Libro de Calor - Transferencia de Calor y Masa, Cengel, 4ta Edicion

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100 cm/s2 1 m/s2
3.2808 ft/s2 1 ft/s2
0.3048* m/s2 Área 1 m2
104 cm2
106 mm2
106 km2 1 m2
1 550 in2
10.764 ft2 1 ft2
144 in2
0.09290304* m2 Densidad 1 g/cm3
1 kg/L
1 000 kg/m3 1 g/cm3
62.428 lbm/ft3
0.036127 lbm/in3 1 lbm/in3
1 728 lbm/ft3 1 kg/m3
0.062428 lbm/ft3 Energía, calor, trabajo, energía interna, entalpía 1 1 1 1 1 1 Fuerza 1 N
1 kg · m/s2
105 dina 1 kgf
9.80665 N 1 N
0.22481 lbf 1 lbf
32.174 lbm · ft/s2
4.44822 N Flujo de calor 1 W/cm2
104 W/m2 1 W/m2
0.3171 Btu/h · ft2 Rapidez de generación de calor 1 W/cm3
106 W/m3 1 W/m3
0.09665 Btu/h · ft3 Coeficiente de transferencia de calor 1 W/m2 · °C
1 W/m2 · K 1 W/m2 · °C
0.17612 Btu/h · ft2 · °F Longitud 1 m
100 cm
1 000 mm 1 km
1 000 m 1 1 1 1 m
39.370 in
3.2808 ft
1.0926 yd ft
12 in
0.3048* m milla
5 280 ft
1.6093 km in
2.54* cm Masa 1 kg
1 000 g 1 tonelada métrica
1 000 kg 1 1 1 1 1 kg
2.2046226 lbm lbm
0.45359237* kg onza
28.3495 g slug
32.174 lbm
14.5939 kg tonelada corta
2 000 lbm
907.1847 kg Potencia, rapidez de transferencia de calor 1 W
1 J/s 1 kW
1 000 W
1.341 hp 1 kW
3412.14 Btu/h
737.56 lbf · ft/s 1 hp‡
745.7 W 1 hp
550 lbf · ft/s
0.7068 Btu/s
42.41 Btu/min
2 544.5 Btu/h
0.74570 kW 1 hp de caldera
33 475 Btu/h 1 Btu/h
1.055056 kJ/h 1 tonelada de refrigeración
200 Btu/min Presión 1 Pa
1 N/m2 1 kPa
103 Pa
103 MPa 1 atm
101.325 kPa
1.01325 bars
760 mmHg a 0°C
1.03323 kgf/cm2 1 mmHg
0.1333 kPa 1 Pa
1.4504  104 psia
0.020886 lbf/ft2 1 psia
144 lbf/ft2
6.894757 kPa 1 atm
14.696 psia
29.92 inHg a 30°F 1 inHg
3.387 kPa Calor específico 1 kJ/kg · °C
1 kJ/kg · K
1 J/g · °C 1 Btu/lbm · °F
4.1868 kJ/kg · °C 1 Btu/lbmol · R
4.1868 kJ/kmol · K 1 kJ/kg · °C
0.23885 Btu/lbm · °F
0.23885 Btu/lbm · R kJ
1 000 J
1 000 Nm
1 kPa · m3 kJ/kg
1 000 m2/s2 kWh
3 600 kJ cal†
4.184 J IT cal†
4.1868 J Cal†
4.1868 kJ 1 kJ
0.94782 Btu 1 Btu
1.055056 kJ
5.40395 psia · ft3
778.169 lbf · ft 1 Btu/lbm
25 037 ft2/s2
2.326* kJ/kg 1 kJ/kg
0.430 Btu/lbm 1 kWh
3 412.14 Btu 1 therm
105 Btu
1.055  105 kJ (gas natural) * Factor de conversión exacto entre unidades métricas e inglesas. † Originalmente, la caloría se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua en 1°C, pero varía con la presión. La caloría de la tabla internacional de vapor (IT) (preferida en general por los ingenieros) es, por definición, exactamente 4.1868 J y corresponde al calor específico del agua a 15°C. La caloría termodinámica (generalmente preferida por los físicos) es, por definición, exactamente igual a 4.184 J y corresponde al calor específico del agua a la temperatura ambiente. La diferencia entre las dos es alrededor del 0.06%, lo cual es despreciable. La Caloría, con letra inicial mayúscula, que usan los especialistas en nutrición en realidad es una kilocaloría (1 000 calorias IT). ‡ Caballo de potencia mecánico. El caballo de potencia eléctrico se toma exactamente como 746 W. http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM DIMENSIÓN Page iii MÉTRICA MÉTRICA/INGLESA Volumen específico 1 m /kg
1 000 L/kg
1 000 cm3/g 1 m3/kg
16.02 ft3/lbm 1 ft3/lbm
0.062428 m3/kg Temperatura T(K)
T(°C)  273.15 T(K)
T(°C) T(R)
T(°F)  459.67
1.8T(K) T(°F)
1.8 T(°C)  32 T(°F)
T(R)
1.8* T(K) Conductividad térmica 1 W/m · °C
1 W/m · K 1 W/m · °C
0.57782 Btu/h · ft · °F Resistencia térmica 1°C/W
1 K/W 1 K/W
0.52750°F/h · Btu Velocidad 1 m/s
3.60 km/h 1 m/s
3.2808 ft/s
2.237 mi/h 1 mi/h
1.46667 ft/s 1 mi/h
1.609 km/h Viscosidad dinámica 1 kg/m · s
1 N · s/m2
1 Pa · s
10 poise 1 kg/m · s
2 419.1 lbf/ft · h
0.020886 lbf · s/ft2
5.8016  106 lbf · h/ft2 Viscosidad cinemática 1 m2/s
104 cm2/s 1 stoke
1 cm2/s
104 m2/s 1 m3
1 000 L
106 cm3 (cc) 1 m2/s
10.764 ft2/s
3.875  104 ft2/h 1 m2/s
10.764 ft2/s 1 m3
6.1024  104 in3
35.315 ft3
264.17 gal (E.U.) 1 galón E.U.
231 in3
3.7854 L 1 onza fluida
29.5735 cm3
0.0295735 L 1 galón E.U.
128 onzas fluidas Volumen 3 Algunas constantes físicas Constante universal de los gases Ru
8.31447 kJ/kmol · K
8.31447 kPa · m3/kmol · K
0.0831447 bar · m3/kmol · K
82.05 L · atm/kmol · K
1.9858 Btu/lbmol · R
1 545.35 ft · lbf/lbmol · R
10.73 psia · ft3/lbmol · R Aceleración estándar de la gravedad g
9.80665 m/s2
32.174 ft/s2 Presión atmosférica estándar 1 atm
101.325 kPa
1.01325 bar
14.696 psia
760 mmHg (0°C)
29.9213 inHg (32°F)
10.3323 mH2O (4°C) Constante de Stefan-Boltzmann s
5.6704  108 W/m2 · K4
0.1714  108 Btu/h · ft2 · R4 Constante de Boltzmann k
1.380650  1023 J/K Velocidad de la luz en vacío c
2.9979  108 m/s
9.836  108 ft/s Velocidad del sonido en aire seco a 0°C y 1 atm C
331.36 m/s
1 089 ft/s Calor de fusión del agua a 1 atm hif
333.7 kJ/kg
143.5 Btu/lbm Calor de vaporización del agua a 1 atm hfg
2 257.1 kJ/kg
970.4 Btu/lbm http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page iv http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page v TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page vi Citas sobre Ética Sin la ética, todo sucede como si cinco mil millones de pasajeros fueran abordo de una embarcación sin conductor. Cada vez más de prisa, pero no sabemos hacia adónde. —Jacques Cousteau Que tenga el derecho o la posibilidad de hacerlo, no significa que sea correcto hacerlo. —Laura Schlessinger Un hombre sin ética es una bestia salvaje deambulando por este mundo. —Manly Hall La preocupación por el hombre y su destino deben ser siempre el principal interés de cualquier esfuerzo técnico. Nunca lo olvide entre sus diagramas y ecuaciones. —Albert Einstein La cobardía pregunta ‘¿Es seguro?’. La conveniencia pregunta ‘¿Es políticamente aceptable?’ La vanidad pregunta ‘¿Es popular?’. Pero la conciencia pregunta ‘¿Es lo correcto?’ Y entonces llega el momento en que una persona debe asumir una postura que no es segura, ni políticamente aceptable ni popular, pero que es su deber asumirla pues su conciencia le dice que es lo correcto. —Martin Luther King, Jr. Educar mental y no moralmente a un hombre es crear un peligro para la sociedad. —Theodore Rooselvelt La política que gira alrededor del beneficio es salvajismo. —Said Nursi La verdadera prueba de la civilización no es el censo ni el tamaño de las ciudades ni de los cultivos, sino el tipo de hombre que el país produce. —Ralph W. Emerson El verdadero carácter de un hombre se puede apreciar en qué haría si supiera que nadie nunca lo sabría. —Thomas B. Macaulay http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page vii TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA FUNDAMENTOS Y APLICACIONES Cuarta edición YUNUS A. ÇENGEL University of Nevada, Reno AFSHIN J. GHAJAR Oklahoma State University, Stillwater Revisión técnica Rosario Dávalos Gutiérrez Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas, Instituto Politécnico Nacional, México Juan José Coble Castro Universidad Antonio de Nebrija, Madrid, España Sofía Faddeeva Sknarina Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México Álvaro Ochoa López Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page viii Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Erika Jasso Hernán D’Borneville TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA. Fundamentos y aplicaciones Cuarta edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. Educación DERECHOS RESERVADOS © 2011, 2007, 2004 respecto a la tercera edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN: 978-607-15-0540-8 ISBN edición anterior: 978-970-10-6173-2 Traducido de la cuarta edición de Heat and Mass Transfer by Yunus A. Çengel and Afshin J. Ghajar. Copyright © 2011 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN: 978-0-07-339812-9 1098765432 1098765432101 Impreso en México Printed in Mexico http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page ix ACERCA DE LOS AUTORES Yunus A. Çengel es profesor de Ingeniería Mecánica en la Universidad de Nevada en Reno. Recibió su grado de doctor en Ingeniería Mecánica en la Universidad Estatal de Carolina del Norte en 1984. Sus áreas de investigación son la energía renovable, la desalinización, el análisis de la energía, el mejoramiento de la transferencia de calor, la transferencia de calor por radiación y la conservación de la energía. Ha fungido como director del Industrial Assessment Center (IAC) en la Universidad de Nevada en Reno, de 1996 a 2000. Ha conducido equipos de estudiantes de ingeniería a numerosas instalaciones industriales en el norte de Nevada y California, para efectuar evaluaciones industriales y ha preparado informes sobre conservación de la energía, minimización de los desechos y mejoramiento de la productividad para ellas. El doctor Çengel es coautor de libros de texto ampliamente aceptados, como: Termodinámica: una aproximación a la ingeniería (2002), ahora en su cuarta edición, y Fundamentos de ciencias de termofluidos (2001), los dos publicados por McGraw-Hill. También es autor del libro de texto Introduction to Thermodynamics and Heat Transfer (1997) publicado por McGraw-Hill. Algunos de sus libros de texto han sido traducidos al chino, japonés, coreano, español, turco, italiano y griego. Ha recibido varios premios sobresalientes en el ámbito de la enseñanza como el premio ASEE Meriam/Wiley como autor distinguido en 1992 y, una vez más, en 2000. Es ingeniero profesional registrado en el estado de Nevada y miembro de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos (ASME, por sus siglas en inglés) y la Sociedad Estadounidense para la Educación en Ingeniería (ASEE, por sus siglas en inglés). Afshin J. Ghajar es profesor distinguido con el nombramiento de Regents Professor y director de estudios de posgrado en la Escuela de Mecánica e Ingeniería Aeroespacial en la Oklahoma State University, Stillwater, Oklahoma, y profesor honorario en la Xi’an Jiaotong University, Xi’an, China. Obtuvo su licenciatura, maestría y doctorado en ingeniería mecánica por la Oklahoma State University. Se ha especializado en transferencia de calor y mecánica de fluidos en las áreas experimental y computacional. Ha realizado importantes aportaciones al campo de las ciencias térmicas a través de sus trabajos experimentales, empíricos y numéricos sobre transferencia de calor y estratificación en sistemas de almacenamiento sensible, transferencia térmica a fluidos no newtonianos, transferencia de calor en la región de transición y transferencia de calor no hirviente en flujos bifásicos. Su investigación se ha centrado, actualmente, en la transferencia de calor en los flujos bifásicos, la administración térmica de mini y microsistemas y la transferencia de calor por convección mixta y la caída de presión en la región de transición. Ha participado como investigador asociado de verano en el Wright Patterson AFB (Dayton, Ohio) y en Dow Chemical Company (Freeport, Texas). Ha publicado con sus colaboradores más de 150 trabajos de investigación. Tiene en su haber varios discursos inaugurales y conferencias en importantes conferencias e instituciones técnicas. Ha recibido múltiples premios por su labor magisterial, científica y consultiva del College of Engineering at Oklahoma State University. El doctor Ghajar pertenece a la American Society of Mechanical Engineers (ASME), es editor para CRS Press/Taylor & Francis y editor en jefe de Heat Transfer Engineering, una revista internacional orientada a los ingenieros y especialistas en transferencia de calor publicada por Taylor y Francis. http://librosysolucionarios.net ix Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page x CONTENIDO CAPÍTULO BREVE UNO INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS CAPÍTULO 1 DOS ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR 63 CAPÍTULO TRES CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO CAPÍTULO C U AT R O CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO CAPÍTULO 519 DIEZ EBULLICIÓN Y CONDENSACIÓN CAPÍTULO 581 ONCE INTERCAMBIADORES DE CALOR CAPÍTULO 465 NUEVE CONVECCIÓN NATURAL CAPÍTULO 417 OCHO CONVECCIÓN INTERNA FORZADA CAPÍTULO 373 SIETE CONVECCIÓN EXTERNA FORZADA CAPÍTULO 295 SEIS FUNDAMENTOS DE LA CONVECCIÓN CAPÍTULO 225 CINCO MÉTODOS NUMÉRICOS EN LA CONDUCCIÓN DE CALOR CAPÍTULO 135 629 DOCE FUNDAMENTOS DE LA RADIACIÓN TÉRMICA 683 CAPÍTULO TRECE TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN CAPÍTULO C AT O R C E TRANSFERENCIA DE MASA APÉNDICE 731 795 1 TABLAS Y DIAGRAMAS DE PROPIEDADES (SISTEMA INTERNACIONAL) APÉNDICE 2 TABLAS Y DIAGRAMAS DE PROPIEDADES (SISTEMA INGLÉS) x http://librosysolucionarios.net 893 865 Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xi CONTENIDO Prefacio xvii Transferencia de calor multidimensional 66 Generación de calor 68 2-2 CAPÍTULO UNO INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS 1-1 Ecuación de la conducción de calor en una pared plana grande 69 Ecuación de la conducción de calor en un cilindro largo 71 Ecuación de la conducción de calor en una esfera 72 Ecuación unidimensional combinada de la conducción de calor 73 1 Termodinámica y transferencia de calor 2 Áreas de aplicación de la transferencia de calor 3 Fundamentos históricos 3 1-2 Elaboración de modelos en la transferencia de calor 1-3 2-3 Transferencia de calor en la ingeniería 4 1-4 Calor y otras formas de energía 6 1-5 1-6 2-4 Conductividad térmica 19 Difusividad térmica 22 1-7 Convección 25 1-8 Radiación 27 1-9 Mecanismos simultáneos de transferencia de calor 30 Condición de frontera de temperatura específica 80 Condición de frontera de flujo específico de calor 80 Condición de convección de frontera 82 Condición de radiación de frontera 84 Condiciones de frontera en la interfase 85 Condiciones de frontera generalizadas 85 2-5 Resolución de problemas unidimensionales de conducción de calor en regimen estacionario 87 2-6 2-7 Generación de calor en un sólido 99 Mecanismos de transferencia de calor 17 Conducción 17 Condiciones de frontera e iniciales 78 1 2 3 4 5 6 Primera ley de la termodinámica 11 Balance de energía para sistemas cerrados (masa fija) 12 Balance de energía para sistemas de flujo estacionario 12 Balance de energía en la superficie 13 Ecuación general de conducción de calor 75 Coordenadas rectangulares 75 Coordenadas cilíndricas 77 Coordenadas esféricas 77 5 Calores específicos de gases, líquidos y sólidos 7 Transferencia de la energía 9 Ecuación unidimensional de la conducción de calor 69 Conductividad térmica variable, k(T) 106 Tema de interés especial: Un breve repaso de las ecuaciones diferenciales 109 Resumen 114 Bibliografía y lecturas sugeridas 115 Problemas 115 1-10 Técnica de resolución de problemas 35 Software para ingeniería 37 Solucionador de ecuación de ingeniería o Engineering Equation Solver (EES) 38 Una observación sobre las cifras significativas 39 Tema de interés especial: Comodidad térmica 40 CAPÍTULO TRES CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO 135 3-1 Resumen 46 Bibliografía y lecturas sugeridas 47 Problemas 47 CAPÍTULO El concepto de resistencia térmica 137 Red de resistencias térmicas 139 Paredes planas de capas múltiples 141 DOS 3-2 3-3 Resistencia térmica por contacto 146 3-4 Conducción de calor en cilindros y esferas 154 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR 63 2-1 Conducción de calor en estado estacionario en paredes planas 136 Introducción 64 Transferencia de calor estable en comparación con la transferencia transitoria 65 Redes generalizadas de resistencias térmicas 151 Cilindros y esferas con capas múltiples 156 3-5 Radio crítico de aislamiento 160 xi http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xii xii CONTENIDO 3-6 Transferencia de calor desde superficies con aletas 163 Ecuación de la aleta 164 Eficiencia de la aleta 169 Efectividad de la aleta 171 Longitud apropiada de una aleta 174 3-7 5-3 Condiciones de frontera 304 5-4 Tema de interés especial: Transferencia de calor a través de paredes y techos 184 5-5 C U AT R O Tema de interés especial: Control del error numérico 346 CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO 225 Conducción de calor en régimen transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas con efectos espaciales 232 Problema de conducción transitoria unidimensional, en forma adimensional 233 4-3 Resumen 350 Bibliografía y lecturas sugeridas 351 Problemas 351 Análisis de sistemas concentrados 226 Criterios para el análisis de sistemas concentrados 227 Algunas observaciones sobre la transferencia de calor en sistemas concentrados 229 4-2 CAPÍTULO 6-1 Mecanismo físico de la convección 374 Número de Nusselt 376 6-2 Clasificación de los flujos de fluidos 377 Región viscosa de flujo en comparación con la no viscosa 378 Flujo interno en comparación con el externo 378 Flujo compresible en comparación con el incompresible 378 Flujo laminar en comparación con el turbulento 379 Flujo natural (o no forzado) en comparación con el forzado 379 Flujo estacionario en comparación con el no estacionario 379 Flujos unidimensional, bidimensional y tridimensional 380 Conducción de calor en régimen transitorio en sólidos semiinfinitos 249 Conducción de calor en régimen transitorio en sistemas multidimensionales 256 Tema de interés especial: Refrigeración y congelación de alimentos 264 Resumen 275 Bibliografía y lecturas sugeridas 277 Problemas 277 SEIS FUNDAMENTOS DE LA CONVECCIÓN 373 Contacto de dos sólidos semiinfinitos 253 4-4 Conducción de calor en régimen transitorio 322 Conducción de calor en régimen transitorio en una pared plana 324 Conducción bidimensional de calor en régimen transitorio 335 Software SS-T CONDUCT interactivo 340 Resumen 194 Bibliografía y lecturas sugeridas 196 Problemas 196 4-1 Conducción bidimensional de calor en estado estacionario 313 Nodos frontera 314 Fronteras irregulares 318 Transferencia de calor en configuraciones comunes 179 CAPÍTULO Conducción unidimensional de calor en estado estacionario 302 6-3 Capa límite de la velocidad 381 Esfuerzo cortante superficial 382 CAPÍTULO 6-4 CINCO Capa límite térmica 383 Número de Prandtl 384 MÉTODOS NUMÉRICOS EN LA CONDUCCIÓN DE CALOR 295 6-5 5-1 6-6 Transferencia de calor y de cantidad de movimiento en el flujo turbulento 386 6-7 Deducción de las ecuaciones diferenciales de la convección 388 ¿Por qué los métodos numéricos? 296 1 2 3 4 5 5-2 Limitaciones 297 Una mejor elaboración de modelos 297 Flexibilidad 298 Complicaciones 298 Naturaleza humana 298 Formulación en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales 299 Flujos laminar y turbulento 384 Número de Reynolds 385 Ecuación de la conservación de la masa 389 Las ecuaciones de la cantidad de movimiento 389 Ecuación de la conservación de la energía 391 http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xiii xiii CONTENIDO 6-8 Flujo constante de calor en la superficie (q·s
constante) 473 Temperatura superficial constante (Ts
constante) 474 Soluciones de las ecuaciones de convección para una placa plana 395 La ecuación de la energía 397 6-9 Ecuaciones adimensionales de la convección y semejanza 399 8-5 Caída de presión 479 Perfil de temperatura y el número de Nusselt 481 Flujo constante de calor en la superficie 481 Temperatura superficial constante 482 Flujo laminar en tubos no circulares 483 Desarrollo del flujo laminar en la región de entrada 484 6-10 Formas funcionales de los coeficientes de fricción y de convección 400 6-11 Analogías entre la cantidad de movimiento y la transferencia de calor 401 Tema de interés especial: Transferencia de calor a microescala 404 8-6 SIETE CONVECCIÓN EXTERNA FORZADA 417 7-1 Tema de interés especial: Flujo de transición en tubos 497 Caída de presión sobre la región de transición 497 Transferencia de calor en la región de transición 501 Caída de presión en la región de transición en mini y microtubos 504 Fuerza de resistencia al movimiento y transferencia de calor en el flujo externo 418 Resistencia al movimiento debida a la fricción y la presión 418 Transferencia de calor 420 7-2 Flujo alrededor de cilindros y esferas 430 CONVECCIÓN NATURAL 519 9-1 Caída de presión 442 El número de Grashof 525 CAPÍTULO 9-2 9-3 9-4 Introducción 466 La región de entrada 469 Longitudes de entrada 471 9-5 Análisis térmico general 472 Convección natural desde superficies con aletas y PCB 534 Enfriamiento por convección natural de superficies con aletas (Ts
constante) 534 Enfriamiento por convección natural de PCB verticales (q·s
constante) 535 Gasto de masa por el espacio entre placas 536 Velocidad y temperatura promedios 467 Flujos laminar y turbulento en tubos 468 8-4 Convección natural sobre superficies 526 Placas verticales (Ts
constante) 527 Placas verticales (q·s
constante) 527 Cilindros verticales 529 Placas inclinadas 529 Placas horizontales 530 Cilindros horizontales y esferas 530 OCHO CONVECCIÓN INTERNA FORZADA 465 8-3 NUEVE Flujo sobre bancos de tubos 439 Resumen 445 Bibliografía y lecturas sugeridas 447 Problemas 447 8-1 8-2 CAPÍTULO Mecanismo físico de la convección natural 520 Ecuación del movimiento y el número de Grashof 523 Efecto de la aspereza de la superficie 432 Coeficiente de transferencia de calor 434 7-4 Resumen 506 Bibliografía y lecturas sugeridas 507 Problemas 508 Flujo paralelo sobre placas planas 421 Coeficiente de fricción 422 Coeficiente de transferencia de calor 423 Placa plana con tramo inicial no calentado 425 Flujo uniforme de calor 426 7-3 Flujo turbulento en tubos 488 Superficies ásperas 489 Desarrollo del flujo turbulento en la región de entrada 491 Flujo turbulento en tubos no circulares 491 Flujo por la sección anular entre tubos concéntricos 492 Mejoramiento de la transferencia de calor 492 Resumen 407 Bibliografía y lecturas sugeridas 408 Problemas 409 CAPÍTULO Flujo laminar en tubos 477 Convección natural dentro de recintos cerrados 538 http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xiv xiv CONTENIDO Conductividad térmica efectiva 539 Recintos cerrados rectangulares horizontales 539 Recintos cerrados rectangulares inclinados 540 Recintos cerrados rectangulares verticales 541 Cilindros concéntricos 541 Esferas concéntricas 542 Convección natural y radiación combinadas 542 9-6 Convección natural y forzada combinadas 547 Intercambiadores de calor a contraflujo 643 Intercambiadores de calor de pasos múltiples y de flujo cruzado: uso de un factor de corrección 644 11-5 Método de la efectividad-NTU 651 11-6 Selección de los intercambiadores de calor 661 Tema de interés especial: Transferencia de calor a través de ventanas 552 Resumen 562 Bibliografía y lecturas sugeridas 563 Problemas 565 CAPÍTULO 11-4 Método de la diferencia media logarítmica de temperatura 641 Razón de transferencia del calor 662 Costo 662 Potencia para el bombeo 662 Tamaño y peso 663 Tipo 663 Materiales 663 Otras consideraciones 663 Resumen 665 Bibliografía y lecturas sugeridas 666 Problemas 667 DIEZ EBULLICIÓN Y CONDENSACIÓN 581 10-1 Transferencia de calor en la ebullición 582 CAPÍTULO 10-2 Ebullición en estanque 584 FUNDAMENTOS DE LA RADIACIÓN TÉRMICA 683 Regímenes de ebullición y la curva de ebullición 584 Correlaciones de la transferencia de calor en la ebullición en estanque 588 Mejoramiento de la transferencia de calor en la ebullición en estanque 592 10-3 Ebullición en flujo 596 12-1 Introducción 684 12-2 Radiación térmica 685 12-3 Radiación de cuerpo negro 687 10-4 Transferencia de calor en la condensación 598 10-5 Condensación en película 598 Regímenes de flujo 600 Correlaciones de la transferencia de calor para la condensación en película 600 10-6 Condensación en película dentro de tubos horizontales 610 10-7 Condensación por gotas 611 Tema de interés especial: Transferencia de calor en flujo bifásico no hirviente 612 12-4 Intensidad de radiación 694 Ángulo sólido 694 Intensidad de la radiación emitida 695 Radiación incidente 697 Radiosidad 697 Cantidades espectrales 697 12-5 Propiedades de radiación 700 Emisividad 700 Absortividad, reflectividad y transmisividad 704 Ley de Kirchhoff 707 El efecto de invernadero 708 12-6 Radiación atmosférica y solar 708 Resumen 617 Bibliografía y lecturas sugeridas 618 Problemas 619 CAPÍTULO DOCE Tema de interés especial: Ganancia de calor solar a través de las ventanas 713 Resumen 720 Bibliografía y lecturas sugeridas 721 Problemas 722 ONCE INTERCAMBIADORES DE CALOR 629 11-1 Tipos de intercambiadores de calor 630 CAPÍTULO TRECE 11-2 El coeficiente total de transferencia de calor 633 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN 731 Factor de incrustación 635 11-3 Análisis de los intercambiadores de calor 639 13-1 El factor de visión 732 http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xv xv CONTENIDO 13-2 Relaciones del factor de visión 735 1 La relación de reciprocidad 736 2 La regla de la suma 739 3 La regla de superposición 741 4 La regla de simetría 742 Factores de visión entre superficies infinitamente largas: el método de las cuerdas cruzadas 744 13-3 Transferencia de calor por radiación: superficies negras 746 13-4 Transferencia de calor por radiación: superficies grises y difusas 748 Radiosidad 748 Transferencia neta de calor por radiación hacia una superficie o desde una superficie 749 Transferencia neta de calor por radiación entre dos superficies cualesquiera 750 Métodos de resolución de problemas sobre radiación 751 Transferencia de calor por radiación en recintos cerrados de dos superficies 752 Transferencia de calor por radiación en recintos cerrados de tres superficies 754 13-5 Blindajes contra la radiación y el efecto de la radiación 760 Efecto de la radiación sobre las mediciones de temperatura 762 13-6 Intercambio de radiación con gases emisores y absorbentes 764 Propiedades relativas a la radiación de un medio participante 765 Emisividad y absortividad de gases y mezclas de ellos 766 Tema de interés especial: Transferencia de calor desde el cuerpo humano 773 Resumen 777 Bibliografía y lecturas sugeridas 778 Problemas 779 CAPÍTULO C AT O R C E TRANSFERENCIA DE MASA 795 Ley de Fick de difusión: Medio en reposo que consta de dos especies 801 14-4 Condiciones de frontera 805 14-5 Difusión estacionaria de masa a través de una pared 810 14-6 Migración del vapor de agua en los edificios 814 14-7 Difusión transitoria de masa 818 14-8 Difusión en un medio en movimiento 820 Caso especial: Mezclas de gases a presión y temperatura constantes 824 Difusión del vapor a través de un gas estacionario: Flujo de Stefan 825 Contradifusión equimolar 827 14-9 Convección de masa 831 Analogía entre los coeficientes de fricción, la transferencia de calor y de transferencia de masa 835 Limitación sobre la analogía de la convección calor-masa 837 Relaciones de convección de masa 838 14-10 Transferencia simultánea de calor y de masa 840 Resumen 846 Bibliografía y lecturas sugeridas Problemas 848 APÉNDICE Temperatura 798 Conducción 798 Generación de calor 798 Convección 799 14-3 Difusión de masa 799 1 Base másica 799 2 Base molar 800 Caso especial: Mezclas de gases ideales 801 1 TABLAS Y DIAGRAMAS DE PROPIEDADES (SISTEMA INTERNACIONAL) 865 Tabla A-1 Masa molar, constante de gas y calores específicos de ciertas sustancias 866 Tabla A-2 Propiedades en los puntos de ebullición y de congelación 867 Tabla A-3 Propiedades de metales sólidos 868-870 Tabla A-4 Propiedades de no metales sólidos 871 Tabla A-5 Propiedades de materiales de construcción 872-873 Tabla A-6 Propiedades de materiales aislantes 874 Tabla A-7 Propiedades de alimentos comunes 875-876 Tabla A-8 Propiedades de diversos materiales 877 Tabla A-9 Propiedades del agua saturada 878 Tabla A-10 Propiedades del refrigerante 134a saturado 879 14-1 Introducción 796 14-2 Analogía entre la transferencia de masa y la de calor 797 848 http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xvi xvi CONTENIDO Tabla A-11 Propiedades del amoniaco saturado 880 Tabla A-3I Propiedades de metales sólidos 896-897 Tabla A-12 Propiedades del propano saturado 881 Tabla A-4I Propiedades de no metales sólidos 898 Tabla A-13 Propiedades de líquidos 882 Tabla A-5I Tabla A-14 Propiedades de metales líquidos 883 Propiedades de materiales de construcción 899-900 Tabla A-15 Propiedades del aire a la presión de 1 atm 884 Tabla A-6I Propiedades de materiales aislantes 901 Tabla A-16 Propiedades de gases a la presión de 1 atm 885-886 Tabla A-7I Propiedades de alimentos comunes 902-903 Tabla A-17 Propiedades de la atmósfera a gran altitud 887 Tabla A-8I Propiedades de diversos materiales 904 Tabla A-18 Emisividades de las superficies 888-889 Tabla A-9I Propiedades del agua saturada 905 Tabla A-10I Propiedades del refrigerante 134a saturado 906 Tabla A-11I Propiedades del amoniaco saturado 907 Tabla A-12I Propiedades del propano saturado 908 Tabla A-13I Propiedades de líquidos 909 Tabla A-14I Propiedades de metales líquidos 910 Tabla A-15I Propiedades del aire a la presión de 1 atm 911 Tabla A-16I Propiedades de gases a la presión de 1 atm 912-913 Tabla A-17I Propiedades de la atmósfera a gran altitud 914 Tabla A-19 Figura A-20 Propiedades relativas a la radiación solar de los materiales 890 Diagrama de Moody del factor de fricción para flujos completamente desarrollados en tubos circulares 891 APÉNDICE 2 TABLAS Y DIAGRAMAS DE PROPIEDADES (SISTEMA INGLÉS) 893 Tabla A-1I Masa molar, constante de gas y calores específicos de ciertas sustancias 894 Tabla A-2I Propiedades en los puntos de ebullición y de congelación 895 ÍNDICE 915 http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xvii PREFACIO xvii PREFACIO FUNDAMENTOS a transferencia de calor y de masa es una ciencia básica que trata de la rapidez de transferencia de energía térmica. Tiene una amplia área de aplicación que va desde los sistemas biológicos hasta aparatos domésticos comunes, pasando por los edificios residenciales y comerciales, los procesos industriales, los aparatos electrónicos y el procesamiento de alimentos. Para este curso, se parte de la idea que los estudiantes tienen bases adecuadas en cálculo y física. Igualmente, resulta conveniente completar los primeros cursos en termodinámica, mecánica de fluidos y ecuaciones diferenciales antes de abordar el estudio de la transferencia de calor. Sin embargo, los conceptos pertinentes que pertenecen a estos temas son presentados y revisados según se van necesitando. L OBJETIVOS Este libro está dirigido a los estudiantes de ingeniería de licenciatura, en su segundo o tercer año, y a ingenieros en ejercicio de su profesión, como libro de consulta. Los objetivos de este texto son: • Cubrir los principios básicos de la transferencia de calor. • Presentar una gran cantidad de ejemplos de ingeniería del mundo real para dar a los estudiantes un sentido acerca de cómo se aplica la transferencia de calor en la práctica de la ingeniería. • Desarrollar una comprensión intuitiva de la transferencia de calor, al resaltar la física y los argumentos físicos. Esperamos que este libro, a través de sus cuidadosas explicaciones de los conceptos y del uso de numerosos ejemplos prácticos y figuras, ayude a los estudiantes a desarrollar las habilidades necesarias para tender un puente entre la brecha del conocimiento y la confianza para su apropiada aplicación. En la práctica de la ingeniería, cada vez está cobrando más importancia contar con cierta comprensión de los mecanismos de la transferencia de calor, ya que ésta desempeña un papel crítico en el diseño de vehículos, plantas generadoras de energía eléctrica, refrigeradores, aparatos electrónicos, edificios y puentes, entre otras cosas. Incluso un chef necesita tener una comprensión intuitiva del mecanismo de la transferencia de calor para cocinar los alimentos “de manera correcta”, ajustando la rapidez con que se da esa transferencia. Puede ser que no estemos conscientes de ello, pero aplicamos los principios de la transferencia de calor cuando buscamos la comodidad térmica. Aislamos nuestros cuerpos al cubrirlos con gruesos abrigos en invierno y minimizamos la ganancia de calor por radiación al permanecer en lugares sombreados durante el verano. Aceleramos el enfriamiento de los alimentos calientes al soplar sobre ellos y nos mantenemos calientes en épocas de frío al abrazarnos y, de este modo, minimizar el área superficial expuesta. Es decir, aplicamos cotidianamente la transferencia de calor, nos demos o no cuenta de ello. ENFOQUE GENERAL Este trabajo es el resultado de un intento por tener un libro de texto para un curso sobre transferencia de calor con orientación práctica, dirigido a los esxvii http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xviii xviii PREFACIO tudiantes de ingeniería. En el texto se cubren los temas estándar de la transferencia de calor, y se resaltan las aplicaciones en la física y en el mundo real. Este enfoque está más alineado con la intuición de los estudiantes y hace que se disfrute más el aprendizaje de la materia. La filosofía que contribuyó a la sorprendente popularidad de las ediciones anteriores de este libro ha permanecido inalterada en esta edición. A saber, nuestra meta ha sido ofrecer un libro de texto para ingeniería que: • Se comunique directamente con las mentes de los ingenieros del mañana de una manera sencilla y, no obstante, precisa. • Conduzca a los estudiantes hacia una comprensión clara y una captación firme de los principios básicos de la transferencia de calor. • Aliente el pensamiento creativo y desarrolle una comprensión más profunda y una sensación intuitiva de la transferencia de calor. • Sea leído por los estudiantes con interés y entusiasmo, en lugar de que se use como una ayuda para resolver problemas. Se ha hecho un esfuerzo especial a fin de recurrir a la curiosidad natural de los estudiantes y para ayudarles a examinar las diversas facetas de la excitante área de contenido de la transferencia de calor. La entusiasta respuesta que recibimos de los usuarios de las ediciones anteriores —desde las pequeñas hasta las grandes universidades en todo el mundo— indica que nuestros objetivos se han alcanzado en gran medida. Nuestra filosofía se basa en que la mejor manera de aprender es a través de la práctica. Por lo tanto, a lo largo de todo el libro se ha realizado un esfuerzo especial para reforzar el material que se presentó con anterioridad. Los ingenieros de ayer consumieron gran parte de su tiempo sustituyendo valores en las fórmulas y obteniendo los resultados numéricos. Sin embargo, en la actualidad, las manipulaciones de las fórmulas y de los números se están dejando a las computadoras. El ingeniero de mañana tendrá que contar con una clara comprensión y una firme captación de los principios básicos, de modo que pueda entender incluso los problemas más complejos, formularlos e interpretar los resultados. Se hace un esfuerzo consciente para resaltar estos principios básicos, dando al mismo tiempo a los estudiantes una perspectiva acerca de cómo usar las herramientas en la práctica de la ingeniería. L O N U E V O E N E S TA E D I C I Ó N El principal cambio en esta cuarta edición es la sustitución de varias ilustraciones por figuras tridimensionales, además de la incorporación de 300 nuevos problemas. Se conservaron las características más gustadas de las ediciones anteriores y se agregaron nuevas. El cuerpo principal de todos los capítulos, la estructura del texto, las tablas y los cuadros de los apéndices se modificaron ligeramente. Sin embargo, se ha añadido a cada capítulo al menos un nuevo problema resuelto y la mayor parte de los problemas se ha modificado. Esta edición también incluye breves biografías de estudiosos que han realizado importantes contribuciones al desarrollo del tema de la transferencia de calor y masa. NUEVO TÍTULO Y NUEVO AUTOR El título cambió a Transferencia de calor y masa: fundamentos y aplicaciones para enfatizar el rigor con el que se presentan los principios básicos y las aplicaciones prácticas en la ingeniería. El nuevo coautor, el profesor Afshin Ghajar, aporta al proyecto sus numerosos años de experiencia en el magisterio, la investigación y la práctica de la transferencia de calor. http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xix xix PREFACIO NUEVA COBERTURA DE MINI Y MICROTUBOS Gracias al rápido desarrollo de las técnicas de fabricación, el uso de dispositivos y componentes miniaturizados está cada vez más difundido. Ya se trate de la aplicación de miniaturas de intercambiadores térmicos, celdas combustibles, bombas, compresores, turbinas, sensores o vasos sanguíneos artificiales, la comprensión cabal de los microcanales de flujos fluidos es esencial. La transferencia de calor a microescala se presenta como “Tema de interés especial” en el capítulo 6. Esta edición amplía la cobertura de los tubos en el capítulo 8. PROBLEMAS DE EXAMEN DE FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA (FI) Para preparar a los estudiantes para el Fundamentals of Engineering Exam (Examen de Fundamentos de Ingeniería), que se está volviendo más importante para los criterios ABET 2000 basados en los resultados, y a fin de facilitar las pruebas de selección múltiple, al término de los conjuntos de problemas de cada capítulo, se incluyen alrededor de 250 problemas de selección múltiple. Para reconocerlos con facilidad, están colocados bajo el título de “Problemas de examen de fundamentos de ingeniería (FI)”. Estos problemas están pensados para comprobar la comprensión de los fundamentos y para ayudar a los lectores a evitar las equivocaciones comunes. CAMBIOS Y REORGANIZACIÓN DEL CONTENIDO A excepción de los cambios ya mencionados, se han realizado otros menores al cuerpo principal del texto. Se agregaron cerca de 300 nuevos problemas y se revisaron muchos de los ya existentes. Los cambios más importantes en los diferentes capítulos se resumen a continuación para aquellas personas familiarizadas con la edición previa. • En el capítulo 3 se amplió la cobertura de la transferencia de calor desde superficies con aletas para darle un tratamiento más extenso y riguroso. • En el capítulo 5 se presenta un nuevo programa fácil de usar, el SS-TCONDUCT (Steady State and Transient Heat Conduction) desarrollado por Ghajar y sus colaboradores. Puede utilizarse para resolver o comprobar las soluciones de los problemas de conducción bidimensional o unidimensional de calor con generación uniforme de energía en cuerpos geométricos rectangulares. • En el capítulo 8 se agregó una nueva subsección “Caída de presión en la región de transición en mini y microtubos”. Además, se eliminó como “Tema de interés especial”. • En el capítulo 9 se amplió la sección “Convección natural y forzada combinadas”. • En el capítulo 10 el “Tema de interés especial” se sustituyó por “Tubos de calor en flujo bifásico no hirviente”. COMPLEMENTOS Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseñanza-aprendizaje, así como la evaluación de los mismos, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener más información y conocer la política de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill. http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 4:25 PM Page xx xx PREFACIO H E R R A M I E N TA S PA R A M E J O R A R EL APRENDIZAJE ÉNFASIS SOBRE LA FÍSICA El autor cree que el énfasis de la educación en el nivel licenciatura debe mantenerse en el desarrollo de un sentido de los mecanismos físicos subyacentes y en un dominio de la resolución de problemas prácticos que es probable que el ingeniero encare en el mundo real. USO EFICAZ DE LA ASOCIACIÓN Una mente observadora no debe tener dificultad en entender las ciencias de ingeniería. Después de todo, los principios de éstas se basan en nuestras experiencias cotidianas y en observaciones experimentales. Por ejemplo, el proceso de cocinar sirve como un vehículo excelente para demostrar los principios básicos de la transferencia de calor. AUTODIDÁCTICO El material del texto se introduce en un nivel que un estudiante promedio puede seguir de manera cómoda. Habla a los estudiantes, no por encima de los estudiantes. De hecho, es autodidáctico. El orden de la cobertura es desde lo simple hacia lo general. USO EXTENSO DE ILUSTRACIONES La ilustración es una importante herramienta de aprendizaje que ayuda a los estudiantes a “obtener la imagen”. La cuarta edición de Transferencia de calor y de masa: fundamentos y aplicaciones contiene más figuras e ilustraciones que cualquier otro libro de esta categoría. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Y RESÚMENES Cada capítulo empieza con un Panorama general del material que se va a cubrir y con los Objetivos de aprendizaje específicos del capítulo. Se incluye un Resumen al final de cada capítulo, que proporciona un repaso rápido de los conceptos básicos y de las relaciones importantes, y se señala la pertinencia del material. NUMEROSOS PROBLEMAS RESUELTOS CON UN PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO DE RESOLUCIÓN Cada capítulo contiene varios ejemplos resueltos que aclaran el material e ilustran el uso de los principios básicos. En la resolución de los problemas de ejemplo, se aplica un procedimiento intuitivo y sistemático, manteniendo al mismo tiempo un estilo de conversación informal. En primer lugar, se enuncia el problema y se identifican los objetivos. En seguida se plantean las hipótesis, junto con su justificación. Si resulta apropiado, se da una lista por separado de las propiedades necesarias para resolver el problema. Este procedimiento también se aplica de manera uniforme en las soluciones presentadas en el manual de soluciones del profesor. GRAN CANTIDAD DE PROBLEMAS DEL MUNDO REAL AL FINAL DEL CAPÍTULO Los problemas que aparecen al final del capítulo están agrupados en temas específicos con el fin de facilitar la elección de los mismos, tanto para los profesores como para los estudiantes. Dentro de cada grupo de problemas se encuentran: • De Preguntas de concepto, identificados con una “C”, para comprobar el nivel de comprensión de los conceptos básicos por parte del estudiante. http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 4:25 PM Page xxi xxi PREFACIO • Los Problemas de repaso son de naturaleza más completa y no están ligados de manera directa con alguna sección específica de un capítulo; en algunos casos se requiere repasar el material aprendido en capítulos anteriores. • Los problemas de Examen de fundamentos de ingeniería están marcados con claridad y pensados para comprobar la comprensión de los fundamentos, ayudar a los estudiantes a evitar las equivocaciones comunes y a prepararlos para el FE Exam, que se está volviendo más importante para los criterios ABET 2000 basados en resultados. Estos problemas se resuelven con el uso del EES y, en el CDROM adjunto, se incluyen soluciones completas junto con estudios paramétricos. Estos problemas son de naturaleza completa y se pretende que se resuelvan con computadora, de preferencia con el uso del programa de cómputo de EES que acompaña a este texto. • Se pretende que los problemas de Diseño y ensayo alienten a los estudiantes a hacer juicios de ingeniería para promover el análisis independiente de temas de interés y comunicar sus hallazgos de una manera profesional. A lo largo de todo el libro se incorporan varios problemas de aspectos económicos relacionados con la seguridad a fin de mejorar la conciencia del costo y de la seguridad entre los estudiantes de ingeniería. Para conveniencia de los estudiantes, se da una lista de las respuestas a problemas seleccionados, inmediatamente después del problema. SELECCIÓN DE UNIDADES SÓLO DEL SI O SI/INGLESAS Como reconocimiento al hecho de que, en algunas industrias, todavía se usan con amplitud las unidades inglesas, en este texto se usan tanto las unidades del SI como las inglesas. Este texto se puede usar mediante unidades SI/inglesas combinadas o sólo con las del SI, en función de la preferencia del profesor. En los apéndices, las tablas y gráficas de propiedades, se presentan ambos tipos de unidades, excepto en el caso de las que comprenden unidades adimensionales. Para reconocerlos con facilidad, los problemas, las tablas y las gráficas en unidades inglesas se identifican con una “I” después del número y los usuarios del SI pueden ignorarlos. TEMAS DE INTERÉS ESPECIAL La mayor parte de los capítulos contienen una sección con una aplicación inspirada en el mundo real, al final del capítulo y de carácter opcional, llamada “Tema de interés especial”; en ella se discuten aplicaciones interesantes de la transferencia de calor, como la Comodidad térmica en el capítulo 1, Un breve repaso de las ecuaciones diferenciales en el capítulo 2, Transferencia de calor a través de paredes y techos en el capítulo 3 y Transferencia de calor a través de ventanas en el capítulo 9. FACTORES DE CONVERSIÓN En las primeras páginas de este texto, para facilitar su consulta, se da una lista de los factores de conversión y las constantes físicas de uso frecuente. http://librosysolucionarios.net Cengel-Prel 2/25/11 10:52 AM Page xxii xxii PREFACIO RECONOCIMIENTOS Agradecemos la contribución a nuestras nuevas secciones y problemas, así como los numerosos y valiosos comentarios, sugerencias, críticas constructivas muy valiosas para mejorar la calidad de este texto y los cumplidos de los siguientes colaboradores, evaluadores y revisores: John Cherng University of Michigan-Dearborn Ayodeji Demuren, Old Dominion University Hamid Hadim, Stevens Institute of Technology Feng Lai, University of Oklahoma Yoav Peles, Renssealaer Polytechnic Institute Manit Sujummong, Khon Kaen University, Tailandia Mehmet Kanoglu, University of Gaziantep, Turquía Sus sugerencias han ayudado mucho a mejorar la calidad de este texto. Un agradecimiento especial a Clement C. Tang de Oklahoma State University por su ayuda para desarrollar los nuevos problemas para esta edición. Asimismo, agradecemos a nuestros estudiantes y profesores de todo el mundo, que nos proporcionaron abundante retroalimentación de las perspectivas de los estudiantes y usuarios. Por último, queremos expresar nuestro reconocimiento a nuestras esposas e hijos por su continua paciencia, su compresión y apoyo a lo largo de la preparación de la cuarta edición de esta obra. Yunus A. Çengel Afshin J. Ghajar http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/22/11 12:13 PM Page 1 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS a termodinámica trata de la cantidad de transferencia de calor a medida que un sistema pasa por un proceso de un estado de equilibrio a otro y no hace referencia a cuánto durará ese proceso. Pero en la ingeniería a menudo estamos interesados en la rapidez o razón de esa transferencia, la cual constituye el tema de la ciencia de la transferencia de calor. Se inicia este capítulo con un repaso de los conceptos fundamentales de la termodinámica, mismos que forman el armazón para entender la transferencia de calor. En primer lugar, se presenta la relación entre el calor y otras formas de energía y se repasa el balance de energía. A continuación, se presentan los tres mecanismos básicos de la transferencia de calor: la conducción, la convección y la radiación, y se discute la conductividad térmica. La conducción es la transferencia de energía de las partículas más energéticas de una sustancia hacia las adyacentes, menos energéticas, como resultado de la interacción entre ellas. La convección es el modo de transferencia de calor entre una superficie sólida y el líquido o gas adyacente que están en movimiento, y comprende los efectos combinados de la conducción y del movimiento del fluido. La radiación es la energía emitida por la materia en forma de ondas electromagnéticas (o fotones), como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas. Se cierra este capítulo con una discusión acerca de la transferencia simultánea de calor. L OBJETIVOS Cuando el lector termine de estudiar este capítulo, debe ser capaz de: ■ Entender cómo están relacionadas entre sí la termodinámica y la transferencia de calor; ■ ■ ■ ■ ■ ■ Distinguir la energía térmica de las otras formas de energía, así como la transferencia de calor de las otras formas de transferencia de energía; Realizar balances generales de energía y balances de energía superficial; Comprender los mecanismos básicos de transferencia de calor: la conducción, la convección y la radiación, así como la ley de Fourier de la transferencia de calor por conducción, la ley de Newton del enfriamiento y la ley de StefanBoltzmann de la radiación; Identificar los mecanismos de transferencia de calor que en la práctica ocurren de manera simultánea; Darse cuenta del costo asociado a las pérdidas de calor, y Resolver diversos problemas de transferencia de calor que se encuentran en la práctica. 1 http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 2 2 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS 1-1 Botella termo Café caliente Aislamiento FIGURA 1-1 Normalmente estamos interesados en cuánto tiempo tarda en enfriarse el café caliente que está en un termo hasta cierta temperatura, lo cual no se puede determinar sólo a partir de un análisis termodinámico. Café caliente a 70°C Medio ambiente frío a 20°C Calor FIGURA 1-2 El calor fluye en la dirección de la temperatura decreciente. ■ TERMODINÁMICA Y TRANSFERENCIA DE CALOR Con base en la experiencia, se sabe que una bebida enlatada fría dejada en una habitación se entibia y una bebida enlatada tibia que se deja en un refrigerador se enfría. Esto se lleva a cabo por la transferencia de energía del medio caliente hacia el frío. La transferencia de energía siempre se produce del medio que tiene la temperatura más elevada hacia el de temperatura más baja y esa transferencia se detiene cuando ambos alcanzan la misma temperatura. El lector recordará, por lo que sabe de termodinámica, que la energía existe en varias formas. En este texto está interesado sobre todo en el calor, que es la forma de la energía que se puede transferir de un sistema a otro como resultado de la diferencia en la temperatura. La ciencia que trata de la determinación de las razones de esa transferencia es la transferencia de calor. El lector se puede preguntar por qué necesitamos abordar un estudio detallado acerca de la transferencia de calor. Después de todo, se puede determinar la cantidad de transferencia de calor para cualquier sistema que pase por cualquier proceso, con la sola aplicación del análisis termodinámico. La razón es que la termodinámica se interesa en la cantidad de transferencia de calor a medida que un sistema pasa por un proceso, de un estado de equilibrio a otro, y no indica cuánto tiempo transcurrirá. Un análisis termodinámico sencillamente nos dice cuánto calor debe transferirse para que se realice un cambio de estado específico con el fin de satisfacer el principio de conservación de la energía. En la práctica tiene más interés la razón de la transferencia de calor (transferencia de calor por unidad de tiempo) que la cantidad de este último. Por ejemplo, es posible determinar la cantidad de calor transferida de una jarra o termo conforme el café caliente que está en su interior se enfría de 90°C hasta 80°C con sólo un análisis termodinámico. Pero a un usuario típico o al diseñador de una de estas jarras le interesa principalmente cuánto tiempo pasará antes de que el café caliente que esté en el interior se enfríe hasta 80°C, y un análisis termodinámico no puede responder esta pregunta. La determinación de las razones de transferencia del calor hacia un sistema y desde éste y, por lo tanto, los tiempos de enfriamiento o de calentamiento, así como de la variación de la temperatura, son el tema de la transferencia de calor (figura 1-1). La termodinámica trata de los estados de equilibrio y de los cambios desde un estado de equilibrio hacia otro. Por otra parte, la transferencia de calor se ocupa de los sistemas en los que falta el equilibrio térmico y, por lo tanto, existe un fenómeno de no equilibrio. Por lo tanto, el estudio de la transferencia de calor no puede basarse sólo en los principios de la termodinámica. Sin embargo, las leyes de la termodinámica ponen la estructura para la ciencia de la transferencia de calor. En la primera ley se requiere que la razón de la transferencia de energía hacia un sistema sea igual a la razón de incremento de la energía de ese sistema. En la segunda ley se requiere que el calor se transfiera en la dirección de la temperatura decreciente (figura 1-2). Esto se asemeja a un automóvil estacionado sobre un camino inclinado que debe moverse hacia abajo de la pendiente, en la dirección que decrezca la elevación, cuando se suelten sus frenos. También es análogo a la corriente eléctrica que fluye en la dirección de la menor tensión o al fluido que se mueve en la dirección que disminuye la presión total. El requisito básico para la transferencia de calor es la presencia de una diferencia de temperatura. No puede haber transferencia neta de calor entre dos medios que están a la misma temperatura. La diferencia de temperatura es la fuerza impulsora para la transferencia de calor, precisamente como la diferencia de tensión es la fuerza impulsora para el flujo de corriente eléctrica y la diferencia de presión es la fuerza impulsora para el flujo de fluidos. La http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 3 3 CAPÍTULO 1 velocidad de la transferencia de calor en cierta dirección depende de la magnitud del gradiente de temperatura (la diferencia de temperatura por unidad de longitud o la razón de cambio de la temperatura en esa dirección). A mayor gradiente de temperatura, mayor es la razón de la transferencia de calor. Áreas de aplicación de la transferencia de calor Es común encontrar la transferencia de calor en los sistemas de ingeniería y otros aspectos de la vida y no es necesario ir muy lejos para ver algunas de sus áreas de aplicación. De hecho, no es necesario ir a alguna parte. El cuerpo humano está emitiendo calor en forma constante hacia sus alrededores y la comodidad humana está íntimamente ligada con la razón de este rechazo de calor. Tratamos de controlar esta razón de transferencia de calor al ajustar nuestra ropa a las condiciones ambientales. Muchos aparatos domésticos comunes están diseñados, en su conjunto o en parte, mediante la aplicación de los principios de la transferencia de calor. Algunos ejemplos caen en el dominio de las aplicaciones eléctricas o del uso del gas: el sistema de calefacción y acondicionamiento de aire, el refrigerador y congelador, el calentador de agua, la plancha e, incluso, la computadora, la TV y el reproductor de DVD. Por supuesto, los hogares eficientes respecto al uso de la energía se diseñan de manera que puedan minimizar la pérdida de calor, en invierno, y la ganancia de calor, en verano. La transferencia de calor desempeña un papel importante en el diseño de muchos otros aparatos, como los radiadores de los automóviles, los colectores solares, diversos componentes de las plantas generadoras de energía eléctrica (figura 1-3). El espesor óptimo del aislamiento de las paredes y techos de las casas, de los tubos de agua caliente o de vapor de agua o de los calentadores de agua se determina, una vez más, a partir de un análisis de la transferencia de calor que considere los aspectos económicos. Fundamentos históricos El calor siempre se ha percibido como algo que produce una sensación de tibieza y se podría pensar que su naturaleza es una de las primeras cosas com- El cuerpo humano (© Vol. 121/PhotoDisc) Equipo electrónico (© Alamy RF) (© Brand X/Jupiter Images RF) (© Punchstock RF) Sistemas de acondicionamiento del aire (© The McGraw-Hill Companies, Inc./Jill Braaten, photographer) Sistemas de calor (© Comstock RF) Planta generadora de energía eléctrica (© Vol. 57/PhotoDisc) Sistemas de refrigeración (© The McGraw-Hill Companies, Inc./Jill Braaten, photographer) FIGURA 1-3 Algunas áreas de aplicación de la transferencia de calor. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 4 4 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Superficie de contacto Cuerpo caliente Cuerpo frío Calórico FIGURA 1-4 A principios del siglo XIX se concebía el calor como un fluido invisible llamado calórico que fluía de los cuerpos más calientes hacia los más fríos. prendidas por la humanidad. Pero fue hacia mediados del siglo XIX cuando tuvimos una verdadera comprensión física de la naturaleza del calor, gracias al desarrollo en esa época de la teoría cinética, en la cual se considera a las moléculas como bolas diminutas que están en movimiento y que, por lo tanto, poseen energía cinética. El calor entonces se define como la energía asociada con el movimiento aleatorio de los átomos y moléculas. Aun cuando en el siglo XVIII y a principios del XIX se sugirió que el calor es la manifestación del movimiento en el nivel molecular (llamada la fuerza viva), la visión prevaleciente en ese sentido hasta mediados del siglo XIX se basaba en la teoría del calórico propuesta por el químico francés Antoine Lavoisier (1743-1794), en 1789. La teoría del calórico afirma que el calor es una sustancia semejante a un fluido, llamada calórico, que no tiene masa, es incoloro, inodoro e insípido y se puede verter de un cuerpo a otro (figura 1-4). Cuando se agregaba calórico a un cuerpo, su temperatura aumentaba, y cuando se quitaba, la temperatura de ese cuerpo disminuía. Cuando un cuerpo no podía contener más calórico, de manera muy semejante a cuando en un vaso de agua no se puede disolver más sal o azúcar, se decía que el cuerpo estaba saturado con calórico. Esta interpretación dio lugar a los términos líquido saturado o vapor saturado que todavía se usan en la actualidad. La teoría del calórico fue atacada pronto después de su introducción. Ella sostenía que el calor es una sustancia que no se podía crear ni destruir. Sin embargo, se sabía que se puede generar calor de manera indefinida frotándose las manos o frotando entre sí dos trozos de madera. En 1798 el estadounidense Benjamin Thompson (Conde de Rumford) (1753-1814) demostró en sus estudios que el calor se puede generar en forma continua a través de la fricción. La validez de la teoría del calórico también fue desafiada por otros científicos. Pero fueron los cuidadosos experimentos del inglés James P. Joule (18181889), publicados en 1843, los que finalmente convencieron a los escépticos de que, después de todo, el calor no era una sustancia y, por consiguiente, pusieron a descansar a la teoría del calórico. Aunque esta teoría fue totalmente abandonada a mediados del siglo XIX, contribuyó en gran parte al desarrollo de la termodinámica y de la transferencia de calor (figura 1-5). 1-2 ■ TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA INGENIERÍA El equipo de transferencia de calor —como los intercambiadores de calor, las calderas, los condensadores, los radiadores, los calentadores, los hornos, los refrigeradores y los colectores solares— está diseñado tomando en cuenta el análisis de la transferencia de calor. Los problemas de esta ciencia que se encuentran en la práctica se pueden considerar en dos grupos: 1) de capacidad nominal y 2) de dimensionamiento. Los problemas de capacidad nominal tratan de la determinación de la razón de la transferencia de calor para un sistema existente a una diferencia específica de temperatura. Los problemas de dimensionamiento tratan con la determinación del tamaño de un sistema con el fin de transferir calor a una razón determinada para una diferencia específica de temperatura. Un aparato o proceso de ingeniería puede estudiarse en forma experimental (realización de pruebas y toma de mediciones) o en forma analítica (mediante el análisis o la elaboración de cálculos). El procedimiento experimental tiene la ventaja de que se trabaja con el sistema físico real, y la cantidad deseada se determina por medición, dentro de los límites del error experimental. Sin embargo, este procedimiento resulta caro, tardado y, con frecuencia, impráctico. Además, el sistema que se esté analizando puede incluso no existir. Por ejemplo, por lo regular, los sistemas completos de calefacción y de plomería http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 5 5 CAPÍTULO 1 de un edificio deben dimensionarse a partir de las especificaciones dadas antes de que el edificio se construya en realidad. El procedimiento analítico (que incluye el procedimiento numérico) tiene la ventaja de que es rápido y barato, pero los resultados obtenidos están sujetos a la exactitud de las suposiciones, de las aproximaciones y de las idealizaciones establecidas en el análisis. En los estudios de ingeniería, es frecuente que se logre un buen término medio al reducir los posibles diseños a unos cuantos, por medio del análisis, y verificando después en forma experimental los hallazgos. Elaboración de modelos en la transferencia de calor Las descripciones de la mayor parte de los problemas científicos comprenden las ecuaciones que relacionan entre sí los cambios de algunas variables clave. Comúnmente, entre menor es el incremento elegido en las variables cambiantes, más general y exacta es la descripción. En el caso límite de cambios infinitesimales o diferenciales en las variables, se obtienen ecuaciones diferenciales que proporcionan formulaciones matemáticas precisas para las leyes y principios físicos, representando las razones de cambio como derivadas. Por lo tanto, se usan las ecuaciones diferenciales para investigar una amplia variedad de problemas en las ciencias y la ingeniería (figura 1-6). Sin embargo, muchos problemas que se encuentran en la práctica se pueden resolver sin recurrir a las ecuaciones diferenciales y a las complicaciones asociadas con ellas. El estudio de los fenómenos físicos comprende dos pasos importantes. En el primero se identifican todas las variables que afectan los fenómenos, se hacen suposiciones y aproximaciones razonables y se estudia la interdependencia de dichas variables. Se sustentan en las leyes y principios físicos pertinentes y el problema se formula en forma matemática. La propia ecuación es muy ilustrativa, ya que muestra el grado de dependencia de algunas variables con respecto a las otras y la importancia relativa de diversos términos. En el segundo paso el problema se resuelve usando un procedimiento apropiado y se interpretan los resultados. De hecho, muchos procesos que parecen ocurrir de manera aleatoria y sin orden son gobernados por algunas leyes físicas visibles o no tan visibles. Se adviertan o no, las leyes están allí, rigiendo de manera coherente y predecible lo que parecen ser sucesos ordinarios. La mayor parte de tales leyes están bien definidas y son bien comprendidas por los científicos. Esto hace posible predecir el curso de un suceso antes de que ocurra en realidad, o bien, estudiar matemáticamente diversos aspectos de un suceso sin ejecutar experimentos caros y tardados. Aquí es donde se encuentra el poder del análisis. Se pueden obtener resultados muy exactos para problemas prácticos con más o menos poco esfuerzo, utilizando un modelo matemático adecuado y realista. La preparación de los modelos de ese tipo requiere un conocimiento adecuado de los fenómenos naturales que intervienen y de las leyes pertinentes, así como de un juicio sólido. Es obvio que un modelo no realista llevará a resultados inexactos y, por lo tanto, inaceptables. Un analista que trabaje en un problema de ingeniería con frecuencia se encuentra en la disyuntiva de elegir entre un modelo muy exacto, pero complejo, y uno sencillo, pero no tan exacto. La selección correcta depende de la situación que se enfrente. La selección correcta suele ser el modelo más sencillo que da lugar a resultados adecuados. Por ejemplo, el proceso de hornear papas o de asar un trozo redondo de carne de res en un horno se puede estudiar analíticamente de una manera sencilla al considerar la papa o el asado como una esfera sólida que tenga las propiedades del agua (figura 1-7). El modelo es bastante sencillo, pero los resultados obtenidos son suficientemente exactos para la mayor parte de los fines prácticos. En otro ejemplo sencillo, http://librosysolucionarios.net FIGURA 1-5 James Prescott Joule (1818-1889). Físico británico nacido en Salford, Lancashire, Inglaterra. Es mejor conocido por su trabajo en la conversión de la energía mecánica y eléctrica en calor y la primera ley de la termodinámica. A él se debe el nombre de la unidad de energía, el joule (J). La ley de Joule del calefactor eléctrico afirma que la razón de producción de calor en un cable conductor es proporcional al producto de la resistencia del cable y el cuadrado de la intensidad de la corriente eléctrica. Mediante sus experimentos, Joule demostró la equivalencia mecánica del calor, es decir, la conversión de la energía mecánica en una cantidad equivalente de energía térmica, lo que sentó las bases del principio de la conservación de energía. Joule, junto con William Thomson, quien más tarde se convertiría en Lord Kelvin, descubrieron que la temperatura de una sustancia disminuye o aumenta en función de su libre expansión, fenómeno conocido como el efecto JouleThomson, el cual constituye la base de los sistemas de aire acondicionado y refrigeración por compresión de vapor. (AIP Emilio Segre Visual Archive). Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 6 6 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Problema físico Identifíquense las variables importantes Establézcanse hipótesis y háganse aproximaciones razonables Aplíquense las leyes físicas pertinentes Una ecuación diferencial Aplíquese la técnica de resolución apropiada Aplíquense las condiciones de frontera e inicial Solución del problema FIGURA 1-6 Modelado matemático de los problemas físicos. cuando analizamos las pérdidas de calor de un edificio, con el fin de seleccionar el tamaño correcto de un calentador, se determinan las pérdidas de calor en las peores condiciones que se puedan esperar y se selecciona un horno que suministrará calor suficiente para compensar tales pérdidas. A menudo se tiende a elegir un horno más grande como previsión a alguna futura ampliación o sólo para suministrar un factor de seguridad. Un análisis muy sencillo resultará adecuado en este caso. Al seleccionar el equipo de transferencia de calor es importante considerar las condiciones reales de operación. Por ejemplo, al comprar un intercambiador de calor que manejará agua dura, se debe considerar que, con el paso del tiempo, se formarán algunos depósitos de calcio sobre las superficies de transferencia, causando incrustación y, por consiguiente, una declinación gradual en el rendimiento. Se debe seleccionar el intercambiador de calor tomando en cuenta la operación en esta situación adversa, en lugar de en las condiciones iniciales. La preparación de modelos muy exactos, pero complejos, no suele ser tan difícil. Pero no sirven de mucho a un analista si son muy difíciles y requieren de mucho tiempo para resolverse. En lo mínimo, el modelo debe reflejar las características esenciales del problema físico que representa. Existen muchos problemas significativos del mundo real que se pueden analizar con un modelo sencillo. Pero siempre se debe tener presente que los resultados obtenidos a partir de un análisis son tan exactos como las suposiciones establecidas en la simplificación del problema. Por lo tanto, la solución no debe aplicarse a situaciones para las que no se cumplen las suposiciones originales. Una solución que no es bastante coherente con la naturaleza observada del problema indica que el modelo matemático que se ha usado es demasiado burdo. En ese caso, hay que preparar un modelo más realista mediante la eliminación de una o más de las suposiciones cuestionables. Esto dará por resultado un problema más complejo que, por supuesto, es más difícil de resolver. Por lo tanto, cualquier solución para un problema debe interpretarse dentro del contexto de su formulación. 1-3 Horno Papa Real 175°C Agua Ideal FIGURA 1-7 La elaboración de modelos es una herramienta poderosa en la ingeniería que proporciona gran visión y sencillez a costa de algo de exactitud. ■ CALOR Y OTRAS FORMAS DE ENERGÍA La energía puede existir en numerosas formas, como térmica, mecánica, cinética, potencial, eléctrica, magnética, química y nuclear, y su suma constituye la energía total E (o e en términos de unidad de masa) de un sistema. Las formas de energía relacionadas con la estructura molecular de un sistema y con el grado de la actividad molecular se conocen como energía microscópica. La suma de todas las formas microscópicas de energía se llama energía interna de un sistema y se denota por U (o u en términos de unidad de masa). La unidad internacional de energía es el joule (J) o el kilojoule (kJ
1 000 J). En el sistema inglés, la unidad de energía es la unidad térmica británica (Btu, British thermal unit), que se define como la energía necesaria para elevar en 1°F la temperatura de 1 lbm de agua a 60°F. Las magnitudes del kJ y de la Btu son aproximadas (1 Btu
1.055056 kJ). Otra unidad bien conocida de energía es la caloría (1 cal
4.1868 J), la cual se define como la energía necesaria para elevar en 1°C la temperatura de 1 gramo de agua a 14.5°C. Se puede considerar la energía interna como la suma de las energías cinética y potencial de las moléculas. La parte de la energía interna de un sistema que está asociada con la energía cinética de las moléculas se conoce como energía sensible o calor sensible. La velocidad promedio y el grado de actividad de las moléculas son proporcionales a la temperatura. Por consiguiente, en temperaturas más elevadas, las moléculas poseen una energía cinética más alta y, como resultado, el sistema tiene una energía interna también más alta. La energía interna también se asocia con las fuerzas que ejercen entre sí las moléculas de un sistema. Estas fuerzas ligan a las moléculas mutuamente y, http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 7 7 CAPÍTULO 1 como sería de esperar, son más fuertes en los sólidos y más débiles en los gases. Si se agrega energía suficiente a las moléculas de un sólido o de un líquido, vencerán estas fuerzas moleculares y, simplemente, se separarán pasando el sistema a ser gas. Éste es un proceso de cambio de fase y, debido a esta energía agregada, un sistema en fase gaseosa se encuentra en un nivel más alto de energía interna que si estuviera en fase sólida o líquida. La energía interna asociada con la fase de un sistema se llama energía latente o calor latente. Los cambios mencionados en el párrafo anterior pueden ocurrir sin un cambio en la composición química de un sistema. La mayor parte de los problemas de transferencia de calor caen en esta categoría y no es necesario poner atención en las fuerzas que ligan los átomos para reunirlos en una molécula. La energía interna asociada con los enlaces atómicos en una molécula se llama energía química (o de enlace), en tanto que la energía interna asociada con los enlaces en el interior del núcleo del propio átomo se llama energía nuclear. La energía química o nuclear se absorbe o libera durante las reacciones químicas o nucleares, respectivamente. En el análisis de los sistemas que comprenden el flujo de fluidos, con frecuencia se encuentra la combinación de las propiedades u y Pv. En beneficio de la sencillez y por conveniencia, a esta combinación se le define como entalpía h. Es decir, h
u  Pv, en donde el término Pv representa la energía de flujo del fluido (también llamada trabajo de flujo), que es la energía necesaria para empujar un fluido y mantener el flujo. En el análisis de la energía de los fluidos que fluyen, es conveniente tratar la energía de flujo como parte de la energía del fluido y representar la energía microscópica de un flujo de un fluido por la energía h (figura 1-8). Fluido que fluye Fluido estacionario Energía = h Energía = u FIGURA 1-8 La energía interna u representa la energía microscópica de un fluido que no está fluyendo, en tanto que la entalpía h representa la energía microscópica de un fluido. Calores específicos de gases, líquidos y sólidos Es posible que el lector recuerde que un gas ideal se define como un gas que obedece la relación Pv
RT o bien, P
rRT (1-1) en donde P es la presión absoluta, v es el volumen específico, T es la temperatura termodinámica (o absoluta), r es la densidad y R es la constante de gas. En forma experimental, se ha observado que la relación antes dada del gas ideal proporciona una aproximación muy cercana al comportamiento P-v-T de los gases reales, a bajas densidades. A presiones bajas y temperaturas elevadas, la densidad de un gas disminuye y éste se comporta como un gas ideal. En el rango de interés práctico, muchos gases comunes, como el aire, el nitrógeno, el oxígeno, el helio, el argón, el neón y el criptón, e incluso gases más pesados, como el bióxido de carbono, pueden tratarse como gases ideales, con error despreciable (con frecuencia, menor de 1%). No obstante, los gases densos, como el vapor de agua en las plantas termoeléctricas y el vapor del refrigerante en los refrigeradores, no siempre deben tratarse como gases ideales, ya que suelen existir en un estado cercano a la saturación. Puede ser que el lector también recuerde que el calor específico se define como la energía requerida para elevar en un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia (figura 1-9). En general, esta energía depende de la manera en que se ejecuta el proceso. Suele tenerse interés en dos tipos de calores específicos: el calor específico a volumen constante, cv, y el calor específico a presión constante, cp. El calor específico a volumen constante, cv, se puede concebir como la energía requerida para elevar en un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia mientras el volumen se http://librosysolucionarios.net m = 1 kg ∆T = 1°C Calor específico = 5 kJ/kg · °C 5 kJ FIGURA 1-9 El calor específico es la energía requerida para elevar la temperatura de una unidad de masa de una sustancia en un grado, de una manera específica. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 8 8 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Aire m = 1 kg 300 → 301 K Aire m = 1 kg 1 000 → 1 001 K mantiene constante. La energía requerida para hacer lo mismo cuando la presión se mantiene constante es el calor específico a presión constante, cp. El calor específico a presión constante, cp, es mayor que cv porque, en esta condición, se permite que el sistema se expanda y porque la energía para este trabajo de expansión también debe suministrarse al sistema. Para los gases ideales, estos calores específicos están relacionados entre sí por cp
cv  R. Una unidad común para los calores específicos es el kJ/kg · °C o kJ/kg · K. Advierta que estas dos unidades son idénticas, ya que T(°C)
T(K), y un cambio de 1°C en la temperatura es equivalente a un cambio de 1 K. Asimismo, 1 kJ/kg · °C
1 J/g · °C
1 kJ/kg · K
1 J/g · K 0.718 kJ 0.855 kJ FIGURA 1-10 El calor específico de una sustancia cambia con la temperatura. En general, los calores específicos de una sustancia dependen de dos propiedades independientes, como la temperatura y la presión. Sin embargo, para un gas ideal sólo dependen de la temperatura (figura 1-10). A bajas presiones todos los gases reales se aproximan al comportamiento del gas ideal y, por lo tanto, sus calores específicos sólo dependen de la temperatura. Los cambios diferenciales en la energía interna u y la entalpía h de un gas ideal se pueden expresar en términos de los calores específicos como du
cv dT y dh
cp dT (1-2) Los cambios finitos en la energía interna y la entalpía de un gas ideal durante un proceso se pueden expresar aproximadamente usando valores de los calores específicos a la temperatura promedio, como u
cv, prom T y h
cp, prom T (J/g) (1-3) o bien, U
mcv, prom T Hierro 25°C c = cv = cp = 0.45 kJ/kg · K FIGURA 1-11 Los valores de cv y cp de las sustancias incompresibles son idénticos y se denotan por c. y H
mcp, prom T (J) (1-4) en donde m es la masa del sistema. Una sustancia cuyo volumen específico (o densidad específica) no cambia con la temperatura o la presión se conoce como sustancia incompresible. Los volúmenes específicos de los sólidos y los líquidos permanecen constantes durante un proceso y, por lo tanto, se pueden aproximar como sustancias incompresibles sin mucho sacrificio en la exactitud. Los calores específicos a volumen constante y a presión constante son idénticos para las sustancias incompresibles (figura 1-11). Por lo tanto, para los sólidos y los líquidos, se pueden quitar los subíndices en cv y cp y estos dos calores específicos se pueden representar por un solo símbolo, c. Es decir, cp  cv  c. También se pudo deducir este resultado a partir de las definiciones físicas de calores específicos a volumen constante y a presión constante. En el apéndice se dan los calores específicos de varios gases, líquidos y sólidos comunes. Los calores específicos de las sustancias incompresibles sólo dependen de la temperatura. Por lo tanto, el cambio en la energía interna de sólidos y líquidos se puede expresar como U
mcpromT http://librosysolucionarios.net (J) (1-5) Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 9 9 CAPÍTULO 1 donde cprom es el calor específico promedio evaluado a la temperatura promedio. Note que el cambio en la energía interna de los sistemas que permanecen en una sola fase (líquido, sólido o gas) durante el proceso se puede determinar con mucha facilidad usando los calores específicos promedio. Transferencia de la energía La energía se puede transferir hacia una masa dada, o desde ésta, por dos mecanismos: calor Q y trabajo W. Una interacción energética es transferencia de calor si su fuerza impulsora es una diferencia de temperatura. De lo contrario, es trabajo. Tanto un pistón que sube, como una flecha rotatoria y un alambre eléctrico que crucen las fronteras del sistema, están asociados con interacciones de trabajo. El trabajo realizado por unidad de tiempo se llama potencia y se denota por W. La unidad de potencia es el W o el hp (1 hp
746 W). Los motores de automóviles y las turbinas hidráulicas, de vapor y de gas producen trabajo; los compresores, bombas y mezcladoras consumen trabajo. Advierta que la energía de un sistema disminuye conforme realiza trabajo y aumenta si se realiza trabajo sobre él. En la vida diaria con frecuencia se hace referencia a las formas latente y sensible de la energía interna como calor y se habla del contenido de calor de los cuerpos (figura 1-12). Sin embargo, en la termodinámica a esas formas de energía se les suele mencionar como energía térmica, con el fin de impedir que se tenga una confusión con la transferencia de calor. El término calor y las frases asociadas, como flujo de calor, adición de calor, rechazo de calor, absorción de calor, ganancia de calor, pérdida de calor, almacenamiento de calor, generación de calor, calentamiento eléctrico, calor latente, calor del cuerpo y fuente de calor, son de uso común hoy en día y el intento de reemplazar calor en estas frases por energía térmica sólo tuvo un éxito limitado. Estas frases están profundamente arraigadas en nuestro vocabulario y las usan tanto la gente común como los científicos sin que se tengan confusiones. Por ejemplo, la frase calor del cuerpo se sabe que quiere dar a entender el contenido de energía térmica de un cuerpo. Del mismo modo, se entiende que por flujo de calor se quiere decir la transferencia de energía térmica, no el flujo de una sustancia semejante a un fluido llamada calor, aun cuando esta última interpretación incorrecta, basada en la teoría del calórico, es el origen de esta frase. Asimismo, la transferencia de calor hacia un sistema con frecuencia se menciona como adición de calor y la transferencia de calor hacia afuera de un sistema como rechazo de calor. Manteniéndose alineados con la práctica actual, llamaremos a la energía térmica calor y a la transferencia de energía térmica transferencia de calor. La cantidad de calor transferido durante el proceso se denota por Q. La cantidad de calor transferido por unidad de tiempo se llama razón de transferencia de · calor y se denota por Q . El punto arriba representa la derivada respecto al · tiempo, o “por unidad de tiempo”. La velocidad de transferencia de calor, Q , tiene la unidad J/s, lo cual es equivalente a W. · Cuando se cuenta con la razón de transferencia de calor, Q , entonces se puede determinar la cantidad total de transferencia de calor Q durante un intervalo de tiempo t a partir de Q
 t · Q dt (J) (1-6) 0 · siempre que se conozca la variación de Q con el tiempo. Para el caso especial · de Q
constante, la ecuación anterior se reduce a · Q
Q t (J) (1-7) http://librosysolucionarios.net Vapor 80°C Líquido 80°C Transferencia de calor 25°C FIGURA 1-12 Las formas sensible y latente de energía interna se pueden transferir como resultado de una diferencia de temperatura y se mencionan como calor o energía térmica. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 10 10 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS . Q = 24 W = const. 3m La razón de transferencia de calor por unidad de área perpendicular a la dirección de esa transferencia se llama flujo de calor y el flujo promedio de calor se expresa como (figura 1-13) Q· q·
A A = 6 m2 (W/m2) (1-8) donde A es el área de transferencia de calor. En unidades inglesas, la unidad de flujo de calor es Btu/h · ft2. Note que el flujo de calor puede variar con el tiempo así como con la posición sobre una superficie. 2m . . Q 24 W q = — = –—— = 4 W/m2 A 6 m2 FIGURA 1-13 El flujo de calor es la transferencia de calor por unidad de tiempo y por unidad · · de área, y es igual a q·
Q /A cuando Q es uniforme sobre el área A. EJEMPLO 1-1 Calentamiento de una bola de cobre Una bola de cobre de 10 cm de diámetro se va a calentar desde 100°C hasta una temperatura promedio de 150°C, en 30 minutos (figura 1-14). Tomando la densidad y el calor específico promedios del cobre en este rango de temperatura como r
8 950 kg/m3 y cp
0.395 kJ/kg · °C, respectivamente, determine a) la cantidad total de transferencia de calor a la bola de cobre, b) la razón promedio de transferencia de calor a la bola y c) el flujo promedio de calor. SOLUCIÓN La bola de cobre se va a calentar desde 100°C hasta 150°C. Se van a determinar la transferencia total de calor, la razón promedio de transferencia del calor y el flujo promedio de calor. Suposición Se pueden usar las propiedades constantes para el cobre a la temperatura promedio. Propiedades La densidad y el calor específico promedios del cobre se dan como r
8 950 kg/m3 y cp
0.395 kJ/kg · °C. Análisis a) La cantidad de calor transferida a la bola de cobre es sencillamente el cambio en su energía interna y se determina a partir de T2 = 150°C Bola de cobre T1 = 100°C A = πD 2 Q Transferencia de energía al sistema
Aumento de energía del sistema FIGURA 1-14 Esquema para el ejemplo 1-1. Q
U
mcprom (T2  T1) donde m
rV
p p r D3
(8 950 kg/m3)(0.1 m)3
4.686 kg 6 6 Sustituyendo Q
(4.686 kg)(0.395 kJ/kg · °C)(150  100)°C
92.6 kJ Por lo tanto, es necesario transferir 92.6 kJ de calor a la bola de cobre para calentarla de 100°C hasta 150°C. b) Normalmente la razón de transferencia del calor durante un proceso cambia con el tiempo. Sin embargo, se puede determinar la razón promedio de transferencia del calor al dividir la cantidad total de esta transferencia entre el intervalo de tiempo. Por lo tanto, Q 92.6 kJ · Q prom


0.0514 kJ/s
51.4 W t 1 800 s c) El flujo de calor se define como la transferencia de calor por unidad de tiempo por unidad de área, o sea, la razón de transferencia del calor por unidad de área. Por lo tanto, en este caso, el flujo promedio de calor es http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 11 11 CAPÍTULO 1 q·prom
Q· prom Q· prom 51.4 W


1 636 W/m2 A pD2 p(0.1 m)2 Discusión Note que el flujo de calor puede variar con la ubicación sobre una superficie. El valor antes calculado es el flujo promedio de calor sobre toda la superficie de la bola. 1-4 ■ PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA La primera ley de la termodinámica, también conocida como principio de conservación de la energía, expresa que en el curso de un proceso, la energía no se puede crear ni destruir; sólo puede cambiar las formas. Por lo tanto, toda pequeña cantidad de energía debe tomarse en cuenta en el curso de un proceso. El principio de conservación de la energía (o balance de energía) para cualquier sistema que pasa por cualquier proceso se puede expresar como sigue: El cambio neto (aumento o disminución) en la energía total de un sistema en el curso de un proceso es igual a la diferencia entre la energía total que entra y la energía total que sale en el desarrollo de ese proceso. Es decir,       Energía total Energía total Cambio en la que entra en el  que sale del
energía total sistema sistema del sistema (1-9) Dado que la energía se puede transferir hacia un sistema, o hacia afuera de éste, por medio de calor, trabajo y flujo de masa, y que la energía total de un sistema simple compresible consta de las energías interna, cinética y potencial, el balance de energía para cualquier sistema que pasa por cualquier proceso se puede expresar como Eent  Esal 1424 3
Transferencia neta de energía por calor, trabajo y masa Esistema 123 (J) (1-10) (W) (1-11) Cambio en las energías interna, cinética, potencial, etc. o bien, en la forma de razones, como · · Eent  Esal 1424 3
Razón de la transferencia neta de energía por calor, trabajo y masa dEsistema/dt 1424 3 Razón del cambio en las energías interna, cinética, potencial, etc. · Eent La energía es una propiedad y el valor de una propiedad no cambia a menos que cambie el estado del sistema. Por lo tanto, el cambio en la energía de un sistema es cero (Esistema
0); si el estado de ese sistema no cambia durante el proceso, entonces el proceso es estacionario. En este caso, el balance de energía se reduce a (figura 1-15) Estado estacionario, forma de razones: · Eent 123
Razón de transferencia neta de energía, hacia adentro, por calor, trabajo y masa · Esal 123 (1-12) Razón de transferencia neta de energía, hacia afuera, por calor, trabajo y masa En ausencia de efectos significativos eléctricos, magnéticos, de movimiento, gravitatorios y de tensión superficial (es decir, para sistemas simples compresibles http://librosysolucionarios.net · Esal Calor Trabajo Calor Sistema estacionario Masa Trabajo Masa · · Eent = Esal FIGURA 1-15 En operación estacionaria, la razón de transferencia de energía hacia un sistema es igual a la razón de transferencia de energía hacia afuera de ese sistema. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 12 12 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS estacionarios), el cambio en la energía total de un sistema durante un proceso es sencillamente el cambio en su energía interna; es decir, Esistema
Usistema. En el análisis de la transferencia de calor, es usual tener interés únicamente en las formas de energía que se pueden transferir como resultado de una diferencia de temperatura; es decir, el calor o energía térmica. En esos casos resulta conveniente escribir un balance de calor y tratar la conversión de las energías nuclear, química, mecánica y eléctrica hacia energía térmica como generación de calor. En ese caso, el balance de energía se puede expresar como Qent  Qsal  Egen
Etérmica, sistema 1424 3 123 1442443 Transferencia neta Generación de calor de calor (J) (1-13) Cambio en la energía térmica del sistema Balance de energía para sistemas cerrados (masa fija) Calor específico = cv Masa = m Temp. inicial = T1 Temp. final = T2 Q = mcv(T1 – T2 ) FIGURA 1-16 En ausencia de cualesquiera interacciones de trabajo, el cambio en el contenido de energía interna de un sistema cerrado es igual a la transferencia neta de calor. Un sistema cerrado consta de una masa fija. La energía total E para la mayor parte de los sistemas que se encuentran en la práctica consiste en la energía interna U. Éste es en especial el caso para los sistemas estacionarios, ya que no comprenden cambios en la velocidad o elevación durante el proceso. En ese caso, la relación del balance de energía se reduce a Sistema cerrado estacionario: Eent  Esal
U
mcv T (J) (1-14) donde se expresa el cambio en la energía interna en términos de la masa m, el calor específico a volumen constante cv, y el cambio en la temperatura, T, del sistema. Cuando el sistema sólo comprende transferencia de calor y ninguna interacción de trabajo cruza su frontera, la relación del balance de energía se reduce todavía más hasta (figura 1-16) Sistema cerrado estacionario, sin trabajo: Q
mcv T (J) (1-15) donde Q es la cantidad neta de la transferencia de calor que entra o sale del sistema. La anterior es la forma de la relación del balance de energía que se usará con más frecuencia al tratar con una masa fija. Balance de energía para sistemas de flujo estacionario Un gran número de aparatos de ingeniería, como los calentadores de agua y los radiadores de los automóviles, implica flujo de masa, hacia adentro y hacia afuera de un sistema, y se consideran como volúmenes de control. La mayor parte de los volúmenes de control se analizan en condiciones estacionarias de operación. El término estacionario significa ningún cambio con el tiempo en una ubicación específica. Lo opuesto a estacionario es no estacionario o transitorio. Asimismo, el término uniforme implica ningún cambio con la posición en toda una superficie o región en un tiempo específico. Estos significados son coherentes con su uso cotidiano [novia estable (estacionaria), distribución uniforme, etc.]. El contenido total de energía de un volumen de control durante un proceso de flujo estacionario permanece constante (EVC
constante). Es decir, el cambio en la energía total del volumen de control durante un proceso de este tipo es cero (EVC
0). Por lo tanto, la cantidad de energía que entra en un volumen de control en todas las formas (calor, trabajo, transferencia de masa) para un proceso de flujo estacionario debe ser igual a la cantidad de energía que sale de él. La cantidad de masa que fluye a través de una sección transversal de un aparato de flujo, por unidad de tiempo, se llama gasto de masa o razón de transferencia de masa y se denota por m· . Un fluido puede fluir hacia adentro o hacia afuera de un volumen de control a través de tubos o ductos. El gasto de http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 13 13 CAPÍTULO 1 masa de un fluido que fluye en un tubo o ducto es proporcional al área de la sección transversal Ac* de ese tubo o ducto, la densidad r y la velocidad V del fluido. El gasto de masa a través de un área diferencial dAc se puede expresar como dm·
rVn dAc, donde Vn es la componente de la velocidad perpendicular a dAc. El gasto de masa a través de toda el área de la sección transversal se obtiene por integración sobre Ac. A menudo se puede considerar, en forma aproximada, que el flujo de un fluido por un tubo o ducto es unidimensional. Es decir, se puede suponer que las propiedades varían sólo en una dirección (la del flujo). Como resultado, se supone que todas las propiedades son uniformes en la sección transversal perpendicular a la dirección del flujo y también se supone que las propiedades tienen valores promedio en masa sobre toda la sección transversal. En la aproximación de flujo unidimensional, el gasto de masa de un fluido que fluye en un tubo o ducto se puede expresar como (figura 1-17) m·
rVAc (kg/s) (1-16) donde r es la densidad del fluido, V es la velocidad promedio del mismo en la dirección del flujo y Ac es el área de la sección transversal del tubo o ducto. El volumen de un fluido que fluye por un tubo o ducto por unidad de tiem· po se llama gasto volumétrico V, y se expresa como · m· V
VAc
r  (m3/s) (kJ/s) (1-18) · donde Q es la razón de la transferencia neta de calor hacia adentro o hacia afuera del volumen de control. La anterior es la forma de relación de balance de energía que se usará con la mayor frecuencia para los sistemas de flujo estacionario. Balance de energía en la superficie Como se mencionó al inicio del capítulo, el calor se transfiere por los mecanismos de conducción, convección y radiación y, a menudo, el calor cambia de vehículos a medida que se transfiere de un medio a otro. Por ejemplo, el calor conducido hasta la superficie exterior de la pared de una casa en invierno es transferido por convección, por el aire frío del exterior, conforme es irradiado hacia los alrededores fríos. En esos casos puede ser necesario seguir el rastro de las interacciones energéticas en la superficie y esto se hace aplicando el principio de conservación de la energía a la superficie. Una superficie no contiene volumen ni masa y, por lo tanto, tampoco energía. Por lo mismo, una superficie se puede concebir como un sistema ficticio cuyo contenido de energía permanece constante durante un proceso (precisamente como un sistema de estado estacionario o de flujo estacionario). Entonces el balance de energía para una superficie se puede expresar como · · Balance de energía en la superficie: Eent
Esal V m· = ρVAc FIGURA 1-17 El gasto de masa de un fluido en una sección transversal es igual al producto de la densidad de ese fluido, la velocidad promedio del mismo y el área de la sección transversal. (1-17) Note que el gasto de masa de un fluido por un tubo o ducto permanece constante durante el flujo estacionario. Sin embargo, éste no es el caso para el gasto volumétrico, a menos que la densidad del fluido permanezca constante. Para un sistema de flujo estacionario con una entrada y una salida, la razón de transferencia de masa hacia adentro del volumen de control debe ser igual a la velocidad del flujo de masa hacia afuera de él; es decir, m· ent
m· sal
m·. Cuando los cambios en las energías cinética y potencial son despreciables, que es el caso más común, y no se tiene interacción de trabajo, el balance de energía para tal sistema de flujo estacionario se reduce a (figura 1-18) · Q
m· h
m· cpT Ac = π D 2/4 para un tubo circular (1-19) * El subíndice “c” en A viene de la palabra en inglés cross-section, que significa sección transversal. [Nota del revisor técnico.] http://librosysolucionarios.net Volumen de control m· T1 m· T2 · · (T – T ) Etransferencia = mc p 2 1 FIGURA 1-18 En condiciones estacionarias, la razón neta de transferencia de energía hacia un fluido en un volumen de control es igual a la razón de incremento en la energía de la corriente de fluido que fluye a través de ese volumen. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 14 14 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Pared Esta relación es válida tanto para condiciones estacionarias como transitorias y el balance de energía en la superficie no comprende generación de calor puesto que una superficie no tiene volumen. En la figura 1-19 el balance de energía para la superficie exterior, por ejemplo, se puede expresar como Superficie de control Radiación . Conducción Q3 · · · Q1
Q2  Q3 . · · donde Q 1 es la conducción a través de la pared hasta la superficie, Q 2 es la · convección de calor de la superficie hacia el aire del exterior y Q 3 es la radiación neta de la superficie hacia los alrededores. Cuando no se conocen las direcciones de las interacciones, se puede suponer que todas se dirigen hacia la superficie y el balance de energía en la superficie · se puede expresar como  E ent
0. Note que las interacciones en la dirección opuesta finalizarán con valores negativos balanceando esta ecuación. (1-20) . Q1 Q2 Convección FIGURA 1-19 Interacciones energéticas en la superficie exterior de la pared de una casa. AISI 304 hoja de acero inoxidable EJEMPLO 1-2 · Qpérdida V = 1 cm/s Tdentro = 500 K Tfuera = 300 K FIGURA 1-20 Esquema para el ejemplo 1-2. Enfriamiento de hojas de acero inoxidable Una hoja de acero inoxidable AISI 304 sometida a calor continuo se transporta a una velocidad constante de 1 cm/s a una cámara de enfriamiento (figura 1-20). La hoja de acero inoxidable tiene un espesor de 5 mm y un largo de 2 m, entra y sale de la cámara a 500 K y 300 K, respectivamente. Determine la razón a la que perderá calor la hoja de acero dentro de la cámara. SOLUCIÓN Se determinará la razón de la pérdida de calor de la hoja de acero inoxidable que ingresa a una cámara. Suposiciones 1 Existen condiciones operativas estacionarias. 2 La hoja de acero inoxidable tiene propiedades constantes. 3 Los cambios en la energía potencial y cinética son despreciables. Propiedades El calor específico a presión constante de la hoja de acero inoxidable AISI 304 a la temperatura promedio de (500 + 300)/2 = 400 K es 515 J/kg · K. La densidad del acero inoxidable AISI 304 es de 7 900 kg/m3 (tabla A-3). Análisis La masa de la hoja de acero inoxidable que se transporta ingresa y sale de la cámara a una razón de . m Vwt (7 900 kg/m3 )(0.01 m/s)(2m)(0.005m) 0.79 kg/s La razón de pérdida de calor de la hoja de acero inoxidable en la cámara se puede expresar como . Q pérdida . m cp(Tent Tsal ) (0.79 kg/s)(515 J/kg · K)(500 81.4 kW 300)K 81 370 J/s Discusión La hoja de acero inoxidable que entra y sale de la cámara se toma como volumen de control. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/22/11 12:13 PM Page 15 15 CAPÍTULO 1 EJEMPLO 1-3 Pérdida de calor en los ductos de calefacción en un sótano 5m 20 cm Una sección de 5 m de largo de un sistema de calefacción de una casa pasa a través de un espacio no calentado en el sótano (figura 1-21). La sección transversal del ducto rectangular del sistema de calefacción es de 20 cm
25 cm. El aire caliente entra en el ducto a 100 kPa y 60°C, a una velocidad promedio de 5 m/s. La temperatura del aire en el ducto cae hasta 54°C como resultado de la pérdida de calor hacia el espacio frío en el sótano. Determine la razón de la pérdida de calor del aire en el ducto hacia el sótano en condiciones estacionarias. Asimismo, determine el costo de esta pérdida de calor por hora si la casa se calienta por medio de un calefactor de gas natural que tiene una eficiencia de 80% y el costo del gas natural en esa zona es de 1.60 dólar/therm (1 therm  100 000 Btu  105 500 kJ). SOLUCIÓN La temperatura del aire en el ducto de calefacción de una casa cae como resultado de la pérdida de calor hacia el espacio frío en el sótano. Se van a determinar la razón de la pérdida de calor del aire caliente y su costo. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 El aire se puede tratar como un gas ideal con propiedades constantes a la temperatura ambiente. Propiedades El calor específico a presión constante del aire a la temperatura promedio de (54  60)/2  57°C es de 1.007 kJ/kg · °C (tabla A-15). Análisis Se toma la sección del sótano del sistema de calefacción como nuestro sistema, el cual es de flujo estacionario. Se puede determinar la razón de la pérdida de calor del aire en el ducto a partir de · Q  m· cp T donde m· es el gasto de masa y T es la caída en la temperatura. La densidad del aire en las condiciones de entrada es r 100 kPa P   1.046 kg/m3 RT (0.287 kPa · m3/kg · K)(60  273)K El área de la sección transversal del ducto es Ac  (0.20 m)(0.25 m)  0.05 m2 Entonces el gasto de masa de aire que pasa por el ducto y la razón de pérdida de calor quedan m·  rVAc  (1.046 kg/m3)(5 m/s)(0.05 m2)  0.2615 kg/s y · Q pérdida  m· cp(Tent  Tsal)  (0.2615 kg/s)(1.007 kJ/kg · °C)(60  54)°C  1.58 kJ/s http://librosysolucionarios.net Aire caliente 100 kPa 60°C 5 m/s 54°C 25 cm · Qpérdida FIGURA 1-21 Esquema para el ejemplo 1-3. Cengel_001.qxd 2/22/11 12:13 PM Page 16 16 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS o sea, 5 688 kJ/h. El costo de esta pérdida de calor para el propietario de la casa es (Razón de la pérdida de calor)
(Costo unitario de la entrada de energía) Costo de la pérdida de calor  Eficiencia del calefactor 
 (5 688 kJ/h)(1.60 dólar/therm) 1 therm 0.80 105 500 kJ  0.108 dólar/h Discusión La pérdida de calor por los ductos de calefacción en el sótano le está costando al propietario de la casa 10.8 centavos de dólar por hora. Suponiendo que el calentador opera 2 000 horas durante la temporada de calefacción, el costo anual de esta pérdida de calor totaliza 216 dólares. La mayor parte de este dinero se puede ahorrar aislando los ductos de calefacción en las zonas no calentadas. Patm = 12.2 psia EJEMPLO 1-4 9 ft 70°F 50°F 40 ft 50 ft FIGURA 1-22 Esquema para el ejemplo 1-4. Calefacción eléctrica de una casa ubicada a gran altitud Considere una casa que tiene un espacio de piso de 2 000 ft2 y una altura promedio de 9 ft y que se encuentra a 5 000 ft sobre el nivel del mar en donde la presión atmosférica estándar es de 12.2 psia (figura 1.22). Inicialmente, la casa está a una temperatura uniforme de 50°F. Ahora se enciende el calefactor eléctrico y funciona hasta que la temperatura del aire en la casa se eleva hasta un valor promedio de 70°F. Determine la cantidad de energía transferida al aire suponiendo que a) la casa es hermética al aire y, por lo tanto, no hay fugas de éste durante el proceso de calentamiento, y b) algo de aire se escapa por las rendijas conforme el aire caliente que está en la casa se expande a presión constante. Determine también el costo de este calor para cada caso, si el precio de la electricidad en esa zona es de 0.075 dólar/kWh. SOLUCIÓN El aire en la casa se calienta por medio de un calentador eléctrico. Se debe determinar la cantidad y el costo de la energía transferida al aire, para los casos de volumen constante y presión constante. Suposiciones 1 El aire se puede considerar un gas ideal con propiedades constantes. 2 La pérdida de calor desde la casa durante el curso del calentamiento es despreciable. 3 El volumen ocupado por los muebles y otras cosas es despreciable. Propiedades Los calores específicos del aire a la temperatura promedio de (50  70)/2  60°F son cp  0.240 Btu/lbm · R y cv  cp – R  0.171 Btu/lbm · R (tablas A-1I y A-15I). Análisis El volumen y la masa del aire en la casa son V  (Área de piso)(Altura)  (2 000 ft2)(9 ft)  18 000 ft3 m (12.2 psia)(18 000 ft3) PV   1 162 lbm RT (0.3704 psia · ft3/lbm · R)(50  460)R a) La cantidad de energía transferida al aire a volumen constante es sencillamente el cambio en su energía interna y se determina a partir de Eent  Esal  Esistema Eent, volumen constante  Uaire  mcv T  (1 162 lbm)(0.171 Btu/lbm · °F)(70  50)°F  3 974 Btu http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 17 17 CAPÍTULO 1 A un costo unitario de 0.075 dólar/kWh, el costo total de esta energía es Costo de la energía
(Cantidad de energía)(Costo unitario de la energía) 1 kWh
(3 974 Btu)(0.075 dólar/kWh) 3 412 Btu
0.087 dólar   b) La cantidad de energía transferida al aire a presión constante es el cambio en su entalpía y se determina a partir de Eent, presión constante
Haire
mcpT
(1 162 lbm)(0.240 Btu/lbm · °F)(70  50)°F
5 578 Btu A un costo unitario de 0.075 dólar/kWh, el costo total de esta energía es Costo de la energía
(Cantidad de energía)(Costo unitario de la energía) 1 kWh
(5 578 Btu)(0.075 dólar/kWh) 3 412 Btu
0.123 dólar   Discusión En el primer caso, elevar la temperatura del aire en esta casa, de 50°F hasta 70°F, cuesta alrededor de 9 centavos de dólar y, en el segundo, 12 centavos. La segunda respuesta es más realista, ya que todas las casas tienen grietas, en especial alrededor de las puertas y ventanas, y, en esencia, la presión dentro de la casa permanece constante durante el curso del proceso de calentamiento. Por lo tanto, en la práctica, se aplica el segundo enfoque. Sin embargo, esta óptica conservadora predice un tanto en exceso la cantidad de energía que se usa, puesto que algo del aire se escapa a través de las grietas antes de calentarse hasta 70°F. 1-5 ■ MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR En la sección 1-1 se definió el calor como la forma de energía que se puede transferir de un sistema a otro, como resultado de la diferencia de temperatura. Un análisis termodinámico se interesa en la cantidad de transferencia de calor conforme un sistema pasa por un proceso, de un estado de equilibrio a otro. La ciencia que trata de la determinación de las razones de esas transferencias de energía es la transferencia de calor. La transferencia de energía como calor siempre se produce del medio que tiene la temperatura más elevada hacia el de temperatura más baja, y la transferencia de calor se detiene cuando los dos medios alcanzan la misma temperatura. El calor se puede transferir en tres modos diferentes: conducción, convección y radiación. Todos los modos de transferencia de calor requieren la existencia de una diferencia de temperatura y todos ellos ocurren del medio que posee la temperatura más elevada hacia uno de temperatura más baja. En seguida se da una breve descripción de cada modo. En los capítulos posteriores de este texto se da un estudio más detallado de estos modos. 1-6 ■ CONDUCCIÓN La conducción es la transferencia de energía de las partículas más energéticas de una sustancia hacia las adyacentes menos energéticas, como resultado de interacciones entre esas partículas. La conducción puede tener lugar en los sólidos, líquidos o gases. En los gases y líquidos la conducción se debe a las http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/22/11 12:13 PM Page 18 18 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS T1 T2 . Q A A x 0 x FIGURA 1-23 Conducción de calor a través de una pared plana grande de espesor  x y área A. colisiones y a la difusión de las moléculas durante su movimiento aleatorio. En los sólidos se debe a la combinación de las vibraciones de las moléculas en una retícula y al transporte de energía por parte de los electrones libres. Por ejemplo, llegará el momento en que una bebida enlatada fría en un cuarto cálido se caliente hasta la temperatura ambiente como resultado de la transferencia de calor por conducción, del cuarto hacia la bebida, a través del aluminio. La rapidez o razón de la conducción de calor a través de un medio depende de la configuración geométrica de éste, su espesor y el material de que esté hecho, así como de la diferencia de temperatura a través de él. Se sabe que al envolver un tanque de agua caliente con fibra de vidrio (un material aislante) se reduce la razón de la pérdida de calor de ese tanque. Entre más grueso sea el aislamiento, menor será la pérdida de calor. También se conoce que un tanque de agua caliente perderá calor a mayor rapidez cuando se baja la temperatura del cuarto en donde se aloja. Además, entre más grande sea el tanque, mayor será el área superficial y, por consiguiente, la razón de la pérdida de calor. Considere una conducción de estado estacionario de calor a través de una pared plana grande de espesor x  L y área A, como se muestra en la figura 1-23. La diferencia de temperatura de uno a otro lado de la pared es T  T2 – T1. Los experimentos han demostrado que la razón de la transferencia · de calor, Q , a través de la pared se duplica cuando se duplica la diferencia de temperatura T de uno a otro lado de ella, o bien, se duplica el área A perpendicular a la dirección de la transferencia de calor; pero se reduce a la mitad cuando se duplica el espesor L de la pared. Por lo tanto, se concluye que la razón de la conducción de calor a través de una capa plana es proporcional a la diferencia de temperatura a través de ésta y al área de transferencia de calor, pero es inversamente proporcional al espesor de esa capa; es decir, Razón de conducción del calor  (Área)(Diferencia de temperatura) Espesor o bien, T1  T2 · T Q cond  kA  kA x x 30°C 20°C . Q = 4 010 W A = 1 m2 (W) (1-21) donde la constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica del material, que es una medida de la capacidad de un material para conducir calor (figura 1-24). En el caso límite de x → 0, la ecuación que acaba de darse se reduce a la forma diferencial 1m dT · Q cond  kA dx a) Cobre (k = 401 W/m · K) 30°C 20°C . Q = 1 480 W A = 1 m2 1m b) Silicio (k = 148 W/m · K) FIGURA 1-24 La razón de conducción del calor a través de un sólido es directamente proporcional a su conductividad térmica. (W) (1-22) la cual se llama ley de Fourier de la conducción del calor, en honor de J. Fourier (figura 1-25), quien la expresó por primera vez en su texto sobre transferencia de calor en 1822. Aquí, dT/dx es el gradiente de temperatura, el cual es la pendiente de la curva de temperatura en un diagrama T-x (la razón de cambio de T con respecto a x), en la ubicación x. La relación antes dada indica que la razón de conducción del calor en una dirección es proporcional al gradiente de temperatura en esa dirección. El calor es conducido en la dirección de la temperatura decreciente y el gradiente de temperatura se vuelve negativo cuando esta última decrece al crecer x. El signo negativo en la ecuación 1-22 garantiza que la transferencia de calor en la dirección x positiva sea una cantidad positiva. El área A de transferencia de calor siempre es normal (o perpendicular) a la dirección de esa transferencia. Por ejemplo, para la pérdida de calor a través de una pared de 5 m de largo, 3 m de alto y 25 cm de espesor, el área de transferencia de calor es A  15 m2. Note que el espesor de la pared no tiene efecto sobre A (figura 1-26). http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 19 19 CAPÍTULO 1 EJEMPLO 1-5 Costo de la pérdida de calor a través de un techo El techo de una casa calentada eléctricamente tiene 6 m de largo, 8 m de ancho y 0.25 m de espesor y está hecha de una capa plana de concreto cuya conductividad térmica es k
0.8 W/m · °C (figura 1-27). Las temperaturas de las superficies interior y exterior se miden como de 15°C y 4°C, respectivamente, durante un periodo de 10 horas. Determine a) la razón de la pérdida de calor a través del techo esa noche y b) el costo de esa pérdida de calor para el propietario de la casa, si el costo de la electricidad es de 0.08 dólar/kWh. SOLUCIÓN Las superficies interior y exterior del techo plano de concreto de una casa calentada eléctricamente se mantienen a temperaturas especificadas durante una noche. Se van a determinar la pérdida de calor a través del techo esa noche y su costo. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación durante toda la noche dado que las temperaturas de las superficies del techo permanecen constantes a los valores especificados. 2 Se pueden usar propiedades constantes para el techo. Propiedades La conductividad térmica del techo se da como k
0.8 W/m · °C. Análisis a) Nótese que la transferencia de calor a través del techo es por conducción y que el área de éste es A
6 m  8 m
48 m2, la razón de la transferencia de calor en estado estacionario a través del techo se determina por T1  T2 (15  4)°C · Q
kA
(0.8 K)(48 m2)
1 690 W
1.69 kW L 0.25 m b) La cantidad de pérdida de calor a través del techo durante un periodo de 10 h y su costo se determinan a partir de · Q
Q t
(1.69 kW)(10 h)
16.9 kWh Costo
(Cantidad de energía)(Costo unitario de la energía)
(16.9 kWh)(0.08 dólar/kWh)
1.35 dólares Discusión El costo para el propietario de la casa de la pérdida de calor a través del techo esa noche fue de 1.35 dólares. La factura total por calefacción de la casa será mucho mayor ya que, en estos cálculos, no se consideran las pérdidas de calor a través de las paredes. FIGURA 1-25 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Matemático y físico nacido en Auxerre, Francia. Mejor conocido por su trabajo sobre la serie infinita de funciones trigonométricas, la cual lleva su nombre, y por su teoría matemática de la conducción de calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que describe la difusión térmica y que se resuelve mediante la serie de Fourier. La transformada de Fourier, el número de Fourier y la ley de Fourier de la conducción del calor, fueron nombrados así en su honor. También se le atribuye el descubrimiento del fenómeno del efecto invernadero, en 1824. (Photo Deutsches Museum) Conductividad térmica Se ha visto que los diferentes materiales almacenan calor en forma diferente y se ha definido la propiedad de calor específico cp como una medida de la capacidad de un material para almacenar energía térmica. Por ejemplo, cp
4.18 kJ/kg · °C, para el agua, y cp
0.45 kJ/kg · °C, para el hierro, a la temperatura ambiente, indica que el agua puede almacenar aproximadamente 10 H veces más energía que el hierro por unidad de masa. Del mismo modo, la con· A=W×H Q ductividad térmica k es una medida de la capacidad de un material para conducir calor. Por ejemplo, k
0.607 W/m · °C, para el agua, y k
80.2 W/m · W °C, para el hierro, a la temperatura ambiente, indican que el hierro conduce el L calor más de 100 veces más rápido que el agua. Por lo tanto, se dice que el FIGURA 1-26 agua es mala conductora del calor en relación con el hierro, aun cuando el En el análisis de la conducción del calor, agua es un medio excelente para almacenar energía térmica. La ecuación 1-21 para la razón de la transferencia de calor por conducción, A representa el área perpendicular a la dirección de transferencia de calor. en condiciones estacionarias, también se puede concebir como la ecuación de http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/22/11 12:13 PM Page 20 20 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Techo de concreto 6m 0.25 m 8m 4°C 15°C FIGURA 1-27 Esquema para el ejemplo 1-5. TABLA 1-1 Conductividades térmicas de algunos materiales a la temperatura ambiente Material k, W/m · °C* Diamante 2 300 Plata 429 Cobre 401 Oro 317 Aluminio 237 Hierro 80.2 Mercurio (l) 8.54 Vidrio 0.78 Ladrillo 0.72 Agua (l) 0.607 Piel humana 0.37 Madera (roble) 0.17 Helio (g) 0.152 Caucho suave 0.13 Fibra de vidrio 0.043 Aire (g) 0.026 Uretano, espuma rígida 0.026 *Multiplíquese por 0.5778 para convertir a Btu/h · ft · °F. definición para la conductividad térmica. Por lo tanto, la conductividad térmica de un material se puede definir como la razón de transferencia de calor a través de un espesor unitario del material por unidad de área por unidad de diferencia de temperatura. La conductividad térmica de un material es una medida de la capacidad del material para conducir calor. Un valor elevado para la conductividad térmica indica que el material es un buen conductor del calor y un valor bajo indica que es un mal conductor o que es un aislante. En la tabla 1-1 se dan las conductividades térmicas de algunos materiales comunes a la temperatura ambiente. La conductividad térmica del cobre puro a la temperatura ambiente es k  401 W/m · °C, lo cual indica que una pared de cobre de 1 m de espesor conducirá el calor a razón de 401 W por m2 de área por °C de diferencia de temperatura a través de ella. Note que los materiales como el cobre y la plata, que son buenos conductores eléctricos, también lo son del calor y tienen valores elevados de conductividad térmica. Los materiales como el caucho, la madera y la espuma de estireno son malos conductores del calor y tienen valores bajos de conductividad térmica. Se puede calentar una capa de material de espesor y área conocidos, desde uno de sus lados, por medio de un calentador de resistencia eléctrica de potencia conocida. Si las superficies exteriores del calentador están bien aisladas, todo el calor generado por la resistencia se transferirá a través del material cuya conductividad se va a determinar. Entonces, midiendo las dos temperaturas de las superficies del material cuando se llega al estado estacionario de la transferencia y sustituyéndolas en la ecuación 1-21 junto con otras cantidades conocidas se obtiene la conductividad térmica (figura 1-28). Las conductividades térmicas de los materiales varían sobre un amplio intervalo, como se muestra en la figura 1-29. Las conductividades térmicas de los gases varían en un factor de 104 con respecto a las de los metales puros como el cobre. Note que los cristales y metales puros tienen las conductividades térmicas más elevadas, y los gases y los materiales aislantes, las más bajas. La temperatura es una medida de las energías cinéticas de las partículas, como las moléculas o los átomos de una sustancia. En un líquido o gas, la energía cinética de las moléculas se debe a su movimiento aleatorio de traslación, así como a sus movimientos de vibración y rotación. Cuando chocan dos moléculas que poseen energías cinéticas diferentes, parte de la energía cinética de la molécula más energética (la de temperatura más elevada) se transfiere a la menos energética (la de temperatura más baja), de manera muy semejante a cuando chocan dos bolas elásticas de la misma masa a diferentes velocidades, parte de la energía cinética de la bola más rápida se transfiere a la más lenta. Entre más alta es la temperatura, más rápido se mueven las moléculas, mayor es el número de las colisiones y mejor es la transferencia de calor. La teoría cinética de los gases predice, y los experimentos lo confirman, que la conductividad térmica de los gases es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura termodinámica T e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa molar M. Por lo tanto, la conductividad térmica de un gas crece al aumentar la temperatura y al disminuir la masa molar. De modo que no es sorprendente que la conductividad térmica del helio (M  4) sea mucho más elevada que la del aire (M  29) y la del argón (M  40). En la tabla A-16 se da una lista de conductividades térmicas de gases a la presión de 1 atm. Sin embargo, también se pueden usar a presiones diferentes de 1 atm, ya que la conductividad térmica de los gases es independiente de la presión en un amplio rango de presiones encontradas en la práctica. El mecanismo de conducción del calor en un líquido se complica por el hecho de que las moléculas están más cercanas entre sí y ejercen un campo de http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 21 21 CAPÍTULO 1 Calentador eléctrico Aislamiento T1 Aislamiento fuerzas intermoleculares más intenso. Las conductividades térmicas de los líquidos suelen encontrarse entre las de los sólidos y las de los gases. Normalmente, la conductividad térmica de una sustancia alcanza su valor máximo en la fase sólida y el mínimo en la fase gaseosa. A diferencia de los gases, las conductividades térmicas de la mayor parte de los líquidos decrecen al incrementarse la temperatura, constituyendo el agua una notable excepción. Como en caso de los gases, la conductividad de los líquidos disminuye al aumentar la masa molar. Los metales líquidos como el mercurio y el sodio presentan conductividades térmicas elevadas y resultan muy apropiados para usarse cuando se desea una gran razón de transferencia de calor hacia un líquido, como en las plantas nucleares de generación eléctrica. En los sólidos la conducción del calor se debe a dos efectos: las ondas reticulares de vibración inducidas por los movimientos de vibración de las moléculas, colocadas en posiciones más o menos fijas de una manera periódica conocida como red cristalina, y la energía transportada por medio del flujo libre de electrones en el sólido (figura 1-30). La conductividad térmica de un sólido se obtiene al sumar la componente reticular y la electrónica. Las conductividades térmicas más o menos elevadas de los metales puros se deben principalmente a la componente electrónica. La componente reticular de la conductividad térmica depende con intensidad de la manera en que las moléculas están dispuestas. Por ejemplo, el diamante, que es un sólido cristalino intensamente ordenado, tiene la conductividad térmica conocida más elevada a la temperatura ambiente. . Material de muestra k . . T2 Q = We A L We Aislamiento . L Q k = ———— A(T1 – T2) FIGURA 1-28 Aparato experimental sencillo para determinar la conductividad térmica de un material. CRISTALES NO METÁLICOS Diamante Grafito 1 000 METALES PUROS ALEACIONES METÁ- Plata LICAS Cobre 100 SÓLIDOS NO METÁLICOS Óxidos 10 Aleaciones de aluminio Carburo de silicio Óxido de berilio Hierro Bronce Acero Nicromo Manganeso Cuarzo k, W/m · °C LÍQUIDOS Mercurio Roca Agua 1 AISLADORES Alimentos Fibras GASES 0.1 Hidrógeno Helio Madera Aceites Caucho Aire Espumas Bióxido de carbono FIGURA 1-29 Rango de la conductividad térmica de diversos materiales a la temperatura ambiente. 0.01 http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 22 22 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS GAS * Colisiones moleculares * Difusión molecular LÍQUIDO * Colisiones moleculares * Difusión molecular Electrones SÓLIDO * Vibraciones de la retícula * Flujo de electrones libres FIGURA 1-30 Los mecanismos de conducción de calor en las diferentes fases de una sustancia. TABLA 1-2 La conductividad térmica de una aleación suele ser mucho más baja que la de cualesquiera de los dos metales de los cuales está compuesta Metal puro o aleación k, W/m · °C, a 300 K Cobre Níquel Constantano (55% Cu, 45% Ni) 401 91 Cobre Aluminio Bronce comercial (90% Cu, 10% Al) 401 237 23 52 A diferencia de los metales, los cuales son buenos conductores de la electricidad y el calor, los sólidos cristalinos, como el diamante y los semiconductores como el silicio, son buenos conductores del calor pero malos conductores eléctricos. Como resultado, esos materiales encuentran un uso muy amplio en la industria electrónica. A pesar de su precio más elevado, se usan sumideros de calor de diamante en el enfriamiento de componentes electrónicos sensibles debido a la excelente conductividad térmica del mismo. Los aceites y selladores de silicio son de uso común en el empaque de componentes electrónicos porque proporcionan tanto un buen contacto térmico como un buen aislamiento eléctrico. Los metales puros tienen altas conductividades térmicas y se pensaría que las aleaciones metálicas también deben tener altas conductividades. Se esperaría que una aleación de dos metales con conductividades térmicas k1 y k2 tenga una conductividad k entre k1 y k2. Pero no es así. La conductividad térmica de una aleación de dos metales suele ser mucho más baja que la de cualquiera de ellos, como se muestra en la tabla 1-2. Incluso, en un metal puro, pequeñas cantidades de moléculas “extrañas” que por sí mismas sean buenas conductoras perturban de manera grave la transferencia de calor en ese metal. Por ejemplo, la conductividad térmica del acero que contenga sólo 1% de cromo es 62 W/m · °C, en tanto que las conductividades térmicas del hierro y el cromo son 83 y 95 W/m · °C, respectivamente. Las conductividades térmicas de los materiales varían con la temperatura (tabla 1-3). La variación de la conductividad térmica sobre ciertos rangos de temperatura es despreciable para algunos materiales, pero significativa para otros, como se muestra en la figura 1-31. Las conductividades térmicas de ciertos sólidos exhiben incrementos sorprendentes a temperaturas cercanas al cero absoluto, cuando estos sólidos se convierten en superconductores. Por ejemplo, la conductividad del cobre alcanza un valor máximo de alrededor de 20 000 W/m · °C a 20 K, la cual es alrededor de 50 veces mayor a la correspondiente a la temperatura ambiente. En las tablas A-3 a A-17 se dan las conductividades térmicas y otras propiedades térmicas de diversos materiales. La dependencia con respecto a la temperatura de la conductividad térmica causa complejidad considerable en el análisis de la conducción. Por lo tanto, es práctica común evaluar la conductividad térmica k a la temperatura promedio y tratarla como constante en los cálculos. En el análisis de la transferencia de calor normalmente se supone que un material es isotrópico; es decir, tiene propiedades uniformes en todas direcciones. Esta suposición es realista para la mayor parte de los materiales, excepto para aquellos que exhiben características estructurales diferentes en direcciones diferentes, como los materiales compuestos laminados y la madera. Por ejemplo, la conductividad térmica de la madera en la dirección normal a la fibra es diferente a la que se tiene en sentido paralelo a esa fibra. Difusividad térmica El producto rcp, que se encuentra con frecuencia en el análisis de la transferencia de calor, se llama capacidad calorífica de un material. Tanto el calor específico cp como la capacidad calorífica rcp representan la capacidad de almacenamiento de calor de un material. Pero cp la expresa por unidad de masa, en tanto que rcp la expresa por unidad de volumen, como se puede advertir a partir de sus unidades J/kg · °C y J/m3 · °C, respectivamente. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 23 23 CAPÍTULO 1 10 000 TABLA 1-3 Sólidos Líquidos Gases Diamantes 1 000 k, W/m · °C 100 Tipo IIa Tipo IIb Tipo I Las conductividades térmicas de los materiales varían con la temperatura k, W/m · °C Plata Oro Aluminio Tungsteno Cobre Platino Hierro 10 T, K Cobre Aluminio 100 200 300 400 600 800 482 413 401 393 379 366 302 237 237 240 231 218 Óxido de aluminio Vidrio Pyroceram Cuarzo transparente fundido 1 Agua 0.1 Helio Tetracloruro de carbono Aire Vapor de agua Argón FIGURA 1-31 0.01 200 400 600 800 T, K 1 000 1 200 Variación de la conductividad térmica de diversos sólidos, líquidos y gases con la temperatura. 1 400 Otra propiedad de los materiales que aparece en el análisis de la conducción del calor en régimen transitorio es la difusividad térmica, la cual representa cuán rápido se difunde el calor por un material y se define como a
Calor conducido k
C Calor almacenado r cpp (m2/s) (1-23) Note que la conductividad térmica k representa lo bien que un material conduce el calor y la capacidad calorífica rcp representa cuánta energía almacena un material por unidad de volumen. Por lo tanto, la difusividad térmica de un material se puede concebir como la razón entre el calor conducido a través del material y el calor almacenado por unidad de volumen. Es obvio que un material que tiene una alta conductividad térmica o una baja capacidad calorífica tiene una gran difusividad térmica. Entre mayor sea la difusividad térmica, más rápida es la propagación del calor por el medio. Un valor pequeño de la difusividad térmica significa que, en su mayor parte, el calor es absorbido por el material y una pequeña cantidad de ese calor será conducida a través de él. En la tabla 1-4 se dan las difusividades térmicas de algunos materiales comunes a 20°C. Note que la difusividad térmica va desde a
0.14  10–6 m2/s, para el agua, hasta 149  10–6 m2/s, para la plata, la cual es una diferencia de más de mil veces. Note también que las difusividades térmicas de la carne de res y del agua son las mismas. Esto no es sorprendente, ya que la carne así como las frutas y los vegetales frescos están constituidos en su mayor parte por agua y, por lo tanto, poseen las propiedades térmicas de ésta. http://librosysolucionarios.net TABLA 1-4 Difusividades térmicas de algunos materiales a la temperatura ambiente Material Plata Oro Cobre Aluminio Hierro Mercurio (l) Mármol Hielo Concreto Ladrillo Suelo macizo (seco) Vidrio Lana de vidrio Agua (l) Carne de res Madera (roble) a, m2/s* 149 127 113 97.5 22.8 4.7 1.2 1.2 0.75 0.52 0.52 0.34 0.23 0.14 0.14 0.13                 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 *Multiplíquese por 10.76 para convertir a ft2/s. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 24 24 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Fluido de enfriamiento Muestra Aislamiento Termopar L ∆T1 a Calentador de resistencia Muestra a L ∆T1 Fluido de enfriamiento FIGURA 1-32 Aparato para medir la conductividad térmica de un material, usando dos muestras idénticas y un calentador de resistencia delgada (ejemplo 1-6). EJEMPLO 1-6 Medición de la conductividad térmica de un material Una manera común de medir la conductividad térmica de un material es colocar, como en un emparedado, un calentador eléctrico, constituido por una hoja térmica, entre dos muestras idénticas del material, como se muestra en la figura 1-32. El espesor del calentador de resistencia, incluyendo su cubierta, la cual está hecha de goma delgada de silicio, suele ser menor de 0.5 mm. Un fluido circulante, como agua del grifo, mantiene los extremos expuestos de las muestras a temperatura constante. Las superficies laterales de las muestras están bien aisladas para garantizar que la transferencia de calor a través de las muestras sea unidimensional. Se empotran dos termopares en cada una de las muestras, separados cierta distancia L, y en un termómetro diferencial se lee la caída de temperatura, T, a través de esta distancia a lo largo de cada muestra. Cuando se alcanzan condiciones estacionarias de operación, la razón total de transferencia de calor a través de las dos muestras se vuelve igual a la potencia eléctrica suministrada por el calentador, la cual se determina al multiplicar la corriente eléctrica por la tensión. En cierto experimento se usan muestras cilíndricas con un diámetro de 5 cm y una longitud de 10 cm. Los dos termopares de las muestras están colocados con una separación de 3 cm. Después de los procesos transitorios iniciales, se observa que el calentador eléctrico consume 0.4 A a 110 V y en los dos termómetros diferenciales se lee una diferencia de temperatura de 15°C. Determine la conductividad térmica de la muestra. SOLUCIÓN Se va a determinar la conductividad térmica de un material asegurando una conducción unidimensional de calor y midiendo las temperaturas cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación, ya que las lecturas de temperatura no cambian con el tiempo. 2 Las pérdidas de calor por las superficies laterales del aparato son despreciables dado que están bien aisladas y, por lo tanto, todo el calor generado por el calentador es conducido a través de las muestras. 3 El aparato posee simetría térmica. Análisis La potencia eléctrica consumida por el calentador de resistencia y que se convierte en calor es · W e
VI
(110 V)(0.4 A)
44 W La razón del flujo de calor a través de cada muestra es · · Q
12 W e
12  (44 W)
22 W ya que, debido a la simetría, sólo la mitad del calor generado fluirá a través de cada muestra. Leer la misma diferencia de temperatura de uno a otro lado de la misma distancia en cada una de las muestras también confirma que el aparato posee simetría térmica. El área de transferencia de calor es perpendicular a la dirección del flujo de éste, la cual, en este caso, es el área de la sección transversal del cilindro: A
41 pD2
14 p(0.05 m)2
0.001963 m2 Puesto que la temperatura cae en 15°C en una distancia de 3 cm en la dirección del flujo del calor, la conductividad térmica de la muestra se determina como · T Q
kA L → k
Q· L (22 W)(0.03 m)

22.4 W/m · °C )(15°C) A T (0.001963 (0.00196 mm22)(15°C) Discusión Quizá el lector se está preguntando si en realidad se necesita usar dos muestras en el aparato, dado que las mediciones en la segunda muestra no dan información adicional. Parece como que se puede reemplazar una de ellas por un aislamiento. De hecho, no se necesita la segunda muestra; sin embargo, permite verificar las mediciones de temperatura en la primera y proporciona simetría térmica, lo cual reduce el error experimental. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/22/11 12:13 PM Page 25 25 CAPÍTULO 1 EJEMPLO 1-7 Conversión entre el SI y las unidades inglesas Un ingeniero que trabaja en el análisis de la transferencia de calor de un edificio de ladrillos, en unidades inglesas, necesita la conductividad térmica del ladrillo. Pero el único valor que puede hallar en sus manuales es 0.72 W/m · °C, lo cual está en unidades SI. Para empeorar las cosas, el ingeniero no cuenta con un factor directo de conversión entre los dos sistemas de unidades para la conductividad térmica. ¿Puede usted ayudarlo? SOLUCIÓN La situación que encara este ingeniero no es única y, a menudo, la mayor parte de los ingenieros se encuentran en una posición semejante. Una persona debe tener mucho cuidado durante la conversión de unidades para no caer en algunas trampas comunes y evitar algunas equivocaciones costosas. Aun cuando la conversión de unidades es un proceso sencillo, requiere el mayor de los cuidados y un razonamiento cuidadoso. Los factores de conversión para W y m son directos y se dan en las tablas de conversión como 1 W  3.41214 Btu/h 1 m  3.2808 ft Pero la conversión de °C a °F no es tan sencilla y puede convertirse en una fuente de error si no se tiene cuidado. Quizá lo primero que viene a la mente es reemplazar °C por (°F  32)/1.8, ya que T(°C)  [T(°F)  32]/1.8. Pero esto es erróneo puesto que el °C en la unidad W/m · °C significa por cambio en °C en la temperatura. Dado que un cambio de 1°C en la temperatura corresponde a 1.8°F, el factor de conversión apropiado que debe usarse es 1°C  1.8°F k = 0.72 W/m · °C = 0.42 Btu/h · ft · °F Sustituyendo, se obtiene 1 W/m · °C  3.41214 Btu/h  0.5778 Btu/h · ft · °F (3.2808 ft)(1.8°F) el cual es el factor deseado de conversión. Por lo tanto, la conductividad térmica del ladrillo en unidades inglesas es kladrillo  0.72 W/m · °C  0.72
(0.5778 Btu/h · ft · °F)  0.42 Btu/h · ft · °F Discusión Note que el valor de la conductividad térmica de un material en unidades inglesas es más o menos la mitad del que se da en unidades SI (figura 1-33). Note también que se redondea el resultado a dos cifras significativas (igual que en el valor original), ya que expresar el resultado con más cifras significativas (como 0.4160, en lugar de 0.42) daría a entender falsamente un valor más exacto que el original. 1-7 ■ CONVECCIÓN La convección es el modo de transferencia de energía entre una superficie sólida y el líquido o gas adyacente que está en movimiento y comprende los efectos combinados de la conducción y el movimiento de fluidos. Entre más rápido es el movimiento de un fluido, mayor es la transferencia de calor por convección. En ausencia de cualquier movimiento masivo de fluido, la transferencia de calor entre una superficie sólida y el fluido adyacente es por conducción pura. La presencia de movimiento masivo del fluido acrecienta la transferencia de calor entre la superficie sólida y el fluido, pero también complica la determinación de las razones de esa transferencia. Considere el enfriamiento de un bloque caliente al soplar aire frío sobre su superficie superior (figura 1-34). La energía se transfiere primero a la capa de aire http://librosysolucionarios.net FIGURA 1-33 El valor de la conductividad térmica en unidades inglesas se obtiene al multiplicar el valor en unidades SI por 0.5778. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 26 26 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Variación de la velocidad del aire T V T Variación de la temperatura del aire Flujo de aire As · Qconv Ts Bloque caliente FIGURA 1-34 Transferencia de calor de una superficie caliente hacia el aire por convección. Convección forzada Convección natural Aire Aire Huevo caliente Huevo caliente FIGURA 1-35 Enfriamiento de un huevo cocido por convección forzada y convección natural. TABLA 1-5 Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección Tipo de convección Convección libre de gases Convección libre de líquidos Convección forzada de gases Convección forzada de líquidos Ebullición y condensación h, W/m2 · °C* 2-5 10-1 000 25-250 50-20 000 2 500-100 000 adyacente al bloque, por conducción. En seguida, esta energía es acarreada alejándola de la superficie, por convección; es decir, por los efectos combinados de la conducción dentro del aire, que se debe al movimiento aleatorio de moléculas de éste, y del movimiento masivo o macroscópico de ese aire que remueve el aire calentado cercano a la superficie y lo reemplaza por otro más frío. La convección recibe el nombre de convección forzada si el fluido es forzado a fluir sobre la superficie mediante medios externos como un ventilador, una bomba o el viento. Como contraste, se dice que es convección natural (o libre) si el movimiento del fluido es causado por las fuerzas de empuje que son inducidas por las diferencias de densidad debidas a la variación de la temperatura en ese fluido (figura 1-35). Por ejemplo, en ausencia de un ventilador, la transferencia de calor del bloque caliente de la figura 1-33 será por convección natural, ya que, en este caso, cualquier movimiento en el aire se deberá a la elevación del aire más caliente (y, por lo tanto, más ligero) cercano a la superficie y la caída del más frío (y, por lo tanto, más pesado) para llenar su lugar. La transferencia de calor entre el bloque y el aire circundante será por conducción si la diferencia de temperatura entre el aire y el bloque no es suficientemente grande como para vencer la resistencia de ese aire al movimiento y, por consiguiente, para iniciar corrientes naturales de convección. Los procesos de transferencia de calor que comprenden cambio de fase de un fluido también se consideran como convección a causa del movimiento de ese fluido inducido durante el proceso, como la elevación de las burbujas de vapor durante la ebullición o la caída de las gotitas de líquido durante la condensación. A pesar de la complejidad de la convección, se observa que la rapidez de la transferencia de calor por convección es proporcional a la diferencia de temperatura y se expresa en forma conveniente por la ley de Newton del enfriamiento como (figura 1-36) · Q conv
hAs (Ts  T) (W) (1-24) donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, en W/m2 · °C o Btu/h · ft2 · °F, As es el área superficial a través de la cual tiene lugar la transferencia de calor por convección, Ts es la temperatura de la superficie y T es la temperatura del fluido suficientemente alejado de esta superficie. Note que en la superficie la temperatura del fluido es igual a la del sólido. El coeficiente de transferencia de calor por convección h no es una propiedad del fluido. Es un parámetro que se determina en forma experimental y cuyo valor depende de todas las variables que influyen sobre la convección, como la configuración geométrica de la superficie, la naturaleza del movimiento del fluido, las propiedades de éste y la velocidad masiva del mismo. En la tabla 1-5 se dan valores típicos de h. Algunos no consideran a la convección como un mecanismo fundamental de transferencia del calor ya que, en esencia, es conducción de calor en presencia de un movimiento de fluido. Pero todavía se necesita dar un nombre a este fenómeno combinado, a menos que se desee seguir refiriéndose a él como “conducción con movimiento de fluido”. Por lo tanto, resulta práctico reconocer a la convección como un mecanismo separado de transferencia de calor, a pesar de los argumentos válidos en contra. *Multiplíquese por 0.176 para convertir a Btu/h · ft2 · °F. EJEMPLO 1-8 Medición del coeficiente de transferencia de calor por convección Un alambre eléctrico de 2 m de largo y 0.3 cm de diámetro se extiende a través de un cuarto a 15°C, como se muestra en la figura 1-37. Se genera calor en http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 27 27 CAPÍTULO 1 el alambre como resultado de un calentamiento por resistencia y se mide la temperatura de la superficie de ese alambre como 152°C en operación estacionaria. Asimismo, se miden la caída de tensión y la corriente eléctrica que pasa por el alambre, resultando ser 60 V y 1.5 A, respectivamente. Descartando cualquier transferencia de calor por radiación, determine el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie exterior del alambre y el aire que se encuentra en el cuarto. SOLUCIÓN Se va a determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección de un alambre calentado eléctricamente hacia el aire, midiendo las temperaturas cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación y la potencia eléctrica consumida. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación, ya que las lecturas de la temperatura no cambian con el tiempo. 2 La transferencia de calor por radiación es despreciable. Análisis Cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación, la razón de la pérdida de calor del alambre será igual a la rapidez de generación de calor que resulta del calentamiento por resistencia; es decir, · · Q
Egenerado
VI
(60 V)(1.5 A)
90 W El área superficial del alambre es As
pDL
p(0.003 m)(2 m)
0.01885 m2 La ley de Newton del enfriamiento para la transferencia de calor por convección se expresa como · Q conv
hAs (Ts  T) Descartando cualquier transferencia de calor por radiación y, por lo tanto, suponiendo que toda la pérdida de calor del alambre ocurre por convección, el coeficiente de transferencia de calor por convección se determina como h
· Q conv 90 W

