuar y posee un coeficiente de la misma magnitud, pero signo opuesto al de la primera. Las dos funciones se cancelarán más allá de a2, lo cual hace la carga igual a cero. Éste es el caso que se muestra en el ejemplo 2-6 del siguiente capítulo. Las cargas distribuidas cuadráticamente se pueden representar mediante una función unitaria parabólica. x<a 2 (1.17a) la cual está definida como 0, cuando x  a, e igual a (x  a)2, cuando x  a. Las cargas linealmente distribuidas se pueden representar por una función unitaria de rampa. x<a 1 M l a x–0¯ cortante positivo R1 (a) Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida a V –1 M1 x 43 (1.17b) FIGURA 1-23 Convención de signos para vigas 1 44 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado la cual está definida como 0, cuando x  a, e igual a (x  a), cuando x  a. 1 Una carga uniformemente distribuida sobre una porción de la viga se representa matemáticamente por una función de paso unitario. x<a 0 (1.17c) la cual está definida como 0, cuando x  a; la unidad, cuando x  a, e indefinida, cuando x
a. Una fuerza concentrada se representa mediante una función de impulso unitario. x<a <1 (1.17d ) la cual está definida como 0 cuando x  a,  cuando x
a y 0 cuando x  a. Su integral evalúa hasta 1 en a. Un momento concentrado se representa por una función doblete. x<a <2 (1.17e) la cual está definida como 0 cuando x  a, indeterminada cuando x
a y 0 cuando x  a. Esto origina un momento doble en a. Tal proceso se extiende para obtener funciones de singularidad polinomial de cualquier orden xan y ajustar cargas distribuidas de cualquier forma. Cuatro de las cinco funciones de singularidad descritas aquí se muestran en la figura 1-22, tal como se aplican a diferentes tipos de vigas. Se necesita un programa de cómputo para evaluar dichas funciones. La tabla 1-7 muestra cinco de las funciones de singularidad implementadas en un pseudocódigo “BASIC-like”. Los ciclos For ejecutan la variable x desde 0 hasta la longitud l de la viga. La prueba If determina si x ha alcanzado el valor de a, que es la posición de inicio de la función de singularidad. Según esta prueba, el valor de y(x) se establece en cero o en la magnitud especificada de la función de singularidad. Este tipo de código se puede implementar con facilidad en cualquier lenguaje computacional (como C, Fortran, BASIC) o en un solucionador de ecuaciones (como Mathcad, MATLAB, TK Solver, EES). Las integrales de las funciones de singularidad tienen definiciones especiales que, en algunos casos, desafían el sentido común; sin embargo, brindan los resultados matemáticos deseados. Por ejemplo, la función de impulso unitario (ecuación 1.17d ) se define en el límite que tiene cero de ancho y magnitud infinita, mientras que incluso su área (integral) se define igual a 1 (ecuación 1.18d ). (Para un estudio más completo de las funciones de singularidad, consulte la referencia 8.) Las integrales de las funciones de singularidad en las ecuaciones 1.17 se definen como 0 2 x<a 3 3 1 x<a 2 2 h < a dh = x < a 1 x h < a dh = <' 0 x h < a dh = <' 0 x 0 (1.18a) (1.18b) (1.18c) <' 0 x <' h<a <1 dh = x < a 0 (1.18d ) Capítulo 1 Tabla 1-7 DETERMINACIÓN DE CARGAS 45 Pseudocódigo para evaluar funciones de singularidad 1 ‘ Función de singularidad de pulso For x = 0 to l If ABS (x – a) < 0.0001 Then y(x) = magnitude, Else y(x) = 0* Next x ‘ Función de singularidad de paso For x = 0 to l If x < a Then y(x) = 0, Else y(x) = magnitude Next x ‘ Función de singularidad de rampa For x = 0 to l If x < = a Then y(x) = 0, Else y(x) = magnitude * (x – a) Next x ‘ Función de singularidad parabólica For x = 0 to l If x < = a Then y(x) = 0, Else y(x) = magnitude * (x – a)^2 Next x * Nota: Esta rutina no genera el valor infinito de la función delta de Dirac. En cambio, genera la magnitud de una carga puntual aplicada en la posición a para su uso al graficar una función de carga de la viga. ‘ Función de singularidad cúbica For x = 0 to l If x < = a Then y(x) = 0, Else y(x) = magnitude * (x – a)^3 Next x ∫ x −∞ λ−a −2 dλ = x − a −1 (1.18e) donde λ es tan sólo una variable de integración que corre desde  hasta x. Estas expresiones sirven para evaluar las funciones de corte y momento, que resultan de cualquier función de carga que se exprese como una combinación de funciones de singularidad. EJEMPLO 1-2A Diagramas de fuerza cortante y momento de una viga simplemente apoyada mediante un método gráfico Problema Determine y grafique las funciones de fuerza cortante y momento para la viga simplemente apoyada, con carga uniformemente distribuida que se ilustra en la figura 1-22a. Se proporciona Longitud de la viga l = 10 in, y la carga se localiza en a = 4 in. La magnitud de la fuerza distribuida uniformemente es w = 10 lb/in. Suposiciones El peso de la viga es insignificante comparado con la carga aplicada y se puede ignorar. Solución Véase las figuras 1-22a y 1-24. 46 DISEÑO DE MÁQUINAS y 1 x–a¯ 0 w x R1 R2 Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida FIGURA 1-22a ∑ Mz = 0 = R1l − w (l − a ) 2 2 w(l − a)2 10(10 − 4)2 = = 18 R1 = 2l 2(10) ∑ Fy = 0 = R1 − w(l − a) + R2 R2 = w(l − a) − R1 = 10(10 − 4) − 18 = 42 Repetida (a) Diagrama de carga 40 q R2 30 20 R1 10 0 w –10 x –20 0 5 10 (b) Diagrama de fuerza cortante 20 V 10 0 –10 –20 –30 –40 –50 0 Un Enfoque Integrado 1. Resuelva las fuerzas de reacción usando las ecuaciones 1.3 (p. 8). La suma de momentos con respecto al extremo derecho y la suma de fuerzas en la dirección y da l a - 3. Si sus reflejos son lo suficientemente rápidos, el lector debería atrapar el diagrama de fuerza cortante (figura 1-24b) conforme cae, sube en él y repite el truco de la caminata hacia atrás para crear el diagrama de momento, que es la integral del diagrama de corte. En la figura 1-24c, observe que desde x
0 hasta x
a la función de momento es una recta con pendiente
R1. Más allá del punto a, el diagrama de fuerza cortante es triangular; por ende, forma una parábola. El momento pico ocurrirá donde el diagrama de fuerza cortante cruza el cero (es decir, la pendiente cero en el diagrama de momento). El valor de x en V
0 se obtiene con un poco de trigonometría, al ver que la pendiente del triángulo es w: x@V = 0 = a + 5 x 10 (c) Diagrama de momento 100 M 88.2 80 60 (b) 2. La forma del diagrama de corte se puede esquematizar integrando gráficamente el diagrama de carga de la figura 1-24a. Como “recurso” para visualizar este proceso de integración gráfica, imagine que camina hacia atrás por el diagrama de carga de la viga, iniciando desde el extremo izquierdo y dando pasos pequeños de longitud dx. Usted registrará en el diagrama de fuerza cortante (figura 1-24b) el área (fuerza  dx) del diagrama de carga que observa conforme da cada paso. Cuando da el primer paso hacia atrás, a partir de x
0, el diagrama de fuerza cortante de inmediato aumenta al valor de R1. Cuando camina de x
0 a x
a, no ocurren cambios, puesto que no ve fuerzas adicionales. Cuando camina más allá de x
a, comienza a ver franjas de área iguales a w  dx, las cuales se restan del valor de R1 en el diagrama de corte. Cuando el lector alcanza x
l, el área total w  (l  a) habrá tomado el valor del diagrama de fuerza cortante para R2. Conforme usted camina hacia atrás, afuera del diagrama de carga de la viga (figura 1-24a) y cae en picada hacia abajo, ahora puede ver la fuerza de reacción R2 que acerca el diagrama de corte a cero. El valor más grande de la fuerza de corte en este caso es, entonces, R2 en x
l. –w 5.8 ( a) R1 18 = 4+ = 5.8 10 w (c ) El área cortante positiva se suma al valor del momento y el área negativa se resta, de manera que el valor del momento pico se obtiene al sumar las áreas de las porciones rectangular y triangular del diagrama de fuerza cortante, a partir de x
0 y hasta el punto de corte cero en x
5.8: M @ x = 5.8 = R1 ( a) + R1 1.8 1.8 = 18( 4) + 18 = 88.2 2 2 (d ) 40 20 5.8 0 0 5 FIGURA 1-24 Gráficas del ejemplo 1-2 x 10 El método anterior da las magnitudes y posiciones del cortante y momento máximos sobre la viga y es útil para la determinación rápida de esos valores. Sin embargo, todas las caminatas y caídas pueden resultar tediosas, por lo que sería útil tener un método que se computarice convenientemente, para brindar información precisa y completa sobre los diagramas de fuerza cortante y momento de cualquier caso de Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 47 vigas cargadas. Tal método permitirá obtener la curva de deflexión de la viga con un poco de trabajo adicional. El método sencillo mostrado no es tan útil para determinar las curvas de deflexión, como se verá en el siguiente capítulo. Ahora se repetirá este ejemplo mediante funciones de singularidad, para determinar los diagramas de carga, cortante y momento. 1 EJEMPLO 1-2B Diagramas de fuerza cortante y momento de una viga simplemente soportada mediante funciones de singularidad Problema Determine y grafique las funciones cortante y de momento para la viga simplemente apoyada con carga distribuida uniformemente que se muestra en la figura 1-22a. Se proporciona Longitud de la viga l = 10 in, mientras que la carga se localiza en a = 4 in. La magnitud de la fuerza uniformemente distribuida es w = 10 lb/in. Suposiciones El peso de la viga es insignificante, comparado con la carga aplicada, y se puede ignorar. Solución Véase las figuras 1-22a y 1-24. −1 −w x−a ∫ V = qdx = R1 x − 0 ∫ 0 0 + R2 x − l (a) w x−a 2 2 0 + C1 (b) + R2 x − l 1 + C1 x + C2 (c ) Hay que determinar dos fuerzas de reacción y dos constantes de integración. Se integra a lo largo de una viga hipotética infinita desde  hasta x. La variable x puede tomar valores tanto antes como más allá del extremo de la viga. Si se consideran las condiciones de un punto infinitesimal a la izquierda de x
0 (que se denota como x
0), el corte y el momento serán cero ahí. Las mismas condiciones se aplican a un punto infinitesimal ubicado a la derecha de x
l (que se denota por x
l ). Tales observaciones proporcionan las cuatro condiciones de frontera necesarias para evaluar las cuatro constantes C1, C2, R1, R2: cuando x
0, V
0, M
0; y cuando x
l , V
0, M
0. 2. Las constantes C1 y C2 se obtienen al sustituir las condiciones de frontera x
0, V
0 y x
0, M
0 en las ecuaciones b) y c), respectivamente: ( ) V 0 − = 0 = R1 0 − − 0 0 − w 0− − a 1 1 w − − 0 −a 2 2 + R2 0 − − l 0 + C1 C1 = 0 ( ) = 0 = R1 0 M0 − C2 = 0 − −0 a x–a¯ 0 w R1 − + R2 0 − l 1 ( ) + C2 + C1 0 − (d ) R2 Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida FIGURA 1-22a Repetida −1 − w x − a 1 + R2 x − l M = Vdx = R1 x − 0 1 − l x 1. Escriba las ecuaciones para la función de carga en términos de las ecuaciones 1.17 (pp. 43-44) e integre dos veces la función resultante usando la ecuación 1.18 (pp. 44-45), para obtener las funciones de corte y momento. Para la viga de la figura 1-22a, q = R1 x − 0 y 48 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Observe que, en general, las constantes C1 y C2 serán siempre cero, si las fuerzas de reacción y los momentos que actúan sobre la viga se incluyen en la función de carga, debido a que los diagramas de fuerza cortante y momento tienen que aproximarse a cero en cada extremo de la viga. 1 3. Las fuerzas de reacción R1 y R2 se calculan a partir de las ecuaciones (c) y (b), respectivamente, al sustituir las condiciones de frontera x
l , V
0 y M
0. Observe que se puede sustituir l por l  para evaluarla, ya que su diferencia es muy pequeña. ( ) = R1 l Ml + + −0 ( 0 = R1l − R1 = ( ) 2 + R2 l + − l 2 ) 1 =0 2 (e) 2 w l+ − a 2l l+ − a −w w l+ − a + ( 1 + ) V l + = R1 l + − 0 2 = 0 w(l − a)2 10(10 − 4)2 = = 18 2l 2(10) − w l+ − a 1 + R2 l + − l 0 =0 0 = R1 − w(l − a) + R2 (a) Diagrama de carga 40 q R2 30 20 R1 10 0 w –10 x –20 0 5 10 (b) Diagrama de fuerza cortante 20 V 10 0 –10 –20 –30 –40 –50 0 –w 5.8 5 x 10 (c) Diagrama de momento 100 M 88.2 80 60 R2 = w(l − a) − R1 = 10(10 − 4) − 18 = 42 Puesto que se conocen w, l y a, la ecuación (e) se resuelve para R1 y el resultado se sustituye en la ecuación ( f ) para encontrar R2. Observe que la ecuación ( f ) es justamente ΣF
0 y la ecuación (e) es la suma de momentos con respecto al punto l y está igualada a 0. 4. Para generar las funciones de fuerza cortante y momento sobre la longitud de la viga, se deben evaluar las ecuaciones (b) y (c) para el intervalo de valores de x desde 0 hasta l, después de sustituir los valores anteriores de C1, C2, R1 y R2 en ellas. La variable independiente x se corrió de 0 a l
10 en incrementos de 0.1. Las reacciones, la función de carga, la función fuerza cortante y la función de momento se calcularon con las ecuaciones (a) a ( f ) anteriores, y están graficadas en la figura 1-24. Los archivos EX03-02 que producen estas gráficas se encuentran en el CD-ROM. 5. Los valores absolutos mayores de las funciones de fuerza cortante y momento son de interés para el cálculo de esfuerzos en la viga. Las gráficas muestran que la fuerza de corte es más grande en x
l y el momento tiene un máximo Mmáx cerca del centro. El valor de x en Mmáx se obtiene haciendo V
0 en la ecuación (b) y despejando x. (La función cortante es la derivada de la función de momento; por ende, debe ser cero en cada uno de sus mínimos y máximos.) Esto da x
5.8 en Mmáx. Los valores de la función en dichos puntos de máximos y mínimos se calculan con las ecuaciones (b) y (c), respectivamente, sustituyendo los valores adecuados de x y evaluando las funciones de singularidad. Para el valor absoluto máximo de la fuerza de corte en x
l, Vmáx  V@ x  l  R1 l  R1 40 0  wl  18 1010 20 5.8 0 0 5 x 10 F I G U R A 1 - 2 4 Repetida Gráficas del ejemplo 1-2 (f) 0 w l a 1 a 0 4 0  42 R2 l l 0 ( g) Observe que el primer término de singularidad vale 1, puesto que l   0 (véase la ecuación 1.17c, p. 44); el segundo término de singularidad tiene un valor de (l  a), porque l   a en este problema (véase la ecuación 1.17b), y el tercer término de singularidad tiene un valor de 0, como se definió en la ecuación 1.17c. El momento máximo se obtiene de una forma similar: Capítulo 1 Mmáx  M @ x  5.8  R1 5.8 0  R1 5.8 1  185.8 1 w w 10 DETERMINACIÓN DE CARGAS 5.8 a 2 5.8 4 2 5.8 4 2 R2 5.8 l 2 R2 5.8 10 1 49 1 1 (h) 2 2 0  88.2 El tercer término de singularidad vale 0, porque 5.8  l (véase la ecuación 1.17b). 6. Los resultados son R1  18 R2  42 Vmáx  42 M máx  88.2 (i ) EJEMPLO 1-3A Diagramas de fuerza cortante y momento de una viga en voladizo usando un método gráfico Problema Determine y grafique las funciones de fuerza cortante y momento de una viga en voladizo con una carga concentrada, como se ilustra en la figura 1-22b. Se proporciona Longitud de la viga l = 10 in, y la carga se localiza en a = 4 in. La magnitud de la fuerza aplicada es F = 40 lb. Suposiciones El peso de la viga es insignificante comparado con la carga aplicada, de modo que puede ignorarse. Solución Véase las figuras 1-22b y 1-25. 1. Determine las fuerzas de reacción usando las ecuaciones 1.3 (p. 8). La suma de momentos con respecto al extremo izquierdo de la viga y la suma de las fuerzas en la dirección de y, nos da ∑ Mz = 0 = Fa − M1 M1 = Fa = 40( 4) = 160 ∑ Fy = 0 = R1 − F R1 = F = 40 ( a) (b) 2. De acuerdo con la convención de signos, en este ejemplo el corte es positivo y el momento es negativo. Para construir gráficamente los diagramas de fuerza cortante y momento de una viga en voladizo, imagine una “caminata hacia atrás”, que inicie en el extremo fijo de la viga y se mueva hacia el extremo libre (de izquierda a derecha en la figura 1-24). En este ejemplo, el resultado en la primera fuerza observada es la fuerza de reacción R1 que actúa hacia arriba. Esta fuerza de corte permanece constante hasta que se alcanza la fuerza hacia abajo F en x
a, la cual aproxima a cero el diagrama de corte. 3. El diagrama de momento es la integral del diagrama de corte, que en este caso es una recta de pendiente
40. y l a M1 F x–a¯ – 1 x R1 Viga en voladizo con carga concentrada FIGURA 1-22b Repetida 50 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 4. Tanto la fuerza cortante como el momento de la viga en voladizo son máximos en la pared. Sus magnitudes máximas se muestran en las ecuaciones (a) y (b) anteriores. 1 Este ejemplo se repetirá usando ahora funciones de singularidad. EJEMPLO 1-3B Diagramas de fuerza cortante y momento de una viga en voladizo usando funciones de singularidad Problema Determine y grafique las funciones cortante y de momento de una viga en voladizo con una carga concentrada, como se ilustra en la figura 1-22b. Se proporciona Longitud de la viga l = 10 in, y la carga se localiza en a = 4 in. La magnitud de la fuerza aplicada es F = 40 lb. (a) Diagrama de carga R1 x 5 10 Véase las figuras 1-22b y 1-25. −2 + R1 x − 0 ∫ V = qdx = − M1 x − 0 ∫ (b) Diagrama de fuerza cortante −1 M = Vdx = − M1 x − 0 −1 −F x−a −1 (a) + R1 x − 0 0 − F x − a 0 + C1 0 + R1 x − 0 1 −F x−a 1 + C1 x + C2 (b) (c ) El momento de reacción M1 en la pared está en la dirección de z y las fuerzas R1 y F están en la dirección de y en la ecuación (b). Todos los momentos de la ecuación (c) están en la dirección de z. 50 V 40 30 20 10 x 0 0 Solución q = − M1 x − 0 F 0 El peso de la viga es insignificante, comparado con la carga aplicada, de modo que puede ignorarse. 1. Escriba las ecuaciones de la función de carga en términos de las ecuaciones 1.17 (pp. 43-44) e integre dos veces la función resultante usando las ecuaciones 1-18 (pp. 44-45), para obtener las funciones cortante y de momento. Observe el uso de la función doblete unitaria para representar el momento en la pared. Para la viga de la figura 1-22b, q 60 40 20 0 –20 –40 –60 Suposiciones 5 10 (c) Diagrama de momento 50 M 0 –50 2. Debido a que las reacciones se incluyen en la función de carga, los diagramas de fuerza cortante y momento se aproximan a cero en cada extremo de la viga, haciendo C1
C2
0. 3. La fuerza de reacción R1 y el momento de reacción M1 se calculan con las ecuaciones (b) y (c), respectivamente, en donde se sustituyen las condiciones de frontera x
l , V
0, M
0. Observe que es posible sustituir l por l , puesto que su diferencia es muy pequeña. M1 no aparece en la ecuación (d ), porque su función de singularidad no está definida en l
l . V=M l –100 −1 + R1 l − 0 0 −F l−a 0 =0 0 = M (0) + R1 − F –150 (d ) R1 = F = 40 lb x –200 0 5 FIGURA 1-25 Gráficas del ejemplo 1-3 10 M = − M1 l − 0 0 + R1 l − 0 1 −F l−a 1 =0 0 = − M1 + R1 (l ) − F(l − a) M1 = R1 (l ) − F(l − a) = 40(10) − 40(10 − 4) = 160 lb - in cw (e) Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 51 Puesto que se conocen F, l y a, la ecuación (d ) se despeja para R1, cuyo resultado se sustituye en la ecuación (e) para obtener M1. Observe que la ecuación (d ) es justamente ΣFy
0 y la ecuación (e) es ΣMz
0. 1 4. Para generar las funciones de fuerza cortante y momento sobre la longitud de la viga, hay que evaluar las ecuaciones (b) y (c), para el intervalo de valores de x desde 0 hasta l, después de sustituir los valores anteriores de C1, C2, R1 y M1 en ellas. La variable independiente x fue cambiando de valor de 0 a l
10 en incrementos de 0.1. Las reacciones, la función de carga, la función de fuerza cortante y la función de momento se calcularon con las ecuaciones (a) a (e) anteriores, y se graficaron en la figura 1-25. Los archivos EX03-03 que generan tales gráficas se encuentran en el CD-ROM. 5. Los valores absolutos mayores de las funciones cortante y de momento son de interés para el cálculo de esfuerzos en la viga. Las gráficas muestran que la fuerza cortante y el momento son ambos mayores en x
0. Los valores de la función en estos puntos se calculan con las ecuaciones (b) y (c), respectivamente, sustituyendo x
0 y evaluando las funciones de singularidad: R1  40 Vmáx  40 Mmáx  160 (f) EJEMPLO 1-4 Diagramas de fuerza cortante y momento de una viga indeterminada usando funciones de singularidad Problema y Determine y grafique las funciones cortante y de momento de una viga indeterminada, con un momento aplicado y una carga de rampa, como se ilustra en la figura 1-22c. Se proporciona Longitud de la viga l = 10 in, y la carga se localiza en a = 4 in. La magnitud del momento aplicado es M = 20 lb-in y la pendiente de la distribución de la fuerza es w = 10 lb/in/in. Suposiciones El peso de la viga es insignificante comparado con la carga aplicada, de modo que puede ignorarse. Solución Véase las figuras 1-22c y 1-26. −2 + R1 x − a ∫ −1 ∫ 0 V = q dx = M x − 0 M = V dx = M x − 0 −1 − w x − a 1 + R2 x − l + R1 x − a 0 − + R1 x − a 1 − w x−a 2 w x−a 6 a w x–a¯1 M x x–0¯–2 R1 3 2 −1 + R2 x − l ( a) 0 + C1 + R2 x − l 1 + C1 x + C2 (b) (c ) 2. Como se mostró en los dos ejemplos anteriores, las constantes de integración C1 y C2 siempre serán iguales a cero si las fuerzas de reacción se incluyen en las ecuaciones de fuerza cortante y momento, de modo que se igualarán a cero. R2 Viga indeterminada con momento y carga distribuida linealmente FIGURA 1-22c 1. Escriba las ecuaciones de la función de carga en términos de las ecuaciones 1.17 (pp. 43-44) e integre dos veces la función resultante usando las ecuaciones 1.18 (pp. 44-45), para obtener las funciones de fuerza cortante y momento. Para la viga de la figura 1-22c, q= M x−0 l Repetida 52 DISEÑO DE MÁQUINAS (a) Diagrama de carga 1 100 q R2 R1 50 M = M1 l w x R1 = (b) Diagrama de fuerza cortante = 5 0 + R1 l − a 1 − 0 = M1 + R1 (l − a) − –100 0 Un Enfoque Integrado 3. Las fuerzas de reacción R1 y R2 se calculan con las ecuaciones (c) y (d ), respectivamente, sustituyendo las condiciones de frontera x
l , V
0, M
0. Observe que se puede sustituir l por l , ya que su diferencia es muy pequeña. 0 –50 - 10 + R2 l − l 1 =0 M w (l − a ) 2 − 1 6 (l − a ) (d ) 10 20 = 56.67 lb (10 − 4)2 − 6 (10 − 4) V=Ml 0 3 w (l − a ) 3 6 100 V 50 w l−a 6 −1 + R1 l − a 0 − w l−a 2 2 + R2 l − l 0 =0 w (l − a)2 + R2 2 10 − R1 = (10 − 4)2 − 56.67 = 123.33 lb 2 0 = M (0) + R1 − –50 –100 R2 = x –150 0 5 Observe que la ecuación (d ) es justamente ΣMz
0 y la ecuación (e) es ΣFy
0. 10 (c) Diagrama de momento 200 M 150 100 50 0 x –50 0 5 10 FIGURA 1-26 Gráficas del ejemplo 1-4 w (l − a ) 2 2 (e ) 4. Para generar las funciones de fuerza cortante y momento sobre la longitud de la viga, se deben evaluar las ecuaciones (b) y (c) para el intervalo de valores de x desde 0 hasta l, después de sustituir los valores de C1
0, C2
0, R1 y R2 en ellas. La variable independiente x fue cambiando de valor de 0 a l
10 en incrementos de 0.1. Las reacciones, la función de carga, la función fuerza cortante y la función de momento se calcularon con las ecuaciones (a) a ( f ) anteriores, que están graficadas en la figura 1-26.* 5. Los valores absolutos mayores de las funciones de fuerza cortante y momento son de interés para el cálculo de esfuerzos en la viga. Las gráficas muestran que la fuerza de corte es más grande en x
l y el momento tiene un máximo a la derecha del centro de la viga. El valor de x en Mmáx se calcula haciendo V
0 en la ecuación (b) y despejando x. La función de corte es la derivada de la función de momento; por lo tanto, debe ser cero en cada uno de sus mínimos y máximos. Esto nos da x
7.4 en Mmáx. Los valores de la función en esos puntos de mínimos o máximos se calculan con las ecuaciones (b) y (c), respectivamente, al sustituir los valores adecuados de x y evaluar la función de singularidad: R1  56.7 R2  123.3 Vmáx  120 M máx  147.2 (f) Superposición * Los archivos EX03-04 que generan tales gráficas se encuentran en el CD-ROM. Estos ejemplos de sistemas de vigas representan sólo una pequeña fracción de todas las combinaciones posibles de cargas y restricciones en vigas que se encontrarán en la práctica. En lugar de escribir e integrar las funciones de carga para cada nueva situación con vigas, empezando desde el inicio, usualmente se resuelve el problema particular con superposición, lo cual significa simplemente la suma de los resultados individuales. Para deflexiones pequeñas, es seguro suponer linealidad en estos problemas; la linealidad es un requerimiento para que la superposición sea válida. Por ejemplo, la carga debida al peso de una viga (ignorada en los ejemplos anteriores) se puede tomar en cuenta superponiendo una carga uniforme sobre la longitud completa de la viga, sin importar que estén presentes o no otras cargas sobre la viga. Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS Los efectos sobre los diagramas de fuerza cortante y momento de cargas múltiples sobre una viga también se determinan por superposición de las cargas individuales. Si, por ejemplo, la viga del ejemplo 1-3 tuviera dos cargas puntuales aplicadas sobre ella, cada una a una distancia a diferente, su efecto combinado se obtendría al aplicar dos veces las ecuaciones de ese ejemplo, una por cada carga y posición, y luego al sumar (superponiendo) los dos resultados. El apéndice F contiene un conjunto de casos comunes de cargas en vigas, resueltos para funciones de corte y momento, donde se proporcionan sus ecuaciones y gráficas. Tales soluciones se combinan por superposición para dar cabida a situaciones más complicadas. Se pueden superponer dentro de su modelo para obtener y graficar los diagramas totales de fuerza cortante y momento, así como sus máximos y sus mínimos. 1.10 RESUMEN Aunque el aprendizaje del estudiante sobre el análisis de esfuerzos por primera vez quizá no parezca así, el tema del análisis de cargas con frecuencia llega a ser más difícil y complicado que el análisis de esfuerzos. En última instancia, la precisión de cualquier análisis de esfuerzos se limita por la calidad de nuestro conocimiento acerca de cargas sobre un sistema, ya que por lo general los esfuerzos son proporcionales a las cargas, como se verá en el capítulo 2. Este capítulo presentó un repaso de los métodos newtonianos para el análisis de fuerza y momento, en unos cuantos tipos de sistemas con cargas dinámicas o estáticas. De ningún modo se trata del tratamiento completo de un tema tan complejo como el análisis de cargas; se deberían consultar las referencias, para tener mayores detalles y casos adicionales no cubiertos aquí. Se deben tener en cuenta los siguientes factores cuando se trate de calcular las cargas sobre un sistema: 1. Determinar el carácter de la carga en términos del tipo de ésta, como se definió en la sección 1.1, para decidir si se aplica un análisis estático o dinámico. 2. Dibujar diagramas de cuerpo libre (DCL) completos del sistema y de tantos subsistemas como sea necesario, para definir las cargas que actúan sobre sus elementos. Incluir todos los momentos que se aplican, así como los torques y las fuerzas. El énfasis en la importancia de un DCL minucioso nunca estará por demás. La mayoría de los errores en el análisis de fuerzas ocurren en este paso, debido a que el DCL a menudo se realiza incorrectamente. 3. Escribir las ecuaciones pertinentes usando las leyes de Newton para definir las fuerzas y los momentos desconocidos que actúan sobre el sistema. La solución de tales ecuaciones para la mayoría de problemas reales requiere alguna clase de herramienta informática, como un solucionador de ecuaciones o una hoja de cálculo, para obtener resultados satisfactorios en un tiempo razonable. Lo anterior es especialmente cierto para sistemas dinámicos, los cuales se pueden resolver para una multitud de posiciones al determinar las cargas máximas. 4. La presencia de fuerzas de impacto podría incrementar significativamente las cargas sobre cualquier sistema. El cálculo exacto de las fuerzas debidas al impacto es muy difícil. El método de energía para la estimación impacto-fuerza, presentada en este capítulo es burdo y debería considerarse sólo como una aproximación. Se necesita información detallada acerca de las deformaciones de los cuerpos en el impacto, para un resultado más preciso, que tal vez no esté disponible sin una prueba del sistema real bajo impacto. Existen técnicas de análisis más sofisticadas para el análisis impacto-fuerza, pero están más allá del alcance de este texto de introducción al diseño. Para mayor información, se remite al lector a la bibliografía. 53 1 54 1 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 5. Las cargas vibratorias también pueden incrementar drásticamente, por encima del valor calculado teóricamente, la carga real, como se muestra en el estudio de caso 5B y en la figura 1-16 (p. 36). La mejor forma de obtener información en estos casos son las mediciones experimentales, realizadas en un ambiente de carga real. Los estudios de caso de este capítulo se diseñaron para resolver problemas reales de análisis de esfuerzo y fallas en los siguientes capítulos. Aun cuando su complejidad tal vez sea un poco desalentadora para el estudiante en su primer encuentro, se logrará mucho beneficio del tiempo dedicado a su estudio. Este esfuerzo será premiado con una mejor comprensión de los temas de análisis de esfuerzo y teoría de fallas de los capítulos subsecuentes. Ecuaciones importantes usadas en este capítulo Para información sobre el uso adecuado de estas ecuaciones, consulte las secciones referenciadas. Segunda ley de Newton (sección 1.3): ∑F x ∑F = ma x = ma y y ∑ F = ma z z (1.1b) Ecuaciones de Euler (sección 1.3): ∑ Mx = Ix α x − ( Iy − Iz )ω yω z ∑ My = Iyα y − ( Iz − Ix )ω zω x ∑ Mz = Izα z − ( Ix − Iy )ω x ω y (1.1d ) Carga estática (sección 1.3): ∑F = 0 ∑M = 0 x x ∑F = 0 ∑M = 0 y y ∑F = 0 ∑M = 0 z (1.3a) z Frecuencia natural sin amortiguamiento (sección 1.7): k m 1 ωn fn = 2π ωn = (1.4) Frecuencia natural amortiguada (sección 1.7): k ⎛ d ⎞2 − m ⎝ 2m ⎠ ωd = 1 ωd fd = 2π (1.7) Constante del resorte (sección 1.7): k= F δ (1.5a) Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 55 Amortiguamiento viscoso (sección 1.7): 1 F y˙ d= (1.6) Razón de fuerza dinámica (sección 1.8): δ Fi 2 ηh = i =1+ 1+ δ st W δ st (1.14b) Funciones de carga, cortante y momento de la viga (sección 1.9): q( x ) = dV d 2 M = dx dx 2 (1.16a) Integrales de funciones de singularidad (sección 1.9): ∫ x ∫ x ∫ x ∫ x ∫ x −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 1.11 x−a 3 3 x−a 2 2 λ − a dλ = x − a 1 2 λ − a dλ = 1 λ − a dλ = 0 (1.18a) (1.18b) (1.18c) λ−a −1 dλ = x − a 0 (1.18d ) λ−a −2 dλ = x − a −1 (1.18e) REFERENCIAS 1. R.L. Norton, Design of Machinery: An Introduction to the Synthesis and Analysis of Mechanisms and Machines, 3a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, 2004, pp. 162-196, 265-355. 2. Ibid., pp. 537-549. 3. Ibid., pp. 730-753. 4. Ibid., p. 279. 5. R.L. Norton et al., “Bearing Forces as a Function of Mechanical Stiffness and Vibration in a Fourbar Linkage”, in Effects of Mechanical Stiffness and Vibration on Wear, R.G. Bayer, ed. American Society for Testing and Materials: Filadelfia, Pa., 1995. 6. A.H. Burr y J.B. Cheatham, Mechanical Analysis and Design. 2a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1995, pp. 835-863. 7. R.J. Roark y W.C. Young, Formulas for Stress and Strain. 6a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, 1989. 8. C.R. Wylie y L.C. Barret, Advanced Engineering Mathematics. 5a. ed., McGrawHill: Nueva York, 1982. 56 DISEÑO DE MÁQUINAS 1.12 1 - Un Enfoque Integrado REFERENCIAS WEB Diagramas de cuerpo libre http://laser.phys.ualberta.ca/~freeman/enph131/fbdex1.html http://eta.physics.uoguelph.ca/tutorials/fbd/Q.fbd.html http://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/Topics/Dynamics/Forces/ FreeBodyDiagram.html Funciones de singularidad http://www.ce.berkeley.edu/Courses/CE130/Sing.pdf 1.13 BIBLIOGRAFÍA Para un repaso adicional del análisis de fuerzas estáticas y dinámicas, véase: Matriz tema/problema R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics. 7a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1995. 1.1 Clases de carga R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Dynamics. 7a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1995. Tabla P1-0 † I. H. Shames, Engineering Mechanics: Static and Dynamics. 3a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1980. 1-1 1.2 Diagramas de cuerpo libre 1-2, 1-43, 1-45, 1-50, 1-52 Para información adicional sobre impactos, véase: 1.3 Análisis de cargas A. H. Burr y J. B. Cheatham, Mechanical Analysis and Design. 2a. ed., PrenticeHall: Englewood Cliffs, N.J., capítulo 14, 1995. 1-3, 1-4, 1-5, 1-7, 1-9, 1-15, 1-16, 1-17, 1-18, 1-19, 1-21, 1-29, 1-30, 1-31, 1-44, 1-46, 1-51, 1-53 W. Goldsmith, Impact. Edward Arnold Ltd.: Londres, 1960. H. Kolsky, Stress Waves in Solids. Dover Publications: Nueva York, 1963. 1.7 Carga vibratoria 1-8, 1-47, 1-48, 1-49 Para más información sobre vibraciones, véase: 1.8 Cargas de impacto 1-6, 1-14, 1-20, 1-22, 1-42 1.9 Vigas: estática L. Meirovitch, Elements of Vibration Analysis. McGraw-Hill: Nueva York, 1975. Para las fórmulas y tablas de carga, véase: R. J. Roark y W. C. Young, Formulas for Stress and Strain. 6a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, 1989. 1-10, 1-12, 1-23, 1-24, 1-26, 1-27, 1-28, 1-32, 1-33, 1-34, 1-35, 1-36, 1-37, 1-38, 1-39, 1-40, 1-41 1.9 Vigas: dinámica 1-11, 1-13 1.14 1-1. ¿Qué clase de carga de la tabla 1-1 es más adecuada para estos sistemas? (a) Estructura de bicicleta (d ) Trampolín * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. 1-2. † Los problemas con números en negritas son problemas que se ampliarán en capítulos posteriores, con problemas similares con el mismo número identificador; por ejemplo, el problema 2-4 está basado en el problema 1-4, etcétera. PROBLEMAS *†1-3. (b) Asta bandera (e) Llave Stilson (c) Remo de bote ( f ) Palo de golf Dibuje diagramas de cuerpo libre para los sistemas del problema 1-1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para el montaje del brazo del pedal de una bicicleta, con los brazos del pedal en posición horizontal y las dimensiones mostradas en la figura P1-1. (Considere los dos brazos, los pedales y el pivote como una pieza.) Suponiendo una fuerza aplicada por el ciclista de 1500 N en el pedal, determine el torque aplicado a la rueda dentada de la cadena, así como el momento y torque de flexión máximos en el brazo del pedal. Capítulo 1 1-4. 1-5. DETERMINACIÓN DE CARGAS Al montaje del remolque de la figura A-1 (p. 857) se le aplican cargas como las mostradas en la figura P1-2. El peso de la lengüeta de 100 kg actúa hacia abajo y la fuerza que jala, de 4 905 N, actúa horizontalmente. Usando las dimensiones del soporte de la esfera de la figura A-5 (p. 860), dibuje un diagrama de cuerpo libre del soporte de la esfera, luego obtenga las cargas de tensión y cortante, aplicadas a los dos tornillos que sujetan el soporte al canal en la figura A-1. Para el montaje del remolque del problema 1-4, determine la fuerza horizontal que se generará sobre la esfera por un impacto entre ésta y la lengüeta del remolque de 2000 kg si el gancho se flexiona dinámicamente 2.8 mm en el impacto. El tractor pesa 1 000 kg. La velocidad de impacto es de 0.3 m/seg. *1-7. El pistón de un motor de combustión interna está conectado a su biela con un “pasador”. Obtenga la fuerza sobre el perno, si el pistón de 0.5 kg tiene una aceleración de 2 500 g. 1-9. *1-10. *1-11. 1 60 mm Para el montaje del remolque del problema 1-4, determine la fuerza horizontal que se genera sobre la bola al acelerar un remolque de 2000 kg a 60 m/seg en 20 segundos. Suponga una aceleración constante. *1-6. *1-8. 57 Un sistema de leva-seguidor, similar al mostrado en la figura 1-15 (p. 33), tiene una masa m
1 kg, una constante del resorte k
1 000 N/m y un coeficiente de amortiguamiento d
19.4 N-s/m. Obtenga las frecuencias naturales amortiguada y sin amortiguamiento del sistema. 170 mm F T FIGURA P1-1 Problema 1-3 (un modelo sólido de esto se encuentra en el CD) 40 mm En la figura P1-3 están dibujadas a escala unas pinzas de presión ViseGrip®. Escale el dibujo para obtener las dimensiones. Calcule las fuerzas que actúan sobre cada perno y cada elemento del montaje, para una fuerza de sujeción supuesta de P
4 000 N en la posición mostrada. ¿Qué fuerza F se requiere para mantenerla en la posición de sujeción mostrada? Nota: Probablemente una herramienta similar esté a su disposición para revisarla en el taller de su escuela. En la figura P1-4a se ilustra un trampolín indeterminado. Encuentre las fuerzas de reacción, luego elabore los diagramas de fuerza cortante y momento para la tabla, cuando una persona de 100 kg se para en su extremo libre. Determine la fuerza de corte máxima, el momento máximo y sus posiciones. Determine la fuerza de impacto y la deflexión dinámica que se producirán cuando la persona de 100 kg, del problema 1-10, salte hacia arriba 25 cm y caiga de regreso sobre la tabla. Suponga que la tabla pesa 29 kg y se flexiona 13.1 cm estáticamente cuando la persona está parada sobre ella. Obtenga las fuerzas de reacción, luego elabore los diagramas de corte y momento para la carga dinámica. Determine FIGURA P1-2 Problemas 1-4, 1-5, 1-6 (un modelo sólido de esto se encuentra en el CD) * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. P F P F FIGURA P1-3 Problema 1-9 (un modelo sólido de esto se encuentra en el CD) cuadrícula de 0.5 cm 58 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 2m 1 2m P 0.7 m (a) Trampolín indeterminado 0.7 m P (b) Trampolín en voladizo FIGURA P1-4 Problemas 1-10 a 1-13 la fuerza de corte máxima, el momento máximo y sus posiciones a lo largo de la longitud de la tabla. W/2 W/2 P 1-12. Repita el problema 1-10 usando el diseño del trampolín en voladizo de la figura P1-4b. 1-13. Repita el problema 1-11 usando el diseño del trampolín de la figura P1-3b. Suponga que la tabla pesa 19 kg y se flexiona 8.5 cm cuando la persona está parada sobre ella. 1-14. La figura P1-5 muestra un juguete infantil llamado “cangurín”. Un niño se para sobre las almohadillas del soporte y aplica la mitad de su peso en cada lado. Luego salta hacia arriba del suelo, manteniendo las almohadillas contra sus pies, y rebota junto con el resorte que amortigua el impacto y almacena energía para ayudar a cada rebote. Suponga un niño de 60 lb y una constante de resorte de 100 lb/in. El cangurín pesa 5 lb. Obtenga la frecuencia natural del sistema, la flexión estática del resorte con el niño aún parado, así como la fuerza dinámica y la flexión cuando el niño aterriza después de saltar 2 in arriba del suelo. *1-15. El marcador de un graficador imparte una aceleración constante de 2.5 m/seg2 al montaje del marcador, el cual viaja en línea recta por el papel. El montaje móvil del graficador pesa 0.5 kg. El graficador pesa 5 kg. ¿Qué coeficiente de fricción se necesita entre las patas del graficador y la cubierta de la mesa, sobre la cual se asienta, para evitar que el graficador se mueva cuando el marcador acelera? 1-16. La guía de unas bolas de boliche se diseñó con dos varillas redondas, como se muestra en la figura P1-6. Las varillas no son paralelas, sino que forman un ángulo pequeño entre sí. Las bolas ruedan sobre las varillas hasta que caen entre ellas y pasan a otra guía. El ángulo entre las varillas se modifica para hacer que las bolas caigan en diferentes lugares. La longitud del claro de cada varilla es de 30 in y el ángulo entre ellas es de 3.2°. Las bolas tienen 4.5 in de diámetro y pesan 2.5 lb. La distancia central entre las varillas de 1 in de diámetro es de 4.2 in en el extremo angosto. Encuentre la distancia desde el extremo angosto a la cual cae la bola, y determine la fuerza cortante y el momento máximos, en el peor de los casos, mientras la bola rueda una distancia desde el extremo angosto que está al 98% de la distancia de caída. Suponga que las varillas están simplemente soportadas en cada extremo y tienen una flexión igual a cero bajo la carga aplicada. (Observe que suponer una flexión igual a cero no es realista. Este supuesto se desechará en el siguiente capítulo, después de estudiar la flexión.) 1-17. En la figura P1-7 se muestran unas tenazas para hielo. El hielo pesa 50 lb y tiene un ancho de 10 in de donde está sujeto a las tenazas. La distancia entre los mangos es de 4 in y el radio medio r de una tenaza es de 6 in. Dibuje los diagramas de cuerpo libre de las dos tenazas y encuentre todas las fuerzas que actúan sobre ellas. Determine el momento de flexión en el punto A. *1-18. Un camión con remolque se volteó mientras entraba a una vía de acceso al New York Thruway. La carretera tiene un radio de 50 ft en ese punto y se inclina 3° hacia el lado externo de la curva. La caja del remolque de 45 ft de largo, por 8 ft de ancho, por 8.5 ft de altura (13 ft desde el suelo a la parte superior), se cargó con 44 415 lb de rollos de papel en dos filas por dos de altura, como se ilustra en la figura P1-8. Los rollos tienen 40 in de diámetro por 38 in de largo y pesan aproximadamente 900 lb cada uno. A los rollos se les ponen cuñas para evitar el rodamiento hacia atrás, aunque no se evita su deslizamiento lateral. El remolque vacío pesa 14 000 lb. El conductor alega que viajaba a menos de 15 mph y que la carga de papel se corrió dentro del FIGURA P1-5 Problema 1-14 * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en negritas se ampliarán en capítulos posteriores, con problemas similares con el mismo número identificador; por ejemplo, el problema 2-4 está basado en el problema 1-4, etcétera. Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 59 1 FIGURA P1-6 Problema 1-16 remolque, golpeó la pared lateral del remolque y volteó el camión. La compañía de papel que cargó el camión alega que éste fue estibado adecuadamente y la carga no se movería internamente a esa velocidad. Pruebas independientes del coeficiente de fricción entre rollos de papel similares y un piso similar al del remolque dan un valor de 0.43 0.08. Se estima que el centro de gravedad compuesto del remolque cargado es de 7.5 ft por encima de la carretera. Determine la rapidez del camión que causaría que éste empezara justo a inclinarse y la rapidez a la cual los rollos empezaran justo a deslizarse en forma lateral. ¿Qué cree el lector que causó el accidente? 1-19. Suponga que el CG de los rollos de papel en el camión del problema 1-18 está 2.5 ft por encima del piso del remolque. ¿A qué rapidez sobre la misma curva la pila de rollos se volcaría (no deslizaría) con respecto al remolque? 1-20. Suponga que la carga de rollos de papel del problema 1-18 se deslizará lateralmente, a una rapidez del camión de 20 mph sobre la curva en cuestión. Estime la fuerza de impacto de la carga contra la pared del remolque. La fuerza/deflexión característica de la pared del remolque es de aproximadamente 400 lb/in. 1-21. La figura P1-9 muestra la rueda de un automóvil con dos estilos de llaves comunes que se utilizan para apretar los birlos, una llave con un solo extremo en (a) y una llave con dos extremos en (b). En cada caso, se requieren las dos manos para proporcionar las respectivas fuerzas en A y B, como se indica. La distancia entre los puntos A y B es de FIGURA P1-8 Problema 1-18 F F A r W FIGURA P1-7 Problema 1-17 60 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado eje eje 1 A llave de birlos B A llave de birlos B F F F F neumático (a) neumático (b) FIGURA P1-9 Problema 1-21 1 ft en ambos casos. Los birlos requieren un torque de 70 ft-lb. Dibuje diagramas de cuerpo libre para ambas llaves, luego determine las magnitudes de todas las fuerzas y todos los momentos sobre cada llave. ¿Existe alguna diferencia entre los modos en que las dos llaves ejecutan su tarea? ¿Un diseño es mejor que otro? Si es así, ¿por qué? Explique su respuesta. FIGURA P1-10 *1-22. En la figura P1-10 se muestra un patín de ruedas. Las ruedas de poliuretano tienen un diámetro de 72 mm. La combinación pie-bota-patín pesa 2 kg. La “razón efectiva del resorte” del sistema patín-persona es de 6 000 N/m. Encuentre las fuerzas sobre los ejes de las ruedas para una persona de 100 kg que aterriza sobre un pie luego de un salto de 0.5 m. a) Suponga que las cuatro ruedas llegan al suelo simultáneamente. b) Suponga que una rueda absorbe toda la fuerza de aterrizaje. *1-23. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-11a. Encuentre las reacciones, la fuerza cortante máximo y el momento máximo para los datos proporcionados en la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P1-1. *1-24. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-11b. Encuentre las reacciones, la fuerza cortante máximo y el momento máximo para los datos proporcionados en la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P1-1. *1-25. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-11c. Encuentre las reacciones, la fuerza cortante máximo y el momento máximo para los datos proporcionados en la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P1-1. 1-26. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-11d. Encuentre las reacciones, la fuerza cortante máximo y el momento máximo para los datos proporcionados en la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P1-1. *1-27. En la figura P1-12 se muestra un estante de almacenamiento para los rollos de papel del problema 1-18. Determine las reacciones, luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento, para el mandril que se extiende 50% hacia el rollo. Problema 1-22 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los problemas con números en negritas se ampliarán en capítulos posteriores, con problemas similares que tienen el mismo número identificador; por ejemplo, el problema 2-4 está basado en el problema 1-4, etcétera. 1-28. La figura P1-13 muestra una carretilla elevadora que sube una rampa de 15° para llegar a una plataforma de carga, cuya altura es de 4 ft. La carretilla pesa 5 000 lb y tiene una distancia entre ejes de 42 in. Determine las reacciones y dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento para el peor caso de carga, conforme la carretilla viaja hacia arriba por la rampa. Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS l l b 1 a a F F w x R1 w M1 x R2 R1 (a) (b) l l b b F a a F w w x R1 x R2 R1 R2 (c) (d) FIGURA P1-11 Vigas y cargas de la viga para los problemas 1-23 a 1-26; véase la tabla P1-1 para los datos 1-29. Corra en la computadora el modelo CASE1A para el estudio de caso 1A (en varios lenguajes del CD-ROM) y mueva el punto de aplicación de la fuerza de la mano a lo largo de la palanca, pero cambie los valores de Rb2, vuelva a calcular, luego observe los cambios de las fuerzas y los momentos. Tabla P1-1 61 Datos para los problemas 1-23 a 1-26 Use sólo los datos relevantes para el problema específico. Longitudes en m, fuerzas en N, I en m4. Fila l a b w* F I c E a 1.00 0.40 0.60 200 500 2.85E–08 2.00E–02 acero b 0.70 0.20 0.40 80 850 1.70E–08 1.00E–02 acero c 0.30 0.10 0.20 500 450 4.70E–09 1.25E–02 acero d 0.80 0.50 0.60 65 250 4.90E–09 1.10E–02 acero e 0.85 0.35 0.50 96 750 1.80E–08 9.00E–03 acero f 0.50 0.18 0.40 450 950 1.17E–08 1.00E–02 acero g 0.60 0.28 0.50 250 250 3.20E–09 7.50E–03 acero h 0.20 0.10 0.13 400 500 4.00E–09 5.00E–03 alum i 0.40 0.15 0.30 50 200 2.75E–09 5.00E–03 alum j 0.20 0.10 0.15 150 80 6.50E–10 5.50E–03 alum k 0.40 0.16 0.30 70 880 4.30E–08 1.45E–02 alum l 0.90 0.25 0.80 90 600 4.20E–08 7.50E–03 alum m 0.70 0.10 0.60 80 500 2.10E–08 6.50E–03 alum n 0.85 0.15 0.70 60 120 7.90E–09 1.00E–02 alum 62 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 1 rampa cuadrícula de 1 ft FIGURA P1-13 Problema 1-28 1-30. Corra en la computadora el modelo CASE2A para el estudio de caso 2A (en varios lenguajes del CD-ROM) y mueva el punto de aplicación de la fuerza de presión a lo largo de la mandíbula, vuelva a calcular y observe los cambios de las fuerzas y los momentos. 1-31. Corra en la computadora el modelo CASE3A para el estudio de caso 3A (en varios lenguajes del CD-ROM) y mueva el punto de aplicación de P a lo largo de la dirección x y vuelva a calcular, luego observe los cambios de las fuerzas y los momentos sobre las partes. ¿Qué pasa cuando la fuerza vertical P se centra sobre la parte 3? Cambie también el ángulo de la fuerza aplicada P para crear una componente x, después observe los efectos sobre las fuerzas y los momentos sobre los elementos. 1-32. La figura P1-14 muestra una leva y un brazo de leva-seguidor. Si la carga P
200 lb, ¿qué fuerza de resorte es necesaria en el extremo derecho para mantener una carga mínima entre la leva y el seguidor de 25 lb? Encuentre la fuerza cortante y el momento de flexión máximos en el brazo seguidor. Grafique los diagramas de fuerza cortante y de momento. 1-33. Escriba un programa de cómputo o un modelo resolvedor de ecuaciones, para calcular todas las funciones de singularidad listadas en las ecuaciones 1.17. Defínalas como funciones que puedan llamarse desde cualquier otro programa o modelo. 1-34. Una viga está soportada y cargada como se ilustra en la figura P1-15. Encuentre las reacciones, la fuerza cortante máximo y el momento máximo para los datos proporcionados en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P1-2. 1 10 12 6 A 2 2.5 todas las dimensiones están en pulgadas A Sección A-A FIGURA P1-14 Problema 1-32 Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 63 P 1 a b los cojinetes son de autoalineamiento, de modo que actúan como soportes simples l FIGURA P1-15 Problemas 1-34 y 1-35 *1-35. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-15. Escriba un programa de cómputo o un modelo resolvedor de ecuaciones para calcular las reacciones, así como para calcular y graficar las funciones de carga, fuerza cortante y momento. Pruebe el programa con los datos proporcionados en las(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P1-2. 1-36. Una viga está soportada y cargada, como se ilustra en la figura P1-16. Encuentre las reacciones, la fuerza cortante máximo y el momento máximo para los datos proporcionados en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P1-2. 1-37. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-16. Escriba un programa de cómputo o un modelo resolvedor de ecuaciones para calcular las reacciones, así como para calcular y graficar las funciones de carga, fuerza cortante y momento. Pruebe el programa con los datos proporcionados en las(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P1-2. 1-38. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-17. Encuentre las reacciones, corte máximo y momento máximo para los datos proporcionados en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P1-2. 1-39. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-17. Escriba un programa de cómputo o un modelo resolvedor de ecuaciones para calcular las reacciones, así como para calcular y graficar las funciones de carga, fuerza cortante y momento. Pruebe el programa con los datos proporcionados en las(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P1-2. 1-40. Una viga está soportada y cargada, como se indica en la figura P1-18. Encuentre las reacciones, la fuerza cortante máximo y el momento máximo para los datos proporcionados en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P1-2. 1-41. Una viga está soportada y cargada, como se muestra en la figura P1-18. Escriba un programa de cómputo o un modelo resolvedor de ecuaciones para calcular las reacciones, así como para calcular y graficar las funciones de carga, cortante y momento. Pruebe el programa con los datos proporcionados en las(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P1-2. Tabla P1-2 Datos de los problemas 1-34 a 1-41 Fila l (in) a (in) b (in) P (lb) o p (lb/in) a b c d e f 20 12 14 8 17 24 16 2 4 4 6 16 18 7 12 8 12 22 1 000 500 750 1 000 1 500 750 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. 64 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado p 1 a b los cojinetes son de autoalineamiento, de modo que actúan como soportes simples l FIGURA P1-16 Problemas 1-36 y 1-37 1-42. Una lancha de motor de 1000 kg alcanza una rapidez de 16 kph, cuando tensa una cuerda de remolque de 100 m de largo atada a una tabla de surf que lleva a una persona de 100 kg. Si la cuerda tiene una k
5 N/m, ¿cuál es la fuerza dinámica ejercida sobre la tabla? 1-43. La figura P1-19 muestra una bomba de varilla para un campo petrolero. Para la posición mostrada, dibuje los diagramas de cuerpo libre del cigüeñal (2), la biela (3), la viga cabeceadora [balancín] (4) usando nombres de variables similares a los usados en los estudios de caso 1A y 2A. Suponga que el cigüeñal gira lo suficientemente lento para que la aceleración pueda ignorarse. Incluya el peso que actúa sobre el CG de la viga cabeceadora y el cigüeñal, pero no el de la biela. 1-44. Para la bomba de varilla del problema 1-43 y los datos de la tabla P1-3, determine las fuerzas de los pernos sobre la viga cabeceadora, la biela, el cigüeñal y el torque de reacción sobre el cigüeñal. 1-45. La figura P1-20 muestra el mecanismo de un compartimiento para equipaje de mano en un avión, visto en la sección lateral. Para la posición mostrada, dibuje los diagramas de cuerpo libre de los eslabones 2 y 4 y la puerta (3) usando nombres de variables similares a los empleados en los estudios de caso 1A y 2A. Hay topes que evitan un movimiento adicional en el sentido horario de la parte 2 (y una parte idéntica detrás de ella en el otro extremo de la puerta), lo cual da como resultado fuerzas horizontales aplicadas a la puerta en los puntos A. Suponga que el mecanismo es simétrico, de modo que cada conjunto de los eslabones 2 y 4 soportan la mitad del peso de la puerta. Ignore el peso de los eslabones 2 y 4 ya que son insignificantes. Tabla P1-3 Problema 1-44 R12 13.20 in @ 135o R14 79.22 in @ 196o R32 0.80 in @ 45o R34 32.00 in @ 169o RP 124.44 in @ 185o Fcable 2970 lb W2 598 lb W4 2706 lb Q3 98.5o P p engrane d T rodillo de hierro fundido 0.1 a 0.8 a a b l FIGURA P1-17 Problemas 1-38 y 1-39 los cojinetes son de autoalineamiento, de modo que actúan como soportes simples Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS 65 P 0.4 P 1 a engrane engrane d cuña T b l los cojinetes son de autoalineamiento, de modo que actúan como soportes simples FIGURA P1-18 Problemas 1-40 y 1-41 1-46. 1-47. Para el mecanismo del compartimiento del problema 1-45 y los datos de la tabla P1-4, determine las fuerzas del perno sobre la puerta (3) y los eslabones 2 y 4, así como la fuerza de reacción sobre cada uno de los dos topes. La suspensión de cierto automóvil consiste en dos brazos A, la rueda (con neumático), un resorte y un amortiguador. La rigidez efectiva de la suspensión (llamada “razón de conducción”) es una función de la rigidez del resorte y la rigidez del neumático. Los brazos A se diseñan para dar a la rueda un desplazamiento casi vertical, conforme la rueda pasa sobre los baches del camino. El montaje completo puede modelarse como un sistema masa-resorte-amortiguador, como el mostrado en la figura 1-15(b). Si la masa que brinca (masa de la porción del vehículo soportada por el sistema de suspensión) pesa 675 lb, determine la razón de conducción que se requiere para 36.9o extremo de x la cabeza 51.26 156.6o P B 4 O4 B-CG 4 = 32.00 P-CG 4 = 124.44 O 4 -CG 4 = 79.22 contrapeso CG 4 80 3 14.03o Y 47.5 47.5 76 cable W2 14 A 2 varilla de la bomba contrapeso 12 X O2 cabeza del pozo y FIGURA P1-19 Problemas 1-43 y 1-44 todas las dimensiones lineales se dan en pulgadas Tabla P1-4 Problema 1-46 R23 180 mm @ 160.345o R43 180 mm @ 27.862o W3 45 N Q2 85.879o Q4 172.352o 66 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Y 1 70.9 O2 y X 26o 2 176.5 243.2 1 233.0 4 O4 B x A P 23.76o 3 180. 0 329.5 todas las dimensiones lineales se dan en mm FIGURA P1-20 Problemas 1-45 y 1-46 alcanzar una frecuencia natural sin amortiguamiento de 1.4 Hz. ¿Cuál es la deflexión estática de la suspensión para la razón de manejo calculada? *1-48. 1-49. El sistema de suspensión independiente del problema 1-47 tiene un peso que no resortea (el peso del eje, la rueda, los brazos A, etcétera) de 106 lb. Calcule la frecuencia natural (resonancia de salto) de la masa que no resortea, si la rigidez de la combinación del neumático y del resorte (tasa de conducción) es de 1100 lb/in. El sistema de suspensión independiente del problema 1-47 tiene un peso que resortea de 675 lb y una tasa de conducción de 135 lb/in. Calcule la frecuencia natural amortiguada de la masa que resortea si el coeficiente de amortiguación del amortiguador es una constante de 12 lb-seg/in. brazo-A resorte amortiguador rueda chasis brazo-A neumático * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. FIGURA P1-21 Problemas 1-47 a 1-49 Suspensión Viper; cortesía de DaimlerChrysler Corporation Capítulo 1 DETERMINACIÓN DE CARGAS X 67 Tabla P1-5 Problema 1-51 45o E 57 119.9 3 F in 60.64o 4 62.9 F 42 AB = 105 156.2 243 2 FIGURA P1-22 57.0 mm @ 90o R14F 62.9 mm @ 270o R32 42.9 mm @ 74.36o R23 87.6 mm @ 254.36o R34 15.0 mm @ 90o R43 87.6 mm @ 74.36o Rin 152.6 mm @ 225o RP 105.0 mm @ 270o Fcomp 100 N 254.36o 165 BD = 172 Y 148.4 mm @ 315o R14E Q3 AC = 304.6 Todas las longitudes están en mm R12 F comp 148.4 15.64o 27 Problemas 1-50 y 1-51 1-50. La figura P1-22 muestra un mecanismo compactador de polvo. Para la posición mostrada, dibuje los diagramas de cuerpo libre del brazo de entrada (2), la biela (3) y el ariete compactador (4), usando nombres de variables similares a los empleados en los estudios de caso 1A y 2A. Suponga que los brazos de entrada giran lo suficientemente lento como para que se ignoren las aceleraciones. Ignore los pesos del brazo, la biela y el ariete compactador. Desprecie la fricción. Todos los eslabones son simétricos con respecto al centro de gravedad en el centro. 1-51. Para el mecanismo de compactación del problema 1-50 y los datos de la tabla P1-5, determine las fuerzas de los pernos sobre el ariete de compactación, la biela y el brazo de entrada. Los vectores de posición (Rxx) de la tabla ubican los puntos de aplicación de la fuerza sobre una parte contra el CG de la parte, sobre la cual actúa la fuerza. Todos los eslabones son simétricos con respecto al CG en el centro. 1-52. 1-53. La figura P1-23 muestra un mecanismo de arrastre manivela corredera. Para la posición mostrada, dibuje los diagramas de cuerpo libre de las partes 2 a 6 usando nombres de variables similares a los empleados en los estudios de caso 1A y 2A. Suponga que la manivela gira lo suficientemente lento como para ignorar las aceleraciones. Ignore los pesos de los eslabones, así como cualesquier fuerza de fricción o torque. Todos los eslabones son simétricos con respecto al CG en el centro. Para el mecanismo de arrastre manivela corredera del problema 1-52 y los datos de la tabla P1-6, determine las fuerzas de los pernos sobre la corredera, las bielas y la manivela, y el torque de reacción sobre la manivela. Los vectores de posición (Rxx) de la tabla ubican los puntos de aplicación de la fuerza sobre una parte contra el CG de la parte, sobre la cual actúa la fuerza. Todos los eslabones son simétricos con respecto al CG en el centro. Tabla P1-6 Problema 1-53 R12 63.5 mm @ 45.38o R14 93.6 mm @ –55.89o R23 63.5 mm @ 267.80o R32 63.5 mm @ 225.38o R34 103.5 mm @ 202.68o R43 63.5 mm @ 87.80o R45 190.5 mm @ 156.65o R54 103.5 mm @ 45.34o R65 190.5 mm @ –23.35o FP 85 N Q3 87.80o Q5 156.65o 1 68 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Y 1 C 57.46° 4 90.00° E 126.58° 156.65° 5 B D O4 6 3 O2 2 135.00° A 42.53° FIGURA P1-23 Problemas 1-52 y 1-53 O2 A = 127.0 AB = 127.0 BC = 203.2 CD = 381.0 O4 E = 113.6 BE = 101.6 O2O4 = 63.5 P X FP ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN Esto no es saber mucho, pero es tan útil que hace sabio a un hombre. THOMAS FULLER M.D. 2.0 INTRODUCCIÓN Probablemente el lector ya haya tomado un curso de análisis de esfuerzos (llamado tal vez Resistencia de materiales o Mecánica de materiales) y, por lo tanto, conoce los fundamentos de este tema. No obstante, este capítulo presentará un repaso básico con la finalidad de crear el marco para el estudio del análisis de fatiga en capítulos posteriores. En el apéndice B se estudiarán el esfuerzo y la deformación unitaria en las propiedades de los materiales, aunque no se verán exhaustivamente. En este capítulo tendremos una definición más completa de lo que se entiende por esfuerzo, deformación unitaria y deflexión. La tabla 2-0 muestra las variables que se usan en este capítulo, así como las referencias a tablas o secciones donde se utilizan. Asimismo, al final del capítulo se incluye una sección de resumen que agrupa todas las ecuaciones relevantes del capítulo, para facilitar su consulta e identificar la sección en la cual se encuentra su aplicación. 2.1 ESFUERZO En el apéndice B, el esfuerzo se define como la fuerza por unidad de área en unidades psi o MPa. En un elemento sometido a ciertas fuerzas, por lo general el esfuerzo se distribuye como una función que varía constantemente dentro del continuo del material. Cada elemento infinitesimal del material puede experimentar esfuerzos diferentes al mismo tiempo. Por consiguiente, se deben visualizar los esfuerzos que actúan sobre elementos pequeños evanescentes dentro de la pieza. Estos elementos infinitesimales se modelan generalmente como cubos, los cuales se ilustran en la figura 2-1 (p. 72). Se considera que los componentes del esfuerzo actúan sobre las caras de estos cubos de dos modos diferentes. Los esfuerzos normales actúan de forma perpendicular (es decir, normalmente) a la cara del cubo y tienden a jalarla hacia afuera (esfuerzo normal de tensión) 69 2 70 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 2-0 - Un Enfoque Integrado Variables utilizadas en este capítulo Parte 1 de 2 2 Símbolo Variable Unidades Unidades ips SI Véase A área in2 m2 b ancho de la sección transversal de la viga in m Secc. 2.9 c distancia a la fibra exterior - viga recta in m Ec. 2.11 b ci distancia a la fibra interior - viga curva in m Ec. 2.12 co distancia a la fibra exterior - viga curva in m Ec. 2.12 d diámetro de la sección transversal in m Secc. 2.10, 2.11 E módulo de Young psi Pa Secc. 2-7 - 2.12 e excentricidad de una columna in m Secc. 2.14 e desplazamiento del eje neutro - viga curva in m Secc. 2.9, Ec. 2.12 a F fuerza o carga lb N Secc. 2.11 G módulo de corte, módulo de rigidez psi Pa Secc. 2.11 h profundidad de la sección transversal de una viga in m Secc. 2.9 I segundo momento del área in4 m4 Ec. 2.11a K parámetro de geometría - torsión in4 m4 Ec. 2.26b, Tabla 2-7 k radio de giro in m Secc. 2.16 Kt factor de concentración de esfuerzo geométrico ninguna ninguna esfuerzo normal Secc. 2.15 Kts factor de concentración de esfuerzo geométrico ninguna ninguna esfuerzo cortante Secc. 2.15 l longitud in m Secc. 2.7 - 2.12 M momento, función de momento lb-in N-m Secc. 2.9 P fuerza o carga lb N Secc. 2.7 Pcr carga crítica de la columna lb N Secc 2.16 q función de carga de viga lb N Secc. 2.10 Q integral del primer momento de área - viga in3 m3 Ec. 2.13 Q parámetro de geometría - torsión in3 m3 Ec. 2.26a, Tabla 2-3 r radio - general in m Secc. 2.9, Ec. 2.12 ri radio interior de viga curva in m Ec. 2.12 ro radio exterior de viga curva in m Ec. 2.12 Sr razón de esbeltez - columna ninguna ninguna Secc. 2.16 Sy resistencia a la fluencia psi Pa Secc. 2.16 T torque lb-in N-m Secc. 2.12 V función de corte en viga lb N Secc. 2.9, 2.10 x variable de longitud generalizada in m Secc. 2.10 y distancia del eje neutral - viga in m Ec. 2.11a y deflexión - general in m Secc. 2.10, 2.14 m3 Ec. 2.11d Secc. 2.7 - 2.9, 4.11 módulo de sección in3 coordenadas generales cualquiera cualquiera Secc. 2.1, 2.2 deformación unitaria ninguna ninguna Secc. 2.2 Q pendiente de la viga rad rad Secc. 2.10 Q deflexión angular - torsión rad rad Secc. 2.12 Z x, y, z E Capítulo 2 Tabla 2-0 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 71 Variables utilizadas en este capítulo Parte 2 de 2 Símbolo Variable Unidades ips Unidades SI Véase S S esfuerzo normal psi Pa Secc. 2.1 esfuerzo principal psi Pa Secc. 2.3 S esfuerzo principal psi Pa Secc. 2.3 S esfuerzo principal psi Pa Secc. 2.3 T esfuerzo cortante psi Pa Secc. 2.1 T13 esfuerzo cortante máximo psi Pa Secc. 2.3 T21 esfuerzo principal psi Pa Secc. 2.3 T32 esfuerzo principal psi Pa Secc. 2.3 2 o empujarla hacia adentro (esfuerzo normal de compresión). El esfuerzo cortante actúa paralelo a las caras de los cubos, en pares (parejas) sobre caras opuestas, lo cual tiende a distorsionar el cubo en una forma de romboide. Esto es lo mismo que tomar las dos piezas de pan de un sándwich de mermelada y deslizarlos en direcciones opuestas. Como consecuencia de ello, se cortará la mermelada. Tales componentes de los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre un elemento infinitesimal dan como resultado un tensor.* El esfuerzo es un tensor de segundo orden† y requiere nueve valores o componentes para describirlo en tres dimensiones. Un tensor de esfuerzo en tres dimensiones se expresa como la matriz: ⎡σ xx ⎢ ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎣ τ xy σ yy τ zy τ xz ⎤ ⎥ τ yz ⎥ σ zz ⎥⎦ (2.1a) donde la notación para cada componente del esfuerzo contiene tres elementos: una magnitud (σ o τ), la dirección de la normal a la superficie de referencia (primer subíndice) y la dirección de acción (segundo subíndice). Se usará σ para referirnos a los esfuerzos normales, y τ para los esfuerzos cortantes. Muchos elementos de máquinas están sujetos a estados de esfuerzo tridimensionales y, por lo tanto, requieren la aplicación del tensor de esfuerzo de la ecuación 2.1a. Sin embargo, hay algunos casos especiales, los cuales se pueden tratar como estados de esfuerzos bidimensionales. El tensor de esfuerzo para dos dimensiones es ⎡σ xx ⎢τ ⎣ yx τ xy ⎤ σ yy ⎥⎦ (2.1b) La figura 2-1 ilustra un cubo infinitesimal de material tomado del interior del continuo de la parte que se somete a algunos esfuerzos de tres dimensiones. Las caras de este cubo infinitesimal son paralelas a un conjunto de ejes xyz establecidos con alguna orientación conveniente. La orientación de cada cara está definida por su vector normal de superficie‡ como se indica en la figura 2-1a. La cara x tiene su normal de superficie paralela al eje x, etcétera. Observe que, por consiguiente, hay dos caras x, dos caras y y dos caras z, siendo una de ellas positiva y la otra negativa, como lo define el sentido de su vector normal de superficie. * Para el estudio de la notación del tensor, consulte C. R. Wylie y L. C. Barret, Advanced Engineering Mathematics, 5a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1982. † La ecuación 2.1a muestra más correctamente un tensor para coordenadas cartesianas rectilíneas. La notación más general del tensor para sistemas de coordenadas curvilíneas no se usará aquí. ‡ El vector normal de superficie se define como que “crece hacia afuera de la superficie del sólido, en dirección normal a esa superficie”. Su signo se determina de acuerdo con el sentido de su vector normal de superficie en el sistema de coordenadas local. 72 DISEÑO DE MÁQUINAS k̂ - Un Enfoque Integrado Szz Szz –î Tzy Tyz Tzx 2 –ĵ ĵ Txz z î Sxx Tyx Tyz Tzx Txz Syy Txy Tyx Syy Txy Sxx y –k̂ (a) Normales de superficies Tzy x (b) Componentes de esfuerzo positivas (c) Componentes de esfuerzo negativas FIGURA 2-1 El cubo de esfuerzos, sus normales de superficie y sus componentes de esfuerzo En las figuras 2-1b y c se muestran las nueve componentes del esfuerzo actuando sobre las superficies de este elemento infinitesimal. Las componentes σxx, σyy y σzz son los esfuerzos normales, que se llaman así porque actúan, respectivamente, en direcciones normales a las superficies x, y y z del cubo. Las componentes τxy y τxz, por ejemplo, son esfuerzos de corte que actúan sobre la cara x y cuyas direcciones de acción son paralelas a los ejes y y z, respectivamente. El signo de cualquiera de estas componentes se define como positivo, cuando los signos de su normal de superficie y la dirección de su esfuerzo son las mismas; y como negativas si son diferentes. De esta manera, las componentes de la figura 2-1b son todas positivas porque actúan sobre las caras positivas del cubo y sus direcciones también son positivas. Las componentes mostradas en la figura 2-1c son todas negativas porque actúan sobre las caras positivas del cubo y sus direcciones son negativas. Esta convención de signos hace que los esfuerzos normales de tensión sean positivos y que los esfuerzos normales de compresión sean negativos. Para el caso bidimensional, tan sólo se dibuja una cara del cubo de esfuerzo. Si se conservan las direcciones x y y y se elimina z, se observa la normal al plano xy del cubo de la figura 2-1 y se ven los esfuerzos de la figura 2-2, que actúan sobre las caras ocultas del cubo. El lector debería verificar que las componentes de esfuerzo mostradas en la figura 2-2 son todas positivas según la convención de signos establecida anteriormente. Tyx Syy Txy Sxx Sxx Txy Tyx Syy y Observe que la definición de la notación de los subíndices dobles es consistente cuando se aplica a esfuerzos normales. Por ejemplo, el esfuerzo normal σxx actúa sobre la cara x y también en la dirección de x. Puesto que los subíndices simplemente se repiten para esfuerzos normales, es común eliminar uno de ellos y referirse a las componentes normales simplemente como σx, σy y σz. Se requieren ambos subíndices para definir las componentes del esfuerzo cortante y, por lo mismo, se utilizarán los dos. También puede demostrarse[1] que el tensor de esfuerzo es simétrico, lo cual significa que τ xy = τ yx x FIGURA 2-2 Elemento de esfuerzo bidimensional τ yz = τ zy τ zx = τ xz Esto reduce el número de las componentes de esfuerzo a calcular. ( 2.2) Capítulo 2 2.2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 73 DEFORMACIÓN UNITARIA El esfuerzo y la deformación unitaria están linealmente relacionados por la ley de Hooke, en la región elástica de la mayoría de los materiales para ingeniería, como veremos en el apéndice B. La deformación unitaria es también un tensor de segundo orden, y para el caso tridimensional se expresa como ⎡ε xx ⎢ ⎢ε yx ⎢ε ⎣ zx ε xy ε yy ε zy ε xz ⎤ ⎥ ε yz ⎥ ε zz ⎥⎦ 2 ( 2.3a) y para el caso bidimensional, ⎡ε xx ⎢ε ⎣ yx ε xy ⎤ ε yy ⎥⎦ donde ε representa ya sea una deformación unitaria normal o cortante, que se diferencia entre sí por sus subíndices. También se simplificarán, por conveniencia, los subíndices repetidos de las deformaciones unitarias normales como εx, εy y εz, manteniendo los subíndices dobles para identificar las deformaciones unitarias cortantes. Las mismas relaciones simétricas de las componentes de los esfuerzos cortantes mostradas en la ecuación 2.2 se aplican también para las componentes de deformación unitaria. Tyx Syy (2.3b) Sxx Txy Txy Sxx Tyx Syy (a) Esfuerzos aplicados S3 2.3 ESFUERZOS PRINCIPALES Los sistemas de ejes adoptados en las figuras 2-1 y 2-2 son arbitrarios, y usualmente se eligen por conveniencia para el cálculo de los esfuerzos aplicados. Para cualquier combinación particular de esfuerzos aplicados, existirá una distribución continua del campo del esfuerzo alrededor de cualquier punto que se analice. Los esfuerzos normales y cortantes en ese punto variarán según la dirección del sistema de coordenadas seleccionado. Siempre habrá planos sobre los cuales las componentes de esfuerzo cortante sean iguales a cero. Los esfuerzos normales que actúan sobre estos planos se llaman esfuerzos principales. Los planos sobre los cuales actúan tales esfuerzos principales se denominan planos principales. Las direcciones de las normales a la superficie de los planos principales se llaman ejes principales, y los esfuerzos normales que actúan en esas direcciones son los esfuerzos normales principales. También existe otro conjunto de ejes mutuamente perpendiculares a lo largo de los cuales los esfuerzos cortantes serán máximos. Los esfuerzos cortantes principales actúan sobre un conjunto de planos que están en ángulos de 45° con los planos de esfuerzos normales principales. Para el caso bidimensional de la figura 2-2, los planos principales y los esfuerzos principales se muestran en la figura 2-3. Puesto que estamos más interesados en el diseño de las piezas de la máquina de modo que no falle, y como la falla ocurrirá si el esfuerzo en cualquier punto excede algún valor de seguridad, desde un punto de vista de ingeniería se necesita encontrar los mayores esfuerzos (tanto normales como cortantes) que ocurran dentro del continuo de material que forma la pieza de nuestra máquina. Se podría tener menos interés en las direcciones de dichos esfuerzos que en sus magnitudes, ya que el material se puede considerar isotrópico al menos macroscópicamente y, por lo tanto, tiene propiedades de resistencia que son uniformes en todas las direcciones. La mayoría de los metales y muchos otros materiales de ingeniería cumplen con este criterio, si bien la madera y los materiales compuestos son excepciones notables. S1 F S1 S3 (b) Esfuerzos normales principales T31 T13 Q T13 T31 (c) Esfuerzos cortantes principales y x FIGURA 2-3 Esfuerzos principales sobre un elemento de esfuerzo bidimensional 74 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La expresión que relaciona los esfuerzos aplicados con los esfuerzos principales es ⎡σ x − σ τ xy τ xz ⎤ ⎡n x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ σy − σ τ yz ⎥ ⎢⎢n y ⎥⎥ = ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎢ τ yx ⎢ τ τ zy σ z − σ ⎥⎦ ⎢⎣ nz ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎣ zx 2 ( 2.4 a) donde σ es la magnitud del esfuerzo principal, y nx, ny y nz son los cosenos de la dirección del vector unitario n, el cual es normal al plano principal: nˆ ⋅ nˆ = 1 nˆ = n x ˆi + n y ˆj + nz kˆ (2.4b) Para que exista la solución de la ecuación 2.4a, el determinante de la matriz coeficiente debe ser cero. Al desarrollar este determinante y hacerlo igual a cero, se tiene: σ 3 − C2 σ 2 − C1σ − C0 = 0 (2.4c) donde C2 = σ x + σ y + σ z C1 = τ 2xy + τ 2yz + τ 2zx − σ x σ y − σ y σ z − σ z σ x C0 = σ x σ y σ z + 2 τ xy τ yz τ zx − σ x τ 2yz − σ y τ 2zx − σ z τ 2xy La ecuación 2.4c es un polinomio cúbico en σ. Los coeficientes C0, C1 y C2 se llaman las invariantes del tensor, ya que tienen los mismos valores sin importar la selección inicial de los ejes xyz, en los cuales se midieron o se calcularon los esfuerzos aplicados. Las unidades de C2 son psi (MPa), de C1 psi2 (MPa2) y de C0 psi3 (MPa3). Los tres esfuerzos (normales) principales σ1, σ2, σ3 son las tres raíces de este polinomio cúbico. Las raíces de este polinomio son siempre reales[2] y, por lo general, están ordenadas de modo que σ1  σ2  σ3. Si es necesario, las direcciones de los vectores de esfuerzos principales se obtienen sustituyendo cada raíz de la ecuación 2.4c en 2.4a y resolviendo nx, ny y nz para cada uno de los tres esfuerzos principales. Las direcciones de estos tres esfuerzos principales son mutuamente ortogonales. Los esfuerzos cortantes principales se obtienen a partir de los valores de los esfuerzos normales principales, usando τ13 = σ1 − σ 3 2 σ − σ1 τ 21 = 2 2 σ − σ2 τ 32 = 3 2 * Véase Numerical Recipes de W. H. Press et al., Cambridge Univ. Press, 1986, p. 146, o bien, Standard Mathematical Tables, CRC Press, 22a. ed., 1974, p. 104, o cualquier recopilación de fórmulas matemáticas estándar. (2.5) Si los esfuerzos normales principales se ordenan como se mostró antes, entonces τmáx  τ13. Las direcciones de los planos de los esfuerzos cortantes principales están a 45° de las de los esfuerzos normales principales y, también, son mutuamente ortogonales. La solución de la ecuación 2.4c para sus tres raíces se pudo haber obtenido trigonométricamente con el método de Viete* o usando un algoritmo iterativo de búsqueda de raíces. El archivo STRESS3D resuelve la ecuación 2.4c y calcula las tres raíces de esfuerzos principales con el método de Viete y las ordena de acuerdo con la convención Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN anterior. STRESS3D también calcula la función del esfuerzo (ecuación 2.4c), para una lista de valores de σ definidos por el usuario y, luego, grafica esa función. Los cruces de las raíces se pueden ver sobre la gráfica. La figura 2-4 muestra la función de esfuerzo de un conjunto arbitrario de esfuerzos aplicados, graficados en un rango de valores de σ que incluye las tres raíces. La tabla 2-1 presenta los resultados del cálculo. 75 y S S 0 S S Para el caso especial del estado de esfuerzo bidimensional, las ecuaciones 2.4c para el esfuerzo principal se reducen a* σa , σb = σx + σy 2 2 ⎛ σx − σy ⎞ 2 ± ⎜ ⎟ + τ xy 2 ⎝ ⎠ σc = 0 función del esfuerzo ( 2.6 a) Las dos raíces diferentes de cero calculadas a partir de la ecuación 2.6a se designan temporalmente como σa y σb, y la tercera raíz σc es siempre cero en el caso bidimensional. Dependiendo de sus valores resultantes, las tres raíces se identifican de acuerdo con la convención: la mayor algebraicamente  σ1, la menor algebraicamente  σ3 y la otra  σ2. Usando la ecuación 2.6a para resolver el ejemplo mostrado en la figura 2-4 se obtendrían los valores de σ1  σa, σ3  σb, σ2  σc,  0, como se indica en la figura.† Desde luego, la ecuación 2.4c para el caso de 3-D se puede usar incluso para resolver cualquier caso bidimensional, de manera que uno de los tres esfuerzos principales obtenidos será cero. El ejemplo de la figura 2-4 es un caso bidimensional resuelto con la ecuación 2.4c. Note la raíz de σ  0. Una vez que se han obtenido y ordenado los tres esfuerzos principales como se describió anteriormente, se obtiene el esfuerzo de corte máximo con la ecuación 2.5: T máx  T13  Tabla 2-1 S1 S3 ( 2.6b) 2 Solución de la función de esfuerzo cúbica para el caso de un esfuerzo en el plano Del archivo STRESS3D Entrada Variable 1 000 Unidad Comentarios Sxx psi esfuerzo normal aplicado en la dirección de x –750 Syy psi esfuerzo normal aplicado en la dirección de y 0 Szz psi esfuerzo normal aplicado en la dirección de z 500 Txy psi esfuerzo cortante aplicado en la dirección xy 0 Tyz psi esfuerzo cortante aplicado en la dirección yz 0 Tzx C2 Salida 250 psi esfuerzo cortante aplicado en la dirección zx psi término del coeficiente de S2 término del coeficiente de S1 C1 1.0E6 psi2 C0 0 psi3 término del coeficiente de S0 S1 1 133 psi raíz # 1 del esfuerzo principal S2 0 psi raíz # 2 del esfuerzo principal S3 –883 psi raíz # 3 del esfuerzo principal FIGURA 2-4 Las tres raíces de la función del esfuerzo para el caso de esfuerzo en un plano * Las ecuaciones 2.6 también se pueden usar cuando un esfuerzo principal es diferente de cero, pero está dirigido a lo largo de uno de los ejes xyz del sistema de coordenadas xyz elegido para el cálculo. Entonces, el cubo del esfuerzo de la figura 2-1 se hace girar alrededor de uno de los ejes principales para determinar los ángulos de los otros dos planos principales. † Si la convención de numeración tridimensional se aplica estrictamente en el caso bidimensional, entonces algunas veces los dos esfuerzos principales diferentes de cero resultarán ser σ1 y σ3 si tienen signo contrario (como en el ejemplo 2-1). Otras veces serán σ1 y σ2, cuando ambos tengan signo positivo, y el menor (σ3) será cero (como en el ejemplo 2-2). Una tercera posibilidad es que ambos esfuerzos principales diferentes de cero sean negativos (de compresión), y el mayor algebraicamente del conjunto (σ1) es entonces cero. La ecuación 2.6a designa arbitrariamente a los dos esfuerzos principales bidimensionales diferentes de cero como σa y σb, y el restante σc se reserva para el miembro del trío que es igual a cero. La aplicación de la convención estándar puede dar como resultado que cualquiera de las combinaciones σ1 y σ2, σ1 y σ3, o σ2 y σ3 se designen como σa y σb dependiendo de sus valores relativos. Véase los ejemplos 2-1 y 2-2. 2 76 DISEÑO DE MÁQUINAS 2.4 - Un Enfoque Integrado ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIÓN PLANA El estado general del esfuerzo y la deformación es tridimensional; no obstante, existen configuraciones geométricas específicas que se pueden tratar de manera diferente. 2 Esfuerzo plano El estado de esfuerzo bidimensional o biaxial también se conoce como esfuerzo plano, el cual requiere que un esfuerzo principal sea cero. Esta condición es común en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o un cascarón pueden tener también un estado de esfuerzo plano lejos de sus límites o puntos de unión. Estos casos se pueden tratar con el enfoque más sencillo de las ecuaciones 2.6. Deformación plana Existen deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de las deformaciones principales (por ejemplo, ε3) es cero, y si las deformaciones restantes son independientes de la dimensión a lo largo de su eje principal, n3, entonces se llama deformación plana. Esta condición ocurre en geometrías particulares. Por ejemplo, si una barra larga, sólida y prismática se carga tan sólo en dirección transversal, las regiones dentro de la barra que están lejos de cualquier restricción del extremo tendrán esencialmente deformación cero a lo largo del eje de la barra, y se tendrá una deformación plana. (Sin embargo, el esfuerzo no es cero en la dirección de deformación cero). Se puede considerar que una presa hidráulica grande tiene una condición de deformación plana en las regiones bien alejadas de sus extremos, o bien, en la base que está unida a las estructuras circundantes. 2.5 CÍRCULOS DE MOHR Los círculos de Mohr* han probado exhaustivamente ser un buen medio para solucionar de forma gráfica la ecuación 2.6, así como para obtener los esfuerzos principales para el caso del esfuerzo plano. Muchos libros de texto sobre diseño de máquinas presentan el método de círculos de Mohr como una técnica de solución primordial para la determinación de los esfuerzos principales. Antes de la llegada de las calculadoras programables y las computadoras, el método gráfico de Mohr era un recurso razonable y práctico para resolver la ecuación 2.6. Sin embargo, ahora resulta más práctico obtener numéricamente los esfuerzos principales. No obstante, se presenta el método gráfico por varios motivos. Puede servir como una verificación rápida de una solución numérica y ser el único método viable si la energía de su computadora falla o se agotan las baterías de su calculadora. También es útil para obtener una presentación visual del estado del esfuerzo en un punto determinado. * Ideados por el ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918). Sus círculos se usan también para la transformación de coordenadas de deformaciones, así como de momentos de área y productos de inercia. Los círculos de Mohr también funcionan para el caso de esfuerzos tridimensionales, aunque no hay un método de construcción gráfica para crearlos directamente a partir de los datos del esfuerzo aplicado, excepto en el caso especial donde uno de los esfuerzos principales coincide con un eje del sistema de coordenadas xyz seleccionado, es decir, donde un plano es el plano del esfuerzo principal. Sin embargo, una vez que se calculan los esfuerzos principales de la ecuación 2.4c (p. 74) por una técnica adecuada de búsqueda de raíces, los círculos de Mohr tridimensionales se pueden dibujar usando los esfuerzos principales calculados. Con este propósito, en el disco se incluye un programa llamado MOHR. En el caso especial del esfuerzo en 3-D, donde un esfuerzo principal permanece a lo largo de un eje de coordenadas, los tres círculos de Mohr se pueden construir gráficamente. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 77 El plano de Mohr, sobre el cual se dibujan los círculos, se traza con sus ejes mutuamente perpendiculares, pero el ángulo entre ellos es de 180° en el espacio real. Todos los ángulos dibujados sobre el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa es el eje de todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales aplicados σx, σy y σz se grafican a lo largo de este eje, y los esfuerzos principales σ1, σ2 y σ3 también se encuentran sobre éste. La ordenada es el eje de todos los esfuerzos cortantes. Se suelen dibujar los esfuerzos cortantes aplicados τxy, τyx y τxz para encontrar el esfuerzo cortante máximo.* Mohr utilizaba una convención de signos para los esfuerzos cortantes, lo cual hace positivos a los esfuerzos que giren en sentido del movimiento de las manecillas del reloj (cw), aunque esto no es consistente con el estándar convencional de la regla de la mano derecha. Sin embargo, esta convención de la mano izquierda se emplea incluso para sus círculos. La mejor forma de demostrar el uso de los círculos de Mohr es con ejemplos. 2 EJEMPLO 2-1 Determinación de los esfuerzos principales mediante los círculos de Mohr Problema Un elemento de esfuerzo biaxial como el mostrado en la figura 2-2 tiene Sx = 40 000 psi, Sy = –20 000 psi y Txy = 30 000 psi en sentido contrario al de las manecillas del reloj (ccw). Utilice los círculos de Mohr para determinar los esfuerzos principales. Verifique el resultado con un método numérico. Solución Véase las figuras 2-2 (p. 72) y 2-5. 1. Construya los ejes del plano de Mohr, como se indica en la figura 2-5b y desígnelos σ y τ. 2. Trace el esfuerzo aplicado σx (como la línea OA) a una escala conveniente a lo largo del eje de esfuerzo normal (horizontal). Observe que σx es un esfuerzo de tensión (positivo) en este ejemplo. 3. Trace a escala el esfuerzo aplicado σy (como la línea OB), a lo largo del eje del esfuerzo normal. Observe que σy es un esfuerzo de compresión (negativo) en este ejemplo. 4. La figura 2-2 muestra que el par de esfuerzos cortantes τxy crea un par en sentido contrario a las manecillas del reloj (ccw) sobre el elemento. Este par se compensa con el par en sentido de las manecillas del reloj (cw) proporcionado por los esfuerzos cortantes τyx. Recuerde que estos dos esfuerzos cortantes, τxy y τyx, son de la misma magnitud de acuerdo con la ecuación 2.2 (p. 72) y son positivos de acuerdo con la convención de signos de esfuerzos. Sin embargo, en vez de usar la convención de signos de esfuerzos, se grafican sobre el círculo de Mohr, de acuerdo con la rotación que le imprimen al elemento, usando la convención de signos de Mohr de la mano izquierda para el sentido de las manecillas del reloj (cw) y en sentido contrario a las manecillas del reloj (ccw). 5. Trace una línea vertical hacia abajo (ccw) desde la punta de σx (como línea AC) para representar la magnitud a escala de τxy. Trace una línea vertical hacia arriba (cw) desde la punta de σy (como línea BD) para representar la magnitud a escala de τyx. 6. El diámetro de uno de los círculos de Mohr es la distancia del punto C al punto D. La línea AB biseca CD. Trace el círculo usando esta intersección como centro. 7. Dos de los tres esfuerzos normales principales se obtienen en las dos intersecciones que este círculo de Mohr hace con el eje del esfuerzo normal en los puntos P1 y P3: σ1  52 426 psi en P1 y σ3  32 426 psi en P3. 8. Puesto que en este ejemplo no existen esfuerzos aplicados en la dirección z, se trata de un estado de esfuerzo bidimensional y el tercer esfuerzo principal, σ2, es igual a cero y está localizado en el punto O, el cual también está identificado como P2. * El hecho de que Mohr usara los mismos ejes para graficar más de una variable es una de las fuentes de confusión para los estudiantes, cuando éstos se encuentran por primera vez con dicho método. Sólo recuerde que todas las σ se grafican sobre el eje horizontal, siempre que se trata de esfuerzos normales aplicados (σx, σy y σz) o esfuerzos principales (σ1, σ2 y σ3); todas las τ se dibujan sobre el eje vertical, ya sea que sean esfuerzos cortantes aplicados (τxy, etcétera) o esfuerzos cortantes máximos (τ12, etcétera). Los ejes de Mohr no son ejes cartesianos convencionales. 78 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado T T z nota: cw + T12 D y 2 T13 T23 x P3 Tyx Txy Sy Tyx B P2 Sx A P1 Sy O S S3 S2 O S1 S Txy 2F Sx C (a) Cubo de esfuerzos T13 (b) Construcción del primer círculo (c) Los tres círculos de Mohr FIGURA 2-5 El cubo de esfuerzos y los círculos de Mohr del ejemplo 2-1 9. Deben dibujarse otros dos círculos de Mohr. Los tres círculos de Mohr están definidos por los diámetros (σ1  σ3), (σ1  σ2) y (σ2  σ3), los cuales son las líneas P1P3, P2P1 y P2P3. Los tres círculos se muestran en la figura 2-5c. 10. Trace líneas tangentes horizontales desde los extremos superior e inferior de cada círculo de Mohr hasta interceptar el eje de corte (vertical). Esto define los valores de los esfuerzos cortantes principales asociados con cada par de esfuerzos normales principales; es decir, τ13  42 426, τ12  26 213 y τ23  16 213 psi. Observe que a pesar de tener sólo dos esfuerzos normales principales diferentes de cero, hay tres esfuerzos cortantes principales diferentes de cero. Sin embargo, sólo el más grande de éstos, τmáx  τ13  42 426 psi, es de interés para el diseño. 11. También se pueden determinar los ángulos (con respecto a sus ejes xyz originales) de los esfuerzos normal principal y cortante principal, a partir del círculo de Mohr. Únicamente estos ángulos son de interés académico si el material es homogéneo e isotrópico. Si no es isotrópico, sus propiedades materiales son dependientes de la dirección y, por consiguiente, se vuelven importantes las direcciones de los esfuerzos principales. El ángulo 2φ  45° de la figura 2-5a representa la orientación del esfuerzo normal principal con respecto al eje x de su sistema original. Note que la línea DC sobre el plano de Mohr es el eje x en el espacio real y los ángulos se miden de acuerdo con la convención de la mano izquierda de Mohr, en sentido de las manecillas del reloj (cw). Puesto que los ángulos sobre el plano de Mohr son del doble de los del espacio real, el ángulo del esfuerzo principal σ1 con respecto al eje x del espacio real es φ  22.5°. El esfuerzo σ3 será de 90° considerando σ1, y el esfuerzo cortante máximo τ13 será de 45° tomando en cuenta el eje σ1 en el espacio real. Se desarrolló un programa de computadora llamado MOHR que se incluye en este texto. El programa MOHR permite la entrada de cualquier conjunto de esfuerzos aplicados y calcula los esfuerzos normal principal y cortante usando las ecuaciones 2.4 y 2.5 (p. 74). Luego, grafica los círculos de Mohr y también despliega la función de esfuerzo en la vecindad de las tres raíces de los esfuerzos principales. También se proporcionan los archivos de datos que se pueden leer con este programa. Abra el archivo EX04-01. moh de MOHR para ver la solución analítica de ese ejemplo. Se pueden introducir archivos adicionales con el nombre EX04.01 en varios programas comerciales (identificados por el sufijo); también calculan los esfuerzos principales y grafican la función de esfuerzo cúbica del ejemplo 2-1. Véase el CD-ROM del libro. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 79 Ahora se modificará ligeramente el ejemplo anterior para demostrar la necesidad de dibujar los tres círculos de Mohr, incluso en el caso del esfuerzo plano. El cambio más significativo consiste en hacer positivos ambos esfuerzos aplicados σx y σy, en vez de que tengan signos contrarios. EJEMPLO 2-2 Determinación de los esfuerzos planos usando los círculos de Mohr Problema El elemento de esfuerzo biaxial mostrado en la figura 2-2 tiene Sx = 40 000 psi, Sy = 20 000 psi y Txy = 10 000 psi en sentido contrario a las manecillas del reloj (ccw). Use los círculos de Mohr para determinar los esfuerzos principales. Verifique el resultado con un método numérico. Solución Véase las figuras 2-2 (p. 72) y 2-6. 1. Construya los ejes del plano de Mohr, como se indica en la figura 2-6 y desígnelos σ y τ. 2. Trace a escala el esfuerzo aplicado σx, que se proporciona (como la línea OA), a lo largo del eje del esfuerzo normal (horizontal). Observe que σx es un esfuerzo de tensión (positivo) en este ejemplo. 3. Trace a escala el esfuerzo aplicado σy (como la línea OB) a lo largo del eje del esfuerzo normal. Observe que en este ejemplo σy es también un esfuerzo de tensión (positivo), de modo que se encuentra en la misma dirección que σx a lo largo del eje σ. 4. La figura 2-2 indica que los esfuerzos cortantes τxy crean un par en sentido contrario a las manecillas del reloj (ccw) sobre el elemento. Este par se compensa con el par en sentido de las manecillas del reloj (cw) proporcionado por los esfuerzos cortantes τyx. Recuerde que estos dos esfuerzos cortantes, τxy y τyx, tienen la misma magnitud de acuerdo con la ecuación 2.2 (p. 72) y son positivos de acuerdo con la convención de signos de los esfuerzos. No obstante, en vez de usar la convención de signos de los esfuerzos, se grafican sobre el círculo de Mohr según la rotación que le imprimen al elemento, empleando la convención de signos de Mohr de la mano izquierda de cw y ccw. 5. Trace una línea vertical hacia abajo en sentido contrario a las manecillas del reloj (ccw) desde la punta de σx (como línea AC) para representar la magnitud a escala de τxy. Trace una línea vertical hacia arriba en sentido de las manecillas del reloj (cw) desde la punta de σy (como línea BD) para representar la magnitud a escala de τyx. 6. El diámetro de uno de los círculos de Mohr es la distancia desde el punto C hasta el punto D. La línea AB biseca CD. Dibuje el círculo usando esta intersección como centro. 7. Dos de los tres esfuerzos normales principales se obtienen entonces en las dos intersecciones que este círculo de Mohr forma con el eje del esfuerzo normal en los puntos P1 y P2: σ1  44 142 psi y σ2  15 858 psi. Observe que si se detiene en este punto, el esfuerzo cortante máximo es de τ12  14 142 psi, como lo define la proyección de una tangente horizontal que va desde lo alto del círculo hasta el eje τ, como se ilustra en la figura 2-6b. 8. Puesto que no existen esfuerzos aplicados en la dirección z en este ejemplo, se trata de un estado de esfuerzos bidimensional; en tanto que el tercer esfuerzo principal σ3 es cero y está localizado en el punto O, también designado como P3. 9. Existen otros dos círculos de Mohr que deben dibujarse. Los tres círculos de Mohr se definen mediante los diámetros (σ1  σ3), (σ1  σ2) y (σ2  σ3), los cuales en este caso son las líneas P1P3, P1P2 y P2P3, como se indica en la figura 2-6. 2 80 DISEÑO DE MÁQUINAS z T T13 T12 T12 x Tyx O Tyx Txy Un Enfoque Integrado T y 2 - Sy P3 D Sy T23 Sx A P1 S P2 B C Txy Sx S3 S1 S 2F T13 (b) Construcción del primer círculo (a) Cubo de esfuerzos S2 (c) Los tres círculos de Mohr FIGURA 2-6 El cubo de esfuerzos y los círculos de Mohr para el ejemplo 2-2 10. Trace líneas tangentes horizontales del extremo superior al extremo inferior de cada círculo de Mohr, hasta intersecar el eje cortante (vertical). Esto determina los valores de los esfuerzos cortantes principales asociados con cada par de esfuerzos normales principales; es decir, τ13  22 071, τ12  14 142 y τ23  7 929 psi. El mayor de éstos es τmáx  22,071, y no el valor 14 142 obtenido en el paso 7. 11. Observe que siempre es el círculo que se encuentra entre los esfuerzos principales mayor y menor lo que determina el esfuerzo cortante máximo. En el ejemplo anterior, el esfuerzo principal igual a cero no era el menor de los tres, porque un esfuerzo principal era negativo. En el presente ejemplo, el esfuerzo principal igual a cero es el menor. Por lo tanto, una falla al dibujar los tres círculos tendría como consecuencia un error grave en el valor de τmáx. 12. Los archivos EX04-02 pueden abrirse con el programa MOHR y otros. Véase el CDROM. Los dos ejemplos previos muestran algunos usos y limitaciones del enfoque del círculo de Mohr para el cálculo del esfuerzo plano. Desde un punto de vista práctico, mientras se tengan a la mano recursos computacionales (al menos en la forma de una calculadora de bolsillo programable), el método de la solución analítica (ecuación 2.4c, p. 74) es preferible para determinar los esfuerzos principales. Se trata de una solución universal (sirve para esfuerzos planos, deformaciones planas o cualquier caso general de esfuerzos) y da como resultado los tres esfuerzos principales. EJEMPLO 2-3 Determinación de esfuerzos tridimensionales usando métodos analíticos Problema Un elemento de esfuerzo triaxial, como el mostrado en la figura 2-1 (p. 72), tiene Sx = 40 000 psi, Sy = –20 000 psi, Sz = –10 000, Txy = 5 000, Tyz = –1 500, Tzx = 2 500 psi. Obtenga los esfuerzos principales usando un método numérico y dibuje los círculos de Mohr resultantes. Solución Véase las figuras 2-2 (p. 72) y 2-7. 1. Calcule las invariantes del tensor C0, C1 y C2 mediante la ecuación 2.4c. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN C2 = σ x + σ y + σ z = 40 000 − 20 000 − 10 000 = 10 000 81 ( a) T C1 = τ 2xy + τ 2yz + τ 2zx − σ x σ y − σ y σ z − σ z σ x = (5 000) + ( −1 500) + (2 500) − ( 40 000)( −20 000) −( −20 000)( −10 000) − ( −10 000)( 40 000) = 10.335 E8 2 2 T13 2 2 (b) S3 C0 = σ x σ y σ z + 2 τ xy τ yz τ zx − σ x τ 2yz − σ y τ 2zx − σ z τ 2xy = 40 000( −20 000)( −10 000) + 2(5 000)( −1 500)(2 500) −40 000( −1 500) − ( −20 000)(2 500) 2 2 (c ) σ 3 − C2 σ 2 − C1σ − C0 = 0 σ 3 − 10 000 σ 2 − 10.335 E8 σ − 8.248 E12 = 0 (d ) σ 3 = −20 687 3. Los esfuerzos de corte principales se obtienen ahora aplicando la ecuación 2.5 (p. 74). τ13 = τ 21 = τ 32 = σ1 − σ 3 2 σ 2 − σ1 2 σ3 − σ2 2 = = = 40 525 − ( −20 687) 2 = 30 606 −9 838 − 40 525 = 25 182 2 −20 687 − ( −9 838) 2 (e) = 5 425 4. Los archivos EX04-03 pueden abrirse con el programa MOHR y otros. Véase el CD-ROM. 2.6 S1 T13 2. Sustituya las invariantes en la ecuación 2.4c (p. 74) y resuélvala para sus tres raíces mediante el método de Viete o uno numérico. σ 2 = −9 838; S2 2 −( −10 000)(5 000) = 8.248 E12 σ1 = 40 525; S ESFUERZOS APLICADOS CONTRA ESFUERZOS PRINCIPALES Ahora se desea resumir las diferencias entre los esfuerzos aplicados a un elemento y los esfuerzos principales que ocurrirían sobre otros planos como resultado de los esfuerzos aplicados. Los esfuerzos aplicados son las nueve componentes del tensor de esfuerzo (ecuación 2.4a, p. 74) que se generan siempre que se aplican cargas a la geometría específica del objeto, definidas en un sistema de coordenadas seleccionado por conveniencia. Los esfuerzos principales son los tres esfuerzos normales principales y los tres esfuerzos cortantes principales definidos en la sección 2.3. Desde luego, muchos de los términos del esfuerzo aplicado pueden ser cero en un caso determinado. Por ejemplo, en la muestra de la prueba de tensión estudiada en el apéndice B, el único término de la ecuación 2.4a (p. 74) de esfuerzo aplicado diferente de cero es σx, el cual es unidireccional y normal. No existen esfuerzos cortantes aplicados sobre las normales a las superficies en el eje de la fuerza en cargas de tensión pura. Sin embargo, los esfuerzos principales son tanto normales como cortantes. FIGURA 2-7 Círculos de Mohr para el ejemplo 2-3 82 DISEÑO DE MÁQUINAS T T13 T12 2 S2 Sx S S1 S3 FIGURA 2-8 Círculos de Mohr para esfuerzos de tensión unidireccional (dos círculos coinciden y el tercero es un punto, ya que S2 = S3 = 0) Un Enfoque Integrado La figura 2-8 ilustra el círculo de Mohr de una muestra de prueba a la tensión. En este caso, el esfuerzo aplicado es de tensión pura, mientras que el esfuerzo normal principal máximo es igual a él en magnitud y dirección. Sin embargo, un esfuerzo cortante principal de la mitad del esfuerzo de tensión aplicado actúa sobre un plano de 45° desde el plano del esfuerzo normal principal. Por lo tanto, los esfuerzos cortantes principales usualmente serán diferentes de cero, incluso en ausencia de cualquier esfuerzo cortante aplicado. Este hecho es importante para entender por qué las piezas fallan y se estudiará con mayor detalle en el capítulo 3. Los ejemplos de la sección previa también refuerzan este punto. En este contexto, la tarea más difícil para el diseñador de máquinas consiste en determinar correctamente las ubicaciones, los tipos y las magnitudes de todos los esfuerzos aplicados que actúan sobre la pieza. Mediante las ecuaciones 2.4 a 2.6 (pp. 74-75), el cálculo de los esfuerzos principales es entonces mera formalidad. 2.7 P - TENSIÓN AXIAL La carga axial a la tensión (figura 2-9) es uno de los tipos de carga más sencillos que se pueden aplicar a un elemento. Se supone que la carga se aplica a través del centroide del área del elemento, y que las dos fuerzas opuestas son colineales a lo largo del eje x. En algún lugar alejado de los extremos donde se aplican las fuerzas, la distribución del esfuerzo a través de la sección transversal del elemento es esencialmente uniforme, como se muestra en la figura 2-10. Ésta es una razón por la que este método de carga se utiliza para probar las propiedades de los materiales, tal como se describe en el apéndice B. Los esfuerzos normales aplicados para tensión axial pura se calculan mediante P FIGURA 2-9 Barra en tensión axial P σx = P A ( 2.7) donde P es la fuerza aplicada y A es el área de la sección transversal del punto de interés. Éste es un esfuerzo normal aplicado. Los esfuerzos normales principales y el esfuerzo cortante máximo se obtienen con las ecuaciones 2.6 (p. 75). El círculo de Mohr para este caso se muestra en la figura 2-8. La carga permisible para cualquier elemento particular en tensión se determina comparando los esfuerzos principales con la adecuada resistencia del material. Por ejemplo, si el material es dúctil, se puede comparar la resistencia de fluencia a la tensión, Sy, con el esfuerzo normal principal y el factor de seguridad se calcula como N  Sy / σ1. El criterio de falla se tratará con mayor detalle en el capítulo 3. El cambio de longitud Δs de un elemento de sección transversal uniforme cargado con una tensión pura está dado por S Δs = Pl AE (2.8) donde P es la fuerza aplicada, A es el área transversal, l es la longitud cargada y E es el módulo de Young del material. P FIGURA 2-10 Distribución de esfuerzos en una barra bajo tensión axial La carga a la tensión es muy común; ocurre en cables, puntales, pernos y muchos otros elementos cargados axialmente. El diseñador necesita verificar cuidadosamente la presencia de otras cargas en el elemento que, si se presentan en combinación con la carga de tensión, crea un estado de esfuerzo diferente al de la tensión axial pura descrito aquí. Capítulo 2 2.8 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 83 ESFUERZO CORTANTE DIRECTO, ESFUERZOS DE CONTACTO Y DESGARRAMIENTO P Estos tipos de carga ocurren principalmente en conexiones con pernos, atornilladas o remachadas. Los modos de falla posibles son por cortante directo del conector (clavo, remache o tornillo), falla por contacto del conector o material envolvente, o desgarramiento del material que envuelve el conector. Véase los estudios de caso más adelante en este capítulo, para ejemplos de cálculo de estos tipos de esfuerzos. 2 Cortante directo A El cortante directo ocurre en situaciones donde no está presente la flexión. Un par de tijeras (también llamado par de cortantes) se diseña para producir cortante directo sobre el material a cortar. Unas tijeras de baja calidad o muy desgastadas no cortarán bien (incluso si están afiladas), si permiten la existencia de un espacio entre las dos cuchillas en dirección perpendicular al movimiento de éstas. La figura 2-11 muestra la condición de cortante directo y también una donde ocurre una flexión. Si el espacio entre las dos “cuchillas” o superficies cortantes se mantiene cercano a cero, entonces se puede suponer un estado de cortante directo y el esfuerzo promedio resultante sobre la cara de corte se estima con T xy  P Acorte P (a) Cortante directo P x ( 2.9) donde P es la carga aplicada y Acorte es el área que se está cortando, es decir, el área de la sección transversal a cortar. Se supone aquí que el esfuerzo cortante está distribuido uniformemente sobre la sección transversal. Esto no es exacto, ya que los esfuerzos locales más grandes ocurrirán en la cuchilla. En la figura 2-11a la cuchilla cortante está apretada contra las mandíbulas que sostienen la pieza que se trabaja. Por lo tanto, las dos fuerzas P están en el mismo plano y no crean un par. Esto provoca una condición de corte directo sin flexión. La figura 2-11b ilustra la misma pieza de trabajo con un pequeño hueco (x) entre la cuchilla de corte y las mandíbulas. Esto crea un brazo de momento, lo que convierte las fuerzas P en un par y genera flexión, en vez de cortar la pieza directamente. Desde luego, en este caso se desarrollan esfuerzos cortantes significativos, además de los esfuerzos de flexión. Observe que resulta difícil crear situaciones donde el cortante directo puro sea la única carga. Incluso los claros diminutos necesarios para el funcionamiento pueden superponer esfuerzos de flexión sobre los esfuerzos cortantes aplicados. Se estudiarán los esfuerzos debidos a la flexión en la siguiente sección. La situación representada en las figuras 2-11a y 2-12a se conoce también como cortante simple, debido a que únicamente el área de una sección transversal de la pieza necesita cortarse para romperse. La figura 2-12b muestra un pasador de pivote con cortante doble. Deben fallar dos áreas antes de que se separe. Esto se conoce como junta de horquilla con pasador, donde el eslabón en forma de yugo es la horquilla. El área que debe usarse en la ecuación 2.9 es ahora 2A. Se prefiere el cortante doble por encima del cortante simple en los diseños pivote-pasador. Los pivotes de cortante simple sólo se deben utilizar donde sea imposible dar soporte a ambos extremos del pasador, como en algunas manivelas, las cuales deben pasar por un lado de los eslabones adyacentes. Las juntas atornilladas y remachadas son de cortante simple cuando se unen únicamente dos piezas planas. M P (b) Cortante con flexión FIGURA 2-11 Carga cortante 84 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Presión de contacto directa El pasador de un pivote en un orificio como el de la figura 2-12 puede fallar por razones diferentes a un cortante directo. Las superficies del pasador y el orificio están sometidos a un esfuerzo de contacto directo, el cual es compresivo por naturaleza. Los esfuerzos de contacto se presentan siempre que dos superficies se presionan entre sí. Este esfuerzo tiende a aplastar el orificio o el pasador en vez de cortarlo. El esfuerzo de contacto es normal, compresivo y se calcula con la ecuación 2.7 (p. 82). Si el pasador se ajusta bien en el orificio básicamente sin claros, el área que se usa por lo general para este cálculo se considera el área de contacto proyectada del pasador y del orificio, no del área circunferencial. Es decir, 2 Acontacto  l d P ( 2.10a) donde l es la longitud del contacto y d es el diámetro del orificio o del pasador. Si existen claros entre el pasador y el orificio, entonces se reduce el área de contacto. Grandin[7] ha demostrado que para este caso el área de contacto puede aproximarse mediante Acontacto  P ld 4 ( 2.10b) La figura 2-13a muestra las áreas de contacto de la junta pasador-horquilla de la figura 2-12. Cada una de las dos piezas unidas debe verificarse por separado para fallas de contacto, ya que es posible que una falle independientemente de la otra. La longitud l (es decir, el espesor del eslabón) y el diámetro del pasador se ajustan para crear un área de contacto suficiente y eliminar la falla. Falla por desgarramiento P (a) Pivote con cortante simple (no es el ideal) P En juntas con pasador, otro modo de falla posible es el desgarramiento del material que rodea el orificio. Esto pasará si el orificio está colocado muy cerca del extremo. Se trata de una falla con cortante doble, pues requiere que ambos lados del orificio se separen del material raíz. La ecuación 2.9 es aplicable para este caso, siempre que se utilice el área cortante correcta. La figura 2-13b muestra las áreas desgarradas de la junta pasador-horquilla de la figura 2-12. Parece que el área se calcula como el producto del espesor del eslabón por la distancia del centro del orificio al extremo externo de la parte, duplicado para considerar ambos lados del orificio. Sin embargo, esta suposición implica que una cuña muy delgada de material dentro del diámetro del orificio agrega una significativa resistencia cortante. Una suposición más común y conservadora es usar dos veces el producto del espesor total del eslabón, por la dimensión del borde del orificio al exterior de la parte del área desgarrada. Resulta sencillo agregar suficiente material alrededor de los orificios para prevenir una falla por desgarramiento. Un mínimo de material de un diámetro del pasador entre el borde del orificio y el borde exterior de la pieza es un comienzo razonable para los cálculos de su diseño. 2.9 P (b) Pivote con cortante doble (preferido) FIGURA 2-12 Cortantes simple y doble VIGAS Y ESFUERZOS DE FLEXIÓN Las vigas son elementos muy comunes en estructuras y máquinas de cualquier tipo. Un cuerpo soportado intermitentemente sometido a cargas transversales a su longitud actuará como una viga. Vigas en pisos estructurales, vigas en el techo, ejes de maquinaria, resortes y armazones son unos cuantos ejemplos de elementos que con frecuencia se cargan como vigas. Las vigas normalmente tienen alguna combinación de esfuerzos normales y cortante distribuidos sobre sus secciones transversales. Es importante para Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN horquilla área de contacto del eslabón las áreas de contacto se muestran en gris P P P P eslabón 2 las áreas de desgarramiento visible se muestran en gris P eslabón áreas desgarradas P horquilla horquilla (2) P P eslabón (1) área de contacto de la horquilla (a) Áreas de esfuerzo por presión de contacto (b) Falla por desgarramiento FIGURA 2-13 Fallas por contacto y desgarramiento el diseñador entender cómo están distribuidos los esfuerzos dentro de las vigas, con la finalidad de seleccionar las ubicaciones correctas para el cálculo de los esfuerzos máximos. La memorización de las fórmulas de esfuerzo en las vigas, si bien es útil, no es suficiente si no se adquiere el conocimiento de cómo y dónde aplicarlas adecuadamente. Vigas con flexión pura En la práctica es raro encontrarse con una viga cargada estrictamente con flexión “pura”; sin embargo, es útil explorar este caso de carga tan sencillo como un medio para desarrollar la teoría de esfuerzos debidos a cargas de flexión. La mayoría de las vigas reales están sujetas a cargas cortantes combinadas con momentos de flexión. Ese caso se tratará en la siguiente sección. VIGAS RECTAS Como ejemplo de un caso de flexión pura, considere la viga recta, simplemente soportada, de la figura 2-14. Dos cargas concentradas P, idénticas, se aplican en los puntos A y B, los cuales se ubican a la misma distancia de los extremos respectivos de la viga. Los diagramas de cortante y momento flexionante para esta carga muestran que la sección central de la viga, entre los puntos A y B, tiene una fuerza cortante igual a cero y un momento de flexión constante de magnitud M. La ausencia de una fuerza cortante proporciona una flexión pura. La figura 2-15 muestra un segmento removido y ampliado de la viga, tomado entre los puntos A y B. Las suposiciones para el análisis son las siguientes: 1. El segmento analizado está alejado de las cargas aplicadas o las restricciones externas sobre la viga. 2. La viga está cargada en un plano de simetría. 85 86 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 3. Las secciones transversales de la viga permanecen planas y perpendiculares al eje neutral durante la flexión. 4. El material de la viga es homogéneo y obedece la ley de Hooke. 5. Los esfuerzos permanecen por debajo del límite elástico y las deflexiones son pequeñas. 2 6. El segmento está sujeto a flexión pura sin cargas axiales o cortantes. 7. La viga está recta inicialmente. El segmento sin carga en la figura 2-15a es recto, pero conforme el momento flexionante se va aplicando como en la figura 2-15b, el segmento se vuelve curvo (mostrado exageradamente). La línea de N a N a lo largo del eje neutro no cambia de longitud, aunque todas las otras líneas a lo largo de la dirección x deben acortarse o alargarse para mantener todas las secciones transversales perpendiculares al eje neutro. Las fibras externas de la viga en A-A se acortan, lo cual las pone en compresión; en tanto que las fibras externas en B-B se alargan y se ponen en tensión. Esto causa la distribución del esfuerzo flexionante mostrada en la figura 2-15b. La magnitud del esfuerzo flexionante es cero en el eje neutro y es linealmente proporcional a la distancia y del eje neutro. Esta relación se expresa mediante la conocida ecuación del esfuerzo flexionante: σx = − P P A B My I ( 2.11a) donde M es el momento flexionante aplicado en la sección en cuestión, I es el segundo momento del área (momento de inercia del área) de la sección transversal de la viga con respecto al plano neutro (que pasa por el centroide de la sección transversal de la viga recta), y y es la distancia del plano neutro al punto donde se calcula el esfuerzo. El esfuerzo flexionante máximo ocurre en las fibras externas y se expresa como R1 R2 S máx  diagrama de cargas Mc I ( 2.11b) donde c es la distancia del plano neutro a la fibra externa, ya sea en la parte superior o inferior de la viga. Observe que estas dos distancias serán las mismas tan sólo para las V 0 y -V 0 A A A N N B l diagrama de cortante M B A 0 A B l diagrama de momento Mz (b) Con carga eje neutro (eje centroidal) x (a) Sin carga B 0 c compresión N A N B Mz B tensión FIGURA 2-14 FIGURA 2-15 Flexión pura en una viga Segmento de una viga recta con flexión pura eje neutro Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 87 secciones que son simétricas en relación con el plano neutro. El valor de c se suele tomar como positivo tanto para las superficies superior como para la inferior, y se coloca el signo adecuado para el esfuerzo con base en una revisión de la carga de la viga, para determinar qué superficie está en compresión () y cuál en tensión (). 2 Con frecuencia, se usa una forma alterna de la ecuación 2.11b: S máx  M Z ( 2.11c) donde Z es el módulo de sección de la viga: Z= I c (2.11d ) Aun cuando estas ecuaciones se desarrollaron para el caso de flexión pura, son aplicables para los casos donde la deformación cortante es insignificante y donde además del momento se aplican otras cargas a la viga. En tales situaciones, los efectos de las cargas combinadas deben tomarse en cuenta adecuadamente. Esto se verá en secciones posteriores. En el apéndice E se incluyen las fórmulas de las propiedades geométricas (A, I, Z) de secciones transversales de vigas comunes y también se proporcionan como archivos de computadora en el disco. VIGAS CURVAS Muchas piezas de máquinas como ganchos de grúa, abrazaderas C, bastidores de troqueladores, entre otros, se cargan como vigas, aunque no sean rectas; tienen radios de curvatura. Las primeras seis suposiciones listadas antes para las vigas rectas también son aplicables. Si una viga tiene una curvatura significativa, entonces el eje neutro ya no coincidirá con el eje centroidal y las ecuaciones 2.11 no se aplican directamente. El eje neutro se desplaza hacia el centro de la curvatura en una distancia e, como se indica en la figura 2-16. e = rc − ∫ A dA r (2.12a) donde rc es el radio de curvatura del eje centroidal de la viga curva, A es el área de la sección transversal y r es el radio del centro de curvatura de la viga al área diferencial dA. La evaluación numérica de la integral se puede hacer para perfiles complejos.* eje centroidal * En la referencia [4] se encuentran expresiones de esta integral para diversas formas transversales comunes. Por ejemplo, para una sección transversal rectangular, e = rc – (ro – ri)/LN(ro/ri) dA co e ci eje neutro Mz ro r rn ri distribución del esfuerzo FIGURA 2-16 Segmento de una viga curva con flexión pura rc Mz rc 88 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La distribución del esfuerzo a través de la sección ya no es lineal sino que ahora es hiperbólica, y es mayor en la superficie interior de la sección transversal rectangular mostrada en la figura 2-16. La convención es definir un momento positivo como aquel que tiende a enderezar la viga. Esto crea tensión sobre la superficie interior, y compresión en la exterior, con un momento aplicado positivo y viceversa. Para cargas de flexión pura, las expresiones para los esfuerzos máximos en las superficies interna y externa de la superficie de una viga curva se convierten ahora en: 2 F F (a) Viga curva con fuerza de carga F F M M F F (b) Diagramas de cuerpo libre FIGURA 2-17 Viga curva con fuerza de carga σi = + M ⎛ ci ⎞ ⎜ ⎟ eA ⎝ ri ⎠ (2.12b) σo = − M ⎛ co ⎞ ⎜ ⎟ eA ⎝ ro ⎠ (2.12c) donde el subíndice i representa la superficie interior y el subíndice o la exterior, M es el momento aplicado en la sección en cuestión, A es el área de la sección transversal, en tanto que ri y ro son los radios de curvatura de las superficies interior y exterior. Estas expresiones contienen la razón c/r. Si el radio de curvatura r es grande comparado con c, entonces la viga parece más “recta” que “curva”. Cuando c/r se vuelve menor que 1:10 aproximadamente, los esfuerzos serán tan sólo alrededor de 10% mayores que los de una viga recta de las mismas dimensiones y carga. (Observe que ésta no es una relación lineal, en la medida en que e es también una función de c y r). Resulta más común tener cargas aplicadas en una viga curva, como se ilustra en la figura 2-17a. Un ejemplo es una abrazadera o un gancho. Los diagramas de cuerpo libre de la figura 2-17b muestran que ahora existen una fuerza axial y un momento en la sección de corte. Las ecuaciones del esfuerzo en el interior y el exterior de la viga se convierten en σi = + M ⎛ ci ⎞ F ⎜ ⎟+ eA ⎝ ri ⎠ A (2.12d ) σo = − M ⎛ co ⎞ F ⎜ ⎟+ eA ⎝ ro ⎠ A (2.12e) Los segundos términos de las ecuaciones 2.12d y 2.12e representan el esfuerzo de tensión axial directo sobre la sección media de la viga. El archivo CURVBEAM calcula las ecuaciones 2.12 para cinco perfiles comunes de secciones transversales de viga curva: redondo, elíptico, trapezoidal, rectangular y en forma de T. Este programa utiliza integración numérica para evaluar la ecuación 2.12a, así como para encontrar el área y el centroide de la sección transversal. Cortante debido a cargas transversales La situación más común en una viga cargada es una combinación de fuerzas cortantes y momentos flexionantes aplicados a una sección específica. La figura 2-18 muestra una carga puntual en una viga simplemente apoyada, así como sus diagramas de fuerza cortante y de momento. Ahora se necesita estudiar cómo afecta la carga cortante el estado de esfuerzos dentro de las secciones transversales de la viga. La figura 2-19a ilustra un segmento tomado de la viga alrededor del punto A de la figura 2-18. Se muestra un elemento designado como P, recortado de la viga en el punto A. Este elemento tiene un ancho dx y se corta desde la fibra exterior en c hasta una profundidad y1 a partir del eje neutro. Observe que la magnitud del momento M(x1) sobre el lado izquierdo de P (cara b1-c1) es menor que el momento M(x2) sobre el lado Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 89 derecho (cara b2-c2) y su diferencia es el momento diferencial dM. La figura 2-18 indica que en el punto A, el momento M(x) se incrementa como una función de la longitud x de la viga, debido a la presencia en ese punto de la fuerza cortante V diferente de cero. Los esfuerzos normales sobre las caras verticales de P se obtienen con las ecuaciones 2.11a. Puesto que el esfuerzo normal debido a la flexión es proporcional a M(x), el esfuerzo σ sobre la cara del lado izquierdo de P es menor que el de la cara del lado derecho, como se muestra en la figura 2-19b. Para efectos de equilibrio, este desequilibrio de esfuerzos debe contrarrestarse mediante alguna otra componente del esfuerzo, la cual se ilustra como el esfuerzo cortante τ en la figura 2-19b. La fuerza que actúa sobre la cara del lado izquierdo de P, a cualquier distancia y desde el eje neutro, se obtiene multiplicando el esfuerzo por el área diferencial dA en ese punto. My dA I σdA = c ∫y My dA I 1 A 2 R1 R2 diagrama de cargas A V (2.13a) x 0 V La fuerza total que actúa sobre la cara del lado izquierdo se obtiene integrando F1x = F 0 l diagrama de cortantes (2.13b) A M y, de forma similar, para la cara del lado derecho: x 0 l 0 F2 x = c ∫y ( M + dM ) y I 1 (2.13c) dA diagrama de momentos FIGURA 2-18 La fuerza cortante sobre la cara superior a una distancia y1 del eje neutro se obtiene con Fxy = τ b dx Fuerza cortante y momento flexionante en una viga (2.13d ) donde el producto bdx es el área de la cara superior del elemento P. Para efectos de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre P deben sumar cero, M(x2) = M(x1) + dM M(x1) dx b V M(x) eje neutro b1 y dA b2 c1 x y1 c P V b1 M(x) A S T b2 S P c1 dS c2 c2 (a) Segmento de la viga con el elemento P cortado FIGURA 2-19 (b) Vista ampliada del elemento separado P Segmento de una viga en flexión y cortante transversal. Se muestra separado de la viga en el punto A de la figura 2-18 90 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Fxy = F2 x − F1x τ b dx = 2 τ= c ( M + dM ) y y1 I ∫ dM 1 dx Ib dA − ∫ c y1 My dA I (2.13e) c ∫ y dA y1 lo cual proporciona una expresión para el esfuerzo de corte τ como una función del cambio en el momento con respecto a x, la distancia y desde el eje neutro, el segundo momento del área I de la sección transversal y el ancho b de la sección transversal en y. La ecuación 1.16a (p. 41) indica que la pendiente de la función del momento dM/dx es igual a la magnitud de la función de cortante V en cualquier punto, de manera que: τ xy = V c ydA Ib y1 ∫ (2.13 f ) La integral de la ecuación 2.13f representa el primer momento con respecto al eje neutro de la porción del área de la sección transversal que existe por fuera del valor de y1 para el cual se está calculando el esfuerzo cortante. Es una convención asignar la variable Q al valor de esta integral. Q= y, entonces, τ xy c ∫ ydA y1 (2.13g) VQ = Ib Evidentemente, la integral Q variará con la forma de la sección transversal de la viga y, también, con la distancia y1 al eje neutro. Por lo tanto, para cualquier sección transversal particular, se debería esperar que el esfuerzo cortante varíe a lo largo de la viga. Siempre será cero en las fibras externas porque Q desaparece cuando y1 se hace igual a c. Esto tiene sentido, ya que no hay material para que exista cortante en la fibra exterior. El esfuerzo cortante debido a cargas transversales será máximo en el eje neutro. Estos resultados son muy fortuitos, ya que el esfuerzo normal debido a la flexión es máximo en la fibra exterior y cero en el eje neutro. De modo que su combinación sobre cualquier elemento específico dentro de la sección transversal rara vez crea un estado de esfuerzo peor que el que existe en las fibras exteriores. El esfuerzo cortante debido a la carga transversal será pequeño comparado con el esfuerzo flexionante Mc / I si la viga es larga comparada con su profundidad. La explicación de esto la brindan la ecuación 1.16 y los diagramas de cortante y de momento, cuyo ejemplo se muestra en la figura 2-18. Puesto que la magnitud de la función de momento es igual al área bajo la función de cortante, para cualquier valor dado de V en la figura 2-18, el área debajo de la función de cortante y, por lo tanto, el momento máximo se incrementará con la longitud de la viga. Entonces, mientras la magnitud del esfuerzo cortante máximo permanece constante, el esfuerzo flexionante se incrementa con la longitud de la viga, disminuyendo finalmente el esfuerzo cortante. La regla general comúnmente usada indica que el esfuerzo cortante debido a la carga transversal en una viga será lo suficientemente pequeño como para ignorarlo, si la razón longitudprofundidad de la viga es de 10 o más. En vigas cortas que tienen una razón por debajo de ese valor, deberían investigarse los esfuerzos cortantes transversales, así como esfuerzos flexionantes. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 91 VIGAS RECTANGULARES El cálculo de los esfuerzos cortantes debidos a cargas transversales usualmente se convierte en un ejercicio de evaluación de la integral de Q para la sección transversal particular de la viga. Una vez que se hace esto, se calcula fácilmente el valor máximo de τ. Para una viga con una sección transversal rectangular de ancho b y profundidad h, dA  b dy y c  h / 2. Q= c c 1 1 b⎛h 2 ∫yydA = b∫yydy = 2 ⎜⎝ 4 2 ⎞ − y12 ⎟ ⎠ y (2.14a) ⎞ V ⎛ h2 τ= − y12 ⎟ 2 I ⎜⎝ 4 ⎠ El esfuerzo cortante varía parabólicamente a lo largo de una viga rectangular, como se muestra en la figura 2-20a. Cuando y1  h / 2, τ  0 como se esperaba. Cuando y1  0, τmáx  Vh2 / 8I. Para un rectángulo, I  bh3 / 12, lo cual da T máx = 3V 2 A VIGAS REDONDAS Las ecuaciones 2.13g se aplican para cualquier sección transversal. La integral Q para una sección transversal circular es ∫ ∫ c ( 2 Q = ydA = 2 y r − y dy = r 2 − y12 3 y1 y1 2 2 ) 3 2 3⎤ ⎡2 V ⎢ r 2 − y12 2 ⎥ ⎢3 ⎥⎦ 4 V ⎛ VQ y2 ⎞ = 1 − 12 ⎟ τ= = ⎣ ⎜ 2 bI ⎛ πr 4 ⎞ 3 πr ⎝ r ⎠ 2 r 2 − y2 ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ T máx  esfuerzo cortante (2.15b) T máx  ( 2.15c) Si la viga redonda es hueca y de pared delgada (espesor de la pared  1/10 aproximadamente del radio exterior), el esfuerzo cortante máximo en el eje neutro será aproximadamente de T máx 2V A x 4V 3 A (b) viga redonda sólida Ésta también es una distribución parabólica, aunque tiene un valor pico menor que la sección rectangular, como se indica en la figura 2-20b. En el eje neutro, el esfuerzo cortante máximo en una viga sólida de sección transversal circular es: 4V 3 A 3V 2 A eje neutro ) T máx = x (a) viga rectangular (2.15a) y la distribución del esfuerzo cortante es ( eje neutro ( 2.14b) Esto es válido sólo para vigas de sección transversal rectangular y se muestra en la figura 2-20a. c esfuerzo cortante ( 2.15d ) esfuerzo cortante eje neutro T máx x 2V A (c) viga redonda hueca como se muestra en la figura 2-20c. FIGURA 2-20 VIGAS-I Se puede demostrar matemáticamente que la configuración de la viga-I de la figura 2-21a es la forma óptima de sección transversal para una viga en términos de la razón resistencia-peso. Esto explica por qué las vigas-I se usan comúnmente como vigas Distribución de esfuerzo cortante y máximo en vigas redonda, redonda hueca y rectangular 92 DISEÑO DE MÁQUINAS patín eje x neutro 2 alma patín - Un Enfoque Integrado para el piso y para el plafón (techo) en estructuras grandes. Su perfil coloca la mayoría del material en las fibras externas donde el esfuerzo flexionante es máximo. Esto da como resultado un gran momento de inercia del área para resistir el momento flexionante. Como el esfuerzo cortante es máximo en el eje neutro, el alma angosta que une los patines (llamada alma cortante) sirve para resistir las fuerzas cortantes en la viga. En una viga larga, los esfuerzos cortantes debidos a la flexión son pequeños comparados con los esfuerzos flexionantes, lo cual permite la esbeltez del alma, reduciendo así el peso. Una expresión que aproxima el esfuerzo cortante máximo en una viga-I usa sólo el área del alma e ignora los patines: T máx (a) perfil de viga-I carga esfuerzo cortante V Aweb ( 2.16) La figura 2-21b muestra la distribución del esfuerzo cortante a través de la profundidad de la sección de la viga-I. Observe las discontinuidades en las interfases alma-patín. El esfuerzo cortante en el patín es pequeño debido a su área grande. El esfuerzo cortante salta hacia un valor mayor en las entradas del alma, luego se eleva parabólicamente hasta un máximo en el eje neutro. x 2.10 T máx V Aweb (b) Distribución del esfuerzo FIGURA 2-21 Distribución del esfuerzo cortante y máximo en una viga-I DEFLEXIÓN EN VIGAS Además de los esfuerzos en una viga, el diseñador también debe preocuparse por sus deflexiones. Cualquier carga de flexión aplicada provocará una deflexión en la viga, ya que se trata de un material elástico. Si la deflexión no causa deformaciones más allá del punto de fluencia del material, la viga regresará a su estado sin flexión cuando se retire la carga. Si la deformación excede ese punto de fluencia del material, la viga cederá y “adquirirá dureza” si es dúctil, o quizá se fracture si es frágil. Si a la viga se le da un tamaño para evitar los esfuerzos que exceden el punto de fluencia del material (u otros criterios de resistencia adecuados), entonces no se debe presentar un endurecimiento o una ruptura permanente. Sin embargo, las deflexiones elásticas de esfuerzos muy por debajo de los niveles de falla del material pueden generar serios problemas en una máquina. Las deflexiones pueden causar interferencias entre las piezas móviles o desalineamientos que destruyen la exactitud requerida del dispositivo. En general, diseñar para minimizar las deflexiones ocasionará secciones transversales más grandes de la viga, que si se diseña sólo contra las fallas por esfuerzos. Incluso en estructuras estáticas, como edificios, la deflexión puede ser el criterio decisivo para decidir el tamaño de las vigas en los pisos o los plafones. Usted tal vez haya caminado sobre un piso residencial que rebote de forma notoria con cada paso. El piso es indudablemente seguro contra el colapso debido a los esfuerzos excesivos, pero no fue diseñado lo suficientemente rígido para evitar deflexiones indeseables bajo cargas de trabajo normales. La deflexión por flexión de una viga se calcula por integración doble de la ecuación de la viga, M d2y = EI dx 2 (2.17) la cual relaciona el momento aplicado M, el módulo de elasticidad E del material y el momento de inercia del área de la sección transversal I con la segunda derivada de la deflexión de la viga y. La variable independiente x es la posición a lo largo de la longitud de la viga. La ecuación 2.17 es válida únicamente para deflexiones pequeñas, lo cual no es una limitación en la mayoría de los casos de diseño de vigas para aplicaciones de maquinaria o estructurales. Algunas veces las vigas se utilizan como resortes y, por consiguiente, sus deflexiones pueden exceder las restricciones de esta ecuación. El diseño de resortes se estudiará en un capítulo posterior. La ecuación 2.17 tampoco incluye los Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 93 efectos de la deflexión provocada por cargas cortantes transversales. La componente cortante transversal de la deflexión en vigas largas es pequeña comparada con aquella que la flexión provoca, y por lo general se ignora a menos que la razón longitud/profundidad de la viga sea  10 aproximadamente. La ecuación 2.17 puede diferenciarse dos veces e integrarse dos veces para crear el conjunto de las cinco ecuaciones 2.18 (incluyendo la ecuación 2.17 repetida como ecuación 2.18c), las cuales definen el comportamiento de la viga. En la sección 1.9 se expuso la relación entre la función de carga q(x), la función cortante V(x) y la función momento M(x). V es la primera derivada y q la segunda derivada de la ecuación 2.17 con respecto a x. La integración de la ecuación 2.17 una vez da la pendiente θ de la viga y, al integrar una segunda vez, se obtiene la deflexión y de la viga. Estas relaciones forman el siguiente conjunto de ecuaciones para vigas: q d4y = 4 EI dx (2.18a) V d3y = 3 EI dx (2.18b) M d2y = EI dx 2 (2.18c) θ= dy dx (2.18d ) ( y = f (x) (2.18e) En estas ecuaciones, el único parámetro del material es el módulo de Young E, el cual define su rigidez. Puesto que la mayoría de las aleaciones de un metal base determinado tienen esencialmente el mismo módulo de elasticidad, las ecuaciones 2.18 muestran por qué no existe ventaja en el uso de una aleación más costosa y más fuerte cuando se diseña para minimizar la deflexión. Las aleaciones de alta resistencia, por lo general, sólo proporcionan resistencias máximas a la fluencia o a la ruptura, mientras que el diseño en contra de un criterio de deflexión dará como resultado esfuerzos relativamente bajos. Éste es el motivo por el cual las vigas-I y otros perfiles de acero estructurado se elaboran fundamentalmente con aceros de baja resistencia y al bajo carbono. La determinación de la deflexión de una viga es un ejercicio de integración. Por lo general, se conoce la función de carga q y puede integrarse por cualquiera de varios métodos: analítico, gráfico o numérico. Las constantes de integración se evalúan a partir de las condiciones de frontera de la configuración específica de la viga. Los cambios de sección en el módulo a través de la viga requieren de la creación de la función M/EI a partir del diagrama de momento antes de la integración de la pendiente de la viga. Si el momento de inercia de área I de la viga y el módulo E del material son uniformes en su longitud, la función de momento se puede dividir justo entre la constante EI. Si la sección transversal de la viga cambia en alguna parte de su longitud, entonces la integración se debe hacer por partes para tomar en cuenta los cambios de I. Las formas integrales de las ecuaciones de la viga son V= M= θ= ∫ q dx + C1 0<x<l (2.19a) ∫ V dx + C x + C 0<x<l (2.19b) ∫ EI dx + C x 0<x<l (2.19c) 1 2 M 1 2 + C2 x + C3 2 94 DISEÑO DE MÁQUINAS y= 2 - Un Enfoque Integrado ∫ θ dx + C1x 3 + C2 x 2 + C3 x + C4 0<x<l (2.19d ) Las constantes C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones de frontera sobre las funciones cortante y momento. Por ejemplo, el momento será cero para el extremo de una viga simplemente apoyada y también será cero (o conocido si se aplica) en el extremo libre sin soporte de una viga. La fuerza cortante será cero en un extremo libre sin carga. Observe que si se incluyen las fuerzas de reacción en la función de carga q(x), entonces C1  C2  0. Las constantes C3 y C4 se obtienen a partir de las condiciones de frontera sobre la pendiente y las funciones de deflexión. Por ejemplo, la deflexión será cero en cualquier soporte rígido y la pendiente de la viga será cero en una junta de momentos. Se sustituyen dos combinaciones conocidas de valores de x y y, o bien, x y θ junto con C1 y C2 en las ecuaciones 2.19c y 2.19d, y se despejan C3 y C4. Se han desarrollado muchas técnicas de solución para tales ecuaciones como la integración gráfica, el método de áreamomento, métodos de energía y funciones de singularidad. En seguida se explorarán las dos últimas de éstas. Deflexión por funciones de singularidad En la sección 1.9 se estudió el uso de las funciones de singularidad para representar cargas sobre una viga. Estas funciones vuelven relativamente sencilla la ejecución analítica de la integración y se programan fácilmente para soluciones con computadora. En la sección 1.9 también se aplicó este enfoque para obtener las funciones cortante y momento, a partir de la función de carga. Ahora se ampliará esa técnica para desarrollar las funciones de pendiente y deflexión de las vigas. El mejor modo para explorar este método es por medio de ejemplos. Por consiguiente, se calcularán las funciones cortante, momento, pendiente y deflexión de la viga para los casos de la figura 2-22. EJEMPLO 2-4 Obtención de la pendiente y deflexión de una viga simplemente apoyada usando funciones de singularidad Problema Determine y grafique las funciones de pendiente y deflexión de la viga simplemente apoyada mostrada en la figura 2-22a. Se proporciona La carga es uniforme sobre parte de la longitud de la viga. Sea longitud de la viga l = 10 in, y la carga se localiza en a = 4 in. Para esta viga, I = 0.163 in4 y E = 30 Mpsi. La fuerza distribuida es w = 100 lb/in. Suposiciones El peso de la viga es despreciable comparado con la carga aplicada y por ende se puede ignorar. Solución Véase las figuras 2-22 y 2-23. 1. Resuelva para las fuerzas de reacción usando las ecuaciones 1.3 (p. 8). Sume los momentos con respecto al extremo derecho y sume las fuerzas en la dirección y: ∑ M z = 0 = R1l − w(l − a ) 100(10 − 4) = = 180 2l 2(10) 2 R1 = w (l − a ) 2 2 2 ( a) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN l l a a x–a¯0 w R1 F x–a¯–1 2 M1 x x R2 l R1 (a) Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida M1 (b) Viga en voladizo con carga concentrada b F A x RR b x–l¯–1 a w x–0¯0 w R1 x R2 R1 (c) Viga suspendida con fuerza concentrada y carga uniformemente distribuida R2 R3 (d) Viga estáticamente indeterminada con carga uniformemente distribuida FIGURA 2-22 Varias vigas y cargas en vigas ∑ Fy = 0 = R1 − w(l − a) + R2 (b) R2 = w(l − a) − R1 = 100(10 − 4) − 180 = 420 2. Escriba las ecuaciones para la función de carga en términos de las ecuaciones 1.17 (pp. 43-44) e integre la función resultante cuatro veces usando las ecuaciones 1.18 (pp. 44-45) para obtener las funciones cortante, momento, pendiente y deflexión. Para la viga simplemente apoyada con carga distribuida sobre una parte de su longitud: q = R1 x − 0 ∫ −1 −w x−a V = q dx = R1 x − 0 0 0 + R2 x − l −w x−a 1 −1 + R2 x − l (c ) 0 + C1 ∫ w x−a 2 ∫ R w ⎛ R1 x−0 2 − x−a 3 + 2 x−l 6 2 1 ⎜ 2 M dx = ⎜ 2 EI EI ⎜ Cx + 1 + C2 x + C3 ⎜ ⎝ 2 M = V dx = R1 x − 0 1 − 2 + R2 x − l 1 R w ⎛ R1 x−0 3 − x−a 4 + 2 x−l ⎜ 24 6 6 1 y = θ dx = ⎜ 3 2 EI ⎜ Cx C x + 1 + 2 + C3 x + C4 ⎜ ⎝ 6 2 ∫ (d ) + C1 x + C2 (e ) 2⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ (f) 3⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ RA (e) Viga en voladizo con soporte redundante x–a¯0 x θ= w l l a 95 ( g) 96 DISEÑO DE MÁQUINAS Diagrama de carga (lb) 400 200 2 x 0 5 R 1 ⎛ R1 w ⎞ 0−0 3 − 0 − a 4 + 2 0 − l 3 + C3 (0) + C4 ⎠ 24 6 EI ⎝ 6 R1 R w C4 = − 0−0 3 + 0 − 4 4 − 2 0 − 10 3 − C3 (0) 6 24 6 R1 R2 w C4 = − (0) + (0) − (0) − C3 (0) = 0 6 24 6 y( 0 ) = 0 = 10 Diagrama de cortante (lb) 200 x 0 Un Enfoque Integrado 3. Se deben obtener cuatro constantes de integración. Las constantes C1 y C2 son iguales a cero porque las fuerzas de reacción y los momentos que actúan sobre la viga están incluidos en la función de carga. La deflexión y es cero en los soportes. Las constantes C3 y C4 se obtienen sustituyendo las restricciones x  0, y  0 y x  l, y  0 en la ecuación (g). –200 0 - (h) –200 –400 y( l ) = 0 = –600 0 5 10 [ Diagrama de momento (lb-in) 0 5 x 10 Diagrama de pendiente (rad) 0.001 3 − w l−a 24 4 + ] R2 l−l 6 3 + C3l + C4 ⎞ ⎠ w (l − a ) 4 − 2 l 2 (l − a ) 2 24l 100 C3 = (10 − 4) 4 − 2(10)2 (10 − 4)2 = −2 460 24(10) C3 = 1000 800 600 400 200 0 1 ⎛ R1 l−0 EI ⎝ 6 [ ] (i ) 4. La sustitución de los valores o las expresiones de C3, C4, R1 y R2 obtenidas de las ecuaciones (a), (b), (h) e (i), en la ecuación (g) da la ecuación de la deflexión resultante para la viga del inciso (a) de la figura 2-22 (p. 95): y= {[ ] [ ] w 2(l − a)2 x 3 + (l − a) 4 − 2l 2 (l − a)2 x − l x − a 24lEI 4 } ( j) 5. La deflexión máxima ocurrirá en el punto x donde la pendiente de la curva de deflexión es cero. Iguale a cero la ecuación ( f ) de viga-pendiente y despeje x:* x 0 1 ⎛ R1 2 w ⎞ x − ( x − a)3 + C3 = 0 ⎠ 6 EI ⎝ 2 1 0= 90 x 2 − 16.67( x − 4)3 − 2 460 3E 7(0.163) θ= –0.001 0 5 ( 10 Diagrama de deflexión (in) 0 x ) x = 5.264 (k ) Observe que se necesita aplicar el método de Viete o un algoritmo numérico de búsqueda de raíces para obtener las raíces de esta ecuación cúbica. –0.001 –0.002 0 5 10 6. Use este valor de x en la ecuación (g) para obtener la magnitud de la deflexión más grande, ya sea positiva o negativa. FIGURA 2-23 Gráficas del ejemplo 2-4 ymáx ymáx  0.00176 in * Debido a que el valor de x en la deflexión máxima de una viga simplemente apoyada debe ser menor que la longitud entre los soportes l, el tercer término de la ecuación (f) es cero. ; « 210 4 100 ®  ¬ 2410  4.883E 6 ® ­ 2 =5.264 ;10 3 105.264 4 4 4 4 210 2 = 10 4 2 5.264 º® » ®¼ (l ) 7. Las gráficas de las funciones de carga, cortante, momento, pendiente y deflexión del inciso (a) se muestran en la figura 2-23. Los archivos EX04-04 se pueden abrir en el programa de su preferencia para examinar el modelo y ver las gráficas de las funciones de la figura 2-23 a escala ampliada. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 97 EJEMPLO 2-5 Obtención de la pendiente y deflexión de una viga en voladizo usando funciones de singularidad Problema Determine y grafique las funciones de pendiente y deflexión de la viga mostrada en la figura 2-22b (repetida aquí). l M1 Ignore el peso de la viga ya que es despreciable comparado con la carga aplicada. Solución Véase las figuras 2-22b y 2-24. R1 Viga en voladizo con carga concentrada Repetida −2 + R1 x − 0 ∫ V = qdx = − M1 x − 0 ∫ −1 M = Vdx = − M1 x − 0 θ= ∫ −1 −F x−a −1 ( a) + R1 x − 0 0 − F x − a 0 + C1 0 + R1 x − 0 1 −F x−a 1 R F ⎛ M1 − x−0 2 + 1 x−0 3 − x−a ⎜ 2 6 6 1 y = θ dx = ⎜ EI ⎜ C x3 C x2 + 1 + 2 + C3 x + C4 ⎜ ⎝ 6 2 ∫ (b) + C1 x + C2 R F ⎛ − M1 x − 0 1 + 1 x − 0 2 − x−a 2 2 1 ⎜ M dx = ⎜ EI EI ⎜ C x2 + 1 + C2 x + C3 ⎜ ⎝ 2 (c ) 2⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ (d ) 3⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ (e) El momento de reacción M1 en la pared se encuentra en la dirección z, mientras que las fuerzas R1 y F están en la dirección y en la ecuación (b). Todos los momentos en la ecuación (c) están en la dirección z. 2. Puesto que las reacciones están incluidas en la función de carga, los diagramas cortante y momento se acercan a cero en cada extremo de la viga, haciendo C1  C2  0. 3. La fuerza de reacción R1 y el momento de reacción M1 se calculan con las ecuaciones (b) y (c), respectivamente, pero sustituyendo las condiciones de frontera x  l, V  0, M  0. Note que se puede sustituir l por l ya que su diferencia es notablemente pequeña. ( ) V l + = 0 = R1 l − 0 0 = R1 − F R1 = F = 400 lb 0 2 x–a¯ – 1 FIGURA 2-22b 1. Escriba las ecuaciones para la función de carga en términos de las ecuaciones 1.17 (pp. 43-44) e integre dos veces la función resultante mediante las ecuaciones 1.18 (pp. 44-45), para obtener las funciones cortante y momento. Note la aplicación de la función doblete unitaria para representar el momento en la pared. Para la viga de la figura 2-22b, q = − M1 x − 0 F x Se proporciona La carga es la fuerza concentrada que se muestra. La longitud de la viga es l = 10 in, y la ubicación de la carga es a = 4 in. Para esta viga, I = 0.5 in4 y E = 30 Mpsi. La magnitud de la fuerza aplicada es F = 400 lb. Suposiciones a −F l−a 0 (f) 98 DISEÑO DE MÁQUINAS Un Enfoque Integrado ( ) M l + = 0 = − M1 l − 0 Diagrama de carga (lb) 400 0 + R1 l − 0 1 − F l − a 1 0 = − M1 + lR1 (l ) − F(l − a) 200 2 - ( g) M1 = R1 (l ) − F(l − a) = 400(10) − 400(10 − 4) = 1 600 lb - in cw 0 –200 –400 0 5 x 10 Diagrama de cortante (lb) 400 Puesto que w, l y a son datos conocidos, la ecuación ( f ) se puede resolver para R1, y sustituir este resultado en la ecuación (g) para obtener M1. Observe que la ecuación ( f ) es justo ΣFy  0 y la ecuación (g) es ΣMz  0. M1 no aparece en la ecuación ( f ) porque está en una dirección vectorial diferente de la de las fuerzas y. 4. Al sustituir x  0, θ  0 y x  0, y  0 en (d) y (e) y despejando C3 y C4: R 1 ⎛ F − M1 0 − 0 1 + 1 0 − 0 2 − 0−a EI ⎝ 2 2 R F C3 = M1 0 − 0 1 − 1 0 − 0 2 + 0−4 2 =0 2 2 θ(0) = 0 = 300 200 100 0 0 5 x 10 Diagrama de momento (lb-in) 0 2 R 1 ⎛ M1 F − 0−0 2 + 1 0−0 3 − 0−a EI ⎝ 2 6 6 M R F C4 = 1 0 − 0 2 − 1 0 − 0 3 + 0−4 3 =0 2 6 6 y( 0 ) = 0 = + C3 ⎞ ⎠ (h) 3 + C3 (0) + C4 ⎞ ⎠ (i ) x 5. La sustitución de las expresiones de C3, C4, R1 y M1 obtenidas de las ecuaciones (f), (g), (h) e (i), en la ecuación (e) nos da la ecuación de la deflexión para la viga en voladizo de la figura 2-22b (p. 95): –500 –1000 –1500 –2000 0 5 10 Diagrama de pendiente (rad) y= [ F x 3 − 3ax 2 − x − a 6 EI ( j) 6. La deflexión máxima de una viga en voladizo se da en su extremo libre. Se sustituye x  l en la ecuación ( j) para obtener ymáx. –0.0001 ymáx  F 3 l 6 EI –0.0002 ymáx  400 4 2 ;4 63 E 7 0.5 5 10 Diagrama de deflexión (in) x 0 –0.001 –0.002 0 ] x 0 0 3 ; 3al 2 l a 3 2 a =  Fa 6 EI 3l 310 =  0.00185 in (k ) 7. Las gráficas de las funciones de carga, cortante, momento, pendiente y deflexión se muestran en la figura 2-24. Observe que la pendiente de la viga se vuelve crecientemente negativa, para la porción de la viga entre el soporte y la carga y, luego, se vuelve constante a la derecha de la carga. Aun cuando no es muy notorio en la pequeña escala de la figura, la deflexión de la viga se convierte en una recta a la derecha del punto de aplicación de la carga. Los archivos EX04-05 se pueden abrir en el programa de su preferencia para examinar el modelo y ver a escala ampliada las gráficas de las funciones de la figura 2-24. 5 10 FIGURA 2-24 Gráficas del ejemplo 2-5 Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 99 EJEMPLO 2-6 l Determine la pendiente y deflexión de una viga indeterminada usando funciones de singularidad b a F w w x–0¯ 0 Problema Determine y grafique las funciones de pendiente y deflexión de una viga indeterminada, con carga uniformemente distribuida sobre una parte de su longitud y una fuerza concentrada en su extremo como se indica en la figura 2-22c (p. 95). Se proporciona Longitud de la viga l = 10 in y localizaciones de la carga en a = 4 in y b = 7 in. Para esta viga, I = 0.2 in4 y E = 30 Mpsi. La magnitud de la fuerza concentrada es F = 200 lb y la fuerza distribuida es w = 100 lb/in. Suposiciones El peso de la viga es despreciable comparado con las cargas aplicadas y puede ser ignorado. Solución Véase las figuras 2-22c (repetida aquí), 2-25 y 2-26. R2 R1 Viga suspendida con fuerza concentrada y carga uniformemente distribuida FIGURA 2-22c Repetida 1. La carga distribuida no se encuentra sobre la totalidad de la viga. Todas las funciones de singularidad se aplican desde su punto inicial hasta el extremo de la viga. Entonces, para terminar, la función escalonada de la carga uniforme en algún punto cerca del extremo de la viga se aplica otra función escalonada, de igual amplitud y de signo opuesto, para cancelarla en todos los puntos más allá de la longitud a, como se indica en la figura 2-25. La suma de las dos funciones escalonadas de signo opuesto es entonces cero a la derecha de la distancia a. q = R1 x − 0 −1 −w x−0 ∫ V = q dx = R1 x − 0 0 0 +w x−a −w x−0 1 0 + R2 x − b +w x−a 1 θ= ∫ −F x−l + R2 x − b ⎛R x − 0 1 − w x − 0 2 + w x − a 1 2 2 M = Vdx = ⎜ ⎜ 1 ⎝ − F x − l + C1 x + C2 ∫ −1 2 0 −1 −F x−l + R2 x − b 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ w w ⎛ R1 x−0 2 − x−0 3 + x−a 1 ⎜ 2 M 6 6 dx = C F EI EI ⎜⎜ x − l 2 + 1 x 2 + C2 x + C3 − ⎝ 2 2 3 + 0 + C1 R2 ⎞ x−b 2 ⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎠ R w w ⎛ R1 x−0 3 − x−0 4 + x−a 4 + 2 x−b 1 ⎜ 6 24 24 6 y = θ dx = F EI ⎜⎜ 3 C1 3 C2 2 − x−l + x + x + C3 x + C4 ⎝ 6 6 2 ∫ (a) (b) w w carga −w l−0 1+w l−a 0 = R1 − wl + w(l − a) + R2 − F R2 = − R1 + wl − w(l − a) + F = 400 lb 1 + R2 l − b 0 −F l−l x (d ) + 3⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ x (e ) w w x–a¯0 3. Puesto que tanto el corte como el momento son cero en x  l, las reacciones R1 y R2 se calculan simultáneamente usando (b) y (c) con x  l  l: 0 x = w x–0¯0 ww 2. Puesto que las reacciones están incluidas en la función de carga, los diagramas de corte y momento tienden a cero en cada extremo de la viga, haciendo que C1  C2  0. V (l ) = 0 = R1 l − 0 l a (c ) x x–l¯ – 1 0 (f) carga = w x–0¯0 + w x–a¯0 FIGURA 2-25 Las funciones de singularidad interrumpidas están formadas por la combinación de funciones de signo opuesto que inician en diferentes puntos a lo largo de la viga 2 100 DISEÑO DE MÁQUINAS M (l ) = 0 = ⎛ R1 l ⎝ Diagrama de carga (lb) 2 0 = R1l − 400 200 x 0 –200 0 5 10 Diagrama de cortante (lb) 400 200 0 x –200 –400 0 5 10 Diagrama de momento (lb-in) 400 x 0 –400 –800 0 5 10 Diagrama de pendiente (rad) − w l 2 Un Enfoque Integrado 2 + w l−a 2 2 + R2 l − b 1 − F l − l 1 ⎞ ⎠ 2 wl 2 w(l − a) + + R2 (l − b) 2 2 ( g) 2 ⎤ 1 ⎡ wl 2 w(l − a) − − R2 (l − b)⎥ = 200 lb R1 = ⎢ 2 l ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Observe que las ecuaciones ( f ) son justamente la suma de fuerzas  0 y la suma de momentos tomados con respecto al punto l e igualados a cero. 4. Al sustituir x  0, y  0 y x  b, y  0 en la ecuación (e) y despejando C3 y C4: R w w ⎛ R1 0−0 3 − 0−0 4 + 0−a 4 + 2 0−b 1 ⎜ 6 24 24 6 y( 0 ) = 0 = F EI ⎜⎜ 3 C1 3 C2 2 − 0−l + (0) + (0) + C3 (0) + C4 ⎝ 6 6 2 3⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ C4 = 0 (h) R w w ⎛ R1 b−0 3 − b−0 4 + b−a 4 + 2 b−b 1 ⎜ 6 24 24 6 y( b ) = 0 = F EI ⎜⎜ 3 C1 3 C2 2 b−l + − (b) + (b) + C3 (b) + C4 ⎝ 6 6 2 3⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 ⎡ R1 3 w 4 w ⎤ b − b − a 4⎥ − b + 24 24 b ⎢⎣ 6 ⎦ 1 ⎡ 200 3 100 4 100 = ⎢− (7) + (7) − (7 − 4) 4 ⎤⎥ = −252.4 7⎣ 6 24 24 ⎦ C3 = (i ) 5. La sustitución de las expresiones de C1, C2, C3, C4, R1 y R2 de las ecuaciones ( f ), (g), (h) e (i) en la ecuación (e) da la ecuación de la deflexión resultante 0.0001 R F ⎛ R1 3 w 4 w x − x + x−a 4 + 2 x−b 3 − x−l ⎜ 24 24 6 6 1 6 y= ⎜ 1⎡ R w w EI ⎜ ⎤ + ⎢− 1 ( b )3 + b − a 4 ⎥x (b) 4 − ⎜ ⎝ 24 24 b⎣ 6 ⎦ x 0 1 - –0.0001 –0.0002 3⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ( j) –0.0003 0 5 10 6. Puesto que una viga suspendida es una forma de viga en voladizo, la deflexión máxima está más probablemente en el extremo libre. Se sustituye x  l en la ecuación ( f ) para obtener ymáx. Diagrama de deflexión (in) x 0 ymáx –0.0003 –0.0006 0 5 10 FIGURA 2-26 Gráficas del ejemplo 2-6 ymáx R2 F ¥ R1 3 w 4 w l l l a 4 l b3 l 24 24 6 6 1 ¦ 6  ¦ w 1 ¨ R1 3 w EI ¦ · b a 4 l b b 4 ¦ © § bª 6 24 24 ¹̧ l 3´ µ µ µµ ¶ ¥ 200 10 3 100 10 4 100 10 4 4 400 10 7 3 ´  ¦ 6 µ 24 24 6 1  ¦ µ 200 3 1 ¨ 200 3 100 4 100 3E 70.2 ¦ 4· µ 0 7 7 7 4 10    § 6 7 ©ª 6 24 24 ¹̧ ¶  0.0006 in (k ) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 101 7. Las gráficas de las funciones de carga, cortante, momento, pendiente y deflexión para el inciso (c) se muestran en la figura 2-26. Los archivos EX04-06 se pueden abrir en el programa de su elección, con la finalidad de examinar el modelo y ver a escala ampliada las gráficas de las funciones de la figura 2-26. 2 Vigas estáticamente indeterminadas Cuando una viga tiene soportes redundantes, como se muestra en la figura 2-22d (repetida abajo), se dice que es estáticamente indeterminada. Este ejemplo también se conoce como viga continua y es bastante común. Las vigas que soportan las construcciones tienen con frecuencia varias columnas distribuidas debajo del espacio de la viga larga. Las magnitudes de más de dos fuerzas o momentos de reacción no se pueden obtener usando tan sólo las dos ecuaciones de equilibrio estático, ΣF  0 y ΣM  0. Para calcular más de dos reacciones se requieren ecuaciones adicionales y se debe usar la función de deflexión con este propósito. Se puede suponer que la deflexión será cero en cada soporte simple (como primera aproximación) y que se conoce la pendiente de la viga, o bien, puede estimarse aproximadamente en un soporte de momento.* Esto provoca una condición limitante adicional para cada reacción agregada, lo cual permite obtener la solución. SOLUCIÓN DE VIGAS INDETERMINADAS CON FUNCIONES DE SINGULARIDAD Las funciones de singularidad brindan una manera conveniente para establecer y evaluar las ecuaciones de las funciones de carga, cortante, momento, pendiente y deflexión, como ya se demostró en ejemplos anteriores. Este enfoque también sirve para resolver un problema de vigas indeterminadas y se demuestra mejor con otro ejemplo. EJEMPLO 2-7 Cálculo de las reacciones y deflexión de vigas estáticamente indeterminadas usando funciones de singularidad Problema l Determine y grafique las funciones de carga, cortante, momento, pendiente y deflexión para la viga de la figura 2-22d. Obtenga la deflexión máxima. Se proporciona La carga está uniformemente distribuida sobre una parte de la viga, como se muestra. Longitud de la viga l = 10 in, a = 4 in y b = 7 in. Para esta viga, I = 0.08 in4 y E = 30 Mpsi. La magnitud de la fuerza distribuida es w = 500 in/lb. Suposiciones El peso de la viga es despreciable comparado con las cargas aplicadas y se puede ignorar. Solución Véase las figuras 2-22d (repetida aquí) y 2-27 (p. 103). q = R1 x − 0 −w x−a ∫ 0 + R2 x − b −1 + R3 x − l −1 V = qdx = R1 x − 0 0 − w x − a 1 + R2 x − b 0 + R3 x − l ∫ M = Vdx = R1 x − 0 1 − (a) 0 + C1 w x − a 2 + R2 x − b 1 + R3 x − l 1 + C1 x + C2 2 w x–a¯ 0 x R1 R2 R3 Viga indeterminada con carga uniformemente distribuida FIGURA 2-22d 1. Escriba una ecuación para la función de carga en términos de las ecuaciones 1.17 (pp. 43-44) e integre cuatro veces la función resultante, usando las ecuaciones 1.18 (pp. 44-45) para obtener las funciones de cortante, momento, pendiente y deflexión. −1 b a (b) (c ) Repetida * Ya que es verdaderamente rígido, los apoyos de la viga pueden flexionarse (comprimirse) bajo las caras aplicadas. Sin embargo, si los apoyos son adecuadamente rígidos, el movimiento del apoyo será por lo general pequeño comparado con la deflexión de la viga, y para el análisis de tal deflexión puede suponerse igual a cero 102 DISEÑO DE MÁQUINAS θ= ∫ 2 - Un Enfoque Integrado R w ⎛ R1 x−0 2 − x−a 3 + 2 x−b 6 2 M 1 ⎜ 2 dx = ⎜ 2 EI EI ⎜ Cx + 1 + C2 x + C3 ⎜ ⎝ 2 R w ⎛ R1 x−0 3 − x−a 4 + 2 x−b ⎜ 6 24 6 1 y = θ dx = ⎜ 3 2 EI ⎜ Cx C x + 1 + 2 + C3 x + C4 ⎜ ⎝ 6 2 ∫ 3 2 + + R3 ⎞ x−l 2 ⎟ 2 ⎟ ⎟⎟ ⎠ (d ) R3 ⎞ x−l 3 ⎟ 6 ⎟ ⎟⎟ ⎠ (e ) 2. Hay tres fuerzas de reacción y cuatro constantes de integración por determinar. Las constantes C1 y C2 son iguales a cero porque las fuerzas de reacción y los momentos que actúan sobre la viga están incluidos en la función de carga. Esto deja cinco incógnitas. 3. Si se consideran las condiciones en un punto infinitesimal a la izquierda de x  0 (denotado como x  0 ), el cortante y el momento serán ambos iguales a cero. Las mismas condiciones se obtienen en un punto infinitesimal a la derecha de x  l (denotado como x  l ). Asimismo, la deflexión y debe ser cero en los tres soportes. Estas observaciones proporcionan las cinco condiciones de frontera necesarias para evaluar las tres fuerzas de reacción y las dos constantes de integración restantes; es decir, cuando x  0 , V  0, M  0; cuando x  0, y  0; cuando x  b, y  0; cuando x  l, y  0; cuando x  l, V  0, M  0. Tabla 2-2 4. Sustituya las condiciones de frontera x  0, y  0, x  b, y  0 y x  l, y  0 en (e). Datos calculados del ejemplo 2-7 Variable Valor para x  0: Unidad R1 158.4 lb y( 0 ) = 0 = R2 2471.9 lb C4 = 0 R3 369.6 lb C1 0.0 lb C2 0.0 lb-in C3 –1052.7 C4 0.0 in Vmín –1291.6 lb Vmáx 1130.4 lb Mmín –1141.1 lb-in Mmáx 658.7 lb-in rad Qmín –0.025 grados Qmáx 0.027 grados ymín –0.0011 in ymáx 0.0001 in 1 ⎛ R1 0−0 EI ⎝ 6 3 − w 0−a 24 4 + R2 0−b 6 3 R3 0−l 6 + 3 + C3 (0) + C4 ⎞ ⎠ (f) para x  b: y( b ) = 0 = C3 = 1 ⎛ R1 b−0 EI ⎝ 6 3 − w b−a 24 4 + R2 b−b 6 3 + R3 b−l 6 3 + C3b + C4 1 ⎛ R1 3 w ⎞ ⎞ 1 ⎛ R1 3 b−a 4 = − b + − 7 + 100(7 − 4) 4 = 385.7 − 8.17 R1 ⎠ ⎠ 7⎝ 6 24 b⎝ 6 ⎞ ⎠ ( g) para x  l: y( l ) = 0 = 1 ⎛ R1 l−0 EI ⎝ 6 3 − w l−a 24 C3 = 1 ⎛ R1 3 w l−a − l + l⎝ 6 24 C3 = 1 ⎛ R1 3 100 10 − 4 − 10 + 10 ⎝ 6 24 4 − 4 + R2 l−b 6 3 + R3 l−l 6 3 + C3l + C4 ⎞ ⎠ R2 ⎞ l−b 3 ⎠ 6 4 − R2 ⎞ 10 − 7 3 = 540 − 16.67 R1 − 4.5 R2 ⎠ 6 (h) 5. Se pueden escribir dos ecuaciones más mediante las ecuaciones (c) y (b), y considerando que en un punto l , infinitesimalmente más allá del extremo derecho de la viga, tanto V como M son cero. Se puede sustituir l por l  ya que su diferencia es notablemente pequeña. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN M (l ) = 0 = R1 l − 0 0 = R1l − 1 − w l−a 2 2 + R2 l − b 1 + R3 l − l 1 w (l − a)2 + R2 (l − b) 2 Diagrama de carga (lb) 2000 1 w R1 = ⎡⎢ (l − a)2 − R2 (l − b)⎤⎥ l ⎣2 ⎦ 1 ⎡100 R1 = (10 − 4)2 − R2 (10 − 7)⎤⎥ = 180 − 0.3 R2 10 ⎢⎣ 2 ⎦ V (l ) = 0 = R1 l 0 1 − w l − a + R2 l − b 103 0 + R3 l − l 0 2 1000 (i ) 0 x –1000 =0 0 5 10 0 = R1 − w(l − a) + R2 + R3 R2 = w(l − a) − R1 − R3 = 600 − R1 − R3 ( j) 6. Las ecuaciones ( f ) a (j) proporcionan cinco ecuaciones para las cinco incógnitas R1, R2, R3, C3, C4 y se pueden resolver simultáneamente. La función de deflexión se expresa en términos de geometría más la carga y fuerzas de reacción; pero en este caso es necesaria una solución simultánea. Diagrama de cortante (lb) 2000 1000 0 x –1000 –2000 R w ⎛ R1 3 1 ⎛ w ⎞ x + b − a 4 − 1 b3 x − x−a ⎝ ⎠ 1 ⎜ 6 6 24 b 24 y= ⎜ EI ⎜ R R + 2 x−b 3 + 3 x−l 3 ⎜ ⎝ 6 6 4⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 0 5 10 (k ) 7. Las gráficas de las funciones de carga, cortante, momento, pendiente y deflexión se muestran en la figura 2-27, y sus valores extremos en la tabla 2-2. Los archivos EX04-07 se pueden abrir con el programa de su preferencia para examinar el modelo y ver una ampliación de las funciones mostradas en la figura 2-27. Diagrama de momento (lb-in) 1000 500 0 –500 –1000 –1500 x 0 Este ejemplo muestra que las funciones de singularidad brindan un excelente medio para resolver problemas de vigas de reacciones y deflexiones, simultáneamente, cuando hay reacciones redundantes. Las funciones de singularidad permiten escribir una sola expresión para cada función que se aplica en toda la viga. También son inherentemente computarizables en conjunción con un resolvedor de ecuaciones que dé solución a las ecuaciones simultáneas. El método de funciones de singularidad utilizado aquí es universal y resuelve cualquier problema de los tipos que se estudiaron. Existen otras técnicas para la solución de problemas de deflexión y reacciones redundantes. El análisis de elementos finitos (FEA) resuelve estos problemas (véase el apéndice C). El método de área-momento trata la función de momento como si fuera una función de “carga” e integra dos veces para obtener la función de deflexión. Para información adicional sobre estos temas, se remite al lector a la bibliografía de este capítulo. El método de Castigliano emplea las ecuaciones de la energía de deformación para determinar la deflexión en cualquier punto. 5 10 Diagrama de pendiente (rad) 0.0005 0 x –0.0005 0 5 10 Diagrama de deflexión (in) x 0 –0.0005 2.11 MÉTODO DE CASTIGLIANO A menudo, los métodos de energía ofrecen soluciones sencillas y rápidas a los problemas. Por ejemplo, un método útil para la solución de deflexiones en vigas es el de Castigliano, el cual también brinda una solución para problemas de vigas indeterminadas. –0.0010 0 5 10 FIGURA 2-27 Gráficas del ejemplo 2-7 104 DISEÑO DE MÁQUINAS Un Enfoque Integrado Cuando se flexiona un elemento elástico por la acción de una fuerza, torque o momento, se almacena la energía de deformación en el elemento. Para deflexiones pequeñas, en la mayoría de geometrías, se puede suponer que la relación entre la fuerza aplicada, el momento, o torque, y la deflexión resultante es lineal, como se ilustra en la figura 1-17, que se repite aquí. Esta relación se conoce con frecuencia como razón k del resorte del sistema. El área debajo de la curva de deflexión por carga es la energía U de deformación almacenada en la pieza. Para una relación lineal, ésta es el área de un triángulo. F k 2 - Fi U= Di FIGURA 1-17 Energía almacenada en un resorte D Repetida Fδ 2 (2.20) donde F es la carga aplicada y δ es la deflexión. Castigliano observó que cuando un cuerpo se flexiona elásticamente por una carga, la deflexión en la dirección de la carga es igual a la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a esa carga. Si Q representa una carga generalizada y Δ una deflexión generalizada, Δ= ∂U ∂Q (2.21) Esta relación se puede aplicar a cualquier caso de carga, ya sea axial, de flexión, cortante o de torsión. Si hay más de un tipo de carga sobre la misma pieza, sus efectos se superponen mediante la ecuación 2.21 para cada caso. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN CON CARGA AXIAL Para una carga axial, la energía de deformación se obtiene sustituyendo la expresión de la deflexión axial (ecuación 2.8, p. 82) en la ecuación 2.20: U= 1 F 2l 2 EA (2.22a) la cual es válida únicamente si ni E ni A varían en la longitud l. Si varían con la distancia x a lo largo del elemento, entonces, se requiere una integración: U= F2 dx 0 EA ∫ 1 2 l ENERGÍA DE DEFORMACIÓN CON CARGA DE TORSIÓN la siguiente sección), la energía de deformación es U= (2.2b) Para carga de torsión (véase 1 l T2 dx 2 0 GK ∫ (2.22c) donde T es el torque aplicado, G es el módulo de rigidez y K es una propiedad geométrica de la sección transversal, como se definió en la tabla 2-2 (p. 102). ENERGÍA DE deformación es DEFORMACIÓN CON CARGA DE FLEXIÓN U= 1 2 Para la flexión, la energía de M2 dx 0 EI ∫ l donde M es el momento de flexión, que puede ser una función de x. (2.22d ) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 105 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN CON CARGA CORTANTE TRANSVERSAL Para una carga cortante transversal en una viga, la energía de deformación será una función del perfil de la sección transversal, así como de la carga y la longitud. Para vigas con secciones transversales rectangulares, la energía de deformación es U= 3 5 V2 dx 0 GA ∫ l 2 (2.22e) donde V es la carga cortante, la cual puede ser una función de x. Para secciones transversales diferentes de la rectangular, la fracción 3/5 será diferente. Los efectos de las cargas cortantes transversales sobre las deflexiones en las vigas son usualmente menores del 6% de los efectos debidos a los momentos de flexión, cuando la razón longitud-profundidad de la viga es  10. Por lo tanto, sólo las vigas cortas tendrán efectos significativos de cortante transversal. Para secciones transversales diferentes de las rectangulares, normalmente se utiliza 1/2 en la ecuación 2.22e en vez de 3/5, con la finalidad de obtener una aproximación rápida de la energía de deformación debida a cargas cortantes transversales. Este cálculo burdo dará una indicación de si el orden de la magnitud de la deflexión debida al cortante transversal es suficiente para justificar un cálculo más preciso. Deflexión por el método de Castigliano Este método es útil para el cálculo de deflexiones en puntos específicos de un sistema. La ecuación 2.21 relaciona la fuerza y deflexión mediante la energía de deformación. Para un sistema flexionado por más de un tipo de carga, los efectos individuales se pueden superponer usando una combinación de las ecuaciones 2.21 y 2.22. Cuando existen cargas de flexión y de torsión, sus componentes de deflexión por lo general serán significativamente mayores que aquéllas debidas a cualquier carga axial presente. Por tal motivo, algunas veces se ignoran los efectos axiales. La deflexión en puntos donde no hay una carga real se determina aplicando una “carga simulada” en ese punto y resolviendo la ecuación 2.21 con la carga simulada igual a cero. El cálculo se hace más fácil si la diferenciación parcial de la ecuación 2.21 se hace antes de realizar la integración definida en la ecuación 2.22. Para determinar la deflexión máxima, se requiere alguna noción de su localización a lo largo de la viga. El método de la función de singularidad, por otro lado, proporciona la función de deflexión sobre la viga completa, a partir de la cual los máximos y mínimos se obtienen fácilmente. Determinación de reacciones redundantes con el método de Castigliano El método de Castigliano brinda un modo conveniente para resolver problemas de vigas estáticamente indeterminadas. Las fuerzas de reacción en soportes redundantes sobre una viga se obtienen a partir de la ecuación 2.22d haciendo la deflexión en el soporte redundante igual a cero y al resolver para la fuerza. EJEMPLO 2-8 Determinación de las reacciones de una viga estáticamente indeterminada usando el método de Castigliano Problema Encuentre las fuerzas de reacción de la viga indeterminada de la figura 2-22e. 106 DISEÑO DE MÁQUINAS w 2 La carga está uniformemente distribuida sobre la viga, como se muestra. La longitud es l. La magnitud de la fuerza distribuida es w. Suposiciones Ignore el peso de la viga, ya que es despreciable comparado con la carga aplicada. Solución Véase la figura 2-22e. A x RR RA (e) Viga en voladizo con soporte redundante FIGURA 2-22e Viga indeterminada Un Enfoque Integrado Se proporciona l M1 - 1. Considere que la fuerza de reacción en A es redundante y descártela temporalmente. Entonces, la viga será estáticamente determinada y se flexionará en A. Ahora considere que la fuerza de reacción RA es una carga aplicada desconocida, lo cual hará que la deflexión sea cero (como debe ser, si el punto A es soportado). Si se escribe la ecuación de la deflexión en A en términos de la fuerza RA y, luego, se resuelve para RA con la deflexión igual a cero, se determinará la fuerza de reacción necesaria RA. 2. Escriba la ecuación 2.21 de la deflexión yA para la carga aplicada desconocida RA, en términos de la energía de deformación en la viga en ese punto. yA = ∂U ∂RA ( a) 3. Al sustituir la ecuación 2.22d y diferenciando: yA = ⎛1 ∂⎜ ⎝2 M2 ⎞ dx ⎟ 0 EI ⎠ = ∂RA ∫ l l M ∂M ∫0 EI ∂RA dx (b) 4. Escriba la expresión para el momento de flexión a una distancia x de A: M = RA x − 1 2 wx 2 (c ) 5. Su derivada con respecto a RA es: ∂M =x ∂RA (d ) 6. Sustituya (c) y (d) en (b) para obtener: yA = 1 EI 3 4 ⎛ R x 2 − 1 wx 3 ⎞ dx = 1 ⎛ RAl − wl ⎞ A ⎜ ⎠ EI ⎝ 3 2 8 ⎟⎠ 0⎝ ∫ l (e ) 7. Haga yA  0 y despeje RA para obtener: RA = 3 wl 8 (f) 8. A partir de la suma de fuerzas y la suma de momentos, se tiene: RR = 5 wl 8 M1 = 1 2 wl 8 ( g) Capítulo 2 2.12 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 107 TORSIÓN Cuando los elementos se cargan con un momento respecto a su eje longitudinal, se dice que están en torsión y, por consiguiente, el momento aplicado se llama torque. Esta situación es común en ejes de transmisión de potencia, en tornillos y en cualquier situación donde el vector del momento aplicado sea paralelo al eje largo de una pieza, en vez del transversal, como en el caso de la flexión. Muchas piezas de máquinas tienen cargas combinadas de torques y momentos de flexión; se tratarán estas situaciones en capítulos posteriores. Aquí sólo se desea considerar el caso sencillo de carga de torsión pura. La figura 2-28a muestra una barra recta que tiene una sección transversal circular uniforme con un torque puro aplicado, de tal manera que no se presentan momentos de flexión ni otras fuerzas. Esto se puede llevar a cabo con una llave inglesa de doble manija, como una llave de macheulo, la cual permite que se aplique un par puro sin fuerza transversal neta. El extremo fijo de la barra está empotrado en una pared rígida. La barra gira alrededor de su eje largo y su extremo libre se flexiona un ángulo θ. Las suposiciones para este análisis son las siguientes: 1. El elemento analizado está alejado de las cargas aplicadas o las restricciones externas sobre la barra. 2. La barra está sometida a torsión pura en un plano normal a su eje y no hay cargas de flexión axial o de corte directo. 3. Las secciones transversales de la barra permanecen planas y perpendiculares al eje. 4. El material de la barra es homogéneo, isotrópico y cumple con la ley de Hooke. 5. Los esfuerzos permanecen por debajo del límite elástico. 6. La barra es recta inicialmente. SECCIONES CIRCULARES Un elemento diferencial tomado de cualquier parte de la superficie exterior se cortará con una carga de torque. El esfuerzo τ es cortante puro, y varía desde cero en el centro hasta un máximo en el radio exterior, como se indica en la figura 2-28b, τ= Tρ J (2.23a) donde T  torque aplicado, ρ  radio en cualquier punto y J  momento de inercia polar del área de la sección transversal. El esfuerzo es máximo en la superficie exterior, en el radio r, l T T r Q (a) Deflexión Q FIGURA 2-28 Barra redonda en torsión pura T (b) Distribución del esfuerzo cortante T 2 108 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado T máx  Tr J ( 2.23b) La deflexión angular debida al torque aplicado es 2 Tl JG θ= (2.24) donde l es la longitud de la barra y G es el módulo de corte (módulo de rigidez) del material, como se definió en la ecuación B.5. Observe que las ecuaciones 2.24 se aplican sólo para secciones transversales circulares. Cualquier otra forma de sección transversal se comportará de manera diferente. El momento de inercia polar del área de un sólido con sección transversal circular de diámetro d es J= πd 4 32 (2.25a) y para una sección transversal circular hueca de diámetro exterior do y diámetro interior di es J= ( π do4 − di4 32 ) (2.25b) La sección transversal circular es el perfil óptimo para cualquier barra sometida a carga de torsión y se debería usar en casos de torsión, siempre que sea posible. SECCIONES NO CIRCULARES En algunos casos, tal vez se necesiten otros perfiles por motivos de diseño. Las secciones no circulares sometidas a torsión tienen un comportamiento que transgrede algunas de las suposiciones enunciadas anteriormente. Las secciones no permanecen planas, más bien se torcerán. Las líneas radiales no permanecen rectas y la distribución del esfuerzo cortante no necesariamente es lineal a través de la sección. La expresión general para el esfuerzo cortante máximo debido a la torsión en secciones no circulares es T máx  T Q ( 2.26 a) donde Q es una función de la geometría de la sección transversal. La deflexión angular es θ= Tl KG (2.26b) donde K es una función de la geometría de la sección transversal. Observe la similitud entre esta ecuación y la 2.24. El factor de geometría K es el momento de inercia polar J sólo para una sección circular cerrada. Para cualquier forma de sección transversal cerrada diferente a la circular, el factor K será menor que J para las mismas dimensiones de la sección, lo cual es una indicación de lo valioso que resulta usar una sección circular cerrada para cargas de torsión. Este hecho se demostrará en el siguiente ejemplo. En la referencia 3 y en otras fuentes se pueden encontrar expresiones de Q y K de varias secciones transversales. La tabla 2-3 incluye expresiones de Q y K para algunas secciones transversales comunes; asimismo, muestra la ubicación del esfuerzo de corte máximo. Capítulo 2 Tabla 2-3 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 109 Expresiones de K y Q de algunas secciones transversales en torsión Los puntos negros indican los puntos de esfuerzos de corte máximos Perfil (Fuente: Ref. 4, con autorización) K Q 2 cuadrado sólido K  2.25a 4 2a cuadrado hueco t K a Q 4 2t 2  a t 2 at 2t a3 0.6 Q  2t  a t 2 2 las esquinas interiores pueden tener un esfuerzo mayor si el radio de la esquina es pequeño rectángulo sólido 2b K  ab 3 ¨ 16 © b¥ b4 ´ · 3.36 ¦1 ¸ a § 12 a 4 µ¶ ¸¹ ©ª 3 2a Q 8a 2 b 2 3a 1.8b rectángulo hueco t b K 2t 2  a t at bt 2 b t 2 2t 2 Q  2t  a t b t las esquinas interiores pueden tener un esfuerzo mayor si el radio de la esquina es pequeño a elipse sólida 3 3 2b K  Pa b 2 2 a Q Pab 2 2 Q Pab 2 2 t  r Q 4P 2 r 2t 2 ; 6 Pr 1.8t t  r t  U Q U 2t 2 ; 3U 1.8t t  U b 2a elipse hueca 3 3 ¨ 2b K  Pa b ©1 ¥1 2 2 t a b ©ª § t ´4· ¸ a ¶ ¸¹ ¨ ¥ ©1 §1 ©ª t ´4· ¸ a ¶ ¸¹ 2a tubo circular abierto r t K 2 Prt 3 ; 3 forma arbitraria abierta t 1 K  Ut 3 ; 3 U = longitud de la mediana t debe ser mucho más pequeña que el radio de curvatura mínimo 110 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado EJEMPLO 2-9 Diseño de una barra de torsión Problema 2 Se proporciona El torque aplicado es de 10 N-m. La hoja de acero tiene una longitud l = 1 m, ancho w = 100 Mm y espesor t = 1 mm. G = 80.8 GPa. t T Determine el perfil más adecuado de la sección transversal de una barra de torsión hueca, que está hecha de una hoja de acero de dimensiones conocidas, para resistir una carga de torsión pura con deflexión angular mínima. También obtenga el esfuerzo cortante máximo. Suposiciones Intente con cuatro formas diferentes de sección transversal: placa plana sin formado, sección circular abierta, sección circular cerrada y sección cuadrada cerrada. El perfil circular abierto es rolado, pero no está soldado en la costura. Las costuras de formas cerradas están soldadas para crear una sección transversal continua. Considere un diámetro medio o un perímetro medio consistentes con el ancho de la hoja. Solución Véase la figura 2-29 y la tabla 2-3. w (a) Placa plana t 1. Se aplicará la ecuación 2.26 a todas las secciones, siempre que se sustituya J por K y J/r por Q en el caso de la sección circular cerrada. T d 2. La placa plana sin formado se comporta como una sección rectangular sólida, como se muestra en la figura 2-29a y en la tabla 2-3. Tiene las dimensiones a  w / 2  0.05 m y b  t / 2  0.0005 m: ⎡ 16 b⎛ b4 ⎞ ⎤ K = ab 3 ⎢ − 3.36 ⎜1 − ⎥ a ⎝ 12 a 4 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 3 (b) Circular abierta 4 ⎡ 0.0005 ⎛ (0.0005) ⎞ ⎤ ⎥ 1− = (0.05)(0.0005)3 ⎢5.333 − 3.36 ⎜ 4 0.05 ⎝ 12(0.05) ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦ T t s K = 3.312 E – 11 m 4 = 33.123 mm 4 θ= (c) Cuadrada cerrada ( a) Tl (10)(1) = 3.736 rad = 214.1o = GK (8.08 E10)(3.312 E – 11) Evidentemente, ésta es una deflexión angular bastante grande, lo cual indica que la placa plana se enroscó como un sacacorchos por la carga de torsión. t Q= T d (d) Circular cerrada FIGURA 2-29 Secciones transversales del ejemplo 2-9 = 8a 2 b 2 3a + 1.8b 8(0.05)2 (0.0005)3 3(0.05) + 1.8(0.0005) (b) Q = 3.313E – 8 m 3 = 33.13 mm 3 10 T τ= = = 301.8 MPa = 43 772 psi Q 3.313E – 8 El esfuerzo cortante máximo es de 300 MPa, el cual requiere un material con una resistencia a la fluencia por encima de 520 MPa (75 000 psi) para que no ceda y Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 111 se endurezca. Esto requiere acero de alta resistencia. (Véase la sección 3.1 para el análisis de la relación entre la resistencia a la tensión y al corte, como se definió en la ecuación 3.9b en la p. 181). 3. La forma circular abierta está ahora formada por un tubo cuyo diámetro es de 3.18 cm, pero su costura longitudinal no está soldada y está abierta como se ilustra en la figura 2-29b. En la tabla 2-3, se observa que las expresiones para K y Q son 2 3 πrt 3 ⎛ w − t⎞ 2 ⎝π ⎠ 3 1 1 = π t = ( w − πt )t 3 = (0.1 − 0.001π)0.0013 3 2 3 3 K= (c ) K = 3.2286 E – 11 m 4 = 32.286 mm 4 θ= Tl (10)(1) = 3.833 rad = 219.6 o = GK (8.08 E10)(3.2286 E – 11) Ésta es una deflexión angular tan grande como la de la placa plana. Q= = 4π 2 r 2t 2 6 πr + 1.8t 4 π 2 (0.01542)2 (0.001)3 6 π(0.01542) + 1.8(0.001) (d ) Q = 3.209 E – 8 m 3 = 32.09 mm 3 T 10 τ= = = 311.6 MPa = 45 201 psi Q 3.209 E – 8 El esfuerzo y la deflexión son inaceptables. Se trata justamente de un diseño tan malo como el de la placa plana. 4. El tubo cuadrado cerrado se formó plegando la hoja en una sección cuadrada de lado s  a  w / 4. La costura está soldada como se muestra en la figura 2-29c. A partir de la tabla 2-3, K y Q, y el esfuerzo y la deflexión son ahora K= 2t ( a − t ) 2 4 2 at − 2t 2 4 4 w 0.1 2t 2 ⎛ − t ⎞ 2(0.001)2 ⎛ − 0.001⎞ ⎝4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ = = w 0.1⎞ 2 ⎛ 2 t − 2t 2 (0.001) − 2(0.001)2 ⎝ 4 ⎠ 4 K = 1.382 E – 8 m 4 = 13 824 mm 4 θ= (e) Tl (10)(1) = 0.00895 rad = 0.51o = GK (8.08 E10)(1.382 E – 8) 2 2 0.1 w Q = 2t ( a − t )2 = 2t ⎛ − t ⎞ = 2(0.001)⎛ − 0.001⎞ ⎝4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ Q = 1.152 E – 6 m 3 10 T = 8.7 MPa = 1 259 psi τ= = Q 1.152 E – 6 (f) La deflexión angular del tubo cuadrado es mucho menor que la de la sección abierta y el esfuerzo cortante máximo es ahora mucho más razonable. 2 112 2 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 5. La forma circular cerrada se formó con un tubo de diámetro exterior igual a 3.18 cm y su costura longitudinal está soldada, como se indica en la figura 2-29d. Se pueden usar las ecuaciones 2.24 y 2.25 (p. 108) o las ecuaciones generales 2.26 (p. 108) que implican K y Q, las cuales son ahora una función de J para este perfil circular. Para la deflexión, K=J= ( π do4 − di4 32 ); do = 4⎤ ⎡ w 4 w π ⎢⎛ ⎞ − ⎛ − 2t ⎞ ⎥ ⎝π ⎠ ⎥ ⎢⎝ π ⎠ ⎦= = ⎣ 32 w , π di = d o − 2 t 4⎤ ⎡ 0.1 4 0.1 − 2{0.001}⎞ ⎥ π ⎢⎛ ⎞ − ⎛ ⎝ π ⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ π ⎠ ⎦ 32 ( g) K = J = 2.304 E – 8 m 4 = 23 041 mm 4 θ= Tl (10)(1) = = 0.0054 rad = 0.31o GK (8.08 E10)(2.304 E – 8) y para el esfuerzo cortante máximo en la superficie exterior, Q= ( do4 − di4 J π = r 32 ro ) 4⎤ 4⎤ ⎡ w 4 ⎡ 0.1 4 w 0.1 − 2{0.001}⎞ ⎥ π ⎢⎛ ⎞ − ⎛ − 2t ⎞ ⎥ π ⎢⎛ ⎞ − ⎛ ⎝ ⎠ ⎝π ⎠ ⎥ ⎝ π ⎠ ⎥ ⎢⎝ π ⎠ ⎦ = ⎢⎣ π ⎦ = ⎣ w⎞ 0.1⎞ ⎛ ⎛ 32 32 ⎝ 2π ⎠ ⎝ 2π ⎠ Q = 1.448 E – 6 m 3 10 T = 6.91 MPa = 1 002 psi τ= = Q 1.448 E – 6 (h) 6. Este diseño circular cerrado tiene el menor esfuerzo y la deflexión y, a todas luces, es la mejor selección de los cuatro diseños presentados. El espesor de la pared podría incrementarse para reducir el esfuerzo y la deflexión, si así se desea. También necesita verificarse el diseño para un posible pandeo por torsión. Los archivos EX04-09 se pueden abrir en el programa de su preferencia. Los ejemplos anteriores dejan en claro las ventajas de usar secciones circulares cuando haya cargas de torsión. Recuerde que la cantidad del material y, por lo tanto, el peso son idénticos en todos los diseños de este ejemplo. La sección cuadrada cerrada tiene 1.6 veces la deflexión angular de la sección circular cerrada (tubo). La placa plana tiene 691 veces la deflexión del tubo circular cerrado. Observe que la sección circular abierta no es mejor para la torsión que la placa plana: tiene 708 veces la deflexión angular del tubo cerrado. Este tipo de resultados son verídicos para cualquier sección abierta en torsión, ya sea una viga-I, un canal, un ángulo, un cuadrado, un círculo o una forma arbitraria. Por lo general, cualquier sección abierta no es mejor para la torsión, que una placa plana con las mismas dimensiones de la sección transversal. Evidentemente, las secciones abiertas deberían eliminarse de todas las aplicaciones con carga de torsión. Incluso se deben eliminar las secciones cerradas no circulares, ya que son menos eficientes en cuanto a torsión que las secciones circulares cerradas. Sólo las secciones circulares cerradas, sólidas o huecas, son recomendables para aplicaciones con cargas de torsión. Capítulo 2 2.13 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 113 ESFUERZOS COMBINADOS En las piezas de máquinas, resulta muy común tener combinaciones de cargas que crean tanto esfuerzos normales como esfuerzos cortantes sobre la misma pieza. Quizás haya ubicaciones dentro de la pieza donde estos esfuerzos aplicados deban combinarse para encontrar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo. El mejor modo de explicar esto es con un ejemplo. 2 Diagrama de carga EJEMPLO 2-10 1 000 R 1 500 Esfuerzos de torsión y de flexión combinados 0 Problema Obtenga las localizaciones de los mayores esfuerzos sobre el soporte mostrado en la figura 2-30 y determine los esfuerzos aplicado y principal en esas ubicaciones. Se proporciona La longitud de la varilla l = 6 in y el brazo a = 8 in. El diámetro exterior de la varilla d = 1.5 in. Carga F = 1 000 lb. –500 F –1 000 0 2 4 6 Diagrama de cortante Suposiciones Solución La carga es estática y el montaje está a temperatura ambiente. Considere el cortante debido a cargas transversales, así como otros esfuerzos. V 1 000 Véase las figuras 2-30 a 2-33. 1. La investigación se limita a la varilla, la cual está cargada tanto a la flexión (como una viga en voladizo) como a la torsión. (En un diseño completo, también debería analizarse el brazo). Primero es necesario determinar las distribuciones de la carga sobre la longitud de la varilla, dibujando sus diagramas de cortante, momento y torque. 2. Los diagramas de cortante y momento son similares a los de la viga en voladizo del ejemplo 2-5, la diferencia es que esta fuerza se encuentra en el extremo de la viga, en vez de en algún punto intermedio. La figura 2-31 muestra que la fuerza cortante es uniforme a través de la longitud de la viga y su magnitud es igual a la carga aplicada Vmáx  F  1 000 lb. El momento máximo sucede en la pared y su magnitud es Mmáx  Fl  (1 000)(6)  6 000 lb-in. (Para las deducciones, véase el ejemplo 2-5). El torque aplicado a la barra se debe a la fuerza F que actúa en el extremo del brazo de 8 in y es Tmáx  Fa  (1 000)(8)  8 000 lb-in. Observe que este torque es uniforme sobre la longitud de la varilla, ya que sólo puede tener una reacción en contra por parte de la pared. La figura 2-31 muestra todas estas funciones de carga. De estas figuras, es evidente que la sección transversal más cargada es la de la pared, donde las tres cargas son máximas. 500 0 0 2 4 6 Diagrama de momento M 0 –2 000 –4 000 –6 000 0 2 4 6 Diagrama de torque T y 8 000 l A pared varilla B 4 000 d z brazo x F FIGURA 2-30 Soporte del ejemplo 2-10 a 0 0 2 4 6 FIGURA 2-31 Diagramas de carga para flexión cortante, momento y torque del ejemplo 2-10 114 DISEÑO DE MÁQUINAS y 2 z x (a) Distribución del esfuerzo normal de flexión a través de la sección y z x (b) Distribución del esfuerzo cortante transversal a través de la sección y z Sección transversal de la varilla del ejemplo 2-10 Un Enfoque Integrado 3. Ahora se tomará la sección de la varilla en la pared y se examinará dentro de ella la distribución del esfuerzo debido a las cargas externas. La figura 2-32a muestra la distribución de los esfuerzos normales de flexión, los cuales tienen un máximo (/) en las fibras externas y son iguales a cero en el eje neutral. El esfuerzo cortante debido a la carga transversal es máximo en todos los puntos del plano neutral (xz) y es cero en las fibras externas (figura 2-32b). El esfuerzo cortante debido a la torsión es proporcional al radio, de modo que es cero en el centro y máximo en todos los puntos sobre la superficie exterior, como se indica en la figura 2-32c. Observe las diferencias entre las distribuciones del esfuerzo de flexión normal y el esfuerzo cortante de torsión. La magnitud del esfuerzo de flexión es proporcional a la distancia y medida desde el plano neutro, de modo que es máxima sólo en las partes superior e inferior de la sección, mientras que el esfuerzo cortante de torsión es máximo alrededor de todo el perímetro. 4. Se seleccionan los puntos A y B en la figura 2-30 para analizarlos (también mostrados en la figura 2-30a) porque tienen las peores combinaciones de esfuerzos. El mayor esfuerzo de flexión a la tensión estará en la fibra externa más alta en el punto A y se combina con el mayor esfuerzo de corte a la torsión que está a todo alrededor de la circunferencia externa de la varilla. En la figura 2.33b se muestra un elemento diferencial tomado en el punto A. Observe que el esfuerzo normal (σx) actúa sobre la cara x en la dirección x y el esfuerzo cortante a la torsión (τxz) actúa sobre la cara x en la dirección z. En el punto B, el esfuerzo cortante a la torsión tiene la misma magnitud que en el punto A, pero la dirección del esfuerzo cortante a la torsión (τxy) en el punto B tiene 90° de diferencia con la del punto A. El esfuerzo cortante debido a la carga transversal (τxy) es máximo en el punto B. Advierta que estos esfuerzos cortantes actúan en la dirección y sobre la cara x en el punto B, como se observa en la figura 2-33c. Los esfuerzos cortantes a la torsión y transversales se suman después en el punto B. 5. Obtenga el esfuerzo de flexión normal y el esfuerzo cortante a la torsión en el punto A usando las ecuaciones 2.11b (p. 86) y 2.19b (p. 93), respectivamente. (c) Distribución del esfuerzo cortante de torsión a través de la sección FIGURA 2-32 - σx = Mc ( Fl )c 1 000(6)(0.75) = = 18 108 psi = I I 0.249 (a) τ xz = Tr ( Fa)r 1 000(8)(0.75) = = 12 072 psi = J J 0.497 (b) 6. Determine el esfuerzo cortante máximo y los esfuerzos principales que resultan de esta combinación de esfuerzos aplicados, usando las ecuaciones 2.6 (p. 75). ¥ Sx Sz ´ § ¶ 2 T máx  S1 = Sx Sz 2 2 18 108 0 ´ 2 T 2xz  ¥ § ¶ 2 T máx  12 072 2  15 090 psi 18 108 15 090  24 144 psi 2 S2 = 0 S3 = (c ) Sx Sz 2 T máx  18 108 15 090  6 036 psi 2 7. Obtenga el cortante debido a la carga transversal en el punto B sobre el eje neutro. El esfuerzo cortante transversal máximo en el eje neutro de una varilla redonda se determina con las ecuaciones 2.15c (p. 91). T transversal = 4V 41 000  755 psi  3 A 31.767 ( d) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 115 El punto B es cortante puro. El esfuerzo cortante total en el punto B es la suma algebraica del esfuerzo cortante transversal y el esfuerzo cortante a la torsión; ambos actúan sobre los mismos planos del elemento diferencial. T máx = T torsión T transversal  12 072 755  12 827 psi (e) 2 lo cual puede demostrarse, por las ecuaciones 2.6 o con el círculo de Mohr, que es igual al esfuerzo principal más grande en este punto. 8. El punto A tiene el mayor esfuerzo principal en este caso; sin embargo, observe que los valores relativos del torque y el momento aplicados determinan cuál de estos dos puntos tendrá el mayor esfuerzo principal. Entonces, ambos puntos deben verificarse. Vea los archivos EX04-10 del CD. A y T z F B 2.14 RAZONES DEL RESORTE Todas las piezas hechas de un material que tenga un rango elástico se pueden comportar como un resorte. Algunas piezas se diseñan para funcionar como resortes, generando una deflexión controlada y predecible en respuesta a una carga aplicada, o viceversa. La “elasticidad” de una pieza está definida por su razón de resorte k, la cual es igual a la carga por unidad de deflexión. Para resortes con movimiento rectilíneo, k= F y (a) Dos puntos de interés para los cálculos del esfuerzo y (2.27a) x z Txz = Tr/J donde F es la carga aplicada y y es la deflexión resultante. Las unidades usuales son lb/ in, o bien, N/m. Para resortes con movimiento angular la expresión general es k= T θ donde T es el torque aplicado y θ es la deflexión angular resultante. Las unidades usuales son in-lb/rad, o bien, N-m/rad, o algunas veces se expresa como in-lb/rev o N-m/rev. (b) Elemento de esfuerzo en el punto A La ecuación de la razón del resorte para cualquier parte se obtiene fácilmente de la ecuación de deflexión pertinente, la cual da la relación entre la fuerza (o torque) y la deflexión. Por ejemplo, para una barra uniforme en tensión axial, la deflexión está dada por la ecuación 2.8 (p. 82), replanteada para definir su razón de resorte axial. k= F : y pero but y = Fl , AE así que so k = AE l but θ = pero Tl , GJ así que so : k = GJ l x z 4V 3A Para una barra redonda de sección uniforme en torsión pura, la deflexión está dada por la ecuación 2.24 (p. 108), replanteadas para definir la razón del resorte a la torsión: T : θ y (2.28) Ésta es una razón de resorte constante, que depende sólo de la geometría de la barra y de las propiedades de su material. k= Sx = Mc/I Tzx (2.27b) (2.29) Ésta también es una razón de resorte constante, que depende sólo de la geometría de la barra y de las propiedades de su material. Tr/J (c) Elemento de esfuerzo en el punto B FIGURA 2-33 Elementos de esfuerzo en los puntos A y B dentro de la sección transversal de la varilla del ejemplo 2-10 116 DISEÑO DE MÁQUINAS a F x–a¯ – 1 2 Un Enfoque Integrado Para una viga en voladizo con una carga puntual concentrada como se muestra en la figura 2-22b (repetida aquí), la deflexión está dada por la ecuación ( j) del ejemplo 2-5, replanteada aquí para definir la razón de resorte de la viga, con la fuerza aplicada en el extremo (a  l): l M1 - x R1 Viga en voladizo con carga concentrada FIGURA 2-22b pero, cuando a = l, para F en x = l: entonces Repetida y F x3 6 EI 3ax 2 x y F x3 6 EI 3lx 2 0  ;  Fl 2 l 3l  6 EI F 3EI k  3 y l y a3 = Fx 2 x 6 EI 3l Fl 3 3EI ( 2.30) Observe que la razón del resorte k de una viga es única para su modo de soporte y su distribución de carga, ya que k depende de la ecuación de deflexión particular de la viga y del punto de aplicación de la carga. Se investigará el diseño de resortes con más detalle en un capítulo posterior. 2.15 CONCENTRACIÓN DEL ESFUERZO En todos los análisis de distribución de esfuerzos dentro de los elementos cargados que se han hecho hasta ahora, se ha supuesto que las secciones transversales de esos elementos son uniformes en todas partes. Sin embargo, la mayoría de las piezas de una máquina real tienen secciones transversales variables. Por ejemplo, a menudo los ejes se escalonan a diferentes diámetros para tomar en cuenta cojinetes, engranes, poleas, etcétera. Un eje puede tener ranuras para fijar anillos, o tener cilindros para llaves y orificios con la finalidad de fijar otras piezas. Los tornillos tienen rosca o cuerda y una cabeza más grande que su caña. Cualquiera de estos cambios en la geometría de la sección transversal provocará concentraciones de esfuerzos localizados. * El modelo de elemento finito era realmente más grande que el presentado y tenía las cargas aplicadas en los extremos, muy lejos de la sección mostrada. Esto se hizo así no sólo para mostrar las concentraciones locales de esfuerzo en los puntos de aplicación de la carga, sino para igualar los campos de esfuerzo del ejemplo fotoelástico, el cual quizá también era más grande que el mostrado por la misma razón. La figura 2-34 muestra la concentración de esfuerzos generada por muescas y filetes en una barra plana sometida a un momento de flexión. La figura 2-34b ilustra los efectos del esfuerzo conforme se mide usando técnicas fotoelásticas. El análisis de esfuerzo fotoelástico implica construir un modelo físico de la parte en un tipo especial de plástico transparente, cargándolo en una parte y fotografiándolo con luz polarizada, lo cual provoca que los esfuerzos se vean como “franjas” que describen la distribución de esfuerzo en la pieza. La figura 2-34c ilustra el modelo de un elemento finito (FEM) de una pieza con la misma geometría, y que está restringida y cargada del mismo modo que el espécimen fotoelástico. Sus líneas presentan barras iguales de niveles de esfuerzo. Observe que, en el extremo derecho de la pieza, donde la sección transversal es uniforme, las líneas de franjas de la figura 2-34b son rectas, de ancho uniforme y equidistantes. Las barras iguales del modelo de elemento finito (FEM) de la figura 2-34c muestran un patrón similar.* Esto indica una distribución lineal de esfuerzo a través de esta porción de la barra muy lejos de las muescas, pero donde la geometría cambia, la distribución de esfuerzo es completamente no lineal y es de magnitud más grande. En los filetes donde el ancho de la parte se reduce de D a d, las líneas de la franja y las isobarras del FEM indican un trastorno y una concentración de esfuerzos con este cambio súbito de geometría. El mismo efecto se observa cerca del extremo izquierdo alrededor de las dos muescas. La figura 2-34b brinda evidencia experimental y la figura 2-34c evidencia computacional de la existencia de concentración de esfuerzos en cualquier cambio de geometría. Estos cambios geométricos se conocen a menudo como “elevadores de esfuerzo” y se deberían eliminar o, por lo menos, minimizar hasta donde sea posible en el diseño. Por desgracia, no resulta práctico eliminar todos los incrementadores de esfuerzos, ya que se necesitan tales detalles geométricos para conectar las piezas en las uniones y para dar formas funcionales a la pieza. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN muesca CALCULADO CON LA FÓRMULA DE FLEXIÓN BASADA EN LA PROFUNDIDAD MÍNIMA, d. σnom 117 σnom filete σmáx (a) Prueba de la muestra M D DISTRIBUCIÓN REAL DEL ESFUERZO PARA LA SECCIÓN CON MUESCA h d 2 DISTRIBUCIÓN REAL DEL ESFUERZO PARA LA SECCIÓN RECTA (LINEAL) M h muesca (b) Distribución de esfuerzos fotoelástica filete (c) Distribución de esfuerzos mediante análisis de elemento finito FIGURA 2-34 Medición de la concentración de esfuerzo en las piezas flexionadas de una barra plana, escalonada y con muescas, a través del análisis fotoelástico y de elemento finito. Los incisos (a) y (b) se reproducen de la referencia 5, fig. 2, p. 3, y están reimpresos con autorización de John Wiley & Sons, Inc. La cantidad de concentración de esfuerzos en cualquier geometría específica se denota por un factor de concentración de esfuerzo geométrico Kt para esfuerzos normales, o bien, por Kts para esfuerzos cortantes. El esfuerzo máximo en un incrementador de esfuerzo local se define entonces como S máx  Kt S nom ( 2.31) T máx  Kts T nom donde σnom y τnom son los esfuerzos nominales calculados para la carga aplicada específica y la sección transversal neta, suponiendo la distribución de esfuerzo, a través de la sección, que se obtendría con una geometría uniforme. Por ejemplo, en la viga de la figura 2-34, la distribución del esfuerzo nominal es lineal en la fibra externa, σnom  Mc / I. El esfuerzo en las muescas sería entonces de σmáx  Kt Mc / I. En el caso de tensión axial, la distribución del esfuerzo nominal sería como se definió en la figura 2-10 (p. 82) y para la torsión como se definió en la figura 2-28 (p. 107). Observe que los esfuerzos nominales se calculan usando la sección transversal neta, la cual se reduce por la geometría de la muesca, es decir, usando d en vez de D como el ancho en las muescas de la figura 2-34. Los factores Kt y Kts sólo toman en cuenta los efectos de la geometría de la parte y no consideran cómo se comporta el material en presencia de concentraciones de esfuerzos. La ductilidad o fragilidad del material, así como el tipo de carga, ya sea estática o dinámica, también afectan la respuesta a las concentraciones de esfuerzo. Concentración de esfuerzo bajo carga estática La ductilidad o fragilidad del material tiene un gran efecto sobre su respuesta a las concentraciones de esfuerzos bajo cargas estáticas. Se discutirán cada uno de estos casos en su momento. 118 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Los MATERIALES DÚCTILES cederán localmente en los incrementadores de esfuerzos; mientras que el material con menores esfuerzos, lejos de la discontinuidad geométrica, permanece por debajo del punto de fluencia. Cuando el material cede localmente, ahí su curva de esfuerzo-deformación unitaria se vuelve no lineal y con pendiente baja (véase la figura B-2, apéndice B), lo cual previene el incremento más significativo de esfuerzos en ese punto. Conforme aumenta la carga, más material cede, sometiendo a más área de la sección transversal al esfuerzo. Sólo cuando la sección transversal completa se lleva al punto de fluencia, la pieza continuará subiendo la curva σ-ε hasta la fractura. Así, es común ignorar los efectos de la concentración de esfuerzos geométrica en los materiales dúctiles con carga estática. El esfuerzo para la sección transversal neta se calcula como si la concentración de esfuerzos no estuviera ahí. Sin embargo, la reducción en el área de la sección transversal neta o en el momento de inercia de área debido al material removido se toma en cuenta, produciendo así mayores esfuerzos que para una parte de las mismas dimensiones generales que no tiene muesca. 2 Los MATERIALES FRÁGILES no cederán localmente puesto que no tienen un rango plástico. Por lo tanto, las concentraciones de esfuerzos tienen un efecto sobre su comportamiento incluso bajo cargas estáticas. Una vez que el esfuerzo en el incrementador de esfuerzos excede la resistencia a la fractura, se empieza a formar una grieta. Esto reduce la disponibilidad del material para resistir la carga y también incrementa la concentración de esfuerzos en la grieta. Entonces, la parte avanza rápidamente hacia la falla. De modo que, para materiales frágiles bajo cargas estáticas, se debería aplicar el factor de concentración de esfuerzos para incrementar el esfuerzo máximo aparente de acuerdo con la ecuación 2.31. P a La única excepción para esto son los materiales fundidos frágiles que tienden a presentar muchos rupturas y discontinuidades dentro de su estructura, debido a las escamas de grafito en la aleación, o burbujas de aire, material extraño, partículas de arena, etcétera, los cuales se introdujeron en el material fundido en el molde. Estas discontinuidades dentro del material crean muchos incrementadores de esfuerzos, los cuales también están presentes en las muestras de prueba utilizadas para establecer las resistencias básicas del material. Por lo tanto, los datos de prueba publicados incluyen los efectos de la concentración del esfuerzo. Se considera que la suma de los aumentadores de esfuerzo geométrico al diseño de la parte aporta poco al efecto estadístico general que ya posee el material. De modo que el factor de concentración del esfuerzo geométrico con frecuencia se ignora para materiales fundidos frágiles o para cualquier material que tenga defectos distribuidos reconocidos en su interior. Pero se debería aplicar a los esfuerzos en otros materiales frágiles. c P Kt Concentración de esfuerzos con carga dinámica 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 c/a FIGURA 2-35 Concentración de esfuerzos en el borde de un orificio elíptico en una placa. Los materiales dúctiles bajo una carga dinámica se comportan y fallan como si fueran frágiles. Entonces, sin importar la fragilidad o ductilidad del material, el factor de concentración de esfuerzos se debe aplicar cuando existen cargas dinámicas (de fatiga o impacto). Sin embargo, existen aún parámetros relacionados con el material que hay que considerar. Mientras que todos los materiales se ven afectados por las concentraciones de esfuerzos bajo cargas dinámicas, algunos materiales son más sensibles que otros. Un parámetro llamado sensibilidad de la muesca q está definido para varios materiales y se utiliza para modificar los factores geométricos Kt y Kts de un material determinado bajo carga dinámica. Estos procedimientos se estudiarán con detalle en el capítulo 4. Determinación de los factores de concentración de esfuerzos geométricos Es posible utilizar la teoría de la elasticidad para deducir las funciones de concentración de esfuerzos para algunas geometrías simples. La figura 2-35 ilustra un orificio elíptico en una placa semiinfinita sometida a tensión axial. Se supone que el orificio es pequeño comparado con la placa y está muy alejado de los bordes de la placa. El esfuerzo nominal Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 119 se calcula con base en la fuerza aplicada y el área total, σnom  P / A. El factor teórico de concentración del esfuerzo en el borde del orificio fue desarrollado por Inglis en 1913* y es a Kt = 1 + 2⎛ ⎞ ⎝ c⎠ (2.32a) 2 donde a es la mitad del ancho de la elipse y c es la mitad de la altura. Se ve claramente que conforme la altura del orificio elíptico se aproxima a cero, creando una grieta afilada, la concentración del esfuerzo se va al infinito. Cuando el orificio es un círculo, a  c y Kt  3. La figura 2-35 también muestra una gráfica de Kt como función de c/a, el recíproco de la razón en la ecuación 2.32a. La función es asintótica para Kt  1 en valores grandes de c / a. MEDICIÓN DE LA CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS La teoría de elasticidad puede proporcionar valores de concentración de esfuerzos para casos como el descrito. Otros factores de concentración de esfuerzos tienen su origen en investigaciones experimentales de piezas bajo carga controlada. Las mediciones experimentales se pueden hacer con medidores de deformación, técnicas fotoelásticas, holografía con láser y otros medios. Las técnicas de análisis de elementos finitos (FEA) y el análisis de elemento límite (BEA) se utilizan cada vez con mayor frecuencia en el desarrollo de los factores de concentración de esfuerzos. Cuando se hace un análisis de esfuerzo con estas técnicas numéricas, la concentración de esfuerzos “sale de los cálculos”, mientras la malla se haga lo suficientemente fina alrededor de las áreas de las entallas. (Véase la figura 2-51, p. 144). EFECTO DE LA RAZÓN LONGITUD-ANCHO Observe que el análisis clásico de Inglis en 1913 de este caso de concentración de esfuerzos descrito anteriormente suponía una “placa semiinfinita”, lo cual significa que las cargas se aplicaban lejos del orificio. Recientemente, el análisis FEA del caso de un orificio circular en una placa ha demostrado que el factor de concentración de esfuerzos es más grande para placas muy cortas, como lo define la razón entre la longitud de la placa (en la dirección de la carga) y su anchura, L/W. Troyani y otros[8] demuestran que para razones L/W menores que aproximadamente 2 y para una carga de tensión uniforme aplicada sobre la anchura W, los valores de Kt varían de alrededor del valor 3 de Inglis, hasta tanto como 11 dependiendo de la razón entre el radio del orificio y el ancho de la placa r/W en combinación con la razón L/W. Si su diseño utiliza una placa muy corta con orificio(s) y está cargada a la tensión, quizá se debería consultar esta referencia para obtener un valor mejor de Kt. Este estudio también demostró que si la carga a la tensión aplicada a la placa es resultado de un desplazamiento uniforme a través del ancho W en vez de una fuerza uniforme, entonces se reduce el valor de K. Esto se debe a que las redes más rígidas alrededor del orificio se fuerzan a soportar la carga, cuando la sección transversal en el extremo que se desplaza se mantiene sin deformación por el desplazamiento uniforme. Esto apunta al efecto de las condiciones limitantes sobre el esfuerzo en una pieza. Otros estudios de los mismos autores muestran una susceptibilidad similar de Kt ante la razón L/W de la pieza. La referencia [9] analiza barras planas escalonadas en tensión y la [10] cubre barras redondas escalonadas en tensión. En este último caso, las barras muestran que cargando uniformemente el extremo del diámetro mayor y fijando el extremo pequeño de una varilla escalonada se obtiene una Kt creciente con una razón L/W reducida; en tanto que si se aplica una carga uniforme al extremo del diámetro pequeño de la varilla y se fija el extremo grande, se obtiene una Kt decreciente con L/W reducida. Mientras que estos resultados son bastante interesantes, los cambios en Kt no ocurren sino hasta que la razón L/W se vuelve muy pequeña (2), en cuyo caso la barra o varilla escalonada comienza a tomar la apariencia de una pila de panqueques. Esta configuración geométrica rara vez se encuentra en la práctica del diseño de máquinas. DATOS DE LA CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS Los datos mejor conocidos y más referenciados del factor de concentración de esfuerzos están en el libro de Peterson[3, 5]. Este libro recopila los resultados teóricos y experimentales de muchos investigadores, * C.E. Inglis, 1913, “Stresses in a Plate Due to the Presence of Cracks and Sharp Corners”, Engineering (Londres), v. 95, p. 415. 