Dinámica de Coalición-Fragmentación

Sociofı́sica y Redes Sociales - Dinámica de Coalición-Fragmentación Espontánea. Alfonso de Miguel April 28, 2015 Abstract En esta tarea estudiamos el problema de coalición-fragmentación de los 5 paı́ses en el marco de trabajo de la Dinámica de Coalición-Fragmentación Espontánea desarrollada por Galam. Primero, introducimos el formalismo de Galam y su aplicación al problema de los 2 y 3 paı́ses. Entonces, abordamos el problema de los 5 paı́ses. Se propone una dinámica computacional para simular el problema y estudiarlo de manera más sistemática. A continuación se modifica la topologı́a como Galam propone para resolver el problema de la inestabilidad. Finalmente, se expone una discusión sobre posibles generalizaciones a los modelos de coalición/fragmentación de paı́ses. 1 Introducción. Habiendo estudiado ya varios modelos del pionero de la sociofı́sica, Serge Galam, vemos la gran influencia del modelo de Ising ferromagnético en todos ellos. Estos asumen que la interacción entre los agentes tiende a alinearlos en la dirección de la misma opinión. Sin embargo, en la naturaleza se observa un comportamiento más rico e interesante que el de una mera imitación. Por ejemplo, tenemos el fenómeno del antiferromagnetismo, i.e., un material donde los espines interaccionan entre sı́ de tal forma que tienden a alinearse antiparalelamente. En consecuencia, serı́a muy natural explorar este comportamiento transportandolo a modelos sociales de acoplamiento entre agentes, ya que también es natural observar en la naturaleza social fenómenos de rechazo y/o divergencias entre los agentes sociales. Aquı́ seguimos el modelo propuesto por Galam, que surgió inspirado por el trabajo (poco esclarecedor) de unos politólogos. Galam considera el estudio de la dinámica de formación de coaliciones espontáneas frente a la fragmentación. Introduce un esquema para construir coaliciones por el libre albedrı́o de los agentes implicados. El modelo puede aplicarse de igual forma a empresas, gente, paı́ses, o a cualquier agente social. 1 2 El problema de los 2 paı́ses. Como introducción del formalismo y contextualización para el trabajo posterior de análisis de un caso de dinámica de coalición/fragmentación de 5 paı́ses, exponemos primeramente el problema más sencillo de los 2 paı́ses. Dados dos paı́ses i y j, podrı́an cooperar o estar en conflicto. Teniendo dos situaciones, podemos introducir una variable de espı́n Si = ±1 de dos estados. Los estados +1 y −1 son simétricos. Con esto, 4 configuraciones son entonces posibles, {±1, ±1}. Los paı́ses se considera que cooperan entre sı́ cuando su variable de espı́n posee el mismo signo, esto es, Si = Sj = ±1, y se hallan en conflicto cuando el signo difiere, Si = −Sj = ±1. Sobre esta base, para evaluar el coste de que los paı́ses bien cooperen, bien estén en conflicto, notamos que han ido desarrollando una propensión a cooperar o estar enfrentados a lo largo de sus muchos años de existencia. Esta propensidad, o afinidad, va a depender de ingredientes muy diversos: la geografı́a, los recursos, la religión, el lenguaje, los sucesos históricos, etc. Se postula que el resultado neto de este pasado histórico de relaciones culmina con un enlace cuantitativo bilateral, que podemos representar con una magnitud Gij . Si Gij > 0, la tendencia es cooperativa, si Gij < 0, la tendencia es conflictiva. La ausencia de un enlace es también posible sin más que hacer que Gij = 0. La variable Gij es lo que se denominarı́a una variable congelada (quenched variable) ya que es el balance de una acumulación de sucesos a lo largo de un extenso periodo de tiempo, y que no está dada a una libre modificación. El acoplamiento Gij no depende separadamente de i y de j; es un enlace común entre el par (i, j). Suponemos también acoplamiento simétricos Gij = Gji . El coste de las actitudes de los dos paı́ses i y j puede medirse por la magnitud Hij ≡ −Gij Si Sj , (1) que será igual a −Gij en caso de cooperación, y a Gij si hay conflicto. Ahora, necesitamos un criterio para determinar la elección de cada paı́ses según un Gij dado. Hacemos la hipótesis de cada paı́s ha de minimizar su coste. Suponemos que cada paı́s quiere minimizar su coste. Esto implica que poseer un coste negativo es beneficioso para el paı́s. Por lo tanto, Gij > 0 favorecerá una situación de cooperación con Si = Sj , mientras que Gij < 0 impulsará a los paı́ses hacia el conflicto, Si = −Sj . Es decir, para un par de paı́ses con acoplamiento negativo, la situación más cómoda para ellos, la situación estable, es estar en conflicto. 