34.9 W/m2 · °C As(Ts  T) (0.01885 m2)(152  15)°C Discusión Note que el sencillo planteamiento que acaba de describirse se puede usar para determinar coeficientes promedio de transferencia de calor desde diversas superficies en el aire. Asimismo, se puede eliminar la transferencia de calor por radiación manteniendo las superficies circundantes a la temperatura del alambre. 1-8 ■ RADIACIÓN La radiación es la energía emitida por la materia en forma de ondas electromagnéticas (o fotones) como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas. A diferencia de la conducción y la convección, la transferencia de calor por radiación no requiere la presencia de un medio interventor. De hecho, la transferencia de calor por radiación es la más rápida (a la velocidad de la luz) y no sufre atenuación en un vacío. Ésta es la manera en la que la energía del Sol llega a la Tierra. En los estudios de transferencia de calor es de interés la radiación térmica, que es la forma de radiación emitida por los cuerpos debido a su temperatura. Es diferente de las otras formas de radiación, como los rayos X, los rayos gamma, las microondas, las ondas de radio y de televisión, que no están relacionadas con la temperatura. Todos los cuerpos a una temperatura arriba del cero absoluto emiten radiación térmica. http://librosysolucionarios.net FIGURA 1-36 Sir Isaac Newton (1642-1727). Matemático, físico y astrónomo inglés, nacido en Lincolnshire, Inglaterra. Es considerado como uno de los científicos y matemáticos más sobresalientes en la historia. Entre sus contribuciones al campo de la matemática están el desarrollo del teorema binomial, el cálculo diferencial y el cálculo integral. Decía haber concebido la teoría de la gravedad al observar una manzana cayendo de un árbol en 1665. Debido a las tres leyes fundamentales que llevan su nombre y que están descritas en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton es conocido como el padre de la mecánica clásica. Demostró que cada una de las tres leyes del movimiento de los planetas y estrellas formuladas por Kepler, se podían derivar de una sola ley de la gravedad. También se le atribuye el descubrimiento de la naturaleza compuesta de la luz blanca y su separación en diferentes colores al pasar por un prisma, así como la ley del enfriamiento que rige la razón de la transferencia de calor de una superficie caliente a un fluido más frío que la rodea. (© Pixal/age Fotostock RF) T = 15°C 152°C 1.5 A 60 V FIGURA 1-37 Esquema para el ejemplo 1-8. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 28 28 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS · Q emitida, máx = s Ts4 = 1 452 W/ m 2 Ts = 400 K Cuerpo negro ( e = 1) FIGURA 1-38 La radiación del cuerpo negro representa la cantidad máxima de radiación que puede ser emitida desde una superficie a una temperatura específica. La radiación es un fenómeno volumétrico y todos los sólidos, líquidos y gases emiten, absorben o transmiten radiación en diversos grados. Sin embargo, la radiación suele considerarse como un fenómeno superficial para los sólidos que son opacos a la radiación térmica, como los metales, la madera y las rocas, ya que las radiaciones emitidas por las regiones interiores de un material de ese tipo nunca pueden llegar a la superficie, y la radiación incidente sobre esos cuerpos suele absorberse en unas cuantas micras hacia adentro de dichos sólidos. La razón máxima de la radiación que se puede emitir desde una superficie a una temperatura termodinámica Ts (en K o R) es expresada por la ley de Stefan-Boltzmann como · Q emitida, máx
sAsT s4 TABLA 1-6 Emisividades de algunos materiales a 300 K Material Emisividad Hoja de aluminio 0.07 Aluminio anodizado 0.82 Cobre pulido 0.03 Oro pulido 0.03 Plata pulida 0.02 Acero inoxidable pulido 0.17 Pintura negra 0.98 Pintura blanca 0.90 Papel blanco 0.92-0.97 Pavimento de asfalto 0.85-0.93 Ladrillo rojo 0.93-0.96 Piel humana 0.95 Madera 0.82-0.92 Suelo 0.93-0.96 Agua 0.96 Vegetación 0.92-0.96 · · Qref = (1 – a ) Qincidente · · Qabs = a Qincidente FIGURA 1-39 Absorción de la radiación incidente sobre una superficie opaca de absortividad a. (1-25) donde s
5.67  108 W/m2 · K4, o bien, 0.1714  108 Btu/h · ft2 · R4 es la constante de Stefan-Boltzmann. La superficie idealizada que emite radiación a esta razón máxima se llama cuerpo negro y la radiación emitida por éste es la radiación del cuerpo negro (figura 1-38). La radiación emitida por todas las superficies reales es menor que la emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura y se expresa como · Q emitida
esAsT s4 (W) (1-26) en donde e es la emisividad de la superficie. La emisividad cuyo valor está en el intervalo 0 e 1, es una medida de cuán próxima está una superficie de ser un cuerpo negro, para el cual e
1. En la tabla 1-6 se dan las emisividades de algunas superficies. Otra importante propiedad relativa a la radiación de una superficie es su absortividad a, la cual es la fracción de la energía de radiación incidente sobre una superficie que es absorbida por ésta. Como la emisividad, su valor está en el intervalo 0 a 1. Un cuerpo negro absorbe toda la radiación incidente sobre él. Es decir, un cuerpo negro es un absorbente perfecto (a
1) del mismo modo que es un emisor perfecto. En general, tanto e como a de una superficie dependen de la temperatura y de la longitud de onda de la radiación. La ley de Kirchhoff de la radiación afirma que la emisividad y la absortividad de una superficie a una temperatura y longitud de onda dadas son iguales. En muchas aplicaciones prácticas, las temperaturas de la superficie y de la fuente de radiación incidente son del mismo orden de magnitud, y la absortividad promedio de una superficie se considera igual a su emisividad promedio. La razón a la cual una superficie absorbe la radiación se determina a partir de (figura 1-39) · · Q absorbida
aQ incidente · Qincidente (W) (W) (1-27) · donde Q incidente es la razón a la cual la radiación incide sobre la superficie y a es la absortividad de la superficie. Para las superficies opacas (no transparentes), la parte de la radiación incidente no absorbida por la superficie se refleja. La diferencia entre las razones de la radiación emitida por la superficie y la radiación absorbida es la transferencia neta de calor por radiación. Si la razón de absorción de la radiación es mayor que la de emisión, se dice que la superficie está ganando energía por radiación. De lo contrario, se dice que la superficie está perdiendo energía por radiación. En general, la determinación de la razón neta de la transferencia de calor por radiación entre dos superficies es un asunto complicado, ya que depende de las propiedades de las superficies, de la orientación de una con respecto a la otra y de la interacción del medio que existe entre ellas con la radiación. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 29 29 CAPÍTULO 1 Cuando una superficie de emisividad e y área superficial As, a una temperatura termodinámica Ts, está por completo encerrada por una superficie mucho más grande (o negra), a una temperatura termodinámica Talred, y separada por un gas (como el aire) que no interfiere con la radiación, la razón neta de la transferencia de calor por radiación entre estas dos superficies se da por (figura 1-40) · 4 Q rad
esAs (Ts4  Talred ) (W) · Q conv · Q total hcombinado As (Ts hcombinado hconv · Q rad hrad hconv As (Ts T ) hconv Talred) esAs (Ts4 (W) es (T s T alred)(T s2 Aire (1-28) En este caso especial la emisividad y el área superficial de la superficie circundante no tienen efecto sobre la transferencia neta de calor por radiación. La transferencia de calor por radiación hacia una superficie, o desde ésta, rodeada por un gas como el aire, ocurre paralela a la conducción (o convección, si se tiene un movimiento masivo del gas) entre esa superficie y el gas. Por lo tanto, la transferencia total de calor se determina al sumar las contribuciones de los dos mecanismos de transferencia. Por sencillez y conveniencia esto se lleva a cabo con frecuencia mediante la definición de un coeficiente combinado de transferencia de calor, hcombinado, que incluye los efectos tanto de la convección como de la radiación. Entonces, la razón total de transferencia de calor hacia una superficie, o desde ésta, por convección y radiación se expresa como · Q total Superficies circundantes a Talred · Qincidente · Qemitida ε , As, Ts · Qrad = εσ As (T 4s – T 4alred) FIGURA 1-40 Transferencia de calor por radiación entre una superficie y las superficies que la circundan. 4 Talred ) (1-29) 2 T alred ) Note que, en esencia, el coeficiente combinado de transferencia de calor es un coeficiente de transferencia de calor por convección modificado para incluir los efectos de la radiación. La radiación suele ser significativa con relación a la conducción o a la convección natural, pero despreciable con relación a la convección forzada. Por lo tanto, en las aplicaciones de convección forzada se suele descartar la radiación, en especial cuando las superficies que intervienen tienen emisividades bajas y temperaturas de bajas a moderadas. EJEMPLO 1-9 Efecto de la radiación sobre la comodidad térmica Es una experiencia común sentir “escalofrío” en invierno y “bochorno” en el verano en nuestras casas, incluso cuando el ajuste del termostato se mantiene igual. Esto se debe al llamado “efecto de radiación”, resultante del intercambio de calor por radiación entre nuestros cuerpos y las superficies circundantes de las paredes y el techo. Considere una persona que está parada en un cuarto mantenido a 22°C en todo momento. Se observa que las superficies interiores de las paredes, pisos y el techo de la casa se encuentran a una temperatura promedio de 10°C, en invierno, y de 25°C, en verano. Determine la razón de transferencia de calor por radiación entre esta persona y las superficies circundantes, si el área superficial expuesta y la temperatura promedio de la superficie exterior de ella son de 1.4 m2 y 30°C, respectivamente (figura 1-41). SOLUCIÓN Se van a determinar las razones de transferencia de calor por radiación entre una persona y las superficies circundantes que están a temperaturas específicas en verano y en invierno. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 No se considera la transferencia de calor por convección. 3 La persona está por completo rodeada por las superficies interiores del cuarto. 4 Las superficies circundantes están a una temperatura uniforme. Propiedades La emisividad de una persona es e
0.95 (tabla 1-6). http://librosysolucionarios.net FIGURA 1-41 Esquema para el ejemplo 1-9. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 30 30 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Análisis Las razones netas de transferencia de calor por radiación del cuerpo hacia las paredes, techo y piso, en invierno y en verano, son · 4 Q rad, invierno
esAs (Ts4  Talred, invierno)
(0.95)(5.67  108 W/m2 · K4)(1.4 m2)  [(30  273)4  (10  273)4] K4
152 W y · 4 Q rad, verano
esAs (Ts4  Talred, verano)
(0.95)(5.67  108 W/m2 · K4)(1.4 m2)  [(30  273)4  (25  273)4] K4
40.9 W Discusión Nótese que, en los cálculos de la radiación, deben usarse temperaturas termodinámicas (es decir, absolutas). Asimismo, obsérvese que la razón de la pérdida de calor de la persona, por radiación, es aproximadamente cuatro veces más grande en invierno de lo que es en verano, lo cual explica el “frío” que sentimos en aquella temporada, incluso si el ajuste del termostato se mantiene igual. 1-9 T1 SÓLIDO OPACO T2 Un modo Conducción T1 GAS T2 Radiación Dos modos Conducción o convección T1 VACÍO Radiación T2 Un modo FIGURA 1-42 Aun cuando se tienen tres mecanismos de transferencia de calor, un medio sólo puede comprender dos de ellos simultáneamente. ■ MECANISMOS SIMULTÁNEOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Se mencionó que existen tres mecanismos de transferencia de calor, pero no pueden existir simultáneamente los tres en un medio. Por ejemplo, la transferencia de calor sólo ocurre por conducción en los sólidos opacos, pero por conducción y radiación en los sólidos semitransparentes. Por lo tanto, un sólido puede comprender conducción y radiación pero no convección. Sin embargo, un sólido puede presentar transferencia de calor por convección y/o radiación en sus superficies expuestas a un fluido o a otras superficies. Por ejemplo, las superficies exteriores de un trozo frío de roca se calentarán en un medio ambiente más caliente, como resultado de la ganancia de calor por convección (del aire) y la radiación (del Sol o de las superficies circundantes más calientes). Pero las partes interiores de la roca se calentarán a medida que el calor se transfiere hacia la región interior de ella por conducción. La transferencia de calor es por conducción y, posiblemente, por radiación en un fluido estático (sin movimiento masivo del fluido) y por convección y radiación en un fluido que fluye. En ausencia de radiación, la transferencia de calor a través de un fluido es por conducción o convección, dependiendo de la presencia de algún movimiento masivo de ese fluido. La convección se puede concebir como conducción y movimiento del fluido combinados, y la conducción en un fluido se puede concebir como un caso especial de convección en ausencia de algún movimiento de ese fluido (figura 1-42). Por lo tanto, cuando se trata con la transferencia de calor a través de un fluido, se tiene conducción o convección, pero no las dos. Asimismo, los gases son prácticamente transparentes a la radiación, excepto por algunos gases que se sabe absorben radiación con gran fuerza en ciertas longitudes de onda. El ozono, por ejemplo, absorbe intensamente la radiación ultravioleta. Pero, en la mayor parte de los casos, un gas entre dos superficies sólidas no interfiere con la radiación y actúa de manera efectiva como el vacío. Por otra parte, los líquidos suelen ser fuertes absorbentes de radiación. Por último, la transferencia de calor a través del vacío sólo se produce por radiación, ya que la conducción o la convección requiere de la presencia de un medio material. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 31 31 CAPÍTULO 1 EJEMPLO 1-10 Pérdida de calor de una persona Considere una persona que está parada en un cuarto con brisa a 20°C. Determine la razón total de transferencia de calor desde esta persona, si el área superficial expuesta y la temperatura promedio de la superficie exterior de ella son de 1.6 m2 y 29°C, respectivamente, y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 6 W/m2 · °C (figura 1-43). SOLUCIÓN Se va a determinar la razón total de transferencia de calor desde una persona, tanto por convección como por radiación, hacia el aire y superficies circundantes que se encuentran a las temperaturas especificadas. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La persona está por completo rodeada por las superficies interiores del cuarto. 3 Las superficies circundantes están a la misma temperatura que el aire en el cuarto. 4 La conducción del calor hacia el piso, a través de los pies, es despreciable. Propiedades La emisividad de una persona es e
0.95 (tabla 1-6). Análisis La transferencia de calor entre la persona y el aire del cuarto es por convección (en lugar de por conducción), ya que se puede concebir que el aire que se encuentra en la vecindad de la piel o de la ropa se calienta y sube, como resultado de la transferencia de calor del cuerpo, iniciándose corrientes naturales de convección. Parece que, en este caso, el valor determinado en forma experimental para la razón de la transferencia de calor por convección es 6 W por unidad de área superficial (m2) por unidad de diferencia de temperatura (en K o °C) entre la persona y el aire alejado de ella. Por lo que la razón de la transferencia de calor de la persona al aire del cuarto es · Q conv
hAs (Ts  T)
(6 W/m2 · °C)(1.6 m2)(29  20)°C
86.4 W La persona también pierde calor por radiación hacia las superficies de las paredes circundantes. En este caso, por sencillez, considere la temperatura de las superficies de las paredes, techo y piso como iguales a la del aire, pero reconozca que éste no es necesariamente el caso. Estas superficies pueden estar a una temperatura superior o inferior a la promedio del aire del cuarto, dependiendo de las condiciones en el exterior y de la estructura de las paredes. Considerando que el aire no interviene con la radiación y que la persona está por completo encerrada por las superficies circundantes, la razón neta de la transferencia de calor por radiación de la persona hacia las paredes, techo y piso circundantes es · 4 Q rad
esAs (Ts4  Talred )
(0.95)(5.67  108 W/m2 · K4)(1.6 m2)  [(29  273)4  (20  273)4] K4
81.7 W Nótese que deben usarse temperaturas termodinámicas en los cálculos de la radiación. Asimismo, obsérvese que se usó el valor de la emisividad para la piel y la ropa a la temperatura ambiente, ya que no se espera que la emisividad cambie de manera significativa a una temperatura ligeramente más elevada. Entonces, la razón de la transferencia total de calor del cuerpo se determina al sumar estas dos cantidades: · · · Q total
Q conv  Q rad
(86.4  81.7) W  168 W Discusión La transferencia de calor sería mucho más elevada si la persona no estuviera vestida, ya que la temperatura de la superficie expuesta sería más al- http://librosysolucionarios.net FIGURA 1-43 Transferencia de calor desde la persona descrita en el ejemplo 1-10. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 32 32 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS ta. Por lo tanto, una importante función de la ropa es servir como una barrera contra la transferencia de calor. En estos cálculos se despreció la transferencia de calor por conducción a través de los pies hacia el piso, la cual suele ser muy pequeña. Aquí no se considera la transferencia de calor de la piel por transpiración, el cual es el modo dominante de transferencia en los medios calientes. También, las unidades W/m2 · °C y W/m2 · K para el coeficiente de transferencia de calor son equivalentes y pueden intercambiarse. T1 = 300 K · Q T2 = 200 K L = 1 cm ε=1 FIGURA 1-44 Esquema para el ejemplo 1-11. EJEMPLO 1-11 Transferencia de calor entre dos placas isotérmicas Considere la transferencia de calor en estado estacionario entre dos placas paralelas que se encuentran a las temperaturas constantes de T1
300 K y T2
200 K y están separadas una distancia L
1 cm, como se muestra en la figura 1-44. Suponiendo que las superficies son negras (emisividad e
1), determine la razón de transferencia de calor entre las placas por unidad de área superficial, suponiendo que el espacio entre ellas está a) lleno con aire atmosférico, b) vacío, c) lleno con aislamiento de uretano y d) lleno con superaislamiento que tiene una conductividad térmica aparente de 0.00002 W/m · °C. SOLUCIÓN Se va a determinar la razón de transferencia de calor entre dos placas grandes paralelas, a las temperaturas especificadas, para cuatro casos diferentes. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 No se tienen corrientes de convección natural en el aire entre las placas. 3 Las superficies son negras y, por lo tanto, e
1. Propiedades La conductividad térmica a la temperatura promedio de 250 K es k
0.0219 W/m · °C para el aire (tabla A-15), 0.026 W/m · K para el aislamiento de uretano (tabla A-6) y 0.00002 W/m · K para el superaislamiento. Análisis a) Las razones de transferencia de calor por conducción y por radiación entre las placas, a través de la capa de aire, son T1  T2 (300  200)K · Q cond
kA
(0.0219 W/m · K)(1 m2)
219 W L 0.01 m y · Q rad
esA(T 14  T 24)
(1)(5.67  108 W/m2 · K4)(1 m2)[(300 K)4  (200 K)4]
369 W Por lo tanto, · · · Q total
Q cond  Q rad
219  369
588 W En realidad, la razón de transferencia de calor será más alta debido a las corrientes de convección natural que es muy probable ocurran en el espacio de aire entre las placas. b) Cuando se vacía el espacio de aire entre las placas, no habrá conducción ni convección y la única transferencia de calor entre las placas será por radiación. Por lo tanto, · · Q total
Q rad
369 W c) Un material sólido opaco colocado entre las dos placas bloquea la transferencia de calor por radiación directa entre ellas. Asimismo, la conductividad térmi- http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 33 33 CAPÍTULO 1 300 K 200 K 300 K 200 K 300 K 200 K 300 K 200 K · Q = 588 W · Q = 369 W · Q = 260 W · Q = 0.2 W 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm a) Espacio de aire b) Vacío c) Aislamiento d) Superaislamiento FIGURA 1-45 Diferentes maneras de reducir la transferencia de calor entre dos placas isotérmicas y su efectividad. ca de un material aislante toma en cuenta la transferencia de calor por radiación que puede estar ocurriendo a través de los huecos vacíos en ese material. La razón de transferencia de calor a través del aislamiento de uretano es T1  T2 (300  200)K · · Q total
Q cond
kA
(0.026 W/m · K)(1 m2)
260 W L 0.01 m Note que la transferencia de calor a través del material de uretano es menor que la ocurrida a través del aire, determinada en a), aun cuando la conductividad térmica del aislamiento es más elevada que la del aire. Esto se debe a que el aislamiento bloquea la radiación en tanto que el aire la transmite. d) Las capas del superaislamiento impiden cualquier transferencia de calor por radiación directa entre las placas. Sin embargo, sí ocurre la transferencia de calor por radiación entre las láminas de superaislamiento y la conductividad térmica aparente de éste toma en cuenta este efecto. Por lo tanto, T1  T2 (300  200)K · Q total
kA
(0.00002 W/m · K)(1 m2)
0.2 W L 0.01 m 1 la cual es 1 845 de la correspondiente al vacío. Los resultados de este ejemplo se resumen en la figura 1-45 para ponerlos en perspectiva. Discusión En este ejemplo se demuestra la efectividad de los superaislamientos y ello explica por qué son los que se eligen en aplicaciones críticas, a pesar de su elevado costo. EJEMPLO 1-12 Transferencia de calor en los hornos convencionales y de microondas El cocimiento rápido y eficiente de los hornos de microondas los hace uno de los aparatos esenciales en las cocinas modernas (figura 1-46). Discuta los mecanismos de transferencia de calor asociados con la cocción de un pollo en los hornos de microondas y convencionales, y explique por qué la cocción en un horno de microondas es más eficiente. SOLUCIÓN En un horno de microondas los alimentos se cuecen al absorber la energía de radiación electromagnética generada por el tubo de microondas, conocido como magnetrón. La radiación emitida por el magnetrón no es térmica, FIGURA 1-46 Pollo cociéndose en un horno de microondas (ejemplo 1-12). http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 34 34 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS ya que su emisión no se debe a la temperatura del mismo; más bien, se debe a la conversión de energía eléctrica en radiación electromagnética a una longitud de onda específica. La longitud de onda de la radiación de microondas es tal que es reflejada por las superficies metálicas; transmitida por las cacerolas para cocinar hechas de vidrio, cerámica o plástico y absorbida y convertida en energía interna por las moléculas de los alimentos (en especial el agua, el azúcar y la grasa). En un horno de microondas la radiación que choca contra el pollo es absorbida por la piel de éste y las partes exteriores. Como resultado, la temperatura del pollo se eleva en la piel y cerca de ésta. En seguida, el calor es conducido hacia el interior del pollo desde sus partes exteriores. Por supuesto, algo del calor absorbido por la superficie exterior del pollo se pierde hacia el aire que está en el horno por convección. En un horno convencional primero se calienta el aire que está en el horno hasta la temperatura deseada por medio de un elemento de calentamiento, eléctrico o de gas. Este precalentamiento puede tardar varios minutos. Entonces el calor se transfiere del aire a la piel del pollo por convección natural, en la mayor parte de los hornos, o por convección forzada, en los más recientes, en los que se utiliza un ventilador. El movimiento del aire en los hornos de convección incrementa el coeficiente de transferencia de calor por convección y, por lo tanto, disminuye el tiempo de cocción. En seguida, el calor es conducido hacia el interior del pollo desde sus partes exteriores, como en los hornos de microondas. En los hornos de microondas se reemplaza el lento proceso de transferencia de calor por convección de los hornos convencionales por la transferencia instantánea de calor por radiación. Como resultado, en los hornos de microondas se transfiere la energía hacia los alimentos a plena capacidad en el momento en que se encienden y, por lo tanto, cuecen más rápido al mismo tiempo que consumen menos energía. EJEMPLO 1-13 700 W/ m2 α = 0.6 25°C Calentamiento de una placa por energía solar Una placa metálica delgada está aislada en la parte posterior y expuesta a la radiación solar en la superficie del frente (figura 1-47). La superficie expuesta de la placa tiene una absortividad de 0.6, para la radiación solar. Si la radiación solar incide sobre la placa a una rapidez de 700 W/m2 y la temperatura del aire circundante es de 25°C, determine la temperatura de la superficie de la placa cuando la pérdida de calor por convección y radiación es igual a la energía absorbida por la propia placa. Suponga que el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación es de 50 W/m2 · °C. SOLUCIÓN El lado posterior de la delgada placa metálica está aislado y el la- FIGURA 1-47 Esquema para el ejemplo 1-13. do del frente está expuesto a la radiación solar. Se va a determinar la temperatura de la superficie de la placa cuando se estabiliza. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La transferencia de calor a través del lado aislado de la placa es despreciable. 3 El coeficiente de transferencia de calor permanece constante. Propiedades Se da la absortividad solar de la placa como a
0.6. Análisis La absortividad solar de la placa es 0.6 y, por lo tanto, el 60% de la radiación solar incidente sobre la placa es absorbida de manera continua. Como resultado, la temperatura de la placa se elevará y aumentará la diferencia de temperatura entre ella y los alrededores. Esta diferencia creciente de temperatura causará que se incremente la razón de la pérdida de calor de la placa hacia los alrededores. En algún momento, la razón de la pérdida de calor de la http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 35 35 CAPÍTULO 1 placa será igual a la de la energía solar absorbida, y la temperatura de la placa ya no cambiará. La temperatura de la placa cuando se establece la operación estacionaria se determina a partir de · · Eganada
Eperdida o aAs q·incidente, solar
h combinado As (Ts  T) Despejando Ts y sustituyendo, se determina la temperatura de la superficie de la placa como Ts
T  a q· incidente, solar 0.6  (700 W/m2)
25°C 
33.4°C hcombinado 50 W/m2 · °C Discusión Note que las pérdidas de calor impedirán que la temperatura de la placa se eleve por encima de 33.4°C. Asimismo, el coeficiente combinado de transferencia de calor considera los efectos tanto de convección como de radiación y, por lo tanto, es muy conveniente para usarse en los cálculos de transferencia de calor cuando se conoce su valor con razonable exactitud. ■ TÉCNICA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS El primer paso en el aprendizaje de cualquier ciencia es captar los fundamentos y adquirir un conocimiento sólido de ella. El paso siguiente es dominar los fundamentos al poner a prueba este conocimiento. Lo anterior se lleva a cabo al resolver problemas significativos del mundo real. La resolución de esos problemas, en especial los complicados, requiere una rutina sistemática. Mediante el uso de un procedimiento paso a paso, un ingeniero puede reducir la resolución de un problema complicado en la resolución de una serie de problemas sencillos (figura 1-48). Cuando aborde un problema, se recomienda que utilice los pasos siguientes tan celosamente como sea posible. Esto le ayudará a evitar algunas de las trampas comunes asociadas con la resolución de problemas. Solución il era fác an M Paso 1: Enunciado del problema Con sus propias palabras exprese con brevedad el problema, la información clave que se le proporciona y las cantidades que debe hallar. Esto equivale a asegurarse de que comprende el problema y los objetivos antes de que intente resolverlo. Problema Manera difícil 1-10 FIGURA 1-48 Paso 2: Esquema Dibuje un esquema realista del sistema físico que interviene y haga una lista de la información pertinente sobre la figura. El esquema no tiene que ser tan elaborado, sólo debe asemejarse al sistema real y mostrar las características clave. Indique cualesquiera interacciones de energía y de masa con los alrededores. Hacer una lista de la información dada sobre el esquema ayuda a ver el problema completo de una vez. Paso 3: Suposiciones y aproximaciones Enúnciense cualesquiera suposiciones y aproximaciones apropiadas que se establezcan con el fin de simplificar el problema y hacer posible una solución. Justifíquense las suposiciones cuestionables. Supónganse valores razonables para las cantidades faltantes que sean necesarias. Por ejemplo, a falta de datos específicos acerca de la presión atmosférica, se puede tomar como 1 atm. Sin embargo, se debe resaltar en el análisis que la presión atmosférica decrece al http://librosysolucionarios.net Un procedimiento paso a paso puede simplificar mucho la resolución de problemas. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 36 36 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Dado: Temperatura del aire en Denver Debe hallarse: Densidad del aire Información faltante: Presión atmosférica Hipótesis #1: Tómese P = 1 atm (Inadecuado. Se ignora el efecto de la altitud. Causará un error de más de 15%.) Hipótesis #2: Tómese P = 0.83 atm (Adecuado: sólo se ignoran pequeños efectos, como las condiciones atmosféricas.) aumentar la elevación. Por ejemplo, cae hasta 0.83 atm en Denver (elevación 1 610 m) (figura 1-49). Paso 4: Leyes físicas Aplique todas las leyes y principios físicos básicos pertinentes (como la conservación de la energía) y redúzcalos hasta su forma más sencilla aplicando las suposiciones establecidas. Sin embargo, en primer lugar debe identificarse con claridad la región a la cual se aplica la ley física. Paso 5: Propiedades Determine las propiedades desconocidas necesarias para resolver el problema, con base en relaciones o tablas de propiedades. Haga una lista de las propiedades por separado e indíquese su fuente, si se debe hacer. Paso 6: Cálculos FIGURA 1-49 Las suposiciones que se hagan al resolver un problema de ingeniería deben ser razonables y justificables. Sustituya las cantidades conocidas en las relaciones simplificadas y realice los cálculos con el fin de determinar las incógnitas. Ponga atención particular en las unidades y las cancelaciones de éstas, y recuerde que una cantidad dimensional sin una unidad no tiene significado. Asimismo, no dé una sensación falsa de mucha precisión al copiar todos los dígitos de la pantalla de la calculadora; redondee los resultados hasta un número apropiado de cifras significativas (vea la pág. 39). Paso 7: Razonamiento, verificación y discusión Uso de energía: energ 80 d dólares lares/año Energ Energíaa ahorrada por el aislamiento: aislamiento dólares lares/año 200 d ¡IMPOSIBLE! IMPOSIBLE! FIGURA 1-50 Se debe comprobar que los resultados obtenidos a partir de un análisis de ingeniería sean razonables. Se solicita ingeniero organizado FIGURA 1-51 La limpieza y la organización son muy valoradas por los empleadores. Asegure las comprobaciones con el fin de que los resultados obtenidos sean razonables e intuitivos, y verifique la validez de las suposiciones cuestionables. Repita los cálculos que condujeron a valores no razonables. Por ejemplo, aislar un calentador de agua en el que se usa gas natural con valor de 80 dólares al año no puede dar por resultado un ahorro de 200 dólares anuales (figura 1-50). Del mismo modo, señale el significado de los resultados y discuta sus implicaciones. Exprese las conclusiones a las que se puede llegar a partir de los resultados y cualesquiera recomendaciones que se puedan hacer con base en ellas. Haga énfasis en las limitaciones bajo las cuales los resultados son aplicables y tome precauciones contra cualesquiera malas interpretaciones y el uso de los resultados en situaciones en donde las suposiciones subyacentes pierden validez. Por ejemplo, si determinó que al envolver un calentador de agua con una camisa de aislamiento de 20 dólares reducirá el gasto de energía en 30 dólares al año, indique que el aislamiento se pagará por sí mismo con el costo de la energía que se ahorre en menos de un año. Sin embargo, indique también que en el análisis no se consideran las remuneraciones de la mano de obra y que lo anterior tendrá vigencia si instala el aislamiento por sí mismo. Tenga en mente que usted presenta las soluciones a sus profesores y que cualquier análisis de ingeniería presentado a otros es una forma de comunicación. Por lo tanto, la nitidez, la organización, la integridad y la apariencia visual tienen la mayor importancia para obtener la efectividad máxima (figura 1-51). Además, la nitidez también sirve como una gran herramienta de comprobación, ya que es muy fácil detectar errores y faltas de coherencia en un trabajo claro. La falta de cuidado y saltarse pasos para ahorrar tiempo a menudo termina costando más tiempo y ansiedad innecesaria. El procedimiento que se acaba de describir se utiliza en los problemas resueltos como ejemplo, sin expresar en forma explícita cada paso. Para ciertos http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 37 37 CAPÍTULO 1 problemas algunos de los pasos pueden no ser aplicables o ser innecesarios. Sin embargo, no se puede pasar por alto la importancia de un procedimiento lógico y ordenado para resolver los problemas. La mayor parte de las dificultades que se encuentran al resolver un problema no se deben a falta de conocimiento sino de coordinación. Se le recomienda intensamente que siga estos pasos en la resolución de problemas hasta que desarrolle un procedimiento que funcione mejor para usted. Software para ingeniería Quizá el lector se pregunte por qué estamos a punto de abordar un concienzudo estudio de los fundamentos de la transferencia de calor. Después de todo, casi todos los problemas que es probable se encuentren en la práctica se pueden resolver utilizando uno de los varios paquetes de software disponibles con facilidad en el mercado actual. Estos paquetes no sólo dan los resultados numéricos deseados, sino que también los proporcionan en la forma de gráficas a todo color para realizar presentaciones impresionantes. Hoy es inconcebible practicar la ingeniería sin utilizar alguno de estos paquetes. El enorme poder de computación del que se dispone con sólo el toque de un botón es al mismo tiempo una bendición y una maldición. Es cierto que permite a los ingenieros resolver los problemas con facilidad y rapidez, pero también abre la puerta para los abusos y la falsa información. En las manos de personas con preparación deficiente estos paquetes de software son tan peligrosos como las armas poderosas y complicadas en las manos de soldados mal entrenados. Pensar que una persona que puede usar los paquetes de software para ingeniería, sin el adiestramiento apropiado en los fundamentos, puede practicar esta disciplina es como pensar que una persona que puede usar una llave de tuercas es capaz de trabajar como mecánico de automóviles. Si fuera cierto que los estudiantes de ingeniería no necesitan todos los cursos fundamentales que están tomando porque prácticamente todo se puede hacer con rapidez y facilidad mediante las computadoras, entonces también sería cierto que los patrones ya no necesitarían contratar ingenieros con elevados salarios, ya que cualquier persona que sepa cómo usar un programa de procesamiento de textos también puede aprender cómo usar aquellos paquetes de software. Sin embargo, las estadísticas hacen ver que la demanda de ingenieros está creciendo, no está en declinación, a pesar de la disponibilidad de estos poderosos paquetes. Siempre se debe recordar que todo el poder de computación y los paquetes de software para ingeniería de los que se dispone en la actualidad son herramientas que tienen significado sólo en las manos de los maestros. Tener el mejor programa de procesamiento de textos no hace que una persona sea un buen escritor, pero es evidente que la labor de un buen escritor será mucho más fácil y éste será más productivo (figura 1-52). Las calculadoras manuales no eliminaron la necesidad de enseñar a los niños cómo sumar o restar, y los complicados paquetes médicos de software no sustituyeron el adiestramiento en la escuela de medicina. Tampoco los paquetes de software de ingeniería reemplazarán la educación tradicional de ésta. Sencillamente causarán un desplazamiento en la profundidad con la que se imparten los cursos de matemáticas aplicadas a la física. Es decir, se dedicará más tiempo en el salón de clases para discutir los aspectos físicos de los problemas con mayor detalle y menos tiempo para la mecánica de los procedimientos de resolución. Todas estas herramientas maravillosas y poderosas con las que se cuenta en la actualidad ponen una carga adicional sobre los ingenieros de hoy. Todavía deben contar con una comprensión completa de los fundamentos, desarrollar una “sensación” de los fenómenos físicos, ser capaces de poner los datos en la perspectiva apropiada y establecer juicios sólidos de ingeniería, precisamente como http://librosysolucionarios.net FIGURA 1-52 Un excelente programa de procesamiento de textos no hace que una persona sea un buen escritor, sencillamente hace que un buen escritor sea mejor y más eficiente. (© Vol. 80/PhotoDisc) Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 38 38 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS sus antecesores. Sin embargo, deben hacerlo mucho mejor y mucho más rápido, con el uso de modelos más realistas, debido a las poderosas herramientas de que disponen en la actualidad. Los ingenieros del pasado se apoyaban en los cálculos a mano, en las reglas de cálculo y, más tarde, en las calculadoras manuales y las computadoras. Ahora, se apoyan en los paquetes de software. El fácil acceso a un poder de ese tipo y la posibilidad de que una falsa comprensión o una mala interpretación cause grandes daños hace más importante en la actualidad que nunca tener un adiestramiento sólido en los fundamentos de la ingeniería. En este texto se hace un esfuerzo adicional para enfatizar el desarrollo de una comprensión intuitiva y física de los fenómenos naturales, en lugar de hacerlo sobre los detalles matemáticos de los procedimientos de resolución. Solucionador de ecuación de ingeniería o Engineering Equation Solver (EES) EES es un programa con el que se resuelven numéricamente sistemas de ecuaciones algebraicas o diferenciales, lineales o no lineales. Cuenta con una gran biblioteca de funciones de propiedades termofísicas, así como de funciones matemáticas, y permite al usuario suministrar datos adicionales de propiedades. A diferencia de algunos paquetes de software, con EES no se resuelven problemas de ingeniería; sólo se solucionan las ecuaciones suministradas por el usuario. Por lo tanto, éste debe entender el problema y formularlo mediante la aplicación de algunas leyes y relaciones físicas pertinentes. EES ahorra al usuario tiempo y esfuerzo considerables al resolver las ecuaciones matemáticas resultantes. Esto hace posible resolver problemas significativos de ingeniería que no son adecuados para los cálculos a mano, así como conducir estudios paramétricos con rapidez y de manera conveniente. EES es un programa muy poderoso y, sin embargo, intuitivo, por lo que es muy fácil usarlo, como se muestra en el ejemplo 1-14. El empleo y las capacidades de EES se explican en el apéndice 3, en el Online Learning Center. EJEMPLO 1-14 Resolución de un sistema de ecuaciones con EES La diferencia de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es igual a su suma más 20. Determine estos dos números. SOLUCIÓN Se dan relaciones para la diferencia y la suma de los cuadrados de dos números. Deben determinarse éstos. Análisis Se arranca el programa EES haciendo doble clic sobre su ícono, se abre un nuevo archivo y se mecanografía lo siguiente sobre la pantalla en blanco que aparece: xy
4 x^2y^2
xy20 FIGURA 1-53 Imágenes de la pantalla EES para el ejemplo 1-14. lo cual es una expresión matemática exacta del enunciado del problema, denotando con x y y los números desconocidos. La solución para este sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas se obtiene al hacer clic sobre el símbolo de “calculadora” de la barra de tareas. Esto da (figura 1-53) x
5 y y
1 Discusión Note que todo lo que se hizo fue plantear el problema en la forma en que se haría sobre un papel; EES se encarga de todos los detalles matemá- http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 39 39 CAPÍTULO 1 ticos de la resolución. Note también que las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales y se pueden introducir en cualquier orden con las incógnitas en cualquiera de sus miembros. Los programas amigables para resolver ecuaciones, como el EES, permiten al usuario concentrarse en la física del problema, sin preocuparse por las complejidades matemáticas asociadas con la resolución del sistema resultante de ecuaciones. Una observación sobre las cifras significativas En los cálculos de ingeniería, la información dada no se conoce hasta más de un cierto número de cifras significativas. Como consecuencia, los resultados que se obtengan posiblemente no puedan determinarse hasta más cifras significativas. Dar los resultados con más cifras significativas da a entender que existe una mayor exactitud y debe evitarse. Por ejemplo, considere un recipiente de 3.75 L lleno con gasolina cuya densidad es 0.845 kg/L y trate de determinar su masa. Es probable que el primer pensamiento venido a la mente sea multiplicar el volumen por la densidad para obtener 3.16875 kg para la masa, lo cual implica con falsedad que la masa determinada tiene precisión hasta seis cifras significativas. Sin embargo, en realidad la masa no puede precisarse hasta más de tres cifras significativas, ya que tanto el volumen como la densidad se proporcionan con tres cifras significativas. Por lo tanto, el resultado se debe redondear al mismo número de cifras significativas y se debe dar la masa como de 3.17 kg en lugar de lo que aparece en la pantalla de la calculadora. El resultado de 3.16875 kg sería correcto sólo si el volumen y la densidad se dieran como 3.75000 L y 0.845000 kg/L, respectivamente. El valor 3.75 implica que se tiene bastante confianza en que el volumen es exacto dentro de 0.01 L y no puede ser 3.74 o 3.76 L. Sin embargo, el volumen puede ser 3.746, 3.750, 3.753, etc., ya que todos se redondean a 3.75 L (figura 1-54). Resulta más apropiado conservar todos los dígitos durante los cálculos intermedios y realizar el redondeo en el paso final, ya que esto es lo que normalmente hará una computadora. Al resolver problemas se supondrá que la información dada es exacta al menos hasta tres cifras significativas. Por lo tanto, si la longitud de un tubo se da como de 40 m, se supondrá que es de 40.0 m, para justificar el uso de tres dígitos significativos en los resultados finales. También debe tener presente que todos los valores determinados en forma experimental están sujetos a errores de medición que se reflejan en los resultados obtenidos. Por ejemplo, si la densidad de una sustancia tiene una incertidumbre de 2%, entonces la masa determinada usando este valor de densidad también tendrá una incertidumbre de 2%. También debe estar consciente de que, a veces, se introducen pequeños errores en forma intencional para evitar el problema de buscar datos más exactos. Por ejemplo, al tratar con agua líquida, sólo se usa el valor de 1 000 kg/m3 para la densidad, que es la del agua pura a 0°C. Si se usa este valor a 75°C conducirá a un error de 2.5%, ya que la densidad a esta temperatura es de 975 kg/m3. Los minerales y las impurezas que están en el agua introducirán un error adicional. Al ser éste el caso, el lector no debe tener reservas en redondear los resultados finales hasta un número razonable de cifras significativas. Además, tener una incertidumbre de unas cuantas unidades en porcentaje en los resultados de los análisis de ingeniería suele ser la norma, no la excepción. Al escribir los resultados intermedios en un cálculo es aconsejable tomar en cuenta las cifras “adicionales” mas no anotarlas redondeando para evitar errores de redondeo; no obstante, el resultado final debe escribirse tomando en http://librosysolucionarios.net Dado: Volumen: Densidad: V = 3.75 L r = 0.845 kg/L kg (tres cifras significativas) También, Tambi n, 3.75  0.845 = 3.16875 Hallar: Masa: m = rV = 3.16875 kg Redondeando hasta tres cifras significativas: m = 3.17 kg FIGURA 1-54 Un resultado con más cifras significativas que las de los datos que se dan implica falsamente una mayor exactitud. Cengel_001.qxd 2/22/11 12:13 PM Page 40 40 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS consideración el número de cifras significativas. También se debe tener en cuenta que cierto número de cifras significativas de precisión en el resultado no necesariamente implica el mismo número de cifras de precisión general. Por ejemplo, el error de sesgo en una de las lecturas puede reducir de manera importante la precisión general del resultado y hasta restarle sentido a la última cifra significativa y reducir el número de cifras confiables a sólo una. Los valores determinados experimentalmente están sujetos a errores de medición y tales errores se reflejan en los resultados obtenidos. Por ejemplo, si la densidad de una sustancia tiene una incertidumbre de 2%, entonces la masa determinada mediante este valor de densidad también tendrá una incertidumbre de 2%. Por último, cuando se desconoce el número de cifras significativas, la norma aceptada en ingeniería es de tres cifras significativas. Por lo tanto, si la longitud de una tubería se da como 40 m, asumiremos que es de 40.0 para justificar las tres cifras significativas en los resultados finales. TEMA DE INTERÉS ESPECIAL* Comodidad térmica FIGURA 1-55 La mayoría de los animales vienen a este mundo con aislamiento integrado, pero los seres humanos venimos con una piel delicada. (© Create/PunchStock RF.) A diferencia de los animales como una zorra o un oso, que nacen con abrigos de piel integrados, los seres humanos venimos a este mundo con poca protección contra las condiciones ambientales severas (figura 1-55). Por lo tanto, se afirma que la búsqueda de la comodidad térmica se remonta hasta los principios de la historia humana. Se cree que los primeros seres humanos vivieron en cuevas que les proporcionaban refugio y protección contra las condiciones térmicas extremas. Es probable que el primer sistema de calentamiento usado fuera el hogar abierto, seguido por el fuego en moradas, mediante el uso de una chimenea para dar salida a los gases de la combustión. El concepto de calefacción central se remonta a la época de los romanos, quienes calentaban sus casas utilizando técnicas de construcción de piso doble y haciendo pasar los humos del fuego por la abertura entre las dos capas de piso. Los romanos también fueron los primeros en usar ventanas transparentes hechas de mica o de vidrio para mantener fuera a la lluvia y el viento pero dejar entrar la luz. La madera y el carbón mineral fueron las fuentes primarias de energía para calefacción, y se usaron el aceite y las velas para alumbrar. Las ruinas de casas con el frente hacia el sur indican que pronto, en la historia, se reconoció el valor del calentamiento solar. El término acondicionamiento del aire suele usarse en sentido restringido para implicar el enfriamiento pero, en su sentido amplio, significa acondicionar el aire hasta tener el nivel deseado de calentamiento, enfriamiento, humidificación, deshumidificación, limpieza y desodorización. La finalidad del sistema de acondicionamiento del aire de un edificio es proporcionar una comodidad térmica completa para sus ocupantes. Por lo tanto, se necesita comprender los aspectos térmicos del cuerpo humano para diseñar un sistema eficaz de acondicionamiento del aire. Los bloques de construcción de los organismos vivientes son las células, las cuales se asemejan a fábricas en miniatura que realizan diversas funciones necesarias para la supervivencia de los seres vivos. El cuerpo * Esta sección se puede pasar por alto sin pérdida de continuidad. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 41 41 CAPÍTULO 1 humano contiene cerca de 100 mil billones de células con un diámetro promedio de 0.01 mm. En una célula típica ocurren miles de reacciones químicas cada segundo, durante las cuales algunas moléculas se dividen y se libera energía, y se forman algunas nuevas moléculas. El elevado nivel de actividad química de las células que mantiene la temperatura del cuerpo humano a 37.0°C (98.6°F), al mismo tiempo que realizan las funciones corporales necesarias, se llama metabolismo. En términos sencillos, el metabolismo se refiere al consumo de los alimentos, como los carbohidratos, las grasas y las proteínas. Los especialistas en nutrición suelen expresar el contenido de energía metabolizable de los alimentos en términos de la Caloría, con mayúscula. Una Caloría es equivalente a 1 Cal
1 kcal
4.1868 kJ. La rapidez del metabolismo en el estado de reposo se llama índice metabólico basal, el cual es la velocidad de metabolismo requerida para conservar un organismo realizando las funciones corporales necesarias, como la respiración y la circulación sanguínea, en un nivel cero de actividad externa. El índice metabólico también se puede interpretar como la rapidez de consumo de energía por parte de un organismo. Para un hombre promedio (de 30 años de edad, 70 kg, 1.73 m de estatura, 1.8 m2 de área superficial), el índice metabólico basal es de 84 W. Es decir, el organismo está convirtiendo la energía química de los alimentos (o de la grasa del cuerpo, si la persona no hubiera comido) en calor a razón de 84 J/s, el cual entonces se disipa hacia los alrededores. El índice metabólico crece con el nivel de actividad y puede decuplicar el índice metabólico basal cuando alguien está realizando un ejercicio extremo. Es decir, dos personas haciendo ejercicio pesado en un cuarto pueden liberar más energía hacia éste que un calentador de resistencia de 1 kW (figura 1-56). Un hombre promedio genera calor a razón de 108 W mientras está sentado leyendo, escribiendo, mecanografiando o escuchando una conferencia en un salón de clases. El índice metabólico máximo de un hombre promedio es de 1 250 W, a la edad de 20 años, y de 730 a los 70. Las razones promedio para las mujeres son inferiores en alrededor de 30%. Los índices metabólicos de los atletas entrenados pueden sobrepasar los 2 000 W. En la tabla 1-7 se dan los índices metabólicos durante diversas actividades por unidad de área superficial del cuerpo. El área superficial de un cuerpo desnudo fue expresada por D. DuBois, en 1916, como As
0.202m0.425 h0.725 (m2) (1-30) en donde m es la masa del cuerpo en kg y h es la altura en m. La ropa incrementa el área superficial expuesta en hasta cerca de 50%. Los índices metabólicos que se dan en la tabla son suficientemente exactos para la mayor parte de los fines, pero se tiene una incertidumbre considerable en los niveles de elevada actividad. Se pueden determinar valores más exactos midiendo la rapidez del consumo de oxígeno en la respiración, que va desde alrededor de 0.25 L/min, para un hombre promedio en reposo, hasta más de 2 L/min durante el trabajo extremadamente pesado. Se puede suponer que toda la energía liberada durante el metabolismo se libera como calor (en las formas sensible o latente), puesto que el trabajo mecánico externo realizado por los músculos es muy pequeño. Además, el trabajo que se realiza durante la mayor parte de las actividades, como al caminar o hacer ejercicio en una bicicleta fija, llega el momento en que se convierte en calor a través de la fricción. La comodidad del cuerpo humano depende principalmente de tres factores ambientales: la temperatura, la humedad relativa y el movimiento del http://librosysolucionarios.net 1.2 kJ/s 1 kJ/s FIGURA 1-56 Dos personas bailando rápido emiten más calor hacia un cuarto que un calentador de resistencia de 1 kW. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 42 42 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS TABLA 1-7 Índices metabólicos durante diversas actividades (tomado del Handbook of Fundamentals del Cap. 8, tabla 4) Índice metabólico* Actividad Reposo: Dormir Reclinarse Sentado, quieto De pie, relajado W/m2 40 45 60 70 Caminar (a nivel): 2 mph (0.89 m/s) 3 mph (1.34 m/s) 4 mph (1.79 m/s) 115 150 220 Actividades de oficina: Leer, sentado Escribir Mecanografiar Archivar, sentado Archivar, de pie Caminar por allí Levantar objetos/empacar 55 60 65 70 80 100 120 Conducir/volar: Automóvil Avión, rutinario Vehículo pesado 60-115 70 185 Actividades ocupacionales diversas: Cocinar 95-115 Limpiar la casa 115-140 Trabajo en máquinas: Ligero 115-140 Pesado 235 Manejar bultos de 50 kg 235 Trabajo de picar y palear 235-280 Actividades diversas de Bailar, socialmente Calistenia/ejercicio Tenis, singles Basquetbol Lucha, en competencia placer: 140-255 175-235 210-270 290-440 410-505 *Multiplíquese por 1.8 m2 para obtener los índices metabólicos para un hombre promedio. Multiplíquese por 0.3171 para convertir en Btu/h · ft2. aire. La temperatura del medio ambiente es el índice sencillo más importante de la comodidad. Se ha realizado una investigación extensa sobre sujetos humanos con el fin de determinar la “zona de comodidad térmica” e identificar las condiciones en las que el cuerpo se siente cómodo en un medio. Se ha observado que la mayor parte de la gente vestida de manera normal, en reposo o realizando trabajo ligero, se siente cómoda en el rango de la temperatura operativa (muy aproximadamente, la temperatura promedio del aire y las superficies circundantes) de 23°C hasta 27°C, o bien, 73°F a 80°F (figura 1-57). Para la gente desnuda, este rango es de 29°C a 31°C. La humedad relativa también tiene un efecto considerable sobre la comodidad, ya que es una medida de la capacidad del aire para absorber humedad y, por lo tanto, afecta la cantidad de calor que un cuerpo puede disipar por evaporación. La humedad relativa elevada retarda el rechazo de calor por evaporación, en especial a altas temperaturas, y la baja humedad relativa lo acelera. El nivel deseable de humedad relativa se encuentra en el amplio rango de 30 a 70%, siendo el nivel más deseable el de 50%. La mayor parte de las personas no sienten calor ni frío en estas condiciones y el cuerpo no necesita activar alguno de los mecanismos de defensa con el fin de mantener su temperatura normal (figura 1-58). Otro factor que tiene un efecto importante sobre la comodidad térmica es el movimiento excesivo del aire o corriente de aire, que causa un enfriamiento local no deseado del cuerpo humano. La corriente de aire es identificada por muchos como uno de los factores más molestos en los lugares de trabajo, los automóviles y los aviones. La experimentación de incomodidad por la corriente de aire es común entre las personas que usan ropa normal en interiores y que están realizando trabajo ligero sedentario y menos común entre aquellas con elevados niveles de actividad. La velocidad del aire debe mantenerse por debajo de 9 m/min (30 ft/min), en el invierno, y de 15 m/min (50 ft/min), en el verano, para minimizar la incomodidad por la corriente, en especial cuando el aire es frío. Un bajo nivel de movimiento del aire es deseable ya que remueve el bochorno, el aire húmedo que se acumula alrededor del cuerpo, y lo reemplaza con aire fresco. Por lo tanto, el movimiento del aire debe ser lo suficientemente fuerte para eliminar el calor y la humedad de la vecindad del cuerpo, pero tan suave como para no advertirse. El movimiento del aire a alta velocidad también causa incomodidad en el exterior. Por ejemplo, un medio ambiente a 10°C (50°F) con vientos de 48 km/h se siente tan frío como un medio ambiente a 7°C (20°F) con vientos de 3 km/h, debido al efecto de enfriamiento del movimiento del aire (el factor del viento). Un buen sistema debe proporcionar condiciones uniformes en todo el espacio habitable para evitar la incomodidad causada por irregularidades como las corrientes de aire, la radiación térmica asimétrica, los pisos calientes o fríos y la estratificación vertical de la temperatura. La radiación térmica asimétrica es causada por las superficies frías de las ventanas grandes, las paredes no aisladas o los productos fríos, así como por las superficies calientes como los paneles radiantes para calefacción, de gas o eléctricos, colocados en las paredes o el techo, las paredes o techos de mampostería calentados por el Sol y la maquinaria caliente. La radiación asimétrica causa incomodidad por la exposición de lados diferentes del cuerpo a superficies con temperaturas diferentes y, por lo tanto, a distintas pérdidas o ganancias de calor por radiación. Una persona cuyo lado izquierdo está expuesto a una ventana fría, por ejemplo, sentirá como si estuviera perdiendo calor de ese lado (figura 1-59). Para lograr la comodidad térmica, la asimetría en la temperatura radiante no debe sobrepasar 5°C en http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 43 43 CAPÍTULO 1 http://librosysolucionarios.net °C 2.0 Aislamiento de ropa (clo) la dirección vertical y 10°C en la horizontal. Se puede minimizar el efecto desagradable de la asimetría en la radiación mediante la instalación de paneles de calefacción de tamaño apropiado, usando ventanas de hoja doble y colocando aislamiento generoso en las paredes y el techo. El contacto directo con superficies frías o calientes también causa incomodidad en los pies. La temperatura del piso depende de la manera en que esté construido (si está directamente sobre el suelo o sobre la parte superior de un cuarto calentado, si está hecho de madera o de concreto, si se usó aislamiento, etc.) así como de la cubierta usada para el piso, como almohadillas, tapetes, alfombras y linóleo. Se sabe que una temperatura del piso de 23 a 25°C es cómoda para la mayor parte de la gente. La asimetría térmica del piso pierde su significado para las personas con calzado. Una manera eficaz y económica de elevar la temperatura del piso es usar paneles radiantes de calefacción en lugar de aumentar el ajuste del termostato. Otra condición no uniforme que causa incomodidad es la estratificación de la temperatura en un cuarto, que expone la cabeza y los pies a temperaturas diferentes. Para lograr la comodidad térmica, la diferencia de temperatura entre los niveles de la cabeza y los pies no debe exceder de 3°C. Este efecto se puede minimizar usando ventiladores. Se debe notar que ningún ambiente térmico satisfará a todos. Sin importar lo que se haga, ciertas personas expresarán alguna incomodidad. La zona de comodidad térmica está basada en una tasa de 90% de aceptación. Es decir, se estima que un medio es cómodo si sólo 10% de las personas no están satisfechas con él. El metabolismo disminuye algo con la edad, pero no tiene efecto sobre la zona de comodidad. La investigación indica que no existe diferencia apreciable entre los medios preferidos por las personas viejas y jóvenes. Los experimentos también demuestran que los hombres y las mujeres prefieren ambientes semejantes. El índice de metabolismo de la mujer es algo inferior, pero esto se compensa por la temperatura de la piel y la pérdida por evaporación ligeramente inferiores. Asimismo, no existe variación significativa en la zona de comodidad de una parte del mundo a otra y de invierno a verano. Por lo tanto, se pueden usar las condiciones térmicas de comodidad en todo el mundo en cualquier temporada. Del mismo modo, las personas no pueden aclimatarse para preferir condiciones diferentes de comodidad. En un medio ambiente frío la razón de pérdida de calor del cuerpo puede exceder la razón de generación de calor metabólico. El calor específico promedio del cuerpo humano es de 3.49 kJ/kg · °C y, por lo tanto, cada caída de 1°C en la temperatura del cuerpo corresponde a un déficit de 244 kJ en el contenido corporal de calor para un hombre promedio de 70 kg. Una caída de 0.5°C en la temperatura media del cuerpo causa una incomodidad notoria pero que es aceptable. Una caída de 2.6°C causa una incomodidad extrema. Una persona que esté durmiendo se despertará cuando su temperatura media corporal caiga en 1.3°C (lo cual normalmente representa una caída de 0.5°C en el interior del cuerpo y de 3°C en el área de la piel). La caída de la temperatura en las profundidades del cuerpo por debajo de 35°C puede dañar el mecanismo de regulación de la temperatura de éste, en tanto que una caída por debajo de 28°C puede ser fatal. Las personas sedentarias informaron sentirse cómodas a una temperatura media de la piel de 33.3°C, incómodamente frías a 31°C, frías hasta tiritar a 30°C y extremadamente frías a 29°C. Las personas que realizan trabajos pesados informaron sentirse cómodas a temperaturas mucho más bajas, lo cual muestra que el nivel de actividad afecta el desempeño y la comodidad humanos. Las extremidades del cuerpo, como las manos y los pies, es probable que 20 25 Sedentario HR de 50% V ≤ 30 fpm (0.15 m/s) 1.5 30 Ropa gruesa 1.0 Ropa de invierno 0.5 Ropa de verano 0 64 68 72 76 80 °F Temperatura operativa 84 Límite superior de aceptabilidad Óptimo Límite inferior de aceptabilidad FIGURA 1-57 Efecto de la ropa sobre la temperatura ambiente que se siente cómoda (1 clo
0.155 m2 · °C/W
0.880 ft2 · °F · h/Btu) (Tomada de la norma 55-1981 de la ASHRAE). 23°C RH = 50% Movimiento del aire 5 m/min FIGURA 1-58 Medio térmicamente cómodo. Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 44 44 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Ventana fría Pared caliente Radiación Radiación FIGURA 1-59 Las superficies frías causan pérdida excesiva de calor del cuerpo por radiación y, por lo tanto, incomodidad en ese lado del cuerpo. ¡Brrr! Tiritera FIGURA 1-60 La rapidez de generación de calor metabólico en reposo puede aumentar hasta seis veces durante la tiritera total en condiciones climáticas frías. resulten afectadas con mayor facilidad por las condiciones atmosféricas frías y su temperatura es una mejor indicación de la comodidad y el desempeño. Se percibe que la piel de una mano a 20°C está incómodamente fría, a 15°C está en extremo fría y a 5°C está dolorosamente fría. Se puede realizar trabajo útil por medio de las manos, sin dificultad, mientras la temperatura de la piel de los dedos permanece arriba de 16°C (Manual de fundamentos de la ASHRAE, Ref. 1, capítulo 8). La primera línea de defensa del cuerpo contra la pérdida excesiva de calor en un medio ambiente frío es reducir la temperatura de la piel y, de este modo, la razón de pérdida de calor; esto lo logra al estrechar las venas y disminuir el flujo sanguíneo. La medida disminuye la temperatura de los tejidos subyacentes a la piel, pero mantiene la temperatura corporal interior. La siguiente acción preventiva es incrementar la razón de generación de calor metabólico en el cuerpo al tiritar, a menos que la persona lo haga voluntariamente incrementando su nivel de actividad o poniéndose ropa adicional. La tiritera empieza con lentitud en pequeños grupos de músculos y puede duplicar la producción de calor metabólico del cuerpo en sus etapas iniciales. En el caso extremo de una tiritera total, la rapidez de producción de calor puede alcanzar hasta seis veces los niveles correspondientes al reposo (figura 1-60). Si esta medida también resulta inadecuada, la temperatura profunda del cuerpo empieza a caer. Las partes más alejadas del centro de éste, como las manos y los pies, se encuentran en el máximo peligro de sufrir daños en los tejidos. En los medios calientes la razón de pérdida de calor del cuerpo puede hacerse más lenta que la de generación de calor metabólico. En esta ocasión el cuerpo activa los mecanismos opuestos. En primer lugar aumenta el flujo de sangre y, por lo tanto, el transporte de calor hacia la piel, causando que la temperatura de ésta y la de los tejidos subyacentes se eleve y se aproxime a la del interior del cuerpo. En condiciones de calor extremo, el ritmo cardiaco puede llegar hasta 180 latidos por minuto para mantener un suministro adecuado de sangre al cerebro y a la piel. A ritmos cardiacos más altos, la eficiencia volumétrica del corazón cae; debido al tiempo tan corto entre los latidos no puede llenarse por completo con sangre y cae el suministro sanguíneo hacia la piel y, lo que es más importante, al cerebro. Esto hace que la persona se desmaye como resultado de la postración causada por el calor. La deshidratación hace que el problema sea peor. Una cosa semejante sucede cuando una persona que trabaja muy duro durante un tiempo largo se detiene súbitamente. En este caso, la sangre que ha inundado la piel tiene dificultad para regresar al corazón porque los músculos relajados ya no fuerzan a esa sangre de regreso al corazón y, por consiguiente, se tiene menos flujo disponible para bombearlo al cerebro. La siguiente línea de defensa es liberar agua de las glándulas sudoríparas y recurrir al enfriamiento evaporativo, si es que la persona no se quita algo de ropa y reduce el nivel de actividad (figura 1-61). El cuerpo puede mantener indefinidamente la temperatura de su centro a 37°C en este modo de enfriamiento evaporativo, incluso en medios a temperaturas más elevadas (tan altas como 200°C durante las pruebas militares de aguante), si la persona toma gran cantidad de líquidos para reaprovisionar sus reservas de agua y el aire ambiental está lo suficientemente seco como para permitir que el sudor se evapore en lugar de rodar hacia abajo de la piel. Si esta medida no resulta adecuada, el cuerpo tendrá que empezar a absorber calor metabólico y la temperatura profunda del cuerpo se elevará. Una persona puede tolerar una elevación en la temperatura de 1.4°C, sin incomodidad http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 45 45 CAPÍTULO 1 importante, pero puede desplomarse cuando la elevación de la temperatura alcanza los 2.8°C. La gente se siente lenta y su eficiencia cae de manera considerable cuando la temperatura del centro del cuerpo se eleva por encima de 39°C. Una temperatura del centro del cuerpo por encima de 41°C puede dañar las proteínas hipotalámicas, lo que da por resultado el cese de la sudoración, una producción mayor de calor por tiritera y una insolación con daños irreversibles que constituyen una amenaza para la vida. Por encima de 43°C puede ocurrir la muerte. Una temperatura superficial de 46°C causa dolor en la piel. Por lo tanto, el contacto directo con un bloque metálico a esta temperatura o superior es doloroso. Sin embargo, una persona puede permanecer en un cuarto a 100°C hasta por 30 min sin daños o dolor en la piel, debido a la resistencia por convección en la epidermis y al enfriamiento evaporativo. Incluso es posible poner nuestras manos dentro de un horno a 200°C, durante un corto tiempo, sin que salgan quemadas. Otro factor que afecta la comodidad térmica, la salud y la productividad es la ventilación. Se puede proporcionar aire fresco del exterior a un edificio en forma natural o por fuerza mediante un sistema mecánico de ventilación. En el primer caso, lo cual es la norma en los edificios residenciales, la ventilación necesaria se suministra por infiltración a través de las grietas y fugas en el espacio habitado y abriendo las ventanas y puertas. La ventilación adicional necesaria en los cuartos de baño y las cocinas se suministra con respiraderos con compuertas o con ventiladores de extracción. Sin embargo, con este tipo de ventilación no controlada, el suministro de aire fresco será demasiado elevado, con desperdicio de energía, o demasiado bajo, causando una mala calidad del aire en el interior. Pero la práctica actual probablemente no sea buscar un cambio para los edificios residenciales, ya que no existe una protesta pública por el desperdicio de energía o la calidad del aire y, por lo tanto, es difícil justificar el costo y la complejidad de los sistemas de ventilación mecánica. Los sistemas de ventilación mecánica forman parte de cualquier sistema de calefacción y acondicionamiento del aire en los edificios comerciales, suministrando la cantidad necesaria de aire fresco del exterior y distribuyéndolo de manera uniforme en todo el edificio. Esto no es sorprendente, ya que muchas habitaciones en los grandes edificios comerciales no cuentan con ventanas y, por lo tanto, dependen de la ventilación mecánica. Incluso los espacios con ventanas se encuentran en la misma situación, ya que dichas ventanas están herméticamente selladas y no se pueden abrir en la mayor parte de los edificios. No es una buena idea exagerar el tamaño del sistema de ventilación sólo para quedar en el “lado seguro”, ya que extraer aire del interior, calentado o enfriado, desperdicia energía. Por otra parte, también debe evitarse la reducción de las razones de ventilación por debajo del mínimo requerido, con el fin de conservar energía, de modo que la calidad del aire en el interior se pueda mantener en los niveles requeridos. En la tabla 1-8 se da una lista de los requisitos mínimos de aire fresco para ventilación. Los valores están basados en el control del CO2 y otros contaminantes con un margen adecuado de seguridad, lo cual requiere que a cada persona se le suministren por lo menos 7.5 L/s (15 ft3/min) de aire fresco. Otra función del sistema de ventilación mecánica es limpiar el aire, filtrándolo a medida que entra en el edificio. Se cuenta con varios tipos de filtros para este fin, dependiendo de los requisitos de limpieza y de la caída admisible de presión. http://librosysolucionarios.net Evaporación FIGURA 1-61 En los medios calientes un cuerpo puede disipar una gran cantidad de calor metabólico al transpirar, ya que el sudor absorbe el calor del cuerpo y se evapora. TABLA 1-8 Requerimientos mínimos de aire fresco en los edificios (norma 62-1989 de la ASHRAE) Requerimiento (por persona) Aplicación L/s ft3/min Salones de clases, bibliotecas, supermercados 8 15 Comedores, salas de conferencias, oficinas 10 20 Salas de hospital 25 Cuartos de hotel Salas de descanso 13 15 30 (por cuarto) (por cuarto) 30 Almacenes 1.0-1.5 de ventas al (por m2) menudeo 60 0.2-0.3 (por ft2) Edificios re- 0.35 de cambio de aire sidenciales por hora, pero no menos de 7.5 L/s (o 15 ft3/min) por persona Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 46 46 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS RESUMEN En este capítulo se presentaron y se discutieron los conceptos básicos de la transferencia de calor. La ciencia de la termodinámica trata de la cantidad de transferencia de calor a medida que un sistema pasa por un proceso de un estado de equilibrio hacia otro, en tanto que la ciencia de la transferencia de calor trata de la razón de esa transferencia, que es el principal interés en el diseño y evaluación del equipo de transferencia de calor. La suma de todas las formas de energía de un sistema se llama energía total e incluye las energías interna, cinética y potencial. La energía interna representa la energía molecular de un sistema y consta de las formas sensible, latente, química y nuclear. Las formas sensible y latente de la energía interna se pueden transferir de un medio a otro como resultado de una diferencia de temperatura y se mencionan como energía calorífica o térmica. Por lo tanto, la transferencia de calor es el intercambio de las formas sensible y latente de la energía interna entre dos medios, como resultado de una diferencia de temperatura. La cantidad de calor transferido por unidad de tiempo se · llama razón de transferencia del calor y se denota por Q . La razón de transferencia del calor por unidad de área se llama flujo de calor, q·. Un sistema de masa fija recibe el nombre de sistema cerrado y uno que comprende transferencia de masa a través de sus fronteras es un sistema abierto o volumen de control. La primera ley de la termodinámica o el balance de energía para cualquier sistema que pasa por cualquier proceso se puede expresar como Eent  Esal
Esistema Cuando un sistema cerrado estacionario comprende sólo transferencia de calor y no interacciones de trabajo a través de su frontera, la relación de balance de energía se reduce a Q
mcv T en donde Q es la cantidad de transferencia neta de calor hacia el sistema o desde éste. Cuando el calor se transfiere con una · rapidez constante de Q , la cantidad de transferencia de calor durante un intervalo de tiempo t se puede determinar a partir · de Q
Q t. En condiciones de estado estacionario y en ausencia de cualesquiera interacciones de trabajo, la relación de conservación de la energía para un volumen de control con una admisión y una salida, y con cambios despreciables en las energías cinética y potencial, se puede expresar como · Q
m· cpT · donde m·
rVAc es el gasto de masa y Q es la razón de transferencia neta de calor hacia afuera o hacia adentro del volumen de control. El calor se puede transferir en tres modos diferentes: conducción, convección y radiación. La conducción es la transferencia de calor de las partículas más energéticas de una sustancia hacia las menos energéticas adyacentes, como resul- tado de la interacción entre ellas, y es expresada por la ley de Fourier de la conducción del calor como · dT Q cond
kA dx donde k es la conductividad térmica del material, A es el área perpendicular a la dirección de la transferencia de calor y dT/dx es el gradiente de temperatura. La magnitud de la rapidez de conducción del calor a través de una capa plana de espesor L se expresa por · T Q cond
kA L donde T es la diferencia de temperatura de uno a otro lado de la capa. La convección es el modo de transferencia de calor entre una superficie sólida y el líquido o gas adyacente que se encuentra en movimiento y comprende los efectos combinados de la conducción y del fluido en movimiento. La razón de la transferencia de calor por convección se expresa por la ley de Newton del enfriamiento como · Q convección
hAs (Ts  T) donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, en W/m2 · K o Btu/h · ft2 · °F, As es el área superficial a través de la cual tiene lugar esa transferencia, Ts es la temperatura de la superficie y T es la temperatura del fluido suficientemente lejos de dicha superficie. La radiación es la energía emitida por la materia en forma de ondas electromagnéticas (o fotones), como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas. La razón máxima de la radiación que se puede emitir desde una superficie a una temperatura termodinámica Ts es · expresada por la ley de Stefan-Boltzmann como Q emitido, máx
4 8 2 4 sAsTs, donde s
5.67  10 W/m · K o 0.1714  108 Btu/h · ft2 · R4 es la constante Stefan-Boltzmann. Cuando una superficie de emisividad e y área superficial As, a una temperatura termodinámica Ts, está por completo encerrada por una superficie mucho más grande (o negra), a una temperatura termodinámica Talred, separada por un gas (como el aire) que no interfiere con la radiación, la razón neta de la transferencia de calor por radiación entre estas dos superficies se da por · 4 Q rad
esAs (Ts4 Talred ) En este caso, la emisividad y el área superficial de la superficie circundante no tienen efecto sobre la transferencia neta de calor por radiación. La razón a la cual una superficie absorbe radiación se deter· · · mina a partir de Q absorbido
aQ incidente en donde Q incidente es la razón a la cual la radiación incide sobre la superficie y a es la absortividad de esta última. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 47 47 CAPÍTULO 1 BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS SUGERIDAS 1. American Society of Heating, Refrigeration, and Air-Conditioning Engineers, Handbook of Fundamentals, Atlanta: ASHRAE, 1993. 3. Y. A. Çengel y M. A. Boles, Thermodynamics—An Engineering Approach, 7a. ed., Nueva York: McGraw-Hill, 2011. 2. Y. A. Çengel y R. H. Turner, Fundamentals of ThermalFluid Sciences, Nueva York: McGraw-Hill, 2007. 4. Robert J. Ribando, Heat Transfer Tools, Nueva York: McGraw-Hill, 2002. PROBLEMAS* Termodinámica y transferencia de calor 1-1C ¿En qué difiere la ciencia de la transferencia de calor de la ciencia de la termodinámica? 1-11C ¿Qué es flujo de calor? ¿Cómo está relacionado con la razón de transferencia de calor? 1-2C ¿Cómo surgen las ecuaciones diferenciales en el estudio de un problema físico? 1-12C ¿Cuáles son los mecanismos de transferencia de energía para un sistema cerrado? ¿Cómo se distingue la transferencia de calor de las otras formas de transferencia de energía? 1-3C ¿Cuál es la fuerza impulsora para a) la transferencia de calor, b) el flujo de corriente eléctrica y c) el flujo de fluidos? 1-13C ¿Cómo están relacionados entre sí el calor, la energía interna y la energía térmica? 1-4C ¿Cuál es la teoría del calórico? ¿Cuándo y por qué se abandonó? 1-14C Se calienta un gas ideal desde 50°C hasta 80°C a) a volumen constante, y b) a presión constante. ¿Para cuál de los dos casos piensa que la energía requerida será mayor? ¿Por qué? 1-5C ¿En qué se diferencian los problemas de capacidad nominal de los de dimensionamiento? 1-6C ¿Cuál es la diferencia entre el enfoque analítico y el experimental de la transferencia de calor? Discuta las ventajas y las desventajas de cada uno de ellos. 1-7C ¿Cuál es la importancia de la elaboración de modelos en la ingeniería? ¿Cómo se preparan los modelos matemáticos para los procesos de ingeniería? 1-8C Cuando se hace un modelo de un proceso de ingeniería, ¿cómo se hace la selección correcta entre un modelo simple pero burdo y uno complejo pero exacto? ¿El modelo complejo es necesariamente una selección mejor porque es más exacto? 1-9C En un día caluroso de verano un estudiante enciende su ventilador cuando sale de su cuarto en la mañana. Cuando regrese en la tarde, ¿su cuarto estará más caluroso o más frío que los cuartos vecinos? ¿Por qué? Suponga que todas las puertas y ventanas se mantienen cerradas. 1-10C Considere dos cuartos idénticos, uno con un refrigerador en él y el otro no. Si se cierran todas las puertas y ventanas, ¿el cuarto que contiene el refrigerador estará más frío o más caliente que el otro? ¿Por qué? * Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a darles respuesta. Los designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con un ícono de CD-EES se resuelven usando el EES, y las soluciones completas junto con los estudios paramétricos se incluyen en el CD que acompaña a este texto. Los problemas con un ícono de computadora-EES, , son de naturaleza detallada y se pretende que se resuelvan con una computadora, de preferencia usando el software de EES que acompaña a este texto. 1-15 Un elemento resistor cilíndrico en un tablero de circuito disipa 0.8 W de potencia. El resistor tiene 1.5 cm de largo y un diámetro de 0.4 cm. Suponiendo que el calor se va a transferir uniformemente desde todas las superficies, determine a) la cantidad de calor que este resistor disipa durante un periodo de 24 horas, b) el flujo de calor, y c) la fracción de calor disipada desde las superficies inferior y superior. 1-16I Un chip lógico usado en una computadora disipa 3 W de potencia en un medio de 120°F y tiene un área superficial de transferencia de calor de 0.08 in2. Suponiendo que la transferencia de calor desde la superficie es uniforme, determine a) la cantidad de calor que este chip disipa durante un día de trabajo de 8 horas, en kWh, y b) el flujo de calor sobre la superficie de él, en W/in2. 1-17 Considere una casa con una superficie de piso de 200 m2 y una altura promedio de 3 m, al nivel del mar, en donde la presión atmosférica estándar es 101.3 kPa. Inicialmente, la casa está a una temperatura uniforme de 10°C. Ahora, se enciende el calefactor eléctrico y funciona hasta que la temperatura del aire en la casa se eleva hasta un valor promedio de 22°C. Determine cuánto calor es absorbido por el aire, suponiendo que algo de éste se escapa a través de las grietas conforme el aire calentado en la casa se expande a presión constante. También determine el costo de este calor si el precio unitario de la electricidad en esa zona es de 0.075 dólar/kWh. 1-18 Se deja una plancha de 800 W sobre la tabla de planchar con su base expuesta al aire. Cerca de 85% del calor generado en la plancha se disipa a través de la base, cuya área superficial es de 150 cm2, y el 15% restante a través de otras superficies. Suponiendo que la transferencia de calor desde la superficie es uniforme, determine a) la cantidad de calor que la plancha disipa durante un periodo de 2 horas, en kWh, b) el flujo de http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 48 48 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS calor sobre la superficie de la base de la plancha, en W/m2, y c) el costo total de la energía eléctrica consumida durante este periodo de 2 horas. Tome el costo unitario de la electricidad como 0.07 dólar/kWh. mo, determine el costo de esta pérdida de energía para ese día, si el costo unitario de la electricidad en esa zona es de 0.082 dólar/kWh. 1-19 Un tablero de circuitos de 15 cm  20 cm aloja sobre su superficie 120 chips lógicos con poco espacio entre ellos, cada uno disipando 0.12 W. Si la transferencia de calor desde la superficie posterior del tablero es despreciable, determine a) la cantidad de calor que este tablero de circuito disipa durante un periodo de 10 horas, en kWh, y b) el flujo de calor sobre la superficie de ese tablero, en W/m2. 1-22 Considere una lámpara incandescente de 150 W. El filamento de la lámpara tiene 5 cm de largo y el diámetro es de 0.5 mm. El diámetro del bulbo de vidrio de la lámpara es de 8 cm. Determine el flujo de calor, en W/m2, a) sobre la superficie del filamento y b) sobre la superficie del bulbo de vidrio, y c) calcule cuánto costará por año mantener esa lámpara encendida durante 8 horas al día, todos los días, si el costo unitario de la electricidad es de 0.08 dólar/kWh. Respuestas: 40.4 kWh/día, 3.31 dólares/día Respuestas: a) 1.91  106 W/m2, b) 7 500 W/m2, c) 35.04 dólares/año D = 8 cm Chips Filamento d = 0.5 mm L = 5 cm 15 cm 20 cm FIGURA P1-22 FIGURA P1-19 1-20 Se va a calentar una bola de aluminio de 15 cm de diámetro desde 80°C hasta una temperatura promedio de 200°C. Tomando la densidad y el calor específico promedios del aluminio en este rango de temperaturas como r
2 700 kg/m3 y cp
0.90 kJ/kg · °C, determine la cantidad de energía que necesita Respuesta: 515 kJ ser transferida a la bola. 1-21 La infiltración de aire frío en una casa caliente durante el invierno a través de las rendijas alrededor de las puertas, ventanas y otras aberturas es una fuente importante de pérdida de energía, ya que ese aire frío que entra necesita ser calentado hasta la temperatura del cuarto. La infiltración se expresa a menudo en términos de los cambios de aire por hora (ACH por sus siglas en inglés). Un ACH de 2 indica que todo el aire de la casa se reemplaza dos veces cada hora por el aire frío del exterior. Considere una casa calentada eléctricamente que tiene una superficie de piso de 150 m2 y una altura promedio de 3 m a una elevación de 1 000 m, en donde la presión atmosférica estándar es 89.6 kPa. La casa se mantiene a una temperatura de 22°C y se estima que las pérdidas por infiltración equivalen a 0.7 ACH. Suponiendo que la presión y la temperatura en la casa permanecen constantes, determine la cantidad de pérdida de energía de ella, debido a la infiltración, para un día durante el cual la temperatura promedio en el exterior es de 5°C. Asimis- 1-23 Se calienta agua en un tubo aislado de diámetro constante por medio de un calentador eléctrico de resistencia de 5 kW. Si el agua entra en el calentador de manera estacionaria a 15°C y sale a 60°C, determine el gasto masa de agua. 60°C Agua 15°C Calentador de resistencia, 5 kW FIGURA P1-23 1-24 Un cuarto de 4 m  5 m  6 m se va a calentar por medio de un calefactor de resistencia instalado en la base de la pared. Se desea que este calefactor sea capaz de elevar la temperatura del aire en el cuarto de 7°C hasta 25°C en 15 minutos. Suponiendo que no existen pérdidas de calor y que la presión atmosférica es de 100 kPa, determine la potencia nominal requerida del calefactor. Suponga calores específicos constantes Respuesta: 3.01 kW a la temperatura ambiente. 1-25 Se va a calentar 1.2 kg de agua líquida con una temperatura inicial de 15°C a 95°C en una tetera equipada en su interior http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 49 49 CAPÍTULO 1 con un elemento calefactor eléctrico de 1.200 W. La tetera pesa 0.5 kg y tiene un calor específico promedio de 0.7 kJ/kg · K. Si se asume que el calor específico del agua es de 4.18 kJ/kg · K y se desprecia cualquier pérdida de calor de la tetera, determine cuánto tardará el agua en alcanzar la temperatura deseada. paredes de la secadora, determine a) el gasto volumétrico del aire a la entrada y b) la velocidad del aire a la salida. Respuestas: a) 0.0303 m3/s, b) 5.48 m/s Respuesta: 6 min T2 = 50°C A 2 = 60 cm 2 · We = 900 W Agua 15°C 1 200 W P1 = 100 kPa T1 = 25°C FIGURA P1-29 Elemento calefactor eléctrico FIGURA P1-25 1-26 Un cuarto se calienta por medio de un calefactor de resistencia instalado en la base de la pared. Cuando las pérdidas de calor del cuarto en un día de invierno equivalen a 9 000 kJ/h, se observa que la temperatura del aire en el cuarto permanece constante aun cuando el calefactor opera de manera continua. Determine la potencia nominal del calefactor, en kW. 1-27 Se va a calentar un cuarto de 5 m  6 m  8 m por medio de un calefactor eléctrico de resistencia colocado en un ducto corto en el propio cuarto. Inicialmente, el cuarto está a 15°C y la presión atmosférica local es de 98 kPa. El cuarto está perdiendo calor de manera estacionaria hacia el exterior con una rapidez de 200 kJ/min. Un ventilador de 300 W hace circular el aire de manera estacionaria a través del ducto y del calefactor con un gasto promedio de masa de 50 kg/min. Se puede suponer que el ducto es adiabático y no hay fugas ni filtraciones de aire desde o hacia el cuarto. Si transcurren 18 minutos para que el aire del cuarto alcance una temperatura promedio de 25°C, encuentre a) la potencia nominal del calefactor eléctrico y b) el aumento en la temperatura que experimenta el aire cada vez que pasa a través del calefactor. 1-28 Una casa tiene un sistema eléctrico de calefacción que consta de un ventilador de 300 W y un elemento eléctrico de calentamiento de resistencia colocado en un ducto. El aire fluye de manera estacionaria a través del ducto a razón de 0.6 kg/s y experimenta un aumento en la temperatura de 5°C. Se estima que la razón de la pérdida de calor del aire en el ducto es de 250 W. Determine la potencia nominal del elemento de calentamiento. 1-29 Una secadora de cabello es básicamente un ducto en el cual se colocan unas cuantas capas de resistores eléctricos. Un ventilador pequeño tira del aire llevándolo hacia adentro y forzándolo a que fluya sobre los resistores, en donde se calienta. Entra aire en una secadora de cabello de 900 W, a 100 kPa y 25°C, y sale a 50°C. El área de la sección transversal de la secadora a la salida es de 60 cm2. Despreciando la potencia consumida por el ventilador y las pérdidas de calor a través de las 1-30 Los ductos de un sistema de calentamiento de aire pasan por un área no calentada. Como resultado de las pérdidas de calor, la temperatura del aire en el ducto cae 3°C. Si el gasto masa del aire es de 90 kg/min, determine la razón de la pérdida de calor del aire hacia el medio ambiente frío. 1-31I Entra aire en el ducto de un sistema de acondicionamiento a 15 psia y 50°F, con un gasto volumétrico de 450 ft3/min. El diámetro del ducto es de 10 pulgadas y el calor se transfiere al aire de los alrededores a una razón de 2 Btu/s. Determine a) la velocidad del aire en la admisión del ducto y b) la temperatura de ese aire a la salida. Respuestas: a) 825 ft/min, b) 64°F 1-32 Se va a acondicionar el aire de un salón de clases que normalmente contiene 50 personas, con unidades acondicionadoras del aire montadas en las ventanas con una capacidad de enfriamiento de 5 kW. Se supone que una persona en reposo disipa calor a una velocidad de 360 kJ/h. Se tienen 10 focos eléctricos en el cuarto, cada uno con una capacidad nominal de 100 W. Se estima que la razón de transferencia de calor hacia el salón a través de las paredes y las ventanas es de 12 000 kJ/h. Si el aire del cuarto se debe mantener a una temperatura constante de 21°C, determine el número de unidades como la mencionada Respuesta: dos unidades que se requieren. Mecanismos de transferencia de calor 1-33C plata? ¿Cuál es mejor conductor del calor: el diamante o la 1-34C Defina la conductividad térmica y explique su significado en la transferencia de calor. 1-35C ¿Cuáles son los mecanismos de transferencia de calor? ¿Cómo se distinguen entre sí? 1-36C ¿Cuál es el mecanismo físico de conducción del calor en un sólido, un líquido y un gas? 1-37C Considere la transferencia de calor a través de una pared sin ventanas de una casa, en un día de invierno. Discuta los parámetros que afectan la razón de conducción del calor a través de la pared. 1-38C Escriba las expresiones para las leyes físicas que rigen cada modo de transferencia de calor e identifique las variables que intervienen en cada relación. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 50 50 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS ¿En qué difiere la conducción de calor de la convec- convección es 25 W/m2 · °C, determine la temperatura de la placa de aluminio. Descarte cualesquiera efectos de radiación. 1-40C ¿Alguna energía del Sol llega a la Tierra por conducción o por convección? 1-54 En las centrales eléctricas son muy comunes las tuberías que transportan vapor sobrecalentado. Este vapor fluye a una razón de 0.3 kg/s dentro de una tubería con un diámetro de 5 cm y longitud de 10 m. La tubería está colocada en una central eléctrica a 20°C y tiene una temperatura superficial uniforme de 100°C. Si el descenso de temperatura entre la entrada y salida de la tubería es de 30°C, y el calor específico del vapor es de 2.190 J/kg · K, determine el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie de la tubería y los alrededores. 1-39C ción? 1-41C ¿En qué difiere la convección forzada de la natural? 1-42C Defina emisividad y absortividad. ¿Cuál es la ley de Kirchhoff de la radiación? 1-43C ¿Qué es un cuerpo negro? ¿En qué difieren los cuerpos reales de los negros? 1-44C A juzgar por su unidad, W/m · °C, ¿podemos definir la conductividad térmica de un material como el flujo de calor a través del material por unidad de espesor por unidad de diferencia en la temperatura? Explique. 1-45C Considere la pérdida de calor a través de dos paredes de una casa en una noche de invierno. Las paredes son idénticas, excepto que una de ellas tiene una ventana de vidrio firmemente ajustada. ¿A través de cuál pared la casa perderá más calor? Explique. 1-46C Considere dos casas que son idénticas, excepto porque, en una de ellas, las paredes se construyen con ladrillos y, en la otra, con madera. Si las paredes de la casa de ladrillos tienen el doble de espesor, ¿cuál de las casas piensa usted que será más eficiente respecto al uso de la energía? 1-47C Considere dos paredes de una casa que son idénticas, excepto que una de ellas está construida de madera de 10 cm de espesor, en tanto que la otra está hecha de ladrillo de 25 cm de espesor. ¿A través de cuál de las dos paredes la casa perderá más calor en el invierno? 1-48C ¿Cómo varía la conductividad térmica de los gases y los líquidos con la temperatura? 1-49C ¿Por qué la conductividad térmica de los superaislamientos es de magnitud inferior que la correspondiente al aislamiento común? 1-50C ¿Por qué caracterizamos la capacidad de conducción del calor de los aisladores en términos de su conductividad térmica aparente en lugar de la conductividad térmica común? 1-51C Considere una aleación de dos metales cuyas conductividades térmicas son k1 y k2. ¿La conductividad térmica de la aleación será menor que k1, mayor que k2 o estará entre k1 y k2? Aire, 20°C Ts = 100°C D = 5 cm Vapor sobrecalentado 0.3 kg/s L = 10 m Tent – Tsal = 30°C FIGURA P1-54 1-55 Una corriente eléctrica de 5 A que pasa por un resistor tiene un voltaje medido de 6 V a través del resistor. El resistor es un cilindro con 2.5 cm de diámetro y 15 cm de longitud. El resistor tiene una temperatura uniforme de 90°C y aire a temperatura ambiente de 20°C. Si se supone que la transferencia de calor por radiación es despreciable, determine el coeficiente de transferencia de calor por convección. Respuesta: 33.6 W/m2 · K 1-56 Las superficies interior y exterior de un muro de ladrillos de 4 m  7 m, con espesor de 30 cm y conductividad térmica de 0.69 W/m · K, se mantienen a las temperaturas de 26°C y 8°C, respectivamente. Determine la razón de la transferencia de calor a través del muro, en W. 1-52 Las dos superficies de una placa de 2 cm de espesor se mantienen a 0°C y 80°C, respectivamente. Si se determina que el calor se transfiere a través de la placa a una razón de 500 W/m2, determine su conductividad térmica. 1-53 Cuatro transistores de potencia, cada uno de ellos disipando 12 W, están montados sobre una placa vertical de aluminio delgado que tiene un tamaño de 22 cm  22 cm. El calor generado por los transistores se va a disipar por las dos superficies de la placa hacia al aire circundante que está a 25°C, el cual se mueve sobre aquélla por medio de un ventilador. Se puede suponer que toda la placa es isotérmica y que se puede tomar el área superficial expuesta del transistor como igual al área de su base. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor por Muro de ladrillos 26°C 8°C 30 cm FIGURA P1-56 http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 51 51 CAPÍTULO 1 1-57 Durante el invierno las superficies interior y exterior de una ventana de vidrio de 0.5 cm de espesor y de 2 m  2 m están a 10°C y 3°C, respectivamente. Si la conductividad térmica del vidrio es 0.78 W/m · °C, determine la cantidad de pérdida de calor, en kJ, a través de él durante un periodo de 5 horas. ¿Cuál sería su respuesta si el vidrio tuviera 1 cm de espesor? Respuestas: 78.6 kJ, 39.3 kJ Durante un experimento se usan dos muestras de 0.5 cm de espesor con un tamaño de 10 cm  10 cm. Cuando se alcanza la operación de estado estacionario, se observa que el calentador consume 25 W de potencia eléctrica y se observa que la temperatura de cada una de las muestras cae de 82°C en la superficie interior a 74°C en la exterior. Determine la conductividad térmica del material a la temperatura promedio. 1.58 Vuelva a considerar el problema 1-57. Usando el software EES (o cualquier otro semejante) trace la gráfica de la cantidad de pérdida de calor a través del vidrio en función del espesor del vidrio de la ventana, en el rango de 0.1 cm hasta 1.0 cm. Discuta los resultados. Muestras Aislamiento Wattímetro 1-59 Una cacerola de aluminio cuya conductividad térmica es 237 W/m · °C tiene un fondo plano con un diámetro de 15 cm y un espesor de 0.4 cm. Se transfiere calor de manera estacionaria a través del fondo, hasta hervir agua en la cacerola, con una razón de 1 400 W. Si la superficie interior del fondo de la cacerola está a 105°C, determine la temperatura de la superficie exterior de ella. Aislamiento ~ Fuente 0.5 cm Calentador de resistencia FIGURA P1-62 1-63 Repita el problema 1-62 para un consumo de potencia eléctrica de 20 W. 105°C 0.4 cm 1 400 W FIGURA P1-59 1-60I El muro norte de una casa calentada eléctricamente tiene 20 ft de largo, 10 ft de alto y 1 ft de espesor y está hecha de ladrillo cuya conductividad térmica es k
0.42 Btu/lb · ft · °F. En cierta noche de invierno se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior y resultan ser de alrededor de 62°F y 25°F, respectivamente, durante un periodo de 8 horas. Determine a) la razón de la pérdida de calor a través del muro en la noche, y b) el costo de esa pérdida de calor para el propietario de la casa, si el costo de la electricidad es 0.07 dólar/kWh. 1-61 En cierto experimento se usan muestras cilíndricas con un diámetro de 4 cm y una longitud de 7 cm (véase la figura 1-32). Los dos termopares en cada una de las muestras se colocan con 3 cm de separación. Al término de los procesos de los transitorios iniciales, se observa que el calentador eléctrico consume 0.6 A a 110 V y los dos termómetros diferenciales dan como lectura una diferencia de temperatura de 8°C. Determine la conducRespuesta: 98.5 W/m · °C tividad térmica de la muestra. 1-62 Una manera de medir la conductividad térmica de un material es colocar como en un emparedado un calentador eléctrico de lámina térmica entre dos muestras rectangulares idénticas de ese material y aislar profusamente los cuatro bordes exteriores, como se muestra en la figura. Los termopares sujetos a las superficies interiores y exteriores de las muestras registran las temperaturas. 1-64 Un medidor de flujo de calor sujeto a la superficie interior de la puerta de un refrigerador que tiene 3 cm de espesor indica que se tiene un flujo de 32 W/m2 a través de esa puerta. Asimismo, se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior de la puerta y resultan ser 7°C y 15°C, respectivamente. Determine la conductividad térmica promedio de la Respuesta: 0.120 W/m · °C puerta del refrigerador. 1-65 Considere una persona que se encuentra parada en un cuarto que se mantiene a 20°C en todo momento. Se observa que las superficies de las paredes, pisos y techo de la casa están a una temperatura promedio de 12°C en el invierno y 23°C en el verano. Determine las razones de la transferencia de calor entre esta persona y las superficies circundantes, tanto en el verano como en el invierno, si el área superficial expuesta, la emisividad y la temperatura promedio de la superficie exterior de esa persona son 1.6 m2, 0.95 y 32°C, respectivamente. 1-66 Vuelva a considerar el problema 1-65. Usando el software EES (u otro equivalente) trace la gráfica de la transferencia de calor por radiación en el invierno en función de la temperatura de la superficie interior del cuarto en el rango de 8°C hasta 18°C. Discuta los resultados. 1-67 Para los fines de la transferencia de calor, un hombre de pie se puede considerar como si fuera un cilindro vertical de 30 cm de diámetro y 170 cm de longitud, con las superficies superior e inferior aisladas y con la superficie lateral a una temperatura promedio de 34°C. Para un coeficiente de transferencia de calor por convección de 8 W/m2 · °C, determine la razón de la pérdida de calor de este hombre, por convección, en un medio Respuesta: 205 W ambiente a 18°C. 1-68 Se sopla aire caliente a 80°C sobre una superficie plana de 2 m  4 m que está a 30°C. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es 55 W/m2 · °C, determine la razón de transferencia de calor del aire a la placa, en kW. Respuesta: 22 kW http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 52 52 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS 1-69 Vuelva a considerar el problema 1-68. Usando el software EES (u otro equivalente) trace la gráfica de la transferencia de calor en función del coeficiente de transferencia, en el rango de 20 W/m2 · °C hasta 100 W/m2 · °C. Discuta los resultados. 1-70 La superficie exterior de una nave en el espacio tiene una emisividad de 0.8 y una absortividad solar de 0.3. Si la radiación solar incide sobre la nave espacial a razón de 950 W/m2, determine la temperatura superficial de esta última cuando la radiación emitida es igual a la energía solar absorbida. 1-71 El calor generado en la circuitería sobre la superficie de un chip de silicio (k
130 W/m · °C) se conduce hasta el sustrato de cerámica al cual está sujeto. El chip tiene un tamaño de 6 mm  6 mm y un espesor de 0.5 mm y disipa 5 W de potencia. Descartando cualesquiera transferencia de calor a través de las superficies laterales de 0.5 mm de altura, determine la diferencia de temperatura entre las superficies del frente y posterior del chip operando en estado estacionario. Chip de silicio 0.5 mm 5°C, determine la razón aproximada de la pérdida de calor desde la esfera, en kW, y la razón a la cual el hielo se funde en el recipiente. El calor de fusión del agua es 333.7 kJ/kg. 1-75 Vuelva a considerar el problema 1-74. Usando el software EES (u otro equivalente) trace la gráfica de la rapidez a la cual el hielo se funde en función del espesor del recipiente, en el rango de 0.1 cm hasta 1.0 cm. Discuta los resultados. 1-76I Los vidrios interior y exterior de una ventana de hoja doble de 4 ft  4 ft están a 60°F y 48°F, respectivamente. Si el espacio de 0.25 in entre los dos vidrios está lleno con aire en reposo, determine la razón de transferencia de calor a través de la Respuesta: 131 Btu/h ventana. 1-77 Un transistor con una altura de 0.4 cm y un diámetro de 0.6 cm está montado sobre un tablero de circuito. El transistor se enfría por aire que fluye sobre él con un coeficiente promedio de transferencia de calor de 30 W/m2 · °C. Si la temperatura del aire es de 55°C y la temperatura de la caja del transistor no debe ser mayor de 70°C, determine la cantidad de potencia que este transistor puede disipar con seguridad. Descarte toda transferencia de calor desde la base del transistor. 6 6 mm m m 3W Aire 55°C Sustrato de cerámica FIGURA P1-71 1-72 Un calentador de 800 W y 40 cm de largo a base de resistencia eléctrica, con diámetro de 0.5 cm y temperatura superficial de 120°C, está inmerso en 75 kg de agua cuya temperatura inicial es de 20°C. Determine cuánto tiempo tomará a este calentador elevar la temperatura del agua a 80°C. Asimismo, determine los coeficientes de transferencia de calor por convección al principio y al final del proceso de calentamiento. 1-73 Un tubo de agua caliente con un diámetro exterior de 5 cm y de 10 m de largo, a 80°C, está perdiendo calor hacia el aire circundante, a 5°C, por convección natural con un coeficiente de transferencia de calor de 25 W/m2 · °C. Determine la razón de la pérdida de calor del tubo por convección natural, Respuesta: 2 945 W en W. 1-74 Un recipiente esférico hueco de hierro con un diámetro exterior de 20 cm y un espesor de 0.2 cm se llena con agua con hielo a 0°C. Si la temperatura de la superficie exterior es de 5°C Agua con hielo 0.2 cm FIGURA P1-74 Transistor de potencia 0.6 cm Ts ≤ 70°C 0.4 cm FIGURA P1-77 1-78 Vuelva a considerar el problema 1-77. Usando el software EES (u otro equivalente), trace la gráfica de la cantidad de potencia que el transistor puede disipar con seguridad, en función de la temperatura máxima de la caja, en el rango de 60°C hasta 90°C. Discuta los resultados. 1-79I Una sección de 300 ft de largo de un tubo de vapor de agua cuyo diámetro exterior es de 4 pulgadas pasa por un espacio abierto que está a 50°F. La temperatura promedio de la superficie exterior del tubo se mide como igual a 280°F y se determina que el coeficiente promedio de transferencia de calor sobre esa superficie es 6 Btu/h · ft2 · °F. Determine a) la razón de la pérdida de calor del tubo de vapor, y b) el costo anual de esta pérdida de energía si el vapor de agua se genera en un hogar de gas natural que tiene una eficiencia de 86% y el precio de este gas es de 1.10 dólar/therm (1 therm
100 000 Btu). Respuestas: a) 433 500 Btu/h, b) 48 576 dólares/año http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 53 53 CAPÍTULO 1 1-80 La temperatura de ebullición del nitrógeno a la presión atmosférica al nivel del mar (1 atm) es 196°C. Por lo tanto, es común usar el nitrógeno en estudios científicos a baja temperatura ya que el nitrógeno líquido en un tanque abierto a la atmósfera permanecerá constante a 196°C hasta que se agote. Cualquier transferencia de calor al tanque conducirá a la evaporación de algo del nitrógeno líquido, el cual tiene un calor de vaporización de 198 kJ/kg y una densidad de 810 kg/m3 a 1 atm. Considere un tanque esférico de 4 m de diámetro inicialmente lleno con nitrógeno líquido a 1 atm y 196°C. El tanque está expuesto a un aire ambiente a 20°C con un coeficiente de transferencia de calor de 25 W/m2 · °C. Se observa que la temperatura del tanque esférico de pared delgada es aproximadamente igual a la del nitrógeno que se encuentra en su interior. Descartando cualquier intercambio de calor por radiación, determine la rapidez de evaporación del nitrógeno líquido en el tanque, como resultado de la transferencia de calor del aire ambiente. rado en los chips es conducido a través del tablero de circuito y se disipa desde el lado posterior de éste hacia el aire ambiente. Determine la diferencia de temperatura entre los dos lados del Respuesta: 0.042°C tablero. 1-85 Considere una caja electrónica sellada de 20 cm de alto, cuyas dimensiones de la base son 50 cm  50 cm, colocada en una cámara al vacío. La emisividad de la superficie exterior de la caja es 0.95. Si los componentes electrónicos que están en la caja disipan un total de 120 W de potencia y la temperatura de la superficie exterior de ella no debe de sobrepasar 55°C, determine la temperatura a la cual deben mantenerse las superficies circundantes si esta caja se va a enfriar sólo por radiación. Suponga que la transferencia de calor desde la superficie inferior de la caja hacia el pedestal es despreciable. 50 cm 50 cm 120 W ε = 0.95 Ts = 55°C Caja electrónica 20 cm Vapor de N2 Taire = 20°C Pedestal FIGURA P1-85 1 atm N2 líquido –196°C FIGURA P1-80 1-81 Repita el problema 1-80 para el oxígeno líquido, el cual tiene una temperatura de ebullición de 183°C, un calor de vaporización de 213 kJ/kg y una densidad de 1 140 kg/m3 a una presión de 1 atm. 1-82 Vuelva a considerar el problema 1-80. Usando el software EES (u otro equivalente) trace la gráfica de la rapidez de evaporación del nitrógeno líquido en función de la temperatura del aire ambiente, en el rango de 0°C hasta 35°C. Discuta los resultados. 1-83 Considere una persona cuya área superficial expuesta es de 1.7 m2, su emisividad es 0.5 y su temperatura superficial es de 32°C. Determine la razón de la pérdida de calor por radiación de esa persona en un cuarto grande que tiene paredes a una temperatura de a) 300 K y b) 280 K. Respuestas: a) 26.7 W, b) 121 W 1-84 Un tablero de circuito de 0.3 cm de espesor, 12 cm de alto y 18 cm de largo aloja 80 chips lógicos, con poco espacio entre ellos, en uno de sus lados, disipando cada uno 0.06 W. El tablero está impregnado con empaste de cobre y tiene una conductividad térmica efectiva de 16 W/m · °C. Todo el calor gene- 1-86I Usando los factores de conversión entre W y Btu/h, m y ft y K y R, exprese la constante de Stefan-Boltzmann r
5.67  108 W/m2 · K4 en la unidad inglesa Btu/h · ft2 · R4. 1-87I Un ingeniero que está trabajando sobre el análisis de transferencia de calor de una casa, en unidades inglesas, necesita el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie exterior de la casa. Pero el único valor que puede encontrar en sus manuales es 22 W/m2 · °C, el cual está en unidades SI. El ingeniero no tiene un factor directo de conversión entre los dos sistemas de unidades para el coeficiente de transferencia de calor por convección. Usando los factores de conversión entre W y Btu/h, m y ft y °C y °F, exprese el coeficiente Respuesta: 3.87 Btu/h · ft2 · °F dado en Btu/h · ft2 · °F. 1-88 El agua a 0°C libera 333.7 kJ/kg de calor conforme se convierte en hielo (r
920 kg/m3) a 0°C. Un avión que vuela en condiciones de congelación mantiene un coeficiente de transferencia de calor de 150 W/m2 · °C entre el aire y las superficies de las alas. ¿Cuál es la temperatura a que deben mantenerse las alas para impedir que se forme hielo sobre ellas durante las condiciones de congelación a una tasa de 1 mm/min o menos? 1-89 Un cable eléctrico de 2.1 m de largo y 0.2 cm de diámetro es extendido a través de una habitación que se mantiene a 20°C. En el cable se genera calor como resultado de la disipación de la energía eléctrica; al medirse la temperatura de la superficie del cable, resulta ser de 180°C en condiciones de operación estacionaria. Asimismo, al medirse el voltaje y la corriente eléctrica en el cable, resultan ser de 110 V y 3 A, respectivamente. Si se ignora cualquier transferencia de calor por radiación, determine el coeficiente de transferencia de calor http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 54 54 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS por convección para la transferencia entre la superficie externa del cable y el aire de la habitación. Respuesta: 156 W/m2 · °C miento que tiene una conductividad térmica aparente de 0.00015 W/m · °C. 1-97 En el verano, las superficies interna y externa de una pared de 25 cm de espesor se encuentran a 27°C y 44°C, respectivamente. La superficie exterior intercambia calor por radiación con las superficies que la rodean a 40°C, y por convección con el aire del ambiente, también a 40°C, con un coeficiente de transferencia de 8 W/m2 · °C. La radiación solar incide sobre la superficie a razón de 150 W/m2. Si tanto la emisividad como la capacidad de absorción de la superficie exterior son de 0.8, determine la conductividad térmica efectiva de la pared. Habitación 20°C 180°C Cable eléctrico FIGURA P1-89 1-90 Vuelva a considerar el problema 1-89. Usando el software EES (u otro equivalente) trace la gráfica del coeficiente de transferencia de calor por convección en función de la temperatura de la superficie del alambre, en el rango de 100°C a 300°C. Discuta los resultados. 150 W/m2 27°C 44°C as= e = 0.8 aire, 40°C h · Qrad Mecanismos simultáneos de transferencia de calor 1-91C ¿Pueden ocurrir simultáneamente los tres modos de transferencia de calor (en paralelo) en un medio? 1-92C ¿Puede un medio comprender a) conducción y convección, b) conducción y radiación, o c) convección y radiación simultáneamente? Dé ejemplos para las respuestas que sean “sí”. 1-93C La temperatura profunda del organismo humano de una persona sana permanece constante a 37°C mientras que la temperatura y la humedad del medio cambian con el tiempo. Discuta los mecanismos de transferencia de calor entre el cuerpo humano y el medio tanto en verano como en invierno y explique cómo una persona puede mantenerse más fría en verano y más caliente en invierno. 1-94C A menudo encendemos el ventilador en verano para que ayude a enfriarnos. Explique de qué manera un ventilador hace sentirnos más fríos en el verano. Asimismo, explique por qué algunas personas usan ventiladores en el techo también en el invierno. 1-95 Considere una persona parada en un cuarto a 18°C. Determine la razón total de transferencia de calor desde esta persona, si el área superficial expuesta y la temperatura de la piel de ella son 1.7 m2 y 32°C, respectivamente, y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 5 W/m2 · °C. Tome la emisividad de la piel y la ropa como 0.9 y suponga que la temperatura de las superficies interiores del cuarto es igual a la temperatura del Respuesta: 248 W aire. 1-96 Considere la transferencia de calor en estado estacionario entre dos placas paralelas a las temperaturas constantes de T1
290 K y T2
150 K y con una separación L
2 cm. Suponiendo que las superficies son negras (emisividad e
1), determine la razón de la transferencia de calor entre las placas por unidad de área superficial, suponiendo que el espacio entre las placas está a) lleno con aire atmosférico, b) al vacío, c) lleno con aislamiento de fibra de vidrio y d) lleno con superaisla- FIGURA P1-97 1-98I Una esfera de 2 pulgadas de diámetro, cuya superficie se mantiene a una temperatura de 170°F, está suspendida en medio de un cuarto que está a 70°F. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15 Btu/h · ft2 · °F y la emisividad de la superficie es 0.8, determine la razón total de transferencia de calor desde la esfera. 1-99 Se deja una plancha de 800 W sobre una tabla de planchar con su base expuesta al aire a 20°C. El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie de la base y el aire circundante es 35 W/m2 · °C. Si la base tiene una emisividad de 0.6 y un área superficial de 0.02 m2, determine la temperatura de la base de la plancha. Respuesta: 601°C Plancha 800 W 20°C FIGURA P1-99 http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 55 55 CAPÍTULO 1 1-100 Se usa un tanque esférico con diámetro interior de 3 m, hecho de acero inoxidable de 1 cm de espesor, para almacenar agua con hielo a 0°C. El tanque está ubicado en el exterior en donde la temperatura es de 25°C. Suponiendo que todo el tanque de acero está a 0°C y, por lo tanto, la resistencia térmica del mismo es despreciable, determine a) la razón de la transferencia de calor hacia el agua con hielo que está en el tanque y b) la cantidad de hielo a 0°C que se funde durante un periodo de 24 horas. El calor de fusión del hielo a la presión atmosférica es hif
333.7 kJ/kg. La emisividad de la superficie exterior del tanque es 0.75 y el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie exterior se puede tomar como 30 W/m2 · °C. Suponga que la temperatura promedio de la superficie circundante para el intercambio de radiación es 15°C. cia de calor por convección sobre la superficie expuesta como 2.5 Btu/h · ft2 · °F. Tcielo = 50°F 70°F Colector solar Respuesta: a) 23.1 kW, b) 5 980 kg El techo de una casa consta de una losa de concreto (k
2 W/m · °C) de 15 cm de espesor, la cual tiene 15 m de ancho y 20 m de largo. La emisividad de la superficie exterior del techo es 0.9 y se estima que el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre esa superficie es 15 W/m2 · °C. La superficie interior del techo se mantiene a 15°C. En una noche clara de invierno, se informa que el aire ambiente está a 10°C, en tanto que la temperatura nocturna del cielo para la transferencia de calor por radiación es de 255 K. Considerando tanto la transferencia de calor por radiación como por convección, determine la temperatura de la superficie exterior y la razón de la transferencia de calor a través del techo. Si la casa se calienta por un hogar en el que se quema gas natural con una eficiencia de 85% y el costo unitario del gas natural es de 1.20 dólares/therm (1 therm
105 500 kJ de contenido de energía), determine el dinero perdido a través del techo esa noche, durante un periodo de 14 horas. FIGURA P1-102I 1-101 1-102I Considere un colector solar de placa plana colocado horizontalmente sobre el techo plano de una casa. El colector tiene 5 ft de ancho y 15 ft de largo, y la temperatura promedio de la superficie expuesta del colector es 100°F. La emisividad de esa superficie expuesta es 0.9. Determine la razón de la pérdida de calor del colector por convección y radiación durante un día calmado, cuando la temperatura ambiente del aire es de 70°F y la temperatura efectiva del cielo para el intercambio de radiación es de 50°F. Tome el coeficiente de transferen- Oblea de silicio . q rad Ts,u 1-103 Una hoja de acero inoxidable AISI 304 se someterá a un proceso de endurecimiento dentro de un horno eléctrico. El aire ambiental dentro del horno tiene una temperatura de 600°C, mientras que las superficies circundantes del horno están a una temperatura uniforme de 750°C. Si la emisividad de la hoja de acero inoxidable es de 0.40 y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es de 10 W/m2 · K, determine la temperatura de la hoja de acero inoxidable. Respuesta: 736ºC 1-104 El tratamiento térmico es común en el procesamiento de materiales semiconductores. Una oblea de silicio con un diámetro de 200 mm y un espesor de 725 m se calienta en una cámara de vacío mediante un calefactor infrarrojo. Las paredes circundantes de la cámara tienen una temperatura uniforme de 310 K. El calefactor infrarrojo emite un flujo de radiación incidente de 200 kW/m2 sobre la superficie de la oblea, cuya emisividad y absortividad son de 0.70. La temperatura de la superficie inferior de la oblea marcada por un pirómetro es de 1.000 K. Si se asume que no hay intercambio de radiación entre la superficie inferior de la oblea y los alrededores, determine la temperatura de la superficie superior de la oblea. (Nota: Un pirómetro es un dispositivo que mide e intercepta la radiación térmica sin necesidad de entrar en contacto con la superficie. Se puede utilizar para determinar la temperatura de la superficie del objeto.) . . q abs = aq IR Talred = 310 K e = a = 0.70 Ts,l = 1 000 K L = 725 µm FIGURA P1-104 http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 56 56 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Técnica de resolución de problemas y EES 1-105C ¿Cuál es la utilidad de los paquetes de software para ingeniería en a) la educación en ingeniería y b) la práctica de la ingeniería? 1-116C ¿Por qué es necesario ventilar los edificios? ¿Cuál es el efecto de la ventilación sobre el consumo de energía para la calefacción en el invierno y para el enfriamiento en el verano? ¿Es buena idea mantener encendidos los ventiladores de los cuartos de baño todo el tiempo? Explique. 1-106 1-117 Considere una casa en Atlanta, Georgia, que se mantiene a 22°C y tiene un total de 20 m2 de área de ventanas. Éstas son del tipo de doble puerta con marcos de madera y espaciadores metálicos, y tienen un factor U de 2.5 W/m2 · °C (vea el problema 1-126 para definir el factor U). En invierno, la temperatura promedio de Atlanta es de 11.3°C. Determine la rapidez promedio de pérdida de calor a través de las ventanas, en esa época del año. Determine una raíz real positiva de la ecuación siguiente, usando EES: 3.5x3  10x0.5  3x
4 1-107 Resuelva el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, usando EES: x3  y2
10.5 3xy  y
4.6 1-108 Resuelva el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, usando EES: 2x  y  z
5 3x2  2y
z  2 xy  2z
8 1-109 1-118 Se usa un alambre de resistencia eléctrica de 70 cm de largo y 2 mm de diámetro, sumergido en agua, para determinar en forma experimental el coeficiente de transferencia de calor en la ebullición en agua a 1 atm. Se mide la temperatura del alambre y es de 120°C, cuando un wattímetro indica que la potencia eléctrica consumida es de 4.1 kW. Determine el coeficiente de transferencia de calor en la ebullición, aplicando la ley de Newton del enfriamiento. Resuelva el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, usando EES: x2y  z
1.5 x  3y0.5  xz
2 x  y  z
4.2 1-110 Mediante la tabla de parámetros y las funciones graficadoras de EES, determine los cuadrados del número del 1 al 100 en incrementos de 10; muestre los resultados en forma tabular y gráfica. Tema de interés especial: Comodidad térmica 1-111C ¿Qué es metabolismo? ¿Cuál es el valor de la razón metabólica para un hombre promedio? ¿Por qué estamos interesados en el índice metabólico de los ocupantes de un edificio cuando tratamos con la calefacción y el acondicionamiento del aire? 1 atm 120°C 4.1 kW FIGURA P1-118 Problemas de repaso 1-119 Una máquina para soldar eléctrica tiene un electrodo cilíndrico de un diámetro de 2.5 mm y una longitud de 20 mm. Con el tiempo y el uso el electrodo se ha oxidado y tiene una emisividad de 0.80. Si se asume que el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección sobre el electrodo de la máquina de soldar es de 25 W/m2 · K, y la temperatura del aire circundante es de 20°C, determine la energía requerida para mantener el electrodo a 400°C. 1-112C ¿Por qué, en general, la razón metabólica de las mujeres es menor que la de los hombres? ¿Cuál es el efecto de la ropa sobre la temperatura ambiental que se siente cómoda? Aire, 20°C 1-113C ¿Qué es radiación térmica asimétrica? ¿Cómo causa incomodidad térmica en los ocupantes de un cuarto? Ts = 400°C 1-114C ¿Cómo a) la corriente de aire y b) las superficies frías del piso causan incomodidad en los ocupantes de un cuarto? 1-115C ¿Qué es estratificación? ¿Es probable que ocurra en lugares con techos bajos o altos? ¿Cómo causa incomodidad térmica en los ocupantes de un cuarto? ¿Cómo puede evitarse la estratificación? D = 2.5 mm L = 20 mm FIGURA P1-119 http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 57 57 CAPÍTULO 1 1-120 Se sabe bien que el viento hace que el aire frío se sienta mucho más frío como resultado del efecto de enfriamiento por el viento, que se debe al aumento en el coeficiente de transferencia de calor por convección junto con el aumento en la velocidad del aire. El efecto de enfriamiento por el viento suele expresarse en términos de factor de enfriamiento por el viento, el cual es la diferencia entre la temperatura real del aire y la temperatura equivalente del aire en calma. Por ejemplo, un factor de enfriamiento por el viento de 0°C, para una temperatura real del aire de 5°C, significa que el aire ventoso a 5°C se siente tan frío como el aire en calma a 15°C. En otras palabras, una persona desprenderá tanto calor hacia el aire a 5°C, con un factor de enfriamiento por el viento de 20°C, como el que perdería en aire en calma a 15°C. Para los fines de la transferencia de calor, un hombre de pie se puede modelar como un cilindro vertical de 30 cm de diámetro y 170 cm de largo, con las superficies tanto de arriba como de abajo aisladas y con la superficie lateral a una temperatura promedio de 34°C. Para un coeficiente de transferencia de calor por convección de 15 W/m2 · °C, determine la rapidez de la pérdida de calor de este hombre, por convección, en aire en calma a 20°C. ¿Cuál sería su respuesta si el coeficiente de transferencia de calor por convección se incrementara hasta 30 W/m2 · °C como resultado de los vientos? ¿Cuál es el factor de enfriamiento por el viento en este caso? Respuestas: 336 W, 672 W, 6°C 1-121 Una placa metálica delgada tiene aislada la parte posterior y la superficie del frente expuesta a la radiación solar. La superficie expuesta de la placa tiene una absortividad de 0.7 para la radiación solar. Si la radiación solar incide sobre la placa a razón de 550 W/m2 y la temperatura del aire circundante es de 10°C, determine la temperatura superficial de la placa cuando la pérdida de calor por convección es igual a la energía solar absorbida por dicha placa. Tome el coeficiente de transferencia de calor por convección como 25 W/m2 · °C y descarte cualquier pérdida de calor por radiación. tanque colocado en el propio cuarto. Éste está perdiendo calor hacia el exterior con una razón promedio de 10 000 kJ/h. El cuarto está inicialmente a 20°C y 100 kPa, y se mantiene a una temperatura promedio de 20°C en todo momento. Si el agua caliente va a satisfacer las necesidades de calentamiento de este cuarto durante un periodo de 24 horas, determine la temperatura mínima de esa agua cuando se lleva al inicio del proceso a dicho cuarto. Suponga calores específicos constantes tanto para el aire como para el agua a la temperatura ambiente. Respuesta: 77.4°C 1-123 Considere un horno cúbico de 3 m  3 m  3 m cuyas superficies superior y laterales se aproximan mucho a las superficies negras a una temperatura de 1 200 K. La superficie de la base tiene una emisividad de e
0.4 y se mantiene a 800 K. Determine la rapidez neta de la transferencia de calor por radiación hacia la superficie de la base desde las superficies superior Respuesta: 340 W y laterales. 1-124 Se van a calentar válvulas para motores (cp
440 J/ kg · °C y r
7 840 kg/m3) desde 40°C hasta 800°C en 5 minutos, en la sección de tratamientos térmicos de una instalación de fabricación de válvulas. Las válvulas tienen un vástago cilíndrico con un diámetro de 8 mm y una longitud de 10 cm. Se puede suponer que la cabeza y el vástago de la válvula tienen un área superficial igual, con una masa total de 0.0788 kg. Para una sola válvula, determine a) la cantidad de transferencia de calor, b) la razón promedio de transferencia de calor y c) el flujo promedio de calor, d) el número de válvulas que se pueden tratar térmicamente por día si la sección de calentamiento puede contener 25 válvulas y se usa 10 horas al día. 1-125 Considere un colector solar de placa plana colocado en el techo de una casa. Se miden las temperaturas en las superficies interior y exterior de la cubierta de vidrio y resultan 28°C y 25°C, respectivamente. La cubierta de vidrio tiene un área superficial de 2.5 m2, un espesor de 0.6 cm y una conductividad térmica de 0.7 W/m · °C. El calor se pierde desde la superficie exterior de la cubierta por convección y radiación, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 10 W/m2 · °C y a una temperatura ambiente de 15°C. Determine la fracción de calor perdido desde la cubierta de vidrio por radiación. 1-126 La razón de pérdida de calor a través de una unidad de área superficial de una ventana por unidad de diferencia en la 550 W/ m2 1.2 m α = 0.7 10°C Interior 20°C Exterior –8°C . Q FIGURA P1-121 1.8 m 1-122 Se va a calentar un cuarto de 4 m  5 m  6 m por medio de una tonelada (1 000 kg) de agua líquida contenida en un FIGURA P1-126 http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/22/11 12:13 PM Page 58 58 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS temperatura entre el interior y el exterior se llama factor U. El valor del factor U va desde 1.25 W/m2 · °C (o sea, 0.22 Btu/h · ft2 · °F), para ventanas de cuatro hojas, llenas con argón, con revestimiento de baja emisividad (low-e), hasta 6.25 W/m2 · °C (o sea, 1.1 Btu/h · ft2 · °F), para una ventana de una sola hoja, con marcos de aluminio. Determine el rango para la razón de pérdida de calor a través de una ventana de 1.2 m
1.8 m de una casa que se mantiene a 20°C cuando la temperatura del aire exterior es de 8°C. 1-127 Vuelva a considerar el problema 1-126. Usando el software EES (u otro semejante) trace la gráfica de la razón de pérdida de calor a través de la ventana en función del factor U. Discuta los resultados. 1-128 Un calefactor eléctrico con área superficial total de 0.25 m2 y una emisividad de 0.75 está en un cuarto en donde el aire tiene una temperatura de 20°C y las paredes se encuentran a 10°C. Cuando el calefactor consume 500 W de potencia eléctrica, su superficie tiene una temperatura estacionaria de 120°C. Determine la temperatura de la superficie del calefactor cuando consume 700 W. Resuelva el problema a) si se supone radiación despreciable y b) si se toma en consideración la radiación. Con base en sus resultados, haga un comentario acerca de la suposición establecida en el inciso a). A, e Tw Ts 1-130 Un bloque de motor con un área superficial de 0.95 m2 genera una potencia neta de salida de 50 kW y tiene una eficiencia de 35%. El bloque de motor opera dentro de un compartimiento a 157°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es de 50 W/m2 · K. Si la convección es el único mecanismo de transferencia de calor, determine la temperatura superficial del bloque de motor. Respuesta: 841ºC Problemas de examen de fundamentos de ingeniería (FI) 1-131 ¿Cuál de las ecuaciones siguientes se utiliza para determinar el flujo de calor por conducción? dT a) kA b) kgrad T dx e) Ninguna de ellas. c) h(T2T1) d) esT 4 1-132 ¿Cuál de las ecuaciones siguientes se utiliza para determinar el flujo de calor por convección? . Qconv · We entre el hielo y el aire circundante es h  10 W/m2 · K. La emisividad del hielo es e  0.95. El calor latente de fusión del hielo es hif  333.7 kJ/kg y su densidad, de 920 kg/m3. a) Calcule la carga necesaria de refrigeración del sistema para mantener el hielo a Ts  0°C, para una pista de 12 m
40 m. b) ¿Cuánto tardaría en fundirse e  3 mm de hielo de la superficie de la pista si no se proporciona enfriamiento y el lado inferior del hielo se considera aislado? . Qrad FIGURA P1-128 1-129 Una pista de patinaje sobre hielo está ubicada en un edificio en donde el aire está a Taire  20°C y las paredes, a Tw  25°C. El coeficiente de transferencia de calor por convección dT a) kA b) kgrad T dx e) Ninguna de ellas. c) h(T2T1) d) esT 4 1-133 ¿Cuál de las ecuaciones siguientes se utiliza para determinar el flujo de calor emitido por radiación térmica desde una superficie? dT a) kA b) kgrad T dx e) Ninguna de ellas. c) h(T2T1) d) esT 4 Tw = 25 °C Taire = 20°C . Qcarga . Qrad . Qconv h = 10 W/m2 · K Ts = 0°C Volumen de control Refrigerador Hielo FIGURA P1-129 Aislamiento http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 59 59 CAPÍTULO 1 1-134 Considere dos materiales diferentes, A y B. La razón de las conductividades térmicas es kA/kB
13, la razón de las densidades es rA/rB
0.045 y la razón de los calores específicos es cp,A/cp,B
16.9. ¿Cuál es la razón de las difusividades térmicas aA/aB? a) 4 882 b) 17.1 c) 0.06 d) 0.1 e) 0.03 1-135 En una habitación se enciende un calentador eléctrico de 1 kW y se mantiene así durante 50 minutos. La cantidad de energía transmitida por el calentador a la habitación es a) 2 kJ d) 7.200 kJ b) 100 kJ e) 12.000 kJ c) 6.000 kJ b) 521 W/m2 e) 19 500 W/m2 c) 3 125 W/m2 1-137 Se sumerge un calentador eléctrico de 2 kW en 30 kg de agua y se enciende y mantiene así durante 10 min. Durante el proceso, se pierden del agua 500 kJ de calor. El aumento de temperatura del agua es de a) 5.6°C d) 23.3°C b) 9.6°C e) 42.5°C c) 13.6°C 1-138 Se enfrían huevos con una masa de 0.15 kg cada uno y calor específico de 3.32 kJ/kg, de 32°C a 10°C, a razón de 200 huevos por minuto. La tasa de remoción de calor desde los huevos es de a) 7.3 kW d) 438 kW b) 53 kW e) 37 kW c) 17 kW 1-139 Se enfrían bolas de acero a 140°C con un calor específico de 0.5 kJ/kg · °C, en un baño de aceite a una temperatura promedio de 85°C a razón de 35 bolas por minuto. Si la masa promedio de las bolas de acero es de 1.2 kg, la tasa de transferencia de calor de las bolas al aceite es de a) 33 kJ/s d) 30 kJ/s b) 1 980 kJ/s e) 19 kJ/s c) 49 kJ/s 1-140 Se deja una bebida embotellada fría (m
2.5 kg, cp
4.200 J/kg · °C) a 5°C sobre una mesa en un cuarto. Se observa que la temperatura promedio de la bebida se eleva hasta 15°C en 30 minutos. La razón promedio de la transferencia de calor a la bebida es a) 23 W d) 88 W b) 29 W e) 122 W c) 58 W 1-141 Entra agua a 20°C a un tubo, a razón de 0.50 kg/s, y se calienta hasta 60°C. La razón de la transferencia de calor al agua es a) 20 kW d) 126 kW b) 42 kW e) 334 kW a) 4.3°C d) 43.4°C c) 84 kW 1-142 Entra aire a 50°C a un tubo de 12 m de largo y 7 cm de diámetro, a razón de 0.06 kg/s. El aire se enfría a una razón b) 17.5°C e) 45.8°C c) 32.5°C 1-143 Se pierde calor en forma continua a través de una ventana de vidrio de 2 m  3 m y 0.5 cm de espesor cuya conductividad térmica es de 0.7 W/m · °C. Se sabe que las temperaturas de las superficies interior y exterior del vidrio son 12°C y 9°C. La razón de la pérdida de calor por conducción a través del vidrio es a) 420 W d) 1 256 W 1-136 Un bloque cúbico de hierro caliente, de 16 cm  16 cm  16 cm, se enfría a una tasa promedio de 80 W. El flujo de calor es a) 195 W/m2 d) 7 100 W/m2 promedio de 400 W por m2 de área superficial del tubo. La temperatura del aire a la salida del tubo es b) 5 040 W e) 2 520 W c) 17 600 W 1-144 La pared de una casa calentada eléctricamente tiene 9 m de largo, 3 m de alto y 0.35 m de espesor, y una conductividad térmica efectiva de 0.7 W/m · °C. Si las temperaturas de las superficies interior y exterior de la pared son de 15°C y 6°C, la razón de la pérdida de calor a través de la pared es a) 486 W d) 972 W b) 60 W e) 2.085 W c) 1.134 W 1-145 A través de una pared compuesta de 9 m  3 m de dimensiones y de 0.3 m de espesor ocurre conducción de calor estable a razón de 1.2 kW. Si las temperaturas de las superficies interna y externa de la pared son de 15°C y 7°C, la conductividad térmica efectiva de la pared es de a) 0.61 W/m · °C d) 2.2 W/m · °C b) 0.83 W/m · °C e) 5.1 W/m · °C c) 1.7 W/m · °C 1-146 Se pierde calor a razón de 500 W a través de una pared de ladrillos (k
0.72 W/m · °C) que tiene 4 m de largo, 3 m de ancho y 25 cm de espesor. Si la superficie interior de la pared está a 22°C, la temperatura en el plano medio de ella es a) 0°C d) 14.8°C b) 7.5°C e) 22°C c) 11.0°C 1-147 Un tablero de circuitos de 10 cm de alto y 20 cm de ancho aloja sobre su superficie 100 chips espaciados en forma cerrada, generando cada uno de ellos calor a razón de 1.2 W y transfiriéndolo por convección y radiación hacia el medio que lo rodea, que se encuentra a 40°C. La transferencia de calor desde la superficie posterior del tablero es despreciable. Si el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación del tablero es 22 W/m2 · °C, la temperatura superficial promedio del chip es a) 41°C d) 76°C b) 54°C e) 82°C c) 67°C 1-148 Se usa un alambre de resistencia eléctrica de 40 cm de largo y 0.4 cm de diámetro, sumergido en agua, para determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección en agua durante la ebullición, a una presión de 1 atm. Se sabe que la temperatura superficial del alambre es de 114°C, cuando un wattímetro indica que el consumo de potencia eléctrica es de 7.6 kW. El coeficiente de transferencia de calor es a) 108 kW/m2 · °C c) 68.1 kW/m2 · °C e) 256 kW/m2 · °C http://librosysolucionarios.net b) 13.3 kW/m2 · °C d) 0.76 kW/m2 · °C Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 60 60 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS 1-149 Más de 90% de la energía disipada por un foco incandescente es en forma de calor, no de luz. ¿Cuál es la temperatura de un filamento de tungsteno encerrado al vacío, con un área superficial expuesta de 2.03 cm2, en un foco incandescente de 100 W? La emisividad del tungsteno a las temperaturas anticipadas es alrededor de 0.35. Nótese que el foco consume 100 W de energía eléctrica y toda la disipa por radiación. a) 1 870 K d) 3 120 K b) 2 230 K e) 2 980 K c) 2 640 K 1-150 Es frecuente que procesos comerciales de recubrimiento de superficies utilicen lámparas infrarrojas para acelerar el secado del recubrimiento. Se recubre una superficie de 4 m  4 m con una capa de teflón (k
0.45 W/m · K) de 1 mm de espesor usando dicho proceso. Una vez que el recubrimiento alcanza las condiciones estacionarias, las temperaturas de sus dos superficies son de 50°C y 45°C. ¿Cuál es la tasa mínima a la que debe suministrarse energía para las lámparas infrarrojas en las condiciones estacionarias? a) 36 kW d) 48 kW b) 40 kW e) 52 kW c) 44 kW 1-151 Se enfría un objeto con forma de prisma rectangular de 10 cm  12 cm  14 cm, hecho de madera (r
721 kg/m3, cp
1.26 kJ/kg · °C), desde 100°C hasta la temperatura ambiente de 20°C, en 54 minutos. El coeficiente promedio de transferencia de calor en el curso de este proceso es a) 0.47 W/m2 · °C c) 8 W/m2 · °C e) 17 830 W/m2 · °C b) 5.5 W/m2 · °C d) 11 W/m2 · °C 1-152 Se suspende una bola negra de 30 cm de diámetro en el aire y se está perdiendo calor hacia el aire de los alrededores, que está a 25°C, por convección y con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2 · °C, y por radiación hacia los alrededores que están a 15°C. La razón total de la transferencia de calor desde la bola negra es a) 217 W d) 465 W b) 247 W e) 2 365 W c) 251 W 1-153 Una superficie negra de 3 m2, que está a 140°C, está perdiendo calor hacia el aire de los alrededores que se encuentra a 35°C, por convección con un coeficiente de transferencia de calor de 16 W/m2 · °C, y por radiación hacia los alrededores que están a 15°C. La razón total de la pérdida de calor de la superficie es a) 5 105 W d) 8 819 W b) 2 940 W e) 5 040 W c) 3 779 W 1-154 Se puede hacer una aproximación de la cabeza de una persona como una esfera de 25 cm de diámetro a 35°C, con una emisividad de 0.95. Se pierde calor de la cabeza hacia el aire de los alrededores que se encuentra a 25°C, por convección con un coeficiente de transferencia de calor de 11 W/m2 · °C, y por radiación hacia los alrededores que están a 10°C. Si se descarta el cuello, determine la razón total de la pérdida de calor desde la cabeza. a) 22 W d) 172 W b) 27 W e) 249 W c) 49 W 1-155 Un alambre eléctrico mide 25 cm de largo y 0.4 cm de diámetro, y se utiliza para determinar en forma experimental el coeficiente de transferencia de calor por convección en el aire a 25°C. La temperatura superficial del alambre se mide y es de 230°C cuando el consumo de energía eléctrica es de 180 W. Si la pérdida de calor por radiación desde el alambre se calcula y resulta ser de 60 W, el coeficiente de transferencia de calor por convección es de a) 186 W/m2 · °C c) 373 W/m2 · °C e) 620 W/m2 · °C b) 280 W/m2 · °C d) 585 W/m2 · °C 1-156 Se calienta un cuarto por medio de un calefactor de resistencia eléctrica de 1.2 kW cuyos alambres tienen un diámetro de 4 mm y una longitud total de 3.4 m. El aire del cuarto está a 23°C y las superficies interiores del mismo están a 17°C. El coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie de los alambres es de 8 W/m2 · °C. Si las razones de la transferencia de calor de los alambres al cuarto por convección y por radiación son iguales, la temperatura de la superficie del alambre es a) 3.534°C d) 98°C b) 1 778°C e) 25°C c) 1 772°C 1-157 Una persona parada en un cuarto pierde calor hacia el aire que hay en éste, por convección, y hacia las superficies de alrededor, por radiación. Tanto el aire del cuarto como las superficies de alrededor están a 20°C. La superficie expuesta de la persona es de 1.5 m2 y tiene una temperatura promedio de 32°C y una emisividad de 0.90. Si las razones de la transferencia de calor de la persona por convección y por radiación son iguales, el coeficiente combinado de transferencia de calor es a) 0.008 W/m2 · °C c) 5.5 W/m2 · °C e) 10.9 W/m2 · °C b) 3.0 W/m2 · °C d) 8.3 W/m2 · °C 1-158 Mientras transita por una carretera temprano en la tarde, el flujo de aire sobre un automóvil establece un coeficiente global de transferencia de calor de 18 W/m2 · K. La cabina de pasajeros de este automóvil expone 9 m2 de superficie al aire ambiente en movimiento. En un día en el que la temperatura del aire ambiente es de 33°C, ¿cuánto enfriamiento debe suministrar el sistema de acondicionamiento de aire para mantener una temperatura de 20°C en la cabina? a) 670 W d) 2.565 W b) 1.284 W e) 3.210 W c) 2.106 W 1-159 En una noche clara y tranquila, el cielo parece ser un cuerpo negro con una temperatura equivalente de 250 K. ¿Cuál es la temperatura del aire cuando un campo de fresas se enfría hasta 0°C y se congela, si el coeficiente total de transferencia de calor entre las plantas y el aire es de 6 W/m2 · °C, debido a una ligera brisa, y si las plantas tienen una emisividad de 0.9? a) 14°C d) 0°C b) 7°C e) 3°C c) 3°C Problemas de diseño y ensayo 1-160 Escriba un ensayo sobre la manera en que funciona el horno de microondas y explique cómo es que cocinan mucho http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 61 61 CAPÍTULO 1 más rápido que los hornos convencionales. Discuta si los hornos eléctricos convencionales o los de microondas consumen más electricidad para la misma tarea. 1-161 Con la información de las facturas de las compañías generadoras de electricidad para el mes más frío del año, estime la rapidez promedio de la pérdida de calor de su casa para ese mes. En su análisis, considere la contribución de las fuentes internas de calor, como las personas, las lámparas y los aparatos eléctricos. Identifique las fuentes primarias de pérdida de calor de su casa y proponga maneras para mejorar la eficiencia respecto del uso de la energía de la misma. 1-162 Conduzca este experimento para determinar el coeficiente combinado de transferencia de calor entre un foco incandescente de 60 W, por un lado, y el aire y las superficies de alrededor, por el otro. Necesitará un termómetro eléctrico, el cual se puede comprar en una ferretería, y un pegamento para metales. También necesitará un trozo de cuerda y una regla para calcular el área superficial del foco. En primer lugar, mida la temperatura del aire en el cuarto y, a continuación, pegue la punta del alambre del termopar del termómetro al vidrio del foco. Encienda la luz y espere hasta que se estabilice la lectura de la temperatura. La lectura de la temperatura le dará la temperatura superficial del foco. Si se supone que 10% de la potencia nominal del foco se convierte en luz y se transmite por el vidrio, calcule el coeficiente de transferencia de calor basándose en la ley de Newton del enfriamiento. 1-163 Es bien sabido que a la misma temperatura del aire en exteriores una persona se enfría con una rapidez mayor cuan- do sopla el viento, debido al aumento del coeficiente de transferencia de calor por convección asociado con los vientos fuertes. El término temperatura de sensación se utiliza para relacionar la razón a la que las personas pierden calor en condiciones ventosas y la temperatura equivalente del aire cuando hay vientos ligeros (vientos con una velocidad de 3 mph o 5 km/h). La temperatura hipotética de sensación del viento (WCT, wind-chill temperature), llamada índice de temperatura de sensación del viento (WCTI, wind-chill temperature index), es la temperatura del aire equivalente a la temperatura del aire necesaria para producir el mismo efecto de enfriamiento en condiciones de vientos suaves. Un reporte del año 2003 sobre la temperatura de sensación del viento realizado por el U.S. National Weather Service expresa el WCTI en unidades métricas como: WCTI (°C)
13.12  0.6215T  11.37V 0.16 0.3965TV 0.16 donde T es la temperatura del aire en °C y V es la velocidad del viento en km/h a una elevación de 10 m. Muestre que esta relación se puede expresar en unidades inglesas como WCTI (°F)
35.74  0.6215T  35.75V 0.16 0.4275TV 0.16 donde T es la temperatura del aire en °F y V es la velocidad del viento en mph a 33 pies de elevación. Además, prepare una tabla de WCTI para las temperaturas del aire que varíen de 10 a 60°C y velocidades de viento de 10 a 80 km/h. Comente acerca de la magnitud del efecto de enfriamiento por el viento y el peligro de congelación. http://librosysolucionarios.net Cengel_001.qxd 2/10/11 7:26 PM Page 62 http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/22/11 12:54 PM Page 63 CAPÍTULO 2 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR a transferencia de calor tiene dirección y magnitud. La razón de la transferencia de calor por conducción en una dirección específica es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es la razón del cambio de la temperatura con respecto a la distancia, en esa dirección. En general, la conducción de calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo, y la temperatura en un medio varía con la posición y con el tiempo; es decir, T
T(x, y, z, t). Se dice que la conducción en un medio es estacionaria (algunos autores emplean el término estable) cuando la temperatura no varía con el tiempo, y no estacionaria o transitoria, cuando lo hace. Se dice que la conducción de calor en un medio es unidimensional cuando la transferencia de calor por conducción es significativa sólo en una dimensión y despreciable en las otras dos direcciones primarias, bidimensional cuando la conducción en la tercera dimensión es despreciable y tridimensional cuando la conducción en todas las dimensiones es significativa. Se empieza este capítulo con una descripción de la conducción de calor estacionaria, no estacionaria y multidimensional. A continuación se deduce la ecuación diferencial que rige la conducción de calor en una gran pared plana, un cilindro largo y una esfera, y se generalizan los resultados hacia los casos tridimensionales en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Después de una discusión de las condiciones de frontera se presenta la formulación de los problemas de conducción de calor y sus soluciones. Por último, se consideran los problemas de conducción de calor con conductividad térmica variable. En este capítulo se tratan los aspectos teóricos y matemáticos de la conducción de calor y se puede estudiar de manera selectiva, si se desea, sin causar una pérdida significativa en la continuidad. Los aspectos más prácticos de la conducción del calor se cubren en los dos capítulos siguientes. L OBJETIVOS Cuando el lector termine de estudiar este capítulo, debe ser capaz de: ■ ■ ■ ■ ■ ■ Entender la multidimensionalidad y la dependencia de la transferencia de calor respecto al tiempo, así como las condiciones en las cuales se puede realizar una aproximación de un problema de transferencia de calor al caso unidimensional; Obtener la ecuación diferencial de la conducción del calor en varios sistemas de coordenadas y simplificarla para el caso unidimensional estacionario; Identificar las condiciones térmicas en las superficies y expresarlas en forma matemática como condiciones de frontera e inicial; Resolver problemas de conducción unidimensional del calor y obtener las distribuciones de temperaturas dentro de un medio, así como el flujo de calor; Analizar la conducción unidimensional de calor en sólidos en los que se tiene generación de calor, y Evaluar la conducción de calor en sólidos con conductividad térmica que depende de la temperatura. 63 http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 64 64 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Magnitud de la temperatura en un punto A (sin dirección) 50°C Papa horneada caliente 80 W/ m2 A Magnitud y dirección del flujo de calor en el mismo punto FIGURA 2-1 La transferencia de calor tiene dirección así como magnitud y, por lo tanto, es una cantidad vectorial. · Q = 500 W Medio caliente 0 Medio frío x L · Q = –500 W Medio frío Medio caliente 0 L x FIGURA 2-2 Indicación de la dirección para la transferencia de calor (positiva en la dirección positiva; negativa en la dirección negativa). 2-1 ■ INTRODUCCIÓN En el capítulo 1 se definió la conducción del calor como la transferencia de energía térmica de las partículas más energéticas de un medio hacia las menos energéticas adyacentes. Se expresó que la conducción puede tener lugar en los líquidos y los gases así como en los sólidos, siempre que no se tenga un movimiento masivo. Aun cuando la transferencia de calor y la temperatura están íntimamente relacionadas, son de naturaleza diferente. A diferencia de la temperatura, la transferencia de calor tiene dirección así como magnitud y, por lo tanto, es una cantidad vectorial (figura 2-1). Por consiguiente, se debe especificar tanto la dirección como la magnitud con el fin de describir por completo la transferencia de calor en un punto. Por ejemplo, al decir que la temperatura en la superficie interior de una pared es de 18°C, se describe en su totalidad la temperatura en ese lugar. Pero si se dice que el flujo de calor sobre esa superficie es de 50 W/m2, de inmediato se propone la pregunta: “¿en qué dirección?” Se responde a esta pregunta al decir que la conducción de calor es hacia el interior (indicando ganancia de calor) o hacia el exterior (con lo que se indica pérdida de calor). Con el fin de evitar esas preguntas, se recomienda trabajar con un sistema de coordenadas e indicar la dirección con los signos más o menos. La convención en general aceptada es que la transferencia de calor en la dirección positiva de un eje de coordenadas es positiva y en la dirección opuesta es negativa. Por lo tanto, una cantidad positiva indica la transferencia de calor en la dirección positiva y una cantidad negativa indica transferencia de calor en la dirección negativa (figura 2-2). La fuerza impulsora para cualquier forma de transferencia de calor es la diferencia de temperatura, y entre mayor sea esa diferencia, mayor es la razón de la transferencia. En algunos problemas de transferencia de calor en ingeniería se requiere la determinación de la distribución de temperatura (la variación de la temperatura) de uno a otro lado del medio para calcular algunas cantidades de interés, como la razón local de transferencia de calor, la expansión térmica y el esfuerzo térmico, en algunos lugares críticos en momentos específicos. La especificación de la temperatura en un punto en un medio requiere en primer lugar la determinación de la ubicación de ese punto. Esto se puede hacer al elegir un sistema adecuado de coordenadas, como las rectangulares, cilíndricas o esféricas, dependiendo de la configuración geométrica que intervenga, y un punto conveniente de referencia (el origen). La ubicación de un punto se especifica como (x, y, z), en coordenadas rectangulares, como (r, f, z), en coordenadas cilíndricas, y como (r, f, u), en coordenadas esféricas, en donde las distancias x, y, z y r, y los ángulos f y u son como se muestran en la figura 2-3. Entonces, la temperatura en un punto (x, y, z) en el instante t, en coordenadas rectangulares, se expresa como T(x, y, z, t). El mejor sistema de coordenadas para una configuración geométrica dada es la que describe mejor las superficies en dicha configuración. Por ejemplo, un paralelepípedo se describe de la mejor manera en coordenadas rectangulares, ya que cada una de las superficies se puede describir por un valor constante de las coordenadas x, y o z. Un cilindro es lo más apropiado para las coordenadas cilíndricas, ya que su superficie lateral se puede describir por un valor constante del radio. De modo análogo, toda la superficie exterior de un cuerpo esférico se puede describir del mejor modo por un valor constante del radio en coordenadas esféricas. Para un cuerpo con forma arbitraria, lo normal es usar coordenadas rectangulares, ya que es más fácil tratar con distancias que con ángulos. La notación que acaba de describirse también se usa para identificar las variables que intervienen en un problema de transferencia de calor. Por ejemplo, http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/22/11 12:54 PM Page 65 65 CAPÍTULO 2 z z z P(x, y, z) P(r, φ , z) z φ z x y φ r y P(r, φ , θ ) θ r y x x a) Coordenadas rectangulares x b) Coordenadas cilíndricas c) Coordenadas esféricas y FIGURA 2-3 Diversas distancias y ángulos que intervienen al describir la ubicación de un punto en los diferentes sistemas de coordenadas. la notación T(x, y, z, t) implica que la temperatura varía con las variables espaciales x, y y z, así como con el tiempo. Por otra parte, la notación T(x) indica que la temperatura varía sólo en la dirección x y no se tiene variación con las otras dos coordenadas espaciales o con el tiempo. Transferencia de calor estacionaria en comparación con la transferencia transitoria Los problemas de transferencia de calor a menudo se clasifican como estacionarios (también llamados estables) o transitorios (también llamados no estables o no estacionarios). El término estacionario implica que no hay cambio con el tiempo en cualquier punto dentro del medio, en tanto que transitorio implica variación con el tiempo o dependencia con respecto al tiempo. Por lo tanto, la temperatura o el flujo de calor permanecen inalterados con el transcurso del tiempo durante la transferencia de calor estacionaria a través de un medio, en cualquier ubicación, aunque las dos cantidades pueden variar de una ubicación a otra (figura 2-4). Por ejemplo, la transferencia de calor a través de las paredes de una casa será estacionaria cuando las condiciones en el interior de ella y en el exterior permanezcan constantes durante varias horas. Pero incluso en este caso, las temperaturas sobre las superficies interior y exterior de la pared serán diferentes, a menos que las temperaturas dentro y fuera de la casa sean iguales. Por otra parte, el enfriamiento de una manzana en un refrigerador es un proceso transitorio de transferencia de calor, ya que la temperatura en cualquier punto fijo dentro de esa manzana cambiará con el tiempo mientras se produce el enfriamiento. Durante la transferencia de calor transitoria, la temperatura normalmente varía tanto con el tiempo como con la posición. En el caso especial de variación con el tiempo pero no con la posición, la temperatura del medio cambia uniformemente con el tiempo. Los sistemas con una transferencia de calor de este tipo se llaman sistemas de parámetros concentrados o de resistencia interna despreciable. Por ejemplo, un pequeño objeto metálico, como una unión de un termopar o un alambre delgado de cobre, se puede analizar como un sistema de parámetros concentrados durante un proceso de calentamiento o de enfriamiento. La mayoría de los problemas de transferencia de calor que se encuentran en la práctica son de naturaleza transitoria, pero suelen analizarse bajo condiciones que se suponen estacionarias, ya que los procesos estacionarios son más fáciles de analizar y suministran respuestas a nuestras preguntas. Por ejemplo, la transferencia de calor a través de las paredes y el techo de una casa típica nunca es estacionaria, puesto que las condiciones en el exterior, como la temperatura, la velocidad y dirección del viento, la ubicación del Sol, etc., cam- http://librosysolucionarios.net Tiempo = 2 PM 15°C Tiempo = 5 PM 7°C 15°C 7°C · Q1 · · Q2
Q1 a) Régimen estacionario 15°C 7°C 12°C · Q1 5°C · · Q2  Q1 b) Régimen transitorio FIGURA 2-4 Conducción de calor estacionaria y transitoria en una pared plana. Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 66 66 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR bian en forma constante. Las condiciones dentro de una casa típica tampoco son tan estacionarias. Por lo tanto, es casi imposible realizar el análisis de transferencia de calor de una casa con exactitud. Pero, entonces, ¿en realidad se necesita un análisis profundo de la transferencia de calor? Si la finalidad del análisis de transferencia de calor de una casa es determinar el tamaño apropiado de un calefactor, que suele ser el caso más común, se necesita conocer la razón máxima de la pérdida de calor de esa casa, que se calcula al considerar la pérdida de calor en las peores condiciones, durante un periodo extendido; es decir, durante operación estacionaria en las peores condiciones. Por consiguiente, se puede obtener la respuesta a la pregunta al llevar a cabo un análisis de transferencia de calor en condiciones estacionarias. Si el calefactor es suficientemente grande para mantener la casa caliente en las peores condiciones supuestas, es idóneo para cualquier situación. El procedimiento antes descrito es una práctica común en la ingeniería. Transferencia de calor multidimensional 80°C 65°C T(x, y) · Qy 70°C 65°C 80°C · Qx 70°C 65°C 80°C 70°C z y x FIGURA 2-5 Transferencia bidimensional de calor en una barra rectangular larga. Transferencia de calor despreciable · Q Dirección primaria de la transferencia de calor FIGURA 2-6 La transferencia de calor a través de la ventana de una casa se puede considerar como unidimensional. Los problemas de transferencia de calor también se clasifican como unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales, dependiendo de las magnitudes relativas de las razones de transferencia en las diferentes direcciones y del nivel de exactitud deseado. En el caso más general la transferencia de calor a través de un medio es tridimensional. Es decir, la temperatura varía a lo largo de las tres direcciones primarias dentro del medio durante el proceso de transferencia de calor. En este caso general, la distribución de temperatura de uno a otro lado del medio en un momento específico, así como la razón de la transferencia de calor en cualquier ubicación se pueden describir por un conjunto de tres coordenadas, tales como x, y y z, en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), la r, f y z, en el sistema de coordenadas cilíndricas, y la r, f y u, en el sistema de coordenadas esféricas (o polares). En este caso, la distribución de temperatura se expresa como T(x, y, z, t), T(r, f, z, t) y T(r, f, u, t), en los respectivos sistemas de coordenadas. En algunos casos la temperatura en un medio varía principalmente en dos direcciones primarias y la variación de la temperatura en la tercera dirección (y, por lo tanto, la transferencia de calor en esa dirección) es despreciable. En ese caso, se dice que un problema de transferencia de calor es bidimensional. Por ejemplo, la distribución estacionaria de temperatura en una barra larga de sección transversal rectangular se puede expresar como T(x, y), si la variación de la temperatura en la dirección z (a lo largo de la barra) es despreciable y no hay cambio con el tiempo (figura 2-5). Se dice que un problema de transferencia de calor es unidimensional si la temperatura en el medio varía en una sola dirección y, por lo tanto, el calor se transfiere en esa misma dirección; al mismo tiempo, la variación de temperatura y, como consecuencia, la transferencia de calor en otras direcciones es despreciable o cero. Por ejemplo, la transferencia de calor a través del vidrio de una ventana se puede considerar como unidimensional, ya que ocurrirá de manera predominante en una dirección (la perpendicular o normal a la superficie del vidrio) y la transferencia de calor en otras direcciones (de uno de los bordes laterales hacia el otro y del borde superior al inferior) es despreciable (figura 2-6). De modo semejante, la transferencia de calor a través de un tubo de agua caliente ocurre de manera predominante en dirección radial desde el agua caliente hacia el ambiente, y es típico que la transferencia a lo largo del tubo y de la circunferencia de una sección transversal (direcciones z y f) sea despreciable. La transferencia de calor hacia un huevo que se deja caer en agua hirviendo también es casi unidimensional debido a la simetría. En este caso, el calor se transferirá al huevo en la dirección radial; es decir, a lo largo de rectas que pasan por el punto medio del huevo. http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 67 67 CAPÍTULO 2 También se mencionó en el capítulo 1 que la razón de la transferencia de calor a través de un medio en una dirección específica (por ejemplo, en la dirección x) es proporcional a la diferencia de temperatura entre uno y otro lados del medio y al área perpendicular a la dirección de la transferencia de calor, pero es inversamente proporcional a la distancia en esa dirección. Esto se expresó en forma diferencial por la ley de Fourier de la conducción de calor en forma unidimensional, como · dT Q cond
kA dx (W) dT Pendiente — < 0 dx (2-1) T(x) donde k es la conductividad térmica del material, que es una medida de la capacidad del material para conducir el calor y dT/dx es el gradiente de temperatura, es decir, la pendiente de la curva de temperatura sobre un diagrama T-x (figura 2-7). En general, la conductividad térmica de un material varía con la temperatura. Pero se pueden obtener resultados suficientemente exactos al usar un valor constante para la conductividad térmica a la temperatura promedio. El calor es conducido en la dirección de la temperatura decreciente y, por lo tanto, el gradiente de temperatura es negativo cuando el calor es conducido en la dirección positiva de x. El signo negativo en la ecuación 2-1 garantiza que la transferencia de calor en la dirección positiva de x sea una cantidad positiva. Con el fin de obtener una relación general para la ley de Fourier de la conducción de calor, considere un medio en el cual la distribución de temperatura es tridimensional. En la figura 2-8 se muestra una superficie isotérmica en ese medio. El vector de flujo de calor en un punto P sobre esta superficie debe ser perpendicular a ella y debe apuntar en la dirección de la temperatura decreciente. Si n es la normal a la superficie isotérmica en el punto P, la razón de la conducción de calor en ese punto se puede expresar por la ley de Fourier como · T Q n
kA n T (W) · Q>0 Flujo de calor x FIGURA 2-7 El gradiente de temperatura dT/dx es simplemente la pendiente de la curva de temperatura en un diagrama T-x. (2-2) En coordenadas rectangulares el vector de conducción del calor se puede expresar en términos de sus componentes como → · · → · → · → Qn
Qx i  Qy j  Qz k (2-3) · · · en donde i, j y k son los vectores unitarios, y Q x, Q y y Q z son las magnitudes de las razones de transferencia de calor en las direcciones x, y y z, las cuales una vez más se pueden determinar a partir de la ley de Fourier como → → Az z n → · T Q x
kAx , x · T Q y
kAy z y · T Q z
kAz z Ay · Qn · Qz Ax · Qy P (2-4) y Aquí, Ax, Ay y Az son las áreas de conducción del calor normales a las direcciones x, y y z, respectivamente (figura 2-8). La mayor parte de los materiales de ingeniería son de naturaleza isotrópica y, por lo tanto, tienen las mismas propiedades en todas direcciones. Para esos materiales no es necesario preocuparse por la variación de las propiedades con la dirección. Pero en los materiales anisotrópicos, como los fibrosos o compuestos, las propiedades pueden cambiar con la dirección. Por ejemplo, algunas de las propiedades de la madera a lo largo de la fibra son diferentes de aquellas en la dirección normal a ésta. En esos casos puede ser que se necesite expresar la conductividad térmica como una cantidad tensorial, para tomar en cuenta la variación con la dirección. El tratamiento de esos temas avanza- http://librosysolucionarios.net · Qx Una isoterma x FIGURA 2-8 El vector de transferencia de calor siempre es normal a una superficie isotérmica y se puede transformar en sus componentes como cualquier otro vector. Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 68 68 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR dos está fuera del alcance de este texto y se supondrá que la conductividad térmica de un material es independiente de la dirección. Generación de calor FIGURA 2-9 El calor se genera en las bobinas de calentamiento de una estufa eléctrica como resultado de la conversión de la energía eléctrica en calor. Sol Radiación solar q· s x Energía solar absorbida por el agua Agua e· gen(x) = q· s, absorbida(x) FIGURA 2-10 La absorción de la radiación solar por el agua se puede considerar como generación de calor. En un medio a través del cual se transfiere calor puede tenerse la conversión de energía mecánica, eléctrica, nuclear o química en calor (o energía térmica). En el análisis de la conducción de calor, esos procesos de conversión son caracterizados como generación de calor (o de energía térmica). Por ejemplo, la temperatura de una resistencia de alambre se eleva con rapidez cuando pasa corriente eléctrica a través de ella, como resultado de la energía eléctrica que se está convirtiendo en calor a razón de I 2R, en donde I es la corriente y R es la resistencia eléctrica del alambre (figura 2-9). La eliminación segura y eficaz de este calor de los sitios en los que se genera (los circuitos electrónicos) es el tema del enfriamiento de equipos electrónicos, el cual es una de las áreas modernas de aplicación de la transferencia de calor. De modo semejante, una gran cantidad de calor se genera en los elementos combustibles de los reactores nucleares, como resultado de la fisión nuclear que sirve como fuente de calor para las plantas nucleares de generación eléctrica. La desintegración natural de los elementos radiactivos en desechos nucleares o en otro material radiactivo también resulta en la generación de calor a través de todo el cuerpo. El calor generado en el Sol como consecuencia de la fusión del hidrógeno para formar helio hace que el Sol sea un gran reactor nuclear que suministra calor a la Tierra. Otra fuente de generación de calor en un medio son las reacciones químicas exotérmicas que pueden ocurrir en él. En este caso la reacción química sirve como una fuente de calor para el medio. Sin embargo, en el caso de las reacciones químicas endotérmicas el calor se absorbe en lugar de ser liberado y, por lo tanto, dicha reacción sirve como un sumidero de calor. En este caso el término generación de calor se convierte en una cantidad negativa. A menudo también es conveniente considerar la absorción de la radiación, por ejemplo la energía solar o los rayos gamma, como generación de calor, cuando penetra profundo en el cuerpo mientras es absorbida de manera gradual. Por ejemplo, la absorción de calor en las masas grandes de agua se puede tratar como generación de calor en todo el líquido con una velocidad igual a la rapidez de absorción, que varía con la profundidad (figura 2-10). Pero la absorción de la energía solar por un cuerpo opaco ocurre dentro de unas cuantas micras de la superficie, en este caso la energía que penetra en el medio se puede tratar como un flujo específico de calor sobre esa superficie. Note que la generación de calor es un fenómeno volumétrico. Es decir, ocurre en todo el medio. Por lo tanto, la razón de generación de calor en un medio suele especificarse por unidad de volumen y se denota por e·gen, cuya unidad es el W/m3 o Btu/h · ft3. La razón de generación de calor en un medio puede variar con el tiempo y con la posición dentro de él. Cuando se conoce la variación de la generación de calor con la posición, la razón total de esa generación en un medio de volumen V se puede determinar a partir de · Egen

e· V gendV (W) (2-5) En el caso especial de una generación uniforme de calor, como en el caso del calentamiento por resistencia eléctrica en todo un material homogéneo, la re· lación de la ecuación 2-5 se reduce a Egen
e·genV, en donde e·gen es la razón constante de generación de calor por unidad de volumen. http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/22/11 12:54 PM Page 69 69 CAPÍTULO 2 EJEMPLO 2-1 Generación de calor en una secadora de cabello Secadora de cabello 1 200 W La resistencia de alambre de una secadora de cabello de 1 200 W tiene 80 cm de largo y un diámetro D
0.3 cm (figura 2-11). Determine la razón de generación de calor en el alambre por unidad de volumen, en W/cm3, y el flujo de calor sobre la superficie exterior del alambre, como resultado de esta generación de calor. FIGURA 2-11 Esquema para el ejemplo 2-1. SOLUCIÓN Se da la potencia consumida por la resistencia de alambre de una secadora de cabello. Deben determinarse la generación de calor y el flujo de calor. Suposición El calor se genera de manera uniforme en la resistencia de alambre. Análisis Una secadora de cabello de 1 200 W convertirá energía eléctrica en calor, en el alambre, a razón de 1 200 W. Por lo tanto, la razón de generación de calor en una resistencia de alambre es igual al consumo de potencia de un calentador de resistencia. Entonces, la razón de generación de calor en el alambre por unidad de volumen se determina al dividir la razón total de generación de calor entre el volumen del alambre: e·gen
. . E gen Egen 1 200 W


212 W/cm3 Valambre (pD 2/4)L [p(0.3 cm)2/4](80 cm) De manera análoga, el flujo de calor sobre la superficie exterior del alambre, como resultado de la generación de calor, se determina al dividir la razón total de la generación entre el área superficial del alambre, · · · Egen · EG· G 1 200 W Qs

gen

15.9 W/cm2 Aalambre pDL p(0.3 cm)(80 cm) Discusión Note que la generación de calor se expresa por unidad de volumen, en W/cm3 o Btu/h · ft3, en tanto que el flujo de calor se expresa por unidad de área superficial, en W/cm2 o Btu/h · ft2. 2-2 ■ ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR · Egen Elemento de volumen Considere la conducción de calor a través de una pared plana grande, como la de una casa, el vidrio de una ventana de una sola hoja, la placa metálica de la base de una plancha, un tubo para vapor de agua de hierro fundido, un elemento cilíndrico de combustible nuclear, una resistencia eléctrica de alambre, la pared de un recipiente esférico o una bola metálica que está siendo templada por inmersión o revenida. La conducción de calor en estas y muchas otras configuraciones geométricas se puede considerar unidimensional, ya que la conducción a través de ellas será dominante en una dirección y despreciable en las demás. En seguida se desarrollará la ecuación unidimensional de la conducción de calor en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Ecuación de la conducción de calor en una pared plana grande Considere un elemento delgado de espesor x en una pared plana grande, como se muestra en la figura 2-12. Suponga que la densidad de la pared es r, el calor específico es c y el área de la pared perpendicular a la dirección de transferencia de calor es A. Un balance de energía sobre este elemento delgado, durante un pequeño intervalo de tiempo t, se puede expresar como http://librosysolucionarios.net A · Qx · Qx + ∆x 0 x x + ∆x L x Ax = Ax + ∆x = A FIGURA 2-12 Conducción unidimensional de calor a través de un elemento de volumen en una pared plana grande. Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 70 70 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR     Razón de Razón de conducción  conducción del  del calor en x calor en x  x  Velocidad de generación de calor en el interior del elemento 
Razón de cambio del contenido de energía del elemento  o bien, Eelemento · · · Q x  Q x  x  Egen, elemento
t (2-6) Pero el cambio en el contenido de energía interna del elemento y la razón de generación de calor dentro del elemento se pueden expresar como Eelemento
Et  t  Et
mc(Tt  t  Tt)
rcAx(Tt  t  Tt) · Egen, elemento
e·genVelemento
e·gen Ax (2-7) (2-8) Al sustituir en la ecuación 2-6, se obtiene Ttt  Tt · · Q x  Q x  x  e·gen Ax
rcAx t (2-9) Al dividir entre A∆x da  · · Ttt  Tt 1 Q xx  Q x ·  egen
rc A x t (2-10) Al tomar el límite cuando x → 0 y t → 0 se obtiene   T T 1   e·gen
rc kA x t A x (2-11) por la definición de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conducción del calor, lím x → 0 Sin Estado generación estacionario ⎯⎯ → ⎯⎯ → e·geng· 0 1 T0 2T —— 
 2 k   (2-12) Dado que el área A es constante para una pared plana, la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio en una pared de ese tipo queda General, unidimensional: x Q· xx  Q· x Q·  T

kA x x x x t Estado estacionario, unidimensional: d2T
0 dx2 FIGURA 2-13 Simplificación de la ecuación unidimensional de conducción de calor en una pared plana, para el caso de conductividad constante en estado estacionario, sin generación de calor. Conductividad variable:    T T  e·gen
rc k x x t (2-13) En general, la conductividad térmica k de un material depende de la temperatura T (y, por lo tanto, de x) y, por consiguiente, no se puede extraer de la derivada. No obstante, en la mayor parte de las aplicaciones prácticas se puede suponer que la conductividad térmica permanece constante en algún valor promedio. En ese caso, la ecuación antes dada se reduce a Conductividad constante: eg··gen 2T — 1 T —
  t kk x2 (2-14) donde la propiedad a
k/rC es la difusividad térmica del material y representa la rapidez con que se propaga el calor a través del mismo. Ésta se reduce a las formas siguientes en condiciones específicas (figura 2-13): http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 71 71 CAPÍTULO 2 1) Régimen estacionario: (/t
0) . d 2T egen 
0 dx2 k (2-15) 2) Régimen transitorio, sin generación de calor: (e·gen
0) 2T 1 T
x2  t (2-16) 3) Régimen estacionario, sin generación de calor: (/t
0 y e·gen
0) d 2T
0 dx2 (2-17) Note que se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de conducción unidimensional y estable de calor, ya que son idénticas cuando dicha función depende de una sola variable [T
T(x), en este caso]. Ecuación de la conducción de calor en un cilindro largo L Considere ahora un elemento delgado con forma de casco cilíndrico, de espesor r, en un cilindro largo, como se muestra en la figura 2-14. Suponga que la densidad del cilindro es r, el calor específico es c y la longitud es L. El área del cilindro, normal a la dirección de transferencia de calor en cualquier lugar, es A
2prL, en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que el área A de la transferencia de calor depende de r en este caso y, por lo tanto, varía con el lugar. Un balance de energía sobre este elemento delgado con forma de casco cilíndrico, durante un pequeño intervalo de tiempo ∆t, se puede expresar como     Razón de Razón de conducción  conducción del  del calor en r calor en r  r  Razón dede Velocidad generación de calor en el interior del elemento 
Razón de cambio del contenido de energía del elemento  o bien, Eelemento · · · Q r  Q r  r  Egen, elemento
t (2-18) El cambio en el contenido de energía del elemento y la razón de generación de calor dentro del mismo se pueden expresar como Eelemento
Et  t  Et
mc(Tt  t  Tt)
rcAr(Tt  t  Tt) · Egen, elemento
e·genVelemento
e·gen Ar (2-19) (2-20) Al sustituir en la ecuación 2-18, se obtiene Ttt  Tt · · Q r  Q r  r  e·gen Ar
rcAr t (2-21) donde A
2prL. El lector puede sentirse tentado a expresar el área localizada a la mitad del elemento, usando el radio promedio como A
2p(r  r/2)L. Pero nada hay que se pueda ganar a partir de esta complicación, ya que, más adelante en el análisis, se tomará el límite cuando r → 0 y, por lo tanto, se cancelará el término r/2. Ahora se divide la ecuación anterior entre Ar y da  · · Ttt  Tt 1 Q rr  Q r ·  egen
rc A r t (2-22) Si se toma el límite cuando r → 0 y t → 0, se obtiene   T T 1   e·gen
rc kA r t A r (2-23) http://librosysolucionarios.net · Egen 0 · Qr r · Qr + ∆r r + ∆r r Elemento de volumen FIGURA 2-14 Conducción unidimensional del calor a través de un elemento de volumen en un cilindro largo. Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 72 72 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR a) La forma que es fácil de integrar Q· rr  Q· r Q·  T kA

r r r r → 0 r   dT d r
0 dr dr  lím b) La forma alternativa equivalente r por la definición de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conducción del calor, d 2T dT 
0 dr 2 dr FIGURA 2-15 Dos formas equivalentes de la ecuación diferencial para la conducción unidimensional y estacionaria de calor en un cilindro, sin generación de calor.  (2-24) Puesto que el área de transferencia de calor en este caso es A
2prL, la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio en un cilindro queda Conductividad variable:   T T 1  · r r rk r  egen
rc t (2-25) Para el caso de conductividad térmica constante, la ecuación anterior se reduce a Conductividad constante: e·geng· 1 T T 1  —— r 
r r r k  t   (2-26) donde una vez más la propiedad a
k/rc es la difusividad térmica del material. En condiciones especificadas, la ecuación 2-26 se reduce a las formas siguientes (figura 2-15): 1) Régimen estacionario: (/t
0) e·geng· dT 1 d r dr r dr  ——k
0 (2-27) 2) Régimen transitorio, sin generación de calor: (e·gen
0) T 1  1 T r r r r
 t 3) Régimen estacionario, sin generación de calor: (/t
0 y e·gen
0) d dT r
0 dr dr       (2-28) (2-29) Note que, una vez más, se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de la conducción unidimensional y estacionaria de calor, ya que son idénticas cuando dicha función depende de una sola variable [T
T(r), en este caso]. Ecuación de la conducción de calor en una esfera · Egen Considere ahora una esfera con densidad r, calor específico c y radio exterior R. El área de la esfera normal a la dirección de transferencia de calor, en cualquier lugar, es A
4pr2, en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que, en este caso, el área de transferencia de calor A, depende de r y, por lo tanto, varía con la ubicación. Al considerar un elemento con forma de casco esférico delgado de espesor r y repetir el procedimiento descrito con anterioridad para el cilindro, usando A
4pr2 en lugar de A
2prL, la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio para una esfera se determina que es (figura 2-16) · Qr + ∆r · Qr r + ∆r 0 r R r Conductividad variable: Elemento de volumen FIGURA 2-16 Conducción unidimensional de calor a través de un elemento de volumen en una esfera.   T 1  2 T r k  e·gen
rc r t r 2 r (2-30) la cual, en el caso de conductividad térmica constante, se reduce a Conductividad constante: e·geng· 1 T 1  2 T —— r 
r k  t r 2 r   (2-31) en donde, una vez más, la propiedad a
k/rc es la difusividad térmica del material. En condiciones especificadas, se reduce a las formas siguientes: http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 73 73 CAPÍTULO 2 1) Régimen estacionario: (/t
0) e·geng· 1 d 2 dT —— r 
0 dr r 2 dr kk 2) Régimen transitorio, sin generación de calor: (e·gen
0) 1  2 T 1 T r
 r t r 2 r 3) Régimen estacionario, sin generación de calor: (/t
0 y e·gen
0) d 2 dT r
0 dr dr   (2-32)   (2-33)   o r dT d 2T 2
0 (2-34) dr dr 2 donde, de nuevo, se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de conducción unidimensional y estacionaria de calor. Ecuación unidimensional combinada de la conducción de calor Un examen de las ecuaciones unidimensionales de conducción de calor en régimen transitorio, para la pared plana, el cilindro y la esfera, revela que las tres se pueden expresar en una forma compacta como   T 1  n T r k  e·gen
rc r n r r t (2-35) donde n
0 para una pared plana, n
1 para un cilindro y n
2 para una esfera. En el caso de una pared plana se acostumbra reemplazar la variable r por x. Esta ecuación se puede simplificar para los casos de régimen estacionario o sin generación de calor como se describe con anterioridad. EJEMPLO 2-2 Conducción de calor a través del fondo de una cacerola Considere una cacerola de acero colocada sobre la parte superior de una estufa eléctrica para cocinar espagueti (figura 2-17). La sección del fondo de la cacerola tiene L
0.4 cm de espesor y un diámetro D
18 cm. La unidad eléctrica de calentamiento en la parte superior de la estufa consume 800 W de potencia durante el cocimiento y 80% del calor generado en el elemento de calentamiento se transfiere de manera uniforme a la cacerola. Si se supone una conductividad térmica constante, obtenga la ecuación diferencial que describe la variación de la temperatura en la sección del fondo de la cacerola durante la operación estacionaria. SOLUCIÓN Se considera una sartén de acero colocada sobre la parte superior de una estufa eléctrica. Debe obtenerse la ecuación diferencial para la variación de la temperatura en el fondo de la sartén. Análisis La sección del fondo de la cacerola tiene un área superficial grande en relación con su espesor y se puede tener una aproximación de ella como una pared plana grande. Se aplica flujo de calor a la superficie inferior de la cacerola, de manera uniforme, y las condiciones sobre la superficie interior también son uniformes. Por lo tanto, se espera que la transferencia de calor a través de la sección del fondo de la cacerola sea de la superficie de abajo hacia la de arriba y, en este caso, la transferencia de calor se puede aproximar de manera razonable como si fuere unidimensional. Tomando la dirección perpendicular a la superficie del fondo de la cacerola como el eje x, se tendrá T
T(x) durante la operación estacionaria ya que, en este caso, la temperatura dependerá sólo de x. http://librosysolucionarios.net 800 W FIGURA 2-17 Esquema del ejemplo 2-2. Cengel_02A.qxd 2/22/11 12:54 PM Page 74 74 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR La conductividad térmica se da como constante y no hay generación de calor en el medio (dentro de la sección del fondo de la cacerola). Por lo tanto, en este caso, la ecuación diferencial que rige la variación de la temperatura en esa sección es simplemente la 2-17, d 2T dx2 0 la cual es la ecuación unidimensional de conducción de calor en estado estacionario en coordenadas rectangulares, bajo las condiciones de conductividad térmica constante y sin generación de calor. Discusión Note que las condiciones en la superficie del medio no tienen efecto sobre la ecuación diferencial. EJEMPLO 2-3 Agua Calentador de resistencia FIGURA 2-18 Esquema para el ejemplo 2-3. Conducción de calor en un calentador de resistencia Se usa un calentador de resistencia de alambre de 2 kW, con conductividad térmica k
15 W/m · °C, diámetro D
0.4 cm y longitud L
50 cm, para calentar agua al sumergirlo en ella (figura 2-18). Suponiendo que la variación de la conductividad térmica del alambre con la temperatura es despreciable, obtenga la ecuación diferencial que describe la variación de la temperatura en el alambre durante la operación estacionaria. SOLUCIÓN Se considera el alambre eléctrico de un calentador de agua. Debe obtenerse la ecuación diferencial para la variación de la temperatura en el alambre. Análisis La resistencia de alambre se puede considerar como un cilindro muy largo dado que su longitud es más de 100 veces su diámetro. Asimismo, el calor se genera de manera uniforme en el alambre y las condiciones sobre la superficie exterior de éste son uniformes. Por lo tanto, resulta razonable esperar que la temperatura en el alambre varíe sólo en la dirección radial r y, por lo tanto, la transferencia de calor sea unidimensional. Entonces, se tendrá T
T(r) durante la operación estacionaria, puesto que la temperatura en este caso dependerá sólo de r. Se puede determinar la razón de la generación de calor en el alambre por unidad de volumen a partir de ·· ·· EGgen 2 000 W gen ·e
EG


0.318  109 W/m3 gen Valambre (pD2/4)L [p(0.004 m)2/4](0.5 cm) Dado que se considera la conductividad térmica como constante, la ecuación diferencial que rige la variación de la temperatura en el alambre es simplemente la ecuación 2-27, dT 1 d ar b r dr dr egen k 0 que es la ecuación unidimensional de conducción del calor en estado estacionario en coordenadas cilíndricas, para el caso de conductividad térmica constante. Discusión Note una vez más que las condiciones en la superficie del alambre no tienen efecto sobre la ecuación diferencial. http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/22/11 12:54 PM Page 75 75 CAPÍTULO 2 EJEMPLO 2-4 Enfriamiento de una esfera metálica caliente en el aire 75°F Esfera metálica Una esfera metálica de radio R se calienta en un horno hasta una temperatura de 600°F en toda ella y, a continuación, se le extrae del horno y se le deja enfriar en el aire ambiental a T∞
75°F, por convección y radiación (figura 2.19). Se sabe que la conductividad térmica del material de la bola varía en forma lineal con la temperatura. Suponiendo que la bola se enfría uniformemente partiendo de toda la superficie exterior, obtenga la ecuación diferencial que describe la variación de la temperatura en la esfera durante el enfriamiento. 600°F · Q FIGURA 2-19 Esquema para el ejemplo 2-4. SOLUCIÓN Se deja enfriar una bola metálica caliente en aire a temperatura ambiente. Debe obtenerse la ecuación diferencial para la variación de la temperatura dentro de la bola. Análisis La esfera está inicialmente a una temperatura uniforme y se enfría de manera uniforme partiendo de toda la superficie exterior. Asimismo, la temperatura en cualquier punto en la esfera cambiará con el tiempo durante el enfriamiento. Por lo tanto, es un problema unidimensional de conducción del calor en régimen transitorio, puesto que la temperatura dentro de la esfera cambia con la distancia radial r y el tiempo t; es decir, T
T(r, t). La conductividad térmica se da como variable y no se tiene generación de calor en la esfera. Por consiguiente, en este caso, la ecuación diferencial que rige la variación de la temperatura en la bola se obtiene a partir de la ecuación 2-30, igualando a cero el término de generación de calor. Se obtiene T 1 ar 2 k b 2 r r r rc T t la cual es la ecuación unidimensional de conducción del calor en régimen transitorio, en coordenadas esféricas, con las condiciones de conductividad térmica variable y sin generación de calor. Discusión Note de nuevo que las condiciones en la superficie exterior de la esfera no tienen efecto sobre la ecuación diferencial. 2-3 ■ ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR En la sección anterior se consideró la conducción unidimensional de calor y se supuso que la conducción en otras direcciones era despreciable. La mayor parte de los problemas de transferencia de calor que se encuentran en la práctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, y en este texto se tratará principalmente con ese tipo de problemas. Empero, éste no siempre es el caso y a veces se necesita considerar la transferencia de calor también en otras direcciones. En esos casos se dice que la conducción de calor es multidimensional; en esta sección se desarrollará la ecuación diferencial que rige tales sistemas, en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Considere un pequeño elemento rectangular de longitud x, ancho y y altura z, como se muestra en la figura 2-20. Suponga que la densidad del cuerpo es r y el calor específico es c. Un balance de energía sobre este elemento, durante un pequeño intervalo de tiempo t, se puede expresar como