120 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado en tablas de diseño donde se incluyen los valores de Kt y Kts de varios parámetros geométricos y tipos de carga. Roark y Young[4] también proporcionan tablas de factores de concentración de esfuerzos para diversos casos. La figura 2-36 y el apéndice G contienen funciones de concentración de esfuerzos y sus gráficas, con base en datos de literatura técnica para un conjunto de casos de situaciones que comúnmente se encuentran en el diseño de máquinas. En algunos casos, las funciones matemáticas se dedujeron ajustándose a las curvas empíricas lo más cercanamente posible. En otros casos, la lista de funciones (búsqueda en la tabla) se creó para permitir la interpolación y la recuperación automática de los valores de Kt en el proceso de cálculo de esfuerzos. Mientras que estas funciones de concentración de esfuerzos (SCF) son aproximaciones de los datos de la literatura, superan a las originales en términos de utilidad, ya que se pueden incorporar al modelo matemático de un problema de diseño de máquinas. Con este texto se proporcionan algunas de estas SCF, como los archivos TK Solver, los cuales se intercalan con otros modelos o se utilizan como herramientas individuales para calcular Kt y Kts con cualquier geometría. Esto es preferible que consultar los datos de las gráficas para cada cálculo. 2 Como ejemplo, la figura 2-36 muestra la función de concentración de esfuerzos para una barra plana, escalonada, en flexión. (Éste y otros casos también se incluyen en el apéndice G). La reducción del ancho de D a d en el trozo crea un incrementador de esfuerzos y el tamaño del radio r del filete también es un factor. Estos dos parámetros geométricos se expresan como las razones adimensionales r/d y D/d. La primera de éstas se utiliza como la variable independiente en la ecuación, en tanto que la segunda determina el elemento de la familia de curvas que resulta. Esta función de concentración de esfuerzos es realmente una superficie tridimensional con los ejes r/d, D/d y Kt. En la figura 2-36, se observan las líneas sobre la superficie en 3-D calculadas con diferentes valores de D/d, y proyectadas hacia adelante en el plano r/d-Kt. La geometría de la pieza y su ecuación de esfuerzos están definidas en la figura, tal como la función que define cada curva de concentración del esfuerzo. En la figura 2-36 existe una función exponencial de la forma 4.0 Mc M 6 2 I hd  Kt S nom S nom  D/d 3.00 2.00 1.30 1.20 1.10 1.05 1.01 3.5 3.0 Kt 2.5 S máx Línea h y: r Kt  A¥ ´ § d¶ d D M donde : M r 2.0 1.5 1.0 0 FIGURA 2-36 0.1 0.2 0.3 r/d 0.4 0.5 b 0.6 D/d A b 3.00 2.00 1.30 1.20 1.10 1.05 1.01 0.907 20 0.932 32 0.958 80 0.995 90 1.016 50 1.022 60 0.966 89 –0.333 33 –0.303 04 –0.272 69 –0.238 29 –0.215 48 –0.191 56 –0.154 17 Factores y funciones de concentración del esfuerzo geométrico para una barra plana escalonada en flexión; véase también el archivo APP_C-10. Fuente: fig. 73 p. 98, R. E. Peterson, Stress Concentration Factors, John Wiley & Sons, 1975, con autorización del editor. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN Kt = Ax b 121 (2.32b) donde x representa la variable independiente o, en este caso, r/d. Los valores del coeficiente A y el exponente b, para cualquier valor de D/d, están determinados por la regresión no lineal sobre varios datos puntuales tomados de los datos experimentales. Los valores que resultan de A y b, para varias magnitudes de la segunda variable independiente D/d, se dan en la tabla dentro de la figura. A y b para otros valores de D/d se pueden interpolar. El nombre del archivo que evalúa estas funciones y las interpola también está anotado en esta figura y en el apéndice G para cada uno de los 14 casos mostrados allí. 2 Las gráficas y funciones de concentración de esfuerzos incluidas en el apéndice G, junto con sus archivos correspondientes, son útiles en el diseño de piezas de máquinas durante todo este texto y en la práctica de la ingeniería. Para casos de carga y geometría no cubiertos en el apéndice G de este texto, véase las referencias 3 y 4. Diseño para eliminar concentraciones de esfuerzos Con frecuencia se necesitan geometrías complicadas para el correcto funcionamiento de las piezas de una máquina. Por ejemplo, un cigüeñal debe tener contornos adecuados para que cumpla con su objetivo. El diseñador siempre enfrenta el problema de las concentraciones de esfuerzos en secciones que sufren cambios abruptos de forma. Lo mejor que se puede hacer es minimizar sus efectos. El estudio de las curvas de concentración de esfuerzos para varias geometrías del apéndice G muestra que, en general, cuanto más puntiaguda sea la esquina y más grande sea la magnitud del cambio en el contorno, peor será la concentración del esfuerzo. Para la barra escalonada de la figura 2-36, las razones D/d más grandes y las razones r/d más pequeñas generarán las peores concentraciones de esfuerzos. A partir de estas observaciones, podemos establecer algunos lineamientos generales de diseño para minimizar las concentraciones de esfuerzos. 1. Si es posible, evite cambios abruptos y/o de gran magnitud en la sección transversal. 2. Evite por completo las esquinas puntiagudas y procure los radios de transición más grandes posibles entre las superficies de diferentes contornos. Es conveniente establecer estos lineamientos y mejor cumplirlos; sin embargo, con frecuencia hay restricciones en el diseño práctico que impiden seguirlos estrictamente. En las figuras 2-37 a 2-39 se muestran algunos ejemplos de diseños, buenos y malos, de concentración de esfuerzos, junto con algunos consejos comunes que utilizan los diseñadores experimentados para mejorar la situación. ANALOGÍA FUERZA-FLUJO La figura 2-37a ilustra un eje con un escalón abrupto y una esquina puntiaguda, en tanto que la figura 2-37b muestra el mismo paso en el eje con un radio de transición grande. Un modo útil para visualizar la diferencia en los estados de esfuerzos de los contornos de partes como éstas es usar la analogía “fuerzaflujo”, la cual considera que las fuerzas (y por lo tanto los esfuerzos) fluyen alrededor de los contornos de manera similar al flujo de un fluido ideal incompresible dentro de una tubería o un ducto de contorno cambiante. (Véase también la figura 2-34). Un angostamiento súbito de la tubería o ducto causa un incremento en la velocidad del fluido en el estrechamiento, para mantener el flujo constante. El perfil de la velocidad “se concentra” entonces en una región más pequeña. Se utilizan formas aerodinámicas en tuberías y ductos (y sobre objetos que son empujados en un medio fluido, como aviones y botes) para reducir la turbulencia y la resistencia al flujo. Al “aerodinamizar” los contornos de la pieza (por lo menos internamente) se pueden obtener beneficios similares en la reducción de las concentraciones de esfuerzos. Los contornos de fuerza-flujo en el paso abrupto de transición de la figura 2-37a están más concentrados que en el diseño de la figura 2-37b. (a) Flujo de fuerza alrededor de una esquina puntiaguda (b) Flujo de fuerza alrededor de una esquina con curva FIGURA 2-37 Analogía fuerza-flujo de piezas con contorno 122 DISEÑO DE MÁQUINAS cojinete eje - Un Enfoque Integrado cojinete eje cojinete eje cojinete eje 2 arandela (a) Concentración de esfuerzos en una esquina puntiaguda (b) Concentración de esfuerzos reducida por el radio (c) Concentración de esfuerzos (d) Concentración de esfuerzos reducida con ranuras reducida con arandela FIGURA 2-38 Modificaciones al diseño para reducir las concentraciones de esfuerzos en una esquina puntiaguda El ejemplo de la figura 2-38 es un eje escalonado, al cual se adaptó un cojinete de bolas. Se necesita un escalón para colocar el cojinete axial y radialmente sobre el diámetro del eje. Los cojinetes comerciales de bolas y rodillos tienen radios muy pequeños en sus esquinas, lo cual obliga al diseñador a crear una esquina bastante puntiaguda en el escalón del eje. Para reducir la concentración de esfuerzos en el escalón (a), se requiere un radio más grande que el que permitiría el cojinete. En la figura se ilustran tres posibles modificaciones al diseño para mejorar el flujo de fuerza alrededor del escalón. En el primer diseño (b) se remueve material en la esquina para aumentar el radio y entonces “regresar” al contorno para dar la superficie axial necesaria para posicionar la superficie del cojinete. El segundo enfoque (c) elimina el material detrás del escalón para mejorar la fuerza aerodinámica. El tercer enfoque (d) proporciona a la esquina un radio adecuadamente grande, y agrega una arandela especial que tiende un puente sobre el radio para dar un asiento al cojinete. La concentración de esfuerzos se reduce en cada caso en relación con el diseño original de esquina puntiaguda. En la figura 2-39a se presenta un enfoque similar de remoción de material para mejorar el flujo de fuerza, el cual muestra una ranura con un broche de aro en un eje con ranuras de alivio adicionales ubicadas en cada lado para suavizar la transición efectiva de la dimensión de la sección transversal. El efecto sobre las líneas del flujo de fuerza es similar al mostrado en la figura 2-38c. Otra fuente común de concentraciones de esfuerzos es la cuña que se necesita para aplicar torque a engranes, poleas, volantes, etcétera, de un eje. La ranura de la cuña tiene esquinas puntiagudas en las ubicaciones de flexión y esfuerzos de torsión máximos. Hay diferentes tipos de cuñas; las más comunes son la cuña cuadrada y la cuña Woodruff de segmento circular, que se ilustran en las figuras 2-38b y 2-38c. Para mayor información sobre cuñas y cuñeros, véase la sección 6.10. Otro ejemplo de remoción de material para reducir la concentración de esfuerzos (que no se ilustra) es la reducción del diámetro de la porción sin cuerda de un tornillo a una dimensión menor que el de la raíz de la cuerda. Puesto que los contornos de la cuerda crean concentraciones de esfuerzos grandes, la estrategia consiste en mantener las líneas del flujo de fuerza dentro de la porción (sin cuerda) sólida del tornillo. Estos ejemplos muestran la utilidad de la analogía del flujo de fuerza como medio para mejorar cualitativamente el diseño de piezas de máquinas para reducir las concentraciones de esfuerzos. El diseñador debería intentar minimizar los cambios puntiagudos en los contornos de las líneas internas del flujo de fuerza mediante la selección adecuada de la forma de la parte. Capítulo 2 2.16 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 123 COMPRESIÓN AXIAL: COLUMNAS En la sección 2.7 se vieron los esfuerzos y las deflexiones provocadas por la tensión axial, y se desarrollaron ecuaciones para su cálculo, las cuales se repiten aquí para nuestra conveniencia. P σx = A (2.7) Pl AE (2.8) Δs = chaveta circular 2 (a) Los relieves pueden reducir la concentración de esfuerzos alrededor de la hendidura de la chaveta circular Cuando se invierte la dirección de la carga axial, entonces, como el elemento se pone en compresión, quizá la ecuación 2.7 no sea suficiente por sí sola para determinar la carga de seguridad del elemento. Ahora se trata de una columna y puede fallar pandeándose en vez de fallar por compresión. El pandeo ocurre repentinamente y sin advertencia, incluso en los materiales dúctiles y, por ende, es uno de los modos de falla más peligrosos. El lector puede comprobar el pandeo por sí mismo tomando entre las palmas de sus manos una goma para borrar de hule y aplicar gradualmente una carga de compresión axial. La goma resistirá la carga hasta un punto donde repentinamente se pandea en forma de arco y colapsa. (Si se siente muy fuerte, usted puede hacer lo mismo con una lata de aluminio). Razón de esbeltez Una columna corta fallará a la compresión como se indica en la figura B-6 (apéndice B) y su esfuerzo de compresión se calcula con la ecuación 2.7. Una columna intermedia o una grande fallarán por pandeo cuando la carga axial aplicada exceda algún valor crítico. El esfuerzo de compresión puede estar muy por debajo de la resistencia a la fluencia del material, en el momento del pandeo. El factor que determina si una columna es corta o larga es su razón de esbeltez Sr, Sr = l k (2.33) cuña (b) La ranura de una cuña cuadrada crea concentraciones de esfuerzos cuña donde l es la longitud de la columna y k es su radio de giro. El radio de giro se define como k= I A (2.34) donde I es el momento de inercia de área más pequeño (segundo momento de área) de la sección transversal de la columna (alrededor de cualquier eje neutral) y A es el área de la misma sección transversal. Columnas cortas Por lo general, una columna corta se define como aquella cuya razón de esbeltez es menor que aproximadamente 10. La resistencia a la fluencia del material en compresión se usa entonces como el factor limitante a comparar con el esfuerzo calculado en la ecuación 2.7. Columnas largas Una columna larga requiere del cálculo de su carga crítica. La figura 2-40 muestra una columna delgada con extremos redondeados bajo el efecto de fuerzas de compresión en cada extremo, las cuales son coaxiales y actúan inicialmente a través del centroide (c) La ranura de una cuña Woodruff crea concentraciones de esfuerzos FIGURA 2-39 Concentraciones de esfuerzos en ejes 124 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado del área de la columna. (Se eliminó una parte de la columna para mostrar la fuerza y el momento de reacción dentro de la columna). La columna se presenta ligeramente flexionada en la dirección y negativa, lo cual desplaza su centroide de área fuera del alineamiento inicial con las fuerzas aplicadas en sus extremos. Este cambio del centroide de área crea un brazo de momento para la fuerza que actúa alrededor y pone el elemento tanto en flexión como en compresión. El momento de flexión tiende a incrementar la deflexión lateral, ¡la cual también incrementa entonces el brazo del momento! Una vez que se excede el valor crítico de la carga Pcr, la retroalimentación positiva de este mecanismo causa un pandeo repentino y catastrófico. No hay advertencia previa. 2 El momento de flexión está dado por M = Py (2.35) Para deflexiones pequeñas de una viga (usando la ecuación 2.17 repetida aquí de la p. 92) M d2y = EI dx 2 (2.17) La combinación de las ecuaciones 2.35 y 2.17 produce una ecuación diferencial familiar: d2y P y=0 + dx 2 EI (2.36) que tiene la solución bien conocida: y  C1 sen P x EI C2 cos P x EI ( 2.37a) donde C1 y C2 son las constantes de integración que dependen de las restricciones definidas para la columna en la figura 2-40 como y  0 en x  0; y  0 en x  l. La sustitución de estas condiciones indica que C2  0 y P l0 EI C1 sen ( 2.37b) Esta ecuación aplica si C1  0, pero es una solución nula. Entonces, C1 debe ser diferente de cero y P sen x P l0 EI ( 2.37c) lo cual es verdadero para y l P M y P l = nπ; EI (2.37d ) La primera carga crítica ocurrirá para n  1, lo cual da Pcr = P FIGURA 2-40 Pandeo de una columna Euler n = 1, 2, 3, K π 2 EI l2 (2.38a) Esto se conoce como fórmula de la columna de Euler para columnas con extremo redondeado o conectadas con pasadores. Observe que la carga crítica es función sólo de la geometría I de la sección transversal de la columna, de su longitud l y del módulo de elasticidad E del material. La resistencia del material no es un factor. Utilizar un acero más fuerte (mayor resistencia a la fluencia), por ejemplo, no ayuda en Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 125 nada, ya que todas las aleaciones de acero tienen esencialmente el mismo módulo de elasticidad y, por lo tanto, fallarán con la misma carga crítica sin importar la resistencia a la fluencia. Al sustituir la ecuación 2.33 y la expresión I  Ak2 de la ecuación 2.34 en la ecuación 2.38a: Pcr = π 2 EAk 2 π 2 EA π 2 EA = = 2 Sr 2 l2 ⎛ l⎞ ⎝ k⎠ (2.38b) Si se normaliza la ecuación 2.38b por el área de la sección transversal de la columna, se obtiene una expresión para la carga unitaria crítica, Pcr π 2 E = 2 A Sr (2.38c) la cual tiene las mismas unidades del esfuerzo o la resistencia. Ésta es la carga por unidad de área del extremo de una columna redondeada (o con pasadores) que causará el pandeo. Por consiguiente, representa la resistencia de una columna específica en vez de la resistencia del material del cual está hecha. Al sustituir la ecuación 2.38a en la 2.37a, se obtiene la curva de deflexión de esta columna como y  C1 sen Px l ( 2.39) la cual es la mitad del periodo de una onda senoidal. Note que la aplicación de diferentes condiciones limitantes o condiciones de extremo producirán una curva de deflexión y una carga crítica diferentes. Condiciones de extremo En la figura 2-41 se ilustran varias condiciones de extremos posibles. La condición redondeado-redondeado y la condición articulada-articulada de las figuras 2-41a y 2-41b son básicamente las mismas. Cada una de ellas permite que las fuerzas, aunque no los momentos, estén soportadas en sus extremos. Sus restricciones son idénticas, como se describió anteriormente. Sus cargas unitarias críticas se definen con la ecuación 2.38c y su deflexión con la ecuación 2.39. La columna empotrado-libre de la figura 2-41c soporta una fuerza y un momento en su base y, por lo tanto, controla tanto la deflexión, y, como la pendiente, y’, en ese extremo; sin embargo, no controla el movimiento en x ni en y en su punta. Sus restricciones son y  0 y y’  0 en x  0. La sustitución de estas condiciones en la ecuación 2.37a da Pcr P2 E  A 4 Sr 2 y  C1 sen Px 2l ( 2.40 a) ( 2.40 b) La curva de deflexión de una columna de Euler empotrada-libre es un cuarto de una onda senoidal, haciéndola efectivamente dos veces más grande que una columna articuladaarticulada que tiene la misma sección transversal. Esta columna sólo puede soportar 1/4 de la carga crítica de una columna articulada-articulada. Esta reducción se puede tomar en cuenta usando la longitud efectiva lef de una columna con condiciones de extremo diferentes de las usadas en una columna articulada-articulada para deducir las ecuaciones de carga crítica. 2 126 DISEÑO DE MÁQUINAS P P - Un Enfoque Integrado P P P M 2 M P P M P (a) Redondeada-redondeada (b) Articulada-articulada M P (c) Empotrada-libre (d) Empotrada-articulada P (e) Empotrada-empotrada FIGURA 2-41 Varias condiciones de extremo para columnas y sus curvas de deflexión resultante (las cargas aplicadas se muestran en gris; las reacciones, en negro) (las cargas aplicadas se muestran en gris; las reacciones, en negro) La columna empotrada-articulada (figura 2-41d) tiene una lef  0.707l y la columna empotrada-empotrada (figura 2-41e) tiene una lef  0.5l. Las restricciones más rígidas hacen que estas columnas se comporten como si fueran más cortas (es decir, más rígidas), que la versión articulada-articulada y, por lo tanto, soportarán más carga. Se sustituye la longitud efectiva adecuada en la ecuación 2.33 (p. 123) para obtener la razón de esbeltez adecuada y usarla en cualquiera de las fórmulas de carga crítica: Sr  lef ( 2.41) k donde lef toma los valores indicados en la tabla 2-4 para varias condiciones de extremo. Observe que las condiciones empotrada-articulada y empotrada-empotrada tienen valores teóricos de lef de 0.5l y 0.707l respectivamente, pero estos valores rara vez se usan porque es muy difícil obtener una junta fija que no permita ningún cambio en la pendiente en el extremo de la columna. Las juntas soldadas normalmente permiten alguna deflexión angular, lo cual depende de la rigidez de la estructura a la cual está soldada la columna. Tabla 2-4 Condiciones de extremo y factores de longitud efectiva de la columna Condiciones de extremo Valores teóricos Recomendados por la AISC* Valores conservadores Redondeada-redondeada lef = l lef = l lef = l Articulada-articulada lef = l lef = l lef = l Empotrada-libre lef = 2l lef = 2.1l lef = 2.4l Empotrada-articulada lef = 0.707l lef = 0.80l lef = l Empotrada-empotrada lef = 0.5l lef = 0.65l lef = l Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 127 En el análisis teórico también se supone que la carga está perfectamente centrada en el eje de la columna. Esta condición rara vez se da en la práctica. Cualquier excentricidad en la carga causará un momento y creará mayores deflexiones de las que predice el modelo. Por tales motivos, la AISC* sugiere valores mayores para la lef , mientras que los teóricos y algunos diseñadores utilizan incluso valores más conservadores, como los mostrados en la tercera columna de la tabla 2-4. El problema de las columnas cargadas excéntricamente se estudia en una sección posterior. 2 Columnas intermedias Las ecuaciones 2.7 (p. 82) y 2.38c (p. 125) están graficadas en la figura 2-42, como una función de la razón de esbeltez. La resistencia a la fluencia por compresión del material, Syc, se usa como el valor de σx en las ecuaciones 2.7 y la carga unitaria crítica de la ecuación 2.38c se grafica sobre el mismo eje como la resistencia del material. La envoltura OABCO definida por estas dos líneas y los ejes parecería describir una región segura para las cargas unitarias de la columna. Sin embargo, los experimentos han demostrado que las columnas cargadas dentro de esta aparente área de seguridad algunas veces fallan. El problema surge cuando las cargas unitarias se encuentran en la región ABDA, cerca de la intersección de las dos curvas en el punto B. Por su parte, J. B. Johnson sugiere adecuar una curva parabólica entre el punto A y el punto tangente D sobre la curva de Euler (ecuación 2.38c, p. 125), la cual excluye la zona de falla empírica. El punto D se toma usualmente en la intersección de la curva de Euler y una línea horizontal en Syc / 2. El valor de (Sr)D correspondiente a este punto se encuentra con la ecuación 2.38c. Syc 2 = π2 E Sr 2 (Sr ) D = π 2E Syc (2.42) * American Institute of Steel Construction, en su Manual of Steel Construction. línea de columna corta (ec. 2.7) carga unitaria Pcr / A Syc línea de Johnson (ec. 2.43) B A falla segura Sy c / 2 región de Johnson Syc lef = 0.8l punto tangente línea de Euler (ec. 2.38c) D 0 carga unitaria Pcr / A zona de falla empírica l Sy c / 2 líneas de Euler falla región segura de Euler (Sr)D razón de esbeltez lef = 2.1l C Sr (a) Construcción de las líneas de falla de una columna FIGURA 2-42 Líneas de falla en una columna de Euler, de Johnson y corta líneas de Johnson 0 300 razón de esbeltez Sr líneas de Johnson líneas de Euler (b) Líneas de falla para diferentes condiciones de extremo 128 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La ecuación de la parábola ajustada entre los puntos A y D es 2 Pcr 1 ⎛ Syc Sr ⎞ = Syc − ⎜ ⎟ A E ⎝ 2π ⎠ 2 (2.43) Si las ecuaciones 2.38c y 2.43 se toman juntas en sus regiones adecuadas, proporcionan un modelo de falla razonable para todas las columnas con cargas concéntricas. Si la razón de esbeltez es  (Sr)D, use la ecuación 2.43, si no, use la ecuación 2.38c. Observe que la ecuación 2.43 es tanto válida como conservadora para columnas cortas. Las ecuaciones 2.38c y 2.43 pronostican la falla en las cargas unitarias críticas calculadas, de modo que se debe aplicar un factor de seguridad adecuado al resultado para reducir adecuadamente la carga permitida. El archivo COLMPLOT calcula la carga crítica y grafica las curvas de falla de la columna de la figura 2-42, para cualquier opción de Syc, Sr, E y el factor de condiciones de extremo. También sirve para verificar el diseño de cualquier columna con carga concéntrica o para explorar decisiones de diseño. El lector puede experimentar con este programa si cambia los valores de los factores anteriores y observando los efectos sobre las curvas graficadas. EJEMPLO 2-11 Diseño de una columna con carga concéntrica Problema Se va a levantar con gato una casa de playa a 10 pies por encima del suelo, la cual está colocada sobre columnas de acero. El peso estimado que debe soportar cada una de las columnas es de 200 000 lb. Se deben considerar dos diseños, uno que use tubos cuadrados de acero y otro que use tubos redondos de acero. Se proporciona Diseñe las columnas usando un factor de seguridad de 4. Determine las dimensiones más exteriores de las columnas para cada perfil, suponiendo un espesor de la pared del tubo de 0.5 in en cada caso. La aleación de acero tiene un esfuerzo de fluencia a la compresión Syc = 60 kpsi. Suposiciones La carga es concéntrica y las columnas son verticales. Sus bases se harán de concreto y la parte de arriba estará libre, creando condiciones de extremo para columna empotrada-libre. Utilice los factores de condiciones de extremo recomendados por la AISC. Solución Véase la tabla 2-5, partes 1 y 2. 1. Este problema, como se dijo, requiere una solución iterativa debido a que se especificó la carga permisible y se requieren las dimensiones de la sección transversal de la columna. Si se deseara lo contrario, se podrían resolver directamente las ecuaciones 2.38c (p. 125), 2.42 (p. 127) y 2.43 (p. 128) para determinar la carga permisible de cualquier geometría seleccionada. 2. Para resolver este problema usando tan sólo una calculadora, se requiere suponer una dimensión de la sección transversal, como el diámetro exterior, y calcular las propiedades de la sección transversal del área A, el segundo momento del área I, la radio de giro k y la razón de esbeltez lef /k; luego, se deben usar estos valores en las ecuaciones 2.38c, 2.42 y 2.43 para determinar la carga permisible después de la aplicación del factor de seguridad. No se sabe en principio si se trata de una columna Johnson o Euler, de modo que con la ecuación 2.42 se puede obtener la razón de esbeltez (Sr)D en el punto tangente, y compararla con la Sr real de la columna para decidir si se requiere la ecuación de Johnson o de Euler. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 129 3. Suponga un diámetro exterior de 8 in para un primer intento, en la columna redonda. El área A, el segundo momento del área I y el radio de giro k para un espesor de la pared de 0.5 in del tubo redondo del diámetro exterior son A= I= ( π do2 − di2 4 ( I = A k= 2 4 π do4 − di4 64 ) = π(64 − 49) = 11.781 in 2 ) = π(4096 − 2401) = 83.203 in 4 64 ( a) 83.203 = 2.658 in 11.781 4. Calcule la razón de esbeltez Sr para esta columna y compárela con el valor (Sr)D correspondiente al punto tangente entre las curvas de Euler y de Johnson (ecuación 2.42). Use el valor recomendado por la AISC (tabla 2-4, p. 126) para una columna empotrada-libre de lef  2.1 l. Sr  Sr D lef k  1202.1  94.825 2.658 (b) 230 E 6 2E P P  99.346 Sy 60 000 5. Esta razón de esbeltez Sr de la columna está a la izquierda del punto tangente y, por lo tanto, está en la región de Johnson en la figura 2-42 (p. 127), entonces, use la ecuación 2.43 (p. 128) para obtener la carga crítica Pcr y aplique el factor de seguridad para determinar la carga permisible Ppermisible. ¨ Pcr  A ©Sy ©ª Ppermisible 2 «® 1 ¥ Sy Sr ´ · ¦ µ ¸  11.8¬6 E 4 E § 2P ¶ ¸ ®­ ¹ 2 1 ¨ 6 E 494.83 · º® »  384 866 lb ¸ © 3E 7 ª 2P ¹ ®¼ (c ) P 384 866  cr   96 217 lb 4 SF 6. Esta carga está sustancialmente por debajo de la requerida de 200 000 lb, de modo que se deben repetir los cálculos de los pasos 3 a 5 usando mayores diámetros exteriores (o paredes más gruesas) hasta que se obtenga una carga permisible adecuada. El problema también requiere el diseño de una columna de sección cuadrada, la cual sólo cambia las ecuaciones (a) en el paso 3. 7. Éste es un proceso de solución claramente tedioso cuando únicamente se dispone de una calculadora y pide con urgencia un mejor enfoque. Un paquete para resolver ecuaciones o una hoja de cálculo pueden ser una mejor herramienta. Para este problema se necesita un solucionador iterativo que permita especificar la carga permisible deseable y que el programa itere hasta que llegue al valor del diámetro exterior (Dext) que soporte la carga deseada, dado un espesor de pared supuesto. Es necesario suponer valores de uno o más de los parámetros desconocidos para iniciar la iteración. Los archivos EX04-10 se encuentran en el CD-ROM. 8. Estos programas permiten solucionar diseños para secciones transversales cuadradas o redondas, y deciden si usan las ecuaciones de Euler o las de Johnson, según los valores relativos de las razones de esbeltez calculadas en el paso 4. La solución completa toma sólo unos segundos. La parte 1 de la tabla 2-5 muestra la solución de la columna circular y la tabla 2-5 parte 2 muestra la solución de la columna cuadrada. 130 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Tabla 2-5 Ejemplo 2-11 – Diseño de columnas Parte 1 de 2 Diseño de columna redonda Entrada Variable Salida Unidad 2 Comentario Datos de entrada 'circular Perfil perfil de columna 'cuadrada o 'circular 120 L in 0.5 Pared in 2.1 extremo longitud de la columna espesor de la pared de la columna factor de condición de extremo de la AISC E psi módulo de Young 60 000 Sy psi esfuerzo de fluencia a la compresión 4 FS 30E6 200 000 factor de seguridad Permisible lb carga permisible deseada in diámetro exterior de la columna Datos de salida G* Dext Lef Sr Srd 11.35 252 in longitud efectiva de la columna 65.60 razón de esbeltez 99.35 punto de tangencia en Sr Carga 46 921 lb carga crítica unitaria Johnson 46 921 lb carga unitaria de Johnson Euler 68 811 lb carga unitaria de Euler 10.35 in diámetro interior de la columna k 3.84 in radio de giro I 251.63 in^4 segundo momento del área A 17.05 in^2 área de la sección transversal Din * Indica que se requiere un valor supuesto para iniciar la iteración. 9. Una columna redonda de 11.3 in de diámetro y una pared de 0.5 in es la adecuada para la carga especificada. Ésta es una columna de Johnson con una razón de esbeltez efectiva de 65.6 y un peso de 579 lb. La fórmula de Euler pronostica una carga crítica de aproximadamente 1.5 veces la de la fórmula de Johnson, de modo que esta columna estaría en la “región peligrosa” ABDA de la figura 2-42 (p. 127), si se usara la fórmula de Euler. Si se selecciona una columna con pared de 0.5 in y sección transversal cuadrada, su dimensión exterior será de 9.3 in para la misma razón de esbeltez y carga permisible, aunque la columna pesará más de 600 lb. Una columna cuadrada siempre será más fuerte que una redonda con los mismos dimensión exterior y espesor de la pared, ya que su área, su segundo momento de área y su radio de giro son más grandes debido a que el material de las esquinas tiene un radio más grande. El peso adicional del material también la hace más costosa que la columna redonda con la misma resistencia. Columnas excéntricas La discusión anterior sobre la falla de la columna supuso que la carga aplicada era concéntrica en la columna y pasaba exactamente a través de su centroide. Aun cuando esta Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN Tabla 2-5 Ejemplo 2-11 – Diseño de columnas Parte 2 de 2 Diseño de columna cuadrada Entrada Variable Salida Unidad 131 Comentario 2 Datos de entrada 'cuadrada Perfil perfil de columna 'cuadrada o 'circular 120 L in longitud de la columna 0.5 Pared in espesor de la pared de la columna 2.1 extremo factor de condición de extremo de la AISC E psi módulo de Young 60 000 Sy psi esfuerzo de fluencia a la compresión 4 FS 30E6 200 000 factor de seguridad Permisible lb carga permisible deseada in diámetro exterior de la columna Datos de salida G* Dext 9.34 Lef 252 Sr Srd in longitud efectiva de la columna 69.69 razón de esbeltez 99.35 punto de tangencia en Sr Carga 45 235 lb carga unitaria crítica Johnson 45 235 lb carga unitaria de Johnson Euler 60 956 lb carga unitaria de Euler in diámetro interior de la columna in radio de giro Din 8.34 k 3.62 I 231.21 in^4 segundo momento del área A 17.69 in^2 área de la sección transversal * Indica que se requiere un valor supuesto para iniciar la iteración. condición es deseable, rara vez ocurre en la práctica, porque las tolerancias de manufactura suelen provocar que la carga sea un poco excéntrica con el eje centroidal de la columna. En otros casos, el diseño puede incluir deliberadamente una excentricidad e, como se muestra en la figura 2-43. Cualquiera que sea la causa, la excentricidad cambia la situación de carga significativamente por la superposición de un momento de flexión Pe sobre la carga axial P. El momento de flexión causa una deflexión lateral y, la cual incrementa a la vez el brazo del momento a e  y. Al sumar los momentos con respecto al punto A, ∑ M A = − M + Pe + Py = − M + P(e + y) = 0 (2.44a) P e A x y l P y M Al sustituir la ecuación 2.17 (p. 92) se produce la ecuación diferencial d2y P Pe y=− + 2 EI EI dx (2.44b) Las restricciones son x  0, y  0 y x  l / 2, dy/dx  0, lo cual nos da la solución para la deflexión en la mitad de la longitud como P FIGURA 2-43 Una columna cargada excéntricamente 132 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado ⎡ ⎛l y = e ⎢sec⎜ ⎢⎣ ⎝ 2 P⎞ ⎤ − 1⎥ EI ⎟⎠ ⎦⎥ (2.45a) y para el momento flexionante máximo, 2 Mmáx  Pe ¥l y  Pe sec¦ §2 P´ EI µ¶ ( 2.45b) El esfuerzo a la compresión es σc = P Mc P Mc − = − A I A Ak 2 (2.46a) Al sustituir la expresión del momento máximo de la ecuación 2.45b: σc = ⎛l P ⎡ ⎛ ec ⎞ ⎢1 + ⎜ 2 ⎟ sec⎜ A ⎢⎣ ⎝ k ⎠ ⎝k P ⎞⎤ ⎥ 4 EA ⎟⎠ ⎥⎦ (2.46b) La falla ocurrirá en la mitad de la longitud cuando el esfuerzo a la compresión máximo exceda la resistencia a la fluencia del material, si es dúctil, o su resistencia a la fractura, si es frágil. Haciendo a σc igual a la resistencia a la fluencia de compresión para un material dúctil, se obtiene una expresión para la carga unitaria crítica de una columna excéntrica: P  A Syc ¥ lef ¥ ec ´ 1 ¦ 2 µ sec¦ §k ¶ § k P ´ 4 EA µ¶ ( 2.46c) Esto se conoce como la fórmula de columna secante. Se usa el factor adecuado de condición de extremo de la tabla 2-4 (p. 126) para obtener la longitud efectiva lef , la cual toma en cuenta las condiciones de frontera de la columna. El radio de giro k de la ecuación 2.46c se toma con respecto al eje alrededor del cual actúa el momento flexionante aplicado. Si la sección transversal de la columna es asimétrica y el momento flexionante no actúa alrededor del eje más débil, se debe revisar la falla en columnas concéntricas alrededor del eje que tiene la k más pequeña, así como para la falla provocada por la carga excéntrica en el plano de flexión. La fracción ec / k2 en la ecuación 2.46c se llama razón de excentricidad Er de la columna. Un estudio realizado en 1933* concluyó que se debe suponer un valor de 0.025 para la razón de excentricidad que tome en cuenta las variaciones típicas de la excentricidad de la carga en las columnas de Euler cargadas concéntricamente. Sin embargo, si la columna se encuentra en el rango de Johnson, se aplicarán las fórmulas de Johnson para las Er menores de 0.1 aproximadamente. (Véase la figura 2-44 y la siguiente explicación). * Reporte de un comité especial sobre una investigación en columnas de acero, Trans. Amer. Soc. Civil Engrs., 98 (1933). La ecuación 2.46c es una función difícil de evaluar. No sólo requiere una solución iterativa, sino que la función secante vaya a , causando problemas de cálculo. También produce resultados incorrectos cuando la función secante se vuelve negativa. El archivo SECANT calcula y grafica la ecuación 2.46c (así como las fórmulas de Euler y de Johnson), en un intervalo de razones de esbeltez para cualesquiera razón de excentricidad y parámetros de la sección transversal de columna redonda. Con este programa también se calculan las columnas no redondas, designando el área A y el momento de inercia I como valores de entrada, en vez de usar las dimensiones lineales de la columna. Cuando use este programa, tenga cuidado al graficar la función resultante y observe las regiones, si existe alguna, donde los resultados son incorrectos debido al comportamiento de la secante. Esto será evidente en las gráficas. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN zona de falla empírica 1.0 0.1 líneas secantes (ec. 2.46c) 0.5 0.6 0.7 0.5 punto tangente 1.0 0.4 Se muestran las escalas Sr para el acero y el aluminio. Para la conversión de la escala horizontal en una E de otro material, aplique la razón 1.6 0.3 Er = 3.0 0.2 Sr1 0.1 región de Johnson región de Euler Sr2 0.0 0 0 FIGURA 2-44 2 línea de Johnson (ec. 2.43) 0.3 0.7 Syc línea de Euler (ec. 2.38c) 0.05 0.2 0.8 Pcr / A línea de columna corta (ec. 2.7) 0.01 0.9 133 20 12 40 23 60 35 80 46 100 58 120 69 140 81 160 92 180 104  E1 E2 E = 30 Mpsi = 207 GPa E =10.4 Mpsi = 71.7 GPa razones de esbeltez Sr Líneas secantes superpuestas sobre las líneas de falla de columnas cortas de Euler y Johnson La figura 2-44 muestra las gráficas de la ecuación 2.46c del programa SECANT (en intervalos válidos†) superpuestas sobre las curvas de Euler-Johnson y las gráficas de columnas cortas de la figura 2-42. Estas curvas están normalizadas con la resistencia a la fluencia de compresión del material. Las formas de las curvas son las mismas para el módulo de elasticidad E de cualquier material; tan sólo cambia la escala horizontal. En la figura se observa la escala de la razón Sr para los valores de la razón E de diferentes materiales. Todas las curvas secantes son asintóticas respecto de la curva de Euler a lo largo de Sr. Para una razón excéntrica igual a cero, la curva secante coincide con la curva de Euler hasta aproximadamente el nivel de la línea de una columna corta. Cuando la razón de excentricidad es más pequeña que 0.1, aproximadamente, las funciones secantes destacan en la región de falla empírica en columnas concéntricas, designada como ABDA en la figura 2-42 (p. 127), es decir, se mueven por arriba de la línea de Johnson. Esto indica que para columnas excéntricas intermedias con razones de excentricidad pequeñas, la fórmula de Johnson para columnas concéntricas (en vez de la fórmula de secante) debe ser el criterio de falla y tiene que calcularse. 2.17 ESFUERZOS EN CILINDROS Los cilindros se utilizan con frecuencia como recipientes o tuberías de presión y pueden estar sometidos a presiones internas y/o externas, como se ilustra en la figura 2-45. Algunos ejemplos son los cilindros de aire o los cilindros hidráulicos, los tanques de almacenamiento de fluidos y las tuberías, así como los cañones de armas de fuego. Algunos de estos dispositivos están abiertos por los extremos y otros están cerrados. Si es de extremos abiertos, en las paredes del cilindro existe un estado de esfuerzos bidimensional, con componentes de esfuerzo radial y tangencial (se trata de un aro). Si es de extremos cerrados, también estará presente un esfuerzo tridimensional llamado longitudinal o axial. Estos tres esfuerzos aplicados son mutuamente ortogonales y son principales, ya que no existe cortante aplicado por la presión uniformemente distribuida. † En la figura 2-44 observe que las curvas de secantes para razones de excentricidad 0.01, 0.05 y 0.1 terminan en forma abrupta. Aquí es donde ocurre la primera discontinuidad de la función secante y los datos más allá de estos puntos son inválidos hasta que la secante se vuelva positiva de nuevo. Véase las gráficas del archivo SECANT para una mayor explicación. 134 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado po po r 2 ri pi po po ro FIGURA 2-45 Cilindro sometido a presiones interna y externa Cilindros de pared gruesa En la figura 2-45 se muestra un elemento diferencial anular en el radio r. Los esfuerzos radial y tangencial sobre el elemento de un cilindro con extremos abiertos se obtienen mediante la ecuación de Lame: σt = σr = pi ri2 − po ro2 ro2 − ri2 pi ri2 − po ro2 ro2 − ri2 + − ri2 ro2 ( pi − po ) ( r 2 ro2 − ri2 ) ri2 ro2 ( pi − po ) ( r 2 ro2 − ri2 ) (2.47a) (2.47b) donde ri y ro son los radios interior y exterior, pi y po son las presiones interna y externa, respectivamente, y r es el radio del punto de interés. Note que la variación de estos esfuerzos, a través del espesor de la pared, no es lineal. Si los extremos del cilindro están cerrados, el esfuerzo axial en la pared es: σa = pi ri2 − po ro2 ro2 − ri2 (2.47c) Advierta la ausencia de r en esta ecuación cuando el esfuerzo axial es uniforme a través del espesor de la pared. Si la presión externa po  0, entonces, la ecuación se reduce a y para extremos cerrados: σt = ri2 pi 2 ro − ri2 ⎛ ro2 ⎞ ⎜1 + 2 ⎟ r ⎠ ⎝ (2.48a) σr = ro2 ⎞ ri2 pi ⎛ 1 − ⎜ ⎟ ro2 − ri2 ⎝ r2 ⎠ (2.48b) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN σa = pi ri2 ro2 − ri2 135 (2.48c) tensión + En la figura 2-46, se muestran las distribuciones de estos esfuerzos a través del espesor de la pared para po  0. Con presión interna, ambos son máximos en la superficie interior. El esfuerzo tangencial (aro) es de tensión y el esfuerzo radial es de compresión. Cuando dos piezas en interferencia se presionan o se encogen para ajustarse, los esfuerzos desarrollados en las dos piezas se definen usando las ecuaciones 2.47. Sus deflexiones elásticas mutuas crean presión interna sobre la parte exterior, y presión externa sobre la parte interior. Hay más análisis de los ajustes por interferencia en la sección 6.12. Cilindros de pared delgada St 2 (a) Esfuerzo tangencial Cuando el espesor de la pared es menor que 1/10 aproximadamente del radio, se puede considerar un cilindro de pared delgada. La distribución de esfuerzos a través de la pared delgada es casi uniforme y la expresión del esfuerzo se simplifica a pr σt = (2.49a) t σr = 0 (2.49b) y para extremos cerrados: Sr pr σa = 2t (2.49c) Todas estas ecuaciones son válidas únicamente en ubicaciones eliminadas de cualquier concentración de esfuerzos local o cambios de sección. Para el diseño real de recipientes a presión, consulte el Código de Calderas de ASME para obtener información más completa y lineamientos para un diseño seguro. Los recipientes a presión llegan a ser extremadamente peligrosos, incluso a presiones relativamente bajas, si el volumen almacenado es grande y el medio presurizado es compresible. En una falla se podrían liberar repentinamente grandes cantidades de energía, lo cual es un riesgo de lesiones muy serias. 2.18 ESTUDIOS DE CASO DE ESFUERZO ESTÁTICO Y ANÁLISIS DE DEFLEXIÓN Se presentará ahora la continuación del estudio de algunos casos de diseño para dispositivos cuyas fuerzas se analizaron en los estudios de caso del capítulo 1. Para un diseño determinado se usará el mismo número del estudio de caso a lo largo del texto, y los agregados sucesivos se identificarán por sufijos alfabéticos. Por ejemplo, en el capítulo 1 se presentaron seis estudios de caso identificados como 1A, 2A, 3A, 4A, 5A, 5B. Este capítulo continuará los estudios de caso 1 a 4 como 1B, 2B, 3B y 4B. Algunos de éstos continuarán en capítulos posteriores y se les asignarán letras identificadoras sucesivas, de modo que el lector pueda revisar los temas anteriores de cualquier estudio de caso, remitiéndose a su número de caso común. Para localizar cada parte, véase la lista de estudios de caso en la tabla de contenido. Puesto que los esfuerzos sobre una pieza varían continuamente, se deben hacer algunos juicios de ingeniería para verificar dónde van a estar los más grandes y calcularlos para dichas ubicaciones. No se tiene tiempo para calcular los esfuerzos en un número de – compresión (b) Esfuerzo radial FIGURA 2-46 Distribuciones de esfuerzos tangencial y radial en la pared de un cilindro con presión interna 136 2 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado ubicaciones infinito. Puesto que las geometrías de tales piezas son bastante complicadas, lejos de hacer un análisis de esfuerzo completo de elementos finitos, se debe hacer una simplificación razonable para modelarlas. El objetivo consiste en generar rápidamente alguna información acerca del estado de esfuerzos del diseño, para determinar su viabilidad antes de invertir más tiempo en un análisis completo. E S T U D I O D E C A S O 1 B Esfuerzo en la palanca del freno de una bicicleta y análisis de deflexión Problema Determine los esfuerzos y las deflexiones en los puntos críticos en la palanca del freno que se muestra en las figuras A-1 (repetidas aquí) y la 2-47. Se proporciona La geometría y la carga se conocen por el estudio de caso 1A (p. 9). El perno del pivote tiene 8 mm de diámetro. La mano humana promedio desarrolla una fuerza de sujeción de alrededor de 267 N (60 lb), en la posición de la palanca mostrada. Suposiciones Los puntos de falla más probables son los dos orificios donde se insertan los pernos y la raíz de la viga en voladizo que representa la palanca manual. La sección transversal de la palanca manual es esencialmente circular. Solución Véase las figuras 2-47 a 2-48. 1. Se puede modelar una porción de la palanca de 14.3 mm de diámetro, como una viga en voladizo con una carga concentrada intermedia, como se ilustra en la figura 2-48, si se supone que el bloque más masivo en el extremo izquierdo sirve como “suelo plano”. La ubicación más probable de falla es la raíz de la porción manual redonda, donde el cortante y el momento son máximos, como se indica en la figura 2-24 (p. 98) de este modelo que se analizó para reacciones, momentos y deflexiones en los ejemplos 1-3 y 2-5. A partir de ΣF  0 y ΣM  0, se encuentra que R1  267 N y M1  20.34 N-m. El esfuerzo de flexión a la tensión en la raíz de la viga en voladizo es máximo en la fibra más externa (en el punto P, como se muestra en la figura 2-47) y se obtiene con la ecuación 2.11b: Fb2 Fcable Ffunda 3 palanca de freno 2 cable pivote Px 1 Mh Py manubrio mango Fb1 FIGURA 1-1 Repetida Montaje de la palanca de frenos de una bicicleta Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 16 cable 5 137 14.3 diámetro P extremo 2 F32 ranura Q Fb2 R F32 1 914 N 25 267 N 5 2 C B A F12 1 951 N 7.1 6.4 típico 76.2 127 8.0 diámetro típico FIGURA 2-47 Diagrama de cuerpo libre de la palanca del freno de una bicicleta con fuerzas en N y dimensiones en mm Mc ( F ⋅ a)c σx = = = I I (267 N ⋅ 0.0762 m)⎛⎝ 0.0143 ⎞ m 2 ⎠ π(0.0143) 4 4 m 64 = 70.9 MPa ( a) Éste es un esfuerzo relativamente bajo para este material. Existen algunas concentraciones de esfuerzos debidas al radio pequeño en la raíz de la viga; no obstante, como ésta es de un material fundido marginalmente dúctil (5% de elongación a la fractura) se ignorarán las concentraciones de esfuerzos confiando en que la fluencia local los mitigará. 2. La razón longitud/profundidad efectiva de esta viga es pequeña e igual a 76.2/ 14.3  5.3. Puesto que esta razón es menor que 10, se calculará el esfuerzo cortante debido a la carga transversal. Para esta sección circular sólida, al aplicar la ecuación 2.15c (p. 91) se obtiene: τ xy = 4(267) N 4V = 2.22 MPa = 3 A 3π(14.3) 2 2 mm 4 267 N (b) El esfuerzo cortante es máximo en el eje neutro (punto Q) y el esfuerzo normal de flexión es máximo en la fibra externa (punto P). El mayor esfuerzo principal (ecuación 2.6, p. 75) en la fibra externa más alta es, entonces, σ1  σx  70.9 MPa, σ2  σ3  0, y τmáx  35.45 MPa. El círculo de Mohr para este elemento de esfuerzo se ve como el de la figura 2-8 (que se reproduce en la página siguiente por conveniencia). 3. El cálculo de la deflexión para el mango es difícil por su geometría curva y su ligero estrechamiento desde la raíz hasta el extremo. Se puede obtener una primera aproximación de la deflexión simplificando el modelo como una viga recta con sección transversal constante, como se muestra en la figura 2-48b. La deflexión debida al cortante transversal también se despreciará. Esto llevará a un ligero error en una dirección no conservadora, pero dará una indicación del orden de la magnitud de la deflexión. Si el resultado descubre algún problema de deflexión excesiva, será necesario mejorar el modelo. La ecuación (i) del ejemplo 2-5 proporciona la ecuación de deflexión para el modelo simple. En este caso, l  127 mm, a  76.2 mm y x  l para la deflexión máxima en el extremo de la viga. 76.2 mm 127 (a) El mango como viga en voladizo l a M1 F x R1 (b) Modelo de la viga en voladizo FIGURA 2-48 Modelo del mango como viga en voladizo 138 DISEÑO DE MÁQUINAS Un Enfoque Integrado [ ] F x 3 − 3ax 2 − x − a 3 6 EI 267 = 1273 − 3(76.2)127 2 − (127 − 76.2)3 6(71.7 E 3)(2.04 E 3) y= T 2 - T13 T12 [ ] (c ) = –0.54 mm S2 Sx S3 FIGURA 2-8 S S1 Repetida Círculos de Mohr para esfuerzos de tensión unidireccional (dos círculos coinciden y el tercero es un punto, ya que S2 = S3 = 0) Esto es aproximadamente 0.02 in de deflexión en el extremo del mango, el cual no se considera excesivo en esta aplicación. Véase la figura 2-24 (p. 98) de la gráfica en la forma general de esta curva de deflexión de la viga, si bien los valores de este ejemplo son diferentes. 4. Deben verificarse también otras ubicaciones con fallas probables. El material alrededor de los dos orificios podría experimentar cualquiera de los modos de falla debidos a un esfuerzo de contacto, un esfuerzo cortante directo o un desgarramiento. El orificio en el punto A de la figura 2-47 contiene un perno de pivote, el cual se presiona contra el mango con una fuerza de 1 951 N que se muestra en la figura. Se verificará esto para los tres modelos mencionados anteriormente. 5. El esfuerzo de contacto es compresivo y se considera que actúa sobre el área proyectada del orificio, el cual, en este caso, es el diámetro del orificio de 8 mm por la longitud total de contacto (dos veces el espesor de las pestañas de 6.4 mm). Acontacto  dia – espesor  82 6.4  102.4 mm 2 S contacto  F12 1 951 N   19.1 MPa Acontacto 102.4 mm 2 (d ) 6. El desgarramiento en este caso requiere que (4)6.4 mm del espesor de las secciones fallen al cortante a través de los 5 mm del material entre el orificio y el extremo. (Vea también la figura 2-13, p. 85, para la definición del área de desgarramiento). Adesgarramiento  longitud – espesor  7.1 4 6.4  181.8 mm 2 T desgarramiento  F12 1 951 N   10.7 MPa Adesgarramiento 181.8 mm 2 (e ) 7. Estos esfuerzos son muy pequeños para el material especificado; sin embargo, recuerde que la fuerza aplicada que se usa está basada en la capacidad de fuerza de la mano de un ser humano promedio y no prevé el abuso debido al impacto u otros medios. 8. El extremo del cable se inserta en un orificio ciego, el cual está medio ranurado para permitir que el cable pase a través del ensamble, como se muestra en la figura 2-47. Tal ranura debilita la pieza y hacen a la sección C la ubicación más probable de falla en esta unión. Se supondrá que la falla de la mitad abierta (ranurada) del material alrededor del orificio es suficiente para deshabilitar la pieza, ya que el cable puede deslizarse hacia afuera. La pequeña sección que retiene el cable se puede modelar en una primera aproximación como una viga en voladizo con una sección transversal de (25 – 5) / 2  10 mm de ancho y una profundidad de 5 mm. Ésta es una suposición conservadora, ya que ignora el aumento de la profundidad debido al radio del orificio. Se supondrá que el brazo del momento de la fuerza es igual al radio del perno, es decir, 4 mm. Se toma la fuerza sobre la mitad ranurada como la mitad de la fuerza total de 1 914 N sobre el cable. El esfuerzo flexionante sobre la fibra más externa en el punto C es, entonces, Mc σx = = I 1 914 ⎛ 5 ⎞ ( 4) 2 ⎝ 2⎠ 10(5)3 12 = 91.9 MPa (f) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 139 y el cortante debido a la carga transversal en el eje neutro es (ecuación 2.14b, p. 91) τ xy = 3(957) 3V = 28.7 MPa = 2 A 2(10)(5) ( g) 2 9. El esfuerzo normal es principal aquí, como se indica en la figura 2-8 (p. 82) y el esfuerzo cortante máximo es entonces la mitad del esfuerzo normal principal. Éstos son los mayores esfuerzos encontrados para las tres secciones revisadas. Se realizará un análisis de falla de esta pieza en la continuación de este estudio de caso, en el siguiente capítulo. 10. Este análisis preliminar demuestra que algunas áreas podrían beneficiarse con más investigación. En el apéndice C se hace un análisis más completo del esfuerzo de este estudio de caso, usando el análisis de elementos finitos (FEA). El lector puede examinar el modelo de este estudio de caso abriendo el archivo CASE1B en el programa de su elección. E S T U D I O D E C A S O 2 B Análisis de esfuerzo y deflexión de una pinza de presión Problema Determine los esfuerzos y las deflexiones en los puntos críticos de la pinza de presión mostrada en las figuras 1-3 (repetida aquí) y 2-49. Se proporciona Se conocen la geometría y la carga por el estudio de caso 2A de la página 14. El espesor del eslabón 1 es 0.313 in, el de los eslabones 2 y 3 es de 0.125 in y del eslabón 4, 0.187 in. Todo el material es acero 1095 con E = 30 Mpsi. Suposiciones Los puntos de falla más probable se encuentran en el eslabón 3 considerado como columna, los orificios donde se insertan los pernos, los pernos conectores expuestos al cortante y el eslabón 4 en flexión. El número de ciclos esperado durante la vida de la herramienta es bajo, de modo que es aceptable un análisis estático. Se puede ignorar la concentración de esfuerzos debido a la ductilidad del material, así como la carga estática supuesta. Solución Véase las figuras 1-3 y 2-49 a 2-51. Fh 1 2 Fh fuerza de la mano 4 3 Fc fuerza de presión F I G U R A 1 - 3 Repetida Pinzas de presión para conectar alambre 140 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado aproximación a una viga curva A Fh 2 1 560 52 2 000 1 y 1.23 1 548 0.6 P B x 0.7 D 3 Fh r 452 1 548 C 1.0 A 1 560 52 B 1 548 0.75 C 0.35 1 548 a 1.55 2 000 2 0.80 1.2 452 Todas las dimensiones están en pulgadas y las fuerzas en libras. Para completar la información de la fuerza, véase la tabla 2-49. D 4 FIGURA 2-49 Diagramas de cuerpo libre, dimensiones y magnitudes de fuerza de una pinza de presión para conectar alambres 1. El eslabón 3 es una columna articulada-articulada cargada con F43  1 548 lb como se calculó en el estudio de caso 2A (p. 14) y mostrada en la figura 2-49. Advierta que lef  l de la tabla 2-4. Primero se necesita verificar su razón de esbeltez (ecuación 2.41). Esto requiere el radio de giro (ecuación 2.34, p. 123) en la dirección de pandeo más débil (la dirección z, en este caso).* k= I = A bh 3 / 12 = bh h2 = 12 0.1252 = 0.036 in 12 ( a) La relación de esbeltez en la dirección z de pandeo es entonces Sr  lef k  1.228  34 0.036 (b) la cual es  10, haciéndola otra columna corta. Calculamos la razón de esbeltez del punto tangente entre las líneas de Johnson y de Euler de la figura 2-42 (p. 127). (Sr ) D = * Incluso un pequeño claro en los orificios evitará que los remaches provoquen un momento a lo largo de sus ejes, creando así una conexión bidimensional articuladaarticulada. π 2(30 E 6) 2E =π = 84.5 Sy 83E 3 (c ) La razón de esbeltez de esta columna es menor que la del punto tangente entre las líneas de Johnson y de Euler de la figura 2-42. Se trata por lo tanto de una columna intermedia y se debería usar la fórmula de la columna de Johnson (ecuación 2.43, p. 128) para encontrar la carga crítica. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 2 ⎡ 1 ⎛ Sy Sr ⎞ ⎤ Pcr = A ⎢Sy − ⎜ ⎟ ⎥ E ⎝ 2π ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦ (d ) 2 ⎡ 1 ⎛ 83 000(34) ⎞ ⎤ = 0.125(.5)⎢83 000 − ⎜ ⎟ ⎥ = 4 765 lb ⎠ ⎥ 30 E 6 ⎝ 2π ⎢⎣ ⎦ 2 La carga crítica es 3.1 veces más grande que la carga aplicada. Ésta es segura contra el pandeo. El eslabón 2 es una columna más corta y más ancha que el eslabón 3, y tiene menores fuerzas axiales, de modo que se puede suponer segura contra el pandeo con base en los cálculos del eslabón 3. 2. Puesto que no se pandea, la deflexión a la compresión axial del eslabón 3 es (ecuación 2.7, p. 82): 1 548(1.23) Pl = = 0.001 in AE 0.0625(30 E 6) x= (e) 3. Cualquiera de los eslabones podría fallar por contacto en los orificios de 0.25 in de diámetro. La mayor fuerza sobre cualquier perno es de 1 560 lb. El esfuerzo de contacto más severo es (ecuaciones 2.7 y 2.10, p. 84), entonces, Sb  P Acontacto P 1 560   49 920 psi longitud dia 0.1250.25  (f) No existe riesgo de falla por desgarramiento en los eslabones 2 o 3, ya que la carga está dirigida hacia el centro del eslabón. El eslabón 1 tiene bastante material alrededor de los orificios como para prevenir el desgarramiento. 4. Los pernos de 0.25 in de diámetro están expuestos a cortante simple. El peor caso de esfuerzo cortante directo remite a la ecuación 2.9 (p. 83): T P 1 560   31 780 psi Acorte P0.25 2 4 ( g) 5. El eslabón 4 es una viga de 1.55 in de largo, simplemente soportada en los pernos y cargada con una fuerza de presión de 2 000 lb a 0.35 in del punto C. Escriba las ecuaciones de carga, cortante, momento, pendiente y deflexión usando funciones de singularidad, considerando que las constantes de integración C1 y C2 son iguales a cero: q = R1 x − 0 −1 −F x−a 0 M = R1 x − 0 − F x − a 1 V = R1 x − 0 0 −F x−a 1 θ= 1 ⎛ R1 x−0 EI ⎝ 2 −1 + R2 x − l + R2 x − l + R2 x − l −1 0 (h) 1 2 − F x−a 2 2 + R2 x−l 2 2 3 F x−a − 6 3 R + 2 x−l 6 3 + C3 ⎞ ⎠ (i ) 1 ⎛ R1 y= x−0 EI ⎝ 6 141 ⎞ + C3 x + C4 ⎠ 6. Las fuerzas de reacción se obtienen a partir de ΣM  0 y ΣF  0. (Véase el apéndice F). R1 = F(l − a) 2 000(1.55 − 0.35) = = 1 548 lb 1.55 l ( j) R2 = Fa 2 000(0.35) = 452 lb = l 1.55 (k ) 142 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado El momento máximo es de 1 548(0.35)  541.8 lb-in donde se aplica la carga. En la figura 2-50, se muestran los diagramas de cortante y de momento del eslabón 4. 7. La profundidad de la viga en el punto de momento máximo es de 0.75 in y el espesor es de 0.187. Entonces el esfuerzo flexionante es 2 ⎛ 0.75 ⎞ 541.8 ⎝ 2 ⎠ Mc σ= = = 30 905 psi I 0.187(0.75)3 12 Diagrama de carga (lb) 1 500 0 –1 000 –2 000 0 0.8 1.6 Diagrama de cortante (lb) 1 500 1 000 500 0 –500 8. Las funciones de pendiente y deflexión de la viga requieren que se calculen las constantes de integración C3 y C4, las cuales se obtienen al sustituir las condiciones de frontera x  0, y  0 y x  l, y  0 en la ecuación de deflexión. 1 ⎛ R1 0−0 EI ⎝ 6 C4 = 0 0= 0= 0 0.8 1.6 Diagrama de momento (lb-in) 600 3 − F 0−a 6 3 + R2 0−l 6 + C3 (0) + C4 ⎞ ⎠ ( m) R F 1 ⎛ R1 l−0 3 − l−a 3 + 2 l−l EI ⎝ 6 6 6 [ 3 3 ⎞ + C3 (l ) ⎠ [ ] ] ( n) 1 1 3 3 C3 = F(l − a)3 − R1l 3 = 2 000(1.55 − 0.35) − 1548(1.55) = −248.4 6l 6(1.55) 9. La ecuación de deflexión se obtiene combinando las ecuaciones i, j, k, m y n: y= 400 (l ) ( [ ]) F ⎧ 2 3 2 ⎨(l − a) x + (l − a) − l x − l x − a 6lEI ⎩ 3 + a x − l 3 ⎫⎬ ⎭ ( o) y la deflexión máxima en x  0.68 in es 200 0 0 0.8 1.6 Diagrama de pendiente (rad) 0.0010 0.0005 0 –0.0005 –0.0010 –0.0015 ymáx  Fal a 2 a 6lEI  l a 2 l2 ( p) 2 0000.35 1.55 0.35 0.352 = 61.55 30 E 6 0.006 6 ; 1.55 0.35 2 1.55 2 =  0.000 5 in Sólo se permite aquí una deflexión muy pequeña para garantizar el golpe de presión adecuado y esta cantidad es aceptable. Los diagramas de la pendiente y la deflexión se muestran en la figura 2-50. También véase el archivo CASE2B-1. 0 0.8 1.6 Diagrama de deflexión (in) 0 –0.0001 –0.0002 –0.0003 –0.0004 –0.0005 0 0.8 1.6 FIGURA 2-50 Diagramas de la parte 4; caso 2B 10. El eslabón 1 es relativamente masivo comparado con los otros y la única área de interés es la mandíbula, la cual se carga con 2 000 lb de fuerza de presión y tiene un orificio en la sección transversal de la raíz. En tanto que la forma de este elemento no es exactamente la de una viga curva con radios exterior e interior concéntricos, esta suposición será aceptablemente conservadora, si se emplea un radio exterior igual a la dimensión de la sección más pequeña, como se ilustra en la figura 2-49 (p. 140). Esto hace el radio interior igual a 0.6 in y su radio exterior igual a 1.6 in. La excentricidad e del eje neutro de la viga curva contra el eje centroidal de la viga rc se obtiene de la ecuación 2.12a (p. 87), tomando en cuenta el orificio de la sección en la integración. e = rc − 0.313(1 − 0.25) A = 1.1 − = 0.103 1.600 dr ⎞ dA ⎛ 0.975 dr + 0.313⎜ ⎟ 0 r ⎝ 0.600 r 1.225 r ⎠ ∫ ro ∫ ∫ (q) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 143 El radio del eje neutro (rn) y las distancias (ci y co) desde los radios interior y exterior (ri y ro) de la fibra al eje neutro son, entonces (véase la figura 2-16, p. 87), rn = rc − e = 1.10 − 0.103 = 0.997 ci = rn − ri = 0.997 − 0.600 = 0.397 (r ) co = ro − rn = 1.600 − 0.997 = 0.603 11. El momento flexionante aplicado sobre la sección de la viga curva se toma como la carga aplicada por la distancia al eje centroidal de la viga. M = Fl = 2 000(0.7 − 0.6 + 1.1) = 2 400 lb - in ( s) 12. Determine los esfuerzos de las fibras interior y exterior con las ecuaciones 2.12b y 2.12c (p. 88). Reduzca el área de la sección transversal de la viga mediante el área del orificio. σi = + 2 400 M ⎛ ci ⎞ ⎛ 0.397 ⎞ = 65 kpsi ⎜ ⎟= eA ⎝ ri ⎠ 0.103[(1.0 − 0.25)(0.313)] ⎝ 0.60 ⎠ (t ) M ⎛c ⎞ 2 400 ⎛ 0.603 ⎞ = −37 kpsi σo = − ⎜ o ⎟ = − eA ⎝ ro ⎠ 0.103[(1.0 − 0.25)(0.313)] ⎝ 1.60 ⎠ 13. Éste también es un esfuerzo directo axial por tensión, el cual se suma al esfuerzo flexionante de la fibra interior en el punto P: Sa  2 000 F  8.5 kpsi  A 1.0 0.25 0.313 S máx  S a S i  65 8.5  74 kpsi (u ) Éste es el esfuerzo principal en el punto P, ya que no existe cortante aplicado ni otro esfuerzo normal en este punto extremo. El esfuerzo cortante máximo en el punto P es la mitad de este esfuerzo principal, es decir, 37 kpsi. El esfuerzo flexionante en la fibra exterior es compresivo y, por lo tanto, se resta del esfuerzo de tensión axial para un esfuerzo neto de 37  8.5  28.5 kpsi. 14. Existe una concentración de esfuerzos significativa en el orificio. El factor de concentración del esfuerzo teórico para el caso de un orificio circular en una placa infinita es Kt  3, como se definió en la ecuación 2.32a (p. 119) y en la figura 2-35 (p. 118). Para un orificio circular en una placa finita, Kt es una función de la razón entre el diámetro del orificio y el ancho de la placa. Peterson ofrece una gráfica de factores de concentración de esfuerzos para un orificio redondo en una placa bajo tensión,[5] donde se encuentra que Kt  2.42 para la razón diámetro/ancho  1/4. El esfuerzo de tensión axial local en el orificio es entonces de 2.42(8.5)  20.5 kpsi, el cual es menor que el esfuerzo a la tensión en la fibra interior. 15. Esto está lejos de un análisis completo de esfuerzo y deflexión; los cálculos realizados llevan a revisar las áreas definidas como las más probables para fallar o tener problemas con la deflexión. Los esfuerzos y las deflexiones en el eslabón 1 también se calcularon usando un programa de análisis de elementos finitos llamado ABAQUS, el cual dio un esfuerzo principal máximo estimado en el punto P de 81 kpsi, en vez del estimado de 74 kpsi. La maya del FEA y la distribución de esfuerzos calculada por el modelo de FEA se ilustran en la figura 2-51. El estudio del caso 2D del apéndice C presenta el análisis completo de FEA para este montaje. El análisis simplificó la geometría de la parte con la finalidad de permitir el uso del conocido modelo de forma cerrada (la viga curva); mientras que en el modelo de FEA se consideró todo el material de la pieza real, aunque una distinta geometría. Ambos análisis se deberían considerar tan sólo como estimaciones del estado de esfuerzos en las piezas, no como soluciones exactas. 2 144 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado (a) Malla de FAE 2 (b) Gráfica del contorno de esfuerzos FIGURA 2-51 Análisis de elementos finitos de los esfuerzos en la pinza de presión del estudio de caso 2B 16. Quizá se necesite un rediseño para reducir estos esfuerzos y deflexiones, con base en un análisis de fallas. Este estudio de caso se retomará en el siguiente capítulo, después de que se presenten varias teorías de fallas. El lector puede revisar el modelo de este estudio de caso, abriendo los archivos CASE2B-1, CASE2B-2 en el programa de su preferencia. En el apéndice C se realiza el análisis de esfuerzos de este estudio de caso, usando el análisis de elementos finitos (FEA). E S T U D I O D E C A S O 3 B Análisis de esfuerzos y deflexiones en un gato de tijera para automóvil Problema Determine los esfuerzos y las deflexiones en puntos críticos en el montaje del gato de tijera mostrado en las figuras 1-5 (repetida de nuevo aquí) y 2-52. Se proporciona La geometría y la carga se conocen a partir del estudio de caso 3A (p. 18). La carga de diseño es de 2 000 lb en total, es decir, 1 000 lb por lado. El ancho de los eslabones es de 1.032 in y su espesor es de 0.15 in. El tornillo tiene una cuerda UNC 1/2-13 con un diámetro en la raíz de 0.406 in. El material de todas las partes es acero dúctil con E = 30E6 psi y Sy = 60 000 psi. Suposiciones Los puntos de falla más probable son los eslabones como columnas, orificios donde se insertan los pernos —expuestos a la carga—, pernos conectores expuestos al cortante, dientes de engranes en flexión y tornillo en tensión. Existen dos conjuntos de eslabones, uno de cada lado. Suponga que los dos lados comparten la carga en partes iguales. El gato se usa normalmente muy pocos ciclos durante su tiempo de vida, por lo que un análisis estático es adecuado. Solución Véase las figuras 2-52 y 2-53, así como los archivos CASE3B-1 y CASE3B-2. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 145 P 3 típ 6" 2 2 4 1 y 2" 7 5 30o típ x 6 Fg F I G U R A 1 - 5 Repetida Gato de tijera para automóvil 1. Las fuerzas sobre el ensamble del gato para la posición mostrada en la figura se calcularon en la primera parte de este estudio de caso (3A) en el capítulo 1 (p. 18). Por favor, consulte la sección y tabla 1-4 (pp. 20-22) para datos adicionales de fuerza. 2. La fuerza en el tornillo del gato es cuatro veces la componente de fuerza F21x de 878 lb en el punto A debido a que la fuerza en la mitad superior del gato se encuentra sólo en un plano. La mitad inferior ejerce una fuerza igual sobre el tornillo y el lado de atrás duplica la suma. Estas fuerzas ponen al tornillo en tensión axial. Tal esfuerzo de tensión se calcula con la ecuación 2.7 (p. 82), usando el diámetro en la raíz de la cuerda de 0.406 in para calcular el área de la sección transversal. Se trata de una suposición conservadora, como se verá cuando se analicen los sujetadores de rosca en el capítulo 11. normal común P = 1 000 por lado y x x F32 = 1 009 D 6" F23 E 2 3 F24 = 412 4 F43 (b) Detalle del diente del engrane F34 = 613 2 C 0.9 F42 = 412 4 30o F41 = 996 F21 = 1026 F14 = 996 1 F12 = 1 026 @ 31o FAx = –F21x = 878 FBx = –F41x = –878 A FAy = –F21y = 530 FIGURA 2-52 Q B (a) Diagramas de cuerpo libre FBy = –F41y = 470 Diagramas de cuerpo libre, dimensiones y fuerzas de los elementos del gato de tijera 146 DISEÑO DE MÁQUINAS - σx = 2 Un Enfoque Integrado 4(878) 3512 P = = 27 128 psi = 2 0.129 A π(0.406) 4 ( a) La deflexión axial del tornillo se obtiene con la ecuación 2.8 (p. 82). x= Pl 4(878)(12.55) = = 0.011 in AE 0.129(30 E 6) (b) 3. El eslabón 2 es el más fuertemente cargada de los eslabones debido a que la carga aplicada P se desvía ligeramente a la izquierda del centro, de modo que se calcularán sus esfuerzos y deflexiones. Este eslabón está cargado como una viga-columna con una fuerza P de compresión axial entre los puntos C y D, y un par flexionante aplicado entre D y E. Observe que la fuerza F12 es prácticamente colineal con el eje del eslabón. La carga axial es igual a F12cos(1°)  1 026 lb y el par flexionante creado por F42, que actúa alrededor del punto D, es M  412(0.9)  371 in-lb. Este par es equivalente a la carga axial excéntrica en el punto D por la distancia e  M/P  371 / 1026  0.36 in. Se puede usar la fórmula de secante de columna (ecuación 2.46c, p. 132) con esta excentricidad efectiva e considerada para el par aplicado en el plano flexionante; c es 1/2 de 1.032 in de ancho del eslabón. Puesto que se trata de una columna articulada-articulada, lef  l de la tabla 2-4. El radio de giro k se toma, para este cálculo, en el plano flexionante xy (ecuación 2.34, p. 123): k= 0.15(1.032)3 I bh 3 = = = 0.298 A 12bh 12(0.15)(1.032) (c ) La razón de esbeltez es lef / k  20.13. Ahora se aplica la fórmula de secante y se itera para el valor de P (véase la figura 2-53). P  A Syc ¥ lef ¥ ec ´ 1 ¦ 2 µ sec¦ §k ¶ § k P ´ 4 EA µ¶  18 975 psi (d ) Pcrit = 0.15518 975  2 937 lb La columna también debe revisarse para el pandeo en columna concéntrica en la dirección más débil (z) con c  0.15 / 2. El radio de giro en la dirección z se obtiene de k= 1.032(0.15)3 I bh 3 = = = 0.043 A 12bh 12(1.032)(0.15) (e) La razón de esbeltez en la dirección z es Sr  lef k  6  138.6 0.043 (f) Esto se debe comparar con la razón de esbeltez (Sr)D en la tangencia entre las líneas de Euler y de Johnson, para determinar cuál ecuación de pandeo debería usarse para esta columna: (Sr ) D = π 2(30 E 6) 2E =π = 99.3 Sy 60 000 ( g) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN La Sr de esta columna es mayor que (Sr)D, lo cual la hace una columna de Euler (véase la figura 2-53). Entonces se obtiene la carga crítica de Euler con la ecuación 2.38a (p. 124). Pcr = 3 π 2 EI π 2 (30 E 6)(1.032)(0.15) = = 2 387 lb l2 12(6)2 (h) Por lo tanto, es más probable el pandeo en la dirección z más débil, que en el plano del momento aplicado. El factor de seguridad contra el pandeo es 2.3. 4. Todos los pernos tienen 0.437 in de diámetro. El esfuerzo de contacto en el orificio más fuertemente cargado en C es S contacto  1 026 P   15 652 psi Acontacto 0.150.437 (i ) P 1 026  Acortante P0.437 4 2  6 841 psi ( j) 5. El diente del engrane en el eslabón 2 está sometido a una fuerza de 412 lb aplicadas en un punto a 0.22 in de la raíz del diente en voladizo. El diente tiene 0.44 in de profundidad en la raíz y 0.15 de espesor. El momento flexionante es de 412(0.22)  91 in-lb y el esfuerzo flexionante en la raíz es σ= 91(0.22) Mc = = 18 727 psi I 0.15(0.44)3 12 (k ) 6. Este análisis podría continuar, revisando otros puntos del montaje y, lo más importante, los esfuerzos cuando el gato se ubica en diferentes posiciones. Se ha usado una posición arbitraria para este estudio de caso, pero conforme el gato se mueve a una posición más baja, las fuerzas en el eslabón y el perno se incrementan debido a los ángulos de transmisión tan deficientes. Se debería hacer un análisis de esfuerzos completo para múltiples posiciones. Este estudio de caso se revisará en el siguiente capítulo con el objetivo de hacer un análisis de fallas. El lector puede examinar los modelos de este estudio de caso abriendo los archivos CASE3B-1 y CASE3B-2 en el programa de su preferencia. E S T U D I O D E C A S O carga unitaria psi  103 70 corta 60 50 Euler 40 Johnson 30 falla 20 10 secante 0 20 0 50 100 150 200 razón de esbeltez Los pasadores están expuestos a cortante simple y el peor esfuerzo cortante es T 147 4 B Análisis de esfuerzo en el brazo del freno de una bicicleta Problema Determine los esfuerzos en los puntos críticos del brazo del freno de la bicicleta de las figuras 1-9 (repetida aquí) y 2-54. Se proporciona La geometría y la carga se conocen por el estudio de caso 4A (p. 24) y se muestran en la tabla 1-5 (p. 27). El brazo de aluminio fundido tiene la sección T de una viga curva, cuyas dimensiones se muestran en la figura 2-54. El perno del pivote es de acero dúctil. La carga es tridimensional. Suposiciones Los puntos de falla más probable son el brazo como viga en voladizo doble (un extremo de los cuales es curvo), el orificio en contacto y el pasador de la conexión en flexión como una viga en voladizo. Puesto FIGURA 2-53 Solución para la columna excéntrica del estudio de caso 3B 2 148 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Fcable y y cable cable 2 3 3 x brazo del freno z brazo del freno 2 4 4 2 estructura (cuadro) 1 almoha- almohadilla dilla aro de la llanta Q 172o N 5 6 5 x aro de la llanta F I G U R A 1 - 9 Repetida 6 V W Montaje del brazo del freno de una bicicleta jalado por el centro que éste es un material fundido marginalmente dúctil (5% de elongación a la fractura), se puede ignorar la concentración de esfuerzos sobre la base de que la fluencia local la mitigará. Solución Véase las figuras 2-54 a 2-56. 1. El brazo del freno es una viga en voladizo doble. Cada extremo se puede tratar por separado. La porción curva de la viga tiene una sección transversal en forma de T, como se ilustra en la sección X-X de la figura 2-54. El eje neutro de una viga curva cambia del eje centroidal hacia el centro de curvatura una distancia e, como se describió en la sección 2.9 y en la ecuación 2.12a (p. 87). Para encontrar e se requieren tanto la integración de la sección transversal de la viga, como conocer su radio centroidal. La figura 2-55 muestra la sección T descompuesta en dos segmentos rectangulares, la brida y el patín. El radio del centroide de la T se obtiene sumando los momentos del área de cada segmento con respecto al centro de curvatura: ∑ M = A1rc 1 rct = rct = + A2 rc2 = At rct A1rc1 + A2 rc2 At = A1 (ri + y1 ) + A2 (ri + y2 ) A1 + A2 ( a) (20)(7.5)(58 + 3.75) + (10)(7.5)(58 + 11.25) = 64.25 mm (20)(7.5) + (10)(7.5) Consulte las figuras 2-53 y 2-54 para conocer las dimensiones y los nombres de las variables. La integral dA/r de la ecuación 2.12a se determina, en este caso, sumando las integrales del patín y la brida. Capítulo 2 80.6 F32y +523 A ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 149 F32y +523 15 F32x brazo del freno 7.5 Sección X-X 29 +353 10 2 66 X estructura 20 11 d X 58 r Sección B-B F12x B B –1 805 42.5 F52x F52y –204 +1 452 2 –319 F52z y C F12z –587 pasador M21x –32 304 y 13 18.2 x FIGURA 2-54 F52y –204 ∫0 z dA A1 A2 (20)(7.5) (10)(7.5) = + = + = 3.51 mm r rc1 rc2 58 + 3.75 58 + 11.25 (b) El radio del eje neutro y la distancia son, entonces, rn = At 225 = = 64.06 mm dA 3.51 0 r ∫ ro e = rc − rn = 64.25 − 64.06 = 0.187 mm (c ) L'a magnitud del momento flexionante que actúa sobre la sección curva de la viga en la sección X-X se aproxima tomando el producto cruz de la fuerza F32 y el vector de posición RAB referenciado al pivote en A en la figura 2-54. M AB = RAB x F32 y − RAB y F32 x = −80.6(523) − 66(353) = 65 452 N - mm (d ) Los esfuerzos en las fibras internas y externas se determinan ahora usando las ecuaciones 2.12b y 2.12c (p. 88) (con longitudes en mm y momentos en N-mm para un equilibrio adecuado): σi = + 65 452(6.063) M ⎛ ci ⎞ = 162 MPa ⎜ ⎟= eA ⎝ ri ⎠ (0.1873)(225)(58) 65 452(8.937) M ⎛c ⎞ = −190 MPa σo = − ⎜ o ⎟ = eA ⎝ ro ⎠ (0.1873)(225)(73) F21y +319 1 F21x = +1 805 M21y = – 52 370 Diagramas de cuerpo libre del brazo del freno, fuerzas en Newtons, momentos en N-mm, y dimensiones en mm ro F21z –587 +587 23 por 12 mm 28.5 F12y 2 (e ) 2. La sección transversal de la maza o el cubo, que se muestra como la sección B-B en la figura 2-54, es una ubicación con posibilidad de falla, ya que ahí existe una combinación de esfuerzos a la tensión axial y de flexión, en tanto que el orificio del perno elimina una cantidad sustancial de material. El esfuerzo flexionante se debe al momento máximo que actúa sobre la raíz de la viga curva, y el esfuerzo de tensión se debe a la componente y de la fuerza A. También existe un esfuerzo cortante 150 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado debido a la carga transversal, pero ésta será cero en la fibra exterior, donde la suma de los esfuerzos flexionante y axial es máxima. Se necesita el área y el momento de inercia del área de la sección transversal del cubo o la maza: Acentral  longitud dext 2 Icentral =  3 longitud d ext 3 dint 12 A1 y1 dint  28.525 11  399 mm 2  28.5 253 113  12 (f)  33 948 mm 4 El esfuerzo sobre la mitad izquierda de la sección F-B es la suma de los esfuerzos flexionante y axial: brida ri rc1 (a) Centroide de la brida patín y2 rc2 A2 S central  Mc F32 y Icentral Acentral 523  25.4 MPa 399 ( g) 3. La porción recta del brazo del freno es una viga en voladizo cargada en dos direcciones, en el plano xy y en el plano yz. Los módulos de sección y los momentos son diferentes en estas direcciones de flexión. El momento z en el plano xy es igual y opuesto al momento sobre la sección curva. La sección transversal en la raíz del voladizo es un rectángulo de 23 por 12 mm, como se indica en la figura 2-54. El esfuerzo flexionante en la fibra exterior del lado de 23 mm debida a este momento es σ y1 Mc = = I (b) Centroide del patín 12 65 452⎛ ⎞ ⎝ 2⎠ = 118.6 MPa 23(12)3 12 (h) El momento x se debe a la fuerza F52z que actúa en el radio de 42.5, flexionando el eslabón en la dirección z. El esfuerzo flexionante en la superficie del lado de 12 mm es yt T rct ri σ y2 Mc = = I 23 589 ⋅ 42.5⎛ ⎞ ⎝ 2⎠ 12(23)3 12 = 23.7 MPa (i ) Estos dos esfuerzos normales en la dirección y se suman en las esquinas de las dos caras para dar (c) Centroide de la T yt 65 45212.5 33 948 El esfuerzo sobre la mitad derecha de la sección B-B es menor, ya que la compresión debida a la flexión se reduce por la tensión axial. ri At  σ y = σ y1 + σ y2 = 118.6 + 23.7 = 142.2 MPa e ( j) 4. Otro punto de falla posible es la ranura en el brazo voladizo. Aun cuando el momento es cero ahí, la fuerza cortante está presente y puede causar desgarramiento en la dirección z. El área de desgarramiento es el área cortante entre la ranura y el borde. rn At ri rct Adesgarramiento  espesor ancho  8 4  32 mm 2 T= (d) Eje neutral de la T FIGURA 2-55 Determinación del eje neutral de la sección T en una viga curva F52 z Adesgarramiento (k ) 589   18.4 MPa 32 5. El pasador del pivote está sometido a la fuerza F21, la cual tiene las componentes x y y, y al momento M21 debido a las fuerzas F12z y F52z. La fuerza F21 genera un momento de flexión que tiene componentes F21xl y F21yl en los planos yz y xz, respectivamente, donde l  29 mm es la longitud del perno. Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN M perno  M 21 x F12 y – l 2    32 304 319 – 29   32 304 9 251   23 053 2 2 2 F12 x – l M21y 52 370 52 370 151 2 1805 – 29 52 345 2 2 2 (l ) 25 2 = 23 053 N - mm ¥ 25 ´ Q M perno  tan 1 ¦ µ § 23 053 ¶ 0o ( m) y La figura 2-56a muestra el momento del par M21 y la figura 2-56b muestra el momento de la fuerza F21. Su combinación se ilustra en la figura 2-56c. Es este momento combinado el que crea los mayores esfuerzos flexionantes en el perno en 0° y 180° alrededor de su circunferencia. El esfuerzo flexionante máximo en el perno (con longitudes en mm y momentos en N-mm para equilibrio unitario) es: S perno  M perno c perno I perno  11 23 053¥ ´ § 2¶ P11 64 4  23 0535.5  176 MPa 718.7 pasador 32.3 N-m (n) 6. Es posible hacer un análisis más completo usando métodos de elementos finitos para determinar los esfuerzos y las deformaciones en muchas otras ubicaciones de la pieza. El lector podrá examinar el modelo de este estudio de caso abriendo el archivo CASE4B en el programa de su preferencia. El análisis de esfuerzo de este estudio de caso se hace también en el apéndice C mediante el análisis de elementos finitos (FEA). 2.19 x –52.4 N-m (a) Momento del par F12z - F52z 52.4 N-m RESUMEN Las ecuaciones que se utilizan para el análisis de esfuerzos son relativamente pocas y bastante fáciles de recordar. (Véase más adelante el resumen de ecuaciones de esta sección). El origen principal de la confusión entre los estudiantes parece ser entender cuándo usar las ecuaciones de esfuerzo y cómo determinar dentro del continuo de la parte dónde calcular los esfuerzos, puesto que varían de acuerdo con la geometría interna de la parte. Existen dos tipos de esfuerzos aplicados que nos interesan, el esfuerzo normal σ y el esfuerzo cortante τ. Cada uno de ellos se podría presentar en el mismo elemento, y combinarse para crear un conjunto de esfuerzos normales principales y un esfuerzo cortante máximo, como se evidencia en el círculo de Mohr. Finalmente, son estos esfuerzos principales los que se necesitan para determinar la seguridad del diseño. De esta manera, sin importar el origen de la carga o el tipo de esfuerzo que se aplique a la pieza, el lector debería determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo que producen sus combinaciones. (Véase las secciones 2.3 y 2.5). Existen sólo unos cuantos tipos de carga que se presentan comúnmente sobre las piezas de una máquina, aunque pueden actuar combinadas sobre la misma pieza. Los tipos de carga que crean esfuerzos normales aplicados son cargas de flexión, cargas axiales y cargas de compresión. Las cargas de flexión siempre crean esfuerzos 9.3 N-m pasador (b) Momento de fuerza F21 pasador 23.0 N-m (c) Momentos combinados FIGURA 2-56 Momentos de flexión sobre el pasador del pivote; estudio de caso 4B 152 DISEÑO DE MÁQUINAS l a M1 F x–a¯ – 1 2 x R1 - Un Enfoque Integrado normales de tensión y compresión en diferentes posiciones en la pieza. Las vigas son los ejemplos más comunes de cargas de flexión. (Véase la sección 2.9). Las cargas axiales crean esfuerzos normales que pueden ser de tensión o compresión (pero no ambos a la vez), dependiendo de si la carga axial es de tensión o compresión. (Véase la sección 2.7). Los sujetadores como los tornillos frecuentemente tienen cargas axiales de tensión significativas. Si la carga axial es de compresión, entonces existe el peligro de pandeo de columna y deben aplicarse las ecuaciones de la sección 2.16. Las cargas de contacto crean esfuerzos normales de compresión en el eje y la abrazadera (cojinete). Los tipos de carga que crean esfuerzos cortantes aplicados son las cargas de torsión, las cargas de cortante directo y las cargas de flexión. Las cargas de torsión implican el giro de la pieza alrededor de su eje longitudinal por la aplicación de un torque. Un eje de transmisión es un ejemplo común de una pieza con carga de torsión. (En el capítulo 6 se estudia el diseño de ejes de transmisión). FIGURA 2-57 Viga en voladizo con carga concentrada El cortante directo puede originarse debido a cargas que tienden a rebanar transversalmente la pieza. Los sujetadores como los remaches o pernos algunas veces experimentan cargas de cortante directo. Un perno que trata de desgarrar la salida de su orificio también provoca cortante directo sobre el área de desgarramiento. (Véase la sección 2.8). Las cargas de flexión también causan esfuerzos cortantes transversales sobre la sección transversal de la viga. (Véase la sección 2.9). Diagrama de carga 60 40 20 0 –20 –40 –60 0 5 10 Diagrama de cortante 50 40 30 20 10 0 0 5 10 Diagrama de momento 50 0 –50 –100 –150 –200 0 5 FIGURA 2-58 Distribuciones de carga 10 Los esfuerzos pueden variar constantemente sobre el continuo interno de la geometría de la pieza y se calculan considerando que actúan en un punto infinitesimalmente pequeño dentro de ese continuo. Para hacer un análisis completo de los esfuerzos en todos los números infinitos de sitios potenciales dentro de la pieza, se requeriría un tiempo infinito, el cual evidentemente no se tiene. Entonces, se debe seleccionar con inteligencia unos cuantos sitios para nuestros cálculos, de modo que representen los peores casos posibles. El estudiante necesita entender cómo se distribuyen los diversos esfuerzos en el continuo de la pieza cargada. Existen dos aspectos para determinar las posiciones adecuadas sobre una parte específica, sobre la cual hay que realizar los cálculos de esfuerzos. El primer aspecto está relacionado con la distribución de carga sobre la geometría de la pieza; mientras que el segundo se refiere a la distribución de esfuerzos dentro de la sección transversal de la pieza. Considere, por ejemplo, una viga recta en voladizo cargada con una fuerza individual en algún punto a lo largo de su longitud, como se muestra en la figura 2-57. El primer aspecto requiere que se tenga una idea acerca de cómo se distribuyen las cargas sobre la viga en respuesta a la fuerza aplicada. Esto se obtiene mediante el análisis de los diagramas de cortante y momento de la viga, como los que se muestran en la figura 2-58, el cual indica que, en este caso, la sección con la mayor carga está en la pared. Entonces, se concentrará la atención en una “rebanada de mortadela” delgada, tomada de esta viga en la pared. Observe que la presencia de concentraciones de esfuerzos en posiciones que tienen menores esfuerzos nominales también implicaría investigación. El segundo aspecto consiste en determinar en qué parte de la “rebanada de mortadela” de la sección transversal serán mayores los esfuerzos. Las figuras de las secciones adecuadas de este capítulo muestran las distribuciones de esfuerzos a través de las secciones para varios tipos de cargas. Estos diagramas de distribución de esfuerzos se integraron en la figura 2-59, la cual también muestra las ecuaciones de esfuerzos adecuadas para cada caso. Como la carga en este ejemplo de viga crea esfuerzos flexionantes, se debe deducir que habrá un esfuerzo normal de compresión máxima en la fibra de un extremo de la viga, y de tensión máxima en la fibra del otro extremo, como se muestra en las figuras 2-15 (p. 86) y 2-59c. Por lo tanto, se tomaría un elemento de esfuerzo en la fibra externa de esta rebanada de la viga, para calcular el peor caso de esfuerzo flexionante normal con la ecuación 2.11b (p. 86). Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 153 y S (a) Tensión uniaxial, distribución de esfuerzos a través de la sección z x S P A ec. 4.7 T P Acortante ec. 4.9 S My I ec. 4.11 a T= VQ Ib ec. 4.13 d T Tr J ec. 4.23 b y T (b) Cortante directo, distribución de esfuerzos promedio a través de la sección z x y S (c) Flexión, distribución de esfuerzos normales a través de la sección z x S y (d) Flexión, distribución de esfuerzos de cortante a través de la sección T z T (e) Torsión, distribución de esfuerzos cortantes a través de la sección x y T T T z T T T T FIGURA 2-59 Distribución de esfuerzos a través de una sección transversal bajo diferentes tipos de carga Las cargas de flexión también causan esfuerzos cortantes, pero su distribución es máxima en el plano neutro e igual a cero en la fibra exterior, como se indica en las figuras 2-19 (p. 89) y 2-59d. Entonces, se toma un elemento de esfuerzo diferente del plano neutro de la rebanada transversal para calcular el esfuerzo cortante debido a la carga transversal, usando la ecuación adecuada, como la ecuación 2.14b (p. 91) para una 2 154 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado sección transversal rectangular. Cada uno de estos dos elementos de esfuerzos tendrá su propio conjunto de esfuerzos principales y su esfuerzo cortante máximo, los cuales se calculan con la ecuación 2.6a (p. 75) para este caso bidimensional. Cargas más complicadas sobre geometrías más complicadas pueden tener esfuerzos aplicados múltiples para el mismo elemento de esfuerzo infinitesimal. Es muy común en las piezas tener cargas que crean tanto flexión como torsión sobre la misma pieza. El ejemplo 2-9 se ocupa de este tipo de casos y deberá estudiarse cuidadosamente. 2 Análisis de esfuerzos para carga estática Se supone que los materiales son homogéneos e isotrópicos Determine todas las fuerzas aplicadas, los momentos, los torques, etc. Dibuje los diagramas de cuerpo libre para mostrarlos aplicados a la geometría de la pieza. El esfuerzo es sólo una de las consideraciones del diseño. Para un funcionamiento adecuado también deberán controlarse las deflexiones en las piezas. Con frecuencia, un requerimiento de deflexiones pequeñas dominará el diseño y requerirá secciones más gruesas de las que serían necesarias para proteger contra esfuerzos excesivos. Siempre deben verificarse las deflexiones de una pieza diseñada, así como sus esfuerzos. Las ecuaciones de deflexión bajo varias cargas se encuentran en las secciones respectivas y también se agruparon en el apéndice F, para vigas de varios tipos y cargas. La figura 2-60 es un diagrama de flujo que ilustra un conjunto de pasos que se pueden seguirse para analizar esfuerzos y deflexiones bajo cargas estáticas. Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo Con base en las distribuciones de carga sobre la geometría de la pieza, identifique las secciones transversales de la pieza que están más fuertemente cargadas. Determine las distribuciones del esfuerzo dentro de las secciones transversales que interesan e identifique las posiciones de los mayores esfuerzos combinados aplicados. Dibuje un elemento del esfuerzo en 3-D para cada uno de los puntos de interés seleccionados dentro de la sección e identifique los esfuerzos que actúan sobre él. Para información acerca del uso adecuado de estas ecuaciones, consulte las secciones de referencia. Esfuerzo cúbico: sus raíces son los esfuerzos principales en 3-D (sección 2.3): S3 C2 S 2 Calcule las deflexiones críticas de las piezas. C2  S x Sy C1  T 2xy T 2yz Sz T 2zx C0  S x S y S z S xS y 2 T xy T yz T zx S yS z S zS x S x T 2yz S y T 2zx S z T 2xy Esfuerzos cortantes máximos (sección 2.3): T13  T 32  S1 S3 2 S2 S1 ( 2.5) 2 S3 S2 2 Esfuerzos principales bidimensionales (sección 2.3): Sa , Sb = Sx Sy 2 ¥ Sx Sy ´ p ¦ µ 2 § ¶ FIGURA 2-60 T máx  T13  2 T 2xy ( 2.6 a) Sc = 0 Diagrama de flujo del análisis de esfuerzos estáticos ( 2.4c) donde T 21  Calcule el esfuerzo aplicado que actúa sobre cada cara de cada elemento y, luego, calcule los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo ahí. C1S C0  0 S1 S3 2 ( 2.6b) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 155 Esfuerzo de tensión axial (sección 2.7): P A Sx  ( 2.7) 2 Deflexión axial (sección 2.7): $s  Pl AE ( 2.8) Esfuerzo cortante directo (sección 2.8): P T xy  Acorte ( 2.9) Área de contacto directa (sección 2.8): P ld 4 Apresión  ( 2.10b) Esfuerzo flexionante máximo: vigas rectas (sección 2.9): S máx  Mc I ( 2.11b) Esfuerzo de flexionante máximo: vigas curvas (sección 2.9): M ¥ ci ´ ¦ µ eA § ri ¶ Si  ( 2.12 b) Esfuerzo cortante transversal en vigas: fórmula general (sección 2.9): T xy = V c ydA Ib y1 ° ( 2.13 f ) Esfuerzo cortante transversal máximo: viga rectangular (sección 2.9): T máx = 3V 2 A ( 2.14b) Esfuerzo cortante transversal máximo: viga redonda (sección 2.9): T máx = 4V 3 A ( 2.15c) Esfuerzo cortante transversal máximo: viga-I (sección 2.9): T máx V Aweb ( 2.16) Ecuaciones generales de vigas (sección 2.9): q d4y  4 EI dx ( 2.18a) V d3y  3 EI dx ( 2.18b) 156 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado M d2y  EI dx 2 dy dx ( 2.18d ) y  f x ( 2.18e) Q 2 ( 2.18c) Esfuerzo cortante máximo a la torsión: sección redonda (sección 2.12): T máx  Tr J ( 2.23b) Deflexión máxima a la torsión: sección redonda (sección 2.12): Q Tl JG ( 2.24) Esfuerzo cortante máximo a la torsión: sección que no es redonda (sección 2.12): T máx  T Q ( 2.26 a) Deflexión máxima a la torsión: sección que no es redonda (sección 2.12): Q Tl KG ( 2.26b) Razón de resorte o constante de resorte: lineal (a), angular (b) (sección 2.14): k F y ( 2.27a) k T Q ( 2.27b) Esfuerzo con concentración de esfuerzos (sección 2.15): S máx  Kt S nom ( 2.31) T máx  Kts T nom Radio de giro de una columna (sección 2.16): k I A ( 2.34) Razón de esbeltez de una columna (sección 2.16): Sr  l k ( 2.33) Carga unitaria crítica de una columna: Fórmula de Euler Pcr P 2 E  2 A Sr ( 2.38c) Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 157 Carga unitaria crítica de una columna: Fórmula de Johnson (sección 2.16): Pcr  Syc A 2 1 ¥ Syc Sr ´ ¦ µ E § 2P ¶ ( 2.43) 2 Carga unitaria crítica de una columna: Fórmula de la secante (sección 2.16): P  A Syc ¥ lef ¥ ec ´ 1 ¦ 2 µ sec¦ §k ¶ § k P ´ 4 EA µ¶ ( 2.46c) Cilindro a presión (sección 2.17): St  Sr  Sa  2.20 pi ri2 ro2 pi ri2 ro2 pi ri2 ro2 po ro2 ri2 po ro2 ri2 ri2 ro2  pi po  r 2 ro2 ri 2 ri2 ro2  pi po  r 2 ro2 ri 2 po ro2 ri2 ( 2.47a) ( 2.47b) ( 2.47c) REFERENCIAS 1. I. H. Shames y C. L. Dym, Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics. Hemisphere Publishing: Nueva York, secc. 1.6, 1985. 2. I. H. Shames y F. A. Cossarelli, Elastic and Inelastic Stress Analysis. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., pp. 46-50, 1991. 3. R. E. Peterson, Stress Concentration Factors. John Wiley & Sons: Nueva York, 1974. 4. R. J. Roark y W. C. Young, Formulas for Stress and Strain. 6a. ed. McGraw-Hill: Nueva York, 1989. 5. R. E. Peterson, Stress Concentration Factors. John Wiley & Sons: Nueva York, p. 150, 1974. 6. W. D. Pilkey, Peterson’s Stress Concentration Factors, John Wiley & Sons: Nueva York, 1997. 7. H. T. Grandin y J. J. Rencis, Mechanics of Materials, John Wiley & Sons: Nueva York, pp. 144-147, 2006. 8. N. Troyani, C. Gomes y G. Sterlacci, “Theoretical Stress Concentration Factors For Short Rectangular Plates With Centered Circular Holes”. ASME J. Mech. Design, V. 124, pp. 126-128, 2002. 9. N. Troyani y otros, “Theoretical Stress Concentration Factors for Short Shouldered Plates Subjected to Uniform Tensions”. ImechE J. Strain Analysis, V. 38, pp. 103-113, 2003. 10. N. Troyani, G. Sterlacci y C. Gomes, “Simultaneous Considerations of Length and Boundary Conditions on Theoretical Stress Concentration Factors”. Int. J. Fatigue, V. 25, pp. 353-355, 2003. 158 Tabla P2-0 † Matriz de tema/problema 2 DISEÑO DE MÁQUINAS 2.21 J. P. D. Hartog, Strength of Materials. Dover: Nueva York, 1961. R. J. Roark y W. C. Young, Formulas for Stress and Strain. 6a. ed. McGraw-Hill: Nueva York, 1989. Secc. 2.5 Círculos de Mohr 2-1, 2-79 I. H. Shames, Introduction to Solid Mechanics. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J. 1989. Secc. 2.7 Tensión axial 2-2, 2-18, 2-61, 2-74a I. H. Shames y F. A. Cossarelli, Elastic and Inelastic Stress Analysis. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1991. Secc. 2.8 Cortante directo, contacto y desgarramiento S. Timoshenko y D. H. Young, Elements of Strength of Materials. 5a. ed. Van Nostrand: Nueva York, 1968. 2-4, 2-5, 2-6, 2-7, 2-9, 2-15, 2-19, 2-20, 2-22, 2-47, 2-59, 2-60, 2-74f 2.22 *2-1. Secc. 2.9 Vigas curvas 2-17, 2-37, 2-62, 2-63, 2-69 a 2-72, 2-73, 2-74e †2-3. Para el ensamble del brazo del pedal de la bicicleta de la figura P2-1 con una fuerza de 1 500 N aplicada por el conductor al pedal, determine el esfuerzo principal máximo en el brazo del pedal, si su sección transversal tiene 15 mm de diámetro. El pedal está sujeto al brazo del pedal con un tornillo de cuerda de 12 mm. ¿Cuál es el esfuerzo en el tornillo del pedal? 2-84, 2-85, 2-86 †*2-4. 2-21, 2-34, 2-46, 2-74d, 2-74h, 2-81, 2-82 Secc. 2.13 Esfuerzos combinados El enganche del remolque mostrado en las figuras P2-2 y A-1 (p. 857) tiene cargas aplicadas como se definió en el problema 1-4. El peso de 100 kg de la lengua actúa hacia abajo y la fuerza de arrastre de 4 905 N actúa horizontalmente. Usando las dimensiones del soporte de la bola mostradas en la figura A-5 (p. 860), determine: (a) Los esfuerzos principales en la caña de la bola, donde se une con el soporte de la bola. (b) El esfuerzo de contacto en el orificio del soporte de la bola. (c) El esfuerzo de desgarramiento en el soporte de la bola. (d ) Los esfuerzos normal y cortante en los tornillos sujetadores, si tienen 19 mm de diámetro. (e) Los esfuerzos principales en el soporte de la bola considerada como viga en voladizo. 2-3, 2-34, 2-46 Secc. 2.14 Razones del resorte 2-29, 2-30, 2-31, 2-32, 2-35, 2-38, 2-39 Secc. 2.15 Concentración de esfuerzos Un elemento diferencial de esfuerzo tiene un conjunto de esfuerzos aplicados sobre él, como se indica en cada fila de la tabla P2-1. Para la(s) fila(s) asignada(s), dibuje el elemento de esfuerzo mostrando los esfuerzos aplicados, obtenga analíticamente los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo, y compruebe los resultados dibujando los círculos de Mohr para ese estado de esfuerzos. Un candelabro de 400 lb va a colgarse de dos cables sólidos de acero de 10 pies de longitud. Seleccione el diámetro adecuado del cable, que no permita un esfuerzo más allá de 5 000 psi. ¿Cuál será la deflexión en los cables? Indique todas las suposiciones. Secc. 2.11 Método de Castigliano Secc. 2.12 Torsión PROBLEMAS 2-2. Secc. 2.10 Deflexión 2-8, 2-16, 2-23, 2-24, 2-25, 2-26, 2-28, 2-43b, 2-44, 2-48 BIBLIOGRAFÍA F. P. Beer y E. R. Johnston, Mechanics of Materials, 2a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, 1992. 2-55, 2-56, 2-57, 2-58 2-10, 2-11, 2-12, 2-13, 2-14, 2-27, 2-40, 2-43a, 2-64, 2-65, 2-66, 2-67, 2-68, 2-74b, 2-74c, 2-74g Un Enfoque Integrado Para información general sobre el análisis de esfuerzos y deflexión, véase: Secc. 2.1, 2.2 Esfuerzo, deformación Secc. 2.9 Vigas rectas - †2-5. Repita el problema 2-4 con las condiciones de carga del problema 1-5. †*2-6. Repita el problema 2-4 con las condiciones de carga del problema 1-6. 2-45, 2-49, 2-50, 2-51, 2-52, 2-53, 2-54 †*2-7. Diseñe el pasador del problema 1-7 para el esfuerzo principal máximo permisible de 20 kpsi, si el pasador es hueco y con carga en cortante doble. Secc. 2.17 Cilindros †*2-8. Un molino de papel procesa rollos de papel que tienen una densidad de 984 kg/m3. El rollo de papel tiene 1.50 m de diámetro exterior (OD) 22 cm un diámetro interior (ID) 3.23 m de largo y se encuentra sobre un eje hueco de acero simplemente apoyado. Calcule el diámetro interior necesario para obtener una deflexión máxima en el centro de 3 mm, si el diámetro exterior del eje es de 22 cm. Suponga que el eje tiene la misma longitud entre los soportes que la del rollo de papel. 2-36, 2-75 a 2-78 Secc. 2.16 Columnas 2-41, 2-42, 2-80, 2-83 * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. † Los números en negritas son extensiones de problemas de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Capítulo 2 Tabla P2-1 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 159 Datos del problema 2-1 (en psi) Los problemas de las filas a a g y k a m son bidimensionales y los otros son en 3-D Fila Sy Sx Sz T xy T yz T zx a 1 000 0 0 500 0 0 b –1 000 0 0 750 0 0 c 500 –500 0 1 000 0 0 d 0 –1 500 0 750 0 0 e 750 250 0 500 0 0 f –500 1 000 0 750 0 0 g 1 000 0 –750 0 0 250 h 750 500 250 500 0 0 i 1 000 –250 –750 250 500 750 j –500 750 250 100 250 1 000 60 mm 2 170 mm F T FIGURA P2-1 Problema 2-3 (un modelo en k 1 000 0 0 0 0 0 l 1 000 0 0 0 500 0 m 1 000 0 0 0 0 500 n 1 000 1 000 1 000 500 0 0 o 1 000 1 000 1 000 500 500 0 p 1 000 1 000 1 000 500 500 500 2-9. Para las pinzas de presión ViseGrip® dibujadas a escala en la figura P2-3, para la cual se efectuó un análisis de fuerzas en el problema 1-9, obtenga los esfuerzos en cada perno para una fuerza de apriete P  4 000 N en la posición mostrada. Los pernos tienen 8 mm de diámetro y todos están sometidos a cortante doble. *2-10. En la figura P2-4a se muestra el trampolín suspendido del problema 1-10. Suponga las dimensiones de 305 mm 32 mm para la sección transversal. El material tiene E  10.3 GPa. Obtenga el mayor esfuerzo principal en cualquier localización sobre el trampolín, cuando una persona de 100 kg se para en el centro del ancho de la tabla en el extremo libre. ¿Cuál es la deflexión máxima? Solidworks de esto se encuentran en el CD) 40 mm FIGURA P2-2 Problemas 2-4, 2-5, 2-6 (un modelo en Solidworks de esto se encuentran en el CD) P F P F FIGURA P2-3 Problema 2-9 (un modelo en Solidworks de esto se encuentran en el CD) cuadrícula de 0.5 cm 160 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 2m 2m P 0.7 m 0.7 m P 2 (a) Trampolín suspendido (b) Trampolín en voladizo FIGURA P2-4 Problemas 2-10 a 2-13 *2-11. Repita el problema 2-10 usando las condiciones de carga del problema 1-11. Suponga que el trampolín pesa 29 kg y se flexiona 13.1 cm estáticamente cuando una persona se para sobre él. Calcule el esfuerzo principal mayor en cualquier localización del trampolín, cuando la persona de 100 kg del problema 2-10 salta 25 cm hacia arriba y cae de nuevo sobre el trampolín. Obtenga la deflexión máxima. 2-12. Repita el problema 2-10 usando el diseño del trampolín en voladizo de la figura P2-4b. 2-13. Repita el problema 2-11 usando el diseño del trampolín de la figura P2-4b. Suponga que el trampolín pesa 19 kg y se flexiona 8.5 cm estáticamente cuando la persona se para sobre él. 2-14. La figura P2-5 muestra el juguete de un niño llamado cangurín. El niño se para sobre las almohadillas, aplicando la mitad de su peso en cada lado. Luego salta hacia arriba del suelo, manteniendo las almohadillas junto a sus pies, y rebota con el resorte que amortigua el impacto y almacena energía para facilitar cada rebote. Suponga un niño de 60 lb y una constante del resorte de 100 lb/in. El cangurín pesa 5 lb. Diseñe las secciones de la viga de aluminio en voladizo, sobre la cual se para el niño para que dure saltando 2 in del suelo. Suponga un esfuerzo permisible de 20 kpsi. Defina la forma y tamaño de la viga. *2-15. Diseñe el perno cortante del eje de la hélice de un motor fuera de borda, si el eje a través de la cual está colocado el perno tiene un diámetro de 25 mm, la hélice tiene 200 mm de diámetro y el perno debe fallar cuando se aplique una fuerza  400 N al extremo de la hélice. Suponga una resistencia última al corte de 100 Mpa. 2-16. W/2 W/2 P FIGURA P2-5 Problema 2-14 Una pista para guiar las bolas de bolos (boliche) fue diseñada con dos varillas redondas, como se muestra en la figura P2-6. Las varillas no son paralelas entre sí, sino que tienen un pequeño ángulo entre ellas. Las bolas ruedan sobre las varillas hasta que caen entre ellas y llegan a otra pista. El ángulo entre las varillas varía para que la bola caiga en diferentes lugares. La longitud sin soporte de cada varilla es de 30 in y el ángulo entre ellas es de 32°. Las bolas tienen un diámetro de 4.5 in y pesan 2.5 lb cada una. La distancia del centro a las barras de 1 in de diámetro es de 4.2 in en el extremo más estrecho. Calcule el esfuerzo y la deflexión máximos en las varillas. (a) Suponga que las varillas están simplemente soportadas por los extremos. (b) Suponga que las varillas están fijas en cada extremo. 2-17. En la figura P2-7 se muestran unas tenazas para hielo. El hielo pesa 50 lb y tiene 10 in de ancho entre las tenazas. La distancia entre los mangos es de 4 in y el radio medio r de un elemento de la tenaza es de 6 in. Las dimensiones de la sección transversal rectangular son 0.75 in de profundidad por 0.312 in de ancho. Obtenga el esfuerzo en las tenazas. *2-18. Un conjunto de varillas de acero reforzado se estira axialmente a la tensión para crear un esfuerzo a la tensión de 30 kpsi, antes de que sean vaciadas en concreto para formar una viga. Determine cuánta fuerza se requiere para estirarlas la cantidad requerida y cuál es la deflexión necesaria. Son 10 varillas, cada una de 0.75 in de diámetro y 30 ft de largo. *2-19. El dispositivo de presión que se usa para jalar las varillas del problema 2-18 está conectado a un ariete hidráulico por una horquilla, como se ilustra en la figura P2-8. Determine el tamaño necesario del perno de la horquilla para soportar la fuerza aplicada. Suponga un esfuerzo cortante permisible de 20 000 psi y un esfuerzo normal Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 161 F F 2 A r FIGURA P2-6 W Problema 2-16 FIGURA P2-7 permisible de 40 000 psi. Determine el radio exterior requerido del extremo de la horquilla, para no exceder el esfuerzo permisible anterior, tanto al desgarramiento como al contacto si cada pestaña de la horquilla mide 0.8 in de espesor. 2-20. Repita el problema 2-19 con 12 varillas de 1 cm de diámetro cada una y 10 m de largo. El esfuerzo deseado de la varilla es de 200 Mpa. El esfuerzo normal permisible en la horquilla y el perno es de 280 Mpa y su esfuerzo cortante permisible es de 140 Mpa. Cada pestaña de la horquilla mide 2 cm de ancho. 2-21. La figura P2-9 muestra la rueda de un automóvil con dos estilos comunes de llaves que sirven para apretar los birlos, una llave con un solo extremo en a) y una llave con dos extremos en b). En los dos casos se requieren ambas manos para proporcionar las fuerzas en A y B, como se muestra. La distancia entre los puntos A y B es de 1 ft en ambos casos y el diámetro del mango es de 0.625 in. El birlo requiere un torque de 70 ft-lb. Obtenga el esfuerzo principal máximo y la deflexión máxima para cada diseño de llave. *2-22. En la figura P2-10 se muestra un patín con las ruedas en línea. Las ruedas de poliuretano miden 72 mm de diámetro y sus centros están espaciados 104 mm. La combinación patín-bota-pie pesa 2 kg. La razón del resorte efectiva del sistema persona-patín es de 6 000 N/m. Los ejes de las ruedas tienen 10 mm de diámetro y eje P FIGURA P2-8 Problemas 2-19 y 2-20 3 in A llave para birlos B A llave para birlos F F neumático (a) B F F Problema 2-21 P eje 3 in FIGURA P2-9 Problema 2-17 neumático (b) * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problema en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas de capítulos sucesivos también pueden continuar y alargar estos problemas. 162 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado son pernos de acero sometidos a cortante doble. Encuentre el esfuerzo en los pernos para una persona de 100 kg que aterriza luego de un salto de 0.5 m sobre un pie. (a) Suponga que las cuatro ruedas caen simultáneamente. (b) Suponga que una rueda absorbe toda la fuerza del aterrizaje. 2 FIGURA P2-10 Problema 2-22 *2-23. Una viga está soportada y cargada como se muestra en la figura P2-11a. Obtenga las reacciones, el cortante máximo, el momento máximo, la pendiente máxima, el esfuerzo flexionante máximo y la deflexión máxima para los datos proporcionados en la(s) fila(s) de la tabla P2-2. *2-24. Una viga está soportada y cargada como se muestra en la figura P2-11b. Obtenga las reacciones, el cortante máximo, el momento máximo, la pendiente máxima, el esfuerzo flexionante máximo y la deflexión máxima para los datos proporcionados en la(s) fila(s) de la tabla P2-2. *2-25. Una viga está soportada y cargada como se muestra en la figura P2-11c. Obtenga las reacciones, el cortante máximo, el momento máximo, la pendiente máxima, el esfuerzo flexionante máximo y la deflexión máxima para los datos proporcionados en la(s) fila(s) de la tabla P2-2. *2-26. Una viga está soportada y cargada como se muestra en la figura P2-11d. Obtenga las reacciones, el cortante máximo, el momento máximo, la pendiente máxima, el esfuerzo flexionante máximo y la deflexión máxima para los datos proporcionados en la(s) fila(s) de la tabla P2-2. 2-27. Se va a diseñar un estante de almacenamiento para mantener los rollos de papel del problema 2-8, como se indica en la figura P2-12. Determine los valores adecuados de las dimensiones a y b de la figura. Considere los esfuerzos de flexión, cortante y contacto. Suponga un esfuerzo permisible de tensión/compresión de 100 Mpa y un esfuerzo cortante permisible de 50 MPa, tanto para el montante como para el mandril, los cuales son de acero. El mandril es sólido y se inserta a la mitad del rollo de papel. Equilibre el diseño usando toda la resistencia del material. Calcule la deflexión en el extremo del rollo. †2-28. La figura P2-13 muestra un montacargas de horqueta que sube por una rampa de 15° hasta llegar a una plataforma de carga a 4 ft de altura. El montacargas pesa 5 000 lb y tiene una distancia entre ejes de 42 in. Diseñe dos rampas (una de cada lado) de 1 ft de ancho, de acero, para tener no más de 1 in de deflexión, en el peor de los casos de carga, conforme el montacargas sube por ellas. Minimice el peso de las rampas usando una geometría sensible de la sección transversal. l l b a a F F w x R1 w M1 x R2 R1 (a) (b) l l b b F a * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problema en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas de capítulos sucesivos también pueden continuar y alargar estos problemas. a F w w x R1 R2 (c) x R1 R2 (d) FIGURA P2-11 Vigas y cargas en vigas de los problemas 2-23 a 2-26 y 2-29 a 2-32. Véase la tabla P2-2 para los datos Capítulo 2 Tabla P2-2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 163 Datos para los problemas 2-23 a 2-26 y 2-29 a 2-32 Utilice sólo los datos relevantes para un problema específico. Longitudes en m, fuerzas en N, I en m4. Fila l a b w* F I c E a 1.00 0.40 0.60 200 500 2.85E–08 2.00E–02 acero b 0.70 0.20 0.40 80 850 1.70E–08 1.00E–02 acero c 0.30 0.10 0.20 500 450 4.70E–09 1.25E–02 acero d 0.80 0.50 0.60 65 250 4.90E–09 1.10E–02 acero e 0.85 0.35 0.50 96 750 1.80E–08 9.00E–03 acero f 0.50 0.18 0.40 450 950 1.17E–08 1.00E–02 acero g 0.60 0.28 0.50 250 250 3.20E–09 7.50E–03 acero h 0.20 0.10 0.13 400 500 4.00E–09 5.00E–03 alum i 0.40 0.15 0.30 50 200 2.75E–09 5.00E–03 alum j 0.20 0.10 0.15 150 80 6.50E–10 5.50E–03 alum k 0.40 0.16 0.30 70 880 4.30E–08 1.45E–02 alum l 0.90 0.25 0.80 90 600 4.20E–08 7.50E–03 alum m 0.70 0.10 0.60 80 500 2.10E–08 6.50E–03 alum n 0.85 0.15 0.70 60 120 7.90E–09 1.00E–02 alum 2 * Observe que w es una unidad de fuerza en N/m *2-29. Determine la razón del resorte de la viga del problema 2-23 en el punto de aplicación de la carga concentrada para la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P2-2. *2-30. Determine la razón del resorte de la viga del problema 2-24 en el punto de aplicación de la carga concentrada para la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P2-2. *2-31. Determine la razón del resorte de la viga del problema 2-25 en el punto de aplicación de la carga concentrada para la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P2-2. *2-32. Determine la razón del resorte de la viga del problema 2-26 en el punto de aplicación de la carga concentrada para la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P2-2. *2-33. Para el soporte mostrado en la figura P2-14 y los datos de la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P2-3, determine el esfuerzo flexionante en el punto A y el esfuerzo cortante debido a la carga transversal en el punto B. También calcule el esfuerzo cortante a la torsión en ambos puntos. Luego determine los esfuerzos principales en los puntos A y B. *2-34. Para el soporte mostrado en la figura P2-14 y los datos de la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P2-3, determine la deflexión de la carga F. b soporte rollo de papel a mandril FIGURA P2-12 Problema 2-27 base * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problema en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas de capítulos sucesivos también pueden continuar y alargar estos problemas. 164 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 2 rampa cuadrícula de 1 ft FIGURA P2-13 Problema 2-28 *2-35. Para el soporte mostrado en la figura P2-14 y los datos en la(s) fila(s) asignadas de la tabla P2-3, determine la razón del resorte del tubo en flexión, la razón del resorte del brazo en flexión y la razón del resorte del tubo en torsión. Combine éstas en una razón del resorte integral en términos de la fuerza F y la deflexión lineal en el punto de aplicación de la fuerza F. 2-36. Para el soporte mostrado en la figura P2-14 y los datos en la(s) fila(s) asignadas de la tabla P2-3, resuelva nuevamente el problema 2-33 considerando la concentración de esfuerzos en los puntos A y B. Suponga un factor de concentración de esfuerzos de 2.5 in tanto a la flexión como a la torsión. *2-37. En la figura P2-15 se muestra una viga curva semicircular, que tiene un diámetro exterior de 150 mm, un diámetro interior igual a 100 mm y t  25 mm. Para el par de carga F  14 kN aplicado a lo largo del diámetro, encuentre la excentricidad del eje neutro, así como el esfuerzo en las fibras interior y exterior. 2-38. Diseñe una barra de acero sólida, recta, sometida a torsión para tener una razón del resorte de 10 000 in-lb por radián por pie de longitud. Compare diseños sólidos con sección transversal redonda y cuadrada. ¿Cuál es más eficiente en cuanto al material utilizado? 2-39. Diseñe un resorte en voladizo de 1 pie de largo, cargado en el extremo con una razón de resorte de 10 000 lb/in en la ubicación de la carga. Compare diseños sólidos con sección transversal redonda y cuadrada. ¿Cuál es más eficiente en cuanto al material empleado? 2-40. Rediseñe el soporte del rollo del problema 2-8 para hacerlo como el que se muestra en la figura P2-16. El cabo de los mandriles se inserta un 10% de la longitud del rollo en cada extremo. Seleccione las dimensiones adecuadas a y b para utilizar completamente la resistencia del material, la cual es la misma del problema 2-27. Para datos adicionales, véase el problema 2-8. *2-41. Un tubo de acero con un diámetro interior de 10 mm conduce un líquido a 7 MPa. Determine los esfuerzos principales en la pared si el espesor es de: (a) 1 mm, (b) 5 mm. F l a A B y t tubo pared brazo z x od * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. id FIGURA P2-14 Problemas 2-33 a 2-36 (un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD). h Capítulo 2 Tabla P2-3 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 165 Datos de los problemas 2-33 a 2-36 y 2-49 a 2-52 Use sólo los datos relevantes para un problema específico. Longitudes en m, fuerzas en N. Fila l a t h F OD ID E a 100 400 10 20 50 20 14 acero b 70 200 6 80 85 20 6 acero c 300 100 4 50 95 25 17 acero d 800 500 6 65 160 46 22 alum e 85 350 5 96 900 55 24 alum f 50 180 4 45 950 50 30 alum g 160 280 5 25 850 45 19 acero h 200 100 2 10 800 40 24 acero i 400 150 3 50 950 65 37 acero j 200 100 3 10 600 45 32 alum k 120 180 3 70 880 60 47 alum l 150 250 8 90 750 52 28 alum m 70 100 6 80 500 36 30 acero n 85 150 7 60 820 40 15 acero 2-42. Se requiere un tanque cilíndrico con extremos hemisféricos para mantener 150 psi de aire presurizado a temperatura ambiente. Obtenga los esfuerzos principales en la pared de 1 mm de espesor, si el diámetro del tanque es de 0.5 m y su longitud es de 1 m. 2-43. La figura P2-17 muestra una estación de descarga en el extremo de una máquina de enrollado de papel. Los rollos de papel terminado miden 0.9 m de diámetro exterior, por 0.22 m de diámetro interior, por 3.23 m de largo, y tienen una densidad de 984 kg/m3. Los rollos se transfieren de la banda transportadora (que no se ve) al montacargas por un eslabón en V de la estación de descarga, el cual gira 90° impulsado por un cilindro de aire. El papel rueda después sobre la horquilla del montacargas. Las horquillas miden 38 mm de espesor por 100 mm de ancho por 1.2 m de largo, y tienen un ángulo de 3° en la punta en relación con la horizontal. Encuentre los esfuerzos en los dos elementos de la horquilla cuando el papel rueda hacia ella bajo dos condiciones diferentes (defina todas las suposiciones): 2 t OD ID F F (a) Los dos elementos de la horquilla no tienen soporte en su extremo libre. (b) Los dos elementos de la horquilla tienen contacto con la mesa el punto A. 2-44. Determine el espesor adecuado de los eslabones en V de la estación de descarga de la figura P2-17, para limitar sus deflexiones en las puntas a 10 mm en cualquier posición durante la rotación. Suponga que existen dos eslabones en V que soportan el rollo, ubicados a 1/4 y 3/4 a lo largo de la longitud del rollo, y que cada uno de los brazos en V mide 10 cm de ancho y 1 m de largo. Los brazos en V están soldados a un tubo FIGURA P2-15 Problema 2-37 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) b típico soporte rollo de papel a típico FIGURA P2-16 mandril base Problema 2-40 (Un modelo espacial de esto se encuentra en el CD) * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. 166 DISEÑO DE MÁQUINAS Un Enfoque Integrado eslabones en V 1m 2 - brazo de la manivela máquina de enrollado de papel horquilla A varilla estación de descarga FIGURA P2-17 cilindro de aire montacargas Problemas 2-43 a 2-47 de acero que gira impulsado por el cilindro de aire. Para más información, véase el problema 2-43. 2-45. Determine la carga crítica sobre la varilla del cilindro de aire de la figura P2-17, si el brazo de la manivela que hace girar mide 0.3 m de largo y la varilla tiene una extensión máxima de 0.5 m. La varilla sólida de acero tiene 25 mm de diámetro y una resistencia a la fluencia de 400 MPa. Defina las suposiciones. 2-46. En la figura P2-17 el brazo de la manivela hace girar los eslabones en V a través de un eje que tiene 60 mm de diámetro por 3.23 m de largo. Determine el torque máximo aplicado a este eje durante el movimiento del eslabón en V, y encuentre el esfuerzo y la deflexión máximos del eje. Para más información, véase el problema 2-43. 2-47. Determine las fuerzas máximas sobre los pernos en cada extremo del cilindro de aire de la figura P2-17. Determine el esfuerzo en estos pasadores si tienen 30 mm de diámetro y están sometidos a cortante simple. 2-48. Un corredor de maratón en silla de ruedas de 100 kg de peso desea una silla que le permita practicar bajo techo en todo tipo de clima. Se propone el diseño mostrado en la figura P2-18. Dos rodillos que giran libremente sobre cojinetes soportan las ruedas traseras. Una plataforma soporta las ruedas frontales. Diseñe los rodillos de 1 m de largo como tubos huecos de aluminio para minimizar la altura de la plataforma y limitar también a 1 mm las deflexiones del rodillo en el peor de los casos. Las ruedas conductoras de la silla tienen un diámetro de 65 cm y están separadas por una pista de 70 cm de ancho. Las pestañas que se encuentran sobre los rodillos limitan el movimiento lateral de la silla mientras dura el ejercicio y, por lo tanto, las ruedas pueden estar en cualquier lugar entre las pestañas. Especifique las dimensiones adecuadas de los ejes de acero para soportar los tubos sobre los cojinetes. Calcule todos los esfuerzos significativos. *2-49. Una columna hueca, cuadrada, tiene una longitud l y E de material, como se indica en las filas asignadas de la tabla P2-3. Las dimensiones de su sección transversal son de 4 mm en el exterior y de 3 mm en el interior. Utilice una Sy  150 MPa para aluminio y de 300 MPa para acero. Determine si se trata de una columna Johnson o una columna Euler y encuentre la carga crítica: (a) (b) (c) (d ) * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problema en itálicas son problemas de diseño. *2-50. Si las condiciones limitantes corresponden a articulada-articulada. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-articulada. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-fija. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-libre. Una columna hueca, redonda, tiene una longitud de 1.5 m, E del material y las dimensiones de la sección transversal de su diámetro exterior y diámetro interior se muestran en la fila asignada de la tabla P2-3. Use una Sy  150 MPa para Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 167 2 rodillos FIGURA P2-18 Problema 2-48 aluminio y 300 MPa para acero. Determine si se trata de una columna de Johnson o una columna de Euler, y encuentre la carga crítica: (a) (b) (c) (d ) *2-51. Una columna sólida, rectangular, tiene una longitud l y E de material. Las dimensiones de su sección transversal son h y t como se indica en las filas asignadas de la tabla P2-3. Utilice una Sy  150 MPa para aluminio y 300 MPa para acero. Determine si se trata de una columna de Johnson o una columna de Euler, y encuentre la carga crítica: (a) (b) (c) (d ) *2.52. Si las condiciones limitantes corresponden a articulada-articulada. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-articulada. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-fija. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-libre. P Una columna sólida, circular, tiene una longitud l, E de material, diámetro exterior OD y una excentricidad t como se indica en las filas asignadas de la tabla P2-3. Use una Sy  150 MPa para aluminio y 300 MPa para acero. Determine si se trata de una columna de Johnson o una columna de Euler, y encuentre la carga crítica: (a) (b) (c) (d ) 2-53. Si las condiciones limitantes corresponden a articulada-articulada. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-articulada. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-fija. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-libre. Si las condiciones limitantes corresponden a articulada-articulada. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-articulada. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-fija. Si las condiciones limitantes corresponden a fija-libre. Diseñe una columna de aluminio hueca, circular, con los datos siguientes: 3 m de largo, 5 mm de espesor de la pared, 900 N de carga concéntrica, resistencia a la fluencia del material de 150 MPa y un factor de seguridad de 3. A B (a) Si sus condiciones limitantes corresponden a articulada-articulada. (b) Si sus condiciones limitantes corresponden a fija-libre. 2-54. Tres barras de 1.25 in de diámetro están hechas de acero rolado en caliente SAE 1030 y tienen longitudes de 5 in, 30 in y 60 in, respectivamente. Están cargadas axialmente a la compresión. Compare la capacidad para soportar carga de las tres barras, si se supone que los extremos son: (a) (b) (c) (d ) 2-55. articulada-articulada Fijo-articulada Fijo-fijo Fijo-libre La figura P2-19 muestra una barra de acero de 1.5 in de diámetro y 30 in de longitud, sometida a cargas de tensión iguales a P  10 000 lb aplicadas en cada extremo de la barra, que actúan a lo largo de su eje longitudinal Y y a través del centroide de su sección transversal circular. El punto A se encuentra a 12 in por debajo del extremo superior y el punto B está a 8 in por debajo de A. Para esta barra, con esta carga, encuentre: P FIGURA P2-19 Problemas 2-55 y 2-56 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problema en itálicas son problemas de diseño. 168 DISEÑO DE MÁQUINAS h 2 P 2-56. barra 4" La varilla de la figura P2-19, con la carga del problema 2-55, está sometida a una reducción de temperatura de 80°F a 20°F, después de que se aplica la carga. El coeficiente de expansión térmica para el acero es aproximadamente de 6 μin/in/°F. Calcule: (a) Todos los componentes de la matriz del esfuerzo tensor (ecuación 2.1a) para el punto medio entre A y B. (b) El desplazamiento del punto B en relación con el punto A. (c) La deformación unitaria elástica en la sección entre A y B. (d ) La deformación unitaria total en la sección entre A y B. pasador 2" Un Enfoque Integrado (a) Todas las componentes de la matriz del esfuerzo tensor (ecuación 2.1a) para el punto medio entre A y B. (b) El desplazamiento del punto B en relación con el punto A. (c) La deformación elástica en la sección entre A y B. (d ) La deformación total en la sección entre A y B. P 0.25" - 2-57. pasador La figura 2-20 muestra una barra de acero sujeta al suelo plano rígido, y tiene pasadores de espiga de acero endurecido de 0.25 in de diámetro. Para P  1 500 lb encuentre: (a) El esfuerzo cortante en cada pasador. (b) El esfuerzo de contacto y directo en cada pasador y en cada orificio. (c) El valor mínimo de la dimensión de h para prevenir una falla por desgarramiento, si la barra de acero tiene una resistencia al corte de 32.5 kpsi. suelo FIGURA P2-20 2-58. Repita el problema 2-57, para P  2 200 lb. Problemas 2-57 y 2-58 2-59. La figura P2-21 muestra la sección rectangular de una barra de aluminio sometida a fuerzas P  4 000 N fuera del centro, aplicadas como se muestra. (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) (a) Obtenga el esfuerzo normal máximo en la región media de la barra, lejos de los ojos donde las cargas se aplican. (b) Grafique la distribución de esfuerzos normales a través de la sección transversal en la región media de la barra. (c) Haga un dibujo “razonable” de la distribución de esfuerzos normales a través de la sección transversal en los extremos, cerca de las cargas aplicadas. P 2-60. 40 (a) La magnitud, la posición y el plano de orientación del esfuerzo normal máximo en la sección E-A. (b) La magnitud, la posición y el plano de orientación del esfuerzo cortante máximo en la sección E-A. (c) La magnitud, la posición y el plano de orientación del esfuerzo normal máximo en la sección F-B. (d ) La magnitud, la posición y el plano de orientación del esfuerzo cortante máximo en la sección F-B. 10 2-61. Para el soporte del problema 2-60, obtenga la deflexión y la pendiente en el punto C. 2-62. La figura P2-23 muestra una barra de acero de 1 in de diámetro soportada y sometida a la carga aplicada P  500 lb. Obtenga la deflexión en la posición de la carga y la pendiente en el rodillo de soporte. 2-63. La figura P2-24 ilustra un eje de acero sólido de 1.25 in de diámetro con varios pares giratorios, aplicados en las direcciones mostradas. Para TA  10 000 lb-in, TB  20 000 lb-in, TC  30 000 lb-in, encuentre: 35 P dimensiones en mm (a) La magnitud y posición del esfuerzo cortante por torsión máximo en el eje. (b) Los esfuerzos principales correspondientes a la posición determinada en el inciso (a). (c) La magnitud y posición del esfuerzo de deformación cortante máximo en el eje. FIGURA P2-21 Problema 2-59 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) La figura P2-22 muestra el soporte de una máquina, de acero plano de 0.5 in de espesor. Está rígidamente sujeto a un soporte y con una carga de P  5 000 lb en el punto D. Calcule: 2-64. Si el eje del problema 2-63 estuviera rígidamente sujeta a soportes fijos en cada extremo (A y D), y cargada sólo con los pares aplicados TB y TC, entonces, obtenga: Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 169 A C 3" 2.5" B A 10" B 2 3" 7" 5" 3" D 1.5" 8" 0.5" 12" P P FIGURA P2-22 Problemas 2-60 y 2-61 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) (a) Las reacciones TA y TD en cada extremo del eje. (b) La rotación de la sección B con respecto a la sección C. (c) La magnitud y posición de la deformación cortante máxima. †2-65. 2-66. †2-67. 2-68. P La figura P2-25 muestra el perno de un pivote sometido a presión por ajuste en la pieza A y a deslizamiento en la pieza B. Si F  100 lb y l  1.5 in, ¿qué diámetro necesita el pasador para limitar el esfuerzo máximo en el pasador a 50 kpsi? 20" La figura P2-25 muestra el perno de un pivote sometido a presión por ajuste en la pieza A y a deslizamiento en la pieza B. Si F  100 N y l  64 mm, ¿qué diámetro necesita el perno para limitar el esfuerzo máximo en el perno a 250 MPa? La figura P2-25 muestra el perno de un pivote sometido a presión por ajuste en la pieza A y a deslizamiento en la pieza B. Determine la razón I/d para que el esfuerzo cortante y el esfuerzo flexionante en el perno sean igualmente fuertes, si la resistencia al corte es igual a la mitad de la resistencia a la flexión. Escriba un programa de cómputo en cualquier lenguaje, o use un programa solucionador de ecuaciones o una hoja de cálculo, para determinar y graficar la variación del área de la sección transversal, el momento de inercia del área, el radio de giro, la razón de esbeltez y la carga crítica, con respecto al diámetro interior tanto para una columna de Euler como para una de Johnson que tenga secciones transversales huecas redondas. Suponga que el diámetro exterior de cada columna es de 1 in. La longitud efectiva de la columna de Euler es de 50 in. La longitud efectiva de la columna de Johnson es de 10 in. Ambas están fabricadas de acero con Sy  36 000 psi. El diámetro interior varía del 10 al 90% del diámetro exterior en TA TB B A 18" FIGURA P2-24 Problemas 2-63 y 2-64 TC TD C 12" D 10" 20" FIGURA P2-23 Problema 2-62 170 DISEÑO DE MÁQUINAS Un Enfoque Integrado este estudio paramétrico. Comente las ventajas de las columnas huecas redondas en comparación con las columnas sólidas redondas de cada tipo (de Euler y Johnson) que tienen los mismos diámetros exteriores, longitudes y materiales. l l 2 l 4 2 - La figura P2-26a muestra una prensa-C con un cuerpo elíptico con las dimensiones que se indican. La prensa tiene una sección-T de un espesor uniforme de 3.2 mm en la garganta, como se ilustra en la figura P2-26b. Obtenga el esfuerzo flexionante en las fibras interior y exterior de la garganta, si la fuerza de la prensa es de 2.7 kN. *2-69. F 2-70. Una prensa-C como la de la figura P2-26a tiene una sección transversal rectangular como la de la figura P2-26c. Obtenga el esfuerzo de flexión en las fibras interior y exterior de la garganta, si la fuerza de la prensa es de 1.6 kN. 2-71. Una prensa-C como la de la figura P2-26a tiene una sección transversal elíptica como la de la figura P2-26d. Se muestran las dimensiones de los ejes mayor y menor de la elipse. Obtenga el esfuerzo flexionante en las fibras interior y exterior de la garganta, si la fuerza de la prensa es de 1.6 kN. 2-72. Una prensa-C como la de la figura P2-26a tiene una sección transversal trapezoidal como la de la figura P2-26e. Obtenga el esfuerzo flexionante en las fibras interior y exterior de la garganta, si la fuerza de la prensa es de 1.6 kN. 2-73. Se quiere diseñar una prensa-C con una sección-T similar a las de las figuras P2-26a y b. La profundidad de la sección será de 31.8 mm, como se observa, pero debe calcularse el ancho de la pestaña (mostrado como 28.4 mm). Suponiendo un espesor uniforme de 3.2 mm y un factor de seguridad contra la fluencia estática de 2, determine un valor adecuado para el ancho de la pestaña, si la prensa-C está hecha de hierro dúctil 60-40-18 y la carga de diseño máxima es de 1.6 kN. 2-74. Una barra redonda de acero tiene 10 in de largo y un diámetro de 1 in. B d A FIGURA P2-25 Problemas 2-65 a 2-67 (a) Calcule el esfuerzo en la barra cuando está sometida a una fuerza en tensión de 1 000 lb. (b) Calcule el esfuerzo flexionante en la barra, si está fija por un extremo (como viga en voladizo) y tiene una carga transversal de 1 000 lb en el otro extremo. (c) Calcule el esfuerzo cortante transversal en la barra del inciso (b). (d ) Determine qué tan corta debe ser la barra cuando se carga como una viga en voladizo para que alcance su máximo esfuerzo flexionante y su máximo esfuerzo cortante transversal, para proporcionar un tendencia igual a la falla. Obtenga la longitud como una fracción del diámetro, si el esfuerzo de falla por cortante es la mitad del esfuerzo de falla por flexión. † Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. 75.4 6.4 28.4 (b) (c) 31.8 3.2 típ. 63.5 A 9.6 (a) 31.8 9.6 (d) (e) todas las dimensiones en mm FIGURA P2-26 31.8 3.2 A Problemas 2-69 a 2-73 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) Secciones E-E Capítulo 2 ESFUERZO, DEFORMACIÓN UNITARIA Y DEFLEXIÓN 171 (e) Calcule el esfuerzo cortante por torsión cuando se aplica un par de 10 000 in-lb alrededor de la línea central (eje) en el extremo libre de la viga en voladizo. ( f ) Si la fuerza sobre la viga en voladizo del inciso (b) es excéntrica, induciendo así un esfuerzo de torsión y de flexión, ¿qué fracción del diámetro necesitaría ser la excentricidad para proporcionar un esfuerzo de torsión igual al esfuerzo cortante transversal? (g) Calcule el esfuerzo cortante directo resultante sobre la barra del inciso (a), si fuera el pasador de una conexión articulada-articulada como en la figura P2-8 que está sometido a un tirón (jalón) de 1 000 lb. (h) Calcule el esfuerzo de contacto directo resultante sobre la barra del inciso (a), si fuera el pasador de una conexión articulada-articulada como en la figura P2-8, que está sujeto a un tirón de 1 000 lb si la parte central (el ojo o lengua) tiene 1 in de ancho. (i) Calcule el esfuerzo flexionante máximo en la barra, si tiene la forma de un semicírculo con un radio centroidal de 10/p in y se aplican fuerzas opuestas de 1 000 lb en los extremos y en el plano de los extremos, similar a la figura P2-15. Suponga que no existe distorsión de la sección transversal durante la flexión. 2 Para una barra plana fileteada cargada a la tensión similar a la mostrada en la figura G-9 (apéndice G), así como para los datos de la(s) fila(s) correspondiente(s) de la tabla P2-4, determine los esfuerzos axiales nominal y máximo en la barra. *2-75. 2-76. Para una barra plana fileteada cargada a la flexión similar a la mostrada en la figura G-10 (apéndice G), así como para los datos de la(s) fila(s) correspondiente(s) de la tabla P2-4, determine los esfuerzos de flexión nominal y máximo en la barra. 2-77. Para un eje, con un hombro fileteado, cargada a la tensión similar a la mostrada en la figura G-1 (apéndice G), así como para los datos de la(s) fila(s) correspondiente(s) de la tabla P2-4, determine los esfuerzos axiales nominal y máximo en el eje. 2-78. Para un eje, con un hombro fileteado, cargada a la flexión similar a la mostrada en la figura G-2 (apéndice G), así como para los datos de la(s) fila(s) correspondiente(s) de la tabla P2-4, determine los esfuerzos de flexión nominal y máximo en el eje. 2-79. Un elemento de esfuerzo diferencial tiene un conjunto de esfuerzos aplicados sobre él, como se muestra en la figura 2-1 (p. 72). Para σx  850, σy  200, σz  300, τxy  450, τyz  300 y τzx  0, obtenga los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo; dibuje también el diagrama del círculo de Mohr para este estado de esfuerzos tridimensional. 2-80. Escriba expresiones para el esfuerzo tangencial normalizado (esfuerzo/presión), como una función del espesor de la pared normalizada (espesor de la pared/radio exterior) en la pared interior de un cilindro de pared gruesa y para un cilindro de pared delgada, ambos con presión interna únicamente. Grafique las diferencias porcentuales entre estas dos expresiones y determine el rango del espesor de la pared, para el cual la Tabla P2-4 Datos para los problemas 2-75 a 2-78 Utilice sólo datos que sean pertinentes para el problema específico Las longitudes están en mm, las fuerzas en N, y los momentos en N-m Fila D d a 40 20 b 26 c 36 d e h M P 4 10 80 8000 20 1 12 100 9500 30 1.5 8 60 6500 33 30 1 8 75 7200 21 20 1 10 50 5500 1.5 7 80 8000 5 8 400 15000 f 51 50 g 101 100 r * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. † Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. 172 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado razón de radio exterior del esfuerzo pronosticado por la expresión de pared delgada es, por lo menos, 5% mayor que el pronosticado por la expresión de pared gruesa. 2-81. Una barra hueca, cuadrada, sometida a torsión como se muestra en la tabla 2-3 (p. 109) tiene las dimensiones a  25 mm, t  3 mm y l  300 mm. Si está hecha de acero y tiene un módulo de rigidez G  80.8 GPa, determine el esfuerzo cortante máximo en la barra, así como la deflexión angular bajo la carga de torsión de 500 N-m. 2-82. Diseñe una barra hueca, rectangular, sometida a torsión como se muestra en la tabla 2-3 (p. 109) que tiene las dimensiones a  45 mm, b  20 mm y l  500 mm. Está hecha de acero con una resistencia a la fluencia de corte de 90 MPa y tiene una carga de torsión aplicada de 135 N-m. Utilice un factor de seguridad contra la fluencia de 2. 2-83. Un recipiente a presión con extremos cerrados tiene las siguientes dimensiones: diámetro exterior  450 mm, y espesor de la pared t  6 mm. Si la presión interna es de 690 kPa, obtenga los esfuerzos principales sobre la superficie interior alejada de los extremos. ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo en el punto analizado? 2-84. Una viga de acero simplemente apoyada de longitud l con una carga concentrada F, que actúa a la mitad de la longitud, tiene una sección transversal rectangular de ancho b y profundidad h. Si la energía de deformación debida a la carga cortante transversal es Us y la debida a la carga de flexión es Ub, deduzca una expresión para la razón Us / Ub y grafíquela como una función de h / l en el intervalo de 0.0 a 0.10. 2-85. Una viga está soportada y cargada como se ilustra en la figura P2-27a. Calcule las reacciones para los datos proporcionados en la fila a de la tabla P2-2. 2-86. Una viga está soportada y cargada como se muestra en la figura P2-27b. Obtenga las reacciones para los datos proporcionados en la fila a de la tabla P2-2. 2 l l a a w w x R1 R2 (a) R3 x R1 R2 R3 (b) FIGURA P2-27 Cargas de la viga de los problemas 2-85 a 2-86; para los datos véase la tabla P2-2 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS Toda la ciencia no es más que el refinamiento del pensamiento cotidiano. Albert Einstein 3.0 INTRODUCCIÓN ¿Por qué fallan las piezas? Ésta es una pregunta que ha ocupado a los científicos y a los ingenieros durante siglos. Actualmente se sabe mucho más acerca de varios tipos de fallas, de lo que se sabía incluso hace unas cuantas décadas debido, en gran medida, a la mejora de las pruebas y las técnicas de medición. Si al lector le solicitaran responder a la pregunta anterior según lo aprendido hasta el momento, probablemente diría algo como “las piezas fallan porque sus esfuerzos exceden su resistencia” y estaría en lo correcto, hasta ese punto. La pregunta que sigue es crítica: ¿Qué clases de esfuerzos causan la falla? ¿Tensión? ¿Compresión? ¿Cortante? La respuesta es clásica: “Depende”. Depende del material en cuestión y de sus resistencias relativas a la compresión, a la tensión y al cortante. También depende del tipo de carga (ya sea estática o dinámica), y de la presencia o ausencia de grietas en el material. La tabla 3-0 muestra las variables usadas en este capítulo, así como las referencias de las ecuaciones o secciones donde se utilizan. Al final del capítulo, se incluye un resumen que también agrupa todas las ecuaciones importantes de este capítulo, con la finalidad de consultarlas fácilmente e identificar la sección del capítulo en la cual se encuentra su explicación. La figura 3-1a ilustra el círculo de Mohr para el estado de esfuerzos en una muestra de prueba a la tensión. En la prueba a la tensión (véase la sección B.1) se aplica lentamente a la pieza una carga de tensión pura, que causa un esfuerzo de tensión normal. Sin embargo, el círculo de Mohr muestra que también se presenta un esfuerzo cortante, el cual es exactamente de la mitad de la magnitud del esfuerzo normal. ¿Cuál esfuerzo hace fallar a la pieza, el esfuerzo normal o el esfuerzo cortante? La figura 3-1b ilustra el círculo de Mohr del estado de esfuerzos en una muestra de prueba a la torsión. En la prueba de torsión (véase la sección A.1) se aplica lentamente a la pieza una carga de torsión pura que causa un esfuerzo cortante. Sin embargo, el 173 3 174 DISEÑO DE MÁQUINAS 3 T T13 S2 Sx S3 S S1 (a) T Txy S3 S2 S S1 Tyx (b) FIGURA 3-1 (a) Círculos de Mohr para un esfuerzo unidireccional a la tensión y (b) torsión pura - Un Enfoque Integrado Tabla 3-0 Variables que se usan en este capítulo Símbolo Variable Unidades ips Unidades SI Véase a b mitad del ancho de una grieta in m Secc. 3.3 mitad del ancho de una placa agrietada in m Secc. 3.3 E módulo de Young psi Pa Secc. 3.1 K intensidad del esfuerzo kpsi-in0.5 MPa-m0.5 Secc. 3.3 Kc tenacidad a la fractura kpsi-in0.5 MPa-m0.5 Secc. 3.3 N factor de seguridad ninguna ninguna Secc. 3.1 NFM factor de seguridad para fallas por fractura mecánica ninguna ninguna Secc. 3.3 Suc resistencia última a la compresión psi Pa Secc. 3.2 Sut resistencia última a la tensión psi Pa Secc. 3.2 Sy resistencia de fluencia por tensión psi Pa Ec. 3.8a, 3.9b Sys resistencia de fluencia por cortante psi Pa Ec. 3.9b, 3.10 U energía de deformación total in-lb Joules Ec. 3.1 Ud energía de distorsión por deformación in-lb Joules Ec. 3.2 Uh energía de deformación hidrostática in-lb Joules Ec. 3.2 B factor geométrico de intensidad del esfuerzo ninguna ninguna Ec. 3.14c E deformación ninguna ninguna Secc. 3.1 N razón de Poisson ninguna ninguna Secc. 3.1 S esfuerzo principal psi Pa Secc. 3.1 S esfuerzo principal psi Pa Secc. 3.1 S S~ esfuerzo principal psi Pa Secc. 3.1 esfuerzo efectivo de Mohr modificado psi Pa Ec. 3.12 Sa esfuerzo efectivo de Von Mises psi Pa Ec. 3.7 círculo de Mohr muestra que también se presenta un esfuerzo normal, el cual es exactamente igual al esfuerzo cortante. ¿Cuál esfuerzo hace fallar la parte, el esfuerzo normal o el esfuerzo cortante? En general, los materiales dúctiles e isotrópicos con cargas estáticas de tensión están limitados por sus resistencias al cortante; mientras que los materiales frágiles están limitados por sus resistencias a la tensión (aunque hay excepciones a esta regla, cuando los materiales dúctiles se comportan como si fueran frágiles). Esta situación provoca que haya teorías de falla diferentes para las dos clases de materiales, dúctiles y frágiles. Vea en el apéndice B que la ductilidad se define de varias maneras, la más común de las cuales es el porcentaje de elongación en la fractura del material que, si es ⬎ 5%, se considera dúctil. La mayoría de los metales dúctiles tienen elongaciones en la fractura ⬎ 10%. Más importante aún es definir con cuidado lo que se quiere decir con falla. Una pieza falla si cede y se distorsiona lo suficiente como para no funcionar adecuadamente. Una pieza también falla cuando se fractura y se parten. Cualquiera de estas condiciones es una falla, pero los mecanismos que las causan llegan a ser muy diferentes. Sólo los materiales dúctiles pueden ceder de manera significativa antes de fracturarse. Los materiales frágiles se fracturan sin cambiar su forma drásticamente. Las curvas de esfuerzodeformación de cada tipo de material reflejan tal diferencia, como se observa en las figuras B-2 y B-4, las cuales se reproducen aquí por comodidad. Advierta que si hay Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS Esfuerzo S real Sut u y Sy 175 Esfuerzo S real f u f ingeniería ingeniería y el pl pl el línea desviada (a) (b) 3 E E Rango elástico Rango plástico Deformación unitaria E Deformación unitaria E 0.002 F I G U R A B - 2 Repetida Curvas de ingeniería y de esfuerzo-deformación unitaria reales para materiales dúctiles: (a) Acero al bajo carbono; (b) Acero recocido al alto carbono grietas en un material dúctil, éste puede fracturarse repentinamente en niveles de esfuerzo nominal muy por debajo de la resistencia a la fluencia, incluso bajo cargas estáticas. Otro factor relevante en las fallas es el tipo de carga, ya sea estática o dinámica. Las cargas estáticas se aplican lentamente y, en esencia, permanecen constantes en el tiempo. Las cargas dinámicas se aplican repentinamente (cargas de impacto) o con variaciones cíclicas en el tiempo (cargas de fatiga), o ambas. Los mecanismos de falla son muy diferentes en cada caso. En la tabla 1-1 (p. 5) se definieron cuatro clases de cargas con base en el movimiento de las piezas cargadas y la dependencia en el tiempo de la carga. Con esta definición, únicamente la carga de clase 1 es estática. Las otras tres cargas son dinámicas en mayor o menor grado. Cuando la carga es dinámica, la distinción entre el comportamiento de falla de materiales dúctiles y frágiles es menos clara, en tanto que los materiales dúctiles fallan como si fueran “frágiles”. Debido a las grandes diferencias en los mecanismos de falla bajo cargas estáticas y dinámicas, se considerarán por separado, examinando las fallas debidas a cargas estáticas en este capítulo y las fallas ocasionadas por cargas dinámicas en el siguiente capítulo. En el caso de la carga estática (clase 1), se considerarán las teorías de fallas independientemente para cada tipo de material, sea dúctil o frágil. 3.1 FALLA DE MATERIALES DÚCTILES BAJO CARGA ESTÁTICA Esfuerzo S Sut f Sy y Si bien los materiales dúctiles se fracturan si se esfuerzan estáticamente más allá de su resistencia última a la tensión, por lo general se considera que fallan como piezas de una máquina cuando ceden bajo una carga estática. La resistencia a la fluencia de un material dúctil es mucho menor que su resistencia última. Históricamente, se han formulado varias teorías para explicar esta falla: la teoría del esfuerzo normal máximo, la teoría de la deformación normal máxima, la teoría de la energía de deformación total, la teoría de la energía de distorsión (de Von MisesHencky) y la teoría del esfuerzo cortante máximo. De éstas, sólo las últimas dos están estrechamente de acuerdo con los datos experimentales y, de ellas, la teoría de Von Mises-Hencky es el enfoque más preciso. Se estudiarán con detalle sólo las últimas dos, empezando con la más precisa (y la preferida). línea desviada E 0.002 Deformación unitaria E F I G U R A B - 4 Repetida Curva de esfuerzo-deformación unitaria de un material frágil 176 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Teoría de Von Mises-Hencky o de energía de distorsión S Ahora se sabe que el mecanismo de fluencia microscópico se debe al deslizamiento relativo de los átomos del material dentro de su estructura de entramado. Este deslizamiento es causado por un esfuerzo cortante y está acompañado por la distorsión de la forma de la pieza. La energía almacenada en la pieza por esta distorsión es un indicador de la magnitud del esfuerzo cortante presente. E Si 3 densidad de la energía de deformación U Ei E FIGURA 3-2 Densidad de la energía interna de deformación en una pieza flexionada ENERGÍA TOTAL DE DEFORMACIÓN Alguna vez se pensó que la energía de deformación total almacenada en el material era la causa de la falla por fluencia; sin embargo, la evidencia experimental no avaló dicha propuesta. La energía de deformación U en una unidad de volumen (densidad de la energía de deformación) asociada con cualquier esfuerzo es el área bajo la curva de esfuerzo-deformación unitaria, hasta el punto donde se aplica el esfuerzo, como se indica en la figura 3-2 para un estado de esfuerzos unidireccional. Suponiendo que la curva de esfuerzo-deformación unitaria sea esencialmente lineal hasta el punto de fluencia, entonces, se expresa la energía de deformación total por unidad de volumen en cualquier punto de ese intervalo como U= 1 σε 2 (3.1a) Ampliando esto a un estado de esfuerzos tridimensional, U= 1 (σ1ε1 + σ 2 ε 2 + σ 3ε 3 ) 2 (3.1b) usando los esfuerzos principales y las deformaciones principales que actúan sobre los planos de esfuerzo cortante igual a cero. Esta expresión se plantea tan sólo en términos de esfuerzos principales, sustituyendo las relaciones 1 (σ1 − νσ 2 − νσ 3 ) E 1 ε 2 = (σ 2 − νσ1 − νσ 3 ) E 1 ε 3 = (σ 3 − νσ1 − νσ 2 ) E ε1 = (3.1c) donde ν es la razón de Poisson y da U= [ ] 1 σ12 + σ 22 + σ 32 − 2 ν(σ1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ1σ 3 ) 2E (3.1d ) CARGA HIDROSTÁTICA En los materiales se pueden almacenar cantidades muy grandes de energía de deformación sin que fallen, cuando están cargados hidrostáticamente para crear esfuerzos uniformes en todas direcciones. En la compresión, esto se logra muy fácilmente colocando la muestra en una cámara de presión. Muchos experimentos han demostrado que los materiales se pueden esforzar hidrostáticamente sin que fallen, a niveles más allá de sus resistencias últimas a la compresión; esto solamente reduce el volumen de la muestra sin cambiar su forma. P. W. Bridgman expuso hielo de agua a una compresión hidrostática de 1 Mpsi sin que hubiera falla. La explicación es que los esfuerzos uniformes en todas direcciones, si bien crean un cambio en el volumen y las energías de deformación potencialmente grandes, no causan distorsión en la pieza y, por lo tanto, no hay esfuerzo cortante. Considere el círculo de Mohr para una muestra sometida a un esfuerzo compresivo σx ⫽ σy ⫽ σz ⫽ 1 Mpsi. El “círculo” de Mohr es un punto sobre el eje σ en ⫺1 Mpsi y σ1 ⫽ σ2 ⫽ σ3. El esfuerzo cortante es cero, de modo que no hay distorsión ni falla. Esto es verdad para materiales dúctiles o frágiles, cuando los esfuerzos principales son idénticos en magnitud y en signo. Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS Den Hartog[1] describe la condición de las rocas a gran profundidad de la corteza terrestre, donde soportan esfuerzos compresivos hidrostáticos uniformes de 5 500 psi/ milla de profundidad, debidos al peso de las rocas de arriba. Esto supera con mucho los 3 000 psi típicos de su resistencia última a la compresión, medida en una prueba de compresión. Aunque es mucho más difícil crear tensión hidrostática, Den Hartog[1] también describe como tal un experimento realizado por el científico ruso Joffe, en el cual enfrió lentamente un vidrio de mármol en aire líquido, permitiéndole equilibrarse en un estado libre de esfuerzos por la baja temperatura; luego, lo introdujo en un recinto caliente. Conforme el mármol se calentaba de afuera hacia adentro, la diferencial de temperatura contra su núcleo frío creó esfuerzos de tensión uniformes muy por arriba de la resistencia a la tensión del material, pero éste no se agrietó. Por consiguiente, parece que la distorsión también es la responsable de la falla a la tensión. COMPONENTES DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Se puede considerar que la energía de deformación total en una pieza cargada (ecuación 3.1d ) tiene dos componentes: una debida a la carga hidrostática que cambia su volumen, y otra debida a la distorsión que cambia su forma. Si se separan las dos componentes, la energía de distorsión dará una medida del esfuerzo cortante presente. Si Uh representa la componente hidrostática o volumétrica y Ud la componente de energía de distorsión, entonces, U = Uh + Ud (3.2) También se podría expresar cada uno de los esfuerzos principales en términos de la componente hidrostática (o volumétrica) σh que es común a cada cara, y una componente de distorsión σld que es única en cada cara, donde el subíndice i representa la dirección del esfuerzo principal, 1, 2 o 3: σ1 = σ h + σ1d σ2 = σh + σ2d (3.3a) σ 3 = σ h + σ 3d Sumando los tres esfuerzos principales en la ecuación 3.3a: σ1 + σ 2 + σ 3 = σ h + σ1d + σ h + σ 2 d + σ h + σ 3 d ( σ1 + σ 2 + σ 3 = 3σ h + σ1d + σ 2 d + σ 3 d ( ) 3σ h = σ1 + σ 2 + σ 3 − σ1d + σ 2 d + σ 3 d (3.3b) ) Para un cambio volumétrico sin distorsión, el término entre paréntesis de la ecuación 3.3b debe ser cero, dando así una expresión para la componente volumétrica o hidrostática del esfuerzo σh: σh = σ1 + σ 2 + σ 3 3 (3.3c) en la cual el lector notará que es simplemente el promedio de los tres esfuerzos principales. Ahora, la energía de deformación Uh asociada con el cambio de volumen hidrostático se determina sustituyendo cada esfuerzo principal en la ecuación 3.1d por σh: [ ] 1 σ 2h + σ 2h + σ 2h − 2 ν(σ h σ h + σ h σ h + σ h σ h ) 2E 1 3σ 2h − 2 ν 3σ 2h = 2E 3 (1 − 2 ν) 2 Uh = σh 2 E Uh = [ ( )] (3.4a) 177 3 178 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado y sustituyendo la ecuación 3.3c: 3 (1 − 2 ν) ⎛ σ1 + σ 2 + σ 3 ⎞ 2 ⎠ 2 3 E ⎝ 1 − 2ν 2 σ1 + σ 22 + σ 32 + 2(σ1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ1σ 3 ) = 6E Uh = [ ] (3.4b) ENERGÍA DE DISTORSIÓN Ahora la energía de distorsión Ud se obtiene restando la ecuación 3.4b de la 3.1d de acuerdo con la ecuación 3.2: 3 Ud = U − Uh [ ] 1 = ⎧⎨ σ12 + σ 22 + σ 32 − 2 ν(σ1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ1σ 3 ) ⎫⎬ ⎩ 2E ⎭ 1 − 2ν 2 σ1 + σ 22 + σ 32 + 2(σ1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ1σ 3 ) ⎫⎬ − ⎧⎨ 6 E ⎩ ⎭ 1+ ν 2 2 2 σ1 + σ 2 + σ 3 − σ1σ 2 − σ 2 σ 3 − σ1σ 3 (5.5) (3.5) Ud = 3E [ ] [ ] Para obtener un criterio de falla, se compara la energía de distorsión por unidad de volumen dada por la ecuación 3.5 con la energía de distorsión por unidad de volumen presente en una muestra de prueba a la tensión en la falla, ya que la prueba a la tensión es nuestra fuente principal de datos de resistencia del material. Aquí el esfuerzo de falla de interés es la resistencia a la fluencia Sy. La prueba de tensión es un estado de esfuerzo uniaxial donde, en la fluencia, σ1 ⫽ Sy y σ2 ⫽ σ3 ⫽ 0. La energía de distorsión asociada con la fluencia en la prueba de tensión se calcula sustituyendo estos valores en la ecuación 3.5: Ud = 1+ ν 2 Sy 3E (3.6a) y el criterio de falla se obtiene igualando la ecuación general 3.5 con la expresión de falla específica 3.6a, para obtener [ 1+ ν 2 1+ ν 2 Sy = U d = σ1 + σ 22 + σ 32 − σ1σ 2 − σ 2 σ 3 − σ1σ 3 3E 3E Sy2 = σ12 + σ 22 + σ 32 − σ1σ 2 − σ 2 σ 3 − σ1σ 3 ] (3.6b) Sy = σ12 + σ 22 + σ 32 − σ1σ 2 − σ 2 σ 3 − σ1σ 3 que se aplica para el estado de esfuerzo tridimensional. Para el estado de esfuerzo bidimensional, σ2 ⫽ 0* y la ecuación 3.6b se reduce a: * Observe que esta suposición es consistente con la directriz convencional de los esfuerzos principales en el caso tridimensional (σ1 ⬎ σ2 ⬎ σ3), sólo si σ3 ⬍ 0. Si ambos esfuerzos principales diferentes de cero son positivos, entonces la suposición de que σ2 ⫽ 0 transgrede tal directriz. Sin embargo, para simplificar su representación en las figuras y en las ecuaciones, se usarán σ1 y σ3 para representar los dos esfuerzos principales diferentes de cero en el caso bidimensional, sin importar sus signos. Sy = σ12 − σ1σ 3 + σ 32 (3.6c) La ecuación bidimensional de la energía de distorsión 3.6c describe una elipse, la cual, al graficarse sobre los ejes σ1, σ3, queda como la de la figura 3-3. El interior de esta elipse define la región segura contra la fluencia bajo carga estática, para los esfuerzos biaxiales combinados. La ecuación de la energía de distorsión tridimensional 3.6b describe un cilindro circular, inclinado en relación con los ejes σ1, σ2, σ3 con cada uno de sus tres ángulos de Euler a 45°, como se muestra en la figura 3-4. El interior de este cilindro define la región segura contra la fluencia para los esfuerzos combinados σ1, σ2, σ3. El eje del cilindro es el lugar geométrico de todos los esfuerzos hidrostáticos y se extiende a ⫾ infinito, una Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 179 S3 esfuerzo / Sy 1.5 Sy  S12 S1S 3 S 32  1 1.0 se supone que S2 es el esfuerzo igual a cero A 0.5 0 3 S1 –0.5 B para torsión pura Sys = 0.577 Sy –1.0 –1.5 –1.5 –1.0 –0.5 0 0.5 1.0 1.5 esfuerzo / Sy FIGURA 3-3 Elipse normalizada de la energía de distorsión bidimensional para la resistencia a la fluencia del material señal más de que el esfuerzo hidrostático por sí solo no hará fallar un material dúctil. Las intersecciones de este cilindro con cada uno de los tres planos principales son elipses, como se indica en las figuras 3-3 y 3-4b. ESFUERZO EFECTIVO DE VON MISES Conviene a menudo, en situaciones que implican esfuerzos de tensión y cortante combinados que actúan sobre un mismo punto, definir un esfuerzo efectivo que sirva para representar la combinación de esfuerzos. El enfoque de la energía de distorsión proporciona un buen medio para hacer esto en materiales dúctiles. El esfuerzo efectivo de Von Mises σ’ se define como el esfuerzo de tensión uniaxial que crearía la misma energía de distorsión que la combinación real de los esfuerzos aplicados. Este enfoque permite tratar casos de esfuerzos combinados multiaxiales de tensión y cortante, como si fueran resultado de una carga de tensión pura. El esfuerzo efectivo de Von Mises σ’ para el caso tridimensional es, a partir de la ecuación 3.6b: m' = m12 + m 22 + m 32 < m1m 2 < m 2 m 3 < m1m 3 (3.7a) Esto también se expresa en términos de los esfuerzos aplicados como: 2 m' = (m x < m y ) + (m y < m z ) 2 2 ( + (m z < m x ) + 6 o 2xy + o 2yz + o 2zx ) 2 (3.7b) y para el caso bidimensional partiendo de la ecuación 3.6c (con σ2 ⫽ 0): m' = m12 < m1m 3 + m 32 (3.7c) y si se expresa en términos de los esfuerzos aplicados: m' = m 2x + m 2y < m x m y + 3o 2xy (3.7d ) Se usan estos esfuerzos efectivos para cualquier situación de esfuerzos combinados. (Véase el ejemplo 3-1 en la p. 186). El esfuerzo efectivo de Von Mises se estudiará más adelante, cuando se vean los ejemplos de esfuerzos combinados. 180 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado S2 S2 S1 S3 3 Sh S3 (a) Vista del lugar geométrico de la energía de distorsión de falla, hacia abajo del eje Sh lugar geométrico cilíndrico de falla S1 (b) Vista del lugar geométrico cilíndrico de falla que pasa a través de los tres planos de los esfuerzos principales S2 Sh S3 elipse de la energía de distorsión S1 (c) Vista de las intersecciones del lugar geométrico cilíndrico de falla con los tres planos de esfuerzos principales FIGURA 3-4 Lugar geométrico de la falla tridimensional para la teoría de la energía de distorsión FACTOR DE SEGURIDAD Las ecuaciones 3.6b y 3.6c definen las condiciones de falla. Para efectos de diseño, resulta conveniente incluir un factor de seguridad N en los cálculos, de modo que el estado de esfuerzos sea seguro dentro de la elipse de fallaesfuerzo de la figura 3-3. Capítulo 3 N= TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS Sy σ' 181 (3.8a) Para el caso del esfuerzo tridimensional esto se convierte en Sy N = σ12 + σ 22 + σ 32 − σ1σ 2 − σ 2 σ 3 − σ1σ 3 (3.8b) 3 y para el caso del esfuerzo bidimensional: Sy N = σ12 − σ1σ 3 + σ 32 (3.8c) CORTANTE PURO Para el caso de cortante puro como se vio en la carga de torsión pura, los esfuerzos principales se vuelven σ1 ⫽ τ ⫽ ⫺σ3 y σ2 ⫽ 0, como se muestra en la figura 3-1b (p. 174). La figura 3-3 también ilustra el estado de esfuerzo de torsión pura, graficado sobre los ejes σ1 y σ3. El lugar geométrico del esfuerzo cortante a la torsión pura es una línea recta que pasa por el origen a ⫺45°. Esta línea intercepta la elipse de falla en dos puntos, A y B. Los valores absolutos de σ1 y σ3 en estos puntos se obtienen de la ecuación 3.6c (p. 178) para el caso bidimensional. Sy2  S12 S1  S1S1 Sy 3 S12  3S12  3T 2máx  0.577 Sy  T máx (3.9a) Esta relación define la resistencia a la fluencia de corte Sys de cualquier material dúctil, como una fracción de la resistencia a la fluencia en tensión Sy determinada en una prueba a la tensión. Sys = 0.577 Sy (3.9b) TEORÍA DE LA FALLA DÚCTIL Ahora ya se está en condiciones de contestar la pregunta formulada en el primer párrafo de este capítulo, de cuál, entre el esfuerzo cortante o el esfuerzo a la tensión, era el responsable de la falla de una muestra dúctil en una prueba a la tensión. Con base en experimentos y en la teoría de la energía de distorsión, la falla en el caso de los materiales dúctiles con carga estática a la tensión es provocada por los esfuerzos cortantes. NOTA HISTÓRICA El enfoque de la energía de distorsión para el análisis de fallas tiene muchos padres. De hecho, la ecuación 3.7 se puede deducir de cinco modos diferentes.[2] El método de la energía de distorsión presentado aquí fue propuesto originalmente por James Clerk Maxwell[3] en 1856, pero no tuvo mayor desarrollo sino hasta que se hicieron contribuciones adicionales gracias al trabajo de Hueber (en 1904), Von Mises (en 1913) y Hencky (en 1925). En la actualidad, es más frecuente darle el crédito a Von Mises y a Hencky, y algunas veces sólo a Von Mises. El esfuerzo efectivo definido con las ecuaciones 3.7 se conoce con frecuencia como el esfuerzo de Von Mises o únicamente el esfuerzo de Mises (se pronuncia meses). Eichinger (en 1926) y Nadai (en 1937) desarrollaron de manera independiente las ecuaciones 3.7 por un método diferente que implica esfuerzos octaédricos, y otros más han llegado al mismo resultado incluso siguiendo caminos diferentes. El número de desarrollos de esta teoría usando enfoques diferentes, en combinación con los resultados experimentales tan cercanos a los pronosticados, hacen de ella la mejor elección para el pronóstico de fallas, en el caso de cargas estáticas en materiales dúctiles, en los cuales las resistencias de tensión y de compresión son iguales. 182 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Teoría del esfuerzo cortante máximo 3 El rol del esfuerzo cortante en fallas estáticas fue reconocido antes del desarrollo del enfoque de Von Mises, para el análisis de fallas de materiales dúctiles con cargas estáticas. La teoría del esfuerzo cortante máximo fue propuesta primero por Coulomb (17361806) y descrita más tarde por Tresca en una publicación de 1864. A principios del siglo XX, J. Guest realizó experimentos en Inglaterra que confirmaron la teoría. Se le conoce algunas veces como la teoría de Tresca-Guest. La teoría del esfuerzo cortante máximo (o simplemente la teoría de cortante máximo) establece que la falla ocurre cuando el esfuerzo cortante máximo en una pieza excede el esfuerzo cortante por fluencia en una muestra sujeta a tensión (la mitad de la resistencia de fluencia por tensión). Esto predice que la resistencia a la fluencia por cortante de un material es Sys = 0.50 Sy (3.10) Observe que éste es un límite más conservador que el de la teoría de la energía de distorsión dado por la ecuación 3.9b. La figura 3-5 muestra la falla hexagonal encerrada por las dos teorías bidimensionales de cortante máximo, superpuestas sobre la elipse de la energía de distorsión. Se inscribe dentro de la elipse y la toca en seis puntos. Las combinaciones de esfuerzos principales σ1 y σ3 que se encuentran dentro de este hexágono se consideran seguras, y se piensa que la falla ocurre cuando el estado de esfuerzos combinados alcanza el límite hexagonal. Evidentemente, se trata de una teoría de falla más conservadora que la de la energía de distorsión, ya que está contenida dentro de la última. Las condiciones para el cortante por torsión (puro) se muestran en los puntos C y D. Para el estado de esfuerzos tridimensional, las figuras 3-6a y 3-6b muestran el prisma hexagonal de la teoría del esfuerzo cortante máximo ajustado al cilindro de la energía de distorsión. Las intersecciones del hexágono del esfuerzo cortante con los tres planos de esfuerzos principales se ilustran en la figura 3-6c, inscritas dentro de las elipses de la energía de distorsión. Para aplicar esta teoría en materiales homogéneos, isotrópicos, dúctiles, con esfuerzos estáticos bidimensionales o tridimensionales, se calculan primero los tres esfuerzos S3 esfuerzo / Sy 1.5 se supone que S2 es el esfuerzo igual a cero 1.0 0.5 C 0 S1 D –0.5 para torsión pura Sys = 0.5 Sy –1.0 –1.5 –1.5 –1.0 –0.5 0 0.5 1.0 1.5 esfuerzo / Sy FIGURA 3-5 El hexágono de la teoría del esfuerzo cortante bidimensional inscrito dentro de la elipse de la energía de distorsión Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 183 S2 S2 S3 Sh S1 S3 3 (a) Vista del lugar geométrico de la falla para la energía de distorsión y el cortante máximo, hacia abajo del eje Sh lugar geométrico hexagonal de la falla lugar geométrico cilíndrico de la falla S1 (b) Vista del lugar geométrico cilíndrico de la falla, que pasa a través de los tres planos de los esfuerzos principales S2 Sh S3 elipse de la energía de distorsión hexágono del cortante máximo S1 (c) Vista de las intersecciones del lugar geométrico cilíndrico y hexagonal de las fallas, con los tres planos de los esfuerzos principales FIGURA 3-6 Lugar geométrico de la falla tridimensional, para las teorías de la energía de distorsión y del esfuerzo cortante máximo normales principales σ1, σ2 y σ3 (uno de los cuales será cero para el caso bidimensional) y el esfuerzo máximo cortante, τ13, de acuerdo con la ecuación 2.5 (p. 74). Luego se compara el esfuerzo cortante máximo con el criterio de falla de la ecuación 3.10. El factor de seguridad para la teoría del esfuerzo cortante máximo es 184 DISEÑO DE MÁQUINAS N Sys T máx  - Un Enfoque Integrado 0.50 Sy T máx  Sy 2 S1 S3 2  Sy S1 (3.11) S3 donde τmáx es el resultado mayor de la ecuación 2.5. Recuerde que en el caso de un esfuerzo aplicado bidimensional, quizás haya tres esfuerzos cortantes principales, el mayor de los cuales es τmáx. 3 Teoría del esfuerzo normal máximo Para concluir, se presenta esta teoría por interés histórico; sin embargo, debe tenerse en cuenta que no es una teoría segura para usarla en materiales dúctiles. Se analizarán brevemente las modificaciones a esta teoría, que son válidas y útiles para materiales frágiles, cuyas resistencias últimas a la tensión son más bajas que sus resistencias al cortante y a la compresión. La teoría del esfuerzo normal máximo establece que la falla ocurrirá cuando el esfuerzo normal en la muestra alcance algún límite de resistencia normal, tal como la resistencia a la fluencia por tensión o la resistencia última a la tensión. En materiales dúctiles, la resistencia a la fluencia es el criterio que se suele emplear. La figura 3-7 muestra la envoltura de la falla bidimensional en la teoría del esfuerzo normal máximo. Se trata de un cuadrado. Compare esta envoltura cuadrada con la mostrada en la figura 3-5 (p. 182). En el primero y tercer cuadrantes, la envoltura de la teoría del esfuerzo normal máximo coincide con la de la teoría cortante máximo. No obstante, en el segundo y cuarto cuadrantes, la envoltura de la teoría del esfuerzo normal está muy afuera, tanto de la elipse de la energía de distorsión como del hexágono inscrito correspondiente a la teoría de cortante máximo. Como los experimentos muestran que los materiales dúctiles fallan en carga estática cuando sus estados de esfuerzos se encuentran fuera de la elipse, la teoría del esfuerzo normal es un criterio de falla inseguro en el segundo y cuarto cuadrantes. El diseñador experimentado evitará el uso de la teoría del esfuerzo normal para los materiales dúctiles. Comparación de datos experimentales con las teorías de fallas Se han realizado muchas pruebas de tensión con varios materiales. Los datos indican una dispersión estadística pero, en conjunto, tienden a ajustarse bastante bien a la elipse de la energía de distorsión. La figura 3-8 ilustra los datos experimentales de dos aceros dúctiles, dos aleaciones de aluminio dúctil y un hierro fundido frágil, superpuestos sobre S3 esfuerzo / Sy 1.5 teoría de la energía de distorsión 1.0 se supone que S2 es el esfuerzo igual a cero 0.5 0 S1 –0.5 –1.0 –1.5 –1.5 –1.0 –0.5 teoría del esfuerzo normal 0 0.5 1.0 1.5 esfuerzo / Sy FIGURA 3-7 Teoría del esfuerzo normal máximo; incorrecta para materiales dúctiles en el segundo y cuarto cuadrantes Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS las envolturas de falla de las tres teorías examinadas anteriormente. Observe cómo los datos de fluencia dúctil se agrupan en la elipse de la energía de distorsión (identificada como cortante oct), con unos cuantos datos puntuales que caen entre el hexágono de la teoría de cortante máximo y la elipse, ambos normalizados con la resistencia a la fluencia del material. Los datos de fractura (no de fluencia) del hierro fundido frágil se ven agrupados más estrechamente alrededor de la envoltura (cuadrada) del esfuerzo normal máximo, la cual en esta figura está normalizada por la resistencia última a la tensión, no por la resistencia a la fluencia. Estos datos son típicos. Gracias a ellos es posible darse cuenta de que la teoría de la energía de distorsión se aproxima más estrechamente a los datos de fluencia dúctil, mientras que la teoría del cortante máximo brinda un criterio más conservador, que es seguro en su interior para casi todos los datos puntuales de fluencia de materiales dúctiles. Puesto que siempre se aplica un factor de seguridad, se esperaría que el estado de esfuerzo real caiga dentro de estas líneas de falla con algún margen. Antes era común recomendar que se usara, para el diseño, la teoría del cortante máximo en vez de la teoría más exacta de la energía de distorsión, porque se consideraba más fácil realizar los cálculos con la primera. Este argumento podría justificarse (o no) en los días de las reglas de cálculo, pero es indefendible en la era de las calculadoras programables y de las computadoras. El método de la energía de distorsión es muy sencillo de utilizar, incluso con sólo una calculadora de bolsillo, y ofrece un resultado teóricamente más preciso. Sin embargo, como algunos datos experimentales caen dentro de la elipse, pero fuera del hexágono de cortante, algunos diseñadores prefieren el enfoque más conservador de la teoría del cortante máximo. Como ingeniero a cargo, en última instancia la decisión será de usted. Tanto la teoría de la energía de distorsión como la teoría del cortante máximo son aceptables como criterios de falla, en el caso de carga estática en materiales homogéneos e isotrópicos dúctiles, cuyas resistencias de tensión y compresión sean de la misma magnitud. La mayoría de los metales forjados para ingeniería y algunos polímeros se encuentran en esta categoría: los llamados materiales uniformes. Los materiales no uniformes, como los metales colados frágiles y los compuestos que no muestran estas propiedades uniformes, requieren teorías de falla más complejas, algunas de las cuales se describen en una sección posterior y algunas en la referencia 4. Para el estudio de materiales uniformes y no uniformes, véase la siguiente sección. σ2 / σc cortante oct. 1.0 normal máx. Fluencia (σc  σo) Acero Ni-Cr-Mo Acero AlSl 1023 2024-T4 Al 3S-H Al cortante máx. -1.0 1.0 σ1 / σc Fractura (σc  σut) Hierro colado gris -1.0 FIGURA 3-8 Datos experimentales de pruebas de tensión superpuestos sobre las tres teorías de fallas (Reproducido de la fig. 7.11, p. 252, de Mechanical Behavior of Materials de N. E. Dowling, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993) 185 3 186 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado EJEMPLO 3-1 Falla de materiales dúctiles bajo carga estática Problema 3 Se proporciona El material es aluminio 2024-T4 con una resistencia a la fluencia de 47 000 psi. La longitud de la varilla es l = 6 in y la del brazo a = 8 in. El diámetro exterior de la varilla es d = 1.5 in. La carga F = 1 000 lb. A y T z F B (a) Dos puntos de interés para el cálculo de esfuerzo y x z Determine los factores de seguridad de la varilla de soporte mostrada en la figura 3-9, con base tanto en la teoría de la energía de distorsión como en la teoría de cortante máximo, y compárelos. Suposiciones La carga es estática y el montaje está a temperatura ambiente. Considere el cortante debido a la carga transversal, así como otros esfuerzos. Solución Véase las figuras 3-9 y 2-33 (repetida aquí), y también el ejemplo 2-9 (p. 110), para una explicación más completa del análisis de esfuerzos en este problema. 1. La varilla está cargada tanto a la flexión (como una viga en voladizo) como a la torsión. El mayor esfuerzo de flexión a la tensión se encuentra en la fibra externa superior en el punto A. El mayor esfuerzo cortante por torsión se encuentra alrededor de la circunferencia exterior de la varilla. (Para más detalles, véase el ejemplo 2-9). Primero se toma un elemento diferencial en el punto A, donde ambos esfuerzos se combinan como se ilustra en la figura 2-33b. Calcule el esfuerzo de flexión normal y el esfuerzo cortante por torsión en el punto A, usando las ecuaciones 2.11b (p. 86) y 2.23b (p. 108), respectivamente. Txz = Tr/J Sx = Mc/I Tzx (b) Elemento de esfuerzo en el punto A Mc ( Fl )c 1 000(6)(0.75) = = 18 108 psi = I I 0.249 (a) τ xz = Tr ( Fa)r 1 000(8)(0.75) = = 12 072 psi = J J 0.497 (b) 2. Obtenga el esfuerzo cortante máximo y los esfuerzos principales que resultan de esta combinación de esfuerzos aplicados, usando las ecuaciones 2.6 (p. 75). ¥ Sx Sz ´ § ¶ 2 T máx  y S1 = x σx = Sx Sz 2 2 18 108 0 ´ 2 T 2xz  ¥ § ¶ 2 T máx  12 072 2  15 090 psi 18 108 15 090  24 144 psi 2 S2 = 0 z 4V 3A Tr/J (c) Elemento de esfuerzo en el punto B F I G U R A 2 - 3 3 Repetida Elementos de esfuerzo en los puntos A y B dentro de la sección transversal de la varilla del ejemplo 2-10 S3 = (c ) Sx Sz 2 T máx  18 108 15 090  6 036 psi 2 3. Determine el esfuerzo efectivo de Von Mises a partir de los esfuerzos principales, usando la ecuación 3.7a (p. 179) con σ2 ⫽ 0, que también tiene la forma de la ecuación 3.7c (p. 179) para el caso en 2-D. σ' = σ12 − σ1σ 3 + σ 32 σ' = 24 144 2 − 24 144( −6 036) + ( −6 036) = 27 661 psi 2 (d ) 4. Usando la teoría de la energía de distorsión se obtiene ahora el factor de seguridad, aplicando la ecuación 3.8a (p. 181). Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 187 y l A pared varilla B d z brazo x 3 F a FIGURA 3-9 Soporte de los ejemplos 3-1 y 3-2 N= Sy σ' 47 000 = 1.7 27 661 = (e) 5. Usando la teoría del esfuerzo cortante máximo se obtiene el factor de seguridad, aplicando la ecuación 3.10 (p. 182). N 0.50 Sy T máx  0.50 47 000  1.6 15 090 (f) 6. La comparación de estos dos resultados muestra la naturaleza más conservadora de la teoría del esfuerzo cortante máximo, la cual da un factor de seguridad ligeramente menor. 7. Como la varilla es una viga corta, es necesario verificar el cortante debido a la carga transversal en el punto B sobre el eje neutro. El esfuerzo cortante transversal máximo, en el eje neutro de una varilla redonda, está dado por la ecuación 2.15c (p. 91). T flexión = 41 000 4V  755 psi  3A 31.767 ( g) El punto B está en cortante puro. El esfuerzo cortante total en el punto B es la suma algebraica del esfuerzo cortante transversal y el esfuerzo cortante por torsión, los cuales actúan sobre los mismos planos del elemento diferencial, en este caso, en la misma dirección que se indica en la figura 2-33c. T máx = T torsión T flexión  12 072 755  12 827 psi (h) 8. El factor de seguridad para el punto B usando la teoría de la energía de distorsión para cortante puro (ecuación 3.9b, p. 181) es N Sys T máx  0.577 Sy T máx  0.577 47 000  2.1 12 827 (i ) y aplicando la ecuación 3.10 (p. 182) en la teoría del cortante máximo N Sys T máx  0.50 Sy T máx  0.50 47 000  1.8 12 827 Otra vez, el último es más conservador. 9. Los archivos EX05-01 se encuentran en el CD-ROM. ( j) 188 DISEÑO DE MÁQUINAS 3.2 - Un Enfoque Integrado FALLA DE MATERIALES FRÁGILES BAJO CARGAS ESTÁTICAS Los materiales frágiles se fracturan en vez de ceder. Se considera que la fractura frágil por tensión se debe únicamente al esfuerzo de tensión normal y, por lo tanto, en este caso es aplicable la teoría del esfuerzo normal máximo. La fractura frágil por compresión se debe a alguna combinación de un esfuerzo de compresión normal y un esfuerzo cortante, y requiere una teoría de falla diferente. Para tomar en cuenta todas las condiciones de carga, se utiliza una combinación de teorías. 3 Materiales uniformes y no uniformes Algunos materiales forjados, como una herramienta de acero totalmente endurecido, llegan a ser frágiles. Estos materiales tienden a presentar resistencias a la compresión iguales a sus resistencias a la tensión y, por consiguiente, se conocen como materiales uniformes. Muchos materiales colados, como el hierro colado gris, son frágiles, aunque tienen resistencias a la compresión mucho mayores que sus resistencias a la tensión. Éstos se conocen como materiales no uniformes. Su baja resistencia a la tensión se debe a la presencia de defectos microscópicos generados durante el colado, los cuales, cuando están sometidos a cargas de tensión, sirven como núcleos para la formación de grietas. Sin embargo, cuando están sometidos a esfuerzos de compresión, tales defectos se presionan juntos, incrementando así la resistencia al deslizamiento que provoca el esfuerzo de corte. Los hierros colados grises tienen usualmente resistencias a la compresión tres o cuatro veces más grandes que sus resistencias a la tensión, en tanto que las cerámicas tienen incluso razones mayores. T T13 S2 Sx S3 S S1 (a) T Txy S3 S2 S S1 Tyx (b) FIGURA 3-1 Repetida Círculos de Mohr para un esfuerzo de tensión unidireccional (a) y para torsión pura (b) Otra característica de algunos materiales colados frágiles es que su resistencia al cortante puede ser mayor que su resistencia a la tensión, fallando entre sus valores de compresión y de tensión. Esto es muy diferente en los materiales dúctiles, donde la resistencia al cortante es la mitad de la resistencia a la tensión. En materiales colados, los efectos de la resistencia más fuerte al corte se observan en sus características de falla en las pruebas de tensión y de torsión. La figura B-3 (apéndice B) presenta una muestra de acero dúctil a la tensión, cuyo plano de falla se encuentra a 45° en relación con el esfuerzo de tensión aplicado; esto indica que la falla se debió a un cortante, lo cual se sabe que es verdadero por la teoría de la energía de distorsión. La figura B-5 (apéndice B) presenta una muestra de hierro fundido frágil a la tensión, cuyo plano de falla es normal al esfuerzo de tensión aplicado e indica que ocurrió una falla por la tensión. En la figura 3-1a, repetida aquí, se ilustra el círculo de Mohr para este estado de esfuerzos, y es el mismo para ambas muestras. La diferencia en el modo de falla se debe a la diferencia relativa entre las resistencias al cortante y a la tensión de los dos materiales. La figura B-8 (apéndice B) contiene dos muestras de prueba a la torsión. El círculo de Mohr para el estado de esfuerzos en ambas muestras se presenta en la figura 3-1b, repetida aquí. La muestra de acero dúctil falla en un plano normal al eje del torque aplicado. El esfuerzo aplicado aquí es cortante puro que actúa en un plano normal al eje. El esfuerzo cortante aplicado también es el esfuerzo cortante máximo, y la falla se encuentra a lo largo del plano de cortante máximo, ya que el material dúctil es más débil al cortante. La muestra frágil de hierro fundido falla de manera espiral a lo largo de planos inclinados 45° en relación con el eje de la muestra. La falla se encuentra sobre los planos del esfuerzo normal (principal) máximo, porque este material es más débil a la tensión. La figura 3-10 muestra los círculos de Mohr de pruebas a la tensión y a la compresión para un material uniforme y un material no uniforme. Las líneas tangentes a estos círculos constituyen líneas de falla para todas las combinaciones de esfuerzos aplicados entre los dos círculos. El área encerrada entre los círculos y las líneas de falla representa una zona segura. En el caso de un material uniforme, las líneas de falla son independientes del esfuerzo normal y están definidas por la resistencia al cortante máxima del material. Esto es consistente con la teoría del esfuerzo de cortante máximo para materiales dúctiles (los cuales también suelen ser materiales uniformes). Para materiales no uniformes, las líneas de falla son función tanto del esfuerzo normal σ como del esfuerzo cortante τ. Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 189 T M T Ti Tmáx línea de falla línea de falla TMS S prueba de compresión Tmáx prueba de tensión línea de falla (a) Material uniforme — S uc = – S ut F prueba de compresión F S Ti Q prueba de tensión línea de falla (b) Material no uniforme — |S uc | > |S ut | FIGURA 3-10 Círculos de Mohr para pruebas de tensión y compresión que muestran las envolturas de falla de (a) materiales uniformes y (b) materiales no uniformes. Para el régimen de compresión, conforme el esfuerzo de compresión normal se vuelve cada vez más negativo (es decir, aumenta la compresión), se incrementa la resistencia del material al esfuerzo cortante. Esto es consistente con la idea expresada anteriormente, en el sentido de que la compresión hace más difícil que se presente el deslizamiento por cortante a lo largo de las líneas de falla por los defectos internos del material. A partir de los datos de prueba mostrados en la figura 3-10, se obtiene la ecuación de la línea de falla de cualquier material. La pendiente μ y la intercepción τi se determinan a partir de la geometría, usando tan sólo los radios de los círculos de Mohr de las pruebas de tensión y compresión. La interdependencia entre el esfuerzo normal y el cortante mostrada en la figura 3-10b se confirma con los experimentos de casos donde es dominante el esfuerzo de compresión, específicamente cuando el esfuerzo principal que tiene el mayor valor absoluto es de compresión. Sin embargo, los experimentos también muestran que, en situaciones de esfuerzos de tensión dominantes en materiales no uniformes frágiles, la falla se debe únicamente al esfuerzo de tensión. Parece que el esfuerzo cortante no es un factor en materiales no uniformes, si el esfuerzo principal con el mayor valor absoluto es de tensión. La teoría de Coulomb-Mohr Estas observaciones conducen a la teoría de Coulomb-Mohr para fallas frágiles, la cual es una adaptación de la teoría del esfuerzo normal máximo. La figura 3-11 ilustra el caso bidimensional graficado sobre los ejes σ1, σ3 y normalizado por la resistencia última a la tensión, Sut. La teoría del esfuerzo normal máximo para un material uniforme se representa mediante un cuadrado punteado con dimensiones ⫾Sut iguales para cada lado. Esto podría utilizarse como el criterio de falla para un material frágil con carga estática, si sus resistencias de tensión y compresión fueran iguales (un material uniforme). Se muestra también la envoltura de la teoría del esfuerzo normal máximo (sombreada en gris oscuro) de un material no uniforme, como el cuadrado asimétrico con dimensiones iguales para cada lado Sut, ⫺Suc. Esta envoltura de falla tan sólo es válida en los cuadrantes primero y tercero, ya que no toma en cuenta la interdependencia de los esfuerzos normales y cortantes mostrados en la figura 3-10, la cual afecta los cuadrantes segundo y cuarto. La envoltura de Coulomb-Mohr (área en gris claro) intenta tomar en cuenta la interdependencia, conectando con diagonales las esquinas opuestas de estos dos cuadrantes. Observe la similitud de la forma hexagonal de Coulomb-Mohr con el hexágono de la teoría de cortante máximo para materiales dúctiles en la figura 3-5 (p. 182). 3 190 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado S3 –Suc, Sut esfuerzo / Sut 1.0 –Sut, Sut Sut, Sut S1 0 3 Sut, –Sut –1.0 teoría de Coulomb-Mohr teoría de Mohr modificada teoría del esfuerzo normal para materiales uniformes –2.0 –3.0 –4.0 –4.0 –3.0 –2.0 –1.0 Sut, –Suc 0 1.0 teoría del esfuerzo normal para materiales no uniformes esfuerzo / Sut FIGURA 3-11 Teorías de Coulomb-Mohr, de Mohr modificada y esfuerzo máximo normal para materiales no uniformes frágiles Las únicas diferencias son la asimetría de Coulomb-Mohr debida a las propiedades del material no uniforme y el uso de las resistencias últimas (a la fractura), en vez de las resistencias a la fluencia. La figura 3-12 muestra los datos de prueba experimentales de una fundición de hierro gris, superpuestos sobre las envolturas de falla teóricas. Observe que las fallas en el primer cuadrante se ajustan a la línea de la teoría del esfuerzo normal máximo (que coincide con las otras teorías). Las fallas en el cuarto cuadrante caen dentro de la línea del esfuerzo normal máximo (lo cual indica su inadecuación) y también caen muy afuera de la línea de Coulomb-Mohr (lo que indica su naturaleza conservadora). Esta observación lleva a la modificación de la teoría de Coulomb-Mohr para ajustarla mejor a los datos observados. La teoría de Mohr modificada Los datos reales de falla de la figura 3-12 siguen la envoltura de la teoría del esfuerzo normal máximo para materiales uniformes hasta el punto Sut, ⫺Sut por debajo del eje σ1 y, luego, siguen una línea recta hasta 0, ⫺Suc. Este conjunto de líneas mostradas como las porciones sombreadas en tono claro y oscuro combinadas en la figura 3-11 (marcada también con puntos) es la envoltura de la teoría de Mohr modificada. Se trata de la teoría de falla preferida para materiales no uniformes frágiles con carga estática. Si los esfuerzos principales en 2-D se ordenan como σ1 ⬎ σ3, σ2 ⫽ 0, entonces, tan sólo necesitan dibujarse los cuadrantes primero y cuarto de la figura 3-12, como se indica en la figura 3-13, donde se grafican los esfuerzos normalizados por N/Sut, donde N es el factor de seguridad. La figura 3-13 también describe tres condiciones de esfuerzo plano identificados como A, B y C. El punto A representa cualquier estado de esfuerzos, en el cual los dos esfuerzos principales diferentes de cero σ1 y σ3 son positivos. La falla ocurrirá cuando la línea de carga OA cruce la envoltura de falla en A’. El factor de seguridad en esta situación se expresa como N= Sut σ1 (3.12a) Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 191 σ2 o σ3 normal máx. d. r mo Moh 3 to rsi ón datos de la fundición de hierro gris FIGURA 3-12 Datos de fractura biaxial para una fundición de hierro gris comparados con varios criterios de falla (de la fig. 7.13, p. 255, en Mechanical Behavior of Materials de N. E. Dowling, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993. Datos de R. C. Grassi e I. Cornet, “Fracture of Gray Cast Iron Tubes Under Biaxial Stresses”. J. App. Mech, v. 16, p. 178, 1949) Si los dos esfuerzos principales diferentes de cero tienen signos opuestos, entonces existen dos posibilidades de falla, como lo describen los puntos B y C de la figura 3-13. La única diferencia entre estos dos puntos son los valores relativos de sus dos componentes de esfuerzos σ1, σ3. La línea de carga OB sale de la envoltura de falla en B’ arriba del punto Sut, ⫺Sut, y el factor de seguridad en este caso está dado por la ecuación 3.12a de arriba. Si el estado de esfuerzos es como el descrito por el punto C, entonces la intercepción de la línea de carga OC y la envoltura de falla se da en C ’ abajo del punto Sut, ⫺Sut. El factor de seguridad se determina resolviendo para la intersección entre la línea de carga OC y la línea de falla. Se escriben las ecuaciones de estas líneas y se resuelven simultáneamente para obtener la ecuación de Mohr modificada. N= Sut Suc Suc σ1 − Sut (σ1 + σ 3 ) N – esfuerzo / Sut Sut, Sut 1.0 0 O (3.12b) Compare la ecuación 3.12b con la ecuación menos exacta de la teoría de CoulombMohr no modificada (que se recomienda no utilizar). Sut Suc Suc σ1 − Sut σ 3 Para usar la ecuación 3.12b de la teoría de Mohr modificada, es conveniente tener las expresiones de un esfuerzo efectivo que tome en cuenta todos los esfuerzos aplicados, y permita la comparación directa con la resistencia del material, como se hizo con el esfuerzo de Von Mises para los materiales dúctiles. Dowling[5] desarrolló un conjunto de expresiones para este esfuerzo efectivo con los tres esfuerzos principales:* A' A S1 B B' –1.0 C Sut, –Sut C' –2.0 Si el estado de esfuerzos está en el cuarto cuadrante, las ecuaciones 3.12a y 3.12b deberían verificarse y tendría que usarse el factor de seguridad que resulte menor. N= S3 –3.0 0 –Suc –4.0 0 1.0 N – esfuerzo / Sut FIGURA 3-13 Teoría de falla de Mohr modificada para materiales frágiles * Véase la referencia 5 para la deducción completa de las teorías de Coulomb-Mohr y la modificada de Mohr para dos y tres dimensiones, así como la deducción del esfuerzo efectivo. 192 DISEÑO DE MÁQUINAS 3 - Un Enfoque Integrado C1 = ⎤ 2 Sut − Suc 1⎡ σ1 + σ 2 )⎥ ( ⎢ σ1 − σ 2 + 2 ⎢⎣ − Suc ⎥⎦ C2 = ⎤ 2 Sut − Suc 1⎡ σ 2 + σ 3 )⎥ ( ⎢ σ2 − σ3 + − Suc 2 ⎢⎣ ⎥⎦ C3 = ⎤ 2 Sut − Suc 1⎡ σ 3 + σ1 )⎥ ( ⎢ σ 3 − σ1 + − Suc 2 ⎢⎣ ⎥⎦ (3.12c) Como sugirió Dowling, el esfuerzo efectivo deseado es el más grande del conjunto de seis valores (C1, C2, C3, más los tres esfuerzos principales). S˜  MÁXC1, C2 , C3 , S1, S 2 , S 3 S˜  0 si MÁX  0 (3.12 d ) donde la función señalada con MÁX denota el argumento algebraico más grande de los seis suministrados. Si todos los argumentos son negativos, entonces el esfuerzo efectivo es cero. Este esfuerzo efectivo de Mohr modificado se puede comparar ahora con la resistencia última a la tensión del material, para determinar el factor de seguridad. N= Sut σ̃ (3.12e) Este enfoque permite la fácil computarización del proceso. EJEMPLO 3-2 Falla de materiales frágiles bajo carga estática Problema Determine los factores de seguridad de la varilla de soporte mostrada en la figura 3-9 (repetida en la siguiente página) con base en la teoría de Mohr modificada. Se proporciona El material es fundición de hierro gris clase 50 con S ut = 52 500 psi y Suc = –164 000 psi. La longitud de la varilla es l = 6 in y la del brazo a = 8 in. El diámetro exterior de la varilla es d = 1.5 in. La carga F = 1 000 lb. Suposiciones La carga es estática y el montaje está a temperatura ambiente. Considere el cortante debido a la carga transversal, así como otros esfuerzos. Solución Véase las figuras 3-9 y 2-33 (página siguiente) y los ejemplos 2-9 (p. 110) y 3-1. 1. La varilla de la figura 3-9 está cargada tanto a la flexión (como una viga en voladizo) como a la torsión. El mayor esfuerzo de flexión a la tensión se encuentra en la fibra exterior de arriba en el punto A. El esfuerzo cortante por torsión más grande se encuentra alrededor de la circunferencia externa de la varilla. Primero se toma un elemento diferencial en el punto A, donde ambos esfuerzos se combinan. Obtenga el esfuerzo de flexión normal y el esfuerzo cortante por torsión en el punto A mediante las ecuaciones 2.11b (p. 86) y 2.23b (p. 108), respectivamente. σx = Mc ( Fl )c 1 000(6)(0.75) = = 18 108 psi = I I 0.249 ( a) Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 193 y l A pared barra B d z brazo x 3 F a F I G U R A 3 - 9 Repetida A y Soporte de los ejemplos 3-1 y 3-2 T z τ xz = Tr ( Fa)r 1 000(8)(0.75) = = 12 072 psi = J J 0.497 B (b) 2. Calcule el esfuerzo cortante máximo, así como los esfuerzos principales que resultan de esta combinación de esfuerzos aplicados, mediante las ecuaciones 2.6. ¥ Sx Sz ´ § ¶ 2 T máx  S1 = Sx Sz 2 2 18 108 0 ´ 2 T 2xz  ¥ § ¶ 2 T máx  (a) Dos puntos de interés para los cálculos de esfuerzos 12 072 2  15 090 psi y 18 108 15 090  24 144 psi 2 S2 = 0 S3 = x (c ) Sx Sz 2 T máx  z 18 108 15 090  6 036 psi 2 Observe que estos esfuerzos son idénticos a los del ejemplo 3-1. 3. Los esfuerzos principales para el punto A ahora se grafican sobre un diagrama de Mohr modificado, como se muestra en la figura 3-14a (p. 194). Esto indica que la línea de carga cruza la envoltura de falla arriba del punto Sut, ⫺Sut, haciendo a la ecuación 3.12a (p. 190) adecuada para el cálculo del factor de seguridad. N= Sut 52 400 = = 2.2 σ1 24 144 C2 = = (b) Elemento de esfuerzo en el punto A y x z Tr/J (e) (c) Elemento de esfuerzo en el punto B ⎤ 2 Sut − Suc 1⎡ σ 2 + σ 3 )⎥ ( ⎢ σ2 − σ3 + 2 ⎢⎣ − Suc ⎥⎦ ⎤ 2(52 500) − 164 000 1⎡ (0 − 6 036)⎥ = 1 932 psi ⎢ 0 − ( −6 036) + 2⎣ −164 000 ⎦ Sx = Mc/I 4V 3A ⎤ 2 Sut − Suc 1⎡ C1 = ⎢ σ1 − σ 2 + σ1 + σ 2 )⎥ ( 2 ⎢⎣ − Suc ⎥⎦ ⎤ 2(52 500) − 164 000 1⎡ (24 144 + 0)⎥ = 16 415 psi ⎢ 24 144 − 0 + 2⎣ −164 000 ⎦ Txz = Tr/J Tzx (d ) 4. Un procedimiento alternativo que no requiere trazar el diagrama de Mohr modificado consiste en obtener los factores de Dowling C1, C2, C3 usando las ecuaciones 3.12c (p. 192). = F F I G U R A 2 - 3 3 Repetida (f) Elementos de esfuerzos en los puntos A y B dentro de la sección transversal de la varilla del ejemplo 2-10 194 DISEÑO DE MÁQUINAS C3 = = S3 3 Un Enfoque Integrado ⎤ 2 Sut − Suc 1⎡ σ 3 + σ1 ) ⎥ ( ⎢ σ 3 − σ1 + 2 ⎢⎣ − Suc ⎥⎦ ⎤ 2(52 500) − 164 000 1⎡ (24 144 − 6 036)⎥ = 18 348 ⎢ 24 144 − ( −6 036) + 2⎣ −164 000 ⎦ ( g) 5. Luego obtenga el mayor de los seis esfuerzos C1, C2, C3, σ1, σ2, σ3: 52.5 kpsi –6 - S˜  MÁXC1 , C2 , C3 , S1 , S 2 , S 3 S1 0 S˜  MÁX 16 415, 1 932, 18 348, 24 144, 0, (h) 6 036  24 144 el cual es el esfuerzo efectivo de Mohr modificado. A 6. El factor de seguridad para el punto A se determina ahora con la ecuación 3.12e (p. 192): –52.5 N= Sut 52 500 = = 2.2 σ˜ 24 144 (i ) el cual es el mismo que se obtuvo en el paso 3. 7. Como la varilla es una viga corta, es necesario verificar el esfuerzo cortante, debido a la carga transversal en el punto B sobre el eje neutro. El esfuerzo cortante transversal máximo en el eje neutro de una varilla sólida redonda se obtuvo con la ecuación 2.15c (p. 91). –164 0 24.1 52.5 kpsi (a) Esfuerzos en el punto A T flexión = ( j) El punto B está en cortante puro. El esfuerzo cortante total en el punto B es la suma algebraica de los esfuerzos cortante transversal y el esfuerzo cortante por torsión, los cuales, en este caso, actúan sobre los mismos planos del elemento diferencial, y actúan en la misma dirección, como se muestra en la figura 2-33b (p. 115). S3 52.5 kpsi T máx = T torsión S1 0 –12.8 4V 41 000  755 psi  3A 1.767 B T flexión  12 072 755  12 827 psi ( k) 8. Obtenga los esfuerzos principales para esta carga de cortante puro: S1 = T máx  12 827 psi S2 = 0 –52.5 (l ) S 3 = T máx  12 827 psi 9. Estos esfuerzos principales en el punto B se grafican ahora sobre el diagrama de Mohr modificado mostrado en la figura 3-14b. Como se trata de una carga de cortante puro, la línea de carga cruza la envoltura de falla en el punto Sut’ ⫺Sut, haciendo que la ecuación 3.12a (p. 190) sea adecuada para calcular el factor de seguridad. N= –164 0 12.8 52.5 kpsi (b) Esfuerzos en el punto B Sut 52 400 = = 4.1 σ1 12 827 ( m) 10. Para evitar trazar el diagrama de Mohr modificado, calcule los factores de Dowling C1, C2, C3, usando las ecuaciones 3.12c: C1 = 8 721 psi FIGURA 3-14 C2 = 4106 psi Ejemplo 3-2 C3 = 12 827 psi (n) Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 195 11. Y obtenga el mayor de los seis esfuerzos C1, C2, C3, σ1, σ2, σ3: σ̃ = 12 827 psi (o) que es el esfuerzo efectivo de Mohr modificado. 12. El factor de seguridad para el punto B se calcula ahora mediante la ecuación 3.12e (p. 192): N= Sut 52 500 = = 4.1 σ˜ 12 827 P 3 ( p) y es el mismo que se obtuvo en el paso 9. a 13. Los archivos EX05-02 se encuentran en el CD-ROM. c 3.3 MECÁNICA DE LA FRACTURA En los análisis de las teorías de fallas estáticas realizados hasta ahora, se consideró que el material es perfectamente homogéneo e isotrópico y, por lo tanto, está libre de defectos como grietas, vacíos, inclusiones, los cuales suelen servir como incrementadores de esfuerzos. Esto raras veces es verdad en los materiales reales. En realidad, se considera que todos los materiales tienen microgrietas demasiado pequeñas para verse a simple vista. Dolan[6] señala que “… cualquier estructura contiene pequeños defectos, cuyo tamaño y distribución dependen del material y su proceso. Éstos van desde inclusiones no metálicas y microhuecos, hasta defectos de soldadura, grietas de esmerilado, grietas de templado, dobleces en la superficie, etcétera”. Las ralladuras o estrías en la superficie, por mal manejo, también llegan a convertirse en grietas incipientes. Los contornos geométricos funcionales que se diseñan en la pieza podrían aumentar los esfuerzos locales de manera predecible, por lo que se deben tomar en cuenta en los cálculos de esfuerzos, como se expuso en el capítulo 2 (y se discutirá aún más en el siguiente capítulo). Las grietas que ocurren espontáneamente durante el servicio, debidas a un daño o a defectos del material, son más difíciles de predecir y de tomar en cuenta. La presencia de una grieta afilada en un campo de esfuerzos crea concentraciones de esfuerzos que, teóricamente, se aproximan al infinito. Véase la figura 2-35 y la ecuación 2.32a, las cuales se repiten aquí por conveniencia. a Kt = 1 + 2⎛ ⎞ ⎝ c⎠ (2.32a) Observe que cuando los valores de c tienden a cero, la concentración de esfuerzos y, por ende, el esfuerzo se aproximan al infinito. Como no existe un material que resista esfuerzos tan altos, se presentará fluencia local (materiales dúctiles), microfractura local (materiales frágiles) o cuarteadura local (polímeros) en la punta de la grieta. [7] Si los esfuerzos son lo suficientemente altos en la punta de una grieta de tamaño suficiente, quizás ocurra una falla repentina “en forma frágil”, incluso en materiales dúctiles con cargas estáticas. Se ha desarrollado la ciencia de la mecánica de la fractura, para explicar y predecir este fenómeno de falla repentina. Las grietas se presentan comúnmente en estructuras soldadas como puentes, barcos, aviones, vehículos terrestres y recipientes de presión, entre otros. Muchas fallas catastróficas se presentaron en buques cisterna y en los Barcos de la Libertad construidos durante la Segunda Guerra Mundial.*[8] Doce de estas fallas ocurrieron poco después de que las embarcaciones fueran puestas a flote y aun antes de zarpar. Simplemente se partieron por la mitad mientras estaban atracadas en el muelle. Un barco como éstos P Kt 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 c/a F I G U R A 2 - 3 5 Repetida Concentración de esfuerzos en el borde de un orificio elíptico en una placa * “Cerca de 80 embarcaciones se partieron en dos, y casi a 1000 se les descubrieron grandes fracturas por fragilidad en las placas de cubierta”. D. A. Canonico, “Adjusting the Boiler Code”, Mechanical Engineering, feb. 2000, p. 56. 196 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 3 FIGURA 3-15 Un buque tanque de la Segunda Guerra Mundial se partió en dos, mientras estaba atracado en el muelle para ser puesto en servicio, Portland Oregon, 16 de enero de 1943 (Cortesía de the Ship Structures Commitee, Gobierno de EUA) se muestra en la figura 3-15. El material del casco era acero dúctil, estaba soldado y la embarcación aún no se había cargado dinámicamente a un nivel significativo. Los esfuerzos nominales estaban muy por debajo de la resistencia a la fluencia del material. En este siglo han ocurrido otros ejemplos de falla súbita con esfuerzos por debajo de la resistencia de fluencia, como la ruptura del tanque de melaza en Boston en enero de 1919, por la cual se ahogaron 21 personas y muchos caballos bajo 2.3 millones de galones de líquido pegajoso.[10] Un ejemplo más reciente es el caso de la falla de la carcasa de un motor de un cohete de 22 pies de diámetro, mientras se estaba probando a la presión por parte del fabricante. La figura 3-16 muestra las piezas del caso del cohete después de la falla. “Fue diseñado para soportar presiones de prueba de 960 psi (pero) falló [...] a 542 psi”.[11] Estas y otras fallas repentinas “en forma frágil”, en materiales dúctiles bajo carga estática, llevaron a los investigadores a buscar mejores teorías de fallas, ya que las que estaban vigentes no eran capaces de explicar adecuadamente los fenómenos observados. Donde la vida humana está en riesgo, como en puentes y aviones, entre otros, se requieren, por leyes o regulaciones gubernamentales, revisiones periódicas de la seguridad estructural para detectar grietas. Estas revisiones se pueden hacer con rayos X, energía ultrasónica o incluso visualmente. Cuando se descubren las grietas, se debe realizar un estudio de ingeniería para reparar o sustituir la parte defectuosa, retirar el montaje, o bien, para que continúe en servicio un tiempo más, deben efectuarse revisiones más frecuentes. (Muchos aviones comerciales que actualmente se encuentran en servicio tienen grietas estructurales). En la actualidad, tales decisiones se toman con conocimiento de causa aplicando la teoría de la mecánica de fractura. Teoría de la mecánica de fractura La teoría de la mecánica de fractura supone la existencia de una grieta. El estado de esfuerzos en la región de la grieta puede ser una deformación plana o un esfuerzo plano (véase la sección 2.4, p. 76). Si la zona de fluencia alrededor de la grieta es pequeña comparada con las dimensiones de la pieza, entonces se aplica la teoría de la mecánica de fractura elástica lineal (LEFM). La LEFM supone que la mayoría del material se Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 197 3 FIGURA 3-16 Carcasa del motor de cohete con falla (Cortesía de la NASA: Lewis Research Center) comporta de acuerdo con la ley de Hooke. Sin embargo, cuando una porción significativa del material se encuentra en la región plástica de su comportamiento esfuerzodeformación, se requiere un enfoque más complicado que el que se describe aquí. En el análisis siguiente se supondrá que se aplica la LEFM. MODOS DE DESPLAZAMIENTO DE LA GRIETA Dependiendo de la orientación de la carga contra la grieta, las cargas aplicadas pueden tender a jalar la grieta abierta en tensión (modo I), cortar la grieta en un plano (modo II), o bien, cortarla (desgarrarla) fuera del plano (modo III), como se indica en la figura 3-17. La mayoría de la investigación y prueba de la mecánica de fracturas se ha dedicado al caso de cargas de tensión (modo I), por lo que el estudio se limitará a ellas. FACTOR DE INTENSIDAD DEL ESFUERZO K La figura 3-18a muestra una placa bajo tensión (no a escala) de 2b de ancho, con una grieta directa de 2a de ancho en el centro de la placa. Se supone que la grieta está afilada en sus extremos y b es mucho más grande que a. La sección transversal de la grieta se encuentra en el plano xy. También se establece un sistema de coordenadas polares r-θ en el plano xy con su origen en la punta de la grieta, como se muestra en la figura 3-18b. A partir de la teoría de elasticidad lineal, para b ⬎⬎ a los esfuerzos alrededor de la punta de la grieta, expresados como una función de las coordenadas polares, son sin los valores pequeños de los términos de orden Sx  Sy  T xy  K 3Q Q Q cos ¨©1 sen sen · … 2ª 2 2 ¹̧ 2 Pr (3.13a) Q K 3Q Q cos ¨©1 sen sen · … 2ª 2 2 ¹̧ 2 Pr (3.13b) K 3Q Q Q sen cos cos … 2 2 2 2 Pr (a) Modo I (b) Modo II (c) Modo III (3.13c) FIGURA 3-17 Los tres modos de desplazamiento de la grieta 198 DISEÑO DE MÁQUINAS o bien, P - Un Enfoque Integrado Sz  0 para esfuerzo plano  Sz  N Sx (3.13d ) Sy para deformación plana T yz  T zx  0 superior. Observe que, cuando el radio r es cero, los esfuerzos xy son infinitos, lo cual es consistente con la ecuación 2.32b y la figura 2-36 (p. 120). Los esfuerzos disminuyen rápidamente conforme r se incrementa. El ángulo θ define la distribución geométrica de los esfuerzos alrededor de la punta de la grieta en cualquier radio. La cantidad K se conoce como factor de intensidad del esfuerzo. (Se puede agregar un subíndice para identificar los modos I, II, III de carga como KI, KII, KIII. Como sólo se está tratando con el modo de carga I, se eliminará el subíndice y se hará K ⫽ KI). 