Persamaan Kuadrat; Materi dan Contoh Soal

Persamaan Kuadrat; Materi dan Contoh Soal Risqi Pratama, S.Si. 30 Nopember 2017 ”Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua.” Notasi umum untuk persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 (1) dengan a, b, dan c ∈ R dan a 6= 0. Contoh soal: Ubahlah setiap persamaan kuadrat di bawah ini ke dalam bentuk umum dan tentukanlah koefisienkoefisiennya serta konstantanya: a 3 2x b 7 x−1 + 5x = 4 − 2x−1 3x =2 Jawab: a 3 2x + 5x = 4 (5x)(2x) 3 = 2x + 2x 2 3+10x =4 2x 3 + 10x2 = 8x 4 Jadi, persamaan umumnya adalah 10x2 − 8x + 3 = 0, dengan a = 10, b = −8 dan c = 3. b 7 2x−1 x−1 − 3x = 2 (7)(3x) (2x−1)(x−1) =2 (x−1)(3x) −  (x−1)(3x)  2 21x − 2x3x−3x+1 =2 2 −3x 3x2 −3x −2x2 + 24x − 1 = 6x2 − 6x Jadi, persamaan umumnya adalah −8x2 + 30x − 1 = 0, dengan a = −8, b = 30 dan c = −1. 1 Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat Bentuk persamaan kuadrat antara lain: 1. Persamaan kuadrat riil jika nilai a, b, c merupakan bilangan riil. 2. Persamaan kuadrat rasional jika nilai a, b, c merupakan bilangan rasional. 3. Persamaan kuadrat tak lengkap jika c = 0. 4. Persamaan kuadrat sejati jika b = 0. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara: 1. Memfaktorkan. Untuk persamaan kuadrat jenis ax2 + bx + c = 0 diperoleh  q ax2 + bx + c = (ax + p) x + a (2) dengan b = p + q dan ac = pq. Atau p dan q adalah bilangan bulat yang jika dikalikan akan menghasilkan perkalian antara (ac) dan jika dijumlahkan akan menghasilkan koefisien b. Contoh soal: Dengan memfaktorkan, tentukan himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat di bawah ini: a x2 − 5x − 14 = 0 b 2x2 + 9x + 7 = 0 Jawab: a x2 − 5x − 14 = 0 x2 − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2) dengan p = −7 dan q = 2 karena b = −7 + 2 = −5 dan ac = (−7)(2) = −14. Pembuat 0 (nol) adalah x − 7 = 0 dan x + 2 = 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {7, −2}. b 2x2 + 9x + 7 = 0 2x2 + 9x + 7 = (2x + 7)(x + 1) dengan p = 7 dan q = 2 karena b = 7 + 2 = 9 dan ac = (7)(2) = 14. Pembuat 0 (nol) adalah 2x + 7 = 0 dan x + 1 = 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {− 72 , −1}. 2 2. Menyempurnakan kuadrat. Bentuk umumnya adalah (x ± a)2 = b (3) Membuat persamaan ax2 + bx + c = 0 sedemikian ruma menjadi bentuk tersebut, sehingga √ x ± a = ± b. Ingat hubungan berikut: (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 (4) (x − a)2 = x2 − 2ax + a2 (5) Contoh soal: Dengan melengkapkan kuadrat, tentukanlah himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat di bawah ini: a x2 − 6x + 2 = 0 b 2x2 − 5x − 4 = 0 Jawab: a x2 − 6x + 2 = 0 x2 − (2)(3)x = −2 x2 − (2)(3)x + 9 = −2 + 9 (x − 3)2 = 7 √ x=3± 7 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 + √ 7, 3 − √ 7}. b 2x2 − 5x − 4 = 0 x2 − 52 x = 2
x2 − 2 45 x = 2
25 =2+ x2 − 2 45 x + 16
2 x − 45 = 57 q 16 x = 54 ± 57 16 25 16 √ √ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 5+4 57 , { 5−4 57 }. 3. Rumus abc. Untuk persamaan ax2 + bx + c = 0, rumusnya adalah √ −b ± b2 − 4ac x12 = 2a (6) Contoh soal: Dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc), tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini: 3 a x2 − 4x − 1 = 0 b 2x2 − 5x − 6 = 0 Jawab: a x2 − 4x −√1 = 0, dengan a = 1, b = −4 dan c = −1 maka √ √ 4± (−4)2 −4(1)(−1) 4± 20 = 2 ± = x12 = 5 2 2(1) √ √ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2 + 5, 2 − 5} b 2x2 − 5x√ − 6 = 0, dengan a = 2, b = −5 dan c = −6 maka x12 = 5± (−5)2 −4(2)(−6) 2(2) = √ 5± 