Supports des profonctionnelles analytiques

Séminaire Paul Krée C HRISTER O. K ISELMAN Supports des profonctionnelles analytiques Séminaire Paul Krée, tome 2 (1975-1976), exp. no 9, p. 1-7 <http://www.numdam.org/item?id=SPK_1975-1976__2__A9_0> © Séminaire Paul Krée (Secrétariat mathématique, Paris), 1975-1976, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Paul Krée » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 9-01 SUPPORTS DES PROFONCTIONNELLES ANALYTIQUES Christer O. KISELMAN li Introduction. Le but de cet exposé premièrement (§ 2) est de résumer quelques résultats dans la théorie des fonctionnelles analytiques d’un nombre fini de variable&#x3E; et deuxièmement (§3) d’étudier quelques questions correpondantes en dimension infinie. On sait qu’il certaines difficultés pour définir le support d’une prodistriSCHACHERMAYER [9]). Or, pour les fonctionnelles analytiques, la notion (cf. bution y a problèmes déjà en dimension finie, et il faut puisse passer aux profonctionnelles analytiques. de support pose des avant qu’on ne 2? Fonctionnelles analytiques Soit Q compacts), dénombrable de c’est C (ou ouvert de un Une forme linéaire I : une variété holomorphe de dimension finie, réunion l’anneau des fonctions avec la topologie définie O(çi) ~ C holomorphes sur Q ; par les seminormes est donc continue si et seulement s’il existe compact K"""dans 0 tels que 1~C cp E 0(0.).. On pourrait dire, dans ce cas, que K est un porteur Nous dirons qu’un compact K est porteur de T si tout K’ x K une C constante et un une portée fonctionnelle strictement portée par alors ... (a) strictement par De *. =cp(a) ,où = Soit 3 un une J-support -. où J est lz 1 iz é i ; un =. (K j ~ Si T(cp) si T à ’ a (ç) est Par = - portée en est a E 0 cp’(a) par ’Il. porteur c précisément, L ak. 03B4(k)O est .s n’est pas K, çi K . Donc toute r 1 0 , si, et seulement si, lim sup ::; = K compact, Soit T(,) ment convexes de T pour toute comb- portée lak |1/k ~ Cn; c par :Il . famille de perteurs (compacts) de T e O’ (n) . Qn dit que K est de T s i K ~ J e t s i K est minimal dans lY pour 1 ’ inc lu si on. J-support vexes. Or où ,. or elle aussi portée est ri (a} t façon générale, pour certaines combinaisons infinies. Plus K (cp) strict @e strict.- La raison de cette notion est claire: est s’y habituer dimension finie. 0(o) soit espace de Fréchet un en bien n’a de 0 E cp(O) ,alors joj cp(z) dz, J’b où J T’ , a qu’un seul ~-support de T K) . = ’ll . Donc T est le seul f OE 0(C) . "" Tout chemin simple de est la famille de tous les a une infinité de J1-support où J1 a à b porteurs polynomiale- J-supports polynomialement conest la classe des porteurs con- 9-02 (a y b) , vexes, à savoir le segment dit ~ Exemple. - Etant donnée où est r chemin faisant un un convexe de T. 1. , on pose 1; Soit pour holomorphe g, support tout autour de . r = et r 11 + r2 ’ posons Si K support polynomialement convexe de T contenu dans le disque unité, alors on peut montrer que ri, et K u r2. sont des supports polynomialement conve xes de S . Morale : Dans la présence d’une petite courbe (f2) , on ne peut pas affirmer qu’un support (Ku r2) soit unique. est un Si l’on veut qu’un support polynomialement unique il faut donc, en gros, supprimer les parties 1r-dimensionnelles tandis que les parties 0-dimensionnelles et 2-dimensionnelles sont permises. Le théorème suivant exprime de façon précise cette idée, THEORÈME 2.1, ([2] , théorème convexe 3.3:3). - Soit K soit 0 cC., Alors les compact de un conditions suivantes sont équivalentes : K - dont de toute fonctionnelle analytique est le seul support K support 0(0)-convexe $ est pour tout ouvert connexe w - 1~intérieur de tel que 03C9 ordinaire, composante 03C91 de et toute la situation est différente : THEOREME 2.2. - Toute fonctionnelle T E 0’(O} . où 03A9 est , un ouvert convexe de admet un support convexe unique. C , T(z -~ (w effet, soit g(w) voisinage de (C u {~})B03A9. On a En au ~K ~ 03C6 8K . rencontre Or pour la convexité n = z) 20141 ’) la transf ormée de Borel de T 9 définie ~ si r le support un g est une courbe convexe faisant " de convexe T est ensemble compact convexe soient définies sur une réaliser dans Dans "l’enveloppe convexe bien défini dans C - un des bien que "les surface de Riemann dont une g . Alors " singularités qui de partie variable peut se C . 