2a 3 a b 2b Si se toma el caso del esfuerzo plano y se calcula el esfuerzo de Von Mises σ’, a partir de los componentes x, y y del cortante (ecuaciones 3.13a, b y c), se puede graficar la distribución de σ’ contra θ para cualquier r seleccionada, como se indica en la figura 3-19a para r ⫽ 1E-5 in y K ⫽ 1. El máximo ocurre a 71°. Si se hace θ igual a ese ángulo y se calcula la distribución de σ’ como una función de r, aparece como la figura 3-19b, la cual grafica r desde 1E-5 hasta 1 in en una escala logarítmica. P (a) y r Q crack (3.13e) punta de la grieta x (b) FIGURA 3-18 Grieta directa en una placa en tensión Los esfuerzos elevados cerca de la punta de la grieta causan fluencia local y crean una zona plástica de radio ry, como se muestra en la figura 3-19c (que no está a escala). Para cualquier radio r y ángulo θ, el estado de esfuerzos en esta zona plástica en la punta de la grieta es directamente proporcional al factor de intensidad del esfuerzo K. Si b ⬎⬎a, entonces K se puede definir para el centro agrietado de la placa como K = σ nom π a (3.14a) donde σnom es el esfuerzo nominal* en ausencia de la grieta, a es la mitad del ancho de la grieta y b es la mitad del ancho de la placa (véase la figura 3-18). Esta ecuación será exacta dentro de un 10% si a/b ⱕ 0.4. Observe que el factor de intensidad del esfuerzo K es directamente proporcional al esfuerzo nominal aplicado y proporcional a la raíz cuadrada del ancho de la grieta. Las unidades de K son Mpa-m0.5 o bien, kpsi-in0.5. Si el ancho de la grieta a no es pequeño comparado con el ancho b de la placa, y/o si la geometría de la pieza es más complicada que la placa simple agrietada mostrada en la figura 3-18, entonces se necesita un factor adicional β para calcular K. K = β σ nom π a * El esfuerzo nominal en el análisis mecánico de la fractura se calcula con base en el área bruta de la sección transversal, sin ninguna reducción por el área de la grieta. Observe que este procedimiento es diferente del usado para el cálculo del esfuerzo nominal, cuando se emplean factores de concentración de esfuerzos en un análisis de esfuerzo normal. Entonces, se utiliza la sección transversal neta para obtener el esfuerzo nominal. a << b (3.14b) donde β es una cantidad sin dimensión que depende de la geometría de la pieza, el tipo de carga y la razón a / b. Su valor también se afecta por la manera en que se calcula σnom. Es una costumbre usar el esfuerzo bruto de σnom calculado a partir de las dimensiones originales de la sección, sin reducirlas por las dimensiones de la grieta. Sería más exacto usar el esfuerzo neto; sin embargo, es menos práctico calcularlo y la diferencia se toma en cuenta cuando se determina el factor β de la geometría. Los valores de β para varias geometrías y cargas se encuentran en manuales, algunos de los cuales están referidos en la bibliografía al final de este capítulo. Por ejemplo, el valor de β para la placa agrietada en el centro de la figura 3-18a es πa β = sec⎛ ⎞ ⎝ 2b ⎠ (3.14c) Esto se aproxima asintóticamente a 1 para valores pequeños de a / b y es ⬁ para a / b ⫽ 1. Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 199 b S' S' ry zona plástica grieta 3 Sy 0 180 a r Q 10-6 360 (a) Esfuerzo de Von Mises como función del ángulo alrededor de la punta de la grieta (r = 1E–5 in) ry 10-3 1 (b) Esfuerzo de Von Mises como función de la distancia, a partir de la punta de la grieta (Q = 71o) (c) Zona de fluencia plástica alrededor de la punta de la grieta FIGURA 3-19 Campo del esfuerzo plano de Von Mises alrededor del borde de la grieta, en una placa sometida a tensión axial para un factor de intensidad del esfuerzo K = 1 Por ejemplo, si la grieta se encuentra en el borde en vez del centro de la placa, como se ilustra en la figura 3-19c, el factor β ⫽ 1.12: K = 1.12σ nom π a a << b (3.14d ) Esta ecuación será exacta dentro de un 10% si a / b ⱕ 0.13. Esta ecuación también es exacta dentro de un 10% para una placa agrietada en ambos bordes, si a / b ⱕ 0.6, y para una placa en flexión agrietada en el borde si a / b ⱕ 0.4. Tenacidad a la fractura Kc Siempre que el factor K de intensidad del esfuerzo está por debajo de un valor crítico llamado tenacidad a la fractura Kc* (que es una propiedad del material), se puede considerar que la grieta se encuentra en modo estable (si la carga es estática y el ambiente no es corrosivo), en modo de crecimiento lento (si la carga varía con el tiempo y el ambiente no es corrosivo) o en modo de crecimiento rápido (si el ambiente es corrosivo).[13] Cuando K es igual a Kc, debido a un crecimiento del esfuerzo nominal o por crecimiento del ancho de una grieta, la grieta propagará la falla rápidamente. La razón de esta propagación inestable de la grieta alcanza velocidades tan altas como ¡1 milla/seg![14] La estructura efectivamente “se desarma”.† El factor de seguridad de la falla en mecánica de la fractura se define como N FM = Kc K (3.15) Observe que éste puede ser un objetivo móvil, si las grietas están en modo de crecimiento, porque K es una función del ancho de la grieta. Si se conocen el ancho actual, o el ancho típico, de la grieta para la pieza y la dureza a la fractura Kc del material, entonces el esfuerzo nominal permisible máximo se determina mediante cualquier factor de seguridad que se elija, o viceversa. El esfuerzo permisible para cualquier factor de seguridad calculado a partir de la versión adecuada de la ecuación 3.14c será normalmente más bajo que el calculado con base en la resistencia a la fluencia según las ecuaciones 3.8 (p. 181), o bien, la ecuación 3.11 (p. 184). El efecto de esfuerzos que varían con el tiempo (dinámicos) sobre el factor K de intensidad del esfuerzo y sobre la falla se expondrá en el siguiente capítulo. * Llamado más correctamente K , Ic donde I representa el modo I de carga. Los valores de dureza a la fractura para los otros modos de carga se identifican como KIIc y KIIIc. Como aquí se está analizando sólo el modo I de carga, se abrevia como Kc. † En ocasión del 75 aniversario de la ruptura del depósito de melaza de Boston, descrita anteriormente, un residente de Boston de 91 años de edad fue entrevistado y describió lo que vio y oyó cuando era un muchacho de 16 años en enero de 1919, al atestiguar la falla del barco desde lo alto de la colina Cobbs en el norte de Boston. Recordó ruidos súbitos, como disparos de ametralladora, seguidos por una fuerte explosión. El “sonido de ametralladora” quizás era el sonido de la propagación de la grieta de hasta 1 milla/segundo a través de la pared del depósito, y la explosión era probablemente la presión de la melaza que saturaba y desintegraba la embarcación, en piezas grandes que destruyeron casas que se encontraban a cientos de yardas. 200 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Para determinar la tenacidad a la fractura Kc, se prueban a la falla muestras estandarizadas ASTM,* que contienen una grieta con dimensiones conocidas. En pruebas axiales, la muestra se sujeta con una máquina servo-hidráulica de pruebas, de modo que se aplique una tensión por la grieta. (En las pruebas de flexión, se coloca la grieta sobre el lado de la tensión en la viga). La muestra se carga dinámicamente con desplazamientos crecientes y se monitorea su desplazamiento de carga característico (razón efectiva de resorte). La función de carga-desplazamiento se vuelve no lineal al inicio del crecimiento rápido de la grieta. La tenacidad a la fractura Kc se mide en este punto. 3 La tenacidad a la fractura Kc para metales de ingeniería se encuentra en el intervalo de 20 a 200 MPa-m0.5; en cerámicas y polímeros de ingeniería, Kc se encuentra en el intervalo de 1 a 5 MPa-m0.5.[15] La tenacidad a la fractura generalmente es paralela a la ductilidad y crece sustancialmente a temperaturas altas. Los aceros de mayor resistencia tienden a ser menos dúctiles y a tener una Kc más baja que los aceros de menor resistencia. La sustitución de un acero de alta resistencia, en vez de un acero de baja resistencia, ha conducido a fallas en algunas aplicaciones, debido a la reducción en la dureza a la fractura que acompaña al cambio de material. La tenacidad a la fractura de un material usualmente varía con la dirección del grano. La figura 3-20 presenta una muestra y las orientaciones de grietas, así como los símbolos del estándar ASTM E-399. El primer carácter especifica la dirección del grano normal al plano de la grieta; y el segundo carácter, la dirección del grano paralela al plano de fractura. Los datos de prueba de la tenacidad a la fractura normalmente definen la orientación de la muestra por este método, como se ilustra en la tabla 3-1, la cual presenta los valores de tenacidad a la fractura de algunas aleaciones de acero y aluminio usadas en estructuras de aviones. * Véase el ASTM E-399-83 “Standard Test Method for Plane Strain Fracture Toughness of Metallic Materials”. Otro ejemplo de una falla por fractura mecánica se presenta en la figura 3-21a, la cual es una fotografía de la ménsula de rótula de enganche de tráiler, de acero al bajo carbono, de las figuras A-2 a A-6 (pp. 859-861). Esta pieza falló repentinamente mientras se estaba doblando para formarla al rojo vivo. Se observa que la superficie a la fractura está relativamente lisa y los extremos de la grieta son extremadamente afilados. Como el aumento de la temperatura incrementa tanto la ductilidad como la tenacidad a la fractura, una falla frágil repentina no es usual en tales circunstancias. Una revisión D L ITU DEL INA D E NG N LO CCIÓ GITU EJE D O N L E AD DIR O LO N DE FORJ AD CIÓ EN L RO IREC SIÓN D RU T EX TR AN AN SV CH ERS O AL LA R R RTO ESO CO ESP RSAL E SV AN GO TR (a) Materiales rectangulares (b) Materiales cilíndricos FIGURA 3-20 Direcciones de trayectoria de una fractura principal común; fuente: MIL-HDBK-5J, p. 1-21, 31 de enero de 2003 Capítulo 3 Tabla 3-1 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 201 Valores de tenacidad a la fractura de materiales seleccionados [16] Valores de los esfuerzos planos a temperatura ambiente Material Aleación Tratamiento térmico Forma Orientación Resistencia a la fluencia kpsi KIC, kpsi-in0.5 Máx Prom Mín Acero AerMet 100 Recocido, HT a 280 kpsi Barra L-R 236-281 146 121 100 Acero AerMet 100 Recocido, HT a 280 kpsi Barra C-R 223-273 137 112 90 Acero AerMet 100 Recocido, HT a 290 kpsi Barra L-R 251-265 110 99 88 Acero AerMet 100 Recocido, HT a 290 kpsi Barra C-R 250-268 101 88 73 Acero A pedido 465 H1000 Barra L-R 212-227 131 120 108 Acero A pedido 465 H1000 Barra R-L 212-225 118 109 100 Acero 9Ni-4Co-0.20C Revenido y templado (Q&T) Forjado (Q&T) [véase la ref. 16] D6AC Placa L-T 185-192 147 129 107 L-T 217 88 62 40 Aluminio 2024-T351 Placa L-T 43 31 27 Aluminio 2024-T852 Forjado T-L 25 19 15 Aluminio 7075-T651 Placa T-L 27 22 18 Aluminio 7075-T6510 Extrusión L-T 32 27 23 Aluminio 7075-T6510 Barra forjada L-T 35 29 24 Aluminio 7475-T651 Placa T-L 60 47 34 Acero más minuciosa de la superficie de falla (ilustrada con una ampliación de 12.5X en la figura 3-21b) muestra una pequeña grieta que aparentemente era un defecto del rolado en caliente de la barra de acero. La intensidad del esfuerzo en la punta de la grieta excedió la tenacidad a la fractura del material a su temperatura elevada, y resultó en una falla frágil repentina.* Este breve análisis de las fracturas apenas ha indagado en la superficie de un tema tan complejo. Se invita al lector a leer más sobre esta materia. Las fuentes de información general sobre mecánica de las fracturas, los factores de intensidad de esfuerzo y la tenacidad a la fractura como propiedades de los materiales se encuentran en la bibliografía de este capítulo. (a) Soporte de bola con falla repentina mientras se doblaba al rojo vivo * Observe que no se puede usar la LEFM para analizar esta falla, porque no estaba en el intervalo elástico lineal. La sección transversal completa se estaba deformando plásticamente en el momento de la falla. Aquí sería necesario un análisis no lineal de la mecánica de fractura. (b) Ampliación 12.5x de la grieta preexistente dentro del material FIGURA 3-21 Enganche del tráiler de acero dúctil, fracturado mientras se doblaba al rojo vivo. Note la preexistencia de la grieta y lo afilado de los extremos de la falla. (Cortesía de Steven Taylor, Mobile Logic Inc., Port Townsend, Wash.) 3 202 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado EJEMPLO 3-3 Falla de materiales agrietados bajo carga estática Problema 3 Un tirante de acero, diseñado para soportar una carga estática de 60 000 N en tensión axial, se cortó accidentalmente con una sierra durante la producción y ahora tiene un extremo agrietado. Con base en la fluencia, determine el factor de seguridad del tirante original sin la grieta, así como el nuevo factor de seguridad del tirante “agrietado” con base en la mecánica de fractura. ¿Qué longitud podría haber tenido la grieta antes de fallar? ¿Compensaría un tratamiento térmico de la pieza la pérdida de resistencia debida a la grieta? Se proporciona El material es acero con Sy = 540 MPa y Kc = 66 MPa-m0.5. La longitud l = 6 m, el ancho b = 80 mm y el espesor t = 3 mm. El ancho de la grieta es a = 10 mm. La grieta atraviesa completamente el espesor en un extremo de 80 mm de ancho, similar a lo que se observa en la figura 3-19c (p. 199). Suposiciones La carga es estática y el ensamble se encuentra a temperatura ambiente. La razón a/b es < 0.13, lo cual permite el uso de la ecuación 3.14d (p. 199). Solución 1. Primero calcule el esfuerzo nominal en la parte no agrietada con base en la sección transversal total. σ nom = P 60 000 = 250 MPa = 3(80) A ( a) 2. Éste es un esfuerzo uniaxial, de modo que es un esfuerzo tanto principal como de Von Mises. El factor de seguridad contra la fluencia mediante la teoría de la energía de distorsión es (ecuación 3.8a, p. 181): N vm = Sy σ' = 540 = 2.16 250 (b) 3. La intensidad del esfuerzo K en la punta de la grieta se determina, en este caso, con la ecuación 3.14d (p. 199), si la razón a / b < 0.13: a 10 = = 0.125 b 80 y (c ) K = 1.12σ nom π a = 1.12(250) 10 π = 49.63 MPa m 4. El factor de seguridad contra la propagación repentina de la grieta se obtiene con la ecuación 3.15 (p. 199). N FM = Kc 66 = = 1.33 K 49.63 (d ) Observe que ahora se predice que la falla será repentina con 33% de sobrecarga, punto donde el esfuerzo nominal de la pieza está abajo de la resistencia a la fluencia. Se trata de un factor de seguridad demasiado pequeño, como para permitir que la pieza se utilice para enfrentar posibles fracturas repentinas. 5. El tamaño de la grieta necesario para fallar se calcula aproximadamente al sustituir Kc por K en la ecuación 3.14b (p. 198) y despejando a. El resultado es una grieta de alrededor de 18 mm de ancho. Observe, sin embargo, que la razón a / b excede ahora la recomendada para el 10% de exactitud con esta ecuación. Una ecuación más exacta para este caso se obtendría en una de las referencias, si así se desea. Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 203 6. Suponiendo que el acero tiene suficiente carbono como para permitir un tratamiento térmico, un endurecimiento completo incrementará la resistencia a la fluencia, aunque la ductilidad y la tenacidad a la fractura Kc disminuirán, lo que hará que la pieza sea menos segura contra una falla por fractura mecánica. 7. Los archivos EX05-03 se encuentran en el CD-ROM. 3 3.4 USO DE TEORÍAS DE FALLA POR CARGA ESTÁTICA No es práctico ni factible probar todos los materiales de ingeniería con todas las combinaciones de esfuerzos aplicados. Las teorías de fallas para carga estática que aquí se presentan brindan un medio para relacionar los estados de esfuerzos, presentes en las piezas sometidas a esfuerzos combinados con el estado de esfuerzos de la prueba a la tensión uniaxial simple. El concepto de esfuerzo efectivo que “convierte” la combinación de esfuerzos aplicados, en un valor equivalente que se puede comparar con el resultado de una prueba a la tensión, es extraordinariamente útil. Sin embargo, el diseñador debe estar consciente de sus limitaciones para aplicar correctamente el concepto de esfuerzo efectivo. Una suposición fundamental en este capítulo es que los materiales en cuestión son macroscópicamente homogéneos e isotrópicos. En esta categoría se encuentran la mayoría de los metales para ingeniería y muchos polímeros. A menos que se detecten, la suposición de la existencia de grietas microscópicas no excluye el uso de las teorías de falla convencionales, y las grietas macroscópicas están fuera de toda duda. Entonces, se debería usar la teoría de la mecánica de la fractura. Los materiales compuestos se usan cada vez más en aplicaciones que requieren razones de resistencia/peso altas. Tales materiales son típicamente no homogéneos y anisotrópicos (u ortotrópicos) y, por consiguiente, requieren teorías de fallas diferentes y más complicadas que las presentes aquí. Para mayor información, se remite al lector a la literatura sobre materiales compuestos, alguna de la cual se incluye en la bibliografía de este capítulo. Otra suposición fundamental de estas teorías de falla estática es que las cargas se aplican con lentitud y permanecen esencialmente constantes a través del tiempo. Es decir, son cargas estáticas. Cuando las cargas (y, por lo tanto, los esfuerzos) varían con el tiempo o se aplican repentinamente, las teorías de falla de este capítulo quizá no sean el factor límite. En el siguiente capítulo se analizará otra teoría de fallas adecuada al caso de carga dinámica y una ampliación de la mecánica de fractura para cargas dinámicas. Cuando se aplica la mecánica de fractura para situaciones de cargas dinámicas, se usa el valor de la tenacidad a la fractura dinámica Kd (KId, KIId o KIIId) en vez de la tenacidad a la fractura estática Kc, estudiada anteriormente. La CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS debida a las discontinuidades geométricas o contornos afilados se debe tomar en cuenta en algunos casos de carga estática, antes de aplicar la teoría de falla que proceda. El concepto de concentración de esfuerzos se explicó y analizó en la sección 2.15 (p. 116). Se puntualizó que, bajo carga estática, la concentración de esfuerzos se puede ignorar si el material es dúctil, debido a que un gran esfuerzo en la discontinuidad causará una fluencia local que reduce su efecto. Sin embargo, es importante repetir que para materiales frágiles bajo carga estática, los efectos de la concentración de esfuerzos deberían incluirse en los esfuerzos que se calculen, antes de convertirlos en esfuerzos efectivos para efectos de comparación con las teorías de fallas que se describen aquí. La única excepción a esto son algunos materiales fundidos (como la fundición hierro gris), en los cuales el número de incrementadores de esfuerzos inherentes dentro del material es tan grande, que se considera que la suma de unos cuantos incrementadores de esfuerzos geométricos más tiene escaso efecto adicional. 204 3 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La TEMPERATURA Y LA HUMEDAD también son factores de falla. La mayoría de los datos de prueba disponibles para materiales se producen a temperatura ambiente y con humedad baja. Casi todas las propiedades de los materiales son una función de la temperatura. Los metales usualmente se vuelven menos fuertes y más dúctiles a temperaturas elevadas. Es común que un material dúctil se vuelva frágil a bajas temperaturas. Los polímeros muestran tendencias similares en intervalos de temperatura mucho menores que los de los metales. El agua hirviendo es lo suficientemente caliente para suavizar algunos polímeros, y un día frío de invierno puede hacerlos extremadamente frágiles. Si su aplicación tiene temperaturas altas o bajas, así como ambientes acuosos/corrosivos, el lector necesita obtener del fabricante del material, los datos para estas condiciones antes de aplicar cualquier teoría de falla. GRIETAS Si existen grietas macroscópicas, o se presentan anticipadamente durante el servicio, entonces se debe usar la teoría de la mecánica de fractura (FM). Una vez que se descubren en el campo las grietas reales, se debe usar la FM para predecir la falla y determinar la seguridad de la pieza específica. Si experiencias previas con equipo similar indican que el servicio con agrietamiento es un problema, entonces se debería usar la FM en el diseño de ensambles futuros y hacer inspecciones de campo rutinarias para detectar las grietas conforme se presenten. 3.5 ESTUDIOS DE CASO CON ANÁLISIS DE FALLAS ESTÁTICAS Ahora se continuará con los estudios de casos, cuyas fuerzas se analizaron en el capítulo 1 y cuyos esfuerzos se analizaron en el capítulo 2. A lo largo del texto, se conserva el mismo número del estudio de caso de un diseño determinado y las entregas subsecuentes se designan con un sufijo alfabético. Por ejemplo, en el capítulo 2 se presentaron cuatro estudios de caso identificados como 1B, 2B, 3B y 4B. En este capítulo se continúa con esos estudios de casos como 1C, 2C, 3C y 4C. El lector puede revisar las entregas anteriores de cualquier estudio de caso refiriéndose a su número de caso común. Consulte la lista de estudio de caso en la tabla de contenido para localizar cada pieza. Como los esfuerzos varían continuamente sobre una pieza, se hizo un juicio de ingeniería en el capítulo 2, para saber dónde podrían estar los mayores esfuerzos y calcularlos en esas ubicaciones. Ahora se desea determinar sus factores de seguridad usando las teorías de falla adecuadas. E S T U D I O D E C A S O 1 C Análisis de falla de la palanca del freno de una bicicleta Problema Determine los factores de seguridad en puntos críticos de la palanca del freno mostrada en las figuras 1-1 (repetida aquí) y 3-22. Se proporciona Los esfuerzos se conocen a partir del estudio de caso 1B (p. 136). El material de la palanca del freno es una aleación de aluminio colado ASTM G8A con Sut = 310 MPa (45 kpsi) y Sy = 186 MPa (27 kpsi). La elongación en la fractura es de 8%, haciendo al material marginalmente dúctil. Suposiciones Los puntos de falla más probables están en los dos orificios donde se insertan los pernos y en la raíz del manubrio como viga en voladizo. Solución Véase las figuras 1-1 y 3-22, y el archivo CASE1C. 1. El esfuerzo de flexión en el punto P de la figura 3-22 en la raíz de la viga en voladizo se obtuvo con la ecuación 2.11b en el estudio de caso 1B y es Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 205 Fb2 Fcable Ffunda 3 palanca del freno 2 cable pivote Px 3 1 Mh Py manubrio mango Fb1 F I G U R A 1 - 1 Repetida Ensamble de la palanca del freno de una bicicleta Mc σx = = I (267 N ⋅ 0.0762 m)⎛⎝ 0.0143 ⎞ m 2 ⎠ π(0.0143) 4 4 m 64 = 70.9 MPa ( a) 2. Éste es el único esfuerzo aplicado en este punto, de modo que también es el esfuerzo principal. En este caso, el esfuerzo efectivo de Von Mises σ’ ⫽ σ1 (véase la ecuación 3.7c, p. 179). El factor de seguridad en contra de la fluencia en el punto P es entonces (de la ecuación 3.8a, p. 181), N fluencia  Sy S'  186  2.6 70.9 (b) Este diseño es seguro para la carga promedio, aunque no existe mucho margen para protegerlo de sobrecargas. Observe que en esta situación de esfuerzo simple, la teoría de energía de distorsión proporciona resultados idénticos a los de la teoría de cortante máximo, debido a que la elipse y el hexágono coinciden en el punto x ⫽ σ1, y ⫽ 0 en la figura 3-5 (p. 182). 3. Como éste es un material colado con ductilidad limitada, sería interesante calcular también el factor de seguridad de Mohr modificado en contra de la fractura frágil con la ecuación 3.12a (p. 190). Se afirmaría entonces que se podría usar el freno de mano, a pesar de que ha ocurrido una ligera fluencia: N fractura  Sut 310   4.4 S1 70.9 (c ) Advierta que no se han tomado en cuenta las concentraciones de esfuerzos en la raíz del voladizo, las cuales reducirían este factor de seguridad a la fractura. El estudio de caso 1D en el apéndice C determina el factor de concentración de esfuerzos en el punto P, usando el análisis de elementos finitos. 4. El esfuerzo de cortante transversal en el punto Q de la figura 3-22 se calculó con la ecuación 2.15c (p. 91) como τ xy = 4(267) N 4V = 2.22 MPa = 3 A 3π(14.3) 2 2 mm 4 (d ) 206 DISEÑO DE MÁQUINAS cable - Un Enfoque Integrado P 70.9 MPa a la tensión Ny = 2.6 extremo ranura 3 R 91.9 MPa a la tensión Ny = 2.0 Q 2.22 MPa al cortante Ny = 48 C 28.7 MPa al cortante Ny = 3.7 2 A FIGURA 3-22 Esfuerzos y factores de seguridad en puntos seleccionados de la palanca del freno de la bicicleta Este esfuerzo cortante también es el máximo, ya que ningún otro esfuerzo actúa en ese punto. El factor de seguridad mediante la teoría de la energía de distorsión, para cortante puro en el punto Q, es Ntransversal  Sys T máx  0.577Sy T máx  0.577186  48 2.22 (e) Se ve claramente que no existe riesgo de falla por cortante transversal en el punto Q. 5. El esfuerzo compresivo por contacto en el orificio del punto A en la figura 3-22 es Acompresión  diá – espesor  82 6.4  102 mm2 S contacto  F12 1 951   19.2 MPa 102 Acontacto (f) y este esfuerzo, que actúa solo, es también el esfuerzo principal y el de Von Mises. Suponiendo que la resistencia a la compresión de este material es igual a su resistencia a la tensión (un material uniforme), el factor de seguridad contra la falla por contacto en el orificio es N contacto  Syc S'  186  9.7 19.2 ( g) 6. El desgarramiento en este caso requiere que secciones de (4)6.4 mm fallen al cortante a través del material entre el orificio A y el extremo. (Véase también la figura 2-13 en la p. 85). Adesgarramiento  longitud – espesor  7.1 4 6.4  181.8 mm 2 T desgarramiento  F12 1 951   10.7 MPa Adesgarramiento 181.8 ( h) Éste es un caso de cortante puro y el factor de seguridad se obtiene a partir de Ndesgarramiento  Sys T máx  0.577Sy T máx  0.577186  10.0 10.7 (i ) 7. El extremo del cable se inserta en un orificio ciego, el cual tiene una ranura a la mitad para permitir que el cable pase a través del ensamble, como se indica en la figura 3-22. Esta ranura debilita la pieza y hace que la sección R sea la ubicación con más probabilidades de falla en esta junta. El esfuerzo flexionante en la fibra más exterior es Capítulo 3 Mc σx = = I 1 914 ⎛ 5 ⎞ ( 4) 2 ⎝ 2⎠ 10(5)3 12 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS = 91.9 MPa ( j) Como es el único esfuerzo aplicado en la fibra exterior de esta sección, también es el esfuerzo principal y el de Von Mises. El factor de seguridad a la flexión en el punto R es Syc 186 N= = = 2.0 σ' 91.9 (k ) 8. El cortante debido a la carga transversal en el eje neutro en la sección de R es (ecuación 2.14b, p. 91): τ xy = 3(957) 3V = 28.7 MPa = 2 A 2(10)(5) (l ) Éste es el esfuerzo cortante máximo en el eje neutro y el factor de seguridad al cortante transversal en el punto R es N Sys T máx  0.577Sy T máx  0.577186  3.7 28.7 ( m) Es interesante ver que el factor de seguridad al cortante transversal sólo es de aproximadamente el doble del factor de seguridad a la flexión en el punto R, debido a que la viga es muy corta. Compare este resultado con el del punto P de las ecuaciones (b) y (e), donde los factores de seguridad a la flexión y al cortante transversal difieren por un factor aproximado de 18 en la viga más larga. Véase la figura 3-22. 9. La aleación de aluminio fundido seleccionada es una de las aleaciones de aluminio más fuertes disponibles. Si se desea protección adicional contra sobrecargas (como en la falla de la bicicleta), se puede hacer un cambio de geometría para aumentar el tamaño de la sección y/o reducir la concentración de esfuerzos, o bien, cambiar de material o el método de manufactura. Una pieza de aluminio forjado sería más fuerte, pero se incrementaría el costo. Secciones más gruesas aumentarían ligeramente el peso, aunque quizá no de manera prohibitiva. El incremento del diámetro del mango en el punto P en un 26% para 18 mm (tal vez también con un radio de transición más generoso) duplicaría aquí el factor de seguridad, ya que el módulo de sección es una función de d3. Aun cuando algunos de los otros factores de seguridad parecerían excesivos, sería poco práctico reducir tales secciones debido a las dificultades en las secciones delgadas de fundición. Otras consideraciones toman en cuenta la apariencia de la pieza orientada al consumidor final, como es una bicicleta. Si las dimensiones no lucen “correctas” para el consumidor, éste podría llevarse la desagradable impresión de un artículo de calidad deficiente. Algunas veces, es mejor inversión proporcionar un espesor mayor del requerido por el factor de seguridad, con la finalidad de obtener la apariencia de buena calidad. E S T U D I O D E C A S O 2 C Análisis de falla de una pinza de presión Problema 207 Determine los factores de seguridad en puntos críticos en la pinza de presión de las figuras 3-3 (repetida en la página siguiente) y 3-23. 3 208 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Fh 1 4 2 3 Fh 3 Fc fuerza de la mano fuerza de presión F I G U R A 3 - 3 Repetida Pinza de presión de conexión de alambres Se proporcionan Se conocen los esfuerzos por el estudio de caso 2B en la p. 139. Todo el material es acero AISI 1095 Q & T @ 800 oF con Sy = 112 kpsi (véase la tabla E-9 del apéndice E). Se trata de un material uniforme. Suposiciones Los puntos de falla más probables son el eslabón 3 como columna, los orificios donde se insertan los pernos, los pernos conectores en cortante y el eslabón 4 a flexión. Solución Véase las figuras 1-3 y 3-23, así como los archivos CASE2C-1 y CASE2C-2. 1. En el estudio de caso previo se encontró que la carga crítica de columna en el eslabón 3 es 3.1 veces mayor que la carga aplicada. Éste es el factor de seguridad contra el pandeo, el cual se expresa en términos de carga en vez de esfuerzo. 2. Cualquier eslabón puede fallar a la compresión en los orificios de 0.25 cm de diámetro. El esfuerzo de compresión (ecuaciones 2.7, p. 82, y 2.10, p. 84) es: Sb  1 560 P   50 kpsi Acontacto 0.1250.25 (a) 3. Como es el único esfuerzo aplicado a este elemento, es el esfuerzo principal y también el de Von Mises. El factor de seguridad del esfuerzo de compresión por contacto, ya sea en el orificio o en el perno, es entonces N= Sy = σ' 112 = 2.2 50 (b) 4. Los pernos de 0.25 in de diámetro están a cortante simple. El peor caso del esfuerzo cortante directo de la ecuación 2.9 (p. 83) es T P Acortante  1 560 P0.25 4 2  32 kpsi (c ) Como es el único esfuerzo sobre esta sección, éste también es el esfuerzo cortante máximo. El factor de seguridad de los pernos a cortante simple de la ecuación 3.9a (p. 181) es N 0.577Sy T máx  0.577 112 32  2.0 (d ) Capítulo 3 B 32 kpsi esfuerzo cortante en el perno N = 2.0 C 31 kpsi tensión por flexión N = 3.6 50 kpsi compresión por contacto N = 2.2 1 P 3 4 D A D B 2 74 kpsi tensión principal en P N = 1.5 FIGURA 3-23 Esfuerzos relevantes y factores de seguridad (N) en puntos críticos de una pinza de presión 5. El eslabón 4 es una viga de 1.55 in de largo, simplemente apoyada en los pernos, y cargada con 2 000 lb de fuerza de presión a 0.35 in del punto C. La profundidad de la viga en el punto del momento máximo es de 0.75 in y el espesor es de 0.187. Entonces, el esfuerzo flexionante es ⎛ 0.75 ⎞ 541.8 ⎝ 2 ⎠ Mc σ= = = 31 kpsi I 0.187(0.75)3 12 (e ) Como es el único esfuerzo aplicado en este elemento en la fibra exterior de la viga, éste es el esfuerzo principal y también el de Von Mises. El factor de seguridad para el eslabón 4 a flexión es, entonces, N= Sy σ' = 112 = 3.6 31 (f) 6. El eslabón 1 tiene un esfuerzo a la tensión debido a la tensión en la fibra interior en el punto P sobre la viga curva, superpuesto sobre el esfuerzo de tensión axial en el mismo punto. Su suma es el esfuerzo máximo principal: σi = + 209 A pandeo de columna N = 3.1 C 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS M ⎛ ci ⎞ 2 400 ⎛ 0.397 ⎞ = 65 kpsi ⎜ ⎟= eA ⎝ ri ⎠ 0.103[(1.0 − 0.25)(0.313)] ⎝ 0.600 ⎠ σa = F 2 000 = = 8.5 kpsi A (1.0 − 0.25)(0.313) ( g) σ1 = σ a + σ i = 65 + 8.5 = 74 kpsi No existe esfuerzo cortante aplicado en el punto P, de modo que éste es el esfuerzo principal y también el de Von Mises. El factor de seguridad para la flexión en la fibra interna de la viga curva en el punto P de la ecuación 3.8a (p. 181) es N= Sy σ' = 112 = 1.5 74 (h) 210 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 7. En el orificio del eslabón 1, existe un esfuerzo axial a la tensión σa de la ecuación (g) aumentado por el factor de concentración de esfuerzos (véase el estudio de caso 2B, paso 14, p. 143). El factor de seguridad se obtiene de la ecuación 3.8a: N= 3 Sy σ = 112 = 5.4 2.42(8.5) (i ) Observe que también existe un esfuerzo cortante transversal en el orificio, el cual, combinado con la tensión axial, reduce el factor de seguridad en el orificio a 3.7 aproximadamente. 8. Algunos de estos factores de seguridad, como el de N ⫽ 1.5 para la flexión en el punto P del eslabón 1, son un poco bajos para proteger contra sobrecargas inducidas por el usuario. Los factores de seguridad para los pernos a cortante también deberían aumentarse. Se puede elegir un acero más fuerte como el SAE 4140, o bien, incrementar ligeramente el tamaño de la sección de las piezas. Con un pequeño cambio en el espesor del eslabón, se lograrían factores de seguridad aceptables en el material. Observe que se simplificó la geometría de esta herramienta para este ejemplo, en comparación con la del dispositivo real. Los esfuerzos y factores de seguridad calculados aquí no necesariamente son los mismos que los de la herramienta real, la cual tiene un diseño seguro y bien probado. E S T U D I O D E C A S O 3 C Análisis de fallas de un gato de tijera para automóvil Problema Determine los factores de seguridad en los puntos críticos de un gato de tijera. Se proporciona Se conocen los esfuerzos por el estudio de caso 3B de la p. 144. La carga de diseño es de 2 000 libras en total, o bien, 1 000 lb por lado. El ancho de los eslabones es de 1.032 in y su espesor es de 0.15 in. El tornillo es de cuerda 1/2-13 UNC con un diámetro en la raíz de 0.406 in. El material de todas las piezas es acero dúctil con E = 30 Mpsi y Sy = 60 kpsi. Suposiciones Los puntos de falla más probables son los eslabones que funcionan como columnas, los orificios en presión por contacto donde se insertan los pernos, los pernos conectores a cortante, los dientes del engrane a flexión y el tornillo a tensión. Existen dos conjuntos de eslabones, uno en cada lado. Suponga que los dos lados soportan cargas iguales. El gato se usa normalmente muy pocos ciclos durante su tiempo de vida, de modo que lo adecuado será un análisis estático. Solución Véase las figuras 1-5 (página siguiente) y 3-24, así como el archivo CASE3C. 1. El esfuerzo sobre el ensamble del gato para la posición mostrada se calculó en la sección anterior de este estudio de caso en el capítulo 2 (p. 144). Por favor, consulte también ese caso. 2. El tornillo del gato está a tensión axial. El esfuerzo de tensión se obtuvo de la ecuación 2.7 (p. 82). σx = P 4(878) = 27 128 psi = A 0.129 ( a) Éste es un esfuerzo uniaxial a tensión, de modo que también es el esfuerzo principal y el de Von Mises. El factor de seguridad es N= Sy σ' = 60 000 = 2.2 27 128 (b) Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 211 P 3 ico típ 6" 2 4 1 3 y 2" 7 5 30o típico x 6 Fg F I G U R A 1 - 5 Repetida Gato de tijera para automóvil 3. El eslabón 2 está cargado como una viga-columna. Su factor de seguridad contra el pandeo se calculó en la última sección de este estudio de caso y es N ⫽ 2.3. 4. El esfuerzo de contacto en el orificio más fuertemente cargado en C es S contacto  1 026 P   15 652 psi Acontacto 0.150.437 (c ) Éste es un esfuerzo de compresión uniaxial, de modo que también es el esfuerzo principal y el de Von Mises. El factor de seguridad es N contacto  Sy S'  60 000  3.8 15 652 (d ) El esfuerzo cortante en los pernos es T P Acortante D  1 026 P0.437 4 2  6 841 psi (e) E detalle del diente del engrane 15 652 psi esfuerzo de contacto C 2 3 2 4 27 128 psi N = 2.2 tensión axial y Ny = 3.8 A 1 B FIGURA 3-24 Esfuerzos y factores de seguridad seleccionados en el montaje de un gato de tijera 18 727 psi esfuerzo a flexión Ny = 3.2 6 841 psi esfuerzo cortante en el perno Ny = 5.1 4 212 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Éste es un esfuerzo cortante puro, de modo que también es el esfuerzo cortante máximo. El factor de seguridad es N 0.577Sy T máx  0.57760 000  5.1 6 841 (f) 5. En el eslabón 2, el esfuerzo flexionante en la raíz del diente del engrane es 3 σ= 91(0.22) Mc = = 18 727 psi I 0.15(0.44)3 12 ( g) Éste es un esfuerzo flexionante uniaxial, de modo que también es el esfuerzo principal y el de Von Mises. El factor de seguridad es N= Sy σ' = 60 000 = 3.2 18 727 (h) 6. Este análisis debería continuar considerando otros puntos del ensamble así como, lo más importante, los esfuerzos y los factores de seguridad cuando el gato se encuentra en posiciones diferentes. Se ha usado una posición arbitraria en este estudio de caso, pero, conforme el gato se mueve hacia una posición más baja, las fuerzas en el eslabón y el perno se incrementarán debido a los ángulos de transmisión deficientes. Se deberían realizar análisis completos de esfuerzos y de factores de seguridad para diversas posiciones. Examine los modelos para este estudio de caso, abriendo los archivos CASE3C-1 y CASE3C-2 en el programa de su preferencia. E S T U D I O D E C A S O 4 C Factores de seguridad para el brazo del freno de una bicicleta Problema Seleccione las aleaciones del material adecuado para obtener un factor de seguridad contra fractura de, por lo menos, 2 en los puntos críticos del brazo del freno de la bicicleta de las figuras 1-9 (repetida aquí) y 3-25. Se proporciona Se conocen los esfuerzos por el estudio de caso 4B (p. 147). El brazo es aluminio fundido y el perno del pivote es de acero. Suposiciones Como el brazo es un material fundido (no uniforme), se usará la teoría de Mohr modificada para obtener un factor de seguridad contra la fractura. El perno es dúctil, de modo que se usará la teoría de energía de distorsión para él. Solución Véase las figuras 1-9 y 3-25, así como el archivo CASE4C. 1. Se encontró que los esfuerzos flexionantes del brazo σi en las fibras interiores (punto A de la figura 3-25) y σo en las fibras exteriores (punto B en la figura 3-25) son σi = + 65 452(6.063) M ⎛ ci ⎞ = 162 MPa = eA ⎜⎝ ri ⎟⎠ (0.1873)(225)(58) 65 452(8.937) M ⎛c ⎞ = −190 MPa σo = − ⎜ o ⎟ = eA ⎝ ro ⎠ (0.1873)(225)(73) ( a) Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 213 Fcable y y cable cable 3 3 x z 3 brazo del freno brazo del freno 4 2 4 2 estructura almoha- almohadilla dilla aro de la rueda 5 6 1 Q 172o N 5 x aro de la rueda F I G U R A 1 - 9 Repetida 6 V W Montaje del brazo del freno de una bicicleta, jalado desde el centro Para un factor de seguridad igual a 2 en este punto, se necesita un material con una resistencia última a la tensión de, por lo menos, 325 MPa y una resistencia a la compresión de al menos 380 MPa. 2. El esfuerzo en la mitad izquierda de la sección B-B en el punto C de la figura 3-25 es la suma del esfuerzo flexionante más el esfuerzo de tensión axial: S maza  Mc F32 y Imaza Amaza  65 45212.5 33 948 523  25.4 MPa 399 (b) Esto necesita un material con resistencia a la tensión de aproximadamente 52 MPa para tener un factor de seguridad igual a 2. 3. El esfuerzo flexionante en la fibra exterior del lado de 23 mm de la porción recta del brazo del freno (punto D en la figura 3-25) es σ y = σ y1 + σ y2 = 118.6 + 23.7 = 142 MPa (c ) Para un factor de seguridad de 2 en este punto, se necesita un material con una Sut de, por lo menos, 284 MPa. 4. Otro punto de falla posible es la ranura en el brazo (punto E en la figura 3-25). El esfuerzo de desgarramiento por corte es T= F52 z Adesgarramiento  589  18.4 MPa 32 (d ) Para un esfuerzo cortante uniaxial aplicado, todos los esfuerzos se encuentran en el primer cuadrante de la figura 3-11 (p. 190) y la teoría de Mohr modificada es idéntica a la teoría del esfuerzo normal máximo. El esfuerzo a tensión equivalente es, entonces, el doble del esfuerzo cortante máximo, el cual requiere una resistencia última a la tensión mayor que 75 MPa, para un factor de seguridad de 2 en este caso. 214 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 5. El caso del peor de los esfuerzos entre los puntos calculados sobre el brazo es el punto A con σy ⫽ 162 MPa. Éste es un esfuerzo uniaxial, de modo que también es el principal. La tabla E-3 del apéndice E muestra una aleación de aluminio A-132 fundida con moldeado permanente, tratada térmicamente a 340°F, con una Sut de 324 MPa. Este material satisface el requerimiento de un factor de seguridad a la fractura ≥ 2, en este caso. Nf = 3 Sut 324 MPa = = 2.0 σ bA 162 MPa (e ) 6. El desplazamiento de 0.2% de la resistencia de fluencia a la tensión de este material fundido está dado como 296 MPa. Como el punto A tiene un esfuerzo uniaxial, el esfuerzo de Von Mises efectivo es σ’ ⫽ σy. El factor de seguridad contra la fluencia a la tensión en el punto A es Ny = Sy σ' A = 296 MPa = 1.8 162 MPa (f) 7. El diámetro de 11 mm del perno del pivote de acero tiene un esfuerzo a la fluencia máximo en el punto F de S perno  M perno cperno I perno  11 23 053¥ ´ § 2¶ P11 64 4  176 MPa ( g) Para un factor de seguridad igual a 2 contra la fluencia dúctil, se requiere un acero con una resistencia a la fluencia de, por lo menos, 352 MPa. Un acero AISI 1040 tiene una Sy ⫽ 372 MPa en condición normalizada. Éste proporciona el factor de seguridad apenas arriba de 2. 8. La figura 3-25 muestra un resumen de los esfuerzos de diversos puntos críticos en la pieza. El lector puede examinar el modelo de este estudio de caso, abriendo el archivo CASE4C en el programa de su preferencia. Observe que, en la mayoría de estos estudios de caso, se realizó algún rediseño después de (y sólo después de) obtener la “línea más baja”, en la determinación de los factores de seguridad para la geometría y la carga asumida desde el principio. Se encontró que algunos de estos factores de seguridad eran bajos. Esto es típico en los problemas C 25.4 MPa A brazo del freno X 2 estructura Sección B-B B 11 mm A X 1 2 B 142 MPa D B 162 MPa C FIGURA 3-25 perno F –190 MPa B A Sección X-X Esfuerzos del brazo del freno en puntos seleccionados E 18.4 MPa 180 MPa Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS de diseño y demuestra su naturaleza iterativa. No se puede saber si las suposiciones son válidas, sino hasta que se invierta tiempo y energía considerables para revisar minuciosamente el diseño propuesto. No se debe decepcionar demasiado cuando se encuentra con que el primer diseño no funciona. Esto no por fuerza es un reflejo de las habilidades del diseñador. Ésta es justamente la “naturaleza de la bestia”. Lo valioso de incorporar el modelo analítico en una herramienta de cómputo, como una hoja de cálculo o un resolvedor de ecuaciones, resulta muy evidente ahora. El análisis de la geometría rediseñada, como se propuso antes en este último estudio de caso, puede realizarse literalmente en minutos, si se invirtió el tiempo inicial para computarizar el modelo. Si no, uno se enfrentará a una cantidad de trabajo muy grande para volver a analizar el diseño modificado. 3.6 RESUMEN Este capítulo presentó varias teorías de falla para materiales bajo carga estática. Dos de estas teorías parecen ajustarse mejor a los datos experimentales. Ambas suponen que el material es razonablemente homogéneo e isotrópico a nivel macro. Asimismo, se analizó el mecanismo de propagación de grietas con base en la teoría de la mecánica de fractura. La teoría de la energía de distorsión, también conocida como teoría de Von Mises, es mejor para materiales dúctiles uniformes, cuyas resistencias a la tensión y a la compresión son aproximadamente las mismas, y cuyas resistencias cortantes son menores que sus resistencias a la tensión. Se considera que estos materiales fallan con el esfuerzo cortante, y la teoría de la energía de distorsión es la que predice mejor sus fallas. Los materiales frágiles no uniformes, como el hierro fundido, normalmente tienen resistencias a la tensión que son muchos menores que sus resistencias a la compresión y sus resistencias cortantes se encuentran entre estos dos valores. Son los más débiles a la tensión, y la teoría de Mohr modificada es la que mejor predice sus fallas. Observe que cuando la carga no es estática, sino que varía con el tiempo, entonces ninguna de estas teorías es adecuada para describir la falla. En el próximo capítulo se analizará un conjunto de criterios diferentes para cargas que varían con el tiempo. Si se sabe que existen grietas, se debe investigar, usando la teoría de la mecánica de fractura, la posibilidad de una falla repentina debido a la propagación de la grieta. En algunas circunstancias, la grieta se puede abrir repentinamente a niveles de esfuerzos mucho menores que la resistencia a la fluencia del material. ESFUERZO EFECTIVO En situaciones de cargas con esfuerzos combinados (como esfuerzos de tensión y cortante aplicados en el mismo punto), ¿cuál esfuerzo se debería utilizar para compararlo con la resistencia de un material y así calcular un factor de seguridad? ¿Se debe comparar el esfuerzo cortante aplicado con una resistencia cortante, o el esfuerzo normal aplicado con una resistencia a la tensión? La respuesta es: ninguno. Se tiene que calcular un esfuerzo efectivo que combine los efectos de todos los esfuerzos combinados aplicados en el punto, con la finalidad de compararse con el estado del esfuerzo normal “puro” de la muestra de prueba a la tensión. Tales esfuerzos efectivos son medios útiles para formarse un criterio del esfuerzo-carga por comparación con datos publicados sobre resistencia de materiales en un criterio de “manzanas con manzanas”, incluso cuando la situación del esfuerzo aplicado es diferente de la carga de la muestra de prueba. El enfoque del esfuerzo efectivo también es válido cuando sólo se aplica un esfuerzo en el punto y, por ello, se puede usar universalmente. Sin embargo, el cálculo del esfuerzo efectivo difiere dependiendo de si el tipo de material es dúctil o frágil. Para materiales dúctiles uniformes, el esfuerzo de Von Mises se calcula directamente a partir de los esfuerzos aplicados (ecuaciones 3.7b y 3.7d, p. 179), o a partir de los 215 3 216 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado esfuerzos principales que resultan de los esfuerzos aplicados (ecuaciones 3.7a y 3.7c, p. 179). Observe que el cálculo de este esfuerzo efectivo convierte cualquier combinación de esfuerzos aplicados, en 2-D o 3-D, en cualquier punto, en un valor de esfuerzo simple σ’ que se puede comparar con un criterio de resistencia adecuado, para así obtener un factor de seguridad. Para materiales dúctiles bajo cargas estáticas, el criterio de resistencia deseado es la resistencia a la fluencia por tensión. (Véase la sección 3.1, p. 175). 3 Para materiales frágiles no uniformes, se calcula un esfuerzo efectivo de Mohr modificado mediante los esfuerzos principales que resultan de la combinación específica de esfuerzos aplicados en el punto en cuestión (ecuaciones 3.12a-d, pp. 190-192). El esfuerzo efectivo resultante se compara con la resistencia última a la tensión del material (no la resistencia a la fluencia), para así obtener el factor de seguridad. (Véase la sección 3.2, p. 188). MECÁNICA DE LA FRACTURA Además de una posible falla por fluencia o rompimiento, una pieza podría fallar con esfuerzos mucho menores por la propagación de grietas, si se presenta una grieta de tamaño suficiente. La teoría de la mecánica de la fractura brinda un medio para predecir tales fallas repentinas, con base en el cálculo de un factor de intensidad del esfuerzo, comparado con un criterio de prueba de tenacidad a la fractura para el material. (Véase las secciones 3.3, p. 195). El proceso de análisis de falla para carga estática se resume en una serie de pasos, como se indica en el diagrama de flujo de la figura 3-26. Observe que los primeros cinco pasos son los mismos que los de la gráfica de la figura 2-60 (p. 154). Ecuaciones importantes usadas en este capítulo Consulte las secciones referenciadas para información sobre el uso adecuado de estas ecuaciones. Esfuerzo de Von Mises efectivo para tres dimensiones (sección 3.1): σ' = σ12 + σ 22 + σ 32 − σ1σ 2 − σ 2 σ 3 − σ1σ 3 (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) 2 σ' = 2 ( + (σ z − σ x ) + 6 τ 2xy + τ 2yz + τ 2zx 2 (3.7a) ) 2 (3.7b) Esfuerzo de Von Mises efectivo para dos dimensiones (sección 3.1): σ' = σ12 − σ1σ 3 + σ 32 σ' = σ 2x + σ 2y − σ x σ y + 3τ 2xy (3.7c) (3.7d ) Factor de seguridad en materiales dúctiles bajo carga estática (sección 3.1): N= Sy σ' (3.8a) Resistencia a la fluencia por cortante, como una función de la resistencia a la fluencia por tensión (sección 3.1): Sys = 0.577 Sy (3.9b) Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 217 Análisis de fallas para carga estática Se supone que los materiales son homogéneos e isotrópicos Determine todas las fuerzas, los momentos, los torques aplicados, entre otros, y dibuje los diagramas de cuerpo libre para verlos aplicados a la geometría de la parte. 3 Con base en las distribuciones de carga sobre la geometría de la pieza, identifique las secciones transversales de la pieza que están cargadas más fuertemente. Determine las distribuciones de esfuerzo dentro de las secciones transversales de interés e identifique las ubicaciones de los mayores esfuerzos combinados y aplicados. Dibuje un elemento del esfuerzo para cada uno de los puntos de interés seleccionados, dentro de la sección, e identifique los esfuerzos que actúan sobre él. Calcule los esfuerzos aplicados que actúan sobre cada elemento y, luego, calcule los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo que resultan ahí. Material dúctil Material frágil Si el material es dúctil, entonces calcule el esfuerzo de Von Mises efectivo, en cada elemento de esfuerzo seleccionado con base en los esfuerzos principales calculados. Si el material es frágil, calcule el esfuerzo efectivo de Coulomb-Mohr, en cada elemento de esfuerzo seleccionado con base en sus esfuerzos principales. Seleccione un material para la prueba y calcule un factor de seguridad con base en la resistencia a la fluencia por tensión de ese material. Seleccione un material para la prueba y calcule un factor de seguridad con base en la resistencia última a la tensión de ese material. Si existe una grieta o se sospecha de ésta, calcule el factor de intensidad del esfuerzo con la ecuación 3.14, y compárelo con la dureza a la fractura del material, para determinar si existe algún riesgo de falla por propagación de la grieta. FIGURA 3-26 Diagrama de flujo del análisis de fallas estáticas 218 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Esfuerzo efectivo de Mohr modificado para 3 dimensiones (sección 3.2): C1  1¨ © S1 2 ©ª S2 C2  1¨ © S2 2 ©ª S3 C3  1¨ © S3 2 ©ª S1 3 2 Sut Suc Suc 2 Sut Suc Suc 2 Sut Suc Suc S1 · S2 ¸ ¸¹ S 2 · S3 ¸ ¸¹ S 3 · S1 ¸ ¸¹ S̃  MÁXC1, C2 , C3 , S1, S 2 , S 3 S˜  0 si MÁX  0 (3.12c) (3.12 d ) Factor de seguridad de materiales frágiles bajo carga estática (sección 3.2): N= Sut σ̃ (3.12e) Factor de intensidad del esfuerzo (sección 3.3): K = β σ nom π a (3.14b) Factor de seguridad para propagación de la grieta (sección 3.3): N FM = 3.7 Kc K (3.15) REFERENCIAS 1. J.P. D. Hartog, Strength of Materials. Dover Press: Nueva York, p. 222, 1961. 2. J. Marin, Mechanical Behavior of Engineering Materials. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., pp. 117-122, 1962. 3. S. P. Timoshenko, History of Strength of Materials. McGraw-Hill: Nueva York, 1953. 4. N. E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 252, 1993. 5. Ibid., pp. 262-264. 6. T. J. Dolan, Preclude Failure: A Philosophy for Material Selection and Simulated Service Testing. SESA J. Exp. Mech., enero de 1970. 7. N. E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 280, 1993. 8. Interim Report of a Board of Investigation to Inquire into the Design and Methods of Construction of Welded Steel Merchant Vessels, USCG Ship Structures Committee, Wash., D.C. 20593-0001, 3 de junio, 1944. 9. C. F. Tipper, The Brittle Fracture Story, Cambridge University Press: Nueva York, 1962. 10. R. C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain, and Strenght. McGrawHill: Nueva York, p. 71, 1967. 11. J. M. Barsom y S. T. Rolfe, Fracture and Fatigue Control in Structures, 2a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 203, 1987. Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 12. J. A. Bannantine, J. J. Comer y J. L. Handrock, Fundamentals of Metal Fatigue Analysis. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 94, 1990. 13. D. Broek, The Practical Use of Fracture Mechanics. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, Países Bajos, pp. 8-10, 1988. 14. Ibid., p. 11. 15. N. E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., pp. 306-307, 1993. 16. Metallic Materials and Elements for Aerospace Vehicle Structures, Department of Defense Handbook MIL-HDBK-5J, 31 de enero de 2003. 3.8 BIBLIOGRAFÍA Para información adicional sobre mecánica de fractura, véase: J. M. Barsom y S. T. Rolfe, Fracture and Fatigue Control in Structures, 2a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1987. D. Broek, The Practical Use of Fracture Mechanics. Kluwer: Dordrecht, Países Bajos, 1988. R. C. Rice, ed. Fatigue Design Handbook. 2a. ed., SAE: Warrendale, PA. 1988. Para información sobre factores de intensidad del esfuerzo, véase: Y. Murakami, ed. Stress Intensity Factors Handbook. Pergamon Press: Oxford, U.K., 1987. D. P. Rooke y D. J. Cartwright, Compendium of Stress Intensity Factors. Her Majesty’s Stationery Office: Londres, 1976. H. Tada, P. C. Paris y G. R. Irwin, The Stress Analysis of Cracks Handbook, 2a. ed., Paris Productions Inc: 226 Woodbourne Dr., San. Luis, Mo., 1985. Para información sobre tenacidad a la fractura de materiales, véase: Battelle, Aerospace Structural Metals Handbook. Metals and Ceramics Information Center, Battelle Columbus Labs: Columbus Ohio, 1991. J. P. Gallagher, ed. Damage Tolerant Design Handbook. Metals and Ceramics Information Center, Battelle Columbus Labs: Columbus Ohio, 1983. C. M. Hudson y S. K. Seward, A Compendium of Sources of Fracture Toughness and Fatigue Crack Growth Data for Metallic Alloys. Int. J. of Fracture, 14(4): R151-R184, 1978. B. Marandet y G. Sanz, Evaluation of the Toughness of Thick Medium Strength Steels, en Flaw Growth and Fracture. Am. Soc. for Testing and Materials: Filadelfia, Pa., pp. 72-95, 1977. Para información sobre falla de materiales compuestos, véase: R. Juran, ed. Modern Plastic Encyclopedia. McGraw-Hill: Nueva York, 1992. A. Kelly, ed., Concise Encyclopedia of Composite Materials. Pergamon Press: Oxford, U.K., 1989. M. M. Schwartz, Composite Materials Handbook. McGraw-Hill: Nueva York, 1984. 219 3 220 Tabla P3-0 † Matriz tema/problema DISEÑO DE MÁQUINAS 3.9 3 3.2 Materiales frágiles 3-10, 3-11, 3-12, 3-13, 3-18, 3-23, 3-24, 3-25, 3-26, 3-27b, 3-30, 3-32, 3-35, 3-37, 3-40, 3-59, 3-61, 3-62, 3-63, 3-64, 3-65, 3-66, 3-69, 3-70, 3-71, 3-72, 3-75, 3-82, 3-83, 3-84, 3-85 Un Enfoque Integrado PROBLEMAS *†3-1. Un elemento de esfuerzo diferencial tiene un conjunto de esfuerzos aplicados sobre sí, como se indica en cada fila de la tabla P3-1. Para la(s) fila(s) asignada(s), dibuje un elemento de esfuerzo que muestre los esfuerzos aplicados. Calcule los esfuerzos principales y los esfuerzos de Von Mises. 3.1 Materiales dúctiles 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-6, 3-7, 3-8, 3-9, 3-14, 3-15, 3-16, 3-17, 3-19, 3-20, 3-21, 3-22, 3-27a, 3-28, 3-29, 3-31, 3-33, 3-34, 3-36, 3-41, 3-42, 3-43, 3-44, 3-45, 3-46, 3-47, 3-48, 3-49, 3-56, 3-57, 3-58, 3-60, 3-67, 3-68, 3-73, 3-74, 3-78, 3-79, 3-80, 3-81 - 3-2. Un candelabro de 400 lb se va a colgar de dos cables sólidos de 10 pies de largo, de acero al bajo carbono, en tensión. Dimensione los cables para un factor de seguridad de 4. Defina todas las suposiciones. 3-3. Para el ensamble del brazo del pedal de la bicicleta de la figura P3-1 con una fuerza aplicada por el ciclista de 1 500 N en el pedal, determine el esfuerzo de Von Mises en el brazo del pedal de 15 mm de diámetro. El pedal se sujeta al brazo con una cuerda de 12 mm. Obtenga el esfuerzo de Von Mises en el tornillo. Calcule el factor de seguridad contra carga estática, si el material tiene una Sy ⫽ 350 MPa. *3-4. El gancho del remolque mostrado en la figura P3-2 y en la figura A-1 (p. 857) tiene cargas aplicadas como se indica. El peso de la lengüeta de 100 kg actúa hacia abajo, y la fuerza con que jala horizontalmente es de 4 905 N. Usando las dimensiones del soporte de bola mostrado en la figura A-5 (p. 860) y una Sy ⫽ 300 MPa para acero dúctil, determine el factor de seguridad estático para a) b) c) d) e) 3.3 Mecánica de la fractura 3-38, 3-39, 3-50, 3-51, 3-52, 3-53, 3-54, 3-55, 3-76, 3-77 La caña de la bola donde se une con el soporte de bola. La falla por contacto en el orificio del soporte de la bola. La falla por desgarramiento en el soporte de bola. La falla por tensión en los tornillos de sujeción, si tienen un diámetro de 19 mm. La falla por flexión en el soporte de la bola como viga en voladizo. 3-5. Repita el problema 3-4 para las condiciones de carga del problema 1-5 en la p. 57. *3-6. Repita el problema 3-4 para las condiciones de carga del problema 1-6 en la p. 57. *3-7. Diseñe el buje del problema 1-7 (p. 57) para un factor de seguridad ⫽ 3.0, si la Sy ⫽ 100 kpsi. *3-8. Un molino procesa rollos de papel que tienen una densidad de 984 Kg/m3. El rollo de papel tiene 1.50 m de diámetro exterior (OD) ⫻ 0.22 de diámetro interior (ID) ⫻ 3.23 m de largo, y está simplemente apoyada por un eje hueco de acero con una Sy ⫽ 300 kpsi. Obtenga el diámetro interior del eje, que se necesita para obtener un factor de seguridad estático de 5, si el diámetro exterior del eje es de 22 cm. 3-9. Para las pinzas de presión ViseGrip® dibujadas a escala en la figura P3-3, cuyas fuerzas se analizaron en el problema 1-9 y sus esfuerzos en el problema 2-9, obtenga los factores de seguridad para cada perno para una fuerza de presión supuesta P ⫽ 4 000 N en la posición mostrada. Los pernos tienen 8 mm de diámetro, Sy ⫽ 400 MPa y todos están sometidos a cortante doble. Tabla P3-1 Datos del problema 3-1 Las filas a a g son problemas bidimensionales, las otras son de problemas tridimensionales Fila * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. † Los números de problema en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas de capítulos sucesivos también pueden ser continuación y ampliar estos problemas. Sy Sx Sz T xy T yz T zx a 1 000 0 0 500 0 0 b –1 000 0 0 750 0 0 c 500 –500 0 1 000 0 0 d 0 –1 500 0 750 0 0 e 750 250 0 500 0 0 f –500 1 000 0 750 0 0 g 1 000 0 –750 0 0 250 h 750 500 250 500 0 0 i 1 000 –250 –750 250 500 750 j –500 750 250 100 250 1 000 Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS *3-10. En la figura P3-4a se muestra un trampolín sobresaliente. Suponga dimensiones de la sección transversal de 305 mm ⫻ 32 mm. Determine el mayor esfuerzo principal en el trampolín, cuando una persona de 100 kg se para en el extremo libre. ¿Cuál es el factor de seguridad estático, si el material es de fibra de vidrio frágil con Sut ⫽ 130 MPa en dirección longitudinal? *3-11. Repita el problema 3-10, suponiendo que la persona de 100 kg salta 25 cm hacia arriba y cae sobre la tabla. Suponga que la tabla pesa 29 kg y se flexiona 13.1 cm estáticamente cuando la persona se para sobre ella. ¿Cuál es el factor de seguridad estático del material, si el material es fibra de vidrio frágil con Sut ⫽ 130 MPa en dirección longitudinal? 3-12. Repita el problema 3-10 usando el diseño en voladizo del trampolín de la figura P3-4b. 3-13. Repita el problema 3-11 usando el diseño del trampolín mostrado en la figura P3-4b. Suponga que la tabla pesa 19 kg y se flexiona estáticamente 8.5 cm cuando la persona se para sobre ella. 3-14. La figura P3-5 muestra un juguete infantil llamado cangurín. El niño se para sobre las almohadillas, aplicando la mitad de su peso sobre cada lado. Luego, salta hacia arriba manteniendo las almohadillas contra sus pies, y rebota con el resorte que amortigua el impacto y almacena energía para facilitar cada rebote. Suponga un niño de 60 lb de peso y una constante de resorte de 100 lb/in. El cangurín pesa 5 lb. Diseñe las secciones de la viga en voladizo de aluminio, sobre las cuales el niño se mantiene saltando 2 in arriba del suelo, con un factor de seguridad de 2. Use aluminio de la serie 1100. Defina el perfil y el tamaño de la viga. *3-15. ¿Cuál es el factor de seguridad del perno sometido a cortante definido en el problema 2-15? 3-16. Se diseñó una pista para guiar bolas de boliche, con dos varillas redondas, como se ilustra en la figura P3-6. Las varillas forman un pequeño ángulo entre sí. Las bolas ruedan sobre las varillas hasta que caen entre ellas y llegan a otra pista. Cada porción sin soporte de la varilla tiene 30 in de longitud y el ángulo entre ellas es de 3.2°. Las bolas tienen un diámetro de 4.5 in y pesan 2.5 lb cada una. La distancia entre los centros de las varillas es de 4.2 in en el extremo más angosto. Obtenga el factor de seguridad estático de las varillas de acero normalizado SAE 1045 de 1 in de diámetro. a) Suponga que las varillas están simplemente apoyadas en cada extremo. b) Suponga que las varillas están empotradas en cada extremo. *3-17. 3-18. 221 60 mm 170 mm 3 F T FIGURA P3-1 Problema 3-3 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) 40 mm FIGURA P3-2 En la figura P3-7 se muestran unas tenazas para hielo. El hielo pesa 50 lb y tiene 10 in de ancho entre las tenazas. La distancia entre los mangos es de 4 in y el radio medio r de un elemento de la tenaza es de 6 in. Las dimensiones de la sección transversal rectangular son 0.750 in de profundidad ⫻ 0.312 in de ancho. Calcule el factor de seguridad de las tenazas, si su Sy ⫽ 30 kpsi. Problemas 3-4, 3-5 y 3-6 (un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) Repita el problema 3-17, si las tenazas están hechas de hierro fundido gris clase 20. F P P F FIGURA P3-3 Problema 3-9 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) Cuadrícula de 0.5 cm * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. 222 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 2m 2m P 0.7 m (a) Trampolín suspendido 3 0.7 m P (b) Trampolín en voladizo FIGURA P3-4 Problemas 3-10 a 3-13 W/2 *3-19. Determine las dimensiones necesarias del perno de la horquilla de la figura P3-8, para resistir una fuerza aplicada de 130 000 lb. También determine el radio exterior del extremo de la horquilla, de manera que no falle al desgarramiento ni a la presión por contacto, si las pestañas de la horquilla tienen 2.5 in de espesor cada una. Use un factor de seguridad de 3 para todos los modos de falla. Suponga una Sy ⫽ 89.3 kpsi para el perno y una Sy ⫽ 35.5 kpsi para la horquilla. 3-20. Se aplica un torque de 100 N-m a un eje sólido, redonda, de 1 m de largo. Diséñela para limitar su deflexión angular a 2° y seleccione una aleación de acero para obtener un factor de seguridad a la fluencia igual a 2. 3-21. La figura P3-9 muestra una rueda de automóvil con dos estilos de llave para birlos: (a) una llave con un solo extremo y (b) una llave con dos extremos. La distancia entre los puntos A y B es de 1 pie en ambos casos, en tanto que el diámetro del brazo es de 0.625 in. ¿Cuál es la fuerza máxima posible antes de que ceda el brazo, si la Sy del material ⫽ 45 kpsi? *3-22. En la figura P3-10 se muestran unos patines con ruedas en línea. Las ruedas de poliuretano tienen un diámetro de 72 mm y tienen un espacio de 104 mm entre sus centros. La combinación patín-pie-bota pesa 2 kg. La razón de resorte efectiva del sistema persona-patín es de 6 000 N/m. Los ejes son pernos de acero de 10 mm de diámetro en cortante doble, con una Sy ⫽ 400 MPa. Calcule el factor de seguridad para los pernos, cuando una persona de 100 kg aterriza de un salto de 0.5 m sobre un pie. W/2 a) Suponga que las cuatro ruedas aterrizan simultáneamente. b) Suponga que una rueda absorbe toda la fuerza del aterrizaje. *3-23. Una viga está apoyada y cargada como se indica en la figura P3-11a. Para los datos que se dan en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P3-2, obtenga el factor de seguridad estático: a) Si la viga es un material dúctil con una Sy ⫽ 300 MPa. b) Si la viga es de un material frágil-colado con una Sut ⫽ 150 MPa y una Suc ⫽ 570 MPa. P FIGURA P3-5 Problema 3-14 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. FIGURA P3-6 Problema 3-16 Capítulo 3 *3-24. TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 223 Una viga está apoyada y cargada como se indica en la figura P3-11b. Para los datos que se dan en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P3-2, calcule el factor de seguridad estático: F F a) Si la viga es un material dúctil con una Sy ⫽ 300 MPa. b) Si la viga es de un material frágil-fundido, con una Sut ⫽ 150 MPa y una Suc ⫽ 570 MPa. *3-25. Una viga está apoyada y cargada como se indica en la figura P3-11c. Para los datos que se dan en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P3-2, calcule el factor de seguridad estático: a) Si la viga es un material dúctil con una Sy ⫽ 300 MPa. b) Si la viga es de un material frágil-fundido con una Sut ⫽ 150 MPa y una Suc ⫽ 570 MPa. *3-26. r 3 Una viga está apoyada y cargada como se indica en la figura P3-11d. Para los datos que se dan en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P3-2, calcule el factor de seguridad estático: a) Si la viga es un material dúctil con una Sy ⫽ 300 MPa. b) Si la viga es de un material frágil-fundido con una Sut ⫽ 150 MPa y una Suc ⫽ 570 MPa. *3-27. A Se diseñó un estante de almacenamiento para colocar el rollo de papel del problema 3-8, como se muestra en la figura P3-12. Determine los valores adecuados de a y b de la figura. Haga el factor de seguridad estático, por lo menos, igual a 1.5. El mandril es sólido y se inserta hasta la mitad del rollo de papel. W FIGURA P3-7 Problema 3-17 a) La viga es un material dúctil con Sy ⫽ 300 MPa. b) La viga es un material frágil fundido con Sut ⫽ 150 MPa y Suc ⫽ 570 MPa. 3-28. 3-29. La figura P3-13 muestra un montacargas que sube por una rampa de 15° hasta la plataforma de carga a 4 pies de altura. El montacargas pesa 5 000 lb y tiene un eje de 42 in entre las ruedas. Diseñe dos rampas de acero de un pie de ancho (una por cada lado), para obtener un factor de seguridad de 3 en el peor de los casos de carga, conforme el montacargas sube por ellas. Minimice el peso de las rampas usando una geometría de sección transversal sensible. Seleccione una aleación de acero o de aluminio adecuada. P Un elemento diferencial está sometido a los esfuerzos (en kpsi): σ1 ⫽ 10, σ2 ⫽ 0, σ3 ⫽ ⫺20. El material es dúctil y tiene resistencias (en kpsi): Sut ⫽ 50, Sy ⫽ 40, Suc ⫽ 50. Calcule el factor de seguridad y elabore los diagramas σ1 – σ3 de cada teoría que muestre el estado de esfuerzos: a) Usando la teoría del esfuerzo cortante máximo b) Usando la teoría de la energía de distorsión 3-30. Un elemento diferencial está sometido a los esfuerzos (en kpsi): σ1 ⫽ 10, σ2 ⫽ 0, σ3 ⫽ ⫺20. El material es frágil y tiene resistencias (en kpsi): Sut ⫽ 50, Suc ⫽ 90. Calcule el factor de seguridad y elabore los diagramas σ1⫺ σ3 de cada teoría que muestre el estado de esfuerzos: P FIGURA P3-8 eje 3 in 3 in A llave para birlos B A llave para birlos F F neumático Problema 3-21 (a) B F F FIGURA P3-9 Problema 3-19 eje neumático (b) * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar estos problemas. 224 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado l l b a a w R1 w M1 x 3 F F x R2 FIGURA P3-10 R1 (a) Problema 3-22 (b) l l b b F a a F w w x R1 x R2 R1 R2 (c) (d) FIGURA P3-11 Vigas y cargas en vigas de los problemas 3-23 a 3-26; para los datos véase la tabla P3-2 a) Usando la teoría de Coulomb-Mohr b) Usando la teoría de Mohr modificada 3-31. Diseñe un gato fijo de trípode que debe soportar 2 toneladas de carga, con un factor de seguridad de 3. Use acero SAE 1020 y minimice su peso. Tabla P3-2 Datos de los problemas 3-23 a 3-26 Use tan sólo datos relevantes para el problema específico. Longitudes en m, fuerzas en N, I en m4. Los números de problema en itálicas son problemas de diseño. Fila l a b w* F I c E a 1.00 0.40 0.60 200 500 2.85E–08 2.00E–02 acero b 0.70 0.20 0.40 80 850 1.70E–08 1.00E–02 acero c 0.30 0.10 0.20 500 450 4.70E–09 1.25E–02 acero d 0.80 0.50 0.60 65 250 4.90E–09 1.10E–02 acero e 0.85 0.35 0.50 96 750 1.80E–08 9.00E–03 acero f 0.50 0.18 0.40 450 950 1.17E–08 1.00E–02 acero g 0.60 0.28 0.50 250 250 3.20E–09 7.50E–03 acero h 0.20 0.10 0.13 400 500 4.00E–09 5.00E–03 alum i 0.40 0.15 0.30 50 200 2.75E–09 5.00E–03 alum j 0.20 0.10 0.15 150 80 6.50E–10 5.50E–03 alum k 0.40 0.16 0.30 70 880 4.30E–08 1.45E–02 alum l 0.90 0.25 0.80 90 600 4.20E–08 7.50E–03 alum m 0.70 0.10 0.60 80 500 2.10E–08 6.50E–03 alum n 0.85 0.15 0.70 60 120 7.90E–09 1.00E–02 alum * Note que w es una fuerza unitaria en N/m Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 225 b soporte rollo de papel a mandril 3 base FIGURA P3-12 Problema 3-27 *3-32. Una pieza tiene un estado de esfuerzos y resistencias combinados (en kpsi) de: σx ⫽ 10, σy ⫽ 5, τxy ⫽ 4.5, Sut ⫽ 20, Suc ⫽ 80 y Sy ⫽ 18. Elija una teoría de falla adecuada con base en los datos proporcionados; calcule el esfuerzo efectivo y el factor de seguridad contra falla estática. *3-33. Para el soporte mostrado en la figura P3-14, así como los datos de la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P3-3, determine los esfuerzos de Von Mises en los puntos A y B. *3-34. Calcule el factor de seguridad para el soporte del problema 3-33 mediante las teorías de la energía de distorsión, del esfuerzo cortante máximo y del esfuerzo normal máximo. Comente sobre su aplicación. Suponga un material dúctil con resistencia Sy ⫽ 400 MPa (60 kpsi). *3-35. Calcule el factor de seguridad para el soporte del problema 3-33 usando las teorías de Coulomb-Mohr y del esfuerzo efectivo de Mohr modificado. Comente sobre su aplicación. Suponga un material frágil con resistencia Sut ⫽ 350 MPa (50 kpsi) y Suc ⫽ 1 000 MPa (150 kpsi). 3-36. Para el soporte mostrado en la figura P3-14 y los datos de la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P3-3, vuelva a resolver el problema 3-33, considerando la concentración de esfuerzos en los puntos A y B. Suponga un factor de concentración de esfuerzos de 2.5 tanto a la flexión como a la torsión. *3-37. En la figura P3-15 se muestra una viga curva semicircular que tiene un diámetro exterior de 150 mm, un diámetro interior de 100 mm y t ⫽ 25 mm. Para el par de cargas F ⫽ 14 kN aplicado a lo largo del diámetro, obtenga el factor de seguridad en las fibras interior y exterior: (a) Si la viga es un material dúctil con Sy ⫽ 700 MPa, (b) si la viga es un material frágil-fundido con Sut ⫽ 420 MPa y Suc ⫽ 1 200 MPa. *3-38. Suponga que la viga curva del problema 3-37 tiene una grieta en la superficie interior con la mitad del ancho a ⫽ 2 mm y una tenacidad a la fractura de 50 MPa-m0.5. ¿Cuál es el factor de seguridad contra fractura repentina? rampa FIGURA P3-13 Problema 3-28 cuadrícula de 1 pie * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. 226 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado F l a A tubo y B pared t brazo z 3 h x diámetro exterior FIGURA P3-14 diámetro interior Problemas 3-33 a 3-36 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) *3-39. t 3-40. OD ID F Rediseñe el soporte del rollo del problema 3-8, para que sea como el de la figura P3-16. El mandril se inserta a 10% de la longitud del rollo. Diseñe las dimensiones a y b para un factor de seguridad igual a 2. a) Si la viga es de un material dúctil con Sy ⫽ 300 MPa. b) Si la viga es de un material frágil fundido con Sut ⫽ 150 MPa y Suc ⫽ 1 200 MPa. F *3-41. FIGURA P3-15 Problema 3-37 (Un modelo en Considere la falla en el caso del cohete con 260 in de diámetro por 0.73 in en la pared (figura 3-16). El acero tenía una Sy ⫽ 240 kpsi y una tenacidad a la fractura Kc ⫽ 79.6 kpsi-in0.5. Fue diseñado para una presión interna de 960 psi pero falló a 542 psi. La falla se atribuyó a una pequeña grieta, que precipitó una falla mecánica de fractura repentina y frágil. Obtenga los esfuerzos nominales en la pared y el factor de seguridad a la fluencia en las condiciones de falla, y calcule el tamaño de la grieta que causó la explosión. Suponga que β ⫽ 1.0. 3-42. Soliworks de esto se encuentra en el CD) Un tubo de acero con 10 mm de diámetro interior transporta un líquido a 7 MPa. El acero tiene una Sy ⫽ 400 MPa. Determine el factor de seguridad para la pared, si su espesor es de (a) 1 mm, (b) 5 mm. Se requiere un tanque cilíndrico con extremos hemisféricos para almacenar aire presurizado a 150 psi y a temperatura ambiente. El acero tiene una Sy ⫽ 400 MPa. Determine el factor de seguridad, si el diámetro del tanque es de 0.5 m con una pared de 1 mm de espesor y una longitud de 1 m. Tabla P3-3 Datos de los problemas 3-33 a 3-36 Use tan sólo datos relevantes para el problema específico. Longitudes en m, y fuerzas en N. * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. Fila l a t h F OD ID E a 100 400 10 20 50 20 14 acero b 70 200 6 80 85 20 6 acero c 300 100 4 50 95 25 17 acero d 800 500 6 65 160 46 22 alum e 85 350 5 96 900 55 24 alum f 50 180 4 45 950 50 30 alum g 160 280 5 25 850 45 19 acero h 200 100 2 10 800 40 24 acero i 400 150 3 50 950 65 37 acero j 200 100 3 10 600 45 32 alum k 120 180 3 70 880 60 47 alum l 150 250 8 90 750 52 28 alum m 70 100 6 80 500 36 30 acero n 85 150 7 60 820 40 15 acero Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 227 b típica soporte rollo de papel a típica mandril 3 base FIGURA P3-16 Problema 3-40 (Un modelo espacial de esto se encuentra en el CD) 3-43. Los rollos de papel de la figura P3-17 tienen 0.9 m de diámetro exterior ⫻ 0.22 m de diámetro interior ⫻ 3.23 de largo, y su densidad es de 984 kg/m3. Los rollos se transfieren desde la banda transportadora de la máquina (que no se muestra) hasta el montacargas, mediante un eslabón V de la estación de descarga, el cual gira 90° por la acción de un cilindro de aire. El papel rueda hacia la horquilla del montacargas. Las cuchillas de la horquilla tienen 38 mm de espesor por 100 mm de ancho por 1.2 m de largo, y en la punta forman ángulos de 3° con la horizontal y su Sy ⫽ 600 MPa. Obtenga el factor de seguridad, en dos condiciones diferentes, para las dos cuchillas de la horquilla sobre el montacargas, cuando el papel rueda hacia él (establezca las suposiciones): a) Las dos cuchillas de la horquilla no están soportadas en su extremo libre. b) Las dos cuchillas están en contacto con la tabla en el punto A. 3-44. 3-45. Determine un espesor adecuado para los eslabones V de la estación de descarga de la figura P3-17, para limitar sus flexiones a 10 mm en las puntas, en cualquier posición durante la rotación. Dos eslabones V soportan el rollo en los puntos a 1/4 y 3/4 a lo largo de la longitud del rollo, y cada uno de los brazos en V mide 10 cm de ancho por 1 m de longitud. ¿Cuál es el factor de seguridad contra la fluencia, si se diseñaron para limitar la deflexión como antes? Sy ⫽ 400 MPa. Para mayor información, véase el problema 3-43. Determine el factor de seguridad, con base en la carga crítica, sobre la varilla del cilindro de aire de la figura P3-17. El brazo de la manivela que la hace girar es de 0.3 m de largo y la varilla tiene una extensión máxima de 0.5 m. La varilla de 25 mm Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. eslabones V 1m brazo de la manivela máquina de enrollado de papel cuchillas A varilla FIGURA P3-17 Problemas 3-43 a 3-47 estación de descarga cilindro de aire montacargas 228 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado de diámetro es de acero sólido con una resistencia a la fluencia de 400 MPa. Defina todas las suposiciones. 3 Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. 3-46. Los eslabones V de la figura P3-17 son girados por el brazo de la manivela con un eje de 60 mm de diámetro y 3.23 m de largo. Determine el torque máximo aplicado a este eje durante el movimiento del eslabón V, y encuentre, para el eje, el factor de seguridad estático contra la fluencia, si su Sy ⫽ 400 MPa. Para mayor información, véase el problema 3-43. 3-47. Determine las fuerzas máximas sobre los pernos en cada extremo del cilindro de aire de la figura P3-17. Determine el factor de seguridad para estos pernos, si tienen 30 mm de diámetro y están a cortante simple. Sy ⫽ 400 MPa. 3-48. La figura P3-18 muestra la silla de entrenamiento de un corredor de 100 kg en silla de ruedas. Las ruedas de la silla tienen 65 cm de diámetro y están separadas por una pista con 70 cm de ancho. Dos rodillos giran libremente sobre cojinetes que soportan las ruedas traseras. El movimiento lateral de la silla está limitado por las bridas. Diseñe los rodillos de 1 m de largo, como tubos de aluminio huecos (seleccione una aleación), para minimizar la altura de la plataforma y limitar, también, las deflexiones del rodillo a 1 m, en el peor de los casos. Especifique las dimensiones adecuadas de los ejes de acero para soportar los tubos sobre cojinetes. Calcule todos los factores de seguridad relevantes. 3-49. Una pieza fabricada de acero dúctil que tiene una Sy ⫽ 40 kpsi está sometida a un estado de esfuerzo tridimensional σ1 ⫽ ⫺80 kpsi, σ2 ⫽ ⫺80 kpsi, σ3 ⫽ ⫺80 kpsi. ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo? ¿Fallará la pieza? 3-50. Se va a fabricar un componente en forma de una hoja larga de aluminio 7075-T651, la cual tiene una tenacidad a la fractura Kc ⫽ 24.2 MPa-m0.5 y una resistencia de fluencia por tensión de 495 MPa. Determine la grieta más grande que puede tolerarse en el borde de la hoja, si el esfuerzo nominal no excede la mitad de la resistencia a la fluencia. 3-51. Se va a fabricar un componente en forma de una hoja grande de acero 4340, el cual tiene una tenacidad a la fractura Kc ⫽ 98.9 MPa-m0.5 y una resistencia de fluencia por tensión de 860 MPa. Las hojas se inspeccionan después de la fabricación para detectar defectos por grietas; sin embargo, la inspección no puede detectar defectos menores de 3 mm. La pieza es muy pesada por efectos de diseño. Un ingeniero ha sugerido que se reduzca el espesor y que el material se trate térmicamente, para incrementar su resistencia a la tensión a 1 515 MPa, lo cual redundaría en una disminución de la tenacidad a la fractura de 60.4 MPa-m0.5. Suponiendo que el nivel de esfuerzos no excede la mitad de la resistencia a la fluencia, ¿la sugerencia es factible? Si no es así, ¿por qué? 3-52. Una placa grande está sometida a un esfuerzo de tensión nominal de 350 MPa. La placa tiene una grieta, en el centro, de 15.9 mm de longitud. Calcule el factor de intensidad del esfuerzo en la punta de la grieta. 3-53. Una escena de cine necesita un doble acróbata para colgarse de una cuerda, que está suspendida a 3 m por encima de una fosa que alberga arañas venenosas. La cuerda está sujeta a una hoja de vidrio que mide 3 000 mm de largo por 100 mm de ancho, y 1.27 mm de espesor. El acróbata sabe que la hoja de vidrio tiene una grieta en el centro de 16.2 mm de longitud total que está orientada de forma paralela al suelo. rodillos FIGURA P3-18 Problema 3-48 Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 229 t suelo perno perno h barra 3 4" 2" P P FIGURA P3-19 Problemas 3-56 y 3-57 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) La tenacidad a la fractura del vidrio es de 0.83 MPa-m0.5. ¿Debería hacer la maniobra? Muestre todas las suposiciones y cálculos para avalar su respuesta. 3-54. Un material tiene una tenacidad a la fractura de 50 MPa-m0.5 y una resistencia a la fluencia de 1 000 MPa y está hecho como un panel grande. Si al panel se le aplica un esfuerzo de la mitad del esfuerzo a la fluencia, ¿cuál será el tamaño máximo de una grieta en el centro que pueda tolerar sin fallar catastróficamente? 3-55. Un material tiene una dureza a la fractura de 33 MPa-m0.5 y está hecho como un panel grande de 2 000 mm de longitud por 250 mm de ancho y 4 mm de espesor. Si la longitud mínima total permisible para una grieta es de 4 mm, ¿cuál es la carga máxima de tensión que se puede aplicar a lo largo del panel, sin falla catastrófica con un factor de seguridad de 2.5? 3-56. La figura P3-19 muestra una barra de acero SAE 1020 rolada en frío que está sujeta a un plano rígido con dos pasadores de espiga de acero de 0.25 in de diámetro, endurecidos a HRC52. Para P ⫽ 1 500 lb y t ⫽ 0.25 in encuentre: a) El factor de seguridad para cada perno. b) El factor de seguridad para el esfuerzo de presión por contacto en cada orificio. c) El factor de seguridad para la falla por desgarramiento si h ⫽ 1 in. 3-57. Repita el problema 3-56 para una pieza hecha de hierro colado clase 50. 3-58. La figura P3-20 muestra un soporte maquinado de acero SAE 1045 rolado en frío de 0.5 in de espesor con 0.25 in de radio en las esquinas interiores. Está rígidamente sujeto a un soporte y cargado con P ⫽ 5 000 lb en el punto D. Encuentre: A 3" B 3" 17" C D 8" 12" P FIGURA P3-20 Problemas 3-58 y 3-59 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) 3" t P Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. 230 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 20" 20" P FIGURA P3-21 3 Problema 3-60 a) El factor de seguridad contra falla estática en el punto A. b) El factor de seguridad contra falla estática en el punto B. l 3-59. Repita el problema 3-58 para la parte construida de hierro fundido clase 60 de 1 in de espesor. 3-60. La figura P3-21 muestra una barra de acero normalizado SAE 1040 rolado en caliente de 1 in de diámetro, apoyada y cargada con P ⫽ 500 lb. Obtenga el factor de seguridad contra falla estática. 3-61. Repita el problema 3-60 para la pieza construida de hierro fundido clase 60 con un diámetro incrementado a 1.5 in. 3-62. La figura P3-22 muestra un perno de pivote que tiene presión por contacto en la parte A y una corredera en la pieza B. Si F ⫽ 100 lb, l ⫽ 2 in y d ⫽ 0.5 in, ¿cuál es el factor de seguridad del perno contra la fluencia, si está hecho de acero SAE 1020 rolado en frío? 3-63. La figura P3-22 muestra un perno de pivote que tiene presión por contacto en la parte A y una corredera en la pieza B. Si F ⫽ 100 N, l ⫽ 50 mm y d ⫽ 16 mm, ¿cuál es el factor de seguridad del perno contra la fractura, si está hecho de hierro fundido clase 50? 3-64. Un elemento diferencial está sometido a los esfuerzos (en kpsi): σx ⫽ 10, σy ⫽ ⫺20, τxy ⫽ ⫺20. El material es no uniforme y tiene resistencias (en kpsi): Sut ⫽ 50, Sy ⫽ ⫺40 y Suc ⫽ 90. Calcule el factor de seguridad y dibuje los diagramas de σa⫺σb que muestren los límites de cada teoría con el estado de esfuerzos y la línea de carga mediante: l 2 l 4 F B d A FIGURA P3-22 Problemas 3-62 y 3-63 a) la teoría de Coulomb-Mohr y b) la teoría de Mohr modificada. *3-65. Un elemento diferencial está sometido a los esfuerzos (en kpsi): σx ⫽ 10, σy ⫽ ⫺5, τxy ⫽ 15. El material es no uniforme y tiene resistencias (en kpsi): Sut ⫽ 50, Sy ⫽ 40 y Suc ⫽ 90. Calcule el factor de seguridad y dibuje los diagramas de σa⫺σb que muestren el límite de cada teoría con el estado de esfuerzos y la línea de carga mediante: a) la teoría de Coulomb-Mohr y b) la teoría de Mohr modificada. 3-66. * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar estos problemas. Un elemento diferencial está sometido a los esfuerzos (en kpsi): σx ⫽ ⫺20, σy ⫽ ⫺15, τxy ⫽ 15. El material es no uniforme y tiene resistencias (en kpsi): Sut ⫽ 50, Sy ⫽ 40 y Suc ⫽ 90. Calcule el factor de seguridad y dibuje los diagramas de σa⫺σb que muestren el límite de cada teoría con el estado de esfuerzos y la línea de carga mediante: a) la teoría de Coulomb-Mohr y b) la teoría de Mohr modificada. 3-67. *3-68. Deduzca la ecuación 3.7d del esfuerzo de Von Mises efectivo para el caso bidimensional. La figura P3-23 muestra una bomba de óleo (o de varilla). El eje de la manivela conductora en O2 está cargado a la torsión y a la flexión, con valores máximos de 6500 in-lb y 9800 in-lb, respectivamente. El punto sobre el eje con esfuerzo máximo se localiza lejos de la cuña que conecta al eje con la manivela. Usando un factor de seguridad de 2 contra la fluencia estática, determine un diámetro apropiado para el eje, si se hace con acero SAE 1040 rolado en frío. Capítulo 3 TEORÍAS DE FALLAS ESTÁTICAS 36.9o extremo de x la cabeza 51.26 156.6o P B O4 B-CG 4 = 32.00 P-CG 4 = 124.44 O 4 -CG 4 = 79.22 contrapeso 4 231 CG 4 80 3 14.03o 3 Y 47.5 47.5 76 cable W2 14 A 2 varilla de la bomba contrapeso 12 X O2 cabeza del pozo y todas las dimensiones lineales se dan en pulgadas FIGURA P3-23 Problemas 3-68 y 3-69 3-69. La figura P3-24a presenta un tornillo de banco de cuerpo elíptico con las dimensiones que se muestran. El tornillo de banco tiene una sección T con un espesor uniforme de 3.2 mm en la garganta, como se muestra en la figura P3-24b. Calcule el factor de seguridad estático, si la fuerza de sujeción es de 2.7 kN y el material es hierro fundido gris clase 40. 3-70. Un tornillo de banco, como el mostrado en la figura P3-24a, tiene una sección transversal rectangular, como la de la figura P3-24c. Calcule el factor de seguridad estático, si la fuerza de sujeción es de 1.6 kN y el material es hierro fundido gris clase 50. 3-71. Un tornillo de banco como el mostrado en la figura P3-24a tiene una sección transversal elíptica, como la de la figura P3-24d. Se proporcionan las dimensiones de los ejes mayor y menor de la elipse. Calcule el factor de seguridad estático, si la fuerza de sujeción es de 1.6 kN y el material es hierro fundido gris clase 60. 75.4 Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. 6.4 28.4 (b) (c) 31.8 3.2 típicamente 63.5 A 9.6 (a) 31.8 9.6 (d) (e) todas las dimensiones se dan en mm 31.8 3.2 A FIGURA P3-24 Problemas 3-69 a 3-72 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) Secciones A-A 232 3 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 3-72. La figura P3-24a presenta un tornillo de banco con sección transversal trapezoidal, como se muestra en la figura P3-24e. Obtenga el factor de seguridad estático, si la fuerza de sujeción es de 2.7 kN y el material es hierro fundido gris clase 40. 3-73. La biela (3) de la bomba de óleo mostrada en la figura P3-23 está formada, de hecho, con dos varillas, una en cada lado de la viga (4) que se mueve. Determine el ancho apropiado de la barra de material SAE 1020 rolado en frío, si tiene un espesor de 1/2 pulgada, y la carga de tensión máxima en cada una de las barras es de 3500 lb. Use un factor de seguridad de 4 contra la fluencia estática. 3-74. Una plataforma de trabajo se eleva sobre el extremo de una grúa que tiene la capacidad de extender su longitud y variar su ángulo con respecto al suelo. El ancho de la plataforma es grande comparado con el diámetro de la grúa, de modo que es posible cargar la grúa excéntricamente dando como resultado una combinación de flexión, torsión y compresión directa en la base de la grúa. En la base de la grúa hay un tubo hueco con un diámetro exterior de 8 in y un espesor de pared de 0.75 in. Está hecha de acero SAE 1030 CR. Determine el factor de seguridad contra falla estática, si la carga en un punto de la base de la grúa es M ⫽ 600 000 lb-in, T ⫽ 76 000 lb-in y la compresión axial es de 4800 lb. 3-75. Repita el problema 3-74 para una grúa que está hecha de hierro fundido gris clase 20. En la base de la grúa hay un tubo hueco con un diámetro exterior de 10 in y un espesor de pared de 1 in. 3-76. Suponga que la viga curva del problema 3-70 tiene una grieta en su superficie interior de la mitad del ancho a ⫽ 1.5 mm y una tenacidad a la fractura de 35 Mpa-m0.5. ¿Cuál es el factor de seguridad contra una falla repentina? 3-77. Se va a hacer un panel grande de avión a partir de una barra de aluminio 7075-T651. En los datos de prueba se encontró que el esfuerzo nominal a la tensión en el panel es de 200 MPa. ¿Cuál es el tamaño promedio máximo de una grieta en el centro, que se puede tolerar sin falla catastrófica? 3-78. Diseñe la biela (eslabón 3) del problema 1-50 para un factor de seguridad de 4, si el eslabón está hecho de una hoja de acero SAE 1010 rolada en caliente, el diámetro del orificio del perno en cada extremo es de 6 mm y la carga de tensión máxima aplicada es de 2000 N. Existen dos eslabones que soportan la carga. 3-79. Diseñe el ariete compacto (eslabón 4) del problema 1-50, para un factor de seguridad de 4, si el ariete se hace de una barra de acero SAE 1010 rolado en caliente, el diámetro del orificio del perno en la junta que une al eslabón 3 es de 6 mm y la carga aplicada Fcom ⫽ 2000 N. El diámetro del pistón es de 35 mm. 3-80. Un elemento diferencial está sometido a los esfuerzos (en MPa): σ1 ⫽ 70, σ2 ⫽ 0, σ3 ⫽ ⫺140. El material es dúctil y tiene resistencias (en MPa): Sut ⫽ 350, Sy ⫽ 280 y Suc ⫽ 350. Calcule el factor de seguridad y dibuje los diagramas de σ1⫺σ3 de cada teoría, mostrando el estado de esfuerzos mediante: a) la teoría del esfuerzo de corte máximo y b) teoría de energía de distorsión. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problema en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas en capítulos subsecuentes también pueden continuar y ampliar esos problemas. 3-81. Una pieza tiene el estado de esfuerzos y resistencias combinados dados (en MPa) por σx ⫽ 70, σy ⫽ 35, τxy ⫽ 31.5, Sut ⫽ 140, Sy ⫽ 126 y Suc ⫽ 140. Mediante la teoría de falla de la energía de distorsión, obtenga el esfuerzo de Von Mises efectivo y el factor de seguridad contra falla estática. 3-82. Repita el problema 3-78 para la biela hecha de hierro fundido clase 20. 3-83. Repita el problema 3-79 para la parte hecha de hierro fundido clase 20. 3-84. Un elemento diferencial está sometido a los esfuerzos (en MPa): σ1 ⫽ 70, σ2 ⫽ 0, σ3 ⫽ ⫺140. El material es frágil y tiene resistencias (en MPa): Sut ⫽ 350 y Suc ⫽ 630. Calcule el factor de seguridad y dibuje los diagramas de σ1⫺σ3 de cada teoría con el estado de esfuerzos mediante: a) la teoría de Coulomb-Mohr y b) la teoría de Mohr modificada. 3-85. Una pieza tiene un estado de esfuerzos y resistencias combinados dados (en MPa) por σx ⫽ 70, σy ⫽ 35, τxy ⫽ 31.5, Sut ⫽ 140, Sy ⫽ 126 y Suc ⫽ 560. Mediante la teoría de falla modificada de Mohr, obtenga el esfuerzo efectivo y el factor de seguridad contra falla estática. TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA La ciencia es un mueble de primera categoría para el piso superior de un hombre, si tiene sentido común en la planta baja. Oliver Wendell Holmes 4.0 INTRODUCCIÓN La mayoría de las fallas en las máquinas son consecuencia de cargas que varían con el tiempo en lugar de cargas estáticas. Tales fallas ocurren normalmente a niveles de esfuerzos significativamente menores que las resistencias a la fluencia de los materiales. Por ello, utilizar sólo las teorías de falla estática del capítulo anterior puede llevar a diseños inseguros cuando haya cargas dinámicas. La tabla 4-0 muestra las variables que se usan en este capítulo, así como las referencias de ecuaciones, tablas o secciones donde se emplean. Al final del capítulo se incluye un resumen que también reúne las ecuaciones importantes del capítulo, con la finalidad de consultarlas fácilmente e identificar la sección del capítulo en la cual se encuentra su explicación. Historia de las fallas por fatiga Este fenómeno se advirtió por primera vez en el siglo XIX, cuando los ejes de carros de ferrocarril empezaron a fallar después de tan sólo un tiempo limitado en servicio. Estaban hechos de acero dúctil, pero presentaban fallas repentinas, como si fueran materiales frágiles. Rankine publicó, en 1843, el estudio Sobre las causas de rupturas inesperadas en la sección giratoria de los ejes de ferrocarril, donde postuló que el material se había “cristalizado” y se volvió frágil debido a la fluctuación de los esfuerzos. Los ejes se diseñaron con toda la experiencia de ingeniería de la época, la cual tenía como base la experiencia con estructuras cargadas estáticamente. En ese entonces, las cargas dinámicas eran un fenómeno nuevo, derivado de la introducción de maquinaria que funcionaba con vapor. Tales ejes estaban fijos a las ruedas y giraban con ellas, de modo que el esfuerzo de flexión, en cualquier punto sobre la superficie del eje, variaba en forma cíclica de positivo a negativo, como se muestra en la figura 4-1a. A dicha carga se le llama ciclo de carga invertida. El ingeniero alemán August Wohler efectuó la primera investigación científica (durante un periodo de 12 años) sobre lo que se conoce como falla por fatiga, 233 4 234 + DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 4-0 esfuerzo tiempo – (a) Ciclo de carga invertida 4 + esfuerzo (b) Ciclo de carga repetida – (c) Fluctuante FIGURA 4-1 Esfuerzos variables con el tiempo La fotografía de inicio del capítulo es del barco estadounidense Liberty, que se fracturó en la ciudad de Schenectady, cortesía del Ship Structures Committee del gobierno de Estados Unidos. Variables utilizadas en este capítulo Variable A a A95 Ccarga Cconf Ctamaño Csup Ctemp dequiv razón de amplitud ninguna mitad del ancho de la grieta in m Ec. 4.3 95% del área sometida a esfuerzo in2 m2 Ec. 4.7c factor de carga ninguna ninguna Ec. 4.7a factor de confiabilidad ninguna ninguna Tabla 4-4 factor de tamaño ninguna ninguna Ec. 4.7b factor de superficie ninguna ninguna Ec. 4.7e factor de temperatura ninguna ninguna Ec. 4.7f diámetro equivalente de la muestra de prueba in m Ec. 4.7d K Kc intensidad del esfuerzo kpsi-in0.5 MPa-m0.5 Secc. 4.1 tenacidad a la fractura kpsi-in0.5 MPa-m0.5 Secc. 4.1 $K rango del factor de intensidad del esfuerzo kpsi-in0.5 MPa-m0.5 Ec. 4.3 $Kth factor del de intensidad umbral del esfuerzo kpsi-in0.5 MPa-m0.5 Secc. 4.5 Kf factor de concentración del esfuerzo de fatiga ninguna ninguna Ec. 4.11 Kfm factor de concentración del esfuerzo medio de fatiga ninguna ninguna Ec. 4.17 N Nf número de ciclos ninguna ninguna Fig. 4-2, Secc. 4.2 factor de seguridad en fatiga ninguna ninguna Ec. 4.14, 4.18 + esfuerzo tiempo Un Enfoque Integrado Símbolo tiempo – - unidades ips unidades del SI Véase ninguna Ec. 4.1d q R Se Se' Sf Sf ' Sm sensibilidad a la muesca del material ninguna ninguna Ec. 4.13, Fig. 4-36 razón de esfuerzo ninguna ninguna Ec. 4.1d límite de resistencia corregido psi Pa Ec. 4.6 S(N) Syc límite de resistencia sin corregir psi Pa Ec. 4.5 resistencia a la fatiga corregida psi Pa Ec. 4.6 resistencia a la fatiga sin corregir psi Pa Ec. 4.5 resistencia media en 103 ciclos psi Pa Ec. 4.9 resistencia a la fatiga en cualquier N psi Pa Ec. 4.10 resistencia a la fluencia en compresión psi Pa Fig. 4-44, Ec. 4.16 a B factor geométrico de intensidad del esfuerzo ninguna ninguna Ec. 4.3 S S   Sa Sm S' Sa' Sm ' Smáx Smín esfuerzo normal psi Pa esfuerzos principales psi Pa Secc. 4.10 esfuerzo normal alternativo psi MPa Secc. 4.4 esfuerzo normal medio psi MPa Secc. 4.4 esfuerzo efectivo de von Mises psi Pa Secc. 4.10 esfuerzo de von Mises alternativo psi Pa Secc. 4.11 esfuerzo de von Mises medio psi Pa Secc. 4.11 esfuerzo normal máximo aplicado psi MPa Secc. 4.4 esfuerzo normal mínimo aplicado psi MPa Secc. 4.4 haciendo fallar ejes en el laboratorio sujetos a ciclos de carga invertida. Publicó sus descubrimientos en 1870; en ellos identificaba el número de ciclos de esfuerzos variables con el tiempo como el responsable; además, descubrió la existencia de un límite de resistencia para los aceros, es decir, un nivel de esfuerzo que sería tolerable para millones Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 235 logaritmo de resistencia a la fatiga S Sut línea de falla para Sf' el límite de resistencia Se' existe para algunos materiales Se' otros materiales no muestran límite de resistencia 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 logaritmo del número de ciclos N FIGURA 4-2 Diagrama de resistencia-vida de Wohler o diagrama S-N de ciclos de carga invertida. El diagrama S-N —o diagrama de Wohler—, que se ilustra en la figura 4-2, se convirtió en el estándar para representar el comportamiento de materiales sometidos a ciclos de carga completamente invertida y todavía está en uso, aun cuando en la actualidad existen también otras medidas de la resistencia de materiales sujetos a cargas dinámicas. En 1839, Poncelet fue el primero en aplicar el término “fatiga” a esta situación. El mecanismo de falla no se comprendía todavía, mientras la apariencia frágil de la superficie de falla, en un material dúctil, generaba especulación en cuanto a que el material de alguna manera “se había cansado” y vuelto frágil debido a las cargas oscilantes. Más tarde, Wohler demostró que las mitades de los ejes rotos eran tan fuertes y dúctiles, en pruebas a la tensión, como lo era el material original. Sin embargo, el término falla por fatiga se mantuvo y se usa aún para describir cualquier falla como consecuencia de los ciclos de carga invertida. Las fallas por fatiga representan un costo económico muy alto. Con base en los datos de un informe del gobierno de Estados Unidos en Reed y otros,[1] Dowling sugiere que: El costo anual en dólares por fatiga de materiales para la economía estadounidense, en 1982, fue de alrededor de $100 mil millones, correspondientes a aproximadamente 3% del producto interno bruto (PIB). Tales costos provienen de la incidencia o la prevención de fallas por fatiga para vehículos terrestres, trenes, aviones de todo tipo, puentes, grúas, equipo de plantas de energía, estructuras marítimas de pozos petroleros, así como una gran variedad de maquinaria y equipo, que incluye aparatos domésticos de uso diario, juguetes y equipo deportivo.[2] El costo implica, asimismo, vidas humanas. El primer jet comercial de pasajeros, el Comet británico, tuvo dos accidentes fatales en 1954 debido a fallas por fatiga en el fuselaje a causa de los ciclos de presurización/despresurización de la cabina.* Más recientemente (1988), un Boeing 737, de Hawaiian Airlines, perdió alrededor de un tercio de la parte superior de su cabina cuando volaba a 25 000 pies de altura. Aterrizó a salvo con el menor número de vidas perdidas. Existen otros muchos ejemplos recientes de fallas por fatiga catastróficas. En los últimos 150 años se ha efectuado un gran trabajo para determinar el mecanismo real de las fallas por fatiga. A partir de la Segunda Guerra Mundial, los requerimientos exigidos a los materiales en las aplicaciones para aviones y naves espaciales motivaron el incremento de la inversión en la investigación científica sobre el tema, de manera que ahora se entiende bastante bien. No obstante, los investigadores continúan buscando respuestas a preguntas acerca de los mecanismos de fatiga. La tabla 4-1 presenta la cronología de eventos significativos en la historia de la investigación de fatiga-falla. * Por lo general, se acepta que las fallas del Comet también costaron al Reino Unido su industria aérea comercial. Gran Bretaña salió del campo durante un tiempo; sin embargo, los recursos perdidos por la suspensión de vuelos y por el rediseño de sus aviones dieron a la industria aeronáutica estadounidense la oportunidad de tomar el liderazgo, el cual mantiene hasta hoy. Gran Bretaña sólo recientemente empezó a tener una participación significativa en el mercado con el consorcio europeo que desarrolló el Airbus. 4 236 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 4-1 - Un Enfoque Integrado Cronología de eventos en la investigación y los logros de fallas por fatiga Fuente: “Fracture Mechanics & Fatigue”, Union College, 1992, con autorización 4 Año Investigador Suceso o logro 1829 Albert El primero en documentar fallas debidas a cargas repetidas. 1839 Poncelet El primero en utilizar el término fatiga. 1837 Rankine Estudio de la teoría de cristalización por fatiga. 1849 Stephenson Estudio de los productos asociados con las fallas por fatiga de los ejes de ferrocarril. 1850 Braithwaite El primero en usar el término fatiga en una publicación en inglés y en estudiar la teoría de la cristalización. 1864 Fairbairn Informa sobre los primeros experimentos con cargas repetidas. 1871 Wohler Publica los resultados de muchos años de investigación sobre fallas en ejes, desarrolla las pruebas de flexión giratorias y el diagrama S-N, y también define el límite de resistencia. 1871 Bauschinger Desarrolla el extensómetro de espejo con una sensibilidad de 10–6 y estudia el esfuerzo-deformación inelástico. 1886 Bauschinger Propone un “límite elástico natural” cíclico, abajo del cual no ocurrirá la fatiga. 1903 Ewing/Humfrey Descubren las líneas de deslizamiento, grietas por fatiga y crecimiento de la grieta por falla, refutando así la teoría de la cristalización. 1910 Bairstow Verifica la teoría de Bauschinger de un límite elástico natural y el límite de resistencia de Wohler. 1910 Basquin Desarrolla la ley exponencial de pruebas de resistencia (la ecuación de Basquin). 1915 Smith/Wedgewood Separan la deformación plástica cíclica de la deformación plástica total. 1921 Griffith Desarrolla criterios de fractura y relaciona la fatiga con el crecimiento de la grieta. 1927 Moore/Kommers Cuantifica los datos de ciclos altos de fatiga para muchos materiales en “The Fatigue of Metals”. 1930 Goodman/Soderberg Determinan independientemente la influencia de los esfuerzos medios en la fatiga. 1937 Neuber Publica la ecuación de Neuber para la concentración de deformaciones en muescas (traducida al inglés en 1946). 1953 Peterson Publica “Stress Concentration Design Factors”, que ofrece un buen enfoque para justificar las muescas. 1955 Coffin/Manson Publican independientemente la ley de la fatiga con pocos ciclos con base en la deformación (ley de Coffin-Manson). 1961 Paris Publica la ley de Paris de mecánica de la fractura del crecimiento de la grieta por fatiga. 4.1 MECANISMO DE LA FALLA POR FATIGA Las fallas por fatiga comienzan siempre como una grieta, la cual quizás haya estado presente en el material desde su manufactura, o tal vez se desarrolló con el paso del tiempo debido a la deformación cíclica alrededor de las concentraciones de esfuerzos. Fischer y Yen[3] han demostrado que prácticamente todos los miembros estructurales tienen discontinuidades, que van desde microscópicas (
0.010 in) hasta macroscópicas, introducidas en la manufactura o el proceso de fabricación. Las grietas por fatiga por lo general inician como una muesca u otro concentrador de esfuerzos. (Se utilizará el término general muesca para representar cualquier contorno geométrico que incremente el esfuerzo local.) Las fallas frágiles de algunos de los buques-cisterna de la Segunda Guerra Mundial (véase la figura 3-15 en la p. 196) estaban trazadas como grietas que iniciaban en un arco a la izquierda de una soldadura mal aplicada. Las fallas del avión Comet iniciaron en grietas menores de 0.07 in de largo, cerca de las esquinas de ventanas que eran casi cuadradas, provocando así altas concentraciones de esfuerzos. De modo que resulta crítico que las piezas cargadas dinámicamente sean diseñadas para minimizar las concentraciones de esfuerzos, como se describió en la sección 2.15 (p. 116). Hay tres fases o etapas de fallas por fatiga: inicio de la grieta, propagación de la grieta y fractura repentina debida al crecimiento inestable de la grieta. La primera etapa puede ser de corta duración, la segunda implica la mayoría de la vida de la pieza y la tercera es instantánea. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 237 Fase de inicio de la grieta Suponga que el material es un metal dúctil y no presenta grietas en su fabricación, aunque tiene la colección usual de partículas, inclusiones, etcétera, comunes en materiales para ingeniería. A nivel microscópico, los metales no son homogéneos ni isotrópicos.* Suponga, de igual manera, que hay algunas regiones de concentración de esfuerzos geométricos (muescas) en ubicaciones de esfuerzos significativos que varían con el tiempo y tienen una componente (positiva) de tensión, como se indica en la figura 4-1 (p. 234). Conforme oscilan los esfuerzos en la muesca, puede ocurrir una fluencia local por la concentración de esfuerzos, aun cuando el esfuerzo nominal en la sección esté muy por debajo de la resistencia a la fluencia del material. La fluencia plástica local provoca distorsión y crea bandas de deslizamiento (regiones de deformación intensa debidas al movimiento cortante), a lo largo de los límites de cristal del material. Conforme el esfuerzo oscila, se presentan bandas de deslizamiento adicionales y se fusionan en grietas microscópicas. Incluso en ausencia de una muesca (como en las muestras de prueba lisas), este mecanismo funciona siempre que se exceda la resistencia a la fluencia del material en algún sitio. Los vacíos o las inclusiones preexistentes servirán como incrementadores de esfuerzos para iniciar la grieta. 4 Los materiales menos dúctiles no cuentan con la misma capacidad para ceder como dúctiles, por lo que tenderán a desarrollar grietas más rápidamente. Son más sensibles a la muesca. Los materiales frágiles (en especial los fundidos) que no ceden pueden saltarse la fase inicial, así como proceder directamente a la propagación de la grieta en sitios donde haya vacíos o inclusiones que sirven como microgrietas. Fase de propagación de la grieta Una vez que se ha formado una microgrieta (o está presente desde el principio), el mecanismo de mecánica de la fractura que se describió en la sección 3.3 (p. 195) se vuelve factible. La grieta afilada crea una concentración de esfuerzos más grande que la de la muesca original, por lo que se desarrolla una zona plástica en la punta de la grieta cada vez que un esfuerzo de tensión abre la grieta, lo cual achata su punta y reduce la concentración del esfuerzo efectiva. La grieta crece una pequeña cantidad. Cuando el esfuerzo oscila hacia un régimen de esfuerzo compresivo, hasta cero, o lo suficientemente menor que el esfuerzo de tensión, como se muestra en las figuras 4-1a a 4-1c (p. 234), respectivamente, la grieta se cierra, la fluencia cesa en forma momentánea y la grieta se vuelve afilada de nuevo, pero ahora es más grande. Este proceso continúa siempre que el esfuerzo local oscile de un valor por abajo de la fluencia a la tensión, a un valor por arriba de la fluencia a la tensión en la punta de la grieta, de modo que el crecimiento de la grieta se debe al esfuerzo de tensión y la grieta crece a lo largo de los planos normales al esfuerzo de tensión máximo. Por lo anterior, las fallas de fatiga se consideran una consecuencia del esfuerzo de tensión, aun cuando el esfuerzo cortante inicia el proceso en materiales dúctiles, como se describió anteriormente. Los esfuerzos cíclicos, que siempre son de compresión, no causarán el crecimiento de la grieta, puesto que tienden a cerrarla. La tasa de crecimiento de propagación de la grieta es muy pequeña, del orden de 108 a 104 in por ciclo;[5] no obstante, se suma en un gran número de ciclos. Si se amplifica la superficie que falla, las estrías debidas a cada ciclo de esfuerzo se observan en la figura 4-3, con 12 000x de amplificación, la cual presenta la superficie agrietada de una muestra de aluminio que falló, junto con una representación del patrón de esfuerzociclo que la hizo fallar. La gran amplitud ocasional de los ciclos de esfuerzo muestra unas estrías más grandes que las amplitudes pequeñas más comunes; lo anterior indica que las mayores amplitudes de esfuerzos causan un crecimiento más grande de la grieta en un ciclo. CORROSIÓN Otro mecanismo de propagación de la grieta es la corrosión. Si una pieza que contiene una grieta se encuentra en un ambiente corrosivo, la grieta crecerá con un esfuerzo estático. La combinación de un esfuerzo y un ambiente corrosivo * “Cuando se ven a una escala lo suficientemente pequeña, todos los materiales son anisotrópicos y no homogéneos. Los metales para ingeniería, por ejemplo, están compuestos de un agregado de granos de cristal pequeños. Dentro de cada grano, el comportamiento es anisotrópico debido a los planos del cristal, por lo que si se cruza el límite de un grano, la orientación de estos planos se modifica. La falta de homogeneidad existe no sólo por la estructura del grano, también a consecuencia de la presencia de vacíos minúsculos, o a partículas de una composición química diferente al grueso del material masivo, como inclusiones de silicato o alúmina en el acero”.[3] 238 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado tiene un efecto sinérgico y el material se corroe más rápidamente que sin el esfuerzo. Esta situación combinada algunas veces se conoce como esfuerzo por corrosión o agrietamiento asistido ambientalmente. 4 Si la pieza se esfuerza cíclicamente en un ambiente corrosivo, la grieta crecerá más rápido que si estuviera sometida a un solo factor. Lo anterior también se conoce como fatiga por corrosión; mientras que la frecuencia cíclica del esfuerzo (a diferencia del número de ciclos) no parece surtir un efecto nocivo en el crecimiento de la grieta en un ambiente no corrosivo, en tanto que en un ambiente corrosivo sí lo tiene. Las menores frecuencias cíclicas le dan al ambiente más tiempo para actuar sobre la punta de la grieta sujeta al esfuerzo, mientras se mantiene abierta por el esfuerzo de tensión, lo cual incrementa en forma sustancial la razón de crecimiento por ciclo de la grieta. Fractura La grieta continuará creciendo siempre que haya un esfuerzo de tensión cíclica y/o factores de corrosión de severidad suficiente. En algún punto, el tamaño de la grieta se vuelve lo suficientemente grande como para aumentar el factor de intensidad K del esfuerzo, en la punta de la grieta (ecuación 3.14), hasta el nivel de la tenacidad a la fractura Kc del material, y ocurra instantáneamente una falla repentina (como se describió en la sección 3.3 (p. 195) de mecánica de fractura) en el siguiente ciclo de esfuerzo a la tensión. El mecanismo de falla es el mismo, ya sea que se cumpla la condición K  Kc por la propagación de un tamaño lo suficientemente grande de la grieta (que incrementa a en la ecuación 3.14, p. 198) o porque el valor del esfuerzo nominal creció lo suficiente (lo que incrementa σnom en la ecuación 3.14). El primero es el caso común de carga dinámica, en tanto que el último es más frecuente en carga estática. El resultado es el mismo: falla repentina y catastrófica, sin advertencia. El examen minucioso a simple vista de las piezas que fallan por cargas de fatiga muestra un patrón típico, como se observa en la figura 4-4. Hay una región que aparece pulida, emanada del sitio original de la microgrieta, así como otra región separada que aparece áspera y sin pulir, parecida a una fractura frágil. La región pulida era la grieta y con frecuencia muestra marcas de playa, llamadas así porque parecen ondas dejadas en la arena por la retirada de las olas. Las marcas de playa (no confundir con las estrías de la figura 4-3, las cuales son menores e imperceptibles para el simple ojo humano) se deben FIGURA 4-3 Estrías por fatiga sobre la superficie agrietada de una aleación de aluminio. El espaciado entre las estrías corresponde al patrón de carga cíclica (de la fig. 1.5, p. 10, D. Broek, en The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Publishers, Dordrecht, 1988) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 239 origen 4 ruptura final rotación (a) (b) FIGURA 4-4 Dos piezas que fallaron a la fatiga. Observe las marcas de playa: (a) El cuñero en el eje de acero 1040 falló por flexión giratoria. La grieta inició en el cuñero. (b) Cigüeñal de un motor diesel con falla combinada por flexión y torsión. La grieta en la flecha (Fuente: D.J. Wulpi, Understanding How Components Fail, Am. Soc. for Metals: Metals Park, Ohio, 1990, fig. 22, p. 149, y fig. 25, p. 152) al inicio y final del crecimiento de la grieta, y rodean el sitio del origen de la grieta, que suele ser una muesca o un incrementador de esfuerzos interno. Algunas veces, si hubo mucha fricción en las superficies agrietadas, las marcas de playa serán oscuras. La zona de falla frágil es la porción que falló de repente, cuando la grieta alcanzó su tamaño límite. La figura 4-5 muestra los diagramas de superficies de falla para varias geometrías de piezas, cargadas de diferentes modos y a diferentes niveles de esfuerzo. Las marcas de playa se observan en las zonas de grietas. La zona de fractura frágil puede ser un pequeño remanente de la sección transversal original. 4.2 MODELOS DE FALLA POR FATIGA Hoy se utilizan tres modelos de falla por fatiga, cada uno de los cuales tiene un lugar y un propósito. Ellos son: el procedimiento de esfuerzo-vida (S-N), el procedimiento deformación-vida (ε-N) y el procedimiento de la mecánica de fractura lineal elástica (LEFM). Se estudiará primero su aplicación, así como sus ventajas y desventajas, luego se compararán de un modo general para después analizar algunas de ellas con mayor detalle. Regímenes de fatiga Con base en el número de ciclos de esfuerzos o deformaciones, a los cuales se espera que se someta la pieza durante su tiempo de vida, se clasifica como régimen de fatiga de ciclo bajo (LCF) o régimen de fatiga de ciclo alto (HCF). No hay una línea divisoria clara entre ambos regímenes, pero varios investigadores sugieren divisiones ligeramente diferentes. Dowling[6] define el régimen de ciclo alto como aquel de 102 a 104 ciclos de variación esfuerzo/deformación, con cambio en el número de ciclos de acuerdo con el tipo de material. Juvinall[7] y Shigley[8] sugieren 103 ciclos y Madayag[9] lo define 240 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Esfuerzo nominal alto Esfuerzo nominal bajo Concentración Concentración No hay de esfuerzos concentración de esfuerzos ligera severa de esfuerzos Concentración Concentración No hay de esfuerzos concentración de esfuerzos ligera severa de esfuerzos 4 Tensión-tensión o tensión-compresión Marcas de playa Superficie de fractura Flexión unidireccional Flexión invertida Flexión giratoria Torsión FIGURA 4-5 Representación esquemática de las superficies de fatiga por fractura de varias secciones transversales lisas y con muesca, bajo condiciones de carga y niveles de esfuerzo diversos (del Metals Handbook, Am. Soc. for Metals, Metals Park, Ohio, vol. 10, 8a. ed., 1975, p. 102, con autorización) de 103 a 104 ciclos como límite. En este texto se supondrá que N  103 ciclos es una aproximación razonable para dividir el LCF del HCF. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 241 El procedimiento de esfuerzo-vida Éste es el más antiguo de los tres modelos y es el que se utiliza con más frecuencia en aplicaciones de fatiga de ciclo alto (HCF), donde se espera que el ensamble dure por más de aproximadamente 103 ciclos de esfuerzo. El modelo funciona mejor cuando las amplitudes de la carga son predecibles y consistentes durante la vida de la pieza. Se trata de un modelo con base en el esfuerzo, el cual busca determinar una resistencia de fatiga y/o un límite de resistencia a la fatiga para el material, de modo que los esfuerzos cíclicos se mantengan por debajo de ese nivel y se elimine la falla para el número de ciclos requerido. Luego se diseña la pieza con base en la resistencia a la fatiga del material (o el límite de resistencia a la fatiga) y un factor de seguridad. En efecto, dicho procedimiento intenta mantener tan bajos los esfuerzos locales en las muescas que nunca comience la fase inicial de la grieta. La premisa (y meta del diseño) es que los esfuerzos y las deformaciones dondequiera que se encuentren permanezcan en la región elástica y que no ocurra la fluencia local que inicie la grieta. El enfoque es muy fácil de implementar y hay grandes cantidades de datos relevantes sobre resistencia, debido a su largo tiempo de uso. Sin embargo, es el más empírico y el menos preciso de los tres modelos, en términos de la definición de los estados reales locales de esfuerzo/deformación en la pieza, sobre todo en los casos de vida finita a la fatiga de ciclo bajo, donde se espera que el número total de ciclos sea menor de 103 aproximadamente y los esfuerzos sean tan altos como para causar fluencia local. Por otro lado, en ciertos materiales, el enfoque esfuerzo-vida permite el diseño de piezas de vida infinita bajo carga cíclica. El procedimiento deformación-vida Como el inicio de una grieta implica fluencia, el enfoque con base en el esfuerzo no es capaz de modelar adecuadamente esta fase del proceso. El modelo basado en la deformación brinda una imagen razonablemente precisa de la fase de inicio de la grieta. También toma en cuenta el daño acumulativo debido a las variaciones en el ciclo de carga durante la vida de la pieza, como las sobrecargas que pueden introducir esfuerzos residuales favorables o desfavorables en la zona de falla. Las combinaciones de cargas de fatiga y temperaturas altas se manejan mejor con este método, ya que se pueden incluir los efectos de arrastre. Este método se aplica con mayor frecuencia en problemas de LCF, de vida finita, donde los esfuerzos cíclicos son lo suficientemente altos como para causar fluencia local. Es el más complicado de los tres modelos y requiere una solución asistida por computadora. Todavía se están desarrollando datos de prueba sobre el comportamiento de la deformación cíclica de varios materiales para ingeniería. El procedimiento de LEFM La teoría de mecánica de la fractura ofrece el mejor modelo de la fase de propagación de la grieta del proceso. Este método se aplica a problemas de LCF, de vida finita, donde se sabe que los esfuerzos cíclicos son lo suficientemente altos como para causar la formación de grietas, y es más útil en la predicción de la vida restante de piezas agrietadas en servicio. Se utiliza en forma frecuente junto con pruebas no destructivas (NDT) en un programa periódico de inspección en servicio, sobre todo en la industria aeronáutica/aeroespacial. Su aplicación es bastante clara y concisa, pero depende de la exactitud de la expresión del factor geométrico de la intensidad del esfuerzo β (ecuación 3.14b, p. 198), así como del tamaño estimado a de la grieta inicial requerido para el cálculo. En ausencia de una grieta detectable, el procedimiento para iniciar el cálculo consiste en suponer que ya existe una grieta más pequeña que la menor grieta detectable. Esto da resultados más precisos cuando ya existe una grieta detectable y mesurable. 4 242 DISEÑO DE MÁQUINAS 4.3 4 - Un Enfoque Integrado CONSIDERACIONES DEL DISEÑO DE MÁQUINAS La selección de modelos de fatiga-falla, para efectos del diseño de máquinas, depende del tipo de maquinaria que se diseña y del uso que se le dará. El modelo de esfuerzo-vida (S/N) se aplica con frecuencia a la clase más grande de maquinaria giratoria (estacionaria o móvil), porque las vidas de servicio requeridas se encuentran generalmente en el intervalo del HCF. Por ejemplo, considere el número de ciclos de carga (revoluciones) que se requieren de un cigüeñal de un motor para automóvil durante su vida útil. Suponga que se desea una vida de 100 000 millas sin que falle el cigüeñal. El radio de rodamiento promedio de un neumático de automóvil es aproximadamente de 1 ft y, por lo tanto, su circunferencia es de 6.28 ft. El eje impulsor de las ruedas girará entonces 5 280/6.28  841 rev/mi, o bien, 84E6 rev/100 000 millas. Una razón final típica del diferencial para un auto de pasajeros es de aproximadamente 3:1, lo cual significa que el eje de salida de la transmisión gira a 3x la rapidez del eje impulsor. Si se supone que la mayoría de su vida, el auto la pasa sobre el engrane superior (1:1), entonces la rapidez del motor también promedia 3x la rapidez del eje impulsor. Esto significa que el cigüeñal y la mayoría de otras componentes giratorias y oscilatorias del motor alcanzarán alrededor de 2.5E8 ciclos en 100 000 millas (el tren de válvulas hará la mitad de esa cantidad), lo cual se encuentra claramente en el régimen de HCF, sin tomar en cuenta el funcionamiento del tiempo de marcha en vacío. Las cargas cíclicas también son razonablemente predecibles y consistentes, de modo que el enfoque de esfuerzo-vida resulta adecuado aquí. Como otro ejemplo, considere una máquina automática de producción típica como las que se utilizan en la industria estadounidense. Quizás esté fabricando pilas o pañales desechables, o bien, llenando latas con una bebida gaseosa. Suponga que la rapidez de su eje de transmisión principal es de 100 rpm (un estimado conservador). Suponga además un solo turno de operación (también conservador, puesto que muchas máquinas trabajan dos o tres turnos). ¿Cuántos ciclos (revoluciones) alcanzarán el eje de transmisión y todos los engranes, levas, etcétera, impulsados por él en un año? En un día de ocho horas gira 100(60)(8)  480 000 rev/turno-día. En 260 días de trabajo al año, girará 125E6 rev/ turno-año. De nueva cuenta, se está en el régimen de HCF, mientras las cargas son usualmente muy predecibles y consistentes en amplitud. Una clase de maquinaria que típicamente opera en la fatiga de bajo ciclo (LCF) es la de transporte (servicio). El bastidor de una aeronave, el casco de una embarcación y el chasis de un vehículo terrestre alcanzan una historia de tiempo de carga que es muy variable debido a las tormentas, ráfagas/olas, aterrizajes/atracamientos difíciles (para aviones/barcos) y sobrecargas, baches (para vehículos terrestres), etcétera. El número total de ciclos de carga alcanzados en su vida también es menos predecible, por las circunstancias de su uso. Aun cuando el número de ciclos de esfuerzos de baja magnitud sea potencialmente grande (y esté en el régimen de HCF) durante su tiempo de vida potencial, siempre está presente el riesgo de cargas más altas que las de diseño que causan fluencia local. Una serie de ciclos de esfuerzos altos, aun si su número es menor de 103, puede causar el crecimiento significativo de la grieta debido a la fluencia local. Los fabricantes de este tipo de equipo generan una gran cantidad de datos de cargatiempo o de deformación-tiempo, al colocar instrumentos en los vehículos reales, mientras los operan en servicio regular o bajo condiciones de prueba controladas. (Véase más adelante la figura 4-7 para ejemplos.) Las simulaciones por computadora también se desarrollan y refinan comparando los datos experimentales. Las historias simuladas y experimentales de carga-tiempo se usan, por lo general, junto con los modelos deformación-vida o LEFM (o ambos), con la finalidad de predecir las fallas de manera más exacta y así mejorar el diseño. Otro ejemplo del uso de los modelos de ε-N y LEFM es el análisis y diseño de los álabes del rotor de una turbina de gas, los cuales operan bajo esfuerzos elevados a altas temperaturas, y pasan a través de ciclos térmicos de LCF cuando arrancan y cuando se apagan. En este texto el enfoque estará en el modelo esfuerzo-vida y también se analizará la aplicación del modelo de LEFM, en problemas de diseño de máquinas cargadas cícli- Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 243 camente. El modelo deformación-vida es mejor para describir las condiciones de inicio de la grieta y ofrece el modelo teórico más completo, aunque es menos adecuado en el diseño de piezas para el HCF. Una descripción completa del modelo deformación-vida requeriría más espacio del que hay disponible en este libro de introducción al diseño. Se remite al lector a las referencias citadas en la bibliografía de este capítulo, las cuales incluyen exposiciones completas del enfoque deformación-vida (así como de los otros dos procedimientos). El enfoque de la mecánica de fractura permite la determinación del remanente de vida de piezas agrietadas en servicio. El modelo esfuerzo-vida es la elección más apropiada para la mayoría de los problemas de diseño de maquinaria giratoria, debido a la necesidad de ciclos de vida grandes (o vida infinita) en la mayoría de los casos. 4 4.4 CARGAS POR FATIGA Las cargas que varían con el tiempo pueden causar fallas por fatiga. El tipo de carga varía sustancialmente de una aplicación a otra. En máquinas rotatorias, las cargas tienden a ser consistentes en amplitud con el transcurso del tiempo y a repetirse con cierta frecuencia. En equipo de servicio (vehículos de todos los tipos), las cargas suelen ser totalmente variables en amplitud y frecuencia durante el tiempo e incluso pueden ser de naturaleza aleatoria. La forma de la onda de la función carga-tiempo no parece surtir ningún efecto significativo sobre la falla por fatiga en ausencia de corrosión, de modo que por lo general se describe la función esquemáticamente como una onda senoidal o de diente de sierra. Asimismo, la presencia o ausencia de periodos de reposo en la historia de la carga no son significativas, siempre que el ambiente no sea corrosivo. (La corrosión provoca el crecimiento continuo de la grieta, incluso en ausencia de cualesquiera fluctuaciones en la carga.) La onda esfuerzo-tiempo o deformación-tiempo tendrá la misma forma y frecuencia generales que la onda carga-tiempo. Los factores significativos son la amplitud y el valor promedio de la onda esfuerzo-tiempo (o deformación-tiempo), así como el número total de ciclos esfuerzo/deformación que haya tenido la pieza. Carga en máquinas rotatorias Las funciones comunes de esfuerzo-tiempo, experimentadas en maquinaria rotatoria, se modelan como se indica en la figura 4-6, la cual las muestra de manera esquemática como ondas senoidales. La figura 4-6a muestra el caso del ciclo invertido donde el valor medio es cero. La figura 4-6b presenta el caso de un esfuerzo repetido donde la curva va desde cero hasta un máximo con un valor medio igual a la componente alternativa, mientras la figura 4-6c ilustra una versión del caso más general (llamado esfuerzo fluctuante) con todos los valores de las componentes diferentes de cero. (Observe que esfuerzo + esfuerzo + – Sm = 0 (a) Invertido $S Smín Sa $S Sa t Smáx Sa Smáx 0 + esfuerzo Smáx 0 t – Sm Smín $S Smín 0 t – (b) Repetido FIGURA 4-6 Valores alternativo, medio y del intervalo del ciclo de esfuerzos invertido, repetido y fluctuante Sm (c) Variable 244 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado cualquier porción de la onda podría estar también en régimen de esfuerzo compresivo.) Cualquiera de estas ondas se puede caracterizar por dos parámetros, la media y las componentes alternativas, sus valores máximos y mínimos, o bien, razones de tales valores. El intervalo de esfuerzo ∆σ se define como $S  S máx S mín (4.1a) S mín (4.1b) S mín (4.1c) La componente alternativa σa se obtiene de 4 Sa  S máx 2 en tanto que la componente media σm es Sm  S máx 2 Se pueden formar dos razones: R S mín S máx A Sa Sm (4.1d ) donde R es la razón del esfuerzo y A es la razón de amplitud. Cuando el esfuerzo es de ciclo invertido (figura 4-6a), R  1 y A   . Cuando se repite el esfuerzo (figura 4-6b), R  0 y A  1. Cuando los esfuerzos máximo y mínimo tienen el mismo signo, como en la figura 4-6c, tanto R como A son positivos y 0  R  1. Estos patrones de carga pueden resultar de esfuerzos de flexión, axiales, de torsión o de una combinación de éstos. Se verá que la presencia de una componente de esfuerzo medio llega a tener un efecto significativo sobre la vida de fatiga. Carga de equipo en servicio El tipo de la función carga-tiempo del equipo en servicio no se define con facilidad en una máquina giratoria. Los mejores datos resultan de las mediciones reales efectuadas sobre el equipo en servicio o de su operación en condiciones de servicio simuladas. La industria automotriz somete a sus prototipos a pruebas de pista que simulan varias superficies y curvas de rodamiento. Las pruebas de los vehículos son profusamente instrumentadas con acelerómetros, transductores de fuerza, medidores de deformación; mientras que otros instrumentos alimentan grandes cantidades de datos a las computadoras del vehículo o los transmiten a computadoras estacionarias, donde se digitalizan y almacenan para un análisis posterior. La industria de la aviación también realiza las pruebas de aeronaves y registra las fuerzas en vuelo, la aceleración y los datos de deformación. Lo mismo se hace con embarcaciones y plataformas petroleras en ultramar, etcétera. Algunos ejemplos de estas ondas de esfuerzo-tiempo en servicio se muestran en la figura 4-7, la cual describe el caso general de carga simulada en (a), el patrón típico de un barco o una plataforma en alta mar en (b), y el patrón típico de un avión comercial en (c). Tales patrones son semialeatorios por naturaleza, ya que los eventos no se repiten con una frecuencia específica. Datos como éstos se usan en programas de simulación por computadora que calculan los daños acumulados por fatiga usando un modelo basado en la deformación, en la mecánica de la fractura o una combinación de ambos. El modelo esfuerzo-vida no maneja tan efectivamente este tipo de historia de carga. Capítulo 4 Esfuerzo Periodo moderado TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA Periodo suave Periodo suave Periodo severo Periodo suave 245 Periodo semisevero Periodo suave (a) Tiempo 4 Esfuerzo Tormenta Clima Buen clima Vientos fuertes Buen clima moderado (b) Tiempo Esfuerzo Vuelo Suave Turbulencia Suave Tormenta eléctrica Suave suave (c) Carga Tiempo FIGURA 4-7 Carga semialeatoria en diferentes periodos (viajes, meses, vuelos) para (a) un caso general, (b) un barco o estructura en alta mar, (c) un avión comercial (de la fig. 6.10, p. 186, en The Practical Use of Fracture Mechanics, de D. Broek, Kluwer Publishers, Dordrecht, 1988) 4.5 CRITERIO DE FALLA PARA MEDICIÓN DE LA FATIGA Actualmente hay varias técnicas de prueba para medir la respuesta de materiales a esfuerzos y deformaciones que varían con el tiempo. El enfoque más antiguo es el de Wohler, quien aplicó una carga de flexión a una viga giratoria en voladizo, con la finalidad de lograr variaciones del esfuerzo en el tiempo. Posteriormente, R. R. Moore adaptó dicha técnica para una viga giratoria simplemente soportada con ciclos de flexión pura invertida. En los últimos 40 años, la llegada de máquinas de prueba con servo conductores hidráulicos ha permitido mucha mayor flexibilidad en los patrones de esfuerzo o deformación que se pueden aplicar a una muestra de prueba. Los datos de deformación o de mecánica de fractura, así como los datos de esfuerzo, se obtienen gracias a tal método. La mayoría de la información existente de resistencia a la fatiga es de una viga giratoria en ciclo de flexión invertida, con menos información sobre cargas axiales y todavía menos información sobre la torsión, si bien esto va cambiando conforme se generan más datos de fatiga axial. En algunos casos, no hay información acerca de resistencia a la fatiga para el material deseado; por consiguiente, es necesario tener un medio para 246 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado estimar un valor a partir de los datos de resistencia estática disponibles. Esto se analizará en la siguiente sección. Ciclo de esfuerzo invertido 4 Este caso de carga se obtiene con pruebas de flexión giratoria, fatiga axial, flexión en voladizo, o fatiga por torsión, dependiendo del tipo de carga deseado. La prueba de flexión giratoria, con base en el esfuerzo, es una prueba de HCF de ciclo invertido que intenta calcular la resistencia a la fatiga del material bajo tales condiciones. La prueba de fatiga axial se utiliza para generar datos similares de ciclo invertido de un material determinado en esa prueba de viga giratoria, y también sirve para pruebas de deformación controlada. La ventaja principal de la prueba axial es su capacidad para aplicar cualquier combinación de esfuerzos medios y alternativos. La prueba de flexión en voladizo somete a una viga no giratoria a oscilaciones por esfuerzos de flexión. Esta prueba puede dar como resultado esfuerzos medios y también ciclos de esfuerzo invertido. La prueba de torsión gira alternativamente una barra en direcciones opuestas, aplicando esfuerzos cortantes puros. PRUEBA CON UNA VIGA GIRATORIA El grueso de los datos existentes de resistencia a la fatiga de ciclo invertido vienen de la prueba de viga giratoria de R. R. Moore, en la cual una muestra muy pulida de aproximadamente 3 in de diámetro se monta en un dispositivo que permite se aplique un momento de flexión pura de magnitud constante, mientras la muestra gira a 1 725 rpm. Esto crea un ciclo de esfuerzo de flexión invertido en cualquier punto de la circunferencia de la muestra, como se expone en la figura 4-6a (p. 243). La muestra llega a un nivel de esfuerzo específico donde falla y, después, se registra el número de ciclos y el nivel de esfuerzo al que falla. Toma mediodía, aproximadamente, alcanzar 106 ciclos y cerca de 40 días alcanzar 108 ciclos sobre una muestra. La prueba se repite con diversas muestras del mismo material, cargadas a diferentes niveles de esfuerzos. Los datos obtenidos se grafican como resistencias a la falla normalizadas, Sƒ/Sut contra el número de ciclos, N (usualmente sobre coordenadas logaritmo-logaritmo), para obtener un diagrama S-N. La figura 4-8 ilustra los resultados de varias pruebas de viga giratoria sobre aceros forjados de hasta 200 kpsi, aproximadamente, de resistencia a la tensión. Los datos indican que las muestras llegan a la falla en los niveles de esfuerzos invertidos más altos después de unos cuantos ciclos. A menores niveles de esfuerzo, algunos no fallan en absoluto (aquéllos identificados como sin rotura en el círculo), antes de que sus pruebas se detengan en algún número determinado de ciclos (107 aquí). Observe la gran dispersión de los datos, lo cual es típico de las pruebas de resistencia a la fatiga. Las diferencias entre las múltiples muestras de material, requerido para generar la curva completa pueden ser responsables de la dispersión. Algunas muestras llegan a tener más o menos defectos que sirven como incrementadores de esfuerzos localizados. (Todas las muestras que carecen de muescas y tienen un pulido fino en su acabado, pararon el objetivo de minimizar la posibilidad de defectos superficiales que inicien una grieta.) Las líneas continuas se trazaron como soporte de los datos. LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA Observe que la resistencia a la fatiga S cae constante y linealmente (en las coordenadas log-log), como una función de N, hasta que alcanza una articulación de rodilla entre aproximadamente 106 a 107 ciclos. Esta articulación define el límite de resistencia a la fatiga Se' del material, el cual es un nivel de esfuerzo por abajo del cual se puede ciclar infinitamente sin falla de por medio. En el límite inferior de la banda de dispersión, más allá de la articulación, se define un límite de resistencia a la fatiga aproximado para aceros: Se' 0.5 Sut Sut  200 ksi (4.2 a) No todos los materiales presentan esta articulación. “Muchas aleaciones de aceros al carbono y de baja resistencia, algunos aceros inoxidables, hierros, aleaciones de molibdeno, aleaciones de titanio y algunos polímeros”[10] la tienen. Otros materiales Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 247 1.0 0.9 0.8 sin rotura Sf 0.7 Sut 0.6 0.5 0.4 2 4 103 6 8 2 104 4 6 8 2 4 6 8 105 ciclos de falla (N) FIGURA 4-8 2 106 4 6 8 107 4 Gráfica log-log de las curvas compuestas S-N para aceros forjados de Sut 200 kpsi (de la fig. 11.7, p. 210, de R. C. Juvinall, Stress, Strain, and Strength, McGraw-Hill, Nueva York, 1967, con autorización) como “aluminio, magnesio, cobre, aleaciones de níquel y algunos aceros inoxidables, así como aleaciones de aceros al carbono y de alta resistencia” [10] muestran curvas S-N que continúan cayendo conforme aumenta N, aun cuando la pendiente se vuelve más pequeña más allá de aproximadamente 107 ciclos. Para aplicaciones que requieren
106 ciclos de operación, la resistencia a la fatiga Sƒ’ (a veces llamada también resistencia de durabilidad a la fatiga) se define en cualquier N a partir de estos datos. El término límite de resistencia a la fatiga se utiliza para representar la resistencia a la fatiga de vida infinita sólo para aquellos materiales que la tienen. Los datos de la figura 4-8 son para aceros de Sut
200 kpsi. Los aceros con mayor resistencia a la tensión no presentan la relación mostrada en la ecuación 4.2a. La figura 4-9 muestra el límite de resistencia a la fatiga Se' graficado como una función de Sut. Existe una banda de gran dispersión; no obstante, el comportamiento promedio es una línea de pendiente 0.5 hasta los 200 kpsi. Más allá de ese nivel de resistencia a la fatiga máxima, disminuye la resistencia límite a la fatiga de los aceros. El enfoque usual consiste en suponer que la resistencia límite a la fatiga de los aceros nunca excede el 50% de 200 kpsi. para aceros: Se' 100 ksi Sut r 200 ksi (4.2b) La figura 4-9 ilustra también bandas de dispersión de límites de fatiga para muestras con muescas severas y para muestras en ambientes corrosivos. Estos dos factores tienen un efecto severo sobre la resistencia a la fatiga de cualquier material. El límite de resistencia a la fatiga existe sólo en ausencia de corrosión. Los materiales en ambientes corrosivos tienen curvas S-N que continúan cayendo conforme N se incrementa. En breve, consideraremos estos factores al determinar las resistencias a la fatiga corregidas de los materiales. La figura 4-10 presenta los resultados de la banda de dispersión de las pruebas de una viga giratoria en aleaciones de aluminio para varios tipos, incluyendo aleaciones forjadas (con Sut
48 kpsi), piezas fundidas a presión y muestras vaciadas en moldes de arena. Todas éstas están pulidas y no tienen muescas. Observe la falta de una articulación de rodilla distintiva, aunque la pendiente se vuelve más pequeña en aproximadamente 107 ciclos. Los aluminios no tienen un límite de resistencia; por lo tanto, su resistencia a la fatiga Sƒ' se toma usualmente como el esfuerzo de falla promedio en N  5E8 ciclos o algún otro valor de N (el cual debe estar definido en los datos). La figura 4-11 ilustra la tendencia de las resistencias a la fatiga (en N  5E8) para varias aleaciones de aluminio de resistencias variables a la tensión estática. La resistencia a la fatiga le sigue la pista a las resistencias a la tensión estática a razón de para aluminios: S f ' @5 x108 0.4 Sut Sut  48 kpsi (4.2c) 248 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Casos raros Porcentaje igual a 50% límite de fatiga - kpsi 4 Normal para muestras pulidas Muestras con muescas severas Muestras corroídas FIGURA 4-9 Relación entre el límite de resistencia a la fatiga y la resistencia última para muestras de acero (de Pico del esfuerzo de flexión alternativo S , ksi (log) Steel and Its Heat Treatment, de D. K. Bullens, John Wiley & Sons, Nueva York, 1948, con autorización del editor) FIGURA 4-10 Forja do Fun did oy mo Fun lde did ado oe na per ma nen te ren a Ciclos de vida N (log) Bandas S-N para aleaciones de aluminio representativas, excluyendo las aleaciones forjadas con Sut  38 kpsi (de la fig. 11.13, p. 216, R. C. Juvinall, Stress, Strain, and Strength, McGraw-Hill, Nueva york, 1967, con autorización) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 249 Aleaciones representadas: 2014 – 0, T4, y T6 2024 – T3, T36, y T4 6061 – 0, T4 y T6 6063 – 0, T42, T5, T6 7075 – T6 Resistencia a la fatiga en 5  108 ciclos 1100 – 0, H12, H14, H16, H18 3003 – 0, H12, H14, H16, H18 5052 – 0, H32, H34, H36, H38 4 Resistencia a la tensión FIGURA 4-11 Resistencia a la fatiga en 5  108 ciclos para aleaciones comunes de aluminio forjado (de la fig. 11.12, p. 215, R. C. Juvinall, Stress, Strain, and Strength, McGraw-Hill, Nueva York, 1967, con autorización) hasta una meseta en aproximadamente Sƒ'  19 kpsi, lo cual indica que la aleación de aluminio con Sut > aproximadamente 48 kpsi “llega al tope” en 19 kpsi de resistencia a la fatiga. (La Sn' en la figura es la misma que la Sƒ'.) para aluminios: Sf' @5 x108 19 ksi Sut r 48 kpsi (4.2 d ) PRUEBAS DE FATIGA AXIAL El diagrama S-N también se puede desarrollar para un material, usando una prueba de fatiga axial, donde una muestra similar a la mostrada en la figura B-1 (repetida aquí) se carga cíclicamente en una máquina de pruebas servohidráulica. La facilidad de tales máquinas para programarse permite cualquier combinación de componentes de esfuerzos medios y alternativos por aplicarse, incluyendo el ciclo de carga invertida (σm  0). La diferencia principal contra la prueba de la viga giratoria es que la sección transversal completa está uniformemente esforzada en tensión/ compresión axial, en vez de tener una distribución lineal de esfuerzos a lo largo de su diámetro, que es máximo en la fibra externa y cero en el centro. Un resultado es que las resistencias a la fatiga mostradas en las pruebas axiales son usualmente menores que las que se obtienen en la prueba de la viga giratoria. Se considera que esto se debe a la probabilidad más alta de hallar una microgrieta en el campo mucho más grande de esfuerzos altos en la muestra axial, que en las regiones exteriores de menor volumen muy esforzadas en la muestra giratoria. El hecho de que resulta difícil crear cargas axiales exactas sin excentricidad también puede ser un factor para obtener menores valores de resistencias, ya que las cargas excéntricas superponen momentos de flexión sobre las cargas axiales. La figura 4-12 muestra dos curvas S-N del mismo material (acero C10), generadas por una prueba de ciclo axial invertida (identificada como de empuje-tirón) y una prueba de flexión giratoria. Los datos axiales se ven con valores menores que los datos de la viga giratoria. Varios autores informan que la resistencia a la fatiga en ciclos axiales invertidos puede ser de 10%[11] a 30%[12] más baja, en comparación con los datos de la viga giratoria para el mismo material. Si se sabe que hay flexión, además de la carga axial, entonces la reducción podría ser tan grande como del 40%.[11] La figura 4-13 presenta los datos de un ciclo de carga axial invertida para un acero AISI 4130, graficados en coordenadas log-log. Observe que la pendiente cambia en aproximadamente 103 ciclos, lo cual corresponde casi a la transición desde la región de LCF hasta la región de HCF, y al cambio a prácticamente cero de la pendiente en aproximadamente 106 ciclos, correspondientes al límite de resistencia para vida infinita. La resistencia a la fatiga es aproximadamente el 80% de la resistencia estática del material lo do F I G U R A B - 1 Repetida Muestra de prueba a la tensión DISEÑO DE MÁQUINAS Sf (kg / mm2) 250 45 40 35 30 25 - Un Enfoque Integrado Material - acero DIN C10 (SAE 1090) 1 - Empuje-tirón 2 - Flexión giratoria 2 1 20 15 104 4 105 106 ciclos de falla (N) 107 108 FIGURA 4-12 Comparación de curvas S-N de ciclo axial invertido y viga giratoria (de A. Esin, “A Method of Correlating Different Types of Fatigue Curves”, International Journal of Fatigue, vol. 2, núm. 4, pp. 153-158, 1980) en aproximadamente 103 ciclos y cerca del 40% de su resistencia estática más allá de los 106 ciclos, los cuales son un 10% menores que los datos de la viga giratoria de la figura 4-8. PRUEBAS DE FLEXIÓN EN VOLADIZO Si una viga en voladizo se somete a oscilaciones en su extremo libre usando un mecanismo, se puede lograr cualquier combinación de esfuerzos medios y alternativos, como los que se muestran en la figura 4-6. Dicha prueba no se utiliza con tanta frecuencia como la de la flexión giratoria o la axial, más bien es una alternativa menos costosa que las últimas. En la figura 4-14 se ilustran ejemplos de datos generados por la prueba en voladizo para varios polímeros. Se trata de una gráfica semilogarítmica que muestra aún la presencia de un límite de resistencia a la fatiga para algunos materiales no metálicos. ciclo bajo ciclo alto 140 Sf (kpsi) 120 100 90 80 70 60 50 40 30 100 101 102 103 104 105 106 107 108 ciclos de falla (N) FIGURA 4-13 Curva S-N del ciclo axial invertido para un acero AISI 4130, que presenta ruptura en la transición de LCF/HCF, y el límite de resistencia a la fatiga (de la fig 7-3, p. 273, en Singley y Mitchel, Mechanical Engineering Design, 4a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1983, con autorización. Datos de NACA Technical Note #3866, dic. de 1966) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 251 8 50 40 Sa MPa Sm = 0 30 Hz 30 fenólicos epóxicos 6 dialilftalato resinas alkyd 4 Sa kpsi 20 10 nailon (seco) policarbonato polisulfón PTFE 0 103 2 4 0 104 FIGURA 4-14 105 106 107 ciclos de falla (N) Curvas de esfuerzo-vida de flexión en voladizo de minerales termoestables rellenos de vidrio (arriba de cuatro líneas) y termoplásticos sin relleno (cuatro líneas de abajo) (de la figura 9-22, p. 362, en N. E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1996, y con base en los datos de M. N. Riddell, “A Guide to Better Testing of Plastics”, Plastics Engineering, vol. 30, núm. 4, pp. 71-78, con autorización) PRUEBAS DE FATIGA POR TORSIÓN Se realizan sobre una muestra cilíndrica sometida a ciclo de carga de torsión invertida. En la figura 4-15, los puntos de falla para pruebas de flexión invertida y de esfuerzos biaxiales de torsión invertida se grafican sobre los ejes σ1-σ3. Observe la similitud con la elipse de la energía de distorsión en las figuras 3-3 y 3-8 (pp. 179 y 185), las cuales son para fallas con carga estática. De este modo, en carga cíclica, la relación entre la resistencia a la torsión y la resistencia a la flexión es la misma que en el caso de carga estática. Por consiguiente, se espera que la resistencia de fatiga por torsión (o límite de resistencia a la torsión) para un material dúctil sea de alrededor de 0.577 (58%) de la resistencia de fatiga por flexión (o límite de resistencia a la flexión). Nota: La porción punteada es superflua para ciclos de esfuerzos invertidos Flexión invertida Teoría de la energía de distorsión Torsión invertida Flexión invertida FIGURA 4-15 Fallas de esfuerzos torsionales y biaxiales a flexión combinadas, graficados sobre los ejes S1–S2 (de Behavior of Metals under Complex Static and Alternating Stresses, ed. G. Sines, en Metal Fatigue, por G. Sines y J. Waisman, McGraw-Hill, Nueva York, 1959, con datos de W. Savert, Alemania, 1943, para acero recocido suave) 252 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Esfuerzos medio y alternativo combinados (a) Resistencia alternativa a la fatiga, S 4 Esfuerzo alternativo, Sa La presencia de una componente de esfuerzo medio tiene un efecto significativo sobre la falla. Cuando la componente media de tensión se suma a la componente alternativa, como se indica en las figuras 4-6b y 4-6c (p. 243), el material falla a menores esfuerzos alternativos que los ciclos de carga invertida. La figura 4-16 muestra los resultados de pruebas efectuadas con aceros en aproximadamente 107 a 108 ciclos (a) y con aleaciones de aluminio en aproximadamente 5  108 ciclos (b), para varios niveles de esfuerzos medios y alternativos combinados. Las gráficas fueron normalizadas dividiendo el esfuerzo alternativo σa entre la resistencia a la fatiga Sƒ del material en ciclo de esfuerzo invertido (en el mismo número de ciclos) y dividiendo el esfuerzo medio σm entre la resistencia última a la tensión Sut del material. Existe una gran concordancia con la dispersión de Esfuerzo de tensión medio, Sm Resistencia alternativa a la fatiga, S (b) Esfuerzo alternativo, Sa Resistencia a la tensión, Su Esfuerzo de tensión medio, Sm Resistencia a la tensión, Su FIGURA 4-16 Efectos del esfuerzo medio sobre la resistencia a la fatiga alternativa en (a) aceros de mucha vida con 107 a 108 ciclos, (b) aleaciones de aluminio de mucha vida con 5  108 ciclos (de P. G. Forrest, Fatigue of Metals, Pergamon Press, Londres, 1962) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 253 datos, pero una parábola con intercepción en el 1 de cada eje, llamada línea de Gerber, se puede ajustar a los datos con una precisión razonable. Una línea recta que conecta la resistencia a la fatiga (1 sobre el eje y) con la resistencia última (1 sobre el eje x), llamada la línea de Goodman, es un ajuste razonable para la menor envoltura de los datos. La línea de Gerber es una medida del comportamiento promedio de tales parámetros (para materiales dúctiles), en tanto que la línea de Goodman es una medida de su comportamiento mínimo. La línea de Goodman se utiliza con frecuencia como un criterio de diseño, ya que es más segura que la línea de Gerber. La figura 4-17 muestra los efectos de los esfuerzos medios (que se encuentran entre el régimen de compresión y el régimen de tensión) sobre las fallas cuando se combinan con esfuerzos de tensión alternativos, tanto del aluminio como del acero. Con estos datos se aclara que los esfuerzos de compresión medios tienen un efecto benéfico y los esfuerzos de tensión medios, un efecto nocivo. Este hecho da la oportunidad de mitigar los efectos de los esfuerzos de tensión alternativos introduciendo deliberadamente esfuerzos de compresión medios. Una manera de hacer lo anterior es crear esfuerzos de compresión residuales en las regiones del material donde se esperan componentes alternativas grandes. Se investigará cómo se hace en secciones posteriores. La curva (sobre ejes semilogarítmicos) de la gráfica S-N, de la figura 4-18, muestra otra vista del fenómeno para un material hipotético, donde se suman el esfuerzo de compresión medio, no el esfuerzo medio, y el esfuerzo de tensión medio. La resistencia a la fatiga o el límite de resistencia a la fatiga del material se ven efectivamente incrementados por la introducción de un esfuerzo de compresión medio, ya sea aplicado o residual. Criterio de mecánica de la fractura La prueba de tenacidad a la fractura estática se describió en la sección 3.3 (p. 195). Para generar datos de resistencia a la fatiga, en términos de la teoría de mecánica de la fractura, se prueban varias muestras del mismo material para que fallen a diversos niveles de esfuerzos cíclicos de rango ∆σ. La prueba se hace en una máquina de fatiga axial y el patrón de carga suelen ser esfuerzos de tensión repetidos o variables, como se muestra esfuerzo alternativo axial, Sa resistencia a la fatiga invertida, Sf 2.0 1.5 1.0 0.5 0 –1.5 FIGURA 4-17 aleaciones de aluminio aceros –1.0 –0.5 0 0.5 compresión tensión esfuerzo medio, Sm resistencia a la fluencia, Sy 1.0 Efectos de esfuerzos de tensión y compresión medios (de G. Sines, “Failure of Materials Under Combined Repeated Stresses with Superimposed Static Stresses”,* NACA Technical Note #3495, 1955) 4 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado esfuerzo alternativo, Sa 254 Sm = compresión Sm = 0 Sm = tensión 4 103 104 105 106 107 108 ciclos de falla, N FIGURA 4-18 Efecto del esfuerzo medio sobre la vida en fatiga (de Fuchs y Stephens, Metal Fatigue in Engineering, Nueva York, 1980, reimpreso con autorización de John Wiley & Sons, Inc.) en las figuras 4-6b y 4-6c (p. 243). Las pruebas de esfuerzo invertido rara vez se hacen con estos datos, ya que los esfuerzos de compresión no favorecen el crecimiento de la grieta. El crecimiento de ésta se mide continuamente durante la prueba. El intervalo de los esfuerzos aplicados es de σmín a σmáx. El intervalo del factor de intensidad del esfuerzo ∆K se calcula para cada condición de esfuerzo fluctuante con $K  K máx K mín : si K mín  0 entonces $K  K máx (4.3a) Si se sustituye la ecuación 3.14 adecuada, el resultado será: $K  BS máx Pa BS mín Pa = B Pa S máx S mín (4.3b) El logaritmo de la razón del crecimiento de la grieta, como una función de los ciclos da/dN, se calcula y se grafica contra el logaritmo del intervalo del factor de intensidad del esfuerzo ∆K (como se muestra en la figura 4-19). La curva sigmoidal de la figura 4-19 se divide en tres regiones identificadas como I, II y III. La región I corresponde a la fase de inicio de la grieta, la región II a la fase de crecimiento (propagación) de la grieta y la región III a la fractura inestable. La región II es interesante porque predice la vida de fatiga, y esa parte de la curva es una línea recta en coordenadas logarítmicas. Paris[13] definió la relación en la región II como da = A( ∆K )n dN (4.4a) Barsom[14] probó varios aceros y desarrolló valores empíricos del coeficiente A y el exponente n de la ecuación 4.4. Éstos se presentan en la tabla 4-2. El número de ciclos N para el crecimiento de la grieta, a partir de un tamaño inicial ai hasta un tamaño dado aƒ bajo un intervalo de esfuerzo cíclico conocido ∆σ y una geometría β, se pueden estimar a partir de los parámetros de la ecuación de Paris como:* * Para la definición del factor de geometría β, véase la sección 3.3. N= (1− n 2 ) − a(1− n 2 ) af n n2 Aβ π i ∆σ (1 − n 2) n (4.4b) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 255 da dN escala logarítmica I II III 4 $Késimo Kc escala logarítmica $K FIGURA 4-19 Las tres regiones de la curva de la tasa de crecimiento de la grieta (de la figura 3-12, p. 102, en Bannantine y otros, Fundamentals of Metal Fatigue Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1990, con autorización) La vida de crecimiento de la grieta por fatiga se obtiene integrando la ecuación 4.4 entre una longitud inicial de la grieta —conocida o supuesta— y una longitud final aceptable máxima de la grieta, con base en la carga, la geometría y los parámetros específicos del material para la aplicación. La región I de la figura 4-19 también es de interés, ya que muestra la existencia de un umbral mínimo ∆Késimo por debajo del cual no habrá crecimiento de la grieta. Este “umbral del factor de intensidad del esfuerzo ∆Késimo se considera a menudo análogo al límite de resistencia a la fatiga sin muesca Se' puesto que el intervalo del factor de intensidad del esfuerzo aplicado ∆K por debajo del ∆Késimo no causa crecimiento de la grieta por fatiga.”[15] Estas pruebas de fatiga axial tienen una componente de esfuerzo medio, y el nivel del esfuerzo medio tiene un efecto sobre la razón de propagación de la grieta. La figura 4-20 muestra el esquema de un grupo de curvas da/dN para diferentes niveles de esfuerzo medio, como lo define la razón de esfuerzo R. Cuando R  0, se repite el esfuerzo como en la figura 4-6b (p. 243). Conforme R se aproxima a 1, el esfuerzo mínimo se aproxima al esfuerzo máximo (véase la ecuación 4.1d, p. 244). La figura 4-20 indica una pequeña variación en las curvas de la región II (crecimiento de la grieta); pero muestra cambios significativos de R en las regiones I y III. Por lo tanto, la iniciación de la grieta se ve afectada por el nivel de esfuerzo medio. El factor del umbral de intensidad del esfuerzo ∆Késimo puede reducirse en un factor de 1.5 a 2.5, cuando R se incrementa de 0 a 0.8[18]. Esto es consistente con los efectos del esfuerzo medio sobre los datos S-N del Tabla 4-2 Parámetros de la ecuación de Paris para varios aceros Fuente: J. M. Barsom,[14] con autorización unidades SI Acero A unidades estadounidenses (ips) n A n Ferrítico-perlítico 6.90E–12 3.00 3.60E–10 3.00 Martensítico 1.35E–10 2.25 6.60E–09 2.25 Austenítico inoxidable 5.60E–12 3.25 3.00E–10 3.25 256 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Razón de crecimiento de la grieta da/dN, m/ciclo 4 Razón de crecimiento de la grieta da/dN, in./ciclo Rango del factor de intensidad del esfuerzo ΔK, ksi in. Rango del factor de intensidad del esfuerzo, ΔK, MPa m. FIGURA 4-20 Esquema de los efectos del esfuerzo medio sobre la curva de la razón de crecimiento de la grieta (de Fuchs y Stephens, Metal Fatigue in Engineering, Nueva York, 1980, reimpreso con autorización de John Wiley & Sons, Inc.) modelo de esfuerzo-vida ya estudiado (véase la figura 4-16, p. 252). La figura 4-21 de la referencia 19 presenta datos de prueba sobre el efecto de la razón de esfuerzo R en el intervalo del factor del umbral de intensidad del esfuerzo ∆Késimo para varios aceros. Pruebas en montajes reales En tanto que muchos datos de resistencia se generan a partir de las pruebas sobre una muestra, y el ingeniero utiliza tales datos como punto de arranque para estimar la resistencia de una parte determinada, los mejores datos se obtienen probando el diseño real bajo cargas, temperatura y condiciones ambientales reales. Ésta es una propuesta costosa y únicamente se lleva a cabo cuando la cantidad del costo del diseño o la amenaza a la seguridad humana lo requieren. La figura 4-22 muestra un dispositivo complicado construido para probar a la fatiga los ensambles del ala y el fuselaje del Boeing 757 durante su producción. Se coloca el avión completo en el dispositivo y se aplican cargas variables en el tiempo a varios elementos, mientras se realizan las mediciones RANGO DEL FACTOR DEL UMBRAL DE INTENSIDAD DEL ESFUERZO POR FATIGA, ΔKésimo, ksi pulgada Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA $ Késimo = 6.4 (1-0.85 R) PARA R > 0.1 $ Késimo = 5.5 ksi pulgada PARA R  0.1 1 ksi pulgada = 1.099 MN/m 3/2 4 ACEROS ACERO DULCE ACERO DE BAJA ALEACIÓN ACERO AUSTENÍTICO 18/8 ACERO A517-F ACERO 9310 ACERO A508 CLASE 2 ACERO A533 CLASE 1 GRADO B ACERO 2 ¼ Cr – 1 Mo RAZÓN DEL ESFUERZO MÍNIMO Y DEL ESFUERZO MÁXIMO, σ MÍN σ MÁX ,R FIGURA 4-21 Efecto del esfuerzo medio sobre el rango del factor del umbral de intensidad del esfuerzo (de la fig. 9.6, p. 285, en Fracture and Fatigue Control in Structures, de Barsom y Rolfe, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1987, con autorización) de deformaciones, deflexiones, etcétera. Evidentemente se trata de un proceso costoso, pero que sirve para obtener los datos más realistas posibles, aplicando la prueba a las formas, las dimensiones y los materiales reales, en vez de muestras de laboratorio. 4.6 257 ESTIMACIÓN DEL CRITERIO DE FALLA POR FATIGA La mejor información de resistencia a la fatiga de un material, en alguna parte de su vida finita o de su límite de resistencia a la fatiga en vida infinita, proviene de las pruebas en montajes prototipo o reales del diseño, como ya se comentó. Si ello no resulta práctico o factible, la siguiente mejor información se genera en pruebas a la fatiga de muestras tomadas del material específico, tal como se fabrica para la pieza (es decir, fundido, forjado, maquinado, etcétera). Si esto falla, es probable que haya datos acerca de la resistencia a la fatiga en la literatura del tema o de los fabricantes del material; no obstante, tales datos son de prueba de muestras pequeñas y pulidas, en ambientes controlados. 258 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 4 FIGURA 4-22 Dispositivo de prueba a la fatiga del ensamble del ala y el fuselaje en un Boeing 757 (Cortesía de Boeing Comercial Airplane Co., Seattle, Wash.) Incluso en ausencia de tales datos, es necesario hacer alguna estimación del límite de resistencia a la fatiga o resistencia de fatiga del material, según los datos disponibles de pruebas monótonas, que se pueden limitar a información sobre la resistencia última del material Sut y la resistencia a la fluencia Sy. Estimación de la resistencia a la fatiga teórica Sƒ’ o el límite de resistencia a la fatiga Se’ Si hay datos publicados de la resistencia a la fatiga Sƒ’ o del límite de resistencia a la fatiga Se' del material, se deberían utilizar y aplicar los factores de corrección que se estudiarán en la siguiente sección. Los datos de resistencia a la fatiga publicados son usualmente de pruebas de ciclo de carga de flexión o axial invertida, sobre muestras pequeñas y pulidas. Si no hay datos de resistencia a la fatiga, es posible hacer un estimado burdo aproximado de Sƒ’ o Se' a partir de la resistencia última a la tensión publicada del material. La figura 4-23 indica las relaciones entre la Sut y la Sƒ de aceros forjados (a), hierros forjados y fundidos (b), aleaciones de aluminio (c) y aleaciones de cobre forjadas (d). Existe una dispersión considerable y las líneas se ajustan aproximadamente a los límites superior e inferior. En resistencias altas a la tensión, las resistencias a la fatiga suelen “llegar al tope”, como se describió anteriormente. A partir de esos datos, se establecen las relaciones aproximadas entre Sut y Sƒ’ o Se'. Dichas relaciones para aleaciones de acero y aluminio se definieron en la sección anterior como ecuaciones 4.2 y se repiten aquí por comodidad. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 259 (a) Acero Resistencia a la fatiga (MPa) 1240 620 4 0 (c) Aleaciones de aluminio Resistencia a la fatiga (MPa) (b) Hierro forjado y fundido Resistencia a la fatiga (MPa) 0 620 1240 1860 Resistencia a la tensión (MPa) 620 310 0 0 310 620 930 Resistencia a la tensión (MPa) 1240 0 310 620 Resistencia a la tensión (MPa) 930 0 310 620 Resistencia a la tensión (MPa) 930 465 310 155 0 (d) Aleaciones de cobre FIGURA 4-23 Resistencia a la fatiga (MPa) 465 310 155 0 Relación entre la resistencia a la fatiga sin muesca de la flexión giratoria y la resistencia última (de P. G. Forrest, Fatigue of Metals, Pergamon Press, Londres, 1962) 260 DISEÑO DE MÁQUINAS aceros: « ®Se' ¬ ® ­Se' hierros: «Se' ¬ ­Se' aluminios: «S f ' ® @5 E 8 ¬ ®S f ' ­ @5 E 8 aleaciones de cobre: «S f ' ® @5 E 8 ¬ ®S f ' ­ @5 E 8 4 - Un Enfoque Integrado para Sut  200 kpsi 1 400 MPa º ® » (4.5a) para Sut r 200 kpsi 1 400 MPa ® ¼ 0.5 Sut 100 kpsi 700 MPa para Sut  60 kpsi 400 MPa º » para Sut r 60 kpsi  400 MPa ¼ (4.5b) para Sut  48 kpsi 330 MPa º ® » para Sut r 48 kpsi 330 MPa ® ¼ (4.5c) para Sut  40 kpsi  280 MPa º ® » 14 kpsi 100 MPa para Sut r 40 kpsi 280 MPa ® ¼ (4.5d ) 0.4 Sut 24 kpsi 160 MPa 0.4 Sut 19 kpsi 130 MPa 0.4 Sut ‡ Factores de corrección para la resistencia a la fatiga teórica o el límite de resistencia a la fatiga Las resistencias a la fatiga o los límites de resistencia a la fatiga que se obtienen de muestras estándar de prueba a la fatiga, o de estimados con base en pruebas estáticas, deben modificarse para justificar las diferencias físicas entre la muestra de prueba y la parte real que se diseña. Las diferencias ambientales y de temperatura entre las condiciones de prueba y las condiciones reales se deben tomar en cuenta. Las diferencias en los modos de carga también se tienen que considerar. Estos y otros factores se incorporan a un conjunto de factores de reducción de la resistencia, que se multiplican luego por el estimado teórico, para obtener una resistencia de fatiga o un límite de resistencia a la fatiga corregidos en una aplicación específica. Se  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Se' S f  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Sf ' (4.6) donde Se representa el límite de resistencia a la fatiga corregido para un material que tiene una articulación de rodilla en su curva S-N; y Sƒ, la resistencia a la fatiga corregida en cierto número de ciclos N de un material que no presenta articulación de rodilla. Los factores de reducción de la resistencia en la ecuación 4.6 se definirán ahora. * Una excepción son el análisis y el diseño de espiras de resortes del capítulo 9, para los cuales la mayoría de los datos de resistencia disponibles son valores de resistencia de torsión cortante, de manera que tiene más sentido comparar directamente esfuerzos de torsión con resistencias a la torsión, sin convertir a los esfuerzos equivalentes de von Mises. ‡ El profesor Roger J. Hawks, de la Tri-State University, Angola, IN, ha analizado un gran número de datos de resistencia a la fatiga para aleaciones de cobre (incluyendo los datos de la figura 4-23d ), y encontró que el mejor ajuste de los datos es Sƒ  0.37 Sut para Sut
75 kpsi y Sƒ  28 kpsi para Sut  75 kpsi (comunicación personal, 1 de diciembre de 2004). EFECTOS DE LA CARGA Como las razones descritas arriba y la mayoría de los datos de resistencia a la fatiga publicados son los de pruebas de flexión giratoria, se tiene que aplicar un factor de reducción de la resistencia para cargas axiales. Las diferencias entre las pruebas axiales y de flexión giratoria en resistencia a la fatiga se describieron en la sección previa. Con base en ese estudio de pruebas de fatiga axial y de flexión, se define ahora un factor de carga Ccarga de reducción de la resistencia como flexión: Ccarga  1 carga axial: Ccarga  0.70 (4.7a) Observe que la prueba de fatiga por torsión indica una resistencia que es 0.577 veces la resistencia a la fatiga por flexión giratoria, como se ilustra en la figura 4-15 (p. 251). Para el caso de la fatiga por torsión pura, se compara el esfuerzo aplicado, alternativo cortante por torsión, directamente con la resistencia a la fatiga por torsión. Sin embargo, por lo general se trata el caso de torsión pura (y también los demás casos), al calcular el esfuerzo efectivo de von Mises a partir de los esfuerzos aplicados.* Esto da el valor del esfuerzo alternativo efectivo por tensión que se compara en forma directa con la resistencia a la fatiga por flexión, de modo que, para casos de torsión pura, se utiliza Ccarga  1 con este método. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 261 EFECTOS DEL TAMAÑO Las muestras de prueba de las vigas giratoria y estática son pequeñas (cerca de 0.3 in de diámetro). Si la pieza es mayor que esa dimensión, se necesita aplicar un factor de tamaño de reducción de resistencia, para considerar el hecho de que piezas más grandes fallan con menores esfuerzos, debido a la probabilidad más alta de que se presente un defecto en el volumen más grande sometido al esfuerzo.† Varios autores han sugerido valores diferentes para el factor del tamaño. Shigley y Mitchell[21] presentan una expresión muy simple, que es bastante conservadora. para d b 0.3 in  8 mm : Ctamaño  1 para 0.3 in  d b 10 in : Ctamaño  0.869d 0.097 para 8 mm  d b 250 mm : Ctamaño  1.189d 0.097 (4.7b) La ecuación 4.7b es válida para piezas cilíndricas. Para piezas de otras formas, Kuguel[22] sugiere que, igualando el área de la sección transversal —que no es redonda— de la pieza sometida a un esfuerzo arriba del 95% del esfuerzo máximo, con el área similar sometida a esfuerzo de una muestra de viga giratoria, se obtendría un diámetro equivalente para utilizarlo en la ecuación 4.7b. Como el esfuerzo está linealmente distribuido a través del diámetro d de una viga en flexión giratoria, el área A95 sometida a esfuerzo arriba del 95% del esfuerzo en la fibra exterior es la que se encuentra entre los diámetros de 0.95d y 1.0d en la figura 4-24. 2⎤ ⎡ d − (0.95d ) 2 A95 = π ⎢ ⎥ = 0.076 6 d 4 ⎢⎣ ⎥⎦ (4.7c) El diámetro equivalente de la muestra de la viga giratoria para cualquier sección transversal es, entonces, dequiv = A95 0.0766 95% (a) Distribución del esfuerzo 4 Para tamaños más grandes, se usa Ctamaño  0.6. (Los datos de prueba sobre los cuales se basan estas ecuaciones son de piezas de acero. La exactitud de la ecuación 4.7b para metales no ferrosos es algo cuestionable.) 2 Smáx d 0.95d A95 = 0.0766d2 (b) Área por arriba del 95% FIGURA 4-24 Área de una muestra de viga giratoria sometida a un esfuerzo arriba del 95% del esfuerzo máximo (4.7d ) donde A95 es la porción del área de la sección transversal de la pieza no redonda, sometida a un esfuerzo de entre 95 y 100% de su esfuerzo máximo. Es tarea fácil calcular el valor de A95 para cualquier sección transversal para la cual se conoce la carga. Shigley y Mitchell[21] lo han hecho para varias secciones comunes y sus resultados se muestran en la figura 4-25. EFECTOS DE LA SUPERFICIE La muestra de viga giratoria se pule al espejo para excluir las imperfecciones superficiales que actúen como incrementadores de esfuerzo. Por lo general, no es práctico dar un acabado costoso como éste a una pieza real. Los acabados rugosos disminuyen la resistencia a la fatiga debido a la introducción de concentraciones de esfuerzos y/o por la alteración de las propiedades físicas de la capa superficial. Una superficie forjada es áspera y descarburada, en tanto que los niveles de carbono bajos debilitan la superficie donde los esfuerzos suelen ser más altos.[23] El factor de superficie de reducción de la resistencia Csup es necesario para tomar en cuenta tales diferencias. Una gráfica de Juvinall[24] (figura 4-26) da algún lineamiento en la selección de un factor de superficie para varios acabados comunes del acero. Observe que la resistencia a la tensión también es un factor, puesto que los materiales con mayor resistencia son más sensibles a las concentraciones de esfuerzos generadas por las irregularidades de la superficie. En la figura 4-26 se aprecia que los ambientes corrosivos reducen drásticamente la resistencia. Estos factores superficiales se han desarrollado para aceros y sólo se deberían aplicar a las aleaciones de aluminio y a otros metales dúctiles tomando la precaución de que se hagan pruebas con las piezas reales, bajo condiciones de carga reales en aplicaciones críticas. A los hierros fundidos se les asigna una Csup  1, ya que sus discontinuidades internas empequeñecen los efectos de una superficie áspera. † Las secciones cargadas axialmente siempre tienen Ctamaño  1, porque las fallas de las muestras de prueba cargadas axialmente no presentan sensibilidad al tamaño de la sección transversal. 262 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado x b giratoria A95  0.0766 d d 2 2 h no giratoria t (a) Redonda sólida o hueca A951 1  0.05bh, t  0.025b A95 2 1 A95  0.010 462 d 2 2  0.05bx t h x (b) Acanalada b b 4 no giratoria 1 2 1 no giratoria no giratoria h h A95  0.05bh 2 2 t A951 1  0.10bt A95 2 2  0.05bh, t  0.025b 1 (c) Rectangular sólida (d) Viga en I FIGURA 4-25 Fórmulas de áreas sometidas al 95% de esfuerzo de varias secciones cargadas a la flexión (adaptado de Shigley y Mitchell, Mechanical Engineering Design, 4a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, con autorización) Dureza Brinell (HB) 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520 240 260 1.0 pulido a espejo 0.9 esmerilado fino o pulido comercial 0.8 0.7 maq uina 0.6 * Hay muchos parámetros que se utilizan para identificar superficies ásperas, todos los cuales por lo común se miden pasando una aguja afilada de diamante cónica sobre la superficie con una fuerza y una rapidez controladas. La aguja sigue y codifica los contornos microscópicos, además de almacenar el perfil de la superficie en una computadora. Se realizan después varios análisis estadísticos sobre el perfil, tales como la obtención de la mayor distancia pico-pico (Rt), el promedio de los 5 picos más altos (Rpm), etcétera. El parámetro más comúnmente utilizado es Ra (o Aa), el cual es el promedio aritmético de los valores absolutos de las alturas de los picos y las profundidades de los valles. Éste es el parámetro que se usa en la figura 4-27. Para mayor información sobre superficies ásperas, véase la sección 5.1. factor de superficie, 0.5 Csup 0.4 rola do e 0.3 n ca do lien te forja do 0.2 corrosión con agua de llave 0.1 corrosión con agua salada 0 60 80 100 120 140 160 180 200 220 resistencia a la tensión, Sut (kpsi) FIGURA 4-26 Factores de superficie para varios acabados en acero (de la fig. 12.6, p. 234, R. C. Juvinall, Stress, Strain, and Strength, McGraw-Hill, Nueva York, con autorización) Capítulo 4 Csup TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 1.0 4 2 1 0.9 16 8 32 63 0.8 125 250 0.7 500 1000 acabado 2000 0.6 superficial 0.5 Ra (Min) 0.4 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 Sut (kpsi) 4 FIGURA 4-27 El factor de superficie como una función de la aspereza de la superficie y de la resistencia última a la tensión (de R. C. Johnson, Machine Design, vol. 45, núm. 11, 1967, p. 108, Penton Publishing, Cleveland, Ohio, con autorización) R. C. Johnson[25] obtuvo la gráfica de la figura 4-27, que da un mayor detalle de superficies maquinadas y esmeriladas, relacionando Csup con la resistencia a la tensión basada en la rugosidad promedio superficial Ra medida en micropulgadas.* Si se conoce la Ra de una pieza maquinada o esmerilada, la figura 4-27 sirve para determinar un factor de superficie adecuado Csup. Deberían utilizarse aún las curvas del factor de superficie de la figura 4-26 para superficies roladas en caliente, forjadas y corroídas, ya que toman en cuenta la descarburación y los efectos de oxidación, así como la aspereza superficial. Shigley y Mischke[39] sugieren el uso de una ecuación exponencial de la forma Csup A  Sut b si Csup  1.0, sea Csup  1.0 (4.7e) para aproximar el factor de superficie a Sut, ya sea en kpsi o en MPa. El coeficiente A y el exponente b de varios acabados se determinaron a partir de datos similares a los de la figura 4-26 y se muestran en la tabla 4-3. Tal enfoque tiene la ventaja de que se programa en computadora y elimina la necesidad de consultar gráficas como las de las figuras 4-26 y 4-27. Observe que se obtienen valores de Csup ligeramente diferentes con la ecuación 4.7e y los de la figura 4-26 debido a la diferencia en los datos para desarrollar la ecuación 4.7e y sus factores de la tabla 4-3. Los tratamientos superficiales, como el chapado eléctrico en ciertos metales, podrían reducir severamente la resistencia a la fatiga, como se muestra en la figura 4-28, para el chapado con cromo. Parece que el chapado con metales blandos como cadmio, cobre, zinc, plomo y estaño no compromete gravemente la resistencia a la fatiga. Tabla 4-3 Coeficientes del factor de superficie de la ecuación 4.7e Fuente: Shigley y Mischke, Mechanical Engineering Design, 5a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1989, p. 283, con autorización Para Sut en MPa se usa Para Sut en kpsi (no psi) se usa Acabado superficial A Esmerilado 1.58 –0.085 1.34 –0.085 Maquinado o rolado en frío 4.51 –0.265 2.7 –0.265 –0.718 14.4 –0.718 –0.995 39.9 –0.995 Rolado en caliente Forjado 57.7 272 b 263 A b 264 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 150 120 esfuerzo alternativo 90 Sa (kpsi) sin chapa 60 chapado 30 0 100 4 101 102 103 104 105 106 107 108 ciclos de falla, N FIGURA 4-28 Efecto del chapado con cromo sobre la resistencia a la fatiga del acero (de C. C. Osgood, Fatigue Design, Pergamon Press, Londres, 1982, con autorización) El chapado eléctrico con cromo y níquel por lo general no se recomienda para piezas con esfuerzos por fatiga, a menos que se apliquen también tratamientos superficiales adicionales como el granallado (véase abajo). Una excepción sería cuando la pieza se encuentra en un ambiente corrosivo y la protección a la corrosión suministrada por el chapado es mayor que la reducción de su resistencia. La mayoría de la resistencia perdida en el chapado se podría recuperar con el granallado a la superficie antes del chapado, para introducir esfuerzos de compresión, como se muestra en la figura 4-29. El granallado y otros medios para crear esfuerzos residuales se estudian en la sección 4.8 (p. 277). TEMPERATURA Las pruebas de fatiga se hacen en general a temperatura ambiente. La dureza a la fractura disminuye a bajas temperaturas y se incrementa con temperaturas moderadamente altas (hasta 350 °C aproximadamente). Sin embargo, la articulación de rodilla del límite de resistencia a la fatiga, de la gráfica S-N, desaparece a altas temperaturas, lo cual hace que la resistencia a la fatiga continúe declinando con el número de ciclos, N. Asimismo, la resistencia a la fluencia declina continuamente con temperaturas por arriba de la temperatura ambiente y, en algunos casos, esto puede causar la fluencia antes que la falla por fatiga. A temperaturas arriba del 50% aproximadamente de la temperatura esfuerzo alternativo, Sa (kpsi) 70 60 sin chapa y agrallanado 50 sin chapa 40 chapado con níquel y agrallanado 30 chapado con níquel 20 104 105 106 107 108 ciclos de falla, N FIGURA 4-29 Efecto del chapado con níquel y agrallanado sobre la resistencia a la fatiga del acero (de Almen y Black, Residual Stresses and Fatigue in Metals, McGraw-Hill, Nueva York, 1963) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA absoluta de fusión del material, la termofluencia se convierte en un factor determinante y el procedimiento esfuerzo-vida deja de ser válido. El procedimiento deformación-vida toma en cuenta la combinación de la termofluencia y la fatiga a altas temperaturas, por lo que se debería utilizar en dichas situaciones. Se han propuesto varias fórmulas de aproximación para considerar la reducción del límite de resistencia a la fatiga a temperaturas moderadamente altas. Se define entonces un factor de temperatura Ctemp. Shigley y Mitchell[26] sugieren el siguiente: para T b 450 oC 840 oF : Ctemp  1 para 450 oC  T b 550 oC : Ctemp  1 0.0058T 450 para 840 oF  T b 1 020 oF : Ctemp  1 0 .0032 T 840 (4.7 f ) Observe que este criterio basado en datos para aceros no debería utilizarse para otros metales como Al, Mg y aleaciones de cobre. CONFIABILIDAD Muchos de los datos de resistencia reportados son valores medios. Hay una gran dispersión en múltiples pruebas del mismo material bajo las mismas condiciones de prueba. Haugen y Wirsching[27] informan que las desviaciones estándar de resistencias físicas de los aceros rara vez exceden el 8% de sus valores promedio. La tabla 4-4 indica factores de confiabilidad de una supuesta desviación estándar del 8%. Observe que la confiabilidad del 50% tiene un factor de 1 y el factor se reduce conforme se elige una mayor confiabilidad. Por ejemplo, si desea 99.99% de probabilidad de que sus muestras cumplan o excedan la resistencia supuesta, multiplique el valor de la resistencia media por 0.702. Los valores de la tabla 4-4 proporcionan factores de reducción de resistencia Cconf para los niveles de confiabilidad seleccionados. AMBIENTE El ambiente tiene efectos significativos sobre la resistencia a la fatiga, como se observa en las curvas de superficies corroídas en la figura 4-26 (p. 262). La figura 4-30 muestra el esquema de los efectos relacionados con varios ambientes sobre la resistencia a la fatiga. Observe que incluso el aire del ambiente reduce la resistencia comparada con el vacío. Cuanto mayor sean la humedad relativa y la temperatura, más grande será la reducción de la resistencia por el aire. La línea de prerremojo representa piezas humedecidas en un ambiente corrosivo (agua o agua salada) y, luego, probadas en el aire ambiental. Se cree que la aspereza creciente de la superficie corroída es la vacío esfuerzo alternativo aire Sa prerremojo fatiga por corrosión 103 104 105 106 ciclos de falla, N 107 108 FIGURA 4-30 Efecto del ambiente sobre la resistencia a la fatiga del acero (de Fuchs y Stephens, Metal Fatigue in Engineering, Nueva York, 1980. Reimpreso con autorización de John Wiley & Sons, Inc.) 265 Tabla 4-4 Factores de confiabilidad para Sd = 0.08 M % de confiabilidad Cconf 50 1.000 90 0.897 95 0.868 99 0.814 99.9 0.753 99.99 0.702 99.999 0.659 99.9999 0.620 4 266 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado límite de resistencia a la fatiga, Se (kpsi) 100 60 (aceros al cromo) 40 en agua dulce 20 0 4 en aire (todos los aceros) 80 0 leaciones (aceros al carbono y a carbono)de acero al bajo 40 80 120 160 200 240 resistencia a la tensión, Sut (kpsi) FIGURA 4-31 Efecto de agua dulce sobre la resistencia a la fatiga del acero (de P. G. Forrest, Fatigue of Metals, Pergamon Press, Oxford, 1962) razón de la pérdida de resistencia. La línea de fatiga por corrosión indica una reducción drástica de la resistencia, así como la desaparición de la articulación de rodilla del límite de resistencia a la fatiga. El fenómeno de la fatiga por corrosión aún no se comprende cabalmente, aunque datos empíricos como los de las figuras 4-30 y 4-31 describen su severidad. La figura 4-31 indica el efecto de la operación en agua dulce sobre las curvas S-N de aceros al carbono y aleaciones de aceros al bajo carbono. La relación entre Se’ y Sut se vuelve constante en 15 kpsi aproximadamente. De modo que, en este ambiente, el acero al carbono de baja resistencia es tan bueno como el acero al carbono de alta resistencia. Los únicos aceros que conservan algo de su resistencia en el agua son los aceros cromados (incluyendo los aceros inoxidables), ya que el elemento de la aleación brinda alguna protección contra la corrosión. La figura 4-32 ilustra los efectos del agua salada sobre la resistencia a la fatiga de una aleación de aluminio. Se cuenta tan sólo con datos limitados sobre resistencias de materiales en ambientes severos. Por lo tanto, es difícil determinar factores universales de reducción de la resistencia en condiciones ambientales. El mejor procedimiento consiste en probar exhaustivamente todos los diseños y materiales en el ambiente en el que operarán. (Esto resulta difícil en situaciones en las que se desean ver los efectos a largo plazo de cargas con baja frecuencia, porque obtener los datos tomaría 250 Sm = 0 aire solución de 3% de NaCl 200 Sa (MPa) 150 30 20 Sa (kpsi) 100 Al - 7.5 50 10 Zn - 2.5 Mg 0 104 105 106 107 0 108 ciclos de falla, N FIGURA 4-32 Efecto del agua salada sobre la resistencia a la fatiga del aluminio (de Stubbington y Forsyth, “Some Corrosion-Failure Observations on a High-Purity Aluminum-Zinc-Magnesium Alloy and Commercial D.T.D. 683 Alloy”, J. of the Inst. of Metals, Londres, R.U., vol 90, 1961-1962, pp. 347-354, con autorización) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 267 demasiado tiempo.) Con base en la figura 4-31, de aceros al carbono y aleaciones de acero al bajo carbono en agua dulce, las relaciones entre Se’ y Sut en la ecuación 4.5a se deben modificar a Se' 15 kpsi 100 MPa para acero al carbono en agua dulce (4.8) Cabe suponer que un ambiente de agua salada sería incluso peor. Cálculo de la resistencia a la fatiga corregida St o límite de resistencia a la fatiga corregido Se 4 Ahora es posible aplicar los factores de reducción de resistencia al límite de resistencia a la fatiga sin corrección Se’ o a la resistencia a la fatiga sin corrección Sƒ, usando la ecuación 4.6 (p. 260), para obtener los valores corregidos para fines de diseño. Creación de diagramas S-N estimados Las ecuaciones 4.6 brindan información acerca de la resistencia del material en la región de ciclo alto del diagrama S-N. Con información similar para la región de ciclo bajo, se puede construir un diagrama S-N para el material y la aplicación en particular, como se muestra en la figura 4-33. El ancho de banda de interés es el régimen de HCF de 103 a 106 ciclos y más allá. Llámese a la resistencia del material en 103 ciclos Sm. Los datos de prueba indican que los siguientes estimados de Sm son razonables:[28] flexión: Sm  0.9 Sut carga axial: Sm  0.75Sut (4.9) Ahora se dibuja el diagrama aproximado sobre los ejes log-log, como se ilustra en la figura 4-33. El eje x va de N  103 a N  109 ciclos o más allá. La Sm adecuada de la ecuación 4.9, para el tipo de carga, se grafica para N  103. Observe que los factores de corrección de la ecuación 4.6 no se aplican a Sm. Si el material tiene una articulación de rodilla, entonces el Se corregido de la ecuación 4.6 se grafica en Ne  106 ciclos y luego se traza una línea recta entre Sm y Se. La curva continúa horizontalmente más allá de ese punto. Si el material no presenta una articulación de rodilla, entonces la Sƒ corregida, de la ecuación 4.6, se grafica en el número de ciclos para los cuales se generó (que se muestra en Nƒ  5  108) y se traza una línea recta entre Sm y Sƒ. Esta línea se puede extrapolar más allá de ese punto, aunque su exactitud sea cuestionable y quizá conservadora (véase la figura 4-10). Sn Sn (a) Sm (b) Sm Se Sf N 103 104 105 106 107 108 109 N1 N2 N 103 104 105 106 107 108 109 N1 N2 FIGURA 4-33 Curvas S-N estimadas para (a) materiales con articulación de rodilla, (b) materiales sin articulación de rodilla 268 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La ecuación de la línea de Sm a Se o Sƒ se escribe como S N  a N b (4.10 a) o bien, log S N  log a b log N (4.10 b) donde S(N) es la resistencia a la fatiga en cualquier N, mientras a y b son constantes definidas por las condiciones de frontera. Para todos los casos, la intercepción con y es S(N)  Sm en N  N1  103. Para el caso del límite de resistencia a la fatiga (figura 4-33), S(N)  Se en N  N2  106. Para un material que no presente una articulación de rodilla de límite de resistencia, la resistencia a la fatiga se toma en algún número de ciclos: S(N)  Sƒ en N  N2 (figura 4-33b). Sustituyendo las condiciones de frontera en la ecuación 4.10b, y resolviendo simultáneamente para a y b: 4 b= ¥S ´ 1 log¦ m µ z § Se ¶ log a  log Sm Tabla 4-5 factores z para la ecuación 4.10c N2 z 1.0E6 5.0E6 1.0E7 5.0E7 1.0E8 5.0E8 1.0E9 5.0E9 –3.000 –3.699 –4.000 –4.699 –5.000 –5.699 –6.000 –6.699 donde z  log N1 b log N1  log Sm log N2 (4.10c) 3b Observe que N1 siempre es igual a 1 000 ciclos y su log10 es 3. Para un material con una articulación de rodilla en N2  106, z  (3  6)  3, como se indica en la tabla 4-5. Esta curva es válida sólo para la articulación de rodilla, más allá de la cual S(N)  Se como en la figura 4-33a. Para un material sin articulación de rodilla y S(N)  Sƒ en N  N2 (figura 4-33b), se calculan con facilidad los valores de z correspondientes a diversos valores de N2. Por ejemplo, la curva de la figura 4-33b muestra Sƒ en N2  5E8 ciclos. El valor de z es, entonces, z @ 5 E 8  log(1 000) log(5 E8)  3 8.699  5.699 (4.10 d ) ¥S ´ 1 log¦ m µ para S f @ N2  5 E8 ciclos b@ 5 E 8 = – 5.699 § Sf ¶ Las constantes de cualesquiera otras condiciones de frontera se determinan de la misma forma. Algunos valores de z para un intervalo de valores de N2 con N1  103 se presentan en la tabla 4-5. Tales ecuaciones de la curva S-N permiten obtener la vida finita N de cualquier invertido ciclo de resistencia a la fatiga S(N), o la estimación de la resistencia a la fatiga S(N) para cualquier N. EJEMPLO 4-1 Determinación de diagramas S-N aproximados para materiales ferrosos Problema Genere un diagrama S-N aproximado para una barra de acero y defina sus ecuaciones. ¿Cuántos ciclos de vida se pueden esperar, si el esfuerzo alternativo es de 100 MPa? Se proporciona Se probó el Sut en 600 MPa. La barra es un cuadrado de 150 mm y tiene el acabado de rolado en caliente. La temperatura de operación es de 500 oC máximo. La carga es de ciclo de flexión invertido. Suposiciones Se requiere vida infinita y es factible, puesto que el acero dúctil tiene un límite de resistencia a la fatiga. Se utilizará un factor de confiabilidad de 99.9%. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 269 Solución 1. Como no se proporciona información sobre el límite de resistencia a la fatiga o la resistencia a la fatiga, se estimará Se’ de acuerdo con la resistencia última y con la ecuación 4.5a (p. 260). Se' ≅ 0.5 Sut = 0.5(600) = 300 MPa ( a) 2. Se trata de carga a la flexión, de modo que el factor de carga de la ecuación 4.7a es Ccarga  1.0 (b) 3. La pieza es mayor que la muestra de prueba y no es redonda, de modo que se debe calcular el diámetro equivalente con base en su 95% de área sometida a esfuerzo (A95), y utilizarlo para obtener el factor de tamaño. En la figura 4-25c (p. 262) se define el área A95 para una sección rectangular, con carga de flexión no giratoria, mientras el diámetro equivalente se obtiene de la ecuación 4.7d (p. 261): A95 = 0.05bh = 0.05(150)(150) = 1 125 mm 2 dequiv = A95 1 125 mm 2 = = 121.2 mm 0.0766 0.0766 (c ) y para este diámetro equivalente el factor de tamaño se determina con la ecuación 4.7b (p. 261): Ctamaño  1.189121.2 0.097  0.747 (d ) 4. El factor de superficie se obtiene de la ecuación 4.7e (p. 263) y con los datos de la tabla 4-3, para el acabado de rolado en caliente especificado. b Csup  A Sut  57.7600 0.718  0.584 (e) 5. El factor de temperatura se obtiene de la ecuación 4.7ƒ (p. 265): Ctemp = 1 − 0.0058(T − 450) = 1 − 0.0058(500 − 450) = 0.71 (f) 6. El factor de confiabilidad, que se toma de la tabla 4-4 (p. 265) para el 99.9% deseado, es Cconf  0.753 ( g) 7. El límite de resistencia a la fatiga corregido Se ahora se calcula con la ecuación 4.6 (p. 260): Se  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Se'  1.00.747 0.584 0.71 0.753 300 ( h) Se = 70 MPa 8. Para crear el diagrama S-N también se necesita un número para la resistencia estimada Sm en 103 ciclos, con base en la ecuación 4.9 (p. 267) para carga a flexión. Sm = 0.90 Sut = 0.90(600) = 540 MPa (i ) 9. En la figura 4-34 se muestra el diagrama S-N estimado con los valores arriba de Sm y Se. Las expresiones de las dos líneas se obtienen con las ecuaciones 4.10a a 4.10c (p. 268), suponiendo que Se inicia en 106 ciclos. 4 270 DISEÑO DE MÁQUINAS 1000 - Sut Sm 500 300 200 S MPa) 100 Un Enfoque Integrado punto de falla Sa Sa Se 50 30 20 10 4 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 número de ciclos, N FIGURA 4-34 Diagrama S-N y línea del esfuerzo alternativo que muestra el punto de falla del ejemplo 4-1 1 ⎛S ⎞ 1 ⎛ 540 ⎞ = −0.295 765 b = – log⎜ m ⎟ = – log 3 ⎝ Se ⎠ 3 ⎝ 70 ⎠ log( a) = log( Sm ) − 3b = log[540] − 3( −0.295 765) : ( j) a = 4 165.707 S( N ) = a N b = 4 165.707 N −0.295 765 MPa 10 3 ≤ N ≤ 10 6 S( N ) = Se = 70 MPa N > 10 6 (k ) 10. El número de ciclos de vida para cualquier nivel de esfuerzo alternativo se calcula ahora con la ecuación (k). Para el nivel de esfuerzo establecido de 100 MPa, se tiene 100 = 4 165.707 N −0.295 765 10 3 ≤ N ≤ 10 6 log100 = log 4 165.707 − 0.295 765 log N 2 = 3.619 689 − 0.295 765 log N 2 − 3.619 689 log N = = 5.476 270 −0.295 765 (l ) N = 10 5.476 270 = 3.0 E 5 ciclos cycles La figura 4-34 muestra la intercepción de la línea del esfuerzo alternativo con la línea de falla en N  3E5 ciclos. 11. Los archivos EX06-01 se encuentran en el CD-ROM. EJEMPLO 4-2 Determinación de diagramas S-N aproximados para materiales ferrosos Problema Elabore un diagrama S-N estimado para una barra de aluminio y defina sus ecuaciones. ¿Cuál es la resistencia a la fatiga corregida en 2E7 ciclos? Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 271 Se proporciona La Sut de este aluminio 6061-T6 se probó a 45 000 psi. La barra forjada es redonda de 1.5 in. La temperatura de operación máxima es de 300 oF. La carga es de ciclo de torsión invertida. Suposiciones Se usará un factor de confiabilidad de 99.0%. La resistencia a la fatiga sin corregir se tomará en 5E8 ciclos. Solución 1. Como no se proporciona información de resistencia a la fatiga, se estimará Sƒ’ con base en la resistencia última usando la ecuación 4.5c (p. 260). 4 para Sut  48 ksi Sf ' 0.4 Sut Sf ' 0.4 45 000  18 000 psi ( a) Este valor es para N  5E8 ciclos. No hay articulación de rodilla en la curva S-N del aluminio. 2. La carga es torsión pura, de modo que el factor de carga de la ecuación 4.7a (p. 260) es Ccarga  1.0 (b) ya que el esfuerzo de torsión aplicado se convertirá al esfuerzo normal equivalente de von Mises, por comparación con la resistencia S-N. 3. El tamaño de la pieza es mayor que la muestra de la prueba y es redonda, de modo que el factor de tamaño se estima con la ecuación 4.7b (p. 261). Observe que esta relación se basa en los datos del acero:  Ctamaño  0.869 dequiv 0.097  0.8691.5 0.097  0.835 (c ) 4. El factor de superficie se obtiene con la ecuación 4.7e (p. 263) y los datos de la tabla 4-3 (p. 263) para el acabado de forja especificado, de nuevo, con la advertencia de que tales relaciones se desarrollaron para aceros, por lo que serían menos exactas para el aluminio. b Csup  A Sut  39.9 45 0.995  0.904 (d ) 5. La ecuación 4.7ƒ (p. 265) es sólo para el acero, por lo que se supone: Ctemp = 1 (e) 6. El factor de confiabilidad se toma de la tabla 4-4 (p. 265) para el 99.0% deseado y es Cconf  0.814 (f) 7. La resistencia a la fatiga corregida Sƒ en N  5E8 se calcula ahora con la ecuación 4.6 (p. 260): S f  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf S f '  1.00.835 0.904 1.0 0.814 18 000  11 063 psi ( g) 8. Para crear el diagrama S-N, también se necesita un número de la resistencia estimada Sm en 103 ciclos con base en la ecuación 4.9 (p. 267). Observe que el valor de la flexión se usa para la torsión. Sm = 0.90 Sut = 0.90( 45 000) = 40 500 psi (h) 9. El coeficiente y el exponente de la línea S-N corregida y su ecuación se obtienen de las ecuaciones 4.10a a 4.10c (p. 268). El valor de z se toma de la tabla 4-5 (p. 268) para Sƒ en 5E8 ciclos. 272 DISEÑO DE MÁQUINAS b=– - Un Enfoque Integrado ⎛S ⎞ ⎛ 40 500 ⎞ 1 1 log⎜ m ⎟ = – log⎜ ⎟ = −0.0989 5.699 ⎝ S f ⎠ 5.699 ⎝ 11 063 ⎠ log( a) = log( Sm ) − 3b = log[ 40 500] − 3( −0.0989) : (i ) a = 80 193 10. La resistencia a la fatiga en la vida deseada de N  2E7 ciclos se determina ahora con la ecuación de la línea S-N corregida: S( N ) = aN b = 80 193 N −0.0989 = 80 193(2e7) −0.0989 = 15 209 psi ( j) S(N) es mayor que Sƒ porque tiene una vida más corta que la resistencia a la fatiga publicada. 4 11. Observe el orden de las operaciones. Primero se obtiene la resistencia a la fatiga, sin corregir Sƒ’ en algún ciclo de vida “estándar” (N  5E8), luego se corrige para los factores apropiados de las ecuaciones 4.7 (pp. 260-265). Sólo así se obtuvo la ecuación 4.10a (p. 268) para la línea S-N, de modo que pase por la Sƒ corregida en N  5E8. Si se hubiera creado la ecuación 4.10a usando la Sƒ’ sin corregir, resolviéndola para el ciclo de vida deseado (N  2E7), y luego se aplican los factores de corrección, se obtendría un resultado diferente e incorrecto. Como éstas son funciones exponenciales, la superposición no se aplica. 12. Los archivos EX06-02 se encuentran en el CD-ROM. 4.7 MUESCAS Y CONCENTRACIONES DE ESFUERZOS Muesca es un término genérico en este contexto y se refiere a cualquier contorno geométrico que afecta el “flujo de fuerza” a través de la pieza, como se describió en la sección 2.15 (p. 116). Una muesca es un orificio, una ranura, un filete, un cambio abrupto de la sección transversal, o bien, cualquier perturbación de los contornos lisos de una pieza. Las muescas que aquí interesan son aquéllas hechas deliberadamente para obtener características de ingeniería como ranuras para anillos O, filetes en ejes escalonados, orificios de sujeción, etcétera. Se supone que el ingeniero sigue buenas prácticas de diseño y mantiene los radios de tales muescas tan grandes como sea posible, para reducir las concentraciones de esfuerzos, como se describió en la sección 2.15. Las muescas con radios muy pequeños son prácticas de diseño deficientes, por lo que, si están presentes, deberían tratarse como grietas y utilizar los postulados de la mecánica de fractura para predecir fallas (véase las secciones 3.3 en la p. 195 y 4.5 en la p. 245). Una muesca crea una concentración de esfuerzos que aumenta los esfuerzos localmente y que incluso llega a causar fluencia local. En el estudio de concentración de esfuerzos de los capítulos 2 y 3, donde sólo se consideraron cargas estáticas, los efectos de concentración de esfuerzos únicamente se consideraron para materiales frágiles. Se supuso que los materiales dúctiles cederían en la concentración de esfuerzos local y reducirían los esfuerzos a niveles aceptables. Con cargas dinámicas, la situación es diferente, puesto que en las fallas por fatiga los materiales dúctiles se comportan como si fueran frágiles. Los factores de concentración de esfuerzos geométricos (teóricos) Kt para esfuerzo normal y Kts para esfuerzo cortante se definieron y analizaron en la sección 2.15. (Aquí se refieren ambos como Kt). Tales factores dan una idea del grado de concentración de esfuerzos, en una muesca que tiene un contorno específico, y se utilizan como un multiplicador del esfuerzo nominal, presente en la sección transversal que contiene la muesca (véase la ecuación 2.31, p. 117). Se han determinado muchos de estos factores de concentración de esfuerzos geométricos o teóricos para varias cargas y geometrías de piezas; y se publican en varias referencias.[30],[31] Para carga dinámica, se necesita modificar el factor de concentración de esfuerzos teórico de acuerdo con la sensibilidad del Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 273 material a la muesca, para obtener un factor de concentración de esfuerzo de fatiga, Kƒ, el cual se pueda aplicar a los esfuerzos dinámicos nominales. Sensibilidad a la muesca Los materiales tienen diferente sensibilidad a la concentración de esfuerzos, lo cual se conoce como sensibilidad a la muesca del material. En general, cuanto más dúctil sea el material, tendrá menor sensibilidad a la muesca. Los materiales frágiles son más sensibles a la muesca. Como la ductilidad y la fragilidad en los metales están estrechamente relacionadas con la resistencia y la dureza, los materiales blandos de baja resistencia tienden a ser menos sensibles a la muesca que los materiales duros de alta resistencia. La sensibilidad a la muesca también depende del radio de la muesca (el cual es una medida de lo afilado de ésta). Conforme los radios de la muesca se aproximan a cero, disminuye la sensibilidad a la muesca de los materiales y también se aproxima a cero. Lo anterior es bastante fortuito, ya que se recordará de la sección 2.15 que el factor de concentración de esfuerzos teórico Kt se aproxima al infinito conforme el radio de la grieta tiende a cero. Si no fuera por la disminución de la sensibilidad a la muesca en los radios que se aproximan a cero (es decir, las grietas), los ingenieros no sabrían diseñar piezas capaces de soportar cualquier nivel de esfuerzo nominal cuando están presentes las muescas. Neuber[32] hizo el primer estudio metódico de los efectos de la muesca y publicó una ecuación para el factor de concentración de esfuerzos de fatiga en 1937. Kuhn[33] revisó más tarde la ecuación de Neuber y desarrolló datos experimentales para la constante de Neuber (una propiedad del material) necesaria en esta ecuación. Peterson[30] refinó posteriormente el procedimiento y desarrolló el concepto de sensibilidad a la muesca q, definido como q= Kf −1 Kt − 1 (4.11a) donde Kt es el factor de concentración de esfuerzos teórico (estático) de la geometría particular y Kƒ es el factor de concentración de esfuerzo por fatiga (dinámico). La sensibilidad a la muesca q varía entre 0 y 1. Esta ecuación se replantea para despejar a Kƒ. K f = 1 + q( Kt − 1) (4.11b) El procedimiento consiste en determinar primero la concentración de esfuerzos teórica Kt para la geometría y carga en particular, luego se establece la sensibilidad a la muesca adecuada para el material seleccionado y se usan en la ecuación 4.11b para obtener el factor de concentración de esfuerzos dinámico Kƒ. El esfuerzo dinámico nominal para cualquier situación se incrementa, entonces, por el factor Kƒ para esfuerzo por tensión (Kƒs para el esfuerzo cortante), de la misma manera que se hizo para el caso estático: σ = K f σ nom τ = K fs τ nom (4.12) En la ecuación 4.11 observe que cuando q  0, Kƒ  1, lo cual no incrementa el esfuerzo nominal en la ecuación 4.12. Cuando q  1, Kƒ  Kt y se siente el efecto completo del factor de concentración de esfuerzos geométrico en la ecuación 4.12. La sensibilidad a la muesca q también se puede definir a partir de la fórmula de Kuhn-Hardrath,[33] en términos de la constante a de Neuber y del radio r de la muesca, ambos expresados en pulgadas. 1 q= 1+ a r (4.13) 4 274 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Constante de Neuber, a ( in0.5 ) 0.5 4 0.4 Aluminios forjados tratamiento térmico (-T ) 0.3 recocido o deformado en caliente (-O y -H ) 0.2 Aceros de baja aleación carga a la torsión 0.1 carga a la tensión 0 0 40 80 120 160 200 240 Resistencia última a la tensión, Sut (kpsi) FIGURA 4-35 Constantes de Neuber para acero y aluminio (de ASME Paper 843c, “The Prediction of Notch and Crack Strength under Static or Fatigue Loading”, por P. Kuhn, abril de 1964) Factores de sensibilidad a la muesca para aceros (mm) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Sut kpsi (MPa) 4.0 4.5 5.0 1.0 0.9 0.8 0.7 200 160 140 120 100 80 70 60 50 1 379 1 103 965 827 689 552 483 414 345 0.6 q Nota: En carga por torsión, se usa una curva con una Sut que es 20 kpsi mayor que la del material seleccionado 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 (in) 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 radio de la muesca, r FIGURA 4-36 Parte 1 Curvas de sensibilidad a la muesca para aceros, calculadas a partir de las ecuaciones 4.13 con los datos de la figura 4-35, como lo propuso originalmente R. E. Peterson en “Notch Sensitivity”, capítulo 13, en Metal Fatigue, por G. Sines y J. Waisman, McGraw-Hill, Nueva York, 1959. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 275 Factores de sensibilidad a la muesca para aluminio con tratamiento térmico (-T) (mm) 1.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 Sut kpsi (MPa) 0.9 0.8 0.7 90 621 60 414 40 276 0.6 30 207 0.5 20 138 q 0.4 0.3 0.2 0.1 (in) 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 4.5 5.0 radio de la muesca, r Factores de sensibilidad a la muesca para aluminio recocido y deformado en caliente (-O y -H) (mm) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 1.0 Sut kpsi (MPa) 0.9 0.8 45 310 35 241 0.7 25 172 0.6 20 138 0.5 15 103 q 0.4 0.3 0.2 0.1 0 (in) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 radio de la muesca, r FIGURA 4-36 Parte 2 Curvas de sensibilidad a la muesca para aceros calculadas a partir de las ecuaciones 4.13 con los datos de la figura 4-35, como lo propuso originalmente R. E. Peterson en “Notch Sensitivity”, capítulo 13, en Metal Fatigue, por G. Sines y J. Waisman, McGraw-Hill, Nueva York, 1959. 4 276 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 4-6 Constante de Neuber para aceros Sut (kspi) 4 50 55 60 70 80 90 100 110 120 130 140 160 180 200 220 240 a (in0.5) 0.130 0.118 0.108 0.093 0.080 0.070 0.062 0.055 0.049 0.044 0.039 0.031 0.024 0.018 0.013 0.009 - Un Enfoque Integrado Observe que la constante de Neuber se definió como la raíz cuadrada de a, no como a, de modo que se sustituye directamente en la ecuación 4.13, mientras que para el valor de r se debe obtener la raíz. En la figura 4-35 (página 274) se muestra la gráfica de la constante de Neuber √a para tres tipos de materiales, en tanto que las tablas 4-6 a 4-8 presentan los datos tomados de esa figura. Observe en la figura 4-35 que, para cargas de torsión sobre acero, el valor de √a debe leerse para una Sut 20 kpsi mayor que la del material. La figura 4-36, partes 1 y 2 (pp. 274 y 275), ilustra conjuntos de curvas de sensibilidad a la muesca para aceros y aluminios (respectivamente), generadas con la ecuación 4.13 con los datos de la figura 4-35. Tales curvas son para muescas cuya profundidad es menor que cuatro veces la raíz del radio y deben usarse con precaución en muescas más profundas. El valor total del factor Kƒ de concentración de esfuerzos por fatiga se aplica tan sólo para los valores más altos del régimen de HCF (N  106  109 ciclos). Algunos autores[10],[30],[34] recomiendan aplicar una porción reducida de Kƒ identificada como Kƒ’ para el esfuerzo alternativo en N  103 ciclos. Para materiales con resistencias altas o frágiles Kƒ’ es aproximadamente igual a Kƒ, aunque para materiales dúctiles de baja resistencia Kƒ’ tiende a 1. Otros autores[35] recomiendan la aplicación del valor total de Kƒ incluso a 103 ciclos. El último enfoque es más conservador, puesto que los datos indican que los efectos de la concentración de esfuerzos son menos pronunciados con N menor. Se adoptará el enfoque conservador y se aplicará Kƒ de manera uniforme a través del intervalo de HCF, ya que las incertidumbres que rodean los estimados de resistencia a la fatiga y el conjunto de factores que la modifican promueven la cautela. Tabla 4-7 Constante de Neuber para aluminio recocido Sut (kpsi) 10 15 20 25 30 35 40 45 a (in0.5) 0.500 0.341 0.264 0.217 0.180 0.152 0.126 0.111 EJEMPLO 4-3 Determinación de los factores de concentración de esfuerzos por fatiga Problema Una barra rectangular escalonada, similar a la que se muestra en la figura 2-36 (p. 120), se carga a la flexión. Determine el factor de concentración de esfuerzos por fatiga para las dimensiones dadas. Se proporciona Mediante la nomenclatura de la figura 2-36, D = 2, d = 1.8 y r = 0.25. El material tiene una Sut = 100 kpsi. Solución 1. El factor de concentración de esfuerzos geométricos Kt se obtiene a partir de la ecuación de la figura 2-36: 3$ Kt  A b r d ( a) donde A y b se proporcionan en la misma figura como una función de la razón D/d, la cual es 2/1.8  1.111. Para esta razón, A  1.014 7 y b  -0.217 9, lo cual da como resultado 3 $ Kt  1.014 7 0.25 1.8 0.217 9  1.56 (b) 2. La sensibilidad a la muesca q del material se obtiene mediante el factor de Neuber √a de la figura 4-35, así como las tablas 4-6 a 4-8 en combinación con la ecuación 4.13 (p. 273), o leyendo q directamente de la figura 4-36. Se aplicará lo primero. El factor de Neuber de la tabla 4-6 para Sut  100 kpsi es 0.062. Observe que esto es la raíz cuadrada de a: Capítulo 4 1 q= 1+ a r = TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 1 = 0.89 0.062 1+ 0.25 (c ) 277 Tabla 4-8 Constante de Neuber para aluminio endurecido 3. Ahora es posible obtener el factor de concentración de esfuerzos por fatiga con la ecuación 4.11b (p. 273): Sut (kpsi) K f = 1 + q( Kt − 1) = 1 + 0.89(1.56 − 1) = 1.50 15 0.475 20 30 0.380 0.278 40 0.219 50 60 0.186 0.162 70 0.144 80 90 0.131 0.122 (d ) 4. Los archivos EX06-03 se encuentran en el CD-ROM. 4.8 ESFUERZOS RESIDUALES Los esfuerzos residuales se refieren a los esfuerzos “inherentes” a una pieza sin carga. La mayoría de las piezas tienen algunos esfuerzos residuales, debido a sus procesos de manufactura. Cualquier procedimiento, como el formado o el tratamiento térmico, que crea deformaciones localizadas por arriba del punto de fluencia dejará esfuerzos cuando desaparezca la deformación. Un buen diseño requiere que el ingeniero intente adaptar los esfuerzos residuales para que, como mínimo, no cree efectos negativos sobre la resistencia y preferiblemente cree efectos positivos. La falla por fatiga es un fenómeno de esfuerzos por tensión. Las figuras 4-17 y 4-18 (pp. 253-254) muestran los efectos benéficos de esfuerzos de compresión medios en la resistencia a la fatiga. Si bien el diseñador tiene poco o ningún control sobre la presencia o la ausencia de esfuerzos compresivos medios en el patrón de carga al que estará sometida la pieza, hay técnicas que permiten la introducción de esfuerzos residuales compresivos en una pieza, antes de que se ponga en servicio. Si se hace bien, estos esfuerzos residuales compresivos pueden hacer mejorías significativas en la vida de fatiga. Hay varios métodos para introducir esfuerzos residuales compresivos: tratamientos térmicos, tratamientos superficiales y tratamientos de preesfuerzos mecánicos. La mayoría de ellos originan esfuerzos de compresión biaxiales en la superficie, esfuerzos de compresión triaxiales debajo de la superficie y esfuerzos de tensión triaxiales en el núcleo. Como la pieza está en equilibrio, los esfuerzos de compresión próximos a la superficie tienen que compensarse con los esfuerzos de tensión en el núcleo. Si se excede el tratamiento, los esfuerzos de tensión crecientes en el núcleo pueden causar falla, de modo que se debe alcanzar el equilibrio. Estos tratamientos son los más valiosos cuando la distribución de esfuerzos aplicados debida a la carga no es uniforme y es de tensión máxima en la superficie, como en la flexión invertida. La flexión en una dirección tendrá un esfuerzo de tensión pico sólo en un lado; por consiguiente, el tratamiento se aplica justamente en ese lado. La carga de tensión axial es uniforme en la sección y, por ello, no se beneficiará con un patrón de esfuerzo residual no uniforme, a menos que haya muescas en la superficie que causen incrementos locales de esfuerzos por tensión. Entonces, los esfuerzos residuales de compresión en la superficie son muy útiles. De hecho, sin tomar en cuenta la carga, el esfuerzo de tensión neto en las muescas se reducirá al agregar esfuerzos de compresión residuales en tales ubicaciones. Como las muescas diseñadas se encuentran por lo general en la superficie, es posible aplicarles un tratamiento. La introducción deliberada de esfuerzos de compresión residuales es más efectiva en piezas fabricadas con materiales de alta resistencia a la fluencia. Si la resistencia a la fluencia del material es baja, entonces los esfuerzos residuales no permanecerían mucho tiempo en la pieza, debido a la fluencia posterior causada por altos esfuerzos aplicados en servicio. Faires[36] descubrió que los aceros con Sy
