Juciara Ferreira

Juciara Alves Ferreira Equações Diferenciais Ordinárias: uma abordagem computacional utilizando o software wxMaxima Rio Grande, Rio Grande do Sul, Brasil Dezembro, 2017 Colaboradores Universidade Federal do Rio Grande http://www.furg.br Instituto de Matemática, Estatística e Física http://www.imef.furg.br ŞO abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora nao pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo.Ť (Roger Bacon) Resumo Neste trabalho de conclusão de curso é apresentado um estudo sobre as Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira e Segunda Ordem. Onde nos primeiros capítulos são realizados uma revisão sobre a teoria das Equações Diferenciais Ordinárias e aliada a essa teoria são resolvidos dois problemas de aplicação: o problema da administração de glicose e da absorção de remédios. Estes problemas são resolvidos analiticamente e através do software simbólico wxMaxima. Palavras-chaves: Equações Diferenciais Ordinárias, Administração de glicose, Absorção de remédios, wxMaxima. Abstract In this Ąnal paper is presented a study of Ąrst and second order ordinary differential equations. Where in the Ąrst chapters a review is made on the theory of ordinary differential equations and combined with this theory are solved two problems of application: the problem of glucose administration and drug absorption. These problems are solved analytically and through the symbolic software wxMaxima. Key-words: differential equations, glucose administration, drug absorption, wxMaxima. Lista de ilustrações Figura 1 Ű Campo de direções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Figura 2 Ű Administração da glicose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Figura 3 Ű Absorção de remédios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Lista de tabelas Tabela 1 Ű Comandos do wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Sumário 1 INTRODUÇÃO 2 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . ClassiĄcação quanto ao tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . ClassiĄcação quanto à ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearidade das Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . Soluções de Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . Solução Explícita de uma EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solução Implícita de uma EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PVI de Primeira e Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . Campo de Direções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM Obtenção de Soluções de Equações Diferenciais de Primeira Ordem Método de separação de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equação Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações Diferenciais Não-Exatas - Fator Integrante . . . . . . . . . . . . Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4.1 3.1.5 3.1.5.1 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.7.1 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações Homogêneas e Não-homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de Valor Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema da Existência de Solução Única . . . . . . . . . . . . . . . . Princípio da Superposição: Equações Homogêneas . . . . . . . . . . Dependência Linear e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . Teorema do Critério para Independência Linear de Funções . . . . . Solução de Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equação característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações Diferenciais de Segunda Ordem Não-Homogêneas . . . . 9 11 11 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 16 16 16 17 18 20 20 21 21 23 23 23 24 24 24 25 26 26 28 4.8.1 4.8.2 4.8.3 4.8.4 Solução Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solução Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Princípio de Superposição: equações não-homogêneas . Método dos CoeĄcientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4.1 Demonstração do Método dos Coeficientes Indeterminados - caso em que g(x) é uma . . . . 28 28 29 29 4.8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Variação de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5 5.1 5.2 5.3 APLICAÇÕES COM SOFTWARE WXMAXIMA . . . . . . Software wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema da administração de glicose . . . . . . . . . . . . . Problema de Absorção de remédios . . . . . . . . . . . . . . 6 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 função polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 37 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ANEXOS 44 ANEXO A Ű COMANDOS DO WXMAXIMA . . . . . . . . . . . . 45 9 1 Introdução Os conceitos iniciais acerca das equações diferenciais começaram a ser desenvolvidos no Ąnal do século XVII com o surgimento da teoria do Cálculo a partir dos estudos de Newton e Leibniz. Suas técnicas de derivação e integração foram utilizadas na solução das chamadas equações diferenciais. Segundo (ZILL, 2003), esta terminologia sugere algum tipo de equação que envolve derivadas. A teoria das equações diferenciais, segundo (DIACU, 2004) foi aplicada inicialmente nas chamadas ciências físicas, posteriormente, foi estendida a outras atividades humanas. O estudo das equações diferenciais é extremamente importante no estudo de crescimento populacional humano, decaimento radioativo, predador-presa, pois tais equações modelam, matematicamente, fenômenos de diversas áreas das ciências. Um modelo matemático é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado, podendo ser considerado como uma síntese da reĆexão sobre alguma parte da realidade cujo objetivo é explicar ou entender a situação estudada para, eventualmente, poder agir sobre ela. Assim, para (BASSANEZI; JR., 1988), a partir da solução de uma equação diferencial é possível fazer previsões, tomar decisões, participar do mundo real com capacidade de inĆuenciar em suas mudanças. Desde o século XVII até meados do século XIX, Newton pensava que ao solucionar uma equação diferencial, era possível determinar tal solução de uma forma explícita, ou seja, uma relação clara entre a variável dependente e as variáveis independentes. Entretanto, no decorrer do tempo, os estudiosos perceberam que apenas um pequeno número de equações possuía uma solução possível de ser escrita explicitamente, em termos de funções elementares. Então,(FIGUEIREDO; NEVES, 2001), a partir desta constatação gerou uma busca por novos métodos de solução, surgindo, assim, o uso de séries de funções na resolução das equações diferenciais. Além disso, no decorrer do século XIX, é que a Análise Matemática passa a ganhar rigor e formalismo em suas demonstrações, o que gera dúvidas em relação a conĄabilidade dos métodos propostos por Newton para obter soluções. Ainda nessa época, estudos permitiram a elaboração dos teoremas da existência e unicidade da solução, impulssionando o desenvolvimento da teoria das equações diferenciais. Para (FIGUEIREDO; NEVES, 2001) tais teoremas marcam o início da fase moderna, com o surgimento das teorias de Henri Poincaré (1854 - 1912). A partir deste momento, busca-se retirar da equação diferencial informações sobre o comportamento de suas soluções, sem a preocupação de descrevê-las explicitamente. Assim o presente trabalho tem como tema o estudo das equações diferenciais, expressar suas soluções analiticamente e também obtê-las usando o software de computação simbólica wxMaxima. Este software permite estudar o comportamento das soluções das Capítulo 1. Introdução 10 equações ordinárias lineares de primeira e segunda ordem de modo qualitativo, através da representação gráĄca. Os dois problemas de aplicação apresentados serão resolvidos com o wxMaxima. Embora tais problemas possuam soluções facilmente obtidas de modo analítico, o objetivo deste trabalho é mostrar que este software pode ser