2 3 El problema de los 3 paı́ses. Aunque hemos hecho un sencillo repaso, puede intuirse que el problema de los 2-paı́ses encuentra una situación de equilibrio de manera bien sencilla. Es su pasado de actitudes comunes el que determina las actitudes presentes. Un pasado de conflictos dará lugar a un presente y futuro también problemáticos, mientras que un pasado de cooperación, asegurará buenas relaciones en tiempos posteriores. Pero, desde luego, esta situación es más bien poco realista, y en el globo terráqueo encontramos que los paı́ses tienen más de un vecino. Desde luego, es ası́, aunque no sea geográficamente, en este mundo globalizado no hay paı́s que no tenga vı́nculos con unas decenas de otros tantos, sean vı́nculos positivos o negativos, y más o menos fuertes/arraigados. Como preámbulo a la situación compleja de 5 paı́ses, damos un salto de la situación más sencilla de los 2 paı́ses a la de 3 paı́ses. A pesar de añadir una sola nación más, vemos que la situación se complica enormemente; el aumento de la complejidad es considerable añadiendo un único paı́s. Estudiemos pues someramente qué puede ocurrir con un sistema de 3 paı́ses y luego daremos el salto definitivo al estudio de los 5 paı́ses. Sea N = 3 paı́ses los que conforman el sistema. Ahora tenemos una terna de acoplamientos a pares, G12 , G13 , G23 . Si los suponemos todos positivos, nuestro criterio de minimización de conflictos provoca que los 3 paı́ses cooperen en una alianza estable formada espontáneamente, con S1 = S2 = S3 = ±1. Bueno, esto es una posibilidad, pero no es la más interesante. Supongamos que uno de los acoplamientos, v.g., G23 , es negativo. Entonces, puede encontrarse que la situación se torna inestable, sumida en un perpetuo ciclo de formación de alianzas seguidos de fragmentaciones, y ası́ alternadamente. Véase. Tomamos, por ejemplo, G12 = G13 = −G23 = G. Véase la imagen 11 Figure 1: El problema de los tres paı́ses. 1 Las imágenes aquı́ expuestas provienen del libro de Galam [1]. 3 Si los paı́ses 1 y 3 deciden cooperar para minimizar su conflicto mutuo (G13 > 0), tenemos S1 = S3 = ±1. En este caso +1. Entonces, el paı́s 2 ha decidir qué actitud adoptar. Como G12 > 0, querrá cooperar con el paı́s 1, pero simultáneamente ocurre que su relación con el paı́s 3 es tal que G23 < 0, de modo que querrá estar en conflicto con este. No existe pues, una única solución. Siendo ambas equivalentes, tómese S2 = −1. Tenemos, por tanto, que se han formado espontáneamente dos alianzas: una por los paı́ses 1 y 3, con S1 = S3 = +1; y otra reducida al propio paı́s 2, con S2 = −1. Los costes respectivos para los paı́ses son: Paı́s 1: H13 + H12 = −G + G = 0. Paı́s 2: H21 + H23 = +G − G = 0. Paı́s 3: H31 + H31 = −G − G = −2G. Solo el paı́s 3 se halla en el mı́nimo absoluto de su medidor de conflicto, con −2G. Los otros paı́ses están a 0, que no se corresponde con el valor mı́nimo del conflicto que pueden alcanzar. Ahora, entonces, es el turno de que muevan ficha los paı́ses que no están cómodos con su magnitud de conflicto. Y ambos paı́ses están empujados al cambio de la misma manera, ya que ambos están igual de separados en magnitud de su mı́nimo estable. A partir de aquı́ las posibilidades son múltiples, y ningún cambio va a dejar cómodo, en su mı́nimo estable, a los tres paı́ses de forma simultánea. El ciclo no tiene fin y puede ser impredecible, ya que se comprende la posibilidad de que dos paı́ses cambien posición a la vez. Una ilustración de esta dinámica sin fin puede verse en la figura 2. La figura 3 muestra, además, las posibles ramificaciones que pueden derivarse de una sola situación tras un cambio de postura en los naciones que conforman el sistema. Figure 2: Dinámica sin fin en el problema de los tres paı́ses. 4 Figure 3: Otra complicación de la dinámica: Múltiples opciones. 4 El problema de los 5 paı́ses. Observamos cómo la situación se ha complicado sobremanera, tornándose más bien inmanejable, con la sola adición de un paı́s más. ¿Qué podemos esperar si aumentamos la lista de agentes al sistema? La dinámica se antoja infernal, sutil y totalmente impredecible. Como ejercicio relativo a la dinámica de coalición-fragmentación, vamos a estudiar algunas de las posibilidades y la riqueza que aportarı́a un sistema de 5 paı́ses. Partimos, como condición inicial, de la situación sugerida en la tarea expuesta en los apuntes de clase. Esta puede observarse en la figura 4. Computamos los costes asociados a cada paı́s por estar en la situación presente. H1 = H12 + H13 + H14 = −(G12 S2 + G13 S3 + G14 S4 )S1 = −G, H2 = H12 + H24 = −(G12 S1 + G24 S4 )S2 = −2G, H3 = H13 + H34 + H35 = −(G13 S1 + G34 S4 + G35 S5 )S3 = −3G, H4 = H14 + H24 + H34 + H54 = −(G14 S1 + G24 S2 + G34 S3 + G45 S5 )S4 = 0, H5 = H35 + H45 = −(G35 S3 + G45 S4 )S5 = 0. Los resultados se corresponden con los de la imagen 4. El paı́s 1 tiene coste −G, su mı́nimo es −3G, luego no está en la situación más cómoda posible para él. Serı́a uno de los candidatos a cambiar de postura. Los paı́ses 2 y 3, por contra, se hallan en su coste individual mı́nimo, siendo respectivamente −2G y −3G. Los paı́ses 4 y 5 tienen coste 0, pero este no es su mı́nimo, sino que es, respectivamente, −4G y −2G. 5 Figure 4: Problema de los cinco paı́ses a analizar. A partir de aquı́, si no se especifican más detalles sobre la dinámica del proceso, los opciones son múltiples. ¿Quién cambia de postura? ¿Aquel paı́s que esté más incómodo globalmente (aquel con la mayor diferencia entre su coste actual y óptimo)? ¿Cualquier paı́s que no esté a gusto con la situación, independientemente de la magnitud de la diferencia de coste respecto a su óptimo? ¿Mueve uno por turno o varios a la vez? ¿Permitimos una probabilidad de cambio de acuerdo con la magnitud de la diferencia de coste? ¿Permitimos cierta probabilidad de cambio de postura a paı́ses que estén en el mı́nimo de su coste? ¿Permitimos cambios de postura a paı́ses que, estando incómodos, el cambio les traerá una mayor insatisfacción? Como puede verse, las cuestiones sobre la dinámica son muy diversas, y según qué reglas permitamos, podemos