73 4 √ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 5+4 73 , √ 5− 73 } 4 Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus abc, maka jenis-jenis akar-akar tersebut akan bergantung pada nilai b2 − 4ac. Oleh karena itu, b2 − 4ac disebut sebagai diskriminan (D) atau pembeda. Jadi D = b2 − 4ac (7) Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat: a Jika D > 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda; b Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar; c Jika D < 0, maka persamaan kuadratnya tidak mempunyai akar riil (akarnya imajiner); d Jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional yang berlainan. Contoh soal: Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut, tanpa terlebih dahulu menentukan akarakarnya. a 2x2 + 3x − 14 = 0 b 2x2 + 3x + 4 = 0 Jawab: 4 a 2x2 + 3x − 14 = 0, dengan a = 2, b = 3 dan c = −14 maka D = 32 − 4(2)(−14) = 121. Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadratnya mempunyai 2 akar riil yang berbeda. b 2x2 + 3x + 4 = 0, dengan a = 2, b = 3 dan c = 4 maka D = 32 − 4(2)(4) = −23. Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadratnya tidak mempunyai akar riil. Penjumlahan dan Perkalian Akar-Akar Persamaan Kuadrat dan Cara Menyusunnya Akar-akar persamaan kuadrat disebut dengan x1 dan x2 , untuk persamaan umum ax2 +bx+c = 0, penjumlahan dan perkalian akar-akarnya bernilai x1 + x2 = − b a x1 x2 = c a (8) Persamaan kuadratnya dapat disusun dari penjumlahan akar-akar dan perkaliannya sebagai berikut x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 (9) Jika masing-masing akarnya diketahui, maka persamaan kuadratnya dapat disusun dari (x − x1 )(x − x2 ) = 0 (10) Contoh soal: 1. Diketahui x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 −3x+5 = 0, tentukan nilai dari: a x1 + x2 b x1 x2 c x21 + x22 Jawab: Diketahui a = 1, b = −3 dan c = 5 a x1 + x2 = − (−3) 1 =3 b x1 x2 = 5 1 =5 c x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 32 − 2(5) = −1 2. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 − 2x + (k − 3) = 0 adalah 20, maka tentukan nilai k. 5 Diketahui: a = 1, b = −2 dan c = (k − 3) x1 + x2 = − (−2) 1 =2 x1 x2 = (k−3) 1 x21 = 20 + x22 =k−3 Jawab: x21 + x22 = 20 (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = 20 22 − 2(k − 3) = 20 2k − 6 = −16 k = −5 Jadi, nilai k yang digunakan untuk melengkapi persamaan agar x21 + x22 = 20 adalah -5. 3. Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya: a -2 dan 3 √ √ b 5 dan − 5 Jawab: a -2 dan 3 (x + 2)(x − 3) = 0 x2 − 3x + 2x − 6 = 0 x2 − x − 6 = 0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah x2 − x − 6 = 0. √ √ b 5 dan − 5 √ √ (x − 5)(x + 5) = 0 x2 − 5 = 0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah x2 − 5 = 0. 4. Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus penjumlahan dan perkalian akar yang akarakarnya 3 dan − 12 . Diketahui: x1 + x2 = 3 − 12 = 52
x1 x2 = 3 − 21 = − 23 Jawab: x2 − 5 2

x + − 23 = 0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah 2x2 − 5x − 3 = 0 6 Pustaka [1] Gumilar, H. S. (2008). ”Matematika 1 Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan : untuk kelas X SMK/MAK”. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. [2] Sanjoyo, B. A., dkk. (2008). ”Matematika Bisnis dan Manajemen untuk SMK Jilid 1”. Jakarta : Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional. [3] Toali. (2008). ”Matematika X : SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi”. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. 7