Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Dr. Sergio Carrasco Romo Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 105 1 Capítulo 4 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior página 117 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores a la frontera Problema de Valor Inicial Resolver: an ( x ) dny d n−1 y dy a x a x + ( ) + ! + ( ) + a0 ( x) y = g ( x) n − 1 1 dx dx n dx n−1 Sujeto a: y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = y1 , !, y ( n −1) ( x0 ) = yn −1 Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 106 Teorema 4.1.1 Existencia de una solución única Sean an(x), an – 1(x), …, a1(x), a0(x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea an(x) ≠ 0 para toda x en el intervalo. Si x = x0 es cualquier punto en ese intervalo, entonces una solución y(x) del problema con valores iniciales existe en el intervalo y es única. Problema de Valores en la Frontera Resolver: a2 ( x ) d2y dy + a1 ( x) + a0 ( x) y = g ( x) 2 dx dx Sujeto a: y(a) = y0 , y(b) = y1 Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 107 2 Ejercicios 4.1 página 128 La familia de funciones dada es la solución general de la ecuación diferencial. Encuentre un miembro de la familia que sea una solución del problema con valores iniciales. x −x 1. y = c1e + c2e , & & (A) � = � $� + � (�� y ' '− y = 0, y (0) = 0, y ' (0) = 1 * � ** − 2� * + � = 0 � 0 = 3, � 0 = 1 La familia de dos parámetros dada es una solución de la ecuación diferencial indicada. Determine si es posible encontrar un miembro de la familia que satisfaga las condiciones de frontera. 2 4 14. y = c1 x + c2 x + 3; (A) y (−1) = 0, x 2 y ' '−5 xy '+8 y = 24, y (1) = 4 (D) y (1) = 3, Material 02 Ec Diferenciales y (2) = 15 Dr. Sergio Carrasco Romo 108 4.1.2 Ecuaciones homogéneas Ecuación diferencial homogénea an ( x ) dny d n−1 y dy a x a x + ( ) + ! + ( ) + a0 ( x) y = 0 (1) n − 1 1 dx dx n dx n−1 Ecuación diferencial NO homogénea an ( x ) dny d n−1 y dy a x + ( ) + ! + a1 ( x) + a0 ( x) y = g ( x) (2) n −1 n − n 1 dx dx dx Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 109 3 Teorema 4.1.2 Principio de superposición, ecuaciones homogéneas Sean y1, y2, …, yk soluciones homogéneas de n−ésimo orden de la EDO (1) en un intervalo I. Entonces la combinación lineal y = c1y1(x) + c2y2(x) + … + ck yk (x), donde ci, i = 1, 2, …, k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo. an ( x ) dny d n−1 y dy a x + ( ) + ! + a1 ( x) + a0 ( x) y = 0 (1) n −1 n − n 1 dx dx dx Corolarios del Teorema 4.1.2 (A)Un múltiplo constante y = c1y1(x) de una solución y1(x) de una ecuación diferencial homogénea es también una solución. (B) Una ecuación diferencial homogénea tiene siempre la solución trivial y = 0. Material 02 Dr. Sergio Carrasco Romo 110 Ec Diferenciales Definición 4.1.1 Dependencia e independencia lineal Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x), …, fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, …, cn, diferentes de cero, de modo que c1 f1(x) + c2f2(x) + … + cn fn(x) = 0 para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 111 4 Definición 4.1.2 Wronskiano Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x), …, fn(x) tiene al menos n – 1 derivadas. El determinante W ( f1 , f 2 , # , f n ) = f1 f1 ' ! f1n−1 f2 f2 ' ! " fn " fn ' ! f 2 n−1 " f n n−1 donde las primas denotan derivadas, se llama el Wronskiano de las funciones. Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 112 Teorema 4.1.3 Criterio para soluciones linealmente independientes Sean y1, y2, …, yn n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n−ésimo orden (1) en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si W(y1, y2, …, yn) ≠ 0 para toda x en el intervalo. an ( x ) dny d n−1 y dy a x a x + ( ) + ! + ( ) + a0 ( x) y = 0 (1) n − 1 1 dx dx n dx n−1 Definición 4.1.3 Conjunto fundamental de soluciones Cualquier conjunto y1, y2, …, yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de n− ésimo orden (1) en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 113 5 Teorema 4.1.4 Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial lineal homogénea de n–ésimo orden (1) en un intervalo I. an ( x ) dny d n−1 y dy a x + ( ) + ! + a1 ( x) + a0 ( x) y = 0 (1) n −1 n − n 1 dx dx dx Teorema 4.1.5 Solución general, ecuaciones homogéneas Sean y1, y2, …, yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n–ésimo orden (1) en el intervalo I. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es y = c1y1(x) + c2y2(x) + … + cnyn(x), donde ci, i = 1, 2, …, n son constantes arbitrarias. Dr. Sergio Carrasco Romo 114 Material 02 Ec Diferenciales Ejercicios 4.1 página 128 Propuesto 15 Determine si el conjunto de funciones dado es linealmente dependiente o linealmente independiente en el intervalo (−∞, ∞). f1 ( x) = x x x2 W = 1 2x 0 2 f 2 ( x) = x 2 f 3 ( x) = 4 x − 3x 2 4 x − 3x 2 + 4 − 6x −6 x x2 W = 1 2x 0 2 4 x − 3x 2 4 − 6x −6 x x2 − 1 2x 0 2 = −12 x 2 + 0 + 8 x − 6 x 2 + 6 x 2 − 8x + 12 x 2 + 0 = 0 W =0 El conjunto de funciones dado es linealmente dependiente en el intervalo (−∞, ∞). Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 115 6 Ejercicios 4.1 página 128 Propuesto 18 Determine si el conjunto de funciones dado es linealmente dependiente o linealmente independiente en el intervalo (−∞, ∞). f1 ( x) = cos 2 x cos 2 x f 2 ( x) = 1 f 3 ( x) + = cos 2 x 1 1 = + cos 2 x 2 2 cos 2 x W = − 2 sin 2 x − 4 cos 2 x 1 0 0 1 W = − 2 sin 2 x 0 − 4 cos 2 x 0 1 1 + cos 2 x 2 2 − sin 2 x − 2 cos 2 x − 1 1 + cos 2 x cos 2 x 1 2 2 − sin 2 x − 2 sin 2 x 0 = − 2 cos 2 x − 4 cos 2 x 0 = 0 + 4 sin 2 x cos 2 x + 0 − 4 sin 2 x cos 2 x − 0 − 0 = 0 W = 0 El conjunto de funciones dado es linealmente dependiente en el intervalo (−∞, ∞). Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 116 Dada la ecuación diferencial y las soluciones �$ y �( probar que las soluciones son linealmente independientes. Escribir el conjunto fundamental de soluciones; con las condiciones iniciales indicadas, determinar la solución particular. 1. � ** − 4� * + 3� = 0 �$ = � & � 0 =7 �′ 0 = 11 2. � ** − 6� * + 25� = 0 �$ = � 1& cos 4� � 0 =3 �′ 0 = 1 �( = � 1& �( = � 1& Material 02 Ec Diferenciales sin 3� Dr. Sergio Carrasco Romo 117 7 Ejercicios 4.1 página 128 Compruebe que dada la familia de soluciones de dos parámetros, se trata de la solución general de la ecuacion diferencial no homogénea en el intervalo indicado. 32. y ' '+ y = sec x (− π y = c1 cos x + c2 sin x + x sin x + cos x ⋅ ln(cos x) 2 , π 2) y = c1 x −1 2 + c2 x −1 + 34. 2 x 2 y ' '+5 xy '+ y = x 2 − x (0, + ∞ ) Material 02 Ec Diferenciales 1 2 1 x − x 15 6 Dr. Sergio Carrasco Romo 118 Tarea No. 8 Cantidad de ejercicios: 10 Ejercicios 4.1 página 128 La familia de funciones dada es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Encontrar un miembro de la familia que sea una solución al problema de valor inicial. 2. y = c1e 4 x + c2e − x , (−∞, ∞); y ' '−3 y '−4 y = 0 y (0) = 1, y ' (0) = 2 (−∞, + ∞); 4. y = C1 + C2 cos x + C3 sin x, y (π ) = 0 y ' (π ) = 2 y ' ' '+ y ' = 0 y ' ' (π ) = −1 La familia de dos parámetros dada es una solución de la ecuación diferencial indicada en el intervalo (−∞, ∞). Determine si es posible encontrar un miembro de la familia que satisfaga las condiciones de frontera. x x y ' '−2 y '+2 y = 0, 13. y = c1e cos x + c2 e sin x ; ⎛π ⎞ (A) y (0) = 1, y ' (π ) = 0 Material 02 Ec Diferenciales (C) y (0) = 1, y⎜ ⎟ = 1 ⎝2⎠ Dr. Sergio Carrasco Romo 119 8 Tarea No. 8 Continuación… Ejercicios 4.1 página 128 Determine si el conjunto de funciones dado es linealmente dependiente o linealmente independiente en el intervalo (−∞, ∞). 16. f1 ( x) = 0 f 3 ( x) = e x f 2 ( x) = x f 3 ( x) = sin 2 x 2 17. f1 ( x) = 5 f 2 ( x) = cos x 21. f1 ( x) = 1 + x f 2 ( x) = x f 3 ( x) = x 2 Compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Forme la solución general. e −3 x , e 4 x , 23. y ' '− y '−12 y = 0 27. x 2 y ' '−6 xy '+12 y = 0 x3 , x 4 , Material 02 Ec Diferenciales (− ∞, ∞ ) (0, ∞ ) Dr. Sergio Carrasco Romo 120 Tarea No. 8 Continuación… Ejercicios 4.1 página 128 Compruebe que dada la familia de soluciones de dos parámetros, se trata de la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo indicado. x 31. y ' '−7 y '+10 y = 24e y = C1e 2 x + C2 e5 x + 6e x 2x 33. y ' '−4 y '+4 y = 2e + 4 x − 12 (− ∞, ∞) y = c1e2 x + c2 xe 2 x + x 2e2 x + x − 2 Material 02 Ec Diferenciales (− ∞, ∞) Dr. Sergio Carrasco Romo 121 9 Tarea No. 8 Cantidad de ejercicios: 10 RESPUESTAS W = 7e x ≠ 0 23. 