PROGRAMA DE INGENIER´IA ELÉCTRICA

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA FACULTAD DE INGENIERÍA CIRCUITOS ELÉCTRICOS III PRÁCTICA Nº2: MODELADO E IMPLEMENTACIÓN ANALÓGICA DE SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN 1. Objetivo General 2.1.1. Modelar matemáticamente, simular e implementar plantas analógicas prototipo de primer y segundo orden, utilizando las herramientas y aproximaciones matemáticas para hallar funciones de transferencia con Amplificadores Operacionales (AMOPS), la simulación y evaluación de la respuesta de los modelos con el uso de MATLAB, SIMULINK y su definitiva realización y verificación en forma experimental. 1.1. Objetivos Especı́ficos 1. Establecer la respuesta de un sistema analógico ante estı́mulos de entrada como impulso unitario, escalón unitario y rampa unitaria. Un sistema de control con función de transferencia: G(s) = 8 s+2 (2) De la ecuación (1) se puede derivar que su ganancia es de K = 4 y su τ = 0,5 s, para verificar esto mediante MATLAB se tiene: %Coeficientes %Coeficientes %Construcciòn %Respuesta al num=[8]; den=[1 2]; sys=tf(num,den); step(sys,4); 2. Analizar la importancia de la función de transferencia de un sistema dinámico. numerador denominador función de transferencia escalón unitario 5 4.5 4 3. Identificar las caracterı́sticas de la respuesta transitoria y estacionaria de sistemas de primer y segundo orden. (1.96, 3.92) (1.15, 3.6) 3.5 3 y(t) 4. Modelar y realizar el montaje de plantas prototipo de primer y segundo orden utilizando AMOPS. Respuesta al escalón unitario de un sistema de primer orden con MATLAB. (0.51, 2.51) 2.5 2 1.5 1 2. 2.1. 0.5 Fundamentación Teórica 0 0 0.5 Los sistemas dinámicos analógicos de primer orden tienen la forma: G(s) = K K = τ τs + 1 s+ 1 τ 1 1.5 2 2.5 3 3.5 T iempo (s) Sistemas de primer orden Figura 1: Respuesta del sistema de primer orden ante una entrada escalón unitario (1) Donde K es la ganancia estática del sistema y la constante de tiempo de respuesta del sistema en segundos, equivalente al tiempo transcurrido a la salida del sistema desde cuando se le ha aplicado un estimulo escalón unitario al sistema hasta cuando este alcanza el 63 % de su valor final. Experimentalmente el tiempo de establecimiento del sistema de primer orden ts ∼ = 4τ . 2.1.2. Respuesta al impulso unitario de un sistema de primer orden con MATLAB. num=[8]; den=[1 2]; impulse(num,den); %Coeficientes numerador %Coeficientes denominador %Respuesta al impulso unitario 4 8 7 6 R C y(t) 5 4 3 2 Figura 4: Red circuital RC en paralelo. 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Donde la impedancia equivalente del circuito ZT es el inverso de la admitancia YT : T iempo (s) Figura 2: Respuesta del sistema de primer orden ante una entrada impulso unitario 2.1.3. Respuesta a la rampa unitaria de un sistema de primer orden con MATLAB. %Coeficientes numerador num=[8]; den=[1 2]; %Coeficientes denominador t=0:0.1:4; %Escala de tiempo u=t; %Generación de la rampa lsim(tf(num,den),u,t) %Respuesta a la rampa unitaria YT = YT = ZT = 1 1 1 + = sC + ZC ZR R RCs + 1 R R 1 = YT RCs + 1 (3) Para montar sistemas de primer orden analógico no basta con filtrar sino que es necesario imprimir ganancia por esta razón el circuito activo de primer orden se implementa con AMOPS, como es el caso del circuito de primer orden tı́pico mostrado en la Figura 6 con entrada inversora: R2 16 C (4, 14) 14 R1 12 vi y(t) 10 − vo + 8 6 (4, 4) Figura 5: Sistema de primer orden activo con entrada inversora. 4 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 T iempo (s) Figura 3: Respuesta del sistema de primer orden ante una entrada rampa unitaria 2.1.4. Sı́ntesis de circuitos de sistemas de primer orden analógicos. El siguiente circuito corresponde a una red capacitiva resistiva pasiva en paralelo correspondiente a un sistema de primer orden: 4 Donde la función de transferencia del sistema esta definida por: G(s) = Zf vo (s) =− vi (s) Zi G(s) = R2 1 − R2 Cs+1 = R1 R1 R2 Cs + 1 R Si se iguala la ecuación (4) con la ecuación (1), se tiene: K = − R2 R1 (4) (5) τ = R2 C (6) 3 0.8 1.6 0.6 1.2 0.4 0.6 0.2 vi Ejemplo 2.1 Como ejemplo se diseñara una planta analógica para un sistema de primer orden con las siguientes caracterı́sticas: K = 3 y τ = 0,01s. Lo esencial es primero seleccionar un valor de capacitancia C (preferiblemente no electrolı́tico), y luego a partir de la ecuación (4) encontrar el valor de la resistencia R2 . 2.4 vo Con el fin de excluir el signo negativo de la ganancia del sistema se puede acoplar en cascada una etapa amplificadora inversora con ganancia unitaria. 