CANTIDAD DE MOVIMIENTO-PARTÍCULA FINAL2,

“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL GRUPO N° 4 DOCENTE: Msc. Ing. RODRÍGUEZ LLONTOP, Irma ASIGNATURA: Dinámica TEMA: Impulso y cantidad de movimiento de una partícula INTEGRANTES: CLAVE: PEREYRA HERRERA, Yanina 4.3 NUÑEZ TORRES, Elvin 4.2 CERVERA VILLALOBOS, Arturo 4.1 FERNANDEZ HUAMAN, Luis 4.4 LAMBAYEQUE, SETIEMBRE DE 2015 DINAMICA ÍNDICE I. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... .3 II. OBJETIVOS............................................................................................... 4 III.- PRECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS CONCEPTOS DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ............................................................................ 5 IV.- MARCO TEÓRICO 1. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL O ÍMPETU. ...................................... 7 2. IMPULSO .................................................................................................. 8 3. PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UNA PARTÍCULA ............................................................................................... 9 4. PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS ................................................................ 12 5. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ......................................................................... .15 6. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS ......................................................................... .16 7. V.- CHOQUES ............................................................................................... 22 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ................................................................... 21 VI.- BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................ 44 Página 2 DINAMICA INTRODUCCIÓN En los temas anteriores hemos estudiado las ecuaciones que relacionan trabajo y energía deducidas al integrar respecto al desplazamiento la ecuación del movimiento F= m x a, como consecuencia observamos que las variaciones de velocidad pueden expresarse directamente en función del trabajo y en función de la variación de energía total. En este capítulo utilizaremos la segunda ley de newton junto con la cinemática para obtener como resultado el principio del impulso y cantidad de movimiento para una partícula y un sistema de partículas con ello centrar nuestra atención a la integración de la ecuación del movimiento respecto al tiempo y no respecto al desplazamiento. Estas ecuaciones facilitan notablemente la resolución de numerosos problemas en que las fuerzas aplicadas actúan durante intervalos de tiempo cortísimos o bien durante intervalos de tiempos específicos. Página 3 DINAMICA OBJETIVOS  Desarrollar el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal para una partícula, y emplearlo para resolver problemas que involucran fuerza, velocidad y tiempo.  Calcular el tiempo utilizando cinética de partícula: 2° Ley de Newton, Trabajo y energía, y sobretodo Cantidad de movimiento lineal.  Estudiar la conservación de la cantidad de movimiento lineal para partículas.  Estudiar el coeficiente de restitución y sus utilidades. Hallar el coeficiente de restitución.  Analizar diferentes tipos de choque (impacto). Página 4 DINAMICA PRECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS CONCEPTOS DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Los conceptos de impulso y cantidad de movimiento tuvieron una evolución histórica, desde aproximadamente el s. XIV hasta el s. XVII. En el siglo XIV, el fraile franciscano William of Ockham (1280-1389) o Guillermo de Ockham, asignó a los objetos móviles una propiedad responsable del mantenimiento de su movimiento. Así por ejemplo, una flecha debía t a spo ta lo ue él lla o u a ie ta a ga o espo die te a la noción moderna de cantidad de movimiento), cuya posesión aseguraba la continuidad de su movimiento. Esta idea fue defendida posteriormente por su discípulo Jean Buridan (1300-1358), Jean Buridan Formuló una noción de inercia intentando explicar el í petus y, o side ó ue la a ga ovi ie to o la teo ía del ue t a spo ta a los o jetos móviles, como proyectiles, debía ser proporcional al peso del proyectil por alguna función de su velocidad. Estas ideas llegaron hasta Galileo, Descartes y otros físicos del siglo XVII, que finalmente definieron con precisión el impulso y la cantidad de movimiento. Página 5 DINAMICA Descartes (1597-1650) René Descartes, nació en La Haye, Turena (Francia), 31 de marzo de1596, fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los epígonos con luz propia en el umbral de la revolución científica. Siendo uno de los fundadores de la filosofía moderna, su faceta como físico es desconocida por muchos, pero valorada por otros. Pero Descartes no solo proporciona la primera formulación claramente moderna de las leyes de la naturaleza y un principio de conservación del movimiento, sino que también construyó la que sería la teoría más popular del movimiento planetario a fines del siglo XVII. Los logros más importantes de la física de Descartes son las tres leyes de la naturaleza (que en resumen son las leyes del movimiento corporal). Las propias leyes del movimiento de Newton se inspirarían en estas: Todo movimiento, es por sí mismo, a lo largo de líneas rectas. Cuando los cuerpos se mueven en círculos, tienden a alejarse del centro del círculo que están describiendo. Un cuerpo, al entrar en contacto con uno más fuerte, no pierde nada de movimiento, sin embargo al entrar en contacto con uno más débil, pierde, debido a la transferencia que se hace hacia este. Se puede inferir que Descartes contribuyó a sentar las bases de la dinámica moderna (que estudia el movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas). Para René, la conservación de la cantidad de movimiento es uno de los principios rectores del universo. Cuando Dios creó el universo, razona con una cantidad finita de cantidad de movimiento. Página 6 DINAMICA MARCO TEÓRICO 1. Cantidad de movimiento lineal: La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o "Momentum Lineal"; es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que se define como el producto de su masa por su velocidad es decir cuando un cuerpo de masa "m"; se mueve con una velocidad "v", se dice que posee o tiene una cantidad de movimiento definida por el producto de su masa por su velocidad y describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. La cantidad de movimiento lineal para un sistema de partículas la cantidad de movimiento se define como la suma de las cantidades de movimiento de las partículas en el sistema. El vector mv de las ecuaciones se representa por el símbolo L o P y recibe el nombre de cantidad de movimiento del punto material. Como m es un escalar positivo, los vectores cantidad de movimiento y velocidad del punto tendrán la misma dirección y sentido. El módulo de la cantidad de movimiento es igual al producto de la masa m por la celeridad v del punto material. Página 7 DINAMICA En el sistema SI, la unidad de cantidad de movimiento es el kg.m/s o lo que es equivalente, N.s. 2. Impulso Llamado también "ímpetu o impulsión"; y es una magnitud física vectorial cuyas dimensiones son fuerza-tiempo y mide el efecto de una fuerza (f) que actúa sobre un cuerpo durante un tiempo muy pequeño (t) (tiempo que la fuerza actúa), produciendo un desplazamiento del cuerpo en la dirección de la fuerza. En el sistema SI su módulo se expresa en N.s o lb.s que es la misma unidad que se obtuvo para la cantidad de movimiento de un punto material. � �=∫ �� �= � − �� Página 8 DINAMICA � La integral ∫� � � recibe el nombre de impulso de la fuerza. 3. Principio del impulso y cantidad de movimiento de una partícula.  