ECUACIONES DE FLUIDOS

MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (1) TEMA 3 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS MECÁNICA DE FLUIDOS INDICE TEMA 3 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS 3.1 Métodos Integral y Diferencial 3.2 Ley de Conservación de la Masa 3.2.1 Ecuación Integral de la Continuidad 3.2.2 Ecuación Diferencial de la Continuidad 3.3 Segunda Ley de Newton 3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento 2.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento 3.4 1a Ley de la Termodinámica 3.4.1 Ecuación Integral de la Energía 3.4.2 Ecuación de Bernoulli 3.5 Regímenes de Flujo 3.5.1 Introducción 3.5.2 El Régimen Laminar 3.5.3 El Régimen Turbulento CURSO 2007-2008 (2) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (3) 3.1 METODOS INTEGRAL Y DIFERENCIAL MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (4) 3.1 Método Diferencial y Método Integral Las Ecuaciones Fundamentales son la formulación matemática de las Leyes Fundamentales las cuales rigen el movimiento de un fluido. ƒ Conservación de la Masa ƒ 2ª Ley de Newton ƒ 1ª Ley de la Termodinámica Es posible escribir cada ley: ƒ Para una partícula que en un instante está ocupando una posición en el V.C. (Método Diferencial) Incógnitas: Magnitudes de las partículas (Flujo incompresible v(x,t) y p(x,t). ƒ Para el sistema que en un instante está ocupando el V.C. (Método Integral) Incógnitas: Magnitudes Integrales (ie: Caudales,Flujos,Fuerzas y Magnitudes Promedio). MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (5) LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (6) 3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.1 Ec. Integral de la Continuidad (I) Ley de Conservación de la Masa: La rapidez del cambio en el tiempo de la masa de un sistema es nula. Por tanto su masa permanece constante. DmΠ =0 Dt & s2 m Si el sistema que se considera es aquel que en el instante t está ocupando el volumen de control: & e1 m DmΠ dmVC & SC = +m Dt dt Uniendo las dos expresiones se obtiene Ecuación Integral de la Continuidad & s1 m dmVC & + mSC = 0 dt dmVC & s − ∑m & e =0 + ∑m dt s e Ecuación Integral de la Continuidad la MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (7) 3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.1 Ec. Integral de la Continuidad (II) Utilizando la densidad promedio: dmVC + ∑ (ρˆ ⋅q )s − ∑ (ρˆ ⋅q )e = 0 dt s e En el caso de flujo incompresible (ρ=cte) entonces mVC=ρ·VVC la ecuación queda como: dVVC + ∑qs − ∑qe = 0 dt s e dVVC dt + ∑ (v ⋅ A )s − ∑ (v ⋅ A )e = 0 s e MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (8) 3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.1 Ec. Integral de la Continuidad (III) Caso particular: ‰ Volumen de Control Fijo e Indeformable VVC≠f(t). Flujo compresible estacionario ρ=ρ(x) o incompresible ρ=cte. (mVC≠F(t) y dmVC/dt=0). ∑m& s − ∑m& e = 0 s e Para flujo incompresible (ρ=cte): ∑qs − ∑qe = 0 s e En el caso de un VC con una entrada y una salida: ƒ Flujo compresible estacionario ρ=ρ(x) & s =m & e =m & m ƒ Para flujo incompresible (ρ=cte): qs = qe = q (v ⋅ A )s = (v ⋅ A )e = q &e m &s m MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (9) 3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.2 Ec. Dif. de la Continuidad (I) Ley de Conservación de la Masa: La rapidez del cambio en el tiempo de la masa de un sistema es nula. Por tanto su masa permanece constante. D(δm ) δm = ρ ⋅ δ V & s2 m & e1 m Dt =0 D( ρ ⋅δV ) Dρ D(δV ) = ⋅δV + ρ ⋅ =0 Dt Dt Dt Introduciendo la Velocidad de Deformación Volumétrica: & s1 m D( ρ ⋅δV ) Dρ = ⋅δV + ρ ⋅V& ⋅δV Dt Dt Considerando una partícula que en el instante t está ocupando una posición x en el V.C. r=r(x), v=v(x,t) y ρ(x,t) ∂ρ(x,t ) + ∇ρ(x,t )⋅ v (x,t )+ ρ(x,t )⋅div [v (x,t )]= 0 ∂t MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (10) 3.2 Ley de Conservación de la Masa-3.2.2 Ec. Dif. de la Continuidad (II) Para flujo incompresible (ρ=cte): div (v ) = 0 Un caso particular muy interesante es el flujo incompresible, completamente desarrollado y en régimen laminar en conductos (conductos rectos de gran longitud) de cualquier tipo de sección. u = u (y,z ) ; v = w ≡ 0 Se satisface la ecuación de continuidad ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂y { ∂x { ∂z { =0 =0 =0 MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (11) 3.3 SEGUNDA LEY DE NEWTON MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (12) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (I) 2ª Ley de Newton: La rapidez del cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento de un sistema es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema. DMπ = ∑Fext Dt & s2 m & e1 m Si el sistema que se considera es aquel que en el instante t está ocupando el volumen de control: DMπ dMVC & = + MSC Dt dt Uniendo las dos expresiones se obtiene la Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento. & s1 m dMVC & + MSC = ∑Fext dt d (M x )VC dt ( ) + M& x SC = ∑ (Fx )ext MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (13) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (II) dMVC & + MSC = ∑Fext dt & s2 m & e1 m Utilizando la cantidad de movimiento por unidad de masa promedio en las superficies de entrada y salida se puede escribir: & = (ρˆ ⋅q ⋅ vˆ ) − (ρˆ ⋅q ⋅ vˆ ) M SC ∑ s ∑ e s e La resultante se puede descomponer en la resultante de las fuerzas de volumen y las de superficie: ∑Fext = FV + (FE→VC )SUP dMVC + ∑ ( ρ ⋅q ⋅ vˆ )s − ∑ ( ρ ⋅q ⋅ vˆ )e = FV + (FE →VC )SUP dt s e & s1 m Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (14) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (III) dMVC + ∑ ( ρˆ ⋅q ⋅ vˆ )s − ∑ ( ρˆ ⋅q ⋅ vˆ )e = FV + (FE →VC )SUP dt s e Separando las fuerzas de superficie: (FE→VC )SUP = ∑(FE→VC )e + ∑(FE→VC )s + + (FE →VC )W + (FE →VC )Wm e s En las entradas y en las salidas las fuerzas de superficie se descomponen en suma de una debida a las presiones y otra debida a la viscosidad. (FE→VC )SUP = ∑(Fp + Fµ )e + ∑(Fp + Fµ )s + (FE→VC )W + (FE→VC )W e s m Despreciando las fuerzas viscosas en las entradas y las salidas y considerando superficies planas: ∑(Fp +Fµ )e + ∑(Fp + Fµ )s ≅ ∑(Fp )e + ∑(Fp )s = −∑(p ⋅ A⋅n)e − ∑(p ⋅ A⋅n)s e s e s e s MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (15) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (IV) Sustituyendo en la ecuación se obtendrá: dMVC + ∑ ( ρˆ ⋅q ⋅ vˆ )s − ∑ ( ρˆ ⋅q ⋅ vˆ )e = FV + (FE →VC )W + (FE →VC )Wm − ∑ (p ⋅ A ⋅n )e − ∑ (p ⋅ A ⋅n )s dt e s s e Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento ƒ Al desconocer la distribución de velocidades en las superficies la cantidad de movimiento por unidad de masa promedio se aproxima como: ‰ V.C. Fijo e Indeformable (vSC≡0)  q  vˆ s = (vˆ n )s + (vˆ t )s ≅ (β ⋅v ⋅n )s =  β ⋅ ⋅n  {  A s ≅0 q ˆv e = (vˆ n )e + (vˆ t )e ≅ − (β ⋅v ⋅n )e = − β ⋅ ⋅n  1 2 3  A e ≅0 dMVC + ∑ ( ρˆ ⋅q ⋅ β ⋅v ⋅n )s + ∑ ( ρˆ ⋅q ⋅ β ⋅v ⋅n )e = FV + (FE →VC )W + (FE →VC )Wm − ∑ (p ⋅ A ⋅n )e − ∑ (p ⋅ A ⋅n )s dt s e