tener una evolución muy variada. Siguiendo una regla determinista de conocimiento del coste no local, el paı́s que cambiarı́a su postura dada la configuración presentada en 4 serı́a el paı́s 4, pues tiene una diferencia de coste respecto a su óptimo de |∆G| = 4, la mayor de todas. Esto darı́a lugar a una alianza entre 2,3 y 4, por un lado, y 1 y 5, por el otro. Esta situación serı́a óptima para el paı́s 1 y para el 5, que alcanzarı́an ambos su mı́nimo, pero subirı́a el coste del paı́s 2 y del 3, sacándolo de su mı́nimo. También podrı́an darse cambios simultáneos y, por ejemplo, que ahora cambiaran el paı́s 2 y 4 simultáneamente. La nueva alianza entonces estarı́a formada por los paı́ses 1,2,4 y 5, que aisları́an al 3. Esto devolverı́a, sin embargo, al paı́s 3 a su óptimo, pero el resto de paı́ses no estarı́an tan cómodos, en mayor o menor medida. Puede seguirse esta secuencia descrita en el capı́tulo correspondiente de libro de Galam [1], para ver las infinitas posibilidades de la dinámica. 6 4.1 Hacia un estudio más sistemático. Implementación de una dinámica particular. El alto número de posibilidades es infernal y un estudio secuencial y manual del problema puede llevar rápidamente al hastı́o. Con el fin de estudiar de forma más sistemática una de las múltiples implementaciones dinámicas del problema, vamos a elaborar un programa que simule una dinámica particular. La dinámica que proponemos es la siguiente: Será una dinámica secuencial basada en métodos de Monte Carlo y en una variación (simplificación) del algoritmo de MetropolisHastings. En cada paso de tiempo eligiremos aleatoriamente de acuerdo a una distribución uniforme uno de los 5 paı́ses que conforman el sistema. Evaluaremos su coste individual de este paı́s, resultado de las interacciones con sus vecinos. Virtualmente, invertiremos el estado de este paı́s elegido y evaluaremos el nuevo coste que para el paı́s supone estar en este estado.2 Si la diferencia del coste es cero o negativa ∆H ≤ 0, el paı́s cambiará de postura, ya que la nueva situación le es igual o más cómoda que la anterior. De lo contrario, si ∆H > 0, no permitiremos de ninguna manera el cambio de postura del paı́s elegido. Aquı́ radica la diferencia con el algoritmo original de Metropolis-Hastings, ya que en este último, siempre se da lugar a una cierta probabilidad de acuerdo con el factor Boltzmann del sistema, de que se produzca el cambio. Este proceso de selección de un paı́s, evaluación de los costes y posible cambio de postura, será reiterado numerosas veces para obtener una visión a largo tiempo de la evolución del sistema. Esta es la propuesta de dinámica. Se ha optado esta frente a una más determinista porque podrı́a dar más juego, pero cualquier consideración o variación de la dinámica puede ser interesante a fin de tener comparativas y modelizar situaciones más realistas. Sabemos que, como los métodos de Monte Carlo están basados en números aleatorios, una realización de la dinámica no es suficiente para sacar conclusiones acerca del comportamiento general del sistema, y que puede ser necesario un estudio intenso del problema. Como esto es un pequeño ejercicio dentro de la asignatura, el estudio no pretende ser exhaustivo, solo se quiere dar una pequeña perspectiva de las posibles evoluciones que el sistema puede presentar; además, lamentablemente, las cuestiones de tiempo imponen que ası́ sea. Por ello, simplemente, se mostrarán algunas pocas realizaciones, como opciones que el sistema puede tomar. No obstante, en el apéndice A se aporta el código construido, y el programa está ahı́ para volver a retomar el análisis y/o realizar las modificaciones y generalizaciones que fueran necesarias. 4.2 Algunos resultados obtenidos. Mostramos algunos de los resultados obtenidos con el programa de simulación del problema de los cinco paı́ses propuesto. Mostramos los resultados de tres simulaciones difer2 Como cuando en el algoritmo de Metropolis-Hastings, evaluamos la energı́a individual de un espı́n en la retı́cula, lo volteamos momentáneamente, computamos su nueva energı́a, y dependiendo del signo de la energı́a, permitiremos el cambio o no. 7 entes. Nuestro programa da cuenta de varias evoluciones de variables de interés. Nos vamos a fijar en los datos obtenidos del número de integrantes que conforman las dos alianzas, y en la secuencia de actualizaciones de cambios de postura del paı́s/espı́n. Consideremos la primera simulación. En la imagen 5 mostramos la evolución del número de integrantes que componen las dos alianzas en el sistema. Figure 5: Evolución del número de integrantes en las alianzas 1 y 2. Lo que podemos observar es un cambio continuo en el número de integrantes de ambas alianzas. La situación es altamente inestable. Estas alianzas oscilan siempre entre 2 y 3 miembros. En la imagen 6 se muestra en cada instante de tiempo en el que se produce un cambio de postura de un espı́n/paı́s, cuál es el paı́s que ha cambiado de postura. Figure 6: Paı́s/espı́n que cambia de postura en un instante de tiempo determinado. 