2. W = x6 ≠ 0 4. 27. 13. (A) (C) y1 = e 2 x y2 = e5 x yc = c1e 2 x + c2e5 x 31. Sol complementaria de Ec Homog 16. W = 0 Linealmente dependiente y p = 6e x Solución particular de Ec NO Homog y1 = e W =0 17. Linealmente dependiente 33. 2x y2 = x e 2 x yc = c1e 2 x + c2 x e 2 x Solución comp de Ec Homogénea W =2≠0 21. Linealmente independiente y p = x 2 e2 x + x − 2 Sol part de Ec NO Homog Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 122 Sección 4.2 Reducción de orden página 130 Sea la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden a2(x)y’’ + a1(x)y’ + a0(x)y = 0 y y1 una solución no trivial conocida. El conjunto fundamental soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es y = c1y1+ c2y2 donde y1, y2 son soluciones linealmente independientes. W ≠ 0 y2 se halla reduciendo el orden de la ecuación con la sustitución y = uy1; y’ = uy1’ + u’y1 Material 02 Ec Diferenciales y’’ = uy1’’ + 2u’y1’ + u’’y1 Dr. Sergio Carrasco Romo 123 10 Ejercicios 4.2 página 132 Propuesto 1 Ejemplo 01 Hallar y2 a partir de la solución y1 dada sustituyendo y = uy1 y ' '−4 y '+4 y = 0 y1 = e 2 x y = uy1 y = ue 2 x y2 = ue 2 x y ' ' = 4ue 2 x + 2u ' e 2 x + 2u ' e 2 x + u ' ' e 2 x y ' = 2ue 2 x + u ' e 2 x u ' ' e 2 x + 4u ' e 2 x + 4ue 2 x − 4u ' e 2 x − 8ue 2 x + 4ue 2 x = 0 u ' ' e2 x = 0 u ' = c1 ∫ u ' dx = c ∫ dx 1 y1 = e 2 x W (e 2 x , e2 x ≠ 0 u ''= 0 xe 2 x ) ∫ u ' ' dx = ∫ 0 dx u = c1 x + c2 Si c1 = 1 y c2 = 0 u=x y2 = xe 2 x Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 124 y2 = xe 2 x = e2 x xe 2 x 2e 2 x 2 xe 2 x + e 2 x = 2 xe 4 x + e 4 x − 2 xe 4 x = e 4 x ≠ 0 y ( x) = c1e 2 x + c2 xe 2 x Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 125 11 Ejemplo 02 Hallar y2 a partir de la solución y1 dada, sustituyendo y = uy1 en la ecuación diferencial indicada. �$ = � & � = �� & � ** − � = 0 � * = �� & + � *� & � ** = �� & + 2� *� & + �′′� & � **� & + 2� *� & + �� & − �� & = 0 � **� & = −2� *� & ÷ �′� & �′′ = −2 �′ �′′ ; �� = −2 ; �� �′ ln �′ = −2� + � $ � * = � $� >(& ; �′ �� = � $ ; � >(& (−2) �� −2 � = � $� >(& + � ( � = � >(& Si � $ = 1 y � ( = 0 �( = � >(& B � & �( = � >& Conjunto solución � = � $� & + � (� >& Dr. Sergio Carrasco Romo 126 Material 02 Ec Diferenciales Otro método para determinar y2 conociendo y1 y2 = y1 ( x) ∫ e − ∫ P ( x ) dx dx y12 ( x) Ejercicios 4.2 página 132 Propuesto 6 Ejemplo 03 Hallar y2 a partir de la fórmula anterior. Determinar si y1 y y2 forman un conjunto solución. Escribir la solución general. y1 = e5 x y ' '−25 y = 0 y ' '+ P( x) y '+Q( x) y = 0 y2 = e 5x − 0 dx e ∫ ∫ (e ) y2 = c2 e −5 x 5x 2 dx = e5 x ∫ ⇒ P( x) = 0 ec (e ) 5x 2 dx = C1 5 x −10 x e ∫ e ⋅ (−10) dx − 10 ⇒ y ( x) = c1e5 x + c2 e −5 x Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 127 12 y1 = e5 x y2 = e−5 x + W ( e 5 x , e −5 x ) = − e5 x e −5 x 5e5 x − 5e −5 x = −5 − 5 = −10 ≠ 0 y( x) = c1e5 x + c2e −5 x Dr. Sergio Carrasco Romo 128 Material 02 Ec Diferenciales Ejercicios 4.2 página 132 Propuesto 10 Ejemplo 04 Hallar y2 a partir de la fórmula anterior. Determinar si y1 y y2 forman un conjunto solución. Escribir la solución general. e − ∫ P ( x ) dx 2 2 y y x ( ) = y1 = x x y ' '+2 xy '−6 y = 0 2 1 ∫ y 2 ( x) dx 1 y ' '+ P( x) y '+Q( x) y = 0 y2 = x2 y2 = x 2 ∫ e − 2∫ 1 dx x ∫ (x 2 )2 x− 2 ( ) 2 x2 dx = y ' '+ x2 2 6 y '− 2 y = 0 x x e − 2 ln x ∫ (x 2 )2 dx = x 2 ∫ x − 6 dx = − y ( x) = c1 x 2 + c2 x −3 dx = x2 ⇒ P( x) = e ln x −2 ∫ (x 2 )2 dx 1 x2 −5 ⋅ x = − ⋅ x−3 ⇒ 5 5 Material 02 Ec Diferenciales 2 x y2 = x − 3 Dr. Sergio Carrasco Romo 129 13 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes página 133 an y ( n ) + an −1 y ( n −1) + ! + a1 y '+ a0 y = 0 Caso particular de EDO de segundo orden ay ' '+by '+cy = 0 y = e mx y ' = me mx y ' ' = m 2e mx am 2e mx + bme mx + ce mx = 0 ( ) e mx am 2 + bm + c = 0 e mx ≠ 0 am 2 + bm + c = 0 Ecuación auxiliar Dr. Sergio Carrasco Romo 130 Material 02 Ec Diferenciales am 2 + bm + c = 0 Métodos de solución: b 2 − 4ac (A) Factorización si es exacta (B) Completar el cuadrado (C) Fórmula general m1, 2 = − b ± b 2 − 4ac 2a 1. m1 y m2 son reales y distintas ⇒ b2 − 4ac > 0 2. m1 y m2 son reales e iguales ⇒ b2 − 4ac = 0 3. m1 y m2 son números complejos conjugados Material 02 Ec Diferenciales ⇒ b2 − 4ac < 0 Dr. Sergio Carrasco Romo 131 14 Caso I Raíces reales distintas y1 = e m1 x ⇒ m1 ≠ m2 y2 = e m2 x y ( x) = c1e m1 x + c2e m2 x Conjunto solución Caso II Raíces reales repetidas y1 = e m1 x y2 = y1 ( x) ∫ y2 = e m1 x ∫ ⇒ m1 = m2 ay ' '+by '+cy = 0 b c y ' '+ y '+ y = 0 a a −b −b m1 = ⇒ = 2m1 2a a e − ∫ P ( x ) dx dx y12 ( x) e 2 m1 x dx = e m1 x ∫ dx = xe m1 x 2 m x 1 e y2 = xe m1 x y ( x) = c1e m1 x + c2 xe m1 x Conjunto solución Material 02 Ec Diferenciales Caso III Raíces conjugadas complejas Dr. Sergio Carrasco Romo 132 ⇒ m1 = α + β i m2 = α − β i donde : α y β > 0 e i 2 = −1 y1 = e m1 x y2 = e m2 x y = c1e m1 x + c2e m2 x y = c1e (α + β i ) x + c2e (α − β i ) x eiθ = cos θ + i sin θ y1 = eα x cos β x Fórmula de Euler y2 = eα x sin β x y = c1eα x cos β x + c2eα x sin β x y ( x) = eα x (c1 cos β x + c2 sin β x ) Conjunto solución Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 133 15 Ejercicios 4.3 página 138 Propuesto 11 Ejemplo 01 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada y ' '− 4 y '+5 y = 0 m − 2 = ± −1 m 2 − 4m + 5 = 0 m1, 2 = 2 ± i m2 − 4m + = −5 m =α ± β i m 2 − 4m + 4 = −5 + 4 2 (m − 2) = −1 ⇒ α =2 y1 = eα x cos β x β =1 y1 = e 2 x cos x y2 = eα x sin β x y2 = e 2 x sin x y = eα x (c1 cos β x + c2 sin β x ) y ( x) = e 2 x (c1 cos x + c2 sin x ) Material 02 Ec Diferenciales Ejercicios 4.3 página 138 Propuesto 07 Dr. Sergio Carrasco Romo 134 Ejemplo 02 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada 12 y ' '−5 y '−2 y = 0 m− 5 11 =± 24 24 12m 2 − 5m − 2 = 0 m2 − 5 m+ 12 = m1 = 1 6 2 2 3 m2 = − y1 = e m1 x 5 1 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ m2 − m+⎜ ⎟ ⎟ = +⎜ 12 6 ⎝ 24 ⎠ ⎝ 24 ⎠ y1 = 2 y2 = e m2 x 1 4 2 x e3 y2 1 − x =e 4 y = c1e m1 x + c2e m2 x 2 5 ⎞ 121 ⎛ ⎟ = ⎜m − 24 ⎠ 576 ⎝ 2 1 y ( x) = c1e 3 x + c2e − 4 x Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 135 16 Ejercicios 4.3 página 138 Propuesto 34 Ejemplo 03 Resuelva el problema de valor inicial dado y ' '−2 y '+ y = 0 y (0) = 5 y ' (0) = 10 2 m − 2m + 1 = 0 (m − 1)2 = 0 y1 = e m1 x y ( x) = 5e x + 5 xe x m −1 = 0 y2 = =ex m1, 2 = 1 8 8 7 xe m1 x 6 5 xe x y2 = y1 m x 1 y = c1e + c2 xe m1 x 4 y = c1e x + c2 xe x 3 f ( x) 2 1 5 = c1e 0 + c2 (0 ) e0 ⇒ c1 = 5 4 3 y ' = c1e x + c2 xe x + c2e x 2 1 0 1 2 3 4 1 −2 2 −4 x 4 10 = 5e 0 + c2 (0 )e 0 + c2e 0 ⇒ c2 = 5 Material 02 Ec Diferenciales Ejercicios 4.3 página 138 Propuesto 17 Dr. Sergio Carrasco Romo 136 Ejemplo 04 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial de tercer orden dada y ' ' '−5 y ' '+3 y '+9 y = 0 m3 − 5m 2 + 3m + 9 = 0 si m = −1 ⇒ (− 1)3 − 5(− 1)2 + 3(− 1) + 9 = 0 m3 − 5m 2 + 3m + 9 = (m + 1)(¿?) m 2 − 6m + 9 m + 1 m3 − 5m 2 + 3m + 9 − m3 − m 2 − 6m 2 + 3m + 6m 2 + 6m + 9m + 9 − 9m − 9 0 ( m3 − 5m 2 + 3m + 9 = (m + 1) m 2 − 6m + 9 ) = (m + 1)(m − 3) 2 (m + 1)(m − 3) = 0 m1 = −1 m2, 3 = 3 y = c1e m1 x + c2e m2 x + c3 xe m2 x 2 y1 = e − x y2 = e 3 x y3 = x e3 x y ( x) = c1e − x + c2e3 x + c3 xe3 x Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 137 17 Quiz No. 6 Tarea No. 9 Cantidad de ejercicios: 10 La función indicada y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Usar la reducción de orden o la fórmula, como se indica, para encontrar una segunda solución y2(x) e − ∫ P ( x ) dx y2 ( x) = y1 ( x) ∫ dx y12 ( x) Ejercicios 4.2 página 132 Propuestos 2, 9, 11 2. y ' '+2 y '+ y = 0 y1 = xe − x 9. x 2 y ' '−7 xy '+16 y = 0 y1 = x 4 11. xy ' '+ y ' = 0 y1 = ln x Dr. Sergio Carrasco Romo 138 Material 02 Ec Diferenciales Tarea No. 9 Continuación … Determinar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada Ejercicios 4.3 página 138 Propuestos 3, 5, 9, 13, 18, 22, 35 3. y ' '− y '−6 y = 0 9. y ' '+9 y = 0 13. 