Razón de conducción del calor en x  x, y  y y z  z   Elemento de volumen · Qy + ∆y · Qx Coordenadas rectangulares Razón de conducción del  calor en x, y y z · Qz + ∆z
Velocidad Razón dede generación de calor en el interior del elemento 

http://librosysolucionarios.net  · Qx + ∆x · Qy z ∆y ∆x y x Razón de cambio del contenido de energía del elemento ∆z e· gen ∆ x∆y∆z · Qz FIGURA 2-20 Conducción tridimensional del calor a través de un elemento rectangular de volumen. Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 76 76 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR o bien, Eelemento · · · · · · · Q x  Q y  Q z  Q x  x  Q y  y  Q z  z  Egen, elemento
t (2-36) Dado que el volumen del elemento es Velemento
xyz, el cambio en el contenido de energía en dicho elemento y la razón de generación de calor dentro del mismo se pueden expresar como Eelemento
Et  t  Et
mc(Tt  t  Tt)
rcxyz(Tt  t  Tt) · Egen, elemento
e·genVelemento
e·genxyz Si se sustituye en la ecuación 2-36 se obtiene Ttt  Tt · · · · · · Q x  Q y  Q z  Q x  x  Q y  y  Q z  z e·genxyz
rcxyz t Al dividir entre xyz da  · · · · · · 1 Q xx  Q x 1 Q yy  Q y 1 Q zz  Q z ·    egen yz x xz y xy z
rc Ttt  Tt t (2-37) Dado que las áreas de transferencia de calor del elemento para la conducción de ese calor en las direcciones x, y y z son Ax
yz, Ay
xz y Az
xy, respectivamente, y tomando el límite cuando x, y, z y t → 0, se obtiene          T T T T k k k    e·gen
rc x x y y z z t (2-38) por la definición de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conducción de calor, · ·  T T 1 Q xx  Q x 1 Qx 1  kyz k


 x → 0 yz x x x x yz x yz x  lím    · ·  T T 1 Q yy  Q y 1 Qy 1  kxz k


 y → 0 xz y y y y xz y xz y  lím    · ·  T T 1 Q zz  Q z 1 Qz 1  kxy k


 z → 0 xy z z z z xy z xy z  lím    La ecuación general de conducción de calor en coordenadas rectangulares es la 2-38. En el caso de conductividad térmica constante, se reduce a e·geng· 1 T 2T 2T 2T  2  2  ——
 2 t x y z kk (2-39) donde, una vez más, la propiedad a
k/rc es la difusividad térmica del material. La ecuación 2-39 se conoce como ecuación de Fourier-Biot y, en condiciones especificadas, se reduce a estas formas: http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 77 77 CAPÍTULO 2 · 2T 2T 2T egeng·   
0 —— x2 y2 z2 k k (2-40) 2) Régimen transitorio, sin generación de calor: (llamada ecuación de difusión) 2T 2T 2T 1 T  
x2 y2 z2  t (2-41) 3) Régimen transitorio, sin generación de calor: (llamada ecuación de Laplace) 2T 2T 2T  
0 x2 y2 z2 1) Régimen estacionario: (llamada ecuación de Poisson) e·geng· 2T 2T 2T  2  2  ——
0 2 x y z k k 2T 2T 2T 1 T  
 t x2 y2 z2 2T 2T 2T  
0 x2 y2 z2 (2-42) FIGURA 2-21 Las ecuaciones tridimensionales de conducción de calor se reducen a las unidimensionales cuando la temperatura varía sólo en una dimensión. Note que en el caso especial de transferencia de calor unidimensional en la dirección x, las derivadas con respecto a y y a z se cancelan y las ecuaciones antes dadas se reducen a las desarrolladas en la sección anterior para una pared plana (figura 2-21). Coordenadas cilíndricas Se puede obtener la ecuación general de conducción de calor en coordenadas cilíndricas a partir de un balance de energía sobre un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas, el cual se muestra en la figura 2-22, siguiendo los pasos que acaban de describirse. También se puede obtener directamente de la ecuación 2-38, por transformación de coordenadas, usando las relaciones siguientes entre las coordenadas de un punto en los sistemas de coordenadas rectangulares y cilíndricas: x
r cos f, y
r sen f z dz r dr z z
z y Después de largas manipulaciones, se obtiene   T 1  1  r r kr r  r 2  kr T   z k Tz   e· gen
rc T t y (2-43) x FIGURA 2-22 Un elemento diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas. Coordenadas esféricas Se puede obtener la ecuación general de conducción de calor en coordenadas esféricas a partir de un balance de energía sobre un elemento de volumen en coordenadas esféricas, el cual se muestra en la figura 2-23, siguiendo los pasos que acaban de describirse. También se puede obtener directamente de la ecuación 2-38, por transformación de coordenadas, usando las relaciones siguientes entre las coordenadas de un punto en los sistemas de coordenadas rectangulares y esféricas: x
r cos f sen u, dφ φ y
r sen f sen u y z z
cos u dr θ Después de largas manipulaciones, se obtiene r         T T T T 1 1 1  kr 2 k k sen u  2  2  e·gen
rc r t u r 2 r r sen2 u f f r sen u u dθ (2-44) La obtención de soluciones analíticas de estas ecuaciones diferenciales requiere un conocimiento de las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales parciales, lo cual se encuentra fuera del alcance de este texto introductorio. Aquí se limita esta consideración a los casos unidimensionales en estado estacionario, ya que conducen a ecuaciones diferenciales ordinarias. http://librosysolucionarios.net φ dφ y x FIGURA 2-23 Un elemento diferencial de volumen en coordenadas esféricas. Cengel_02A.qxd 2/22/11 12:54 PM Page 78 78 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Pérdida de calor 600°F Lingote metálico T = 65°F z r R f FIGURA 2-24 Esquema para el ejemplo 2-5. EJEMPLO 2-5 Conducción de calor en un cilindro corto Un lingote metálico cilíndrico corto, de radio R y altura h, se calienta en un horno hasta una temperatura de 600°F en toda su extensión y, a continuación, se saca del horno y se deja enfriar en el aire ambiental que está a T∞
65°F, por convección y radiación. Suponiendo que el lingote se enfría de manera uniforme desde todas las superficies exteriores y que la variación de la conductividad térmica del material con la temperatura es despreciable, obtenga la ecuación diferencial que describe la variación de la temperatura en el lingote durante este proceso de enfriamiento. SOLUCIÓN Se enfría un lingote cilíndrico corto en aire a temperatura ambiente. Debe obtenerse la ecuación diferencial para la variación de la temperatura. Análisis El lingote mostrado en la figura 2-24 está inicialmente a una temperatura uniforme y se enfría de manera uniforme desde las superficies superior e inferior, en la dirección z, así como desde la superficie lateral, en la dirección r radial. Asimismo, la temperatura en el lingote cambiará con el tiempo durante el enfriamiento. Por lo tanto, se trata de un problema bidimensional de conducción de calor en régimen transitorio, puesto que la temperatura dentro del lingote cambiará con las distancias radial y axial, r y z, y con el tiempo t; es decir, T
T (r, z, t ). La conductividad térmica se da como constante y no hay generación de calor en el lingote. Por lo tanto, en este caso, la ecuación diferencial que rige la variación de la temperatura se obtiene a partir de la ecuación 2-43, igualando a cero el término de generación de calor y las derivadas con respecto a φ. Se obtiene T 1 akr b r r r z ak T b z rc T t En el caso de conductividad térmica constante, se reduce a
 2T T 1  1 T r r r r  z2
 t que es la ecuación deseada. Discusión Nótese que las condiciones de frontera e inicial no tienen efecto sobre la ecuación diferencial. 2-4 ■ CONDICIONES DE FRONTERA E INICIALES Las ecuaciones de conducción de calor antes dadas se desarrollaron aplicando un balance de energía sobre un elemento diferencial en el interior del medio y siguen siendo las mismas sin importar las condiciones térmicas sobre las superficies del medio. Es decir, las ecuaciones diferenciales no incorporan información relacionada con las condiciones sobre las superficies, como la temperatura de la superficie o un flujo específico de calor. Empero, se sabe que el flujo de calor y la distribución de temperatura en un medio depende de las condiciones en las superficies, y la descripción completa de un problema de transferencia de calor en un medio tiene que incluir las condiciones térmicas en las superficies limítrofes del mismo. La expresión matemática de las condiciones térmicas en las fronteras se llama condiciones de frontera. http://librosysolucionarios.net Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 79 79 CAPÍTULO 2 T(x, y, z, 0)
f(x, y, z) (2-45) en donde la función f(x, y, z) representa la distribución de temperatura en todo el medio en el instante t
0. Cuando el medio está inicialmente a una temperatura uniforme Ti, la condición inicial de la ecuación 2-45 se puede expresar como T(x, y, z, 0)
Ti. Note que en condiciones estacionarias la ecuación de http://librosysolucionarios.net La ecuación diferencial: d 2T
0 dx2 Solución general: T(x)
C1x  C2 ⎯→ ⎯⎯ ⎯→ Desde un punto de vista matemático, resolver una ecuación diferencial es, en esencia, un proceso de eliminar derivadas, o sea, un proceso de integración, por lo tanto es típico que la solución de una ecuación diferencial comprenda constantes arbitrarias (figura 2-25). Se deduce que para obtener una solución única para un problema, se necesita especificar más que sólo la ecuación diferencial que lo rige. Es necesario fijar algunas condiciones (como el valor de la función o de sus derivadas en algún valor de la variable independiente) de modo que al forzar a la solución a que satisfaga tales condiciones en puntos específicos arrojará valores únicos para las constantes arbitrarias y, por lo tanto, una solución única. Pero puesto que la ecuación diferencial no tiene lugar para la información o condiciones adicionales, se necesita suministrarlas por separado en la forma de condiciones iniciales o de frontera. Considere la variación de la temperatura a lo largo de la pared de una casa de ladrillos en invierno. La temperatura en cualquier punto en la pared depende, entre otras cosas, de las condiciones en las superficies interior y exterior, la temperatura del aire de la casa, la velocidad y dirección de los vientos y la energía solar que incide sobre la superficie externa. Es decir, la distribución de temperatura en un medio depende de las condiciones en las fronteras del mismo así como del mecanismo de transferencia de calor en su interior. Con el fin de describir por completo un problema de transferencia de calor, deben darse dos condiciones en la frontera para cada dirección del sistema de coordenadas a lo largo de la cual la transferencia de calor es significativa (figura 2-26). Por lo tanto, se necesita especificar dos condiciones de frontera para los problemas unidimensionales, cuatro para los bidimensionales y seis para los tridimensionales. Por ejemplo, en el caso de la pared de una casa, se necesita especificar las condiciones en dos lugares (las superficies interior y exterior) ya que, en este caso, la transferencia de calor es unidimensional. Pero en el caso de un paralelepípedo, se necesita especificar seis condiciones de frontera (una en cada cara) cuando la transferencia de calor es significativa en las tres dimensiones. El argumento físico que acaba de presentarse es coherente con la naturaleza matemática del problema, ya que la ecuación de conducción de calor es de segundo orden (es decir, contiene segundas derivadas con respecto a las variables espaciales) en todas las direcciones a lo largo de las cuales la conducción del calor es significativa, y la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden contiene dos constantes arbitrarias para cada dirección. Esto es, el número de condiciones de frontera que es necesario especificar en una dirección es igual al orden de la ecuación diferencial en esa dirección. Vuelva a considerar la pared de ladrillos ya discutida. La temperatura en cualquier punto sobre ella en un momento dado también depende de la condición de la pared al principio del proceso de conducción de calor. Tal condición, que suele especificarse en el instante t
0, se llama condición inicial, la cual es una expresión matemática para la distribución inicial de temperatura del medio. Note que sólo se necesita una condición inicial para un problema de conducción de calor, sin importar la dimensión, ya que la ecuación de la conducción es de primer orden en el tiempo (contiene la primera derivada de la temperatura con respecto al tiempo). En coordenadas rectangulares, la condición inicial se puede especificar en la forma general como Constantes arbitrarias Algunas soluciones específicas: T(x)
2x  5 T(x)
x  12 T(x)
3 T(x)
6.2x M FIGURA 2-25 La solución general de una ecuación diferencial típica comprende constantes arbitrarias y, por lo tanto, un número infinito de soluciones. T Algunas soluciones de 2T d–— =0 dx 2 50°C 0 15°C La única solución L x que satisface las condiciones T(0) = 50°C y T(L) = 15°C FIGURA 2-26 Para describir por completo un problema de transferencia de calor, deben darse dos condiciones de frontera para cada dirección a lo largo de la cual la transferencia de calor es significativa. Cengel_02A.qxd 2/10/11 7:49 PM Page 80 80 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR conducción de calor no contiene derivadas con respecto al tiempo y, por lo tanto, no se necesita especificar una condición inicial. La ecuación de conducción de calor es de primer orden en el tiempo y, por lo tanto, la condición inicial no puede contener derivadas (está limitada a una temperatura específica). Sin embargo, la ecuación de conducción de calor es de segundo orden en las coordenadas espaciales y, por lo tanto, una condición de frontera puede contener primeras derivadas en las fronteras así como valores específicos de la temperatura. Las condiciones de frontera que se encuentran con la mayor frecuencia en la práctica son las de temperatura específica, flujo específico de calor, convección y radiación. 150°C T(x, t) 0 70°C L x T(0, t) = 150°C T(L, t) = 70°C FIGURA 2-27 Condiciones de frontera de temperatura especificada en ambas superficies de una pared plana. 1 Condición de frontera de temperatura específica La temperatura de una superficie expuesta suele ser mensurable directamente y con facilidad. Por lo tanto, una de las maneras más fáciles de especificar las condiciones térmicas sobre una superficie es mediante la temperatura. Por ejemplo, para una transferencia unidimensional de calor a través de una pared plana de espesor L, las condiciones en la frontera de temperatura específica se pueden expresar como (figura 2-27) T(0, t)
T1 T(L, t)
T2 (2-46) donde T1 y T2 son las temperaturas específicas en las superficies en x
0 y x
L, respectivamente. Las temperaturas específicas pueden ser constantes, como en el caso de la conducción estacionaria de calor, o pueden variar con el tiempo. 2 Condición de frontera de flujo específico de calor Cuando existe información suficiente acerca de las interacciones de energía en una superficie, puede ser posible determinar la velocidad de transferencia de calor y, por lo tanto, el flujo de calor, q· (velocidad de transferencia de calor por unidad de área superficial, W/m2), sobre esa superficie, y se puede usar esta información como una de las condiciones en la frontera. El flujo de calor en la dirección positiva x, en cualquier lugar del medio, incluidas las fronteras, se puede expresar por la ley de Fourier de la conducción de calor como  Flujo de calor Conducción ∂T(0, t) q0 = – k ——— ∂x Flujo Conducción de calor ∂T(L, t) – k ——— = qL ∂x 0  T Flujo de calor en la q·
k
x dirección positiva x L x FIGURA 2-28 Condiciones de frontera de flujo de calor específico en ambas superficies de una pared plana. (W/m2) (2-47) Entonces se obtiene la condición de frontera, en una de las fronteras, al hacer el flujo específico de calor igual a k(T/x) en esa frontera. El signo del flujo específico de calor se determina por inspección: positivo, si el flujo de calor es en la dirección positiva del eje coordenado y negativo, si lo es en la dirección opuesta. Note que es en extremo importante tener el signo correcto para el flujo específico de calor, ya que el signo erróneo invertirá la dirección de la transferencia de calor y hará que la ganancia de éste se interprete como pérdida (figura 2-28). Por ejemplo, para una placa de espesor L sujeta a un flujo de calor de 50 W/m2 hacia su interior desde ambos lados, las condiciones de frontera de flujo específico de calor se pueden expresar como k T(0, t)
50 x y http://librosysolucionarios.net k T(L, t)
50 x (2-48) Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 81 81 CAPÍTULO 2 Note que el flujo de calor en la superficie en x
L es en la dirección negativa x y, por lo tanto, es –50 W/m2. En este caso se invertiría la dirección de las flechas del flujo de calor en x
L en la figura 2-28. Caso especial: frontera aislada Es común que, en la práctica, algunas superficies se aíslen con el fin de minimizar la pérdida (o ganancia) de calor a través de ellas. El aislamiento reduce la transferencia de calor pero no lo elimina en su totalidad, a menos que su espesor sea infinito. Sin embargo, la transferencia de calor a través de una superficie apropiadamente aislada se puede tomar como cero, ya que el aislamiento adecuado reduce la transferencia de calor a través de una superficie a niveles despreciables. Por lo tanto, una superficie bien aislada se puede considerar como una con un flujo específico de calor de cero. Entonces, la condición de frontera sobre una superficie perfectamente aislada (en x
0, por ejemplo) se expresa como (figura 2-29) k T(0, t)
0 x o T(0, t)
0 x Aislamiento T(x, t) 0 60°C L x ∂T(0, t) ——— = 0 ∂x T(L, t) = 60°C FIGURA 2-29 Una pared plana con aislamiento y condiciones de frontera de temperatura específica. (2-49) Es decir, sobre una superficie aislada, la primera derivada de la temperatura con respecto a la variable espacial (el gradiente de temperatura) en la dirección normal a esa superficie aislada es cero. Esto también significa que la gráfica de la función de temperatura debe ser perpendicular al eje vertical en una superficie aislada, ya que la pendiente de la temperatura en la superficie debe ser cero. Otro caso especial: simetría térmica Algunos problemas de transferencia de calor poseen simetría térmica como resultado de la simetría en las condiciones térmicas impuestas. Por ejemplo, las dos superficies de una placa grande caliente, de espesor L, suspendida verticalmente en el aire, estarán sujetas a las mismas condiciones térmicas y, por lo tanto, la distribución de temperatura en una de las mitades de ella será igual a la de la otra mitad. Es decir, la transferencia de calor en esta placa poseerá simetría térmica con respecto al plano central en x
L/2. Asimismo, la dirección del flujo de calor en cualquier punto en la placa será dirigida hacia la superficie más cercana a ese punto y no habrá flujo de calor a través del plano central. Por consiguiente, el plano central se puede concebir como una superficie aislada y la condición térmica en este plano de simetría se puede expresar como (figura 2-30) T(L/2, t)
0 x Plano central Pendiente cero Distribución de temperatura (simétrica con respecto al plano central) (2-50) la cual se asemeja a la condición de frontera de aislamiento o de flujo cero de calor. Este resultado también se puede deducir a partir de una gráfica de la distribución de temperatura con un máximo y, por lo tanto, pendiente cero en el plano central. En el caso de cuerpos cilíndricos (o esféricos) que tienen simetría térmica con respecto a la línea central (o punto medio), la condición de frontera de simetría térmica requiere que la primera derivada de la temperatura con respecto a r (la variable radial) sea cero en la línea central (o el punto medio). http://librosysolucionarios.net 0 L — 2 ∂T(L/2, t) ———— =0 ∂x L x FIGURA 2-30 Condición de frontera de simetría térmica en el plano central de una pared plana. Cengel_02B.qxd 2/22/11 1:34 PM Page 82 82 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EJEMPLO 2-6 Agua x 110°C L Condición de frontera de flujo de calor Considere una cacerola de aluminio usada para cocinar estofado colocada sobre la parte superior de una estufa eléctrica. La sección del fondo de la cacerola tiene L
0.3 cm de espesor y un diámetro de D
20 cm. La unidad eléctrica de calentamiento en la parte superior de la estufa consume 800 W de potencia durante la cocción y 90% del calor generado en el elemento de calentamiento se transfiere a la cacerola. Durante la operación estacionaria, se mide la temperatura de la superficie interior de la cacerola y resulta ser de 110°C. Exprese las condiciones de frontera para la sección del fondo de la cacerola durante este proceso de cocción. SOLUCIÓN Se considera una cacerola de aluminio colocada sobre una estufa 0 q· 0 FIGURA 2-31 Esquema para el ejemplo 2-6. eléctrica. Deben obtenerse las condiciones de frontera para el fondo de la cacerola. Análisis La transferencia de calor a través de la sección del fondo de la cacerola es de la superficie inferior hacia la superior y se puede aproximar razonablemente como si fuera unidimensional. Se toma la dirección normal a las superficies del fondo como el eje x, con el origen en la superficie exterior, como se muestra en la figura 2-31. Entonces las superficies interior y exterior de la sección del fondo de la cacerola se pueden representar por x
0 y x
L, respectivamente. Durante la operación estacionaria la temperatura dependerá sólo de x y, por lo tanto, T
T(x). La condición de frontera sobre la superficie exterior del fondo, en x
0, se puede especificar como cierto flujo específico de calor, ya que se expresó que 90% de los 800 W (es decir, 720 W) se transfieren a la cacerola en esa superficie. Por lo tanto, k dT(0) dx q·0 donde q·0
Razón de transferencia de calor Área de la superficie exterior
0.720 kW
22.9 kW/m2 p(0.1 m)2 La temperatura en la superficie interior del fondo de la cacerola se especifica como 110°C. Entonces la condición de frontera sobre esa superficie se puede expresar como T(L)
110°C en donde L
0.003 m. Discusión Note que la determinación de las condiciones de frontera puede requerir algo de razonamiento y aproximaciones. 3 Condición de convección de frontera Es probable que la convección sea la condición de frontera más común encontrada en la práctica, ya que la mayor parte de las superficies de transferencia de calor están expuestas a un medio y a una temperatura específica. La condición de convección de frontera se basa en un balance de energía superficial expresado como

Conducción de calor Convección de calor en la superficie en una
en la superficie en la dirección seleccionada misma dirección http://librosysolucionarios.net  Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 83 83 CAPÍTULO 2 Para la transferencia de calor unidimensional en la dirección x, en una placa de espesor L, las condiciones de frontera sobre ambas superficies se pueden expresar como T(0, t) k
h1[T1  T(0, t)] x EJEMPLO 2-7 Conducción Convección h1 T1 ∂T(L, t) – k ——— = h2[T(L, t) – T2] ∂x (2-51b) donde h1 y h2 son los coeficientes de transferencia de calor por convección y T1 y T2 son las temperaturas de los medios circundantes sobre los dos lados de la placa, como se muestra en la figura 2-32. Al escribir las ecuaciones 2-51 para las condiciones de convección de frontera se ha seleccionado la dirección de la transferencia de calor como la x positiva en ambas superficies. Pero esas expresiones son aplicables por igual cuando la transferencia de calor es en la dirección opuesta, en una o en las dos superficies, ya que la inversión de la dirección de la transferencia de calor en una superficie simplemente invierte los signos de los términos tanto de conducción como de convección. Esto es equivalente a multiplicar una ecuación por –1, lo cual no tiene efecto sobre la igualdad (figura 2-33). Es evidente que poder seleccionar cualquiera de las dos direcciones como la de transferencia de calor es un alivio, ya que a menudo no se conoce de antemano la temperatura superficial y, como consecuencia, la dirección de la transferencia en una superficie. Este argumento también es válido para otras condiciones de frontera, como las de radiación y combinadas que se discuten un poco más adelante. Note que una superficie tiene espesor cero y, por lo tanto, no tiene masa, y no puede almacenar energía. Por lo tanto, todo el calor neto que entra en la superficie desde uno de los lados debe salir de ella por el otro lado. La condición de convección de frontera simplemente expresa que el calor sigue fluyendo de un cuerpo al medio circundante a la misma razón y sólo cambia de vehículos en la superficie, de conducción a convección (o viceversa, en la otra dirección). Esto es análogo a la gente que viaja en autobuses por tierra y se transfiere a barcos en la orilla del mar. Si no se permite a los pasajeros deambular por la orilla, entonces la rapidez a la cual la gente desciende en la orilla debe ser igual a la rapidez a la cual aborda los barcos. Se puede decir que esto es el principio de conservación de la “gente”. Note también que no se conocen las temperaturas superficiales T(0, t) y T(L, t) (si se conocieran, simplemente se usarían como la temperatura específica en la condición de frontera sin tomar en cuenta la convección). Pero se puede determinar una temperatura superficial una vez que se obtiene la solución T(x, t), sustituyendo en la solución el valor de x en esa superficie. Condiciones de frontera de convección y aislamiento Fluye vapor de agua por un tubo, mostrado en la figura 2-34, a una temperatura promedio de T∞
200°C. Los radios interior y exterior del tubo son r1
8 cm y r2
8.5 cm, respectivamente, y la superficie exterior está fuertemente aislada. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie interior del tubo es h
65 W/m2 · °C, exprese las condiciones de frontera sobre las superficies interior y exterior del tubo durante los periodos en régimen transitorio. http://librosysolucionarios.net h2 T2 ∂T(0, t) h1[T1 – T(0, t)] = –k ——— ∂x (2-51a) y T(L, t) k
h2[T(L, t)  T2] x Convección Conducción 0 L x FIGURA 2-32 Condiciones de frontera de convección sobre las dos superficies de una pared plana. Convección Conducción ∂T(0, t) h1[T1 – T(0, t)] = –k ——— ∂x h1, T1 Convección Conducción ∂T(0, t) h1[T(0, t) – T1] = k ——— ∂x 0 L x FIGURA 2-33 La dirección supuesta de la transferencia de calor en una frontera no tiene efecto sobre la expresión de la condición en la frontera. Cengel_02B.qxd 2/22/11 1:34 PM Page 84 84 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR SOLUCIÓN Se considera el flujo de vapor de agua por un tubo aislado. Deben obtenerse las condiciones de frontera en las superficies interior y exterior del tubo. Análisis En el transcurso de los periodos transitorios, la transferencia de calor a través del material del tubo es, de manera predominante, en dirección radial, por lo que puede tenerse una aproximación a ella considerándola como unidimensional. Entonces la temperatura dentro del material del tubo cambia con la distancia radial r y el tiempo t. Es decir, T
T(r, t). Se plantea que la transferencia de calor entre el vapor de agua y el tubo, en la superficie interior, es por convección. Entonces, si se toma la dirección de la transferencia de calor como la dirección r positiva, puede expresarse la condición de frontera en esa superficie como Aislamiento h1 T r2 r1 FIGURA 2-34 Esquema para el ejemplo 2-7. k T(r1, t) r h[T T(r1)] Se dice que el tubo está bien aislado en el exterior y, por consiguiente, se puede suponer que la pérdida de calor a través de la superficie exterior del mismo es despreciable. Entonces, la condición de frontera en la superficie exterior puede expresarse como T(r2, t) r 0 Discusión Nótese que el gradiente de temperatura debe ser cero en la superficie exterior del tubo, en todo momento. 4 Condición de radiación de frontera En algunos casos, como los encontrados en las aplicaciones espaciales y criogénicas, una superficie de transferencia de calor está rodeada por un espacio vacío y, por lo tanto, no se tiene transferencia por convección entre la superficie y el medio circundante. En esos casos la radiación se convierte en el único mecanismo de transferencia de calor entre la superficie y los alrededores. Utilizando un balance de energía, la condición de radiación de frontera sobre una superficie se puede expresar como

 Conducción de calor Intercambio de radiación en la superficie, en una
en la superficie, en la dirección seleccionada misma dirección Radiación Conducción ∂T(0, t) 4 4 ——— e1s [Talred, 1 – T(0, t) ] = – k ∂x e1 ε2 Talred, 1 Talred, 2 Conducción Radiación ∂T(L, t) 4 – k ——— = e 2s [T(L, t)4 – Talred, 2] ∂x 0 L x FIGURA 2-35 Condiciones de frontera de radiación sobre ambas superficies de una pared plana. Para una transferencia unidimensional de calor en la dirección x, en una placa de espesor L, las condiciones de radiación de frontera sobre ambas superficies se pueden expresar como (figura 2-35) k T(0, t) 4 4
e1s[T alred, 1  T(0, t) ] x (2-52a) k T(L, t) 4
e2s[T(L, t)4  T alred, 2] x (2-52b) y donde e1 y e2 son las emisividades de las superficies frontera, s
5.67  10–8 W/m2 · K4 es la constante de Stefan-Boltzmann y Talred, 1 y Talred, 2 son las temperaturas promedio de las superficies circundantes de los dos lados de la placa, respectivamente. Note que las temperaturas en los cálculos de radiación deben expresarse en K o R (no en °C o °F). http://librosysolucionarios.net Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 85 85 CAPÍTULO 2 La condición de radiación de frontera involucra la cuarta potencia de la temperatura y, por lo tanto, es una condición no lineal. Como resultado, la aplicación de esta condición de frontera conduce a potencias de los coeficientes desconocidos, lo cual hace que sea difícil determinarlos. Por lo tanto, resulta tentador ignorar el intercambio de radiación en una superficie durante un análisis de transferencia de calor con el fin de evitar las complicaciones asociadas con la no linealidad. Éste es en especial el caso cuando la transferencia de calor en la superficie está dominada por la convección y el papel de la radiación es pequeño. Interfase Material A Material B TA(x0, t) = TB(x0, t) TB(x, t) TA(x, t) Conducción Conducción 5 Condiciones de frontera en la interfase Algunos cuerpos están formados por capas de materiales diferentes y la resolución de un problema de transferencia de calor en un medio de ese tipo requiere determinar la transferencia en cada capa. Esto, a su vez, requiere la especificación de las condiciones de frontera en cada interfase. Las condiciones de frontera en una interfase se basan en los requisitos de que 1) los dos cuerpos en contacto deben tener la misma temperatura en el área de contacto y 2) una interfase (que es una superficie) no puede almacenar energía y, por lo tanto, el flujo de calor sobre ambos lados de la interfase debe ser el mismo. Las condiciones de frontera en la interfase de dos cuerpos A y B, en contacto perfecto en x
x0 se pueden expresar como (figura 2-36) TA(x0, t)
TB(x0, t) 0 ∂TA(x0, t) ∂TB(x0, t) – kA ———— = – kB ———— ∂x ∂x x0 L x FIGURA 2-36 Condiciones de frontera en la interfase de dos cuerpos en contacto perfecto. (2-53) y kA TA(x0, t) TB(x0, t)
kB x x (2-54) donde kA y kB son las conductividades térmicas de las capas A y B, respectivamente. El caso de un contacto imperfecto que conduce a resistencia térmica por contacto, se abordará en el siguiente capítulo. 6 Condiciones de frontera generalizadas Hasta ahora se ha considerado superficies sujetas a transferencia de calor de un solo modo, como el flujo especificado de calor, la convección o la radiación, por sencillez. Sin embargo, en general, una superficie puede comprender convección, radiación y flujo especificado de calor simultáneamente. En esos casos se obtiene una vez más la condición de frontera a partir de un balance de energía superficial, expresado como

Transferencia de Transferencia de calor calor hacia la superficie
desde la superficie en en todos los modos todos los modos  (2-55) Esto se ilustra en los ejemplos 2-8 y 2-9. ción Condición de convección y radiación combinadas Una esfera metálica de radio r0 se calienta en un horno hasta una temperatura de 600°F en toda su extensión y, a continuación, se saca del horno y se deja enfriar en el aire ambiente que está a T
78°F, como se muestra en la figura 2-37. La conductividad térmica del material de la bola es k
8.3 Btu/h · ft · °F y el coeficiente de transferencia de calor promedio por convección sobre la superficie exterior se evalúa que es h
4.5 Btu/h · ft2 · °F. La emisividad de la superficie exterior de la bola es e
0.6 y la temperatura promedio de las superficies circundantes es Talred
525 R. Suponiendo que la bola se enfría de manera uniforme desde toda la superficie exterior, exprese las condiciones inicial y de frontera para el proceso de enfriamiento de la misma. http://librosysolucionarios.net Radia EJEMPLO 2-8 Talred = 525 R n Bola metálica Convección ió cc u nd Co 0 T = 78°F r0 r Ti = 600°F FIGURA 2-37 Esquema para el ejemplo 2-8. Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 86 86 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR SOLUCIÓN Se considera el enfriamiento de una bola metálica esférica caliente. Deben obtenerse las condiciones inicial y de frontera. Análisis La bola está inicialmente a una temperatura uniforme y se enfría también de manera uniforme desde toda la superficie exterior. Por lo tanto, se trata de un problema unidimensional de transferencia de calor en régimen transitorio, dado que la temperatura dentro de la bola cambiará con la distancia radial r y el tiempo t. Es decir, T
T(r, t). Tomando como t
0 el momento en que la bola se saca del horno, la condición inicial se puede expresar como T(r, 0)
Ti
600°F El problema posee simetría en torno al punto medio (r
0), ya que, en este caso, las isotermas serán esferas concéntricas y, por consiguiente, nada de calor cruza el punto medio de la bola. Entonces, la condición de frontera en el punto medio se puede expresar como T(0, t) r 0 El calor conducido hacia la superficie exterior de la bola se pierde hacia el medio por convección y radiación. Entonces, tomando la dirección r positiva como la dirección de transferencia de calor, la condición de frontera sobre la superficie exterior se puede expresar como k T(ro, t) r h[T(ro) T ] es[T(ro)4 4 T alred ] Discusión Se conocen todas las cantidades involucradas en las relaciones anteriores, excepto las temperaturas y sus derivadas en r
0 y r0. Asimismo, por sencillez, con frecuencia se ignora la parte de radiación de la condición en la frontera modificando el coeficiente de transferencia de calor por convección para explicar la contribución de la radiación. En ese caso, el coeficiente de convección h se convierte en el coeficiente combinado de transferencia de calor. EJEMPLO 2-9 Convección, radiación y flujo de calor combinados Considere el muro sur de una casa que tiene L
0.2 m de espesor. La superficie exterior del muro está expuesta a la radiación solar y tiene una absortividad de 
0.5, para la energía solar. El interior de la casa se mantiene a T1
20°C, en tanto la temperatura del aire ambiente exterior permanece en T2
5°C. El cielo, el suelo y las superficies de las estructuras circundantes en este lugar se pueden considerar como una superficie a una temperatura efectiva de Tcielo
255 K, para el intercambio de radiación sobre la superficie exterior. El intercambio de radiación entre la superficie interior del muro y las superficies de las paredes, piso y techo que están enfrente de él es despreciable. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior del muro son h1
6 W/m2 · °C y h2
25 W/m2 · °C, respectivamente. La conductividad térmica del material del muro es k
0.7 W/m · °C y la emisividad de la superficie exterior es e2
0.9. Suponiendo que la transferencia de calor a través del muro es estacionaria y unidimensional, exprese las condiciones en la frontera sobre las superficies interior y exterior de él. SOLUCIÓN Se considera la pared de una casa sujeta a radiación solar. Deben obtenerse las condiciones de frontera en las superficies interior y exterior de la pared. http://librosysolucionarios.net Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 87 87 CAPÍTULO 2 Análisis Tome la dirección normal a las superficies del muro como el eje x, con el origen en la superficie interior del propio muro, como se muestra en la figura 2-38. La transferencia de calor a través del muro se considera como estacionaria y unidimensional y, por consiguiente, la temperatura depende sólo de x y no del tiempo. Es decir, T
T (x). La condición de frontera sobre la superficie interior del muro, en x
0, es una condición típica de convección, ya que no comprende radiación o flujo especificado de calor. Tomando la dirección x positiva como el sentido de la transferencia de calor, la condición de frontera sobre la superficie interior se puede expresar como dT(0) k dx h1[T 1 T(0)] dT(L) dx h2[T(L) T 2] e2s[T(L)4 4 T cielo ] aq·solar en donde q· solar es el flujo de calor solar incidente. Discusión Suponiendo la dirección opuesta para la transferencia de calor daría el mismo resultado multiplicado por –1, lo cual es equivalente a la relación que se da aquí. Todas las cantidades en estas relaciones se conocen, excepto las temperaturas y sus derivadas en las dos fronteras. Note que un problema de transferencia de calor puede comprender diferentes clases de condiciones de frontera sobre distintas superficies. Por ejemplo, una placa puede estar sujeta a flujo de calor sobre una de sus superficies, mientras pierde o gana calor al mismo tiempo por convección desde la otra. También, las dos condiciones de frontera en una dirección pueden especificarse en la misma frontera, en tanto no se imponga condición sobre la otra. Por ejemplo, la especificación de la temperatura y el flujo de calor en x
0 de una placa de espesor L dará por resultado una solución única para la distribución unidimensional de temperatura de estado estacionario en la placa, incluyendo el valor de la temperatura en la superficie x
L. Aun cuando no es necesario, nada hay de erróneo en la especificación de más de dos condiciones de frontera en una dirección específica, siempre que no exista contradicción. En este caso, las condiciones adicionales se pueden usar para verificar los resultados. 2-5 ■ Sol Superficie interior Muro sur n ció ia ad R Conducción Solar Co h1 nv T1 La condición de frontera sobre la superficie exterior, en x
L, es bastante general, ya que comprende conducción, convección, radiación y flujo especificado de calor. De nuevo, tomando la dirección x positiva como el sentido de la transferencia de calor, la condición de frontera sobre la superficie exterior se puede expresar como k Tcielo RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Hasta ahora se han deducido las ecuaciones diferenciales para la conducción del calor en varios sistemas de coordenadas y discutido las posibles condiciones de frontera. Un problema de conducción de calor se puede formular por la especificación de la ecuación diferencial aplicable y un conjunto de condiciones de frontera apropiadas. En esta sección se resolverá una amplia gama de problemas de conducción del calor en configuraciones geométricas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Se limitará la atención a los problemas que conducen a ecuaciones diferenciales ordinarias, como los unidimensionales de conducción de calor en régimen http://librosysolucionarios.net ec ció n h2 T2 Convección Conducción 0 Superficie exterior L x FIGURA 2-38 Esquema para el ejemplo 2-9. Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 88 88 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Problema de transferencia de calor Formulación matemática (ecuación diferencial y condiciones de frontera) Solución general de la ecuación diferencial Aplicación de las condiciones de frontera Solución del problema FIGURA 2-39 Pasos básicos que intervienen en la resolución de los problemas de transferencia de calor. estacionario. También se supondrá que la conductividad térmica es constante, pero más adelante en este capítulo se considerará la conductividad variable. Si se siente intimidado por las ecuaciones diferenciales, o todavía no ha tomado un curso en ese sentido, no es necesario sentir pánico. La integración simple es todo lo que necesita para resolver los problemas unidimensionales de conducción de calor en régimen estacionario. El procedimiento para resolver los problemas de conducción de calor se puede resumir como sigue: 1) formúlese el problema mediante la obtención de la ecuación diferencial aplicable en su forma más sencilla y especificando las condiciones de frontera, 2) obténgase la solución general de la ecuación diferencial y 3) aplíquense las condiciones de frontera y determínense las constantes arbitrarias en la solución general (figura 2-39). Esto se demuestra a continuación con ejemplos. EJEMPLO 2-10 Conducción de calor en una pared plana Considere una pared plana grande de espesor L
0.2 m, conductividad térmica k
1.2 W/m · °C y área superficial A
15 m2. Los dos lados de la pared se mantienen a las temperaturas constantes T1
120°C y T2
50°C, respectivamente, como se muestra en la figura 2-40. Determine a) la variación de la temperatura dentro de la pared y el valor de la temperatura en x
0.1 m, y b) la razón de la conducción de calor a través de la pared en condiciones estacionarias. SOLUCIÓN Se da una pared plana con temperaturas superficiales específicas. Pared plana T1 T2 Se deben determinar la variación de la temperatura y la razón de la transferencia de calor. Suposiciones 1 La conducción de calor es estacionaria. 2 La conducción de calor es unidimensional, dado que la pared es grande en relación con su espesor y las condiciones térmicas en ambos lados son uniformes. 3 La conductividad térmica es constante. 4 No hay generación de calor. Propiedades Se da la conductividad térmica como k
1.2 W/m · °C. 0 L x FIGURA 2-40 Esquema para el ejemplo 2-10. Análisis a) Tomando la dirección x como la perpendicular a la superficie de la pared, la ecuación diferencial para este problema se puede expresar como d 2T
0 dx2 con las condiciones de frontera T(0)
T1
120°C T(L)
T2
50°C La ecuación diferencial es lineal y de segundo orden, y una inspección rápida de ella revela que tiene un solo término que comprende derivadas y ningún término que contenga a la función desconocida T como factor. Por lo tanto, se puede resolver por integración directa. Puesto que una integración reduce el orden de una derivada en uno, se puede obtener la solución general de la ecuación diferencial antes dada por medio de dos simples integraciones sucesivas, cada una de las cuales introduce una constante de integración. Integrando la ecuación diferencial una vez con respecto a x, se obtiene dT
C1 dx donde C1 es una constante arbitraria. Advierta que, como resultado de la integración, el orden de la derivada disminuyó en uno. Como verificación, si se calcula la derivada de esta ecuación, se obtendrá la ecuación diferencial original. Esta ecuación todavía no es la solución puesto que contiene una derivada. http://librosysolucionarios.net Cengel_02B.qxd 2/22/11 1:34 PM Page 89 89 CAPÍTULO 2 Integrando una vez más se obtiene Ecuación diferencial: T(x)
C1x  C2 d 2T
0 dx2 → → T2
C1L  T1 → C1
T2 T1 L x ⎯→ ⎯ Constantes arbitrarias general FIGURA 2-41 Obtención por integración de la solución general de una ecuación diferencial simple de segundo orden. T1 T(x)
C1x  C2 Aplicación de la condición de frontera: T(x)
C1x  C2 ↑ ↑ 0 0 { (2-56) (50  120)°C (0.1 m)  120°C
85°C 0.2 m b) La razón de conducción de calor a través de la pared, en cualquier punto, determinada por la ley de Fourier es: T1  T2 T2  T1 · dT Q pared
kA
kAC1
kA
kA L L dx Condición de frontera: Solución general: la cual es la solución deseada, ya que no sólo satisface la ecuación diferencial sino también las dos condiciones de frontera específicas. Es decir, si se deriva la ecuación 2-56 con respecto a x dos veces dará d 2T/dx 2
0 que es la ecuación diferencial dada, y si se sustituyen x
0 y x
L en la ecuación 2-56, da T(0)
T1 y T(L)
T2, respectivamente, las cuales son las condiciones de frontera especificadas. Si se sustituye la información dada, se determina que el valor de la temperatura en x
0.1 m es T(0.1 m)
T(x)
C1x  C2 → ⎯ Solución T(0)
T1 T2  T1 L Si se sustituyen las expresiones para C1 y C2 en la solución general, se obtiene T(x) Intégrese una vez más: C2
T1 La segunda condición de frontera se puede interpretar como en la solución general, reemplácense todas las x por L y T(x) por T2; es decir, T(L)
C1L  C2 dT
C1 dx (2-57) Al sustituir los valores dados se determina que el valor numérico de la razón de conducción de calor a través de la pared es T1  T2 (120  50)°C · Q
kA
(1.2 W/m · °C)(15 m2)
6 300 W L 0.2 m Discusión Note que en las condiciones en régimen estacionario, la razón de conducción de calor a través de una pared plana es constante. http://librosysolucionarios.net T1 Sustituyendo:
T(0)
C1  0  C2 Intégrese: → ⎯ la cual es la solución general de la ecuación diferencial (figura 2-41). En este caso, la solución general se asemeja a la fórmula general de una recta cuya pendiente es C1 y cuyo valor en x
0 es C2. Esto no es sorprendente, ya que la segunda derivada representa el cambio en la pendiente de una función, y una segunda derivada igual a cero indica que la pendiente de esa función permanece constante. Por lo tanto, cualquier recta es una solución de esta ecuación diferencial. La solución general contiene dos constantes desconocidas, C1 y C2 y, por consiguiente, se necesitan dos ecuaciones para determinarlas de manera única y obtener la solución específica. Estas ecuaciones se obtienen al forzar que la solución general satisfaga las condiciones de frontera específicas. La aplicación de cada condición da lugar a una ecuación y, por lo tanto, se necesita especificar dos condiciones para determinar las constantes C1 y C2. Cuando se aplica una condición de frontera a una ecuación, todas las ocurrencias de las variables dependiente e independiente y cualesquiera derivadas se reemplazan por los valores específicos. De este modo, las únicas incógnitas en las ecuaciones resultantes son las constantes arbitrarias. La primera condición de frontera se puede interpretar como en la solución general, reemplácense todas las x por cero y T(x) por T1; es decir (figura 2-42): T1
C1  0  C2 → C2
T1 No puede aparecer x o T(x) después de que se aplica la condición de frontera. FIGURA 2-42 Cuando se aplica una condición de frontera a la solución general, en un punto específico, todas las ocurrencias de las variables dependiente e independiente deben reemplazarse por los valores especificados en ese punto. Cengel_02B.qxd 2/22/11 1:34 PM Page 90 90 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EJEMPLO 2-11 Una pared con varios conjuntos de condiciones de frontera Considere la conducción unidimensional de calor en régimen estacionario en una pared plana de espesor L y conductividad térmica constante k, sin generación de calor. Obtenga expresiones para la variación de la temperatura dentro de la pared para las parejas siguientes de condiciones de frontera (figura 2-43): a) k dT(0)
q·0
40 W/cm2 dx y T(0)
T0
15°C b) k dT(0)
q·0
40 W/cm2 dx y k dT(L)
q·L
25 W/cm2 dx c) k dT(0)
q·0
40 W/cm2 dx y k dT(L)
q·L
q·0
40 W/cm2 dx SOLUCIÓN Se considera la conducción unidimensional estacionaria de calor en una pared plana grande. Debe determinarse la variación de la temperatura para diferentes conjuntos de condiciones de frontera. Análisis Éste es un problema unidimensional de conducción de calor en estado estacionario, con conductividad térmica constante y sin generación de calor en el medio, y la ecuación de conducción de calor en este caso se puede expresar como (ecuación 2-17) d 2T
0 dx2 cuya solución general se determinó en el ejemplo anterior por integración directa que era T(x)
C1 x + C2 en donde C1 y C2 son dos constantes arbitrarias de integración. Las soluciones correspondientes a cada pareja especificada de condiciones de frontera se determinan como sigue: a) En este caso, las dos condiciones de frontera se especifican en la misma frontera x
0 y no se especifica condición en la otra frontera, en x
L. Dado que dT
C1 dx la aplicación de las condiciones de frontera da k dT(0)
q·0 dx → kC1
q·0 q·0 → C1
 k y T(0)
T0 → T0
C1  0  C2 → C2
T0 Al sustituir se determina que, en este caso, la solución específica es T(x) q0 x k http://librosysolucionarios.net T0 Cengel_02B.qxd 2/22/11 1:34 PM Page 91 91 CAPÍTULO 2 15°C Pared plana 40 W/cm2 Pared plana 40 W/cm2 T(x) Pared plana 40 W/cm2 T(x) T(x) 2 40 W/cm2 25 W/cm 0 L 0 x a) L 0 x b) L x c) FIGURA 2-43 Esquema para el ejemplo 2-11. Por lo tanto, las dos condiciones de frontera se pueden especificar en la misma frontera y no es necesario determinarlas en lugares diferentes. De hecho, el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias garantiza que existe una solución única cuando se especifican las dos condiciones en la misma ubicación. Pero no existe esa garantía cuando las dos condiciones se especifican en fronteras diferentes, como se verá a continuación. b) En este caso se especifican diferentes flujos de calor en las dos fronteras. La aplicación de las condiciones de frontera da k dT(0)
q·0 dx → kC1
q·0 → C1
 q·0 k k dT(L)
q·L dx → kC1
q·L → C1
 q·L k y Puesto que q· 0  q· L y la constante C1 no puede ser igual a dos cosas diferentes al mismo tiempo, no hay solución en este caso. Esto no es sorprendente, ya que este caso corresponde a suministrar calor a la pared plana desde ambos lados y esperar que la temperatura permanezca estacionaria (no cambie con el tiempo). Esto es imposible. c) En este caso se especifican los mismos valores para el flujo de calor en las dos fronteras. La aplicación de las condiciones de frontera da k dT(0)
q·0 dx → kC1
q·0 k dT(L)
q·0 dx → q·0 → C1
 k y kC1
q·0 → C1
 q·0 k Por lo tanto, las dos condiciones conducen al mismo valor para la constante C1, pero a ninguno para C2. Al sustituir, se determina que, en este caso, la solución específica es T(x) q0 x k C2 la cual no es una solución única, ya que C2 es arbitraria. http://librosysolucionarios.net Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 92 92 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Ecuación diferencial: T (x)
0 Solución general: T(x)
C1x  C2 a) Solución única: · kT (0)
q·0 T(x)
 q 0 x  T 0 T(0)
T0 k  Discusión Esta última solución representa una familia de rectas cuya pendiente es q· 0 /k. Físicamente, este problema corresponde a requerir que la razón a la cual el calor es suministrado a la pared en x
0 sea igual a la razón con la que se rechaza desde el otro lado, en x
L. Pero ésta es una consecuencia de que la conducción de calor a través de la pared sea estacionaria y, por lo tanto, la segunda condición de frontera no proporciona nueva información. Por lo tanto, no sorprende que la solución de este problema no sea única. En la figura 2-44 se resumen los tres casos antes discutidos. b) Ninguna solución: kT (0)
q·0 T(x)
Ninguna kT (L)
q·L  c) Soluciones múltiples: · kT (0)
q·0 T(x)
 q 0 x  C 2 kT (L)
q·0 k ↑ Arbitraria  FIGURA 2-44 Un problema con condiciones de frontera puede tener una solución única, un número infinito de soluciones o ninguna solución. EJEMPLO 2-12 Conducción de calor en la placa base de una plancha Considere la placa base de una plancha doméstica de 1 200 W que tiene un espesor de L
0.5 cm, área de la base de A
300 cm2 y conductividad térmica de k
15 W/m · °C. La superficie interior de la placa base se sujeta a un flujo de calor uniforme generado por los calentadores por resistencia que están en el interior y la superficie exterior pierde calor hacia los alrededores que están a T
20°C, por convección, como se muestra en la figura 2-45. Tomando el coeficiente de transferencia de calor por convección como h
80 W/m2 · °C y descartando la pérdida de calor por radiación, obtenga una expresión para la variación de la temperatura en la placa base y evalúe las temperaturas en las superficies interior y exterior. SOLUCIÓN Se considera la placa base de una plancha. Deben determinarse la Calentador de resistencia 1 200 W Placa base Aislamiento 300 cm2 T = 20°C h L x FIGURA 2-45 Esquema para el ejemplo 2-12. variación de la temperatura en la placa y las temperaturas superficiales. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria, ya que no existe cambio con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, puesto que el área superficial de la placa base es grande en relación con su espesor y las condiciones térmicas en ambos lados son uniformes. 3 La conductividad térmica es constante. 4 No se tiene generación de calor en el medio. 5 La transferencia de calor por radiación es despreciable. 6 La parte superior de la plancha está bien aislada, de modo que todo el calor generado en las resistencias de alambre se transfiere a la placa base a través de su superficie interior. Propiedades Se da la conductividad térmica como k
15 W/m · °C. Análisis La superficie interior de la placa base está sujeta a un flujo uniforme de calor a razón de Q· 0 1 200 W q·0


40 000 W/m2 Abase 0.03 m2 El lado exterior de la placa está sujeto a la condición de convección. Tomando la dirección x como la perpendicular a la superficie de la pared, con su origen sobre la superficie interior, la ecuación diferencial para este problema se puede expresar como (figura 2-46) d 2T
0 dx2 con las condiciones de frontera k dT(0)
q·0
40 000 W/m2 dx k dT(L)
h[T(L)  T] dx http://librosysolucionarios.net Cengel_02B.qxd 2/22/11 1:34 PM Page 93 93 CAPÍTULO 2 Una vez más, mediante dos integraciones sucesivas se obtiene que la solución general de la ecuación diferencial es h T dT(0) ·q = –k –—— 0 dx Conducción Convección dT
C1 dx y T(x)
C1x  C2 q·0 → C1
 k → kC1
q·0 Dado que dT/dx
C1 y T(L)
C1L + C2, la aplicación de la segunda condición en la frontera da k dT(L)
h[T(L)  T] → dx kC1
h[(C1L  C2)  T] Si se hace la sustitución C1
q· 0/k y se despeja C2, se obtiene C2
T  q·0 q·0  L h k Ahora, al sustituir C1 y C2 en la solución general (a) da T(x) L q·0 a T x k 1 b h (b) la cual es la solución para la variación de la temperatura en la placa. Las temperaturas en las superficies interior y exterior de la placa se determinan al hacer las sustituciones x
0 y x
L, respectivamente, en la relación (b):
 L 1 T(0)
T  q·0  k h m 1 
150.005 W/m · °C 80 W/m
20°C  (40 000 W/m2) 2 
533°C · °C y
dT(L) – k –—— = h[T(L) – T] dx (a) en donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Aplicando la primera condición de frontera, dT(0) k
q·0 dx Placa base Flujo de calor Conducción  40 000 W/m2 1 T(L)
T  q·0 0 
20°C 
520°C h 80 W/m2 · °C Discusión Note que la temperatura de la superficie interior de la placa base es 13°C más elevada que la de la superficie exterior cuando se alcanzan las condiciones estables de operación. Note también que este análisis de transferencia de calor permite incluso calcular las temperaturas de superficies que no se pueden alcanzar. En este ejemplo se demuestra cómo se aplican las condiciones de frontera de flujo de calor y de convección a los problemas de transferencia de calor. http://librosysolucionarios.net 0 L x FIGURA 2-46 Condiciones de frontera sobre la placa base de la plancha discutida en el ejemplo 2-12. Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 94 94 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EJEMPLO 2-13 So Pared plana la r Sol Conducción n ió ac di Ra T1 ε α 0 L Espacio x FIGURA 2-47 Esquema para el ejemplo 2-13. Conducción del calor en una pared calentada por radiación solar Considere una pared plana grande de espesor L
0.06 m y conductividad térmica k
1.2 W/m · °C en el espacio. La pared está cubierta con losetas de porcelana blanca que tienen una emisividad de e
0.85 y una absortividad solar de 
0.26, como se muestra en la figura 2-47. La superficie interior de la pared se mantiene a T1
300 K en todo momento, en tanto que la exterior está · expuesta a la radiación solar que incide a razón de q solar
800 W/m2. La superficie exterior también está perdiendo calor por radiación hacia el espacio profundo que está a 0 K. Determine la temperatura de la superficie exterior de la pared y la razón de la transferencia de calor a través de la pared cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. ¿Qué respondería si no incidiera radiación solar sobre la superficie? SOLUCIÓN Una pared plana en el espacio está sujeta a una temperatura específica sobre uno de sus lados y a radiación solar sobre el otro. Se deben determinar la temperatura de la superficie exterior y la razón de transferencia de calor. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria dado que no hay cambio con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, ya que la pared es grande en relación con su espesor y las condiciones térmicas en ambos lados son uniformes. 3 La conductividad térmica es constante. 4 No hay generación de calor. Propiedades Se da que la conductividad térmica es k
1.2 W/m · °C. Análisis Tomando la dirección x como la perpendicular a la superficie de la pared con su origen sobre la superficie interior, la ecuación diferencial para este problema se puede expresar como d 2T
0 dx2 con las condiciones de frontera T(0)
T1
300 K k dT(L) 4
es[T(L)4  T espacio ]  aq·solar dx en donde Tespacio
0. Una vez más, por medio de dos integraciones sucesivas, se obtiene que la solución general de la ecuación diferencial es T(x)
C1x  C2 (a) donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Aplicando la primera condición de frontera, se obtiene T(0)
C1  0  C2 → C2
T1 Dado que dT/dx
C1 y T(L)
C1L  C2
C1L  T1, la aplicación de la segunda condición de frontera da k dT(L)
esT(L) 4  aq·solar dx → kC1
es(C1L  T1) 4  aq·solar Aun cuando C1 es la única incógnita en esta ecuación, no se puede obtener una expresión explícita para ella porque dicha ecuación no es lineal y, por lo tanto, no se puede obtener una expresión en forma cerrada para la distribución de temperatura. Esto debe explicar por qué se hizo el mejor esfuerzo para evitar las no linealidades en el análisis, como las asociadas con la radiación. http://librosysolucionarios.net Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 95 95 CAPÍTULO 2 Se retrocede un poco y se denota la temperatura de la superficie exterior por T(L)
TL, en lugar de T(L)
C1L  T1. En este caso, la aplicación de la segunda condición de frontera da k dT(L)
esT(L)4  aq·solar dx → kC1
esTL4  aq·solar Despejando C1 da C1
aq·solar  esTL4 k (b) Ahora, sustituyendo C1 y C2 en la solución general (a), se obtiene T(x)
aq·solar  esTL4 x  T1 k (c) la cual es la solución para la variación de la temperatura en la pared en términos de la temperatura desconocida de la superficie exterior, TL. En x
L, se transforma en TL
aq·solar  esTL4 L  T1 k (d ) la cual es una relación implícita para la temperatura de la superficie exterior, TL. Si se sustituyen los valores dados, se obtiene TL
0.26  (800 W/m2)  0.85  (5.67  108 W/m2 · K4) TL4 (0.06 m)  300 K 1.2 W/m · K
100 TL
310.4  0.240975 la cual se simplifica a 4
 TL
310.4  0.240975 TL 100 Esta ecuación se puede resolver por medio de uno de los varios programas para resolver ecuaciones no lineales (o bien, por el antiguo método de tanteos) para dar (figura 2-48) TL
292.7 K Al conocer la temperatura de la superficie exterior y ya que se sabe que debe permanecer constante en condiciones estacionarias, se puede determinar la distribución de temperatura en la pared mediante la sustitución del valor de TL antes encontrado en la ecuación (c): T(x)
1) Reacomódese la ecuación que se debe resolver: 0.26  (800 W/m 2)  0.85  (5.67  10 8 W/m 2 · K 4)(292.7 K)4 x  300 K 1.2 W/m · K la cual se simplifica a T(x)
(121.5 K/m)x  300 K Note que la temperatura de la superficie exterior resulta menor que la de la superficie interior. Por lo tanto, la transferencia de calor a través de la pared será hacia afuera, a pesar de la absorción de la radiación solar por la superficie exterior. Si se conocen las temperaturas de las superficies interior y exterior de la pared, se puede determinar la razón estacionaria de conducción de calor a través de la pared, a partir de T01  TL (300  292.7) K q·
k
(1.2 W/m · K)
146 W/m2 L 0.06 m http://librosysolucionarios.net TL 4 La ecuación está en la forma apropiada ya que el miembro izquierdo sólo consta de TL. 2) Supóngase el valor de TL, por ejemplo, 300 K y sustitúyase en el miembro derecho de la ecuación. Esto da TL
290.2 K 3) Ahora sustitúyase este valor de TL en el miembro derecho de la ecuación y obténgase TL
293.1 K 4) Repítase el paso 3 hasta llegar a la convergencia con el fin de lograr la exactitud deseada. Las iteraciones subsiguientes dan TL
292.6 K TL
292.7 K TL
292.7 K Por lo tanto, la solución es TL
292.7 K. El resultado es independiente de la suposición inicial. FIGURA 2-48 Un método sencillo para resolver una ecuación no lineal es disponerla en tal forma que la incógnita quede sola en el miembro izquierdo e iterar, después de hacer una suposición inicial del valor, hasta lograr la convergencia. Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 96 96 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Discusión En el caso de que no incidiera radiación solar, la temperatura de la superficie exterior, determinada a partir de la ecuación (d), haciendo q· solar
0, será TL
284.3 K. Es interesante notar que la energía solar que incide sobre la superficie causa que la temperatura superficial se incremente sólo en alrededor de 8 K, cuando la temperatura de la superficie interior de la pared se mantiene en 300 K. EJEMPLO 2-14 L Considere un tubo de vapor de agua de longitud L
20 m, radio interior r1
6 cm, radio exterior r2
8 cm y conductividad térmica k
20 W/m · °C, como se muestra en la figura 2-49. Las superficies interior y exterior del tubo se mantienen a las temperaturas promedio de T1
150°C y T2
60°C, respectivamente. Obtenga una relación general para la distribución de temperatura en el interior del tubo, en condiciones estacionarias, y determine la razón de la pérdida de calor del vapor a través del propio tubo. T2 T1 0 r1 Pérdida de calor a través de un tubo de vapor de agua r2 r FIGURA 2-49 Esquema para el ejemplo 2-14. SOLUCIÓN Un tubo de vapor de agua está sujeto a temperaturas específicas sobre sus superficies. Deben determinarse la variación de la temperatura y la razón de la transferencia de calor. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria, ya que no cambia con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional puesto que hay simetría térmica con respecto a la línea central y no varía en la dirección axial, por lo tanto, T
T(r). 3 La conductividad térmica es constante. 4 No hay generación de calor. Propiedades La conductividad térmica se da como k
20 W/m · °C. Análisis La formulación matemática de este problema se puede expresar como
 d dT r
0 dr dr con las condiciones de frontera Ecuación diferencial:
 d dT r
0 dr dr T(r1)
T1
150°C T(r2)
T2
60°C Al integrar la ecuación diferencial una vez con respecto a r da r Intégrese: r dT
C1 dr Divídase entre r (r ≠ 0): donde C1 es una constante arbitraria. Ahora se dividen los dos miembros de esta ecuación entre r para llevarla a una forma fácilmente integrable, dT C1
r dr dT C1
r dr Intégrese una vez más: T(r)
C1 ln r  C2 la cual es la solución general. FIGURA 2-50 Pasos básicos que intervienen en la resolución de la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen estacionario, en coordenadas cilíndricas. dT
C1 dr Si se integra de nuevo con respecto a r da (figura 2-50) T(r)
C1 ln r  C2 (a) Ahora se aplican las dos condiciones de frontera al reemplazar todas las ocurrencias de r y T(r) en la ecuación (a) con los valores específicos en las fronteras. Se obtiene T(r1)
T1 T(r2)
T2 → → C1 ln r1  C2
T1 C1 ln r2  C2
T2 http://librosysolucionarios.net Cengel_02B.qxd 2/22/11 2:05 PM Page 97 97 CAPÍTULO 2 las cuales son dos ecuaciones con dos incógnitas, C1 y C2. Al resolverlas simultáneamente da C1
T2  T1 ln (r2/r1) y C2
T1  T2  T1 ln (r2/r1) ln r1 Si se sustituyen en la ecuación (a) y se reacomoda, se determina que la variación de la temperatura dentro del tubo es T(r) ln(r/r1) (T ln(r2/r1) 2 T1) T1 (2-58) La razón de la pérdida de calor del vapor es simplemente la razón total de conducción de calor a través del tubo y, a partir de la ley de Fourier, se determina que es T1  T2 C1 · dT Q cilindro
kA
k(2prL) r
2pkLC1
2pkL dr ln (r2/r1) (2-59) El valor numérico de la razón de la conducción de calor a través del tubo se determina por la sustitución de los valores dados: (150  60)°C · Q
2p(20 W/m · °C)(20 m)
786 kW ln (0.08/0.06) Discusión Note que la razón total de la transferencia de calor a través de un tubo es constante, pero el flujo de calor no lo es, ya que decrece en la dirección · de la transferencia de calor al crecer el radio, puesto que se tiene q
· Q /(2prL). EJEMPLO 2-15 Conducción de calor a través de una capa esférica Considere un recipiente esférico de radio interior r1
8 cm, radio exterior r2
10 cm y conductividad térmica k
45 W/m · °C, como se muestra en la figura 2-51. Las superficies interior y exterior del recipiente se mantienen a las temperaturas constantes de T1
200°C y T2
80°C, respectivamente, como resultado de algunas reacciones químicas que ocurren en su interior. Obtenga una relación general para la distribución de temperatura dentro de la capa esférica, en condiciones estacionarias, y determine la razón de la pérdida de calor del recipiente. SOLUCIÓN Un recipiente esférico está sujeto a temperaturas específicas sobre sus superficies. Deben determinarse la variación de la temperatura y la razón de la transferencia de calor. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria, ya que no cambia con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, dado que se tiene simetría térmica con respecto al punto medio y, por lo tanto, T
T(r). 3 La conductividad térmica es constante. 4 No hay generación de calor. Propiedades La conductividad térmica es k
45 W/m · °C. Análisis La formulación matemática de este problema se puede expresar como
 d 2 dT
0 r dr dr http://librosysolucionarios.net T2 T1 0 r1 r2 r FIGURA 2-51 Esquema para el ejemplo 2-15. Cengel_02B.qxd 2/22/11 2:12 PM Page 98 98 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR con las condiciones de frontera T(r1)
T1
200°C T(r2)
T2
80°C Al integrar la ecuación diferencial una vez con respecto a r da r2 dT
C1 dr en donde C1 es una constante arbitraria. Ahora se dividen los dos miembros de esta ecuación entre r 2 con el fin de llevarla a una forma fácilmente integrable, dT C1
dr r 2 Si se integra una vez más con respecto a r da C1 T(r)
 r  C2 (a) Ahora se aplican las dos condiciones de frontera, al reemplazar todas las ocurrencias de r y T (r ) en la relación que acaba de obtenerse por los valores específicos en las fronteras. Se obtiene T(r1)
T1 C1 →  r  C2
T1 T(r2)
T2 C1 →  r  C2
T2 2 1 las cuales son dos ecuaciones con dos incógnitas, C1 y C2. Al resolverlas simultáneamente da r1r2 C1
r  r (T1  T2) 2 1 · · Q 2 = Q1 r1 T(r) r2 C2
r2T2  r1T1 r2  r1 Al sustituir en la ecuación (a) se determina que la variación de la temperatura dentro de la capa esférica es · Q1 0 y r q· 1 q· 2 < q· 1 · Q 27.1 kW q· 1 = —1 = —————2 = 337 kW/ m2 A1 4π (0.08 m) · Q 27.1 kW q· 2 = —2 = —————2 = 216 kW/ m2 A2 4π (0.10 m) FIGURA 2-52 Durante la conducción unidimensional de calor en estado estacionario en un recipiente esférico (o cilíndrico), la razón total de la transferencia de calor permanece constante, pero el flujo de calor disminuye al crecer el radio. r1r2 (T r (r2 r1) 1 T2) r2T2 r2 r1T1 r1 (2-60) La razón de la pérdida de calor del recipiente es simplemente la razón total de la transferencia de calor a través de la pared del mismo y se determina a partir de la ley de Fourier, T1  T2 C1 · dT Q esfera
kA
k(4pr 2) 2
4pkC1
4pkr1r2 r  r 2 1 dr r (2-61) El valor numérico de la razón de la conducción de calor a través de la pared se determina mediante la sustitución de los valores dados como (200  80)°C · Q
4p(45 W/m · °C)(0.08 m)(0.10 m)
27.1 kW (0.10  0.08) m Discusión Note que la razón total de la transferencia de · calor a través de una capa esférica es constante pero el flujo de calor, q·
Q /4pr 2, no lo es puesto que disminuye en la dirección de la transferencia de calor al crecer el radio, como se muestra en la figura 2-52. http://librosysolucionarios.net Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 99 99 CAPÍTULO 2 2-6 ■ GENERACIÓN DE CALOR EN UN SÓLIDO Reacciones químicas Muchas aplicaciones prácticas de la transferencia de calor comprenden la conversión de alguna forma de energía en energía térmica en el medio. Se dice que los medios de ese tipo comprenden generación interna de calor, la cual se manifiesta como una elevación en la temperatura en todo el medio. Algunos ejemplos de generación de calor son el calentamiento por resistencia en alambres, las reacciones químicas exotérmicas en un sólido y las reacciones nucleares en las barras de combustible nuclear, en donde las energías eléctrica, química y nuclear se convierten en calor, respectivamente (figura 2-53). La absorción de radiación en todo el volumen de un medio semitransparente, tal como el agua, también se puede considerar como generación de calor dentro del medio, como se explicó con anterioridad. La generación de calor suele expresarse por unidad de volumen del medio y se denota por e·gen, cuya unidad es W/m3. Por ejemplo, la generación de calor en un alambre eléctrico de radio exterior r0 y longitud L se puede expresar como · E· I 2 Re Egen, g.eléctrica eléctrica e·gen
—————
2 ro L VValambre alambre (W/m3)

o bien, · Q
e·genV (W) Resistencias eléctricas de alambre FIGURA 2-53 En la práctica es común encontrar la generación de calor en sólidos. (2-62) donde I es la corriente eléctrica y Re es la resistencia eléctrica que presenta el alambre. La temperatura de un medio se eleva durante la generación de calor, como resultado de la absorción del calor generado por el medio durante el periodo transitorio de arranque. A medida que se incrementa la temperatura del medio, también aumenta la transferencia de calor de ese medio hacia sus alrededores. Esto continúa hasta que se alcanzan las condiciones de operación estacionarias y la velocidad de generación de calor es igual a la razón de la transferencia de calor hacia los alrededores. Una vez que se ha establecido la operación estacionaria, la temperatura del medio en cualquier punto ya no cambia. La temperatura máxima Tmáx en un sólido que comprende generación uniforme de calor se tiene en un lugar lo más alejado de la superficie exterior, cuando ésta se mantiene a una temperatura constante Ts. Por ejemplo, la temperatura máxima ocurre en el plano medio de una pared plana, en la línea central de un cilindro largo y en el punto medio en una esfera. En estos casos la distribución de temperatura dentro del sólido será simétrica con respecto al eje de simetría. Las cantidades que interesan más en un medio con generación de calor son la temperatura superficial Ts y la temperatura máxima Tmáx que se presentan en el medio en operación estacionaria. En seguida se desarrollarán expresiones para estas dos cantidades, en relación con configuraciones geométricas comunes, para el caso de generación uniforme de calor (e·gen
constante) dentro del medio. Considere un medio sólido de área superficial As, volumen V y conductividad térmica constante k, donde el calor se genera a una razón constante de e·gen por unidad de volumen. El calor se transfiere del sólido al medio circundante que está a T, con un coeficiente constante de transferencia de calor de h. Todas las superficies del sólido se mantienen a una temperatura común Ts. En condiciones estacionarias el balance de energía para este sólido se puede expresar como (figura 2-54) Razón de la Velocidad de la transferencia de calor
generación de energía desde el sólido dentro del sólido Barras de combustible nuclear  (2-63) (2-64) http://librosysolucionarios.net h, T Ts V k · · Q = Egen Generación de calor · · Egen = gV FIGURA 2-54 En condiciones estacionarias, todo el calor generado en un sólido debe salir de éste a través de su superficie exterior. Cengel_02B.qxd 2/11/11 4:42 PM Page 100 100 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Si se descarta la radiación (o se incorpora en el coeficiente de transferencia de calor h), la razón de la transferencia de calor también se puede expresar a partir de la ley de Newton del enfriamiento como · Q
hAs (Ts  T) (W) (2-65) Al combinar las ecuaciones 2-64 y 2-65 y despejar la temperatura superficial Ts da ge··gen VV Ts
T  ——— hA hA s s (2-66) Para una pared plana grande de espesor 2L (As
2Apared y V
2LApared) con ambos lados de la pared mantenidos a la misma temperatura Ts, un cilindro largo sólido con un radio ro (As
2pro L y V
pr o2 L), y una esfera sólida de radio ro (As
4pr o2 y V
43 p r o3), la ecuación 2-66 se reduce a e·genL Ts, pared plana
T  ——— h e·genro Ts, cilindro
T  ——— 2h e·genro Ts, esfera
T  ——— 3h · · Q = Egen Ar Vr r ro · Egen = e· genVr FIGURA 2-55 El calor conducido a través de un casco cilíndrico de radio r es igual al calor generado dentro de él. (2-67) (2-68) (2-69) Note que la elevación en la temperatura superficial Ts se debe a la generación de calor en el sólido. Vuelva a considerar la transferencia de calor de un cilindro largo con generación de calor. Se mencionó con anterioridad que, en condiciones estacionarias, todo el calor generado dentro del medio es conducido a través de la superficie exterior del cilindro. Considere ahora un cilindro interior imaginario, de radio r, dentro del cilindro (figura 2-55). Una vez más, el calor generado dentro de este cilindro interior debe ser igual al calor conducido a través de la superficie exterior del mismo. Es decir, con base en la ley de Fourier de la conducción del calor, kAr dT ·
egenVr dr (2-70) en donde Ar
2prL y Vr
pr 2L en cualquier ubicación r. Al sustituir estas expresiones en la ecuación 2-70 y separar las variables, se obtiene k(2prL) T0 = Tmáx Ts ∆Tmáx Ts T T Generación de calor Eje de simetría FIGURA 2-56 La temperatura máxima en un sólido simétrico con generación uniforme de calor ocurre en su centro. dT ·
egen(pr 2 L) → dr e·gen dT
 —— rdr 2k Si se integra desde r
0, donde T(0)
T0, hasta r
ro, donde T(ro)
Ts, se obtiene e·genro2 Tmáx, cilindro
T0  Ts
——— 4k (2-71) donde T0 es la temperatura en la línea central del cilindro, la cual es la temperatura máxima, y Tmáx es la diferencia entre las temperaturas de la línea central y de la superficie del cilindro, la cual es la elevación máxima de temperatura en dicho cilindro por encima de la temperatura superficial. Una vez que se cuenta con Tmáx, la temperatura en la línea central se puede determinar con facilidad a partir de (figura 2-56) Tcentro
T0
Ts  Tmáx http://librosysolucionarios.net (2-72) Cengel_02C.qxd 2/22/11 2:15 PM Page 101 101 CAPÍTULO 2 También se puede usar el enfoque descrito con anterioridad con el fin de determinar la elevación máxima en la temperatura en una pared plana de espesor 2L y en una esfera sólida de radio r0, con estos resultados: e·genL2
Tmáx, pared plana  ——— 2k (2-73) e·genro2
Tmáx, esfera  ——— 6k (2-74) De nuevo se puede determinar la temperatura máxima en el centro a partir de la ecuación 2-72 sumando la elevación máxima en la temperatura a la temperatura superficial del sólido. Temperatura en la línea central de un calentador de resistencia SOLUCIÓN Se va a determinar la temperatura en el centro de un calentador de resistencia sumergido en agua. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria, dado que no cambia con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, ya que se tiene simetría térmica con respecto a la línea central y no hay cambio en la dirección axial. 3 La conductividad térmica es constante. 4 La generación de calor en el calentador es uniforme. Propiedades Se da la conductividad térmica, la cual es k  15 W/m · K. Análisis La resistencia del calentador de 2 kW convierte la energía eléctrica en calor a razón de 2 kW. La generación de calor por unidad de volumen del alambre es e·gen  E· gen V Valambre alambre  E· gen pro2L  2 000 W  0.318  109 W/m3 (0.002 m)2(0.5 m) Entonces, a partir de la ecuación 2-71, se determina que la temperatura en el centro del alambre es e·genro2 (0.318  109 W/m3)(0.002 m)2 — —  105°C  To  Ts  —  126°C 4  (15 W/m · °C) 4k Discusión Nótese que la diferencia de temperatura entre el centro y la superficie del alambre es de 21°C. Asimismo, las unidades de la conductividad térmica W/m · °C y W/m · K son equivalentes. Se han desarrollado estas relaciones por medio del procedimiento intuitivo del balance de energía. Sin embargo, fue posible haber obtenido las mismas relaciones planteando las ecuaciones diferenciales apropiadas y resolviéndolas, como se ilustra en los ejemplos 2-17 y 2-18. http://librosysolucionarios.net Agua Ts = 105°C 4 m m e· gen = Un calentador de resistencia de alambre de 2 kW cuya conductividad es k  15 W/m · °C tiene un diámetro de D  4 mm y una longitud de L  0.5 m y se usa para hervir agua (figura 2-57). Si la temperatura de la superficie exterior de la resistencia de alambre es Ts  105°C, determine la temperatura en el centro del alambre. · Q D EJEMPLO 2-16 T0 FIGURA 2-57 Esquema para el ejemplo 2-16. Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 102 102 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EJEMPLO 2-17 Agua Variación de la temperatura en una resistencia de calentador 226°F 0 ro r e·gen FIGURA 2-58 Esquema para el ejemplo 2-17. Se usa una resistencia de alambre homogéneo y largo de radio r0  0.2 in y conductividad térmica k  7.8 Btu/h · ft · °F para hervir agua a la presión atmosférica por el paso de corriente eléctrica, como se muestra en la figura 2-58. El calor se genera en el alambre de manera uniforme como resultado del calentamiento por resistencia a una razón de e·gen  2 400 Btu/h · in3. Si se mide la temperatura de la superficie exterior del alambre y resulta ser Ts  226°F, obtenga una relación para la distribución de temperatura y determine la temperatura de la línea central del alambre cuando se alcanzan las condiciones de operación estacionaria. SOLUCIÓN Este problema de transferencia de calor es semejante al del ejemplo 2-16, excepto en que se necesita obtener una relación para la variación de la temperatura dentro del alambre con respecto a r. Las ecuaciones diferenciales son muy adecuadas para este fin. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria, dado que no cambia con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, puesto que se tiene simetría térmica con respecto a la línea central y no hay cambio en la dirección axial. 3 La conductividad térmica es constante. 4 La generación de calor en el alambre es uniforme. Propiedades La conductividad térmica es k  7.8 Btu/h · ft · °F. Análisis La ecuación diferencial que rige la variación de la temperatura en el alambre es simplemente la ecuación 2-27, e·gen dT 1 d —0 r dr r dr  — k
 Ésta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden y, por lo tanto, su solución general contendrá dos constantes arbitrarias. La determinación de éstas requiere la especificación de dos condiciones de frontera, las cuales se pueden tomar como T(ro)  Ts  226°F y dT(0) 0 dr dT(0) =0 dr T T(r) 0 ro r La primera condición de frontera simplemente expresa que la temperatura de la superficie exterior del alambre es de 226°F. La segunda es la condición de simetría en la línea central y se afirma que la temperatura máxima en el alambre ocurrirá en esa línea, por lo tanto, la pendiente de la temperatura en r  0 debe ser cero (figura 2-59). Con esto se completa la formulación matemática del problema. Aun cuando no es obvio de inmediato, la ecuación diferencial está en una forma que se puede resolver por integración directa. Al multiplicar los dos miembros de la ecuación por r y reacomodar, se obtiene e·gen dT d —r — r dr dr k
 e· gen FIGURA 2-59 Condición de simetría térmica en la línea central de un alambre en el cual el calor se genera de manera uniforme. Si se integra con respecto a r da r e·gen r 2 dT —  C1 — dr k 2 http://librosysolucionarios.net (a) Cengel_02C.qxd 2/22/11 2:25 PM Page 103 103 CAPÍTULO 2 puesto que la generación de calor es constante y la integral de la derivada de una función es la propia función. Es decir, la integración elimina una derivada. En este punto resulta conveniente aplicar la segunda condición de frontera, dado que está relacionada con la primera derivada de la temperatura, al reemplazar todas las ocurrencias de r y de dT/dr en la ecuación (a) por cero. Con esto se llega a 0
e·gen dT(0) —
0  C1 — dr 2k → C1  0 Por lo tanto, C1 se cancela de la solución. Ahora se divide la ecuación (a) entre r para llevarla a una forma fácilmente integrable, e·gen dT —r — dr 2k Si se integra una vez más con respecto a r da e·gen 2 — r  C2 T(r)   — 4k (b) Ahora se aplica la primera condición de frontera, reemplazando todas las ocurrencias de r por r0 y todas las de T por Ts. Se obtiene e·gen 2 — r  C2 Ts   — 4k 0 e·gen 2 —r → C2  Ts  — 4k o Al sustituir esta relación para C2 en la ecuación (b) y reacomodar da T(r) Ts egen 4k (ro2 r 2) (c) que es la solución deseada para la distribución de temperatura en el alambre en función de r. La temperatura en la línea central (r  0) se obtiene al reemplazar r en la ecuación (c) por cero y sustituir las cantidades conocidas, e·gen 2 2 400 Btu/h · in3 12 in — ro  226°F  T(0)  Ts  — (0.2 in)2  263°F 4
(7.8 Btu/h · ft · °F) 1 ft 4k
 Discusión La temperatura de la línea central será 37°F por encima de la temperatura de la superficie exterior del alambre. Note que la expresión que acaba de darse para la temperatura de la línea central es idéntica a la ecuación 2-71, la cual se obtuvo utilizando un balance de energía en un volumen de control. EJEMPLO 2-18 Conducción de calor en un medio de dos capas Considere un alambre largo usado como resistencia de radio r1  0.2 cm y conductividad térmica kalambre  15 W/m · °C en el cual el calor se genera de manera uniforme como resultado del calentamiento de la resistencia a una razón constante de e·gen  50 W/cm3 (figura 2-60). El alambre está recubierto por una capa de 0.5 cm de espesor de cerámica cuya conductividad térmica es kcerámica  1.2 W/m · °C. Si se mide que la temperatura de la superficie exterior de la capa de cerámica es Ts  45°C, determine las temperaturas en el centro del alambre y en la interfase del alambre y la capa de cerámica en condiciones estacionarias. http://librosysolucionarios.net Interfase Alambre r1 r2 Ts = 45°C r Capa de cerámica FIGURA 2-60 Esquema para el ejemplo 2-18. Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 104 104 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR SOLUCIÓN Se deben determinar las temperaturas de la superficie y de la interfase de una resistencia de alambre cubierta con una capa de cerámica. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria, puesto que no cambia con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, dado que este problema de transferencia de calor en dos capas posee simetría con respecto a la línea central y no comprende cambios en la dirección axial, por lo tanto, T = T(r). 3 Las conductividades térmicas son constantes. 4 La generación de calor en el alambre es uniforme. Propiedades Se tiene kalambre  15 W/m · °C y kcerámica  1.2 W/m · °C. Análisis Si se denota la temperatura desconocida en la interfase por TI, el problema de transferencia de calor en el alambre se puede formular como e·gen dTalambre 1 d —0 — r dr r dr k
 con Talambre(r1)  TI dTalambre(0) 0 dr Este problema se resolvió en el ejemplo 2-17 y se determinó que su solución es e·gen Talambre(r)  TI  ———— (r12  r 2) 4kalambre (a) Si se observa que la capa de cerámica no involucra generación de calor y que se especifica su temperatura en la superficie exterior, el problema de conducción de calor en esa capa se puede expresar como
 dTcerámica d 0 r dr dr con Tcerámica (r1)  TI Tcerámica (r2)  Ts  45°C Este problema se resolvió en el ejemplo 2-15 y se determinó que su solución es Tcerámica (r)  ln (r/r1) ln (r2/r1) (Ts  TI)  TI (b) Ya se ha utilizado la primera condición en la interfase al igualar a TI las temperaturas en el alambre y en la capa de cerámica, donde r  r1. La temperatura TI en la interfase se determina a partir de la segunda condición en la interfase de que el flujo de calor en el alambre y en la capa de cerámica, en r  r1, deben ser iguales: kalambre Ts  TI 1 e·genr1 dTalambre (r1) dTcerámica (r1) ——  kcerámica  kcerámica → — r dr dr 2 ln (r2/r1) 1
 Al despejar TI y sustituir los valores dados, se determina que la temperatura en la interfase es http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/23/11 12:14 PM Page 105 105 CAPÍTULO 2 e·genr12 r2 TI
———— ln r  Ts 1 2kcerámica (50  106 W/m3)(0.002 m)2 0.007 m
ln  45° C
149.4°C 2(1.2 W/m · °C) 0.002 m Si se conoce la temperatura en la interfase se obtiene la temperatura en la línea central (r
0) al sustituir las cantidades conocidas en la ecuación (a), e·genr12 (50  106 W/m3)(0.002 m)2 Talambre (0)
TI  ————
149.4°C 
152.7°C 2kalambre 4  (15 W/m · °C) Por lo tanto, la temperatura de la línea central será ligeramente mayor que la de interfase. Discusión En este ejemplo se demuestra cómo se pueden resolver los problemas unidimensionales de conducción de calor en estado estacionario en medios compuestos. También se podría resolver este problema mediante la determinación del flujo de calor en la interfase al dividir el calor total generado en el alambre entre el área superficial de éste y, a continuación, usando este valor como la condición de frontera de flujo específico de calor, tanto para el alambre como para la capa de cerámica. De esta manera, los dos problemas se desacoplan y se pueden resolver por separado. EJEMPLO 2-19 Conducción de calor en una pared plana con generación de calor Una pared plana con un espesor de 2L experimenta una generación uniforme de calor (figura 2-61). Determine la expresión para la variación de temperatura dentro de la pared, si a) T1 > T2 y b) T1 = T2. SOLUCIÓN Una pared plana grande experimenta una generación de calor uniforme. Se deben determinar las expresiones de la variación de temperatura dentro de la pared para T1 > T2 y T1 = T2. Suposiciones 1 El estado de la conducción de calor es estacionario. 2 La conducción de calor es unidimensional. 3 La conductividad térmica es constante. 4 La generación de calor es uniforme. Análisis Comenzamos con la ecuación general de conducción de calor para coordenadas rectangulares, T1 T2 Pared plana –L +L x Para la conducción unidimensional de calor y la conductividad térmica constante, la ecuación general de conducción de calor se simplifica como d2T dx2 # egen k 0 Después de integrar dos veces, se obtiene la solución general para esta ecuación diferencial de segundo orden: T(x) # egen x2 2k C1x C2 http://librosysolucionarios.net FIGURA 2-61 Esquema para el ejemplo 2-19. Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 106 106 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR a) Para el caso de las condiciones de frontera asimétricas con T1 > T2, después de aplicar las condiciones de frontera, se obtiene x L: x L: T( L) T(L) # egen L2 2k T1 # egen L2 2k T2 C1L C1L C2 C2 Observe que en este problema el sistema de coordenadas se coloca en el centro de la pared plana (x = 0) y se considera que la x a la derecha del eje central es positiva y a la izquierda, negativa. Cuando se analizan problemas de pared plana con generación de calor, suele adoptarse esta notación con el fin de capturar mejor el efecto de la generación de calor sobre la temperatura. Tras despejar las constantes C1 y C2, se obtiene C1 T2 T1 2L y C2 # egen L2 2k T1 T2 2 Al sustituir las expresiones C1 y C2 en la solución general, se determina que la variación de la temperatura dentro de la pared es T(x) # egenL2 2k a1 x2 b L2 T2 T1 x a b 2 L T1 T2 2 (a) b) Para el caso de condiciones de frontera simétricas, tras sustituir T2 = T1 en la ecuación anterior se obtiene T(x) 500 400 300 Plata Cobre Oro Aluminio Conductividad térmica (W/m · K) 200 100 Tungsteno Platino 50 Hierro 20 10 # egenL2 2k a1 x2 b L2 T1 (b) Discusión La ecuación a) muestra que la variación de la temperatura dentro de la pared, para el caso de condiciones de frontera asimétricas con T1 > T2, no es simétrica y la temperatura máxima ocurre a la izquierda de la línea central. Observe que la ecuación a) se reduce a la solución de la temperatura del ejemplo 2-10 (ecuación 2-56) para la conducción de calor en una pared plana sin gene. ración de calor si se establece que egen = 0 y al realizar la transformación adecuada de coordenadas. En el caso de las condiciones de frontera simétricas (T1 = T2), la ecuación b) muestra que la variación de la temperatura dentro de la pared es simétrica y que la temperatura máxima se presenta en la línea central. Esto es comparable a los resultados mostrados en el ejemplo 2-16 para la variación de temperaturas en un calentador de resistencia cilíndrico. Acero inoxidable, AISI 304 Óxido de aluminio 5 2-7 Pirocerámica 2 Cuarzo fundido 1 100 300 500 1 000 2 000 4 000 Temperatura (K) FIGURA 2-62 Variación de la conductividad térmica de algunos sólidos con la temperatura. ■ CONDUCTIVIDAD TÉRMICA VARIABLE, k(T ) El lector recordará, por lo visto en el capítulo 1 que, en general, la conductividad térmica de un material varía con la temperatura (figura 2-62). Sin embargo, esta variación es moderada para muchos materiales en un rango de interés práctico y se puede descartar. En esos casos se puede usar un valor promedio para la conductividad térmica y considerarla constante, como se ha estado haciendo hasta ahora. Es común hacer lo mismo para otras propiedades que dependen de la temperatura, como la densidad y el calor específico. http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 107 107 CAPÍTULO 2 Sin embargo, cuando la variación de la conductividad térmica con la temperatura, en un intervalo específico de temperaturas es grande, puede ser necesario tomar en cuenta esta variación para minimizar el error. En general, al tomar en cuenta la variación de la conductividad térmica con la temperatura se complica el análisis. Pero cuando se trata de casos simples unidimensionales, se pueden obtener relaciones de transferencia de calor de manera directa. Cuando se conoce la variación de la conductividad térmica con la temperatura, k(T), se puede determinar el valor promedio de la conductividad térmica en el rango de temperaturas entre T1 y T2, a partir de kprom   T2 k(T)dT T1 (2-75) T2  T1 Esta relación se basa en el requisito de que la razón de la transferencia de calor a través de un medio con conductividad térmica promedio constante kprom es igual a la razón de transferencia a través del mismo medio con conductividad variable k(T). Note que en el caso de conductividad térmica constante k(T)  k, la ecuación 2-75 se reduce a kprom  k, como era de esperarse. Entonces se puede determinar la razón de la transferencia de calor en operación estacionaria a través de una pared plana, una capa cilíndrica o una capa esférica, para el caso de conductividad térmica variable, si se reemplaza la conductividad térmica constante k de las ecuaciones 2-57, 2-59 y 2-61 por la expresión (o valor) de kprom de la 2-75: T1  T2 A · Q pared plana  kprom A  L L  T1 k(T)dT (2-76)  (2-77) T2 T1  T2 2L · Q cilindro  2pkprom L  ln (r2/r1) ln (r2/r1) T1  T2 4r1r2 · Q esfera  4pkpromr1r2 r  r  r  r 2 1 2 1 T1 k(T)dT T2  T1 k(T)dT (2-78) T2 Con frecuencia se puede aproximar la variación en la conductividad térmica de un material con la temperatura, en el rango de interés, como una función lineal y expresada como k(T)  k0(1  bT) kprom  T2 T1 k0(1  bT)dT T2  T1
 k0 1  b Pared plana (2-79) en donde b se denomina coeficiente de temperatura de la conductividad térmica. En este caso, el valor promedio de la conductividad térmica en el rango de temperaturas T1 a T2 se puede determinar a partir de  T T2  T1  k(Tprom) 2  k(T) = k0(1 + β T) β>0 T1 β<0 (2-80) Note que, en este caso, la conductividad térmica promedio es igual al valor de la conductividad térmica en la temperatura promedio. Se mencionó con anterioridad que, en una pared plana, la temperatura varía linealmente durante la conducción unidimensional de calor en estado estacionario cuando la conductividad térmica es constante. Pero éste ya no es el caso cuando la conductividad térmica cambia con la temperatura, incluso linealmente, como se muestra en la figura 2-63. http://librosysolucionarios.net 0 β=0 T2 L x FIGURA 2-63 Variación de la temperatura en una pared plana durante la conducción unidimensional de calor en estado estacionario, para los casos de conductividad térmica constante y variable. Cengel_02C.qxd 2/22/11 2:40 PM Page 108 108 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR k(T) = k0(1 + β T) Pared plana T1 T2 0 L x FIGURA 2-64 Esquema para el ejemplo 2-20. EJEMPLO 2-20 Variación de la temperatura en una pared con k(T ) Considere una pared plana de espesor L cuya conductividad térmica varía linealmente en un intervalo especificado de temperaturas como k (T )
k0(1  bT ), donde k0 y b son constantes. La superficie de la pared en x
0 se mantiene a una temperatura constante T1, en tanto que la superficie en x
L se mantiene a T2, como se muestra en la figura 2-64. Si se supone una transferencia de calor unidimensional en estado estacionario, obtenga una relación para a) la razón de la transferencia de calor a través de la pared y b) la distribución de temperatura T(x) en ésta. SOLUCIÓN Una placa con conductividad variable está sujeta a temperaturas específicas en ambos lados. Deben determinarse la variación de la temperatura y la razón de la transferencia de calor. Suposiciones 1 Se supone que la transferencia de calor es estacionaria y unidimensional. 2 La conductividad térmica varía linealmente. 3 No hay generación de calor. Propiedades Se sabe que la conductividad térmica es k (T )
k0(1  bT ). Análisis a) Se puede determinar la razón de la transferencia de calor a través de la pared a partir de T1  T2 · Q
kprom A L donde A es el área de conducción de calor de la pared y  kprom
k(Tprom)
k0 1  b T2  T1 2  es la conductividad térmica promedio (ecuación 2-80). b) Con el fin de determinar la distribución de temperatura en la pared, se inicia con la ley de Fourier de la conducción del calor, expresada como · dT Q
k(T) A dx · donde la razón de la transferencia de calor por conducción Q y el área A son constantes. Al separar variables e integrando desde x
0, en donde T (0)
T1, hasta cualquier x, en donde T (x )
T, se obtiene
Q· dx
A
x 0 T k(T)dT T1 Al sustituir k (T )
k0(1  bT ) y llevar a cabo las integraciones, se obtiene Qx Ak0[(T T1) b(T 2 T12)/2] · Si se sustituye la expresión para Q del inciso a y se reacomoda, da T2  2kprom x 2 2 T (T  T2)  T12  T1
0 b b bk0 L 1 la cual es una ecuación cuadrática en la temperatura desconocida T. Usando la fórmula cuadrática, se determina que la distribución de temperatura T (x ) en la pared es T(x) 1 b 1 B b2 2kprom x bk0 L (T1 T2) T12 2 T b 1 Discusión El signo apropiado del término con la raíz cuadrada (+ o –) se determina con base en el requisito de que la temperatura en cualquier punto dentro del medio debe permanecer entre T1 y T2. Este resultado explica por qué la distribución de temperatura en una pared plana ya no es una recta cuando la conductividad térmica varía con la temperatura. http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 109 109 CAPÍTULO 2 EJEMPLO 2-21 k(T ) = k0(1 + β T) Conducción de calor a través de una pared con k (T ) Considere una placa de bronce de 2 m de alto y 0.7 m de ancho cuyo espesor es de 0.1 m. Uno de los lados de la placa se mantiene a una temperatura constante de 600 K, en tanto que el otro se mantiene a 400 K, como se muestra en la figura 2-65. Se puede suponer que la conductividad térmica de la placa de bronce varía linealmente en ese rango de temperaturas como k (T )  k0(1  bT ), en donde k0  38 W/m · K y b  9.21  104 K1. Si se descartan los efectos de los bordes y se supone transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, determine la razón de la conducción de calor a través de la placa. SOLUCIÓN Una placa con conductividad variable está sujeta a temperaturas específicas en ambos lados. Debe determinar la razón de la transferencia de calor. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria y unidimensional. 2 La conductividad térmica varía linealmente. 3 No hay generación de calor. Propiedades Se da que la conductividad térmica es k (T )  k0(1  bT ). Análisis En este caso, la conductividad térmica promedio del medio es simplemente el valor a la temperatura promedio y se determina a partir de T2  T1
2   (38 W/m · K) 1  (9.21  10 kprom  k(Tprom)  k0 1  b 4 K1) (600  400) K 2   55.5 W/m · K Entonces se puede determinar la razón de la conducción de calor a través de la placa a partir de la ecuación 2-76, como T1  T2 · Q  kprom A L  (55.5 W/m · K)(2 m  0.7 m) (600  400)K  155 kW 0.1 m Discusión Se habría obtenido el mismo resultado si se hubiera sustituido la relación de k (T ) en la segunda parte de la ecuación 2-76 y realizado la integración indicada. TEMA DE INTERÉS ESPECIAL* Un breve repaso de las ecuaciones diferenciales Como se mencionó en el capítulo 1, la descripción de la mayor parte de los problemas científicos comprende relaciones en las que se tienen cambios en algunas variables clave con respecto a otras. Por lo común, entre más pequeño es el incremento elegido en las variables que cambian, más general y exacta es la descripción. En el caso límite de cambios infinitesimales o diferenciales en las variables, se obtienen ecuaciones diferenciales, las cuales proporcionan formulaciones matemáticas precisas para los principios y leyes físicos al representar las razones de cambio como derivadas. *Esta sección se puede pasar por alto, si se desea, sin pérdida de continuidad. http://librosysolucionarios.net Placa de bronce T1 = 600 K T2 = 400 K · Q L FIGURA 2-65 Esquema para el ejemplo 2-21. Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 110 110 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Por lo tanto, se usan ecuaciones diferenciales para investigar una amplia variedad de problemas en la ciencia y la ingeniería, incluyendo la transferencia de calor. Las ecuaciones diferenciales surgen cuando se aplican las leyes y principios físicos a un problema considerando cambios infinitesimales en las variables de interés. Por lo tanto, la obtención de la ecuación diferencial que rija un problema específico requiere un conocimiento adecuado de la naturaleza de dicho problema, de las variables que intervienen, de las hipótesis simplificadoras apropiadas y de las leyes y principios físicos aplicables que intervienen, así como un análisis cuidadoso. En general, una ecuación puede comprender una o más variables. Como el nombre lo implica, una variable es una cantidad que puede tomar varios valores durante un estudio. Una cantidad cuyo valor está fijo durante un estudio se llama constante. Las constantes suelen denotarse por las primeras letras del alfabeto, como a, b, c y d, en tanto que las variables por lo común se denotan por las últimas, como t, x, y y z. Una variable cuyo valor se puede cambiar de manera arbitraria se llama variable independiente (o argumento). Una variable cuyo valor depende del valor de otras variables y, por lo tanto, no puede variar de manera independiente se llama variable dependiente (o función). Una variable dependiente y que depende de una variable x suele denotarse, por claridad, como y(x). Sin embargo, esta notación se vuelve muy inconveniente e incómoda cuando y se repite varias veces en una expresión. En esos casos, resulta conveniente denotar y(x) simplemente como y, cuando es evidente que y es función de x. Esta abreviatura en la notación mejora el aspecto y legibilidad de las ecuaciones. El valor de y en un número fijo a se denota por y(a). La derivada de una función y(x) en un punto es equivalente a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto y se define como (figura 2-66) y y(x) y(x + ∆ x) ∆y y(x) ∆x y(x)  Recta tangente x x + ∆x FIGURA 2-66 La derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente de la función en ese punto. x dy(x)
y y(x 
x)  y(x)  lím  lím dx
x → 0
x
x → 0
x (2-81) Aquí
x representa un cambio (pequeño) en la variable independiente x y se llama incremento de x. El cambio correspondiente en la función y se llama incremento de y y se denota por
y. Por lo tanto, la derivada de una función se puede concebir como la razón del incremento
y de la función con respecto al incremento
x de la variable independiente, para un
x muy pequeño. Note que
y y, por lo tanto, y(x) será cero si la función y no cambia con x. La mayor parte de los problemas que se encuentran en la práctica comprenden cantidades que cambian con el tiempo t y sus primeras derivadas con respecto al tiempo representan la razón de cambio de esas cantidades con el tiempo. Por ejemplo, si N(t) denota la población de una colonia de bacterias en el instante t, entonces la primera derivada N  dN/dt representa la razón de cambio de la población, lo cual es la cantidad de aumento o disminución de la población por unidad de tiempo. La derivada de la primera derivada de una función y se llama segunda derivada de y y se denota por y o d 2y/dx2. En general, la derivada de la (n – 1)-ésima derivada de y se llama n-ésima derivada de y y se denota por y(n) o d ny/dxn. En este caso, n es un entero positivo y se llama orden de la derivada. El orden n no debe confundirse con el grado de una derivada. Por http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 111 111 CAPÍTULO 2 z ejemplo, y es la derivada de tercer orden de y, pero (y)3 es el tercer grado de la primera derivada de y. Note que la primera derivada de una función representa la pendiente o la razón de cambio de la función con la variable independiente, y la segunda derivada representa la razón de cambio de la pendiente de la función con la variable independiente. Cuando una función y depende de dos o más variables independientes, como x y t, a veces se tiene interés en examinar la dependencia de la función sólo con respecto a una de las variables. Esto se hace al tomar la derivada de la función con respecto a esa variable, manteniendo constantes las otras variables. Esas derivadas se llaman derivadas parciales. Las primeras derivadas parciales de la función y(x, t) con respecto a x y a t se definen como (figura 2-67) y y(x 
x, t)  y(x, t)  lím x
x → 0
x (2-82) y y(x, t 
t)  y(x, t)  lím t
t → 0
t (2-83) ∂z — ∂x y () y x FIGURA 2-67 Representación gráfica de la derivada parcial z/ x. Note que al hallar y/ x, se trata a t como una constante y se deriva y con respecto a x. Del mismo modo, al hallar y/ t, se trata a x como constante y se deriva y con respecto a t. La integración se puede concebir como el proceso inverso a la derivación. Es común usar la integración en la resolución de ecuaciones diferenciales ya que, en esencia, resolver una ecuación diferencial es un proceso de eliminación de las derivadas de la ecuación. La derivación es el proceso de hallar y(x) cuando se da una función y(x), en tanto que la integración es el proceso de hallar la función y(x) cuando se da su derivada y(x). La integral de esta derivada se expresa como  y(x)dx   dy  y(x)  C (2-84) ya que y(x)dx  dy y la integral de la diferencial de una función es la propia función (más una constante, por supuesto). En la ecuación 2-84, x es la variable de integración y C es una constante arbitraria llamada constante de integración. La derivada de y(x)  C es y(x), sin importar cuál sea el valor de la constante C. Por lo tanto, dos funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada, y siempre se suma una constante C durante la integración con el fin de recuperar esta constante que se pierde durante la derivación. La integral de la ecuación 2-84 se llama integral indefinida, ya que el valor de la constante arbitraria C está indefinido. El procedimiento descrito se puede extender hacia derivadas de orden superior (figura 2-68). Por ejemplo,  y (x)dx  y(x)  C (2-85) Esto se puede probar definiendo una nueva variable u(x)  y(x), derivándola para obtener u(x)  y (x) y, a continuación, aplicando la ecuación 2-84. Por consiguiente, el orden de una derivada disminuye en uno cada vez que se integra. http://librosysolucionarios.net  dy  y  C  y dx  y  C  y dx  y  C  y dx  y  C  y dx  y  C (n) (n  1) FIGURA 2-68 Algunas integrales indefinidas que comprenden derivadas. Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 112 112 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Clasificación de las ecuaciones diferenciales a) Una ecuación no lineal: 3(y′′)2 – 4yy′ + e2xy = 6x2 Potencia Producto Otras funciones no lineales b) Una ecuación lineal: 3x2y′′ – 4xy′ + e2xy = 6x2 FIGURA 2-69 Una ecuación diferencial que es a) no lineal y b) lineal. Al comprobar la linealidad, se examina sólo la variable dependiente. a) Con coeficientes constantes: Una ecuación diferencial que contiene sólo derivadas ordinarias se llama ecuación diferencial ordinaria y una que contenga derivadas parciales se llama ecuación diferencial en derivadas parciales. Entonces se infiere que los problemas relacionados con una sola variable independiente conducen a ecuaciones diferenciales ordinarias y los que comprenden dos o más variables independientes conducen a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Una ecuación diferencial puede contener varias derivadas de diversos órdenes de una función desconocida. El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial es el orden de la propia ecuación. Por ejemplo, el orden de y  (y )4  7x5 es 3, puesto que no contiene derivadas de cuarto orden o superiores. El lector recordará, por lo visto en álgebra, que la ecuación 3x  5  0 es mucho más fácil de resolver que la ecuación x4  3x  5  0, debido a que la primera ecuación es lineal en tanto que la segunda no lo es. Esto también es cierto para las ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, antes de empezar a resolver una ecuación diferencial por lo común se verifica la linealidad. Se dice que una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado y sus coeficientes sólo dependen de la variable independiente. En otras palabras, una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir en una forma que no contenga: 1) potencias de la variable dependiente o de sus derivadas, como y3 o (y)2, 2) productos de la variable dependiente o de sus derivadas, como yy o yy , y 3) otras funciones no lineales de la variable dependiente, como sen y o ey. Si se cumple alguna de estas condiciones, es no lineal (figura 2-69). Sin embargo, una ecuación diferencial lineal puede contener: 1) potencias o funciones no lineales de la variable independiente, tales como x2 o cos x, y 2) productos de la variable dependiente (o sus derivadas) y funciones de la variable independiente, como x3y, x2y o e2xy . Una ecuación diferencial de orden n se puede expresar en la forma más general como y(n)  f1(x)y(n  1)  · · ·  fn–1(x)y  fn(x)y  R(x) (2-86) ⎯→ ⎯⎯ ⎯ → y  6y  2y  xe2x Constante b) Con coeficientes variables: 2 y  xe2x x1 ⎯→ ⎯ ⎯ ⎯→ y  6x2y  Variable FIGURA 2-70 Una ecuación diferencial con a) coeficientes constantes y b) coeficientes variables. Una ecuación diferencial que no se puede poner en esta forma es no lineal. También se dice que una ecuación diferencial lineal en y es homogénea, si R(x)  0. De lo contrario, es no homogénea. Es decir, cada término en una ecuación lineal homogénea contiene la variable dependiente o una de sus derivadas, después de que se eliminan los factores comunes de ella. El término R(x) se conoce como término no homogéneo. Las ecuaciones diferenciales también se clasifican por la naturaleza de los coeficientes de la variable dependiente y sus derivadas. Se dice que una ecuación diferencial tiene coeficientes constantes si los coeficientes de todos los términos que contienen la variable dependiente o sus derivadas son constantes. Si, después de eliminar cualesquiera factores comunes, cualquiera de los términos con la variable dependiente o sus derivadas tiene a la variable independiente como coeficiente, se dice que esa ecuación tiene coeficientes variables (figura 2-70). Las ecuaciones diferenciales con http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 113 113 CAPÍTULO 2 coeficientes constantes suelen ser mucho más fáciles de resolver que aquellas con coeficientes variables. Soluciones de las ecuaciones diferenciales Resolver una ecuación diferencial puede ser tan fácil como realizar una o más integraciones; pero ecuaciones diferenciales tan simples suelen ser la excepción más bien que la regla. No existe un método único general de resolución aplicable a todas las ecuaciones diferenciales. Se tienen distintas técnicas de solución, siendo aplicable cada una de ellas a clases diferentes de ecuaciones diferenciales. A veces la solución de una ecuación diferencial requiere el uso de dos o más técnicas así como ingenio y dominio de los métodos de resolución. Algunas ecuaciones diferenciales sólo se pueden resolver aplicando algunos trucos ingeniosos. Algunas no se pueden resolver analíticamente en lo absoluto. En álgebra suelen buscarse valores discretos que satisfagan una ecuación algebraica, como x2  7x  10  0. No obstante, al tratar con las ecuaciones diferenciales se buscan funciones que satisfagan la ecuación en un intervalo específico. Por ejemplo, la ecuación algebraica x2  7x  10  0 es satisfecha sólo por dos números: 2 y 5. Pero la ecuación diferencial y  7y  0 es satisfecha por la función e7x para cualquier valor de x (figura 2-71). Considere la ecuación algebraica x3  6x2  11x  6  0. Es obvio que x  1 satisface esta ecuación y, por lo tanto, es una solución. Sin embargo, no es la única solución de esta ecuación. Se puede demostrar con facilidad, por sustitución directa, que x  2 y x  3 también satisfacen esta ecuación y, por consiguiente, también son soluciones. Pero no existen otras soluciones para esta ecuación. Por lo tanto, se dice que el conjunto 1, 2 y 3 forma la solución completa para esta ecuación algebraica. La misma línea de razonamiento se aplica a las ecuaciones diferenciales. Por lo común las ecuaciones diferenciales tienen soluciones múltiples que contienen por lo menos una constante arbitraria. Cualquier función que satisfaga la ecuación diferencial en un intervalo se llama solución de esa ecuación en ese intervalo. Una solución que contiene una o más constantes arbitrarias representa una familia de funciones que satisfacen la ecuación diferencial y se llama solución general de esa ecuación. No es de sorprender que una ecuación diferencial pueda tener más de una solución general. Se suele decir que una solución general es la solución general o la solución completa si todas las soluciones de la ecuación se pueden obtener a partir de ella como un caso especial. Una solución que se puede obtener a partir de una solución general, al asignar valores particulares a las constantes arbitrarias, se llama solución específica. El lector recordará, por lo que estudió en álgebra, que un número es una solución de una ecuación algebraica si satisface esa ecuación. Por ejemplo, 2 es una solución de la ecuación x3  8  0 porque la sustitución de la x por 2 hace que sea idéntica a cero. Del mismo modo, una función es una solución de una ecuación diferencial si aquélla satisface a ésta. En otras palabras, una función solución conduce a una identidad cuando se sustituye en la ecuación diferencial. Por ejemplo, se puede demostrar por sustitución directa que la función 3e2x es una solución de y  4y  0 (figura 2-72). http://librosysolucionarios.net a) Una ecuación algebraica: y2  7y  10  0 Solución: y  2 y y  5 b) Una ecuación diferencial: y  7y  0 Solución: y  e7x FIGURA 2-71 A diferencia de las ecuaciones algebraicas las soluciones de las ecuaciones diferenciales son típicamente funciones en lugar de valores discretos. Función: f  3e2x Ecuación diferencial: y  4y  0 Derivadas de f: f   6e2x f  12e2x Sustituyendo en y  4y  0: f  4f
0 12e2x  4  3e2x
0 00 Por lo tanto, la función 3e2x es una solución de la ecuación diferencial y  4y  0. FIGURA 2-72 Verificación de que una función dada es una solución de una ecuación diferencial. Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 114 114 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR RESUMEN En este capítulo se ha estudiado la ecuación de la conducción de calor y sus soluciones. Se dice que la conducción de calor en un medio es estacionaria (o estable) cuando la temperatura no varía con el tiempo y no estacionaria o transitoria cuando sí se tiene esta variación. Se dice que la conducción de calor en un medio es unidimensional cuando la conducción es significativa sólo en una dimensión y despreciable en las otras dos dimensiones. Se dice que es bidimensional cuando la conducción en la tercera dimensión es despreciable y tridimensional cuando la conducción en todas las dimensiones es significativa. En el análisis de la transferencia de calor, la conversión de la energía eléctrica, química o nuclear en energía calorífica (o térmica) se caracteriza como generación de calor. Se puede obtener la ecuación de la conducción de calor al realizar un balance de energía sobre un elemento diferencial de volumen. La ecuación unidimensional de conducción de calor en los sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas, para el caso de conductividades térmicas constantes se expresa como e·gen 1 T — —a  k x2 ·e gen T 1 1 —a r r r r — k e·gen 1 T 1 —a r2 — 2 r r k r 2 T t  T t
dT(0)  q·0 dx k y dT(L)  q·L dx donde q·0 y q·L son los flujos específicos de calor en las superficies en x  0 y x  L. Aislamiento o simetría térmica: dT(0) 0 dx dT(L) 0 dx y Convección: dT(0)  h1[T dx 1  T(0)] y k dT(L)  h2[T(L)  T 2] dx Radiación: Temperatura específica: y k donde h1 y h2 son los coeficientes de transferencia de calor por convección y T 1 y T 2 son las temperaturas en los medios circundantes en los dos lados de la placa. donde la propiedad a  k/rc es la difusividad térmica del material. La solución de un problema de conducción de calor depende de las condiciones en las superficies, y las expresiones matemáticas para las condiciones térmicas en las fronteras se llaman condiciones de frontera. La solución de los problemas de conducción transitoria de calor también depende de la condición del medio al iniciarse el proceso de conducción. Esa condición, que suele especificarse en el instante t  0, se llama condición inicial, la cual es una expresión matemática para la distribución de temperatura en el medio, inicialmente. La descripción matemática completa de un problema de conducción de calor requiere la especificación de dos condiciones de frontera para cada dimensión a lo largo de la cual la conducción es significativa, y una condición inicial cuando el problema es transitorio. Las condiciones de frontera más comunes son las de temperatura específica, flujo especificado de calor, convección y radiación. En general, una superficie de frontera puede comprender flujo especificado de calor, convección y radiación al mismo tiempo. Para la transferencia unidimensional de calor en estado estacionario a través de una placa de espesor L, los diversos tipos de condiciones de frontera en las superficies en x  0 y x  L se pueden expresar como T(0)  T1 Flujo específico de calor: k T t
 donde T1 y T2 son las temperaturas especificadas en las superficies en x = 0 y x = L. T(L)  T2 k dT(0)  e1s[T 4alred, 1  T(0)4] dx k dT(L)  e2s[T(L)4  T 4alred, 2] dx y donde e1 y e2 son las emisividades de las superficies frontera, s  5.67  108 W/m2 · K4 es la constante de Stefan-Boltzmann y Talred,1 y Talred,2 son las temperaturas promedio en las superficies que rodean los dos lados de la placa. En los cálculos sobre radiación, las temperaturas deben estar en K o R. Interfase de dos cuerpos A y B en contacto perfecto en x  x 0: TA (x0)  TB (x0) y kA dTB (x0) dTA (x0)  kB dx dx donde kA y kB son las conductividades térmicas de las capas A y B. La generación de calor suele expresarse por unidad de volumen del medio y se denota por e·gen, cuya unidad es W/m3. En condiciones estacionarias, la temperatura superficial Ts de una pared plana de espesor 2L, un cilindro de radio exterior ro y una esfera de radio ro, en los cuales el calor se genera a una razón constante de e·gen por unidad de volumen en un medio circundante a una temperatura T , se puede expresar como http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 115 115 CAPÍTULO 2 e·genL Ts, pared plana  T  —— h ·e r gen o — — — Ts, cilindro  T  — 2h e·genro — — — Ts, esfera  T  — 3h donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección. La elevación máxima de temperatura entre la superficie y la sección media de un medio se expresa por kprom   T2 k(T)dT T1 T2  T1 Entonces la razón de la transferencia de calor a través de una pared plana en régimen estacionario, una capa cilíndrica o una capa esférica se puede expresar como T1  T2 A · Q pared plana  kpromA  L L  T1 k(T)dT T2 e·genL2 — —
Tmáx, pared plana  —— 2k T1  T2 2L · Q cilindro  2pkpromL  ln (r2/r1) ln (r2/r1)  e·genro2 — —
Tmáx, cilindro  —— 4k T1  T2 4r1r2 · Q esfera  4pkpromr1r2 r  r  r  r 2 1 2 1  e·genro2 — —
Tmáx, esfera  —— 6k Cuando se conoce la variación de la conductividad térmica con la temperatura, k(T), se puede determinar el valor promedio de la conductividad térmica en el rango de temperaturas entre T1 y T2 a partir de T1 k(T)dT T2 T1 k(T)dT T2 A menudo la variación de la conductividad térmica de un material con la temperatura se puede considerar una función lineal y expresarse como k(T)  k0(1  bT) donde b se llama coeficiente de temperatura de la conductividad térmica. BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS SUGERIDAS 1. W. E. Boyce y R. C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4a. ed., Nueva York: John Wiley & Sons, 1986. 2. S. S. Kutateladze. Fundamentals of Heat Transfer, Nueva York: Academic Press, 1963. PROBLEMAS* Introducción 2-1C ¿La transferencia de calor es una cantidad escalar o vectorial? Explique. Dé respuesta a la misma pregunta para la temperatura. 2-2C Con el fin de calcular las medidas del compresor de un nuevo refrigerador, se desea determinar la razón de transferencia de calor del aire de la cocina hacia el espacio refrigerado a *Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a darles respuesta. Los designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con un icono de CD-EES, , se resuelven usando el EES, y las soluciones completas, junto con estudios paramétricos, se incluyen en el CD que acompaña a este texto. Los problemas con un icono de computadora-EES, , son de naturaleza detallada y se pretende que se resuelvan con una computadora, de preferencia usando el software de EES que acompaña a este texto. través de las paredes, la puerta y las secciones superior e inferior del refrigerador. Al analizar este problema, ¿lo manejaría como un problema de transferencia de calor en estado estacionario? ¿Consideraría la transferencia de calor como unidimensional o multidimensional? Explique. 2-3C ¿En qué difiere la transferencia transitoria de calor de la estacionaria? ¿En qué difiere la transferencia unidimensional de calor de la bidimensional? 2-4C Con el fin de determinar el tamaño del elemento de calentamiento de un horno nuevo, se desea determinar la razón de la pérdida de calor a través de las paredes, la puerta y las secciones superior e inferior de éste. En su análisis, ¿consideraría éste como un problema de transferencia estacionaria o transitoria de calor? Asimismo, ¿consideraría que la transferencia de calor es unidimensional o multidimensional? Explique. 2-5C Considere una papa que se está horneando. ¿Describiría la transferencia de calor hacia la papa como unidimensional, bi- http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 116 116 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR dimensional o tridimensional? ¿La transferencia de calor sería estacionaria o transitoria? También, ¿cuál sería el sistema de coordenadas que usaría para resolver este problema y en dónde colocaría el origen? Explique. 2-6C Considere un huevo que se cuece en agua hirviendo en una cacerola. ¿Describiría la transferencia de calor hacia el huevo como unidimensional, bidimensional o tridimensional? ¿La transferencia de calor sería estacionaria o transitoria? También, ¿cuál sería el sistema de coordenadas que usaría para resolver este problema y en dónde colocaría el origen? Explique. 2-7C Considere una salchicha que se cuece en agua hirviendo en una cacerola. ¿Describiría la transferencia de calor hacia la salchicha como unidimensional, bidimensional o tridimensional? ¿La transferencia de calor sería estacionaria o transitoria? También, ¿cuál sería el sistema de coordenadas que usaría para resolver este problema y en dónde colocaría el origen? Explique. 2-15 En los medidores de flujo de calor se usa un dispositivo muy sensible, conocido como termopila, que sirve para medir la diferencia de temperatura de uno a otro lado de una película delgada conductora del calor, hecha de kaptón (k  0.345 W/m · K). Si la termopila puede detectar diferencias de temperatura de 0.1°C o más y el espesor de la película es de 2 mm, ¿cuál es el flujo mínimo de calor que puede detectar este medidor? Respuesta: 17.3 W/m2. 2-16 En un reactor nuclear se genera calor uniformemente en las barras cilíndricas de uranio de 5 cm de diámetro a razón de 2  108 W/m3. Si la longitud de las barras es de 1 m, determine la razón de la generación de calor en cada una de esas barras. Respuesta: 393 kW 2-17 En un estanque solar, la absorción de la energía solar se puede considerar como generación de calor y se puede aproximar por e·gen  e·0ebx, donde e·0 es la velocidad de absorción de calor en la superficie superior por unidad de volumen y b es una constante. Obtenga una relación para la velocidad total de generación de calor en una capa de agua de área superficial A y espesor L, en la parte superior del estanque. Agua hirviendo Salchicha 0 FIGURA P2-7C Haz de radiación Energía que se está solar absorbiendo L Estanque solar x 2-8C Piense en el proceso de cocción de un trozo de carne de res en un horno. ¿Consideraría éste como un problema de régimen estacionario o transitorio de transferencia de calor? También, ¿consideraría que este problema es unidimensional, bidimensional o tridimensional? Explique. 2-9C Considere la pérdida de calor de un tanque cilíndrico de 200 L de agua caliente. ¿Describiría éste como un problema de régimen estacionario o transitorio de transferencia de calor? También, ¿consideraría que este problema es unidimensional, bidimensional o tridimensional? Explique. 2-10C ¿El vector de flujo de calor en un punto P de una superficie isotérmica de un medio tiene que ser perpendicular a la superficie en ese punto? Explique. 2-11C Desde el punto de vista de la transferencia de calor, ¿cuál es la diferencia entre los materiales isotrópicos y los anisotrópicos? 2-12C plos. FIGURA P2-17 2-18 Considere una placa grande de acero inoxidable con espesor de 3 cm en la cual se genera calor de manera uniforme a razón de 5  106 W/m3. Suponiendo que la placa está perdiendo calor por ambos lados, determine el flujo de calor en la superficie de ella durante un régimen estacionario. Respuesta: 75 kW/m2 2-19I La resistencia de alambre de una plancha de 800 W tiene 15 in de largo y un diámetro de D  0.08 in. Determine la razón de la generación de calor en el alambre por unidad de volumen, en Btu/h · ft3 y el flujo de calor en la superficie exterior de dicho alambre, en Btu/h · ft2, como resultado de esta generación de calor. q ¿Qué es generación de calor en un sólido? Dé ejemD 2-13C La generación de calor también se conoce como generación de energía o como generación de energía térmica. ¿Qué piensa de estas frases? 2-14C Considere una bebida enlatada fría que se deja sobre la mesa de un comedor. ¿Consideraría la transferencia de calor hacia la bebida como unidimensional, bidimensional o tridimensional? ¿La transferencia de calor sería estacionaria o transitoria? También, ¿cuál sería el sistema de coordenadas que usaría para analizar este problema y en dónde colocaría el origen? Explique. e· gen FIGURA P2-19E 2-20I Vuelva a considerar el problema 2-19I. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica del flujo de calor en la superficie en función del diámetro del alambre, conforme este diámetro varía de 0.02 hasta 0.40 in. Discuta los resultados. http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 117 117 CAPÍTULO 2 Ecuación de la conducción del calor 2-21C Escriba la ecuación unidimensional de conducción del calor en régimen transitorio para una pared plana, con conductividad térmica constante y generación de calor, en su forma más simple, e indique qué representa cada una de las variables. 2-22C Escriba la ecuación unidimensional de conducción del calor en régimen transitorio para un cilindro largo, con conductividad térmica constante y generación de calor, e indique qué representa cada una de las variables. 2-23 Partiendo de un balance de energía sobre un elemento rectangular de volumen, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio para una pared plana, con conductividad térmica constante y sin generación de calor. 2-24 Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de casco cilíndrico, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en estado estacionario para un cilindro largo, con conductividad térmica constante, en el cual se genera calor con una velocidad e·gen. 2-26 Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como 2 T 1 T  x2 a t a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d ) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? 2-27 Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como 2 2 T T 1 T  2a t x2 y a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? 2-28 Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como L

 T T 1 · r r kr r  z k z  egen  0 0 r a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? r + ∆r r 2-29 Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como FIGURA P2-24 2-25 Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de capa esférica, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio para una esfera con conductividad térmica constante y sin generación de calor.
 dT 1 d · r dr rk dr  egen  0 a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d ) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? 2-30 Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como
r + ∆r 0 FIGURA P2-25 r  T 1 1 T r2 a r t r2 r R r a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d ) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 118 118 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR 2-31 Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como r d 2T dT  0 dr 2 dr a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d ) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? Condiciones de frontera e iniciales; Formulación de problemas de conducción de calor 2-36C ¿Qué es una condición de frontera? ¿Cuántas condiciones de frontera se necesita especificar para un problema bidimensional de transferencia de calor? 2-32 Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen, deduzca la ecuación bidimensional de conducción de calor en régimen transitorio, en coordenadas rectangulares, para T(x, y, z), para el caso de conductividad térmica constante y sin generación de calor. 2-37C ¿Qué es una condición inicial? ¿Cuántas condiciones iniciales se necesita especificar para un problema bidimensional de conducción de calor? 2-33 Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de anillo, deduzca la ecuación bidimensional de conducción de calor en estado estacionario, en coordenadas cilíndricas para T(r, z), para el caso de conductividad térmica constante y sin generación de calor. 2-39C ¿Cómo se expresa matemáticamente la condición de frontera sobre una superficie aislada? 2-38C ¿Qué es condición de frontera de simetría térmica? ¿Cómo se expresa matemáticamente? 2-40C Se afirma que el perfil de temperaturas en un medio debe ser perpendicular a una superficie aislada. ¿Es ésta una afirmación válida? Explique. 2-41C ¿Por qué se trata de evitar las condiciones de frontera de radiación en el análisis de transferencia de calor? ∆z r + ∆r r r FIGURA P2-33 2-34 Partiendo de un balance de energía sobre un elemento de volumen con forma de disco, deduzca la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio, para T(z, t), en un cilindro de diámetro D con una superficie lateral aislada, para el caso de conductividad térmica constante y con regeneración de calor. Disco Aislamiento A = constante e· gen 0 z z + ∆z 2-42 Considere una cacerola de aluminio usada para cocinar estofado colocada sobre la parte superior de una estufa eléctrica. La sección del fondo de la cacerola tiene un espesor L  0.25 cm y un diámetro de D  18 cm. La unidad eléctrica de calentamiento que está en la parte superior de la estufa consume 900 W de potencia durante la cocción y 90% del calor generado en el elemento de calentamiento se transfiere hacia la cacerola. Durante la operación estacionaria se mide la temperatura de la superficie interior y resulta ser de 108°C. Si se supone una conductividad térmica dependiente de la temperatura y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor en operación estacionaria. No resuelva. 2-43 Considere un recipiente esférico de radio interior r1, radio exterior r2 y conductividad térmica k. Exprese la condición de frontera sobre la superficie interior del recipiente para conducción unidimensional estacionaria, para los casos siguientes: a) temperatura específica de 50°C, b) flujo específico de calor de 30 W/m2 hacia el centro, c) convección hacia un medio que se encuentra a una temperatura T con un coeficiente de transferencia de calor de h. Recipiente esférico z FIGURA P2-34 r1 2-35 Considere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma más simple como
 2 T 1 T T 1 1 r2  2  2 r 2 t r sen u f2 a t r FIGURA P2-43 http://librosysolucionarios.net r2 r Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 119 119 CAPÍTULO 2 2-44 Se genera calor en un alambre largo de radio ro a una razón constante de e·gen por unidad de volumen. El alambre está cubierto con una capa de aislamiento plástico. Exprese las condiciones de frontera de flujo de calor en la interfase, en términos del calor generado. 2-45 Considere un tubo largo de radio interior r1, radio exterior r2 y conductividad térmica k. La superficie exterior del tubo está sujeta a convección hacia un medio a una temperatura T , con un coeficiente de transferencia de calor de h, pero no se conoce la dirección de esa transferencia. Exprese la condición de frontera de convección sobre la superficie exterior del tubo. 2-46 Considere una capa esférica de radio interior r1, radio exterior r2, conductividad térmica k y emisividad e. La superficie exterior de la capa está sujeta a radiación hacia las superficies circundantes que se encuentran a la temperatura Talred, pero no se conoce la dirección de la transferencia de calor. Exprese la condición de frontera de radiación sobre la superficie exterior de la capa. 2-50 Considere la pared este de una casa, de espesor L. La superficie exterior de la pared intercambia calor tanto por convección como por radiación. El interior de la casa se mantiene a T 1, en tanto que la temperatura del aire ambiente de afuera permanece a T 2. El cielo, el suelo y las superficies de las estructuras circundantes en este lugar se pueden considerar como una superficie a una temperatura efectiva de Tcielo, para el intercambio de radiación sobre la superficie exterior. El intercambio de radiación entre la superficie interior de la pared y las superficies de las paredes, piso y techo que tiene enfrente es despreciable. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior son h1 y h2, respectivamente. La conductividad térmica del material de la pared es k y la emisividad de la superficie exterior es e2. Si se supone que la transferencia de calor a través de la pared es estacionaria y unidimensional, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales) de este problema de conducción de calor. No resuelva. 2-47 Un recipiente consta de dos capas esféricas, A y B, que están en contacto perfecto. Si el radio de la interfase es ro, exprese las condiciones de frontera en la interfase. 2-48 Considere una cacerola de acero usada para hervir agua colocada sobre la parte superior de una estufa eléctrica. La sección del fondo de la cacerola tiene un espesor L  0.5 cm y un diámetro de D  20 cm. La unidad eléctrica de calentamiento que está en la parte superior de la estufa consume 1 250 W de potencia durante la cocción y 85% del calor generado en el elemento de calentamiento se transfiere de manera uniforme hacia la cacerola. La transferencia de calor desde la superficie superior de la sección del fondo hacia el agua es por convección con un coeficiente de transferencia de calor de h. Si se supone conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor durante una operación estacionaria. No resuelva. Tcielo Pared h1 T∞1 h2 T∞2 0 L x FIGURA P2-50 2-51 Una esfera metálica de radio ro se calienta en un horno hasta una temperatura de Ti en toda su extensión y, a continuación, se saca del horno y se deja caer en una gran masa de agua que está a la temperatura T , donde se enfría por convección con un coeficiente promedio de transferencia de calor por convección de h. Si se supone una conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor en régimen transitorio, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor. No resuelva. Cacerola de acero Agua x L 0 FIGURA P2-48 2-49E Un alambre calentador por resistencia de 2 kW, cuya conductividad térmica es k  10.4 Btu/h · ft · °F, tiene un radio de ro  0.06 in y una longitud de L  15 in, y se usa para calentamiento espacial. Si se supone conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor durante operación estacionaria. No resuelva. 2-52 Una esfera metálica de radio ro se calienta en un horno hasta una temperatura de Ti en toda su extensión y, a continuación, se saca del horno y se deja enfriar en el aire ambiental, que está a una temperatura T , por convección y radiación. La emisividad de la superficie exterior del cilindro es e y la temperatura de las superficies circundantes es Talred. Se estima que el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es h. Si se supone una conductividad térmica variable y transferencia unidimensional de calor en régimen transitorio, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales) de este problema de conducción de calor. No resuelva. http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 120 120 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR 2-55C Se expresa que la temperatura en una pared plana con conductividad térmica constante y sin generación de calor varía linealmente durante una conducción unidimensional de calor en estado estacionario. ¿Será éste todavía el caso cuando la pared pierde calor por radiación desde sus superficies? Talred Radiación Convección T∞ Bola metálica h ro 0 r Ti FIGURA P2-52 2-53 Fluye agua por un tubo a una temperatura promedio de T  70°C. Los radios interior y exterior del tubo son r1  6 cm y r2  6.5 cm, respectivamente. La superficie exterior del tubo está envuelta con un calentador eléctrico delgado que consume 300 W por m de longitud del tubo. La superficie expuesta del calentador está fuertemente aislada, de modo que todo el calor generado en él se transfiere al tubo. El calor se transfiere de la superficie interior del tubo al agua por convección con un coeficiente de transferencia de calor de h  85 W/m2 · °C. Si se supone una conductividad térmica constante y transferencia unidimensional de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de la conducción de calor en el tubo durante una operación estacionaria. No resuelva. 2-56C Considere una varilla cilíndrica sólida cuyos extremos se mantienen a temperaturas constantes pero diferentes, en tanto que la superficie lateral está perfectamente aislada. No hay generación de calor. Se afirma que la temperatura a lo largo del eje de la varilla varía linealmente durante una conducción estacionaria de calor. ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué? 2-57C Considere la conducción unidimensional de calor, sin generación de calor, a través de una pared plana grande que está perfectamente aislada sobre uno de sus lados y está sujeta a convección y radiación en el otro. Se afirma que, en condiciones estacionarias, la temperatura en una pared plana debe ser uniforme (la misma en todas partes). ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué? 2-58 En la industria del tratamiento térmico son muy comunes los hornos discontinuos eléctricos. Considere un horno discontinuo con un frente constituido por una placa de acero de 20 mm de espesor y una conductividad térmica de 25 W/m · K. El horno está situado en una habitación con una temperatura del aire circundante de 20ºC y un coeficiente promedio de transferencia de calor por convección de 10 W/m2 · K. Si la superficie interna del frente del horno está sujeta a un flujo uniforme de calor de 5 kW/m2 y la superficie externa tiene una emisividad de 0.30, determine la temperatura superficial interna del frente del horno. Respuesta: 598 K Aislamiento Talred = 20°C h T∞ . q 0 = 5 kW/m2 r1 0 Agua Frente del horno r2 r Calentador eléctrico 0 FIGURA P2-53 x L T0 Solución de problemas unidimensionales de conducción de calor en régimen estacionario Aire, 20°C h = 10 W/m2 . K e = 0.30 k = 25 W/m2 . K TL FIGURA P2-58 2-54C Considere una varilla cilíndrica sólida cuya superficie lateral se mantiene a una temperatura constante, en tanto que las superficies de los extremos están perfectamente aislados. La conductividad térmica del material de la varilla es constante y no hay generación de calor. Se afirma que la temperatura en la dirección radial dentro de la varilla no variará durante una conducción estacionaria de calor. ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué? 2-59 Considere una pared plana grande de espesor L  0.3 m, conductividad térmica k  2.5 W/m · °C y área superficial A  12 m2. El lado izquierdo de la pared, en x  0, está sujeto a un flujo neto de calor de q·0  700 W/m2 al mismo tiempo que la temperatura en esa superficie es T1  80°C. Si se supone una conductividad térmica constante y que no hay generación de http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 121 121 CAPÍTULO 2 calor en la pared, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través de ella, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la misma, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie deRespuesta: c) 4°C recha, en x  L. de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la placa, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la placa base, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superfiRespuesta: c) 117°C cie interior. Placa base q· 0 112°C T1 0 L x 0 FIGURA P2-59 2-60 Repita el problema 2-59 para un flujo de calor de 1 050 W/m2 y una temperatura superficial de 90°C en la superficie de la izquierda, en x  0. 2-61 Considere una pared plana grande de espesor L  0.4 m, conductividad térmica k  1.8 W/m · °C y área superficial A  30 m2. El lado izquierdo de la pared se mantiene a una temperatura constante de T1  90°C, en tanto que el derecho pierde calor por convección hacia el aire circundante que está a T  25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h  24 W/m2 · °C. Si se supone una conductividad térmica constante y que no hay generación de calor en la pared, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para una conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en la pared, mediante la solución de la ecuación diferencial, y c) evalúe la razón de la transferencia de calor a través Respuesta: c) 7 389 W de la misma. 2-62 Considere una varilla cilíndrica sólida de 0.15 m de longitud y 0.05 m de diámetro. Las superficies superior e inferior de la varilla se mantienen a las temperaturas constantes de 20°C y 95°C, respectivamente, en tanto que la superficie lateral está perfectamente aislada. Determine la razón de la transferencia de calor a través de la varilla, si está hecha de a) cobre, k  380 W/m · °C, b) acero, k  18 W/m · °C y c) granito, k  1.2 W/m · °C. 2-63 Vuelva a considerar el problema 2-62. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la razón de la transferencia de calor en función de la conductividad térmica de la varilla en el rango de 1 W/m · °C a 400 W/m · °C. Discuta los resultados. 2-64 Considere la placa base de una plancha doméstica de 800 W con un espesor de L  0.6 cm, área de la base de A  160 cm2 y conductividad térmica de k  60 W/m · °C. La superficie interior de la placa base se sujeta a un flujo uniforme de calor generado por los calentadores de resistencia del interior. Cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación, la temperatura de la superficie exterior de la placa es de 85°C. Descartando cualquier pérdida de calor a través de la parte superior de la plancha, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones L x FIGURA P2-64 2-65 Repita el problema 2-64 para una plancha de 1 200 W. 2-66 Vuelva a considerar el problema 2-64. Usando la relación obtenida para la variación de la temperatura en la base de la placa, trace la gráfica de la temperatura en función de la distancia x en el rango de x  0 hasta x  L y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante). 2-67 Considere un tubo de agua fría de longitud L, radio interior r1, radio exterior r2 y conductividad térmica k. El agua fluye en el tubo a una temperatura Tf y el coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior es h. Si el tubo está bien aislado en su superficie exterior, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional estacionaria del calor a través del tubo y b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el tubo, al resolver la ecuación diferencial. 2-68 La tubería de una fábrica transporta vapor sobrecalentado a una razón de flujo de masa de 0.3 kg/s. La tubería mide 10 m de longitud, 5 cm de diámetro y sus paredes tienen un espesor de 6 mm. Tiene una conductividad térmica de 17 W/m · K y su superficie interna se encuentra a una temperatura uniforme de 120ºC. Aire, 25°C T(r1) = 120°C Vapor sobrecalentado 0.3 kg/s http://librosysolucionarios.net r2 r1 L = 10 m Tadentro – Tafuera = 7°C FIGURA P2-68 Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 122 122 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR La caída de la temperatura entre la entrada y salida de la tubería es de 7ºC y el calor específico del vapor a presión constante es 2.190 J/kg ºC. Si la temperatura del área en la fábrica es de 25ºC, determine el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie externa de la tubería y el aire circundante. 2-69 En la producción submarina de petróleo y gas natural, los fluidos de hidrocarburo pueden salir del yacimiento con una temperatura de 70ºC y fluir a través del entorno submarino de 5ºC. Como consecuencia de la diferencia de temperaturas entre el yacimiento y el entorno submarino, es muy importante conocer la transferencia de calor para impedir bloqueos por depósitos de parafina e hidratos de gas. Considere un ducto submarino con un diámetro interno de 0.5 m y paredes con un espesor de 8 mm, que se emplea para transportar hidrocarburos líquidos a una temperatura promedio de 70ºC. Se estima que el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección en la superficie interna del ducto es de 250 W/m2 · K. El entorno submarino tiene una temperatura de 5ºC y se estima que el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección en la superficie externa del ducto sea de 150 W/m2 · K. Si el ducto está hecho de un material con una conductividad térmica de 60 W/m · K, mediante la ecuación de conducción de calor, a) obtenga la variación de temperatura en la pared del ducto, b) determine la temperatura de la superficie interna del ducto, c) obtenga la expresión matemática para la razón de la pérdida de calor del hidrocarburo líquido en el ducto, y d) determine el flujo de calor a través de la superficie externa del ducto. Entorno submarino, 5°C h 1 = 250 W/m2 . Κ Hidrocarburo líquido 70°C h 2 = 150 W/m2 . Κ r2 r1 k = 60 W/m . Κ FIGURA P2-69 2-70I Considere un tubo de vapor de agua de longitud L  30 ft, radio interior r1  2 in, radio exterior r2  2.4 in y conductividad térmica k  7.2 Btu/h · ft · °F. El vapor está fluyendo por el tubo a una temperatura promedio de 300°F y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección sobre la superficie exterior se da como h = 12.5 Btu/h · ft2 · °F. Si la temperatura promedio sobre la superficie exterior del tubo es T2  175°F: a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través del tubo, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en éste, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la razón de la pérdida de calor del vapor a Respuesta: c) 46.630 Btu/h través del mismo. L Vapor de agua h 300°F 0 r1 h T2 = 175°F r2 r FIGURA P2-70E 2-71 Un recipiente esférico de radio interior r1  2 m, radio exterior r2  2.1 m y conductividad térmica k  30 W/m · °C está lleno de agua con hielo a 0°C. El recipiente está ganando calor por convección del aire circundante que está a T  25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h  18 W/m2 · °C. Si se supone que la temperatura de la superficie interior del recipiente es de 0°C, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través del recipiente, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en él, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la razón de la ganancia de calor del agua con hielo. 2-72I Una placa grande de acero que tiene un espesor de L  4 in, conductividad térmica de k  7.2 Btu/h · ft · °F y una emisividad de e  0.7 está tendida sobre el suelo. Se sabe que la superficie expuesta de la placa, en x  L, intercambia calor por convección con el aire ambiente que está a T  90°F, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h  12 Btu/h · ft2 · °F, así como por radiación hacia el cielo abierto, con una temperatura equivalente del cielo de Tcielo  480 R. Asimismo, la temperatura de la superficie superior de la placa es de 80°F. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción a través de la placa, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine el valor de la temperatura de la superficie inferior de la misma, en x  0. Tcielo Radiación x h, T∞ Convección 75°F L ε Placa 0 FIGURA P2-72I http://librosysolucionarios.net Suelo Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 123 123 CAPÍTULO 2 2-73 Repita el problema 2-72I descartando la transferencia de calor por radiación. 2-74 En una instalación de procesamiento de alimentos se usa un recipiente esférico de radio interior r1  40 cm, radio exterior r2  41 cm y conductividad térmica k  1.5 W/m · °C para almacenar agua caliente y mantenerla a 100°C en todo momento. Para realizar esto, la superficie exterior del recipiente se envuelve con un calentador eléctrico de cinta de 500 W y, a continuación, se aísla. Se observa que, en todo instante, la temperatura de la superficie interior del recipiente está cercana a 100°C. Si se supone que 10% del calor generado en el calentador se pierde a través del aislamiento, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través del recipiente, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el material de ese recipiente, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie exterior del propio recipiente. También determine cuánta agua a 100°C puede suministrar este tanque de manera estacionaria, si el agua fría entra a 20°C. 2-79C Considere el calentamiento uniforme de una placa en un medio a una temperatura constante. ¿Es posible que parte del calor generado en la mitad izquierda de la placa salga de ésta a través de la superficie derecha? Explique. 2-80 ¿La generación de calor en un sólido viola la primera ley de la termodinámica, en la cual se afirma que la energía no se puede crear ni destruir? Explique. 2-81 Considere una placa grande de latón de 5 cm de espesor (k  111 W/m · °C) en la cual se genera uniformemente calor a razón de 2  105 W/m3. Uno de los lados de la placa está aislado, en tanto que el otro está expuesto a un medio a 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 44 W/m2 · °C. Explique en qué sitios de la placa se localizarán las temperaturas más alta y más baja, y determine sus valores. Placa de latón e· gen h T∞ Aislamiento Calentador eléctrico Agua caliente 0 Aislado r1 r2 0 L x FIGURA P2-81 r 120°C 2-82 Vuelva a considerar el problema 2-81. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto del coeficiente de transferencia de calor sobre las temperaturas más alta y más baja en la placa. Suponga que ese coeficiente varía de 20 W/m2 · °C hasta 100 W/m2 · °C. Trace la gráfica de las temperaturas más alta y más baja en función del coeficiente de transferencia de calor y discuta los resultados. Recipiente esférico FIGURA P2-74 2-75 Vuelva a considerar el problema 2-74. Usando la relación obtenida para la variación de la temperatura en el material del recipiente, trace la gráfica de la temperatura en función del radio r en el rango de r  r1 hasta r  r2 y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante). 2-83 Una barra cilíndrica de combustible nuclear de 1 cm de diámetro está revestida por un tubo concéntrico de 2 cm de diámetro, donde el agua refrigerante fluye por la región anular entre la barra de combustible (k = 30 W/m · K ) y el tubo concéntrico. El calor se genera de manera uniforme en la barra a una razón de 50 MW/m3. El coeficiente de transferencia de calor por convección para la superficie concéntrica del tubo es Generación de calor en un sólido 2-76C Considere la generación uniforme de calor en un cilindro y una esfera de radio igual, fabricados del mismo material, en el mismo medio. ¿En cuál configuración geométrica se tendrá una temperatura más alta en el centro? ¿Por qué? 2-77 h 2 = 2 000 W/m2 . Κ Ts,tubo = 40°C h 1, Ts,barra D2 = 2r2 = 2 cm e·gen = 50 MW/m3 ¿Qué es generación de calor? Dé algunos ejemplos. 2-78 Una plancha se deja desatendida y la temperatura de su base se eleva como resultado del calentamiento por resistencia desde su interior. ¿Cuándo la razón de generación de calor dentro de la plancha será igual a la razón de la pérdida de calor de ésta? Agua refrigerante Barra de combustible k = 30 W/m . Κ FIGURA P2-83I http://librosysolucionarios.net D1 = 2r1 = 1 cm Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 124 124 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR 2.000 W/m2 · K. Si la temperatura de la superficie del tubo concéntrico es de 40ºC, determine la temperatura promedio del agua refrigerante. ¿Es posible determinar con esta información la temperatura superficial de la barra de combustible? Explique. Respuesta: 71.3ºC 2-84 Un satélite de comunicaciones esférico con un diámetro de 2.5 m, orbita alrededor de la Tierra. La superficie externa del satélite en el espacio tiene una emisividad de 0.75 y una absortividad solar de 0.10; además, la radiación solar es incidente sobre la nave espacial a una razón de 1.000 W/m2. Si la conductividad térmica promedio del material con el que está hecho el satélite es de 5 W/m · K y la temperatura del centro es de 0ºC, determine la razón de generación de calor y la temperatura superficial del satélite. as = 0.10 . q abs Ts Satélite k = 5 W/m .K T0 = 0°C . e gen e = 0.75 . q de Ts  80°C. La variación de la temperatura en ese cilindro se expresa por 2 e·genro2 r T(r)  ——— 1  r  Ts 0 k ro 
 Con base en esta relación, determine a) si la conducción de calor es estacionaria o transitoria, b) si es unidimensional, bidimensional o tridimensional, y c) el valor del flujo de calor en la superficie lateral del cilindro, en r  ro. 2-87 Vuelva a considerar el problema 2-86. Usando la relación obtenida para la variación de la temperatura en el cilindro, trace la gráfica de la temperatura en función del radio r en el rango de r  0 hasta r  ro y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante). 2-88 Considere una placa grande de espesor L en la cual se genera uniformemente calor a razón de e·gen. Uno de los lados de la placa está aislado en tanto que el otro está expuesto a un ambiente a T∞, con un coeficiente de transferencia de calor de h. a) Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional estacionaria del calor a través de la placa, b) determine la variación de la temperatura en la placa, y c) obtenga relaciones para las temperaturas en ambas superficies y la elevación máxima de temperatura en la placa, en términos de los parámetros dados. rad FIGURA P2-84 k e· gen 2-85 Se usa un alambre calentador de resistencia de 2 kW, con conductividad térmica de k  20 W/m · °C, un diámetro de D  4 mm y una longitud de L  0.9 m, para hervir agua. Si la temperatura de la superficie exterior del alambre de resistencia es Ts  110°C, determine la temperatura en el centro del mismo. Aislado T∞ h 0 x L FIGURA P2-88 230°C 0 2-89 Un alambre de resistencia homogénea con un radio ro  0.6 cm y conductividad térmica de k  15.2 W/m · K se está utilizando para hervir agua a temperatura atmosférica a través del paso de una corriente eléctrica. El calor se genera de manera uniforme en el alambre como consecuencia del calor de la resistencia a una tasa de 16.4 W/cm3. El calor generado se transfiere al agua a 100ºC por convección con un coeficiente de transfe- r D Calentador de resistencia r FIGURA P2-85 Agua 2-86 Considere un cilindro sólido largo de radio r0  4 cm y conductividad térmica k  25 W/m · °C. Se genera calor uniformemente en el cilindro a razón de e·gen  35 W/cm3. La superficie lateral del cilindro se mantiene a una temperatura constante ro 0 Calentador de resistencia FIGURA P2-89 http://librosysolucionarios.net T∞ h Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 125 125 CAPÍTULO 2 rencia de calor de h  3 200 W/m2 · K. En el supuesto de que haya una transferencia unidimensional de calor en régimen estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través del alambre, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el alambre una vez que resuelva la ecuación diferencial y c) determine la temperatura en la línea central del alambre. Respuesta: c) 125ºC terior de la esfera se mantiene a una temperatura uniforme de 110°C y la conductividad térmica de la esfera es k  15 W/m · °C. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través de la esfera, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine la temperatura en el centro de la misma. 2-90 Vuelva a considerar el problema 2-89. Usando la relación obtenida para la variación de la temperatura en el alambre, trace la gráfica de la temperatura en la línea central de éste en función de la generación de calor e·gen en el rango de 400 Btu/h · in3 hasta 2 400 Btu/h · in3 y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante). 110°C e· gen 2-91 En un reactor nuclear, barras cilíndricas de uranio de 1 cm de diámetro, enfriadas por agua desde fuera, sirven como combustible. El calor se genera uniformemente en las barras (k  29.5 W/m · °C) a razón de 4  107 W/m3. Si la temperatura de la superficie exterior de las barras es 220°C, determine la temperatura en su centro. r0 0 r FIGURA P2-96 2-97 220°C e· gen Barra de uranio FIGURA P2-91 2-92 Considere una placa grande de acero inoxidable de 3 cm de espesor (k  15.1 W/m · °C) en la cual se genera uniformemente calor a razón de 5  105 W/m3. Ambos lados de la placa están expuestos a un medio a 30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 60 W/m2 · °C. Explique en qué sitios de la placa se localizarán las temperaturas más alta y más baja, y determine sus valores. 2-93 Una resistencia eléctrica de alambre de 3 kW y 6 m de largo está hecha de acero inoxidable de 0.2 cm de diámetro (k  15.1 W/m · °C). La resistencia de alambre opera en un medio ambiente a 20°C con un coeficiente de transferencia de calor de 175 W/m2 · °C en la superficie exterior. Determine la temperatura superficial del alambre a) usando la relación aplicable y b) planteando la ecuación diferencial apropiada y resolviéndola. Vuelva a considerar el problema 2-96. Usando la relación obtenida para la variación de la temperatura en la esfera, trace la gráfica de la temperatura en función del radio r en el rango de r  0 hasta r  r0. Asimismo, trace la gráfica de la temperatura en el centro de la esfera en función de la conductividad térmica en el rango de 10 W/m · °C hasta 400 W/m · °C. Discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante). 2-98 Se está usando una resistencia de alambre homogénea y larga de radio ro  5 mm para calentar el aire en un cuarto por el paso de la corriente eléctrica. El calor se genera en el alambre de manera uniforme a razón de 5  107 W/m3 como resultado del calentamiento por resistencia. Si la temperatura en la superficie exterior del alambre permanece a 180°C, determine la temperatura en r  3.5 mm, después de que se han alcanzado las condiciones estacionarias de operación. Tome la conductividad térmica del alambre como k  6 W/m · °C. Respuesta: 207°C r 180°C Respuestas: a) 475°C, b) 475°C e· gen 2-94I Se genera uniformemente calor a razón de 3 kW por ft de longitud en una resistencia eléctrica de alambre de 0.08 in de diámetro hecha de acero al níquel (k  5.8 Btu/h · ft · °F). Determine la diferencia de temperatura entre la línea central y la superficie del alambre. 2-95I Repita el problema 2-94I para un alambre de manganeso (k  4.5 Btu/h · ft · °F). 2-96 Considere una pieza esférica homogénea de material radiactivo de radio r0  0.04 m que está generando calor a una razón constante de e·gen  5  107 W/m3. El calor generado se disipa hacia el medio de manera estacionaria. La superficie ex- ro 0 FIGURA P2-98 2-99 Considere una pared plana grande de espesor L  0.05 m. La superficie de la pared en x  0 está aislada, en tanto que la superficie en x  L se mantiene a una temperatura de 30°C. La conductividad térmica de la pared es k  30 W/m · °C y el calor se genera en ella a razón de e·gen  e·0e0.5x/L W/m3 en donde e·0  8  106 W/m3. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella, resolviendo la ecuación diferen- http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 126 126 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR cial, y c) determine la temperatura de la superficie aislada de la Respuesta: a) 314°C misma. 2-100 Vuelva a considerar el problema 2-99. Usando la relación dada para la generación de calor en la pared, trace la gráfica de esa generación en función de la distancia x en el rango de x  0 hasta x  L y discuta los resultados. Use el software EES (o cualquier otro semejante). Conductividad térmica variable, k (T ) 2-101C La temperatura de una pared plana durante la conducción unidimensional de calor en estado estacionario varía linealmente cuando la conductividad térmica es constante. ¿Todavía es éste el caso cuando la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura? 2-102C En general, ¿la conductividad térmica de un medio es constante o varía con la temperatura? como k(T)  k0(1  bT 2), en donde k0 y b son dos constantes determinadas. La superficie de la pared en x  0 se mantiene a una temperatura constante de T1, en tanto que la superficie en x  L se mantiene a T2. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, obtenga una relación para la razón de esa transferencia a través de la pared. 2-108 Considere una capa cilíndrica de longitud L, radio interior r1 y radio exterior r2, cuya conductividad térmica varía linealmente en un rango específico de temperaturas como k(T)  k0(1 + bT), en donde k0 y b son dos constantes definidas. La superficie interior de la capa se mantiene a una temperatura de T1, en tanto que la exterior se mantiene a T2. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, obtenga una relación para a) la razón de esa transferencia a través de la pared y b) la distribución de temperatura T(r) en la capa. 2-103C Considere la conducción unidimensional de calor en estado estacionario en una pared plana en la cual la conductividad térmica varía linealmente. El error cometido en los cálculos de transferencia de calor, suponiendo conductividad térmica constante a la temperatura promedio es a) ninguno, b) pequeño o c) significativo. Casco cilíndrico T2 2-104C Considere la conducción unidimensional de calor en estado estacionario en una pared plana, un cilindro largo y una esfera, con conductividad térmica constante y sin generación de calor. ¿Variará linealmente la temperatura en cualquiera de estos medios? Explique. T1 0 2-105C Cuando la conductividad térmica de un medio varía linealmente con la temperatura, ¿la conductividad térmica promedio siempre es equivalente al valor de la conductividad a la temperatura promedio? 2-106 Una oblea de silicio con un espesor de 925 µm se calienta mediante un flujo de calor uniforme en la superficie inferior. La oblea de silicio tiene una conductividad térmica que varía con la temperatura y se puede expresar como k(T)  (a  bT  cT2) W/m·K, donde a  437, b  –1.29 y c  0.00111. Para evitar el alabeo, la diferencia de temperatura a través del espesor de la oblea no puede superar los 2ºC. Si la superficie superior de la oblea de silicio está a una temperatura de 600 K, determine el flujo de calor máximo permisible. Respuesta: 1.35 x 105 W/m2 x T2 L Oblea de silicio k(T) = a + bT + cT2 T1 0 . q 2-107 Considere una pared plana de espesor L cuya conductividad térmica varía en un rango especificado de temperaturas r1 r2 r FIGURA P2-108 2-109 Considere una capa esférica de radio interior r1 y radio exterior r2, cuya conductividad térmica varía linealmente en un rango específico de temperaturas como k(T )  k0(1  bT ), en donde k0 y b son dos constantes definidas. La superficie interior de la capa se mantiene a una temperatura de T1, en tanto que la exterior se mantiene a T2. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, obtenga una relación para a) la razón de esa transferencia a través de la capa y b) la distribución de temperatura T(r) en éste. 2-110 Considere una placa de 1.5 m de alto y 0.6 m de ancho, cuyo espesor es de 0.15 m. Uno de los lados de la placa se mantiene a una temperatura constante de 500 K, en tanto que el otro se mantiene a 350 K. Se puede suponer que la conductividad térmica de la placa varía linealmente en ese rango de temperaturas como k(T )  k0(1  bT ), en donde k0  18 W/m · K y b  8.7  104 K1. Descartando los efectos de los bordes y suponiendo transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, determine la razón de esa transferencia a través de Respuesta: 22.2 kW la placa. 2-111 FIGURA P2-106 k(T) h Vuelva a considerar el problema 2-110. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la razón de conducción de calor a través de la placa en función de la temperatura del lado caliente de ésta, en el rango de 400 K hasta 700 K. Discuta los resultados. http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/22/11 2:42 PM Page 127 127 CAPÍTULO 2 Tema de interés especial: Repaso de las ecuaciones diferenciales 2-112C ¿Por qué con frecuencia se utilizan suposiciones simplificadoras cuando se derivan ecuaciones diferenciales? 2-113C ¿Qué es una variable? ¿Cómo distingue una variable dependiente de una independiente en un problema? 2-114C ¿Una ecuación diferencial puede contener más de una variable independiente? ¿Puede contener más de una dependiente? Dé ejemplos. 2-115C ¿Cuál es la interpretación geométrica de una derivada? ¿Cuál es la diferencia entre las derivadas parciales y las ordinarias? 2-116C ¿Cuál es la diferencia entre el grado y el orden de una derivada? 2-117C Considere una función f(x, y) y su derivada parcial
f/
x. ¿En qué condiciones esta derivada parcial será igual a la derivada ordinaria df/dx? donde a  850ºC y b  5  105 K/m2. El reactor está compuesto de material con c  200 J/kg · °C, k  40 W/m · K,   900 kg/m3. Si de pronto, la generación de calor del reactor se establece en 9 MW/m3, determine la razón del cambio de la temperatura en el reactor. ¿La generación de calor del reactor de pronto aumentó o disminuyó a 9 MW/m3 a partir de su condición operativa estacionaria? 2-130 Considere un pequeño objeto metálico caliente de masa m y calor específico C que está inicialmente a una temperatura de Ti. Ahora el objeto se deja enfriar por convección en un medio a una temperatura T, con un coeficiente de transferencia de calor de h. Se observa que la temperatura del objeto metálico varía uniformemente con el tiempo durante el enfriamiento. Si se escribe un balance de energía del objeto metálico completo, deduzca la ecuación diferencial que describe la variación de su temperatura con el tiempo, T(t). Suponga conductividad térmica constante y que no existe generación de calor en el objeto. No resuelva. 2-118C Considere una función f(x) y su derivada df/dx. ¿Esta derivada tiene que ser función de x? 2-119C ción? A h ¿Cómo está relacionada la integración con la derivam, c, Ti 2-120C ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación algebraica y una ecuación diferencial? T = T(t) 2-121C ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial ordinaria y una ecuación diferencial en derivadas parciales? 2-122C ¿Cómo se determina el orden de una ecuación diferencial? 2-123C ¿Cómo distingue una ecuación diferencial lineal de una no lineal? 2-124C ¿Cómo reconoce una ecuación diferencial lineal homogénea? Dé un ejemplo y explique por qué es lineal y homogénea. 2-125C ¿En qué difieren las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes de aquellas con coeficientes variables? Dé un ejemplo para cada tipo. 2-126C ¿Qué clase de ecuaciones diferenciales se pueden resolver por integración directa? FIGURA P2-130 2-131 Considere una barra rectangular larga de longitud a en la dirección x y ancho b en la dirección y que está inicialmente a una temperatura uniforme de Ti. Las superficies de la barra en x  0 y y  0 están aisladas, en tanto que el calor se pierde por convección desde las otras dos superficies hacia el medio circundante que se encuentra a la temperatura T, con un coeficiente de transferencia de calor de h. Si se supone conductividad térmica constante y transferencia bidimensional de calor en régimen transitorio, sin generación de calor, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales) de este problema de conducción de calor. No resuelva. 2-127C Considere una ecuación diferencial lineal y homogénea de tercer orden. ¿Cuántas constantes arbitrarias contendrá su solución general? y Problemas de repaso b 2-128 En una fábrica se utiliza un proceso de templado para tratar rodamientos de acero (c = 500 J/kg · K, k = 60 W/m · K,  = 7.900 kg/m3) de 25 mm de diámetro. Después de calentarse a una temperatura determinada, los rodamientos de acero se templan. Determine la razón de pérdida de calor si la razón de disminución de la temperatura en la superficie del rodamiento en un momento dado durante el proceso de templado es de 50 K/s. Respuesta: 1.62 kW 2-129 Considere un reactor esférico de 5 cm de diámetro que opera en condiciones estacionarias y que tiene una variación de temperatura que se puede expresar en la forma de T(r) = a – br2, h Ti 0 h a x FIGURA P2-131 2-132 Considere un cilindro corto de radio r0 y altura H en el cual se genera calor con una velocidad constante de e·0. El calor se pierde por convección desde la superficie cilíndrica, en r  r0, hacia el medio circundante que está a la temperatura T, con un coeficiente de transferencia de calor de h. La superficie in- http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 128 128 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR ferior del cilindro, en z  0, está aislada, en tanto que la superficie superior, en z  H, está sujeta a un flujo uniforme de calor, q·H. Si se supone conductividad térmica constante y transferencia bidimensional de calor en estado estacionario, exprese la formulación matemática (la ecuación diferencial y las condiciones de frontera) de este problema de conducción de calor. No resuelva. 2-133I El techo de una casa consta de una losa de concreto de 0.8 ft de espesor (k  1.1 Btu/h · ft · °F) que tiene 25 ft de ancho y 35 ft de largo. La emisividad de la superficie exterior del techo es 0.8 y se estima que el coeficiente de transferencia de calor por convección es 3.2 Btu/h · ft2 · °F. En una noche clara de invierno se informa que el aire ambiente está a 50°F, en tanto que la temperatura del cielo nocturno para la transferencia de calor por radiación es 310 R. Si la temperatura de la superficie interior del techo es T1  62°F, determine la temperatura de su superficie exterior y la razón de la pérdida de calor a través del mismo cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. Tcielo y L Concreto 0 T0 cionario a través del tubo, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través del material de dicho tubo, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ese material, resolviendo la ecuación diferencial, y c) obtenga una relación para la temperatura de la superficie exterior del tubo. 2-135 La temperatura de ebullición del nitrógeno a la presión atmosférica al nivel del mar (presión de 1 atm) es 196°C. Por lo tanto, es común usar el nitrógeno en los estudios científicos que requieren bajas temperaturas, dado que la temperatura del nitrógeno líquido en un tanque abierto a la atmósfera permanecerá constante a 196°C, hasta que se agote el nitrógeno en dicho tanque. Cualquier transferencia de calor hacia el tanque conduce a la evaporación de algo del nitrógeno líquido, el cual tiene un calor de vaporización de 198 kJ/kg y una densidad de 810 kg/m3, a 1 atm. Considere un tanque esférico de pared gruesa con radio interior r1  2 m, radio exterior r2  2.1 m y conductividad térmica constante k  12 W/m · °C. El tanque está inicialmente lleno con nitrógeno líquido a 1 atm y 196°C, y se expone al aire ambiente que está a T  20°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h  35 W/m2 · °C. Se observa que la temperatura de la superficie interior del tanque esférico es por lo regular la del nitrógeno que está dentro. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través del tanque, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en el material de éste, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine la rapidez de la evaporación del nitrógeno líquido en el tanque como resultado de la transferencia de calor del aire ambiental. Respuesta: c) 1.62 kg/s FIGURA P2-133I 2-134 Considere un tubo de vapor de agua de longitud L, radio interior r1, radio exterior r2 y conductividad térmica constante k. El vapor fluye dentro del tubo a una temperatura promedio de Ti, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de hi. La superficie exterior del tubo está expuesta a convección hacia el aire circundante que está a una temperatura de T0, con un coeficiente de transferencia de calor de ho. Si se supone conducción unidimensional de calor en estado esta- 2-136 Repita el problema 2-135 para el oxígeno líquido, el cual tiene una temperatura de ebullición de 183°C, un calor de vaporización de 213 kJ/kg y una densidad de 1 140 kg/m3, a 1 atm. 2-137 Considere una pared plana grande de espesor L  0.4 m y conductividad térmica k  8.4 W/m · °C. No hay acceso al lado interior de la pared, en x  0 y, por lo tanto, no se conocen las condiciones térmicas en esa superficie. Sin embargo, se sabe que la superficie exterior de la pared, en x  L, cuya emisividad es e  0.7, intercambia calor por convección con el aire Pared plana L Talred 45°C hi Ti 0 h r1 ho r2 FIGURA P2-134 T0 0 L r FIGURA P2-137 http://librosysolucionarios.net x Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 129 129 CAPÍTULO 2 ambiente que está a T  25°C, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h  14 W/m2 · °C, así como por radiación con las superficies circundantes que están a una temperatura promedio de Talred  290 K. Además, se mide la temperatura de la superficie exterior que resulta ser T2  45°C. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través de la placa, b) obtenga una relación para la temperatura de la superficie exterior de ésta, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie interior de la pared en x  0. última cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. Respuestas: 554 R, 50.9 Btu/h · ft2 Sol Placa qsolar 520 R Respuesta: c) 64.3°C 2-138 Se deja una plancha de 1 200 W sobre la tabla de planchar con su base expuesta al aire ambiente que está a 26°C. La placa base de la plancha tiene un espesor de L  0.5 cm, un área de la base de A  150 cm2 y conductividad térmica de k  18 W/m · °C. La superficie interior de la placa base está sujeta a un flujo uniforme de calor generado por los calentadores de resistencia del interior. La superficie exterior de dicha placa, cuya emisividad es e  0.7, pierde calor por convección hacia el aire ambiente con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h  30 W/m2 · °C, así como por radiación hacia las superficies circundantes que están a una temperatura promedio Talred  295 K. Descartando cualquier pérdida de calor a través de la parte superior de la plancha, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la placa, b) obtenga una relación para la temperatura de la superficie exterior de ésta, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la temperatura de la superficie exterior. Placa base de la plancha 0 Talred L 0 x L FIGURA P2-140I 2-141I Repita el problema 2-140I para el caso en el que no se tenga radiación solar que incida sobre la superficie. 2-142 Considere un alambre largo usado como resistencia con radio r1  0.3 cm y conductividad térmica kalambre  18 W/m · °C en el cual se genera calor de manera uniforme a una razón constante de e·gen  4.8 W/cm3, como resultado del calentamiento por resistencia. El alambre está recubierto con una capa gruesa de plástico de 0.4 cm cuya conductividad térmica es kplástico  1.8 W/m · °C. La superficie exterior de la cubierta de plástico pierde calor por convección hacia el aire ambiente que está a T  25°C, con un coeficiente combinado promedio de transferencia de calor de h  14 W/m2 · °C. Al suponer una transferencia unidimensional de calor, determine las temperaturas en el centro del alambre y en la interfase alambre-capa de plástico, en Respuestas: 255.6°C, 256.2°C condiciones estacionarias. x Alambre e· gen r 1 FIGURA P2-138 r2 r Cubierta de plástico 2-139 Repita el problema 2-138 para una plancha de 1 500 W. 2-140I Considere una pared plana grande de espesor L  0.8 ft y conductividad térmica k  1.2 Btu/h · ft · °F. La pared está cubierta con un material que tiene una emisividad de e  0.80 y una absortividad solar de a  0.60. La superficie interior de la pared se mantiene a T1  520 R en todo momento, en tanto que la exterior está expuesta a la radiación solar que incide a razón de q·solar  300 Btu/h · ft2. La superficie exterior también está perdiendo calor por radiación hacia el espacio profundo que está a 0 K. Determine la temperatura de la superficie exterior de la pared y la razón de la transferencia de calor a través de esta FIGURA P2-142 2-143 Considere una capa cilíndrica de longitud L, radio interior r1 y radio exterior r2 cuya conductividad térmica varía en un rango específico de temperaturas como k(T )  k0(1  bT 2), en donde k0 y b son dos constantes determinadas. La superficie interior de la capa se mantiene a una temperatura constante de T1, en tanto que la exterior se mantiene a T2. Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, obtenga una relación para la razón de esa transferencia a través de la capa. http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 130 130 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR 2-144 En un reactor nuclear se genera calor en unas barras cilíndricas de 1 cm de diámetro de combustible de uranio a razón de 4  107 W/m3. Determine la diferencia de temperatura entre el centro y la superficie de la barra de combustible. Respuesta: 9.0°C Ts D Barra de combustible e· gen FIGURA P2-144 2-145 Considere una pared plana grande de concreto (k  0.77 W/m · °C) sujeta a convección en ambos lados, con T 1  27°C y h1  8 W/m2 · °C en el interior y T 2  8°C y h2  12 W/m2 · °C en el exterior. Si se supone una conductividad térmica constante, sin generación de calor y radiación despreciable, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ésta, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe las temperaturas en las superficies interior y exterior de la misma. 2-146 Considere un tubo de agua de longitud L  17 m, radio interior r1  15 cm, radio exterior r2  20 cm y conductividad térmica k  14 W/m · °C. Se genera calor de manera uniforme en el material del tubo por medio de un calentador de resistencia eléctrica de 25 kW. Las superficies interior y exterior del tubo están a T1  60°C y T2  80°C, respectivamente. Obtenga una relación general para la distribución de temperatura dentro del tubo en condiciones estacionarias y determine la temperatura en el plano central del mismo. 2-147 Una pared plana de espesor L  4 cm tiene una conductividad térmica de k  20 W/m · K. En el interior de la pared, tiene lugar una reacción química que da como resultado una transferencia uniforme de calor, con una razón de e·gen  105 W/m3. Un calentador de película de espesor despreciable que genera un flujo de calor q·s  16 kW/m2 se encuentra colocado entre la pared y una capa aislante. El lado opuesto de la pared está en contacto con agua a la temperatura T∞  40°C. Un termopar montado sobre la superficie de la pared que está en contacto con el agua da una lectura Ts  90°C. Calentador Aislamiento k . qs T∞, h . egen L FIGURA P2-147 Ts x a) Determine el coeficiente de convección entre la pared y el agua. b) Demuestre que la distribución de temperatura de estado estacionario tiene la forma T(x)  ax2  bx  c y determine los valores y unidades de a, b y c. En la figura, se muestra el origen de x. c) Determine la ubicación y el valor de la temperatura máxima en la pared. ¿Se podría hallar esta ubicación sin conocer a, b y c, pero si se sabe que T(x) es una función cuadrática? Explique por qué. 2-148 Una pared plana, de espesor 2L  50 mm y conductividad térmica constante k  8 W/m · K, experimenta una generación uniforme de calor a razón de e·gen. En condiciones estacionarias, la distribución de temperatura en la pared es de la forma T(x)  a – bx2, donde a  80°C y b  2  104 °C/m2, y x está dada en metros. El origen de la coordenada x se encuentra en el plano medio de la pared. a) Determine las temperaturas de las superficies y trace un esquema de la distribución de temperatura en la pared. b) ¿Cuál es la razón volumétrica de generación de calor, e·gen? . c) Determine los flujos de calor en las superficies, qs (L) y . qs (L). d) ¿Cuál es la relación entre estos flujos, la razón de generación de calor y la configuración geométrica de la pared? 2-149 Tiene lugar conducción unidimensional estacionaria de calor en una plancha larga de ancho W (en la dirección del flujo de calor, x) y espesor Z. La conductividad térmica de la plancha varía con la temperatura como k  k*/(T*  T), donde T es la temperatura (en K) y k* (en W/m) y T* (en K) son dos constantes. Las temperaturas en x  0 y x  W son T0 y TW, respectivamente. Demuestre que el flujo de calor en operación estacionaria se expresa por T*  T0 k* b q·  ln a W T*  TW Asimismo, calcule el flujo de calor para T*  1.000 K, T0  600 K, TW  400 K, k*  7  104 W/m y W  20 cm. 2-150 Se genera calor uniformemente, a razón de 4.2  106 W/m3, en una bola esférica (k  45 W/m · °C) de 24 cm de diámetro. La bola se expone a agua con hielo a 0°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 1.200 W/m2 · °C. Determine las temperaturas en el centro y en la superficie de la bola. 2-151 Los gases de escape de una fábrica se descargan a través de una chimenea de 10 m de alto con un diámetro externo de 1 m, muros de 10 cm de espesor y conductividad térmica de 40 W/m · K. Los gases de escape se descargan a una razón de 1.2 kg/s, el descenso de la temperatura ocurrido entre la entrada y salida de la chimenea es de 30ºC y el calor específico a presión constante de los gases de escape es de 1.600 J/kg. Un día determinado la superficie externa de la chimenea queda expuesta a la radiación hacia los alrededores a 27ºC y la convección hacia el aire ambiental también a 27ºC, con un coeficiente promedio de transferencia de calor por convección de 8 W/m2 · K. La radiación solar incide en la superficie externa de la chimenea a una razón de 150 W/m2, y tanto la emisividad como la absortividad solar de la superficie externa son de 0.9. Si se asume una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 131 131 CAPÍTULO 2 a) obtenga la variación de la temperatura en los muros de la chimenea y b) determine la temperatura de la superficie interna de la chimenea. Gases de escape . q conv . q abs Muros de la chimenea k = 40 W/m . K Chimenea as = e = 0.9 Aire, 27°C h = 8 W/m2 · K L = 10 m . q rad . q pérdida r1 Tdentro – Tfuera = 30°C Fábrica r2 c) ¿Hay generación de calor en el medio? d) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? e) ¿El medio es una pared plana, un cilindro o una esfera? f) ¿Esta ecuación diferencial para la conducción del calor es lineal o no lineal? 2-156 Una manzana de radio R está perdiendo calor de manera estacionaria y uniforme desde su superficie exterior hacia el aire del medio ambiente que está a la temperatura T∞, con un coeficiente de convección de h, y hacia las superficies de alrededor que están a la temperatura Talred (todas las temperaturas son absolutas). Asimismo, se genera calor dentro de la manzana de manera uniforme, a razón de e·gen por unidad de volumen. Si Ts denota la temperatura de la superficie exterior, la condición de frontera en la superficie exterior de la manzana se puede expresar como FIGURA P2-151 Problemas de examen de fundamentos de ingeniería (FI) 2-152 La ecuación de la conducción de calor en un medio, en su forma más sencilla, se expresa como a) k dT 4 `  h(Ts  T )  es(Ts4  Talred ) dr rR b) k dT 4  h(Ts  T )  es(Ts4  Talred ` )  e·gen dr rR c) k 1 d dT . ark b  egen  0 r dr dr dT 4 `  h(Ts  T )  es(Ts4  Talred ) dr rR dT 4pR3/3 · 4  h(Ts  T )  es(Ts4  Talred ` ) egen dr rR 4pR2 e) Ninguna de ellas d) k En las que siguen, seleccione la proposición errónea. a) El medio tiene forma cilíndrica. b) La conductividad térmica del medio es constante. c) La transferencia de calor a través del medio es estacionaria. d) Se tiene generación de calor dentro del medio. e) La conducción de calor a través del medio es unidimensional. 2-153 El calor se genera en un calentador eléctrico cilíndrico de 0.3 cm de diámetro a razón de 180 W/cm3. El flujo de calor en la superficie del calentador en operación estable es a) 12.7 · W/cm3 d) 180 · W/cm3 b) 13.5 · W/cm3 e) 191 · W/cm3 c) 64.7 · W/cm3 2-154 Se genera calor dentro de un material radiactivo esférico de 10 cm de diámetro, cuya conductividad térmica uniforme es de 25 W/m · K, a una razón de 15 W/cm3. Si la temperatura de la superficie del material es de 120ºC, la temperatura de su centro durante una operación en estado estacionario es a) 160ºC d) 370ºC b) 205ºC e) 495ºC c) 280ºC 2-155 Considere un medio en el que la ecuación de la conducción de calor se expresa en su forma más sencilla como 1 1 T T ar 2 b r a t r2 r a) ¿La transferencia de calor es estacionaria o transitoria? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? 2-157 Un horno de forma esférica está perdiendo calor en forma estacionaria y uniforme desde su superficie exterior, que tiene radio R, hacia el aire del medio ambiente que está a la temperatura T∞, con un coeficiente de convección de h, y hacia las superficies de alrededor que están a la temperatura Talred (todas las temperaturas son absolutas). Si T0 denota la temperatura de la superficie exterior, la condición de frontera en la superficie exterior del horno se puede expresar como a) k dT 4 ` )  h(T0  T )  es(T04  Talred dr rR b) k dT 4  h(T0  T )  es(T04  Talred ` ) dr rR c) k dT 4 ` )  h(T0  T )  es(T04  Talred dr rR d) k dT 4 ` )  h(T0  T )  es(T04  Talred dr rR e) k(4pR2) dT 4 `  h(T0  T )  es(T04  Talred ) dr rR 2-158 Una pared plana de espesor L se sujeta a convección en ambas superficies, con la temperatura del medio ambiente T∞1 y coeficiente h1 de transferencia de calor en la superficie interior, y los valores correspondientes T∞2 y h2 en la superficie exterior. Si se toma la dirección positiva de x como la que va desde la superficie interior hacia la exterior, la expresión correcta para la condición en la frontera por convección es http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 132 132 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR a) k dT(0)  h1[T(0)  T 1)] dx b) k dT(L)  h2[T(L)  T 2)] dx c) k 2-164 Se genera calor en un material radiactivo esférico de con un diámetro de 3 cm a una tasa de 15 W/cm3. El calor se disipa al medio circundante a 25°C con un coeficiente de transferencia de calor de 120 W/m2 · K. La temperatura superficial del material en la operación estable es a) 56°C b) 84°C c) 494°C d) 650°C e) 108°C dT(0)  h1[T 1  T 2)] dx dT(L) d) k  h2[T 1  T 2)] dx e) Ninguna de ellas 2-159 Considere la conducción unidimensional estacionaria de calor a través de una pared plana, una capa cilíndrica y una capa esférica, de espesor uniforme con propiedades termofísicas constantes y sin generación de energía térmica. La configuración geométrica en la cual la variación de la temperatura en la dirección de la transferencia de calor será lineal es a) la pared plana c) la capa esférica b) la capa cilíndrica d) todas ellas e) ninguna de ellas 2-160 Considere una pared plana grande de espesor L, conductividad térmica k y área superficial A. La superficie izquierda de la pared se expone al aire del medio ambiente a T∞, con coeficiente de transferencia de calor de h, en tanto que la superficie derecha está aislada. La variación de la temperatura en la pared para la conducción unidimensional estacionaria de calor, sin generación de calor, es a) T(x)  h(L  x) T k xh bT k d) T(x)  (L  x) T e) T(x)  T c) 0.25 m d) 0.40 m e) 0.50 m 2-162 Se determina que la variación de la temperatura en una pared plana es T(x)  110 – 60x, donde x está en m y T está en °C. Si el espesor de la pared es de 0.75 m, la diferencia de temperatura entre sus superficies interior y exterior es b) 45°C c) 60°C d) 75°C e) 84°C 2-163 Las temperaturas en las superficies interior y exterior de una pared plana de 15 cm de espesor son 40°C y 28°C, respectivamente. La expresión para la variación unidimensional estacionaria de temperatura en la pared es a) T(x)  28x  40 c) T(x)  40x  28 e) T(x)  40x – 80 2-166 Un flujo de calor solar, q·s, incide sobre una acera cuya conductividad térmica es k, la absortividad solar es as y el coeficiente de transferencia de calor por convección es h. Si se toma la dirección x positiva hacia el cielo y se descarta el intercambio por radiación con las superficies de alrededor, la condición correcta en la frontera para la superficie de esta acera es dT  h(T  T ) dx . d) h(T  T )  as qs b) k e) Ninguna de ellas 2-161 Se determina que la variación de la temperatura en una pared plana es T(x)  52x  25, donde x está en m y T está en °C. Si la temperatura en una de las superficies es de 38°C, el espesor de la pared es de a) 30°C d dT ar b  0 dr dr dT .  as qs dx dT . c) k  h(T  T )  as qs dx c) T(x)  a1  b) 0.20 m e) a) k k b) T(x)  T h(x  0.5L) a) 0.10 m 2-165 ¿Cuál de las siguientes es la expresión correcta para la ecuación de conducción unidimensional, de estado estacionario y de conductividad térmica constante, para un cilindro con generación de calor? T 1 T ark b  e·gen  rc a) r r r t . e gen T 1 1 T ar b  b)  k a t r r r T 1 1 T ar b  c) a t r r r . egen dT 1 d ar b  d) 0 k r dr dr b) T(x)  –40x  28 d) T(x)  –80x  40 2-167 Fluye agua caliente por un tubo de PVC (k  0.092 W/m · K) cuyo diámetro interior es de 2 cm y el exterior, de 2.5 cm. La temperatura de la superficie interior de este tubo es de 50°C y la de la superficie exterior, de 20°C. La razón de la transferencia de calor por unidad de longitud del tubo es a) 77.7 W/m b) 81.5 W/m c) 98.0 W/m d) 112 W/m e) 168 W/m 2-168 La conductividad térmica de un sólido depende de su temperatura como k  aT  b, donde a y b son constantes. La temperatura en una capa plana de este sólido, a medida que conduce el calor, es expresada por b) aT  b  C1x2  C2 a) aT  b  x  C2 2 c) aT  bT  C1x  C2 d)  aT2  bT  C1x2  C2 e) Ninguna de ellas 2-169 Los granos cosechados, como el trigo, pasan por una reacción exotérmica volumétrica mientras se encuentran almacenados. Si no se controla de manera apropiada, esta generación de calor causa que estos granos se deterioren o, incluso, se produzcan incendios. Se almacena trigo (k  0.05 W/m · K) sobre el suelo (una superficie adiabática, efectivamente) en capas de 5 m de espesor. Se hace que aire a 22°C entre en contacto con la superficie superior de esta capa de trigo, con h  3 W/m2 · K. http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 133 133 CAPÍTULO 2 La distribución de temperatura en el interior de esta capa es expresada por T  Ts x 2 1a b T0  Ts L donde Ts es la temperatura de la superficie superior, T0 es la de la inferior, x se mide hacia arriba desde el suelo y L es el espesor de la capa. Cuando la temperatura de la superficie superior es de 24°C, ¿cuál es la temperatura del trigo próximo al suelo? a) 42°C b) 54°C c) 58°C d) 63°C e) 76°C 2-170 La condición de frontera de la ecuación de conducción, para una superficie adiabática, si se considera la dirección n como normal a la superficie, es a) T  0 b) dT/dn  0 c) d2T/dn2  0 3 3 e) –kdT/dn  1 d) d T/dn  0 2-171 El calor se genera de manera uniforme en una barra sólida de 12 cm de largo y 4 cm de diámetro (k = 2.4 W/m · K). Las temperaturas del centro y la superficie de la barra son de 210ºC y 45ºC, respectivamente. La razón de generación de calor dentro de la barra es a) 597 W b) 760 W c) 826 W d) 928 W e) 1.020 W Problemas de diseño y ensayo 2-172 Escriba un ensayo sobre la generación de calor en las barras de combustible nuclear. Obtenga información sobre los rangos de generación de calor, la variación de la generación de calor con la posición en las varillas y la absorción de la radiación emitida por el medio de enfriamiento. 2-173 Escriba un programa interactivo para computadora para calcular la razón de la transferencia de calor y el valor de la temperatura en cualquier punto en el medio, para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario en una capa cilíndrica larga, para cualquier combinación de condiciones de frontera de temperatura específica, flujo específico de calor y convección. Ejecute el programa para cinco conjuntos diferentes de condiciones específicas en la frontera. 2-174 Escriba un programa interactivo para computadora para calcular la razón de la transferencia de calor y el valor de la temperatura en cualquier punto en el medio, para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario en una capa esférica, para cualquier combinación de condiciones de frontera de temperatura específica, flujo específico de calor y convección. Ejecute el programa para cinco conjuntos diferentes de condiciones específicas de frontera. http://librosysolucionarios.net Cengel_02C.qxd 2/11/11 10:10 AM Page 134 http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/22/11 2:48 PM Page 135 CAPÍTULO 3 CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO n el análisis de transferencia de calor con frecuencia se tiene interés en la razón de esa transferencia a través de un medio, en condiciones y temperaturas superficiales estacionarias. Ese tipo de problemas se pueden resolver con facilidad sin la intervención de ecuaciones diferenciales, mediante la introducción de los conceptos de resistencia térmica, de manera análoga a los problemas sobre circuitos eléctricos. En este caso, la resistencia térmica corresponde a la resistencia eléctrica, la diferencia de temperatura a la tensión y la rapidez de la transferencia de calor a la corriente eléctrica. Se inicia este capítulo con la conducción unidimensional de calor en estado estacionario en una pared plana, un cilindro y una esfera, y se desarrollan relaciones para la resistencia térmica en estas configuraciones geométricas. También se desarrollan relaciones de la resistencia térmica para condiciones de frontera de convección y radiación. Se aplica este concepto a problemas de conducción de calor en paredes planas, cilindros y esferas de capas múltiples y se generalizan hacia sistemas que comprenden transferencia de calor en dos o tres dimensiones. También se discute la resistencia térmica por contacto y el coeficiente total de transferencia de calor y se desarrollan relaciones para el radio crítico del aislamiento para un cilindro y una esfera. Por último, se discute la transferencia de calor estacionaria desde superficies con aletas y algunas configuraciones geométricas complejas comunes de encontrar en la práctica, a través del uso de factores de forma de conducción. E OBJETIVOS Cuando el lector termine de estudiar este capítulo, debe ser capaz de: ■ ■ ■ ■ ■ ■ Entender el concepto de resistencia térmica y sus limitaciones, y desarrollar redes de resistencias térmicas para problemas prácticos de conducción del calor; Resolver problemas de conducción de calor en estado estacionario en los que intervengan configuraciones geométricas rectangulares, cilíndricas o esféricas de capas múltiples; Desarrollar una comprensión intuitiva de la resistencia térmica por contacto y de las circunstancias en las que puede ser significativa; Identificar las aplicaciones en las que realmente el material aislante puede incrementar la transferencia de calor; Analizar las superficies con aletas y evaluar con cuánta eficiencia y efectividad las aletas mejoran la transferencia de calor, y Resolver problemas prácticos de conducción multidimensional del calor, usando los factores de forma. 135 http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 136 136 CONDUCCIÓN DE CALOR 20°C 20°C 20°C 20°C 20°C 20°C 11°C 11°C 11°C 11°C T(x) 11°C 11°C 3-1 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C 3°C · Q A 20°C 11°C 3°C 3°C y 20°C 11°C x 3°C z FIGURA 3-1 La transferencia de calor a través de una pared es unidimensional cuando la temperatura de ésta varía sólo en una dirección. ■ CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO EN PAREDES PLANAS Considere la conducción estacionaria de calor a través de las paredes de una casa durante un día de invierno. Se sabe que se pierde calor en forma continua hacia el exterior a través de la pared. Intuitivamente se siente que la transferencia de calor a través de la pared es en la dirección normal a la superficie de ésta y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones (figura 3-1). Recuerde que la transferencia de calor en cierta dirección es impulsada por el gradiente de temperatura en esa dirección. No habrá transferencia de calor en una dirección en la cual no hay cambio en la temperatura. Las mediciones de la temperatura en varios lugares sobre la superficie interior o exterior de la pared confirmarán que la superficie de una pared es prácticamente isotérmica. Es decir, las temperaturas en la parte superior e inferior de la superficie de una pared, así como en los extremos derecho e izquierdo, son semejantes. Por lo tanto, no hay transferencia de calor a través de la pared de la parte superior hacia abajo, o de izquierda a derecha, pero se tiene una diferencia considerable en las temperaturas entre las superficies interior y exterior de dicha pared y, por lo tanto, transferencia de calor significativa en la dirección de la superficie interior hacia la exterior. El espesor pequeño de la pared hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las temperaturas del aire dentro y fuera de la casa permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared de una casa se puede considerar como estacionaria y unidimensional. En este caso, la temperatura de la pared presentará dependencia sólo en una dirección (es decir, la dirección x) y se puede expresar como T(x). Nótese que la transferencia de calor es la única interacción de energía que interviene en este caso y no se tiene generación de calor; por lo tanto, el balance de calor para la pared se puede expresar como