e s β es el factor de corrección de cantidad de movimiento en la superficie. MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (16) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (V) ‰ V.C. Móvil y/o Deformable (vSC≠0) q ˆv s = (vˆ n )s + (vˆ t )s ≅ (β ⋅v ⋅n + v SUP )s =  β ⋅ ⋅n + v SUP  {  A s ≅0 q   vˆ e = (vˆ n )e + (vˆ t )e ≅ (− β ⋅v ⋅n + v SUP )e =  − β ⋅ ⋅n + v SUP  1 2 3 A  e ≅0 dMVC + ∑[ρˆ ⋅q ⋅(β ⋅v ⋅n + v SUP )]s − ∑[ρˆ ⋅q ⋅(− β ⋅v ⋅n + v SUP )]e = dt s e = FV + (FE →VC )W + (FE →VC )Wm − ∑ (p ⋅ A ⋅n )e − ∑ (p ⋅ A ⋅n )s e s MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (17) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.1 Ecuación Integral de la Cantidad de Movimiento (VI) Caso Particular ƒ V.C. Fijo e Indeformable (vSUP ≡0) ƒ Flujo Incompresible (ρ=cte) ƒ V.C. Con una entrada y una salida (qe=qs=q) ƒ Flujo Estacionario (v=v(x) ⇒dMVC/dt≡0) ρ ⋅q ⋅[(β ⋅v ⋅n)s + (β ⋅v ⋅n )e ]= FV + (FE →VC )W + (FE →VC )Wm − (p ⋅ A⋅n )s − (p ⋅ A⋅n )e MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (18) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (I) 2ª Ley de Newton: La rapidez del cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento de un sistema es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema. D (δM) = ∑δFext Dt D (ρ ⋅δV ) Dv D (δM ) Dv δM = ρ ⋅ v ⋅δV ⇒ = ⋅ ρ ⋅δV + v ⋅ = ⋅ ρ ⋅δV Dt Dt 14Dt 24 3 Dt 0 Considerando una partícula que en el instante t está ocupando una posición x en el V.C. r=r(x) y v=v(x,t). Para un fluido newtoniano y suponiendo flujo incompresible: ∑δFext = δFV + (δFE→P )SUP = [fV + div (T )]⋅δV T = − p ⋅I + 2 µ ⋅D (δFE→P )SUP = div ( T )⋅δV = (− ∇p + µ ⋅∇ 2 v )⋅δV  ∂v (x,t ) ∂v (x,t )  + ⋅ v (x,t ) = −∇p (x,t )+ µ ⋅∇ 2 v (x,t )+ fV (x,t ) ρ ⋅ ∂r t 14∂4 44244443 a ( x,t ) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (19) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (II) div (v ) = 0 ∂v ∂v µ 2 1 1 + ⋅ v = − ⋅∇p + ⋅∇ v + ⋅ fV ∂t ∂r ρ ρ ρ La expresión de ∇2v en coordenadas cartesianas es: 2 2 2 2 2 2 2 2 2      ∂ ∂ ∂ u u u v v v w w w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 ∇ v = ∇ u ⋅i + ∇ v ⋅ j + ∇ w ⋅k =  2 + 2 + 2  ⋅i +  2 + 2 + 2  ⋅ j +  2 + 2 + 2  ⋅k   ∂x   ∂x   ∂x ∂ ∂ ∂ y z y z y z ∂ ∂ ∂       En coordenadas cilíndricas o esféricas las expresiones se pueden encontrar en las Tablas de los Apuntes: MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (20) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (III) div (v ) = 0  ∂v ∂v  ∇p + µ ⋅∇ 2 v + fV ρ ⋅ + ⋅ v  = −{ 3  ∂t ∂r  fp 12 f µ • Dos incógnitas de flujo, v(x,t) y p(x,t). • Ecuaciones Diferenciales de Cant. De Mov. y Continuidad rigen cualquier flujo incompresible (Ecuaciones de Navier-Stokes) • Ecuaciones EN DERIVADAS PARCIALES NO LINEALES. Las más complejas de la física. • Poquísimos flujos poseen solución analítica (geometrías sencillas y régimen laminar). • Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección arbitraria constante en régimen laminar es uno de ellos. MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (21) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (IV) Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección arbitraria constante en régimen laminar. v(x)=u(y,z)⋅i  ∂u ∂u ∂u  u   u   ∂x ∂y ∂z   u         D   ∂    ∂v ∂v ∂v    a =  v  =  v +  ⋅ v  = 0  Dt   ∂t   ∂x ∂y ∂z      w   w   ∂w ∂w ∂w   w   ∂x ∂y ∂z   ∂ 2u ∂ 2u  2 2 ∇ v = ∇ u ⋅i =  2 + 2  ⋅i ∂z   ∂y  ∂h ∂h ∂h  fV = ρ ⋅g ⋅[sen (α )⋅i − cos (α )⋅ j + 0 ⋅k ]= −γ ⋅  ⋅i + ⋅ j + ⋅k  ∂z   ∂x ∂y  ∂ 2u ∂ 2u  ∂  p  (X) 0 = −γ ⋅  + h  + µ ⋅ 2 + 2  ∂x  γ ∂z   ∂y  ∂  p  (Y) 0 = −γ ⋅  + h  ∂y  γ   ∂  p (Z) 0 = −γ ⋅  + h  ∂z  γ  MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (22) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (V) CONCEPTO FUNDAMENTAL: Altura piezométrica (H) de un fluido en un punto es la suma de la altura de presión más la cota respecto de una referencia horizontal arbitraria. ∂  p  (Y) 0 = −γ ⋅  + h  ∂y  γ   ∂  p (Z) 0 = −γ ⋅  + h  ∂z  γ   ∂ 2u ∂ 2u  dH (X) 0 = −γ ⋅ + µ ⋅ 2 + 2  dx ∂z   ∂y  ∂ 2u ∂ 2u  dH + µ ⋅ 2 + 2  0 = −γ ⋅ dx ∂z   ∂y + H ≠ H (y ,z ) Hs − He dH = cte = L dx CONDICIONES DE CONTORNO u(xw,yw)=uW ∀ (xw,yw) ∈ Pw ∂H/∂x MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (23) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (VI) CASO 1 Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección circular de radio R en régimen laminar. v=uZ(r)⋅eZ r dH 1 d  du z  =µ⋅ ⋅ r ⋅ γ⋅  dz r dr  dr  CONDICIONES DE CONTORNO uZ(r=R)=Uwi y ∂H/∂z ƒ Uw= 0 y ∂H/∂z≠0 ƒ UW≠0 y ∂H/∂z=0 ƒ UW≠0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille Flujo de Couette Flujo Poiseuille+Couette MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (24) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (VII) CASO 2 Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección anular de radios Ri y Re en régimen laminar. v=uZ(r)⋅eZ. 1 d  du z  dH γ⋅ =µ⋅ ⋅ r ⋅  dz r dr  dr  CONDICIONES DE CONTORNO uZ(r=Ri)=Uwi, uZ(r=Re)=Uwe y ∂H/∂z ƒ Uwi=Uwe=0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille ƒ Uwi≠ Uwe≠ 0 y ∂H/∂z=0 Flujo de Couette ƒ Uwi≠ Uwe≠ 0 y ∂H/∂z≠0 Flujo de Poiseuille +Couette MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (25) 3.3 2ª Ley de Newton-3.3.2 Ecuación Diferencial de la Cantidad de Movimiento (VII) CASO 3 Flujo incompresible y completamente desarrollado en un conducto recto y de sección rectangular de lados a y h con a>>>h en régimen laminar. v=u (y)⋅i. h a dH d2u γ ⋅ = µ⋅ 2 dx dy CONDICIONES DE CONTORNO u (y=0)=Uwi, u(y=h)=Uws y ∂H/∂x ƒ Uwi=Uws=0 y ∂H/∂z≠0 Flujo Poiseuille ƒ Uwi≠ Uws≠ 0 y ∂H/∂z=0 Flujo de Couette ƒ Uwi≠ Uws≠ 0 y ∂H/∂z≠0 Flujo de Poiseuille +Couette MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (26) 3.4 1ª LEY DE LA TERMODINÁMICA MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (27) 3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.1 Ecuación Integral de la Energía (I) 1ª Ley de la Termodinámica: La rapidez del cambio en el tiempo de la Energía de un sistema es igual a la velocidad de transferencia neta de energía (potencia) entre el sistema y el entorno. DEΠ & & = Q +W Dt ƒ Siendo EΠ la energía total del sistema, suma de su energía interna, cinética y potencial (Ek+Ep=Em). EΠ=(Ũ+Ek+Ep)Π =(Ũ+Em)Π ƒ Q& potencia neta en forma de Calor (∇T) ƒ W& potencia neta en forma de Trabajo (Fuerzas) ‰ ‰ Si el sistema que se considera es aquel que en el instante t está ocupando el V.C. DEΠ dEVC & = + ESC Dt dt Q& > 0,W& > 0 Energía Entorno ⇒ Sistema Q& < 0,W& < 0 Energía Sistema ⇒ Entorno dEVC & + ESC = Q& +W& dt MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (28) 3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.1 Ecuación Integral de la Energía (II) ƒ Según los tipos de fuerzas que actúan sobre el sistema: W& =W& V′ +W& SUP ≡ ∫ fV′ ⋅ v ⋅dV + ∫ t ⋅ v ⋅dS VC SC ƒ La potencia asociada a la fuerzas de superficie: W& SUP =W& w +W& m + ∑W& s + ∑W& e { s e =0 ƒ En las entradas y salidas de fluido al V.C. la potencia asociada a las fuerzas de superficie