considerado um importante auxílio para a resoluções das equações diferenciais. Inúmeros trabalhos de conclusão de curso e monograĄas abordam conceitos acerca de equações diferenciais ordinárias e suas aplicações (NóBREGA, 2016), (ARAúJO, 2011), (ALITOLEF, 2011), entretanto abordam problemas clássicos, como o estudo de vibrações, sistema massa-mola ou crescimento populacional e não utilizam o software wxMaxima como recurso computacional para encontrar a solução. Para atingir o objetivo proposto, este trabalho está organizado da seguinte forma: inicialmente, no capítulo 2, apresenta-se uma introdução ao estudo de equações diferenciais, com deĄnições e teoremas importantes, são também discutidas as condições necessárias para a existência e unicidade de uma solução, os campos de direções e as soluções a partir do problema de valor inicial. No capítulo 3, desenvolvem-se os métodos de resolução e teoremas necessários para determinar as soluções dos problemas de aplicação propostos. Já no capítulo 4, estudam-se as equações diferenciais ordinárias de segunda ordem onde são demonstrados as equações lineares com coeĄcientes constantes e o Wronskiano. No capítulo 5, faz-se uma breve introdução sobre o software wxMaxima e apresenta-se a solução de dois modelos matemáticos (administração da glicose e absorção de drogas) utilizando o software como ferramenta de auxílio na resolução das equações diferenciais ordinárias. Por Ąm, no capítulo 6, apresentam-se as conclusões pertinentes a esse trabalho. 11 2 Equações Diferenciais Diversos problemas importantes e signiĄcativos nas áreas de Engenharia, Física e Ciências Sociais Aplicadas são representados por um modelo matemático e exigem a determinação de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Segundo (ZILL; CULLEN, 2001), uma equação contendo derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é dita uma equação diferencial (ED). Tais equações podem, por exemplo, ser classiĄcadas quanto ao tipo e à ordem. 2.1 ClassiĄcação quanto ao tipo Segundo (ZILL, 2003) existem dois tipos de equações diferenciais. Se uma equação diferencial possui apenas derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma única variável independente é classiĄcada como Equação Diferencial Ordinária (EDO) (ZILL, 2003). Uma Equação Diferencial Parcial (EDP) é uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes (ZILL, 2003). O objetivo deste trabalho é abordar os conceitos acerca das Equações Diferenciais Ordinárias. Portanto, a partir daqui, não é mais discutida a teoria sobre as Equações Diferenciais Parciais. 2.2 Equações Diferenciais Ordinárias A EDO, descrita por (2.1) é uma equação envolvendo uma função incógnita 𝑦 = 𝑦(𝑥) e suas derivadas (ou diferenciais), onde 𝑥 é a variável independente, 𝑦 é a variável dependente e a notação 𝑦 (𝑛) indica a derivada de ordem 𝑛 da função 𝑦 = 𝑦(𝑥). 2.3 ClassiĄcação quanto à ordem A ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) é a ordem da maior derivada na equação. A equação na forma (︁ ⎡ 𝐹 𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), ..., 𝑦 (𝑛) (𝑥) = 0. (2.1) 12 Capítulo 2. Equações Diferenciais é dita uma equação diferencial ordinária de ordem 𝑛. 2.3.1 Linearidade das Equações Diferenciais Ordinárias Uma EDO de ordem n é dita linear se 𝐹 for linear em 𝑦, 𝑦 ′ , ..., 𝑦 (𝑛⊗1) . Assim uma equação diferencial ordinária de 𝑛-ésima ordem é linear quando a equação (2.1) for escrita como, 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 (𝑛) + 𝑎(𝑛⊗1) (𝑥)𝑦 (𝑛⊗1) + ... + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥). (2.2) onde 𝑎0 , 𝑎1 , ..., 𝑎𝑛 e 𝑔 são funções de 𝑥. 2.3.2 Soluções de Equações Diferenciais Ordinárias De acordo com (ZILL, 2003) toda função ã deĄnida em um intervalo 𝐼 ⊃ R, que tem pelo menos 𝑛 derivadas contínuas em 𝐼, que substituída em uma EDO de ordem 𝑛 reduz a equação a uma identidade, é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo I. Denomina-se o intervalo como Domínio da Solução e este pode ser classiĄcado como aberto (𝑎, 𝑏), fechado [𝑎, 𝑏], ilimitado (𝑎, ∞) e limitado [𝑎, ∞) ou (𝑎, ∞]. 2.3.3 Solução Explícita de uma EDO Definição 2.3.1. Solução Explícita é a solução na qual a variável dependente é expressa somente em termos da variável independente e das constantes. 2.3.4 Solução Implícita de uma EDO Definição 2.3.2. Diz-se que uma relação 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 é uma Solução Implícita de uma equação diferencial ordinária (2.1), em um intervalo 𝐼, quando existe pelo menos uma função ã que satisfaça a relação, bem como a equação diferencial em 𝐼. 2.4 Problemas de Valor Inicial De acordo com (ZILL, 2003), o problema ⎡ (︁ 𝑑𝑛 𝑦 ′ (𝑛⊗1) , = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦 , ..., 𝑦 𝑑𝑥𝑛 (2.3) sujeito a 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦1 , ..., 𝑦 (𝑛⊗1) (𝑥0 ) = 𝑦𝑛⊗1 , onde 𝑦0 , 𝑦1 , ..., 𝑦𝑛⊗1 são constantes reais especiĄcadas, em algum intervalo 𝐼, contendo 𝑥0 , é chamado de problema de valor inicial (PVI). Os valores de 𝑦(𝑥) e suas 𝑛 ⊗ 1 derivadas em um único ponto 𝑥0 : 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦 (𝑥0 ) = 𝑦1 , ..., 𝑦 (𝑛⊗1) (𝑥0 ) = 𝑦𝑛⊗1 , são chamados de condições iniciais. ′ 13 Capítulo 2. Equações Diferenciais 2.4.1 Curvas integrais A solução da EDO 𝑑𝑦 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) (2.4) 𝑑𝑥 é uma família de curvas, chamadas curvas integrais. Existe uma relação de cada ponto (𝑥, 𝑦) a reta tangente à curva integral passando pelo ponto tem coeĄciente angular 𝑚 = 𝑓 (𝑥, 𝑦). Cada curva integral está associada a um valor particular de 𝑐. Quando resolve essa equação encontram-se as curvas integrais, essas curvas representam o gráĄco da solução ã de uma EDO. 2.4.2 PVI de Primeira e Segunda Ordem Os problemas 𝑑𝑦 = 𝑓 (𝑥, 𝑦), sujeita a 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 𝑑𝑥 (2.5) e 𝑑2 𝑦 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ), sujeita a 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 2 𝑑𝑥 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦1 (2.6) são chamados problemas de valor inicial de primeira e segunda ordem, respectivamente. Na equação (2.5), procura-se uma solução da EDO em um intervalo 𝐼 que contenha 𝑥0 , de tal forma que uma curva integral passe pelo ponto (𝑥0 , 𝑦0 ). Já em (2.6), quer-se determinar uma solução cujo gráĄco não passe somente por um ponto (𝑥0 , 𝑦0 ), mas também que a inclinação da curva nesse ponto seja 𝑦1 . O termo condição inicial origina de sistemas físicos e signiĄca que a variável independente é o tempo 𝑡 e 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 e 𝑦 ′ (𝑡0 ) = 𝑦1 , representam, respectivamente, a posição e a velocidade de um objeto no instante inicial 𝑡0 . Teorema 2.4.1 (Existência de uma Única Solução). Seja 𝑅 uma região retangular no 𝜕𝑓 plano 𝑥𝑦 deĄnida por 𝑎 6 𝑥 6 𝑏, 𝑐 6 𝑦 6 𝑑 que contém o ponto (𝑥0 , 𝑦0 ). Se 𝑓 (𝑥, 𝑦) e 𝜕𝑦 são contínuas em 𝑅, existe algum intervalo 𝐼0 : 𝑥0 ⊗ ℎ < 𝑥 < 𝑥0 + ℎ, ℎ > 0, contido em 𝑎 6 𝑥 6 𝑏, e uma única função 𝑦(𝑥), deĄnida em 𝐼0 que é uma solução do PVI (2.5). 2.5 Campo de Direções Segundo (ZILL, 2003), se sistematicamente, a função 𝑓 for calculada sobre uma malha retangular de pontos (𝑥, 𝑦) no plano 𝑥𝑦 e, em cada ponto (𝑥, 𝑦) um elemento linear for desenhado com a inclinação 𝑓 (𝑥, 𝑦), a coleção de todos os elementos lineares Capítulo 2. Equações Diferenciais 14 será chamado de campo de direções ou campo de inclinações da equação diferencial 𝑑𝑦 = 𝑓 (𝑥, 𝑦). 𝑑𝑥 Esboçar a mão um campo de direções pode não ser difícil, mas nos toma um certo tempo. Geralmente emprega-se algum software para realizar esse tipo de operação. A Figura 1 foi obtida usando o software simbólico chamado wxMaxima e mostra o campo 𝑑𝑦 = 𝑥 onde se tem como como condição inicial, 𝑦(⊗1) = ⊗2. de direções para 𝑑𝑥 (%i1) ’diff(y,x)=x,y,x; (%o1) 𝑑 𝑦=𝑥 𝑑𝑥 (%i2) ode2(’diff(y,x)=x,y,x); 𝑥2 (%o2) 𝑦 = + %𝑐 2 (%i3) ic1(y=(x^2/2+%c),y=-2,x=-1); (%o3) 𝑦 = (%i4) 𝑥2 ⊗ 5 2 load(plotdf); (%o4) 𝐶 : /𝑃 𝑅𝑂𝐺𝑅𝐴 1/𝑀 𝐴𝑋𝐼𝑀 𝐴 1.0/𝑠ℎ𝑎𝑟𝑒/𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎/5.30.0/𝑠ℎ𝑎𝑟𝑒/𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑠/𝑝𝑙𝑜𝑡𝑑𝑓.