Principio de Heisenberg y relaciones de Incertidumbre

Principio de Heisenberg y relaciones de Incertidumbre Javier Oswaldo Becerra Navas Fainner Leonardo Monsalve Hernández Jesús Alberto Beltrán Granados Universidad Industrial de Santander Socorro, Colombia [email protected] Heisenberg, Principio de Incertidumbre, Constante de Planck, Física Cuántica, Física Clásica, Fotón, Energía, Longitud de Onda, Cantidad de movimiento, impulso. Resumen El contenido de este informe habla de forma clara y concisa acerca del principio de Incertidumbre, postulado por Heisenberg, de quien se incluye una breve biografía; se enuncian algunas ecuaciones, relaciones matemáticas y ejemplos que ayudan a entender mejor dicho principio. También se hace énfasis en la física cuántica y se aclara que las leyes de la física clásica no aplican en la microfísica, donde la naturaleza se comporta de una manera muy diferente y su estudio se rige por otros principios. Introducción La física clásica ha supuesto siempre que existe el observador y lo observado, que en el proceso de medición puede buscarse algo con el cuidado suficiente, y no alterar sustancialmente lo que se está midiendo. Está claro que es deseable que la sonda de medición no tenga un efecto notable en el sistema que se mide, ¿pero, es esto posible siempre? En el análisis final, determinamos la posición y la velocidad o sólo la velocidad de cualquier objeto haciendo rebotar algo sobre el: El sonido (sonar) en una ballena o midiendo la posición de la luna desde la tierra, haciendo rebotar ondas de radar en ella. Un haz de fotones de luz solar que rebota en una pelota que vuela (lo que permite verla) no tiene efecto perceptible en el movimiento de la pelota, pero un fotón que golpea un electrón diminuto puede alterar el movimiento de éste de forma drástica y bastante imprevisible. La interpretación estadística de Bohr sugiere que solo podemos calcular la probabilidad de los sucesos. Dado un haz de partículas podemos determinar la probabilidad de que una de las partículas alcance un punto dado de un blanco, pero no podemos saber cuál de las partículas llegará justo a dicho punto. Sí sabemos con precisión en donde está una partícula en el comienzo, con qué rapidez y su dirección, entonces ¿Por qué no podemos seguirlo exactamente? Es posible que se pueda, pero tal vez no sea está la pregunta correcta; sería más razonable preguntar si en realidad es posible medir la posición y la velocidad con exactitud, esto fue lo que debió preguntarse Heisenberg antes de dar con la noción crucial conocida como Principio de Incertidumbre que aclara algo la indeterminación del país del átomo. Werner Karl Heisenberg Nacido en Wurzburgo, Alemania el 5 de Diciembre de 1901, Físico de la universidad de Múnich, su alma mater, reconocido por su agrado por la matemática pura y su interés por la teoría cuántica, recibe su doctorado en física a tan sólo 22 años de edad en 1923, tenía extraordinarias capacidades para la física matemática pero tuvo algunos retrasos en su doctorado debido a su inexperiencia en la física experimental. En 1924 comienza a trabajar en el instituto de física teórica de Copenhague en donde conoce a prominentes físicos entre ellos Albert Einstein y Niels Bohr, director del instituto, a partir de aquí comienza su periodo más brillante que más adelante se vería en los logros obtenidos al ganar el premio nobel de Física en 1932 por el desarrollo de la llamada mecánica cuántica matricial. Heisenberg recibió muchos honores por sus notables contribuciones, además del Premio Nobel de Física. Fue elegido Fellow de la Royal Society de Londres, y fue miembro de las academias de Göttingen, Baviera, Sajonia, Prusia, Suecia, Rumania, Noruega, España, Países Bajos, Roma, la Akademie der Naturforscher Leopoldina, la Accademia dei Lincei, y la Academia Americana de las Artes y las Ciencias. Entre los premios que recibió fue el Premio de Copérnico, Muere en 1 de febrero de 1976 en Múnich. Principio de Incertidumbre Para explicar este principio debemos basarnos en un clásico ejemplo. Supóngase que deseamos determinar la posición y velocidad de un solo electrón. Un fotón con baja energía, elegido para ser lo más suave posible, tendrá un longitud de onda larga como la de los rayos x. Aunque perturbara muy poco el movimiento del electrón sobre el que incide, la larga onda se curvara en torno al electrón, dando sólo una determinación aproximada de la partícula. La forma de afinar la medición de la posición es hacer que la longitud de onda sea comparable con el tamaño del electrón. Pero esto significa usar un fotón de alta energía; como por ejemplo los rayos Gamma, lo que permitirá localizar al electrón más exactamente pero lo lanzará lejos. Detectando al fotón que retrocede podremos determinar bastante bien en donde estaba el electrón cuando recibió el impacto, pero sabremos muy poco de su nueva velocidad. Por tanto, se concluye que en cuanto más exacta sea la medida de la posición del electrón, con menos