Consideremos una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F, Como se vio en el capítulo anterior; la segunda ley de Newton puede Expresarse en la forma: Jj45 m  F  ma dv dt  Donde a y v se miden a partir de un marco de referencia inercial. Al multiplicar a ambos lados de la ecuación por dt obtenemos: =  Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa. Al reordenar los términos e integrar entre los límites v = v cuando t = t y v = v cuandot = t , tenemos: Página 9 DINAMICA   Fdt  m  dv t2 v2 t1 v1  Finalmente Integrando la ecuación de movimiento con respecto al tiempo obtenemos el principio de impulso y cantidad de movimiento nos indica que: El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento.   Fdt  mv2  mv1 t2 t1 Esta ecuación se conoce como principio de impulso y cantidad de movimiento lineal. Por la derivación se ve que es simplemente una integración con respecto al tiempo de la ecuación de movimiento. Proporciona un medio directo de obtener la velocidad final v de la partícula después de un lapso de tiempo especificado cuando la velocidad inicial de la partícula se conoce y las fuerzas que actúan en ella son constantes o pueden expresarse como una función de tiempo. Por comparación, si v se determinara por medio de la ecuación de movimiento, se requeriría un proceso de dos pasos: es decir, aplicar Página 10 DINAMICA ∑ F = ma Para obtener a y luego integrar a = dv/dt para obtener v .  Para solucionar problemas, la ecuación:  t2 t1 Fdt  mv2  mv1  Se escribirá como: mv1    t2 t1 Fdt  mv2  La cual expresa la cantidad de movimiento inicial de la partícula en el instante t más la suma de todos los impulsos aplicados a la partícula de t a t equivale a la cantidad de movimiento final de la partícula en el instante t .  Si cada uno de los vectores en la ecuación se divide en sus componentes x, y, z, podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes de impulso y cantidad de movimiento lineal. Página 11 DINAMICA m(vx )1    Fx dt  m(vx ) 2 t2 m(v y )1    Fy dt  m(v y ) 2 t1 t2 m(vz )1    Fz dt  m(vz ) 2 t1 t2 t1 Estas ecuaciones representan el principio del impulso lineal y el momento para la partícula en las direcciones x, y, z respectivamente. 4. Principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de partículas  El principio de impulso y cantidad de movimientos lineales para un sistema de partículas que se mueven con respecto a una referencia inercial, se obtiene con la ecuación de movimiento aplicada a todas las partículas del sistema es decir: Página 12 DINAMICA F i  m i dvi dt  El término de lado izquierdo representa solo la suma de las fuerzas externas que actúan en las partículas .Recuerde que las fuerzas internas Fi que actúan entre las partículas no aparecen con esta suma, puesto que de acuerdo con la tercera ley de Newton ocurren en pares colineales iguales pero opuestos y por consiguiente se cancelan .Al multiplicar ambos lados de la ecuación por dt e integrar entre los limites obtiene: t = t , vi = vi y t = t , vi = v i  mi (vi )1    Fi dt  t2 t1  m (v ) i i se 2  Esta ecuación establece que los momentos lineales iniciales del sistema más los impulsos de todas las fuerzas externas que actúan el sistema t y t son iguales a los momentos lineales del sistema.  Como la ubicación del centro de masa G del sistema se determina a partir de mrG   mi ri , donde m = ∑ mi es la masa total de todas las partículas y si luego se considera la derivada con respecto al tiempo tenemos: mvG  mv i i Página 13 DINAMICA  La cual establece que la cantidad de movimiento lineal total del sistema de partículas equivale a la cantidad de movimiento lineal de u a pa tí ula aglo e ada fi ti ia de masa m = ∑ mi que se mueve a la velocidad del centro de masa del sistema. AL sustituir en la ecuación se obtiene: m(vG )1    t2 t1 Fi dt  m(vG ) 2  Aquí la cantidad de movimiento lineal inicial de la partícula aglomerada más los impulsos externos que actúan en el sistema de partículas de t1 a t2 es igual a la cantidad de movimiento lineal final de la partícula aglomerada. Por consiguiente, la ecuación anterior justifica la aplicación del principio de impulso y cantidad de movimiento lineales a un sistema de partículas que componen un cuerpo rígido. 