1f , il peut arriver qu’une fonctionnelle ait plusieur supports "phénomènes polynomialement conreproduire comme des "phénomènes convexes" convexesq c’est attendu dans la mesure où des vexes" dans singularités de singularités de g tour autour des - n &#x3E; - un espace C peuvent se est 9-03 dans espace de dimension élevée, un ~ Soit T E 0(Cn} la transformée de Fourier ,..., - . - - . (ou - Laplace) de de T E O (Cn) : ,..., ~ Où z, 03B6~ = z1 03B61 + ... + zn 03B6n. nentiel. Plus précisément, soit K en notant d’où, B la boule unité de pour où = = exp On montre facilement que un porteur de T ; on C~ , T est de obtient, type expo- pour tout e &#x3E; O, (z , ,&#x3E; , supz~K Rez , 03B6) , 03B6 ~Cn, est la fonction d’appui de K , !~(6) - 1 celle de B (norme euclidienne). L’indicatrice PT de T , soit satisfait donc à d’où Pour montrer inégalité une dans l’autre sens on a besoin du résultat profond suivant : THEOREME 2.3 (EHRENPREIS-MARTINEAU, K ~ De ~T~~k* ce théorème, THEOREME 2.4. ([3], p*T est la théorème 5.2). - Si régularisée supérieure Le théorème 2.4 entraîne donc à COROLLAIRE 2.5 (p], corollaire -x- unique si, et seulement si. p Comme la fonctionnelle pT(03B6) =|Im 03B61 03B62| p. 98). - p. si. T Soient et seulement peut déduire : T ~ K où 152 ; [1Q, Alors K porte Cn. un compact connexe de on [5], voir ayant plusieurs supports convexes on a I) , porte de p*T(03B6) = lim soit tour le corollaire suivant. son 5.3). - I e O ’ (C.) admet support convexe un 2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014 ~ est convexe. T , définie non-convexe, O’(Cn), on par T(03B6) = cos obtient par là ([~2], p~ 309)~ 03B61, 03B62, exemple un a l’indicatrice d’une fonctionnelle 9-04 Il est facile de voir que si minimale de vexe le * moins égale convexe K au pact T E 0’ à deux. Soit HK arr~t. Donc ([2] , théorème C1, est de classe [6] n’est pas convexe, alors toute majorante est linéaire dans Un sous-ensemble PT a un COROLLAIRE 2.6 * PT 3.1). alors de dimension réel- telle maJorante 9 il s’ensuit que le une on a convexe con- com- le résultat suivant. Si la frontière d’un K K support convexe est le seul support convexe de de T . résultat plus précis. Pour les supports O(03A9)-convexes un théorème analogue est vrai, cepenàant la démonstration que je connais est très différente, et l’étude précisée, que NARTINEAU [6] a faite dans le cas convexe, MARTINEAU a montré un reste à faire. THÉORÉME 2.7 ([2], théorème 3 .2) . - Si K E &#x26;(0) , de frontière et si Q est T port unique de e st un support O(03A9)-convexe de d’holomorphie, alors K est le T . D’autre part, le corollaire 2.5 trice générale peut être généralisé ( ordinaire). cp linéaire donne l’indicatrice théorème. ~ , ([3], THEOREME 2.8 admetun Ici corollaire si, est une On 5.10). - Si 03A9 seul support l(cp) == sup- en introduisant peut alors démontrer est une et seulement un nouveau variété de Stein.T si, fonctionnelle analytique l’indica- ɧ/ non e 9’(o) est convexe dans linéaire ; c’est la transformée de Laplace (ou de Fourier) non linéaire que j ’ai étudiée dans [3~. Une étude systématique des supports des fonctionnelles analytiques non linéaires a été commencée par MARTINEAU dans [7.] et [8]. 