𝑙𝑖𝑠𝑝 (%i5) plotdf(x,[trajectory_at,-1,-2]); (%o5) 0 Observa-se pela saída %𝑜2 que trata-se de uma família de curvas, pois a solução geral da EDO depende da constante 𝑐. No próximo capítulo, discutem-se métodos para a obtenção da solução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Capítulo 2. Equações Diferenciais Figura 1 Ű Campo de direções 15 16 3 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem Neste capítulo apresentam-se alguns métodos analíticos para a resolução das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para determinar as suas soluções, em geral, deve-se reconhecer o tipo da equação diferencial, pois um método que funciona para uma equação de primeira ordem pode não se aplicar a outro. As equações diferenciais de primeira ordem, na maioria das vezes, oferecem informações necessárias para prever o comportamento de suas soluções (BASSANEZI; JR., 1988). Dentre as equações estudadas neste trabalho estão as separáveis, exatas, as homogêneas e as lineares. 3.1 Obtenção de Soluções de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 3.1.1 Método de separação de variáveis Definição 3.1.1. Equação separável é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que pode ser escrita na forma 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑓 (𝑦). 𝑑𝑥 (3.1) O nome separável vem do fato de que a expressão no lado direito pode ser ŞseparávelŤ, isto é, pode ser escrita como produto de duas funções em que uma delas depende somente da variável independente 𝑥 e a outra depende somente da variável 𝑦. Se 𝑓 (𝑦) ̸= 0 na equação (3.1), pode-se escrever 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. 𝑓 (𝑦) (3.2) Considerando-se a equação diferencial escrita na forma (3.2), pode-se aplicar a integração direta em ambos os lados da equação. Dessa forma, tem-se: ∫︁ ∫︁ 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. 𝑓 (𝑦) (3.3) A equação (3.3) representa o método de separação de variáveis de uma EDO de primeira ordem. 17 Capítulo 3. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem 3.1.2 Equação Exata Segundo (ZILL, 2003), uma expressão diferencial 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 é uma diferencial exata em uma região R do plano 𝑥𝑦 se corresponde à diferencial de alguma função 𝑓 (𝑥, 𝑦). Uma equação diferencial de primeira ordem da forma 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (3.4) é chamada de equação exata se a expressão à esquerda da equação (3.4) for uma diferencial exata. Teorema 3.1.1 (Critério para Diferencial Exata (ZILL, 2003)). Sejam 𝑀 (𝑥, 𝑦) e 𝑁 (𝑥, 𝑦) contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região 𝑅 deĄnida por 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 e 𝑐 < 𝑦 < 𝑑. Então uma condição necessária e suĄciente para que 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 seja uma diferencial exata é 𝜕𝑁 𝜕𝑀 = . 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (3.5) Prova. (⇒) Primeiramente mostra-se que se 𝑀 (𝑥, 𝑦) e 𝑁 (𝑥, 𝑦) é uma diferencial exata, 𝜕𝑁 𝜕𝑀 = . Se a expressão 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 for exata, haverá alguma função então 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑓 : R ⊆ R2 ⊃ R tal que, para todo (𝑥, 𝑦) em 𝑅, 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = Logo, 𝑀 (𝑥, 𝑦) = e 𝜕𝑀 𝜕 = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 (︃ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 ⎜ 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑓 , 𝑁 (𝑥, 𝑦) = , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕2𝑓 𝜕 = = 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥 (︃ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ⎜ (3.6) (3.7) = 𝜕𝑁 . 𝜕𝑥 (3.8) A igualdade das derivadas parciais mistas é uma consequência da continuidade das derivadas parciais de primeira ordem de 𝑀 (𝑥, 𝑦) e 𝑁 (𝑥, 𝑦). 𝜕𝑁 𝜕𝑀 = então 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 é exata, e 𝜕𝑦 𝜕𝑥 veriĄca-se se a igualdade em (3.5) é verdadeira. Em caso aĄrmativo,queremos encontrar uma função f tal que 𝜕𝑓 = 𝑀 (𝑥, 𝑦) (3.9) 𝜕𝑥 (⇐) Para mostrar que se e 𝜕𝑓 = 𝑁 (𝑥, 𝑦). 𝜕𝑦 (3.10) Capítulo 3. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem 18 Para determinar 𝑓 se ela existir, integra-se 𝑀 (𝑥, 𝑦) em relação a 𝑥 e mantendo-se 𝑦 constante, obtém-se: ∫︁ 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦), (3.11) onde 𝑔(𝑦), uma função arbitrária, é a ŞconstanteŤ de integração. Diferenciando (3.11) em 𝜕𝑓 = 𝑁 (𝑥, 𝑦), tem-se: relação a 𝑦 e supondo 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕 ∫︁ 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔 ′ (𝑦) = 𝑁 (𝑥, 𝑦), = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 o que resulta em 𝜕 ∫︁ 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥. 𝑔 (𝑦) = 𝑁 (𝑥, 𝑦) ⊗ 𝜕𝑦 ′ (3.12) Integra-se (3.12) em relação a 𝑦 e substitui-se o resultado em (3.11), obtendo-se a solução 𝑓 (𝑥, 𝑦) da equação diferencial exata. A solução implícita da equação é dada por 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐. É importante ressaltar que 𝜕 ∫︁ a expressão 𝑁 (𝑥, 𝑦) ⊗ 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 em (3.12) não depende de 𝑥, pois 𝜕𝑦 ⎟ ⟨ (︃ ⎜ 𝜕 ∫︁ 𝜕 ∫︁ 𝜕 𝜕𝑁 𝜕 𝑁 (𝑥, 𝑦) ⊗ 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 . ⊗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = pois por hipótese tem-se hipótese que 𝜕𝑁 𝜕𝑀 ⊗ = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (3.13) (3.14) 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = . A demonstração é análoga, iniciando-se com a 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑓 = 𝑁 (𝑥, 𝑦). 𝜕𝑦 3.1.3 Equações Diferenciais Não-Exatas - Fator Integrante Em alguns casos é possível converter uma equação diferencial que não é exata em uma exata, multiplicando-se a equação por uma determinada função que é chamada de fator integrante. Definição 3.1.2. O Fator Integrante é uma função tal que o produto da EDO por ela faz com que o lado esquerdo da equação possa ser visto como a derivada do produto de duas funções. Multiplicando-se a equação diferencial não-exata 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (3.15) 19 Capítulo 3. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem por uma função Û(𝑥, 𝑦), quer-se determinar Û(𝑥, 𝑦) de modo que a equação resultante Û(𝑥, 𝑦)𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + Û(𝑥, 𝑦)𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (3.16) seja exata. A equação (3.16) é exata se e somente se 𝜕[Û(𝑥, 𝑦)𝑁 (𝑥, 𝑦)] 𝜕[Û(𝑥, 𝑦)𝑀 (𝑥, 𝑦)] = . 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (3.17) Como 𝑀 e 𝑁 são funções conhecidas, pela equação (3.16) observa-se que o fator integrante Û tem que satisfazer a equação diferencial de primeira ordem (︃ 𝜕𝑀 𝜕Û 𝜕𝑁 𝜕Û ⊗ 𝑁 (𝑥, 𝑦) + ⊗ 𝑀 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 ⎜ Û(𝑥, 𝑦) = 0. (3.18) O objetivo é determinar uma função Û que satisfaça a equação (3.18). Assim a equação (3.16) será exata. Utilizando o método de resolução das equações exatas pode-se obter a solução da equação (3.16). Esta mesma solução é válida para a equação (3.15), já que é possível dividir a equação (3.16) pelo fator integrante Û. O método de resolução por fator integrante é uma ferramenta útil para a resolução das equações diferenciais, mas ele só pode ser utilizado em alguns casos especiais. Os fatores integrantes simples ocorrem quando Û é uma função dependente apenas de uma das variáveis 𝑥 ou 𝑦.Existem condições necessárias sobre 𝑀 e 𝑁 para que a equação (3.15) tenha um fator que só dependa de 𝑥. Supondo que Û é uma função de 𝑥, tem-se 𝜕𝑀 𝜕 [Û(𝑥)𝑀 (𝑥, 𝑦)] = Û(𝑥) (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 e 𝜕 𝜕𝑁 𝑑Û [Û(𝑥)𝑁 (𝑥, 𝑦)] = Û(𝑥) (𝑥, 𝑦) + 𝑁 (𝑥, 𝑦) (𝑥) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥 Assim, se 𝜕 𝜕 [Û(𝑥)𝑀 (𝑥, 𝑦)] = [Û(𝑥)𝑁 (𝑥, 𝑦)] 𝜕𝑦 𝜕𝑥 é necessário que 𝑑Û (𝑥) = 𝑑𝑥 𝜕𝑀 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 ⊗ 𝜕𝑁 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 𝑁 (𝑥, 𝑦) Û(𝑥). (3.19) (3.20) Se o lado de (3.20) é uma função só de 𝑥, então existe um fator integrante Û que depende só de 𝑥. Analogamente, esse mesmo procedimento pode ser utilizado para Capítulo 3. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem 20 se determinar uma condição sob a qual a equação (3.15) tenha um fator integrante que dependa apenas de 𝑦. 3.1.4 Equações Homogêneas Uma função 𝑓 é dita homogênea de grau 𝑛 quando tiver a propriedade 𝑓 (Ú𝑥, Ú𝑦) = Ú𝑛 𝑓 (𝑥, 𝑦) para qualquer número real 𝑛. Uma equação diferencial da forma 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (3.21) é dita homogênea se os coeĄcientes 𝑀 e 𝑁 forem funções homogêneas de mesmo grau, ou seja, se 𝑀 (𝑥, 𝑦) = Ú𝑛 𝑀 (𝑥, 𝑦) e 𝑁 (𝑥, 𝑦) = Ú𝑛 𝑁 (𝑥, 𝑦). Da mesma maneira, pode-se aĄrmar que a equação é homogênea se, quando escrita na forma 𝑑𝑦 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 for⎤ possível deĄnir uma função 𝑔 de maneira que 𝑓 (𝑥, 𝑦) possa ser escrita como 𝑓 (𝑥, 𝑦) = ⎣ 𝑦 𝑔 , então 𝑥 ⎤ ⎣ 𝑑𝑦 𝑦 =𝑔 . 𝑑𝑥 𝑥 (3.22) 𝑑𝑥 = (︃ 𝑑𝑦⎜ 𝑥 𝑓 (𝑥, 𝑦), deĄne-se uma nova função ℎ tal que 𝑓 (𝑥, 𝑦) seja escrita como 𝑓 (𝑥, 𝑦) = ℎ . 𝑦 De modo análogo, quando a equação diferencial homogênea estiver na forma 3.1.4.1 Método de solução A equação diferencial homogênea do tipo 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 é resolvida por meio de substituição algébrica. A substituição é feita da seguinte maneira: faz-se 𝑦 = 𝑢𝑥 ou 𝑥 = 𝑣𝑦, onde 𝑢 e 𝑣 são as novas variáveis independentes e a equação homogênea transforma-se em uma equação separável de primeira ordem. Então, seja 𝑦 = 𝑢𝑥; logo, sua diferencial será 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢. Substituindo em (3.21), tem-se: 𝑀 (𝑥, 𝑢𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑥, 𝑢𝑥)[𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢] = 0. (3.23) Se a função homogênea for de grau 𝑛, pode-se escrever: 𝑥𝑛 𝑀 (1, 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑥𝑛 𝑁 (1, 𝑢)[𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢] = 0 [𝑀 (1, 𝑢) + 𝑢𝑁 (1, 𝑢)] 𝑑𝑥 + 𝑥𝑁 (1, 𝑢)𝑑𝑢 = 0, (3.24) assim, 𝑑𝑥 𝑁 (1, 𝑢)𝑑𝑢 + = 0. 𝑥 𝑀 (1, 𝑢) + 𝑢𝑁 (1, 𝑢) (3.25) 21 Capítulo 3. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem O método aplicado, com a substituição conveniente transforma uma equação diferencial homogênea em uma equação diferencial separável. 3.1.5 Equações Lineares A forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem é dada por 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥), 𝑑𝑥 (3.26) onde 𝑎1 , 𝑎0 , ... são os coeĄcientes de (3.26) e 𝑔(𝑥) é o termo de não-homogeinidade. Di𝑑𝑦 vidindo a equação (3.26) pelo coeĄciente 𝑎1 (𝑥) de obtém-se uma forma mais útil da 𝑑𝑥 equação diferencial linear. Ou seja, 𝑑𝑦 + 𝑃 (𝑥)𝑦 = 𝐹 (𝑥), 𝑑𝑥 onde 𝑃 (𝑥) = 𝑎0 (𝑥) 𝑎1 (𝑥) e 𝐹 (𝑥) = (3.27) 𝑔(𝑥) . 𝑎1 (𝑥) (3.28) Procura-se uma solução para a equação (3.27) em um intervalo 𝐼, onde as funções 𝑃 (𝑥) e 𝐹 (𝑥) são contínuas. 3.1.5.1 Fator Integrante Supondo que a equação (3.27) tenha solução, então pode-se escrevê-la como: 𝑑𝑦 + [𝑃 (𝑥)𝑦 ⊗ 𝐹 (𝑥)] 𝑑𝑥 = 0. (3.29) As equações lineares possuem uma propriedade que permite determinar uma função Û(𝑥), onde Û(𝑥)𝑑𝑦 + Û(𝑥) [𝑃 (𝑥)𝑦 ⊗ 𝐹 (𝑥)] 𝑑𝑥 = 0 (3.30) é uma equação diferencial exata. Pelo critério das equações exatas visto na seção (3.1.2), vale que o lado esquerdo da equação (3.30) é uma diferencial exata, se 𝜕 𝜕Û = Û(𝑥) [𝑃 (𝑥)𝑦 ⊗ 𝐹 (𝑥)] , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (3.31) 𝑑Û = Û(𝑥)𝑃 (𝑥). 𝑑𝑥 (3.32) ou seja, 22 Capítulo 3. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem A equação (3.32) é separável, logo é possível determinar Û agrupando os termos de maneira conveniente, isto é, 𝑑Û(𝑥) = 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 Û(𝑥) (3.33) e integrando diretamente ambos os membros de (3.33), tem-se ∫︁ 𝑑Û(𝑥) ∫︁ = 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 Û(𝑥) que resulta em ∫︁ ln ♣ Û(𝑥) ♣= 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐. (3.34) √︃ (3.35) Portanto, Û(𝑥) = 𝑒 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 O resultado (3.35) é o fator integrante para a equação diferencial linear, e Û ̸= 0 para todo 𝑥 em 𝐼, é uma função contínua e diferenciável neste intervalo. Multiplica-se (3.27) por (3.35) √︃ 𝑒 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 √︃ + 𝑦𝑃 (𝑥)𝑒 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 √︃ =𝑒 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 𝑓 (𝑥) (3.36) de modo que do lado esquerdo da igualdade se tenha a derivada do produto do fator de integração e 𝑦, isto é, √︃ 𝑑 [︁ √︃ 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 ]︁ 𝑦 = 𝑒 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 𝑓 (𝑥). 𝑒 𝑑𝑥 (3.37) Integrando ambos os membros de (3.37), chega-se a √︃ 𝑒 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 𝑦= ∫︁ √︃ 𝑒 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶. (3.38) A solução 𝑦(𝑥) da equação diferencial (3.27) é escrita como 𝑦(𝑥) = 𝑒⊗ √︃ 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 ∫︁ √︃ 𝑒 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶𝑒⊗ √︃ 𝑃 (𝑥)𝑑𝑥 . (3.39) No próximo capítulo, discutem-se métodos para a obtenção da solução de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem. 23 4 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem As equações diferenciais lineares de segunda ordem são importantes em aplicações nas áreas de Física e da Matemática, quando estudam-se oscilações harmônicas, dinâmica de partículas ou circuitos elétricos. Neste capítulo são estudados métodos de solução para essas equações. 4.1 Equações Homogêneas e Não-homogêneas Uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem tem a forma (︃ 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ⎜ (4.1) onde 𝑓 é uma função conhecida. Denota-se 𝑥 como a variável independente, mas pode-se usar 𝑡 como variável. Para a variável dependente utiliza-se geralmente 𝑦. A equação (4.1) é dita linear quando a função 𝑓 esta na forma (︃ 𝑑𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑑𝑥 ⎜ = 𝑔(𝑥) ⊗ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑦 ⊗ 𝑞(𝑥)𝑦. 𝑑𝑥 (4.2) Observa-se que na equação (4.2) 𝑔, 𝑝 e 𝑞 são funções dependentes de 𝑥, mas que não dependem de 𝑦. Então a equação (4.1) pode ser reescrita, como 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥). (4.3) Se 𝑔(𝑥) = 0, então a equação diferencial de segunda ordem (4.3) é chamada de homogênea. Caso contrário, é não-homogênea. 4.2 Problemas de Valor Fronteira Em geral, as aplicações apresentam condições do tipo 𝑦(𝑃1 ) = 𝐾1 e 𝑦(𝑃2 ) = 𝐾2 , onde 𝐾1 , 𝐾2 são constantes que pertecem ao reais. Tais condições são conhecidas como condições de fronteira onde 𝑃1 e 𝑃2 são chamados pontos de fronteira em um intervalo 𝐼 onde a equação (4.3) é considerada. Então, a equação (4.3) e as condições 𝑦(𝑃1 ) = 𝐾1 e 𝑦(𝑃2 ) = 𝐾2 em conjunto são chamadas de Problema de Valor Fronteira. 24 Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem 4.3 Teorema da Existência de Solução Única Teorema 4.3.1 (Existência de uma Solução Única). Se 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são funções contínuas em um intervalo qualquer 𝐼 e 𝑥0 pertence a 𝐼, então o problema de valor inicial 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0, 𝑦(𝑥0 ) = 𝐾0 e 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝐾1 tem uma única solução 𝑦(𝑥) no intervalo 𝐼. A demonstração do Teorema 4.3.1 pode ser consultada em (ZILL; CULLEN, 2001). 4.4 Princípio da Superposição: Equações Homogêneas A superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea também é uma solução.