5. Conservación de la cantidad de movimiento lineal Considere los objetos 1 y 2 de la figura, F1 es la fuerza ejercida sobre 2 por 1 y F2 es la fuerza ejercida sobre 1 por 2. Esas fuerzas podrían resultar del contacto entre los dos cuerpos, o podrían ser ejercidas por un resorte que los conectara. Como consecuencia de la tercera ley de Newton, esas fuerzas son iguales y opuestas, de manera que: Página 14 DINAMICA F1 + F2 = 0 Suponga que ninguna otra fuerza externa actúa sobre 1 y 2, o que las otras fuerzas externas son insignificantes en comparación con las fuerzas que 1 y 2 ejercen entre sí. Entonces se puede aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento a cada objeto durante tiempos arbitrarios t1 y t2: � ∫� � ∫� = − = − Al sumar estas ecuaciones, los términos de la izquierda se cancelan y se tiene: + = + Página 15 DINAMICA Lo que significa que la cantidad de movimiento lineal total de A y B se conserva: + = � 6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partículas Cuando la suma de los impulsos externos que actúan en un sistema de partículas es cero, la ecuación:  mi (vi )1    Fi dt  t2 t1  m (v ) i i 2 Se reduce a una forma simplificada: ∑ i (v i)2 = ∑ i (v i)2 Página 16 DINAMICA Esta ecuación se conoce como la conservación de cantidad de movimiento lineal. Establece que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de partículas permanece constante durante el lapso de tiempo t1 a t2. 7. Choques  Un choque entre dos cuerpos se define como una interacción fuerte entre los cuerpos, ya sea por contacto directo o por la naturaleza de su proximidad, que dura un tiempo relativamente corto. Suele ir acompañado de fuerzas de reacción entre los cuerpos relativamente intensas, lo que da lugar a fuertes cambios de velocidad de uno o ambos cuerpos.  Las intensas fuerzas de reacción también originan una deformación considerable de los cuerpos en colisión y en consecuencia la conversión de energía mecánica en sonido y calor.  En todo choque se cumple que: La cantidad de movimiento antes del choque es igual a la cantidad de movimiento después del choque: Página 17 DINAMICA  Donde: + = ´ +  m1 y m2: Masas (kg).  V1 y V2: Velocidades antes del choque (m/s).  V´1 y V´2: Velocidades después del choque (m/s). ´ Página 18 DINAMICA Fases del Choque: El choque de dos cuerpos consta de dos fases que se acompaña de una generación de calor y sonido y son las siguientes:  Fase de compresión o deformación: En esta fase, que transcurre desde el instante de contacto hasta el de máxima deformación, los dos cuerpos se encuentran comprimidos por la intensa fuerza de interacción. Al final de esta fase, los cuerpos ni siguen aproximándose ni se separan. Página 19 DINAMICA  Fase de restitución o restauración: En esta fase, que transcurre desde el instante de máxima deformación hasta el de separación total, los cuerpos van separando a causa de que las fuerzas interiores de los cuerpos actúan de manera que les devuelvan la forma original. Por lo general, sin embargo, la recuperación de ésta no es total. Parte de la energía inicial se disipa, durante el choque, a causa de la deformación residual permanente de los cuerpos y de las vibraciones sonoras que se originan. Efectos del choque  La mecánica de choque tiene el potencial de dañar, deformar, etc.  Un cuerpo frágil se puede fracturar. Por ejemplo, dos copas de cristal pueden romperse en caso de colisión una contra de la otra.  Un objeto dúctil se puede doblar por una conmoción (deformar). Por ejemplo, una jarra de cobre se puede curvar cuando cae en el suelo. Página 20 DINAMICA TIPOS DE CHOQUE: 1) Por su Elasticidad  ELÁSTICOS: En un choque elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque, es decir: Página 21 DINAMICA  INELÁSTICAS: Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura. La principal característica de este tipo de choque es que existe una disipación de energía, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos como el aumento de su energía interna se obtiene a costa de la energía cinética de los mismos antes del choque. 2) Con respecto a la dirección de las velocidades respecto a la línea de impacto.  