3. Profonctionnelles analytiques Soient E un E , Etant F.J dimension infinie. complexe, et (Fj)j~J une bonne famille dans la terminologie de KREE [4]. Cela veut dire que espace localement de sous-espaces de Tout en convexe est fermé et de codimension donnés j et k dans J , finie ; il existe i dans J tel que Fj ~ Fk ~ F. ; et L’intersection des On note définit de E. J = E/F.J E. façon la F. est l’espace quotient qui surjection canonique. naturelle 03C0ji : E.. -w E, est donc séparé On et de dimension si on a finie~ Fi ~ Fj, et o on -n. s: 03C0i. 9-05 obtient pour i ~ ii 1 et donc Une profonctionnelle analytique famille de fonctionnelles habituel, à l’adhérence de M ~ E T. J porte J on qui E prodistribution dit sera orteur de la pour une est cohérente dans le sens prof onctionnelle tout j ~ J (cf. [9]). due à SCHACHERMAYER La définition de la fonction et T. 0’(E.) analytiques notée est, par définition, E sur = sera i ~ 1.. avec Un ensemble borné teur d’une T savoir pour tout -* ~~i L’application adjointe à s’obtient par restriction. T = (T .J;) si la définition de suppor- Si c’est le cas, on a d’appui s’étend immédiatement à R 1 obtient (3.1,) L’indicatrice et pT Avec si = (1.) est par là-même déf inie ces T est THEOREME localement on a pT ~ HM T de PI définitions, portée par on M . 3~1. - Si convexe dans sur E’ définie = U l’équation Par nj(E’j) C E,t t, car obtient Réciproquement, est complexe, E’~, sera un sous-ensemble et si pour une alors on T est peut énoncer convexe le théorème suivante et borné de E , espace profonctionnelle analytique portée par M. T E sur ’ 9-06 En effet, (3.2» et P&#x3E; 5 ffi- si Elt , dans on a 1. est portée donc, par le théorème 2.3 , et Le théorème 3.1t n’est donc ;’ ’B. sur n’est néces- complexe, et (F espace localement convexe soit dense dans E’ pour la E (F . ) la bonne famille dimen- en est moins triviale.. supports uniques THEOREME 3.2. - Soient n.(M) . compact par le qu’une traduction du théorème correspondant sion finie. On note qu’aucune condition saire. L’étude des (voir (3.1) EJ dans chaque (M) un j) une E) topologie forte 03B2(E’, bonne famille telle que E g§1 est portée par une p,ar-o une profonctionnelle analytique sur Soit T tie bornée B de E . Si chaque Tj admet un support convexe compact unique, alors T un support convexe fermé et borné unique. (Tj) = Démonstration. - Soit et, posant en et convexes le Soit KjHk.(I;;)J, hj(nj(I;;» qui ce i i en effet, tion convexe, tend topologie plus (unique) à E~ ~ noté sous-ensemble est contenu dans Je dis que T . Il porte avons =. D- Et i 0 on c Jjf j. et E’j majorée est + vers Tj. obtient co si une qui E" , * HKj ~~H03C0j H (ae’ (H) p*Tj famille de fonctions PT est de 1$1 et,. =: = HKj plus croissante en Prenant la régu-- respectivement, on aura dans pour la sur J, E’~ et topologie La fonction h~ h~ = h~ et majorée est par lim HB. hj fonc- une Done sur E’ définie par admet un prolongement H- , h . Considérons convexe et fermé de convexe et 03C0j(L) ~ Kj, d’où s’agit La limite par pour l’ordre dans co 03B2(E’, E) . l’enveloppe Il reste à voir que de Py1 (,hA uniformément continue un sur positivement homogène, définie faible que c’est E ]:.. Donc de part, montre que la famille est Ej , 03C0*j(E’j) J 1;; dans les espaces existe donc quand j &#x26; homogènes positivement supérieure D’autre support convexe convexe = pour l’ordre de larisée le K. L L est W ? Kj M pour et comme fermée de h $ H~ B , d’où L on voit que L est borné. porte L. En effet, porteur convexe, fermé contient L. Comme M porte T , unique s soit de montrer que E M un En prenant les fonctions et borné d’appui, noua 9-07 d’où Comme M est borné, sa fonction topologie pour laquelle E’~ E’ et, finalement, M ~ L , fermé et borné de d’appui est dense dans ce qui est uniformément continue pour ML partout dans L est le seul support convexe Et . Donc montre que p(E~ , E), = I . BIBLIOGRAPHIE [1] (L.). - HORMANDER - Amsterdam, An introduction to complex analysis in several variables. North-Holland publishing Company, 1973. [2] KISELMAN (C. O.). - On Mat., t. 6, 1965, p. [3] KISELMAN [4] KRÉE [5] MARTINEAU [6] MARTINEAU (A.). rème de C. O. [7] [8] [9] unique supports of analytic functionals, Arkiv for 307-318. On entire functions of exponential type and indicators of functionals, Acta Math., t. 117, 1967, p. 1-35. (C. O.). - analytic (P.). - Prodistributions, partielles en dimension Séminaire Paul Krée : infinie, 1re Équations année, 1974/75, n° 2, aux dérivées 14 p. 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