es: ( ) ( W& SUP =W& m + ∑ W& p +W& µ s + ∑ W& p +W& µ s e ) e ƒ En una entrada o en una salida la potencia asociada a las fuerzas viscosas se desprecia y la asociada a las fuerzas de presión: ƒ Quedando: (W& ) ≡ − ∫ p⋅v⋅dS = − ∫ p⋅(v − v p s ( SUP )⋅dS − ∫ p ⋅ vSUP ⋅dS ≡W& F +W& D ) ( W& V′ +W& SUP =W& V′ +W& m + ∑ W& F +W& D s + ∑ W& F +W& D s s s s e ) e MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (29) 3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.1 Ecuación Integral de la Energía (III) ( ) ( dEVC & + ESC = Q& +W& V′ +W& m + ∑ W& F +W& D s + ∑ W& F +W& D dt e s ( ) ~ d (E m )VC & dUVC ~& + E m SC + +USC = dt dt = Q& +W& V′ +W& m + ∑ W& F +W& D s + ∑ W& F +W& D s ( ) ( ) e ( ) e ) e ƒ Cuando el flujo es incompresible (ρ=cte) la 2a ley de la Termodinámica: ~ dUVC ~& +USC −Q& =W& L ≥ 0 1dt 4243 ( ) =W& ′ +W& + ∑(W& d (E m )VC + ∑ E& m s + ∑ E& m dt s e e V m DUΠ Dt & W + D F ) + ∑(W& s & W + D F ( ) ) −W& s L ( )      d (E m )VC p  p    & + ρ ⋅ ∑ q ⋅ eˆ k + eˆ p +   − ∑ q ⋅ eˆ k + eˆ p +    =WV′ +W& m + ∑ W& D s + ∑ W& D e −W& L dt ρ  s e   ρ   e   s   e s s s Ecuación Integral de la Energía Mecánica MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (30) 3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.2 Ecuación de Bernoulli (I) ( ) ( )      d (E m )VC p  p    & + ρ ⋅ ∑ q ⋅ eˆ k + eˆ p +   − ∑ q ⋅ eˆ k + eˆ p +    =WV′ +W& m + ∑ W& D s + ∑ W& D e −W& L dt ρ  s e   ρ   e   s   e s Caso Particular ƒ ƒ ƒ ƒ V.C. Fijo e Indeformable (vSUP ≡0) Flujo Incompresible (ρ=cte) V.C. Con una entrada y una salida (qe=qs=q) Flujo Estacionario (v=v(x) ⇒d(Em)VC/dt≡0)  p  p  & ρ ⋅q ⋅  eˆ k + eˆ p +  −  eˆ k + eˆ p +   =Wm −W& L ρ s  ρ  e   Dividiendo por el flujo másico que atraviesa el V.C. (ρ·q) la ecuación de la energía nos queda expresada en unidades de energía por unidad de masa de fluido:  p  p  eˆ k + ep +  −  eˆ k + ep +  = w m −w L ρ s  ρ e  MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (31) 3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.2 Ecuación de Bernoulli (II) Dividiendo por la aceleración de la gravedad (g) la ecuación queda expresada en energía por unidad de peso (altura de columna de fluido). ˆ p  ˆ p  hk + h +  −  hk + h +  = H m − hL γ s  γ e  Ecuación de Bernoulli ƒ A la ĥk+h+(p/γ) se le denomina Bernoulli del fluido (B) en la superficie y está expresado como una altura de columna de fluido [B]=L. ƒ Normalmente la altura de energía cinética promedio en una superficie ĥk puede expresarse como: 2 v hˆk ≅ α ⋅ 2g ƒ Siendo α el coeficiente de corrección de la energía cinética. MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (32) 3.4 1ª Ley de la Termodinámica-3.4.2 Ecuación de Bernoulli (III) IMPORTANTÍSIMO El 2° Principio de la Termodinámica (hL≥0) establece una restricción a la variación del Bernoulli que sufre el fluido, calculada en el sentido del flujo (Bernoulli aguas arriba (entrada) menos Bernoulli aguas abajo (salida)) y el aporte neto de energía al flujo (Hm) hL = Be − Bs + H m ≥ 0 123 ∇B MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (33) 3.5 REGÍMENES DE FLUJO MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (34) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (I) El flujo de un fluido puede darse con dos regímenes de naturaleza muy diferente denominados regímenes Laminar y Turbulento. ƒ La constatación de la existencia de los distintos regímenes de un flujo proviene de antiguo: ‰ Leonardo da Vinci (Estudio sobre el Agua). ƒ En el siglo XIX comenzaron