CHOQUE DIRECTO: Cuando las velocidades iniciales de los cuerpos en colisión tengan la dirección de la línea de impacto se dirá que es un choque directo. El choque directo es una colisión frontal. Cuando la línea de movimiento de los cuerpos, antes y después del choque, es la misma. Página 22 DINAMICA  CHOQUE OBLICUO: Cuando las velocidades iniciales de los cuerpos en colisión no tengan la dirección de la línea de impacto diremos que es un choque oblicuo. Cuando la línea de movimiento de los cuerpos, antes y después del choque son diferentes. 3) Según su la posición del centro de masa:  CHOQUE CÉNTRICO: Este choque se da cuando los centros de masa de ambos cuerpos se hallan sobre la línea de impacto. Página 23 DINAMICA  CHOQUE EXCENTRICO: Este choque se da cuando los centros de masa de ambos cuerpos no se hallan sobre la línea de impacto. Página 24 DINAMICA Coeficiente de Restitución Es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas. Cuando dos cuerpos chocan, sus materiales pueden comportarse de distinta manera según las fuerzas de restitución que actúen sobre los mismos. Hay materiales cuyas fuerzas restituirán completamente la forma de los cuerpos sin haber cambio de forma ni energía cinética perdida en forma de calor, etc. En otros tipos de choque los materiales cambian su forma, liberan calor, etc., modificándose la energía cinética total. Un coeficiente de restitución (e) se define entonces como aquel que evalúa esta pérdida o no de energía cinética, según las fuerzas de restitución y la elasticidad de los materiales. La relación del impulso de restitución al impulso de deformación se llama coeficiente de restitución (e). Esta le e os el valo de e pa a la partícula A: Página 25 DINAMICA Asimismo, valo de e podemos establecer pa a la partícula B: el Eliminamos la incógnita v de las dos ecuaciones anteriores, entonces el coeficiente de restitución puede expresarse en función de las velocidades inicial y final de las partículas. �� = − − − Si e = 0 choque perfectamente inelástico Si 0<e<1 choque inelástico Si e = 1 choque elástico Página 26 DINAMICA MATERIALES Acero � � / � 2,0*106 Fundición 1,0*106 Aluminio 0,7*106 Plomo 0,2*106 Hormigón 0,2*106 Fibrocemento 0,8*106 PVC 3,0*104 PE(baja densidad) 2,4*103 PE(alta densidad) 9,0*103 Polipropileno 12,0*103 Página 27 DINAMICA CUADRO COMPARATIVO ENTRE CHOQUE, COLISIÓN E IMPACTO CHOQUE Encuentro violento dos cuerpos entre sí. COLISIÓN de Choque o rozadura que se produce entre dos cuerpos. Se define como el impacto entre un vehículo en movimiento contra un vehículo estacionado, o sea un cuerpo en movimiento contra otro estático. Se define como el choque violento entre dos cuerpos en movimiento (uno contra otro). IMPACTO Choque de un proyectil o de un objeto contra otro. Se define como algún tipo de choque o golpe que ocurre entre dos o más partes. Considera la energía Suma o resta energía: C. generada por uno de los por alcance (se resta). C. dos cuerpos en contacto. lateral y frontal (se suma). Marca, huella o señal que produce un choque. Ejemplos: Auto con poste Ejemplos: Auto con auto o puede ser con un árbol, o contra camión, carreta, algo fijo al piso. etc. Ejemplos: Una pelota golpea un vidrio, un meteorito impacta en otro, el golpe de un martillo sobre un clavo. Por ahora utilizamos los términos Choque e Impacto para el mismo significado. Página 28 DINAMICA EJERCICIOS DESARROLLADOS: 1) Las 2 cajas mostradas se sueltan desde el reposo. Sus masas son = �� y =8 kg, y las supe fi ies so lisas. El á gulo θ= °.¿Cuál es la ag itud de la velo idad de la caja A después de 1s? Solución: Los diagramas de cuerpo libre son como se muestra. Las suma de las fuerzas en la dirección Y es igual a cero: ∑ ∑ =�− . N=184 (Newton) =�− �− . � Caja B: ∫� ∑ ∫ [ � =m -m °= �= . � . � °+ . �− . � Caja A: ∫� ∑ ∫ [ °= °− . �− . �− =m -m � ] =(80)(v- ……… ] =(20)[(-v)- ]……………….. Restar la ecuación (2) apartir de la ecuación (1) ∫ [ − Respuesta: v= 0.723 m/s. ° − . � − . �] =(80+20)v Página 29 DINAMICA 2) Durante los primeros 5s del recorrido de despegue de un avión de 14,200kg, el piloto aumenta el empuje del motor a una razón constante de 22kN hasta alcanzar su empuje total de 112kN. a) ¿Qué impulso ejerce el