precisión conoceremos su velocidad final, y viceversa. Basado en esto Heisenberg postula el Principio de Incertidumbre el cual dice que no es posible conocer, con una precisión arbitraria, y cuando la masa de la partícula es constante, la posición y el momento de dicha partícula. De ello se deriva que el producto de las incertidumbres de ambas magnitudes debe ser siempre mayor que la constante de Planck como se observa a continuación. ∆x·∆px ≥ ħ/2 (I) En donde ħ (h barra) está determinada por ħ = h/2π siendo h la constante de Planck. Existen las relaciones correspondientes para las otras componentes correspondientes del impulso, a saber: ∆y·∆py ≥ ħ/2 ∆z·∆pz ≥ ħ/2 Nótese que. ∆x·∆pz=0, ∆x·∆py=0, ∆y·∆px=0, ∆y·∆pz=0, ∆z·∆px=0, ∆z·∆py=0 Nota: todas las cantidades físicas se relacionan con operadores que actúan sobre el estudio del sistema físico, pero para comprobar matemáticamente estas expresiones no poseemos las herramientas requeridas. En este caso otra manera de explicar dicho fenómeno sería destacando que si en un fenómeno, en particular cuántico, sino importa el orden de las mediciones, en la experimentación la incertidumbre será cero, en cambio si el orden en que se realizan dichas mediciones afecta las condiciones del experimento, existirá incertidumbre. Es importante hacer notar que este principio no tiene que ver con los adelantos en la instrumentación que conduzcan a mejores determinaciones simultáneas de la posición y del impulso A partir de esta desigualdad observamos que es un producto de incertidumbres, de modo que, por ejemplo entre más se modifique un experimento para mejorar px, más se sacrifica la habilidad de poder determinar x con precisión. Si px se conociera exactamente, se ignoraría totalmente la x (es decir, si ∆px=0, ∆x=∞) por lo tanto, la restricción no está en la precisión con la que se pueda medir x o px, sino en el producto ∆x·∆px en una medida simultanea de ambas. Para un caso particular, en donde se desee hallar la posición de un electrón vamos a reducir lo más posible la perturbación a este electrón utilizando una fuente de luz débil. La fuente más débil que se puede utilizar será tal que se observará al electrón sólo si un fotón interactúa con él. Entonces a partir del postulado de Broglie la magnitud del impulso del fotón es p=h/λ, por tanto ∆p debe ser proporcional a h/λ y además ∆x es proporcional a λ. Conociendo estas relaciones, podemos reemplazarlas en la desigualdad de Heisenberg. ∆x·∆px ∝ (h / λ) · (λ) ≥ ħ/2 Nota: En la relación mostrada anteriormente es una relación de proporcionalidad entre ∆x y ∆px , que se utilizan como base para aclarar la siguiente idea. Se puede observar en la relación matemática que si la longitud de onda del fotón mencionado anteriormente tiene un valor muy alto se podrá conocer con mayor exactitud el momento lineal, pero a la vez, la incertidumbre en la posición aumentará. Esta interacción perturba la partícula de modo tal, que no se puede predecir ni controlar y el resultado es que ni las coordenadas ni el impulso pueden conocerse completamente después de una medición. Si las leyes de la física fueran válidas, entonces la radiación sería considerada como continua en lugar de granular y la iluminación se podría reducir a niveles arbitrariamente pequeños al mismo tiempo que se utilizarían longitudes de onda arbitrarias para obtener una resolución “perfecta”. En Principio no habría un límite inferior simultáneamente para la resolución y el impulso de retroceso y no habría principio de incertidumbre. Pero esto no se puede hacer, un fotón es invisible. Una vez más se puede ver que la constante de Planck es una medida de la mínima perturbación incontrolable que distingue a la Física Cuántica de la Física Clásica. Ahora bien, como el momento lineal p=m·v (Ecuación de la física clásica que permite relacionar el principio con la microfísica, en los fenómenos a escala habitual), este principio puede formularse de forma lago más restringido y útil: La incertidumbre en la posición de una partícula ∆x, multiplicada por la incertidumbre simultánea en su rapidez ∆v, es en el mejor de los casos aproximadamente h dividida por su masa m: ∆x·∆v ≈h/m (II) La constante de Planck es, por supuesto, un número muy pequeño (6.6x10-34 J∙s), y cuanto m es grande, como ocurre con un cubo de basura o incluso con una pelota de pimpón, el segundo miembro de esta ecuación es diminuto. En tales circunstancias, ambas incertidumbres serán inobservables, y el mundo de dimensión humana no necesita preocuparse de los detalles del principio de Heisenberg. En efecto, la constante de Planck es casi cero, y los pesados objetos ordinarios no muestran incertidumbres apreciables; es decir, se comportan en la forma determinista usual. Pero no ocurre así en modo alguno con las entidades atómicas. El electrón, por ejemplo, tiene una masa de solo 9.1x10-31 Kg, con lo cual el segundo miembro de la ecuación ya no es despreciable. La teoría de la relatividad había sugerido ya que observador y