3 y ' '+2 y '+ y = 0 5. y ' '+8 y '+16 y = 0 Determinar la solución general de la ecuación diferencial de orden superior dada 18. y ' ' '+3 y ' '−4 y '−12 y = 0 22. y ' ' '−6 y ' '+12 y '−8 y = 0 Resuelva el problema con valores iniciales 35. y ' ' '+12 y ' '+36 y ' = 0 y (0) = 0 Material 02 Ec Diferenciales y ' (0) = 1 y ' ' (0) = −7 Dr. Sergio Carrasco Romo 139 18 Tarea No. 9 Cantidad de ejercicios: 10 RESPUESTAS 1 −x −x y = − xe = e 2. 2 9. x 9. 13. 11. 18. 3. 22. 5. 35. Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 140 4.4 Coeficientes indeterminados: Método de superposición página 140 Repaso de EDO HOMOGÉNEA Quiz No. 7 Ecuación Diferencial Ordinaria NO HOMOGÉNEA an y (n ) + an−1 y (n−1) + ! + a1 y '+ a0 y = g ( x) La solución de (1) es (1) y = yc + yp (i) encontrar la función complementaria yc (ii) encontrar alguna solución particular yp Ecuación Diferencial Ordinaria HOMOGÉNEA asociada an y (n ) + an−1 y (n−1) + ! + a1 y '+ a0 y = 0 La solución de (2) es (2) yc Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 141 19 Teorema 4.1.6 Solución general, ecuaciones no homogéneas Sea yP cualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal NO homogénea de n−ésimo orden dny d n−1 y dy a x + ( ) + ! + a1 ( x) + a0 ( x) y = g ( x) (2) n −1 n − n 1 dx dx dx en el intervalo I, y sea y1, y2, …, yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada an ( x ) an ( x ) dny d n−1 y dy a x + ( ) + ! + a1 ( x) + a0 ( x) y = 0 (1) n −1 n − n 1 dx dx dx en el intervalo I. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es y = c1y1(x) + c2y2(x) + … + cnyn(x) + yP, donde ci, i = 1, 2, …, n son constantes arbitrarias. Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 142 Teorema 4.1.7 Principio de superposición; ecuaciones no homogéneas Sean yP1, yP2, …, yPk k soluciones de la ecuación diferencial lineal no homogénea de n−ésimo orden (2) en un intervalo I que corresponde, a su vez, a k funciones diferentes g1, g2, …, gk . Es decir, se supone que yPi denota una solución particular de la ecuación diferencial correspondiente. an ( x) y ( n ) + an−1 ( x) y ( n−1) + ! + a1 ( x) y '+ a0 ( x) y = g i ( x) (2) donde i = 1, 2, …, k. Entonces yP = yP1(x) + yP2(x) + … + yPk (x) es una solución particular de an ( x) y ( n ) + an−1 ( x) y ( n−1) + ! + a1 ( x) y '+ a0 ( x) y = g1 ( x) + g 2 ( x) + ! + g k ( x) Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 143 20 Tabla 4.1 Soluciones particulares de prueba yP. Forma de yP g(x) 1. 1 (cualquier constante) A 2. 5x + 7 Ax + B 3. 3x2 −2 Ax2 + Bx + C 4. x3 – x + 1 Ax3 + Bx2 + Cx + D 5. sen 4x A cos 4x + B sen 4x 6. cos 4x A cos 4x + B sen 4x 7. e5x A e5x 8. (9x – 2) e5x (Ax + B) e5x 9. x2 e5x (Ax2 + Bx + C) e5x 10. e3x sen 4x A e3x cos 4x + B e3x sen 4x 11. 5x2 sen 4x (Ax2 + Bx + C) cos 4x + (Ex2 + Fx + G) sen 4x 12. x e3x cos 4x (Ax + B) e3x cos 4x + (Cx + E) e3x sen 4x Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 144 Ejercicios 4.4 Página 148 Propuesto 5 Ejemplo 01 Resuelva la EDO dada mediante coeficientes indeterminados 1 ⎞ ⎛A Ax 2 + (2 A + B) x + ⎜ + B + C ⎟ = x 2 − 2 x y ' '+ y '+ y = x 2 − 2 x 4 ⎠ ⎝2 y = yc + y p ⇒ A =1 2 1 y p = Ax + Bx + C 2 A + B = −2 ⇒ B = −4 y ' '+ y '+ y = 0 4 7 A ⇒C = + B+C = 0 1 2 m + m +1 = 0 2 2 y p ' = 2 Ax + B 4 7 y p = x2 − 4x + m 2 + 4m + 4 = 0 yp ''= 2A 2 2 7 (m + 2) = 0 m1, 2 = −2 y ( x) = c1e −2 x + c2 xe −2 x + x 2 − 4 x + 2 y1 = e −2 x y2 = x e −2 x ⎞ ⎛1 ⎜ ⋅ 2 A ⎟ + (2 Ax + B ) + Ax 2 + Bx + C = x 2 − 2 x − 2 x − 2 x yc = c1e + c2 xe ⎠ ⎝4 ( Material 02 Ec Diferenciales ) Dr. Sergio Carrasco Romo 145 21 Ejercicios 4.4 Página 148 Propuesto 7 Ejemplo 02 Resuelva la EDO dada mediante coeficientes indeterminados y = yc + y p y ' '+3 y = −48 x 2 e3 x 2 3x y ' '+3 y = 0 9 Ax e + 9 Bxe3 x + 9Ce 3 x + 6 Axe3 x + 3Be 3 x m 2 + 3 = 0 6 Axe3 x + 3Be 3 x + 2 Ae 3 x + 3 Ax 2e3 x + 3Bxe3 x + 3Ce3 x = −48 x 2 e3 x 12 Ax 2e3 x + (12 A + 12 B) xe 3 x + (2 A + 6B + 12C ) e3 x = −48 x 2 e3 x �$,( = 0 ± 3� y1 = cos 3 x y2 = sin 3 x ⇒ A = −4 12 A + 12 B = 0 yc = c1 cos 3 x + c2 sin 3 x ⇒B=4 4 2 A + 6 B + 12C = 0 ⇒ C = − y p = ( Ax 2 + Bx + C ) e3 