empuje sobre el avión durante los 5s? b) Si se ignora otras fuerzas, ¿qué tiempo totall se requiere para que el avión alcanze su velocidad de despegue de 46 m/s? Solución: m= 14200 kg F= (22000+18000t) (N) Impulso= ∫ 5 + ] �− Impulso=22000t + 9000 a) Impulso = 335000 N-s = 355 Kn-s ∫ ∫ �� 5 = m �- m + 335000 + 112000t � + ∫5 =m � = (14200)(46) 112000(t-5) + 335000 = (14200)(46) b) T= 7.84s Página 30 DINAMICA Solución: m= 14200 kg F= (22000+18000t) (N) Impulso= ∫ 5 + ] �− Impulso=22000t + 9000 c) Impulso = 335000 N-s = 355 Kn-s ∫ ∫ �� 5 = m �- m + 335000 + 112000t � + ∫5 =m � = (14200)(46) 112000(t-5) + 335000 = (14200)(46) d) T= 7.84s 3) El jeep de tracción en las 4 ruedas de 1.5 Mg se utiliza para empujar dos embalajes idénticos, cada uno de 500 kg de masa. Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y el suelo es =0.6, determine la rapidez máxime posible que el jeep puede alcanzar en 5s, sin que las llantas patinen. El coeficiente de fricción cinética entre los embalajes ye l suelo es =0.3. Solución: Diagrama de cuerpo libre : El diagrama de cuerpo libre del jeep y cajas se muestran en las figuras . A y B, respectivamente. Aquí , la fuerza de conducción máximo para el jeep es igual a la fricción estática máxima entre los neumáticos y el suelo , es decir = � =0.6N La fuerza de fricción que actúa sobre la caja es (. � c= �� =0.3 �� Principio de impulso y cantidad de movimiento: (+ ) m � )y + ∑ ∫� =m( )y Página 31 DINAMICA 1500(0) + �� (5)- 1500(9.81)(5) = 1500(0) �� = 14715 N (+ )m � )x + ∑ ∫� =m( )x 1500(0) + 0.6(1475)(5)- p(5) = 1500v V=29.43 – 3.333(0.0001)P ……………………… Al considerar la figura b, (+ ) m � )y + ∑ ∫� =m( )y 1000(0) + �� (5) – 1000(9.81)(5) = 1000(0) �� = 9810 N + ) m � )x + ∑ ∫� =m( )x 1000(0) + P(5) – 0.3(9.81)(5) = 1000v V= 0.005P – 14.715……………………………………. Resolviendo la ecuación (1) y (2) V= 11.722 m/s = 11.8 m/s P= 5297.4 N 4) Un proyectil de 4 kg viaja con una velocidad horizontal de 600 m/s antes de que explote y ser rompa en dos fragmentos A y B de 1.5 kg y 2.5 kg de masa, respectivamente. Si los fragmentos viajan a lo largo de las trayectorias parabólicas mostradas, determine la magnitud de la velocidad de cada fragmento justo después de la explosión y la distancia horizontal donde el segmento A choca con el suelo en C Página 32 DINAMICA Solución: Conservación de la cantidad de movimiento: Al referirse al diagrama de cuerpo libre del proyectil justo después de la explosión se muestra en la Fig . una , nos damos cuenta de que el par de fuerzas impulsivas F genera durante la explosión se anulan entre sí , ya que son internos al sistema. Aquí , WA y WB son fuerzas no impulsivas . Puesto que la fuerza impulsiva resultante a lo largo de los ejes x e y es cero , el momento lineal del sistema se conserva a lo largo de estos dos ejes . (+ )m )= ( )x + ( )x 4(600) =-1.5vA cos 45° + 2.5vB cos 30° 2.165 VB – 1.061vA = 2400…………………………….(1) (+ ) m ) = ( )y + ( )y 0 = 1.5vA sin 45° - 2.5vB sin 30° vB = 0.8485vA …………………………………………………..(2) Resolviendo al ecuación (1) y (2) vA = 3090.96 m>s = 3.09(103) m>s Rpta vB = 2622.77 m>s = 2.62(103) m>s Rpta Considerando el eje x y y con el segmento A (+ ) )= )y + yt + 1/2� -60= 0 + 3090.96sin45° + 1/2(-9.81) 4.905 – 2185.64 – 6 0= 0 Resolviendo la ecuación positiva = . Y )x + )xt �= = 0 + 3090.96 cos 45°(445.62) = 973.96 (0.0001) m = 974 km Rpta. 5) El bloque A pesa 16.1 lb y se encuentra viajando hacia la derecha sobre el plano liso de 50 pie/s. El bloque B pesa 8.05 lb y está en equilibrio con el resorte que justamente le impide resbalar sobre el tramo rugoso del plano. El cuerpo a golpea al B; el coeficiente de restitución e = 1/2. Encuentre la deformación máxima del resorte Página 33 DINAMICA Sabiendo que cuando el bloque A llega a recorrer el plano inclinado, se originan nuevas fuerzas que actúen sobre él: El impacto entre los bloques se tratarán por separado, por tanto se dividirá en: + 1.- Conservación de la energía: ( . ) . − . = ( = . ) . . → � + = = + . . + � . � ° � / 2.