(ZILL; CULLEN, 2001) Teorema 4.4.1 (Princípio da Superposição: Equações Homogêneas). Sejam 𝑦1 , 𝑦2 , ..., 𝑦𝑛 soluções para a equação diferencial linear de 𝑛⊗ésima ordem homogênea (2.2) em um intervalo 𝐼. Então a combinação linear 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ... + 𝑐𝑘 𝑦𝑘 (𝑥). (4.4) em que 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑘, são constantes arbitrárias, é também uma solução (2.2) no intervalo 𝐼. Demonstração. Prova-se o caso em que 𝑛 = 2. Sejam 𝑦1 (𝑥) e 𝑦2 (𝑥) soluções para ′′ ′ 𝑎2 (𝑥)𝑦 + 𝑎1 (𝑥)𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0. (4.5) DeĄne-se 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥), então ′′ ′′ ′ ′ 𝑎2 (𝑥)[𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ] + 𝑎1 (𝑥)[𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ] + 𝑎0 (𝑥)[𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ] ′′ ′ ′ ′′ = 𝑐1 [𝑎2 (𝑥)𝑦1 + 𝑎1 (𝑥)𝑦1 + 𝑎0 (𝑥)𝑦1 ] +𝑐2 [𝑎2 (𝑥)𝑦2 + 𝑎1 (𝑥)𝑦2 + 𝑎0 (𝑥)𝑦2 ] ⏟ ⏞ =0 ⏟ ⏞ =0 Portanto, 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) é também solução de (4.5). 4.5 Dependência Linear e Independência Linear Definição 4.5.1. Diz-se que um conjunto de funções 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ..., 𝑓𝑛 (𝑥) é linearmente dependente em um intervalo 𝐼 se existem constantes 𝑐1 , 𝑐2 , ..., 𝑐𝑛 não nulas, tais que 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ... + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0. para todo 𝑥 no intervalo.(ZILL; CULLEN, 2001) Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem 25 Definição 4.5.2. Diz-se que um conjunto de funções 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ..., 𝑓𝑛 (𝑥) é linearmente independente em um intervalo 𝐼 se ele não é linearmente dependente no intervalo. Pode-se dizer então que as funções são linearmente independentes se as constantes 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ... + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0. para todo 𝑥 no intervalo, são 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐𝑛 = 0. tantes 𝑐1 Se as funções são linearmente dependentes no intervalo, então existem cons𝑒 𝑐2 não nulas onde para todo 𝑥 no intervalo, têm-se 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) = 0. Supõe-se que 𝑐1 ̸= 0, segue-se que 𝑓1 (𝑥) = ⊗ 𝑐2 𝑓2 (𝑥). 𝑐1 Ou seja, se duas funções são linearmente dependentes, então pode ser escrita como produto da outra por uma constante. Então para alguma constante 𝑐, sem perda de generalidade pode-se escrever (⊗1).𝑓1 (𝑥) + 𝑐𝑓2 (𝑥) = 0. para todo 𝑥 no intervalo. Logo pelo menos uma das constantes (𝑐1 = ⊗1) não é nula. Portanto,conclui- se que duas funções são linearmente independentes quando não são multiplas uma da outra em um intervalo. 4.6 Teorema do Critério para Independência Linear de Funções Teorema 4.6.1 (Critério para Independência Linear de Funções). Suponha-se que 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ..., 𝑓𝑛 (𝑥) sejam diferenciáveis pelo menos 𝑛 ⊗ 1 vezes. Se o determinante ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑓1 ′ 𝑓1 .. . 𝑓2 ′ 𝑓2 .. . ≤≤≤ ≤≤≤ .. . 𝑓1𝑛⊗1 𝑓2𝑛⊗1 ≤ ≤ ≤ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑛⊗1 ⧹︃⧹︃ 𝑓𝑛 𝑓𝑛 ′ 𝑓𝑛 .. . for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo 𝐼,então as funções 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ..., 𝑓𝑛 (𝑥) são linearmente independentes no intervalo. Denota-se o determinante do teorema (4.6.1) por 𝑊 (𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ..., 𝑓𝑛 (𝑥)) e chama-se o Wronskiano das funções. 26 Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem Demonstração. Prova-se um caso particular do teorema (4.6.1) por contradição no caso em que 𝑛 = 2. Suponha-se que 𝑊 (𝑓1 (𝑥0 ), 𝑓2 (𝑥0 )) ̸= 0 para um 𝑥0 Ąxado no intervalo 𝐼 e que 𝑓1 (𝑥) e 𝑓2 (𝑥) sejam linearmente dependentes no intervalo. Para que as funções sejam linearmente dependentes existem constantes 𝑐1 e 𝑐2 não nulas tais que 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) = 0 para todo 𝑥 em 𝐼. Derivando essa equação, tem-se ′ ′ 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) = 0. Obtêm-se então, um sistema de equações lineares 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) = 0 ′ ′ 𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) = 0. (4.6) Que pode ser escrito como ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 𝑓 𝑓2 ̂︀ ∐︁𝑐1 ̂︀ ∐︁ 1 = 0. ′ ′ 𝑐2 𝑓1 𝑓2 Mas a dependência linear de 𝑓1 e 𝑓2 implica que (4.6) possui uma solução não trivial para cada 𝑥 no intervalo. Logo, 𝑊 (𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥) = ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃𝑓1 (𝑥) ⧹︃ ⧹︃ ′ ⧹︃𝑓1 (𝑥) ⧹︃ ⧹︃ 𝑓2 (𝑥)⧹︃⧹︃ ′ ⧹︃ = 0 𝑓2 (𝑥)⧹︃ para todo 𝑥 em 𝐼. Portanto, contradiz a suposição que 𝑊 (𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥) ̸= 0. Então conclui-se que 𝑓1 e 𝑓2 são linearmente dependentes. Teorema 4.6.2 (Corolário). Se 𝑓1 , 𝑓2 , ..., 𝑓𝑛 (𝑥) possuem pelo menos 𝑛 ⊗ 1 derivadas e são linearmente dependentes em 𝐼, então 𝑊 (𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ..., 𝑓𝑛 (𝑥)) = 0 4.7 Solução de Equações Homogêneas 4.7.1 Equação característica Considere a equação de segunda ordem com coeĄcientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R constantes 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 (4.7) Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem 27 uma solução de (4.7), ela é uma função que satisfaz (4.7). Pode-se supor uma solução na forma exponencial, isto é, 𝑦(𝑥) = 𝑒𝑘𝑥 , (4.8) onde 𝑘 é constante. Agora, substitui-se a solução (4.8) na equação (4.7) 𝑎(𝑘 2 𝑒𝑘𝑥 ) + 𝑏(𝑘𝑒𝑘𝑥 ) + 𝑐𝑒𝑘𝑥 = 0. Colocando o fator comum em evidência, tem-se: (𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 + 𝑐)(𝑒𝑘𝑥 ) = 0. (4.9) Como 𝑒𝑘𝑥 não se anula para valores reais de 𝑥, para que (4.9) seja verdadeira pode-se determinar um 𝑘 para que ele seja raiz da equação quadrática, ou seja, 𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 = 0. (4.10) A equação (4.10) é chamada de equação característica da equação diferencial(4.7). Consideram-se três casos para as possíveis raízes da equação (4.10): 1o Caso: Raízes reais distintas Supõe-se que a equação (4.10) tenha duas raízes reais distintas, 𝑘1 e 𝑘2 , então, obtêm-se duas soluções: 𝑦1 = 𝑒𝑘1 𝑥 e 𝑦2 = 𝑒𝑘2 𝑥 . (4.11) Pelo Princípio de Superposição, sabe-se que a soma de duas soluções também é uma solução para a equação (4.7) pode ser escrita da forma: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒𝑘1 𝑥 + 𝑐2 𝑒𝑘2 𝑥 . (4.12) 2o Caso: Raízes reais iguais Supõe-se a equação (4.10) tenha duas raízes reais iguais, isto é, 𝑘1 = 𝑘2 , então obtém-se uma única solução exponencial para a solução geral. Pelo Princípio de Superposição e devido à necessidade de independência linear das soluções, tem-se 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒𝑘1 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒𝑘1 𝑥 . (4.13) 3o caso: Raízes complexas conjugadas 28 Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem Como 𝑘1 e 𝑘2 são raízes complexas, então deĄne-se 𝑘1 = Ð + 𝑖Ñ e 𝑘2 = Ð ⊗ 𝑖Ñ, onde Ð > 0 e Ñ > 0 são reais e 𝑖2 = ⊗1. Logo, 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒(Ð+𝑖Ñ)𝑥 + 𝑐2 𝑒(Ð⊗𝑖Ñ)𝑥 . (4.14) Ao invés de trabalhar com funções exponenciais complexas, pode-se utilizar funções reais, utilizando a fórmula de Euler, 𝑒𝑖Ñ𝑥 = 𝑐1 cos(Ñ𝑥) + 𝑐2 sen(Ñ𝑥), pode-se reescrever (4.14) como: 𝑦(𝑥) = 𝑒Ð𝑥 [𝐴 cos(Ñ𝑥) + 𝐵sen(Ñ𝑥)] . (4.15) 4.8 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Não-Homogêneas 4.8.1 Solução Particular Definição 4.8.1. A função 𝑦𝑝 que não depende de parâmetros arbitrários, e que satifaz a equação 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 (𝑛) + 𝑎(𝑛⊗1) (𝑥)𝑦 (𝑛⊗1) + ... + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 ⊗ 𝑏(𝑥) = 𝑔(𝑥). (4.16) é chamada de solução particular da equação. Se 𝑦1 , 𝑦2 , ..., 𝑦𝑛 forem soluções de (2.2) em um intervalo 𝐼 e se 𝑦𝑝 for uma solução particular de (4.16) em 𝐼, então a combinação linear 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ... + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) + 𝑦𝑝 . (4.17) é também uma solução da equação (4.16). 