8 Se puede ver que los espines que están cambiando continuamente de postura son los espines 2, 4 y 5; nunca lo hacen 1 y 3. Esto es resultado de que los posibles cambios, dada la configuración del sistema en tal momento, no les llevan a tener una función de coste que se aproxime más a su óptimo. También puede verse entre los paı́ses que cambian de postura, que el paı́s 5 cambia con menor frecuencia que los otros, 2 y 4. Ejecutamos una segunda simulación. En la imagen 7 se muestra de nuevo la evolución del número de integrantes que componen las dos alianzas en el sistema. Figure 7: Evolución del número de integrantes en las alianzas 1 y 2. Ahora mostramos los cambios de postura dados en 8. Figure 8: Paı́s/espı́n que cambia de postura en un instante de tiempo determinado. Mostremos una última simulación. De nuevo, la imagen 9 muestra la evolución del número de integrantes que componen las dos alianzas del sistema. 9 Figure 9: Evolución del número de integrantes en las alianzas 1 y 2. Y los cambios de orientación en la postura de los paı́ses, 10. Figure 10: Paı́s/espı́n que cambia de postura en un instante de tiempo determinado. Los resultados en todas estas simulaciones son muy similares. Continuos cambios de los paı́ses 2, 4, y 5, y consecuente inestabilidad en el sistema, que se traduce en unas alianzas que van alternando constamente su número de componentes, entre 2 y 3. Desde luego, otras reglas dinámicas diferentes, podrı́an haber dado movimientos y gráficas distintas, pero el problema de la inestabilidad habrı́a seguido en pie. Aquı́ hemos dado, sencillamente, una opción de entre muchas alternativas. 10 4.3 La estabilidad del problema de los 5 paı́ses. Se encuentra que el problema de inestabilidad de la red de los cinco paı́ses estudiada anteriormente puede resolverse, en el sentido de encontrar una configuración estable cuyo cambio no favorezca a ninguno de los paı́ses del sistema. Añadiendo un enlace entre el paı́s 1 y el 5, con acoplamiento negativo, G15 < 0, se consigue lo descrito. Ningún paı́s obtiene una ventaja rompiendo las nuevas alianzas conformadas por los paı́ses 1 y 4 frente al 2, 3, y 5. Véase la figura 11 Figure 11: Solución al problema de inestabilidad de los cinco paı́ses. De hecho, es algo que podemos comprobar con el programa que se ha desarrollado. Si introducimos en nuestro código una conexión entre los nodos 1 y 5, obtenemos los siguientes resultados: Figure 12: Evolución del número de integrantes en las alianzas 1 y 2. 11 La figura 12 muestra que tras unos cambios en el número de integrantes de ambas alianzas, rápidamente, tras la iteración 15, la dinámica se estabiliza y nos da que la Alianza 1 está cómodamente instalada con 2 componentes, y la Alianza 2, está igualmente asentada con 3 componentes. Según los datos que arroja nuestra simulación, los paı́ses que componen la Alianza 1 son el paı́s 1 y el paı́s 4, con espı́n +1, mientras que los paı́ses que componen la Alianza 2 son el paı́s 2, el paı́s 3, y el paı́s 5. Todos estos resultados se corresponden con los de Galam moestrados en 11. Por último, una imagen 13 sobre las actualizaciones de cambio de postura de los paı́ses. Figure 13: Paı́s/espı́n que cambia de postura en un instante de tiempo determinado. Se observa que, a partir de la iteración 15, ningún paı́s aparece como paı́s que actualiza su estado cambiando de postura. De hecho, la secuencia que lleva al equilibrio es muy sencilla. El paı́s 1 intenta varios cambios de postura que parecen infructuosos. A continuación lo intenta el paı́s 2 hasta cuatro veces consecutivas, y le sigue un único cambio en el paı́s 1. Finalmente, y de inmediato, le toca al paı́s 5, cuyo cambio de postura deja al sistema en equilibrio para el resto de la simulación. Nuestra dinámica consigue reproducir el resultado de estabilidad en el problema modificado de los 5 paı́ses de Galam. 12 5 Algunas generalizaciones del modelo. Retomando la variación introducida en la sección anterior, la creación/destrucción dinámica de enlaces, acoplamientos de la forma Gij (t) puede ser una extensión interesante del mismo. Supondrı́a dar un valor dinámico a los acoplamientos entre los distintos paı́ses del sistema. Estas funciones podrı́an ir en la dirección de reforzar positivamente la relación entre los paı́ses con el paso del tiempo, desgastarla, o directamente hacerla desaparecer. Por supuesto, también, crear nuevas relaciones internacionales. Dependiendo ya de los fenómenos o situaciones que interesara modelar, ya se podrı́a entrar en detalle de la forma funcional de estos coeficientes de acoplamiento G(t). Este planteamiento, realmente, no es novedoso y muchos modelos de dinámica social en redes complejas incorporan esta coevolución de la topologı́a de la red con la propia dinámica social introducida en el modelo. Por ejemplo, depediendo del estado de sus vecinos, un nodo podrı́a decidir entre adoptar la postura de alguno de sus vecinos o destruir una relación entre alguno de sus estos. Es lo que se vendrı́a a denominar fenómeno de plasticidad. Existen ejemplos de estas consideraciones [8], [9],[10]. Otras extensiones o generalizaciones al modelo podrı́a ser la introducción de direccionalidad o ruptura de la simetrı́a en las relaciones: Gij 6= Gji . Esto significarı́a que la relación del paı́s j con el i, desde el punto de vista del paı́s i, no serı́a la misma que la relación del paı́s i, con la relación del paı́s j, desde el punto de vista de este último. Esta asimetrı́a en las relaciones puede ser resultado de una asimetrı́a en la información y consideración que un paı́s tiene del otro, y viceversa. A pesar de esta en un mundo global y