80 kpsi presentaron incrementos iniciales, aunque también pequeñas mejoras a largo plazo en la resistencia a la fatiga. No obstante, Heywood[37] informa el 50% de mejora en la resistencia a la fatiga en filetes rolados en acero de alta resistencia. a (in0.5) 4 278 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado TRATAMIENTOS TÉRMICOS Los esfuerzos térmicos ocurren siempre que una pieza se calienta y se enfría, como en el formado en caliente o en el tratamiento térmico. En el apéndice B se analizan varios tratamientos térmicos para aceros. Grosso modo, se dividen en dos categorías: endurecimiento completo, donde la pieza completa se calienta por arriba de la temperatura de transición, y luego se hace el templado; y endurecimiento en cementado, en el cual sólo una capa relativamente delgada de la superficie se calienta por encima de la temperatura de transición y templado, o bien, la pieza se calienta a una temperatura menor en una atmósfera especial, que agrega elementos de endurecimiento a la superficie. El endurecimiento completo causa esfuerzos residuales de tensión en la superficie. Si la carga sobre la pieza crea esfuerzos de tensión altos en la superficie, como en la flexión o en la torsión, o si las muescas en la superficie de una pieza cargada axialmente causan altos esfuerzos de tensión locales, entonces los esfuerzos de tensión residuales adicionales empeorarán la situación. Esto hace del endurecimiento completo un enfoque menos deseable en tales casos. 4 El endurecimiento en cementado por carburación, nitruración, por llama o endurecimiento por inducción crea esfuerzos residuales de compresión en la superficie, porque el aumento de volumen asociado con el cambio de fase del material (o adiciones de elementos) se localiza cerca de la superficie, mientras el núcleo sin cambios mantiene la parte exterior a compresión. Este esfuerzo de compresión en la superficie puede tener efectos benéficos significativos en la vida de fatiga. A una partícula del material no le importa si el esfuerzo que siente es causado por alguna fuerza externa o por una fuerza residual interna. La partícula siente un esfuerzo neto reducido que ahora es la suma algebraica de los esfuerzos de tensión positivos (aplicado alternativo) y los esfuerzos de compresión negativos (residual medio). Si se va a tratar con calor una pieza cargada a la fatiga, el endurecimiento en cementado ofrece ventajas diferentes sobre el endurecimiento completo. La figura 4-37 muestra los efectos de la nitruración y la carburación sobre el estado de esfuerzos residuales cerca de la superficie, e indica la distribución de los esfuerzos residuales de compresión y de tensión a través del espesor de una pieza carburada. TRATAMIENTOS SUPERFICIALES Los métodos más comunes para introducir esfuerzos de compresión en la superficie son el granallado y el formado en frío. Ambos requieren fluencia por tensión de la capa superficial a alguna profundidad. La fluencia parcial de una porción del material causa esfuerzos residuales de signo opuesto a los desarrollados en esa porción, conforme la masa no esforzada subyacente del material intenta forzar al material que ha cedido a regresar a su tamaño original. La regla es proteger contra los esfuerzos posteriores en una dirección específica, sobreesforzando Superficie Nit rur ada Distancia desde la superficie, in Distancia bajo la superficie, in a ad ur rb Ca Esfuerzo agregado por esmerilado (profundidad de la escala exagerada) Superficie Esfuerzo residual de compresión, 1000 psi Tensión Compresión FIGURA 4-37 Distribución de esfuerzos residuales debidos al endurecimiento debido al cementado (de la fig. 5.1, p. 51, y fig. A-13, p. 202, en Almen y Black, 1963, Residual Stresses and Fatigue Metals, McGraw-Hill, Nueva York, con autorización) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 279 al material (es decir, haciéndolo ceder) en la misma dirección que lo hará el esfuerzo aplicado. Como se trata de proteger contra los esfuerzos de tensión en cargas de fatiga, se busca hacer ceder al material con tensión, para desarrollar esfuerzos residuales de compresión. Esta técnica de trabajo en frío de la superficie era conocida por los antiguos herreros, quienes martillaban la superficie de la espada, o los resortes de carruajes cuando estaban fríos como paso final para aumentar su resistencia. El granallado* es relativamente fácil de hacer y se aplica a las piezas de casi cualquier forma. La superficie de la parte es impactada con una ráfaga de granalla (como municiones) hecha de acero, hierro fundido enfriado, vidrio, cerámica, cáscaras de nuez u otro material. La granalla más dura se utiliza sobre piezas de acero; los más blandos, sobre metales no ferrosos blandos. El proyectil se dispara hacia la pieza con gran velocidad usando ya sea una rueda giratoria, o bien, chorros de aire a través de una tobera. Los impactos de las granallas abollan la superficie, haciendo ceder al material y creando la apariencia de hendiduras. Básicamente, la superficie se estira hasta un área más grande, en tanto que el material subyacente la jala de regreso hacia un estado de esfuerzos residuales de compresión. También puede existir algún trabajo en frío de la superficie del material, lo cual incrementará su dureza y su resistencia a la fluencia. 4 Es posible alcanzar niveles sustanciales de esfuerzos de compresión, hasta aproximadamente el 55% de la resistencia última a la tensión del material.† La profundidad de penetración del esfuerzo compresivo puede ser hasta de 1 mm. Resulta complicado determinar con exactitud el nivel de esfuerzo residual en una pieza tratada con granalla, ya que se destruye al hacerlo. Si se corta una rodaja a una profundidad por debajo de la capa bombardeada, el corte tenderá a acercarse; la cantidad de cercanía es una medida del esfuerzo residual presente. La figura 4-38 presenta la distribución del esfuerzo residual que resulta del granallado en dos aceros, con diferentes resistencias a la fluencia. El esfuerzo de compresión pico ocurre justamente debajo de la superficie y declina muy rápido con la profundidad. Profundidad debajo de la superficie, in El grado del granallado se mide durante el tratamiento, incluyendo una cinta de prueba Almen estándar en un chorro de granallas. La delgada cinta de prueba se mantiene en un accesorio, de modo que tan sólo entra en contacto en uno de sus lados. Cuando se remueve del accesorio, la cinta se enrosca debido a los esfuerzos de compresión sobre un lado. La altura de su curva se convierte a un número Almen, que indica el grado de granallado que recibió la pieza (y la cinta). Si no hubiera datos específicos del nivel de esfuerzo residual presente después del granallado, una manera conservadora de tomar en cuenta su beneficio consiste en definir el factor de superficie Csup  1 in calculando la resistencia a la fatiga corregida con la ecuación 4.8 (p. 267). Superficie granallada Rockwell C40 Nitru r ada Superficie granallada Rockwell C64 Afilada Rockwell C30 Esfuerzo de compresión, 1000 psi FIGURA 4-38 Distribución de esfuerzos residuales debidos al granallado (de la fig. 5.11, p. 58, de Almen y Black, 1963. Residual Stresses and Fatigue in Metals, McGraw-Hill, Nueva York, con autorización) * Un análisis excelente y definitivo sobre el granallado se encuentra en Leghorn, G., “The Story of Shot Peening”, A.S.N.E. Journal, nov., 1957, pp. 653-666, también disponible en http:// www.shotpeener.com/learning/ story_peening.pdf. Quien esté interesado seriamente en el granallado debería leer este artículo. Además, el folleto “Shot Peening Applications”, 8a. ed., por la Metal Improvement Company, Inc. (www.metalimprovement.com) es un recurso valioso y una referencia sobre granallado. Otra fuente es una presentación online en http://www.straaltechniek. net/files/straaltechniek_shot_ peening_presentation.pdf † American Gears Manufacturers Association Specification AGMA 938-A05 280 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado El granallado se utiliza ampliamente en piezas como hojas para sierras eléctricas, cigüeñales, bielas, engranes y resortes.[38] En piezas muy grandes, algunas veces se usa un granallado a martillo, en el cual se emplea un martillo neumático manual para impactar porciones muy esforzadas de la superficie (como las raíces de los dientes de engrane) con una esfera endurecida. Las piezas de acero de alta resistencia se benefician más con el granallado, puesto que pueden generar esfuerzos residuales de compresión de hasta 55% aproximadamente de su Sut mayor. Es muy benéfico en las superficies forjadas y roladas en caliente, que son tanto ásperas como débiles por la descarburación. Las piezas chapadas de cromo y níquel pueden restablecer sus niveles de resistencia a la fatiga antes del chapado, si se granallan antes del chapado. Si el granallado se realiza antes del chapado, el resultado no sólo será el efecto negativo del bloqueo del chapado, sino una resistencia a la fatiga mayor que la de la pieza original sin recubrimiento, como se muestra en la figura 4-29 (p. 264). El granallado adecuado de partículas sobre resortes helicoidales puede hacer que sus resistencias a la fatiga se incrementen hasta el punto en el que fallen por fluencia antes de fallar por fatiga,[38] de modo que el bombardeo de proyectiles es evidentemente una técnica útil para mejorar la vida de fatiga o las piezas sometidas a esfuerzos altos y no aumenta excesivamente los costos de producción. 4 El forjado con láser es un desarrollo reciente que usa pulsaciones de láser para forjar hasta 1 m2 de metal por hora. Cada onda de choque que se genera en el material por el pulso de láser crea esfuerzos de compresión residuales de 1 a 2 mm de profundidad en un área de 25 mm2, a mayor profundidad que algunas técnicas de forjado por granallado, por lo que se dice que aumenta la vida a la fatiga de 3 a 5 veces más que las técnicas convencionales de forjado con granallado. El forjado con láser es más lento y más costoso que el forjado con granallado, y se usa algunas veces sobre áreas críticas como los bordes en los álabes de una turbina y las raíces de los dientes de engranes, después de que se realiza el forjado con granallado convencional en la totalidad de la pieza.* A diferencia del forjado con proyectiles, el forjado con láser no afecta el acabado de la superficie. El formado en frío se utiliza en superficies de revolución como ejes, en superficies planas que pasan entre rodillos y en el interior de orificios. Por ejemplo, un rodillo endurecido se puede imprimir contra un eje conforme gira en un torno. Las fuerzas grandes causan fluencia local bajo el rodillo, que se convierte en esfuerzos residuales de compresión en la superficie, los cuales la protegerán de los efectos de tensión de la carga de flexión giratoria o de torsión invertida durante el servicio. El formado en frío es particularmente útil en filetes, ranuras o incrementadores de esfuerzo. * Para mayor información, véase: http://www.llnl.gov/str/March01/ Hackel301.html y http://www. geartechnology.com/mag/archive/ rev1101.pdf † La capacidad de algunos líquidos para transmitir presión rápidamente está limitada por el incremento de su viscosidad a presiones altas. Las gasolinas sin plomo y algunos otros líquidos soportan presiones de alrededor de 200 000 psi, sin que se degrade mucho su transmisión de la presión. Algunos fluidos se vuelven sólidos a 100 000 psi. El agua formará hielo-VI a 155 000 psi aproximadamente y tapará el tubo o conducto. Fuente: D. H. Newhall, Harwood Engineering Inc., Walpole, Mass., comunicación personal, 1994. Los orificios y barrenos se forman en frío forzando un mandril con un diámetro ligeramente mayor a través del orificio, para expandir el diámetro interior mediante fluencia y crear esfuerzos residuales compresivos. Esto algunas veces se hace en los cañones de las armas de fuego en un proceso llamado autoludimento. El autoludimento también se realiza llenando el cañón con un mandril de acero que deja un pequeño ducto circular (como rosquilla), con los extremos cerrados, llenando el espacio con gasolina,† y sometiéndolo a una presión de hasta 200 000 psi. La presión hidrostática hace ceder la superficie interior bajo tensión, creando así esfuerzos de compresión residuales para protegerlo contra la falla por fatiga por los esfuerzos cíclicos de tensión experimentados cuando se dispara el cañón. Los bordes de los orificios pueden acuñarse en cualquier parte haciendo ceder sus bordes con una herramienta cónica para poner esfuerzos de compresión alrededor de la región de concentración de esfuerzos en la superficie. La reducción de las dimensiones del lingote por rolado en frío introduce un esfuerzo de compresión residual en la superficie y de tensión en el núcleo. El rolado en exceso llega a causar agrietamiento por tensión al exceder la resistencia por tensión estática en el centro. El material se puede recocer entre rolados sucesivos para prevenir lo anterior. PREESFUERZO MECÁNICO El preesfuerzo es una manera útil de crear esfuerzos residuales, en piezas que están cargadas durante el servicio en una sola dirección, como los Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 281 OPERACIONES DE PROCESO EN FRÍO Y ESTADO DE ESFUERZOS RESULTANTE Esfuerzo de fluencia Formado y tratado con calor Cargado por arriba de la resistencia de fluencia (preestablecido) tensión Esfuerzo real Esfuerzo de fluencia compresión Esfuerzo calculado 4 Esfuerzo residual después de la operación preestablecida Esfuerzo residual después del preestablecido y el forjado con granallado Carga máxima en servicio Esfuerzo real Esfuerzo calculado FIGURA 4-39 Esfuerzos residuales debidos a preesfuerzo y un muelle forjado con granallado (de la fig. 6.2, p. 61, en Almen y Black, Residual Stresses and Fatigue in Metals, McGraw-Hill, Nueva York, 1963, con autorización) muelles de soporte en los vehículos. El preesfuerzo se refiere a la sobrecarga deliberada de la pieza en la misma dirección que su carga en servicio, antes de ponerse en servicio. La fluencia que ocurre durante el preesfuerzo crea esfuerzos residuales benéficos. La figura 4-39 muestra un ejemplo de preesfuerzo aplicado al muelle de un camión. El muelle se formó inicialmente con más contorno del que necesitaba el montaje. Se colocó luego en un accesorio que lo cargara exactamente como si estuviera en servicio, pero en un nivel por arriba de su resistencia a la fluencia (de tensión) para preesforzarlo. Cuando se elimina la carga, resortea de regreso a una nueva forma, la cual es la que se desea para el ensamble. Sin embargo, la recuperación elástica ahora pone al material que se fluencia en un estado de esfuerzo residual, en la dirección opuesta (de compresión) a la de la carga aplicada. Por lo tanto, este esfuerzo residual actuará para proteger la parte contra las cargas de tensión durante el servicio. En la figura se ilustran los patrones de esfuerzo residual y también se indica el resultado del forjado con granallado de la superficie de arriba después del preprogramado. En este caso, los dos tratamientos son aditivos en la superficie de arriba, y brindan una protección mayor contra los esfuerzos por tensión variables durante el servicio. Observe que si se invierte la carga sobre la parte durante el servicio —hasta el punto de fluencia de la superficie de arriba en compresión— se mitigaría el beneficio del esfuerzo de compresión y comprometería la vida de la pieza. Por lo tanto, este procedimiento es más útil en piezas cuyos esfuerzos durante el servicio son unidireccionales. RESUMEN Los esfuerzos de tensión residuales quizá sean los “mejores amigos del diseñador a la fatiga”. Configurados en forma adecuada, los esfuerzos residuales benéficos pueden dar una seguridad en el diseño que, de otra manera, sería imposible. El diseñador tiene que estar muy familiarizado con los medios existentes para su creación. Esta breve descripción intenta servir tan sólo como introducción a un tema algo complicado, por lo que se le pide al lector que consulte la literatura sobre esfuerzos residuales, alguna de la cual se menciona en la bibliografía del capítulo. 282 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Si se obtienen datos cuantitativos acerca de los niveles de esfuerzos residuales, desarrollados en una pieza determinada (aplicando usualmente pruebas destructivas), entonces tales datos se pueden usar al calcular los niveles de esfuerzos aplicados seguros. En ausencia de dicha información cuantitativa, el diseñador está limitado a considerar el uso de estos tratamientos como proveedores de un factor de seguridad adicional, que se cuantifica burdamente pero en la dirección correcta. 4.9 4 DISEÑO PARA LA FATIGA DE ALTO CICLO Ahora se está listo para aplicar toda la información recopilada sobre falla por fatiga para eliminarla del diseño de piezas cargadas dinámicamente. Hay cuatro categorías básicas que se pueden tratar por separado, aun cuando, de hecho, tres de ellas son casos especiales del cuarto caso general. Como se verá, el mismo enfoque general para la solución de las cuatro categorías es posible y deseable. Sin embargo, ayudará en la comprensión de las soluciones, si se tratan por separado antes de presentar el método de solución general. La figura 4-40 muestra las cuatro categorías en una matriz. Las columnas indican la presencia o ausencia de un esfuerzo medio. El caso del ciclo invertido tiene un esfuerzo medio igual a cero y el caso del esfuerzo variable tiene un valor medio diferente de cero. Ambos tienen componentes alternativos. Las filas definen la presencia de componentes de esfuerzos aplicados sobre uno o más ejes. El caso uniaxial representa los casos de carga simple, como la carga axial pura o la flexión pura. El caso multiaxial es general y permite componentes de esfuerzos normales aplicados sobre todos los ejes, en combinación con esfuerzos cortantes aplicados sobre cualquier cara del cubo de esfuerzos. En realidad, los casos de carga pura son raros en la práctica. Más bien, se encontrará alguna combinación de esfuerzos multiaxiales sobre las piezas de máquinas. No obstante, en la práctica a menudo se encuentran tanto los casos de esfuerzos invertidos como los de esfuerzos variables. Se considerará primero la categoría más simple (I), de esfuerzos uniaxiales de ciclo invertido. Muchos textos subdividen aún más esta categoría en carga de flexión, carga axial y carga de torsión, y presentan por separado cada caso. Se tratará en una sola categoría calculando el esfuerzo efectivo de Von Mises y se comparará con la resistencia a la fatiga por flexión corregida del material elegido. Lo anterior elimina la necesidad de considerar la torsión pura como un caso especial. A continuación se considerarán los esfuerzos uniaxiales variables (categoría II). Esto agrega la complicación de los esfuerzos medios y se empleará el diagrama de Goodman modificado, además del diagrama S-N (más simple). Se utilizará el esfuerzo efectivo de Von Mises para convertir la carga por torsión pura en una forma equivalente de esfuerzo de tensión. Por último, se investigarán las categorías generales de esfuerzos multiaxiales, tanto del caso de ciclo invertido (III) como el caso de carga fluctuantes (IV); además, se presentará una recomendación del “procedimiento universal” que funcione para todas las categorías de la mayoría de situaciones de carga comunes. La idea es que dicho enfoque simplifique un tema complicado y ofrezca al estudiante un método útil en el diseño de HCF para la mayoría de los casos. 4.10 DISEÑO PARA ESFUERZOS UNIAXIALES TOTALMENTE INVERTIDOS El ejemplo más sencillo de carga por fatiga es el de la categoría I, del ciclo de esfuerzo uniaxial invertido con un esfuerzo medio igual a cero (véase la figura 4-6a, p. 243). Algunas aplicaciones comunes de esta categoría son el eje giratorio con flexión que soporta Capítulo 4 Ciclo de esfuerzos invertidos (Sm = 0) TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 283 Esfuerzos fluctuantes (Sm x 0) Esfuerzos uniaxiales Categoría I Categoría II Esfuerzos multiaxiales Categoría III Categoría IV FIGURA 4-40 Las cuatro categorías de situaciones de diseño para fatiga una carga estática, o un torque invertido sobre un eje con grandes cargas oscilantes de inercia y un torque medio que es efectivamente cero, comparado con tales oscilaciones. El proceso se describe también con un conjunto de pasos generales: Pasos de diseño para esfuerzo totalmente invertido con carga uniaxial: 1. Determine el número N de ciclos de carga, que la pieza experimentará durante su vida de servicio esperada. 2. Determine la amplitud de las cargas alternativas aplicadas desde cero al pico (ecuación 4.1, p. 244). Observe que una carga estática sobre un eje giratorio causa esfuerzos alternativos. 3. Elabore un diseño geométrico tentativo de la pieza para soportar las cargas aplicadas con base en buenas prácticas de ingeniería. (Véase capítulos 1 y 2.) 4. Determine los factores adecuados Kt (o Kts, de corte) de concentración de esfuerzos geométricos en las muescas de la geometría de la pieza. Intente, desde luego, minimizar esto con un buen diseño. (Véase la sección 2.15, p. 116.) 5. Elija un material tentativo para la pieza y determine sus propiedades de interés, como Sut, Sy, Se’ (o Sf’ para la vida requerida), y q a partir de sus propios datos de prueba, de la literatura existente, o bien, de estimaciones según describió en este capítulo. 6. Convierta los factores Kt (o Kts para el corte) de concentración de esfuerzos geométricos a factores Kƒ de concentración de fatiga usando la sensibilidad q de la muesca del material. 7. Calcule las amplitudes σa (o τa si la carga es cortante puro) de los esfuerzos alternativos nominales en ubicaciones críticas de la pieza, debidos a las cargas de servicio alternativas con base en técnicas estándares de análisis de esfuerzos (capítulo 2), e increméntelas tanto como sea necesario con los factores apropiados de concentración de esfuerzos de fatiga (sección 2.15, p. 116 y sección 4.7, p. 272). 8. Calcule las amplitudes del esfuerzo principal para las ubicaciones críticas, según sus estados de esfuerzo aplicados (capítulo 2). Observe que contienen los efectos de concentraciones de esfuerzos. Calcule el esfuerzo efectivo de Von Mises para cada ubicación de interés. 9. Determine los factores adecuados de modificación de resistencia a la fatiga para el tipo de carga, el tamaño de la pieza, la superficie, etcétera, como se describió en la sección 4.6. Observe que el factor de carga Ccarga diferirá si las cargas son axiales o de flexión (ecuación 4.7a, p. 260). Si la carga es torsión pura, entonces el cálculo del esfuerzo efectivo de Von Mises la convertirá en un esfuerzo de pseudotensión; por ello, Ccarga debería hacerse igual a 1. 4 284 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 10. Defina la resistencia corregida a la fatiga Sƒ para el ciclo N de vida requerida (o el límite de resistencia Se corregido para vida infinita, si es necesario) y la resistencia “estática” Sm @ N  103 ciclos de la ecuación 4.9 (p. 267). Elabore un diagrama S-N, como se muestra en la figura 4-33 (p. 267) y/o escriba la ecuación 4.10 (p. 268) para esta selección tentativa del material. 11. Compare el esfuerzo efectivo de Von Mises alternativo en la ubicación del esfuerzo más alto con la resistencia corregida a la fatiga del material Sn tomada de la curva S-N en el número N de ciclos de vida deseados. (Observe que, para casos de vida infinita donde el material presenta una rodilla S-N, Sn  Se). 4 12. Calcule un factor de seguridad para el diseño a partir de la relación, Sn (4.14) σ' donde Nƒ es el factor de seguridad a la fatiga; Sn es la resistencia a la fatiga corregida en el número requerido de ciclos de vida, tomados de la curva S-N o de la ecuación 4.10 (p. 268), y σ' es el mayor esfuerzo alternativo de Von Mises en cualquier ubicación de la pieza, calculado para incluir todos los efectos de la concentración de esfuerzos. Nf = 13. En vista de que el material fue sólo tentativamente seleccionado y que el diseño quizá no esté tan refinado como sea posible, el resultado del primero de los pasos quizá será un diseño deficiente, cuyo factor de seguridad sea muy grande o muy pequeño. Se requiere de iteración (como siempre) para refinar el diseño. Cualquier subconjunto de pasos se puede repetir tantas veces como sea necesario para obtener un diseño aceptable. La táctica más común es regresar al paso 3 y mejorar la geometría de la pieza, con la finalidad de reducir esfuerzos y concentraciones de esfuerzos y/o reabordar el paso 5 para seleccionar un material más adecuado. Algunas veces será posible regresar al paso 1 y volver a definir una vida de la pieza aceptablemente más corta. Es posible que las cargas de diseño en el paso 2 no estén bajo el control del diseñador. Por lo general no lo están, a menos que la carga sobre la pieza se deba a fuerzas inerciales; entonces, al incrementar la masa para “agregar resistencia” empeorará la situación, pues esto aumentará las cargas proporcionalmente (véase la sección 1.6, p. 28). En cambio, el diseñador debería aligerar la pieza para disminuir las fuerzas sin comprometer excesivamente su resistencia. Cualesquiera que sean las circunstancias específicas, el diseñador debe aplicar varias veces estos pasos antes de que converjan a una solución aplicable. Los resolvedores de ecuaciones que permiten el cálculo rápido de las ecuaciones son de gran ayuda en esta situación. La mejor manera de demostrar el uso de estos pasos para el diseño contra la fatiga es mediante un ejemplo. EJEMPLO 4-4 Diseño de una ménsula en voladizo para flexión totalmente invertida Problema Se va a instalar un ensamble de rodillo de alimentación en cada extremo de la ménsula de una máquina sobre el brazo de un soporte en voladizo, como se muestra en la figura 4-41. Los rodillos alimentadores experimentan un ciclo de carga invertida de 1 000 lb de amplitud, deslizándose distancias iguales entre las dos ménsulas de soportes. Diseñe una ménsula en voladizo para resistir sin falla un ciclo de carga de flexión invertida de 500 lb de amplitud para 10 9 ciclos. La deflexión dinámica no debe exceder 0.01 in. Se proporciona La forma de la función carga-tiempo se ilustra en la figura 4-41a. El ambiente de operación es aire ambiental con una temperatura máxima de 120 oF. El espacio disponible permite una longitud máxima del voladizo de 6 in. Sólo se requieren 10 de estas piezas. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA F máx = 500 l a estructura M viga 285 t media = 0 l a mín = –500 F d F M d viga b b estructura fatiga por ludimiento — Kt r — filete Kt 2 R D 1.1 a 1.5 R (a) Diseño simple — material estándar plano laminado (b) Mejor diseño — maquinado con filetes FIGURA 4-41 Diseño de una ménsula en voladizo para una carga de flexión totalmente invertida Suposiciones La ménsula puede estar sujeto entre placas esencialmente rígidas o atornillado en su raíz. La carga normal se aplicará en la punta de la viga en voladizo con una varilla sujeta a través de un orificio pequeño en la viga. Como el momento de flexión es efectivamente cero en la punta de la viga, se puede ignorar la concentración de esfuerzos en este orificio. Dada la pequeña cantidad requerida, el maquinado de las formas del material es el método de manufactura elegido. Solución Véase la figura 4-41 y las tablas 4-9 y 4-10 (pp. 288 y 289). 1. Se trata de un problema de diseño típico. Se dan muy pocos datos, con excepción de la funcionalidad requerida del dispositivo, algunas limitaciones en tamaño y el ciclo de vida requerido. Conforme se avance, se deberán realizar algunas suposiciones básicas acerca de la geometría de la pieza y otros factores. Se espera alguna iteración. 2. Los primeros dos pasos del proceso sugerido anteriormente, la obtención de la amplitud de la carga y el número de ciclos se definen en el planteamiento del problema. Se iniciará en el tercer paso, creando el diseño geométrico tentativo de la pieza. 3. La figura 4-41a muestra la configuración del diseño tentativo. Se elige una sección transversal rectangular para facilitar el montaje y la sujeción. Una barra de material rolado en frío en un molino se puede simplemente cortar a la longitud deseada, y taladrarse para tener los barrenos necesarios; luego, se sujeta en el armazón de la estructura. Tal procedimiento parece atractivo en su simplicidad, ya que requiere muy poco maquinado. El acabado de molino sobre los lados es adecuado para esta aplicación. Sin embargo, este diseño tiene algunas desventajas. Las tolerancias del molino sobre el espesor no se ajustan lo suficiente para dar la precisión requerida sobre el espesor, de modo que la pieza alta y la pieza baja deberán maquinarse o esmerilarse a la dimensión adecuada. También las esquinas afiladas en la estructura donde se sujeta causan concentraciones de esfuerzos de aproximadamente Kt  2 y crean asimismo una condición llamada fatiga por ludimiento debido a los ligeros movimientos que ocurrirán entre las dos piezas conforme se flexiona la ménsula. Este movimiento desgasta continuamente el revestimiento protector, exponiendo el metal descubierto a la oxidación y acelerando el proceso de falla por fatiga. El ludimiento podría convertirse en un problema aun cuando los bordes de las piezas fueran curvos (radiados). 4. La figura 4.41b muestra un diseño mejorado, donde el material salido del molino es más grueso que la dimensión final deseada, y se maquina por arriba y por abajo a la dimensión D; luego, se maquina al espesor d a lo largo de la longitud l. Se le da un filete de radio r en el punto de sujeción, con la finalidad de reducir la fatiga por ludimiento y de obtener menor Kt. La figura 2-36 (p. 120) muestra que con un control 4 286 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado adecuado de las razones r/d y D/d para una barra plana escalonada en flexión, el factor de concentración de esfuerzos geométricos Kt se mantiene por debajo de 1.5. 5. Se deben suponer algunas dimensiones de prueba para b, d, D, r, a y l. Se considerarán (supondrán) los valores de b  1 in, d  0.75 in, D  0.94 in, r  0.25, a  5.0 y l  6.0 in para la carga aplicada del primer cálculo. Esta longitud dejará algo de material alrededor del orificio y aun así se ajustará sin dificultad a la longitud restringida de 6 in. 4 6. Se debe elegir también el material. Para vida infinita, bajo costo y fácil fabricación, es deseable utilizar un acero al carbono, si es posible y si las condiciones ambientales lo permiten. Como esto se usará en un ambiente interior controlado, el acero al carbono es aceptable para el último punto. El hecho de que la deflexión preocupe también es un buen motivo para seleccionar un material con E grande. Los aceros dúctiles al bajo y al medio carbono cumplen con el requisito de resistencia límite de fatiga de articulación de rodilla, para la vida infinita requerida en este caso y también tienen baja sensibilidad a la muesca. Se elige un acero SAE 1040 normalizado con Sut  80 000 psi para este primer ensayo. 7. La fuerza de reacción y el momento de reacción en el soporte se obtienen mediante las ecuaciones h del ejemplo 4-5. En seguida, se determinan el momento de inercia de la sección transversal, la distancia a la fibra exterior y el esfuerzo flexionante nominal alternativo en la raíz, mediante la amplitud de 500 lb de la carga alternativa. R = F = 500 lb M = Rl − F(l − a) = 500(6) − 500(6 − 5) = 2 500 lb - in bd 3 1(0.75) = = 0.035 2 in 4 12 12 ( a) 3 I= (b) d 0.75 c= = = 0.375 in 2 2 σ anom = Mc 2 500(0.375) = 26 667 psi = 0.035 2 I (c) 8. Se deben calcular dos razones para usarlas en la figura 2-36 (p. 120) para obtener el factor de concentración de esfuerzos geométricos Kt para las dimensiones supuestas de la pieza. D 0.938 = = 1.25 d 0.75 interpolando interpolating r 0.25 = = 0.333 d 0.75 A = 0.965 8 b = −0.266 (d ) (e) b r Kt = A⎛ ⎞ = 0.965 8(0.333) −0.266 = 1.29 ⎝ d⎠ (f) 9. La sensibilidad a la muesca q para el material seleccionado se calcula con base en su resistencia última, y el radio de la muesca, con la ecuación 4.13 (p. 273) y los datos de la constante de Neuber de la tabla 4-6 (p. 276). A partir de la tabla, para Sut  80 kpsi: 1 q= 1+ a r = a = 0.08 1 = 0.862 0.08 1+ 0.25 ( g) ( h) Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 287 10. Los valores de q y Kt se usan para calcular el factor de concentración de esfuerzos por fatiga Kƒ, el cual se utiliza en su momento para determinar el esfuerzo alternativo local σa en la muesca. Debido a que se trata del caso más sencillo de esfuerzo uniaxial por tensión, el mayor esfuerzo principal alternativo σ1a para este caso es igual al esfuerzo de tensión alternativo, que es el esfuerzo alternativo de von Mises σ'a. Véase las ecuaciones 2.6 (p. 75) y 3.7c (p. 179). τ ab K f = 1 + q( Kt − 1) = 1 + 0.862(1.29 − 1) = 1.25 (i ) σ a = K f σ anom = 1.25(26 667) = 33 343 psi ( j) 4 2 2 ⎛ σx − σy ⎞ ⎛ 33 343 − 0 ⎞ + 0 = 16 672 psi 2 =± ⎜ ⎟ + τ xy = ⎝ ⎠ 2 2 ⎝ ⎠ σ1 a , σ 3 a = σx + σy ± τ ab = 33 343 psi, 0 psi 2 (k ) σ' = σ12 − σ1σ 2 + σ 22 = 33 3432 − 33 343(0) + 0 = 33 343 psi 11. El límite de resistencia a la fatiga sin corregir Se’ se obtiene de la ecuación 4.5a (p. 260). El factor de tamaño para esta pieza rectangular se determina calculando el área de la sección trasversal esforzada arriba del 95% de su esfuerzo máximo (véase la figura 4-25c, p. 262) y mediante ese valor en la ecuación 4.7d (p. 261) para obtener un diámetro equivalente de la muestra de prueba que se usa en la ecuación 4.7b (p. 261) y así obtener Ctamaño. Se'  0.5Sut  0.580 000  40 000 psi (l ) A95  0.05db  0.050.75 1  0.04 in 2 dequiv  A95  0.700 in 0.0766  Ctamaño  0.869 dequiv 0.097 ( m)  0.900 12. El cálculo del límite de resistencia a la fatiga corregido Se requiere que se determinen varios factores. Ccarga se obtiene de la ecuación 4.7a (p. 260). Csup para un acabado maquinado se determina de la ecuación 4.7e (p. 263). Ctemp se calcula de la ecuación 4.7ƒ (p. 265) y Cconf se selecciona de la tabla 4-4 (p. 265) para un nivel de confiabilidad de 99.9%. Ccarga  1 :  para flexión Csup  A Sut kpsi b  2.780 0.265  0.845 : maquinado Ctemp  1 : temperatura ambiente Cconf  0.753 : para 99.9% de confiabilidad. (n) El límite corregido de resistencia a la fatiga se obtiene de la ecuación 4.6 (p. 260). Se  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Se'  10.900 0.845 1 0.753 40 000  22 907 psi ( o) Observe que el Se corregido es de sólo 29% aproximadamente de la Sut. 13. El factor de seguridad se calcula con la ecuación 4.14 (p. 284); en tanto que la deflexión de la viga y se determina con la ecuación (j) del ejemplo 2-5 (p. 97). 288 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 4-9 - Un Enfoque Integrado Ejemplo 4-4 – Diseño de una ménsula en voladizo para ciclo de flexión invertida Primera iteración: Diseño sin éxito (archivo EX06-04A) Entrada Salida Unidad Comentarios F lb amplitud de la carga aplicada en el punto a 1 b in ancho de la viga 0.75 d in profundidad de la viga sobre la longitud 0.94 D in profundidad de la viga en la pared 0.25 r in radio del filete 6 l in longitud de la viga 5 a in distancia a la carga F 6 lx in distancia para el cálculo de la deflexión 3E7 E psi módulo de elasticidad Sut psi resistencia última a la tensión 500 4 Variable 80 000 1 factor de carga para flexión Ccarga Csup acabado maquinado 0.85 1 Ctemp temperatura ambiente 0.753 Cconf factor de confiabilidad de 99.9% R 500 M 2 500 lb fuerza de reacción en el soporte in-lb momento de reacción en el soporte I 0.035 2 in^4 momento de inercia de área c 0.38 in distancia a la fibra exterior psi esfuerzo por flexión en la raíz signom 26 667 D/d 1.25 razón del ancho de la barra 1.01 < D/d < 2 r/d 0.33 razón del radio al diámetro pequeño Kt 1.29 factor de concentración de esfuerzos geométricos q 0.86 factor de Peterson de sensitividad a la muesca Kf 1.25 factor de concentración de esfuerzos por fatiga sigx 33 343 psi esfuerzo concentrado en la raíz sig1 33 343 psi mayor esfuerzo alternativo principal sigma-vm 33 343 psi esfuerzo alternativo de von Mises Seprime 40 000 psi límite de resistencia a la fatiga sin corregir A95 0.04 in^2 área de esfuerzo de 95% d-equivalente 0.7 in diámetro equivalente de la muestra de prueba Ctamaño 0.9 Se Nsf y 22 907 factor de tamaño con base en el 95% del área psi 0.69 –0.026 límite de resistencia a la fatiga corregido factor de seguridad pronosticado in deflexión en el extremo de la viga Capítulo 4 Tabla 4-10 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 289 Ejemplo 4-4 – Diseño de una ménsula en voladizo para ciclo de flexión invertida Iteración final: Diseño exitoso (archivo EX06-04B) Entrada Variable Salida Unidad Comentarios F lb amplitud de la carga aplicada en el punto a 2 b in ancho de la viga 1 d in profundidad de la viga sobre la longitud 1.125 D in profundidad de la viga en la pared 0.5 r in radio del filete 6 l in longitud de la viga 5 a in distancia a la carga F 6 lx in distancia para el cálculo de la deflexión 3E7 E psi módulo de elasticidad Sut psi resistencia última a la tensión 500 80 000 1 factor de carga para flexión Ccarga Csup acabado maquinado 0.85 1 Ctemp temperatura ambiente 0.753 Cconf factor de confiabilidad de 99.9% R 500 M 2 500 lb fuerza de reacción en el soporte in-lb momento de reacción en el soporte I 0.166 7 in^4 momento de inercia de área c 0.5 in distancia a la fibra exterior psi esfuerzo por flexión en la raíz signom 7 500 D/d 1.13 razón del ancho de la barra 1.01 < D/d < 2 r/d 0.50 razón del radio al diámetro pequeño Kt 1.18 factor de concentración de esfuerzos geométricos q 0.90 factor de Peterson de sensitividad a la muesca Kf 1.16 factor de concentración de esfuerzos por fatiga sigx 8 688 psi esfuerzo concentrado en la raíz sig1 8 688 psi mayor esfuerzo alternativo principal sigma-vm 8 688 psi esfuerzo alternativo de von Mises 40 000 Seprime psi límite de resistencia a la fatiga sin corregir A95 0.10 in^2 área de esfuerzo de 95% d-equiv 1.14 in diámetro equivalente de la muestra de prueba Ctamaño 0.86 Se Nsf y 21 843 factor de tamaño con base en el 95% del área psi 2.5 –0.005 límite de resistencia a la fatiga corregido factor de seguridad pronosticado in deflexión en el extremo de la viga 4 290 DISEÑO DE MÁQUINAS - Nf = y= y@ x = l = 4 Un Enfoque Integrado Sn 22 907 = = 0.69 σ' 33 343 [ F x 3 − 3ax 2 − x − a 6 EI 3 ( p) ] [ ] (q) 500 6 3 − 3(5)(6)2 − (6 − 5)3 = −0.026 in 6(3E 7)(0.0352) 14. Los resultados de todos los cálculos para el primer diseño supuesto se presentan en la tabla 4-9 (p. 288). La deflexión de 0.026 in no está dentro de la especificación establecida y el diseño falla cuando el factor de seguridad es menor que uno. De modo que se necesitan más iteraciones, como era de esperarse. Se puede cambiar cualquiera de las dimensiones, al igual que el material. El material no se modificó, pero se incrementaron las dimensiones de la sección transversal de la viga y el radio de la muesca, y se volvió a correr el modelo (lo cual sólo tomó unos cuantos minutos) hasta que se lograron los resultados mostrados en la tabla 4-10 (p. 289). 15. Las dimensiones finales son b  2 in, d  1 in, D  1.125 in, r  0.5, a  5.0 y l  6.0 in. El factor de seguridad es ahora de 2.5 y la deflexión máxima es de 0.005 in. En este caso, ambos son satisfactorios. Observe el factor de concentración de esfuerzos por fatiga tan bajo de Kƒ  1.16. Se eligió de manera deliberada la dimensión D ligeramente menor que el tamaño estándar del material, de modo que el material se pudiera limpiar y quedar listo para el nivel de las superficies del montaje. Con este diseño también se puede usar acero rolado en caliente (HRS), en vez del acero rolado en frío (CRS) supuesto inicialmente (figura 4-41a, p. 285). El acero rolado en caliente es menos costoso que el CRS y, si se normaliza, tiene menos esfuerzos residuales, aunque su superficie áspera y descarburada necesita eliminarse maquinándola completamente, o bien, tratarla con granallado para hacerla resistente. 16. Los archivos EX06-04 se encuentran en el CD-ROM. El ejemplo anterior debería demostrar que el diseño para el ciclo de carga invertido es claro y conciso, una vez que se entienden los fundamentos. Si el diseño es para ciclo de torsión invertida, flexión giratoria o carga axial, el procedimiento sería el mismo de este ejemplo. Las únicas diferencias estarían en la elección de las ecuaciones de esfuerzo y los factores de modificación de la resistencia, como se describió en las secciones anteriores. Observe que el cálculo de los esfuerzos principal y de von Mises es algo redundante en este ejemplo sencillo, ya que ambos son idénticos al esfuerzo aplicado. Sin embargo, esto se hace en favor de la consistencia, ya que tales esfuerzos no serán idénticos en casos de esfuerzos aplicados más complicados. El valor al usar una computadora y un resolvedor de ecuaciones en este o en cualquier problema de diseño no debe exagerarse, ya que permiten iteraciones rápidas partiendo de suposiciones iniciales hasta obtener las dimensiones finales con un esfuerzo mínimo. 4.11 DISEÑO PARA ESFUERZOS UNIAXIALES FLUCTUANTES Los esfuerzos repetidos o variables como los mostrados en las figuras 4-6b y c (p. 243) tienen componentes medios diferentes de cero y éstas deben tomarse en cuenta al determinar el factor de seguridad. Las figuras 4-16 (p. 252), 4-17 (p. 253), 4-18 (p. 254), y 4-21 (p. 257) muestran todas evidencia experimental del efecto de las componentes del esfuerzo medio sobre la falla, cuando están presentes en combinación con esfuerzos alternativos. Esta situación es bastante común en maquinaria de cualquier tipo. Capítulo 4 Sa TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 291 hacia Sy Se o bien Sf esfuerzo alternativo línea línea de fluencia de G oodm an m odif icad parábola de Gerber a línea de Soderberg Sm 0 0 esfuerzo medio Sy Sut FIGURA 4-42 Varias líneas de falla para esfuerzos fluctuantes La figura 4-42 muestra la línea de Goodman modificada, la parábola de Gerber, la línea de Soderberg y la línea de fluencia graficadas sobre los ejes σm-σa. La parábola de Gerber es la que mejor se ajusta a los datos de falla experimentales; mientras que la línea de Goodman modificada se ajusta por debajo de la dispersión de los datos, como se muestra en la figura 4-16, la cual superpone tales líneas sobre los puntos de falla experimentales. Ambas líneas interceptan el límite de resistencia a la fatiga corregido Se o la resistencia a la fatiga Sƒ sobre el eje σa con la Sut sobre el eje σm. También se presenta una línea de fluencia que conecta Sy sobre ambos ejes y sirve como el límite del primer ciclo de esfuerzo. (Si la pieza cede, falla, sin importar su seguridad a la fatiga). La línea de Soderberg conecta Se o Sƒ con la resistencia a la fluencia Sy y es, por lo tanto, un criterio de falla más conservador, pero descarta la necesidad de ayudarse con la línea de fluencia. Por lo demás, también elimina combinaciones seguras de σm-σa, como se observa en la figura 4-16 (p. 252). Cualquiera de las líneas que se elija para representar fallas, las combinaciones seguras de σm y σa se encuentran a la izquierda y debajo de su envoltura. Estas líneas de falla están definidas por Parábola de Gerber: ¥ S 2m ´ S a  Se ¦1 2 µ Sut ¶ § (4.15a) Línea de Goodman modificada: ¥ Sm ´ S a  Se ¦1 µ Sut ¶ § (4.15b) Línea de Soderberg: ¥ Sm ´ S a  Se ¦1 Sy µ¶ § (4.15c) Aun cuando la parábola de Gerber se ajuste bien a los datos experimentales, haciéndola útil para el análisis de piezas que fallan, la línea de Goodman modificada es un criterio de falla más conservador y se usa más frecuentemente cuando se diseñan piezas sometidas a esfuerzos medios y alternativos positivos. La línea de Soderberg se utiliza con menos frecuencia, en vista de que es demasiado conservadora. Se explorarán ahora las aplicaciones de la línea de Goodman modificada con mayor detalle. Elaboración del diagrama de Goodman modificado La figura 4-43a muestra una presentación esquemática de la superficie tridimensional formada por la componente del esfuerzo alternativo σa, la componente del esfuerzo medio σm y el número de ciclos N para un material que tiene una rodilla de límite de resistencia a la fatiga en 106 ciclos. Si se observa el plano σa-N como el mostrado en la figura 4-43b, se observan proyecciones de líneas sobre la superficie que son diagramas S-N de 4 292 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Sut Sa Sa 4 0 100 Sut 102 Sut 6 N 100 Sm 4 10 Sm + 0 Sa Sut 10 10 8 0 Sf N+ G (a) La superficie Sa–Sm–N Se 0 N 102 104 106 G 108 La sección G-G crea la línea de Goodman (b) La proyección Sa-N (diagramas S-N) 8 Se 10 0 Sm Sut (c) La proyección Sa–Sm (diagramas de vida constante) FIGURA 4-43 Efecto de la combinación de los esfuerzos medio y alternativo varios niveles de esfuerzo medio. Cuando σm  0, el diagrama S-N es la línea superior que conecta Sut con Se, como se muestra también en las figuras 4-2 (p. 235) y 4-8 (p. 247). Conforme se incrementa σm, se reduce la intercepción de σm en N  1 ciclo, volviéndose cero cuando σm  Sut. * El diagrama original de Goodman graficaba la relación entre los esfuerzos medio y alternativo sobre un conjunto de ejes, diferente del mostrado aquí, e incluía el supuesto de que el límite de fatiga era 1/3 Sut. El procedimiento original de Goodman rara vez se usa actualmente. J. O. Smith[46] sugirió la representación de la línea de Goodman que se ilustra en la figura 4-42, la cual se conoce como diagrama de Goodman modificado. La versión de Smith no mostraba la línea de fluencia o la región de compresión, como se indica en la figura 4-44; de ahí el uso del término “aumentado” para destacar la suma de esa información en el diagrama. No obstante, se refiere a ella como el diagrama de Goodman modificado o sólo como MGD por simplicidad. Asimismo, las referencias a la “línea de Goodman” se deberían entender aquí como la abreviatura de la “línea de Goodman modificada” y no como una referencia a la versión original de Goodman. La figura 4-43c ilustra proyecciones sobre el plano σa-σm para diversos valores de N. Esto se conoce como diagrama de vida constante, ya que cada línea sobre él muestra la relación entre el esfuerzo medio y el esfuerzo alternativo en un ciclo de vida específico. Cuando N  1, la gráfica es una línea de 45° que conecta la Sut en ambos ejes. Esto da una línea de falla estática. La intercepción con σa disminuye conforme N se incrementa, y se iguala al límite de resistencia a la fatiga Se más allá de aproximadamente 106 ciclos. La línea que conecta Se sobre el eje σa y Sut sobre el eje σm en la figura 4-43c es la línea de Goodman modificada, tomada en la sección G-G, como se indica en la figura 4-43a. La figura 4-44 muestra una gráfica de esfuerzo alternativo σa contra el esfuerzo medio σm a la cual se refiere como diagrama de Goodman modificado* “aumentado”. Se trata de un embellecimiento de la línea de Goodman modificada presentada en las figuras 4-16 (p. 252) y 4-42. Se incluyen las líneas de fluencia y la región de esfuerzo de compresión. Se observan varios puntos de falla. Sobre el eje (σm) del esfuerzo medio, la resistencia a la fluencia Sy y la resistencia última a la tensión Sut de un material particular están definidas en los puntos A, E y F. Sobre el eje (σa) del esfuerzo alternativo, la resistencia a la fatiga corregida Sƒ en algún número de ciclos (o el límite de resistencia a la fatiga corregido Se) y la resistencia a la fluencia Sy del material específico están definidos en los puntos C y G. Observe que por lo general este diagrama representa una sección como G-G de la superficie tridimensional de la figura 4-43. Es decir, el diagrama modificado de Goodman usualmente se dibuja para vida infinita o para un caso de ciclos muy altos (N  106). No obstante, se puede dibujar también para cualquier sección a lo largo del eje N de la figura 4-43, que representa una situación de menor vida finita. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 293 Sa Sy S' m Syc G S' m Sy S' a 1 Syc C B Se o bien, Sf S' a  S f S' m Sut A –Syc compresión S' a 1 Sy S' a 1 Sf 0 tensión D F E Sy Sut 4 Sm FIGURA 4-44 Diagrama de Goodman modificado “aumentado” Las líneas de falla se trazan uniendo varios puntos del diagrama. La línea CF es la línea de Goodman y puede extenderse hacia la región de compresión (mostrada con puntos), con base en datos empíricos como los mostrados en la figura 4-17 (p. 253). Sin embargo, convencionalmente se traza la línea horizontal más conservadora CB para representar una línea de falla en la región de compresión. Esto, en efecto, anula los efectos benéficos del esfuerzo medio de compresión y considera una situación idéntica al caso del ciclo invertido de la sección anterior.† En la región de tensión, la línea GE define la fluencia estática, en tanto que la envoltura de falla está definida por las líneas CD y DE para tomar en cuenta la posibilidad de una falla por fatiga o por fluencia. Si la componente media del esfuerzo es muy grande y la componente alternativa muy pequeña, la combinación podría definir un punto en la región DEF que es seguro considerando la línea de Goodman, pero que cedería en el primer ciclo. La envoltura de falla está definida por las líneas que rodean la zona sombreada identificada como ABCDEA. Cualquier combinación de esfuerzos alternativo y medio que se encuentre dentro de esa envoltura (es decir, dentro del área sombreada) será segura. Las combinaciones que se encuentran sobre esas líneas están en proceso de falla, y afuera de la envoltura fallarán. Para determinar el factor de seguridad de cualquier estado de esfuerzos variable, se necesitan las expresiones de las líneas que forman la envoltura de falla mostrada en la figura 4-44. La línea AG define la fluencia a la compresión y es − σ' m σ' a + =1 Syc Syc (4.16a) En combinación con el esfuerzo medio de compresión, la línea BC define la falla por fatiga y es: σ' a = S f (4.16b) En combinación con el esfuerzo medio de tensión, la línea CF define la falla por fatiga y es: σ' m σ' a + =1 Sut Sf (4.16c) † Un caso de carga donde el esfuerzo medio σm sea negativo debería manejarse suponiendo que σm  0, con lo que se convertiría en un caso de ciclo de esfuerzo invertido que se resuelve con los métodos de la sección 4.10. Éste es el enfoque que se prefiere, porque si se incluye un esfuerzo medio negativo en el cálculo del esfuerzo de Von Mises efectivo, se tendrá un factor de seguridad demasiado conservador debido a la elevación al cuadrado del valor del esfuerzo medio negativo en el cálculo. La suposición de un esfuerzo medio negativo igual a cero todavía es conservadora, porque al hacerlo se ignoran sus efectos benéficos potenciales mostrados en la figura 4-17 (p. 253). 294 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La línea GE define la fluencia por tensión y es σ' m σ' a + =1 Sy Sy (4.16d ) Estas ecuaciones se muestran en la figura 4-44. Aplicación de los efectos de concentración de esfuerzos con esfuerzos fluctuantes 4 La componente alternativa de esfuerzo se trata del mismo modo como se hace en el caso del ciclo de esfuerzo invertido (véase el ejemplo 4-3). Es decir, se obtiene el factor de concentración de esfuerzos geométrico Kt, se determina la sensibilidad a la muesca del material q, y se usan luego en la ecuación 4.11b (p. 273) para obtener el factor de concentración de esfuerzos por fatiga Kƒ. Se calcula entonces el valor local de σa con la ecuación 4.12 (p. 273) para usarlo en el diagrama de Goodman modificado. La componente media del esfuerzo σm se trata de manera diferente, dependiendo de la ductilidad o fragilidad del material y, si es dúctil, de la cantidad de fluencia posible en la muesca. Si el material es quebradizo, entonces se aplica comúnmente el valor total de la concentración de esfuerzos geométrica Kt al esfuerzo medio nominal σmnom para obtener el esfuerzo local medio σm en la muesca, mediante la ecuación 2.31 (p. 117). Si el material es dúctil, Dowling[40] sugiere uno de los tres procedimientos de Juvinall[41] dependiendo de la relación de los esfuerzos locales máximos con la resistencia a la fluencia del material dúctil. El factor de concentración de fatiga del esfuerzo medio Kƒm se define con base en el nivel del esfuerzo medio local σm en la concentración de esfuerzos contra la resistencia a la fluencia. La figura 4-45a muestra una situación generalizada de esfuerzo variable. La figura 4-45b describe la ubicación de la fluencia que ocurriría alrededor de una concentración de esfuerzos. Para este análisis, se supone una relación de esfuerzodeformación elástica perfectamente plástica, como la mostrada en el inciso c. Según la relación entre σmáx y la resistencia a la fluencia Sy del material, existen tres posibilidades. Si σmáx
Sy, no ocurrirá la fluencia (véase la figura 4-45d) y el valor total de Kƒ se usa para Kƒm. Si σmáx  Sy pero |σmín|
Sy, la fluencia local ocurre durante el primer ciclo (figura 4-45e), después de lo cual el esfuerzo máximo no puede exceder Sy. El esfuerzo local en la concentración se mitiga y se utiliza un valor menor de Kƒm como se define en la figura 4-45g, la cual grafica la relación entre Kƒm y σmáx. La tercera posibilidad es que el intervalo del esfuerzo ∆σ exceda 2Sy, causando fluencia invertida, como se ilustra en la figura 4-45f. Ahora los esfuerzos máximo y mínimo son iguales a Sy y el esfuerzo medio se vuelve cero (véase la ecuación 4.1c, p. 244), haciendo Kƒm  0. Estas relaciones se resumen de la siguiente manera: si K f S máx nom  Sy entonces: K fm  K f si K f S máx nom  Sy entonces: K fm  si K f S máx nom K fm  0 S mínnom  2 Sy entonces: Sy K f S anom S mnom (4.17) Se usan los valores absolutos para tomar en cuenta tanto casos de compresión como de tensión. El valor del esfuerzo medio local σm que se utiliza en el diagrama de Goodman Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA S esfuerzo + Smáx Sa $S 0 t Sy S > Sy F F Smín E S > Sy Sm – 295 E (a) Esfuerzo variable (b) Zonas plásticas posibles (c) Material plástico perfectamente elástico 4 S Sy S S Smáx Sy Smáx E Sy E (d) Sin fluencia Smáx E (e) Fluencia en el primer ciclo –Sy (f) Fluencia invertida K fm (d) Kfm = Kf (e) Kfm = (f) Sy – Kf Sanom Smnom Kfm = 0 Sy 2Sy Kf Kf ( 1 – R ) Smáxnom (g) Kfm como una función del esfuerzo nominal máximo Smáx nom . FIGURA 4-45 Variación del factor de concentración del esfuerzo medio con esfuerzo máximo en materiales dúctiles, con posibilidad de fluencia local (adaptado de la fig. 10-14, p. 415, N. E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1993, con autorización) modificado se obtiene entonces con la ecuación 4.12 (p. 273) sustituyendo Kƒm por Kƒ. Observe que los factores de concentración de esfuerzos se deberían aplicar a los esfuerzos nominales aplicados, sean éstos normales o de corte. Los esfuerzos aplicados locales (con sus efectos de concentración de esfuerzos por fatiga) sirven para calcular los esfuerzos alternativo y medio de Von Mises. Estos cálculos se hacen por separado para las componentes alternativa y media σ'a y σ'm. (Véase las ecuaciones 4.22a y 4.22b, p. 309). Usaremos estas componentes de Von Mises para obtener el factor de seguridad. 296 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Sa hacia Sy C Se o bien Sf Y S' a Z X O línea de carga Q E Sy S' m 0 (a) Caso 1; Sa constante y Sm variable D F Sut Sm 4 Sa hacia Sy C Se o bien Sf P (b) Caso 2; Sa variable y Sm constante Y S' a D Z X O línea de carga E Sy S' m 0 F Sut Sm Sa hacia Sy C Se o bien Sf R Y S' a Z X O (c) Caso 3; razón constante Sa / Sm D línea de carga E Sy S' m 0 F Sut Sm Sa hacia Sy C Se o bien Sf S Y S' a S' Z X O 0 S' m línea de carga (d) Caso 4; Sa y Sm varían de manera independiente D E Sy F Sut Sm FIGURA 4-46 Factores de seguridad a partir del diagrama de Goodman modificado para cuatro posibles escenarios de carga variable Determinación del factor de seguridad con esfuerzos variables La figura 4-46 muestra cuatro vistas del lado de tensión del diagrama de Goodman modificado aumentado, así como una combinación de esfuerzos medio y alternativo de Von Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 297 Mises en el punto Z, que representa una parte sometida a esfuerzos variables. El factor de seguridad de cualquier estado de esfuerzos variables depende de la manera en que las componentes media y alternativa varían entre sí durante el servicio. Hay cuatro casos posibles a considerar, como se indica en la figura 4-46. 1. El esfuerzo alternativo permanece básicamente constante durante la vida de la pieza; sin embargo, el esfuerzo medio llega a incrementarse en condiciones de servicio. (Línea YQ en la figura 4-46a). 2. El esfuerzo medio permanece básicamente constante durante la vida de la pieza; sin embargo, el esfuerzo alternativo llega a incrementarse en condiciones de servicio. (Línea XP en la figura 4-46b). 3. Ambas componentes de esfuerzos alternativo y medio se incrementan en condiciones de servicio; sin embargo, su razón permanecerá constante. (Línea OR en la figura 4-46c). 4. Ambas componentes de esfuerzos alternativo y medio se incrementan en condiciones de servicio; sin embargo, se desconoce la relación entre sus incrementos. (Línea ZS en la figura 4-46d). El factor de seguridad de cada uno de estos casos se calcula de manera diferente. Observe que Sƒ se usará en las siguientes expresiones, para representar tanto la resistencia a la fatiga corregida en algún número de ciclos definido, como el límite de resistencia a la fatiga corregido. De modo que Se se puede sustituir por Sƒ en cualquiera de estas expresiones si es adecuado para el material que se emplea. PARA EL CASO 1 La falla ocurre en el punto Q y el factor de seguridad es la razón de las líneas YQ/YZ. Para expresar esto matemáticamente, se resuelve la ecuación 4.16d (p. 294) para el valor de σ'm @ Q y se divide entre σ'm @ Z. ⎛ σ' ⎞ σ' m @ Q = ⎜1 − a ⎟ Sy Sy ⎠ ⎝ Nf = σ' m @ Q σ' m @ Z = Sy ⎛ σ' ⎞ 1− a ⎟ ⎜ Sy ⎠ σ' m ⎝ (4.18a) Si σ'a fuera tan grande y σ'm fuera tan pequeño que el punto Q estuviera sobre la línea CD en vez de la línea DE, entonces se debería usar la ecuación 4.16c (p. 293) para determinar el valor de σ'm @ Q. PARA EL CASO 2 La falla ocurre en el punto P y el factor de seguridad es la razón de las líneas XP/XZ. Para expresarlo matemáticamente, se despeja el valor de σ'a @ P en la ecuación 4.16c (p. 293) y se divide entre σ'a @ Z. ⎛ σ' ⎞ σ' a @ P = ⎜1 − m ⎟ S f Sut ⎠ ⎝ Nf = σ' a @ P σ' a @ Z = Sf ⎛ σ' m ⎞ ⎜1 − ⎟ σ' a ⎝ Sut ⎠ (4.18b) Si σ'm fuera tan grande y σ'a fuera tan pequeño que el punto P estuviera sobre la línea DE en vez de la línea CD, entonces se debería usar la ecuación 4.16d (p. 294) para determinar el valor de σ'a @ P. PARA EL CASO 3 La falla ocurre en el punto R y el factor de seguridad es la razón de las líneas OR/OZ o por triángulos semejantes, sea cualquiera de las razones σ'm @ R /σ'm @ Z o bien σ'a @ R /σ'a @ Z. 4 298 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Para expresarlo matemáticamente, se resuelven en forma simultánea las ecuaciones 4.16c (p. 293) y la ecuación de la línea OR para el valor de σ'm @ R y se divide entre σ'm @ Z. 4 de la ecuación 4.16c: S' m @ R ´ ¥ S' a @ R  ¦1 µSf Sut ¶ § de la línea OR: ¥ S' a @ Z ´ ¥ S'a ´ S' a @ R  ¦ S' m @ R  ¦ µ µ S' m @ R § S'm ¶ § S' m @ Z ¶ (4.18c) La solución simultánea de ello da σ' m @ R = Sf (4.18d ) σ' a S f + σ' m Sut lo cual, después de la sustitución y alguna manipulación, es Nf = σ' m @ R σ' m @ Z = S f Sut σ' a Sut + σ' m S f (4.18e) También existe la posibilidad de que el punto R permanezca sobre la línea DE en vez de la línea CD, en cuyo caso la ecuación 4.16d (p. 294) debería sustituirse por la ecuación 4.16c en la solución previa. PARA EL CASO 4 En el cual la relación futura entre las componentes media y alternativa del esfuerzo es ya sea aleatoria o desconocida, el punto S sobre la línea de falla más cercana al estado de esfuerzo en Z se puede tomar como un estimado conservador del punto de falla. La línea ZS es normal a la CD, de modo que su ecuación se obtiene y resuelve simultáneamente con la de la línea CD para llegar a las coordenadas del punto S y la longitud ZS, que son σ' m @ S = ( Sut S f 2 − S f σ' a + Sut σ' m σ' a @ S = − ZS = Sf Sut S f + Sut 2 2 ) (σ' m @ S ) + S f (σ' m − σ' m @ S )2 + (σ' a − σ' a @ S )2 (4.18 f ) Para establecer la razón del factor de seguridad, corra el punto S alrededor del punto Z para hacerlo coincidir con la línea OZS' en el punto S'. El factor de seguridad es la razón OS'/OZ. OZ = Nf = (σ' a )2 + (σ' m )2 OZ + ZS OZ (4.18g) También existe la posibilidad de que el punto S permanezca sobre la línea DE en vez de la línea CD, en cuyo caso la ecuación 4.16d (p. 294) se debería sustituir por la ecuación 4.16c en la solución anterior. El caso 4 da como resultado un factor de seguridad más conservador que el del caso 3. Se puede usar el mismo procedimiento para obtener las expresiones del factor de seguridad de combinaciones de componentes de esfuerzo en la mitad izquierda del plano del diagrama de Goodman modificado. Asimismo, cuando el diagrama se elabora Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 299 a escala, se pueden obtener factores de seguridad burdamente calculados a partir de él. El archivo GOODMAN incluido con este texto calcula todos los factores de seguridad definidos por las ecuaciones 4.18 (pp. 297 y 298) para cualesquier valores de σ'a y σ'm, y grafica el diagrama de Goodman modificado y la línea de esfuerzo OZ prolongada, de modo que se observe la intercepción de falla. Pasos de diseño para esfuerzos fluctuantes Para el caso de esfuerzos fluctuantes, se puede definir un conjunto de pasos de diseño, similares al del caso totalmente invertido: 1. Determine el número de ciclos de carga N que la pieza experimentará durante su vida de servicio esperada. 2. Determine la amplitud de las cargas alternativas aplicadas (desde media hasta pico) y la de la carga media. (Véase el capítulo 1 y las ecuaciones 4.1, p. 244). 3. Cree un diseño geométrico tentativo de la pieza para soportar las cargas aplicadas, con base en buenas prácticas de ingeniería. (Véase los capítulos 1 y 2). 4. Determine los factores de concentración de esfuerzos geométricos Kt en las muescas en la geometría de la pieza. Desde luego, trate de minimizar esto con un buen diseño (véase la sección 2.15, en la p. 116). 5. Convierta los factores de concentración de esfuerzos geométricos Kt a factores Kƒ de concentración a la fatiga usando la q del material. 6. Calcule las amplitudes σa del esfuerzo de tensión alternativo nominal (véase la figura 4-6c, p. 243) en ubicaciones críticas de la pieza debidas a las cargas de servicio alternativas, con base en técnicas estándar de análisis de esfuerzo (capítulo 2), e increméntelas tanto como sea necesario con los factores de concentración de esfuerzos por fatiga adecuados de la ecuación 4.11 (p. 273). (Véase las secciones 2.15 p. 116, y 4.7 p. 272). Calcule las amplitudes del esfuerzo medio nominal en las mismas ubicaciones críticas, e increméntelas tanto como sea necesario con los factores Kƒm medios de concentración de esfuerzo por fatiga de la ecuación 4.17 (p. 294). 7. Calcule las amplitudes del esfuerzo principal y del esfuerzo de Von Mises en ubicaciones críticas con base en sus estados de esfuerzo aplicados. Hágalo por separado para las componentes media y alternativa. (Véase el capítulo 2 y las ecuaciones 4.22, p. 309). 8. Elija un material tentativo para la pieza y determine sus propiedades de interés, como Sut, Sy, Se’ (o Sf’ para la vida requerida), así como la sensibilidad de la muesca q, a partir de sus propios datos de prueba, de la literatura existente o de estimaciones, como se describe en este capítulo. 9. Determine los factores adecuados modificados de resistencia a la fatiga para tipo de carga, tamaño de la pieza, superficie, etcétera, tal como se describió en la sección 4.6 (p. 257). Observe que el factor de carga Ccarga diferirá si las cargas son axiales o de flexión (ecuación 4.7a, p. 260). Si la carga es torsión pura, entonces el cálculo del esfuerzo efectivo de Von Mises la convertirá en un esfuerzo de pseudotensión y, por ende, Ccarga debería igualarse a 1. 10. Defina la resistencia a la fatiga corregida Sƒ para el ciclo N de vida requerida (o el límite de resistencia a la fatiga corregido Se para vida infinita, si es el caso). Elabore un diagrama de Goodman modificado, como el mostrado en la figura 4-44 (p. 293) usando la resistencia a la fatiga Sƒ corregida del material, tomada de la curva S-N en el número de ciclos N deseado. (Observe que para casos de vida infinita en los cuales el material tiene una articulación de rodilla S-N, Sƒ  Se ). Escriba las ecuaciones 4.16 (pp. 293 y 294) para las líneas de Goodman y de fluencia. 4 300 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 11. Grafique los esfuerzos medio y alternativo de von Mises (para la ubicación con los mayores esfuerzos) sobre el diagrama de Goodman modificado y calcule un factor de seguridad para el diseño de una de las relaciones mostradas en las ecuaciones 4.18 (pp. 297-298). 4 12. En vista de que el material fue sólo tentativamente seleccionado y que el diseño no está tan refinado como sea posible, el resultado del primero de estos pasos muy probablemente será un diseño fallido, cuyo factor de seguridad o es muy grande o muy pequeño. Se requiere de iteración (como siempre) para refinar el diseño. Cualquier subconjunto de pasos se puede repetir tantas veces como sea necesario, para obtener un diseño aceptable. La táctica más común consiste en regresar al paso 3 y mejorar la geometría de la pieza para reducir esfuerzos y concentraciones de esfuerzos, y/o retomar el paso 8 para elegir un material más adecuado. Algunas veces, será posible regresar al paso 1 y redefinir una vida de la pieza aceptablemente más corta. Las cargas de diseño en el paso 2 pueden o no estar bajo el control del diseñador. Por lo general no lo están, a menos que la carga sobre la pieza se deba a fuerzas inerciales, en cuyo caso el incremento de la masa para “agregar resistencia” empeorará la situación, en vista de que ello aumenta proporcionalmente las cargas (véase la sección 1.6, p. 28). El diseñador debe aligerar la pieza para disminuir las fuerzas inerciales, sin comprometer excesivamente su resistencia. Cualesquiera que sean las circunstancias, el diseñador debe esperar aplicar varias veces estos pasos antes de llegar a una solución factible. Los resolvedores de ecuaciones que permiten el cálculo rápido de las ecuaciones son de gran ayuda en esta situación. Si el resolvedor de ecuaciones también “resuelve hacia atrás”, permitiendo que las variables se intercambien de entrada a salida, la geometría necesaria para obtener un factor de seguridad deseado es posible calcular directamente haciendo al factor de seguridad una entrada, y a la variable de geometría una salida. La mejor forma de demostrar el uso de estos pasos para el diseño a la fatiga con esfuerzos variables es con un ejemplo. Se repetirá el ejemplo anterior modificando su patrón de carga. EJEMPLO 4-5 Diseño de una ménsula en voladizo para flexión variable Problema Se va a instalar un ensamble de rodillos alimentadores en cada extremo de la estructura de una máquina sobre el brazo de una ménsula en voladizo, como se muestra en la figura 4-47. Los rodillos alimentadores experimentan una carga fluctuante total que va desde un mínimo de 200 lb hasta un máximo de 2 200 lb, divididas iguales entre las dos ménsulas de soporte. Diseñe una ménsula en voladizo para resistir, sin falla, una carga de flexión variable de 100 a 1 100 lb de amplitud para 10 9 ciclos. La deflexión dinámica no debe exceder 0.02 in. Se proporciona La forma de la función carga-tiempo se muestra en la figura 4-47. El ambiente de operación es aire ambiental con una temperatura máxima de 120 oF. El espacio disponible permite una longitud máxima del voladizo de 6 in. Sólo se requieren diez de estas piezas. Suposiciones La ménsula puede estar sujeta entre placas esencialmente rígidas atornilladas en su raíz. La carga normal se aplicará en la punta de la viga en voladizo, usando una varilla sujeta a través de un orificio pequeño de la viga. Como el momento flexionante es efectivamente cero en la punta de la viga, se puede ignorar la concentración de esfuerzos en este orificio. Dada la pequeña cantidad requerida, el maquinado de las formas del material es el método preferido de manufactura. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA F máx = 1 100 l media = 600 a F mín = 100 0 t viga d D b estructura r — filete Kt 1.1 a 1.5 R 4 FIGURA 4-47 Diseño de una ménsula en voladizo con carga de flexión variable Solución 301 Véase la figura 4-47 y las tablas 4-11 y 4-12. 1. Éste es un problema típico de diseño. Se dan muy pocos datos, con excepción de la carga sobre el dispositivo, algunas restricciones de tamaño y el ciclo de vida requerido. Se deberán hacer ciertas suposiciones básicas acerca de la geometría de la pieza, los materiales y otros factores conforme se avance. Se espera algo de iteración. 2. La figura 4-47 muestra la misma configuración de diseño tentativa que la de la figura 4-41b (p. 285). El material estándar laminado es más grueso que la dimensión final deseada y se maquina por arriba y por abajo a la dimensión D y, luego, se maquina al espesor d a lo largo de la longitud l. Se le da un filete de radio r en el punto de sujeción para reducir la fatiga por desgaste y obtener menor Kt. (Véase la figura 2-37 en la p. 121). La figura 2-36 (p. 120) indica que con un control adecuado de las razones r/d y D/d para una barra plana escalonada en flexión, el factor de concentración de esfuerzos geométricos Kt se puede mantener por debajo de aproximadamente 1.5. 3. Se debe elegir un material. Para vida infinita, bajo costo y fácil fabricación, es deseable utilizar un acero al carbono si las condiciones ambientales lo permiten. Como esto se usará en un ambiente interior controlado, el acero al carbono es aceptable para este último punto. El hecho de que la deflexión preocupe, también es una buena razón para seleccionar un material con E grande. Los aceros dúctiles al bajo y al medio carbonos satisfacen el requisito de resistencia límite a la fatiga en la articulación de rodilla, para la vida infinita requerida en este caso, además de tener baja sensibilidad a la muesca. Se elige un acero al carbono SAE 1040 normalizado con Sut  80 kpsi y Sy  60 kpsi, para el primer ensayo. 4. Se supondrá que las dimensiones imaginadas son las mismas de la solución exitosa para el caso de ciclo invertido del ejemplo 4-4. Éstas son b  2 in, d  1 in, D  1.125 in, r  0.5 in, a  5 in y l  6.0 in. Dicho valor de a dejará algún material alrededor del orificio y todavía se ajustará a la restricción de 6 in de longitud. 5. Las componentes media y alternativa de la carga, y sus fuerzas de reacción se calculan a partir de las cargas máxima y mínima que se proporcionan. Fm  Fa  Fmáx Fmín 2 Fmáx Fmín 2  1100 100  600 lb 2 1100 100   500 lb 2 ( a) 302 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Ra  Fa  500 lb Rm  Fm  600 lb Rmáx  Fmáx  1 100 lb (b ) 6. A partir de esto, se calculan los momentos medio y alternativo, así como el momento máximo que actúa en la raíz de la viga en voladizo. Ma = Ra l Fa l Mm = Rm l Fm l 4 a  600 6 Fmáx l Mmáx = Rmáx l 500 6 5  2 500 lb - in a  500 6 600 6 5  3 000 lb - in a  1100 6 (c ) 1100 6 5  5 500 lb - in 7. Se obtienen el momento de inercia del área de la sección transversal y la distancia a la fibra exterior. I= bd 3 2.0(1.0)3 = = 0.166 7 in 4 12 12 (d ) d 1.0 c= = = 0.5 in 2 2 8. Los esfuerzos nominales de flexión en la raíz se obtienen tanto para la carga alternativa como para la carga media de: σ anom = σ mnom Ma c 2 500(0.5) = 7 500 psi = I 0.166 7 (e ) M c 3 000(0.5) = m = = 9 000 psi I 0.166 7 9. Se deben calcular dos razones para usarlas en la figura 2-36 (p. 120) y obtener el factor Kt de concentración de esfuerzo geométrico para las dimensiones supuestas de la pieza. D 1.125 = = 1.125 d 1.0 r 0.5 = = 0.5 d 1.0 Interpolando en la tabla de la figura 2-36: A = 1.012 (f) b = −0.221 ( g) b r Kt = A⎛ ⎞ = 1.012(0.5) −0.221 = 1.18 ⎝ d⎠ (h) 10. La sensibilidad de la muesca q para el material seleccionado se calcula con base en su resistencia última, y el radio de la muesca, mediante la ecuación 4.13 (p. 273) y los datos para la constante de Neuber de la tabla 4-6 (p. 276). Los valores de q y Kt sirven para obtener el factor de concentración de esfuerzo por fatiga Kƒ con la ecuación 4.11b (p. 273). Kƒm se determina con la ecuación 4.17 (p. 294). De la tabla 4-6 para Sut  80 kpsi: 1 q 1 K f  1 q K t a r a = 0.08  1 (i ) 1  0.898 0.08 0.5 ( j) 1  1 0.8981.18 1  1.16 si K f S máx  Sy entonces (k ) K fm  K f 5 5000.5 M c K f máx  1.16  19 113  60 000 : I 0.166 7 (l ) K fm  1.16 Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 303 11. Se usan dichos factores para encontrar los esfuerzos locales medio y alternativo en la muesca. σ a = K f σ anom = 1.16(7 500) = 8 711 psi σ m = K fm σ mnom = 1.16(9 000) = 10 454 psi ( m) 12. Los esfuerzos locales se emplean para calcular los esfuerzos alternativo y medio de Von Mises con las ecuaciones 4.22b (p. 309). σ' a = σ 2x a + σ 2y a − σ x a σ y a + 3τ 2xya = 8 7112 + 0 − 8 711(0) + 3(0) = 8 711 ( n) σ' m = σ 2x m + σ 2y m − σ x m σ y m + 3τ 2xy m = 10 454 2 + 0 − 10 425(0) + 3(0) = 10 454 13. La resistencia límite a la fatiga sin corregir Se’ se determina con la ecuación 4.5a (p. 260). Se' = 0.5Sut = 0.5(80 000) = 40 000 psi ( o) 14. El factor tamaño para esta pieza rectangular se determina calculando el área de la sección transversal esforzada por arriba del 95% de su esfuerzo máximo (véase la figura 4-25 en la p. 262), cuyo valor se utiliza en la ecuación 4.7d (p. 261) para obtener un diámetro equivalente para la muestra de prueba. A95  0.05db  0.051.0 2.0  0.1 in 2 dequiv  A95  0.076 6  Ctamaño  0.869 dequiv 0.1  1.143 in 0.076 6 0.097 ( p)  0.859 15. El cálculo del límite de resistencia a la fatiga corregido Se requiere que se determinen varios factores. Ccarga se obtiene de la ecuación 4.7a (p. 260). Csup para un acabado maquinado se establece con la ecuación 4.7e (p. 263). Ctemp se calcula con la ecuación 4.7ƒ (p. 265) y Cconf se elige de la tabla 4-4 (p. 265) para un nivel de confiabilidad de 99.9%. Se  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Se'  10.859 0.85 1 0.753 40 000  21 883 psi (q) 16. Los cuatro factores de seguridad posibles se calculan de las ecuaciones 4.18 (pp. 297-298). Se debe seleccionar el menor o el más adecuado de ellos. La ecuación (r) muestra el factor de seguridad para el caso 3, el cual supone que las componentes media y alternativa tendrán una razón constante, mientras varíen con la amplitud máxima durante la vida de la pieza. N f3 = 21 883(80 000) Se Sut = 1.9 = σ' a Sut + σ' m Se 8 688(80 000) + 10 425(21 883) (r ) 17. La deflexión máxima se calcula con la fuerza aplicada máxima Fmáx. y@ x  l  Fmáx 3 x 6 EI ; 3ax 2 x 1100  63 63E 7 0.166 7 ; a 3 = 35 6 2 6 5 3 = (s) 0.012 in 4 304 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 4-11 - Un Enfoque Integrado Diseño de una ménsula en voladizo para flexión fluctuante Primera iteración para el ejemplo 4-5 (archivo EX06-05A) Entrada 4 Variable Salida Unidad Comentarios 2 b in ancho de la viga 1 d in profundidad sobre la longitud de la viga 1.125 D in profundidad de la viga en la pared 0.5 r in radio del filete 5 a in distancia a la carga F 80 000 Sut psi resistencia última a la tensión 60 000 Sy psi resistencia a la fluencia 'maquinado acabado 'esmerilado, 'maquinado, 'rolado en caliente, 'forjado 'flexión carga 'flexión, 'axial, 'cortante porcentaje % de confiabilidad deseado 99.9 1 100 Fmáx 100 Fmín lb carga máxima aplicada lb carga mínima aplicada Fa 500 lb fuerza alternativa aplicada Fm 600 lb fuerza media aplicada Kt 1.18 factor de concentración de esfuerzo geométrico q 0.898 factor de sensibilidad a la muesca de Peterson Kf 1.16 factor de conc. de esfuerzo por fatiga — alternativo Kfm 1.16 factor de conc. de esfuerzo por fatiga — medio siganom 7 500 psi esfuerzo nominal alternativo siga 8 711 psi esfuerzo alternativo con concentración sigavm 8 711 psi esfuerzo de von Mises alternativo sigmnom 9 000 psi esfuerzo nominal medio sigm 10 454 psi esfuerzo medio con concentración sigmvm 10 454 psi esfuerzo de von Mises medio Seprima 40 000 psi límite de resistencia a la fatiga sin corregir Ccarga 1 factor de carga para flexión Csup 0.845 acabado maquinado Ctamaño 0.859 factor de tamaño con base en el 95% del área Ctemp 1 temperatura ambiente Cconf 0.753 factor de confiabilidad del 99.9% Se 21 883 psi límite de resistencia a la fatiga corregido Nsf_1 5.5 FS para esfuerzo alternativo = constante Nsf_2 2.2 FS para esfuerzo medio = constante Nsf_3 1.9 FS para esf.alt./esf.medio = constante Nsf_4 1.7 FS para la línea de falla más cercana 18. Los datos de este diseño se muestran en la tabla 4-11. Usando las mismas dimensiones de la sección transversal y la misma carga alternativa del ejemplo 4-4, ahora se obtienen un factor de seguridad Nƒ3  1.9 y una deflexión máxima ymáx  0.012 in para este caso de carga fluctuante, en comparación con Nƒ3  2.5 y ymáx  0.005 in Capítulo 4 Tabla 4-12 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 305 Diseño de una ménsula en voladizo para flexión fluctuante Iteración final para el ejemplo 4-5 (Archivo EX06-05B) Entrada Variable Salida Unidad Comentarios 2 b in ancho de la viga 1.2 d in profundidad sobre la longitud de la viga 1.4 D in profundidad de la viga en la pared 0.5 r in radio del filete 5 a in distancia a la carga F 80 000 Sut psi resistencia última a la tensión 60 000 Sy psi resistencia a la fluencia 'maquinado acabado 'esmerilado, 'maquinado, 'rolado en caliente, 'forjado 'flexión carga 'flexión, 'axial, 'cortante porcentaje % de confiabilidad deseado 99.9 1 100 Fmáx 100 Fmín lb carga máxima aplicada lb carga mínima aplicada Fa 500 lb fuerza alternativa aplicada Fm 600 lb fuerza media aplicada Kt 1.22 factor de conc. de esfuerzo geométrico q 0.898 factor de sensibilidad a la muesca de Peterson Kf 1.20 factor de conc. de esfuerzo a la fatiga — alter. Kfm 1.20 factor de conc. de esfuerzo a la fatiga — medio siganom 5 208 psi esfuerzo nominal alternativo siga 6 230 psi esfuerzo alternativo con concentración sigavm 6 230 psi esfuerzo alternativo de von Mises sigmnom 6 250 psi esfuerzo nominal medio sigm 7 476 psi esfuerzo medio con concentración sigmvm 7 476 psi esfuerzo medio de von Mises Seprima 40 000 psi límite de resistencia sin corregir Ccarga 1 factor de carga para flexión Csup 0.85 acabado maquinado Ctamaño 0.85 factor de tamaño con base en el 95% del área Ctemp 1 temperatura ambiente Cconf 0.753 factor de confiabilidad del 99.9% Se 21 658 psi límite corregido de resistencia Nsf_1 8.6 FS para esfuerzo alternativo = constante Nsf_2 3.2 FS para esfuerzo medio = constante Nsf_3 2.6 FS para esf.alt./esf.medio = constante Nsf_4 2.3 FS para la línea de falla más cercana para el caso de carga totalmente invertida del ejemplo 4-4. La suma de un esfuerzo medio, al nivel previo de esfuerzo alternativo, redujo el factor de seguridad e incrementó la deflexión, como se esperaba. 4 DISEÑO DE MÁQUINAS esfuerzo alternativo (kpsi) 306 25 - Un Enfoque Integrado Nf2 = 3.1 posibles puntos de falla Nf4 = 2.3 20 S e Nf3 = 2.6 15 para Sy 10 S' a 5 estado de esfuerzos 0 4 Nf1 = 8.6 Sy Sut 0 10 S' m 20 30 40 50 60 70 80 esfuerzo medio (kpsi) FIGURA 4-48 Diagrama de Goodman modificado para el ejemplo 4-5 que muestra los datos de la solución final de la tabla 4-12 19. Aumentando ligeramente las dimensiones de la sección transversal de la pieza, se obtiene el diseño mejorado presentado en la tabla 4-12. Las dimensiones finales son b  2 in, d  1.2 in, D  1.4 in, r  0.5 in, a  5 in y l  6.0. Nƒ3 se vuelve igual a 2.6, como se indica en el diagrama de Goodman de la figura 4-48, y la deflexión máxima es 0.007 in. Ambos valores son aceptables. La dimensión D deliberadamente se eligió un poco menor que el tamaño del material estándar laminado, de modo que hubiera algún material disponible para el maquinado con la finalidad de limpiar y alinear las superficies del montaje. 20. Los archivos EX06-05A y EX06-05B se encuentran en el CD-ROM. El ejemplo anterior demuestra que el diseño para cargas fluctuantes de HCF variables es sencillo, una vez que se entienden los principios. Si el diseño se requiere para cargas fluctuantes de torsión, de flexión o axiales, el procedimiento de diseño sería el mismo que el de este ejemplo. Las únicas diferencias serían las ecuaciones de esfuerzo seleccionadas y los factores modificados de resistencia, como se describió en las secciones previas. En este o en cualquier problema de diseño, no debe subestimarse el valor por usar una computadora y un resolvedor de ecuaciones, ya que permiten iteraciones rápidas partiendo de suposiciones iniciales hasta las dimensiones finales con un trabajo mínimo. 4.12 DISEÑO PARA ESFUERZOS MULTIAXIALES DE FATIGA Los análisis anteriores se limitaron a casos donde las cargas produjeron esfuerzos uniaxiales en la pieza. Es muy usual en maquinaria tener cargas combinadas que creen simultáneamente, en el mismo punto, esfuerzos biaxiales o triaxiales que varían con el tiempo. Un ejemplo común es un eje giratorio sometido al mismo tiempo a un momento de flexión estático y a un torque. Debido a que el eje gira, el momento estático crea esfuerzos normales totalmente invertidos, que tienen su máximo en la fibra exterior del eje, y el torque provoca esfuerzos cortantes que también tienen su máximo en la fibra exterior. Existen muchas combinaciones posibles de carga. El torque podría ser constante, de ciclo invertido o variable. Si el torque no es constante, puede ser sincrónico o asincrónico, en fase o desfasado con el momento de flexión. Estos factores complican el cálculo del esfuerzo. En el capítulo 3 se exploró el caso de esfuerzos combinados bajo carga estática y se utilizó el esfuerzo de Von Mises para convertirlos a un esfuerzo de Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 307 tensión equivalente que sirva para predecir la falla en el caso de carga estática. Existen técnicas similares para el manejo de esfuerzos combinados con cargas dinámicas. Relaciones de frecuencia y fase Cuando están presentes diversas cargas que varían con el tiempo, pueden ser periódicas, aleatorias o alguna combinación de ambas. Si son periódicas, pueden ser mutuamente sincrónicas o asincrónicas. Si son sincrónicas sus relaciones de fase van desde estar en fase o desfasadas hasta 180° o algún valor intermedio. Las posibles combinaciones son bastante variadas y sólo se han estudiado unas cuantas de estas combinaciones para determinar sus efectos sobre las fallas por fatiga. Collins[49] sugiere que la suposición de que las cargas son sincrónicas y están en fase por lo general resulta correcta para el diseño de máquinas y normalmente (aunque no siempre) es conservadora. La mayoría de los casos estudiados son de cargas en fase, periódicas, sincrónicas, que causan esfuerzos combinados cuyas direcciones principales no cambian con el tiempo. Esto se conoce como esfuerzo multiaxial simple. Sines[42] desarrolló un modelo para este caso en 1955. Los recipientes o las tuberías a presión, que están sometidas a presiones internas que varían con el tiempo, se pueden ver como esfuerzos multiaxiales de tensión en fase sincrónicos, a partir de una fuente de carga única. El caso de un eje giratorio con flexión y torsión combinadas también entra en esta categoría, si el torque es constante con el tiempo, puesto que la componente alternativa del esfuerzo principal, debido sólo a la flexión tiene una dirección constante. Si el torque varía con el tiempo, entonces las direcciones del esfuerzo principal alternativo no son constantes. Asimismo, cuando existen concentraciones de esfuerzo, como un orificio transversal a través del eje, los esfuerzos locales en la concentración serán biaxiales. Tales situaciones, donde las direcciones de los esfuerzos principales varían con el tiempo, o donde los esfuerzos son asincrónicos o desfasados, se conocen como esfuerzo multiaxial complejo y se están estudiando todavía. De acuerdo con el Manual de diseño para Fatiga[51] de la SAE, “El análisis de esta situación se encuentra, en general, más allá del estado actual de la tecnología. El proceso de diseño debe avanzar con análisis muy aproximados soportados por amplios estudios experimentales, que simulen el material y la geometría, así como la carga”. Métodos de análisis para algunos de estos casos han sido desarrollados por Kelly,[43] Garud,[44] Brown,[45] Langer[46] y otros. El uso de algunos de estos procedimientos es bastante complicado. La referencia 51 también indica que “se deben tomar precauciones en el uso directo de estos datos, a menos que las condiciones revisadas coincidan con las que se están analizando”. Se limitará al análisis de unos cuantos procedimientos que son útiles para propósitos del diseño y deberían dar resultados aproximados pero conservadores, en la mayoría de las situaciones del diseño de máquinas. Esfuerzos multiaxiales simples totalmente invertidos Los datos experimentales desarrollados para los esfuerzos biaxiales simples, tal como los mostrados en la figura 4-15 (p. 251), indican que, en materiales dúctiles, para esfuerzos multiaxiales simples totalmente invertidos se aplica la teoría de la energía de distorsión, si se calcula el esfuerzo de Von Mises para las componentes alternativas con la ecuación 3.7 (p. 179). Para el caso tridimensional: σ' a = σ12a + σ 22 a + σ 32a − σ1a σ 2 a − σ 2 a σ 3 a − σ1a σ 3 a (4.19a) y para el caso bidimensional: σ' a = σ12a − σ1a σ 2 a + σ 22 a (4.19b) 4 308 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Observe que la forma de la ecuación de von Mises contiene los esfuerzos alternativos principales, que se calculan a partir de las componentes del esfuerzo aplicado alternativo en el estado de esfuerzo multiaxial, usando la ecuación 2.4c para 3-D (p. 74), o la 2.6 para 2-D (p. 75), después de que tales componentes alternativas se han incrementado con todos los factores aplicables de concentración del esfuerzo por fatiga. Este esfuerzo efectivo alternativo σ'a se utiliza entonces para entrar al diagrama S-N y determinar el factor de seguridad con Nf = 4 Sn σ' a (4.20) donde Sn es la resistencia a la fatiga del material en la vida deseada N y σ'a es el esfuerzo alternativo de Von Mises. Esfuerzos multiaxiales fluctuantes simples MÉTODO DE SINES Sines[42] desarrolló un modelo para esfuerzos multiaxiales fluctuantes simples, el cual crea un esfuerzo medio equivalente, así como un esfuerzo alternativo equivalente a partir de las componentes del esfuerzo aplicado. Su esfuerzo alternativo equivalente es, de hecho, el esfuerzo alternativo de Von Mises, como se definió anteriormente en la ecuación 4.19a. Sin embargo, se presentará en una forma alterna que usa directamente los esfuerzos aplicados en vez de los esfuerzos principales. Para un estado de esfuerzo triaxial: σ' a = (σ x a − σ ya ) + (σ y 2 a − σ za ) + (σ z 2 a − σ xa ) 2 ( + 6 τ 2xya + τ 2yz a + τ 2zx a 2 σ' m = σ x m + σ ym + σ z m ) (4.21a) y, para un estado de esfuerzo biaxial: σ' a = σ 2x a + σ 2ya − σ x a σ ya + 3τ 2xya σ' m = σ x m + σ ym (4.21b) Las componentes del esfuerzo aplicado en las ecuaciones 4.21 son los esfuerzos locales, incrementados por todos los factores aplicables de concentración de esfuerzos. Los dos esfuerzos equivalentes σ'a y σ'm se usan entonces en el diagrama de Goodman modificado, como se describió en la sección previa, y el factor de seguridad adecuado se calcula con las ecuaciones 4.18 (pp. 297-298). Mientras los esfuerzos locales individuales de las ecuaciones 4.19 y 4.21 se incrementan por un factor de concentración de esfuerzo diferente, habría algunos conflictos cuando la resistencia a la fatiga corregida o el límite de resistencia a la fatiga se calculen para un estado de esfuerzo combinado. Por ejemplo, una combinación de carga de flexión y axial daría dos opciones para los factores de carga de las ecuaciones 4.7a (p. 260) y 4.9 (p. 267). Utilice el factor axial si existen cargas axiales, con o sin cargas de flexión. Observe que el esfuerzo medio equivalente σ'm de Sines de las ecuaciones 4.21 contiene sólo componentes de esfuerzo normal (que son los esfuerzos hidrostáticos), mientras que el esfuerzo alternativo equivalente de Von Mises σ'a de las ecuaciones 4.21 contiene tanto esfuerzos normales como cortantes. Por lo tanto, las componentes medias del esfuerzo cortante no contribuyen con el modelo de Sines, lo cual es consistente con Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 309 los datos experimentales para barras redondas, sin muescas, pulidas, lisas, probadas con cargas combinadas de flexión y torsión.[46] Sin embargo, las muestras con muescas bajo la misma carga indican dependencia del valor del esfuerzo de torsión medio,[46] de modo que las ecuaciones 4.21 pueden ser no conservadoras en tales casos. MÉTODO DE VON MISES Otros[47],[49] recomiendan emplear el esfuerzo efectivo de Von Mises para las componentes alternativa y media del esfuerzo aplicado en cargas de esfuerzo multiaxial simple. Es posible aplicar los factores adecuados (y posiblemente diferentes) de concentración de esfuerzo para las componentes alternativa y media de los esfuerzos aplicados, como se describió en la sección 4.10. Entonces, los esfuerzos efectivos de Von Mises para las componentes alternativa y media se calculan para el estado de esfuerzo triaxial mediante σ' a = σ' m = (σ x a − σ ya ) + (σ y 2 a − σ za ) + (σ z 2 − σ xa a ) 2 ( + 6 τ 2xya + τ 2yz a + τ 2zx a ) 2 (σ x m − σ ym ) + (σ y 2 m − σ zm 4 ((4.22a) 6.22 a) ) + (σ z 2 m − σ xm ) 2 ( + 6 τ 2xym + τ 2yz m + τ 2zx m ) 2 o para el estado de esfuerzo biaxial con: σ' a = σ 2x a + σ 2ya − σ x a σ ya + 3τ 2xya σ' m = σ 2x m + σ 2ym − σ x m σ ym (4.22b) + 3τ 2xym Estos esfuerzos efectivos alternativo y medio de Von Mises se utilizan después en el diagrama de Goodman modificado, para determinar el factor de seguridad mediante la versión adecuada de las ecuaciones 4.18. Tal enfoque es más conservador que el método de Sines y es, por lo tanto, más conveniente en situaciones con concentraciones de esfuerzo debido a muescas. Esfuerzos multiaxiales complejos Este tema aún lo están investigando varios especialistas. Se han analizado muchos casos específicos de esfuerzos multiaxiales complejos, pero aún no se ha desarrollado un enfoque integral de diseño aplicable a todas las situaciones.[50] Nishihara y Kawamoto[52] descubrieron que las resistencias a la fatiga de dos aceros, un hierro colado y una aleación de aluminio probados bajo esfuerzos multiaxiales complejos no eran menores que sus resistencias a la fatiga en fase, en cualquier ángulo de fase. Para el caso común de los esfuerzos biaxiales de flexión y torsión combinados, como ocurre en ejes, se proponen varios métodos.[50] Uno de estos, llamado SEQA, con base en el Código de Calderas de la ASME,* se analizará brevemente. El SEQA es un esfuerzo efectivo o equivalente (similar en concepto al esfuerzo de Von Mises efectivo), el cual combina los efectos de los esfuerzos normal y cortante con la relación de fase entre ellos, en un valor de esfuerzo efectivo que se puede comparar con las resistencias a la fatiga y estática de un material dúctil sobre un diagrama de Goodman modificado. Se calcula a partir de SEQA = 1 4 ⎤2 σ ⎡ 3 2 3 2 9 ⎢1 + Q + 1 + Q cos 2φ + Q ⎥ 4 2 16 2⎣ ⎦ (4.23) * Código ASME para recipientes a presión y calderas, sección III, código de caso N-47-12, Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos, Nueva York, 1980. 310 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 4 Esfuerzo efectivo de Von Mises Esfuerzo efectivo SEQA (a) Variación del esfuerzo efectivo SEQA con el ángulo de fase para Q = 1.15 1.00 0.90 0.80 0.70 0 30 60 90 120 150 180 ángulo de fase F (grados) Esfuerzo efectivo de Von Mises Esfuerzo efectivo SEQA (b) Variación del esfuerzo efectivo SEQA con la razón TS para F = 90o 1.00 0.90 0.80 0.70 0 1 2 3 4 razón de esfuerzo TS FIGURA 4-49 Variación del esfuerzo efectivo SEQA con la razón T  S y el ángulo de fase entre T y S donde S  amplitud del esfuerzo de flexión incluyendo los efectos de concentración de esfuerzo T Q=2 S T  amplitud del esfuerzo de torsión incluyendo los efectos de concentración de esfuerzo F  ángulo de fase entre la flexión y la torsión El SEQA se puede calcular para ambas componentes media y alternativa del esfuerzo. La figura 4-49 muestra la variación del esfuerzo efectivo SEQA, expresada como una razón del esfuerzo de Von Mises para la misma combinación flexión-torsión con una función de dos variables: el ángulo de fase φ y la razón τ/σ. Observe en la figura 4-49a que cuando la flexión y la torsión se encuentran en fase, o desfasadas 180°, el SEQA es igual al esfuerzo de Von Mises σ'. Para φ  90°, el SEQA es aproximadamente el 73% de σ'. El esfuerzo SEQA también varía con los valores relativos de τ y σ como se indica en la figura 4-49b. Cuando τ/σ  0.575 (Q  1.15), la reducción en el esfuerzo SEQA en φ  90° es máxima y se aproxima a σ' para razones τ/σ grandes y pequeñas. Esta figura indica que al usar el esfuerzo de Von Mises para fatigas por flexión y torsión combinadas, se obtiene un resultado conservador en cualquier ángulo de fase o razón τ/σ. Sin embargo, Garud demostró que este procedimiento no es conservador para cargas Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 311 desfasadas, si la deformación local está por arriba de aproximadamente 0.13%.[44] Por lo tanto, este enfoque no se recomienda para casos de fatiga de bajo ciclo. Tipton y Nelson[50] demostraron que el enfoque SEQA es conservador en aplicaciones de fatiga (de baja deformación) de alto ciclo desfasado. De hecho, cuando los factores de concentración de esfuerzos Kƒ y Kƒs de la muesca se hacen igual a 1, el SEQA y procedimientos similares* dan pronósticos de fallas de HCF razonablemente precisos.[50] El método de análisis de fatiga multiaxial compleja presentado anteriormente supone que las cargas aplicadas son sincrónicas con una relación de fase predecible. Si las fuentes de cargas múltiples están desacopladas y tienen una relación aleatoria o un tiempo de fase desconocido, este método podría ser insuficiente para resolver el problema. El lector debe consultar la literatura referida en la bibliografía de este capítulo, para obtener mayor información sobre casos de carga multiaxial compleja. El mejor enfoque para casos inusuales es un programa de pruebas realizado por uno mismo. 4.13 4 PROCEDIMIENTO GENERAL PARA EL DISEÑO CON FATIGA DE ALTO CICLO En las secciones y ejemplos anteriores, se utilizó un procedimiento consistente sin tomar en cuenta la categoría de la carga de fatiga que interviene (véase la figura 4-40 en la p. 283). Incluso en los casos de esfuerzo uniaxial, el esfuerzo de Von Mises se calculó para los esfuerzos alternativo y medio. Se puede decir que este paso no es necesario con esfuerzos uniaxiales, ya que el esfuerzo de Von Mises es idéntico al esfuerzo aplicado. Sin embargo, con un ligero cálculo adicional (lo cual es irrelevante si se usa una computadora), se obtiene la ventaja de la consistencia. Además, los factores individuales adecuados de concentración de esfuerzos se pueden aplicar a varias componentes de esfuerzo, antes de incorporarlos al cálculo del esfuerzo de Von Mises. Con frecuencia, los factores de concentración de esfuerzos geométricos del mismo contorno en una pieza varían con cargas diferentes (axial contra flexión, etcétera). Ya sea que la carga sea uniaxial o multiaxial, de flexión o de torsión, o cualquier combinación de ellas, el factor de seguridad se obtiene de la misma manera con este procedimiento, comparando alguna combinación de esfuerzos alternativos y medios de Von Mises, con una línea definida por la resistencia a la fatiga por tensión y la resistencia a la tensión estática del material. Esto elimina la necesidad de calcular por separado las resistencias a la fatiga por torsión. Si se acepta el procedimiento presentado en la sección anterior para cargas multiaxiales con concentraciones de esfuerzos, esto es, mediante el esfuerzo de Von Mises para componentes de esfuerzos medio y alternativo, desaparece la diferencia entre los casos uniaxiales y multiaxiales. Se aplica entonces el mismo algoritmo de cálculo para las cuatro categorías de la figura 4-40 de la p. 283. En lo que respecta a la diferencia entre modos de carga fluctuantes y totalmente invertidos, recuerde que este último es justamente un caso especial del primero. Es posible tratar todos los casos de cargas de fatiga como fluctuantes y aplicar consistentemente, con buenos resultados, el diagrama de Goodman modificado (MGD) como criterio de falla. Observe en la figura 4-43 (p. 292) que el MGD y el diagrama S-N son simplemente vistos diferentes de la misma relación tridimensional entre el esfuerzo medio σ'm, el esfuerzo alternativo σ'a y el número de ciclos N. La figura 4-43c ilustra la sección de Goodman tomada de la superficie tridimensional que relaciona las variables. Es posible graficar un estado de esfuerzo totalmente invertido (σ'a ≠ 0, σ'm  0) en el diagrama de Goodman y calcular fácilmente su factor de seguridad cuando usted se da cuenta de que los datos puntuales resultantes estarán sobre el eje σ'a. La ecuación 4.18b proporciona su factor de seguridad y es igual que la ecuación 4.14 (p. 284) cuando σ'm  0. Al respecto, el problema de carga estática (σ'm ≠ 0, σ'a  0) se traza también sobre el diagrama de Goodman modificado y sus datos puntuales caerán sobre el eje σ'm. Su factor de * Un método similar con base en la teoría del esfuerzo cortante máximo se define también en la referencia [50]. Este método, llamado SALT, brinda resultados similares pero incluso más conservadores para la HCF que los del método SEQA mostrados en la figura 4-49. La advertencia es que sólo se aplica a la carga de HCF; sin embargo, presenta una mejor correlación con los resultados experimentales de pruebas de fatiga multiaxial con base en la deformación de bajo ciclo, que el método SEQA.[44] 312 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado seguridad se calcula con la ecuación 4.18a (p. 297), la cual es idéntica a la ecuación 3.8a (p. 181) cuando σ'a  0. De modo que el diagrama de Goodman modificado es una herramienta universal para determinar el factor de seguridad para cualquier problema de esfuerzo, ya sea estático, totalmente de fatiga invertida o de fatiga fluctuante. El procedimiento general recomendado para el diseño de HCF, con esfuerzos uniaxiales o sincrónicos multiaxiales, es entonces: 4 1. Genere un diagrama adecuado de Goodman modificado a partir de la información de resistencia a la tensión del material en cuestión. Esto se hace tanto para vida finita como para vida infinita, tomando la sección de Goodman en un punto N2 diferente a lo largo del eje N de la figura 4-42 (p. 291). Esto se consigue automáticamente al seleccionar la Sƒ’ en algún número de ciclos N2 como se indica en la figura 4-33 (p. 267) y en la ecuación 4.10 (p. 268). Aplique los factores adecuados de reducción de resistencia de las ecuaciones 4.7 (pp. 260-265) para obtener la resistencia a la fatiga corregida. 2. Calcule las componentes alternativa y media de los esfuerzos aplicados en todos los puntos de interés de la pieza y aplique el adecuado factor de concentración de esfuerzos para cada componente de esfuerzo aplicado. (Véase el ejemplo 2-9 y la sección de resumen del capítulo 2). 3. Convierta las componentes alternativa y media de los esfuerzos aplicados en cualquier punto de interés de la pieza cargada, a esfuerzos efectivos alternativo y medio de Von Mises mediante las ecuaciones 4.22 (p. 309). 4. Grafique los esfuerzos alternativo y medio de Von Mises sobre el diagrama de Goodman modificado y determine el factor de seguridad adecuado con las ecuaciones 4.18 (pp. 297-298). Recuerde que cuando se estudiaron las teorías de falla estática en el capítulo 3, se recomendó el enfoque de Von Mises para usarlo sólo en materiales dúctiles, ya que predice exactamente la fluencia en el caso de carga estática, donde el corte es el mecanismo de falla. Aquí se va a usar con un objetivo ligeramente diferente, esto es, combinar los esfuerzos aplicados multiaxial medio y alternativo en esfuerzos efectivos de tensión (pseudouniaxiales) medio y alternativo, que se puedan comparar con resistencias estáticas y de fatiga por tensión en el diagrama de Goodman modificado. Como tal, el enfoque de Von Mises se emplea con materiales dúctiles y frágiles en cargas de fatiga de HCF, ya que la suposición (correcta) es que las fallas por fatiga son fallas a tensión, sin importar la ductilidad o fragilidad del material. De hecho, por mucho tiempo se creyó que los materiales dúctiles de alguna manera se habían vuelto frágiles bajo cargas de fatiga prolongadas, porque sus superficies de falla parecían las de un material frágil con falla estática. Sin embargo, ahora se sabe que esto no es así. Sin embargo, el diseñador tendría que ser precavido en cuanto al uso de materiales frágiles fundidos en casos de carga por fatiga, ya que sus resistencias a la tensión suelen a ser menores que las de los materiales forjados con densidad equivalente, además de que es más probable que contengan incrementadores de esfuerzos dentro del material por el proceso de vaciado. Se pueden citar muchas aplicaciones exitosas de materiales fundidos bajo cargas de fatiga, tales como cigüeñales en motores de combustión interna, árboles de levas y bielas. Dichas aplicaciones tienden a ser de menor tamaño en máquinas de baja potencia como podadoras, etcétera. Los motores automotrices de alta potencia y de camiones utilizan por lo general acero forjado (dúctil) o hierro fundido nodular (dúctil), en vez de hierro fundido gris (frágil) para cigüeñales y bielas, por ejemplo. Se presenta ahora un ejemplo de fatiga multiaxial simple con la misma ménsula que se investigó en los ejemplos 2-9 y 3-1. Esta vez la carga es fluctuante con el tiempo. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 313 EJEMPLO 4-6 Esfuerzos fluctuantes multiaxiales Problema Determine los factores de seguridad para el tubo de ménsula mostrado en la figura 3-9 (que se repite en la parte inferior de esta página). Se proporciona El material es aluminio 2024-T4 con Sy = 47 000 psi, y Sut = 68 000 psi. La longitud del tubo es l = 6 in y el brazo a = 8 in. El diámetro exterior del tubo es OD = 2 in y el diámetro interior es ID = 1.5 in. La carga aplicada varía senoidalmente de F = 340 a –200 lb. 4 Suposiciones La carga es dinámica y el ensamble se encuentra a temperatura ambiente. Considere el cortante debido a la carga transversal, así como a otros esfuerzos. Se trata de obtener un diseño de vida finita con una vida de 6E7 ciclos. El radio de la muesca en la pared es de 0.25 in y los factores de concentración de esfuerzos son para flexión, Kt = 1.7, y para corte Kts = 1.35. Solución Véase la figura 3-9, repetida aquí. También consulte el ejemplo 2-9 (p. 110) para una explicación más completa del análisis de esfuerzos para este problema. 1. El aluminio no tiene límite de resistencia a la fatiga. Su resistencia física en 5E8 ciclos se determina con la ecuación 4.5c (p. 260). Puesto que la Sut es mayor que 48 kpsi, la resistencia sin corregir Sƒ’ @ 5 E 8  19 kpsi. 2. Los factores de corrección se calculan con las ecuaciones 4.7 (pp. 260-265) y la figura 4-25 (p. 262) y se usan para calcular la resistencia a la fatiga corregida en el estándar de 5E8 ciclos. Ccarga  1 : para flexión  Ctamaño  0.869 dequiv Csup  2.7  Sut 0.265 0.097 ¥ 0.010 46 d 2  0.869 ¦ ¦ 0.0766 § 0.265  2.7 68 0.097 ´ µ µ ¶  0.869 .739  0.883 para 99.9% y l A pared varilla B OD z brazo x F F I G U R A 3 - 9 Repetida Soporte del ejemplo 4-6 a  0.895 ( a) Ctemp  1 Cconf  0.753 : 0.097 314 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado S f @5e8  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf S f '  1 0.895 0.883 1 0.753 19 000  11 299 psi (b) Observe que el valor Ccarga de flexión se utiliza a pesar de que existe tanto flexión como tensión. El esfuerzo cortante por torsión se convierte en un esfuerzo de tensión equivalente con el cálculo de Von Mises. Csup se determina con la ecuación 4.7e (p. 263) usando los datos de la tabla 4-3 (p. 263). Esta resistencia a la fatiga corregida es todavía para el número de ciclos probados, N  5E8. 4 3. El problema requiere una vida de 6E7 ciclos, de modo que el valor de la resistencia para esa vida se debe calcular a partir de la línea S-N de la figura 4-33b (p. 267), usando la resistencia a la fatiga corregida para esa vida. La ecuación 4.10a (p. 268) para esta línea se puede resolver para la resistencia deseada, después de que calculamos los valores de su coeficiente a y su exponente b a partir de la ecuación 4.10c (p. 268). b= ⎡ 0.9(68 000) ⎤ 1 ⎛ Sm ⎞ 1 log⎜ log ⎢ = ⎥ = −0.1287 ⎟ z ⎝ S f ⎠ −5.699 ⎣ 11 299 ⎦ [ ] log( a) = log( Sm ) − 3b = log 0.9(68 000) − 3( −0.1287) : a = 148 929 (c ) Sn = aN b = 148 929 N −0.1287 = 148 929(6e7) −0.1287 = 14 846 psi Observe que Sm se calcula como el 90% de Sut porque la carga es a flexión en vez de axial (ecuación 4.9, p. 267). El valor de z se toma de la tabla 4-5 (p. 268) para N  5E8 ciclos. Ésta es la resistencia a la fatiga corregida, para la menor vida requerida en este caso y luego es mayor que el valor de prueba corregido, el cual se calculó para una vida más grande. 4. Se debe obtener la sensibilidad a la muesca del material, para calcular los factores de concentración de esfuerzos por fatiga. La tabla 4-8 (p. 277) muestra los factores de Neuber para aluminio endurecido. La interpolación da un valor de 0.147 para √a en la Sut del material. La ecuación 4.13 (p. 273) da la sensitividad a la muesca resultante para el radio de la muesca supuesto de 0.25 in. 1 q= 1+ a r = 1 = 0.773 0.147 1+ 0.25 (d ) 5. Los factores de concentración de esfuerzo por fatiga se obtienen de la ecuación 4.11b (p. 273), usando los factores de concentración de esfuerzo geométrico para flexión y torsión, respectivamente. K f = 1 + q( Kt < 1) = 1 + 0.773(1.7 < 1) = 1.541 (e) K fs = 1 + q( Kts < 1) = 1 + 0.773(1.35 < 1) = 1.270 (f) 6. El tubo de la ménsula está cargado tanto a la flexión (como una viga en voladizo) como a la torsión. Las formas de las distribuciones de cortante, momento y torque se muestran en la figura 2-31 (p. 113). Todos son máximos en la pared. Las componentes alternativa y media de la fuerza, el momento y el torque aplicados en la pared son Fa  Fm  Fmáx Fmín 2 Fmáx Fmín 2   340  200 2 340  200 2  270 lb ( g)  70 lb Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA Ma = Fa l = 270 (6) = 1 620 lb − in (h) Mm = Fm l = 70 (6) = 420 lb − in Ta = Fa a = 270 (8) = 2 160 lb − in (i ) Tm = Fm a = 70 (8) = 560 lb − in 7. El factor de concentración de esfuerzos por fatiga, para los esfuerzos medios, depende de la relación entre el esfuerzo local máximo de Von Mises en la muesca y la resistencia a la fluencia, como se definió en la ecuación 4.17, una porción de la cual se muestra aquí. si K f S máx  Sy entonces K fm  K f , K fsm  K fs S máx  K f 3406 1 Mmáx c F lc  5 855  K f máx  1.541 0.5369 I I T máx  K fs 3408 1 Tmáx r F ar  K fs máx  1.270  3 216 1.074 J J S amáx = 5 8552 ( j) 3 3 216 2  8 081  47 000 < K fm  K f  1.541, K fsm  K fs  1.270 En este caso, no hay reducción en los factores de concentración de esfuerzos para el esfuerzo medio, porque no hay fluencia en la muesca para mitigar la concentración de esfuerzos. 8. El mayor esfuerzo de flexión por tensión se encuentra en la fibra exterior superior o inferior en los puntos A o A'. El mayor esfuerzo cortante por torsión se encuentra alrededor de la circunferencia exterior del tubo. (Véase el ejemplo 2-9 de la p. 110 para más detalles). Primero, tome un elemento diferencial en el punto A o A' donde se combinan ambos de estos esfuerzos. (Véase la figura 2-32 en la p. 114). Obtenga las componentes alternativa y media del esfuerzo de flexión normal y del esfuerzo cortante por torsión en el punto A, por medio de las ecuaciones 2.11b (p. 86) y 2.23b (p. 108), respectivamente. Sa  K f 1 6201 Ma c  1.541  4 649 psi 0.5369 I T atorsión  K fs 2 1601 Ta r  1.270  2 556 psi 1.074 J S m  K fm 4201 Mm c  1.541  1 205 psi I 0.5369 Tm torsión  K fsm 5601 Tm r  1.270  663 psi 1.074 J (k ) (l ) 9. Obtenga los esfuerzos alternativo y medio de Von Mises en el punto A (ecuación 4.22b, p. 309). σ' a = σ 2x a + σ 2y a − σ x a σ y a + 3τ 2xya ( ) = 4 649 2 + 0 2 − 4 649(0) + 3 2 556 2 = 6 419 psi σ' m = σ 2x m + σ 2y m − σ x m σ ym + 3τ 2xy m ( 315 ) = 1 2052 + 0 2 − 1 205(0) + 3 6632 = 1 664 psi ( m) 4 316 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 10. Puesto que la misma fuerza aplicada causa el momento y el torque, éstos son sincrónicos y están en fase; cualesquier cambio en ellos mantendrá una razón constante. Ésta es una situación correspondiente al caso 3, en tanto que el factor de seguridad se obtiene con la ecuación 4.18e (p. 298). Nf = 4 S f Sut = σ' a Sut + σ' m S f 14 846(68 000) = 2.2 6 419(68 000) + 1 664(14 846) (n) 11. Como el tubo es una viga corta, se necesita verificar el cortante debido a la carga transversal en el punto B sobre el eje neutro, donde el cortante por torsión también es máximo. El esfuerzo cortante transversal máximo en el eje neutro de un tubo redondo hueco, de pared delgada, está dado en la ecuación 2.15d (p. 91). T atransversal = K fs 2270 2Va  1.270  499 psi A 1.374 T mtransversal = K fsm 270 2Vm  1.270  129 psi A 1.374 ( o) El punto B está en cortante puro. El esfuerzo cortante total en el punto B es la suma del esfuerzo cortante transversal y el esfuerzo cortante por torsión, los cuales actúan sobre los mismos planos del elemento. T atotal = T atransversal + T a torsión = 499 2 556  3 055 psi T mtotal = T mtransversal + T m torsión = 129 663  792 psi ( p) 12. Calcule los esfuerzos alternativo y medio de Von Mises para el punto B (ecuación 4.22b, p. 309). σ' a = σ 2x a + σ 2y a − σ x a σ y a + 3τ 2xya = 0 + 0 − 0 + 3(3 055) = 5 291 psi 2 (q) σ' m = σ 2x m + σ 2y m − σ x m σ ym + 3τ 2xy m = 0 + 0 − 0 + 3(792) = 1 372 psi 2 13. El factor de seguridad en el punto B se determina mediante la ecuación 4.18e (p. 298). Nf = S f Sut σ' a Sut + σ' m S f = 14 846(68 000) = 2.7 5 291(68 000) + 1 372(14 846) (r ) Ambos puntos A y B están seguros contra la falla por fatiga. 14. Los archivos EX06-06A y EX06-06B se encuentran en el CD-ROM. 4.14 ESTUDIO DE CASO DE DISEÑO POR FATIGA El siguiente estudio de caso incluye todos los elementos de un problema de diseño de fatiga de HCF. Es un problema de diseño real de la experiencia como consultor del autor, que sirve para ilustrar muchos de los puntos de este capítulo. A pesar de que es extenso y algo complicado, su estudio cuidadoso compensará el tiempo invertido. Capítulo 4 E S T U D I O D E C A S O TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 317 6 Rediseño de un transportador que falla en un telar a chorro de agua Problema En varios telares a chorro de agua, los transportadores del peine empezaron a fallar por fatiga. El dueño de una fábrica de tejidos había incrementado la rapidez de los telares para aumentar la producción. El diseño original del transportador del peine de acero pintado duró sin fallar durante 5 años de operaciones en tres turnos a la menor rapidez; pero empezó a fallar en los meses en que se incrementó la velocidad. El propietario tenía cerca un fabricante local que hizo las refacciones de acero pintado similares a las originales, sin embargo, éstas fallaron a los seis meses de uso. Sustituyó luego el transportador por uno de aluminio de su propio diseño, el cual duró tres meses. Después buscó ayuda de ingeniería especializada. Analice las fallas de los tres diseños existentes y rediseñe la pieza para que dure 5 años adicionales a la máxima velocidad. Se proporciona El transportador tiene 54 in de longitud y se carga entre los balancines de dos mecanismos de cuatro barras manivela-balancín de Grashof, que se manejan sincrónicamente y en fase por trenes de engranes conectados por un eje de transmisión de 54 in de largo. La disposición del telar se indica en la figura 4-50; y el montaje, en la figura 4-51. Los detalles de su operación se examinan a continuación. Las secciones transversales de los diseños que fallaron se ilustran en la figura 4-53 y sus fotografías en la figura 4-54. El nuevo diseño no puede ser de un ancho mayor que el existente (2.5 in). La velocidad original del telar era de 400 rpm y la nueva velocidad es de 500 rpm. El costo del nuevo diseño debería ser competitivo con el costo de los diseños actuales (que fallaron) (cerca de $300 cada uno en lotes de 50). Suposiciones La carga fluctuante principal sobre la pieza es inercial y ocurre debido a que su propia masa, más que la del peine que transporta sobre ella, se acelera y desacelera por el movimiento del mecanismo. También hay una fuerza de “golpeteo” sobre el peine, cuando éste golpea la tela para empujar el último hilado a su lugar. Dicha fuerza causa un torque repetido sobre el transportador que puede ser significativo o no para la falla. La magnitud de la fuerza de golpeteo no se conoce exactamente y varía con el peso de la tela que se está tejiendo. peine hilos de entrada (urdimbre) “disparo” del hilo (tejido) tela manivela acoplador Went orificio del chorro de agua transportador balancín mecanismo de 4 barras FIGURA 4-50 Urdimbre, tejido, transportador, peine y conductor del transportador en un telar a chorro de agua 4 318 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Se estima que es de 10 lb/in del ancho de la tela (540 lb en total). El ambiente se humedece con agua dulce y todas las muestras que fallaron presentan evidencia de corrosión. Solución Véase las figuras 4-50 a 4-56 y la tabla 4-13 (p. 328). 1. Se necesitan algunos antecedentes adicionales para entender el problema antes de buscar su solución. Los telares para hacer lienzos son dispositivos muy antiguos y originalmente funcionaban con energía humana. El telar mecánico se inventó durante la Revolución Industrial y actualmente existen muchas variedades. La figura 4-50 ilustra algunas piezas del telar a chorro de agua que interesa. Quizá la mejor forma de entender la operación fundamental de un telar sea considerar un telar manual, el cual tal vez el lector haya visto en un museo, una tienda de tejidos a la medida o en el taller de un aficionado. Sus elementos básicos son similares a los que tiene la figura. 4 Un conjunto de hilos llamados urdimbre se estira a través del telar. Cada hilo se sujeta con un dispositivo (que no se muestra) que lo jala hacia arriba o hacia abajo. Este dispositivo se activa con un mecanismo que, en el telar manual, se opera comúnmente mediante pedales. Cuando se empuja un pedal, se levanta un hilo sí y un hilo no de la urdimbre; mientras que los hilos alternados se jalan hacia abajo formando un “túnel”, si se observa desde el borde de la tela. Este túnel se llama calada. El tejedor “avienta” una lanzadera —que parece una canoa en miniatura y tiene dentro una bobina de hilo— a través de la calada. La lanzadera arrastra una sola hebra llamada hilo de trama a través de la calada de la urdimbre. Después, el tejedor jala una barra horizontal que transporta un dispositivo llamado peine. Los hilos de la urdimbre se enhebran en los dientes de este peine, el cual empuja el nuevo hilo entramado hacia los previos hasta “golpear” la tela y crear un tejido apretado. Enseguida, el tejedor cambia los pedales de la calada y los hilos de “arriba” de la urdimbre se vuelven los de “abajo”, creando así un nuevo túnel (calada) de hilos cruzados. La lanzadera se avienta de nuevo por la urdimbre (desde el otro lado), tejiendo otro hilo que se golpea con el peine. Los telares motorizados originales simplemente mecanizaban el proceso manual, sustituyendo las manos y los pies del tejedor con mecanismos y engranes. El lanzamiento de la lanzadera de madera se realizaba golpeándola literalmente con un palo, haciéndola volar a través de la calada y atrapándola del otro lado. La dinámica del “vuelo de esta lanzadera” (anterior a la NASA) se volvió el factor limitante para la rapidez del telar. Los telares de lanzadera sólo pueden enhebrar 100 hilos por minuto (ppm). Se acoplador peine 8.375" transportador Went manivela 2" Q2 fuerza inercial fuerza de golpeteo 500 rpm peine 540 lb transportador r = 3.75" fuerza inercial 4 356 in/seg2 estructura 9.625" fuerza de golpeteo aceleraciones 8 129 2 in/seg balancín 7.187" (a) Mecanismo, transportador, peine y dimensiones (b) Aceleración sobre el transportador y fuerza sobre el peine FIGURA 4-51 Mecanismo de cuatro barras para la conducción del transportador, que indica las fuerzas y aceleraciones sobre el transportador Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA invirtió mucho trabajo para desarrollar telares más rápidos, y éstos usualmente eliminaron la lanzadera, cuya masa limitaba la velocidad. En el siglo XX se desarrollaron telares a chorro de agua y a chorro de aire, los cuales disparaban el hilo a través de la calada sobre un chorro de aire o un chorro de agua. La figura 4-50 presenta el orificio a través del cual se alimenta el hilo. En el momento exacto del ciclo, una pequeña bomba de pistón dispara un chorro de agua por el orificio, y la tensión superficial jala el hilo a través de la calada. El telar a chorro de agua opera hasta aproximadamente 500 ppm. Los telares en cuestión se diseñaron para funcionar a 400 ppm; sin embargo, el dueño cambió su engranaje para incrementar la velocidad a 500 ppm. Las fallas surgieron pronto ya que las cargas dinámicas se incrementaron al cuadrado de la velocidad, y excedieron las cargas para las cuales se diseñó la máquina. 2. Las figuras 4-50 y 4-51 presentan el transportador, el cual es transportado por dos mecanismos idénticos de cuatro barras, que lo mueven en un arco para empujar el peine hacia la tela en el momento exacto del ciclo. El transportador está atornillado firmemente a los balancines de cada extremo y gira con ellos. Los pivotes del mecanismo son cojinetes de bolas de autoalineación, que permiten modelar la barra horizontal como una viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida, igual a su masa total por su aceleración más la fuerza de golpeteo. La masa total es la suma de la masa del transportador y la masa de su carga útil de 10 lb, esto es, el peine. La figura 4-51 muestra la geometría del mecanismo del transportador, sus dimensiones y la gráfica polar de los vectores de aceleración en el centro de masa del transportador. Las componentes tangenciales de la aceleración son las más grandes, y crean momentos de flexión en las direcciones de las fuerzas inerciales mostradas en la misma figura. La figura 4-52 grafica la componente de la aceleración tangencial del centro de masa del transportador para 1 ciclo, y muestra la fuerza de golpeteo en su relación de fase con la aceleración. La aceleración crea un momento de flexión fluctuante, y la fuerza de golpeteo, que está desplazada 3.75 in del centro de masa del transportador, crea un torque repetido sobre el transportador. Dependiendo de la geometría de la sección transversal del transportador, esta combinación de cargas puede crear un caso de esfuerzo multiaxial simple, sincrónico y en fase, para las ubicaciones de máximo esfuerzo (véase la sección 4.12 de la p. 306). Puesto que la carga es básicamente inercial, el diseño del transportador debería minimizar su masa (para reducir la carga inercial), mientras que al mismo tiempo se maximizan su rigidez y su resistencia. Éstas son restricciones conflictivas y hacen más desafiante la tarea de diseño. 3. Como se trata de un caso de carga fluctuante, se seguirán los pasos de diseño recomendados en la sección 4.11 (p. 290), el primero de los cuales consiste en determinar el número de ciclos de carga esperados durante la vida de servicio. El propietario ha solicitado que el nuevo diseño dure para los próximos 5 años en operación con tres turnos. Suponiendo 2 080 horas por turno en un año de trabajo normal, N  500 ciclos ¥ 60 min ´ ¥ 2 080 hr ´ ¦ µ 3 turnos 5 años  9.4 E8 ciclos min § hr ¶ § turno - año¶ ( a) Esto es claramente un régimen de HCF y podría favorecerse con el uso de un material con límite de resistencia a la fatiga. El propietario informa que el transportador de remplazo duró 6 meses aproximadamente, y su diseño de aluminio duró 3 meses. (Véase las figuras 4-53 y 4-54). Los ciclos de vida son: 6 meses: N  500 ciclos ¥ 60 min ´ ¥ 2 080 hr ´ ¦ µ 3 turnos  0.5 años  9.4 E 7 ciclos min § hr ¶ § año ¶ (b) ciclos ¥ 60 min ´ ¥ 2 080 hr ´ 3 meses: N  500 ¦ µ 3 turnos  0.25 años  4.7 E 7 ciclos min § hr ¶ § año ¶ 319 aceleración (in/seg2) tangencial 8 129 máx 1 886 prom Q 0 –4 356 mín 0 360 fuerza de golpeteo (lb) 540 máx Q 0 0 360 FIGURA 4-52 Aceleración variable con el tiempo y carga sobre el transportador a 500 rpm que muestran su relación de fase 4 320 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 0.56 0.63" 2.56" 2.375" cuadradas carga 1.5" 1.8" 0.63" carga carga 0.093" pared 0.085" pared 0.75" 2" 2.5" 4 (a) Transportador original de acero (b) Sustituto de acero del transportador (c) Sustituto de aluminio del transportador FIGURA 4-53 Diseños existentes del transportador, todos fallaron por fatiga 4. Como las amplitudes de las cargas de flexión aplicadas son función de la aceleración (la cual está definida) y de la masa de la pieza (la cual varía con el diseño), lo mejor es expresar las cargas de flexión en términos de F  ma. Se supone que el torque aplicado es el mismo para cualquier diseño con base en la estimación del propietario, de una fuerza de golpeteo típica. Tales datos se muestran en la figura 4-52, y los términos medio y alternativo son Fmedia  mamedia  m amáx amín 2 m 8 129  4 356 2  1 886.5m (c ) Flexión: Falt  maalt  m amáx amín 2 m 8 129  2 4 356  6 242.5m ¥ Fgolpe máx Fgolpe mín ´ ¥ 540 0 ´ Tmedia  ¦ 3.75  1 012.5 lb - in µr  § § ¶ 2 2 ¶ (d ) Torque: Talt (a) ¥ Fgolpe máx Fgolpe mín ´ ¥ 540 0 ´ ¦ 3.75  1 012.5 lb - in µr  § § ¶ 2 2 ¶ (b) FIGURA 4-54 Fotografías de transportadores fallidos a) Sustituto de barra de acero — después de 6 meses, b) Sustituto de aluminio — después de 3 meses. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 5. Se está en la envidiable posición de contar con datos de prueba de piezas típicas, que trabajan en condiciones de servicio reales en forma de muestras que fallaron. De hecho, el propietario corrió inadvertidamente un programa de pruebas (para su disgusto) y determinó los niveles de esfuerzo que causaron la falla en esta aplicación. Por lo tanto, el primer paso será analizar los diseños existentes que fallaron para aprender más acerca del problema. Se sabe que los transportadores del diseño original (figura 4-53a) duraron 5 años con los menores niveles de esfuerzos asociados con una operación a 400 ppm. Sólo empezaron a fallar cuando incrementaron la velocidad, lo cual aumentó la carga de inercia. Diversos factores intervienen en esta aplicación y son difíciles de cuantificar. En las piezas fallidas se hace evidente la corrosión. Los transportadores de acero están oxidados y tienen superficies corroídas. La pieza de aluminio no anodizado también está picada. Los diseñadores no tuvieron mucho cuidado en minimizar las concentraciones de esfuerzos y se observa que las fracturas por fatiga se iniciaron (como es típico) en los incrementadores de esfuerzos. En la figura 4-54b, la pieza de aluminio que falló muestra que la grieta se inició en un orificio machueleado, que es una muesca muy afilada. Las grietas en la pieza de acero (figura 4-54b) parecen haberse iniciado en una gota de soldadura utilizada para sujetar los soportes del peine. Las soldaduras son notorios incrementadores de esfuerzos y siempre dejan esfuerzos por tensión residuales. Se deben tomar en cuenta estas lecciones en el rediseño e intentar reducir tales factores negativos. Por definición, una pieza que falla tiene un factor de seguridad igual a 1. Sabiendo esto, se puede crear el modelo de carga, esfuerzos y factor de seguridad de la pieza y, después, volver a calcular con el factor de seguridad igual a 1, para determinar varios de los factores anteriores que son difíciles de cuantificar en una aplicación específica. 6. Se creó un modelo para resolver las ecuaciones de este caso. Se introdujeron datos específicos de cada uno de los tres diseños fallidos; el modelo se modificó lo necesario para tomar en cuenta las diferencias en geometría y material entre los tres diseños. El mismo modelo se modificó aún más para dar cabida a los nuevos diseños propuestos que se muestran en la figura 4-55. Se obtuvieron ocho versiones del modelo, y sus archivos de datos se incluyen con este texto y están identificados como CASE6-0 a CASE6-7. El espacio no permite analizar el contenido de los ocho modelos, de modo que tan sólo dos se estudiarán con detalle, y los resultados de los otros se compararán en un resumen. Se presentarán el diseño original fallido y el nuevo diseño final. El lector puede abrir los modelos en el programa de su preferencia, si lo desea. 7. El análisis del diseño original del transportador del peine se encuentra en el archivo CASE6-1. Se deben calcular la sección geométrica y la masa de la viga, con la finalidad de determinar los esfuerzos de flexión. área  2.3752 2.2052 20.56 0.085  0.874 in 2 peso  árealongitud  G  0.87454 0.286  13.5 lb m I peso peine 13.5 10   0.061 blobs 386.4 386.4 (e ) 3 3 bexterna hexterna binterna hinterna 2.375 4 2.205 4   0.68 in 4 12 12 Observe que el cálculo del área incluye los lados completos del peine, puesto que agregan masa pero el cálculo de I los ignora puesto que agregan una cantidad despreciable a I. El peso específico γ es el del acero y la unidad de masa está en blobs o lb-s2/in. 8. Las componentes media y alternativa nominales de la fuerza inercial y del momento de flexión se pueden calcular ahora. 321 carga 2.5" pared 4 (a) Diseño cuadrado 2.5" pared (b) Diseño redondo FIGURA 4-55 Dos diseños nuevos del transportador de chorro de agua 322 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Fmedia  1 886.5m  1 886.50.061  115 lb Falt  6 242.5m  6 242.50.061  380 lb Mmedia wl 2  wl l Fl 11554      775 lb - in 8 8 8 8 Malt  4 (f) wl 2  wl l Fl 38054    2 565 lb - in  8 8 8 8 Las ecuaciones de momento corresponden al momento máximo en el centro de una viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida (véase la figura F-2 en el apéndice F). Los esfuerzos de flexión nominales (sin incluir las concentraciones de esfuerzos) son, entonces, 7751.188 Mmedia c   1 351 psi 0.68 I 2 5651.188 M c  alt   4 470 psi 0.68 I S mnom  S anom ( g) 9. Los esfuerzos cortantes nominales debidos a la torsión en una sección cuadrada hueca son máximos en los centros de los cuatro lados y, por consiguiente, ocurren en los puntos de esfuerzo flexionante máximo. El esfuerzo cortante se obtiene de τmáx  T/Q (ecuación 2.26a, p. 108), donde Q para la geometría particular se obtiene de la tabla 2-2 (p. 102): 2 ⎛ 2.375 ⎞ Q = 2t ( a − t )2 = 2(0.085) − 0.085 = 0.207 in 3 ⎝ 2 ⎠ ( h) donde t es el espesor de la pared y a es la mitad del ancho de la sección transversal. Los esfuerzos nominales cortantes medio y alternativo son, entonces, T mnom  Tmedia 1 012.5   4 900 psi Q 0.207 T anom  Talt 1 012.5   4 900 psi Q 0.207 (i ) 10. Se necesitan calcular o estimar los factores de concentración de esfuerzos por flexión y cortante. Peterson[30] desarrolló una gráfica para el caso de una sección rectangular hueca en torsión, y de ésta se obtiene Kts  1.08. No se encontraron datos adecuados para el factor de concentración de esfuerzos por flexión para este caso. La corrosión y el picado en combinación con soldaduras ásperas pronostican un Kt grande. El procedimiento adoptado aquí fue regresar a despejar Kt con el factor de seguridad igual a 1 y todos los demás factores del material y los esfuerzos nominales especificados. El resultado fue Kt  4.56 en esta parte fallida. Tal resultado se presenta aquí para dar continuidad conceptual; no obstante, debe entenderse que el valor de Kt se obtuvo resolviendo hacia atrás el modelo usando la iteración después de que se definieron todos los demás factores. Después, los esfuerzos locales alternativo y medio y Kt se resolvieron simultáneamente con Nƒ  1, lo cual representa la condición de falla. 11. La sensibilidad a la muestra del material y los factores estimados de concentración de esfuerzos por fatiga para flexión y cortante alternativos se obtuvieron con las ecuaciones 4.11b y 4.13 (p. 273), siguiendo el procedimiento del ejemplo 4-3 (p. 276). Utilizando el valor de Kt calculado en el paso 10 y q  0.8, los resultados son: Kƒ  3.86 y Kƒs  1.06. Los factores de concentración de esfuerzos por fatiga correspondientes para el esfuerzo medio se determinan con la ecuación 4.17 (p. 294) y como, en este caso, el esfuerzo local está por debajo del punto de fluencia tanto para la flexión como para la torsión son idénticos a los factores del esfuerzo alternativo: Kƒm  Kƒ y Kƒms  Kƒm. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 323 12. Las componentes estimadas del esfuerzo local se determinan por medio de los factores de concentración de esfuerzos por fatiga: σ m = K fm σ mnom = 3.86(1 351) = 5 212 psi ( j) σ a = K f σ anom = 3.86( 4 470) = 17 247 psi τ m = K fsm τ mnom = 1.06( 4 900) = 5 214 psi (k ) τ a = K fsm τ anom = 1.06( 4 900) = 5 214 psi 13. Como se tiene un caso de esfuerzos biaxiales combinados fluctuantes, que son sincrónicos y están en fase, y que tienen concentración de esfuerzos, el método general que usa los esfuerzos efectivos de Von Mises para las componentes media y alternativa es el apropiado (ecuación 4.22b). Éstas calculan los esfuerzos equivalentes alternativo y medio para el caso biaxial. σ' a = σ 2x a + σ 2y a − σ x a σ y a + 3τ 2xya = 17 247 + 0 − 0 + 3(5 214) = 19 468 psi σ' m = σ 2x m + σ 2y m − σ x m σ ym (l ) + 3τ 2xy m = 5 212 + 0 − 0 + 3(5 214) = 10 428 psi 14. Ahora se deben determinar las propiedades del material. Se hizo una prueba de laboratorio sobre una muestra de la pieza fallida, y su composición química concuerda con la del acero AISI 1018 rolado en frío. Los valores de la resistencia de este material se obtuvieron de datos publicados (véase el apéndice E) y son: Sut  64 000 psi y Sy  50 000 psi. La resistencia de fluencia al cortante se calculó a partir de Sys  0.577 Sy  28 850 psi. El límite de resistencia a la fatiga sin corregir se tomó como Se’  0.5 Sut  32 000 psi. 15. Los factores de modificación de la resistencia se obtuvieron de las ecuaciones y los datos de la sección 4.6 (p. 257). La carga es una combinación de flexión y torsión. Sin embargo, incorporamos los esfuerzos de torsión en el esfuerzo equivalente de Von Mises, el cual es un esfuerzo normal, así que Ccarga  1 ( m) El diámetro equivalente de la muestra de prueba se obtuvo del área con 95% de esfuerzo usando las ecuaciones 4.7c y 4.7d (p. 261). El factor de tamaño se obtiene entonces con la ecuación 4.7b (p. 261): A95  0.05bh  0.052.375 dequiv  2  0.282 in 2 A95  1.92 in 0.0766  Ctamaño  0.869 dequiv 0.097 (n)  0.8691.92 0.097  0.82 El factor de superficie se obtiene de la ecuación 4.7e (p. 263) y los datos de la tabla 4-3 (p. 263), para superficies maquinadas o roladas en frío. Parece que el material del transportador originalmente estaba rolado en frío, aunque estaba corroído. La corrosión podría obligar a usar un factor de superficie con un menor valor; sin embargo, se decidió permitir que el factor de concentración de esfuerzo geométrico Kt tomara en cuenta los efectos de la corrosión en este caso, como se describió anteriormente, y se aplicó el factor de superficie maquinada. 4 324 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Csup  A  Sut b  2.764 0.265  0.897 ( o) El factor de temperatura y el factor de confiabilidad se hicieron ambos iguales a 1. Se tomó la confiabilidad del 50% para este cálculo hacia atrás, con la finalidad de ubicar toda la incertidumbre en el factor de concentración de esfuerzos de alta variabilidad. 16. Ahora se calcula el límite de resistencia a la fatiga corregido de Se  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Se' Se  1 0.81 0.90 1 1 32 000 = 23 258 psi 4 ( p) 17. El factor de seguridad se calcula con la ecuación 4.18e (p. 298). El factor de seguridad del caso 3 es aplicable aquí puesto que, con la carga inercial, las componentes media y alternativa del esfuerzo de flexión mantendrán una razón constante con los cambios en la velocidad. Como la fuerza de golpeteo mínima es siempre cero, la razón también es constante sin importar la fuerza máxima. Nf = = Se Sut σ' a Sut + σ' m Se 23 258(64 000) = 1.0 19 468(64 000) + 10 428(23 258) (q) Los esfuerzos alternativo y medio se calcularon hacia atrás y se pueden usar ahora para graficar un diagrama de Goodman modificado. Como se forzó que el factor de seguridad fuera 1 para representar la falla conocida de esta pieza, el punto del esfuerzo aplicado σ'a, σ'm cae sobre la línea de Goodman. 18. Se repitió el análisis anterior cambiando la velocidad de operación al valor del diseño original de 400 rpm. Usando el mismo factor de concentración de esfuerzos de 4.56 que se calculó hacia atrás en el análisis de la pieza fallida, el factor de seguridad a 400 rpm es 1.3, lo que indica por qué el diseño original sobrevivió a las rpm establecidas (archivo caso 6-0). 19. El análisis de esta y otras piezas fallidas da una idea sobre las restricciones del problema y permite crear un mejor diseño. Uno de los factores que influyeron en el nuevo diseño fue el ambiente corrosivo, el cual hace al acero un material menos deseable a pesar de su límite de resistencia a la fatiga. El acabado con pintura no protegió las ahora oxidadas piezas de acero. La muestra de aluminio fallida que se examinó también mostró una picadura significativa en sólo tres meses de uso. Si se va a utilizar aluminio, se debería aplicar un acabado anodizado para protegerlo de la oxidación. Otro factor evidente es el rol de la concentración de esfuerzos, que parece ser muy alta en esta pieza. La presencia de soldaduras y orificios machuelados en regiones de esfuerzos altos contribuyó claramente a las fallas. Cualquier diseño nuevo debería reducir las concentraciones de esfuerzos al mover los orificios requeridos para sujetar el peine hacia las ubicaciones de menor esfuerzo. Si es posible, se deberían eliminar las soldaduras en las regiones de alto esfuerzo. Se deben considerar tratamientos superficiales como el granallado para generar esfuerzos residuales de compresión benéficos. Los niveles de esfuerzos por torsión definidos de manera deficiente pero potencialmente significativos son una preocupación. El tejido de tela con mayor peso causa niveles más altos de esfuerzos por torsión. Por lo tanto, la geometría del nuevo diseño debería ser resistente a los esfuerzos por torsión, así como a los esfuerzos por flexión. Finalmente, el nuevo diseño no debe ser más pesado que el diseño existente, ya que la masa adicional causará que se transmitan mayores fuerzas de inercia a todas las demás piezas de la máquina, provocando posibles fallas en otras piezas. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 325 20. Debido a que la naturaleza de la carga sobre la viga es básicamente inercial y debido a que transporta una carga de peso fijo, se debe tener una sección transversal óptima para el diseño. La resistencia a la flexión de la viga es una función del momento de inercia de área I. La carga inercial es una función inversa de su área A. Si la sección transversal fuera sólida, su I sería lo más grande posible para una dimensión exterior dada, pero también su área, su masa y su carga inercial. Si la pared fuera delgada como papel, su masa sería mínima, pero también su I. Tanto A como I son funciones no lineales de sus dimensiones. Por consiguiente, tiene que haber un espesor específico de la pared que maximiza el factor de seguridad, y lo mantiene constante. Con todos los factores anteriores en mente, se consideraron dos diseños, como se ilustra en la figura 4-55: una sección transversal cuadrada y una redonda con orejas externas integradas para sostener el peine. Ambas comparten algunas características. Los contornos tienen radios generosos para minimizar Kt. (La sección redonda es la mejor en este sentido). Las orejas que sostienen el peine, las cuales tienen orificios con cuerda, se encuentran cerca del eje neutro, donde el esfuerzo de flexión es más bajo y son externas a la estructura geométrica básica. No necesitan soldadura si el perfil puede obtenerse por extrusión. Ambas son secciones básicamente cerradas que pueden resistir torques, y la sección redonda es el perfil óptimo para cargas de torsión. La sección cuadrada tiene mayor I y, por lo tanto, resiste la flexión mejor que un perfil redondo de la misma dimensión general. Se tomaron en cuenta dos materiales, acero suave y aluminio. (El titanio sería ideal en términos de su razón resistencia/peso (SWR) y su límite de resistencia a la fatiga; pero su alto costo excluye dicha consideración). El aluminio (si se anodiza) tiene la ventaja de resistir mejor la corrosión en el agua; no obstante, el acero tiene la ventaja de su límite de resistencia cuando se protege contra la corrosión. El peso total del nuevo diseño es muy importante. El aluminio de alta resistencia tiene mejor razón resistencia/peso que el acero dulce. (El acero de alta resistencia no presenta un límite de resistencia a la fatiga y es sensible a la muesca, además de costoso). El aluminio se obtiene por extrusión con las orejas integradas, con herramientas de bajo costo, haciendo posible un lote de producción factible en términos económicos. El trabajo en acero de una sección transversal, a pedido del cliente, requeriría que se compraran grandes cantidades para amortizar el costo de la herramienta. De modo que el diseño en acero se limita a los perfiles de fabricación y requiere soldadura en las orejas. 21. Cada geometría de la figura 4-55 se diseñó por separado, ambas en acero y aluminio. El espesor de la pared de cada modelo fue modificándose de acuerdo con una lista de valores, desde muy delgada hasta casi sólida, para determinar la dimensión óptima. El diseño final seleccionado fue una sección redonda de aluminio 6061-T6 obtenido por extrusión con un espesor de pared de 0.5 in. Se analizará ahora este diseño; sin embargo, debe quedar claro que se requirió bastante iteración para llegar al resultado que aquí se presenta. El espacio no permite el estudio de todas las iteraciones. 22. Los cálculos anteriores del ciclo de vida (ecuación a, paso 3), de la aceleración y la fuerza de golpeteo (ecuaciones c y d, paso 4) se pueden aplicar ahora. Las propiedades de la sección son ¥ 2.52 1.52 ´ área  P ¦ µ 4 § ¶ 20.5 0.75  3.892 in 2 peso  árealongitud  G  3.89254 0.10  21 lb m peso peine 21 10   0.080 blobs 386 386 ¥ 2.5 4 1.5 4 ´ 4 I  P¦ µ  1.669 in 64 § ¶ (r ) 4 326 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Observe que el cálculo del área incluye las orejas, ya que agregan masa, pero se ignoran para I porque suman una cantidad despreciable para I. La densidad de peso γ para el aluminio está en lb/in3 y la masa está en blobs, o bien, lb-seg2/in. 23. Las componentes media y alternativa de la fuerza inercial y el momento de flexión son Fmedia  1 886.5m  1 886.50.08  152 lb Falt  6 242.5m  6 242.50.08  502 lb 4 Fl 15254  1 023 lb - in  8 8 Fl 50254  3 386 lb - in   8 8 ( s) Mmedia  Malt Las ecuaciones de momento son para el momento máximo en el centro de una viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida. Los esfuerzos de flexión nominales (no incluidos en la concentración de esfuerzos) son, entonces, S mnom  S anom 1 0231.25 Mmedia c  I 1.669 3 3861.25 M c   alt I 1.669 766 psi (t ) 2 536 psi Si se comparan estos resultados con los del diseño original (véase el paso 8), los fuerzas y los momentos son ahora más grandes debido a que la pieza pesa más, pero los esfuerzos son menores debido a mayor I en la sección transversal. 24. Los esfuerzos cortantes por torsión en una sección redonda hueca son máximos en la fibra exterior y, entonces, ocurren en puntos de máximo esfuerzo de flexión. El esfuerzo cortante nominal se obtiene a partir de τmáx  Tr/J donde J para esta geometría se obtiene de la ecuación 2.25b (p. 108): 4´ ¥ d4 ¥ 2.5 4 2.0 4 ´ dint 4 P J  P¦ ext  µ ¦ µ  3.338 in 32 32 § ¶ § ¶ (u ) Los esfuerzos cortantes nominales medio y alternativo son T mnom  T anom Tmedia  r 1 012.5   379 psi 3.338 J T r 1 012.5   379 psi  alt J 3.338 (v) 25. Debido al radio grande y a los contornos lisos de esta pieza redonda, Kt y Kts se tomaron iguales a 1. Las mayores concentraciones de esfuerzos se ubicarán en las raíces de las orejas, pero el esfuerzo de flexión es mucho menor ahí y el esfuerzo cortante en este perfil optimizado para la torsión es muy bajo. La sensibilidad a la muesca del material es irrelevante cuando Kt  1, haciendo también Kƒ  1 y Kƒs  1. Los factores de concentración de esfuerzo por fatiga para el esfuerzo medio también son iguales a 1 con las suposiciones anteriores. Las componentes de esfuerzos locales son entonces las mismas que las componentes de esfuerzos nominales obtenidos con las ecuaciones t y v. 26. Como se trata de un caso de esfuerzos fluctuantes biaxiales combinados que son sincrónicos y están en fase, y las muescas se diseñaron afuera, el método de Sines es ahora adecuado (ecuación 4.21b, p. 308). Éste calcula los esfuerzos equivalentes alternativo y medio para el caso biaxial sin muescas. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 327 σ' a = σ 2x a + σ 2y a − σ x a σ ya + 3τ 2xya = 2 536 + 0 − 0 + 3(379) = 2 619 psi (w) σ' m = σ x m + σ ym = 766 + 0 = 766 psi 27. Ahora se deben determinar las propiedades del material. El aluminio no tiene un límite de resistencia a la fatiga, aunque se han publicado resistencias para un ciclo de vida específico. Una búsqueda en la literatura demostró que todas las aleaciones de aluminio, 7075 y 5052 tienen las mayores resistencias a la fatiga Sƒ. Sin embargo, no se encontraron fabricantes locales de aluminio por extrusión para ninguna de tales aleaciones. La aleación extruida más fuerte disponible fue la 6061-T6 con una Sƒ’ publicada igual a 13 500 psi en N  5E7, Sut  45 000 y Sy  40 000 psi. 28. Los factores de modificación de resistencia se obtuvieron de las ecuaciones y las datos de la sección 4.6. La carga es una combinación de flexión y torsión, lo cual parece crear un conflicto en la selección de un factor de carga a partir de la ecuación 4.7a (p. 260). Sin embargo, se han incorporado los esfuerzos por torsión en el esfuerzo equivalente de Sines, el cual es un esfuerzo normal, por lo que Ccarga  1. El diámetro equivalente para una pieza redonda no giratoria se obtiene de la figura 4-25 y la ecuación 4.7d (p. 261). El factor de tamaño se determina luego con la ecuación 4.7b (p. 261): A95  0.010 462 d 2  0.010 4622.5 dequiv  A95  0.0766  Ctamaño  0.869 dequiv 2  0.065 in 2 0.065  0.924 in 0.0766 0.097  0.8690.924 0.097  0.88 ( x) El factor de superficie se obtiene de la ecuación 4.7e (p. 263) y los datos de la tabla 4-3 (p. 263), para superficies maquinadas o roladas en frío. La corrosión podría requerir el uso de un factor de superficie con un valor menor; no obstante, como la pieza se va a anodizar para resistir la corrosión, se aplica el factor de superficie maquinada. b Csup  A Sut  2.7 45 0.265  0.98 ( y) Observe que Sut está en kpsi en la ecuación 4.7e. El factor de temperatura se hizo igual a 1, ya que se opera a temperatura ambiente. Cconf es 0.702 en la tabla 4-4 (p. 265) para representar el 99.99% de confiabilidad deseada para este diseño nuevo. 29. La resistencia a la fatiga corregida se calcula ahora de Sn  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf S f ' Sn @ 5 E 7  10.88 0.98 1 0.702 13 500 8 173 psi (z) 30. Esta resistencia a la fatiga corregida Sn5E7 es la que se publica para la prueba de vida en N  5E7 ciclos. Como se requiere una vida de N  9.4E8 ciclos aproximadamente, se debe resolver la ecuación de la curva S-N de este material para Sn en N  9.4E8 ciclos. Para hacerlo, se necesita la resistencia Sm del material en 103 ciclos de la ecuación 4.9a: Sm = 0.9Sut = 0.9( 45 000) = 40 500 psi ( aa) Se usan las ecuaciones 4.10 para obtener el coeficiente y el exponente de la línea S-N. El valor 4.699 proviene de la tabla 4-5 (p. 268) y corresponde al número de ciclos (5E7), de donde se tomaron los datos de prueba publicados. 4 328 DISEÑO DE MÁQUINAS b Nf 2.0 ¥ S 1 m log¦ 4.699 ¦§ Sn @5 E 7 log a  log Sm 1.0 - Un Enfoque Integrado ´ ¥ 40 500 ´ 1 log¦ µµ  µ  0.14792 4 699 . § 8 173 ¶ ¶ 3b  log40 500 ( ab) 3 0.14792  5.0512; Sn @9.4 E 8  a N b  112 516 9.4 E8 0.14792 a  112 516 ( ac) 5 296 psi Este valor se usará como la Sn corregida para la vida deseada. 4 0 0 0.4 0.8 1.2 espesor de la pared (in) 31. Los esfuerzos equivalentes, alternativo y medio, se grafican ahora sobre un diagrama de Goodman modificado, o bien, se calcula el factor de seguridad de la ecuación 4.18e (p. 298) para el caso 3, como se describió en el paso 17. FIGURA 4-56 Nf = Factor de seguridad N en función del espesor de la pared para un transportador de aluminio redondo. 5 296( 45 000) Sn Sut = = 2.0 σ' a Sut + σ' m Sn 2 536( 45 000) + 766(5 296) ( ad ) Este factor de seguridad es bastante aceptable; pero como una medida de seguridad adicional, las piezas terminadas se sujetan a granallado antes de anodizarse. En la figura 4-56 se ilustra la variación del factor de seguridad con el espesor de la pared. El pico ocurre con un espesor de pared de aproximadamente 0.5 in, el cual fue el valor que se usó en este diseño. Se graficaron las curvas del factor de seguridad contra el espesor de la pared, para todos los diseños dentro de los modelos. Son de forma similar a la figura 4-56 y todas muestran un espesor de pared óptimo para maximizar el factor de seguridad. 32. Los nombres de los archivos y datos pertinentes de los siete diseños se incluyen en la tabla 4-13. El diseño original se muestra tanto para una velocidad de diseño de 400 rpm, a la cual funcionaba sin problemas, como para la velocidad incrementada de 500 rpm, a la cual falló. La única diferencia es el factor de seguridad, que bajó de 1.3 a 1. Los factores Kt se calculan hacia atrás para los diseños fallidos (factor de seguridad igual a 1), como se describió anteriormente pero son estimados para los nuevos diseños. Los diseños en acero usan el valor de Kt calculado hacia atrás a partir del transportador original fallido, para tomar en cuenta la posible corrosión y los efectos de concentración de la soldadura. El diseño cuadrado de aluminio tiene Kt elevada debido a sus esquinas internas. Tabla 4-13 Datos de varios diseños del transportador del peine Estudio de caso 6: Dimensiones en pulgadas y libras Diseño Véase la figura Rpm Material Nombre Espesor de de archivo la pared Profundidad de la viga Kt Factor de peso Factor de seguridad Comentario 4-53a 400 Acero 1018 CASE6-0 0.085 2.38 4.6 1 1.4 seguro a la velocidad de diseño 4-53a 500 Acero 1018 CASE6-1 0.085 2.38 4.6 1 1 falló a la máxima velocidad 4-53b 500 Acero 1020 CASE6-2 0.093 2.50 3.2 1 1 falló en 6 meses 4-53c Aluminio 500 6061-T6 CASE6-3 sólido 2.00 7.2 1.4 1 falló en 3 meses Acero cuadrado 4-55a 500 Acero 1020 CASE6-4 0.062 2.50 4.6 1.4 0.5 diseño rechazado Acero redondo 4-55b 500 Acero 1020 CASE6-5 0.10 2.50 4.6 1.4 0.5 diseño rechazado 4-55a Aluminio 500 6061-T6 Aluminio 500 6061-T6 CASE6-6 0.35 2.50 2.0 1.4 1.0 diseño rechazado CASE6-7 0.50 2.50 1.0 1.4 2.0 diseño seleccionado Transportador original Transportador original Sustituto de acero Sustituto de aluminio Aluminio cuadrado Aluminio redondo 4-55b Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 329 El factor de peso se calculó como la razón del peso total (incluyendo el peine) del nuevo diseño sobre el peso total (incluyendo el peine) del transportador original. Los valores del factor de seguridad en la tabla son los más grandes alcanzables sin exceder el factor de peso (1.4) del transportador sustituto más pesado, que operó sin crear daños sobre el resto de la máquina (figura 4-53c, p. 320). Los factores de seguridad más grandes que los mostrados en la tabla 4-13 se alcanzan con alguno de los diseños rechazados, aunque sólo penalizando el peso. El diseño redondo elegido, entonces, parece ser el mejor con base en la razón entre factor de seguridad y peso. Otros factores que influyeron en la decisión de usar un diseño de aluminio redondo fueron la resistencia a la corrosión del aluminio anodizado, su disponibilidad a un costo razonable en perfiles extruidos a la medida, lo cual eliminó todas las soldaduras con excepción de los extremos, así como su resistencia superior a la torsión y la carencia de concentración de esfuerzos en una sección transversal redonda. Se hicieron aproximadamente 100 transportadores de este diseño y se instalaron entre 1971 y 1972. Operaron sin una falla individual durante 7 años. La maquinaria fue vendida más tarde, se embarcó al extranjero y el autor le perdió la pista. 4.15 RESUMEN Las cargas que varían con el tiempo son más la norma que una excepción en las máquinas. El diseño para eliminar fallas en estas condiciones es más desafiante que el diseño con cargas estáticas. El mecanismo de falla por fatiga está razonablemente bien entendido ahora; sin embargo, la investigación sobre sus numerosos detalles aún continúa. Se consideraron dos regímenes de carga: fatiga de bajo ciclo (LCF), donde el número total de oscilaciones de esfuerzo sobre la vida de la pieza es menor de 1 000 aproximadamente; y fatiga de alto ciclo (HCF), la cual comprende ciclos de millones o más. El análisis con base en la deformación es el método más preciso para determinar las resistencias de fatiga y se prefiere para casos de LCF, donde los esfuerzos locales pueden ocasionalmente exceder la resistencia a la fluencia del material en un número determinado de ciclos. Un ejemplo es la estructura de un avión, que suele recibir sobrecargas severas dentro de una serie de oscilaciones de esfuerzos de bajo nivel durante su vida, como se muestra en la figura 4-7 p. (245). La mecánica de la fractura (FM) es una herramienta cada vez más útil para predecir fallas incipientes en montajes que se inspeccionan para detectar grietas. El crecimiento de la grieta se monitorea y se emplea la teoría de mecánica de la fractura para calcular el tiempo de falla. Se sustituye luego la pieza dentro de un plan de mantenimiento que descarta su falla en servicio. Esto se hace regularmente en la industria de la aviación. La mayoría de la maquinaria de fábricas y de vehículos de transporte terrestre experimenta oscilaciones de esfuerzo de magnitud uniforme y se espera también que los soporten por muchos millones de ciclos. Para estos casos, los métodos, aproximados, pero más fáciles de aplicar, del análisis de esfuerzo de HCF son los más adecuados. Se usan reglas generales y aproximaciones para estimar las resistencias de un material en condiciones de carga dinámica, sobre todo para el caso de fatiga de alto ciclo. Mucho de esto es pecar de conservadores. Si hay datos específicos de prueba de la resistencia a la fatiga del material seleccionado, esos datos siempre se deberían usar preferentemente en vez de un estimado calculado. En ausencia de datos específicos de prueba, la resistencia a la fatiga sin corregir se estima como un porcentaje de la resistencia última a la tensión. En cualquier caso, la resistencia a la fatiga sin corregir se reduce entonces con un conjunto de factores, como se definió en la sección 4.6 y en las ecuaciones 4.7, para tomar en cuenta las diferencias entre la pieza real y la muestra de prueba con la cual se midió la resistencia última. Luego, se elabora el diagrama de Goodman modificado, usando estimados de la resistencia “estática” del material en 1 000 ciclos y su resistencia corregida a la fatiga en algún mayor número de ciclos adecuado para la vida esperada de la pieza. (Véase la sección 4.11). 4 330 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado En la sección 6.13 se presenta un procedimiento general para el diseño en los casos de HCF. La ecuación del esfuerzo efectivo de Von Mises sirve para crear las componentes alternativa y media del esfuerzo efectivo, para la mayoría de los puntos con cargas altas dentro de la pieza. En algunos casos, la componente del esfuerzo medio tal vez sea cero. Se deben incluir todos los efectos adecuados de concentración de esfuerzos en estos cálculos de esfuerzo. Luego, se grafican las componentes media y alternativa de Von Mises sobre el diagrama de Goodman modificado y se calcula un factor de seguridad con base en una suposición acerca de cómo los esfuerzos medio y alternativo llegan a variar durante el servicio. Véase la sección 4.11 y las ecuaciones 4.18 (pp. 297-298). 4 Ecuaciones importantes usadas en este capítulo Componentes de esfuerzo fluctuante (sección 4.4): $S  S máx S mín (4.1a) S máx S mín (4.1b) S mín (4.1c) Sa  Sm  R 2 S máx 2 S mín S máx A Sa Sm (4.1d ) Resistencia estimada a la fatiga sin corregir (sección 4.5): « ®Se' aceros: ¬ ®Se' ­ «Se' hierros: ¬ ­Se' 0.5 Sut 100 kpsi 700 MPa 0.4 Sut 24 kpsi 160 MPa «S f ' ® @5 E 8 aluminios: ¬ ®S f ' ­ @5 E 8 «S ' aleaciones ® f @5 E 8 de cobre: ¬S ' ® f ­ @5 E 8 0.4 Sut 19 kpsi 130 MPa 0.4 Sut 14 kpsi 100 MPa para Sut  200 kpsi 1 400 MPa para Sut r 200 kpsi 1 400 MPa º ® » (4.5a) ® ¼ para Sut  60 kpsi 400 MPa º » para Sut r 60 kpsi 400 MPa ¼ (4.5b) para Sut  48 kpsi 330 MPa º ® » para Sut r 48 kpsi 330 MPa ® ¼ (4.5c) para Sut  40 kpsi 280 MPa º ® » para Sut r 40 kpsi 280 MPa ® ¼ (4.5d ) Factores de corrección para resistencia a la fatiga (sección 4.6): flexión: Ccarga  1 carga axial: Ccarga  0.70 (4.7a) para d b 0.3 in 8 mm : Ctamaño  1 para 0.3 in  d b 10 in : Ctamaño  0.869d 0.097 Ctamaño  1.189 d 0.097 para 8 mm  d b 250 mm : (4.7b) Capítulo 4 Csup A  Sut b TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA si Csup  1.0, se hace Csup  1.0 para T b 450 oC 840 oF : Ctemp  1 para 450 oC  T b 550 oC: Ctemp  1 0.0058T 450 para 840 oF  T b 1 020 oF : Ctemp  1 0 .0032 T 840 331 (4.7e) (4.7 f ) Estimación de resistencia a la fatiga corregida (sección 4.6): Se  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Se' (4.6) S f  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf S f ' Resistencia aproximada en 1 000 ciclos (sección 4.6) flexión: Sm  0.9 Sut carga axial: Sm  0.75Sut (4.9) Diagrama S-N (sección 4.6): log S N  log a b= ¥S ´ 1 log¦ m µ z § Se ¶ log a  log Sm b log N (4.10 b) z  log N1 donde b log N1  log Sm log N2 (4.10c) 3b Sensibilidad a la muesca (sección 4.7): 1 q 1 (4.13) a r Factores de concentración de esfuerzos por fatiga (secciones 4.7 y 4.11): K f  1 q K t (4.11b) 1 si K f S máx nom  Sy entonces: K fm  K f si K f S máx nom  Sy entonces: K fm  si K f S máx nom Sy K f S anom S mnom (4.17) S mínnom  2 Sy entonces: K fm  0 Factor de seguridad: esfuerzos totalmente invertidos (sección 4.10): Nf  Sn S' (4.14) Diagrama de Goodman modificado (sección 4.11): S' m Syc S' a 1 Syc (4.16 a) 4 332 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado S' a  S f (4.16b) S' m Sut S' a 1 Sf (4.16c) S' m Sy S' a 1 Sy (4.16 d ) Factor de seguridad: esfuerzos fluctuantes (sección 4.11): 4 Caso 1: S' m @ Q Nf  Caso 2: S' m @ Z S' a @ P Nf  S' m @ R Nf  Caso 3: S' a @ Z Nf  (4.18a)  Sf ¥ ¦1 S' a § (4.18b) S' a 2 S' m ´ µ Sut ¶ S f Sut S' a Sut 2 S' m @ S OZ  Caso 4: Sy ¥ S' a ´ 1 ¦ S' m § Sy µ¶  S' m @ Z S' m ZS   S' a S' m (4.18e) S' m S f S' a @ S 2 (4.18 f ) 2 OZ ZS OZ (4.18g) Método de Sines para esfuerzos multiaxiales por fatiga: 3-D (sección 4.12): S' a  S x a S ya 2 S y a 2 S za S z S xa a 2  6 T 2xya T 2yz a T 2zx a 2 S' m  S x m S ym (4.21a) S zm Método de Sines para esfuerzos multiaxiales por fatiga: 2-D (sección 4.12): S' a  S 2x a S' m  S x m S 2ya 3T 2xya S x a S ya (4.21b) S ym Esfuerzos generales multiaxiales por fatiga: 3-D (sección 4.12): S' a  S' m  S x a S ya 2 S y S za a 2 S z S xa a 2  6 T 2xya T 2yz a T 2zx a 2 S x m S ym 2 S y m S zm 2 (4.22 a) S z m 2 S xm 2  6 T 2xym T 2yz m T 2zx m Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 333 Esfuerzos generales multiaxiales por fatiga: 2-D (sección 4.12): S' a  S 2x a S 2ya S 2x m S 2ym S' m  S x a S ya S x m S ym 3T 2xya (4.22 b) 3T 2xym Método SEQA para esfuerzos multiaxiales complejos por fatiga (sección 4.12): 1 S SEQA  2 ¨ ©1 ª 3 2 Q 4 3 2 9 4 ·2 1 Q cos 2F Q ¸ 2 16 ¹ 4 (4.23) Mecánica de la fractura por fatiga (sección 4.5): $K  BS máx Pa BS mín Pa = B Pa S máx da  A $K dN 4.16 S mín (4.3b) n (4.4) REFERENCIAS 1. R.P. Reed, J.H. Smith y B.W. Christ, The Economic Effects of Fracture in the United States: Part I, pub. especial 647-1 U.S. Dept. of Commerce, National Bureau of Standards, Washington, D.C., 1983. 2. N.E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 340, 1993. 3. J.W. Fisher y B.T. Yen, Design, Structural Details, and Discontinuities in Steel, Safety and Reliability of Metal Structures, ASCE, 2 de nov. de 1972. 4. N.E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 355, 1993. 5. D. Broek, The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, Países Bajos, p. 10, 1988. 6. N.E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 347, 1993. 7. R.C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain and Strength, McGrawHill: Nueva York, p. 280, 1967. 8. J.E. Shigley y C.R. Mischke, Mechanical Engineering Design, 5a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, p. 278, 1989. 9. A.F. Madayag, Metal Fatigue: Theory and Design, John Wiley & Sons: Nueva York, p. 117, 1969. 10. N.E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 418, 1993. 11. R.C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain and Strength, McGrawHill: Nueva York, p. 231, 1967. 334 4 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 12. J.A. Bannantine, J.J. Comer y J.L. Handrock, Fundamentals of Metal Fatigue, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 13, 1990. 13. P.C. Paris y F. Erdogan, A Critical Analysis of Crack Propagation Laws. Trans. ASME, J. Basic Eng., 85(4): p. 528, 1963. 14. J.M. Barsom, Fatigue-Crack Propagation in Steels of Various Yield Strengths Trans. ASME, J. End. Ing., Serie B(4): p. 1190, 1971. 15. H.O. Fuchs y R.I. Stephens, Metal Fatigue in Engineering, John Wiley & Sons: Nueva York, p. 88, 1980. 16. J.A. Bannantine, J.J. Comer y J.L. Handrock, Fundamentals of Metal Fatigue, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 106, 1990. 17. J.M. Barsom y S.T. Rolfe, Fracture and Fatigue Control in Structures, 2a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 256, 1987. 18. H.O. Fuchs y R.I. Stephens, Metal Fatigue in Engineering, John Wiley & Sons: Nueva York, p. 89, 1980. 19. J.M. Barsom y S.T. Rolfe, Fracture and Fatigue Control in Structures, 2a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 285, 1987. 20. P.G. Forrest, Fatigue of Metals, Pergamon Press: Londres, 1962. 21. J.E. Shigley y L.D. Mitchel, Mechanical Engineering Design, 4a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, p. 293, 1983. 22. R. Kuguel, A Relation Between Theoretical Stress-Concentration Factor and Fatigue Notch Factor Deduced from the Concept of Highly Stressed Volume, Proc. ASTM, 61: pp. 732-748, 1961. 23. R.C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain and Strength, McGrawHill: Nueva York, p. 233, 1967. 24. Ibid., p. 234. 25. R.C. Johnson, Machine Design, vol. 45, p. 108, 1973. 26. J.E. Shigley y L.D. Mitchel, Mechanical Engineering Design, 4a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, p. 300, 1983. 27. E.B. Haugen y P.H. Wirsching, “Probabilistic Design”, Machine Design, vol. 47, pp. 10-14, 1975. 28. R.C. Juvinall y K.M. Marshek, Fundamentals of Machine Component Design, 2a. ed., John Wiley & Sons: Nueva York, p. 270, 1967. 29. Ibid., p. 267. 30. R.E. Peterson, Stress-Concentration Factors, John Wiley & Sons: Nueva York, 1974. 31. R.J. Roark y W.C. Young, Formulas for Stress and Strain, 5a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, 1975. 32. H. Neuber, Theory of Notch Stresses, J.W. Edwards Publisher Inc.: Ann Arbor, Mich., 1946. 33. P. Kuhn y H.F. Hardrath, An Engineering Method for Estimating Notch-size Effect in Fatigue Tests on Steel, Nota técnica 2805, NACA, Washington, D.C., cct. de 1952. Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 34. R.B. Heywood, Designing Against Fatigue, Chapman & Hall Ltd.: Londres, 1962. 35. R.C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain and Strength, McGrawHill: Nueva York, p. 280, 1967. 36. V.M. Faires, Design of Machine Elements, 4a. ed., Macmillan: Londres, p. 162, 1965. 37. R.B. Heywood, Designing Against Fatigue of Metals, Reinhold: Nueva York, p. 272, 1962. 38. H.O. Fuchs y R.I. Stephens, Metal Fatigue in Engineering, John Wiley & Sons: Nueva York, p. 130, 1980. 39. J.E. Shigley y C.R. Mischke, Mechanical Engineering Design, 5a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, p. 283, 1989. 40. N.E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., p. 416, 1993. 41. R.C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain and Strength, McGrawHill: Nueva York, p. 280, 1967. 42. G. Sines, Failure of Materials under Combined Repeated Stresses Superimposed with Static Stresses, Nota técnica 3495, NACA, 1955. 43. F.S. Kelly, A Generated Fatigue Evaluation Method, Dcto. 79-PVP-77, ASME: Nueva York, 1979. 44. Y.S. Garud, A New Approach to the Evaluation of Fatigue Under Multiaxial Loadings, en Methods for Predicting Material Life in Fatigue, W.J. Ostergren y J.R. Whitehead, ed., ASME: Nueva York, pp. 249-263, 1979. 45. M.W. Brown y K.J. Miller, A Theory for Fatigue Failure under Multiaxial Stress-Strain Conditions. Proc. Inst. Mech. Eng., 187(65): pp. 745-755, 1973. 46. J.O. Smith, The Efect of Range of Stress on the Fatigue Strength of Metals, Univ. of Ill., Eng. Exp. Sta. Bull., (334), 1942. 47. J.E. Shigley y L.D. Mitchel, Mechanical Engineering Design, 4a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, p. 333, 1983. 48. B.F. Langer, Design of Vessels Involving Fatigue, en Pressure Vessel Engineering, R.W. Nichols, ed., Elsevier: Amsterdam, pp. 59-100, 1971. 49. J.A. Collins, Failure of Materials in Mechanical Design, 2a. ed., John Wiley & Sons: Nueva York, pp. 238-254, 1993. 50. S.M. Tipton y D.V. Nelson, Fatigue Life Predictions for a Notched Shaft in Combined Bending and Torsion, en Multiaxial Fatigue, K.J. Miller y M.W. Brown, editores, ASTM: Filadelfia, PA., pp. 514-550, 1985. 51. R.C. Rice, ed., Fatigue Design Handbook, 2a. ed., Soc. of Automotives Engineers: Warrendale, PA., p. 260, 1988. 52. T. Nishihara y M. Kawamoto, The Strength of Metals under Combined Alternating Bending and Torsion with Phase Difference, Memoirs College of Engineering, Kyoto Univ., Japón, 11(85), 1945. 53. Shot Peening of Gears, American Gear Manufacturers Association AGMA 938-A05, 2005. 335 4 336 Tabla P4-0 † Matriz tema/problema Sec. 4.4 Cargas de fatiga 4-1 Sec. 4.5 Mecánica de fractura 4-51, 4-52, 4-53 Sec. 4.6 Diagramas S/N 4 4-2, 4-4, 4-5, 4-54, 4-55, 4-56, 4-57 Sec. 4.7 Conc. de esfuerzos 4-15, 4-58, 4-59, 4-60, 4-63 a 4-66 Sec. 4.10 Totalmente invertido 4-6, 4-7, 4-8, 4-20, 4-26, 4-29, 4-33, 4-35, 4-37, 4-46, 4-48 Sec. 4.11 Fluctuante 4-3, 4-9, 4-10, 4-11, 4-12, 4-13, 4-14, 4-16, 4-17, 4-18, 4-19, 4-21, 4-22, 4-23, 4-24, 4-25, 4-27, 4-28, 4-30, 4-31, 4-32, 4-34, 4-36, 4-38, 4-40, 4-43, 4-44, 4-45, 4-70 Sec. 4.12 Mutiaxial 4-39, 4-41, 4-42, 4-61, 4-62, 4-67, 4-68, 4-69 DISEÑO DE MÁQUINAS 4.17 - Un Enfoque Integrado BIBLIOGRAFÍA Para mayor información sobre diseño a la fatiga, véase: J.A. Bannantine, J.J. Comer y J.L. Handrock, Fundamentals of Metal Fatigue, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1990. H.E. Boyer, ed., Atlas of Fatigue Curves, Amer. Soc. for Metals: Metals Park, Ohio, 1986. H.O. Fuchs y R.I. Stephens, Metal Fatigue in Engineering. John Wiley & Sons: Nueva York, 1980. R.C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain and Strength. A.J. McEvily, ed., Atlas of Stress-Corrosion and Corrosion Fatigue Curves, Amer. Soc. for Metals: Metals Park, Ohio, 1990. McGraw-Hill: Nueva York, 1967. Para más información sobre el enfoque deformación-vida para fatiga de bajo ciclo, véase: N.E. Dowling, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1993. R.C. Rice, ed., Fatigue Design Handbook, 2a. ed., Soc. of Automotive Engineers: Warrendale, PA., 1988. Para más información sobre el enfoque de mecánica de la fractura por fatiga, véase: J.M. Barsom y S.T. Rolfe, Fracture and Fatigue Control in Structures, 2a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., 1987. D. Broek, The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, Países Bajos, 1988. Para más información sobre esfuerzos residuales, véase: J.O. Almen y P.H. Black, Residual Stresses and Fatigue in Metals, McGraw-Hill: Nueva York, 1963. Para más información sobre esfuerzos multiaxiales por fatiga, véase: A. Fatemi y D.F. Socie, A Critical Plane Approach to Multiaxial Fatigue Damage Including Out-of-Phase Loading, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, 11(3): pp. 149-165, 1988. Y.S. Garud, Multiaxial Fatigue: A Survey of the State of the Art.. J. Test. Eval., 9(3), 1981. K.F. Kussmaul, D.L. McDiarmid y D.F. Socie, eds., Fatigue Under Biaxial and Multiaxial Loading. Mechanical Engineering Publications Ltd.: Londres, 1991. * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice D. † Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. G.E. Leese y D. Socie, eds., Multiaxial Fatigue: Analysis and Experiments, Soc. de Ingenieros Automotrices, Warrendale, Pa., 1989. K.J. Miller y M.W. Brown, eds., Multiaxial Fatigue, vol. STP 853, ASTM: Filadelfia, Pa., 1985. G. Sines, Behavior of Metals Under Complex Static and Alternating Stresses, en Metal Fatigue, G. Sines y J.L. Waisman, eds., McGraw-Hill: Nueva York, 1959. R.M. Wetzel, ed., Fatigue Under Complex Loading: Analysis and Experiments, SAE Pub. núm. AE-6, Soc. of Automotive Engineers: Warrendale, Pa., 1977. Capítulo 4 4.18 *4-1. 4-2. *4-3. TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA PROBLEMAS Tabla P4-1 Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-1, obtenga el intervalo de esfuerzo, la componente de esfuerzo alternativo, la componente de esfuerzo medio, la razón de esfuerzo y la razón de amplitud. Para los datos de resistencia del acero en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-2, calcule el límite de resistencia a la fatiga sin corregir y dibuje un diagrama de resistencia-vida (S-N). Para el ensamble del brazo del pedal de la bicicleta en la figura P4-1, suponga una fuerza aplicada por el ciclista, en el pedal, que se encuentra entre 0 y 1 500 N cada ciclo. Determine los esfuerzos fluctuantes en el brazo del pedal de 15 mm de diámetro. Obtenga el factor de seguridad a la fatiga, si Sut  500 Mpa. 4-4. Para los datos de la resistencia del aluminio de la(s) fila(s) asignada(a) en la tabla P4-2, calcule la resistencia a la fatiga sin corregir en 5E8 ciclos y grafique el diagrama resistencia-vida (S-N) del material. 4-5. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P4-3 obtenga la resistencia a la fatiga corregida (o límite), defina las ecuaciones de la línea S-N y elabore el diagrama S-N. *4-6. Para el montaje del remolque del problema 1-6 en la página 57 (véase también la figura P4-2 y la figura A-5, p. 860), obtenga los factores de seguridad para vida infinita a la fatiga en todos los modos de falla, suponiendo que la fuerza de impacto horizontal del remolque sobre la bola es totalmente invertido. Use acero con Sut  600 MPa y Sy  450 MPa. *4-7. *4-8. 4-9. Datos del problema 4-1 Fila S máx S mín a 1 000 0 b 1 000 –1 000 c 1 500 500 d 1 500 –500 e 500 –1 000 f 2 500 –1 200 g 0 –4 500 h 2 500 1 500 Tabla P4-2 Datos de los problemas 4-2, 4-4 sut (psi) mat'l a 90 000 acero b 250 000 acero Diseñe el buje del problema 1-7 (p. 57) para vida infinita con un factor de seguridad de 1.5, si la aceleración de 2 500 g es de ciclo invertido y Sut  130 kpsi. c 120 000 acero d 150 000 acero Una máquina papelera procesa rollos de papel que tienen una densidad de 984 kg/m3. El rollo de papel tiene 1.50 m de diámetro exterior (OD)  0.22 m de diámetro interior (ID)  3.23 m de largo; se encuentra sobre un eje de acero hueco simplemente apoyada con Sut  400 MPa. Encuentre el diámetro interior del eje necesario para obtener un factor de seguridad dinámico de 2 para una vida de 10 años, trabajando 3 turnos de 8 horas diarias, si el diámetro exterior del eje es de 22 cm y el rollo gira a 50 rpm. e 25 000 alum. f 70 000 alum. g 40 000 alum. h 35 000 alum. Fila Para las pinzas de presión ViseGrip® dibujadas a escala en la figura P4-3, cuyas fuerzas se analizaron en el problema 1-9 (p. 57) y sus esfuerzos en el problema 2-9 (p. 159), Tabla P4-3 Fila 337 Datos del problema 4-5 Material Sut kpsi Perfil Tamaño en Acabado pulgadas superficial Carga Temp oF ambiente Confiabilidad a acero 110 redondo 2 esmerilado torsión b acero 90 cuadrado 4 maqu. axial c acero 80 viga-I rolado en caliente flexión d acero 200 redondo 5 forjado torsión e acero 150 cuadrado 7 rolado en frío axial f aluminio 70 redondo 9 maqu. flexión ambiente 90 9 esmerilado torsión g aluminio 50 cuadrado h aluminio 85 viga-I i aluminio 60 redondo 16 x 18* 600 ambiente 99.9 99.0 99.99 –50 99.999 900 50 ambiente 99.9 rolado en frío axial ambiente 99.0 4 esmerilado flexión ambiente 99.99 24 x 36* j aluminio 40 cuadrado 6 forjado torsión ambiente 99.999 k hierro dúctil 70 redondo 5 fundido axial ambiente 50 l hierro dúctil 90 cuadrado 7 fundido flexión ambiente 90 m bronce 60 redondo 9 forjado torsión 50 90 n bronce 80 cuadrado 6 fundido axial * ancho  peso 212 99.999 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas también pueden continuar y extenderse en capítulos posteriores. 4 338 DISEÑO DE MÁQUINAS 60 mm 170 mm - Un Enfoque Integrado F P P F F 4 cuadrícula = 0.5 cm T FIGURA P4-3 FIGURA P4-1 Problema 4-9 (un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) Problema 4-3 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) obtenga los factores de seguridad de cada perno para una fuerza de sujeción supuesta de P  4 000 N, en la posición mostrada. Los pernos de acero tienen 8 mm de diámetro con Sy  400 MPa, Sut  520 MPa y están sometidos a cortante doble. Suponga una vida finita deseada de 5E4 ciclos. 40 mm *4-10. En la figura P4-4a se muestra un trampolín sobresaliente. Una persona de 100 kg está parada en el extremo libre. Suponga que las dimensiones de la sección transversal son 305 mm  32 mm. ¿Cuál es el factor de seguridad a la fatiga para vida finita, si el material es fibra de vidrio frágil con Sƒ  39 MPa@ N  5E8 ciclos y Sut  130 MPa en la dirección longitudinal? *4-11. Repita el problema 4-10 suponiendo que la persona de 100 kg salta 25 cm hacia arriba y cae de regreso sobre el trampolín. Suponga que el trampolín pesa 29 kg y se flexiona 13.1 cm estáticamente cuando la persona está parada sobre él. ¿Cuál es el factor de seguridad a la fatiga para vida finita, si el material es fibra de vidrio frágil con Sƒ  39 MPa @ N  5E8 ciclos y Sut  100 MPa en la dirección longitudinal? FIGURA P4-2 Problema 4-6 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas también pueden continuar y extenderse en capítulos posteriores. 4-12. Repita el problema 4-10, usando el diseño del trampolín en voladizo de la figura P4-4b. 4-13. Repita el problema 4-11, según el diseño del trampolín mostrado en la figura P4-4b. Suponga que el trampolín pesa 19 kg y se flexiona 8.5 cm estáticamente, cuando la persona se para sobre él. 4-14. La figura P4-5 muestra un juguete infantil llamado cangurín. Un niño se para sobre las almohadillas y aplica la mitad de su peso en cada lado. Luego salta hacia arriba del suelo, manteniendo las almohadillas contra sus pies, y rebota junto con el resorte que amortigua el impacto y almacena energía para ayudar a cada rebote. Suponga un niño de 60 lb y una constante de resorte de 100 lb/in. El cangurín pesa 5 lb. Diseñe las secciones de la viga de aluminio en voladizo sobre la cual el niño permanece 2m 0.7 m (a) Trampolín sobresaliente FIGURA P4-4 Problemas 4-10 a 4-13 2m P 0.7 m (b) Trampolín en voladizo P Capítulo 4 Tabla P4-4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA Datos del problema 4-15 Fila Sut (kpsi) Kt r (in) Material Carga a 100 3.3 0.25 acero flexión b 90 2.5 0.55 acero torsión c 150 1.8 0.75 acero flexión d 200 2.8 1.22 acero torsión e 20 3.1 0.25 aluminio blando flexión f 35 2.5 0.28 aluminio blando flexión g 45 1.8 0.50 aluminio blando flexión h 50 2.8 0.75 aluminio duro flexión i 30 3.5 1.25 aluminio duro flexión j 90 2.5 0.25 aluminio duro flexión 2 saltos arriba del suelo con un factor de seguridad dinámico de 2 para vida finita de 5E4 ciclos. Use aluminio de la serie 2000. Defina el perfil y el tamaño de la viga. *4-15. Para una pieza con muesca, cuya muesca tiene una dimensión r, un factor de concentración de esfuerzo geométrico Kt, una resistencia Sut, y una carga como se muestra en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-4, obtenga el factor a, de Neuber, la sensibilidad a la muesca q del material y el factor de concentración de esfuerzos por fatiga Kƒ. 4-16. Se diseñó una guía para bolas de bolos con dos varillas redondas, como se indica en la figura P4-6. Las varillas forman un pequeño ángulo entre sí. Las bolas ruedan sobre las varillas hasta que caen entre ellas y pasan a otra guía. La longitud del claro de cada varilla es de 30 in y el ángulo entre ellas es de 3.2°. Las bolas tienen un diámetro de 4.5 in y pesan 2.5 lb. La distancia central entre las varillas de 1 in de diámetro es de 4.2 in en el extremo más angosto. Obtenga el factor de seguridad para vida infinita para las varillas de 1 in de diámetro de acero SAE 1010 rolado en frío. a) Suponga que las varillas están simplemente apoyadas en ambos extremos. b) Suponga que las varillas están empotradas en cada extremo. *4-17. 339 4 W/2 W/2 P FIGURA P4-5 Problema 4-14 En la figura P4-7 se muestran unas tenazas para hielo. El peso del hielo es de 50 lb y tiene 10 in de ancho entre las tenazas. La distancia entre los mangos es de 4 in y el radio medio r de las tenazas de acero es de 6 in. Las dimensiones de la sección transversal rectangular son 0.750 in  0.312 in. Obtenga el factor de seguridad de las tenazas para 5E5 ciclos, si su Sut  50 kpsi. FIGURA P4-6 Problema 4-16 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas también pueden continuar y extenderse en capítulos posteriores. 340 DISEÑO DE MÁQUINAS F F A 4-18. Un Enfoque Integrado Repita el problema 4-17 con las tenazas fabricadas con hierro fundido gris clase 40. *4-19. Determine el tamaño necesario del perno de la horquilla que se muestra en la figura P4-8, para resistir una fuerza aplicada repetida de 0 a 130 000 lb para vida infinita. También determine el radio exterior requerido del extremo de la horquilla para que no falle ni al desgarramiento ni a la presión por contacto, si las pestañas de la horquilla tienen 2.5 in de espesor. Use un factor de seguridad de 3. Suponga una Sut  140 kpsi para el perno y Sut  80 kpsi para la horquilla. 4-20. Se aplica un torque de 100 N-m a un eje de acero redondo, sólido, de 1 m de largo. Diséñela para limitar su flexión angular a 2° y seleccione una aleación de acero para tener un factor de seguridad a la fatiga de 2 para vida infinita. 4-21. La figura P4-9 muestra una rueda de automóvil con dos estilos de llave común para apretar los birlos, una llave con un solo extremo en (a) y otra con dos extremos en (b). La distancia entre los puntos A y B es de 1 ft en ambos casos y el diámetro del mango es de 0.625 in. ¿Cuántos ciclos se pueden esperar al apretar el birlo antes de que falle por fatiga, si el torque de apriete promedio es de 100 ft-lb y la Sut del material es de 60 kpsi? *4-22. En la figura P4-10 se muestra un patín con ruedas en línea. Las ruedas de poliuretano tienen un diámetro de 72 mm y un espacio de 104 mm entre sus centros. La combinación patín-bota-pie pesa 2 kg. La “razón efectiva del resorte” del sistema persona-patín es de 6 000 N/m. Los pernos del eje de 10 mm de diámetro están sometidos a cortante doble y son de acero con una Sut  550 MPa. Obtenga el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita de los pernos, cuando una persona de 100 kg aterriza sobre un pie, luego de un salto de 0.5 m. r 4 - W FIGURA P4-7 Problema 4-17 P a) Suponga que las cuatro ruedas llegan al suelo simultáneamente. b) Suponga que sólo una rueda absorbe toda la fuerza de aterrizaje. *4-23. La viga de la figura P4-11a está sometida a una fuerza senoidal que es función del tiempo con Fmáx  F y Fmín  F/2, donde F y otros datos de la viga se encuentran en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-5. Obtenga el estado de esfuerzos en la viga debido a esta carga y seleccione un material con especificaciones que brinden un factor de seguridad de 3 para N  5E8 ciclos. *4-24. La viga de la figura P4-11b está sometida a una fuerza senoidal que es función del tiempo con Fmáx  F N y Fmín  F/2, donde F y otros datos de la viga se encuentran en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-5. Obtenga el estado de esfuerzos en la viga P FIGURA P4-8 Problema 4-19 eje eje 3 in 3 in A llave para birlos B A llave para birlos B FIGURA P4-10 Problema 4-22 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas también pueden continuar y extenderse en capítulos posteriores. F F F F neumático (a) FIGURA P4-9 Problema 4-21 neumático (b) Capítulo 4 Tabla P4-5 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 341 l Datos de los problemas 4-23 a 4-26 Use sólo los datos relevantes para un problema específico. Longitudes en m, fuerzas en N, I en m4 b Fila l a b F I c E a 1.00 0.40 0.60 500 2.85E–08 2.00E–02 acero b 0.70 0.20 0.40 850 1.70E–08 1.00E–02 acero c 0.30 0.10 0.20 450 4.70E–09 1.25E–02 acero d 0.80 0.50 0.60 250 4.90E–09 1.10E–02 acero e 0.85 0.35 0.50 750 1.80E–08 9.00E–03 acero f 0.50 0.18 0.40 950 1.17E–08 1.00E–02 acero g 0.60 0.28 0.50 250 3.20E–09 7.50E–03 acero h 0.20 0.10 0.13 500 4.00E–09 5.00E–03 alum. i 0.40 0.15 0.30 200 2.75E–09 5.00E–03 alum. j 0.20 0.10 0.15 80 6.50E–10 5.50E–03 alum. k 0.40 0.16 0.30 880 4.30E–08 1.45E–02 alum. l 0.90 0.25 0.80 600 4.20E–08 7.50E–03 alum. m 0.70 0.10 0.60 500 2.10E–08 6.50E–03 alum. n 0.85 0.15 0.70 120 7.90E–09 1.00E–02 alum. F x R2 R1 (a) 4 l F M1 x R1 (b) l b F debido a esta carga y elija un material con especificaciones que brinden un factor de seguridad de 1.5 para N  5E8 ciclos. *4-25. *4-26. *4-27. La viga de la figura P4-11c está sometida a una fuerza senoidal que es función del tiempo con Fmáx  F y Fmín  0, donde F y otros datos de la viga se encuentran en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-5. Obtenga el estado de esfuerzo en la viga debido a esta carga y seleccione un material con especificaciones que brinden un factor de seguridad de 2.5 para N  5E8 ciclos. x R1 (c) La viga de la figura P4-11d está sometida a una fuerza senoidal que es función del tiempo con Fmáx  F lb y Fmín  F, donde F y otros datos de la viga se encuentran en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-5. Obtenga el estado de esfuerzos en la viga debido a esta carga y seleccione un material con especificaciones que brinden un factor de seguridad de 6 para N  5E8 ciclos. Se diseñó un estante de almacenamiento para guardar el rollo de papel del problema 4-8, como se muestra en la figura P4-12. Determine un valor adecuado para la dimensión a de la figura para un factor de seguridad de vida infinita a la fatiga igual a 2. Suponga la dimensión b  100 mm y que el mandril es sólido y se inserta hasta la mitad dentro del rollo de papel: (más al reverso) R2 l b a F x R1 R2 R3 (d) b FIGURA P4-11 soporte Vigas y cargas de los problemas 4-23 a 4-26: Véase la tabla P4-5 para los datos rollo de papel a mandril FIGURA P4-12 Problema 4-27 base * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. 342 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado rampa cuadrícula de 1 ft FIGURA P4-13 4 Problema 4-28 a) Si la viga es un material dúctil con Sut  600 MPa. b) Si la viga es un material fundido frágil con Sut  300 MPa. 4-28. La figura P4-13 muestra una carretilla elevadora que sube una rampa de 15° para llegar a una plataforma de carga, cuya altura es de 4 ft. La carretilla pesa 5 000 lb y tiene una distancia entre ejes de 42 in. Diseñe dos rampas (una por cada lado) de acero de 1 ft de ancho, para tener un factor de seguridad de 2 para vida infinita en el peor de los casos de carga, conforme la carretilla sube por ellas. Minimice el peso de las rampas usando una geometría sensible de sección transversal. Seleccione un acero o una aleación de aluminio adecuados. *4-29. Una barra de 22  30 mm de sección transversal se carga axialmente a la tensión con F(t)  8 kN. Un orificio de 10 mm pasa por el centro del lado de 30 mm. Obtenga el factor de seguridad para vida infinita, si el material tiene Sut  500 MPa. 4-30. *4-31. 4-32. Repita el problema 4-29, con Fmín  0, Fmáx  16 kN. Repita el problema 4-29, con Fmín  8 kN, Fmáx  24 kN. Repita el problema 4-29, con Fmín  4 kN, Fmáx  12 kN. *4-33. La ménsula de la figura P4-14 está sometido a una fuerza senoidal que es función del tiempo, con Fmáx  F y Fmín  F, donde F y otros datos de la viga se encuentran en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-6. Obtenga los estados de esfuerzos en los puntos A y B debidos a esta carga totalmente invertida y seleccione un acero dúctil o un aluminio, cuyas especificaciones brinden un factor de seguridad de 2 para vida infinita, si es acero, o bien, N  5E8 ciclos si es aluminio. Suponga un factor de concentración de esfuerzo geométrico de 2.5 en flexión y 2.8 en torsión. *4-34. El soporte de la figura P4-14 está sometido a una fuerza senoidal que es función del tiempo, con Fmáx  F y Fmín  0, donde F y otros datos de la viga se encuentran en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-6. Obtenga los estados de esfuerzos en A y B F l a A * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas también pueden continuar y extenderse en capítulos posteriores. tubo y B pared t brazo z x od id FIGURA P4-14 Problemas 4-33 a 4-36 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) h Capítulo 4 Tabla P4-6 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 343 Datos de los problemas 4-33 a 4-36 Use sólo los datos relevantes para un problema específico. Longitudes en mm, fuerzas en N. Fila l a t h F od id E a 100 400 10 20 50 20 14 acero b 70 200 6 80 85 20 6 acero c 300 100 4 50 95 25 17 acero d 800 500 6 65 160 46 22 alum. e 85 350 5 96 900 55 24 alum. f 50 180 4 45 950 50 30 alum. g 160 280 5 25 850 45 19 acero h 200 100 2 10 800 40 24 acero i 400 150 3 50 950 65 37 acero j 200 100 3 10 600 45 32 alum. k 120 180 3 70 880 60 47 alum. l 150 250 8 90 750 52 28 alum. m 70 100 6 80 500 36 30 acero n 85 150 7 60 820 40 15 acero 4 debidos a esta carga repetida y seleccione un acero dúctil o un aluminio, cuyas especificaciones brinden un factor de seguridad de 2 para vida infinita si es acero, o bien, N  5E8 ciclos si es aluminio. Suponga un factor de concentración de esfuerzo geométrico de 2.8 en flexión y 3.2 en torsión. 4-35. Repita el problema 4-33, usando un material de hierro fundido. 4-36. Repita el problema 4-34, usando un material de hierro fundido. *4-37. t Una viga semicircular como la presentada en la figura P4-15 tiene un diámetro exterior igual a 150 mm, un diámetro interior igual a 100 mm y t  25 mm. Para un par de carga F  3 kN aplicado a lo largo del diámetro, obtenga el factor de seguridad a la fatiga en las fibras interior y exterior: a) si la viga es de acero con Sut  700 Mpa. b) si la viga es de hierro fundido una Sut  420 Mpa. 4-38. Un eje de acero de 42 mm de diámetro tiene un orificio transversal de 19 mm y está sometida a una carga senoidal combinada de σ  100 MPa de esfuerzo de flexión, y una de torsión constante de 110 MPa. Obtenga su factor de seguridad para vida infinita, si su Sut  1 Gpa. *4-39. Un eje de acero de 42 mm de diámetro tiene un orificio transversal de 19 mm y está sometida a una carga combinada de σ  100 MPa de esfuerzo de flexión, y una de torsión alternativa de 110 MPa, las cuales están desfasadas 90°. Obtenga su factor de seguridad para vida infinita, si Sut  1 Gpa. 4-40. Rediseñe el soporte del rollo del problema 4-8, de manera que sea como el de la figura P4-16. Los mandriles se insertan un 10% en la longitud del rollo. Diseñe las dimensiones a y b con un factor de seguridad de 2 para vida infinita. a) Si la viga es de acero con Sut  600 Mpa. b) Si la viga es de hierro fundido con Sut  300 Mpa. *4-41. Un tubo de acero de 10 mm de diámetro interior transporta líquido a 7 MPa. La presión varía periódicamente desde cero hasta un máximo. El acero tiene Sut  400 Mpa. Determine el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita de la pared, si su espesor es de: a) 1 mm. b) 5 mm. OD ID F F FIGURA P4-15 Problema 4-37 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas también pueden continuar y extenderse en capítulos posteriores. 344 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado b típico soporte rollo de papel a típico mandril base FIGURA P4-16 4 Problema 4-40 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) * Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas también pueden continuar y extenderse en capítulos posteriores. 4-42. Se requiere un tanque cilíndrico con extremos hemisféricos para mantener 150 psi de aire presurizado a temperatura ambiente. El ciclo de la presión va de cero a un máximo. El acero tiene Sut  500 Mpa. Determine el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita, si el diámetro del tanque es de 0.5 m, el espesor de la pared es de 1 mm y su longitud es de 1 m. 4-43. Los rollos de papel de la figura P4-17 tienen 0.9 m de diámetro exterior  0.22 m de diámetro interior  3.23 m de largo, y tienen una densidad de 984 kg/m3. Los rollos se transfieren de una banda transportadora (que no se muestra) al montacargas por un mecanismo-V de la estación de descarga, el cual gira 90° por la acción de un cilindro de aire. Luego, el papel rueda hacia la tijera del montacargas. Las cuchillas de las tijeras tienen 38 mm de espesor por 100 mm de ancho por 1.2 m de largo y tienen una punta de 3° con la horizontal y Sut  600 Mpa. Obtenga el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita para las dos cuchillas del montacargas, cuando el papel rueda hacia él en dos condiciones diferentes (defina todas las suposiciones): a) Las dos cuchillas no tienen soporte en sus extremos libres. b) Las dos cuchillas están en contacto con la mesa en el punto A. 4-44. Determine un espesor aceptable para los eslabones-V de la estación de descarga de la figura P4-17, con la finalidad de limitar a 10 mm sus deflexiones en las puntas en cualquier posición de su giro. Dos eslabones-V soportan al rollo en los puntos que se encuentran a 1/4 y 3/4 a lo largo de la longitud del rollo, y cada uno de los brazos en V tiene un ancho de 10 cm y 1 m de largo. ¿Cuál es su factor de seguridad a la fatiga eslabones-V 1m brazo de la manivela máquina de enrollado de papel cuchillas A varilla FIGURA P4-17 Problemas 4-43 a 4-47 estación de descarga cilindro de aire cilindro de aire Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 345 rodillos FIGURA P4-18 Problema 4-48 4 para vida infinita, cuando se diseña para limitar su deflexión, como se muestra arriba? Sut  600 Mpa. Para mayor información, véase el problema 2-43. 4-45. Determine el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita, con base en la carga de tensión sobre la varilla del cilindro de aire de la figura P4-17. El ciclo de la carga de tensión va de cero al máximo (las cargas de compresión por debajo de la carga crítica de pandeo no afectan la vida a la fatiga). El brazo de la manivela que hace girar es de 0.3 m de largo, y la varilla tiene una extensión máxima de 0.5 m. La varilla de 25 mm de diámetro es de acero sólido con Sut  600 Mpa. Defina todas las suposiciones. 4-46. Los eslabones-V de la figura P4-17 giran por la acción del brazo de la manivela a través de un eje que tiene 60 mm de diámetro por 3.23 m de largo. Determine el torque máximo aplicado a este eje durante el movimiento del eslabón-V y obtenga el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita del eje, si su Sut  600 Mpa. Para mayor información, véase el problema 4-43. *4-47. Determine las fuerzas máximas sobre los pernos de cada extremo del cilindro de aire de la figura P4-17. Determine el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita de estos pernos, si tienen 30 mm de diámetro y están a cortante simple. Sut  600 Mpa. Para mayor información, véase el problema 4-43. 4-48. La figura P4-18 muestra un dispositivo de entrenamiento para un corredor en silla de ruedas de 100 kg. La silla tiene ruedas de 65 cm de diámetro, separadas por una pista de 70 cm de ancho. Las ruedas traseras se encuentran sobre dos rodillos que giran libremente sobre cojinetes. El movimiento lateral de la silla está limitado por las pestañas. Diseñe los rodillos de 1 m de largo como tubos huecos de aluminio (seleccione la aleación), para minimizar la altura de la plataforma y limitar también las deflexiones del rodillo a 1 mm en el peor de los casos. Especifique el tamaño adecuado de los ejes de acero para soportar los tubos sobre los cojinetes. Calcule los factores de seguridad a la fatiga para una vida de N  5E8 ciclos. 4-49. 4-50. 4-51. La figura P4-19 muestra el perno maquinado de un pivote que tiene una presión de contacto en la pieza A y una corredera en la pieza B. Si F  100 lb, l  2 in y d  0.5 in, ¿cuál será el factor de seguridad del perno contra la fatiga, si está hecho de acero SAE 1020 rolado en frío? La carga es totalmente invertida y se desea una confiabilidad de 90%. El factor de concentración de esfuerzo por flexión es Kt  1.8, en la sección donde el perno sale de la pieza A sobre el lado derecho. La figura P4-19 muestra el perno maquinado de un pivote que tiene presión por contacto en la pieza A y una corredera en la pieza B. Si F  100 N, l  50 mm y d  16 mm, ¿cuál será el factor de seguridad del perno contra la fatiga, si está hecho de hierro fundido clase 50? La carga es totalmente invertida y se desea una confiabilidad de 90%. El factor de concentración de esfuerzo por flexión es Kt  1.8 en la sección donde el perno sale de la pieza A sobre el lado derecho. Se fabricó un componente de aluminio 7075-T651 en forma de una hoja grande, la cual tiene una dureza a la fractura Kc  24.2 MPa-m0.5 y una resistencia a la fluencia por tensión de 495 MPa. Determine el número de ciclos de carga que puede resistir, si el esfuerzo nominal varía de 0 a la mitad de la resistencia a la fluencia, y la grieta inicial tenía una longitud total de 1.2 mm. Los valores del coeficiente y del exponente en la ecuación 4.4 para este material son A  5  10-11 (mm/ciclo) y n  4. l l 2 l 4 F B d A FIGURA P4-19 Problemas 4-49 y 4-50 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Los problemas también pueden continuar y extenderse en capítulos posteriores. 346 DISEÑO DE MÁQUINAS Un Enfoque Integrado *4-52. Se fabricó un componente de acero SAE 4340 en forma de una hoja grande, la cual tiene una tenacidad a la fractura Kc  98.9 MPa-m0.5. Las hojas son inspeccionadas después de la fabricación para detectar defectos de grietas; sin embargo, el dispositivo de inspección no puede detectar defectos menores de 5 mm. Determine el espesor mínimo requerido para que la hoja tenga un ciclo de vida mínimo de 106 ciclos (mediante el criterio de mecánica de la fractura), si su ancho es de 400 mm y la carga normal en la grieta varía de 20 a 170 kN. Los valores del coeficiente y el exponente de la ecuación 4.4 para este material son A  4  109 (mm/ciclo) y n  3. 4-53. Un cilindro cerrado de pared delgada está hecho de una aleación de aluminio que tiene una tenacidad a la fractura de 38 MPa-m0.5 y tiene las siguientes dimensiones: longitud  200 mm, diámetro exterior  84 mm y diámetro interior igual a 70 mm. Se descubre una grieta semicircular de 2.8 mm de profundidad sobre el diámetro interior y lejos de los extremos, orientada a lo largo de una línea paralela al eje del cilindro. Si el cilindro se presuriza de manera repetida de 0 a 75 MPa, ¿cuántos ciclos de presión puede soportar? Los valores del coeficiente y exponente de la ecuación 4.4 para este material son A  5  1012 (mm/ciclo) y n  4. (Sugerencia: El valor del factor geométrico para un defecto superficial semicircular es b  2/p y la grieta se propaga en dirección radial). 4-54. Una viga de acero sin rotación rolada en caliente tiene una sección acanalada con h  64 mm y b  127 mm. Tiene una carga repetida a la flexión con el eje neutro que pasa por la red. Determine su resistencia a la fatiga corregida con 90% de confiabilidad, si se usa en un ambiente con una temperatura por debajo de 450 °C y tiene una resistencia última a la tensión de 320 MPa. 4-55. Una varilla de acero maquinada sin rotación tiene una sección redonda con d  50 mm. Está cargada con una fuerza axial fluctuante. Determine su resistencia a la fatiga corregida con 99% de confiabilidad, si se usa en un ambiente con una temperatura por debajo de 450 °C y tiene una resistencia última a la tensión de 480 MPa. 4-56. Una varilla de acero sin rotación rolada en frío tiene una sección redonda con d  76 mm. Está cargada con torsión repetida. Determine su resistencia a la fatiga corregida con 99% de confiabilidad, si se usa en un ambiente con una temperatura de 500 °C y tiene una resistencia última a la tensión de 855 MPa. 4-57. Una varilla de acero sin rotación y esmerilada tiene una sección rectangular con h  60 mm y b  40 mm. Está cargada a la flexión repetida. Determine su resistencia a la fatiga corregida con 99.9% de confiabilidad, si se usa en un ambiente con una temperatura por debajo de 450 °C y tiene una resistencia última a la tensión de 1 550 MPa. 4-58. Un eje de acero ranurado similar al mostrado en la figura G-5 (apéndice G) se cargará a flexión. Sus dimensiones son: D  57 mm, d  38 mm, r  3 mm. Determine el factor de concentración de esfuerzos por fatiga, si el material tiene Sut  1 130 MPa. 4-59. Un eje de acero con un orificio transversal, similar al mostrado en la figura G-8 (apéndice G) está cargado a torsión. Sus dimensiones son: D  32 mm, d  3 mm. Determine el factor de concentración de esfuerzos por fatiga, si el material tiene Sut  808 MPa. 4-60. Una barra plana de aluminio endurecido y fileteado similar a la mostrada en la figura G-9 (apéndice G) se cargará axialmente. Sus dimensiones son: D  1.20 in, d  1.00 in, r  0.10 in. Determine el factor de concentración de esfuerzos por fatiga, si el material tiene Sut  76 kpsi. 4-61. En la figura P4-20 se muestra un eje giratorio con un hombro fileteado asentado en el canal interior de un cojinete de contacto con el hombro contra el borde del cojinete. El cojinete tiene una ligera excentricidad, que induce un momento de flexión totalmente invertido en el eje conforme ésta gira. Las mediciones indican que la amplitud del esfuerzo alternativo resultante debido a la flexión es σa  57 MPa. El torque sobre el eje varía del más alto de 90 N-m al más bajo de 12 N-m, y está en fase con el esfuerzo de flexión. El eje está esmerilado y sus dimensiones son: D  23 mm, d  19 mm y r  1.6 mm. El material del eje es acero SAE 1040 rolado 4 * Las respuestas de estos problemas se encuentran en el apéndice H. - Capítulo 4 TEORÍAS DE FALLA POR FATIGA 347 en frío. Determine el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita del eje, con una confiabilidad de 99%. 