4.8.2 Solução Geral Teorema 4.8.1 (Solução Geral - Equações Não Homogêneas). Seja 𝑦𝑝 uma solução particular qualquer da equação diferencial linear não homogênea de ordem 𝑛 (4.16) em um intervalo 𝐼, e seja, 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), ..., 𝑦𝑛 (𝑥) um conjunto de soluções da equação diferencial homogênea associada a (2.2) em 𝐼. Então, a solução geral no intervalo é 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ... + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) + 𝑦𝑝 , onde 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛 são constantes arbitrárias. A prova do teorema (4.8.1) pode ser vista no capítulo 4 do livro (ZILL, 2003). (4.18) 29 Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem 4.8.3 Princípio de Superposição: equações não-homogêneas Teorema 4.8.2 (Princípio da Superposição: Equações Não Homogêneas). Sejam 𝑦𝑝1 , 𝑦𝑝2 , ..., 𝑦𝑝k 𝑘 soluções particulares da equação diferencial linear não homogênea de ordem 𝑛 (4.16) em um intervalo 𝐼 correspondendo, por sua vez, a 𝑛 funções distintas 𝑔1 , 𝑔2 , ..., 𝑔𝑛 . Isto é, suponha-se que 𝑦𝑝 é uma solução particular da equação diferencial correspondente (𝑛) (𝑛⊗1) 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦𝑃k + 𝑎(𝑛⊗1) (𝑥)𝑦𝑃k + ... + 𝑎1 (𝑥)𝑦𝑃′ k + 𝑎0 (𝑥)𝑦𝑃k ⊗ 𝑏(𝑥) = 𝑔(𝑥), (4.19) onde 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑘. Então, 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 (𝑥) + 𝑦𝑝2 (𝑥) + ... + 𝑦𝑝k (𝑥), (4.20) é uma solução particular de ′ 𝑎𝑛 (𝑥)𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛⊗1 (𝑥)𝑦 (𝑛⊗1) + ... + 𝑎1 (𝑥)𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔1 (𝑥) + 𝑔2 (𝑥) + ... + 𝑔𝑘 (𝑥). (4.21) A prova do teorema (4.8.2) pode ser consultada no capítulo 4 do livro (ZILL, 2003). 4.8.4 Método dos CoeĄcientes Indeterminados O método dos coeĄcientes indeterminados são aplicados a equações do tipo 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑔(𝑥) (4.22) com coeĄcientes constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R para 𝑔(𝑥) como funções do tipo exponenciais, polinomiais, cossenos, senos, somas ou produtos de tais funções. Essas funções 𝑔(𝑥) têm suas derivadas parecidas a própria função 𝑔(𝑥). O método inicialmente requer uma hipotése inicial sobre a solução particular 𝑦𝑝 , mas com coeĄcientes não determinados. Substitui-se então a função hipotética na equação (4.3) e tenta-se determinar os coeĄcientes de modo que a equação seja satisfeita. Caso a hipótese esteja correta, então obtêm-se a solução da equação diferencial e pode-se usalá como solução particular 𝑦𝑝 . Se os coeĄcientes não foram determinados, isso signiĄca que não existe solução da forma que foi suposta. Nesse caso, tem-se que modiĄcar a hipótese e tentar novamente. Este método é usado em equações onde a EDO homogênea associada onde os coeĄcientes são constantes e o termo não-homogêneo pertence a classes de pequenas funções. 4.8.4.1 Demonstração do Método dos CoeĄcientes Indeterminados - caso em que 𝑔(𝑥) é uma função polinomial O modo geral da resolução do método pode ser utilizado para resolver diversos casos e formas do termo não homogêneo 𝑔(𝑥). Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem 𝑔(𝑥) = 𝑃 (𝑥) = 𝑎0 𝑥𝑛 + 𝑎1 𝑥𝑛⊗1 + ... + 𝑎𝑛 . 30 (4.23) Então a equação (??) Ąca 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑎0 𝑥𝑛 + 𝑎1 𝑥𝑛⊗1 + ... + 𝑎𝑛 . (4.24) Para obter uma solução particular, supõe-se que 𝑌 (𝑥) = 𝐴0 𝑥𝑛 + 𝐴1 𝑥𝑛⊗1 + ... + 𝐴𝑛⊗2 𝑥2 + 𝐴𝑛⊗1 𝑥 + 𝐴𝑛 . (4.25) Substituindo na equação (4.25), obtêm-se 𝑎[𝑛(𝑛 ⊗ 1)𝐴0 𝑥𝑛⊗2 + ... + 2𝐴𝑛⊗2 ] + 𝑏(𝑛𝐴0 𝑥𝑛⊗1 + ... + 𝐴𝑛⊗1 (4.26) +𝑐(𝐴0 𝑥𝑛 + 𝐴1 𝑥𝑛⊗1 + ... + 𝐴𝑛⊗1 + 𝐴𝑛 ) = 𝑎0 𝑥𝑛 + ... + 𝑎𝑛 . (4.27) Igualando as potências iguais de 𝑥, obtêm-se 𝑐𝐴0 = 𝑎0 , (4.28) 𝑐𝐴1 + 𝑛𝑏𝐴0 = 𝑎1 .. . (4.29) (4.30) 𝑐𝐴𝑛 + 𝑏𝐴𝑛⊗1 + 2𝑎𝐴𝑛⊗2 = 𝑎𝑛 . (4.31) 𝑎0 . 𝑐 Quando 𝑐 = 0 e 𝑏 ̸= 0 então a equação não pode ser satisfeita, pois o grau do polinômio na equação (4.31 ) é 𝑛 ⊗ 1, para garantir um polinômio de grau 𝑛 na equação 𝑎𝑌 ′′ (𝑥) + 𝑏𝑌 (𝑥) é preciso escolher um polinômio de grau 𝑛 + 1 para 𝑌 (𝑥). Então Quando 𝑐 ̸= 0 =⇒ 𝐴0 = 𝑌 (𝑥) = 𝑥(𝐴0 𝑥𝑛 + ... + 𝐴𝑛 ). (4.32) Se 𝑐 e 𝑏 são iguais a zero então tem-se a equação 𝑌 (𝑥) = 𝑥2 (𝐴0 𝑥𝑛 + ... + 𝐴𝑛 ) (4.33) Portanto, 𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) onde 𝑦(𝑥) é a solução da EDO homogênea associada. Existem outros casos, como o exponencial e trigonométrico, mas aqui é mostrado apenas o polinomial. Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem 31 4.8.5 Variação de Parâmetros Um outro método para encontrar uma solução particular de uma equação nãohomogênea é o método da variação de parâmetros. A variação de parâmetros se destaca pelo fato de ser um método geral. Isto é, ele pode ser aplicado a qualquer equação e não precisa de hipóteses detalhadas sobre a forma de solução. Mas por outro lado, este método pode-se tornar-se um pouco mais complicado pois em alguns casos será preciso que seja feito o cálculo de integrais envolvendo o termo não-homogêneo da equação diferencial. O método de variação de parâmetros é um método que pode ser utilizado para obter a solução geral(ou a solução particular) de uma equação diferencial ordinária linear não-homogênea ′ 𝑦 (𝑛) + 𝑝(𝑛⊗1) 𝑦 (𝑛⊗1) + ... + 𝑝1 (𝑥)𝑦 + 𝑝0 (𝑥)𝑦 = 𝑓 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼, (4.34) Sabe-se que a solução geral da equação homogênea é 𝑦ℎ (𝑥) = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + ... + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥), (4.35) onde 𝑐1 , 𝑐2 , ..., 𝑐𝑛 são constantes e 𝑦1 , 𝑦2 , ..., 𝑦𝑛 são soluções linearmente independetes da EDO homogênea associada à (4.34). Para tal método é preciso substituir as contantes 𝑐1 , 𝑐2 , ..., 𝑐𝑛 por funções 𝑢1 , 𝑢2 , ..., 𝑢𝑛 e tem-se que 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑢1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥)𝑦2 (𝑥) + ... + 𝑢𝑛 (𝑥)𝑦𝑛 (𝑥), (4.36) a Ąm de satisfazer a equação não-homogênea (4.36). As funções 𝑢1 , 𝑢2 , ..., 𝑢𝑛 não são determinadas apenas para serem utilizadas nas equações não-homogêneas, usa-se também para determinar as equações homogêneas e impõe-se que 𝑢′1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑢′2 (𝑥)𝑦2 (𝑥) = 0. (4.37) Esta condição elimina as derivadas de segunda ordem de 𝑢1 , 𝑢2 e gera o sistema ∏︁ ⨄︁ 𝑦1 (𝑥)𝑢′1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥)𝑢′2 (𝑥) = 0, ⋃︁ 𝑦 ′ (𝑥)𝑢′ (𝑥) + 𝑦 ′ (𝑥)𝑢′ (𝑥) = 𝑓 (𝑥), 2 1 2 1 que admite uma única solução, pois 𝑊 (𝑥) ̸= 0. Resolvendo o sistema obtém-se: 𝑢1 (𝑥) = 𝑐1 ⊗ ∫︁ ∫︁ 𝑦2 (𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑦1 (𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 e 𝑢2 (𝑥) = 𝑐2 + 𝑑𝑥. 𝑊 (𝑥) 𝑊 (𝑥) (4.38) 32 Capítulo 4. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem Então a solução geral da equação não-homogênea Ąca na forma ⎟ 𝑦(𝑥) = 𝑐1 ⊗ ∫︁ 𝑥 𝑦2 (Ý)𝑓 (Ý) 𝑥0 𝑊 (Ý) ⟨ ⎟ 𝑑Ý 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 + ∫︁ 𝑥 𝑦2 (Ý)𝑓 (Ý) 𝑥0 𝑊 (Ý) ⟨ 𝑑Ý 𝑦2 (𝑥) (4.39) E a solução particular da equação não-homogênea é representada por: 𝑦𝑝 (𝑥) = ⊗𝑦1 ∫︁ 𝑥 𝑦2 (Ý)𝑓 (Ý) 𝑥0 𝑊 (Ý) 𝑑Ý + 𝑦2 (𝑥) ∫︁ 𝑥 𝑦2 (Ý)𝑓 (Ý) 𝑥0 𝑊 (Ý) 𝑑Ý (4.40) A solução pode ser expressa em forma de integrais, conforme enunciado no teorema a seguir: Teorema 4.8.3 (Teorema). Se as funções 𝑝, 𝑞 e 𝑔 forem contínuas em um intervalo aberto 𝐼 e se as funções 𝑦1 e 𝑦2 formarem um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada à equação não-homogênea, 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥), (4.41) então uma solução particular para a equação (4.41) é 𝑦(𝑥) = ⊗𝑦1 ()𝑥) ∫︁ 𝑥 𝑦2 (Ý)𝑓 (Ý) 𝑥0 𝑊 (Ý) 𝑑Ý + 𝑦2 (𝑥) ∫︁ 𝑥 𝑦2 (Ý)𝑓 (Ý) 𝑥0 𝑊 (Ý) 𝑑Ý (4.42) onde 𝑥0 é qualquer ponto escolhido convenientemente em 𝐼. A solução geral é 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥). (4.43) No próximo capítulo, apresentam-se dois problemas descritos por equações diferenciais de primeira ordem e suas soluções analíticas, além de suas resoluções através do software wxMaxima. 