Análise Estrutural Avançada

10/22/2014 Análise Estrutural Avançada (2014/2015) Funções Integradoras Caso unidirecional - El. Lagrangianos Elemento finito unidimensional com quatro nós colocados sobre o eixo x. A posição de cada nó é definida pela respectiva coordenada cartesiana xi , sendo i o número do nó. As características essenciais de uma função de forma Ni são as seguintes: • deve assumir o valor unitário para i x = x ; • deve anular-se nos restantes nós. (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 1 10/22/2014 Caso unidirecional - El. Lagrangianos Valores que cada função de forma deve assumir nos nós do elemento finito (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso unidirecional - El. Lagrangianos É fácil verificar que as seguintes funções de forma são polinómios que respeitam as condições definidas Fórmula de interpolação de Lagrange A expressão genérica para o caso de um elemento finito unidimensional com n nós (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 2 10/22/2014 Caso unidirecional - El. Lagrangianos (Delgado, R., 1997) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso unidirecional - El. Lagrangianos (Delgado, R., 1997) Análise estrutural avançada (2014/2015) 3 10/22/2014 Caso bidimensional - El. Lagrangianos Relativamente ao elemento finito bidimensional com 16 nós, pretende-se obter a função de forma N7 (s1, s2) Esta função deve ser unitária no nó 7 e deve anular-se nos restantes nós. As coordenadas do nó 7 são (s1, s2) = (1/3, -1/3). (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso bidimensional - El. Lagrangianos Na direcção s1, o nó 7 é o terceiro nó. Por isso deve-se utilizar a função N3 indicada e considerar x = s1 , x1 =-1 , x 2 = −1/3 , x3 = 1/3 e x4 = 1. Esta função é designada N31 e tema seguinte expressão: Os índices em N31 têm o significado de função de forma unidimensional correspondente ao nó 3 e com x substituido por s1. (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 4 10/22/2014 Caso bidimensional - El. Lagrangianos Na direcção s2, o nó 7 é o segundo nó. Por isso deve-se utilizar a função N2 indicada em (2), considerar x = s 2 e, de igual forma, x1 = −1 , x 2 = − 1/3 , x3 = 1/3 e x4 = 1 . Esta função é designada N22 e tem a seguinte expressão A função N7 (s1, s2) é o produto de N31(s1) por N22(s2): (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso bidimensional - El. Lagrangianos Como se pode facilmente verificar, esta função de forma assume o valor unitário no nó 7 e anula-se nos restantes nós. As funções de forma correspondentes aos restantes 15 nós poderiam ser obtidas de um modo idêntico ao que foi aqui apresentado. Na Figura encontra-se, em perspectiva, o gráfico da função N7 (s1, s2). (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 5 10/22/2014 Caso bidimensional - El. Lagrangianos A expressão N7 (s1, s2) é quivalente à seguinte: (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso bidimensional - El. Lagrangianos O triângulo de Pascal correspondente a uma função de duas variáveis é o seguinte Comparando N7 (s1, s2) com o triângulo de Pascal pode observar-se que a função de forma N7 (s1, s2) é um polinómio de sexto grau incompleto, em que foram utilizados apenas os 16 termos que figuram em N7 (s1, s2) (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 6 10/22/2014 Caso bidimensional - El. Lagrangianos Apresenta-se em seguida um procedimento que permite determinar as funções de forma de um elemento finito com n nós arbitrariamente distribuídos [7.2]. A exposição que se segue baseia-se num exemplo, que consiste num elemento finito de cinco nós posicionados de acordo com a Figura As coordenadas dos cinco nós do elemento finito são, no sistema de eixos (s1, s2) (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso bidimensional - El. Lagrangianos Pretende-se fazer a interpolação do campo de espessuras h (s1, s2), sendo utilizada a seguinte expressão, em que hi representa a espessura do elemento finito no nó i. Em notação matricial , (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 7 10/22/2014 Caso bidimensional - El. Lagrangianos Tendo em vista a determinação das cinco funções de forma polinomiais Ni, é necessário seleccionar no triângulo de Pascal um número de termos igual ao número de nós do elemento finito. Por este motivo, o exemplo requer a escolha de cinco termos, que devem ser de grau tão baixo quanto possível. No triângulo de Pascal, são assim seleccionados os seguintes termos, que se agrupam num vector designado por V. Na selecção efectuada, foi dada preferência a termos de grau mais elevado em s1 do que em s2, devido ao facto de o elemento finito apresentar mais nós segundo a direcção s1. De acordo com a selecção de termos efectuada, a função h (s1, s2) vai ser aproximada com o seguinte polinómio (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso bidimensional - El. Lagrangianos Em notação matricial se escreve Ao efectuar a substituição das variáveis s1 e s2 pelas coordenadas do nó 1, pretende-se obter o valor da espessura h no nó 1 ( h1 ) (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 8 10/22/2014 Caso bidimensional - El. Lagrangianos Procedendo de igual forma com os restantes nós e agrupando as cinco expressões do tipo anterior numa única expressão matricial, tem-se. (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso bidimensional - El. Lagrangianos No caso do exemplo da Figura, com 5 nós, os elementos de Q são. Uma vez que a matriz Q é quadrada e se supõe não singular, pode-se multiplicar, à direita, ambos os membros de (27) por Q−1 , resultando substituindo (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 9 10/22/2014 Caso bidimensional - El. Lagrangianos Sabendo: No caso do exemplo (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) Caso bidimensional - El. Lagrangianos As funções são: (Azevedo, A., 2003) Análise estrutural avançada (2014/2015) 10 10/22/2014 Bibliografia • Delgado, R. – Texto de apoio às aulas de Método dos Elementos Finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. 1990, Porto, Portugal. • Azevedo, A. – Livro - Método dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. Abril 2003, Porto, Portugal. • Azevedo, A. – Apresentação -Método dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. Abril 2003 Porto, Portugal. Análise estrutural avançada (2014/2015) 11