4-62. 4-63. 4-64. Un elemento a tensión en una máquina se filetea como se indica en la figura P4-21. El elemento tiene un defecto de fabricación que causa la variación en la carga de tensión que se aplica excéntricamente y da como resultado también una carga de flexión variable. Las mediciones indican que el esfuerzo de tensión máximo es de 16.4 MPa y el mínimo es 4.1 MPa. La carga de tensión varía de la más alta de 3.6 kN a la más baja de 0.90 kN y está en fase con el esfuerzo de flexión. La pieza se maquina y sus dimensiones son D  33 mm, d  25 mm, h  3 mm y r  3 mm. El material es acero SAE 1020 rolado en frío. Determine el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita de la pieza con 90% de confiabilidad. Para una barra plana fileteada en tensión similar a la que se muestra en la figura G-9 (apéndice G) y los datos de la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P4-7, determine los esfuerzos axiales alternativo y medio conforme se modifican por los factores de concentración de esfuerzos adecuados en la barra. Para una barra plana fileteada en flexión similar a la que se muestra en la figura G-10 (apéndice G) y los datos de la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P4-7, determine los esfuerzos de flexión alternativo y medio, conforme se modifican con los factores adecuados de concentración de esfuerzos en la barra. 4-65. Para un eje, con un hombro fileteado, en tensión similar a la mostrada en la figura G-1 (apéndice G) y los datos de la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P4-7, determine los esfuerzos axiales alternativo y medio, conforme se modifican con los factores de concentración de esfuerzos adecuados en el eje. 4-66. Para un eje, con un hombro fileteado, en flexión similar a la mostrada en la figura G-2 (apéndice G) y los datos de la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P4-7, determine los esfuerzos de flexión alternativo y medio, conforme se modifican por los factores de concentración de esfuerzos adecuados en el eje. 4-67. La pieza de una máquina está sometida a esfuerzos multiaxiales simples fluctuantes. Los intervalos de los esfuerzos corregidos diferentes de cero son: σxmín  50 MPa, σxmáx  200 MPa, σymín  80 MPa, σymáx  320 MPa, τxzmín  120 MPa, τxymáx  480 MPa. Las propiedades del material son: Se  525 MPa y Sut  1200 MPa. Por medio de la línea de carga del caso 3, calcule y compare los factores de seguridad de vida infinita proporcionados por los métodos de Sines y de von Mises. 4-68. Se construyó un tanque cilíndrico con extremos hemisféricos. Se hizo con acero rolado en caliente con Sut  380 MPa. El diámetro exterior del tanque es de 300 mm con una pared de 20 mm de espesor. La presión puede variar de 0 a un máximo desconocido. Tabla P4-7 Datos de los problemas 4-63 a 4-66 Utilice sólo los datos relevantes para el problema específico. Longitudes en mm, fuerzas en N y momentos en N-m. Fila D d r h Mmín Mmáx Pmín Pmáx Material a 40 20 4 10 80 320 8000 32000 SAE 1020 CR b 26 20 1 12 100 500 9500 47500 SAE 1040 CR c 36 30 1.5 8 60 180 6500 19500 SAE 1020 CR d 33 30 1 8 75 300 7200 28800 SAE 1040 CR e 21 20 1 10 50 150 5500 16500 SAE 1050 CR f 51 50 1.5 7 80 320 8000 32000 SAE 1020 CR g 101 100 5 8 400 800 15000 60000 SAE 1040 CR d D r 4 FIGURA P4-20 Problema 4-61 F d r h D F FIGURA P4-21 Problema 4-62 348 DISEÑO DE MÁQUINAS Datos del problema 4-70 4 S m’ Sa’ a 50 30 b 70 30 c 100 10 d 20 60 e 80 40 f 40 40 g 120 50 h 80 80 Un Enfoque Integrado Para un factor de seguridad a la fatiga de vida infinita igual a 4, con un factor de confiabilidad de 99.99%, ¿cuál será la presión máxima a la que puede someterse el tanque? Tabla P4-8 Fila - 4-69. Se diseñó y fabricó un eje giratorio de acero SAE 1040 HR. Se hizo con tubería que tiene un diámetro exterior de 60 mm y un espesor de pared de 5 mm. Las mediciones de la deformación indican que hay un esfuerzo axial totalmente invertido de 68 MPa y un esfuerzo de torsión que varía de 12 MPa a 52 MPa, y está en fase con el esfuerzo axial en un punto crítico sobre el eje. Determine el factor de seguridad a la fatiga para vida infinita del eje con una confiabilidad de 99%. 4-70. Para los valores del esfuerzo medio y alternativo (en MPa) en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P4-8, obtenga el factor de seguridad para cada uno de los cuatro casos de cargas variables, con base en el diagrama de Goodman modificado, si Se  100, Sy  150 y Sut  200 MPa. 4-71. Un eje giratorio con un hombro fileteado, en torsión, similar a la mostrada en la figura G-3 del apéndice G, está hecho de acero SAE 1020 CR y tiene las dimensiones D  40 mm, d  20 mm y r  4 mm. El eje es esmerilado y está sometido a un torque totalmente invertido de / 80 N-m. Determine el factor de seguridad para vida infinita del eje con un 99.9% de confiabilidad. FALLA DE SUPERFICIES Desgástelo, hasta acabarlo; arrégleselas con él o sin él. PROVERBIO DE NUEVA INGLATERRA 5.0 INTRODUCCIÓN Existen sólo tres modos en que las piezas o los sistemas pueden “fallar”: por obsolescencia, ruptura o desgaste. Mi vieja computadora aún funciona bien, pero es obsoleta y ya no me sirve. El florero favorito de mi esposa está hecho pedazos porque se me cayó al suelo y es irrecuperable. Sin embargo, mi automóvil, con 123 000 millas recorridas, todavía me sirve a pesar de que muestra algunos signos de desgaste. La mayoría de los sistemas están expuestos a estos tres tipos de falla. La falla por obsolescencia es algo arbitraria. (Mi nieto está feliz usando mi computadora antigua). A menudo, la falla por ruptura es repentina y suele ser permanente. La falla por “desgaste” es generalmente un proceso gradual y algunas veces se repara. En última instancia, cualquier sistema que no es víctima de esos dos modos de falla inevitablemente se desgastará, si se mantiene en servicio el tiempo suficiente. El desgaste es el modo final de falla, del cual nada escapa. Por lo tanto, se debe estar consciente de que no se podrá hacer un diseño para eliminar completamente todos los tipos de desgaste, tan sólo posponerlos. En capítulos anteriores estudiamos fallas de piezas por distorsión (fluencia) y ruptura (fractura). Desgaste es un término muy amplio que incluye muchos tipos de fallas, todas las cuales implican cambios en la superficie de la pieza. Algunos de estos llamados mecanismos de desgaste aún no se comprenden del todo y en algunos casos existen incluso teorías competidoras. La mayoría de los expertos describen cinco categorías generales de desgaste: desgaste adhesivo, desgaste abrasivo, erosión, desgaste corrosivo y fatiga superficial. En las siguientes secciones, se analizan dichos temas en detalle. Asimismo, existen otros tipos de falla superficial que no se ajustan exactamente a ninguna de las cinco categorías o que se ajustan a más de una. La fatiga por corrosión tiene aspectos de las últimas dos categorías, igual que la corrosión por frotamiento. Por sencillez, se estudiarán estos híbridos simultáneamente con una de las cinco categorías principales listadas arriba. La falla por desgaste usualmente implica la pérdida de algo de material de la superficie de las piezas sólidas del sistema. Los movimientos de desgaste que interesan 349 5 350 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 5-0 Símbolo a Aa Variables usadas en este capítulo Variable Unidades ips Unidades SI Véase mitad del ancho de la huella de contacto in m Secc. 5.8–5.10 m2 Secc. 5.2 área aparente de contacto Ar área real de contacto in2 m2 Ec. 5.1 B b factor de geometría 1/in 1/m Ec. 5.9b mitad de la longitud de la huella de contacto in m Secc. 5.8–5.10 profundidad del desgaste in m Ec. 5.7 módulo de Young psi Pa todo K l L m1 , m 2 H N Nf p p prom. * Un estudio de 1977, patrocinado por la ASME, estimó que el costo de la energía para la economía de Estados Unidos asociado con la sustitución de equipo que falló por desgaste representó 1.3% del consumo estadounidense total de energía. Esto es el equivalente de alrededor de 160 millones de barriles de petróleo por año. Véase O. Pinkus y D.F. Wilcock, Strategy for Energy Conservation through Tribology, ASME, Nueva York, 1977, p. 93. Un Enfoque Integrado in2 d E F, P f f máx 5 - fuerza o carga lb N todo fuerza de fricción lb N Ec. 5.2 fuerza tangencial máxima lb N Ec. 5.22f coeficiente de desgaste ninguna ninguna Ec. 5.7 longitud del contacto lineal in m Ec. 5.7 longitud del contacto cilíndrico in m Ec. 5.14 constantes del material 1/psi m2/N Ec. 5.9a Ec. 5.7 dureza de penetración psi kg/mm2 número de ciclos ninguna ninguna Ec. 5.26 factor de seguridad para fatiga superficial ninguna ninguna Ejemplo 5-5 presión en la huella de contacto psi N/m2 Secc. 5.8–5.10 presión prom. en la huella de contacto psi N/m2 Secc. 5.8–5.10 Secc. 5.8–5.10 p máx presión máx. en la huella de contacto psi N/m2 R1, R2 radios de curvatura in m Ec. 5.9b Sus resistencia última al cortante psi Pa Secc. 5.3 Sut resistencia última a la tensión psi Pa Secc. 5.3 Sy resistencia a la fluencia psi Pa Secc. 5.3 Syc resistencia a la fluencia en compresión psi Pa Secc. 5.3 V x, y, z M N S S volumen in3 m3 Ec. 5.7 variables generales de longitud in m todo coeficiente de fricción ninguna ninguna Ec. 5.2–5.6 razón de Poisson ninguna ninguna todo esfuerzo normal psi Pa todo esfuerzo principal psi Pa Secc. 5.11 S esfuerzo principal psi Pa Secc. 5.11 S esfuerzo principal psi Pa Secc. 5.11 T T  esfuerzo de cortante psi Pa todo esfuerzo cortante máximo psi Pa Secc. 5.11 T  esfuerzo cortante principal psi Pa Secc. 5.11 T  esfuerzo cortante principal psi Pa Secc. 5.11 son deslizamiento, rodamiento o una combinación de ambos. El desgaste tiene un costo significativo para la economía nacional.* Sólo se requiere la pérdida de un volumen muy pequeño de material para inutilizar un sistema completo. Rabinowicz[1] estimó que un automóvil de 4 000 lb, cuando está completamente “desgastado”, únicamente habrá perdido Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 351 unas cuantas onzas de metal en sus superficies de trabajo. Aún más, estas superficies dañadas no serán visibles sin desarmarlo, de modo que con frecuencia es difícil monitorear y anticipar los efectos del desgaste antes de que ocurra la falla. La tabla 5-0 presenta las variables usadas en este capítulo y las referencias a ecuaciones, tablas o secciones donde se utilizan. Al final del capítulo se incluye un resumen que también agrupa todas las ecuaciones importantes del presente texto para facilitar su referencia, e identifica la sección del capítulo en la cual se encuentra su análisis. 5.1 GEOMETRÍA DE LA SUPERFICIE Antes de analizar con detalle los tipos de mecanismos de desgaste, es conveniente definir las características relevantes, para estos procesos, de una superficie de ingeniería. (La resistencia y la dureza del material también son factores en el desgaste). La mayoría de las superficies sólidas que están sometidas al desgaste en maquinaria son las maquinadas o las esmeriladas; sin embargo, algunas pueden ser fundidas o forjadas. En cualquier caso, la superficie tendrá algún grado de aspereza que es inherente al proceso de acabado. Este grado de aspereza o de tersura tendrá un efecto sobre el tipo y el grado de desgaste que experimentará. Incluso una superficie aparentemente lisa tiene irregularidades microscópicas, las cuales son susceptibles de medirse por varios métodos. El perfilómetro pasa un punzón duro (por ejemplo, de diamante), con una carga ligera, sobre la superficie a velocidad controlada (baja) y registra sus ondulaciones. El punzón tiene una punta con radio muy pequeño (cerca de 0.5 μm) que actúa, en efecto, como un filtro de paso bajo, ya que no se detectan contornos más pequeños que su radio. Sin embargo, brinda un perfil razonablemente preciso de la superficie con una resolución de 0.125 μm o mejor. La figura 5-1 muestra los perfiles y las fotografías del SEM* (100x) de dos superficies de levas de acero endurecido: a) una maquinada y b) una esmerilada. Los perfiles se midieron con un perfilómetro Hommel T-20 que digitaliza 8 000 puntos de datos sobre la longitud (a) 5 * Microscopio de escaneo electrónico (b) FIGURA 5-1 Fotografías (100x) del microscopio de escaneo electrónico de las superficies a) esmerilada y b) maquinada de una leva 352 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado de la muestra (en este caso, de 2.5 mm). Los “picos de las montañas” microscópicas sobre las superficies se llaman asperezas. A partir de estos perfiles se pueden calcular varias medidas estadísticas. ISO define por lo menos 19 de estos parámetros. Algunos de ellos se muestran en la figura 5-2 junto con sus definiciones matemáticas. Tal vez los parámetros más comúnmente usados son Ra, que representa el promedio de los valores absolutos de los puntos medidos, o Rq, el cual es su promedio rms. Éstos son muy similares en valor y en significado. Por desgracia, muchos ingenieros sólo especifican uno de estos parámetros. Por ejemplo, las dos superficies mostradas en las figuras 5-3a y b tienen los mismos valores Ra y Rq, pero difieren claramente en su naturaleza. Una tiene características predominantemente positivas y la otra, predominantemente negativas. Estas superficies reaccionarán de manera bastante diferente al deslizamiento o al rodamiento contra otra superficie. 5 Ra (CLA) (AA) Rq Media aritmética El valor aritmético promedio de la aspereza filtrada del del valor de perfil, determinado a partir de las desviaciones alrededor (RMS) la aspereza de la línea central dentro de la longitud evaluada lm. DIN 4768 DIN 4762 ISO 4287/1 Raíz cuadrada El valor RMS obtenido a partir de las desviaciones del valor medio del perfil de la aspereza filtrada sobre la longitud de la aspereza evaluada lm. DIN 4762 ISO 4287/1 lm = longitud evaluada Rpm Rp Rt (Rh) (Rd) Valor medio de la altura de picos por encima de la línea media DIN 4762 Pico individual más alto por encima de la línea media DIN 4762 ISO 4287/1 Altura máxima pico-valle DIN 4762 (1960) desde 1978 es Rmáx. El valor aritmético promedio de los cinco picos más altos por encima de la línea media Rp1 – Rp5, similar a la definición de Rz (DIN) especificada en DIN 4768. Los cinco picos más altos se determinan a partir de la “línea central” del perfil de aspereza filtrada, cada uno como producto de una prueba individual en la longitud le. Sk Oblicuidad del perfil Curva amplituddistribución DIN 4762 ISO 4287/1 Una medida del perfil o simetría de la curva de distribución de la amplitud, obtenida a partir del perfil de aspereza filtrado. Una oblicuidad negativa representa buenas propiedades de contacto. La gráfica de la frecuencia en % de amplitudes del perfil. El valor del pico individual más alto por encima de la línea central del perfil filtrado, conforme se obtiene de Rpm. Línea media La altura máxima pico-valle del perfil filtrado sobre la longitud evaluada lm independientemente de la longitud de la muestra le. Curva de distribución de la amplitud Wt Profundidad de ondulación DIN 4774 La altura máxima pico-valle del perfil de la ondulación nivelada (aspereza eliminada) dentro de la longitud de evaluación lm. FIGURA 5-2 Definiciones de los parámetros DIN e ISO para asperezas superficiales, ondulación y oblicuidad (Cortesía de Hommel America Inc., New Britain, Ct.) Capítulo 5 Ra o Rq FALLA DE SUPERFICIES 353 Ra o Rq (a) (b) FIGURA 5-3 Contornos superficiales diferentes pueden tener los mismos valores Ra o Rq Para diferenciar las superficies con valores idénticos de Ra o Rq, se deberían calcular otros parámetros. La oblicuidad Sk es una medida del promedio de la primera derivada del contorno de la superficie. Un valor negativo de Sk indica que en la superficie predominan los valles (figura 5-3a), en tanto que una Sk positiva define un predominio de los picos (figura 5-3b). Se pueden calcular otros muchos parámetros (véase la figura 5-2). Por ejemplo, Rt define la mayor dimensión pico-valle en la longitud de la muestra, Rp la altura del pico más grande por encima de la línea media, y Rpm el promedio de las alturas de los cinco picos más grandes. Todas las mediciones de aspereza se calculan a partir de una medición filtrada electrónicamente, que anula cualquier onda de cambio lento en la superficie. Se calcula una línea promedio a partir de la cual se efectúan las mediciones pico-valle. Además de estas mediciones de aspereza (denotadas por R), también es posible calcular la ondulación Wt de la superficie. El cálculo de Wt filtra los contornos de alta frecuencia y preserva las ondulaciones de periodo largo en las mediciones de superficie burda. Si desea identificar totalmente la condición del acabado superficial, observe que no es suficiente utilizar tan sólo Rt o Rq. 5.2 SUPERFICIES APAREADAS Cuando se presionan entre sí dos superficies con una carga, su área aparente de contacto Aa se calcula fácilmente a partir de la geometría; sin embargo, su área real de contacto Ar se ve afectada por las asperezas que hay en las superficies y es más difícil determinarla con precisión. La figura 5-4 muestra dos piezas en contacto. Las partes superiores de las asperezas entrarán en contacto primero con la pieza apareada y el área inicial de contacto será extremadamente pequeña. Los esfuerzos resultantes en las asperezas serán muy altos y podrían exceder con facilidad la resistencia a la fluencia por compresión del material. Conforme se incrementa la fuerza de apareamiento, las puntas de las asperezas ceden y se ensanchan hasta que su área combinada sea suficiente para reducir el esfuerzo medio a un nivel sostenible, es decir, el material más débil desarrolla una resistencia a la penetración por compresión. La resistencia a la penetración por compresión del material se mide mediante pruebas convencionales de dureza (Brinell, Rockwell, etcétera), en las cuales se fuerza un FIGURA 5-4 El contacto real entre dos superficies es sólo en las puntas de la aspereza 5 354 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado punzón muy liso sobre el material y éste se deforma (cede) a la forma del punzón. (Véase la sección B.4). La resistencia a la penetración Sp se calcula fácilmente a partir de estos datos de prueba y, en la mayoría de los materiales, tiende a ser del orden de tres veces la resistencia a la fluencia por compresión Syc.[2] Así, el área real de contacto se estima con F Sp Ar F 3Syc (5.1) donde F es la fuerza aplicada normal a la superficie y las resistencias son como las definidas en el párrafo anterior, tomadas del más débil de los dos materiales. Observe que el área de contacto para un material de resistencia específica bajo una carga determinada será la misma sin importar el área aparente de las superficies en contacto. 5 5.3 FRICCIÓN Observe que el área real de contacto Ar (ecuación 5.1) es independiente del área aparente Aa que está definida por la geometría de las piezas en contacto. Éste es el motivo por el cual la fricción de Coulomb entre dos sólidos también es independiente del área aparente de contacto Aa. La ecuación para la fricción por deslizamiento de Coulomb es (5.2 a) f  MF donde ƒ es la fuerza de fricción, μ es el coeficiente de fricción dinámica y F es la fuerza normal. La fuerza normal presiona recíprocamente las dos superficies y crea deformaciones elásticas y adhesiones (véase la sección siguiente) en las puntas de las asperezas. La fuerza de fricción dinámica de Coulomb ƒ se define como la fuerza necesaria para cortar las asperezas adheridas y elásticamente entrelazadas con la finalidad de permitir un movimiento de deslizamiento. Esta fuerza cortante es igual al producto de la resistencia al cortante del material más débil por el área de contacto real A, más una “fuerza de arrancamiento” P. f  Sus Ar P (5.2 b) La fuerza de arrancamiento P se debe a la pérdida de partículas incrustadas de las superficies y es insignificante comparada con la fuerza cortante,* de modo que puede ignorarse. De la ecuación 5.1, se tiene F 3Syc Ar (5.2c) Sustituyendo la ecuación 5.2c en 5.2b (ignorando P), f F Sus 3Syc (5.2 d ) Al combinar las ecuaciones 5.2a y 5.2d, * Esto es válido únicamente si las dos superficies tienen aproximadamente la misma dureza. Si una superficie es más dura y áspera que la otra, podría haber una fuerza de arrancamiento grande. M f F Sus 3Syc (5.3) lo cual indica que el coeficiente de fricción μ es función sólo de la razón de las resistencias del material más débil de los dos materiales en contacto. Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 355 La resistencia última al cortante se calcula con base en la resistencia última a la tensión del material. aceros: Sus 0.8Sut otros metales dúctiles: Sus 0.75Sut (5.4) La resistencia a la fluencia por compresión, expresada como una fracción de la resistencia última a la tensión, varía con el material y la aleación en un rango bastante grande, tal vez 0.5Sut  Syc  0.9Sut (5.5) Al sustituir las ecuaciones 5.4 y 5.5 en la ecuación 5.3 se obtiene 0.75Sut 0.8Sut M 30.9 Sut 30.5Sut 0.28  M  0.53 5 (5.6) lo cual es aproximadamente el intervalo de valores de μ común para metales secos al aire. Observe que si los metales se limpian a conciencia, su μ tendrá el doble de estos valores. En el vacío, la μ de superficies limpias se puede aproximar al infinito debido al soldado en frío. Hay mucha variación en el coeficiente de fricción con los niveles de ambientes contaminados y otros factores, de manera que el ingeniero debería desarrollar datos de prueba para los materiales reales en condiciones reales de servicio. Es una prueba fácil de realizar. Efecto de la aspereza sobre la fricción Uno esperaría que la aspereza superficial ejerciera una fuerte influencia sobre el coeficiente de fricción. Sin embargo, las pruebas indican sólo una relación débil. En acabados extremadamente lisos, por debajo de 10 μin de Ra, el coeficiente de fricción μ se incrementa hasta un factor de 2 debido al incremento en el área de contacto real. En acabados muy ásperos, por arriba de 50 μin Ra, μ también aumenta ligeramente debido a la energía necesaria para superar las interferencias de la aspereza (arrancamiento), además del cortante de sus adherencias. Efecto de la velocidad sobre la fricción La fricción cinética de Coulomb se modela generalmente con independencia de la velocidad de deslizamiento V, excepto para una discontinuidad en V  0, donde se mide un mayor coeficiente estático. En realidad existe una caída continua no lineal de μ con el incremento de V. Esta función es aproximadamente una recta cuando se traza contra el logaritmo de V, y su pendiente negativa es un ligero porcentaje por década.[7] Se cree que algo de esto ocurre porque las temperaturas crecientes en el punto de contacto resultantes de las altas velocidades reducen la resistencia a la fluencia por cortante del material en la ecuación 5.3 (p. 354). Fricción por rodamiento Cuando una pieza rueda sobre otra sin deslizamiento, el coeficiente de fricción es mucho menor, con μ en el intervalo de 5E-3 a 5E-5. La fuerza de fricción variará directamente con la potencia de la carga (de 1.2 a 2.4) e inversamente con el radio de curvatura de los elementos que ruedan. La aspereza superficial no tiene un efecto sobre la fricción por rodamiento, y la mayoría de estas uniones están esmeriladas para minimizar su aspereza. 356 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Los materiales altamente endurecidos por lo general se utilizan para obtener las resistencias necesarias y favorecer los acabados esmerilados lisos. La fricción por rodamiento varía muy poco con la velocidad.[7] Efecto del lubricante sobre la fricción 5 El uso de un lubricante en el punto de contacto del deslizamiento tiene varios beneficios sobre el coeficiente de fricción. Los lubricantes pueden ser líquidos o sólidos, aunque comparten las propiedades de baja resistencia al cortante y alta resistencia a la compresión. Un lubricante líquido como el aceite derivado del petróleo es básicamente incompresible en los niveles de esfuerzos por compresión que se presentan en cojinetes, pero se corta fácilmente. Por lo tanto, se vuelve el material más débil en el punto de contacto, y su baja resistencia al cortante en la ecuación 5.3 reduce el coeficiente de fricción. Los lubricantes también actúan como contaminantes en las superficies metálicas y las recubren con una capa (del espesor de una molécula) que inhibe la adhesión aun entre metales compatibles (véase la sección siguiente). Muchos aceites lubricantes comerciales se mezclan con varios aditivos que reaccionan con los metales para formar una capa contaminante del espesor de una molécula. Los llamados lubricantes EP (de presión extrema) agregan al aceite ácidos grasos u otros compuestos que atacan químicamente el metal y forman una capa contaminante que protege y reduce la fricción, incluso cuando la película de aceite sale del punto de contacto por las fuertes cargas de contacto. Los lubricantes, especialmente los líquidos, también sirven para eliminar el calor en el punto de contacto. Las bajas temperaturas reducen las interacciones de las superficies y el desgaste. Los lubricantes y el fenómeno de lubricación se estudiarán con mayor detalle en el capítulo 7. La tabla 5-1 muestra algunos valores típicos de coeficientes de fricción para pares de materiales que se encuentran comúnmente. 5.4 DESGASTE ADHESIVO Cuando las superficies (limpias), como las que se ilustran en la figura 5-1 (p. 351), se presionan entre sí con una carga, algo de las asperezas en contacto suele adherirse de una a otra debido a las fuerzas de atracción entre los átomos superficiales de los dos materiales.[3] Como hay deslizamiento entre las superficies, estas adhesiones se rompen, ya sea a lo Tabla 5-1 Coeficientes de fricción en algunas combinaciones de materiales Estático Lubricado Material 1 Material 2 Seco acero dulce acero dulce 0.74 acero dulce hierro fundido acero dulce aluminio 0.61 0.47 acero dulce latón 0.51 0.44 0.183 Seco Dinámico Lubricado 0.57 0.09 0.23 0.133 acero duro acero duro 0.78 0.11 –0.23 0.42 0.03–0.19 acero duro babbitt 0.42–0.70 0.08–0.25 0.34 0.06–0.16 teflón teflón 0.04 0.04 acero teflón 0.04 0.04 hierro fundido hierro fundido 1.10 hierro fundido bronce aluminio aluminio 1.05 0.15 0.07 0.22 0.077 1.4 Fuente: Mark’s Mechanical Engineers’ Handbook, T. Baumeister, ed., McGraw-Hill, Nueva York Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 357 largo del punto de contacto original o a lo largo de un plano nuevo que pasa por un pico de aspereza del material. En el último caso, un trozo de la pieza A se transfiere a la pieza B, causando problemas y daño superficial. Algunas veces una partícula de material se romperá y quedará libre, volviéndose un residuo en el punto de contacto, lo cual podría entonces rayar la superficie y crear surcos en ambas piezas. Este tipo de daño algunas veces se denomina estriación o raspadura* de la superficie. La figura 5-5 muestra el ejemplo de un eje que falló por desgaste adhesivo en ausencia del lubricante adecuado.[6] La teoría original de la adhesión postula que todos los contactos de asperezas causarán fluencia y adhesión que se deben a los grandes esfuerzos presentes. Ahora se cree que en la mayoría de los casos de contacto, sobre todo con frotamiento repetido, tan sólo una pequeña fracción de los contactos de asperezas causa realmente fluencia y adhesión; las deformaciones elásticas de las asperezas también juegan un rol significativo en las fuerzas de tracción (fricción) desarrolladas en el punto de contacto.[32] 5 COMPATIBILIDAD Un factor importante que afecta la adhesión es la compatibilidad metalúrgica entre los materiales en contacto. La compatibilidad metalúrgica entre dos metales se define como alta solubilidad mutua o la formación de compuestos intermetálicos.[4] Davis define dos condiciones para la incompatibilidad metalúrgica, lo cual quiere decir que los metales pueden deslizarse entre sí con relativamente poca escoria.[5] 1. Los metales deben ser insolubles entre sí, no debe disolverse un material en el otro ni formar una aleación con él. 2. Por lo menos uno de los materiales debe estar en el subgrupo-B, es decir, a la derecha de la columna Ni-Pd-Pt en la tabla periódica.† Por desgracia, esta terminología llega a crear confusión, ya que la palabra compatibilidad usualmente significa la habilidad para trabajar juntos; mientras que en este contexto significa que no funcionan (se deslizan) bien juntos. Su “compatibilidad” metalúrgica en este caso es la adherencia, la cual actúa para prevenir el deslizamiento, haciéndolos incompatibles por fricción. Rabinowicz[33] agrupa los pares de materiales en las categorías de idénticos (metalúrgicamente), compatibles, parcialmente compatibles, parcialmente incompatibles, e incompatibles, con base en el criterio anterior. Las combinaciones de idénticos y compatibles no deberían trabajarse juntas en el contacto con deslizamiento sin lubricar. Las categorías incompatibles y las parciales pueden trabajarse juntas. La figura 5-6 muestra una gráfica de compatibilidad de los metales usados normalmente según sus categorías. Los círculos con puntos indican metales metalúrgicamente compatibles (es decir, no aceptables para el contacto con deslizamiento). La cuarta parte de un cuadrado oscuro indica parcialmente compatibles; y un medio círculo oscuro, combinaciones de parcialmente incompatibles. Los últimos son mejores en contacto con deslizamiento que * Note que a menudo la raspadura se asocia con los dientes de engrane, los cuales experimentan típicamente una combinación de rodamiento y deslizamiento. Para estudio adicional, véase el capítulo 7. FIGURA 5-5 Desgaste adhesivo sobre un eje. Fuente: D.J. Wulpi, Understanding How Components Fail, Amer. Soc. for Metals: Metals Park, Ohio, 1990, con autorización † Algunos metales del subgrupo B que suelen ser de interés para aleaciones accesibles al rodamiento son (en orden alfabético): aluminio (Al), antimonio (Sb), bismuto (Bi), cadmio (Cd), carbono (C), cobre (Cu), plomo (Pb), silicio (Si), estaño (Sn), zinc (Zn). DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado W Mo Cr Co Ni Fe Nb Pt Zr Ti Cu Au Ag Al Zn Mg Cd Sn Pb In 358 In Pb Sn Cd Mg Zn Al Ag Au Cu Ti Zr Pt Nb Fe Ni Co Cr Mo W 5 metalúrgicamente incompatible parcialmente incompatible parcialmente compatible metalúrgicamente compatible metales idénticos FIGURA 5-6 Gráfica de compatibilidad de pares de metales con base en diagramas de fase binarios (Adaptada de la figura 7, p. 491, E. Rabinowicz, Wear Coefficients—Metals, en Wear Control Handbook, M.B. Peterson y W.O. Winer, ed., ASME, Nueva York, 1980, con autorización) los primeros. Los círculos sombreados por completo indican pares incompatibles metalúrgicamente, en los que se esperaría mejor resistencia al desgaste adhesivo que en cualquier otra combinación. CONTAMINANTES La unión adhesiva en las asperezas únicamente sucede cuando el material está limpio y libre de contaminantes. Los contaminantes tienen la forma de óxidos, grasa de piel humana, humedad atmosférica, etcétera. Los contaminantes en este contexto también incluyen los materiales que se introducen deliberadamente en el punto de contacto, tales como recubrimientos o lubricantes. De hecho, una de las funciones principales de un lubricante es prevenir tales adhesiones y, por consiguiente, reduce la fricción y el daño superficial. Una película de lubricante aísla eficazmente los dos materiales y previene la adhesión incluso entre materiales idénticos. ACABADO SUPERFICIAL No es necesario que las superficies sean “ásperas” para que opere el mecanismo de desgaste adhesivo. En la figura 5-1a, se observa que el esmerilado fino de la pieza tiene tantas asperezas para este proceso, como la superficie sin trabajar más áspera de la figura 5-1b (p. 351). SOLDADURA EN FRÍO Si los materiales en contacto son metales, son compatibles y están extremadamente limpios, las fuerzas adhesivas son más altas y la fricción por deslizamiento puede generar suficiente calor en un sitio para soldar las asperezas entre sí. Si las superficies metálicas limpias tienen también un acabado con un valor de aspereza bajo (es decir, están pulidas) y, luego, se frotan entre sí (con fuerza suficiente) pueden soldarse en frío (agarrarse) con un vínculo prácticamente tan fuerte como el metal original. Este proceso se favorece si ocurre en el vacío, ya que la ausencia de aire elimina la contaminación por oxidación de la superficie. El proceso de adhesión-rolado, donde dos metales compatibles se sueldan entre sí en frío (al aire), al laminarlos o prensarlos juntos, bajo cargas normales altas se usa comercialmente para fabricar las láminas bimetálicas de los termostatos, así como las monedas de diez y veinticinco centavos de dólar para su bolsillo. Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 359 LUDIMIENTO Describe la situación de una soldadura en frío incompleta donde, por cualquier motivo (usualmente por contaminación), las piezas no se sueldan totalmente. Sin embargo, porciones de la superficie tienen adherencia y causan que se transfiera material de una pieza a otra en rayas grandes visibles a simple vista. El ludimiento generalmente arruina la superficie en una pasada. Estos factores explican los motivos que son del conocimiento general de los operarios e ingenieros experimentados: el mismo material generalmente no debería trabajar contra sí mismo. Existen algunas excepciones para esta regla, sobre todo para acero endurecido sobre acero endurecido; no obstante, deben descartarse otras combinaciones como aluminio sobre aluminio. Coeficiente de desgaste adhesivo 5 En general, el desgaste es inversamente proporcional a la dureza. La razón de desgaste se determina haciendo correr un perno sobre un disco giratorio, con carga y condiciones de lubricación controladas, en una distancia de deslizamiento conocida y midiendo la pérdida de volumen. El volumen de desgaste es independiente de la velocidad de deslizamiento y se expresa como VK Fl H ( 5.7a) donde V  volumen de desgaste del más blando de los dos materiales, F  fuerza normal, l  longitud de deslizamiento, y H es la dureza de penetración en kgf/mm2 o psi. H se expresa en unidades de dureza de Brinell (HB), Vickers (HV) u otras unidades de dureza absoluta. Se suele usar una lectura de dureza de Rockwell, si se convierte primero a una escala que tenga unidades reales. (Véase la tabla B-3, apéndice B). El factor K es el coeficiente de desgaste y es una propiedad adimensional del sistema deslizante. K es una función de los materiales usados y también de la situación de lubricación. Desde el punto de vista de ingeniería, la profundidad del desgaste d puede ser de más interés que el volumen, y se escribe la ecuación 5.7a en esos términos como dK Fl HAa (5.7b) donde Aa es el área aparente de contacto en el punto de contacto. Los valores de K obtenidos para los mismos materiales probados en las mismas condiciones varían por aproximadamente un factor de 2 de una prueba a otra. Esta clase de variabilidad también se observa en las pruebas para los coeficientes de fricción, los cuales tienen normalmente una desviación estándar de 20%. Los motivos para estas variaciones no se conocen totalmente, aunque se atribuyen por lo general a la dificultad para reproducir de manera exacta las mismas condiciones superficiales de una prueba a otra.[33] A pesar de esta gran variación, es mejor tener los datos obtenidos que no tenerlos, pues son útiles para hacer estimaciones de las razones de desgaste en situaciones donde no es factible probar el diseño real. Se han publicado tablas con valores empíricos de varias combinaciones de pares de materiales y condiciones de lubricación.[33] Mientras que es posible obtener datos de los coeficientes de desgaste para combinaciones que se aproximan a su situación particular, el número total de permutaciones posibles hace que algunas situaciones del diseño no se ajusten a los datos disponibles. La figura 5-7 muestra una gráfica general del coeficiente de desgaste K en función tanto del modo de lubricación como de las categorías de compatibilidad de Rabinowicz. El valor aproximado de K se obtiene con esta figura para cualquier situación de diseño. Se reconoce que tan sólo un programa de pruebas ofrece 360 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado coeficiente de desgaste K 10 –2 10 –3 metales idénticos 10 –4 metalúrgicamente compatibles 10 –5 parcialmente incompatibles o parcialmente compatibles 10 –6 metalúrgicamente incompatibles 10 –7 10 –8 sin lub. lub. deficiente buena lub. excelente lub. estado de lubricación 5 FIGURA 5-7 Coeficiente adhesión-desgaste en función de la compatibilidad y la lubricación (Adaptado de la figura 11, p. 495, E. Rabinowicz, “Wear Coefficients-Metals”, en Wear Control Handbook, M.B. Peterson y W.O. Winer, ed., ASME, Nueva York, 1980, con autorización) datos de vida de desgaste con razonable precisión para un diseño. Observe que los datos de la figura 5-7 están basados en el coeficiente de desgaste asociado con la pérdida de material. También se transfiere material de uno a otro de los materiales deslizantes por la adhesión. El coeficiente de desgaste por transferencia adhesiva es aproximadamente tres veces el de la pérdida de material del sistema.[33] 5.5 DESGASTE ABRASIVO La abrasión ocurre de dos maneras, dependiendo de que el proceso de desgaste abrasivo ocurra entre dos o tres cuerpos.[9] La abrasión entre dos cuerpos se refiere al deslizamiento de un material áspero duro contra uno más blando. La superficie dura escarba en el material más blando y lo remueve. Un ejemplo es una lima que se utiliza en el contorno de una pieza de metal. La abrasión entre tres cuerpos se refiere a la introducción de partículas duras entre dos superficies deslizantes, donde por lo menos una de ellas es más blanda que las partículas. Las partículas erosionan material de una o ambas superficies. El lapeado y el pulido entran en esta categoría, de modo que la abrasión es el proceso de remoción de un material donde las superficies afectadas pierden masa a una velocidad controlada o no controlada. El desgaste abrasivo también obedece la ecuación 5.7 (p. 359). Véase la figura 5-8 para tener una idea de los coeficientes de desgaste para el desgaste abrasivo. La tabla 5-2 también muestra coeficientes típicos de desgaste abrasivo. ABRASIÓN SIN CONTROL El equipo que remueve tierra, como retroexcavadoras, niveladoras y el equipo de minería, opera en abrasión relativamente descontrolada entre Tabla 5-2 Coeficiente de desgaste K para la abrasión Lima Lija, nueva Granos abrasivos sueltos Pulido áspero Superficies secas 5E–2 1E–2 1E–3 1E–4 Lubricadas 1E–1 2E–2 2E–3 2E–4 Fuente: E. Rabinowicz, “Wear coefficients—Metals”, en Wear Control Handbook, M.B. Peterson y W.O. Winer, ed., ASME, Nueva York, 1980. Capítulo 5 sin lub. desgaste adhesivo lub. deficiente FALLA DE SUPERFICIES buena lub. excelente lub. metales idénticos sin lub. buena lub. deficiente lub. excelente lub. metalúrgicamente compatibles sin lub. buena excelente parcialmente compatibles parcialmente incompatibles lub. deficiente lub. lub. sin lub. lub. deficiente buena lub. incompatibles sin lubricados lub. desgaste abrasivo desgaste corrosivo desgaste por frotamiento 2 cuerpos no metal sobre metal o no metal 3 cuerpos acción EP benigna galopante no lubricado lubricado 10 –1 10 –2 10 –3 10 –4 10 –5 10 –6 10 –7 coeficiente de desgaste K FIGURA 5-8 Coeficientes de desgaste en varias situaciones de deslizamiento Fuente: E. Rabinowicz, “Wear Coefficients-Metals”, en Wear Control Handbook, M.B. Peterson y W.O. Winer, ed., ASME, Nueva York, 1980 tres cuerpos, ya que la excavación de tierra o minerales con frecuencia contiene materiales más duros que la superficie de acero del equipo. El silicio (arena) es el material más abundante sobre la faz de la Tierra y es más duro que la mayoría de los metales (dureza absoluta de 800 kg/mm2). La dureza absoluta del acero dulce es tan sólo de 200 kg/mm2, aproximadamente; sin embargo, la del acero endurecido para herramientas es tan alta como 1 000 kg/mm2 y, por consiguiente, sobreviviría en tales aplicaciones. Por lo tanto, las limas de acero duro sirven para corroer metales más suaves, no metales e incluso vidrio (el cual es una forma de silicio). Muchas aplicaciones de diseño de (a) 361 (b) (c) FIGURA 5-9 Diente de una retroexcavadora: (a) nuevo, (b) con desgaste abrasivo sobre la cara trasera suave, (c) con desgaste abrasivo sobre la cara frontal dura. Fuente: D.J. Wulpi, Understanding How Components Fail, Amer. Soc. for Metals: Metals Park, Ohio, 1990 5 362 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado máquinas requieren el manejo de materiales de producción que son abrasivos. El bombeo de concreto fresco, el molido de rocas, las excavaciones en tierra y el transporte de piezas de cerámica son ejemplos del manejo de medios abrasivos. La figura 5-9 ilustra los efectos de una abrasión sin control sobre el diente reemplazable de una retroexcavadora. Una pieza nueva (a) se compara con el lado desgastado del reverso (b) y el lado frontal (c) de una pieza usada. El lado frontal está hecho de acero 8640 con endurecido medio, en tanto que el reverso es acero 1010 blando.[6] 5 Las piezas de máquinas que operan en ambientes más limpios se pueden diseñar para minimizar o eliminar el desgaste abrasivo, mediante la selección adecuada de materiales y acabados. En dos cuerpos en contacto, los materiales duros lisos no erosionan a los blandos. Los recubrimientos de cojinetes y ejes suelen tener acabados con muy baja dureza y están fabricados con pares de materiales adecuados, como se indica en la sección 5.4. Los acabados lisos minimizan la abrasión desde el principio, y esa situación continúa a menos que se introduzcan posteriormente durante el servicio contaminantes muy duros en el punto de contacto. Un motivo para hacer el recubrimiento de los rodamientos de materiales blandos (trabajando contra ejes duros) es facilitar la incrustación, en el material de rodamiento blando, de cualquier partícula dura que se abra camino hacia el rodamiento. Luego, las partículas son atrapadas (enterradas) en el material blando y se minimiza el daño potencial sobre el eje. Las partículas pueden entrar al rodamiento, ya sea como contaminantes externos en el lubricante o como productos de la oxidación generada dentro del rodamiento. Los óxidos de hierro son más duros que el acero que los genera y erosionan el eje. Si se usa lubricación hidrostática (en la cual el lubricante circula activamente; véase el capítulo 7), entonces se debe filtrar el lubricante para eliminar cualquier partícula que entre en el sistema. Un rodamiento lubricado hidrostáticamente diseñado de forma adecuada no debería experimentar desgaste abrasivo si tiene suficiente lubricante limpio. ABRASIÓN CONTROLADA Además del diseño de sistemas para eliminar la abrasión, los ingenieros también los diseñan para crear desgaste abrasivo controlado. La abrasión controlada se usa ampliamente en los procesos de manufactura. Dos cuerpos esmerilados constituyen quizás el caso más común donde un medio abrasivo, como el carburo de silicio (carborundo), se fuerza contra la parte con altas velocidades de deslizamiento, para remover material y controlar el tamaño y el acabado. Con frecuencia se usa un refrigerante tanto para proteger el material de un tratamiento térmico indeseable, como para mejorar el proceso de abrasión. La humedad incrementa la razón de abrasión en casi un 15% en relación con la abrasión en seco.[10] El papel y la tela abrasivos brindan un recurso para aplicar un medio abrasivo a superficies curvas compuestas. Los disparos o chorros de arena son un ejemplo de erosión, donde un cuerpo es la arena y el otro es la superficie que se va a erosionar o a corroer. En manufactura, un ejemplo común de abrasión controlada entre tres cuerpos es el proceso de molino de frotación, en el cual las piezas se colocan sobre un tambor junto con algunas partículas abrasivas y, luego, se hacen girar juntas. Después, las piezas se frotan (rozan) y rebotan entre sí en la mezcla abrasiva. El resultado es la remoción de rebabas y extremos afilados, así como un pulido general de todas las superficies expuestas. Otro ejemplo es el proceso de pulido de superficies, el cual requiere el uso de partículas duras muy finas atrapadas entre un material relativamente fino y ajustable (como tela) y la superficie que se va a pulir. Las velocidades relativas son altas y frecuentemente se agrega humedad. TAMAÑO DE LAS PARTÍCULAS Éste afecta la eficiencia de un proceso de abrasión. Existe un umbral en el tamaño de la partícula para cualquier situación, arriba del cual la abrasión continúa rápidamente, pero abajo del cual la velocidad de desgaste disminuye. Se cree que la velocidad de desgaste es más baja cuando las partículas erosionadas de la pieza que se trabaja son tan grandes, o más grandes, que las partículas abrasivas. En esos casos, impiden que los abrasivos se introduzcan en la pieza de trabajo. Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 363 Materiales abrasivos Los dos requerimientos de un abrasivo son la dureza y lo afilado. El abrasivo debe ser más duro que el material a desgastar. Una dureza excesiva, más allá del 150% de la dureza de la pieza que se trabaja, no incrementa la velocidad de desgaste, sin embargo, prolonga la “vida cortante” útil del abrasivo, el cual con el tiempo pierde su habilidad para cortar.[11] El corte se logra usando materiales frágiles que se rompan en partículas filosas. Las clases de materiales que mejor cumplen con estos dos criterios son las cerámicas y los no metales duros. La mayoría de los abrasivos comerciales son de estos tipos. La tabla 5-3 incluye algunos materiales abrasivos comunes y su dureza. El óxido de aluminio (corundo) y el carburo de silicio (carborundo) son los más usados debido a la combinación favorable de su relativamente alta dureza y bajo costo. El carburo de boro y el diamante se utilizan en aplicaciones que requieren los materiales más duros, aunque ambos son costosos. Materiales con resistencia a la abrasión Algunos materiales de ingeniería se adaptan mejor que otros a las aplicaciones de desgaste por abrasión, basados principalmente en su dureza. Sin embargo, junto con la dureza por lo general viene la fragilidad y, por consiguiente, su resistencia al impacto o a cargas de fatiga podría ser menor que lo óptimo. La tabla 5-4 muestra la dureza de algunos materiales que son adecuados para aplicaciones de desgaste abrasivo. RECUBRIMIENTOS Algunos materiales cerámicos se rocían como plasma sobre sustratos metálicos, con la finalidad de obtener una cara endurecida que también tiene alta resistencia química y a la corrosión. Estos recubrimientos de plasma rociado son bastante ásperos encima de la aplicación (como una cáscara de naranja muy pintada), y por ello deben esmerilarse con diamante para lograr un acabado adecuado para una junta deslizante. Estos recubrimientos también son muy frágiles y en ocasiones se desprenden del sustrato si se sobrecargan térmica o mecánicamente. Observe que el óxido de aluminio se puede crear de manera controlada sobre aluminio por anodización y tiene un acabado tan bueno como el sustrato. La llamada anodización dura es simplemente un recubrimiento anodizado más grueso que el usado para la protección de la corrosión y, en general, se usa para proteger piezas de aluminio en condiciones de desgaste abrasivo. (Véase la sección B.5 en el apéndice B). Tabla 5-3 Materiales usados como abrasivos Material Composición Dureza (kg/mm2) Diamante C 8 000 Carburo de boro B 4C 2 750 Carborundo (carburo de silicio) SiC 2 500 Carburo de titanio TiC 2 450 Corundo (alúmina) Al 2O3 2 100 Carburo de circonio ZrC 2 100 Carburo de tungsteno WC 1 900 Granate Al 2O3 3FeO 3SiO2 1 350 Zirconio ZrO2 Cuarzo, sílice, arena SiO2 800 Vidrio Silicato 500 150 Fuente: E. Rabinowicz, Friction and Wear of Materials, 1965, reimpreso con autorización de John Wiley & Sons, Inc., Nueva York 5 364 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 5-4 - Un Enfoque Integrado Materiales resistentes a la abrasión Material Dureza (kg/mm2) Desgaste relativo 1 400-1 800 0.5-5 700-1 000 20-30 Carburo de tungsteno (aglomerado) Hierro fundido blanco al alto cromo Acero para herramientas Acero para cojinetes Cromo (por electrólisis) 5 5-10 700-950 900 Acero carburado 900 20-30 Acero nitrurado 900-1 250 20-30 Hierro blanco perlítico 25-50 Acero austenítico al manganeso 30-50 Acero perlítico de baja aleación (0.7%C) 480 30-60 Acero perlítico sin aleación (0.7%C) 300 50-70 Acero al bajo carbono (0.2%C) normalizado o rolado 100 Fuente: E. Rabinowicz, Friction and Wear of Materials, 1965, reimpreso con autorización de John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. T.E. Norman, Abrasive Wear of Metals, en Handbook of Mechanical Wear, C. Lipson, ed., U. Mich. Press, 1961 5.6 DESGASTE POR CORROSIÓN CORROSIÓN Ocurre en ambientes normales en casi todos los materiales excepto los llamados nobles, por ejemplo, oro, platino, etcétera. La forma más común de corrosión es la oxidación. La mayoría de los metales reaccionan con el oxígeno del aire o del agua para formar óxidos. En algunos materiales, como el aluminio, la oxidación se autolimita en la medida en que la superficie permanece sin perturbaciones. El aluminio en el aire forma gradualmente una capa de óxido hasta un grosor de 0.02 μm, punto donde la reacción cesa porque la película de óxido de aluminio sin poros sella el sustrato, impidiendo el contacto con el oxígeno del aire. (Éste es el principio de anodización, el cual crea una capa de óxido de aluminio uniforme y de espesor controlado sobre la pieza, antes de ponerla en servicio). Las aleaciones de hierro, por otro lado, forman una película de óxido discontinua y porosa que se descama fácilmente por sí misma para exponer nuevo sustrato del material. La oxidación continúa hasta que todo el hierro se convierte en óxidos. Las temperaturas elevadas incrementan de forma considerable la velocidad de las reacciones químicas. DESGASTE POR CORROSIÓN Agrega al ambiente químicamente corrosivo un quebrantamiento mecánico en la capa superficial debido al contacto por deslizamiento o rodamiento entre dos cuerpos. La superficie de contacto puede actuar para romper la película de óxido (o cualquier otra) y exponer sustrato nuevo a los elementos reactivos, incrementando así la rapidez de la corrosión. Si los productos de la reacción química son duros y frágiles (como los óxidos), las escamas de esta capa se pueden volver partículas sueltas en el punto de contacto y contribuir a otras formas de desgaste como la abrasión. Véase la figura 5-8 (p. 361) para información de coeficientes de desgaste por corrosión. Algunos productos de la reacción de los metales, como los cloruros metálicos, los fosfatos y los sulfuros, son más blandos que el sustrato de metal y no son frágiles. Estos productos de la corrosión llegan a actuar como contaminantes benéficos para reducir el desgaste adhesivo al bloquear la adhesión de las asperezas del metal. Éste es el motivo por el cual se agregan compuestos que contienen cloro, azufre y otros agentes reactivos de aceites de presión extrema. La estrategia consiste en intercambiar una mayor rapidez y más dañina de desgaste adhesivo, por una velocidad baja de desgaste corrosivo sobre Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 365 las superficies metálicas, como dientes de engranes y levas, los cuales pueden tener lubricación deficiente debido a lo complicado de su geometría. Fatiga por corrosión En el capítulo 4 se analizan con detalle los mecanismos de mecánica de la fractura y falla por fatiga; también se menciona brevemente el fenómeno llamado con frecuencia fatiga por corrosión o esfuerzo de corrosión. Este mecanismo no está aún cabalmente comprendido; no obstante, la evidencia empírica de sus resultados es fuerte e inequívoca. Cuando una pieza se esfuerza en un ambiente corrosivo, el proceso de corrosión se acelera y la falla sucede más rápido de lo que se esperaría si sólo actuara el estado de esfuerzos o el proceso de corrosión. Los esfuerzos estáticos son suficientes para acelerar el proceso de corrosión. La combinación del esfuerzo y el ambiente corrosivo tiene un efecto sinérgico y el material se corroe más rápidamente que cuando carece de esfuerzos. Esta combinación de esfuerzo estático y corrosión se denomina corrosión por esfuerzo. Si a la pieza se le aplican esfuerzos cíclicos en un ambiente corrosivo, la grieta crecerá más rápidamente que con los efectos de un solo factor. Esto se llama fatiga por corrosión. Mientras que la frecuencia del esfuerzo cíclico (al contrario del número de ciclos) parecería no tener un efecto nocivo en el crecimiento de la grieta en un ambiente no corrosivo, en presencia de un ambiente corrosivo sí lo tiene. Las menores frecuencias cíclicas dan al ambiente más tiempo para actuar sobre la punta de la grieta estresada, mientras está abierta por el esfuerzo de tensión; esto incrementa sustancialmente la velocidad de crecimiento de la grieta. Véase las figuras 4-30 a 4-32 (pp. 265-266) y su análisis en el capítulo 4 para mayor información sobre este fenómeno. Corrosión por frotamiento Cuando dos superficies metálicas están en contacto profundo —como un sujetador con ajuste forzado o una abrazadera—, uno no esperaría que hubiera corrosión severa en el punto de contacto, sobre todo si se encuentran en el aire ambiental. Sin embargo, esta clase de contactos están sometidos a un fenómeno llamado corrosión por frotamiento (o frotamiento) que llega a causar una pérdida significativa de material en el punto de contacto. Aun cuando no sea posible tener movimientos de deslizamiento evidentes en tales situaciones, incluso las pequeñas deflexiones (del orden de milésimas de pulgada) son suficientes para causar desgaste. Las vibraciones son otra posible fuente de movimientos pequeños de desgaste. Se cree que el mecanismo de frotamiento es una combinación de abrasión, adhesión y corrosión.[12] Las superficies expuestas se oxidarán con el aire; sin embargo, la rapidez se reducirá conforme el óxido formado sobre la superficie bloquea gradualmente el contacto del sustrato con la atmósfera. Como se vio antes, algunos metales realmente limitan por sí mismos su oxidación si se mantienen sin perturbaciones. La presencia de vibraciones o deflexiones mecánicas repetidas tiende a perturbar la capa de óxido raspándolo y exponiendo el nuevo metal base al oxígeno. Esto provoca la adhesión de asperezas del metal “limpio” entre las piezas y también brinda un medio abrasivo en forma de partículas de óxido duro en el punto de contacto de los tres cuerpos en abrasión. Todos estos mecanismos suelen reducir lentamente el volumen sólido de los materiales y generar “polvo” del material oxidado/erosionado. Con el tiempo, podría ocurrir una pérdida significativa de las dimensiones en el punto de contacto. En otros casos, el resultado sería tan sólo una ligera decoloración de las superficies o una adhesión similar al ludimiento. ¡Todo esto por una junta que no se diseñó para movimiento relativo y probablemente fue ideada por el diseñador como rígida! Desde luego, nada es realmente rígido, y el frotamiento es la evidencia de que los movimientos microscópicos son 5 366 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado FIGURA 5-10 5 Desgaste por frotamiento sobre un eje debajo del cubo con ajuste forzado Fuente: D.J. Wulpi, Understanding How Components Fail, Amer. Soc. for Metals: Metals Park, Ohio, 1990 suficientes para provocar desgaste. La figura 5-10 ilustra el desgaste por frotamiento sobre un eje donde el cubo fue ajustado a presión.[6] Véase la figura 5-8 (p. 361) para información de coeficientes de desgaste por picadura. Algunas técnicas que han demostrado reducir el desgaste por frotamiento son la reducción de las deflexiones (es decir, los diseños más duros o las abrazaderas más apretadas), así como la incorporación de lubricantes secos o fluidos en la junta, que actúen como barrera contra el oxígeno y como reductores de la fricción. La incorporación de una junta, especialmente una con gran elasticidad (como de caucho) para absorber las vibraciones, ha demostrado ser muy útil. Superficies más duras y más lisas sobre las piezas de metal son más resistentes a la abrasión y reducen el daño por frotamiento. Algunas veces se usan placas resistentes a la corrosión, como el cromo. El mejor método (impráctico en la mayoría de los casos) es eliminar el oxígeno mediante la operación en vacío o en la atmósfera de un gas inerte. 5.7 FATIGA SUPERFICIAL Todos los modos de falla superficial estudiados antes se aplican a situaciones donde los movimientos relativos entre las superficies son básicamente deslizamiento puro. Cuando dos superficies están en contacto de rodamiento puro, o sobre todo rodamiento combinado con un pequeño porcentaje de deslizamiento, ocurre un mecanismo de falla superficial diferente, llamado fatiga superficial. Existen muchas aplicaciones de este caso: cojinetes de bolas y de rodillos, levas con seguidores de rodillos, rodillos de presión y dientes de engranes rectos o helicoidales. Todos, con excepción de los dientes de engranes y los rodillos de presión, tienen por lo común rodamiento puro con tan sólo un 1% aproximadamente de deslizamiento. Los dientes de engranes tienen un deslizamiento significativo en las piezas de contacto del diente, lo cual cambia significativamente el estado de esfuerzos comparado con los casos de rodamiento puro, como se verá más adelante. Otros tipos de engranes como los cónicos en espiral, los hipoidales y los conjuntos de engranes tipo tornillo sinfín tienen básicamente deslizamiento puro en sus puntos de contacto y aplican uno o más de los mecanismos de desgaste ya estudiados. Los rodillos de presión (como los que se usan para rolar hojas de acero) trabajan con deslizamiento o sin éste, dependiendo de su objetivo. Los esfuerzos introducidos en dos materiales en contacto en el punto de contacto del rodamiento dependen bastante de la geometría de las superficies en contacto, así como de la carga y de las propiedades del material. El caso general permite cualquier geometría Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 367 tridimensional de los elementos en contacto y, como es de esperarse, su cálculo resulta más complejo. Dos casos de geometría especial son de interés práctico y también son un poco más fáciles de analizar. Éstos son esfera sobre esfera y cilindro sobre cilindro. En todos los casos, los radios de curvatura de las superficies en contacto son factores significativos. Variando los radios de curvatura de una de las superficies, estos casos especiales se amplían hasta incluir los subcasos de esfera sobre un plano, esfera en copa, cilindro sobre un plano y cilindro en canal. Sólo es necesario hacer infinitos los radios de curvatura de un elemento para obtener un plano; los radios de curvatura negativos definen una copa cóncava o la superficie cóncava de un contenedor. Por ejemplo, algunos cojinetes de bolas se pueden modelar como una esfera sobre un plano; y algunos cojinetes de rodillos, como cilindros en canal. Conforme la bola pasa sobre otra superficie, la huella de contacto teórica es un punto con dimensión igual a cero. Un rodillo contra una superficie cilíndrica o plana teóricamente hace contacto a lo largo de una línea de ancho igual a cero. Como el área de cada una de estas geometrías de contacto teórico es cero, cualquier fuerza aplicada creará entonces un esfuerzo infinito. Pero se sabe que esto no puede ser verdad, ya que los materiales fallarían instantáneamente. De hecho, los materiales deben flexionarse para tener suficiente área de contacto para soportar la carga de algún esfuerzo finito. Esta flexión crea una distribución semielipsoidal de la presión sobre la huella de contacto. En el caso general, la huella de contacto es elíptica, como se muestra en la figura 5-11a. Las esferas tienen una huella de contacto circular y los cilindros crean una huella de contacto rectangular, como se indica en la figura 5-11b. 5 Considere el caso de una bola esférica que rueda en línea recta sin deslizamiento contra una superficie plana y bajo una carga normal constante. Si la carga esfuerza el material sólo por debajo de su punto de fluencia, la flexión en la huella de contacto es elástica y la superficie regresará a su geometría curva original, después de pasar por el contacto. La misma huella sobre la bola hará contacto nuevamente con la superficie en cada revolución subsiguiente. Los esfuerzos resultantes en la huella de contacto se llaman esfuerzos de contacto o esfuerzos hertzianos. Los esfuerzos de contacto en este pequeño volumen de la bola son repetidos de acuerdo con la frecuencia de rotación de la bola. Esto crea un escenario de carga-fatiga que a final de cuentas llevará a la superficie a una falla por fatiga. pmáx R1 p p pmáx x y a b L R2 y a z z (a) Distribución elipsoidal de la presión en el caso general de contacto, para contacto esférico donde a = b (b) Prisma elipsoidal de distribución de la presión, para contacto cilíndrico FIGURA 5-11 Distribución de la presión y zonas de contacto en los contactos esférico, cilíndrico y casos generales hertzianos x 368 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Esta carga repetida es similar al caso de carga de fatiga por tensión mostrado en la figura 4-1b (p. 234). La diferencia principal en este caso es que los esfuerzos de contacto principales en el centro de la huella de contacto son todos de compresión, no de tensión. Recuerde del capítulo 4 que las fallas por fatiga se inician por el esfuerzo cortante y continúan hacia la falla por el esfuerzo de tensión. También existe un esfuerzo cortante asociado con los esfuerzos de contacto por compresión y se cree que es la causa de la formación de la grieta después de muchos ciclos de esfuerzo. De esta manera, el crecimiento de la grieta finalmente causa la falla por picadura: la fractura y remoción de pequeños trozos de material de la superficie. Una vez que la superficie comienza a picarse, el acabado superficial cede y rápidamente llega a la falla por descascarado: la pérdida de grandes pedazos de la superficie.* La figura 5-12 muestra algunos ejemplos de superficies picadas y descascarado. Si la carga es lo suficientemente grande como para elevar el esfuerzo de contacto por encima de la resistencia a la fluencia por compresión del material, entonces la flexión en la huella de contacto creará un aplanamiento permanente en la bola. Esta condición algunas veces se llama endurecimiento falso, debido a su semejanza con la hendidura dejada por una prueba Brinell de dureza del material. El aplanamiento sobre una de las bolas (o rodillos) hace que la bola (o rodillo) quede inútil para el rodamiento. 5 * De acuerdo con Ding y Gear[36] … en la literatura no hay una definición unificada para distinguir de manera consistente el picado del esquirlado. En la mayoría de los textos se usan indistintamente los términos picado, esquirlado, o algunas veces micropicado; sin embargo, una minoría de la literatura utiliza los términos picado, micropicado y esquirlado para designar los diferentes niveles de severidad de la fatiga en la superficie de contacto. Tallian define el esquirlado como la fatiga por contacto a macroescala causada por la propagación de la grieta, y reserva el picado para el daño superficial causado por fuentes diferentes a la propagación de la grieta. Uno de los motivos de la confusión se debe probablemente a que aún no se identifica la causa física del picado y descascarado. Con el objetivo de estudiar el asunto sobre terreno firme, Ding define el picado y el descascarado (como sigue). El picado se toma como la formación de cráteres poco profundos [ 10 μm] desarrollados principalmente por defectos de la superficie; mientras que se considera que el descascarado lo constituyen cavidades más profundas desarrolladas sobre todo por defectos de la subsuperficie. Ahora se investigarán geometrías de la huella de contacto, distribuciones de la presión, esfuerzos y deformaciones en contactos por rodamiento, iniciando con la geometría relativamente simple de la esfera sobre esfera; luego, se tratará el caso del cilindro sobre cilindro y, finalmente, se analizará el caso general. La deducción de las ecuaciones para estos casos se encuentra entre los conjuntos de ejemplos más complejos en la teoría de elasticidad. En 1881, Hertz dedujo por primera vez las ecuaciones para área de contacto, deformación, distribución de la presión y esfuerzo de contacto sobre la línea central de dos cuerpos con carga estática.[13] Un texto en inglés de lo anterior se encuentra en la referencia 14. Desde luego, muchos otros han hecho adiciones para la comprensión de este problema.[15],[16],[17],[18] 5.8 CONTACTO ESFÉRICO En la figura 5-13 se presentan las secciones transversales de dos esferas en contacto. Las líneas punteadas indican las posibilidades de que una esté plana o tenga una concavidad. La diferencia estriba tan sólo en la magnitud o el signo del radio de curvatura (convexo , cóncavo ). La figura 5-11a (p. 367) ilustra la distribución general semielipsoidal de la presión sobre la huella de contacto. Para una esfera sobre una esfera, existirá un hemisferio con una huella de contacto circular (a  b). Presión de contacto y huella de contacto en contacto esférico La presión de contacto es máxima pmáx en el centro y cero en el borde. La carga total aplicada F sobre la huella de contacto es igual al volumen del hemisferio: F 2 P a 2 pmáx 3 (5.8a) donde a es la mitad del ancho (radio) de la huella de contacto. Esto se resuelve despejando la presión máxima: pmáx  3 F 2 P a2 (5.8b) Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES picadura desintegrado descascarado picadura picadura 369 movimiento picadura (a) Picadura moderada en dientes de engrane (b) Picadura severa, descascarado y desintegración de los dientes del engrane FIGURA 5-12 Ejemplos de superficies que fallaron por picadura y descascarado debido a fatiga superficial Fuente: J.D. Graham, Pitting of Gear Teeth, en Handbook of Mechanical Wear, C. Lipson, ed., U. Mich. Press, 1961, pp. 138, 143, con autorización La presión promedio sobre la huella de contacto es la fuerza aplicada dividida entre su área: pprom  F F  area P a 2 (5.8c) y sustituyendo la ecuación 5.8c en la ecuación 5.8b: pmáx  3 pprom 2 (5.8d ) Ahora se definirán las constantes del material para las dos esferas m1  1 N12 E1 m2  1 N 22 E2 ( 5.9a) F cóncava plana a convexa (a) Sin carga F I G U R A 5 -13 Zona de contacto de dos esferas o dos cilindros (b) Con carga F 5 370 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado donde E1, E2 y ν1, ν2 son los módulos de Young y las razones de Poisson para los materiales de la esfera 1 y la esfera 2, respectivamente. Las dimensiones del área de contacto son usualmente muy pequeñas comparadas con los radios de curvatura de los cuerpos, lo cual permite que los radios se consideren constantes en el área de contacto, sin importar las pequeñas deformaciones que ocurran ahí. Ahora se define una geometría constante que sólo depende de los radios R1 y R2 de las dos esferas, B 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 ³ ´ R2 µ ( 5.9b) Para considerar el caso de una esfera sobre un plano, R2 se vuelve infinito haciendo 1/R2  0. Para una esfera en una copa, R2 se vuelve negativo. (Véase la figura 5-13, p. 369). De otro modo, R2 es finito y positivo, como R1. 5 El radio a de la huella de contacto se determina entonces de a P m m2 pmáx 1 4 B (5.9c) Sustituyendo la ecuación 5.8c en 5.9c: a P ¤ 3 F ³ m1 m2 4 ¥¦ 2 P a 2 ´µ B m a  3 0.375 1 m2 B F (5.9d ) La distribución de la presión dentro del hemisferio es p  pmáx 1 x2 a2 y2 a2 (5.10) Se puede normalizar la presión p con la magnitud pprom y la dimensión x o y de la huella con el radio a de la huella y, luego, graficar la distribución de la presión normalizada a través de la huella, lo cual dará como resultado una elipse como la de la figura 5-14. Distribuciones del esfuerzo estático en el contacto esférico z pmáx x 0 –a 0 a FIGURA 5-14 Distribución de la presión sobre la huella de contacto La presión sobre la huella de contacto origina un estado de esfuerzo tridimensional en el material. Los tres esfuerzos aplicados σx, σy y σz son de compresión y son máximos sobre la superficie de la esfera, en el centro de la huella. Tales esfuerzos disminuyen rápida y no linealmente con la profundidad y con la distancia desde el eje de contacto. Se conocen como esfuerzos hertzianos en honor a su descubridor. La deducción completa de estas ecuaciones se encuentra en la referencia 19. Observe que estos esfuerzos, aplicados en las direcciones x, y y z, también son los esfuerzos principales en este caso. Si se ve cómo varían dichos esfuerzos a lo largo del eje z (con z creciendo hacia el interior del material), se tiene ¨ © S z  pmáx © 1 ©ª · ¸ 2 32¸ z ¸¹ z3 a 2 (5.11a) Capítulo 5 ¨ p S x  S y  máx © 1 2 N 2 © ª ¥ ´ z 21 N ¦ µ § a2 z 2 ¶ FALLA DE SUPERFICIES 3 ¥ ´ · z ¸ ¦ 2 µ § a z 2 ¶ ¸¹ 371 (5.11b) Se toma la razón de Poisson para la esfera que nos interesa en este cálculo. Tales esfuerzos normales (y principales) son máximos en la superficie, donde z  0: S z máx  pmáx S x máx  S ymáx  (5.11c) 1 2N pmáx 2 ( 5.11d ) Existe también un esfuerzo cortante principal inducido por los esfuerzos normales principales: ¨ p 1 2 N T13  máx © 2 © 2 ª ¥ 1 N ¦ z § a2 ´ µ z2 ¶ 3· ´ z 3¥ ¸ ¦ 2 µ 2§ a z 2 ¶ ¸¹ (5.12 a) el cual no es máximo en la superficie, sino a una pequeña distancia z@τmáx debajo de la superficie. p ¨ 1 2 N T13 máx  máx © 2 ª 2 z @T máx  a 2 1 N 9 · 21 N ¸ ¹ (5.12 b) 2 2N 7 2N (5.12c) La figura 5-15 muestra la gráfica de los esfuerzos normales principales y cortante máximo, en función de la profundidad z a lo largo del radio de la esfera. Los esfuerzos están normalizados con la presión máxima pmáx, en tanto que la profundidad está normalizada por la mitad del ancho a de la huella de contacto. Esta gráfica proporciona una imagen adimensional de la distribución de esfuerzo sobre la línea central en un contacto esférico. Note que todos los esfuerzos disminuyen hasta 10% de pmáx dentro de z  5a. Se observa también la ubicación del esfuerzo cortante máximo debajo de la superficie. Si ambos materiales son acero, esto ocurre a una profundidad aproximada de 0.63a y su magnitud es de alrededor de 0.34pmáx. El esfuerzo cortante es de aproximadamente 0.11pmáx en la superficie sobre el eje z. 0.4 0.2 esfuerzo 0 pmáx –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1.0 T13 z a Sx, Sy Sz 0 1 2 3 4 5 profundidad normalizada z / a FIGURA 5-15 Distribución de esfuerzo normalizada a lo largo del eje z en el contacto esférico estático; los esfuerzos xyz son principales 5 372 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Algunos creen que la ubicación del esfuerzo cortante máximo debajo de la superficie es un factor importante en la falla de fatiga superficial. La teoría indica que las grietas que inician debajo de la superficie finalmente crecen hasta el punto en que el material arriba de la grieta se rompe hasta formar la picadura, como se muestra en la figura 5-12 (p. 369). Otra evidencia sugiere que las grietas algunas veces se inician en la superficie. 5 La figura 5-16 muestra un modelo fotoelástico de los esfuerzos de contacto en una leva inmediatamente debajo de un rodillo seguidor cargado.[20] El análisis experimental del esfuerzo fotoelástico usa un modelo físico de la pieza que se está analizando, hecho de material plástico transparente (Lexan, en este ejemplo), que muestra los contornos de esfuerzos de magnitud constante cuando se somete a carga y se observa con luz polarizada. El esfuerzo cortante máximo se distingue con claridad a corta distancia del interior de la leva, directamente debajo del seguidor. Mientras que éste es un contacto cilíndrico en vez de un contacto esférico, las distribuciones de esfuerzos a lo largo de una línea central son similares, como se verá en la siguiente sección. Cuando se mueve afuera de la línea central de la huella de contacto sobre la superficie de la esfera, los esfuerzos disminuyen. En el borde de la huella, el esfuerzo radial σz es cero, aunque existe una condición de esfuerzo cortante puro de magnitud: T xy  1 2N pmáx 3 (5.13a) Trace el círculo de Mohr para el caso de cortante puro. Los dos esfuerzos principales diferentes de cero son τxy, lo cual significa que en ese punto también hay un esfuerzo de tensión igual a S1borde  1 2N pmáx 3 (5.13b) seguidor leva FIGURA 5-16 Análisis fotoelástico de los esfuerzos de contacto debajo del seguidor de la leva Fuente: V.S. Mahkijani, Study of Contact Stresses as Developed on a Radial Cam Using Photoelastic Model and Finite Element Analysis. M. S. Thesis, Worcester Polytechnic Institute, 1984 Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 373 EJEMPLO 5-1 Esfuerzos en un cojinete de bolas de empuje Problema Una bola en un cojinete de empuje de siete bolas está cargada axialmente de un extremo a otro de sus carreras a través de las bolas. ¿Cuál es el tamaño de la huella de contacto sobre una carrera? ¿Cuáles son los esfuerzos desarrollados en las bolas y sus carreras? ¿Cuál es la profundidad del esfuerzo cortante máximo en la bola? Se proporciona Las siete bolas esféricas miden 10 mm (0.394 in) de diámetro y las carreras son planas. Todas las piezas son de acero endurecido. La carga axial es de 151 lb o 21.5 lb por bola. Suposiciones Las siete bolas comparten la carga en piezas iguales. La velocidad de giro es lo suficientemente baja como para que se considere un problema de carga estática. Solución 1. Primero se necesitará determinar el tamaño de la huella de contacto, para lo cual se debe obtener la constante de geometría y las constantes del material, a partir de las ecuaciones 5.9a y b (pp. 369-370). B 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 ³ 1¤ 1 ´ R2 µ 2 ¦ 0.197 1³  2.54 cµ ( a) 1 N12 1 0.282   3.072 E 8 E1 3E 7 (b) Observe el radio de curvatura infinito para R2. m1  m2  Note que ambos materiales son iguales en este ejemplo. Las constantes del material y de la geometría se pueden usar ahora en la ecuación 5.9d (p. 370). a3 23.072 E 8 3 m1 m2 21.5  0.0058 in F  3 0.375 8 2.54 B (c ) donde a es la mitad del ancho (el radio) de la huella de contacto. El área de la huella circular de contacto es entonces  área  Pa 2  P 0.00582  1.057 E 4 in 2 (d ) 2. Las presiones de contacto promedio y máxima se calculan ahora con las ecuaciones 5.8c y d (p. 369). pprom  F 21.5   203 587 psi área 1.057 E 4 (e ) pmáx  3 3 Pprom  203 587  305 381 psi 2 2 (f) 3. Los esfuerzos normales máximos en el centro de la huella de contacto en la superficie se determinan con las ecuaciones 5.11c y d (p. 371). S z máx  pmáx  305 381 psi S x máx  S y máx  1 20.28 1 2N pmáx  305 381  238 197 psi 2 2 ( g) ( h) 5 374 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 4. El esfuerzo cortante máximo y su ubicación debajo de la superficie se calculan con las ecuaciones 5.12b y c (p. 371). T yz máx   pmáx ¨ 1 2 N 2 ©ª 2 305 381 ¨ 1 20.28 © 2 2 ©ª z @ T máx  a 5 2 1 N 9 · 21 N ¸ ¹ · 2 1 0.28 21 0.28 ¸  103 083 psi 9 ¸¹ (i ) 2 20.28 2 2N  0.0037 in  0.005 8 7 2N 7 20.28 ( j) 5. Todos los esfuerzos obtenidos hasta aquí se encuentran sobre la línea central de la huella. En el borde de la huella, en la superficie, existe un esfuerzo cortante de T xy  1 20.28 1 2N pmáx  305 381  44 789 psi 3 3 (k ) y un esfuerzo de tensión con la misma magnitud. 6. Como ambas piezas son del mismo material, todos estos esfuerzos se aplican para ambos. 7. Los archivos EX07-01 se encuentran en el CD-ROM. 5.9 CONTACTO CILÍNDRICO El contacto cilíndrico es común en maquinaria. Los rodillos de contacto se utilizan con frecuencia para jalar material, como papel a través de la maquinaria, o para cambiar el espesor de un material en los procesos de rodamiento o calandrado. Los cojinetes de rodillos tienen otra aplicación. Ambos cilindros pueden ser convexos, uno convexo y uno cóncavo (cilindro en canal), o en el límite, un cilindro sobre un plano. En todos estos contactos, existe la posibilidad de deslizamiento, así como de rodamiento en el punto de contacto. La presencia de fuerzas de deslizamiento tangenciales tiene un efecto significativo sobre los esfuerzos comparados con rodamiento puro. Primero se considerará el caso de dos cilindros en rodamiento puro y, después, se introducirá la componente de deslizamiento. Presión de contacto y huella de contacto en el contacto cilíndrico paralelo Cuando dos cilindros ruedan juntos, su huella de contacto es rectangular, como se presenta en la figura 5-11b (p. 367). La distribución de la presión es un prisma semielíptico de la mitad del ancho a. La zona de contacto es como se muestra en la figura 5-13 (p. 369). La presión por contacto es máxima pmáx en el centro y cero en los bordes, como se indica en la figura 5-14 (p. 370). La carga aplicada F sobre la huella de contacto es igual al volumen de la mitad del prisma: F 1 P a L pmáx 2 ( 5.14 a) donde F es la carga total aplicada y L es la longitud de contacto a lo largo del eje del cilindro. Esto se despeja para la presión máxima: Capítulo 5 pmáx  FALLA DE SUPERFICIES 2F P aL 375 (5.14b) La presión promedio es la fuerza aplicada dividida entre el área de la huella de contacto: pprom  F F  área 2 a L (5.14c) Al sustituir la ecuación 5.14c en la 5.14b se obtiene pmáx  4 Pprom 1.273 Pprom P (5.14 d ) Ahora se define la constante de la geometría cilíndrica que depende de los radios R1 y R2 de los dos cilindros [observe que es la misma ecuación 5.9b (p. 370) para esferas]. B 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 ³ ´ R2 µ ( 5.15a) Para tomar en cuenta el caso de un cilindro sobre un plano, R2 se convierte en infinito, haciendo 1/R2 igual a cero. Para un cilindro en canal, R2 se vuelve negativo. Si no, R2 es finito y positivo, como R1. La mitad del ancho a de la huella de contacto se obtiene entonces de a 2 m1 m2 F P B L ( 5.15b) donde m1 y m2 son constantes del material, como se definió en la ecuación 5.9a (p. 369). La distribución de la presión dentro del prisma semielíptico es p  pmáx 1 x2 a2 (5.16) la cual es una elipse como se muestra en la figura 5-11 (p. 367). Distribuciones de esfuerzo estático en el contacto cilíndrico paralelo El análisis de esfuerzo hertziano es para cargas estáticas pero también se aplica al contacto por rodamiento puro. Las distribuciones del esfuerzo dentro del material son similares a las mostradas en la figura 5-15 (p. 371) para el caso de esfera sobre esfera. Son posibles dos casos: esfuerzo plano, donde los cilindros son muy cortos axialmente, como en algunas levas con seguidores de rodillo; y deformación plana, donde los cilindros son grandes axialmente, como en los rodillos apretados. En el caso del esfuerzo plano, uno de los esfuerzos principales es cero. En deformación plana, los tres esfuerzos principales pueden ser diferentes de cero. La figura 5-17 muestra las distribuciones del esfuerzo principal, cortante máximo y esfuerzo de von Mises, a través del ancho de la huella en la superficie y a lo largo del eje z (donde son más grandes), para dos cilindros en contacto estático o de rodamiento puro. Los esfuerzos normales son todos de compresión y máximos en la superficie. Los esfuerzos disminuyen rápidamente con la profundidad del material y también disminuyen lejos de la línea central, como se indica en la figura 5-17. 5 376 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 0.5 esfuerzo pmáx S' T13 0 @z/a=0 x a S1 –0.5 S'máx = 0.57 pmáx S2 , S3 @ z / a = 0.7 –1.0 –2 –1 T13máx = 0.30 pmáx 0 1 2 ancho normalizado x / a @ z / a = 0.8 S1máx = –0.56 pmáx @z/a=0 5 1.0 S2máx = –1.0 pmáx S' 0.5 @z/a=0 S3máx = –1.0 pmáx @z/a=0 esfuerzo pmáx T13 0 @x/a=0 –0.5 S2 = Sy –1.0 S3 = Sz –1.5 z a S1 = Sx 0 1 2 3 4 profundidad normalizada z / a FIGURA 5-17 Distribuciones de los esfuerzos principales, cortante máximo y de von Mises para cilindros de acero con carga estática o rodamiento puro En la superficie sobre la línea central, los esfuerzos normales aplicados máximos son S x  S z  pmáx S y  2 N pmáx ( 5.17a) Estos esfuerzos son principales, ya que no existe esfuerzo cortante aplicado. El esfuerzo cortante máximo τ13 sobre el eje z que resulta de la combinación de esfuerzos sobre el plano del círculo de Mohr está debajo de la superficie, como en el caso de contacto esférico. Para dos cilindros de acero en contacto estático, el valor pico y la ubicación del esfuerzo cortante máximo son[19] T13 máx  0.304 pmáx z @ T máx  0.786 a (5.17b) Sin embargo, observe en la figura 5-17 que, sobre el eje z, el esfuerzo cortante máximo no es cero, sino 0.22pmáx en la superficie y no varía mucho sobre la profundidad 0  z  2a. La figura 5-18 muestra la distribución tridimensional de los esfuerzos normal y cortante debajo de la superficie en el contacto cilíndrico.[35] Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 377 -200 Esfuerzo cortante [MPa] -400 -600 -800 -1000 -1200 Pro -1400 fun dida dd e la -1600 sub sup erfic -1800 ie [m 5 m] (a) Esfuerzo normal Sx (b) Esfuerzo cortante Txy FIGURA 5-18 Distribución de esfuerzo debajo de la superficie en contacto cilíndrico[35] EJEMPLO 5-2 Esfuerzos en contacto cilíndrico Problema La rueda de una grúa elevada trabaja lentamente sobre un riel de acero. ¿Cuál es el tamaño de la huella de contacto entre la rueda y el riel, y cuáles son los esfuerzos? ¿Cuál es la profundidad del esfuerzo cortante máximo? Se proporciona La rueda tiene 12 in de diámetro por 0.875 in de espesor y el riel es plano. Ambas piezas son de acero. La carga radial es de 5 000 lb. Suposiciones La velocidad giratoria es lo suficientemente baja por lo que éste se puede considerar un problema de carga estática. Solución 1. Primero se determina el tamaño de la huella de contacto, con el cual se obtienen la constante geométrica y las constantes del material, a partir de las ecuaciones 5.15a (p. 375) y 5.9a (p. 369). B 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 ³ 1¤1 ´ R2 µ 2 ¦ 6 0³  0.083 µ ( a) Observe el radio de curvatura infinito para R2. m1  m2  1 N12 1 0.282   3.072 E 8 E1 3E 7 (b) Note que los dos materiales son iguales en este ejemplo. Las constantes del material y de geometría se pueden usar ahora en la ecuación 5.15b (p. 375). 378 DISEÑO DE MÁQUINAS a - Un Enfoque Integrado 2 m1 m2 F 2 23.072 E 8 ¤ 5 000 ³  0.0518 in  ¤ ³ ¦ Pµ ¦ 0.875 µ 0.083 P B L (c) donde a es la mitad del ancho de la huella de contacto. El área rectangular de la huella de contacto es área  2 aL  2 0.051 8 0.875  0.091 in 2 (d ) 2. La presión de contacto promedio y máxima se determinan con las ecuaciones 5.14b y c (p. 375). F 5 000   55 169 psi área 0.090 63 (e) 25 000 2F   70 243 psi PaL P0.051 789 0.875 (f) pprom  5 pmáx  3. Los esfuerzos máximos normales en el centro de la huella de contacto en la superficie se calculan entonces usando las ecuaciones 5.17a (p. 376). S z máx  S x máx  pmáx  70 243 psi S y máx  2 Npmáx  20.28 70 243  39 336 psi ( g) ( h) 4. El esfuerzo cortante máximo y su ubicación (profundidad) se obtienen con las ecuaciones 5.17b (p. 376). T13 máx  0.304 pmáx  0.30470 243  21 354 psi z @ T máx  0.786 a  0.7860.0518  0.041 in (i ) 5. Todos los esfuerzos calculados se encuentran sobre el eje z y los esfuerzos normales son principales. Estos esfuerzos se aplican a la rueda y al riel, puesto que ambos son de acero. 6. Los archivos EX07-02 se encuentran en el CD-ROM. 5.10 CONTACTO GENERAL Cuando a la geometría de los dos cuerpos en contacto se le permite tener una curvatura general, la huella de contacto es una elipse y la distribución de la presión es un semielipsoide, como se muestra en la figura 5-11a (p. 367). Incluso la curvatura más general se podría representar con un radio de curvatura sobre un ángulo pequeño con un error mínimo. El tamaño de la huella de contacto para la mayoría de los materiales prácticos es tan pequeño que tal aproximación es razonable. Por lo tanto, la curvatura compuesta de cada cuerpo se representa con dos radios de curvatura mutuamente ortogonales en el punto de contacto. Presión de contacto y huella de contacto en el contacto general La presión de contacto es máxima pmáx en el centro y cero en el borde. La carga total aplicada F sobre la huella de contacto es igual al volumen del semielipsoide: Capítulo 5 F FALLA DE SUPERFICIES 2 P a b pmáx 3 379 ( 5.18a) donde a es la mitad del ancho del eje mayor y b es la mitad del ancho del eje menor de la elipse de la huella de contacto. Esto se despeja para la presión máxima: pmáx  3 F 2 P ab (5.18b) La presión promedio sobre la huella de contacto es la fuerza aplicada dividida entre su área: pprom  F F  área P ab (5.18c) 5 y al sustituir la ecuación 5.18c en 5.18b se obtiene pmáx  3 Pprom 2 (5.18d ) Se deben definir tres constantes geométricas que dependen de los radios de curvatura de los dos cuerpos, A 1 §¤ 1 B  ¨¥ 2 ¨¦ R1 © 1 ³ ´ R1' µ 2 ¤ 1 ¥ ¦ R2 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 ³ ´ R2 ' µ 1 R1' 2 1 R2 1 ³ ´ R2 ' µ ( 5.19a) 1 ¤ 1 2¥ ¦ R1 1 ³¤ 1 ´¥ R1' µ ¦ R2 ¶2 1 ³ ´ cos 2Q· R2 ' µ · ¸ ( 5.19b) B F  cos 1 ¤ ³ ¦ Aµ (5.19c) donde R1 y R1’ son los dos radios de curvatura* del cuerpo 1, R2 y R2’ son los radios* del cuerpo 2 y θ es el ángulo entre los planos que contienen R1 y R2. Las dimensiones a y b de la huella de contacto se obtienen entonces de a  ka 3 3F m1 m2 4A b  kb 3 3F m1 m2 4A (5.19d ) donde m1 y m2 son las constantes del material como se definieron en la ecuación 5.9a (p. 369) y los valores de ka y kb son los de los datos originales de Hertz en la tabla 5-5, correspondientes al valor de φ de la ecuación 5-19c. Tabla 5-5 * Medidos en planos mutuamente perpendiculares. Factores para usar en la ecuación 5.19d F 0 10 20 30 ka d 6.612 3.778 kb 0 0.319 0.408 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 2.731 2.397 2.136 1.926 1.754 1.611 1.486 1.378 1.284 1.202 1.128 1.061 1 0.493 0.530 0.567 0.604 0.641 0.678 0.717 0.759 0.802 0.846 0.893 0.944 1 Fuentes: H. Hertz, Contact of Elastic Solids, en Miscellaneous Papers, P. Lenard, ed., Macmillan & Co. Ltd.: Londres, 1896, pp. 146-162. H.L. Whittemore y S.N. Petrenko, Natl. Bur. Std. Tech. Paper 201, 1921. 380 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Para estimaciones más precisas de las que se logran mediante interpolación en la tabla, se ajustaron funciones a los datos de la tabla 5-5 y se pueden usar para calcular valores aproximados de ka y kb para cualquier valor del ángulo φ (en grados) a partir de: ka  50.192F 0.86215  R  0.99927 kb  0.0045333 0.043581F 0.0017292F 2 3.7374 E 5F 3 7F 4 1.4207 E 9F 5 3.7418 E (5.19e)  R  0.99949 La distribución de la presión dentro del semielipsoide es p  pmáx 1 5 x2 a2 y2 b2 (5.20) la cual es una elipse, como se muestra en la figura 5-11 (p. 367). Distribuciones de esfuerzos en el contacto general Las distribuciones de esfuerzo dentro del material son similares a las mostradas en la figura 5-17 para el caso del cilindro sobre cilindro. Los esfuerzos normales son todos de compresión y son máximos en la superficie. Estos esfuerzos disminuyen rápidamente con la profundidad del material y lejos de la línea central. En la superficie sobre la línea central, los esfuerzos normales máximos son[19] b · pmáx a b ¹̧ a · pmáx S y  ¨©2 N 1 2 N a b ¹̧ ª S z  pmáx S x  ¨©2 N ª k3 = b a 1 2 N k4 = 1 2 a a b2 (5.21a) (5.21b) Estos esfuerzos aplicados también son los esfuerzos principales. El esfuerzo cortante máximo en la superficie asociado con estos esfuerzos se obtiene de la ecuación 2.5. El mayor esfuerzo cortante ocurre ligeramente abajo de la superficie, donde la distancia depende de la razón de los semiejes de la elipse de contacto. Para b / a  1.0, el mayor esfuerzo cortante ocurre en z  0.63a, y para b / a  0.34 en z  0.24a. Su magnitud pico es aproximadamente 0.34pmáx.[19] En los extremos del eje mayor de la elipse de contacto, el esfuerzo de corte en la superficie es[19] T xz  1 2 N k3 ¥ 1 ¦ tanh k42 § k4 1 ´ k4 1µ pmáx ¶ (5.21c) En los extremos del eje menor de la elipse de contacto, el esfuerzo corte en la superficie es T xz  1 2 N k3 ¨ ©1 k42 ©ª ¥ k ´· k3 tan 1 ¦ 4 µ ¸ pmáx k4 § k3 ¶ ¸¹ (5.21d ) Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 381 La ubicación del mayor esfuerzo de corte en la superficie varía con la razón de la elipse k3. Para algunos casos, es como se muestra en la ecuación 5.21c, pero en otros se mueve hacia el centro de la elipse, y se obtiene de los esfuerzos principales con la ecuación 5.21a usando la ecuación 2.5 (p. 74). EJEMPLO 5-3 Esfuerzos en el seguidor coronado de leva Problema El seguidor de rodillo coronado de una leva tiene un radio moderado transversal a la dirección de rodamiento, para eliminar la necesidad de alineación crítica de su eje con el de la leva. El radio de curvatura de la leva y la carga dinámica varían alrededor de su circunferencia. ¿Cuál es el tamaño de la huella de contacto entre la leva y el seguidor, y cuáles son los peores casos de esfuerzos? Se proporciona El radio del cilindro es de 1 in con un radio en la corona de 20 in a 90° del radio del cilindro. El radio de curvatura de la leva en el punto de carga máxima es 3.46 in y es axialmente plano. Los ejes giratorios de la leva y el rodillo son paralelos, lo cual hace que el ángulo entre los dos cuerpos sea cero. La fuerza es de 250 lb, normal al plano de contacto. Suposiciones Solución Los materiales son de acero. El movimiento relativo es de rodamiento con un deslizamiento 1%. 1. Obtenga las constantes del material a partir de la ecuación 5.9a. m1  m2  1 N12 1 0.282   3.072 E 8 E1 3E 7 ( a) 2. Se necesitan dos constantes geométricas de las ecuaciones 5.19a y b. A 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 §¤ 1 B  ¨¥ 2 ¨¦ R1 © B 1 §¤ 1 ¨ 2 ¨©¦ 1 1 R1' 1 ³ ´ R1' µ 1 ³2 20 µ 2 1 R2 ¤ 1 ¥ ¦ R2 ¤ 1 ¦ 3.46 1 ³ 1 ¤1 ´ R2 ' µ 2 ¦ 1 1 ³ ´ R2 ' µ 1 ³2 cµ 2 1 20 1 3.46 1³  0.669 5 cµ (b) 1 ¤ 1 2¥ ¦ R1 1 2¤ ¦1 1 ³¤ 1 ´¥ R1' µ ¦ R2 1 ³¤ 1 20 µ ¦ 3.46 ¶2 1 ³ ´ cos 2Q· R2 ' µ · ¸ 1 ¶2 (c) 1³ cos 20 ·  0.619 5 cµ ·¸ El ángulo φ se obtiene de su razón (ecuación 5.19c), ¤ 0.6195 ³ B F  cos 1 ¤ ³  cos 1 ¥ ´  22.284n ¦ Aµ ¦ 0.6695 µ y se utiliza en las ecuaciones 5.19e (p. 380) para obtener los factores ka y kb. (d ) 5 382 DISEÑO DE MÁQUINAS ka  50.192F 0.86215 - Un Enfoque Integrado  50.19222.284 kb  0.0045333 0.04358122.284 3.7418 E 722.284 4 0.86215  3.455 0.001729222.284 1.4207 E 922.284 5 2 3.7374 E 522.284  0.415 3 (e) 3. Se usan ahora las constantes del material y la geometría en la ecuación 5.19d (p. 379). a  ka 3 3F m1 m2 4A  3.455 3 3250 23.072 E 8  0.0892 40.6695 (f) b  kb 3 5 3F m1 m2 4A  0.415 3 3250 23.072 E 8  0.0107 40.6695 donde a es la mitad del ancho del eje mayor, y b es la mitad del ancho del eje menor de la huella de contacto. El área de la huella de contacto es entonces área  Pab  P0.0892 0.0107  0.0030 in 2 ( g) 4. La presión de contacto promedio y máxima se determinan con las ecuaciones 5.18b y c (p. 379). F 250   83 281 psi área 0.003 (h) 3 3 pprom  83 281  124 921 psi 2 2 (i ) pprom  pmáx  5. Los esfuerzos máximos normales en el centro de la huella de contacto en la superficie se calculan entonces con las ecuaciones 5.21a (p. 380). S x  ¨©2 N ª  ¨©2.28 ª S y  ¨©2 N ª b · pmáx a b ¹̧ 0.0107 ·124 921  75 849 psi 1 2.28 0.0892 0.0107 ¹̧ 1 2 N 1 2 N a · pmáx a b ¹̧ ( j) 0.0892 ·124 921  119 028 psi  ¨©2.28 1 2.28 0.0892 0.0107 ¹̧ ª S z  pmáx  124 921 psi Estos esfuerzos son principales: σ1  σx, σ2  σy, σ3  σz. El esfuerzo cortante máximo asociado con ellos en la superficie es (a partir de la ecuación 2.5, p. 74): T13  S1 S3 2  75 849 124 921  24 536 psi (en la superficie) 2 (k ) 6. El mayor esfuerzo de corte bajo la superficie sobre el eje z es aproximadamente T13 0.34 pmáx  0.34124 921 42 168 psi (debajo de la superficie) (l ) Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 383 7. Todos los esfuerzos obtenidos hasta aquí se encuentran sobre la línea central de la huella. En el borde de la huella, en la superficie, también hay un esfuerzo cortante. Se obtienen dos constantes con la ecuación 5.21b (p. 380) para este cálculo. k3 = b 0.0107   0.120 a 0.0892 1 2 k4 = a a 1 b = 0.0892 2 0.0892 2 ( m) 2 0.0107  0.993 Estas constantes se usan en las ecuaciones 5.21c y d (p. 380) para obtener los esfuerzos cortantes sobre la superficie en los extremos de los ejes mayor y menor. T xz  1 2 N k3 ¥ 1 ¦ tanh k42 § k4 1 k4 ´ 1µ pmáx ¶ 5 (n) T xz  1 0.56 T xz  1 2 N T xz 0.120 ¥ 1 tanh 0.993 2 § 0.993 k3 ¨ ©1 k42 ©ª 1 0.993 1´ 124 921  12 253 psi ¶ ¥ k ´· k3 tan 1 ¦ 4 µ ¸ pmáx k4 § k3 ¶ ¸¹ 0.120 ¨  1 0.56 ©1 0.993 2 ª ( o) 0.120 0.993 ´ · tan 1 ¥ 124 921  5 522 psi § 0.993 0.120 ¶ ¸¹ 8. Los archivos EX07-03 se encuentran en el CD-ROM. 5.11 ESFUERZOS DE CONTACTO DINÁMICOS Las ecuaciones presentadas anteriormente para esfuerzos de contacto suponen que la carga es de rodamiento puro. Cuando están presentes rodamiento y deslizamiento, el campo de esfuerzos se distorsiona por la carga tangencial. La figura 5-19 muestra un estudio fotoelástico de una pareja leva-seguidor[20], cargada estáticamente (a) y cargada dinámicamente con deslizamiento (b). La distorsión del campo de esfuerzos por el movimiento deslizante se observa en el inciso (b). Esto es una combinación de contacto por rodamiento con deslizamiento a velocidad relativamente baja. El incremento del deslizamiento causa más distorsión del campo de esfuerzos. Efecto de la componente de deslizamiento sobre esfuerzos de contacto Smith y Lui[18] analizaron el caso de rodillos paralelos en rodamiento y deslizamiento combinados, y desarrollaron las ecuaciones para la distribución de esfuerzos debajo del punto de contacto. La carga de deslizamiento (friccional) tiene un efecto significativo sobre el campo de esfuerzos. Los esfuerzos se expresan como componentes separadas, un conjunto debido a la carga normal sobre los rodillos (denotado por un subíndice n) y el otro debido a la fuerza de fricción tangencial (denotado por un subíndice t). Luego se combinan para obtener la situación de esfuerzos completa. El campo de esfuerzos puede ser bidimensional en un rodillo muy corto, como una leva de placa delgada o un engrane delgado, suponiendo que sea un esfuerzo plano. Si los rodillos son axialmente grandes, entonces existirá una condición de deformación plana en regiones alejadas de los extremos, provocando un estado de esfuerzo tridimensional. 384 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado seguidor leva 5 (a) Carga estática (b) Carga dinámica FIGURA 5-19 Estudio fotoelástico de esfuerzos en dos cilindros en contacto con carga estática (a) y dinámica de rodamiento puro (b) Fuente: V.S. Mahkijani, Study of Contact Stresses as Developed on a Radial Cam Using Photoelastic Model and Finite Element Analysis, M.S. Thesis, WPI, 1984 La geometría de contacto se muestra en la figura 5-11b (p. 367) con el eje x alineado en la dirección del movimiento, el eje z radial a los rodillos, y el eje y axial a los rodillos. Los esfuerzos debidos a la carga normal pmáx son S xn  S zn  T xz n  z ¨ a2 © P ©ª 2x2 a 2z 2 2P a B · 3 x A ¸ pmáx ¸¹ z ;aB x A= pmáx P 1 2 z A pmáx P (5.22 a) y los que se deben a la fuerza unitaria de fricción ƒmáx son S xt  S zt  T xzt  1¨ 2 x x 2x 2 a 2 3z 2 A 2 P 2 a 2 x 2 z 2 B· fmáx P ©ª a a ¹̧ 1 2 z A fmáx P 1¨ 2 z z 2 x 2 2z 2 B 2P 3 xz A · fmáx a P ©ª a a ¹̧   (5.22 b)  donde los factores α y β están dados por P A= k1 1 k2 k1 k 2 2 k1 k2 k1 ¤ k1 ¥ ¦ k2 4 a 2 ³ ´ k1 µ (5.22c) Capítulo 5 B= P k1 1 2 k2 k1 z2 k2 =  a 385 (5.22 d ) ¤ k1 k2 4 a 2 ³ ¥ ´ k1 ¦ µ k2 k 2 2 k1 k1 k1 =  a + x FALLA DE SUPERFICIES x 2 z2 (5.22e) La fuerza unitaria tangencial ƒmáx se obtiene de la carga normal y el coeficiente de fricción μ. fmáx  M pmáx (5.22 f ) Las variables independientes en estas ecuaciones son entonces las coordenadas x, z en la sección transversal del rodillo, en relación con el punto de contacto, la mitad del ancho a de la huella de contacto y la carga normal máxima pmáx en el punto de contacto. Las ecuaciones 5.22 (pp. 384-385) definen el comportamiento de las funciones de esfuerzo debajo de la superficie, pero cuando z  0, los factores α y β se vuelven infinitos y tales ecuaciones fallan. Se necesitan otras formas para tomar en cuenta los esfuerzos sobre la superficie de la huella de contacto. Cuando z = 0 : si x b a entonces S x n  pmáx 1 x2 si no S x n  0 a2 S zn  S xn ( 5.23a) T xz n  0 ¥x si x r a entonces S x t  2 fmáx ¦ ¦a § ¥x si x b a entonces S x t  2 f máx ¦ ¦a § si x b a entonces S x t  2 fmáx x2 a2 x2 a2 ´ 1µ µ ¶ ´ 1µ µ ¶ x a S zt  0 si x b a entonces T xzt  fmáx (5. 23b) x2 1 2 si no T xzt  0 a (5.23c) El esfuerzo total sobre cada plano cartesiano se obtiene superponiendo las componentes debidas a las cargas normal y tangencial: S x  S xn S xt S z  S z n S zt T xz  T xz n T xzt ( 5.24 a) Para rodillos cortos en esfuerzo plano, σy  0, pero si los rodillos son axialmente largos, entonces se presenta una condición de deformación plana lejos de los extremos, por lo cual el esfuerzo en la dirección y es: 5 386 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado S y = N S x + S z (5.24b) donde ν es la razón de Poisson. Los esfuerzos son máximos en la superficie y disminuyen con la profundidad. Excepto para razones muy bajas de fuerza tangencial a fuerza normal ( de aprox. 1/9),[18],[21] el esfuerzo cortante máximo también ocurre en la superficie, a diferencia del caso de rodamiento puro. Se hizo un programa de computadora que evaluara las ecuaciones 5.22 y 5.23 (pp. 384-385) para las condiciones en la superficie y graficarlas. (Véase el archivo CONTACT.EXE). Todos los esfuerzos son normalizados con la carga normal máxima pmáx y las ubicaciones se normalizan con la mitad del ancho a de la huella. Para los ejemplos, se suponen un coeficiente de fricción de 0.33 y rodillos de acero con ν  0.28. Las magnitudes y formas de las distribuciones de esfuerzos son una función de estos factores. 5 La figura 5-20a muestra los esfuerzos en la dirección x en la superficie, los cuales se deben a las cargas normal y tangencial, y también muestra su suma a partir de la primera de las ecuaciones 5.24a. Observe que la componente del esfuerzo σxt debida a la fuerza tangencial es de tensión: desde el punto de contacto hasta más allá del extremo de arrastre de la huella de contacto. Esto no debería sorprender, ya que uno puede imaginar que la fuerza tangencial intenta amontonar material enfrente del punto de contacto y estirarlo detrás de ese punto, justo como una alfombra se amontona enfrente de algo cuando trata de pasar a través de esto. La componente del esfuerzo σxn debida a la fuerza normal es de compresión en cualquier lugar. Sin embargo, la suma de las dos componentes σx tiene un valor a la tensión significativo normalizado del doble del coeficiente de fricción (aquí es de 0.66 pmáx) y un pico compresivo de aproximadamente 1.2 pmáx. La figura 5.20b muestra todos los esfuerzos aplicados en las direcciones x, y y z a través de la superficie de la zona de contacto. Observe que los campos de esfuerzos sobre la superficie se extienden más allá de la zona de contacto cuando está presente una fuerza tangencial, a diferencia de la situación de rodamiento puro donde se encuentran dentro de la zona de contacto. (Véase la figura 5-17 (p. 376) y el programa CONTACT.EXE). La figura 5-21 ilustra los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo de Von Mises para la deformación plana, y el estado de esfuerzo aplicado de la figura 5-20. Observe que la magnitud del esfuerzo principal más grande de compresión 1.0 1.0 0.5 esfuerzo pmáx 0.5 Sxt x a 0 @z/a=0 –0.5 esfuerzo pmáx 0 @z/a=0 –0.5 Sy Sxn –1.0 –1.0 Sz Sx –1.5 –2 –1 x a Txz 0 Sx 1 2 (a) Componentes normal y tangencial de Sx –1.5 –2 –1 0 1 2 (b) Todos los esfuerzos aplicados en la superficie de la huella de contacto FIGURA 5-20 Esfuerzos aplicados tangencial, normal y cortante en la superficie de cilindros con rodamiento y deslizamiento combinados con M = 0.33 Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 387 1.0 S'máx = 0.73 pmáx S' @ x / a = 0.2 0.5 T13máx = 0.40 pmáx @ x / a = 0.4 esfuerzo pmáx S1máx = –0.59 pmáx @z/a=0 T13 0 S1 S2 –0.5 @ x / a = 0.3 S2máx = –0.72 pmáx x a –1.0 @ x / a = 0.3 S3 S3máx = –1.38 pmáx –1.5 @ x / a = 0.3 –2 –1 0 1 2 5 ancho normalizado x / a FIGURA 5-21 Esfuerzos principal y de von Mises a través de la zona de contacto en la superficie para cilindros con rodamiento y deslizamiento combinados con M = 0.33 es de aproximadamente 1.38 pmáx y el mayor esfuerzo principal de tensión es de 0.66pmáx en el extremo de arrastre de la huella de contacto. La presencia de un esfuerzo cortante aplicado tangencial en este ejemplo incrementa 40% el esfuerzo de compresión pico en relación con el caso de rodamiento puro, e introduce un esfuerzo de tensión en el material. El esfuerzo cortante principal alcanza un valor pico de 0.40pmáx en x / a  0.4. Todos los esfuerzos mostrados en las figuras 5-19 y 5-20 se encuentran en la superficie de los rodillos. Debajo de la superficie, se reducen las magnitudes de los esfuerzos de compresión debidos a la carga normal. Sin embargo, el esfuerzo cortante τxzn debido a la carga normal se incrementa con la profundidad, volviéndose máximo debajo de la superficie en z  0.5a, como se observa en la figura 5-22. Observe el signo contrario en el punto medio de la zona de contacto. Existen componentes de esfuerzo cortante de ciclo invertido que actúan sobre cada elemento diferencial del material conforme éste pasa a través de la zona de contacto. El intervalo pico a pico de este ciclo de esfuerzo cortante invertido en el plano xz es mayor en magnitud que el rango del esfuerzo cortante máximo, y se considera como responsable de las fallas por picadura en la subsuperficie.[17] 0.3 0.2 Txz normal 0.1 esfuerzo pmáx @ z / a = 0.5 x a 0 –0.1 Txz tangente –0.2 0.5pmáx para cualquier M Txz total –0.3 –0.4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ancho normalizado x / a FIGURA 5-22 Esfuerzos de corte debajo de la superficie en z / a = 0.5 para cilindros con rodamiento y deslizamiento combinados, graficados con M = 0.33 388 DISEÑO DE MÁQUINAS S' @z/a=0 0.5 @z/a=0 esfuerzo pmáx S1máx = –0.59 pmáx @ x / a = 0.3 @z/a=0 T13 z a 0 S1 –0.5 S2 S2máx = –0.72 pmáx –1.0 @z/a=0 S3máx = –1.38 pmáx 5 Un Enfoque Integrado 1.0 S'máx = 0.73 pmáx T13máx = 0.40 pmáx - –1.5 @z/a=0 S3 0 1 2 3 4 profundidad normalizada z / a FIGURA 5-23 Esfuerzos principales y de von Mises debajo de la superficie en x / a = 0.3 para cilindros con rodamiento y deslizamiento combinados con M = 0.33 La figura 5-23 grafica los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo de Von Mises (calculados para μ  0.33 y una condición de deformación plana) contra la profundidad normalizada z / a tomada en el plano x / a  0.3 (donde los esfuerzos principales son máximos, como se indica en la figura 5-21). Todos los esfuerzos son máximos en la superficie. Los esfuerzos principales disminuyen rápidamente con la profundidad, pero los esfuerzos cortante y de Von Mises permanecen casi constantes en la primera 1a de profundidad. En la superficie, el esfuerzo cortante máximo es relativamente uniforme a través del ancho de la huella con un pico de 0.4 en x / a  0.4 cuando μ  0.33, como se ilustra en la figura 5-21. Esta ubicación pico de τmáx se mueve en relación con la línea central de la huella con el incremento de la profundidad, pero su magnitud varía sólo ligeramente con la profundidad. La figura 5-24 grafica el mayor valor del pico del esfuerzo cortante τ13 que ocurre en cualquier valor de x a través de la zona de la huella y, por lo tanto, es una gráfica compuesta por el valor pico del esfuerzo cortante en cada plano z. Para 0  μ  0.5, el valor pico permanece dentro del 60 al 80% de su valor más grande en la primera a de profundidad y es, todavía, del 58 al 70% de su valor pico en z / a  2.0. Conforme el coeficiente de fricción se incrementa hasta 0.5 o más, el valor normalizado del esfuerzo cortante máximo se vuelve igual a μ y es constante a través de la superficie de la huella de contacto. La variación limitada de τmáx a pequeñas profundidades de z explicaría por qué algunas fallas por picadura parecen iniciar en la superficie y un poco abajo de ésta. Con una magnitud relativamente uniforme del esfuerzo cortante máximo en toda la región valores pico de T13 en x esfuerzo pmáx claves 0.5 0 0 1 2 3 4 z a M 0.50 0.33 0.00 profundidad normalizada z / a FIGURA 5-24 Valores pico del esfuerzo cortante máximo para todos los valores de x / a en cilindros con rodamiento y deslizamiento combinados con 0 b M b 0.5 Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 389 cerca de la superficie, cualquier inclusión de material en esa región crea una concentración de esfuerzos y sirve como un punto de iniciación de una grieta. El hecho de que el valor pico del esfuerzo cortante máximo ocurra en ubicaciones transversales ligeramente diferentes a distintas profundidades dentro de la zona de contacto es irrelevante, ya que una inclusión a cualquier profundidad específica pasa por la ubicación una vez por cada revolución exponiéndose al valor pico del esfuerzo. Los programas CONTACT, SURFCYLZ y SURFCYLX del disco resuelven y grafican las ecuaciones 5.22, 5.23 y 5.24 (pp. 385-386) para cualquier especificación del usuario de geometría del rodillo, materiales, carga y coeficiente de fricción, en cualquier intervalo especificado de ubicaciones por debajo y a lo largo de la superficie. EJEMPLO 5-4 5 Esfuerzos en cilindros con rodamiento y deslizamiento combinados Problema El par de rodillos de calandrado funcionan juntos con una combinación de rodamiento y deslizamiento. Obtenga los esfuerzos máximos de tensión, de compresión y cortante en los rodillos. Se proporciona Los radios de los rodillos son de 1.25 y 2.5 in, y los dos miden 24 in de largo. La fuerza es de 5000 lb, normal al plano de contacto. Suposiciones Ambos materiales son de acero. El coeficiente de fricción es de 0.33. Solución 1. La geometría de la huella de contacto se obtiene del mismo modo como se hizo en el ejemplo 5-2. Se determinan las constantes del material con la ecuación 5.9a (p. 369). m1  m2  1 N12 1 0.282   3.072 E 8 E1 3E 7 ( a) La constante geométrica se obtiene de la ecuación 5.15a (p. 375) B 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 ³ 1¤ 1 ´ R2 µ 2 ¦ 1.25 1 ³  0.600 2.5 µ (b) y la mitad del ancho de la huella de la ecuación 5.15b (p. 375). a 2 m1 m2 F 2 23.072 E 8 ¤ 5000 ³  0.003 685 in  ¤ ³ ¦ Pµ ¦ 24 µ 0.600 P B L (c) donde a es la mitad del ancho de la huella de contacto. El área rectangular de la huella de contacto es, entonces, area  2 aL  2 0.003 685 24  0.1769 in 2 (d ) 2. La presión de contacto promedio y máxima se determina ahora con las ecuaciones 5.14b y c (p. 375). pprom  F 5000   28 266 psi área 0.1769 (e) 390 DISEÑO DE MÁQUINAS - pmáx  Un Enfoque Integrado 25000 2F   35 989 psi PaL P0.003 7 24 (f) La presión tangencial se obtiene de la ecuación 5.22f (p. 385): fmáx  M pmáx  0.3335 989  11 876 psi ( g) 3. Con μ  0.33, los esfuerzos principales en la zona de contacto son máximos sobre la superficie (z  0) en x  0.3a a partir de la línea central, como se muestra en las figuras 5-20 (p. 386) y 5-22 (p. 387). Las componentes de esfuerzos aplicados se obtienen de la ecuación 5.23a (p. 385) para la fuerza normal, y de la ecuación 5.23b (p. 385) para la fuerza tangencial. 5 S x n  pmáx 1 S x t  2 fmáx x2  35 989 1 0.32  34 331 psi a2 x  211 876 0.3  7 126 psi a x2  35 989 1 0.32  34 331 psi 2 a S z n  pmáx 1 S zt  0 T xzt  (h) (i ) T xz n  0 fmáx 1 x2  11 876 1 0.32  11 329 psi a2 ( j) 4. Las ecuaciones 5.24a y b (pp. 385-386) se resuelven ahora para los esfuerzos totales aplicados a lo largo de los ejes x, y y z. S x  S xn S x t  34 331 7 126  41 457 psi (k ) S z  S zn S z t  34 331 0  34 331 psi (l ) T xz  T xz n T xz t  0 11 329  11 329 psi ( m) 5. Como los rodillos son largos, se espera que haya una condición de deformación plana. El esfuerzo en tercera dimensión se obtiene de la ecuación 5.24b (p. 386): S y = NS x + S z  0.28 41 457 34 331  21 221 psi (n) 6. A diferencia del caso de rodamiento puro, estos esfuerzos no son principales debido al esfuerzo cortante aplicado. Los esfuerzos principales se calculan con la ecuación 2.4 (p. 74) utilizando una solución de búsqueda de raíz cúbica (Véase el programa MOHR o el archivo STRESS3D). S1  21 221 psi S 2  26 018 psi (o) S 3  49 771 psi El esfuerzo cortante máximo se obtiene de los esfuerzos principales usando la ecuación 2.5 (p. 74). T13  S1 S3 2  21 221 49 771  14 275 psi 2 ( p) Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 391 7. Los esfuerzos principales son máximos en la superficie, como se observa en las figuras 5-20 y 5-22. 8. Los archivos EX07-04 se encuentran en el CD-ROM. 5.12 MODELOS DE FALLA POR FATIGA SUPERFICIAL: CONTACTO DINÁMICO Todavía existe algún desacuerdo entre los expertos acerca del mecanismo real de falla que causa la picadura y el descascarado de superficies. La posibilidad de tener un esfuerzo cortante máximo en una ubicación debajo de la superficie (en rodamiento puro) ha llevado a algunos a concluir que la picadura se inicia en esta ubicación o cerca de ella. Otros han concluido que la picadura se inicia en la superficie. Es posible que funcionen ambos mecanismos en tales casos, ya que la iniciación de la falla por lo general comienza en una imperfección, la cual puede estar sobre la superficie o debajo de ésta. La figura 5-25 muestra grietas tanto en la superficie como en la subsuperficie, en el caso de un rodillo de acero con funda endurecida sometido a cargas de rodamiento pesadas.[22] En 1935 Way[23] realizó un estudio experimental extensivo acerca de la picadura por contacto de rodamiento. Se hicieron cerca de 80 pruebas de contacto, rodamiento puro, rodillos paralelos de diferentes materiales, lubricantes y cargas, corriendo por arriba de 18 millones de ciclos; sin embargo, la mayoría de muestras fallaron entre los 0.5E6 y 1.5E6 ciclos. Se monitorearon las muestras con aparentes grietas superficiales diminutas, las cuales presagian inevitablemente una falla por picadura en menos de 100 000 ciclos adicionales en presencia de un lubricante. Las superficies más duras y más lisas resistieron mejor la falla por picadura. Las muestras muy pulidas no fallaron durante 12E6 ciclos. Los rodillos sometidos a nitruración con fundas muy duras sobre un núcleo blando tuvieron vidas mayores que otros materiales probados. No ocurrió la picadura sobre las muestras en ausencia de un lubricante, aun cuando la corrida en seco produjo grietas en la superficie. Las piezas agrietadas continuaron corriendo en seco sin falla, por lo menos hasta 5E6 ciclos hasta que se agregó algún lubricante. Luego, aparecieron grietas en la superficie que se extendieron grieta superficial grieta superficial Superficie grieta debajo de la superficie FIGURA 5-25 Microfotografía (100x) de grietas en la superficie y la subsuperficie de un rodillo carburizado y endurecido (HRC 52-58) sometido a una carga por rodamiento pesado Fuente: J.D. Graham, Pitting of Gear Teeth, en C. Lipson, Handbook of Mechanical Wear, U. Mich. Press, 1961, p. 137, con autorización 5 392 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado rápidamente y causaron picadura en una forma característica de puntas de flecha dentro de los 100 000 ciclos adicionales. La explicación sugerida para este efecto nocivo del lubricante fue que una vez que se forman grietas superficiales orientadas adecuadamente, son bombeadas completamente con aceite al acercarse al apriete del rodillo y después se presionan estrechamente dentro del apriete, presurizando el fluido atrapado en la grieta. La presión del fluido crea esfuerzos de tensión en la punta de la grieta, lo que favorece el rápido crecimiento de la grieta y origina el picado. Los lubricantes de alta viscosidad no eliminan el contacto metal contra metal, pero retrasan la falla por picadura, lo cual indica que el fluido debería entrar fácilmente en la grieta para causar el daño. Way llegó a diversas conclusiones para retrasar la falla por fatiga superficial mediante el diseño de los rodillos.[23] 5 1. No usar aceite (aunque se apresuró a señalar que no es una solución práctica, ya que esto estimula otros tipos de desgaste, como se analizó en las secciones anteriores). 2. Incrementar la viscosidad del lubricante. 3. Pulir las superficies (aunque esto resulta costoso). 4. Incrementar la dureza de la superficie (sobre todo con un núcleo más blando y tenaz). No hubo conclusiones en relación con los motivos para la iniciación de las grietas sobre la superficie. Aunque en rodamiento puro, los esfuerzos cortante no son máximos en la superficie, ahí son diferentes de cero en algunas ubicaciones (véase las figuras 5-12, p. 369 y 5-17, p. 376). En 1966 Littmann y Widner[24] ejecutaron un extenso estudio analítico y experimental sobre fatiga por contacto, y describieron cinco modos de falla distintos en rodillos en contacto. Éstos se listan en la tabla 5-6 junto con algunos factores que favorecen su ocurrencia. Algunos de estos modos apuntan al asunto de iniciación de la grieta; y otros, al de propagación de la grieta. Se estudiarán brevemente cada uno en el orden listado. ORIGEN EN UNA INCLUSIÓN Describe un mecanismo de iniciación de la grieta que es similar al que se examinó en la sección 4.1 en falla por fatiga. Se supone que la grieta se origina en un campo de esfuerzo cortante, en una ubicación de la subsuperficie o de la superficie que contiene una pequeña inclusión de materia “extraña”. Las inclusiones más comunes son óxidos del material, que se formaron durante su proceso y quedaron atrapadas Tabla 5-6 Modos de falla superficial y sus causas Modo de falla Factores que favorecen la ocurrencia Origen de inclusión Frecuencia y severidad de oxidación u otras inclusiones duras. Concentración de esfuerzo geométrico Geometría del borde en contacto. Desalineación y deflexiones. Posibles efectos del espesor de la película lubricante. Origen en un punto de la superficie (PSO) Escasa viscosidad del lubricante. Película elastohidrodinámica delgada comparada con las asperezas de las superficies en contacto. Fuerzas tangenciales y/o deslizamiento burdo. Descascaramiento (picadura superficial) Escasa viscosidad del lubricante. Asperezas frecuentes en el acabado superficial que exceden el espesor de la película elastohidrodinámica. Pérdida de presión elastohidrodinámica debida a fuga lateral o a raspaduras en la superficie de contacto. Subcaso de fatiga (en componentes carburizadas) Baja dureza del núcleo. Escasa profundidad de la funda en relación con el radio de curvatura de los elementos en contacto. Fuente: W.E. Littmann y R.L. Widner, Propagation of Contact Fatigue from Surface and Subsurface Origins, J. Basic Eng. Trans. ASME, vol. 88, pp. 624-636, 1996. Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 393 en él. Éstas son típicamente duras y de forma irregular, y provocan concentración de esfuerzos. Varios investigadores[25],[26],[27] han publicado microfotografías (o identificadas de otro modo) de grietas debajo de la superficie que se iniciaron con inclusiones de óxido. “Tales inclusiones de óxido se presentan con frecuencia como una cadena o agregados alargados de partículas…, que tienen una mucho mayor probabilidad para que un punto con alta concentración de esfuerzos se encuentre en posición desfavorable con respecto al esfuerzo aplicado”.[28] La propagación de la grieta a partir de la inclusión podría permanecer debajo de la superficie o incluso romper la superficie. En el último caso, esto genera un sitio para la propagación de la presión hidráulica, como se describió anteriormente. En cualquier caso, al final, el resultado es picadura o descascarado. CONCENTRACIÓN DE ESFUERZO GEOMÉTRICO (GSC) Se analizó en el capítulo 2. Este mecanismo puede actuar sobre la superficie cuando, por ejemplo, una pieza en contacto es axialmente más corta que la otra (común en juntas leva-seguidor y cojinetes de rodillos). Los extremos del rodillo más corto crean concentración de esfuerzo en la línea de contacto con el rodillo aparejado, como se muestra en la figura 5-26a, y probablemente ocurrirá la picadura o el descascarado en esa ubicación. Éste es un buen motivo para usar rodillos con corona, los cuales tienen un radio de curvatura grande en la corona en el plano yz, además del radio del rodillo en el plano xz. Si la carga de contacto es predecible, al radio de la corona se le podría dar un tamaño, para obtener una distribución más uniforme del esfuerzo a través de la longitud axial del área de contacto debido a las deflexiones de los rodillos, como se muestra en la figura 5-26b. Sin embargo, con cargas más ligeras se reduce el área de contacto y, por consiguiente, los mayores esfuerzos en el centro y las cargas de diseño más grandes que la concentración de esfuerzos regresarán a los extremos. Se puede usar una corona parcial como se ilustra en la figura 5-26c, pero podría causar alguna concentración de esfuerzo en la de transición recta a corona. Reusner[29] demostró que una curva logarítmica sobre la corona, como se ilustra en la figura 5-26d, dará una distribución de esfuerzos más uniforme con niveles de carga variables. ORIGEN EN UN PUNTO DE LA SUPERFCIE (PSO) Es el fenómeno descrito por Way que se analizó anteriormente. Littmann y otros[24] consideraron que el PSO es más un modo de propagación de la grieta que de iniciación de la grieta, y sugirieron que una inclusión en la superficie o cerca de ésta podría ser la responsable de iniciar la grieta. Las muescas o abolladuras por manipulación también suelen convertirse en el núcleo de una grieta sobre la superficie. Una vez que se presenta, y si está en la dirección adecuada para captar aceite, la grieta se propaga rápidamente hacia la falla. Una vez que comienza el descascarado, los residuos pueden crear nuevas muescas que servirán como sitios adicionales para el surgimiento de grietas. DESCASCARAMIENTO Se refiere a la situación donde las grietas por fatiga están a una profundidad superficial y se extienden por un área tan grande, que la superficie “se descascara” lejos del sustrato. Las superficies ásperas exacerban el descascaramiento si las asperezas superficiales son más grandes que el espesor de la película lubricante. FATIGA DE SUBNÚCLEO, Llamada también aplastamiento de núcleo, ocurre sólo sobre piezas con núcleo endurecida y es muy probable que si el núcleo es muy delgado, los esfuerzos debajo de la superficie se extiendan hacia el núcleo del material más débil y blando. La grieta por fatiga inicia debajo del núcleo y finalmente causa que el núcleo se colapse hacia la subsuperficie fallida del material, o bien, irrumpa hacia afuera como picaduras o descascarados. Talbourdet[34] encontró que la profundidad del núcleo debería ser, por lo menos, el doble de la profundidad del punto del esfuerzo cortante máximo; además, sugiere que para cargas unitarias altas debería estar entre 0.060 y 0.070 in. Cualquiera que sea la causa específica del inicio de una grieta, una vez iniciada, el resultado es predecible. Por ello, el diseñador necesita tomar todas las precauciones posibles para mejorar la resistencia de la pieza a la picadura, así como para todos los otros modos de desgaste. En la sección de resumen de este capítulo, se darán los lineamientos para tal objetivo. esfuerzo 5 (a) Rodillo recto esfuerzo (b) Rodillo con corona esfuerzo (c) Rodillo con corona parcial esfuerzo (d) Rodillo logarítmico FIGURA 5-26 Concentraciones de esfuerzo debajo de rodillos de formas variadas 394 DISEÑO DE MÁQUINAS 5.13 - Un Enfoque Integrado RESISTENCIA A LA FATIGA SUPERFICIAL Las cargas repetidas, que varían con el tiempo, tienden a hacer fallar las piezas a menores niveles de esfuerzo de los que soportaría el material en aplicaciones de carga estática. Las resistencias a la fatiga en la flexión y axial se analizaron ampliamente en el capítulo 4. El concepto de resistencia a la fatiga superficial es similar, excepto por una diferencia básica. Mientras que los aceros y otros cuantos materiales más muestran un límite de resistencia cuando se cargan a la flexión o axialmente, ningún material en general tiene una propiedad equivalente cuando una carga produce fatiga superficial. Por lo tanto, se debe esperar que la máquina, aun cuando sea cuidadosamente diseñada en contra de todos los otros tipos de falla, a final de cuentas sucumbirá a la fatiga superficial, si se carga durante los ciclos suficientes.* Morrison[30] y Cram[31] reportaron por separado los resultados de un estudio experimental sobre resistencia a la fatiga superficial en materiales, realizado en USM Corp. de 1932 a 1956 por G. Talbourdet.[34] Se operaron cuatro máquinas de prueba al desgaste 24 horas diarias durante 24 años en aproximadamente 1000 rpm para reunir datos de resistencia a la fatiga superficial en hierro colado, acero, bronce, aluminio y materiales no metálicos. Sus pruebas incluyeron rodillos en rodamiento puro, así como rodamiento más porcentajes variables de deslizamiento del rodillo conductor, hasta de un 75%. La mayoría de los datos de rodillo/deslizamiento se obtuvieron con 9% de deslizamiento, ya que estimula las condiciones promedio en que operan engranes rectos y helicoidales. El porcentaje de deslizamiento se define como la velocidad relativa de deslizamiento entre los rodillos o los dientes del engrane, dividida entre la velocidad de la línea de paso en el punto de contacto. 5 En secciones anteriores se demostró la complejidad del estado de esfuerzos que existe en las regiones superficiales y debajo de la superficie, en la zona de contacto de cilindros aparejados, esferas u otros cuerpos. El análisis anterior acerca de los mecanismos de iniciación de una grieta indica que la ubicación de una grieta incipiente es bastante impredecible, dada la distribución aleatoria de las inclusiones en el material. Por lo tanto, es más difícil predecir exactamente la condición de esfuerzo en un punto de falla esperado en una zona de contacto, que en el caso del diseño de una viga en voladizo, por ejemplo. Este dilema se resuelve con un esfuerzo, en la zona de contacto, el cual se puede calcular fácilmente como un valor de referencia para comparar con las resistencias del material. El elegido es el mayor esfuerzo de contacto principal (de compresión) negativo. En el caso de rodamiento puro, su magnitud es igual a la presión de contacto máxima aplicada pmáx. Pero será mayor cuando el deslizamiento esté presente. * Tome nota, sin embargo, de que los avances recientes en la fabricación del acero han desarrollado el llamado acero “limpio”, hecho con niveles tan bajos de impurezas que ofrece la evidencia de un límite de resistencia para vida infinita en fatiga superficial. [T.A. Harris, Rolling Bearing Analysis, John Wiley & Sons: Nueva York, pp. 872-888, 1991.] Para desarrollar resistencias permisibles a la fatiga superficial, el material se corre comúnmente en condiciones de carga controladas (es decir, pmáx controlada), y se registra y reporta el número de ciclos de falla, junto con otros factores de carga como porcentaje de deslizamiento, lubricación, geometría del cuerpo, etcétera. Esta “resistencia virtual” se compara con la magnitud pico del esfuerzo de compresión de otras aplicaciones que tienen factores de carga similares. De este modo, la resistencia a la fatiga superficial reportada tan sólo tiene una relación indirecta con los esfuerzos reales que estuvieron presentes en la pieza de prueba y en la parte similarmente cargada. Aun cuando las ecuaciones de esfuerzo hertzianas en teoría sólo son válidas para cargas estáticas, Talbourdet encontró que los esfuerzos de compresión determinados a partir de sus pruebas extensivas estaban muy de acuerdo con los pronosticados por la ecuación de Hertz.[34] La expresión del esfuerzo estático normal por compresión de Hertz en contacto cilíndrico se obtuvo al combinar las ecuaciones 5.14b (p. 375) y 5.17a (p. 376): S z  pmáx  2F P aL (5.25a) Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 395 Se sustituye la expresión de a de la ecuación 5.15b (p. 375), se eleva al cuadrado ambos lados y se simplifica: S 2z  2 F B P L  m1 m2 (5.25b) PL m1 m2 2B (5.25c) Se despeja la carga F, F  S 2z y se incluyen términos en una constante K, F KL 2B (5.25d ) donde K  P m1 m2 S 2z (5.25e) Este factor K se llama factor de carga experimental y se utiliza para determinar la carga segura de resistencia F en un número especificado de ciclos, o bien, el número de ciclos que se pueden esperar antes de que ocurra la falla con una carga determinada. La tabla 5-7 muestra factores de carga K experimentalmente determinados, resistencias de fatiga superficial Sc y factores de resistencia λ, ζ para varios materiales que operan contra sí mismos o contra acero endurecido para herramientas.[30] Para ver la lista completa, consulte la referencia original, ya que algunos materiales se omiten aquí debido a la falta de espacio. También se abordan dos modos diferentes de carga en secciones separadas de la tabla: rodamiento puro y rodamiento con 9% de deslizamiento. La primera columna de la tabla define el material. En cada sección, las siguientes dos columnas proporcionan el valor K y la resistencia superficial a la fatiga en 1E8 ciclos, como fueron probados. Las siguientes dos columnas contienen los factores de resistencia λ y ζ, los cuales representan la pendiente y la intersección en el diagrama S-N (sobre coordenadas log-log) para la resistencia de fatiga superficial del material, como se determinó por regresión sobre cantidades grandes de datos de prueba. Tales factores se utilizan en la ecuación de la línea S-N ajustada estadísticamente, para obtener el ciclo N de vida esperada con el nivel de esfuerzos aplicado. log10 K  Z log10 N L ( 5.26) Los valores de K en la tabla 5-7 se usan directamente en la ecuación 5-25d para calcular una carga F permisible para el material seleccionado en 1E8 ciclos de esfuerzo. Para otros ciclos de vida deseados en el diseño, primero se calcula el mayor esfuerzo radial negativo (compresivo) para su diseño, a partir de las ecuaciones adecuadas definidas en las secciones anteriores. Luego, se calcula K con la ecuación 5.25e y se emplea con los valores λ y ζ de la tabla 5-7 para obtener el valor de N para la aplicación de la ecuación 5.26. Como no existe límite de resistencia a la fatiga para la carga de fatiga superficial, se esperaría que la picadura se inicie después de aproximadamente N ciclos de esfuerzo, en el nivel de esfuerzo nominal contenido en el factor calculado K. Alternativamente, se puede elegir un número deseado de ciclos N y un nivel de esfuerzo de diseño permisible σ2 para un material seleccionado calculado con las ecuaciones 5.25e (p. 395) y 5.26. Se aplica un factor de seguridad seleccionando un material con un ciclo de vida mayor que el requerido para la aplicación, o bien, dando el 5 396 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado tamaño adecuado a las piezas para tener un nivel de esfuerzos por debajo del nivel de esfuerzos calculado permisible para un número de ciclos necesario. Tabla 5-7 Datos de resistencia a la fatiga superficial para varios materiales Parte 1: Materiales que operan contra un rodillo de acero para herramientas HRC 60-62 Rodamiento puro # 5 Material K psi Sc @ 1E8 ciclos, psi 1 Acero 1020, carburizado, 0.045 in mín. de profundidad HRC 50-60 2 Acero 1020, HB 130-150 — — 3 Acero 1117, HB 130-150 1 500 89 000 4 Acero X1340, endurecido por inducción, 0.045 in mín. de profundidad HRC 45-58 10 000 5 Acero 4150, tratamiento térmico, HB 270-300, con chapado de cromo muy delgado Acero 4150, tratamiento térmico, HB 270-300, con chapado de fosfato 6 7 Acero colado 4150, tratamiento térmico, HB 270-300 8 Acero 4340, tratamiento térmico, endurecido por inducción, 0.045 in mín. de profundidad HRC 50-58 9 Acero 4340, tratamiento térmico, HB 270-300 10 12 700 L Z K psi 7.39 38.33 Sc @ 1E8 ciclos, psi L Z 10 400 99 000 13.20 61.06 — 1 720 94 000 4.78 23.45 4.21 21.41 1 150 77 000 3.63 19.12 227 000 6.56 34.24 8 200 206 000 8.51 41.31 6 060 177 000 11.18 50.29 — — — — 9 000 216 000 8.80 42.81 6 260 180 000 11.56 51.92 — — — — 2 850 121 000 17.86 69.72 259 000 14.15 66.22 9 000 216 000 14.02 63.44 13 000 — 256 000 Rodamiento y 9% de deslizamiento — — — 5 500 169 000 18.05 75.55 — — — — — 1 820 97 000 8.30 35.06 — 4 300 146 000 3.90 22.18 740 47 000 4.09 19.72 1 170 11 Acero 6150, HB 270-300 — 12 Acero maraging para herramientas, 18% Ni, endurecido al aire, HRC 48-50 — 13 Hierro gris, Cl. 20, HB 140-160 790 49 000 3.83 19.09 14 Hierro gris, Cl. 30, HB 200-220 1 120 63 000 4.24 20.92 15 Hierro gris, Cl 30, tratamiento térmico (ausrevenido) HB 255-300, chapado de fosfato 2 920 102 000 5.52 27.11 2 510 94 000 6.01 28.44 16 Hierro gris, Cl. 35, HB 225-255 2 000 86 000 11.62 46.35 1 900 84 000 8.39 35.51 17 Hierro gris, Cl. 45, HB 220-240 — — — — 1 070 65 000 3.77 19.41 18 Hierro nodular, Gr. 80-60-03, tratamiento térmico, HB 207-241 10.09 41.53 1 960 93 000 5.56 26.31 19 Hierro nodular, Gr. 100-70-03, tratamiento térmico, HB 240-260 20 Níquel bronce, HB 80-90 21 Fundido de arena, bronce-fósforo SAE 65, HB 65-75 22 Bronce fund.-cont. SAE 660, HB 75-80 23 Bronce aluminio 24 25 26 — — 96 000 3.10 17.51 Acero 6150, HB 300-320 2 100 78 000 — — — — — — — — — — — 3 570 122 000 13.04 54.33 1 390 73 000 6.01 26.89 — — — — 730 52 000 2.84 16.13 350 36 000 2.39 14.08 320 33 000 1.94 12.87 — — 2 500 98 000 5.87 — 27.97 — — Zinc colado, HB 70 250 28 000 3.07 15.35 220 26 000 Resina de acetato 620 — — — 580 — — — Caucho de poliuretano 240 — — — — — — — — — 3.11 — 15.29 Capítulo 5 Tabla 5-7 FALLA DE SUPERFICIES 397 Datos de resistencia a la fatiga superficial para varios materiales Parte 2: Materiales que operan contra el mismo material Rodamiento puro Rodamiento y 9% de deslizamiento Sc @ 1E8 ciclos, psi L Z K psi Sc @ 1E8 ciclos, psi L Z 2 900 122 000 7.84 35.17 1 450 87 000 6.38 28.23 — — — 2 290 109 000 4.10 21.79 29 Acero 4150, tratamiento térmico, HB 270-300 y el mismo chapado pero fosfatado 6 770 187 000 10.46 48.09 2 320 110 000 9.58 40.24 30 Acero 4150 con plomo, chapado con fosfato, tratamiento térmico, HB 270-300 — — — — 3 050 125 000 6.63 31.1 10 300 230 000 18.13 80.74 5 200 164 000 26.19 105.31 960 45 000 3.05 17.10 920 43 900 3.55 18.52 33 Hierro gris, Cl. 30, tratamiento térmico (ausrevenido) HB 270-290 3 800 102 000 7.25 33.97 3 500 97 000 7.87 35.90 34 Hierro nodular, Gr. 80-60-03, tratamiento térmico HB 207-241 3 500 117 000 4.69 24.65 1 750 82 000 4.18 21.56 35 Meehanita, HB 190-240 1 600 80 000 4.77 23.27 1 450 76 500 4.94 23.64 # Material 27 Acero 1020, HB 130-170 y el mismo chapado pero fosfatado 28 Acero 1144 CD acero, HB 260-290 (probado al esfuerzo) 31 Acero 4340, tratamiento térmico, HB 320-340, y el mismo chapado pero fosfatado 32 Hierro gris, Cl. 20, HB 130-180 K psi — 36 Aluminio 6061-T6, chapado anodizado duro 350 — 10.27 34.15 260 — 5.02 20.12 37 Magnesio HK31XA-T6, chapado HAE 175 — 6.46 22.53 275 — 11.07 35.02 Fuente: R.A. Morrison, “Load/Life Curves for Gear and Cam Materials”, Machine Design, vol. 40, pp. 102-108, 1 de ago. de 1968, A Penton Publication, Cleveland, Ohio, con autorización del editor. Los valores de resistencia de la tabla 5-7 se obtuvieron utilizando rodillos en contacto, lubricados con un aceite mineral ligero de 280-320 SSU a 100 °F. Los investigadores reportaron que “ocurre una transición ordenada de la fatiga por picadura al desgaste abrasivo, conforme se incrementa el porcentaje de deslizamiento”. Notaron que las fallas por picadura se presentaron con un deslizamiento tan alto como el 300% en algunos hierros fundidos, en tanto que el desgaste abrasivo se presentó con un porcentaje de deslizamiento tan bajo como el 9% en aceros endurecidos con altos esfuerzos. También observaron que el agregado de recubrimientos de óxido, los lubricantes fortalecidos (EP, presión extrema) o el plomo como un elemento de aleación reducían los niveles de esfuerzo tangencial, y se incrementó la vida a la fatiga o el porcentaje permisible de deslizamiento. La suma de recubrimientos de fosfato a las superficies redujo el centelleo de lubricante, redujo el coeficiente de fricción y también incrementó la vida a la fatiga. Se detectó evidencia del inicio del picado, tanto superficial con un porcentaje alto de deslizamiento, como debajo de la superficie en rodamiento puro o en situaciones con porcentaje bajo de deslizamiento.[30] El incremento en los porcentajes de deslizamiento reduce la vida a la fatiga, pero no linealmente. La figura 5-27 (p. 398) muestra algunas curvas S-N (de la referencia 30) para tres materiales con varios porcentajes de deslizamiento. La velocidad del ciclo del esfuerzo sólo afecta a los materiales no metálicos, donde el calor por fricción ampolla el material o lo hace ceder. Sin embargo, la rigidez del material es un factor. Un módulo menor del material reduce el esfuerzo de contacto debido a que sus deflexiones grandes incrementan el área de la huella de contacto. El hierro fundido sobre hierro fundido tiene una vida más larga que el hierro fundido sobre acero endurecido. El grafito libre en hierro fundido también hace a éste una buena elección en situaciones de contacto, ya que actúa para retardar la adhesión como si fuera un lubricante seco, aun cuando los hierros fundidos de menor grado tienen resistencias demasiado bajas 5 398 DISEÑO DE MÁQUINAS 104 Factor de carga-esfuerzo K - Un Enfoque Integrado 8 6 hierro nodular 4 hierro fundido clase 45 2 (a) 103 105 2 4 6 8 106 2 4 6 8 107 2 4 6 8 108 Número de ciclos 104 5 8 6 4 Factor de carga-esfuerzo K rodamiento y deslizamiento del 9% 2 rodamiento y deslizamiento del 42.8% 103 8 6 (b) rodamiento y deslizamiento del 300% 4 2 103 105 2 4 6 8 106 2 4 6 8 107 2 4 6 8 108 Número de ciclos 2 104 Factor de carga-esfuerzo K (c) rodamiento puro 8 6 rodamiento y deslizamiento del 9% 4 rodamiento y deslizamiento del 42.8% 2 103 105 rodamiento y deslizamiento del 9% (con plomo) 2 4 6 8 106 2 4 6 8 107 2 4 6 8 108 Número de ciclos Curvas típicas que muestran relaciones de carga-vida para materiales comunes para engranes y levas. Las curvas en el inciso (a) son para hierro nodular 100-70-30 (HB 240-260) y hierro colado gris clase 45 (HB 220-240); ambos materiales corren sobre acero al carbón para herramientas (HRC 60-62). Las curvas del inciso (b) son para bronce colado continuo que corre sobre acero endurecido. Las curvas en el inciso (c) son para acero 4150 con tratamiento térmico que corre contra el mismo material, pero recubierto con fosfato. En todas las gráficas, el 9% de velocidad de deslizamiento es de 54 fpm; la velocidad de deslizamiento de 42.8% es 221 fpm. F I G U R A 5 -27 Curvas de carga-vida en algunas combinaciones de materiales con rodamiento y deslizamiento combinados Fuente: R.A. Morrison, “Load/Life Curves for Gear and Cam Materials”, Machine Design, vol. 40, pp. 102-108, 1 de agosto de 1968, A. Penton Publication, Cleveland Ohio, con autorización FALLA DE SUPERFICIES 399 Presión de contacto [MPa] Capítulo 5 5 Número de ciclos FIGURA 5-28 Diagramas S-N de fatiga superficial para dos casos de aceros con núcleo endurecido[35] para usarse en esta situación. El hierro nodular en sus formas más duras sería una mejor elección. No se encontró una relación cercana entre la dureza del material y su resistencia superficial. Algunos aceros más blandos funcionaron mejor que los más duros.[30] Datos de prueba más recientes sobre fatiga superficial fueron reportados por Hoffman y Jandeska.[35] Varios casos de aleaciones de acero con núcleo endurecido y materiales metálicos en polvo (PM), que se usan comúnmente en transmisiones automotrices, estuvieron sometidos a contacto de rodamiento cilíndrico bajo condiciones controladas de carga, lubricación y de porcentaje de deslizamiento. Se usaron los métodos actuales de Eddy para detectar la iniciación de grietas y la rapidez de crecimiento de las mismas. Observaron el inicio de las grietas en la superficie y debajo de ella en varias pruebas. Las grietas superficiales pueden iniciar en micropicaduras que se forman por lubricación insuficiente o por la existencia previa de inclusiones y crecen hacia adentro del material en un ángulo de 30°, conducidas por el esfuerzo cortante. Las grietas debajo de la superficie usualmente se forman en regiones con los mayores esfuerzos de Von Mises; primero crecen paralelas a la superficie antes de dirigirse hacia la superficie y formar picaduras. Un tercer modo de falla que se observó fue el aplastamiento del núcleo o fatiga de la subfunda sobre el núcleo más suave, debido a un tratamiento térmico insuficiente. La figura 5-28 muestra las curvas S-N con bandas de dispersión de dos aleaciones de acero con núcleo endurecido. Observe que las curvas nunca son horizontales, aunque una tiene la menor pendiente negativa después de una articulación de rodilla. Esto es evidencia adicional acerca de la carencia de una resistencia límite de fatiga superficial. EJEMPLO 5-5 Obtención del factor de seguridad en fatiga superficial Problema Seleccione un material para proporcionar 10 años de vida a los rodillos del ejemplo 5-4. Se proporciona Los rodillos tienen radios de 1.25 y 2.5 in y los dos tienen 24 in de largo. Los esfuerzos principales se muestran en el ejemplo 5-4. El rodillo más pequeño gira a 4 000 rpm. 400 DISEÑO DE MÁQUINAS Suposiciones - Un Enfoque Integrado Hay un deslizamiento de 9% combinado con rodamiento. Ambos materiales son del mismo acero. La máquina operará 3 turnos/día durante 345 días/año. Solución 1. Calcule los ciclos de vida requeridos para los datos proporcionados: ciclos  4 000 rev min hr día – 60 – 24 – 345 – 10 año  2.0 E10 min hr día año (a ) 2. El esfuerzo normal máximo calculado en el ejemplo 5-4 es de 49 771 psi por compresión. Su factor K se determina con la ecuación 5.25d (p. 395). Se necesitan las constantes del material m1 y m2 previamente calculadas: m1  m2  5 K  P  m1 1 N12 1 0.282   3.072 E 8 E1 3E 7 m2 S 2z  2 P3.072 E 8  49 771 2  478 (b) (c ) 3. Se debe seleccionar un material de prueba de la tabla 5-7 (pp. 396-397). Con un K tan bajo como esto, se podría usar casi cualquiera de esos aceros. Se intentará con el acero SAE 1020 HB 130-170 recubierto con fosfato (# 27 en la parte 2 de la tabla), ya que los mismos materiales están corriendo juntos. Los factores de pendiente e intersección de este acero para rodamiento con 9% de deslizamiento son L  6.38 Z  28.23 (d ) 4. Éstos se usan en la ecuación 5.26 (p. 395), junto con el valor de K de la ecuación c de arriba, para obtener el número de ciclos que se esperan con esta carga, antes de que se inicie la picadura. log10 K  log10 Nvida  Z Z log10 Nvida L L log10 K  28.23 Nvida = 10 28.23 6.38 log10  478 6.38 log10  478 (e)  1.4 E11 5. Ahora se calcula el factor de seguridad contra el picado a partir de la razón entre el ciclo de vida proyectado y el número de ciclos deseado. Nf  Nvida ciclos  1.4 E11  6.9 2.0 E10 (f) 6. Los archivos EX07-05 se encuentran en el CD-ROM. 5.14 RESUMEN En este capítulo se presentó una breve introducción al tema tan amplio de desgaste superficial. En general, se considera que el desgaste se divide en cinco categorías: desgaste adhesivo, desgaste abrasivo, erosión, desgaste corrosivo y fatiga superficial. Otros mecanismos tales como la fatiga por corrosión y desgaste por corrosión combinan elementos de más de una categoría. El desgaste por lo general requiere que haya movimiento relativo entre dos superficies. El desgaste adhesivo ocurre cuando las asperezas de dos superficies apareadas se adhieren entre sí y, luego, se rompen cuando ocurre deslizamiento, transfiriendo material de una pieza a la otra, o fuera del sistema. En el desgaste abrasivo intervienen una superficie áspera y dura que desgasta el material de una más blanda, o bien, partículas duras sueltas atrapadas entre las dos superficies que se desgastan. Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 401 El desgaste por corrosión ocurre cuando está presente una atmósfera corrosiva (como el oxígeno) que ataca la superficie del material, en combinación con el deslizamiento que rompe los óxidos u otros contaminantes libres en la superficie. Esto expone nuevo material a los elementos corrosivos y también convierte los productos frecuentemente duros de la corrosión en abrasivos. La fatiga por corrosión se refiere a la combinación de un ambiente corrosivo con esfuerzos cíclicos. Esta combinación es particularmente nociva y reduce en forma drástica la vida de los materiales. El desgaste por frotamiento ocurre en juntas apretadas (ajustes con interferencia) donde no hay movimiento brusco. Los movimientos vibratorios diminutos son suficientes para generar un proceso de desgaste corrosivo llamado desgaste por frotamiento, que puede remover con el tiempo volúmenes significativos de material. La fatiga superficial ocurre en contactos de rodamiento puro o contactos de rodamiento-deslizamiento, pero no en situaciones de deslizamiento puro. Los esfuerzos de contacto muy altos generados en áreas de contacto pequeñas actúan para causar falla por fatiga del material, después de muchos miles de ciclos de esfuerzo repetido. El picado es la pérdida de pequeñas piezas de material de la superficie, que dejan atrás carcomidos, los cuales se convierten en áreas más grandes de material superficial escamado, llamadas descascarado. Normalmente se percibe una advertencia audible cuando se inicia el proceso de picadura. Si no se atiende, causará un gran daño a la pieza. Se requieren materiales lisos de alta resistencia para aplicaciones de esfuerzos por contacto. Ningún material muestra un límite de resistencia a la fatiga superficial y, al final de cuentas, fallará por este mecanismo si está sujeto al número suficiente de esfuerzos de contacto invertidos. Diseño para evitar fallas superficiales Hay varias precauciones que un diseñador debe tomar para reducir las probabilidades de una falla por desgaste, debido a cualquiera de los mecanismos descritos en este capítulo. 1. Adecuada selección de materiales: Se deben atender el asunto de la compatibilidad de materiales. Es necesario poner mucha atención al acabado y la dureza superficiales, así como a la resistencia para reducir la abrasión e incrementar la vida de fatiga superficial. Los ambientes corrosivos requieren materiales especiales. Se deberían considerar los recubrimientos en algunas situaciones. Es deseable la homogeneidad de materiales en situaciones de esfuerzos por contacto. Los aceros más costosos procesados para crear mayor uniformidad y microestructuras libres de inclusiones pueden brindar un mejor servicio en casos de fatiga en superficies con esfuerzos altos y, a largo plazo, podrían ser menos costosos. En general, las superficies más duras reducen el desgaste adhesivo y el abrasivo, así como la fatiga superficial. 2. Lubricantes apropiados: Es raro que una junta fuertemente cargada se opere en seco (sólo si se presenta una preocupación grave, como el temor a la contaminación del producto con lubricante fugado). Se debe usar la lubricación hidrodinámica o hidrostática siempre que sea posible. La lubricación al límite es menos deseable, aun cuando con frecuencia no se puede evitar. Si se usa lubricación al límite, un lubricante de presión extrema quizá reduzca significativamente el desgaste adhesivo a expensas de algún desgaste corrosivo. Para conocer más acerca de la lubricación, véase el capítulo 7. 3. Limpieza: Se deben tomar medidas razonables para garantizar que no entren contaminantes ambientales o externos en los cojinetes o las juntas. Se deben instalar sellos u otro medio para protegerlos. Si no es factible eliminar algún tipo de contaminación (como ambientes sucios), se tienen que seleccionar materiales blandos para que los cojinetes permitan la incrustación de las partículas atrapadas. 5 402 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 4. Esfuerzo: Evitar o minimizar concentraciones de esfuerzos, sobre todo en aplicaciones de carga por fatiga. Evalúe el uso de material menos rígido para incrementar el área de la huella de contacto y reducir los esfuerzos en casos de fatiga superficial. Tenga extrema cautela con los casos donde se presenta cualquier clase de carga a la fatiga (no sólo fatiga superficial) en combinación con ambientes corrosivos, porque entonces la fatiga por corrosión sería el problema. Quizá sea necesario un programa de pruebas en esas situaciones, en vista de que existen pocos datos acerca de este fenómeno. 5. Desgaste por frotamiento: Evalúe la posibilidad de falla por picadura si se presentan vibraciones o deflexiones repetidas, en combinación con juntas a presión o juntas forzadas. 5 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo Para información adecuada sobre el uso de estas ecuaciones, véase las secciones referidas. Área real de contacto (sección 5.3): F Sp Ar F 3Syc (5.1) Coeficiente de fricción (sección 5.3): M Sus 3Syc f F (5.3) Volumen de desgaste (sección 5.4): VK Fl H ( 5.7a) Presión máxima, contacto esférico (sección 5.8): pmáx  3 F 2 P a2 (5.8b) Constantes del material (sección 5.8): m1  1 N12 E1 m2  1 N 22 E2 ( 5.9a) Constante geométrica para contacto esférico y cilíndrico (sección 5.8): B 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 ³ ´ R2 µ ( 5.9b) Radio de la huella de contacto en contacto esférico (sección 5.8): m a  3 0.375 1 m2 B F (5.9d ) Esfuerzos máximos en contacto esférico (sección 5.8): S z máx  pmáx (5.11c) Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 1 2N pmáx 2 S x máx  S ymáx  p ¨ 1 2 N T13 máx  máx © 2 ª 2 ( 5.11d ) · 21 N ¸ ¹ 2 1 N 9 2 2N 7 2N z @T máx  a 403 (5.12 b) (5.12c) Presión máxima, contacto cilíndrico (sección 5.9): 2F P aL pmáx  (5.14b) 5 Mitad del ancho de la huella de contacto cilíndrico (sección 5.9): a 2 m1 m2 F P B L ( 5.15b) Esfuerzo máximo, contacto cilíndrico (sección 5.9): S x  S z  pmáx ( 5.17a) S y  2 N pmáx T13 máx  0.304 pmáx (5.17b) z @ T máx  0.786 a Presión máxima, contacto general (sección 5.10): pmáx  3 F 2 P ab (5.18b) Dimensiones medias de la huella de contacto elíptico (sección 5.10; véase la tabla 5-5 para ka y kb): a  ka 3 3F m1 m2 4A A b  kb 3 1¤ 1 ¥ 2 ¦ R1 1 R1' 1 R2 3F m1 m2 4A 1 ³ ´ R2 ' µ (5.19d ) ( 5.19a) Esfuerzos máximos, contacto general (sección 5.10): b · pmáx a b ¹̧ a · pmáx S y  ¨©2 N 1 2 N a b ¹̧ ª S z  pmáx S x  ¨©2 N ª 1 2 N (5.21a) Fuerza unitaria de fricción, rodamiento y deslizamiento en cilindros paralelos (sección 5.11): fmáx  M pmáx (5.22 f ) 404 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Esfuerzos máximos, rodamiento y deslizamiento en cilindros paralelos (sección 5.11): x2 de otro modo S x n  0 a2 (5.23a) Cuando z = 0 : si x b a entonces S x n  pmáx 1 S zn  S xn T xz n  0 ¥x si x r a entonces S x t  2 fmáx ¦ ¦a § x2 a ¥x si x b a entonces S x t  2 fmáx ¦ ¦a § 5 si x b a entonces S x t  2 fmáx 2 ´ 1µ µ ¶ x2 a2 ´ 1µ µ ¶ (5 .2 3b) x a S zt  0 (5.23c) si x b a entonces T xz t  S x  S xn S z  S zn S zt T xz  T xz n T xzt fmáx 1 x2 a2 de otro modo T xz t  0 S xt ( 5.24 a) S y = N S x + S z (5.24b) Factor de resistencia a la fatiga superficial del material (sección 5.12): K  P m1 m2 S 2z (5.25e) Ecuación de la línea S-N para fatiga superficial (sección 5.12; véase la tabla 5-7 para λ y ζ): log10 K  5.15 Z log10 N L ( 5.26) REFERENCIAS 1. E. Rabinowicz, Friction and Wear of Materials. John Wiley & Sons: Nueva York, p. 110, 1965. 2. Ibid., pp. 21 y 23. 3. Ibid., p. 125. 4. Ibid., p. 30. 5. R. Davies, Compatibility of Metal Pairs, en Handbook of Mechanical Wear, C. Lipson, ed., Univ. of Mich. Press: Ann Arbor, p. 7, 1961. 6. D.J. Wulpi, Understanding How Components Fail, American Society for Metals: Metals Park, OH, 1990. 7. E. Rabinowicz, Friction and Wear of Materials. John Wiley & Sons: Nueva York, p. 60, 1965. Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 8. Ibid., p. 85. 9. J.T. Burwell, Survey of Possible Wear Mechanisms. Wear, 1: pp. 119-141, 1957. 10. E. Rabinowicz, Friction and Wear of Materials. John Wiley & Sons: Nueva York, p. 179, 1965. 11. Ibid., p 180. 12. J.R. McDowell, Fretting and Fretting Corrosion, en Handbook of Mechanical Wear, C. Lipson y L.V. Colwell, ed., Univ. of Mich. Press: Ann Arbor, pp. 236-251, 1961. 13. H. Hertz, On the Contact of Elastic Solids. J. Math, 92: pp. 156-171, 1881 (en alemán). 14. H. 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Tabla P5-0 † Matriz tema/problema 5.2 Superficies apareadas 5-1, 5-25, 5-27, 5-35, 5-37 5.3 Fricción 5-2, 5-26, 5-28, 5-36, 5-38 5.4 Desgaste adhesivo 5-12, 5-15, 5-29, 5-39 5.5 Desgaste abrasivo 5-13, 5-14, 5-30, 5-46, 5-47 5 - 5.8 Contacto esférico 5-4, 5-5, 5-6, 5-16, 5-17, 5-40 5.10 Contacto general 5-20, 5-21, 5-22, 5-41, 5-43, 5-44 5.11 Contacto dinámico 5-23, 5-31, 5-32, 5-42, 5-45 5.13 Resistencia a la fatiga 5.16 *5-1. Dos bloques de acero de 3  5 cm, con acabado maquinado Ra  0.6 μm, se friccionan entre sí con una fuerza normal de 400 N. Calcule su área de contacto real, si su Sy  400 MPa. *5-2. Calcule el coeficiente seco de fricción entre las dos piezas del problema 5-1, si su Sut  600 MPa. 5-3, 5-24, 5-33, 5-34, 5-48, 5-49 *†5-3. En la figura P5-1, para el montaje del brazo del pedal de la bicicleta, suponga que el ciclista aplica una fuerza que va de 0 a 400 N en cada ciclo del pedal. Determine los esfuerzos de contacto máximos en el punto de contacto entre un diente de la rueda dentada y el rodillo de la cadena. Suponga que un diente absorbe todo el torque aplicado, el rodillo de la cadena tiene 8 mm de diámetro, la rueda dentada tiene un diámetro nominal (paso) de 100 mm, y el diente de la rueda dentada es básicamente plano en el punto de contacto. Tanto el rodillo como la rueda dentada están hechos de acero SAE 1340, endurecido por inducción hasta HRC45-58. El rodillo y la rueda dentada están en contacto sobre una longitud de 8 mm. Suponga rodamiento y 9% de deslizamiento; calcule el número de ciclos para falla de esta combinación específica diente-rodillo. *5-4. Para el montaje del remolque del problema 1-4 de la p. 57 (véase también las figuras P5-2 y A-5, p. 860), determine los esfuerzos de contacto en la bola y la copa de la bola (que no se muestra). Suponga que la bola tiene 2 in de diámetro y el desajuste de la copa que la rodea tiene una superficie esférica interna con un diámetro 10% mayor que el de la bola. 5-5. Para el montaje del remolque del problema 1-5 de la p. 57 (véase también las figuras P5-2 y A-5, p. 860), determine los esfuerzos de contacto en la bola y la copa de la bola (que no se muestra). Suponga que la bola mide 2 in de diámetro y el desajuste de la copa que la rodea tiene una superficie esférica interna con un diámetro 10% mayor que el de la bola. 5-6. Para el montaje del remolque del problema 1-6 de la p. 57 (véase también las figuras P5-2 y A-5, p. 860), determine los esfuerzos de contacto en la bola y la copa de la bola (que no se muestra). Suponga que la bola mide 2 in de diámetro y el desajuste de la copa que la rodea tiene una superficie esférica interna con un diámetro 10% mayor que el de la bola. * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. † Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares que tienen el mismo número identificador en capítulos anteriores. PROBLEMAS Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 5-7. Para el pasador de acero de 12 mm de diámetro del problema 1-7 (p. 57) obtenga el esfuerzo de contacto máximo, si la aceleración de 2 500 g es de ciclo invertido. El pistón de aluminio tiene un orificio para el pasador que es 2% mayor que el pasador y tiene una longitud de acoplamiento de 2 cm. *5-8. Una máquina procesa rollos de papel que tienen una densidad de 984 kg/m3. El rollo de papel es de 1.50 m de diámetro exterior  0.22 m de diámetro interior  3.23 m de largo; el módulo efectivo de elasticidad a la compresión es de 14 MPa y ν  0.3. Determine el ancho de la huella de contacto, cuando se asienta sobre una superficie de acero plana, cargado con su propio peso. 5-9. *5-10. 407 60 mm 170 mm Para las pinzas de presión ViseGrip® dibujadas a escala en la figura P5-3, cuyas fuerzas se analizaron en el problema 1-9, obtenga la fuerza de sujeción necesaria para crear un plano de 0.25 mm de ancho en los dos lados de un perno de aluminio de 2 mm de diámetro apretado en sus mandíbulas de 5 mm de ancho. En la figura P5-4a se muestra un trampolín indeterminado. Una persona de 100 kg está parada en el extremo libre. El trampolín se asienta sobre un punto de apoyo que tiene una superficie de contacto cilíndrica con radio de 5 mm. ¿Cuál es el tamaño de la huella de contacto entre la tabla y el fulcro de aluminio, si la tabla es de fibra de vidrio con E  10.3 GPa y ν  0.3? 5-11. Repita el problema 5-10 suponiendo que la persona salta 25 cm hacia arriba y cae de nuevo sobre la tabla. Suponga también que la tabla pesa 29 kg y se flexiona 13.1 cm estáticamente cuando la persona se para sobre ella. ¿Cuál es el tamaño de la huella de contacto entre la tabla y el punto de apoyo de aluminio de 5 mm de radio, si la tabla es de fibra de vidrio con E  10.3 GPa y ν  0.3? 5-12. Calcule el volumen del desgaste adhesivo esperado en un eje de acero HB270 de 40 mm de diámetro que gira a 250 rpm, tres turnos diarios de 8 horas durante 360 días al año en 10 años, en un buje plano de bronce, si la carga transversal es de 1 000 N. F T FIGURA P5-1 Problema 5-3 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) 40 mm a) Con lubricación deficiente. b) Con buena lubricación. *5-13. Calcule cuánto tiempo tomará limar 1 mm de un cubo de 2 cm de acero HB150, si el operario aplica 100 N sobre una carrera de 10 cm a 60 carreras/min. a) Si se hace en seco. b) Si se hace con lubricación. †5-14. FIGURA P5-2 La figura P5-5 muestra un juguete infantil llamado “cangurín”. Un niño se para sobre las almohadillas del soporte y aplica la mitad de su peso en cada lado. Luego salta hacia arriba del suelo, manteniendo las almohadillas contra sus pies, y rebota junto con el resorte que amortigua el impacto y almacena energía para ayudar a cada rebote. Suponga un niño de 60 lb y una constante de resorte de 100 lb/in. El cangurín pesa 5 lb. Calcule la rapidez del desgaste abrasivo en la punta, la cual impacta el suelo, suponiendo una condición de granos abrasivos sueltos y secos (arena). Exprese la tasa de desgaste en número de saltos para remover 0.02 in de la punta de aluminio de 1 in de diámetro si su Sut  50 kpsi. F Problemas 5-4, 5-5, 5-6 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) P * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. P F FIGURA P5-3 Problema 5-9 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) cuadrícula de 0.5 cm † Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares que atienen el mismo número identificador de capítulos anteriores. ‡ Véase la tabla 5-7 (pp. 396-397), para datos sobre las resistencias de los materiales de estos problemas. 5 408 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 2m P 0.7 m trampolín suspendido FIGURA P5-4 Problemas 5-10 y 5-11 5-15. *5-16. 5 W/2 Determine el tamaño de la huella de contacto y los esfuerzos de contacto máximos de una bola de acero de 20 mm de diámetro, que rueda contra una bola de aluminio de 30 mm de diámetro con 800 N. *5-18. Determine el tamaño de la huella de contacto y los esfuerzos de contacto máximos de un cilindro de acero de 40 mm de diámetro y 25 cm de largo, que rueda contra una placa plana de aluminio con 4 kN. 5-19. Determine el tamaño de la huella de contacto y los esfuerzos de contacto máximos de un cilindro de acero de 40 mm de diámetro y 25 cm de largo, que rueda contra un cilindro paralelo de acero de 50 mm de diámetro con 10 kN de fuerza radial. *5-20. Determine el tamaño de la huella de contacto y los esfuerzos de contacto máximos de una bola de acero de 20 mm de diámetro, que rueda contra un cilindro de acero de 40 mm de diámetro y 25 cm de largo con 10 kN. 5-21. Un sistema leva-seguidor tiene una carga dinámica de 0 a 2 kN. La leva es cilíndrica con un radio de curvatura mínimo de 20 mm. El rodillo seguidor tiene una corona con radios de 15 mm en una dirección y de 150 mm en la otra dirección. Determine los esfuerzos de contacto y el factor de seguridad, si el seguidor es de acero 4150 HB300 con Sƒc’  1 500 MPa y la leva es hierro nodular con HB207. Corren lubricados con menos del 1% de deslizamiento.† *5-22. La figura P5-6 muestra un patín con ruedas en línea. Las ruedas de poliuretano miden 72 mm de diámetro y 12 mm de espesor, con una corona de 6 mm de radio, y están espaciadas 104 mm de centro a centro. La combinación pie-bota-patín pesa 2 kg. La “razón efectiva del resorte” del sistema persona-patín es de 6 000 N/m. Determine los esfuerzos de contacto en las ruedas cuando una persona de 100 kg aterriza sobre un pie en concreto, luego de un salto de 0.5 m. Suponga que las ruedas de poliuretano tiene E  600 MPa con ν  0.4, y el concreto tiene E  21E3 Mpa a la compresión con ν  0.2. P FIGURA P5-5 a) Suponga que las cuatro ruedas aterrizan simultáneamente. b) Suponga que una rueda absorbe toda la fuerza de aterrizaje. Problema 5-14 † Véase la tabla 5-7 (pp. 396-397) para los datos sobre las resistencias de los materiales de estos problemas. Determine el tamaño de la huella de contacto y los esfuerzos de contacto máximos de una bola de acero de 20 mm de diámetro, que rueda contra una placa plana de aluminio con 1 kN. 5-17. W/2 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en negritas son extensiones de problemas similares que tienen el mismo número indicador de capítulos anteriores. Con base en la compatibilidad metalúrgica, elabore una tabla de materiales aceptables para que operen contra un eje de acero. Clasifíquelos de acuerdo con su idoneidad. *5-23. Un par de rodillos de acero cilíndricos de 12 in de diámetro ruedan juntos con 9% de deslizamiento. Obtenga los esfuerzos de contacto para una fuerza de contacto radial de 1 000 lb/in de longitud.† 5-24. Calcule los ciclos de vida de los rodillos del problema 5-23, si están hechos de hierro fundido gris clase 30, ausrevenido a HB270.† 5-25. El extremo plano de una zapata de hierro fundido gris, clase 30 de 12 mm de diámetro, está soportado por una placa plana de acero SAE 4340, templado y revenido a 800 °F. La fuerza sobre la zapata es de 3.8 kN. Calcule el área real de contacto, así como la razón entre el área real y el área de contacto aparente. 5-26. Calcule el coeficiente de fricción seca entre los dos materiales del problema 5-25, si la resistencia cortante del hierro fundido es Sus  310 MPa. ¿Cómo se compara esto con el valor dado en la tabla 5-1? Capítulo 5 FALLA DE SUPERFICIES 5-27. Dos zapatas de acero 1040 rolado en caliente de 0.5 in  1 in están en contacto con una fuerza de 900 lb. Calcule el área real de contacto, así como la razón entre el área de contacto real y la aparente. 5-28. Calcule el coeficiente de fricción seca entre los dos materiales del problema 5-27. ¿Cómo se compara esto con el valor dado en la tabla 5-1? 5-29. Se probaron dos materiales con un área de contacto de 10 mm2 para determinar cuánto desgaste adhesivo toma la placa cuando trabajan juntos. La tabla P5-1 muestra los parámetros de prueba y la profundidad promedio del desgaste en 350 pruebas. Obtenga el coeficiente de desgaste promedio, si la dureza Brinell del material más blando de los dos materiales probados es de HB 277. 5-30. El espesor de una pieza de acero blando, con dureza HB  280, se redujo por abrasión con un esmeril. Tanto la rueda del esmeril como la pieza de acero tienen el mismo ancho de 20 mm. En cada pasada del esmeril se elimina 0.1 mm de material. Si el coeficiente de desgaste abrasivo de esta operación es E  5E-1, ¿cuál será la fuerza normal aproximada sobre la rueda del esmeril? 5-31. Dos engranes de acero con perfiles de diente de involuta se encuentran engranados. En la línea de contacto entre los engranes, éstos se pueden modelar como dos cilindros en contacto. Cuando el contacto está alejado del punto de paso, existe una combinación de rodamiento y deslizamiento. Determine y grafique los esfuerzos principales dinámicos de contacto sobre la superficie de los dientes para los engranes seguidores, si la fuerza de contacto es de 500 lb y el coeficiente de fricción es 0.15: R1  2.0 in, R2  6.0 in. El espesor (ancho de la cara) de ambos engranes es 0.5 in. También obtenga el valor de x/a para el cual los esfuerzos principales tienen valores extremos. 5-32. Dos engranes de acero con perfiles de diente de involuta se encuentran engranados. En la línea de contacto entre los engranes, éstos se pueden modelar como dos cilindros en contacto. Cuando el contacto está alejado del punto de paso, existe una combinación de rodamiento y deslizamiento. Determine los esfuerzos dinámicos de contacto sobre la superficie de los dientes para los engranes seguidores, si la fuerza de contacto es de 1 500 lb y el coeficiente de fricción es 0.33: R1  2.5 in, R2  5.0 in. El espesor (ancho de la cara) de ambos engranes es 0.625 in. 5-33. Se necesitan dos rodillos en contacto en la aplicación de una máquina. Los rodillos trabajan juntos con una combinación de rodamiento y 9% de deslizamiento. Ambos están hechos de acero SAE 1144 rolado en frío. La fuerza de contacto radial es de 1 200 N y el coeficiente de fricción es de 0.33. Los rodillos tienen el mismo radio y ambos miden 10 mm de largo. Si la vida de diseño es de 8E8 ciclos, determine un radio adecuado para los rodillos. 5-34. Se necesitan dos rodillos en contacto en la aplicación de una máquina. Los rodillos trabajan juntos con una combinación de rodamiento y 9% de deslizamiento. Ambos están hechos de Meehanita. Los rodillos tienen el mismo radio (30 mm) y ambos miden 45 mm de largo. Si la vida de diseño es de 1E8 ciclos, determine la carga permisible que aplica a estos rodillos. 5-35. El extremo plano de una zapata de hierro colado gris clase 20 de 25 mm de diámetro está soportado por el lado plano de una barra de acero de 30 mm de ancho hecha de acero SAE 4130, templado y revenido a 800 °F. La fuerza sobre la zapata es de 2 800 N. Calcule el área real de contacto, así como la razón entre el área real y el área de contacto aparente entre la zapata y la barra. 5-36. Calcule el coeficiente de fricción seca entre los dos materiales del problema 5-35, si la resistencia cortante del hierro colado es Sus  310 MPa. ¿Cómo se compara esto con el valor dado en la tabla 5-1? 5-37. Dos zapatas de acero SAE 1020 rolado en caliente de 25 mm  40 mm están en contacto con una fuerza de 9 kN. Calcule el área real de contacto, así como la razón entre el área real de contacto y la aparente. 5-38. Calcule el coeficiente de fricción seca entre los dos materiales del problema 5-37. ¿Cómo se compara esto con el valor dado en la tabla 5-1? 5-39. Un eje de acero de 25 mm de diámetro, con dureza HB420, gira a 700 rpm en un buje plano de bronce de 40 mm de longitud con una carga radial promedio de 500 N. Estime el tiempo que tomaría eliminar 0.05 mm de material del buje por desgaste 409 FIGURA P5-6 Problema 5-22 5 Tabla P5-1 Datos del problema 5-29 F N l m d mm Núm. de pruebas 100 5 000 0.180 100 200 5 000 0.372 75 200 7 500 0.550 75 400 10 000 1.470 100 410 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado adhesivo, si la lubricación se suspendiera repentinamente considerando una rapidez de desgaste uniforme alrededor del buje. canal de conducción externo 5 5-40. Una máquina tiene una base de trípode que utiliza 11 bolas de nylon de 15 mm de diámetro como soporte para sus pies. El trípode descansa sobre una placa plana de acero. El peso de 360 N de la máquina se distribuye en partes iguales sobre las tres piernas del trípode. Determine el tamaño de la huella de contacto y los esfuerzos de contacto en las bolas de nylon. Suponga que la razón de Poisson para el nylon es de 0.25. 5-41. Un cojinete de bolas consiste en varias bolas de acero (separadas por una jaula) y dos anillos con canales de conducción, como se observa en la figura P5-7. Los canales de conducción tienen curvatura compuesta. En un plano que contiene el eje del cojinete, la curvatura es cóncava y se ajusta estrechamente con el radio de la bola. En un plano perpendicular al eje, la curvatura es convexa para el canal de conducción interior y está relacionada con el tamaño del soporte del cojinete. Determine el tamaño de la huella de contacto y los esfuerzos de contacto máximos entre una bola y el canal de conducción interior, con una carga radial de 5 200 N en un cojinete de acero con las siguientes dimensiones: diámetro de la bola  8 mm, radio del canal de conducción para superficie cóncava  4.05 mm, radio del canal de conducción para superficie convexa  13 mm. *5-42. Un par de rodillos de acero que se usan en un proceso de manufactura ruedan juntos con una combinación de rodamiento y deslizamiento. Un rodillo tiene un diámetro de 75 mm y el otro, un diámetro de 50 mm. Ambos tienen 200 mm de longitud. La fuerza de contacto, que es normal al plano de contacto, es de 18 500 N. Suponiendo que el coeficiente de fricción entre los rodillos es de 0.33, determine los esfuerzos de tensión, compresión y cortante máximos en los rodillos. 5-43. Repita el problema 5-41 para contacto entre una bola y el canal de conducción externo. El radio del canal de conducción externo para superficie cóncava es de 4.05 mm y el radio del canal de conducción externo para superficie convexa es de 17.02 mm. 5-44. Una máquina tiene dos rodillos cilíndricos con corona que ruedan uno contra otro, con una carga dinámica que varía de 0 a 3.5 kN. El primer rodillo tiene un radio principal de 14 mm con un radio de 80 mm en la corona. El segundo rodillo tiene un radio principal de 75 mm con un radio de 100 mm en la corona. Los dos ejes de rotación forman un ángulo de 30° entre sí. Obtenga los esfuerzos de contacto, si ambos rodillos son de acero. 5-45. Un sistema leva-seguidor tiene un movimiento combinado de rodamiento y deslizamiento. La leva cilíndrica tiene un radio de curvatura mínimo de 80 mm. El rodillo seguidor también es cilíndrico y tiene un radio de 14 mm. Ambos miden 18 mm de longitud. La fuerza de contacto máxima, que es normal al plano de contacto, es de 3 200 N. Tanto la leva como el rodillo son de acero endurecido. Suponga un coeficiente de fricción entre la leva y el rodillo seguidor de 0.33, y determine los esfuerzos de tensión, compresión y cortante máximos en la leva. 5-46. Determine cuánto tiempo tomará remover 2 μm de material de la superficie de 5 000 mm2 de un bloque de acero HB110, si una máquina de pulido burdo aplica 80 N en cada carrera de 400 mm a 120 carreras por minuto. canal de conducción interno FIGURA P5-7 Problema 5-41 a) Si se hace en seco. b) Si se hace con lubricación. * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. 5-47. Se introducen por error granos de abrasivo suelto en el sistema de lubricación de un cojinete de empuje plano de bronce, que tiene una dureza de 60HB y un área superficial de 500 mm2. Si una pieza endurecida de acero ejerce una fuerza de 50 N sobre el cojinete mientras oscila a través de él a 200 carreras/min con una carrera de 30 mm, ¿qué profundidad de desgaste ocurre en un turno de 8 horas? 5-48. Dos rodillos están en contacto con el 9% de deslizamiento combinado con rodamiento, y el esfuerzo máximo principal por compresión resultante en la zona de contacto es de 15 500 psi. Ambos rodillos son de aluminio anodizado duro 6061-T6. La vida de diseño de los rodillos es de cuatro años para una operación de dos turnos durante 260 días/año, y cada uno de ellos gira a 200 rpm. ¿Cuál es el factor de seguridad esperado contra la picadura para el par de rodillos? 5-49. Dos rodillos en contacto corren juntos en rodamiento puro. Ambos son de hierro gris clase 20, HB 130-180. Un rodillo tiene un diámetro de 2.75 in y el otro, un diámetro de 3.25 in. Ambos son de 10 in de largo. La carga aplicada es de 5 500 lbf. Si la vida de diseño es de 1E08 ciclos, determine el factor de seguridad contra falla por picadura. EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS Cuanto mayor sea nuestro conocimiento, en mayor medida se revelará nuestra ignorancia. JOHN F. KENNEDY 6.0 INTRODUCCIÓN Los ejes de transmisión, o sólo ejes, se usan prácticamente en todas las piezas giratorias de las máquinas para transmitir movimiento de giro y torque de una ubicación a otra. Por lo tanto, el diseñador de máquinas enfrenta a menudo la tarea del diseño de ejes. El capítulo explora problemas comunes en esa labor. La tabla 6-0 muestra las variables que se usan en el capítulo, así como las ecuaciones o secciones donde aparecen. Como mínimo, un eje normalmente transmite el torque desde un dispositivo impulsor (motor eléctrico o de gasolina) hacia la máquina. Algunas veces, los ejes impulsan engranes, poleas o ruedas dentadas, los cuales transmiten el movimiento de giro, a través de engranes conectados, bandas o cadenas, de un eje a otro. El eje puede ser una parte integral del impulsor, como el eje de un motor o el cigüeñal de una máquina o un eje independiente conectado a su vecino por algún tipo de acoplamiento. La maquinaria automática de producción con frecuencia tiene ejes en línea que se extienden a lo largo de la máquina (10 m o más) y conducen la potencia hacia todas las estaciones de trabajo. Los ejes se apoyan en cojinetes, en configuraciones simplemente apoyadas (montadas a horcajadas), voladizos o salientes, dependiendo de la configuración de la máquina. Los pros y contras de estos montajes y acoplamientos también se examinarán. 6.1 EJES CARGADOS La carga sobre ejes de transmisión giratorios es de dos tipos principales: torsión debida al torque transmitido o flexión por una carga transversal sobre los engranes y las ruedas dentadas. Tales cargas frecuentemente se presentan combinadas, ya que, por ejemplo, el torque transmitido puede estar asociado con fuerzas en los dientes de los engranes o en las ruedas dentadas sujetas a los ejes. 411 6 412 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 6-0 Un Enfoque Integrado Variables utilizadas en este capítulo Símbolo 6 - Variable área in2 Unidades SI Véase m2 varias c distancia a la fibra externa in m Secc. 6.6 Cf coeficiente de fluctuación ninguna ninguna Ec. 6.19 d diámetro in m varias e excentricidad de un eje o disco in m Ec. 6.26 E módulo de Young psi Pa varias Ek, Ep energía cinética, energía potencial in-lb joule Ec. 6.25 F fuerza o carga lb N varias Fl fluctuación (en rapidez) rad/seg rad/seg Ec. 6.19 fn frecuencia natural Hz Hz Ec. 6.24 g aceleración gravitacional in/seg2 m/seg2 Seccs. 6.13, 6.14 G módulo de corte, módulo de rigidez psi Pa varias I, J Im , Is 2o momento, 2o momento polar de área in4 m4 Seccs. 6.6, 6.14 momento de inercia de masa alrededor de un eje razón de resorte o constante de resorte lb-in-seg2 lb/in N-m-seg2 N/m Secc. 6.13 Secc. 6.14 ninguna ninguna Seccs. 6.6, 6.10 k Kf, Kfm factores de concentración de esfuerzo por fatiga Kt, Kts factores de concentración de esfuerzo geométrico ninguna ninguna Secc. 6.10 l longitud in m varias m masa kg Seccs. 6.13, 6.14 M Nf momento, función de momento lb-seg2/in lb-in N-m varias factor de seguridad contra la fatiga ninguna ninguna Ecs. 6.5-6.8 Ny factor de seguridad contra la fluencia ninguna ninguna Ej. 6-7 P potencia hp watts Ec. 6.1 Secc. 6.12 p presión psi N/m2 r radio in m varias Se, Sf límite de resistencia a la fatiga corregida, resistencia a la fatiga psi Pa Ecs. 6.5-6.8 Sut, Sy resistencia última a la tensión, resistencia a la fluencia psi Pa Ecs. 6.5-6.8 T torque lb-in N-m Ec. 6.1 W peso lb N varias A D N Q G S S' aceleración angular deflexión rad/seg2 rad/seg2 in m Ec. 6.18 varias razón de Poisson ninguna ninguna varias deflexión angular o pendiente de la viga rad rad varias densidad de peso esfuerzo normal (con varios subíndices) lb/in3 psi N/m3 Pa varias esfuerzo de von Mises (con varios subíndices) esfuerzo cortante (con varios subíndices) psi psi Pa Pa varias varias velocidad angular frecuencia natural rad/seg rad/seg rad/seg rad/seg Ec. 6.1 Secc. 6.14 razón de amortiguamiento ninguna ninguna Secc. 6.14 T W Wn Z La fotografía capitular es cortesía de Helical Products Co., Inc., Santa María, Calif., 93456. Unidades ips A Ec. 6.23 Las cargas de torque o flexión son constantes o varían con el tiempo. Las cargas de torque y flexión constantes y variables con el tiempo se presentan también en cualquier combinación sobre la misma flecha. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 413 Si el eje es estacionario (no giratorio) y las poleas o los engranes giran con respecto a aquélla (sobre cojinetes), entonces se convierte en un elemento cargado estáticamente, siempre que las cargas sean constantes con el tiempo. Sin embargo, una flecha sin giro no es un eje de transmisión, ya que no transmite ningún torque. Tan sólo es un eje, o una viga redonda, por lo que se debe diseñar como tal. Este capítulo se relaciona con ejes giratorios de transmisión y su diseño contra la fatiga. + Observe que un eje giratorio sometido a una carga de flexión transversal constante experimentará un estado de ciclo de esfuerzos invertidos, como se ilustra en la figura 6-1a. Cualquier elemento de esfuerzo sobre la superficie del eje pasa de tensión a compresión, en cada ciclo, conforme el eje gira. Por lo tanto, incluso para cargas de flexión constantes, un eje giratorio se debe diseñar contra falla por fatiga. Si uno o ambos torques y cargas transversales varían con el tiempo, la carga de fatiga se vuelve más compleja; no obstante, los principios de diseño a la fatiga son los mismos que se explicaron en el capítulo 4. El torque, por ejemplo, puede ser repetido o variable, como se muestra en las figuras 6-1b y c, lo mismo que las cargas de flexión. – En primer lugar, se tratará el caso general, el cual considera la posibilidad de que ambas componentes sean uniformes y variables con el tiempo, tanto en cargas de flexión como de torsión. Si una carga carece de una componente uniforme o variable con el tiempo, en un caso determinado, sólo se iguala a cero un término en la ecuación general y el cálculo se simplifica. 6.2 esfuerzo tiempo (a) Ciclo invertido + esfuerzo tiempo 6 – (b) Repetido + esfuerzo SUJECIONES Y CONCENTRACIONES DE ESFUERZOS Mientras que algunas veces es posible diseñar ejes de transmisión, cuya sección no cambia de diámetro a lo largo de su longitud, es más común que los ejes tengan varios escalones u hombros donde el diámetro cambia para alojar elementos sujetos como cojinetes, ruedas dentadas, engranes, etcétera, como se ilustra en la figura 6-2, la cual también presenta un conjunto de dispositivos que se utilizan comúnmente para sujetar o ubicar los elementos sobre el eje. Los escalones u hombros son necesarios para dar una ubicación axial precisa y consistente de los elementos agregados, así como para crear el diámetro adecuado para ajustar piezas estándar como cojinetes. tiempo – (c) Variable FIGURA 6-1 Esfuerzos variables con el tiempo Con frecuencia se utilizan cuñas, chavetas circulares o pasadores transversales para sujetar con seguridad los elementos al eje y así transmitir el torque requerido o fijar la parte axialmente. Las cuñas requieren una ranura tanto en la flecha como en la pieza, y podrían necesitar un tornillo prisionero para impedir el movimiento axial. Las chavetas circulares ranuran el eje y los pasadores transversales producen un orificio en el eje. Cada uno de estos cambios en el contorno contribuye en algo a la concentración de esfuerzos, lo cual se debe tomar en cuenta en los cálculos de esfuerzo por fatiga para el eje. Se usan radios generosos donde sea posible y técnicas como las mostradas en la figura 2-37 (p. 121), 2-38 (p. 122) y 6-2 (en la polea y la chaveta circular) para reducir los efectos de tales concentraciones de esfuerzos. Las cuñas y los pasadores se pueden eliminar usando la fricción para sujetar los elementos (engranes, ruedas dentadas) al eje. Existen muchos diseños de collarines de sujeción (ajustes sin cuña*), los cuales aprietan el diámetro exterior (OD) del eje con una gran fuerza de compresión para sujetar algo a ella, como la maza de la rueda dentada que se muestra en la figura 6-2 y en la figura 6-34 (p. 467). La maza tiene el diámetro interno ligeramente cónico, mientras un cono externo similar en este tipo de collarín de sujeción se fuerza en el espacio entre la maza y el eje mediante tornillos apretados. Ranuras axiales en la parte acuñada del collarín le permiten cambiar de diámetro y apretar el eje, creando la suficiente fricción para transmitir el torque. Otro tipo de collarín de sujeción, llamado collarín deslizante, emplea un tornillo para cerrar una ranura radial y abrazar el collarín al eje. Los ajustes por interferencia y presión también se usan para * Consulte el estándar ANSI/AGMA 9003-A91, Flexible Couplings— Keyless Fits. 414 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado chaveta circular collarín de sujeción cuña maza cojinete ajustado a presión escalón cojinete eje escalón tolerancia axial bastidor pasador cónico maza escalón escalón ajuste a presión rueda dentada engrane bastidor polea FIGURA 6-2 Varios métodos para sujetar elementos giratorios a los ejes 6 este propósito y se estudiarán en una sección posterior de este capítulo. Sin embargo, como se verá, tales acoplamientos de fricción también dan lugar a concentraciones de esfuerzos en el eje y pueden causar desgaste por corrosión, como se describió en la sección 5.6 (p. 364). Algunas veces se utiliza un pasador cónico estándar para acoplar elementos a los ejes, como se observa en la polea de la figura 6-2. El orificio es escariado para que ajuste con el pasador cónico estandarizado y el pasador que se compra es colocado en su lugar. El cono poco profundo lo fija por fricción. Se debe retirar para el desensamble. Dicha técnica se debería utilizar con precaución en ubicaciones con grandes momentos de flexión, pues debilita el eje y también crea concentración de esfuerzos. Los cojinetes con elementos rodantes que se presentan en la figura 6-2 fueron hechos para tener sus pistas interior y exterior ajustadas a presión, tanto al eje como a su carcasa, respectivamente. Lo anterior requiere un maquinado con poca tolerancia del diámetro del eje, así como que un escalón brinde un tope para el ajuste a presión y la fijación axial. Por lo tanto, uno debe empezar con un diámetro más grande del eje que el diámetro interior del cojinete (ID), así como maquinar el eje para ajustar el cojinete elegido, cuyos tamaños sean estandarizados (y métricos). Algunas veces se utiliza una chaveta circular para garantizar que no haya movimiento axial entre el eje y el cojinete, como se ilustra en el cojinete del extremo derecho del eje, donde se encuentra la polea en la figura 6-2. Las chavetas circulares se encuentran comercialmente en gran variedad de estilos y requieren que se maquine sobre el eje una pequeña ranura de poca tolerancia, con dimensiones específicas. Observe en la figura 6-2 cómo se logra la fijación axial del eje al aprisionar axialmente sólo uno de los cojinetes (el del lado derecho). El cojinete del extremo izquierdo tiene una holgura axial entre él y el escalón. Esto sirve para evitar esfuerzos axiales que se generan por expansión térmica del eje entre los dos cojinetes. De ese modo, parece que no hay forma de escapar de los problemas de la concentración de esfuerzos en las máquinas reales. En el caso de los ejes, se necesita utilizar hombros, chavetas circulares u otros medios para fijar axialmente y con seguridad los componentes sobre el eje, y se tiene que instalar cuñas, sujetar o fijar el eje para transmitir el torque. * Fase significa la ubicación angular relativa de los diferentes elementos sujetos al eje. Cada uno de estos métodos de sujeción tiene sus ventajas y desventajas. Una cuña es fácil de instalar y sus tamaños están estandarizados con el diámetro del eje. Proporciona fases* seguras, además de que es fácil de desarmar y reparar. Es posible que no oponga resistencia al movimiento axial y no siempre brinda un acoplamiento de ajuste real para el torque debido a la ligera tolerancia entre la cuña y el cuñero. Las inversiones del torque pueden causar ligeros contragolpes en las piezas. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 415 Un pasador cónico crea un acoplamiento ajustado real para el torque, además de que fija axial y radialmente las partes manteniéndolas en fase, aunque debilita el eje. Se desarma con un poco de mayor dificultad que una cuña. Un collarín de sujeción es fácil de instalar; sin embargo, no tiene fases repetidas. Lo anterior resulta desventajoso sólo si se requiere la sincronización de la rotación del eje con otros ejes del sistema. Si se desea, permite ajustar fácilmente la fase (aunque de forma insegura). Los ajustes a presión son conexiones semipermanentes que requieren equipo especial para desarmarlas. No proporcionan fases repetidas. 6.3 MATERIALES PARA EJES Para minimizar las deflexiones, el acero es la elección lógica como material para ejes, debido a su alto módulo de elasticidad; no obstante, el hierro colado o nodular también se utiliza algunas veces, sobre todo cuando los engranes u otros accesorios se fundieron integralmente con el eje. Otras veces se emplea bronce o acero inoxidable en ambientes marinos o corrosivos. Donde el eje también sirve como soporte, corriendo contra un cojinete de mango, la dureza suele ser importante. En estos casos, el acero totalmente endurecido o con recubrimiento endurecido puede ser el material elegido para el eje. Remítase al capítulo 7 para el estudio de la dureza relativa deseada, así como la combinación de materiales para ejes y cojinetes. Los cojinetes con elementos rodantes no necesitan ejes endurecidos. La mayoría de los ejes maquinados se fabrican con acero al bajo o medio carbonos, ya sea rolado en frío o rolado en caliente; sin embargo, cuando se necesitan mayores resistencias se emplean aleaciones de acero. El acero rolado en frío se utiliza con más frecuencia para los ejes con diámetro más pequeño ( 3 in de diámetro, aproximadamente) y el acero rolado en caliente se emplea para tamaños más grandes. La misma aleación, rolada en frío, tiene mejores propiedades mecánicas que cuando se rola en caliente, debido al trabajo en frío; pero esto se obtiene a costa de esfuerzos residuales de tensión en la superficie. El maquinado de cuñeros, ranuras o escalones libera tales esfuerzos residuales locales y llega a causar distorsión (pandeo). Las barras roladas en caliente deben maquinarse en toda su superficie para eliminar la capa exterior carburada, en tanto que las partes de una superficie rolada en frío se pueden dejar sólo roladas, excepto donde se necesita el maquinado para ajustar las dimensiones de cojinetes, etc. Es posible adquirir acero, para ejes, preendurecido (30HRC) o rectificado a precisión (recto), en dimensiones pequeñas y maquinarse con herramientas de carburo. También existe material para ejes totalmente endurecido (60HRC) y rectificado, pero no se puede maquinar. 6.4 POTENCIA DEL EJE La potencia transmitida a través de un eje se suele obtener a partir de principios básicos. En cualquier sistema giratorio, la potencia instantánea es el producto del torque por la velocidad angular, P  TW ( 6.1a) donde ω se debe expresar en radianes por unidad de tiempo. Cualesquiera que sean las unidades base utilizadas para los cálculos, en general la potencia se convierte a unidades de caballos de potencia (hp), en cualquier sistema inglés, o a kilowatts (kW), en cualquier sistema métrico. (Consulte la tabla A-5 en la p. 870 para factores de conversión.) Tanto el torque como la velocidad angular pueden variar con el tiempo; sin embargo, la mayoría de la maquinaria giratoria se diseña para operar a rapideces constantes o casi constantes durante largos periodos de tiempo. En tales casos, el torque con frecuencia varía con el tiempo. La potencia media se obtiene a partir de Pprom  TpromW prom (6.1b) 6 416 DISEÑO DE MÁQUINAS 6.5 - Un Enfoque Integrado CARGAS SOBRE EJES El caso más general de carga sobre un eje es la combinación de un torque variable y un momento variable. También habrá cargas axiales, cuando la línea central del eje es vertical o está ajustado con engranes helicoidales o tornillos sinfín con una componente de fuerza axial. (Un eje debería diseñarse para minimizar la porción de su longitud sometida a cargas axiales, transfiriéndolas a tierra mediante cojinetes de empuje adecuados, tan cerca de la fuente de la carga como sea posible.) Tanto el torque como el momento pueden variar con el tiempo, como se indica en la figura 6-1, además de que ambos pueden tener componentes medio y alternante. 6 La combinación de un momento de flexión y un torque sobre un eje giratorio genera esfuerzos multiaxiales. Por consiguiente, los temas examinados en la sección 4.12 (p. 306) acerca de los esfuerzos multiaxiales de fatiga están relacionados. Si las cargas son asincrónicas, aleatorias o desfasadas, entonces se trata de un caso de esfuerzo multiaxial complejo. Pero, incluso si el momento y el torque están en fase (o 180° fuera de fase), todavía sigue siendo un caso de esfuerzo multiaxial complejo. El factor crítico para determinar si hay esfuerzos multiaxiales simples o complejos es la dirección del esfuerzo alternante principal sobre un elemento dado del eje. Si su dirección es constante con el tiempo, entonces se considera un caso de esfuerzo multiaxial simple. Si varía con el tiempo, entonces se trata de un caso de esfuerzo multiaxial complejo. La mayoría de los ejes giratorios cargados, tanto a la flexión como a la torsión, se encuentran en la categoría compleja. Como la dirección de la componente del esfuerzo por flexión alternante tiende a ser constante, la dirección de la componente de torsión varía conforme el elemento gira alrededor del eje. Al combinarlas en el círculo de Mohr, se verá que el resultado es un esfuerzo principal alternante de dirección variable. Una excepción a lo anterior es el caso de un torque constante superpuesto sobre un momento variable con el tiempo. Como el torque constante no tiene componente alternante, para cambiar la dirección del esfuerzo alternante principal, se convierte en un caso de esfuerzo multiaxial simple. Sin embargo, incluso dicha excepción no se debe considerar si existe una concentración de esfuerzos, como orificios o cuñeros en el eje, pues introducirán esfuerzos biaxiales locales y requerirán un análisis de fatiga multiaxial complejo. Suponga que la función de momento de flexión a lo largo del eje se conoce o calcula a partir de los datos proporcionados y que tiene tanto un componente medio Mm como un componente alternante Ma. De la misma manera, suponga que el torque sobre el eje se conoce o se calcula a partir de los datos proporcionados y, también, tiene componentes medio y alternante, Tm y Ta. Entonces, se aplica el enfoque general definido en la lista identificada como Pasos de diseño para esfuerzos fluctuantes en la sección 4.11 (p. 290), en combinación con los temas de esfuerzo multiaxial estudiados en la sección 4.12 (p. 306). Cualquier ubicación a lo largo del eje, que parezca tener momentos y/o torques grandes (sobre todo si están combinados con concentraciones de esfuerzos), debe examinarse para posibles fallas por esfuerzo y para ajustar adecuadamente las dimensiones de la sección transversal o las propiedades del material. 6.6 ESFUERZOS EN EL EJE En el entendido de que las siguientes ecuaciones deben aplicarse para una diversidad de puntos sobre el eje y también deberán considerarse sus efectos multiaxiales combinados, primero se debe obtener los esfuerzos aplicados en todos los puntos de interés. Los esfuerzos más grandes alternantes y medios de flexión se encuentran en la superficie exterior y se obtienen de Sa  k f Ma c I S m  k fm Mm c I ( 6.2 a) Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 417 donde kƒ y kƒm son los factores de concentración de esfuerzos de fatiga por flexión en las componentes alternante y media, respectivamente (véase las ecuaciones 4.11 y 4.17 en las pp. 273 y 294). Como el eje típico es sólido de sección transversal redonda,* se sustituyen c e I: cr d 2 I Pd 4 64 (6.2b) para obtener Sa  k f 32 Ma Pd 3 S m  k fm 32 Mm Pd 3 (6.2c ) donde d es el diámetro local del eje en la sección de interés. Los esfuerzos cortantes alternantes y de torsión medio se obtienen a partir de T a  k fs Ta r J T m  k fsm Tm r J 6 (6.3a) donde kƒs y kƒsm son los factores de concentración de esfuerzos de torsión por fatiga para las componentes media y alternativa, respectivamente (véase la ecuación 4.11 de la p. 273 para kƒs; utilice los esfuerzos cortantes aplicados y la resistencia a la fluencia por cortante en la ecuación 4.17 de la p. 294 para obtener kƒsm). Para una sección transversal sólida redonda,* se sustituyen r y J: r d 2 J Pd 4 32 (6.3b) para obtener T a  k fs 16Ta Pd 3 T m  k fsm 16Tm Pd 3 (6.3c) Si hay una carga de tensión axial Fz, normalmente sólo tiene una componente media (como el peso de los elementos) y se obtiene con S maxial  k fm 6.7 Fz 4 Fz  k fm A Pd 2 (6.4) FALLA DEL EJE POR CARGAS COMBINADAS En la década de 1930, Davies,[3] y Gough y Pollard,[5] en Inglaterra, realizaron extensos estudios originales de fallas por fatiga a la flexión y a la torsión combinadas, tanto en aceros dúctiles como en hierros colados frágiles. Estos primeros resultados se muestran en la figura 6-3, la cual se tomó del estándar ANSI/ASME B106.1M-1985 sobre Diseño de eje de transmisión. También se incluyen en las gráficas datos de investigaciones más recientes.[2,4] Se descubrió que, en los materiales dúctiles, la combinación de la torsión y la flexión por fatiga generalmente sigue la relación elíptica como la definen las ecuaciones de la figura. Se descubrió que los materiales frágiles colados (no mostrados) fallan con base en el esfuerzo principal máximo. Los descubrimientos son similares a los de esfuerzos combinados de torsión y de flexión en ciclo de carga invertida mostrados en la figura 4-15 (p. 251). * Para un eje hueco, sustituya las expresiones adecuadas para I y J. 418 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Acero al Ni-Cr-Mo, AISI 4340 de la referencia 2 Kt = 1.42 (Flexión) Acero al 0.1% de carbono Acero al 3% Ni de la referencia 3 Acero al 3.5% Ni-Cr ¥ Sa ´ ¦ µ § Se ¶ 2 Sa Se Acero al Ni-Cr de la referencia 3 Esfuerzo de flexión invertido en el límite de fatiga Límite de fatiga en flexión pura 6 Esfuerzo de flexión invertido en el límite de fatiga Límite de fatiga en flexión pura Sa Se Kt = 2.84 (Flexión) 2 ¥ Tm ´ ¦S µ 1 § ys ¶ Esfuerzo estático de torsión Resistencia de fluencia por torsión Tm Sys (a) Datos de prueba a la fatiga de esfuerzos combinados para flexión invertida combinada con torsión estática (de la referencia 4) ¥ Sa ´ ¦ µ § Se ¶ 2 2 ¥ Ta ´ ¦ µ 1 § Ses ¶ Esfuerzo de torsión invertido en el límite de fatiga Límite de fatiga en torsión pura Ta Ses (b) Datos de prueba a la fatiga de esfuerzos combinados para flexión invertida combinada con torsión invertida (de la referencia 5) FIGURA 6-3 Resultados de pruebas a la fatiga de muestras de acero sometidas a flexión y torsión combinadas (De Design of Transmission Shafting, Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos, Nueva York, ANSI/ASME Estándar B106.1M-1985, con autorización) 6.8 DISEÑO DE EJES En el diseño de ejes deben considerarse tanto los esfuerzos como las deflexiones. La deflexión suele ser el factor crítico, pues las deflexiones excesivas provocarán un desgaste rápido de los cojinetes del eje. Los engranes, las bandas o las cadenas impulsadas por el eje también tienen problemas por la desalineación introducida por las deflexiones del eje. Observe que los esfuerzos en un eje se pueden calcular localmente para varios puntos a lo largo del eje con base en las cargas conocidas y suponiendo secciones transversales. No obstante, los cálculos de la deflexión requieren que se defina la geometría total del eje, de modo que por lo general un eje se diseña aplicando consideraciones de esfuerzo y, luego, se calcula la deflexión una vez que la geometría está totalmente definida. También puede resultar crítica la relación entre las frecuencias naturales del eje (tanto a la flexión como a la torsión) y la frecuencia contenida en las funciones de fuerza y torque-tiempo. Si las funciones de fuerza son cercanas en frecuencia, a las frecuencias naturales del eje, la resonancia podría crear vibraciones, esfuerzos altos y deflexiones grandes. Consideraciones generales Para el diseño de ejes, se consideran algunas reglas prácticas generales como sigue: 1. Para minimizar tanto las deflexiones como los esfuerzos, la longitud del eje debe mantenerse tan corta como sea posible y tiene que minimizar los voladizos. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 419 2. Una viga en voladizo tiene mayor deflexión que una simplemente soportada (montada sobre silletas) con las mismas longitud, carga y sección transversal, por lo que habrá de utilizarse el montaje sobre silletas a menos que, por requerimientos de diseño, sea obligatorio el eje en voladizo. (La figura 6-2 muestra una situación donde, por cuestiones prácticas, se requiere una parte del eje en voladizo. La polea del extremo derecho del eje transporta una banda en V sinfín. Si la polea se montara entre los cojinetes, entonces el montaje del eje debería ser desarmado para cambiar una banda, lo cual no es razonable. En tales casos, el eje en voladizo sería el menor de los males.) 3. Un eje hueco tiene una mejor razón rigidez/masa (rigidez específica), así como mayores frecuencias naturales que un eje sólido de rigidez o resistencia comparables, pero será más costoso y de mayor diámetro. 4. Si es posible, intente ubicar los incrementadores de esfuerzos alejados de las regiones con momentos de flexión altos, luego minimice sus efectos con radios y alivios generosos. 5. Si la preocupación principal es minimizar la deflexión, entonces el material indicado sería un acero al bajo carbono, puesto que su rigidez es tan alta como la del más costoso de los aceros, mientras un eje diseñado para bajas deflexiones suele tener bajos esfuerzos. 6. Las deflexiones en los engranes transportados sobre el eje no deberían exceder 0.005 in aproximadamente, en tanto que la pendiente relativa entre los ejes de los engranes debería ser menor de 0.03°, aproximadamente.[1] 7. Si se emplean cojinetes de manguito simple, la deflexión del eje a través de la longitud del cojinete debe ser menor que el espesor de la película de aceite en el cojinete.[1] 8. Si se utilizan cojinetes con elementos giratorios excéntricos y no de autocierre, la pendiente del eje en el cojinete deberá mantenerse por debajo de 0.04°, aproximadamente.[1] 9. Si hay cargas de empuje axial, deberán transferirse a tierra a través de un solo cojinete de empuje por cada dirección de carga. No divida las cargas axiales entre varios cojinetes de empuje, ya que la expansión térmica sobre el eje puede sobrecargar dichos cojinetes. 10. La primera frecuencia natural del eje debería ser por lo menos tres veces la frecuencia de la mayor fuerza esperada durante el servicio, y preferiblemente mucho más. (Un factor de 10 o más es preferible, pero con frecuencia es difícil de lograr en sistemas mecánicos.) Diseño para ciclo de flexión y torsión constantes invertidas Este caso de carga es un subconjunto del caso general de flexión variable y torsión variable, pero debido a la ausencia de una componente alternante de esfuerzo de torsión se considera un caso de fatiga multiaxial simple. (Sin embargo, la presencia de concentraciones locales de esfuerzos puede ocasionar esfuerzos multiaxiales complejos.) Este caso de carga simple se ha investigado experimentalmente, por lo que existen datos de falla de piezas cargadas de esta manera, como se ilustra en la figura 6-3. La ASME ha definido un procedimiento para el diseño de ejes cargados de este modo. EL MÉTODO ASME El estándar ANSI/ASME para el Diseño de ejes de transmisión se publicó con el código B106.1M-1985. El estándar presenta un procedimiento simplificado para el diseño de ejes. El procedimiento ASME supone que la carga es de 6 420 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado ciclo de flexión invertida (componente media de la flexión igual a cero) y torque constante (componente del torque alternante igual a cero) a un nivel que genera esfuerzos por debajo de la resistencia a la fluencia por torsión del material. El estándar se justifica porque muchos ejes de máquinas entran en esta categoría. Se utilizan la curva elíptica de la figura 6-3, normalizada por la resistencia física a la flexión sobre el eje σa, y la resistencia a la fluencia por tensión sobre el eje σm, como la envoltura de falla. La resistencia a la fluencia por tensión se sustituye por la resistencia a la fluencia por torsión empleando la relación de Von Mises de la ecuación 3.9 (p. 181). La deducción de la ecuación ASME del eje es como sigue. Partiendo de la relación de la envoltura de falla mostrada en la figura 6-3a: ¤ Sa ³ ¥ ´ ¦ Se µ 2 2 ¤ Tm ³ ¥S ´ 1 ¦ ys µ ( 6.5a) se introduce un factor de seguridad Nƒ 6 ¤ Sa ³ ¥Nf ´ Se µ ¦ 2 2 ¤ Tm ³ ¥Nf S ´ 1 ¦ ys µ ( 6 .5b) Considerando la relación de Von Mises para Sys de la ecuación 3.9 (p. 181): Sys  Sy (6.5c) 3 y sustituyéndola en la ecuación 6.5b. ¤ Sa ³ ¥Nf ´ Se µ ¦ 2 2 ¤ Tm ³ ¥Nf 3 S ´ 1 ¦ yµ (6.5d) Sustituyendo la expresión para σa y τm de las ecuaciones 6.2c y 6.3c, respectivamente: §¤ 32 Ma ³ ¤ N f ´¥ ¨¥ k f Pd 3 µ ¦ Se ¨©¦ ³¶ ´· µ ·¸ 2 2 §¤ 16Tm ³ ¤ N f 3 ³ ¶ ¨¥ k fsm ´¥ ´·  1 Pd 3 µ ¦ Sy µ ·¸ ¨©¦ (6.5e) lo cual se puede replantear para resolver el diámetro d del eje como ª ­ 32 N ­ f d« P ­ ­¬ 2 §¤ ³ M a ¨ k ¨¥¦ f S f ´µ © 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ T 3¤ ­ k fsm m ´ · º Sy µ · ­ 4 ¥¦ ¸ ­» (6.6a) La notación utilizada en la ecuación 6.6 es ligeramente diferente a la del estándar ANSI/ASME para ser consistente con la notación que se usa en este texto. El estándar usa el procedimiento de reducción de resistencia a la fatiga Sƒ por el factor kƒ de concentración de esfuerzo por fatiga, en vez de usar kƒ como un incrementador de esfuerzos, como se ha venido haciendo de forma consistente en el libro. En la mayoría de los casos (incluyendo éste), el resultado es el mismo. El estándar ASME también supone que la concentración de esfuerzos para el esfuerzo medio kƒsm es 1 en todos los casos, lo cual da ª ­ 32 N ­ f d« P ­ ­¬ 2 §¤ ³ ¨ k Ma ¨¥¦ f S f ´µ © 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ 3 ¤ Tm · ­ º 4 ¥¦ Sy ´µ · ­ ¸ ­» (6.6b) Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 421 La ASME abandonó el estándar de diseño de ejes, de modo que ahora sólo tiene valor histórico. Si se utiliza, la ecuación 6.6 se debería aplicar únicamente en situaciones donde las cargas son como se supone deben ser, es decir, un torque constante y un ciclo de momento invertido. El estándar ASME proporciona resultados no conservadores si cualquiera de las componentes de carga que se suponen iguales a cero no lo son en un caso determinado. Para el diseño de ejes, se recomienda emplear el enfoque más general de la ecuación 6.8 (véase más adelante), que incluye todas las situaciones de carga. La figura 6-4 muestra la línea elíptica de falla de Gough de la figura 6-3 superpuesta sobre las líneas de Gerber, Soderberg y Goodman modificado. Observe que la elipse está muy cerca de la línea de Gerber en el lado izquierdo, pero se aleja al intersecar la resistencia a la fluencia sobre el eje de esfuerzo medio. La elipse tiene la ventaja de tomar en cuenta la posible fluencia sin necesidad de introducir una restricción adicional que implique la línea de fluencia. Sin embargo, aun cuando la línea elíptica de Gough se ajusta bien a los datos de falla, es menos conservadora que la combinación de la línea de Goodman y la línea de fluencia utilizada como la envoltura de falla. 