33 5 Aplicações com software wxMaxima Alguns problemas matemáticos podem ser solucionados a partir da construção de modelos para descrever os fenômenos físicos envolvidos (STEWART, 2007). A solução para tais modelos é obtida a partir do emprego de procedimentos matemáticos adequados para cada situação-problema. Estes problemas de modelagem podem ser representados por equações diferenciais, isto é, uma equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. Como exemplo, de primeira ordem separável pode-se usar o mesmo tipo de raciocínio para descrever uma variedade de fenômenos tais como: reações químicas, descargas de poluentes em um lago, injeção de medicamentos na corrente sanguínea. Em um problema real normalmente nota-se que as mudanças ocorrem e quer-se predizer o comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam. Neste capítulo, modelam-se matematicamente dois problemas relacionadas à Farmacologia, resolve-se cada um deles analiticamente e compara-se com a solução obtida utilizando o wxMaxima. 5.1 Software wxMaxima O Maxima (SANTOS, 2009) é um sistema algébrico computacional utilizado na resolução de cálculos numéricos e simbólicos, incluindo limites, derivadas, integração, séries de Taylor, transformada de Laplace, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, polinomiais, matrizes e vetores, entre outros. Ele determina resultados precisos e pode ser trabalhado em duas ou três dimensões. Pode ser utilizado tanto no Windows quanto no Linux. Neste trabalho o wxMaxima será utilizado para a resolução das Equações Diferenciais Ordinárias. O Maxima (SANTOS, 2009) é derivado do sistema Macsyma. Esse sistema foi desenvolvido no Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT) nos anos de 1968 a 1982 como parte do projeto Macintosh (MAC). O MIT remanejou uma cópia do código fonte do Macsyma para o departamento de Energia em 1982; aquela versão Ącou conhecida como Macsyma. Uma cópia do Macsyma foi mantida pelo professor Willian F. Schelter da Universidade do Texas de 1982 até sua morte em 2001. Em 1998, Schelter conseguiu a permissão do Departamento de Energia Americano (DOE) para liberar o código fonte do Macsyma sob licença pública da General Public License (GNU), e em 2000 ele iniciou o projeto Maxima no Source Forge para manter e desenvolver o Macsyma, agora chamado Maxima. É o único sistema baseado em Macsyma ainda publicamente disponível e com uma comunidade de usuários ativa. O Maxima é um software livre para a realização de cálculos matemáticos semelhante ao Matlab e ao Mathematica. O wxMaxima 34 Capítulo 5. Aplicações com software wxMaxima é uma interface utilizada para facilitar o uso do software Maxima. Esse programa tem o código fonte aberto e ele pode ser melhorado. Se download pode ser feito pelo site: www.wxmaxima.sourceforge.net. Os comandos utilizados neste trabalho estão no Anexo A. 5.2 Problema da administração de glicose Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa constante 𝑟. À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida em outras substâncias e removida da corrente sanguínea a uma taxa que é proporcional à concentração naquele instante. Então um modelo para determinar a concentração 𝐶 = 𝐶(𝑡) da solução de glicose na corrente sanguínea pode ser representado por: 𝑑𝐶 = 𝑟 ⊗ 𝑘𝐶, 𝑑𝑡 (5.1) onde 𝑘 é uma constante positiva. A equação (5.1) modela o problema da administração de glicose. É representado por uma equação diferencial linear de primeira ordem, (porque contém uma função desconhecida que é a taxa de concentração no sangue 𝐶(𝑡) e a taxa 𝑑𝐶 de variação da concentração em relação ao tempo). Supondo que a concentração 𝑑𝑡 no tempo 𝑡 = 0 é 𝐶0 , busca-se determinar a concentração em um tempo 𝑡 qualquer. 𝑟 Assumindo que 𝐶0 < e através do cálculo do lim 𝐶(𝑡), obtém-se a solução para o 𝑡⊃∞ 𝑘 problema proposto. A solução analítica para o problema proposto é obtida através do método de separação de variáveis: 𝑑𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝑟 ⊗ 𝑘𝐶 = ⊗(𝑘𝐶 ⊗ 𝑟), (5.2) integrando ambos os membros da igualdade ∫︁ ∫︁ 𝑑𝐶 = ⊗𝑑𝑡 𝑘𝐶 ⊗ 𝑟 1 ln ♣𝑘𝐶 ⊗ 𝑟♣ = ⊗𝑡 + 𝑀1 , 𝑘 (5.3) onde 𝑀1 é a constante de integração. Multiplicando a equação (5.3) por 𝑘 ̸= 0, tem-se ln ♣ 𝑘𝐶 ⊗ 𝑟 ♣= ⊗𝑘𝑡 + 𝑀2 . Aplicando a função exponencial a ambos os membros da equação, tem-se: ♣ 𝑘𝐶 ⊗ 𝑟 ♣= 𝑒⊗𝑘𝑡+𝑀2 , (5.4) 35 Capítulo 5. Aplicações com software wxMaxima isto é, 𝑘𝐶 ⊗ 𝑟 = 𝑀3 𝑒⊗𝑘𝑡 . (5.5) Somando 𝑟 a ambos membros de (5.5), obtém-se 𝑘𝐶 = 𝑀3 𝑒⊗𝑘𝑡 + 𝑟. (5.6) Dividindo ambos os membros de (5.6) por 𝑘, obtém-se a solução geral de 𝐶(𝑡): 𝑟 𝐶(𝑡) = 𝑀4 𝑒⊗𝑘𝑡 + . 𝑘 (5.7) Aplicando a condição inicial 𝐶(0) = 𝐶0 a (5.7), tem-se: chega-se ao valor da constante 𝑟 𝐶0 = 𝑀4 + , 𝑘 (5.8) 𝑟 𝑀4 = 𝐶0 ⊗ . 𝑘 (5.9) Portanto, a solução do problema é ⎤ ⎣ 𝑟 ⊗𝑘𝑡 𝑟 𝑒 + . 𝐶(𝑡) = 𝐶0 ⊗ 𝑘 𝑘 (5.10) Uma vez determinada a solução analítica da equação (5.1) sujeita à condição 𝐶(0) = 𝐶0 , representada por (5.10), apresentam-se os comandos do wxMaxima para se obter a solução para problema proposto. (%i1) ’diff(C,x)= -(k*C-r); (%o1) 𝑑 𝐶 = 𝑟 ⊗ 𝐶𝑘 𝑑𝑥 (%i2) ode2(’diff(C,x)=r-k*C, C,x); (% o2) 𝐶 = %𝑒 ⊗𝑘𝑥 (%i3) (︃ 𝑟 %𝑒𝑘𝑥 + %c 𝑘 ⎜ ratexpand(%o2); 𝑟 𝑘 Aplicando a solução inicial tem-se: (%o3) 𝐶 = %c %𝑒⊗𝑘𝑥 + (%i4) ic1(%o3, C=C\_0,x=0); (%o4) 𝐶 = (︁ %𝑒⊗𝑘𝑥 𝑟 %𝑒𝑘𝑥 ⊗ 𝑟 + 𝐶0 𝑘 𝑘 ⎡ Capítulo 5. Aplicações com software wxMaxima (%i5) 36 method; (%o5) linear (%i6) ratexpand(%o4); 𝑟 %𝑒⊗𝑘𝑥 𝑟 (%o6) 𝐶 = ⊗ + 𝐶0 %𝑒⊗𝑘𝑥 + 𝑘 𝑘 (%i7) limit(%o6, x, inf); 𝑘 𝐼𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒, 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑜𝑟 𝑧𝑒𝑟𝑜? 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑟 (% o7) 𝐶 = 𝑘 Para obter o gráĄco do comportamento da solução (5.10), atribuem-se valores para as constantes 𝑘, 𝑟 e 𝐶0 . 0, 0002 𝑟 . Neste Tomando-se 𝑘 = 0, 01 e 𝑟 = 0, 0002, como 𝐶0 > , então 𝐶0 > 𝑘 0, 01 trabalho, assume-se 𝐶0 = 0, 15. Estes valores seguem a sugestão de (STEWART, 2007). Os comandos do wxMaxima para mostrar o gráĄco da Figura 2 são: (%i1) C\_0:0.15; (%o1) 0.15 (% i2) k:0.01; (%o2) 0.01 (%i3) r:0.0002; (%o3) 2.010⊗4 (%i4) plot2d([-r*\%e\^{}(-k*t)/k+C\_0*\%e\^{}(-k*t)+r/k],\\ [t,0,700],[plot\_format, xmaxima]); (%o4) 𝐶 : /𝑈 𝑠𝑒𝑟𝑠/𝑚𝑎𝑥𝑜𝑢𝑡8244.𝑥𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 Capítulo 5. Aplicações com software wxMaxima 37 Figura 2 Ű Administração da glicose É possível notar que através da solução obtida pelo software wxMaxima que apre𝑟 𝑟 senta lim 𝐶(𝑡) = , para 𝑘 > 0. A partir desse resultado e assumindo que se 𝐶0 < , 𝑡⊃∞ 𝑘 𝑘 𝑟 então 𝐶0 ⊗ < 0. Nota-se a partir daí que 𝐶(𝑡) aumenta e à medida que 𝑡 aumenta, 𝐶(𝑡) 𝑘 𝑟 diminui de uma forma constante quando aumenta. 𝑘 5.3 Problema de Absorção de remédios Um dos problemas clássicos em Farmacologia consiste em saber como decai a concentração de uma droga administrada em um paciente (STEWART, 2007). A informação sobre esse fato admite que a dosagem seja aplicada na medida correta no paciente e o intervalo de tempo adequado entre cada aplicação. O modelo em questão assume que seja 𝐶(𝑡) a concentração de um remédio na circulação sanguínea de um determinado paciente. À medida que o corpo elimina o remédio; 𝐶(𝑡) diminui a uma taxa proporcional à quantidade de medicamento que está presente naquele momento. Então a equação diferencial que modela o problema pode ser escrita como 𝑑𝐶(𝑡) = ⊗𝑘𝐶(𝑡), (5.11) 𝑑𝑡 onde 𝑘 é um número positivo chamado constante de eliminação do remédio. Capítulo 5. Aplicações com software wxMaxima 38 Supondo-se que seja ministrada uma dose inicial igual a 𝐶0 no tempo 𝑡 = 0, que é absorvida pelo sangue instantaneamente, precisa-se determinar a concentração no tempo 𝑡. Aplicando o método de separação de variáveis na equação (5.11), tem-se: 𝑑𝐶(𝑡) = ⊗𝑘𝑑𝑡 𝐶(𝑡) (5.12) Integrando ambos os membros de (5.12) em relação a 𝑡: ∫︁ ∫︁ 𝑑𝐶 = ⊗𝑘 𝑑𝑡 𝐶 chega-se a 𝐶(𝑡) = 𝐵𝑒⊗𝑘𝑡 . (5.13) Aplicando a condição inicial em (5.13), determina-se a constante 𝐵: 𝐶(0) = 𝐵𝑒0 . (5.14) 𝐶0 = 𝐵. (5.15) Portanto, Logo, a solução da equação diferencial (5.11) é 𝐶(𝑡) = 𝐶0 𝑒⊗𝑘𝑡 . (5.16) Utilizando o software wxMaxima, resolve-se a mesma EDO. (%i1) ’diff(C,t)= -k*C/*; (%o1) 𝑑 𝐶 = ⊗𝑘 𝐶 𝑑𝑡 (%i2) ode2(’diff(C,t)=-k*C, C,t); (%o2) 𝐶 = %𝑐 𝑒⊗𝑘 𝑡 (%i4) ic1(%o2, C=C_0,t=0); (%o4) 𝐶 = 𝑒⊗𝑘 𝑡 𝐶_0 Uma aplicação prática do problema de absorção de drogas pode ser a determinação do tempo que o organismo leva para eliminar certa dosagem de uma substância aplicada em um paciente. 