Razón de la transferencia de calor hacia la pared

Razón de la transferencia de calor hacia afuera de la pared   Razón del cambio de la energía de la pared o bien, dEpared · · Q ent
Q sal  dt (3-1) Pero dEpared/dt  0 para la operación estacionaria, puesto que no hay cambio en la temperatura de la pared con el tiempo en ningún punto. Por lo tanto, la razón de la transferencia de calor hacia la pared debe ser igual a la razón de la transferencia hacia afuera de ella. En otras palabras, la razón de la transferen· cia de calor a través de la pared debe ser constante, Q cond, pared  constante. Considere una pared plana de espesor L y conductividad térmica promedio k. Las dos superficies de la pared se mantienen a temperaturas constantes de T1 y T2. Para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la pared, tenemos T(x). Entonces, la ley de Fourier de la conducción de calor para la pared se puede expresar como dT · Q cond, pared 
kA dx (W) (3-2) · donde la razón de la transferencia de calor por conducción Q cond pared y el área A de la pared serán constantes. Por lo tanto, dT/dx  constante, lo cual signi- http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 137 137 CAPÍTULO 3 fica que la temperatura a través de la pared varía linealmente con x. Es decir, la distribución de temperatura en la pared, en condiciones estacionarias, es una línea recta (figura 3-2). Al separar la variable en la ecuación anterior e integrar desde x  0, donde T(0)  T1, hasta x  L, donde T(L)  T2, se obtiene  L x0  · Q cond, pared dx 
T2 kA dT TT1 · Qcond Al realizar las integraciones y reacomodar da T1
T2 · Q cond, pared  kA L (W) (3-3) T(x) T1 que es idéntica a la ecuación 1-21. Una vez más, la razón de la conducción de calor a través de una pared plana es proporcional a la conductividad térmica promedio, al área de la pared y a la diferencia de temperatura, pero es inversamente proporcional al espesor de la pared. Asimismo, una vez que se cuenta con la razón de la conducción de calor, se puede determinar la temperatura T(x) en cualquier ubicación x al reemplazar T2 en la ecuación 3-3 por T y L por x. dT A dx 0 La ecuación 3-3 para la conducción de calor a través de una pared plana se puede reacomodar para tener (W) x L FIGURA 3-2 En condiciones estacionarias, la distribución de temperatura en una pared plana es una línea recta. El concepto de resistencia térmica T1
T2 · Q cond, pared  Rpared T2 (3-4) donde Rpared  L kA (°C/W) (3-5) es la resistencia térmica de la pared en contra de la conducción de calor o simplemente la resistencia a la conducción de la pared. Note que la resistencia térmica de un medio depende de la configuración geométrica y de las propiedades térmicas del medio. Observe que la resistencia térmica también se · puede expresar como Rpared  T/Q cond, pared, que es la razón del potencial de · arrastre T con respecto a la tasa de transferencia correspondiente Q cond, pared. La ecuación antes dada para la transferencia de calor es análoga a la relación para el flujo de corriente eléctrica I, expresada como I V1
V2 Re (3-6) donde Re  L/se A es la resistencia eléctrica y V1
V2 es la caída de voltaje a lo largo de la resistencia (se es la conductividad eléctrica). Por lo tanto, la razón de la transferencia de calor a través de una capa corresponde a la corriente eléctrica, la resistencia térmica a la resistencia eléctrica y la diferencia de temperatura a la caída de voltaje en la capa (figura 3-3). Considere la transferencia de calor por convección de una superficie sólida de área As y temperatura Ts hacia un fluido cuya temperatura en un punto suficientemente lejos de la superficie es T, con un coeficiente de transferencia de calor por convección h. La ley de Newton del enfriamiento para la · razón de transferencia de calor por convección, Q conv  hAs (Ts
T), se puede reacomodar para obtener Ts
T · Q conv  Rconv (W) (3-7) http://librosysolucionarios.net · T1 – T2 Q = ——— R T1 T2 R a) Flujo de calor V1 – V2 I = ——— Re V1 V2 Re b) Flujo de corriente eléctrica FIGURA 3-3 Analogía entre los conceptos de resistencia térmica y eléctrica. Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 138 138 CONDUCCIÓN DE CALOR donde As Ts Rconv  h Sólido T · Q Ts T 1 Rconv = — hAs FIGURA 3-4 Esquema para la resistencia a la convección en una superficie. 1 hAs (°C/W) (3-8) es la resistencia térmica de la superficie contra la convección de calor o, simplemente, la resistencia a la convección de la superficie (figura 3-4). Note que cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección es muy grande (h → ), la resistencia a la convección se hace cero y Ts  T. Es decir, la superficie no ofrece resistencia a la convección y, por lo tanto, no desacelera el proceso de transferencia de calor. Se tiende a esta situación en la práctica en las superficies en donde ocurren ebullición y condensación. Asimismo, note que la superficie no tiene que ser plana. La ecuación 3-8 para la resistencia a la convección es válida para superficies de cualquier forma, siempre que sea razonable la suposición de que h  constante y uniforme. Cuando la pared está rodeada por un gas, los efectos de la radiación, que hemos ignorado hasta ahora, pueden ser significativos y es posible que sea necesario considerarlos. La razón de la transferencia de calor por radiación entre una superficie de emisividad e y área As, que está a la temperatura Ts, y las superficies circundantes a alguna temperatura promedio Talred se puede expresar como Ts
Talred · 4 Q rad  es As (Ts4
Talred )  hrad As (Ts
Talred)  Rrad (W) (3-9) donde Rrad  1 hrad As (°C/W) (3-10) es la resistencia térmica de una superficie contra la radiación, o bien, la resistencia a la radiación y hrad  As · Qconv T · Q Rconv Ts Sólido · Qrad Talred Rrad · · · Q = Qconv + Qrad FIGURA 3-5 Esquema para las resistencias a la convección y a la radiación en una superficie. Q· rad 2 )(Ts  Talred)  es(Ts2  Talred As(Ts
Talred) (W/m2 · K) (3-11) es el coeficiente de transferencia de calor por radiación. Note que tanto Ts como Talred deben estar en K en la evaluación de hrad. La definición del coeficiente de transferencia de calor por radiación permite expresar la radiación en forma conveniente, de manera análoga a la convección, en términos de una diferencia de temperatura. Pero hrad depende con intensidad de la temperatura, en tanto que, por lo común, hconv no depende de ella. Una superficie expuesta al aire circundante comprende convección y radiación de manera simultánea y la transferencia de calor total en la superficie se determina al sumar (o restar, si tienen direcciones opuestas) las componentes de radiación y de convección. Las resistencias a la convección y a la radiación son paralelas entre sí, como se muestra en la figura 3-5 y pueden provocar algunas complicaciones en la red de resistencias térmicas. Cuando Talred  T, el efecto de radiación se puede tomar en cuenta de manera apropiada al reemplazar h en la relación de la resistencia a la convección por hcombinado  hconv  hrad (W/m2 · K) (3-12) donde hcombinado es el coeficiente de transferencia de calor combinado. De esta manera, se evitan todas las complicaciones asociadas con la radiación. http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 139 139 CAPÍTULO 3 T1 Pared T1 T2 T2 · Q T1 – T2 · Q = —————————— Rconv, 1 + Rpared + Rconv, 2 T 1 V1 – V2 I = —————————— Re, 1 + Re, 2 + Re, 3 V1 Rconv, 1 T1 Rpared Re, 1 I Re, 2 T2 Rconv, 2 T 2 Red térmica V2 Analogía eléctrica Re, 3 FIGURA 3-6 Red de resistencias térmicas para la transferencia de calor a través de una pared plana sujeta a convección sobre ambos lados, y la analogía eléctrica. Red de resistencias térmicas Considere ahora la transferencia de calor unidimensional en estado estacionario a través de una pared plana de espesor L, área A y conductividad térmica k que está expuesta a la convección sobre ambos lados hacia fluidos a las temperaturas T1 y T2, con coeficientes de transferencia de calor h1 y h2, respectivamente, como se muestra en la figura 3-6. Si se supone que T2  T1, la variación de la temperatura será como se muestra en la figura. Note que la temperatura varía en forma lineal en la pared y tiende asintóticamente a T∞1 y T2 en los fluidos, a medida que se aleja de la pared. En condiciones estacionarias se tiene
Razón de la convección de calor hacia la pared 
 Razón de la conducción de calor a través de la pared 
 Razón de la convección de calor desde la pared  o sea T1
T2 · Q  h1 A(T1
T1)  kA  h2 A(T2
T2) L (3-13) la cual se puede reacomodar como T1
T1 T1
T2 T2
T2 ·   Q  1/h1 A L /kA 1/h2 A  T1
T1 T1
T2 T2
T2   Rconv, 1 Rpared Rconv, 2 (3-14) http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 140 140 CONDUCCIÓN DE CALOR Si Una vez que se calcula la tasa de transferencia de calor, también se puede usar la ecuación 3-14 para determinar las temperaturas intermedias T1 o T2. Al sumar los numeradores y los denominadores, da (figura 3-7) a a a —1 = —2 = . . . = —n = c b1 b2 bn
T∞2 · TT∞1 
T2 Q Rtotal entonces a1 + a2 + . . . + an ——————— =c b1 + b2 + . . . + bn (W) (3-15) donde Rtotal  Rconv, 1  Rpared  Rconv, 2  Por ejemplo, 5 = 0.25 2 =— 1 =— — 8 20 4 1 L 1   h1 A kA h2 A (°C/W) (3-16) Note que el área A de la transferencia de calor es constante para una pared plana y la razón de esa transferencia a través de una pared que separa dos medios es igual a la diferencia de temperatura (T∞1
T∞2) dividida entre la resistencia térmica total entre los medios. Note también que las resistencias térmicas están en serie y la resistencia térmica equivalente se determina simplemente al sumar cada una de las resistencias, precisamente como en las resistencias eléctricas conectadas en serie. Por lo tanto, todavía se aplica la analogía eléctrica. Se resume esto al expresar: la rapidez de la transferencia de calor estacionaria entre dos superficies es igual a la diferencia de temperatura dividida entre la resistencia térmica total entre esas dos superficies. Otra observación que se puede hacer a partir de la ecuación 3-15 es que la razón de la caída de temperatura con respecto a la resistencia térmica a través de cualquier capa es constante y, de este modo, la caída de temperatura a través de cualquier capa es proporcional a la resistencia térmica de ésta. Entre mayor sea la resistencia, mayor es la caída de temperatura. De hecho, la ecua· ción Q  T/R se puede reacomodar para obtener y 1 + 2 + 5 = 0.25 ———— 4 + 8 + 20 FIGURA 3-7 Una identidad matemática útil. · T  Q R (°C) (3-17) la cual indica que la caída de temperatura a través de cualquier capa es igual a la razón de la transferencia de calor multiplicada por la resistencia térmica de esa capa (figura 3-8). Posiblemente se recuerde que esto también se cumple para la caída de voltaje a través de una resistencia eléctrica cuando la corriente eléctrica es constante. A veces resulta conveniente expresar la transferencia de calor a través de un medio de una manera análoga a la ley de Newton del enfriamiento, como · Q  UA T T1 20°C T1 150°C T2 Rconv, 1 T1 2°C /W T1 Rpared 15°C/W T2 T2 Rconv, 2 T2 3°C/W · ∆T = QR FIGURA 3-8 La caída de temperatura a través de una capa es proporcional a su resistencia térmica. (3-18) donde U es el coeficiente de transferencia de calor total con la unidad W/m2 · K. El coeficiente de calor por transferencia general suele utilizarse en los cálculos de transferencia de calor con intercambiadores de calor (capítulo 11). También se utiliza en cálculos de transferencia de calor a través de ventanas (capítulo 9) y es conocido como factor-U. La comparación de las ecuaciones 3-15 y 3-18 revela que · Q = 10 W 30°C (W) UA  1 Rtotal (W/°C) (3-19) Por lo tanto, para una unidad de área, el coeficiente de transferencia de calor total es igual al inverso de la resistencia térmica total. Note que no se necesita conocer las temperaturas superficiales de la pared para evaluar la razón de la transferencia de calor estacionaria a través de ella. Todo lo que se necesita conocer son los coeficientes de transferencia de calor por convección y las temperaturas de los fluidos en ambos lados de la pared. La temperatura superficial de esta última se puede determinar como se describió antes al aplicar el concepto de resistencia térmica, pero se toma la superficie a la cual se le va a determinar la temperatura como una de las su- http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 141 141 CAPÍTULO 3 · perficies terminales. Por ejemplo, una vez que se evalúa Q se puede determinar la temperatura superficial T1 a partir de T1
T1 T1
T1 ·  Q Rconv, 1 1/h1 A (3-20) Paredes planas de capas múltiples En la práctica, a menudo se encuentran paredes planas que constan de varias capas de materiales diferentes. Todavía se puede usar el concepto de resistencia térmica con el fin de determinar la razón de la transferencia de calor estacionaria a través de esas paredes compuestas. Como es posible que el lector ya haya conjeturado, esto se hace simplemente al darse cuenta de que la resistencia a la conducción de cada pared es L/kA conectada en serie y aplicando la analogía eléctrica. Es decir, al dividir la diferencia de temperatura que existe entre las dos superficies a las temperaturas conocidas entre la resistencia térmica total que presentan ambas. Considere una pared plana que consta de dos capas (como un muro de ladrillos con una capa de aislamiento). La razón de la transferencia de calor estacionaria a través de esta pared compuesta de dos capas se puede expresar como (figura 3-9) T1
T2 · Q Rtotal (3-21) donde Rtotal es la resistencia térmica total, expresada como Rtotal  Rconv, 1  Rpared, 1  Rpared, 2  Rconv, 2  L1 L2 1 1    h1 A k1 A k2 A h2 A (3-22) · Q Pared 1 T1 Pared 2 T1 T2 A h1 k1 k2 L1 L2 T1 T 1 1 Rconv, 1 = —–– h1A h2 T2 L1 Rpared, 1 = —–– k1 A L2 Rpared, 2 = —–– k2 A T3 T2 T3 T2 1 Rconv, 2 = —–– h2 A http://librosysolucionarios.net FIGURA 3-9 Red de resistencias térmicas para la transferencia de calor a través de una pared plana de dos capas sujeta a convección sobre ambos lados. Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 142 142 CONDUCCIÓN DE CALOR · Q T1 Pared 1 Pared 2 T1 T2 T3 T2 Rconv,1 Rpared, 1 Rconv, 2 Rpared, 2 T1 T2 Los subíndices 1 y 2 en las relaciones Rpared antes dadas indican la primera y la segunda capas, respectivamente. También se pudo obtener este resultado al seguir el procedimiento utilizado antes para el caso de una sola capa, al notar · que la razón de la transferencia de calor estacionaria, Q , a través de un medio de capas múltiples es constante y, por consiguiente, debe ser la misma a través de cada una de las capas. Note, a partir de la red de resistencias térmicas, que dichas resistencias están en serie y, por lo tanto, la resistencia térmica total es simplemente la suma aritmética de cada una de las resistencias térmicas que se encuentran en la trayectoria de la transferencia de calor. Este resultado para el caso de dos capas es análogo al de una sola capa, excepto en que se suma una resistencia adicional por la capa adicional. Este resultado se puede extender para paredes planas que constan de tres o más capas, al sumar una resistencia adicional por cada capa adicional. · Una vez que se conoce Q , se puede determinar una temperatura superficial desconocida Tj en cualquier superficie o interfase j, a partir de Ti
Tj · Q  Rtotal, i
j T –T · Para hallar T1: Q = 1 1 Rconv,1 · Para hallar T2: Q = T1 – T2 Rconv,1 + Rpared,1 T – T2 · Para hallar T3: Q = 3 Rconv, 2 FIGURA 3-10 Evaluación de las temperaturas superficial y en la interfase cuando se · dan T∞1 y T∞2 y se calcula Q . donde Ti es una temperatura conocida en el lugar i y Rtotal, i
j es la resistencia térmica total entre los lugares i y j. Por ejemplo, cuando se dispone de las temperaturas de los fluidos, T1 y T2, para el caso de dos capas mostrado en la fi· gura 3-9 y se calcula Q a partir de la ecuación 3-21, se puede determinar la temperatura T2 en la interfase entre las dos paredes, a partir de (figura 3-10) · Q T1
T2 T1
T2  Rconv, 1  Rpared, 1 L1 1  h1 A k1 A (3-24) La caída de temperatura a través de una capa se determina con facilidad me· diante la aplicación de la ecuación 3-17, al multiplicar Q por la resistencia térmica de esa capa. El concepto de resistencia térmica se usa con amplitud en la práctica debido a que es intuitivamente fácil de entender y ha probado ser una herramienta poderosa en la resolución de una amplia gama de problemas de transferencia de calor. Pero su uso queda limitado a los sistemas a través de los cuales la · razón de la transferencia de calor, Q , permanece constante; es decir, a sistemas que implican transferencia de calor estacionaria, sin generación de calor (como el calentamiento por resistencia o las reacciones químicas) dentro del medio. A Pared (3-23) · Q 3m 16°C EJEMPLO 3-1 2°C 5m L = 0.3 m FIGURA 3-11 Esquema para el ejemplo 3-1. Pérdida de calor a través de una pared Considere una pared gruesa de 3 m de alto, 5 m de ancho y 0.30 m de espesor, cuya conductividad térmica es k  0.9 W/m · °C (figura 3-11). Cierto día, se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior de esa pared y resultan ser de 16°C y 2°C, respectivamente. Determine la razón de la pérdida de calor a través de la pared en ese día. SOLUCIÓN Las dos superficies de la pared se mantienen a temperaturas específicas. Debe determinarse la razón de la pérdida de calor a través de la pared. http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/22/11 2:49 PM Page 143 143 CAPÍTULO 3 Suposiciones 1 La transferencia de calor a través de la pared es estacionaria, dado que las temperaturas superficiales permanecen constantes en los valores especificados. 2 La transferencia de calor es unidimensional, puesto que cualesquiera gradientes significativos de temperatura existen en la dirección del interior hacia el exterior. 3 La conductividad térmica es constante. Propiedades Se da la conductividad térmica como k
0.9 W/m · °C. Análisis Dado que la transferencia de calor a través de la pared es por conducción y el área de ésta es A
3 m  5 m
15 m2, la razón estacionaria de la transferencia de calor a través de esa pared se puede determinar con base en la ecuación 3-3 T1  T2 (16  2)°C · Q
kA
(0.9 W/m · °C)(15 m2)
630 W L 0.3 m También se pudo determinar la razón estacionaria de la transferencia de calor a través de la pared al hacer uso del concepto de resistencia térmica, a partir de Tpared · Q
Rpared donde Rpared
0.3 m L

0.02222°C/ W kA (0.9 W/m · °C)(15 m2) Al sustituir, se obtiene (16  2)°C · Q

630 W 0.02222°C/ W Discusión Éste es el mismo resultado obtenido con anterioridad. Note que la conducción de calor a través de una pared plana, con temperaturas superficiales especificadas, puede determinarse directa y fácilmente sin utilizar el concepto de resistencia térmica. Sin embargo, este concepto es una herramienta valiosa en problemas más complejos de transferencia de calor, como el lector verá en los ejemplos que siguen. Además, las unidades W/m · °C y W/m · K para la conductividad térmica son equivalentes y, por consiguiente, pueden ser intercambiadas. Éste es también el caso de °C y K para las diferencias de temperatura. EJEMPLO 3-2 Pérdida de calor a través de una ventana de una sola hoja Considere una ventana de vidrio de 0.8 m de alto y 1.5 m de ancho, con un espesor de 8 mm y una conductividad térmica de k
0.78 W/m · °C. Determine la razón estacionaria de la transferencia de calor a través de esta ventana de vidrio y la temperatura de su superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 20°C, en tanto que la temperatura del exterior es de 10°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor de las superficies interior y exterior de la ventana como h1
10 W/m2 · °C y h2
40 W/m2 · °C, los cuales incluyen los efectos de la radiación. SOLUCIÓN Se considera la pérdida de calor a través de una ventana de vidrio. Se deben determinar la razón de la transferencia de calor a través de la ventana y la temperatura de la superficie interior. http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 144 144 CONDUCCIÓN DE CALOR Vidrio 20°C T1 T2 –10°C h1 = 10 W/ m2 · °C h2 = 40 W/ m2 · °C L = 8 mm Rvidrio Ri Ro T1 T2 T1 T2 FIGURA 3-12 Esquema para el ejemplo 3-2. Suposiciones 1 La transferencia de calor a través de la ventana es estacionaria, dado que las temperaturas superficiales permanecen constantes en los valores especificados. 2 La transferencia de calor a través de la ventana es unidimensional ya que cualesquiera gradientes significativos de temperatura existen en la dirección desde el interior hacia el exterior. 3 La conductividad térmica es constante. Propiedades Se da que la conductividad térmica es k  0.78 W/m · °C. Análisis Este problema está relacionado con conducción a través de la ventana de vidrio y convección en sus superficies, y se puede manejar de la mejor manera al usar el concepto de resistencia térmica y dibujar la red de resistencias térmicas, como se muestra en la figura 3-12. Dado que el área de la ventana es A  0.8 m  1.5 m  1.2 m2, cada una de las resistencias se evalúan a partir de sus definiciones como 1 1   0.08333°C/ W h1 A (10 W/m2 · °C)(1.2 m2) 0.008 m L  Rvidrio   0.00855°C/ W kA (0.78 W/m · °C)(1.2 m2) 1 1  Ro  Rconv, 2   0.02083°C/ W h2 A (40 W/m2 · °C)(1.2 m2) Ri  Rconv, 1  Ya que las tres resistencias están en serie, la resistencia total es Rtotal  Rconv, 1  Rvidrio  Rconv, 2  0.08333  0.00855  0.02083  0.1127°C/ W Entonces la razón de transferencia de calor estacionaria a través de la ventana queda T1
T2 [20
(
10)]°C · Q   266 W Rtotal 0.1127°C/ W Si se conoce la razón de la transferencia de calor se puede determinar la temperatura de la superficie interior a partir de T1
T1 · Q Rconv, 1 ⎯→ · T1  T1
Q Rconv, 1  20°C
(266 W)(0.08333°C/ W) 
2.2°C Discusión Note que la temperatura de la superficie interior de la ventana de vidrio está a
2.2°C, aun cuando la temperatura del aire en el cuarto se mantenga a 20°C. Temperaturas superficiales así de bajas son del todo indeseables, ya que causarán que se empañen las superficies interiores del vidrio o incluso que se forme escarcha sobre ellas cuando la humedad en el cuarto sea alta. EJEMPLO 3-3 Pérdida de calor a través de ventanas de hoja doble Considere una ventana de hoja doble de 0.8 m de alto y 1.5 m de ancho que consta de dos capas de vidrio de 4 mm de espesor (k  0.78 W/m · °C) separadas por un espacio de aire estancado de 10 mm de ancho (k  0.026 W/m · °C). Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 145 145 CAPÍTULO 3 Vidrio la ventana de hoja doble y la temperatura en la superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 20°C, en tanto que la temperatura del exterior es de
10°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección en las superficies interior y exterior como h1  10 W/m2 · °C y h2  40 W/m2 · °C, respectivamente, los cuales incluyen los efectos de la radiación. Vidrio Aire 20°C T2 T1 SOLUCIÓN Se considera una ventana de hoja doble. Se deben determinar la razón de la transferencia de calor a través de la ventana y la temperatura de la superficie interior. Análisis Este problema de ejemplo es idéntico al anterior, excepto en que el vidrio sencillo de 8 mm de la ventana se reemplaza por dos vidrios de 4 mm de espesor que encierran un espacio de aire estancado de 10 mm de ancho. Por lo tanto, la red de resistencias térmicas de este problema comprenderá dos resistencias adicionales a la conducción correspondientes a las dos capas adicionales, como se muestra en la figura 3-13. Dado que el área de la ventana es una vez más A  0.8 m  1.5 m  1.2 m2, cada una de las resistencias se evalúa a partir de sus definiciones como Ri  Rconv, 1  1 1   0.08333°C/ W h1 A (10 W/m2 · °C)(1.2 m2) R1  R3  Rvidrio  R2  Raire  L1 0.004 m   0.00427°C/ W k1 A (0.78 W/m · °C)(1.2 m2) L2 0.01 m   0.3205°C/ W k2 A (0.026 W/m · °C)(1.2 m2) Ro  Rconv, 2  1 1   0.02083°C/ W h2 A (40 W/m2 · °C)(1.2 m2) Como las cuatro resistencias están en serie, la resistencia total es Rtotal  Rconv, 1  Rvidrio, 1  Raire  Rvidrio, 2  Rconv, 2  0.08333  0.00427  0.3205  0.00427  0.02083  0.4332°C/ W Entonces la razón de transferencia de calor estacionaria a través de la ventana queda T1
T2 [20
(
10)]°C · Q  69.2 W  Rtotal 0.4332°C/ W la cual es alrededor de una cuarta parte del resultado obtenido en el ejemplo anterior. Esto explica la popularidad de las ventanas de hoja doble e incluso triple en los climas fríos. En este caso, la drástica reducción en la razón de la transferencia de calor se debe a la gran resistencia térmica de la capa de aire entre los vidrios. En este caso, la temperatura de la superficie interior de la ventana será · T1  T1
Q R conv, 1  20°C
(69.2 W)(0.08333°C/ W)  14.2°C la cual es considerablemente más alta que los
2.2°C obtenidos en el ejemplo anterior. Por lo tanto, una ventana de hoja doble rara vez se empaña. Una ventana de hoja doble también reducirá la ganancia de calor en verano y, en consecuencia, reduce los costos del acondicionamiento del aire. http://librosysolucionarios.net T4 T3 4 mm T1 Ri 10 mm R1 R2 –10°C 4 mm R3 Ro T 2 FIGURA 3-13 Esquema para el ejemplo 3-3. Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 146 146 CONDUCCIÓN DE CALOR Capa 1 Capa 2 Capa 1 Caída Interfase Distribución de temperatura Muestra superior de prueba Muestra inferior de prueba Carga aplicada Termopares Interfase Medidor inferior de flujo de calor Placa fría Celda de carga Fluido frío Bola de acero Placa inferior Placa base de la campana de vidrio FIGURA 3-15 Montaje experimental típico para la determinación de la resistencia por contacto térmico (tomada de Song et al.). ■ ∆T T2 Interfase T1 = T2 a) Contacto térmico ideal (perfecto) 3-2 Flecha de carga Collarín de alineamiento Placa superior Bola de acero Calentadores en haz Bloque de calentadores T1 de temperatura No hay caída de temperatura FIGURA 3-14 Distribución de temperatura y líneas de flujo de calor a lo largo de dos placas sólidas comprimidas entre sí para el caso del contacto perfecto e imperfecto. Capa 2 b) Contacto térmico real (imperfecto) RESISTENCIA TÉRMICA POR CONTACTO En el análisis de la conducción de calor a través de sólidos de capas múltiples, se supuso un “contacto perfecto” en la interfase de dos capas y, como consecuencia, ninguna caída de temperatura en dicha interfase. Éste sería el caso cuando las superficies son perfectamente lisas y producen un contacto perfecto en cada punto. No obstante, en la realidad incluso las superficies planas que aparentan estar lisas a simple vista resultan estar más bien ásperas cuando se examinan con un microscopio, como se muestra en la figura 3-14, con numerosos picos y valles. Es decir, una superficie es microscópicamente áspera sin importar cuán lisa parezca estar. Cuando dos superficies de ese tipo se comprimen una contra la otra, los picos forman buen contacto material, pero los valles formarán vacíos con aire. Como resultado, una interfase contendrá numerosas brechas de aire de tamaños variables que actúan como aislamiento debido a la baja conductividad térmica del aire. Por lo tanto, una interfase ofrece alguna resistencia a la transferencia de calor, y esta resistencia por unidad de área de la interfase se llama resistencia térmica por contacto, Rc. El valor de Rc se determina experimentalmente usando un montaje como el que se muestra en la figura 3-15 y, como es de esperar, se tiene una dispersión considerable de los datos debido a la dificultad para caracterizar las superficies. Considere la transferencia de calor a través de dos barras metálicas de área de sección transversal A que se comprimen una contra la otra. La transferencia de calor a través de la interfase de estas dos barras es la suma de las transferencias a través de los puntos de contacto sólido y de las brechas en las áreas donde no se tiene contacto y se puede expresar como · · · Q  Q contacto  Q brecha (3-25) También se puede expresar de manera análoga a la ley de Newton del enfriamiento como · Q  hc A Tinterfase http://librosysolucionarios.net (3-26) Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 147 147 CAPÍTULO 3 donde A es el área aparente de la interfase (que es igual al área de la sección transversal de las barras) y Tinterfase es la diferencia efectiva de temperatura en dicha interfase. La cantidad hc, que corresponde al coeficiente de transferencia de calor por convección, se llama conductancia térmica por contacto y se expresa como hc  Q· /A (W/m2 · °C) Tinterfase (3-27) Está relacionada con la resistencia térmica por contacto por Rc  1 Tinterfase  hc Q· /A (m2 · °C/W) (3-28) Es decir, la resistencia térmica por contacto es la inversa de la conductancia térmica por contacto. Por lo general, en la literatura se da la conductancia, pero el concepto de resistencia térmica por contacto es un mejor vehículo para explicar el efecto de la interfase sobre la transferencia de calor. Note que Rc representa la resistencia térmica por contacto por unidad de área. La resistencia térmica para la interfase completa se obtiene al dividir Rc entre el área aparente A de dicha interfase. La resistencia térmica por contacto se puede determinar a partir de la ecuación 3-28 al medir la caída de temperatura en la interfase y al dividirla entre el flujo de calor en condiciones estacionarias. El valor de la resistencia térmica por contacto depende de la aspereza de la superficie y de las propiedades de los materiales, así como de la temperatura y de la presión en la interfase y del tipo de fluido atrapado en ésta. La situación se vuelve más compleja cuando las placas se sujetan por medio de pernos, tornillos o remaches puesto que, en ese caso, la presión en la interfase no es uniforme. En ese caso, la resistencia térmica por contacto también depende del espesor de la placa, del radio del perno y del tamaño de la zona de contacto. Se observa que la resistencia térmica por contacto disminuye al disminuir la aspereza superficial y al aumentar la presión en la interfase, como es de esperar. La mayor parte de los valores de la resistencia térmica por contacto determinados experimentalmente caen entre 0.000005 y 0.0005 m2 · °C/W (el rango correspondiente de la conductancia térmica por contacto es 2 000 a 200 000 W/m2 · °C). Cuando se analiza la transferencia de calor en un medio que consta de dos o más capas, lo primero que se necesita saber es si la resistencia térmica por contacto es significativa o no. Se puede responder esta pregunta al comparar las magnitudes de las resistencias térmicas de las capas con los valores típicos de la resistencia térmica por contacto. Por ejemplo, la resistencia térmica de una capa de 1 cm de espesor de un material aislante por unidad de área superficial es Rc, aislamiento  0.01 m L   0.25 m2 · °C/W k 0.04 W/m · °C en tanto que para una capa de cobre de 1 cm de espesor es Rc, cobre  0.01 m L   0.000026 m2 · °C/W k 386 W/m · °C Al comparar los valores antes dados con los valores típicos de la resistencia térmica por contacto, se concluye que ésta es significativa e incluso puede dominar la transferencia de calor para buenos conductores de calor como los metales, pero puede descartarse para los malos conductores de calor, como los http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 148 148 CONDUCCIÓN DE CALOR TABLA 3-1 Conductancia térmica por contacto para placas de aluminio con fluidos diferentes en la interfase, para una aspereza superficial de 10 mm y una presión en esa interfase de 1 atm (tomada de Fried, 1969) Conductancia por contacto, hc, W/m2 · °C Fluido en la interfase Presión de contacto (psi) 102 103 104 104 ) Recubierto con aleación de estaño/níquel Recubierto con aleación de níquel Bronce ( 105 3 640 9 520 13 900 19 000 37 700 103 EJEMPLO 3-4 102 Se mide la conductancia térmica por contacto en la interfase de dos placas de aluminio de 1 cm de espesor y resulta ser de 11 000 W/m2 · °C. Determine el espesor de la placa de aluminio cuya resistencia térmica sea igual a la de la interfase entre las placas (figura 3-17). Níquel 103 102 Recubierto con aleación de aluminio Acero inoxidable 103 Btu Conductancia térmica por contacto ——–— h · ft2 · °F Conductancia térmica por contacto (W/m2 · K) Aire Helio Hidrógeno Aceite de siliconas Glicerina aislamientos. Esto no es sorprendente, puesto que los materiales aislantes constan en su mayor parte de espacios llenos de aire, precisamente como la misma interfase. Se puede minimizar la resistencia térmica por contacto mediante la aplicación de un líquido térmicamente conductor, llamado grasa térmica, como el aceite de silicona, sobre las superficies, antes de comprimir una contra la otra. Ésta es una práctica común cuando se sujetan componentes electrónicos, como los transistores de potencia a los sumideros de calor. También se puede reducir la resistencia térmica por contacto reemplazando el aire que se encuentra en la interfase por un mejor gas conductor, como el helio o el hidrógeno, como se muestra en la tabla 3-1. Otra manera de minimizar la resistencia por contacto es insertar una hoja metálica suave, como estaño, plata, cobre, níquel o aluminio, entre las dos superficies. Los estudios experimentales demuestran que se puede reducir la resistencia térmica por contacto en un factor de hasta 7 por una hoja metálica en la interfase. Para obtener la máxima eficacia, las hojas deben ser muy delgadas. En la figura 3-16 se muestra el efecto de los recubrimientos metálicos sobre la conductancia térmica por contacto para varias superficies metálicas. Existe una incertidumbre considerable en los datos sobre la conductancia por contacto que se encuentran en la literatura y debe tenerse cuidado al usarlos. En la tabla 3-2 se dan algunos resultados experimentales para la conductancia por contacto entre superficies metálicas semejantes y diferentes, para usarlos en los cálculos preliminares de diseño. Note que la conductancia térmica por contacto es la más alta (y, por lo tanto, la resistencia por contacto es la más baja) para los metales suaves con superficies lisas a alta presión. 104 Presión de contacto (kN/m2) No recubierto Recubierto FIGURA 3-16 Efecto de los recubrimientos metálicos sobre la conductancia térmica por contacto (tomada de Peterson, 1987). Espesor equivalente para la resistencia por contacto SOLUCIÓN Se debe determinar el espesor de la placa de aluminio cuya resistencia térmica sea igual a la resistencia térmica por contacto. Propiedades La conductividad térmica del aluminio a la temperatura ambiente es k  237 W/m · °C (tabla A-3). Análisis Dado que la resistencia térmica por contacto es la inversa de la conductancia térmica por contacto, esa resistencia es Rc  1 1   0.909  10
4 m2 · °C/ W 2 hc 11 000 W/m · °C Para una unidad de área superficial, la resistencia térmica de una placa plana se define como R L k donde L es el espesor de la placa y k es la conductividad térmica. Si se considera R  Rc se determina el espesor equivalente a partir de la relación antes dada como L  kRc  (237 W/m · °C)(0.909  10
4 m2 · °C/ W)  0.0215 m  2.15 cm http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 149 149 CAPÍTULO 3 TABLA 3-2 Conductancia térmica por contacto de algunas superficies metálicas en aire (tomada de varias fuentes) Condición de la superficie Material Aspereza, mm Temperatura, °C hc,* W/m2 · °C Presión, MPa Parejas de metales idénticos Acero inoxidable 416 Esmerilada 2.54 90-200 0.17-2.5 3 800 Acero inoxidable 304 Esmerilada 1.14 20 4-7 Aluminio Esmerilada 2.54 150 1.2-2.5 1 900 Cobre Esmerilada 1.27 20 1.2-20 Cobre Cepillada 3.81 20 1-5 55 500 Cobre (al vacío) Cepillada 0.25 30 0.17-7 11 400 11 400 143 000 Parejas de metales diferentes Acero inoxidable aluminio 20-30 20 10 20 2 900 3 600 Acero inoxidable aluminio 1.0-2.0 20 10 20 16 400 20 800 50 000 59 000 Acero Ct-30 aluminio Esmerilada 1.4-2.0 20 10 15-35 Acero Ct-30 aluminio Cepillada 4.5-7.2 20 10 30 4 800 8 300 5 42 000 Aluminio-cobre Esmerilada 1.17-1.4 20 15 56 000 Aluminio-cobre Cepillada 4.4-4.5 20 10 20-35 12 000 22 000 *Divídanse los valores dados entre 5.678 para convertir a Btu/h · ft2 · °F. Placa Placa 1 2 Discusión Note que la interfase entre las dos placas ofrece tanta resistencia a la transferencia de calor como una placa de aluminio de 2.15 cm de espesor. Resulta interesante que, en este caso, la resistencia térmica por contacto es mayor que la suma de las resistencias térmicas de las dos placas. EJEMPLO 3-5 Interfase 1 cm 1 cm Resistencia por contacto de los transistores Cuatro transistores idénticos de potencia con caja de aluminio están sujetos a uno de los lados de una placa cuadrada de cobre de 20 cm  20 cm y 1 cm de espesor (k  386 W/m · °C) por medio de tornillos que ejercen una presión promedio de 6 MPa (figura 3-18). El área de la base de cada transistor es 8 cm2 y cada uno de ellos está colocado en el centro de una sección de 10 cm  10 cm que constituye la cuarta parte de la placa. Se estima que la aspereza de la interfase es alrededor de 1.5 mm. Todos los transistores están cubiertos de una gruesa capa de plexiglás, que es un mal conductor del calor y, por lo tanto, todo el calor generado en la unión del transistor debe ser disipado hacia el ambiente que está a 20°C, a través de la superficie posterior de la placa de cobre. El coeficiente combinado de transferencia de calor por convección/radiación en la superficie posterior se puede tomar como 25 W/m2 · °C. Si la temperatu- http://librosysolucionarios.net Placa 1 Placa equivalente de aluminio Placa 2 1 cm 2.15 cm 1 cm FIGURA 3-17 Esquema para el ejemplo 3-4. Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 150 150 CONDUCCIÓN DE CALOR 1 cm 20 cm ra de la caja del transistor no debe sobrepasar los 70°C, determine la potencia máxima que cada transistor puede disipar con seguridad y el salto de temperatura en la interfase caja-placa. 70°C SOLUCIÓN Cuatro transistores idénticos de potencia están sujetos a una placa de cobre. Para una temperatura máxima de la caja de 70°C se deben determinar la disipación máxima de potencia y el salto de temperatura en la interfase. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La transferencia de calor se puede considerar como si fuera unidimensional, aun cuando se reconoce que, en algunas partes de la placa, la conducción de calor será bidimensional, dado que el área de la placa es mucho más grande que el área de la base del transistor. Pero la gran conductividad térmica del cobre minimizará este efecto. 3 Todo el calor generado en la unión se disipa a través de la superficie posterior de la placa, ya que los transistores están cubiertos por una gruesa capa de plexiglás. 4 Las conductividades térmicas son constantes. Propiedades Se da la conductividad térmica del cobre como k  386 W/m · °C. La conductancia por contacto se obtiene de la tabla 3-2 como hc  42 000 W/m2 · °C, la cual corresponde a la interfase cobre-aluminio para el caso de una aspereza de 1.17-1.4 m y una presión de 5 MPa, la cual es suficientemente cercana a la que se tiene. Análisis Se dice que el área de contacto entre la caja y la placa es de 8 cm2 y el área de esta última para cada transistor es de 100 cm2. La red de resistencias térmicas de este problema consta de tres resistencias en serie (interfase, placa y convección), las cuales se determina que son 20°C Placa de cobre Cubierta de plexiglás FIGURA 3-18 Esquema para el ejemplo 3-5. Rinterfase  1 1  0.030°C/ W  2 (42 000 W/m · °C)(8  10
4 m2) hc Ac Rplaca  0.01 m L   0.0026°C/ W kA (386 W/m · °C)(0.01 m2) Rconv  1 1   4.0°C/ W ho A (25 W/m2 · °C)(0.01 m2) Entonces la resistencia térmica total es Rtotal  Rinterfase  Rplaca  Rambiente  0.030  0.0026  4.0  4.0326°C/ W Note que la resistencia térmica de una placa de cobre es muy pequeña y se puede ignorar por completo. Entonces se determina que la razón de la transferencia de calor es (70
20)°C · T Q  12.4 W  Rtotal 4.0326°C/ W Por lo tanto, el transistor de potencia no debe operarse a niveles de potencia mayores que 12.4 W, si la temperatura de la caja no debe sobrepasar los 70°C. El salto de temperatura en la interfase se determina a partir de · Tinterfase  Q R interfase  (12.4 W)(0.030°C/ W)  0.37°C que no es muy grande. Por lo tanto, incluso si se elimina por completo la resistencia por contacto térmico en la interfase, en este caso se bajará la temperatura de operación del transistor en menos de 0.4°C. http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 151 151 CAPÍTULO 3 3-3 ■ REDES GENERALIZADAS DE RESISTENCIAS TÉRMICAS Aislamiento También se puede usar el concepto de resistencia térmica o la analogía eléctrica para resolver problemas de transferencia de calor en estado estacionario que comprenden capas en paralelo o configuraciones combinadas serie-paralelo. Aun cuando ese tipo de problemas con frecuencia son bidimensionales o incluso tridimensionales, se pueden obtener soluciones aproximadas suponiendo transferencia unidimensional de calor y utilizando la red de resistencias térmicas. Considere la pared compuesta que se muestra en la figura 3-19, la cual consta de dos capas paralelas. La red de resistencias térmicas, que consta de dos resistencias en paralelo, se puede representar como se muestra en la figura. Puesto que la transferencia total de calor es la suma de las transferencias a través de cada capa, se tiene
 T1
T2 T1
T2 1 1 · · · Q  Q1  Q2    (T1
T2)  R1 R2 R1 R2 1 k1 2 k2 T2 T1 A2 L · Q1 · Q T1 · Q2 · Q R1 T2 R2 · · · Q = Q1 + Q2 (3-29) FIGURA 3-19 Red de resistencias térmicas para dos capas paralelas. Si se utiliza la analogía eléctrica, se obtiene T1
T2 · Q  Rtotal A1 (3-30) donde 1 Rtotal  1 1  R1 R2 ⎯→ Rtotal  Aislamiento R1R2 R1  R2 (3-31) A1 ya que las resistencias están en paralelo. Considere ahora la disposición combinada serie-paralelo que se muestra en la figura 3-20. Una vez más, la razón total de la transferencia de calor a través de este sistema compuesto se puede expresar como T1
T · Q Rtotal 2 A2 donde R1R2  R3  Rconv R1  R2 (3-33) L1 , k1 A1 R2  L2 , k2 A2 R3  L3 , k3 A3 Rconv  1 hA3 k2 T1 3 A3 k3 h, T L3 · Q1 · Q2 · Q R1 R3 Rconv T R2 y R1  k1 L1 = L 2 (3-32) · Q Rtotal  R12  R3  Rconv  1 T1 (3-34) Una vez que se evalúan cada una de las resistencias térmicas, se pueden determinar con facilidad la resistencia total y la razón total de la transferencia de calor a partir de las relaciones antes dadas. El resultado que se obtenga será un tanto aproximado, puesto que las superficies de la tercera capa es probable que no sean isotérmicas y es posible que ocurra transferencia de calor entre las dos primeras capas. Dos suposiciones que por lo común se establecen al resolver problemas multidimensionales complejos sobre transferencia de calor al tratarlos como http://librosysolucionarios.net FIGURA 3-20 Red de resistencias térmicas para una configuración combinada serie-paralelo. Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 152 152 CONDUCCIÓN DE CALOR unidimensionales (es decir, en la dirección x), usando la red de resistencias térmicas, son 1) cualquier pared plana normal al eje x es isotérmica (es decir, se supone que la temperatura varía sólo en la dirección x), y 2) cualquier plano paralelo al eje x es adiabático (es decir, se supone que la transferencia de calor ocurre sólo en la dirección x). Estas dos suposiciones conducen a redes diferentes de resistencias y, como consecuencia, a valores diferentes (pero, por lo general, cercanos) para la resistencia térmica total y, por lo tanto, para la transferencia de calor. El resultado real se encuentra entre estos dos valores. En las configuraciones geométricas en las cuales la transferencia de calor ocurre de manera predominante en una dirección, cualquiera de los dos enfoques conduce a resultados satisfactorios. Espuma Mortero EJEMPLO 3-6 h2 T2 1.5 cm Ladrillo h1 T1 22 cm 1.5 cm x 3 2 16 cm 2 R3 T1 Ri R1 R2 R4 R6 R5 FIGURA 3-21 Esquema para el ejemplo 3-6. Ro T2 Pérdida de calor a través de una pared compuesta Una pared de 3 m de alto y 5 m de ancho consta de ladrillos de 16  22 cm de sección transversal horizontal (k  0.72 W/m · °C) separados por capas de mortero (k  0.22 W/m · °C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas de mortero de 2 cm de espesor sobre cada lado del ladrillo y una espuma rígida (k  0.026 W/m · °C) de 3 cm de espesor sobre el lado interior de la pared, como se muestra en la figura 3-21. Las temperaturas dentro y fuera son de 20°C y
10°C, respectivamente, y los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre los lados interior y exterior son h1  10 W/m2 · °C y h2  25 W/m2 · °C, respectivamente. Si se supone transferencia de calor unidimensional y se descarta la radiación, determine la razón de la transferencia de calor a través de la pared. SOLUCIÓN Se da la composición de una pared compuesta. Se debe determinar la razón de la transferencia de calor a través de la pared. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria dado que no hay indicación de cambio con el tiempo. 2 La transferencia de calor se puede considerar como si fuera unidimensional, ya que se realiza de manera predominante en la dirección x. 3 Las conductividades térmicas son constantes. 4 La transferencia de calor por radiación es despreciable. Propiedades Se da que las conductividades térmicas son k  0.72 W/m · °C, para los ladrillos, k  0.22 W/m · °C, para las capas de mortero y k  0.026 W/m · °C, para la espuma rígida. Análisis Existe un patrón en la construcción de esta pared que se repite cada 25 cm de distancia en la dirección vertical. No hay variación en la dirección horizontal. Por lo tanto, se considera una porción de 1 m de profundidad y 0.25 m de alto de la pared, ya que es representativa de toda ella. Si se supone que cualquier sección transversal de la pared normal a la dirección x es isotérmica, la red de resistencias térmicas para la sección representativa de la pared queda como se muestra en la figura 3-21. Cada una de las resistencias se evalúa como Ri  Rconv, 1  1 1   0.40°C/ W h1 A (10 W/m2 · °C)(0.25  1 m2) R1  Respuma  0.03 m L   4.62°C/ W kA (0.026 W/m · °C)(0.25  1 m2) R2  R6  Rmortero, lado  0.02 m L  kA (0.22 W/m · °C)(0.25  1 m2)  0.36°C/ W http://librosysolucionarios.net Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 153 153 CAPÍTULO 3 R3  R5  Rmortero, centro  0.16 m L  kA (0.22 W/m · °C)(0.015  1 m2)  48.48°C/ W 0.16 m L   1.01°C/ W R4  Rladrillo  kA (0.72 W/m · °C)(0.22  1 m2) Ro  Rconv, 2  1 1   0.16°C/ W h2 A (25 W/m2 · °C)(0.25  1 m2) Las tres resistencias R3, R4 y R5 de en medio son paralelas y su resistencia equivalente se determina a partir de 1 Ren medio  1 1 1 1 1 1    1.03 W/°C    48.48 1.01 48.48 R3 R4 R5 lo cual da Ren medio  0.97°C/ W Ahora todas las resistencias están en serie y la resistencia total es Rtotal  Ri  R1  R2  Ren medio  R6  Ro  0.40  4.62  0.36  0.97  0.36  0.16  6.87°C/ W Entonces la razón de transferencia de calor estacionaria a través de la pared queda T1
T2 [20
(
10)]°C · Q  4.37 W (por área superficial de 0.25 m2)  Rtotal 6.87°C/W 6.85°C/ W o sea, 4.37/0.25  17.5 W por m2 de área. El área total de la pared es A  3 m  5 m  15 m2. Entonces la razón de la transferencia de calor a través de toda la pared queda Líneas adiabáticas · Q total  (17.5 W/m2)(15 m2)  263 W Por supuesto, este resultado es aproximado, ya que se supuso que la temperatura dentro de la pared varía sólo en una dirección y se ignoró cualquier cambio de temperatura (y, por lo tanto, transferencia de calor) en las otras dos direcciones. Discusión En la solución antes dada se supuso que cualquier sección transversal de la pared normal a la dirección x es isotérmica. También se pudo resolver este problema yendo hacia el otro extremo y suponer que las superficies paralelas a la dirección x son adiabáticas. En este caso, la red de resistencias térmicas será como se muestra en la figura 3-22. Al seguir el enfoque que acaba de describirse, se determina que la resistencia térmica total en este caso es Rtotal  6.97°C/W, lo cual es muy cercano al valor de 6.85°C/W obtenido con anterioridad. Por lo tanto, cualquiera de los dos enfoques da aproximadamente el mismo resultado en este caso. Este ejemplo hace ver que, en la práctica, se puede usar cualquiera de los dos enfoques para obtener resultados satisfactorios. http://librosysolucionarios.net x T1 Ri Ro T2 FIGURA 3-22 Red alternativa de resistencias térmicas para el ejemplo 3-6, para el caso en que se consideran adiabáticas las superficies paralelas a la dirección primaria de transferencia de calor. Cengel_03A.qxd 2/11/11 10:28 AM Page 154 154 CONDUCCIÓN DE CALOR 3-4 · Q r h T FIGURA 3-23 En un tubo que conduce agua caliente el calor se pierde hacia el aire del exterior en la dirección radial y, como consecuencia, la transferencia de calor desde un tubo largo es unidimensional. r2 r1 T1 k T2 FIGURA 3-24 Tubo cilíndrico largo (o capa esférica) con temperaturas de las superficies interior y exterior, T1 y T2, especificadas. ■ CONDUCCIÓN DE CALOR EN CILINDROS Y ESFERAS Considere la conducción estacionaria de calor a través de un tubo de agua caliente. El calor se pierde en forma continua hacia el exterior a través de la pared del tubo e, intuitivamente, se siente que la transferencia de calor a través de éste se efectúa en la dirección normal a su superficie y no se tiene alguna transferencia significativa en otras direcciones (figura 3-23). La pared del tubo, cuyo espesor es más bien pequeño, separa dos fluidos a temperaturas diferentes y, en consecuencia, el gradiente de temperatura en la dirección radial es relativamente grande. Además, si las temperaturas de los fluidos, dentro y fuera del tubo, permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de ese tubo es estacionaria. Por lo tanto, la transferencia de calor a través del tubo se puede considerar estacionaria y unidimensional. En este caso, la temperatura del tubo depende sólo de una dirección (la dirección r radial) y se puede expresar como T  T(r). La temperatura es independiente del ángulo azimutal o de la distancia axial. Esta situación se presenta aproximadamente en la práctica en los tubos cilíndricos largos y en los recipientes esféricos. En operación estacionaria no se tiene cambio en la temperatura del tubo con el tiempo en cualquier punto. Por lo tanto, la razón de la transferencia de calor hacia el tubo debe ser igual a la razón de la transferencia hacia afuera de él. En otras palabras, la transferencia de calor a través del tubo debe ser constan· te, Q cond, cil  constante. Considere una capa cilíndrica larga (como un tubo circular) de radio interior r1, radio exterior r2, longitud L y conductividad térmica promedio k (figura 3-24). Las dos superficies de la capa cilíndrica se mantienen a las temperaturas constantes T1 y T2. No hay generación de calor en la capa y la conductividad térmica es constante. Para una conducción de calor unidimensional a través de la capa cilíndrica, se tiene T(r). Entonces la ley de Fourier de la conducción del calor para la transferencia de calor a través de la capa cilíndrica se puede expresar como dT · Q cond, cil 
kA dr (W) (3-35) en donde A  2prL es el área de transferencia en la ubicación r. Note que A depende de r y, en consecuencia, varía en la dirección de la transferencia de calor. Al separar las variables de la ecuación antes dada e integrar desde r  r1, donde T(r1)  T1, hasta r  r2, en donde T(r2)  T2, da Q· cond, cil dr 
A rr1  r2  T2 k dT (3-36) TT1 Al sustituir A  2prL y realizar la integración da T1
T2 · Q cond, cil  2pLk ln (r2 /r1) (W) (3-37) · dado que Q cond, cil  constante. Esta ecuación se puede reacomodar para que quede T1
T2 · Q cond, cil  Rcil http://librosysolucionarios.net (W) (3-38) Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 155 155 CAPÍTULO 3 donde Rcil
ln (r2 /r1) 22Lk 
ln (radio exterior /radio interior) 22   (Longitud)  (Conductividad térmica) (3-39) es la resistencia térmica de la capa cilíndrica contra la conducción de calor o, simplemente, la resistencia a la conducción de la capa cilíndrica. Observe que la ecuación 3-37 es idéntica a la ecuación 2-59 que se obtuvo usando el método “estándar” al resolver primero la ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas, ecuación 2-29, para obtener la distribución de temperatura, ecuación 2-58, y después mediante la ley de Fourier para obtener la razón de transferencia de calor. El método utilizado para obtener la ecuación 3-37 puede considerarse como un método “alternativo”. No obstante, se restringe a una conducción de calor unidimensional en régimen estacionario sin generación de calor. Se puede repetir el análisis para una capa esférica, al tomar A
4pr2 y realizar la integración en la ecuación 3-36. El resultado se puede expresar como T1  T2 · Q cond, esf
Resf Q· (3-40) h2 donde h1 r2  r1 Radio exterior  Radio interior Resf

(3-41)  exterior)(Radio interior)(Conductividad térmica) 424r  1r2 k 424(Radio es la resistencia térmica de la capa esférica contra la conducción del calor o, simplemente, la resistencia a la conducción de la capa esférica. Vea que la ecuación 3-40 es idéntica a la ecuación 2-61, que se obtiene al resolver la ecuación de conducción de calor en coordinadas esféricas. Considere ahora el flujo unidimensional de calor en estado estacionario a través de una capa cilíndrica o esférica que está expuesta a la convección en ambos lados hacia fluidos que están a las temperaturas T1 y T2, con coeficientes de transferencia de calor h1 y h2, respectivamente, como se muestra en la figura 3-25. En este caso, la red de resistencias térmicas consta de una resistencia a la conducción y dos a la convección, en serie, precisamente como aquélla para la pared plana y la razón de la transferencia de calor en condiciones estacionarias se puede expresar como T1  T2 · Q
Rtotal (3-42) donde Rtotal
Rconv, 1  Rcil  Rconv, 2 ln (r2 /r1) 1 1  
(2 22Lk  (2r (2r (2 2r 1L)h1 (2 2r 2L)h2 (3-43) para una capa cilíndrica y Rtotal
Rconv, 1  Resf  Rconv, 2 r2  r1 1 1  
2 (4 2  r 4r (4 2 r 1r2 k (4 2r 22)h2 (4r1 )h1 (4r (3-44) para una capa esférica. Note que A en la relación de la resistencia a la convección Rconv
1/hA es el área superficial en la cual ocurre la convección. Ésta es igual a A
2prL, para una superficie cilíndrica, y A
4pr2, para una superficie esférica de radio r. Note también que las resistencias térmicas están en serie y, por lo tanto, la resistencia térmica total se determina simplemente al sumar cada una de las resistencias, precisamente como las resistencias eléctricas conectadas en serie. http://librosysolucionarios.net T1 r2 r1 T1 Rconv, 1 T2 Rcil T2 Rconv, 2 Rtotal = Rconv, 1 + Rcil + Rconv, 2 FIGURA 3-25 Red de resistencias térmicas para una capa cilíndrica (o esférica) sujeta a convección tanto en el lado interior como en el exterior. Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 156 156 CONDUCCIÓN DE CALOR Cilindros y esferas con capas múltiples La transferencia de calor estacionaria a través de capas cilíndricas o esféricas múltiples se puede manejar como en el caso de las paredes planas de capas múltiples que se discutió antes, simplemente al sumar una resistencia adicional en serie por cada capa adicional. Por ejemplo, la razón de la transferencia de calor estacionaria a través del cilindro compuesto de tres capas, de longitud L, que se muestra en la figura 3-26, con convección en ambos lados, se puede expresar como T1  T2 · Q
Rtotal (3-45) donde Rtotal es la resistencia térmica total, expresada como Rtotal
Rconv, 1  Rcil, 1  Rcil, 2  Rcil, 3  Rconv, 2 ln (r2 /r1) ln (r3 /r2) ln (r4 /r3) 1 1
    2p 3 h1 A1 2Lk 2Lk2 2Lk h2 A4 2p 1 2p (3-46) donde A1
2pr1L y A4
2pr4L. La ecuación 3-46 también se puede usar para una cubierta esférica de tres capas, al reemplazar las resistencias térmicas de las capas cilíndricas por las correspondientes esféricas. Una vez más, note que, con base en la red de resistencias térmicas, esas resistencias están en serie y, como consecuencia, la resistencia térmica total es simplemente la suma aritmética de cada una de las resistencias térmicas en la trayectoria del flujo de calor. · Una vez que se conoce Q se puede determinar cualquier temperatura inter· media Tj, al aplicar la relación Q
(Ti  Tj)/Rtotal, i  j a través de cualquier capa o cualesquiera capas, en tal forma que Ti sea una temperatura conocida en la ubicación i y Rtotal, i  j sea la resistencia térmica total entre las ubicaciones i · y j (figura 3-27). Por ejemplo, una vez que se ha calculado Q , se puede determinar la temperatura T2 en la interfase entre la primera y la segunda capas cilíndricas a partir de 3 k3 2 1 h1 T1 k2 T2 r2 T1 Rconv,1 r3 k1 r1 T1 h2 r4 T2 Rcil,1 T3 Rcil,2 T4 Rcil,3 Rconv,2 T2 FIGURA 3-26 Red de resistencias térmicas para la transferencia de calor a través de un cilindro compuesto de tres capas sujeto a convección en ambos lados. http://librosysolucionarios.net Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 157 157 CAPÍTULO 3 · Q
T1  T2 Rconv, 1  Rcil, 1 T1  T2
1 2 1L) h1(2r  (3-47) T1 T1 Rconv,1 ln (r2 /r1) T2  T2 22Lk  1 R2  R3  Rconv, 2
T2  T2 ln (r3 /r2) 2pLk22 2Lk  ln (r4 /r3) 2Lk 2pLk3 T2 Rconv,2 R2 T1 – T1 · Q = ———— Rconv,1 T1 – T2 = ———— Rconv,1 + R1 (3-48) T 1 – T3 = ———— R1 + R2 1  (2pr44L) ho(2r Aun cuando las dos relaciones dan el mismo resultado, se prefiere la primera, ya que comprende menos términos y, por lo tanto, menos trabajo. También se puede emplear el concepto de resistencia térmica para otras configuraciones geométricas, siempre que se usen las resistencias apropiadas a la conducción y las áreas superficiales apropiadas en las resistencias a la convección. EJEMPLO 3-7 T3 R1 También se pudo calcular T2 a partir de · Q
T2 Transferencia de calor hacia un recipiente esférico T 2 – T3 = ———— R2 T2 – T2 = ———— R2 + Rconv,2 =... FIGURA 3-27 La razón T/R a través de cualquier · capa es igual a Q , la cual permanece constante en la conducción estacionaria unidimensional. Se usa un tanque esférico con diámetro interno de 3 m hecho de acero inoxidable de 2 cm de espesor (k
15 W/m · °C) para almacenar agua con hielo a T1
0°C. El tanque está ubicado en un cuarto cuya temperatura es T2
22°C. Las paredes del cuarto también están a 22°C. La superficie exterior del tanque es negra y la transferencia de calor entre la superficie exterior del mismo y los alrededores es por convección natural y radiación. Los coeficientes de transferencia de calor por convección en las superficies interior y exterior del tanque son h1
80 W/m2 · °C y h2
10 W/m2 · °C, respectivamente. Determine: a) la razón de la transferencia de calor hacia el agua con hielo que está en el tanque y b) la cantidad de hielo a 0°C que se funde durante un periodo de 24 h. SOLUCIÓN Un recipiente esférico lleno de agua con hielo está sujeto a transferencia de calor por convección y radiación en su superficie exterior. Se deben determinar la razón de la transferencia de calor y la cantidad de hielo que se funde por día. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria dado que las condiciones térmicas especificadas en las fronteras no cambian con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, ya que se tiene simetría térmica en torno al punto medio. 3 La conductividad térmica es constante. Propiedades Se da la conductividad térmica del acero como k
15 W/m · °C. El calor de fusión del agua a la presión atmosférica es hif
333.7 kJ/kg. La superficie exterior del tanque es negra y, por lo tanto, su emisividad es 
1. Análisis a) En la figura 3-28 se da la red de resistencias térmicas para este problema. Dado que el diámetro interior del tanque es D1
3 m y el diámetro exterior es D2
3.04 m, las áreas de las superficies interior y exterior del mismo son h2 T 2 Agua con hielo 1 0°C A1
pD12
p(3 m)2
28.3 m2 A2
pD22
p(3.04 m)2
29.0 m2 Asimismo, el coeficiente de transferencia de calor por radiación se expresa por 2 )(T  T ) hrad
es(T22  T2 2 2 Pero no se conoce la temperatura T2 de la superficie exterior del tanque y, en consecuencia, no se puede calcular hrad. Por lo tanto, se necesita suponer aho- http://librosysolucionarios.net 2 cm h1 m .5 Rrad T1 T1 Ri T2 R1 Ro FIGURA 3-28 Esquema para el ejemplo 3-7. Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 158 158 CONDUCCIÓN DE CALOR ra un valor de T2 y comprobar más adelante la exactitud de esta suposición. Si es necesario, se repetirán los cálculos usando un valor revisado para T2. Nótese que T2 debe estar entre 0°C y 22°C, pero debe estar más cercana a 0°C, dado que el coeficiente de transferencia de calor dentro del tanque es mucho mayor. Si se toma T2
5°C
278 K, se determina que el coeficiente de transferencia de calor por radiación es hrad
(1)(5.67  108 W/m2 · K4)[(295 K)2  (278 K)2][(295  278) K]
5.34 W/m2 · K
5.34 W/m2 · °C Entonces cada una de las resistencias térmicas queda Ri
Rconv, 1
R1
Resfera
1 1
0.000442°C/ W
h1 A1 (80 W/m2 · °C)(28.3 m2) r2  r1 4kr 4pkr1r2
(1.52  1.50) m W/m · °C)(1.52 m)(1.50 m) 424(15 
0.000047°C/ W 1 1
0.00345°C/ W
Ro
Rconv, 2
h2 A2 (10 W/m2 · °C)(29.0 m2) 1 1
0.00646°C/ W
Rrad
hrad A2 (5.34 W/m2 · °C)(29.0 m2) Las dos resistencias en paralelo, Ro y Rrad, se pueden reemplazar por una resistencia equivalente Requiv determinada a partir de 1 1 1 1 1 
444.7 W/°C

Requiv Ro Rrad 0.00345 0.00646 la cual da Requiv
0.00225°C/ W Ahora todas las resistencias están en serie y la resistencia total es Rtotal
Ri  R1  Requiv
0.000442  0.000047  0.00225
0.00274°C/ W Entonces la razón de transferencia de calor estacionaria hacia el agua con hielo queda T2  T1 (22  0)°C · Q

8 029 W
Rtotal 0.00274°C/ W · (o Q
8.029 kJ/s) Para comprobar la validez de nuestra suposición original, se determina ahora la temperatura de la superficie exterior a partir de T2  T2 · Q
Requiv ⎯→ · T2
T2  Q R equiv
22°C  (8 029 W)(0.00225°C/ W)
4°C la cual está suficientemente cercana a los 5°C supuestos en la determinación del coeficiente de transferencia de calor por radiación. Por lo tanto, no hay necesidad de repetir los cálculos al usar 4°C para T2. http://librosysolucionarios.net Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 159 159 CAPÍTULO 3 b) La cantidad total de transferencia de calor durante un periodo de 24 h es · Q
Q t
(8.029 kJ/s)(24  3 600 s)
693 700 kJ Dado que se requieren 333.7 kJ de energía para fundir 1 kg de hielo a 0°C, la cantidad de ese hielo que se fundirá durante un periodo de 24 h es mhielo
Q hif 693 673 700 kJ
—————
2 079 kg 333.7 kJ/kg 333.7 kJ/kg Por lo tanto, alrededor de 2 toneladas métricas de hielo se fundirán en el tanque cada día. Discusión Una manera más fácil de tratar con convección y radiación combinadas en una superficie cuando el medio circundante y las superficies están a la misma temperatura es sumar los coeficientes de transferencia de calor por radiación y por convección y tratar el resultado como el coeficiente de transferencia de calor por convección. Es decir, tomar en este caso h
10  5.34
15.34 W/m2 · °C. De esta manera se puede ignorar la radiación, ya que su contribución se toma en cuenta en el coeficiente de transferencia de calor por convección. En este caso, la resistencia a la convección de la superficie exterior sería Rcombinada
1 1

0.00225°C/ W hcombinada A2 (15.34 W/m2 · °C)(29.0 m2) el cual es idéntico al valor obtenido para la resistencia equivalente para las resistencias a la convección y a la radiación en paralelo. EJEMPLO 3-8 Pérdida de calor a través de un tubo aislado de vapor de agua En un tubo de hierro fundido (k
80 W/m · °C), cuyos diámetros interior y exterior son D1
5 cm y D2
5.5 cm, respectivamente, fluye vapor de agua a T1 = 320°C. El tubo está cubierto con un aislamiento de fibra de vidrio de 3 cm de espesor, con k
0.05 W/m · °C. Se pierde calor hacia los alrededores que están a T2
5°C por convección natural y radiación, con un coeficiente combinado de transferencia de calor de h2
18 W/m2 · °C. Si el coeficiente de transferencia de calor dentro del tubo es h1
60 W/m2 · °C, determine la razón de la pérdida de calor del vapor por unidad de longitud del tubo. Asimismo, determine la caída de temperatura a través de la pared de éste y a través de la capa de aislamiento. SOLUCIÓN Un tubo de vapor de agua cubierto con aislamiento de fibra de vidrio está sujeto a convección sobre sus superficies. Se deben determinar la razón de la transferencia de calor por unidad de longitud y la caída de temperatura a través del tubo y el aislamiento. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria ya que no se tiene indicación de algún cambio con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, puesto que se tiene simetría térmica con respecto a la línea central y no hay variación en la dirección axial. 3 Las conductividades térmicas son constantes. 4 La resistencia por contacto térmico en la interfase es despreciable. Propiedades Se da que las conductividades térmicas son k
80 W/m · °C, para el hierro fundido, y k
0.05 W/m · °C, para el aislamiento de fibra de vidrio. http://librosysolucionarios.net Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 160 160 CONDUCCIÓN DE CALOR h2 T2 Análisis Para este problema, la red de resistencias térmicas comprende cuatro dispuestas en serie y se presenta en la figura 3-29. Si L
1 m, se determina que las áreas de las superficies expuestas a la convección son A1
2r1L
2(0.025 m)(1 m)
0.157 m2 A3
2r3L
2(0.0575 m)(1 m)
0.361 m2 Aislamiento r1 T1 Entonces cada una de las resistencias térmicas queda r3 Vapor T1 T2 T1 h1 r2 1 1

0.106°C/ W h1 A1 (60 W/m2 · °C)(0.157 m2) ln (r2 /r1) ln (2.75/2.5)

0.0002°C/ W R1
Rtubo
2  2(80 W/m · °C)(1 m) 22k  1L ln (r3 /r2) ln (5.75/2.75) R2
Raislamiento


2.35°C/ W 22k  2L 22(0.05  W/m · °C)(1 m) Ri
Rconv, 1
· Q T3 T1 Ri T2 R1 T3 R2 FIGURA 3-29 Esquema para el ejemplo 3-8. Ro T2 Ro
Rconv, 2
1 1

0.154°C/ W h2 A3 (18 W/m2 · °C)(0.361 m2) Ya que todas las resistencias están en serie se determina que la resistencia total es Rtotal
Ri  R1  R2  Ro
0.106  0.0002  2.35  0.154
2.61°C/ W Entonces la razón estacionaria de pérdida de calor del vapor queda T1  T2 (320  5)°C ·
Q

121 W Rtotal 2.61°C/W (por m de longitud del tubo) Se puede determinar la pérdida de calor para una longitud dada de tubo multiplicando esta última cantidad por la longitud L de ese tubo. La caída de temperatura a través del tubo y el aislamiento se determinan con base en la ecuación 3-17 como · Ttubo
Q R tubo
(121 W)(0.0002°C/ W)
0.02°C · T aislamiento
Q R aislamiento
(121 W)(2.35°C/ W)
284°C Es decir, las temperaturas entre las superficies interior y exterior del tubo difieren en 0.02°C, en tanto que las temperaturas entre las superficies interior y exterior del aislamiento difieren en 284°C. Discusión Note que la resistencia térmica del tubo es demasiado pequeña con relación a las otras resistencias y se puede despreciar sin causar algún error significativo. Del mismo modo, note que la caída de temperatura a través del tubo es prácticamente cero y, por lo tanto, se puede suponer que el tubo es isotérmico. La resistencia al flujo de calor en los tubos aislados se debe principalmente al aislamiento. 3-5 ■ RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO Se sabe que al agregar más aislamiento a una pared o al ático siempre disminuye la transferencia de calor. Entre más grueso sea el aislamiento, más baja es la razón de la transferencia de calor. Esto es previsible ya que el área A de la transferencia de calor es constante y agregar aislamiento siempre incrementa la resistencia térmica de la pared sin incrementar la resistencia a la convección. Sin embargo, agregar aislamiento a un tubo cilíndrico o a una capa esférica es un asunto diferente. El aislamiento adicional incrementa la resistencia a la http://librosysolucionarios.net Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 161 161 CAPÍTULO 3 conducción de la capa de aislamiento pero disminuye la resistencia a la convección de la superficie debido al incremento en el área exterior. La transferencia de calor del tubo puede aumentar o disminuir, dependiendo de cuál sea el efecto que domine. Considere un tubo cilíndrico de radio exterior r1 cuya temperatura de la superficie exterior, T1, se mantiene constante (figura 3-30). Ahora se aísla el tubo con un material cuya conductividad térmica es k y su radio exterior es r2. Se pierde calor del tubo hacia el medio circundante que está a la temperatura T, con un coeficiente de transferencia de calor h por convección. La razón de la transferencia de calor del tubo aislado hacia el aire circundante se puede expresar como (figura 3-31) Aislamiento k r2 r1 Rais Rconv T T1 h T FIGURA 3-30 · Q
T1  T Rais  Rconv
T1  T ln (r2 /r1) 22Lk   (3-49) 1 2 2L) h(2r Tubo cilíndrico aislado expuesto a la convección desde la superficie exterior y la red de resistencias térmicas asociada con él. · En la figura 3-31 se tiene la gráfica de la variación de Q con el radio exterior · del aislamiento r2. El valor de r2 al cual Q alcanza un máximo se determina a · partir del requisito de que dQ /dr2
0 (pendiente cero). Al derivar y despejar r2 resulta que el radio crítico de aislamiento para un cuerpo cilíndrico es k rcr, cilindro
h (m) k (3-50) Note que el radio crítico de aislamiento depende de la conductividad térmica del aislamiento k y del coeficiente externo de transferencia de calor por convección h. La razón de la transferencia de calor del cilindro aumenta con la adición de aislamiento para r2 rcr, alcanza un máximo cuando r2
rcr y empieza a decrecer para r2 rcr. Por lo tanto, en realidad, aislar el tubo puede aumentar la razón de la transferencia de calor del tubo en lugar de disminuirla cuando r2 rcr. La pregunta importante a la que debe responderse en este punto es si es necesario preocuparse por el radio crítico de aislamiento para los tubos de agua caliente o incluso los tanques de agua caliente. ¿Siempre se debe comprobar y asegurar que el radio exterior del aislamiento sea suficientemente mayor que el radio crítico antes de que se instale? Probablemente no, como se explica en seguida. El valor del radio crítico rcr alcanzará un máximo cuando k sea grande y h sea pequeño. Dado que el valor más bajo de h que se encuentra en la práctica es de alrededor de 5 W/m2 · °C, para el caso de convección natural de los gases y que la conductividad térmica de los materiales aislantes comunes es alrededor de 0.05 W/m · °C, el valor más grande del radio crítico que probablemente se encuentra es rcr, máx
· Q kmáx, aislamiento 0.05 W/m2 · °C

0.01 m
1 cm hmín 5 W/m · °C Este valor incluso sería más pequeño si se consideraran los efectos de la radiación. Los radios críticos serían mucho menores en la convección forzada, con frecuencia menores a 1 mm, debido a los valores mucho más grandes de h asociados con la convección forzada. Por lo tanto, se puede aislar los tubos de agua caliente o de vapor con libertad, sin preocuparnos por la posibilidad de aumentar la transferencia de calor por el aislamiento de los tubos. El radio de los alambres eléctricos puede ser menor que el radio crítico. Por lo tanto, el aislamiento eléctrico de plástico en realidad puede acrecentar la transferencia de calor de los alambres eléctricos y, de este modo, mantener sus http://librosysolucionarios.net r1 · Q h r2 · Qmáx · Qdesnudo 0 r1 rcr = k /h r2 FIGURA 3-31 Variación de la razón de transferencia de calor con el radio externo del aislamiento r2 cuando r1 rcr. Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 162 162 CONDUCCIÓN DE CALOR temperaturas de operación estacionarias en niveles más bajos y, como consecuencia, más seguros. Se puede repetir la discusión antes presentada para una esfera y, de manera semejante, se puede demostrar que el radio crítico del aislamiento para una capa esférica es rcr, esfera
2k h (3-51) donde k es la conductividad térmica del aislamiento y h es el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie exterior. EJEMPLO 3-9 Pérdida de calor de un alambre eléctrico aislado Un alambre eléctrico de 3 mm de diámetro y 5 m de largo está firmemente envuelto con una cubierta gruesa de plástico de 2 mm cuya conductividad térmica es k
0.15 W/m · °C. Las mediciones eléctricas indican que por el alambre pasa una corriente de 10 A y se tiene una caída de voltaje de 8 V a lo largo de éste. Si el alambre aislado se expone a un medio que está a T
30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h
12 W/m2 · °C, determine la temperatura en la interfase del alambre y la cubierta de plástico en operación estacionaria. Asimismo, determine si la duplicación del espesor de la cubierta de plástico aumentará o disminuirá esta temperatura en la interfase. SOLUCIÓN Un alambre eléctrico está firmemente envuelto con una cubierta de plástico. Se van a determinar la temperatura en la interfase y el efecto de la duplicación del espesor de la cubierta de plástico sobre esta temperatura. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria ya que no hay indicación de algún cambio con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional dado que se tiene simetría térmica con respecto a la línea central y no hay variación en la dirección axial. 3 Las conductividades térmicas son constantes. 4 La resistencia térmica por contacto en la interfase es despreciable. 5 En el coeficiente de transferencia de calor se incorporan los efectos de la radiación, si los hay. Propiedades Se da que la conductividad térmica del plástico es k
0.15 W/m · °C. Análisis En el alambre se genera calor y su temperatura se eleva como resultado del calentamiento por resistencia. Se supone que el calor se genera de manera uniforme en todo el alambre y se transfiere hacia el medio circundante en la dirección radial. En la operación estacionaria, la razón de la transferencia de calor se vuelve igual al calor generado dentro del alambre, el cual se determina que es · · Q
We
VI
(8 V)(10 A)
80 W · Q k r1 La red de resistencias térmicas para este problema comprende una resistencia a la conducción, para la cubierta de plástico, y una resistencia a la convección, para la superficie exterior, en serie, como se muestra en la figura 3-32. Se determina que los valores de estas dos resistencias son r2 h T T1 A2
(2pr2)L
2p(0.0035 m)(5 m)
0.110 m2 T2 · Q Rconv
T2 T1 Rplástico T Rconv FIGURA 3-32 Esquema para el ejemplo 3-9. Rplástico
1 1

0.76°C/ W hA2 (12 W/m2 · °C)(0.110 m2) ln (r2 /r1) 2kL 2p
ln (3.5/1.5)
0.18°C/ W 2(0.15 W/m · °C)(5 m) 2p http://librosysolucionarios.net Cengel_03B.qxd 2/23/11 12:24 PM Page 163 163 CAPÍTULO 3 y, por lo tanto, Rtotal
Rplástico  Rconv
0.76  0.18
0.94°C/ W Entonces se puede determinar la temperatura en la interfase a partir de T1  T · Q
Rtotal ⎯→ · T1
T  Q R total
30°C  (80 W)(0.94°C/ W)
105°C Note que no se involucra directamente el alambre en la red de resistencias térmicas, ya que el alambre comprende la generación de calor. Para responder a la segunda parte de la pregunta se necesita conocer el radio crítico de aislamiento de la cubierta de plástico. Éste se determina a partir de la ecuación 3-50 como rcr
k 0.15 W/m · °C

0.0125 m
12.5 mm h 12 W/m2 · °C el cual es más grande que el radio de la cubierta de plástico. Por lo tanto, al aumentar el espesor de la cubierta de plástico se acrecentará la transferencia de calor hasta que el radio exterior de esa cubierta llegue a 12.5 mm. Como resul· tado se aumentará la razón de la transferencia de calor, Q , cuando la tempera· tura de la interfase, T1, se mantenga constante o bien T1 disminuirá cuando Q se mantenga constante, el cual es el caso en este problema. Discusión Se puede demostrar, al repetir los cálculos anteriores para una cubierta de plástico de 4 mm de espesor, que la temperatura en la interfase cae hasta 90.6°C cuando se duplica el espesor de esa cubierta. También se puede demostrar de manera semejante que la interfase alcanza una temperatura mínima de 83°C cuando el radio exterior de la cubierta de plástico es igual al radio crítico. 3-6 ■ TRANSFERENCIA DE CALOR DESDE SUPERFICIES CON ALETAS La razón de la transferencia de calor desde una superficie que está a una temperatura Ts hacia el medio circundante que está a T se expresa por la ley de Newton del enfriamiento como · Q conv
hAs (Ts  T) donde As es el área superficial de transferencia de calor y h es el coeficiente de transferencia de calor por convección. Cuando las temperaturas Ts y T se fijan por consideraciones de diseño, como con frecuencia es el caso, existen dos maneras de incrementar la razón de la transferencia de calor: aumentar el coeficiente de transferencia de calor por convección, h, o aumentar el área superficial As. El aumento de h puede requerir la instalación de una bomba o ventilador, o reemplazar el existente con uno más grande, pero este procedimiento puede no ser práctico o adecuado. La alternativa es aumentar el área superficial al agregar unas superficies extendidas llamadas aletas, hechas de materiales intensamente conductores como el aluminio. Las superficies con aletas se fabrican al extruir, soldar o envolver una delgada lámina metálica sobre una superficie. Las aletas mejoran la transferencia de calor desde una superficie al exponer un área más grande a la convección y la radiación. Una interesante aplicación de las aletas data del periodo Jurásico —hace 150 millones— (figura 3-33). El estegosaurio vivió en aquella época y tenía dos filas de grandes y extrañas placas óseas en su espalda. Por mucho tiempo http://librosysolucionarios.net FIGURA 3-33 Supuestas aletas refrigerantes en el estegosaurio (© Alamy RF). Cengel_03B.qxd 2/23/11 1:04 PM Page 164 164 CONDUCCIÓN DE CALOR FIGURA 3-34 Las aletas en placas delgadas del radiador de un automóvil aumentan en gran medida la razón de transferencia de calor al aire. (Izq. © Yuns Çengel, foto de James Kleiser, derecha: © The McGraw-Hill Companies, Inc./Christopher Kerrigan, fotógrafo.) FIGURA 3-35 Algunos diseños innovadores de aletas. · Qconv T0 · Qcond, x Elemento de volumen Ac 0 · Qcond, x + ∆ x los científicos pensaron que estas formaciones eran algún tipo de armadura que lo protegía de los depredadores carnívoros. Ahora sabemos que por esas placas fluían grandes cantidades de sangre y que quizá tenían la misma función que un radiador de automóvil. El corazón bombeaba sangre hacia esas placas y éstas funcionaban como aletas refrigerantes para enviar sangre fresca de regreso al corazón. Las superficies con aletas son de uso común en la práctica para mejorar la transferencia de calor y a menudo incrementan la razón de esa transferencia desde una superficie varias veces. El radiador del automóvil, mostrado en la figura 3-34, es un ejemplo de una superficie con aletas. Las delgadas hojas metálicas, colocadas muy cercanas entre sí, que se sujetan a los tubos de agua caliente aumentan el área superficial para la convección y, por consiguiente, la razón de la transferencia de calor por convección desde los tubos hacia el aire, muchas veces. Existen en el mercado gran variedad de diseños innovadores de aletas y parece que la única limitación existente es la imaginación (figura 3-35). En el análisis de las aletas, se considera operación estacionaria sin generación de calor en la aleta y se supone que la conductividad térmica k del material permanece constante. También, por conveniencia en el análisis, se supone que el coeficiente de transferencia de calor por convección, h, es constante y uniforme sobre toda la superficie de la aleta. Se reconoce que, en general, ese coeficiente h varía a lo largo de la aleta así como de su circunferencia y que su valor en un punto es una fuerte función del movimiento del fluido en ese punto. El valor de h suele ser mucho más bajo en la base de la aleta que en la punta de la misma debido a que, cerca de la base, el fluido está rodeado por superficies sólidas, las cuales obstaculizan seriamente su movimiento hasta el punto de “asfixiarlo”, en tanto que el fluido cercano a la punta de la aleta tiene poco contacto con una superficie sólida y, como consecuencia, encuentra poca resistencia al flujo. Por lo tanto, la adición de demasiadas aletas sobre una superficie en realidad puede disminuir la transferencia de calor total cuando el decremento en h nulifica cualquier ganancia resultante del aumento en el área superficial. x Ecuación de la aleta x ∆x h, T L FIGURA 3-36 Elemento de volumen de una aleta en la ubicación x, con una longitud de
x, área de la sección transversal de Ac y perímetro de p. Considere un elemento de volumen en una aleta, en la ubicación x, que tiene una longitud
x, un área de sección transversal de Ac y un perímetro de p, como se muestra en la figura 3-36. En condiciones estacionarias, el balance de energía sobre este elemento de volumen se puede expresar como


 Razón de la Razón de la Razón de la conducción del calor  conducción del calor desde  convección conducción del calor hacia el elemento en x el elemento en x 
x desde el elemento http://librosysolucionarios.net Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 165 165 CAPÍTULO 3 o sea · · · Q cond, x
Q cond, x  x  Q conv donde · Q conv
h(p x)(T  T) Al sustituir y dividir entre x, se obtiene Q· cond, x  x  Q· cond, x  hp(T  T)
0 x (3-52) Al tomar el límite cuando x → 0 da dQ· cond  hp(T  T)
0 dx (3-53) Con base en la ley de Fourier de la conducción del calor, se tiene dT · Q cond
kAc dx (3-54) donde Ac es el área de la sección transversal de la aleta en la ubicación x. La sustitución de esta relación en la ecuación 3-53 da la ecuación diferencial que rige la transferencia de calor en las aletas,   d dT kAc  hp(T  T)
0 dx dx (3-55) En general, el área de la sección transversal Ac y el perímetro p de una aleta varían con x, lo cual hace que esta ecuación diferencial sea difícil de resolver. En el caso especial de una sección transversal constante y conductividad térmica constante, la ecuación diferencial 3-55 se reduce a d 2T dx 2 hp (T kAc T ) 0 o d 2u dx 2 m2u 0 (3-56) donde m2
hp kAc (3-57) y u = T – T es el exceso de la temperatura. En la base de la aleta se tiene ub = Tb – T. La ecuación 3-56 es diferencial lineal, homogénea, de segundo orden con coeficientes constantes. Una teoría fundamental de las ecuaciones diferenciales expresa que una ecuación de ese tipo tiene dos funciones de solución linealmente independientes y su solución general es la combinación lineal de ambas. Un examen cuidadoso de la ecuación diferencial revela que si se resta un múltiplo constante de la función de solución u de su segunda derivada da cero. De donde se concluye que la función u y su segunda derivada deben ser múltiplos constantes una de la otra. Las únicas funciones cuyas derivadas son múltiplos constantes de sí mismas son las exponenciales (o una combinación lineal de funciones exponenciales, como el seno y el coseno hiperbólicos). Por lo tanto, las funciones de solución de la ecuación diferencial antes dada son las exponenciales e–mx o emx, o múltiplos constantes de ellas. Esto se puede verificar por sustitución directa. Por ejemplo, la segunda derivada de e–mx es http://librosysolucionarios.net Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 166 166 CONDUCCIÓN DE CALOR m2e–mx y su sustitución en la ecuación 3-56 da cero. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial 3-56 es T Tb L x 0 1. Aleta infinitamente larga 2. Pérdida de calor despreciable (punta adiabática) 3. Temperatura específica 4. Convección FIGURA 3-37 Condiciones de frontera en la base de la aleta y en la punta de ella. u(x)
C1emx  C2emx (3-58) en donde C1 y C2 son constantes arbitrarias cuyos valores se deben determinar a partir de las condiciones de frontera en la base y en la punta de la aleta. Note que sólo se necesitan dos condiciones para determinar C1 y C2 de manera única. Es normal que la temperatura de la placa a la cual se sujetan las aletas se conozca con anterioridad. Por lo tanto, en la base de la aleta se tiene una condición de frontera de temperatura específica, expresada como Condición de frontera en la base de la aleta: u(0)
ub
Tb  T (3-59) En la punta de la aleta se tienen varias posibilidades, que incluyen temperatura específica, pérdida de calor despreciable (idealizada como una punta aislada), convección o convección y radiación combinadas (figura 3-37). A continuación, se considera cada caso por separado. 1 Aleta infinitamente larga (Tpunta de la aleta
T∞) Para una aleta suficientemente larga de sección transversal uniforme (Ac = constante), la temperatura en la punta tenderá a la del medio, T, y por consiguiente u tenderá a cero. Es decir, Condición de frontera en la punta de la aleta: T Tb T(x) = T + (Tb – T hp –x —– )e kAc T L 0 x h, T k D Ab = Ac ( p = π D, Ac = πD 2/4 para una aleta cilíndrica) FIGURA 3-38 Aleta circular larga de sección transversal uniforme y la variación de la temperatura a lo largo de ella. cuando L →  Esta condición es satisfecha por la función emx, pero no por la otra función de solución posible, emx, ya que esta última tiende al infinito cuando x se incrementa. Por lo tanto, en este caso la solución general consistirá en un múltiplo constante de emx. El valor del múltiplo constante se determina a partir del requisito de que, en la base de la aleta en donde x
0, el valor de u será ub. Dado que emx
e0
1, el valor apropiado de la constante es ub y la función solución que se busca es u(x)
ubemx. Esta función satisface la ecuación diferencial así como los requisitos de que la solución se reduzca a ub en la base de la aleta y tienda a cero en la punta de ésta para un valor de x grande. Si u
T  T y m
hp/kAc , la variación de la temperatura a lo largo de la aleta se puede expresar como T(x)  T
emx
exhp/kAc Tb  T Aleta muy larga: Tb u(L)
T(L)  T
0 (3-60) Note que en este caso la temperatura a lo largo de la aleta decrece exponencialmente desde Tb hasta T, como se muestra en la figura 3-38. Se puede determinar la razón de la transferencia de calor estacionaria desde toda la aleta a partir de la ley de Fourier de la conducción del calor: Aleta muy larga: dT · Q aleta larga
kAc dx  x
0
hpkAc (Tb  T) (3-61) donde p es el perímetro, Ac es el área de la sección transversal de la aleta y x es la distancia desde la base de la aleta. De modo alternativo, también se pudo determinar la razón de la transferencia de calor desde la aleta al considerar la transferencia de calor desde un elemento diferencial de volumen de ella e integrando a lo largo de toda la superficie de la misma. Es decir, · Q aleta
 Aaleta h[T(x)  T] dA aleta
http://librosysolucionarios.net  Aaleta hu(x) dA aleta (3-62) Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 167 167 CAPÍTULO 3 Los dos procedimientos descritos son equivalentes y dan el mismo resultado ya que, en condiciones estacionarias, la transferencia de calor desde la superficie expuesta de la aleta es igual a la transferencia de calor hacia ésta en la base (figura 3-39). FIGURA 3-39 No es probable que las aletas sean tan largas como para que su temperatura en la punta se aproxime a la de los alrededores. Una situación más realista es que la transferencia de calor desde la punta sea despreciable, puesto que la transferencia desde la aleta es proporcional a su área superficial y la de la punta suele ser una fracción despreciable del área total de la aleta. Entonces se puede suponer que la punta de la aleta está aislada y que la condición en ella puede expresarse como du d dx  x
L
0 (3-63) La condición en la base de la aleta sigue siendo la misma, según se expresó en la ecuación 3-59. La aplicación de las condiciones de frontera dadas por las ecuaciones (3-59) y (3-63) sobre la solución general (ecuación 3-58) requiere que u(0)
ub
C1  C2 y mC1emL  mC2emL
0, respectivamente. Tras despejar C1 y C2 de estas dos ecuaciones de manera simultánea, se obtiene C1
ub /(1  e2mL) y C2
ub /(1  e2mL). Al sustituir las relaciones para C1 y C2 en la ecuación 3-58 y usar la definición de función del coseno hiperbólico cosh x
(ex  ex)/2, se obtiene la relación deseada para la distribución de la temperatura: Punta adiabática de la aleta: T(x)  T Tb  T coshm(L a(L  x) cosh
—————— coshmL aL cosh (3-64) Una vez más, se puede determinar la razón de la transferencia de calor a partir de la ley de Fourier de la conducción del calor: Punta adiabática de la aleta: dT · Q punta aislada
kAc dx  x
0
hpkAc (Tb  T) tanh mL (3-65) donde la ecuación para la función de tangente hiperbólica es tanh x
senh x/cosh x
(ex  ex)/(ex  ex). Note que las relaciones de transferencia de calor para una aleta muy larga y una con pérdida de calor despreciable en la punta difieren en el factor tanh mL, la cual tiende a 1 cuando L se hace muy grande. 3 Temperatura específica (Tpunta de la aleta = TL) En este caso, la temperatura en el extremo de la aleta (la punta de aleta) está fija a una temperatura específica TL. Este caso podría considerarse como una generalización de la aleta infinitamente larga, en el que la temperatura de la punta de aleta estaba fija en T. La condición en la punta de aleta para este caso es Condición de frontera en la punta de la aleta: u(L)
uL
TL  T · Qbase · · Qbase = Qaleta 2 Pérdida de calor despreciable desde · la punta de la aleta (punta de la aleta aislada, Q punta de la aleta
0) Condición en la frontera en la punta de la aleta: · Qaleta (3-66) La condición de frontera en la base de la aleta sigue siendo la misma que en la ecuación 3-59. Al aplicar las condiciones de frontera dadas por las ecuaciones 3-59 y 3-66 sobre la solución general (ecuación 3-58) se obtiene, después de http://librosysolucionarios.net En condiciones estacionarias, la transferencia de calor desde las superficies expuestas de la aleta es igual a la conducción de calor hacia ésta en la base. Cengel_03B.qxd 2/22/11 2:57 PM Page 168 168 CONDUCCIÓN DE CALOR algunas manipulaciones algebraicas y mediante la definición del seno hiperbólico senh x
(ex  ex)/2, la distribución deseada de la temperatura: Temperatura específica de la punta de la aleta: T(x) T Tb T T )/(Tb [(TL T )]senh mx senh mL senh m(L x) (3-67) Mediante la ley de Fourier de la conducción de calor, la razón de transferencia de calor de la aleta es Temperatura específica de la punta de la aleta: . Q temperatura específica kAc dT ` dx x 0 2h p kAc(Tb T ) cosh mL [(TL T ) (Tb senh mL T )] (3-68) Observe que las ecuaciones 3-67 y 3-68 se reducen a las ecuaciones 3-60 y 3-61 para el caso de la aleta infinitamente larga (L S ). 4 Convección (o convección y radiación combinadas) desde la punta de la aleta En la práctica, las puntas de las aletas están expuestas a los alrededores; por lo tanto, la condición de frontera apropiada para la punta de la aleta es la de la convección, que también puede incluir los efectos de la radiación. Considere el caso de la convección sólo en la punta. La condición en la punta de la aleta se puede obtener a partir de un equilibrio de energía en la punta de la aleta (Q·cond
Q·conv). Es decir, Condición de frontera en la punta de la aleta: dT ` dx x hAc[T(L) T ] (3-69) L La condición de frontera en la base de la aleta es la ecuación 3-59, la misma que en los tres casos anteriores. Al sustituir las dos condiciones de frontera dadas por las ecuaciones 3-59 y 3-69 en la solución general (ecuación 3-58), se puede mostrar, después de algunas manipulaciones largas, que la distribución de la temperatura es · Qaleta Convección Convección en la punta de la aleta: T(x) T Tb T L a) Aleta real con convección en la punta · Qaleta kAc cosh m(L x) cosh mL (h mk) senh m(L (h mk) senh mL x) (3-70) Se puede calcular la razón de la transferencia de calor de la aleta al sustituir en la ecuación de la ley de Fourier de conducción de calor el gradiente de temperatura en la base de la aleta, obtenido en la ecuación 3-70. El resultado de este procedimiento es Ac –— p Aislada Lc Convección en la punta de la aleta: . Q convección kAc dT ` dx x 0 b) Aleta equivalente con punta aislada FIGURA 3-40 La longitud corregida de la aleta Lc se define en tal forma que la transferencia de calor desde una aleta de longitud Lc con punta aislada es igual a la transferencia de calor desde la aleta real de longitud L, con convección en la punta. 2hpkAc (Tb T ) senh mL cosh mL (h mk) coshmL (h mk) senh mL (3-71) La solución a la ecuación general de aletas para el caso de la convección de la punta de la aleta es muy compleja. Un método aproximado, pero práctico y preciso de representar la pérdida en la punta de la aleta es reemplazar la longitud de la aleta L en la relación para la punta aislada por una longitud de aleta corregida [definida como en (figura 3-40)] Longitud corregida de la aleta: http://librosysolucionarios.net Ac Lc
L  p (3-72) Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 169 169 CAPÍTULO 3 donde Ac es el área de la sección transversal y p es el perímetro de la aleta en la punta. Al multiplicar la relación antes dada por el perímetro da Acorregida
Aaleta (lateral)  Apunta, lo cual indica que el área de la aleta determinada usando la longitud corregida es equivalente a la suma del área lateral de esa aleta más el área de la punta de la misma. La aproximación de la longitud corregida da resultados muy buenos cuando la variación de la temperatura cerca de la punta es pequeña (cuando mL 1) y el coeficiente de transferencia de calor en esa punta es semejante al que se tiene en la superficie lateral de la aleta. Por lo tanto, las aletas sujetas a convección en las puntas se pueden tratar como aletas con puntas aisladas, al reemplazar la longitud real de la aleta por la longitud corregida en las ecuaciones 3-64 y 3-65. Si se usan las relaciones apropiadas para Ac y p, se determina con facilidad que las longitudes corregidas para las aletas rectangulares y cilíndricas son Lc, aleta rectangular
L  t 2 y Lc, aleta cilíndrica
L  D 4 Tb Ab = w × t a) Superficie sin aletas w t Ab Aaleta donde t es el espesor de las aletas rectangulares y D es el diámetro de las aletas cilíndricas. L Eficiencia de la aleta Considere la superficie de una pared plana que está a la temperatura Tb, expuesta a un medio a la temperatura T. El calor se pierde de la superficie hacia el medio circundante por convección, con un coeficiente de transferencia de calor de h. Si se descarta la radiación o se considera su contribución en el coeficiente de convección h, la transferencia de calor desde un área superficial · As se expresa como Q
hAs (Ts  T). Considere ahora una aleta de área constante de sección transversal, Ac
Ab, y longitud L que está sujeta a la superficie con contacto perfecto (figura 3-41). En esta ocasión, el calor es transferido de la superficie hacia la aleta por conducción y de la aleta al medio circundante por convección, con el mismo coeficiente h de transferencia de calor. La temperatura de la aleta será Tb en su base y gradualmente disminuirá hacia la punta. La convección desde la superficie de la aleta causa que la temperatura en cualquier sección transversal caiga un tanto desde la parte interior hacia las superficies exteriores. Sin embargo, el área de la sección transversal de las aletas suele ser muy pequeña y, en consecuencia, se puede considerar que la temperatura en cualquier sección transversal es uniforme. Asimismo, por conveniencia y sencillez, se puede suponer que la punta de la aleta está aislada, al usar la longitud corregida para la aleta en lugar de la longitud real. En el caso límite de resistencia térmica cero o conductividad térmica infinita (k → ), la temperatura de la aleta es uniforme al valor de la temperatura de la base de Tb. En este caso, la transferencia de calor desde la aleta será máxima y se puede expresar como · Q aleta, máx
hAaleta (Tb  T) Q· aleta Razón real de la transferencia de calor desde la aleta
Qaleta, máx Razón ideal de la transferencia de calor desde la aleta si estuviera toda a la temperatura de la base Aaleta = 2 × w × L + w × t ≅2×w×L FIGURA 3-41 Las aletas mejoran la transferencia de calor desde una superficie al acrecentar el área superficial. 80°C 80 80 80 80 a) Ideal 80°C (3-73) Sin embargo, en realidad la temperatura de la aleta cae a lo largo de ella y, por lo tanto, la transferencia de calor desde la misma será menor debido a la diferencia decreciente en la temperatura, T(x)  T, hacia la punta, como se muestra en la figura 3-42. Para considerar el efecto de esta disminución en la temperatura sobre la transferencia de calor, se define una eficiencia de la aleta como haleta
b) Superficie con una aleta (3-74) http://librosysolucionarios.net 80°C b) Real 70 65 61 58 56°C FIGURA 3-42 Distribución ideal y real de temperatura en una aleta. Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 170 170 CONDUCCIÓN DE CALOR TABLA 3-3 Eficiencia y áreas de superficie de configuraciones comunes de aletas Aletas rectangulares rectas h haleta m 22 h/kt Lc L t /2 Aaleta 2 wLc tanh mL c mL c t w x L Aletas triangulares rectas m AA aleta 22 h/kt h haleta 2 2 w2L (t /2) 2 y = (t/2) (1– x/L) 1 l1 (2 mL ) mL l0 (2 mL ) t w L L Aletas parabólicas rectas 22 h/kt m AA wL 3C1 aleta C1 21 (L /t) ln(t /L hh aleta C1 )4 y = (t/2) (1 x/L)2 2 2(2 mL )2 1 1 2 (t /L) t w L Aletas circulares de perfil rectangular 22 h/kt m t/2 r2 c r2 2 p(r22c AA aleta hhaleta r12 ) C2 C2 K1 (mr 1 )I1 (mr 2 c ) I0 (mr 1 )K1 (mr 2 c ) I1 (mr 1 )K1 (mr 2 c ) K0 (mr 1 )I1 (mr 2 c ) t r1 L r2 2 r1 /m r22c r12 Aletas de espiga de perfil rectangular m 24 h/kD Lc L D/4 Aaleta pDLc h haleta tanh mL c mL c D L Aletas de espiga de perfil triangular m Aaleta A 24 h/kD pD L2 2L 2 (D/2)22 (D/2) haleta h 2 l2 (2 mL ) mL l1 (2 mL ) I2 (x) I0 (x) y = (D/2) (1 x/L) D (2 x)I1, (x) donde x 2 mL L Aletas de espiga de perfil parabólico m AA aleta C3 C4 24 h/kD pL3 L 3C C ln(2 DC4 /L 8D 3 4 2D 1 2( D/L)2 21 (D/L)2 C3 )4 h haleta y = (D/2) (1 x/L)2 2 1 2(2 mL /3) 2 1 D L Aletas de espiga de perfil parabólico (punta truncada) m AA aleta 24 h/kD pD4 e316( L /D)2 96 L2 h haleta 1 4 3/2 1f 3 l1 (4 mL /3) 2 mL l0 (4 mL /3) y = (D/2) (1 x/L)1/2 D L http://librosysolucionarios.net Cengel_03B.qxd 2/22/11 2:58 PM Page 171 171 CAPÍTULO 3 o bien, TABLA 3-4 · · Q aleta
haleta Q aleta, máx
haleta hAaleta (Tb  T) (3-75) donde Aaleta es el área superficial total de la aleta. Esta relación permite determinar la transferencia de calor desde una aleta cuando se conoce su eficiencia. Para los casos de sección transversal constante de aletas muy largas y aletas con puntas aisladas, la eficiencia de la aleta se puede expresar como Q· aleta
hpkAc (Tb  T) 1

haleta larga
· L hAaleta (Tb  T) Q aleta, máx  kAhp
—mLaL1— c (3-76) y Q· aleta tanh mL
hpkAc (Tb  T) tanh aL aL
hpunta aislada
·
——— mL aL hAaleta (Tb  T) Q aleta, máx (3-77) puesto que Aaleta
pL para las aletas con sección transversal constante. También se puede usar la ecuación 3-77 para las aletas con puntas sujetas a convección, siempre que la longitud L de la aleta se reemplace por la longitud corregida Lc. Se han desarrollado relaciones para la eficiencia de aletas de diversos perfiles, cuya lista se da en la tabla 3-3. Para aletas con un perfil no uniforme, la ecuación 3-56 ya no es válida por lo que se deberá utilizar la forma general de la ecuación diferencial que gobierna la transferencia de calor en las aletas de forma arbitraria, la ecuación 3-55. Para esos casos, la solución ya será en forma de funciones simples exponenciales o hiperbólicas. Las funciones matemáticas I y K que aparecen en algunas de estas relaciones son las funciones modificadas de Bessel y sus valores se dan en la tabla 3-4. En la figura 3-43 se tienen las gráficas de las eficiencias para aletas sobre una superficie plana y, en la figura 3-44, para aletas circulares de espesor constante. Para la mayor parte de las aletas de espesor constante que se encuentran en la práctica, el espesor t de la aleta es demasiado pequeño en relación con la longitud L de la propia aleta y, como consecuencia, el área de la punta de ésta es despreciable. Note que las aletas con perfiles triangular y parabólico contienen menos material y son más eficientes que aquellas con perfiles rectangulares y, por lo tanto, más adecuadas para las aplicaciones que requieren un peso mínimo, como las espaciales. Una consideración importante en el diseño de las superficies con aletas es la selección de la longitud L de la aleta que sea más apropiada. Por lo común, entre más larga es la aleta, mayor es el área de transferencia de calor y, como consecuencia, más alta es la razón de la transferencia desde ella. Pero también entre más grande es la aleta, más grande es la masa, el precio y la fricción del fluido. Por lo tanto, no puede justificarse el aumento de la longitud de una aleta más allá de cierto valor, a menos que los beneficios adicionales compensen el costo adicional. Asimismo, la eficiencia de la aleta decrece al aumentar su longitud debido a la disminución de la temperatura con la longitud. Las longitudes de aletas que causan la caída de eficiencia por debajo de 60% suelen no poder justificarse económicamente y deben evitarse. La eficiencia de la mayor parte de las aletas usadas en la práctica está por encima de 90%. Efectividad de la aleta Las aletas se usan para mejorar la transferencia de calor y no se puede recomendar su uso a menos que el mejoramiento de la transferencia justifique el costo adicional y la complejidad asociada con ellas. De hecho, no se tiene la seguridad de que la adición de aletas sobre una superficie mejorará la transferencia de calor. El desempeño de las aletas se juzga sobre la base del mejora- http://librosysolucionarios.net Funciones modificadas de Bessel, de primera y segunda especies* x exI0(x) exI1(x) exK0(x) exK1(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 1.0000 0.8269 0.6974 0.5993 0.5241 0.4658 0.4198 0.3831 0.3533 0.3289 0.3085 0.2913 0.2766 0.2639 0.2528 0.2430 0.2343 0.2264 0.2193 0.2129 0.2070 0.2016 0.1966 0.1919 0.1876 0.1835 0.1797 0.1762 0.1728 0.1697 0.1667 0.1598 0.1537 0.1483 0.1434 0.1390 0.1350 0.1313 0.1278 0.0000 0.0823 0.1368 0.1722 0.1945 0.2079 0.2153 0.2185 0.2190 0.2177 0.2153 0.2121 0.2085 0.2047 0.2007 0.1968 0.1930 0.1892 0.1856 0.1821 0.1788 0.1755 0.1725 0.1695 0.1667 0.1640 0.1614 0.1589 0.1565 0.1542 0.1521 0.1469 0.1423 0.1380 0.1341 0.1305 0.1272 0.1241 0.1213 — 2.1408 1.6627 1.4167 1.2582 1.1445 1.0575 0.9881 0.9309 0.8828 0.8416 0.8057 0.7740 0.7459 0.7206 0.6978 0.6770 0.6580 0.6405 0.6243 0.6093 0.5953 0.5823 0.5701 0.5586 0.5478 0.5376 0.5280 0.5188 0.5101 0.5019 0.4828 0.4658 0.4505 0.4366 0.4239 0.4123 0.4016 0.3916 — 5.8334 3.2587 2.3739 1.9179 1.6362 1.4429 1.3011 1.1919 1.1048 1.0335 0.9738 0.9229 0.8790 0.8405 0.8066 0.7763 0.7491 0.7245 0.7021 0.6816 0.6627 0.6454 0.6292 0.6143 0.6003 0.5872 0.5749 0.5634 0.5525 0.5422 0.5187 0.4981 0.4797 0.4631 0.4482 0.4346 0.4222 0.4108 *Evaluada con base en el EES, usando las funciones matemáticas Bessel_I(x) y Bessel_K(x) Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 172 172 CONDUCCIÓN DE CALOR 1 Lc = L Ap = Lct/3 y = (t/2) (1x/L)z Eficiencia de la aleta, H aleta 0.9 Lc = L Ap = Lct/2 0.8 t w 0.7 L x Lc = L + t/2 Ap = Lct 0.6 t 0.5 w t 0.4 L w L 0.3 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 J = Lc3/2(h/kAp)1/2 FIGURA 3-43 Eficiencia de aletas rectas de perfiles rectangular, triangular y parabólico. 1 0.9 Eficiencia de la aleta, H aleta 0.8 0.7 0.6 0.5 1 = r2c /r1 2 0.4 r2c = r2 + t/2 Lc = L + t/2 t 0.3 r1 L r2 0.2 3 4 Ap = L2t 5 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 J = Lc3/2(h/kAp)1/2 FIGURA 3-44 Eficiencia de aletas circulares de espesor constante t. miento en la transferencia de calor comparado con el caso en el que no se usan aletas. El desempeño de las aletas, expresado en términos de la efectividad de la aleta aleta se define como (figura 3-45) Razón de la transferencia de calor Q· aleta desde la aleta de área de la base Ab Q· aleta

aleta
· Razón de la transferencia calor transferecia dedecalor Q sin aleta hAb (Tb  T) desde desdelalasuperficie superficiede deárea áreaAAbb http://librosysolucionarios.net (3-78) Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 173 173 CAPÍTULO 3 · Aquí, Ab es el área de la sección transversal de la aleta en la base y Q sin aleta representa la razón de la transferencia de calor desde esta área, si no se tienen aletas sujetas a la superficie. Una efectividad de aleta
1 indica que la adición de aletas a la superficie no afecta la transferencia de calor en lo absoluto. Es decir, el calor conducido hacia la aleta a través del área Ab de la base es igual al calor transferido desde la misma área Ab hacia el medio circundante. Una efectividad de aleta 1 indica que, en realidad, la aleta actúa como aislamiento, retardando la transferencia de calor desde la superficie. Se puede tener esta situación cuando se usan aletas hechas de materiales con baja conductividad térmica. Una efectividad de aleta 1 indica que las aletas están mejorando la transferencia de calor desde la superficie, como debe ser. Sin embargo, no se puede justificar el uso de aletas a menos que aleta sea suficientemente mayor que 1. Las superficies con aletas se diseñan sobre la base de maximizar la efectividad para un costo específico o minimizar el costo para una efectividad deseada. Note que tanto la eficiencia de la aleta como su efectividad están relacionadas con el desempeño de la misma, pero son cantidades diferentes. Sin embargo, están relacionadas entre sí por Q· aleta Q· aleta aleta
·

Q sin aleta hAb (Tb  T)  T) Aaleta haleta
Ab hAb (Tb  T) aleta hAaleta (Tb (3-79) Por lo tanto, se puede determinar con facilidad la efectividad de la aleta cuando se conoce su eficiencia, o viceversa. La razón de la transferencia de calor desde una aleta suficientemente larga de sección transversal uniforme, en condiciones estacionarias, se expresa por la ecuación 3-61. Al sustituir esta relación en la ecuación 3-78, se determina que la efectividad de esa aleta larga es Q· aleta hpkAc (Tb  T) aleta larga
·

Q sin aleta hAb (Tb  T)  hAkp (3-80) c dado que, en este caso, Ac
Ab. Se pueden sacar varias conclusiones importantes con base en la relación antes dada de la efectividad para que sean consideradas en el diseño y la selección de las aletas: • La conductividad térmica k del material de la aleta debe ser tan alta como sea posible. Por ello, no es coincidencia que las aletas estén hechas de metales, siendo los más comunes el cobre, el aluminio y el hierro. Quizá las aletas que se usan con mayor amplitud están hechas de aluminio debido a su costo y peso bajos y a su resistencia a la corrosión. • La razón entre el perímetro y el área de la sección transversal de la aleta, p/Ac debe ser tan alta como sea posible. Este criterio lo satisfacen las aletas de placa delgada y las de espiga esbeltas. • El uso de aletas es más efectivo en aplicaciones que comprenden un bajo coeficiente de transferencia de calor por convección. Por lo tanto, el uso de las aletas se justifica con más facilidad cuando el medio es un gas en lugar de un líquido y la transferencia de calor es por convección natural en lugar de por convección forzada. Por lo tanto, no es coincidencia que en los intercambiadores de calor de líquido a gas, como el radiador de un automóvil, las aletas se coloquen en el lado del gas. Al determinar la razón de la transferencia de calor desde una superficie con aletas, se debe considerar la parte libre de aletas de esa superficie así como las http://librosysolucionarios.net · Qsin aletas Tb Ab · Qaleta Tb Ab · Qaleta ε aleta = ———— · Qsin aletas FIGURA 3-45 Efectividad de una aleta. Cengel_03B.qxd 2/11/11 11:38 AM Page 174 174 CONDUCCIÓN DE CALOR aletas. Por lo tanto, la velocidad de la transferencia de calor para una superficie que contiene n aletas se puede expresar como · · · Q total, aleta
Q libre de aletas  Q aleta
hAlibre de aletas (Tb  T)  haletahAaleta (Tb  T)
h(Alibre de aletas  haleta Aaleta)(Tb  T) H Alibre de aletas (3-81) También se define una efectividad total para una superficie con aletas como la razón entre transferencia de calor total desde la superficie con aletas y la transferencia de calor desde la misma superficie si no hubieran aletas, t Aaleta w L aleta, total Q· total, aleta Q· total, sin aletas Asin aletas = w × H Alibre de aletas = w × H – 3 × (t × w) Aaleta = 2 × L × w + t × w ≅ 2 × L × w (una aleta) h(Alibre de aletas haleta Aaleta)(Tb hAsin aletas (Tb T ) haleta Aaleta T ) Alibre de aletas Asin aletas (3-82) donde Asin aletas es el área de la superficie cuando no hay aletas, Aaleta es el área superficial total de todas las aletas sobre la superficie y Alibre de aletas es el área de la parte sin aletas de esa superficie (figura 3-46). Note que la efectividad total con aletas depende de la densidad de éstas (número de aletas por unidad de longitud) así como de la efectividad de cada una ellas. La efectividad total es una medida mejor del desempeño de una superficie con aletas que la efectividad de cada una. FIGURA 3-46 Diversas áreas superficiales asociadas con una superficie rectangular con tres aletas. Longitud apropiada de una aleta T Tb T(x) ∆T = alto ∆T = bajo ∆T = 0 ∆T T L 0 Alta transferencia de calor Baja transferencia de calor No hay transferencia de calor Tb h, T FIGURA 3-47 Debido a la caída gradual de la temperatura a lo largo de la aleta, la región cercana a la punta de ésta contribuye poco o nada a la transferencia de calor. x Un paso importante en el diseño de una aleta es la determinación de su longitud apropiada, una vez que se especifican el material y la sección transversal de la misma. El lector puede sentirse tentado a pensar que entre más larga es la aleta, mayor es el área superficial y, como consecuencia, más alta es la razón de la transferencia de calor. Por lo tanto, para tener la máxima transferencia de calor, la aleta debe ser infinitamente larga. Sin embargo, la temperatura cae exponencialmente a lo largo de ella y alcanza la temperatura ambiente a cierta longitud. La parte de la aleta más allá de esta longitud no contribuye con la transferencia de calor, ya que se encuentra a la temperatura ambiente, como se muestra en la figura 3-47. Por consiguiente, diseñar una aleta “extra larga” de ese tipo está fuera de contexto ya que representa un desperdicio de material, peso excesivo y mayor tamaño y, por lo tanto, un costo mayor sin obtener beneficio a cambio (de hecho, una aleta así de larga tendrá un comportamiento dañino, ya que suprimirá el movimiento del fluido y, por consiguiente, reducirá el coeficiente de transferencia de calor por convección). Las aletas tan largas, en las que la temperatura tiende a ser la del medio no son recomendables, dado que el poco incremento en la transferencia de calor en la región de la punta no puede justificar el desproporcionado aumento en el peso y el costo. Con el fin de obtener cierto sentido de la longitud apropiada de una aleta, se compara la transferencia de calor de una de longitud finita con la transferencia de calor de una infinitamente larga, en las mismas condiciones. La razón entre estas dos transferencias de calor es · aL Razón de las trans- Q aleta hpkAc (Tb  T) tanh mL
tanh mL · ferencias de calor : Q aleta larga
hpkAc (Tb  T) (3-83) Con una calculadora de mano se evaluaron los valores de tanh mL para algunas magnitudes de mL y los resultados se dan en la tabla 3-5. En ella se observa que la transferencia de calor desde una aleta aumenta con mL linealmente al principio, pero la curva forma una meseta más adelante y alcanza un valor pa- http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 175 175 CAPÍTULO 3 ra la aleta infinitamente larga en alrededor de mL
5. Por lo tanto, se puede considerar que una aleta es infinitamente larga cuando su longitud es L
m5 . También se observa que reducir la longitud de la aleta a la mitad (desde mL
5 hasta mL
2.5) causa una caída de sólo 1% en la transferencia de calor. Por supuesto no se duda en sacrificar ese 1% en el rendimiento con respecto a la transferencia de calor, a cambio de una reducción de 50% en el tamaño y posiblemente en el costo de la aleta. En la práctica, una longitud de aleta que corresponde a alrededor de mL
1 transferirá 76.2% del calor que puede transferir una aleta infinitamente larga y, por lo tanto, debe ofrecer un buen término medio entre el rendimiento respecto a la transferencia de calor y el tamaño de la aleta. Una aproximación común usada en el análisis de las aletas es suponer que la temperatura de la aleta varía sólo en una dirección (a lo largo de su longitud) y la variación de la temperatura a lo largo de las otras direcciones es despreciable. Quizá el lector se pregunte si esta aproximación unidimensional resulta razonable. Desde luego, éste es el caso para las aletas hechas con hojas metálicas delgadas, como las del radiador de un automóvil, pero no se estaría tan seguro para aquellas hechas con materiales gruesos. Los estudios han demostrado que el error que se comete en el análisis unidimensional es despreciable (menos de 1%) cuando hd  0.2 k donde d es el espesor característico de la aleta, el cual se toma como el espesor t de la placa para las aletas rectangulares, y el diámetro D para las cilíndricas. Superficies con aletas especialmente diseñadas, llamadas sumideros de calor, que son de uso común en el enfriamiento de equipo electrónico, están relacionadas con configuraciones geométricas complejas únicas en su clase, como se muestra en la tabla 3-6. El rendimiento con respecto a la transferencia de calor de estos sumideros suele expresarse en términos de sus resistencias térmicas R, en °C/W, las cuales se definen como Tb  T · Q aleta

hAaleta haleta (Tb  T) R (3-84) Un valor pequeño de resistencia térmica indica una caída pequeña de la temperatura a través del sumidero de calor y, por consiguiente, una alta eficiencia de la aleta. EJEMPLO 3-10 Disipación máxima de potencia de un transistor Los transistores de potencia que son de uso común en los aparatos electrónicos consumen grandes cantidades de energía eléctrica. El índice de falla de los componentes electrónicos aumenta exponencialmente con la temperatura de operación. Como regla empírica, el índice de falla de los componentes electrónicos se reduce a la mitad por cada disminución de 10°C en la temperatura de operación en la unión. Por lo tanto, la temperatura de operación de los componentes electrónicos se mantiene por debajo de un nivel seguro para minimizar el riesgo de falla. La sensible circuitería electrónica de un transistor de potencia está protegida por su caja, que es una cubierta metálica rígida. Las características relacionadas con la transferencia de calor de un transistor de potencia suelen especifi- http://librosysolucionarios.net TABLA 3-5 La variación de la transferencia de calor desde una aleta comparada con una aleta infinitamente larga . Q aleta mL
tanh mL . Q aleta larga 0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 0.100 0.197 0.462 0.762 0.905 0.964 0.987 0.995 0.999 1.000 Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 176 176 CONDUCCIÓN DE CALOR carse por el fabricante en términos de la resistencia térmica de la caja con respecto al medio, en la cual se toman en cuenta tanto la transferencia de calor por convección natural como por radiación. Se dice que la resistencia térmica de la caja con respecto al ambiente de un transistor de potencia que tiene una potencia nominal máxima de 10 W es de 20°C/W. Si la temperatura de la caja del transistor no debe ser mayor a 85°C, determine la potencia a la cual se puede operar este transistor con seguridad en un medio a 25°C. TABLA 3-6 Resistencia térmica de convección natural y radiación combinadas entre el sumidero y los alrededores de diversos sumideros de calor usados en el enfriamiento de dispositivos electrónicos. Todas las aletas están hechas de aluminio 6063T-5, anodizadas en negro y tienen 76 mm (3 in) de largo R
0.9C/ W (vertical) R
1.2C/ W (horizontal) Dimensiones: 76 mm  105 mm  44 mm Área superficial: 677 cm2 R
5C/ W Dimensiones: 76 mm  38 mm  24 mm Área superficial: 387 cm2 R
1.4C/ W (vertical) R
1.8C/ W (horizontal) Dimensiones: 76 mm  92 mm  26 mm Área superficial: 968 cm2 R
1.8C/ W (vertical) R
2.1C/ W (horizontal) Dimensiones: 76 mm  127 mm  91 mm Área superficial: 677 cm2 R
1.1C/ W (vertical) R
1.3C/ W (horizontal) Dimensiones: 76 mm  102 mm  25 mm Área superficial: 929 cm2 R
2.9C/ W (vertical) R
3.1C/ W (horizontal) Dimensiones: 76 mm  97 mm  19 mm Área superficial: 290 cm2 http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 177 177 CAPÍTULO 3 SOLUCIÓN Se debe determinar la potencia nominal máxima de un transistor cuya temperatura de la caja no debe sobrepasar 85°C. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La caja del transistor es isotérmica a 85°C. Propiedades Se dice que la resistencia térmica de la caja al ambiente es de 20°C/W. Análisis En la figura 3-48 se muestran el transistor de potencia y la red de resistencias térmicas asociada con él. Al observar la red de resistencias térmicas se advierte que existe una sola resistencia de 20°C/W entre la caja que está a Tc
85°C y el ambiente a T
25°C y, por lo tanto, la rapidez de la transferencia de calor es
 · T Q
R
caja-ambiente Tc  T (85  25)°C

3W Rcaja-ambiente 20°C/ W Por lo tanto, este transistor de potencia no debe operarse a niveles de potencia por arriba de 3 W si la temperatura de su caja no debe ser mayor a 85°C. Discusión Este transistor se puede usar a niveles más altos de potencia conectándolo a un sumidero de calor (el cual baja la resistencia térmica al incrementar el área superficial de transferencia de calor, como se discute en el ejemplo que sigue), o bien, usando un ventilador (que baja la resistencia térmica al incrementar el coeficiente de transferencia de calor por convección). EJEMPLO 3-11 Selección de un sumidero de calor para un transistor Se va a enfriar un transistor de potencia de 60 W acoplándolo a uno de los sumideros de calor que se encuentran en el mercado, mostrados en la tabla 3-6. Seleccione un sumidero de calor que permita que la temperatura del transistor no sea mayor que 90°C en el aire ambiente a 30°C. SOLUCIÓN Se debe seleccionar, de la tabla 3-6, uno de los sumideros de calor que se encuentran en el comercio para mantener la temperatura de la caja de un transistor por debajo de 90°C. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La caja del transistor es isotérmica a 90°C. 3 La resistencia por contacto entre el transistor y el sumidero de calor es despreciable. Análisis La razón de la transferencia de calor desde un transistor de 60 W a · plena potencia es Q
60 W. Se determina que la resistencia térmica entre el transistor sujeto al sumidero de calor y el aire ambiente, para la diferencia especificada de temperatura es  T Q
R ⎯→ T (90  30)C R