6 Diseño con flexión y torsión fluctuantes Cuando el torque no es constante, su componente alternante crea un estado de esfuerzo multiaxial complejo en el eje. Entonces se utiliza el procedimiento descrito en la sección 4.12 (p. 306), que calcula las componentes de Von Mises de los esfuerzos alternante y medio aplicando las ecuaciones 4.22 (p. 309). Un eje giratorio con flexión y torsión combinadas se encuentra en un estado de esfuerzo biaxial, lo cual permite el uso de la versión bidimensional de la ecuación 4.22b. S' a  S 2a S' m  S m 3 T 2a S maxial (6.7a) 2 3 T 2m Con tales esfuerzos de Von Mises se introducen ahora al diagrama modificado de Goodman (MGD) para el material seleccionado, para obtener el factor de seguridad, o bien, se aplican las ecuaciones 4.18 (pp. 297-298) sin dibujar el MGD. Para objetivos de diseño, cuando se desea calcular el diámetro del eje, las ecuaciones 6.2, 6.3 y 6.6, en la forma presentada, requieren iteración para obtener el valor de d a partir de las cargas conocidas y suponiendo las propiedades del material. Lo anterior no es difícil si se utiliza un resolvedor de ecuaciones con capacidad iterativa. No obstante, la solución con calculadora es muy engorrosa con las ecuaciones en esta forma. Si se supone un caso de falla específico para el diagrama modificado de Goodman, las ecuaciones se manipulan para obtener una ecuación de diseño (similar a la ecuación 6.6) y calcular así el diámetro d del eje en la sección de interés. Si el modelo de falla empleado es el caso 3 de la sección 4.11 (p. 290), el cual supone que las cargas media y alternante mantienen una razón constante,* la falla ocurrirá en el punto R de la figura 4-46c (p. 296). Entonces, el factor de seguridad definido en la ecuación 4.18e (p. 298) es S' 1  a Nf Sf S' m Sut (6.7b) donde Nƒ es el factor de seguridad deseado, Sƒ es la resistencia corregida a la fatiga en el ciclo de vida elegido (de la ecuación 4.10 en la p. 268) y Sut es la resistencia última a la tensión del material. * Observe que esta suposición también está implícita en la ecuación 6.6 del método ASME. 422 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Sa hacia Sy Se o Sf esfuerzo alternante línea mod línea de fluencia elipse de Gough ifica da d e Go odm Parábola de Gerber an línea de Soderberg Sm 0 Sy 0 esfuerzo medio Sut FIGURA 6-4 Línea elíptica de falla usando la resistencia a la fluencia, mostrada junto con otras líneas de falla para esfuerzos variables 6 Si ahora también se supone que la carga axial sobre el eje es cero y se sustituyen las ecuaciones 6.2c, 6.3c y 6.7a en la ecuación 6.7b, se tiene 1 ª ­ 32 N ­ f d« P ­ ­¬ § ¨ ¨ ¨ ¨©  k f Ma 3 k fs Ta 4 2  Sf 2 k fm Mm 3 k fsm Tm 4 2  Sut 2 ¶¹ 3 · ­­ ·º ·­ ·¸ ­ » (6.8) que se puede utilizar como una ecuación de diseño para obtener el diámetro del eje para cualquier combinación de carga de flexión y de torsión con los supuestos anotados arriba, de cero carga axial y razón constante entre los valores alternante y medio de carga en el tiempo. EJEMPLO 6-1 Diseño de ejes para torsión constante y ciclo de flexión invertida Problema Diseñe un eje para sostener los accesorios mostrados en la figura 6-5 con un factor de seguridad mínimo de diseño igual a 2.5. Se proporciona En la figura 6-5 se muestra un diseño preliminar de la configuración del eje. Debe transmitir 2 hp a 1 725 rpm. El torque y la fuerza sobre el engrane son constantes en el tiempo. * Consulte R.E. Peterson, Stress Concentration Factors, John Wiley, 1974, figuras 72, 79 y 183, las cuales muestran estos números como máximos aproximados para estos contornos y cargas. Como se crea un diseño preliminar en esta etapa y no se tiene aún definido con detalle la geometría del eje, sería infructuoso intentar definir tales factores más exactamente. Lo anterior se puede hacer más tarde y refinar el diseño adecuadamente. Suposiciones No existen cargas axiales aplicadas. Se usará acero para vida infinita. Suponga un factor de concentración de esfuerzos de 3.5 para los radios de los escalones en flexión, 2 para los radios de los escalones en torsión y 4 en los cuñeros.* Como el torque es constante y el momento de flexión es de ciclo invertido, se debe usar el método ASME de la ecuación 6.6, y se comparará con el método general usando la ecuación 6.8 Solución Véase las figuras 6-5 a 6-8. 1. Primero determine el torque transmitido a partir de la potencia y la velocidad angular dadas usando la ecuación 6.1 (p. 415). Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 423 q = 6.75 c = 6.5 plano de F1 y F2 b=5 p = 2.0 A B C a 1.5 3.5 D 1.5 s d2 B d0 F1 Fg d2 d1 y 1.5 plano de Fg 20o d3 C polea cuña 6 eje z Rx 6 x cojinete chaveta circular A polea engrane 6 Ry D engrane bastidor F2 R2y R1y no está a escala FIGURA 6-5 Geometría de un diseño preliminar en los ejemplos 6-1 a 6-3 ¥ in - lb seg ´ 2 hp ¦ 6 600 µ hp § ¶ P  73.1 lb - in T  W ¥ 2 P rad seg ´ 1 725 rpm ¦ µ § 60 rpm ¶ ( a) Este torque sólo existe sobre la porción del eje entre la polea y el engrane, y es de magnitud uniforme a lo largo, como se indica en la figura 6-6. 2. Las fuerzas tangenciales sobre la polea y el engrane se obtienen a partir del torque y sus radios respectivos. La banda en V tiene tensión en ambos lados, mientras la razón entre la fuerza F1 sobre el lado apretado y F2 sobre el lado “flojo” se toma usualmente como 5. La fuerza neta asociada con el torque impulsor es Fn  F1  F2, pero la fuerza que flexiona el eje es Fs  F1  F2. Combinando tales relaciones, se tiene que Fs  1.5Fn. Considerando el extremo de la polea: T 73.1 lb - in   24.36 ˆi lb r 3 in Fs  1.5 Fn  36.54 ˆi lb Magnitud del torque (lb-in) Fn  (b) 3. La fuerza tangencial en el diente de la rueda dentada es Fgtangencial T 73.1 lb - in    24.36 ˆj lb 3 in r (c) Como se muestra, el engrane recto tiene un ángulo de presión de 20°, lo cual significa que también hay una componente radial de fuerza en el diente del engrane igual a 80 60 40 20 0 z 0 2 4 6 8 longitud del eje (in) FIGURA 6-6 Torque del ejemplo 6-1 424 DISEÑO DE MÁQUINAS 20 z –20 –40 0 2 4 6 8 Cortante en el plano yz 15 10 5 z 0 –5 –10 0 2 4 6 8 6 Magnitud del cortante 40 30 20 10 0 z 0 2 4 6 8 Momento en el plano xz 60 40 z 0 2 4 6 8 £ M A  R2 b Fg p Fs q  0 1 R2   Fg p Fs q  15 2 Fg b £ F  R1 Fg R1  Fg Fs 20 1.35 Fs (e ) R2  0 R2  Fg Fs 6.75 Fs  0.40 Fg  Fs 0.40 Fg 1.35 Fs  0.60 Fg 0.35 Fs (f) Las ecuaciones (e) y ( f ) se despejan para R1 y R2 en cada plano, usando las componentes adecuadas de las cargas aplicadas Fg y Fs. R1 x  0.60 Fg x 0.35 Fs x  0.608.87 R1 y  0.60 Fg y 0.35 Fs y  0.60 24.36 R2 x  0.40 Fg x 1.35 Fs x  0.408.87 R2 y  0.40 Fg y 1.35 Fs y  0.40 24.36 0.3536.54  7.47 lb 0.350  14.61 lb ( g) 1.3536.54  52.87 lb 1.350  9.74 lb 5. Ahora se calculan la carga de cortante y el momento de flexión que actúan sobre el eje. Escriba una ecuación para la función de carga q usando funciones de singularidad, integrándolas para obtener la función de cortante V, e integrar otra vez para la función de momento M. 1 q  R1 z 0 V  R1 z 0 0 M  R1 z 0 1 Momento en el plano yz 30 (d ) 4. Se considerará que las fuerzas en el engrane y la polea están concentradas en sus centros. Resuelva las fuerzas de reacción en los planos xz y yz, mediante Σ Fx  0, Σ Mx  0 y Σ Fy  0, Σ My  0, con las dimensiones supuestas de la viga, a  1.5, b  5 y c  6.5, lo cual da p  2 y q  6.75. 20 0 Un Enfoque Integrado Fgradial  Fgtangencial tan20o  8.87 ˆi lb Cortante en el plano xz 0 - 2 Fg z Fg z 2 0 Fg z 2 1 1 5 R2 z 0 R2 z 5 R2 z 51 1 Fs z Fs z Fs z 6.75 6.75 6.75 1 0 1 (h) (i ) ( j) Recuerde que las constantes de integración C1 y C2 son cero cuando se incluyen las fuerzas de reacción en la ecuación. 10 z 0 0 2 4 6 8 Magnitud del momento C 60 B 40 20 D z 0 0 2 4 6 FIGURA 6-7 Carga del ejemplo 6-1 8 6. Sustituya los valores de las cargas y las fuerzas de reacción para cada dirección de coordenadas en las ecuaciones (h), (i) y (j), luego evalúelas para todos los valores de z a lo largo del eje. Después, combine las componentes de la función del momento de los planos xz y yz (usando el teorema de Pitágoras) para obtener la magnitud máxima de la función de momento. En la figura 6-7 se muestran las distribuciones de cortante y momento sobre la longitud del eje. El torque aplicado es uniforme sobre la porción del eje entre los puntos B y D, como se ilustra en la figura 6-6. Dentro de esa longitud, hay tres ubicaciones de interés, donde se presenta un momento combinado con una concentración de esfuerzos: el punto B en el escalón y el cuñero debajo del engrane (MB  33 lb-in), el punto C a la derecha del cojinete, donde existe un escalón de radio pequeño para ajustar el cojinete (MC  63 lb-in) y el punto D en el escalón de la polea (MD  9 lb-in). Observe que debido a su alta concentración de esfuerzos, la ranura de la chaveta circular utilizada para la fijación axial se colocó en el extremo del eje, donde el momento y el torque son ambos iguales a cero. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 425 7. Se necesita elegir un material de prueba para realizar los cálculos. Se intentará primero con un acero barato rolado en frío al bajo carbono, como un SAE 1020 con Sut  65 kpsi y Sy  38 kpsi. Aun cuando no es excepcionalmente fuerte, el material tiene baja sensibilidad a la muesca, lo cual es una ventaja, en vista de las grandes concentraciones de esfuerzos. Calcule la resistencia física sin corregir, con la ecuación 4.5 (p. 260): Se'  0.5Sut  0.565 000  32 500 psi (k ) Lo anterior se debe reducir por varios factores para tomar en cuenta las diferencias entre la pieza y la muestra de prueba. Se  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Se' Se  1 1 0.84 1 1 32 500  27 300 psi (l ) La carga es flexión y torsión, de modo que Ccarga es 1. Como todavía no se conoce el tamaño de la pieza, temporalmente se supondrá que Ctamaño  1, pero se ajustará más adelante. Se elige Csup para un acabado maquinado, ya sea de la figura 4-26 (p. 262) o con la ecuación 4.7e (p. 263). La temperatura no es elevada, de modo que Ctemp  1, por lo que se supone un 50% de confiabilidad en esta etapa de diseño preliminar con Cconf  1. 8. La sensibilidad a la muesca del material se obtiene de la ecuación 4.13 (p. 273) o de la figura 4-36 (pp. 274-275) y es q  0.5 a la flexión y q  0.57 a la torsión, suponiendo un radio de la muesca igual a 0.01 in. 9. El factor de concentración de esfuerzos por fatiga se obtiene con la ecuación 4.11b (p. 273) usando la concentración de esfuerzo geométrico supuesta arriba. Para el esfuerzo de flexión en el escalón del punto C: K f  1 q K t 1  1 0.53.5 1  2.25 ( m) La concentración de esfuerzos para el escalón cargado por torsión es menor que para la misma geometría carga por flexión: K fs  1 q Kts 1  1 0.572 1  1.57 (n) A partir de la ecuación 4.17 (p. 294) se encuentra que, en este caso, se debería usar el mismo factor sobre la componente del esfuerzo medio por torsión: K fsm  K fs  1.57 ( o) 10. El diámetro del eje en el punto C se determina ahora de la ecuación 6.6, con la magnitud de momento en ese punto de 63.9 in-lb. ª ­ 32 N ­ f d2  « ­ P ­¬ ª ­­ 322.5 « ­ P ­¬ 2 §¤ ³ ¨ k Ma ¨¥¦ f S f ´µ © 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ T 3¤ ­ k fsm m ´ · º ¥ · 4¦ Sy µ ¸ ­ ­» 2 §¤ 63.9 ³ ¨¥ 2.25 ´ 27 300 µ ¨©¦ 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ 3¤ 73.1 ­ ¥1.57 ´ · º  0.531 in 4¦ 38 000 µ · ­ ¸ ­» ( p) Si se hace que kfsm sea igual a 1, como lo recomienda la ASME, la ecuación 6.6 da como resultado d  0.520 in. Si se utiliza la ecuación más general 6.8, el resultado es d  0.557 in. Observe que el método ASME es menos conservador que la 6 426 DISEÑO DE MÁQUINAS Sa (kpsi) 40 línea de fluencia 30 línea de carga 20 línea de Goodman 10 0 0 20 40 60 Sm (kpsi) (a) Esfuerzos en el punto B 6 Sa (kpsi) 40 línea de fluencia 30 línea de carga línea de Goodman 20 10 0 0 20 40 60 Sm (kpsi) (b) Esfuerzos en el punto C Sa (kpsi) 40 línea de fluencia 30 20 línea de Goodman línea de carga 10 0 0 20 40 60 Sm (kpsi) (c) Esfuerzos en el punto D FIGURA 6-8 Diagramas modificados de Goodman para tres puntos sobre la flecha del ejemplo 6-1 - Un Enfoque Integrado ecuación 6.8, ya que proporciona diámetros de flecha menores para el mismo factor de seguridad. En la figura 6-8b se muestra un diagrama modificado de Goodman para estos elementos de esfuerzo, el cual predice la falla por fatiga. 11. En el punto B, debajo del engrane, el momento es menor, pero los factores de concentración de esfuerzo por fatiga Kƒ y Kƒs son mayores y tienen que calcularse. En B: K f  1 q K t 1  1 0.5 4 1  2.50 K fs  1 q Kt 1  1 0.57 4 1  2.70 (q) 12. El diámetro mínimo recomendado en el punto B de acuerdo con la ecuación 6.6 es ª ­ 32 N ­ f d1  « P ­ ­¬ 2 §¤ ³ ¨ k Ma ¨¥¦ f S f ´µ © ª ­­ 322.5 « ­ P ­¬ 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ T 3¤ ­ k fsm m ´ · º 4 ¥¦ Sy µ · ­ ¸ ­» 2 §¤ 32.8 ³ ¨¥ 2.50 ´ 27 300 µ ¨©¦ 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ 3¤ 73.1 ­ ¥ 2.71 ´ · º  0.517 in 4¦ 38 000 µ · ­ ¸ ­» (r ) Si kƒsm se hace igual a 1, como lo recomienda la ASME, la ecuación 6.6 nos da d  0.444 in. Si se usa la ecuación general 6.8 más general, el resultado es d  0.524 in. De nuevo, el método ASME es menos conservador, comparado con la ecuación 6.8. En la figura 6-8a se presenta el diagrama modificado de Goodman para este elemento de esfuerzo, el cual predice la falla por fatiga. 13. Otra ubicación de falla posible es el escalón contra el que se asienta la polea en el punto D. El momento es menor que en C, con un valor aproximado de 9.1 lb-in. (Véase la figura 6-7.) Sin embargo, el eje tiene ahí el diámetro más pequeño y el mismo orden de concentración de esfuerzos que en el punto C. (El cuñero de la polea está en una región de cero momento y, por lo tanto, se ignora). Mediante esos datos en la ecuación 6.6 (p. 420) para el punto D: ª ­ 32 N ­ f d3  « P ­ ­¬ ª ­­ 322.5 « ­ P ­¬ 2 §¤ ³ ¨ k Ma ¨¥¦ f S f ´µ © 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ T 3¤ ­ k fsm m ´ · º ¥ 4¦ Sy µ · ­ ¸ ­» 2 §¤ 9.1 ³ ¨¥ 2.25 ´ 27 300 µ ¨©¦ 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ 3¤ 73.1 ­ ¥1.57 ´ · º  0.411 in 4¦ 38 000 µ · ­ ¸ ­» ( s) Si kƒsm se hace igual a 1, como lo recomienda la ASME, la ecuación 6.6 nos da d  0.360 in. Si se utiliza la ecuación 6.8 más general, el resultado es d  0.387 in. En la figura 6-8c se muestra el diagrama modificado de Goodman para este elemento de esfuerzo, el cual predice la falla por fluencia. 14. A partir de estos cálculos preliminares, se determinarán tamaños razonables para los cuatro diámetros escalonados, d0, d1, d2, y d3 de la figura 6-5 (p. 423). El diámetro estándar inmediato mayor del cojinete de bolas para d2  0.531 in calculado para el punto C, es de 15 mm, o bien, 0.591 in. Si se elige este valor para d2, se hacen d3  0.50 in y d1  0.625 in. El tamaño de fábrica d0 es entonces 0.75 in, dejando el rolado de fábrica para el diámetro exterior en la pestaña del engrane. Tales dimensiones Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 427 proporcionarán factores de seguridad que cumplen o exceden la especificación. Los esfuerzos y los factores de seguridad en los tres puntos se deberían recalcular ahora con una resistencia reducida más exacta (por ejemplo, Ctamaño) y factores de concentración de esfuerzos con base en las dimensiones finales.* Torque medio 80 40 0 EJEMPLO 6-2 z 0 2 4 6 8 longitud del eje (in) Diseño de un eje para torsión repetida con flexión repetida Torque alternante Problema Diseñe un eje para soportar los accesorios mostrados en la figura 6-5 (p. 423) con un factor de seguridad de diseño mínimo de 2.5. Se proporciona El torque y el momento sobre el eje son variables con el tiempo y en modo repetido, es decir, sus componentes alternante y media son de igual magnitud. Las componentes alternante y media del torque son ambas de 73 lb-in, lo que hace que el torque pico sea del doble del valor medio del ejemplo 6-1. Las componentes media y alternante de momento son iguales en magnitud. La figura 6-9 muestra el momento pico y el torque pico, los cuales son dos veces el valor de sus contrapartes de ciclo invertido de la figura 6-5 y del ejemplo 6-1, debido a la presencia del momento medio. Suposiciones Solución No hay cargas axiales aplicadas. Se usará acero para vida infinita. Suponga un factor de concentración de esfuerzos de 3.5 para los radios del escalón en flexión, 2 para los radios del escalón en torsión y 4 en los cuñeros. Como la carga torsional no es constante y el momento de flexión no es de ciclo invertido, no se debe utilizar el método ASME de la ecuación 6.6 (p. 420). 80 40 0 z 0 2 4 6 8 longitud del eje (in) 6 Torque pico 160 120 80 40 0 z 0 2 4 6 8 longitud del eje (in) Momento medio Véase las figuras 6-5 (p. 423), 6-9 y 6-10, y la tabla 6-1. 80 1. Para efectos de comparación, con excepción de la carga, se mantendrán todos los factores iguales a los del ejemplo anterior. El mismo acero SAE 1020, rolado en frío al bajo carbono, tiene Sut  65 kpsi, Sy  38 kpsi, y utiliza una Se corregida igual a 27.3 kpsi. Su sensibilidad a la muesca es de 0.5. 40 z 0 0 2 4 6 8 longitud del eje (in) 2. Existen tres puntos de interés, identificados como B, C y D, en la figura 6-5 (p. 423). Los factores de concentración de esfuerzos por fatiga se asumen como los mismos en C y D, que son más grandes en B. Véase el ejemplo 6-1 (p. 422) para su cálculo. 80 3. El diámetro requerido del eje en el punto C se obtiene con la ecuación 6.8 (p. 422). 40 Momento alternante z 0 ª ­ 32 N ­ f d2  « P ­ ­¬ § ¨ ¨ ¨ ¨ ©  k f Ma 3 k fs Ta 4 2  2 k fm Mm Sf 3 k fsm Tm 4 2  Sut 0 1 2 ¶¹ 3 § ¨ ¨ ¨ ¨ © 3 ;2.2564 =2 4 ;1.5773.1 = 2 27 300 3 ;2.2564 =2 4 ;1.5773.1 = 2 65 000 d2  0.614 * Los archivos EX10-01a, EX10-01b, EX10-01c, y EX10-01d se encuentran en el CD-ROM. 4 6 8 longitud del eje (in) · ­­ ·º ·­ ·­ ¸» Momento pico C 120 1 ª ­ ­ 322.5 « ­ P ­¬ 2 ¶¹ 3 · ­­ ·º ·­ ·­ ¸» ( a) B 80 40 D z 0 0 2 4 6 8 longitud del eje (in) FIGURA 6-9 Torques y momentos del ejemplo 6-2 (lb-in) 428 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Compare esto con el valor de 0.557 de la misma ecuación del ejemplo anterior, cuando las cargas eran constantes. 4. En el punto B el diámetro requerido, aplicando la ecuación 6.8, es 1 Sa (kpsi) ª ­ ­ 322.5 d1  « ­ P ­ ¬ 40 línea de fluencia 30 línea de carga 20 línea de Goodman 10 3 ;2.532.8 = 4 ;2.7173.1 = 2 27 300 2 3 ;2.532.8 = 4 ;2.7173.1 = 2 65 000 2 d1  0.632 ¶¹ 3 ·­ ·­ º ·­ ·­ ¸» (b) Compare esto con el valor de 0.517 de la misma ecuación del ejemplo anterior, donde las cargas eran constantes. 0 0 20 40 60 5. Y en el punto D: 1 Sm (kpsi) 6 § ¨ ¨ ¨ ¨ © ª ­ ­ 322.5 d3  « ­ P ­ ¬ (a) Esfuerzos en el punto B § ¨ ¨ ¨ ¨ © 3 ;2.259.1 = 4 ;1.5773.1 = 2 27 300 2 3 ;2.259.1 = 4 ;1.5773.1 = 2 65 000 2 ¶¹ 3 ·­ ·­ º ·­ ·­ ¸» Sa (kpsi) d3  0.512 40 Compare esto con el valor de d3  0.411 de la misma ecuación del ejemplo anterior, donde las cargas eran constantes. línea de fluencia 30 línea de carga línea de Goodman 20 10 0 0 20 40 60 Sm (kpsi) (b) Esfuerzos en el punto C Sa (kpsi) 40 línea de fluencia línea de carga 30 20 línea de Goodman 10 (c) 6. La presencia de esfuerzos repetidos requiere un eje más grande para mantener el mismo factor de seguridad. Se necesita el cojinete estándar inmediato mayor en C, el cual tiene 17 mm (0.669 in) de diámetro interior. Seleccionando este valor para d2, se intentan valores para d3  0.531 in, que es el valor estándar inmediato menor en pulgadas y d1  0.750 in, que es el valor estándar inmediato mayor en pulgadas. El tamaño de fábrica es ahora 0.875 in y se deja rolado en frío para el diámetro exterior en la pestaña del engrane. Estas dimensiones proporcionan factores de seguridad que cumplen o exceden las especificaciones, como se indica en los diagramas modificados de Goodman de la figura 6-10. Los esfuerzos y factores de seguridad de los tres puntos se deberían recalcular ahora usando una resistencia reducida más precisa, así como factores de concentración de esfuerzos con base en las dimensiones finales. 7. La tabla 6-1 compara los resultados de los ejemplos 6-1 y 6-2 para mostrar las diferencias en los diámetros necesarios del eje para carga constante o carga fluctuante. Observe que la carga pico del ejemplo 6-1 es la mitad de la del ejemplo 6-2. Los factores de seguridad finales son más grandes que los mínimos de diseño debido a la necesidad de dimensionar el eje para ajustarse a un tamaño de cojinete disponible. Los archivos EX10-02a, EX10-02b, EX10-02c y EX10-02d se encuentran en el CD-ROM. 0 0 20 40 60 Sm (kpsi) (c) Esfuerzos en el punto D FIGURA 6-10 Diagramas de Goodman modificados para tres puntos sobre el eje del ejemplo 6-2 6.9 DEFLEXIÓN EN EJES Un eje es una viga que se flexiona transversalmente y también una barra de torsión que se flexiona por torsión. Es necesario analizar ambos modos de flexión. Los principios del análisis de flexión se revisaron en el capítulo 2 y no se repetirá el detalle aquí. En la sección 2.10 (p. 92) se desarrolló un procedimiento para el cálculo de las deflexiones en vigas, usando funciones de singularidad, y en la sección 2.12 (p. 107) se investigó la deflexión por torsión. Capítulo 6 Tabla 6-1 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 429 Comparación de los resultados del diseño de eje para los ejemplos 6-1 y 6-2 Diámetros mínimos proporcionados Nf = 2.5 en cada punto Diseño Torque Alt. Máx. Torque Medio Máx Momento Momento d0 (in) Medio Alt. nom Máx. Máx d1 (in) mín / nom d2 (in) mín / nom d3 (in) mín / nom en C Sf Ej. 6-1 0 73.1 63.9 0 0.750 0.517 / 0.625 0.557 / 0.591 0.411 / 0.500 2.5 / 3.0 Ej. 6-2 73.1 73.1 63.9 63.9 0.875 0.632 / 0.750 0.614 / 0.669 0.512 / 0.531 2.5 / 3.8 Ejes como vigas Los métodos de la sección 2.10 son directamente aplicables. La única complicación es la presencia frecuente en un eje de los escalones que cambian las propiedades de la sección transversal en toda su longitud. La integración de la función M / EI se vuelve mucho más compleja por el hecho de que tanto I como M son ahora funciones de la dimensión a lo largo del eje-viga. En vez de hacer una integración analítica como se hizo en la sección 2.10 para el caso de I constante, se utilizará una técnica de integración numérica, como la regla de Simpson o la regla trapezoidal, para formar las funciones de pendiente y deflexión a partir de la función M / EI. Lo anterior se demostrará con un ejemplo. Si las cargas transversales y los momentos varían con el tiempo, entonces se deben emplear las magnitudes máximas absolutas para calcular las deflexiones. La función de deflexión dependerá de la carga y las condiciones limitantes de la viga, es decir, si es simplemente soportada, en voladizo o suspendida. Ejes como barras de torsión Los métodos de la sección 2.12 son directamente aplicables, sobre todo la ecuación 2.24 (p. 108), ya que la única sección transversal práctica para un eje es la circular. La deflexión angular θ (en radianes) para un eje de longitud l, módulo de cortante G, momento de inercia polar J, con torque T, es Q Tl GJ (6.9a) a partir de la cual es posible obtener la expresión para lo constante de resorte de torsión: kt  T GJ  Q l (6.9b) Si el eje es escalonado, las secciones transversales que cambian complican el cálculo de la deflexión por torsión y de la constante del resorte debido al cambio del momento polar de inercia J. Cualquier grupo de secciones adyacentes con diámetro diferente en el eje se pueden considerar un conjunto de resortes en serie, puesto que sus deflexiones se suman y el torque pasa sin modificación. Se calcula una constante de resorte efectiva o un módulo J efectivo para cualquier segmento del eje, con la finalidad de encontrar la deflexión relativa entre sus extremos. Para el segmento de un eje que contiene tres porciones de secciones transversales diferentes, J1, J2 y J3, con sus longitudes correspondientes l1, l2 y l3, la deflexión total es simplemente la suma de las deflexiones de cada sección sometida al mismo torque. Se supondrá que el material es consistente a todo lo largo. 6 430 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Q  Q1 Q 2 T ¤ l1 ¥ G ¦ J1 Q3  l2 J2 l3 ³ ´ J3 µ (6.9c) La constante efectiva del resorte kef de un eje escalonado de tres segmentos es 1 1  kt kt1 1 kt 2 eff 1 kt3 (6.9d ) Estas expresiones se pueden extender a cualquier número de segmentos del eje escalonado. EJEMPLO 6-3 Diseño de un eje escalonado para minimizar la deflexión 6 Problema Diseñe el mismo eje del ejemplo 6-2 que tenga una deflexión máxima por flexión de 0.002 in y una deflexión angular máxima de 0.5o entre la polea y el engrane. Se proporciona La carga es la misma del ejemplo 6-2. El torque pico es de 146 lb-in. La figura 6-9 muestra la distribución del momento pico a través de la longitud del eje. Los valores son 65.6 lb-in en el punto B, 127.9 lb-in en el punto C y 18.3 lb-in en el punto D. Suposiciones Las longitudes son las mismas que las del ejemplo previo, pero los diámetros se pueden cambiar para endurecer el eje, si es necesario. El material es el mismo del ejemplo 6-2. Solución Véase las figuras 6-5 (p. 423), y 6-11 a 6-13. 1. La deflexión por torsión se obtiene con las ecuaciones 6.9. Las longitudes de cada segmento son (de la figura 6-5 en la p. 423): AB  1.5 in, BC  3.5 in y CD  1.5 in. Los momentos polares de inercia del área se calculan primero para cada segmento de diámetro diferente. J 4 P0.875 Pd AB  32 32 4 de A a B: J 4 P0.750 Pd BC  32 32 4 de B a C: J 4 PdCD P0.669  32 32 4 de C a D:  0.057 5 in 4  0.0311 in 4 ( a)  0.019 7 in 4 y al aplicarse en la ecuación 6.9c. Q  T ¥ l1 G ¦§ J1 l2 J2 l3 ´ J3 µ¶ 146 ¥ 1.5 ¦ 1.2 E 7 § 0.057 5 3.5 0.031 1 1.5 ´ µ  0.15 grad 0.019 7 ¶ ( b) Tal deflexión está dentro de la especificación requerida. 2. La función de momento para este eje se dedujo mediante funciones de singularidad como la ecuación (j) del ejemplo 6-1 (p. 422). Ahora se debe dividir entre el producto de E y el momento de inercia del área I en cada punto a lo largo del eje de la Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 431 flecha. Mientras que E es constante, el valor de I varía con cada cambio diametral del eje escalonado. M 1  R1 z EI EI ; 120 0 1 Fg z 1.5 1 R2 z 5 1 Fs z 6.5 1 = (c ) 80 40 La figura 6.11a ilustra la función de momento para este eje como se dedujo en los ejemplos anteriores, en tanto que la figura 6.11b presenta la función M / EI para los diámetros de secciones definidos en el ejemplo 6-2. 0 Q D ¯ ¯¯ 2 4 6 (a) Magnitud de momento (d ) X 10–4 M dz C3 z C4 EI (e) 4. La primera integración de la función M / EI, a partir de la ecuación (c), da la pendiente de la viga, mientras que la segunda integración da la función de deflexión. En análisis previos sobre deflexión de vigas (véase la sección 2.10 en la p. 92 y los ejemplos 2-4 a 2-7 de las pp. 94 a 101), la sección transversal I de la viga era constante a través de su longitud. En un eje escalonado, I es una función de la longitud del eje. Esto hace mucho más complicada la integración analítica de la función M / EI. Un procedimiento más sencillo consiste en integrar numéricamente dos veces la función con la regla trapezoidal o la de Simpson. Dicha integración numérica se debe hacer para cada dirección de las coordenadas, con la finalidad de obtener las componentes de deflexión x y y. Luego, se combinan éstas vectorialmente para obtener las funciones de deflexión-magnitud y fase-ángulo a lo largo del eje. 4 3 2 1 0 6 z 0 2 4 6 (b) Momento / E I FIGURA 6-11 Funciones de momento y momento / EI del ejemplo 6-3 6. La función de deflexión, integrada de la figura 6-12b, no es igual a cero en el segundo apoyo. Puesto que la deflexión realmente es cero aquí, el error en esta función X 10–4 radianes X 10–4 in 16 10 cómo se integró C3 8 4 correcta 2 C3 cómo se integró 12 6 0 –2 –4 0 1 2 3 4 5 6 7 correcta 4 0 8 1 2 3 4 5 6 7 zR2 (a) Pendiente de la viga error R2 R1 0 (b) Deflexión de la viga FIGURA 6-12 Integración numérica de la función de momento y obtención de la constante de integración C3 8 longitud del eje (in) 5. Como la deflexión del eje es cero en z  0, C4  0. La otra constante de integración C3 se puede determinar numéricamente. La figura 6-12a muestra la pendiente de la viga en la dirección y obtenida por la regla trapezoidal; además, muestra la función corregida de pendiente. El resultado integrado se modifica por la constante de integración C3. Sin embargo, no se sabe cuál es el cruce adecuado con cero para esta función, de modo que no es posible determinar C3 a partir de la función vigapendiente. 8 8 longitud del eje (in) 3. La deflexión por flexión se obtiene integrando dos veces la función de momento. M dz C3 EI z 0 8 432 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado integrada sirve para determinar la constante de integración C3. En la figura 6-12b se traza una línea a partir del origen hacia el punto sobre la curva en z  5, donde la función debe ser cero. La pendiente de esta línea recta es la constante C3 para la dirección y, la cual se obtiene a partir de Deflexión x X 10–3 in 2 C3 y  1 z 0 0 2 4 6 8 z R2  0.0007  0.00014 in 5.0 (f) La constante para la dirección x se determina de forma similar. Luego se recalculan las funciones usando los valores correctos de C3. 7. Estas funciones de deflexión están graficadas en la figura 6-13 para los diámetros del eje d0  0.875, d1  0.750, d2  0.669, d3  0.531 del ejemplo 6-2. La magnitud de la deflexión en el engrane es 0.0003 in, lo cual es correcto dentro de la especificación solicitada. La deflexión en la polea es 0.001 in, que también está dentro de la especificación. La deflexión en el extremo derecho del eje es de 0.002 in. Los archivos EX10-03a y EX09-02b se encuentran en el CD-ROM. longitud del eje (in) Deflexión y X 10–3 in 6 errory 2 1 z 0 0 2 4 6 8 longitud del eje (in) Magnitud de la deflexión X 10–3 in 2 1 z 0 0 2 4 6 8 6.10 CUÑAS Y CUÑEROS La ASME define una cuña como una pieza de maquinaria desmontable que, cuando se ensambla en los cuñeros, brinda un medio positivo de transmisión del torque entre el eje y la maza. Tanto el tamaño como la forma de las cuñas fueron estandarizados de varias maneras.* Una cuña paralela tiene sección transversal cuadrada o rectangular con altura y ancho constantes a lo largo de su longitud. (Véase la figura 6-14a.) Una cuña cónica es de ancho constante, pero su altura varía como un cono lineal de 1/8 in por pie, y se introduce en una ranura cónica en la masa hasta que se bloquea. Puede tener o no una cabeza de cuña para facilitar su remoción. (Véase la figura 6-14b.) Una cuña Woodruff es semicircular de ancho plano y constante. Se ajusta en un cuñero semicircular maquinado en el eje con un cortador circular estándar. (Véase la figura 6-14c.) La cuña cónica sirve para fijar axialmente la masa sobre el eje, pero las cuñas paralelas o las Woodruff requieren, además, de algún otro medio de fijación axial. Algunas veces se utilizan anillos de retención o collarines para este propósito. longitud del eje (in) Cuñas paralelas FIGURA 6-13 Funciones de deflexión del ejemplo 6-3 * Los estándares ANSI B17.1-1967, Keys and Keyseats, y B17.2-1967, Woodruff Keys and Keyseats, están disponibles en la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos, 345 East 47th St., Nueva York, N.Y. 10017. Las cuñas paralelas son las que se usan más comúnmente. Los estándares ANSI e ISO definen tamaños particulares de secciones transversales de cuñas y profundidades de cuñeros, como una función del diámetro del eje en el asiento de la cuña. En la tabla 6-2 se presenta una parte de dicha información para el intervalo menor de diámetros del eje. Para tamaños de ejes mayores, consulte los estándares respectivos. Las cuñas cuadradas se recomiendan para ejes de hasta 6.5 in de diámetro (US), o 25 mm de diámetro (ISO), y las cuñas rectangulares para diámetros más grandes. La cuña paralela se coloca con la mitad de su altura en el eje y la otra mitad en la maza, como se indica en la figura 6-14a. Las cuñas paralelas se producen normalmente con material de fábrica estándar rolado en frío, el cual tiene convencionalmente “tolerancia negativa”, lo cual significa que nunca será más grande que su dimensión nominal, pero sí más pequeño. Por ejemplo, una barra cuadrada de 1/4 in nominal tendrá una tolerancia sobre el ancho y la altura de 0.000, 0.002 in. Por consiguiente, el asiento de la cuña se puede cortar con un cortador estándar de 1/4 in y la cuña con material de fábrica se ajustará con ligera tolerancia. También hay una cuña de material especial, con tolerancia positiva (p. ej., 0.250 0.002, 0.000). Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 433 de cabeza W H 2 L L W H L W H plana H (a) Cuña paralela (b) Cuñas cónicas (c) Cuña Woodruff FIGURA 6-14 Diversos estilos de cuñas Se utiliza cuando se desea un ajuste muy estrecho entre la cuña y el asiento de la cuña, y quizá requiera maquinado del material para darle su dimensión final. El ajuste de la cuña puede ser preocupante cuando la carga de torque es alternante de positivo a negativo en cada ciclo. Cuando el torque cambia de signo, la tolerancia entre la cuña y el cuñero se reducirá repentinamente, pero causará un impacto y altos esfuerzos. Esto se llama juego. Un tornillo prisionero en la maza, colocado a 90° de la cuña, puede fijar la masa axialmente y estabilizar la cuña para eliminar el juego. El estándar ANSI también define el tamaño del tornillo prisionero que se debe utilizar para cada tamaño de cuña, como se indica en la tabla 6-2. La longitud de la cuña tiene que ser aproximadamente 1.5 veces menor que el diámetro del eje para evitar un giro excesivo por la deflexión del eje. Si se necesita mayor resistencia, se deberían usar dos cuñas, orientadas a 90° y 180°, por ejemplo. 6 Cuñas cónicas El ancho de una cuña cónica para un diámetro determinado de eje es el mismo que para una cuña paralela, como se indica en la tabla 6-2. El tamaño del cono y de la cabeza los define el estándar. El cono es de bloqueo, lo cual significa que la fuerza de fricción entre Tabla 6-2 Cuñas estándar y tamaños de tornillos prisioneros en medidas estadounidenses y métricas para ejes Diámetro del eje (in) Ancho nominal de la cuña (in) Diámetro del tornillo prisionero (in) Diámetro del eje (mm) Ancho × alto de la cuña (mm) 0.312 < d b 0.437 0.093 #10 8 < d b 10 3x3 0.437 < d b 0.562 0.125 #10 10 < d b 12 4x4 0.562 < d b 0.875 0.187 0.250 12 < d b 17 5x5 0.875 < d b 1.250 0.250 0.312 17 < d b 22 6x6 1.250 < d b 1.375 0.312 0.375 22 < d b 30 8x7 1.375 < d b 1.750 0.375 0.375 30 < d b 38 10 x 8 1.750 < d b 2.250 0.500 0.500 38 < d b 44 12 x 8 2.250 < d b 2.750 0.625 0.500 44 < d b 50 14 x 9 2.750 < d b 3.250 0.750 0.625 50 < d b 58 16 x 10 3.250 < d b 3.750 0.875 0.750 58 < d b 65 18 x 11 3.750 < d b 4.500 1.000 0.750 65 < d b 75 20 x 12 4.500 < d b 5.500 1.250 0.875 75 < d b 85 22 x 14 5.500 < d b 6.500 1.500 1.000 85 < d b 95 25 x 14 434 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado las superficies mantiene la cuña axialmente en su lugar. La cabeza de la cuña es opcional y brinda una superficie para tirar con fuerza de la cuña hacia fuera cuando el extremo no es accesible. Las cuñas cónicas tienden a crear excentricidad entre la maza y el eje, porque la tolerancia radial total se corre hacia un lado. Cuñas Woodruff 6 Las cuñas Woodruff se usan en ejes más pequeños y son autoalineables, de modo que se prefieren en lugar de las flechas cónicas. La penetración de una cuña Woodruff en la maza es la misma que en la de una cuña cuadrada, es decir, la mitad del ancho de la cuña. La forma semicircular crea un cuñero más profundo en el eje, el cual se resiste al rodamiento de la cuña, pero debilita el eje en comparación con el cuñero de una cuña cuadrada o cónica. Los anchos de la cuña Woodruff, como una función del diámetro del eje, son esencialmente los mismos que los de las cuñas cuadradas incluidas en la tabla 6-2. Las otras dimensiones de las cuñas Woodruff están definidas en el estándar ANSI, y los cortadores de los cuñeros se consiguen fácilmente para cumplir con estas dimensiones. La tabla 6-3 reproduce una muestra de las especificaciones cuña-tamaño del estándar. A cada tamaño de cuña se le asigna un número, en el cual se codifican sus dimensiones. El estándar ANSI establece: “Los últimos dos dígitos representan el diámetro nominal de la cuña en octavos de pulgada, en tanto que los dos dígitos precedentes dan el ancho nominal en 32avos de pulgada”. Por ejemplo, el número de cuña 808 define un tamaño de cuña de 8/32  8/8 o 1/4 de ancho  1 in de diámetro. Para información dimensional completa sobre cuñas, consulte la referencia 6. Esfuerzos en cuñas En las cuñas hay dos modos de falla: cortante y por contacto. Ocurre una falla cortante cuando una cuña se corta a lo ancho en el punto de contacto entre el eje y la maza. La falla de presión por contacto ocurre cuando se incrustan cualquiera de los lados debido a la compresión. Tabla 6-3 Tamaños de cuñas Woodruff de acuerdo con el estándar ANSI Lista parcial: Para la información completa, véase el estándar y la figura 6-14c para simbología Número de cuña Tamaño nominal de la cuña W x L Altura H 202 0.062 x 0.250 0.106 303 0.093 x 0.375 0.170 404 0.125 x 0.500 0.200 605 0.187 x 0.625 0.250 806 0.250 x 0.750 0.312 707 0.218 x 0.875 0.375 608 0.187 x 1.000 0.437 808 0.250 x 1.000 0.437 1208 0.375 x 1.000 0.437 610 0.187 x 1.250 0.545 810 0.250 x 1.250 0.545 1210 0.187 x 1.250 0.545 812 0.250 x 1.500 0.592 1212 0.375 x 1.500 0.592 Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 435 FALLA POR CORTANTE El esfuerzo promedio debido al cortante directo se definió en la ecuación 2.9, que se repite aquí: F (6.10) T xy  Acortante donde F es la fuerza aplicada y Acortante es el área de corte. En este caso, Acortante es el producto del ancho por la longitud de la cuña. La fuerza sobre la cuña se obtiene del cociente del torque del eje entre el radio de ésta. Si el torque del eje es constante en el tiempo, la fuerza también lo es; el factor de seguridad se obtiene comparando el esfuerzo cortante con la resistencia a la fluencia por cortante del material. Si el torque del eje varía con el tiempo, es posible una falla de la cuña al cortante por fatiga. Entonces, el procedimiento consiste en calcular las componentes media y alternante del esfuerzo cortante, así como en utilizarlas para calcular los esfuerzos medio y alternante de Von Mises. Esto se puede usar en un diagrama modificado de Goodman, para determinar el factor de seguridad, como se describe en la sección 4.13 (p. 311). FALLA DE PRESIÓN se definió como POR CONTACTO Sx  El esfuerzo promedio de presión por contacto F Acontacto (6.11) donde F es la fuerza aplicada y el área de presión por contacto es el área de contacto entre un lado de la cuña y el eje o la maza. Para una cuña cuadrada, ésta será la mitad de su altura por su longitud. La cuña Woodruff tiene un área de presión por contacto diferente en la maza, comparada con la del eje. El área de presión por contacto en la maza Woodruff es mucho menor y fallará primero. El esfuerzo de presión por contacto se debe calcular usando la fuerza aplicada máxima, sea constante o variable con el tiempo. Como los esfuerzos de compresión no provocan fallas por fatiga, los esfuerzos de presión por contacto se consideran estáticos. El factor de seguridad se obtiene comparando el esfuerzo de presión por contacto máximo con la resistencia a la fluencia del material en compresión. Materiales para cuñas Como las cuñas tienen cargas cortantes, se utilizan materiales dúctiles. La elección más común es el acero dulce al bajo carbono, a menos que un ambiente corrosivo exija una cuña de latón o de acero inoxidable. Las cuñas cuadradas o rectangulares con frecuencia se hacen de material de fábrica rolado en frío y simplemente se cortan a la longitud deseada. El material especial para cuñas mencionado anteriormente se emplea cuando se requiere un ajuste muy estrecho entre la cuña y el cuñero. Las cuñas cónicas y Woodruff también se suelen elaborar con acero dulce rolado en frío. Diseño de cuñas Existen sólo unas cuantas variables de diseño cuando se dimensiona una cuña. El diámetro del eje en el asiento de la cuña determina el ancho de la cuña. La altura de la cuña (o su penetración en la maza) también está determinada por el ancho de la cuña. Esto deja sólo a la longitud de la cuña y al número de cuñas utilizadas por el cubo como variables de diseño. Una cuña recta o cónica será tan larga como la maza lo permita. Una cuña Woodruff puede tener un intervalo de diámetros para un ancho determinado, el cual determina efectivamente su longitud de sujeción a la maza. Desde luego, conforme se incrementa el diámetro de la cuña Woodruff, más se debilita el eje con la mayor profundidad del asiento de la cuña. Si una sola cuña no puede manejar el torque con esfuerzos razonables, se agrega una cuña adicional, girada a 90° de la primera. 6 436 DISEÑO DE MÁQUINAS (a) Cuñero con extremo fresado con dos extremos - Un Enfoque Integrado (b) Cuñero con extremo fresado con un extremo (c) Cuñero de corredera deslizante con un extremo FIGURA 6-15 Varios estilos de cuñeros en ejes 6 Es usual dimensionar la cuña para que falle antes que el asiento de la cuña u otra ubicación del eje fallen en caso de una sobrecarga. La cuña actúa entonces como un perno de corte en un motor fuera de borda, con la finalidad de proteger del daño a los elementos más costosos. Una cuña no es costosa y es relativamente fácil de sustituir, si el asiento de la cuña no está dañado. Ésta es una de las razones para usar sólo materiales blandos y dúctiles para la cuña, cuya resistencia sea menor que el eje, de modo que la falla de presión por contacto afectará selectivamente la cuña en vez del cuñero, si el sistema se expone a una sobrecarga más allá de su intervalo de diseño. Concentraciones de esfuerzos en cuñeros Como las cuñas tienen esquinas relativamente afiladas ( 0.02 in de radio), los cuñeros también las tienen. Esto causa concentraciones de esfuerzos significativas. El cuñero está escariado en la maza y corre a lo largo de su longitud, pero el eje se debe fresar en uno o en los dos extremos. Si se fresa un extremo, el cuñero lucirá como el de la figura 6-15a y tendrá esquinas afiladas en el lado que mira a uno o a ambos extremos, así como a lo largo de cada lado. Si en cambio se corta un cuñero con corredor deslizante o rastra, como se muestra en la figura 6-15c, se elimina la esquina puntiaguda en el extremo y se reduce la concentración de esfuerzos. El asiento de un cuñero Woodruff sobre el eje también tiene un radio grande en el lado que mira, pero padece (como todos los asientos de cuñeros) de esquinas afiladas en los lados. Peterson[7] obtuvo experimentalmente las curvas derivadas de la concentración de esfuerzos en asientos de cuñas, con extremo fresado en ejes bajo cargas de flexión o de torsión. Éstas se reproducen en la figura 6-16. Tales factores se encuentran entre 2 y 4 aproximadamente, y dependen de la razón entre el radio de la esquina y el diámetro del eje. Se han realizado ajustes a las curvas de la figura 6-16 y se han creado las funciones para dichas curvas, de modo que se pueda determinar el factor de concentración de esfuerzos “sobre la marcha” durante el cálculo del diseño de ejes. Como ejemplo, consulte los archivos SHFTDES. Estos factores se deberían aplicar a los esfuerzos de flexión y cortante en el eje en la ubicación del cuñero, como se hizo en los ejemplos 6-1 y 6-2. EJEMPLO 6-4 Diseño de cuñas para ejes Problema Diseñe la cuña para el eje de los ejemplos 6-2 (p. 427) y 6-3 (p. 430) y afine la estimación de los factores de seguridad del eje, con base en las Capítulo 6 4.0 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS razón promedio aprox. r/d = 0.021 para d b 6.5 in como lo sugieren los estándares ANSI 3.5 con una cuña en su lugar que transmite torque concen- 3.0 tración de esfuerzos 2.5 S / Snom 437 d Kts 2.0 r sin cuña en su lugar 1.5 Kt 1.0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 r/d 0.05 0.06 0.07 0.08 FIGURA 6-16 Factores de concentración de esfuerzos de cuñero, con extremo fresado, en flexión (Kt) y en torsión (Kts) Fuente: R.E. Peterson, Stress Concentration Factors, 1974, figuras 182 y 183, pp. 266-267, reimpreso con autorización de John Wiley & Sons, Inc. 6 dimensiones del diseño preliminar de un ejemplo anterior y con los factores de concentración de esfuerzos afinados. Se proporciona La carga es la misma que en el ejemplo 6-2. El torque pico es de 146 lb-in. La figura 6-9 (p. 427) muestra la distribución del momento pico a lo largo del eje. Los valores son 65.6 lb-in en el punto B y 18.3 lb-in en el punto D. Los diámetros preliminares del eje en las cuñas son de d1 = 0.750 in en B y de d3 = 0.531 in en D. Véase la figura 6-5 (p. 423) para la simbología. Supuestos Utilice cuñas cuadradas paralelas con cuñeros fresados en los extremos. El material del eje es el mismo del ejemplo 6-3. Se empleará un acero SAE 1010 al bajo carbono para las cuñas. Su Sut = 53 kpsi y Sy = 44 kpsi. Se calculó Se igual a 22 990 psi. Véase la figura 6-16 para los factores de concentración de esfuerzos. Solución Véase la figura 6-5 (p. 423). 1. Hay dos ubicaciones con cuñas sobre este eje: los puntos B y D. Los diámetros diseñados elegidos para estas secciones en el ejemplo 6-3 fueron d1  0.750 in en B y d3  0.531 in en D. La tabla 6-2 (p. 433) muestra que el ancho estándar de la cuña para d1 es 0.187 in y para d3 es 0.125 in. La longitud de la cuña es ajustable para cada ubicación. 2. En el punto B, las componentes media y alternante de la fuerza sobre la cuña se obtienen a partir de la componente del torque dividida entre el radio del eje en ese punto. Ta 73.1   194.67 lb r 0.375 T 73.1 Fm  m   194.67 lb r 0.375 Fa  ( a) 3. Suponga que la longitud de la cuña es igual a 0.5 in y calcule las componentes de esfuerzos cortantes alternante y medio a partir de Ta  Tm  Fa Acortante Fm Acortante  194.67  2 082 psi 0.1870.500  194.67  2 082 psi 0.1870.500 (b) 438 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 4. Para obtener el factor de seguridad a la fatiga por cortante de la cuña, se calculan los esfuerzos equivalentes de Von Mises para cada una de estas componentes, a partir de la ecuación 3.7d (p. 179), S' a  S 2x S 2y S xS y 3T 2xy  32 082 2  3 606 psi S' m  S 2x S 2y S xS y 3T 2xy  32 082 2  3 606 psi (c ) y se utilizan en la ecuación 4.18e (p. 298) para determinar el factor de seguridad contra la fatiga: Nf  6 S' a Se 1 S' m Sut  3 606 22 990 1 3 606 53 000  4.4 (d ) 5. El esfuerzo de presión por contacto sobre la cuña es de compresión y, por lo tanto, se considera una carga estática. Se calcula mediante la fuerza máxima sobre la cuña: Fm Fa 194.67 194.67  8 328 psi  0.093 50.500 Acontacto S máx  (e ) 6. Se calcula el factor de seguridad para falla de presión por contacto a partir de: Ns  Sy S máx  44 000  5.3 4 164 (f) 7. En el punto D, la fuerza sobre la cuña es Ta 73.1   275 lb 0.266 r T 73.1 Fm  m   275 lb r 0.266 Fa  ( g) 8. Suponga una longitud de la cuña de 0.50 in y calcule las componentes alternante y media del esfuerzo cortante a partir de Ta  Tm  Fa Acortante Fm Acortante  275  4 400 psi 0.1250.50  275  4 400 psi 0.1250.50 ( h) 9. Calcule los esfuerzos de Von Mises equivalentes para cada una de estas componentes a partir de la ecuación 3.7d, S' a  S 2x S 2y S xS y 3T 2xy  3 4 399 2  7 620 psi S' m  S 2x S 2y S xS y 3T 2xy  3 4 399 2  7 620 psi (i ) y utilícelas en la ecuación 4.18e: Nf  S' a Se 1 S' m Sut  7 620 22 990 1 7 620 53 000  2.1 ( j) 10. El esfuerzo de presión por contacto sobre la cuña se calcula mediante la fuerza máxima sobre la cuña: Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS Fm Fa 275 275  17 600 psi  Acontacto 0.06250.50 S máx  439 (k ) 11. Calcule el factor de seguridad para falla de presión por contacto a partir de Ns  Sy S máx  44 000  2.5 17 600 (l ) 12. Los factores de seguridad para el eje en estas ubicaciones se recalcula ahora usando el factor de concentración de esfuerzos en los cuñeros, que toma en cuenta el diámetro real del eje y los radios reales de la muesca. Los cálculos del diseño previo en el ejemplo 6-2 se hicieron suponiendo el peor de los casos para tales valores. La figura 6-16 muestra las funciones de concentración de esfuerzos para cuñeros con extremo fresado, tanto por flexión como por torsión. Para utilizar estas gráficas se debe calcular la razón r / d del radio del extremo fresado contra el diámetro del eje. Suponga un radio sobre el extremo fresado de 0.010 in. Las razones r / d para los dos puntos son, entonces, para el punto B: para el punto D: 6 r 0.010   0.0133 d 0.750 r 0.010   0.0188 d 0.531 ( m) Los factores de concentración de esfuerzos correspondientes se leen en la figura 6-16 como para el punto B: Kt  2.5 Kts  2.9 para el punto D: Kt  2.2 Kts  2.7 (n) 13. Éstos se usan en las ecuaciones (m), (n) y (o) del ejemplo 6-1 para obtener los factores de concentración de esfuerzos por fatiga, los cuales, para un material con una sensibilidad a la muesca q  0.5, son para el punto B: K f  1.75 K fs  2.09 para el punto D: K f  1.60 K fs  1.97 para ambos puntos: K fm  K f (o) K fsm  K fs 14. Los nuevos factores de seguridad se calculan entonces con la ecuación 6.8 (p. 422), con los datos de las ecuaciones (b) y (c) del ejemplo 6-2, con los valores de diseño del diámetro del eje y con los valores anteriores de concentración de esfuerzos obtenidos. Para el punto B: 1 « ® 32 N f ® 0.75  ¬ P ® ®­  ¨ 3 2 ;2.0973.1 = 2 © ;1.7532.8 = 4 © 27 300 © © ª 3 ;1.7532.8 = 4 ;2.0973.1 = 2 65 000 2 N f  5.5 ·º 3 ¸ ®® ¸» ¸® ¸® ¹¼ ( p) para el punto D: 1 « ® 32 N f ® 0.531  ¬ ® P ®­  N f  2.2 ¨ 3 2 ;1.9773.1 = 2 © ;1.609.1 = 4 © 27 100 © © ª 3 ;1.9773.1 = 2 4 65 000 ;1.609.1 =2 ·º 3 ¸ ®® ¸» ¸® ¸® ¹¼ (q) 440 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado En el punto B, el factor de seguridad es mayor que el valor especificado de 2.5. En el punto D, es más bajo. Si se incrementa el diámetro en D a 0.562 in, da un factor de seguridad de 2.7. Entonces, los factores de seguridad para falla de la cuña (4.4 en B y 2.1 en D) son menores que los de falla del eje, lo cual es muy deseable, ya que así las cuñas fallarán antes que los ejes, en caso de sobrecarga. Ahora se tiene un diseño viable y aceptable.* 6.11 RANURAS Cuando se debe transmitir más torque del que se maneja con cuñas, es posible utilizar en su lugar ranuras. Las ranuras son esencialmente “cuñas integradas” que bordean el exterior del eje y el interior de la maza con formas dentadas. Las primeras ranuras tenían dientes de sección transversal cuadrada; sin embargo, más adelante se sustituyeron con dientes en forma de involuta, como se ilustra en la figura 6-17. El diente en forma de involuta se emplea universalmente en engranes, y se usa la misma tecnología de corte para fabricar ranuras. Además de sus ventajas de manufactura, el diente de involuta tiene menos concentración de esfuerzos que un diente cuadrado y es más fuerte. La SAE define estándares tanto para dientes de ranuras de forma cuadrada como para dientes con forma de involuta, mientras la ANSI publica estándares para ranuras de involuta.† El estándar de ranuras de involuta tiene un ángulo de presión de 30° y la mitad de la profundidad de un diente de engrane estándar. El tamaño del diente se define por una fracción, cuyo numerador es el paso diametral (que define el ancho del diente; véase el capítulo 8 para mayor información sobre tales términos) y cuyo denominador controla la profundidad del diente (siempre el doble del numerador). Los pasos diametrales estándar son 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 32, 40 y 48. Las ranuras estándar tienen de 6 a 50 dientes, así como raíz plana o fileteada; ambas formas se muestran en la figura 6-17. Consulte la referencia 8 para información dimensional completa sobre ranuras estándar. 6 Algunas ventajas de las ranuras son la resistencia máxima en la raíz del diente, la precisión en la forma del diente debido al uso de cortadores estándar y el buen acabado de maquinado superficial por el proceso estándar de corte de engranes (cortado), lo cual elimina el esmerilado. La mayor ventaja de las ranuras sobre las cuñas es su capacidad (con tolerancias adecuadas) para permitir grandes movimientos axiales entre el eje y la maza, al mismo tiempo que transmite torque. Se utilizan para conectar el eje de salida de la transmisión con el eje impulsor en automóviles y camiones, donde el movimiento maza raíz eje círculo de paso * Los archivos EX10-04A, EX1004B, EX10-04C y EX10-04D se encuentran en el CD-ROM. † Estándares ANSI B92.1 y B92.2M, del Instituto Nacional Estadounidense de Estándares, 11 West 42nd St., Nueva York, N.Y., 10036 FIGURA 6-17 Geometría de la involuta de una ranura di si es hueca dr do dp Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 441 de la suspensión causa movimientos axiales entre los accesorios. También se emplean en el interior de transmisiones asincrónicas manuales de camiones, con la finalidad de acoplar axialmente a sus ejes los engranes de cambios. Asimismo, el torque del motor de gasolina usualmente pasa hacia la transmisión a través de una ranura que conecta el embrague del motor con el eje de entrada de la transmisión y permite el movimiento axial necesario para desacoplar el embrague desde el volante. La carga sobre una raura es generalmente de torsión pura, ya sea constante o variable. Aunque es posible que haya cargas de flexión superpuestas, una buena práctica de diseño disminuye los momentos de flexión colocando adecuadamente los cojinetes y manteniendo el voladizo de la ranura tan corto como sea posible. Como en las cuñas, se pueden presentar dos modos de falla, de presión por contacto o cortante. La falla por cortante es normalmente la que fija el límite. A diferencia de las cuñas, hay muchos dientes para compartir la carga en algún grado. Idealmente, la longitud de la ranura l requiere ser sólo tan grande como sea necesario para desarrollar una resistencia al cortante del diente combinada igual a la resistencia al cortante por torsión del eje mismo. Si la ranura estuviera perfectamente elaborada, es decir, sin variación en el espesor o el espaciamiento de los dientes, todos los dientes compartirían la misma carga. Sin embargo, la realidad de las tolerancias de manufactura imposibilita dicha condición ideal. La SAE establece que “la realidad ha demostrado que, debido a las imprecisiones en el espaciado y forma del diente, el equivalente de aproximadamente el 25% de los dientes están en contacto, de modo que una buena fórmula de aproximación para (longitud) un eje con ranuras es l  dr3 1 di4 dr4 d p2 (6.12) donde dr es el diámetro de la raíz de la ranura externa, di es el diámetro interno (si existe) de un eje hueco y dp es el diámetro de paso de la ranura, que se encuentra aproximadamente a la mitad del diente. La variable l representa la longitud comprometida real de un diente con otro de la ranura, además de que se considera como el valor mínimo necesario para desarrollar la resistencia en los dientes de un eje con diámetro equivalente. El esfuerzo cortante se calcula en el diámetro de paso de la ranura, donde el área cortante es Acortante  Pd pl 2 (6.13a) El esfuerzo cortante se calcula aplicando la hipótesis de la SAE de que sólo el 25% de los dientes comparten realmente la carga en cualquier momento, si se considera que sólo 1/4 del área cortante se encuentra bajo esfuerzo: T 4F 4T 8T 16T    Acortante rp Acortante d p Acortante Pd p2 l (6.13b) donde T es el torque sobre el eje. Los esfuerzos de flexión sobre la ranura también se deben calcular y combinar adecuadamente con este esfuerzo cortante. Si la carga es de torsión pura y estática, entonces el esfuerzo cortante de la ecuación 6.13b se compara con la resistencia de fluencia por cortante del material para obtener el factor de seguridad. Si las cargas son variables o hay flexión, los esfuerzos aplicados se deberían convertir a esfuerzos por tensión de Von Mises equivalentes y compararse con un criterio de resistencia apropiado usando el diagrama modificado de Goodman. 6 442 DISEÑO DE MÁQUINAS 6.12 - Un Enfoque Integrado AJUSTES DE INTERFERENCIA Otro medio común para acoplar una maza a un eje consiste en utilizar un ajuste de presión o de contracción, llamado también ajuste de interferencia. Un ajuste de presión se obtiene maquinando el orificio de la maza de un diámetro ligeramente más pequeño que el del eje, como se muestra en la figura 6-18. Luego, las dos piezas se fuerzan juntas lentamente a presión, de preferencia aplicando aceite lubricante a la junta. Las deflexiones elásticas, tanto del eje como de la maza, actúan para crear grandes fuerzas normales y de presión entre las piezas. La fuerza de fricción transmite el torque del eje a la maza y resiste el movimiento axial. La Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes (AGMA) publica el estándar AGMA 9003-A91, Flexible Couplings—Keyless Fits, el cual define fórmulas para los cálculos de ajustes de interferencia. Tan sólo las piezas relativamente pequeñas logran ajustarse a presión, sin exceder la capacidad de fuerza de una prensa típica. Para piezas más grandes, se puede hacer un ajuste de contracción calentando la maza con la finalidad de expandir su diámetro interior, y/o un ajuste de expansión enfriando el eje para reducir su diámetro. Las piezas caliente y fría se pueden deslizar juntas con un poco de fuerza axial, pero cuando equilibran su temperatura ambiente, su cambio dimensional provoca la interferencia deseada por el contacto de fricción. Otro método consiste en expandir hidráulicamente la maza con aceite a presión aplicado a través de pasillos en el eje o en la maza. La técnica, además, se utiliza para remover una maza. 6 La cantidad de interferencia necesaria para crear una junta ajustada varía con el diámetro del eje. Por lo común, se utiliza un aproximado de 0.001 a 0.002 unidades de interferencia diametral por unidad del diámetro del eje (regla de las milésimas); cuanto más pequeñas sean las cantidades usadas, mayores serán los diámetros del eje. Por ejemplo, la interferencia para un diámetro de 2 in sería de aproximadamente 0.004 in; no obstante, un diámetro de 8 in recibiría sólo cerca de 0.009 a 0.010 in de interferencia. Otra regla práctica (y más sencilla) para el operador es manejar 0.001 in de interferencia para diámetros hasta de 1 in, y 0.002 in para diámetros de 1 a 4 in. r ri eje Esfuerzos en ajustes de interferencia Un ajuste de interferencia crea el mismo estado de esfuerzos en el eje que el de una presión externa uniforme sobre su superficie. La maza experimenta los mismos esfuerzos que un cilindro de pared delgada sujeto a presión interna. Las ecuaciones de los esfuerzos en un cilindro de pared delgada, que se presentaron en la sección 2.17 (p. 133), y dependen de las presiones aplicadas y de los radios de los elementos. La presión p creada por el ajuste a presión se obtiene a partir de la deformación de los materiales causada por la interferencia. $r p maza ro r FIGURA 6-18 Un ajuste de interferencia r ¤ ro2 Eo ¥¦ ro2 r 2 r2 0.5 D ³ r ¤ r2 No ´ ¥ 2 µ Ei ¦ r ri2 ri2 ³ Ni ´ µ (6.14a) donde δ  2Δr es la interferencia diametral total entre las dos piezas, r es el radio nominal del punto de contacto entre las piezas, ri es el radio interior (si existe) de un eje hueco y ro es el radio exterior de la maza, como se indica en la figura 6-18. E y ν son los módulos de Young y las razones de Poisson de las dos piezas, respectivamente. El torque que se transmite por el ajuste de interferencia se puede definir en términos de la presión p en el punto de contacto, lo cual crea la fuerza de fricción en el radio del eje. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS T  2 P r 2 M pl 443 (6.14b) donde l es la longitud del acoplamiento de la maza, r es el radio del eje y μ es el coeficiente de fricción entre el eje y la maza. El estándar AGMA sugiere un valor de 0.12  μ  0.15 para mazas expandidas hidráulicamente y 0.15  μ  0.20 para ajustes de contracción o de presión en las mazas. La AGMA supone (y recomienda) un acabado superficial de 32 μin rms (1.6 μmRa), lo cual requiere un acabado esmerilado en ambos diámetros. Las ecuaciones 6.14a y 6.14b se combinan para llegar a una expresión que defina el torque que se obtendrá a partir de una deformación particular, el coeficiente de fricción y la geometría. T 1 ¤ ro2 Eo ¥¦ ro2 r 2 r2 P lr M D ³ 1 ¤ r2 No ´ ¥ 2 µ Ei ¦ r ri2 ri2 ³ Ni ´ µ (6.14c) La presión p se utiliza en las ecuaciones 2.47 (p. 134) para calcular los esfuerzos radiales y tangenciales en cada pieza. Para el eje: r2 r2 S t eje  p ri2 ri2 S reje  p (6.15a) (6.15b) donde ri es el radio interior de un eje hueco. Si el eje es sólido, ri será cero. Para la maza: S t maza  p ro2 r2 ro2 r2 S rmaza  p (6.16a) (6.16b) Tales esfuerzos necesitan mantenerse por debajo de las resistencias a la fluencia de los materiales para mantener el ajuste. Si los materiales ceden, la maza se afloja sobre el eje. Concentración de esfuerzos en ajustes de interferencia Aun cuando no haya trastornos en la superficie lisa de un eje con ajuste a presión, debido a escalones o cuñeros, un ajuste de interferencia crea, no obstante, concentraciones de esfuerzo en el eje y en los bordes de la maza debido a la transición abrupta de la descompresión a la compresión del material. La figura 6-19a muestra un estudio fotoelástico de una maza ajustada a presión sobre un eje. Las pestañas muestran concentración de esfuerzos en las esquinas. La figura 6.19b ilustra cómo se reduce la concentración de esfuerzos mediante ranuras de alivio circunferencial en las caras de la maza cerca del diámetro del eje. Tales ranuras permiten que el material en el borde de la maza sea más proclive a flexionarse lejos del eje y que se reduzca localmente el esfuerzo. Este procedimiento es similar a las técnicas de reducción de la concentración de esfuerzos mostradas en la figura 2-38 (p. 122). La figura 6-20 muestra las curvas de los factores de concentración de esfuerzos por ajustes de interferencia entre mazas y ejes desarrollados a partir del estudio fotoelástico de la figura 6-19a. Los valores en las abscisas son razones entre la longitud de la maza y el diámetro del eje. Dichos factores de concentración de esfuerzos geométricos se 6 444 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado maza maza eje estría eje (a) 6 (b) FIGURA 6-19 Análisis de esfuerzo fotoelástico de (a) un montaje plano ajustado a presión y (b) un montaje ajustado a presión con ranura en la maza Fuente: R.E. Peterson y A.M. Wahl, “Fatigue of Shafts at Fitted Members, with a Related Photoelastic Analysis”. ASME J. App. Mech., vol. 57, p. A1, 1935. aplican de la misma forma que antes. En carga estática, necesitan utilizarse para determinar si la fluencia local comprometerá el ajuste de interferencia. En carga dinámica, se modifican por la sensibilidad a la muesca del material, con la finalidad de obtener un factor de concentración de esfuerzo por fatiga y usarlo en la ecuación 6.8 (p. 422) en el diseño de ejes. Desgaste por frotamiento con corrosión Este problema se analizó en el capítulo 5. Los ajustes de interferencia son las primeras víctimas de problemas de desgaste por frotamiento. Aun cuando el mecanismo de desgaste por frotamiento no se comprende todavía muy bien, se conocen algunas medidas para ayudar a reducir su severidad. Consulte la sección 5.6 (p. 364) para mayores detalles. 2.2 p/S = 1.0 2.0 p/S = l/d= presión nominal del ajuste a presión esfuerzo nominal a flexión longitud de la maza diámetro del eje 0.8 1.8 0.6 Kt 1.6 0.4 1.4 0.2 1.2 0.0 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 l/d 1.0 1.2 1.4 FIGURA 6-20 Concentración de esfuerzos en un ajuste a presión o contracción en una maza ajustada sobre un eje Fuente: R.E. Peterson y A.M. Wahl, “Fatigue of Shafts at Fitted Members, with a Related Photoelastic Analysis”. ASME J. App. Mech., vol. 57, p. A73, 1935. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 445 EJEMPLO 6-5 Diseño de un ajuste de interferencia Problema Rediseñe el sujetador del engrane del eje de la figura 6-5 (p. 423), para convertirlo en un ajuste de interferencia en vez de una unión acuñada. Defina las dimensiones del orificio del eje y del engrane, así como sus tolerancias para un ajuste a presión. Se proporciona La carga es la misma del ejemplo 6-2 (p. 427). El torque pico en el engrane (punto B) es de 146 lb-in. Use los diámetros nominales del eje d0 = 0.875 in, d1 = 0.750 in. Consulte la figura 6-5 para la simbología. El diámetro del cubo del engrane es de 3 in y su longitud es de 1.5 in. Suposiciones Solución El material del eje es el mismo del ejemplo 6-2. Se utiliza hierro colado gris clase 40 para el engrane, con Sut = 42 kpsi y E = 14 Mpsi. Consulte la figura 6-20 para los factores de concentración de esfuerzos. El diámetro de 0.750 del eje se incrementará ligeramente para un diámetro nominal de 0.780, donde ajusta a presión el cubo del engrane para permitir al engrane deslizarse sobre el resto del montaje del eje. Véase la figura 6-5 y la tabla 6-4. 1. El diámetro nominal del eje en el cubo del engrane es de 0.780 in. Con base en la regla de las milésimas, una interferencia diametral razonable sería de 0.0015 in. A partir de este supuesto, la presión por contacto después de la presión se determina con la ecuación 6.14 (pp. 442-443). p  r ¤ ro2 Eo ¥¦ ro2 r r 2 2 0.5 D ³ r No ´ µ Ei ¤ r2 ¥ 2 ¦r ri2 ri2 ³ Ni ´ µ 0.5 0.001 5 0.390 ¤ 1.52 1.4 E 7 ¥¦ 1.52 2 0.390 0.390 2 ³ 0.28´ µ 0.390 ¤ 0.390 2 3.0 E 7 ¥¦ 0.390 2 0 0 ³ 0.28´ µ ( a) p = 15 288 psi 2. Los esfuerzos en el eje, después de la presión, se calculan con las ecuaciones 6.16 (p. 443). S t eje  p r2 ri2 2 ri2 r  15 288 0.390 2 0.390 2 S reje  p  15 288 psi 0  15 288 psi 0 ( b) (c ) 3. Los esfuerzos en la maza, después de la presión, se calculan con las ecuaciones 6.16 (p. 443). r2 r2 1.52 0.390 2 S t maza  p o2  15 288 2  17 505 psi (d ) 2 ro r 1.5 0.390 2 S rmaza  p  15 288 psi (e ) 4. Para obtener el factor de concentración de esfuerzos, se necesita la razón entre la longitud del cubo y el diámetro del eje, l/d: l 1.500   1.923 d 0.780 (f) y la razón entre la presión del ajuste a presión y el esfuerzo nominal por flexión: 6 446 DISEÑO DE MÁQUINAS - S Un Enfoque Integrado Mc 65.60.390 64   1 408 psi I P 0.780 4 ( g)  p 15 288   10.9 S 1 408 (h) 5. Tomando estos valores de la figura 6-20, se observa que están fuera de la gráfica. Se supondrá un valor aproximado para este factor de concentración de esfuerzos de: 2.4 Kt (i ) 6. Los factores de seguridad contra la falla durante el ajuste a presión se calcula ahora con: N s eje  6 N smaza  Sy 38 000  1.0 2.4 15 288 ( j) Sut 42 000   1.0 Kt S t maza 2.417 505 (k ) Kt S t eje  7. Ambas piezas están en falla con esta cantidad de interferencia. Los cálculos se repitieron con intervalos de valores de interferencia de 0.0008 a 0.0015 in, cuyos resultados se muestran en la tabla 6-4. Los factores de seguridad se encuentran entre 2.0 y 1.0. 8. Se aceptaría un intervalo de tolerancia de, por lo menos, 0.0002 in sobre cada pieza o una variación total de la interferencia de al menos 0.0004 in para un conjunto de piezas producidas en masa, de modo que se elige establecer el intervalo de interferencia entre 0.0008 y 0.0013 in, que es un intervalo total de 0.0005 in. 9. Las dimensiones de la pieza se establecen entonces como diá. de la maza  0.7799 0.0003 0.000 0  0.780 2 in 0.7799 (l ) 0.7812 in 0.0002  0.7810 diá. del eje  0.7812 0.000 0 y da como resultado un intervalo de interferencia de interferencia mín.  0.7810 0.780 2  0.0008 in interferencia máx.  0.7812 0.7799  0.0013 in ( m) 10. ¿Qué torque transmitirá esta junta a presión con la interferencia mínima, suponiendo μ  0.15? A partir de la ecuación 6.14c (p. 443): T T 1 ¤ ro2 Eo ¥¦ ro2 r r 2 2 P lr M D ³ 1 No ´ µ Ei ¤ r2 ¥ 2 ¦r ri2 ri2 ³ Ni ´ µ P 1.5 0.375 0.15 0.000 8 2 0.375 ¤ 1.5 1.4 E 7 ¥¦ 1.52 0.390 2 0.390 2 ³ 0.28´ µ 0.375 ¤ 0.390 2 3.0 E 7 ¥¦ 0.390 2 0 0 ³ 0.28´ µ ( n) T = 1 753 in - lb * Véase el archivo EX10-05 del CD-ROM. Esto es adecuado para el exceso del torque pico de operación de 146 in-lb, de modo que funcionará.* Capítulo 6 Tabla 6-4 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS Factores de seguridad para varias interferencias del ejemplo 6-5 Interferencia (in) p (psi) p/S Kt Nseje Nsmaza 0.000 8 8 154 5.8 2.3 2.0 1.9 0.000 9 9 173 6.5 2.4 1.8 1.7 0.001 0 10 192 7.2 2.4 1.6 1.5 0.001 1 11 212 8.0 2.4 1.4 1.4 0.001 2 12 231 8.7 2.4 1.3 1.3 0.001 3 13 250 9.4 2.4 1.2 1.2 0.001 4 14 269 10.1 2.4 1.1 1.1 0.001 5 15 288 10.9 2.4 1.0 1.0 6.13 447 DISEÑO DE VOLANTES* 6 Un volante se utiliza para suavizar las variaciones de rapidez en un eje, causadas por las fluctuaciones en el torque. Muchas máquinas tienen patrones de carga, los cuales hacen que la función torque-tiempo varíe durante un ciclo. Los compresores de pistón, las prensas troqueladoras, las trituradoras de piedra, etcétera, tienen cargas que varían con el tiempo. El generador de fuerza motriz también puede introducir oscilaciones de torque al eje de transmisión. Los motores de combustión interna de uno o dos cilindros son un buen ejemplo. Otros sistemas pueden tener tanto fuentes de torque suave como cargas suaves, como un generador eléctrico impulsado por una turbina de vapor. Tales dispositivos que actúan suavemente no necesitan un volante. Si la fuente del torque impulsor o el torque de carga son de naturaleza fluctuante, entonces por lo general se requiere un volante. Un volante es un dispositivo de almacenamiento de energía que absorbe y almacena energía cinética cuando gira rápidamente, pero regresa la energía al sistema cuando la necesita, reduciendo su velocidad de rotación. La energía cinética Ek en un sistema giratorio es Ek  1 Im W 2 2 (6.17a) donde Im es el momento de inercia de masa de toda la masa giratoria sobre el eje alrededor del eje de rotación y ω es la velocidad de giro. Lo anterior incluye el Im del rotor del motor y cualquier cosa que gire con el eje más el volante. Los volantes son tan simples como un disco cilíndrico de material sólido, o bien, están construidos con una maza en forma de aro y rayos de bicicleta. Esta última configuración utiliza más eficientemente el material, sobre todo en volantes grandes, pues concentra el volumen de su masa en el aro, la cual se encuentra en el radio mayor. Como el momento de inercia de masa Im de un volante es proporcional a mr2, la masa en el radio mayor contribuye mucho más. Si se imagina la geometría de un disco sólido de radio interior ri y radio exterior ro, el momento de inercia de masa es Im  m 2 ro 2  ri2 (6.17b) La masa de un disco sólido circular de espesor constante t y que tiene un orificio central es m W G  P ro2 g g  ri2 t (6.17c) * Partes de esta sección se adaptaron de R.L. Norton, Design of Machinery, 4a. ed., McGrawHill, 2008, pp. 596-602, con la autorización del editor. 448 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Al sustituir en la ecuación 6.17b da como resultado la expresión para Im en términos de la geometría del disco: Im  PG 4 ro 2 g  ri4 t (6.17d) donde γ es la densidad del peso del material y g es la constante gravitacional. Hay dos etapas en el diseño de un volante. Primero se debe obtener la cantidad de energía necesaria para el grado de uniformidad deseado y el momento de inercia requerido para absorber la energía determinada. Luego, habrá que definir la geometría del volante que suministre tanto el momento de inercia de masa, en un paquete razonablemente dimensionado, como su seguro contra falla a las velocidades de diseño. Variación de la energía en un sistema en rotación 6 La figura 6-21 muestra un volante diseñado como un disco circular plano sujeto al eje de un motor. El motor suministra un torque de magnitud Tm que sería conveniente fuera tan constante como sea posible, es decir, igual al torque promedio Tprom. Suponga que la carga sobre el otro lado del disco demanda un torque Tl variable con el tiempo, como se ilustra en la figura 6-22. Dicha variación del torque puede causar que la rapidez del eje varíe dependiendo de la característica torque-velocidad del motor impulsor. Se necesita determinar cuánto Im agregar en forma de volante para reducir la variación de rapidez del eje a un nivel aceptable. Escriba la ley de Newton para el diagrama de cuerpo libre en la figura 6-21. ¤ T  Im A Tl Tl entonces Tl lo cual da Tl Tm (6.18b) Tprom  Im W dW dQ Tprom dQ  I m W dW (6.18c) Integrando ° Q @ W máx Q @ W mín volante Tprom  Im A dW dW ¥ dQ ´ dW  W dt dt § dQ ¶ dQ A Sustituyendo eje (6.18a) Tm  Tprom pero se desea motor Tm  Im A ° Q @ W máx Q @ W mín Tl Tprom dQ  Tl Tprom dQ  W máx °W I m W dW mín 1 Im W 2máx 2  W 2mín (6.18d) Tl FIGURA 6-21 Volante sobre un eje de transmisión El lado izquierdo de esta expresión representa el cambio en la energía cinética Ek entre las ω máxima y mínima del eje, y es igual al área debajo del diagrama torque-tiempo de la figura 6-22 entre esos valores extremos de ω. El lado derecho de la ecuación 6.18c es el cambio en la energía cinética almacenada en el volante. La única forma de Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 449 extraer energía cinética del volante es hacer que disminuya su velocidad, como se indica en la ecuación 6.17a. Al agregar energía cinética, se acelera. Es imposible obtener una velocidad exactamente constante en el eje en la cara donde la carga requiere un cambio de energía. Lo mejor es minimizar la variación de rapidez (ωmáx  ωmín), lo cual proporciona un volante con Im lo suficientemente grande. EJEMPLO 6-6 Determinación de la variación de energía en una función torque-tiempo Problema Obtenga la variación de energía por ciclo en una función torque-tiempo que necesita ser absorbida por un volante para operar uniformemente. Se proporciona La función torque-tiempo que varía durante el ciclo, como se muestra en la figura 6-22. El torque varía durante los 360o del ciclo alrededor de su valor promedio. Suposiciones La variación del torque mostrada en un ciclo es representativa de la condición de estado uniforme. La energía entregada por la fuente a la carga se considerará positiva y la energía regresada por la carga a la fuente se considerará negativa. Solución 1. Calcule el valor promedio de la función torque-tiempo durante un ciclo usando integración numérica. En este caso, es de 7 020 lb-in. (Observe que en algunos casos el valor promedio puede ser cero.) 2. Note que la integración del lado izquierdo de la ecuación 6.18c se realiza con respecto a la línea promedio de la función del torque, no con respecto al eje θ. (Por la definición del promedio, la suma del área positiva arriba de la línea promedio es torque área + 15 388 área + 20 073 34 200 A B D C A rms promedio 7 020 0 ángulo Q del eje tiempo t W máx W mín área – 26 105 área – 9 202 –34 200 0 360 FIGURA 6-22 Integración de los pulsos por arriba y por abajo del valor promedio de la función torque-tiempo 6 450 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 6-5 De - Un Enfoque Integrado Acumulación de pulsos de energía bajo la curva torque-tiempo $Área  $E Suma acumulada = E Mín. y máx. Aa B +20 073 +20 073 Wmín @ B Ba C –26 105 –6 032 Wmáx @ C Ca D +15 388 +9 356 Da A –9 202 +154 $Energía total = E @ Wmáx – E @ Wmín = (–6 032) – (+20 073) = –26 105 in-lb 6 igual a la suma del área negativa debajo de la línea.) Los límites de integración en la ecuación 6.18 son del ángulo θ del eje, en los cuales la ω del eje es mínima hasta el ángulo θ del eje, donde la ω es máxima. 3. La ω mínima ocurrirá después de que se haya entregado la energía positiva máxima del motor a la carga, es decir, en el punto θ donde la suma de energía positiva (área) de los pulsos de torques se encuentra en su valor positivo más grande. 4. La ω máxima ocurrirá después de que la energía negativa máxima regresa a la carga, es decir, en el punto donde la suma de energía negativa (área) de los pulsos de torque se encuentra en su mayor valor negativo. 5. Para obtener estas ubicaciones de θ correspondientes a las ω máxima y mínima y, por lo tanto, determinar la cantidad de energía necesaria que se almacene en el volante, se requiere integrar numéricamente cada pulso de esta función de cruzamiento a cruzamiento con la línea promedio. Los puntos de cruce se han identificado como A, B, C y D; las áreas entre éstos se ilustran en la figura 6-22. 6. La tarea final es sumar estas áreas de pulsos empezando en un cruzamiento arbitrario (en este caso, el punto A) y procesando pulso por pulso a través del ciclo. La tabla 6-5 muestra este proceso y el resultado. 7. En la tabla 6-5, observe que la rapidez mínima del eje ocurre después de que el mayor pulso de energía positiva acumulada (20 073 in-lb) ha sido entregado por el eje impulsor al sistema. Tal entrega de energía disminuye la velocidad del motor. La rapidez máxima del eje ocurre después de que el mayor pulso de energía negativa acumulada (6 032 in-lb) ha sido recibido de regreso desde la carga por el eje. Este regreso de energía almacenada tiende a incrementar la velocidad del motor. La variación total de energía es la diferencia algebraica entre los dos valores extremos, que en este ejemplo es de 26 105 in-lb. La energía que regresa de la carga necesita ser absorbida por el volante y regresarse más tarde al sistema dentro de cada ciclo, con la finalidad de suavizar las variaciones en la velocidad del eje. Revise los archivos EX09-07a y EX09-07b que también contienen los cálculos del ejemplo 6.6. Determinación de la inercia del volante Ahora se necesita determinar qué tan grande debe ser el volante para absorber esta energía con un cambio aceptable en la rapidez. El cambio en la velocidad del eje durante un ciclo se conoce como fluctuación Fl y es igual a Fl  W máx W mín (6.19a) Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 451 Se puede normalizar esto como una razón adimensional dividiéndola entre la rapidez promedio del eje. A la razón se le llama coeficiente de fluctuación Cƒ. Cf  W máx W mín (6.19b) W prom Este coeficiente de fluctuación es un parámetro de diseño que debe elegir el diseñador. Usualmente se toma un valor entre 0.01 y 0.05 para maquinaria de precisión, y tan alto como 0.2 para maquinaria de triturado o martilleo, lo cual corresponde de un 1% a un 5% de fluctuación en la rapidez del eje. Cuanto menor sea el valor seleccionado, mayor tendrá que ser el volante. Éste es un diseño compensatorio. Cuanto más grande sea el volante, agregará más costo y peso al sistema, los cuales son factores que deben considerarse contra la uniformidad de la operación deseada. Se obtiene el cambio requerido en la energía cinética Ek al integrar la curva del torque, 6 Q @ W máx °Q @W  Tprom dQ  Ek Tl (6.20a) mín ahora puede hacerlo igual al segundo miembro de la ecuación 6.18c: Ek  1 Im W 2máx 2  W 2mín (6.20b) Factorizando la expresión: Ek  1 Im W máx 2 W mín W máx W mín (6.20c) Si la función torque-tiempo fuera movimiento armónico puro, entonces su valor promedio se podría expresar exactamente como W prom  W máx W mín 2 (6.21) Las funciones de torque rara vez son movimientos armónicos puros, pero el error que se introduce al utilizar dicha expresión como aproximación del promedio es aceptable. Ahora se pueden sustituir las ecuaciones 6.19b y 6.21 en la ecuación 6.20c para obtener la expresión del momento de inercia de masa Is necesario en todo el sistema giratorio, para obtener el coeficiente de fluctuación elegido. Ek  Is  1 Is 2 W prom C f W prom 2 Ek  C f W 2prom  (6.22) La ecuación 6.22 se puede usar para diseñar el volante físico eligiendo el coeficiente de fluctuación deseado Cƒ, y usando el valor de Ek de la integración numérica de la curva de torque (véase la tabla 6-5 para un ejemplo) y la ω promedio del eje para calcular el Is necesario en el sistema. El momento de inercia de masa del volante físico Im se hace entonces igual al Is requerido por el sistema. Pero si se conocen los momentos de inercia de los otros elementos giratorios sobre el mismo eje (como el motor), el volante físico Im necesario se puede reducir en tales cantidades. 452 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado El diseño más eficiente del volante en términos de maximización de Im para utilizar el mínimo del material es aquel donde la masa se concentra en su aro y está soportada por rayos, como la rueda de un carruaje. Lo anterior coloca la mayoría de la masa en el radio más grande posible y minimiza el peso para un Im dado. Incluso, si se elige un disco circular sólido como diseño del volante, ya sea por sencillez de fabricación o para contar con una superficie plana para otras funciones (como el embrague de un automóvil), el diseño se debería hacer con un orificio para reducir peso y, de ese modo, el costo. Como, en general, Im  mr2, un disco delgado de diámetro grande necesitará menos libras de material, para obtener un Im determinado, que un disco más grueso con diámetro menor. Evidentemente, materiales densos como el hierro colado y el acero son buenas elecciones para un volante. El aluminio se emplea raras veces. Aun cuando muchos metales (como plomo, oro, plata, platino) son más densos que el hierro y el acero, sería muy difícil convencer al departamento de finanzas para utilizarlos en un volante. 6 La figura 6-23 muestra el cambio en el torque de la figura 6-22, después de haber agregado un volante dimensionado para proporcionar un coeficiente de fluctuación de 0.05. La oscilación del torque alrededor de un valor promedio constante es ahora del 5%, mucho menos de lo que sería sin un volante. Observe que el valor pico es ahora de 87 en lugar de 372 lb-in. Ahora es posible utilizar un motor con muchos menos caballos de potencia, ya que el volante es apto para absorber la energía que regresa de la carga durante el ciclo. Esfuerzos en volantes Conforme un volante gira, la fuerza centrífuga actúa sobre su masa distribuida e intenta separarlo. Las fuerzas centrífugas son similares a las ocasionadas por la presión interna en un cilindro. Por consiguiente, el estado de esfuerzos en un volante giratorio es análogo al de un cilindro de pared delgada bajo presión interna (véase la sección 2.17 en la p. 133). El esfuerzo tangencial en un volante de disco sólido, como función del radio r, es St  G 2 ¤ 3 N³ ¤ 2 r W ¦ 8 µ ¥¦ i g ro2 Sr  G 2 ¤ 3 N³ ¤ 2 r W ¦ 8 µ ¥¦ i g ro2 ri2 ro2 r 2 1 3N 2 ³ r 3 N ´µ (6.23a) ³ r2´ µ (6.23b) y el esfuerzo radial es ri2 ro2 r2 torque Cf = 0.05 8 730 7 020 promedio tiempo t 0 0 360 ángulo Q del eje FIGURA 6-23 Función torque-tiempo de la figura D-22 después de agregar un volante con Cf = 0.05 Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 453 donde γ  densidad de peso del material, ω  velocidad angular en rad/seg, ν  razón de Poisson, r es el radio a un punto de interés y ri, ro son los radios interior y exterior del volante de disco sólido. La figura 6-24 muestra cómo varían estos esfuerzos sobre el radio del volante. El esfuerzo tangencial es máximo en el radio interno. El esfuerzo radial es cero en los radios interno y externo, y es pico en un punto interior; sin embargo, en todas partes es menor al esfuerzo tangencial. Entonces, el punto de mayor interés se encuentra en el radio interior. El esfuerzo de tensión tangencial en ese punto es lo que hace fallar al volante y, cuando se fractura en ese punto, por lo general se fragmenta y explota con resultados extremadamente peligrosos. Como las fuerzas que causan el esfuerzo están en función de la rapidez de giro, siempre habrá una velocidad a la que falla el volante. Se debe calcular la velocidad máxima segura de operación para el volante y algún modo para descartar su operación a mayores rapideces, como un control de velocidad o un regulador. Se puede determinar un factor de seguridad contra velocidad excesiva como el cociente de la velocidad de operación entre la velocidad que causará la fluencia, Nos  ω / ωfluencia. Criterio de falla Si el volante pasa la mayoría de su vida de operación en velocidad básicamente constante, entonces se puede considerar estáticamente cargado y usar la resistencia a la fluencia como criterio de falla. El número de ciclos arranque-alto de su régimen de operación determinará si se debe considerar un escenario de carga-fatiga. Cada aceleración hasta la velocidad de operación y cada desaceleración de la misma a cero constituyen un ciclo de esfuerzo fluctuante. Si el número de estos ciclos arranque-alto es lo bastante largo, durante la vida proyectada del sistema, entonces se tendría que aplicar un criterio de fatiga-falla. Un régimen de fatiga de bajo ciclo podría requerir un análisis de falla por fatiga, con base en la deformación, en lugar de uno con base en el esfuerzo, sobre todo si existe la posibilidad de sobrecargas pasajeras que hagan que los esfuerzos locales excedan el esfuerzo a la fluencia en las concentraciones de esfuerzo. EJEMPLO 6-7 Diseño de un volante de disco sólido Problema Diseñe un volante adecuado para el sistema del ejemplo 6-6. Se desea un factor de seguridad contra velocidad excesiva de por lo menos 2. Se proporciona La función torque-tiempo de entrada varía durante su ciclo, como se muestra en la figura 6-22 (p. 449). El torque varía durante los 360o del ciclo alrededor de su valor promedio, y la variación de la energía por ciclo es de 26 105 in-lb, como se indica en la tabla 6-5 (p. 450). La W del eje es igual a 800 rad/seg. Suposiciones El ciclo de variación del torque mostrado es representativo de la condición de estado constante. El coeficiente de fluctuación deseado es 0.05. El sistema está en operación continua con ciclos mínimos de arranque-alto. Se empleará un acero con resistencia a la fluencia de 62 kpsi. No se utiliza cuñero, con el objetivo de reducir las concentraciones de esfuerzos. En cambio, una maza de cerradura cónica la acoplará por fricción al eje y la maza se atornillará axialmente al volante. radio St esfuerzo tangencial esfuerzo radial Sr 6 radio FIGURA 6-24 Distribuciones de esfuerzos a lo largo del radio de un volante giratorio 454 DISEÑO DE MÁQUINAS Solución - Un Enfoque Integrado Véase la figura 6-25 y la tabla 6-6. 1. Se conoce la cantidad de energía que se necesita por el diagrama de torque-tiempo del ejemplo 6-6, y se tiene definida la ω del eje y el coeficiente de fluctuación deseado. A partir de tales datos, es posible determinar el momento de inercia de masa Is requerido para el sistema, con la ecuación 6.22 (p. 451). Is  E 26 105  2 C f W prom 005800 2  0.816 lb - in seg2 (a) El volante sólo necesita suministrar una parte de esta cantidad, si otras masas giratorias, como la armadura del motor, están presentes. Sin embargo, en este ejemplo se supondrá que el volante proporcionará toda la inercia requerida, haciendo Im  Is. 6 2. Las dimensiones del volante para este momento de inercia se pueden definir a partir de la ecuación 6.17d. Se supondrá un material de acero con γ  0.28 lb/in3 y un radio interior ri  1 in. PG 4 ro 2g  Im  ri4 t  0.816 P ¤ 0.28 ³ 4 ro 2 ¦ 386 µ  0.816   716.14  ro4 14 t (b) 1t de modo que el Im requerido se obtiene con combinaciones infinitas del radio ro y el espesor t del volante para los datos considerados. 3. La mejor solución de la ecuación (b) será aquella que equilibre los valores en conflicto del tamaño del volante, peso, esfuerzos y factor de seguridad. Considere dos diseños posibles: uno con un espesor pequeño t y el otro con un t grande. El volante delgado tendrá un diámetro más grande, pero será considerablemente más ligero que el grueso debido a la falta de linealidad de los términos que intervienen en ro. Pero conforme ro crece, los esfuerzos también lo harán, porque la masa con el radio más grande ejerce mayor fuerza centrífuga sobre el material. 4. Para obtener un valor de ro, que sea consistente con cualquier factor de seguridad deseado, la ecuación 6.23a del esfuerzo tangencial se resuelve hacia atrás con valores supuestos de σt  Sy / Ny, ri, así como con los parámetros ν y γ del material, St  G 2 ¤ 3 N³¤ 2 W r ¦ 8 µ ¥¦ i g ro2 ri2 ro2 r 2 62 000 0.28 3 0.28 ³ ¤  1 ro2 800 2 ¤¦ 386 8 µ ¥¦ Ny ro2  162..9 Ny 1 3N 2 ³ Sy r  3 N ´µ N y ro2 1 ³ 1 30.28 1 ´ 3 0.28 µ (c ) 0.535 El valor de ro se emplea entonces en la ecuación (b) para obtener el espesor del volante. Para un factor de seguridad de diseño contra la fluencia de 2.5 y los valores supuestos en la ecuación (c), se obtiene ro  8.06 in y t  0.172 in. 5. Con la geometría del volante definida ahora, la velocidad giratoria a la cual se iniciará la fluencia se calcula con la ecuación 6.17d usando la resistencia a la fluencia para el valor del esfuerzo. Capítulo 6 Tabla 6-6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 455 Datos del ejemplo 6-7 con Im = 0.816 lb-in-seg2 Espesor (in) Diámetro (in) razón r/t Peso (lb) Esfuerzo (psi) 0.125 17.40 0.250 14.63 69.6 8.20 28 896 2.1 1.5 29.3 11.60 20 459 3.0 0.375 1.7 13.22 17.6 14.10 16 722 3.7 1.9 0.500 12.31 12.3 16.20 14 494 4.3 2.1 0.625 11.64 9.3 18.10 12 974 4.8 2.2 0.750 11.12 7.4 19.70 11 852 5.2 2.3 0.875 10.70 6.1 21.30 10 980 5.6 2.4 1.000 10.35 5.2 22.70 10 277 6.0 2.5 1.125 10.05 4.5 24.00 9 695 6.4 2.5 1.250 9.79 3.9 25.20 9 202 6.7 2.6 Factor de Factor de seguridad seguridad contra exceso de velocidad contra fluencia 6 G 3 N´¥ 2 S t  Sy  W 2 ¥ ri g § 8 ¶ ¦§ 62 000  ro2 ri2 ro2 r2 0.28 2 3 0.28 ´ ¥ W fluencia ¥ 1 8.06 2 § 8 ¶ ¦§ g 1 3N 2 ´ r 3 N µ¶ 8.06 2 1 1 30.28 ´ 1 µ 3 0.28 ¶ (d ) W fluencia  1 265 rad/seg Como esta velocidad de operación causa falla, se calcula un factor de seguridad contra el exceso de velocidad a partir de N os  W fluencia W  1 265 rad/seg  1.6 800 rad/seg (e) 6. Para demostrar la variación de parámetros con la geometría del volante, este conjunto de ecuaciones se resolvió para una lista de posibles espesores t, elegidos en un intervalo de diseño razonable entre 0.125 y 1.25 in. La tabla 6-6 presenta los resultados y la figura 6-25 grafica las tendencias. Observe que el peso se incrementa conforme el diámetro exterior disminuye y el espesor aumenta. El esfuerzo tangencial máximo en el radio interior disminuye conforme disminuye ro, el factor de seguridad contra la fluencia se incrementa de 2.1 a 6.7, mientras el factor de seguridad para exceso de velocidad varía de 1.5 a 2.6 en este rango de grosores. 7. El diseño final elegido es t  0.438 in y ro  6.36 in debido a que tiene una mezcla razonable de valores de parámetros (tamaño, peso) y da como resultado un factor de seguridad contra el exceso de velocidad igual a 2. En otras palabras, el volante podría correr hasta dos veces su velocidad de diseño antes de ceder. El factor de seguridad contra la fluencia en la rapidez de diseño más baja siempre será más alto y ahora es de 4. La selección de mayores factores de seguridad impone una penalización al peso, como se observa en la figura 6-25. Revise los archivos EX10-07a y EX10-07b, que también contienen los cálculos del ejemplo 6-6. 6.14 peso (lb) esfuerzo (ksi) diámetro (in) Ny Nos VELOCIDADES CRÍTICAS EN EJES Todos los sistemas que contienen elementos que almacenan energía poseen un conjunto de frecuencias naturales, donde el sistema vibrará con amplitudes potencialmente grandes. Cualquier masa que se mueve almacena energía cinética y cualquier resorte alma- 30 S w 20 d 10 Ny Nos 0 0 0.5 1.0 espesor (in) FIGURA 6-25 Variación de peso, esfuerzo, factores de seguridad y diámetro con el espesor del volante del ejemplo 6-7 456 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado cena energía potencial. Todos los elementos de máquinas fueron hechos de materiales elásticos; por lo tanto, pueden actuar como resortes. Todos los elementos tienen masa, pero si también tienen velocidad, almacenarán energía cinética. Cuando un sistema dinámico vibra, dentro del sistema ocurre una transferencia repetitiva de energía potencial a energía cinética a energía potencial, etcétera. Los ejes cumplen con este criterio girando a alguna velocidad y flexionándose tanto por torsión como por flexión. Si un eje, o cualquier elemento relacionado, se somete a una carga que varía con el tiempo, vibrará. Incluso si sólo recibe carga transitoria, como un martillazo, vibrará a sus frecuencias naturales, justo como una campana cuando se golpea. Lo anterior se conoce como vibración libre. Esta vibración transitoria o libre se extingue finalmente debido al amortiguamiento presente en el sistema. Si se mantiene la carga que varía con el tiempo, como por ejemplo de manera senoidal, el eje u otro elemento continuarán vibrando a la frecuencia forzada de la función impulsora. Si la frecuencia forzada coincide con alguna de las frecuencias naturales del elemento, entonces la amplitud de la respuesta vibratoria será mucho mayor que la amplitud de la función impulsora. Se dice entonces que el elemento está en resonancia. 6 La figura 6-26a ilustra la respuesta de amplitud de una vibración forzada, y la figura 6-26b, una vibración autoexcitada, como una función de la razón entre la frecuencia forzadora y la frecuencia natural del sistema ωƒ/ωn. Cuando esta razón es 1, el sistema está en resonancia y la amplitud de la respuesta se aproxima al infinito en ausencia de amortiguamiento. La respuesta de la amplitud en la figura 6.26 se muestra como una razón adimensional de amplitudes de salida a amplitudes de entrada. Cualquier amortiguamiento, mostrado como una razón de amortiguamiento ξ, reduce la razón de amplitud de resonancia. A la frecuencia natural se le llama también frecuencia crítica o velocidad crítica. Se debe evitar la excitación de un sistema a su frecuencia (resonancia) crítica o cerca de ella, ya que las deflexiones resultantes a menudo causarán esfuerzos lo suficientemente grandes como para que la pieza falle rápidamente. Se puede considerar que un sistema consistente en agrupamientos discretos de masas conectadas con elementos de resorte discretos tiene un número finito de frecuencias naturales, equivalente a su número de grados de libertad cinemática. Sin embargo, un sistema continuo como una viga o eje tiene un número infinito de partículas, cada una 6 Z = 0.05 5 6 Z = 0.05 5 0.10 4 0.15 0.10 razón de amplitud Y= ysal yent razón de amplitud 4 0.20 3 0.30 Y= 2 ysal yent 0.25 3 0.50 2 1.00 0.60 1 1 0 0 0 1 razón de frecuencia 2 3 Wf Wn (a) Respuesta de vibración forzada externamente 0 1 razón de frecuencia 2 3 Wf Wn (b) Respuesta de vibración autoexcitada FIGURA 6-26 Respuesta de un sistema con un solo grado de libertad a frecuencias forzadas o de autoexcitación variables Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 457 de las cuales es capaz de tener movimiento elástico en relación con sus partículas circundantes. Por lo tanto, un sistema continuo tiene un número infinito de frecuencias naturales. En cualquier caso, la frecuencia natural más baja, es decir, la fundamental, es por lo general la de mayor interés. Las frecuencias naturales de vibración de un sistema se pueden expresar como una frecuencia circular ωn en rad/seg o rpm o como una frecuencia lineal ƒn en hertz (Hz). Se trata de las mismas frecuencias expresadas en unidades diferentes. La expresión general de la frecuencia natural fundamental es Wn  fn  k m 1 2P rad/seg k m Hz (6.24a) (6.24b) donde k es la constante de resorte del sistema y m su masa. Las frecuencias naturales son propiedades físicas del sistema, que, una vez incorporadas, las conserva casi sin modificar, a menos que pierda o gane masa o rigidez durante su vida útil. Las ecuaciones 6.24 definen la frecuencia natural sin amortiguamiento. El amortiguamiento reduce ligeramente la frecuencia natural. Los ejes, las vigas y la mayoría de las piezas de máquinas tienden a estar ligeramente amortiguadas, de modo que se logre manejar el valor sin tal amortiguamiento con un error pequeño. La estrategia frecuente de diseño es mantener todas las frecuencias forzadas, o autoexcitadas, por debajo de la primera frecuencia crítica con un margen conveniente. Cuanto mayor sea este margen será mejor, aunque es deseable un factor de por lo menos 3 o 4. Lo anterior mantiene la razón amplitud-respuesta cerca de uno o de cero, como se ilustra en las figuras 6-26a y 6-26b. En algunos casos, la frecuencia fundamental de un sistema de eje no puede ser mayor que la frecuencia de giro requerida. Si el sistema se acelera lo suficientemente para que pase rápido por la frecuencia de resonancia, antes de que las vibraciones tengan la oportunidad de crecer en amplitud, entonces el sistema se puede operar a una velocidad superior a la de resonancia. Las plantas de energía estacionaria están en esta categoría. La masa de las turbinas y los generadores tiene una frecuencia fundamental baja (véase la ecuación 6.24), pero deben trabajar a alta velocidad para generar la frecuencia adecuada de corriente alterna. Por consiguiente, operan a la derecha del pico de la figura 6-14b, donde la razón de amplitud se aproxima a uno a razones altas de ωƒ / ωn. Los arranques y las desconexiones suelen ser escasos pero siempre deben hacerse rápidamente para rebasar el pico de resonancia antes de que se cause algún daño por las deflexiones excesivas. También tiene que haber suficiente potencia impulsora disponible para proporcionar la energía absorbida durante la resonancia por las oscilaciones, además de la aceleración de la masa giratoria. Si el impulsor carece de potencia suficiente, entonces el sistema se puede atascar por la resonancia, y sería incapaz de incrementar su velocidad de cara a las vibraciones potencialmente destructivas. Esto se conoce como efecto de Sommerfeld.[9] Hay tres tipos de vibraciones de ejes de interés: 1. Vibración lateral 2. Balanceo de eje 3. Vibración torsional Las primeras dos implican deflexiones por flexión y la última deflexión por torsión en el eje. 6 458 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Vibración lateral de flechas y vigas: método de Rayleigh Un análisis completo de las frecuencias naturales de un eje o una viga es un problema complicado, sobre todo si la geometría es compleja, por lo que es mejor resolverlo con la ayuda del software de análisis de elemento finito. Se puede hacer un análisis modal sobre un modelo de elemento finito de, incluso, geometrías complejas, lo que producirá un gran número de frecuencias naturales (en tres dimensiones) a partir de la fundamental. Éste es el procedimiento preferido y que se usa con frecuencia cuando se analiza a detalle un diseño maduro completo. Sin embargo, en las primeras fases del diseño, cuando las geometrías de la pieza no están aún totalmente definidas, es muy útil un método rápido y fácil de aplicar para obtener por lo menos una frecuencia fundamental aproximada. El método de Rayleigh sirve para tal propósito. Se trata de un método de energía que proporciona resultados dentro de un porcentaje bajo de la ωn real. Se aplica tanto a un sistema continuo como a un modelo del sistema en parámetro agrupado. Por lo general, se prefiere el último procedimiento por su sencillez. 6 MÉTODO DE RAYLEIGH Iguala las energías potencial y cinética del sistema. La energía potencial se encuentra en forma de energía de deformación en el eje flexionado y es máxima en la deflexión más grande. La energía cinética es máxima cuando la vibración del eje pasa por la posición no flexionada del eje a máxima velocidad. Este método supone que el movimiento vibratorio lateral del eje es senoidal y que hay alguna excitación externa para forzar la vibración lateral (figura 6-26a). Para ilustrar la aplicación de este método, considere un eje simplemente apoyado con tres discos (engranes, poleas, etcétera) sobre ella, como se indica en la figura 6-27. Se modelará esto como tres masas conocidas sobre un eje sin masa. La geometría del eje definirá la constante de resorte por flexión, agrupando así todo el “resorte” del eje. La energía potencial total almacenada en la deflexión máxima es la suma de energías potenciales de cada grupo de masa: Ep  g m1D1 2 m2 D 2 (6.25a) m3D 3 donde todas las deflexiones se toman como positivas, sin importar la forma local de la curva de deflexión, porque la energía de deformación no se ve afectada por el sistema coordenado externo. La energía del eje flexionado se ignora, puesto que es pequeña comparada con la energía del disco. La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas individuales: Ek  W 2n m1D12 2  m2 D 22 m3D 32 (6.25b) donde las velocidades se toman como positivas. Al igualar esto da como resultado Wn  £ g £ n i 1 n i 1 mi D i mi D i2  £ g £ n Wi i 1 g Di Wi i 1 g D i2 n  £ g £ n i 1 n i 1 Wi D i Wi D i2 (6.25c) la segunda versión que resulta de la sustitución de m  W / g, donde las Wi son los pesos de los agrupamientos discretos en que se divide el sistema, y δi son las deflexiones dinámicas en las ubicaciones de los pesos debidas a su vibración. Todos los pesos y las deflexiones se toman como positivos para representar las máximas energías almacenadas. Capítulo 6 D1 D2 459 D3 m3 m1 FIGURA 6-27 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS vibración m2 Eje con vibración lateral (amplitud muy exagerada) El problema es que, por lo general, no se conocen las deflexiones dinámicas del sistema a priori. Rayleigh demostró que prácticamente cualquier estimación de la curva de deflexión es suficiente, siempre y cuando tal curva represente razonablemente la deflexión máxima y las condiciones de frontera de la curva dinámica real. La curva de deflexión estática, debida a los pesos de los supuestos agrupamientos (incluyendo o no el peso del eje), es una estimación muy adecuada. Observe que las cargas externas aplicadas no se incluyen en estos cálculos de la deflexión, sólo las fuerzas gravitacionales. La ωn aproximada que resulta siempre será mayor que la frecuencia fundamental verdadera por un pequeño porcentaje, sin importar la forma de la curva de deflexión asumida. Si se realiza más de un cálculo de la curva de deflexión, se debe usar la ωn de valor más bajo, puesto que será la aproximación más cercana. La ecuación 6-25c se aplica a un sistema de cualquier complejidad descomponiéndolo en muchos agrupamientos. Si los engranes, las poleas, etcétera, se encuentran sobre el eje, son agrupamientos con masas lógicas. Si la masa del eje es significativo o dominante, se puede descomponer en elementos discretos a lo largo de su longitud y cada una de las piezas aporta un término a la suma. Teóricamente el método de Rayleigh sirve para obtener frecuencias mayores que la fundamental, pero hacerlo es difícil si no se tiene una buena estimación de la forma de la curva de deflexión del más alto orden. Hay métodos más precisos de aproximación, tanto para la frecuencia fundamental como para frecuencias más grandes, aunque son algo más complicados de implementar. Ritz modificó el método de Rayleigh (RayleighRitz) para permitir la iteración para frecuencias superiores. El método de Holzer es más preciso y puede obtener frecuencias múltiples. Para mayor información, consulte la referencia 10. Cabeceo de ejes El cabeceo de un eje es un fenómeno vibratorio de autoexcitación, al cual están potencialmente expuestos todos los ejes. Aun cuando es una práctica común y recomendable equilibrar dinámicamente todos los elementos giratorios de una máquina (sobre todo si opera a grandes velocidades), no es posible lograr un equilibrio dinámico exacto, excepto por casualidad. (Para el estudio de balanceo dinámico, consulte la referencia 12.) Cualquier desbalanceo residual de un elemento giratorio causa que su centro de masa real sea excéntrico en relación con el eje de giro del eje. Tal excentricidad crea una fuerza centrífuga que tiende a flexionar el eje en la dirección de la excentricidad, incrementando ésta y por lo mismo aumentando la fuerza centrífuga. La única resistencia a esta fuerza se 6 460 DISEÑO DE MÁQUINAS m(D+e)W2 - Un Enfoque Integrado m D e k kD FIGURA 6-28 Cabeceo de flecha (amplitud muy exagerada) 6 debe a la rigidez elástica del eje, como se ilustra en la figura 6-28. La excentricidad inicial del eje está representada por e y la deflexión dinámica es δ. Un diagrama de cuerpo libre muestra que las fuerzas que se generan son kD  mD e W 2 (6.26a) e W2 k m W 2 (6.26b) D La deflexión dinámica del eje provocada por esta fuerza centrífuga causa un cabeceo alrededor de su eje de rotación, mientras los puntos del centro del eje flexionado describen círculos alrededor del eje. Observe en la ecuación 6.26b que la deflexión se vuelve infinita cuando ω2  k / m. Conforme la velocidad de giro del eje se aproxima a la velocidad natural fundamental (o crítica) de la vibración lateral, ocurre un fenómeno similar al de resonancia para esa vibración lateral. Observe en la ecuación 6.26b que cuando ω2  k / m, δ  ∞. La ecuación 6.26b se puede normalizar para una forma adimensional, la cual muestra claramente la relación: 2 W W n D  e 1 W W n 2 (6.26c) La ecuación 6.26c y la figura 6-29 muestran la amplitud de la deflexión del eje normalizado para la excentricidad original (δ / e), como una función de la razón entre la frecuencia de giro y la frecuencia crítica ω / ωn. Note que cuando ω / ωn  0, no hay respuesta, a diferencia de la vibración forzada de la sección anterior, lo cual se debe a que no hay fuerza centrífuga, a menos que el eje gire. Conforme la velocidad del eje se incrementa, la deflexión aumenta rápidamente. Si no hay amortiguamiento (ξ  0), en ω / ωn  0.707), la deflexión del eje es igual a la excentricidad y teóricamente se vuelve infinita en la resonancia (ω / ωn  1). Desde luego, siempre habrá algún amortiguamiento, pero si el valor de ξ es pequeño, la deflexión será muy grande en la resonancia y puede causar esfuerzos lo suficientemente grandes para que el eje falle. Observe qué sucede cuando la velocidad del eje rebasa ωn, la fase cambia 180°, lo cual significa que la deflexión cambia abruptamente de lado en resonancia. A mayores razones de ω / ωn, la deflexión se aproxima a e, lo cual significa entonces que el sistema gira alrededor del centro de masa de la masa excéntrica y la línea central del eje es excéntrica. La conservación de la energía hace que el sistema intente girar alrededor de su verdadero centro de masa. Lo anterior ocurrirá en cualquier sistema donde los elementos Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 461 8 Z=0 6 razón de amplitud D e e 4 ~ 0.2 Z= 2 0 –2 –4 0.707 –6 razón de frecuencia –8 0 1 2 3 4 W Wn FIGURA 6-29 Respuesta de amplitud de un sistema de cabeceo de eje autoexcitado en función de la razón de frecuencia 6 giratorios sean excéntricos y grandes, comparados con el eje. Tal vez haya observado un ventilador de techo cuyo centro de motor orbita alrededor de su eje de rotación. Las aspas del ventilador generalmente no están en equilibrio perfecto y el montaje gira alrededor del centro de masa del montaje del aspa, en lugar de que gire alrededor de la línea central del sistema motor/eje. Debe quedar claro que conviene evitarse la rotación de un sistema en su frecuencia crítica o cerca de ella. La frecuencia crítica para el cabeceo de un eje es la misma de la vibración lateral y se puede obtener aplicando el método de Rayleigh o cualquiera otra técnica adecuada. Debido a que esta razón de amplitud de vibración en un eje que cabecea inicia en cero, en lugar de en uno (como en las vibraciones forzadas), la frecuencia forzada puede estar más cerca de la frecuencia crítica que con la vibración lateral. Normalmente se tendrán buenos resultados manteniendo la velocidad de operación por debajo de la mitad de la frecuencia crítica de cabeceo del eje, a menos que la excentricidad inicial sea excesiva (lo cual no debe permitirse). Observe la diferencia entre vibración lateral del eje y cabeceo del eje. La vibración lateral es una vibración forzada, que para generarse requiere de alguna fuente externa de energía, como las vibraciones de otras piezas de la máquina, y entonces el eje vibra en uno o más planos laterales, ya sea que esté girando o no. El cabeceo del eje es una vibración autoexcitada, causada por el giro del eje que actúa sobre una masa excéntrica. Siempre ocurrirá cuando estén presentes tanto el giro como la excentricidad. El eje asume una forma flexionada, la cual entonces gira o cabecea alrededor del eje, algo muy parecido al salto de la cuerda al que juegan los niños. Vibración torsional Así como un eje vibra lateralmente, también vibra por torsión y tiene una o más frecuencias naturales torsionales. Se pueden usar las mismas ecuaciones que describen las vibraciones laterales para las vibraciones torsionales. Los sistemas son análogos. La fuerza se convierte en torque, la masa en momento de inercia de masa y la constante lineal de resorte en constante torsional de resorte. La ecuación 6.24 (p. 457) para la frecuencia natural circular se vuelve la de un sistema giratorio con un solo grado de libertad: Wn  kt Im rad/seg (6.27a) 462 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La constante torsional de resorte kt para un eje sólido circular es kt kt  Im GJ l lb - in/rad o N - m/rad (6.27b) donde G es el módulo de rigidez del material y l es la longitud del eje. El segundo momento polar de área J de un eje sólido circular es J Wn FIGURA 6-30 Disco sobre un eje con vibración torsional Pd 4 32 in 4 o m 4 (6.27c) Si el eje es escalonado, entonces se obtiene un segundo momento polar de área equivalente Jef a partir de Jef  6 l ¤ (6.27d ) n li i 1 J i donde l es la longitud total del eje y Ji, y li son los momentos polares y las longitudes de las subsecciones de diferentes diámetros del eje, respectivamente. El momento de inercia de masa de un disco sólido circular alrededor de su eje de rotación es: Im  mr 2 2 in - lb - seg 2 o kg - m2 (6.27e) donde r es el radio del disco y m es su masa. Estas ecuaciones son suficientes para obtener la frecuencia crítica de un disco montado sobre un eje fijo, como se ilustra en la figura 6-30. Dos discos sobre un eje común Un problema más interesante es el de dos (o más) discos colocados sobre un eje común, como se indica en la figura 6-31. Los dos discos mostrados oscilan torsionalmente en la misma frecuencia natural, 180° fuera de fase. Existe un punto llamado nodo, en algún lugar sobre el eje, en el cual no hay deflexión angular. A cada lado del nodo, los puntos Q2 I2 Q1 l2 l1 k2 Wn I1 k1 nodo d l FIGURA 6-31 Vibración torsional de dos discos sobre un eje común 2 1 Q2 Q1 Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 463 sobre el eje giran en direcciones angulares opuestas cuando están vibrando. El sistema se puede modelar como dos sistemas separados con masa individual, acoplados en este nodo estacionario. Uno tiene momento de masa y constante de resorte I1, k1; el otro, I2, k2. Su frecuencia natural común es entonces k1 = I1 Wn  k2 I2 (6.28a) Las constantes de resorte de cada uno de los segmentos de eje se obtienen a partir de k1  JG / I, suponiendo que J es constante a través del nodo. JG = l1 I1 JG l2 I2 l1 I1  l2 I2 = I2 l l1 y l1  entonces 6 I2 l I1 I2 (6.28b) La ecuación 6.28b permite obtener la ubicación del nodo. Sustituyendo esta expresión en la ecuación 6.28a, da como resultado Wn  k1 = I1 W n  kt JG  l1 I1 I1 I2 I1 I2 JG I1 I2 l I1 I2 o W 2n  kt I1 I2 I1 I2 (6.28c) la cual define la rapidez crítica para vibración torsional, en términos de las propiedades conocidas de la masa de los dos discos y la constante de resorte total del eje. Es necesario eliminar la frecuencia crítica en las funciones de fuerza aplicadas al eje, para descartar la resonancia torsional y con ello una sobrecarga. Los dispositivos sujetos al eje, como pistones de motor o pistones de bomba, tienen frecuencias en sus funciones torque-tiempo que corresponden a los pulsos de su operación, multiplicados por su frecuencia de giro. Por ejemplo, un motor de gasolina de cuatro cilindros tiene una componente de alta frecuencia forzada igual a cuatro veces sus rpm. Si estos cuatro movimientos armónicos coinciden con la frecuencia crítica del eje, habría problemas. Cuando se diseña un eje, las características de la frecuencia de los dispositivos impulsores e impulsados, sujetos a ella, se deben tomar en cuenta, junto con su frecuencia de giro primaria. Discos múltiples sobre una flecha común Dos discos sobre un eje tienen un nodo y una frecuencia natural de torsión. Tres discos tienen dos nodos y dos frecuencias naturales. Este patrón se mantiene para cualquier número de discos, suponiendo en todos los casos que las masas de los discos dominan la masa del eje, por lo que puede ignorarse. N discos tienen N  1 nodos y N  1 frecuencias naturales. El grado de la ecuación de las frecuencias naturales también será N  1 si se considera la variable ωn2 en vez de ωn. Observe que la ecuación 6.28c para dos masas es lineal con este supuesto. La ecuación para tres masas es cuadrática en ωn2 y para cuatro masas es cúbica en ωn2. 464 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Para los tres casos de masas, los cuadrados de las frecuencias naturales son las dos raíces de  I1 I2 I3 W 2n 2 ;k2  I1I2 I1 I3 k1  I2 I3 I1 I3 W 2n = k1k2  I1 I2 I3  0 (6.29) Se pueden deducir polinomios de orden superior para masas adicionales y utilizar un método iterativo de búsqueda de raíces para resolverlas. También existen métodos de aproximación para calcular las frecuencias naturales torsionales de cualquier número de masas. Esto permite que la masa del eje se tome en cuenta con facilidad, si se desea descomponerla en masas discretas. El método de Holzer se utiliza comúnmente en vibración torsional y lateral de ejes. Para la deducción y el estudio de tales métodos, consulte la referencia 10 o cualquier libro de vibraciones. El espacio no permite el tratamiento completo de ellos. 6 Control de las vibraciones torsionales Cuando los ejes son largos y/o tienen varias masas distribuidas a lo largo de su longitud, las vibraciones torsionales suelen ser un problema serio de diseño. Los cigüeñales de los motores de combustión interna son un ejemplo. Una mayor longitud en el brazo del cigüeñal reduce drásticamente la rigidez torsional, lo cual disminuye su frecuencia natural. Esto, combinado con los mayores movimientos armónicos fuertes de las explosiones del cilindro en el torque, pueden originar una falla anticipada por fatiga torsional. El motor de gasolina de ocho cilindros en línea tan popular en la década de 1930 fue menos exitoso que su primo de seis cilindros en línea, debido en parte a los problemas de vibraciones torsionales en los ocho muñones largos del cigüeñal. El motor V-8 con sus cuatro muñones más cortos del cigüeñal sustituyó completamente al de ocho cilindros en línea. Incluso en tales máquinas más pequeñas, las vibraciones torsionales del cigüeñal llegan a ser un problema. Hay varios métodos para contrarrestar los efectos de una correspondencia indeseable entre las frecuencias forzadas y las frecuencias naturales del sistema. La primera línea de defensa es rediseñar las propiedades de masa y rigidez del sistema, con la finalidad de obtener las frecuencias críticas tan arriba de la máxima frecuencia forzada como sea posible. Lo anterior normalmente requiere el incremento de la rigidez mientras se reduce la masa, algo que no siempre es fácil de hacer. Se necesita el uso efectivo de la geometría para obtener la rigidez máxima con un mínimo de material. El término rigidez específica se refiere a la razón entre la rigidez y la masa de un objeto. Se desea maximizar la rigidez específica para incrementar las frecuencias naturales. El análisis de elemento finito suele ser muy útil en la optimización de una geometría de diseño para alterar su frecuencia natural, debido a la información detallada que se obtiene con ese análisis. Otro procedimiento es agregar un absorbedor sintonizado del sistema. Un absorbedor sintonizado es una combinación masa-resorte agregada al sistema, cuya presencia altera el conjunto de frecuencias naturales para alejarlo de las frecuencias forzadas dominantes. El sistema está efectivamente sintonizado lejos de las frecuencias indeseables. Tal enfoque es bastante efectivo en algunos casos y se utiliza tanto en movimientos lineales como en sistemas torsionales. Generalmente se agrega un amortiguador torsional al extremo del cigüeñal de un motor para reducir sus oscilaciones. Este dispositivo, también llamado amortiguador tipo Lanchester —en honor a su inventor—, es un disco acoplado al eje a través de un medio que absorbe energía como caucho o aceite. El amortiguamiento con aceite proporciona amortiguamiento viscoso y el caucho tiene una histéresis de amortiguamiento significativa. Su efecto consiste en reducir la amplitud pico en resonancia, como se observa en la figura 6-26 (p. 456) para valores mayores de ζ. Para mayor información sobre todos estos métodos, se remite al lector a la referencia 11. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 465 EJEMPLO 6-8 Determinación de las frecuencias críticas de un eje Problema Determine las frecuencias críticas de cabeceo y torsión del eje del ejemplo 6-2 y compárelas con su frecuencia forzada. Se proporciona Las dimensiones del eje de acero son 0.875 in de diámetro por un largo de 1.5 in, 0.750 in de diámetro por un largo de 3.5 in, 0.669 in de diámetro por un largo de 1.5 in y 0.531 in de diámetro por un largo de 1.5 in. Su velocidad de giro es de 1 725 rpm. Los apoyos del eje se encuentran a 0 y 5 in sobre un eje de 8 in de longitud. El engrane de acero pesa 10 lb y actúa en z = 2 in. Tiene un momento de inercia de masa de 0.23 lb-in-seg2. La polea de aluminio pesa 3 lb y actúa en z = 6.75 in. Tiene un momento de masa de inercia de 0.07 lb-in-seg2. Suposiciones Solución La deflexión estática del eje, debido a los pesos del engrane y la polea, se usarán como una estimación del método de Rayleigh; no obstante, los pesos del engrane y la polea se aplicarán en las direcciones que den la mayor deflexión estática. El peso del eje se ignorará. 6 Véase las figuras 6-5 (p. 423) y 6-32. 1. La deflexión del eje escalonado se calcula con la misma técnica utilizada en el ejemplo 6-3 (p. 430). En este caso, las cargas se toman justo como los pesos de los dos discos. Se considerará que la fuerza del peso del engrane actúa hacia abajo y que la fuerza del peso de la polea actúa hacia arriba, ya que cualquier arreglo que represente mejor la situación dinámica donde las fuerzas de inercia actúan hacia afuera de los ejes, en cualquier dirección, incrementará la deflexión. Si se dirigen ambas fuerzas de peso hacia abajo, en este caso, se obtendría una menor deflexión máxima y una forma de curva diferente a la de la deflexión dinámica. La figura 6-32 muestra las fuerzas de peso aplicadas y la curva de deflexión para este eje. La magnitud de la deflexión en el engrane es de 6.0E-5 in y en la polea es de 1.25E-4 in. Estos valores se necesitan en la ecuación 6.25c (p. 458). 2. Calcule la frecuencia crítica de cabeceo del eje con la ecuación 6.25c: n Wn  ¤i 1WiD i g n ¤i 1WiD i2  386 106.0 E 106.0 E 5 5 31.25 E 4 2 31.25 E 4 2  2 131 rad/seg (a ) y (in X 10–4) Observe que todas las magnitudes de las fuerzas de los pesos y sus deflexiones correspondientes se toman como positivas, sin importar sus direcciones vectoriales, como en el caso de la deflexión estática. 3. Compare la frecuencia crítica de cabeceo con la frecuencia forzada. W n 30 P2 131 rad/seg 20 350 rpm    11.8 Wf 1 725 rpm 1 725 rpm 2 Wengrane 1 0 Wpolea –1 (b) Éste es un margen muy cómodo. Si en este ejemplo, el peso del eje se incluye tanto en los cálculos de la deflexión como en los cálculos de la frecuencia crítica, la frecuencia crítica será de 20 849 rpm, la cual es 12.1 veces la frecuencia forzada. Incluso con los discos relativamente ligeros sobre este eje, ignorando el peso del eje, no se introduce un error considerable. Estos dos valores del método de Rayleigh son más grandes que la frecuencia natural real. El lector puede revisar sus diferencias en los modelos suministrados cambiando simplemente la densidad del material del eje 0 2 4 6 8 longitud (in) FIGURA 6-32 Deflexión estática provocada por las fuerzas del peso de los discos sobre el eje, orientados para dar la deflexión máxima de una forma similar a la deflexión dinámica 466 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado de 0.28 lb/in3 (para el acero) a cero para eliminar el efecto del eje en los cálculos. Los modelos incluyen el peso del eje en los cálculos, dividiéndola en 50 incrementos sobre su longitud. 4. Para determinar la frecuencia crítica torsional de un eje escalonado se requiere una constante efectiva de resorte para las secciones combinadas de los escalones. La parte de interés del eje se encuentra entre la polea y el engrane. La constante de resorte de cualquier sección es kt  6 GJ GPd 4 = lb - in/rad l 32l 4 kt1  P 11.5 E 60.75 323.5 kt 2  P 11.5 E 60.669 321.5  102 065 lb - in/rad 4 (c )  150 769 lb - in/rad Como todas las secciones del eje tienen el mismo torque, pero deflexiones diferentes (las cuales se suman a la deflexión total, como se indica en la ecuación 6.9b de la p. 429), actúan como resortes en serie. La constante de resorte efectiva ktef, de la parte escalonada del eje entre las dos cargas de torque, se calculan con la ecuación 6.9d: 1 1  kt ef kt1 1 1  kt 2 102 065 1 150 769 kt ef  60 863 lb - in/rad (d ) 5. La frecuencia torsional crítica se obtiene con la ecuación 6.28c (p. 463). Wn  kt ef I1 I2 0.23 0.07  60 863  1 065 rad/seg I1 I2 0.23 0.07 (e) 6. Compare la frecuencia torsional crítica con la frecuencia forzada. W n 30 P1 065 rad/seg 10 170 rpm    5.9 Wf 1 725 rpm 1 725 rpm (f) Éste es un margen aceptable. 7. Los archivos EX10-08 se encuentran en el CD-ROM. 6.15 ACOPLAMIENTOS Hay una gran variedad de acoplamientos de ejes comerciales, desde acoplamientos rígidos simplemente acuñados hasta diseños elaborados que utilizan engranes, elastómeros o fluidos para transmitir torque de uno a otro ejes o a otros dispositivos, en presencia de varios tipos de desalineaciones. Los acoplamientos se dividen grosso modo en dos categorías: rígidos y flexibles. Elástico en este contexto significa que el acoplamiento puede absorber algo de la desalineación entre los dos ejes y rígido implica que no se permite desalineación entre los ejes conectados. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 467 FIGURA 6-33 6 Varios tipos y tamaños de acoplamientos rígidos para ejes Cortesía de Ruland Manufacturing Inc., Watertown, Mass. Acoplamientos rígidos Los acoplamientos rígidos conectan los ejes sin permitir movimiento relativo entre ellas; sin embargo, es posible algún ajuste axial en el montaje. Se utilizan cuando la precisión y la fidelidad de la transmisión del torque es de primordial importancia como, por ejemplo, cuando la relación de fase entre el dispositivo impulsor y el dispositivo impulsado se debe mantener con precisión. Por consiguiente, la maquinaria de producción impulsada por grandes ejes en línea usa con frecuencia acoplamientos rígidos entre las secciones del eje. Los servomecanismos necesitan también conexiones sin juego en el tren impulsor. En contraparte, la alineación de los ejes de los ejes acoplados se ajusta con precisión para eliminar la introducción de grandes fuerzas y momentos laterales, cuando el acoplamiento se sujeta en su lugar. La figura 6-33 muestra algunos ejemplos de acoplamientos rígidos comerciales. Hay tres tipos generales: acoplamiento de tornillo prisionero, acoplamientos acuñados y acoplamientos de sujeción. ACOPLAMIENTOS DE TORNILLO PRISIONERO Éstos utilizan un tornillo prisionero duro que se incrusta en el eje para transmitir torque y cargas axiales. Éstos no son recomendables salvo para aplicaciones con cargas ligeras y se pueden aflojar con la vibración. ACOPLAMIENTOS ACUÑADOS Usan cuñas estándar como las estudiadas en la sección anterior y pueden transmitir un torque considerable. Con frecuencia se emplean los tornillos prisioneros (opresores) junto con una cuña, ubicando el tornillo a 90° de la cuña. Para operar adecuadamente contra la vibración, se utiliza un tornillo prisionero con punta de copa que se incrusta en el eje. Para mayor seguridad, se debe hacer un orificio poco profundo en el eje debajo del tornillo, con la finalidad de proporcionar una interferencia mecánica contra deslizamiento axial en vez de confiar en la fricción. ACOPLAMIENTOS DE SUJECIÓN Se fabrican con varios diseños, de los cuales los más comunes son los acoplamientos deslizantes de una o dos piezas, que se abrazan alrededor de los dos ejes y transmiten torque a través de la fricción, como se muestra en la figura 6-33. Un acoplamiento de bloqueo cónico utiliza una hendidura en forma de cono, que está apretada entre el eje y el alojamiento del acoplamiento cónico para sujetar el eje, como se indica en la figura 6-34. FIGURA 6-34 Un acoplamiento trantorque de bloqueo cónico; Cortesía de Fenner Manheim, Manheim, Pa., 17545 468 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado desalineación axial desalineación angular FIGURA 6-36 Vista esquemática de acoplamiento de quijada que muestra insertos de quijada y elastómero Cortesía de Magnaloy Coupling Company, Alpena, Mich. 49707 Acoplamientos flexibles 6 desalineación paralela desalineación torsional FIGURA 6-35 Tipos de desalineación en ejes Un eje, como un cuerpo rígido, tiene seis grados potenciales de libertad (GDL) con respecto a un segundo eje. Sin embargo, debido a la simetría sólo cuatro de estos GDL son de interés. Se trata de las desalineaciones axial, angular, paralela y torsional, como se ilustra en la figura 6-35, que pueden ocurrir individualmente o combinados, y se presentan en los ensambles debido a las tolerancias de fabricación, o quizás ocurran durante la operación como resultado de los movimientos relativos de los dos ejes. La transmisión final de un automóvil tiene movimiento relativo entre los extremos del eje de transmisión. El extremo del eje impulsor está fijo a la estructura y el extremo impulsado está sobre el camino. La estructura y el camino están separados por la suspensión del carro, de modo que los acoplamientos del eje de transmisión absorben las desalineaciones angulares y axiales, conforme el auto pasa los baches. A menos que se tomen precauciones para alinear los dos ejes adyacentes, en las máquinas puede haber desalineación axial, angular y paralela. Las desalineaciones angulares ocurren dinámicamente, cuando la carga impulsada intenta guiar o demorar al impulsor. Si el acoplamiento permite cualquier tolerancia torsional, se presenta un juego cuando el torque cambia de signo. Esto es indeseable si lo que se necesita es una fase precisa, como en los servomecanismos. En un acoplamiento flexible sería deseable la tolerancia a la torsión, si el impulsor se debe aislar de cargas de choque o vibraciones de torsión grandes. Se fabrican numerosos diseños de acoplamientos con tolerancia y cada uno ofrece una combinación de características diferentes. El diseñador generalmente encuentra el acoplamiento comercial adecuado para cualquier aplicación. Los acoplamientos flexibles se dividen en varias subcategorías, que se listan en la tabla 6-7, junto con algunas de sus características. Las razones de torque no se muestran porque varían mucho con el tamaño y los materiales. Se pueden manejar niveles de potencia de fracciones de caballo a miles de caballos con acoplamientos de varios tamaños. ACOPLAMIENTOS DE QUIJADA Tienen dos mazas (frecuentemente idénticas) con quijadas prominentes, como se ilustra en la figura 6-36. Las quijadas se traslapan axialmente y se traban torsionalmente a través de un inserto flexible de caucho o un metal blando. Las holguras permiten algo de desalineación axial, angular y paralela, aunque también pueden permitir un juego indeseable. FIGURA 6-37 Acoplamiento de disco flexible Cortesía de Zero-Max, Minneapolis, Minn., 55441 ACOPLAMIENTOS DE DISCO FLEXIBLE Son similares a los acoplamientos de quijada, donde sus dos mazas están conectadas por un elemento con tolerancia (disco), como un elastómero o un resorte metálico, como se muestra en la figura 6-37. Esto permite desalineación axial, angular y paralela, además de alguna tolerancia a la torsión con un poco o nada de juego. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 469 ACOPLAMIENTOS DE ENGRANE Y RANURA Utilizan engranes externos con dientes rectos o curvos, como se indica en la figura 6-38, que permiten movimientos axiales sustanciales entre los ejes y, según la forma del diente y las holguras, también absorben pequeñas desalineaciones angulares y paralelas. Tienen gran capacidad de torque por el número de dientes engranados. ACOPLAMIENTOS HELICOIDALES Y DE FUELLE Son diseños de una sola pieza que usan sus deflexiones elásticas para permitir desalineaciones axiales, angulares y paralelas, con un poco de juego o sin él. Los acoplamientos helicoidales (figura 6-39 y la fotografía inicial del capítulo 6) se fabrican con un cilindro sólido metálico cortado con una ranura helicoidal para incrementar su flexibilidad. Los acoplamientos de fuelle de metal (figura 6-40) se fabrican con una hoja de metal delgada soldando una serie de arandelas huecas juntas, moldeando hidráulicamente un tubo dentro de la forma, o colocando un recubrimiento electrolítico grueso sobre un mandril. Dichos acoplamientos tienen una capacidad de torque limitada comparados con otros diseños, pero ofrecen cero juego y alta rigidez a la torsión, en combinación con desalineación axial, angular y paralela. ACOPLAMIENTOS DE ESLABÓN O acoplamientos de Schmidt (figura 6-41) conectan dos ejes a través de una red de eslabones, que permiten una desalineación paralela significativa sin cargas laterales, o pérdidas de torque, y sin juego. Algunos diseños permiten pequeñas cantidades de desalineación angular y axial. Tales acoplamientos se utilizan con frecuencia donde se necesitan grandes ajustes paralelos o movimientos dinámicos entre los ejes. JUNTAS UNIVERSALES Son de dos tipos comunes, el acoplamiento de Hooke (figura 6-42), el cual no tiene velocidad constante (CV), y el acoplamiento de Rzeppa, que sí la tiene. Los acoplamientos de Hooke se usan generalmente en pareja para eliminar su error en la velocidad. Ambos tipos pueden manejar desalineaciones angulares muy grandes y, en pareja, también proporcionan grandes desplazamientos paralelos. Éstos se Tabla 6-7 FIGURA 6-38 Acoplamiento flexible de engrane Cortesía de Amerigear/Zum Industries, Inc, Erie Pa., 16514 6 FIGURA 6-39 Acoplamiento helicoidal. Cortesía de Helical Products Co., Inc, Santa María, Calif., 93456 Características de varios tipos de acoplamientos Desalineación tolerada Clase Axial Angular Paralela Torsional Rígida grande ninguna ninguna ninguna requiere alineación precisa Comentarios Quijada ligera ligera (< 2o) ligera (3% d) moderada absorción de choque; juego significativo Engrane grande ligera (< 5o) ligera (< 1/2% d) ninguna juego ligero; gran capacidad de torque Ranura grande ninguna ninguna ninguna juego ligero; gran capacidad de torque Helicoidal ligera grande (20 o) ligera (< 1% d) ninguna una pieza, compacta; sin juego Fuelle ligera grande (17 o) moderada (20% d) ninguna sujeto a falla por fatiga Disco flexible ligera ligera (3 o) ligera (2% d) de ligera a ninguna absorción de choque; sin juego Eslabón (Schmidt) ninguna ligera (5 o) grande (200% d) ninguna sin juego; sin cargas laterales sobre el eje Hooke ninguna grande grande (en pares) ninguna juego ligero; variación de rapidez a menos que se use en pares Rzeppa ninguna grande ninguna ninguna velocidad constante FIGURA 6-40 Acoplamiento de fuelle metálico. Cortesía de Senior Flexonics Inc., Metal Bellows Division, Sharon, Mass., 02067 FIGURA 6-41 Acoplamiento desplazado de Schmidt Cortesía de Zero-Max/Helland Co., Minneapolis, Minn., 55441 470 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado emplean en ejes de transmisión en automóviles, los acoplamientos Hooke por pares en el eje de transmisión trasero y los Rzeppas (llamados juntas de CV) en el impulsor delantero del automóvil. La variedad de acoplamientos disponibles exige que el diseñador busque información más detallada sobre sus capacidades con los fabricantes, quienes siempre están dispuestos a ayudar en la selección del tipo de acoplamiento adecuado para una aplicación. Los fabricantes a menudo ofrecen datos de prueba sobre las capacidades de carga y alineación de sus acoplamientos específicos. 6.16 FIGURA 6-42 Acoplamiento de Hooke 6 ESTUDIO DE CASO Ahora se abordará el diseño de ejes en uno de los ensambles de un caso de estudio definido en el apéndice C. Cortesía de Lovejoy, Inc, Downers Grove, III. 60515 Diseño del eje de transmisión de un compresor portátil de aire El diseño preliminar de este dispositivo se muestra en la figura C-1 (repetida en la página opuesta). Existen dos ejes, el de entrada y el de salida. El eje de salida debe tener un torque más grande en este caso, ya que tiene la menor rapidez de 1 500 rpm. El torque sobre el eje se definió en el estudio de caso 8A del apéndice C y se muestra en la figura C-3 (que se repite en la página opuesta). Como este es un torque variable con el tiempo, el eje debe diseñarse para carga por fatiga. Adicionalmente al torque sobre los ejes, existirán cargas laterales de los engranes que aplican momentos de flexión y propician una situación de carga combinada. Observe en la figura C-1 que los ejes se presentan muy cortos, además de que tienen sólo la longitud necesaria para alojar el engrane y los cojinetes. Lo anterior se hace para minimizar los momentos de flexión de las fuerzas de los engranes. Como apenas se van a diseñar los engranes, se deben hacer algunos supuestos acerca de sus diámetros y espesores para realizar un diseño preliminar de los ejes. La selección posterior de los cojinetes también puede requerir algunos cambios en el diseño del eje. Esto es normal en los problemas de diseño, pues todos los elementos interactúan. Es necesaria la iteración para afinar los diseños de todos los elementos. E S T U D I O D E C A S O 8 B Diseño preliminar de los ejes del tren de transmisión de un compresor F Problema Determine tamaños razonables para los ejes de entrada y de salida de la caja de transmisión de la figura D-1 (página siguiente), con base en las cargas definidas en el estudio de caso 8A, y especifique un tipo de acoplamiento adecuado. Se proporciona La función de torque-tiempo sobre el eje de salida es como se ilustra en la figura D-3. La razón de engrane requerida es de 2.5:1 de reducción de velocidad de la entrada al eje de salida. Suposiciones Trate con un diámetro del engrane de entrada (piñón) de 4 in y un diámetro del engrane de salida de 10 in, ambos de 2 in de espesor y 20o de ángulo de presión. Se utilizarán sobre los ejes cojinetes de bolas de diámetro estándar. Solución Véase las figuras D-1, D-3 y 6-43. F FIGURA 6-43 Fuerzas sobre un tren de engranes Capítulo 6 motor EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 471 caja de transmisión compresor embra- engrane acoplague miento volante cojinetes válvulas vista superior entradas salida compresor motor caja de transmisión engrane engrane eje de salida acoplamiento 6 cojinetes embrague piñón sección transversal del compresor (esquemática) eje de entrada base sección transversal del motor vista frontal F I G U R A D - 1 Repetida Diseño esquemático preliminar de un compresor portátil de aire impulsado por un motor de gasolina, y la caja de transmisión, acoplamientos, ejes y cojinetes 1. El torque variable con el tiempo sobre el eje de salida se definió en la figura D-3 (repetida abajo) como variable entre 175 y 585 lb-in. A partir de estos datos y los diámetros supuestos de los engranes, se determinan las fuerzas en el engranaje al que se somete el eje. La figura 6-43 presenta un diagrama de cuerpo libre de la caja de transmisión. Debido al ángulo de presión φ entre los engranes, hay componentes de fuerza radial y tangencial en el engranaje. La componente tangencial se obtiene a partir del torque conocido y el radio supuesto del engrane: Ft máx  Tmáx 585 lb - in   117 lb rg 5 in Ft mín  Tmín 175 lb - in   35 lb rg 5 in Fmín  Ft máx cos F Ft mín cos F  117 lb  124.5 lb cos 20o  35 lb  37.25 lb cos 20o T lb-in prom 0 –175 ( a) 0 180 360 ángulo de la manivela (grados) 2. Las fuerzas resultantes máxima y mínima se obtienen de: Fmáx  585 F I G U R A D - 3 Repetida Función total torque-tiempo de la manivela con W constante (b) 472 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Observe que estas fuerzas son las mismas sobre el eje de entrada, cuyo torque es 0.4 veces el del eje de salida, debido a la razón de engrane de 1:2.5. 6 3. Ahora se pueden obtener los momentos máximo y mínimo sobre el eje. Se supondrá que los engranes estarán centrados entre los cojinetes simplemente soportados, agrupados por separado de cuatro en cuatro. Entonces las fuerzas de reacción en el cojinete son iguales a la mitad de los máximos de las fuerzas del engrane y los momentos de flexión en el centro con una magnitud de l 4 Mmáx  Fmáx  124.5  124.5 lb - in 4 4 l 4 Mmín  Fmín  37.25  37.25 lb - in (c) 4 4 4. En última instancia, los ejes necesitan estar escalonados debido a los cojinetes en cada extremo y, también, escalonados o con ranuras axiales para proporcionar una ubicación axial a los engranes. En esta etapa de diseño, se supondrá un diámetro constante del eje, con la finalidad de obtener un tamaño aproximado de la carga de torque y de momento. Como probablemente se requerirá un cuñero para el engrane, se supondrá un factor de concentración de esfuerzos igual a 3, tanto a la flexión como a la torsión, en esa ubicación crítica, donde son mayores las componentes del torque y el momento. (Véase la figura 6-16, p. 437.) Después de que se diseñaron los engranes y se seleccionaron los cojinetes, se puede afinar el diseño, incluyendo los hombros de los escalones con factores de concentración de esfuerzos más precisos. 5. La carga es una combinación de momento y torque variables que son sincrónicos. Para los cálculos del esfuerzo se necesitan las componentes media y alternante del momento y el torque. M Mmín 124.5 37.25 Mm  máx   43.6 lb - in 2 2 M Mmín 124.5 37.25 Ma  máx   80.9 lb - in (d ) 2 2 Tm  Ta  Tmáx Tmín 2 Tmáx Tmín 2 585 175  205 lb - in 2 585 175   380 lb - in 2  (e) 6. Se necesita seleccionar un material de prueba para los cálculos. Primero se intentará con un acero de bajo costo, rolado en frío, al bajo carbono, como el SAE 1018, con Sut  64 kpsi y Sy  54 kpsi. Aun cuando no es excepcionalmente fuerte, este material tiene baja sensibilidad a la muestra, lo cual será una ventaja, dadas las concentraciones de esfuerzos. Calcule la resistencia física sin corregir mediante la ecuación 4.5 (p. 260): Se'  0.5 Sut  0.564 000  32 000 psi (f) Esto se debe reducir por varios factores debido a las diferencias entre la pieza y la muestra de prueba. Se  Ccarga Ctamaño Csup Ctemp Cconf Se' Se  1 1 0.84 1 1 32 000 27 000 psi ( g) La carga es de flexión y de torsión, por lo que Ccarga  1. Como aún no se conoce el tamaño de la pieza, se supondrá temporalmente Ctamaño  1 y se ajustará más tarde. Se elige Csup para un acabado maquinado de la figura 4-26 (p. 262) o con la ecuación 4.7e (p. 263). La temperatura no se eleva, entonces Ctemp  1, y se supone el 50% de confiabilidad con Cconf  1. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 473 7. La sensibilidad a la muesca del material se obtiene de la ecuación 4.13 (p. 273) o de la figura 4-36 (pp. 274-275) y para la flexión es q  0.50, mientras que para la torsión es q  0.57, ambas con un radio de muesca supuesto de 0.01 in. 8. El factor de concentración de esfuerzos de flexión-fatiga se obtiene con la ecuación 4.11b (p. 273) y el factor de concentración de esfuerzos geométricos supuesto. Para esfuerzo por flexión en el cuñero: K f  1 q K t 1  1 0.503.0 1  2.00 (h) Para esfuerzo por torsión en el cuñero: K f  1 q K t 1  1 0.573.0 1  2.15 (i ) 9. Con la ecuación 4.17 (p. 294) se encuentra que, en este caso, se debe utilizar el mismo factor sobre las componentes medias de esfuerzo: K fm  K f  2.00 ( j) K fsm  K fs  2.15 10. El diámetro del eje se determina ahora a partir de la ecuación 6.8 (p. 422), con el factor de seguridad supuesto de 3, para tomar en cuenta las incertidumbres en este diseño preliminar. Observe que la ecuación ASME (6.6) de la p. 420 no se puede utilizar con seguridad en este caso, ya que supone un torque constante. Se debe aplicar el procedimiento más general de la línea modificada de Goodman de la ecuación 6.8. 1 « ® 32 N ® sf dsalida  ¬ ® P ® ­ « ¨ ® ® 323 ©© ¬ ® P © © ® ª ­ dsalida  1.00 in ¨ © © © © ª k f Ma 3 k fs Ta 4 2  2 k fm Mm Sf 3 ;2.0080.9 = 4 ;2.15380 27 000 2 3 k fsm Tm 4 2  Sut =2 2 ·º 3 ¸® ¸® » ¸® ¸® ¹¼ 1 3 ;2.0043.6 = 4 ;2.15205 64 000 2 =2 ·º 3 ¸® ¸® » ¸® ¸® ¹¼ (k ) De modo que el diámetro nominal de 1 in del eje parece aceptable para el eje de salida. 11. El eje de entrada tiene los mismos momentos medio y alternante de flexión que el eje de salida; sin embargo, su torque es sólo del 40% del eje de salida. Los torque medio y alternante sobre ella son de 82 y 152 lb-in, respectivamente. Cuando éstos se introducen en la ecuación 6.8, con todos los demás factores iguales, se obtiene un diámetro del eje más pequeño. 1 « ® ® 323 dentrada  ¬ ® P ®­ ¨ © © © © ª dentrada  0.768 in 3 ;2.0080.9 = 4 ;2.15152 27 000 2 = 2 3 ;2.0043.6 = 4 ;2.1582 64 000 2 = 2 ·º 3 ¸ ®® ¸» ¸® ¸® ¹¼ (l ) 6 474 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado De modo que el eje de entrada tiene un diámetro nominal de 0.781 in, el cual es tamaño de fábrica. 12. Los acoplamientos entre el motor y el eje de entrada, así como entre el eje de salida y el compresor, tienen que ser capaces de absorber las desalineaciones angular y paralela debidas a las tolerancias en el ensamble del motor, la caja de transmisión y el compresor. La tolerancia a la torsión en los acoplamientos también serviría para absorber una parte del choque asociado con la inversión del torque que se indica en la figura D-3 (apéndice D). Con tales restricciones, un acoplamiento de quijada con un inserto de algún elastómero sería una buena elección para ambos acoplamientos. El juego inherente en los acoplamientos no sería problema, ya que la fase de los tres ensambles no es crítica en esta aplicación. También se puede usar un acoplamiento de disco flexible. Un acoplamiento rígido requeriría más precisión en el empalme de los ensambles, que no se garantiza de este modo. Consulte la tabla 6-7 (p. 469) para información sobre las características de acoplamiento. 6 13. Los archivos CASE8B-1 y CASE8B-2 se encuentran en el CD-ROM. 6.17 RESUMEN Los ejes se utilizan en todas las máquinas giratorias. El acero es el material usual para obtener rigidez alta para pequeñas deflexiones. Los ejes pueden ser de acero al bajo carbono dulce, o bien, de acero al medio o alto carbonos, para una mayor resistencia, o si se necesita un acabado superficial duro para resistencia al desgaste. Los ejes de las máquinas normalmente tienen hombros escalonados para la ubicación axial de los elementos que se sujetan, como cojinetes, engranes o ruedas dentadas (ranuradas). Tales hombros crean concentraciones de esfuerzos que se deben tomar en cuenta en el análisis de esfuerzos. Los cuñeros o ajustes por interferencia también crean concentraciones de esfuerzos. La carga sobre los ejes generalmente es una combinación de torsión y flexión, donde una o ambas pueden variar con el tiempo. El caso común de carga de torque variable, con flexión variable, requiere el enfoque del diagrama modificado de Goodman para el análisis de falla. Para el caso común del torque y el momento de flexión relacionados a través de fuerzas comunes, el enfoque del diagrama modificado de Goodman está contenido en la ecuación 6.8 (p. 422), la cual es una herramienta de diseño para determinar el diámetro de un eje, conociendo las cargas variables, las concentraciones de esfuerzos, las resistencias del material y el factor de seguridad elegido. La ecuación 6.6 (p. 420) de la ASME, para diseño de ejes, se aplica sólo para los casos de torque constante con un momento de flexión aplicado constante, que es de ciclo invertido debido a la rotación del eje. La ecuación 6.6 se utiliza únicamente en situaciones que cumplan con esta restricción de carga. Siempre es mejor usar la ecuación de diseño general 6.8 (p. 422), que considerar los momentos y los torques fluctuantes si se encuentran presentes. Para sujetar los elementos a los ejes se utilizan comúnmente varias técnicas o dispositivos como cuñas, ranuras y ajustes por interferencia. Las cuñas están estandarizadas con el diámetro del eje. Consulte el estándar ANSI o la referencia 3 para los datos de intervalo en tamaños no incluidos en este capítulo. Las ranuras tienen una mayor capacidad de torque que las cuñas. Los ajustes de interferencia pueden ser por presión directa o por expansión térmica, o bien, por encogimiento de uno o ambos miembros. Es posible crear esfuerzos muy altos con estas técnicas, con falla probable de la pieza durante el ensamble. Los volantes se usan cuando se necesita suavizar el torque o la velocidad. El volante tiene que estar dimensionado para proporcionar el coeficiente de fluctuación de velocidad deseado y, luego, debe verificarse para el esfuerzo a la velocidad de operación. Los Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 475 esfuerzos máximos en un volante ocurren en el diámetro interior. Hay que determinar la rapidez máxima segura, conforme el esfuerzo se incrementa con el cuadrado de la rapidez de giro. Cuando un volante falla mientras gira, generalmente vuela separándose y causa daños severos. Todos los ejes giratorios tienen frecuencias críticas, a las cuales resuenan con deflexiones grandes, causando fallas. Las frecuencias fundamentales lateral y de torsión son diferentes; ambas se deben eliminar de la operación, manteniendo la velocidad de giro muy por debajo de la menor frecuencia crítica del eje. Existe una gran variedad de acoplamientos comerciales para ejes. En este capítulo se estudiaron brevemente algunos tipos y sus características. Se debería consultar a los fabricantes para obtener información más completa y actualizada. Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo Para el uso adecuado de estas ecuaciones, consulte las secciones referenciadas. 6 Relación de potencia-torque (sección 6.4): (6.1a) P  TW Ecuación ASME para diseño de ejes (sección 6.8): ª ­ 32 N ­ f d« P ­ ­¬ 1 1 ¹3 2 ³ ¶2 ­ 2 §¤ ³ ¨ k Ma ¨¥¦ f S f ´µ © 3 ¤ Tm · ­ º 4 ¥¦ Sy ´µ · ­ ¸ ­» (6.6b) Ecuación general de diseño de ejes (sección 6.8): 1 ª ­ 32 N ­ f d« ­ P ­¬ § ¨ ¨ ¨ ¨©  k f Ma 3 k fs Ta 4 2  2 k fm Mm 3 k fsm Tm 4 2 Sf  Sut 2 ¶¹ 3 · ­­ ·º ·­ ·¸ ­ » (6.8) Deflexión torsional del eje (sección 6.9): Q Tl GJ (6.9a) Presión generada por un ajuste de interferencia (sección 6.11): p r ¤ ro2 Eo ¥¦ ro2 r 2 r2 0.5 D ³ r No ´ µ Ei ¤ r2 ¥ 2 ¦r ri2 ri2 ³ Ni ´ µ (6.14a) Esfuerzos tangenciales en el eje y la maza en un ajuste de interferencia (sección 6.11): S t flecha  p r2 r2 ri2 ri2 (6.15a) 476 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado S t maza  p ro2 r2 ro2 r2 (6.16a) Energía almacenada en un volante giratorio (sección 6.13): 1 Im W 2 2 Ek  (6.17a) Momento de inercia de masa de un volante de disco sólido (sección 6.13): Im  PG 4 ro 2 g  ri4 t (6.17d) Inercia necesaria en el volante para un coeficiente de fluctuación determinado (sección 6.13): 6 Ek  Is  1 Is 2 W prom C f W prom 2 Ek   (6.22) C f W 2prom Esfuerzo tangencial en un volante giratorio (sección 6.13): St  G 2 ¤ 3 N³ ¤ 2 r W ¦ 8 µ ¥¦ i g ro2 ri2 ro2 r 2 1 3N 2 ³ r 3 N ´µ (6.23a) Frecuencia natural de un sistema de un solo grado de libertad (sección 6.14): Wn  fn  k rad/seg m 1 2P k m (6.24a) (6.24b) Hz Primera frecuencia crítica lateral (aproximada) (sección 6.14): Wn  £ g £ n i 1 n i 1 mi D i mi D i2  £ g £ n Wi i 1 g Di Wi i 1 g D i2 n  £ g £ n i 1 n i 1 Wi D i Wi D i2 (6.25c) Primera frecuencia crítica de torsión de dos masas sobre un eje sin peso (sección 6.14): W n  kt 6.18 I1 I2 I1 I2 o W 2n  kt I1 I2 I1 I2 (6.28c) REFERENCIAS 1. R.C. Juvinall y K.M. Marshek, Fundamentals of Machine Component Design, 2a. ed., John Wiley & Sons: Nueva York, p. 656, 1991. 2. D.B. Kececioglu y V.R. Lalli, “Reliability Approach to Rotating Component Design”, Technical Note TN D-7846, NASA, 1975. Capítulo 6 3. EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 477 V.C. Davies, H.J. Gough y H.V. Pollard, “Discussion to the Strength of Metals Under Combined Alternating Stresses”, Proc. of the Inst. Mech. Eng., 131(3): pp. 66-69, 1935. Tabla P6-0 † 4. S.H. Loewenthal, “Proposed Design Procedure for Transmission Shafting Under Fatigue Loading”, Technical Note TM-78927, NASA, 1978. 6.4 Potencia del eje 5. H.J. Gough y H.V. Pollard, “The Strength of Metals Under Combined Alternating Stresses”‚ Proc. of the Inst. Mech. Eng., 131(3): pp. 3-103, 1935. 6. E. Oberg y F.D. Jones, eds., Machinery’s Handbook, 17a. ed., Industrial Press Inc.: Nueva York, pp. 867-883, 1966. 7. R.C. Peterson, Stress-concentration factors, John Wiley & Sons: Nueva York, pp. 266-267, 1974. 6.9 Deflexión del eje E. Oberg y otros, Machinery’s Handbook, 25a. ed., Industrial Press Inc.: Nueva York, pp. 2042-2070, 1996. 6.10 Cuñas y cuñeros 8. 9. M. Dimentber y otros, “Passage Through Critical Speed with Limited Power by Switching System Stiffness”, AMD-vol. 192/DE-vol. 78, Nonlinear and Stochastic Dynamics, ASME, 1994. 10. C.R. Mischke, Elements of Mechanical Analysis, Addison Wesley: Reading, Mass., pp. 317-320, 1963. 11. R.M. Phelan, Dynamics of Machinery, McGraw-Hill: Nueva York, pp. 178-196, 1967. 12. R.L. Norton, Design of Machinery, 3a ed., McGraw-Hill: Nueva York, p. 608, 2004. 6.19 Matriz tema/problema 6-15, 6-16, 6-41, 6-42 6.8 Diseño del eje 6-1, 6-2, 6-3, 6-8, 6-31, D-32, 6-33, 6-34, 6-35 6-4, 6-5, 6-17b, 6-18, 6-21 6-6, 6-7, 6-9, 6-10, 6-17a, 6-19, 6-20, 6-28, 6-29, D-30, 6-36 6.12 Ajustes de interferencia 6-11, 6-37, 6-40, 6-43, 6-44 6.13 Diseño de volantes 6-12, 6-38, 6-39, 6-45, 6-46 6.14 Velocidades críticas 6-13, 6-14, 6-17c, 6-22, D-23, 6-24, 6-25, 6-26, 6-27 PROBLEMAS *†6-1. En la figura P6-1 se muestra un eje simplemente apoyado. Se aplica una carga transversal constante P, conforme el eje gira, sometida a un torque que varía con el tiempo de Tmín a Tmáx. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, encuentre el diámetro del eje requerido para obtener un factor de seguridad de 2, en carga a la fatiga, si el eje es de acero con una Sut  108 kpsi y Sy  62 kpsi. Las dimensiones están en pulgadas, la fuerza en libras y el torque en lb-in. Suponga que no hay concentraciones de esfuerzos. *6-2. En la figura P6-2 se muestra un eje simplemente apoyado. Se aplica una carga unitaria p de magnitud constante y uniformemente distribuida, conforme el eje gira sometido a un torque que varía con el tiempo de Tmín a Tmáx. Para los datos en la(s) fila(s) P d T a * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. b l FIGURA P6-1 Diseño del eje de los problemas 6-1, 6-4 y 6-15 los cojinetes son autoalineables de modo que actúan como apoyos simples † Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas ampliados de problemas similares en capítulos anteriores con el mismo número identificador. 6 478 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla PD-1 a b Po p Tmín Tmáx a b c d e f 20 12 14 8 17 24 16 2 4 4 6 16 18 7 12 8 12 22 1 000 500 750 1 000 1 500 750 0 –100 –200 0 –200 1 000 2 000 600 400 2 000 500 2 000 asignada(s) de la tabla P6-1, encuentre el diámetro del eje requerido para obtener un factor de seguridad de 2, en carga a la fatiga, si el eje es de acero con Sut  745 MPa y Sy  427 MPa. Las dimensiones están en centímetros, la fuerza distribuida en N/cm y el torque en N-m. Suponga que no hay concentraciones de esfuerzos. F FIGURA P4-1 Para el montaje del brazo del pedal de la bicicleta de la figura P4-1 (repetida aquí), suponga una fuerza aplicada por el ciclista que va de 0 a 1500 N en cada pedal por cada ciclo. Diseñe un eje adecuado para conectar los dos brazos de los pedales y fijar la rueda dentada contra un escalón. Use un factor de seguridad contra la fatiga de 2 y un material con Sut  500 MPa. El eje tiene un detalle cuadrado en cada extremo donde se insertan los brazos de los pedales. *6-4. Determine las deflexiones máximas por torsión y por flexión del eje mostrado en la figura P6-1 para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, si el diámetro del eje de acero es de 1.75 in. *6-5. Determine las deflexiones máximas a la torsión y a la flexión del eje mostrado en la figura P6-2 para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, si el diámetro del eje de acero es de 4 cm. *6-6. Determine el tamaño necesario de la cuña para proporcionar un factor de seguridad de por lo menos 2 contra fallas por cortante y por presión por contacto, para el diseño mostrado en la figura P6-3, mediante los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1. Suponga un diámetro del eje de 1.75 in. El eje es de acero de Sut  108 kpsi y Sy  62 kpsi. La cuña es de acero de Sut  88 kpsi y Sy  52 kpsi. 6-7. Determine el tamaño necesario de la cuña para proporcionar un factor de seguridad de por lo menos 2 contra fallas por cortante y por presión por contacto, para el diseño mostrado en la figura P6-4, mediante los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1. Suponga un diámetro del eje de 4 cm. El eje es de acero con Sut  745 MPa y Sy  427 MPa. La cuña es de acero con Sut  600 MPa y Sy  360 MPa. T Repetida Datos para los problemas l 6-3. 170 mm Un Enfoque Integrado Fila 60 mm 6 - Problema 6-3 p d T a * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas ampliados de problemas similares en capítulos anteriores con el mismo número identificador. b l los cojinetes son de autoalineación, de modo que actúan como apoyos simples FIGURA P6-2 Diseño del eje de los problemas 6-2, 6-5 y 6-16 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 479 P engrane d cuña T a b los cojinetes son de autoalineación, de modo que actúan como apoyos simples l FIGURA P6-3 Diseño del eje para los problemas 6-6, 6-9, 6-11 y 6-12 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra 6 en el CD) *6-8. Una máquina papelera procesa rollos de papel cuya densidad es de 984 kg/m3. El rollo de papel tiene un diámetro exterior de 1.50 m (OD)  22 cm de diámetro interior (ID)  3.23 m de longitud y se encuentra sobre un eje de acero, hueco, simplemente apoyado, con Sut  400 MPa. Obtenga el diámetro interior del eje necesario para lograr un factor de seguridad dinámico de 2 para una vida de 10 años, si el diámetro exterior del eje es de 22 cm y el rollo gira a 50 rpm, con una absorción de 1.2 hp. *6-9. Repita el problema 6-1 considerando la concentración de esfuerzos en el cuñero, como se indica en la figura P6-3. 6-10. Repita el problema 6-2 considerando las concentraciones de esfuerzos en los cuñeros, como se indica en la figura P6-4. *6-11. Determine la cantidad necesaria de interferencia diametral para proporcionar un ajuste de interferencia adecuado para el engrane de 6 in de diámetro y 1 in de espesor de la figura P6-3, usando un eje con diámetro de 1.75 in, de modo que los esfuerzos en la maza y en el eje sean seguros el torque de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1 se pueda transmitir a través del ajuste de interferencia. Suponga una Sut  108 kpsi y Sy  62 kpsi. 6-12. Suponga que el dispositivo acuñado al eje de la figura P6-3 es un volante de hierro fundido clase 50 de 20 in de diámetro exterior y 1 in de espesor. La maza tiene 4 in p d cuña T rodillo de hierro fundido a b l los cojinetes son de autoalineación, de modo que actúan como apoyos simples FIGURA P6-4 Diseño del eje de los problemas 6-7, 6-10 y 6-14 (un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas ampliados de problemas similares en capítulos anteriores con el mismo número identificador. 480 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado de diámetro y 3 in de espesor. Determine la velocidad máxima a la cual puede trabajar con seguridad usando un factor de seguridad de 2. Utilice las dimensiones y otros datos adecuados del problema 6-6 con los datos de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1. Considere que, en este caso, la fuerza transversal P es igual a cero. *6-13. Determine la frecuencia crítica de cabeceo del eje para el montaje mostrado en la figura PD-3, mediante las dimensiones de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1 y un diámetro para el eje de acero de 2 in. Use las dimensiones del volante del problema 6-12. 6-14. Determine la frecuencia crítica de cabeceo del eje para el montaje, mostrado en la figura PD-4, mediante las dimensiones de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, y un diámetro para el eje de acero de 4 cm. El diámetro del rodillo de hierro fundido es 3 veces mayor que el diámetro del eje. *6-15. ¿Cuáles son los valores de potencia máxima, mínima y promedio para el eje mostrado en la figura P6-1, con los datos de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, si la velocidad del eje es de 750 rpm? *6-16. ¿Cuáles son los valores de potencia máxima, mínima y promedio para el eje mostrado en la figura P6-2, con los datos de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, si la velocidad del eje es de 50 rpm? *6-17. La figura P6-5 muestra el montaje de un rodillo impulsado por un engrane. El rodillo se extiende en el 80% de la longitud a y está centrado en esa dimensión. El rodillo ocupa el 95% de la longitud expuesta del eje entre las caras de los cojinetes. El eje es de acero con Sy  427 MPa y Sut  745 MPa. Para los datos de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, calcule: 6 a) El factor de seguridad contra falla por fatiga para un diámetro del eje igual a 40 mm. b) La deflexión máxima por torsión entre el engrane y el rodillo. c) La frecuencia natural de torsión del eje. *6-18. La figura P6-5 muestra el montaje de un rodillo impulsado por un engrane. El rodillo se extiende en el 80% de la longitud a y está centrado en esa dimensión. El rodillo ocupa el 95% de la longitud expuesta del eje entre las caras de los cojinetes. Para los datos de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, obtenga la deflexión máxima por flexión del eje de 40 mm de diámetro. *6-19. La figura P6-6 muestra dos engranes sobre el mismo eje. Suponga que la fuerza radial constante P1 es el 40% de P2. Para los datos de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1, obtenga el diámetro del eje requerido para obtener un factor de seguridad de 2 con carga por fatiga, si el eje es de acero con Sut  108 kpsi y Sy  62 kpsi. Las dimensiones están en pulgadas, la fuerza en lb y el torque en lb-in. P p engrane d cuña T rodillo de hierro fundido a b l * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. los cojinetes son de autoalineación, de modo que actúan como apoyos simples FIGURA P6-5 Diseño del eje de los problemas 6-17 y 6-18 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 481 P2 P1 a engrane engrane d cuña T b l los cojinetes son de autoalineación, de modo que actúan como apoyos simples FIGURA P6-6 Diseño del eje del problema 6-19 (Un modelo en Solidworks de esto se encuentra en el CD) 6-20. Un eje recto, sólido, de 300 mm de longitud está apoyado en cada extremo por cojinetes de autoalineación. Un engrane está sujeto en la parte media del eje con una cuña cuadrada de 10 mm de acero en una ranura. El factor de concentración de esfuerzos geométricos en la ranura de la cuña es de 2.5 y el radio de la esquina es de 0.5 mm. El engrane impulsa una carga variable, la cual crea un momento de flexión que varía de 10 N-m a 100 N-m y un torque que varía de 35 N-m a 170 N-m cada ciclo. El material elegido es acero 4140 rolado en frío, endurecido y revenido a Rockwell C45 (Sut  1250 MPa). Diseñe el eje para vida infinita y determine el diámetro necesario para un factor de seguridad de 1.5. 6-21. La figura P6-7 muestra un ensamble de un disco giratorio de acero sólido, con 500 mm de diámetro por 16 mm de espesor, y está atornillado en la parte superior de la pestaña del eje. Éste tiene 70 mm de diámetro en la longitud L1 y 40 mm de diámetro en la longitud L2 y está apoyado sobre cojinetes de rodillo cónicos. Todos los radios de los filetes del eje son de 0.5 mm. Un motor de 5 kw impulsa el eje a través de una caja de transmisión, con una reducción de 20:1, y de un acoplamiento comercial de fuelle. El torque máximo estimado del motor es de 17.75 N-m y su torque para detenerse es 3X su torque estimado. Obtenga el esfuerzo máximo y la deflexión angular máxima del eje en condiciones del disco sujeto y el motor apagado o detenido. 6-22. Para el ensamble del disco del problema 6-21 y la figura P6-7, obtenga la primera frecuencia natural de torsión del montaje eje-disco como la siente el eje del motor. La caja de transmisión tiene una rigidez torsional de 1.56E5 N-m/rad y el acoplamiento tiene una rigidez torsional de 5.1E5 N-m/rad. Suponga que el disco no tiene herramientas y todos los apoyos de la estructura son infinitamente rígidos. 6-23. Repita el problema 6-22 cuando se ajusta el disco con 20 conjuntos de herramientas atornilladas en la superficie de arriba, equidistantes 416 mm sobre un círculo de fijación. Cada montaje de herramienta pesa 75.62 N. Suponga que todos los soportes de la estructura son infinitamente rígidos. 6-24. Repita el problema 6-22 cuando el montaje del disco tiene un motor con una rigidez de torsión de 2.44E5 N-m/rad. 6.25. Las herramientas sobre el montaje del disco del problema 6-21 y la figura P6-7 imparten al disco un torque variable con el tiempo, que va de un pico de 30% del torque estimado del motor (en el motor) a cero, 20 veces por revolución del disco. Si la velocidad del motor es de 600 rpm, encuentre el peor caso de esfuerzo-tiempo y las funciones de deflexión-tiempo del eje. Elija un material del eje para tener un factor de seguridad contra falla de por lo menos 3. Ignore la respuesta del sistema a las vibraciones forzadas. 6 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. 482 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado herramienta herramienta disco cojinete eje L1 = 144 mm cojinete L2 = 24 mm estructura montaje motor acoplamiento caja de transmisión 6 servomotor FIGURA P6-7 Diseño de la flecha de los problemas 6-21 a 6-28 6-26. Con la combinación de los datos de los problemas 6-23 y 6-25, (a) obtenga la razón entre la frecuencia forzada torsional y la primera frecuencia natural torsional del montaje del disco; (b) mediante la razón de frecuencia calculada en el inciso (a), repita el problema 6-25 considerando la vibración forzada de respuesta del sistema si la razón de amortiguamiento es de ξ  0.20. 6-27. Repita el problema 6-25 para una carga de impacto de 500 N, aplicada tangencialmente al aro del disco 20 veces por revolución y equidistante en el tiempo. 6-28. Para el montaje del disco del problema 6-21 y la figura P6-7, dimensione una cuña cuadrada para acoplar el eje de 40 mm de diámetro del disco al acoplamiento. 6-29. Repita el problema 6-28 con la carga del problema 6-25. 6-30. Repita el problema 6-28 con la carga del problema 6-27. †6-31. † Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. En la figura P6-1 se muestra un eje simplemente apoyado con carga suspendida. Conforme el eje gira, se aplica una fuerza transversal P de magnitud constante. El eje también está sometido a un torque constante Tmáx. Para los datos de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1 (ignorando Tmín), obtenga el diámetro del eje requerido para obtener un factor de seguridad contra la fatiga de 2.5 si el eje es de acero con Sut  118 kpsi y Sy  102 kpsi. Las dimensiones están en pulgadas, la fuerza en libras y el torque en lb-in. Suponga que no hay concentraciones de esfuerzos, el eje está maquinado, la confiabilidad requerida es del 90% y el eje opera a temperatura ambiente. Capítulo 6 EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS 6-32. Repita el problema 6-31 considerando la concentración de esfuerzos en el cuñero mostrado en la figura P6-3. 6-33. En la figura P6-2 se ilustra un eje simplemente apoyado. Conforme el eje gira, se aplica una carga distribuida unitaria p de magnitud constante. El eje también está sometido a un torque constante Tmáx. Para los datos de la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1 (ignorando Tmín), obtenga el diámetro del eje requerido para obtener un factor de seguridad contra la fatiga de 2.5 si el eje es de acero con Sut  814 MPa y Sy  703 MPa. Las dimensiones están en cm, la fuerza distribuida en N/cm y el torque en N-m. Suponga que no hay concentraciones de esfuerzos, el eje está maquinado, la confiabilidad requerida es del 90% y el eje opera a temperatura ambiente. 6-34. Repita el problema 6-33 considerando la concentración de esfuerzos en los cuñeros mostrados en la figura P6-4. 6-35. La figura P6-8 muestra la última etapa de una caja de transmisión con dos salidas. El engrane se fabricó integrado al eje, el cual está apoyado por dos cojinetes de bolas de autoalineación. Los brazos de las manivelas están conectados a cada extremo del eje. La carga sobre las manivelas produce fuerzas transversales variables iguales sobre los extremos del eje, así como torques variables iguales. El torque se transmite a través de cuñeros con acabado de fábrica en la manivela y el eje, y una cuña paralela que se ajusta bien en cada cuñero. La manivela se ubica axialmente con un hombro que se encuentra a L  50 mm del plano donde actúa la carga transversal. La razón entre el radio del filete y el diámetro del eje es r/d  0.05, mientras que la razón entre el diámetro del hombro y el diámetro del eje es D/d  1.2. El material del eje y el engrane es acero SAE 4130 Q&T @ 1200F. La fuerza transversal varía de 8kN a 16.5 kN, en tanto que el torque varía de 1.1 kN-m a 2.2 kN-m. Para un factor de seguridad de 2.5 contra la falla por fatiga para vida infinita, determine un diámetro d adecuado para el eje. 6-36. *6-37. 483 6 Determine el tamaño de la cuña necesario para tener un factor de seguridad de, por lo menos, 2 contra fallas por cortante y por presión de contacto, para la conexión manivela/eje del problema 6-35. Suponga un diámetro del eje de 58 mm y una cuña de acero SAE 1040 rolado en frío. Como una alternativa a la conexión acuñada del problema 6-35 determine la cantidad de interferencia diametral necesaria para proporcionar un ajuste de interferencia adecuado para la manivela de la figura P6-8, mediante un diámetro del eje de 58 mm, de modo que los esfuerzos en la maza y en el eje sean seguros y el torque máximo se pueda transmitir a través del ajuste de interferencia. El material de la manivela es el mismo que el del eje y su longitud a lo largo del eje es de 64 mm. El diámetro exterior efectivo de la manivela es de 150 mm. F F F brazo de la manivela cuña L (típ.) D eje d engrane cojinete engrane radio r del filete estructura no está a escala FIGURA P6-8 Problemas 6-35 a 6-37 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. 484 DISEÑO DE MÁQUINAS *6-38. 6-40. Como una alternativa a la conexión acuñada del problema 6-6, determine la cantidad de interferencia diametral necesaria para proporcionar un ajuste de interferencia adecuado para el engrane de la figura P6-3, mediante los datos del problema 6-6 y la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P6-1. El diámetro de la maza del engrane es de 3.50 in, su longitud a lo largo del eje es de 2 in y tiene las mismas propiedades que las del material del eje. 6-41. La figura P6-6 muestra un eje que corre a 400 rpm con dos engranes sujetos a ella. El engrane de la derecha (2) proporciona una carga de torque y el engrane de la izquierda (1) un torque de entrada igual, pero de dirección opuesta. El torque varía de 2.2 kN-m a 6.2 kN-m. Determine las potencias máxima, mínima y promedio transmitida por el eje. 6-42. La figura P6-6 muestra un eje que corre a 750 rpm con dos engranes sujetos a ella. El engrane derecho (2) proporciona una carga de torque; el engrane izquierdo (1), un torque de entrada igual, pero de dirección opuesta. Las fuerzas sobre un engrane actúan en el diámetro de paso y tienen una componente radial (P en la figura) y una tangencial (que no se muestra). Si el diámetro de paso del engrane 1 es de 250 mm y la fuerza tangencial varía de 15 kN a 60 kN, determine las potencias mínima, máxima y promedio transmitida por el eje. 6-43. Determine la cantidad de interferencia diametral necesaria para proporcionar un ajuste de interferencia adecuado (en lugar del elemento acuñado mostrado) para el engrane (1) de 5 in de diámetro y 1.5 in de espesor de la figura P6-6, mediante un diámetro del eje de 1.5 in, de modo que los esfuerzos en la maza y en el eje sean seguros, y que el torque de entrada de 1 500 lbf-in se pueda transmitir a través del ajuste de interferencia. Ambas piezas son de acero SAE 4130 normalizado @ 1650F. 6-44. Determine la cantidad de interferencia diametral necesaria para proporcionar un ajuste de interferencia adecuado (en lugar del elemento acuñado mostrado) para el engrane (1) de 125 mm de diámetro y 75 mm de espesor de la figura P6-6, usando un diámetro del eje de 80 mm, de modo que los esfuerzos en la maza y en el eje sean seguros y el torque de entrada de 170 N-m se pueda transmitir a través del ajuste de interferencia. Ambas piezas son de acero SAE 4140 normalizado @ 1650F. 6-45. La tabla P6-2 indica los pulsos de energía entregados a un sistema giratorio (positiva) y desde éste (negativa), junto con los ángulos de la flecha a los cuales la función de torque cruza la línea de torque promedio en una función torque-tiempo. Con estos datos, determine los ángulos del eje a los cuales ocurren las rapideces mínima y máxima, así como el cambio total en energía a partir de la posición donde ocurre la rapidez máxima y la posición donde ocurre la rapidez mínima. 6-46. Un eje impulsado por un motor eléctrico tiene una carga de torque variable que la gira a una velocidad promedio de 1 950 rpm. Los pulsos de energía entregados al sistema impulsor (positiva), y desde éste (negativa), se proporcionan en la tabla P6-2. El diámetro del eje es de 50 mm. Diseñe un volante adecuado para este sistema que dé un coeficiente de fluctuación de 0.05 y un factor de seguridad de, por lo menos, 5 contra exceso de rapidez. El volante debe ser un disco circular hueco de espesor constante y hecho de acero SAE 1040 rolado en frío. Energía delta 0o a 75o –1040 N-m 75o a 195o +2260 N-m 195o a 330o –2950 N-m 330o a 360o +1740 N-m * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Un eje impulsado por un motor eléctrico tiene una carga de torque variable, que la gira a una velocidad promedio de 1 600 rpm. El torque varía senoidalmente una vez por revolución del eje, con un torque pico de 29 500 in-lb. El diámetro del eje es de 2 in. Diseñe un volante adecuado para este sistema, el cual proporcione un coeficiente de fluctuación de 0.05 y un factor de seguridad contra el exceso de velocidad de, por lo menos, 4. El volante debe ser un disco circular sólido de espesor constante, hecho de acero SAE 1020 rolado en frío. Repita el problema 6-38 para un torque de carga pico de 40 500 in-lb y la función torque-posición del eje igual a Tl  Tpico (sen θ  sen 2θ). Datos del problema 6-45 Ángulos del eje Un Enfoque Integrado 6-39. 6 Tabla P6-2 - COJINETES Y LUBRICACIÓN El conocimiento del hombre es como las aguas, algunas veces baja y otras veces sube. FRANCIS BACON 7.0 INTRODUCCIÓN Aquí se utilizará el término cojinete en su acepción más general. Siempre que dos piezas tienen movimiento relativo, forman un cojinete por definición, sin importar su forma ni su configuración. Generalmente es necesario lubricar cualquier cojinete para reducir la fricción y eliminar el calor. Los cojinetes pueden rodar o deslizarse, o bien, hacer ambas cuestiones al mismo tiempo. Los cojinetes planos están formados por dos materiales con frotamiento mutuo, ya sea una polea alrededor de un eje o una superficie plana debajo de un deslizador. En un cojinete plano una de las partes en movimiento es de acero o de hierro fundido, o de algún otro material estructural, que le permita alcanzar la resistencia y dureza requeridas. Por ejemplo, los ejes de transmisión, los eslabones y los pernos se encuentran en esta categoría. Las piezas contra las que se mueven están fabricadas normalmente con un material “para cojinetes” como el bronce, el babbit (un polímero no metálico). Un cojinete radial plano se extiende axialmente para ensamblarse a un eje, o forma un círculo completo conocido como buje. Un cojinete de empuje soporta cargas axiales. Como alternativa para obtener una fricción muy baja, se utiliza un cojinete de rodamiento con bolas o rodillos de acero endurecido entre pistas de acero endurecido. Los cojinetes planos normalmente se diseñan en especial para una aplicación determinada, en tanto que los cojinetes de rodamiento normalmente se eligen de los catálogos de los fabricantes para manejar adecuadamente cargas, rapideces y vida deseada de la aplicación específica. Los cojinetes de rodamiento pueden soportar cargas radiales, de empuje, o una combinación de ambas, dependiendo de su diseño. En este capítulo se estudiarán los cojinetes en general, tanto los deslizantes (o planos) como los de rodamiento. También se analizará la teoría de lubricación, que se aplica a estos tipos de cojinetes. La tabla 7-0 muestra las variables usadas en este capítulo, así como las notas, ecuaciones o secciones donde aparecen por primera vez. 485 7 486 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 7-0 Variable unidades ips unidades SI Véase A área in2 a, b mitad del ancho, longitud de la huella de contacto in m Ec. 7.18 C razón de carga dinámica básica lb N Secc. 7.10 C0 m2 Secc. 7.5 razón de carga estática básica lb N Secc. 7.10 cd, cr holgura diametral y radial in m Secc. 7.5 d diámetro in m varios E' módulo de Young efectivo psi Pa Ec. 7.16 F fuerza (con varios subíndices) lb N Ec. 7.22 f fuerza de fricción lb N Ec. 7.11 h espesor de la película lubricante in m Secc. 7.5 KE parámetro adimensional ninguna ninguna Secc. 7.5 l longitud in m Secc. 7.5 L vida de fatiga de cojinetes giratorios 106 revs 106 revs Ec. 7.19 n' velocidad angular rps rps Secc. 7.5 ON número de Ocvirk ninguna ninguna Ec. 7.12 P fuerza o carga lb N Secc. 7.5 p presión psi N/m2 Secc. 7.5 r radio in m Secc. 7.5 R' radio efectivo in m Ec. 7.16 S número de Sommerfeld ninguna ninguna Secc. 7.5 T torque lb-in N-m Secc. 7.5 U velocidad lineal in/seg m/seg Secc. 7.5 X, Y factores de fuerzas radial y axial ninguna ninguna Ec. 7.22 exponente presión-viscosidad in2/lb m2/N Ec. 7.15 A La fotografía de inicio del capítulo es cortesía de Boston Gear, una división de IMO Industries, Quincy, Mass. Un Enfoque Integrado Variables utilizadas en este capítulo Símbolo 7 - E razón de excentricidad ninguna ninguna Ec. 7.3 Ex razón de excentricidad empírica ninguna ninguna Ec. 7.13 F ángulo de la fuerza resultante rad rad Secc. 7.5 & potencia hp watts Ec. 7.10 H viscosidad absoluta reyn cP Ec. 7.1 , espesor específico de la película ninguna ninguna Ec. 7.14 M coeficiente de fricción ninguna ninguna Ec. 7.11 N razón de Poisson ninguna ninguna Ec. 7.17 Qmáx ángulo de presión máxima rad rad Secc. 7.5 R densidad de masa blob/in3 kg/mm3 Ec. 7.1 T esfuerzo cortante (con varios subíndices) psi Pa Secc. 7.5 U viscosidad cinemática in2/seg cS Ec. 7.1 W velocidad angular rad/seg rad/seg Ec. 7.10 A. G. M. Michell, un pionero en teoría y diseño de cojinetes, además de uno de los inventores del cojinete de almohadilla inclinada, definió una vez lo que se desea de un cojinete de la siguiente manera: Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 487 Para el diseñador de maquinaria todos los cojinetes son, desde luego, males necesarios que no contribuyen en nada a la productividad o a la funcionalidad de la máquina; y cualquier virtud que pudieran tener es de orden negativo. Sus méritos son absorber la menor cantidad de energía que sea posible, desgastarse lo más lento posible, que ocupen el menor espacio posible y que cuesten lo menos posible.[1] Advertencia La teoría de la lubricación en superficies con movimiento relativo es muy compleja matemáticamente hablando. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales que rigen su comportamiento se basan en supuestos de simplificación que tan sólo brindan soluciones aproximadas. Este capítulo no intenta presentar un estudio o una explicación completos de todos los fenómenos complicados de la lubricación dinámica, ya que eso va más allá del alcance de la obra. En cambio, se presenta un estudio introductorio de unos cuantos casos comunes en el diseño de máquinas. Asimismo, se exponen y describen las lubricaciones límite, hidrostática, hidrodinámica y elastohidrodinámica, así como la teoría de las dos últimas clases se analiza sin la presentación completa de la deducción de las ecuaciones que las gobiernan debido a las limitaciones de espacio. Temas como la teoría de prensado de la película y los remolinos de aceite no se tratan en absoluto, ni tampoco los temas de suministro de lubricante al cojinete y transferencia de calor desde el cojinete. Se han escrito libros completos sobre dichos temas, por lo que se remite al lector a esas fuentes para obtener una información más completa. La deducción de las ecuaciones regidoras se presenta en la mayoría de los trabajos referenciados. La referencia 2 ofrece una introducción excelente a la teoría de la lubricación con muy pocas matemáticas, en tanto que la referencia 3 es un tratado muy completo de la materia actualizado y matemáticamente riguroso. En este capítulo se presenta un enfoque sencillo y razonablemente exacto del diseño de cojinetes de muñón cortos, que permitan fabricarlos para cargas y velocidades requeridas en la mayoría de las máquinas comunes. También se examina la lubricación de contactos sin un ajuste perfecto, como los dientes de engranes y los sistemas levaseguidor. Finalmente, se incluye información de los fabricantes acerca de un estudio sobre una selección de cojinetes de rodamiento. El tema de los cojinetes de rodamiento es tan complicado como el de los cojinetes planos, pero también se han escrito libros sobre esa materia. El lector debe consultar las referencias 3 y 4 para actualizarse y completar el tratamiento de la teoría de cojinetes de rodamiento y la lubricación. Las referencias de este capítulo identifican lecturas adicionales sobre el complejo tema de la lubricación y el diseño de cojinetes. Aquí apenas “se empaparán” con esta materia tan complicada. Se espera que esto “le abra el apetito” para aprender más acerca del asunto. 7.1 LUBRICANTES La introducción de un lubricante a un punto de contacto deslizante tiene varios efectos benéficos sobre el coeficiente de fricción. Los lubricantes pueden ser líquidos, sólidos o gaseosos. Los lubricantes líquidos o sólidos comparten las propiedades de baja resistencia al corte y alta resistencia a la compresión. Un lubricante líquido como el aceite derivado del petróleo es básicamente incompresible a los niveles de esfuerzo que se encuentran en los cojinetes, pero se corta fácilmente. Por lo tanto, resulta el material más débil en el punto de contacto, mientras su baja resistencia al corte reduce el coeficiente de fricción (véase la ecuación 5.3 de la p. 354). Los lubricantes también pueden actuar 7 488 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado como contaminantes en las superficies metálicas y las cubren con una sola capa de moléculas que inhibe la adhesión, inclusive entre metales compatibles. Los lubricantes líquidos son los que se utilizan con más frecuencia y los aceites minerales, los más comunes entre ellos. Las grasas son aceites mezclados con jabones que forman un lubricante más adherente y más grueso que se usa en lugares donde los líquidos no se pueden aplicar o no se mantienen en las superficies. Los lubricantes sólidos se emplean en casos donde los líquidos no se pueden mantener sobre la superficie o carecen de alguna propiedad requerida, como resistencia a temperaturas altas. Los lubricantes gaseosos se utilizan en situaciones especiales, como cojinetes neumáticos, con la finalidad de obtener una fricción extremadamente baja. Los lubricantes, especialmente los líquidos, también eliminan el calor en el punto de contacto. Las menores temperaturas en los cojinetes reducen la interacción de las superficies y el desgaste. 7 LUBRICANTES LÍQUIDOS Son, en gran parte, derivados del petróleo o aceites sintéticos; no obstante, el agua se usa algunas veces como lubricante en ambientes acuosos. Muchos aceites lubricantes comerciales están mezclados con varios aditivos que reaccionan con los metales para formar una sola capa de moléculas contaminantes. Los llamados lubricantes de EP (presión extrema) agregan ácidos grasos u otros compuestos al aceite que atacan al metal químicamente; además, forman una capa contaminante que protege y reduce la fricción, incluso cuando la película de aceite es expulsada por las altas cargas en el punto de contacto. Los aceites se clasifican tanto por su viscosidad como por la presencia de aditivos en las aplicaciones de presión extrema. La tabla 7-1 muestra algunos lubricantes líquidos comunes, sus propiedades y aplicaciones típicas. Se debe consultar a los fabricantes de lubricantes para aplicaciones específicas. LUBRICANTES DE PELÍCULA SÓLIDA Son de dos tipos: materiales que presentan bajos esfuerzos cortantes, como el grafito y el bisulfato de molibdeno, los cuales se agregan al punto de contacto, y recubrimientos como los fosfatos, óxidos o sulfuros que se forman sobre las superficies del material. Los grafitos y el MoS2 se suministran en forma de polvo y pueden transportarse al punto de contacto mediante una capa de grasa de petróleo Tabla 7-1 Tipos de lubricantes líquidos Tipo Propiedades Usos típicos Aceites derivados del petróleo (aceites minerales) Capacidad de lubricación básica, pero los aditivos generan gran mejora. Acción lubricante deficiente a altas temperaturas Muy amplios y generales Poliglicoles Lubricantes bastante buenos; no forman sedimentos con la oxidación Líquido para frenos Silicios Capacidad de lubricación deficiente, sobre todo contra el acero. Buena estabilidad térmica Sellos de hule. Amortiguadores mecánicos Clorofluorocarbonos Buenos lubricantes, buena estabilidad térmica Compresores de oxígeno. Equipo de procesos químicos Éteres de polifenil Intervalo líquido muy amplio. Excelente estabilidad térmica. Capacidad de lubricación aceptable Sistemas de deslizamiento a altas temperaturas Ésteres de fosfatos Buenos lubricantes—Acción de presión extrema Fluido hidráulico y lubricante Ésteres dibásicos Buenas propiedades de lubricación. Resisten mayores temperaturas que los aceites minerales Motores de propulsión Fuente: E. Rabinowicz, Friction and Wear of Materials, 1965, reimpreso con autorización de John Wiley & Sons, Inc. Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 489 u otro material. Los lubricantes secos tienen la ventaja de su baja fricción y su resistencia a las altas temperaturas; sin embargo, esta última podría verse limitada por la selección del contenedor que los transporta. Los recubrimientos como los fosfatos o los óxidos pueden depositarse química o electrolíticamente. Tales recubrimientos son delgados y tienden a desgastarse completamente en corto tiempo. Los aditivos de presión extrema de algunos aceites proporcionan una renovación continua de sulfuros u otros recubrimientos inducidos químicamente. La tabla 7-2 muestra algunos lubricantes comunes de película sólida, así como sus propiedades y sus usos más frecuentes. 7.2 VISCOSIDAD La viscosidad es una medida de la resistencia al corte de un fluido, que varía inversamente con la temperatura y directamente con la presión, ambas de manera no lineal. Se expresa como viscosidad absoluta η o como viscosidad cinemática υ. Las dos están relacionadas como (7.1) H  UR donde ρ es la densidad de masa del fluido. Las unidades de la viscosidad absoluta η son lb-seg/in2 (reyn) en el sistema inglés o Pa-s en unidades SI. Con frecuencia se expresa como mreyn y mPa-s para adaptar mejor sus magnitudes típicas. Un centipoise (cP) es 1 mPa-s. Los valores típicos de la viscosidad absoluta a 20 °C (68 °F) son 0.0179 cP (0.0026 mreyn) para el aire, 1.0 cP (0.145 μreyn) para el agua y 393 cP (57 mreyn) para aceite de motor SAE 30. Por lo general, los aceites que funcionan normalmente en cojinetes calientes tienen viscosidades entre 1 y 5 mreyn. El término viscosidad usado sin adjetivo significa viscosidad absoluta. VISCOSIDAD CINEMÁTICA Se mide con un viscosímetro, el cual es de dos clases: giratorio o capilar. Un viscosímetro capilar mide la velocidad de flujo del fluido a través de un tubo capilar a una temperatura determinada, normalmente 40 o 100 °C. Un viscosímetro giratorio mide el torque y la velocidad de giro de un eje vertical o de un cono que corre dentro de un cojinete con sus aros concéntricos, llenos con el fluido de prueba a la Tabla 7-2 Tipos de lubricantes de película sólida Tipo Propiedades Usos comunes Grafito y/o MoS2 más contenedor Los mejores lubricantes de propósito general. Fricción baja (0.12-0.06) razonable vida larga ( 104 a 106 ciclos) Cerraduras y otros mecanismos intermitentes Teflón + contenedor Vida un poco más grande que el tipo anterior, pero mejor resistencia a algunos líquidos Igual que arriba Grafito a presión o película de MoS2 Fricción muy baja (0.10 a 0.04), pero vida bastante corta (102 a 104 ciclos) Embutido profundo y otros trabajos en metal Metal blando (plomo, iridio, cadmio) Fricción más alta (0.30 a 0.15) y su vida no es tan grande como los tipos de resina pegada Protección de asentamiento (temporal) Película anodizada con algún fosfato. Otros recubrimientos químicos Alta fricción ( 0.20). Preventivo contra el desgaste deja una capa superficial “esponjosa” Recubrimiento por debajo de una capa de película de resina pegada Fuente: E. Rabinowicz, Friction and Wear of Materials, 1965, reimpreso con permiso de John Wiley & Sons, Inc. 7 490 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado temperatura de prueba. Las unidades SI de la viscosidad cinemática son cm2/seg (stoke) y las unidades inglesas son in2/seg. Los stokes son bastante grandes, de modo que con más frecuencia se emplean los centistokes (cS). VISCOSIDAD ABSOLUTA Se necesita para el cálculo de las presiones y los flujos de los lubricantes dentro de los cojinetes. Se determinan a partir de la viscosidad cinemática medida y la densidad del fluido a la temperatura de prueba. La figura 7-1 muestra una gráfica de la variación de la viscosidad absoluta con la temperatura para varios aceites comunes derivados del petróleo, identificados por sus números ISO y sus números SAE, en las escalas de aceite para motor y aceite para engranes. 7.3 En los cojinetes se presentan tres tipos de lubricación: película completa, película mixta y lubricación límite. La lubricación de película completa describe el caso en el que las superficies del cojinete están completamente separadas por la película lubricante, lo cual elimina cualquier contacto. La lubricación de película completa es hidrostática, hidrodinámica o elastohidrodinámica, cada una de las cuales se analiza más adelante. La lubricación límite describe el caso donde, por razones de geometría, aspereza superficial, carga excesiva o escasez de lubricante, las superficies del cojinete entran en contacto físicamente y se presenta un desgaste adhesivo o abrasivo. La lubricación de película mixta describe una combinación de película lubricante parcial y algún contacto de las asperezas de las superficies. TEMPERATURA (ºC) ENGRANE SAE MOTOR SAE LUBRICANTE AGMA NÚM. VISCOSIDAD ABSOLUTA (cP) VISCOSIDAD ABSOLUTA (microreyns) 7 TIPOS DE LUBRICACIÓN TEMPERATURA DE MASA (ºF) FIGURA 7-1 Viscosidad absoluta contra temperatura de aceites lubricantes derivados del petróleo, con grados de viscosidad ISO Fuente: Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314 En los cojinetes (manguitos) de muñón giratorios se experimentan los tres regímenes, durante el arranque y la conclusión de la operación. Conforme el eje empieza a girar, se encuentra en lubricación límite. Si su velocidad se eleva lo suficiente, pasa a través del régimen mixto y llega al régimen de película completa deseado, donde el desgaste se reduce prácticamente hasta cero si el lubricante se mantiene limpio y sin sobrecalentamiento. Se analizarán brevemente las condiciones que determinan estos estados de lubricación, luego se explorarán algunas de ellas con mayor detalle. Lubricación de película completa La lubricación de película completa se crea por tres mecanismos: lubricación hidrostática, hidrodinámica y elastohidrodinámica. LUBRICACIÓN HIDROSTÁTICA Se refiere al suministro continuo de un lubricante (usualmente aceite) en el punto de contacto del deslizamiento con presión hidrostática elevada (≈ 102 a 104 psi). Lo anterior requiere de un depósito (cárter) para almacenar, una bomba para presurizar y tuberías para distribuir el lubricante. Cuando se hace bien, con las tolerancias adecuadas en el cojinete, este mecanismo puede eliminar completamente el contacto metal-metal en el punto de contacto durante el deslizamiento. Las superficies se separan por una película de lubricante, la cual, si se mantiene limpia y libre de contaminantes, reduce las velocidades de desgaste prácticamente a cero. Con la velocidad relativa igual a cero, la fricción es prácticamente cero. Con velocidad relativa, el coeficiente de fricción en un punto de contacto lubricado hidrostáticamente es aproximadamente de 0.002 a 0.010, el cual también es el principio del llamado cojinete de aire, que se utiliza sobre “paletas de aire” para impulsar (empujar) la carga de la superficie, permitiéndole moverse a los lados con muy poco esfuerzo. Un aerodeslizador opera con el mismo principio. Algunas veces se usa agua en los cojinetes hidrostáticos. El estadio Mile High de Denver tiene un cupo de 21 000 asientos que se deslizan hacia atrás sobre películas de agua hidrostática que convierten el estadio de béisbol en uno de fútbol.[5] Los cojinetes de empuje hidrostático son más comunes que los radiales. LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA Se refiere al suministro de lubricante suficiente (usualmente un aceite) para el punto de contacto de deslizamiento que permita la velocidad relativa de las superficies apareadas, con la finalidad de bombear el lubricante dentro del espacio y separar las superficies sobre una película dinámica de líquido. Esta técnica es más efectiva en cojinetes planos, donde el eje y el cojinete crean un anillo delgado dentro de su holgura que atrapa el lubricante, de modo que el eje pueda bombearlo alrededor del anillo. Existe una ruta de fuga en los extremos, de modo que se debe suministrar continuamente el aceite para reponer las pérdidas. Tal suministro debe realizarse por gravedad o presión. Éste es el sistema que se utiliza para lubricar los cojinetes del cigüeñal y del árbol de levas de un motor de combustión interna. Se bombea aceite filtrado a los cojinetes con una presión, relativamente baja, para reponer el aceite perdido a través de los extremos de los cojinetes; no obstante, la condición dentro del cojinete es hidrodinámica y crea presiones mucho más altas para soportar las cargas del cojinete. A película mixta La figura 7-2 muestra la curva que describe la relación entre la fricción y la velocidad de deslizamiento relativa en un cojinete. A bajas velocidades, la lubricación límite se presenta asociada con alta fricción. Conforme la velocidad de deslizamiento se incrementa más allá del punto A, la película de fluido hidrodinámico comienza a tomar forma, reduciendo así el contacto en asperezas y la fricción en el régimen de película mixta. A mayores velocidades, se forma una película completa en el punto B, lo que separa las superficies completamente con fricción reducida. (Éste es el mismo fenómeno que causa que los neumáticos de los automóviles planeen en caminos mojados. Si la velocidad relativa del neumático contra el camino mojado excede un cierto valor, el movimiento de la llanta bombea una película de agua hacia el punto de contacto, levantando el neumático del camino. El coeficiente de fricción del neumático se reduce drásticamente, y la pérdida de tracción repentina podría causar un derrape peligroso.) A velocidades aún más altas, la pérdida de viscosidad en el lubricante cortado incrementa la fricción. 491 fricción COJINETES Y LUBRICACIÓN lubricación límite Capítulo 7 lubricación de película completa B velocidad relativa FIGURA 7-2 Cambio de la fricción con la velocidad relativa de un cojinete de deslizamiento 7 492 DISEÑO DE MÁQUINAS aceite F eje cojinete F - Un Enfoque Integrado En un cojinete de manguito hidrodinámico en reposo, el eje o buje se asienta en contacto con la parte inferior del cojinete, como se indica en la figura 7-3a, y se encuentra en lubricación límite. Conforme comienza a girar, la línea central del eje se desplaza excéntricamente dentro del cojinete y el eje actúa como una bomba jalando la película de aceite pegada alrededor de su superficie, como se muestra en la figura 7-3b, llevándola al régimen de película mixta de la figura 7-2. (El “lado exterior” de la película de aceite se pega al cojinete estacionario.) Se crea un flujo de la película de aceite dentro del pequeño espesor. Con una velocidad relativa suficiente, el eje “se monta” en la cuña de aceite bombeado y elimina el contacto metal-metal con el cojinete, como se ilustra en la figura 7-3c. Ahora se encuentra en el régimen hidrodinámico de la figura 7-2. Entonces, las superficies de un cojinete lubricado hidrodinámicamente se tocan sólo cuando está detenido o cuando gira por debajo de su velocidad de “hidroplaneo”. Ello significa que el desgaste adhesivo se presenta sólo durante el arranque o al detenerse. Siempre que existan lubricante limpio y velocidad suficientes para permitir el impulso hidrodinámico del eje fuera del cojinete en su velocidad de operación, básicamente no aceite hay desgaste adhesivo. Lo anterior incrementa enormemente la vida al desgaste en un escenario de contacto continuo. Como en la lubricación hidrostática, el aceite debe estar libre de contaminantes para evitar otras formas de desgaste como, por ejemplo, la abrasión. El coeficiente de fricción en un punto de contacto lubricado hidrodinámicamente se encuentra aproximadamente entre 0.002 y 0.010. (a) Eje estacionario – contacto metálico – fuerzas y centros alineados F 7 W eje desplazamiento cojinete CL F (b) Eje que gira lentamente – lubricación límite – punto de contacto enfrente de la línea central aceite W F flecha CL desplazamiento cojinete F (c) Eje que gira rápidamente – lubricación hidrodinámica – sin contacto del metal – fluido bombeado por el eje – el eje se queda atrás de la línea central del cojinete FIGURA 7-3 Condiciones de lubricación límite e hidrodinámica en un cojinete de manguito; movimientos y holguras exagerados LUBRICACIÓN ELASTOHIDRODINÁMICA Cuando las superficies en contacto no se ajustan exactamente, como los dientes de un engrane o la leva y el seguidor mostrados en la figura 7-4, entonces, es más difícil que se forme una película completa de lubricante, porque las superficies no ajustadas tienden a expulsar en lugar de retener el fluido. A velocidades bajas, estas juntas se encuentran en lubricación límite, además de que se presentan altas tasas de desgaste con posibles arañazos y estriación. La carga crea una huella de contacto debido a la deflexión elástica de las superficies, como se vio en el capítulo 5. Esta pequeña huella de contacto puede ofrecer una superficie plana suficiente para que se forme una película hidrodinámica completa, cuando la velocidad relativa de deslizamiento es lo suficientemente alta (véase la figura 7-2). Esta condición se conoce como lubricación elastohidrodinámica (EHD), ya que resulta de las deflexiones elásticas de las superficies y porque las grandes presiones (100 a 500 kpsi) en las zonas de contacto incrementan enormemente la viscosidad del fluido. (En contraste, la presión de la película en cojinetes que se ajustan perfectamente es tan sólo de varios miles de psi y el cambio de viscosidad por esta presión es lo suficientemente pequeño como para tomarlo en cuenta.) Los dientes del engrane operan en cualquiera de las tres condiciones descritas en la figura 7-2. La lubricación límite se presenta en el arranque-término de la operación, pero si se prolonga causará desgaste severo. Las juntas de un sistema leva-seguidor también pueden experimentar cualquiera de los regímenes de la figura 7-2, pero es más probable que se encuentren en el modo de lubricación límite en las ubicaciones sobre la leva de radio de curvatura pequeño. Los cojinetes de rodamiento también pueden experimentar cualquiera de los tres regímenes. El parámetro más importante que define la situación que se presenta en contactos no ajustados es la razón entre el espesor de la película de aceite y la aspereza superficial. Para alcanzar una lubricación de película completa y eliminar el contacto de las asperezas, la rms promedio de la aspereza superficial (Rq) no debe ser mayor de 1/2 a 1/3 del espesor de la película de aceite. El espesor de una película completa de EHD es normalmente del orden de 1 μm. Con cargas muy altas o a velocidades pequeñas, el espesor de la película de EHD puede volverse muy pequeño para separar las asperezas superficiales y presentar situaciones de lubricación límite o de lubricación mixta. Los factores que más influyen en la creación de condiciones de EHD son el incremento de la velocidad relativa, de la viscosidad del lubricante y del radio de curvatura en el punto de contacto. La reducción de la carga unitaria y de la rigidez del material tienen menos efecto.[6]. Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 493 Lubricación límite La lubricación límite se refiere a situaciones donde una combinación de la geometría del punto de contacto, niveles altos de carga, baja velocidad o cantidad insuficiente de lubricante evitan el inicio de la condición hidrodinámica. En tal situación, las propiedades de las superficies en contacto y las propiedades del lubricante, más que la viscosidad de la masa, determinan la fricción y el desgaste. La viscosidad del lubricante no es un factor. Observe en la figura 7-2 que la fricción es independiente de la velocidad en la lubricación límite. Esto es consistente con la definición de la fricción de Coulomb en la sección 5.3 (p. 354). Véase la tabla 5-1 en la p. 356. La lubricación límite implica que siempre existe un contacto metal-metal en el punto de contacto. Si la película lubricante no es lo suficientemente gruesa para “enterrar” las asperezas de las superficies, lo anterior resulta cierto. Las superficies ásperas generan esta situación. Si la velocidad relativa o el suministro de lubricante se reducen en el punto de contacto hidrodinámico, se volverá una situación de lubricación límite. Las superficies como los dientes de los engranes y las de un sistema leva-seguidor (véase la figura 7-4), donde ninguna envuelve a la otra, se encuentran en un modo de lubricación límite, si no prevalecen las condiciones de EHD. Los cojinetes de bolas y rodillos también funcionan en modo de lubricación límite, si la combinación de velocidades y cargas no permiten que ocurra la condición de EHD. La condición de lubricación límite es una condición menos deseable que los otros tipos descritos anteriormente, ya que permite que las asperezas superficiales entren en contacto y se desgasten con rapidez. En ocasiones, no se puede evitar como en los ejemplos citados de las levas, los engranes y los cojinetes de rodamiento. Los lubricantes de EP mencionados se elaboraron para estas aplicaciones de lubricación límite, sobre todo para engranes hipoidales, los cuales están sujetos a velocidades altas de deslizamiento y a grandes cargas. El coeficiente de fricción en un punto de contacto de deslizamiento, con lubricación límite, depende tanto de los materiales que se utilizan como del lubricante; no obstante, se encuentra en el rango de 0.05 a 0.15, la mayoría con un valor aproximado de 0.10. 7.4 COMBINACIONES DE MATERIALES EN COJINETES DE DESLIZAMIENTO La figura 5-6 (p. 358) muestra combinaciones de materiales y el pronóstico de su capacidad de deslizamiento, con base en su insolubilidad mutua y otros factores. En esta sección se analizan algunas combinaciones de materiales que han demostrado tener éxito o ser inútiles en aplicaciones de ingeniería, que implican cojinetes o deslizadores. Algunas de las propiedades que se buscan en un material para cojinetes son suavidad relativa (para absorber partículas extrañas), resistencia razonable, capacidad para maquinarse (para conservar tolerancias), lubricidad, resistencia a la temperatura y a la corrosión, así como, en algunos casos, porosidad (para absorber lubricante). El material de un cojinete debería tener menos de 1/3 de la dureza del material contra el que corre, con el propósito de facilitar la incrustación de partículas abrasivas.[7] Asimismo, los temas de compatibilidad abordados en la sección 5.4 (p. 356) sobre desgaste adhesivo son también importantes; dependen también del material apareado. Se pueden utilizar varias clases de materiales como cojinetes, pero usualmente se usan los basados en plomo, estaño o cobre. El aluminio por sí solo no es un buen material para cojinetes; sin embargo, se emplea como un elemento aleatorio en algunos materiales. BABBITS La familia completa de aleaciones con base en el plomo y el estaño, combinadas con otros elementos, son muy efectivas, sobre todo las recubiertas con películas delgadas aplicadas por electrólisis sobre un sustrato más fuerte como el acero. El babbit, probablemente el ejemplo más común de esta familia, se usa en los cojinetes de cigüeñales y árboles de leva en los motores de combustión interna.Su suavidad permite engrane piñón 7 seguidor leva FIGURA 7-4 Uniones abiertas que pueden tener lubricación EHD, mixta o límite 494 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado la incrustación de partículas diminutas y puede tener un acabado superficial con poca aspereza. Una capa delgada de babbit electrolítico posee mejor resistencia a la fatiga que un buje grueso de babbit, que tampoco permite la incrustación de partículas. Se requiere una buena lubricación hidrodinámica o hidrostática, cuando el babbit tiene una temperatura de fusión baja y fallará rápidamente en condiciones de lubricación límite. Los ejes o los cojinetes de babbit deberían tener una dureza mínima de 150-200 HB y un acabado superficial esmerilado* de Ra  0.25 a 0.30 μm (10 a 12 μin).