observado estaban unidos, que había una subjetividad inevitable en la medición. Lo que se ve del tiempo y del espacio depende del movimiento relativo del observador y de lo observado. La mecánica cuántica une ahora aún más estrechamente al observador con lo observado, especialmente en el país del átomo, donde un solo fotón que relaciona a ambos elimina la arbitraria distinción sujeto-objeto. La sonda del medidor se convierte en una parte esencial del sistema medido. Al final no sabemos siquiera si una partícula tiene (en realidad), de forma simultánea, una posición y una velocidad perfectamente definidas. Quizá no las tenga. En cualquier caso, no podríamos medirlas aunque las tuviera, y no porque de momento carezcamos del método adecuad, sino porque dicho método no es teóricamente posible. Si no podemos conocer con precisión el presente de un electrón, tendremos que confiar en las probabilidades para hablar de su futuro. A partir de la ecuación (I) que relaciona la posición y e impulso podemos hallar una nueva relación de incertidumbre en la energía y en el tiempo. Considérese un electrón que se mueve en el eje x, y cuya energía se puede escribir como: E= px2 /2m Si la incertidumbre en px está dada por ∆px entonces, la incertidumbre en E, está dada por: ∆E= (px /m) ·∆px =vx·∆px En este caso vx puede interpretarse como la velocidad de retroceso a lo largo de x, del electrón que es iluminado para medir su posición o si el tiempo requerido para una medida es ∆t, entonces la incertidumbre en su posición x es ∆x=vx ∆t. Combinando ∆t=∆x/vx y ∆E=vx ∆px, entonces: ∆px·∆x=∆E·∆t Y como ∆x·∆px ≥ ħ/2 se obtiene: ∆E·∆t ≥ ħ/2 (III) Que es la relación de principio de incertidumbre expresada en función de parámetros diferentes, en otras palabras significa lo siguiente: “No es posible determinar la energía y las coordenadas de tiempo de una partícula con precisión ilimitada” Todas las mediciones de la energía suponen incertidumbre intrínseca, a menos de que se disponga de tiempo infinito para efectuarla. Un sistema que permanece en un estado metáestable como ilustra la Figura 1. Durante un tiempo muy largo (∆t muy grande), puede tener una energía muy bien definida (∆E muy pequeño), pero si permanece en un estado sólo durante un corto tiempo (∆t muy pequeño), la incertidumbre en la energía debe ser proporcionalmente mayor ((∆E muy grande). Para entender mejor esta idea que refleja la segunda parte del principio de heisenberg, a continuación explicaremos un ejemplo clásico. Supóngase un átomo de sodio está en uno de los estados llamados “niveles excitados inferiores”. Permanece en este estado durante un tiempo promedio de 1.6 x10-8 s y hace una transición regresando al estado fundamental, con emisión de un fotón de 589 nm de longitud de onda, y 2.105 eV de energía. ¿Cuál es la incertidumbre de energía de este estado excitado? Rta: El tiempo promedio que pasa un átomo en estado excitado es igual al ∆t de la ecuación del principio de incertidumbre de heisenberg para energía e intervalo de tiempo. Se determinará la incertidumbre en la energía sustituyendo el signo (≥) por el signo (=) y se despeja ∆E, así: ∆E= (ħ/2)/∆t =5.275 x10-35 J·s/1.6 x10-8 s ∆E= 3.2968 x10-27 J = 2.058x 10-8 eV El átomo permanece un tiempo indefinidamente grande en el estado fundamental, por lo que ahí no hay incertidumbre fundamental. Bibliografía Eugene Hecht, Física en Perspectiva, Addison Wesley Iberoamericana, Adelphi University, pp. 322-324 Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, “Física Universitaria, con física moderna”, vol. 2, decimosegunda edición , Pearson Educación, mexico, 2009, pp. 1357-1358 R. Resnick, D. Holliday y K. Krane, “Física”, vol. 2, quinta edición, cecsa editorial, 2003, pp. 1042-1044. Raymond A. Serway y John W. Jewett, “Física para ciencias e ingeniería con física moderna”, vol. 2, séptima edición, cengage learning, 2005, pp 1175-1177. R. Nicole, “Title of paper with only first word capitalized,” J. Name Stand. Abbrev., in press. Conclusiones Comprendimos el porqué en la física clásica el principio de incertidumbre no tiene gran validez, como se observa en la ecuación (II), pero si lo llevamos al mundo microscópico, encontramos que este principio rige todas las mediciones donde sólo se puede hablar de probabilidades y no de mediciones exactas. Evidenciamos que el principio de incertidumbre que relaciona la posición y la cantidad de movimiento, establece que en general, ni la posición ni la cantidad de movimiento se pueden determinar con una precisión arbitrariamente grande como indicaba la física clásica, en vez de ello, la incertidumbre de las dos cantidades, juegan papeles inversamente proporcionales. Encontramos que el principio de incertidumbre no solo relaciona la posición y cantidad de movimiento, sino que también se evidencia en parámetros diferentes como Energía y tiempo, donde todas las mediciones de energía suponen incertidumbre intrínseca, a menos que se disponga de un tiempo infinito para efectuarlas