x 3 y p ' ' = 9( Ax 2 + Bx + C ) e3 x + 3(2 Ax + B) e3 x 4 y p = (−4 x 2 + 4 x − ) e3 x 3x 3x + 3(2 Ax + B) e + (2 A) e 3 4 y ( x) = c1 cos 3 x + c2 sin 3 x + (−4 x 2 + 4 x − ) e3 x 3 Material 02 Dr. Sergio Carrasco Romo 146 Ec Diferenciales Ejercicios 4.4 Página 148 Propuesto 11 Ejemplo 03 Resuelva la EDO dada mediante coeficientes indeterminados 1 1 1 x x y ' '− y '+ y = 3 + e x 2 y = yc + y p 2 y1 = e y2 = x e 2 4 2 1 y ' '− y '+ y = 0 ⎛⎜ m − 1 ⎞⎟ = 0 m1, 2 = 1 yc = c1e x 2 + c2 xe x 2 4 2 2⎠ ⎝ m2 − m + 1 =0 4 B x2 e 2 B y p = A + Be x 2 y p"= ex 2 4 B x2 B x2 A B x2 e − e + + e = 3 + ex 4 2 4 4 A = 3 + ex 4 A = 12 2 y p = A + Bx e x yp'= 2 B x2 x e + Be x 2 2 B B B y p ''= x ex 2 + ex 2 + ex 4 2 2 yp'= 2 2 B x2 B A B x e + Be x 2 − x e x 2 − B e x 2 + + x e x 2 = 3 + e x 2 4 2 4 4 A = 3 + ex 2 4 Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 147 22 1 1 y ' '− y '+ y = 3 + e x 2 4 yp = A+ y1 = e 2 y = yc + y p x 1 y2 = x e 2 yc = c1e x 2 + c2 xe x Bx 2 e x 2 x 2 1 B 2 x2 A + 2 Be x 2 = 3 + e x 2 ⇒ A = 12 x 2 y p ' = x e + 2 Bx e 4 2 1 2B = 1 ⇒ B = B 2 x2 2 y p ' ' = x e + Bx e x 2 + Bx e x 2 + 2 Be x 2 4 B 2 x2 B A B x e + Bx e x 2 + Bx e x 2 + 2 Be x 2 − x 2 e x 2 − 2 Bx e x 2 + + x 2 e x 2 = 3 + e x 4 2 4 4 y p = 12 + 1 2 x x e 2 2 y ( x) = c1e x 2 + c2 xe x 2 + 12 + Material 02 Ec Diferenciales 2 1 2 x x e 2 2 Dr. Sergio Carrasco Romo 148 Ejercicios 4.5 Página 154 Propuesto 40 Ejemplo 04 Resuelva la EDO dada mediante coeficientes indeterminados � = �N + �I �** + 3�* = 4� − 5 La solución general es Para �N Ec. Homogénea asociada �** + 3�* = 0 Ec. Auxiliar �( + 3� = 0 �(� + 3) = 0 �$ = 0 O bien, �( = −3 2� + 3 2�� + � = 4� − 5 2� + 6�� + 3� = 4� − 5 �$ = �M �( = � >1& 6�� + 2� + 3� = 4� − 5 2 6� = 4 ⇒ � = 3 19 2� + 3� = −5 ⇒ � = − 9 � = �$ + �( � >1& Para �I �I = �� + � �′I = � �′′I = 0 ¿ 0 + 3� = 4� − 5 ? �I = ��( + �� �′I = 2�� + � �′′I = 2� 2 19 �I = �( − � 3 9 2 19 � = � $ + � (� >1& + � ( − � 3 9 Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 149 23 Tarea No. 10 Cantidad de ejercicios: 10 Ejercicios 4.4 página 148 Resolver la ED empleando coeficientes indeterminados 12. y ' '−16 y = 2e 4 x 4. y ' '+ y '−6 y = 2 x 8. 4 y ' '−4 y '−3 y = cos 2 x 13. y ' '+4 y = 3 sin 2 x 10. y ' '+2 y ' = 2 x + 5 − e −2 x 15. y ' '+ y = 2 x sin x Resolver el problema con valores iniciales dado ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 1 y⎜ ⎟ = y '⎜ ⎟ = 2 27. y ' '+4 y = −2 ⎝8⎠ ⎝8⎠ 2 29. 5 y ' '+ y ' = −6 x y (0 ) = 0 y ' (0 ) = −10 Resolver el problema con valores en la frontera dado y (0 ) = 5 y (1) = 0 37. y ' '+ y = x 2 + 1 38. y ' '−2 y '+2 y = 2 x − 2 y (0 ) = 0 Material 02 Ec Diferenciales y (π ) = π Dr. Sergio Carrasco Romo 150 Tarea No. 10 Cantidad de ejercicios: 10 RESPUESTAS 4. 15. 8. 27. 29. y = 200 e − x 5 − 200 − 3 x 2 + 30 x 10. 37. 12. 38. 13. Material 02 Ec Diferenciales � ( arbitrario Dr. Sergio Carrasco Romo 24 4.6 Variación de parámetros página 157 a2 ( x ) d2y dy + + a0 ( x) y = g ( x) a x ( ) 1 dx dx 2 y ' '+ P( x) y '+Q( x) y = f ( x) y1u1 '+ y2u2 ' = 0 y1 ' u1 '+ y2 ' u2 ' = f ( x) y = c1y1(x) + c2y2(x) + yp, yc = c1y1(x) + c2y2(x), u1 ' = yp = u1y1(x) + u2y2(x), W= y1 y2 y1 ' y2 ' W1 = 0 y2 f ( x) y2 ' Material 02 Ec Diferenciales W1 W W2 = u2 ' = W2 W y1 0 y1 ' f ( x) Dr. Sergio Carrasco Romo 152 Ejercicios 4.6 Página 161 Propuesto 13 Ejemplo 01 y2 y 0 0 Resolver la EDO por W1 = W2 = 1 variación de parámetros y1 ' f ( x) f ( x) y2 ' x y ' '+3 y '+2 y = sin e y = yc + y p e −2 x e− x −2 x −x ( , ) = W e e yc = c1y1(x) + c2y2(x), − 2e − 2 x − e − x m 2 + 3m + 2 = 0 (m + 2)(m + 1) = 0 W = −e −3 x + 2e −3 x = e −3 x ≠ 0 m1 = −2 m2 = −1 0 e− x −x sin e x − e − x y1 = e − 2 x y2 = e − e − x sin e x = u1 ' = = −e x e x sin e x e −3 x e −3 x yp = u1y1(x) + u2y2(x), 0 e −2 x W1 W2 −2 x u1 '= u2 '= sin e x e − 2 x sin e x W W u2 ' = − 2e = = e x sin e x −3 x −3 x e e y y2 W= 1 Material 02 Dr. Sergio Carrasco Romo 153 y1 ' y2 ' Ec Diferenciales 25 ∫ du1 dx = − ∫ e x e x sin e x dx = −(−e x cos e x + ∫ e x cos e x dx) dx u1 = e x cos e x − sin e x u = ex du = e x dx x x dv = e x sin e x dx ∫ dv =∫ e sin e dx ∫ du2 dx = ∫ e x sin e x dx = − cos e x dx y1 = e −2 x y2 = e − x ⇒ v = − cos e x u2 = − cos e x yc = c1e −2 x + c2e − x yp = u1y1(x) + u2y2(x), y p = (e x cos e x − sin e x )e −2 x + (− cos e x )e − x = −e −2 x sin e x y = yc + y p ⇒ y ( x) = c1e −2 x + c2e − x − e −2 x sin e x Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 154 Ejercicios 4.6 Página 161 Propuesto 15 Ejemplo 02 y y2 W W Resolver la EDO por u1 '= 1 u2 '= 2 W= 1 y1 ' y2 ' W W variación de parámetros y2 y 0 0 y ' '+2 y '+ y = e − x ln x W1 = W2 = 1 y1 ' f ( x) f ( x) y2 ' y = yc + y p −x −x e xe = − xe − 2 x + e − 2 x + xe − 2 x W= y ' '+2 y '+ y = 0 −x −x −x −e − xe + e = e −2 x ≠ 0 a = 1, b = 2, c = 1 0 xe − x m 2 + 2m + 1 = 0 = − xe − 2 x ln x W1 = − x −x −x e ln x − xe + e (m + 1) 2 = 0 m1 = m2 = −1 0 e−x y1 = e − x y2 = xe − x W2 = = e − 2 x ln x − x −x e ln x −e yc = c1e − x + c2 xe − x e − 2 x ln x − xe − 2 x ln x = ln x u u ' = = ' = − x ln x y p = u1 y1 + u2 y2 2 1 e −2 x e −2 x Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 155 26 du1 du 2 dx = − ∫ x ln xdx dx = ∫ ln xdx ∫ dx dx 2 x 1 x 1 2 u1 = − ( x ln x − ∫ dx ) u2 = x ln x − ∫ dx x 2 x 2 1 2 1 2 u2 = x ln x − x u1 = − x ln x + x 2 4 1 1 u = ln x u = ln x du = dx du = dx x 1 x v=x dv = xdx dv = dx v = x2 2 y p = u1 y1 + u 2 y2 y1 = e − x y2 = xe − x ⇒ yc = c1e − x + c2 xe − x 1 1 y p = (− x 2 ln x + x 2 )e − x + ( x ln x − x) xe − x 2 4 1 3 1 2 −x 1 2 −x y p = − x e ln x + x e + x 2e − x ln x − x 2e − x = x 2 e − x ln x − x 2e − x 2 4 2 4 1 3 y ( x) = c1e − x + c2 xe − x + x 2 e − x ln x − x 2 e − x 2 4 ∫ Material 02 Ec Diferenciales Ejercicios 4.6 Dr. Sergio Carrasco Romo 156 Página 161 Resolver las EDO por variación de parámetros. Si existen condiciones iniciales, determinar la solución particular 4. y ' '+ y = sec x tan x 10. y ' '−9 y = 9x e 3x 12. y ' '−2 y '+ y = ex 1+ x2 22. y ' '−4 y '+4 y = (12 x 2 − 6 x)e 2 x Material 02 Ec Diferenciales y (0) = 1 y ' (0) = 0 Dr. Sergio Carrasco Romo 157 27 4.7 Ecuación de Cauchy – Euler página 162 Ecuación diferencial lineal con coeficientes variables…especiales n −1 y dny dy n −1 d a x + + ! + a1 x + a0 y = g ( x) n −1 n − n 1 dx dx dx an x n mismo valor an x n mismo valor mismo valor n −1 y dny dy n −1 d a x + + ! + a1 x + a0 y = g ( x) n −1 n − n 1 dx dx dx Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 158 Un caso particular EDO de segundo orden ax 2 d2y dy + bx + cy = 0 2 dx dx Método de solución y = xm am(m − 1) x m + bmx m + cx m = 0 dy = mx m −1 dx x m (am(m − 1) + bm + c ) = 0 d2y dx 2 ( ) x m (am 2 + (b − a )m + c ) = 0 x m am 2 − am + bm + c = 0 = m(m − 1) x m−2 ax 2 m(m − 1) x m−2 + bxmx m−1 + cx m = 0 xm ≠ 0 Material 02 Ec Diferenciales am 2 + (b − a )m + c = 0 Dr. Sergio Carrasco Romo 159 28 am 2 + (b − a)m + c = 0 Caso I Raíces reales distintas y1 = x m1 y2 = x m2 ⇒ y ( x) = c1 x m1 + c2 x m2 ⇒ Caso II Raíces reales repetidas y2 = x e b dx − ax ∫ ∫ (x ) m1 2 dx = x m1 ∫ e ax 2 d2y dy + bx + cy = 0 2 dx dx d 2 y b dy c + + 2 y=0 2 dx ax dx ax b − ln x a x 2 m1 Conjunto solución m1 = m2 e − ∫ P ( x ) dx y2 = y1 ( x) ∫ dx y12 ( x) y1 = x m1 m1 m1 ≠ m2 dx − (b − a ) ⇒ b b−a 2 a − dx = x m1 ∫ x a ⋅ x a dx = x m1 ∫ = x m1 ln x x y1 = x m1 y ( x) = c1 x m1 + c2 x m1 ln x Conjunto solución m1 = Material 02 Ec Diferenciales Caso III Raíces conjugadas complejas ⇒ m1 = α + β i m2 = α − β i e i 2 = −1 y = c1 xα + β i + c2 xα − β i eiθ = cos θ + i sin θ y1 = x α cos( β ln x) y2 = x m1 ln x Dr. Sergio Carrasco Romo 160 donde : α y β > 0 y = c1 x m1 + c2 x m2 b−a = −2m1 a Fórmula de Euler y2 = x α sin( β ln x) y ( x) = xα [c1 cos( β ln x) + c2 sin( β ln x)] Conjunto solución Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 161 29 Ejercicios 4.7 Página 168 Propuesto 2 Ejemplo 03 Resolver la EDO por Cauchy – Euler 4 x 2 y ' '+ y = 0 ax 2 d2y dy + bx + cy = 0 2 dx dx a = 4, b = 0, c = 1 am 2 + (b − a )m + c = 0 4m 2 + (0 − 4)m + 1 = 0 (2m − 1) 2 = 0 4m 2 − 4m + 1 = 0 Caso II Raíces reales repetidas ⇒ m1 = m2 = 1 2 m1 = m2 y = c1 x m1 + c2 x m1 ln x y ( x) = c1 x1 2 + c2 x1 2 ln x Conjunto solución Dr. Sergio Carrasco