LISTA DE EXERC´ICIOS

LISTA DE EXERCÍCIOS 06 Cálculo I -AHumberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Limites infinitos, limites no infinito, assı́ntotas verticais e horizontais [01] Determine cada um dos limites dados a seguir. 6 , x→5 x − 5 x−1 , (d) lim 2 x→0 x (x + 2) 6 , x→5 x − 5 x−1 (e) lim + 2 , x→−2 x (x + 2) (a) lim+ (b) lim− 1 , x→3 (x − 3)8 ( f ) lim+ ln(x − 5). (c) lim x→5 [02] Encontre as assı́ntotas verticais dos gráficos das funções y = f (x) = x2 x −x−2 e y = g(x) = x2 x . −x+2 [03] Verdadeiro ou falso? Se y = f (x) não está definida em um ponto p, então a reta x = p é uma assı́ntota vertical do gráfico de f . Justifique a sua resposta! [04] Determine cada um dos limites dados a seguir. r4 − r2 + 1 (a) lim 5 , r→+∞ r + r 3 − r  √ (d) lim 9 x2 + x − 3 x , x→+∞ (g) lim x→+∞ √
x− x , [05] Calcule lim x→+∞ (b) lim x→+∞ √ 1 + 4 x2 , 4+x (e) lim cos(x), x→+∞ √ 1− x √ , (c) lim x→+∞ 1 + x √ ( f ) lim x, x→+∞ (h) lim arctg(x2 − x4 ), x→+∞ 2 ( i ) lim e(−x ) . x→+∞ (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7)(x − 8)(x − 9)(x − 10) . (x2 + 1)5 [06] Determine, caso existam, as assı́ntotas verticais e horizontais dos gráficos das funções dadas a seguir. 3x , x−1 x (d) f (x) = √ . x2 − 4 (a) f (x) = 2x , x2 + 4 x3 + 1 . (e) f (x) = 2 x +4 (b) f (x) = √ 2 x2 + 1 , 2 x2 − 3 x x . ( f ) f (x) = √ 4 x4 + 1 (c) f (x) = [07] O teorema do confronto continua válido para limites infinitos e no infinito. Use-o para calcular limx→+∞ f (x), sabendo que 4x − 1 4 x2 + 3 x < f (x) < x x2 para todo x > 5. 1 [08] Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 25 l/minuto. Nestas condições, a concentração de sal após t minutos (em gramas por litro) é dada por C(t) = 30 t . 200 + t O que acontece com a concentração de sal quando t → +∞? [09] Diga se cada uma das sentenças a seguir é falsa ou verdadeira, justificando cuidadosamente a sua resposta. (a) Se limx→+∞ f (x) = +∞ e limx→+∞ g(x) = +∞, então limx→+∞ (f (x) − g(x)) = 0. (b) Se limx→+∞ f (x) = +∞ e limx→+∞ g(x) = +∞, então limx→+∞ (f (x)/g(x)) = 1. (c) Se limx→+∞ f (x) = 0, então limx→+∞ (1/f (x)) = +∞. (d) Se limx→+∞ f (x) = 0 e limx→+∞ g(x) = +∞, então limx→+∞ (f (x) · g(x)) = 0. (e) Se limx→+∞ f (x) = 0 e limx→+∞ g(x) = +∞, então limx→+∞ (f (x) · g(x)) = +∞. [10] Verdadeiro ou falso? Se y = f (x) é uma função real cujo domı́nio é D = R − {0}, então a reta x = 0 é uma assı́ntota vertical do gráfico de f . Justifique a sua resposta! 2 Respostas dos Exercı́cios [01] (a) +∞, (b) −∞, (c) +∞, (d) −∞, (e) −∞, ( f ) −∞. [02] As assı́ntotas verticais do gráfico da função f são as retas x = −1 e x = 2. O gráfico da função g não possui assı́ntotas verticais, pois lim g(x) = lim x→p x→p x2 x p = 2 p −p+2 −x+2 não é +∞ e nem −∞. [03] A sentença é falsa. Considere, por exemplo, a função y = f (x) = |x|/x. Note que f não está definida em p = 0, mas a reta x = 0 não é uma assı́ntota vertical do gráfico de f , pois lim+ f (x) = lim+ x→0 x→0 |x| = +1 x e lim− f (x) = lim− x→0 x→0 |x| = −1. x [04] (a) 0, (b) 2, (c) −1, (d) 1/6, (e) não existe (e não é +∞ e nem −∞), ( f ) +∞, (g) +∞, (h) −π/2, ( i ) 0. [05] 1. [06] (a) A assı́ntota vertical do gráfico da função é a reta x = 1 e a assı́ntota horizontal é a reta y = 3. (b) O gráfico da função não possui assı́ntotas verticais, mas ele possui duas assı́ntotas horizontais: y = −2 e y = 2. (c) O gráfico da função possui duas assı́ntotas verticais: x = 0 e x = 3/2. Ele possui apenas uma única assı́ntota horizontal: y = 1. (d) O gráfico da função possui duas assı́ntotas verticais e duas assı́ntotas horizontais: x = −2, x = 2, y = −1 e y = 1. (e) O gráfico da função não possui assı́ntotas verticais e nem assı́ntotas horizontais. ( f ) O gráfico da função não possui assı́ntotas verticais, mas ele possui duas assı́ntotas horizontais: y = −1 e y = 1. 4x − 1 4 x2 + 3 x e as desigualdades = 4 = lim x→+∞ x→+∞ x x2 [07] Como lim 4 x2 + 3 x 4x − 1 < f (x) < x x2 valem para todo x > 5, o teorema do confronto garante que lim x→+∞ f (x) = 4. [08] A concentração de sal se aproxima de L = 30 g/litro por valores menores do que L. [09] (a) A sentença é falsa. Como contra-exemplo, considere f (x) = x + 1 e g(x) = x. Temos que limx→+∞ f (x) = +∞, limx→+∞ g(x) = +∞, mas limx→+∞ (f (x) − g(x)) = 1. (b) A sentença é falsa. Como contra-exemplo, considere f (x) = 2 x e g(x) = x. Temos que limx→+∞ f (x) = +∞, limx→+∞ g(x) = +∞, mas limx→+∞ (f (x)/g(x)) = 2. (c) A sentença é falsa. Como contra-exemplo, considere a função f (x) = −1/x2 . Temos que limx→+∞ f (x) = 0, mas limx→+∞ (1/f (x)) = −∞. (d) A sentença é falsa. Como contra-exemplo, considere f (x) = 1/x2 e g(x) = x2 . Temos que limx→+∞ f (x) = 0, limx→+∞ g(x) = +∞, mas limx→+∞ (f (x) · g(x)) = 1. 3 (e) A sentença é falsa. Como contra-exemplo, considere f (x) = 1/x2 e g(x) = x2 . Temos que limx→+∞ f (x) = 0, limx→+∞ g(x) = +∞, mas limx→+∞ (f (x) · g(x)) = 1. [10] A sentença é falsa! Considere, como contra-exemplo, a função y = f (x) = |x|/x. A reta x = 0 não é uma assı́ntota vertical do gráfico de f , pois limx→0+ f (x) = +1 e limx→0− f (x) = −1. Texto composto em LATEX2e, HJB, 23/03/2014. 4