- Conservación de Cantidad de movimiento Sabiendo que el impacto es elástico e=1/2=0.5. Tenemos lo siguiente: Página 34 DINAMICA ( + . ) . . ′ = = ′ . = . . Ree plaza os β e α: . = = . ′ . ′ + . ) . ′ + . ′ =( ′ − → + . . ↔ +( ′ … . = . . ′ + ′ ) ′ + − − ′ → ′ = ′ , . … ′ → = = . , ′ 3.- Por teorema del trabajo y la energía tenemos: =− . ∆ =∆ � � = ° − − . . � ° , − = � = ′ =∆ − . − . ≈ � . ° − . � =− ( . . ) . ↔ Por tanto la deformación máxima será de 11.98 pies Página 35 DINAMICA 6) Determine las velocidades de los bloques A Y B 2 dos segundos después que son liberados del reposo. Desprecie la masa de las poleas y cables. Resolución: Cálculo de velocidades de A Y B en 2 seg La longitud L de la cuerda que pasa por las poleas es constante. Donde: + =− = � derivando Por el principio del impulso y momentun en la dirección vertical sobre el bloque A: Página 36 DINAMICA − + +∑ = =( . ) ………….. Por el principio del impulso y momento en la dirección vertical sobre el bloque B: Sabemos que Resolviendo + =− − =( . ) = ……………….. ; y dividiendo las ecuaciones 1 y 2 obtenemos − − T=2.6667 lb Con lo cual =− bloque B baja. +∑ = ⁄ ⁄ . . =− = 21.46667 pies/seg donde el bloque A sube y el 7) Una pelota de 300 g. es pateada con una velocidad de 25 m/s en el punto A, como se muestra. Si el coeficiente de restitución entre la pelota y el campo es e=0.4, determinar la magnitud y dirección de la velocidad de la pelota rebotando en B. Página 37 DINAMICA Cinemática: La trayectoria parabólica del fútbol se muestra en la Fig. a. Debido a las propiedades simétricas de la trayectoria, vB = vA = 25 m/s y θ = 30°. Conservación del Momento Lineal: El momento lineal se conserva a lo largo del eje x. Coeficiente de Restitución: Debido a que el suelo no se mueve durante el impacto, el coeficiente de restitución se puede escribir como: Por lo tanto, la magnitud es: Y la di e ió θ es: Página 38 DINAMICA 8) A la bola blanca A se le confiere una velocidad inicial de 5 m/s. Si choca directamente con la bola B, vB = 0 (e=0.8), determine la velocidad de B y el á gulo θ justo después de ue e ota e la a da C e’=0.6). Cada bola tiene una masa de 0.4kg. Ignore el tamaño de cada bola.  Conservación de Cantidad de Movimiento lineal:  mA (vA)1 + mB (vB)1 = mA (vA)2 + mB (vB)2 (0.4)(5) + 0 = 0.4 (vA)2 + 0.4 (vB)2 5= (vA)2 + (vB)2   Coeficiente de Restitución: (vB)2 = 5 - (vA)2 …….. 1 Página 39 DINAMICA  Reemplazamos (1) en (2): 5 - (vA)2 - (vA)2 = 4 m/s  (vA)2 = 0.50 (vB)2 = 4.50 m/s  Conservación de Cantidad de Movimiento lineal en el eje y: Cuando B golpea la banda en C. mB(vBy)2 = mB (vBy)3 0.4(4.50 sen 30°) = 0.4 (vB )3 sen θ (vB )3 se θ = 2.25 ……..  Coeficiente de Restitución en x:  De(3): (vB)3 sen θ = 2.25  De (4): (vB)3 os θ = 0.6 x 4.50 x cos30° (vB)3 cos θ = 2.34  Dividimos ambas ecuaciones  Así: ta θ = . θ= .9 ° / .  Por lo tanto : (vB)3 = 3.24 m/s Página 40 DINAMICA 9) Las magnitudes y direcciones de las velocidades de las esferas lisas idénticas antes de que choquen se indican en la figura. Suponiendo que el coeficiente de restitución para el choque es e = 0,90. Determine: (a) la magnitud y dirección de las velocidades de ambas después del choque y (b) la pérdida de energía cinética debido al choque. • SOLUCION: Descomponiendo las velocidades de las esferas en componentes normal y tangencial al plano de contacto. � � = = =− = cos ° sen ° sen ° cos ° = . � = . � = =− . / / / / • Las componentes tangenciales de las esferas es conservado. Página 41 DINAMICA ̀ ̀ � � = � = � = . = / . / • Se conserva el momento lineal del sistema en dirección normal . + + − ̀ = ̀ = ̀ + ̀ + = . ̀ + ̀ • Coeficiente de restitución ̀ ̀ − ̀ − ̀ ̀ = [ = . − ̀ − [ . − − = . ] ] • Resolviendo simultáneamente las ecuaciones se determina las componentes normal de cada velocidad. ̀ ̀ =− . = . (̀ )= − . (̀ )= . � / + / . tan− [ . ]= . . ° Página 42 DINAMICA (̀ )= − . (̀ )= . � + . tan− [ . . ]= . ° BIBLIOGRAFÍA  DINÁMICA – HIBBELER - DÉCIMO SEGUNDA EDICIÓN  DINÁMICA – BEER JOHNSTON – NOVENA EDICIÓN  DINAMICA – BEDFORD – QUINTA EDICION  http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_restituci%C3%B3n  http://www.fis.puc.cl/~rbenguri/ESTATICADINAMICA/cap4.pdf Página 43