1.0C/ W 60 W Q Por lo tanto, la resistencia térmica del sumidero de calor debe estar por debajo de 1.0°C/W. Un examen de la tabla 3.6 revela que el HS 5030, cuya resistencia térmica es 0.9°C/W en la posición vertical, es el único que satisfará esta necesidad. http://librosysolucionarios.net Tc · Q T R FIGURA 3-48 Esquema para el ejemplo 3-10. Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 178 178 CONDUCCIÓN DE CALOR EJEMPLO 3-12 Tb = 200°C D = 5 mm Aire, 25°C h = 50 W/m2 · K k = 240 W/m · K L = 20 mm FIGURA 3-49 Esquema para el ejemplo 3-12. Transferencia de calor de aletas de sección transversal variable Aletas de aluminio en forma de espiga de perfil parabólico con puntas truncadas se fijan a una pared plana con temperatura superficial de 200ºC (figura 3-49). Cada aleta tiene un largo de 20 mm y un diámetro de base de 5 mm. Las aletas están expuestas a una temperatura circundante de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 50 W/m2 · K. Si la conductividad térmica de las aletas es de 240 W/m2 · K, determine la razón de transferencia de calor, la eficiencia y la efectividad de cada aleta. SOLUCIÓN Se debe determinar la razón de la transferencia de calor, la eficiencia y la efectividad de una aleta de espiga de perfil parabólico con puntas truncadas. Suposiciones 1 La conducción de calor es unidimensional y de estado estacionario. 2 Las propiedades térmicas son constantes. 3 La transferencia de calor por radiación es despreciable. Propiedades La conductividad térmica de la aleta se expresa como 240 W/m2 · K. Análisis A partir de la tabla 3-3, para las aletas de espiga de perfil parabólico (punta truncada), se tiene mL A aleta 4h L B kD L 2 pD4 e c16a b 2 D 96L 2.106 h aleta 4(50W/m2 K) (0.020 m) B (240 W/m K)(0.005 m) 10 4 32 1d 1f 0.2582 p (0.005 m)4 0.020 m 2 e c16a b 0.005 m 96(0.020 m) 2 32 1d 1f m2 3 I1(4mL 3) 2mL I0(4mL 3) I1[4(0.2582) 3] 3 2(0.2582) I0[4(0.2582) 3] I1[0.3443] 5.8095 I0[0.3443] Los valores de las funciones de Bessel correspondientes a x
0.3443 según la tabla 3-4 son l0
1.0350 e l1
0.1716. Tras sustituir, la eficiencia de la aleta es 5.8095 h aleta 0.1716 1.0350 0.9632 La razón de transferencia de calor para una sola aleta es # Qaleta h aleta hAaleta (Tb T ) 2 (0.9632) (50 W/m K) (2 .106 10 4 m2)(200 25) C 1 .77 W La efectividad de la aleta es ealeta # Qaleta hAb(Tb T ) # Qaleta h(pD2 4) (Tb T ) 1.77 W (50W/m2 K) [p(0 .005 m)2 4] (200 25) C 10.3 Es decir, al usar una aleta de espiga como en este caso, se logra un incremento de más de 10 veces en la transferencia de calor. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 179 179 CAPÍTULO 3 Discusión La eficiencia de la aleta se puede determinar con una precisión mayor si se evita el error de interpolación, lo cual se puede lograr al usar un solucionador de ecuaciones con funciones matemáticas integradas como el EES. Copie la línea eta_fin
3/(2*0.2582)*Bessel_|1(4*0.2582/3)/Bessel_|0 (4*0.2582/3) en la pantalla EES en blanco y, al hacer clic en el botón ”resolver”, obtendrá la eficiencia de la aleta como haleta
0.9855, que es aproximadamente 2% superior al resultado obtenido antes por medio de las tablas. 3.7 ■ TRANSFERENCIA DE CALOR EN CONFIGURACIONES COMUNES Hasta ahora se ha considerado la transferencia de calor en configuraciones geométricas simples, como paredes planas grandes, cilindros largos y esferas. Esto se debe a que, en las configuraciones geométricas de este tipo la transferencia de calor se puede considerar unidimensional y así obtener con facilidad soluciones analíticas sencillas. Pero muchos problemas que se encuentran en la práctica son bidimensionales o tridimensionales y están relacionados con configuraciones geométricas un tanto complicadas para las cuales no se cuenta con soluciones sencillas. Una importante clase de problemas de transferencia de calor para los cuales se obtienen soluciones sencillas abarca aquellos relacionados con dos superficies que se mantienen a las temperaturas constantes T1 y T2. La razón de transferencia de calor estacionaria entre estas dos superficies se expresa como Q
Sk(T1  T2) (3-85) donde S es el factor de forma de conducción, el cual tiene la dimensión de longitud, y k es la conductividad térmica del medio entre las superficies. El factor de forma de conducción sólo depende de la configuración geométrica del sistema. Se han determinado los factores de forma para varias configuraciones que se encuentran en la práctica y se dan en la tabla 3-7 para algunos casos comunes. En la literatura, se encuentran tablas más completas. Una vez que se conoce el valor del factor de forma para una configuración geométrica específica, se puede determinar la razón total de transferencia de calor en estado estacionario de la ecuación 3-85 usando las temperaturas constantes especificadas en las dos superficies y la conductividad térmica del medio entre ellas. Note que los factores de forma de conducción sólo son aplicables cuando la transferencia de calor entre las dos superficies es por conducción. Por lo tanto, no se pueden usar cuando el medio entre las superficies es un líquido o un gas, que comprende corrientes naturales o forzadas de convección. Una comparación de las ecuaciones 3-4 y 3-85 revela que el factor de forma de conducción, S, está relacionado con la resistencia térmica R por R
1/kS o S
1/kR. Por lo tanto, estas dos cantidades son la inversa una de la otra cuando la conductividad térmica del medio es la unidad. El uso de los factores de forma de conducción se ilustra con los ejemplos 3-13 y 3-14. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 180 180 CONDUCCIÓN DE CALOR TABLA 3-7  Factores de forma de conducción, S, para varias configuraciones con el fin de usarse en Q
kS(T1  T2) para determinar la razón estacionaria de transferencia de calor a través de un medio de conductividad térmica k entre las superficies a las temperaturas T1 y T2 (continúa) http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 181 181 CAPÍTULO 3 TABLA 3-7 ( c o n t i n u a c i ó n) http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 182 182 CONDUCCIÓN DE CALOR EJEMPLO 3-13 Pérdida de calor en tubos enterrados Un tubo de agua caliente de 30 m de largo y 10 cm de diámetro de un sistema municipal de calefacción está enterrado en el suelo 50 cm por debajo de la superficie de la tierra, como se muestra en la figura 3-50. La temperatura de la superficie exterior del tubo es 80°C. Si la temperatura superficial de la tierra es 10°C y la conductividad térmica del suelo en ese lugar es 0.9 W/m · °C, determine la razón de la pérdida de calor del tubo. FIGURA 3-50 Esquema para el ejemplo 3-13. SOLUCIÓN El tubo de agua caliente de un sistema municipal de calefacción está enterrado en el suelo. Se debe determinar la razón de la pérdida de calor del tubo. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La transferencia de calor es bidimensional (no hay cambio en la dirección axial). 3 La conductividad térmica del suelo es constante. Propiedades Se dice que la conductividad térmica del suelo es k
0.9 W/m · °C. Análisis En la tabla 3-7 se proporciona el factor de forma para esta configuración S
2pL ln(4z /D) dado que z 1.5D, donde z es la distancia a la que se encuentra el tubo abajo de la superficie de la tierra y D es el diámetro de este tubo. Al sustituir, 2p  (30 m) S
ln(4  0.5/0.1)
62.9 m Entonces la razón de transferencia de calor estacionaria del tubo queda  Q
Sk(T1  T2)
(62.9 m)(0.9 W/m · C)(80  10)C
3 963 W Discusión Note que este calor es conducido de la superficie del tubo a la superficie de la tierra a través del suelo y, a continuación, es transferido hacia la atmósfera por convección y radiación. EJEMPLO 3-14 Transferencia de calor entre tubos de agua caliente y fría Una sección de 5 m de largo de tubos de agua caliente y fría están tendidos paralelos entre sí en una capa gruesa de concreto, como se muestra en la figura 3-51. Los diámetros de los tubos son de 5 cm y la distancia entre las líneas centrales de ellos es de 30 cm. Las temperaturas superficiales de los tubos de agua caliente y fría son 70°C y 15°C, respectivamente. Si la conductividad térmica del concreto es k
0.75 W/m · °C, determine la razón de la transferencia de calor entre los dos tubos. FIGURA 3-51 Esquema para el ejemplo 3-14. SOLUCIÓN Tubos de agua caliente y fría corren paralelos entre sí en una capa de concreto. Se debe determinar la razón de la transferencia de calor entre los tubos. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La transferencia de calor es bidimensional (no hay cambio en la dirección axial). 3 La conductividad térmica del concreto es constante. Propiedades Se dice que la conductividad térmica del concreto es k
0.75 W/m · °C. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 183 183 CAPÍTULO 3 Análisis En la tabla 3-7 se dice que el factor de forma para esta configuración es S
2pL 2  D21  D22 4z cosh1a b 2D1D2 donde z es la distancia entre las líneas centrales de los tubos y L es su longitud. Al sustituir S
2p  (5 m) 4  0.32  0.052  0.052 b cosh1a 2  0.05  0.05
6.34 m Entonces la razón de transferencia de calor estacionaria entre los tubos queda  Q
Sk(T1  T2)
(6.34 m)(0.75 W/m · C)(70  15)C
262 W Discusión Se puede reducir esta pérdida de calor al colocar los tubos de agua fría y caliente más alejados entre sí. Se sabe bien que el aislamiento reduce la transferencia de calor y ahorra energía y dinero. Las decisiones acerca de la cantidad correcta de aislamiento se basa en análisis de transferencia de calor y económicos, con el fin de determinar el “valor monetario” de la pérdida de energía. Esto se ilustra con el ejemplo 3-15. EJEMPLO 3-15 Costo de la pérdida de calor a través de las paredes en invierno Considere una casa calentada eléctricamente cuyas paredes tienen 9 ft de alto y un valor R de aislamiento de 13 (es decir, una razón del espesor con respecto a la conductividad térmica de L/k
13 h · ft2 · °F/Btu). Dos de las paredes de la casa tienen 40 ft de largo y las otras tienen 30 ft. La casa se mantiene a 75°F en todo momento, en tanto que la temperatura en el exterior varía. Determine la cantidad de calor perdido a través de las paredes de la casa en cierto día durante el cual la temperatura promedio en el exterior es de 45°F. Asimismo, determine el costo de esta pérdida de calor para el propietario de la casa si el costo unitario de la electricidad es de 0.075 dólar/kWh. Para los coeficientes combinados de transferencia de calor por convección y radiación use los valores recomendados por la ASHRAE (American Society of Heating, Refrigeration, and Air Conditioning Engineers) de hi
1.46 Btu/h · ft2 · °F, para la superficie interior de las paredes, y ho
6.0 Btu/h · ft2 · °F, para la superficie exterior de las mismas, con las condiciones de viento de 15 mph en invierno. SOLUCIÓN Se considera una casa calentada eléctricamente con aislamiento R-13. Debe determinarse la cantidad de calor perdida a través de las paredes y su costo. Suposiciones 1 Las temperaturas del aire en el interior y el exterior han permanecido en los valores dados durante todo el día, de modo que la transferencia de calor a través de las paredes es estacionaria. 2 La transferencia de calor a través de las paredes es unidimensional ya que, en este caso, cualesquiera gradientes significativos de temperatura existirán en la dirección del interior hacia el exterior. 3 Los efectos de la radiación se toman en cuenta en los coeficientes de transferencia de calor. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 184 184 CONDUCCIÓN DE CALOR Pared, R-13 75°F T1 T2 Análisis Este problema está relacionado con conducción a través de la pared y convección en sus superficies y se puede manejar de la mejor manera al usar el concepto de resistencia térmica y el dibujo de la red de resistencias térmicas, como se muestra en la figura 3-52. El área de transferencia de calor de las paredes es A
Circunferencia  Altura
(2  30 ft 45°F Entonces se evalúan cada una de las resistencias, con base en sus definiciones, como Ri
Rconv, i
Rpared
1 1

0.00054 h · F/Btu hi A (1.46 Btu/h  ft2  F)(1260 1 260 ftft22)) Valor R 13 h  ft2  F/Btu L


0.01032 h · F/Btu A kA 11260 260 ftft22 1 Ro
Rconv, o
h A o Ri T1 Rpared Ro T2 FIGURA 3-52 Esquema para el ejemplo 3-15. 2  40 ft)(9 ft)
1 260 ft2 1
0.00013 h · F/Btu (6.0 Btu/h ft2 F)(1,260 ft 2) Dado que las tres resistencias están en serie, la resistencia total es Rtotal
Ri Ro
0.00054 Rpared 0.01032 0.00013
0.01099 h · F/Btu Entonces, la razón de transferencia de calor estacionaria a través de las paredes de la casa queda Q T T Rtotal 1 2 (75 45) F 0.01099 h °F/Btu 2 730 Btu/h Por último, la cantidad total de calor perdido a través de las paredes durante un periodo de 24 h y su costo para el propietario de la casa son  Q
Q t
(2 730 Btu/h)(24 h/día)
65 514 Btu/día
19.2 kWh/día ya que 1 kWh
3 412 Btu y Costo de la calefacción
(Energía perdida)(Costo de la energía)
(19.2 kWh/día)(0.075 dólares/kWh)
1.44 dólares/día Discusión Ese día, las pérdidas de calor a través de las paredes de la casa costaron al propietario 1.44 dólares en electricidad. Se puede evitar la mayor parte de esta pérdida por medio de material aislante. TEMA DE INTERÉS ESPECIAL * Transferencia de calor a través de paredes y techos En condiciones estacionarias se puede determinar la razón de la transferencia de calor a través de cualquier sección de la pared o el techo de un edificio a partir de A(Ti  To) · Q
UA(Ti  To)
R (3-86) donde Ti y To son las temperaturas del aire en el interior y el exterior, A es el área de transferencia de calor, U es el coeficiente de transferencia de *Esta sección se puede pasar por alto sin pérdida de continuidad. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 185 185 CAPÍTULO 3 calor total (el factor U) y R
1/U es la resistencia térmica unitaria total (el valor R). Las paredes y los techos de los edificios constan de varias capas de materiales; la estructura, las condiciones de operación de las paredes y los techos pueden diferir de manera significativa de un edificio a otro. Por lo tanto, no resulta práctico enlistar los valores R (o los factores U) de clases diferentes de paredes o techos en condiciones diferentes. La resistencia térmica total de una estructura se puede determinar con la mayor exactitud en un laboratorio, al armar en realidad la unidad y probar como un todo, pero este procedimiento suele ser muy tardado y costoso. El procedimiento analítico que aquí se describe es rápido y directo y los resultados suelen concordar bien con los valores experimentales. Se puede determinar la resistencia térmica unitaria de una capa plana de espesor L y conductividad térmica k a partir de R
L/k. En el apéndice se dan la conductividad térmica y otras propiedades de materiales de construcción comunes. Por conveniencia, en la tabla 3-8 se da una lista de las resistencias térmicas unitarias de varios componentes usados en las estructuras de edificios. La transferencia de calor a través de una sección de pared o techo también se ve afectada por los coeficientes de transferencia de calor por convección y radiación en las superficies expuestas. Los efectos de la convección y la radiación sobre las superficies interior y exterior de las paredes y techos suelen combinarse en los coeficientes combinados de transferencia de calor por convección y radiación (también llamados con- TABLA 3-8 Resistencia térmica unitaria (valor R) de componentes comunes usados en la construcción Valor R Componente Valor R m2 · °C/W ft2 · h · °F/Btu Superficie exterior (invierno) 0.030 Superficie exterior (verano) 0.044 Superficie interior, aire estático 0.12 Espacio plano lleno de aire, vertical, superficies comunes ( ef
0.82): 13 mm (12 in) 0.16 20 mm (34 in) 0.17 40 mm (1.5 in) 0.16 90 mm (3.5 in) 0.16 Aislamiento, 25 mm (1 in): Fibra de vidrio 0.70 Lámina de fibra mineral 0.66 Espuma rígida de uretano 0.98 Estuco, 25 mm (1 in) 0.037 Ladrillo de fachada, 100 mm (4 in) 0.075 Ladrillo común, 100 mm (4 in) 0.12 Forro de acero 0.00 Escoria, 13 mm (12 in) 0.067 Madera, 25 mm (1 in) 0.22 Montante de madera nominales 2 in  4 in (3.5 in o 90 mm de ancho) 0.63 0.17 0.25 0.68 0.90 0.94 0.90 0.91 4.00 3.73 5.56 0.21 0.43 0.79 0.00 0.38 1.25 3.58 Componente m2 · °C/W Montante de madera nominal 2 in  6 in (5.5 in o 140 mm de ancho) 0.98 Loseta de arcilla, 100 mm (4 in) 0.18 Loseta acústica 0.32 Teja de asfalto 0.077 Papel para construcción 0.011 Bloque de concreto, 100 mm (4 in): Ligero 0.27 Pesado 0.13 Tablero de yeso, 13 mm (12 in) 0.079 Lámina de fibra de madera, 13 mm (12 in) 0.23 Madera contrachapada, 13 mm (12 in) 0.11 Concreto, 200 mm (8 in): Ligero 1.17 Pesado 0.12 Mortero de cemento, 13 mm (21 in) 0.018 Tablas de forro achaflanadas y traslapadas de madera, 13 mm  200 mm (12 in  8 in) 0.14 http://librosysolucionarios.net ft2 · h · °F/Btu 5.56 1.01 1.79 0.44 0.06 1.51 0.71 0.45 1.31 0.62 6.67 0.67 0.10 0.81 Cengel_03C.qxd 2/23/11 1:09 PM Page 186 186 CONDUCCIÓN DE CALOR TABLA 3-9 Coeficientes combinados de transferencia de calor por convección y radiación en las superficies de las ventanas, paredes o techos (tomada del Handbook of Fundamentals de la ASHRAE, Ref. 1, Cap. 22, tabla 1) Posición h, W/m2 · °C* DirecEmisividad ción del superficial,  flujo de calor 0.90 0.20 0.05 Aire estático (tanto en el interior como en el exterior) Horiz. Hacia 9.26 5.17 4.32 arriba ↑ Horiz. Hacia 6.13 2.10 1.25 abajo ↓ Pendiente Hacia 9.09 5.00 4.15 de 45° arriba ↑ Pendiente Hacia 7.50 3.41 2.56 de 45° abajo ↓ Vertical ductancias superficiales) hi y ho, respectivamente, cuyos valores se dan en la tabla 3-9 para superficies comunes (e
0.9) y superficies reflectoras (e
0.2 o 0.05). Note que las superficies que tienen una baja emisividad también tienen una baja conductancia superficial, debido a la reducción de la transferencia de calor por radiación. Los valores de la tabla están basados en una temperatura superficial de 21°C (72°F) y una diferencia de temperatura entre la superficie y el aire de 5.5°C (10°F). También se supone que la temperatura superficial equivalente del medio es igual a la temperatura del aire ambiente. A pesar de la conveniencia que esto ofrece, esta hipótesis no es bastante exacta debido a la pérdida adicional de calor por radiación de la superficie hacia el cielo abierto. Se puede tomar en cuenta el efecto de la radiación hacia el cielo tomando aproximadamente la temperatura exterior como el promedio de las temperaturas del aire exterior y del cielo. El coeficiente de transferencia de calor de la superficie interior, hi, permanece muy constante durante todo el año, pero el valor de ho varía de manera considerable a causa de su dependencia de la orientación y de la velocidad del viento, la cual puede variar desde menos de 1 km/h, con condiciones de tiempo en clima tranquilo, hasta más de 40 km/h durante las tormentas. Los valores de uso común de hi y ho para los cálculos de la carga pico son hi
8.29 W/m2 · °C
1.46 Btu/h · ft2 · °F Horiz. → 8.29 4.20 3.35 Aire en movimiento (cualquier posición, cualquier dirección) Condición en invierno (vientos a 15 mph o 24 km/h) 34.0 — — Condición en verano (vientos a 7.5 mph o 12 km/h) 22.7 — — *Multiplíquese por 0.176 para convertir a Btu/h · ft2 · °F. La resistencia de la superficie se puede obtener a partir de R
1/h. ho

(invierno y verano) 34.0 W/m2 · °C
6.0 Btu/h · ft2 · °F 22.7 W/m2 · °C
4.0 Btu/h · ft2 · °F (invierno) (verano) los cuales corresponden a condiciones de diseño del invierno de 24 km/h (15 mph) para el invierno y 12 km/h (7.5 mph) para el verano. Las resistencias térmicas superficiales correspondientes (valores R) se determinan a partir de Ri
1/hi y Ro
1/ho. Se pueden usar los valores de la conductancia superficial en condiciones de aire estático para las superficies interiores así como para las exteriores, con clima tranquilo. Los componentes de construcción a menudo contienen espacios con aire atrapado entre varias capas. Las resistencias térmicas de esos espacios llenos de aire dependen del espesor de la capa, la diferencia de temperatura a través de ésta, la temperatura media del aire, la emisividad de cada superficie, la orientación de la capa de aire y la dirección de la transferencia de calor. En la tabla 3-10 se dan las emisividades de superficies comunes de encontrar en los edificios. La emisividad efectiva de un espacio lleno de aire de planos paralelos se expresa por 1 efectiva 1 1 1 2 1 (3-87) donde e1 y e2 son las emisiones de las superficies de espacio lleno de aire. En la tabla 3-10 también se da la lista de las emisividades efectivas de los espacios llenos de aire para los casos en donde 1) la emisividad de una de las superficies del espacio lleno de aire es e en tanto que la emisividad de la otra es 0.9 (un material de construcción), y 2) la emisividad de las dos superficies es e. Note que la emisividad efectiva de un espacio lleno de aire entre materiales de construcción es 0.82/0.03
27 veces la de un espacio lleno de aire entre superficies cubiertas con hoja de aluminio. Para temperaturas superficiales específicas, la transferencia de calor por radiación a través de un espacio lleno de aire es proporcional a la emisividad efectiva y, por lo tanto, la razón de esa transferencia en el caso de superficies comunes es 27 veces mayor a la que presenta una superficie reflectora. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 187 187 CAPÍTULO 3 En la tabla 3-11 se da la lista de las resistencias térmicas de espacios llenos de aire de 20 mm, 40 mm y 90 mm (0.75 in, 1.5 in y 3.5 in) de espesor en varias condiciones. Los valores de la resistencia térmica de la tabla son aplicables a los espacios llenos de aire de espesor uniforme limitados por superficies paralelas planas y lisas, sin fugas de aire. Se pueden obtener las resistencias térmicas para otras temperaturas, emisividades y espacios llenos de aire por interpolación y extrapolación moderadas. Note que la presencia de una superficie de baja emisividad reduce la transferencia de calor por radiación a través de un espacio lleno de aire y, de este modo, aumenta de manera significativa la resistencia térmica. Sin embargo, la efectividad térmica de una superficie de baja emisividad declinará si cambia la condición de esa superficie como resultado de algunos efectos tales como condensación, oxidación superficial y acumulación de polvo. Se determina con facilidad el valor R de la estructura de una pared o techo que comprenda capas de espesor uniforme al sumar las resistencias térmicas unitarias de las capas que están en serie. Pero cuando en una estructura intervienen componentes como montantes de madera y conectores metálicos, entonces en la red de resistencias térmicas se tienen conexiones en paralelo y posibles efectos bidimensionales. En este caso se puede determinar el valor R total suponiendo 1) trayectorias paralelas de flujo de calor a través de áreas de construcción diferente, o bien, 2) planos isotérmicos normales a la dirección de la transferencia de calor. Con el primer enfoque se suele sobrestimar la resistencia térmica global, en tanto que con el segundo se suele subeestimarla. El enfoque de trayectorias paralelas de flujo de calor es más apropiado para las paredes y techos con armazón de madera, en tanto que el de los planos isotérmicos resulta más apropiado para las paredes de mampostería o con armazón metálico. La resistencia térmica por contacto entre diferentes componentes de las estructuras de los edificios varía entre 0.01 y 0.1 m2 · °C/W, lo cual es despreciable en la mayor parte de los casos. Sin embargo, puede ser significativo para los componentes metálicos, como los que conforman los armazones de acero. Por lo común, la construcción de techos interiores planos con armazón de madera incluye viguetas de 2 in  6 in con 400 mm (16 in) o 600 mm (24 in) entre centros. La fracción que representa el armazón suele tomarse como 0.10 para las viguetas con 400 mm entre centros, y 0.07 para aquellas con 600 mm. La mayor parte de los edificios tienen una combinación de un techo interior y un tejado con un espacio de ático entre ellos, y la determinación del valor R de la combinación tejado-ático-techo interior depende de si el ático está ventilado o no. Para áticos ventilados de manera adecuada, la temperatura del aire en él es prácticamente la misma que la del aire exterior y, como consecuencia, la transferencia de calor a través del tejado sólo es regida por el valor R del techo interior. Sin embargo, el calor también se transfiere entre el tejado y el techo interior por radiación y ésta necesita ser considerada (figura 3-53). En este caso, la función principal del tejado es servir como blindaje para bloquear la radiación solar. Ventilar de manera eficaz el ático en verano no debe conducir a creer que la ganancia de calor hacia el edificio a través de él se reduce mucho. Esto se debe a que la mayor parte de la transferencia de calor a través del ático es por radiación. Se puede minimizar la transferencia de calor por radiación entre el techo interior y el tejado si se cubre al menos uno de los lados del ático (el lado del tejado o el del techo interior) con un material reflector, llamado barrera radiante, como hoja de aluminio o papel recubierto de aluminio. Las prue- http://librosysolucionarios.net TABLA 3-10 Emisividades e de varias superficies y emisividad efectiva de los espacios llenos de aire (tomada del Handbook of Fundamentals de la ASHRAE, Ref. 1, Cap. 22, tabla 3) Emisividad efectiva del espacio lleno de aire 1 Superficie 2

0.9 Hoja de aluminio, brillante 0.05* 0.05 Hoja de aluminio 0.12 0.12 Papel cubierto de aluminio 0.20 0.20 Acero galvanizado, brillante 0.25 0.24 Pintura de aluminio 0.50 0.47 Materiales de construcción: Madera, papel, mampostería, pinturas no metálicas 0.90 0.82 Vidrio común 0.84 0.77 1 2

0.03 0.06 0.11 0.15 0.35 0.82 0.72 *La emisividad superficial de la hoja de aluminio se incrementa hasta 0.30 con condensación apenas visible y hasta 0.70 con condensación claramente visible. Escape del aire 6 in 3 in Admisión del aire Barrera radiante 3 in Admisión del aire FIGURA 3-53 Trayectorias de ventilación para un ático ventilado en forma natural y el tamaño apropiado de las áreas de flujo alrededor de la barrera radiante para tener una circulación apropiada del aire (tomada de DOE/CE-0335P, Departamento de Energía de Estados Unidos). Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 188 188 CONDUCCIÓN DE CALOR TABLA 3-11 Resistencias térmicas unitarias (valores R) de espacios llenos de aire planos bien sellados (tomada del Handbook of Fundamentals de la ASHRAE, Ref. 1, Cap. 22, tabla 2) a) Unidades SI (en m2 · °C/W) Espacio lleno de aire Espacio lleno de aire Espacio lleno de aire Posición Dirección de 20 mm de 40 mm de 90 mm del de Emisividad Emisividad Emisividad espacio flujo Temp. Dif. de efectiva, ef efectiva, ef efectiva, ef lleno de de media, temp., aire calor °C °C 0.03 0.05 0.5 0.82 0.03 0.05 0.5 0.82 0.03 0.05 0.5 0.82 32.2 10.0 10.0 17.8 32.2 10.0 10.0 17.8 5.6 16.7 5.6 11.1 5.6 16.7 5.6 11.1 0.41 0.30 0.40 0.32 0.52 0.35 0.51 0.37 0.39 0.29 0.39 0.32 0.49 0.34 0.48 0.36 0.18 0.17 0.20 0.20 0.20 0.19 0.23 0.23 0.13 0.14 0.15 0.16 0.14 0.14 0.17 0.18 0.45 0.33 0.44 0.35 0.51 0.38 0.51 0.40 0.42 0.32 0.42 0.34 0.48 0.36 0.48 0.39 0.19 0.18 0.21 0.22 0.20 0.20 0.23 0.24 0.14 0.14 0.16 0.17 0.14 0.15 0.17 0.18 0.50 0.27 0.49 0.40 0.56 0.40 0.55 0.43 0.47 0.35 0.47 0.38 0.52 0.38 0.52 0.41 0.20 0.19 0.23 0.23 0.21 0.20 0.24 0.24 0.14 0.15 0.16 0.18 0.14 0.15 0.17 0.19 32.2 10.0 Vertical Horizontal → 10.0 17.8 32.2 Pendiente Hacia 10.0 de 45° abajo ↓ 10.0 17.8 32.2 Hacia 10.0 Horizontal abajo ↓ 10.0 17.8 5.6 16.7 5.6 11.1 5.6 16.7 5.6 11.1 5.6 16.7 5.6 11.1 0.62 0.51 0.65 0.55 0.62 0.60 0.67 0.66 0.62 0.66 0.68 0.74 0.57 0.49 0.61 0.53 0.58 0.57 0.63 0.63 0.58 0.62 0.63 0.70 0.21 0.23 0.25 0.28 0.21 0.24 0.26 0.30 0.21 0.25 0.26 0.32 0.15 0.17 0.18 0.21 0.15 0.17 0.18 0.22 0.15 0.18 0.18 0.23 0.70 0.45 0.67 0.49 0.89 0.63 0.90 0.68 1.07 1.10 1.16 1.24 0.64 0.43 0.62 0.47 0.80 0.59 0.82 0.64 0.94 0.99 1.04 1.13 0.22 0.22 0.26 0.26 0.24 0.25 0.28 0.31 0.25 0.30 0.30 0.39 0.15 0.16 0.18 0.20 0.16 0.18 0.19 0.22 0.17 0.20 0.20 0.26 0.65 0.47 0.64 0.51 0.85 0.62 0.83 0.67 1.77 1.69 1.96 1.92 0.60 0.45 0.60 0.49 0.76 0.58 0.77 0.64 1.44 1.44 1.63 1.68 0.22 0.22 0.25 0.27 0.24 0.25 0.28 0.31 0.28 0.33 0.34 0.43 0.15 0.16 0.18 0.20 0.16 0.18 0.19 0.22 0.18 0.21 0.22 0.29 Hacia Horizontal arriba ↑ Pendiente Hacia de 45° arriba ↑ b) Unidades inglesas (en h · ft2 · °F/Btu) Posición del espacio lleno de aire Dirección de flujo de calor Hacia Horizontal arriba ↑ Pendiente Hacia de 45° arriba ↑ Vertical Horizontal → Pendiente Hacia de 45° abajo ↓ Hacia Horizontal abajo ↓ Espacio lleno de aire de 0.75 in Temp. media, °F 90 50 50 0 90 50 50 0 90 50 50 0 90 50 50 0 90 50 50 0 Espacio lleno de aire de 1.5 in Espacio lleno de aire de 3.5 in Emisividad Emisividad Emisividad Dif. de efectiva, ef efectiva, ef efectiva, ef temp., °F 0.03 0.05 0.5 0.82 0.03 0.05 0.5 0.82 0.03 0.05 0.5 0.82 10 30 10 20 10 30 10 20 10 30 10 20 10 30 10 20 10 30 10 20 2.34 1.71 2.30 1.83 2.96 1.99 2.90 2.13 3.50 2.91 3.70 3.14 3.53 3.43 3.81 3.75 3.55 3.77 3.84 4.18 2.22 1.66 2.21 1.79 2.78 1.92 2.75 2.07 3.24 2.77 3.46 3.02 3.27 3.23 3.57 3.57 3.29 3.52 3.59 3.96 1.04 0.99 1.16 1.16 1.15 1.08 1.29 1.28 1.22 1.30 1.43 1.58 1.22 1.39 1.45 1.72 1.22 1.44 1.45 1.81 0.75 0.77 0.87 0.93 0.81 0.82 0.94 1.00 0.84 0.94 1.01 1.18 0.84 0.99 1.02 1.26 0.85 1.02 1.02 1.30 2.55 1.87 2.50 2.01 2.92 2.14 2.88 2.30 3.99 2.58 3.79 2.76 5.07 3.58 5.10 3.85 6.09 6.27 6.61 7.03 2.41 1.81 2.40 1.95 2.73 2.06 2.74 2.23 3.66 2.46 3.55 2.66 4.55 3.36 4.66 3.66 5.35 5.63 5.90 6.43 http://librosysolucionarios.net 1.08 1.04 1.21 1.23 1.14 1.12 1.29 1.34 1.27 1.23 1.45 1.48 1.36 1.42 1.60 1.74 1.43 1.70 1.73 2.19 0.77 0.80 0.89 0.97 0.80 0.84 0.94 1.04 0.87 0.90 1.02 1.12 0.91 1.00 1.09 1.27 0.94 1.14 1.15 1.49 2.84 2.09 2.80 2.25 3.18 2.26 3.12 2.42 3.69 2.67 3.63 2.88 4.81 3.51 4.74 3.81 10.07 9.60 11.15 10.90 2.66 2.01 2.66 2.18 2.96 2.17 2.95 2.35 3.40 2.55 3.40 2.78 4.33 3.30 4.36 3.63 8.19 8.17 9.27 9.52 1.13 1.10 1.28 1.32 1.18 1.15 1.34 1.38 1.24 1.25 1.42 1.51 1.34 1.40 1.57 1.74 1.57 1.88 1.93 2.47 0.80 0.84 0.93 1.03 0.82 0.86 0.96 1.06 0.85 0.91 1.01 1.14 0.90 1.00 1.08 1.27 1.00 1.22 1.24 1.62 Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 189 189 CAPÍTULO 3 Tablero del tejado Cabrio Barrera radiante Vigueta Tablero del tejado Espacio lleno de aire Cabrio Barrera radiante Vigueta Aislamiento a) Debajo del tablero del tejado Tablero del tejado Vigueta Aislamiento b) En la parte inferior de los cabrios Cabrio Barrera radiante Aislamiento c) En la parte superior del aislamiento del piso FIGURA 3-54 Tres ubicaciones posibles para una barrera radiante en el ático (tomada de DOE/CE-0335P, Departamento de Energía de EE.UU.). bas en casas con aislamiento R-19 del piso del ático han demostrado que las barreras radiantes pueden reducir las ganancias de calor por el techo interior en el verano de 16 a 42%, en comparación con un ático con el mismo nivel de aislamiento y sin barrera. Si se considera que la ganancia de calor por el techo representa alrededor de 15 a 25% de la carga total de enfriamiento de una casa, las barreras radiantes reducirán los costos del acondicionamiento del aire de 2 a 10%. Las barreras radiantes también reducen la pérdida de calor en invierno a través del techo interior, pero las pruebas han demostrado que el porcentaje de reducción en las pérdidas de calor es menor. Como resultado, el porcentaje de reducción en los costos de la calefacción será menor que la reducción en los costos del acondicionamiento del aire. Asimismo, los valores dados son para instalaciones de barreras radiantes nuevas y sin polvo y los porcentajes serán menores para las barreras viejas o empolvadas. En la figura 3-54 se muestran algunas ubicaciones posibles para las barreras radiantes en el ático. En pruebas sobre casas completas, con aislamiento R-19 del piso, del ático, las barreras radiantes han reducido la ganancia de calor por el techo interior en un promedio de 35% cuando se instalan sobre el piso del ático, y en 24% cuando se sujetan a la parte inferior de los cabrios. Los ensayos con celdas de prueba también demuestran que la mejor ubicación para las barreras radiantes es el piso del ático, siempre que no se use como área de almacenamiento y se mantenga limpio. Para áticos no ventilados, cualquier transferencia de calor debe ocurrir a través de: 1) el techo interior, 2) el espacio del ático y 3) el tejado (figura 3-55). Por lo tanto, el valor R total de la combinación tejado-techo interior, con un ático no ventilado, depende de los efectos combinados del valor R del techo interior y del tejado, así como de las resistencias térmicas del espacio del ático. El espacio del ático se puede tratar en el análisis como una capa de aire. Pero una manera más práctica de considerar su efecto es considerar las resistencias superficiales sobre las áreas del tejado y del techo interior una frente a la otra. En este caso, se determinan primero por separado los valores R del techo interior y del tejado (usando resistencias a la convección para el caso de aire estático en las superficies del ático). Entonces se puede demostrar que el valor R total de la combinación techo interior-tejado, por unidad de área del techo interior, se puede expresar como R
Rt. interior Rtejado
AA  t. interior tejado (3-88) http://librosysolucionarios.net To Rtejado Tejas Atecho interior Tático Cabrio Ático Tejado Atejado Vigueta de techo interior Rtecho interior Ti FIGURA 3-55 Red de resistencias térmicas para una combinación de tejado inclinado-áticotecho interior, para el caso de un ático no ventilado. Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 190 190 CONDUCCIÓN DE CALOR en donde At. interior y Atejado son las áreas del techo interior y del tejado, respectivamente. La razón entre las áreas es igual a 1 para los tejidos planos y menor que 1 para los inclinados. Para un tejido inclinado 45°, la razón entre las áreas es At. interior/Atejado
1/ 2
0.707. Note que el tejado inclinado tiene un área mayor para la transferencia de calor que el techo interior plano y la razón entre las áreas considera la reducción en el valor R unitario del tejado cuando se expresa por unidad de área del techo interior. Asimismo, la dirección del flujo de calor es hacia arriba en invierno (pérdida de calor a través del techo) y hacia abajo en verano (ganancia de calor a través del techo). En el valor R de una estructura determinado por análisis se supone que los materiales usados y la mano de obra cumplen con los estándares. Una mala mano de obra y materiales de baja calidad usados durante la construcción pueden traer como resultado valores R que se desvían de los predichos. Por lo tanto, algunos ingenieros usan un factor de seguridad en sus diseños basado en la experiencia en aplicaciones críticas. EJEMPLO 3-16 El valor R de una pared con armazón de madera Determine la resistencia térmica unitaria total (el valor R) y el coeficiente total de transferencia de calor (el factor U) de una pared con armazón de madera que está construida en torno de montantes de madera de 38 mm  90 mm (2  4 nominales) con una distancia entre centros de 400 mm. La cavidad de 90 mm de ancho entre los montantes está llena con aislamiento de fibra de vidrio. El interior está acabado con un tablero de yeso de 13 mm y el exterior con una lámina de fibra de madera de 13 mm y tablas de forro achaflanadas y traslapadas de madera de 13 mm  200 mm. La cavidad aislada constituye 75% del área de transmisión del calor, en tanto que los montantes y las soleras superior e inferior constituyen un 21%. Los travesaños constituyen 4% del área y se pueden tratar como montantes. Asimismo, determina la razón de la transferencia de calor a través de las paredes de una casa cuyo perímetro es de 50 m y la altura de sus paredes es de 2.5 m, en Las Vegas, Nevada, cuya temperatura de diseño de invierno es de 2°C. Tome la temperatura de diseño del interior como 22°C y suponga que 20% del área de las paredes está ocupada por cristales. SOLUCIÓN Se deben determinar el valor R y el factor U de una pared con armazón de madera así como la razón de la pérdida de calor a través de una pared de ese tipo en Las Vegas. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La transferencia de calor a través de la pared es unidimensional. 3 Las propiedades térmicas de la pared y los coeficientes de transferencia de calor son constantes. Propiedades En la tabla 3-8 se dan los valores R de los diferentes materiales. Análisis Aquí se muestra el esquema de la pared así como los elementos usados en su construcción. La transferencia de calor a través del aislamiento y a través de los montantes encontrará resistencias diferentes y, como consecuencia, se necesita analizar la resistencia térmica para cada trayectoria por separado. Una vez que se dispone de las resistencias térmicas unitarias y de los factores U para las secciones de aislamiento y de montantes, se puede determinar la resistencia térmica promedio total para toda la pared a partir de Rtotal
1/Utotal donde Utotal
(U  fárea)aislamiento http://librosysolucionarios.net (U  fárea)montante Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 191 191 CAPÍTULO 3 y el valor de la fracción del área, fárea, es 0.75 para la sección de aislamiento y 0.25 para la sección de montantes, ya que los travesaños que constituyen una pequeña parte de la pared se deben tratar como montantes. Al usar los valores R disponibles, tomados de la tabla 3-8, y calcular los otros, se pueden determinar los valores R para cada sección de manera sistemática en la tabla de este ejemplo. Valor R, m2 · °C/W Esquema 4b Construcción En los montantes 0.030 0.030 0.14 0.14 0.23 0.23 2.45 — — 0.63 0.079 0.079 0.12 0.12 1. 1 Superficie exterior, viento de 24 km/h 2. Tablas de forros achaflanadas y traslapadas de madera 3. Revestimiento de lámina de fibra de madera, 13 mm 4a. Aislamiento de 6 fibra de vidrio, 90 mm 5 4a 4b. Montaje de madera, 3 2 38 mm  90 mm 5. Tablero de yeso, 13 mm 6. Superficie interior, aire estático Entre los montantes Resistencia térmica unitaria total de cada sección, R (en m2 · °C/W) 3.05 1.23 El factor U de cada sección, U
1/R, en W/m2 · °C 0.328 0.813 Fracción de área de cada sección, fárea 0.75 0.25 Factor U total: U
fárea, i Ui
0.75  0.328 0.25  0.813
0.449 W/m2 · °C Resistencia térmica unitaria total: R
1/U
2.23 m2 · °C/W Se concluye que la resistencia térmica unitaria total de la pared es 2.23 m2 · °C/W y en este valor se consideran los efectos de los montantes y los travesaños. Esto corresponde a un valor R de 2.23  5.68
12.7 (o casi R-13), en unidades inglesas. Note que si no hubiera montantes y travesaños de madera en la pared, la resistencia térmica total sería de 3.05 m2 · °C/W, lo cual es 37% mayor que 2.23 m2 · °C/W. Por lo tanto, en este caso, los montantes y travesaños de madera sirven como puentes térmicos en las paredes con armazón de madera y su efecto debe considerarse en el análisis térmico de los edificios. El perímetro del edificio es de 50 m y la altura de las paredes de 2.5 m. Ya que los cristales constituyen 20% de las paredes, el área total de la pared es Apared
0.80(Perímetro)(Altura)
0.80(50 m)(2.5 m)
100 m2 Entonces la razón de la pérdida de calor a través de las paredes en las condiciones de diseño queda · Q pared
(UA)pared (Ti  To)
(0.449 W/m2 · °C)(100 m2)[22  (2)°C]
1 078 W Discusión Note que, en esta casa, un calentador de 1 kW repondrá gran parte del calor que se pierde a través de las paredes, excepto el que se disipa a través de las ventanas y puertas, cuando la temperatura del aire exterior cae hasta 2°C. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/22/11 3:07 PM Page 192 192 CONDUCCIÓN DE CALOR EJEMPLO 3-17 El valor R de una pared con espuma rígida El revestimiento en la lámina de fibra de madera con 13 mm de espesor en la pared de los montantes de madera discutida en el ejemplo anterior se reemplaza por un aislamiento de espuma rígida de 25 mm de espesor. Determine el porcentaje de incremento en el valor R de la pared que se tiene como resultado. SOLUCIÓN En el ejemplo 3-16 se determinó que el valor R total de la pared existente era 2.23 m2 · °C/W. Dado que los valores R de la lámina de fibra y del aislamiento de espuma son 0.23 m2 · °C/W y 0.98 m2 · °C/W, respectivamente, y que las asistencias térmicas agregadas y eliminadas están en serie, el valor R total de la pared después de la modificación queda Rnuevo
Ranterior  Reliminada  Ragregada
2.23  0.23  0.98
2.98 m2 · °C/W Esto representa un incremento de (2.98 – 2.23)/2.23
0.34, o sea 34% en el valor R de la pared. En este ejemplo se demuestra cómo evaluar el nuevo valor R de una estructura cuando se agregan o eliminan algunos miembros estructurales. EJEMPLO 3-18 El valor R de una pared de mampostería Determine la resistencia térmica unitaria total (el valor R) y el coeficiente total de transferencia de calor (el factor U) de una pared hueca de mampostería que está construida en torno a bloques de concreto de 6 in de espesor de agregado ligero con tres núcleos llenos con perlita (R
4.2 h · ft2 · °F/Btu). El lado exterior está acabado con 4 in de lado de ladrillo de fachada con 12 in de mortero de cemento entre los ladrillos y los bloques de concreto. El acabado interior consta de un tablero de yeso de 12 in separado del bloque de concreto por listones de 34 in de espesor (1 in  3 in nominales) listón vertical (R
4.2 h · ft2 · °F/Btu) cuya distancia entre centros es 16 in. Los dos lados del espacio de aire de 34 in de espesor, entre el bloque de concreto y el tablero de yeso, están recubiertos con hoja reflectora de aluminio (e
0.05), de modo que la emisividad efectiva del espacio de aire es 0.03. Para una temperatura media de 50°F y una diferencia de temperatura de 30°F, el valor R del espacio de aire es 2.91 h · ft2 · °F/Btu. El espacio reflector de aire constituye 80% del área de transmisión de calor, en tanto que los listones verticales constituyen 20%. SOLUCIÓN Deben determinarse el valor R y el factor U de una pared hueca de mampostería. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La transferencia de calor a través de la pared es unidimensional. 3 Las propiedades térmicas de la pared y los coeficientes de transferencia de calor son constantes. Propiedades En la tabla 3-8 se dan los valores R de diferentes materiales. Análisis Enseguida se muestra el esquema de la pared así como los elementos diferentes usados en su construcción. Siguiendo el procedimiento que aquí se ha descrito y usando los valores R de los que se dispone en la tabla 3-8, se determina el valor R total en la tabla que sigue. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 193 193 CAPÍTULO 3 Esquema Valor R, h · ft2 · °F/Btu Construcción 1 En los Entre los listolistones nes 1. Superficie exterior, viento de 15 mph 0.17 5b 2. Ladrillo de fachada, 4 in 0.43 3. Mortero de cemento, 0.5 in 0.10 4. Bloque de concreto, 6 in 4.20 5a. Espacio reflector lleno de aire, 34 in 2.91 7 5b. Listón vertical 6 5a 1  3 nominal — 4 6. Tablero de yeso, 3 2 0.5 in 0.45 7. Superficie interior, aire estático 0.68 Resistencia térmica unitaria total de cada sección, R El factor U de cada sección, U
1/R, en Btu/h · ft2 · °F Fracción de área de cada sección, fárea Factor U total: U
fárea, i Ui
0.80  0.112 0.20  0.143
0.118 Btu/h · ft2 · °F Resistencia térmica unitaria total: R
1/U
8.94 0.112 0.80 0.17 0.43 0.10 4.20 — 0.94 0.45 0.68 6.97 0.143 0.20 8.46 h · ft2 · °F/Btu Por lo tanto, la resistencia térmica unitaria total de la pared es 8.46 h · ft2 · °F/Btu y el factor U total es 0.118 Btu/h · ft2 · °F. En estos valores se consideran los efectos de los listones verticales. EJEMPLO 3-19 El valor R de un techo inclinado Determine la resistencia térmica unitaria total (el valor R) y el coeficiente total de transferencia de calor (el factor U) de un techo inclinado 45°, construido en torno a montantes de madera de 2 in  4 in nominales con una distancia entre centros de 16 in. El espacio de aire de 3.5 in de ancho que está entre los montantes no tiene superficie reflectora y, por lo tanto, su emisividad efectiva es 0.84. Para una temperatura media de 90°F y una diferencia de temperatura de 30°F, el valor R del espacio lleno de aire es 0.86 h · ft2 · °F/Btu. La parte inferior del techo está acabado con un tablero de yeso de 12 in y la superior con madera contrachapada con papel para construcción y teja de asfalto de 58 in. El espacio de aire constituye 75% del área de transmisión de calor, en tanto que los montantes y los travesaños constituyen 25%. SOLUCIÓN Se debe determinar el valor R y el factor U de un techo inclinado a 45°. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 La transferencia de calor a través del techo es unidimensional. 3 Las propiedades térmicas del techo y los coeficientes de transferencia de calor son constantes. Propiedades En la tabla 3-8 se dan los valores R de diferentes materiales. Análisis Se muestra el esquema del techo inclinado así como los diferentes elementos usados en su construcción. Si se sigue el procedimiento descrito con anterioridad y se usan los valores R que se disponen en la tabla 3-8, se puede determinar el valor R total del techo en la tabla que sigue. http://librosysolucionarios.net Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 194 194 CONDUCCIÓN DE CALOR Esquema Valor R, h · ft2 · °F/Btu En los Entre los monmontantes tantes 1. Superficie exterior, viento de 15 mph 2. Teja de asfalto 3. Papel para construcción 4. Tablero de madera, contrachapada 58 in 5a. Espacio no reflector lleno de aire, 3.5 in 5b. Montante de madera, 45° 2 in  4 in 6. Tablero de yeso, 0.5 in 7. Superficie interior, pendiente 1 2 3 4 5a 5b 6 7 de 45°, aire estático Resistencia térmica unitaria total de cada sección, R El factor U de cada sección, U
1/R, en Btu/h · ft2 · °F Fracción de área de cada sección, fárea Factor U total: U
fárea, i Ui
0.75  0.292 0.25  0.163
0.260 Btu/h · ft2 · °F Resistencia térmica unitaria total: R
1/U
0.17 0.44 0.06 0.17 0.44 0.06 0.78 0.78 0.86 — — 0.45 3.58 0.45 0.63 0.63 3.39 0.292 0.75 6.11 0.163 0.25 3.85 h · ft2 · °F/Btu Por lo tanto, la resistencia térmica unitaria total de este techo inclinado es 3.85 h · ft2 · °F/Btu y el factor U total es 0.260 Btu/h · ft2 · °F. Note que los montantes de madera ofrecen una resistencia térmica mucho mayor al flujo de calor que el espacio lleno de aire entre ellos. RESUMEN La transferencia unidimensional de calor a través de un cuerpo simple o compuesto expuesto a la convección desde ambos lados hacia medios que se encuentran a las temperaturas T1 y T2 se puede expresar como  T1  T2 Q
Rtotal donde Rtotal es la resistencia térmica total entre los dos medios. Para una pared plana expuesta a convección sobre ambos lados, la resistencia total se expresa como Rtotal
Rconv, 1 Rpared 1 Rconv, 2
h1 A L kA 1 h2 A Esta relación se puede extender hacia paredes planas que constan de dos o más capas, al sumar una resistencia adicional por cada capa adicional. Las relaciones elementales de la resistencia térmica se pueden expresar como sigue: Resistencia a la conducción (pared plana): Rpared
Resistencia a la conducción (cilindro): Rcil
L kA Resistencia a la conducción (esfera): Resf
Resistencia a la convección: Rconv
Resistencia de la interfase: Rinterfase
Resistencia a la radiación: Rrad
r2  r1 4pr1r2 k 1 hA Rc 1
hc A A 1 hrad A donde hc es la conductancia térmica por contacto, Rc es la resistencia térmica por contacto y el coeficiente de transferencia de calor por radiación se define como hrad
es(T s2 2 Talred )(Ts Talred) Una vez que se dispone de la razón de la transferencia de calor, se puede determinar la caída de temperatura a través de cualquier capa a partir de ln(r2 /r1) 2pLk http://librosysolucionarios.net  T
QR Cengel_03C.qxd 2/11/11 3:21 PM Page 195 195 CAPÍTULO 3 También se puede usar el concepto de resistencia térmica en problemas de transferencia de calor en estado estacionario que comprenden capas paraleleas o configuraciones combinadas en serie-paralelo. Agregar aislamento a un tubo cilíndrico o a un casco esférico incrementa la razón de la transferencia de calor si el radio exterior del aislamiento es menor que el radio crítico del aislamiento, definido como kais rcr, cilindro
h 2kais rcr, esfera
h Con frecuencia se da la efectividad de un aislamiento en términos de su valor R, la resistencia térmica del material por unidad de área superficial, expresado como Valor R
L k (aislamiento plano) donde L es el espesor y k es la conductividad térmica del material. Las superficies con aletas son de uso común en la práctica para mejorar la transferencia de calor. Las aletas mejoran la transferencia de calor desde una superficie al exponer un área más grande a la convección. La distribución de temperatura a lo largo de la aleta, para aletas muy largas y para aletas con transferencia de calor despreciable en la punta, se expresa por T(x)  T
ex2hp/kAc Tb  T Aleta muy larga: T(x)  T cosh m(L  x) Punta adiabática de la aleta:
Tb  T cosh mL Temperatura específica de la punta de la aleta: T(x) T Tb T [(TL T ) (Tb T )] senh mx senhmL senh m(L Convección en la punta de la aleta: cosh m(L x) (h mk)senh m(L T(x) T Tb T cosh mL (h mk)senh mL x) x) donde m
2hp/kAc, p es el perímetro y Ac es el área de la sección transversal de la aleta. Las razones de la transferencia de calor para los dos casos se expresan como 2
2hpkAc (Tb  T) x
0 Punta adiabática de la aleta: dT  Qpunta adiabática
kAc dx `
2hpkAc (Tb  T) tanh mL x
0 Temperatura específica de la punta de la aleta: # Qtemperatura específica 2h p k Ac (Tb T ) cosh mL [(TL # Qconvección 2h p k Ac (Tb T ) senh mL cosh mL (h mk) cosh mL (h mk) senh mL Las aletas expuestas a convección en las puntas se pueden tratar como aletas con puntas aisladas por medio de la longitud corregida Lc
L Ac /p, en lugar de usar la longitud real de la aleta. La temperatura de una aleta cae a lo largo de la misma y, por lo tanto, la transferencia de calor desde ella es menor debido a la diferencia decreciente de temperatura hacia la punta. Para considerar el efecto de esta disminución en la temperatura sobre la transferencia de calor, se define la eficiencia de la aleta como Razón real de la transferencia . de calor desde la aleta Q aleta .
—————————————————— haleta
———— Razón ideal de la transferencia Q aleta, máx de calor desde la aleta si estuviera toda a la temperatura de la base Cuando se dispone de la eficiencia de la aleta, la razón de la transferencia de calor desde la aleta se puede determinar a partir de   Qaleta
haletaQaleta, máx
haletahAaleta (Tb  T) El desempeño de las aletas se juzga sobre la base del mejoramiento en la transferencia de calor comparado con el caso en que no hubiera aletas y se expresa en términos de la efectividad de la aleta, ealeta, definida como Razón de la transferencia de calor desde la aleta . . Q aleta de área de la base Ab Q aleta ealeta
—.———
——————
———————————— hAb(Tb  T) Razón de la transferencia Q sin aleta de calor desde la superficie de área Ab En este caso, Ab es el área de la sección transversal de la aleta en  la base y Qsin aleta representa la razón de la transferencia de calor desde esta área si no se agregan aletas a la superficie. La efectividad total para una superficie con aletas se define como la razón entre la transferencia total de calor desde la superficie con aletas y la transferencia de calor desde la misma superficie si no tuviera aletas, . h(Alibre de aletas haleta Aaleta)(Tb  T) Q total, aleta ————— .
———————————————— ealeta, total
hAsin aletas(Tb  T) Q total, sin aleta La eficacia y la efectividad de la aleta están relacionadas entre sí por Aaleta h ealeta
Ab aleta Aleta muy larga:  dT Qaleta larga
kAc dx Convección en la punta de la aleta: T ) (Tb senh mL T )] Ciertos problemas multidimensionales de transferencia de calor comprenden dos superficies mantenidas a las temperaturas constantes T1 y T2. La razón estacionaria de la transferencia de calor entre estas dos superficies se expresa como  Q
Sk(T1  T2) donde S es el factor de forma de conducción, que tiene las dimensiones de longitud y k es la conductividad térmica del medio entre las superficies. http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 196 196 CONDUCCIÓN DE CALOR BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS SUGERIDAS 1. American Society of Heating, Refrigeration, and Air Conditioning Engineers, en Handbook of Fundamentals, Atlanta: ASHRAE, 1993. 2. R. V. Andrews. “Solving Conductive Heat Transfer Problems with Electrical-Analogue Shape Factors”, Chemical Engineering Progress 5 (1955), p. 67. 3. R. Barron. Cryogenic Systems, Nueva York: McGraw-Hill, 1967. 4. L. S. Fletcher. “Recent Developments in Contact Conductance Heat Transfer”, en Journal of Heat Transfer 110, núm. 4B (1988), pp. 1059-1579. 5. E. Fried. “Thermal Conduction Distribution to Heat Transfer at Contacts”, en Thermal Conductivity, vol. 2, 2a. ed., R. P. Tye, Londres: Academic Press, 1969. 6. K. A. Gardner. “Efficiency of Extended Surfaces”. Trans. ASME 67 (1945), pp. 621-631. Reimpreso con autorización de ASME International. 7. D. Q. Kern y A. D. Kraus, en Extended Surface Heat Transfer, Nueva York: McGraw-Hill, 1972. 8. G. P. Peterson. “Thermal Contact Resistance in Waste Heat Recovery Systems”, Memorias del 18o. ASME/ETCE Hydrocarbon Processing Symposium, Dallas, TX, 1987, pp. 45-51. Reimpreso con autorización de ASME International. 9. S. Song, M. M. Yovanovich y F. O. Goodman. “Thermal Gap Conductance of Conforming Surfaces in Contact”, Journal of Heat Transfer 115 (1993), p. 533. 10. J. E. Sunderland y K. R. Johnson. “Shape Factors for Heat Conduction through Bodies with Isothermal or Convective Boundary Conditions”, Trans. ASME 10 (1964), pp. 2317-2341. 11. W. M. Edmunds. “Residential Insulation”, ASTM Standardization News (enero de 1989), pp. 36-39. PROBLEMAS* Conducción del calor en estado estacionario en paredes planas 3-1C Considere la conducción de calor a través de una pared de espesor L y área A. ¿En qué condiciones la distribución de temperatura en la pared será una recta? transferencia de calor a través del fondo de la cacerola, alguien propone un diseño que consiste en una capa de cobre de 3 mm de espesor comprimida entre dos capas de aluminio de 2 mm de espesor. ¿Con el nuevo diseño se conducirá mejor el calor? Explique. Suponga un contacto perfecto entre las capas. 3-2C Considere la conducción de calor a través de una pared plana. ¿Cambia el contenido de energía de la pared durante la conducción de calor en estado estacionario? ¿Cómo cambia durante la conducción transitoria? Explique. 3-3C Considere la transferencia de calor en estado estacionario a través de la pared de un cuarto en invierno. El coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie exterior de la pared es el triple que el de la superficie interior, como resultado de los vientos. ¿Sobre cuál de las dos superficies piensa el lector que la temperatura estará más cercana a la del aire circundante? Explique. 2 mm 3 mm 2 mm 3-4C El fondo de una cacerola está hecho de una capa de aluminio de 4 mm de espesor. Para incrementar la razón de la Aluminio Cobre FIGURA P3-4C *Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a darles respuesta. Los designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con un ícono de CD-ESS, , se resuelven usando el ESS, y las soluciones completas, junto con estudios paramétricos, se incluyen en el CD que acompaña a este texto. Los problemas con un ícono de computadora-ESS, , son de naturaleza detallada y se pretende que se resuelvan con una computadora, de preferencia usando el software ESS que acompaña a este texto. 3-5C Considere conducción de calor unidireccional en una barra cilíndrica de diámetro D y longitud L. ¿Cuál es el área de transferencia de calor de la varilla si a) su superficie lateral está aislada, y b) sus superficies superior e inferior están aisladas? 3-6C ¿Qué representa la resistencia térmica de un medio? 3-7C ¿Cómo se define el coeficiente combinado de transferencia de calor? ¿Qué conveniencia ofrece en los cálculos de transferencia de calor? http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 197 197 CAPÍTULO 3 3-8C ¿Podemos definir la resistencia a la convección por unidad de área como la inversa del coeficiente de transferencia de calor por convección? 3-9C ¿Por qué las resistencias a la convección y a la radiación en una superficie están en paralelo en lugar de en serie? 3-10C Considere una superficie de área A en la cual los coeficientes de transferencia de calor por convección y por radiación son hconv y hrad, respectivamente. Explique cómo determinaría a) el coeficiente único equivalente de transferencia de calor y b) la resistencia térmica equivalente. Suponga que el medio y las superficies circundantes están a la misma temperatura. 3-11C ¿En qué difiere la red de resistencias térmicas asociada con una pared plana de una sola capa con respecto a una asociada con una pared compuesta de cinco capas? 3-12C Considere la transferencia unidimensional de calor en estado estacionario a través de un medio de capas múltiples. Si · se conoce la razón de la transferencia de calor, Q , explique cómo determinaría la caída de temperatura a través de cada capa. peratura de su superficie interior, para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 24°C, en tanto que la temperatura del exterior es de –5°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior de la ventana como h1  10 W/m2 · °C y h2  25 W/m2 · °C y descarte cualquier transferencia de calor por radiación. 3-20 Considere una ventana de hoja doble de 1.5 m de alto y 2.4 m de ancho que consta de dos capas de vidrio (k  0.78 W/m · °C) de 3 mm de espesor separadas por un espacio de aire estancado (k  0.026 W/m · °C) de 12 mm de ancho. Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de esta ventana de hoja doble y la temperatura de su superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 21°C en tanto que la temperatura del exterior es de –5°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior de la ventana como h1  10 W/m2 · °C y h2  25 W/m2 · °C y descarte cualquier transferenRespuestas: 154 W, 16.7°C cia de calor por radiación. 3-13C Considere la transferencia unidimensional de calor en estado estacionario a través de una pared plana expuesta a convección desde ambos lados hacia medios que están a las temperaturas conocidas T
1 y T
2, con coeficientes de transferencia de calor conocidos, h1 y h2. Una vez que se ha evaluado la razón · de la transferencia de calor, Q , explique cómo determinaría la temperatura de cada superficie. Vidrio 3-14C Alguien comenta que un horno de microondas se puede concebir como un horno convencional con una resistencia cero a la convección en la superficie del alimento. ¿Es una afirmación exacta? 3 12 3-15C Considere una ventana de vidrio que consta de dos hojas de 4 mm de espesor comprimidas con firmeza una contra la otra. Compare la razón de la transferencia de calor a través de esta ventana con la de una que consta de una sola hoja de vidrio de 8 mm de espesor en condiciones idénticas. 3-16C Considere dos bebidas enlatadas frías, una envuelta en una manta y la otra colocada sobre una mesa en el mismo cuarto. ¿Cuál bebida se entibiará más rápido? 3-17 Considere una pared de ladrillos de 3 m de alto, 6 m de ancho y 0.25 m de espesor cuya conductividad térmica es k  0.8 W/m · °C. En cierto día, se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior de la pared y resultan ser de 14°C y 5°C, respectivamente. Determine la razón de la pérdida de calor a través de la pared en ese día. 3-18 Está hirviendo agua en una cacerola de aluminio (k  237 W/m · °C) de 25 cm de diámetro, a 95°C. El calor se transfiere de manera estacionaria hacia el agua hirviendo que está en la cacerola a través del fondo plano de ésta de 0.5 cm de espesor, a razón de 800 W. Si la temperatura de la superficie interior del fondo es de 108°C, determine a) el coeficiente de transferencia de calor de ebullición sobre esa superficie interior, y b) la temperatura de la superficie exterior del fondo. 3-19 Considere una ventana de vidrio de 1.5 m de alto y 2.4 m de ancho cuyo espesor es de 6 mm y la conductividad térmica es k  0.78 W/m · °C. Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de esta ventana de vidrio y la tem- 3 mm Marco FIGURA P3-20 3-21 Repita el problema 3-20 si se ha hecho el vacío en el espacio entre las dos capas de vidrio. 3-22 Vuelva a considerar el problema 3-20. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la razón de transferencia de calor en función del ancho del espacio de aire, en el rango de 2 mm hasta 20 mm, si se supone conducción pura a través del aire. Discuta los resultados. 3-23I Considere una casa de ladrillos calentada eléctricamente (k  0.40 Btu/h · ft · °F) cuyas paredes tienen 9 ft de alto y 1 ft de espesor. Dos de las paredes tienen 50 ft de largo y las otras tienen 35 ft. La casa se mantiene a 70°F en todo momento, en tanto que la temperatura del exterior varía. En cierto día, se mide la temperatura de la superficie interior de las paredes y resulta ser de 55°F, en tanto que se observa que la temperatura promedio de la superficie exterior permanece en 45°F durante el día por 10 h, y en 35°F en la noche por 14 h. Determine la cantidad de calor perdido por la casa ese día. También determine el costo de esa pérdida de calor para el propietario, si el precio de la electricidad es de 0.09 dólar/kWh. http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 198 198 CONDUCCIÓN DE CALOR lícula transparente. Asuma que la resistencia por contacto térmiRespuestas: 127ºC, 103ºC co es despreciable. 9 ft Tinterior = 70°F T1 Aire, h = 70 W/m2 · K Película transparente kf = 0.05 W/m · K 50 ft 35 ft Lf = 1 mm FIGURA P3-23I 3-24 Un elemento resistor cilíndrico en un tablero de circuito disipa 0.15 W de potencia en un medio a 35°C. El resistor tiene 1.2 cm de largo y un diámetro de 0.3 cm. Si se supone que el calor se transfiere de manera uniforme desde todas las superficies, determine a) la cantidad de calor que este resistor disipa durante un periodo de 24 h, b) el flujo de calor sobre la superficie del resistor, en W/m2, y c) la temperatura superficial del resistor para un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 9 W/m2 · °C. 3-25 Para desempañar el parabrisas posterior de un automóvil se adhiere un elemento calefactor muy delgado en su superficie interna. El elemento calefactor provee un flujo de calor uniforme de 1,300 W/m2 para desempañar el parabrisas posterior cuyo espesor es de 5 mm. La temperatura interior del automóvil es de 22°C y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 15 W/m2 · K. La temperatura ambiente exterior es de –5°C y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 100 W/m2 · K. Si la conductividad térmica de la ventana es de 1.2 W/m · K, determine la temperatura de la superficie interna de la ventana. T2 = 52°C FIGURA P3-26 3-27 Considere un transistor de potencia que disipa 0.15 W de potencia en un medio a 30°C. El transistor tiene 0.4 cm de largo y un diámetro de 0.5 cm. Si se supone que el calor se transfiere de manera uniforme desde todas las superficies, determine a) la cantidad de calor que este transistor disipa durante un periodo de 24 h, en kWh; b) el flujo de calor sobre la superficie del transistor, en W/m2, y c) la temperatura superficial del transistor para un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 18 W/m2 · °C. 30°C Transistor de potencia Elemento calefactor . q h = 1 300 W/m2 Aire interior, 22°C h = 15 W/m2 · K T1 Parabrisas posterior k = 1.2 W/m · K Tb = 70°C Placa sólida ks = 1.2 W/m · K Ls = 13 mm 0.5 cm 0.4 cm Aire exterior, 5°C h = 100 W/m2 · K L = 5 mm FIGURA P3-25 3-26 Una película transparente se adherirá en la superficie superior de una placa sólida dentro de una cámara caliente. Para lograr la adherencia adecuada se debe mantener una temperatura de 70°C entre la película y la placa sólida. La película transparente tiene un espesor de 1 mm y una conductividad térmica de 0.05 W/m · K, en tanto que la placa sólida tiene un espesor de 13 mm y una conductividad térmica de 1.2 W/m · K. Dentro de la cámara caliente, el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 70 W/m2 · K. Si la superficie inferior de la placa sólida se mantiene en 52°C, determine la temperatura al interior de la cámara y la temperatura de la superficie de la pe- FIGURA P3-27 3-28 Un tablero de circuito de 12 cm  18 cm aloja sobre su superficie 100 chips lógicos con poco espacio entre ellos, disipando cada uno 0.06 W en un medio a 40°C. La transferencia de calor desde la superficie posterior del tablero es despreciable. Si el coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie del tablero es de 10 W/m2 · °C, determine a) el flujo de calor sobre la superficie del tablero de circuito, en W/m2; b) la temperatura superficial de los chips, y c) la resistencia térmica entre la superficie del tablero y el medio de enfriamiento, en °C/W. 3-29 Considere una persona parada en un cuarto a 20°C con un área superficial expuesta de 1.7 m2. La temperatura en la profundidad del organismo del cuerpo humano es 37°C y la conductividad térmica de los tejidos cercanos a la piel es alrededor de 0.3 W/m · °C. El cuerpo está perdiendo calor a razón de 150 W, por convección natural y radiación hacia los alrede- http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 199 199 CAPÍTULO 3 dores. Si se toma como 37°C la temperatura del cuerpo a 0.5 cm por debajo de la piel, determine la temperatura de la epidermis Respuesta: 35.5°C de la persona. Tcielo = 100 K Taire = 10°C 3-30 Una ventana de hoja doble, de 1.0 m  1.5 m, está formada por dos capas de vidrio de 4 mm de espesor (k  0.78 W/m · K) que están separadas por un espacio de aire de 5 mm (kaire  0.025 W/m · K). Se supone que el flujo de calor a través del espacio de aire se da por conducción. Las temperaturas interior y exterior del aire son de 20°C y 20°C, respectivamente, y los coeficientes interior y exterior de transferencia de calor son 40 y 20 W/m2 · K, también respectivamente. Determine a) la pérdida de calor diaria a través de la ventana en estado estacionario de transferencia de calor y b) la diferencia de temperatura debida a la resistencia térmica más grande. 3-31I Se construye una pared de dos capas de tablaroca (k  0.10 Btu/h · ft · °F) de 0.5 in de espesor, la cual es un tablero hecho con dos capas de papel grueso separadas por una capa de yeso, colocadas con 7 in de separación entre ellas. El espacio entre los tableros de tablaroca está lleno con aislamiento de fibra de vidrio (k  0.020 Btu/h · ft · °F). Determine a) la resistencia térmica de la pared y b) el valor R del aislamiento en unidades inglesas. Tablaroca Aislamiento de fibra de vidrio 0.6 in 7 in 0.6 in FIGURA P3-31I Techo de concreto 15 cm 20 m 15 m Tinterior = 20°C FIGURA P3-32 3-33 Una sección de pared de 2 m  1.5 m de un horno industrial en el que se quema gas natural no está aislada y se mide la temperatura en la superficie exterior de esta sección, lo cual resulta ser de 110°C. La temperatura de la sala en donde está el horno es de 32°C y el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación es de 10 W/m2 · °C. Se propone aislar esta sección de pared del horno con aislamiento de lana de vidrio (k  0.038 W/m · °C) con el fin de reducir la pérdida de calor en 90%. Si se supone que la temperatura de la superficie exterior de la sección metálica todavía permanece alrededor de 110°C, determine el espesor del aislamiento que necesita usarse. El horno opera en forma continua y tiene una eficiencia de 78%. El precio del gas natural es de 1.10 dólar/therm (1 therm  105 500 kJ de contenido de energía). Si la instalación del aislamiento costará 250 dólares por los materiales y la mano de obra, determine cuánto tiempo tardará el aislamiento en pagarse por la energía que ahorra. 3-34 Repita el problema 3-33 para un aislamiento de perlita expandida, si se supone que la conductividad es k  0.052 W/m · °C. 3-35 3-32 El techo de una casa consta de una losa de concreto (k  2 W/m · °C) de 15 cm de espesor, que tiene 15 m de ancho y 20 m de largo. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior del techo son 5 y 12 W/m2 · °C, respectivamente. En una noche clara de invierno, se informa que el aire ambiente está a 10°C, en tanto que la temperatura nocturna del cielo es de 100 K. La casa y las superficies interiores de la pared se mantienen a una temperatura constante de 20°C. La emisividad de las dos superficies del techo de concreto es 0.9. Si se consideran las transferencias de calor tanto por radiación como por convección, determine la razón de la transferencia de calor a través del techo y la temperatura de la superficie interior de este último. Si la casa se calienta mediante un hogar en el que se quema gas natural con una eficiencia de 80% y el precio de ese gas es de 1.20 dólar/therm (1 therm = 105 500 kJ de contendido de energía), determine el dinero perdido a través del techo esa noche durante un periodo de 14 h. Vuelva a considerar el problema 3-33. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto de la conductividad térmica sobre el espesor requerido de aislamiento. Trace la gráfica del espesor del aislamiento en función de la conductividad térmica en el rango de 0.02 W/m · °C hasta 0.08 W/m · °C y discuta los resultados. 3-36 Considere una casa que tiene una base de 10 m  20 m y paredes de 4 m de alto. Las cuatro paredes de la casa tienen un valor R de 2.31 m2 · °C/W. Las dos paredes de 10 m  4 m no tienen ventanas. La tercera pared tiene cinco ventanas hechas de vidrio (k  0.78 W/m · °C) de 0.5 cm de espesor y con un tamaño de 1.2 m  1.8 m. La cuarta pared tiene el mismo tamaño y número de ventanas, pero son de hoja doble con un espacio de aire estancado (k  0.026 W/m · °C) de 1.5 cm de espesor encerrado entre dos capas de vidrio de 0.5 cm de espesor. El termostato en la casa se fija en 24°C y la temperatura promedio en el exterior en ese lugar es de 8°C durante la larga temporada de calefacción de siete meses. Si se descarta cualquier ganancia o pérdida por radiación directa a través de las ventanas y se toma el coeficiente de transferencia de calor en las superficies interior http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/22/11 3:10 PM Page 200 200 CONDUCCIÓN DE CALOR y exterior de la casa como de 7 y 18 W/m2 · °C, respectivamente, determine la razón promedio de la transferencia de calor a través de cada pared. Si la casa se calienta eléctricamente y el precio de la electricidad es de 0.08 dólar/kWh, determine la cantidad de dinero que este propietario ahorrará por temporada de calefacción al convertir las ventanas de una sola hoja en ventanas de hoja doble. 3-37 Se construye la pared de un refrigerador con aislamiento de fibra de vidrio (k
0.035 W/m · °C) comprimida entre dos capas de hoja metálica de 1 mm de espesor (k
15.1 W/m · °C). El espacio refrigerado se mantiene a 2°C y los coeficientes promedio de transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la pared son de 4 W/m2 · °C y 9 W/m2 · °C, respectivamente. La temperatura de la cocina promedia 24°C. Se observa que ocurre condensación sobre las superficies del refrigerador cuando la temperatura de la superficie exterior cae hasta 20°C. Determine el espesor mínimo de aislamiento de fibra de vidrio que es necesario usar en la pared con el fin de evitar la condensación sobre las superficies exteriores. 3-40I Una placa de cobre de 0.005 in (k
223 Btu/h · ft · °F) está comprimida entre dos tableros de material epóxico (k
0.15 Btu/h · ft · °F) de 0.1 in de espesor y un tamaño de 7 in  9 in. Determine la conductividad térmica efectiva del tablero a lo largo de su lado de 9 in. ¿Qué fracción del calor conducido a lo largo de ese lado es conducido a través del cobre? 9 in Tableros de material epóxico Placa de cobre 7 in Hoja metálica 0.05 in FIGURA P3-40I Aire de la cocina 24°C Espacio refrigerado 2°C Aislamiento 1 mm L 1 mm FIGURA P3-37 Vuelva a considerar el problema 3-37. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue los efectos de las conductividades térmicas del material de aislamiento y de la hoja metálica sobre el espesor de ese aislamiento. Considere que la conductividad térmica varía desde 0.02 W/m · °C hasta 0.08 W/m · °C, para el aislamiento, y de 10 W/m · °C hasta 400 W/m · °C, para la hoja metálica. Trace gráficas del espesor del aislamiento en función de las conductividades térmicas del aislamiento y de la lámina metálica y discuta los resultados. 3-41 Para descongelar el hielo acumulado en la superficie exterior del parabrisas de un automóvil, se aplica aire caliente sobre su superficie interna. Considere el parabrisas de un automóvil con un espesor de 5 mm y una conductividad térmica de 1.4 W/m · K. La temperatura ambiente exterior es de –10°C y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 200 W/m2 · K, en tanto que la temperatura ambiente interna del automóvil es de 25°C. Determine el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección para el aire caliente aplicado sobre la superficie del parabrisas necesario para empezar a derretir el hielo acumulado. 3-38 3-39 Se debe conducir calor a lo largo de un tablero de circuito que tiene una capa de cobre sobre uno de sus lados. El tablero tiene 15 cm de largo y 15 cm de ancho y los espesores de la capa de cobre y del material epóxico son de 0.1 mm y 1.2 mm, respectivamente. Si se descarta la transferencia de calor desde las superficies laterales, determine los porcentajes de conducción de calor a lo largo de las capas de cobre (k
386 W/m · °C) y del material epóxico (k
0.26 W/m · °C). Determine también la conductividad térmica efectiva del tablero. Respuestas: 0.8%, 99.2% y 29.9 W/m · °C L = 5 mm Aire externo, 10°C h o = 200 W/m2 · K Parabrisas k = 1.4 W/m · K Aire interno, 25°C T1 = 0°C FIGURA P3-41 3-42 Una placa de aluminio de 25 mm de espesor (k
235 W/m · K) está unida a una placa de cobre de 10 mm de espesor. La placa de cobre se calienta eléctricamente para disipar un flujo uniforme de calor de 5,300 W/m2. La superficie interna de la placa de aluminio se expone a la convección de la transferencia de calor en una condición tal que el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 67 W/m2 · K y la temperatura ambiente circundante de 20°C. Las demás superficies de las dos http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 201 201 CAPÍTULO 3 placas unidas están aisladas de manera que el calor sólo se disipa por la superficie superior de la placa de aluminio. Si la superficie de la placa de cobre que está unida a la placa de aluminio tiene una temperatura de 100°C, determine la conductancia térmica por contacto de la interfase aluminio/cobre. Cobre Material epóxico Material epóxico Respuesta: 16 kW/m2 · K hc · Q Aire, 20°C h = 67 W/m2 · K L = 25 mm 7 mm Placa de aluminio k = 235 W/m · K q·elec = 5 300 W/m 2 7 mm FIGURA P3-50 T1 = 100°C FIGURA P3-42 Resistencia térmica por contacto 3-43C ¿Qué es la resistencia térmica por contacto? ¿Cómo está relacionada con la conductancia térmica por contacto? 3-44C ¿La resistencia térmica por contacto será mayor para las superficies planas lisas o las rugosas? 3-45C Una pared consta de dos capas de aislamiento comprimidas una contra la otra. ¿Necesitamos preocuparnos por la resistencia térmica por contacto en la interfase en un análisis de transferencia de calor o sencillamente podemos ignorarla? 3-46C Una placa consta de dos capas metálicas delgadas comprimidas una contra la otra. ¿Necesitamos preocuparnos por la resistencia térmica por contacto en la interfase en un análisis de transferencia de calor o sencillamente podemos ignorarla? 3-47C Considere dos superficies comprimidas una contra la otra. Ahora se extrae el aire en la interfase. Como resultado, ¿la resistencia térmica por contacto en la interfase aumentará o disminuirá? 3-51 Dos barras de aluminio (k  176 W/m · °C) de 5 cm de diámetro y 15 cm de largo, con las superficies esmeriladas, se comprimen una contra la otra con una presión de 20 atm. Las barras están encerradas en un manguito de aislamiento y, por lo tanto, la transferencia de calor desde las superficies laterales es despreciable. Si las superficies superior e inferior del sistema de dos barras se mantienen a las temperaturas de 150°C y 20°C, respectivamente, determine a) la razón de la transferencia de calor a lo largo de los cilindros en condiciones estacionarias y b) la caída de temperatura en la interfase. Respuestas: a) 142.4 W, b) 6.4°C Redes generalizadas de resistencias térmicas 3-52C ¿Cuáles son los dos enfoques aplicados en el desarrollo de la red de resistencias térmicas para los problemas bidimensionales? 3-53C También se pueden usar aproximadamente las redes de resistencias térmicas para los problemas multidimensionales. ¿Para qué clase de problemas multidimensionales el enfoque de resistencias térmicas dará resultados adecuados? 3-54C Cuando se traza la gráfica de la red de resistencias térmicas asociada con un problema de transferencia de calor, explique cuándo dos resistencias están en serie y cuándo están en paralelo. 3-55 En la figura P3-55 se muestra una sección típica de la pared de un edificio. Esta sección se extiende hacia dentro y fuera de la página y se repite en la dirección vertical. Los miem0 1 2 3 3-48C Explique cómo se puede minimizar la resistencia térmica por contacto. 3-49 Se mide la conductancia térmica por contacto en la interfase de dos placas de cobre de 1 cm de espesor y resulta ser de 14 000 W/m2 · °C. Determine el espesor de la placa de cobre cuya resistencia térmica sea igual a la de la interfase entre las placas. 3-50 Una placa de cobre (k  386 W/m · °C) de 1 mm de espesor está comprimida entre dos tableros de material epóxico (k  0.26 W/m · °C) de 7 mm de espesor y tienen un tamaño de 15 cm  20 cm. Si se estima que la conductancia térmica sobre ambos lados de la placa de cobre es de 6 000 W/m · °C, determine el error en el que se incurre en la resistencia térmica total de la placa si se ignoran las conductancias térmicas por contacto. http://librosysolucionarios.net LA LB FIGURA P3-55 4 5 Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 202 202 CONDUCCIÓN DE CALOR bros de soporte de la pared están fabricados de acero (k  50 W/m · K) y tienen 8 cm (t23)  0.5 cm (LB). El resto del espacio interior de la pared está lleno con material aislante (k  0.03 W/m · K) y mide 8 cm (t23)  60 cm (LB). La pared interior está fabricada con un tablero de yeso (k  0.5 W/m · K) de 1 cm de espesor (t12) y la exterior, de ladrillo (k  1.0 W/m · K) de 10 cm de espesor (t34). ¿Cuál es el flujo promedio de calor a través de esta pared cuando T1  20°C y T4  35°C? 3-56 Una pared de 4 m de alto y 6 m de ancho consiste en ladrillos con una sección transversal horizontal de 15 cm  25 cm (k  0.72 W/m · °C) separados por capas de mezcla (k  0.22 W/m · °C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas de mezcla de 2 cm de espesor sobre cada lado de la pared y una espuma rígida (k  0.026 W/m · °C) de 2 cm de espesor sobre el lado interior de la misma. Las temperaturas en el interior y el exterior son de 22°C y –4°C y los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre los lados interior y exterior son h1  10 W/m2 · °C y h2  20 W/m2 · °C, respectivamente. Si se supone una transferencia unidimensional de calor y se descarta la radiación, determine la razón de la transferencia de calor a través de la pared. Espuma Mezcla 1.5 cm Ladrillo 25 cm 1.5 cm una sección representativa de ella, y b) la razón de la transferencia de calor a través de la pared. 3-59 Se va a construir una pared de 10 cm de espesor con montantes de madera (k  0.11 W/m · °C) de 2.5 m de largo que tienen una sección transversal de 10 cm  10 cm. En algún momento, al constructor se le acabaron esos montantes y empezó a usar, en lugar de ellos, parejas de montantes de madera de 2.5 m de largo que tienen una sección transversal de 5 cm  10 cm, clavados entre sí. Los clavos de acero al manganeso (k  50 W/m · °C) tienen 10 cm de largo y un diámetro de 0.4 cm. Se usaron un total de 50 clavos para conectar los dos montantes, los cuales están colocados en la pared de tal manera que los clavos cruzan esta última. La diferencia de temperatura entre las superficies interior y exterior de la pared es de 8°C. Si se supone que la resistencia térmica por contacto entre las dos capas es despreciable, determine la razón de la transferencia de calor a) a través de un montante macizo, y b) a través de una pareja de montantes de igual longitud y ancho clavados entre sí. c) Determine también la conductividad efectiva de la pareja clavada de montantes. 3-60I Se va a construir una pared de 10 in de espesor, 30 ft de largo y 9 ft de alto, usando ladrillos sólidos (k  0.40 Btu/h · ft · °F) con una sección transversal de 7 in  7 in; o bien, ladrillos de idéntico tamaño con nueve orificios cuadrados llenos de aire (k  0.015 Btu/h · ft · °F) que tienen 9 in de largo y una sección transversal de 1.5 in  1.5 in. Se tiene una capa de mezcla (k  0.10 Btu/h · ft · °F) de 0.5 in de espesor entre dos ladrillos adyacentes, sobre los cuatro lados y sobre los dos lados de la pared. La casa se mantiene a 80°F y la temperatura ambiente en el exterior es de 35°F. Si los coeficientes de transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la pared son 1.5 y 6 Btu/h · ft2 · °F, respectivamente, determine la razón de la transferencia de calor a través de la pared construida de a) ladrillos sólidos y b) ladrillos con orificios llenos de aire. Canales llenos de aire 1.5 in × 1.5 in × 9 in 2 2 15 cm 2 0.5 in FIGURA P3-56 7 in 3-57 Vuelva a considerar el problema 3-56. Por medio del software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la razón de la transferencia de calor en función del espesor de la espuma rígida, en el rango de 1 cm hasta 10 cm. Discuta los resultados. 3-58 Una pared de 12 m de largo y 5 m de alto está construida de dos capas de tablaroca (k  0.17 W/m · °C) de 1 cm de espesor, espaciadas 16 cm por montantes de madera (k  0.11 W/m · °C) cuya sección transversal es de 12 cm  5 cm. Los montantes están colocados verticalmente y separados 60 cm, y el espacio entre ellos está lleno con aislamiento de fibra de vidrio (k  0.034 W/m · °C). La casa se mantiene a 20°C y la temperatura ambiente en el exterior es de –9°C. Si se toma los coeficientes de transferencia de calor en las superficies interior y exterior de la casa como 8.3 y 34 W/m2 · °C, respectivamente, determine a) la resistencia térmica de la pared, si se considera 0.5 in Mezcla Ladrillo 0.5 in 9 in 0.5 in FIGURA P3-60I 3-61 Considere una pared de 5 m de alto, 8 m de largo y 0.22 m de espesor cuya sección transversal representativa se da en la figura. Las conductividades térmicas de los diversos materiales usados, en W/m · °C, son kA  kF  2, kB  8, kC  20, kD  15 y kE  35. Las superficies izquierda y derecha de la pared se mantienen a las temperaturas uniformes de 300°C y 100°C, res- http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 203 203 CAPÍTULO 3 pectivamente. Si la transferencia de calor a través de la pared es unidimensional, determine a) la razón de la transferencia de calor a través de ella; b) la temperatura en el punto en el que se encuentran las secciones B, D y E, y c) la caída de temperatura a través de la sección F. Descarte cualesquiera resistencias por contacto entre las interfases. C D A F B E C FIGURA P3-61 3-65 En un experimento para medir los coeficientes de transferencia de calor por convección, se adhiere una hoja metálica muy delgada y de muy baja emisividad (p.ej., cobre altamente pulido) a la superficie de una losa de material con muy baja conductividad térmica. La otra superficie de la hoja metálica se expone a la transferencia de calor por convección mediante un flujo de fluido sobre su superficie. Este arreglo disminuye la conducción de calor a través de la losa y la radiación sobre la superficie de la hoja metálica, mientras que la convección de calor desempeña un papel fundamental. El bloque al que está adherida la hoja metálica, tiene un espesor de 25 mm y una conductividad térmica de 0.023 W/m · K. En una condición donde la temperatura ambiente circundante es de 20°C, la hoja metálica se calienta eléctricamente con un flujo de calor uniforme de 5 000 W/m2. Si la superficie inferior de la losa está a 20°C y la hoja metálica tiene una emisividad de 0.02, determine, a) El coeficiente de transferencia de calor por convección si el aire fluye sobre la hoja metálica y la temperatura de la superficie de la hoja es de 150°C. b) El coeficiente de transferencia de calor por convección si sobre la hoja de metal fluye agua y la temperatura de la superficie de la hoja es de 30°C. 3-62 Repita el problema 3-61, si la resistencia térmica por contacto en las interfases D-F y E-F es 0.00012 m2 · °C/W. 3-63 La ropa hecha de varias capas delgadas de tela con aire atrapado entre ellas, con frecuencia llamada ropa para esquiar, es de uso común en los climas fríos porque es ligera, elegante y un aislador térmico muy eficaz. De modo que no es sorprendente que esa ropa haya reemplazado en gran parte los antiguos abrigos gruesos y pesados. Considere una chaqueta hecha de cinco capas de tela sintética (k  0.13 W/m · °C) de 0.15 mm de espesor con un espacio lleno de aire (k  0.026 W/m · °C) de 1.5 mm de espesor entre ellas. Si la temperatura de la superficie interior de la chaqueta es de 25°C y el área superficial es de 1.25 m2, determine la razón de la pérdida de calor a través de ella cuando la temperatura en el exterior es de 0°C y el coeficiente de transferencia de calor en la superficie exterior es de 25 W/m2 · °C. ¿Cuál sería su respuesta si la chaqueta estuviera hecha de una sola capa de tela sintética de 0.75 mm de espesor? ¿Cuál sería el espesor de una tela de lana (k  0.035 W/m · °C) si la persona debe lograr el mismo nivel de comodidad térmica usando un grueso abrigo de lana en lugar de una chaqueta para esquiar de cinco capas? Fluido, T∞ = 20°C Hoja de metal e = 0.02 Talred = 20°C . q elec = 5,000 W/m2 T1 Losa k = 0.023 W/m . K L = 25 mm T2 = 20°C FIGURA P3-65 3-66 Un horno de 5 m de ancho, 4 m de alto y 40 m de largo usado para curar tubos de concreto está hecho con paredes y techo de concreto (k  0.9 W/m · °C). El horno se mantiene a 40°C por la inyección de vapor de agua caliente en él. Los dos extremos del horno, con un tamaño de 4 m  5 m, están hechos de lámina metálica de 3 mm de espesor cubierto con espuma de estireno (k  0.033 W/m · °C) de 2 cm de espesor. Los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior del horno son de 3 000 W/m2 · °C y Texterior = –4°C Chaqueta para esquiar con capas múltiples 40 m Tinterior = 40°C 4m 20 cm FIGURA P3-63 3-64 Repita el problema 3-63 si las capas de la chaqueta están hechas de tela de algodón (k  0.06 W/m · °C). 5m FIGURA P3-66 http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 204 204 CONDUCCIÓN DE CALOR 25 W/m2 · °C, respectivamente. Si se descarta cualquier pérdida de calor a través del piso, determine la razón de la pérdida de calor del horno cuando el aire ambiente está a –4°C. 3-67 Vuelva a considerar el problema 3-66. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue los efectos del espesor de la pared del horno y del coeficiente de transferencia de calor por convección de la superficie exterior sobre la razón de la pérdida de calor del horno. Suponga que el espesor varía de 10 cm hasta 30 cm y el coeficiente de transferencia de calor por convección desde 5 W/m2 · °C hasta 50 W/m2 · °C. Trace las gráficas de la razón de la transferencia de calor en función del espesor de la pared y del coeficiente de transferencia de calor por convección y discuta los resultados. 3-72 Se usa un tanque esférico con un diámetro interior de 8 m, hecho de lámina de acero inoxidable (k  15 W/m · °C) de 1.5 cm de espesor, para almacenar agua con hielo a 0°C. El tanque está ubicado en un cuarto cuya temperatura es de 25°C. Las paredes del cuarto también están a 25°C. La superficie exterior del tanque es negra (emisividad   1) y la transferencia de calor entre la superficie exterior del tanque y los alrededores es por convección natural y radiación. Los coeficientes de transferencia de calor por convección en las superficies interior y exterior del tanque son de 80 W/m2 · °C y 10 W/m2 · °C, respectivamente. Determine a) la razón de la transferencia de calor hacia el agua con hielo que está en el tanque, y b) la cantidad de hielo a 0°C que se funde durante un periodo de 24 h. El calor de fusión del agua a la presión atmosférica es hif  333.7 kJ/kg. 3-68I Considere una lámina de vidrio epóxico (k  0.10 Btu/h · ft · °F) de 10 in  12 in cuyo espesor es de 0.05 in. Con el fin de reducir la resistencia térmica a través de su espesor, se van a plantar en todo el tablero rellenos cilíndricos de cobre (k  223 Btu/h · ft · °F) de 0.02 in de diámetro, con una distancia de centro a centro de 0.06 in. Determine el nuevo valor de la resistencia térmica del tablero de vidrio epóxico para la conducción del calor a través de su espesor como resultado de esta Respuesta: 0.000256 h · °F/Btu modificación. 0.02 in Tcuarto = 25°C Agua con hielo Di = 8 m 1.5 cm Tinterior = 0°C 0.06 in FIGURA P3-72 Relleno de cobre Tablero de material epóxico FIGURA P3-68I 3-73 En un tubo de acero inoxidable (k  15 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son de 5 cm y 5.5 cm, respectivamente, fluye vapor de agua a 280°C. El tubo está cubierto con aislamiento de lana de vidrio (k  0.038 W/m · °C) de 3 cm de espesor. El calor se pierde hacia los alrededores que están a 5°C por convección natural y radiación, con un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección natural y radiación de 22 W/m2 · °C. Si el coeficiente de transferencia de calor dentro del tubo es 80 W/m2 · °C, determine la razón de la pérdida de calor del vapor por unidad de longitud del tubo. Determine también las caídas de temperatura a través de la pared del tubo y de la capa de aislamiento. 3-74 Conducción del calor en cilindros y esferas 3-69C ¿Qué es un cilindro infinitamente largo? ¿Cuándo resulta apropiado tratar un cilindro real como si fuera infinitamente largo y cuándo no lo es? 3-70C ¿Puede aplicarse el concepto de resistencia térmica para un cilindro sólido o esfera en operación estacionaria? Explique. 3-71C Considere un cilindro corto cuyas superficies superior e inferior están aisladas. El cilindro está inicialmente a una temperatura uniforme Ti y está sujeto a convección desde su superficie lateral hacia un medio que está a la temperatura T
, con un coeficiente de transferencia de calor de h. ¿La transferencia de calor en este cilindro corto es unidimensional o bidimensional? Explique. Vuelva a considerar el problema 3-73. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto del espesor del aislamiento sobre la razón de la pérdida de calor del vapor y la caída de temperatura a través de la capa de aislamiento. Supóngase que el espesor del aislamiento varía de 1 cm hasta 10 cm. Trace las gráficas de la pérdida de calor y de la caída de temperatura en función del espesor del aislamiento y discuta los resultados. 3-75 Una sección de 50 m de largo de un tubo que conduce vapor de agua cuyo diámetro exterior es de 10 cm pasa a través de un espacio abierto que está a 15°C. Se mide la temperatura promedio de la superficie exterior del tubo y resulta ser de 150°C. Si el coeficiente combinado de transferencia de calor sobre la superficie exterior del tubo es de 20 W/m2 · °C, determine a) la razón de la pérdida de calor a través del tubo, b) el costo anual de esta pérdida de energía si el vapor http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:58 PM Page 205 205 CAPÍTULO 3 se genera en un hogar de gas natural que tiene una eficiencia de 75% y el precio de ese gas es de 0.52 dólar/therm (1 therm  105 500 kJ), y c) el espesor del aislamiento de fibra de vidrio (k  0.035 W/m · °C) necesario para ahorrar 90% del calor perdido. Suponga que la temperatura del tubo permanece constante a 150°C. En el mercado existen equipos de aislamiento para tanques de agua caliente que constan de aislamiento de fibra de vidrio (k  0.035 W/m · °C) de 3 cm de espesor, suficientemente grande como para envolver todo el tanque, por alrededor de 30 dólares. Si un aislamiento de este tipo se instala sobre este tanque de agua por el mismo propietario de la casa, ¿cuánto tiempo tardará en pagarse el aislamiento adicional? Respuesta: 15.2%, 21 meses Taire = 15°C 3-77 Vuelva a considerar el problema 3-76. Por medio del software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la fracción del costo de la energía para el agua caliente atribuible a la pérdida de calor del tanque en función de la temperatura del agua caliente, en el rango de 40°C hasta 90°C. Discuta los resultados. 150°C Vapor 50 m Aislamiento de fibra de vidrio FIGURA P3-75 3-76 Considere un calentador eléctrico para agua de 1.5 m de alto que tiene un diámetro de 40 cm y mantiene el agua a 60°C. El tanque está ubicado en un pequeño cuarto cuya temperatura promedio es de 27°C y los coeficientes de transferencia de calor sobre las superficies interior y exterior del calentador son 50 y 12 W/m2 · °C, respectivamente. El tanque está colocado en el interior de otro tanque de lámina metálica, de 46 cm de diámetro y espesor despreciable, y el espacio entre los dos tanques está lleno con aislamiento de espuma (k  0.03 W/m · °C). Las resistencias térmicas del tanque de agua y del casco exterior de hoja metálica delgada son muy pequeñas y se pueden despreciar. El precio de la electricidad es de 0.08 dólar/kWh y el propietario de la casa paga 280 dólares al año para calentar el agua. Determine la fracción del costo de la energía para el agua caliente de esta casa que se puede atribuir a la pérdida de calor del tanque. 3 cm 40 cm 27°C 1.5 m Tw = 60°C Aislamiento de espuma Calentador de agua FIGURA P3-76 3-78 Entra agua fría a 7°C a un tubo largo de pared delgada, de 4 cm de diámetro y 200 m de largo, a razón de 0.98 kg/s, y sale a 8°C. El tubo está expuesto al aire ambiente a 30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 9 W/m2 · °C. Si se va a aislar el tubo con material aislante de fibra de vidrio (k  0.05 W/m · °C) para disminuir la elevación de la temperatura del agua hasta 0.25°C, determine el espesor requerido del material aislante. 3-79 Se transporta vapor de agua sobrecalentado, a una temperatura promedio de 200°C, por un tubo de acero (k  50 W/m · K, Do  8.0 cm, Di  6.0 cm y L  20.0 m). El tubo está aislado con una capa de 4 cm de espesor de argamasa de yeso (k  0.5 W/m · K), y se encuentra colocado en forma horizontal en el interior de un almacén en donde la temperatura promedio del aire es de 10°C. Se estima que los coeficientes de transferencia de calor del vapor de agua y del aire son 800 y 200 W/m2 · K, respectivamente. Calcule a) la transferencia de calor por día desde el vapor de agua sobrecalentado y b) la temperatura de la superficie exterior del material aislante de argamasa de yeso. 3-80I Está fluyendo vapor de agua a través de un tubo de acero (k  8.7 Btu/h · ft · °F) cuyos diámetros interior y exterior son 3.5 in y 4.0 in, respectivamente, en un medio a 55°F. El tubo está aislado con fibra de vidrio (k  0.020 Btu/h · ft · °F) de 2 in de espesor. Si los coeficientes de transferencia de calor sobre el interior y el exterior del tubo son 30 y 5 Btu/h · ft2 · °F, respectivamente, determine la razón de la pérdida de calor del vapor por pie de longitud del tubo. ¿Cuál es el error en que se incurre al despreciar la resistencia térmica del tubo de acero en los cálculos? 3-81 Fluye agua caliente a una temperatura promedio de 90°C a través de una sección de 15 m de un tubo de hierro fundido (k  52 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son 4 cm y 4.6 cm, respectivamente. La superficie exterior del tubo, cuya emisividad es 0.7, está expuesta al aire frío a 10°C en el sótano, con un coeficiente de transferencia de calor de 15 W/m2 · °C. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior del tubo es de 120 W/m2 · °C. Si se considera que las paredes del sótano también están a 10°C, determine la razón de la pérdida de calor del agua caliente. Determine también la velocidad promedio del agua en el tubo si la temperatura de aquélla cae en 3°C a medida que pasa a través del sótano. http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 206 206 CONDUCCIÓN DE CALOR del tubo y su diámetro exterior en la longitud requerida del tubo. Varíe la conductividad térmica desde 10 hasta 400 Btu/h · ft · °F y el diámetro exterior desde 0.5 hasta 1.0 in. Trace una gráfica de la longitud del tubo en función de la conductividad y el diámetro exterior del tubo. Discuta los resultados. Tubo de acero Vapor 450°F Aislamiento FIGURA P3-81 3-82 Repita el problema 3-81 para un tubo hecho de cobre (k  386 W/m · °C), en lugar de hierro fundido. 3-83I El vapor que sale de la turbina de una planta generadora a 100°F se condensa en un gran condensador, por enfriamiento con agua que fluye por tubos de cobre (k  223 Btu/h · ft · °F) con diámetro interior de 0.4 in y exterior de 0.6 in a una temperatura promedio de 70°F. El calor de vaporización del agua a 100°F es 1 037 Btu/lbm. Los coeficientes de transferencia de calor son de 2 400 Btu/h · ft2 · °F en el lado del vapor, y de 35 Btu/h · ft2 · °F en el lado del agua. Determine la longitud requerida del tubo para condensar el vapor a razón de 250 lbm/h. 3-86 La temperatura de ebullición del nitrógeno a la presión atmosférica al nivel del mar (1 atm) es de –196°C. Por lo tanto, es común usar el nitrógeno en los estudios científicos a bajas temperaturas, ya que la temperatura del nitrógeno en un tanque abierto a la atmósfera permanecerá constante a –196°C hasta que se agote. Cualquier transferencia de calor hacia el tanque dará por resultado la evaporación de algo del nitrógeno líquido, el cual tiene un calor de vaporización de 198 kJ/kg y una densidad de 810 kg/m3 a 1 atm. Considere un tanque esférico de 3 m de diámetro que está inicialmente lleno con nitrógeno líquido a 1 atm y –196°C. El tanque está expuesto al aire ambiente a 15°C, con un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 35 W/m2 · °C. Se observa que la temperatura del delgado casco esférico es semejante a la del nitrógeno que está en su interior. Determine la rapidez de evaporación del nitrógeno líquido que está en el tanque como resultado de la transferencia de calor del aire ambiente, si dicho tanque a) no está aislado, b) está aislado con fibra de vidrio (k  0.035 W/m · °C) de 5 cm de espesor y c) está aislado con un superaislamiento de 2 cm de espesor que tiene una conductividad térmica efectiva de 0.00005 W/m · °C. Respuesta: 2 380 ft Vapor de N2 Vapor, 100°F 250 lbm/h Taire = 15°C 1 atm N2 líquido –196°C Agua de enfriamiento Aislamiento FIGURA P3-86 Agua líquida FIGURA P3-83I 3-84I Repita el problema 3-83I, suponiendo que sobre la superficie interior del tubo se ha formado una capa de depósito de minerales (k  0.5 Btu/h · ft · °F) de 0.01 in de espesor. 3-85I Vuelva a considerar el problema 3-83I. Por medio del software EES (o cualquier otro semejante), investigue los efectos de la conductividad térmica del material 3-87 Repita el problema 3-86 para el oxígeno líquido, el cual tiene una temperatura de ebullición de –183°C, un calor de vaporización de 213 kJ/kg y una densidad de 1 140 kg/m3 a la presión de 1 atm. 3-88 Un alambre eléctrico de 2.2 mm de diámetro y 14 m de largo está firmemente envuelto con una cubierta de plástico de 1 mm de espesor cuya conductividad térmica es k  0.15 W/m · °C. Las mediciones eléctricas indican que por el alambre pasa una corriente de 13 A y se tiene una caída de voltaje de 8 V http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 207 207 CAPÍTULO 3 a lo largo del mismo. Si el alambre aislado está expuesto a un medio a T
 30°C con un coeficiente de transferencia de calor de h  24 W/m2 · °C, determine la temperatura en la interfase del alambre y la cubierta de plástico en operación estacionaria. Determine también si, al duplicar el espesor de la cubierta, se incrementará o decrecerá esta temperatura en la interfase. T∞ = 30°C Alambre eléctrico Aislamiento 14 m FIGURA P3-88 3-89 En una planta farmacéutica, un tubo de cobre (kc = 400 W/m · K) con un diámetro interno de 20 mm y paredes de un espesor de 2.5 mm se utiliza para transportar oxígeno líquido a un tanque de almacenamiento. El oxígeno líquido que fluye en el tubo tiene una temperatura promedio de –200°C y un coeficiente de transferencia de calor de 120 W/m2 · K. La temperatura ambiental que rodea al tubo es de 20°C y un coeficiente de transferencia de calor combinado de 20 W/m2 · K. Si el punto de condensación es 10°C, determine el espesor del aislamiento (ki = 0.5 W/m · K) alrededor del tubo para evitar la condensación en la superficie externa. Suponga que la resistencia térmica de contacto es despreciable. O2 líq . 200°C h = 120 W/m2 · K 3-93C Considere un tubo a temperatura constante cuyo radio es mayor que el radio crítico de aislamiento. Alguien afirma que la razón de la pérdida de calor del tubo ha aumentado cuando se agrega algo de aislamiento a éste. ¿Es válida esta afirmación? 3-94C Un tubo está aislado de modo que el radio exterior del aislamiento es menor que el radio crítico. Ahora se quita el aislamiento. ¿La razón de la transferencia de calor del tubo aumentará o disminuirá para la misma temperatura superficial de éste? 3-95I Un alambre eléctrico de 0.083 in de diámetro a 90°F está cubierto por un aislamiento de plástico (k  0.075 Btu/h · ft · °F) de 0.02 in de espesor. El alambre está expuesto a un medio a 50°F, con un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 2.5 Btu/h · ft2 · °F. Determine si el aislamiento de plástico sobre el alambre aumentará o disminuirá la transferencia de calor desde este último. Respuesta: Ayuda 3-96I Repita el problema 3-95I, si se supone una resistencia térmica por contacto de 0.001 h · ft2 · °F/Btu en la interfase del alambre y el aislamiento. 3-97 Una esfera de 4 mm de diámetro a 50°C está cubierta por un aislamiento de plástico (k  0.13 W/m · °C) de 1 mm de espesor. La esfera está expuesta a un medio a 15°C, con un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 20 W/m2 · °C. Determine si el aislamiento de plástico que está sobre la esfera ayudará o dañará a la transferencia de calor desde esta última. Aislamiento de plástico Tubería, kc = 400 W/m · K Aislamiento ki = 0.05 W/m · K Aire circundante, 20°C h combinado = 20 W/m2 · K Punto de rocío = 10°C 4 mm 1 mm FIGURA P3-97 D1 = 20 mm 3-98 Vuelva a considerar el problema 3-97. Por medio del software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la razón de la transferencia de calor desde la esfera en función del espesor del aislamiento de plástico en el rango de 0.5 mm hasta 20 mm. Discuta los resultados. D2 = 25 mm D3 FIGURA P3-89 Radio crítico de aislamiento 3-90C ¿Qué es el radio crítico de aislamiento? ¿Cómo se define para una capa cilíndrica? 3-91C Considere un tubo aislado expuesto a la atmósfera. ¿El radio crítico de aislamiento será mayor en los días calmados o en aquellos en los que hay viento? ¿Por qué? 3-92C Un tubo está aislado para reducir la pérdida de calor de él. Sin embargo, las mediciones indican que la razón de la pérdida de calor ha aumentado en lugar de decrecer. ¿Pueden estar correctas las mediciones? Transferencia de calor desde superficies con aletas 3-99C Se va a enfriar aire caliente conforme se le fuerza a fluir por tubos expuestos al aire atmosférico. Se han agregado aletas con el fin de mejorar la transferencia de calor. ¿El lector recomendaría que las aletas se sujetaran adentro o afuera de los tubos? ¿Por qué? ¿Cuándo recomendaría que las aletas se sujetaran tanto adentro como afuera de los tubos? 3-100C ¿Cuál es la razón para el amplio uso de las aletas sobre las superficies? http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 208 208 CONDUCCIÓN DE CALOR 3-101C ¿Cuál es la diferencia entre la efectividad y la eficiencia de las aletas? h, T
Tb 3-102C Se determina que las aletas sujetas a una superficie tienen una efectividad de 0.9. ¿Piensa el lector que la razón de la transferencia de calor desde la superficie ha aumentado o disminuido como resultado de la adición de estas aletas? 3-103C Explique de qué manera las aletas mejoran la transferencia de calor desde una superficie. Asimismo, explique cómo es que la adición de aletas puede disminuir la transferencia de calor desde una superficie. 3-104C ¿En qué difiere la efectividad total de una superficie con aletas de la efectividad de una sola aleta? 3-105C Se enfría agua caliente a medida que fluye por tubos expuestos al aire atmosférico. Se han agregado aletas con el fin de mejorar la transferencia de calor. ¿El lector recomendaría que las aletas se sujetaran adentro o afuera de los tubos? ¿Por qué? 3-106C Considere dos superficies con aletas que son idénticas, excepto que las aletas que están sobre la primera superficie se formaron por fundición o extrusión, en tanto que en la segunda superficie se sujetaron posteriormente soldándolas o sujetándolas con firmeza. ¿En cuál de los dos casos piensa el lector que las aletas mejorarán más la transferencia de calor? Explique. 3-107C El área superficial de transferencia de calor de una aleta es igual a la suma de todas las superficies de la misma expuestas al medio circundante, incluyendo el área superficial de la punta. ¿En qué condiciones podemos despreciar la transferencia de calor desde la punta? 3-108C ¿La a) eficiencia y b) la efectividad de una aleta aumentan o disminuyen a medida que se incrementa la longitud de la misma? 3-109C Dos aletas de espiga son idénticas, excepto en que el diámetro de una de ellas es el doble del diámetro de la otra. ¿Para cuál de las aletas la a) efectividad y b) la eficiencia será más alta? Explique. 3-110C Dos aletas de placa de sección transversal rectangular constante son idénticas, excepto en que el espesor de una de ellas es el doble del espesor de la otra. ¿Para cuál de las aletas la a) efectividad y b) la eficiencia será más alta? Explique. 3-111C Dos superficies con aletas son idénticas, excepto en que el coeficiente de transferencia de calor de una de ellas es el doble del correspondiente a la otra. ¿Para cuál de las superficies con aletas la a) efectividad de la aleta y b) la eficiencia de la misma será más alta? Explique. 3-112 Obtenga una relación para la eficiencia de la aleta para una con área de la sección transversal, Ac, constante, perímetro p, longitud L y conductividad térmica k expuesta a convección hacia un medio a T
, con un coeficiente h de transferencia de calor. Suponga que las aletas son suficientemente largas de modo que la temperatura de la aleta en la punta es cercana a T
. Tome la temperatura de la aleta en la base como Tb y desprecie la transferencia de calor desde las puntas. Simplifique la relación para a) una aleta circular de diámetro D y b) aletas rectangulares de espesor t. k D 4 mm L  10 cm FIGURA P3-112 3-113 La resistencia térmica de la caja al ambiente de un transistor de potencia que tiene una potencia nominal máxima de 15 W es de 25°C/W. Si la temperatura de la caja del transistor no debe sobrepasar 80°C, determine la potencia a la cual se puede operar este transistor con seguridad en un medio a 35°C. 3-114 Se fija a una superficie una aleta de aluminio (k  237 W/m · °C) de 4 mm de diámetro y 10 cm de largo. Si el coeficiente de transferencia de calor es de 12 W/m2 · °C, determine el porcentaje de error en la estimación de la transferencia de calor desde la aleta al suponer que la aleta es infinitamente larga, en lugar de suponer una punta adiabática. h, T
Tb k D = 4 mm L  10 cm FIGURA P3-114 3-115 Considere una aleta rectangular muy larga, fijada a una superficie plana en tal forma que la temperatura en el extremo de la aleta es prácticamente la del aire circundante, es decir, 20°C. Su ancho es de 5.0 cm, su espesor de 1 mm, su conductividad térmica de 200 W/m · K y su temperatura en la base de 40°C. El coeficiente de transferencia de calor es de 20 W/m2 · K. Estime la temperatura de la aleta a una distancia de 5.0 cm medida desde la base y la razón de pérdida de calor a través de toda la aleta. 3-116 Un motor DC suministra potencia mecánica a un eje de acero inoxidable giratorio (k = 15.1 W/m · K) de una longitud de 25 cm y un diámetro de 25 mm. En un entorno con una temperatura de 20°C y coeficiente de transferencia de calor por convección de 25 W/m2 · K, el área de la cubierta del motor expuesta a la temperatura ambiental es de 0.075 m2. El motor utiliza 300 W de energía eléctrica, 55% de la cual convierte en As = 0.075 m2 . Qh Th Aire, 20°C h = 25 W/m2 · K . Qs . Motor DC Welec = 300 W FIGURA P3-116 http://librosysolucionarios.net TL = 22°C Eje de acero inoxidable k = 15.1 W/m · K D = 25 mm, L = 25 cm Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 209 209 CAPÍTULO 3 energía mecánica para hacer girar el eje de acero inoxidable. Si la punta del eje de acero inoxidable tiene una temperatura de 22°C, determine la temperatura superficial de la cubierta del motor. Suponga que la temperatura de la base del eje es igual a la temperatura superficial de la cubierta del motor. Respuesta: 87.7ºC. 3-117 Dos tubos de hierro fundido (k  52 W/m · °C) de 4 m de largo, 0.4 cm de espesor y 10 cm de diámetro que conducen vapor de agua están conectados entre sí por medio de dos bridas de 1 cm de espesor cuyo diámetro exterior es de 18 cm. El vapor fluye en el interior del tubo a una temperatura promedio de 200°C con un coeficiente de transferencia de calor de 180 W/m2 · °C. La superficie exterior del tubo está expuesta a un ambiente a 12°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 25 W/m2 · K. a) Si se descartan las bridas, determine la temperatura promedio de la superficie exterior del tubo. b) Con esta temperatura para la base de la brida y si se consideran a las bridas como aletas, determine la eficiencia de la aleta y la razón de la transferencia de calor desde ellas. c) ¿A qué longitud del tubo es equivalente la sección de las bridas para los fines de la transferencia de calor? 3-119 Se va a enfriar un transistor de potencia de 25 W sujetándolo a un sumidero de calor de los que se encuentran en el comercio y que se muestran en la tabla 3-6. Seleccione un sumidero de calor que permitirá que la temperatura de la caja del transistor no sobrepase 55°C en el aire ambiente a 18°. 3-120 Un álabe de la turbina hecha de una aleación metálica (k = 17 W/m · K) tiene una longitud de 5.3 cm, un perímetro de 11 cm y un área de sección transversal de 5.13 cm2. El álabe de la turbina está expuesto al gas caliente de la cámara de combustión a 973°C con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 538 W/m2 · K. La base del álabe de la turbina mantiene una temperatura constante de 450°C y su punta es adiabática. Determine la razón de transferencia de calor al álabe de la turbina y su temperatura en la punta. TL Gas caliente, 973°C h = 538 W/m2 · K 10 cm Álabe de la turbina k = 17 W/m · K p = 11 cm, L = 5.3 cm Ac = 5.13 cm2 9.2 cm Taire = 12°C Tb = 450°C FIGURA P3-120 1 cm 1 cm 18 cm Vapor 200°C FIGURA P3-117 3-118 Se va a enfriar un transistor de potencia de 40 W acoplándolo a un sumidero de calor de los que se encuentran en el comercio y que se muestran en la tabla 3-6. Seleccione un sumidero de calor que permitirá que la temperatura de la caja del transistor no sobrepase 90°C en el aire ambiente a 20°. 3-121 Una tubería con diámetros interno y externo de 50 mm y 60 mm, respectivamente, se utiliza para transportar vapor sobrecalentado en una planta de manufactura. Los tubos de la tubería de una conductividad térmica de 16 W/m · K se conectan entre sí mediante bridas con un espesor combinado de 20 mm y un diámetro externo de 90 mm. El aire que rodea a la tubería tiene una temperatura de 25°C y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 10 W/m2 · K. Si la temperatura de la superficie interna de la tubería se mantiene a una temperatura estacionaria de 150°C, determine la temperatura en la base de la brida y la razón de pérdida de calor a través de ésta. Respuestas: 148°C, 18 W Aire, 25°C h = 10 W/m2 · K Tb Taire = 20°C 90°C 40 W Df = 90 mm Di = 50 mm Do = 60 mm Ti = 150°C Tubería, k = 16 W/m · K t = 20 mm FIGURA P3-118 FIGURA P3-121 http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 210 210 CONDUCCIÓN DE CALOR 3-122 Una pared plana con una temperatura superficial de 350°C está conectada a aletas rectangulares rectas (k = 235 W/m · K). Las aletas están expuestas a una temperatura ambiente de 25°C y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 154 W/m2 · K. Cada aleta tiene una longitud de 50 mm, una base de 5 mm de espesor y una anchura de 100 mm. Determine la eficiencia, la razón de transferencia de calor y la efectividad de cada aleta, mediante a) la tabla 3-3 y b) la figura 3-43. de la cuchara es de 3 Btu/h · ft2 · °F, determine la diferencia de temperatura a través de la superficie expuesta de ese mango. Respuesta: 124.6°F Exprese sus suposiciones. Cuchara Taire = 75°F 7 in °C Tb = Aire, 25°C h = 154 W/m2 · K 350 Agua hirviente 200°F t = 5 mm k = 235 W/m · K FIGURA P3-124I w = 100 mm L = 50 mm x 3-125I Repita el problema 3-124I para una cuchara de plata (k  247 Btu/h · ft · °F). FIGURA P3-122 3-126 3-123 El vapor de un sistema de calefacción fluye por tubos cuyo diámetro exterior es de 5 cm y cuyas paredes se mantienen a 130°C. Al tubo se le sujetan aletas circulares de la aleación de aluminio 2024-T6 (k  186 W/m · °C), de diámetro exterior de 6 cm y espesor constante de 1 mm. El espacio entre las aletas es de 3 mm y, por lo tanto, se tienen 250 aletas por metro de longitud del tubo. El calor se transfiere al aire circundante que está a T
 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 40 W/m2 · °C. Determine el aumento en la transferencia de calor desde el tubo, por metro de longitud, como resultado de la Respuesta: 1 788 W adición de las aletas. 2.5 cm T
= 25°C 3 cm 130°C 1 mm 3 mm Vuelva a considerar el problema 3-124I. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue los efectos de la conductividad térmica del material de la cuchara y de la longitud de su extensión en el aire sobre la diferencia de temperatura a través de la superficie expuesta del mango. Suponga que la conductividad térmica varía desde 5 hasta 225 Btu/h · ft · °F, y la longitud desde 5 hasta 12 in. Trace las gráficas de la diferencia de temperatura en función de la conductividad térmica y de la longitud, y discuta los resultados. 3-127 Una tarjeta de circuitos eléctricos de 0.4 cm de espesor, 12 cm de alto y 18 cm de largo aloja 80 chips lógicos colocados muy cercanos entre sí sobre uno de los lados, cada uno de ellos disipando 0.04 W. La tarjeta está impregnada con empaste de cobre y tiene una conductividad térmica efectiva de 30 W/m · °C. Todo el calor generado en los chips es conducido a través de la tarjeta de circuitos y se disipa desde el lado posterior de la misma hacia un medio a 40°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 52 W/m2 · °C. a) Determine las temperaturas sobre los dos lados de la tarjeta. b) Ahora al lado posterior de la tarjeta se pega una placa de aluminio (k  237 W/m · °C) de 0.2 cm de espesor, 12 cm de alto y 18 cm de largo, con 864 aletas de espiga de aluminio de 2 cm de largo y 0.25 cm de diámetro, con un adhesivo epóxico (k  1.8 W/m · °C). Determine las nuevas temperaturas sobre los dos lados de la tarjeta de circuitos eléctricos. 3-128 Repita el problema 3-127, usando una placa de cobre con aletas del mismo metal (k  386 W/m · °C), en lugar de las de aluminio. FIGURA P3-123 3-124I Considere una cuchara de acero inoxidable (k  8.7 Btu/h · ft · °F) sumergida parcialmente en agua hirviente a 200°F, en una cocina a 75°F. El mango de la cuchara tiene una sección transversal de 0.08 in  0.5 in y se extiende 7 in en el aire a partir de la superficie libre del agua. Si el coeficiente de transferencia de calor en las superficies expuestas del mango 3-129 Una superficie caliente a 100°C se va a enfriar sujetándole aletas de pasador de aluminio (k  237 W/m · °C) de 0.25 cm de diámetro, 3 cm de largo y con una distancia entre centros de 0.6 cm. La temperatura del medio circundante es de 30°C y el coeficiente de transferencia de calor sobre las superficies es de 35 W/m2 · °C. Determine la razón de la transferencia de calor desde la superficie para una sección de 1 m  1 m de la placa. Determine también la efectividad total de las aletas. http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 211 211 CAPÍTULO 3 3 cm 0.6 cm 0.25 cm b) Determine la razón de transferencia de calor desde la superficie caliente, a través de cada aleta, y la efectividad de ésta. ¿Se justifica el uso de aletas? ¿Por qué? c) ¿Cuál es la razón total de transferencia de calor desde una sección de la pared de 10 cm  10 cm de dimensiones, la cual tiene 625 aletas uniformemente distribuidas? Suponga el mismo coeficiente de convección para la aleta y para la superficie sin aletas. Transferencia de calor en configuraciones comunes 3-133C ¿Qué es un factor de forma en la conducción? ¿Cómo está relacionado con la resistencia térmica? 3-134C ¿Cuál es el valor de los factores de forma en la conducción en la ingeniería? FIGURA P3-129 3-130 Repita el problema 3-129, usando aletas de cobre (k  386 W/m · °C) en lugar de las de aluminio. 3-131 Vuelva a considerar el problema 3-129. Usando el software EES (o cualquier otro semejante) investigue el efecto de la distancia entre centros de las aletas sobre la razón de la transferencia de calor desde la superficie y sobre la efectividad total de las aletas. Suponga que esa distancia varía de 0.4 cm hasta 2.0 cm. Trace las gráficas de la razón de la transferencia de calor y de la efectividad total de las aletas en función de la distancia entre centros y discuta los resultados. 3-132 Se usan, para enfriamiento, aletas de sección transversal circular con un diámetro D  1 mm y una longitud L  30 mm, fabricadas de cobre (k  380 W/m · K), para mejorar la transferencia de calor desde una superficie que se mantiene a la temperatura Ts1  132°C. Cada aleta tiene uno de sus extremos fijado a esta superficie (x  0), en tanto que el extremo opuesto (x  L) se encuentra unido a una segunda superficie, la cual se mantiene a Ts2  0°C. El aire que fluye entre las superficies y las aletas también está a T∞  0°C y el coeficiente de convección es h  100 W/m2 · K. a) Exprese la función u(x)  T(x) – T∞ a lo largo de una aleta y calcule la temperatura en x  L/2. 3-135 Tubos de agua caliente y fría de 12 m de largo están tendidos paralelos entre sí en una capa gruesa de concreto. Los diámetros de los dos tubos son de 6 cm y la distancia entre las líneas centrales de los mismos es de 40 cm. Las temperaturas superficiales de los tubos son de 60°C, para el de agua caliente, y de 15°C, para el de fría. Si la conductividad térmica del concreto es k  0.75 W/m · °C, determine la razón de la transferenRespuesta: 492 W cia de calor entre los tubos. 3-136 Vuelva a considerar el problema 3-135. Por medio del software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la razón de la transferencia de calor entre los tubos en función de la distancia entre las líneas centrales de los mismos en el rango de 10 cm hasta 1.0 m. Discuta los resultados. 3-137I Una fila de varillas usadas de combustible de uranio de 3 ft de largo y 1 in de diámetro que todavía están radiactivas se entierran paralelas entre sí con una distancia entre centros de 8 in a una profundidad de 15 ft de la superficie del suelo en un lugar donde la conductividad térmica de éste es de 0.6 Btu/h · ft · °F. Si las temperaturas superficiales de las varillas y del suelo son 350°F y 60°F, respectivamente, determine la razón de la transferencia de calor de esas varillas hacia la atmósfera a través del suelo. T∞, h Ts1 FIGURA P3-137I L D x FIGURA P3-132 Ts2 3-138 Un tubo que conduce agua caliente, de 12 m de largo y 8 cm de diámetro de un sistema municipal de calefacción, está enterrado 80 cm por debajo de la superficie del suelo. La temperatura de la superficie exterior del tubo es de 60°C. Si la temperatura superficial de la tierra es 2°C y la conductividad térmica del suelo en ese lugar es 0.9 W/m · °C, determine la razón de la pérdida de calor del tubo. http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 212 212 CONDUCCIÓN DE CALOR FIGURA P3-141 FIGURA P3-138 3-139 Vuelva a considerar el problema 3-138. Por medio del software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la razón de la pérdida de calor del tubo en función de la profundidad a la que está enterrado, en el rango de 20 cm hasta 2.0 m. Discuta los resultados. 3-140 Agua caliente a una temperatura promedio de 53°C y a una velocidad promedio de 0.4 m/s fluye por una sección de 5 m de un tubo de pared delgada que tiene un diámetro exterior de 2.5 cm. El tubo pasa por el centro de una pared de 14 cm de espesor llena con aislamiento de fibra de vidrio (k  0.035 W/m · °C). Si las superficies de la pared están a 18°C, determine a) la razón de la transferencia de calor del tubo hacia el aire en los cuartos y b) la caída de temperatura del agua caliente conforme fluye por esta sección de 5 m de largo de la pared. Respuestas: 19.6 W, 0.024°C 3-142 Considere una casa con un techo plano cuyas dimensiones exteriores son de 12 m  12 m. Las paredes exteriores de la casa tienen 6 m de alto. La paredes y el techo de la casa están hechos de concreto (k  0.75 W/m · °C) de 20 cm de espesor. Las temperaturas de las superficies interior y exterior de la casa son 15°C y 3°C, respectivamente. Si se consideran los efectos de los bordes de las superficies adjuntas, determine la razón de la pérdida de calor de la casa a través de sus paredes y el techo. ¿Cuál es el error que se comete al ignorar los efectos de los bordes y las esquinas y, por simplicidad, tratar el techo como una superficie de 12 m  12 m y las paredes como superficies de 6 m  12 m? 3-143 Considere un ducto de concreto (k  0.75 W/m · °C) de pared gruesa de 25 m de largo y cuya sección transversal es cuadrada. Las dimensiones exteriores del ducto son 20 cm  20 cm y el espesor de la pared del mismo es de 2 cm. Si las superficies interior y exterior del ducto están a 100°C y 30°C, respectivamente, determine la razón de la transferencia de calor a través Respuesta: 47.1 kW de las paredes del mismo. 30°C 100°C 25 m FIGURA P3-140 16 cm 20 cm 3-141 Agua caliente a una temperatura promedio de 80°C y a una velocidad promedio de 1.5 m/s fluye por una sección de 25 m de un tubo que tiene un diámetro exterior de 5 cm. El tubo se extiende 2 m en el aire ambiente arriba del piso, entra verticalmente en el suelo (k  1.5 W/m · °C) una distancia de 3 m y sigue en forma horizontal a esta profundidad por 20 m más antes de entrar al siguiente edificio. La primera sección del tubo está expuesta al aire ambiente a 5°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 22 W/m2 · °C. Si la superficie del suelo está cubierta con nieve a 3°C, determine a) la razón total de la pérdida de calor del agua caliente y b) la caída de temperatura del agua caliente conforme fluye por esta sección de 25 m de largo del tubo. FIGURA P3-143 3-144 Un tanque esférico de 3 m de diámetro y que contiene algo de material radiactivo está enterrado en el suelo (k  1.4 W/m · °C). La distancia entre la superficie exterior del tanque y la del suelo es de 4 m. Si las temperaturas superficiales del tanque y del suelo son 140°C y 15°C, respectivamente, determine la razón de la transferencia de calor desde el tanque. 3-145 Vuelva a considerar el problema 3-144. Por medio del software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica de la razón de la transferencia de calor http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 213 213 CAPÍTULO 3 desde el tanque en función del diámetro de éste, en el rango de 0.5 m hasta 5.0 m. Discuta los resultados. 4b 3-146 Agua caliente a una temperatura promedio de 90°C pasa por una fila de ocho tubos paralelos que tienen 4 m de largo y un diámetro exterior de 3 cm, ubicados verticalmente en medio de una pared de concreto (k  0.75 W/m · °C) que tiene 4 m de alto, 8 m de largo y 15 cm de espesor. Si las superficies de la pared de concreto están expuestas a un medio a 32°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2 · °C, determine la razón de la pérdida de calor del agua caliente y la temperatura superficial de la pared. 6 3 4a 5 2 Tema de interés especial: Transferencia de calor a través de paredes y techos 3-147C ¿Qué es el valor R de una pared? ¿En qué difiere de la resistencia térmica unitaria de la pared? ¿Cómo está relacionado con el factor U? 3-148C ¿Cuál es la emisividad efectiva para un espacio lleno de aire de planos paralelos? ¿Cómo se determina? ¿Cómo se determina la transferencia de calor por radiación a través del espacio lleno de aire cuando se conoce la emisividad efectiva? 3-149C En la tabla 3-9 se dan las resistencias térmicas unitarias (valores R) de espacios verticales de aire de 40 mm y 90 mm como 0.22 m2 · °C/W, lo cual implica que duplicar el espesor del espacio lleno de aire en una pared no tiene efecto sobre la transferencia de calor a través de esta última. ¿Piensa que éste es un error de mecanografía? Explique. FIGURA P3-153 1 3-154 El coeficiente total de transferencia de calor (el valor U) de una pared en condiciones de diseño de invierno es U  2.25 W/m2 · °C. Ahora, se agrega una capa de ladrillos de fachada de 100 mm en el exterior, dejando un espacio lleno de aire de 20 mm entre la pared y los ladrillos. Determine el nuevo valor U de la pared. Asimismo, determine la razón de la transferencia de calor a través de una sección de 3 m de alto y 7 m de largo de la pared después de la modificación, cuando las temperaturas en el interior y el exterior son de 22°C y –25°C, respectivamente. 3-150C ¿Qué es una barrera radiante? ¿Qué clase de materiales son adecuados para usarlos como barreras radiantes? ¿Vale la pena usar barreras radiantes en los áticos de las casas? 3-151C Considere una casa cuyo espacio del ático está ventilado de manera eficaz, de modo que la temperatura del aire en él es la misma que la del aire ambiente en todo momento. ¿El tejado todavía tendrá algún efecto sobre la transferencia de calor a través del techo interior? Explique. 3-152 Determine el valor R y el factor U de verano de una pared con armazón de madera que está construida con montantes de madera de 38 mm  140 mm con una distancia centro a centro de 400 mm. La cavidad de 140 mm de ancho entre los montantes está llena con aislamiento de lámina de fibra mineral. El interior está acabado con un tablero de yeso de 13 mm y el exterior con lámina de fibra de madera de 13 mm y tablas de forro achaflanadas y traslapadas de madera de 13 mm  200 mm. La cavidad aislada constituye 80% del área de transmisión de calor, en tanto que los montantes, travesaños y soleras superior e inferior constituyen un 20%. Respuestas: 3.213 m2 · °C/W, 0.311 W/m2 · °C 3-153 El forro de lámina de fibra de madera de 13 mm de espesor de la pared de montantes de madera del problema 3-152 se reemplaza por un aislamiento de espuma rígida de 25 mm de espesor. Determine el porcentaje de incremento en el valor R de la pared que se tiene como resultado. Pared existente Ladrillo de fachada FIGURA P3-154 3-155 Considere un techo interior plano que está construido con montantes de madera de 38 mm  90 mm con una distancia centro a centro de 400 mm. La parte inferior del techo está acabada con un tablero de yeso de 13 mm, en tanto que la superior consiste en un subpiso de madera (R  0.166 m2 · °C/W), una madera contrachapada de 13 mm, una capa de fieltro (R  0.011 m2 · °C/W) y linóleo (R  0.009 m2 · °C/W). Los dos lados del techo están expuestos a aire estático. El espacio de aire constituye 82% del área de transmisión de calor, en tanto que los montantes y travesaños constituyen 18%. Determine el valor R y el factor U de invierno del techo interior, si el espacio lleno de aire de 90 mm de ancho entre los montantes a) no tiene superficie reflectora, b) tiene una superficie reflectora con   0.05 en uno de los lados y c) tiene superficies reflectoras con   0.05 en los dos lados. Suponga una temperatura media de 10°C y una diferencia de temperatura de 5.6°C para el espacio lleno de aire. http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 214 214 CONDUCCIÓN DE CALOR miento de espuma rígida de uretano de 25 mm y tablero de yeso Respuestas: 1.404 m2 · °C/W, 0.712 W/m2 · °C de 13 mm. 3-159 El coeficiente total de transferencia de calor (el valor U) de una pared en condiciones de diseño de invierno es U  1.40 W/m2 · °C. Determine el valor U de la pared en condiciones de diseño de verano. 1 2 3 4 5 6 8 7 FIGURA P3-155 3-156 Determine el valor R y el factor U de invierno de una pared hueca de mampostería que consta de ladrillos comunes de 100 mm, un espacio de aire de 90 mm, bloques de concreto de 100 mm hechos de agregado ligero, espacio de aire de 20 mm y tablero de yeso de 13 mm separado del bloque de concreto por listones verticales de 20 mm de espesor (1 in  3 in nominales) cuya distancia centro a centro es de 400 mm. Ninguno de los lados de los espacios llenos de aire está recubierto con película reflectora. Al determinar el valor R, de los espacios llenos de aire, se puede tomar la diferencia de temperatura a través de ellos como de 16.7°C, con una temperatura media del aire de 10°C. El espacio de aire constituye 84% del área de transmisión del calor, en tanto que los listones verticales y las estructuras semejantes constituyen 16%. 3-160I Determine el valor R y el factor U de invierno de una pared hueca de mampostería que está construida con bloques de concreto de 4 in de espesor hechos de agregado ligero. El exterior está acabado con ladrillo de fachada de 4 in con 21 in de mortero de cemento entre los ladrillos y los bloques de concreto. El acabado interior consiste en tablero de yeso de 12 in separado del bloque de concreto por listones verticales de 3 in de espesor 4 (1 in por 3 in nominales) cuya distancia centro a centro es de 16 in. Ninguno de los lados del espacio lleno de aire de 34 in de espesor está cubierto con película reflectora. Al determinar el valor R del espacio lleno de aire, la diferencia de temperatura a través de él se puede tomar como de 30°F, con una temperatura media del aire de 50°F. El espacio lleno de aire constituye 80% del área de transmisión de calor, en tanto que los listones verticales y las estructuras similares constituyen un 20%. 5b Respuestas: 1.02 m2 · °C/W, 0.978 W/m2 · °C 4 2 5a 6 7 3 1 FIGURA P3-160I 3-161 Determine los valores R de verano y de invierno, en m2 · °C/W, de una pared de mampostería que consta de ladrillos de fachada de 100 mm, 13 mm de mortero de cemento, bloque de concreto ligero de 100 mm, espacio de aire de 40 mm y tablero de yeso de 20 mm. Respuestas: 0.809 y 0.795 m2 · °C/W 4 5 6 7 3 2 1 FIGURA P3-156 3-157 Repita el problema 3-156, suponiendo que uno de los lados de los dos espacios de aire está recubierto con una película reflectora de   0.05. 3-158 Determine el valor R y el factor U de invierno de una pared de mampostería que consta de las capas siguientes: ladrillos de fachada de 100 mm, ladrillos comunes de 100 mm, aisla- 3-162I Se determina que el coeficiente total de transferencia de calor de una pared es U  0.075 Btu/h · ft2 · °F en las condiciones de aire estático en el interior y vientos de 7.5 mph en el exterior. ¿Cuál será el factor U cuando se duplica la velocidad Respuesta: 0.0755 Btu/h · ft2 · °F del viento en el exterior? 3-163 Dos casas son idénticas, excepto en que las paredes de una de ellas consta de bloques de concreto ligero de 200 mm, espacio de aire de 20 mm y tablero de yeso de 20 mm, en tanto que las paredes de la otra se hicieron con la construcción estándar de paredes de armazón con R-2.4 m2 · °C/W. ¿Cuál de las dos piensa el lector que es más eficiente con respecto a la energía? 3-164 Determine el valor R de un techo interior que consta de una capa de losetas acústicas de 19 mm cuya parte superior es- http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 215 215 CAPÍTULO 3 tá cubierta con una hoja de aluminio intensamente reflectora para las condiciones de invierno. Suponga que el aire está estático arriba y abajo de las losetas. r1 = 1.5 cm r2 = 3 cm T
h Tb Hoja metálica intensamente reflectora t = 2 mm S = 3 mm FIGURA P3-166 19 mm Losetas acústicas FIGURA P3-164 Problemas de repaso 3-165 Una barra cilíndrica de combustible nuclear de 15 mm de diámetro está revestida por un cilindro cerámico hueco concéntrico con un diámetro interno de 35 mm y un diámetro externo de 110 mm. Este arreglo crea una brecha de aire entre la barra de combustible y el cilindro hueco de cerámica con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 10 W/m2 · K. El cilindro hueco de cerámica tiene una conductividad térmica de 0.07 W/m · K y su superficie externa mantiene una temperatura constante de 30°C. Si la barra de combustible genera calor a una razón de MW/m3, determine la temperatura en la superficie de la barra de combustible. Respuesta: 1.026ºC Barra de combustible 1 MW/m 3 T1 Cerámica k = 0.07 W/m · K Brecha de aire, h = 10 W/m2 · K T3 = 30°C 3-167I Se produce vapor de agua en los tubos de cobre (k  223 Btu/h · ft · °F) de un intercambiador de calor, a una temperatura de 280°F, mediante la condensación de otro fluido sobre las superficies exteriores de los mismos tubos que está a 350°F. Los diámetros interior y exterior del tubo son 1 in y 1.3 in, respectivamente. Cuando el intercambiador de calor estaba nuevo, la razón de la transferencia de calor por pie de longitud del tubo era de 2  104 Btu/h. Determine la razón de la transferencia de calor por pie de longitud del tubo cuando, después del uso prolongado de éste, se ha formado una capa de 0.01 in de espesor de caliza (k  1.7 Btu/h · ft · °F) sobre su superficie interior. 3-168I Repita el problema 3-167I, si se supone que se ha formado la capa de 0.01 in de espesor de caliza tanto sobre la superficie interior como sobre la exterior. 3-169 Fluye agua caliente a una velocidad promedio de 1.5 m/s por un tubo de hierro fundido (k  52 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son de 3 cm y 3.5 cm, respectivamente. El tubo pasa por una sección de 15 m de largo de un sótano cuya temperatura es de 15°C. Si la temperatura del agua cae de 70°C hasta 67°C cuando pasa por el sótano y el coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie interior del tubo es de 400 W/m2 · °C, determine el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación en la suRespuesta: 272.5 W/m2 · °C perficie exterior de dicho tubo. 3-170 Los tubos de concreto recién formados suelen curarse en principio durante la noche por medio de vapor de agua en un horno que se mantiene a una temperatura de 45°C, antes de dejarlos curándose en el exterior durante varios días. El calor y la humedad para el horno son proporcionados por el vapor de agua que fluye en un tubo cuyo diámetro exterior es de 12 cm. Durante una inspección en la planta, se observó que el tubo pasa por una sección de 8 m que está por completo expuesta al aire ambiente antes de llegar al horno. Las mediciones de temperatura indican que la temperatura promedio de la superficie exterior del tubo de vapor es de 90°C, cuando la temperatura D1 = 15 mm D2 = 35 mm D3 = 110 mm FIGURA P3-165 3-166 En un sistema de calentamiento el vapor fluye a través de tubos cuyo diámetro externo es de 3 cm y cuyas paredes se mantienen a una temperatura de 120°C. Aletas circulares de aleación de aluminio (k = 180 W/m · K), de diámetro externo de 6 cm y espesor constante de t = 2 mm se fijan al tubo, como se muestra en la figura P3-166. El espacio entre las aletas es de 3 mm, por lo tanto hay 200 aletas por metro de tubo. El calor se transfiere al aire circundante a 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor combinado de 60 W/m2 · K. Determine el incremento en la transferencia de calor del tubo por metro de longitud como consecuencia de agregar aletas. Taire = 8°C Hogar Horno 90°C Vapor 12 cm Tubo de vapor 8m FIGURA P3-170 http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 216 216 CONDUCCIÓN DE CALOR ambiente es de 8°C. Se estima que el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación en la superficie exterior del tubo es de 35 W/m2 · °C. Determine la cantidad de calor perdido por el vapor durante un proceso de curado de 10 h esa noche. El vapor es suministrado por un generador en el que se quema gas que tiene una eficiencia de 85% y la planta paga 1.20 dólar/therm de gas natural (1 therm  105 500 kJ). Si el tubo se aísla y, como resultado, se ahorra 90% de la pérdida de calor, determine la cantidad de dinero que esta instalación ahorrará en un año como resultado del aislamiento de los tubos de vapor. Suponga que los tubos de concreto se curan 110 noches al año. Enuncie sus suposiciones. 3-171 Considere un tablero de circuito de capas múltiples de 18 cm  18 cm que disipa 27 W de calor. El tablero consta de cuatro capas de cobre (k  386 W/m · °C) de 0.2 mm de espesor y tres capas de vidrio epóxico (k  0.26 W/m · °C) de 1.5 mm de espesor comprimidos entre sí, como se muestra en la figura. El tablero está acoplado a un sumidero de calor desde los dos extremos y la temperatura de dicho tablero en esos extremos es de 35°C. Se considera que el calor se genera de manera uniforme en las capas epóxicas del tablero a razón de 0.5 W por tira de 1 cm  18 cm de lámina de este material (o sea, 1.5 W por tira de 1 cm  18 cm del tablero). Debido a la simetría, si se considera sólo una parte del tablero, determine la magnitud y la ubicación de la temperatura máxima que se presenta en éste. Suponga que la transferencia de calor desde las caras superior e inferior del tablero es despreciable. Cobre Vidrio epóxico 18 cm 18 cm FIGURA P3-171 perficie exterior del tubo es de 40 W/m2 · °C y el calor de fusión del agua es de 333.7 kJ/kg. Si el tubo contiene agua en reposo a 0°C, determine si el agua en esa sección se congelará por completo esa noche. 3-173 Repita el problema 3-172 para el caso de un coeficiente de transferencia de calor de 18 W/m2 · °C sobre la superficie exterior, como resultado de poner una cerca alrededor del tubo que bloquea el viento. 3-174I Se observa que la temperatura superficial de una papa horneada de 3 in de diámetro cae de 300°F hasta 200°F en 5 minutos, en un medio ambiente a 70°F. Determine el coeficiente promedio de transferencia de calor entre la papa y los alrededores. Si se usa este coeficiente de transferencia de calor y la misma temperatura superficial, determine cuánto tiempo transcurrirá para que la papa experimente la misma caída de temperatura si está envuelta por completo en una toalla (k  0.035 Btu/h · ft · °F) de 0.12 in de espesor. Para la papa, se pueden usar las propiedades del agua. 3-175I Repita el problema 3-174I suponiendo que existe un espacio lleno de aire (k  0.015 Btu/h · ft · °F) de 0.02 in de espesor entre la papa y la toalla. 3-176 Una pared de 6 m de ancho y 2.8 m de alto está construida de una capa de ladrillo común (k  0.72 W/m · °C) de 20 cm de espesor, una capa interior de yeso ligero (k  0.36 W/m · °C) de 1 cm de espesor y de una cubierta exterior hecha de cemento (k  1.40 W/m · °C) de 2 cm de espesor. La superficie interior de la pared se mantiene a 23°C, en tanto que la exterior está expuesta al exterior a 8°C, con un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación de 17 W/m2 · °C. Determine la razón de la transferencia de calor a través de la pared y las caídas de temperatura a través del yeso, el ladrillo, la cubierta y el aire ambiente superficial. 3-177 Vuelva a considerar el problema 3-176. Se desea aislar la pared con el fin de disminuir la pérdida de calor en un 85%. Para la misma temperatura de la superficie interior, determine el espesor del aislamiento y la temperatura de la superficie exterior si la pared se aísla con a) espuma de poliuretano (k  0.025 W/m · °C) y b) fibra de vidrio (k  0.036 W/m · °C). 3-178 Un tablero de circuito de 0.2 cm de espesor, 10 cm de alto y 15 cm de largo aloja componentes electrónicos sobre uno 3-172 El sistema de plomería de una casa comprende una sección de 0.5 m de un tubo de plástico (k  0.16 W/m · °C) con diámetro interior de 2 cm y exterior de 2.4 cm expuesto al aire ambiente. Durante una noche fría y con viento, la temperatura del aire ambiente permanece a más o menos –5°C durante un periodo de 14 h. Se estima que el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación sobre la su- Componentes electrónicos Aleta 15 cm 0.3 cm 10 cm 0.2 cm 20 aletas 2 cm FIGURA P3-172 1 mm 2 mm http://librosysolucionarios.net FIGURA P3-178 Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 217 217 CAPÍTULO 3 de sus lados que disipan un total de 15 W de manera uniforme. El tablero está impregnado con limaduras metálicas conductoras y tiene una conductividad térmica efectiva de 12 W/m · °C. Todo el calor generado en los componentes es conducido a través del tablero y se disipa desde la parte posterior del mismo hacia un medio a 37°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 45 W/m2 · °C. a) Determine las temperaturas superficiales sobre los dos lados del tablero. b) Ahora se sujeta a la parte posterior del tablero, con un adhesivo epóxico (k  1.8 W/m · °C) de 0.03 cm de espesor, una placa de aluminio (k  237 W/m · °C) de 0.1 cm de espesor, 10 cm de alto y 15 cm de largo con 20 aletas de aluminio de 0.2 cm de espesor, 2 cm de largo y 15 cm de ancho y de perfil rectangular. Determine las nuevas temperaturas en los dos lados del tablero. ratura entre las superficies interior y exterior de la pared es de 22°C, determine la razón de la transferencia de calor a través de ella. En el análisis de la transferencia de calor, ¿se pueden ignorar las barras de acero entre las placas puesto que ocupan sólo 1% del área superficial de transferencia de calor? Placas de acero Aislamiento de fibra de vidrio 99 cm 3-179 Repita el problema 3-178 con una placa de cobre con aletas del mismo metal (k  386 W/m · °C), en lugar de las de aluminio. 3-180 Se usa una fila de 10 tubos paralelos que tienen 5 m de largo y un diámetro exterior de 6 cm para transportar vapor de agua a 145°C a través del piso de concreto (k  0.75 W/m · °C) de un cuarto de 10 m  5 m que se mantiene a 24°C. El coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación en el piso es de 12 W/m2 · °C. Si la temperatura superficial del piso de concreto no debe ser mayor a 35°C, determine a qué profundidad deben enterrarse los tubos por debajo de la superficie de ese piso. Cuarto 24°C 10 m 38°C D = 6 cm Tubos de vapor Piso de concreto FIGURA P3-180 3-181 Considere dos personas idénticas, cada una de las cuales genera 60 W de calor metabólico en forma estacionaria mientras están realizando trabajo sedentario y lo disipan por convección y transpiración. La primera persona usa ropa hecha de piel (k  0.159 W/m · °C) de 1 mm de espesor que le cubre la mitad del cuerpo, en tanto que la segunda usa ropa hecha de tela sintética (k  0.13 W/m · °C) de 1 mm de espesor que le cubre el cuerpo por completo. El aire ambiente está a 30°C, el coeficiente de transferencia de calor en la superficie exterior es de 15 W/m2 · °C y la temperatura de la superficie interior de la ropa se puede tomar como 32°C. Si se trata el cuerpo de cada persona como un cilindro de 25 cm de diámetro y 1.7 m de largo, determine las fracciones de calor perdido desde cada una de ellas por transpiración. 3-182 Una pared de 4 m de alto y 6 m de largo está construida con dos placas grandes de acero (k  15 W/m · °C) de 2 cm de espesor separadas por barras de acero de 1 cm de espesor y 22 cm de ancho colocadas con una separación de 99 cm. El espacio restante entre las placas de acero está lleno con aislamiento de fibra de vidrio (k  0.035 W/m · °C). Si la diferencia de tempe- 1 cm 0.8 cm 22 cm 0.8 cm FIGURA P3-182 3-183 Aire acondicionado frío a 12°C fluye con un gasto de masa de 0.8 kg/s dentro de un ducto cuadrado de aluminio (k  237 W/m · °C) de 1.5 cm de espesor y cuya sección transversal interior es de 22 cm  22 cm. El ducto está expuesto a aire a 33°C con un coeficiente combinado de transferencia de calor por convección-radiación de 13 W/m2 · °C. El coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie interior es de 75 W/m2 · °C. Si la temperatura del aire en el ducto no debe aumentar más de 1°C, determine la longitud máxima del mismo. 3-184 Al analizar la transferencia de calor a través de las ventanas, es importante considerar el marco así como el área de vidrio. Considere una ventana con marco de madera, de 2 m de ancho y 1.5 m de alto, con 85% del área cubierta por un vidrio (k  0.7 W/m · °C) de una sola hoja de 3 mm de espesor. El marco tiene 5 cm de espesor y está hecho de madera de pino (k  0.12 W/m · °C). El coeficiente de transferencia de calor es de 7 W/m2 · °C en el interior y de 13 W/m2 · °C en el exterior. El cuarto se mantiene a 24°C y la temperatura en el exterior es de 40°C. Determine el porcentaje de error en el que se incurre en la transferencia de calor cuando se supone que la ventana sólo consta de vidrio. 3-185 Fluye vapor a 260°C dentro de una tubería de acero (k = 61 W/m · K) cuyos diámetros interno y externo miden 10 y 12 cm, respectivamente, en un entorno con una temperatura de 20°C. Los coeficientes de transferencia de calor dentro y fuera de la tubería son de 120 W/m2 · K y 14 W/m2 · K, respectivamente. Determine a) el espesor que debe tener el aislamiento (k = 0.038 W/m · K) para reducir en un 95% la pérdida de calor y b) el espesor del aislamiento necesario para reducir la temperatura superficial expuesta de la tubería aislada a 40°C por razones de seguridad. 3-186 Cuando no es factible el transporte del gas natural en una tubería, por razones económicas o de otra clase, primero se licua hasta alrededor de –160°C y, a continuación, se transporta http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 218 218 CONDUCCIÓN DE CALOR en tanques especialmente aislados en barcos. Considere un tanque esférico de 4 m de diámetro que está lleno con gas natural licuado (GNL) a –160°C. El tanque está expuesto al aire ambiente a 24°C con un coeficiente de transferencia de calor de 22 W/m2 · °C. El tanque es de pared delgada y su temperatura se puede considerar que es la misma que la de GNL. El tanque está aislado con un superaislamiento de 5 cm de espesor que tiene una conductividad térmica efectiva de 0.00008 W/m · °C. Si la densidad y el calor específico del GNL como 425 kg/m3 y 3.475 kJ/kg · °C, respectivamente, estime cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del GNL se eleve hasta –150°C. 3-187 Se va a enfriar una superficie caliente de 15 cm  20 cm que está a 85°C sujetándole aletas de aluminio (k  237 W/m · °C) de 4 cm de largo y de sección transversal cuadrada de 2 mm  2 mm. La temperatura del medio circundante es de 25°C y se puede tomar el coeficiente de transferencia de calor sobre las superficies como 20 W/m2 · °C. Si se desea triplicar la razón de la transferencia de calor de la superficie caliente sin aletas, determine el número de aletas que es necesario colocar. 3-188 Vuelva a considerar el problema 3-187. Por medio del software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica del número de aletas en función del incremento en la pérdida de calor por las aletas comparado con el caso en el que no se tengan aletas (es decir, la efectividad total de las aletas) en el rango de 1.5 hasta 5. Discuta los resultados. ¿Es realista suponer que el coeficiente de transferencia de calor permanece constante? 3-189 Se usa un recipiente agitador para calentar 500 kg/min de una solución acuosa que está a 15°C, por medio de vapor de agua saturado en condensación en la camisa exterior del recipiente. Éste puede contener 6 200 kg de la solución acuosa. Está fabricado de láminas de 15 mm de espesor de acero al carbono a 1% (k  43 W/m · K) y proporciona un área de transferencia de calor de 12.0 m2. El coeficiente de transferencia de calor debido a la agitación es de 5.5 W/m2 · K, en tanto que la condensación del vapor a 115°C, en la camisa, da un coeficiente de transferencia de calor de 10.0 kW/m2 · K. Todas las propiedades de la solución acuosa son comparables a las del agua pura. Calcule la temperatura de la solución acuosa a la salida del recipiente agitador en el caso de la operación estacionaria. pesor (t12) y la exterior, de ladrillo (k  1.0 W/m · K) de 10 cm de espesor (t34). ¿Cuál es la temperatura sobre la superficie interior de ladrillos cuando T1  20°C y T4  35°C? 0 1 2 3 4 5 LA LB FIGURA P3-191 3-192 Se coloca un total de 10 aletas rectangulares de aluminio (k  203 W/m · K) sobre la superficie plana exterior de un aparato electrónico. Cada aleta tiene 100 mm de ancho, 20 mm de alto y 4 mm de espesor. Las aletas están ubicadas paralelas entre sí con una distancia de centro a centro de 8 mm. La temperatura en la superficie exterior del aparato electrónico es de 72°C. El aire está a 20°C y el coeficiente de transferencia de calor es de 80 W/m2 · K. Determine a) la razón de la pérdida de calor del aparato electrónico hacia el aire circundante y b) la efectividad de la aleta. 3-193 Una pared de un almacén refrigerado tiene 10.0 m de alto y 5.0 m de ancho. La pared está hecha de tres capas: aluminio (k  200 W/m · K) con 8.0 cm de espesor, fibra de vidrio (k  0.038 W/m · K) con 8.0 cm de espesor y tablero de yeso (k  0.48 W/m · K) con 3.0 cm de espesor. Las temperaturas en el interior y el exterior del almacén son –10°C y 20°C, respectivamente, y el valor promedio de los dos coeficientes de transferencia de calor, interior y exterior, es de 40 W/m2 · K. 3-190 Un tanque cilíndrico de 0.6 m de diámetro y 1.9 m de largo que contiene gas natural licuado (GNL) a –160°C se coloca en el centro de una barra sólida cuadrada de 1.9 m de largo y de 1.4 m  1.4 m hecha de un material aislante con k  0.0002 W/m · °C. Si la temperatura de la superficie exterior de la barra es de 12°C, determine la razón de la transferencia de calor al tanque. Asimismo, determine la temperatura del GNL después de un mes. Tome la densidad y el peso específico del GNL como 425 kg/m3 y 3.475 kJ/kg · °C, respectivamente. a) Calcule la razón de la transferencia de calor a través de la pared del almacén en estado estacionario. b) Suponga que se usan 400 pernos metálicos (k  43 W/m · K), cada uno de 2.0 cm de diámetro y 12.0 cm de largo, para sujetar (es decir, para mantener unidas) las tres capas de la pared. Calcule la razón de la transferencia de calor para la pared con los pernos. c) ¿Cuál es el porcentaje de cambio en la razón de la transferencia de calor a través de la pared debido a los pernos metálicos? 3-191 En la figura P3-191 se muestra una sección típica de la pared de un edificio. Esta sección se extiende hacia dentro y fuera de la página y se repite en la dirección vertical. Los miembros de soporte de la pared están fabricados de acero (k  50 W/m · K) y tienen 8 cm (t23)  0.5 cm (LB). El resto del espacio interior de la pared está lleno con material aislante (k  0.03 W/m · K) y mide 8 cm (t23)  60 cm (LB). La pared interior está fabricada de tablero de yeso (k  0.5 W/m · K) de 1 cm de es- 3-194 Un tanque esférico de acero de 2.2 m de diámetro lleno de agua con hielo a 0°C se entierra en un lugar en donde la conductividad térmica del suelo es k  0.55 W/m · °C. La distancia entre el centro del tanque y la superficie del suelo es de 2.4 m. Para una temperatura superficial del suelo de 18°C, determine la razón de la transferencia de calor hacia el agua con hielo que está en el tanque. ¿Cuál sería su respuesta si la temperatura del suelo fuera de 18°C y la superficie del mismo estuviera aislada? http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 219 219 CAPÍTULO 3 3-195 Una barra de 12 cm de largo con una sección transversal cuadrada, como se muestra en la figura P3-195, consta de una capa de cobre (k  380 W/m · K) de 1 cm de espesor y una capa de compuesto epóxico (k  0.4 W/m · K) del mismo espesor. Calcule la razón de la transferencia de calor bajo una fuerza térmica impulsora de 50°C, cuando la dirección de la transferencia unidimensional de calor en estado estacionario es a) del frente hacia atrás (es decir, a lo largo), b) de izquierda a derecha y c) de arriba hacia abajo. ico óx bre p oe Co est u mp 2 cm Co ferencia de calor por convección es de 45 W/m2 · K. Si la conductividad térmica de las aletas es de 230 W/m · K, determine la razón de transferencia de calor de una sola aleta y el incremento en la razón de transferencia de calor por m2 de área superficial como consecuencia de adherirle las aletas. Suponga que hay 100 aletas por m2 de área superficial. 3-199 Aletas circulares de sección transversal uniforme, con un diámetro de 10 mm y una longitud de 50 mm, se unen a una pared con una temperatura superficial de 350°C. Las aletas están hechas de un material con una conductividad térmica de 240 W/m · K y están expuestas a una temperatura de 25°C del aire ambiental y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 250 W/m2 · K. Determine la razón de transferencia de calor y grafique la variación de temperatura de una sola aleta para las siguientes condiciones de frontera: a) b) c) d) cm 12 Aleta infinitamente larga Punta de la aleta adiabática Aleta con una temperatura de 250°C en la punta Convección de la punta de la aleta 2 cm h, T
Tb FIGURA P3-195 k 3-196 Se usa un recipiente esférico, de 3.0 m de diámetro (y espesor despreciable), para almacenar un fluido a una temperatura de 0°C. El recipiente está cubierto con una capa de un material aislante, de 5.0 cm de espesor (k  0.20 W/m · K). El aire circundante está a 22°C. Los coeficientes de transferencia de calor, interior y exterior, son de 40 y 10 W/m2 · K, respectivamente. Calcule a) todas las resistencias térmicas, en K/W, b) la razón de transferencia de calor en estado estacionario y c) la diferencia de temperaturas de uno a otro lado de la capa aislante. 3-197 Una pared plana con una temperatura superficial de 300°C está unida a aletas triangulares de aluminio rectas (k = 236 W/m · K). Las aletas están expuestas al aire ambiental de 25°C y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 25 W/m2 · K. Cada aleta tiene 55 mm de largo, una base de 4 mm de espesor y ancho de 110 mm. Mediante la tabla 3-4 determine la eficiencia, la razón de transferencia de calor y la efectividad de cada aleta. °C Tb Ab = Ac x=0 L FIGURA P3-199 3-200 En un proceso de generación de calor y energía combinadas (CEC), el calor derivado se utiliza para la calefacción industrial o doméstica. El vapor caliente se transporta de una planta de generación CEC a través de un tubo con un diámetro de 127 mm que pasa por el centro de una barra sólida de sección transversal cuadrada hecha de concreto, con una conductividad térmica de 1.7 W/m · K. La temperatura de la superficie del tubo es constante en 120°C, mientras que la barra de concreto está expuesta al aire con una temperatura de –5°C y a un coeficiente de transferencia de calor por convección de 20 W/m2 · K. Si la diferencia de temperatura entre la superficie externa de la barra de concreto y el aire ambiental se mantiene en 5°C, determine el ancho de la barra de concreto de sección transversal cuadrada y la razón de pérdida de calor por metro de longitud. Respuestas: 1.32 m, 530 W/m k = 236 W/m · K 00 =3 D Aire, 25°C h = 25 W/m2 · K Aire, 5°C h = 20 W/m2 . K T2 t = 4 mm w = 110 mm Barra de concreto k = 1.7 W/m . K T1 = 120°C L = 55 mm FIGURA P3-197 D = 127 mm 3-198 Se desea enfriar la superficie de una pared plana a 200°C con aletas de pasador de aluminio de perfil parabólico con puntas romas. Cada aleta tiene una longitud de 25 mm y un diámetro de base de 4 mm. Las aletas están expuestas a una condición de aire ambiental de 25°C y el coeficiente de trans- L w FIGURA P3-200 http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 220 220 CONDUCCIÓN DE CALOR Problemas de examen de fundamentos de ingeniería (FI) 2 3-201 Se pierde calor a razón de 275 W por m de una pared de 15 cm de espesor que tiene una conductividad térmica de k  1.1 W/m · °C. La caída de temperatura de uno a otro lado de la pared es a) 37.5°C b) 27.5°C c) 16.0°C d) 8.0°C e) 4.0°C 3-202 Considere una pared que consta de dos capas, A y B, con los valores siguientes kA  1.2 W/m · °C, LA  8 cm, kB  0.2 W/m · °C, LB  5 cm. Si la caída de temperatura de uno a otro lado de la pared es de 18°C, la razón de la transferencia de calor a través de ella, por unidad de área de la misma, es b) 72.1 W/m2 c) 114 W/m2 a) 56.8 W/m2 d) 201 W/m2 e) 270 W/m2 3-203 Una superficie plana de un horno a 150°C, cubierta con material aislante de 1 cm de espesor, se expone a aire a 30°C y el coeficiente combinado de transferencia de calor es 25 W/m2 · °C. La conductividad térmica del material aislante es 0.04 W/m · °C. La razón de la pérdida de calor de la superficie, por unidad de área de la misma, es a) 35 W b) 414 W c) 300 W d) 480 W e) 128 W 3-204 Se genera calor de manera estacionaria en una bola esférica de 3 cm de diámetro, que está expuesta a aire ambiente a 26°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 7.5 W/m2 · °C. La bola se va a cubrir con un material de conductividad térmica 0.15 W/m · °C. El espesor del material que la cubrirá y que maximizará la generación de calor dentro de la bola, manteniendo al mismo tiempo constante la temperatura de la superficie de la misma, es a) 0.5 cm b) 1.0 cm c) 1.5 cm d) 2.0 cm e) 2.5 cm 3-205 Considere una ventana de hoja triple de 1.5 m de alto y 2 m de ancho. El espesor de cada capa de vidrio (k  0.80 W/m · °C) es de 0.5 cm y el de cada espacio de aire (k  0.025 W/m · °C), de 1.2 cm. Si las temperaturas interior y exterior de la ventana son de 10°C y 0°C, respectivamente, la razón de la pérdida de calor a través de la ventana es a) 3.4 W b) 10.2 W c) 30.7 W d) 61.7 W e) 86.8 W 3-206 Considere la pared de un horno, hecha de lámina metálica, a una temperatura promedio de 800°C y expuesta a aire a 40°C. El coeficiente combinado de transferencia de calor es de 200 W/m2 · °C, en el interior del horno, y de 80 W/m2 · °C, en el exterior. Si la resistencia térmica de la pared del horno es despreciable, la razón de la pérdida de calor del horno, por unidad de área de superficie, es b) 213 kW/m2 c) 91.2 kW/m2 a) 48.0 kW/m2 2 2 d) 151 kW/m e) 43.4 kW/m 3-207 Considere una camisa hecha de 5 capas de tela de algodón (k  0.060 W/m · °C) de 0.1 mm de espesor, con un total de 4 capas de espacio de aire (k  0.026 W/m · °C) de 1 mm de espesor entre ellas. Si se supone que la temperatura de la superficie interior de la camisa es de 25°C y que el área de la superficie normal en la dirección de la transferencia del calor es de 1.1 m2, ¿cuál es la razón de la pérdida de calor a través de la camisa cuando la temperatura del exterior es 0°C y el coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie exterior es de 18 W/m2 · °C? a) 6 W b) 115 W c) 126 W d) 287 W e) 170 W 3-208 Considere dos placas metálicas comprimidas una contra otra. Si permanece todo lo demás igual, ¿cuál de las medidas que se dan abajo hará que aumente la resistencia térmica por contacto? a) Limpiar las superficies para hacerlas más brillantes. b) Oprimir las placas una contra otra con una fuerza más grande. c) Llenar la brecha con un fluido conductor. d) Usar metales más suaves. e) Recubrir las superficies de contacto con una capa delgada de metal suave, como el estaño. 3-209 Un tubo cilíndrico de vapor de agua, con un radio exterior de 8 cm y 10 m de largo, está cubierto con un material aislante de forma cilíndrica de 3 cm de espesor que tiene una conductividad térmica de 0.05 W/m · °C. Si la razón de la pérdida de calor del tubo es de 1 000 W, la caída de temperatura de uno a otro lado del material aislante es a) 58°C b) 101°C c) 143°C d) 282°C e) 600°C 3-210 Fluye vapor de agua a 200°C en un tubo de hierro fundido (k  80 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son D1  0.20 m y D2  0.22 m, respectivamente. El tubo está cubierto con un material aislante de fibra de vidrio (k  0.05 W/m · °C) de 2 cm de espesor. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior es de 75 W/m2 · °C. Si la temperatura en la interfase del tubo de hierro y el material aislante es de 194°C, la temperatura en la superficie exterior de este último es a) 32°C b) 45°C c) 51°C d) 75°C e) 100°C 3-211 Un tanque esférico de 5 m de diámetro está lleno con oxígeno líquido (r  1 141 kg/m3, cr  1.71 kJ/kg · °C) a –184°C. Se observa que la temperatura del oxígeno aumenta hasta –183°C en un periodo de 144 h. La razón promedio de transferencia de calor hacia el tanque es a) 124 W b) 185 W c) 246 W d) 348 W e) 421 W 3-212 Una pared de 2.5 m de alto, 4 m de ancho y 20 cm de espesor de una casa tiene una resistencia térmica de 0.025 °C/W. La conductividad térmica de la pared es a) 0.8 W/m · °C b) 1.2 W/m · °C c) 3.4 W/m · °C d) 5.2 W/m · °C e) 8.0 W/m · °C 3-213 Considere dos paredes, A y B, con las mismas áreas superficiales y las mismas caídas de temperatura a través de sus espesores. La razón de las conductividades térmicas es kA/kB  4 y la razón de los espesores de las paredes es LA/LB  2. La razón . . de las transferencias de calor a través de las paredes, QA/QB, es a) 0.5 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 221 221 CAPÍTULO 3 3-214 Se expone una superficie plana caliente que está a una temperatura de 100°C, a aire a 25°C con un coeficiente combinado de transferencia de calor de 20 W/m2 · °C. Se debe reducir la pérdida de calor de la superficie a la mitad, cubriéndola con material aislante que tiene una conductividad térmica de 0.10 W/m · °C. Si se supone que el coeficiente de transferencia de calor permanece constante, el espesor requerido del material aislante es a) 0.1 cm b) 0.5 cm c) 1.0 cm d) 2.0 cm e) 5 cm 3-215 Considere una pared fabricada con concreto (k  1.1 W/m · °C), de 4.5 m de largo, 3.0 m de ancho y 0.22 m de espesor. Las temperaturas de diseño del interior y del exterior son 24°C y 3°C, respectivamente, y los coeficientes de transferencia de calor sobre las superficies interior y exterior son de 10 y 20 W/m2 · °C, también respectivamente. Si se va a colocar un material aislante de espuma de poliuretano (k  0.03 W/m · °C) sobre la superficie interior de la pared para incrementar la temperatura superficial de ella hasta 22°C, el espesor requerido del material aislante es a) 3.3 cm b) 3.0 cm c) 2.7 cm d) 2.4 cm e) 2.1 cm 3-216 Fluye vapor de agua a 200°C en un tubo de hierro fundido (k  80 W/m · °C) cuyos diámetros interior y exterior son D1  0.20 m y D2  0.22 m. El tubo está expuesto a aire ambiente a 35°C. Los coeficientes de transferencia de calor en las superficies interior y exterior del tubo son 90 W/m2 · °C y 20 W/m2 · °C, respectivamente. El tubo se va a cubrir con material aislante de fibra de vidrio (k  0.05 W/m · °C) para disminuir la pérdida de calor del vapor en 90%. El espesor requerido del material aislante es a) 1.2 cm b) 2.0 cm c) 2.8 cm d) 3.3 cm e) 4.0 cm 3-217 Un tanque esférico de 50 cm de diámetro está lleno de agua con hielo a 0°C. El tanque es de pared delgada y se puede tomar su temperatura como la misma que la del hielo. El tanque está expuesto a aire ambiente a 20°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2 · °C. El tanque se va a cubrir con material aislante de fibra de vidrio (k  0.05 W/m · °C) para disminuir la ganancia de calor hacia el agua con hielo en 90%. El espesor requerido del material aislante es a) 4.6 cm b) 6.7 cm c) 8.3 cm d) 25.0 cm e) 29.6 cm 3-218 Un cuarto con una temperatura del aire de 20°C está perdiendo calor hacia el aire del exterior que se encuentra a 0°C, a razón de 1 000 W, a través de una pared de 2.5 m de alto y 4 m de largo. Ahora la pared se aísla con un material de 2 cm de espesor con una conductividad de 0.02 W/m · °C. Determine la razón de la pérdida de calor del cuarto a través de la pared, después de haber colocado el material aislante. Suponga que los coeficientes de transferencia de calor sobre las superficies interior y exterior de la pared, la temperatura del aire del cuarto y la temperatura del aire en el exterior permanecen inalterados. Asimismo, descarte la radiación a) 20 W b) 561 W c) 388 W d) 167 W e) 200 W 3-219 Se fija una aleta de 1 cm de diámetro y 30 cm de largo, hecha de aluminio (k  237 W/m · °C), a una superficie a 80°C. La superficie está expuesta a aire ambiente a 22°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 18 W/m2 · °C. Si se supone que la aleta es muy larga, la rapidez de la transferencia de calor desde ella es a) 2.0 W b) 3.2 W c) 4.4 W d) 5.5 W e) 6.0 W 3-220 Se fija una aleta de 1 cm de diámetro y 30 cm de largo, hecha de aluminio (k  237 W/m · °C), a una superficie a 80°C. La superficie está expuesta a aire ambiente a 22°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 11 W/m2 · °C. Si se supone que la aleta es muy larga, su eficiencia es a) 0.60 b) 0.67 c) 0.72 d) 0.77 e) 0.88 3-221 Se va a enfriar una superficie caliente a 80°C en aire a 20°C, fijándole aletas cilíndricas de 10 cm de largo y 1 cm de diámetro. El coeficiente combinado de transferencia de calor es de 30 W/m2 · °C y la transferencia de calor desde la punta de la aleta es despreciable. Si la eficiencia de la aleta es de 0.75, la razón de la pérdida de calor desde 100 aletas es a) 325 W b) 707 W c) 566 W d) 424 W e) 754 W 3-222 Una aleta de espiga cilíndrica de 1 cm de diámetro y 5 cm de largo, con pérdida de calor desde la punta despreciable, tiene una efectividad de 15. Si la temperatura de la base de la aleta es de 280°C, la temperatura ambiente es de 20°C y el coeficiente de transferencia de calor es de 65 W/m2 · °C, la razón de la pérdida de calor desde esta aleta es a) 20 W b) 48 W c) 156 W d) 398 W e) 418 W 3-223 Una aleta de espiga cilíndrica de 0.6 cm de diámetro y 3 cm de longitud, con pérdida de calor desde la punta despreciable, tiene una eficiencia de 0.7. La efectividad de esta aleta es a) 0.3 b) 0.7 c) 2 d) 8 e) 14 3-224 Se fija a una superficie una aleta de aluminio (k  237 W/m · °C) de 3 cm de largo y que tiene una sección transversal rectangular de 2 mm  2 mm. Si la eficiencia de la aleta es de 65%, la efectividad de esta sola aleta es a) 39 b) 30 c) 24 d) 18 e) 7 3-225 Se fijan 150 aletas de espiga de sección transversal cuadrada, hechas de aluminio (k  237 W/m · °C), de 3 cm de largo y sección transversal de 2 mm  2 mm, a una superficie de 8 cm de largo y 6 cm de diámetro. Si la eficiencia de la aleta es de 78%, la efectividad total de las aletas para esta superficie es a) 3.4 b) 4.2 c) 5.5 d) 6.7 e) 8.4 3-226 Dos superficies con aletas largas son idénticas, excepto porque el coeficiente de transferencia de calor por convección de la primera de ellas es el doble que el correspondiente a la segunda. ¿Cuál afirmación de las que siguen es correcta respecto a la eficiencia y la efectividad de la primera superficie con respecto a las de la segunda? a) La eficiencia y la efectividad son más altas. b) La eficiencia es más alta, pero la efectividad es más baja. http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 222 222 CONDUCCIÓN DE CALOR c) La eficiencia es más baja, pero la efectividad es más alta. d) La eficiencia y la efectividad son más bajas. e) La eficiencia y la efectividad son iguales. 3-227 Una esfera caliente de 20 cm de diámetro a 120°C se entierra en el suelo con una conductividad térmica de 1.2 W/m · °C. La distancia entre el centro de la esfera y la superficie del suelo es de 0.8 m y la temperatura de esta superficie es de 15°C. La razón de la pérdida de calor de la esfera es a) 169 W b) 20 W c) 217 W d) 312 W e) 1.8 W 3-228 Un cilindro vertical de 25 cm de diámetro y 2.4 m de largo, y que contiene hielo a 0°C, se entierra en posición vertical en el suelo. El cilindro es de pared delgada y está hecho de un material de alta conductividad térmica. La temperatura de la superficie y la conductividad térmica del suelo son 18°C y 0.85 W/m · °C, respectivamente. La razón de la transferencia de calor hacia el cilindro es a) 37.2 W b) 63.2 W c) 158 W d) 480 W e) 1 210 W 3-229 Agua caliente (cp  4.179 kJ/kg · K) fluye, a razón de 1 kg/s y con una temperatura de 40°C al entrar, por un tubo de PVC (k  0.092 W/m · K) de 200 m de largo y cuyos diámetros interior y exterior son de 2 cm y 2.5 cm, respectivamente. Si toda la superficie interior de este tubo se mantiene a 35°C y toda la superficie exterior a 20°C, la temperatura de salida del agua es a) 35°C b) 36°C c) 37°C d) 38°C e) 39°C 3-230 Las paredes de una instalación para el almacenamiento de alimentos están hechas de una capa de madera (k  0.1 W/m · K) de 2 cm de espesor en contacto con una capa de espuma de poliuretano (k  0.03 W/m · K) de 5 cm de espesor. Si la temperatura de la superficie de la madera es de –10°C y la de la superficie de la espuma de poliuretano es de 20°C, la temperatura de la superficie en donde las dos capas están en contacto es a) –7°C b) –2°C c) 3°C d) 8°C e) 11°C 3-231 La razón de la transferencia de calor a través de la pared de un tubo circular, con convección que actúa sobre la superficie exterior, se expresa por unidad de su longitud por 2pL(Ti  To) # q lnn(ro /ri) 1  k roh fuera de la página y se repite en la dirección vertical. El circuito correcto de resistencias térmicas para esta pared es a) R23A R12 R34 0 T0 3-232 En la figura P3-232 se muestra una sección típica de la pared de un edificio. Esta sección se extiende hacia dentro y 3 4 5 R23B R23A b) R01 R12 R34 R45 T0 T5 LA R23B R12 c) R23A R34 T0 T5 R01 d) R23B R12 R23A R01 R34 T0 e) LB T5 Ninguno de ellos FIGURA P3-232 3-233 El techo de 700 m2 de un edificio tiene una resistencia térmica de 0.52 m2 · K/W. La razón a la cual el calor se pierde a través de este techo en un día frío de invierno cuando la temperatura ambiente es de –10°C y el interior está a 20°C es a) 23.1 kW d) 68.1 kW b) 40.4 kW e) 88.6 kW c) 55.6 kW 3-234 Un tanque de almacenamiento con un diámetro interno de 1 m en hospital contiene oxígeno líquido a 90 K. El tanque consta de una cubierta de aluminio de 0.5 cm de espesor (k = 170 W/m · K) cuyo exterior está cubierto con una capa de aislamiento de 10 cm de espesor (k = 0.02 W/m · K). El aislamiento está expuesto al aire ambiental a 20°C y el coeficiente de transferencia de calor sobre el lado exterior del aislamiento es de 5 W/m2 · K. La razón a la que el oxígeno líquido gana calor es: a) 141 W d) 201 W donde i se refiere a la superficie interior y o a la superficie del tubo exterior. Si se incrementa ro se reducirá la transferencia de calor siempre que a) ro < k/h b) ro  k/h d) ro > 2k/h c) ro > k/h e) Si se aumenta ro siempre se reducirá la transferencia de calor 1 2 T5 b) 176 W e) 221 W c) 181 W 3-235 En un hospital, un tanque de almacenamiento de oxígeno líquido de 1 m de diámetro interior mantiene ese oxígeno a 90 K. El tanque consta de una capa esférica de aluminio (k  170 W/m · K) de 0.5 cm de espesor cuyo exterior está cubierto con una capa de 10 cm de espesor de material aislante (k  0.02 W/m · K). El material aislante está expuesto al aire ambiente a 20°C y el coeficiente de transferencia de calor sobre el lado exterior del mismo es de 5 W/m2 · K. La temperatura de la superficie exterior del material aislante es a) 13°C d) –3°C http://librosysolucionarios.net b) 9°C e) –12°C c) 2°C Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 223 223 CAPÍTULO 3 3-236 La eficiencia de la aleta se define como la razón de la transferencia real de calor de la misma a a) La transferencia de calor de la misma aleta con una punta adiabática. b) La transferencia de calor de una aleta equivalente la cual es infinitamente larga. c) La transferencia de calor de la misma aleta si la temperatura a lo largo de toda su longitud es la misma que la temperatura en la base. d) La transferencia de calor a través del área de la base de la misma aleta. e) Ninguna de las anteriores. 3-237 Se colocan chips de memoria de una computadora sobre un montaje metálico con aletas para protegerlos del sobrecalentamiento. Un chip de memoria de 152 MB disipa 5 W de calor hacia aire que se encuentra a 25°C. Si la temperatura de este chip no debe exceder de 60°C, el coeficiente total de transferencia de calor multiplicado por el área del montaje metálico con aletas debe ser, por lo menos, de a) 0.14 W/°C b) 0.20 W/°C c) 0.32 W/°C d) 0.48 W/°C e) 0.76 W/°C 3-238 En Estados Unidos, el aislamiento de los edificios se especifica por el valor R (la resistencia térmica en unidades de h · ft2 · °F/Btu). El propietario de una casa decide ahorrar en el costo de la calefacción de la misma poniendo material aislante adicional en el ático. Si el valor R total se incrementa de 15 a 25, el propietario de la casa puede esperar que la pérdida del calor se reduzca en a) 25% b) 40% c) 50% d) 60% e) 75% 3-239 En las cafeterías, a menudo se sirve el café en una taza de papel que tiene una camisa de papel corrugado rodeándola, como se muestra en seguida. Esta camisa corrugada: a) Sirve para mantener caliente el café. b) Aumenta la resistencia térmica a través de la cual se propaga el calor del café a los alrededores. c) Disminuye la temperatura en donde la mano agarra la taza. d) Todo lo anterior. e) Nada de lo anterior. aleta es de 75%. Si la temperatura de la base de la aleta es de 130°C y la del aire es de 25°C, la transferencia de calor desde esta aleta por unidad de ancho es a) 32 W/m b) 57 W/m c) 102 W/m d) 124 W/m e) 142 W/m 3-241 Una pared plana de ladrillo (k  0.7 W/m · K) tiene 10 cm de espesor. La resistencia térmica de esta pared por unidad de área de la misma es b) 0.250 m2 · K/W a) 0.143 m2 · K/W 2 d) 0.448 m2 · K/W c) 0.327 m · K/W 2 a) 0.524 m · K/W Problemas de diseño y ensayo 3-242 La temperatura en el espacio está cercana al cero absoluto, lo cual presenta desafíos térmicos para los astronautas que realizan caminatas espaciales. Proponga un diseño para los trajes de los astronautas que resulte el más apropiado para el ambiente térmico en el espacio. Defienda las selecciones de su diseño. 3-243 En el diseño de componentes electrónicos, resulta muy conveniente sujetar la circuitería electrónica a un material de sustrato que sea muy buen conductor térmico pero también un aislador eléctrico muy eficaz. Si el costo elevado no es una preocupación importante, ¿cuál sería su propuesta para el sustrato? 3-244 Usando muestras cilíndricas del mismo material, idee un experimento para determinar la resistencia térmica por contacto. Se dispone de muestras cilíndricas en cualquier longitud y se conoce la conductividad térmica del material. 3-245 Averigüe acerca de la construcción de la pared de las cabinas de los grandes aviones comerciales, el rango de las condiciones ambientales en el que operan, los coeficientes típicos de transferencia de calor sobre las superficies interior y exterior de la pared y las velocidades de generación de calor en el interior. Determine el tamaño del sistema de calefacción y acondicionamiento del aire que podrá mantener la cabina a 20°C en todo momento, para un avión capaz de transportar a 400 personas. 3-246 Repita el problema 3-245 para un submarino con una tripulación de 60 personas. 3-247 Una casa con un espacio de piso de 200 m2 se va a calentar con agua geotérmica que fluye por tubos tendidos en el suelo debajo del piso. Las paredes de la casa tienen 4 m de alto y dicha casa tiene 10 ventanas de una sola hoja que tienen 1.2 m de ancho y 1.8 m de alto. La casa tiene aislamiento R-19 (en h · ft2 · °F/Btu) en las paredes y R-30 en el techo. La temperatura del piso no debe sobrepasar los 40°C. Se dispone de agua geotérmica a 90°C y los diámetros interior y exterior de los tubos que se van a usar son de 2.4 cm y 3.0 cm. Diseñe el sistema de calefacción para esta casa en la zona en la que vive el lector. FIGURA P3-239 3-240 Una aleta de forma triangular en un motor de motocicleta tiene 0.5 cm en su base y 3 cm de largo (distancia normal entre la base y el vértice del triángulo), y está hecha de aluminio (k  150 W/m · K). Esta aleta se encuentra expuesta al aire con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 30 W/m2 · K que actúa sobre sus superficies. La eficiencia de la 3-248 Usando un cronómetro (o un reloj) y un termómetro, conduzca este experimento con el fin de determinar la razón de la ganancia de calor de su refrigerador. En primer lugar, asegúrese de que la puerta del refrigerador no se abra durante unas cuantas horas, para garantizar que se establezcan condiciones estacionarias de operación. Arranque el cronómetro cuando el refrigerador deja de funcionar y mida el tiempo t1 que perma- http://librosysolucionarios.net Cengel_03D.qxd 2/11/11 4:59 PM Page 224 224 CONDUCCIÓN DE CALOR nece apagado antes de que arranque. En seguida, mida el tiempo t2 que permanece encendido. Observando que el calor eliminado durante t2 es igual a la ganancia de calor del refrigerador durante t1 + t2 y utilizando la potencia consumida por éste cuando está funcionando, determine la razón promedio de la ganancia de calor de su refrigerador en watts. Tome el COP (coeficiente de rendimiento) de su refrigerador como 1.3, si no cuenta con él. Ahora, limpie los serpentines del refrigerador y quite todos los obstáculos en el camino del flujo de aire a través de ellos. Reemplazando estas medidas, determine el mejoramiento en el COP del refrigerador. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/23/11 1:12 PM Page 225 CAPÍTULO 4 CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO n general, la temperatura de un cuerpo varía con el tiempo así como con la posición. En coordenadas rectangulares, esta variación se expresa como T(x, y, z, t), en donde (x, y, z) indica la variación en las direcciones x-, y- y z-, y t indica la variación con el tiempo. En el capítulo anterior se consideró la conducción de calor en condiciones estacionarias, para las cuales la temperatura de un cuerpo en cualquier punto no cambia con el tiempo. Con certeza, esto simplificó el análisis, en especial cuando la temperatura varió sólo en una dirección y se pudieron obtener soluciones analíticas. En este capítulo se considera la variación de la temperatura con el tiempo así como con la posición, en sistemas unidimensionales y multidimensionales. Se inicia este capítulo con el análisis de los sistemas concentrados (también llamados los sistemas de parámetros concentrados o de resistencia interna despreciable), en los cuales la temperatura de un cuerpo varía con el tiempo, pero permanece uniforme en cualquier instante. En seguida, se considera la variación de la temperatura con el tiempo así como con la posición para problemas unidimensionales de conducción de calor, como los asociados con una pared plana grande, un cilindro largo, una esfera y un medio semiinfinito, usando diagramas de temperatura transitoria y soluciones analíticas. Por último, se considera la conducción del calor en estado transitorio en los sistemas multidimensionales por medio de la solución producto. E OBJETIVOS Cuando el lector termine de estudiar este capítulo, debe ser capaz de: ■ ■ ■ ■ Evaluar cuándo es despreciable la variación espacial de la temperatura y cuándo la temperatura varía casi uniformemente, haciendo que pueda aplicarse el análisis de sistemas concentrados; Obtener soluciones analíticas para los problemas de conducción unidimensional transitoria en las configuraciones geométricas rectangular, cilíndrica y esférica, aplicando el método de separación de variables, así como entender por qué una solución de un término suele ser una aproximación razonable; Resolver el problema de conducción transitoria en medios grandes, aplicando la variable de semejanza, así como predecir la variación de la temperatura con el tiempo y la distancia desde la superficie expuesta, y Construir soluciones para los problemas de conducción transitoria multidimensional, aplicando el procedimiento de la solución producto. 225 http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 226 226 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO 4-1 70°C 70°C 70°C 70°C 70°C a) Bola de cobre 110°C 90°C 40°C b) Rosbif FIGURA 4-1 Una bola pequeña de cobre se puede visualizar como un sistema concentrado, pero no es posible con un rosbif. As CUERPO SÓLIDO h T m = masa V = volumen r = densidad Ti = temperatura inicial T = T(t) · Q = h As[T – T(t)] FIGURA 4-2 Configuración geométrica y parámetros que intervienen en el análisis de los sistemas concentrados. ■ ANÁLISIS DE SISTEMAS CONCENTRADOS En el análisis de la transferencia de calor, se observa que algunos cuerpos se comportan como un “bulto” cuya temperatura interior permanece uniforme en todo momento durante un proceso de transferencia de calor. La temperatura de esos cuerpos se puede tomar sólo como una función del tiempo, T(t). El análisis de la transferencia de calor que utiliza esta idealización se conoce como análisis de sistemas concentrados, el cual proporciona una gran simplificación en ciertas clases de problemas de transferencia de calor sin mucho sacrificio de la exactitud. Considere una pequeña bola de cobre que sale de un horno (figura 4-1). Las mediciones indican que la temperatura de la bola de cobre cambia con el tiempo, pero no varía mucho con la posición en algún momento dado. Por lo tanto, la temperatura de la bola permanece uniforme todo el tiempo y se puede hablar de esa temperatura sin referir a una ubicación específica. Ahora se va al otro extremo y se considerará un rosbif en un horno. Si el lector ha hecho algún asado, debe haber advertido que la distribución de temperatura dentro del rosbif no se aproxima a ser uniforme. Puede verificar esto con facilidad sacando el rosbif antes de que esté cocido por completo y cortándolo a la mitad. Verá que las partes exteriores de él están bien cocidas, en tanto que la zona central apenas está caliente. Como consecuencia, en este caso no es aplicable el análisis de sistemas concentrados. Antes de presentar un criterio acerca de la aplicabilidad de este análisis, se desarrolla la formulación asociada con él. Considere un cuerpo de forma arbitraria y masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico Cp, inicialmente a una temperatura Ti (figura 4-2). En el instante t
0, el cuerpo está colocado en un medio a la temperatura T y se lleva a efecto transferencia de calor entre ese cuerpo y su medio ambiente, con un coeficiente de transferencia de calor h. En beneficio de la discusión, se supondrá que T  Ti, pero el análisis es igualmente válido para el caso opuesto. Se supondrá que el análisis de sistemas concentrados es aplicable, de modo que la temperatura permanece uniforme dentro del cuerpo en todo momento y sólo cambia con el tiempo, T
T(t). Durante un intervalo diferencial de tiempo, dt, la temperatura del cuerpo se eleva en una cantidad diferencial dT. Un balance de energía del sólido para el intervalo de tiempo dt se puede expresar como de calor hacia el cuerpo del cuerpo
Transferencia durante 