39 Capítulo 5. Aplicações com software wxMaxima Suponha que se queira determinar quanto tempo o paciente leva para eliminar 90% do medicamento aplicado, sabendo-se que o corpo elimina metade do remédio em 30 horas. Uma vez que em 30 horas o organismo elimina metade do medicamento, pode-se determinar o valor da constante de decaimento da concentração do remédio (𝑘). Neste caso, tem-se: 𝐶0 , (5.17) 𝐶(30) = 2 então 𝐶0 𝑒⊗30𝑘 = 𝐶0 . 2 (5.18) Logo, 𝑘 ≡ 0, 02310490601866484. (5.19) e, portanto, pode-se reescrever 𝐶(𝑡) 𝐶(𝑡) = 𝐶0 𝑒⊗0,02310490601866484𝑡 . (5.20) A Ąm de determinar o tempo 𝑡 em horas que o paciente leva para eliminar 90%, considerase que ainda restam no organismo apenas 10% da concentração inicial. Ou seja, 𝐶(𝑡) = 0, 1𝐶0 . (5.21) Igualando as equações (5.20) e (5.21), tem-se 0, 1𝐶0 = 𝐶0 𝑒⊗0,02310490601866484𝑡 . (5.22) Isolando a variável 𝑡 em (5.22), obtém-se o valor procurado, isto é, 𝑡 ≡ 100 horas. Este problema também pode ser resolvido no wxMaxima, digitando-se os comandos: (%i1) C(t):=e\^{}(-k*t)*\%C\_0; (%o1) C(𝑡) := 𝑒(⊗𝑘)𝑡 %C 0 Aplicando a condição inicial: (%i2) eq1:C(30)=\%C\_0/2; (%o2) %C 0 %C 0 = 30𝑘 𝑒 2 (%i3) solve (eq1, k)\$; Observa-se que um único valor de k é real: Capítulo 5. Aplicações com software wxMaxima (%i4) 40 k=log(2)/(30*log(\%e)),numer; (%o4) 𝑘 = 0.02310490601866484 Deve-se determinar o tempo que leva para o paciente eliminar 90% do medicamento: (%i5) solve(log(1/10)=-0.02310490601866484*t,t),numer; (%o5) rat: replaced -2.302585092994045 by -11249839/4885743 = -2.302585092994044 rat: replaced 0.02310490601866484 by 731697/31668469 = 0.02310490601866481 rat: replaced -2.302585 092994044 by -11249839/4885743 = -2.302585092994044 rat: replaced 0.0231049060186648 1 by 731697/31668469 = 0.02310490601866481 rat: replaced 6.463121398319984E-15 by 1/1547 24000737467 = 6.463121398319984E-15 rat: replaced -99.65 784284662095 by -185232139/1858681 = -99.657842846 62081[𝑡 = 99.65784284662081] Para obter o gráĄco da solução é preciso determinar a dosagem a ser ingerida pelo paciente, então a condição inicial do medicamento a ser ministrado, será 𝐶0 = 60𝑚𝑙, com este condição é possível saber também através da solução gráĄca quantas horas o remédio leva para agir no organismo do paciente. Portanto, têm-se: --> C(t):=%C_0*exp(-0.02310490601866484*t); (%o6) 𝐶(𝑡) := %𝐶_0%𝑒 (⊗0.02310490601866484 ≤ 𝑡) Supondo uma quantidade inicial de 60ml de droga ou remédio: --> %C_0:60; (%o10) 60 --> C(t); (%o11) 60 ≤ 𝑒⊗0.02310490601866484≤𝑡 --> plot2d([C(t)],[t,0,100])$; (%o12) 𝐶 : /𝑈 𝑠𝑒𝑟𝑠/𝑈 𝑠𝑢𝑎𝑟𝑖𝑜/𝑚𝑎𝑥𝑜𝑢𝑡.𝑔𝑛𝑢𝑝𝑙𝑜𝑡] Capítulo 5. Aplicações com software wxMaxima 41 Figura 3 Ű Absorção de remédios No próximo capítulo, apresentam-se as conclusões deste trabalho de conclusão de curso e uma proposta de trabalho futuro. 42 6 Conclusões A teoria sobre equações diferenciais ordinárias é estudada há muito tempo, e até hoje, aborda assuntos relacionados ao nosso dia-a-dia. Com base neste fato, o presente trabalho foi escrito de modo a conter duas aplicações relacionadas à Farmacologia, com o propósito de mostrar aplicações nessa área e estudar conceitos da teoria das equações diferenciais ordinárias. Dentre os conteúdos estudados, destacam-se as deĄnições, os teoremas e os métodos de solução das equações diferenciais ordinárias. Neste trabalho foi apresentado o estudo de dois problemas de aplicação envolvendo equações diferenciais lineares: a administração da glicose na corrente sanguínea e o problema da absorção de remédios (estudo da concentração de remédios administrada em um paciente). Tais aplicações foram escolhidas a Ąm de mostrar a vasta abrangência dos conceitos envolvendo equações diferenciais, fugindo dos exemplos tradicionais como o crescimento populacional e o decaimento radioativo. Os dois modelos matemáticos foram solucionados analiticamente e através do emprego do software de computação simbólica wxMaxima. O software, além de auxiliar na solução dos problemas, foi utilizado a Ąm de obter a representação gráĄca da solução para os problemas de administração da glicose e absorção de remédios. Os objetivos deste trabalho foram atingidos, uma vez que se obteve a solução das equações diferenciais ordinárias lineares tanto analiticamente, como utilizando o software. Tais soluções apresentaram o mesmo resultado, como já era esperado. Nesse caso, pode-se aĄrmar que o emprego da ferramenta computacional wxMaxima auxilia no entendimento da solução de tais equações. Espera-se que esse trabalho contribua para estudos futuros, auxiliando na melhor compreensão dos conceitos sobre equações diferenciais ordinárias lineares. Futuramente, pretende-se continuar o estudo de equações diferencias de segunda ordem, e utilizar o wxMaxima no estudo da solução de equações diferenciais parciais. 43 Referências ALITOLEF, S. dos S. Algumas aplicações das equações diferenciais. 2011. Disponível em: <http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_2011_sergio_alitollef.pdf>. Acesso em: 20.07.2016. Citado na página 10. ARAúJO, J. E. de. Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações. 2011. Disponível em: <http://dspace.bc.uepb.edu.br:8080/jspui/bitstream/123456789/429/3/PDF% 20-%20Joselito%20Elias%20de%20Ara%C3%BAjo%201.pdf>. Acesso em: 01.04.2015. Citado na página 10. BASSANEZI, R. C.; JR., W. C. F. Equações Diferenciais com Aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1988. Citado 2 vezes nas páginas 9 e 16. DIACU, F. Introdução a Equações Diferenciais: Teoria e Aplicações. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Citado na página 9. FIGUEIREDO, D. G. de; NEVES, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. 2. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2001. Citado na página 9. NóBREGA, D. D. Equações diferenciais ordinárias e algumas aplicações. 2016. Disponível em: <https://monograĄas.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/2777/6/Equa%C3%A7% C3%B5es%20diferenciais%20ordin%C3%A1rias%20e%20algumas%20aplica%C3%A7% C3%B5es_Monogr%C3%A1Ąa_N%C3%B3brega.pdf>. Acesso em: 28.10.2017. Citado na página 10. SANTOS, B. Introdução ao Software Maxima. 2009. Disponível em: <http: //cmup.fc.up.pt/cmup/v2/include/Ąledb.php?id=289&table=publicacoes&Ąeld=Ąle>. Acesso em: 09.09.2017. Citado na página 33. STEWART, J. Cálculo, volume 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2007. Citado 3 vezes nas páginas 33, 36 e 37. ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 3. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Citado 7 vezes nas páginas 9, 11, 12, 13, 17, 28 e 29. ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações Diferenciais. 3. ed. São Paulo: Pearson Education, 2001. Citado 2 vezes nas páginas 11 e 24. Anexos 45 ANEXO A Ű Comandos do wxMaxima A seguir são apresentados os principais comandos do wxMaxima utilizados ao longo deste trabalho. Tabela 1 Ű Comandos do wxMaxima Comando ode2(edo, variável dependente,variável independente) ic1(solução geral, valor da variável dependente,valor da variável independente) Šdiff(variável dependente,variável independente) ratexpand( ) ratsimp( ) method( ) Limit (função, variável, valor que tende a variável, direção que se aproxima do limite) Solve(função, variáveis) Eq:( ) plot2d([ ], [ ], [ ]) Operação Executada Resolve equações diferenciais de primeira e segunda ordem. Resolve o problema de valor inicial formado por uma equação diferencial de primeira ordem. Declara o termo 𝑑𝑦/𝑑𝑥. Expande a expressão dada. SimpliĄca a expressão dada e todas as suas sub expressões. Explicita o método que foi utilizado para resolver a equação diferencial. Calcula limites no wxMaxima. Resolve equações. DeĄne a equação no wxMaxima. Mostra o gráĄco em 2 dimensões.