Romo 162 Material 02 Ec Diferenciales Ejercicios 4.7 Página 168 Propuesto 5 Ejemplo 04 Resolver la EDO por Cauchy – Euler x 2 y ' '+ xy '+4 y = 0 ax 2 a = 1, b = 1, c = 4 d2y dy bx + + cy = 0 dx dx 2 a m 2 + (b − a ) m + c = 0 m 2 + (1 − 1)m + 4 = 0 m2 + 4 = 0 m 2 = −4 m1 = m2 = 0 ± 2i Raíces conjugadas complejas ⇒ α =0 β =2 m1 = α + β i m2 = α − β i donde : α y β > 0 e i 2 = −1 y = xα [c1 cos( β ln x) + c2 sin( β ln x)] Conjunto solución y = x 0 [c1 cos(2 ln x) + c2 sin(2 ln x)] = c1 cos(2 ln x) + c2 sin(2 ln x) Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 163 30 Ejercicios 4.7 Página 168 Propuesto 21 Ejemplo 05 Resolver la EDO NO homogénea por variación de parámetros d2y dy x 2 y ' '− xy '+ y = 2 x x ∈ (0, + ∞ ) ax 2 2 + bx + cy = g ( x) dx dx y = yc + y p y ' '+ P( x) y '+Q( x) y = f ( x) y ' '− 1 1 2 y '+ 2 y = x x x m 2 − 2m + 1 = 0 (m − 1) 2 = 0 1 1 y ' '− y '+ 2 y = 0 x x a = 1, b = –1 , c = 1 y1 = x m1 y2 = x m1 ln x y1 = x y2 = x ln x a m 2 + (b − a ) m + c = 0 yc = c1 x m1 + c2 x m1 ln x m 2 + (−1 − 1)m + 1 = 0 yc = c1 x + c2 x ln x Dr. Sergio Carrasco Romo 164 Material 02 Ec Diferenciales y p = u1 y1 + u 2 y2 u1 '= y1 = x y2 = x ln x W1 W u2 '= 0 W1 = x x ln x f ( x) W= = x + x ln x − x ln x 1 1 + ln x W =x>0 0 x ln x W1 = 2 = −2 ln x 1 + ln x x ∫ m1 = m2 = 1 x W2 = 1 0 2 =2 x du1 ln x 1 dx = −2 ∫ dx = −2⎛⎜ (ln x) 2 ⎞⎟ dx x ⎠ ⎝2 ln x 1 dx = (ln x) 2 x 2 1 u = ln x du = dx x W2 W y2 y2 ' W= W2 = y1 y2 y1 ' y2 ' y1 0 y1 ' f ( x) − 2 ln x x 2 u2 ' = x u1 ' = ⇒ u1 = −(ln x) 2 ∫ Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 165 31 x 2 y ' '− xy '+ y = 2 x yc = c1 y1 + c2 y2 y = yc + y p y p = u1 y1 + u 2 y2 ∫ ⇒ u1 = −(ln x) 2 ⇒ u2 = 2 ln x du2 1 dx = 2 ∫ dx = 2 ln x dx x y1 = x y2 = x ln x yc = c1 x + c2 x ln x y p = − x(ln x) 2 + 2 x(ln x) 2 = x(ln x) 2 y = c1 x + c2 x ln x + x(ln x) 2 Material 02 Ec Diferenciales Ejercicios 4.6 Dr. Sergio Carrasco Romo 166 Página 161 Resolver las EDO por variación de parámetros. Si existen condiciones iniciales, determinar la solución particular 5. y ' '+ y = cos 2 x 10. � ** − 9� = 20. 2 y ' '+ y '− y = x + 1 9� � 1& y (0) = 1 y ' (0) = 0 Ejercicios 4.7 Página 168 Resolver las EDO por la ecuación de Cauchy – Euler 7. x 2 y ' '−3xy '−2 y = 0 13. 3x 2 y ' '+6 xy '+ y = 0 Resolver las EDO por variación de parámetros. Si existen condiciones iniciales, determinar la solución particular 20. 2 x 2 y ' '+5 xy '+ y = x 2 − x ⎛1⎞ ⎛1⎞ 30. x 2 y ' '−5 xy '+8 y = 8 x 6 y⎜ ⎟ = 0 y ' ⎜ ⎟ = 0 ⎝2⎠ Material 02 Ec Diferenciales ⎝2⎠ Dr. Sergio Carrasco Romo 167 32 Quiz No. 8 Tarea No. 11 Cantidad de ejercicios: 14 Ejercicios 4.6 página 161 Resolver las EDO por variación de parámetros. Si existen condiciones iniciales, determinar la solución particular. 1 6. y ' '+ y = sec 2 x 11. y ' '+3 y '+2 y = 1+ ex x 17. 3 y ' '−6 y '+6 y = e sec x y (0) = 1 19. 4 y ' '− y = xe x 2 21. y ' '+2 y '−8 y = 2e −2 x − e − x y ' (0) = 0 y (0) = 1 y ' (0) = 0 Ejercicios 4.7 Página 168 Resolver las EDO por variación de parámetros las ecuaciones diferenciales no homogéneas 6. x 2 y ' '+5 xy '+3 y = 0 11. x 2 y ' '+5 xy '+4 y = 0 Dr. Sergio Carrasco Romo 168 Material 02 Ec Diferenciales Tarea No. 11 Cantidad de ejercicios: 14. Continuación… 19. xy ' '−4 y ' = x 4 22. � ( � ** − 2�� * + 2� = � R� & 23. � ( � ** + �� * − � = ln � 1 � +1 2 25. x y ' '+3xy ' = 0 y (1) = 0 y ' (1) = 4 24. � ( � ** + �� * − � = 27. x 2 y ' '+ xy '+ y = 0 y (1) = 1 y ' (1) = 2 29. �� ** + � * = �, � 1 = 1, Material 02 Ec Diferenciales �* 1 = − 1 2 169 33 Tarea No. 11 Cantidad de ejercicios: 10 6. y = c1 cos x + c2 sin x − 1 RESPUESTAS 6. + sin x ln sec x + tan x −x −2 x 11. y = c1 e + c2 e + e − x ln(1 + e x )(1 + e − x ) 11. 17. 19. � = � $� & cos � + � (� & sin � y = c1 + c2 x 5 + 1 5 x ln x 5 ( ( & & 22. � = �$ � + �( � + � � − 2� � 19. + 21. − 1 2 x2 1 x x e − xe 8 4 1 −2 x 1 − x e + e 4 9 24. � = � $� >$ + � (� − 2 23. � = � $� >$ + � (� − ln � Material 02 Ec Diferenciales Dr. Sergio Carrasco Romo 170 1 � 1 � ln � + 1 − ln � − − ln(� + 1) 2� 2 2 2 25. 27. 29. � = 3 1 − ln � + � ( 4 4 Material 02 Ec Diferenciales 171 34