energía dt  durante dt El incremento en la o bien, hAs(T  T) dt
mcp dT (4-1) Dado que m
rV y dT
d(T  T), puesto que T
constante, la ecuación 4-1 se puede reacomodar como hAs d(T  T)
 dt T  T VCpp rVc (4-2) Al integrar desde t
0, en el cual T
Ti, hasta cualquier instante t, en el cual T
T(t), da ln hAs T(t)  T
 t Ti  T VC Vcpp http://librosysolucionarios.net (4-3) Cengel_04A.qxd 2/22/11 3:16 PM Page 227 227 CAPÍTULO 4 Al tomar el exponencial de ambos miembros y reacomodar, se obtiene T(t)  T
ebt Ti  T T(t) (4-4) T b3 donde hAs b
VCpp rVc (1/s) b2 b1 (4-5) –1 es una cantidad positiva cuya dimensión es (tiempo) . El recíproco de b tiene unidad de tiempo (por lo común s) y se llama constante de tiempo. En la figura 4-3 se tiene la gráfica de la ecuación 4-4 para diferentes valores de b. Se pueden hacer dos observaciones a partir de esta figura y de la relación antes dada: 1. La ecuación 4-4 permite determinar la temperatura T(t) de un cuerpo en el instante t
0, de modo alternativo, el tiempo t requerido para alcanzar el valor específico T(t). 2. La temperatura de un cuerpo se aproxima a la del medio ambiente, T, en forma exponencial. Al principio, la temperatura del cuerpo cambia con rapidez pero, posteriormente, lo hace más bien con lentitud. Un valor grande de b indica que el cuerpo tenderá a alcanzar la temperatura del medio ambiente en un tiempo corto. Entre mayor sea el valor del exponente b, mayor será la velocidad de decaimiento de la temperatura. Note que b es proporcional al área superficial, pero inversamente proporcional a la masa y al calor específico del cuerpo. Esto no es sorprendente, ya que tarda más tiempo en calentarse o enfriarse una masa grande, en especial cuando tiene un calor específico grande. b3 > b2 > b1 Ti t FIGURA 4-3 La temperatura de un sistema concentrado se acerca a la del medio ambiente a medida que transcurre el tiempo. Una vez que, con base en la ecuación 4-4, se cuenta con la temperatura T(t) en el instante t, se puede determinar la razón de la transferencia de calor por convección entre el cuerpo y su medio ambiente en ese tiempo a partir de la ley de Newton del enfriamiento como · Q (t)
hAs[T(t)  T] (W) (4-6) La cantidad total de transferencia de calor entre el cuerpo y el medio circundante durante el intervalo desde tiempo de t
0 hasta t es simplemente el cambio en el contenido de energía de ese cuerpo: Q
mcp[T(t)  Ti] (kJ) (4-7) La cantidad de transferencia de calor llega a su límite superior cuando el cuerpo alcanza la temperatura T del medio circundante. Por lo tanto, la transferencia de calor máxima entre el cuerpo y sus alrededores es (figura 4-4) Qmáx
mcp(T  Ti) (kJ) (4-8) También se pudo obtener esta ecuación al sustituir la relación de T(t), toma· da de la 4-4, en la relación para Q dada en la 4-6 e integrar desde t
0 hasta t → . Ti Ti Es evidente que el análisis de sistemas concentrados es muy conveniente en el estudio de la transferencia de calor y naturalmente que interesa saber cuándo resulta apropiado para usarlo. El primer paso en el establecimiento de un cri- http://librosysolucionarios.net Ti Ti Ti Criterios para el análisis de sistemas concentrados h T t=0 T Ti Ti T T T  T T T Q = Qmáx = mcp (Ti – T) FIGURA 4-4 La transferencia de calor hacia un cuerpo o desde éste alcanza su valor máximo cuando alcanza la temperatura del medio ambiente. Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 228 228 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO terio para la aplicabilidad del análisis de sistemas concentrados es definir la longitud característica como Lc
V As y un número de Biot, Bi (figura 4-5) como Bi
FIGURA 4-5 Jean-Baptiste Biot (1774-1862). Físico, astrónomo y matemático nacido en París, Francia. A pesar de ser muy joven, Biot trabajó en el análisis de la conducción de calor, incluso antes que el físico matemático Joseph Fourier (1802 a 1803) e intentó, sin éxito, lidiar con el problema de incorporar los efectos de la convección externa al análisis de la conducción del calor. Fourier leyó el trabajo de Biot y para 1807 había determinado por sí mismo cómo resolver el difícil problema. En 1804, Biot acompañó a Gay Lussac en el primer ascenso en globo aerostático con fines científicos. En 1820, con Félix Savart, descubrió la ley conocida como “Ley de Biot y Savart”. A Biot le interesaban en especial las cuestiones relacionadas con la polarización de la luz, y por sus logros en este campo obtuvo la “Rumford Medal of the Royal Society” en 1840. El número de Biot (Bi) adimensional usado en cálculos de transferencia de calor fue bautizado así en su honor. (© World History Archive/Alamy.) hLc k (4-9) La longitud característica Lc que se utiliza en el número de Biot para formas geométricas simples en las que la transferencia de calor es unidimensional, como una pared plana larga de 2L de espesor, un cilindro largo de radio ro, y una esfera de radio ro, se convierte en L (medio espesor), ro/2 y ro/3, respectivamente. La ecuación 4-9 también se puede expresar como en la figura 4-6. Bi
h T Convección en la superficie del cuerpo
k /Lc T Conducción dentro del cuerpo o bien, Bi
Resistencia a la conducción dentro del cuerpo Lc /k
1/h Resistencia a la convección en la superficie del cuerpo Cuando un cuerpo sólido se calienta por el fluido más caliente que lo rodea (como una papa que se está horneando), en principio el calor es llevado por convección hacia el cuerpo y, a continuación, conducido hacia el interior del cuerpo. El número de Biot es la razón de la resistencia interna de un cuerpo a la conducción de calor con respecto a su resistencia externa a la convección de calor. Por lo tanto, un número pequeño de Biot representa poca resistencia a la conducción del calor y, por lo tanto, gradientes pequeños de temperatura dentro del cuerpo. En el análisis de sistemas concentrados se supone una distribución uniforme de temperatura en todo el cuerpo, el cual es el caso sólo cuando la resistencia térmica de éste a la conducción de calor (la resistencia a la conducción) sea cero. Por consiguiente, el análisis de sistemas concentrados es exacto cuando Bi
0 y aproximado cuando Bi  0. Por supuesto, entre más pequeño sea el número Bi, más exacto es el análisis de los sistemas concentrados. Entonces la pregunta a la que se debe responder es: ¿cuánta exactitud se dispone a sacrificar para que el análisis de sistemas concentrados resulte conveniente? Antes de responder la pregunta, se debe mencionar que, en la mayor parte de los casos, un 15% de incertidumbre en el coeficiente de transferencia de calor por convección h se considera “normal” y “esperado”. Suponer que h es constante y uniforme también es una aproximación de validez cuestionable, en especial para configuraciones geométricas irregulares. Por lo tanto, en ausencia de suficientes datos experimentales para la configuración geométrica considerada, no se puede afirmar que los resultados sean mejores que 15%, incluso cuando Bi
0. Si éste es el caso, la introducción de otra fuente de incertidumbre en el problema difícilmente tendrá algún efecto sobre la incertidumbre total, siempre que sea de poca importancia. En general se acepta que el análisis de sistemas concentrados es aplicable si Bi  0.1 Cuando se satisface este criterio, las temperaturas dentro del cuerpo con relación a la de los alrededores (es decir, T  T) permanecen dentro de un margen de 5% entre sí, incluso para configuraciones geométricas bien redondeadas como la de una esfera. Como consecuencia, cuando Bi  0.1, la variación de la temperatura con la ubicación dentro del cuerpo es ligera y, de manera razonable, se puede considerar como si fuera uniforme. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 229 229 CAPÍTULO 4 El primer paso en la aplicación del análisis de sistemas concentrados es el cálculo del número de Biot y la valoración de la aplicabilidad de este procedimiento. Es posible que se desee utilizar este tipo de análisis, incluso cuando no se satisface el criterio Bi  0.1, si una gran exactitud no es la preocupación principal. Note que el número de Biot es la razón entre la convección en la superficie con respecto a la conducción dentro del cuerpo, y debe ser tan pequeño como sea posible para que el análisis de sistemas concentrados sea aplicable. Por lo tanto, los cuerpos pequeños con conductividad térmica alta son buenos candidatos para este tipo de análisis, en especial cuando se encuentran en un medio que sea un mal conductor del calor (como el aire u otro gas) que esté inmóvil. Por lo tanto, la pequeña bola de cobre caliente colocada en aire estático, que se discutió con anterioridad, es la que con mayor probabilidad satisface el criterio para el análisis de sistemas concentrados (figura 4-7). Convección h T Conducción CUERPO SÓLIDO convección de calor Bi = ———————–—–– conducción de calor FIGURA 4-6 Algunas observaciones sobre la transferencia de calor en sistemas concentrados El número de Biot se puede concebir como la razón entre la convección en la superficie del cuerpo con respecto a la conducción dentro de éste. Para comprender el mecanismo de la transferencia de calor durante el calentamiento o el enfriamiento de un sólido por el fluido que lo circunda y el criterio para el análisis de sistemas concentrados, considere esta analogía (figura 4-8). Gente que se encuentra en tierra firme debe ir en bote hacia una isla en h = 15 W/m2 · °C la que toda la costa es puerto y, desde el puerto, hasta su destino en la isla por Esfera autobús. La aglomeración de personas en el puerto depende del tránsito de bode cobre tes hacia la isla y del sistema de transporte terrestre en esta última. Si se tiene k = 401 W/m · °C un sistema excelente de transporte terrestre con un gran número de autobuses, D = 12 cm no se tendrá aglomeración de personas en el puerto, en especial cuando el tránsito de botes sea ligero. Pero cuando se cumple lo contrario, se tendrá una aglomeración enorme en el puerto, creando una gran diferencia entre las po1 3 V = –6 πD = 1 – D = 0.02 m Lc = — blaciones en el puerto y en la isla. La posibilidad de aglomeración es mucho As πD 2 6 menor en una isla pequeña con una gran cantidad de autobuses rápidos. hL 15 0.02 En la transferencia de calor, un sistema malo de transporte terrestre corresBi = c = = 0.00075 < 0.1 k 401 ponde, en esta analogía, a una pobre conducción de calor en un cuerpo, y la FIGURA 4-7 aglomeración de gente en el muelle corresponde a la acumulación de energía Los cuerpos pequeños con altas térmica y la elevación subsiguiente de la temperatura cerca de la superficie de conductividades térmicas y bajos ese cuerpo con respecto a sus partes interiores. Es obvio que el análisis de siscoeficientes de convección son los que temas concentrados no es aplicable cuando se tiene acumulación en la supertienen más probabilidad de satisfacer el ficie. Por supuesto, en esta analogía se ha descartado la radiación y, por criterio para el análisis de los sistemas consiguiente, el tráfico aéreo hacia la isla. A semejanza de los pasajeros en el concentrados. muelle, el calor cambia de vehículos en la superficie: de convección a conducción. Al hacer la observación de que una superficie tiene espesor cero y, como consecuencia, no puede almacenar energía, el calor que llega por convección a la superficie de un cuerpo debe continuar su viaje, mediante Bote conducción, hacia dentro de ese cuerpo. Considere la transferencia de calor de un cuerpo caliente hacia sus alreAutobús dedores más fríos. El calor es transferido del cuerpo hacia el fluido circundanISLA te como resultado de una diferencia de temperatura. Pero esta energía provendrá de la región cercana a la superficie y, por consiguiente, la temperatura del cuerpo cercana a dicha superficie caerá. Esto crea un gradiente de temperatura entre las regiones interior y exterior del cuerpo e inicia el flujo de calor por conducción del interior del mismo hacia la superficie exterior. Cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección h y, en conFIGURA 4-8 secuencia, la transferencia de calor por convección desde el cuerpo son altos, Analogía entre la transferencia de calor la temperatura del cuerpo cerca de la superficie cae con rapidez (figura hacia un sólido y el tránsito de pasajeros 4-9). Esto creará una diferencia de temperatura grande entre las regiones intehacia una isla. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 230 230 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO T = 20°C 50°C 70°C 85°C 110°C 130°C Convección h = 2 000 W/ m2 · °C FIGURA 4-9 Cuando el coeficiente de convección h es alto y k es bajo, se tienen grandes diferencias de temperatura entre las regiones interior y exterior de un sólido grande. rior y exterior a menos que el cuerpo pueda transferir calor desde la región interior a la exterior más rápido. De este modo, la magnitud de la diferencia máxima en la temperatura dentro del cuerpo depende intensamente de la capacidad de éste para conducir calor hacia su superficie en relación con la aptitud del medio circundante para alejar por convección el calor de esa superficie. El número de Biot es una medida de las magnitudes relativas de estos dos efectos competidores. Recuerde que la conducción de calor en una dirección específica n, por unidad de área superficial, se expresa como q·
k T/ n, donde T/ n es el gradiente de temperatura y k es la conductividad térmica del sólido. Por lo tanto, la distribución de temperatura en el cuerpo será uniforme sólo cuando su conductividad térmica sea infinita, y no se sabe que exista ese material. Entonces, dentro del cuerpo deben existir gradientes de temperatura y, en consecuencia, diferencias de temperatura, sin importar cuán pequeñas sean, para que tenga lugar la conducción de calor. Por supuesto, el gradiente de temperatura y la conductividad térmica son inversamente proporcionales para un flujo de calor dado. Por lo tanto, entre mayor sea la conductividad térmica, menor será el gradiente de temperatura. EJEMPLO 4-1 Alambre del termopar Medición de la temperatura por termopares Se va a medir la temperatura de un flujo de gas por medio de un termopar cuya unión se puede considerar como una esfera de 1 mm de diámetro, como se muestra en la figura 4-10. Las propiedades de la unión son k
35 W/m · °C, r
8 500 kg/m3 y cp
320 J/kg · °C, y el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la unión y el gas es h
210 W/m2 · °C. Determine cuánto tiempo transcurrirá para que la lectura del termopar sea 99% de la diferencia inicial de temperatura. Gas T, h Unión D = 1 mm T(t) FIGURA 4-10 Esquema para el ejemplo 4-1. SOLUCIÓN Se va a medir la temperatura de un flujo de gas por medio de un termopar. Se debe determinar el tiempo que transcurre para registrar 99% de la T inicial. Suposiciones 1 La unión tiene forma esférica con un diámetro D
0.001 m. 2 Las propiedades térmicas de la unión y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. 3 Los efectos de la radiación son despreciables. Propiedades En el enunciado del problema se dan las propiedades de la unión. Análisis La longitud característica de la unión es Lc
1 3 V 6 pD 1 1

D
(0.001 m)
1.67 As 6 6 pD 2 104 m Entonces el número de Biot queda Bi
hLc (210 W/m2 · °C)(1.67 104 m)

0.001  0.1 k 35 W/m · °C Por lo tanto, se puede aplicar el análisis de sistemas concentrados y el error que se comete en esta aproximación es despreciable. Con el fin de tener la lectura de 99% de la diferencia inicial de temperatura Ti  T entre la unión y el gas, se debe tener T (t )  T
0.01 Ti  T Por ejemplo, cuando Ti
0°C y T
100°C, se considera que un termopar da la lectura de 99% de esta diferencia aplicada de temperatura cuando indica T (t )
99°C. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 231 231 CAPÍTULO 4 El valor del exponente b es b
hAs 210 W/m2 · °C h

rcppVV rc C CppLLc c (8 500 kg/m3)(320 J/kg · °C)(1.67 104 m)
0.462 s1 Ahora se sustituyen estos valores en la ecuación 4-4 y se obtiene T (t )  T
ebt Ti  T ⎯→ 0.01
e(0.462 s 1 )t lo cual da t
10 s Por lo tanto, se debe esperar por lo menos 10 s para que la temperatura de la unión del termopar esté a menos de 1% de la diferencia inicial de temperatura entre la unión y el gas. Discusión Note que la conducción a través de los alambres y el intercambio por radiación con las superficies circundantes afectarán el resultado y deben considerarse en un análisis más refinado. EJEMPLO 4-2 Templado de barra de acero Barra de acero 3 En un proceso de templado, barras de acero (r = 7 832 kg/m , cp = 434 J/kg · K y k = 63.9 W/m · K) se calientan en un horno a 850ºC y después se enfrían en una tina de agua a una temperatura promedio de 95ºC (figura 4-11). La tina de agua tiene una temperatura uniforme de 40ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 450 W/m2 · K. Si las barras de acero tienen un diámetro de 50 mm y una longitud de 2 m, determine: a) el tiempo necesario para enfriar una barra de acero de 850ºC a 95ºC en la tina de agua y b) la cantidad total de calor que una sola barra transfiere al agua durante el proceso de templado. FIGURA 4-11 Esquema para el ejemplo 4-2. SOLUCIÓN Se debe determinar el tiempo requerido para enfriar una barra de acero en una tina de agua y la cantidad total de calor transferido, durante el proceso de templado. Suposiciones 1 Las propiedades térmicas de la barra de acero son constantes. 2 El coeficiente de transferencia de calor por convección es uniforme. 3 La transferencia de calor por radiación es despreciable. Propiedades Las propiedades de la barra de acero son r = 7 832 kg/m3, cp = 434 J/kg · K y k = 63.9 W/m · K. Análisis a) Para una barra cilíndrica, la longitud característica y el número de Biot son Lc V As (pD2 4)L pDL Bi hLc k (450 W/m2 K) (0 .0125 m) 63.9 W/m K D 4 0.050 m 4 0.0125 m 0.088 0.1 http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 232 232 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO Dado que Bi < 0.1, es aplicable el análisis de sistemas concentrados. Entonces, el tiempo requerido para enfriar una barra de acero en una tina de agua de 850ºC a 95ºC es hAs rcpV b T(t) T Ti T h rcpLc e bt 450 W/m2 K (7.832 kg/m3)(434 J/kg K) (0.0125 m) T(t) T 1 d ln c b Ti T →t 1 0.01059 s 1 ln c 0.1059 s 95 850 40 d 40 1 254 s b) La cantidad total de calor transferido durante el proceso de enfriamiento de la barra de acero en la tina de agua es Q mcp[Ti T(t)] rVcp[Ti T(t)] pD2LrcP [Ti 4 p(0.050 m)2(2 m)(7 832 kg/m3) (434 J/kg K) (850 4 1.01 107 J T(t)] 95) K 10.1 MJ Discusión Para que la temperatura de la tina de agua sea constante, la cantidad de volumen de agua debe ser muy grande o el agua debe enfriarse por medios externos. 4-2 ■ CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES PLANAS GRANDES, CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES En la sección 4-1 se consideraron cuerpos en los que la variación de la temperatura dentro de los mismos es despreciable; es decir, cuerpos que permanecen casi isotérmicos durante un proceso. Los cuerpos relativamente pequeños de materiales intensamente conductores se aproximan a este comportamiento. Sin embargo, en general, la temperatura dentro de un cuerpo cambia de punto a punto así como de tiempo en tiempo. En esta sección se considera la variación de la temperatura con el tiempo y la posición en problemas unidimensionales, como los asociados con una pared plana grande, un cilindro largo y una esfera. Considere una pared plana de espesor 2L, un cilindro largo de radio ro y una esfera de radio ro, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, como se muestra en la figura 4-12. En el instante t
0, cada configuración geométrica se coloca en un medio grande que está a una temperatura constante T y se mantiene en ese medio para t  0. La transferencia de calor se lleva a efecto entre estos cuerpos y sus medios ambientes por convección, con un coeficiente de transferencia de calor h uniforme y constante. Note que los tres casos poseen simetría geométrica y térmica: la pared plana es simétrica con respecto a su plano central (x
0), el cilindro es simétrico con respecto a su línea central (r
0) y la esfera es simétrica con respecto a su punto central (r
0). Se desprecia la transferencia de calor por radiación entre estos cuerpos y sus superficies circundantes, o bien, se incorpora el efecto de la radiación en el coeficiente de transferencia de calor por convección, h. En la figura 4-13 se ilustra la variación del perfil de temperatura con el tiempo en la pared plana. Cuando la pared se expone por primera vez al medio circundante que está a T  Ti en t
0, toda la pared está a la temperatura inicial Ti. Pero la temperatura de la pared en las superficies y cerca de éstas empieza http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 233 233 CAPÍTULO 4 T h Inicialmente T = Ti 0 T h L x T Inicialmente T = Ti h 0 T h T Inicialmente T = Ti 0 r r h ro ro FIGURA 4-12 a) Una pared plana grande b) Un cilindro largo c) Una esfera a caer como resultado de la transferencia de calor de ella hacia el medio circundante. Éste crea un gradiente de temperatura en la pared y se inicia la conducción de calor desde las partes internas de ella hacia sus superficies exteriores. Note que la temperatura en el centro de la pared permanece en Ti hasta t
t2 y que el perfil de temperatura dentro de ella permanece simétrico en todo momento con respecto al plano central. El perfil de temperatura se hace más y más aplanado conforme pasa el tiempo como resultado de la transferencia de calor y llega el momento en que se vuelve uniforme en T
T. Es decir, la pared alcanza el equilibrio térmico con sus alrededores. En ese punto, la transferencia de calor se detiene, ya que deja de existir una diferencia de temperatura. Se pueden desarrollar discusiones semejantes para el cilindro largo o la esfera. Problema de conducción transitoria unidimensional, en forma adimensional La formulación de problemas de conducción de calor para la determinación de la distribución unidimensional transitoria de temperatura en una pared plana, un cilindro o una esfera conduce a una ecuación diferencial en derivadas parciales; comúnmente, la solución de este tipo de ecuación está relacionada con series infinitas y ecuaciones trascendentes, que no resulta conveniente usar. Pero la solución analítica proporciona una visión valiosa para hacerse una idea del problema físico y, por lo tanto, es importante recorrer los pasos que intervienen. En seguida se muestra el procedimiento de resolución para el caso de una pared plana. Considérese una pared plana de espesor 2L que, inicialmente, se encuentra a una temperatura uniforme Ti, como se muestra en la figura 4-12a). En el instante t
0, la pared se sumerge en un fluido a la temperatura T y se expone a transferencia de calor por convección, desde ambos lados, con un coeficiente de convección de h. La altura y el ancho de la pared son grandes en relación con su espesor, de donde se puede considerar la conducción de calor en esa pared como unidimensional. Asimismo, existe simetría térmica respecto al plano medio que pasa por x
0 y, como consecuencia, la distribución de temperaturas debe ser simétrica respecto a ese plano medio. Por lo tanto, el valor de la temperatura en cualquier punto x del intervalo L  x  0 en el instante t debe ser igual al valor en x del intervalo 0  x  L, en el mismo instante. Esto significa que se puede formular y resolver el problema de conducción de calor en la mitad positiva del dominio, 0  x  L, y después aplicar la solución a la otra mitad. http://librosysolucionarios.net Esquema de las configuraciones geométricas simples en las que la transferencia de calor es unidimensional. Ti t = t1 t=0 t = t2 t = t3 T 0 h t→ L x Inicialmente T = Ti T h FIGURA 4-13 Perfiles de temperatura transitoria en una pared expuesta a convección desde sus superficies para Ti  T. Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 234 234 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO En las siguientes condiciones: propiedades termofísicas constantes, no hay generación de calor, simetría térmica respecto al plano medio, temperatura inicial uniforme y coeficiente constante de convección, el problema de conducción transitoria unidimensional de calor en el semidominio 0  x  L de la pared plana se puede expresar como (véase el capítulo 2) 2 T 1 T
x2 a t Ecuación diferencial: Condiciones de frontera: Condición inicial: (4-10a) T(0, t)
0 y x k T(L, t)
h[T(L, t)  T] x T(x, 0)
Ti (4-10b) (4-10c) donde la propiedad a
k/rcp es la difusividad térmica del material. Ahora se intentará expresar en forma adimensional el problema mediante la definición de una variable espacial adimensional X
x/L y la temperatura adimensional u(x, t)
[T(x, t)  T]/[Ti  T]. Éstas son selecciones convenientes, ya que tanto X como u varían entre 0 y 1. Sin embargo, no se tiene una guía clara para la forma apropiada de la variable adimensional de tiempo y de la razón h/k, de modo que se dejará que el análisis las indique. Se observa que T, u u L

X (x/L) Ti  T x 2 u T L2
y X2 Ti  T x T u 1
Ti  T t t Si se sustituye en las ecuaciones 4-10a) y 4-10b) y se reordena, dan L2 u u
y a t X2 2 u(1, t) hL
u(1, t) X k (4-11) Por lo tanto, la forma apropiada del tiempo adimensional es t
at/L2, el cual se conoce como número de Fourier, Fo, y se reconoce Bi
k/hL como el número de Biot definido en la sección 4-1. Entonces la formulación del problema de conducción transitoria unidimensional de calor en una pared plana se puede expresar en forma adimensional como 2 Ecuación diferencial adimensional: u u
t X2 Condiciones de frontera adimensionales: u(0, t)
0 y X (4-12a) u(1, t)
Biu(1, t) X (4-12b) Condición inicial adimensional: u(X, 0)
1 (4-12c) donde u(X, t)
X
x L Bi
t
T(x, t)  Ti T  Ti hL k at
Fo L2 Temperatura adimensional Distancia adimensional desde el centro Coeficiente adimensional de transferencia de calor (número de Biot) Tiempo adimensional (número de Fourier) La ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas o esféricas se puede expresar en forma adimensional de manera semejante. Obsérvese que http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 235 235 CAPÍTULO 4 la expresión en forma adimensional reduce el número de variables independientes y de parámetros, de ocho a tres: de x, L, t, k, a, h, Ti y T a X, Bi y Fo (figura 4-14). Es decir, u
f(X, Bi, Fo) (4-13) Esto hace que sea muy práctico realizar estudios paramétricos y evitar resultados en forma gráfica. La ecuación 4-13 es la versión generalizada de la ecuación 4-4 para el análisis de sistemas concentrados (sin variables de espacio). Esto se puede demostrar mediante las definiciones de u, a, Lc, Bi y Fo en la ecuación 4-4. El resultado final es u T(t) T Ti T e bt e hAs t rVcp e BiFo o u = f(Fo, Bi), que es el caso especial de la ecuación 4-13 sin variables de espacio. Solución exacta del problema de conducción transitoria unidimensional* La ecuación diferencial en derivadas parciales en forma adimensional, dada en las ecuaciones 4-12 junto con sus condiciones de la frontera e inicial, se puede resolver con la aplicación de varias técnicas analíticas y numéricas, incluidos los métodos de la transformada de Laplace u otra, el método de separación de variables, el de diferencias finitas y el de elementos finitos. En este texto, se aplicará el método de separación de variables desarrollado por J. Fourier, en 1820, y que se basa en el desarrollo de una función arbitraria (incluida una constante) en términos de series de Fourier. El método se aplica al suponer que la variable dependiente es un producto de varias funciones, en donde cada una de ellas es función de una sola variable independiente. Esto reduce la ecuación diferencial en derivadas parciales a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, donde cada una de ellas es función de una sola variable independiente. Por ejemplo, en el caso de la conducción transitoria en una pared plana, la variable dependiente es la función de solución u(X, t), la cual se expresa como u(X, t)
F(X)G(t), y la aplicación del método da como resultado dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una en X y otra en t. El método es aplicable si 1) la configuración geométrica es sencilla y finita (como un bloque rectangular, un cilindro o una esfera), de modo que las superficies de frontera se puedan describir por medio de funciones matemáticas sencillas, y 2) la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e inicial, en su forma más simplificada, son lineales (sin términos que contengan productos de la variable dependiente o de sus derivadas) y sólo contienen un término no homogéneo (un término sin la variable dependiente ni sus derivadas). Si la formulación comprende varios términos no homogéneos, el problema se puede dividir en un número igual de problemas más sencillos, comprendiendo cada uno sólo un término no homogéneo y, después, combinando las soluciones por superposición. Ahora se demostrará el uso del método de separación de variables, mediante su aplicación al problema de la conducción transitoria unidimensional de calor, dado en las ecuaciones 4-12. En primer lugar, se expresa la función de la temperatura adimensional u(X, t) como un producto de una función sólo de X y una función sólo de t, como u(X, t)
F(X)G(t) (4-14) *Si se desea, se puede pasar por alto esta sección, sin pérdida de continuidad. http://librosysolucionarios.net a) Problema original de conducción de calor: 2 T 1
x2 a T , T(x, 0)
Ti t T(L, t) T(0, t)
0,  k
h[T(L, t)  T] x x T
F(x, L, t, k, , h, Ti, T∞) b) Problema en forma adimensional: 2 u u , u(X, 0)
1
t X2 u(1, t) u(0, t)
0,
Biu(1, t) X X u
f(X, Bi, t) FIGURA 4-14 En los problemas de conducción transitoria unidimensional, la expresión en forma adimensional reduce el número de variables independientes de ocho a tres, lo que resulta muy conveniente en la presentación de resultados. Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 236 236 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO Si se sustituye la ecuación 4-14 en la 4-12a) y se divide entre el producto FG, da 1 d2F 1 dG
F dX2 G dt (4-15) Obsérvese que todos los términos que dependen de X se encuentran en la parte izquierda de la ecuación y todos los que dependen de t están en la parte derecha. Es decir, los términos que son función de variables diferentes se separan (de ahí el nombre de separación de variables). La parte izquierda de esta ecuación es función sólo de X y la parte derecha sólo lo es de t. Si se considera que tanto X como t pueden hacerse variar de manera independiente, únicamente puede cumplirse la igualdad de la ecuación 4-15, para cualquier valor de X y de t, si esta ecuación es igual a una constante. Además, debe ser una constante negativa, la cual se indicará como l2, ya que una constante positiva hará que la función G(t) crezca en forma ilimitada con el tiempo (para hacerse infinita), lo cual carece de significado físico; un valor de cero para esa constante significa que no hay dependencia respecto al tiempo, lo cual una vez más no es coherente con el problema físico planteado. Al hacer la ecuación 4-15 igual a l2, da d2F dX2 l2F
0 y and dG dt l 2G
0 (4-16) cuyas soluciones generales son F
C1 cos (lX) sen(lX) and y G
C3e l t C2 sin u
FG
C3e l t[C1 cos (lX) C2 sen sin (lX)]
e l t[A cos (lX) 2 (4-17) y 2 2 Bsen sin (lX)] (4-18) donde A
C1C3 y B
C2C3 son constantes arbitrarias. Nótese que sólo se necesita determinar A y B para obtener la solución del problema. Al aplicar las condiciones de frontera de las ecuaciones 4-12b), da u(0, t) 2
0 → el t(Alsen sin 0 X Bl cos 0)
0 → B
0 → u
Ael t cos (lX) 2 u(1, t) 2 2
Biu(1,t) → Ael tlsen sin l
BiAel t cos l → l tan l
Bi X Pero la tangente es una función periódica con un periodo de p y la ecuación l tan l
Bi tiene la raíz l1 entre 0 y p, la raíz l2 entre p y 2p, la raíz ln entre (n  1)p y np, etcétera. Para reconocer que la ecuación trascendente l tan l
Bi tiene un número infinito de raíces, ésta es expresada como ln tan ln
Bi (4-19) Esta última ecuación se conoce como ecuación característica, y sus raíces se llaman valores característicos o eigenvalores (o valores propios). En este caso, la ecuación característica es implícita y, por lo tanto, se necesita determinar numéricamente los valores característicos. Entonces, se concluye que se 2 tiene un número infinito de soluciones de la forma Ael t cos (lX), y la solución de este problema lineal de conducción de calor es una combinación lineal de ellas,  u
a Anel nt cos (ln X) n
1 http://librosysolucionarios.net 2 (4-20) Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 237 237 CAPÍTULO 4 Las constantes An se determinan a partir de la condición inicial, ecuación 4-12c),  u(X, 0)
1 → 1
a An cos (ln X) (4-21) n
1 Éste es un desarrollo en serie de Fourier que expresa una constante en términos de una serie infinita de funciones coseno. A continuación, se multiplican ambos lados de la ecuación 4-21 por cos(lmX) y se integra desde X
0 hasta X
1. El lado derecho comprende un número infinito de integrales de la 1 forma 0cos(lm X) cos(ln X)dx. Se puede demostrar que todas estas integrales se anulan, excepto cuando n
m, y el coeficiente An queda un
An e ln t cos(ln X) 2 1  cos (l X)dX
A  n n 0 0 1 sin ln 4sen cos 2(ln X)dx → An
2ln sen sin (2ln) (4-22) Con esto se completa el análisis para la resolución del problema de conducción transitoria unidimensional de calor en una pared plana. Se pueden determinar las soluciones en otras configuraciones geométricas, como un cilindro largo y una esfera, aplicando el mismo procedimiento. La aproximación del cilindro grande permite el supuesto de una conducción unidimensional en la dirección radial. Es una aproximación razonable para cilindros que tienen una razón L/r0  10 de longitud (l) con respecto al radio (r0). En la tabla 4-1 se resumen los resultados para estas tres configuraciones geométricas. La solución para la pared plana también es aplicable cuando se trata de una pared plana de espesor L cuya superficie izquierda, en x
0, esté aislada y la derecha, en x
L, esté sujeta a convección, ya que éste es precisamente el problema matemático que se resolvió. Es común que las soluciones analíticas de los problemas de conducción transitoria comprendan series infinitas y, por lo tanto, la evaluación de un número infinito de términos con el fin de determinar la temperatura en un punto e instante especificados. Esto puede parecer en principio intimidante, pero no hay necesidad de preocuparse. Como se demuestra en la figura 4-15, los términos en la suma decrecen con rapidez conforme n y, por2 consiguiente, ln crecen, debido a la función exponencial de decaimiento e l nt. En especial, este caso se presenta cuando el tiempo adimensional t es grande. Por lo tanto, suele ser adecuada la evaluación de unos cuantos de los primeros términos de la serie infinita (en este caso, sólo el primer término) con el fin de determinar la temperatura adimensional u. 4 sen sin ln An
2ln ln tan ln
Bi Para Bi
5, X
1, y t
0.2: n ln 1 1.3138 1.2402 0.22321 2 4.0336 0.3442 0.00835 3 6.9096 0.1588 0.00001 4 9.8928 Resumen de las soluciones para la conducción transitoria unidimensional en una pared plana de espesor 2L, un cilindro de radio ro y una esfera de radio ro, sujetos a convección desde todas las superficies* Configuración geométrica Solución Las ln son las raíces de Cilindro Esfera n 4 sen ln e sen(2ln) 1 2ln n J1 (ln) 2 e 2 l J (l J 12 (ln) n) 1 n 0 u u u n 1 ln2t cos (ln x / L) 4(sen ln ln cos ln) e 2ln sen(2ln) ln2t J0 (lnr /ro) ln2t sen (ln x / L) ln x / L ln tan l n
Bi ln J1 (ln)
Bi J0 (ln) l ln cot ln
Bi *Aquí u
(T  T∞)/(Ti  T∞) es la temperatura adimensional, Bi
hL /k o hro /k es el número de Biot, Fo
t
at  L2 o at  ro2 es el número de Fourier, y J0 y J1 son las funciones de Bessel de la primera especie cuyos valores se dan en la tabla 4-3. http://librosysolucionarios.net An 0.876 un 0.00000 FIGURA 4-15 Los términos de la serie que presenta la solución de los problemas de conducción transitoria decrecen con rapidez conforme crece n y, por consiguiente, ln, debido a la función exponencial de decaimiento con el exponente lnt. TABLA 4-1 Pared plana sin(2ln) sen Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 238 238 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO Soluciones aproximadas, analíticas y gráficas La solución analítica obtenida en los párrafos anteriores para la conducción transitoria unidimensional de calor en una pared plana comprende series infinitas y ecuaciones implícitas, las cuales son difíciles de evaluar. Por lo tanto, existe una motivación clara para simplificar las soluciones analíticas con el fin de presentar las soluciones en forma tabular o gráfica, usando relaciones sencillas. Las cantidades adimensionales definidas en los párrafos anteriores para una pared plana también se pueden usar para un cilindro o una esfera, al reemplazar la variable espacial x por r y el semiespesor L por el radio exterior ro. Nótese que la longitud característica que se encuentra en la definición del número de Biot se toma como el semiespesor L, para la pared plana, y el radio ro, para el cilindro y la esfera, en lugar de V/A, que se usa en el análisis de los sistemas concentrados. Con anterioridad se mencionó que los términos de las soluciones en serie de la tabla 4-1 convergen con rapidez al aumentar el tiempo; para t  0.2, si se conserva el primer término de la serie y se desprecian todos los restantes, se tiene como resultado un error por debajo de 2%. Suele haber interés en la solución para tiempos con t  0.2, por lo que resulta muy conveniente expresar la solución usando esta aproximación de un término, dada como Pared plana: Cilindro: Esfera: upared
ucil
uesf
T(x, t)  T 2
A1el1 t cos (l1x/L), t  0.2 Ti  T (4-23) T(r, t)  T 2
A1el1 t J0(l1r/ro), Ti  T (4-24) t  0.2 T(r, t)  T 2 sen (1r/ro)
A1el1 t , Ti  T 1r/ro t  0.2 (4-25) donde las constantes A1 y 1 son funciones sólo del número Bi, y en la tabla 4-2 se da una lista de sus valores con respecto al número Bi, para las tres configuraciones geométricas. La función J0 es la función de Bessel de primera especie y de orden cero, cuyo valor se puede determinar a partir de la tabla 4-3. Dado que cos (0)
J0(0)
1 y que el límite de (sen x)/x también es uno, estas relaciones se simplifican para dar las siguientes en el centro de una pared plana, un cilindro o una esfera: u0, pared
2 T0  T
A1el1 t Ti  T (4-26) Centro del cilindro (r
0): u0, cil
2 T0  T
A1el1 t Ti  T (4-27) Centro de la esfera (r
0): u0, esf
2 T0  T
A1el1 t Ti  T (4-28) Centro de pared plana (x
0): Si se comparan los dos conjuntos de ecuaciones anteriores, se observa que en cualquier parte de una pared plana, un cilindro o una esfera, las temperaturas adimensionales están relacionadas con la temperatura en el centro por upared l1x wall
cos a b , u0, pared L wall ucil cyl u0, cyl cil
J0 a l1r b, ro y and usph esf u0, sph esf
sen sin (l1rro) l1rro (4-29) lo cual muestra que la dependencia de la temperatura adimensional respecto al tiempo, dentro de una configuración geométrica dada, es la misma en toda la extensión. Es decir, si la temperatura adimensional en el centro u0 disminuye 20% durante un tiempo especificado, del mismo modo disminuye la tempera- http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 239 239 CAPÍTULO 4 TABLA 4-2 TABLA 4-3 Coeficientes usados en la solución aproximada de un término de la conducción de calor unidimensional en régimen transitorio en paredes planas, cilindros y esferas (Bi
hL/k para una pared plana de espesor 2L y Bi
hro /k para un cilindro o una esfera de radio ro) Funciones de Bessel de primera especie y de cero y primer orden Bi 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 100.0  Pared plana 1 A1 0.0998 0.1410 0.1987 0.2425 0.2791 0.3111 0.4328 0.5218 0.5932 0.6533 0.7051 0.7506 0.7910 0.8274 0.8603 1.0769 1.1925 1.2646 1.3138 1.3496 1.3766 1.3978 1.4149 1.4289 1.4961 1.5202 1.5325 1.5400 1.5552 1.5708 1.0017 1.0033 1.0066 1.0098 1.0130 1.0161 1.0311 1.0450 1.0580 1.0701 1.0814 1.0918 1.1016 1.1107 1.1191 1.1785 1.2102 1.2287 1.2403 1.2479 1.2532 1.2570 1.2598 1.2620 1.2699 1.2717 1.2723 1.2727 1.2731 1.2732 Cilindro Esfera 1 A1 1 A1 0.1412 0.1995 0.2814 0.3438 0.3960 0.4417 0.6170 0.7465 0.8516 0.9408 1.0184 1.0873 1.1490 1.2048 1.2558 1.5995 1.7887 1.9081 1.9898 2.0490 2.0937 2.1286 2.1566 2.1795 2.2880 2.3261 2.3455 2.3572 2.3809 2.4048 1.0025 1.0050 1.0099 1.0148 1.0197 1.0246 1.0483 1.0712 1.0931 1.1143 1.1345 1.1539 1.1724 1.1902 1.2071 1.3384 1.4191 1.4698 1.5029 1.5253 1.5411 1.5526 1.5611 1.5677 1.5919 1.5973 1.5993 1.6002 1.6015 1.6021 0.1730 0.2445 0.3450 0.4217 0.4860 0.5423 0.7593 0.9208 1.0528 1.1656 1.2644 1.3525 1.4320 1.5044 1.5708 2.0288 2.2889 2.4556 2.5704 2.6537 2.7165 2.7654 2.8044 2.8363 2.9857 3.0372 3.0632 3.0788 3.1102 3.1416 1.0030 1.0060 1.0120 1.0179 1.0239 1.0298 1.0592 1.0880 1.1164 1.1441 1.1713 1.1978 1.2236 1.2488 1.2732 1.4793 1.6227 1.7202 1.7870 1.8338 1.8673 1.8920 1.9106 1.9249 1.9781 1.9898 1.9942 1.9962 1.9990 2.0000 tura adimensional u0 en cualquier otra parte del medio, durante el mismo tiempo. Una vez que se conoce el número Bi, se pueden usar estas relaciones para determinar la temperatura en cualquier parte del medio. La determinación de las constantes A1 y l1 suele requerir interpolación. Para quienes prefieren la lectura de gráficas en lugar de la interpolación, se han trazado representaciones de estas relaciones y de las soluciones de aproximación de un término, conocidas como gráficas de temperaturas transitorias. Nótese que, a veces, las gráficas son difíciles de leer y, por ende, están sujetas a errores de lectura. Por lo tanto, en su lugar debe preferirse las relaciones antes dadas. Las gráficas de temperaturas transitorias de las figuras 4-16, 4-17 y 4-18, para una pared plana grande, un cilindro largo y una esfera, fueron presentadas por M. P. Heisler, en 1947, y se conocen como gráficas de Heisler. En http://librosysolucionarios.net Jo(h) J1(h) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 1.0000 0.9975 0.9900 0.9776 0.9604 0.0000 0.0499 0.0995 0.1483 0.1960 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9385 0.9120 0.8812 0.8463 0.8075 0.2423 0.2867 0.3290 0.3688 0.4059 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 0.7652 0.7196 0.6711 0.6201 0.5669 0.4400 0.4709 0.4983 0.5220 0.5419 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.5118 0.4554 0.3980 0.3400 0.2818 0.5579 0.5699 0.5778 0.5815 0.5812 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 0.2239 0.1666 0.1104 0.0555 0.0025 0.5767 0.5683 0.5560 0.5399 0.5202 2.6 2.8 3.0 3.2 0.0968 0.1850 0.2601 0.3202 0.4708 0.4097 0.3391 0.2613 h Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 240 240 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO q0 = T0 – T Ti – T 1.0 0.7 0.5 0.4 0.3 0.2 k hL = 1 Bi = 1.0 0.6 0.7 0.5 35 7 6 25 30 16 3 2 1.8 1.6 1.4 1.2 0.05 2.5 0 2 50 40 20 4 0.2 0.1 18 5 0.4 0.3 1 45 9 8 8 0 12 10 0. 0.01 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 100 80 90 60 70 14 0.1 0.07 0.05 0.04 0.03 0.02 Placa 3 4 6 8 10 14 18 22 26 30 t= 50 70 100 120 150 300 400 500 600 700 at/L2 T Inicialmente T h h T = Ti a) Temperatura del plano medio (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización de ASME International). 0 x L 2L T – T u = T0 – T u0 1.0 0.9 0.4 0.3 0.2 0.4 0.8 50 20 10 5 0.3 0.9 0.1 1.0 0 0.01 0.1 2 0.5 0.4 1 0.6 0.5 0.5 0.6 0.05 0.1 0.2 0.7 0.6 0.00 5 0.01 0.02 0.7 Bi = hL/k 0.8 0.8 0.00 1 0.00 2 0.9 x/L = 0.2 Bi = 1.0 Q Qmáx 0.2 Placa 1.0 10 100 1 k = Bi hL b) Distribución de temperatura (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización de ASME International). 0.1 0 10–5 Placa 10– 4 10–3 10–2 10–1 1 10 102 103 104 Bi 2t = h2 α t/k 2 c) Transferencia de calor (tomada de H. Gröber et al.). FIGURA 4-16 Diagramas de temperatura transitoria y de transferencia de calor para una pared plana de espesor 2L, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, sujeta a convección desde ambos lados hacia un medio ambiente a la temperatura T, con un coeficiente de convección de h. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 241 241 CAPÍTULO 4 q0 = T o – T Ti – T 1.0 0.7 Cilindro 0.5 0.4 0.3 5 0.2 0.1 k 2. 1. 16 = 1 Bi = 25 20 1.4 90 18 70 14 12 1.6 10 0 80 60 9 1.2 50 10 7 0.8 0.6 8 45 35 30 0.3 0.1 0 0.5 6 40 0.4 0.2 0.01 0.007 0.005 0.004 0.003 4 2 8 1.0 0.02 o 3 5 0.1 0.07 0.05 0.04 0.03 hr 0.002 0.001 0 1 2 3 4 6 8 10 14 18 22 26 t = at/ro2 30 50 70 100 120 a) Temperatura de la línea central (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización de ASME International). 140 150 Q Qmáx 1.0 0.9 0.4 0.4 0.8 50 20 10 5 2 1 0.5 0.4 0.2 0.00 1 0.00 2 0.00 5 0.01 0.02 0.6 0.5 0.6 0.05 0.1 0.2 0.7 0.5 0.3 Bi = hro /k 0.8 0.7 0.6 ro r Bi = 0.8 0.9 350 T Inicialmente T h h T = Ti 0 u T – T = u0 To – T 1.0 r/ro = 0.2 250 0.3 0.9 0.2 0.1 1.0 0 0.1 0.01 Cilindro 1.0 1 k = Bi hro 10 100 b) Distribución de temperaturas (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización de ASME International). 0.1 0 10–5 Cilindro 10–4 10–3 10–2 10–1 1 Bi 2t = h2 αt/k 2 10 102 103 104 c) Transferencia de calor (tomada de H. Gröber et al.). FIGURA 4-17 Diagramas de temperatura transitoria y de transferencia de calor para un cilindro largo de radio ro, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, sujeto a convección desde todos lados hacia un medio ambiente a la temperatura T, con un coeficiente de convección de h. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 242 242 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO q0 = T0 – T Ti – T 1.0 0.7 0.5 0.4 0.3 0.2 12 14 2. 1.4 4 3.5 2.0 2.2 8 1.6 1. 6 2.8 2. 4 0.75 0.5 0.35 0.2 0.1 .05 0 0 0.01 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 1.2 1.0 0.02 50 40 45 0 35 3 25 20 18 16 10 9 8 7 6 5 3.0 0.1 0.07 0.05 0.04 0.03 0.001 100 80 90 60 70 Esfera k hr = 1 o Bi = 0 0.5 1.0 1.5 2 2.5 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 100 150 200 250 t = at/ro2 a) Temperatura en el centro (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización de ASME International). T – T r/ro = 0.2 1.0 0.9 0.4 r 0.3 0.8 0.3 0.2 0.9 0.2 0.1 1.0 1.0 10 50 20 0.1 Esfera 0.1 10 0.4 5 0.5 0.4 2 0.6 0.6 0.5 1 0.7 0.5 0 0.01 ro 0.8 0.7 0.6 0 Bi = hro /k 0.05 0.1 0.2 0.8 0.9 0.00 5 0.01 0.02 1.0 T h Q Qmáx T0 – T 0.00 1 0.00 2 = Inicialmente T = Ti Bi = u u0 T h 100 1 = k Bi hro b) Distribución de temperaturas (tomada de M. P. Heisler, “Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating”, Trans. ASME 69, 1947, pp. 227-236. Reimpreso con autorización de ASME International). 0 10–5 Esfera 10–4 10–3 10–2 10–1 1 10 102 103 104 Bi 2t = h2at/k 2 c) Transferencia de calor (tomada de H. Gröber et al.). FIGURA 4-18 Diagramas de temperatura transitoria y de transferencia de calor para una esfera de radio ro, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, sujeta a convección desde todos lados hacia un medio ambiente a la temperatura T, con un coeficiente de convección de h. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/23/11 1:16 PM Page 243 243 CAPÍTULO 4 1961, fueron complementadas por H. Gröber con gráficas de transferencia transitoria de calor. Éstas son tres gráficas asociadas con cada configuración geométrica: la primera es para determinar la temperatura T0 en el centro de la configuración, en un instante dado t. La segunda permite determinar la temperatura en otros lugares, en el mismo instante, en términos de T0. La tercera sirve para determinar la cantidad total de transferencia de calor hasta el instante t. Estas gráficas son válidas para t  0.2. Note que el caso 1/Bi  k/hL  0 corresponde a h →
, lo cual corresponde al caso de temperatura superficial T
especificada. Es decir, el caso en el que las superficies se llevan súbitamente a la temperatura T
en t  0, y se mantienen en T
en todo momento puede manejarse al hacer que h tienda al infinito (figura 4-19). La temperatura del cuerpo cambia de la temperatura inicial Ti a la de los alrededores T
al final del proceso transitorio de conducción de calor. Por lo tanto, la cantidad máxima de calor que un cuerpo puede ganar (o perder si Ti  T
) es sencillamente el cambio en el contenido de energía del cuerpo. Es decir, Qmáx  mcp(T
 Ti )  rVcp(T
 Ti ) (kJ) Ts  rc [T(x, t)  T ]dV p i (4-31) V donde T(x, t) es la distribución de temperaturas en el medio, en el instante t. Si se suponen propiedades constantes, la razón de Q/Qmáx queda  v rcp[T(x, t)  Ti]dV 1 (1  u)dV Q   V V Qmax rcp(T
 Ti)V máx (4-32) Si se usan las relaciones apropiadas de temperatura adimensional basadas en la aproximación de un término para la pared plana, el cilindro y la esfera, y se realizan las integraciones indicadas, se obtienen las siguientes relaciones para la fracción de transferencia de calor en esas configuraciones geométricas: Pared plana:
Q  Q máx pared Cilindro: sen 1 1 (4-33)
Q   1  2u0, cil J1(l1) l1 (4-34)
Q   1  3u0, esf sen 1  1 cos 1 31 (4-35) Q máx cil Esfera:  1  u0, pared Q máx esf En las figuras 4-16c), 4-17c) y 4-18c), también se tienen las gráficas de estas relaciones, basadas en la aproximación de un término, para Q/Qmáx, contra las variables Bi y h2at/k2, para la pared plana grande, el cilindro largo y la esfera, respectivamente. Nótese que una vez que se ha determinado la fracción de transferencia de calor, Q/Qmáx, a partir de estas gráficas o ecuaciones, para el t dado, se puede evaluar la cantidad real de transferencia de calor hasta ese momento de tiempo, al multiplicar esta fracción por Qmáx. Un signo negativo para Qmáx indica que el cuerpo está rechazando calor (figura 4-20). http://librosysolucionarios.net h a) Coeficiente finito de convección h→
Q Ts ≠ T
h (4-30) donde m es la masa, V es el volumen, r es la densidad, y cp es el calor específico del cuerpo. Así, Qmáx representa la cantidad de transferencia de calor para t →
. Es obvio que la cantidad de transferencia de calor Q en un tiempo finito t es menor que este máximo, y puede expresarse como la suma de los cambios de la energía interna de toda la configuración geométrica, como Ts Ts Ts h→
Ts = T
b) Coeficiente infinito de convección FIGURA 4-19 La temperatura superficial específica corresponde al caso de convección hacia un medio ambiente a T
, con un coeficiente de convección h que es infinito. Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 244 244 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO . Qmáx t=0 T = Ti T = T m, Cp h T a) Transferencia de calor máxima (t → ) . Q t=0 T = Ti T = T (r, t) m, Cp h T Bi = . . . El uso de los diagramas de Heisler/Gröber y las soluciones de un término ya discutidos queda limitado a las condiciones especificadas al principio de esta sección: el cuerpo está inicialmente a una temperatura uniforme, la temperatura del medio que lo circunda y el coeficiente de transferencia de calor por convección son constantes y uniformes y no hay generación de energía en dicho cuerpo. Al principio se discutió el significado físico del número de Biot y se indicó que es una medida de las magnitudes relativas de los dos mecanismos de transferencia de calor: convección en la superficie y conducción a través del sólido. Un valor pequeño de Bi indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña en relación con la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido. Como resultado, la distribución de temperatura dentro del sólido se vuelve bastante uniforme y el análisis de sistemas concentrados se vuelve aplicable. Recuerde que cuando Bi  0.1, el error en suponer que la temperatura dentro del cuerpo es uniforme resulta despreciable. Para comprender el significado físico del número de Fourier, t, se expresa como (figura 4-21) Q —— = . . . Qmáx 2α t h—— = Bi2t = . . . k2 (Diagrama de Gröber) b) Transferencia real de calor para el instante t FIGURA 4-20 La fracción de la transferencia de calor total, Q/Qmáx, hasta un instante específico t se determina mediante los diagramas de Gröber. L L L · Qconducido · Q · Qalmacenado · Q Número de Fourier: t = αt2 = · conducido L Qalmacenado FIGURA 4-21 El número de Fourier en el instante t se puede concebir como la razón entre la razón de conducción del calor y la razón del almacenamiento de calor en ese instante. t at L2 kL2 (1/L) T rcp L3/t T La razón a la cual el calor es conducido a través de L de un cuerpo de volumen L2 (y por lo tanto volumen L3) La razón a la cual el calor es almacenado en in cuerpo de volumen L3 (4-36) Por lo tanto, el número de Fourier es una medida del calor conducido a través de un cuerpo en relación con el calor almacenado. Por lo que, un valor grande del número de Fourier indica una propagación más rápida del calor a través del cuerpo. Quizás el lector se está preguntando qué constituye una placa infinitamente grande o un cilindro infinitamente largo. Después de todo, nada en este mundo es infinito. Una placa cuyo espesor es pequeño en relación con las otras dimensiones puede modelarse como una placa infinitamente grande, excepto muy cerca de sus bordes exteriores. Pero los efectos de borde en los cuerpos grandes suelen ser despreciables, de donde una pared plana grande, como la de una casa, puede modelarse como una pared infinitamente grande para los fines de análisis de la transferencia de calor. De manera análoga, un cilindro largo cuyo diámetro es pequeño en relación con su longitud puede analizarse como un cilindro infinitamente largo. En los ejemplos 4-3, 4-4 y 4-5, se ilustra el uso de las gráficas de temperaturas transitorias y de las soluciones de un término. EJEMPLO 4-3 Cocimiento de huevos Un huevo común se puede considerar como una esfera de 5 cm de diámetro (figura 4-22). Inicialmente el huevo está a una temperatura uniforme de 5°C y se deja caer en agua hirviendo a 95°C. Tomando el coeficiente de transferencia de calor por convección como h
1 200 W/m2 · °C, determine cuánto tiempo transcurrirá para que el centro del huevo llegue a los 70°C. SOLUCIÓN Se cuece un huevo en agua hirviendo. Se debe determinar el tiempo de cocimiento del huevo. Suposiciones 1 El huevo tiene forma esférica con un radio de ro
2.5 cm. 2 La conducción de calor en el huevo es unidimensional debido a la simetría térmica con respecto al punto medio. 3 Las propiedades térmicas del huevo y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. 4 El número de Fourier es  > 0.2, de modo que se pueden aplicar las soluciones aproximadas de un término. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 245 245 CAPÍTULO 4 Propiedades El contenido de agua de los huevos es alrededor de 74% y, como consecuencia, la conductividad térmica y la difusividad de ellos se pueden considerar que son las del agua a la temperatura promedio de (5 + 70)/2
37.5°C; k
0.627 W/m · °C y
k/rCp
0.151 10–6 m2/s (tabla A-9). Análisis La clara del huevo comienza a espesarse a los 63ºC y se solidifica a los 65°C. La yema comienza a espesarse a los 65°C y coagula a los 70°C. El huevo entero se solidifica a temperaturas superiores a los 70°C. Por lo tanto, el huevo en este caso calificará como huevo duro. La temperatura dentro del huevo varía con la distancia radial, así como con el tiempo; y la temperatura en un lugar específico en determinado momento puede determinarse a partir de las tablas Heisler o de las soluciones de un solo término. Aquí utilizaremos este último para demostrar su uso. El número de Biot para este problema es Bi
Huevo Ti = 5°C h = 1 200 W/m 2 · °C T = 95°C FIGURA 4-22 Esquema para el ejemplo 4-3. hr0o (1 200 W/m2 · °C)(0.025 m)

47.8 k 0.627 W/m · °C el cual es mucho mayor que 0.1, por lo tanto, no es aplicable el análisis de sistemas concentrados. Con base en la tabla 4-2 los coeficientes 1 y A1 para una esfera, correspondientes a este Bi, son 1
3.0754, A1
1.9958 Al sustituir éstos y otros valores en la ecuación 4-28 y al despejar  da To0  T 2
A1e1 t Ti  T ⎯→ 70  95 2
1.9958e(3.0753)  5  95 ⎯→ 
0.209 el cual es mayor que 0.2 y, por consiguiente, se puede aplicar la solución de un término con un error de menos de 2%. Entonces, a partir de la definición del número de Fourier, se determina que el tiempo de cocimiento es tro2 (0.209)(0.025 m)2 t
a

865 s  14.4 min 0.151 106 m2/s Por lo tanto, transcurrirán más o menos 15 min para el que el centro del huevo se caliente desde 5°C hasta 70°C. Discusión Note que el número de Biot en el análisis de sistemas concentrados se definió de manera diferente como Bi
hLc/k
h(r/3)/k. Sin embargo, se puede usar cualquiera de las dos definiciones en la determinación de la aplicabilidad del análisis de sistemas concentrados, a menos que Bi  0.1. También observe que el tiempo de cocción depende de muchos parámetros como el tamaño del huevo, la temperatura antes de la cocción, la temperatura de ebullición del agua (por ende, la altitud), el coeficiente de transferencia (por lo tanto, el nivel de movimiento de burbujas durante la ebullición). Por esto, se necesita una cantidad considerable de ciencia o mucha experiencia para lograr huevos duros en su punto. EJEMPLO 4-4 Calentamiento de placas grandes de latón en un horno En una instalación de producción, placas grandes de latón de 4 cm de espesor que se encuentran inicialmente a una temperatura uniforme de 20°C se calientan al pasar por un horno que se mantiene a 500°C (figura 4-23). Las placas permanecen en el horno durante un periodo de 7 min. Si el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación como h
120 W/m2 · °C, determine la temperatura superficial de las placas cuando salen del horno. T = 500°C h = 120 W/m 2 · °C 2 L = 4 cm Placa de latón Ti = 20°C FIGURA 4-23 Esquema para el ejemplo 4-4. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 246 246 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO SOLUCIÓN Grandes placas de latón se calientan en un horno. Debe determinarse la temperatura superficial de las placas al salir del horno. Suposiciones 1 La conducción de calor en la placa es unidimensional ya que su longitud es grande en relación con su espesor y se tiene simetría térmica con respecto al plano central. 2 Las propiedades térmicas de la placa y el coeficiente de transferencia de calor por convección son constantes. 3 El número de Fourier es t > 0.2, de modo que se pueden aplicar las soluciones de un término. Propiedades Las propiedades del latón a la temperatura ambiente son k
110 W/m · °C, r
8 530 kg/m3, Cp
380 J/kg · °C y
33.9 10–6 m2/s (tabla A-3). Se obtienen resultados más exactos por medio de propiedades a la temperatura promedio. Análisis Se puede determinar la temperatura en un lugar específico, en un instante dado, a partir de los diagramas de Heisler o las soluciones de un término. En este ejemplo se usan los diagramas para demostrar su uso. Puesto que la mitad del espesor de la placa es L
0.02 m, a partir de la figura 4-16 se tiene 100 W/m · °C k 1

45.8
Bi hL (120 W/m2 · °C)(0.02 m) 6 2 t (33.9 10 m /s)(7 60 s) t
at2

35.6 (0.02 m)2 L Asimismo, k 1

45.8 Bi hL x L

1 L L Por lo tanto,   T0o  T
0.46 Ti  T T  T
0.99 T0o  T T  T T  T To0  T
0.46
Ti  T T0o  T Ti  T 0.99
0.455 y T
T 0.455(Ti  T)
500 0.455(20  500)
282°C Por consiguiente, al salir del horno, la temperatura superficial de las placas será de 282°C. Discusión Se advierte que, en este caso, el número de Biot es Bi
1/45.8
0.022, el cual es mucho menor que 0.1. Por lo tanto, se espera que sea aplicable el análisis de sistemas concentrados. Esto también resulta evidente con base en (T – T)/(T0 – T)
0.99, lo cual indica que la temperatura en el centro y en la superficie de la placa, con relación a la temperatura de los alrededores, se encuentran con una diferencia de menos de 1% entre sí. Dado que, por lo general, el error en el que se incurre en la lectura de los diagramas de Heisler es por lo menos de unas cuantas unidades porcentuales, el análisis de sistemas concentrados puede conducir en este caso a resultados muy exactos con menos esfuerzo. El área superficial de transferencia de calor es 2A, donde A es el área de la cara de la placa (ésta transfiere calor a través de sus dos superficies) y el volumen de ella es V
(2L)A, donde L es la mitad de su espesor. Se determina que el exponente b usado en el análisis de sistemas concentrados es hAs h(2A) h

rcpV rcp (2LA) rcp L 120 W/m2 · °C

0.00185 s1 (8 530 kg/m3)(380 J/kg · °C)(0.02 m) b
http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 247 247 CAPÍTULO 4 Entonces la temperatura de la placa en t
7 min
420 s se determina a partir de T (t )  T
ebt Ti  T ⎯→ T (t )  500 1
e(0.00185 s )(420 s) 20  500 Esto da T (t )
279°C que es prácticamente idéntico al resultado obtenido con anterioridad usando los diagramas de Heisler. Por consiguiente, se puede usar el análisis de sistemas concentrados con confianza cuando el número de Biot es suficientemente pequeño. EJEMPLO 4-5 Enfriamiento de una flecha cilíndrica larga de acero inoxidable Una flecha cilíndrica de 20 cm de diámetro hecha de acero inoxidable 304 sale de un horno a una temperatura uniforme de 600°C (figura 4-24). Entonces, la flecha se deja enfriar con lentitud en una cámara ambiente a 200°C, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h
80 W/m2 · °C. Determine la temperatura en el centro de la flecha 45 min después de iniciarse el proceso de enfriamiento. También, determine la transferencia de calor por unidad de longitud de la flecha durante este periodo. SOLUCIÓN Una flecha cilíndrica larga se deja enfriar con lentitud. Se deben determinar la temperatura en el centro y la transferencia de calor por unidad de longitud. Suposiciones 1 La conducción de calor en la flecha es unidimensional, puesto que es larga y tiene simetría térmica con respecto a la línea central. 2 Las propiedades térmicas de la flecha y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. 3 El número de Fourier es t > 0.2, de modo que se pueden aplicar las soluciones aproximadas de un término. Propiedades Las propiedades del acero inoxidable 304 a la temperatura ambiente son k
14.9 W/m · °C, r
7 900 kg/m3, Cp
477 J/kg · °C y
3.95 10–6 m2/s (tabla A-3). Se pueden obtener resultados más exactos si se utilizan las propiedades a la temperatura promedio. Análisis La temperatura dentro de la flecha puede variar con la distancia radial r así como con el tiempo, y se puede determinar la temperatura en un lugar específico, en un instante dado, a partir de los diagramas de Heisler. Dado que el radio de la flecha es ro
0.1 m, con base en la figura 4-17 se tiene 14.9 W/m · °C k 1

1.86
Bi hro (80 W/m2 · °C)(0.1 m) (3.95 t
2t
ro 6 10 2 m /s)(45 (0.1 m)2 60 s)
1.07  To0  T
0.40 Ti  T y T0
T 0.4(Ti  T)
200 0.4(600  200)
360°C Por lo tanto, la temperatura en el centro de la flecha caerá de 600°C a 360°C en 45 minutos. http://librosysolucionarios.net T = 200°C h = 80 W/ m2 · °C Flecha de acero inoxidable Ti = 600°C D = 20 cm FIGURA 4-24 Esquema para el ejemplo 4-5. Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 248 248 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO Para determinar la transferencia real de calor, en primer lugar se necesita calcular el calor máximo que se puede transferir desde el cilindro, el cual es la energía sensible de éste con relación a su medio ambiente. Al tomar L
1 m, m
rV
rpro2 L
(7 900 kg/m3)p(0.1 m)2(1 m)
248.2 kg Qmáx
mCp(T  Ti)
(248.2 kg)(0.477 kJ/kg · °C)(600  200)°C
47 350 kJ A partir de la figura 4-17c), se determina la relación adimensional de transferencia de calor para un cilindro largo como Bi
1 1
0.537
1/Bi 1.86 h 2 att
Bi2t
(0.537)2(1.07)
0.309 k2  Q
0.62 Qmáx Por lo tanto, Q
0.62Qmáx
0.62 (47 350 kJ)
29 360 kJ que es la transferencia de calor total desde la flecha durante los primeros 45 min del enfriamiento. Solución alternativa También se pudo resolver este problema mediante la relación de la solución de un término, en lugar de los diagramas en régimen transitorio. En primer lugar, se encuentra el número de Biot Bi
hro (80 W/m2 · °C)(0.1 m)
0.537
14.9 W/m · °C k De la tabla 4-2 se obtienen los coeficientes 1 y A1 para un cilindro, correspondientes a este Bi, son 1
0.970, A1
1.122 Al sustituir estos valores en la ecuación 4-27 da u0
T0o  T 2 2
A1e1 t
1.122e(0.970) (1.07)
0.41 Ti  T entonces, T0
T 0.41(Ti  T)
200 0.41(600  200)
364°C En la tabla 4-3 se determina que el valor de J1(1), para 1
0.970, es 0.430. Entonces, mediante la ecuación 4-34 se determina que la fracción de transferencia de calor es 1 ) J1( Q
1  2u0
12 1 Qmáx 0.41 0.430
0.636 0.970 por lo tanto, Q
0.636Qmáx
0.636 (47 350 kJ)
30 120 kJ Discusión La ligera diferencia entre los dos resultados se debe al error de lectura de los diagramas. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 249 249 CAPÍTULO 4 4-3 ■  CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN SÓLIDOS SEMIINFINITOS Un sólido semiinfinito es un cuerpo idealizado que tiene una sola superficie plana y se extiende hacia el infinito en todas direcciones, como se muestra en la figura 4-25. Este cuerpo idealizado se usa para indicar que el cambio de temperatura en la parte del cuerpo en la que se interesa (la región cercana a la superficie) se debe a las condiciones térmicas en una sola superficie. Por ejemplo, la Tierra se puede considerar como un medio semiinfinito por la determinación de la variación de la temperatura cerca de su superficie. Asimismo, una pared gruesa se puede estimar como un medio semiinfinito si en lo único que se interesa es en la variación de la temperatura en la región cercana a una de sus superficies, si la otra está demasiado lejos para tener algún impacto sobre la región de interés durante el tiempo de observación. En este caso, la temperatura en la región central de la pared permanece inalterada. Durante periodos cortos, la mayor parte de los cuerpos pueden modelarse como sólidos semiinfinitos, ya que el calor no tiene tiempo suficiente para penetrar a la profundidad del cuerpo y por esta razón el espesor del cuerpo no entra en el análisis de la transferencia de calor. Por ejemplo, una pieza de acero de cualquier forma puede considerarse un sólido semiinfinito cuando se enfría por inmersión para endurecer su superficie. Un cuerpo cuya superficie se calienta por medio de un pulso de láser puede tratarse de la misma manera. Considérese un sólido semiinfinito con propiedades termofísicas constantes, sin generación interna de calor, condiciones térmicas uniformes sobre su superficie expuesta e, inicialmente, una temperatura uniforme de Ti en toda su extensión. En este caso, sólo se tiene transferencia de calor en la dirección normal a la superficie (la dirección x) y, por consiguiente, es unidimensional. Las ecuaciones diferenciales son independientes de las condiciones de frontera o inicial, de donde se puede aplicar la ecuación 4-10a) para la conducción transitoria unidimensional, en coordenadas cartesianas. La profundidad del sólido es grande (x → ) en comparación con la profundidad hasta la que penetra el calor; estos fenómenos pueden expresarse en forma matemática, a la manera de una condición de frontera, como T(x → , t)
Ti. Las condiciones térmicas impuestas sobre la superficie expuesta rigen la conducción de calor en un sólido semiinfinito y, por lo tanto, la solución depende fuertemente de la condición de frontera en x
0. En seguida, se presenta una resolución analítica detallada para el caso de una temperatura constante Ts sobre la superficie y se dan los resultados para otras condiciones de frontera más complicadas. Cuando se cambia la temperatura de la superficie hacia Ts en t
0 y se mantiene constante en ese valor en todo momento, la formulación del problema se puede expresar como 2 Ecuación diferencial: T 1 T
x2 a t Condiciones de frontera: T(0, t)
Ts and y Condición inicial: T(x → , t)
Ti T(x, 0)
Ti (4-37a) (4-37b) (4-37c) La técnica de separación de variables no funciona en este caso, debido a que el medio es infinito. Pero otro procedimiento ingenioso, conocido como variable de semejanza, funciona bien para convertir la ecuación diferencial en derivadas parciales en una ecuación diferencial ordinaria, al combinar las dos variables independientes x y t en una sola variable h. Para la conducción transitoria en un medio semiinfinito, se define como Variable de semejanza: h
x 24at (4-38) http://librosysolucionarios.net  T h Superficie plana x 0    FIGURA 4-25 Esquema de un cuerpo semiinfinito. Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 250 250 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO 2 T 1 T
x2 a t and y h
Si se supone que T
T(h) (lo cual debe verificarse) y se aplica la regla de la cadena, todas las derivadas en la ecuación de conducción de calor se pueden transformar en la nueva variable, como se muestra en la figura 4-26. Si se observa que h
0 en x
0 y h →  conforme x →  (y también en t
0) y se sustituye en las ecuaciones 4-37 después de simplificar, da x 24at x dT T dT h

t dh t 2t 24at dh T dT h 1 dT

x dh x 24at dh d 2T dT
2h dh dh2 2 T d T 1 dT
a b
2 dh x x 4at x dh2 2 (4-39a) h T(0)
Ts and y FIGURA 4-26 Transformación de variables en las derivadas de la ecuación de conducción de calor, mediante la aplicación de la regla de la cadena. T(h → )
Ti (4-39b) Nótese que la segunda condición de frontera y la condición inicial conducen a la misma condición de frontera en h. Tanto la ecuación transformada como las condiciones de frontera sólo dependen de h y son independientes de x y t. Por lo tanto, la transformación tuvo éxito y, en efecto, h es una variable de semejanza. Para resolver la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de las ecuaciones 4-39, se define una nueva variable w como w
dT/dh. Esto reduce la 4-39a) a una ecuación diferencial de primer orden que se puede resolver al separar las variables, dw dw
2hdh → ln w
h2
2hw → w dh C0 → w
C1eh 2 donde C1
ln C0. De vuelta, si se sustituye w
dT/dh y se integra de nuevo, h T
C1 e u2 du C2 (4-40) 0 donde u es una variable ficticia de integración. La condición de frontera en h
0 da C2
Ts y la correspondiente a h → , da  Ti
C1 e u2 du C2
C1 0 2p 2 Ts → C1
2(Ti  Ts) (4-41) 2p Si se sustituyen las expresiones para C1 y C2 en la 4-40 y se reordena, la variación de la temperatura queda Función de error erf (h) 1.0 T  Ts 2
Ti  Ts 2p 0.8 0.6 erf(h) = 2 p 0.4 h ∫ 0 eu du 1.0 1.5 h 2.0 2 (4-42) 0 donde las funciones matemáticas erf(h) 0.5 eu du
erf(h)
1  erfc(h) 2 0.2 0.0 0.0  h 2.5 FIGURA 4–27 La función de error es una función matemática estándar, precisamente como las funciones seno y tangente, cuyo valor varía entre 0 y 1. 3.0 h 2 2p e u2 du y erfc(h) 1 0 erf(h) 1 h 2 2p e u2 du (4-43) 0 se conocen como función de error y función complementaria de error, respectivamente, de argumento h (figura 4-27). A pesar de su aspecto sencillo, en la definición de la función de error no se puede realizar la integral en forma analítica. Por lo tanto, la función erfc(h) se evalúa en forma numérica para diferentes valores de h y los resultados se dan como una lista en la tabla 4-4. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/22/11 3:19 PM Page 251 251 CAPÍTULO 4 TABLA 4-4 Función de error complementaria h erfc (h) h erfc (h) h erfc (h) h erfc (h) h erfc (h) 0.00 1.00000 0.38 0.5910 0.76 0.2825 1.14 0.1069 1.52 0.02 0.9774 0.40 0.5716 0.78 0.2700 1.16 0.10090 1.54 0.03159 1.90 0.00721 0.02941 1.92 0.00662 0.04 0.9549 0.42 0.5525 0.80 0.2579 1.18 0.09516 1.56 0.06 0.9324 0.44 0.5338 0.82 0.2462 1.20 0.08969 1.58 0.02737 1.94 0.00608 0.02545 1.96 0.00557 0.08 0.9099 0.46 0.5153 0.84 0.2349 1.22 0.08447 0.10 0.8875 0.48 0.4973 0.86 0.2239 1.24 0.07950 1.60 0.02365 1.98 0.00511 1.62 0.02196 2.00 0.00468 0.12 0.8652 0.50 0.4795 0.88 0.2133 1.26 0.14 0.8431 0.52 0.4621 0.90 0.2031 1.28 0.07476 1.64 0.02038 2.10 0.00298 0.07027 1.66 0.01890 2.20 0.00186 0.16 0.8210 0.54 0.4451 0.92 0.1932 0.18 0.7991 0.56 0.4284 0.94 0.1837 1.30 0.06599 1.68 0.01751 2.30 0.00114 1.32 0.06194 1.70 0.01612 2.40 0.00069 0.20 0.7773 0.58 0.4121 0.96 0.22 0.7557 0.60 0.3961 0.98 0.1746 1.34 0.05809 1.72 0.01500 2.50 0.00041 0.1658 1.36 0.05444 1.74 0.01387 2.60 0.00024 0.24 0.7343 0.62 0.3806 0.26 0.7131 0.64 0.3654 1.00 0.1573 1.38 0.05098 1.76 0.01281 2.70 0.00013 1.02 0.1492 1.40 0.04772 1.78 0.01183 2.80 0.28 0.6921 0.66 0.00008 0.3506 1.04 0.1413 1.42 0.04462 1.80 0.01091 2.90 0.00004 0.30 0.6714 0.32 0.6509 0.68 0.3362 1.06 0.1339 1.44 0.04170 1.82 0.01006 3.00 0.00002 0.70 0.3222 1.08 0.1267 1.46 0.03895 1.84 0.00926 3.20 0.00001 h erfc (h) 0.34 0.6306 0.72 0.3086 1.10 0.1198 1.48 0.03635 1.86 0.00853 3.40 0.00000 0.36 0.6107 0.74 0.2953 1.12 0.1132 1.50 0.03390 1.88 0.00784 3.60 0.00000 Si se conoce la distribución de temperaturas, se puede determinar el flujo de calor en la superficie, con base en la ley de Fourier, como k(Ts  Ti) T dT h 1 2 # qs
k `
k
kC1e h `
` x x
0 dh x h
0 24at h
0 2pat (4-44) Las soluciones de las ecuaciones 4-42 y 4-44 corresponden al caso en el que la temperatura de la superficie del medio expuesta se eleva (o disminuye) de manera repentina hasta Ts en t
0 y se mantiene en ese valor durante todo momento. En la práctica, se tiene una aproximación muy cerrada del caso de la temperatura especificada en la superficie cuando tiene lugar condensación o ebullición sobre la superficie. Al utilizar un procedimiento semejante o la técnica de la transformada de Laplace, se pueden obtener soluciones analíticas para otras condiciones de frontera sobre la superficie, con los resultados siguientes. Caso 1: Temperatura especificada de la superficie, Ts = constante (figura 4-28). T(x, t)  Ti x
erfc£ ≥ Ts  Ti 22at and y k(Ts  Ti) # qs(t)
2pat # qs x2 x 4at exp £ ≥  x erfc£ ≥S C k B p 4at 22at 0.8 0.6 erfc(h) 0.4 0.2 0.0 0.0 (4-45) # Caso 2: Flujo especificado de calor en la superficie, qs = constante. T(x, t)  Ti
T − Ti Ts − Ti 1.0 (4-46) http://librosysolucionarios.net 0.5 h= 1.0 x 4 at 1.5 2.0 FIGURA 4-28 Distribución de temperatura adimensional para la conducción transitoria en un sólido semiinfinito, cuando la superficie se mantiene a una temperatura constante. Cengel_04A.qxd 2/23/11 1:20 PM Page 252 252 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO # Caso 3: Convección sobre la superficie, qs(t) = h[T∞ – T(0, t)]. T(x, t)  Ti x hx h2at x h2at
erfc£ ≥  exp £  2 ≥erfc£  ≥ T  Ti k k k 2 2at 2 2at (4-47) Caso 4: Pulso de energía en la superficie, es = constante. Se transfiere energía al cuerpo infinito en forma instantánea, en la cantidad de es por unidad de área de la superficie (en J/m2), en el instante t
0 (por ejemplo, por medio de un pulso de láser), y se supone que la energía completa entra al cuerpo, sin pérdida de calor desde la superficie. T(x, t)  Ti
x2 exp a b 4at k 2pt/a es (4-48) Nótese que los casos 1 y 3 están íntimamente relacionados. En el 1 se lleva la superficie x
0 hasta una temperatura Ts, en el instante t
0, y se mantiene en ese valor en todo momento. En el caso 3, la superficie se expone a convección por medio de un fluido a una temperatura constante T, con un coeficiente h de transferencia de calor. En la figura 4-29 se muestran las gráficas para los cuatro casos, para una situación representativa con el uso de un bloque grande de hierro fundido, inicialmente a 0°C en toda su extensión. En el caso 1, la temperatura de la superficie permanece constante en el valor especificado de Ts, y aumenta en forma gradual dentro del medio, conforme el calor penetra a mayor profundidad. Nótese que en el transcurso de los periodos iniciales sólo una delgada rebanada cercana a la superficie resulta afectada por la transferencia de calor. Asimismo, el gradiente de temperatura en la superficie y, como consecuencia, la rapidez de la transferencia de calor hacia dentro del sólido disminuyen con el tiempo. En el caso 2, se suministra calor al sólido en forma continua; de este modo, la temperatura dentro del mismo, incluida la superficie, aumenta con el tiempo. Éste también es el caso con la convección (caso 3), excepto que la temperatura T del fluido circundante es la más alta a la que puede llegar la del cuerpo sólido. En el caso 4, la superficie se expone a una ráfaga instantánea de suministro de calor en el instante t
0, como calentamiento por medio de un pulso de láser, y a continuación se cubre con aislamiento. El resultado es una elevación instantánea en la temperatura de la superficie, seguida por una caída conforme el calor es conducido a mayor profundidad dentro del sólido. Nótese que el perfil de temperaturas siempre es normal a la superficie en todo momento. (¿Por qué?) En la figura 4-30 se muestra la gráfica de la variación de la temperatura con la posición y el tiempo en un sólido semiinfinito expuesto a transferencia de calor por convección, para la temperatura en forma adimensional contra la variable adimensional de semejanza h
x/24at, para varios valores del parámetro h 2at / k. Aunque la solución gráfica dada en la figura 4-30 es sencillamente una gráfica de la solución analítica exacta, está sujeta a errores de lectura y, por lo tanto, tiene una exactitud limitada en comparación con la solución analítica. Asimismo, los valores en el eje vertical de la figura 4-30 corresponden a x = 0, por lo que representan la temperatura en la superficie. La curva h 1at / k
 corresponde a h → , lo cual corresponde al caso de la temperatura especificada T en la superficie, en x
0. Es decir, el caso en el que la superficie del cuerpo semiinfinito se lleve en forma repentina a la temperatura T en t
0, y se mantenga en ella en todo momento puede manejarse al hacer tender h al infinito. Para un coeficiente h finito de transferencia de calor, la temperatura en la superficie tiende a la del fluido, T, conforme el tiempo t tiende al infinito. ˛ ˛ http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 253 253 CAPÍTULO 4 (a
2.31 FIGURA 4-29 Variaciones de la temperatura con la posición y el tiempo en un bloque grande de hierro fundido 105 m2/s, k
80.2 W/m · C), inicialmente a 0°C, en condiciones térmicas diferentes en la superficie. Contacto de dos sólidos semiinfinitos Cuando se ponen en contacto dos cuerpos grandes A y B, inicialmente a las temperaturas uniformes TA,i y TB,i, logran en forma instantánea la igualdad de temperatura en la superficie de contacto (la igualdad de temperatura se logra sobre la superficie completa si la resistencia de contacto es despreciable). Si los dos cuerpos son del mismo material, con propiedades constantes, la simetría térmica requiere que la temperatura de la superficie de contacto sea el promedio aritmético, Ts
(TA,i TB,i)/2, y que permanezca constante en ese valor en todo tiempo. http://librosysolucionarios.net Cengel_04A.qxd 2/14/11 1:55 PM Page 254 254 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO 1.0 0.8 0.6 Ambiente T(x, t) T∞, h 0.4 0.3 T(x, t)Ti T∞ Ti o 1 T(x, t)T∞ Ti T∞ x 0.2 0.1 0.08 0.06 0.2 1 2 0.5 0.7 0.4 0.3 3 ∞ 0.1 0.04 0.05 0.03 0.02 h at = 0.02 k 0.01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 x h= 2 at FIGURA 4-30 Variación de la temperatura con la posición y el tiempo en un sólido semiinfinito, inicialmente a la temperatura Ti, expuesto a convección en un medio ambiente a T, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de h (gráfica trazada con el uso de EES). Incluso se obtendrá una temperatura de superficie de contacto constante si los cuerpos son de materiales diferentes, pero, en este caso, la temperatura de la superficie, Ts, será diferente del promedio aritmético. Si se considera que los dos cuerpos pueden tratarse como sólidos semiinfinitos con la misma temperatura especificada en la superficie, con base en las ecuaciones 4-45 el balance de energía en la superficie de contacto da (krcp)B TA, i  Ts kA(Ts  TA,i) kB(Ts  TB, i) # # qs, A
qs, B → 
→
Ts  TB, i B (krcp)A 2paAt 2paBt ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ Entonces se determina que la temperatura Ts es (figura 4-31) Ts
TA, i A Ts B TB, i FIGURA 4-31 Contacto de dos sólidos semiinfinitos de temperaturas iniciales diferentes. 2(krcp)ATA,i 2(krcp)A 2(krcp)BTB,i 2(krcp)B (4-49) Por lo tanto, la temperatura de la interfase de dos cuerpos que se ponen en contacto es dominada por el cuerpo con el krcp más grande. Esto también explica por qué un metal a la temperatura ambiente se siente más frío que la madera a la misma temperatura. A la temperatura ambiente, el valor 1krcp es 24 kJ/m2 · °C para el aluminio, 0.38 kJ/m2 · °C para la madera y 1.1 kJ/m2 · °C para la carne humana. Si se usa la ecuación 4-49, puede demostrarse que cuando una persona con una temperatura en la piel de 35°C toca un bloque de aluminio y a continuación uno de madera, ambos a 15°C, la temperatura de la superficie de contacto será de 15.9°C, en el caso del aluminio, y de 30°C, en el de la madera. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 255 255 CAPÍTULO 4 EJEMPLO 4-6 Profundidad mínima de entierro de los tubos de agua para evitar el congelamiento En zonas en donde la temperatura del aire permanece por debajo de 0°C durante periodos prolongados, el congelamiento del agua en los tubos subterráneos es una preocupación importante. Por fortuna, el suelo permanece relativamente caliente durante esos periodos y pasan semanas para que las temperaturas por debajo del punto de congelación lleguen hasta las tuberías de agua que están enterradas. Por lo tanto, el suelo sirve de manera efectiva como un aislamiento para proteger el agua contra las temperaturas por debajo del punto de congelación en el invierno. En un lugar particular, el piso se cubre con una capa de nieve a –10°C durante un periodo continuo de tres meses y las propiedades promedio del suelo en ese lugar son k
0.4 W/m · °C y a
0.15  10–6 m2/s (figura 4-32). Si se supone una temperatura inicial uniforme de 15°C para el suelo, determine la profundidad mínima de entierro para impedir que los tubos de agua se congelen. SOLUCIÓN Los tubos de agua se entierran en el suelo para impedir la congelación. Se debe determinar la profundidad mínima de entierro en un lugar en particular. Suposiciones 1 La temperatura del suelo es afectada sólo por las condiciones térmicas en una superficie y, por lo tanto, dicho suelo se puede considerar como un medio semiinfinito. 2 Las propiedades térmicas del suelo son constantes. Propiedades En el enunciado del problema se dan las propiedades del suelo. Análisis En el caso de la profundidad mínima de entierro, la temperatura del suelo que rodea los tubos será de 0°C después de tres meses. Por lo tanto, a partir de la figura 4-30, se tiene 2at at
 h2 k (yaque queh h→→ ) (ya ) T (x, t )  Ti T  Ti
0  15
0.6 10  15 ∂ h
x 22at
0.36 Se nota que t
(90 días)(24 h/día)(3 600 s/h)
7.78  106 s y de donde x 2h 2at 2 0.36 2(0.15 10 6 m2/s)(7.78 106 s) 0.78 m Por lo tanto, los tubos de agua deben enterrarse a una profundidad de por lo menos 78 cm para evitar el congelamiento en las severas condiciones invernales específicas. SOLUCIÓN ALTERNATIVA También pudo determinarse la solución de este problema a partir de la ecuación 4-45: T (x, t ) Ti Ts Ti erfc a b 2 2at x 0 15 10 15 ⎯→ x erfc a b 2 2at 0.60 Con base en la tabla 4-4, se determina que el argumento que corresponde a este valor de la función complementaria de error es h
0.37. Por lo que, x 2h 2at 2 0.37 2(0.15 10 6 m2/s)(7.78 106 s) 0.80 m Una vez más, la ligera diferencia se debe al error de lectura del diagrama. http://librosysolucionarios.net Ts = –10°C Suelo x Tubo de agua Ti = 15°C FIGURA 4-32 Esquema para el ejemplo 4-6. Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:30 PM Page 256 256 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO . qs = 1 250 W/m2 EJEMPLO 4-7 Bloque de madera Elevación de la temperatura de la superficie en bloques calentados Un bloque grueso de madera pintado de negro y a 20°C es expuesto a un flujo constante de calor solar de 1 250 W/m2 (figura 4-33). Determine la temperatura alcanzada en la superficie expuesta del bloque después de 20 minutos. ¿Cuál sería su respuesta si el bloque estuviera hecho de aluminio? Ti20°C FIGURA 4-33 Esquema para el ejemplo 4-7. SOLUCIÓN Se expone un bloque de madera a flujo de calor solar. Debe determinarse la temperatura de la superficie del bloque y compararse con el valor para un bloque de aluminio. Suposiciones 1 Toda la radiación solar incidente es absorbida por el bloque. 2 Se descarta la pérdida de calor desde el bloque (y, por consiguiente, el resultado que se obtenga es la temperatura máxima). 3 El bloque es suficientemente grueso como para ser considerado un sólido semiinfinito y las propiedades del mismo son constantes. Propiedades Los valores de la conductividad y difusividad térmica a temperatura ambiente son k
1.26 W/m · K y a
1.1  10–5 m2/s, para la madera, y k
237 W/m · K y a
9.71  10–5 m2/s, para el aluminio. Análisis Éste es un problema de conducción transitoria en un medio semiinfinito expuesto a flujo constante de calor en la superficie; con base en la ecuación 4-46, la temperatura de la superficie se puede expresar como Ts
T(0, t)
Ti  # qs 4at kB p Si se sustituyen los valores dados, se determina que las temperaturas superficiales tanto para la madera como para el aluminio son Ts, madera wood
20C  Ts, Al
20C  160 140 T, °C 120 100 80 Madera 60 40 20 Aluminio 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Distancia x desde la superficie, m FIGURA 4-34 Variación de la temperatura dentro de los bloques de madera y de aluminio en t
20 min. 4(1.1  10 5 m2s)(20  60 s) 1 250W/m 1250 Wm2 149°C
149C p 1.26 Wm  C B 4(9.71  10 5 m2s)(20  60 s)
22.0C 22.0°C p 237 Wm  C B 11250 250W/m Wm22 Nótese que la energía térmica suministrada a la madera se acumula cerca de la superficie, debido a la conductividad y difusividad bajas de la misma, lo que causa que la temperatura de la superficie aumente hasta valores elevados. Por otra parte, los metales conducen el calor que reciben hacia las partes interiores del bloque debido a su conductividad y difusividad altas, lo que da como resultado una elevación mínima de la temperatura en la superficie. En realidad, las dos temperaturas serán más bajas debido a las pérdidas de calor. Discusión Con el uso de EES, en la figura 4-34 se han evaluado y trazado las gráficas de los perfiles de temperaturas, en t
20 min, tanto para la madera como para el aluminio. A una profundidad de x
0.41 m, la temperatura de ambos bloques es 20.6°C. A una profundidad de 0.5 m, las temperaturas llegan a ser de 20.1°C, para el bloque de madera, y de 20.4°C, para el de aluminio, lo cual confirma que el calor penetra más y más rápido en los metales, en comparación con los no metales. 4-4 ■ CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN SISTEMAS MULTIDIMENSIONALES Se pueden usar los diagramas de temperatura transitoria y las soluciones analíticas presentados con anterioridad con el fin de determinar la distribución de temperatura y la transferencia de calor en problemas unidimensionales de http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 257 257 CAPÍTULO 4 conducción de calor asociados con una pared plana grande, un cilindro largo, una esfera y un medio semiinfinito. Por medio de un procedimiento de superposición llamado solución producto, también se pueden usar estos diagramas con el fin de construir soluciones para los problemas bidimensionales de conducción de calor en régimen transitorio que se encuentran en configuraciones geométricas como un cilindro corto, una barra rectangular larga o un cilindro o placa semiinfinitos, e incluso problemas tridimensionales asociados con configuraciones como un prisma rectangular o una barra rectangular semiinfinita, siempre que todas las superficies del sólido estén sujetas a convección hacia el mismo fluido a la temperatura T, como el mismo coeficiente de transferencia de calor h, y que el cuerpo no genere calor (figura 4-35). En esas configuraciones geométricas multidimensionales, la solución se puede expresar como el producto de las soluciones para las configuraciones geométricas unidimensionales cuya intersección es la geometría multidimensional. Considere un cilindro corto de altura a y radio ro, inicialmente a una temperatura Ti. No hay generación de calor en el cilindro. En el instante t
0, el cilindro se sujeta a convección desde todas las superficies hacia un medio a la temperatura T, con un coeficiente de transferencia de calor h. La temperatura dentro del cilindro cambiará con x así como con r y el tiempo t, ya que se tiene transferencia de calor desde las superficies superior e inferior del cilindro así como desde su superficie lateral. Es decir, T
T(r, x, t) y, por consiguiente, éste es un problema bidimensional de conducción de calor en régimen transitorio. Cuando se supone que las propiedades son constantes, se puede demostrar que la solución de este problema bidimensional se puede expresar como T(r, x, t)  T Ti  T
 cilindro corto
T(x, t)  T Ti  T
T(r, t)  T Ti  T 
pared plana  cilindro infinito t)
t)
cil(r, t)
semiinf(x, T(x, t)  T Ti  T
 T(x, t)  T Ti  T (4-51) sólido semiinfinito Por ejemplo, la solución para una barra sólida larga, cuya sección transversal es un rectángulo de a  b, es la intersección de las dos paredes planas infinitas de espesores a y b, como se muestra en la figura 4-37 y, por consiguiente, la distribución de temperatura transitoria para esta barra rectangular se puede expresar como T(x, y, t)  T Ti  T
 barra rectangular
pared(x, t) pared(y, T h T(r, x,t) Transferencia de calor b) Cilindro corto (bidimensional) FIGURA 4-35 La temperatura en un cilindro corto expuesto a convección desde todas las superficies varía tanto en la dirección radial como en la axial y, por lo tanto, el calor se transfiere en las dos direcciones. T h Pared plana a FIGURA 4-36 cilindro infinito  a) Cilindro largo Cilindro largo 
Transferencia de calor T(r,t) ro pared plana T(r, t)  T Ti  T
T h (4-50) Es decir, la solución para el cilindro corto bidimensional de altura a y radio ro es igual al producto de las soluciones sin dimensiones para la pared plana unidimensional de espesor a y el cilindro largo de radio ro, las cuales son las dos configuraciones geométricas cuya intersección es el cilindro corto, como se muestra en la figura 4-36. Esto se generaliza como sigue: la solución para una configuración geométrica multidimensional es el producto de las soluciones de las geometrías unidimensionales cuya intersección es el cuerpo multidimensional. Por conveniencia, las soluciones unidimensionales se denotan por pared(x, T h t) (4-52) En la tabla 4-5 se dan las formas apropiadas de las soluciones productos para algunas otras configuraciones geométricas. Es importante observar que en un http://librosysolucionarios.net Un cilindro corto de radio ro y altura a es la intersección de un cilindro largo de radio ro y una pared plana de espesor a. Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 258 258 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO TABLA 4-5 Soluciones multidimensionales expresadas como productos de soluciones unidimensionales para cuerpos que están inicialmente a una temperatura uniforme Ti y expuestos a convección desde todas sus superficies hacia un medio a T x 0 ro r r x q(r, t) = qcil(r, t) Cilindro infinito r q(x,r,t) = qcil (r,t) qpared (x, t) Cilindro corto q(x,r,t) = qcil (r,t) qsemiinf (x,t) Cilindro semiinfinito y x x y z q(x, t) = qsemiinf (x, t) Medio semiinfinito q(x,y,t) = qsemiinf (x,t) qsemiinf (y,t) Medio un cuarto de infinito x q(x, y, z, t) = qsemiinf (x,t) qsemiinf (y,t) qsemiinf (z, t) Región de la esquina de un medio grande 2L 2L y 0 x L x y z q(x, t) = qpared(x, t) Placa infinita (o pared plana) q(x, y, t) = qpared (x,t) qsemiinf (y,t) Placa semiinfinita x q(x,y,z,t) = qpared (x,t) qsemiinf (y,t) qsemiinf (z , t) Placa un cuarto de infinito y x z y x z y x q(x, y, t) = qpared(x, t)qpared(y, t) Barra rectangular infinita q(x,y,z,t) = qpared (x,t) qpared (y,t) qsemiinf (z ,t) Barra rectangular semiinfinita http://librosysolucionarios.net q(x,y,z,t) = qpared (x,t) qpared (y,t) qpared (z , t) Paralelepípedo rectangular Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 259 259 CAPÍTULO 4 sólido semiinfinito la coordenada x se mide desde la superficie y desde el plano medio, en una pared plana. La distancia radial r siempre se mide desde la línea central. Note que la solución de un problema bidimensional comprende el producto de dos soluciones unidimensionales, en tanto que la solución de un problema tridimensional comprende el producto de tres soluciones unidimensionales. También se puede aplicar una forma modificada de la solución producto para determinar la transferencia de calor total hacia una configuración geométrica multidimensional o desde ésta, en régimen transitorio, utilizando los valores unidimensionales, como demostró L. S. Langston en 1982. La transferencia de calor en régimen transitorio para una configuración geométrica bidimensional formada por la intersección de dos configuraciones unidimensionales 1 y 2 es a Q b Qmáx total, 2D a Q b Qmáx 1 Q aQ b c1 máx 2 a Q b d Qmáx 1 (4-53) La transferencia de calor en régimen transitorio para un cuerpo tridimensional formado por la intersección de tres cuerpos unidimensionales, 1, 2 y 3, queda dada por a Q b Qmáx total, 3D a Q b Qmáx 1 a a Q b c1 Qmáx 3 Q b c1 Qmáx 2 a a Q b d 1c Qmáx 1 Q b d Qmáx 1 a Q b d Qmáx 2 (4-54) En los ejemplos siguientes se ilustra el uso de la solución producto en los problemas bidimensionales y tridimensionales de conducción de calor en régimen transitorio. EJEMPLO 4-8 Enfriamiento de un cilindro corto de latón Un cilindro corto de latón de diámetro D
10 cm y altura H
12 cm está inicialmente a una temperatura uniforme Ti
120°C. Ahora el cilindro se coloca en aire atmosférico a 25°C, donde la transferencia de calor tiene lugar por convección, con un coeficiente de transferencia de calor de h
60 W/m2 · °C. Calcule la temperatura en a) el centro del cilindro y b) el centro de la superficie superior del cilindro 15 min después del inicio del enfriamiento. SOLUCIÓN Un cilindro corto se deja enfriar en aire atmosférico. Deben determinarse las temperaturas en los centros del cilindro y en la superficie superior. Suposiciones 1 La conducción de calor en el cilindro corto es bidimensional y, por lo tanto, la temperatura varía tanto en la dirección x axial como en la r radial. 2 Las propiedades térmicas del cilindro y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. 3 El número de Fourier es t 0.2, de modo que pueden aplicarse las soluciones aproximadas de un término. Propiedades Las propiedades del latón a la temperatura ambiente son k
110 W/m · °C y
33.9  10–6 m2/s (tabla A-3). Se pueden obtener resultados más exactos usando las propiedades a la temperatura promedio. Análisis a) Este cilindro corto se puede formar físicamente por la intersección de un cilindro largo de radio ro
5 cm y una pared plana de espesor 2L
12 http://librosysolucionarios.net Pared plana T h b Pared plana a FIGURA 4-37 Una barra sólida larga de perfil rectangular a  b es la intersección de dos paredes planas de espesores a y b. Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 260 260 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO T = 25°C h = 60 W/ m2 · °C x 0 cm, como se muestra en la figura 4-38. A partir de la figura 4-16a) se determina que la temperatura adimensional en el centro de la pared plana es L r Ti = 120°C t
ro  at (3.39  105 m2/s)(900 s)

8.48 L2 (0.06 m)2 1 k 110 W/m · °C

Bi hL (60 W/m2 · °C)(0.06 m)
30.6 L upared(0, t )
T (0, t ) T
0.8 Ti T De manera análoga, en el centro del cilindro, se tiene FIGURA 4-38 Esquema para el ejemplo 4-8. t
 at (3.39  105 m2/s)(900 s)

12.2 ro2 (0.05 m)2 1 k 110 W/m · °C

36.7
Bi hro (60 W/m2 · °C)(0.05 m) ucil(0, t )
T (0, t ) T
0.5 Ti T Por lo tanto, T (0, 0, t )  T Ti  T
 cilindro corto
upared(0, t )  ucil(0, t )
0.8  0.5
0.4 y T (0, 0, t )
T  0.4(Ti  T)
25  0.4(120  25)
63°C Ésta es la temperatura en el centro del cilindro corto, el cual también es el centro del cilindro largo y de la placa. b) El centro de la superficie superior del cilindro todavía es el centro del cilindro largo (r
0), pero en la superficie exterior de la pared plana (x
L). Por lo tanto, en primer lugar se necesita hallar la temperatura superficial de la pared. Dado que x
L
0.06 m,  x 0.06 m
1
L 0.06 m 1 k 110 W/m · °C

Bi hL (60 W/m2 · °C)(0.06 m)
30.6 T (L, t ) T
0.98 T0o T Entonces upared(L, t )


 T (L, t ) T To0 T T (L, t ) T

0.98  0.8
0.784 Ti T Ti T T0o T Por lo tanto,
T (L, 0, t ) T Ti T  cilindro corto
upared(L, t )ucil(0, t )
0.784  0.5
0.392 y T(L, 0, t )
T  0.392(Ti  T)
25  0.392(120  25)
62.2°C que es la temperatura en el centro de la superficie superior del cilindro. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:32 PM Page 261 261 CAPÍTULO 4 EJEMPLO 4-9 Transferencia de calor desde un cilindro corto Determine la transferencia de calor total desde el cilindro corto de latón (r
8 530 kg/m3, cp
0.380 kJ/kg · °C) discutido en el ejemplo 4-8. SOLUCIÓN En principio, se determina el calor máximo que se puede transferir desde el cilindro, el cual es el contenido de energía sensible de éste en relación con su medio ambiente: m
rV
rpro2 L
(8 530 kg/m3)p(0.05 m)2(0.12 m)
8.04 kg Qmáx
mcp(Ti  T)
(8.04 kg)(0.380 kJ/kg · °C)(120  25)°C
290.2 kJ En seguida, se determina la transferencia adimensional de calor para las dos configuraciones geométricas. Para la pared plana, de la figura 4-16c) se determina que es Bi
1 1
0.0327
1/Bi 30.6

h22at t
Bi Bi22t
(0.0327)2(8.48)
0.0091 k2 De manera análoga, para el cilindro, se tiene Bi
1 1
0.0272
1/Bi 36.7 h22at t
Bi Bi22t
(0.0272)2(12.2)
0.0090 k2 Q  Q pared máx plana
0.23 Q  Q máx cilindro infinito
0.47 Entonces, por la ecuación 4-53, la razón de la transferencia de calor para el cilindro corto es a Q b Qmáx cilindro corto Q a b Qmáx 1 0.23 Q a b c1 Qmáx 2 0.47(1 0.23) Q a b d Qmáx 1 0.592 Por lo tanto, la transferencia de calor total desde el cilindro durante los primeros 15 min de enfriamiento es Q
0.592Qmáx
0.592  (290.2 kJ)
172 kJ EJEMPLO 4-10 Enfriamiento de un cilindro largo por agua Un cilindro semiinfinito de aluminio de diámetro D
20 cm está inicialmente a una temperatura uniforme Ti
200°C. Ahora se coloca el cilindro en agua a 15°C donde la transferencia de calor tiene lugar por convección, con un coeficiente de transferencia de calor de h
120 W/m2 · °C. Determine la temperatura en el centro del cilindro a 15 cm de la superficie de uno de sus extremos, 5 min después del inicio del enfriamiento. SOLUCIÓN Un cilindro semiinfinito de aluminio se enfría por agua. Debe determinarse la temperatura en el centro del cilindro a 15 cm de la superficie del extremo. Suposiciones 1 La conducción de calor en el cilindro semiinfinito es bidimensional y, por lo tanto, la temperatura varía tanto en la dirección x axial como en la http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 262 262 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO T = 15°C h = 120 W/ m2 · °C Ti = 200°C D = 20 cm x x = 15 cm 0r r radial. 2 Las propiedades térmicas del cilindro y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. 3 El número de Fourier es t 0.2, de modo que pueden aplicarse las soluciones aproximadas de un término. Propiedades Las propiedades del aluminio a la temperatura ambiente son k
237 W/m · °C y a
9.71  10–6 m2/s (tabla A-3). Se pueden obtener resultados más exactos usando las propiedades a la temperatura promedio. Análisis El cilindro semiinfinito se puede formar físicamente por la intersección de un cilindro infinito de radio ro
10 cm y un medio semiinfinito, como se muestra en la figura 4-39. Se resuelve este problema por medio de la relación de un término para el cilindro y la solución analítica para el medio semiinfinito. En primer lugar, se considera el cilindro infinitamente largo y se evalúa el número de Biot: FIGURA 4-39 Esquema para el ejemplo 4-10. Bi
hro (120 W/m2 · °C)(0.1 m)

0.05 237 W/m · °C k A partir de la tabla 4-2, se determina que los coeficientes l1 y A1 para un cilindro, correspondientes a este Bi son l1
0.3126 y A1
1.0124. En este caso, el número de Fourier es t
at (9.71  105 m2/s)(5  60 s)
2.91
ro2 (0.1 m)2 0.2 y, por lo tanto, se puede aplicar la aproximación de un término. Al sustituir estos valores en la ecuación 4-27 da u0
ucil(0, t )
A1e 2 1t
1.0124e(0.3126) (2.91)
0.762 2 La solución para el sólido semiinfinito se puede determinar a partir de 1 usemiinf(x, t ) erfc a x 22at b h 2at x b cerfc a k2 2 2at hx k exp a h 2at bd k En primer lugar, se determinan las diversas cantidades entre paréntesis: h
0.15 m x
0.44
2 att 2 (9.71  105 m2/s)(5  60 s) h att (120 W/m2 · °C) (9.71  105 m2/s)(300 s)

0.086 237 W/m · °C k hx (120 W/m2 · °C)(0.15 m)
0.0759
237 W/m · °C k
h att h22att
k k2 2 
(0.086)
0.0074 2 Al sustituir y evaluar las funciones complementarias de error, con base en la tabla 4-4, usemiinf(x, t )
1  erfc (0.44)  exp (0.0759  0.0074) erfc (0.44  0.086)
1  0.5338  exp (0.0833)  0.457
0.963 http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 263 263 CAPÍTULO 4 Ahora se aplica la solución producto para obtener T (x, 0, t )  T Ti  T
 cilindro semiinfinito
usemiinf(x, t )ucil(0, t )
0.963  0.762
0.734 y T (x, 0, t )
T  0.734(Ti  T)
15  0.734(200  15)
151°C la cual es la temperatura en el centro del cilindro a 15 cm de la superficie inferior expuesta. EJEMPLO 4-11 Refrigeración de bisteces evitando al mismo tiempo la quemadura por el frío En una planta de procesamiento de carne se deben enfriar bisteces de 1 in de grueso, que están inicialmente a 75°F, en las rejillas de un refrigerador grande que se mantiene a 5°F (figura 4-40). Los bisteces se colocan cercanos entre sí, de modo que la transferencia de calor desde los bordes de 1 in de espesor es despreciable. El bistec completo se debe enfriar por debajo de 45°F, pero su temperatura no debe caer por debajo de 35°F en cualquier punto durante la refrigeración para evitar la “quemadura por el frío”. El coeficiente de transferencia de calor por convección y, por lo tanto, la razón de la transferencia de calor desde el bistec se puede controlar al variar la velocidad de un ventilador que hace circular el aire en el interior. Determine el coeficiente de transferencia de calor h que permitirá satisfacer las dos restricciones con respecto a la temperatura, manteniendo a la vez el tiempo de refrigeración en un mínimo. El bistec se puede tratar como una capa homogénea que tiene las propiedades r
74.9 lbm/ft3, Cp
0.98 Btu/lbm · °F, k
0.26 Btu/h · ft · °F y a
0.0035 ft2/h. SOLUCIÓN Se deben enfriar bisteces en un refrigerador que se mantiene a 5°F. Debe determinarse el coeficiente de transferencia de calor por convección que permite el enfriamiento de los bisteces por debajo de 45°F, evitando al mismo tiempo la quemadura por el frío. Suposiciones 1 La conducción de calor a través de los bisteces es unidimensional, ya que éstos forman una capa grande en relación con su espesor y se tiene simetría térmica con respecto al plano central. 2 Las propiedades térmicas de los trozos de bistec y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. 3 El número de Fourier es t 0.2, de modo que pueden aplicarse las soluciones aproximadas de un término. Propiedades Las propiedades de los bisteces se dan en el enunciado del problema. Análisis En un instante dado se tendrá la temperatura más baja en las superficies del bistec y la más alta en el centro, ya que la parte interior será el último lugar en enfriarse. En el caso límite, la temperatura superficial en x
L
0.5 in a partir del centro será de 35°F, en tanto que la del plano central es de 45°F en un medio ambiente a 5°F. Entonces, de la figura 4-16b), se obtiene x 0.5 in
1
L 0.5 in  T (L, t )  T 35  5