0 Si se selecciona un C = 100nF, se tiene que: R2 = = 0,01 τ = C 100nF = 20m 40m 100kΩ = G(s) = K 3 = τs + 1 0,01s + 1 (9) R2 100kΩ = 3 3 G(s) 33,33kΩ 2.2. Un valor comercial más cercano es una resistencia de 33kΩ o si se prefiere un potenciómetro de 100kΩ ajustable a ese valor. Finalmente se acopla una red inversora de ganancia unitaria para eliminar el efecto del signo negativo. La simulación del sistema se relaciona a continuación utilizando Matlab y PSIM. 100kΩ 100nF 33kΩ vi − 0 100m 80m La función de transferencia del sistema definitivo es: = K τ s+ (8) R1 60m Figura 7: Simulación del sistema de primer orden de la figura 6. Ahora, a partir de la ecuación (7) se obtiene el valor de la resistencia R1 . R1 0 T iempo (s) (7) R2 1 10kΩ 10kΩ − + vo + Figura 6: Sistema de Primer Orden Activo con K = 3 y τ = 0,01s. Los resultados de la simulación ante la entrada de pulsos periódicos concuerda con el comportamiento teórico establecido, es decir el valor final de la respuesta es de amplitud 3 y en el 63 % del valor final (3*0.63=1.89), se alcanza a los 10ms (30ms). 1 τ = 300 s + 100 Sistemas de segundo orden Los sistemas dinámicos analógicos de segundo orden tienen la forma: G(s) = s2 Kwn2 + 2ξwn s + wn2 (10) Donde K es la ganancia del sistema y ξ el coeficiente o factor de amortiguamiento y wn la frecuencia natural no amortiguada del sistema en rad/s, equivalente al inverso de su tiempo de respuesta. Las raı́ces o polos de un sistema de segundo orden se pueden establecer de la siguiente manera: p −2ξwn ± 4ξ 2 wn2 − 4wn2 s1,2 = 2 (11) p s1,2 = −ξwn ± wn ξ 2 − 1 Pudiendo distinguirse los siguientes casos de acuerdo a la variación de ξ: Caso 1: Si ξ > 1, 2 raı́ces reales distintas (sobreamortiguado). Caso 2: Si ξ = 1, 2 raı́ces reales iguales (lı́mite sobre-sub), sistema crı́ticamente amortiguado. Caso 3: Si 0 < ξ < 1, raı́ces complejas conjugadas (subamortiguado). Caso 4: Si ξ = 0, Respuesta oscilatoria. Sistema crı́ticamente estable. Con raı́ces en eje imaginario. Caso 5: Si ξ < 0, Sistema inestable, raı́ces en el semiplano complejo derecho. Para el caso de sistemas de segundo orden subamortiguados, en donde el factor de amortiguamiento 0 < ξ < 1; se tiene que las raı́ces tiene una parte real y una imaginaria, y estos dos elementos se definen como: p s1,2 = −ξwn ± wn ξ 2 − 1 2.2.1. Respuesta al impulso unitario de un sistema de primer orden con MATLAB. Un sistema de control con función de transferencia: G(s) = 200 s2 + 14s + 100 De la ecuación (12) se puede derivar que su ganancia es de K = 2 y su ξ = 0,7 siendo este un sistema subamortiguado y frecuencia natural del sistema de wn = 10rad/s, para verificar esto mediante MATLAB se tiene: (12) = −σ ± wd Es decir σ = ξwn es el grado de estabilidad relativa que corresponde a la parte real de los polos p del sistema y la frecuencia natural amortiguada wn ξ 2 − 1 es la parte imaginaria de los polos del sistema. La salida del sistema viene dada por la ecuación: ) ( e−ξwn t sen (wd t + φ) y(t) = K ∗ 1 − p 1 − ξ2 (13) φ = arctan t=0:0.01:1.5; Wn=10; K=2; e=0.7; num=[K*(Wnˆ2)]; den=[1 2*e*Wn Wnˆ2]; sys=tf(num,den) y=step(num,den,t); %Envolvente ev1=K*(1+((exp(−e*Wn*t)/(sqrt(1−eˆ2))))); ev2=K*(1−((exp(−e*Wn*t)/(sqrt(1−eˆ2))))); hold on; plot(t,y,t,ev1,t,ev2); ! p 1 − ξ2 ξ Las envolventes de la respuesta del sistema de segundo orden están dados por: ) ( ) ( e−ξwn t e−ξwn t y K ∗ 1− p K ∗ 1+ p 1 − ξ2 1 − ξ2 El tiempo pico tp (Peak Time) es el tiempo en el que se alcanza el primer pico de la respuesta. El Porcentaje de sobrepaso o sobrepico máximo %Mp (Overshoot), es el máximo pico de la respuesta del sistema medido a partir del valor. Dados estos parámetros es posible obtener una equivalencia entre los parámetros frecuenciales y temporales de la respuesta transitoria del sistema tales como el tiempo de retardo td (Delay Time) que es el tiempo requerido por la respuesta alcance la mitad del valor final por primera vez y permite saber que tan lento es el sistema. El tiempo de subida o de crecimiento tr (Rise Time), que es el tiempo requerido por el sistema para subir del 10 % al 90 %, del 5 % al 95 % y del 0 al 100 % según el valor de ξ. El tiempo de establecimiento ts (Setting Time) es el tiempo requerido por la respuesta del sistema para establecerse cerca de un rango porcentual absoluto del valor final (Error en Estado Estacionario). Las ecuaciones dinámicas más comunes se relacionan a continuación:
π − arctan wσd 4,6 tp = wπd ts (1 %) = tr = wd σ (14) 4 ts (2 %) = ts (5 %) = σ3 σ 4 3.5 3 2.5 y(t) s1,2 (0.44, 2.1) 2 (0.263, 1.8) 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 T iempo (s) Figura 8: Respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden. Referencias [1] K. Ogata, Modern Control Engineering, New Jersey: Prentice-Hall, 1998. [2] B.C. Kuo, Sistemas de Control Automático, Prentice-Hall, 1996. [3] A. Bishop R. Modern Control System Analysis and Design Using Matlab, Universidad de Austin Texas, 2005. 1