enormemente comunicado; los servicios de inteligencia de cada nación pueden estar bajo el control de información sensible de terceros, que puede provocar cambios de percepción en la relaciones entre naciones. Esta asimetrı́a también se podria ver como la introducción de una red bideraccional o digrafo, con enlaces ponderados. Y hablando de redes, por supuesto, la topologı́a de la red del sistema de paı́ses también puede ser un aspecto interesante a observar: comparar la facilidad con la que se pueden alcanzar coaliciones estables (formación de clústeres) en redes tipo scale-free, pequeño-mundo, grafos aleatorios, o completamente conexas. A parte de funciones dependientes del tiempo, o sujetas a un valor u otro dependiendo del periodo histórico, los acoplamientos G también podrı́an ser funciones analı́ticas de otras variables importantes en aspectos geopolı́ticos, en vez de coeficientes fijos de mayor o menor magnitud, como prescribe Galam. Si bien, debido de nuevo a la globalización mundial y a la avence tecnológico, un parámetro de distancia geográfica d ya no serı́a tan crucial como para describir el estado de las naciones en el mundo antiguo, podrı́a hablarse de distancia en un espacio abstracto (como se hace en teorı́a de redes complejas), y establecer una dependencia funcional G = G(dij ), que dependerı́a de la distancia/afinidad de las naciones i y j en un espacio abstracto, que podrı́a venir a representar: distancia ideologı́a, lazos históricos, distancia cultural, interés económico, etc. También serı́a valorable la introducción de campos externos/perturbaciones como forma 13 de modelizar asuntos globales que afectaran al conjunto de la red o a parte de ella. Volviendo al tema con el que iniciamos esta discusión, Galam habla de abordar el problema de la dificultad de la inestabilidad mediante la creación de enlaces temporales superimpuestos a los acoplamientos intocables (históricos). La idea central es neutralizar alguno de los enlaces que provocan grandes inestabilidades por medio de los superenlaces. Las caracterı́sticas de estos, como se se ha dicho, serı́an transitorias. Podrı́an estar activos tanto tiempo como los paı́ses implicados desearan, o se implicaran en ello. Las supralianzas que promulga Galam, serı́an resultado de la fundación de un paı́s, y el resto de paı́ses se adherirı́an a ella o no, dependiendo de sus intereses. Ası́ se introduce una nueva variable, ǫi = 0, ±1, que darı́a cuenta de la tendencia natural del paı́s a formar parte o no de la aliana propuesta. Estas variables serı́an variables congeladas, como las Gij . Una vez que los paı́ses pertenecen a una de las supralianzas, surgen nuevos intercambios de cooperación entre los miembros de estas, ası́ como competencia entre los miembros de diferentes alianzas. En este sentido se define un nuevo acoplamiento Jij > 0 que mide los intercambios en los paı́ses i y j. El acoplamiento Jij ǫi ǫj puede ser positivo o negativo dependiendo de si se pertenece o no a la misma alianza. Se crea entonces una propensión adicional Jij ǫi ǫj Si Sj además de la histórica Gij . Y, mientras que las ǫi no están sujeta a cambio, el acoplamiento Jij > 0 está sujeto a la voluntad de los paı́ses implicados y del fundador/alto mando de la alianza. Ahora, el coste extendido entre los paı́ses i y j serı́a Hij = (Gij + ǫi ǫj Jij )Si Sj . (2) A parte de ello, Galam incorpora posibles beneficios/perjuicios que resulten de una presión militar y económica a la que está sujeta toda alineación. Se introduce la variable βi = 0, ±1 para considerar este efecto. La amplitud de este interés/inconveniente económico y militar se mide por medio de un campo local positivo hi , que también tendrı́a en cuenta el tamaño y la importancia del paı́s. Con todo esto, se puede escribir el coste total en el sistema como H=− N X {Gij + ǫi ǫj Jij }Si Sj − N X β i hi Si , (3) i (i>j) donde N es el número de paı́ses e (i > j) significa todos los pares distintos, para evitar una cuenta doble. Una extensión acertada y necesaria que aporta Galam y es la de extender la dimensionalidad del espacio de posturas polı́ticas, ideologı́a, o alianzas; pasando de 2 a tantas como actores polı́ticos haya implicados en el sistema. Luego, ya pueden ser las convergencias o desavenencias entre los actores polı́ticos existentes, las que pueden lugar a coaliciones mayores, supra-alianzas, o gran fragmentación; dependiendo del panorama sociopolı́tico. Incluso, se considerar la opción de la neutralidad. Toda esta extensión se puede llevar a cabo mediante la generalización de las variables de espı́n a variables de Potts. Ahora tomamos Si = 1, 2, 3, ..., N , en vez de Si = ±1. Extendiendo el espacio de valores hasta N , se da cuenta de la posibilidad de que haya tantas alianzas como agentes 14 en el sistema, es decir, que no haya ninguna alianza efectiva. Es importante enfatizar el cambio: En los modelos estudiados en esta tarea, el número de alianzas estaba fijado en 2, y por tanto era un parámetro exógeno del problema. Ahora, el número de coaliciones q es un grado de libertad interno, que puede ir de 1 a N . Y será por medio de la resolución de la dinámica como podremos determinar el número de coaliciones que se han establecido en el sistema. No es un conocimiento a priori. Para preservar la contabilidad tipo Ising de estar o no en la misma alianza usando el producto Si Sj = ±1, lo que se hace es sustituir a tal producto por una delta de Kronecker, δSi ,Sj , que es bien sabido que δSi ,Sj =  1 , S i = Sj . 