0.75 T0o  T 45  5 k 1

1.5 Bi hL lo cual da h
1 k 0.26 Btu/h · ft · °F

4.16 Btu/h · ft2 · °F 1.5 L 1.5(0.5/12 ft) http://librosysolucionarios.net 5°F 35°F Bistec 1 in FIGURA 4-40 Esquema para el ejemplo 4-11. Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 264 264 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO Discusión Con el fin de satisfacer las restricciones sobre la temperatura del bistec durante la refrigeración, el coeficiente de transferencia de calor por convección debe mantenerse por debajo de este valor. También se pueden satisfacer las restricciones por medio de un coeficiente de transferencia de calor más bajo, pero al hacerlo se extendería el tiempo de refrigeración de manera innecesaria. Se pueden pasar por alto las restricciones inherentes al uso de los diagramas de Heisler y las soluciones de un término (o cualesquiera otras soluciones analíticas) al aplicar los métodos numéricos que se discuten en el capítulo 5. TEMA DE INTERÉS ESPECIAL* Refrigeración y congelación de alimentos Población de microorganismos Retardo Control de los microorganismos en los alimentos Desarrollo exponencial Muerte Tiempo FIGURA 4-41 Curva típica de desarrollo de los microorganismos. 50 MEDIO AMBIENTE 0 100 % Temperatura Nivel de oxígeno Humedad relativa Movimiento del aire ALIMENTO Contenido de agua Composición química Nivel de contaminación Uso de inhibidores Nivel de pH FIGURA 4-42 Factores que afectan la velocidad de desarrollo de los microorganismos. Los microorganismos como las bacterias, las levaduras, los mohos y los virus se encuentran en el aire, el agua, el suelo, los organismos vivos y los productos alimenticios no procesados, y causan sabores y olores fuera de lo común, producción de baba, cambios en la textura y el aspecto y, al final, corrupción de los alimentos. El mantenimiento de los alimentos perecederos a temperaturas cálidas es la causa principal de su corrupción y la prevención de ésta y de la degradación prematura de la calidad debida a los microorganismos es el área más grande de aplicación de la refrigeración. El primer paso en el control de los microorganismos es entender qué son y los factores que influyen en su transmisión, desarrollo y destrucción. De las diversas clases de microorganismos, las bacterias constituyen la causa principal de la corrupción de los alimentos, en especial los húmedos. Los alimentos secos y ácidos crean un medio ambiente indeseable para el desarrollo de las bacterias, pero no para el de las levaduras y los mohos. Los mohos también se encuentran sobre las superficies húmedas, el queso y los alimentos corruptos. En ciertos animales y humanos se encuentran virus específicos y las malas prácticas sanitarias, como la de mantener los alimentos procesados en la misma área que los no cocinados, y no tener el cuidado de lavarse las manos, pueden causar la contaminación de los productos alimenticios. Cuando ocurre la contaminación, los microorganismos empiezan a adaptarse a las nuevas condiciones ambientales. Este periodo inicial lento y sin desarrollo se llama fase de retardo y la vida en anaquel de un producto alimenticio es directamente proporcional a la duración de esta fase (figura 4-41). Al periodo de adaptación le sigue uno de desarrollo exponencial durante el cual la población de microorganismos puede duplicarse dos o más veces cada hora, en condiciones favorables, a menos que se tomen medidas sanitarias drásticas. El agotamiento de los nutrientes y la acumulación de toxinas desaceleran el desarrollo e inician el periodo de muerte. La velocidad de desarrollo de los microorganismos en un artículo alimenticio depende tanto de las características del propio alimento como de la estructura química, el nivel de pH, la presencia de inhibidores y microorganismos competidores, del contenido de agua así como de las condiciones ambientales, como la temperatura y la humedad relativa del medio ambiente y el movimiento del aire (figura 4-42). Los microorganismos necesitan alimento para crecer y multiplicarse y sus necesidades de nutrición son satisfechas con facilidad por los carbohidratos, *Esta sección se puede pasar por alto sin pérdida de continuidad. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 265 265 CAPÍTULO 4 las proteínas, los minerales y las vitaminas de un alimento. Diferentes tipos de microorganismos tienen necesidades diferentes de nutrición y los tipos de nutrientes de un alimento determinan los tipos de microorganismos que se pueden alojar en ellos. Los preservativos agregados al alimento también pueden inhibir el desarrollo de ciertos microorganismos. Las clases diferentes de microorganismos que existen compiten por la misma fuente de alimentos y, por consiguiente, la composición de los microorganismos que existen en un alimento en cualquier instante depende de la composición inicial de ellos. Todos los organismos vivos necesitan agua para crecer y los microorganismos no pueden crecer en los alimentos que no están suficientemente húmedos. El desarrollo microbiológico en los alimentos refrigerados como las frutas frescas, los vegetales y las carnes se inicia en las superficies expuestas, donde es más probable que ocurra la contaminación. La carne fresca en un paquete que se deja en una habitación se estropeará con rapidez, como es probable que el lector haya advertido. Por otra parte, un canal de carne colgado en un medio ambiente controlado envejecerá sanamente como resultado de la deshidratación en la superficie exterior, lo cual inhibe el desarrollo microbiológico ahí y protege el canal. El desarrollo de los microorganismos en un artículo alimenticio está regido por los efectos combinados de las características del alimento y los factores ambientales. No se puede hacer mucho con respecto a las características del alimento, pero con toda certeza se pueden alterar las condiciones ambientales para llevarlas hacia niveles más deseables a través de la calefacción, el enfriamiento, la ventilación, la humidificación, la deshumidificación y el control de los niveles de oxígeno. La velocidad de desarrollo de los microorganismos en los alimentos depende principalmente de la temperatura, y el control de ésta es el mecanismo más eficaz para controlar esa velocidad. El mejor desarrollo de los microorganismos ocurre a las temperaturas “cálidas”, por lo común entre 20 y 60°C. La rapidez de desarrollo declina a las temperaturas altas y ocurre la muerte a temperaturas todavía más elevadas, por lo general arriba de 70°C para la mayor parte de los microorganismos. El enfriamiento es una manera eficaz y práctica de reducir la velocidad de desarrollo de los microorganismos y, de este modo, la extensión de la vida en anaquel de los alimentos perecederos. Una temperatura de refrigeración de 4°C o inferior se considera segura. A veces, un pequeño incremento en la temperatura de refrigeración puede causar un aumento grande en la velocidad de desarrollo y, por lo tanto, una disminución considerable de la vida en anaquel del alimento (figura 4-43). Por ejemplo, la velocidad de desarrollo de algunos microorganismos se duplica por cada 3°C de aumento en la temperatura. Otro factor que afecta el desarrollo y la transmisión microbiológicos es la humedad relativa del medio ambiente, que es una medida del contenido de agua del aire. En los cuartos fríos debe evitarse la alta humedad relativa, ya que la condensación que se forma sobre las paredes y el techo crea el medio ambiente apropiado para el desarrollo y acumulación de mohos. El goteo del condensado contaminado sobre los productos alimenticios en el cuarto representa un riesgo potencial para la salud. Los diferentes microorganismos reaccionan de manera distinta a la presencia de oxígeno. Algunos microorganismos, como los mohos, requieren oxígeno para desarrollarse, en tanto que algunos no pueden desarrollarse en presencia del mismo. Algunos tienen su mejor desarrollo en ambientes con poco oxígeno, en tanto que otros se desarrollan sin importar la cantidad de éste. Por lo tanto, se puede controlar el desarrollo de ciertos microorganismos mediante el control de la cantidad de oxígeno en el medio ambiente. Por ejemplo, el empaque al vacío inhibe el desarrollo de los microorganismos que requieren oxíge- http://librosysolucionarios.net Velocidad de desarrollo Temperatura FIGURA 4-43 La velocidad de desarrollo de los microorganismos en un producto alimenticio aumenta en forma exponencial con el aumento de la temperatura ambiental. Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 266 266 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO Z Z Z Microorganismos Alimento congelado FIGURA 4-44 La congelación puede detener el desarrollo de los microorganismos, pero no los mataría. Congelador Refrigerador –18 a –35°C 1 a 4°C no. También se puede extender la vida en almacenamiento de algunas frutas reduciendo el nivel de oxígeno en el cuarto en el que se almacenen. Los microorganismos en los productos alimenticios se pueden controlar 1) impidiendo la contaminación al seguir prácticas sanitarias estrictas, 2) inhibiendo el desarrollo al alterar las condiciones ambientales y 3) destruyendo los organismos por tratamiento con calor o mediante productos químicos. La mejor manera de minimizar la contaminación en las áreas de procesamiento de alimentos es usar filtros finos de aire en los sistemas de ventilación para capturar las partículas de polvo que transportan las bacterias en el aire. Por supuesto, los filtros deben permanecer secos, ya que en los húmedos se pueden desarrollar microorganismos. Asimismo, el sistema de ventilación debe mantener una presión positiva en las áreas de procesamiento de los alimentos para impedir que se introduzcan por infiltración contaminantes transportados por el aire. La eliminación de la condensación sobre las paredes y el techo de la instalación y la desviación de las bandejas de goteo de la condensación en las tuberías de los refrigeradores hacia el sistema de drenaje son otras dos medidas preventivas contra la contaminación. Los sistemas de goteo deben limpiarse con regularidad para impedir el desarrollo microbiológico en ellos. También debe minimizarse todo contacto entre los productos alimenticios crudos y los cocinados, y estos últimos deben almacenarse en cuartos con presiones positivas. Los alimentos congelados deben mantenerse a –18°C o menos y se debe tener sumo cuidado cuando se empacan los productos alimenticios después de ser congelados, con el fin de evitar la contaminación durante el empaque. El desarrollo de los microorganismos se controla de la mejor manera manteniendo la temperatura y la humedad relativa del medio ambiente en el rango deseable. Por ejemplo, mantener la humedad relativa por debajo de 60% impide el desarrollo de todos los microorganismos sobre las superficies. Los microorganismos se pueden destruir calentando el producto alimenticio hasta temperaturas elevadas (por lo común, arriba de 70°C), tratándolos con productos químicos o exponiéndolos a la luz ultravioleta o a la radiación solar. Se debe establecer una distinción entre supervivencia y desarrollo de los microorganismos. Un microorganismo particular que puede no desarrollarse a cierta temperatura baja puede ser capaz de sobrevivir en ella durante mucho tiempo (figura 4-44). Por lo tanto, la congelación no es una manera eficaz de matar los microorganismos. De hecho, algunos cultivos de microorganismos se conservan congelándolos a temperaturas muy bajas. La velocidad de la congelación también es una consideración importante en la refrigeración de alimentos, ya que algunos microorganismos se adaptan a las bajas temperaturas y se desarrollan en ellas cuando el enfriamiento es muy lento. Refrigeración y congelación de los alimentos Alimentos congelados Alimentos frescos FIGURA 4-45 Temperaturas de refrigeración y de congelación recomendadas para la mayor parte de los alimentos perecederos. La vida en almacenamiento de los alimentos frescos perecederos, como las carnes, el pescado, los vegetales y las frutas se puede extender durante varios días almacenándolos a temperaturas escasamente arriba de la de congelación, por lo común entre 1 y 4°C. La vida en almacenamiento de los alimentos se puede extender durante varios meses congelándolos y almacenándolos a temperaturas por debajo de la de congelación, por lo común entre –18 y –35°C, dependiendo del alimento en particular (figura 4-45). La refrigeración retarda los procesos químicos y biológicos en los alimentos y el deterioro y pérdida de calidad y de nutrientes que los acompañan. El maíz dulce, por ejemplo, puede perder la mitad de su contenido inicial de azúcar en un día a 21°C, pero sólo 5% de él a 0°C. El espárrago fresco puede perder 50% de su contenido de vitamina C en un día a 20°C, pero se hará en 12 días a 0°C. La refrigeración también extiende la vida en anaquel de los pro- http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 267 267 CAPÍTULO 4 ductos. Por ejemplo, se puede retrasar en tres o más días la primera aparición del feo color amarillento del brócoli mediante la refrigeración. Los primeros intentos de congelar los artículos alimenticios condujeron a productos de mala calidad debido a los grandes cristales de hielo que se formaron. Se determinó que la velocidad de la congelación tiene un efecto importante sobre el tamaño de los cristales de hielo y, por ende, en la calidad, textura y las propiedades nutritivas y sensoriales de muchos alimentos. Durante la congelación lenta, los cristales de hielo pueden llegar hasta un tamaño grande, en tanto que durante la congelación rápida, un gran número de cristales de hielo se empiezan a formar a la vez y tienen un tamaño mucho más pequeño. Los cristales grandes de hielo no son deseables ya que pueden perforar las paredes de las células, causando una degradación de la textura y una pérdida de los jugos naturales durante la descongelación. Se forma una corteza con rapidez sobre la capa exterior del producto y sella los jugos, los aromas y los agentes que dan el sabor. La calidad del producto también resulta afectada de manera adversa por las fluctuaciones en la temperatura del cuarto de almacenamiento. La refrigeración común de alimentos comprende sólo el enfriamiento sin cambio de fase. Por otra parte, la congelación de los alimentos comprende tres etapas: el enfriamiento hasta el punto de congelación (eliminación del calor sensible), la congelación (eliminación del calor latente) y enfriamiento adicional hasta la temperatura deseada debajo de la de congelación (eliminación del calor sensible del alimento congelado), como se muestra en la figura 4-46. Temperatura Enfriamiento (arriba de la congelación) Inicio de la congelación Congelación Final de la congelación Enfriamiento (abajo de la congelación) Tiempo FIGURA 4-46 Curva de congelación típica de un producto alimenticio. Productos de carne de res Las reses abiertas en canal en los mataderos deben enfriarse tan rápido como sea posible hasta una temperatura de más o menos 1.7°C, con el fin de reducir la velocidad de desarrollo de los microorganismos que pueden estar presentes sobre las superficies de esos canales y, de este modo, minimizar la corrupción. Deben seleccionarse los niveles correctos de temperatura, humedad y movimiento del aire para impedir el encogimiento, el endurecimiento y la decoloración excesivos. La temperatura profunda del cuerpo de un animal es de alrededor de 39°C, pero tiende a elevarse un par de grados en las secciones de en medio, después de la matanza, como resultado del calor generado durante las reacciones biológicas que ocurren en las células. Por otra parte, la temperatura de las superficies expuestas tiende a caer como resultado de las pérdidas de calor. La parte más gruesa del canal es el cuarto trasero y el centro de éste es el último lugar en enfriarse durante el proceso de refrigeración. Por lo tanto, se puede monitorear de la mejor manera el enfriamiento del canal introduciendo un termómetro profundamente en la parte central del cuarto trasero. Alrededor de 70% del canal de carne de res es agua y se enfría en su mayor parte por enfriamiento evaporativo como resultado de la expulsión de la humedad hacia las superficies donde ocurre la evaporación. Pero este encogimiento se traduce en una pérdida de masa comerciable que puede equivaler a 2% de la masa total, durante un enfriamiento a lo largo de una noche. Para impedir una pérdida excesiva de masa, los canales suelen lavarse o rociarse con agua antes del enfriamiento. Con el cuidado adecuado, el enfriamiento con rocío puede eliminar el encogimiento del canal casi por completo. La masa total promedio de la carne preparada, que normalmente se divide en dos, es de alrededor de 300 kg y el calor específico promedio del canal es de más o menos 3.14 kJ/kg · °C (tabla 4-6). El cuarto de enfriamiento debe tener una capacidad igual a la de la matanza diaria del rastro, la cual puede ser de varios cientos. Un canal de carne de res se lava antes de que entre en el http://librosysolucionarios.net TABLA 4-6 Propiedades térmicas de la carne de res Cantidad Valor típico Densidad promedio 1 070 kg/m3 Calor específico: Arriba de la congelación 3.14 kJ/kg · °C Abajo de la congelación 1.70 kJ/kg · °C Punto de congelación –2.7°C Calor latente de fusión 249 kJ/kg Conductividad 0.41 W/m · °C térmica (a 6°C) Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 268 268 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO 40 FIGURA 4-47 Curva típica de enfriamiento de una res abierta en canal en los cuartos de enfriamiento y conservación a una temperatura promedio de 0°C (tomada de ASHRAE, Handbook: Refrigeration, Ref. 3, Cap. 11, Fig. 2). Temperatura, °C 30 Temp. máxima del canal (cuarto trasero profundo) Temp. prom. del canal (completo) 20 Temp. mínima del canal (superficie del cuello) 10 0 Temp. del aire del cuarto –10 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 Tiempo desde el inicio del enfriamiento, horas cuarto de enfriamiento y absorbe una gran cantidad de agua (alrededor de 3.6 kg) en su superficie durante el proceso de lavado. Sin embargo, esto no representa una ganancia neta de masa, ya que se pierde por goteo o evaporación en el cuarto de enfriamiento durante el proceso. Idealmente, el canal no gana ni pierde peso neto a medida que se enfría en dicho cuarto. Sin embargo, en realidad pierde alrededor de 0.5% de la masa total en el cuarto de conservación, a medida que sigue enfriándose. La pérdida real de producto se determina al pesar en primer lugar el canal seco, antes del lavado y, a continuación, se pesa una vez más después de que se enfría. La temperatura del aire refrigerado en el cuarto de enfriamiento de los canales de res debe ser suficientemente alta para evitar la congelación y la decoloración en las superficies exteriores del canal. Lo anterior requiere un largo tiempo de residencia en dicho cuarto para que los grandes canales logren enfriarse hasta la temperatura deseada. Los canales de res sólo se enfrían en forma parcial luego de una permanencia de una noche en el cuarto de enfriamiento. La temperatura de un canal cae de 1.7 a 7°C, en la superficie, y hasta más o menos 15°C en las partes de en medio del cuarto trasero, en 10 h. Se requiere de otro día o dos en el cuarto de conservación, mantenido a una temperatura entre 1 y 2°C, para completar el enfriamiento y la igualación de la temperatura. Pero los canales de cerdo se enfrían por completo durante ese periodo porque su tamaño es menor. La circulación del aire en el cuarto de conservación se mantiene en niveles mínimos con el fin de evitar la pérdida excesiva de humedad y la decoloración. La carga de refrigeración en el cuarto de conservación es mucho menor que en el de enfriamiento y, como consecuencia, requiere un sistema más pequeño de refrigeración. Los canales dirigidos a mercados distantes se embarcan al día siguiente de la matanza en camiones refrigerados, donde se realiza el resto del enfriamiento. Esta práctica hace posible entregar carne fresca a tiempo a largas distancias. En la figura 4-47 se muestra la variación en la temperatura del canal de res durante el enfriamiento. Inicialmente, el proceso de enfriamiento es dominado por la transferencia de calor sensible. Note que la temperatura promedio del canal se reduce en alrededor de 28°C (de 36 a 8°C) en 20 h. La velocidad de enfriamiento del canal podría aumentarse al bajar la temperatura del aire refrigerado y aumentar la velocidad del aire, pero ese tipo de medidas también aumenta el riesgo de congelación superficial. La mayor parte de las carnes se juzgan en relación con su suavidad y la conservación de ésta es una consideración importante en la refrigeración y congelamiento. La carne consta principalmente de haces de diminutas fibras musculares hacinadas en el interior de largas hileras de tejidos conjuntivos que las mantienen juntas. La suavidad de cierto corte de carne de res depende de su ubicación, la edad y la actividad del animal. Los cortes tomados de la sec- http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 269 269 CAPÍTULO 4 http://librosysolucionarios.net Cuello Costilla Lomo Pecho Filete Flanco Brazuelo Cuarto trasero Falda FIGURA 4-48 Diversos cortes de la carne de res (tomada de National Livestock and Meat Board). Escala de suavidad ción relativamente inactiva de la espina dorsal del animal, como el lomo, el filete y las costillas de primera calidad son más suaves que las partes activas, como las piernas y el cuello (figura 4-48). Entre más activo sea el animal, habrá mayor cantidad de tejido conjuntivo y más dura será la carne. Sin embargo, la carne de un animal viejo tiene más sabor y se prefiere para el estofado, ya que la dureza de la carne no plantea un problema para la cocción con calor húmedo, como sucede al hervir. El colágeno proteínico, que constituye el componente principal del tejido conjuntivo, se ablanda y disuelve en medios ambientes calientes y húmedos y, de manera gradual, se transforma en gelatina y ablanda la carne. El viejo dicho “se debe cocinar un animal inmediatamente después del sacrificio o esperar por lo menos dos días” tiene mucho de verdad. Las reacciones biomecánicas en el músculo continúan después del sacrificio hasta que disminuye la energía suministrada al mismo para realizar trabajo. El músculo entonces se pone rígido y se presenta el rigor mortis. Este proceso empieza varias horas después de que se sacrificó el animal y dura de 12 a 36 h más, hasta que entran en acción las enzimas y se suaviza el tejido conjuntivo, como se muestra en la figura 4-49. Transcurren alrededor de siete días para completar la suavización de manera natural en las instalaciones de almacenamiento mantenidas a 2°C. La estimulación eléctrica también hace que la carne se suavice. Para evitar la dureza, la carne fresca no debe congelarse antes de que haya pasado el rigor mortis. Es probable que el lector haya advertido que los bisteces están suaves y son más sabrosos cuando están calientes, pero se endurecen a medida que se enfrían. Esto se debe a que la gelatina que se formó durante la cocción se espesa conforme se enfría y la carne pierde su suavidad. De modo que no debe sorprender que los restaurantes de primera clase sirvan su bistec sobre placas gruesas calientes que lo mantienen a alta temperatura durante un tiempo prolongado. Asimismo, el cocimiento ablanda el tejido conjuntivo pero endurece las fibras del músculo. Por lo tanto, asar con bajo calor durante un tiempo prolongado da por resultado un bistec duro. Las carnes de diversas variedades que se pretende almacenar durante un tiempo prolongado deben congelarse con rapidez con el fin de reducir la corrupción y conservar la calidad. Quizás el primer pensamiento que viene a la mente para congelar un paquete de carne es colocarlo en el congelador y esperar. Pero, en este caso, el tiempo de congelación es demasiado largo, en especial para cajas grandes. Por ejemplo, la temperatura en el centro de una caja de 4 cm de profundidad que contiene 32 kg de diversas carnes puede ser tan elevada como 16°C después de 24 h de haberla colocado en un congelador a –30°C. Se puede acortar considerablemente el tiempo de congelación de las cajas grandes poniendo algo de hielo seco dentro de ellas. Un método más eficaz de congelación, llamada enfriamiento rápido, comprende el uso de temperaturas más bajas del aire, –40 a –30°C, con velocidades más altas de 2.5 m/s hasta 5 m/s sobre el producto (figura 4-50). La temperatura interior debe bajarse hasta –4°C, para los productos que se van a transferir a un congelador de almacenamiento, y hasta –18°C para aquellos que se van a embarcar de inmediato. La velocidad de congelación depende del material de empaque y de sus propiedades aislantes, del espesor de las cajas más grandes, del tipo de carne y de la capacidad del sistema de refrigeración. Note que la temperatura del aire se elevará de manera excesiva durante las etapas iniciales de la congelación y aumentará el tiempo para realizarla si la capacidad del sistema es inadecuada. Un sistema más pequeño de refrigeración resultará óptimo si se va a usar hielo seco en los paquetes. El encogimiento durante la congelación varía entre 0.5 y 1% aproximadamente. 10 5 0 5 10 Tiempo en días FIGURA 4-49 Variación de la suavidad de la carne almacenada a 2°C con el tiempo después de la matanza. Congelador de carne Aire –40 a –30°C 2.5 a 5 m/s Carne FIGURA 4-50 El tiempo de congelación de la carne se puede reducir de manera considerable mediante aire a baja temperatura y alta velocidad. Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 270 270 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO TABLA 4-7 Periodo de conservación de productos cárnicos y congelados a diferentes temperaturas (tomada de ASHRAE, Handbook: Refrigeration, Cap. 10, tabla 7) Periodo de conservación, meses Temperatura 12°C 18°C 23°C Producto Carne de res Cordero Ternera Puerco Carne de res en rebanadas Alimentos cocidos 4-12 3-8 3-4 2-6 6-18 12-24 6-16 12-18 4-14 8 4-12 8-15 3-4 4-6 2-3 2-4 Conge- Plataforma lador –23°C refrigerada 1.5°C Puerta deslizante 8 Camión refrigerado FIGURA 4-51 Una plataforma refrigerada para cargar artículos congelados a un camión refrigerado. Aun cuando el punto promedio de congelación de la carne magra se puede tomar como –2°C, con un calor latente de 249 kJ/kg, debe recordarse que la congelación ocurre sobre un rango de temperatura, presentándose la mayor parte de ella entre –1 y –4°C. Por lo tanto, enfriar la carne dentro de este rango de temperatura y eliminar el calor latente consume la mayor parte del tiempo durante la congelación. La carne se puede conservar a una temperatura interna de –2 a –1°C, para uso local y almacenamiento durante una semana. La carne debe congelarse y almacenarse a temperaturas mucho más bajas para almacenamiento de largo plazo. Entre más baja sea la temperatura de almacenamiento, más larga será la vida en almacén de los productos de carne, como se muestra en la tabla 4-7. La temperatura interna de los canales que entran en las secciones de enfriamiento varía desde 38 hasta 41°C, para los cerdos, y desde 37 hasta 39°C, para los corderos y becerros. Transcurren alrededor de 15 h para enfriar los cerdos y becerros hasta la temperatura recomendada de 3 a 4°C. La temperatura del cuarto de enfriamiento se mantiene desde –1 hasta 0°C y la diferencia de temperatura entre el refrigerante y el aire de enfriamiento se conserva en alrededor de 6°C. El aire se hace circular con una velocidad de más o menos 7 a 12 cambios por hora. Los canales de cordero se enfrían hasta una temperatura de 1 a 2°C, lo cual requiere alrededor de 12 a 14 h, y se mantienen a esa temperatura con un 85 a 90% de humedad relativa hasta que se embarcan o procesan. La velocidad recomendada de la circulación de aire es de 50 a 60 cambios por hora durante las primeras 4 a 6 h, la cual se reduce posteriormente hasta 10 a 12 cambios por hora. La congelación no parece afectar mucho el sabor de la carne, pero sí la calidad de varias maneras. La velocidad y la temperatura de congelación pueden influir en el color, la suavidad y el goteo. La congelación rápida aumenta la suavidad y reduce el daño a los tejidos y la cantidad de goteo posterior a la descongelación. El almacenamiento a bajas temperaturas de congelación causa cambios significativos en la grasa animal. El puerco congelado experimenta más cambios indeseables durante el almacenamiento debido a su estructura grasosa y, como consecuencia, su periodo aceptable de almacenamiento es más corto que el de la res, la ternera o el cordero. Las instalaciones de almacenamiento de carne suelen tener una plataforma de embarque refrigerada donde se forman y embarcan los pedidos. Esas plataformas evitan que el valioso espacio de almacenamiento sea usado para fines de embarque y suministran un medio ambiente de trabajo más aceptable para los empleados. Las plantas de empaque en las que se embarcan canales completos o medios canales en grandes cantidades puede ser que no necesiten una plataforma de embarque; para esos casos, a menudo resulta adecuada una puerta para salida de la carga. Una plataforma de carga refrigerada, como la que se muestra en la figura 4-51, reduce la carga de refrigeración de los congeladores o enfriadores e impide las fluctuaciones en la temperatura en el área de almacenamiento. Con frecuencia resulta adecuado mantener las plataformas de embarque a una temperatura de entre 4 a 7°C, para los enfriadores, y más o menos a 1.5°C para los congeladores. El punto de rocío del aire de la plataforma debe estar por debajo de la temperatura del producto para evitar la condensación sobre la superficie de los productos y la pérdida de calidad. La velocidad del flujo de aire a través de las puertas de carga y otras aberturas es proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de temperatura y, por lo tanto, la reducción a la mitad de esta diferencia en la abertura, conservando la plataforma de carga a la temperatura promedio, reduce la velocidad del flujo de aire hacia ella y, de este modo, hacia el congelador en 1  0.5  0.3, o sea, 30%. Asimismo, el aire que http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 271 271 CAPÍTULO 4 fluye hacia el congelador ya está enfriado hasta alrededor de 1.5°C por la unidad de refrigeración de la plataforma, lo cual representa más o menos 50% de la carga de enfriamiento del aire entrante. Como consecuencia, el efecto neto de la plataforma de embarque refrigerada es una reducción de la carga por infiltración del congelador en alrededor de 65%, puesto que 1 – 0.7  0.5
0.65. La ganancia neta es igual a la diferencia entre la reducción de la carga por infiltración del congelador y la carga de refrigeración de la plataforma de embarque. Note que los refrigeradores de la plataforma operan a temperaturas mucho más altas (1.5°C, en lugar de alrededor de –23°C), por lo tanto, consumen mucho menos potencia para la misma cantidad de enfriamiento. Productos de aves de corral Los productos de aves de corral se pueden conservar por enfriamiento con hielo hasta una temperatura de 1 a 2°C, o enfriamiento profundo hasta alrededor de –2°C, para almacenamientos de corta duración, o bien, congelándolos hasta –18°C, o por debajo de esta temperatura, para almacenamiento a largo plazo. Las plantas de procesamiento de aves de corral están por completo automatizadas y el tamaño pequeño de las aves hace factible la operación mediante una línea continua con transportador. En primer lugar, con corriente eléctrica se hace perder el sentido a las aves, antes de cortarlas, para evitar la lucha. Después de 90 a 120 s de tiempo de sangrado, se escaldan sumergiéndolas en un tanque con agua caliente, por lo común entre 51 y 55°C, hasta por 120 s, para aflojar las plumas, en seguida se quitan por medio de máquinas que las arrancan y el ave sin vísceras se lava por completo antes de enfriarla. La temperatura interna de las aves varía de 24 a 35°C después del lavado, dependiendo de las temperaturas del aire ambiente y del agua de lavado, así como de la duración de éste. Para controlar el desarrollo microbiano, las reglamentaciones de la USDA requieren que el ave se enfríe hasta 4°C o menos, en menos de 4 h, para las que poseen menos de 1.8 kg; en menos de 6 h, para las de 1.8 a 3.6 kg; y en menos de 8 h, para aquellas de más de 3.6 kg. En la actualidad no es difícil cumplir con estos requisitos, ya que el lento enfriamiento por aire ha sido reemplazado en gran parte por el rápido enfriamiento por inmersión, en tanques de hielo semiderretido. El enfriamiento por inmersión tiene el beneficio adicional de que no sólo previene la deshidratación sino que causa una absorción neta de agua y, por consiguiente, aumenta la masa del producto comerciable. El enfriamiento por aire de las aves no empacadas puede causar una pérdida de humedad de 1 a 2%, mientras el enfriamiento por inmersión en agua puede provocar una absorción de humedad de 4 a 15% (figura 4-52). El enfriamiento con rocío de agua puede causar una absorción de humedad de hasta 4%. La mayor parte del agua absorbida se mantiene entre la carne y la piel, y los tejidos conjuntivos de ésta. En el enfriamiento por inmersión se pierden algunos sólidos solubles del ave, que se van al agua, pero la pérdida no tiene efecto significativo sobre el sabor. En la actualidad muchos de los enfriadores en los que se emplea un tanque de hielo semiderretido han sido reemplazados por enfriadores por inmersión en hielo semiderretido del tipo de flujo continuo. Este tipo de enfriadores pueden reducir la temperatura interna del ave de 32 hasta 4°C en alrededor de 30 minutos, a razón de hasta 10 000 aves por hora. Las necesidades de hielo dependen de las temperaturas de entrada y de salida del canal y del agua, pero suele ser adecuado 0.25 kg de hielo por kg de canal. Sin embargo, la contaminación bacteriana, como la salmonela, es una preocupación al aplicar este método y es posible que sea necesario clorar el agua para controlar la contaminación. La suavidad es una consideración importante para los productos de aves de corral, como también la es para la carne roja, y conservarla es una considera- http://librosysolucionarios.net Enfriamiento por aire H 2O 1 000 g 980 g Enfriamiento por inmersión H 2O 1 000 g 1 050 g FIGURA 4-52 El enfriamiento por aire causa deshidratación y, por consiguiente, pérdida de peso en el ave, en tanto que el enfriamiento por inmersión causa una ganancia en peso como resultado de la absorción de agua. Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 272 272 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO Vida en almacenamiento (días) 12 10 8 6 4 2 0 –2 0 5 10 15 20 25 Temperatura de almacenamiento, °C FIGURA 4-53 La vida en almacenamiento de las aves frescas decrece en forma exponencial al aumentar la temperatura de almacenamiento. 9 Tiempo de congelación, horas Vísceras 8 Superficie interior 7 Profundidad de 13 mm Debajo de la piel 6 5 4 3 2 1 0 – 84 –73 –62 –51 –40 –29 –18 –7 Temperatura del aire, grados Celsius Nota: El tiempo de congelación es el intervalo requerido para que la temperatura caiga desde 0 hasta –4°C. Los valores son para pollos de 2.3 a 3.6 kg, con temperatura inicial de 0 a 2°C y con una velocidad del aire de 2.3 a 2.8 m/s. FIGURA 4-54 Variación del tiempo de congelación de las aves con la temperatura del aire. ción importante en el enfriamiento y la congelación de aves. Las aves cocidas o congeladas antes de pasar por el rigor mortis permanecen muy duras. La suavización natural se inicia pronto después del sacrificio y se completa en menos de 24 h cuando las aves se mantienen a 4°C. La suavización es rápida durante las primeras tres horas y se desacelera de ahí en adelante. La inmersión en agua caliente y el corte en el músculo influyen de manera adversa en la suavización. Se ha observado que la temperatura de escaldado o la duración de este proceso aumentan la dureza y, asimismo, se ha observado que la reducción de ese tiempo aumenta la suavidad. La acción de golpeo de las máquinas mecánicas para desplumar causa un endurecimiento considerable, por ello, se recomienda que el desplumado se realice después de la suavización. Cortar el ave en trozos antes de que se complete la suavización natural la endurece de manera considerable. Por lo tanto, se recomienda cortar después de la suavización. El enfriamiento rápido de las aves también puede endurecerlas. Se encuentra que el proceso de suavización se puede acelerar considerablemente por un proceso patentado de hacer perder el conocimiento a las aves con corriente eléctrica. Los productos de aves de corral son intensamente perecederos y, como consecuencia, deben conservarse a la temperatura más baja posible con el fin de maximizar su vida en anaquel. Los estudios han demostrado que las poblaciones de ciertas bacterias se duplican cada 36 h a –2°C, cada 14 h a 0°C, cada 7 h a 5°C y en menos de 1 h, a 25°C (figura 4-53). Los estudios también han demostrado que los conteos bacterianos totales en las aves conservadas a 2°C durante 14 días son equivalentes a las conservadas a 10°C durante 5 días o a 24°C durante un día. También se ha encontrado que las aves conservadas a –1°C tuvieron 8 días de vida adicional en anaquel por encima de las conservadas a 4°C. El desarrollo de los microorganismos sobre las superficies de las aves causa el desarrollo de un olor desagradable y de baba bacteriana. Entre más alta es la cantidad inicial de contaminación bacteriana, con mayor rapidez ocurre la formación de baba. Por lo tanto, las buenas prácticas sanitarias durante el procesamiento, como la limpieza frecuente del equipo y el lavado de los canales, son tan importantes como la temperatura de almacenamiento para ampliar la vida en anaquel. Las aves de corral deben congelarse con rapidez para garantizar un aspecto ligero y atractivo. Las aves que se congelan con lentitud se ven oscuras y desarrollan grandes cristales de hielo que dañan los tejidos. Los cristales de hielo que se forman durante la congelación rápida son pequeños. Retrasar la congelación de las aves causa que los cristales de hielo se vuelvan más grandes. Se puede realizar la congelación rápida por medio de aire forzado a temperaturas de –23 a –40°C y velocidades de 1.5 a 5 m/s en congeladores en túnel con ráfaga de viento. La mayor parte de las aves se congelan de esta manera. Asimismo, las aves empacadas se congelan más rápido sobre anaqueles abiertos que dentro de cajas. Los paquetes de aves deben congelarse en cajas, y resulta conveniente dejar las cajas abiertas o cortar orificios en ellas en la dirección del flujo de aire durante la congelación. Para obtener los mejores resultados, el túnel con ráfaga de viento debe estar completamente cargado a través de su sección transversal con un espaciamiento parejo entre los productos para garantizar un flujo uniforme del aire alrededor de todos los lados de los paquetes. En la figura 4-54 se muestra el tiempo de congelación de las aves en función de la temperatura del aire refrigerado. En la tabla 4-8 se dan las propiedades térmicas de las aves de corral. Otros métodos de congelación de las aves incluyen la compresión entre placas frías, la inmersión en un líquido refrigerado, como glicol o salmuera de http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 273 273 CAPÍTULO 4 5 0 Vísceras Temperatura, °C –5 –10 –15 Superficie interior –20 Profundidad de 25 mm Profundidad de 13 mm Profundidad de 6.5 mm Debajo de la piel Superficie de la piel –25 –30 –35 FIGURA 4-55 Profundidad de 38 mm 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 Tiempo, min cloruro de calcio, y el enfriamiento criogénico con nitrógeno líquido. Las aves se pueden congelar en varias horas mediante las placas frías. Se pueden obtener velocidades de congelación muy altas por la inmersión de las aves empacadas en una salmuera a baja temperatura. El tiempo de congelación de las aves en salmuera a –29°C puede ser tan bajo como 20 min, dependiendo del tamaño del ave (figura 4-55). La congelación por inmersión también produce una apariencia ligera muy atractiva y las altas velocidades de transferencia de calor hacen factible la operación en línea continua. También tiene un costo inicial y costos de mantenimiento más bajos que el aire forzado, pero las infiltraciones en los paquetes a través de algunos orificios o grietas pequeños siguen siendo una preocupación. El coeficiente de transferencia de calor por convección es de 17 W/m2 · °C, para aire a –29°C y 2.5 m/s, en tanto que es de 170 W/m2 · °C, para la salmuera de cloruro de sodio a –18°C y a una velocidad de 0.02 m/s. A veces se usa nitrógeno líquido para congelar la corteza de los productos de aves de corral hasta –73°C. A continuación, la congelación se completa con aire en un cuarto de conservación a –23°C. Los productos de aves de corral empacados de modo adecuado se pueden almacenar hasta alrededor de un año a temperaturas de –18°C o menores. La vida en almacenamiento cae considerablemente a temperaturas más elevadas (pero todavía por debajo de la de congelación). Cuando las aves se congelan durante demasiado tiempo, se tienen cambios significativos en el sabor y el jugo y se desarrolla un olor a rancio. Las aves congeladas se pueden deshidratar y experimentan quemadura del congelador, lo cual deteriora el aspecto visual del producto y causa endurecimiento del área afectada. La deshidratación y, por consiguiente, la quemadura del congelador se pueden controlar por humidificación, disminución de la temperatura de almacenamiento y empacando el producto con una película impermeable. Se puede ampliar la vida en almacenamiento empacando las aves en un medio ambiente libre de oxígeno. Los conteos bacterianos en los productos congelados precocidos pueden conservarse en niveles seguros, ya que es posible que las bacterias no se destruyan por completo durante el proceso de recalentamiento en el hogar. Las aves congeladas se pueden descongelar en el aire ambiental, en agua, en el refrigerador o en el horno sin diferencia significativa en el sabor. Las aves grandes, como el pavo, deben descongelarse de manera segura manteniéndolos en el refrigerador entre 2 y 4°C, durante 2 a 4 días, dependiendo de su tamaño. También se pueden descongelar sumergiéndolos en agua fría, en un recipiente grande, durante 4 a 6 h, o metiéndolos en una bolsa de papel. Se debe tener cuidado en conservar fría la superficie del ave para minimizar el desarrollo microbiológico al descongelar en el aire o en el agua. http://librosysolucionarios.net Variación de la temperatura de las pechugas de pavo de 6.8 kg, inicialmente a 1°C, con la profundidad, durante el enfriamiento por inmersión a –29°C (tomada de Van der Berg y Lentz, Ref. 11). TABLA 4-8 Propiedades térmicas de las aves de corral Cantidad Valor típico Densidad promedio: Músculo 1 070 kg/m3 Piel 1 030 kg/m3 Calor específico: Arriba de la congelación 2.94 kJ/kg · °C Abajo de la congelación 1.55 kJ/kg · °C Punto de congelación 2.8°C Calor latente de fusión 247 kJ/kg Conductividad térmica: (en W/m · °C) Músculo de la pechuga 0.502 a 20°C 1.384 a 20°C 1.506 a 40°C Músculo oscuro 1.557 a 40°C Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 274 274 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO EJEMPLO 4-12 El cuarto de enfriamiento de una planta de carne tiene un tamaño de 18 m  20 m  5.5 m y una capacidad de 450 canales de res. Las potencias consumidas por los ventiladores y las luces del cuarto son de 26 y 3 kW, respectivamente, y el cuarto gana calor a través de su cubierta a razón de 13 kW. La masa promedio de los canales es de 285 kg. Las canales entran al cuarto a 36°C, después de que se han lavado para facilitar el enfriamiento evaporativo, y se enfrían hasta 15°C en 10 h. Se espera que el agua se evapore a razón de 0.080 kg/s. El aire entra en la sección del evaporador del sistema de refrigeración a 0.7°C y sale a –2°C. El lado del aire del evaporador tiene gran cantidad de aletas y el coeficiente total de transferencia de calor del evaporador, basado en el lado del aire, es de 20 W/m2 · °C. Asimismo, la diferencia promedio de temperatura entre el aire y el refrigerante que está en el evaporador es de 5.5°C. Determine a) la carga de refrigeración del cuarto de enfriamiento, b) el gasto volumétrico de aire, y c) el área superficial de transferencia de calor del evaporador en el lado del aire, si se supone que todo el vapor y la niebla que están en el aire se congelan en el evaporador. Luces, 3 kW 13 kW Res en canal Evaporación 0.080 kg/s 36°C 285 kg Aire refrigerado Ventiladores, 26 kW Enfriamiento de canales de res en una planta de carne SOLUCIÓN Se considera el cuarto de enfriamiento de una planta de carne con una capacidad de 450 canales de res. Se deben determinar la carga de enfriamiento, el gasto de aire y el área de transferencia de calor del evaporador. Suposiciones 1 El agua se evapora a razón de 0.080 kg/s. 2 Toda la humedad que está en el aire se congela en el evaporador. Propiedades El calor de fusión y el calor de vaporización del agua a 0°C son de 333.7 kJ/kg y 2 501 kJ/kg (tabla A-9). La densidad y el calor específico del aire a 0°C son 1.292 kg/m3 y 1.006 kJ/kg · °C (tabla A-15). También, a partir de la relación dada en la tabla A-7b), se determina que el calor específico del canal de res es cp
1.68  2.51  (contenido de agua)
1.68  2.51  0.58
3.14 kJ/kg · °C 0.7°C Evaporador –2°C · Qevap FIGURA 4-56 Esquema para el ejemplo 4-12. Análisis a) En la figura 4-56 se da un esquema del cuarto de enfriamiento. La cantidad de masa de carne de res que es necesario enfriar por unidad de tiempo es m· res
(Masa total de carne de res enfriada)/(Tiempo de enfriamiento)
(450 canales)(285 kg/canal)/(10  3 600 s)
3.56 kg/s La carga de refrigeración de los productos se puede concebir como la energía que es necesario eliminar de la carne de res, conforme se enfría de 36 hasta 15°C, a razón de 3.56 kg/s y se determina que es · Q res
(m· cpT)res
(3.56 kg/s)(3.14 kJ/kg · °C)(36  15)°C
235 kW Entonces la carga total de refrigeración del cuarto de enfriamiento queda · · · · · Q total, cuarto de enfriamiento
Q res  Q ventilador  Q luces  Q ganancia de calor
235  26  3  13
277 kW La cantidad de enfriamiento del canal debida al enfriamiento evaporativo del agua es · Q res, evaporativo
(m· hfg)agua
(0.080 kg/s)(2 501 kJ/kg)
200 kW lo cual es 200/235
85% de la carga total de enfriamiento de los productos. El 15% restante del calor se transfiere por convección y radiación. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 275 275 CAPÍTULO 4 b) El calor se transfiere hacia el aire a la razón determinada en los párrafos anteriores y, como resultado, la temperatura del aire se eleva de –2°C hasta 0.7°C. Por lo tanto, el gasto de masa de aire es m· aire
Q· aire 277 kW

102.0 kg/s (c (1.006 kJ/kg · °C)[0.7  (2)°C] (CppT Taire aire)) Entonces el gasto volumétrico de aire queda m· aire · Vaire
r
aire 102 kg/s
78.9 m3/s 1.292 kg/m3 c) Normalmente, la carga de transferencia de calor del evaporador es la misma que la de refrigeración. Pero, en este caso, el agua que entra en el evaporador como líquido se congela cuando la temperatura cae hasta –2°C y el evaporador también debe eliminar el calor latente de congelación, que se determina a partir de · Q congelación
(m· hlatente)agua
(0.080 kg/s)(333.7 kJ/kg)
27 kW Por lo tanto, la razón total de eliminación de calor en el evaporador es · · · Q evaporador
Q total, cuarto de enfriamiento  Q congelación
277  27
304 kW Entonces, se determina el área superficial de transferencia de calor del evapo· rador en el lado del aire a partir de Q evaporador
(UA)lado del aire T, A
Q· evaporador UT
304 000 W
2 764 m2 (20 W/m2 · °C)(5.5°C) Es obvio que debe usarse una superficie con aletas para proporcionar un área superficial tan grande en el lado del aire. RESUMEN En este capítulo se consideró la variación de la temperatura con el tiempo así como con la posición en sistemas unidimensionales y multidimensionales. En primer lugar, se consideraron los sistemas concentrados, en los que la temperatura varía con el tiempo, pero permanece uniforme a través del sistema en todo momento. La temperatura de un cuerpo concentrado de forma arbitraria de masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico cp, inicialmente a una temperatura uniforme Ti, que se expone a convección en el instante t
0 en un medio a la temperatura T, con un coeficiente de transferencia de calor h, se expresa como T(t)  T
ebt Ti  T T(t) de un cuerpo en el instante t o, de modo alternativo, el tiempo t requerido para que la temperatura alcance un valor especificado T(t). Una vez que se disponga de la temperatura T(t) en el instante t, se puede determinar la razón de la transferencia de calor por convección en ese instante, a partir de la ley de Newton del enfriamiento, como · Q (t)
hAs [T(t)  T] La cantidad total de transferencia de calor entre el cuerpo y el medio circundante durante el intervalo de tiempo de t
0 hasta t es simplemente el cambio en el contenido de energía del cuerpo: donde Q
mcp[T(t)  Ti] b
hAs h
rc rcppLLcc CppVV C La transferencia de calor máxima entre el cuerpo y sus alrededores es es una cantidad positiva cuya dimensión es (tiempo)–1. Se puede usar esta relación con el fin de determinar la temperatura http://librosysolucionarios.net Qmáx
mcp (T  Ti ) Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 276 276 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO El error en el que se incurre en el análisis de sistemas concentrados es despreciable cuando Bi
hLc  0.1 k T(x, t)  Ti
donde Bi es el número de Biot y Lc
V/As es la longitud característica. Cuando el análisis de sistemas concentrados no es aplicable, se puede determinar la variación de la temperatura con la posición así como con el tiempo por medio de los diagramas de temperatura transitoria dados en las figuras 4-16, 4-17, 4-18 y 4-30, para una pared plana grande, un cilindro largo, una esfera y un medio semiinfinito, respectivamente. Estos diagramas son aplicables para la transferencia unidimensional de calor en esas configuraciones geométricas. Por lo tanto, su uso queda limitado a situaciones en las cuales el cuerpo está inicialmente a una temperatura uniforme, todas las superficies están sujetas a las mismas condiciones térmicas y el cuerpo no genera calor. También se pueden usar estos diagramas para determinar la transferencia de calor total del cuerpo hasta un instante especificado t. Al usar una aproximación de un término, las soluciones de los problemas unidimensionales de conducción del calor en régimen transitorio se expresan analíticamente como upared
T(x, t)  T
A1e Ti  T 2 1t Cilindro: ucil
T(r, t)  T
A1e Ti  T 2 1t Esfera: uesf
T(r, t)  T
A1e Ti  T 2 1t Pared plana: cos ( 1x/L) J0( 1r/ro) sen ( 1r/ro) 1r/ro donde las constantes A1 y 1 son sólo funciones del número Bi, en la tabla 4-2 se da una lista de sus valores contra este número, para las tres configuraciones geométricas. El error en el que se incurre en las soluciones de un término es menor a 2% cuando t 0.2. Por medio de las soluciones de un término, las transferencias de calor fraccionarias en las diferentes configuraciones geométricas se expresan como Pared plana:
Q  Q máx pared Cilindro:
Q  Q máx cil Esfera:
 Q Qmáx
1  u0, pared sen 1 1 J1( 1)
1  2u0, cil 1
1  3u0, esf esf sen 1 cos 1 3 1 Temperatura especificada en la superficie, Ts
constante: and y # qs 4at x x2 c exp a b  x erfc a bd k B p 4at 2 2at # Convección sobre la superficie, qs(t)
h[T  T(0, t)]: T(x, t)  Ti x hx h2at
erfc¢ ≤  exp ¢  2 ≤ T  Ti k k 22at h2at x  ≤  erfc¢ k 22at Pulso de energía en la superficie, es
constante: T(x, t)  Ti
x2 exp¢ ≤ 4at k2pta es donde erfc(h) es la función complementaria de error de argumento h. Si se aplica un principio de superposición llamado solución producto, también se pueden usar estas gráficas a fin de construir soluciones para los problemas de conducción transitoria bidimensional de calor que se encuentran en configuraciones geométricas del tipo de un cilindro corto, una barra larga rectangular o un cilindro o placa semiinfinitos, e incluso problemas tridimensionales asociados con configuraciones geométricas, como un prisma rectangular o una barra rectangular semiinfinita, siempre que todas las superficies del sólido se expongan a convección hacia el mismo fluido a la temperatura T, con el mismo coeficiente de transferencia de calor por convección, h, y que en el cuerpo no se tenga generación de calor. La solución en esas configuraciones geométricas multidimensionales se puede expresar como el producto de las soluciones para las configuraciones unidimensionales cuya intersección sea la multidimensional. También se puede determinar la transferencia de calor total hacia una configuración geométrica multidimensional o desde ésta, utilizando los valores unidimensionales. La transferencia de calor en régimen transitorio para una configuración geométrica bidimensional formada por la intersección de dos configuraciones unidimensionales 1 y 2 es
Q  Q 1 Las soluciones de la conducción transitoria de calor en un sólido semiinfinito con propiedades constantes, con varias condiciones de frontera en la superficie, se dan como sigue: T(x, t)  Ti x
erfca b Ts  Ti 22at # Flujo especificado de calor en la superficie, qs
constante: máx total, 2D

Q  
Q  1 
Q   Q Q Q máx 1 máx 2 máx 1 La transferencia de calor en régimen transitorio para un cuerpo tridimensional formado por la intersección de tres cuerpos unidimensionales 1, 2 y 3 es
Q  Q máx total, 3D
k(Ts  Ti) # qs(t)
2pat http://librosysolucionarios.net
Q  
Q  1 
Q    Q Q Q máx 1 máx 2 máx 1 Q Q
Q  1 
Q  1 
Q   Q máx 3 máx 1 máx 2 Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 277 277 CAPÍTULO 4 BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS SUGERIDAS 1. ASHRAE, Handbook of Fundamentals, Versión SI, Atlanta, GA: American Society of Heating, Refrigerating, and Air-Conditioning Engineers, Inc., 1993. 2. ASHRAE, Handbook of Fundamentals, Versión SI, Atlanta, GA: American Society of Heating, Refrigerating, and Air-Conditioning Engineers, Inc., 1994. 6. H. Hillman, Kitchen Science, Mount Vernon, Nueva York: Consumers Union, 1981. 7. S. Kakaç y Y. Yener, Heat Conduction, Nueva York: Hemisphere Publishing Co., 1985. 3. H. S. Carslaw y J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, 2a. ed., Londres: Oxford University Press, 1959. 8. L. S. Langston, “Heat Transfer from Multidimensional Objects Using One-Dimensional Solutions for Heat Loss”, International Journal of Heat and Mass Transfer, 25 (1982), pp. 149-150. 4. H. Gröber, S. Erk y U. Grigull, Fundamentals of Heat Transfer, Nueva York: McGraw-Hill, 1961. 9. P. J. Schneider, Conduction Heat Transfer, Reading, MA: Addison-Wesley, 1955. 5. M. P. Heisler. “Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating”, ASME Transactions 69 (1947), pp. 227-236. 10. L. van der Berg y C. P. Lentz, “Factors Affecting Freezing Rate and Appearance of Eviscerated Poultry Frozen in Air”, Food Technology, 12 (1958). PROBLEMAS* Análisis de sistemas concentrados 4-1C ¿Qué es el análisis de sistemas concentrados? ¿Cuando se puede aplicar? 4-2C ¿Para cuál sólido es más probable que se pueda aplicar el análisis de sistemas concentrados: una manzana real o una manzana de oro del mismo tamaño? ¿Por qué? 4-3C ¿Para cuál clase de cuerpos hechos del mismo material es más probable que pueda aplicarse el análisis de sistemas concentrados: los delgados o los bien redondeados del mismo volumen? ¿Por qué? 4-4C Considere la transferencia de calor entre dos cuerpos sólidos idénticos calientes y el aire que los circunda. El primer sólido se está enfriando por medio de un ventilador en tanto que el segundo se deja enfriar de manera natural. ¿Para cuál de los sólidos es más probable que se pueda aplicar el análisis de sistemas concentrados? ¿Por qué? 4-5C Considere la transferencia de calor entre dos cuerpos sólidos idénticos calientes y sus medios ambientes. El primer sólido se deja caer en un recipiente grande lleno con agua, en tanto que el segundo se deja enfriar de manera natural en el aire. ¿Para cuál de los sólidos es más probable que se pueda aplicar el análisis de sistemas concentrados? ¿Por qué? *Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a darles respuesta. Los designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con un ícono de CD-EES, , se resuelven mediante el EES, y las soluciones completas, junto con estudios paramétricos, se incluyen en el CD que acompaña a este texto. Los problemas con un ícono de computadora-EES, , son de naturaleza detallada y se pretende que se resuelvan con una computadora, de preferencia usando el software EES que acompaña a este texto. 4-6C Considere una papa horneada caliente sobre un plato. Se observa que la temperatura de la papa cae en 4°C durante el primer minuto. Durante el segundo minuto, ¿la temperatura caerá menos de 4°C, los mismos 4°C o más de 4°C? ¿Por qué? Aire frío Papa horneada caliente FIGURA P4-6C 4-7C Considere una papa que se cuece en un horno mantenido a una temperatura constante. Se observa que la temperatura de la papa se eleva en 5°C durante el primer minuto. Durante el segundo minuto, ¿la temperatura aumentará menos de 5°C, los mismos 5°C o más de 5°C? ¿Por qué? 4-8C ¿Cuál es el significado físico del número de Biot? ¿Es más probable que el número de Biot sea más grande para los sólidos intensamente conductores o para los malos conductores? 4-9C Considere dos trozos idénticos de rosbif de 4 kg. El primer trozo se hornea como un todo, en tanto que el segundo se hornea en el mismo horno después de haberlo cortado en dos partes iguales. ¿Habrá alguna diferencia entre los tiempos de cocción del rosbif completo y el cortado? ¿Por qué? 4-10C Considere una esfera y un cilindro de volumen igual hechos de cobre. Tanto la esfera como el cilindro están al principio a la misma temperatura y se exponen a convección en el http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 278 278 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO mismo medio ambiente. ¿Cuál piensa usted que se enfriará más rápido, el cilindro o la esfera? ¿Por qué? 4-11C ¿En qué medio es más probable que pueda aplicarse el análisis de sistemas concentrados: en el agua o en el aire? ¿Por qué? 4-12 Para calentar algo de leche para un bebé, una madre la vierte en un vaso de pared delgada cuyo diámetro es de 6 cm. La altura de la leche en el vaso es de 7 cm. En seguida, coloca el vaso en una cacerola grande llena con agua caliente a 70°C. La leche se agita constantemente, de modo que su temperatura es uniforme en todo momento. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el agua y el vaso es de 120 W/m2 · °C, determine cuánto tiempo transcurrirá para que la leche se caliente de 3°C hasta 38°C. Considere las propiedades de la leche iguales a las del agua. En este caso, ¿puede tratarse la leche como un sistema Respuesta: 4.50 min concentrado? ¿Por qué? 4-13 Repita el problema 4-12 para el caso de agua que también se está agitando, de modo que el coeficiente de transferencia de calor se duplica hasta 240 W/m2 · °C. 4-14 Obtenga una relación para el tiempo requerido por un sistema concentrado para alcanzar la temperatura promedio 1 (Ti  T), donde Ti es la temperatura inicial y T es la tempe2 ratura del medio ambiente. 4-15 Se va a medir la temperatura de una corriente de gas por medio de un termopar cuya unión se puede considerar como una esfera de 1.2 mm de diámetro. Las propiedades de la unión son k
35 W/m · °C, r
8 500 kg/m3, y cp
320 J/kg · °C, y el coeficiente de transferencia de calor entre la unión y el gas es h
90 W/m2 · °C. Determine cuánto tiempo transcurrirá para que la lectura del termopar sea 99% de la diferencia inicial de Respuesta: 22.8 s temperatura. 4-18 Obtenga relaciones para las longitudes características de una pared plana grande de espesor 2L, un cilindro muy largo de radio ro y una esfera de radio ro. 4-19 Una barra larga de cobre cuyo diámetro es de 2.0 cm se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de 100°C. En seguida se expone a una corriente de aire a 20°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 200 W/m2 · K. ¿Cuánto tardaría en enfriarse la barra de cobre hasta una temperatura promedio de 25°C? 4-20 Considere una esfera con un diámetro de 5 cm, un cubo con una longitud de arista de 5 cm y un prisma rectangular con dimensiones de 4 cm  5 cm  6 cm, todos inicialmente a 0°C y hechos de plata (k
429 W/m · °C, r
10 500 kg/m3 y cp
0.235 kJ/kg · °C). A continuación, estas tres configuraciones se exponen al aire ambiente a 33°C sobre todas sus superficies, con un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m2 · °C. Determine cuánto tardará la temperatura de cada configuración geométrica en elevarse hasta 25°C. 4-21 Considere una plancha de 800 W cuya placa base está hecha de la aleación de aluminio 2 024-T6 (r
2 770 kg/m3, cp
875 J/kg · °C, a
7.3  105 m2/s). La placa base tiene un área superficial de 0.03 m2. En un principio, la plancha está en equilibrio térmico con el aire ambiente a 22°C. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie de la placa base es 12 W/m2 · °C y se supone que 85% del calor generado en los alambres de resistencia se transfiere a la placa, determine el tiempo que pasará para que la temperatura de ésta llegue a 140°C. ¿Es realista suponer que la temperatura de la placa es uniforme en todo momento? 4-16I En una instalación de fabricación, bolas de latón de 2 in de diámetro (k
64.1 Btu/h · ft · °F, r
532 lbm/ft3, y cp
0.092 Btu/lbm · °F) inicialmente a 250°F se sumergen en un baño de agua que está a 120°F, durante un periodo de 2 min, a razón de 120 bolas por minuto. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 42 Btu/h · ft2 · °F, determine a) la temperatura de las bolas después de haber sido sumergidas, y b) la razón a la cual se necesita eliminar el calor del agua para mantener su temperatura constante a 120°F. 250°F Plancha de 800 W Bolas de latón FIGURA P4-21 120°F 4-22 Baño de agua FIGURA P4-16I 4-17I Repita el problema 4-16I para bolas de aluminio. Vuelva a considerar el problema 4-21. Con el software EES (o cualquier otro semejante), investigue los efectos del coeficiente de transferencia de calor y de la temperatura final de la placa durante el tiempo que transcurre para que esta última llegue a esta temperatura. Suponga que el coeficiente de transferencia de calor por convección varía de 5 W/m2 · °C hasta 25 W/m2 · °C y la temperatura de 30°C hasta 200°C. Trace gráficas del tiempo en función del coeficiente de transferencia de calor y de la temperatura, y discuta los resultados. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:34 PM Page 279 279 CAPÍTULO 4 4-23 Una persona es encontrada muerta a las 5 PM en una habitación cuya temperatura es de 20ºC. La temperatura del cuerpo es de 25ºC al momento de ser hallado y se estima que el coeficiente de transferencia de calor es de 8 W/m2 · °C. Mediante un cilindro de 30 cm de diámetro y 1.70 m de largo, como modelo del cuerpo, y con la ayuda del análisis de sistemas concentrados, como una aproximación a grandes rasgos, estime la hora de la muerte de esa persona. 4-24 Los muelles forman parte del sistema de suspensión de los automóviles y están hechos con barras de acero calentadas y enrollados en bobinas mientras son dúctiles. Considere barras de acero (r = 7,832 kg/m3, cp = 434 J/kg · °C y k = 63.9 W/m · °C) con un diámetro de 2.5 cm y una longitud de 1.27 m. Las barras de acero se calientan en un horno con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 20 W/m2 · °C. Las barras de acero se calientan de una temperatura inicial de 20ºC a la temperatura deseada de 450ºC antes de ser transformadas en bobinas. Determine la temperatura ambiente en el horno, si las barras de acero deben alcanzar la temperatura deseada en 10 minutos. Respuesta: 1,016ºC 4-25 Barras de acero (r = 7,832 kg/m3, cp = 434 J/kg · °C y k = 63.9 W/m · °C) se calientan en un horno hasta 850ºC y después se templan en una tina con agua a 50ºC durante un periodo de 40 segundos como parte del proceso de endurecimiento. El coeficiente de transferencia de calor por convección es de 650 W/m2 · °C. Si las barras de acero tienen un diámetro de 40 mm y una longitud de 2 m, determine su temperatura promedio al sacarlas de la tina con agua. 4-26 Un ladrillo con dimensiones de 203
102
57 mm se quema en un horno a 1,100ºC y después se le deja enfriar en una habitación con una temperatura ambiente de 30ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 5 W/m2 · °C. Si el ladrillo tiene propiedades de r = 1,920 kg/m3, cp = 790 J/kg · °C y k = 0.90 W/m · °C, determine el tiempo requerido para que el ladrillo llegue a la temperatura ambiente de 5°C. Respuesta: 7 h 4-27 Considere el casco esférico de un satélite que está reingresando a la atmósfera con un diámetro externo de 4 m y un espesor de 10 mm. El casco del satélite está hecho de acero inoxidable con las siguientes propiedades r = 8,238 kg/m3, cp = 468 J/kg · °C y k = 13.4 W/m · °C. Al reingresar, la temperatura atmosférica efectiva que rodea al satélite es de 1,250°C con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 130 W/m2 · °C. Si la temperatura inicial del casco es de 10°C, determine la temperatura del casco 5 minutos después del reingreso. Suponga que la transferencia de calor ocurre sólo en el casco del satélite. 4-28 Bolas de acero al carbón (r  7 833 kg/m3, k  54 W/m · °C, cp  0.465 kJ/kg · °C y a  1.474
10–6 m2/s) de 8 mm de diámetro se recuecen calentándolas primero hasta 900°C Aire, 35°C Horno Bola de acero 900°C FIGURA P4-28 100°C en un horno y, a continuación, dejándolas enfriar con lentitud hasta 100°C en aire ambiente a 35°C. Si el coeficiente de transferencia de calor promedio es de 75 W/m2 · °C, determine cuánto tardará el proceso de recocido. Si se deben recocer 2 500 bolas por hora, determine la razón total de transferencia de calor de las bolas al aire ambiente. 4-29 Vuelva a considerar el problema 4-28. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto de la temperatura inicial de las bolas sobre el tiempo de recocido y la velocidad total de la transferencia de calor. Suponga que la temperatura varía de 500°C hasta 1 000°C. Trace las gráficas del tiempo y de la razón de la transferencia de calor en función de la temperatura inicial y discuta los resultados. 4-30 Un dispositivo electrónico que disipa 18 W tiene una masa de 20 g, un calor específico de 850 J/kg · °C y un área superficial de 4 cm2. El dispositivo se usa ligeramente y está encendido durante 5 min y, después, apagado por varias horas, durante las cuales se enfría hasta la temperatura ambiente de 25°C. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 12 W/m2 · °C, determine la temperatura del dispositivo al final del periodo de operación de 5 min. ¿Cuál sería su respuesta si el dispositivo estuviera sujeto a un sumidero de calor de aluminio que tiene una masa de 200 g y un área superficial de 80 cm2? Suponga que el dispositivo y el sumidero de calor son casi isotérmicos. Conducción de calor en régimen transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas con efectos espaciales 4-31C Se desea cocer un huevo hasta cierto grado en agua hirviente. ¿Es posible acortar el tiempo de cocido aumentando la temperatura y haciendo que el agua hierva más rápido? 4-32C ¿Qué es un cilindro infinitamente largo? ¿Cuándo resulta apropiado tratar un cilindro real como si fuera infinitamente largo y cuándo no lo es? Por ejemplo, ¿es apropiado usar este modelo al hallar las temperaturas cerca de las superficies superior e inferior de un cilindro? Explique. 4-33C ¿Se pueden usar los diagramas de temperatura transitoria de la figura 4-16 que corresponden a una pared plana expuesta a convección sobre ambos lados, para una pared plana con uno de los lados expuesto a convección en tanto que el otro está aislado? Explique. 4-34C ¿Por qué los diagramas de temperatura transitoria están preparados usando cantidades adimensionales, como los números de Biot y de Fourier, en lugar de las variables reales, como la conductividad térmica y el tiempo? 4-35C ¿Cuál es el significado físico del número de Fourier? ¿Se duplicará el número de Fourier para un problema específico de transferencia de calor cuando se duplica el tiempo? 4-36C ¿Cómo se pueden usar los diagramas de temperatura transitoria cuando se especifica la temperatura superficial de la configuración geométrica en lugar de la temperatura del medio circundante y el coeficiente de transferencia de calor por convección? 4-37C Un cuerpo que está a una temperatura inicial de Ti se lleva hacia un medio a una temperatura constante de T. ¿Cómo puede el lector determinar la cantidad máxima posible de transferencia de calor entre el cuerpo y el medio circundante? http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:35 PM Page 280 280 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO 4-38C Se determina que el número de Biot durante un proceso de transferencia de calor entre una esfera y sus alrededores es 0.02. ¿Podría el lector usar el análisis de sistemas concentrados o los diagramas de temperatura transitoria en la determinación de la temperatura en el punto medio de la esfera? ¿Por qué? 4-39 Un largo tronco de madera cilíndrico (k
0.17 W/m · °C y a
1.28  107 m2/s) tiene 10 cm de diámetro y está inicialmente a una temperatura uniforme de 25°C. Este tronco se expone a gases calientes a 600°C en un hogar con un coeficiente de transferencia de calor de 13.6 W/m2 · °C sobre la superficie. Si la temperatura de ignición de la madera es de 420°C, determine cuánto tiempo pasará antes de que el tronco se encienda. 4-40 Se va a realizar un experimento con el fin de determinar el coeficiente de transferencia de calor sobre las superficies de tomates que se colocan en agua fría a 7°C. Los tomates (k
0.59 W/m · °C, a
0.141  106 m2/s, r
999 kg/m3, cp
3.99 kJ/kg · °C) con una temperatura inicial uniforme de 30°C tienen forma esférica con un diámetro de 8 cm. Después de un periodo de 2 horas, las temperaturas en el centro y en la superficie de los tomates son de 10.0°C y 7.1°C, respectivamente. Aplicando el método analítico de aproximación de un término (no el de las gráficas de Heisler), determine el coeficiente de transferencia de calor y la cantidad de esa transferencia en el curso de este periodo, si se tienen ocho de esos tomates en el agua. 4-41 En un proceso de endurecido, una placa de acero inoxidable de 50 mm de espesor (r = 8,238 kg/m3, cp = 468 J/kg · °C, k = 13.4 W/m · °C y a = 3.48  10–6 m2/s) y con una temperatura inicial de 230ºC se vuelve a calentar en un horno. La temperatura ambiente uniforme dentro del horno es de 1 000°C y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 215 W/m2 · °C. Si se desea calentar toda la placa de acero inoxidable a 600°C por lo menos, determine el tiempo en que la placa debe calentarse en el horno mediante: a) la tabla 4-2 y b) el diagrama de Heisler (figura 4-16). 4-42 La superficie superior de una placa caliente de bronce se está enfriando bajo un flujo a presión de aire a 15ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 220 W/m2 · °C. La placa de bronce de 10 cm de espesor (r = 8,530 kg/m3, cp = 380 J/kg · °C, k = 110 W/m · °C y a = 33.9  10–6 m2/s) tiene una temperatura uniforme inicial de 650ºC y su superficie inferior está aislada. Determine la temperatura en el centro del plano de la placa de bronce, tras 3 minutos de enfriamiento. 4-43 Un huevo común se puede considerar como una esfera de 5.5 cm de diámetro cuyas propiedades son muy aproximadamente k
0.6 W/m · °C y a
0.14  106 m2/s. El huevo se encuentra al principio a una temperatura uniforme de 4°C y se deja caer en agua hirviendo a 97°C. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es h
1 400 W/m2 · °C, determine cuánto tiempo pasará para que el centro del huevo llegue a 70°C. Agua hirviendo 97°C Huevo Ti = 4°C FIGURA P4-43 4-44 Vuelva a considerar el problema 4-43. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto de la temperatura final en el centro del huevo sobre el tiempo que transcurrirá para que dicho centro llegue a esta temperatura. Suponga que la temperatura varía de 50°C hasta 95°C. Trace la gráfica del tiempo contra la temperatura y discuta los resultados. 4-45 En una instalación de producción, placas grandes de latón de 3 cm de espesor (k
110 W/m · °C, r
8 530 kg/m3, cp
380 J/kg · °C, y a
33.9  106 m2/s) que están inicialmente a una temperatura uniforme de 25°C se calientan al pasar por un horno que se mantiene a 700°C. Las placas permanecen en el horno durante un periodo de 10 min. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es h
80 W/m2 · °C, determine la temperatura de la superficie de las placas cuando salen del horno. Horno, 700°C 3 cm Respuesta: 585ºC Aire, 15°C h = 220 W/m2 · °C Placa de latón 25°C FIGURA P4-45 4-46 L = 10 cm Placa de bronce x Aislamiento FIGURA P4-42 Vuelva a considerar el problema 4-45. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue los efectos de la temperatura del horno y del tiempo de calentamiento sobre la temperatura final de la superficie de las placas. Suponga que la temperatura del horno varía de 500°C hasta 900°C y el tiempo de 2 min a 30 min. Trace gráficas de la temperatura de la superficie en función de la temperatura del horno y del tiempo, y discuta los resultados. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:37 PM Page 281 281 CAPÍTULO 4 4-47 Una flecha cilíndrica larga de 35 cm de diámetro hecha de acero inoxidable 304 (k
14.9 W/m · °C, r
7 900 kg/m3, cp
477 J/kg · °C y a
3.95  106 m2/s) sale de un horno a una temperatura uniforme de 500°C. En seguida, la flecha se deja enfriar con lentitud en una cámara a 150°C con un coeficiente promedio de transferencia de calor por convección de h
60 W/m2 · °C. Determine la temperatura en el centro de la flecha 20 min después del inicio del proceso de enfriamiento. Asimismo, determine la transferencia de calor por unidad de longitud de la flecha durante este periodo. Respuestas: 486°C, 22 270 kJ 4-48 Vuelva a considerar el problema 4-47. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto del tiempo de enfriamiento sobre la temperatura final del centro de la flecha y la cantidad de transferencia de calor. Suponga que el tiempo varía de 5 min a 60 min. Trace las gráficas de la temperatura del centro de la flecha y de la transferencia de calor en función del tiempo, y discuta los resultados. costilla se puede considerar como un objeto esférico homogéneo con las propiedades r
1 200 kg/m3, cp
4.1 kJ/kg · °C, k
0.45 W/m · °C, y a
0.91  107 m2/s. Determine a) el coeficiente de transferencia de calor por convección en las superficies de la costilla, b) la temperatura de la superficie de la costilla cuando está cocida, y c) la cantidad de calor transferido a ella. d) Con los valores obtenidos, prediga cuánto tiempo pasará para asar esta costilla hasta un término “medio”, lo cual ocurre cuando la temperatura en las partes más internas de ella llega a 71°C. Compare su resultado con el valor dado de 3 h 20 min. Si la costilla asada va a estar sobre el mostrador durante más o menos 15 min antes de rebanarla, se recomienda que se saque del horno cuando el termómetro registre alrededor de 4°C por debajo del valor indicado, porque la costilla seguirá cociéndose incluso después de haberse sacado. ¿Está usted de acuerdo con esta recomendación? Respuestas: a) 156.9 W/m2 · °C, b) 159.5°C, c) 1 629 kJ, d) 3.0 h Horno, 163°C 4-49I Largas barras cilíndricas de acero inoxidable AISI (k
7.74 Btu/h · ft · °F y a
0.135 ft2/h) de 4 in de diámetro se tratan térmicamente tirando de ellas a una velocidad de 7 ft/min a través de un horno de 21 ft de largo mantenido a 1 700°F. El coeficiente de transferencia de calor por convección en el horno es de 20 Btu/h · ft2 · °F. Si las varillas entran en el horno a 70°F, determine la temperatura en su línea central cuando salen. Horno Costilla Ti = 4.5°C 1 700°F 7 ft/min 21 ft Barra de acero inoxidable 70°F FIGURA P4-49I 4-50 En una planta de procesamiento de carne, bisteces de 2 cm de espesor (k
0.45 W/m · °C y a
0.91  107 m2/s) que están inicialmente a 25°C se van a enfriar al pasar a través de un cuarto de refrigeración que está a 11°C. El coeficiente de transferencia de calor por convección sobre ambos lados de los trozos de bistec es de 9 W/m2 · °C. Si las dos superficies de ellos deben enfriarse hasta 2°C, determine cuánto tiempo deben permanecer en el cuarto de refrigeración. 4-51 Un estudiante calcula que la transferencia de calor total de una esfera de cobre que tiene un diámetro de 18 cm y está inicialmente a 200°C hacia el medio ambiente a una temperatura constante de 25°C, durante los primeros 20 min de enfriamiento, es de 3 150 kJ. ¿Es razonable este resultado? ¿Por qué? 4-52 En el Libro de cocina de Betty Crocker, se afirma que una costilla de 3.2 kg inicialmente a 4.5°C tarda 2 h 45 min para asarse hasta un término de casi cruda, en un horno mantenido a 163°C. Se recomienda usar un termómetro para carne con el fin de controlar la cocción y se considera que la costilla está en un término de casi cruda cuando el termómetro insertado en el centro de la parte más gruesa de la carne registra 60°C. La FIGURA P4-52 4-53 Repita el problema 4-52 para una costilla que debe estar “bien cocida”, en lugar de “casi cruda”. Se considera que una costilla está bien cocida cuando la temperatura de su centro llega a 77°C y, en este caso, el proceso de asado dura alrededor de 4 h 15 min. 4-54 Para los fines de la transferencia de calor, un huevo se puede considerar como una esfera de 6 cm de diámetro que tiene las propiedades del agua. Un huevo que está inicialmente a 8°C se deja caer en el agua hirviendo a 100°C. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie del huevo es de 800 W/m2 · °C. Si se considera que el huevo está cocido cuando la temperatura en su centro llega a 60°C, determine cuánto tiempo debe mantenerse en el agua hirviendo. 4-55 Repita el problema 4-54 para un lugar a una elevación de 1 610 m, como Denver, Colorado, donde la temperatura de ebullición del agua es de 94.4°C. 4-56 Las frutas cítricas son muy susceptibles al tiempo frío y la exposición prolongada a temperaturas por debajo de la de congelación puede destruirlas. Considere una naranja de 8 cm de diámetro que está en un principio a 15°C. En una noche se mueve un frente frío y la temperatura ambiente cae de manera repentina hasta 6°C, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 15 W/m2 · °C. Por medio de las propiedades del agua para la naranja y si las condiciones del ambiente permanecen constantes durante 4 h antes de que pase el frente frío, determine si alguna parte de la naranja se congelará esa noche. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:51 PM Page 282 282 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO 4-57I En una planta de procesamiento de pollos se van a enfriar pollos enteros con un peso promedio de 5 lb cada uno y que están inicialmente a 65°F en las rejillas de un refrigerador grande que se mantiene a 5°F. El pollo completo se debe enfriar por debajo de 45°F, pero la temperatura del mismo no debe caer por debajo de 35°F en cualquier punto durante la refrigeración. El coeficiente de transferencia de calor por convección y, por lo tanto, la razón de la transferencia de calor desde el pollo se puede controlar al variar la velocidad de un ventilador de circulación que está en el interior. Determine el coeficiente de transferencia de calor que permitirá cumplir con las dos restricciones acerca de la temperatura manteniendo a la vez el tiempo de refrigeración en un mínimo. El pollo se puede tratar como un objeto esférico homogéneo que tiene las propiedades r
74.9 lbm/ft3, cp
0.98 Btu/lbm · °F, k
0.26 Btu/h · ft · °F y a
0.0035 ft2/h. Refrigerador 5°F papa se saca del horno y se envuelve en toallas gruesas de modo que casi no pierda calor. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección en el horno es de 40 W/m2 · °C, determine a) durante cuánto tiempo se hornea la papa y b) la temperatura final de equilibrio de ella después de que queda envuelta. 4-61 Papas blancas (k
0.50 W/m · °C y a
0.13  106 m2/s) que están inicialmente a una temperatura uniforme de 20°C y tienen un diámetro promedio de 6 cm se van a enfriar por medio de aire refrigerado a 2°C que fluye a una velocidad de 3 m/s. Se determina experimentalmente que el coeficiente promedio de transferencia de calor entre las papas y el aire es de 19 W/m2 · °C. Determine cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del centro de las papas caiga hasta 6°C. Asimismo, determine si alguna parte de las papas experimentará daños por el enfriamiento durante este proceso. Aire 2°C 3 m/s Papa Ti = 20°C FIGURA P4-61 Pollo Ti = 65°F FIGURA P4-57I 4-58 Una persona pone unas cuantas manzanas en un refrigerador a 15°C con el fin de enfriarlas con rapidez para los invitados que están a punto de llegar. Inicialmente, las manzanas están a una temperatura uniforme de 20°C y el coeficiente de transferencia de calor sobre las superficies es de 8 W/m2 · °C. Visualizando las manzanas como esferas de 9 cm de diámetro y tomando sus propiedades como r
840 kg/m3, cp
3.81 kJ/kg · °C, k
0.418 W/m · °C y a
1.3  107 m2/s, determine las temperaturas en el centro y la superficie de las manzanas en 1 h. Asimismo, calcule la cantidad de transferencia de calor desde cada manzana. 4-59 Vuelva a considerar el problema 4-58. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto de la temperatura inicial de las manzanas sobre las temperaturas finales del centro y la superficie y la cantidad de transferencia de calor. Suponga que la temperatura inicial varía de 2°C a 30°C. Trace las gráficas de la temperatura del centro, de la temperatura superficial y de la cantidad de transferencia de calor en función de la temperatura inicial, discuta los resultados. 4-60 Una papa (r
1 100 kg/m3, cp
3 900 J/kg · °C, k
0.6 W/m · °C, y a
1.4  107 m2/s) de 9 cm de diámetro que está inicialmente a una temperatura uniforme de 25°C se hornea a 170°C hasta que un sensor de temperatura insertado hasta el centro de la misma da una lectura de 70°C. Entonces la 4-62 Pollos (k
0.45 W/m · °C y a
0.13  106 m2/s) con una masa promedio de 1.7 kg, inicialmente a una temperatura uniforme de 15°C se van a enfriar en salmuera agitada a 7°C. Se determina experimentalmente que el coeficiente promedio de transferencia de calor entre el pollo y la salmuera es de 440 W/m2 · °C. Si la densidad promedio del pollo es 0.95 g/cm3 y se trata como una masa esférica, determine las temperaturas del centro y de la superficie del mismo en 2 h 45 min. Asimismo, determine si alguna parte del pollo se congelará durante este proceso. 4-63 Una res abierta en canal (k
0.47 W/m · °C y a
0.13  106 m2/s) de 65 kg, inicialmente a una temperatura uniforme de 37°C se va a enfriar por medio de aire refrigerado a –10°C que fluye a una velocidad de 1.2 m/s. El coeficiente promedio de transferencia de calor entre la carne y el aire es de 22 W/m2 · °C. Visualizando la res como un cilindro de 24 cm de diámetro y 1.4 m de altura, y descartando la transferencia de calor desde las superficies de la base y la parte superior, determine cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del centro caiga hasta 4°C. Asimismo, determine si alguna parte de la res Respuesta: 12.2 h se congelará durante este proceso. Aire –10°C 1.2 m/s FIGURA P4-63 http://librosysolucionarios.net Res 37°C Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:57 PM Page 283 283 CAPÍTULO 4 4-64 Capas de trozos de carne (k
0.47 W/m · °C y a
0.13  106 m2/s) de 23 cm de espesor, inicialmente a una temperatura uniforme de 7°C se van a congelar por medio de aire refrigerado a 30°C que fluye a una velocidad de 1.4 m/s. El coeficiente promedio de transferencia de calor entre la carne y el aire es de 20 W/m2 · °C. Si el tamaño de los trozos de carne es grande en relación con su espesor, determine cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del centro de los trozos caiga hasta 18°C. Asimismo, determine la temperatura superficial del trozo de carne en ese momento. 4-65I Capas de trozos de carne (k
0.26 Btu/h · ft · °F y a
1.4  106 ft2/s) de 6 in de espesor, inicialmente a una temperatura uniforme de 50°F se van a enfriar por medio de aire refrigerado a 23°F hasta una temperatura de 36°F en su centro, en 12 h. Estime el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección durante este proceso de enfriamiento. Respuesta: 1.5 Btu/h · ft2 · °F 4-66I Naranjas (k
0.26 Btu/h · ft · °F y a
1.4  106 ft2/s) de 2.5 in de diámetro, inicialmente a una temperatura uniforme de 78°F se van a enfriar por medio de aire refrigerado a 25°F que fluye a una velocidad de 1 ft/s. Se determina experimentalmente que el coeficiente promedio de transferencia de calor entre las naranjas y el aire es de 4.6 Btu/h · ft2 · °F. Determine cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del centro de las naranjas caiga hasta 40°F. Asimismo, determine si alguna parte de las naranjas se congelará durante este proceso. 4-67 Una placa caliente de Pyroceram con un espesor de 6 mm (r = 2,600 kg/m3, cp = 808 J/kg · °C, k = 3.98 W/m · °C y a = 1.89  10–6 m2/s) se está enfriando en una habitación con temperatura ambiente de 25°C y coeficiente de transferencia de calor por convección de 13.3 W/m2 · °C. A la placa de Pyroceram con una temperatura inicial de 500°C, se le deja enfriar por 286 segundos. Si la masa de la placa de Pyroceram es de 10 kg, determine la trasferencia de calor de la placa durante el proceso de enfriamiento mediante: a) la tabla 4-2 y b) la figura 4-16. 4-68 Una placa de aluminio de 10 cm de espesor (r = 2,702 kg/m3, cp = 903 J/kg · °C, k = 237 W/m · °C y a = 97.1  10–6 m2/s) se calienta en líquido con una temperatura de 500ºC. La placa de aluminio tiene una temperatura inicial uniforme de 25ºC. Si la temperatura superficial de la placa de aluminio es casi la misma que la temperatura del líquido, determine la temperatura en el centro del plano de la placa de aluminio tras 15 segundos de calentamiento. 4-69 Una barra larga de hierro (r = 7,870 kg/m3, cp = 447 J/kg · °C, k = 80.2 W/m · °C y a = 23.1  10–6 m2/s) con un diámetro de 25 mm se calienta inicialmente a una temperatura uniforme de 700°C. La barra de hierro se templa después en una gran tina con agua que se mantiene a una temperatura constante de 50°C y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 128 W/m2 · °C. Determine el tiempo necesario para que la temperatura superficial de la barra de hierro descienda a 200°C. Respuesta: 248 s. Barra de hierro Agua, 50 5 °C h = 128 W/m2·K FIGURA P4-69 4-70 Un barra larga de Pyroceram (r = 2,600 kg/m3, cp = 808 J/kg · °C, k = 3.98 W/m · °C y a = 1.89  10–6 m2/s) con un diámetro de 10 mm, tiene una temperatura inicial de 1 000°C. Se deja enfriar a una temperatura ambiente de 25°C y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 80 W/m2 · °C. Si se deja enfriar durante 3 minutos, determine la temperatura de su centro mediante: a) la tabla 4-2 y b) el diagrama de Heisler (figura 4-17). 4-71 Una barra de plástico de 2 cm de diámetro tiene un termopar insertado para medir la temperatura de su centro. La barra de plástico (r = 1,190 kg/m3, cp = 1,465 J/kg · °C y k = 0.19 W/m · °C) se calentó inicialmente hasta alcanzar una temperatura uniforme de 70ºC, después se le dejó enfriar a temperatura ambiente de 25ºC. Tras 1,388 s de enfriamiento, el termopar que mide la temperatura en el centro de la barra marcaba 30ºC. Determine el coeficiente de transferencia de calor por convección para este proceso. Aire, 25°C tico e plás Placa de aluminio Ts = 500°C Cable de termopar d Barra FIGURA P4-71 Líquido, 500°C FIGURA P4-68 4-72 Unas barras de acero de 2 m de longitud y 60 mm de diámetro, se sacan de un horno que mantiene una temperatura de 800ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 128 W/m2 · °C. La temperatura inicial uniforme de las barras de acero (r = 7,832 kg/m3, cp = 434 J/kg · °C, k = 63.9 W/m · °C y a = 18.8  10–6 m2/s) era de 30ºC. Mediante: a) la tabla 4-2 y b) la figura 4-17, determine la cantidad de calor que http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:58 PM Page 284 284 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO se transfiere a la barra de acero después de 133 s de calentamiento. Respuesta: 4,140 kJ 4-73 El granizo se forma en nubes de gran altitud a 253 K. Considere que un granizo con un diámetro de 20 mm cae por el aire cuya temperatura es de 15ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 163 W/m2 · °C. Si se supone que el granizo es una esfera con las propiedades del hielo a 253 K, determine cuánto tarda la superficie del granizo en alcanzar el punto de fusión. Conducción del calor en régimen transitorio en sólidos semiinfinitos 4-74C ¿Qué es un medio semiinfinito? Dé ejemplos de cuerpos sólidos que se pueden tratar como medios semiinfinitos para los fines de la transferencia de calor. 4-75C ¿En qué condiciones una pared plana se puede tratar como un medio semiinfinito? 4-76C Considere un sólido semiinfinito caliente a una temperatura inicial de Ti expuesta a convección hacia un medio más frío a una temperatura constante de T, con un coeficiente de transferencia de calor de h. Explique cómo puede determinar la cantidad total de transferencia de calor desde el sólido hasta un instante específico to. 4-77 Una tabla gruesa de madera (k
0.17 W/m · °C y a
1.28  107 m2/s) que está inicialmente a una temperatura uniforme de 25°C se expone a gases calientes a 550°C durante un periodo de 5 min. El coeficiente de transferencia de calor entre los gases y la tabla es de 35 W/m2 · °C. Si la temperatura de ignición de la madera es de 450°C, determine si se encenderá. 4-78 La temperatura del suelo en las capas superiores de la Tierra varía con los cambios en las condiciones atmosféricas. Antes de que entre un frente frío, un lugar en la Tierra está inicialmente a una temperatura uniforme de 15°C. Entonces, la zona es sometida a una temperatura de 8°C y a fuertes vientos que dieron como resultado un coeficiente de transferencia de calor por convección de 40 W/m2 · °C sobre la superficie de la Tierra, durante un periodo de 10 h. Si las propiedades del suelo en ese lugar son k
0.9 W/m · °C y a
1.6  105 m2/s, determine la temperatura del mismo a las distancias de 0, 10, 20 y 50 cm de la superficie, al final de este periodo de 10 h. la gráfica de la temperatura del suelo en función de la distancia a la superficie de la Tierra conforme esa distancia varía de 0 m hasta 1 m y discuta los resultados. 4-80 Un bloque grueso de aluminio, inicialmente a 20°C, se expone a un flujo constante de calor de 4 000 W/m2 por medio de un calentador de resistencia eléctrica cuya superficie superior está aislada. Determine cuánto se elevará la temperatura de la superficie del bloque después de 30 minutos. 4-81 Una persona con los pies descalzos, los cuales se encuentran a 32°C, pisa sobre un bloque grande de aluminio a 20°C. Si se considera tanto a los pies como al bloque de aluminio como sólidos semiinfinitos, determine la temperatura de la superficie de contacto. ¿Cuál sería su respuesta si, en lugar de lo anterior, la persona pisa sobre un bloque de madera? A la temperatura ambiente, el valor de 1krcp es de 24 kJ/m2 · °C para el aluminio, 0.38 kJ/m2 · °C para la madera y 1.1 kJ/m2 · °C para la carne humana. 4-82I Las paredes de un horno están hechas de concreto (k
0.64 Btu/h · ft · °F y a
0.023 ft2/h) de 1.5 ft de espesor. Al principio, el horno y el aire circundante están en equilibrio térmico a 70°F. Entonces se enciende el horno y las superficies interiores del mismo se exponen a gases calientes a 1 800°F, con un coeficiente de transferencia de calor muy grande. Determine cuánto tiempo pasará para que la temperatura de la superficie exterior de las paredes del horno se eleve hasta 70.1°F. Respuesta: 3.0 h 4-83 En zonas donde la temperatura del aire permanece por debajo de 0°C durante periodos prolongados, la congelación del agua en los tubos subterráneos es una preocupación importante. Por fortuna, el suelo permanece relativamente caliente durante esos periodos y pasan semanas para que las temperaturas por debajo de la de congelación lleguen hasta las tuberías que están enterradas. Por lo tanto, el suelo sirve de manera eficaz como un aislamiento para proteger el agua contra las temperaturas atmosféricas congelantes en el invierno. En un lugar en particular el piso está cubierto con una capa de nieve a 8°C durante un periodo continuo de 60 días, y las propiedades promedio del suelo en ese lugar son k
0.35 W/m · °C y a
0.15  106 m2/s. Si se supone una temperatura inicial uniforme para el suelo de 8°C, determine la profundidad mínima de entierro para impedir que los tubos de agua se congelen. 4-84 Un recipiente grande de hierro fundido (k
52 W/m · °C y a
1.70  105 m2/s) con paredes de 4 cm de espesor está inicialmente a una temperatura uniforme de 0°C y lleno con hielo a 0°C. Ahora las superficies exteriores del recipiente se exponen a agua caliente a 55°C con un coeficiente de transfeAgua caliente 55°C Hielera de hierro fundido Hielo 0°C FIGURA P4-78 4-79 Vuelva a considerar el problema 4-78. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), trace FIGURA P4-84 http://librosysolucionarios.net 4 cm Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:53 PM Page 285 285 CAPÍTULO 4 rencia de calor muy grande. Determine cuánto tiempo pasará para que el hielo del interior empiece a fundirse. Asimismo, si el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie interior del recipiente es 250 W/m2 · °C, determine la razón de la transferencia de calor hacia el hielo a través de una sección de la pared de 1.2 m de ancho y 2 m de alto, cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. Suponga que el hielo empieza a fundirse cuando la temperatura de su superficie interior se eleva hasta 0.1°C. 4-91 Considere un bloque cúbico cuyos lados tienen 5 cm de largo y un bloque cilíndrico cuya altura y diámetro también son de 5 cm. Los dos bloques se encuentran al principio a 20°C y están hechos de granito (k  2.5 W/m · °C y a  1.15
106 m2/s). Ahora los dos bloques se exponen en un horno a gases calientes a 500°C sobre todas sus superficies, con un coeficiente de transferencia de calor de 40 W/m2 · °C. Determine la temperatura en el centro de cada configuración geométrica después de 10, 20 y 60 min. 4-85 La temperatura inicial uniforme de una autopista de asfalto es de 55°C. De pronto, por la lluvia, la temperatura de su superficie desciende a 25°C. Determine la temperatura 3 cm debajo de la superficie y el flujo de calor transferido de la autopista, después de 60 minutos. Suponga que la temperatura de la superficie de la autopista se mantiene a 25°C. 5 cm Ti = 20°C Respuestas: 53.6ºC, 98 W/m2 4-86 En una cámara de vacío, se coloca una losa gruesa bajo un arreglo de diodos láser con un pulso constante de salida. Dentro de la losa, a una temperatura inicial uniforme de 20°C, se inserta un termopar a 25 mm de la superficie. Las propiedades conocidas de la losa son k = 63.9 W/m · °C y a = 18.8
10–6 m2/s. Si el termopar midió una temperatura de 130 °C después de 30 s de exposición de la superficie de la losa al pulso láser, determine: a) la cantidad de energía por unidad dirigida sobre la superficie de la losa y b) la lectura del termopar tras transcurrir 60 s. Arreglo de diodos láser Termopar x Losa gruesa FIGURA P4-86 5 cm 5 cm Ti = 20°C Gases calientes, 500°C FIGURA P4-91 4-92 Repita el problema 4-91 al duplicar el coeficiente de transferencia de calor en las superficies superior e inferior hasta 80 W/m2 · °C. 4-93 Un cilindro corto de latón (r  8 530 kg/m3, cp  0.389 kJ/kg · °C, k  110 W/m · °C, y a  3.39
105 m2/s) de diámetro D  4 cm y altura H  20 cm está inicialmente a una temperatura uniforme de Ti  150°C. Ahora el cilindro se coloca en aire atmosférico a 20°C, donde se lleva a efecto transferencia de calor por convección, con un coeficiente de transferencia de calor de h  40 W/m2 · °C. Calcule a) la temperatura en el centro del cilindro, b) la temperatura en el centro de la superficie superior del mismo y c) la transferencia de calor total desde el cilindro 15 min después del inicio del enfriamiento. Conducción de calor en régimen transitorio en sistemas multidimensionales 4-87C ¿Cuál es el método de la solución producto? ¿Cómo se usa para determinar la distribución de temperatura transitoria en un sistema bidimensional? Cilindro de latón 4-88C ¿Cómo se usa la solución producto para determinar la variación de temperatura con el tiempo y la posición en sistemas tridimensionales? Aire ambiental 20°C 20 cm 4 cm 4-89C Un cilindro corto inicialmente a una temperatura uniforme Ti se sujeta a convección desde todas sus superficies, hacia un medio a la temperatura T. Explique cómo puede determinar la temperatura del punto de en medio del cilindro en un instante específico t. 4-90C Considere un cilindro corto cuyas superficies superior e inferior están aisladas. El cilindro está inicialmente a una temperatura uniforme Ti y se sujeta a convección desde su superficie lateral hacia un medio a la temperatura T, con un coeficiente de transferencia de calor de h. ¿La transferencia de calor en este cilindro corto es unidimensional o bidimensional? Explique. 5 cm 5 cm 150°C FIGURA P4-93 4-94 Vuelva a considerar el problema 4-93. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto del tiempo de enfriamiento sobre la temperatura http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:58 PM Page 286 286 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO del centro del cilindro, la temperatura del centro de la superficie superior del mismo y la transferencia de calor total. Suponga que el tiempo varía de 5 min a 60 min. Trace las gráficas de la temperatura del centro del cilindro, de la temperatura del centro de la superficie superior y de la transferencia total de calor en función del tiempo, discuta los resultados. 4-95 Un cilindro semiinfinito de aluminio (k
237 W/m · °C, a
9.71  105 m2/s) de diámetro D
15 cm está inicialmente a una temperatura uniforme de Ti
115°C. El cilindro se coloca ahora en agua a 10°C, donde se lleva a efecto una transferencia de calor por convección, con un coeficiente de transferencia de calor de h
140 W/m2 · °C. Determine la temperatura en el centro del cilindro a 5 cm de la superficie del extremo 8 min después del inicio del enfriamiento. 4-96I Una salchicha se puede considerar como un cilindro de 5 in de largo y 0.8 in de diámetro cuyas propiedades son r
61.2 lbm/ft3, cp
0.93 Btu/lbm · °F, k
0.44 Btu/h · ft · °F y a
0.0077 ft2/h. Una salchicha que está al principio a 40°F se deja caer en agua hirviendo a 212°F. Si se estima que el coeficiente de transferencia de calor en la superficie de la salchicha es de 120 Btu/h · ft2 · °F, determine la temperatura en el centro de la salchicha después de 5, 10 y 15 min, tratándola como a) un cilindro finito, y b) un cilindro infinitamente largo. 4-97 Un bloque rectangular de hielo (k
2.22 W/m · °C y a
0.124  107 m2/s) de 6 cm de alto y base cuadrada de 4 cm  4 cm inicialmente a 18°C se coloca sobre una mesa en un cuarto a 18°C. El coeficiente de transferencia de calor sobre las superficies expuestas del bloque de hielo es de 12 W/m2 · °C. Si se descarta toda transferencia de calor de la base hacia la mesa, determine cuánto tiempo transcurrirá antes que el hielo se empiece a fundir. ¿En dónde, sobre el bloque de hielo, aparecerán las primeras gotitas de líquido? Aire del cuarto 18°C Trace la gráfica del tiempo contra la temperatura inicial y discuta los resultados. 4-99 Un bloque cilíndrico de hielo (k
2.22 W/m · °C y a
0.124  107 m2/s) de 2 cm de alto y base de 2 cm de diámetro se coloca sobre una mesa en un cuarto a 24°C. El coeficiente de transferencia de calor por convección sobre las superficies expuestas del bloque de hielo es de 13 W/m2 · °C y la transferencia de calor de la base del mismo hacia la mesa es despreciable. Si en ningún punto el bloque se empieza a derretir durante por lo menos 3 h, determine cuál debió ser la temperatura inicial del bloque de hielo. 4-100 Un bloque cilíndrico de aluminio (r
2 702 kg/m3, cp
0.896 kJ/kg · °C, k
236 W/m · °C, y a
9.75  105 m2/s) de 30 cm de largo y 15 cm de diámetro está inicialmente a una temperatura uniforme de 20°C. El bloque se va a calentar en un horno que está a 1 200°C hasta que la temperatura en su centro se eleve a 300°C. Si el coeficiente de transferencia de calor sobre todas las superficies del bloque es de 80 W/m2 · °C, determine cuánto tiempo debe mantenerse el bloque en el horno. Asimismo, determine la cantidad de transferencia de calor desde el bloque si se deja enfriar en el cuarto hasta que la temperatura en toda su extensión caiga hasta 20°C. 4-101 Repita el problema 4-100 para el caso en que el bloque de aluminio se introduce en el horno sobre un material de baja conductividad, de modo que la transferencia de calor hacia la superficie inferior del bloque, o desde ésta, sea despreciable. 4-102 Vuelva a considerar el problema 4-100. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto de la temperatura final en el centro del bloque sobre el tiempo de calentamiento y la cantidad de transferencia de calor. Suponga que la temperatura final del centro varía de 50°C a 1 000°C. Trace las gráficas del tiempo y de la transferencia de calor en función de la temperatura final del centro y discuta los resultados. Tema especial: Refrigeración y congelación de alimentos 4-103C ¿Cuáles son las clases comunes de microorganismos? ¿Qué cambios indeseables causan los microorganismos en los alimentos? Bloque de hielo –18°C 4-104C ¿Cómo impide o retrasa la refrigeración la corrupción de los alimentos? ¿Por qué la congelación amplía la vida en almacenamiento de los alimentos durante meses? 4-105C ¿Cuáles son los factores ambientales que afectan la velocidad de desarrollo de los microorganismos en los alimentos? 4-106C ¿Cuál es el efecto de la cocción sobre los microorganismos en los alimentos? ¿Por qué es importante que la temperatura interna de un asado en un horno se eleve a más de 70°C? FIGURA P4-97 4-98 Vuelva a considerar el problema 4-97. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto de la temperatura inicial del bloque de hielo sobre el periodo que transcurre antes de que se empiece a fundir. Suponga que la temperatura inicial varía de 26°C a 4°C. 4-107C ¿Cómo puede prevenirse o minimizarse la contaminación de los alimentos con microorganismos? ¿Cómo puede retardarse el desarrollo de los microorganismos en los alimentos? ¿Cómo pueden destruirse los microorganismos en los alimentos? 4-108C ¿Cómo afectan a) el movimiento del aire, y b) la humedad relativa del medio ambiente el desarrollo de los microorganismos en los alimentos? http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:54 PM Page 287 287 CAPÍTULO 4 4-109C El enfriamiento de una res abierta en canal desde 37°C hasta 5°C con aire refrigerado a 0°C en un cuarto de enfriamiento tarda alrededor de 48 h. Para reducir el tiempo de enfriamiento se propone enfriar la res con aire refrigerado a –10°C. ¿Cómo evaluaría el lector esta propuesta? 4-110C Considere la congelación de carne empacada en cajas con aire refrigerado. ¿Cómo a) la temperatura del aire, b) la velocidad del aire, c) la capacidad del sistema de refrigeración y d) el tamaño de las cajas de carne afectan el tiempo de congelación? 4-111C ¿Cómo afecta la velocidad de la congelación la suavidad, el color y el goteo de la carne durante la descongelación? 4-112C Se afirma que la carne de res se puede almacenar hasta por dos años a –23°C, pero no por más de un año a –12°C. ¿Es razonable esta afirmación? Explique. 4-113C ¿Qué es una plataforma refrigerada de embarque? ¿Cómo reduce la carga de refrigeración de los cuartos fríos de almacenamiento? 4-114C ¿Cómo se compara el enfriamiento por inmersión de las aves de corral con el enfriamiento con aire forzado con respecto a a) el tiempo de enfriamiento, b) la pérdida de humedad de las aves y c) el desarrollo microbiano? 4-115C ¿Cuál es la temperatura apropiada de almacenamiento de las aves de corral congeladas? ¿Cuáles son los métodos primarios de congelación para las aves? 4-116C ¿Cuáles son los factores que afectan la calidad del pescado congelado? 4-117 El cuarto de enfriamiento de una planta de carne tiene un tamaño de 15 m
18 m
5.5 m y una capacidad de 350 reses abiertas en canal. La potencia consumida por los ventiladores y las luces en este cuarto es de 22 y 2 kW, respectivamente, y el cuarto gana calor a través de su cubierta a razón de 14 kW. La masa promedio de las reses es de 220 kg. Las reses entran al cuarto a 35°C, después se lavan para facilitar el enfriamiento evaporativo y se enfrían hasta 16°C en 12 h. El aire entra en el cuarto a 2.2°C y sale a 0.5°C. Determine a) la carga de refrigeración del cuarto de enfriamiento y b) el gasto volumétrico de aire. Los calores específicos promedio de las reses y del aire son de 3.14 y 1.0 kJ/kg · °C, respectivamente, y la densidad del aire se puede tomar como 1.28 kg/m3. 4-118 En una planta de procesamiento de carne se van a enfriar trozos de carne de res (r  1 090 kg/m3, cp  3.54 kJ/kg · °C, k  0.47 W/m · °C, y a  0.13
10–6 m2/s) de 10 cm de espesor, inicialmente a 15°C, en las rejillas de un congelador grande que se mantiene a 12°C. Los trozos de carne se colocan cercanos entre sí, de modo que la transferencia de calor desde los bordes de 10 cm de espesor es despreciable. El trozo completo debe enfriarse por debajo de 5°C, pero la temperatura del bistec no debe caer por debajo de 1°C, en ninguna parte, durante la refrigeración con el fin de evitar la “quemadura por el frío”. Se puede controlar el coeficiente de transferencia de calor por convección y, como consecuencia, la razón de la transferencia de calor desde el bistec al variar la velocidad del ventilador de circulación que se encuentra en el interior. Determine el coeficiente h de transferencia de calor que satisfará las dos restricciones de la temperatura, manteniendo al mismo tiempo el tiempo de refrigeración hasta un mínimo. Respuesta: 9.9 W/m2 · °C 4-119 Se van a enfriar pollos con una masa promedio de 2.2 kg y un calor específico de 3.54 kJ/kg · °C por medio de agua fría que entra en un enfriador por inmersión del tipo de flujo continuo a 0.5°C. Los pollos se dejan caer en el enfriador a una temperatura uniforme de 15°C a razón de 500 por hora y se enfrían hasta una temperatura promedio de 3°C antes de sacarlos. El enfriador gana calor de los alrededores con una velocidad de 210 kJ/min. Determine a) la razón de la remoción de calor del pollo, en kW, y b) el gasto de masa de agua, en kg/s, si la elevación de la temperatura del agua no debe ser mayor a 2°C. 4-120I Se van a enfriar pollos con un contenido de agua de 74%, a una temperatura inicial de 32°F y una masa de alrededor de 7.5 lbm con aire refrigerado a 40°F. Por medio de la figura 4-54, determine cuánto tiempo transcurrirá para reducir la temperatura de la superficie interior de los pollos hasta 25°F. ¿Cuál sería su respuesta si la temperatura del aire fuera de 80°F? 4-121 Pavos con un contenido de agua de 64% que están inicialmente a 1°C y que tienen una masa de más o menos 7 kg se van a congelar sumergiéndolos en salmuera a –29°C. Usando la figura 4-55 determine cuánto tiempo se requerirá para reducir la temperatura de la pechuga del pavo a una profundidad de 3.8 cm hasta –18°C. Si la temperatura a una profundidad de 3.8 cm en la pechuga representa la temperatura promedio del pavo, determine la cantidad de transferencia de calor por pavo suponiendo que a) se congela todo el contenido de agua del pavo y b) sólo se congela 90% del contenido de agua de éste a –18°C. Tome los calores específicos del pavo como 2.98 y 1.65 kJ/kg · °C, arriba y abajo del punto de congelación a –2.8°C, respectivamente, y el calor latente de fusión del mismo como 214 kJ/kg. Respuestas: a) 1 753 kJ, b) 1 617 kJ Salmuera –29°C Aire –12°C FIGURA P4-118 Carne Pavo 7 kg 1°C 10 cm FIGURA P4-121 http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/22/11 3:56 PM Page 288 288 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO Problemas de repaso 4-122 Unas cuentas esféricas de cristal recién salidas de un horno se dejan enfriar a temperatura ambiente de 30ºC. Una de ellas con un diámetro de 10 mm y a una temperatura inicial de 400ºC se deja enfriar por 3 minutos. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 28 W/m2 · °C, determine la temperatura al centro de la cuenta de cristal mediante: a) la tabla 4-2 y b) el diagrama de Heisler (figura 4-18). La cuenta de cristal tiene propiedades de r = 2,800 kg/m3, cp =750 J/kg · °C y k = 0.7 W/m · °C. 4-123 Una losa grande de hierro (r = 7,870 kg/m3, cp = 447 J/kg · °C y k = 80.2 W/m · °C) se calentó en un principio a una temperatura uniforme de 150°C y después se colocó sobre un piso de concreto (r = 1,600 kg/m3, cp = 840 J/kg · °C y k = 0.79 W/m · °C). El suelo de concreto tenía una temperatura inicial de 30°C. Determine: a) la temperatura de la superficie del piso de concreto bajo la losa de hierro y b) la temperatura del suelo de concreto a 25 mm de profundidad, si la temperatura superficial permanece constante tras 15 minutos. Ts TA,i = 150°C A x B Losa de hierro Piso de concreto TB,i = 30°C des son r
980 kg/m3, cp
3.9 kJ/kg · °C, k
0.76 W/m · °C y a
2  10–7 m2/s. Una salchicha que está inicialmente a 5°C se deja caer en agua hirviendo a 100°C. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor en la superficie de la salchicha es de 600 W/m2 · °C. Si se considera que la salchicha está cocida cuando la temperatura de su centro llega a 80°C, determine cuánto tiempo pasará para que se cueza en el agua hirviendo. Salchicha Agua, 100°C FIGURA P4-126 4-127 Un rollo largo de placa de acero al manganeso de 2 m de ancho y 0.5 cm de espesor que está saliendo de un horno a 820°C se va a templar en un baño de aceite (cp
2.0 kJ/kg · °C) a 45°C. La lámina de metal se está moviendo a una velocidad estacionaria de 20 m/min y el baño de aceite tiene 9 m de largo. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección en los dos lados de la placa es 860 W/m2 · °C, determine la temperatura de la lámina metálica cuando sale del baño de aceite. Asimismo, determine la razón de la eliminación de calor del aceite requerida para mantener su temperatura constante a 45°C. Horno FIGURA P4-123 20 m/min 4-124 En los climas desérticos la lluvia no es algo que ocurra en forma común, ya que las gotitas que se forman en la capa superior de la atmósfera a menudo se evaporan antes de que lleguen a la tierra. Considere una gota de lluvia que está inicialmente a una temperatura de 5°C y tiene un diámetro de 5 mm. Determine cuánto tiempo transcurrirá para que el diámetro de la gota se reduzca a 3 mm conforme cae a través del aire ambiente a 18°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 400 W/m2 · °C. Se puede suponer que la temperatura del agua permanece constante y uniforme a 5°C en todo momento. 4-125 La tubería principal de agua en las ciudades debe colocarse a suficiente profundidad por debajo de la superficie del suelo para evitar que se congelen durante los prolongados periodos de temperaturas por debajo de la de congelación. Determine la profundidad mínima a la cual debe colocarse la tubería de agua en un lugar en donde el suelo está inicialmente a 15°C y se espera que la temperatura de la superficie del suelo, en las peores condiciones, permanezca en –10°C durante un periodo de 75 días. Tome las propiedades del suelo en ese lugar como k
0.7 W/m · °C y a
1.4  10–5 m2/s. Respuesta: 7.05 m 4-126 Se puede considerar que una salchicha es un cilindro de 12 cm de largo cuyo diámetro es de 2 cm y cuyas propieda- Placa de acero Baño de aceite, 45°C FIGURA P4-127 4-128I En el Libro de cocina de Betty Crocker se afirma que un pavo relleno de 14 lb inicialmente a 40°F tarda 5 h para asarse, en un horno mantenido a 325°F. Se recomienda usar un termómetro para carne con el fin de vigilar la cocción y se considera que el pavo está cocido cuando el termómetro insertado profundamente en la parte más gruesa de la pechuga o del muslo, sin tocar el hueso, registra 185°F. El pavo se puede visualizar como un objeto esférico homogéneo con las propiedades r
75 lbm/ft3, cp
0.98 Btu/lbm · °F, k
0.26 Btu/h · ft · °F, y a
0.0035 ft2/h. Si la punta del termómetro está a un tercio de la distancia radial al centro del pavo, determine a) el coeficiente promedio de transferencia de calor en la superficie del pavo, b) la temperatura en la piel del pavo cuando está cocido y c) la cantidad total de calor transferido a él en el horno. ¿La lectura del termómetro será de más de 185°F o menos después de pasados 5 min de que el pavo se saca del horno? http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/22/11 5:01 PM Page 289 289 CAPÍTULO 4 4-129 Durante un incendio, los troncos de algunos robles secos (k
0.17 W/m · °C y a
1.28  107 m2/s) que están inicialmente a una temperatura uniforme de 30°C se exponen a gases calientes a 600°C durante un periodo de 5 h, con un coeficiente de transferencia de calor de 65 W/m2 · °C sobre la superficie. La temperatura de ignición de los árboles es de 410°C. Considerando los troncos de los árboles secos como barras cilíndricas largas con diámetro de 20 cm, determine si se encenderán al ser barridos por el fuego. Gases calientes 600°C 30°C un esfuerzo por fundir el hielo entre las placas y separarlas, el trabajador toma una secadora de pelo grande y aplica aire caliente a 80ºC sobre la superficie expuesta de la placa superior. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie superior es de 40 W/m2 · °C. Determine por cuánto tiempo se tendrá que aplicar aire caliente antes de separar las dos placas. Respuesta: 217 s 4-132I Considere una placa cuyo espesor es de 1 in, un cilindro largo de 1 in de diámetro y una esfera de 1 in de diámetro, todas a una temperatura inicial de 400°F y hechas de bronce (k
15.0 Btu/h · ft · °F y a
0.333 ft2/h). Ahora estas tres configuraciones geométricas se exponen a aire frío a 75°C sobre todas sus superficies, con un coeficiente de transferencia de calor de 7 Btu/h · ft2 · °F. Determine la temperatura en el centro de cada configuración después de 10 y 20 min. Explique por qué la temperatura del centro de la esfera siempre es la más baja. 20 cm Placa FIGURA P4-129 1 in 4-130 Se puede determinar que la conductividad térmica de un sólido cuya densidad y calor específico se conocen a partir de la relación k
a/rcp, después de evaluar la difusividad térmica a. Considere una barra cilíndrica de 2 cm de diámetro hecho de un material simple cuya densidad y peso específico son 3 700 kg/m3 y 920 J/kg · °C, respectivamente. La muestra está inicialmente a una temperatura uniforme de 25°C. Con el fin de medir las temperaturas de la muestra en su superficie y su centro, se inserta un termopar hasta el centro de ella a lo largo de la línea central y se suelda otro en un pequeño orificio taladrado sobre la superficie. La muestra se deja caer en agua hirviendo a 100°C. Después de 3 min se registran las temperaturas de la superficie y del centro y resultan ser de 93°C y 75°C, respectivamente. Determine la difusividad térmica y la conductividad térmica del material. Tsuperficie Termopares Varilla Agua hirviendo 100°C Tcentro FIGURA P4-130 4-131 Considere dos placas grandes de acero con 2 cm de espesor (k = 43 W/m · °C y a = 1.17  10–5 m2/s) que se colocaron mojadas una encima de la otra y se dejaron a la intemperie durante una noche de invierno a –10ºC. Al día siguiente, un trabajador necesita una de las placas, pero están pegadas porque el agua congelada entre las dos las mantiene firmemente unidas. En Esfera Cilindro 1 in 1 in FIGURA P4-132I 4-133I Repita el problema 4-132I para configuraciones geométricas de hierro fundido (k
29 Btu/h · ft · °F y a
0.61 ft2/h). 4-134I Vuelva a considerar el problema 4-132I. Usando el software EES (o cualquier otro semejante), trace la gráfica del centro de cada configuración geométrica en función del tiempo de enfriamiento, a medida que éste varía de 5 min hasta 60 min y discuta los resultados. 4-135 Se calientan válvulas de motores (k
48 W/m · °C, cp
440 J/kg · °C, y r
7 840 kg/m3) hasta 800°C, en la sección de tratamientos térmicos de una instalación de fabricación de las mismas. Entonces las válvulas se templan en un baño grande de aceite que está a una temperatura promedio de 50°C. El coeficiente de transferencia de calor en el baño es de 800 W/m2 · °C. Las válvulas tienen un vástago cilíndrico con un diámetro de 8 mm y una longitud de 10 cm. Se puede suponer que la cabeza y el vástago de la válvula tienen un área superficial igual y se puede tomar el volumen de la cabeza como un 80% del volumen del vástago. Determine cuánto tiempo pasará para que la temperatura de la válvula caiga hasta a) 400°C, b) 200°C y c) 51°C, y d) la transferencia máxima de calor desde una sola de ellas. 4-136 Considere el monobloque de un automóvil hecho de hierro fundido (k
52 W/m · °C y a
1.7  105 m2/s). El motor se puede considerar como un bloque rectangular cuyos lados tienen 80 cm, 40 cm y 40 cm. El motor está a una temperatura de 150°C cuando está encendido. Entonces se expone al http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/23/11 1:25 PM Page 290 290 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO aire atmosférico a 17°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 6 W/m2 · °C. Determine a) la temperatura en el centro de la superficie superior cuyos lados tienen 80 cm por 40 cm y b) la temperatura en la esquina después de 45 min de enfriamiento. 4-137 Se van a enfriar trozos grandes de alimento de 10 cm de espesor que están firmemente envueltos en papel delgado, en un cuarto de refrigeración mantenido a 0°C. El coeficiente de transferencia de calor sobre las superficies de las cajas es de 25 W/m2 · °C y dichas cajas se van a mantener en el cuarto durante un periodo de 6 h. Si la temperatura inicial de las cajas es de 30°C, determine la temperatura en el centro de las mismas si contienen a) margarina (k
0.233 W/m · °C y a
0.11  106 m2/s), b) pastel blanco (k
0.082 W/m · °C y a
0.10  106 m2/s) y c) pastel de chocolate (k
0.106 W/m · °C y a
0.12  106 m2/s). 4-138 Largos alambres de aluminio (r
2 702 kg/m3, cp
0.896 kJ/kg · °C, k
236 W/m · °C, y a
9.75  105 m2/s) se extruyen a una temperatura de 350°C y se exponen al aire atmosférico a 30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 35 W/m2 · °C. a) Determine cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del alambre caiga hasta 50°C. b) Si el alambre se extruye a una velocidad de 10 m/min, determine qué distancia ha recorrido después de la extrusión para el momento en que su temperatura cae hasta 50°C. ¿Qué cambio en el proceso de enfriamiento propondría para acortar esta distancia? c) Si el alambre de aluminio sale del cuarto de extrusión a 50°C, determine la razón de la transferencia de calor del alambre hacia ese cuarto. Respuestas: a) 144 s, b) 24 m, c) 856 W 350°C Taire = 30°C 10 m/min Alambre de aluminio FIGURA P4-138 4-139 Repita el problema 4-138 para un alambre de cobre (r
8 950 kg/m3, cp
0.383 kJ/kg · °C, k
386 W/m · °C, y a
1.13  104 m2/s). 4-140 Considere una casa de ladrillos (k
0.72 W/m · °C y a
0.45  106 m2/s) cuyas paredes tienen 10 m de largo, 3 m de alto y 0.3 m de espesor. Una noche, se descompone el calefactor de la casa y se observó que toda ella, incluyendo sus paredes, estaba a 5°C en la mañana. El exterior se calentó a medida que avanzó el día, pero ningún cambio se sintió en la casa, la cual estaba firmemente sellada. Si la temperatura de la superficie exterior de la casa permanece constante a 18°C, determine el tiempo que transcurrirá para que la temperatura de las superficies interiores de las paredes se eleve hasta 5.1°C. 5°C 18°C FIGURA P4-140 4-141 Una pared de ladrillo de 40 cm de espesor (k
0.72 W/m · °C, y a
1.6  106 m2/s) se calienta hasta una temperatura promedio de 18°C mediante el sistema de calefacción y la radiación solar incidente sobre ella durante el día. Por la noche, la superficie exterior de la pared se expone a aire frío a 3°C, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de 20 W/m2 · °C. Determine las temperaturas de la pared a las distancias de 15, 30 y 40 cm de la superficie exterior, durante un periodo de dos horas. 4-142 Se va a enfriar una sandía que está inicialmente a 35°C dejándola caer en un lago que está a 15°C. Después de 4 h y 40 min de enfriamiento, se dice que la medida de la temperatura del centro de la sandía es de 20°C. Considerando la sandía como una esfera de 20 cm de diámetro y con las propiedades k
0.618 W/m · °C, a
0.15  106 m2/s, r
995 kg/m3, y cp
4.18 kJ/kg · °C, determine el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección y la temperatura superficial de ella al final del periodo de enfriamiento. 4-143 Se encuentra un hombre muerto en un cuarto a 12°C. Se mide la temperatura superficial de su cintura, la cual es de 23°C y se estima que el coeficiente de transferencia de calor es de 9 W/m2 · °C. Visualizando el cuerpo como un cilindro de 28 cm de diámetro y 1.80 m de largo, estime cuánto tiempo ha transcurrido desde que murió. Tome las propiedades del cuerpo como k
0.62 W/m · °C y a
0.15  106 m2/s y suponga que la temperatura inicial del mismo fue de 36°C. 4-144 Se desarrolla un proceso exotérmico de manera uniforme en toda la extensión de una esfera de 10 cm de diámetro (k
300 W/m · °C, cp
400 J/kg · °C, r
7 500 kg/m3) y se genera calor con una rapidez constante de 1.2 MW/m3. La temperatura está inicialmente uniforme a 20°C y el proceso exotérmico comienza en el instante t
0. Para mantener la temperatura de la esfera bajo control, se sumerge en un baño líquido mantenido a 20°C. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie de la esfera es de 250 W/m2 · °C. Debido a la elevada conductividad térmica de la esfera, se puede despreciar la resistencia a la conducción dentro de ella, en comparación con la resistencia a la convección en su superficie. En consecuencia, se podría analizar esta situación de transferencia de calor de estado no estacionario como un sistema concentrado. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:58 PM Page 291 291 CAPÍTULO 4 a) Demuestre que la variación de la temperatura T de la esfera con el tiempo t se puede expresar como dT/dt
0.5  0.005T. b) Calcule la temperatura de la esfera en estado estacionario. c) Calcule el tiempo necesario para que la temperatura de la esfera alcance el promedio de sus temperaturas inicial y final (estacionaria). 4-145 Se enfrían por inmersión placas grandes de acero de 1.0 cm de espesor, desde 600°C hasta 100°C, en un recipiente con aceite que se mantiene a 30°C. El coeficiente promedio de transferencia de calor para las dos caras de las placas de acero es de 400 W/m2 · °C. Las propiedades promedio del acero son k
45 W/m · °C, r
7 800 kg/m3 y cp
470 J/kg · °C. Calcule el tiempo de enfriamiento de las placas de acero. 4-146 Se producen alambres de aluminio de 4 mm de diámetro, por extrusión. Los alambres salen del extrusor a una temperatura promedio de 350°C y a una velocidad lineal de 10 m/min. Antes de salir de la sala de extrusión, los alambres se enfrían hasta una temperatura promedio de 50°C mediante transferencia de calor hacia el aire circundante que se encuentra a 25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 50 W/m2 · °C. Calcule la longitud necesaria de la sección en enfriamiento del alambre dentro de la sala de extrusión. 4-147 Dos barras metálicas se calientan en un horno con una temperatura ambiente uniforme de 1 000ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 25 W/m2 · °C. La barra A está hecha de aluminio (r
2 702 kg/m3, cp
903 J/kg · °C y k
237 W/m · °C) y la barra B está hecha de acero inoxidable (r
8 238 kg/m3, cp
468 J/kg · °C y k
13.4 W/m · °C). Ambas barras tienen un diámetro de 25 mm y una longitud de 1m. Si la temperatura inicial de ambas barras es de 15ºC, determine las temperaturas promedio de ambas barras tras haber transcurrido 5 minutos. 4-148 Tras erupcionar un volcán, la lava a 1 200°C se encuentra fluyendo por el suelo. El suelo estaba en un principio a 15° y el flujo de lava tiene un coeficiente de transferencia de calor por convección de 3 500 W/m2 · °C. Determine a) la temperatura de la superficie del suelo y b) el flujo de calor tras 2 segundos de flujo de lava. Suponga que el suelo tiene las mismas propiedades de un suelo seco. Respuestas: a) 983°C, b) 759.5 kW/m2 4-149 Un gran bloque de acero caliente (r
7 832 kg/m3, cp
434 J/kg · °C, k
63.9 W/m · °C y a
18.8  106 m2/s) se deja enfriar en una habitación a 25ºC. El bloque de acero tiene una temperatura inicial de 450ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 25 W/m2 · °C. Suponiendo que el bloque de acero pueda tratarse como un medio semiinfinito, determine la temperatura en el borde del bloque de acero tras 10 minutos de enfriado. Problemas de examen sobre fundamentos de ingeniería (FI) 4-150 Se dejan enfriar bolas de cobre (r
8 933 kg/m3, k
401 W/m · °C, cp
385 J/kg · °C, a
1.166  104 m2/s), inicialmente a 180°C, en aire a 30°C, durante 2 minutos. Si las bolas tienen un diámetro de 2 cm y el coeficiente de transferencia de calor es 80 W/m2 · °C, la temperatura en el centro de las bolas al final del enfriamiento es a) 78°C b) 95°C c) 118°C d) 134°C e) 151°C 4-151 Se llena con agua, inicialmente a 25°C, una lata de 10 cm de diámetro interior y 30 cm de largo, y se pone en un refrigerador doméstico que está a 3°C. El coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie de la lata es 14 W/m2 · °C. Si se supone que la temperatura del agua permanece uniforme en el curso del proceso de enfriamiento, el tiempo que se requiere para que la temperatura del agua caiga hasta 5°C es a) 0.55 h b) 1.17 h c) 2.09 h d) 3.60 h e) 4.97 h 4-152 Se coloca un bloque caliente de hierro (r
7 870 kg/m3, cp
447 J/kg · °C) de 18 cm de largo, 16 cm de ancho y 12 cm de altura, inicialmente a 20°C, en un horno para tratamiento térmico. El coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie del bloque es 100 W/m2 · °C. Si se requiere que la temperatura del bloque se eleve hasta 750°C en un periodo de 25 min, el horno debe mantenerse a a) 750°C b) 830°C c) 875°C d) 910°C e) 1 000°C 4-153 En una instalación de producción, grandes placas de 40 cm de espesor, hechas de acero inoxidable (k
15 W/m · °C, a
3.91  106 m2/s) son extraídas de un horno a una temperatura uniforme de 750°C. Las placas se colocan en un baño de agua que se mantiene a una temperatura constante de 20°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 600 W/m2 · °C. El tiempo que tarda la temperatura de la superficie de las placas en disminuir hasta 120°C es a) 0.6 h b) 0.8 h c) 1.4 h d) 2.6 h e) 3.2 h 4-154 Se expone a aire a 30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 8.83 W/m2 · °C, una larga barra de 18 cm de diámetro, hecha de madera dura (k
0.159 W/m · °C, a
1.75  107 m2/s). Si la temperatura del centro de la barra es de 15°C después de 3 horas, la temperatura inicial de la barra era a) 11.9°C b) 4.9°C c) 1.7°C d) 0°C e) 9.2°C 4-155 Puede considerarse una papa como una esfera sólida de 5.7 cm de diámetro con las propiedades r
910 kg/m3, cp
4.25 kJ/kg · °C, k
0.68 W/m · °C y a
1.76  107 m2/s. Se van a cocinar 12 de esas papas, inicialmente a 25°C, colocándolas en un horno mantenido a 250°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 95 W/m2 · °C. La cantidad de transferencia de calor a las papas en el transcurso de un periodo de 90°C es a) 1 012 kJ b) 1 366 kJ c) 1 788 kJ d) 2 046 kJ e) 3 270 kJ 4-156 Se deja caer en agua con hielo un trozo grande de tejido a 35°C, con una difusividad térmica de 1  107 m2/s. El agua se agita bien, de modo que la temperatura de la superficie del http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:58 PM Page 292 292 CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIO tejido disminuye hasta 0°C en el tiempo cero y permanece a esa temperatura en todo momento. Después de 4 minutos y a una profundidad de 1 cm, la temperatura del tejido es a) 5°C b) 30°C c) 25°C d) 20°C e) 10°C 4-157 El techo de 35 cm de espesor de un cuarto grande construido con concreto (k
0.79 W/m · °C, a
5.88  107 m2/s) está inicialmente a una temperatura uniforme de 15°C. Después de una intensa tormenta de nieve, la superficie exterior del techo permanece cubierta con nieve a 5°C. La temperatura del techo a una distancia de 12 cm de la superficie exterior, después de 2 horas, es a) 13°C b) 11°C c) 7°C d) 3°C e) 5°C 4-158 Considere un trozo cilíndrico de carne de cordero de 7.6 cm de largo y 3 cm de diámetro (r
1 030 kg/m3, cp
3.49 kJ/kg · °C, k
0.456 W/m · °C, a
1.3  107 m2/s). Se deja caer ese trozo de carne, inicialmente a 2°C, en agua en ebullición a 95°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 1 200 W/m2 · °C. La cantidad de calor que se transfiere en el transcurso de los primeros 8 minutos de cocción es a) 71 kJ b) 227 kJ c) 238 kJ d) 269 kJ e) 307 kJ 4-159 Se enfrían por inmersión bolas de acero al carbono (r
7 830 kg/m3, k
64 W/m · °C, cp
434 J/kg · °C), inicialmente a 200°C, en un baño de aceite a 20°C, durante 3 minutos. Si las bolas tienen un diámetro de 5 cm y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 450 W/m2 · °C, la temperatura del centro de las bolas después del enfriamiento será (sugerencia: examine el número de Biot) a) 30.3°C b) 46.1°C c) 55.4°C d) 68.9°C e) 79.4°C 4-160 Se va a enfriar hasta 5°C una bebida enlatada de 6 cm de diámetro y 13 cm de altura (r
977 kg/m3, k
0.607 W/m · °C, cp
4 180 J/kg · °C), inicialmente a 25°C, echándola en agua con hielo a 0°C. El área total de la superficie y el volumen de la bebida son As
301.6 cm2 y V
367.6 cm3. Si el coeficiente de transferencia de calor es 120 W/m2 · °C, determine cuánto tardará la bebida en enfriarse hasta la temperatura deseada de 5°C. Suponga que la lata se agita en el agua y, como consecuencia, la temperatura de la bebida cambia de modo uniforme con el tiempo. a) 1.5 min b) 8.7 min c) 11.1 min d) 26.6 min e) 6.7 min 4-161 El análisis de sistemas concentrados de situaciones de conducción transitoria de calor es válido cuando el número de Biot es a) muy pequeño b) aproximadamente uno c) muy grande d) cualquier número real e) no se puede decir a menos que también se conozca el número de Fourier 4-162 Paneles de carrocerías automotrices de cloruro de polivinilo (k
0.092 W/m · °C, cp
1.05 kJ/kg · °C, r
1 714 kg/m3), de 1 mm de espesor, salen de una moldeadora por inyección a 120°C. Para manejarlos, necesitan enfriarse hasta 40°C mediante la exposición de ambos costados de ellos a aire a 20°C. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15 W/m2 · °C y no se considera la radiación, el tiempo que deben exponerse los paneles al aire, antes de que se puedan manejar, es a) 0.8 min b) 1.6 min c) 2.4 min d) 3.1 min e) 5.6 min 4-163 Una fundición de acero se enfría hasta 90% de la diferencia original de temperatura en 30 min en aire estático. El tiempo que tarda en enfriarse esta misma fundición hasta 90% de la diferencia original de temperatura en un flujo de aire, cuyo coeficiente de transferencia de calor por convección es 5 veces el del aire estático, es a) 3 min b) 6 min c) 9 min d) 12 min e) 15 min 4-164 Se puede concebir el número de Biot como la razón de a) La resistencia térmica a la conducción a la resistencia térmica a la convección. b) La resistencia térmica a la convección a la resistencia térmica a la conducción. c) La capacidad de almacenamiento de energía térmica a la resistencia térmica a la conducción. d) La capacidad de almacenamiento de energía térmica a la resistencia térmica a la convección. e) Ninguna de las anteriores. 4-165 Considere un trozo cilíndrico de carne de cordero de 7.6 cm de diámetro (r
1 030 kg/m3, cp
3.49 kJ/kg · °C, k
0.456 W/m · °C, a
1.3  107 m2/s). Se deja caer ese trozo de carne, inicialmente a 2°C, en agua en ebullición a 95°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 1 200 W/m2 · °C. El tiempo que transcurre para que la temperatura del centro del trozo de carne se eleve hasta 75°C es a) 136 min b) 21.2 min c) 13.6 min d) 11.0 min e) 8.5 min Problemas de computadora, diseño y ensayo 4-166 Realice el siguiente experimento en su casa para determinar el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación en la superficie de una manzana expuesta al aire ambiental. Necesitará dos termómetros y un reloj. En primer lugar, pese la manzana y mida su diámetro. Debe medir su volumen al colocarla en una taza graduada grande llena hasta la mitad de agua y observar el cambio en volumen cuando esté completamente sumergida en esa agua. Refrigere la manzana durante la noche de modo que esté a una temperatura uniforme en la mañana y mida la temperatura del aire en la cocina. En seguida, saque la manzana y clávele uno de los termómetros hasta su punto medio y el otro justo debajo de la cáscara. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:58 PM Page 293 293 CAPÍTULO 4 Registre las dos temperaturas cada 5 min durante una hora. Con estas dos temperaturas, calcule el coeficiente de transferencia de calor para cada intervalo y tome su promedio. El resultado es el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación para este proceso de transferencia. Con sus datos experimentales, calcule también la conductividad térmica y la difusividad térmica de la manzana y compárelas con los valores dados con anterioridad. 4-167 Repita el problema 4-166 con un plátano en lugar de una manzana. Las propiedades térmicas de los plátanos son prácticamente las mismas que las de las manzanas. 4-168 Lleve a cabo el siguiente experimento para determinar la constante de tiempo para una lata de bebida gaseosa y, a continuación, prediga la temperatura de la bebida en diferentes instantes. Deje la bebida en el refrigerador durante la noche. Mida la temperatura del aire en la cocina y la de la bebida mientras todavía está en el refrigerador, pegando con cinta adhesiva el termómetro a la superficie exterior de la lata. A continuación saque la bebida y mida su temperatura después de 5 min. Mediante estos valores calcule el exponente b. Con este valor b, prediga las temperaturas de la bebida en 10, 15, 20, 30 y 60 min y compare los resultados con las medidas de la temperatura real. ¿Piensa que, en este caso, es válido el análisis de sistemas concentrados? 4-169 Los árboles de cítricos son muy susceptibles al clima frío y la exposición prolongada a temperaturas inferiores a la de congelación puede destruir la cosecha. Con el fin de proteger los árboles contra frentes fríos ocasionales con temperaturas por debajo de la de congelación, los agricultores de Florida suelen instalar rociadores de agua sobre los árboles. Cuando la temperatura cae por debajo de cierto nivel, los rociadores esparcen agua sobre los árboles y sus frutos para protegerlos contra el daño que puede causar la temperatura por debajo de la de congelación. Explique el mecanismo básico que se encuentra detrás de esta medida de protección y escriba un ensayo acerca de cómo funciona el sistema en la práctica. http://librosysolucionarios.net Cengel_04B.qxd 2/11/11 6:58 PM Page 294 http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/22/11 4:04 PM Page 295 CAPÍTULO 5 MÉTODOS NUMÉRICOS EN LA CONDUCCIÓN DE CALOR asta ahora se han considerado de modo preponderante problemas relativamente simples de conducción de calor relacionados con configuraciones geométricas simples, con condiciones de frontera simples, porque sólo esos problemas se pueden resolver analíticamente. Pero muchos problemas que se encuentran en la práctica comprenden configuraciones geométricas complicadas, con condiciones de frontera complejas o propiedades variables, y no se pueden resolver analíticamente. En esos casos, se pueden obtener soluciones aproximadas suficientemente exactas por medio de computadoras utilizando un método numérico. Los métodos de resolución analítica como los presentados en el capítulo 2 se basan en la solución de la ecuación diferencial que rige junto con las condiciones de frontera. Estos métodos conducen a funciones soluciones para la temperatura en cada punto del medio. Por otra parte, los métodos numéricos se basan en el reemplazo de la ecuación diferencial por un conjunto de n ecuaciones algebraicas para las temperaturas desconocidas en n puntos seleccionados en el medio y la solución simultánea de estas ecuaciones conduce a valores de la temperatura en esos puntos discretos. Existen varias maneras de obtener la formulación numérica de un problema de conducción de calor, como los métodos de las diferencias finitas, de elementos finitos, de elementos frontera y de balance de energía (o de volumen de control). Cada uno tiene sus propias ventajas y desventajas y, en la práctica, se usa cada uno. En este capítulo se usa principalmente el enfoque de balance de energía, que se basa en los conocidos balances de energía en volúmenes de control y no en pesadas formulaciones matemáticas y, por lo tanto, proporciona una mejor sensación física del problema. Además, conduce al mismo conjunto de ecuaciones algebraicas que el método de las diferencias finitas. En este capítulo se demuestran la formulación matemática y la resolución de problemas de conducción de calor tanto para el caso estacionario como el transitorio en diversas configuraciones geométricas. H OBJETIVOS Cuando el lector termine de estudiar este capítulo, debe ser capaz de: ■ ■ ■ ■ Comprender las limitaciones de las soluciones analíticas de los problemas de conducción y la necesidad de los métodos numéricos intensivos de computación; Expresar las derivadas como diferencias y obtener las formulaciones en diferencias finitas; Resolver numéricamente problemas de conducción estacionaria unidimensional o bidimensional, aplicando el método de diferencias finitas, y Resolver problemas de conducción transitoria unidimensional o bidimensional, aplicando el método de diferencias finitas. 295 http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 296 296 MÉTODOS NUMÉRICOS 5-1 e· 1 — d 2 dT — r — + — =0 2 k r dr dr ( ) ro Esfera 0 dT(0) =0 dr T(ro) = T1 ■ ¿POR QUÉ LOS MÉTODOS NUMÉRICOS? La pronta disponibilidad de las computadoras de alta velocidad y los poderosos paquetes de software de fácil uso han tenido un impacto importante sobre la educación y la práctica de la ingeniería en los últimos años. Hace años, los ingenieros dependían de sus habilidades analíticas para resolver problemas significativos de ingeniería y, como consecuencia, tenían que pasar por un adiestramiento riguroso en matemáticas. Por otra parte, los ingenieros de la actualidad tienen acceso a una cantidad tremenda de poder de computación bajo las puntas de sus dedos y necesitan sobre todo comprender la naturaleza física del problema e interpretar los resultados. Pero también requieren entender cómo realizan los cálculos las computadoras con el fin de desarrollar cierta conciencia de los procesos que intervienen y de las limitaciones, para evitar al mismo tiempo cualesquiera escollos ocultos posibles. En el capítulo 2 se resolvieron varios problemas de conducción de calor en diversas configuraciones geométricas de manera sistemática pero intensamente matemática mediante 1) la deducción de la ecuación diferencial que la rige, mediante un balance de energía sobre un elemento de volumen diferencial, 2) al expresar las condiciones de frontera en forma matemática apropiada, y 3) por medio de la ecuación diferencial y al aplicar las condiciones de frontera para determinar las constantes de integración. Esto dio por resultado una función solución para la distribución de temperatura en el medio, y la solución obtenida de esta manera se llamó solución analítica del problema. Por ejemplo, la formulación matemática de la conducción unidimensional de calor en estado estacionario en una esfera de radio ro, cuya superficie exterior se mantiene a una temperatura uniforme de T1, con una generación uniforme de calor a una velocidad de e·, se expresó como (figura 5-1) Solución: e· T(r) = T1 + — (ro2 – r 2) 6k dT(0)
0 dr · dT 4p r 3e· Q(r) = –kA — = ———— dr 3 FIGURA 5-1 La solución analítica de un problema requiere plantear la ecuación diferencial que rige y la aplicación de las condiciones de frontera. # e k 1 d 2 dT r dr r 2 dr 0 T(ro)
T1 y (5-1) cuya solución (analítica) es T(r) T1 # e 2 (r 6k o r 2) (5-2) Es cierto que lo anterior es una forma muy conveniente de la solución, ya que se puede determinar la temperatura en cualquier punto dentro de la esfera simplemente al sustituir la coordenada r del punto en la función solución analítica antes dada. La solución analítica de un problema también se menciona como solución exacta, puesto que satisface la ecuación diferencial y las condiciones de frontera. Esto se puede verificar al sustituir la función solución en la ecuación diferencial y las condiciones de frontera. Además, se puede determinar la razón del flujo de calor en cualquier lugar dentro de la esfera o de su superficie al tomar la derivada de la función solución T(r) y sustituirla en la ley de Fourier como · Q (r) dT kA dr # er k(4pr ) a b 3k 2 # 4pr 3e 3 (5-3) El análisis antes realizado no requirió elaboración matemática más allá de la integración simple y es probable que el lector se pregunte por qué alguien pediría algo más. Después de todo, las soluciones obtenidas son exactas y fáciles de usar. Además, son instructivas, puesto que muestran con claridad la http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/22/11 4:05 PM Page 297 297 CAPÍTULO 5 dependencia funcional de la temperatura y la transferencia de calor con respecto a la variable independiente r. Bien, existen varias razones para la búsqueda de métodos alternativos de resolución. 1 Limitaciones Los métodos analíticos de solución se limitan a problemas fuertemente simplificados en configuraciones geométricas simples (figura 5-2). La configuración geométrica debe ser tal que toda su superficie se pueda describir matemáticamente en un sistema de coordenadas al igualar las variables a constantes. Es decir, deben ajustarse a la perfección a un sistema de coordenadas con nada que se introduzca o sobresalga. Por ejemplo, en el caso de la conducción de calor unidimensional en una esfera sólida de radio ro, toda la superficie exterior se puede describir por r
ro. De modo semejante, las superficies de un cilindro sólido finito de radio ro y altura H se pueden describir por r
ro, para la superficie lateral, y z
0 y z
H para las superficies superior e inferior, respectivamente. Incluso las menores complicaciones en la configuración geométrica pueden hacer que una solución analítica sea imposible. Por ejemplo, un objeto esférico con una extrusión, como una manija en algún lugar, es imposible de manejar en forma analítica ya que, en este caso, las condiciones de frontera no se pueden expresar en ningún sistema conocido de coordenadas. Incluso en las configuraciones simples los problemas de transferencia de calor no se pueden resolver en forma analítica si las condiciones térmicas no son suficientemente simples. Por ejemplo, la consideración de la variación de la conductividad térmica con la temperatura, la variación del coeficiente de transferencia de calor sobre la superficie o la transferencia de calor por radiación sobre las superficies pueden hacer que sea imposible obtener una solución analítica. Por lo tanto, las soluciones analíticas se limitan a problemas que son simples o que se pueden simplificar con aproximaciones razonables. T, h k = constante Sin radiación Cilindro largo T, h http://librosysolucionarios.net Sin radiación h, T h = constante T = constante FIGURA 5-2 Los métodos analíticos de solución se limitan a problemas simplificados en configuraciones geométricas simples. Un cuerpo con forma oval 2 Una mejor elaboración de modelos Se mencionó con anterioridad que las soluciones analíticas son exactas porque no comprenden aproximaciones. Pero esta afirmación necesita ser aclarada. Se debe establecer una distinción entre un problema del mundo real y el modelo matemático, que es una representación idealizada de él. Las soluciones que se obtienen son las soluciones de los modelos matemáticos, y el grado de aplicabilidad de estas soluciones a los problemas físicos reales depende de la precisión del modelo. Una solución “aproximada” de un modelo real de un problema físico suele ser más precisa que la solución “exacta” de un modelo matemático burdo (figura 5-3). Cuando se intenta obtener una solución analítica para un problema físico, siempre existe la tendencia de simplificado en exceso con el fin de hacer que el modelo matemático sea suficientemente simple como para justificar una solución analítica. Por lo tanto, es una práctica común ignorar cualesquiera efectos que causen complicaciones matemáticas, como las no linealidades en la ecuación diferencial o en las condiciones de frontera. Por lo tanto, no debe sorprender que las no linealidades, como la dependencia con respecto a la temperatura de la conductividad térmica y las condiciones de frontera relativas a la radiación rara vez se consideren en las soluciones analíticas. Es probable que un modelo matemático destinado a una solución numérica represente mejor el problema real. Por lo tanto, la solución numérica de los problemas de ingeniería se ha convertido ahora en la norma, en lugar de la excepción, incluso cuando se dispone de soluciones analíticas. h, T Modelo simplificado Modelo real Una esfera Solución exacta Solución aproximada (analítica) del modelo, (numérica) del modelo, pero solución burda pero solución precisa del problema real del problema real FIGURA 5-3 La solución numérica aproximada de un problema del mundo real puede ser más precisa que la solución exacta (analítica) de un modelo simplificado en exceso de ese problema. Cengel_05A.qxd 2/22/11 4:06 PM Page 298 298 MÉTODOS NUMÉRICOS 3 Flexibilidad z L T⬁ T(r, z) 0 ro T0 r Solución analítica: T(r, z) – T⬁ T0 – T⬁ J0(λnr) senh λ n(L – z) J1( λnro) senh (λ nL) λ n n=1 ⬁ =∑ donde las λnson raíces de J0(λnro) = 0 FIGURA 5-4 Algunas soluciones analíticas son muy complejas y difíciles de usar. Los problemas de ingeniería a menudo requieren estudios paramétricos extensos con el fin de entender la influencia de algunas variables sobre la solución y así elegir el conjunto correcto de variables y dar respuesta a algunas preguntas de “¿qué sucede si...?” Se trata de un proceso iterativo que es tedioso en extremo y tardado si se realiza a mano. Las computadoras y los métodos numéricos resultan idealmente adecuados para esos cálculos y se puede resolver una amplia gama de problemas relacionados mediante pequeñas modificaciones en el código o las variables de entrada. En la actualidad es casi inconcebible realizar cualquier estudio significativo de optimización en ingeniería sin el poder y la flexibilidad de las computadoras y los métodos numéricos. 4 Complicaciones Algunos problemas se pueden resolver analíticamente, pero el procedimiento de solución es tan complejo y las expresiones resultantes de la solución tan complicadas que no vale la pena todo ese esfuerzo. Con la excepción de los problemas unidimensionales de estado estacionario o los de sistemas concentrados en régimen transitorio, todos los problemas de conducción de calor llevan a ecuaciones diferenciales parciales. La solución de esas ecuaciones suele requerir un refinamiento matemático más allá del adquirido en el nivel de licenciatura, como ortogonalidad, eigenvalores (valores propios), transformadas de Fourier y de Laplace, funciones de Bessel y de Legendre, y series infinitas. En esos casos, la evaluación de la solución, la cual con frecuencia comprende sumas dobles o triples de series infinitas en un punto específico, es un reto en sí misma (figura 5-4). Por lo tanto, incluso cuando se dispone de soluciones en algunos manuales, son suficientemente intimidantes como para ahuyentar a los usuarios en perspectiva. 5 Naturaleza humana FIGURA 5-5 La pronta disponibilidad de computadoras de alta potencia con refinados paquetes de software ha hecho que las soluciones numéricas sean la norma, en lugar de la excepción. Como seres humanos, es agradable estar sentados cómodos, pedir deseos y que éstos se hagan realidad sin mucho esfuerzo. La invención de los controles remotos para la TV nos hizo sentir como reyes en nuestras casas, ya que las órdenes se dan desde nuestras confortables sillas, al oprimir botones, y de inmediato son llevadas a efecto por los obedientes aparatos de TV. Después de todo, qué tan buena es la TV por cable sin un control remoto. Es evidente que se amaría seguir siendo el rey en nuestro pequeño cubículo en la oficina de ingeniería, al resolver problemas al oprimir un botón en una computadora (hasta que inventen un control remoto para las computadoras, por supuesto). Bien, esto podría haber sido una fantasía ayer, pero hoy es una realidad. En la actualidad prácticamente todas las oficinas de ingeniería están equipadas con computadoras de alto poder, con refinados paquetes de software, con salida a todo color en un estilo de presentación impresionante, en forma gráfica o tabular (figura 5-5). Además, para todos los fines prácticos, los resultados son tan exactos como los analíticos. Con toda certeza, las computadoras han cambiado la manera en que se practica la ingeniería. Las discusiones antes presentadas no deben conducir al lector a creer que las soluciones analíticas son innecesarias y que deben descartarse del currículum de ingeniería. Por el contrario, la percepción de los fenómenos físicos y la sabiduría de la ingeniería se ganan principalmente a través del análisis. La “sensación” que los ingenieros desarrollan durante el análisis de problemas simples pero fundamentales sirve como una herramienta inestimable al interpretar una enorme pila de resultados obtenidos de una computadora cuando se resuelve un problema complejo. Se puede usar un análisis simple hecho a mano para un caso límite con el fin de comprobar si los resultados están dentro http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 299 299 CAPÍTULO 5 del rango apropiado. Asimismo, nada puede sustituir el poder contar con resultados aproximados en un trozo de papel durante las discusiones preliminares. Las calculadoras convirtieron las operaciones aritméticas básicas hechas a mano en algo del pasado, pero no eliminaron la necesidad de instruir a los niños de las escuelas elementales acerca de cómo sumar o multiplicar. En este capítulo el lector aprenderá cómo formular y resolver numéricamente problemas de transferencia de calor, mediante uno o más procedimientos. En su vida profesional, es probable que resuelva ese tipo de problemas por medio de un paquete profesional de software y es muy improbable que escriba sus propios programas para resolverlos. (Además, las personas se mostrarán muy escépticas acerca de los resultados obtenidos si utiliza el lector sus propios programas en lugar de recurrir a un paquete comercial bien establecido de software que ha soportado la prueba del tiempo.) La percepción que adquiere en este capítulo al formular y resolver algunos problemas de transferencia de calor le ayudará a comprender mejor los paquetes de software de los que se dispone y a ser un usuario informado y responsable. 5-2 ■ FORMULACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales se basan en el reemplazo de las ecuaciones diferenciales por ecuaciones algebraicas. En el caso del popular método de las diferencias finitas, esto se realiza al reemplazar las derivadas por diferencias. En seguida se demostrará esto tanto con las derivadas de primer orden como con las de segundo orden. Pero, en principio, se da un ejemplo motivador. Considere un hombre que deposita su dinero, la cantidad de A0
100 dólares en una cuenta de ahorros, a una tasa de interés anual de 18% e intente determinar la cantidad de dinero que tendrá después de un año si el interés se compone en forma continua (o instantáneamente). En el caso del interés simple, el dinero ganará un interés de 18 dólares y el hombre tendrá 100  100  0.18
118.00 dólares en su cuenta después de un año. Pero en el caso de la composición, el interés ganado durante un periodo de composición también ganará interés para la parte restante del año y el balance al final del año será mayor que 118 dólares. Por ejemplo, si el dinero se compone dos veces al año, el balance será 100  100  (0.18/2)
109 dólares, después de seis meses, y 109  109  (0.18/2)
118.81, al final del año. Se pudo también determinar el balance A directamente a partir de A
A0(1  i)n
(100 dólares)(1  0.09)2
118.81 dólares (5-4) donde i es la tasa de interés para el periodo de composición y n es el número de periodos. Con la misma fórmula se determina el balance para el final del año al componer en forma mensual, diaria, por hora, por minuto e incluso por segundo, y los resultados se dan en la tabla 5-1. Note que en el caso de la composición diaria, el balance al final del año será de 119.72 dólares, lo cual es 1.72 dólares más que en el caso del interés simple. (De modo que no hay de qué sorprenderse en el sentido de que las compañías de tarjetas de crédito suelan cargar interés compuesto diariamente cuando determinan el balance.) Asimismo, note que la composición a intervalos más pequeños de tiempo, incluso al final de cada segundo, no cambia el resultado y se sospecha que la composición instantánea mediante intervalos “diferenciales” de tiempo, dt, dará el mismo resultado. Esta sospecha se con- http://librosysolucionarios.net TABLA 5-1 Balance al final del año de una cuenta de 100 dólares ganando interés a una tasa anual de 18%, para varios periodos de composición Periodo de composición Balance Número de al final periodos, n del año 1 año 6 meses 1 mes 1 semana 1 día 1 hora 1 minuto 1 segundo Instantáneo 1 2 12 52 365 8 760 525 600 31 536 000  118.00 118.81 119.56 119.68 119.72 119.72 119.72 119.72 119.72 Cengel_05A.qxd 2/22/11 4:07 PM Page 300 300 MÉTODOS NUMÉRICOS firma al obtener la ecuación diferencial dA/dt
iA para el balance A, cuya solución es A
A0 exp(it). Al sustituir, da f (x) A
(100 dólares) exp (0.18  1)
119.72 dólares f(x + ∆ x) ∆f f (x) ∆x Recta tangente x x + ∆x x FIGURA 5-6 La derivada de una función en un punto representa la pendiente de la función en ese punto. lo cual es idéntico al resultado para la composición diaria. Por lo tanto, el reemplazo de un intervalo diferencial de tiempo, dt, por un intervalo finito de tiempo de t = 1 día llevó al mismo resultado que la composición instantánea cuando se redondeó hasta la segunda cifra decimal para los centavos, lo cual condujo a creer que se pueden obtener resultados razonablemente exactos al reemplazar las cantidades diferenciales por diferencias suficientemente pequeñas. A continuación, se desarrolla la formulación en diferencias finitas de los problemas de conducción de calor al reemplazar las derivadas de las ecuaciones diferenciales por diferencias. En la sección siguiente, se hará mediante el método del balance de energía, que no requiere el conocimiento de las ecuaciones diferenciales. Las derivadas son los bloques de construcción de las ecuaciones diferenciales y, por consiguiente, en primer lugar, se dará un breve repaso a las derivadas. Considere una función f que depende de x, como se muestra en la figura 5-6. La primera derivada de f(x) en un punto es equivalente a la pendiente de una recta tangente a la curva en ese punto y se define como f f(x  x)  f(x) df(x)
xlím
xlím → 0 → 0 x x dx (5-5) lo cual es la razón del incremento ∆f en función al incremento ∆x de la variable independiente, cuando x → 0. Si no se toma el límite indicado, se tendrá la siguiente relación aproximada para la derivada: df(x) f(x  x)  f(x)
x dx (5-6) Esta expresión aproximada de la derivada en términos de diferencias es la forma en diferencias finitas de la primera derivada. También se puede obtener la ecuación anterior al escribir la expansión en la serie de Taylor de la función f en torno al punto x, Pared plana f(x  x)
f(x)  x df(x) 1 d 2f(x)  x2 ··· 2 dx dx2 (5-7) T (x) Tm + 1 Tm Tm – 1 0 01 2 L m + 1… M M–1 1 1 m – – m+ – 2 2 …m – 1 m FIGURA 5-7 Esquema de los nodos y las temperaturas nodales usados en el desarrollo de la formulación en diferencias finitas de la transferencia de calor en una pared plana. x y al despreciar todos los términos del desarrollo, excepto los dos primeros. El primer término despreciado es proporcional a x2 y, por lo tanto, el error en el que se incurre en cada paso de esta aproximación también es proporcional a x2. Sin embargo, el error conmutativo en el que se incurre después de M pasos en la dirección de la longitud L es proporcional a x, ya que Mx2
(L/x)x2
Lx. Por lo tanto, entre menor sea x, menor es el error y, de este modo, más exacta la aproximación. Considere ahora la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana de espesor L, con generación de calor. La pared se subdivide en M secciones de espesor igual x
L/M, en la dirección x, separadas por planos que pasan por los M  1 puntos 0, 1, 2, . . . , m  1, m, m  1, . . . , M, llamados nodos o puntos nodales, como se muestra en la figura 5-7. La coordenada x de cualquier punto m es simplemente xm
mx y la temperatura en ese punto es simplemente T(xm)
Tm. La ecuación de conducción de calor comprende las segundas derivadas de la temperatura con respecto a las variables espaciales, tales como d 2T/dx2 y la http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 301 301 CAPÍTULO 5 formulación en diferencias finitas se basa en el reemplazo de las segundas derivadas por diferencias apropiadas. Pero se necesita iniciar el proceso con las primeras derivadas. Mediante la ecuación 5-6, la primera derivada de la temperatura, dT/dx, en los puntos medios m  21 y m  12 de las secciones que están a uno y otro lados del nodo m se puede expresar como dT dx  1 m 2
Tm  Tm 1 x y dT dx  1 m 2
Tm 1  Tm x (5-8) Dado que la segunda derivada es simplemente la derivada de la primera derivada, la segunda derivada de la temperatura en el nodo m se puede expresar como d 2T dx2  m
dT dx  m 1 2  dT dx  m 1 2 Tm1  Tm Tm  Tm1  x x
x x Tm 1  2Tm  Tm 1
x2 (5-9) lo cual es la representación en diferencias finitas de la segunda derivada en un nodo interno general m. Note que la segunda derivada de la temperatura en el nodo m se expresa en términos de las temperaturas en el nodo m y sus dos nodos vecinos. Entonces la ecuación diferencial e· d 2T — 
0 k dx 2 (5-10) que rige la transferencia de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana, con conducción de calor y conductividad térmica constante, se puede expresar en la forma de diferencias finitas como (figura 5-8) e·m Tm 1  2Tm  Tm 1  —
0, 2 x m
1, 2, 3, . . . , M  1 (5-11) donde e·m es la razón de generación de calor por unidad de volumen en el nodo m. Para el caso en que no haya generación de calor (e·m
0), la ecuación 5-11 se reduce a Tm
12 (Tm1  Tm1), la cual es la forma más simplificada de una formulación en diferencia finita unidimensional. La ecuación tan sólo implica que la temperatura en cada nodo interior es el promedio aritmético de las temperaturas en los dos nodos adyacentes. Si se especifican las temperaturas superficiales T0 y TM, la aplicación de esta ecuación a cada uno de los M  1 nodos interiores conduce a M  1 ecuaciones para la determinación de M  1 temperaturas desconocidas en los nodos interiores. La solución simultánea de estas ecuaciones da los valores de la temperatura en los nodos. Si no se conocen las temperaturas en las superficies exteriores, entonces se necesitan obtener dos ecuaciones más en una manera semejante, mediante las condiciones de frontera específicas. Entonces se determinan las temperaturas desconocidas en los M  1 nodos, al resolver simultáneamente el sistema resultante de M  1 ecuaciones en las M  1 incógnitas. Note que las condiciones de frontera no tienen efecto sobre la formulación en diferencias finitas de los nodos interiores del medio. Esto no es sorprendente, puesto que el volumen de control usado en el desarrollo de la formulación no comprende parte alguna de la frontera. Es posible que el lector recuerde que las condiciones de frontera tampoco tuvieron efecto sobre la ecuación diferencial de la conducción de calor en el medio. La formulación en diferencias finitas se puede extender con facilidad a problemas bidimensionales o tridimensionales de transferencia de calor al reem- http://librosysolucionarios.net Pared plana Ecuación diferencial: 2T e· d—– + — =0 2 k dx Válida en todo punto Ecuación en diferencias finitas: Tm – 1 – 2Tm + Tm + 1 e· m —–—————— — +— =0 k ∆x2 Válida en puntos discretos ∆x FIGURA 5-8 La ecuación diferencial es válida en todo punto de un medio, en tanto que la ecuación en diferencias finitas sólo es válida en puntos discretos (los nodos). Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 302 302 MÉTODOS NUMÉRICOS plazar cada segunda derivada por una ecuación en diferencias en esa dirección. Por ejemplo, la formulación en diferencias finitas para la conducción de calor bidimensional en estado estacionario en una región con generación de calor y conductividad térmica constante se puede expresar en coordenadas rectangulares como (figura 5-9) m, n + 1 n+1 ∆y m – 1, n ∆y n n–1 m, n m + 1, n Tm 1, n  2Tm, n  Tm 1, n x2 m, n – 1 y ∆x ∆x m–1 x m 5-3 · Qcond, izquierda Elemento de volumen del nodo m e· m · Qcond, derecha Un nodo interior general 0 0 1 2 m–1 m m+1 L M ∆x ∆x ∆x FIGURA 5-10 Puntos nodales y elementos de volumen para la formulación en diferencias finitas de la conducción unidimensional en una pared plana. Tm, n 1  2Tm, n  Tm, n 1 y2 e·m, n —
0  — k (5-12) para m
1, 2, 3, . . . , M 1 y n
1, 2, 3, . . . , N 1 en cualquier nodo interior (m, n). Note que la región rectangular que está dividida en M subregiones iguales en la dirección x y N subregiones iguales en la dirección y tiene un total de (M  1)(N  1) nodos y se puede usar la ecuación 5-12 para obtener las ecuaciones en diferencias finitas en (M  1)(N 1) de estos nodos (es decir, todos los nodos excepto aquellos en las fronteras). En el párrafo anterior se da la formulación en diferencias finitas para demostrar cómo se obtienen las ecuaciones en diferencias a partir de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, en las secciones siguientes se usa el procedimiento del balance de energía para obtener la formulación numérica, debido a que es más intuitivo y se pueden manejar las condiciones de frontera con mayor facilidad. Además, dicho procedimiento no requiere que se tenga la ecuación diferencial antes del análisis. m+1 FIGURA 5-9 Malla de diferencias finitas para la conducción bidimensional en coordenadas rectangulares. Pared plana  x ■ CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO En esta sección se desarrollará la formulación en diferencias finitas de la conducción de calor en una pared plana mediante el procedimiento del balance de energía y se discutirá la manera de resolver las ecuaciones resultantes. El método del balance de energía se basa en la subdivisión del medio en un número suficiente de elementos de volumen y, a continuación, aplicar un balance de energía en cada elemento. Esto se realiza al seleccionar en principio los puntos nodales (o nodos) en los cuales se van a determinar las temperaturas y, a continuación, para formar elementos (o volúmenes de control) sobre los nodos y trazar rectas que pasen por los puntos medios entre los nodos. De esta manera, los nodos interiores se mantienen a la mitad de los elementos, y las propiedades en el nodo, como la temperatura y la velocidad de generación de calor, representan las propiedades promedio del elemento. A veces resulta conveniente pensar en la temperatura como si variara linealmente entre los nodos, en especial al expresar la conducción de calor entre los elementos mediante la ley de Fourier. Con el fin de demostrar el procedimiento, considere una vez más la transferencia de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana de espesor L con generación de calor e·(x) y conductividad constante k. La pared se subdivide ahora en M regiones iguales de espesor x
L/M, en la dirección x, y las divisiones entre las regiones se seleccionan como los nodos. Por lo tanto, se tienen M  1 nodos nombrados 0, 1, 2, . . . , m 1, m, m  1, . . . , M, como se muestra en la figura 5-10. La coordenada x de cualquier nodo m es simplemente xm
mx y la temperatura en ese punto es T(xm)
Tm. Los elementos se forman al trazar rectas verticales que pasen por los puntos medios entre los nodos. Note que todos los elementos interiores representados por nodos interiores son de tamaño completo (tienen un espesor de x), en tanto que el tamaño de los dos elementos en las fronteras es la mitad. Para obtener una ecuación en diferencias general para los nodos interiores, considere el elemento representado por el nodo m y los dos nodos vecinos http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 303 303 CAPÍTULO 5 m  1 y m  1. Si se supone que la conducción de calor se lleva a cabo hacia los elementos sobre todas las superficies, un balance de energía en el elemento se puede expresar como     Razón de Razón de Razón de Razón la conducción la conducción la generación de cambio del  
de calor en la de calor en la de calor dentro contenido de energía superficie izquierda superficie derecha del elemento del elemento .  o bien, Eelemento · · · Q cond, izquierda  Q cond, derecha  Egen, elemento

0 t (5-13) puesto que el contenido de energía de un medio (de cualquier parte de él) no cambia en condiciones estacionarias y, por lo tanto, Eelemento
0. La razón de la generación de calor dentro del elemento se puede expresar como · Egen, elemento
e·mVelemento
e·m Ax (5-14) donde e·m es la razón de la generación de calor por unidad de volumen, en W/m3, evaluada en el nodo m y tratada como constante para el elemento completo, y A es el área de transferencia de calor, la cual es simplemente la superficie interior (o exterior) de la pared. Recuerde que cuando la temperatura varía linealmente, la razón estacionaria de conducción de calor a través de una pared plana de espesor L se puede expresar como · T Q cond
kA L (5-15) donde T es el cambio de temperatura a través de la pared y la dirección de la transferencia de calor va del lado con mayor temperatura hacia el de menor. En el caso de una pared plana con generación de calor, la variación de temperatura no es lineal y, por consiguiente, no se puede aplicar la relación antes dada. Sin embargo, se puede aproximar la variación de temperatura entre los nodos como si fuera lineal en la determinación de la conducción de calor a través de una capa delgada de espesor x entre dos nodos (figura 5-11). Es obvio que entre menor sea la distancia x entre dos nodos, más precisa es esta aproximación. (De hecho, las consideraciones de este tipo constituyen la razón para clasificar los métodos numéricos como sistemas aproximados de solución. En el caso límite en que x tiende a cero, la formulación se vuelve exacta y se obtiene una ecuación diferencial.) Ya que se supone que la dirección de la transferencia de calor en ambas superficies del elemento es hacia el nodo m, la razón de la conducción de calor en las superficies izquierda y derecha se puede expresar como Tm1  Tm · Q cond, izquierda
kA x y Tm1  Tm · Q cond, derecha
kA (5-16) x Al sustituir las ecuaciones 5-14 y 5-16 en la 5-13 da kA Tm1  Tm Tm1  Tm  kA  e·m Ax
0 x x (5-17) la cual se simplifica a Tm1  2Tm  Tm1  x2 e·m —
0, k m
1, 2, 3, . . . , M  1 (5-18) http://librosysolucionarios.net Tm – 1 Elemento de volumen k Tm + 1 Tm Lineal Lineal ∆x m–1 Tm – 1 – Tm kA ————– ∆x A ∆x m m+1 Tm + 1 – Tm k A ————– ∆x A FIGURA 5-11 En la formulación en diferencias finitas se supone que la temperatura varía linealmente entre los nodos. Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 304 304 MÉTODOS NUMÉRICOS e· 2 A∆x T2 – T3 k A ——— ∆x T1 – T2 k A ——— ∆x 1 2 3 Elemento de volumen del nodo 2 T1 – T2 T2 – T3 · – k A ——— + e2 A∆x = 0 k A ——— ∆x ∆x o bien, T1 – 2T2 + T3 + e· 2 A∆ x 2 /k = 0 a) Se supone que la transferencia de calor es hacia afuera del elemento de volumen en la superficie derecha. e· 2 A∆x T1 – T2 k A ——— ∆x T3 – T2 k A ——— ∆x 1 2 3 Elemento de volumen del nodo 2 T3 – T2 · T1 – T2 + k A ——— + e2A∆x = 0 k A ——— ∆x ∆x o bien, T1 – 2T2 + T3 + e· 2 A∆ x 2 /k = 0 b) Se supone que la transferencia de calor es hacia el elemento de volumen en todas las superficies. FIGURA 5-12 La dirección supuesta de la transferencia de calor en las superficies de un elemento de volumen no tiene efecto sobre la formulación en diferencias finitas. que es idéntica a la ecuación en diferencias (ecuación 5-11) obtenida al principio. Una vez más, esta ecuación se puede aplicar a los M  1 nodos interiores y su aplicación da lugar a M  1 ecuaciones para la determinación de las temperaturas en M  1 nodos. Las dos ecuaciones adicionales que se necesitan resolver para las M  1 temperaturas desconocidas en los nodos se obtienen mediante la aplicación del balance de energía en los dos elementos en las fronteras (a menos, por supuesto, que se especifiquen las temperaturas en las fronteras). Es probable que el lector piense que si se conduce calor hacia el elemento desde ambos lados, como se supuso en la formulación, la temperatura del medio tendrá que elevarse y, en consecuencia, la conducción de calor no puede ser estacionaria. Tal vez un enfoque más realista sería suponer que la conducción del calor es hacia el elemento en el lado izquierdo y hacia afuera del elemento en el lado derecho. Si repite la formulación mediante esta suposición, una vez más obtendrá el mismo resultado ya que, en este caso, el término de conducción de calor del lado derecho comprende Tm  Tm  1, en lugar de Tm  1  Tm, lo cual se resta en lugar de sumarse. Por lo tanto, la dirección supuesta de la conducción de calor en las superficies del elemento de volumen no tiene efecto sobre la formulación, como se muestra en la figura 5-12. (Además, lo común es que no se conozca la dirección real de la transferencia de calor.) Sin embargo, resulta conveniente suponer que la conducción del calor es hacia el elemento en todas las superficies y no preocuparse acerca del signo de los términos de conducción. Entonces todas las diferencias de temperatura en las relaciones de conducción se expresan como la temperatura del nodo vecino menos la del nodo considerado, y se suman todos los términos de conducción. Condiciones de frontera En los párrafos anteriores se ha desarrollado una relación general para la obtención de la ecuación en diferencias finitas para cada nodo interior de una pared plana. Sin embargo, esta relación no se puede aplicar a los nodos sobre las fronteras, ya que requiere la presencia de nodos en ambos lados del nodo que se considera, y un nodo frontera no tiene nodo vecino en al menos uno de los lados. Por lo tanto, se necesita obtener por separado las ecuaciones en diferencias finitas de los nodos frontera. Esto se lleva a cabo de la mejor manera mediante la aplicación de un balance de energía en los elementos de volumen de los nodos frontera. Las condiciones de frontera más común de encontrar en la práctica son las condiciones de temperatura específica, de flujo específico de calor, convección y de radiación, y a continuación se desarrollarán, como un ejemplo, las formulaciones en diferencias finitas para ellas, para el caso de la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana de espesor L. El número de nodo en la superficie izquierda, en x
0, es 0 y, en la superficie derecha, en x
L, es M. Note que el ancho del elemento de volumen para cualquiera de los dos nodos frontera es x/2. La condición de frontera de temperatura específica es la condición más sencilla de este tipo con la cual tratar. Para una transferencia de calor unidimensional a través de una pared plana de espesor L, las condiciones de frontera de temperatura específica, tanto en la superficie izquierda como en la derecha, se pueden expresar como (figura 5-13) T(0)
T0
Valor específico T(L)
TM
Valor específico (5-19) donde T0 y Tm son las temperaturas específicas en x
0 y x
L, respectivamente. Por lo tanto, se incorporan las condiciones de frontera de temperatura http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 305 305 CAPÍTULO 5 específica simplemente al asignar las temperaturas superficiales dadas a los nodos frontera. En este caso no se necesita escribir un balance de energía, a menos que se decida determinar la velocidad de la transferencia de calor hacia el medio, o hacia afuera de él, después de que se determinan las temperaturas en los nodos interiores. Cuando se especifican otras condiciones de frontera, tales como flujo especificado de calor, convección, radiación, o convección y radiación combinadas, se obtiene la ecuación en diferencias finitas para el nodo en esa frontera al escribir un balance de energía sobre el elemento de volumen en la frontera. Una vez más, el balance de energía se expresa como  · · Q  Egen, elemento
0 Pared plana 35°C 0 82°C 0 1 (5-20) T1  T0 · Q superficie izquierda  kA  e·0(Ax/2)
0 x ∆x —– 2 e· 0 1. Condición de frontera de flujo de calor específico T1  T0 q·0A  kA  e·0(Ax/2)
0 x (5-22) Caso especial: frontera aislada (q·0
0) kA T1  T0  e·0(Ax/2)
0 x (5-23) 2. Condición de frontera de convección hA(T  T0)  kA T1  T0  e·0(Ax/2)
0 x (5-24) http://librosysolucionarios.net M FIGURA 5-13 Formulación en diferencias finitas de las condiciones de frontera de temperatura específica sobre las dos superficies de una pared plana. (5-21) donde Ax/2 es el volumen del elemento de volumen (note que el elemento de frontera tiene la mitad del espesor), e·0 es la razón de la generación de calor por unidad de volumen (en W/m3) en x
0, y A es el área de transferencia de calor, la cual es constante para una pared plana. Note que en el denominador del segundo término se tiene x en lugar de x/2. Esto se debe a que la razón en ese término comprende la diferencia de temperatura entre los nodos 0 y 1 y, por lo tanto, se debe usar la distancia entre esos dos nodos, la cual es x. A partir de la ecuación 5-21 se puede obtener la forma en diferencias finitas · de varias condiciones de frontera, al reemplazar Q superficie izquierda por una expresión apropiada. En seguida se hace esto para varias condiciones de frontera en la frontera izquierda. L … T0 = 35°C TM = 82°C Todos los lados para la transferencia de calor en condiciones estacionarias. De nuevo, por conveniencia en la formulación, se supone que toda la transferencia de calor es hacia el elemento de volumen desde todas las superficies, excepto para el flujo específico de calor, dado que su dirección ya está determinada. El flujo específico de calor se toma como una cantidad positiva si es hacia el medio, y como negativa si es hacia afuera del medio. Entonces la formulación en diferencias finitas en el nodo m
0 (en la frontera izquierda donde x
0) de una pared plana de espesor L, durante la conducción de calor unidimensional en estado estacionario se puede expresar como (figura 5-14) 2 Elemento de volumen del nodo 0 T 1 – T0 kA ——— ∆x · Qsuperficie izquierda 0 0 1 ∆x 2 … L x ∆x T1 – T0 · ∆ x · Qsuperficie izquierda + kA ——— + e0 A —– = 0 ∆x 2 FIGURA 5-14 Esquema para la formulación en diferencias finitas del nodo frontera de la izquierda de una pared plana. Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 306 306 MÉTODOS NUMÉRICOS 3. Condición de frontera de radiación Talred ∆x —– 2 ε εσ A(T 4 alred – 4  T04)  kA esA(Talred T1 – T0 k A ——— ∆x hA(T – T0) 0 0 1 2 … 4  T04)  kA hA(T  T0)  esA(Talred L hcombinado A(T  T0)  kA hA(T – T0) + εσ A(T 4alred – T 40 ) FIGURA 5-15 Esquema para la formulación en diferencias finitas de la convección y radiación combinadas sobre la frontera izquierda de una pared plana. Interfase Tm – 1 – Tm kA A ————– ∆x m ∆x m+1 x ∆x ∆ x —– ∆x —– 2 2 Tm + 1 – Tm Tm – 1 – Tm + kB A ————– kA A ————– ∆x ∆x ∆ x ∆ x · · + eA,m A —– + eB,m A —– = 0 2 2 FIGURA 5-16 Esquema para la formulación en diferencias finitas de la condición de frontera de interfase para dos medios A y B que están en contacto térmico perfecto. T1  T0  e·0(Ax/2)
0 x T1  T0 4  T04)  kA q·0A  hA(T  T0)  esA(Talred  e·0(Ax/2)
0 x (5-27) A (5-28) 6. Condición de frontera de interfase Se supone que dos medios sólidos diferentes A y B están en contacto perfecto y, por consiguiente, a la misma temperatura en la interfase en el nodo m (figura 5-16). Los subíndices A y B indican propiedades de los medios A y B, respectivamente. kAA Tm + 1 – Tm kB A ————– ∆x m–1 A Medio B kB e· A,m e· B,m (5-26) 5. Condición de frontera de convección, radiación y flujo de calor combinados T1 – T0 · ∆ x + e0 A —– = 0 + kA ——— ∆x 2 Medio A kA T1  T0  e·0(Ax/2)
0 x o bien, x ∆x ∆x A (5-25) 4. Condición de frontera de convección y radiación combinadas (figura 5-15) e· 0 T 40 ) T1  T0  e·0(Ax/2)
0 x Tm1  Tm Tm1  Tm  kBA  e·A, m(Ax/2)  e·B, m(Ax/2)
0 x x (5-29) En estas relaciones, q·0 es el flujo específico de calor, en W/m2, h es el coeficiente de convección, hcombinado es el coeficiente combinado de convección y radiación, T es la temperatura del medio circundante, Talred es la temperatura de las superficies circundantes, e es la emisividad de la superficie y s es la constante de Stefan-Boltzman. También se pueden usar las relaciones anteriores para el nodo M sobre la frontera derecha, al reemplazar el subíndice “0” por “M” y el subíndice “1” por “M  1”. Nótese que en los cálculos de transferencia de calor por radiación deben usarse temperaturas absolutas y expresarlas en K o R, cuando en una condición de frontera interviene la radiación, para evitar equivocaciones. Incluso en las soluciones numéricas es común que se intente evitar la condición de frontera de radiación, ya que hace que las ecuaciones en diferencias finitas sean no lineales, las cuales son más difíciles de resolver. Tratamiento de los nodos en una frontera aislada como nodos interiores: el concepto de imagen especular Una manera de obtener la formulación en diferencias finitas de un nodo sobre una frontera aislada es tratar el aislamiento como flujo de calor “cero” y escribir un balance de energía como el hecho en la ecuación 5-23. Otra manera, y más práctica, es tratar el nodo sobre una frontera aislada como uno interior. Desde el punto de vista conceptual, esto se realiza al reemplazar el aislamiento sobre la frontera por un espejo y considerar la reflexión del medio como su extensión (figura 5-17). De esta manera, el siguiente nodo al nodo frontera aparece en ambos lados de este último debido a la simetría, al convertirlo en un nodo interior. Entonces, mediante la fórmula general (ecuación 5-18) pa- http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 307 307 CAPÍTULO 5 ra un nodo interior, la cual comprende la suma de las temperaturas de los nodos adjuntos menos el doble de la temperatura del nodo, la formulación en diferencias finitas de un nodo en m
0 sobre la frontera aislada de una pared plana se puede expresar como Tm1  2Tm  Tm1  x2 e·m T1  2T0  T1 —
0 →  k x2 e· —0
0 k 0 1 Espejo Considere una placa grande de uranio de espesor L
4 cm y conductividad térmica k
28 W/m · °C en la cual se genera calor de manera uniforme a una ve· locidad constante de e
5  106 W/m3. Uno de los lados de la placa se mantiene a 0°C por medio de agua con hielo, mientras que el otro está sujeto a convección hacia un medio ambiente a T
30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h
45 W/m2 · °C, como se muestra en la figura 5-18. Si considera un total de tres nodos igualmente espaciados en el medio, dos en las fronteras y uno a la mitad, estime la temperatura de la superficie expuesta de la placa en condiciones estacionarias, mediante el procedimiento de diferencias finitas. SOLUCIÓN Una placa de uranio está sujeta a una temperatura específica en uno de sus lados y a convección en el otro. Se debe determinar numéricamente la temperatura superficial desconocida de la placa, mediante tres nodos igualmente espaciados. Suposiciones 1 La transferencia de calor a través de la pared es estacionaria, puesto que no se tiene indicación de algún cambio con el tiempo. 2 La transferencia de calor es unidimensional, dado que la placa es grande en relación con su espesor. 3 La conductividad térmica es constante. 4 La transferencia de calor por radiación es despreciable. Propiedades La conductividad térmica se da como k = 28 W/m · °C. Análisis Se especifica que el número de nodos es M = 3 y se ha elegido que estén en las dos superficies de la placa y en el punto medio, como se muestra en la figura. Entonces el espaciamiento nodal ∆x queda 0.04 m L