los primeros estudios científicos sobre el tema: ‰ ‰ G. H. L. Hagen (1839). Primeros indicios experimentales. Caida de presión en conductos largos de latón. ∆p ∆p~v1.75 Osborne Reynolds (1883). Pionero en el estudio de los regímenes de flujo. ∆p~v v MECÁNICA DE FLUIDOS 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (II) En 1883 un profesor de ingeniería británico llamado Osborne Reynolds utilizó un dispositivo experimental con el que evidenció la existencia de dos regímenes de un flujo e introdujo el parámetro adimensional del que dependía la existencia de uno u otro régimen (Número de Reynolds). CURSO 2007-2008 (35) MECÁNICA DE FLUIDOS 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (III) CURSO 2007-2008 (36) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (37) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (IV) Reynolds constató experimentalmente: ‰ ‰ La existencia en un flujo de dos regímenes. Régimen Laminar y régimen Turbulento La existencia de uno u otro dependía de un parámetro adimensional número de Reynolds (Re). En el caso del flujo en un conducto de sección circular el número de Reynolds viene dado por: ρ ⋅D ⋅v Re = µ Siendo: ƒ D Diámetro de la tubería. ƒ v Velocidad media. ƒ ρ Densidad del fluido. ƒ µ la viscosidad del fluido. En cualquier flujo existen dos regímenes y la existencia de uno u otro depende de su número de Reynolds que viene dado por: Re = ρ ⋅ L ⋅U µ Siendo L y U una longitud y una velocidad características del flujo. MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (38) 3.6 5.1 Regímenes de FlujoFlujo /3.6.1 5.1.1Introducción Introducción(V) (V) El Número de Reynolds expresa el papel que juegan en el flujo las fuerzas de inercia frente a las viscosas: Fuerzas de Inercia ρ ⋅ L ⋅ U Re = = µ Fuerzas Viscosas Recordar las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible:  ∂v ∂v  ρ⋅ + ⋅ v  = −∇p + µ ⋅ ∇ 2 v + fV ⇒ fp + fµ + fv + fi = 0  ∂t ∂r  ƒ Números de Reynolds elevados (Reg. Turbulento): fi>>fν. En el flujo predominan las fuerzas de inercia. ƒ Números de Reynolds bajos (Reg. Laminar): fi<<fν. En el flujo predominan las fuerzas viscosas. MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (39) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.1 Introducción (VI) Re=0 REGIMEN LAMINAR Re=2300 TRANSICIÓN Re=4000 Re=∞ REGIMEN TURBULENTO MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (40) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.2 El régimen Laminar El Régimen laminar un flujo está caracterizado: ƒ Patrón de flujo ordenado. Existen trayectorias y líneas de corriente bien definidas. ƒ Bajos números de Reynolds. Son predominantes las fuerzas viscosas. ƒ Ante condiciones de contorno estacionarias el flujo será generalmente estacionario (existen excepciones i.e.:Karman Vortex Street). ƒ Su análisis es asequible (Se conocen varias soluciones a las E.D. tanto analíticas como numéricas) ƒ El transporte de cantidad de movimiento, energía y materia no es efectivo (i.e.: mezcla de pinturas) ƒ Por regla general los flujos viscosos NO son muy comunes en las aplicaciones en la industria. ƒ Flujos de muy baja velocidad (i.e.:Creeping Flows). ƒ Fluidos de elevada viscosidad (i.e.: Ciertos aceites, grasas). ƒ Flujos en espacios reducidos (i.e.: Lubricación o Biología) MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (41) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (I) El Régimen turbulento un flujo está caracterizado: ƒ Flujo radicalmente diferente al