0 , Si 6= Sj (4) En consecuencia, podemos escribir el coste producido por pares de intercambios históricos como N X Hij = − Gij δSi ,Sj . (5) i>j El valor es igual a −Gij cuando Si y Sj pertenecen a la misma coalición, y cero de otra cualquier otra forma. Para el caso bimodal se tendrı́a ±Gij , y para el caso multimodal −Gij o 0. Una vez los ingredientes del modelo estén definidos, el asunto clave serı́a la determinación de los acoplamientos Gij . O de los parámetros asociados a las funciones G = G(d) (o cualquier otra generalidad), en el caso del uso de acoplamientos más generales. Como Galam afirma, no existe ninguna receta hasta la fecha, que asegure la bonanza de unos valores paramétricos determinados para los acoplamientos, solo sugerencias. Del estudio del desmembramiento de la antigua Yugoslavia [6], se sugiere expresar los acoplamientos como 8 X Gij = qik qjl wkl , (6) k,l donde qik representa el porcentaje del grupo étnico k en la entidad i, y wkl representa la propensidad a pares entre el grupo étnico k y el l. Para k = l, wkk = +1. Para k 6= l, las wkl se computan como la suma de dos términos; uno para la religión, y el otro para el lenguaje: wkl = ωreligion (k, l) + ωlenguaje (k, l). Desde luego, esta fórmula para expresar los acoplamiento entre naciones no tiene porqué ser general, o ha de tener importancia general, sino que dependiendo de las causas subyacientes a los fenómenos históricos entre naciones/grupos sociales que deseáramos estudiar, habrı́a que dar relevancia a unos factores sobre otros, incorporándolos en la prescripción de los acoplamientos Gij . En el caso de Yugoslavia, la expresión de Gij en función componentes que expresan la relación entre grupos étnicos y su propensidad, a su vez medida en afinidad religiosa y lenguaje, es muy interesante y acertada. Yugoslavia era una federación de repúblicas, con fronteras trazadas a lo largo de lı́neas étnicas e históricas. El motivo de divergencias entre etnias, 15 minorı́as étnicas descuidadas, fue uno de los disparadores definitivos del conflicto total: la guerra de los Balcanes. Desgraciadamente, los motivos étnicos y religiosos no son una particularidad del caso Yugoslavo, sino hecho común en la historia mundial. Similares consideraciones de acoplamientos Gij podrı́an tenerse en cuenta para abordar los conflictos en Oriente Medio: el enfrentamiento de Israel-Palestina (y su entorno árabe), o las disputas intra-islámicas (chiitas-sunitas). De la misma manera que el modelo aquı́ expuesto se ha utilizado para analizar la deriva yugoslava, podrı́a introducirse en regiones del mundo que, no siendo territorios nacionales distintos u oficiales, presenten una importante diversidad/tensión entre etnias o grupos culturales, en general, diferentes. Otro aspecto a considerar para buscar espacios/contextos de aplicación de estos modelos de coalición/fragmentación es la evolución del tipo de conflicto en el mundo. Esto es, desde finales del siglo XX, las guerras han sufrido una transformación, pasando a predominar el denominado conflicto asimétrico. Conflictos entre agentes militares de muy distinto poder o nivel: enfrentamientos de un estado frente a facciones terroristas. Un peligroso y triste ejemplo de actualidad es la generación y progresión de la facción fundamentalista del Estado Islámico de Iraq y Levante en la región de Oriente Medio. La aplicación de estos modelos a estos tipos de conflictos requerı́a una mayor complejidad en el tratamiento. Quizás serı́a necesario un abordaje absoluto por medio de elementos de redes complejas. E hilando con estas propuestas, se podrı́a trascender de la consideración de espines o nodos meramente nacionales, y abordar la situación intranacional de interés por medio de redes complejas, cuyos elementos serı́an supernodos (agentes individuales agrupados, en aras de la simplificación) que recogerı́an, estadı́sticamente, las distintas sensibilidades sociológicas (étnicas, culturales: lengua, religión, ideológicas), económicas, y también factores geográficos, dentro de las regiones consideradas, y que interactuarı́an con mayor/menor afinidad dependiendo de las afinidades en los distintos factores expuestos. Respecto al análisis de la situación interna de paı́ses, Galam considera, con el modelo que aquı́ hemos revisado, el escenario de una nación gigante como China en [5],[4]. En este sentido, también serı́a interesante considerar el problema de otras naciones gigantes, como Estados Unidos, o la Rusia actual. Otra actitud tı́pica en estos dı́as es la que hace primar el interés económico-comercial en las relaciones de los paı́ses por encima de cualquier otro motivo más identitario o tradicional. Hablo de relaciones entre naciones que se halları́an, supuestamente, en las antı́podas ideologı́as y culturales (concepción del estado y de la democracia, religión, lengua, cosmovisión), y que, sin embargo, poseen buenas e interesadas relaciones diplomáticas: véase los casos de EEUU y Arabia Saudı́, u Occidente, en general, con los paı́ses de la penı́sula arábiga agraciados por el recurso del petróleo. Las diferencias entre estas naciones son muy evidentes, y quizás deberı́a haber motivos razonados para la