0.02 m M1 31 Se numeran los nodos como 0, 1 y 2. Se dice que la temperatura en el nodo 0 es T0
0°C y se debe determinar las que se tienen en los nodos 1 y 2. Este problema está relacionado sólo con dos temperaturas nodales desconocidas y, como consecuencia, sólo se necesitan tener dos ecuaciones para determinarlas de manera única. Estas ecuaciones se obtienen mediante la aplicación del método de las diferencias finitas a los nodos 1 y 2. http://librosysolucionarios.net Nodo interior equivalente Imagen especular x 2 1 0 1 x 2 FIGURA 5-17 Un nodo en una frontera aislada se puede tratar como un nodo interior al reemplazar el aislamiento por un espejo. Conducción de calor en estado estacionario en una placa grande de uranio x
x 2 (5-30) la cual es equivalente a la ecuación 5-23, obtenida por el procedimiento del balance de energía. También se puede usar el enfoque de la imagen especular para los problemas que poseen simetría térmica, al reemplazar el plano de simetría por un espejo. De modo alternativo, se puede sustituir el plano de simetría por aislamiento y considerar sólo la mitad del medio en la solución. La solución en la otra mitad del medio es simplemente la imagen especular de la solución obtenida. EJEMPLO 5-1 Nodo de frontera aislada Aislamiento Placa de uranio 0°C 0 h T k = 28 W/m · °C e· = 5 × 106 W/m3 L 0 1 2 x FIGURA 5-18 Esquema para el ejemplo 5-1. Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 308 308 MÉTODOS NUMÉRICOS El nodo 1 es interno y la formulación en diferencias finitas en él se obtiene directamente a partir de la ecuación 5-18, mediante m = 1: T0  2T1  T2  x2 e· 0  2T1  T2 —1
0 →  k x2 e· e·1∆x2 —1
0 → 2T1  T2
——— k k (1) El 2 es un nodo frontera sujeto a convección y la formulación en diferencias finitas en ese nodo se obtiene al escribir un balance de energía sobre el elemento de volumen de espesor ∆x/2 en esa frontera, si se supone que la transferencia de calor es hacia el medio en todos los lados: hA(T  T2)  kA T1  T2  e·2(Ax/2)
0 x Al cancelar el área de transferencia de calor A y reacomodar da  T1  1  e·2∆x2 hx hx T2
 T  ——— 2k k k  (2) Las ecuaciones (1) y (2) forman un sistema de dos ecuaciones con las dos incógnitas T1 y T2. Si se sustituyen las cantidades dadas y se simplifica da 2T1  T2
71.43 T1  1.032T2
36.68 (en °C) (en °C) Éste es un sistema de dos ecuaciones algebraicas con dos incógnitas y se puede resolver con facilidad por el método de eliminación. Al despejar T1 en la primera ecuación y sustituir en la segunda se llega a una ecuación en T2 cuya solución es T2
136.1°C h T Placa 0 1 2 cm 2 x 2 cm Solución de diferencias finitas: T2 = 136.1°C Solución exacta: T2 = 136.0°C FIGURA 5-19 A pesar de ser de naturaleza aproximada, se pueden obtener resultados muy precisos mediante los métodos numéricos. Ésta es la temperatura de la superficie expuesta a la convección, la cual es el resultado deseado. La sustitución de este resultado en la primera ecuación da T1 = 103.8°C, que es la temperatura en el punto medio de la placa. Discusión La finalidad de este ejemplo es demostrar el uso del método de las diferencias finitas con cálculos mínimos y la precisión del resultado no fue una preocupación importante. Pero el lector podría preguntarse cuán preciso es el resultado obtenido. Después de todo, se usa una malla de sólo tres nodos para la placa completa, lo cual parece ser un tanto burdo. Este problema se puede resolver analíticamente, como se describió en el capítulo 2, y se puede demostrar que la solución analítica (exacta) es T(x)
# # # 0.5ehL2/k  eL  Th ex2 x hL  k 2k Al sustituir las cantidades dadas, se determina que la temperatura de la superficie expuesta de la placa, en x
L
0.04 m, es 136.0°C, que es semejante al resultado obtenido en el desarrollo anterior, con el método aproximado de diferencias finitas (figura 5-19). Por lo tanto, con los métodos numéricos se pueden obtener resultados muy precisos mediante un número limitado de nodos. http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 309 309 CAPÍTULO 5 EJEMPLO 5-2 Transferencia de calor desde aletas triangulares Considere una aleta de aleación de aluminio (k
180 W/m · °C), de sección transversal triangular, con longitud L
5 cm, espesor de la base b
1 cm y ancho w muy grande, como se muestra en la figura 5-20. La base de la aleta se mantiene a una temperatura de T0
200°C. La aleta pierde calor hacia el medio circundante que está a T
25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h
15 W/m2 · °C. Mediante el método de las diferencias finitas con seis nodos igualmente espaciados a lo largo de la aleta, en la dirección x, determine a) las temperaturas en los nodos, b) la razón de la transferencia de calor desde la aleta para w
1 m, y c) la eficiencia de la aleta. h, T T0 b 0 SOLUCIÓN Se considera una aleta triangular larga sujeta a una superficie. Se deben determinar numéricamente las temperaturas nodales, la razón de la transferencia de calor y la eficiencia de la aleta mediante seis nodos igualmente espaciados. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria, ya que no se tiene indicación de algún cambio con el tiempo. 2 La temperatura a lo largo de la aleta varía sólo en la dirección x. 3 La conductividad térmica es constante. 4 La transferencia de calor por radiación es despreciable. Propiedades Se dice que la conductividad térmica es k = 180 W/m · °C. Análisis a) Se especifica que el número de nodos en la aleta es M = 6 y su ubicación es como se muestra en la figura. Entonces el espaciamiento nodal ∆x queda x
0.05 m L

0.01 m M1 61 La temperatura en el nodo 0 es T0
200°C y se deben determinar las temperaturas en los cinco nodos restantes. Por lo tanto, se necesitan tener cinco ecuaciones con el fin de determinarlas de manera única. Los nodos 1, 2, 3 y 4 son interiores y se obtiene la formulación en diferencias finitas para un nodo interior general m mediante un balance de energía sobre el elemento de volumen de este nodo. Dado que la transferencia de calor es estacionaria, es decir, no se tiene generación de calor en la aleta y se supone que la transferencia de calor es hacia el medio en todos los lados, el balance de energía se puede expresar como  Todos los lados Tm1  Tm Tm1  Tm · Q
0 → kAizquierda  kAderecha  hAconv(T  Tm)
0 x x Note que, en este caso, las áreas de transferencia de calor son diferentes para cada nodo y, mediante relaciones geométricas, se pueden expresar como Aizquierda
(Altura  Ancho)@m  12
2w[L  (m  1/2)x]tan u Aderecha
(Altura  Ancho)@m  12
2w[L  (m  1/2)x]tan u Aconv
2  Longitud  Ancho
2w(x/cos u) Al sustituir 2kw[L  (m  12)x]tan u Tm1  Tm x  2kw[L  (m  12)x]tan u Tm1  Tm 2wx h (T  Tm)
0 cos u  x http://librosysolucionarios.net Aleta triangular w b/2 tan θ = —– L θ 1 2 3 ∆x 4 5 x L ∆x ——– cos θ [L – (m + 1 – )∆ x]tan θ 2 θ m–1 m m+1 ∆x [L – (m – 1– )∆ x]tan θ 2 1 L – (m – – )∆ x 2 FIGURA 5-20 Esquema para el ejemplo 5-2 y el elemento de volumen de un nodo interior general de la aleta. Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 310 310 MÉTODOS NUMÉRICOS Al dividir cada término entre 2kwL tan u/x da 1  (m  1 ) 2    x x (Tm  1  Tm)  1  (m  12) (Tm  1  Tm) L L  h(x)2 (T  Tm)
0 kL sen u  Note que tan u
b/2 0.5 cm

0.1 L 5 cm → u
tan10.1
5.71° Asimismo, sen 5.71°
0.0995. Entonces, la sustitución de las cantidades conocidas da (5.5  m)Tm  1  (10.008  2m)Tm  (4.5  m)Tm  1
0.209 Ahora, al sustituir m por 1, 2, 3 y 4 se llega a estas ecuaciones en diferencias finitas para los nodos interiores: m
1: m
2: m
3: m
4: kAizquierda θ 4 5 ∆x– — 2 (1) (2) (3) (4) La ecuación en diferencias finitas para el nodo 5 frontera se obtiene al escribir un balance de energía sobre el elemento de volumen de longitud ∆x/2 en esa frontera, si se supone de nuevo que la transferencia de calor es hacia el medio en todos los lados (figura 5-21): ∆ x/ 2 —–— cos θ ∆ x– — tan θ 2 8.008T1  3.5T2
900.209 3.5T1  6.008T2  2.5T3
0.209 2.5T2  4.008T3  1.5T4
0.209 1.5T3  2.008T4  0.5T5
0.209 ∆x —– 2 FIGURA 5-21 Esquema del elemento de volumen del nodo 5 en la punta de una aleta triangular. T4  T5  hAconv (T  T5)
0 x donde Aizquierda
2w x tan u 2 y Aconv
2w x/2 cos u Al cancelar w en todos los términos y sustituir las cantidades conocidas da T4  1.008T5
0.209 (5) Las ecuaciones (1) a (5) forman un sistema lineal de cinco ecuaciones algebraicas con cinco incógnitas. Resolviéndolas en forma simultánea, utilizando un programa para resolver ecuaciones, da T1
198.6°C T4
194.3°C T2
197.1°C T5
192.9°C T3
195.7°C que es la solución deseada para las temperaturas nodales. b) La razón total de la transferencia de calor es simplemente la suma de la transferencia de calor desde cada elemento de volumen hacia el ambiente, y para w
1 m, se determina a partir de http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 311 311 CAPÍTULO 5 · Q aleta
5 Q m
0 · elemento, m
5  hA conv, m(Tm  T) m
0 Puesto que el área superficial de transferencia de calor es wx/cos u para los nodos frontera 0 y 5, y el doble de grande para los nodos interiores 1, 2, 3 y 4, se tiene · wx Q aleta
h [(T  T)  2(T1  T)  2(T2  T)  2(T3  T) cos u 0  2(T4  T)  (T5  T)]
h wx [T  2(T1  T2  T3  T4)  T5  10T]°C cos  0
(15 W/m2 · °C) (1 m)(0.01 m) [200  2  785.7  192.9  10  25]°C cos 5.71°
258.4 W c) Si la aleta completa estuviera a la temperatura de la base de T0 = 200°C, la razón total de transferencia de calor desde la aleta, para w = 1, sería · Q máx
hAaleta, total (T0  T)
h(2wL/cos u)(T0  T)
(15 W/m2 · °C)[2(1 m)(0.05 m)/cos5.71°](200  25)°C
263.8 W Entonces la eficiencia de la aleta se determina a partir de Q· aleta 258.4 W haleta
·

0.98 Q máx 263.8 W lo cual es menos que 1, como era de esperarse. También en este caso se pudo determinar la eficiencia de la aleta a partir de la curva apropiada de eficiencia de la misma, dada en el capítulo 3, la cual se basa en la solución analítica. Se leería 0.98 para la eficiencia de la aleta, valor que es idéntico al antes determinado numéricamente. La formulación en diferencias finitas de los problemas de conducción de calor en estado estacionario suelen conducir a un sistema de N ecuaciones algebraicas en N temperaturas nodales desconocidas que es necesario resolver en forma simultánea. Cuando N es pequeño (como 2 o 3), se puede aplicar el método elemental de eliminación, con el fin de desechar todas las incógnitas, excepto una, y a continuación despejar esa incógnita (véase el ejemplo 5-1). En seguida, se determinan las otras incógnitas por sustitución hacia atrás. Cuando N es grande, que es el caso más usual, el método de eliminación no resulta práctico y se necesita usar un procedimiento más sistemático que se pueda adaptar a las computadoras. Se dispone de numerosos procedimientos sistemáticos en la literatura y se clasifican en términos generales como métodos directos e iterativos. Los métodos directos se basan en un número fijo de pasos bien definidos que conducen a la solución de una manera sistemática. Por otra parte, los métodos iterativos se basan en una conjetura inicial para la solución que se refina por iteración hasta que se satisface un criterio específico de convergencia (figura 5-22). Los métodos directos suelen requerir una gran cantidad de memoria de computadora y tiempo de computación y son más apropiados para sistemas http://librosysolucionarios.net Métodos directos:

Se resuelven de una manera sistemática, al seguir una serie de pasos bien definidos. Métodos iterativos:

Arrancan con una conjetura inicial para la solución y se realizan iteraciones hasta que se converge en una solución. FIGURA 5-22 Dos categorías generales de métodos de solución para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas. Cengel_05A.qxd 2/22/11 4:09 PM Page 312 312 MÉTODOS NUMÉRICOS con un número más o menos pequeño de ecuaciones. Las necesidades de memoria de computadora para los métodos iterativos son mínimas y, por consiguiente, suelen preferirse para los sistemas grandes. Sin embargo, la convergencia de los métodos iterativos hacia la solución deseada puede plantear un problema. Uno de los métodos iterativos más simples es la iteración de Gauss-Seidel. El método aplicado a un sistema de N ecuaciones algebraicas en N temperaturas nodales consiste en el siguiente procedimiento: 1) escriba las ecuaciones en diferencias finitas de manera explícita para cada nodo (la temperatura nodal a la izquierda y todos los demás términos a la derecha de la ecuación), 2) formule una suposición inicial razonable para cada temperatura nodal desconocida, 3) utilice las ecuaciones explícitas para calcular los nuevos valores de cada temperatura nodal, siempre utilice los valores más recientes de la temperatura para cada nodo del lado derecho de la ecuación explícita en diferencias finitas y 4) repita el procedimiento hasta lograr la convergencia dentro de algún margen de error tolerable (es decir, cuando se satisface un criterio de convergencia específico). El método se ilustra en la tabla 5-2 donde se resuelven las ecuaciones en diferencias finitas para las cinco temperaturas nodales presentadas en el ejemplo 5-2. Como se muestra en la tabla 5-2, la primera fila contiene los supuestos iniciales para las temperaturas nodales. Tras sustituir los valores en las ecuaciones explícitas, se obtienen los resultados presentados en la segunda fila y así sucesivamente. Se considera que las temperaturas nodales convergen por la quinta iteración, dado que las iteraciones sexta y séptima no presentan ningún cambio para las temperaturas. Al comparar con las temperaturas calculadas en el ejemplo 5-2, inciso a), las temperaturas obtenidas mediante el método iterativo de Gauss-Seidel están dentro del acuerdo de 0.3°C. Esta discrepancia mínima entre los dos métodos se debe al error de redondeo (es decir, por realizar cálculos con un número limitado de cifras). TABLA 5-2 Aplicación del método iterativo Gauss-Seidel para las ecuaciones en diferencias finitas del ejemplo 5-2. Ecuaciones en diferencias finitas en forma explícita T1
0.4371T2  112.4137 T2
0.5826T1  0.4161T3  0.0348 T3
0.6238T2  0.3743T4  0.0521 T4
0.7470T3  0.2490T5  0.1041 T5
0.9921T4  0.2073 Temperatura nodal ºC Iteración Suposición inicial 1 2 3 4 5 6 7 T1 T2 T3 T4 T5 195.0 197.6 198.2 198.5 198.6 198.7 198.7 198.7 195.0 196.3 196.9 197.2 197.3 197.3 197.3 197.3 195.0 195.5 195.8 195.9 195.9 195.9 195.9 195.9 195.0 194.7 194.5 194.5 194.5 194.5 194.5 194.5 195.0 193.4 193.2 193.2 193.2 193.2 193.2 193.2 http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 313 313 CAPÍTULO 5 CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO y N En la sección 5-3 se consideró la conducción unidimensional de calor y se supuso que la conducción en otras direcciones era despreciable. Muchos problemas de transferencia de calor que se encuentran en la práctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, pero éste no siempre es el caso. A veces también se necesita considerar transferencia de calor en otras direcciones, cuando la variación de temperatura en esas direcciones es significativa. En esta sección se considera la formulación numérica y la solución de la conducción bidimensional de calor en estado estacionario en coordenadas rectangulares, mediante el método de diferencias finitas. El procedimiento que se presenta a continuación se puede extender hacia los casos tridimensionales. Considere una región rectangular en la cual la conducción de calor es significativa en las direcciones x y y. Divida ahora el plano x-y de la región en una malla rectangular de puntos nodales con espacios x y y en las direcciones x y y, respectivamente, como se muestra en la figura 5-23, y considere una profundidad unitaria de z
1 en la dirección z. El objetivo es determinar las temperaturas en los nodos y resulta conveniente numerarlos y describir su posición por los números, en lugar de las coordenadas reales. Un esquema lógico de numeración para los problemas bidimensionales es la notación de subíndice doble (m, n), donde m
0, 1, 2, . . . , M es el conteo de los nodos en la dirección x y n
0, 1, 2, . . . , N es el conteo de los mismos en la dirección y. Las coordenadas del nodo (m, n) son simplemente x
mx y y
ny, y la temperatura en el nodo (m, n) se denota por Tm, n. Considere ahora un elemento de volumen de tamaño x  y  1, con centro en un nodo interior general (m, n), en una región en la que el calor se genera con una razón de e· y la conductividad térmica k es constante, como se muestra en la figura 5-24. Una vez más, si se supone que la dirección de la conducción de calor es hacia el nodo que se está considerando, en todas las superficies, el balance de energía sobre el elemento de volumen se puede expresar como      Razón de la conducción de Razón de la calor en las superficies izquierda,  generación del calor
superior, derecha e inferior dentro del elemento Razón de cambio del contenido de energía del elemento  o bien, Eelemento · · · · · Q cond, izquierda  Q cond, superior  Q cond, derecha  Q cond, inferior Egen, elemento

0 (5-31) t para el caso estacionario. De nuevo, si se supone que las temperaturas entre los nodos adyacentes varían linealmente y se nota que el área de transferencia de calor es Ax
y  1
y, en la dirección x, y Ay
x  1
x, en la dirección y, la relación de balance de energía antes dada queda ky Tm1, n  Tm, n Tm, n1  Tm, n Tm1, n  Tm, n  kx  ky x y x  kx Tm, n1  Tm, n  e·m, n x y
0 y (5-32) Al dividir cada término entre x  y y simplificar da Tm1, n  2Tm, n  Tm1, n x2  Tm, n1  2Tm, n  Tm, n1 y2 e·m, n —
0  — k (5-33) http://librosysolucionarios.net … ■ n+1 n n–1 ∆y ∆y Nodo (m, n) … 5-4 2 1 0 ∆x ∆x … 0 1 2 … m m–1 m+1 M x FIGURA 5-23 Red nodal para la formulación en diferencias finitas de la conducción bidimensional, en coordenadas rectangulares. m, n + 1 n+1 ∆y Elemento de volumen m – 1, n n e· m, n m, n m + 1, n ∆y m, n – 1 n–1 ∆x y m–1 ∆x m m+1 x FIGURA 5-24 Elemento de volumen de un nodo interior general (m, n) para la conducción bidimensional en coordenadas rectangulares. Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 314 314 MÉTODOS NUMÉRICOS para m
1, 2, 3, . . . , M  1 y n
1, 2, 3, . . . , N  1. Esta ecuación es idéntica a la ecuación 5-12 obtenida con anterioridad al reemplazar las derivadas de la ecuación diferencial por diferencias para un nodo interior (m, n). De nuevo, una región rectangular con M nodos igualmente espaciados en la dirección x y N nodos igualmente espaciados en la dirección y tiene un total de (M  1)(N  1) nodos y se puede usar la ecuación 5-33 para obtener las ecuaciones en diferencias finitas en todos los nodos interiores. En el análisis con diferencias finitas por lo común se usa, por sencillez, una malla cuadrada (excepto cuando las magnitudes de los gradientes de temperatura en las direcciones x y y son muy diferentes) y, por lo tanto, x y y se consideran iguales. Entonces x
y
l y la relación antes dada se simplifica a e·m, nl2 — — —
0 Tm  1, n  Tm  1, n  Tm, n  1  Tm, n  1  4Tm, n  — k (5-34) Es decir, la formulación en diferencias finitas de un nodo interior se obtiene al sumar las temperaturas de los cuatro vecinos más cercanos del nodo, menos el cuádruplo de la temperatura del propio nodo y más el término de generación de calor. También se puede expresar en la forma que sigue, la cual es fácil de recordar: e·nodol2 ———
0 Tizquierda  Tsuperior  Tderecha  Tinferior  4Tnodo  — k (5-35) Cuando no se tiene generación de calor en el medio, la ecuación en diferencias finitas para un nodo interior todavía se simplifica más a Tnodo
(Tizquierda  Tarriba  Tderecha  Tabajo)/4, la cual tiene la interpretación interesante de que la temperatura de cada nodo interior es el promedio aritmético de las temperaturas de los cuatro nodos vecinos. Esta proposición también se cumple para los problemas tridimensionales, excepto que, en ese caso, los nodos interiores tendrán seis nodos vecinos en lugar de cuatro. Nodos frontera Elemento de volumen del nodo 2 h, T 1 ∆y Frontera sujeta a convección · Qsuperior 3 2 · Qizquierda · Qderecha · Qinferior ∆x 4 e· 2V2 · · · · Qizquierda + Qsuperior + Qderecha + Qinferior + —— =0 k FIGURA 5-25 La formulación en diferencias finitas de un nodo frontera se obtiene al escribir un balance de energía sobre su elemento de volumen. El desarrollo de la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera en los problemas bidimensionales (o tridimensionales) es semejante al realizado en el caso unidimensional descrito al principio. Una vez más, la región se divide entre los nodos mediante la formación de elementos de volumen alrededor de ellos y se escribe un balance de energía para cada nodo frontera. Como se discutió para una pared plana, se pueden manejar varias condiciones de frontera, excepto que los elementos de volumen en el caso bidimensional comprenden transferencia de calor en la dirección y así como en la dirección x. Las superficies aisladas todavía se conciben como “espejos” y se puede usar el concepto de imagen especular con el fin de tratar los nodos sobre fronteras aisladas como nodos interiores. Para la transferencia de calor en condiciones estacionarias, la ecuación básica que se debe tener presente al escribir un balance de energía sobre un elemento de volumen es (figura 5-25)  · Q  e·Velemento
0 (5-36) Todos los lados sea el problema unidimensional, bidimensional o tridimensional. De nuevo, por conveniencia en la formulación, se supone que toda la transferencia de calor es hacia el elemento de volumen desde todas las superficies excepto para el flujo específico de calor, cuya dirección está ya determinada. Esto se demuestra en el ejemplo 5-3 para varias condiciones de frontera. http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:33 PM Page 315 315 CAPÍTULO 5 EJEMPLO 5-3 Conducción bidimensional de calor en estado estacionario en barras en L Considere la transferencia de calor en estado estacionario en un cuerpo sólido con forma en L, cuya sección transversal se da en la figura 5-26. La transferencia de calor en la dirección perpendicular al plano del papel es despreciable y, por consiguiente, la transferencia de calor en el cuerpo es bidimensional. La conductividad térmica del cuerpo es k
15 W/m · °C y se genera calor en éste con una velocidad de e·
2  106 W/m3. La superficie izquierda del cuerpo está aislada y la inferior se mantiene a una temperatura uniforme de 90°C. La superficie superior completa está sujeta a convección hacia el aire ambiental a T
25°C, con un coeficiente de convección de h
80 W/m2 · °C, y la superficie · derecha está sujeta a flujo de calor con una velocidad uniforme de q R
5 000 2 W/m . La red nodal del problema consta de 15 nodos igualmente espaciados con x
y
1.2 cm, como se muestra en la figura. Cinco de los nodos están en la superficie inferior y, como consecuencia, sus temperaturas se conocen. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas en los nueve nodos restantes y determine las temperaturas nodales al resolverlas. Convección h, T y 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 ∆ x = ∆y = l ∆y · 9 qR ∆y x ∆x ∆x 90°C ∆x ∆x ∆x FIGURA 5-26 Esquema para el ejemplo 5-3 y la red nodal (las fronteras de los elementos de volumen de los nodos se indican mediante líneas punteadas). SOLUCIÓN Se considera la transferencia de calor en una barra sólida larga con forma de L, con condiciones de frontera específicas. Con el método de diferencias finitas se deben determinar las nueve temperaturas nodales desconocidas. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria y bidimensional, como se expresa. 2 La conductividad térmica es constante. 3 La generación de calor es uniforme. 4 La transferencia de calor por radiación es despreciable. Propiedades Se dice que la conductividad térmica es k
15 W/m · °C. Análisis Se observa que todos los nodos son frontera, excepto el 5, que es interior. Por lo tanto, se tiene que apoyar en los balances de energía para obtener las ecuaciones en diferencias finitas. Pero, en principio, se forman los elementos de volumen al dividir la región entre los nodos de manera equitativa, al trazar líneas punteadas entre los nodos. Si se considera que el elemento de volumen representado por un nodo interior es de tamaño completo (es decir, x  y  1), entonces el elemento de volumen representado por un nodo frontera común, como el 2, se convierte en uno de mitad de tamaño (es decir, x  y/2  1) y el de un nodo de esquina, como el 1, es de un cuarto de tamaño (es decir, x/2  y/2  1). Se tiene presente la ecuación 5-36 para el balance de energía, las ecuaciones en diferencias finitas para cada uno de los nueve nodos se obtienen como sigue: a) Nodo 1. El elemento de volumen de este nodo de esquina está aislado a la izquierda y sujeto a convección en la parte superior y a conducción en las superficies derecha e inferior. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 5-27a)] 0h y T2  T1 x x y x T4  T1 (T  T1)  k k  e·1
0 2  2 2 2 2 x y Al tomar x
y
l, se simplifica a  – 2 e·1l2 hl hl — T1  T2  T4
 T  — 2k k k  b) Nodo 2. El elemento de volumen de este nodo frontera está sujeto a convección en la parte superior y a conducción en las superficies derecha, inferior e izquierda. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 5-27b)] hx(T  T2)  k T5  T2 y T3  T2 y T1  T2 y  kx k  e·2x
0 2 2 2 x y x http://librosysolucionarios.net h, T 1 h, T 2 1 3 5 4 a) Nodo 1 2 b) Nodo 2 FIGURA 5-27 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 1 y 2. Cengel_05A.qxd 2/22/11 4:30 PM Page 316 316 MÉTODOS NUMÉRICOS 2 1 Espejo h, T (5) 3 Al tomar
x 
y  l, se simplifica a 4
5 T1  4  h, T 10 6  c) Nodo 3. El elemento de volumen de este nodo de esquina está sujeto a convección en las superficies superior y derecha, y a conducción en las superficies inferior e izquierda. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 5-28a)] b) Nodo 4 a) Nodo 3 e·2l2 2hl 2hl — T2  T3  2T5   T  — k k k FIGURA 5-28 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 3 y 4. h
y

x2  2 (T   T3)  k
y T2  T3
x
y
x T6  T3 k  e·3 0 2 2 2 2
y
x Al considerar
x 
y  l, se simplifica a
T2  2  2 4 5 3 6  d) Nodo 4. Este nodo está sobre la frontera aislada y se puede tratar como un nodo interior al reemplazar el aislamiento por un espejo. Esto pone una imagen reflejada del nodo 5 a la izquierda del 4. Dado que
x 
y  l, la relación del nodo interior general para el caso bidimensional de estado estacionario (ecuación 5-35) da [figura 5-28b)] h, T e·4l2 — 0 T5  T1  T5  T10  4T4  — k 7 6 e·3l2 2hl 2hl — T3  T6   T  — 2k k k 5 o bien, dado que T10  90°C, 11 a) Nodo 5 12 e·4l2 — T1  4T4  2T5  90  — k b) Nodo 6 FIGURA 5-29 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 5 y 6. e) Nodo 5. Éste es un nodo interior, y dado que
x 
y  l, la formulación en diferencias finitas de este nodo se obtiene directamente a partir de la ecuación 5-35 como [figura 5-29a)] e·5l2 — 0 T4  T2  T6  T11  4T5  — k o bien, dado que T11  90°C, T22  T44  4T55  T66  90 90  e 5l 2 k f) Nodo 6. El elemento de volumen de este nodo de esquina interior está sujeto a convección en la superficie expuesta con forma de L y a conducción en las otras superficies. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 5-29b)]
y

x2  2 (T h  k
y   T6)  k T12  T6
y T7  T6  k
x 2
x
y T5  T6 3
x
y
x T3  T6 k  e·6 0 2 4
x
y http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:34 PM Page 317 317 CAPÍTULO 5 h, T h, T Si x
y
l y dado que T12
90°C se simplifica a 6 7 8 9 q· R e·5l2 2hl 2hl — — T3  2T5  6  T6  T7
180  T  — k k k   13 g) Nodo 7. El elemento de volumen de este nodo frontera está sujeto a convección en la parte superior y a conducción en las superficies derecha, inferior e izquierda. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 5-30a)] hx(T  T7)  k k T13  T7 y T8  T7  kx 2 x y y y T6  T7
0  e·7x 2 2 x Si x
y
l y dado que T13
90°C se simplifica a  T6  4  e·7l2 2hl 2hl — T7  T8
180  T  — k k k  h) Nodo 8. Este nodo es idéntico al 7 y se puede obtener la formulación en diferencias finitas de aquel a partir del nodo 7 al desplazar en 1 los números de los nodos (es decir, reemplazar el subíndice m por m  1). Esto da  T7  4  e·8l2 2hl 2hl — T8  T9
180  T  — k k k  i) Nodo 9. El elemento de volumen de este nodo de esquina está sujeto a convección en la superficie superior, a flujo de calor en la superficie derecha y a conducción en las superficies inferior e izquierda. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 5-30b)] h y T8  T9 y x T15  T9 x x y (T  T9)  q·R k k  e·9
0 2  2 2 2 2 2 x y Si x
y
l y dado que T15
90°C se simplifica a  T8  2  q·Rl hl hl T9
90   T  k k k  e·9l2 — — 2k Con esto se completa el desarrollo de la formulación en diferencias finitas para este problema. Al sustituir las cantidades dadas, el sistema de nueve ecuaciones para la determinación de las nueve temperaturas nodales desconocidas queda –2.064T1  T2  T4
11.2 T1  4.128T2  T3  2T5
22.4 T2  2.128T3  T6
12.8 T1  4T4  2T5
109.2 T2  T4  4T5  T6
109.2 T3  2T5  6.128T6  T7
212.0 http://librosysolucionarios.net a) Nodo 7 15 b) Nodo 9 FIGURA 5-30 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 7 y 9. Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:34 PM Page 318 318 MÉTODOS NUMÉRICOS T6  4.128T7  T8
202.4 T7  4.128T8  T9
202.4 T8  2.064T9
105.2 el cual es un sistema de nueve ecuaciones algebraicas con nueve incógnitas. Mediante un programa para resolver ecuaciones, se determina que es T1
112.1°C T4
109.4°C T7
97.3°C T2
110.8°C T5
108.1°C T8
96.3°C T3
106.6°C T6
103.2°C T9
97.6°C Note que se tiene la temperatura más alta en el nodo 1 y la más baja en el 8. Esto resulta coherente con nuestras esperanzas, puesto que el nodo 1 es el más alejado de la superficie inferior, la cual se mantiene a 90°C y tiene un lado aislado, y el 8 tiene el área expuesta más grande con relación a su volumen, mientras al mismo tiempo está cercano a la superficie a 90°C. Fronteras irregulares Frontera real Aproximación FIGURA 5-31 Aproximación de una frontera irregular con una malla rectangular. En los problemas con configuraciones geométricas simples, se puede llenar la región completa mediante elementos de volumen simples, como tiras, para una pared plana, y elementos rectangulares para la conducción bidimensional en una región rectangular. También se pueden usar elementos con la forma de capas cilíndricas o esféricas para cubrir por completo cuerpos cilíndricos o esféricos. Sin embargo, muchas configuraciones que se encuentran en la práctica, como las paletas de las turbinas o los monobloques de los motores, no tienen formas simples y es difícil llenar esas configuraciones que tienen fronteras irregulares con elementos sencillos de volumen. Una manera práctica de tratar con esas configuraciones es reemplazar la configuración irregular por una serie de elementos simples de volumen, como se muestra en la figura 5-31. Con frecuencia este simple procedimiento resulta satisfactorio para los fines prácticos, en especial cuando los nodos están cerca uno de otro en la vecindad de la frontera. Se cuenta con procedimientos más elaborados para manejar fronteras irregulares y es común que se encuentren incorporados en los paquetes comerciales de software. EJEMPLO 5-4 Pérdida de calor a través de chimeneas Gases calientes de la combustión de un horno fluye por una chimenea cuadrada hecha de concreto (k
1.4 W/m · °C). La sección de flujo de la chimenea es de 20 cm  20 cm y el espesor de la pared es de 20 cm. La temperatura promedio de los gases calientes en la chimenea es Ti
300°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección dentro de la chimenea es hi
70 W/m2 · °C. La chimenea pierde calor desde su superficie exterior hacia el aire ambiente que está a To
20°C por convección, con un coeficiente de transferencia de calor de ho
21 W/m2 · °C y hacia el cielo por radiación. La emisividad de la superficie exterior de la pared es e
0.9 y se estima que la temperatura efectiva del cielo es de 260 K. Mediante el método de las diferencias finitas, con x
y
10 cm y al tomar plena ventaja de la simetría, determine las temperaturas en los puntos nodales de una sección transversal y la razón de la pérdida de calor para una sección de 1 m de largo de la chimenea. http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:34 PM Page 319 319 CAPÍTULO 5 Rectas de simetría (Equivalentes a aislamiento) SOLUCIÓN Se considera la transferencia de calor a través de una chimenea cuadrada. Se deben determinar las temperaturas nodales y la razón de la pérdida de calor por unidad de longitud con el método de las diferencias finitas. Suposiciones 1 La transferencia de calor es estacionaria, ya que no se tiene indicación de cambio con el tiempo. 2 La transferencia de calor a través de la chimenea es bidimensional, puesto que la altura de ella es grande en relación con su sección transversal y, como consecuencia, la conducción de calor a través de la misma en la dirección axial es despreciable. Se intenta simplificar el problema todavía más al considerar la transferencia de calor en cada pared como unidimensional, el cual sería el caso si las paredes fueran delgadas y, por consiguiente, los efectos de las esquinas fueran despreciables. En este caso, dicha suposición no se puede justificar puesto que las paredes son muy gruesas y las secciones de las esquinas constituyen una parte considerable de la estructura de la chimenea. 3 La conductividad térmica es constante. Propiedades Se dan las propiedades de la chimenea como k
1.4 W/m · °C y e
0.9. Análisis En la figura 5-32 se da la sección transversal de la chimenea. El aspecto más sorprendente de este problema es la aparente simetría con respecto a las rectas verticales y horizontales que pasan por el punto medio de la chimenea, así como con respecto a los ejes diagonales, como se indica en la figura. Por lo tanto, en la solución sólo se necesita considerar un octavo de la configuración geométrica, cuya red nodal consta de nueve nodos igualmente espaciados. Nada de calor puede cruzar una línea de simetría y, como consecuencia, estas rectas se pueden tratar como superficies aisladas y, por consiguiente, como “espejos” en la formulación de diferencias finitas. Entonces los nodos en medio de esas rectas se pueden considerar interiores mediante el uso de imágenes especulares. Seis de los nodos son frontera, de modo que se tendrían que escribir balances de energía para obtener sus formulaciones en diferencias finitas. En principio, se parte la región entre los nodos de manera equitativa al trazar entre ellos líneas punteadas que pasen por la mitad. Entonces la región en torno a un nodo rodeado por la frontera o líneas punteadas representa el elemento de volumen de ese nodo. Si se considera una profundidad unitaria y mediante el procedimiento del balance de energía para los nodos frontera (si se supone una vez más por conveniencia que toda la transferencia de energía es hacia el elemento de volumen) y la fórmula para los interiores, las ecuaciones en diferencias finitas para los nueve nodos se determinan como sigue: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sección representativa de la chimenea FIGURA 5-32 Esquema de la chimenea discutida en el ejemplo 5-4 y la red nodal para una sección representativa. a) Nodo 1. Sobre la frontera interior, sujeto a convección, figura 5-33a), 0  hi y T2  T1 x T3  T1 x (T  T1)  k k 0
0 2 i 2 2 x y Al tomar x
y
l, se simplifica a  – 2  hi l hi l T1  T2  T3
 Ti k k hi, Ti 1 hi, Ti 2 1 2 b) Nodo 2. Sobre la frontera interior, sujeto a convección, figura 5-33b), k y T1  T2 T4  T2 x  hi (T  T2)  0  kx
0 2 2 i x y 3 a) Nodo 1 Si x
y
l, se simplifica a  T1  3   hi l hi l T2  2T4
 T k k i http://librosysolucionarios.net 4 b) Nodo 2 FIGURA 5-33 Esquema para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 1 y 2. Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:34 PM Page 320 320 MÉTODOS NUMÉRICOS 1 2 3 4 (4) Imágenes especulares c) Nodos 3, 4 y 5. (Nodos interiores, figura 5-34) Nodo 3: T4  T1  T4  T6  4T3
0 (4) 5 Nodo 4: T3  T2  T5  T7  4T4
0 (8) Nodo 5: T4  T4  T8  T8  4T5
0 Imagen especular 6 7 8 9 d) Nodo 6. (Sobre la frontera exterior, sujeto a convección y radiación) Espejo Espejo FIGURA 5-34 Conversión de los nodos frontera 3 y 5 que están sobre las rectas de simetría en nodos interiores mediante imágenes especulares. 0k  ho y T7  T6 x T3  T6 k 2 2 x y x 4 x (T  T6)  es (T  T64)
0 2 o 2 cielo Si x
y
l, se simplifica a  T2  T3  2  Aislamiento  ho l ho l esl 4 T6
 T  (Tcielo  T64) k k o k e) Nodo 7. (Sobre la frontera exterior, sujeto a convección y radiación, figura 5-35) 4 k y T6  T7 y T8  T7 T4  T7  kx k 2 2 x x y 4  hox(To  T7)  esx(Tcielo  T74)
0 6 7 8 9 ho, To Tcielo FIGURA 5-35 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 7 y 9. Si x
y
l, se simplifica a  2T4  T6  4   2ho l 2ho l 2esl 4 T7  T8
 T  (Tcielo  T74) k k o k f) Nodo 8. Igual que el nodo 7, excepto por el desplazamiento de los números del nodo hacia arriba en 1 (reemplace 4 por 5, 6 por 7, 7 por 8 y 8 por 9 en la última relación)  2T5  T7  4   2ho l 2ho l 2esl 4 T8  T9
 T  (Tcielo  T84) k k o k g) Nodo 9. (Sobre la frontera exterior, sujeto a convección y radiación, figura 5-35) k y T8  T9 x 4 x  0  ho (T  T9)  es (T  T94)
0 2 2 o 2 cielo x Si x
y
l, se simplifica a  T8  1   ho l ho l esl 4 T9
 T  (Tcielo  T94) k k o k En este problema interviene la radiación, que requiere el uso de temperaturas absolutas y, por lo tanto, todas las temperaturas deben de expresarse en Kelvin. De modo alternativo, se podría usar °C para todas las temperaturas, siempre que las cuatro temperaturas en los términos de radiación se expresen en la for- http://librosysolucionarios.net Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:34 PM Page 321 321 CAPÍTULO 5 ma (T  273)4. Al sustituir las cantidades dadas, el sistema de nueve ecuaciones para la determinación de las nueve temperaturas nodales desconocidas, en una forma adecuada para usarse con el método de iteración de Gauss-Seidel, queda T1
(T2  T3  2 865)/7 T2
(T1  2T4  2 865)/8 T3
(T1  2T4  T6)/4 T4
(T2  T3  T5  T7)/4 Temperatura, °C T5
(2T4  2T8)/4 23 40 55 60 55 40 23 T6
(T2  T3  456.2  0.3645  109 T64)/3.5 T7
(2T4  T6  T8  912.4  0.729  109 T74)/7 40 T8
(2T5  T7  T9  912.4  0.729  109 T84)/7 T9
(T8  456.2  0.3645  10 9 T94)/2.5 el cual es un sistema de ecuaciones no lineales. Mediante un programa para resolver ecuaciones, se determina que su solución es 55 60 55 T1
545.7 K
272.6°C T2
529.2 K
256.1°C T3
425.2 K
152.1°C T4
411.2 K
138.0°C T5
362.1 K
89.0°C T6
332.9 K
59.7°C T7
328.1 K
54.9°C T8
313.1 K
39.9°C T9
296.5 K
23.4°C En la figura 5-36 se muestra la variación de la temperatura en la chimenea. Note que las temperaturas más elevadas se tienen en la pared interior (pero menores que 300°C) y las más bajas en la exterior (pero mayores que 260 K), como era de esperarse. La temperatura promedio en la superficie exterior de la chimenea ponderada por el área superficial es Tpared, ext
(0.5T6  T7  T8  0.5T9) (0.5  1  1  0.5) 0.5  332.9  328.1  313.1  0.5  296.5 .
.
318.6 K 3 Entonces se puede determinar aproximadamente la velocidad de la pérdida de calor a través de una sección de 1 m de largo de la chimenea a partir de · 4 4 Q chimenea
ho Ao (Tpared, ext  To)  esAo (Tpared, ext  Tcielo) 2
(21 W/m · K)[4  (0.6 m)(1 m)](318.6  293)K  0.9(5.67  108 W/m2 · K4) [4  (0.6 m)(1 m)](318.6 K)4  (260 K)4]
1 291  702
1 993 W Se pudo determinar también la transferencia de calor al hallar la temperatura promedio de la pared interior, la cual es (272.6  256.1)/2
264.4°C, y al aplicar la ley de Newton del enfriamiento en esa superficie: · Q chimenea
hi Ai (Ti  Tpared, int)
(70 W/m2 · K)[4  (0.2 m)(1 m)](300  264.4)°C
1 994 W La diferencia entre los dos resultados se debe a la naturaleza aproximada del análisis numérico. Discusión Se usa un modelo numérico relativamente burdo para resolver este problema para mantener los aspectos complejos en un nivel en el que se pudie- http://librosysolucionarios.net 40 23 89 138 152 152 256 273 273 89 256 273 138 152 138 256 273 256 138 89 138 152 138 89 40 55 60 55 40 40 55 60 55 40 23 FIGURA 5-36 Variación de la temperatura en la chimenea. Cengel_05A.qxd 2/11/11 7:34 PM Page 322 322 MÉTODOS NUMÉRICOS ran manejar. Se puede mejorar la precisión de la solución obtenida mediante una malla más fina y, de este modo, un número mayor de nodos. Asimismo, cuando interviene la radiación, es más exacto (pero más laborioso) determinar las pérdidas de calor para cada nodo y sumarlas, en lugar de usar la temperatura promedio. 5-5 t Tmi +1 T i +1 Tmi +1 –1 m +1 i+1 ∆t Tmi –1 Tmi i 1 0 ∆t ∆x 0 1 ∆x m–1 Tmi +1 ∆x m m+1 x FIGURA 5-37 La formulación en diferencias finitas de problemas que dependen del tiempo comprende puntos discretos en el tiempo así como en el espacio. ■ CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO Hasta ahora, en este capítulo se ha aplicado el método de las diferencias finitas a problemas de transferencia de calor en estado estacionario. En esta sección se extiende el método para resolver problemas en régimen transitorio. Se aplica el método de las diferencias finitas a los problemas de estado estacionario mediante la diferenciación del problema en las variables espaciales y resolviendo para las temperaturas en distintos puntos llamados nodos. La solución obtenida es válida para cualquier instante, dado que en condiciones estacionarias las temperaturas no cambian con el tiempo. Sin embargo, en los problemas en régimen transitorio, las temperaturas cambian con el tiempo así como con la posición y, de este modo, la solución en diferencias finitas de este tipo de problemas requiere la diferenciación en el tiempo y el espacio, como se muestra en la figura 5-37. Esto se realiza al seleccionar un intervalo apropiado de tiempo, t, y resolver para las temperaturas nodales desconocidas varias veces para cada t hasta que se obtiene la solución en el instante deseado. Por ejemplo, considere un objeto metálico caliente que se extrae del horno a una temperatura inicial de Ti, en el instante t
0, y se deja enfriar en el aire ambiente. Si se elige un intervalo de tiempo de t
5 min, la determinación de la distribución de temperatura en la pieza metálica después de 3 h requiere la determinación de la temperatura 3  60/5
36 veces, o sea, en 36 intervalos de tiempo. Por lo tanto, el tiempo requerido de cálculo para este problema será 36 veces el correspondiente a uno de estado estacionario. La elección de un t más pequeño aumentará la precisión de la solución, pero también incrementará el tiempo de cálculo. En los problemas en régimen transitorio se usa el superíndice i como el índice o contador de los intervalos de tiempo, correspondiendo i
0 a la condición inicial específica. En el caso de la pieza metálica caliente antes discutida, i
1 corresponde a t
1  t
5 min, i
2 corresponde a t
2  t
10 min, y un intervalo general de tiempo, i, corresponde a ti
it. Se usa la notación Tmi para representar la temperatura en el nodo m en el intervalo de tiempo i. La formulación en los problemas de conducción de calor en régimen transitorio difiere de los de estado estacionario en que los primeros comprenden un término adicional que represente el cambio en el contenido de energía del medio con el tiempo. Este término adicional aparece como una primera derivada de la temperatura con respecto al tiempo en la ecuación diferencial, y como un cambio en el contenido de energía interna durante t en la formulación del balance de energía. Los nodos y los elementos de volumen en los problemas en régimen transitorio se seleccionan igual que en los de estado estacionario y, una vez más, si se supone por conveniencia que toda la transferencia de calor es hacia el elemento, el balance de energía sobre un elemento de volumen durante un intervalo de tiempo t se puede expresar como     Calor transferido hacia Calor generado Cambio en el contenido el elemento de volumen dentro del elemento de energía interna 
desde todas sus superficies de volumen del elemento de volumen durante t durante t durante t http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 323 323 CAPÍTULO 5 o bien

t  · · Q 
t  Egen, elemento 
Eelemento (5-37) Todos los lados · donde la razón de la transferencia de calor, Q , normalmente consta de términos de conducción para los nodos interiores, pero puede comprender convección, flujo de calor y radiación para los nodos frontera. Dado que
Eelemento  mcp
T  rVelemento cp
T, donde r es la densidad y cp es el calor específico del elemento, al dividir la relación anterior entre
t da
Eelemento · ·
T Q  Egen, elemento   rVelemento cp
t
t Todos los lados
Elemento de volumen (puede tener cualquier forma) (5-38) o bien, para cualquier nodo m en el medio y su elemento de volumen,
 Tmi
t Nodo m i1 Tm · · Q  Egen, elemento rVelemento cp Todos los lados (5-39) ∆U = ρVcp∆T = ρVcp(Tmi+ 1 – Tmi ) donde Tmi y Tmi1 son las temperaturas del nodo m en los instantes ti  i
t y ti  1  (i  1)
t, respectivamente, y Tmi1  Tmi representa el cambio de temperatura del nodo durante el intervalo de tiempo
t entre los intervalos de tiempo i e i  1 (figura 5-38). Note que la razón (Tmi1  Tmi )/
t es simplemente la aproximación en diferencias finitas de la derivada parcial T/t que aparece en las ecuaciones diferenciales de los problemas en régimen transitorio. Por lo tanto, se obtendría el mismo resultado para la formulación en diferencias finitas si se sigue un procedimiento matemático estricto en lugar del procedimiento de balance de energía antes usado. Note también que las formulaciones en diferencias finitas de los problemas de estado estacionario y de régimen transitorio difieren en el término que está a la derecha del signo igual y que el formato de dicho término es el mismo en todos los sistemas de coordenadas sin importar si la transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional. Para el caso especial de Tmi1  Tmi (es decir, cuando no hay cambio en la temperatura con el tiempo), la formulación se reduce a la del caso estacionario, como era de esperarse. Las temperaturas nodales en los problemas en régimen transitorio por lo común cambian durante cada intervalo de tiempo y el lector puede preguntarse si debe usar las temperaturas en el previo intervalo de tiempo i o en el nuevo intervalo de tiempo i  1 para los términos del primer miembro de la ecuación 5-39. Bien, los dos procedimientos son razonables y ambos se aplican en la práctica. En el primer caso, se dice que el procedimiento en diferencias finitas es el método explícito y el segundo el método implícito, y se expresan en la forma general como (figura 5-39) Método explícito:
Todos los lados Método implícito:  Tmi
t FIGURA 5-38 Cambio en el contenido de energía del elemento de volumen de un nodo durante un intervalo de tiempo ∆t. Si se expresa en i + 1: Método implícito · i1 Tm · ·i Q i  Egen, elemento  rVelemento cp ρ = densidad V = volumen ρV = masa cp = calor específico ∆ T = cambio de temperatura (5-40) Tmi1  Tmi ·i1 · Q i  1  Egen, (5-41) elemento  rVelemento cp
t Todos los lados
Parece que la derivada con respecto al tiempo se expresa en la forma de diferencia hacia adelante en el caso explícito y en la de diferencia hacia atrás en el implícito. Por supuesto, también es posible mezclar las dos formulaciones fundamentales de las ecuaciones 5-40 y 5-41 y tener como resultado formulaciones más elaboradas, pero ofrecen poca percepción y se encuentran más allá del alcance de este texto. Note que ambas formulaciones no son más que http://librosysolucionarios.net · ∑ Q + Egen, elemento = ρVelemento cp Todos los lados Tmi+ 1 – Tmi ∆t Si se expresa en i: Método explícito FIGURA 5-39 La formulación de los métodos explícito e implícito difiere en el intervalo de tiempo (previo o nuevo) en el cual se expresan los términos de transferencia de calor y generación de calor. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 324 324 MÉTODOS NUMÉRICOS expresiones entre las temperaturas nodales antes y después del intervalo de tiempo y se basan en la determinación de las nuevas temperaturas Tmi1, mediante las temperaturas anteriores Tmi . Las formulaciones explícita e implícita que se dan aquí son bastante generales y se pueden usar en cualquier sistema de coordenadas, sin importar la dimensión de la transferencia de calor. En los casos multidimensionales los elementos de volumen tan sólo tienen más superficies y, como consecuencia, comprenden más términos en la suma. Los métodos explícito e implícito tienen sus ventajas y desventajas y ninguno de ellos es mejor que el otro. En seguida el lector verá que el método explícito es fácil de poner en práctica, pero impone un límite sobre el intervalo de tiempo admisible para evitar inestabilidades en la solución, y el método implícito requiere que las temperaturas nodales se resuelvan en forma simultánea, pero no impone límite sobre la magnitud del intervalo de tiempo. Se limita la discusión a casos unidimensionales y bidimensionales para mantener los aspectos complejos en un nivel manejable, pero el análisis se puede extender con facilidad a los casos tridimensionales y a otros sistemas de coordenadas. A Pared plana e· m Conducción de calor en régimen transitorio en una pared plana Elemento de volumen del nodo m Tmi+ 1 Tmi kA Tmi – 1 – Tmi ————– Tmi + 1 – Tmi kA ————– ∆x ∆x ∆x 0 1 2 ∆x m–1 m m+1 ∆x M –1 M x Considere la conducción de calor unidimensional en régimen transitorio en una pared plana de espesor L con generación de calor e·(x, t), que puede variar con el tiempo y la posición y con conductividad constante k, con un tamaño de malla
x  L/M y los nodos 0, 1, 2, . . . , M en la dirección x, como se muestra en la figura 5-40. Puesto que el elemento de volumen de un nodo interior general m comprende conducción de calor desde dos de sus lados y el volumen del elemento es Velemento  A
x, la formulación en diferencias finitas en régimen transitorio para un nodo interior se puede expresar sobre la base de la ecuación 5-39 como kA FIGURA 5-40 Puntos nodales y elementos de volumen para la formulación en diferencias en régimen transitorio de la conducción unidimensional de calor en una pared plana. Tm1  Tm Tm1  Tm Tmi1  Tmi  kA  e·m A
x  rA
xcp
x
x
t (5-42) Al cancelar el área superficial A y multiplicar por
x/k, se simplifica a e·m
x2
x2 Tm  1  2Tm  Tm  1  ———  (T i1  Tmi ) k a
t m (5-43) donde a  k/rcp es la difusividad térmica del material de la pared. Ahora se define un número discreto de Fourier adimensional como t a
t
x2 (5-44) Entonces la ecuación 5-43 se reduce a e·m
x2 Tmi1  Tmi Tm  1  2Tm  Tm  1  ———  t k (5-45) Note que el primer miembro de esta ecuación tan sólo es la formulación en diferencias finitas del problema para el caso de estado estacionario. Esto no es sorprendente, puesto que la formulación debe reducirse a este último caso para Tmi1  Tmi . Asimismo, todavía no se ha presentado la formulación explíci- http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 325 325 CAPÍTULO 5 ta o implícita, puesto que no se indicó el intervalo de tiempo en el primer miembro de la ecuación. Ahora se obtiene la formulación explícita en diferencias finitas al expresar el primer miembro en el intervalo de tiempo i como e·mi
x2 Tmi1  Tmi i i Tm1  2Tmi  Tm1  ———  t k (explícita) (5-46) Esta ecuación se puede resolver explícitamente para la nueva temperatura Tmi1 (y, de ahí, el nombre de método explícito) para dar e·mi
x2 i i Tmi1  t(Tm1  Tm1 )  (1  2t) Tmi  t ——— k (5-47) para todos los nodos interiores m  1, 2, 3, . . . , M  1 en una pared plana. Si se expresa el primer miembro de la ecuación 5-45 en el intervalo de tiempo i  1, en lugar del i, daría la formulación implícita en diferencias finitas como Tmi 1 1 2Tmi 1 Tmi 1 1 # emi 1 x2 Tmi 1 Tmi t k (implícita) (5-48) la cual se puede reacomodar como 1 ttTTmimi1 1  (1  2t) Tmi 1 ii1 1  ttTmm1 1 # ee·mmii11
xx22  tt ———  Tmmii  0 k i1 i T1i  T0i
x T0  T0
x  e· i0 A  rA cp 2 2
x
t  e·0i
x2 h
x h
x i T0  2tT1i  2t T  t ——— k k k  T0i + 1 – T0i ∆x ρ A —– cp ————– ∆t 2 e· 0 T1i – T0i kA ——— ∆x (5-49) (5-50) la cual se simplifica a T0i1  1  2t  2t A hA(T – T0i ) La aplicación de la formulación explícita o implícita a cada uno de los M  1 nodos interiores da M  1 ecuaciones. Las dos ecuaciones restantes se obtienen mediante la aplicación del mismo método a los dos nodos frontera a menos que, por supuesto, se especifiquen las temperaturas de frontera como constantes (invariantes con el tiempo). Por ejemplo, la formulación de la condición de frontera de convección en el lado izquierdo (nodo 0) para el caso explícito se puede expresar como (figura 5-41) hA(T  T0i)  kA ∆x —– 2 (5-51) Note que en el caso de que no haya generación de calor y t  0.5, la formulación explícita en diferencias finitas para un nodo interior general se reduce i i a Tmi1  (Tm1  Tm1 1)/2, la cual tiene la interpretación interesante de que la temperatura de un nodo interior en el nuevo intervalo de tiempo es simplemente el promedio de las temperaturas de sus nodos vecinos en el intervalo de tiempo anterior. Una vez que se completa la formulación (explícita o implícita) y se especifica la condición inicial, la solución de un problema en régimen transitorio se obtiene al marchar en el tiempo mediante un tamaño de intervalo de
t, como sigue: seleccione un intervalo de tiempo adecuado
t y determine las temperaturas nodales a partir de la condición inicial. Al tomar las temperaturas iniciales como la solución anterior Tmi en t  0 obtenga la nueva solución Tmi1 en todos los nodos, en el instante t 
t, mediante las relaciones en diferencias finitas en régimen estacionario. Ahora, mediante la solución que acaba de http://librosysolucionarios.net ∆x ∆x 0 1 2 … L x FIGURA 5-41 Esquema para la formulación explícita en diferencias finitas de la condición de convección en la frontera izquierda de una pared plana. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 326 326 MÉTODOS NUMÉRICOS Formulación explícita: T0i1  a0T0i  · · · obtenerse en t 
t como la solución anterior Tmi , obtenga la nueva solución Tmi1 en t  2
t, mediante las mismas relaciones. Repita el proceso hasta que se obtenga la solución en el instante deseado. T1i1  a1T1i  · · · M Tmi1  amTmi  · · · M TMi1  aMTMi  · · · Criterio de estabilidad: am 0, m  0, 1, 2, . . . m, . . . M FIGURA 5-42 El criterio de estabilidad del método explícito requiere que todos los coeficientes primarios sean positivos o cero. Criterio de estabilidad para el método explícito: limitación sobre
t El método explícito es fácil de usar, pero sufre de una característica indeseable que restringe en forma grave su utilidad: no es incondicionalmente estable y el valor más grande admisible del intervalo de tiempo
t queda limitado por el criterio de estabilidad. Si el intervalo de tiempo
t no es suficientemente pequeño, las soluciones obtenidas por el método explícito pueden oscilar sin pies ni cabeza y divergir con respecto a la solución real. Con el fin de evitar esas oscilaciones divergentes en las temperaturas nodales, el valor de
t debe mantenerse por debajo de un cierto límite superior establecido por el criterio de estabilidad. Se puede demostrar de manera matemática o por medio de un argumento físico basado en la segunda ley de la termodinámica que se satisface el criterio de estabilidad si los coeficientes de todas las Tmi en las expresiones Tmi1 (llamados coeficientes primarios) son mayores o iguales a cero para todos los nodos m (figura 5-42). Por supuesto, deben agruparse todos los términos que contienen a Tmi para un nodo en particular, antes de aplicar este criterio. Ecuaciones diferentes para nodos diferentes pueden dar como resultado restricciones diferentes sobre el tamaño del paso de tiempo
t, y en la resolución del problema debe aplicarse el criterio que sea más restrictivo. Un procedimiento práctico es identificar la ecuación con el coeficiente primario más pequeño, que es el más restrictivo, y determinar los valores admisibles para
t mediante la aplicación del criterio de estabilidad sólo a esa ecuación. Un valor de
t obtenido de esta manera también satisfará el criterio de estabilidad para todas las demás ecuaciones en el sistema. Por ejemplo, en el caso de la conducción de calor unidimensional en régimen transitorio en una pared plana con temperaturas superficiales específicas las ecuaciones explícitas en diferencias finitas para todos los nodos (que son nodos interiores) se obtienen a partir de la ecuación 5-47. El coeficiente de Tmi en la expresión Tmi1 es 1  2t, que es independiente del número de nodo m y, por lo tanto, en este caso el criterio de estabilidad para todos los nodos es 1  2t 0, o bien t a
t
x2 1 2 nodos interiores, transferencia de calor unidimensional en coordenadas rectangulares (5-52) Cuando se conoce el material del medio y por consiguiente, su difusividad térmica a y se especifica el valor del tamaño de malla
x, se puede determinar el valor más grande admisible del intervalo de tiempo
t a partir de esta relación. Por ejemplo, en el caso de una pared de ladrillo (a  0.45  106 m2/s) con un tamaño de malla de
x  0.01 m, el límite superior del intervalo de tiempo es
t (0.01 m)2 1
x2   111s  1.85 min a 2 2(0.45  106 m2/s) Los nodos frontera en los que interviene convección y/o radiación son más restrictivos que los interiores y, por consiguiente, requieren intervalos de tiempo más pequeños. Por lo tanto, debe usarse el nodo frontera más restrictivo en la determinación del intervalo de tiempo máximo admisible
t cuando se resuelve un problema en régimen transitorio con el método explícito. Por ejemplo, la formulación explícita en diferencias finitas para la condición de frontera de convección en la frontera izquierda (nodo 0) de la pared plana http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 327 327 CAPÍTULO 5 mostrada en la figura 5-41 y expresada en la ecuación 5-51, es más restrictiva que la formulación explícita en las diferencias finitas para los nodos interiores presentada por la ecuación 5-47. Por lo tanto, en este caso, el criterio de estabilidad para todos los nodos se convierte en 1 2t 2t h x k 0 o bien t 2(1 80°C 1 . h x/k) 50°C 50°C Para adquirir una mejor comprensión del criterio de estabilidad, considere la formulación explícita en diferencias finitas para un nodo interior de una pared plana (ecuación 5-47) para el caso en el que no hay generación de calor, 20°C m–1 i i  Tm1 )  (1  2t)Tmi Tmi1  t(Tm1 i i Suponga que en algún intervalo de tiempo i las temperaturas Tm1 y Tm1 son i i i iguales pero menores que Tm (se puede decir, Tm1  Tm1  50°C y Tmi  80°C). En el siguiente intervalo de tiempo se espera que la temperatura del nodo m esté entre los dos valores (se puede decir, 70°C). Sin embargo, si el valor de t sobrepasa 0.5 (por ejemplo, t  1), la temperatura del nodo m en el siguiente intervalo de tiempo será menor que la temperatura de los nodos vecinos (será de 20°C), lo cual es físicamente imposible y viola la segunda ley de la termodinámica (figura 5-43). Requerir que la nueva temperatura del nodo m permanezca por arriba de la temperatura de los nodos vecinos es equivalente a requerir que el valor de t permanezca por debajo de 0.5. El método implícito es incondicionalmente estable y, por lo tanto, se puede usar cualquier intervalo de tiempo que se desee con ese método (por supuesto, entre menor sea el intervalo de tiempo, mayor es la precisión de la solución). La desventaja del método implícito es que conduce a un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente para cada intervalo de tiempo. Ambos métodos se usan en la práctica. EJEMPLO 5-5 m m+1 m–1 Intervalo de tiempo: i m m+1 Intervalo de tiempo: i + 1 FIGURA 5-43 La violación del criterio de estabilidad en el método explícito puede conducir a la violación de la segunda ley de la termodinámica y, en consecuencia, a la divergencia de la solución. Conducción de calor en régimen transitorio en una placa grande de uranio Considere una placa grande de uranio de espesor L  4 cm, conductividad térmica k  28 W/m · °C y difusividad térmica a  12.5  106 m2/s que inicialmente está a una temperatura uniforme de 200°C. En la placa se genera calor de manera uniforme con una velocidad constante de e·  5  106 W/m3. En el instante t  0, uno de los lados de la placa se pone en contacto con agua con hielo y se mantiene a 0°C en todo momento, mientras que el otro se expone a convección hacia un medio a T  30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h  45 W/m2 · °C, como se muestra en la figura 5-44. Si considera un total de tres nodos igualmente espaciados en el medio, dos en las fronteras y uno a la mitad, estime la temperatura de la superficie expuesta de la placa 2.5 min después del inicio del enfriamiento mediante a) el método explícito y b) el método implícito. SOLUCIÓN En el ejemplo 5-1 se ha resuelto este problema para el caso de estado estacionario y aquí se aborda considerando el régimen transitorio con el fin de demostrar cómo se aplican en él los métodos de las diferencias finitas. De nuevo se supone transferencia de calor unidimensional en coordenadas rectan- http://librosysolucionarios.net Placa de uranio 0°C k = 28 W/m · °C e· = 5  106 W/m3 h T α = 12.5  10 –6 m2/s ∆x ∆x 0 0 1 L 2 x Tinicial = 200°C FIGURA 5-44 Esquema para el ejemplo 5-5. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 328 328 MÉTODOS NUMÉRICOS gulares y conductividad térmica constante. Se especifica que el número de nodos es M  3 y se eligen para que estén en las dos superficies de la placa y en medio, como se muestra en la figura. Entonces el espaciamiento nodal
x queda
x  Elemento de volumen del nodo 2 T1i – T2i kA ——— ∆x A e· 2 hA(T – T2i ) T2i + 1 T2i 0 0 1 ∆ –x — 2 2 x FIGURA 5-45 Esquema para la formulación explícita en diferencias finitas de la condición de convección en la frontera derecha de una pared plana. 0.04 m L   0.02 m M1 31 Se numeran los nodos como 0, 1 y 2. Se dice que la temperatura en el nodo 0 es T0  0°C en todo momento y se deben determinar las temperaturas en los nodos 1 y 2. Este problema está relacionado sólo con dos temperaturas nodales desconocidas y, como consecuencia, se necesitan tener dos ecuaciones para determinarlas de manera única. Ambas ecuaciones se obtienen mediante la aplicación del método de las diferencias finitas a los nodos 1 y 2. a) El nodo 1 es interior y la formulación explícita en diferencias finitas en ese nodo se obtiene directamente a partir de la ecuación 5-47, mediante m  1: e·1
x2 — — T1i1  t(T0  T2i)  (1  2t) T1i  t — k (a) El nodo 2 es frontera y está sujeto a convección, la formulación en diferencias finitas en ese nodo se obtiene al escribir un balance de energía sobre el elemento de volumen de espesor
x/2 en esa frontera al suponer que la transferencia de calor es hacia el medio en todos los lados (figura 5-45): hA(T  T2i)  kA i1 i T1i  T2i
x T2  T2
x  e·2 A  rA cp 2 2
x
x Al dividir entre kA/2
x y utilizar las definiciones de la difusividad térmica, a  k/rcp, y del número adimensional de malla de Fourier, t  a
t/
x2, da e·2
x2 T2i1  T2i 2h
x — — (T  T2i)  2(T1i  T2i)  — t k k de la cual se puede despejar T2i1 para dar  T2i1  1  2t  2t ge·22
x2 h
x i h
x — — T2  t 2T1i  2 T  — k k k    (b) Note que no se usó el subíndice i para las cantidades que no cambian con el tiempo. En seguida se necesita determinar el límite superior del intervalo de tiempo
t con base en el criterio de estabilidad, en el cual se requiere que el coeficiente de T1i en la ecuación (a) y el de T2i en la segunda ecuación sean mayores o iguales a cero. En este caso, el coeficiente de T2i es menor y, como consecuencia, el criterio de estabilidad para este problema se puede expresar como 1  2t  2t h
x k 0 → t 1 2(1  h
x/k) →
t
x2 2 (1  h
x/k) 2a(1 puesto que t  a
t/
x 2. Al sustituir las cantidades dadas, se determina que el valor máximo admisible del intervalo de tiempo es
t (0.02 m)2 ————————————————————————————————————  15.5 s 2(12.5  106 m2/s)[1  (45 W/m2 · °C)(0.02 m)/28 W/m · °C] http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 329 329 CAPÍTULO 5 Por lo tanto, para resolver este problema, se puede usar cualquier intervalo de tiempo menor que 15.5 s. Por conveniencia, se elige que el intervalo de tiempo sea
t  15 s. Entonces el número de malla de Fourier queda t (12.5  106 m2/s)(15 s) a
t  0.46875 (para
t  15 s) 22 
x (
x) (0.02 m)2 Al sustituir este valor de t y el de las otras cantidades, las ecuaciones explícitas en diferencias finitas (a) y (b) que acaban de desarrollarse se reducen a T1i1  0.0625T1i  0.46875T2i  33.482 T2i1  0.9375T1i  0.032366T2i  34.386 Se dice que la temperatura inicial del medio en t  0 e i  0 es de 200°C en toda su extensión y, por lo tanto, T10  T20  200°C. Entonces, con base en estas ecuaciones, se determina que las temperaturas nodales en T11 y T21 en t 
t  15 s son T11  0.0625T10  0.46875T20  33.482  0.0625  200  0.46875  200  33.482  139.7°C T21  0.9375T10  0.032366T20  34.386  0.9375  200  0.032366  200  34.386  228.4°C De manera análoga, las temperaturas nodales T12 y T22 en t  2
t  2  15  30 s son T12  0.0625T11  0.46875T21  33.482  0.0625  139.7  0.46875  228.4  33.482  149.3°C T22  0.9375T11  0.032366T21  34.386  0.9375  139.7  0.032366  228.4  34.386  172.8°C De la misma manera, se determinan las temperaturas en los nodos 1 y 2, para i  1, 2, 3, 4, 5, . . . , 40, y se dan en la tabla 5-3. Por lo tanto, la temperatura en la superficie expuesta, 2.5 min después del inicio del enfriamiento, es TL2.5 min  T210  139.0°C b) El nodo 1 es interior y la formulación implícita en diferencias finitas en ese nodo se obtiene directamente a partir de la ecuación 5-49, mediante m  1: e·0
x2 tT0  (1  2t) T1i1  tT2i1  t ———  T1i  0 k (c) El nodo 2 es frontera y está sujeto a convección, la formulación implícita en diferencias finitas en ese nodo se puede obtener a partir de esta formulación, al expresar el primer miembro de la ecuación en el intervalo de tiempo i  1, en lugar del i, como e·2
x2 T2i1  T2i 2h
x (T  T2i1)  2(T1i1  T2i1)  ———  t k k http://librosysolucionarios.net TABLA 5-3 Variación de las temperaturas nodales en el ejemplo 5-5, con el tiempo obtenido por el método explícito Intervalo de Tiempo, tiempo, i s 0 0 1 15 2 30 3 45 4 60 5 75 6 90 7 105 8 120 9 135 10 150 20 300 30 450 40 600 Temperatura del nodo, °C T1i 200.0 139.7 149.3 123.8 125.6 114.6 114.3 109.5 108.9 106.7 106.3 103.8 103.7 103.7 T2i 200.0 228.4 172.8 179.9 156.3 157.1 146.9 146.3 141.8 141.1 139.0 136.1 136.0 136.0 Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 330 330 MÉTODOS NUMÉRICOS la cual se puede reacomodar como  2tT1i1  1  2t  2t e·2
x2 h
x i1 h
x T2  2t T  t ———  T2i  0 k k k  (d) Una vez más, no se usó el superíndice i o i + 1 para las cantidades que no cambian con el tiempo. El método implícito no impone límite sobre el intervalo de tiempo y, de este modo, se puede elegir cualquier valor que quiera. Sin embargo, de nuevo se elige
t  15 s y, por lo tanto, t  0.46875, con el fin de compararse con el inciso a). Al sustituir este valor de t y las otras cantidades dadas, las dos ecuaciones implícitas en diferencias finitas que acaban de desarrollarse se reducen a 1.9375T1i1  0.46875T2i1  T1i  33.482  0 0.9375T1i1  1.9676T2i1  T2i  34.386  0 De nuevo, T10  T20  200°C en t  0 e i  0, en virtud de la condición inicial, y para i  0, estas dos ecuaciones se reducen a 1.9375T11  0.46875T21  200  33.482  0 0.9375T11  1.9676T21  200  34.386  0 Al resolver estas dos ecuaciones en forma simultánea se determina que las temperaturas nodales desconocidas T11 y T21 en t 
t  15 s son T11  168.8°C y T21  199.6°C De modo análogo, para i  1, estas dos ecuaciones se reducen a 1.9375T21  0.46875T22  168.8  33.482  0 0.9375T12  1.9676T22  199.6  34.386  0 TABLA 5-4 Variación de las temperaturas nodales en el ejemplo 5-5, con el tiempo obtenido por el método implícito Intervalo de Tiempo, tiempo, i s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 300 450 600 Temperatura del nodo, °C T1i T2i 200.0 168.8 150.5 138.6 130.3 124.1 119.5 115.9 113.2 111.0 109.4 104.2 103.8 103.8 200.0 199.6 190.6 180.4 171.2 163.6 157.6 152.8 149.0 146.1 143.9 136.7 136.1 136.1 Al resolver estas dos ecuaciones en forma simultánea se determina que las temperaturas nodales desconocidas T12 y T22 en t 
t  2  15  30 s son T12  150.5°C y T22  190.6°C Al continuar de esta manera, se determinan las temperaturas en los nodos 1 y 2 para i  2, 3, 4, 5, . . . , 40; en la tabla 5-4 se da una lista de ellas y se obtiene que la temperatura en la superficie frontera expuesta (nodo 2), 2.5 min después de iniciarse el enfriamiento, es TL2.5 min  T210  143.9°C la cual está cercana al resultado obtenido por el método explícito. Note que se pudo usar cualquiera de los dos métodos con el fin de obtener resultados satisfactorios para los problemas en régimen transitorio, excepto, quizá, para unos cuantos de los primeros intervalos de tiempo. Se prefiere el método implícito cuando resulta conveniente usar intervalos grandes de tiempo, y se prefiere el explícito cuando se desea evitar la solución simultánea de un sistema de ecuaciones algebraicas. http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 331 331 CAPÍTULO 5 EJEMPLO 5-6 Almacenamiento de energía solar en los muros Trombe Los muros gruesos de mampostería pintados de color oscuro, llamados muros Trombe, son de uso común en los costados que dan al sur en las casas solares pasivas con el fin de absorber la energía solar, almacenarla durante el día y liberarla hacia la casa durante la noche (figura 5-46). En 1881 E. L. Morse de Massachusetts propuso la idea y se les dio el nombre en honor del profesor Félix Trombe de Francia, quien los usó de manera extensa en sus diseños en la década de 1970. Por lo común se coloca por fuera del muro una capa de vidrio sencilla o doble que transmite la mayor parte de la energía solar, al bloquear al mismo tiempo las pérdidas de calor de la superficie expuesta del muro hacia el exterior. Asimismo, es común la instalación de ventilas en las partes inferior y superior de los muros Trombe de modo que el aire de la casa entra en el canal de flujo paralelo que está entre el muro y la vidriera, sube a medida que se calienta y entra en el cuarto por la ventila superior. Considere una casa en Reno, Nevada, con un muro Trombe de 1 ft de espesor orientado hacia el sur, con una conductividad térmica de k  0.40 Btu/h · ft · °F y difusividad térmica de a  4.78  106 ft2/s. En la tabla 5-5 se dan la variación de la temperatura ambiente, Text, y el flujo de calor solar, q· solar, incidente sobre una superficie vertical que da hacia el sur durante todo el día, para un día típico de enero, en intervalos de 3 h. El muro tiene una vidriera sencilla con un producto de absortividad-transmisividad de k  0.77 (es decir, 77% de la energía solar incidente es absorbida por la superficie expuesta del muro Trombe) y se determina que el coeficiente combinado promedio de transferencia de calor para la pérdida de calor del muro Trombe hacia el ambiente es hext  0.7 Btu/h · ft2 · °F. El interior de la casa se mantiene a Tint  70°F en todo momento y el coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior del muro es hint  1.8 Btu/h · ft2 · °F. Las ventilas en el muro se mantienen cerradas y, de este modo, la única transferencia de calor entre el aire que está en el interior de la casa y el muro es a través de la superficie interior del muro. Si la temperatura del muro varía linealmente entre 70°F en la superficie interior y 30°F en la exterior a las 7 AM y mediante el método explícito en diferencias finitas con un espaciamiento nodal uniforme de
x  0.2 ft, determine la distribución de temperatura a lo largo del espesor del muro Trombe después de 12, 24, 36 y 48 h. Asimismo, determine la cantidad neta de calor transferido hacia la casa desde el muro durante el primero y el segundo días. Suponga que el muro tiene 10 ft de alto y 25 ft de largo. SOLUCIÓN Se considera la calefacción solar pasiva de una casa a través de un muro Trombe. Se deben determinar la distribución de temperatura en el muro en intervalos de 12 h y la cantidad de transferencia de calor durante el primero y el segundo días. Suposiciones 1 La transferencia de calor es unidimensional, puesto que la superficie expuesta del muro es grande en relación con su espesor. 2 La conductividad térmica es constante. 3 Los coeficientes de transferencia de calor son constantes. Propiedades Se dice que las propiedades del muro son k  0.40 Btu/h · ft · °F, a  4.78  106 ft2/s, y k  0.77. Análisis Se dice que el espaciamiento nodal es
x  0.2 ft y, por lo tanto, el número total de nodos a lo largo del muro es M 1 ft L 1 16 0.2 ft
x Se numeran los nodos como 0, 1, 2, 3, 4 y 5, con el nodo 0 sobre la superficie interior del muro y el 5 sobre la exterior, como se muestra en la figura 5-47. Los nodos 1 al 4 son interiores y las formulaciones explícitas en diferencias finitas de estos nodos se obtienen directamente a partir de la ecuación 5-47 como http://librosysolucionarios.net Sur Aire caliente Rayos solares Muro Trombe Pérdida de calor Ganancia de calor Ventila Aire frío Vidriera FIGURA 5-46 Esquema de un muro Trombe (ejemplo 5-6). TABLA 5-5 Variación horaria de la temperatura ambiente promedio mensual y flujo de calor solar incidente sobre una superficie vertical, para enero, en Reno, Nevada Hora del día 7 10 1 4 7 10 1 4 Temperatura Radiación ambiente, solar, °F Btu/h · ft2 AM-10 AM AM-1 PM PM-4 PM PM-7 PM PM-10 PM PM-1 AM AM-4 AM AM-7 AM 33 43 45 37 32 27 26 25 114 242 178 0 0 0 0 0 Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 332 332 MÉTODOS NUMÉRICOS Nodo 1 (m  1): Nodo 2 (m  2): Nodo 3 (m  3): Nodo 4 (m  4): q· solar Muro Trombe k = 0.40 Btu/h · ft · °F α = 4.78 × 10 –6 ft2/s Distribución inicial de temperatura a las 7 AM (t = 0) 70°F hint, Tint hext, Text ∆x = 0.2 ft 0 0 1 2 4 5 L FIGURA 5-47 Red nodal para el muro Trombe discutido en el ejemplo 5-6. (1) (2) (3) (4) La superficie interior está sujeta a convección y, por consiguiente, la formulación explícita del nodo 0 se puede obtener en forma directa a partir de la ecuación 5-51 como 30°F 3 T1i1  t(T0i  T2i)  (1  2t)T1i T2i1  t(T1i  T3i)  (1  2t)T2i T3i1  t(T2i  T4i)  (1  2t)T3i T4i1  t(T3i  T5i)  (1  2t)T4i  T0i1  1  2t  2t x hint
x i hint
x T0  2tT1i  2t Tint k k  Al sustituir en esta ecuación las cantidades hint,
x, k y Tint, las cuales no cambian con el tiempo, da T0i1  (1  3.80t) T0i  t(2T1i  126.0) (5) La superficie interior del muro está sujeta a convección así como a flujo de calor. La formulación explícita en diferencias finitas en esa frontera se obtiene al escribir un balance de energía sobre el elemento de volumen representado por el nodo 5, i hext A(Text  T5i)  kAq·isolar  kA i1 i T4i  T5i
x T5  T5  rA cp 2
x
t (5-53) la cual se simplifica a  T5i1  1  2t  2t i
x hext
x i hext
x i k q·solar Text  2t T5  2tT4i  2t (5-54) k k k  donde t  a
t/
x2 es el número adimensional de malla de Fourier. Note que se mantiene el superíndice i para las cantidades que varían con el tiempo. Al sustituir en esta ecuación las cantidades hext,
x, k y k, las cuales no cambian con el tiempo, da i T5i1  (1  2.70t) T5i  t(2T4i  0.70Text  0.770q·isolar) (6) donde la unidad de q· isolar es Btu/h · ft2. A continuación se necesita determinar el límite superior del intervalo de tiempo
t a partir del criterio de estabilidad, puesto que se usa el método explícito. Esto requiere la identificación del coeficiente primario más pequeño en el sistema. Se sabe que los nodos frontera son más restrictivos que los interiores y, por lo tanto, se examinan sólo las formulaciones de los nodos frontera 0 y 5. En este caso, el coeficiente primario más pequeño y, por consiguiente, el más restrictivo es el de T0i en la formulación del nodo 0, ya que 1  3.8t 1  2.7t y, de este modo, el criterio de estabilidad para este problema se puede expresar como 1  3.80 t 0 → t a
x
x2 1 3.80 Al sustituir las cantidades dadas, se determina que el valor máximo admisible del intervalo de tiempo es
t (0.2 ft)2
x2   2 202 s 3.80a 3.80  (4.78  106 ft2/s) http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 333 333 CAPÍTULO 5 Por lo tanto, para resolver este problema, se puede usar cualquier intervalo de tiempo menor que 2 202 s. Por conveniencia, se elige que el intervalo de tiempo sea
t  900 s  15 min. Entonces el número de malla de Fourier queda t (4.78  106 ft2/s)(900 s) a
t   0.10755
x2 2 (
x) (0.2 ft)2 (para
t  15 min) Inicialmente (a las 7 AM, o sea t  0), se dice que la temperatura de la pared varía linealmente entre 70°F en el nodo 0, y 30°F en el nodo 5. Puesto que se tienen cinco espaciamientos nodales de igual longitud, el cambio de temperatura entre dos nodos vecinos es (70  30)°F/5  8°F. Por lo tanto, las temperaturas nodales iniciales son T00  70°F T30  46°F T10  62°F T40  38°F T20  54°F T50  30°F Entonces, a partir de estas ecuaciones, se determina que las temperaturas nodales en t 
t  15 min (a las 7:15 AM) son T01  (1  3.80t) T00  t(2T10  126.0)  (1  3.80  0.10755) 70  0.10755(2  62  126.0)  68.3°F T11  t(T00  T20)  (1  2t) T10  0.10755(70  54)  (1  2  0.10755)62  62°F T21  t(T10  T30)  (1  2t) T20  0.10755(62  46)  (1  2  0.10755)54  54°F T31  t(T20  T40)  (1  2t) T30  0.10755(54  38)  (1  2  0.10755)46  46°F T41  t(T30  T50)  (1  2t) T40  0.10755(46  30)  (1  2  0.10755)38  38°F 0 T51  (1  2.70t) T50  t(2T40  0.70Text  0.770q·0solar)  (1  2.70  0.10755)30  0.10755(2  38  0.70  33  0.770  114)  41.4°F Temperatura °F 170 150 Note que durante el primer intervalo de tiempo la temperatura de la superficie interior del muro Trombe cayó en 1.7°F y la de las otras superficies se elevó en 11.4°F, en tanto que las temperaturas en los nodos interiores permaneció igual. Esto es típico de los problemas en régimen transitorio en los medios en los que no hay generación de calor. En los siguientes intervalos de tiempo, las temperaturas nodales se determinan de manera semejante con la ayuda de una computadora. Note que los datos para la temperatura ambiente y la radiación solar incidente cambian cada 3 horas, lo cual corresponde a 12 intervalos de tiempo, y esto se debe reflejar en el programa para computadora. Por ejemplo, debe tomarse el valor de q· isolar como q· isolar  114 para i  1–12, q· isolar  242 para i  13–24, q· isolar  178 para i  25–36, y q· isolar  0 para i  37–96. En la tabla 5-6 se dan los resultados después de 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 y 48 h, y en la figura 5-48 se tienen las gráficas para el primer día. Note que la temperatura interior del muro Trombe cae en las primeras horas de la mañana, pero después se eleva a medida que la energía solar absorbida por la superficie exterior se difunde a través de él. La temperatura de la superficie exterior se elevará de 30 a 142°F en sólo 6 h debido a la energía solar absorbida, pero después cae hasta 53°F a la mañana siguiente como resultado de la pérdida de calor durante la noche. Por lo tanto, puede valer la pena cubrir la superficie exterior en la noche para minimizar las pérdidas de calor. http://librosysolucionarios.net 1er. día 2o. día 130 7 PM 110 1 AM 90 1 PM 70 50 Temperatura inicial 30 0 7 AM 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ft Distancia a lo largo del muro Trombe FIGURA 5-48 Variación de la temperatura en el muro Trombe discutido en el ejemplo 5-6. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 334 334 MÉTODOS NUMÉRICOS TABLA 5-6 Temperaturas en los nodos de un muro Trombe en diversos momentos Tiempo 0 6 12 18 24 30 36 42 48 h h h h h h h h h (7 (1 (7 (1 (7 (1 (7 (1 (7 AM) PM) PM) AM) AM) PM) PM) AM) AM) Temperaturas nodales, °F Intervalo de tiempo, i T0 T1 T2 T3 T4 T5 0 24 48 72 96 120 144 168 192 70.0 65.3 71.6 73.3 71.2 70.3 75.4 75.8 73.0 62.0 61.7 74.2 75.9 71.9 71.1 81.1 80.7 75.1 54.0 61.5 80.4 77.4 70.9 74.3 89.4 83.5 72.2 46.0 69.7 88.4 76.3 67.7 84.2 98.2 83.0 66.0 38.0 94.1 91.7 71.2 61.7 108.3 101.0 77.4 66.0 30.0 142.0 82.4 61.2 53.0 153.2 89.7 66.2 56.3 La razón de la transferencia de calor del muro Trombe en el interior de la casa durante cada intervalo de tiempo se determina con base en la ley de Newton, mediante la temperatura promedio en la superficie interior del muro (nodo 0), como · Qimuro Trombe  Q imuro Trombe
t  hint A(T0i  Tint)
t  hint A[(T0i  T0i1)/2  Tint]
t Por lo tanto, la cantidad de transferencia de calor durante el primer intervalo de tiempo (i  1), o sea durante el primer periodo de 15 min, es Q1muro Trombe  hint A[(T01  T00)/2  Tint]
t  (1.8 Btu/h · ft2 · °F)(10  25 ft2)[(68.3  70)/2  70°F](0.25 h)  95.6 Btu El signo negativo indica que el aire que está en el interior de la casa transfiere calor hacia el muro, lo cual representa una pérdida de calor. A continuación se determina la transferencia de calor total durante un periodo específico al sumar las cantidades de transferencia para cada intervalo de tiempo, como I Qmuro Trombe 
Q i1 ·i muro Trombe I 
h int A[(T0i  T0i1)/2  Tint]
t (5-55) i1 donde I es el número total de intervalos de tiempo en el periodo especificado. En este caso, I  48 para 12 h, 96 para 24 h, y así sucesivamente. Al seguir el procedimiento que se describe en este ejemplo, con la ayuda de una computadora, se determina que la cantidad de transferencia de calor entre el muro Trombe y el interior de la casa es Qmuro Trombe  –17 048 Btu después de 12 h Qmuro Trombe  –2 483 Btu después de 24 h Qmuro Trombe  5 610 Btu después de 36 h Qmuro Trombe  34 400 Btu después de 48 h (17 048 Btu durante el primer periodo de 12 h) (14 565 Btu durante el segundo periodo de 12 h) (8 093 Btu durante el tercer periodo de 12 h) (28 790 durante el cuarto periodo de 12 h) Por lo tanto, la casa pierde 2 483 Btu a través del muro el primer día, como resultado de la baja temperatura de arranque, pero entrega un total de 36 883 Btu de calor a la casa el segundo día. Se puede demostrar que el muro Trombe entregará incluso más calor a la casa durante el tercer día, ya que arrancará ese día a una temperatura promedio más elevada. http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 335 335 CAPÍTULO 5 Conducción bidimensional de calor en régimen transitorio Considere una región rectangular en la que la conducción de calor es significativa en las direcciones x y y, y considere una profundidad unitaria de
z  1 en la dirección z. Se puede generar calor en el medio con una velocidad de e·(x, y, t), la cual puede variar con el tiempo y la posición, si se supone que la conductividad térmica k del medio es constante. Ahora divida el plano x-y de la región en una malla rectangular de puntos nodales espaciados con una separación
x y
y en las direcciones x y y, respectivamente, y considere un nodo interior general (m, n) cuyas coordenadas son x  m
x y y  n
y, como se muestra en la figura 5-49. Dado que el elemento de volumen centrado en torno del nodo interior general (m, n) comprende conducción de calor desde los cuatro lados (derecho, izquierdo, superior e inferior), y el elemento de volumen es Velemento 
x 
y  1 
x
y, la formulación en diferencias finitas en régimen transitorio para un nodo de ese tipo se puede expresar sobre la base de la ecuación 5-39 como Tm1, n  Tm, n Tm, n1  Tm, n Tm1, n  Tm, n  k
x  k
y
x
y
x i1 Tm, n1  Tm, n  Tmi T m  k
x  e·m, n
x
y  r
x
y cp
y
t k
y (5-56) Cuando se toma una malla cuadrada (
x 
y  l ) y se divide cada término entre k da, después de simplificar, e·m, nl 2 Tmi1  Tmi ——  Tm  1, n  Tm  1, n  Tm, n  1  Tm, n  1  4Tm, n  — t k (5-57) donde, una vez más, a  k/rcp es la difusividad térmica del material y t  a
t/l 2 es el número adimensional de malla de Fourier. Esto también se puede expresar en términos de las temperaturas en los nodos vecinos en la siguiente forma, la cual es fácil de recordar: i1 i e·nodol 2 Tnodo  Tnodo Tizquierda  Tsuperior  Tderecha  Tinferior  4Tnodo  ———  t k (5-58) De nuevo, el primer miembro de esta ecuación es simplemente la formulación en diferencias finitas para el caso de estado estacionario, como era de esperarse. Asimismo, todavía no se ha presentado la formulación explícita o implícita, puesto que no se indicó el intervalo de tiempo en el primer miembro de la ecuación. Ahora se obtiene la formulación explícita en diferencias finitas al expresar el primer miembro en el paso i de tiempo como i1 i e· inodol 2 Tnodo  Tnodo i i i i i  Tsuperior  Tderecha  Tinferior  4Tnodo  ———  Tizquierda t k m, n + 1 n+1 (5-59) Si se expresa el primer miembro en el intervalo de tiempo i  1 en lugar del i, daría la formulación implícita. Esta ecuación se puede resolver explícitai1 mente para la nueva temperatura Tnodo , para dar e· inodol 2 i1 i i i i i  t(Tizquierda )  (1  4t) Tnodo  t ——— (5-60) Tnodo  Tsuperior  Tderecha  Tinferior k para todos los nodos interiores (m, n), donde m  1, 2, 3, . . . , M  1 y n  1, 2, 3, . . . , N  1, en el medio. En el caso de que no aparezca generación de 1 calor y t  4, que es el límite superior del criterio de estabilidad para el método explícito bidimensional (ver la ecuación 5-61), la formulación ex- http://librosysolucionarios.net ∆y Elemento de volumen m – 1, n n e· m, n m, n m + 1, n ∆y m, n – 1 n–1 ∆x y m–1 ∆x m m+1 x FIGURA 5-49 Elemento de volumen de un nodo interior general (m, n) para conducción bidimensional en régimen transitorio, en coordenadas rectangulares. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 336 336 MÉTODOS NUMÉRICOS Intervalo de tiempo i: i1 plícita en diferencias finitas para un nodo interior general se reduce a Tnodo  i i i i (Tizquierda  Tsuperior  Tderecha  Tinferior)/4, la cual tiene la interpretación de que la temperatura de un nodo interior en el nuevo intervalo de tiempo es simplemente el promedio de las temperaturas de sus nodos vecinos en el intervalo de tiempo anterior (figura 5-50). El criterio de estabilidad que requiere que el coeficiente de Tmi en la expresión Tmi1 sea mayor o igual a cero para todos los nodos es igualmente válido para los casos bidimensionales o tridimensionales y limita en forma severa el tamaño del intervalo de tiempo
t que se puede usar con el método explícito. En el caso de transferencia de calor bidimensional en régimen transitorio, en coordenadas rectangulares, el coeficiente de Tmi en la expresión Tmi1 es 1  4t y, por lo tanto, en este caso el criterio de estabilidad para todos los nodos interiores es 1  4t  0, o bien, 30°C Tmi 20°C 40°C Nodo m 10°C Intervalo de tiempo i + 1: Tmi+ 1 25°C t Nodo m a
t l2 EJEMPLO 5-7 Convección h, T 1 2 3 ∆ x = ∆y = l ∆y · 9 qR 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 ∆y x ∆x ∆x 90°C ∆x ∆x ∆x FIGURA 5-51 Red esquemática y nodal para el ejemplo 5-7. (nodos interiores, transferencia de calor bidimensional en coordenadas rectangulares) (5-61) donde
x 
y  l. Cuando se conoce el material del medio y, por lo tanto, su difusividad térmica a y se especifica el valor del tamaño l de la malla, se puede determinar el valor más grande admisible del intervalo de tiempo
t a partir de la relación antes dada. Una vez más, los nodos frontera en los que interviene convección y/o radiación son más restrictivos que los interiores y, por consiguiente, requieren intervalos de tiempo más pequeños. Por lo tanto, debe usarse el nodo frontera más restrictivo en la determinación del intervalo de tiempo máximo admisible
t cuando se resuelve un problema en régimen transitorio con el método explícito. La aplicación de la ecuación 5-60 a cada uno de los (M  1)  (N  1) nodos interiores da (M  1)  (N  1) ecuaciones. Las ecuaciones restantes se obtienen mediante la aplicación del método de los nodos frontera a menos, por supuesto, que las temperaturas de frontera se especifiquen como constantes. El desarrollo de la formulación en diferencias finitas en régimen transitorio de los nodos frontera en los problemas bidimensionales (o tridimensionales) es semejante al que se realiza en el caso unidimensional discutido al principio. De nuevo la región se divide entre los nodos mediante la formación de elementos de volumen en torno a estos últimos y se escribe un balance de energía para cada nodo frontera con base en la ecuación 5-39. Esto se ilustra en el ejemplo 5-7. FIGURA 5-50 En el caso de que no haya generación de calor y t  14, la temperatura de un nodo interior en el nuevo intervalo de tiempo es el promedio de las temperaturas de sus nodos vecinos en el intervalo de tiempo anterior. y 1 4 Conducción de calor bidimensional en régimen transitorio en barras en L Considere la transferencia de calor bidimensional en régimen transitorio en un cuerpo sólido con forma de L que se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de 90°C y cuya sección transversal se da en la figura 5-51. La conductividad y difusividad térmicas del cuerpo son k  15 W/m · °C y a  3.2  106 m2/s, respectivamente, y se genera calor en el cuerpo con una razón de e·  2  106 W/m3. La superficie izquierda del cuerpo está aislada y la inferior se mantiene a una temperatura uniforme de 90°C en todo momento. En el instante t  0, toda la superficie superior se sujeta a convección hacia el aire ambiente que está a T  25°C, con un coeficiente de convección de h  80 W/m2 · °C, y la derecha se sujeta a flujo de calor con una velocidad uniforme de q· R  5 000 W/m2. La red nodal del problema consta de 15 nodos igualmente espaciados con
x 
y  1.2 cm, como se muestra en la figura. Cinco de los nodos están en la superficie inferior y, por lo tanto, se conocen sus temperaturas. Mediante el método explícito, determine la temperatura en la esquina superior (nodo 3) del cuerpo después de 1, 3, 5, 10 y 60 min. http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 337 337 CAPÍTULO 5 SOLUCIÓN Éste es un problema de transferencia de calor bidimensional en régimen transitorio en coordenadas rectangulares, y se resolvió en el ejemplo 5-3 para el caso de estado estacionario. Por lo tanto, la solución de este problema en régimen transitorio debe aproximarse a la solución para el caso de estado estacionario cuando el tiempo es suficientemente grande. Se dice que la conductividad térmica y la razón de generación de calor son constantes. Se observa que todos los nodos son frontera excepto el 5, que es interior. Por lo tanto, se tendrá que apoyar en los balances de energía con el fin de obtener las ecuaciones en diferencias finitas. La región se divide entre los nodos de manera equitativa, como se muestra en la figura, y las ecuaciones explícitas en diferencias finitas se determinan con base en el balance de energía para el caso en régimen transitorio, expresadas como h, T Tmi1  Tmi · Q i  e· Velemento  rVelemento cp
t Todos los lados
1 Las cantidades h, T∞, e· y q· R no cambian con el tiempo y, por lo tanto, no se necesita usar el superíndice i para ellas. Asimismo, las expresiones de los balances de energía se simplifican mediante las definiciones de la difusividad térmica, a  k/rcp, y del número adimensional de malla de Fourier, t  a
t/l 2 , donde
x 
y  l. a) Nodo 1. [Nodo frontera sujeto a convección y aislamiento, figura 5-52a)]
y T2  T1
x
x T4  T1 (T  T1i)  k k 2  2 2
x
y i1 i
x
x
x
x
x
y
x
y T1  T1 r c  e·1 2 2 2 2 p
t i h i i i Al dividir entre k/4 y simplificar, e·1l 2 T1i1  T1i 2hl — — (T  T1i)  2(T2i  T1i)  2(T4i  T1i)  — t k k en la cual se puede despejar T1i1 para dar  T1i1  1  4t  2t ge·1l 2 hl hl T1i  2t T2i  T4i  T  — — — k k 2k    b) Nodo 2. [Nodo frontera sujeto a convección, figura 5-52b)] T5i  T2i
y T3i  T2i  k
x 2
x
y
y T1i  T2i
y T2i1  T2i
y  r
x c k  e·2
x 2 2 2 p
x
t h
x(T  T2i)  k Al dividir entre k/2, simplificar y despejar T2i1 da  T2i1  1  4t  2t ge·2l 2 hl 2hl — — T2i  t T1i  T3i  2T5i  T  — k k k    http://librosysolucionarios.net h, T 2 1 3 5 4 a) Nodo 1 2 b) Nodo 2 FIGURA 5-52 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 1 y 2. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 338 338 MÉTODOS NUMÉRICOS 2 1 Espejo h, T (5) 3 c) Nodo 3. [Nodo frontera sujeto a convección sobre los dos lados, figura 5-53a)] 4 5
x
y
x T6  T3  (T  T3i)  k 2 2 2
y  h, T h  k 10 6 i i1 i
y T2i  T3i
x
y
x
y T3  T3  e·3 r cp 2 2 2 2 2
x
t Al dividir entre k/4, simplificar y despejar T3i1 da b) Nodo 4 a) Nodo 3 i FIGURA 5-53 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 3 y 4.  T3i1  1  4t  4t ge··3l 22 hl hl — — T3i  2t T2i  T6i  2 T  — k k 2k    d) Nodo 4. [Sobre la frontera aislada y se puede tratar como un nodo interior, figura 5-53b)]. Dado que T10  90°C, la ecuación 5-60 da ge··4l 22 — — T4i1  (1  4t) T4i  t T1i  2T5i  90  — k  2 4 3 5 6 h, T 7 6  e) Nodo 5. [Nodo interior, figura 5-54a)]. Dado que T11  90°C, la ecuación 5-60 da ge·5l 22 — — T5i1  (1  4t) T5i  t T2i  T4i  T6i  90  — k 5  11  12 f) Nodo 6. [Nodo frontera sujeto a convección sobre los dos lados, figura 5-54b)] a) Nodo 5 b) Nodo 6 FIGURA 5-54 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 5 y 6.
y 
x2  2 (T h    T6i)  k T5i  T6i T12i  T6i
y T7i  T6i  k
x  k
y 2
x
x
y i i 3
x
y T6i1  T6i 3
x
y
x T3  T6  e·6 r cp 2 4 4
t
y Al dividir entre 3k/4, simplificar y despejar T6i1 da  T6i1  1  4t  4t   hl Ti 3k 3 ·  ge·6l 2 hl t — — 2T3i  4T5i  2T7i  4  90  4 T  3 — k 3 k  g) Nodo 7. [Nodo frontera sujeto a convección, figura 5-55a)] h, T h, T 6 7 8 9 q· R 13 a) Nodo 7 h
x(T  T7i)  k 15 T13i  T7i
y T8i  T7i  k
x 2
x
y i i
y T6  T7
y T7i1  T7i
y  r
x c k  e·7
x 2 2 2 p
x
t b) Nodo 9 FIGURA 5-55 Esquemas para los balances de energía sobre los elementos de volumen de los nodos 7 y 9. Al dividir entre k/2, simplificar y despejar T7i1 da  T7i1  1  4t  2t ge··7l 22 2hl hl — — T  — T7i  t T6i  T8i  2  90  k k k   http://librosysolucionarios.net  Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 339 339 CAPÍTULO 5 h) Nodo 8. Este nodo es idéntico al 7 y su formulación en diferencias finitas se puede obtener de la correspondiente al nodo 7, al desplazar los números de nodos en 1 (es decir, reemplazar el subíndice m por el m + 1). Esto da  T8i1  1  4t  2t ge·8l 22 2hl hl — — T8i  t T7i  T9i  2  90  T  — k k k    i) Nodo 9. [Nodo frontera sujeto a convección sobre los dos lados, figura 5-55b)]
y
x T15  T9
x (T  T9i)  q·R k 2  2 2
y i1 i k
y T8i  T9i
x
y
x
y T9  T9 r cp   e·9 2 2 2 2 2
x
t i h i Al dividir entre k/4, simplificar y despejar T9i1 da  T9i1  1  4t  2t ge·9l 22 q·R l hl hl — — T9i  2t T8i  90   T  — k k k 2k    Con esto se completa la formulación en diferencias finitas del problema. En seguida se necesita determinar el límite superior del intervalo de tiempo
t a partir del criterio de estabilidad, el cual requiere que el coeficiente de Tmi en la expresión Tmi1 (el coeficiente primario) sea mayor o igual a cero para todos los nodos. En este caso, el coeficiente primario más pequeño en las nueve ecuacioi1 nes es el de T3i en la expresión Tm y, por lo tanto, el criterio de estabilidad pa3 ra este problema se puede expresar como 1  4t  4t hl k 0 → t 1 4(1  hl/k) →
t l2 4 (1  hl/k) puesto que t  a
t /l 2. Al sustituir las cantidades dadas, se determina que el valor máximo admisible del paso de tiempo es
t (0.012 m)2 ————————————————————————————————————  10.6 s 6 2 4(3.2  10 m /s)[1  (80 W/m2 · °C)(0.012 m)/(15 W/m · °C)] Por lo tanto, para resolver este problema, se puede usar cualquier paso de tiempo menor que 10.6 s. Por conveniencia, se elige que el intervalo de tiempo sea
t  10 s. Entonces el número discreto de Fourier queda t a
t (3.2  106 m2/s)(10 s)   0.222 l2 (0.012 m)2 (para
t  10 s) Al sustituir este valor de t y el de las otras cantidades dadas, se simplifican las ecuaciones desarrolladas en diferencias finitas en régimen transitorio, para dar T1i1  0.0836T1i  0.444(T2i  T4i  11.2) T2i1  0.0836T2i  0.222(T1i  T3i  2T5i  22.4) T3i1  0.0552T3i  0.444(T2i  T6i  12.8) T4i1  0.112T4i  0.222(T1i  2T5i  109.2) T5i1  0.112T1i  0.222(T2i  T4i  T6i  109.2) http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/22/11 4:35 PM Page 340 340 MÉTODOS NUMÉRICOS T6i 1
0.0931T6i  0.074(2T3i  4T5i 2T7i  424) T7i 1
0.0836T7i  0.222(T6i  T8i  202.4) T8i 1
0.0836T8i  0.222(T7i  T9i  202.4) i 1 T9i 1
0.0836Tnodo  0.444(T8i  105.2) Mediante la condición inicial específica como la solución en el instante t
0 (para i
0), al barrer a través de estas nueve ecuaciones se obtiene la solución a intervalos de 10 s. Se determina que la solución en el nodo de la esquina superior (nodo 3) es 100.2, 105.9, 106.5, 106.6 y 106.6°C, en los instantes 1, 3, 5, 10 y 60 min, respectivamente. Note que las tres últimas soluciones son prácticamente idénticas a la solución para el caso de estado estacionario obtenida en el ejemplo 5-3. Esto indica que se alcanzan las condiciones estacionarias en el medio después de transcurridos más o menos 5 min. Software SS-T-CONDUCT interactivo El software SS-T-CONDUCT (Conducción de calor en estado estacionario y en régimen transitorio) fue desarrollado por Ghajar y colaboradores. El software es fácil de usar y puede usarse para resolver muchos problemas de conducción unidimensional y bidimensional de calor con generación de energía en las geometrías rectangulares analizadas en este capítulo. Para los problemas en régimen transitorio se puede utilizar el método de solución explícita e implícita. El software tiene las siguientes capacidades: a) Control total y fácil de los parámetros numéricos clave (nodos y cuadrículas), propiedades materiales y condiciones y parámetros de frontera. b) El efecto de los cambios paramétricos en la distribución de la temperatura puede verse al instante. c) Se puede explorar el efecto del criterio de estabilidad (número de Fourier) para el método explícito. d) Diferentes formas de ver los resultados en la pantalla o de manera impresa: • • • • Los resultados de temperatura se presentan de forma tabular. La temperatura se grafica con el tiempo y la distancia para problemas unidimensionales en estado estacionario y en régimen transitorio. Las temperaturas sombreadas indican problemas bidimensionales en estado estacionario. La animación de gráficas de temperatura con sombras representa problemas bidimensionales de régimen transitorio. e) Hay una librería de propiedades materiales (conductividad térmica y difusividad térmica) integrada en el software. Con esta función, se puede explorar el efecto de la propiedad material sobre las temperaturas nodales. La versión actual del software tiene las siguientes limitaciones: a) Pueden modelarse geometrías rectangulares, expresadas en coordenadas cartesianas. b) Espaciamiento uniforme de cuadrícula. c) Condiciones de frontera para temperatura constante, flujo de calor constante y transferencia de calor por convección constante. El uso del software para resolver problemas de conducción de calor se ilustra en los ejemplos 5-8 y 5-9. http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 341 341 CAPÍTULO 5 EJEMPLO 5-8 Aplicación del software SS-T-CONDUCT a un problema de conducción unidimensional de calor en régimen transitorio Resuelva el ejemplo 5-5 mediante el software SS-T-CONDUCT. SOLUCIÓN En la ventana Input de SS-T-CONDUCT, seleccione la opción 1-Dimensional Transient Problem (detalle a) en la figura 5-56). Ingrese los parámetros del problema en los recuadros apropiados de texto en el recuadro Parámetros del problema [detalle b) en la figura 5-56]. Para calcular las temperaturas nodales mediante el método explícito, seleccione el botón esquema explícito de radio [detalle c) en la figura 5-56]. Las condiciones de frontera para este problema se especifican en el recuadro Condiciones de frontera [detalle d) en la figura 5-56]. Se ingresa la condición de frontera izquierda en el recuadro Left BC y la condición de frontera derecha se ingresa en el recuadro Right BC [detalles e) y f) en la figura 5-56]. Una vez que se han ingresado todos los datos necesarios, los resultados se calculan haciendo un clic sobre el botón Calculate Temperature [detalles c) y f) en la figura 5-56]. Los resultados calculados se presentan en la ventana SS-T-CONDUCT Tabular Output (figura 5-57). Las temperaturas nodales se tabulan según lo que indica el detalle a) de la figura 5-57. Como se esperaba, las temperaturas nodales coinciden con los valores listados en la tabla 5-3. Para calcular las temperaturas nodales mediante el método implícito, se debe elegir el botón implicit scheme radio, como el de la figura 5-56. Una vez más, los resultados de la temperatura frente al tiempo en diferentes ubicaciones son comparables con los valores listados en la tabla 5-4. Esto puede verse al observar la temperatura frente al tiempo para la ubicación x = 0.04 m mostrada en la figura 5-57b). El resultado gráfico se obtuvo al seleccionar la opción Graphical Output y la ubicación x deseada de lista desplegable [detalle a) en la figura 5-57b)]. a) b) d) e) f) c) g) FIGURA 5-56 Ventana Input de SS-T-CONDUCT. http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 342 342 MÉTODOS NUMÉRICOS a) a) Ventana Tabular Output para el método explícito a) b) Ventana Graphical Output para el método implícito FIGURA 5-57 Ventanas Tabular y Graphical Output de SS-T-CONDUCT. http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 343 343 CAPÍTULO 5 Discusión La limitación en el tiempo en el intervalo de tiempo del método explícito se puede explorar tan sólo al cambiar el intervalo de tiempo a) de la figura 5-56. El criterio de estabilidad para este problema requiere un intervalo de tiempo máximo de 15.5 segundos. Al usar intervalos mucho mayores que 15.5 segundos, la solución para las temperaturas nodales oscilará y a veces será negativa (lo cual viola la segunda ley de la termodinámica). También se puede ver que no importa qué intervalo de tiempo se utilice para el método implícito, la solución sigue siendo estable. EJEMPLO 5-9 Aplicación del software SS-T-CONDUCT a un problema de conducción bidimensional de calor en régimen transitorio Considere una barra sólida larga (k  28 W/m · K y a  12  106 m2/s) de sección transversal que tiene una temperatura uniforme inicial de 20ºC (figura 5-58). La sección transversal de la barra mide 20 cm  20 cm, y el calor se genera en ella de manera uniforme a una razón de e·  8  105 W/m3. Los cuatro lados de la barra están sujetos a pérdida de calor al aire ambiental a T  30°C con un coeficiente de transferencia de calor de h  45 W/m2 · K. Mediante el método explicito en diferencias finitas y con un tamaño de malla de
x 
y  10 cm, determine la temperatura al centro de la barra a) después de 20 minutos y b) después de haberse establecido las condiciones estacionarias. SOLUCIÓN Una larga barra sólida está sujeta a la transferencia de calor en régimen transitorio. Se debe determinar la temperatura del centro de la barra después de 20 minutos y de que las condiciones estacionarias se han establecido. Suposiciones 1. La transferencia de calor por el cuerpo está en régimen transitorio y es bidimensional. 2. Las propiedades térmicas son constantes. 3. El calor se genera de manera uniforme en el cuerpo. Propiedades La conductividad y la difusividad son k  28 W/m · °C y  12  106 m2/s. Análisis El espaciamiento nodal es
x 
y  l  0.1 m. Las ecuaciones explícitas en diferencias infinitas se determinan con base en el equilibrio de energía para el régimen transitorio expresado como · Qi e·Velemento rVelemento cp Tmi Todos los lados 1 Tmi t Hay simetría con respecto a las líneas verticales, horizontales y diagonales que atraviesan el centro. Por lo tanto, T1  T3  T7  T9 y T2  T4  T6  T8, y T1, T2 y T5 son las únicas tres temperaturas nodales conocidas. Por lo tanto, las ecuaciones de diferencia finita para los nodos 1, 2 y 5 son las únicas ecuaciones necesarias para determinar todas las temperaturas nodales. Mediante la metodología similar analizada en el ejemplo 5-7, las ecuaciones de diferencia finita son Nodo 1: T1i 1 1 4t 4t hl b T1i k Nodo 2: T2i 1 1 4t 2t hl b T2i k Nodo 5: T5i 1 (1 4t)T5i t 4T2i 2t 2T2i t 2T1i # e 5l 2 b k 2 2T5i # e 1l 2 b 2k # e 2l 2 hl 2 T b k k hl T k A continuación es necesario determinar el límite superior del intervalo de tiempo Dt a partir del criterio de estabilidad, para lo cual es preciso que el coefi- http://librosysolucionarios.net h, T 1 2 3 e· h, T 4 5 10 cm 10 cm 7 8 6 h, T 9 h, T FIGURA 5-58 Red esquemática y nodal para el ejemplo 5-9. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 344 344 MÉTODOS NUMÉRICOS ciente de Tmi en la expresión Tmi1 (el coeficiente primario) sea mayor que o igual a cero para todos los nodos. El coeficiente primario mínimo en estas nueve ecuaciones es el coeficiente de T1i en la expresión T1i1, por lo tanto, el criterio de estabilidad para este problema puede expresarse como 1 4t 4t hl k 0 → t 1 4(1 hl/k) → t l2 4 (1 hl/k) dado que t  a
t/l 2. Al sustituir las cantidades dadas, el valor máximo permitido del intervalo de tiempo es t (0.1 m)2 4(12 10 6 (45 W/m2 . K)(0.1 m)/(28 W/m . °C)] m2/s)[1 179 s Por lo tanto, para resolver este problema se puede utilizar cualquier intervalo de tiempo menor que 179 s. Por comodidad, fijaremos el intervalo de tiempo en
t = 60 s. Entonces el número de Fourier para la malla se convierte en (12 t t l2 10 6 m2/s)(60 s) (0.1 m)2 0.072 (para t 60 s) Mediante la condición inicial especificada como la solución en el tiempo t  0 (para i  0), pasando por las 3 ecuaciones en diferencias infinitas, obtendremos la solución como un intervalo de tiempo de 60 s. La solución en el nodo central (nodo 5) también puede determinarse mediante el software SS-T-CONDUCT. En la ventana Input de SS-T-CONDUCT, seleccione la tecla 2-Dimensional Transient Problem [detalle a) de la figura 5.59]. Ingrese b) d) c) e) FIGURA 5-59 La ventana Input SS-T-CONDUCT para el problema bidimensional en estado transitorio. http://librosysolucionarios.net a) Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 345 345 CAPÍTULO 5 b) a) a) Ventana Tabular Output del SS-T-CONDUCT b) Ventana Graphical Output FIGURA 5-60 Ventanas Tabular y Graphical Output. http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/22/11 4:36 PM Page 346 346 MÉTODOS NUMÉRICOS FIGURA 5-61 Lista de propiedades materiales del SS-T-CONDUCT. los parámetros en los recuadros de texto pertinentes en el recuadro de Parámetros de problemas [detalle b) en la figura 5-59]. Para calcular las temperaturas nodales mediante el método explícito, se selecciona el botón Esquematizar radio [detalle c) en la figura 5-59]. Las condiciones de frontera para este problema se especifican en el recuadro Condiciones de frontera [detalle d) en la figura 5-59]. Una vez que todos los datos necesarios se han ingresado, los resultados se comparan con el botón Calcular temperatura [detalle e) en la figura 5-59]. Los resultados calculados se presentan en la ventana Tabular Output de SST-CONDUCT(figura 5-60a). Las temperaturas nodales se tabulan como se indica en el detalle a) en la figura 5-60a). La temperatura al centro de la barra tras 20 minutos (o 1 200 s) es 379.31ºC. La solución para diferentes tiempos puede verse al seleccionar de la lista desplegable [detalle b) en la figura 5-60a)]. Al hacerlo, la temperatura al centro de la barra, tras haberse establecido condiciones estacionarias, se determina como de 1 023ºC, después de aproximadamente 6 horas. Para ver el resultado gráfico, seleccione la opción Graphical Output y se desplegará el perfil de la temperatura para este problema [figura 5-60b)]. El usuario puede ver el perfil de la temperatura en diferentes tiempos mediante la barra deslizable. Discusión El software SS-T-CONDUCT también tiene una función integrada para que el usuario elija las propiedades (conductividad térmica y difusividad térmica) de diferentes materiales o explorar la influencia de las propiedades de diferentes materiales sobre las temperaturas nodales. Para seleccionar un material, haga clic sobre el menú Properties en la barra de menú en la ventana Input del SS-T-CONDUCT (figura 5-59) para ver la lista disponible de materiales (figura 5-61). TEMA DE INTERÉS ESPECIAL* Control del error numérico Una comparación de los resultados numéricos con los resultados exactos para la distribución de temperatura en un cilindro mostraría que los primeros son aproximados y pueden estar o no suficientemente cercanos a los valores de la solución exacta (verdadera). La diferencia entre una solución numérica y la exacta es el error en el que se incurre en la solución numérica y tiene como origen principal dos fuentes: *Se puede pasar por alto esta unidad, sin pérdida de continuidad. http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 347 347 CAPÍTULO 5 • El error de discretización (también llamado error por truncamiento o de formulación), en el cual se incurre por las aproximaciones usadas en la formulación del método numérico. • El error por redondeo, en el cual se incurre por el uso de la computadora de un número limitado de cifras significativas y que redondea (o recorta) en forma continua los dígitos que no puede conservar. T(xm, t) Error local Solución real T(x0, t) T3 En seguida se discuten los dos tipos de errores. T2 T0 Error de discretización El error de discretización en el que se incurre en los métodos numéricos se debe al reemplazo de las derivadas por diferencias en cada paso, o bien, la distribución real de temperatura entre dos nodos adyacentes por un segmento rectilíneo. Considere la variación de la solución de un problema de transferencia de calor en régimen transitorio con el tiempo en un punto nodal especificado. Tanto la solución numérica como la real (exacta) coinciden al principio del primer intervalo de tiempo, como es de esperarse, pero la primera se desvía de la segunda a medida que se incrementa el tiempo t. La diferencia entre las dos soluciones en t 
t se debe sólo a la aproximación en el primer intervalo de tiempo y se llama error local de discretización. Se podría esperar que la situación empeore con cada intervalo, puesto que en el segundo intervalo se usa el resultado erróneo del primer paso como punto de partida y se añade un segundo error local de discretización en la parte superior de él, como se muestra en la figura 5-62. La acumulación de los errores locales de discretización continúa al aumentar el número de escalones de tiempo y, en cualquier intervalo, el error total de discretización se llama error global o acumulado de discretización. Note que en el primer intervalo de tiempo los errores local y global de discretización son idénticos. Por lo común este último aumenta al incrementarse el número de intervalos, pero puede ocurrir lo opuesto cuando la función solución cambia con frecuencia de dirección, lo que da lugar a errores locales de discretización de signos opuestos, los cuales tienden a cancelarse entre sí. Para tener una idea acerca de la magnitud del error local de discretización, considere el desarrollo de las series de Taylor de la temperatura en un punto nodal m especificado en el instante ti, T(xm, ti 
t)  T(xm, ti) 
t T(xm, ti) 1 2 2T(xm, ti) 
t ··· t 2 t2 (5-62) La formulación en diferencias finitas de la derivada con respecto al tiempo en el mismo punto nodal se expresa como T(xm, ti) T(xm, ti 
t)  T(xm, ti) Tmi1  Tmi   t
t
t (5-63) o bien, T(xm, ti 
t)  T(xm, ti) 
t T(xm, ti) t Error global (5-64) lo cual se asemeja al desarrollo de las series de Taylor terminado después de los dos primeros términos. Por lo tanto, los términos tercero y posteriores en el desarrollo de las series de Taylor representan el error que se comete en la aproximación en diferencias finitas. Para un lapso de tiempo suficientemente pequeño, estos términos decaen con rapidez, a medida que se incrementa el orden de la derivada, y sus contribuciones se vuelven cada vez más y más pequeñas. El primer término despreciado en el desarrollo de las series de Taylor es proporcional a
t2 y, por lo tanto, el error local http://librosysolucionarios.net Solución numérica T1 Intervalo Intervalo Intervalo 1 2 3 t0 t1 t2 t3 Tiempo FIGURA 5-62 Errores local y global de discretización del método de las diferencias finitas en el tercer intervalo de tiempo, en un punto nodal especificado. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 348 348 MÉTODOS NUMÉRICOS de discretización de esta aproximación, el cual es en el que se incurre en cada paso, también es proporcional a
t2. El error local de discretización es el error de formulación asociado con un solo paso y da una idea acerca de la precisión del método usado. Sin embargo, los resultados solución que se obtienen en cada paso, excepto en el primero, contienen el error acumulado hasta ese punto y el error local por sí solo no tiene mucho significado. Lo que en realidad se necesita conocer es el error global de discretización. En el peor de los casos, el error acumulado de discretización después de I intervalos de tiempo, durante un periodo t0 es i(
t)2  (t0/
t)(
t)2  t0
t, el cual es proporcional a
t. Por lo tanto, se concluye que el error local de discretización es proporcional al cuadrado del intervalo
t2, mientras que el error global de discretización es proporcional al
t. Por lo tanto, entre menor sea el tamaño de la malla (o el tamaño del intervalo de tiempo en los problemas en régimen transitorio) más pequeño es el error y, por consiguiente, más exacta es la aproximación. Por ejemplo, reducir a la mitad el tamaño del intervalo reducirá el error global de discretización a la mitad. Con base en la discusión anterior, debe quedar claro que se puede minimizar el error de discretización al decrecer el tamaño del intervalo, en el espacio o en el tiempo, tanto como sea posible. El error de discretización tiende a cero conforme las diferencias, como
x y
t, tienden a diferenciales, como dx y dt. Error por redondeo Dado: a  7777777 b  7777776 c  0.4444432 Hallar: Dabc Eacb Solución: D  7777777  7777776  0.4444432  1  0.4444432  1.444443 (Resultado correcto) E  7777777  0.4444432  7777776  7777777  7777776  1.000000 (Con un error de 30.8%) FIGURA 5-63 Operación aritmética simple realizada con una computadora en precisión sencilla mediante siete dígitos significativos, que conduce a un error de 30.8% cuando se invierte el orden de la operación. Si se tuviera una computadora que pudiera conservar un número infinito de dígitos para todos los números, la diferencia entre la solución exacta y la aproximada (numérica) en cualquier punto se debería por completo al error de discretización. Pero se sabe que toda computadora (o calculadora) representa números mediante un número finito de cifras significativas. El valor predeterminado del número de dígitos significativos para muchas computadoras es de 7, lo cual se conoce como precisión sencilla. Pero el usuario puede realizar los cálculos mediante 15 dígitos significativos para los números si lo desea, lo cual se menciona como precisión doble. Por supuesto, realizar cálculos con precisión doble requerirá más memoria de computadora y un tiempo más largo de ejecución. En el modo de precisión sencilla con siete dígitos significativos una computadora registra el número 44 444.666666 como 44 444.67 o 44 444.66, dependiendo del método de redondeo que use. En el primer caso se dice que los dígitos en exceso se redondearon hasta el entero más cercano, mientras que en el segundo caso se dice que se recortaron. Por lo tanto, los números a  44 444.12345 y b  44 444.12032, son equivalentes para una computadora que realiza cálculos mediante siete dígitos significativos. Una computadora de ese tipo daría a – b  0, en lugar del valor verdadero de 0.00313. El error debido a la conservación de un número limitado de dígitos durante los cálculos se llama error por redondeo. Éste tiene naturaleza aleatoria y no existe una manera fácil y sistemática de predecirlo. Depende del número de cálculos, del método de redondeo, del tipo de computadora y hasta de la secuencia de los cálculos. En álgebra, el lector aprendió que a  b  c  a  c  b, lo cual parece bastante razonable. Pero esto no se cumple necesariamente para los cálculos realizados con una computadora, como se demuestra en la figura 5-63. Note que el cambio en la secuencia de los cálculos condujo a un error de 30.8% en sólo dos operaciones. Si se considera que cualquier problema significativo comprende miles o incluso millones de esas operaciones realizadas en secuencia, se observa que el error acumulado por http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 349 349 CAPÍTULO 5 redondeo tiene el potencial de causar errores graves sin dar signos de advertencia. Los programadores experimentados están muy conscientes de este peligro y estructuran sus programas para impedir cualquier acumulación de error por redondeo. Por ejemplo, es mucho más seguro multiplicar un número por 10 que sumarlo 10 veces. Asimismo, es mucho más seguro empezar cualquier proceso de adición con los números más pequeños y continuar con los más grandes. Esta regla es, en particular, importante al evaluar series con un gran número de términos con signos alternantes. El error por redondeo es proporcional al número de cálculos realizados durante la solución. En el método de las diferencias finitas, el número de cálculos se incrementa conforme decrece el tamaño de la malla o el del paso. Por ejemplo, al reducir el tamaño de la malla o del intervalo de tiempo a la mitad, se duplicará el número de cálculos y, por consiguiente, el error acumulado por redondeo. Control del error en los métodos numéricos El error total en cualquier resultado obtenido por un método numérico es la suma del error de discretización, el cual decrece al disminuir el tamaño del intervalo, y el error por redondeo, el cual se incrementa cuando decrece el tamaño del intervalo, como se muestra en la figura 5-64. Por lo tanto, decrecer demasiado el tamaño del intervalo con el fin de obtener resultados más precisos, en realidad puede resultar contraproducente y dar resultados menos exactos debido a un incremento más rápido en el error por redondeo. Se debe ser cuidadoso para no permitir que este último tipo de error se salga de control, evitando un gran número de cálculos con números muy pequeños. En la práctica no se conocerá la solución exacta del problema y, por consiguiente, no es capaz de determinar la magnitud del error en el que se incurre en el método numérico. Saber que el error global de discretización es proporcional al tamaño del intervalo tampoco es de mucha ayuda, ya que no se cuenta con una manera fácil de determinar el valor de la constante de proporcionalidad. Además, el error global de discretización no tiene significado por sí solo sin una estimación verdadera del error por redondeo. Por lo tanto, se recomiendan los siguientes procedimientos prácticos para valorar la precisión de los resultados obtenidos por un método numérico. • Inicie los cálculos con un tamaño razonable de malla
x (y del intervalo de tiempo
t para los problemas en régimen transitorio) basado en la experiencia. A continuación, repita los cálculos mediante un tamaño de malla de
x/2. Si los resultados obtenidos al reducir el tamaño de malla a la mitad no difieren de manera significativa de los resultados obtenidos con el tamaño completo de malla, se concluye que el error de discretización está en un nivel aceptable. Pero si la diferencia es mayor que la aceptada, se tienen que repetir los cálculos mediante un tamaño de malla de
x/4, o incluso menor en las regiones de gradientes altos de temperatura. De esta manera, se continúa hasta que la reducción del tamaño de malla a la mitad no cause cambios significativos en los resultados, lo cual indica que el error de discretización se ha reducido a un nivel aceptable. • Repita los cálculos mediante la precisión doble, al mantener el tamaño de malla (y el tamaño del intervalo de tiempo en los problemas en régimen transitorio). Si los cambios no son significativos, se concluye que el error por redondeo no es un problema. Pero si los cambios son demasiado grandes como para aceptarse, entonces se puede intentar reducir el número total de cálculos, al http://librosysolucionarios.net Error Error total Error de discretización Error por redondeo Tamaño óptimo del intervalo Tamaño del intervalo FIGURA 5-64 A medida que disminuye el tamaño de la malla o el intervalo de tiempo, el error de discretización decrece pero el debido al redondeo aumenta. Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:38 PM Page 350 350 MÉTODOS NUMÉRICOS incrementar el tamaño de la malla o cambiar el orden de los cálculos. Pero si el tamaño mayor de malla produce errores inaceptables de discretización, entonces se puede hallar un término medio razonable. Siempre se debe tener presente que los resultados obtenidos por cualquier método numérico pueden no reflejar algunos puntos conflictivos en ciertos problemas que requieren una consideración especial, como los puntos o zonas calientes de los gradientes altos de temperatura. Los errores que parecen razonables en forma global pueden ser considerables en ciertos lugares. La anterior es otra razón para repetir siempre los cálculos por lo menos dos veces con diferentes tamaños de malla, antes de aceptarlos como la solución del problema. La mayor parte de los paquetes comerciales de software cuentan con rutinas integradas que varían el tamaño de la malla según sea necesario para obtener soluciones muy precisas. Pero es una buena práctica de ingeniería estar conscientes de cualesquiera trampas potenciales de los métodos numéricos y examinar los resultados obtenidos con un ojo crítico. RESUMEN e·nodol 2 Tizquierda  Tsuperior  Tderecha  Tinferior  4Tnodo  ———  0 k formulación y, de este modo, los nodos sobre las fronteras aisladas se pueden tratar como interiores mediante imágenes especulares. La formulación en diferencias finitas en el nodo 0, en la frontera izquierda de una pared plana, para conducción de calor unidimensional en estado estacionario, se puede expresar como T1  T0 · Q superficie izquierda  kA  e·0(A
x/2)  0
x donde A
x/2 es el volumen del elemento de volumen, e·0 es la razón de la generación de calor por unidad de volumen, en x  0, y A es el área de transferencia de calor. La forma del primer término depende de la condición de frontera en x  0 (convección, radiación, flujo específico de calor, etcétera). La formulación en diferencias finitas de los problemas de conducción de calor suelen conducir a un sistema de N ecuaciones algebraicas en N temperaturas nodales desconocidas que necesitan resolverse en forma simultánea. La formulación en diferencias finitas de los problemas de conducción de calor en régimen transitorio se basa en un balance de energía en el que también se toma en cuenta la variación del contenido de energía del elemento de volumen durante un intervalo de tiempo
t. Los términos transferencia de calor y generación de calor se expresan en el instante de tiempo anterior i, en el método explícito, y en el nuevo instante de tiempo i + 1, en el método implícito. Para un nodo general m, las formulaciones en diferencias finitas se expresan como Método explícito: Tmi1  Tmi · Q i  e· imVelemento  rVelemento cp
t Todos los lados Método implícito: Tmi1  Tmi · Q i1  e· mi1Velemento  rVelemento cp
t Todos los lados donde
x es el espaciamiento nodal para la pared plana y
x 
y  l es el espaciamiento nodal para el caso bidimensional. Las fronteras aisladas se pueden concebir como espejos en la donde Tmi y Tmi1 son las temperaturas en el nodo m en los instantes ti  i
t y ti1  (i  1)
t, respectivamente, y Tmi1  Tmi representa el cambio de temperatura del nodo durante el inter- Los métodos analíticos de solución están limitados a problemas muy simplificados en configuraciones geométricas simples y con frecuencia resulta necesario usar un método numérico con el fin de resolver los problemas del mundo real con configuraciones complicadas o condiciones térmicas no uniformes. El método numérico de las diferencias finitas se basa en el reemplazo de las derivadas por diferencias, y se obtiene la formulación en diferencias finitas de un problema de transferencia de calor mediante la selección de un número suficiente de puntos en la región, conocidos como puntos nodales o nodos, y al escribir balances de energía en los elementos de volumen localizados en torno a los nodos. Para la transferencia de calor en estado estacionario el balance de energía se puede expresar en general como · 0 Q  e·V
elemento Todos los lados sea el problema unidimensional, bidimensional o tridimensional. Por conveniencia en la formulación, siempre se supone que toda la transferencia de calor es hacia el elemento de volumen, desde todas las superficies hacia el nodo a considerar, excepto para el flujo específico de calor cuya dirección ya está determinada. Para algunas configuraciones geométricas la formulación en diferencias finitas para un nodo interior general en condiciones estacionarias se expresa como sigue: Conducción unidimensional en estado estacionario, en una pared plana: e·m Tm1  2Tm  Tm1  — 0 2 k (
x) Conducción bidimensional en estado estacionario, en coordenadas rectangulares

http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:39 PM Page 351 351 CAPÍTULO 5 valo de tiempo
t entre los instantes de tiempo i e i  1. Las formulaciones explícita e implícita que se dan aquí son bastante generales y se pueden usar en cualquier sistema de coordenadas, sin importar que la transferencia de calor sea unidimensional, bidimensional o tridimensional. La formulación explícita de un nodo interior general para transferencia de calor unidimensional y bidimensional en coordenadas rectangulares se puede expresar como Caso unidimensional: e·im
x2 i i — — — — — — — — Tmi1  t(Tm1  Tm1 )  (1  2t) Tmi  t — k Caso bidimensional: i i i1 i i Tnodo  t(Tizquierda  Tsuperior  Tderecha  Tinferior ) ·e i l 2 nodo i —  (1  4t) Tnodo  t —— k a
t es el número adimensional discreto de Fourier
x2 y a  k/rcp es la difusividad térmica del medio. El método implícito es inherentemente estable y se puede usar cualquier valor de
t como el intervalo de tiempo. El valor más grande del intervalo de tiempo
t en el método explícito queda limitado por el criterio de estabilidad, expresado como: los coeficientes de todas las Tmi en las expresiones Tmi1 (llamados coeficientes primarios) deben ser mayores o iguales a cero para todos los nodos m. El valor máximo de
t se determina mediante la aplicación del criterio de estabilidad a la ecuación con el coeficiente primario más pequeño, dado que es el más restrictivo. Para los problemas con temperaturas o flujos de calor específicos en todas las fronteras, el criterio de estabilidad se puede expresar como t 12, para los problemas unidimensionales, y t 1 , para los bidimensionales, en coordenadas rectangulares. 4 donde t  BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS SUGERIDAS 1. D. A. Anderson, J. C. Tannehill y R. H. Pletcher. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Nueva York: Hemisphere, 1984. 7. W. J. Minkowycz, E. M. Sparrow, G. E. Schneider y R. H. Pletcher. Handbook of Numerical Heat Transfer, Nueva York: John Wiley & Sons, 1988. 2. C. A. Brebbia. The Boundary Element Method for Engineers, Nueva York: Halsted Press, 1978. 8. G. E. Myers. Analytical Methods in Conduction Heat Transfer, Nueva York: McGraw-Hill, 1971. 3. G. E. Forsythe y W. R. Wasow. Finite Difference Methods for Partial Differential Equations, Nueva York: John Wiley & Sons, 1960. 9. D. H. Norrie y G. DeVries. An Introduction to Finite Element Analysis, Nueva York: Academic Press, 1978. 4. B. Gebhart. Heat Conduction and Mass Diffusion, Nueva York: McGraw-Hill, 1993. 5. K. H. Huebner y E. A. Thornton. The Finite Element Method for Engineers, 2a. ed., Nueva York: John Wiley & Sons, 1982. 10. M. N. Özişik. Finite Difference Methods in Heat Transfer, Boca Ratón, FL: CRC Press, 1994. 11. S. V. Patankhar. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Nueva York: Hemisphere, 1980. 12. T. M. Shih. Numerical Heat Transfer, Nueva York: Hemisphere, 1984. 6. Y. Jaluria y K. E. Torrance. Computational Heat Transfer, Nueva York: Hemisphere, 1986. PROBLEMAS* ¿Por qué los métodos numéricos? 5-1C Con la difusión de poderosas computadoras y paquetes de software, ¿cree que llegará el momento en que la búsqueda de soluciones analíticas para los problemas de ingeniería desaparecerá del programa de estudios de los ingenieros? 5-2C ¿Cuáles son las limitaciones de los métodos analíticos de resolución? *Los problemas designados por una “C” son preguntas de concepto y se alienta a los estudiantes a darles respuesta. Los designados por una “I” están en unidades inglesas y los usuarios del SI pueden ignorarlos. Los problemas con un ícono de CD-EES, , se resuelven mediante el EES, y las soluciones completas, junto con estudios paramétricos, se incluyen en el CD que acompaña a este texto. Los problemas con un ícono de computadora-EES, , son de naturaleza detallada y se pretende que se resuelvan con una computadora, de preferencia usando el software EES que acompaña a este texto. 5-3C Considere un problema de conducción de calor que se puede resolver analíticamente, al resolver la ecuación diferencial que rige y mediante las condiciones de frontera, o numéricamente por medio de un paquete de software del que disponga en su computadora. ¿Qué procedimiento utilizaría para resolver dicho problema? Explique su razonamiento. 5-4C ¿Cuál es la base del método de balance de energía? ¿En qué difiere con respecto al método formal de las diferencias finitas? Para una red nodal específica, ¿estos dos métodos conducirán al mismo conjunto o a conjuntos diferentes de ecuaciones? 5-5C ¿En qué difieren los métodos numéricos de resolución con respecto a los analíticos? ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas de los métodos numéricos y los analíticos? 5-6C Dos ingenieros deben resolver un problema real de transferencia de calor en una fábrica. El ingeniero A establece las suposiciones simplificadoras necesarias y lo resuelve analí- http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:39 PM Page 352 352 MÉTODOS NUMÉRICOS ticamente, mientras que el ingeniero B lo resuelve numéricamente mediante un poderoso paquete de software. El ingeniero A afirma que ha resuelto el problema con exactitud y, por consiguiente, sus resultados son muy buenos, en tanto que el B afirma que utilizó un modelo más realista y, como consecuencia, los suyos son mejores. Para resolver la disputa, se le pide al lector que resuelva el problema en forma experimental en un laboratorio. ¿A cuál de los dos ingenieros piensa el lector que los experimentos le darán la razón? Explique. Formulación en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales 5-7C Defina estos términos usados en la formulación en diferencias finitas: nodo, malla (red nodal), elemento de volumen, espaciamiento nodal y ecuación en diferencias. 5-8 La formulación en diferencias finitas de la conducción bidimensional de calor en estado estacionario en un medio con generación de calor y conductividad térmica constantes está dada por Tm1, n  2Tm, n  Tm1, n
x2  Tm, n1  2Tm, n  Tm, n1
y2 e·m, n — — 0 — k en coordenadas rectangulares. Modifique esta ecuación para el caso tridimensional. 5-9 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1, 2, 3 y 4, con un espaciamiento nodal uniforme de
x. Mediante la forma de diferencias finitas de la primera derivada (no el enfoque del balance de energía), obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de flujo de calor uniforme q·0 en la frontera izquierda (nodo 0) y convección en la frontera derecha (nodo 4), con un coeficiente de convección de h y una temperatura ambiente de T. 5-10 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1, 2, 3, 4 y 5, con un espaciamiento nodal uniforme de
x. Mediante la forma de diferencias finitas de la primera derivada (no el enfoque del balance de energía), obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de aislamiento en la frontera izquierAislamiento Talred da (nodo 0) y radiación en la frontera derecha (nodo 5), con una emisividad de  y una temperatura de los alrededores de Talred. Conducción unidimensional de calor en estado estacionario 5-11C Explique cómo se obtiene la forma de diferencias finitas de un problema de conducción de calor por el método del balance de energía. 5-12C ¿Cuáles son los pasos básicos que intervienen en la resolución de un sistema de ecuaciones con el método Gauss-Seidel? 5-13C Considere un medio en el que la formulación en diferencias finitas de un nodo interior general se da en su forma más simple como e·m Tm1  2Tm  Tm1 —  0 k
x2 a) ¿La transferencia de calor en este medio es de estado estacionario o en régimen transitorio? b) ¿La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional? c) ¿Se tiene generación de calor en el medio? d) ¿El espaciamiento nodal es constante o variable? e) ¿La conductividad térmica del medio es constante o variable? 5-14C ¿Cómo se maneja una frontera aislada en la formulación en diferencias finitas de un problema? ¿De qué manera difiere una recta de simetría con respecto a una frontera aislada en ese tipo de formulación? 5-15C ¿Cómo se puede tratar un nodo sobre una frontera aislada como uno interior en la formulación en diferencias finitas de una pared plana? Explique. 5-16C En la formulación del balance de energía del método de las diferencias finitas se recomienda que se suponga que toda la transferencia de calor en las fronteras del elemento de volumen sea hacia este último, incluso para la conducción de calor en estado estacionario. ¿Es una recomendación válida aun cuando parece violar el principio de conservación de la energía? 5-17 Una aleta circular de sección transversal uniforme, con un diámetro de 10 mm y longitud de 50 mm, se adhiere a una pared con temperatura superficial de 350ºC. La aleta es de un material con una conductividad térmica de 240 W/m · °C y está expuesta a una condición de aire ambiental de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 250 W/m2 · °C. Suponga que la transferencia de calor unidimensional se produce a lo largo de la aleta y que el espaciamiento nodal es uniforme de 10 mm, a) mediante el método de balance de energía, obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para determinar las temperaturas nodales, b) determine las temperaturas · e(x) Radiación h, T Tb 0 k ε ∆x 1 FIGURA P5-10 2 3 4 5 D Ab = Ac x=0 FIGURA P5-17 http://librosysolucionarios.net L Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:39 PM Page 353 353 CAPÍTULO 5 nodales a lo largo de la aleta al resolver esas ecuaciones y compare los resultados con la solución analítica y c) calcule la transferencia de calor y compare el resultado con la solución analítica. 5-18 Una aleta cilíndrica de aluminio con punta adiabática está unida a una pared con una temperatura superficial de 300°C y está expuesta al aire ambiental de 15°C, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 150 W/m2 · °C. La aleta tiene una sección transversal uniforme con un diámetro de 1 cm, longitud de 5 cm y conductividad térmica de 237 W/m · °C. Asuma una transferencia de calor unidimensional a lo largo de la aleta y un espaciamiento nodal uniforme de 10 mm, a) obtenga las ecuaciones de diferencias finitas para usarlas con el método iterativo de Gauss-Seidel y b) determine las temperaturas nodales mediante el método iterativo Gauss-Seidel y compare los resultados con la solución analítica. Respuestas: 273.7°C, 253.9°C, 240.1°C, 232.0°C, 229.3°C 5-19 Considere la conducción de calor en estado estacionario en una pared plana cuya superficie izquierda (nodo 0) se mantiene a 40°C en tanto que la derecha (nodo 8) se sujeta a un flujo de calor de 3 000 W/m2. Exprese la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera 0 y 8 para el caso en el que no hay generación de calor. Asimismo, obtenga la formulación en diferencias finitas para la razón de la transferencia de calor en la frontera izquierda. 5-22 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana compuesta que consta de dos capas A y B en contacto perfecto en la interfase. En la pared no se tiene generación de calor. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1 (en la interfase) y 2, con un espaciamiento nodal uniforme de
x. Mediante el enfoque del balance de energía obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para el caso de aislamiento en la frontera izquierda (nodo 0) y radiación en la frontera derecha (nodo 2), con una emisividad de  y temperatura de los alrededores de Talred. 5-23 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una aleta de pasador de diámetro constante D, con conductividad térmica constante. La aleta pierde calor por convección hacia el aire ambiente que está a T, con un coeficiente de convección de h, y por radiación hacia las superficies circundantes que están a una temperatura promedio de Talred. La red nodal de la aleta consta de los nodos 0 (en la base), 1 (a la mitad) y 2 (en la punta), con un espaciamiento nodal uniforme de
x. Mediante el enfoque del balance de energía, obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema con el fin de determinar T1 y T2 para el caso de temperatura específica en la base de la aleta y transferencia de calor despreciable en la punta de la misma. Todas las temperaturas están en °C. Talred 40°C T0 W 3 000 —–2 m No hay generación de calor ∆x 0 1 Radiación ε 0 ∆x 2 3 4 5 6 7 8 1 h, T Convección D 2 FIGURA P5-23 FIGURA P5-19 5-20 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1, 2, 3 y 4, con un espaciamiento nodal uniforme de
x. Mediante el enfoque del balance de energía, obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de flujo de calor uniforme q·0 en la frontera izquierda (nodo 0) y convección en la frontera derecha (nodo 4), con un coeficiente de convección de h y una temperatura ambiente de T. 5-21 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1, 2, 3, 4 y 5, con un espaciamiento nodal uniforme de
x. Mediante el enfoque del balance de energía, obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de aislamiento en la frontera izquierda (nodo 0) y radiación en la frontera derecha (nodo 4), con una emisividad de  y una temperatura de los alrededores de Talred. 5-24 Considere una placa grande de uranio con un espesor de 5 cm y conductividad térmica k  34 W/m · °C, en la cual se genera calor de manera uniforme con una razón constante de e·  6  105 W/m3. Uno de los lados de la placa está aislado mientras que el otro está sujeto a convección hacia un medio ambiente a 30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h  60 W/m2 · °C. Si considera seis nodos igualmente espaciados, con un espaciamiento nodal de 1 cm, a) obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema y b) determine las temperaturas nodales en condiciones estacionarias mediante la solución de esas ecuaciones. 5-25 Vuelva a considerar el problema 5-24 mediante el software EES (o cualquier otro semejante). 5-26 Considere una aleta de aleación de aluminio (k  180 W/m · °C) de sección transversal triangular, cuya longitud es L  5 cm, el espesor de la base es b  1 cm y el ancho w en la dirección perpendicular al plano del papel es muy grande. La base de la aleta se mantiene a una temperatura de T0  180°C. La aleta pierde calor por convección hacia el aire ambiente a T  25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h  25 W/m2 · °C, y por radiación hacia las superficies circundantes http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:39 PM Page 354 354 MÉTODOS NUMÉRICOS que están a una temperatura promedio de Talred  290 K. Mediante el método de las diferencias finitas, con seis nodos igualmente espaciados a lo largo de la aleta en la dirección x, determine a) las temperaturas en los nodos y b) la razón de la transferencia de calor desde la aleta para w  1 m. Tome la emisividad de la superficie de la aleta como 0.9 y suponga la existencia de transferencia de calor unidimensional en estado estacionario en ella. Respuestas: a) 177.0°C, 174.1°C, 171.2°C, 168.4°C, 165.5°C; b) 537 W se mide la temperatura de la superficie exterior de la placa que resulta ser de 85°C. Si descarta cualquier pérdida de calor a través de la parte superior de la plancha y se toma el espaciamiento nodal de 0.2 cm, a) obtenga la formulación en diferencias finitas para los nodos y b) determine la temperatura de la superficie interior de la placa al resolver esas ecuaciones. Respuesta: b) 100°C Aislamiento Calentador de resistencia, 800 W 85°C Placa base Aleta triangular w h, T ∆x = 0.2 cm 0 1 2 3 x T0 b 0 b/2 tan θ = —– L θ 1 2 3 ∆x 4 160 cm2 FIGURA P5-30 5 x L FIGURA P5-26 5-27 Vuelva a considerar el problema 5-26. Mediante el software EES (o cualquier otro semejante), investigue el efecto de la temperatura de la base de la aleta sobre la temperatura en la punta de esta última y sobre la razón de la transferencia de calor desde la propia aleta. Suponga que la temperatura de la base de la aleta varía de 100°C hasta 200°C. Trace gráficas de la temperatura en la punta de la aleta y de la velocidad de la transferencia de calor en función de la temperatura en la base de la aleta y discuta los resultados. 5-28 Considere una pared plana grande de espesor L  0.4 m, conductividad térmica k  2.3 W/m · °C y área superficial A  20 m2. El lado izquierdo de la pared se mantiene a una temperatura constante de 95°C, mientras que el derecho pierde calor por convección hacia el aire circundante a T  15°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h  18 W/m2 · °C. Si se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario y se toma el espaciamiento nodal de 10 cm, a) obtenga la formulación en diferencias finitas para todos los nodos, b) determine las temperaturas nodales al resolver esas ecuaciones, y c) evalúe la razón de la transferencia de calor a través de la pared. 5-29 Repita el problema 5-28 con la ayuda del software SS-T-CONDUCT (u otro). 5-30 Considere la placa base de una plancha doméstica de 800 W que tiene un espesor de L  0.6 cm, área de la base de A  160 cm2 y conductividad térmica de k  20 W/m · °C. La superficie interior de la placa base está sujeta a un flujo de calor uniforme generado por los calentadores internos de resistencia. Cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación, 5-31 Considere una pared plana grande de espesor L  0.3 m, conductividad térmica k  2.5 W/m · °C y área superficial A  12 m2. El lado izquierdo de la pared está sujeto a flujo de calor de q·0  350 W/m2 al mismo tiempo que se mide la temperatura en esa superficie, la cual resulta ser T0  60°C. Si se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario y se toma el espaciamiento nodal de 6 cm, a) obtenga la formulación en diferencias finitas para los seis nodos, y b) determine la temperatura de la otra superficie de la pared al resolver esas ecuaciones. 5-32I Una placa grande de acero que tiene un espesor de L  5 in, conductividad térmica de k  7.2 Btu/h · ft · °F y una emisividad de   0.6 está tendida sobre el suelo. La superficie exTcielo Radiación Convección h, T 0 1 2 Placa 3 4 5 ε 1 in 0.6 ft 6 Suelo 7 8 9 10 x FIGURA P5-32I http://librosysolucionarios.net Cengel_05B.qxd 2/14/11 12:39 PM Page 355 355 CAPÍTULO 5 puesta de la placa intercambia calor por convección con el aire ambiente a T  80°F, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h  3.5 Btu/h · ft2 · °F, así como por radiación con el cielo abierto a una temperatura equivalente de este último de Tcielo  510 R. La temperatura del suelo por debajo de una cierta profundidad (es decir, 3 ft) no resulta afectada por las condiciones atmosféricas del exterior y permanece casi constante a 50°F en ese lugar. La conductividad térmica del suelo se puede tomar como ksuelo  0.49 Btu/h · ft · °F y se puede suponer que la placa de acero está en contacto perfecto con el suelo. Si se supone una transferencia de calor unidimensional en estado estacionario y se toman los espaciamientos nodales de 1 in en la placa y de 0.6 ft en el suelo, a) obtenga la formulación en diferencias finitas para los 11 nodos mostrados en la figura P532I, y b) determine las temperaturas de las superficies superior e inferior de la placa al resolver esas ecuaciones. 5-33I Repita el problema 5-32I descartando la transferencia de calor por radiación desde la superficie superior. Respuestas: b) 78.7°F, 78.4°F 5-34 Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana, con generación de calor y conductividad térmica variables. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1 y 2, con un espaciamiento nodal uniforme de
x. Mediante el enfoque del balance de energía obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para el caso de flujo de calor específico q·0 hacia la pared y convección en la frontera izquierda (nodo 0), con un coeficiente de convección de h y temperatura ambiente de T, y radiación en la frontera derecha (nodo 2), con una emisividad de  y temperatura de los alrededores de Talred. hirviendo a 100°C en una cocina a 32°C. La manija de la cuchara tiene una sección transversal de poco más o menos 0.2 cm  1 cm y se extiende 18 cm en el aire desde la superficie libre del agua. La cuchara pierde calor por convección hacia el aire ambiente con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h  13 W/m2 · °C, así como por radiación hacia las superficies circundantes que están a una temperatura promedio de Talred  295 K. Si se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario a lo largo de la cuchara y se toma el espaciamiento nodal como de 3 cm, a) obtenga la formulación en diferencias finitas para todos los nodos, b) determine la temperatura de la punta de la cuchara al resolver esas ecuaciones y c) determine la razón de la transferencia de calor desde las superficies expuestas de la propia cuchara. 5-37 Uno de los lados de una placa vertical de 2 m de alto y 3 m de ancho que está a 80°C se va a enfriar al sujetarle aletas de aluminio (k  237 W/m · °C) de perfil rectangular, en un medio ambiente a 35°C. Las aletas tienen 2 cm de largo y 0.3 cm de espesor, y están separadas 0.4 cm entre sí. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor entre las aletas y el aire circundante, para convección y radiación combinadas, es de 30 W/m2 · °C. Si se supone transferencia de calor unidimensional e