laminar. ƒ Patrón de flujo complejo, desordenado y caótico. ƒ Altos números de Reynolds. Son predominantes las fuerzas de inercia. ƒ El flujo será siempre no estacionario. La turbulencia es un fenómeno de naturaleza tridireccional y no estacionaria. ƒ Su análisis directo NO es factible ‰ ‰ Analíticamente imposible ni en los casos más sencillos. Numéricamente. Actualmente fuera del alcance de los computadores más potentes. ƒ El transporte de cantidad de movimiento, energía y masa es efectivo. ƒ Por regla general los flujos viscosos SON muy comunes en la naturaleza. MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (42) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (II) ƒ Existencia de unas estructuras rotacionales (paquetes de fluido) denominadas Torbellinos (Eddies). u ‰ Grandes: Lv≅L Pequeños torbellinos Lv≅LK=(ν3·L/U3)0.25 (Escala de Kolmogorov). ƒ v y p presentan una variación en el tiempo fluctuando de forma aleatoria alrededor de un valor medio. Las amplitudes y frecuencias de estas fluctuaciones es muy variada: ‰ ‰ Amplitud: 1% - 20% del valor medio Frecuencia: 1-104 Hz. (Tamaño de los vórtices) ƒ Las fluctuaciones está asociada a la dinámica de los torbellinos. UP ‰ uP(t) ƒ Tamaño de los torbellinos se extiende en un amplio rango: u'P(t) ƒ La dinámica de los torbellinos (movimiento e interacciones vortex stretching) es complejísima. t MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (43) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (IV) div (v ) = 0 PREGUNTA: ¿Como tratan los ingenieros la turbulencia? ƒ Las capacidades de cálculo actuales no son capaces de resolverlas para cualquier tipo de flujo en régimen turbulento. u'P(t) UP ƒ La turbulencia complica aún más las ecuaciones. uP(t) Dv ρ⋅ = −∇p + µ∇ 2 v + fV Dt ƒ Las ecuaciones de Navier-Stokes rigen el flujo de un fluido en régimen laminar y turbulento. u t RESPUESTA: ƒ Desde el punto de vista ingenieril NO es interesante conocer los valores instantáneos de las variables de flujo sino su valor medio temporal. ƒ Las variables de flujo se descomponen en en un valor promedio y en una fluctuación: v = V + v′ p = P + p′ MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (44) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (V) u u'P(t) El promedio de las variables de flujo (ω=u,v,w ó p) se define como: 1 Ω(x ) = ω(x, t ) = ⋅ ∫ ω(x, t ) ⋅ dt T 0 Ω = Ω; ω′ = 0; ω′ ⋅ φ′ ≠ 0 ∂ω ∂ω = ∂x ∂x ω'(t) ω t Ω(t) Siendo T un período de tiempo mayor que cualquier período significativo de las fluctuaciones y N un número de experimentos. Los promedios cumplen ciertas reglas como: uP(t) 1 N Ω(x, t ) = ω(x, t ) = lim ⋅ ∑ ω(n ) (x, t ) N →∞ N n =1 UP T t MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2007-2008 (45) 3.6 Regímenes de Flujo-3.6.3 El régimen Turbulento (VI) Al promediar las ecuaciones de N-S: ‰ ‰ ‰ Se obtienen unas nuevas ecuaciones, similares a las originales de N-S (Navier-StokesReynolds). Las incógnitas son los valores promedios de las variables de flujo (U y p). Aparecen unos nuevos términos, promedios del producto de las fluctuaciones de las velocidades a los que se denominan Tensiones-Turbulentas de Reynolds (TR). div (U) = 0 1 ∂U ∂U + ⋅ U = − ⋅ ∇P + div (2ν ⋅ D + TR ) ∂t ∂r ρ ( )R = −ρ ⋅ siendo t ij ui′ ⋅ u ′j Incluso en flujos sencillos (i.e.: flujo completamente desarrollado en un conducto) NO puede obtenerse analíticamente el perfil de velocidades promedio τ xy ( )R dU =µ⋅ + t xy ∂y d ∂H γ⋅ =µ⋅ dy ∂x  dU  − ρ ⋅ u′ ⋅ v ′  ∂y b    Y Z 0 w