existencia de tensiones entre las mismas, sin embargo, llevados por el modo de vida de las comodidades, el lujo, y el interés financiero, estos paı́ses no se pisan entre sı́, ya que ambos tienen recursos que ofrecer al contrario, y eso es lo que les interesa. Ası́, pues, la afinidad comercial y la necesidad de recursos de una nación que la otra carece, pueden ser factores interesantes y claves de los que dar cuenta a la hora de estudiar la dinámica de relaciones entre ciertos conglomerados de naciones. Hoy en dı́a, la inmensa 16 mayorı́a de las alianzas que se forjan ya no son bélicas/militares sino tratados comerciales/económicos; como el TTIP (Transatlantic Trade and Investment Partnership), entre EEUU y los paı́ses miembros de la UE, y cuya aprobación se está evaluando desarrollando en este año. Se hace pues obligatoria la consideración e introducción de factores macroeconómicos y afinidad económica, pero también de carácter social e ideológico, en los acoplamientos Gij entre los grupos de agentes tratados, para observar su dinámica. En esta discusión nos hemos centrado en el problema de dinámica e inestabilidades de naciones o entramados sociales de carácter estatal, pero en otros contextos de aplicación, desde luego, las ideas aquı́ expuestas se verı́an enormemente modificadas y la forma de modelizar los acoplamientos Gij y las relaciones entre agentes, cambiarı́a consecuentemente, dando lugar a nuevas consideraciones y motivaciones. A Código para la simulación del problema de los cinco paı́ses. Se adjunta el código que se ha desarrollado expresamente para estudiar el problema propuesto sobre la estabilidad de los cinco paı́ses. La dinámica es muy sencilla y ya se describió en 4.1. Esta se desarrolla en la función main(). La función initial state establece la configuración inicial de los paı́ses, si adoptan la postura +1 o -1. Por defecto se toman las posturas que el enunciado del problema propone. La función network construye la topologı́a del problema. Es una función poco genérica, muy especı́fica para el problema dado, por lo que una generalización del mismo a redes más complejas requerirı́a construir una nueva función, dependiendo del tipo de substrato que se deseara. En esta función network, el array coupling matrix da valor G si existe enlace entre los paı́ses en cuestión, y 0 si no es el caso. La función state informa sobre el estado de las alianzas en el sistema. Los individuos que comparten la misma postura +1(-1), están en la misma alianza; como solo hay dos posturas posibles, este mismo es el número de alianzas en el sistema. La función cost computation evalúa el coste individual del espı́n que entre en el argumento (del espı́n que se elija de acuerdo al generador de números pseudoaleatorios al comienzo del proceso dinámico). La función global cost computation computa el coste de todos los espines/paı́ses en el sistema. La dinámica de pseudo-Metropolis, o de aceptación/rechazo total, está insertada directamente en la función main. Esta podrı́a escribirse como un módulo aparte del programa, en caso de que se quisieran presentar opciones dinámicas alternativas. Hay una función extra, por si se desea comprobar otro tipo de dinámica, esta es la que da la función deterministic dynamics. Esta función calcula el paı́s que presenta una diferencia de coste mayor respecto a su mı́nimo particular, de forma que el paı́s que más incómodo se encuentre será única y automáticamente el que cambie de postura, sin tener en cuenta si mejorará o no su situación. Los resultados expuestos solo han llevado a cabo con la dinámica de Monte Carlo de aceptación/rechazo. Este es el código: 17 #include #include #include #include <s t d i o . h> < s t d l i b . h> <math . h> <time . h> void i n i t i a l s t a t e ( int ∗ s p i n ) ; void s t a t e ( int N, int t , int a l l i a n c e 1 , int a l l i a n c e 2 , int ∗ s p i n , int ∗ a l l i a n c e , FIL void network ( int N, f l o a t G, f l o a t ∗ opt H , int ∗∗ c o n n e c t i v i t y , f l o a t ∗∗ c o u p l i n g m f l o a t c o s t c o m p u t a t i o n ( int N, signed int S , int input , int ∗ s p i n , f l o a t ∗∗ c o u p l i n g void g l o b a l c o s t c o m p u t a t i o n ( int N, int ∗ s p i n , f l o a t ∗H, f l o a t ∗ opt H , f l o a t ∗ d i f f int d e t e r m i n i s t i c d y n a m i c s ( int N, f l o a t ∗H ) ; int main ( ) { FILE∗ a l l i a n c e d y n a m i c s ; a l l i a n c e d y n a m i c s=f o p e n ( ” a l l i a n c e dynamics . t x t ” , ”w” ) ; FILE∗ a l l i a n c e s t a t e ; a l l i a n c e s t a t e=f o p e n ( ” a l l i a n c e s t a t e . t x t ” , ”w” ) ; FILE∗ s p i n d y n a m i c s ; s p i n d y n a m i c s=f o p e n ( ” s p i n dynamics . t x t ” , ”w” ) ; FILE∗ c o s t d y n a m i c s ; c o s t d y n a m i c s=f o p e n ( ” c o s t dynamics . t x t ” , ”w” ) ; FILE∗ c o s t d i f f d y n a m i c s ; c o s t d i f f d y n a m i c s=f o p e n ( ” c o s t d i f f e r e n c e dynamics . t x FILE∗ f l i p d y n a m i c s ; f l i p d y n a m i c s=f o p e n ( ” f l i p p i n g s e q u e n c e dynamics . t x t ” ) ; s r an d ( time (NULL ) ) ; int N, t , t max , input , s p i n t o t , i , j , S , a l l i a n c e 1 , a l l i a n c e 2 ; f l o a t G, H 0 , H f , H t o t ; N=5; t =0; s p i n t o t =0; a l l i a n c e 1 =0; a l l i a n c e 2 =0; t max =20; G= −1.0; H tot =0.0; int ∗ s p i n ; s p i n =( int ∗ ) m a l l o c ( (N+1)∗ s i z e o f ( int ) ) ; int ∗ a l l i a n c e ; a l l i a n c e =( int ∗ ) m a l l o c ( (N+1)∗ s i z e o f ( int ) ) ; f l o a t ∗H; H=( f l o a t ∗ ) m a l l o c ( (N+1)∗ s i z e o f ( f l o a t ) ) ; // c o s t f u n c t i o n f l o a t ∗ opt H ; opt H=( f l o a t ∗ ) m a l l o c ( (N+1)∗ s i z e o f ( f l o a t ) ) ; // s t a b l e optimum c o s t f u n c t i o n 18 float ∗ diff H ; d i f f H =( f l o a t ∗ ) m a l l o c ( (N+1)∗ s i z e o f ( f l o a t ) ) ; // t o a l l o c a t e t h e l a r g e s t i n d f l o a t ∗∗ c o u p l i n g m a t r i x ; c o u p l i n g m a t r i x =( f l o a t ∗ ∗ ) m a l l o c ( (N+1)∗ s i z e o f ( f l o a t ) ) ; f o r ( j =1; j<=N; j ++)c o u p l i n g m a t r i x [ j ]=( f l o a t ∗ ) m a l l o c ( (N+1)∗ s i z e o f ( f l o a t ) ) ; f o r ( i =1; i<=N; i ++){f o r ( j =1; j<=N; j ++){ c o u p l i n g m a t r i x [ i ] [ j ] = 0 . 0 ; } } i n i t i a l s t a t e ( spin ) ; network (N, G, opt H , c o n n e c t i v i t y , c o u p l i n g m a t r i x ) ; while ( t<t max ) { s t a t e (N, t , a l l i a n c e 1 , a l l i a n c e 2 , s p i n , a l l i a n c e , a l l i a n c e d y n a m i c s ) ; %d %d %d %d %d \n” , t , a l l i a n c f p r i n t f ( a l l i a n c e s t a t e , ”%d %d %d %d %d %d %d \n” , t , s f p r i n t f ( spindynamics , ”%d f p r i n t f ( costdynamics , ”%d %f %f %f %f %f %f \n” , t ,H f p r i n t f ( c o s t d i f f d y n a m i c s , ”%d %f %f %f %f %f \n” , t , d i f f // i n p u t=d e t e r m i n i s t i c d y n a m i c s (N, ) ; s p i n [ i n p u t ]=− s p i n [ i n p u t ] ; i n p u t=1+rand ()%N; S=s p i n [ i n p u t ] ; H 0=c o s t c o m p u t a t i o n (N, S , input , s p i n , c o u p l i n g m a t r i x ) ; S=−s p i n [ i n p u t ] ; H f=c o s t c o m p u t a t i o n (N, S , input , s p i n , c o u p l i n g m a t r i x ) ; i f ( H f−H 0<=0){ s p i n [ i n p u t ]=− s p i n [ i n p u t ] ; f p r i n t f ( f l i p d y n a m i c s , ”%d %d g l o b a l c o s t c o m p u t a t i o n (N, s p i n , H, opt H , d i f f H , c o u p l i n g m a t r i x ) ; s p i n t o t=s p i n [ 1 ] + s p i n [ 2 ] + s p i n [ 3 ] + s p i n [ 4 ] + s p i n [ 5 ] ; H t o t=H[ 1 ] +H[ 2 ] +H[ 3 ] +H[ 4 ] +H [ 5 ] ; a l l i a n c e 1 =0; a l l i a n c e 2 =0; t++; } f c l o s e ( al liancedyn amics ) ; f c l o s e ( a l l i a n c e s t a t e ) ; f c l o s e ( spindynamics ) ; f c l o s e return 0 ; } void i n i t i a l s t a t e ( int ∗ s p i n ) 19 { s p i n [ 1 ] = 1 ; s p i n [2]= −1; s p i n [3]= −1; s p i n [ 4 ] = 1 ; s p i n [ 5 ] = 1 ; } void s t a t e ( int N, int t , int a l l i a n c e 1 , int a l l i a n c e 2 , int ∗ s p i n , int ∗ a l l i a n c e , FIL { int i ; f o r ( i =1; i<=N; i ++) { i f ( s p i n [ i ]==1) { a l l i a n c e 1=a l l i a n c e 1 +1; a l l i a n c e [ i ]=1; } else { a l l i a n c e 2=a l l i a n c e 2 +1; a l l i a n c e [ i ]=2; } } f p r i n t f ( a l l i a n c e d y n a m i c s , ”%d %d %d \n” , t , a l l i a n c e 1 , a l l i a n c e 2 ) ; } void network ( int N, f l o a t G, f l o a t ∗ opt H , int ∗∗ c o n n e c t i v i t y , f l o a t ∗∗ c o u p l i n g m { c o u p l i n g m a t r i x [ 1 ] [ 1 ] = 0 ; c o u p l i n g m a t r i x [ 1 ] [ 2 ] = −G; c o u p l i n g m a t r i x [ 1 ] [ 3 ] = −G; c o u p l i n g m a t r i x [ 2 ] [ 1 ] = −G; c o u p l i n g m a t r i x [ 2 ] [ 2 ] = 0 ; c o u p l i n g m a t r i x [ 2 ] [ 3 ] = 0 ; c c o u p l i n g m a t r i x [ 3 ] [ 1 ] = −G; c o u p l i n g m a t r i x [ 3 ] [ 2 ] = 0 ; c o u p l i n g m a t r i x [ 3 ] [ 3 ] = 0 ; c c o u p l i n g m a t r i x [ 4 ] [ 1 ] = −G; c o u p l i n g m a t r i x [ 4 ] [ 2 ] = −G; c o u p l i n g m a t r i x [ 4 ] [ 3 ] = −G c o u p l i n g m a t r i x [ 5 ] [ 1 ] = 0 ; c o u p l i n g m a t r i x [ 5 ] [ 2 ] = 0 ; c o u p l i n g m a t r i x [ 5 ] [ 3 ] = −G; c opt H [1]= −3∗G; opt H [2]= −2∗G; opt H [3]= −3∗G; opt H [4]= −4∗G; opt H [5]= −2∗G; } f l o a t c o s t c o m p u t a t i o n ( int N, signed int S , int input , int ∗ s p i n , f l o a t ∗∗ c o u p l i n g { int j ; f l o a t sum ; sum = 0 . 0 ; f o r ( j =1; j<=N; j ++){sum=sum−c o u p l i n g m a t r i x [ i n p u t ] [ j ] ∗ S∗ s p i n [ j ] ; } 20 return sum ; } void g l o b a l c o s t c o m p u t a t i o n ( int N, int ∗ s p i n , f l o a t ∗H, f l o a t ∗ opt H , f l o a t ∗ d i f f { int i , j ; f l o a t sum ; f o r ( i =1; i<=N; i ++) { sum = 0 . 0 ; f o r ( j =1; j<=N; j ++)sum=sum−c o u p l i n g m a t r i x [ i ] [ j ] ∗ s p i n [ i ] ∗ s p i n [ j ] ; H[ i ]=sum ; d i f f H [ i ]=H[ i ]− opt H [ i ] ; } } int d e t e r m i n i s t i c d y n a m i c s ( int N, f l o a t ∗H) { int i , j , a , b , c , p l a y e r ; int ∗ r e p l a y ; r e p l a y =( int ∗ ) m a l l o c ( (N+1)∗ s i z e o f ( int ) ) ; f o r ( i =1; i<=N; i ++)r e p l a y [ i ] = 0 ; p l a y e r =1, r e p l a y [ 1 ] = 1 ; a=1,b=0, i =2; f o r ( j =1; j <N; j ++) { i f (H[ p l a y e r ]<H[ j +1]) { p l a y e r=j +1; r e p l a y [ 1 ] = j +1; f o r ( i =2; i<=N; i ++)r e p l a y [ i ] = 0 ; i =2; } } f o r ( j =1; j<=N; j ++) { i f ( j != p l a y e r ) { i f (H[ p l a y e r ]==H[ j ] ) { r e p l a y [ i ]= j ; i ++; b−−; a++;} } 21 } i f ( b<0){ c=1+rand ()%( a ) ; p l a y e r=r e p l a y [ c ] ; } return p l a y e r ; } References [1] Galam, S. 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