[8] BRONCES La familia de aleaciones de cobre, principalmente los bronces, son una magnífica elección para operar contra acero o hierro fundido. El bronce es más blando que los materiales ferrosos, pero tiene buenas resistencia general, capacidad para maquinarse y resistencia a la corrosión, además de que opera bien contra aleaciones ferrosas cuando está lubricado. Hay cinco aleaciones de cobre comunes que se utilizan en cojinetes: cobre-plomo, bronce al plomo, bronce al estaño, bronce al aluminio y cobre al berilio. Tienen un rango de dureza que va desde la del babbit hasta cerca de la del acero.[8] Los bujes de bronce pueden resistir la lubricación límite y soportar cargas y temperaturas altas. Los bujes de bronce y las barras planas de fábrica están disponibles comercialmente en varios tamaños, tanto sólidos como sinterizados (véase más adelante). HIERRO FUNDIDO GRIS Y EL ACERO Son materiales razonables para cojinetes cuando corren uno contra otro a bajas velocidades. El grafito libre del hierro colado agrega lubricidad, pero también se necesita lubricante líquido. El acero también puede correr contra sí mismo cuando ambas partes están endurecidas y lubricadas. Ésta es una elección común en rodamiento de contacto como en los cojinetes. De hecho, con lubricación adecuada, el acero endurecido opera contra casi cualquier material. En general, la dureza parece proteger contra la adhesión. 7 MATERIALES SINTERIZADOS Están formados por polvo y conservan poros microscópicos después del tratamiento térmico. Dicha porosidad les permite tomar cantidades significativas de lubricante y retenerla por efecto de la capilaridad, liberándolo en el cojinete cuando se calienta. El bronce aglomerado se utiliza ampliamente para operar contra acero o hierro fundido. MATERIALES NO METÁLICOS Algunos tipos ofrecen la posibilidad de operar en seco si tienen suficiente lubricidad. Un ejemplo es el grafito. Algunos termoplásticos, como el nylon, el acetal y el teflón relleno, tienen un bajo coeficiente de fricción μ contra cualquier metal, pero también bajas resistencias y bajas temperaturas de fusión, lo cual, cuando se combina con su deficiente conducción del calor, limita severamente las cargas y velocidades de operación que logra soportar. El teflón posee un μ muy bajo (considerando los valores de rodamiento), pero requiere de rellenos para elevar su resistencia a niveles útiles. Los rellenos inorgánicos, como el talco o la fibra de vidrio, agregan resistencia y rigidez significativas a cualquier termoplástico, pero con la contraparte de un μ mayor y el incremento en la abrasión. Asimismo, el polvo de grafito y el de MoS2 sirven como rellenos, pero también agregan lubricidad y resistencia, además de resistencia a la temperatura. También hay algunas mezclas de polímeros como el acetal-teflón. Los cojinetes de termoplásticos sólo son prácticos en aplicaciones donde las cargas y las temperaturas son bajas. Las combinaciones prácticas de materiales para ejes y cojinetes son realmente muy pocas. La tabla 7-3 muestra algunas combinaciones utilizables de materiales metálicos para cojinetes e indica sus razones de dureza contra ejes de acero típicos.[9] 7.5 * Véase la sección 5.1 y la figura 5-2 de la p. 352 para el análisis de acabados superficiales y la definición de Ra. TEORÍA DE LUBRICACIÓN HIDRODINÁMICA Considere el cojinete de manguito mostrado en la figura 7-3. La figura 7-5a ilustra un muñón similar y su cojinete, pero concéntricos y con el eje vertical. La holgura diametral cd entre el buje y el cojinete es muy pequeña, generalmente alrededor de una milésima del diámetro. Se puede modelar esto como dos placas planas, ya que el hueco h es muy Capítulo 7 Tabla 7-3 COJINETES Y LUBRICACIÓN 495 Materiales recomendados para cojinetes de deslizamiento contra acero o hierro fundido Dureza kg/mm2 Dureza mínima del eje kg/mm2 Razón de dureza Base de plomo con babbit 15-20 150 8 Base de estaño con babbit 20-30 150 6 Plomo con álcali endurecido 22-26 200-250 9 Cobre-plomo 20-23 300 14 Plata (chapeada) 25-50 300 8 Base de cadmio 30-40 200-250 6 Aleación de aluminio 45-50 300 6 Bronce al plomo 40-80 300 5 Bronce al estaño 60-80 300-400 5 Material del cojinete Fuente: Wilcock y Booser, Bearing Design and Application, McGraw-Hill, 1957. pequeño comparado con el radio de curvatura. La figura 7-5b muestra las dos placas separadas por una película de aceite en un hueco de dimensión h. Si las placas son paralelas, la película de aceite no soportará una carga transversal. Esto también es cierto para un buje y un cojinete concéntricos. Un buje concéntrico horizontal se vuelve excéntrico debido al peso del eje, como en la figura 7-3. Si el eje es vertical, como en la figura 7-5a, el buje podría girar concéntricamente con el cojinete, pues no existe fuerza de gravedad transversal. 7 Ecuación de Petroff para torque sin carga Si se mantiene estacionaria la placa inferior de la figura 7-5b y se mueve la placa de arriba a la derecha con una velocidad U, el fluido entre las placas se corta de la misma manera que en el hueco concéntrico de la figura 7-5a. El fluido moja y se adhiere a ambas placas, haciendo su velocidad igual a cero en la placa estacionaria e igual a U en la placa en movimiento. La figura 7-5c muestra un elemento diferencial del fluido en el hueco. El gradiente de velocidad causa la distorsión angular β. En el límite, β  dx / dy. El esfuerzo cortante τx que actúa sobre un elemento diferencial del fluido en el espacio es proporcional a la tasa de corte: Tx  H h dB d dx d dx du H H H dt dt dy dy dt dy (7.2a) d y l x U placa en movimiento FIGURA 7-5 (b) Placas paralelas que cortan una película de aceite U + dU dy aceite placa fija (a) Buje concéntrico en un cojinete dx h B U (c) Elemento diferencial al corte Una película de aceite al corte entre dos superficies paralelas no puede soportar una carga transversal (holguras muy exageradas) 496 DISEÑO DE MÁQUINAS * El tamaño del ángulo necesario para crear una fuerza de soporte es sorprendentemente pequeño. Por ejemplo, en un cojinete de aproximadamente 32 mm de diámetro, la circunferencia es de 100 mm. Una holgura de entrada típica hmáx podría ser de 25 μm (0.0010 in) y el hueco de salida hmín, 12.5 μm (0.0005 in). Entonces la pendiente es 0.0125/100 o alrededor de 7/1000 de un grado (26 segundos de arco). Esto equivale aproximadamente a 1 cm de elevación en un lado de un campo de fútbol de 100 yardas de largo. 7 † En Inglaterra, en 1880 Beauchamp Tower estaba investigando experimentalmente la fricción en cojinetes lubricados hidrodinámicamente para la industria ferrocarrilera (no obstante, el término hidrodinámico y su teoría estaban apenas a punto de descubrirse). Sus resultados mostraron unos coeficientes de fricción mucho menores de los esperados. Taladró radialmente un orificio sobre el cojinete para agregar aceite mientras operaba, pero se sorprendió al descubrir que el aceite salía del orificio cuando el eje giraba. Puso un corcho en el orificio, pero aquél fue expulsado. Tapó el orificio con madera, pero también saltó hacia afuera. Cuando puso un calibrador de presión en el orificio, midió presiones bien arriba de la presión promedio esperada a partir de un cálculo de carga/ área. Entonces, trazó un mapa de la distribución de presión sobre 180° del cojinete y descubrió la ahora familiar distribución de presión (véase la figura 7-8), cuyo valor promedio es carga/área. Con el aprendizaje de este descubrimiento, Osborne Reynolds se puso en camino para desarrollar la teoría matemática para explicarlo, cuyos resultados publicó en 1886.[12] - Un Enfoque Integrado y la constante de proporcionalidad es la viscosidad η. En una película de espesor constante h, el gradiente de velocidad du / dy  U / h y es constante. La fuerza para cortar la película completa es F  AT x  HA U h (7.2b) donde A es el área de la placa. Para el muñón y el cojinete concéntricos de la figura 7-5a, sea el hueco h  cd / 2, donde cd es la holgura diametral. La velocidad es U  πdn’ donde n’ son revoluciones por segundo y el área de corte es A  πdl. El torque T0 requerido para cortar la película es, entonces, T0  P dn ` d d U d F  H A  HP dl 2 2 h 2 cd 2 T0  H P 2 d 3l n ` cd (7.2c) Ésta es la ecuación de Petroff para el torque sin carga en una película de fluido. Ecuación de Reynolds para cojinetes planos excéntricos Para soportar una carga transversal, las placas de la figura 7-5b no deben ser paralelas. Si se gira ligeramente la placa inferior de la figura 7-5b en contra de las manecillas del reloj y se mueve a la derecha la placa superior con una velocidad U, el fluido entre las placas será transportado al hueco decreciente, como se ilustra en la figura 7-6a, desarrollando así una presión capaz de soportar la carga transversal P. El ángulo entre las placas es análogo a la variación de la tolerancia debido a la excentricidad e del muñón y el cojinete de la figura 7-6b.* Cuando se aplica una carga transversal a un muñón, adopta una excentricidad con respecto al cojinete para formar un hueco variable para soportar la carga generando presión en la película.† La figura 7-6b muestra una excentricidad e exageradamente grande y un hueco h para un cojinete de muñón. La excentricidad e se mide a partir del centro Ob del cojinete al Q=0 aceite cojinete Q P hmáx y x P aceite Ob U placa en movimiento (muñón) Oj e hmín P n' muñón hmáx placa fija (cojinete) h = f(x) hmín h = f(Q) P (a) Placas no paralelas que cortan una película de aceite Q=P (b) Un buje excéntrico es equivalente a placas no paralelas FIGURA 7-6 Una película de aceite cortada entre superficies no paralelas puede soportar una carga transversal Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 497 centro del muñón Oj. Los ejes cero-a-π de la variable independiente θ se establecen a lo largo de la línea ObOj como se indica en la figura 7-6b. El valor máximo posible de e es cr  cd / 2, donde cr es la tolerancia radial. La excentricidad se convierte entonces a una razón de excentricidad ε adimensional: E e cr (7.3) la cual varía de 0 sin carga a 1 en carga máxima, cuando el muñón contacta el cojinete. Una expresión aproximada del espesor h de la película en función de θ es (7.4a) h  cr 1 E cos Q El espesor h de la película es máximo en θ  0 y mínimo en θ  π, y se obtiene de hmín  cr 1 E hmáx  cr 1 E (7.4b) Considere el cojinete de muñón mostrado en la figura 7-7. En el análisis que sigue, el hueco está dado por la ecuación 7.4a. Se toma el origen de un sistema de coordenadas xy, en cualquier punto sobre la circunferencia del cojinete como el identificado por O. Entonces, el eje x es tangente al cojinete, el eje y pasa por el centro del cojinete Ob y el eje z (que no se muestra) es paralelo al eje del cojinete. Generalmente, el cojinete es estacionario y sólo gira el muñón; no obstante, en algunos casos puede ser a la inversa, o quizás ambos giren como en el eje planetario de un tren de engranes epicíclicos. Así se muestran tanto la velocidad tangencial U1 para el cojinete como la velocidad tangencial T2 para el muñón. Observe que sus direcciones (ángulos) no son las mismas debido a la excentricidad. La velocidad tangencial T2 del buje puede resolverse por el método de componentes en las direcciones x y y como U2 y V2, respectivamente. El ángulo entre T2 y U2 es tan pequeño que su coseno es prácticamente 1 y se puede hacer a U2 ≅ T2. La componente V2 en la dirección y se debe al cierre (o apertura) del hueco h conforme gira y es V2  U2∂h / ∂x. Q=0 e aceite Q y Ob h n' U1 cojinete (1) Oj muñón (2) origen O Q=P V2 U2 T2 FIGURA 7-7 Componentes de velocidad en un cojinete plano excéntrico x 7 498 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Usando las suposiciones anteriores, se escribe la ecuación de Reynolds,* que relaciona la variación del espesor del hueco h, las velocidades relativas entre el muñón y el cojinete V2 y U1  U2, así como la presión p en el fluido como una función de las dos dimensiones x y z, suponiendo que el buje y el cojinete son paralelos en la dirección z y la viscosidad η es constante, 1 § t ¤ 3 tp ³ ¥h ´ 6 H ¨© tx ¦ tx µ  U1 U2 t ¤ 3 tp ³ ¶ ¥h ´  U1 U2 tz ¦ tz µ ·¸ th th  U1 U2 2U2 tx tx th tx 2V2 th th U tx tx (7.5a) donde U  U1  U2. SOLUCIÓN PARA COJINETES LARGOS La ecuación 7.5a no tiene una solución de forma cerrada pero se resuelve numéricamente. Raimondi y Boyd lo hicieron en 1958 y obtuvieron un gran número de gráficas de diseño para su aplicación en cojinetes de longitud finita.[11] Reynolds resolvió una versión simplificada en forma de serie (en 1886),[12] suponiendo que el cojinete es infinitamente largo en la dirección z, lo cual hace al flujo igual a cero y a la distribución de la presión sobre esa dirección constante; por lo tanto, hace al término ∂p / ∂z  0. Con esta simplificación, la ecuación de Reynolds se convierte en 7 t ¤ 3 tp ³ th ¥h ´  6 HU tx ¦ tx µ tx (7.5b) En 1904, A. Sommerfeld encontró una solución de forma cerrada para la ecuación 7.5b de cojinetes infinitamente largos p ¨ · HUr © 6Esen Q 2 E cos Q ¸ cr2 © 2 E 2 1 E cos Q 2 ¸ ª ¹ p0  (7.6a) la cual da la presión p en la película lubricante en función de la posición angular θ alrededor del cojinete para dimensiones determinadas del radio r del muñón, la tolerancia radial cr, la razón de excentricidad ε, la velocidad U de la superficie y la viscosidad η. El término p0 toma en cuenta cualquier presión suministrada en una posición diferente de cero presión en θ  0. A la ecuación 7.6a se le conoce como la solución Sommerfeld o la solución de cojinetes largos. Si se calcula p con esta ecuación desde θ  0 a 2π, pronosticará presiones negativas desde θ  π hasta 2π con magnitudes absolutas iguales a las presiones positivas de 0 a π. Como un líquido no puede soportar grandes presiones negativas sin cavitación, la ecuación se evalúa normalmente de 0 a π y se considera la presión como p0 sobre la otra mitad de la circunferencia. Lo anterior se conoce como la solución de la mitad de Sommerfeld. Sommerfeld también determinó una ecuación para la carga total P sobre un cojinete largo como P HUlr 2 12 PE 2 cr2 2 E 1 E2   (7.6b) 12 Esta ecuación se puede replantear en forma adimensional para proporcionar un número característico del cojinete llamado el número de Sommerfeld S. Primero se reagrupan los términos: * Para la deducción de la ecuación de Reynolds, consulte las referencias 2, 3, 4 o 10. 2  E2 1 E2 12 PE 12 H Ul ¤ r ³ ¥ ´ P ¦ cr µ 2 (7.6c) Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 499 La presión promedio pprom sobre el cojinete es pprom  P P  A ld (7.6d ) La velocidad U  πdn’ donde n’ está en revoluciones por segundo y cr  cd / 2. Al sustituir, resulta 2  E2 1 E2 12 H 12 PE 2 ¥ Pn a ´ ¥ d ´ 2 ¥ d´  H ¦ µ ¦p µ¦ µ  S dl pprom § cd ¶ § prom ¶ § cd ¶ Pdn a l (7.6e) Observe que S es una función sólo de la razón de excentricidad ε, pero también se expresa en términos de geometría, presión, velocidad y viscosidad. SOLUCIÓN PARA COJINETES CORTOS Los cojinetes largos no se utilizan con frecuencia en las máquinas modernas por diversas razones. Las deflexiones pequeñas en el eje o la desalineación puede reducir la tolerancia radial a cero en un cojinete largo, mientras las condiciones de alojamiento requieren a menudo cojinetes cortos. Las razones típicas l / d de los cojinetes modernos se encuentran en el intervalo de 1/4 a 2. La solución de cojinetes largos (Sommerfeld) supone que no hay fugas de aceite en el extremo del cojinete, pero con estas pequeñas razones l / d las fugas en el extremo serían un factor significativo. Ocvirk y DuBois[13]a[16] resolvieron una forma de la ecuación de Reynolds, que incluye el término de la fuga del extremo. t ¤ 3 tp ³ th ¥h ´  6 HU tz ¦ tz µ tx (7.7a) Esta forma ignora el término que toma en cuenta el flujo circunferencial de aceite alrededor del cojinete, con la premisa de que es más pequeño en comparación con el flujo en la dirección z (fuga) de un cojinete corto. La ecuación 7.7a se integra para obtener una expresión de la presión en la película de aceite en función tanto de θ como de z: p HU ¥ l 2 ¦ rcr2 § 4 ´ 3E sen Q z2 µ ¶ 1 E cos Q 3 (7.7b) La ecuación 7.7b se conoce como la solución de Ocvirk o la solución para cojinete corto. Se evalúa generalmente para θ  0 a π, con el supuesto de que la presión es igual a cero en la otra mitad de la circunferencia. La figura 7-8 muestra distribuciones de presión típica sobre θ y z. La posición de θ  0 se toma en h  hmáx, y el eje θ pasa por Ob y Oj. La distribución de presión p con respecto a z es parabólica, y es pico en el centro de la longitud l del cojinete, y cero en z   l / 2. La presión p varía de forma no lineal sobre θ y es pico en el segundo cuadrante. El valor de θmáx en pmáx se determina a partir de ¥1 Q máx  cos 1 ¦ ¦ § 1 24E 2 4E ´ µµ ¶ (7.7c) y el valor de pmáx se obtiene sustituyendo z  0 y θ  θmáx en la ecuación 7.7b. La figura 7-9 compara la variación de la presión p en la película de θ  0 a π para la solución de cojinete largo de Sommerfeld (tomada como la referencia del 100%) y la solución de cojinete corto de Ocvirk a varias razones de l / d a partir de 1/4 a 1. Observe 7 500 DISEÑO DE MÁQUINAS Q=0 Un Enfoque Integrado l e sen F P cojinete P cojinete aceite aceite Q - e muñón dj Ob Oj O z hmín n' muñón d hmáx p Qmáx d P P pmáx F 7 p Q=P pmáx FIGURA 7-8 Distribución de presión en un cojinete plano corto—Grosor de la película exagerado enormemente el gran error que se presentaría si la solución de cojinete largo se utilizara para razones  1. Para l / d  1, las dos soluciones dan resultados similares con la solución de Ocvirk, que pronostica una presión pico ligeramente superior que la solución de Sommerfeld. DuBois y Ocvirk encontraron en sus pruebas[13],[14] que la solución del cojinete corto daba resultados muy cercanos a las mediciones experimentales para razones l / d de 1/4 a 1 y los datos experimentales también coincidían hasta l / d  2, si la razón se mantenía igual a 1 para los cálculos en cojinetes, con razones reales entre 1 y 2. Puesto que la mayoría de los cojinetes modernos tienden a razones l / d entre 1/4 y 2, la solución de Ocvirk es un método conveniente y razonablemente preciso. La solución de Sommerfeld brinda resultados precisos para razones de l / d arriba de 4. El método de Boyd y Raimondi[11] da resultados más precisos para razones de l / d intermedias, pero es más laborioso. Observe en la figura 7-8 que la presión pico se presenta en el ángulo θmáx, como se define en la ecuación 7.7c. Este ángulo se mide a partir de cero en el eje θ, el cual se encuentra a lo largo de la línea de centros del cojinete y el buje. Pero, ¿qué determina el ángulo de esta línea excéntrica entre los centros Ob y Oj? Generalmente, la línea de acción de la fuerza P aplicada al muñón se define por los factores externos. Esta fuerza P se presenta vertical en la figura y el ángulo entre la fuerza y el eje θ  π se muestra como φ. (Se utiliza el ángulo φ en lugar del ángulo θP, medido a partir de θ  0, porque φ siempre será un ángulo agudo.) El ángulo φ se calcula a partir de ¤ P 1 E2 F  tan 1 ¥ ¥ 4E ¦ ³ ´´ µ (7.8a) y la magnitud de la fuerza resultante P se relaciona con los parámetros del cojinete como P  KE HUl 3 cr2 (7.8b) Capítulo 7 110 100 90 80 70 60 % 50 40 30 20 10 0 COJINETES Y LUBRICACIÓN 501 solución de Ocvirk para l / d = 1.0 l / d = 0.75 solución de Sommerfeld l / d = 0.50 l / d = 0.25 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 ángulo alrededor del cojinete: Q (grados) FIGURA 7-9 Comparación de la aproximación del cojinete corto de Ocvirk para varias razones l / d, con la aproximación del cojinete largo de Sommerfeld a la presión en la película de aceite de 0 a 180o 7 donde Kε es un parámetro adimensional que está en función de la razón de excentricidad ε: KE  ;  E P2 1 E2  16E 2 41 E 2 2 = 1 2 (7.8c) La velocidad lineal U se expresa como (7.8d ) U  Pdn ` y sustituyendo en la ecuación 7.8b, junto con cr  cd / 2, se obtiene P  KE HUl 3 4 PHdn ` l 3  KE 2 cr cd2 (7.8e) Pérdida de torque y potencia en cojinetes planos La figura 7-8 muestra la película de fluido que se está cortando entre el muñón y el cojinete. La fuerza cortante que actúa sobre cada elemento crea torques en direcciones opuestas, Tr sobre el elemento giratorio y Ts sobre el elemento estacionario. Sin embargo, los torques Tr y Ts no son iguales debido a la excentricidad. En el par de fuerzas P, en la figura 7-8, un miembro actúa en el centro del muñón Oj y el otro en el centro del cojinete Ob, por lo que forman un par de magnitud P e sen φ, el cual se suma al torque estacionario para formar el torque giratorio. Tr  Ts P e senF (7.9a) El torque estacionario Ts se obtiene a partir de Ts  H d 2 l U2 U1 P 12 cd 1 E2  (7.9b) 502 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Sustituyendo la ecuación 7.8d en 7.9b, para ponerla en términos de las velocidades giratorias del muñón y el cojinete: Ts  H d 3l n2` P2 n1` 1 cd E2 12 (7.9c) Observe la similitud de la ecuación 7.9c con la ecuación de Petroff 7.2c, para muñones concéntricos con torque T0 sin carga. Se forma una razón del torque estacionario en un cojinete excéntrico al torque sin carga como Ts 1  T0 1 E2  (7.9d ) 12 la cual, sin que sorprenda, es una función tan sólo de la razón de excentricidad ε. Se obtiene también una razón similar entre el torque giratorio Tr y la ecuación de Petroff de torque sin carga. 7 La potencia perdida Φ en el cojinete se determina a partir del torque giratorio Tr y la velocidad de giro n’. &  Tr W  2 PTr n2a n1a N - m s o in - lb s (7.10) Esto se convierte a watts o caballos de potencia, de acuerdo con el sistema de unidades empleado. COEFICIENTE DE FRICCIÓN El coeficiente de fricción en el cojinete se determina como una razón entre la fuerza cortante tangencial y la fuerza normal aplicada P. M 7.6 f Tr r 2Tr   P P Pd (7.11) DISEÑO DE COJINETES HIDRODINÁMICOS Por lo general, se conocen la fuerza aplicada P, que se espera que soporte el cojinete, y la velocidad de giro n’. El diámetro del cojinete quizá se conozca o no, pero usualmente se puede definir por el esfuerzo, la deflexión u otras consideraciones. El diseño del cojinete requiere la obtención de una combinación adecuada del diámetro del cojinete y/o la longitud a la que operará con una viscosidad adecuada del fluido, una tolerancia razonable y que se pueda fabricar, y una razón de excentricidad que no permita el contacto metalmetal bajo carga o cualquier condición esperada de sobrecarga. Diseño del factor de carga: El número de Ocvirk Una manera conveniente de resolver el problema es definir un factor de carga adimensional, con el cual varios parámetros de cojinetes se calculen, grafiquen y comparen. La ecuación 7.8e se puede reagrupar para dar este factor. Despejando la ecuación 7.8e para Ke: KE  Pcd2 4 HPdn `l 3 (7.12a) Sustituyendo la ecuación 7.6d de la carga P para introducir la presión media pprom de la película. Capítulo 7 KE  COJINETES Y LUBRICACIÓN ppromldcd2 d 1 ¨¥ pprom ´ ¥ d ´ 2 ¥ cd ´ 2 · 1 ON  ©¦ ¸ µ 4 HP dn al 3 d 4 P ©ª§ Hn a ¶ § l ¶ § d ¶ ¸¹ 4 P 503 (7.12b) El término entre corchetes es el factor de carga adimensional deseado o el número de Ocvirk ON. ¥ pprom ´ ¥ d ´ 2 ¥ cd ´ 2 ON  ¦  4 PKE µ § Hn a ¶ § l ¶ § d ¶ (7.12c) Esta ecuación contiene los parámetros sobre los cuales tiene control el diseñador e indica que cualquier combinación de esos parámetros, que genera el mismo número de Ocvirk, tiene la misma razón de excentricidad ε. La razón de excentricidad da una indicación de qué tan cerca se encuentra de la falla la película de aceite, puesto que hmín  cr(1  ε). Compare el número de Ocvirk con el número de Sommerfeld de la ecuación 7.6e. El concepto es el mismo. La figura 7-10 muestra una gráfica de la razón de excentricidad ε como una función del número de Ocvirk ON y también muestra datos experimentales de la referencia 13 para los mismos parámetros. La curva teórica se definió combinando las ecuaciones 7.12c y 7.8c. ;  2 ON  PE P 1 E 1 1 2 2 16E 2 E = 2 2 (7.13a) Una curva empírica se ajusta a través de los datos, la cual muestra que la teoría subestima la magnitud de la razón de excentricidad. La curva empírica se aproxima mediante razón de excentricidad E Ex 0.21394 0.38517 log ON 0.0008ON 60 efecto de desalineación y deflexión elástica razón de excentricidad en los extremos curva experimental (ec. 6.13b) curva teórica (ec. 6.13a) Número de Ocvirk ON FIGURA 7-10 Relación analítica y experimental entre la razón de excentricidad E y el número de Ocvirk ON. Fuente: G.B. Dubois y F.W. Ocvirk, “The Short Bearing Approximation for Plain Journal Bearings”, Trans. ASME, vol. 77, pp. 1173-1178, 1955 (7.13b) 7 504 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 200 100 pmáx pprom experimental / razón 50 30 20 pmáx pprom teórica / 10 Ts / T0 experimental 5 3 2 Ts 0 0 10 20 30 40 50 60 70 / T0 teórica 80 90 100 número de Ocvirk FIGURA 7-11 Razones de presión y razones de torque para cojinetes cortos, en función del número de Ocvirk Los cálculos de carga, torque, presiones promedio y máxima en la película de aceite, y otros parámetros del cojinete se realizan con este valor empírico de ε en las ecuaciones 7.7 a 7.11, en tanto que el espesor mínimo de la película se determina con la ecuación 7.4b. Se pueden crear otras razones adimensionales a partir de las ecuaciones 7.7 a 7.11 para utilizarlas como ayudas de diseño. La figura 7.11 muestra razones de pmáx / pprom, y Ts / T0 como una función del número de Ocvirk, tanto de valores teóricos como experimentales de ε. La figura 7-12 presenta la variación teórica y experimental en los ángulos θmáx y φ con el número de Ocvirk. Procedimientos de diseño La carga y la rapidez normalmente se conocen. Si el eje se diseñó para esfuerzo o deflexión, se conocerá su diámetro. Se debería elegir la longitud del cojinete o la razón l / d con base en consideraciones de alojamiento. Razones de l / d más grandes darán presiones 180 Qmáx experimental 160 140 ángulo (grados) 7 Qmáx analítica 120 100 80 F analítica 60 40 20 F experimental 0 0 10 20 30 40 50 60 Número de Ocvirk FIGURA 7-12 Ángulos Qmáx y F en función del número de Ocvirk 70 80 90 100 Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 505 más bajas en la película, pero todo lo demás queda igual. La razón de tolerancia se define como cd / d. Las razones de tolerancia usualmente se encuentran en el rango de 0.001 a 0.002 y algunas veces tan altas como 0.003. Razones de tolerancia más grandes incrementarán rápidamente el número de Ocvirk ON, ya que cd / d se eleva al cuadrado en la ecuación 7.12c. Números de Ocvirk mayores darán presiones, excentricidad y torque más grandes, como se observa en las figuras 7-10 y 7-11; no obstante, esos factores crecen más lentamente con un ON más grande. Una ventaja de las razones de tolerancia más grandes es un flujo mayor de lubricante, lo cual favorece el enfriamiento. Razones de l / d grandes quizá requieran razones de tolerancia más grandes para el alojamiento de la deflexión del eje.* Se puede elegir un número de Ocvirk y la viscosidad requerida del lubricante obtenerse a partir de las ecuaciones 7.7 a 7.11. Generalmente se requerirá iteración para obtener un diseño equilibrado. Si las dimensiones del eje aún no se han determinado, el diámetro y la longitud del cojinete se determinan iterando las ecuaciones del cojinete con un número de Ocvirk supuesto. Se debe elegir un lubricante candidato y obtener su viscosidad para las temperaturas de operación supuestas, a partir de gráficas como la de la figura 7-1. Después de que se diseña el cojinete, se realiza un análisis del flujo del fluido y de transferencia de calor, con la finalidad de determinar las rapideces del flujo de aceite y requeridas pronosticar las temperaturas de operación. Estos aspectos no se tratan aquí por falta de espacio, pero se recomienda consultar las referencias 3 y 10. 7 La elección del número de Ocvirk ejerce una influencia significativa sobre el diseño. G. B. Dubois propuso algunos lineamientos sugiriendo que el número de carga ON  30 (ε  0.82) se considere el límite superior para carga “moderada”, ON  60 (ε  0.90), un límite más alto para carga “pesada”, y ON  90 (ε  0.93), el límite para carga “severa”. Para números de carga arriba de 30, se debería tener cuidado para controlar cuidadosamente las tolerancias de manufactura, los acabados superficiales y las deflexiones. Para aplicaciones de cojinetes en general, es probablemente mejor permanecer debajo de un ON  30, aproximadamente. El procedimiento de diseño se ilustra mejor con un ejemplo. EJEMPLO 7-1 Diseño de un cojinete de manguito para un diámetro de eje definido Problema Diseñe cojinetes de manguito para sustituir los cojinetes de rodamiento sobre el eje mostrado en la figura 6-5 (repetida al reverso). El eje se diseñó en el ejemplo 6-1 (p. 422). Se proporciona Las cargas transversales máximas sobre el eje en los cojinetes son de 16 lb en R1 y de 54 lb en R2. Como la carga en R2 es 4X la de R1, se podría hacer un diseño para R2 y utilizarlo también para R1. Los diámetros del eje en R1 y R2 son de 0.591 in. La rapidez del eje es de 1 725 rpm. Los cojinetes son estacionarios. Suposiciones Emplee una razón de tolerancia de 0.0017 y una razón l / d igual a 0.75. Mantenga el número de Ocvirk en 30 o más abajo, de preferencia en alrededor de 20. Obtenga La razón de excentricidad del cojinete, la presión máxima y su ubicación, el espesor mínimo de la película, el coeficiente de fricción, el torque y la pérdida de potencia en el cojinete. Seleccione el lubricante adecuado para operar a 190 oF. Solución Véase la figura 6-5 en la página siguiente. 1. Convierta la velocidad proporcionada en rpm a rps y determine la velocidad tangencial U. * Observe que si el cojinete es lo suficientemente corto para prevenir el contacto del metal en sus extremos, provocado por la pendiente o deflexión del eje, entonces se puede considerar que el cojinete da apoyo simple al eje. 506 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado q = 6.75 c = 6.5 plano de F1 y F2 b=5 p = 2.0 A B C a 1.5 3.5 D s 1.5 d2 B d0 y 1.5 Plano de Fg F1 Fg d2 d1 20o d3 C polea cuña 6 eje z Rx 6 x cojinete anillo circular Ry D A engrane engrane polea bastidor 7 R1y F2 R2y no está a escala F I G U R A 6 - 5 Repetida Geometría de un diseño preliminar para los ejemplos 6-1 a 6-3 n a  1 725 rev ¥ 1 min ´  28.75 rps min § 60 seg ¶ U = Pdn a  P0.591 28.75  53.38 in/seg (a) 2. Las tolerancias diametral y radial se calculan a partir del diámetro dado y de las razones de tolerancias supuestas: cd  0.00170.591  0.0010 in cr  cd 2  0.0005 in (b) 3. La longitud del cojinete se obtiene a partir de la razón l / d supuesta de 0.75. l  0.750.591  0.443 in (c ) 4. Obtenga la razón de excentricidad experimental a partir de la ecuación 7.13b (p. 503) o de la figura 7-10 (p. 503) usando el valor sugerido de ON  20. Ex 0.21394 0.38517 log ON 0.21394 0.38517 log 20 0.0008ON 60 0.000820 60  0.747 (d ) 5. Obtenga el parámetro adimensional Kε, con la ecuación 7.12c (p. 503). KE  ON 20   1.592 4P 4P (e) Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 507 6. La viscosidad η del lubricante requerida para soportar la carga P de diseño se determina ahora reagrupando la ecuación 7.8b: H Pcr2 K EUl 3  540.0005 2 1.59253.38 0.443 3  1.825 E 6 reyn  1.825 Mreyn (f) Entre a la figura 7-1 (p. 490) para que vea que aproximadamente un aceite ISO VG 100 dará este valor a 190 °F. Este aceite es equivalente a un aceite SAE 30W para motor de gasolina. 7. La presión promedio en la película de aceite se obtiene con la ecuación 7.6d (p. 499). pprom  P 54   206 psi ld 0.4430.591 ( g) 8. El ángulo θmáx al cual la presión es máxima se calcula con la ecuación 7.7c usando el valor experimental de ε  0.747, ¥1 Q máx  cos 1 ¦ ¦ § 1 24 E 2 4E ´ µ  cos µ ¶ ¥ 1 240.747 1¦ 1 2 40.747 ¦ § ´ µ  159.2o µ ¶ (h) o bien, se puede leer en la curva experimental de la figura 7-12 (p. 504) para ON  20 como 159°. 9. La presión máxima se obtiene sustituyendo θmáx en la ecuación 7.7b con z  0, ya que es máxima en el centro de la longitud l del cojinete. p  HU ¥ l 2 ¦ rcr2 § 4 ´ 3E sen Q z2 µ ¶ 1 E cos Q 3 1.825E 6 53.38 ¥ 0.443 2 0.2960.000 5 2 ¦ § 4 ´ 30.747 sen 159.2o 02 µ ¶ 1 0.747 cos159.2o 3  1878 psi (i ) o bien, se puede leer la razón pmáx / pprom en la curva experimental de la figura 7-11 (p. 504) para ON  20 como 9.1 y multiplicarla por la pprom del inciso (g) anterior, para llegar al mismo resultado. 10. Obtenga el ángulo φ, el cual se ubica en el eje de θ  0 a π, con respecto a la carga aplicada P, a partir de la ecuación 7.8a (p. 500). ¤ P 1 E2 F  tan 1 ¥ ¥ 4E ¦ ³ ´  tan ´ µ 0.747 2 ³ ¤ 1 ¥ ¦ 40.747 1¥ P ´  34.95n ´ µ (j) 11. Ahora se determinan los torques estacionario y giratorio a partir de las ecuaciones 7.9a y 7.9b (p. 501) con el ángulo φ. Ts  H d 3l n2a Tr  T s 1 cd  1.825 E P2 n1a 6 E2 12 0.591 3 0.443 28.75 0 P e sen F  0.0713 0.001 P2  1 0.747 2 12  0.071 3 lb - in 540.000 37 sen 34.95o  0.082 8 lb - in (k ) (l ) 7 508 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 12. La pérdida de potencia del cojinete se obtiene con la ecuación 7.10 (p. 502). &  2 PTr n2a n1a  2 P0.082 8 28.75 0  14.96 in - lb  0.002 hp seg (m) 13. El coeficiente de fricción en el cojinete se obtiene a partir de la razón entre la fuerza cortante y la fuerza normal, usando la ecuación 7.11 (p. 502). M 2Tr 20.082 8   0.005 540.591 Pd (n) 14. El espesor mínimo de la película se calcula con la ecuación 7.4b (p. 497). hmín  cr 1 E  0.00051 0.747  0.000 126 in (126 Min) (o) Éste es un valor razonable, ya que la rms compuesta de la aspereza superficial (ecuación 7.4a de la p. 497) necesita ser no mayor de un tercio a un cuarto del espesor mínimo de la película para eliminar el contacto entre las asperezas (véase la figura 7-13 de la p. 509) y un acabado Rq de 30 a 40 μin o mejor se obtiene fácilmente con laminación, esmerilado o afilado de precisión. 7 15. Se calcula un factor contra el contacto entre las asperezas resolviendo hacia atrás el modelo, con un espesor mínimo de la película igual al acabado superficial promedio supuesto de, por decir, 40 μin, y determinando qué número de Ocvirk y una carga P serían requeridos para reducir el espesor mínimo de la película de aceite en ese valor. Esto se hizo fácilmente en el modelo cambiando hmín y η al estatus de entradas P y ON al estatus de salida, lo cual da un valor estimado para ON, e iterando para obtener una solución. El resultado es: cuando hmín  40 Min, y ON  72.2, E  0.92, 195 lb N=  3.6 54 lb P  195 lb p lo cual es una reserva aceptable para las sobrecargas. 16. Si este cálculo del factor de seguridad hubiera indicado que una pequeña sobrecarga pondría en problemas el cojinete, el rediseño de éste con un número de Ocvirk menor daría más margen contra la falla por sobrecargas. La ecuación 7.12c, repetida abajo como (q), muestra lo que se podría cambiar para reducir ON: ¥ pprom ´ ¥ d ´ 2 ¥ cd ´ 2 ON  ¦ µ § Hn a ¶ § l ¶ § d ¶ (q) Se requeriría alguna combinación de disminución de la razón de tolerancia, disminución de la razón d / l o el uso de un aceite con viscosidad más alta. Suponiendo que la velocidad giratoria, la carga y el diámetro del eje se mantienen sin cambio, se podría incrementar la longitud del cojinete, o bien, reducir la tolerancia diametral e incrementar η para mejorar el diseño. 17. Los modelos EX11-01A (con la solución del ejemplo) y EX11-01B (con el cálculo del factor de seguridad con sobrecarga) se encuentran en el CD-ROM. 7.7 CONTACTOS NO CONCORDANTES Los contactos no concordantes, como los dientes de engrane, las juntas leva-seguidor y los cojinetes de rodamiento (bolas, rodillos), pueden operar en modos de lubricación límite, mixta o elastohidrodinámica (EHD). El factor principal que determina cuál de Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 509 estas situaciones se presentará es el espesor específico Λ de la película, que se define como el espesor mínimo de la película en el centro de la huella, dividido entre la rms compuesta de la aspereza superficial de ambas superficies. ,  hc Rq21 Rq22 (7.14a) donde hc es el espesor de la película de lubricante en el centro de la huella de contacto, mientras Rq1 y Rq2 son la rms promedio de la aspereza de las dos superficies en contacto. El denominador de la ecuación 7.14a se conoce como aspereza superficial compuesta. (Véase la sección 5.1 en la p. 351 para el análisis de la aspereza superficial.) El espesor de la película en el centro de la huella de contacto se puede relacionar con el espesor mínimo de la película hmín en el borde de salida del contacto por hc 4 hmín 3 (7.14b) 7 3.5 1.0 0.9 carga de 400 N (90 lb) 0.8 carga de 220 N (45 lb) 0.7 3.0 vida relativa de fatiga fracción de tiempo donde hay contacto metal-metal La figura 7-13a muestra la frecuencia de la aspereza, medida experimentalmente dentro de un espacio EHD, en función del espesor específico de la película.[28] Cuando Λ  1, las superficies están en contacto continuo metal-metal, es decir, en lubricación límite. Cuando Λ  de 3 a 4, prácticamente no hay contacto entre las asperezas. Entre estos valores hay alguna combinación de condiciones de lubricación EHD y límite. La mayoría de contactos hertzianos en engranes, levas y cojinetes de rodamiento funcionan en esta región parcial EHD (lubricación mixta) de la figura 7-2 (p. 491).[17] De la figura 7-13a se concluye que Λ necesita ser  1 para que inicie la EHD parcial[17] y  3 a 4 para una EHD de película completa.[16],[17] Las condiciones efectivas para EHD parcial inician en aproximadamente Λ  2 y si Λ  1.5, ello indica una condición efectiva de lubricación límite, donde se presenta un contacto significativo entre las asperezas. 0.6 0.5 0.4 0.3 2.5 2.0 1.5 1.0 0.2 0.5 0.1 0 0 0 1 2 3 4 espesor específico , de la película (a) Penetración en la película EHD de las asperezas superficiales (ref 28) 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 espesor específico , de la película (b) Efecto del espesor de la película sobre la vida de fatiga (ref. 29) FIGURA 7-13 Efecto del espesor específico , de la película sobre los contactos entre asperezas y vida de fatiga 510 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La figura 7-13b muestra el efecto del espesor específico de la película sobre la vida de fatiga de un cojinete de bolas.[29] La ordenada define la razón de vida esperada sobre la vida pronosticada del cojinete por el fabricante. Esta gráfica también presenta la conveniencia de mantener Λ  1.5 para obtener la vida pronosticada en el catálogo. Un pequeño incremento en Λ de 1.5 a 2 duplicaría la vida de fatiga. Un aumento mayor en Λ produce un efecto menos significativo sobre la vida de fatiga, y puede causar una fricción mayor, debido a las pérdidas por expulsión, que reducen la viscosidad si se utiliza un aceite más pesado para obtener un mayor Λ. H  H0 e Ap (7.15a) donde η0 es la viscosidad absoluta (reyn [Pa-s]) a presión atmosférica y p es la presión (psi [Pa]). Una expresión aproximada para el exponente presión-viscosidad α para Aceite mineral a 50°C (122°F) Silicones a 73.9°C (165°F) Viscosidad absoluta, centipoises 7 La aspereza superficial es muy fácil de medir y controlar. El grosor de la película del lubricante es más difícil de pronosticar. En el capítulo 5 se analiza el cálculo de la presión hertziana en la superficie de contacto y se demuestra que las presiones en la zona de contacto en materiales rígidos que no se amoldan perfectamente (teóricamente, un punto o una línea) son muy altas, por lo general tan altas como de 80 a 500 kpsi (0.5 a 3 GPa), cuando ambos materiales son de acero. Alguna vez se creyó que los lubricantes no podrían soportar estas presiones y, por lo tanto, no separarían las superficies de los metales. Ahora se sabe que la viscosidad es una función exponencial de la presión, y que con presiones de contacto típicas el aceite se vuelve básicamente tan rígido como los metales que separa. La figura 7-14 muestra la relación viscosidad-presión de varios lubricantes comunes en una gráfica semilogarítmica. La curva de aceites minerales puede aproximarse con Diésteres a 54.4°C (130°F) Aceite mineral a 68.3°C (155°F) Diésteres a 73.3°C (164°F) Presión, psi × 1000 FIGURA 7-14 Viscosidad absoluta contra presión de varios aceites lubricantes Fuente: Comité de la ASME para la Investigación de la Lubricación. “Pressure Viscosity Report, vol. 11”, 1953. Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 511 aceites minerales es (con unidades de υ0  in2/s[m2/s], η0  reyn [Pa-s], y ρ  lb-s2/in4 [N-s2/m4]:[27] A 7.74 E ¤U ³ 4¥ 04 ´ ¦ 10 µ 0.163 7.74 E ¤ H0 4¥ ¥ R 10 4 ¦  ³ ´ ´ µ 0.163 (7.15b) CONTACTO CILÍNDRICO Dowson y Higginson[18],[19] determinaron una fórmula para el espesor mínimo de la película en un contacto EHD entre rodillos cilíndricos como hmín  2.65 R aAE a H0U ´ 0.7 ¥ P ´ 0.13 § E aRa ¶ § lE aRa ¶ 0.54 ¥ (7.16) donde P es la carga transversal (lb[N]), l es la longitud del contacto axial (in[m]), U  velocidad media (U1  U2) / 2 (in/s [m/s]), η0 es la viscosidad absoluta del lubricante (reyn [Pa-s]) a presión atmosférica y temperatura de operación, y α es el exponente de presión-viscosidad para el lubricante específico de la ecuación 7.15b. Las expresiones entre paréntesis en la ecuación 7.16 son razones adimensionales proporcionadas, de acuerdo con las unidades de sus componentes, para que sean consistentes con las unidades ips o SI indicadas, de modo que el espesor resultante de la película se obtiene en pulgadas o metros. El radio R’ efectivo se define como 1 1  R` R1x 1 R2 x (7.17a) donde R1x y R2x son los radios de las superficies en contacto en dirección del rodamiento. El módulo efectivo se define como E`  2 m1 m2  N12 1 2 E1 (7.17b) 1 N 22 E2 donde E1 y E2 son los módulos de Young y ν1 y ν2 son las razones de Poisson de los materiales. CONTACTO GENERAL En los puntos de contacto, en general, la huella de contacto es una elipse como se vio en el capítulo 5. La elipse de contacto se define por las dimensiones a, y b, de sus semiejes mayor y menor, respectivamente. El contacto entre dos esferas, o entre una esfera y una placa plana, tiene una huella de contacto circular, la cual es un caso especial de contacto elíptico donde a  b. Hamrock y Dowson[21] desarrollaron una ecuación para el espesor mínimo de la película en puntos de contacto generales: hmín  3.63 R aAE a H0U ´ 0.68 1 e § E aRa ¶ 0.49 ¥  0.68Y ¨ P © ©ª E a Ra · 2¸ ¸¹ 0.073 (7.18) donde ψ es la razón elipsoidal de la huella de contacto a / b (véase la sección 5.10 en la p. 378). En todas estas ecuaciones, el espesor de la película depende más de la rapidez y la viscosidad del lubricante, y además de que es relativamente insensible a la carga. La figura 7-15 muestra gráficas de distribuciones de presión y espesor de la película, para condiciones de carga ligeras y pesadas, en un contacto EHD entre los rodillos de acero lubricados con aceite mineral.[22] Observe que la presión del fluido es la misma que la 7 512 DISEÑO DE MÁQUINAS presión - Un Enfoque Integrado presión curva de presión hertziana 7 espesor de la película espesor de la película (a) Condiciones de carga ligera (b) Condiciones de carga pesada FIGURA 7-15 Distribución de presión y espesor de la película en una junta EHD. Fuente: D. Dowson y G. Higginson, “The Effect of Material Properties on the Lubrication of Elastic Rollers”, J. Mech. Eng. Sci., vol. 2, núm. 3, 1960, con autorización presión de contacto seco de Hertz, excepto para la presión pico que se presenta conforme el espesor de la película se contrae cerca de la salida. Salvo para esa contracción local, el espesor de la película es básicamente constante a través de la huella de contacto. Las ecuaciones 7.16, 7.17 y 7.18 permiten calcular un espesor mínimo de película para juntas de contacto sin ajuste perfecto, como en un par de engranes, leva-seguidor o cojinetes de rodamiento. El espesor específico de película de la ecuación 7.14 indicará si en el contacto se podría esperar una lubricación EHD o una lubricación límite. Se necesitan aditivos EP si no hay una presión EHD. EJEMPLO 7-2 Lubricación en el punto de contacto de una leva-seguidor con corona Problema En el ejemplo 5-3 (p. 381), se analizaron la geometría de la huella de contacto y los esfuerzos de contacto para un sistema leva-seguidor. Determine el parámetro de espesor de la película y la condición de lubricación para un rodillo esmerilado que opera contra una leva esmerilada y una leva maquinada. Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 513 Se proporciona El radio del seguidor de rodillo es de 1 in con una corona de 20 in de radio a 90o del radio del rodillo, con una rms de aspereza superficial Rq = 7 Min. El radio de curvatura mínimo de la leva es de 1.72 pulgadas, en la dirección del rodamiento. Es plana axialmente. Forma una huella de contacto elíptica con la leva. Las mitades de las dimensiones de esta elipse son a = 0.0889 in y b = 0.0110 in. La velocidad angular de la leva es de 18.85 rad/seg y el radio de su superficie en el punto de radio de curvatura mínimo es de 3.92 in. La temperatura de la masa de aceite es de 180 oF. La leva rectificada tiene una rms de aspereza superficial de Rq = 7 Min y la leva maquinada tiene un Rq = 30 Min. Suposiciones Intente con un aceite ISO VG 460 con una gravedad específica supuesta de 0.9. El rodillo tiene un deslizamiento del 1% contra la leva. Obtenga El espesor específico de la película y la condición de lubricación para el lubricante supuesto y la viscosidad requerida del lubricante, para obtener condiciones parciales o completas EHD para cada leva, si es posible. Solución Véase la figura 7-16. 1. La figura 7-1 (p. 490) proporciona la viscosidad de un aceite ISO VG 460 de aproximadamente 6.5 μreyn a 180 °F. 2. Calcule la densidad de masa ρ del aceite a partir de la gravedad específica SG del aceite y la densidad de peso del agua. G lb ¥  0.9¦ 0.036 11 3 § g in R  SG 386 in ´ µ  84.2 E seg2 ¶ 6 lb seg2 blob o 4 in in 3 ( a) 3. Determine el exponente presión-viscosidad aproximado α a partir de la ecuación 7.15b (p. 511). A 7.74 E ¤ H0 4¥ ¥ R 10 4 ¦  ³ ´ ´ µ 0.163 7.74 E ¤ 6.5 E 6 4¥ ¥ 84.2 E 6 10 4 ¦  ³ ´ ´ µ 0.163  1.136 E 4 (b) 4. Obtenga el radio efectivo a partir de la ecuación 7.17a (p. 511). 1 1  R ` R1 x 1 1  R2 x 1 1 1.720 R `  0.632 in (c) 5. Calcule el módulo efectivo de elasticidad a partir de la ecuación 7.17b (p. 511). E`  1 N12 E1 2 1 N 22 E2  1 0.28 3E 7 2 2 1 0.282 3E 7  3.255 E 7 (d ) 6. Determine la velocidad promedio U. El rodillo tiene 99% de la velocidad de esta leva. U2  rW  3.92 in 18.85 rad seg  73.892 in seg U1  0.99U2  0.9973.892  73.153 in seg U  U1 + U2 2 = 73.892 73.153 2  73.523 in seg (e ) 7. Obtenga la razón elipsoidal  eje mayor / eje menor. El eje menor se encuentra en la dirección del rodamiento en este caso. Y  a b  0.0889 0.0110  8.082 (f) 7 514 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado espesor específico , de la película preferencia EHD película completa 4.0 leva rectificada 3.0 deseada EHD mixta-parcial leva maquinada 2.0 1.0 lubricación límite 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 6.5 viscosidad absoluta Mreyn FIGURA 7-16 7 Variación del espesor específico , de la película con la viscosidad H0 del lubricante del ejemplo 6-2 8. Determine el espesor mínimo de la película a partir de la ecuación 7.18 (p. 511). hmín  3.63 R aAE a H0U ´ 0.68 1 e § E aR a ¶  0.49 ¥  3.630.632 ;1.136 E ; – 1 e 43.255 E 7 0.688.082 0.68 Y ¨ P © ©ª E a R a 0.073 · ¸ 2 ¸¹ =0.49 © 3.255E 7 0.632 6 73.523 · ¸ ¹ ¨ 6.5 E ª ¨ 250 © ©ª 3.255 E 70.632 = · 2¸ ¸¹ 0.68 0.073  16.6 Min ( g) 9. Convierta este valor mínimo en la salida para un espesor aproximado en el centro de la huella de contacto con la ecuación 7.14b (p. 509). hc 4 4 hmín  16.6  22.2 Min 3 3 ( h) 10. Los valores del espesor específico de la película para cada leva se obtienen ahora a partir de la ecuación 7.14a (p. 509). leva rectificada: ,  hc Rq21 Rq22  22.2 ,  hc Rq21 Rq22 72 72  2.24 (i ) leva maquinada:  22.2 7 2 2 30  0.72 lo cual indica que la leva laminada se encuentra en lubricación límite y la leva maquinada en lubricación EHD parcial con el aceite especificado. Éstas son condiciones comunes para levas rectificadas o maquinadas, respectivamente, que operan sobre un rodillo seguidor rectificado. 11. Para determinar la viscosidad del aceite que sería necesaria para poner cada sistema en condición EHD parcial o completa, se resolvió el modelo para un intervalo de posibles valores para η0 de 0.5 a 16 μreyn, como se muestra en la figura 7-1 (p. 490) a 180 °F. La gráfica de los resultados en la figura 7-16 (p. 514) muestra que se Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 515 necesita un aceite con η0  14 μreyn para poner esta leva rectificada en lubricación EHD completa, y que un aceite con η0  10 μreyn llevará a la leva maquinada a un Λ  1 y hacia el valor inferior del régimen de lubricación EHD mixto-parcial. No obstante, ninguno de los aceites mostrados en la figura 7-1 (p. 490) ofrece Λ  4 para una EHD de película completa en la leva maquinada. 12. Los archivos EX11-02 se encuentran en el CD-ROM. 7.8 COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES Los rodillos se conocen como un medio para mover objetos pesados desde tiempos remotos, y hay evidencia del uso de cojinetes de bolas de empuje en el primer siglo a.C.; no obstante, fue hasta el siglo XX que la mejora en los materiales y la tecnología de manufactura permitió que se obtuvieran cojinetes de rodamiento de precisión. La necesidad de mayores rapideces, con resistencia a temperaturas más altas en cojinetes de baja fricción, fue provocada por el desarrollo de turbinas de gas para la aviación. Muchos trabajos de investigación desde la Segunda Guerra Mundial han dado como resultado que cojinetes de rodamiento (REB) de alta calidad y alta precisión estén disponibles a un costo bastante razonable. Es interesante notar que, a partir de los primeros diseños de principios del siglo XX, los cojinetes de bolas y rodillos se estandarizaron mundialmente en medidas métricas. Por ejemplo, es posible eliminar un REB del montaje de la rueda de un viejo automóvil fabricado en casi cualquier país en la década de 1920, y encontrar el repuesto adecuado en un catálogo de cojinetes actual. El nuevo cojinete estará bastante más mejorado que el original, en términos de diseño, calidad y confiabilidad, pero con las mismas dimensiones externas. MATERIALES La mayoría de los cojinetes de bolas modernos se hacen con acero AISI 5210 y endurecido en alto grado, ya sea total o superficialmente. Esta aleación cromo-acero se puede endurecer completamente hasta HRC 61-65. Los cojinetes de rodillos se fabrican a menudo con aleaciones de acero AISI 3310, 4620 y 8620, con recubrimiento endurecido. Las mejoras recientes en los procesos de fabricación del acero dieron como resultado cojinetes de acero con niveles de impurezas reducidos. Los cojinetes elaborados con estos aceros “limpios” tienen vida y confiabilidad significativamente mejoradas. Aun cuando siempre se ha considerado que los cojinetes de rodamiento tienen vidas de fatiga finitas y los “estándares” todavía son así, los REB fabricados con aceros “limpios” han mostrado evidencia reciente de un límite de resistencia de vida infinita en fatiga superficial.[23] MANUFACTURA Los cojinetes de elementos rodantes son elaborados por los principales fabricantes alrededor del mundo, en dimensiones estándares, definidas por la Asociación de Fabricantes de Cojinetes Anti-Fricción (AFBMA) y/o la Organización Internacional de Estándares (ISO); por lo tanto, son intercambiables. Uno puede asegurar que con la selección de un cojinete con estos estándares se garantiza razonablemente la reparación del montaje en el futuro, incluso si el fabricante sale del negocio. Los estándares AFBMA para el diseño de cojinetes han sido adoptados por el Instituto Nacional Estadounidense de Estándares (ANSI). Una parte de la información de esta sección se tomó del estándar 9-1990 para cojinetes de bolas[24] y del estándar 11-1990 sobre cojinetes de rodamiento[25] de la ANSI/AFBMA. Los estándares también definen clases de tolerancias para cojinetes. Los cojinetes radiales están clasificados por la ANSI como clases de tolerancias ABEC-1 a 9, incrementando la precisión con el número de clase. ISO define las clases 6 a 2, donde la precisión varía inversamente con el número de clase. El costo se incrementa con el aumento de la precisión. 7 516 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Comparación de cojinetes rodantes y deslizantes Tabla 7-4 Coeficientes típicos de fricción para cojinetes de elementos rodantes* Tipo M Los cojinetes de rodamiento tienen varias ventajas sobre los cojinetes de contacto deslizantes y viceversa. Hamrock[26] lista las siguientes ventajas de los cojinetes rodantes sobre los cojinetes deslizantes: 1. baja fricción en el arranque y la operación, μestático ≅ μdinámico en el intervalo de 0.001 a 0.005 Autoalineación, de bolas 0.0010 Cilíndrico, de rodillos 0.0011 Empuje, de bolas 0.0013 Ranura profunda, de bolas 0.0015 Esférico, de rodillos 0.0018 Cónico, de rodillos 0.0018 6. se puede sellar el lubricante dentro del cojinete y “lubricar de por vida” Aguja, de rodillos 0.0045 7. usualmente se requiere menos espacio en dirección axial 2. pueden soportar cargas radiales y de empuje combinadas 3. menos sensibilidad a las interrupciones de lubricación 4. no hay inestabilidades de autoexcitación * Fuente: Palmgren, A., Ball and Roller Bearing Engineering, 2a. ed., S.H. Burbank Co., Phila., 1946 5. buen arranque a bajas temperaturas Las siguientes son las desventajas de los cojinetes de rodamiento, comparadas con los cojinetes deslizantes hidrodinámicos con ajuste perfecto:[26] 1. los cojinetes rodantes pueden fallar, con el tiempo, por fatiga 7 2. requieren más espacio en la dirección radial 3. capacidad de amortiguamiento deficiente 4. mayor nivel de ruido 5. algunos tienen requerimientos de alineación más severos 6. costo alto Tipos de cojinetes de elementos rodantes Anillo exterior Anillo interior Jaula Bola (a) Cojinete de bolas, pista-profunda (Conrad) Anillo exterior Anillo interior Bola Jaula (b) Cojinete de bolas, contacto-angular FIGURA 7-17 Cojinetes de bolas. Cortesía de NTN Corporation Los cojinetes de elementos rodantes se agrupan en dos grandes categorías, cojinetes de bolas y cojinetes de rodillos; ambos con muchas variantes dentro de esas divisiones. Los cojinetes de bolas son más adecuados para aplicaciones pequeñas de alta rapidez. Para sistemas grandes, con cargas pesadas, son preferibles los cojinetes de rodillos. Si es posible que se presenten desalineaciones entre el eje y la carcasa, entonces se necesitan cojinetes de autoalineación. Los cojinetes de rodillos cónicos son capaces de manejar cargas pesadas, tanto en la dirección radial como en la dirección de empuje, a rapideces moderadas. En situaciones de cargas pesadas radiales y de empuje a grandes velocidades, lo mejor son los cojinetes de bolas con pista profunda. En la tabla 7-4 se presentan los coeficientes de fricción de varios tipos de cojinetes. COJINETES DE BOLAS Aprisionan varias esferas de acero endurecido y esmerilado entre dos canaletas: una interior y una exterior, para cojinetes radiales; o superior e inferior, para cojinetes de empuje. Se utiliza un retén (también llamado jaula o separador) para mantener las bolas adecuadamente espaciadas alrededor de las pistas, como se indica en la figura 7-17. Los cojinetes de bolas pueden soportar cargas radiales y de empuje combinadas, con niveles de variación, lo que depende de su diseño y su construcción. La figura 7-17a muestra un cojinete de bolas de pista profunda, o tipo Conrad, que soporta cargas radiales y cargas de empuje moderadas. La figura 7-17b presenta un cojinete de bolas de contacto angular, diseñado para manejar cargas de empuje más grandes en una dirección, así como cargas radiales. Hay algunos cojinetes de bolas que vienen de la fábrica con escudos, para mantener afuera la materia extraña, y sellos, para retener el lubricante. Los cojinetes de bolas son más adecuados para tamaños pequeños, rapideces altas y cargas más ligeras. COJINETES DE RODILLOS Utilizan entre las pistas de rodillos rectos, cónicos o contorneados, como se ilustra en la figura 7-18. En general, los cojinetes de rodillos pueden Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 517 soportar cargas estáticas y dinámicas (de choque) más grandes que los cojinetes de bolas, debido a su línea de contacto, a la vez que son menos costosos en tamaños mayores y cargas más pesadas. A menos que los rodillos sean cónicos o contorneados, pueden soportar una carga en una sola dirección, sea radial o de empuje, de acuerdo con el diseño del cojinete. La figura 7-18a muestra un cojinete de rodillos cilíndricos rectos, diseñado para soportar sólo cargas radiales. Tiene fricción muy baja y flota axialmente, lo cual puede ser una ventaja en ejes grandes, donde la expansión térmica carga con un par de bolas del cojinete en la dirección axial, si no se monta adecuadamente. La figura 7-18b muestra un cojinete de aguja que usa rodillos de diámetro pequeño, a la vez que puede o no tener una pista o jaula interior. Sus ventajas son mayor capacidad de carga debido al complemento total de los rodillos y su dimensión radial compacta, sobre todo si se utiliza sin una pista interior. En estos casos, los ejes contra las que giran los rodillos se deben endurecer y esmerilar. Aun cuando el cojinete de aguja, con complemento total, tiene capacidad de carga más alta, también posee una mayor tasa de desgaste que uno con menos rodillos separados por una jaula para prevenir el frotamiento entre uno y otro. La figura 7-18c ilustra un cojinete de rodillos cónicos diseñado para soportar cargas de empuje y radiales grandes, los cuales se utilizan con frecuencia como cojinetes en las ruedas de automóviles y camiones. Los cojinetes de rodillos cónicos (y otros) se separan axialmente, lo que hace más fácil el montaje que en los cojinetes de bolas que normalmente se ensamblan de forma permanente. La figura 7.18d muestra un cojinete de rodillos esféricos de autoalineación, lo cual evita que se generen momentos en el cojinete. Anillo exterior Anillo interior Jaula Rodillo (a) Cojinete de rodillos cilíndricos Anillo exterior Rodillo Jaula 7 (b) Cojinete de rodillos de aguja COJINETES DE EMPUJE Los cojinetes de bolas y de rodillos también están fabricados para cargas de empuje puro, como se indica en la figura 7-19. Los cojinetes de empuje de rodillos cilíndricos tienen mayor fricción que los cojinetes de empuje de bolas debido al deslizamiento que ocurre entre el rodillo y las pistas (porque sólo un punto sobre el rodillo puede cumplir con la velocidad lineal variable sobre los radios de las pistas), por lo que no se deberían utilizar en aplicaciones de alta velocidad. CLASIFICACIÓN DE COJINETES La figura 7-20 muestra una clasificación de los tipos de REB. Cada una de las categorías principales de bolas o rodillos se divide en las subcategorías radial y de empuje. Dentro de estas divisiones son posibles muchas variedades. Se proponen configuraciones de una o dos hileras, donde esta última ofrece mayor capacidad de carga. Se pueden elegir de contacto unidireccional o angular, donde el primero acepta una carga radial o una carga de empuje “puras”, en tanto que el segundo acepta una combinación de ambas. Los cojinetes de bolas de pistas profundas son capaces de manejar tanto cargas radiales grandes como cargas de empuje limitado en ambas direcciones, además de que son los que se usan más comúnmente. Los cojinetes de bolas de contacto angular soportan cargas de empuje más grandes que los cojinetes de bolas de pista profunda, aunque tan sólo en una dirección. Se utilizan frecuentemente en pareja para absorber cargas axiales en ambas direcciones. Los cojinetes de bolas de capacidad máxima tienen una ranura de relleno para permitir que se inserten más bolas, las que se pueden alojar por desplazamiento excéntrico de las pistas en el ensamble, tal como se hace en el cojinete de bolas de canaleta profunda (tipo Conrad); sin embargo, la ranura de relleno limita su capacidad de carga axial. Los diseños de autoalineación tienen la ventaja de adaptarse a cierto desalineación y también crean soporte simple para el eje. También tienen fricción muy baja. Si se utilizan cojinetes sin autoalineación sobre un eje, los soportes del cojinete deben alinearse con mucho cuidado, tanto colineal como angularmente, para evitar la creación de cargas residuales sobre los cojinetes en el montaje, lo cual acorta significativamente su vida. Anillo exterior Rodillo Jaula Anillo interior (c) Cojinete de rodillos cónicos Anillo exterior Anillo interior Rodillo Jaula (d) Cojinete de rodillos esféricos FIGURA 7-18 Tipos de cojinetes con rodillos. Cortesía de NTN Corporation 518 DISEÑO DE MÁQUINAS Anillo interior Bola - Un Enfoque Integrado La figura 7-21 muestra los intervalos de tamaños y clasificaciones de un fabricante de cojinetes, además de recomendaciones, en lo referente al uso de varios tipos de cojinete, como un ejemplo. Observe que hay unos cuantos tipos con dimensiones en pulgadas; no obstante, la mayoría sólo están disponibles en dimensiones métricas. Las columnas identificadas como Capacidad señalan la capacidad relativa para permitir cargas Jaula Anillo exterior Cojinetes de bolas de una fila con pista profunda (a) Cojinete de empuje de bolas Cojinetes de bolas de capacidad máxima Anillo interior Cojinetes de bolas de una fila de contacto angular Rodillo Cojinetes de bolas radiales Cojinetes de bolas dúplex de contacto angular Cojinetes de bolas de dos filas de contacto angular Jaula Cojinetes de bolas de cuatro puntos de contacto Anillo exterior 7 Cojinetes de bolas de autoalineación (b) Cojinete de empuje de rodillos Cojinetes de bolas de empuje en una dirección con respaldo plano FIGURA 7-19 Cojinetes de empuje. Cortesía de NTN Corporation Cojinetes de bolas de empuje en una dirección con anillo de asiento Cojinetes de empuje de bolas Cojinetes de bolas de empuje en dos direcciones con respaldo plano Cojinetes de bolas de empuje en dos direcciones con anillos de asiento Cojinetes de bolas de empuje de contacto angular en dos direcciones Cojinetes de rodillos cilíndricos de una fila Cojinetes de rodillos cilíndricos de dos filas Cojinetes de rodillo radiales Cojinetes de rodillos de aguja Cojinetes de rodillos cónicos de una fila Cojinetes de rodillos cónicos de dos filas Cojinetes de rodillos esféricos Cojinetes de empuje de rodillos cilíndricos Cojinetes de empuje de rodillos Cojinetes de empuje de rodillos de aguja Cojinetes de empuje de rodillos cónicos Cojinetes de empuje de rodillos esféricos FIGURA 7-20 Clasificación de los cojinetes de elementos rodantes. Cortesía de NTN Corporation Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 519 radiales y de empuje para cada tipo. La columna de Velocidad límite utiliza el cojinete tipo Conrad como el estándar de comparación, ya que tiene una de las mejores capacidades de alta velocidad. Consulte los catálogos de los fabricantes para información adicional sobre otros tipos y series de cojinetes. Hay muchos más de los que se muestran en estas figuras. TIPO INTERVALO DEL CLASIFICACIONES RELATIVAS PROMEDIO TAMAÑO EN Capacidad DesalineaPULGADAS Velocidad ción Diámetro Diámetro límite Radial Empuje permisible interior exterior TIPO CONRAD a a TIPO MÁXIMO a a Contacto angular a a Buena Excelente Contacto angular a a Excelente Buena AUTOALINEACIÓN a a Aceptable Aceptable ANILLO INTERIOR SEPARABLE NO UBICADO a a Excelente ANILLO INTERIOR COJINETES SEPARABLE DE RODILLOS UBICADO EN CILÍNDRICOS a a Excelente Deficiente a a Excelente Deficiente a a Buena Buena a a Buena Aceptable a a Excelente Buena a a Buena a a Buena BOLA DE UNA DIRECCIÓN Carrera con ranura a a Deficiente Excelente RODILLO CILÍNDRICO UNA DIRECCIÓN a a Excelente RODILLO ESFÉRICO DE AUTOALINEACIÓN a a Deficiente Excelente Buena Aceptable DISPONIBLE CON Escudos Sellos DIMENSIONES Chavetas Métrico circulares Pulgadas El tipo Conrad Tolerancia se toma como radial estándar ±0°8’. base de comparación Tolerancia C3 ±0°12’ 1.00 Excelente Deficiente Bolas Buena COJINETES DE BOLAS UNA DIRECCIÓN AUTOCONTENIDO UBICADO EN DOS DIRECCIONES COJINETES DE RODILLOS SEPARABLE CÓNICOS AUTO- COJINETES ALINEACIÓN DE RODILLOS ESFÉRICOS AUTO- 7 ALINEACIÓN Rodillos COJINETES DE AGUJA COJINETES DE EMPUJE COJINETES COMPLETOS con o sin ubicación de anillos y ranuras lubricantes COPA ABIERTA FIGURA 7-21 Información de desempeño, tamaño y disponibilidad relativos de cojinetes de rodamiento. Cortesía de FAG Bearings Corp., Stannford, Conn. 520 DISEÑO DE MÁQUINAS 7.9 - Un Enfoque Integrado FALLA DE COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES Si se proporciona suficiente lubricante limpio, la falla en los cojinetes de elementos rodantes se presentará por fatiga superficial, como se vio en el capítulo 5. Se considera que ocurre la falla cuando la pista o las bolas (rodillos) presentan el primer picado. Usualmente la pista fallará primero. El cojinete enviará una indicación audible de que el picado se ha iniciado emitiendo ruido y vibración. Se puede correr más allá de este punto, pero como la superficie continúa deteriorándose el ruido y la vibración se incrementan, lo que da como resultado la formación de escamación o fractura de los elementos rodantes, así como los posibles bloqueo y daño de otros elementos conectados. Si alguna vez le ha fallado el cojinete de una rueda de su automóvil, sabrá que de ahí surge el ruido intenso de un cojinete de rodamiento picado o escamado al extremo. Una muestra grande de cojinetes presentará amplias variaciones de vida entre sus miembros. Las fallas no se distribuyen estadísticamente de una forma simétrica gaussiana, sino de acuerdo con la distribución de Weibull, que es oblicua. Los cojinetes se comparan normalmente con base en la vida, definida en revoluciones (o en horas de operación a la rapidez de diseño), además de que se espera que el 90% de cojinetes de una muestra aleatoria alcancen o excedan su vida de operación con su carga de diseño. En otras palabras, se espera que el 10% del lote falle con esa carga antes de que se alcance la vida de diseño. Lo anterior se conoce como la vida L10.* Para aplicaciones críticas, se diseña para un porcentaje de falla menor, aunque la mayoría de los fabricantes han adoptado el estándar de vida L10 como un medio para definir la característica de carga/vida en un cojinete. El proceso de selección de un cojinete de rodamiento implica considerablemente el uso de este parámetro para obtener cualquier vida deseada bajo condiciones anticipadas de carga o sobrecarga esperadas durante el servicio. 7 100 0 90 10 80 20 70 30 60 40 50 50 L50 40 60 30 70 20 80 10 90 L10 0 100 1 * Algunos fabricantes de cojinetes se refieren a esto como la vida B90 o C90, aludiendo a la supervivencia del 90% de los cojinetes en vez del 10% que falla. 5 10 15 vida relativa a la fatiga FIGURA 7-22 Distribución típica de vida en cojinetes de rodamiento. Adaptado de SKF USA Inc. 20 porcentaje de cojinetes que sobreviven porcentaje de cojinetes que fallan La figura 7-22 muestra la curva de falla de un cojinete y porcentajes de supervivencia, como una función de la vida relativa a la fatiga. Se toma la vida L10 como referencia. La curva es relativamente lineal hasta el 50% de falla, lo cual ocurre en una vida igual a 5 veces la de referencia. En otras palabras, debería pasar 5 veces el tiempo en que falla el 10% para que el 50% de los cojinetes fallen. Después de ese punto, la curva se vuelve bastante no lineal, lo cual demuestra que tomará aproximadamente 10 veces del tiempo en que falla el 10% para que falle el 80% de los cojinetes, en tanto que en 20 veces la vida L10 hay aún un pequeño porcentaje de los cojinetes originales que funcionan. Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN La vida L para otros porcentajes de fallas, diferentes del 10%, se calcula multiplicando la vida L10 por un factor de confiabilidad KR tomado de la curva de distribución de Weibull que la rige. (7.19) LP  K R L10 donde L es la vida de fatiga expresada en millones de revoluciones. En la tabla 7-5 se muestran los factores KR de Weibull para varios porcentajes de falla. 7.10 SELECCIÓN DE COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES Una vez que se haya elegido un tipo de cojinete con base en las consideraciones discutidas y descritas en la figura 7-21, la selección del tamaño adecuado del cojinete depende de las magnitudes de las cargas estática y dinámica aplicadas, así como de la vida de fatiga deseada. 521 Tabla 7-5 Factores de confiabilidad R para una distribución de Weibull, correspondientes a la probabilidad de falla P P% R% KR 50 50 5.0 10 90 1.0 5 95 0.62 4 96 0.53 3 97 0.44 2 98 0.33 1 99 0.21 Valor C de la carga dinámica básica 7 Pruebas exhaustivas realizadas por los fabricantes de cojinetes, con base en teorías consolidadas, demuestran que la vida a la fatiga L10 de cojinetes de elementos rodantes es inversamente proporcional a la tercera potencia de la carga para cojinetes de bolas, así como a la potencia 10/3 para cojinetes de rodillos. Estas relaciones se expresan como cojinetes de bolas: C 3 L10  ¥ ´ § P¶ (7.20a) cojinetes de rodillos: C 10 3 L10  ¥ ´ § P¶ (7.20b) donde L10 es la vida a la fatiga expresada en millones de revoluciones, P es la carga constante aplicada* y C es el valor de carga dinámica básica para el cojinete específico, definido por el fabricante y publicado para cada cojinete en los catálogos. El valor C de la carga dinámica básica se define como la carga que proporcionará una vida de un millón de revoluciones en la pista interior. Esta carga C normalmente es más grande que cualquier carga práctica a la que uno sujetaría a cierto cojinete, debido a que la vida deseada suele ser mucho mayor que un millón de revoluciones. De hecho, algunos cojinetes fallarían estáticamente, si en realidad se someten a una carga igual a C. Simplemente es un valor de referencia que permite que la vida del cojinete se pronostique en cualquier nivel de la carga aplicada real. La figura 7-23 muestra una página del catálogo de un fabricante de cojinetes que especifica el valor de C de cada cojinete. También se define la velocidad límite máxima para cada cojinete. Se combinan las ecuaciones 7.20a y 7.20b, con la ecuación 7.19, con la finalidad de obtener las expresiones para la vida de un cojinete en cualquier rango de falla seleccionado. cojinetes de bolas: C 3 LP  K R ¥ ´ § P¶ cojinetes de rodillos: C LP  K R ¥ ´ § P¶ (7.20c) 10 3 (7.20d ) * Observe que una carga constante externa aplicada a un cojinete giratorio crea cargas dinámicas en los elementos del cojinete, de la misma manera que un momento constante sobre un eje giratorio causa esfuerzos dinámicos, ya que cualquier punto sobre la bola, el rodillo o la pista está sujeto a la carga que viene y se va conforme el cojinete gira. 522 DISEÑO DE MÁQUINAS UN ESCUDO ABIERTO DOS ESCUDOS UN SELLO - Un Enfoque Integrado DOS SELLOS SELLO Y ESCUDO SELLO RADIAL ABIERTO, CON Y ESCUDO CHAVETA CIRCULAR† Sufijo Esta configuración se muestra sólo para ilustrar nuevos estándares de carcasa. Algunos cojinetes se modifican. NÚMERO DE COJINETE* DIMENSIONES LÍMITE DIÁM. INT. DIÁM. EXT. pulgadas mm pulgadas mm ANCHO mm pulgadas CHAVETA CIRCULAR DIMENSIONES pulgadas RADIO MÁXIMO DEL FILETE Eje y carcasa pulgadas PESO APROX. RAPIDEZ LÍMITE MEDICIÓN MEDICIÓN DE CARGA DE CARGA DINÁMICA ESTÁTICA 7 · Los números de cojinetes listados son únicamente para cojinetes abiertos. Para escudos, sellos y chavetas circulares, agregue el prefijo o el sufijo indicado abajo del diagrama del cojinete. P. ej. 6300.Z, 6300.RS, 6300.NR, etc. Verifique la existencia de carcasas para tamaños más grandes. · Cojinetes con chaveta circular disponibles con escudos o sellos. Agregue ambos sufijos. P. ej. 6300.ZNR, etc. · Para cojinetes sin sellos lubricados con grasa. Para otras condiciones, véase la p. 114. · Para datos de montaje, ejes y carcasas ajustados y diámetros de hombros, véase las páginas 124-132. FIGURA 7-23 Dimensiones métricas e intervalos de carga para cojinetes de bolas de la serie 6300 (tipo Conrad) de ranura profunda y media Cortesía de FAG Bearings Corporation, Stamford, Conn. Valor modificado de la vida del cojinete La ASME y la ISO adoptaron recientemente un nuevo estándar (ISO 281/2) para el cálculo de la vida de un cojinete de rodamiento. La ecuación 7.20 se basa tan sólo en los esfuerzos de contacto hertzianos. El estándar nuevo incluye también los efectos de varios factores, como fricción, esfuerzo en el anillo de ajuste a presión, condición de Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 523 lubricación y limpieza, carga centrífuga y otros. Este procedimiento emplea el criterio del esfuerzo de von Mises para incluir los esfuerzos causados por dichos factores, así como los datos empíricos más recientes acerca de la resistencia a la fatiga sobre la superficie en cojinetes de acero. Todos estos efectos se combinan para crear un factor de vida al esfuerzo Asl, que se aplica luego al valor tradicional L10 de la ecuación 7.20. LASME  Asl L10 (7.21) Los datos de prueba demuestran que la ecuación 7.21 brinda un cálculo más preciso de la vida del cojinete que las ecuaciones 7.20. El cálculo del factor Asl se explica en la referencia[30] y es bastante complicado. La referencia viene con un programa de cómputo llamado ASMELife, que calcula la vida LASME estimada de un cojinete de cualquier diseño, para cualquier conjunto de cargas y parámetros ambientales. Aun cuando el algoritmo para su cálculo se explica completamente en la referencia, el espacio impide su inclusión aquí. Por otro lado, el software amistoso y accesible, disponible para su cálculo, hace innecesaria una mayor exposición. Se remite al lector a la publicación de la ASME para mayor información. Para los ejemplos de este capítulo, se supondrá Asl  1.0. Valor C0 para carga estática básica Es posible que haya deformaciones permanentes en rodillos y bolas, incluso con cargas ligeras, debido a los esfuerzos muy altos en la pequeña área de contacto. El límite de carga estática en un cojinete se define como la carga que producirá una deformación permanente total en la pista y el rodillo, en cualquier punto de contacto de 0.0001 veces el diámetro d del elemento rodante. Deformaciones mayores causarán el incremento del ruido y la vibración, además de que llevarían a una falla por fatiga prematura. Los esfuerzos requeridos para causar esta deformación estática de 0.0001d en el cojinete de acero son bastante altos; van desde aproximadamente 4 GPa (580 kpsi) para cojinetes de rodillos hasta 4.6 GPa (667 kpsi) en cojinetes de bolas. Los fabricantes de cojinetes publican un valor C0 de carga estática básica para cada cojinete, calculado de acuerdo con los estándares de la AFBMA. Algunas veces se puede exceder esta carga sin que se presente la falla, sobre todo cuando las velocidades de giro son bajas, lo cual elimina los problemas de vibración. Usualmente se necesita una carga de 8C0 o mayor para fracturar un cojinete. La figura 7-23 (en la página anterior) muestra una página del catálogo de un fabricante de cojinetes que especifica el valor de C0 para cada cojinete. EJEMPLO 7-3 Selección de un cojinete de bolas para un eje diseñado Problema Seleccione un cojinete radial de bolas para el eje mostrado en la figura 7-5 (p. 495). El eje se diseñó en el ejemplo 6-1 (p. 422). Se proporciona Las cargas transversales máximas sobre el eje en los cojinetes son 16 lb en R1 y 54 lb en R2. Como la carga en R2 es 4X que se encuentra en R1, se puede crear un diseño para R2 y usarlo también en R1. El diámetro del eje tanto en R1 como en R2 es de 0.591 in, con base en la elección tentativa de un diámetro interior de 15 mm del cojinete en el ejemplo 6-1. La velocidad del eje es de 1 725 rpm. Suposiciones Se desprecian las cargas de empuje. Se desea un porcentaje de falla del 5%. Obtenga Las vidas de fatiga del cojinete en ambas ubicaciones del eje. 7 524 DISEÑO DE MÁQUINAS Solución - Un Enfoque Integrado . 1. De la figura 7-23 (p. 522), seleccionamos un cojinete #6302 de 15 mm de diámetro interior. Su factor de valor de carga dinámica es C  1 930 lb. El valor de carga estática es C0  1 200 lb. La carga estática aplicada de 54 lb está evidentemente muy abajo del valor estático del cojinete. 2. De la tabla 7-5 (p. 521), elegimos el factor para una tasa de falla del 5%: KR  0.62. 3. Calcule la vida proyectada con las ecuaciones 7.20a y 7.19 o su combinación, la ecuación 7.20c (todas en la p. 521). Observe que la carga equivalente, en este caso, es simplemente la carga radial aplicada debido a la ausencia de cualquier carga de empuje. Para la carga de reacción más grande de 54 lb en R2: C 3 1 930 ´ 3  45E3 millones de revs  45E9 revs L10  ¥ ´  ¥ § 54 ¶ § P¶ LP  K R L10  0.62 45 E 9  27.9 E 9 revs ( a) 4. Para la carga de reacción menor de 16 lb en R1: 3 3 C 1 930 ´  1.75E6 millones de revs  1.75E12 revs L10  ¥ ´  ¥ § 16 ¶ § P¶ 7 LP  K R L10  0.621.75 E12  1.09 E12 revs (b) Esto demuestra la relación no lineal entre la carga y la vida. Una reducción de 3.5X en la carga da como resultado un incremento de 38X en la vida a la fatiga. Es evidente que tales cojinetes están cargados muy ligeramente; sin embargo, su tamaño fue impuesto por consideraciones de esfuerzos en el eje que definen los diámetros de ésta. 5. De la figura 7-23, esta velocidad límite del cojinete es de 18 000 rpm, muy arriba de la velocidad de operación de 1 725 rpm. Cargas radiales y de empuje combinadas Si se aplican cargas radiales y de empuje a un cojinete, se debe calcular una carga equivalente para utilizarla en la ecuación 7.20. La AFBMA recomienda la siguiente ecuación: P  XVFr donde YFa (7.22a) P  carga equivalente Fr  carga radial constante aplicada Fa  carga de empuje constante aplicada V  factor de giro (véase la figura 7-24) X  factor radial (véase la figura 7-24) Y  factor de empuje (véase la figura 7-24) El factor de rotación V es 1 para un cojinete con un anillo interior giratorio. Si el anillo exterior gira, V se incrementa a 1.2 para ciertos tipos de cojinetes. Los factores X y Y varían con el tipo de cojinete, a la vez que relacionan la capacidad de ese tipo para soportar las cargas de empuje y radial. Los valores de V, X y Y están definidos por los fabricantes de cojinetes en tablas como la reproducida en la figura 7-24. Los tipos de cojinetes, como los de rodillos cilíndricos, que no pueden soportar cargas de empuje no se incluyen en esta tabla. También se especifica un factor e para los tipos de cojinete Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 525 de la figura 7-24 y define la razón mínima entre las fuerzas radial y axial debajo de la cual la fuerza axial se puede ignorar (se iguala con cero) en la ecuación 7.22b. si Fa be VFr entonces X  1 y Y = 0 (7.22b) Procedimientos de cálculo Las ecuaciones 7.20 y 7.22 se resuelven juntas para cualquier situación donde se conoce la fuerza aplicada o la vida deseada a la fatiga. Usualmente, las cargas radial y de empuje Factores V, X y Y para cojinetes radiales En relación con la carga, el anillo interior es Tipo de cojinete Cojinetes de una hilera Cojinetes de dos hileras Girato- Estaciorio nario Cojinetes de bolas con ranura contacto radial Cojinetes de bolas de autoalineación Cojinetes de rodillos cónicos y de autoalineación 1) Para cojinetes de una hilera, cuando use X = 1 y Y = 0. Para cojinetes de bolas o rodillos de contacto angular de dos hileras individuales, montados “cara-a-cara” o “espalda con espalda”, los valores de X y Y son los que se aplican a cojinetes de doble hilera. Para cojinetes de dos o más hileras, montados “en tándem”, se utilizan los valores de X y Y que se aplican a los cojinetes de una hilera. 2) Se supone que los cojinetes de dos hileras son simétricos. 3) El valor máximo permisible de depende del diseño del cojinete. 4) C0 es el valor de carga estática básica. 5) Las unidades están en libras y pulgadas Los valores de X, Y y e para una carga o contacto angular diferentes de los mostrados en la tabla se obtienen por interpolación lineal. FIGURA 7-24 Factores V, X y Y para cojinetes radiales. Cortesía de SKF USA Inc. 7 526 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado que actúan en la ubicación de cada cojinete se obtendrán a partir de un análisis de carga del diseño. A menudo, el tamaño aproximado del eje se obtendrá de los cálculos de la deflexión o del esfuerzo. Se debería consultar un catálogo de cojinetes, seleccionar un cojinete (o cojinetes) candidato(s), así como extraer los valores de C, C0, V, X y Y. La carga efectiva P se obtiene con la ecuación 7.22 y se emplea en la ecuación 7.20 con C, para obtener la vida a la fatiga L pronosticada. De forma alternativa, como V, X y Y dependen sólo del tipo, pero no del tamaño del cojinete, se pueden determinar primero y resolver simultáneamente las ecuaciones 7.20 y 7.22 para el factor de carga dinámica C requerido para alcanzar la vida L deseada. Luego se deben consultar los catálogos de cojinetes para obtener el tamaño adecuado del cojinete con el valor de C necesario. En cualquier caso, la carga estática también se debería comparar con el factor de carga estática C0 del cojinete seleccionado para prevenir deformaciones excesivas. EJEMPLO 7-4 Selección de cojinetes de bolas para cargas radiales y de empuje combinadas 7 Problema Seleccione un cojinete de bolas con ranura profunda para la carga y la vida deseada especificadas. Se proporciona La carga radial Fr = 1 686 lb (7 500 N) y la carga axial Fa = 1 012 lb (4 500 N). La velocidad del eje es de 2 000 rpm. Suposiciones Utilice un cojinete de bolas tipo Conrad de ranura profunda. El anillo interior gira. Obtenga Un cojinete de tamaño adecuado para alcanzar una vida L 10 de 5E8 revoluciones. Solución 1. Intente con el cojinete #6316 de la figura 7-23 (p. 522) y extraiga sus datos: C  21 200 lb (94 300 N), C0  18 000 lb (80 000 N) y rpm máximas de 3 800. 2. Calcule la razón Fa / C0: Fa 1 012   0.056 C0 18 000 (a) y use este valor en la figura 7-24 para obtener el valor correspondiente de e  0.26 para cojinetes de bolas con ranura de contacto radial. 3. Calcule la razón Fa / (VFr ) y compárela con el valor de e. Fa 1 012   0.6  e  0.26 VFr 11 686 (b) Observe que V  1 porque el anillo interior es giratorio. 4. Como la razón del paso 3 es  e, obtenga los factores X y Y de la figura 7-24, X  0.56 y Y  1.71, y úselos para calcular la carga equivalente con las ecuaciones 7.22 (pp. 524-525). P  XVFr YFa  0.561 1 686 1.711 012  2 675 lb (c) 5. Use la carga equivalente de la ecuación 7.21 (p. 523) para obtener la vida L10 de este cojinete. Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 527 3 C 3 ¥ 21 200 ´ L10  ¥ ´  ¦ µ  5.0E2 millones de revs  5.0E8 revs § P¶ § 2 675 ¶ (d) De hecho, este resultado requiere algo de iteración; intente varios números de cojinete antes de encontrar el que dé la vida deseada. 6. Los modelos EX11-04 se encuentran en el CD-ROM. El modelo Mathcad proporciona un enfoque alternativo para la solución del ejemplo. 7.11 DETALLES DEL MONTAJE DEL COJINETE Los cojinetes de rodamiento se fabrican con tolerancias pequeñas en sus diámetros, interior y exterior, con la finalidad de permitir un ajuste por presión sobre el eje o su carcasa. Las pistas del cojinete (anillos) se deben acoplar ajustadamente al eje para garantizar que el movimiento ocurra tan sólo dentro del cojinete con baja fricción. En algunos casos, se dificulta el ajuste por presión o el desarmado en ambos anillos. Cuando no se ajustan a presión, generalmente se usan varias abrazaderas para fijar el anillo interior o exterior, en tanto los otros se aseguran por presión. El anillo interior por lo general se coloca contra un hombro del eje. En las tablas de un catálogo de cojinetes se incluyen los diámetros recomendados para los hombros del eje, los cuales se deben respetar para eliminar la interferencia con sellos o escudos. Los radios máximos permisibles de los filetes para despejar las esquinas de los anillos también están definidos por los fabricantes. 7 La figura 7-25a muestra una configuración de tuerca y arandela empleada para sujetar el anillo interior al eje, en lugar de ajustarlo a presión. Los fabricantes de cojinetes suministran tuercas especiales y arandelas de presión estandarizadas para ajustar sus cojinetes. La figura 7-25b muestra una chaveta circular utilizada para fijar axialmente el anillo interior, el cual se presiona contra el eje. La figura 7-25c muestra el anillo exterior abrazado axialmente a la carcasa y el anillo interior fijo con una polea separadora entre el anillo interior y la pestaña del accesorio externo sobre el mismo eje. tuerca espaciador arandela de presión chaveta circular (a) (b) FIGURA 7-25 Métodos de montaje del cojinete. Fuente: SKF Engineering Data USA Inc, 1968 (c) 528 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado FIGURA 7-26 Cojinetes sobre un eje, uno fijo axialmente y otro flotante axialmente. Fuente: SKF Engineering Data USA Inc, 1968 7 Comúnmente se necesitan pares de cojinetes sobre el mismo eje para dar soporte al momento. La figura 7-26 muestra una configuración para aprisionar axialmente el montaje, sin riesgo de introducir fuerzas axiales a los cojinetes, por efecto de la expansión térmica en las piezas. Las pistas interiores de ambos cojinetes están abrazadas axialmente con una tuerca sobre la izquierda y un espaciador entre ellos. La pista externa del cojinete de la derecha está aprisionada (sujeta) axialmente a la carcasa; no obstante, la pista exterior del de la izquierda “flota” axialmente en la carcasa para permitir la expansión térmica. Sería tentador aprisionar ambos cojinetes axialmente, derecho e izquierdo, pero sería un descuido. Se considera una buena práctica aprisionar axialmente un ensamble grande en sólo una ubicación para eliminar las fuerzas axiales inducidas de expansión sobre los cojinetes, las cuales acortan seriamente su vida. Otro modo de realizar esto consiste en utilizar un solo cojinete que soporte una carga axial (p. ej., un cojinete de bolas) y un rodillo cilíndrico u otro tipo de cojinete que no soporte carga axial a través de sus elementos de rodamiento en el otro extremo del eje. 7.12 COJINETES ESPECIALES Existen otros muchos tipos y configuraciones de cojinetes de rodamiento. Chumaceras y paquetes de bolas estándar de unidades con pestañas o cojinetes de rodamiento, en alojamientos de hierro colado, facilitan la sujeción de cojinetes a superficies horizontales o verticales. La figura 7-27 muestra una chumacera y un cojinete con pestaña. Los seguidores de levas, como el de la figura 7-28, están hechos con cojinetes de bolas o rodillos y una pista exterior especial que corre directamente contra la superficie de la leva. Los hay con cuerdas integradas al ensamble (como el ilustrado) o con un orificio para montarlo sobre una varilla o un perno. Los extremos de una varilla usualmente son una bola esférica en un hueco diseñado para sujetar las varillas y proporcionar autoalineamiento, así como conexión de baja fricción entre eslabones en un mecanismo, como se indica en la figura 7-29. El movimiento lineal se guía fácilmente sobre bujes planos; no obstante, tienen niveles de fricción moderados. En el movimiento lineal de baja fricción, hay bujes con bolas como el mostrado en la figura 7-30. Lo anterior requiere un endurecimiento especial y ejes fabricados con tolerancias pequeñas. La alineación de ejes paralelos se debe Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 529 hacer con mucha precisión para obtener las ventajas de la baja fricción en los cojinetes de bolas. Sin embargo, no pueden absorber cargas de choque como un buje plano. (a) (b) FIGURA 7-27 Chumacera (a) y unidades de cojinete con pestaña (b). Cortesía de McGuill Manufacturing Co. Inc., Bearing Division, Valparaíso, Ind. FIGURA 7-28 Cojinete de rodillos seguidor de leva. Cortesía de Soller Bearing Company of America, New Town Pa. FIGURA 7-30 FIGURA 7-29 Extremo esférico de varilla. Cortesía de Morse Chain, Division of Borg-Warner Corp., Aurora, III Cojinete de bolas lineal. Cortesía de Thompson Industries, Inc., Manaste, N. Y. 7 530 DISEÑO DE MÁQUINAS 7.13 - Un Enfoque Integrado ESTUDIO DE CASO El estudio de caso 10A, que se encuentra en el apéndice D, describe el diseño de un dispositivo de prueba para la medición dinámica de las aceleraciones y fuerzas de un sistema leva-seguidor. La naturaleza sensible de estas mediciones requiere que se usen tan sólo cojinetes de deslizamiento, ya que las vibraciones y el ruido de los cojinetes de rodamiento contaminarían las mediciones. Se continuará ahora el estudio de caso para el diseño de los cojinetes de su árbol de levas principal. E S T U D I O D E C A S O 1 0 B Diseño de cojinetes hidrodinámicos para un dispositivo de prueba de levas 7 Problema Determine las condiciones hidrodinámicas en los cojinetes propuestos para el árbol de levas en el dispositivo dinámico de prueba de levas (CDTF). Se proporciona La leva genera una fuerza dinámica pico de 110 lb en la velocidad máxima de 180 rpm (3 rps), como se definió en el estudio de caso 10A (apéndice D). El volante pesa 220 lb y se localiza en medio de los dos cojinetes. La temperatura de la masa de aceite se controla para 200 oF. El árbol de levas tiene 2 in de diámetro y el diseño preliminar de los cojinetes permite hasta 2 in de longitud para cada uno. Suposiciones Se deben usar cojinetes planos, ya que los cojinetes de elementos rodantes producen demasiado ruido. Se proponen cojinetes de bronce poroso. Use una razón de tolerancia de 0.001. Intente con un aceite mineral SAE 30W (ISO VG 100). Se proporcionan aceiteras por gravedad para cada cojinete. Solución Véase las figuras D-8 (apéndice D) y 7-31. 1. Obtenga las fuerzas de reacción que actúan sobre cada cojinete a partir de las fuerzas aplicadas y las dimensiones definidas en la figura 7-31. Sume los momentos alrededor de R1 y suponga positivas las fuerzas hacia arriba. £M  0  110 4.5 ; 2203.125 = 6.25 R2 R2  30.8 lb £F  0  110 220 30.8 ( a) R1 R1  299.2 lb (b) El cojinete en R1 tiene la mayoría de la carga, de modo que se realizará el diseño para esa fuerza. 2. Se sugirió un aceite ISO VG100. La figura 7-1 (p. 490) proporciona una viscosidad para este aceite a 200 °F de 1.5 μreyn aproximadamente. 3. Obtenga la presión media en el cojinete para la longitud supuesta de 2 in. pprom  P 299.2   74.8 psi ld 2 2 4. Obtenga la holgura diametral en el cojinete para la razón de tolerancia supuesta. (c ) Capítulo 7 110 lb COJINETES Y LUBRICACIÓN 4.5" 531 220 lb volante brazo del seguidor aceite aceite cojinete de empuje (2 lugares) cubo seguidor collarín eje buje de bronce bastidor buje de bronce leva collarín de empuje 6.25" R1 R2 FIGURA 7-31 Sección transversal del árbol de levas del dispositivo de prueba dinámico de levas del estudio de caso 10 cd  0.0012  0.002 in cr  cd 2  0.001 in (d ) 5. Obtenga la velocidad en la superficie del eje en el cojinete. U = Pdn a  P2 3  18.85 in/seg (e ) 6. Como se conocen la carga y la velocidad, además de que se suponen las dimensiones del cojinete, al igual que la viscosidad, la ecuación 7.8b (p. 500) se despeja para el parámetro adimensional Ke . KE  Pcr2 HUl 3  299.20.001 2 1.5E 6 18.85 2 3  1.323 f 7. El número de Ocvirk se determina ahora a partir de la ecuación 7.12c. ON  4 PK E  4 P1.323  16.6 g De acuerdo con este número de Ocvirk aceptable, el diseño del cojinete es viable. 8. La razón de excentricidad se obtiene con la ecuación 7.13b (p. 503), la cual se ajusta con los datos experimentales reales mejor que la ecuación teórica. E 0.21394 0.38517 log ON 0.21394 0.38517 log16.6 0.0008ON 60 0.000816.6 60  0.719 (h) 7 532 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 9. El espesor mínimo de la película se determina a partir de la ecuación 7.4b (p. 497). hmín  cr 1 E  0.0011 0.719  0.000 281 in (281 Min) (i) Ésta es una película generosa para proteger incluso un cojinete con acabado deficiente, lo cual no es el caso. 10. Los archivos Case10B se encuentran en el CD-ROM. 7.14 RESUMEN En juntas deslizantes o giratorias, se obtiene baja fricción lubricando hidrostática o hidrodinámicamente los cojinetes planos o los cojinetes de elementos rodantes. Cada uno tiene ventajas y desventajas. COJINETES HIDROSTÁTICOS Usan una fuente de alta presión en el fluido para separar las superficies, incluso cuando no hay movimiento relativo. Se puede utilizar aire, agua o aceite como fluido. Los cojinetes de aire tienen básicamente cero fricción y cero desgaste. Por ejemplo, un aerodeslizador está soportado por un “cojinete de aire”. 7 COJINETES HIDRODINÁMICOS Eemplean el movimiento relativo de las superficies para bombear el lubricante arrastrado (en general, un aceite) alrededor del espacio entre el eje y el cojinete. Un cojinete hidrodinámico, diseñado adecuadamente, separa las dos partes con una película de aceite cuando están en movimiento y no tienen contacto metal-metal, excepto en el arranque y en el apagado. Si el aceite se mantiene limpio y abundante, entonces es posible que haya prácticamente cero desgaste y fricción muy baja. Dos superficies que se “ajustan” geométricamente, tal como un eje en un orificio, atrapan el lubricante y forman fácilmente el soporte de la película de aceite. Las juntas que no se ajustan geométricamente, como los contactos entre una leva y un seguidor, los dientes de engranes y los cojinetes de rodamiento, tienden a expulsar el fluido en lugar de atraparlo, haciendo más difícil lograr una separación de película completa de las superficies. La lubricación elastohidrodinámica (EHD) se refiere a la combinación de la deflexión elástica de la huella de contacto entre dos superficies que no se ajustan (algo similar a la huella de contacto entre un neumático y la carretera) y el bombeo de fluido entre las superficies “aplanadas” que crea, por lo menos, una película hidrodinámica parcial. Estas juntas con frecuencia poseen una combinación de película de fluido y contacto metal-metal en las asperezas superficiales. Por lo tanto, el desgaste suele ser mayor que en una junta hidrodinámica ajustada. El espesor mínimo de la película de fluido entre las superficies, comparado con la aspereza superficial compuesta, determina cuánto contacto ocurre entre las asperezas. En ausencia de lubricante suficiente, velocidad o geometría para formar la separación de la película de fluido, el cojinete regresa a una lubricación límite, donde ocurren un contacto metálico y un desgaste significativos. * Cuando los vagones de ferrocarril cambiaron sus cojinetes planos hidrodinámicos por cojinetes de rodamiento hace un siglo, los grandes trenes de carga que requerían dos máquinas para empezar a moverse (pero sólo una para mantenerlos en movimiento) se empezaron a mover con tan sólo una máquina. COJINETES DE RODAMIENTO Se encuentran en el mercado en varias configuraciones, que utilizan bolas o cilindros de acero endurecido, aprisionados entre pistas o anillos de acero endurecido. Como el contacto es de rodamiento, con poco deslizamiento o sin él, la fricción es baja tanto estática como dinámicamente. El torque de arranque es significativamente menor en los cojinetes de rodamiento que en los hidrodinámicos* (que requieren una velocidad relativa para establecer la película de fluido de baja fricción). Hay cojinetes de rodamiento que pueden soportar cargas radiales, de empuje o una combinación de ambos tipos. El estado de lubricación en los cojinetes de rodamiento es elastohidrodinámico, límite o alguna combinación de los dos, conocido como Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 533 EHD parcial. El diseño de cojinetes de rodamiento implica, en gran parte, la selección adecuada del cojinete entre los que hay disponibles comercialmente. Los fabricantes definen un parámetro de carga-vida, con base en la carga a la que se espera que el 90% de un lote de cojinetes sobrevivan a 1 millón de revoluciones de la pista interior. Este y otros datos suministrados por los fabricantes sirven para calcular la vida proyectada de un cojinete específico, bajo las condiciones dadas de carga y velocidad de la aplicación. Las compañías de cojinetes ofrecen asistencia para la selección del cojinete adecuado en cualquier aplicación. Ecuaciones importantes usadas en este capítulo Viscosidad absoluta contra viscosidad cinética (sección 7.2): (7.1) H  UR Ecuación de Petroff para torque sin carga (sección 7.5): T0  H P 2 d 3l n ` cd (7.2c) Razón de excentricidad (sección 7.5): E e cr (7.3) Espesor de la película lubricante en un cojinete hidrodinámico (sección 7.5): h  cr 1 E cos Q hmín  cr 1 E (7.4a) hmáx  cr 1 E (7.4b) Presión media en un cojinete hidrodinámico (sección 7.5): pprom  P P  A ld (7.6d ) Ecuación de Sommerfeld para presión y carga en un cojinete infinito (sección 7.5): p ¨ · HUr © 6Esen Q  2 E cos Q ¸ cr2 © 2 E 2 1 E cos Q 2 ¸ ª ¹ p0  P HUlr 2 12 PE 2 cr2 2 E 1 E2   12 (7.6a) (7.6b) Ecuaciones de Ocvirk para presión y carga en un cojinete corto (sección 7.5): p HU ¥ l 2 ¦ rcr2 § 4 ´ 3E sen Q z2 µ ¶ 1 E cos Q P  KE HUl 3 cr2 3 (7.7b) (7.8b) 7 534 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado KE  ;  E P2 1 E2 16E 2  41 E 2 2 = 1 2 (7.8c) Ubicación de la presión máxima en un cojinete corto (sección 7.5): ¥1 Q máx  cos 1 ¦ ¦ § 1 24E 2 4E ´ µµ ¶ (7.7c) Ubicación de la carga resultante en un cojinete corto (sección 7.5): ¤ P 1 E2 F  tan 1 ¥ ¥ 4E ¦ ³ ´´ µ (7.8a) Torque en un cojinete hidrodinámico (sección 7.5): Ts  H 7 d 3l n2a P2 n1a  cd Tr  Ts 1 E2 (7.9c) 12 P e senF (7.9a) Pérdida de potencia en un cojinete hidrodinámico (sección 7.5): &  Tr W  2 PTr n2a n1a N - m s o in - lb s (7.10) Coeficiente de fricción en un cojinete hidrodinámico (sección 7.5): M f Tr r 2Tr   P P Pd (7.11) Número de Ocvirk para un cojinete hidrodinámico corto (sección 7.6): ¥ pprom´ ¥ d ´ 2 ¥ cd ´ 2 ON  ¦  4 PKE µ § Hn a ¶ § l ¶ § d ¶ (7.12c) Relación teórica entre el número de Ocvirk y la razón de excentricidad (sección 7.6): ON  ;  PE P 2 1 E 2 1 E 16E 2 2 2 = 1 2 (7.13a) Relación empírica entre el número de Ocvirk y la razón de excentricidad (sección 7.6): Ex 0.21394 0.38517 log ON 0.0008ON 60 (7.13b) Espesor específico de la película (sección 7.7): ,  hc hc Rq21 4 hmín 3 Rq22 (7.14a) (7.14b) Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 535 Espesor mínimo de la película para contacto cilíndrico EHD (sección 7.7): hmín  2.65 R aAE a Ea  2 m1 H0U ´ 0.7 ¥ P ´ 0.13 § E aRa ¶ § lE aRa ¶ 0.54 ¥ m2  (7.16) 2 N12 1 E1 (7.17b) 1 N 22 E2 Espesor mínimo de la película para contacto (elíptico) general EHD (sección 7.7): hmín  3.63 R aAE a H0U ´ 0.68 1 e § E aRa ¶  0.49 ¥ 0.68Y ¨ P © ©ª E a Ra · 2¸ ¸¹ 0.073 (7.18) Relación carga-vida para cojinetes de rodamiento (sección 7.10): 3 cojinetes de bolas: C L10  ¥ ´ § P¶ cojinetes de rodillos: C 10 3 L10  ¥ ´ § P¶ 7 (7.20b) Carga equivalente para cojinetes de rodamiento (sección 7.10): P  XVFr 7.15 YFa (7.22a) REFERENCIAS 1. 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Cheatham, Mechanical Analysis and Design, 2a. ed., Prentice-Hall: Englewood Cliffs, N.J., pp. 31-51, 1995. 536 7 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 11. A.A. Raimondi y J. Boyd, “A solution for the Finite Journal Bearing and its Application to Analysis and Design-Parts I, II y III”, Trans. Am. Soc. Lubrication Engineers, 1(1): pp. 159-209, 1958. 12. O. Reynolds, “On the Theory of Lubrication and its Application to Mr. Beauchamp Tower’s Experiments”. Phil. Trans. Roy. Soc. (Londres), 177: pp. 157-234, 1886. 13. G.B. DuBois y F.W. Ocvirk, “The Short Bearing Approximation for Full Journal Bearings”, Trans. ASME, 77: pp. 1173-1178, 1955. 14. G.B. DuBois, F.W. Ocvirk y R.L. Wehe, Experimental Investigation of Eccentricity Ratio, Friction, and Oil Flow of Long and Short Journal Bearings-With Load Number Charts, TN3491, NACA, 1955. 15. F.W. Ocvirk, Short Bearing Approximation for Full Journal Bearings, TN2808, NACA, 1952. 16. G.B. DuBois y F.W. Ocvirk, Analytical Derivation and Experimental Evaluation of Short Bearing Approximation for Full Journal Bearings, TN1157, NACA, 1953. 17. H.S. Cheng, “Elastohidrodynamic Lubrication” en Handbook of Lubrication, E.R. Booser, ed., CRC Press: Boca Raton, Fla., pp. 155-160, 1983. 18. D. Dowson y G. Higginson, “A Numerical Solution to the Elastohydrodinamic Problem”, J. Mech. Eng. Sci., 1(1): p. 6, 1959. 19. D. Dowson y G. Higginson, “New Rolling Bearing Lubrication Formula”, Engineering, 192: pp. 158-159, 1961. 20. G. Archard y M. Kirk, “Lubrication at Point Contacts”, Proc. Roy. Soc. (Londres) Ser. A261, pp. 532-550, 1961. 21. B.J. Hamrock y D. Dowson, “Isothermal Elastohidrodynamic Lubrication of Point Contacts-Part III-Fully Flooded Results”, ASME J. Lubr. Technol., 99: pp. 264-276, 1977. 22. D. Dowson y G. Higginson, Proceedings of Institution of Mechanical Engineers, 182 (Parte 3A): pp. 151-167, 1968. 23. T.A. Harris, Rolling Bearing Analysis. John Wiley & Sons: Nueva York, pp. 872-888, 1991. 24. Load Ratings and Fatigue Life for Ball Bearings, ANSI/AFBMA Estándar 9-1990. Instituto Nacional Estadounidense de Estándares, Nueva York, 1990. 25. Load Ratings and Fatigue Life for Roller Bearings, ANSI/AFBMA Estándar 11-1990. Instituto Nacional Estadounidense de Estándares, Nueva York, 1990. 26. B.J. Hamrock, Fundamentals of Fluid Film Lubrication. McGraw-Hill: Nueva York, p. 16, 1994. 27. Comité ASME de Investigación sobre Lubricación, “Pressure-Viscosity Report, Vol. II”, ASME, 1953. 28. T.E. Tallian, “Lubricant Films in Rolling Contact of Rough Surfaces”, ASLE Trans., 7(2): pp. 109-126, 1964. 29. E.N. Bamberger y otros, “Life Adjustment Factors for Ball and Roller Bearings”, ASME Engineering Design Guide, 1971. 30. R. Barnsby y otros, “Life Ratings for Modern Rolling Bearings”, ASME International, 2003. Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN P d 537 Tabla P7-0 † Matriz tema/problema T 7.2 Viscosidad 7-3, 7-4, 7-23, 7-24 a 7.5 Teoría de lubricación b suponga que los cojinetes actúan como apoyos simples l 7-5, 7-6, 7-7, 7-9, 7-10, 7-11, 7-12, 7-13, 7-14, 7-15, 7-25, 7-39 a 7-42 7.6 Cojinetes hidrodinámicos 7-1a, 7-2a, 7-8, 7-17a, 7-19a FIGURA P7-1 7.7 Contacto EHD Diseño del eje del problema 7-1 7-16, 7-18, 7-20, 7-21, 7-43 7.10 Contacto de rodamiento 7.16 PROBLEMAS *†7-1. El eje que se ilustra en la figura P7-1 se diseñó en el problema 6-1. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P7-1 y el diámetro correspondiente del eje obtenido en el problema 6-1, diseñe los cojinetes adecuados para soportar una carga de, por lo menos, 7E7 ciclos a 1 500 rpm. Defina todas las suposiciones. 7-1b, 7-2b, 7-17b, 7-19b, 7-22, 7-26, 7-27, 7-28, 7-29, 7-30, 7-31, 7-32, 7-33, 7-34, 7-35, 7-36, 7-37, 7-38, 7-44, 7-45 a) Usando cojinetes de bronce con manguitos lubricados hidrodinámicamente con ON  20, l / d  1.25 y una razón de tolerancia de 0.0015. b) Usando cojinetes de bolas con ranura profunda para un porcentaje de falla del 10%. 7-2. El eje que se ilustra en la figura P7-2 se diseñó en el problema 6-2. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P7-1 y el diámetro correspondiente del eje obtenido en el problema 6-2, diseñe los cojinetes adecuados para soportar una carga de, por lo menos, 3E8 ciclos a 2 500 rpm. Defina todas las suposiciones. a) Usando cojinetes de bronce con manguito lubricados hidrodinámicamente, con ON  30, l / d  1.0, y una razón de tolerancia de 0.002. b) Usando cojinetes de bolas con ranura profunda para un porcentaje de falla del 10%. *7-3. Un aceite tiene una viscosidad cinemática de 300 centistokes. Obtenga su viscosidad absoluta en centipoises (cP). Suponga una gravedad específica de 0.89. 7-4. Un aceite tiene una viscosidad absoluta de 2 μreyn. Obtenga su viscosidad cinemática en in2/seg. Suponga una gravedad específica de 0.87. *7-5. Obtenga el torque sin carga de Petroff para el cojinete plano diseñado en el estudio de caso 6B. *7-6. Obtenga el espesor mínimo de película para un cojinete largo con 45 mm de diámetro, 200 mm de longitud, ε  0.55, razón de tolerancia  0.001, 2500 rpm y aceite ISO VG 46 a 150 °F. Tabla P7-1 Datos para problemas Fila l a b Po p Tmín Tmáx a b c d e f 20 12 14 8 17 24 16 2 4 4 6 16 18 7 12 8 12 22 1000 500 750 1000 1500 750 0 –100 –200 0 –200 1000 2000 600 400 2000 500 2000 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. † Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas extendidos de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. 7 538 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado p d T a b l suponga que los cojinetes actúan como apoyos simples FIGURA P7-2 Diseño del eje del problema 7-2 *7-7. Obtenga los torques y la pérdida de potencia en el cojinete del problema 7-6. *7-8. Una máquina papelera procesa rollos de papel cuya densidad es de 984 kg/cm3. El rollo de papel tiene 1.50 m de diámetro exterior 22 cm de diámetro interior 3.23 m de largo, y está simplemente apoyada en un eje de acero de 22 cm de diámetro exterior. El rollo gira a 50 rpm. Diseñe cojinetes cortos de bronce con lubricación hidrodinámica de película completa de l / d  0.75, para soportar al eje en cada extremo. Especifique la viscosidad necesaria del lubricante a 180 °F. Defina todas las suposiciones. 7-9. Obtenga el espesor mínimo de película para un cojinete largo con los siguientes datos: 30 mm de diámetro, 130 mm de largo, 0.0015 de razón de tolerancia, 1 500 rpm y aceite ISO VG 100 a 200 °F, que soporta una carga de 7 kN. 7 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice D. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas extendidos de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. *7-10. Obtenga el espesor mínimo de película para un cojinete con los siguientes datos: 45 mm de diámetro, 30 mm de largo, 0.001 de razón de tolerancia, 1 500 rpm, ON  25 y aceite ISO VG 46 a 150 °F. 7-11. Obtenga el espesor mínimo de película para un cojinete con los siguientes datos: 30 mm de diámetro, 25 mm de largo, 0.0015 de razón de tolerancia, 1 500 rpm, ON  30 y aceite ISO VG 220 a 200 °F. 7-12. En el problema 5-12 se estimó el volumen de desgaste adhesivo esperado en un eje de acero de 40 mm de diámetro, que gira a 250 rpm durante 10 años sobre un cojinete plano de bronce, con una carga transversal de 1 000 N, en condiciones de lubricación, tanto buena como deficiente. Si el cojinete tiene una l / d  0.5 y una razón de tolerancia de 0.001, defina la viscosidad necesaria del lubricante en microreyn (μreyn) para obtener buena lubricación. 7-13. Calcule los torques y la pérdida de potencia del cojinete del problema 7-9. *7-14. Obtenga los torques y la pérdida de potencia del cojinete del problema 7-10. 7-15. Calcule los torques y la pérdida de potencia del cojinete del problema 7-11. 7-16. En el problema 5-16 se determinó que la mitad del ancho de la huella de contacto de una bola de acero de 0.787 in de diámetro, que gira contra una placa plana de aluminio con 224.81 lb de fuerza, es de 0.020 in. Suponiendo que la bola gira a 1 200 rpm, determine sus condiciones de lubricación con aceite ISO VG 68 a 150 °F. Suponga que Rq  16 μin (bola), Rq  64 μin (placa). *7-17. El eje mostrado en la figura P7-3 se diseñó en el problema 6-17. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P7-1 y el diámetro correspondiente del eje obtenido en el problema 6-17, diseñe los cojinetes adecuados para soportar la carga de, por lo menos, 1E8 ciclos a 1800 rpm. Defina todas las suposiciones. a) Usando cojinetes de bronce con manguito lubricados hidrodinámicamente con ON  15, l / d  0.75 y una razón de tolerancia de 0.001. b) Usando cojinetes de bolas con ranura profunda para un porcentaje de falla del 10%. Capítulo 7 COJINETES Y LUBRICACIÓN 539 P p engrane d cuña T rodillo de hierro fundido a b suponga que los cojinetes actúan como apoyos simples l FIGURA P7-3 Diseño del eje de los problemas 7-17 7-18. En el problema 5-18 se determinó que la mitad del ancho de la huella de contacto para un cilindro de acero de 1.575 in de diámetro y 9.843 in de largo, que gira contra una placa plana de aluminio con 900 lb de fuerza es de 0.0064 in. Si el cilindro gira a 800 rpm, determine sus condiciones de lubricación con aceite ISO VG 1000 a 200 °F. Rq  64 μin (cilindro); Rq  32 μin (placa). 7-19. El eje mostrado en la figura P7-4 se diseñó en el problema 6-19. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P7-1 y el diámetro correspondiente del eje obtenido en el problema 6-19, diseñe los cojinetes adecuados para soportar una carga de, por lo menos, 5E8 ciclos a 1200 rpm. Defina todas las suposiciones. 7 a) Usando cojinetes de bronce con manguitos lubricados hidrodinámicamente con ON  40, l / d  0.80 y una razón de tolerancia de 0.0025. b) Usando cojinetes de bolas con ranura profunda para un porcentaje de falla del 10%. *7-20. En el problema 5-20 se determinó que las dimensiones medias de la huella de contacto para una bola de acero de 0.787 in de diámetro que gira contra un cilindro de acero de 1.575 in de diámetro con una fuerza de 2 248 lb eran a  0.037 in y b  0.028 in. La bola gira a 1 800 rpm. Determine sus condiciones de lubricación con aceite ISO VG 460 a 120 °F. Suponga que Rq  32 μin para ambos. P2 P1 a engrane engrane d cuña T b l FIGURA P7-4 Diseño del eje de los problemas 7-19 y 7-22 suponga que los cojinetes actúan como apoyos simples * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas extendidos de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. 540 7 Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas extendidos de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 7-21. En el problema 5-21 se determinó que las dimensiones medias de la huella de contacto para sistema leva-seguidor con una carga dinámica de 0 a 450 lb eran a  0.080 in y b  0.013 in. La leva es cilíndrica con un radio mínimo de curvatura de 0.787 in. El rodillo seguidor de 1 in de diámetro tiene una corona con un radio de 6 in en la otra dirección. Obtenga el espesor específico de la película, así como la condición de lubricación entre la leva y el seguidor, si se lubrica con un aceite ISO VG 1500 a 200 °F. Suponga Rq  8 μin (seguidor), Rq  32 μin (leva). rpm del seguidor  300. 7-22. El eje mostrado en la figura P7-4 se diseñó en el problema 6-19. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P7-1 y el diámetro correspondiente del eje obtenido en el problema 6-19, diseñe los cojinetes adecuados para soportar la carga de, por lo menos, 5E8 ciclos a 1 200 rpm con cojinetes de bolas de ranura profunda. Además de las cargas radiales obtenidas en el problema 6-19, el cojinete de la derecha soporta una carga axial que es el 120% de la carga transversal concentrada P. El diámetro del eje es de 1.153 in, la vida de diseño L10 es de 500E6 revoluciones y la carga transversal concentrada es de 1 000 lb. Suponga un factor de fuerza axial  1.2 y un factor de rotación del eje  1.0. También suponga que el diámetro del eje se puede reducir en el cojinete de la izquierda, donde el momento es cero. 7-23. Un aceite ISO VG 100 tiene una temperatura global de 80 °C. Determine su viscosidad absoluta en centipoises (cP) y su viscosidad cinemática en centistokes (cS). Suponga una gravedad específica de 0.91. 7-24. Un aceite ISO VG 68 tiene una temperatura global de 175 °F. Determine su viscosidad absoluta en microreyn (μreyn) y su viscosidad cinemática en in2/seg. Suponga una gravedad específica de 0.90. 7-25. Un buje y un cojinete se diseñaron para que un eje gire a 200 rpm. Se utiliza un aceite con una viscosidad de 2 μreyn y la longitud del cojinete es igual al diámetro. Si la pérdida de potencia sin carga no excede 2E-04 caballos de potencia y la tolerancia diametral es 0.004 veces el diámetro, estime el diámetro máximo que se puede usar para el buje. 7-26. La figura P7-5 muestra un eje escalonado soportado por dos cojinetes de la serie 6300. Sobre el eje se acuñaron dos engranes con un torque igual, pero de sentido opuesto, como se indica. La carga sobre cada engrane consiste en una componente radial y una componente tangencial, las cuales actúan en el diámetro D. La componente radial sobre cada engrane es de 0.466 veces la componente tangencial sobre ese engrane. Observe que las cargas de los engranes están desfasadas 90° del engrane 1 al engrane 2. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P7-2, seleccione el cojinete adecuado (de la figura 7-23 con un porcentaje de falla del 10%) para el cojinete 1. Seleccione el cojinete que tiene el diámetro interior más pequeño y cumple con los requerimientos de carga-porcentaje. Especifique número de cojinete, diámetro interior, diámetro exterior, ancho (todo en mm) y rango de la carga dinámica básica del cojinete. Ignore la carga axial proporcionada en la tabla. 7-27. La figura P7-5 muestra un eje escalonado soportado por dos cojinetes de la serie 6300. Sobre el eje se acuñaron dos engranes con un torque igual, pero de sentido opuesto, como se indica. La carga sobre cada engrane consiste en una componente radial y una componente tangencial, las cuales actúan en el diámetro D. La componente radial sobre cada engrane es 0.466 veces la componente tangencial sobre ese engrane. Observe que las cargas de los engranes están desfasadas 90° del engrane 1 al engrane 2. Para los datos en la(s) fila(s) asignada(s) de la tabla P7-2, elija el cojinete adecuado (de la figura 7-23 con un porcentaje de falla del 10%) para el cojinete 2. Seleccione el cojinete que tiene el diámetro interior más pequeño y cumple con los requerimientos de carga-rango. Especifique número de cojinete, diámetro interior, diámetro exterior, ancho (todo en mm) y rango de la carga dinámica básica del cojinete. Ignore la carga axial proporcionada en la tabla. 7-28. Repita el problema 7-26 con la fuerza axial Fa dada en la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P6-2, que actúan sobre el engrane 1. 7-29. Repita el problema 7-27 con la fuerza axial Fa dada en la(s) fila(s) asignada(s) en la tabla P6-2, que actúa sobre el engrane 2. Capítulo 7 Tabla P7-2 COJINETES Y LUBRICACIÓN 541 Datos de los problemas 7-26 a 7-29 P1t lb D1 in D2 in Diseño L10 * Fa lb 12.0 2000 2.00 4.00 80 800 6.0 10.0 1800 1.80 2.50 60 900 3.0 5.0 8.0 2500 2.25 3.50 75 1200 d 2.0 5.0 10.0 2100 2.00 3.80 70 1000 e 1.5 4.5 7.5 2800 1.50 3.00 65 1200 f 2.5 5.0 8.0 1500 1.75 2.75 50 850 Fila a in b in c in a 4.0 8.0 b 2.0 c * millones de revoluciones 7-30. Repita el problema 7-1(b) con un porcentaje de falla del 5%. 7-31. Repita el problema 7-2(b) con un porcentaje de falla del 4%. 7-32. Repita el problema 7-17(b) con un porcentaje de falla del 3%. *7-33. Repita el problema 7-19(b) con un porcentaje de falla del 2%. 7 7-34. Repita el problema 7-26 con un porcentaje de falla del 5%. 7-35. Repita el problema 7-27 con un porcentaje de falla del 4%. *7-36. Repita el problema 7-22 con un porcentaje de falla del 5%. 7-37. Repita el problema 7-28 con un porcentaje de falla del 4%. 7-38. Repita el problema 7-29 con un porcentaje de falla del 3%. 7-39. Un cojinete plano corto tiene las siguientes características: d  48.6 mm, l  50 mm, razón de tolerancia diametral  0.002. Mientras corre con una carga a una velocidad de U  6.36 m/s y una viscosidad del lubricante de η  2.30 cP, la razón de excentricidad es ε  0.807. Grafique la distribución de presión en el cojinete, en función de θ para z  0 y como una función de z para θ  θmáx. P1r a y A cojinete 1 cojinete 2 P1r D2 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas extendidos de problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. y D1 P1t cuña P2r x x engrane 1 engrane 1 engrane 2 A engrane 2 P2t Sección A-A b c suponga que los cojinetes actúan como apoyos simples FIGURA P7-5 Configuración de engrane y cojinete para los problemas 7-26 a 7-29 542 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 7-40. Un cojinete plano corto tiene las siguientes características: d  40.0 mm, l  30 mm, razón de tolerancia diametral  0.001. Mientras corre con una carga a una velocidad de U  3.77 m/s y una viscosidad del lubricante de η  20.66 cP, la razón de excentricidad es ε  0.703. Grafique la distribución de presión en el cojinete, en función de θ para z  0 y en función de z para θ  θmáx. 7-41. Para el cojinete y las condiciones del problema 7-39, determine (a) (b) (c) (d) 7-42. El ángulo φ de la línea de centros con respecto a la dirección de la carga aplicada. El parámetro adimensional, Kε. La magnitud de la carga aplicada, P. El torque giratorio, Tr. Para el cojinete y las condiciones del problema 7-40, determine (a) (b) (c) (d) El ángulo φ de la línea de centros con respecto a la dirección de la carga aplicada. El parámetro adimensional, Kε. La magnitud de la carga aplicada, P. El torque giratorio Tr. 7-43. En el problema 5-32 se determinó que las dimensiones medias de la huella de contacto de dos engranes de acero, engranados con una fuerza de contacto de 1500 lb, son a  0.0177 in y b  0.3125 in (la mitad del ancho de la cara de un diente). Los engranes se modelan como dos cilindros en contacto con radios de 2.500 in (el impulsor) y 5.000 in (el impulsado). Calcule el espesor específico de la película y la condición de lubricación, entre los dos dientes en contacto, si se lubrican con aceite ISO VG 1000 a 120 °F. Suponga que ambos dientes tienen una Rq  4 μin. Las velocidades tangenciales de los dientes de los engranes son 55.6 in/seg (el impulsor) y 57.8 in/seg (el impulsado). 7-44. Seleccione un cojinete de bolas de ranura profunda de la figura 7-23 para una carga radial de 1500 lb, una carga axial de 450 lb y un giro de la pista exterior. Se desea una vida L5 de 500 millones de revoluciones. 7-45. Seleccione un cojinete de bolas de ranura profunda de la figura 7-23 para una carga radial de 600 lb, una carga axial de 150 lb y un giro de la pista interior. Se desea una vida L10 de 180 millones de revoluciones. 7 ENGRANES RECTOS El principio de la sabiduría comienza llamando a las cosas por su nombre PROVERBIO CHINO Tim era tan erudito que podía nombrar un caballo en nueve idiomas, y tan ignorante que compró una vaca para cabalgar. BENJAMÍN FRANKLIN 8.0 INTRODUCCIÓN Los engranes sirven para transmitir torque y velocidad angular en variedad de aplicaciones. También existen muchos tipos de engranes. Este capítulo trata sobre el tipo más simple, el engrane recto, diseñado para operar con ejes paralelos y con dientes paralelos a las líneas de centro de los ejes. Otro tipo de engranes, como los helicoidales, los cónicos y los sinfín, funcionan con ejes no paralelos. Éstos se tratarán en el siguiente capítulo. En la actualidad, los engranes están muy estandarizados por la forma y el tamaño del diente. La Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes (AGMA) financia investigaciones para el diseño, los materiales y la manufactura de engranes, en tanto que publica los estándares para su diseño, manufactura y ensamble.[1,2,3] Se seguirán los métodos y las recomendaciones de la AGMA, tal como se definen en dichos estándares. Los engranes tienen una historia larga. En la China ancestral, el antiguo Carruaje que apunta hacia el sur, que supuestamente utilizaron para cruzar el desierto de Gobi en tiempos prebíblicos, contenía engranes. Leonardo da Vinci describió muchas configuraciones de engranes en sus dibujos. Lo más probable es que los primeros engranes se elaboraron burdamente con madera y otros materiales fáciles de trabajar, cuyos dientes eran simples estacas insertadas en un disco o una rueda. No fue sino hasta la Revolución Industrial que las máquinas y las técnicas de manufactura permitieron la creación de engranes como se conocen ahora, con formas de dientes especialmente configurados o cortados en un disco de metal. Hay mucha terminología especializada para engranes, por lo que es necesario que el lector se familiarice con dichos términos. Como se indicó en los epígrafes anteriores, es importante llamar a las cosas por sus nombres correctos, aunque ello no es suficiente para garantizar una comprensión integral del tema. En la tabla 8-0 se listan las variables utilizadas en este capítulo. 543 8 544 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 8-0 - Un Enfoque Integrado Variables utilizadas en este capítulo Parte 1 de 2 Símbolo 8 La fotografía inicial del capítulo es cortesía de Boston Gear, una división de IMO Industries, Quincy, Mass. Algunas partes de este capítulo, incluyendo las figuras 8-1 a 8-8, 8-11, 8-13 a 8-16 y su análisis son adaptaciones de Design of Machinery de R.L. Norton, 4a. ed., McGraw-Hill, 2008, capítulo 10, con autorización del editor. Variable Unidades ips Unidades SI Véase a adéndum in m Fig. 8-8 b dedéndum in m Fig. 8-8 C distancia entre centros in m Ec. 8.22b Cf factor de acabado superficial ninguna ninguna Secc. 8.8 CH factor de dureza ninguna ninguna Ec. 8.26, 8-27 Cp coeficiente elástico ninguna ninguna Ec. 8.23 d diámetro de paso in m varias F ancho de cara in m Ec. 8.14 HB dureza Brinell ninguna ninguna Secc. 8.8 I factor geométrico superficial AGMA ninguna ninguna Ec. 8.22a J factor geométrico de flexión AGMA ninguna ninguna Secc. 8.8 Ka , Ca factor de aplicación ninguna ninguna Secc. 8.8 KB factor de flexión del aro ninguna ninguna Secc. 8.8 KI factor del engrane loco ninguna ninguna Ec. 8.15 K L, CL factor de vida ninguna ninguna Fig. 8-24, 8-26 Km, Cm factor de distribución de carga ninguna ninguna Secc. 8.8 KR, CR factor de confiabilidad ninguna ninguna Tabla 8-19 Ks , Cs factor de tamaño ninguna ninguna Secc. 8.8 KT , CT factor de temperatura ninguna ninguna Ec. 8.24a Kv , Cv factor dinámico ninguna m módulo M ninguna Secc. 8.8 – mm Ec. 8.4c momento, función de momento lb-in N-m Fig. 8-21 mA ventaja mecánica ninguna ninguna Ec. 8.1b mG razón de engrane ninguna ninguna Ec. 8.1c mp razón de contacto ninguna ninguna Ec. 8.7a mV razón de velocidad angular ninguna ninguna Ec. 8.1a N número de ciclos o número de dientes ninguna ninguna Fig. 8-24 Nb, Nc pb factores de seguridad: flexión y contacto ninguna ninguna varias paso base in m Ec. 8.3b pc paso circular in m Ec. 8.3a pd paso diametral 1/in – Ec. 8.4a Qv índice de calidad del engrane ninguna ninguna Fig. 8-22 r radio de paso in m varias S fb resistencia a la fatiga por flexión corregido psi Pa Ec. 8.24 S fb' resistencia a la fatiga por flexión sin corregir psi Pa Ec. 8.24 S fc resistencia a la fatiga superficial corregida psi Pa Ec. 8.25 S fc' resistencia a la fatiga superficial sin corregir psi Pa Ec. 8.25 T torque lb-in N-m Ec. 8.13a Vt velocidad en la línea de paso in/seg m/seg Ec. 8.16 Capítulo 8 Tabla 8-0 ENGRANES RECTOS 545 Variables utilizadas en este capítulo Parte 2 de 2 Símbolo W Wr Wt x1, x2 Variable Unidades ips Unidades SI Véase fuerza total sobre el diente del engrane lb N Ec. 8.13c fuerza radial sobre el diente del engrane lb N Ec. 8.13b fuerza tangencial sobre el diente del engrane lb N Ec. 8.13a coeficientes de modificación del adéndum ninguna ninguna Secc. 8.3 Y factor de forma de Lewis ninguna ninguna Ec. 8.14 Z longitud de acción in m Ec. 8.2 F ángulo de presión grad grad varios R Sb radio de curvatura in m Ec. 8.22b esfuerzo de flexión psi Pa Ec. 8.15 Sc esfuerzo superficial psi Pa Ec. 8.21 W velocidad angular rad/seg rad/seg Ec. 8.1a 8.1 (a) Contacto externo TEORÍA DEL DIENTE DE ENGRANE La forma más sencilla de transferir movimiento giratorio de un eje a otro es utilizando un par de cilindros en rodamiento. Se trata de cilindros giratorios externos, como los de la figura 8-1a, o bien, cilindros giratorios internos, como los de la figura 8-1b. Si existe fricción suficiente en el punto de contacto de rodamiento, este mecanismo funcionará bastante bien. No habrá deslizamiento entre los cilindros, hasta que la fuerza de fricción máxima en la junta sea rebasada por las demandas de transferencia de torque. Las principales desventajas del mecanismo de impulso por rodamiento-cilindro son su relativamente baja capacidad de torque y la posibilidad de deslizamiento. Algunos dispositivos de transmisión requieren trabajar con fases estrictamente iguales en los ejes de entrada y de salida para efectos de coordinación. Lo anterior requiere la adición de dientes de engranaje en los cilindros de rodamiento, que se convierten en engranes, como se ilustra en la figura 8-2, y juntos se conocen como engranaje. Cuando dos engranes se ajustan para formar un engranaje como éste, convencionalmente al más pequeño de los dos engranes se le conoce como piñón, mientras al otro se le llama engrane. (b) Contacto interno FIGURA 8-1 Cilindros de rodamiento Piñón Ley fundamental del engranaje Conceptualmente, dientes con cualquier perfil evitan el deslizamiento considerablemente alto. Los viejos molinos impulsados por agua y los molinos de viento utilizaban engranes de madera cuyos dientes eran simplemente estacas redondas de madera clavadas en los aros de los cilindros. Aun ignorando lo rudimentario de la construcción de los primeros ejemplos de engranajes, no había posibilidad de transmitir suavemente la velocidad porque la geometría del diente de “estaca” transgredía la ley fundamental de engranaje, la cual establece que la razón de la velocidad angular entre los engranes de un engranaje debe ser constante a lo largo del acoplamiento. La razón de velocidad angular mV es igual a la razón entre el radio de paso del engrane de entrada y el del engrane de salida. mV  W sal r  p ent W ent rsal (8.1a) Engrane FIGURA 8-2 Engranaje externo 8 546 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Los radios de paso de la ecuación 8.1a son los de los cilindros de rodamiento, a los cuales se agregan los dientes. El signo positivo o el negativo son para considerar grupos de cilindros externos o internos, como se indica en la figura 8-1. Un conjunto externo invierte la dirección de giro entre los cilindros y se identifica con el signo negativo. Un engranaje interno (y un mecanismo impulsor de banda o cadena) tiene la misma dirección de giro en los ejes de entrada y salida; se identifican con el signo positivo, en la ecuación 8.1a. Las superficies de los cilindros de rodamiento son los círculos de paso y sus diámetros, los diámetros de paso de los engranes. El punto de contacto entre los cilindros permanece sobre la línea de centros, como se muestra en la figura 8-4, y este punto se conoce como punto de paso. La razón de torque o ventaja mecánica mA es el recíproco de la razón de velocidad mV: mA = r W 1 = ent  p sal mV W sal rent (8.1b) De modo que un tren de engranes es básicamente un dispositivo para intercambiar torque por velocidad o viceversa. Una aplicación común de engranaje reduce la velocidad e incrementa el torque para impulsar cargas pesadas, como en la transmisión de un automóvil. Otras aplicaciones requieren un incremento en la velocidad, para lo cual se debe aplicar una reducción en el torque. En cualquier caso, en general es deseable mantener una razón constante entre los engranes conforme giran. Cualquier variación en la razón se manifestará como una variación en la velocidad de salida y en el torque, incluso si la entrada es constante en el tiempo. 8 Para efectos de cálculo, la razón de engrane mG se toma como la magnitud de una razón de velocidad o una razón de torque, que en cualquier caso es  1. mG  mV o bien, mG  m A , para mG r 1 (8.1c) En otras palabras, la razón del engrane siempre es un número positivo  1, sin importar en qué dirección fluya la potencia en el engranaje. involuta “cuerda” tangente al círculo base y la normal a la involuta Para que se cumpla la ley fundamental de engranaje, los contornos de los dientes acoplados deben ajustarse entre sí. Existe un número infinito de posibles pares ajustados por utilizar; sin embargo, sólo unas cuantas curvas tienen aplicación práctica en los dientes de engranes. La cicloide todavía se emplea como forma para engranes en algunos relojes y cronómetros; no obstante, en la mayoría de los engranes se utiliza la involuta de un círculo para dar forma a sus dientes. Dientes con forma de involuta La involuta de un círculo es una curva que se genera desenrollando una cuerda tensa a partir de un cilindro, como se ilustra en la figura 8-3. Tome nota de lo siguiente acerca de esta curva involuta: 1. La cuerda siempre es tangente al círculo base. 2. El centro de curvatura de la involuta siempre se encuentra en el punto de tangencia de la cuerda con el círculo base. círculo base FIGURA 8-3 Desarrollo de la involuta de un círculo 3. Una tangente a la involuta siempre es normal a la cuerda, la cual es el radio de curvatura instantáneo de la involuta. La figura 8-4 muestra dos involutas sobre cilindros en contacto o “engranados” que representan los dientes de los engranes. Los cilindros a partir de los cuales se desenrollan las cuerdas se llaman círculos base de los respectivos engranes. Observe que los Capítulo 8 la línea de acción (normal común) es tangente a ambos círculos base ENGRANES RECTOS 547 ángulo de presión girado en dirección del engrane impulsado velocidad en el punto de paso F adéndum ap del piñón radio de paso del piñón rp tangente común W engrane radio de paso del engrane rg impulsado (contrario a las manecillas del reloj) círculo base del engrane ag punto de paso W piñón impulsor (sentido de las manecillas del reloj) círculo base del piñón círculos de paso FIGURA 8-4 Geometría de contacto y ángulo de presión en dientes de engranes de involuta círculos base son necesariamente más pequeños que los círculos de paso, los cuales se encuentran en los radios de los cilindros de rodamiento originales, rp y rg. Los dientes del engrane deben proyectarse hacia abajo y hacia arriba de la superficie del cilindro de rodamiento (círculo de paso), mientras que la involuta existe sólo fuera del círculo base. La porción del diente que queda por encima del círculo de paso es el adéndum, que se identifica como ap para el piñón, y ag para el engrane. Son iguales para los dientes de engranes estándar, de profundidad total. Existe una tangente común a ambas involutas en el punto de contacto y una normal común, perpendicular a la tangente común. Observe que la normal común forma de hecho, las “cuerdas” de ambas involutas, las cuales son colineales. Así, la normal común, que también es la línea de acción, siempre pasa por el punto de paso, independientemente del lugar donde estén en contacto los dos dientes engranados. El punto de paso tiene la misma velocidad lineal, tanto en el piñón como en el engrane, y se conoce como velocidad en la línea de paso. El ángulo entre la línea de acción y el vector de la velocidad es el ángulo de presión φ. Ángulo de presión El ángulo de presión φ de un engranaje se define como el ángulo entre la línea de acción (normal común) y la dirección de la velocidad en el punto de paso, de modo que la línea de acción gira φ grados en la dirección de giro del engrane impulsado, como se indica en las figuras 8-4 y 8-5. Los fabricantes de engranes han estandarizado los ángulos de presión con unos cuantos valores. Tales ángulos fueron definidos por la distancia nominal entre centros del engranaje hasta el corte. Los valores estándar son 14.5°, 20° y 25°, de los cuales el de 20° es el más común y el de 14.5° se considera obsoleto. Se puede tomar cualquier valor del ángulo de presión, pero su mayor costo, en relación con el de un engrane con ángulos de presión estándar, sería difícil de justificar. Tendrían que fabricarse cortadores especiales. Los engranes que corren juntos se deben cortar con el mismo ángulo de presión nominal. 8 548 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Geometría del engranaje En la figura 8-5 se ilustra un par de dientes en forma de involuta en dos posiciones: justo al iniciar el contacto y cuando éste termina. Las normales comunes (colineales) de ambos puntos de contacto tienen el mismo punto de paso. Tal propiedad de la involuta hace que se cumpla la ley fundamental del engranaje. La razón entre el radio del engrane impulsor y el radio del engrane impulsado permanece constante, a medida que los dientes entran y salen del engranado. A partir de dicha observación del comportamiento de la involuta, se puede enunciar la ley fundamental del engranaje de una manera cinemática más formal como: la normal común a los perfiles de los dientes, en todos los puntos de contacto dentro del engranado, debe pasar siempre por un punto fijo en la línea de los centros llamado punto de paso. La razón de velocidad del engranaje es una constante definida por la razón de los radios respectivos de los engranes en el punto de paso. Los puntos de inicio y final del contacto definen el engranado del piñón con el engrane. La distancia a lo largo de la línea de acción entre estos puntos dentro del engranado se conoce como longitud de acción, Z, definida por las intersecciones de los círculos de adendo respectivos con la línea de acción, como se indica en la figura 8-5. La distancia a lo largo del círculo de paso dentro del engranado es el arco de acción; los ángulos subtendidos por estos puntos y la línea de centros son el ángulo de aproximación y el ángulo de receso, que sólo se muestran sobre el engrane de la figura 8-5 para efectos de claridad, aunque existen ángulos similares para el piñón. El arco de acción en los círculos de paso del piñón y del engrane debe tener una longitud de deslizamiento igual a cero, entre los cilindros de rodamiento teóricos. La longitud de acción Z se calcula a partir de la geometría del engrane y el piñón: 8 Z rp ap 2 rp cos F 2 rg ag 2 rg cos F 2 C sen F (8.2) donde rp y rg son los radios de los círculos de paso, mientras ap y ag son los adendos del piñón y del engrane, respectivamente. C es la distancia entre centros y φ es el ángulo de presión. ángulo de presión girado en la dirección del engrane impulsado F círculos de paso punto de paso línea de acción (normal común) contacto de salida longitud de acción Z ángulo de receso ángulo de aproximación W engrane impulsado (sentido contrario arco de acción a las manecillas del reloj) distancia entre centros C W piñón impulsor (en sentido de las manecillas del reloj) contacto inicial círculos de adéndum FIGURA 8-5 Longitud de acción, arco de acción, ángulos de aproximación y receso durante el engranado de un engrane y un piñón Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 549 Piñón y cremallera Si el diámetro del círculo base de un engrane se incrementa sin límite, el círculo base se vuelve una línea recta. Si la “cuerda” enrollada alrededor del círculo base que genera la involuta, donde permanece en su sitio después del alargamiento infinito del radio del círculo base, la cuerda se pivotaría en el infinito y generaría una involuta que es una línea recta. Este engrane lineal se llama cremallera. La figura 8-6 presenta una cremallera y un piñón, y la geometría de una cremallera estándar de profundidad total. Sus dientes son trapezoidales aun cuando siguen siendo verdaderas involutas. Este hecho facilita la fabricación de una herramienta de corte para producir dientes de involuta sobre engranes circulares, mediante el maquinando preciso de una cremallera y endureciéndola para cortar los dientes de otros engranes. Ésta es otra ventaja de los dientes en forma de involuta. Al girar el engrane modelo con respecto a la cremallera cortadora, mientras ésta se mueve axialmente hacia adelante y hacia atrás a través del modelo del engrane, se formará o desarrollará un verdadero diente de involuta sobre el engrane circular. La aplicación más común del mecanismo cremallera-piñón es la conversión del movimiento giratorio a lineal, o viceversa. En este dispositivo puede ocurrir un retroceso, de modo que se requiere un freno para mantener la carga. Un ejemplo de su uso es el mecanismo de dirección piñón-cremallera de los automóviles. El piñón está sujeto al extremo inferior de la columna del volante y gira cuando éste lo hace. La cremallera está engranada con el piñón y tiene libertad para moverse, a la izquierda o la derecha, en respuesta al movimiento angular en el volante de la dirección. La cremallera es, asimismo, un eslabón en un acoplamiento de barras múltiples, que convierte la traslación lineal de la cremallera en desplazamiento angular en el balancín sujeto al montaje de las ruedas delanteras para guiar el auto. 8 Cambio de la distancia entre centros Cuando en un cilindro se cortan dientes de involuta (o cualquier clase de diente), con respecto a un círculo base específico para crear un solo engrane, todavía no se tiene el círculo de paso, el cual resulta cuando se conecta ese engrane con otro para formar un par de engranes o un engranaje. Existe un intervalo de distancias entre centro y centro, dentro del cual se puede lograr un engranado entre los engranes. También hay una distancia ideal entre centros, que nos proporciona los diámetros de paso nominales para los cuales se diseñaron los engranes. Sin embargo, las limitaciones en los procesos de manufactura dan, en todos los casos, una probabilidad baja de alcanzar exactamente dicha distancia ideal entre centros. Muy probablemente habrá un error en la distancia entre centros, aun cuando sea pequeño. Si la forma del diente del engrane no es una involuta, entonces el error de la distancia entre centros provocará una variación u “onda” en la velocidad de salida, de manera F adéndum ángulo de presión línea de paso dedéndum cremallera estándar de involuta con profundidad total FIGURA 8-6 Cremallera y piñón La fotografía es cortesía de Martin Sprocket and Gear Co., Austin, Tex. 550 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado que la velocidad angular de salida no será constante aun con una velocidad de entrada constante, violando así la ley fundamental del engranaje. Sin embargo, con un diente en forma de involuta los errores de la distancia entre centros no afectan la razón de velocidad. Tal es la ventaja principal de los dientes en forma de involuta, por encima de cualquier otra forma posible, y es la causa por la que se utiliza casi universalmente en los dientes de engranes. La figura 8-7 muestra lo que pasa cuando se varía la distancia entre centros en un engranaje de involuta. Observe que la normal común pasa por el punto de paso, así como por todos los puntos de contacto dentro del engranado. Sólo el ángulo de presión se ve afectado por el cambio de la distancia entre centros. La figura 8-7 muestra también los ángulos de presión de dos diferentes distancias entre centros. Conforme se incrementa la distancia entre centros, también lo hace el ángulo de presión y viceversa. Lo anterior es una consecuencia del cambio, o error, en la distancia entre centros cuando se utilizan dientes de involuta. Observe que la ley fundamental del engranaje se cumple incluso en el caso de modificación de la distancia entre centros. La normal común se mantiene tangente a los dos círculos base y todavía pasa por el punto de paso. Este último se ha movido proporcionalmente con el cambio de la distancia entre los centros y los radios de paso. La razón de velocidad no se modifica, a pesar del cambio en la distancia entre centros. De hecho, la razón de velocidad en los engranes de involuta es fija debido a que la razón de los diámetros de sus círculos base no cambia una vez que se corta el engrane. 8 cambio de la distancia entre centros radio de paso del piñón nuevo punto de paso nuevo y mayor radio de paso cambios de posición del piñón del punto de paso círculo base sin cambio velocidad en el punto de paso nuevos círculos de paso círculo base sin cambio ángulo de presión F = 20 o radio de paso del engrane nuevo ángulo de presión F = 23 o nuevo y mayor radio de paso del engrane la línea de acción (normal común) es tangente a ambos círculos base (a) Distancia entre centros correcta (b) Distancia entre centros incrementada FIGURA 8-7 El cambio en la distancia entre los centros en engranes de involuta sólo modifica el ángulo de presión y los diámetros de paso Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 551 Holgura (juego) Otro factor que se ve afectado por el cambio en la distancia entre centros C es la holgura entre los engranes. El aumento de la distancia C entre centros incrementa la holgura y viceversa. La holgura se define como la medida del juego entre los dientes engranados a lo largo de la circunferencia del círculo de paso. Las tolerancias de fábrica evitan una holgura cero, ya que todos los dientes no tienen exactamente las mismas dimensiones y todos deben engranarse sin bloquearse, de modo que habrá una pequeña diferencia entre el espesor del diente y la anchura del espacio entre los dientes (véase la figura 8-8 en la página siguiente). Mientras el engranaje opere con un torque no reversible, la holgura no debería ser un problema. Sin embargo, cuando el torque cambia de signo, los dientes se mueven de modo que el contacto cambia de un lado a otro del diente. El espacio de holgura cambiará de lado y los dientes impactarán con ruido y vibración notables. Como también se incrementan los esfuerzos y el desgaste, la holgura podría causar errores de posición indeseables en algunas aplicaciones. En servomecanismos, donde los motores impulsan por ejemplo los controles de superficie de un avión, la holgura causaría un “galope” potencialmente destructivo, en el cual el sistema de control trata de corregir en vano los errores de posición debidos a la holgura “en movimiento” en el sistema impulsor mecánico. Tales aplicaciones requieren engranes antiholgura, que son dos engranes que se montan espalda con espalda sobre el mismo eje y giran ligeramente uno con respecto al otro con el ensamble (o con resortes), de modo que contrarrestan la holgura. En aplicaciones menos críticas, como el impulsor de hélice en una lancha o un bote, es imperceptible la holgura al invertir el torque. Movimiento relativo del diente El movimiento relativo entre dientes de involuta es de rodamiento puro en el punto de paso. En los puntos del diente alejados del punto de paso ocurre un poco de deslizamiento combinado con rodamiento. La cantidad promedio de deslizamiento en un engranaje con dientes de involuta es aproximadamente del 9%, como se vio en la sección 5.13 (p. 394). Los esfuerzos superficiales se incrementan por la componente de deslizamiento, como se estudió en la sección 5.11 (p. 383). La tabla 5-7 (pp. 396-397) muestra datos de resistencia a la fatiga superficial desarrollados a partir de pruebas extensivas de rodamiento, más el 9% de deslizamiento en varias combinaciones de materiales. 8.2 NOMENCLATURA DEL DIENTE DEL ENGRANE La figura 8-8 muestra dos dientes de un engrane con su terminología estándar. El círculo de paso y el círculo base ya se definieron. La altura total de un diente se define como el adéndum (que se agrega) y el dedéndum (que se extrae), los cuales tienen como referencia el círculo de paso nominal. El dedéndum es ligeramente más grande que el adéndum para brindar un poco de holgura entre el tope (círculo de adéndum) de un diente acoplado y la parte inferior (círculo de dedéndum) del espacio entre dientes del otro engrane. La profundidad de trabajo del diente es el doble del adéndum, en tanto que la profundidad total es la suma del adéndum y el dedéndum. El espesor del diente se mide en el círculo de paso, en tanto que el ancho del espacio del diente es ligeramente mayor que el espesor del siguiente. La diferencia entre estas dos dimensiones es la holgura. El ancho de cara de un diente se mide a lo largo del eje del engrane. El paso circular es la longitud de arco en el círculo de paso, medido desde un punto dado en un diente hasta el punto análogo en el diente contiguo. El paso circular define el tamaño del diente. La definición de paso circular pc es 8 552 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado paso circular pc ancho de espacio borde superior (o cresta) espesor del diente ancho de cara cara círculo de adéndum flanco fondo adéndum dedéndum círculo de paso círculo de dedéndum círculo base holgura paso base pb FIGURA 8-8 Nomenclatura de un diente de engrane 8 pc  Pd N (8.3a) donde d  diámetro de paso y N  número de dientes. El paso del diente también se mide a lo largo de la circunferencia del círculo base y se conoce como el paso de base pb. pb  pc cos F (8.3b) Las unidades de pc son pulgadas o milímetros. Una forma más conveniente para definir el tamaño del diente es relacionarlo directamente con el diámetro d del círculo de paso, en vez de su circunferencia. El diámetro de paso pd es pd  N d (8.4a) Las unidades de pd son pulgadas recíprocas, o número de dientes por pulgada. Dicha medida tan sólo se utiliza en Estados Unidos para la especificación de engranes. Combinando las ecuaciones 8.3a y 8.4a, se obtiene la razón entre el paso circular y el paso diametral. pd  P pc (8.4b) El sistema SI, usado para engranes métricos, define un parámetro llamado módulo, el cual es el recíproco del paso diametral con el diámetro de paso d medido en milímetros. m d N (8.4c) Las unidades del módulo son milímetros. Por desgracia, los engranes métricos no son intercambiables con los engranes estadounidenses, a pesar de que ambos tienen perfil de dientes de involuta, en vista de que sus estándares para el tamaño de los dientes son Capítulo 8 Tabla 8-1 ENGRANES RECTOS Especificaciones de la AGMA para dientes de engrane de profundidad total Paso grueso ( p d < 20 ) Parámetro 553 Tabla 8-2 Pasos diametrales estándares Paso fino ( p d r 20 ) Grueso ( p d < 20) Fino ( p d r 20) 1 20 1.25 24 Ángulo de presión F 20 o o 25 o 20 o Adéndum a 1.000 / pd 1.000 / pd Dedéndum b 1.250 / pd 1.250 / pd 1.5 32 Profundidad de trabajo 2.000 / pd 2.000 / pd 1.75 48 Profundidad total 2.250 / pd 2.200 / pd + 0.002 in 2 64 Espesor circular del diente 1.571 / pd 1.571 / pd 2.5 72 Radio de filete: cremallera básica 0.300 / pd no estandarizado 3 80 Holgura básica mínima 0.250 / pd 0.200 / pd + 0.002 in 4 96 Ancho mínimo del borde superior 0.250 / pd no estandarizado 5 120 Holgura (dientes esmerilados o pulidos) 0.350 / pd 0.350 / pd + 0.002 in 6 8 10 diferentes (véase la tabla 8-3). En Estados Unidos, el tamaño de los dientes de engranes se especifica por el paso diametral. La conversión de un estándar al otro es m 25.4 pd (8.4d) 12 14 16 18 8 La razón de velocidad mV del engranaje se expresa de forma más conveniente sustituyendo la ecuación 8.4a en la ecuación 8.1 (p. 545), tomando en cuenta que el paso diametral de los engranes acoplados es el mismo. mV  p rent d N  p ent  p ent rsal dsal Nsal (8.5a) De modo que la razón de velocidad se calcula a partir del número de dientes de los engranes acoplados, los cuales son números enteros. Observe que un signo negativo indica un engranaje de contacto exterior y uno positivo, un engranaje de contacto interior, como se indica en la figura 8-1. La razón de engrane, mG, se expresa como el número de dientes del engrane Ng entre el número de dientes del piñón Np. mG  Ng Np (8.5b) ESTANDARIZACIÓN DE DIENTES DE ENGRANE Los dientes estándar de profundidad total de los engranes tienen adenda iguales en el piñón y el engrane, mientras que el dedéndum es ligeramente más grande debido a las holguras. Las dimensiones del diente estándar se definen en términos del paso diametral. La tabla 8-1 muestra las dimensiones de los dientes estándar de engranes, de profundidad total, definidos por la AGMA, y la figura 8-9 ilustra las formas de los tres ángulos de presión estándar. La figura 8-10 muestra los tamaños reales de un ángulo de presión estándar de 20°, en dientes de profundidad completa con pd de 4 a 80. Observe la relación inversa entre el pd y el tamaño del diente. Mientras no haya ninguna restricción teórica en los posibles valores del paso diametral, se define un conjunto de valores estándar con base en las herramientas disponibles para cortar engranes. Los tamaños estándar de diente se indican en la tabla 8-2 en términos del paso diametral y en la tabla 8-3, en términos del módulo métrico. Tabla 8-3 Módulos métricos estándares Módulo métrico (mm) Equivalente p d (in-1 ) 0.3 84.67 0.4 63.50 0.5 50.80 0.8 31.75 1 25.40 1.25 20.32 1.5 16.93 2 12.70 3 8.47 4 6.35 5 5.08 6 4.23 8 3.18 10 2.54 12 2.12 16 1.59 20 1.27 25 1.02 554 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Círculo de paso Círculo base (a) F = 14.5o Círculo de paso Círculo base (b) F = 20o 8 FIGURA 8-10 Tamaños reales de dientes de engrane para varios pasos diametrales Cortesía de Barber-Colman Co., Círculo de paso Círculo base (c) F = 25o FIGURA 8-9 Perfiles de la AGMA de dientes con profundidad total para tres ángulos de presión Loves Park, Ill. 8.3 INTERFERENCIA Y REBAJE ENTRE DIENTES El perfil del diente de involuta sólo está definido por fuera del círculo base. En algunos casos, el dedéndum es tan grande que se extiende por debajo del círculo base. Si es así, entonces la porción del diente por debajo del círculo base no será de involuta e interferirá con la punta del diente del engrane acoplado, la cual sí es de involuta. Si el engrane se corta con un cortador estándar de engranes, es decir, con una “fresa”, la herramienta de corte también interferirá con la porción del diente situada por debajo del círculo base y desprenderá el material de interferencia. Como resultado, se tiene un rebaje en la superficie lateral del diente, como se ilustra en la figura 8-11. Este rebaje debilita el diente por la remoción de material en su raíz. El momento máximo y la fuerza cortante máxima en el diente, cargado como una viga en voladizo, se presentan en esa región. Un rebaje severo causará la falla prematura del diente. La interferencia y el rebaje consecuente se impedirían evitando simplemente la utilización de engranes con muy pocos dientes. Si un piñón tiene muchos dientes, éstos serán pequeños comparados con su diámetro. Si el número de dientes se reduce, manteniendo un diámetro fijo del piñón, el tamaño de los dientes aumentará. En algún punto, el dedéndum excederá la distancia radial entre el círculo base y el círculo de paso, luego de lo cual se presentará la interferencia. El número de dientes mínimo de profundidad total, requerido para eliminar la interferencia en un piñón que corre contra una cremallera estándar, se calcula a partir de: N mín  2 sen2 F (8.6) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS engrane 555 círculo base del engrane círculos de paso círculo base del piñón piñón rebaje interferencia el diente por debajo del círculo base no es una involuta FIGURA 8-11 Interferencia y rebaje de los dientes en la parte inferior del círculo base La tabla 8-4 indica el número mínimo de dientes requerido para eliminar el rebaje contra una cremallera estándar, en función del ángulo de presión. La tabla 8-5 muestra el número mínimo de dientes de profundidad total en el piñón, que se pueden usar contra una selección de engranes de diferentes tamaños de profundidad completa (para φ  20°). Conforme el engrane acoplado se vuelve más pequeño, el piñón puede tener menos dientes y aun así evitar la interferencia. Formas de dientes de adendo desigual Para eliminar la interferencia en piñones pequeños, se modifican las formas estándar del diente de profundidad completa de la figura 8-9, que tienen adendas iguales, tanto en el piñón como en el engrane, a la forma de involuta con un adéndum más largo en el piñón y más corto en el engrane. Lo anterior se conoce como engranes con perfiles cambiados. La AGMA define los coeficientes de modificación, x1 y x2, para el adéndum, la suma de los cuales siempre es igual a cero, por ser iguales en magnitud, aunque de signo contrario. El coeficiente positivo x1 se utiliza para incrementar el adéndum del piñón, en tanto que el negativo x2 disminuye el adéndum del engrane en la misma cantidad. La profundidad total del diente permanece constante. El efecto neto es alejar los círculos de paso del círculo base del piñón, así como eliminar la porción del diente del piñón que no tiene forma de involuta y se encuentra debajo del círculo base. Los coeficientes estándar son 0.25 y 0.50, los cuales suman o restan el 25% o el 50% del adéndum estándar, respectivamente. El límite de este enfoque ocurre cuando el diente del piñón se vuelve un punto. Hay algunos beneficios secundarios con dicha técnica. El diente del piñón se vuelve más grueso en su base y, por lo mismo, más fuerte. Por consiguiente, el diente del engrane se debilita; sin embargo, como el diente de profundidad total de un engrane es más fuerte que el diente de profundidad total de un piñón, el cambio provoca que sus resistencias sean aproximadamente iguales. Una desventaja de los perfiles de dientes con adendo desigual es el incremento en la velocidad de deslizamiento en la punta del diente. El porcentaje de deslizamiento entre los dientes es entonces mayor que en los dientes con adendos iguales. Lo anterior incrementa los esfuerzos superficiales en el diente, como se vio en la sección 5.11 (p. 383). Las pérdidas por fricción en el engranaje también aumentan por las mayores velocidades de deslizamiento. Dudley[10] recomienda no eliminar más del 25% de la longitud del adéndum en los dientes del piñón para engranes rectos o helicoidales, debido a las desventajas asociadas con las velocidades altas de deslizamiento. 8 Tabla 8-4 Número mínimo de dientes del piñón para evitar la interferencia entre un piñón con dientes a profundidad total y una cremallera de profundidad total Ángulo de presión (grados) Número mínimo de dientes 14.5 32 20 18 25 12 Tabla 8-5 Número mínimo de dientes del piñón para eliminar la interferencia entre un piñón con diente, a profundidad total a 20o, y los engranes de varios tamaños, a profundidad total Número mínimo de dientes en el piñón Número máximo de dientes en el engrane 17 1 309 16 101 15 45 14 26 13 16 556 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado círculo base del piñón piñón adéndum largo del piñón círculos de paso adéndum corto del engrane círculo base del engrane engrane FIGURA 8-12 Dientes de engranes con perfiles modificados, con adenda largos y cortos para evitar la interferencia y el rebaje La figura 8-12 muestra los contornos de los perfiles modificados de dientes de involuta. Compárelos con los perfiles de dientes estándares de la figura 8-9. 8 8.4 RAZÓN DE CONTACTO La razón de contacto mp define el número promedio de dientes en contacto en cualquier momento. Se calcula a partir de mp  Z pb (8.7a) donde Z es la longitud de acción de la ecuación 8.2 (p. 548) y pb es el paso base de la ecuación 8.3b (p. 552). Sustituyendo las ecuaciones 8.3b y 8.4b, en la ecuación 8.7a, se define la mp en términos del paso diametral: mp  pd Z P cos F (8.7b) Si la razón de contacto es 1, entonces un diente sale del contacto justo cuando el siguiente lo inicia. Esto es indeseable, porque los errores ligeros en el espaciamiento de los dientes causarán oscilaciones en la velocidad, vibración y ruido. Además, la carga se aplicará en la punta del diente, creando los momentos de flexión más grandes posibles. En las razones de contacto mayores a 1 existe la posibilidad de compartir la carga entre más dientes. Para razones de contacto entre 1 y 2, las cuales son comunes en engranes rectos, habrá ocasiones durante el engranado en las que todavía un par de dientes tomen la carga completa. Sin embargo, esto ocurrirá en el centro de la región del engranado donde la carga se aplica en una posición más baja en el diente, no en la punta. El punto se conoce como punto más alto de contacto en un solo diente o HSTPC. La razón mínima aceptable de contacto para una operación suave es de 1.2. Se prefiere una razón mínima de contacto de 1.4, pues cuanto más grande, mejor. La mayoría de los engranajes rectos tienen razones de contacto entre 1.4 y 2. La ecuación 8.7b muestra que para dientes más pequeños (pd mayor) y un ángulo de presión más grande, la razón de contacto será mayor. Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 557 EJEMPLO 8-1 Determinación del diente de engrane y de los parámetros de engranaje Problema Obtenga razón de engrane, paso circular, base de paso, diámetros de paso, radios de paso, distancia entre centros, adéndum, dedéndum, profundidad total, holgura, diámetros exteriores y razón de contacto de un engranaje con los parámetros dados. Si se incrementa la distancia entre centros un 2%, ¿cuál será el nuevo ángulo de presión? Se proporciona Un 6pd con un ángulo de presión de 20o, 19 dientes en el piñón y un engrane de 37 dientes. Suposiciones Las formas de los dientes son AGMA estándares con perfiles de involuta a profundidad total. Solución 1. La razón de engrane se calcula fácilmente a partir del número de dientes del piñón y del engrane con la ecuación 8.5b (p. 553). mG  Ng Np  37  1.947 19 ( a) 2. El paso circular se determina a partir de la ecuación 8.3a o de la ecuación 8.4b (p. 552). pc  P P   0.524 in pd 6 (b) 3. El paso base medido sobre el círculo base es (de la ecuación 8.3b en la p. 552): pb  pc cos F  0.524 cos20n  0.492 in (c) 4. Los diámetros de paso, así como los radios de paso del piñón y del engrane se obtienen con la ecuación 8.4a. dp  dg  Np pd Ng pd  19  3.167 in, 6 rp   37  6.167 in, 6 rg  dp  1.583 in (d )  3.083 in (e) 2 dg 2 5. La distancia nominal entre centros C es la suma de los radios de paso: C  rp rg  4.667 in (f) 6. El adéndum y el dedéndum se obtienen con las ecuaciones de la tabla 8-1 (p. 553): a 1.0 1   0.167 in, pd 6 b= 1.25 1.25   0.208 in pd 6 ( g) 7. La profundidad total ht es la suma del adéndum y el dedéndum. ht  a b  0.167 0.208  0.375 in (h) 8. La holgura es la diferencia entre el dedéndum y el adéndum. cb a  0.208 0.167  0.042 in (i ) 8 558 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 9. El diámetro exterior de cada engrane es el diámetro de paso más los dos adenda: Do p  d p 2 a  3.500 in, Dog  d g 2 a  6.500 in ( j) 10. La razón de contacto se determina con las ecuaciones 8.2 y 8.7 (pp. 548 y 556). Z  rp ap 2 rp cos F 2 rg 1.583 0.167 2 1.583 cos 20 ag 2 2 C sen F 2 3.083 0.167 2 3.083 cos 20 mp  rg cos F 2 4.667 sen 20  0.798 in Z 0.798   1.62 pb 0.492 (k ) 11. Si la distancia entre centros aumenta su valor nominal debido a los errores de ensamble, o a otros factores, los radios de paso efectivos cambiarán en el mismo porcentaje. Los radios de base de los engranes se mantienen iguales. El nuevo ángulo de presión se obtiene a partir de la geometría modificada. Para el 2% de aumento en la distancia entre centros (1.02X): ¥ rp cos F ´ ¥ rcírculo base p ´ cos 20o ´  22.89o  cos 1 ¥  cos 1 ¦ F nuevo  cos 1 ¦ µ µ § 1.02 ¶ § 1.02rp ¶ § 1.02rp ¶ 8 (l ) 12. Los archivos EX12-01 se encuentran en el CD-ROM del libro. 8.5 TRENES DE ENGRANES Un tren de engranes es un conjunto de dos o más engranes acoplados, de modo que un par de engranes, o engranaje, son la forma más sencilla de un tren de engranes, que generalmente está limitado por una razón de 10:1 aproximadamente. El engranaje se vuelve grande y difícil de alojar más allá de esta razón si el piñón se mantiene por arriba del número mínimo de dientes mostrado en las tablas 8-4 y 8-5 (p. 555). Los trenes de engranes son simples, compuestos o epicíclicos. A continuación se repasará brevemente el diseño cinemático de los trenes de engranes. Para una información más detallada, consulte la referencia 4. Trenes de engranes simples Un tren de engranes simple es aquel donde cada eje tiene sólo un engrane: es el ejemplo más sencillo de un engranaje con dos engranes, que se ilustra en la figura 8-2 (p. 545). La razón de velocidad (llamada también razón de trenes) de un engranaje se obtiene con la ecuación 8.5a (p. 553). La figura 8-13 muestra un tren de engranes simple con cinco engranes en serie. La ecuación 8.8 es la expresión para esta razón de velocidad del tren: ¤ N 2 ³ ¤ N3 ³ ¤ N 4 ³ ¤ N 5 ³ mV  ¥ ´¥ ´ ´¥ ´¥ ¦ N3 µ ¦ N 4 µ ¦ N 5 µ ¦ N 6 µ N2 N6 (8.8) Cada engranaje contribuye potencialmente a la razón de velocidad total; pero, en el caso de un tren simple (en serie), los efectos numéricos de todos los engranes se cancelan, excepto el primero y el último. La razón de un tren simple siempre es la que Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 559 hay entre el primero y el último engranes. Tan sólo se ve afectado el signo de la razón global del tren por los engranes intermedios, los cuales se denominan locos, ya que usualmente no se toma potencia de sus ejes. Si todos los engranes de un tren son de contacto externo y hay un número par, el sentido de giro de salida será opuesto al del engrane de entrada. Si el número de engranes externos del tren es impar, la salida estará en la misma dirección que la entrada, de modo que sólo es necesario un engrane externo loco, de cualquier diámetro, para modificar la dirección del engrane de salida sin afectar su velocidad. W ent N2 2 N3 3 Es práctica común insertar un solo engrane loco para cambiar la dirección; más de uno resulta superfluo. No se justifica diseñar un tren de engranes como el que se ilustra en la figura 8-13. Si se necesitan conectar dos ejes separados, se podría usar un tren de engranes simple con muchos engranes, aunque sería mucho más costoso que una transmisión de cadena o banda para la misma aplicación. Si el requerimiento es obtener una razón de engrane mayor de la que se obtendría con un engranaje simple, la ecuación 8.8 indica claramente que un tren de engranes simples no ayuda. N4 4 N5 5 Trenes de engranes compuestos Para obtener una razón de tren mayor de 10:1, se necesita un tren de engranes compuesto (a menos que se utilice un tren epicíclico; véase la siguiente sección). Un tren de engranes compuesto es aquel donde al menos un eje tiene más de un engrane. Éste tendrá una configuración en paralelo o paralelo en serie, en lugar de las conexiones en serie puras del tren de engranes simple. La figura 8-14a muestra un tren compuesto de cuatro engranes, dos de los cuales, los engranes 3 y 4, están sujetos al mismo eje; por lo tanto, tienen la misma velocidad angular. La razón del tren de engranes es ahora 6 N6 8 W sal FIGURA 8-13 Tren de engranes simple ¤ N2 ³ ¤ N 4 ³ mV  ¥ ´¥ ´ ¦ N3 µ ¦ N 5 µ N3 N2 eje de entrada (8.9a) eje de entrada eje de salida N5 N4 N3 N2 N5 N4 eje de salida 3 W ent 4 5 W sal W ent 2 2 W sal 4 43 5 2 (a) FIGURA 8-14 Trenes de engranes compuestos de dos etapas: (a) No invertido, (b) invertido (b) 560 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Lo anterior se podría generalizar para cualquier número de engranes en el tren como mV  p producto del número de dientes de engranes impulsores producto del número de dientes de engranes impulsados (8.9b) Observe que estas razones intermedias no se cancelan y que la razón de tren total es el producto de las razones de los engranajes en paralelo, de modo que se obtiene una razón mayor en un tren de engranes compuesto a pesar de la limitación de aproximadamente 10:1, que se tiene para las razones de engranajes individuales. El signo de más o menos de la ecuación 8.9b depende del número y el tipo de los acoplamientos que hay en el tren, ya sean externos o internos. Escribir la expresión en la forma de la ecuación 8.9a y observar cuidadosamente el signo de cada razón de engranado, en la expresión misma, nos permite obtener el signo algebraico correcto para la razón total del tren de engranes. Trenes compuestos invertidos 8 En la figura 8-14a, los ejes de entrada y de salida se encuentran en lugares diferentes. Esto sería muy aceptable o incluso deseable en algunos casos, lo cual depende de otras restricciones de alojamiento en el diseño general de una máquina. Esta caja de engranes, cuyos ejes de entrada y de salida no coinciden, se denomina tren de tipo compuesto no invertido. En algunos casos, como en las transmisiones de automóviles, es deseable, o incluso necesario, tener el eje de salida concéntrico con el eje de entrada, como se indica en la figura 8-14b. Esto se denomina comúnmente “reversión del tren” o “retroaplicación del tren”. El diseño de un tren compuesto con reversión es más complicado por la restricción adicional de que las distancias entre centros de las etapas deben ser iguales. Para mayor información, consulte la referencia 4. EJEMPLO 8-2 Diseño de un tren de engranes compuesto Problema Diseñe un tren de engranes rectos compuesto, para una razón general del tren de 29:1. Se proporciona Utilice engranes con un ángulo de presión de 25o con un módulo de 3 mm en todas las etapas. Suposiciones La razón más grande en cualquier engranaje es de 10:1, aproximadamente. El número mínimo de dientes en cualquier piñón es de 12 (tabla 8-4, p. 555). Solución 1. La razón requerida es demasiado grande para una etapa (un engranaje), pero no para dos, apegándose cada una a la limitación de 10:1. Podemos tener una idea de las razones de engranaje necesarias tomando la raíz cuadrada de la razón de tren deseada: (29)0.5  5.385, de modo que dos engranajes con esta razón lo harán. 2. Como el número de dientes en cada engrane debe ser un entero, veamos qué tan cerca se puede estar de la razón de engrane 5.385:1, con combinaciones de dientes en números enteros, comenzando con el piñón más pequeño posible: 125.385  64.622 135.385  70.007 145.385  75.392 ( a) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 561 La segunda de éstas se ubica muy cerca de la razón correcta cuando se redondea a enteros. 3. Intente con dos engranajes de 13 dientes y 70 dientes. ¿Cuál es la razón de tren? ¤ 70 ³ ¤ 70 ³  28.994 ¦ 13 µ ¦ 13 µ (b) 4. Si esto está lo suficiente cerca para la aplicación, el problema está resuelto. La única situación en que quizá no sería aceptable es cuando se requiere una razón exacta para proporcionar una funcionalidad de coordinación. 5. Observe que el uso de engranajes idénticos en un tren compuesto automáticamente lo revierte, permitiendo así que los ejes de entrada y de salida sean concéntricos. Trenes de engranes planetarios o epicíclicos Todos los trenes de engranes convencionales, descritos en las secciones anteriores, son dispositivos de un grado de libertad (1-DOF). Existe otra clase de trenes de engranes, los trenes planetarios o epicíclicos, que tienen gran aplicación. Se trata de mecanismos con dos grados de libertad (2-DOF). Se necesitan dos entradas para obtener una salida predecible. En algunos casos, como en el diferencial de un automóvil, hay una entrada (el eje impulsor) y se obtienen dos salidas acopladas por fricción (las dos ruedas impulsoras). 8 Los trenes planetarios o epicíclicos tienen varias ventajas sobre los trenes convencionales, entre las cuales está el hecho de que se pueden obtener razones de tren más grandes en alojamientos más pequeños, la reversión por omisión, así como salidas bidireccionales, concéntricas y simultáneas, a partir de una entrada unidireccional. Estas características hacen populares a los trenes de engranes para las transmisiones de automóviles y camiones, entre otros. La figura 8-15a muestra un engranaje convencional con un grado de libertad, en el cual el eslabón 1 se inmovilizó para que actúe como el eslabón de fijación. En la figura 8-15b se muestra el mismo engranaje ahora con el eslabón 1 libre para girar como un brazo que conecta los dos engranes. Sólo el pivote del piñón está fijo y el grado de libertad del sistema es igual a 2. Lo anterior se ha convertido en un tren epicíclico con un engrane solar y uno planetario que gira alrededor del sol, mantenido en órbita por el brazo. Se requieren dos entradas. Generalmente, el brazo y el engrane solar son salida 3 entrada # 1 W entrada entrada # 1 salida W brazo = 0 W brazo 3 2 brazo 1 2 W salida W salida Arm brazo engrane planetario W sol piñón 1 (a ) Engranaje convencional 1 entrada # 2 engrane engrane solar (b) Engranaje epicíclico o planetario FIGURA 8-15 Los engranajes convencionales son casos especiales de los engranajes planetarios o epicíclicos 562 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado impulsados cada uno en cierta dirección, con cierta velocidad. En muchos casos, la velocidad una de estas entradas es igual a cero; por ejemplo, al aplicar un freno al brazo o al engrane solar. Observe que una velocidad de entrada cero en el brazo simplemente convierte al tren epicíclico en un tren convencional, como se muestra en la figura 8-15a, de modo que el tren de engranes convencional es tan sólo un caso especial del tren epicíclico más complejo, en el cual el brazo se mantiene estacionario. En este sencillo ejemplo del tren epicíclico de la figura 8-15b, el único engrane al que se permite actuar como salida, después de poner como entradas al solar y al brazo, es el planetario. Resulta un poco difícil obtener una salida utilizable con este engrane planetario que orbita, ya que su pivote se mueve. En la figura 8-16 se muestra una configuración más útil, en la cual se incorporó un engrane anular. Este engrane anular se acopla con el planetario y se pivota concéntricamente con el piñón, de modo que sirve fácilmente como elemento de salida. La mayoría de los trenes planetarios se configuran con engranes anulares, con la finalidad llevar de nuevo el movimiento planetario a un pivote fijo. Observe como el engrane solar, el engrane anular y el brazo se perciben como ejes huecos concéntricos, de forma tal que es posible acceder a cada una para aprovechar su velocidad angular y su torque, ya sea como salida o como entrada. Aun cuando es relativamente fácil visualizar el flujo de potencia a través de un tren de engranes convencional, así como observar las direcciones del movimiento de sus engranes, resulta muy difícil conocer el comportamiento de un tren planetario por mera observación. Se deben realizar los cálculos necesarios para determinar su comportamiento y los resultados frecuentes en contra de la intuición suelen ser sorprendentes. Como los engranes giran con respecto al brazo y el brazo mismo tiene movimiento, se debería usar la ecuación de diferencia de velocidad: 8 W engrane  W brazo W engrane / brazo engrane anular 80t engrane planetario W anillo 4 (8.10) entrada # 2 engrane anular engrane solar engrane planetario 3 20t engrane solar 40t brazo 2 1 brazo brazo W brazo entrada # 1 salida W solar FIGURA 8-16 Tren de engranes planetario con un engrane anular usado como salida cojinete Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 563 Las ecuaciones 8.10 y 8.5a (p. 553) son todo lo que se necesita para determinar las velocidades en un tren epicíclico, siempre que se conozcan los números de dientes y dos condiciones de entrada. Reagrupe la ecuación 8.10 para obtener el término de diferencia de velocidad. Luego haga que ωF represente la velocidad angular del primer engrane del tren (seleccionado en cualquier extremo) y ωL, la velocidad angular del último engrane en el tren (el del otro extremo). Para el primer engrane del sistema: W F / brazo  W F W brazo (8.11a) W brazo (8.11b) W brazo  mV W brazo (8.11c) Para el último engrane del sistema: W L / brazo  W L Al dividir el último entre el primero: W L / brazo W L  W F / brazo W F Lo anterior da una expresión para la razón mV general del tren. El lado del extremo más a la izquierda de la ecuación 8.11c tan sólo implica los términos de diferencia de velocidades en relación con el brazo. Esta fracción es igual a la razón de los productos del número de dientes de los engranes, desde el primero hasta el último en el tren (como se definió en la ecuación 8.9b), la cual se sustituye en el lado del extremo más a la izquierda de la ecuación 8.11c. p producto del número de dientes de los engranes impulsores W L  producto del número de dientes de los engranes impulsados W F W brazo W brazo (8.12) La ecuación 8.12 se resuelve para determinar cualquiera de las tres variables que se encuentran del lado derecho, siempre que las otras dos estén definidas como entradas para este tren de engranes con dos grados de libertad. Se deben conocer las velocidades del brazo y de un engrane o las velocidades de dos engranes designados como primero y último. Otra limitación de este método es que tanto el primero como el último engranes deben tener un pivote fijo (sin orbitar) y debe haber una ruta de engranaje que los conecte, la cual puede incluir engranes planetarios en órbita. EJEMPLO 8-3 Análisis de un tren de engranes epicíclico Problema Determine la razón de tren entre un engrane solar y el brazo del tren epicíclico mostrado en la figura 8-16. Se proporciona El engrane solar tiene 40 dientes, el engrane planetario 20 dientes y el engrane anular 80 dientes. El brazo es la entrada y el engrane solar es la salida. El engrane anular es estacionario. Suposiciones El engrane solar es el primer engrane en el tren y el engrane anular es el último. Sea la W del brazo igual a 1 rpm. La razón deseada del tren es sol/brazo. 8 564 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Solución 1. La ecuación 8.12 define la cinemática de un tren epicíclico: ¥ N 2 ´ ¥ N3 ´ W L ¦ N µ¦ N µ  W § 3 ¶§ 4¶ F W brazo W brazo ¥ 40 ´ ¥ 20 ´  0 1 § 20 ¶ § 80 ¶ W F 1 ( a) WF  3 lo cual define la razón del tren como 3. El engrane solar gira tres veces más rápido en la misma dirección del brazo. Observe los signos de las razones del engranaje. Uno es de un conjunto externo () y otro de un conjunto interno (). 2. Los archivos EX12-03 se encuentran en el CD-ROM. 8.6 8 MANUFACTURA DE ENGRANES Se utilizan varios métodos para fabricar engranes, los cuales se dividen en dos categorías: formado y maquinado. El maquinado se divide además en rectificado y acabado. El formado se refiere a las operaciones directas de vaciado, moldeado, rolado o extrusión de los perfiles de dientes con materiales fundidos, en polvo o ligeramente calentados. El rectificado y el acabado son técnicas de remoción de material que sirven para cortar o esmerilar el perfil del diente sobre un bloque sólido a temperatura ambiente. Los métodos de rectificado se realizan con frecuencia, sin aplicar ninguna operación de acabado posterior en engranes que no requieren mucha precisión. A pesar de su nombre, los procesos de rectificado (esmerilado) realmente crean un diente liso y preciso. Sólo cuando se requieren alta precisión y funcionamiento suave, se justifica el costo adicional de las operaciones de un acabado secundario. Formado de dientes de engrane En todas las operaciones de formado de dientes, todos los dientes del engrane se producen simultáneamente con un molde o dado, donde se maquinaron las formas de los dientes. La precisión de los dientes es totalmente dependiente de la calidad del dado o el molde; en general, es mucho menor de la que se obtendría aplicando los métodos de rectificado o acabado. Las herramientas que se utilizan en la mayoría de estos métodos son de alto costo, por lo cual sólo se justifican en producciones masivas. Para un estudio general de dichos procesos de manufactura, véase el apéndice B. FUNDICIÓN Los dientes se vierten al metal fundido en moldes de arena o dados, donde se maquinaron las formas deseadas. Su ventaja es el bajo costo, ya que la forma del diente se construye en el molde. Generalmente no se aplican operaciones de acabado sobre los dientes después de la fundición, aunque se podría hacer. Los dientes que se obtienen son de baja precisión y se utilizan sólo en aplicaciones que no son críticas, como juguetes, aparatos electrodomésticos pequeños o en mezcladoras de cemento, es decir, donde el ruido y la holgura excesivos de las partes no afectan la operación. La fundición en arena es un método económico para obtener pequeñas cantidades de engranes de baja calidad, pues los costos de las herramientas son razonables; no obstante, el acabado superficial y la exactitud dimensional son muy deficientes. La fundición en moldes de presión brinda mejores precisión y acabado superficial, aunque las herramientas tienen costos altos, por lo cual se requieren grandes volúmenes de producción para justificar su uso. Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 565 FUNDICIÓN POR INVESTIMENTA También conocida como fundición en cera, da como resultado engranes razonablemente precisos para una diversidad de materiales. El molde se hace con un material refractario que permite la fundición de materiales a alta temperatura. La precisión depende del patrón original utilizado para elaborar el molde. SINTERIZADO En él, se presionan los metales en polvo (PM) en las cavidades del modelo metálico en forma de engrane, luego se remueven y se les da tratamiento térmico (se sinterizan) para incrementar su resistencia. Tales engranes, hechos con metales en polvo, tienen una precisión similar a la de los engranes fundidos a presión; sin embargo, sus propiedades se controlan mezclando varios polvos metálicos. La técnica se utiliza normalmente en engranes pequeños. MOLDEO POR INYECCIÓN Sirve para hacer engranes no metálicos con varios termoplásticos, como el nylon y el acetal. Se trata de engranes con poca precisión en tamaños pequeños, cuya ventaja es un bajo costo y la capacidad de funcionar sin lubricante con cargas ligeras. EXTRUSIÓN Se utiliza para formar dientes sobre varillas largas, las cuales se cortan en longitudes adecuadas y se maquinan para aplicarse en barrenos centrales y cuñeros, entre otros. Los materiales no ferrosos como las aleaciones de cobre y aluminio se usan generalmente para la extrusión en lugar de los aceros. ESTIRADO EN FRÍO Forma dientes sobre varillas de acero moldeándolos a través de dados endurecidos. El trabajo en frío incrementa la resistencia y reduce la ductilidad. Las varillas se cortan después en longitudes adecuadas; además, se maquinan para alojarse en barrenos centrales y cuñeros, etcétera. ESTAMPADO Las hojas metálicas se estampan con formas de dientes para crear engranes de baja precisión, en grandes cantidades, a bajo costo. El acabado superficial y la precisión son deficientes. Maquinado La mayoría de los engranes metálicos que se emplean para transmitir potencia en las máquinas se obtienen a través de un proceso de maquinado, a partir de bloques vírgenes vaciados, forjados o rolados en caliente. Los procesos de rectificado incluyen la elaboración de la forma del diente con cortadores formados o generadores con un cortador de cremallera, un cortador formador o una fresadora de engranes. Los procesos de acabado incluyen el cepillado, bruñido, rectificado, rectificado, o esmerilado. Cada uno de estos métodos se describirá brevemente. Procesos de rectificado FRESADO DE FORMA Requiere un cortador con cierta forma, como el mostrado en la figura 8-17 (el número 1). El cortador debe tener la forma del espacio del diente del engrane, con la geometría y el número de dientes para cada engrane específico. El cortador giratorio se clava en el bloque para cortar un diente a la vez. Luego, el bloque gira a través de un círculo de paso y se corta el siguiente diente. Como se necesita un cortador de forma diferente para cada tamaño de engrane, el costo de las herramientas es alto. Para reducir costos, a menudo se utiliza el mismo cortador para engranes de diferentes tamaños, lo que da como resultado errores de perfil en todos los dientes, menos en uno. Este método es el menos preciso de todos los métodos de rectificado. GENERACIÓN POR CREMALLERA Un cortador de cremallera con paso de involuta se puede hacer fácilmente, ya que la forma de sus dientes es trapezoidal (véase la figura 8-6 en la página 549). La cremallera afilada y endurecida (véase el número 2 en la figura 8-17) oscila a lo largo del eje del bloque del engrane y se alimenta hacia él, mientras gira alrededor del bloque del engrane, de modo que genera el diente de involuta sobre el engrane. La cremallera y el bloque se deben reposicionar periódicamente para completar la circunferencia. Este reposicionamiento puede generar errores en la geometría del diente, haciendo a este método menos preciso que otros que se estudiarán. 8 566 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 4 3 2 1 FIGURA 8-17 Una colección de herramientas de corte. 1. Cortador afilado. 2. Cortador de cremallera. 3. Cortador moldeador. 4. Fresadora Cortesía de Pfauter-Maag Cutting Tools Limited Partnership, Loves Park, Ill. 8 FORMADO DE ENGRANES Utiliza una herramienta de corte en forma de engrane (véase el número 3 en la figura 8-17), la cual se hace oscilar axialmente a través del bloque del engrane para cortar los dientes, en tanto que el bloque gira alrededor del cortador, como se ilustra en la figura 8-18. Se trata de un proceso de generación de forma real, donde la herramienta en forma de engrane corta a su imagen al engranarse con el bloque del engrane. La precisión es buena, aunque cualquier error en alguno de los dientes del cortador se transfiere directamente al engrane. También los engranes internos se suelen cortar con este método. FRESADO Una fresa, identificada con el número 4 en la figura 8-17, es similar a una rosca de machuelo. Sus dientes están formados para ajustarse al espacio del diente y se interrumpen con ranuras para proporcionar superficies de corte. Gira alrededor de un eje perpendicular al del bloque del engrane, cortando así el interior del bloque giratorio para producir el diente. Es el más preciso de los procesos de corte, ya que no se requiere el reposicionamiento de la herramienta o del bloque, por lo que cada diente se corta con múltiples fresas, promediando los errores de la herramienta. Se puede obtener un excelente acabado superficial con esta técnica, que es una de los más utilizadas en la producción de engranes. FIGURA 8-18 Un cortador formador que corta un engrane helicoidal Cortesía de Pfauter-Maag Cutting Tools Ltd Prtship, Loves Park, Ill. Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 567 Procesos de acabado Cuando se requiere precisión, se realizan más operaciones con los engranes obtenidos por los métodos anteriores. Las operaciones de acabado generalmente remueven poco o ningún material; pero mejoran la precisión dimensional, el acabado superficial y/o la dureza. CEPILLADO Es similar al formado de engranes, aunque maneja herramientas de cepillado de precisión para remover pequeñas cantidades de material de un engrane rectificado, con la finalidad de corregir los errores del perfil y mejorar el acabado. ESMERILADO Emplea un esmeril contorneado que se pasa sobre la superficie maquinada de los dientes del engrane, generalmente controlado por computadora, para eliminar pequeñas cantidades de material y mejorar el acabado superficial. Se puede usar en engranes que han sido endurecidos después del rectificado, para corregir las distorsiones del tratamiento térmico, así como para obtener las ventajas señaladas. BRUÑIDO Corre el engrane maquinado burdamente contra un engrane especialmente endurecido. Las grandes fuerzas en el punto de contacto del diente provocan la fluencia plástica de la superficie del diente del engrane, lo cual mejora tanto el acabado como el trabajo de endurecimiento de la superficie, creando así esfuerzos residuales compresivos benéficos. PULIDO Y AFILADO Utilizan un engrane impregnado de abrasivo o una herramienta en forma de engrane que se corre contra el engrane para desbastar la superficie. En ambos casos, la herramienta abrasiva impulsa el engrane en cantidades suficientes para acelerar y controlar la corrida para mejorar tanto el acabado superficial como la precisión. Calidad del engrane El estándar AGMA 2000-A88 define las tolerancias dimensionales para los dientes de engrane y un índice de calidad Qv que va desde la peor calidad (3) hasta la mayor precisión (16). Es el método de manufactura lo que determina fundamentalmente el índice de calidad Qv del engrane. Los engranes formados normalmente tienen índices de calidad de 3 a 4. Los engranes fabricados por los métodos de rectificado listados, por lo general, tienen un intervalo de calidad Qv entre 5 y 7. Si los engranes tienen acabado de cepillado o esmerilado, Qv estaría dentro del intervalo 8 a 11. El pulido y el afilado pueden alcanzar índices de calidad más altos. Evidentemente, el costo del engrane está en función de Qv. La tabla 8-6 presenta los índices de calidad recomendados por la AGMA para varias aplicaciones comunes de engranes. Otra forma de seleccionar un índice de calidad adecuado se basa en la velocidad lineal de los dientes del engrane en el punto de paso, llamada velocidad en la línea de paso. Las imprecisiones en el espaciado del diente originarán impactos entre los dientes, en tanto que las fuerzas de impacto se incrementan a mayores velocidades. La tabla 8-7 muestra los índices recomendados de calidad Qv del engrane, en función de la velocidad en la línea de paso del engrane acoplado. Los engranes rectos raras veces se utilizan con velocidades en la línea de paso mayores a 10 000 ft/min (50 m/s), debido al exceso de ruido y a las vibraciones. En dichas aplicaciones se prefieren los engranes helicoidales (que son analizados en el capítulo siguiente). La calidad del engrane ejerce un efecto significativo en la participación de los dientes para compartir la carga. Si los espaciamientos de los dientes no son precisos ni uniformes, no todos los dientes engranados estarán en contacto simultáneamente. Lo anterior hace innecesaria la ventaja de una razón de contacto grande. La figura 8-19 presenta dos engranes con una razón de contacto grande, aunque con precisión escasa. Sólo un par de dientes están en contacto y comparten la carga en la misma dirección. Los otros dientes Tabla 8-6 Números de calidad del engrane recomendados por la AGMA para diversas aplicaciones Aplicación Tambor impulsor en una mezcladora de cemento Horno de cemento Impulsor de acero de un molino Cosechadoras de maíz Grúas Perforadora a presión Correa transportadora en minería Máquina para fabricar cajas de papel Mecanismo de un medidor de gas Taladro de baja potencia Lavadora de ropa Prensa impresora Mecanismo de computadoras Transmisión automotriz Impulsor de antena de radar Impulsor de propulsión marina Impulsor de motor de avión Giroscopio Qv 3–5 5–6 5–6 5–7 5–7 5–7 5–7 6–8 7–9 7–9 8–10 9–11 10–11 10–11 10–12 10–12 10–13 12–14 Tabla 8-7 Números recomendados de calidad del engrane contra la velocidad en la línea de paso Velocidad de paso 0–800 fpm Qv 6–8 800–2000 fpm 8–10 2000–4000 fpm 10–12 Más de 4000 fpm 12–14 8 568 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado del engranaje no tienen carga. A pesar de la razón de contacto aparente de aproximadamente 5, la razón de contacto real en este punto del engranaje es sólo de 1. 8.7 El análisis de carga sobre los dientes de engranes en un engranaje se puede realizar aplicando los métodos estándar de análisis de carga, que se estudiaron en el capítulo 1, con las ecuaciones 1.2 o 1.3 (p. 8) como corresponda. Se analizará brevemente su aplicación en los dientes de engranes. La figura 8-20 muestra los dientes de dos engranes. Los dientes están acoplados (en contacto) realmente en el punto de paso, aunque para efectos de claridad se muestran separados. El piñón entrega un torque Tp al engrane. Se muestran los diagramas de cuerpo libre, tanto del engrane como del piñón. En el punto de paso, la única fuerza que se transmite de un diente a otro, ignorando la fricción, es la fuerza W que actúa a lo largo de la línea de acción en el ángulo de presión. Esta fuerza se descompone en dos componentes: Wr que actúa en la dirección radial y Wt en la dirección tangencial. La magnitud de la componente tangencial Wt se determina a partir de FIGURA 8-19 Diente de engrane recto real acoplado que muestra una deficiente participación de los dientes para compartir la carga debido a la imprecisión del diente Fuente: R.L. Thoen, 8 CARGA SOBRE ENGRANES RECTOS Wt  “Minimizing Backlash in Spur Gears”, Gear Technology, mayo/junio 1994, p. 27, con autorización. Tp rp  2Tp dp  2 pd Tp (8.13a) Np donde Tp es el torque sobre el eje del piñón, rp el radio de paso, dp el diámetro de paso, Np el número de dientes y pd el paso diametral del piñón. La componente radial Wr es Wr  Wt tan F (8.13b) y la fuerza resultante W es W Wt cos F (8.13c) Observe que la ecuación 8.13a se puede expresar para el engrane en lugar de para el piñón, ya que la fuerza W es igual, aunque de sentido opuesto en el engrane y el piñón. R Rt Tp Wp línea de acción Wt W Wg punto de paso Rr engrane Rr Wr Wr piñón F W Wt línea de acción Tg R Rt FIGURA 8-20 Fuerzas sobre el piñón y el engrane de un engranaje (los engranes se muestran separados para efectos de claridad; los puntos de paso se encuentran realmente en contacto) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS La fuerza de reacción R y sus componentes Rt y Rr, en los pivotes, son iguales y con dirección opuesta a las fuerzas correspondientes, que actúan en el punto de paso del engrane o piñón respectivo. Las fuerzas en el piñón son iguales y con dirección opuesta a las que actúan sobre el engrane. Dependiendo de la razón de contacto, los dientes pueden estar sujetos a toda o a parte de la carga W, en cualquier ubicación entre la punta del diente y un punto cercano al círculo del dedéndum, conforme gira a través del engranaje. Evidentemente, la peor condición de carga es cuando W actúa en las puntas de los dientes. Entonces, su componente tangencial Wt tiene el brazo del momento, con la longitud más grande posible, actuando sobre el diente como una viga en voladizo. Tanto el momento de flexión como la fuerza cortante transversal, debida a la flexión, serán máximos en la raíz del diente. Para razones de contacto  1, habrá un punto de contacto más alto posible en un diente (HPSTC) en algún lado debajo de la punta, lo cual dará el momento de flexión máximo sobre el diente, siempre y cuando las exactitudes del engrane sean lo suficientemente buenas como para permitir que se comparta la carga. Si los dientes son de baja calidad, como los de la figura 8-19, entonces la punta soportará la carga completa sin importar la razón de contacto. Incluso si el torque Tp es constante en el tiempo, cada diente experimentará carga repetida conforme pasa por el engranaje, creando así un escenario de carga de fatiga. En la figura 8-21a se indica la función momento de flexión-tiempo en un engranaje. Las componentes de flexión media (Mm) y alternante (Ma) del momento de flexión son iguales. La eliminación de los valores enteros de la razón de engrane mG en los engranajes tiene la ventaja de evitar que los mismos dientes entren en contacto entre sí cada mG revoluciones. Las razones fraccionarias distribuyen el contacto más equitativamente entre todos los dientes. Si se inserta un engrane loco entre el piñón y el engrane para cambiar la dirección de la salida, cada uno de los dientes del engrane loco experimentará un ciclo de momento invertido, como se ilustra en la figura 8-21b, ya que la fuerza W actúa en los lados opuestos de cada diente loco debido a los engranajes alternos. Observe que el intervalo Mr de la magnitud del momento sobre el engrane loco es del doble de la de los engranes normales (que no son locos), volviéndolo un engrane cargado más fuertemente, incluso cuando su momento medio es igual a cero. Lo mismo aplica para los engranes planetarios, como se indica en la figura 8-16 (p. 562). EJEMPLO 8-4 Análisis de carga en un tren de engranes rectos Problema Determine los torques y las cargas que se transmiten sobre los dientes del engrane en un tren de tres engranes, que contiene un piñón, un engrane loco y un engrane. Calcule los diámetros del engrane, así como las componentes media y alternante de la carga transmitida sobre cada engrane. Se proporciona El eje del piñón transmite 20 hp a 2 500 rpm. La razón del tren es de 3.5:1. El piñón tiene 14 dientes, un ángulo de presión de 25o y pd = 6. El engrane loco tiene 17 dientes. Suposiciones El piñón se acopla con el engrane loco y el engrane loco se acopla con el engrane. Solución 1. Obtenga el número de dientes del engrane a partir de la información proporcionada: N g  mG N p  3.514  49 dientes ( a) 569 M + Ma Mm Mr t – (a) Momento repetido sobre el diente del engrane (normal) que no es loco M + Mr Ma Mm = 0 t – (b) Momento invertido sobre el diente del engrane loco FIGURA 8-21 Momentos de flexión que varían con el tiempo sobre los dientes del engrane 8 570 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 2. El torque sobre el eje del piñón se determina con la ecuación 6.1 (p. 415): in - lb 20 hp ¥ 6 600 hp´ § ¶ P seg Tp    504 lb - in W p 2 500 rpm 2 P 60 rad rpm seg (b) 3. El torque de salida es Tg  mG Tp  3.5504  1 765 lb - in (c ) 4. Los diámetros de paso son: dp  Np pd  14  2.33 in, 6 di  17  2.83 in 6 dg  49  8.17 in 6 (d ) 5. La carga transmitida, que es la misma en los tres engranes, se calcula a partir del torque y del radio de cualquiera de los engranes: Wt  Tp dp 2  504  432 lb 2.33 2 (e) 6. La componente radial de carga es 8 Wr  Wt tan F  432 tan 25n  202 lb (f) 7. La carga total es W Wt 432   477 lb cos F cos 25n ( g) 8. Las cargas repetidas sobre cualquier diente del piñón o del engrane son Wt alternante  Wt  216 lb 2 Wt media  Wt  216 lb 2 ( h) 9. Las cargas de ciclo invertido sobre el engrane loco son Wt alternante  Wt  432 lb Wt media  0 lb (i ) 10. Los archivos EX12-04 se encuentran en el CD-ROM. 8.8 ESFUERZOS EN ENGRANES RECTOS Hay dos modos de falla que afectan los dientes de los engranes: fractura por fatiga, debida a la variación de los esfuerzos de flexión en la raíz del diente, y fatiga superficial (picado) en la superficie del diente. Cuando se diseñan los engranes, se deben verificar ambos modos de falla. La fractura por fatiga, debida a la flexión, se previene con un diseño adecuado, manteniendo el estado de esfuerzos dentro de la línea del diagrama modificado de Goodman para el material, como se vio en el capítulo 4. Como la mayoría de los engranes con cargas pesadas se hacen con materiales ferrosos que tienen una resistencia límite de fatiga a la flexión, es posible lograr la vida infinita para las cargas de flexión. Sin embargo, como se vio en el capítulo 5, los materiales no presentan una resistencia límite de fatiga para esfuerzos repetidos en la superficie de contacto. Por lo tanto, no es posible diseñar engranes con vida infinita contra las fallas superficiales. Los Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 571 dientes de los engranajes diseñados adecuadamente nunca se deberían fracturar en servicio normal (excepto cuando hay sobrecargas mayores para las que fueron diseñados); no obstante, es de esperarse que a final de cuentas fallen por alguno de los mecanismos de desgaste analizados en el capítulo 5. El modo más común de falla es el picado, aun cuando se presente desgaste adhesivo o abrasivo (raspado o estriación), sobre todo cuando los engranes no se lubrican de forma apropiada durante el servicio. Se abordarán los dos modos principales de falla, mediante los procedimientos recomendados por la AGMA. Esfuerzos de flexión LA ECUACIÓN DE LEWIS La primera ecuación útil para el esfuerzo de flexión en un diente de engrane la desarrolló W. Lewis, en 1892. Reconoció que un diente es una viga en voladizo con sección crítica en la raíz. Iniciando con la ecuación del esfuerzo de flexión en una viga en voladizo, dedujo lo que ahora se conoce como la ecuación de Lewis: Sb  Wt pd FY (8.14) donde Wt es la fuerza tangencial sobre el diente, pd el diámetro de paso, F el ancho de la cara y Y es un factor geométrico adimensional, definido por él y conocido ahora como el factor de forma de Lewis. Este factor toma en cuenta la geometría del diente para determinar su resistencia efectiva en el filete de la raíz. Lewis publicó una tabla de valores de Y para engranes con diferentes ángulos de presión y distinto número de dientes.[5] Observe que la componente radial Wr no se toma en cuenta, ya que pone al diente en compresión y actúa para reducir los riesgosos esfuerzos de flexión por tensión. Por lo tanto, la omisión del esfuerzo radial es conservadora y también simplifica el análisis. La ecuación de Lewis ya no se utiliza en su forma original, pero sirve de base para una versión más moderna, como la definida por la AGMA con base en el trabajo de Lewis y muchos otros. Los principios de la ecuación de Lewis aún son válidos, pero se ha enriquecido con factores adicionales para considerar los mecanismos de falla que se comprendieron posteriormente. Su factor de forma Y se sustituyó por el nuevo factor de geometría J, el cual incluye los efectos de la concentración de esfuerzos en el filete de la raíz.[3] En los tiempos de Lewis, aún no se habían descubierto las concentraciones de esfuerzos. ECUACIÓN DE ESFUERZO DE FLEXIÓN DE LA AGMA Tal como está definida en el estándar 2001-B88, es válida tan sólo para ciertos supuestos acerca de la geometría del diente y el engranaje: 1. La razón de contacto se encuentra entre 1 y 2. 2. No hay interferencia entre las puntas y los filetes de la raíz de los dientes acoplados ni rebaja del diente arriba del inicio teórico del perfil activo. 3. Ningún diente es puntiagudo. 4. Existe holgura distinta de cero. 5. Los filetes de la raíz son estándares, se suponen lisos y están fabricados mediante un proceso de generación. 6. Las fuerzas de fricción son despreciables. El primer supuesto se aplica a pesar de la conveniencia teórica de altas razones de contacto, debido a que la carga real compartida entre los dientes en dichas situaciones está sometida a factores de precisión y rigidez del diente, los cuales son difíciles de predecir, lo que vuelve indeterminado el problema. Entonces, la suposición 1 es conservadora por las mayores razones de contacto. La suposición 2 limita el análisis a las combinaciones piñón-engrane que cumplen con las limitaciones mínimas del diente 8 572 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado descritas en las tablas 8-4 y 8-5 (p. 555). Si se necesitan números menores de dientes para efectos de embalaje, se tienen que utilizar adendos desiguales en los dientes y aplicar el método de la AGMA con el factor geométrico J adecuado en la ecuación. La suposición 3 implica los límites de adenda desiguales en los piñones. La suposición 4 reconoce los engranes con holgura igual a cero, que no funcionarán libremente debido a la fricción excesiva. La suposición 5 toma en cuenta el uso de factores de concentración de esfuerzos para los filetes de la raíz, con base en el trabajo de Dolan y Broghammer.[6] La suposición 6 se explica por sí misma. Además, este método es válido únicamente para engranes con dientes externos. La geometría de los dientes internos es muy diferente para requerir otro enfoque en el cálculo de los esfuerzos de flexión. Para mayor información, consulte el estándar de la AGMA. La ecuación de la AGMA del esfuerzo de flexión es ligeramente diferente para la especificación de Estados Unidos y el sistema inglés, debido a la relación recíproca entre el paso diametral y el módulo. Se listarán ambas versiones con los sufijos us o si, sobre los números de la ecuación donde proceda. Sb  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv (8.15us) Sb  Wt K a K m Ks K B K I FmJ Kv (8.15si) El núcleo de la ecuación es la fórmula de Lewis con el factor geométrico J actualizado y sustituido, en lugar del factor de forma Y. Wt , F y pd tienen el mismo significado que en la ecuación 8.14 y m es el módulo métrico. Los factores K son modificadores para tomar en cuenta varias condiciones. Se analizarán ahora cada uno de los términos empíricos de la ecuación 8.15. 8 FACTOR GEOMÉTRICO J DE RESISTENCIA A LA FLEXIÓN El factor geométrico J se calcula con un algoritmo complicado, definido en el estándar AGMA 908-B89. El mismo estándar proporciona también tablas de factores J para dientes estándares de profundidad completa, así como para dientes con adendos desiguales entre 25% y 50%, todos con ángulos de presión de 14.5, 20 y 25°. Estos factores J varían con el número de dientes del piñón y del engrane; además, se aplican sólo a un intervalo de combinaciones que cumplen con el supuesto 2 anterior. La AGMA recomienda que se eliminen las combinaciones diente-número que causen interferencia. Las tablas 8-8 a 8-15* reproducen los factores geométricos J de la AGMA para un subconjunto de combinaciones engrane-diente cubiertas por el estándar. En estas ocho tablas se cubren los diseños de dos dientes de engrane (el diente de profundidad total y el diente con adéndum de 25% de largo), cada uno para dos ángulos de presión (20° y 25°); ambos para cargas en la punta y en el punto más alto de contacto en un diente individual (HPSTC). Para combinaciones diferentes, consulte el estándar. * Tomado del estándar AGMA 908B89, HOJA DE INFORMACIÓN, Factores geométricos para determinar la resistencia al picado y la resistencia a la flexión de los dientes de engranes rectos, helicoidales, y Herringbone, con autorización del editor, la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St. Suite 201, Alexandria, Va., 22314. Observe en estas tablas que los factores J son diferentes para el piñón y para el engrane (identificados como P y G) en cada combinación de engranaje. En consecuencia, hay diferentes niveles de esfuerzo de flexión en los dientes del piñón y los dientes del engrane. La letra U, en las tablas, indica que se presenta rebaje en esa combinación debido a la interferencia entre la punta del diente del engrane y el flanco de la raíz del piñón. La elección entre factores de carga en la punta o HPSTC J se tendría que hacer con base en la precisión de la manufactura del engranaje. Si las tolerancias de manufactura son pequeñas (engranes de alta precisión), entonces se puede suponer cómo comparten la carga los dientes y usar las tablas de HPSTC. Si no, entonces es probable que sólo un par de dientes soporten toda la carga en la punta en el peor de los casos, como se observa en la figura 8-19 (p. 568). Consulte el estándar AGMA 908-B89 para más información sobre variaciones aceptables de manufactura en la base de paso para conseguir el HPSTC. Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 573 FACTOR DINÁMICO KV El factor dinámico Kv trata de tomar en cuenta las cargas vibratorias internas que se generan por el impacto entre dientes y están inducidas por un engranaje desajustado de los dientes del engrane. Tales cargas vibratorias se conocen como error de transmisión y son más grandes en engranes de baja precisión. Los engranes de precisión se aproximan más al ideal de transmisión del torque con suavidad y razón de velocidad constante. En ausencia de datos de prueba que definan el nivel del error de transmisión esperado en el diseño de un engrane específico, el diseñador habrá de estimar el factor dinámico. La AGMA proporciona curvas empíricas de Kv como una función de la velocidad en la línea de paso Vt. La figura 8-22* muestra una familia de dichas curvas, las cuales varían con el índice de calidad Qv del engranaje. Las ecuaciones de las curvas numeradas de 6 a 11 en la figura 8-22 son ¥ A ´ Kv  ¦ Vt µ¶ §A B ´ A 200Vt µ¶ ¥ Kv  ¦ §A (8.16us) B (8.16si) donde Vt es la velocidad en la línea de paso del engrane acoplado, en unidades de ft/min (Estados Unidos) o m/s (sistema métrico). Los factores A y B se definen como A  50 561 B 12 B Qv (8.17a) 23 4 para 6 b Qv b 11 (8.17b) * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. 1.0 engranes de alta precisión 0.9 Qv = 11 0.8 Kv Qv = 10 & 0.7 Cv Qv = 9 0.6 Qv = 8 Qv = 7 0.5 Qv = 6 Qv b 5 0.4 0 1 000 2 000 0 5 10 FIGURA 8-22 Factores dinámicos Kv y Cv de la AGMA 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 velocidad en la línea de paso Vt ft/min 8 000 9 000 10 000 15 40 45 50 20 25 30 35 velocidad en la línea de paso Vt m/s 8 574 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 8-8 - Un Enfoque Integrado Factor geométrico J para flexión de la AGMA, para 20o, y dientes de profundidad total con carga en la punta Dientes en el piñón 12 14 Dientes en el engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 17 P G U U U U U U U U 26 U U 35 U U 55 U 135 U Tabla 8-9 21 P G U U U U U U U U U U U U U 26 P G U 0.24 0.24 U U 0.24 U U 0.24 U U U U U U 35 P G 0.25 0.25 0.25 0.26 0.25 0.24 0.28 0.25 0.24 0.29 0.25 55 P G 0.26 0.26 0.26 0.28 0.26 0.29 0.26 135 P G 0.28 0.28 0.28 0.29 0.28 0.29 P G 0.29 0.29 Factor geométrico J para flexión de la AGMA, para 20o, y dientes de profundidad total con carga del HPSTC 8 Dientes en el piñón 12 14 Dientes en el engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 17 P G U U U U U U U U 26 U U 35 U U 55 U 135 U Tabla 8-10 21 P G U U U U U U U U U U U U U 26 P G U 0.33 0.33 U U 0.33 U U 0.34 U U U U U U 35 P G 0.35 0.35 0.35 0.37 0.36 0.34 0.40 0.37 0.35 0.43 0.38 55 P G 0.38 0.39 0.39 0.41 0.40 0.44 0.41 135 P G 0.42 0.43 0.43 0.45 0.45 0.47 P G 0.49 0.49 Factor geométrico J para flexión de la AGMA, para 20o y 25%; dientes con adéndum largo con carga en la punta Dientes en el piñón Dientes en el engrane 12 14 P G 12 U U 14 U 17 U 21 26 17 P G U U U U U U U U U 35 U 55 135 21 P G U 0.27 0.19 U U 0.27 U U 0.27 U U U U U U U U U 26 P G 0.21 0.27 0.21 0.22 0.27 0.27 0.24 0.27 U 0.27 0.26 U 0.27 0.28 35 P G 0.22 0.28 0.22 0.24 0.28 0.27 0.26 0.28 0.27 0.28 0.28 55 P G 0.24 0.28 0.24 0.26 0.28 0.28 0.28 135 P G 0.26 0.29 0.26 0.28 0.29 0.28 P G 0.30 0.28 Capítulo 8 Tabla 8-11 ENGRANES RECTOS 575 Factor geométrico J para flexión de la AGMA, para 20o y 25%; dientes con adéndum largo con carga del HPSTC Dientes en el piñón 12 14 Dientes en el engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 17 P G U U U U U U U U 26 U U 35 U U 55 U 135 U Tabla 8-12 21 P G U 0.36 0.24 U 0.37 U U U U U U U U 26 P G 0.26 0.39 0.27 0.37 0.29 0.39 0.37 0.32 0.40 U 0.38 0.35 U 0.39 0.39 35 P G 0.29 0.41 0.30 0.32 0.41 0.40 0.36 0.42 0.41 0.40 0.43 55 P G 0.33 0.43 0.34 0.36 0.44 0.41 0.45 135 P G 0.37 0.47 0.39 0.42 0.48 0.44 P G 0.51 0.46 Factor geométrico J para flexión de la AGMA, para 25o, y dientes de profundidad total con carga en la punta 8 Dientes en el piñón 12 14 Dientes en el engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 17 P G U 0.28 0.28 U 0.28 U U 0.28 26 U U 35 U U 55 U 135 U Tabla 8-13 21 P G 0.30 0.30 0.30 0.31 0.30 0.28 0.33 0.28 0.34 U 0.28 U 0.28 26 P G 0.31 0.31 0.31 0.30 0.33 0.31 0.30 0.34 0.31 0.36 0.30 0.36 0.38 0.30 0.38 35 P G 0.33 0.33 0.33 0.34 0.33 0.31 0.36 0.33 0.31 0.38 0.33 55 P G 0.34 0.34 0.34 0.36 0.34 0.38 0.34 135 P G 0.36 0.36 0.36 0.38 0.36 0.38 P G 0.38 0.38 Factor geométrico J para flexión de la AGMA, para 25o, y dientes de profundidad total con carga del HPSTC Dientes en el piñón 12 14 Dientes en el engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 26 17 P G U 0.33 0.33 U 0.33 U U U U 35 U 55 135 21 P G 0.36 0.36 0.36 0.33 0.39 0.36 0.33 0.41 0.37 U 0.34 0.44 U U 0.34 U U 0.35 26 P G 0.39 0.39 0.39 0.42 0.40 0.37 0.45 0.40 0.47 0.38 0.48 0.51 0.38 0.52 35 P G 0.42 0.43 0.43 0.45 0.43 0.41 0.49 0.44 0.42 0.53 0.45 55 P G 0.46 0.46 0.46 0.49 0.47 0.53 0.48 135 P G 0.50 0.51 0.51 0.54 0.53 0.56 P G 0.57 0.57 576 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 8-14 - Un Enfoque Integrado Factor geométrico J para flexión de la AGMA, para 25o y 25%; dientes con adéndum largo con carga en la punta Dientes en el piñón 12 14 Dientes en el engrane P G 12 0.32 0.20 14 0.32 17 0.32 21 17 P G 0.22 0.33 0.22 0.25 0.33 0.32 0.27 0.33 26 0.32 0.29 35 0.32 0.31 55 0.32 135 0.32 Tabla 8-15 21 P G 0.25 0.34 0.25 0.27 0.34 0.33 0.29 0.33 0.31 0.34 0.33 0.37 0.33 26 P G 0.27 0.36 0.27 0.34 0.29 0.36 0.34 0.31 0.36 0.34 0.34 0.34 0.37 0.34 0.37 35 P G 0.29 0.36 0.29 0.31 0.36 0.36 0.34 0.36 0.36 0.37 0.36 55 P G 0.31 0.37 0.31 0.34 0.37 0.37 0.37 135 P G 0.34 0.38 0.34 0.37 0.38 0.37 P G 0.39 0.37 Factor geométrico AGMA J para flexión, para 25o y 25%; dientes con adéndum largo con carga del HPSTC Dientes en el piñón 8 12 14 Dientes en el engrane P G 12 0.38 0.22 14 0.38 17 0.38 21 17 P G 0.25 0.40 0.25 0.29 0.40 0.38 0.32 0.41 26 0.39 0.35 35 0.39 0.38 55 0.39 135 0.40 21 P G 0.29 0.43 0.29 0.32 0.43 0.41 0.35 0.41 0.39 0.42 0.42 0.47 0.42 26 P G 0.33 0.46 0.33 0.44 0.36 0.46 0.44 0.39 0.47 0.43 0.44 0.44 0.48 0.45 0.49 35 P G 0.36 0.48 0.37 0.40 0.49 0.47 0.44 0.49 0.48 0.49 0.50 55 P G 0.41 0.51 0.41 0.45 0.52 0.50 0.53 135 P G 0.46 0.55 0.47 0.51 0.56 0.53 P G 0.59 0.55 donde Qv es el índice de calidad del engrane de menor calidad en el engranaje. Observe en la figura 8-22 que cada una de estas curvas empíricas termina bruscamente en valores específicos de Vt. Se pueden extrapolar más allá de estos puntos, pero los datos experimentales a partir de los cuales fueron generadas no se extienden más allá de tales límites. Los valores donde termina Vt en cada curva se pueden calcular a partir de ; Qv 3 =2 ft/min (8.18us) ; A Qv  3 =2 m/s (8.18si) Vt máx  A Vt máx 200 Para engranes con Qv  5, se usa una ecuación diferente: Kv  Kv  50 50 50 Vt 50 200 Vt (8.19us) (8.19si) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 577 Esta relación es válida tan sólo cuando Vt  2 500 ft/min (13 m/s), como se observa en la línea Qv  5 de la figura 8-22. Arriba de esta velocidad se tienen que utilizar engranes con una Qv más alta. Mark[7] dedujo un método de cálculo para el error de transmisión en engranes con ejes paralelos que toman en cuenta la desalineación de los cojinetes, la desalineación dinámica de ejes, las variaciones en el espaciamiento del diente, las modificaciones en el perfil del diente y la rigidez de las estructuras que soportan los cojinetes. Si se conoce la carga dinámica real, debida a los errores de transmisión, y se toma en cuenta al incrementar la carga aplicada Wt, entonces el factor dinámico Kv se puede igualar a 1. FACTOR Km DE DISTRIBUCIÓN DE CARGA Cualquier desalineación o desviación axiales en la forma del diente causan que la carga transmitida Wt se distribuya desigualmente sobre el ancho de la cara de los dientes del engrane. El problema se acentúa en las caras con anchos más grandes. Un modo aproximado y conservador, para tomar en cuenta la menor distribución uniforme de la carga, consiste en aplicar el factor Km para incrementar los esfuerzos de los mayores anchos de cara. Algunos valores sugeridos se muestran en la tabla 8-16. Una regla práctica útil es mantener el ancho de la cara F de un engrane recto dentro de los límites 8 / pd  F  16 /pd, con un valor nominal de 12 /pd. Esta razón se conoce como el factor del ancho de cara. APLICACIÓN DEL FACTOR Ka En el modelo de carga analizado en la sección 8.7 se suponía que la carga transmitida Wt era constante en el tiempo. Los momentos variables sobre los dientes descritos en esa sección se debían a que los dientes entraban y salían del engranaje bajo una carga uniforme o promedio. Si la máquina impulsora o la impulsada tienen torques o fuerzas que varían con el tiempo, éstos incrementarán la carga sostenida por el diente del engrane por encima de los valores medios. En ausencia de información definitiva acerca de las cargas dinámicas, en las máquinas impulsoras e impulsadas, se aplica el factor Ka para incrementar el esfuerzo en el diente con base en “el grado de choque” de la maquinaria conectada al tren de engranes. Por ejemplo, si el tren de engranes conecta un motor eléctrico con una bomba de agua centrífuga (ambos de los cuales son dispositivos de funcionamiento suave), no es necesario aumentar las cargas promedio y Ka  1. Pero si un motor de combustión interna de un cilindro impulsa un triturador de piedras mediante un tren de engranes, tanto el generador de potencia como el dispositivo impulsado generan cargas de choque sobre los dientes de los engranes y Ka  1. La tabla 8-17 presenta algunos valores sugeridos por la AGMA para Ka, con base en el nivel supuesto de cargas de choque en los dispositivos impulsor e impulsado. FACTOR Ks DE TAMAÑO Se emplea del mismo modo que el factor de tamaño descrito en el capítulo 4 para la carga general de fatiga. Las muestras de prueba utilizadas para desarrollar los datos de resistencia a la fatiga son relativamente pequeñas (de aproximadamente 0.3 in de diámetro). Si la parte que se diseña es mayor que eso, podría resultar más débil de lo indicado por los datos de prueba. El factor Ks permite la modificación del esfuerzo en el diente para tomar en consideración en tales situaciones. Tabla 8-17 Aplicación de factores Ka Máquina impulsada Máquina impulsora Uniforme Impacto moderado Impacto fuerte Uniforme (motor eléctrico, turbina) 1.00 1.25 1.75 o mayor Impacto suave (motor de varios cilindros) 1.25 1.50 2.00 o mayor Impacto medio (motor de un solo cilindro) 1.50 1.75 2.25 o mayor Tabla 8-16 Factores Km de distribución de carga Ancho de cara in (mm) Km <2 (50) 1.6 6 (150) 1.7 9 (250) 1.8 r20 (500) 2.0 8 578 DISEÑO DE MÁQUINAS tR ht - Un Enfoque Integrado Muchos de los datos disponibles acerca de resistencia del engrane se desarrollaron a partir de pruebas de dientes de engranes reales; por lo tanto, concuerdan mejor con la realidad que los datos de resistencia general del capítulo 4. La AGMA no ha establecido aún estándares para los factores del tamaño, pero recomienda hacer Ks igual a 1, a menos que el diseñador quiera elevar su valor para considerar situaciones específicas, como dientes muy largos, por ejemplo. En dichos casos, un valor conservador de Ks estaría entre 1.25 y 1.5. FACTOR KB DE ESPESOR DEL ARO Este factor lo introdujo recientemente la AGMA para tomar en cuenta situaciones donde un engrane con diámetro grande, hecho con un aro y brazos radiales, en lugar de un disco sólido, tiene una profundidad pequeña del aro, en comparación con la profundidad del diente. Tales diseños pueden fallar con fractura radial en el aro, en lugar de en la raíz del diente. La AGMA define una razón de respaldo mB como mB  FIGURA 8-23 Parámetros de la AGMA para el factor KB del espesor del aro tR ht (8.20a) donde tR es el espesor del aro del diámetro de la raíz del diente al diámetro interior del aro y ht es la profundidad completa del diente (la suma del adéndum y el dedéndum), como se indica en la figura 8-23.* Esta razón se utiliza para definir el factor de espesor del aro a partir de 8 K B  2 m B + 3.4 K B  1.0 0.5 a m B a 1.2 m B  1.2 (8.20b) No se recomiendan razones de respaldo  0.5. Los engranes de disco sólido siempre tendrán a KB  1. FACTOR KI DE UN ENGRANE LOCO Un engrane loco está sometido a más ciclos de esfuerzo por unidad de tiempo, con mayores cargas alternantes, que sus primos los engranes normales. Para considerar tal situación, el factor KI se hace igual a 1.42 para un engrane loco, o bien, 1.0 para un engrane normal. La AGMA utiliza el recíproco de este factor para reducir la resistencia aparente del material de un engrane loco; sin embargo, no es consistente con el enfoque empleado en este texto, con aplicación de factores que afectan el estado de esfuerzos de una parte para la ecuación de esfuerzo, no para la resistencia del material. EJEMPLO 8-5 Análisis del esfuerzo de flexión en un tren de engranes rectos Problema * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandría, Va., 22314. Determine un ancho de cara adecuado y los esfuerzos de flexión en los dientes de los tres engranes del tren del ejemplo 8-4. Se proporciona La carga transmitida sobre los dientes es de 432 lb. El piñón tiene 14 dientes, un ángulo de presión de 25o y pd = 6. El engrane loco tiene 17 dientes, y el engrane, 49 dientes. La velocidad del piñón es de 2 500 rpm. Véase el ejemplo 8-3, para más información dimensional. Suposiciones Los dientes son de perfiles estándar de la AGMA de profundidad total. La carga y la fuente son de naturaleza uniforme. Se debe manejar un índice de 6 de calidad del engrane. Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 579 Solución 1. Aun cuando la carga transmitida es la misma, los esfuerzos de flexión en los dientes de cada tamaño de engrane son diferentes debido a la ligera diferencia en la geometría del diente. La fórmula general del esfuerzo de flexión en los dientes es la ecuación 8.15 (p. 572): Sb  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv ( a) Wt , pd, F, Ka, Km, Kv y Ks son comunes a todos los engranes del conjunto, mientras J, KB y KI son potencialmente diferentes para cada engrane. 2. Se puede hacer una primera aproximación del ancho de la cara, en función del paso diametral. Se toma el centro del intervalo de factores del ancho de la cara recomendados 8 / pd  F  16 / pd para el primer cálculo: 12 12   2 in pd 6 F (b) 3. Con base en la suposición de carga y fuente uniformes, el factor Ka se iguala a 1. 4. El factor de distribución de carga se estima de la tabla 8-16 (p. 577) con base en el ancho de cara supuesto: Km  1.6. 5. El factor de velocidad Kv se determina con las ecuaciones 8.16 y 8.17 (p. 573) con base en el índice de calidad supuesto Qv del engrane y la velocidad en la línea de paso Vt. Vt  dp 2 Wp  B ft 2.33 in 2 500 rpm 2 P  1 527 212 min 12 Qv 4 23  12 6 4 23  0.826 A  50 561 B  50 561 0.826  59.745 ¤ A ³ Kv  ¥ ´ Vt µ ¦A B ³ ¤ 59.745 ¥ 1 527 ´µ ¦ 59.745 (c ) (d ) (e) 0.826  0.660 (f) 6. El factor de tamaño Ks  1 para los tres engranes. 7. Todos estos engranes son muy pequeños como para tener un aro y brazos radiales, de modo que KB  1. 8. El factor de engrane loco KI  1 para el piñón y el engrane, y KI  1.42 para el engrane loco. 9. El factor geométrico de flexión J para 25° y 14 dientes del piñón engranado, con los 17 dientes del engrane loco, se obtiene de la tabla 8-13 (p. 575) con un valor de Jpiñón  0.33. El esfuerzo de flexión en los dientes del piñón es, entonces, Sbp  4326 11.6 Wt pd K a K m Ks K B K I  1 1 1  9 526 psi 20.33 0.66 FJ Kv ( g) 10. El factor geométrico de flexión J para los 25° y 17 dientes del engrane loco acoplado, con los 14 dientes del piñón, se obtiene de la tabla 8-13 con un valor Jloco  0.36. El esfuerzo de flexión en los dientes del engrane loco es: 8 580 DISEÑO DE MÁQUINAS S bi  - Un Enfoque Integrado 4326 11.6 Wt pd K a K m Ks K B K I  1 1 1.42  12 400 psi 20.36 0.66 FJ Kv ( h) Observe en la tabla 8-13 que el engrane loco tiene un factor J diferente cuando se considera que es el “engrane” acoplado con el piñón más pequeño (0.36), que cuando se considera “piñón” acoplado con un engrane más grande (0.37). Se utiliza el valor más pequeño de los dos, porque éste da como resultado el mayor esfuerzo. 11. El factor geométrico J de flexión para los 25° y 49 dientes del engrane acoplado, con los 17 dientes del engrane loco, se obtiene (por interpolación) de la tabla 8-13, con un valor de Jengrane  0.46. El esfuerzo de flexión en el diente del engrane es, entonces, S bg  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv 4326 11.6 1 1 1 20.46 0.66 6 834 psi (i ) 12. Si éste es un nivel de esfuerzo aceptable, entonces se utiliza el ancho de cara supuesto. Este tema se analizará nuevamente para el diseño en un capítulo posterior. 13. Los archivos EX12-05 se encuentran en el CD-ROM. 8 Esfuerzos superficiales Los dientes de engranes acoplados tienen una combinación de rodamiento y deslizamiento, en su punto de contacto. En el punto de paso, su movimiento relativo es de rodamiento puro. El porcentaje de deslizamiento se incrementa con la distancia a partir del punto de paso. Algunas veces se toma el valor promedio, de 9% de deslizamiento, para representar el movimiento combinado de rodamiento-deslizamiento entre los dientes.[8] Los esfuerzos en la superficie del diente son esfuerzos de contacto hertzianos dinámicos en el rodamiento y deslizamiento combinados, como se define en la sección 5.11 (p. 383). Dichos esfuerzos son tridimensionales y tienen valores pico en la superficie o ligeramente debajo de ella, según la cantidad de deslizamiento presente en combinación con el rodamiento. Dependiendo de la velocidad superficial, los radios de curvatura del diente y la viscosidad del lubricante, se puede dar una condición de lubricación elastohidrodinámica (EHD), total o parcial, o una de lubricación límite en el punto de contacto, como se describió en el capítulo 7. Si se suministra suficiente lubricante limpio del tipo adecuado para crear, por lo menos, una lubricación EHD parcial (espesor específico de la película Λ  2), para así prevenir la falla superficial adhesiva, abrasiva o los mecanismos de corrosión descritos en el capítulo 5, los únicos modos de falla serán el picado y la escamadura debido a la fatiga superficial. Véase la sección 5.7 (p. 366), para el estudio de este mecanismo, y la figura 5-12 (p. 369) para los ejemplos de falla superficial en dientes de engranes. Las primeras investigaciones sistemáticas sobre los esfuerzos superficiales, en dientes de engranes, fueron realizadas por Buckingham,[9] quien descubrió que dos cilindros con el mismo radio de curvatura que los dientes de engranes en el punto de paso, cargados radialmente en contacto de rodamiento, se podrían utilizar para simular el contacto de los dientes de los engranes, mientras se controlan las variables necesarias. Su trabajo lo llevó al desarrollo de una ecuación para esfuerzos superficiales en los dientes de engranes, que ahora se conoce como la ecuación de Buckingham. Se emplea como base para la fórmula de resistencia contra el picado de la AGMA,[2] la cual es Sc  Cp Wt Ca Cm Cs C f F I d Cv (8.21) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 581 donde Wt es la fuerza tangencial sobre el diente, d el diámetro de paso del más pequeño de los dos engranes acoplados, F el ancho de la cara e I el factor geométrico superficial adimensional de resistencia al picado. Cp es el coeficiente elástico, que toma en cuenta las diferencias de las constantes del material del engrane y del piñón. Los factores Ca, Cm, Cv y Cs son iguales, respectivamente, a Ka, Km, Kv y Ks, como se definió en la ecuación 8.15 (p. 572) de esfuerzo a la flexión. Los factores nuevos I, Cp y Cf se definen a continuación. FACTOR GEOMÉTRICO SUPERFICIAL I Este factor considera los radios de curvatura de los dientes del engrane y el ángulo de presión. La AGMA define la ecuación para I: I cos F ¤ 1 1³ ¥ R o R ´ dp ¦ p gµ (8.22a) donde ρp y ρg son los radios de curvatura de los dientes del piñón y del engrane, respectivamente, mientras φ es el ángulo de presión y dp es el diámetro de paso del piñón. El signo  toma en cuenta engranajes externos e internos. Se usa el signo de arriba para engranajes externos en todas las expresiones que se relacionan. Los radios de curvatura de los dientes se calculan a partir de la geometría del acoplamiento: ¥ R p  ¦ rp § 1 xp ´ µ pd ¶ 2 rp cos F 2 P cos F pd 8 (8.22b) R g  C sen F ∓ R p donde pd es el paso diametral, rp es el radio de paso del piñón, φ es el ángulo de presión, C es la distancia entre los centros del piñón y del engrane, y xp es el coeficiente de adendo del piñón, el cual es igual al porcentaje decimal de la elongación del adéndum para dientes con adéndum desigual. Para dientes estándares de profundidad completa, xp  0. Para dientes con adéndum del 25% de largo, xp  0.25, etcétera. Observe la elección del signo en la segunda ecuación 8.22b. Se emplea el signo de arriba para engranajes externos y el de abajo para un engranaje interno. COEFICIENTE ELÁSTICO CP El coeficiente elástico, que toma en cuenta las diferencias en los materiales de los dientes, se obtiene a partir de Cp  1 §¤ 1 N 2 ³ p P ¨¥ ´ ¨¦ E p µ © ¤ 1 N 2g ³ ¶ ´· ¥ ¦ Eg µ ·¸ (8.23) donde Ep y Eg son, respectivamente, los módulos de elasticidad del piñón y del engrane, y νp y νg son sus respectivas razones de Poisson. Las unidades de Cp son (psi)0.5 o (MPa)0.5. La tabla 8-18* muestra valores de Cp para varias combinaciones de materiales comunes para engranes y piñones, con base en un valor de ν supuesto de 0.3, para todos los materiales. FACTOR DE ACABADO SUPERFICIAL CF Se utiliza para considerar acabados superficiales inusualmente ásperos en los dientes del engrane. La AGMA todavía no ha establecido estándares para los factores de acabado superficial, pero recomienda que Cf sea igual a 1 para engranes fabricados con métodos convencionales. Su valor se puede incrementar para tomar en cuenta acabados superficiales inusualmente ásperos, o bien, para la presencia conocida de esfuerzos residuales nocivos. * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. 582 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 8-18 - Un Enfoque Integrado Coeficiente elástico Cp de la AGMA en unidades de [psi]0.5 ([MPa]0.5)*† Ep Material del engrane psi (MPa) Acero Hierro maleable Hierro nodular Hierro fundido Bronce al aluminio Bronce al estaño Acero 30E6 (2E5) 2 300 (191) 2 180 (181) 2 160 (179) 2 100 (174) 1 950 (162) 1 900 (158) Hierro maleable 25E6 (1.7E5) 2 180 (181) 2 090 (174) 2 070 (172) 2 020 (168) 1 900 (158) 1 850 (154) Hierro nodular 24E6 (1.7E5) 2 160 (179) 2 070 (172) 2 050 (170) 2 000 (166) 1 880 (156) 1 830 (152) Hierro fundido 22E6 (1.5E5) 2 100 (174) 2 020 (168) 2 000 (166) 1 960 (163) 1 850 (154) 1 800 (149) Bronce al aluminio 17.5E6 (1.2E5) 1 950 (162) 1 900 (158) 1 880 (156) 1 850 (154) 1 750 (145) 1 700 (141) Bronce al estaño 16E6 (1.1E5) 1 900 (158) 1 850 (154) 1 830 (152) 1 800 (149) 1 700 (141) 1 650 (137) Material del piñón †Los valores de E en esta tabla son aproximados; se utilizó N = 0.3 como una aproximación de la razón de Poisson p para todos los materiales. Si existen números más precisos de Ep y N, éstos se deberían emplear en la ecuación 7.23 para determinar Cp. 8 EJEMPLO 8-6 Análisis de esfuerzo superficial en un tren de engranes rectos Problema Determine los esfuerzos superficiales en los dientes de los tres engranes del tren de los ejemplos 8-4 y 8-5. Se proporciona La carga transmitida sobre los dientes es de 432 lb. El piñón tiene 14 dientes, un ángulo de presión de 25o y pd = 6. El engrane loco tiene 17 dientes y el engrane tiene 49 dientes. La velocidad del piñón es de 2 500 rpm. El ancho de la cara es de 2 in. Consulte el ejemplo 8-3 para más información dimensional. Suposiciones Los dientes son de perfiles estándares de la AGMA de profundidad total. La carga y la fuente son ambas de naturaleza uniforme. Se debe usar un índice de calidad del engrane igual a 6. Todos los engranes son de acero con N = 0.28. Solución 1. La fórmula general del esfuerzo superficial en el diente es la ecuación 8.21 (p. 580): Sc  Cp * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. Wt Ca Cm Cs C f F I d Cv ( a) Wt , F, Ca, Cm, Cv y Cs son comunes para todos los engranes del conjunto. Cp, d, Cf e I son potencialmente diferentes para cada par engranado. Use la d más pequeña de un par engranado. 2. El ancho de la cara se determina como una función del paso diametral. Se toma la mitad del intervalo recomendado 8 / pd  F  16 / pd para el primer cálculo: F 12 12   2 in pd 6 (b) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 583 3. Dadas la carga y fuente uniformes, el factor Ca se hace igual a 1. 4. El factor de distribución de carga se estima con la tabla 8-16 (p. 577) según el ancho de cara supuesto: Cm  Km  1.6. 5. El factor de velocidad Cv se calcula con las ecuaciones 8.16 y 8.17 (p. 573), con base en el índice de calidad supuesto Qv del engrane y la velocidad en la línea de paso Vt . Vt  dp 2 Wp  2.33 in ft 2 500 rpm 2 P  1 527 212 min 12 B Qv 23  4 12 6 23 4 (c )  0.826 (d ) A  50 561 B  50 561 0.826  59.745 ¤ A ³ Cv  ¥ ´ Vt µ ¦A B ³ ¤ 59.745 ¥ 1 527 ´µ ¦ 59.745 (e) 0.826  0.660 (f) 6. El factor de tamaño Cs  1 para los tres engranes. 7. El factor de superficie Cf  1 para engranes con buen acabado fabricados por métodos convencionales. 8. El coeficiente elástico Cp se obtiene con la ecuación 8.23 (p. 581). Cp  1 §¤ 1 N 2 ³ p P ¨¥ ´ ¨¦ E p µ © ¤ 1 N 2g ³ ¶ ¥ ´· ¦ Eg µ ·¸  1 §¤ 1 0.282 ³ P ¨¥ ´ ¨©¦ 30 E 6 µ ¤ 1 0.282 ³ ¶ ¥ 30 E 6 ´ · ¦ µ ·¸  2 276 ( g) 9. El factor geométrico de picado I se calcula para el par de engranes acoplados. Como se tienen dos engranajes (piñón/engrane loco y engrane loco/engrane), se deben calcular dos valores diferentes de I mediante las ecuaciones 8.22 (p. 581). Se necesitan el diámetro de paso y el radio de paso de cada engrane para este cálculo. A partir de los datos del ejemplo 8-4: d p  2.333 di  2.833 dg  8.167 rp  1.167 ri  1.417 rg  4.083 ( h) 10. Para el par piñón/engrane loco, sea Ipi  I, d1  dp, r1  rp y r2  ri; entonces, ¥ R1  ¦ r1 § 1 ´ pd µ¶  ¥1.167 § 2 r1 cos F 2 1´ 2 6¶ R2  C sen F R1  r1 P cos F pd 1.167 cos 25o 2 P cos 25o  0.338 in 6 r2 sen F R1  1.167 1.417 sen 25o 0.338  0.754 in I pi  (i ) cos F cos 25o   0.091 1 ´ ¥ 1 ¥ 1 1´ . 2 33 ¦ p µ d1 § 0.338 0.754 ¶ § R1 R2 ¶ ( j) (k ) 8 584 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 11. Para el par engrane loco/engrane, sea Iig  I, d1  di, r1  ri y r2  rg; entonces, ¥ R1  ¦ r1 § 1 ´ pd µ¶  ¥1.417 § 2 r1 cos F 2 1´ 2 6¶ R2  C sen F R1  r1 P cos F pd 1.417 cos 25o 2 P cos 25o  0.452 in 6 r2 sen F R1  1.417 4.083 sen 25o 0.452  1.872 in Iig  (l ) cos F cos 25o   0.116 1 ´ ¥ 1 ¥ 1 1´ . 2 83 ¦ p µ d1 § 0.452 1.872 ¶ § R1 R2 ¶ ( m) ( n) 12. El esfuerzo superficial para el engranaje piñón/engrane loco es, entonces, Sc p  Cp Wt Ca Cm Cs C f F I pi d p Cv  2 276 8 11.6 432 1 1  113 kpsi 20.091 2.33 0.66 (o) 13. El esfuerzo superficial para el engranaje engrane loco/engrane es: S ci  C p Wt Ca Cm Cs C f F Iig di Cv  2 276 11.6 432 1 1  91 kpsi 20.116 2.83 0.66 ( p) 14. Los archivos EX12-06 se encuentran en el CD-ROM. 8.9 MATERIALES PARA ENGRANES Sólo un número limitado de metales y aleaciones son adecuados para los engranes que transmiten potencia significativa. La tabla 8-18 (p. 582) muestra algunos de ellos. Los aceros y los hierros fundidos, así como los hierros maleables y nodulares son las elecciones más comunes. Se recomienda el endurecimiento superficial o total (en las aleaciones que lo permiten), con la finalidad de obtener la resistencia suficiente y la resistencia al desgaste. Cuando se necesita alta resistencia a la corrosión, como en los ambientes marinos, con frecuencia se emplean los bronces. La combinación de un engrane de bronce y un piñón de acero tiene ventajas, en términos de compatibilidad y conformidad del material, como se vio en el capítulo 5, combinación que a menudo también se utiliza en aplicaciones que no sean marinas. HIERROS FUNDIDOS Se usan comúnmente para fabricar engranes. Los hierros fundidos grises (CI) tienen las ventajas de bajo costo, facilidad de maquinado, alta resistencia al desgaste y amortiguamiento interno (debido a las inclusiones de grafito), lo cual los hace más silenciosos que los engranes de acero. Sin embargo, tienen baja resistencia a la tensión, lo que exige dientes más grandes que en el caso de los engranes de acero, con la finalidad de obtener suficiente resistencia a la flexión. Los hierros nodulares tienen resistencia más alta a la tensión que el hierro fundido gris, y mantienen las ventajas Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 585 de facilidad de maquinado, resistencia al desgaste y amortiguamiento interno, aunque son más costosos. Con frecuencia se utiliza una combinación de un piñón de acero (para tener resistencia en el elemento sometido a los mayores esfuerzos) con un engrane de hierro fundido. ACEROS También se usan comúnmente para fabricar engranes. Tienen mayor resistencia a la tensión que los hierros fundidos, así como un costo competitivo en aleaciones con pequeñas cantidades de otros materiales. Necesitan tratamiento térmico para obtener la dureza superficial que resista el desgaste; sin embargo, algunas veces se utilizan engranes de acero suave en aplicaciones de poca carga y baja velocidad o donde una vida larga no sea el interés principal. Para el tratamiento térmico se requiere un acero simple o aleado, al medio o alto carbonos (0.35 a 0.60% de carbono). Generalmente los engranes pequeños se endurecen totalmente, en tanto que los engranes más grandes se endurecen por llama o por inducción, para minimizar la distorsión. Los aceros al bajo carbono se pueden endurecer superficialmente por carburación o nitruración. Un engrane con recubrimiento endurecido tiene la ventaja de un núcleo resistente y una superficie dura; si el recubrimiento no es lo suficientemente profundo, los dientes suelen fallar por fatiga a la flexión, a pesar del material de recubrimiento sobre el núcleo suave y más débil. Si se necesita alta precisión, con frecuencia es necesario utilizar métodos adicionales de acabado, como el esmerilado, la rectificación y el pulido, para eliminar la distorsión del tratamiento térmico en los engranes endurecidos. BRONCES Son los metales no ferrosos más comunes empleados en los engranes. El módulo de elasticidad más bajo de tales aleaciones de cobre permiten una mayor deflexión en el diente y mejora la capacidad para compartir la carga entre los dientes. Como los bronces y los aceros funcionan bien juntos, con frecuencia se utiliza la combinación de un piñón de acero y un engrane de bronce. ENGRANES NO METÁLICOS Se fabrican con frecuencia inyectando materiales como el nylon y el acetal en moldes termoplásticos, algunas veces rellenos con materiales inorgánicos como vidrio o talco. Algunas ocasiones se agrega teflón al nylon, o al acetal, para disminuir el coeficiente de fricción. Se añaden lubricantes secos como el grafito o el bisulfuro de molibdeno (MoS2) al plástico, con la finalidad de permitir el funcionamiento en seco. Los engranes compuestos con una cubierta reforzada de termoplásticos fenólicos se han utilizado, durante mucho tiempo, en aplicaciones como el engrane del árbol de levas (coordinación), impulsado por un piñón de acero en algunos motores de gasolina. Los engranes no metálicos hacen muy poco ruido; no obstante, están limitados en su capacidad de torque por sus bajas resistencias. Resistencia de materiales Como los modos de fatiga en los engranes implican la falla por fatiga, se necesitan los datos de resistencia a la fatiga del material, tanto para los esfuerzos de flexión como para los esfuerzos de contacto superficiales. Se pueden utilizar los métodos de estimación de resistencia a la fatiga descritos en el capítulo 4 para aplicaciones de engranes, ya que los principios que intervienen son los mismos. Sin embargo, los datos existentes de resistencias a la fatiga de las aleaciones para engranes son mejores, debido a los extensivos programas de pruebas realizados en el siglo pasado con estas aplicaciones. Los datos de prueba de resistencias a la fatiga de la mayoría de los materiales para engranes han sido recopilados por la AGMA. Como se mencionó en la sección 4.6 (p. 257) de este texto: La mejor información sobre resistencia a la fatiga de materiales en algún ciclo de vida finita, o bien, su resistencia límite para vida infinita, provienen de las pruebas de diseños de montajes reales o de prototipos… Si existen datos publicados de resistencia a la fatiga Sf’ o de la resistencia límite Se’ del material, éstos se deberían utilizar… Entonces no tendría sentido suponer una resistencia a la fatiga sin corregir como fracción de la resistencia última estática a la tensión y, luego, reducirla con los cálculos de los factores de corrección descritos en la sección 4.6 (p. 257), si se tienen datos más precisos de resistencia a la fatiga. 8 586 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Resistencias de la AGMA de fatiga a la flexión en materiales para engranes Los datos de la AGMA publicados, tanto para la resistencia a la fatiga por flexión como para la resistencia a la fatiga superficial, son, de hecho, resistencias a la fatiga parcialmente corregidas, ya que se generan con piezas de dimensiones apropiadas con los mismos acabado superficial, geometría, etcétera, igual que los engranes que se diseñarán. La AGMA se refiere a las resistencias de los materiales como esfuerzos permitidos, lo cual no es consistente con nuestro procedimiento de aplicación del término esfuerzo a los resultados de una carga aplicada, y del uso del término resistencia para referirse a las propiedades del material. Para lograr consistencia, dentro del texto, se designarán los datos publicados por la AGMA acerca de resistencia a la fatiga por flexión como Sfb’ para diferenciarla de la resistencia a la fatiga sin corregir completamente Sf’ del capítulo 4. Todavía hay tres factores de corrección que habrán de aplicarse a los datos de resistencia a la fatiga por flexión publicados por la AGMA, para obtener lo que se designará como la resistencia corregida de fatiga por flexión Sfb en los engranes. Todos los datos de resistencia a la fatiga por flexión de la AGMA se establecieron para 1E7 ciclos de esfuerzos repetidos (en lugar de 1E6 o 5E8, que se utilizan algunas veces para otros materiales), y para un 99% del nivel de confiabilidad (en lugar del 50% de confiabilidad común para los datos de resistencia a la fatiga y estática, en general). Tales resistencias se comparan con el esfuerzo pico σb calculado con la ecuación 8.15 (p. 572) mediante la carga Wt. El análisis de la línea de Goodman se resume en esta comparación directa, pues los datos de resistencia se obtienen a partir de una prueba que brinda un estado de esfuerzo fluctuante, idéntico al de la carga real en el engrane. 8 La fórmula de corrección para la resistencia a la fatiga por flexión en los engranes es S fb  KL S KT K R fb’ (8.24) donde Sfb’ es la resistencia a la fatiga por flexión publicada por la AGMA, como se definió anteriormente, Sfb es la resistencia corregida y los factores K son modificadores para tomar en cuenta varias condiciones. Ahora se definirán y se analizarán brevemente dichos modificadores. FACTOR DE VIDA KL Como los datos de prueba son para una vida de 1E7 ciclos, un ciclo de vida menor o mayor requiere la modificación de la resistencia a la fatiga por flexión, con base en la relación S-N del material. El número de ciclos de carga en este caso se define como el número de contactos, bajo carga, del diente de engrane que se analiza. La figura 8-24* ilustra las curvas S-N para la resistencia a la fatiga por flexión en aceros que tienen varias resistencias a la tensión diferentes de las definidas por sus números de dureza Brinell. También se muestran en la figura las ecuaciones de las curvas ajustadas para cada línea S-N. Estas ecuaciones sirven para calcular el factor KL adecuado para el número de ciclos de carga N requerido. La AGMA sugiere que: La parte superior de la zona sombreada se puede usar para aplicaciones comerciales. La parte inferior de la zona sombreada se usa normalmente en aplicaciones críticas de servicio, donde se permite un poco de picado y desgaste en el diente, y donde se requieren suavidad en la operación y niveles de vibración bajos. * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. Por desgracia, no se han desarrollado datos similares para materiales de engranes diferentes de estos aceros. FACTOR DE TEMPERATURA KT La temperatura del lubricante es una medida razonable de la temperatura del engrane. Para materiales de acero con temperaturas de aceite hasta de 250 °F, KT se puede hacer igual a 1. Para mayores temperaturas, KT se estima a partir de KT  460 TF 620 (8.24a) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 587 5.0 KL = 9.4518 N 4.0 –0.148 400 HB 3.0 KL = 6.1514 N recubrimiento carburado 250 HB –0.1192 KL = 4.9404 N 2.0 –0.1045 160 HB KL = 1.3558 N KL 1.0 0.9 0.8 0.7 KL = 2.3194 N –0.0178 1.0 0.9 0.8 0.7 –0.0538 KL = 1.6831 N –0.0323 0.6 0.6 0.5 0.5 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 Número de ciclos N de carga F I G U R A 8 - 2 4* 8 Factor de vida KL de resistencia a la flexión de la AGMA donde TF es la temperatura del aceite en °F. Esta relación no se debe emplear con materiales diferentes del acero. FACTOR DE CONFIABILIDAD KR Los datos de resistencia de la AGMA se basan en la probabilidad estadística de 1 falla en 100 muestras, es decir, 99% de confiabilidad. Si esto es satisfactorio, sea KR  1. Si se desea un factor de seguridad mayor o menor, KR se puede hacer igual a uno de los valores de la tabla 8-19.* DATOS DE RESISTENCIA A LA FATIGA POR FLEXIÓN La tabla 8-20 muestra datos de la AGMA de resistencias a la fatiga por flexión, para varios materiales de engranes que se utilizan comúnmente. El estándar de la AGMA también define especificaciones del tratamiento térmico donde son aplicables. En la figura 8-25* se presenta una gráfica con los intervalos de resistencias a la fatiga por flexión para aceros, como una función de la dureza Brinell. Consulte el estándar de la referencia para las propiedades metalúrgicas requeridas para los grados de la AGMA en aceros. Para lograr los valores de resistencia en la tabla 8-20 y en la figura 8-25, se debería especificar el material de acuerdo con el estándar. Tabla 8-19 Factor KR de la AGMA % de confiabilidad KR 90 0.85 99 1.00 99.9 1.25 99.99 1.50 Resistencias a la fatiga superficial de la AGMA para materiales de engranes Se designarán los datos publicados por la AGMA sobre resistencia a la fatiga superficial como Sfc’. Hay cuatro factores de corrección que se tienen que aplicar a los datos publicados por la AGMA, con la finalidad de obtener lo que se designará como la resistencia corregida de fatiga superficial en los engranes Sfc, S fc  C L CH S CT CR fc’ (8.25) * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. 588 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 8-20 Clase AGMA Acero A1–A5 8 Hierro nodular (dúctil) Un Enfoque Integrado Resistencias de fatiga por flexión Sfb' de la AGMA, para un grupo de materiales para engranes* Material Hierro colado - Designación del material Tratamiento térmico Dureza superficial mínima Endurecido totalmente Resistencia a la fatiga por tensión psi x 103 MPa b 180 HB 25–33 170–230 Endurecido totalmente 240 HB 31–41 210–280 Endurecido totalmente 300 HB 36–47 250–325 Endurecido totalmente 360 HB 40–52 280–360 Endurecido totalmente 400 HB 42–56 290–390 Endurecido por llama o por inducción Patrón tipo A 50–54 HRC 45–55 310–380 Endurecido por llama o por inducción Patrón tipo B 22 150 55–75 34–45 380–520 230–310 AISI 4140 Carburado y recubrimiento endurecido 55–64 HRC 84.6 HR15N† Nitrurado AISI 4340 Nitrurado 83.5 HR15N Nitrurado 90.0 HR15N 36–47 38–48 250–325 Nitroaleación 135M Nitroaleación N Nitrurado 90.0 HR15N 40–50 280–345 Cromo al 2.5% Nitrurado 87.5–90.0 15N 55–65 380–450 20 Clase 20 Como está fundido 5 35 30 Clase 30 Como está fundido 175 HB 8 69 40 Clase 40 Como está fundido 200 HB 13 90 A-7-a 60-40-18 Recocido 140 HB 22–33 150–230 260–330 A-7-c 80-55-06 Templado y revenido 180 HB 22–33 150–230 A-7-d 100-70-03 Templado y revenido 230 HB 27–40 180–280 A-7-e 120-90-02 Templado y revenido 230 HB 27–40 180–280 70 Hierro A-8-c maleable A-8-e (perlítico) A-8-f 45007 165 HB 10 50005 180 HB 13 90 53007 195 HB 16 110 A-8-i 80002 240 HB 21 145 Bronce 2 AGMA 2C Fundido en arena 40 ksi resistencia a la tensión mín. 5.7 40 Al/Br 3 ASTM B-148 78 aleación 954 Tratado térmicamente 90 ksi resistencia a la tensión mín. 23.6 160 Bronce † Escala de Rockwell 15N usada para materiales con recubrimiento endurecido; véase la sección B.4 donde Sfc’ es la resistencia a la fatiga superficial publicada, como se define en la tabla 8-21 (p. 590) y en la figura 8-26, Sfc es la resistencia corregida y los factores C son modificadores para tomar en cuenta varias condiciones. Los factores CT y CR son idénticos, respectivamente, a KT y KR y se pueden elegir como se indicó en la sección anterior. El factor de vida CL tiene el mismo propósito de KL en la ecuación 8.24, pero hace referencia a un diagrama S-N diferente. CH es el factor de razón de dureza para resistencia al picado. Estos dos factores diferentes se definirán a continuación. * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. FACTOR DE VIDA SUPERFICIAL CL Como los datos de prueba de fatiga superficial publicados son para una vida de 1E7 ciclos, un ciclo de vida más grande o más pequeño requerirá una modificación de la resistencia superficial a la fatiga, con base en la relación S-N del material. El número de ciclos de carga en este caso se define como el número de contactos de acoplamiento, bajo carga, del diente de engrane que se analiza. La figura 8-26* muestra las curvas S-N para la resistencia superficial a la fatiga de aceros. También se muestran en la figura las ecuaciones de las curvas ajustadas para las líneas S-N. Estas Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 589 MPa psi X 103 60 400 350 Sfb' = 6 235 + 174 HB – 0.126 HB 2 Máximo grado 2 50 300 40 250 200 150 Máximo grado 1 30 Sfb' = –274 + 167 HB – 0.152 HB 2 20 150 200 250 300 350 400 450 Dureza Brinell HB FIGURA 8-25 Resistencias de la AGMA para fatiga por flexión Sfb’ en aceros* ecuaciones se pueden utilizar para calcular el factor CL adecuado para el número de ciclos de carga N requerido. La AGMA sugiere: “La porción superior de la zona sombreada se puede usar para aplicaciones comerciales. La porción inferior de la zona sombreada se usa normalmente en aplicaciones críticas de servicio, donde se permite un poco de picado y desgaste en el diente, así como donde se requieren suavidad en la operación y niveles de vibración bajos.” Por desgracia, no se han desarrollado datos similares para materiales de engranes diferentes de estos aceros. FACTOR DE RAZÓN DE DUREZA CH Este factor es una función de la razón de engrane y de la dureza relativa entre el piñón y el engrane. CH se encuentra en el numerador de la ecuación 8.25 y siempre es 1.0, de modo que actúa para incrementar la resistencia aparente del engrane. Este factor considera situaciones en las cuales los dientes del piñón son más duros que los dientes del engrane y, por lo tanto, actúan para trabajar las superficies de los dientes del engrane endurecido cuando corre. CH se aplica sólo a la resistencia de los dientes del engrane, no para el piñón. En el estándar se sugieren dos fórmulas para su 8 * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. 2.0 CL = 1.4488 N CL 1.0 0.9 0.8 0.7 CL = 2.466 N –0.023 1.0 0.9 0.8 0.7 –0.056 0.6 0.6 0.5 0.5 102 103 104 105 106 107 Número de ciclos N de carga F I G U R A 8 - 2 6* Factor de vida de la AGMA para resistencia superficial a la fatiga CL 108 109 1010 590 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Tabla 8-21 Resistencias de la AGMA para fatiga superficial Sfc' en un conjunto de materiales de engranes* 8 Material Clase AGMA Acero A1–A5 Hierro fundido Hierro nodular (dúctil) 20 Denominación del material Tratamiento térmico Dureza superficial mínima Endurecido totalmente b 180 HB Endurecido totalmente Endurecido totalmente Resistencia superficial a la fatiga psi x 103 MPa 85–95 590–660 240 HB 105–115 720–790 300 HB 120–135 830–930 Endurecido totalmente 360 HB 145–160 1000–1100 Endurecido totalmente 400 HB 155–170 1100–1200 Endurecido por llama o por inducción 50 HRC 170–190 1200–1300 Endurecido por llama o por inducción 54 HRC 175–195 1200–1300 Carburado y recubrimiento endurecido 55–64 HRC 180–225 1250–1300 AISI 4140 Nitrurado 84.6 HR15N† 155–180 1100–1250 AISI 4340 Nitrurado 83.5 HR15N 150–175 1050–1200 Nitroaleación 135M Nitrurado 90.0 HR15N 170–195 1170–1350 Nitroaleación N Nitrurado 90.0 HR15N 195–205 1340–1410 Cromo al 2.5% Nitrurado 87.5 HR15N 155–172 1100–1200 Cromo al 2.5% Nitrurado 90.0 HR15N 192–216 1300–1500 Clase 20 Como se fundió 50–60 340–410 30 Clase 30 Como se fundió 175 HB 65–70 450–520 40 Clase 40 Como se fundió 200 HB 75–85 520–590 A-7-a 60-40-18 Recocido 140 HB 77–92 530–630 A-7-c 80-55-06 Templado y revenido 180 HB 77–92 530–630 A-7-d 100-70-03 Templado y revenido 230 HB 92–112 630–770 A-7-e 120-90-02 Templado y revenido 230 HB 103–126 710–870 Hierro A-8-c maleable A-8-e (perlítico) A-8-f 45007 165 HB 72 500 50005 180 HB 78 540 53007 195 HB 83 570 A-8-i 80002 240 HB 94 650 Bronce Bronce 2 AGMA 2C Fundido en arena 40 ksi resistencia a la tensión mín. 30 450 Al/Br 3 Tratado térmicamente 90 ksi resistencia a la tensión mín. 65 450 ASTM B-148 78 aleación 954 † Escala Rockwell 15N utilizada para materiales con recubrimiento endurecido; véase la sección B.4 cálculo. La elección entre una y otra depende de la dureza relativa entre los dientes del piñón y los dientes del engrane. Para piñones endurecidos totamente, que operan contra engranes endurecidos totamente: * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. CH  1 A mG 1 (8.26a) donde mG es la razón de engrane y A se obtiene a partir de si HBp HBg  1.2 entonces A = 0 (8.26b) Capítulo 8 si 1.2 b si HBp HBg HBp HBg b 1.7 entonces A  0.008 98 HBp HBg ENGRANES RECTOS 0.008 29  1.7 entonces A = 0.006 98 591 (8.26c) (8.26d ) donde HBp y HBg son las durezas Brinell del piñón y del engrane, respectivamente. Para piñones endurecidos superficialmente ( 48 HRC), que corren contra engranes endurecidos totamente, CH se obtiene a partir de  CH  1 B 450 B = 0.000 75 e B = 0.000 75 e (8.27) HBg 0.0112 Rq (8.28us) 0.052 Rq (8.28si) donde Rq es la aspereza superficial rms de los dientes del piñón en μin rms (véase la sección 5.1 en la p. 351). 8 La tabla 8-21* muestra resistencias de la AGMA para fatiga superficial en varios materiales de engranes usados comúnmente. El estándar de la AGMA define las especificaciones del tratamiento térmico para los aceros con recubrimiento endurecido. En la figura 8-27* se muestra una gráfica con los intervalos de las resistencias de la AGMA de fatiga superficial para aceros, en función de su dureza Brinell. Consulte el estándar de referencia de las propiedades metalúrgicas requeridas para los grados 1, 2 y 3 de aceros de la AGMA. Para obtener los valores de resistencia en la tabla 8-21 y en la figura 8-27 se debe especificar el material, de acuerdo con ese estándar. MPa psi x 103 1 200 175 Sfc' = 27 000 + 364 HB 1 100 Máximo grado 2 150 1 000 900 125 800 700 Máximo grado 1 100 Sfc' = 26 000 + 327 HB 600 75 150 200 250 300 Dureza Brinell HB FIGURA 8-27 Resistencias de la AGMA para fatiga superficial Sfc' en aceros* 350 400 450 * Tomado del estándar AGMA 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, con autorización del editor, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. 592 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado EJEMPLO 8-7 Selección del material y del factor de seguridad para engranes rectos Problema Seleccione el material adecuado, luego calcule los factores de seguridad para los esfuerzos de flexión y superficiales en el tren de tres engranes de los ejemplos 8-4, 8-5 y 8-6. Se proporciona Los esfuerzos se calcularon en los ejemplos 8-5 a 8-6. Suposiciones La vida de servicio requerida es de 5 años de operación de un turno. Todos los engranes son de acero. La temperatura de operación es de 200 oF. Solución 1. Se puede hacer un estimado de la resistencia sin corregir a la fatiga por flexión con las curvas de la figura 8-25. Se intentará con un acero AGMA grado 2, endurecido completamente a 250 HB. La resistencia sin corregir de fatiga por flexión se obtiene con la curva superior de la figura S fb’  6 235 174 HB  6 235 174250 8 0.126 HB 2 0.126250 2  41 860 psi (a) 2. Este valor necesita corregirse con ciertos factores con la ecuación 8.24. 3. El factor de vida KL se determina con la ecuación adecuada de la figura 8-24, con base en el número de ciclos requeridos para la vida de los engranes. El piñón soporta en los dientes el número más grande de cargas repetidas, de modo que se calculará la vida tomando en cuenta esto. Primero se obtiene el número de ciclos N para la vida requerida de 5 años, para un turno. N  2 500 rpm ¥ § 60 min ´ ¥ 2 080 hr ´ ¦ µ 5 años 1 turno  1.56E9 ciclos hr ¶ § turno-año ¶ (b ) El valor de KL se obtiene a partir de K L  1.3558 N 0.0178  1.3558 1.56 E 9 0.0178  0.9302 (c) 4. Para la temperatura de operación especificada, KT  1. 5. Todos los datos del material del engrane se toman a un nivel de confiabilidad del 99%. En este caso es satisfactorio, por lo cual se hace KR  1. 6. La resistencia de fatiga por flexión corregida es, entonces, S fb  KL 0.9302 41 860  38 937 psi S ’  11 KT K R fb (d ) 7. Se realiza un estimado de la resistencia a la fatiga superficial sin corregir con las curvas de la figura 8-27. Para un acero AGMA de grado 2, endurecido totamente a 250 HB, la resistencia se obtiene con la curva superior de la figura S fc'  27 000 364 HB  27 000 364250  118 000 psi (e) 8. Este valor necesita corregirse con ciertos factores usando la ecuación 8.25: S fc  CL CH S ’ CT CR fc (f) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 593 9. El factor de vida CL se determina con la ecuación adecuada de la figura 8-26, con base en el número de ciclos N requeridos obtenidos anteriormente. CL  1.4488 N 0.023  1.4488 1.56 E 9 0.023  0.8904 ( g) 10. CT  KT  1 y CR  KR  1. 11. Como en este caso las durezas de los engranes y el piñón son las del mismo material, CH  1. 12. La resistencia de fatiga superficial corregida es, entonces, S fc  0.89041 CL CH 118 000  105 063 psi S ’  11 CT CR fc (h) 13. El factor de seguridad contra fallas por flexión se obtiene comparando la resistencia a la flexión corregida con el esfuerzo de flexión para cada engrane del acoplamiento: N b piñón  N bloco  N bengrane  S fb  S b piñón S fb S bloco  S fb S bengrane 38 937  4.1 9 526 38 937  3.1 12 400  (i ) ( j) 38 937  5.7 6 834 (k ) lo cual es aceptable. 14. El factor de seguridad contra falla superficial se obtiene comparando la carga real con la carga que produciría un esfuerzo igual a la resistencia superficial, corregida del material. Como el esfuerzo superficial se relaciona con la raíz cuadrada de la carga, el factor de seguridad de la fatiga superficial se calcula como el cociente del cuadrado de la resistencia superficial corregida dividida entre el cuadrado del esfuerzo superficial de cada engrane en el acoplamiento: 2 2 ¥ S fc ´ ¥ 105 063 ´ Nc piñón-loco  ¦ ¦ µ µ  0.86 ¦ Sc µ § 113 315 ¶ § piñón ¶ (l ) 2 2 ¥ S fc ´ ¥ 105 063 ´ Ncloco-engrane  ¦  ¦ µ  1.34 µ § 90 696 ¶ § S cloco ¶ (m ) lo cual es muy bajo para el engranaje piñón-engrane loco. 15. Un pequeño cambio en el diseño mejorará esto. Incrementando el ancho de la cara de los engranes de 2.0 a 2.5 in (15 / pd), se reducen todos los esfuerzos y se obtienen los nuevos factores de seguridad N b piñón  5.1 Nc piñón-loco  1.1 N bloco  3 .9 N bengrane  7. 1 Ncloco-engrane  1.7 (n) 8 594 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 16. Estos engranes son muy seguros contra la rotura del diente; con base en las suposiciones y cálculos, deberían tener un 99% de probabilidad de durar los 5 años requeridos antes del picado del piñón o el engrane loco. 17. Los archivos EX12-07a y EX12-07b se encuentran en el CD-ROM. 8.10 LUBRICACIÓN DE ENGRANAJES Con excepción de los engranes de plástico ligeramente cargados, todos los engranajes se tienen que lubricar para eliminar fallas prematuras por uno de los modos de falla superficial analizados en el capítulo 5, como el desgaste adhesivo o abrasivo. El control de la temperatura en el punto de contacto del engranaje es importante en la reducción del raspado y la estriación de los dientes. Los lubricantes eliminan el calor, pero también separan las superficies metálicas para reducir la fricción y el desgaste. Se debe alimentar suficiente lubricante para transferir el calor de la fricción al ambiente, sin permitir temperaturas locales excesivas en el engranaje. 8 El enfoque usual y preferido es un baño de aceite alojando los engranes en una caja con aceite, llamada caja de engranes, la cual se llena parcialmente con un lubricante adecuado, de modo que por lo menos un miembro de cada engranaje esté parcialmente sumergido. (La caja nunca se llena completamente con aceite.) La rotación del engrane llevará el lubricante a los engranajes y mantendrá aceitados los engranes que no estén sumergidos. El aceite se debe mantener limpio y libre de contaminantes, y se tiene que cambiar periódicamente. Una configuración menos deseable, que se utiliza algunas veces en situaciones cuando la caja de engranes no es práctica, consiste en aplicar periódicamente grasa lubricante a los engranes cuando están detenidos para revisarse. La grasa es simplemente aceite derivado del petróleo suspendido en una emulsión de jabón. Esta lubricación de contacto con grasa hace poco para eliminar el calor, por lo que se recomienda sólo para engranes de baja velocidad, ligeramente cargados. Los aceites para lubricar engranes son generalmente aceites derivados del petróleo, de diferente viscosidad, lo cual depende de la aplicación. Algunas veces se utilizan aceites ligeros (10-30W) en engranes con velocidades lo suficientemente altas y/o cargas lo suficientemente bajas para facilitar la lubricación elastohidrodinámica (véase el capítulo 7). En engranajes con mucha carga y/o baja velocidad, o aquéllos de componentes grandes que se deslizan, se usan con frecuencia lubricantes de presión extrema (EP), que por lo general son aceites para engranes de 80-90W, con aditivos que contienen ácidos grasos que brindan algo de protección contra el raspado en condiciones de lubricación límite. Véase la sección 5.3 (p. 354) y el capítulo 7 para mayor información sobre lubricación y lubricantes. La AGMA ofrece datos extensos en sus estándares sobre la selección adecuada de lubricantes para engranes. Se remite al lector a esa y otras fuentes, como los vendedores de lubricantes, para una información más detallada sobre lubricantes. 8.11 DISEÑO DE ENGRANES RECTOS El diseño de engranes usualmente requiere de algo de iteración. Generalmente no existe información suficiente en el planteamiento del problema para despejar directamente las incógnitas. Se deben suponer los valores de algunos parámetros y realizar un intento de solución. Son posibles muchos enfoques. Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 595 Por lo general, se conocen la razón de engrane, así como la potencia y la velocidad, o bien, el torque y la velocidad de un eje. Los parámetros a determinar son los diámetros de paso del piñón y del engrane, el paso diametral, el ancho de la cara, el(los) material(es) y los factores de seguridad. Hay que tomar algunas decisiones en lo referente a la precisión de engranaje requerida, el número de ciclos, el ángulo de presión, el perfil del diente (de adéndum estándar o largo), el método de fabricación del engrane (en lo que concierne al acabado superficial), el intervalo de temperatura de operación y la confiabilidad deseada. Por lo menos, con esta información preliminar sobre dichos factores es posible iniciar el proceso de diseño. Finalmente, se necesita calcular los factores de seguridad, tanto de la fatiga por flexión como de fallas por fatiga superficial. Lo anterior se puede investigar en cualquier orden; no obstante, la mejor estrategia es determinar primero los esfuerzos de flexión, ya que el incremento en la dureza superficial del material ejerce un efecto mayor sobre la vida al desgaste que sobre la resistencia a la flexión. De modo que, si el material elegido sobrevive a los esfuerzos de flexión, su dureza se ajusta para mejorar la vida al desgaste, sin otro cambio en el diseño. El incremento en el tamaño del diente también produce un efecto mayor sobre la resistencia del diente que sobre la vida al desgaste, además de que el tamaño del diente es la variable principal en los cálculos. Antes de que se haga cualquier cálculo, se deben determinar las cargas. La carga tangencial sobre el diente del engrane se obtiene a partir del torque conocido sobre el eje y un radio de paso supuesto para su piñón o engrane (véase la ecuación 8.13a, p. 568). Observe que un radio de paso más grande reduce la carga en el diente, pero incrementa la velocidad en la línea de paso. Se debe llegar a un equilibrio razonable entre tales factores. Asimismo, un radio de paso pequeño da como resultado un piñón con muy pocos dientes para eliminar la interferencia, dependiendo del paso diametral o del módulo seleccionado. Una vez que se elige un paso diametral candidato, se tiene que utilizar el diámetro de piñón mínimo aceptable como primera selección, con la finalidad de mantener pequeño el tamaño del embalaje. En el primer intento de diseño se tiene que usar un perfil estándar de diente para mantener bajos los costos. Si el diseño necesita ser más pequeño de lo que el perfil estándar del diente permite, se podría investigar un perfil de adéndum largo. Como la resistencia a la flexión del diente del engrane se relaciona directamente con el tamaño del diente que define su paso diametral o módulo, el cálculo del esfuerzo se inicia comúnmente suponiendo valores para el paso diametral o módulo, así como para el tamaño de la cara; luego, se determina el esfuerzo de flexión utilizando la ecuación 8.15 (p. 572). (Observe que el ancho de la cara también se expresa de manera burda en función del intervalo del paso diametral (8 / pd  F  16 / pd).) Véase el análisis anterior sobre el factor Km. Después, se elige un material de prueba y se calcula su resistencia corregida a la fatiga por flexión, con la ecuación 8.24 (p. 586). Si el factor de seguridad resultante es demasiado grande o demasiado pequeño, se ajustan los valores supuestos y luego se repite el cálculo hasta que se llega a una solución aceptable. Se calculan, entonces, el esfuerzo superficial y la resistencia a la fatiga superficial, con las ecuaciones 8.21 y 8.25 (p. 580 y 587) y se determina el factor de seguridad contra el desgaste. En este punto se ajusta la dureza del material, si es necesario, o bien, se repite el proceso completo con valores ajustados del paso o del ancho de la cara, o de ambos. Una estrategia es hacer que los factores de seguridad contra fallas por flexión sean más grandes que los de fallas superficiales. La falla por flexión es repentina y catastrófica; por consiguiente, el diente se rompe y la máquina se inutiliza. La falla superficial envía advertencias audibles, aun cuando los engranes suelen funcionar algún tiempo después de que se inicia el ruido y antes de que se sustituyan, de modo que es mejor la falla superficial como límite de diseño para la vida de un engrane. 8 596 DISEÑO DE MÁQUINAS 8.12 - Un Enfoque Integrado ESTUDIO DE CASO Se verá ahora el diseño de engranes rectos en uno de los montajes del estudio de caso definido en el apéndice D. E S T U D I O D E C A S O 8 C Diseño de engranes rectos para el tren impulsor de un compresor 8 Problema Diseñe un engranaje recto para la caja de engranes de la figura D-1 con base en las cargas definidas en el estudio de caso 8A, luego especifique los materiales y tratamientos térmicos adecuados. Se proporciona La función torque-tiempo sobre el eje de salida es como se muestra en la figura D-3 (repetida en la siguiente página). La razón de engrane requerida es de 2.5:1 de reducción en la velocidad de entrada a la velocidad de salida. La velocidad del eje de salida es de 1 500 rpm. Suposiciones Se desean 10 años de vida operando en un turno. Se utilizará el estándar de la AGMA para dientes de profundidad total. Con base en los datos de las tablas 8-6 y 8-7 (p. 567), Qv = 10. Tanto el piñón como el engrane son de acero endurecido totamente. Solución Véase las figuras D-1 y D-3. 1. En la figura D-3 se define el torque variable en el tiempo sobre eje de entrada entre 175 y 585 lb-in. En el estudio de caso 8B, donde se diseñaron los ejes para la misma máquina y se supuso un diámetro de paso de 4 in, con un ángulo del piñón de 20° y un engrane de 10 in. Para el primer intento de diseño del engranaje se mantendrán dichas suposiciones. A partir de estos datos, se determinan las fuerzas en el engrane acoplado. La componente tangencial se obtiene a partir del torque de salida y el radio supuesto del engrane: Wt máx  Tmáx 585 lb - in   117 lb rg 5 in Wt mín  Tmín 175 lb - in   35 lb rg 5 in ( a) 2. Se tomará el valor pico positivo como la carga transmitida, Wt  117 lb. La fuerza pico de 35 lb actúa sobre los lados opuestos de los dientes, cargando tanto al piñón como al engrane de manera similar a un engrane loco. Se tomará en cuenta este aspecto de la carga aplicando el factor Ka. 3. Se supone un piñón con Np  20 dientes, de modo que el engrane tiene 2.5 Np  50 dientes. El paso diametral para esa combinación es pd  N 20  5 d 4 (b) que es un paso estándar (tabla 8-2, p. 553). 4. Los factores geométricos J de flexión para esta combinación se obtienen de la tabla 8-9 (p. 574), para carga en el punto más alto de contacto en el diente (HPSTC) y son aproximadamente: J p  0.34 J g  0.40 (c ) Capítulo 8 motor ENGRANES RECTOS 597 caja de engranes compresor embra- engrane acoplague miento volante cojinetes válvulas vista superior entrada salida compresor motor caja de engranes engrane engrane eje de salida acoplamiento cojinetes piñón embrague sección transversal del compresor (esquemática) eje de entrada 8 base sección transversal del motor vista frontal F I G U R A D - 1 Repetida Diseño preliminar esquemático de un compresor portátil de aire, una caja de transmisión, acoplamientos, ejes y cojinetes impulsados por un motor de gasolina 5. El factor de velocidad Kv (Cv ) se calcula a partir de las ecuaciones 8.16 y 8.17 (p. 573), con base en el índice de calidad Qv asumido del engrane y la velocidad en la línea de paso Vt . Vt  dp 2 Wp  12 B 4.0 in ft 3 750 rpm 2 P  3 927 212 min 23 Qv  4 12 10 4 23  0.397 (e) 585 A  50 561 B  50 561 0.397  83.77 ¥ A ´ K v  Cv  ¦ µ Vt ¶ §A B (d ) ¥ ´ 83.77 ¦ 3 927 µ¶ § 83.77 (f) 0.397  0.801 ( g) ; Qv 3 =2 = ;83.77 2 10 3 = = 8 239 ft/min la cual es más grande que Vt , de modo que es aceptable. prom 0 –175 6. Se debe verificar Vt contra la velocidad máxima permitida en la línea de paso, para la calidad de este engrane, mediante la ecuación 8.18 (p. 576): Vt máx  A T lb-in (h) 0 180 360 ángulo de la manivela (grados) F I G U R A D - 3 Repetida Función total torque-tiempo del cigüeñal con W constante 598 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 7. Suponiendo un factor de ancho de cara igual a 12, el ancho de cara se estima como 12 12 = = 2.4 in pd 5 F (i ) 8. Este valor se utiliza para interpolar Km (Cm ) en la tabla 8-16 (p. 577) K m  Cm 1.61 ( j) 9. El factor Ka de la aplicación está diseñado para tomar en cuenta los choques en las máquinas impulsoras e impulsadas. Esta máquina tiene ambas, ya que es impulsada por un motor de un cilindro e impulsa un compresor de un cilindro. En muchos casos como éste, tan sólo se conoce un valor promedio del torque transmitido, tomando como base la potencia promedio transmitida. Aquí se ha calculado (en el estudio de caso 8A) una función torque-tiempo bastante precisa para el compresor, la cual define las “sobrecargas” en la parte impulsada del sistema. Se utiliza el torque pico en lugar del torque promedio para definir la carga transmitida, de modo que el valor total recomendado del factor de la aplicación en la tabla 8-17 (p. 577) no es necesario aquí. Se usará para tomar en cuenta la carga parcialmente invertida sobre los dientes del engrane (figura D-3), así como la carga de choque asociada con el impulsor (motor) y su estimación para Ka  Ca  2. 8 10. El factor de tamaño Ks (Cs) y el factor de flexión KB en el aro son iguales a 1 para estos engranes pequeños. 11. Ahora se calculan los esfuerzos de flexión en el piñón y en el engrane. Sbp  1175 11.61 Wt pd K a K m Ks K B K I  1 1 1  2 881 psi FJ Kv 2.40.34 0.801 (k ) S bg  1175 11.61 Wt pd K a K m Ks K B K I  1 1 1  2 449 psi FJ Kv 2.40.40 0.801 (l ) 12. Se necesitan factores adicionales para el cálculo del esfuerzo superficial. La tabla 8-18 (p. 582) muestra un coeficiente elástico aproximado de 2 300 para acero sobre acero. En el ejemplo 8-6 se calculó un valor más preciso de Cp  2 276. El factor de acabado superficial Cf es 1. 13. El factor geométrico superficial I se calcula con la ecuación 8.22 (p. 581): ¥ R1  ¦ rp §  ¥ 2.0 § 1 ´ pd µ¶ 2 1´ 2 5¶ rp cos F 2 2.0 cos 20o 2  R2  C sen F R1  rp P cos F pd P cos 20o  0.553 in 5 rg sen F R1  2.0 5.0 sen 20o 0 553  1.841 in I ( m) cos F cos 20o   0.100 1 ´ ¥ 1 ¥ 1 1 ´ 2 . 0 § 0.553 1.841¶ ¦ R p R µ dp § p g¶ 14. Se determinan ahora los esfuerzos superficiales en el engranaje piñón-engrane. ( n) ( o) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 599 Wt Ca Cm Cs C f F I d p Cv S c pg  C p 11.61 117 1 1  50 393 psi 2.40.100  4.0 0.801  2 276 ( p) 15. Se estima la resistencia no corregida de fatiga por flexión a partir de las curvas de la figura 8-25 (p. 589). Se intentará con un acero AGMA grado 1, endurecido totalmente a 250 HB. La resistencia no corregida de fatiga por flexión se obtiene a partir de la curva inferior de la figura: S fb’  274 167 HB  274 167250 0.152 HB 2 0.152250 2  31 976 psi (q) 16. Este valor necesita corregirse con ciertos factores usando la ecuación 8.24 (p. 586). El factor de vida KL se obtiene a partir de la ecuación adecuada de la figura 8-24 (p. 587), con base en el número de ciclos de vida requerido para los engranes. El piñón tiene el mayor número de cargas repetidas en los dientes, de modo que se calcula la vida con base en ello. Primero se calcula el número de ciclos N para la vida requerida de 10 años, con un turno. N  3 750 rpm ¥ § 60 min ´ ¥ 2 080 hr ´ ¦ µ 10 años 1 turno  4.7E9 ciclos hr ¶ § turno-año ¶ ( r) El valor de KL se obtiene a partir de K L  1.3558 N 0.0178  1.3558  4.7 E 9 0.0178  0.9121 ( s) 17. Para la temperatura de operación especificada, KT  1. 18. Todos los datos del material del engrane se toman con un nivel de confiabilidad de 99%. En este caso, ello resulta satisfactorio, lo cual hace KR  1. 19. La resistencia corregida de fatiga por flexión es, entonces, S fb  KL 0.9121 31 976  29 167 psi S ’  11 K T K R fb (t ) 20. Se realiza un estimado de la resistencia, sin corregir a la fatiga superficial y considerando las curvas de la figura 8-27 (p. 591). Para un acero AGMA de grado 1, endurecido totalmente a 250 HB, la resistencia se obtiene a partir de la curva inferior de la figura: S fc’  26 000 327 HB  26 000 327250  107 750 psi (u ) 21. Este valor necesita corregirse con ciertos factores con la ecuación 8.25 (p. 587). El factor de vida CL se obtiene con la ecuación adecuada de la figura 8-26 (p. 589), con base en el número de ciclos N requeridos que se obtuvieron anteriormente. CL  1.4488 N 0.023  1.4488  4.7 E 9 0.023  0.8681 (v) 22. CT  KT  1 y CR  KR  1. 23. Como los engranes y el piñón tienen la misma dureza de material en este caso, CH  1. 24. La resistencia corregida de fatiga superficial es, entonces, 8 600 DISEÑO DE MÁQUINAS - S fc  Un Enfoque Integrado 0.86811 CL CH 107 750  93 543 psi S fc’  11 CT CR (w) 25. Los factores de seguridad contra falla por flexión se obtienen comparando la resistencia a la flexión corregida con el esfuerzo de flexión, para cada engrane del engranaje: S fb 29 167 N b piñón    10.1 S b piñón 2 881 ( x) S fb 29 167 N bengrane    11.9 S bengrane 2 449 los cuales son demasiado grandes y causan que el paquete sea más grande de lo necesario. 26. El factor de seguridad contra falla superficial se determina comparando la carga real con la carga que produciría un esfuerzo igual a la resistencia corregida superficial del material. Como el esfuerzo superficial está relacionado con la raíz cuadrada de la carga, el factor de seguridad de fatiga superficial se calcula como el cociente del cuadrado de la resistencia superficial corregida, divida entre el cuadrado del esfuerzo superficial de cada engrane del acoplamiento: 2 2 ¥ S fc ´ ¥ 93 543 ´ Nc piñón-engrane  ¦  µµ ¦ µ  3.4 ¦ Sc § 50 393 ¶ § piñón ¶ 8 ( y) 27. Esto es más elevado de lo necesario. El paso diametral se incrementó de 5 a 8 (disminuyendo el tamaño del diente), con la finalidad de reducir los diámetros de paso, incrementando el esfuerzo y usando menores factores de seguridad. El ancho de la cara se modifica a 1.5 in para el mismo factor del ancho de cara de 12. Los dientes del piñón aumentaron a 22, lo cual da como resultado 55 dientes para el engrane con el nuevo pd. Se rehicieron los cálculos con los resultados mostrados en la tabla 8-22. Los nuevos factores de seguridad son N b piñón  2.8 N bengrane  3.3 Nc piñón-engrane  1.1 (z) 28. Estos engranes todavía son seguros contra el rompimiento del diente. Con base en los supuestos y cálculos; además, si están adecuadamente lubricados, deberían tener una probabilidad de 99% para durar los 10 años requeridos, antes de que se inicie el picado en el piñón. 29. Observe que el cambio de los diámetros de paso del engrane, sobre los supuestos en el estudio de caso 8B para el diseño del eje, también incrementan las cargas transversales de los engranes sobre el eje en un 45%, lo cual requiere otra iteración del diseño del eje. 30. Los archivos Case8C-1 (primer diseño) y Case8C-2 (diseño final) se encuentran en el CD-ROM. 8.13 RESUMEN Existen dos tipos principales de fallas en los engranes: ruptura del diente por esfuerzos de flexión y picado por esfuerzos superficiales (hertzianos). De los dos, la falla por flexión es más catastrófica, ya que el rompimiento del diente normalmente inutiliza la máquina. La falla por picado evoluciona gradualmente, además de que envía advertencias audibles y visibles (si se inspecciona el diente). Los engranes pueden funcionar por algún tiempo después de que se inicia el picado, antes de que deban sustituirse. Capítulo 8 Tabla 8-22 Entrada 601 Estudio de caso 8C; diseño final del tren de engranes rectos Variable Salida Unidad Comentarios 2.50 razón 8 pd 1/in paso diametral 20 fi grado ángulo de presión 170 Wt lb fuerza tangencial 22 ENGRANES RECTOS razón de engrane Npiñón Nengrane núm. de dientes en piñón 55 núm. de dientes en engrane dpiñón 2.75 in diámetro de paso del piñón dengrane 6.88 in diámetro de paso del engrane in ancho de cara 1.50 cara 0.34 Jpiñón 0.40 Jengrane I factor geométrico; piñón factor geométrico; engrane factor I de engranaje piñón/engrane 0.10 2.0 Ka factor de la aplicación 1.6 Km factor de distribución de carga 2 276 Cp coeficiente elástico 10 Qv índice de calidad del engrane Vt 2 700 ft/min velocidad en línea de paso Vtmáx 8 239 ft/min velocidad máx. permisible en la línea de paso Kv Sbpiñón 0.826 factor dinámico 10 346 psi esfuerzo de flexión; diente del piñón 8 794 psi esfuerzo de flexión; diente del engrane Scpiñón 90 026 psi esfuerzo superficial en piñón y engrane Sfbprima 31 976 psi resistencia sin corregir a la flexión Sbengrane Sfb Sfcprima Sfc KR ciclos 29 167 psi resistencia corregida a la flexión 107 750 psi resistencia superficial sin corregir 93 543 psi resistencia superficial corregida 1.00 4.7E+9 factor de confiabilidad número de ciclos repetidos en piñón KL 0.91 factor de vida; fatiga por flexión CL 0.87 factor de vida; fatiga superficial Nbp 2.8 factor de seguridad a la flexión del piñón Nbg 3.3 factor de seguridad a la flexión del engrane Ncp 1.1 factor de seguridad superficial del engranaje Ambos modos de falla son fallas por fatiga debido a la aplicación de esfuerzos repetidos sobre los dientes individuales, cuando entran y salen del acoplamiento. Se aplican los principios del análisis de fatiga (capítulo 4) y se hace necesario el análisis modificado de Goodman. Sin embargo, la naturaleza similar de las cargas aplicadas sobre todos los dientes del engrane permite la estandarización del análisis de Goodman, como lo define la AGMA. 8 602 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La correcta geometría de involuta del diente es esencial en la operación y en la vida de los engranes. La AGMA define un perfil estándar del diente, junto con varias modificaciones a ese estándar para situaciones especiales. Los factores geométricos necesarios para el cálculo correcto del esfuerzo, se definen con tales geometrías. Pruebas extensivas de materiales de engranes bajo condiciones de carga reales, en combinación con años de experiencia de los fabricantes de engranes, dieron como resultado el establecimiento de ecuaciones probadas para el cálculo de ambos esfuerzos, así como las resistencias físicas corregidas de fatiga superficial y de flexión en los engranes. Este capítulo resume el enfoque de la AGMA para el diseño de engranes rectos; además, presenta varias gráficas y fórmulas empíricas de cálculo. Se remite al lector a los estándares de la AGMA para una información más completa. Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo Paso circular (sección 8.2): pc  Pd N (8.3a) pd  N d (8.4a) m d N (8.4c) Paso diametral (sección 8.2): 8 Módulo métrico (sección 8.2): Razón de engrane (sección 8.2): mG  Ng (8.5b) Np Razón de contacto (sección 8.4): mp  Z rp ap 2 rp cos F 2 pd Z P cos F rg ag (8.7b) 2 rg cos F 2 C sen F (8.2) Carga tangencial sobre los dientes del engrane (sección 8.5): Wt  Tp rp  2Tp dp  2 pd Tp Np (8.13a) Ecuaciones de la AGMA de esfuerzo de flexión (sección 8.8): Sb  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv (8.15us) Sb  Wt K a K m Ks K B K I FmJ Kv (8.15si) Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 603 Ecuación de la AGMA de esfuerzo superficial (sección 8.8): Sc  Cp Wt Ca Cm Cs C f F I d Cv (8.21) Ecuación de la AGMA de resistencia a la fatiga por flexión (sección 8.9): S fb  KL S ' KT K R fb (8.24) Ecuación de la AGMA de resistencia a la fatiga superficial (sección 8.9): S fc  8.14 C L CH S ' CT CR fc (8.25) REFERENCIAS 1. AGMA, Gear Nomenclature, Definitions of Terms with Simbols. ANSI/AGMA Estándar 1012-F90, Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314, 1990. 2. AGMA, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, ANSI/AGMA Estándar 2001-B88. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. 3. AGMA, Geometry Factors for Determining the Pitting Resistance and Bending Strenght of Spur, Helical, and Herringbone Gear Teeth. ANSI/AGMA Estándar 908-B89. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va., 22314. 4. R.L. Norton, Design of Machinery: An Introduction to the Synthesis and Analysis of Mechanisms and Machines, 3a. ed., McGraw-Hill: Nueva York, pp. 462-521, 2004. 5. W. Lewis, “Investigation of the Strength of Gear Teeth, an address to the Engineer’s Club of Philadelphia. October 15, 1892”. Reimpreso en Gear Technology, vol. 9, núm. 6, p. 19, nov./dic. 1992. 6. T.J. Dolan y E.L. Broghammer, A Photoelastic Study of the Stresses in Gear Tooth Fillets, Boletín 335, U. Illinois Engineering Experiment Station, 1942. 7. W.D. Mark, The Generalized Transmission Error of Parallel-Axis Gears. Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design. 111: pp. 414-423, 1989. 8. R.A. Morrison, “Load/Life Curves for Gear and Cam Materials”. Machine Design, pp. 102-108, 1 de ago. de 1968. 9. E. Buckingham, Analytical Mechanics of Gears, McGraw-Hill: Nueva York, 1949. 10. D.W. Dudley, Gear Wear, in Wear Control Handbook, M.B. Peterson y W.O. Winer, ed. ASME: Nueva York, p. 764, 1980. 8 604 Tabla P8-0 † Matriz tema/problema 8.1 Teoría del diente de engrane 8-5, 8-6, 8-37, 8-38, 8-41, 8-42, 8-59, 8-65 8.2 Nomenclatura 8-1, 8-2, 8-44, 8-45, 8-60, 8-66 8.4 Razón de contacto DISEÑO DE MÁQUINAS 8.15 *8-1. 8-7, 8-9, 8-10, 8-29, 8-30, 8-31, 8-43, 8-46, 8-47 8.5 Trenes epicíclicos 8-11, 8-12, 8-13, 8-48, 8-49, 8-62, 8-68 8.7 Carga 8-14, 8-15, 8-20, 8-21, 8-22, 8-27, 8-52, 8-55 8 Un engrane recto de 27 dientes con un ángulo de presión de 20° tiene un paso diametral pd  5. Calcule el paso diametral del adéndum, el dedéndum, el diámetro exterior y el paso circular. *8-3. Un engrane recto de 57 dientes está acoplado con un piñón de 23 dientes. El pd  6 y φ  25°. Obtenga la razón de contacto. 8-4. Un engrane recto de 78 dientes está acoplado con un piñón de 27 dientes. El pd  6 y φ  20°. Calcule la razón de contacto. *8-5. ¿Cuál será el ángulo de presión si la distancia entre centros del engranaje recto del problema 8-3 se incrementa un 5%? 8-6. ¿Cuál será el ángulo de presión si la distancia entre centros del engranaje recto del problema 8-4 se incrementa un 7%? *8-7. Los engranajes rectos de los problemas 8-3 y 8-4 están compuestos, como se indica en la figura 8-14 (p. 559). ¿Cuál es la razón total del tren? †8-8. Una máquina papelera procesa rollos de papel cuya densidad es de 984 kg/m3. El rollo de papel tiene un diámetro exterior (OD) de 1.50 m 0.22 m de diámetro interior (ID) 3.23 m de longitud; además, está simplemente apoyado por un eje de acero hueca con Sut  400 MPa. Diseñe un engranaje recto con reducción de 2.5:1, para impulsar el eje que gira, y obtener un factor de seguridad dinámico mínimo de 2 para una vida de 10 años si el diámetro exterior del eje es de 22 cm y el rollo gira a 50 rpm con 1.2 hp absorbidos. *8-9. Diseñe un tren de engranes rectos compuesto de dos etapas para una razón total de aproximadamente 47:1. Especifique los números de dientes de cada engrane del tren. 8-16, 8-17, 8-23, 8-24, 8-50, 8-63 8-18, 8-19, 8-25, 8-26, 8-51, 8-64 PROBLEMAS Un engrane recto de 43 dientes con un ángulo de presión de 25° tiene un paso diametral pd  8. Determine el paso diametral del adéndum, el dedéndum, el diámetro exterior y el paso circular. 8.8, .9 Esfuerzo de flexión 8.8, .9 Esfuerzo superficial Un Enfoque Integrado 8-2. 8-3, 8-4, 8-39, 8-40, 8-61, 8-67 8.5 Trenes compuestos - 8.11 Diseño de engranes *8-10. 8-8, 8-28, 8-29, 8-30, 8-31, 8-32, 8-33, 8-34, 8-53, 8-54, 8-56, 8-57, 8-58 Diseñe un tren de engranes rectos compuesto de tres etapas para una razón total de aproximadamente 656:1. Especifique los números de dientes de cada engrane del tren. *8-11. Un tren de engranes rectos epicíclico, como el mostrado en la figura 8-16 (p. 562) tiene un engrane solar de 33 dientes y un engrane planetario de 21 dientes. Determine el número de dientes requerido en el engrane anular, y calcule la razón entre el brazo y el engrane solar si el engrane anular se mantiene estacionario. Sugerencia: Considere que el brazo gira a 1 rpm. 8-12. Un tren de engranes rectos epicíclico, como el mostrado en la figura 8-16 (p. 562) tiene un engrane solar de 23 dientes y un engrane planetario de 31 dientes. Calcule el número de dientes requerido en el engrane anular y determine la razón entre el brazo y el engrane anular si el engrane solar se mantiene estacionario. Sugerencia: Considere que el brazo gira a 1 rpm. 8-13. Un tren de engranes rectos epicíclico, como el mostrado en la figura 8-16 (p. 562) tiene un engrane solar de 23 dientes y un engrane planetario de 31 dientes. Obtenga el número de dientes requerido en el engrane de anillo, y determine la razón entre el sol y el engrane de anillo si el brazo se mantiene estacionario. Sugerencia: Considere que el sol gira a 1 rpm. *8-14. * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. 8-15. Si el engranaje del problema 8-4 transmite 33 kW a 1 600 rpm del piñón, determine el torque sobre cada eje. *8-16. Dimensione los engranes rectos del problema 8-14 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 2, suponiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, Qv  9, un piñón de acero AISI 4140 y un engrane de hierro fundido clase 40. † Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas similares ampliados de problemas en capítulos anteriores con el mismo número identificador. Si el engranaje del problema 8-3 transmite 125 hp a 1 000 rpm del piñón, obtenga el torque sobre cada eje. Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 8-17. Dimensione los engranes del problema 8-15 para un factor de seguridad contra falla por flexión de 2.5, suponiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 20°, dientes de profundidad completa, Qv  11, un piñón de acero AISI 4340 y un engrane de hierro nodular A-7-d. *8-18. Dimensione los engranes rectos del problema 8-14 para un factor de seguridad contra falla superficial de, por lo menos, 2, suponiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad total, Qv  9, un piñón de acero AISI 4140 y un engrane de hierro fundido clase 40. 8-19. Dimensione los engranes del problema 8-15 para un factor de seguridad contra falla superficial de 1.2, suponiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 20°, dientes de profundidad completa, Qv  11, un piñón de acero AISI 4340 y un engrane de hierro nodular A-7-d. *8-20. 605 Si el engranaje del problema 8-11 transmite 83 kW a 1 200 rpm del brazo, determine el torque sobre cada eje. 8-21. Si el engranaje del problema 8-12 transmite 39 hp a 2 600 rpm del brazo, calcule el torque sobre cada eje. 8-22. Si el engranaje del problema 8-13 transmite 23 kW a 4 800 rpm del engrane solar, obtenga el torque sobre cada eje. *8-23. Dimensione los engranes rectos del problema 8-20 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 2.8, suponiendo un torque uniforme, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad total, Qv  9, un piñón de acero AISI 4140 y un engrane de hierro fundido clase 40. 8-24. Dimensione los engranes rectos del problema 8-21 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 2.4, suponiendo un torque uniforme, un ángulo de presión de 20°, dientes de profundidad total, Qv  11, un piñón de acero AISI 4340 y un engrane de hierro nodular A-7-d. *8-25. Dimensione los engranes rectos del problema 8-20 para un factor de seguridad contra falla superficial de, por lo menos, 1.7, suponiendo un torque uniforme, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad total, Qv  9, un piñón de acero AISI 4140 y un engrane de hierro fundido clase 40. 8-26. Dimensione los engranes rectos del problema 8-21 para un factor de seguridad contra falla superficial de, por lo menos, 1.3, suponiendo un torque uniforme, un ángulo de presión de 20°, dientes de profundidad total, Qv  11, un piñón de acero AISI 4340 y un engrane de hierro nodular A-7-d. *8-27. Si el engranaje del problema 8-10 transmite 190 kW a 1 800 rpm de entrada en el piñón, determine el torque sobre cada una de los cuatro ejes. *8-28. Dimensione los engranes rectos de la primera etapa del problema 8-27 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 3.0 y un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 1.7, suponiendo un torque uniforme, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad total, Qv  8 y acero AISI 4140 para todos los engranes. *8-29. Dimensione los engranes rectos de la segunda etapa del problema 8-27 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 3.0 y un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 1.7, suponiendo un torque uniforme, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, Qv  8 y acero AISI 4140 para todos los engranes. *8-30. Dimensione los engranes rectos de la tercera etapa del problema 8-27 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 3.0 y un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 1.7, suponiendo un torque uniforme, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad total, Qv  8 y acero AISI 4140 para todos los engranes. *8-31. Diseñe un tren de engranes rectos compuesto de dos etapas, con una razón total de aproximadamente 78:1. Especifique el número de dientes de cada engrane recto en el tren. 8-32. La figura P8-1 muestra la misma máquina de papel que se analizó en el problema 4-46 y en otros problemas de capítulos anteriores. Los rollos de papel de la figura P8-1 tienen un diámetro exterior (OD) de 0.9 m 0.22 m de diámetro interior (ID) 3.23 m de longitud, y tienen una densidad de 984 kg/m3. Los rollos son transferidos de la banda transportadora (que no se muestra) al montacargas, mediante un eslabón-V de la estación de descarga, el cual gira 90° por efecto de un cilindro de aire. Luego el papel rueda hacia las cuchillas del montacargas. La máquina hace 30 rollospor hora y 8 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. Los números de problemas en negritas son problemas similares ampliados de problemas en capítulos anteriores con el mismo número identificador. 606 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado eslabones-V 1m brazo de la manivela máquina de enrollado de papel engranes cuchillas A varilla estación de descarga cilindro de aire montacargas FIGURA P8-1 Problema 8-32 trabaja dos turnos. Los eslabones en V son impulsados por el brazo de la manivela, a través de un eje con 60 mm de diámetro por 3.23 m de largo. Se pretende rediseñar el mecanismo giratorio del eslabón V, con la finalidad de introducir un engranaje entre el brazo de la manivela y el eje del eslabón en V, con una razón de 2:1. Lo anterior reducirá el golpe necesario del cilindro de aire en un 50% y mejorará su geometría. Diseñe un conjunto adecuado de engranes rectos, para esta aplicación, para 10 años de vida contra falla superficial. Defina todas las suposiciones. 8 curva de involuta y †8-33. Diseñe una transmisión compuesta no invertida, con base en la configuración mostrada en la figura 8-14a, para una razón de tren total de aproximadamente 90:1, que sea capaz de transmitir 50 hp a 1 000 rpm de velocidad de entrada del eje. Defina todas las suposiciones. 8-34. Diseñe una transmisión compuesta no invertida, con base en la configuración mostrada en la figura 8-14b, para una razón de tren total de aproximadamente 80:1, que sea capaz de transmitir 30 hp a 1 500 rpm de velocidad de entrada del eje. Defina todas las suposiciones. 8-35. Si el piñón de 23 dientes en el engranaje del problema 8-3 se encuentra sobre el eje de entrada, determine la razón de velocidad, la razón de torque y la razón de engrane del engranaje. 8-36. Si el engrane de 78 dientes en el engranaje del problema 8-4 se encuentra sobre el eje de entrada, determine la razón de velocidad, la razón de torque y la razón de engrane del engranaje. 8-37. La figura P8-2 muestra la involuta de un círculo que comienza en el punto A (0, rb) y continúa hasta el punto P(x, y). El ángulo θ se conoce como el ángulo de giro y φ es el ángulo de presión de la involuta. Deduzca expresiones para las coordenadas x y y de P, en términos del radio del círculo base rb y el ángulo de presión de la involuta. Grafique y contra x en el rango 0°  φ  40° para rb  2 in. 8-38. Deduzca la ecuación 8.2 usando la figura 8-5. 8-39. Un engrane recto de 39 dientes está engranado con un piñón de 18 dientes. El pd  8 y φ  25°. Determine la razón de contacto. 8-40. Un engrane recto de 79 dientes está engranado con un piñón de 20 dientes. El pd  8 y φ  20°. Determine la razón de contacto. 8-41. ¿Cuál será el ángulo de presión si la distancia entre centros del engranaje recto del problema 8-39 se incrementa en un 6%? P A F Q Q x rb círculo base FIGURA P8-2 Problema 8-37 Capítulo 8 ENGRANES RECTOS 8-42. ¿Cuál será el ángulo de presión si la distancia entre centros del engranaje recto del problema 8-40 se incrementa en un 5%? 8-43. Si los engranajes rectos de los problemas 8-39 y 8-40 son compuestos, como se indica en la figura 8-14, ¿cuál será la razón total del tren? 8-44. Un engrane recto con un ángulo de presión de 20° y 23 dientes tiene un paso diametral de 6. Calcule diámetro de paso, adéndum, dedéndum, diámetro exterior y paso circular. 8-45. Un engrane recto con un ángulo de presión de 25° y 32 dientes tiene un paso diametral de 4. Calcule diámetro de paso, adéndum, dedéndum, diámetro exterior y paso circular. 8-46. Diseñe un tren de engranes rectos compuesto de dos etapas, para una razón total de aproximadamente 53:1. Especifique los números de dientes para cada engrane del tren. 8-47. Diseñe un tren de engranes rectos compuesto de tres etapas, para una razón total de aproximadamente 592:1. Especifique los números de dientes para cada engrane del tren. 8-48. Diseñe un tren de engranes planetario, similar al mostrado en la figura 8-16, para una razón de velocidad total de 0.2 exactamente, si el engrane solar es la entrada, el brazo es la salida y el engrane anular es estacionario. Especifique los números de dientes para cada engrane del tren. 8-49. Diseñe un tren de engranes planetario, similar al mostrado en la figura 8-16, para una razón de velocidad total de 4/3 exactamente, si el engrane solar es estacionario, el brazo es la entrada y el engrane anular es la salida. Especifique los números de dientes para cada engrane del tren. 8-50. Un piñón de 21 dientes gira a 1 800 rpm acoplado con un engrane de 33 dientes en un reductor de engranes rectos. Tanto el piñón como el engrane se fabricaron con un nivel de calidad de 9. Se especificó una confiabilidad de 0.9 y la carga tangencial transmitida es de 2800 lb. Las condiciones son para Km  1.7. Se propone utilizar dientes estándar de profundidad completa a 25°, con un piñón y un engrane fresado de acero nitrurado AISI 4140. El paso diametral es igual a 6 y el ancho de la cara es de 2.000 in. Calcule el número de ciclos de esfuerzos de flexión (mediante las ecuaciones de la AGMA) que puede soportar el engranaje. 8-51. Un piñón de 21 dientes gira a 1800 rpm acoplado con un engrane de 33 dientes en un reductor de engranes rectos. Tanto el piñón como el engrane se fabricaron con un nivel de calidad de 9. Se especificó un nivel de confiabilidad de 0.9, y la carga tangencial transmitida es de 2800 lb. Las condiciones son para Cm  1.7. Se propone utilizar dientes estándares de profundidad completa a 25°, con un piñón y un engrane fresado de acero nitrurado AISI 4140. El paso diametral es igual a 6 y el ancho de la cara es de 2.0 in. Calcule el número de ciclos de esfuerzos (superficiales) de contacto (con las ecuaciones de la AGMA) que puede soportar el engranaje. *8-52. Si el engranaje del problema 8-46 transmite 7.5 kW a 1750 rpm del piñón de entrada, determine el torque en cada una de los tres ejes. *8-53. Dimensione los engranes rectos de la primera etapa del problema 8-52 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 2.8 y un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 1.8, suponiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, Qv  9 y acero AISI 4340 para todos los engranes. 8-54. Dimensione los engranes rectos de la segunda etapa del problema 8-52 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 2.8 y un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 1.8, suponiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, Qv  9 y acero AISI 4340 para todos los engranes. 8-55. Si el engranaje del problema 8-47 transmite 18.8 kW a 1184 rpm del piñón de entrada, determine el torque sobre cada una de los cuatro ejes. 8-56. Dimensione los engranes rectos de la primera etapa del problema 8-55 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 2.4 y un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 2.0, suponiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, Qv  10 y acero AISI 4140 para todos los engranes. 607 8 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. 608 DISEÑO DE MÁQUINAS †8-57. 8 † Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. - Un Enfoque Integrado Dimensione los engranes rectos de la segunda etapa del problema 8-55 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 2.4 y un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 2.0, suponiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, Qv  10 y acero AISI 4140 para todos los engranes. 8-58. Dimensione los engranes rectos de la tercera etapa del problema 8-55 para un factor de seguridad contra falla por flexión de, por lo menos, 2.4 y un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 2.0, asumiendo un torque estacionario, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, Qv  10 y acero AISI 4140 para todos los engranes. 8-59. El piñón de un engranaje externo tiene un radio de paso rp  40 mm y el radio de paso del engrane rg es de 160 mm. Si el piñón es el elemento de entrada, determine la razón de velocidad, la razón de torque y la razón de engrane del conjunto. 8-60. Un piñón que tiene 20 dientes y un paso diametral de 8 (in-1) está engranado con una cremallera. Si el piñón gira una revolución, ¿qué distancia se moverá la cremallera? 8-61. Se diseñó un engranaje con dientes de profundidad completa para tener un piñón de 24 dientes, un engrane con 54 dientes y un paso diametral de 6. Compare la razón de contacto de este conjunto para los ángulos de presión de 14.5, 20 y 25°. 8.62. Diseñe un tren de engranes planetario, similar al de la figura 8-16, para una razón de velocidad total exactamente de 5, si el engrane anular es estacionario, el brazo es la entrada y el engrane es la salida. Especifique los números de dientes para cada engrane del tren. 8-63. Un piñón de 24 dientes gira a 1650 rpm acoplado con un engrane de 66 dientes en un reductor de engranes rectos. Tanto el piñón como el engrane se fabricaron con un nivel de calidad de 10. Se especificó un nivel de confiabilidad de 0.9 y la carga tangencial transmitida es de 5000 lb. Las condiciones son para Km  1.7. Se propone utilizar dientes estándares de profundidad completa a 25°, con un piñón y un engrane fresado de acero nitrurado AISI 4340. El paso diametral es igual a 5 y el ancho de la cara es de 2.500 in. Calcule el número de ciclos de esfuerzo por flexión (con las ecuaciones de la AGMA) que puede soportar el engranaje. 8-64. Un piñón de 22 dientes gira a 1650 rpm acoplado con un engrane de 66 dientes en un reductor de engranes rectos. Tanto el piñón como el engrane se fabricaron con un nivel de calidad de 10. Se especificó un nivel de confiabilidad de 0.9 y la carga tangencial transmitida es de 5000 lb. Los condiciones son para Km  1.7. Se propone utilizar dientes estándares de profundidad completa a 25°, con un piñón y un engrane de acero fresado nitrurado AISI 4340. El paso diametral es igual a 5 y el ancho de la cara es de 2.500 in. Calcule el número de ciclos de esfuerzos (superficiales) de contacto (con las ecuaciones de la AGMA) que puede soportar el engranaje. 8-65. El piñón de un engranaje interno tiene un radio de paso rp  30 mm y el radio de paso del engrane rg es de 150 mm. Si el piñón es el elemento de entrada, determine la razón de velocidad, la razón de torque y la razón de engrane del conjunto. 8-66. Un piñón que tiene 18 dientes y un paso diametral de 10 (in-1) está acoplado con una cremallera. Si la cremallera se mueve 1 in, ¿cuántos grados girará el piñón? 8-67. Se diseñó un engranaje con dientes de profundidad completa a 25° para tener un piñón de 24 dientes, un engrane con 54 dientes y un paso diametral de 6. Compare la razón de contacto de este conjunto para un intervalo de distancia entre centros de 0.90C a 1.10C. 8-68. Diseñe un tren de engranes planetario similar al de la figura 8-16 para una razón de velocidad total exactamente de 1.25, si el engrane solar es estacionario, el brazo es la entrada y el engrane anular es la salida. Especifique los números de dientes para cada engrane del tren. ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN Ciclo y epiciclo, Orb in Orb… JOHN MILTON, PARAÍSO PERDIDO 9.0 INTRODUCCIÓN En el capítulo 8 se exploró con detalle el tema de los engranes rectos. No obstante, hay engranes con otras muchas configuraciones de dientes para aplicaciones específicas. Este capítulo presenta una introducción breve al diseño de engranes helicoidales, cónicos y de tornillo sin fin. La complejidad del diseño se incrementa significativamente cuando se utilizan tales formas de dientes de engrane más complicadas. La Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes (AGMA) publica datos detallados y algoritmos para su cálculo. Se hará la presentación con base en las recomendaciones de la AGMA; sin embargo, no se realizará un estudio a fondo del tema tan complejo en el espacio que hay. Se invita al lector a consultar los estándares de la AGMA para mayor información cuando se enfrente a un problema de diseño real que requiera engranajes. La tabla 9-0 lista las variables que se emplean en este capítulo e indica la sección o la ecuación en la cual aparecen. Al final del capítulo se incluyen un resumen y una lista de las ecuaciones importantes. 9.1 ENGRANES HELICOIDALES Los engranes helicoidales son muy similares a los engranes rectos. Sus dientes son de involuta. La diferencia es que sus dientes están inclinados en un ángulo de hélice ψ, en relación con el eje de rotación, como se indica en la figura 9-1. El ángulo de la hélice normalmente se encuentra entre los valores de 10 a 45°. Si el engrane fuera lo bastante grande axialmente, un diente se envolvería alrededor de los 360° de la circunferencia. Los dientes forman una hélice, la cual puede extenderse hacia la izquierda o hacia la derecha. Un par de engranes helicoidales, con orientación opuesta, se acoplan manteniendo sus ejes paralelos, como se ilustra en la figura 9-1a. Los engranes helicoidales con la misma orientación se acoplan con sus ejes, formando un ángulo, y reciben el nombre de engranes helicoidales con ejes cruzados o simplemente engranes helicoidales cruzados, como se muestra en la figura 9-1b. 609 9 610 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 9-0 - Un Enfoque Integrado Variables utilizadas en este capítulo Parte 1 de 2 Símbolo 9 Variable unidades SI Véase a adéndum in m Ec. 9.18 b dedéndum in m Ec. 9.18 C Cf distancia entre centros ninguna ninguna Ec. 9.16 factor de acabado superficial ninguna ninguna Ec. 9.10 CH factor de dureza ninguna ninguna Ec. 9.11 Cmd factor de montaje ninguna ninguna Ec. 9.11 Cp coeficiente elástico ninguna ninguna Ec. 9.10 CR factor de confiabilidad ninguna ninguna Ec. 9.11 Cs factor de materiales ninguna ninguna Ec. 9.24 CT factor de temperatura ninguna ninguna Ec. 9.11 Cxc factor de abombamiento ninguna ninguna Ec. 9.10 d diámetro de paso (con varios subíndices) in m varias e eficiencia ninguna ninguna Ec. 9.30 F ancho de cara in m Ec. 9.9, .19 I factor geométrico superficial de AGMA ninguna ninguna Ec. 9.10 J Ka , Ca factor geométrico de flexión de AGMA ninguna ninguna Ec. 9.9 factor de aplicación ninguna ninguna Ec. 9.9 KB factor de flexión en el borde ninguna ninguna Ec. 8.15 KI factor de engrane loco ninguna ninguna Ec. 8.15 ninguna ninguna Ec. 9.9, .10 ninguna ninguna Ec. 9.9, .10 Km, Cm factor de distribución de carga Ks , Cs factor de tamaño La fotografía de inicio del capítulo es cortesía de The Falk Corporation, Milwaukee, WI. unidades ips Kv , Cv factor dinámico, factor de velocidad ninguna ninguna Ec. 9.9, .26 Kx factor de curvatura ninguna ninguna Ec. 9.9 L longitud, avance in m Ec. 9.6, .7 m mF módulo no se usan mm Ec. 9.9 razón de contacto axial ninguna ninguna Ec. 9.5 mG razón de engrane ninguna ninguna Ec. 9.15 mN razón de carga compartida ninguna ninguna Ec. 9.6 mp razón de contacto transversal ninguna ninguna Ec. 9.6 N Nb, Nc número de dientes (con varios subíndices) ninguna ninguna varias factores de seguridad; flexión y contacto ninguna ninguna varias pc paso circular in mm Ec. 9.1c pd paso diametral 1/in no se usan Ec. 9.1c pt paso transversal in m px paso axial in mm Ec. 9.1b S fb resistencia a la fatiga por flexión corregida psi Pa Ej. 9-2 S fc resistencia a la fatiga superficial corregida psi Pa Ej. 9-2 S afc resistencia a la fatiga superficial sin corregir psi Pa Ec. 9.11 T Vt torque (con varios subíndices) lb-in N-m varias velocidad en la línea de paso in/seg m/seg Ec. 9.27 fuerza total sobre los dientes del engrane lb N Ec. 9.3 fuerza axial sobre los dientes del engrane lb N Ec. 9.3 W Wa Ec. 9.1a Capítulo 9 Tabla 9-0 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 611 Variables utilizadas en este capítulo Parte 2 de 2 Símbolo Wf Wr Wt A F Y L Variable unidades ips unidades SI Véase fuerza de fricción sobre los dientes del engrane lb N Ec. 9.28 fuerza radial sobre los dientes del engrane lb N Ec. 9.3 fuerza tangencial sobre los dientes del engrane lb N Ec. 9.3 ángulo del cono de paso grad grad Ec. 9.7 ángulo de presión grad grad varias ángulo de hélice o ángulo de espiral grad grad varias ángulo de avance grad grad Ec. 9.12 M coeficiente de fricción ninguna ninguna Ec. 9.28 W R & Sb Sc velocidad angular rad/seg rad/seg Ej. 9-2 radio de curvatura in m Ec. 9.6 potencia hp W Ec. 9.20 esfuerzo de flexión psi Pa Ec. 9.9 esfuerzo superficial psi Pa Ec. 9.10 ENGRANES HELICOIDALES PARALELOS Éstos (figura 9-1a) se acoplan con una combinación de rodamiento y deslizamiento que inicia el contacto en un extremo del diente y “barriendo” contra el ancho de su cara. Lo anterior es muy diferente al contacto entre dientes rectos, el cual ocurre súbitamente a lo largo de una línea que va por la cara del diente en el instante del contacto. Una consecuencia de tal diferencia es que los engranes helicoidales funcionan más silenciosamente y con menos vibración que los engranes rectos, debido al contacto gradual en el diente. Las transmisiones automotrices utilizan engranes helicoidales casi exclusivamente para obtener una operación silenciosa. La excepción es el engrane de la reversa en transmisiones que no son automáticas, el cual emplea con frecuencia engranes rectos para facilitar el acoplamiento y el desacoplamiento del eje. En estas transmisiones se oye un “rechinido” notable cuando el vehículo se desplaza hacia atrás, por la resonancia de los dientes del engrane recto que surgen de los impactos súbitos diente-diente en la línea de contacto. Los engranajes helicoidales hacia delante son básicamente silenciosos. Los engranes helicoidales paralelos también son capaces de transmitir altos niveles de potencia. ENGRANES HELICOIDALES CRUZADOS Éstos (figura 9-1b) se acoplan de manera diferente a los engranes helicoidales paralelos; sus dientes se deslizan sin rodamiento y teóricamente tienen un punto de contacto en lugar de la línea de contacto de los engranes paralelos, lo cual reduce drásticamente su capacidad para transportar carga. Los engranes helicoidales cruzados no se recomiendan para aplicaciones que deben transmitir grandes torques o mucha potencia. Por otro lado, se usan con frecuencia en aplicaciones con carga ligera, como el impulsor del distribuidor o el velocímetro de los automóviles. Geometría del engrane helicoidal La figura 9-2 muestra la geometría de una cremallera helicoidal simple. Los dientes forman el ángulo de hélice ψ con el “eje” de la cremallera. Los dientes se cortan de acuerdo con este ángulo y el perfil del diente permanece en el plano normal. El paso normal pn y el ángulo de presión normal φn se miden en este plano. El paso transversal pt y el ángulo de presión transversal φt se miden en el plano transversal. Tales dimensiones se relacionan entre sí mediante el ángulo de hélice. El paso transversal es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC. pt  pn cos Y (9.1a) (a) Par de engranes acoplados en orientaciones opuestas, con ejes paralelos 9 (b) Par de engranes acoplados en la misma orientación, con ejes cruzados FIGURA 9-1 Engranes helicoidales Cortesía de Boston Gear, Division of IMO Industries, Quincy MA 612 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado El paso axial px se define también con la hipotenusa del triángulo rectángulo BCD. px  pn sen Y (9.1b) pt corresponde al paso circular pc, medido en el plano de paso de un engrane circular. El paso diametral se utiliza más comúnmente para definir el tamaño del diente y está relacionado con el paso circular por pd  N P P   d pc pt (9.1c) donde N es el número de dientes y d es el diámetro de paso. El paso diametral en el plano normal es (9.1d ) pnd  pd cos Y Los ángulos de presión en los dos planos están relacionados por tan F t  tan F  tan F n cos Y (9.2) Fuerzas en un engrane helicoidal En la figura 9-2 se ilustra esquemáticamente el conjunto de fuerzas que actúan sobre un diente. La fuerza resultante W se encuentra en un ángulo compuesto, definido por la combinación del ángulo de presión y el ángulo de hélice. La componente tangencial Wt de la fuerza en el engranado se determina a partir del torque aplicado en el engrane o en el piñón, como se define en la ecuación 8.13a para el piñón. 9 Wt  Tp rp  2Tp dp  2 pd Tp (8.13a) Np X A C Ft Y pt Wr plano normal B Wt pt D Wa pn pn Wt Sección X–X Wr X W plano transversal Fn px F FIGURA 9-2 Cremallera helicoidal simple que muestra los planos normal y transversal, así como la resolución de las fuerzas Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 613 Además de la componente radial Wr, debida al ángulo de presión, ahora también existe una componente de fuerza Wa, la cual tiende a separar los engranes axialmente. Con los engranes helicoidales, se deben utilizar cojinetes con capacidad de empuje axial para resistir esta componente de fuerza, a menos que los engranes helicoidales se monten en pares con orientaciones opuestas sobre el mismo eje, con la finalidad de cancelar la componente de fuerza axial. Con este propósito, algunas veces los dientes con orientaciones opuestas se cortan simultáneamente sobre los bloques de los engranes, con una ranura entre ellos para desalojar el cortador. Tales engranes se conocen como engranes helicoidales dobles. Si se elimina la holgura de la ranura, y los dientes de orientación opuesta se cortan para que funcionen juntos, se les llama engranes de espina de pescado. Las componentes de fuerza en un engranaje helicoidal acoplado son Wr  Wt tan F (9.3a) Wa  Wt tan Y (9.3b) W Wt cos Y cos F n (9.3c) Número virtual de dientes Otra ventaja de los engranes helicoidales sobre los engranes rectos, además de su operación silenciosa, son sus dientes relativamente más fuertes que los de un engrane con el mismo paso normal, el mismo paso diametral y el mismo número de dientes. La causa de esto se observa en la figura 9-2. La componente de fuerza que transmite el torque es Wt , el cual se encuentra en el plano transversal. El tamaño del diente (paso normal) está definido en el plano normal. El espesor del diente en el plano transversal es 1/cos ψ veces el de un engrane recto, con el mismo paso normal. Otro modo de visualizarlo es considerar el hecho de que la intersección del plano normal con el cilindro de paso de diámetro d es una elipse, cuyo radio es re  (d / 2) / cos2 ψ. Entonces se define el número virtual de dientes Ne como el cociente entre la circunferencia de un círculo de paso virtual de radio re y el paso normal pc: Ne  2 P re Pd  pn pn cos 2 Y (9.4a) Al sustituir la ecuación 9.1a en lugar de pn: Ne  Pd pt cos3 Y (9.4b) y al sustituir pt  πd / N de la ecuación 9.1c, se tiene Ne  N cos3 Y (9.4c) Lo anterior define un engrane virtual equivalente a un engrane recto con Ne dientes, obteniendo así un diente más fuerte, contra la fatiga por flexión y la fatiga superficial, que un engrane recto con el mismo número de dientes físicos del engrane helicoidal. El número más grande de dientes virtuales reduce también el rebaje en piñones pequeños, lo cual permite un número mínimo de dientes menor en los engranes helicoidales que en los engranes rectos. 9 614 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Razones de contacto La razón de contacto transversal mp se definió para los engranes rectos con la ecuación 8.7 (p. 556) y es la misma para engranes helicoidales. El ángulo de hélice introduce otra razón llamada razón de contacto axial mF, la cual se define como el cociente entre el ancho F de la cara y el paso axial px: mF  F pd tan Y F  P px (9.5) Esta razón debería ser igual a, por lo menos, 1.15, e indica el grado de traslape helicoidal del engranaje. Así como la mayor razón de contacto transversal permite que varios dientes compartan la carga, el mayor ancho de la cara para un ángulo de hélice determinado incrementa el traslape de los dientes y también favorece la capacidad para distribuir carga, la cual, sin embargo, está limitada por la precisión con la que se fabricaron los engranes (véase la figura 8-19 de la p. 568). Observe que los ángulos de hélice más grandes aumentan la razón de contacto axial, permitiendo así que se utilicen engranes con anchos más estrechos, pero a expensas de mayores componentes de fuerza axiales. Si, como es deseable, mF se mantiene arriba de 1, los engranes se consideran helicoidales convencionales. Si mF  1, entonces reciben el nombre de engranes con razón de contacto axial baja (LACR), por lo que su cálculo requiere pasos adicionales. Para mayor información sobre engranes con LACR, consulte los estándares de la AGMA.[1, 2, 3] Se considerarán aquí sólo engranes helicoidales convencionales. 9 Esfuerzos en engranes helicoidales Las ecuaciones de la AGMA para el esfuerzo de flexión y el esfuerzo superficial para engranes rectos, también se usan para los engranes helicoidales. Dichas ecuaciones se presentaron en el capítulo 8 con una explicación y una definición de términos amplias que no se repetirán aquí. Las ecuaciones de aquel capítulo, para el esfuerzo de flexión, son: Sb  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv (8.15us) Sb  Wt K a K m Ks K B K I FmJ Kv (8.15si) y para el esfuerzo superficial: * Tomado del estándar AGMA 908-B89, Geometry Factors for Determining the Pitting Resistance and Bending Strength of Spur, Helical, and Herringbone Gear Teeth, con autorización de la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St. Suite 201, Alexandria, Va., 22314. † Se requiere un término adicional para engranes helicoidales LACR, pero esto no se abordará aquí, como ya se indicó. Sc  Cp Wt Ca Cm Cs C f F I d Cv (8.21) Las únicas diferencias significativas en su aplicación a engranes helicoidales implican los factores geométricos I y J. Los valores de J para varias combinaciones de ángulo de hélice (10, 15, 20, 25, 30°), ángulo de presión (14.5, 20, 25°) y razones de adéndum (0, 0.25, 0.5) se presentan en la referencia 3. Aquí se reproducen unos cuantos ejemplos en las tablas 9-1 a 9-6*. Consulte el estándar de la AGMA para una información más completa. El cálculo de I, para pares de engranes helicoidales convencionales, requiere la inclusión de un término adicional en la ecuación 8.22a (p. 581), la cual se convierte en:† Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN I cos F ¤ 1 1³ ¥ R o R ´ d p mN ¦ p gµ 615 (9.6a) donde ρp y ρg son los radios de curvatura de los dientes del piñón y el engrane, respectivamente; φ es el ángulo de presión y dp es el diámetro de paso del piñón. El signo  toma en cuenta engranajes externos e internos. Se usa el signo superior para engranajes externos y todas las expresiones relacionadas. El término mN es la razón para distribuir carga definida como F Lmín mN  (9.6b) donde F es el ancho de la cara. El cálculo de la longitud mínima de las líneas de contacto Lmín requiere varios pasos. Primero, se deben formar dos factores a partir de los residuos de la razón de contacto transversal mp y la razón de contacto axial mF. nr  parte fraccionaria de m p na  parte fraccionaria de m F (9.6c) y si na b 1 nr entonces Lmín  si na  1 nr entonces Lmín  m p F na nr px (9.6d ) cos Y b mpF 1 na 1 nr px (9.6e) cos Y b Todos los factores de estas ecuaciones se definen en esta sección o en el capítulo 8, excepto ψb, el ángulo base de la hélice, que es ¤ cos F n ³ Y b  cos 1 ¥ cos Y ´ cos F µ ¦ (9.6 f ) El radio de curvatura del piñón helicoidal de la ecuación 9.6a se calcula con una fórmula diferente de la utilizada en engranes rectos. En lugar de la ecuación 8.22b, se usa Rp  [0.5;r p R g  C sen F ∓ R p  a p p C rg 2 ag =] r cos F 2 p (9.6g) donde (rp, ap) y (rg, ag) son los radios de paso y el adéndum del piñón y el engrane, respectivamente, mientras C es la distancia entre centros (de operación) real. Los esfuerzos de flexión y superficial se calculan con las ecuaciones anteriores y los datos de las tablas 9-1 a 9-6. Las resistencias del material se obtienen del capítulo 8, en tanto que los factores de seguridad se calculan de la misma manera, como se describió ahí para engranes rectos. 9 616 DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 9-1 - Un Enfoque Integrado Factor geométrico J de flexión de la AGMA para F = 20o, Y = 10o y dientes de profundidad total con carga en la punta Dientes del piñón 12 14 Dientes del engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 17 P G U U U U U U U U 26 U U 35 U U 55 U 135 U Tabla 9-2 21 P G U U U U U U U U U U U U U 26 P G U 0.46 0.46 U U 0.47 U U 0.48 U U U U U U 35 P G 0.49 0.49 0.49 0.52 0.50 0.49 0.55 0.52 0.50 0.60 0.53 55 P G 0.53 0.54 0.54 0.56 0.55 0.61 0.57 135 P G 0.57 0.59 0.59 0.62 0.60 0.63 P G 0.65 0.65 Factor geométrico J de flexión de la AGMA para F = 20o, Y = 20o y dientes de profundidad total con carga en la punta Dientes del piñón 9 12 14 Dientes del engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 17 P G U U U U U U U U 26 U U 35 U U 55 U 135 U Tabla 9-3 21 P G U 0.44 0.44 U 0.45 U U U U U U U U 26 P G 0.46 0.47 0.47 0.45 0.49 0.48 0.46 0.51 0.49 U 0.47 0.54 U 0.48 0.58 35 P G 0.49 0.50 0.50 0.52 0.51 0.50 0.55 0.52 0.51 0.59 0.54 55 P G 0.53 0.54 0.54 0.56 0.55 0.60 0.57 135 P G 0.57 0.58 0.58 0.61 0.60 0.62 P G 0.64 0.64 Factor geométrico J de flexión de la AGMA para F = 20o, Y = 30o y dientes de profundidad total con carga en la punta Dientes del piñón 12 14 Dientes del engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 17 P G U 0.39 0.39 U 0.39 U U 0.40 26 U U 35 U U 55 U 135 U 21 P G 0.41 0.41 0.41 0.43 0.42 0.41 0.44 0.41 0.46 U 0.42 U 0.43 26 P G 0.43 0.44 0.44 0.43 0.45 0.45 0.43 0.47 0.45 0.49 0.44 0.49 0.51 0.45 0.52 35 P G 0.46 0.46 0.46 0.48 0.47 0.46 0.50 0.48 0.47 0.53 0.49 55 P G 0.48 0.49 0.49 0.50 0.50 0.53 0.51 135 P G 0.51 0.52 0.52 0.54 0.53 0.55 P G 0.56 0.56 Capítulo 9 Tabla 9-4 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 617 Factor geométrico J de flexión de la AGMA para F = 25o, Y = 10o y dientes de profundidad total con carga en la punta Dientes del piñón 12 14 Dientes del engrane P G 12 U U 14 U 17 U 21 17 P G U 0.47 0.47 U 0.48 U U 0.48 26 U U 35 U U 55 U 135 U Tabla 9-5 21 P G 0.51 0.52 0.52 0.55 0.52 0.49 0.58 0.50 0.61 U 0.51 U 0.52 26 P G 0.55 0.56 0.56 0.53 0.58 0.57 0.54 0.62 0.57 0.65 0.55 0.66 0.70 0.56 0.71 35 P G 0.59 0.60 0.60 0.63 0.61 0.58 0.67 0.62 0.60 0.72 0.63 55 P G 0.64 0.64 0.64 0.68 0.65 0.73 0.67 135 P G 0.69 0.70 0.70 0.74 0.71 0.75 P G 0.76 0.76 Factor geométrico J de flexión de la AGMA para F = 25o, Y = 20o y dientes de profundidad total con carga en la punta Dientes del piñón 12 14 Dientes del engrane P G 12 0.47 0.47 14 0.47 17 21 17 G P 26 G P 35 G P 55 G P 135 G 0.50 0.50 0.50 0.48 0.53 0.51 0.54 0.54 0.54 0.48 0.56 0.51 0.57 0.55 0.58 0.58 0.58 26 0.49 0.59 0.52 0.60 0.55 0.60 0.69 0.61 0.62 0.62 35 0.49 0.62 0.53 0.63 0.56 0.64 0.60 0.64 0.62 0.65 0.66 0.66 55 0.50 0.66 0.53 0.67 0.57 0.67 0.60 0.68 0.63 0.69 0.67 0.70 0.71 0.71 135 0.51 0.70 0.54 0.71 0.58 0.72 0.62 0.72 0.65 0.73 0.68 0.74 0.72 0.75 Tabla 9-6 P 21 P G P G 9 0.76 0.76 Factor geométrico J de flexión de la AGMA para F = 25o, Y = 30o y dientes de profundidad total con carga en la punta Dientes del piñón Dientes del engrane 12 14 P G 12 0.46 0.46 14 0.47 17 21 17 P G 0.49 0.49 0.49 0.47 0.51 0.50 0.48 0.54 0.50 26 0.48 0.56 35 0.49 0.58 21 P G 0.52 0.52 0.52 0.54 0.53 0.51 0.56 0.53 0.51 0.59 0.54 26 P G 0.55 0.55 0.55 0.57 0.56 0.59 0.56 35 P G 0.57 0.58 0.58 0.60 0.58 0.60 55 P G 0.61 0.61 P 135 G 55 0.49 0.61 0.52 0.61 0.54 0.62 0.57 0.62 0.59 0.63 0.62 0.64 0.64 0.64 135 0.50 0.64 0.53 0.64 0.55 0.65 0.58 0.66 0.60 0.66 0.62 0.67 0.65 0.68 P G 0.68 0.68 618 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado EJEMPLO 9-1 Análisis de esfuerzo en un tren de engranes helicoidales Problema Rediseñe el tren de engranes rectos de los ejemplos 8-4 a 8-7 (pp. 569 a 592) mediante engranes helicoidales, luego compare sus factores de seguridad. Se proporciona Los ejemplos mencionados involucran, respectivamente, la cinemática, los esfuerzos de flexión, los esfuerzos superficiales y los factores de seguridad para un tren de tres engranes con los siguientes datos: Wt = 432.17 lb, Np = 14, Nloco = 17, Ng = 49, F = 25o, pd = 6, F = 2.667 in, velocidad del piñón = 2 500 rpm y 20 hp. El factor de velocidad Kv = 0.66 de cálculos anteriores. Suposiciones 9 Los dientes son perfiles de la AGMA estándares de profundidad total. La carga y la fuente son de naturaleza uniforme. Se usará un índice de calidad del engrane igual a 6. Todos los engranes son de acero con N = 0.28. La vida requerida de servicio es de cinco años para una operación de un turno. La temperatura de operación es de 200 oF. Con base en el supuesto de carga y fuente uniformes, el factor de la aplicación Ka se puede hacer igual a 1. El factor de distribución de carga se estima de la tabla 8-16 (p. 577) con base en el ancho de cara supuesto: Km = 1.6. El factor intermedio KI = 1 para el piñón y el engrane, y KI = 1.42 para el engrane loco. El factor de tamaño Ks = 1 para los tres engranes. Cf = 1. KB = 1. Se mantienen los mismos F y pd de los engranes de los ejemplos previos y se intenta con un ángulo de hélice de 20o. Solución 1. El factor geométrico J de flexión para un ángulo de presión de 25°, un ángulo de hélice de 20° y un piñón de 14 dientes engranado con un engrane loco de 17 dientes se obtiene de la tabla 9-5 con un valor de Jpiñón  0.51. El esfuerzo de flexión en el diente del piñón es, entonces, Sbp  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv 432.176 11.6 1 1 1 2.6670.51 0.66 4 620 psi ( a) 2. El factor geométrico J de flexión para un ángulo de presión de 25°, un ángulo de hélice de 20° y un engrane loco de 17 dientes engranado con un piñón de 14 dientes, en la tabla 9-5, es Jloco  0.54. El esfuerzo a la flexión en el diente del engrane loco es: S bi  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv 432.176 11.6 1 1 1.42 2.6670.54 0.66 6 200 psi (b) Observe en la tabla 9-5 que el engrane loco tiene un factor J diferente, cuando se considera que es el “engrane” acoplado con el piñón más pequeño, que cuando se considera el “piñón” acoplado con el engrane más grande. Se utiliza el valor más pequeño de los dos porque da el mayor esfuerzo. 3. El factor geométrico J de flexión para un ángulo de presión de 25°, un ángulo de hélice de 20° y un engrane de 49 dientes acoplado con un engrane loco de 17 dientes se obtiene de la tabla 9-5, con un valor de Jengrane  0.66. El esfuerzo de flexión en el diente del engrane es, entonces, S bg  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv 432.176 11.6 1 1 1 2.6670.66 0.66 3 570 psi (c ) 4. Se necesitan el diámetro de paso y el radio de paso de cada engrane para este cálculo. De los datos del ejemplo 8-4 (p. 569): Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN d p  2.333 di  2.833 dg  8.167 rp  1.167 ri  1.417 rg  4.083 619 (d ) 5. Los adenda, los dedenda y las distancias entre centros de los engranados son: a p  ai  ag  2.333 2.833  2.58 in 2 di dg 2.833 8.167    5.50 in 2 2 C pi  Cid 1.0 1   0.167 in pd 6 dp di 2 (e)  6. Se obtienen las longitudes de acción Zpi y Zig para los dos engranados mediante la ecuación 8.2 (p. 548). Z pi   rp ap 2 rp cos F 2 ri ai 2 ri cos F 2 C pi sen F 1.167 0.167 2 1.167 cos 25o 2 1.417 0.167 2 1.417 cos 25o 2 2.58 sen 25o  0.647 (f) Zig   rp ap 2 rp cosF 2 rg ag 2 rg cos F 2 Cig sen F 9 1.167 0.167 2 1.167 cos 25o 2 4.083 0.167 2 4.083 cos 25o 2 5.50 sen 25o  0.692 7. Las razones de contacto transversal para los dos engranados se obtienen con la ecuación 8.7b (p. 556). m p pi  para el engranado piñón-engrane loco: para el engranado engrane loco-engrane: m pig pd Z pi P cos F  60.647  1.36 P cos 25 pd Zig ( g) 60.692    1.46 P cos F P cos 25 8. La razón de contacto axial mF se obtiene con la ecuación 9.5 (p. 614) y el paso axial px, con las ecuaciones 9.1a, b, y c (pp. 611-612). mF  F pd tan Y 2.6676 tan 20o   1.85 P P P cos Y P cos 20o   1.44 in p x  pn sen Y  pt cos Y sen Y  pd sen Y 6 sen 20o (h) 9. Se obtiene el ángulo de presión normal φn y el ángulo de hélice ψb de la base, con las ecuaciones 9.2 y 9.6f (pp. 612 y 615), respectivamente. F n  tan 1 cos Y tan F  tan 1 cos 20n tan 25n  23.66n ¤ cos F n ³ cos 23.66n ³ 1¤  18.25n Y b  cos 1 ¥ cos Y ´  cos ¦ cos 20n cos F µ cos 25n µ ¦ (i ) 620 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 10. Se obtiene la longitud mínima de las líneas de contacto de cada engranado mediante las ecuaciones 9.6c y 9.6d o e (p. 615) y se utilizan con la finalidad de obtener la razón para compartir carga mN con la ecuación 9.6b (p. 615). nrpi  parte fraccionaria de m p pi  0.36 para el engranado piñón-engrane loco: para el engranado engrane loco-engrane: nrig  parte fraccionaria de m pig  0.46 ( j) na  parte fraccionaria de m F  0.85 para ambos engranados: para el engranado piñón-engrane loco (ecuación 9.6e): si na  1 nrpi entonces: Lmín pi  Lmín pi  m N pi  1 m p pi F  na 1 nrpi p x cos Y b 1.362.667 1 0.85 1 0.36 1.44 = 3.674 ( k ) cos18.25o F 2.667   0.726 Lmín pi 3.674 (l ) para el engranado engrane loco-engrane (ecuación 9.6e): 9 si na  1 nrig entonces: Lmínig  Lmínig  m N ig  1 m pig F  na 1 nrig p x cos Y b 1.462.667 F Lmín  ig 1 0.85 1 0.46 1.44 = 3.977 ( m) cos18.25o 2.667  0.671 3.977 ( n) 11. Los radios de curvatura de los dientes del engrane son: Rp   [0.5;r p  a p p C pi [0.5;1.167 0.0167 2 ri ai =] r cos F 2 p 2.58 1.417 0.0167 =] 2 1.167 cos 25o 2  0.4931 in ( o) Ri  Cpi sen F Rp  2.58 sen 25o 0.4931  0.5987 in Rg  Cig sen F Ri  5.5 sen 25o 0.5987  1.726 in 12. El factor geométrico I de picado se calcula para un par de engranes del engranado. Como se tienen dos engranados (piñón/engrane loco y engrane loco/engrane), se deberán calcular dos valores diferentes de I con las ecuaciones 9.6. Capítulo 9 I pi  Iig  ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN ¤ 1 ¥R ¦ p cos F  ¤ 1 1³ d p m N pi ¦ 0.4931 ´ Ri µ ¤1 ¥R ¦ i cos F  ¤ 1 1³ di m N ig ¦ 0.5987 ´ Rg µ 621 cos 25n  0.14 1 ³ 2.333 0.726  0.5987 µ cos 25n  0.21 1 ³ 2 . 833 0 . 671   1.726 µ ( p) 13. El coeficiente elástico Cp se obtiene con la ecuación 8.23 (p. 581) y, como antes, es 2 276. 14. El esfuerzo superficial del engranado piñón-engrane loco es Sc p  Cp Wt Ca Cm Cs C f F I pi d p Cv 2 276 11.6 432.17 1 1 2.6670.14 2.33 0.66 79 kpsi (q) 15. El esfuerzo superficial para el engranado engrane loco-engrane es S ci  C p Wt Ca Cm Cs C f F Iig di Cv 2 276 11.6 432.17 1 1 2.6670.21 2.83 0.66 9 59 kpsi (r ) 16. La resistencia corregida de fatiga por flexión del acero del ejemplo 8-7 (p. 592) es de 39 kpsi y su resistencia a la fatiga corregida superficial es de 105 kpsi. Los factores de seguridad contra falla por flexión se obtienen comparando la resistencia a la flexión corregida con el esfuerzo de flexión de cada engrane en el engranado. N b piñón  N bloco  N bengrane  S fb  S b piñón S fb S bloco  S fb S bengrane 39 4.6 (s) 8.5 39  6.3 6.2  (t ) 39  10.8 3.6 (u ) 17. Los factores de seguridad contra la falla superficial se obtienen comparando la resistencia superficial corregida con el esfuerzo superficial para cada engrane del engranado:* 2 2 ¥ S fc ´ ¥ 105 ´ Nc piñón-loco  ¦  µ ¦ Sc µ § 79 ¶ § piñón-loco ¶ 1.8 ( v) 2 2 ¥ ´ S fc ¥ 105 ´ Ncloco-engrane  ¦  µ ¦ Sc µ § 59 ¶ § loco-engrane ¶ 3.2 (w) * El factor de seguridad contra falla superficial se obtiene comparando la carga real con la carga que produciría un esfuerzo igual a la resistencia superficial corregida. Debido a que el esfuerzo superficial está relacionado con la raíz cuadrada de la carga, el factor de seguridad contra fatiga superficial se calcula como el cociente del cuadrado de la resistencia superficial corregida dividida entre el cuadrado del esfuerzo superficial para cada engrane del acoplamiento. 622 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado 18. Compare estos resultados con los factores de seguridad del tren de engranes rectos del ejemplo 8-7 (p. 592). Los engranes helicoidales tienen factores de seguridad significativamente más grandes que los de los engranes rectos con el mismo paso. N b piñón  8.5 N bloco  6.3 Nc piñón-loco  1.8 N bengrane  10.8 Ncloco-engrane  3.2 ( x) 19. Los archivos EX13-01 se encuentran en el CD-ROM. 9.2 ENGRANES CÓNICOS Los engranes cónicos se cortan sobre conos coincidentes en vez de cilindros coincidentes de engranes rectos o helicoidales. Sus ejes no son paralelos y se intersecan en los vértices de los conos coincidentes. El ángulo entre sus ejes puede ser de cualquier valor, pero con frecuencia es de 90°. Si los dientes se cortan paralelos al eje del cono, se trata de engranes cónicos rectos, de modo análogo a los engranes rectos. Si los dientes se cortan en un ángulo espiral ψ con el eje del cono, se trata de engranes cónicos espirales, de modo análogo a los engranes helicoidales. El contacto entre los dientes de los engranes cónicos rectos o espirales tiene los mismos atributos que sus contrapartes cilíndricas análogas, sólo que los cónicos espirales funcionan más silenciosa y suavemente que los cónicos rectos y los diámetros de las espirales pueden ser menores para la misma capacidad de carga. 9 La figura 9-3a muestra un par de engranes cónicos rectos y la figura 9-3b un par de engranes cónicos en espiral. Otro perfil es el engrane Zerol ® (que no se muestra), el cual tiene dientes curvos como un engrane espiral, pero también un ángulo espiral igual a cero, como un engrane cónico recto. Los engranes Zerol tienen algo del funcionamiento silencioso y suave característico de los engranes en espiral. Los espirales son lo último en funcionamiento suave y silencioso, por lo que se recomiendan para velocidades de hasta 8 000 fpm (40 m/seg). Para mayores velocidades, se requieren engranes con acabado de precisión. Los engranes helicoidales rectos tienen velocidades límite (a) (b) FIGURA 9-3 (a) Engranes cónicos rectos Cortesía de Martin Sprocket and Gear Co., Arlington, Tex., y (b) engranes cónicos espirales Cortesía de la Boston Gear Division de IMO Industries, Quincy, Mass. Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 623 de 1 000 fpm (10 m/seg), aproximadamente. Los engranes Zerol pueden funcionar tan rápido como los espirales. Como en los engranes rectos y helicoidales, se recomienda una reducción máxima de 10:1 para cualquier conjunto de engranes cónicos o espirales. Se sugiere un límite de 5:1 cuando se utiliza un incrementador de velocidad. El torque sobre el piñón se usa como un parámetro de medición. El ángulo de presión más común para engranes cónicos o espirales es de φ  20°. Los engranes espirales con mucha frecuencia tienen un ángulo espiral ψ  35°. En general, los engranes cónicos no son intercambiables. Se hacen y sustituyen en pares, como conjuntos aparejados de piñón y engrane. Geometría y nomenclatura del engrane cónico La figura 9-4 muestra la sección transversal de dos engranes cónicos acoplados. Sus ángulos de paso en el cono están denotados por αp y αg , para el piñón y el engrane, respectivamente. Los diámetros de paso se definen en el borde más grande, sobre los conos invertidos. El tamaño y el perfil del diente se definen sobre el cono posterior y son similares a los dientes de engranes rectos, con un piñón de adéndum largo para minimizar interferencias y rebaje. La razón de adéndum varía con la razón de engrane de adenda iguales (dientes de profundidad total), con una razón de engrane 1:1, hasta un adéndum del piñón más grande en un 50%, aproximadamente, con razones de engrane por arriba de 6:1. El ancho de cara F se limita generalmente a L / 3, definiendo L como en la figura 9-4. De la geometría: Ap F Ag diám. de paso del piñón dp L cono de paso del piñón ángulos de paso de los conos cono de paso del engrane diám. de paso del engrane dg cono posterior del engrane FIGURA 9-4 Geometría y nomenclatura de un engrane cónico Fuente: tomado del estándar 2005-B88 de la AGMA, Design Manual for Bevel Gears, con autorización del editor, la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314 9 624 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado L rp sen A p  dp 2 sen A p  dg 2 sen A g (9.7a) La razón de engrane mG para un conjunto cónico a 90° se define en términos de los ángulos de paso de los conos, como mG  Wp Wg  Ng Np  dg dp  tan A g  cot A p (9.7b) Véase también las ecuaciones 8.1a a 8.1c (pp. 545-546). Montaje de un engrane cónico Se prefiere el montaje a horcajadas (con cojinetes a ambos lados del plano del diente) para mejorar el soporte; no obstante, es difícil alcanzar tanto al piñón como al engrane con ejes que se intersecan. Por lo general, el engrane se monta a horcajadas y el piñón en voladizo, a menos que haya espacio suficiente para alojar un cojinete en el interior del piñón para montarlo a horcajadas también. Fuerzas sobre engranes cónicos Como en los engranes helicoidales, existen las componentes de fuerza tangencial, radial y axial, que actúan sobre un engrane cónico o espiral. Para un engrane cónico recto: 9 Wa  Wt tan F sen A Wr  Wt tan F cos A (9.8a) W  Wt cos F Para un engrane cónico espiral: Wa  Wt tan F n sen A ∓ sen Y cos A cos Y Wr  Wt tan F n cos A p senY sen A cos Y (9.8b) donde los signos de arriba del  y  se utilizan para un piñón impulsor con un sentido horario espiral giratorio de mano derecha, visto desde su borde grande, o un piñón impulsor con un sentido contrario a las manecillas del reloj espiral giratorio de mano izquierda, visto desde su borde grande, mientras el signo de abajo se utiliza para las condiciones opuestas. En las ecuaciones 9.8a y 9.8b se tiene que emplear el ángulo adecuado, del cono de paso αp del piñón o αg del engrane en lugar de α, para obtener las fuerzas en cada elemento. La carga tangencial Wt se determina a partir del torque aplicado a cualquier elemento en combinación, con su diámetro de paso medio dm. * Consulte el estándar AGMA 2005B88 para el método de cálculo de dm o para estimarlo a partir de un dibujo esquemático del engranaje (similar al de la figura 9-4). Los archivos del modelo del ejemplo 9-2 contienen también el cálculo del diámetro de paso medio. Wt  2T dm (9.8c) donde el torque que actúa sobre el mismo elemento y el diámetro de éste (engrane o piñón) se usan para obtener la fuerza transmitida común.* Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 625 Esfuerzos en engranes cónicos El cálculo de los esfuerzos y de la vida estimada de los engranes cónicos es más complicado que el de engranes rectos o helicoidales. Los estándares de la AGMA[4],[5] brindan información más completa de la presentada aquí, por lo que se debe consultar para cualquier aplicación real de diseño. Sólo se presentará un resumen breve del procedimiento para diseñar engranes cónicos, como introducción a la materia, adecuado para una comprensión básica de los factores que intervienen y para la realización de algunos ejercicios.* ESFUERZO DE FLEXIÓN EN ENGRANES CÓNICOS El esfuerzo de flexión en engranes cónicos rectos o espirales se obtiene básicamente con la misma ecuación que se utiliza para los engranes rectos o helicoidales. La diferencia principal se toma en cuenta en el valor del factor J. Sb  Sb  2Tp pd K a K m K s d FJ Kv K x 2 000 Tp d 1 Ka Km Ks FmJ Kv K x psi (9.9us) MPa (9.9si) Observe que la carga aplicada se expresa en términos del torque Tp del piñón, sustituyendo la ecuación 9.8c, en lugar de Wt , como en la ecuación 8.15 (p. 572). El diámetro de paso d en la ecuación 9.9 es el del piñón. (La fórmula del SI tiene las longitudes expresadas en mm.) Para nuestro objetivo, los factores Ka, Km, Ks y Kv se toman con el mismo valor, como se definió en el capítulo 8, para engranes rectos. Sin embargo, algunos de estos factores tienen definiciones ligeramente diferentes para los engranes cónicos en el estándar de la AGMA,[4],[5] por lo que deberían consultarse para tener fórmulas más precisas en cualquier aplicación de diseño real. El factor Kx es igual a 1 para engranes cónicos rectos y es una función del radio del cortador en engranes espirales o Zerol. Se usa Kx  1.15 como una aproximación en los dos últimos casos. 9 ESFUERZO SUPERFICIAL EN ENGRANES CÓNICOS El esfuerzo superficial en engranes cónicos rectos o espirales se calcula de modo similar al de los engranes rectos o helicoidales, pero con algunos factores adicionales de ajuste incluidos. Como en los esfuerzos de flexión para los engranes cónicos, la carga aplicada se expresa como torque en el piñón, en lugar de una carga tangencial. z S c  C p Cb 2TD ¤ Tp ³ Ca Cm Cs C f Cxc ¥ ´ Cv F I d 2 ¦ TD µ (9.10) Para nuestro objetivo, los factores Cp, Ca, Cm, Cv, Cs y Cf se toman igual que los definidos en el capítulo 8. Sin embargo, algunos de estos factores tienen definiciones ligeramente diferentes para los engranes cónicos en el estándar de la AGMA,[5] por lo que deben consultarse para contar con fórmulas más precisas en cualquier aplicación de diseño real. Los factores nuevos de ajuste en esta versión de la ecuación de esfuerzo superficial comparada con la ecuación 8.21 (p. 580) son Cb, el cual es una constante de ajuste del esfuerzo, definida con un valor de 0.634 en el estándar actual de la AGMA[5], y Cxc, un factor de abombamiento definido con un valor de 1 para dientes que no están sujetos al momento máximo y 1.5 para dientes con abombamiento.† El exponente z es 0.667 cuando Tp  TD y 1.0 si no es así. Los dos términos de torque TD y Tp requieren de una explicación. Tp es el torque de operación del piñón, definido por las cargas aplicadas, el torque aplicado, o la potencia y la velocidad, y llega a variar con el tiempo. TD es el torque de diseño del piñón, el cual tiene el valor mínimo necesario para producir la huella de contacto completa (óptima) sobre el diente del engrane. En la mayoría de los casos, TD es el torque requerido * Tomado del estándar AGMA 2005-B88, Design Manual for Bevel Gears, y/o AGMA 2003-A86, Rating the Pitting Resistance and Bending Strength of Generated Straight Bevel, Zerol® Bevel and Spiral Bevel Gear Teeth, con autorización de la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314. † Los dientes con abombamiento poseen superficies modificadas para lograr la curvatura convexa en dirección longitudinal (a lo largo del ancho de la cara), con la finalidad de producir contactos localizados y/o prevenir contactos en los bordes de los dientes. El abombamiento se puede aplicar a todos los tipos de dientes. Los dientes con abombamiento reducen la necesidad de alinear exactamente los ejes de los engranes aparejados para que sean exactamente paralelos. 626 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado para crear un esfuerzo de contacto igual al esfuerzo de contacto permisible para el material, como se define en la tabla 8-21 (p. 590). TD se estima a partir de ¤ S `fc d 0.774CH ³ ICv F TD  2 Cs Cmd C f Ca Cxc ¥¦ C p Cb CT CR ´µ 2 ¤ S `fc d 0.774CH ³ ICv F TD  2000 Cs Cmd C f Ca Cxc ¥¦ C p Cb CT CR ´µ lb in (9.11us) N•m (9.11si) 2 donde S ′fc es la resistencia a la fatiga superficial del material de la tabla 8-21 y los factores C son los definidos arriba o en el capítulo 8. (Véase la ecuación 8.25 (p. 587) para CH, CT y CR). Cmd es el factor de montaje para considerar el voladizo, o el montaje a horcajadas de uno o ambos engranes. Si los dientes del engrane tienen abombamiento, Cmd varía de 1.2, para ambos miembros montados a horcajadas a 1.8, si los dos están en voladizo. Se usa un valor entre estos dos números si un elemento está en voladizo y el otro está montado a horcajadas. Para dientes con momento máximo, se duplican dichos valores. Para mayor detalle, consulte el estándar AGMA[5]. FACTORES GEOMÉTRICOS I Y J Los factores geométricos para engranes cónicos rectos y espirales son diferentes de los engranes rectos o helicoidales. El estándar de la AGMA proporciona gráficas de tales factores para engranes rectos, Zerol y espirales. Se reproducen unas cuantas de estas gráficas en las figuras 9-5 a 9-8.* FACTORES DE SEGURIDAD Los factores de seguridad contra fallas por flexión o a picado se calculan de la misma manera que para los engranes rectos, descrita en el capítulo 8. 9 EJEMPLO 9-2 Análisis de esfuerzo en un tren de engranes cónico Problema Determine los esfuerzos de flexión y superficial, así como los factores de seguridad de un engranaje cónico recto, fabricado con el mismo materiales de acero, que opera bajo las mismas condiciones durante cinco años de vida, como en el ejemplo 8-7 (p. 592). Se proporciona Np = 20, Ng = 35, F 5 25o y pd = 8, luego pasa 10 hp a 2 500 rpm. Del ejemplo 8-7: la resistencia a la flexión corregida es de 38 937 psi y la resistencia superficial es de 118 000 psi, sin corregir, y de 105 063 psi, corregida. Suposiciones Del ejemplo 8-7: Ka = Ca = Ks = Cs = Cf = CH = CR = CT = 1, Km = Cm = 1.6, Kv = Cv = 0.652, CL = 0.890 y Cp = 2 276. En esta sección, se suponen: Cxc = Kx = 1, Cb = 0.634 y Cmd = 1.5. Solución * Tomado del estándar AGMA 2005-B88, Design Manual for Bevel Gears, y/o AGMA 2003-A86, Rating the Pitting Resistance and Bending Strength of Generated Straight Bevel, Zerol® Bevel and Spiral Bevel Gear Teeth, con autorización de la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314. 1. Se determina el torque del piñón a partir de la potencia y velocidad dadas. in - lb hp´ ¶ P seg Tp    252.1 lb - in rad W p 2 500 rpm 2 P 60 rpm seg 10 hp ¥ 6 600 § ( a) Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 627 2. Se obtienen los diámetros de paso del piñón y del engrane. dp  Np pd  20  2.50 in, 8 dg  35  4.375 in 8 (b) 3. Determine los ángulos de paso de los conos con la ecuación 9.7b (p. 624): ¤ Ng ³ 1 ¤ 35 ³ A g  tan 1 ¥ ´  tan ¦ 20 µ  60.26n ¦ Np µ A p  90 A g  90 60.26  29.74n (c ) 4. Encuentre la longitud del cono de paso L con la ecuación 9.7a (p. 624): L dp 2 sen A p  2.50  2.519 in 2 sen 29.74 (d ) 5. Se utiliza la longitud L del cono de paso para determinar un ancho de cara aceptable, luego se establece como el valor máximo recomendado. F L 2.519   0.840 in 3 3 (e ) 6. Consulte los factores geométricos de flexión para el piñón y el engrane en la figura 9-5 (p. 628), para obtener Jp  0.237 y Jg  0.201. 7. Se calcula el esfuerzo de flexión en el piñón con la ecuación 9.9 (p. 625) con Jp. S b piñón  2Tp pd K a K m K s 2252.1 11.6 1 8  d FJ K v K x 2.5 0.8400.237 0.6521 19 880 psi (f) 8. Se obtiene el esfuerzo de flexión en el engrane con la ecuación 9.9 usando Jg. S bengrane  2Tp pd K a K m K s 2252.1 11.6 1 8  d FJ K v K x 2.5 0.8400.201 0.6521 23 440 psi ( g) Observe que el diente del engrane está sometido a mayores esfuerzos que el diente del piñón, ya que el adéndum largo del piñón lo hace más fuerte a expensas del adéndum corto del diente del engrane. 9. Se busca el factor geométrico superficial para esta combinación de piñón y engrane en la figura 9-6 (p. 629), para obtener I  0.076. Lo anterior se utiliza en la ecuación 9.11 (p. 626) para calcular TD. TD   ¤ S `fc d 0.774CH ³ ICv F 2 Cs Cmd C f Ca Cxc ¥¦ C p Cb CT CR ´µ 2 0.840 0.0760.652 ¤ 118 0002.5 0.7741 ³ 2 11.5 1 1 1 ¥¦ 2 2760.634 11 ´µ 2 347.5 lb - in ( h) 10. Como TD  Tp, z  0.667. Se emplean estos datos para determinar el esfuerzo superficial con la ecuación 9.10. 9 628 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Número de dientes en el elemento para el cual se desea el factor geométrico Número de dientes del compañero 9 Factor geométrico, J FIGURA 9-5 Factor geométrico J para engranes cónicos rectos con F = 20o y radio herramienta-borde igual a 0.120/pd Fuente: Tomado del estándar AGMA 2003-A86, Rating the Pitting Resistance and Bending Strength of Generated Straight Bevel, Zerol® Bevel and Spiral Bevel Gear Teeth, con autorización del editor, la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314 z S c  C p Cb 2TD ¤ Tp ³ Ca Cm Cs C f Cxc ¥ ´ F I d 2 ¦ TD µ Cv  2 2760.634 2347.5 ¤ 252.1 ³ 2 ¦ 347.5 µ 0.8400.076 2.5 0.667 11.6 1 1 1 0.652 (i ) 84 753 psi 11. Los factores de seguridad se determinan ahora como N b piñón  N bengrane  S fb S b piñón S fb S bengrane  38 937 19 880 2.0 ( j)  38 937 23 440 1.7 (k ) Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 629 Número de dientes del piñón Número de dientes del engrane Factor geométrico, I FIGURA 9-6 Factor geométrico I para engranes cónicos rectos con F = 20o y radio herramienta-borde igual a 0.120/pd Fuente: Tomado del estándar AGMA 2003-A86, Rating the Pitting Resistance and Bending Strength of Generated Straight Bevel, Zerol ® Bevel and Spiral Bevel Gear Teeth, con autorización del editor, la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314 Número de dientes del engrane Número de dientes del piñón 9 Factor geométrico, I FIGURA 9-7 Factor geométrico I para engranes cónicos espirales con F = 20o, ángulo de la espiral Y = 35o y radio herramienta-borde igual a 0.240/pd Fuente: Tomado del estándar AGMA 2003-A86, Rating the Pitting Resistance and Bending Strength of Generated Straight Bevel, Zerol ® Bevel and Spiral Bevel Gear Teeth, con autorización del editor, la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314 ¤ S fc ³ Nc  ¥ ´ ¦ Sc µ 2 ¤ 105 063 ³ ¥ ´ ¦ 84 753 µ 2 1.5 (l ) 12. Los factores de seguridad son aceptables. Los archivos EX13-02 se encuentran en el CD-ROM. 630 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Número de dientes del engrane para el cual se desea el factor geométrico Número de dientes del compañero 9 Factor geométrico, J FIGURA 9-8 Factor geométrico J para engranes cónicos espirales con F = 20o, ángulo de la espiral Y = 35o y radio herramienta-borde igual a 0.240/pd Fuente: Tomado del estándar AGMA 2003-A86, Rating the Pitting Resistance and Bending Strength of Generated Straight Bevel, Zerol ® Bevel and Spiral Bevel Gear Teeth, con autorización del editor, la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314 9.3 ENGRANES DE TORNILLOS SIN FIN Los engranajes de tornillos sin fin son más difíciles de diseñar que los engranajes convencionales. Sólo se presentará una mirada breve al proceso, como una introducción al tema. Los estándares de la AGMA contienen mucha más información. Para aplicaciones reales, se invita al lector a consultar los documentos de la AGMA.[6,7] Ahí se encuentran muchas tablas con los datos necesarios para un diseño completo. Se extrajeron la mayoría de las ecuaciones importantes del estándar, pero no se incluyen los datos tabulares. En su lugar, se incluyen ecuaciones empíricas del apéndice[7] del estándar de la AGMA para calcular los datos tabulares.* * Tomado del estándar AGMA 6022-C93, Design Manual for Cylindrical Wormgearing y/o el estándar AGMA 6034-B92, Practice for Enclosed Cylindrical Wormgear Speed Reducers and Gearmotors, con autorización de la Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314. Un engranaje sin fin consiste en un tornillo sin fin y una corona sin fin (también llamada engrane de gusano), como los mostrados en la figura 9-9. Conectan ejes que no se intersecan y no son paralelas, usualmente dispuestos en ángulos rectos. El tornillo sin fin es, de hecho, un engrane helicoidal con un ángulo de hélice tan grande que un sólo diente se envuelve continuamente alrededor de su circunferencia. El tornillo sin fin es similar a la cuerda de un tornillo y el engrane es similar a su tuerca. La distancia que un punto sobre el engrane acoplado (tuerca) se mueve axialmente en una revolución del sin Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN fin se conoce como avance L y el avance dividido entre la circunferencia de paso πd del sin fin es la tangente de su ángulo de avance λ. tan L  L Pd Pdg L  pc  Nw Ng engrane sin fin (9.12) Los tornillos sin fin generalmente sólo tienen un diente (o cuerda); por lo tanto, producen razones tan grandes como el número de dientes del engrane. Tal capacidad de proporcionar razones altas en un pequeño volumen del conjunto es una de las ventajas principales de un engranaje sin fin sobre otras posibles configuraciones, la mayoría de las cuales está limitada por una razón aproximada de 10:1 por par de engranes. Se producen engranajes sin fin con razones que van de 1:1 a 360:1, aunque el intervalo usual en los catálogos es de 3:1 a 100:1. Las razones arriba de 30:1 suelen tener una sola cuerda sin fin, mientras las razones inferiores a ese valor emplean con frecuencia tornillo sin fin de múltiples cuerdas. Al número de cuerdas sobre el tornillo sin fin se le conoce también como inicios. Un tornillo sin fin de 2 o 3 inicios podría usarse en un engranaje sin fin de razón baja, por ejemplo. El paso axial px del tornillo sin fin es igual al paso circular pc del engrane y está relacionado con el avance L por el número elegido de inicios o número de dientes Nw del tornillo sin fin. px  631 (9.13) tornillo sin fin FIGURA 9-9 Engranaje sin fin de envolvente simple consistente en un tornillo sin fin y un engrane envolvente Cortesía de Martin Sprocket and Gear Co., Arlington, Tex. donde dg es el diámetro de paso y Ng es el número de dientes del engrane. El número de inicios Nw se encuentra típicamente entre 1 y 10 en los engranajes sin fin comerciales; no obstante, se pueden usar más inicios en engranajes grandes. Otra ventaja de los engranajes sin fin, sobre otros tipos de engranajes, es su capacidad para autobloquearse. Si el engranaje es de autobloqueo, no tendrá movimiento de retroceso, es decir, el torque aplicado al engrane no hace girar al tornillo sin fin. Un engranaje de autobloqueo sólo puede moverse “hacia adelante”, desde el tornillo sin fin hacia el engrane. Por lo tanto, se podría usar para sostener una carga como, por ejemplo, un gato que levanta un automóvil. Si un engranaje sin fin específico es de autobloqueo o no, depende de varios factores, incluyendo la razón de la tangente λ con el coeficiente de fricción μ, el acabado superficial, la lubricación y la vibración. Generalmente, el autobloqueo se presenta en ángulos de avance que están por debajo de los 6° y quizás ocurran en ángulos de avance tan altos como los 10°.[8] (Véase la sección 11.2 [p. 727] para un análisis completo de la aplicación del autobloqueo a tornillos de potencia, cuyos principios son aplicables también a los engranajes sin fin.) Los ángulos de presión estándar para los engranajes sin fin son 14.5, 17.5, 20, 22.5, 25, 27.5 o 30°. Los mayores ángulos de presión dan resistencias más altas en los dientes, a expensas de una mayor fricción, cargas más altas en los cojinetes y mayores esfuerzos de flexión en el tornillo sin fin. En aplicaciones de alta potencia con alta velocidad, se debería utilizar un engrane con un paso relativamente fino. Los torques altos, a velocidades bajas, necesitan un paso grueso y diámetros más grandes en el tornillo sin fin. Los perfiles de dientes de los tornillos y engranes no son involutas; además, hay componentes de deslizamiento-velocidad grandes en el engranado. Los tornillos y engranes no son intercambiables, aunque se fabrican y se reemplazan como conjuntos aparejados. Para incrementar el área de contacto entre los dientes, se utilizan perfiles de dientes de envolvente simple o de envolvente doble. En un conjunto de envolvente simple (como el de la figura 9-9), los dientes del engrane envuelven parcialmente el tornillo sin fin. En un conjunto de envolvente doble el tornillo sin fin también envuelve al engranaje, haciendo que el tornillo sin fin tenga forma de reloj de arena en lugar de un cilindro. Esta configuración incrementa el costo y la complejidad de la manufactura, pero también la capacidad de carga. Ambos tipos están disponibles comercialmente. 9 632 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Materiales para engranajes sin fin Sólo unos cuantos materiales son adecuados para los engranajes sin fin. El tornillo sin fin se somete a esfuerzos muy altos y requiere de acero endurecido. Se utilizan los aceros al bajo carbono como los AISI 1020, 1117, 8620 o 4320, con recubrimiento endurecido a HRC 58-62. También se emplean aceros al medio carbono como los AISI 4140 o 4150, endurecidos por inducción o por llama para un recubrimiento de dureza HRC 58-62. Los aceros necesitan esmerilarse o pulirse con un acabado Ra de 16 μin (0.4 μm) o mejorado. El engrane requiere fabricarse con un material blando, así como lo suficientemente manipulable para funcionar y amoldarse al tornillo sin fin duro y en condiciones de alto deslizamiento. El bronce vaciado en arena, vaciado en frío, con vaciado centrífugo o forjado se emplean comúnmente en los engranes. El bronce al fósforo o al platino sirve en aplicaciones de alta potencia; el bronce al manganeso, en tornillos sin fin pequeños de baja velocidad. El hierro fundido, el acero suave y los plásticos se utilizan algunas veces en aplicaciones ligeramente cargadas de baja velocidad. Lubricación de engranajes sin fin 9 La condición de lubricación en un engranaje sin fin se encuentra en el intervalo de lubricación límite a parcial, o bien, EHD total, dependiendo de cargas, velocidades, temperaturas y viscosidad del lubricante, como se vio en el capítulo 8. En este caso, la situación de lubricación es más parecida a la de cojinetes deslizantes que a la de cojinetes de rodamiento, debido a las velocidades dominantes de deslizamiento. El alto porcentaje de deslizamiento provoca que los engranajes sin fin sean menos eficientes que los engranajes convencionales. En los engranajes sin fin algunas veces se utilizan lubricantes que contienen aditivos para presión extrema (EP). Fuerzas en los engranajes sin fin En el acoplamiento de un engranaje sin fin existe una condición de carga tridimensional. Sobre cada elemento actúan las componentes tangencial, radial y axial. Con el ángulo (típico) de 90° entre los ejes del tornillo sin fin y el engrane, la magnitud de la componente tangencial Wtg sobre el engrane es igual a la componente axial Waw sobre el tornillo sin fin y viceversa. Tales componentes se definen como Wtg  Waw  2Tg dg (9.14a) donde Tg y dg son el torque sobre el engrane y el diámetro de éste. La fuerza axial Wag sobre el engrane y la fuerza tangencial Wtw sobre el tornillo sin fin son Wag  Wtw  2Tw d (9.14b) donde Tw es el torque sobre el tornillo sin fin y d es el diámetro de paso de éste. La fuerza radial Wr que separa los dos elementos es Wr  Wtg tan F cos L (9.14c) donde φ es el ángulo de presión y λ es el ángulo de avance. Geometría de un engranaje sin fin Los diámetros de paso y los números de dientes de engranajes diferentes a los sin fin tienen una sola relación; sin embargo, esto no pasa en los engranajes sin fin. Una vez que se toma la decisión en cuanto al número de inicios o dientes Nw deseados en el tornillo Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 633 sin fin, el número de dientes Ng del engrane se define mediante la razón de engrane mG requerida: (9.15) N g  mG N w Sin embargo, el diámetro de paso del tornillo sin fin no está ligado con este número de dientes, como en otros engranajes. Teóricamente, el tornillo sin fin puede tener un diámetro tan grande como su sección transversal del diente (paso axial), que se acople al paso circular del engrane. (Esto es similar a los tornillos de una máquina con diámetros diferentes que tienen el mismo paso de cuerda, como los tamaños #6-32, 8-32 y 10-32.) Por consiguiente, el diámetro de paso d del tornillo sin fin se puede seleccionar con independencia del diámetro dg del engrane; para cualquier dg dado, un cambio en d variará justo la distancia C entre centros entre el tornillo sin fin y el engrane, aunque no afectará la razón de engrane. La AGMA recomienda valores mínimos y máximos para los diámetros de paso del tornillo sin fin como C 0.875 C 0.875 ada 3 1.6 (9.16a) y Dudley[9] recomienda el uso de d C 0.875 2.2 (9.16b) que se encuentra aproximadamente en el centro entre los límites de la AGMA. El diámetro de paso del engrane dg se relaciona con el del tornillo sin fin mediante la distancia entre centros C. dg  2C d 9 (9.17) El adéndum a y el dedéndum b de los dientes se obtiene a partir de a  0.3183 px b  0.3683 p x (9.18) El ancho de cara del engrane está limitado por el diámetro del tornillo sin fin. La AGMA recomienda un valor máximo para el ancho de cara F como Fmáx b 0.67d (9.19) La tabla 9-17 presenta los números mínimos recomendados por la AGMA de los dientes del engrane en función del ángulo de presión. Métodos de medición A diferencia de los engranajes helicoidales y cónicos, en los cuales los cálculos para los esfuerzos de flexión y superficial en los dientes del engrane se hacen de forma separada y se comparan luego con las propiedades del material, los engranes se evalúan por su capacidad para manejar un nivel de potencia de entrada. La clasificación de la AGMA de potencia se realiza con base en su resistencia al picado y al desgaste, porque la experiencia ha demostrado que son los modos de falla usual. Debido a las altas velocidades de deslizamiento en los engranajes sin fin, la temperatura de la película de aceite que separa los dientes del engrane se vuelve un factor importante, lo cual se toma en cuenta en el estándar de la AGMA.[6,7] Dichos estándares se basan en un ciclo operativo de 10 horas continuas diarias de servicio con carga uniforme; se definen como un factor de servicio igual a 1. Se supone que los materiales del tornillo sin fin y del engrane son como los ya definidos. Tabla 9-7 Números mínimos de dientes sugeridos por la AGMA para engranes Fuente: Referencia 6 F Nmín 14.5 40 17.5 27 20 21 22.5 17 25 14 27.5 12 30 10 634 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado La evaluación de un engranaje sin fin se puede expresar como la potencia de entrada permisible Φ, la potencia de salida Φo o el torque permisible T a una velocidad determinada en el eje de entrada o de salida, lo cual se relaciona por la expresión general de potencia-torque-velocidad (ec. 6.1a, p. 415). La AGMA define la fórmula de evaluación de entrada de potencia como &  &o (9.20) &l donde Φl es la pérdida de potencia por fricción en el engranado. La potencia de salida Φo se define como &o  &o  nWtg dg hp (9.21us) kW (9.21si) 126 000 mG nWtg dg 1.91E 7 mG y la pérdida de potencia Φl se define como &l  &l  Vt W f 33 000 Vt W f 1 000 hp (9.22us) kW (9.22si) Éstas son ecuaciones con unidades mixtas. La velocidad de giro n está en rpm. La velocidad tangencial de deslizamiento Vt está en fpm (m/s) y se toma en el diámetro d, del tornillo sin fin, que se da en pulgadas (mm). Las cargas Wtg y Wf están en lb (N). La potencia está en hp (kW). 9 La carga tangencial Wtg sobre el engrane en lb (N) se determina con Wtg  Cs Cm Cv dg0.8 F (9.23us) Wtg  Cs Cm Cv dg0.8 F 75.948 (9.23si) donde Cs es el factor de materiales para bronce fundido en frío,* definido por la AGMA como si C < 8 in Cs  1 000 si C r 8 in Cs  1 411.651 8 455.825 9 log10 dg (9.24) y Cm es el factor de corrección de razón definido por la AGMA como 3 < mG b 20 Cm  0.0200 2 mG 40 mG 76 si 2 0 < mG b 76 Cm  0.0107 2 mG 56 mG 5 145 si 7 6 < mG Cm  1.1483 0.006 58 mG si 0.46 (9.25) Cv es el factor de velocidad definido por la AGMA como * Observe que la AGMA también define factores de materiales para otros bronces. Para mayor información, consulte el estándar [6,7]. si 0 < Vt b 700 fpm si 700 < Vt b 3 000 fpm si 3 000 < Vt fpm Cv  0.659e 0.0011Vt Cv  13.31Vt 0.571 Cv  65.52 Vt 0.774 (9.26) Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 635 La velocidad tangencial en el diámetro de paso del tornillo sin fin es Vt  Pnd fpm 12 cos L (9.27) La fuerza de fricción Wf sobre el engrane es Wf  MWtg (9.28) cos L cos F n El coeficiente de fricción en un engrane acoplado no es constante. Es una función de la velocidad. La AGMA sugiere las siguientes relaciones: si si si Vt  0 fpm 0 < Vt b 10 fpm 10 < Vt fpm M  0.15  0.074Vt 0.645  0.450 M  0.124 e M  0.103e 0.110Vt (9.29) 0.012 La eficiencia del engranaje solo (exclusiva de los cojinetes, aceitera, etcétera) es H &o & (9.30) El torque de salida evaluado se calcula a partir de las ecuaciones 9.14 (p. 632) y 9.23: Tg  Wtg dg 2 (9.31) Procedimiento de diseño de engranajes sin fin Una especificación de diseño común para un engranaje sin fin define la velocidad de entrada (o salida) deseada y la razón de engrane. Generalmente, también se conoce información acerca de la carga de salida, en términos de fuerza o torque, o bien, de la potencia de salida requerida. Es posible que también se especifique el tamaño del paquete. Un procedimiento (de entre muchos posibles) consiste en suponer un número de inicios para el tornillo sin fin, así como en calcular los datos cinemáticos del tornillo y del engrane. Luego se supone una distancia C entre centros de prueba y se intenta obtener con ella un diámetro de paso d candidato para el tornillo sin fin, con la ecuación 9.16 (p. 633). Se obtiene un ancho de cara F adecuado para el engrane que cumpla con la ecuación 9.19 (p. 633). El diámetro de paso del engrane se determina, entonces, con la ecuación 9.17 (p. 633), que se utiliza en las ecuaciones 9.23 y 9.28 para calcular las fuerzas tangenciales del engranado. A partir de estos datos, se determinan los niveles de potencia y torque permisibles para el engranaje del tamaño asumido, con las ecuaciones 9-20 a 9-22 (p. 634) y 9.31. Si estos valores de potencia y torque son lo suficientemente grandes para satisfacer los requerimientos de diseño, con márgenes de seguridad apropiados, el diseño está listo. Si no (lo cual es probable), debe revisarse el supuesto original en relación con el número de inicios, el diámetro del tornillo sin fin, la distancia entre centros, etcétera, y repetir el cálculo hasta que se logre una combinación aceptable. La distancia entre centros se podría ajustar más, para obtener un paso diametral o un módulo que se ajuste a las fresas disponibles. Un resolvedor de ecuaciones facilitaría esta tarea iterando rápidamente las ecuaciones. 9 636 DISEÑO DE MÁQUINAS 9.4 - Un Enfoque Integrado ESTUDIO DE CASO En el estudio de caso 9A, se definió un problema de diseño que incluía un malacate para levantar pacas de forraje en un granero. El dispositivo propuesto es impulsado por un motor eléctrico conectado al malacate con un engranaje reductor de 75:1, que necesita autobloquearse para sostener la carga. Una solución razonable sería un tornillo sin fin en esta aplicación. Ahora se considerará el diseño del tren de engranes. E S T U D I O D E C A S O 9 B Diseño de un engranaje sin fin de reducción de velocidad para la grúa de un malacate 9 Problema Dimensione el tornillo sin fin y el engrane de la grúa del malacate definido en el estudio de caso 9A (apéndice D), que se muestra en la figura D-4 (repetida aquí). Se proporciona En el estudio anterior se calculó que la función fuerza-tiempo es como la que se indica en la figura D-6b (repetida aquí). Para un radio supuesto del tambor del malacate de 10 in, el torque pico será de aproximadamente 7 800 lb-in. Se calculó que la potencia de salida promedio requerida es de 0.6 hp, aproximadamente. Se requiere una reducción de 75:1. La velocidad de entrada al tornillo sin fin es de 1 725 rpm. La velocidad de salida es de 23 rpm. Suposiciones Se probará un tornillo de inicio simple con un ángulo de presión de 20o. El tornillo es de acero con recubrimiento endurecido superficialmente a 58 HRC y el engrane es de bronce al fósforo fundido en frío. Se necesita un engranaje sin fin con autobloqueo. Solución Véase las figuras D-4 y D-6. 1. Un tornillo sin fin de inicio simple necesita un engrane de 75 dientes para la razón de 75:1 deseada. Este número de dientes del engrane está muy por arriba del mínimo recomendado en la tabla 9-7 (p. 633). base acoplamiento base tornillo sin fin cojinetes eje cojinetes eje motor engrane helicoidal acoplamiento cuerda tambor del malacate gancho F I G U R A D - 4 Repetida Motor impulsor del malacate con conjunto de engranes, ejes, cojinetes y acoplamientos tambor del malacate Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 1 500 800 1 000 .. y in seg2 637 600 F 500 lb 0 400 200 –500 0 0 0.2 0.4 0.6 1.0 t (seg) 0.8 0 (a) Aceleración de la carga 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t (seg) (b) Fuerza dinámica en el cable F I G U R A D - 6 Repetida Aceleración y fuerza del cable en el levantamiento de la carga 2. Se supone una distancia entre centros de 5.5 in para un intento de cálculo y obtener un diámetro adecuado del tornillo sin fin, con base en esa suposición, a partir de la ecuación 9.16b (p. 633). d C 0.875 2.2 5.50.875  2.02 in 2.2 ( a) 3. Se calcula el diámetro adecuado del engrane con la ecuación 9.17 (p. 633). d g  2C d  25.5 2.02  8.98 in (b) 4. Se determina el avance con la ecuación 9.13 (p. 631). L  Pd g 9 Nw 1  P8.98  0.376 in Ng 75 (c ) 5. Se obtiene el ángulo de avance con la ecuación 9.12 (p. 631). L  tan 1 L  tan Pd 1 0.376  3.39n P2.02 (d ) Éste es menor de 6°, de modo que el engranaje sin fin es de autobloqueo, como se requirió. 6. Se determina el ancho de cara máximo recomendado con la ecuación 9.19 (p. 633). Fmáx 0.67d  0.672.02  1.354 in (e ) 7. Se calcula el factor de materiales Cs con la ecuación 9.24 (p. 634). Como C  8 in, Cs  1 000. 8. Se obtiene el factor de corrección de razón Cm con las ecuaciones 9.25 (p. 634). Con base en mG  75, se usará la segunda de las expresiones de esa ecuación. Cm  0.0107 2 mG 56 mG 5 145  0.0107 752 5675 5 145  0.653 (f) 9. Se determina la velocidad tangencial Vt con la ecuación 9.27 (p. 635). Vt  P1 725 2.02 Pnd  = 913.9 fpm 12 cos L 12 cos3.392n ( g) 10. Se emplea esta velocidad para obtener el factor de velocidad Cv con las ecuaciones 9.26 (p. 634). Para este valor de Vt , la segunda de estas ecuaciones resulta apropiada. 638 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Cv  13.31913.9 0.571 = 0.271 (h) 11. Se obtiene la carga tangencial Wt con la ecuación 9.23 (p. 634). Wtg  Cs Cm Cv d g0.8 F  1 0000.653 0.271 8.98 0.8 1.354 = 1 388 lb (i ) 12. Se determina el coeficiente de fricción con la tercera expresión de la ecuación 9.29 (p. 635). M  0.103e  0.012  0.103e  0.110Vt 0.450 0.110; 913.9=0.450 0.012 = 0.022 ( j) 13. Se calcula la fuerza de fricción Wf con la ecuación 9.28 (p. 635). Wf  MWtg cos L cos F  0.0221 388 = 32 lb cos 3.392n cos 20n (k ) 14. Se obtiene la potencia de salida evaluada con la ecuación 9.21 (p. 634). &o  nWtg dg 126 000 mG  1 7251 388 8.98 = 2.274 hp 126 000 75 (l ) 15. Se determina la pérdida de potencia en el engranado con la ecuación 9.22 (p. 634). Vt W f &l  33 000  913.932 = 0.888 hp 33 000 ( m) 16. Se calcula la potencia de entrada clasificada con la ecuación 9.20 (p. 634). 9 &  &o & l  2.274 0.888 = 3.162 hp (n) 17. La eficiencia del engranaje es H & o 2.274  = 71.9% 3.162 & ( o) 18. Se obtiene el torque de salida clasificado con la ecuación 9.31 (p. 635). Tg  Wtg dg 2  1 388 8.98 = 6 230 lb - in 2 ( p) 19. Mientras que la potencia clasificada parecería adecuada para esta aplicación, el torque de salida clasificado queda corto en relación con el torque pico proyectado de 7 800 lb-in modelado en el estudio de caso 9A; se necesita un poco de rediseño. 20. La distancia entre centros supuesta originalmente se incrementa a 6.531 in y se recalcula el modelo. La distancia entre centros se ajustó también ligeramente para dar como resultado un paso diametral entero de 7 in1. Esto aumentó el diámetro del engrane a 10.714 in y el torque de salida clasificado a 9 131 lb-in. La nueva potencia clasificada de entrada es de 4.52 hp y la pérdida de potencia es de 1.18 hp, para una eficiencia de 73.8%. La potencia de salida clasificada es de 3.33 hp. El nuevo ángulo de avance es de 3.48°, de modo que el engranaje sin fin todavía se autobloquea. 21. Mientras que este nuevo diseño parece factible, con base en los cálculos de carga realizados en el estudio de caso anterior, uno de los supuestos originales, en relación con el tamaño del motor eléctrico, necesita revisarse. El cálculo de la potencia promedio neta requerida fue de 0.62 hp. Se esperaba que un motor de 1 a 1.25 hp fuera adecuado, lo cual permitiría operar a 110-V, lo cual ahora parece imposible debido a la pérdida de 1.18 hp en el engranaje sin fin, que dejaría muy poca potencia disponible para levantar la carga aun si se empleara un motor de 1.25 hp. Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 639 El efecto del volante del tambor giratorio puede suministrar ráfagas de energía para superar los picos de la oscilación de la carga mostrada en la figura D-6, aunque no proporciona un incremento sostenido de potencia por encima del promedio disponible. De modo que un motor de 220-V de alrededor de 2 o 2.25 hp parece ser necesario en este diseño. La potencia de entrada clasificada del engranaje se debería acomodar fácilmente a ese nivel de potencia, sin problemas de sobrecalentamiento. 22. Los archivos CASE9B-1 y CASE9B-2 contienen, respectivamente, la primera solución (que no tuvo éxito) y la segunda (con éxito) para este problema, los que se encuentran en el CD-ROM. 9.5 RESUMEN Existen varias formas de engranes especializadas. Este capítulo presentó una introducción breve al diseño y la aplicación de tres tipos: engranajes helicoidales, cónicos y sin fin. ENGRANES HELICOIDALES Éstos se integran con cilindros de rodamiento y realizan básicamente la misma función de los engranes rectos, conectando ejes paralelos para la reducción/el incremento de velocidad y la multiplicación/división del torque. Los dientes de los engranes helicoidales están inclinados, en relación con los ejes en un ángulo de hélice, el cual puede ser de unos cuantos grados o tantos como 45°. Su hélice estará orientada hacia la derecha o hacia la izquierda. Los engranes helicoidales de orientaciones opuestas con el mismo ángulo de hélice se acoplan manteniendo sus ejes paralelos. Los engranes helicoidales con la misma orientación se acoplan manteniendo sus ejes (sin intersecarse) oblicuos o cruzados; además, tienen un punto de contacto teórico entre los dientes. Esto limita su capacidad de transmisión de carga, comparado con los helicoidales con ejes paralelos, los cuales se ajustan con un movimiento de giro-deslizamiento similar al de los engranes rectos, pero comprometen su diente en una acción de barrido suave a través del ancho de la cara. La ventaja principal de los engranajes helicoidales sobre los rectos es su funcionamiento silencioso y su mayor resistencia para un engrane del mismo tamaño. La desventaja es un costo mayor que el de los engranes rectos y la introducción de una componente de fuerza axial que requiere cojinetes de empuje sobre el eje. Los engranes helicoidales de ejes paralelos se utilizan extensamente en las transmisiones de vehículos, tanto de transmisión manual como automática, debido sobre todo a su funcionamiento silencioso. El diseño de engranes helicoidales es muy similar al de los engranes rectos. Se aplican las mismas ecuaciones de esfuerzo de flexión y superficial, pero con valores diferentes en los factores geométricos I y J. También se introducen algunos factores adicionales en las ecuaciones. Tales factores se obtienen de los estándares de la AGMA, los cuales contienen tablas con datos para engranes helicoidales de varios ángulos de presión, ángulos de hélice y razones de adéndum. Aquí se reproducen unas cuantas de estas tablas. Para una información más completa, consulte los estándares de la AGMA. Los materiales que se manejan son los mismos que los de engranes rectos. Un engrane helicoidal tiene menores esfuerzos y mayores factores de seguridad que un engrane recto de los mismos paso y diámetro, debido a que su diente inclinado es más grueso en la dirección de la carga aplicada. ENGRANES CÓNICOS Se forman con conos de rodamiento; por consiguiente, se conectan intersecando sus ejes. Se usan básicamente para llevar movimiento y torque “alrededor de una esquina”. Sus dientes se estrechan con el cambio del diámetro del cono, que están definidos por el diámetro y el tamaño de sus dientes en el borde mayor. Sus dientes pueden ser rectos y paralelos al eje (similar a los engranes rectos), en cuyo caso reciben el nombre de engranes cónicos rectos o los dientes pueden estar inclinados con respecto al eje en un ángulo espiral (similar al ángulo de hélice de los engranes helicoidales), en cuyo caso se conocen como engranes cónicos espirales o sólo como engranes espirales. Los engranes cónicos espirales tienen ventajas sobre los engranes cónicos rectos similares a las de los engranes helicoidales sobre los engranes rectos. 9 640 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado Debido a que sus dientes inclinados se contactan gradualmente, los espirales funcionan más suave y silenciosamente que los engranes cónicos rectos y tienen menos vibración. Como el diente en espiral es más grueso en la dirección de la carga, es más fuerte que un engrane cónico recto de los mismos diámetro y paso. Un engrane tipo espiral con dientes curvos, pero ángulo espiral igual a cero, llamado engrane Zerol ®, también está hecho para obtener la suavidad de funcionamiento de una espiral, sin la carga adicional en el diente introducida por el ángulo espiral. Los engranes cónicos rara vez se fabrican con adenda iguales en el piñón y en el engrane. Se usa un piñón con adéndum largo con un porcentaje de incremento, que varía desde cero a una razón de 1:1 hasta 50% en razones de engrane superiores. Lo anterior hace más fuertes los dientes del piñón y más débiles los dientes del engrane para equilibrar el diseño, como se vio en el capítulo 8 con los engranes rectos. El diseño de engranes cónicos es muy similar al diseño de engranes rectos o helicoidales. Se aplican las mismas ecuaciones del esfuerzo de flexión y superficial; sin embargo, se utilizan diferentes valores para los factores geométricos I y J. También se introducen algunos factores adicionales a las ecuaciones. Tales factores se obtienen de los estándares de la AGMA, los cuales contienen diagramas que grafican I y J para engranes cónicos y espirales de varios ángulos de presión, ángulos espirales y razones de adéndum. Aquí se reproducen algunas de esas gráficas. Para una información completa, consulte los estándares de la AGMA. Los materiales que se emplean en los engranes cónicos son los mismos que en los engranes rectos o helicoidales. 9 TORNILLOS SIN FIN Y ENGRANES Éstos conectan ejes que no se intersecan y no son paralelos. El tornillo sin fin es similar a la cuerda de un tornillo que tiene uno o unos cuantos dientes alrededor de él, en lo que es, de hecho, un ángulo de hélice muy grande. El tornillo sin fin, que se ajusta con un engrane especial llamado engrane o corona sin fin, es similar a una tuerca que se atornilla a la cuerda del tornillo sin fin. Sus ejes forman entre sí generalmente un ángulo de 90°. El engranaje puede dar razones de engrane muy grandes (hasta de 360:1, aproximadamente) en un embalaje compacto, debido al pequeño número de dientes en el tornillo sin fin. Si el ángulo de avance del tornillo es lo suficientemente pequeño ( 6° aprox.), el engranaje se puede autobloquear, lo cual significa que no hay retroceso en el engrane, es decir, sostendrá la carga. Su desventaja principal es su relativamente baja eficiencia, comparada con la de otros engranajes. El movimiento relativo entre los dientes es de deslizamiento, en vez de rodamiento, lo cual genera bastante calor. La transferencia de calor desde la caja de engranes, más que los esfuerzos en los dientes, limita la vida del engranaje sin fin. La temperatura del aceite en el engranado se debería mantener abajo de los 200 °F, aproximadamente, para obtener una vida larga del diente. El diseño de un engranaje sin fin difiere del de otros engranajes. La AGMA define una ecuación para la potencia de entrada clasificada para engranajes sin fin. Esta ecuación, combinada con varios factores empíricos definidos por la AGMA, permite que el engranaje sin fin se dimensione para una combinación determinada de potencia-velocidad o torque-velocidad. Para una información más completa, consulte los estándares de la AGMA. Los materiales que se usan para los engranajes sin fin son bastante limitados. El tornillo sin fin suele ser de acero, con un recubrimiento endurecido a 58 HRC, mientras el engrane es una aleación de bronce. El engrane blando que opera contra el tornillo sin fin duro se amolda a sus contornos en unas cuantas horas de operación. Si opera adecuadamente, sin sobrecarga ni sobrecalentamiento, se esperaría que un engranaje sin fin (clasificado), del tamaño adecuado, alcance un ciclo de vida muy largo, antes de sucumbir por picado debido a la fatiga superficial. Las fallas por flexión de los dientes en los engranajes sin fin son muy raras. La capacidad de carga de un engranaje sin fin se incrementaría diseñándolo con una configuración envolvente simple o doble. En un conjunto de envolvente simple los dientes del engrane envuelven periféricamente el tornillo sin fin. Un conjunto de envolvente doble también hace lo del anterior, pero en este caso los dientes del tornillo envuelven periféricamente el engrane en forma de reloj de arena para obtener un área de contacto mayor. Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN 641 Ecuaciones importantes utilizadas en este capítulo Geometría de un engrane helicoidal (sección 9.1): pt  pn cos Y (9.1a) px  pn sen Y (9.1b) pd  N P P   d pc pt (9.1c) Fuerzas en un engrane helicoidal (sección 9.1): Wr  Wt tan F (9.3a) Wa  Wt tan Y (9.3b) W Wt cos Y cos F n (9.3c) Esfuerzos en engranes helicoidales (sección 9.1): Sb  Wt pd K a K m Ks K B K I FJ Kv (8.15us) Sb  Wt K a K m Ks K B K I FmJ Kv (8.15si) Sc  Cp 9 Wt Ca Cm Cs C f F I d Cv (8.21) Factor geométrico de superficie para engranes helicoidales (sección 9.1): I cos F ¤ 1 1³ ¥ R o R ´ d p mN ¦ p gµ (9.6a) Razón de engrane para un conjunto de engranes cónicos (sección 9.2): mG  Wp Wg  Ng Np  dg dp  tan A g  cot A p (9.7b) Fuerzas sobre engranes cónicos rectos (sección 9.2): Wa  Wt tan F sen A Wr  Wt tan F cos A (9.8a) W  Wt cos F Esfuerzos en engranes cónicos (sección 9.2): Sb  Sb  2Tp pd K a K m K s d FJ Kv K x 2 000 Tp d 1 Ka Km Ks FmJ Kv K x psi (9.9us) MPa (9.9si) 642 DISEÑO DE MÁQUINAS - Un Enfoque Integrado z S c  C p Cb 2TD ¤ Tp ³ Ca Cm Cs C f Cxc ¥ ´ Cv F I d 2 ¦ TD µ (9.10) Torque de diseño para engranes cónicos (sección 9.2): ¤ S `fc d 0.774CH ³ ICv F TD  2 Cs Cmd C f Ca Cxc ¥¦ C p Cb CT CR ´µ 2 ¤ S `fc d 0.774CH ³ ICv F TD  2000 Cs Cmd C f Ca Cxc ¥¦ C p Cb CT CR ´µ lb in (9.11us) N•m (9.11si) 2 Avance y ángulo de avance de un tornillo sin fin (sección 9.3): tan L  L Pd (9.12) Fuerzas en engranajes sin fin (sección 9.3): Wtg  Waw  Wag  Wtw  9 Wr  2Tg (9.14a) dg 2Tw d (9.14b) Wtg tan F (9.14c) cos L Diámetro de paso recomendado en el tornillo sin fin (sección 9.3): C 0.875 2.2 d (9.16b) Diámetro de paso del tornillo sin fin recomendado (sección 9.3): (9.17) dg  2C d Ancho de cara máximo recomendado para el engrane (sección 9.3): Fmáx b 0.67d (9.19) Potencia clasificada de un engranaje sin fin (sección 9.3): &o  &o  nWtg dg hp (9.21us) kW (9.21si) 126 000 mG nWtg dg 1.91E 7 mG &l  &l  Vt W f 33 000 Vt W f 1 000 hp (9.22us) kW (9.22si) Capítulo 9 ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN &  &o 643 (9.20) &l Fuerza tangencial sobre un engrane (sección 9.3): Wtg  Cs Cm Cv dg0.8 F (9.23us) Wtg  Cs Cm Cv dg0.8 F 75.948 (9.23si) Fuerza de fricción sobre un engrane (sección 9.3): Wf  MWtg cos L cos F n (9.28) Torque de salida clasificado de un engrane (sección 9.3): Tg  Wtg dg 2 (9.31) Eficiencia de un engranaje sin fin (sección 9.3): H 9.6 &o & (9.30) REFERENCIAS 1. AGMA, Gear Nomenclature, Definitions of Terms with Symbols, ANSI/AGMA 1012F90. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314, 1990. 2. AGMA, Fundamental Rating Factors and Calculations Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth, ANSI/AGMA Standard 2001-B88. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314, 1990. 3. AGMA, Geometry Factors for Determining the Pitting Resistance and Bending Strength of Spur, Helical and Herringbone Gear Teeth, ANSI/AGMA Standard 908-B89. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314, 1990. 4. AGMA, Design Manual for Bevel Gears. ANSI/AGMA Standard 2005-B88. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314, 1990. 5. AGMA, Rating the Pitting Resistance and Bending Strength of Generated Straight Bevel. Zerol® Bevel, and Spiral Bevel Gear Teeth. ANSI/AGMA Standard 2003-A86. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314, 1990. 6. AGMA, Design Manual for Cylindrical Wormgearing, ANSI/AGMA Standard 6022C93. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314, 1990. 7. AGMA, Practice for Enclosed Cylindrical Wormgear Speed Reducers and Gearmotors. ANSI/AGMA Standard 6034-B92. Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes, 1500 King St., Suite 201, Alexandria, Va. 22314, 1990. 8. D.W. Dudley, Handbook of Practical Gear Design. McGraw-Hill: Nueva York, p. 3.66, 1984. 9. Ibid., p. 3.67. 9 644 Tabla P9-0 † Matriz tema/problema 9.1 Engranes helicoidales Geometría 9-1, 9-2, 9-3, 9-4, 9-29, 9-30, 9-31, 9-32 Cargas DISEÑO DE MÁQUINAS 9.7 *9-1. 9-2. *9-5. Se necesita un engranaje cónico recto a 90° para suministrar una reducción de 9:1. Determine los ángulos de los conos de paso, los diámetros de paso y las fuerzas en el engrane si el piñón tiene 14 dientes, un ángulo de presión de 25° y pd  6, y la potencia transmitida al piñón es de 746 W a 1 000 rpm. 9-6. Se necesita un engranaje cónico recto a 90° para suministrar una reducción de 4.5:1. Determine los ángulos de los conos de paso, los diámetros de paso y las fuerzas en el engrane si el piñón tiene 18 dientes, un ángulo de presión de 20° y pd  5, y la potencia transmitida al piñón es de 7 460 W a 800 rpm. *9-7. Se necesita un engranaje cónico espiral a 90° para suministrar una reducción de 5:1. Determine los ángulos de paso de los conos, los diámetros de paso y las fuerzas en el engrane si el piñón tiene 16 dientes, un ángulo de presión de 20° y pd  7 y la potencia transmitida al piñón es de 3 hp a 600 rpm. †9.8. Una máquina papelera procesa rollos de papel cuya densidad es de 984 kg/cm3. El rollo de papel mide 1.50 m de diámetro exterior (OD)  0.22 m de diámetro interior (ID)  3.23 m de largo y está simplemente apoyado por un eje de acero hueco, con Sut  400 Mpa. Diseñe un engranaje helicoidal con una reducción de 25:1, con la finalidad de impulsar este eje y obtener así un factor de seguridad dinámico mínimo de 2 para una vida de 10 años si el diámetro exterior del eje es de 0.22 m y el rollo gira a 50 rpm absorbiendo 1.2 hp. *9.9. Un engranaje sin fin de dos inicios tiene d  50 mm, px  10 mm, mG  22:1. Obtenga el avance, el ángulo de avance, el diámetro del engrane y la distancia entre centros. ¿Se autobloqueará? La velocidad de entrada es de 2 200 rpm. 9-10. Un engranaje sin fin de tres inicios tiene d  1.75 in, px  0.2 in, mG  17:1. Obtenga el avance, el ángulo de avance, el diámetro del engrane y la distancia entre centros. ¿Se autobloqueará? La velocidad de entrada es de 1 400 rpm. 9-20, 9-21, 9-22, 9-23, 9-24, 9-25, 9-49, 9-50, 9-51 9.3 Engranajes sin fin 9-9, 9-10, 9-11, 9-42, 9-43, 9-44, 9-47, 9-48 9 Cargas 9-12, 9-13, 9-26, 9-27, 9-28, 9-45, 9-46 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. † Los problemas con números en itálicas son problemas de diseño. Los problemas con números en negritas son extensiones problemas similares de capítulos anteriores con el mismo número identificador. Un engrane helicoidal de 43 dientes, con un ángulo de presión de 25° y un ángulo de hélice de 20°, tiene un paso diametral pd  8. Determine el diámetro de paso, adéndum, dedéndum y diámetro exterior, así como los pasos normal, transversal y axial. Un engrane helicoidal de 78 dientes y ángulo de hélice igual a 30° está acoplado con un piñón de 27 dientes. El pd  6 y φ  20°. Obtenga las razones de contacto transversal y axial. 9-5, 9-6, 9-7, 9-39, 9-40, 9-41 Geometría Un engrane helicoidal de 27 dientes, con un ángulo de presión de 20° y un ángulo de hélice de 30°, tiene un paso diametral pd  5. Obtenga el diámetro de paso, adéndum, dedéndum y diámetro exterior, así como los pasos normal, transversal y axial. 9-4. Geometría y cargas Diseño PROBLEMAS Un engrane helicoidal de 57 dientes y ángulo de hélice igual a 10° está acoplado con un piñón de 23 dientes. El pd  6 y φ  25°. Calcule las razones de contacto transversal y axial. 9-8, 9-16, 9-17, 9-18, 9-19, 9-35, 9-36 9.2 Engranes cónicos Un Enfoque Integrado *9-3. 9-14, 9-15, 9-33, 9-34 Diseño - *9-11. Un engranaje sin fin de un inicio tiene d  40 mm, px  5 mm, mG  82:1. Obtenga el avance, el ángulo de avance, el diámetro del engrane y la distancia entre centros. ¿Se autobloqueará? La velocidad de entrada es de 4 500 rpm. *9-12. Determine la potencia transmitida, así como los torques y las fuerzas en el acoplado del engranaje, del problema 9-9, si el tornillo sin fin funciona a 1 000 rpm. 9-13. Determine la potencia transmitida, así como los torques y las fuerzas en el acoplado del engranaje, del problema 9-10, si el tornillo sin fin funciona a 500 rpm. *9-14. Si el engranaje del problema 9-3 transmite 125 hp a 1 000 rpm del piñón, obtenga el torque sobre cada eje. 9-15. Si el engranaje del problema 9-4 transmite 33 kW a 1 600 rpm del piñón, obtenga el torque sobre cada eje. *9-16. Dimensione los engranes helicoidales del problema 9-14 para un factor de seguridad contra la flexión de, por lo menos, 2, suponiendo un torque constante, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, un factor de ancho de cara de 10, Qv  9, un piñón de acero AISI 4140 y un engrane de hierro fundido clase 40. Capítulo 9 9-17. *9-18. ENGRANES HELICOIDALES, CÓNICOS Y DE TORNILLO SIN FIN Dimensione los engranes helicoidales del problema 9-15 para un factor de seguridad contra la flexión de 2.5, suponiendo un torque constante, un ángulo de presión de 20°, dientes de profundidad completa, un factor de ancho de cara de 12, Qv  11, un piñón de acero AISI 4340 y un engrane de hierro nodular A-7-d. Dimensione los engranes helicoidales del problema 9-14 para un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 1.6, suponiendo un torque constante, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, un factor de ancho de cara de 10, Qv  9, un piñón de acero AISI 4140 y un engrane de hierro fundido clase 40. 9-19. Dimensione los engranes helicoidales del problema 9-15 para un factor de seguridad contra la flexión de 1.2, suponiendo un torque constante, un ángulo de presión de 20°, dientes de profundidad total, un factor de ancho de cara de 12, Qv  11, un piñón de acero AISI 4340 y un engrane de hierro nodular A-7-d. *9-20. Dimensione los engranes cónicos del problema 9-5 para un factor de seguridad contra la flexión de 2, suponiendo cinco años de vida con un turno de operación, torque constante, Qv  9 y un piñón de acero AISI 4140 igual que el engrane. 9-21. Dimensione los engranes cónicos del problema 9-6 para un factor de seguridad contra la flexión de 2.5, suponiendo 15 años de vida con tres turnos de operación, torque constante, Qv  11 y un piñón de acero AISI 4340 igual que el engrane. 9-22. Dimensione los engranes cónicos del problema 9-7 para un factor de seguridad contra la flexión de 2.2, suponiendo 10 años de vida con tres turnos de operación, torque constante, Qv  8 y un piñón de acero AISI 4340 igual que el engrane. *9-23. Dimensione los engranes cónicos del problema 9-5 para un factor de seguridad mínimo de 1.4, contra cualquier modo de falla del piñón o del engrane, suponiendo cinco años de vida con un turno de operación, torque constante, Qv  9 y un piñón de acero AISI 4140 igual material para el engrane. 9-24. Dimensione los engranes cónicos del problema 9-6 para un factor de seguridad superficial de 1.3, suponiendo 15 años de vida con tres turnos de operación, torque constante, Qv  11 y un piñón de acero AISI 4340 igual material para el engrane. 9-25. Dimensione los engranes cónicos del problema 9-7 para un factor de seguridad superficial de 1.4, suponiendo 10 años de vida con tres turnos de operación, torque constante, Qv  8 y un piñón de acero AISI 4340 igual material para el engrane. 9-26. Calcule la potencia clasificada y el torque clasificado de salida del engranaje sin fin del problema 9-9, con una velocidad de entrada de 2 200 rpm. *9-27. Determine la potencia clasificada y el torque clasificado de salida del engranaje sin fin del problema 9-10, con una velocidad de entrada de 1 400 rpm. 9-28. Obtenga la potencia clasificada y el torque clasificado de salida del engranaje sin fin del problema 9-11, con una velocidad de entrada de 4 500 rpm. 9-29. Un engrane helicoidal de 23 dientes se corta con un fresa a un ángulo de presión de 20° y a un ángulo de hélice de 25°. La fresa tiene un paso diametral estándar de 5. Los dientes resultantes tienen dimensiones estándares de engranes rectos en el plano normal. Obtenga el diámetro de paso, adéndum, dedéndum y diámetro exterior, así como los pasos normal, transversal y axial, además del ángulo de presión transversal. 9-30. Un engrane helicoidal de 38 dientes se corta con una fresa a un ángulo de presión de 25° y a un ángulo de hélice de 30°. La fresa tiene un paso diametral estándar de 4. Los dientes resultantes tienen dimensiones estándares de dientes rectos en el plano normal. Determine el diámetro de paso, adéndum, dedéndum y diámetro exterior, así como los pasos normal, transversal y axial, además del ángulo de presión transversal. 9-31. Un engrane helicoidal de 39 dientes y un ángulo de hélice de 20° está engranado con un piñón de 18 dientes. El Pd  8 y φ  25°. Calcule las razones de contacto axial y transversal. 9-32. Un engrane helicoidal de 79 dientes y un ángulo de hélice de 30° está acoplado con un piñón de 20 dientes. El Pd  6 y φ  20°. Obtenga las razones de contacto axial y transversal. 9-33. Si el engranaje del problema 9-31 transmite 135 hp a 1 200 rpm en el piñón, calcule el torque sobre cada eje. 9-34. 645 Si el engranaje del problema 9-32 transmite 30 kW a 1 200 rpm en el piñón, determine el torque sobre cada eje. 9 * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. 646 DISEÑO DE MÁQUINAS 9-35. 9-36. 9-37. 9-38. 9-39. 9-40. 9-41. 9 9-42. 9-43. 9-44. 9-45. 9-46. 9-47. 9-48. *9-49. 9-50. * Las respuestas a estos problemas se encuentran en el apéndice H. Los números de problemas en itálicas son problemas de diseño. 9-51. - Un Enfoque Integrado Dimensione los engranes helicoidales del problema 9-33 para un factor de seguridad contra la flexión de, por lo menos, 2, suponiendo un torque constante, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad total, índice de calidad de 9, un piñón de acero AISI 4140 y un engrane de hierro fundido clase 40. Dimensione los engranes helicoidales del problema 9-34 para un factor de seguridad contra la flexión de, por lo menos, 2.5, suponiendo un torque constante, un ángulo de presión de 20°, dientes de profundidad total, índice de calidad de 11, un piñón de acero AISI 4340 y un engrane de hierro nodular A-7-d. Dimensione los engranes helicoidales del problema 9-33 para un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 1.6, suponiendo un torque constante, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad total, índice de calidad de 9, un piñón de acero AISI 4140 y un engrane de hierro fundido clase 40. Dimensione los engranes helicoidales del problema 9-34 para un factor de seguridad superficial de, por lo menos, 1.2, suponiendo un torque constante, un ángulo de presión de 20°, dientes de profundidad total, índice de calidad de 11, un piñón de acero AISI 4340 y un engrane de hierro nodular A-7-d. Se necesita un engranaje cónico recto a 90° para suministrar una reducción de 3:1. Determine los ángulos de los conos de paso, diámetros de paso y fuerzas en el engrane si el piñón tiene 15 dientes, un ángulo de presión de 25° y pd  4 y la potencia transmitida es de 8 hp a 550 rpm en el piñón. Se necesita un engranaje cónico recto a 90° para suministrar una reducción de 6:1. Determine los ángulos de paso de los conos, los diámetros de paso y las fuerzas en el engrane si el piñón tiene 20 dientes, un ángulo de presión de 20°, y pd  8 y la potencia transmitida es de 3 kW a 900 rpm en el piñón. Se necesita un engranaje cónico espiral a 90° para suministrar una reducción de 8:1. Determine los ángulos de paso de los conos, los diámetros de paso y las fuerzas en el engrane si el piñón tiene 21 dientes, un ángulo de presión de 20° y pd  10 y la potencia transmitida es de 2.5 kW a 1100 rpm en el piñón. Un engranaje sin fin de un inicio tiene d  2.00 in, px  0.25 in y mG  40. Calcule el avance, el ángulo de avance, el diámetro del engrane y la distancia entre centros. ¿Se autobloqueará? La velocidad de entrada es de 1100 rpm. Un engranaje sin fin de dos inicios tiene d  2.50 in, px  0.30 in y mG  50. Obtenga el avance, el ángulo de avance, el diámetro del engrane y la distancia entre centros. ¿Se autobloqueará? La velocidad de entrada es de 1800 rpm. Un engranaje sin fin de tres inicios tiene d  60 mm, px  12 mm y mG  60. Determine el avance, el ángulo de avance, el diámetro del engrane y la distancia entre centros. ¿Se autobloqueará? La velocidad de entrada es de 2500 rpm. Determine la potencia transmitida y los torques y las fuerzas en el acoplado del engranaje del problema 9-42, si funciona con tornillo sin fin a 800 rpm. Determine la potencia transmitida, así como los torques y las fuerzas en el acoplado del engranaje del problema 9-43 si funciona con el tornillo sin fin a 1200 rpm. Un engranaje sin fin de dos inicios tiene L  2.00 in, C  9.00 in y mG  20 y el ángulo entre los ejes es de 90°. Obtenga los diámetros de paso del tornillo sin fin y del engrane, el ángulo de avance y el paso axial. Un engranaje sin fin de cinco arranques tiene l  20°, C  2.75 in y Ng  33 y el ángulo entre los ejes es de 90°. Obtenga los diámetros de paso del tornillo sin fin y del engrane, el avance y el paso axial. Dimensione los engranes cónicos del problema 9-40 para un factor de seguridad contra la flexión de, por lo menos, 2.5, asumiendo cinco años de vida con dos turnos de operación, torque constante, un índice de calidad de 8 y un piñón de acero AISI 4140, igual material para el engrane. Dimensione los engranes cónicos del problema 9-40 para un factor de seguridad mínimo de 1.8, para cualquier modo de falla del piñón o del engrane, suponiendo cinco años de vida con dos turnos de operación, torque constante, un índice de calidad de 8 y un piñón de acero AISI 4140, igual material para el engrane. Dimensione los engranes espirales del problema 9-41 para un factor de seguridad contra la flexión de, por lo menos, 2.0, suponiendo siete años de vida con tres turnos de operación, torque constante, un índice de calidad de 8 y un piñón de acero AISI 4340, igual material para el engrane. DISEÑO DE RESORTES No saber es malo; no querer saber es peor. PROVERBIO NIGERIANO 10.0 INTRODUCCIÓN Prácticamente cualquier pieza fabricada con un material elástico tiene algo de “resorte” en ella. El término resorte, en el contexto de este capítulo, se refiere a las piezas elaboradas, con configuraciones específicas, para brindar un intervalo de fuerza durante una deflexión significativa y/o almacenar energía potencial. Los resortes se diseñan para dar un empuje, un jalón o una fuerza de giro (torque) o, fundamentalmente, para almacenar energía, que se dividen en esas cuatro categorías. Hay muchas configuraciones de resortes en cada categoría. Los resortes se pueden hacer con alambre redondo o rectangular, doblándolos en forma adecuada como una bobina, o bien, con material plano cargado como una viga. La fotografía de inicio del capítulo muestra unas cuantas configuraciones de resortes. Existen muchas configuraciones estándares de resortes en los catálogos de inventario de artículos de los fabricantes. Generalmente es más económico para un diseñador utilizar un resorte de inventario, cuando es posible. Algunas veces la tarea requiere un diseño de resorte a la medida del cliente. Los resortes a la medida realizan funciones secundarias, como la ubicación o el montaje de otras piezas. En cualquier caso, el diseñador debe entender, y usar adecuadamente, la teoría de diseño de resortes para especificar o diseñar la pieza. La tabla 10-0 define las variables usadas en este capítulo y hace referencia a la sección o a la(s) ecuación(es) donde se usan. 10.1 CONSTANTE DE RESORTE Independientemente de la configuración del resorte, éste posee una constante de resorte k, definida como la pendiente de su curva de fuerza-deflexión. Si tal pendiente es constante, se trata de un resorte lineal y k se define como k F y 647 (10.1) 10 648 La fotografía de inicio del capítulo es cortesía de Associated Spring, Barnes Group Inc. DISEÑO DE MÁQUINAS Tabla 10-0 El autor desea expresar su agradecimiento a Associated Spring, Barnes Group Inc., 10 Main St., Bristol, Conn., por permitir el uso de material de su Design Handbook Engineering Guide to Spring Design, edición de 1987. Un Enfoque Integrado Variables utilizadas en este capítulo Parte 1 de 2 Símbolo 10 - Variable unidades ips unidades SI Véase A área in2 m2 Ec. 10.8a C índice de resorte ninguna ninguna Ec. 10.5 d diámetro del alambre in m varias D diámetro medio de la espiral in m varias Di diámetro interior in m varias Do diámetro exterior in m varias E módulo de Young psi Pa varias F fuerza o carga lb N varias Fa carga alternante lb N Ec. 10.15 Fi tensión inicial, resorte de extensión lb N Ec. 10.20 Fm carga media lb N Ec. 10.15 Fmáx carga fluctuante máxima lb N Ec. 10.15 Fmín carga fluctuante mínima lb N Ec. 10.15 fn frecuencia natural Hz Hz Ec. 10.11 g aceleración gravitacional in/seg2 m/seg2 varias G módulo de corte, módulo de rigidez psi Pa varias h altura del cono in m Ec. 10.35 k razón o constante de resorte lb/in N/m Ec. 10.1 Kb factor de Wahl, flexión ninguna ninguna Ec. 10.23b Kc factor de curvatura ninguna ninguna Ec. 10.10 Ks factor de cortante directo ninguna ninguna Ec. 10.8b Krw factor de cortante para alambre rectangular ninguna ninguna Ec. 10.11a Kw factor de Wahl, torsión ninguna ninguna Ec. 10.9b Lb longitud del cuerpo, resorte de extensión in m Ec. 10.19 Lf longitud libre, resorte de compresión in m varias Lmáx longitud de la espira, resorte de torsión in m Ej. 10.3 Ls altura de bloqueo, resorte de compresión in m Ej. 10.3 M momento lb-in N-m Ec. 10.27 N número de ciclos ninguna ninguna varias Na número de espiras activas ninguna ninguna varias Nfs factor de seguridad contra la fatiga, torsión ninguna ninguna Ec. 10.16a Nfb factor de seguridad contra la fatiga, flexión ninguna ninguna Ec. 10.34b Nt número total de espiras ninguna ninguna varias Ns factor de seguridad, fluencia estática ninguna ninguna Ec. 10.14 r radio in m varias R razón de esfuerzo ninguna ninguna varias Rd razón de diámetro ninguna ninguna Ec. 10.35b RF razón de fuerza ninguna ninguna Ec. 10.15b s logaritmo natural del índice C del resorte ninguna ninguna Ec. 10.11 Capítulo 10 Tabla 10-0 DISEÑO DE RESORTES 649 Variables utilizadas en este capítulo Parte 2 de 2 Símbolo Variable unidades ips unidades SI Véase Sf, Se fatiga por flexión, resistencias físicas; R = –1 psi Pa Ec. 10.34 Sfs, Ses fatiga por torsión, resistencias físicas; R = –1 psi Pa Ec. 10.17b Sfw, Sew resistencias del alambre a la fatiga por torsión; R = 0 psi Pa Ec. 10.12 Sfwb, Sewb resistencias del alambre a la fatiga por flexión; R = 0 psi Pa Ec. 10.33 Sys, Sy resistencias al cortante, a la fluencia por tensión psi Pa Tablas 10-6, -13 Sms resistencia media a la torsión en 103 ciclos psi Pa Ec. 10.13 Sus resistencia última al cortante psi Pa Ec. 10.4 Sut resistencia última a la tensión psi Pa Ec. 10.3 t espesor in m Ec. 10.35 T torque lb-in N-m Ec. 10.8a W peso lb N Ec. 10.11b y deflexión in m varias N razón de Poisson ninguna ninguna Ec. 10.35 Q deflexión angular, torsión rad rad Ec. 10.27 G densidad de peso lb/in 3 N/m3 Ec. 10.11 S esfuerzo normal (flexión) psi Pa Ec. 10.23a T Wn esfuerzo cortante psi Pa varios frecuencia natural rad/seg rad/seg Ec. 10.11a k3 k2 y3 k1 y2 y1 10 F donde F es la fuerza aplicada y y la deflexión. Como la función de deflexión se determina siempre para cualquier carga y geometría conocidas, además de que, debido a que la función de deflexión, expresa una relación entre la carga aplicada y la deflexión, se reagrupa para expresar k como la ecuación 10.1. La constante de resorte puede ser un valor fijo (resorte lineal) o variar con la deflexión (resorte no lineal). Ambos tienen sus aplicaciones, pero con frecuencia se desea un resorte lineal para controlar la carga. Muchas configuraciones de resorte presentan constantes de resorte fijas y algunas son iguales a cero (fuerza constante). Cuando se combinan varios resortes, la constante de resorte resultante depende de si se combinan en serie o en paralelo. En las combinaciones en serie, la misma fuerza pasa a través de todos los resortes y cada uno contribuye con una parte de la deflexión total, como se indica en la figura 10-1a. En los resortes en paralelo, todos tienen la misma deflexión, mientras la fuerza total se divide entre los resortes individuales, como se muestra en la figura 10-1b. En los resortes en paralelo, las constantes individuales del resorte se suman directamente: ktotal  k1 k2 k3 K kn (10.2 a) En los resortes en serie, las constantes de resorte se suman recíprocamente: 1 ktotal  1 k1 1 k2 1 k3 K 1 kn (a) Serie k1 k2 F1 k3 F3 F2 y F1 + F2 + F3 (b) Paralelo (10.2 . b) FIGURA 10-1 Resortes en serie y en paralelo 650 DISEÑO DE MÁQUINAS 10.2 - Un Enfoque Integrado CONFIGURACIONES DE RESORTE Los resortes se clasifican de diferentes maneras. Los cuatro tipos de carga mencionados en la sección 10.0 son una de ellas. Otra es por la configuración física del resorte. Aquí se utilizará este último procedimiento. La figura 10-2 ilustra una selección de configuraciones de resorte. En la referencia 1 se encuentran ejemplos adicionales. Existen formas de resorte como helicoidal de compresión, helicoidal de tensión y helicoidal de torsión, así como formas a pedido del cliente. Los resortes planos típicamente son vigas en voladizo o simplemente apoyadas, que tienen muchas formas. Hay resortes de arandela con estilos variados: curvos, ondulados, de dedo y Belleville. Los resortes de espira son resortes de motor (reloj), de voluta o de fuerza constante. Se analizarán brevemente todas las configuraciones y el diseño de alguno de ellos en detalle. La figura 10-2a muestra cinco formas de resortes helicoidales de compresión. Todas proporcionan una fuerza de empuje y tienen una gran capacidad de deflexión. Se utilizan comúnmente como resortes de retorno de válvulas en motores de gasolina, resortes para troqueles, etcétera. La forma estándar tiene una espiral con diámetro constante, paso constante (distancia axial entre las espiras) y constante de resorte fija. Es la configuración de resorte más común y está disponible comercialmente en muchos tamaños. La mayoría se fabricaron con alambre redondo, pero también se elaboran con alambre rectangular. El paso es variable para elaborar un resorte de constante variable. Las espiras con razones de resorte pequeñas se cierran primero, incrementando así la constante de resorte efectiva cuando se tocan entre sí o “tocan fondo”. 10 Los resortes cónicos se fabrican con una constante de resorte fija o creciente. Por lo general, su constante de resorte es no lineal, lo cual aumenta con la deflexión, debido a que las espiras con diámetros más pequeños ofrecen mayor resistencia a la deflexión, y las espiras más grandes se flexionan primero. Al variar el paso de la espira, se puede obtener una constante de resorte aproximadamente constante. Su ventaja principal es cerrarse a una altura tan pequeña como el diámetro del alambre, si las espirales se comprimen. Los resortes de barril y de reloj de arena se visualizan como dos resortes cónicos espalda con espalda; además, tienen una constante de resorte no lineal. Las formas de barril y de reloj de arena se emplean sobre todo para cambiar la frecuencia natural del resorte de forma estándar. La figura 10-2b ilustra un resorte