3. Reed-Solomon Code and Its Decoding Method

特集 B 3章 誤り訂正技術Ⅰ 〜基礎編〜 リード・ソロモン符号とその復号法 松 嶋 敏 泰† キーワード：リード・ソロモン符号，ユークリッド復号法，誤り訂正符号，最大距離分離符号，限界距離復号法，有限体フーリエ変換 語または情報系列に復号される．各シンボルは q 元情報で １．まえがき mi, wi, yi ∈{0, 1, ···, q – 1} として説明をすすめる． リード・ソロモン符号（Reed-Solomon Code）は，ランダ 通信路符号化定理では，符号長 n を充分大きくした時，復 ム誤りやバースト誤り訂正用ブロック符号としての単体で 号の誤り確率を漸近的に 0 にするという条件のもとで，達成 の利用のみならず，この符号を外符号に畳み込み符号を内 可能な符号化レートk/nの上限を示している．その上限が通 符号にした連接符号としての利用等々，放送や通信のさま 信路の確率構造から決まる通信路容量であり，それを達成 ざまな分野で重要な役割を担っている．このように重用さ する符号化関数と復号関数の存在をこの定理で証明してい れる理由は，優れた性能や，符号化と復号の効率的アルゴ る．この定理＊ 3 は存在定理と呼ばれるもので，この二つの リズムを有しているからであるが，それらはリード・ソロ 関数の具体的な構成法を示したものではない．また，復号 モン符号のもつ数理的に美しい構造によって支えられてい 誤り確率を最小にする復号は，受信語を与えられたもとで 符号語の事後確率 P (w|y) を最大にする符号語を選ぶことと ると言える． 符号理論が専門でない研究者の方々もリード・ソロモン 符号についてはある程度はご存知と思われるが，理論的な なり，一般に符号語の全数探索となるため，符号長nの指数 オーダの計算量が必要で実用的でない． 部分にさらに一歩踏み込んでその構造を理解することは有 このような経緯から，符号としては線形な符号化関数を 限体の知識が必要である等，それほど容易なことではない 用いる線形符号を，復号法としては n の多項式オーダの計 と思われる．本稿では，理論的に半歩だけ踏み込んで，優 算量の限界距離復号法を中心に考える代数的符号理論の研 れた性能が生まれる数理的しくみや，効率良い復号法の巧 究が発展し，リード・ソロモン符号はその代表的な成果と みなアイデアについて，議論の厳密さはある程度おさえて して登場してくる． も，わかり易い解説を試みるつもりである． ２．通信路符号化定理と代数的符号 ３．線形符号と限界距離復号 線形符号の表現法としては，k × n の生成行列 G が良く まずリード・ソロモン符号が登場してくる背景について 用いられ，w = mG として符号化が行われる．生成行列 G 述べていく．符号理論研究者の目指す一つの大きな目標は， によって生成される符号語全体の集合＊ 4 は G によって張ら シャノンの通信路符号化定理で示される通信路容量の達成 れる線形部分空間となっている．また，GH⊤ = 0 を満たす である．この定理では通信路符号化復号システムを次のよ 検査行列 H を用いると，任意の符号語は wH⊤ = 0 となるこ うに数理モデル化している．情報源から発生する k シンボ とも明らかであろう． ルの情報系列 m = (m0, m1, ···, mk – 1) ＊1 は，符号器（符号化 ある対称性をもつ通信路では受信語が与えられたもとで 関数）で n シンボルの符号語 w = (w0, w1, ···, wn–1) に変換さ 事後確率最大の符号語を探索することは，受信語 y に対し れ，通信路を通して伝送される．通信路では雑音等の影響 てハミング距離 d(w, y) を最小にする符号語 w を探索する で符号語が確率的 ＊2 に変化した n シンボルの受信語 y = (y0, y1, ···, yn – 1) として受信され，復号器（復号関数）により符号 ことと同等になるが，これも符号長 n の指数オーダの計算 量が必要となってしまう．そこで受信語 y から距離 t 以内 の範囲で符号語 w が見つかったらその w に復号する限界距 ＊ 1 符号理論ではベクトルを横ベクトルで表す慣例があり，本稿でも それに従う． ＊ 2 通信路の確率構造は条件付き確率 P (y|w) 等で表現される． †早稲田大学 "Reed-Solomon Code and Its Decoding Method" by Toshiyasu Matsushima (Waseda University, Tokyo) 映像情報メディア学会誌 Vol. 70, No. 4, pp. 571 〜 575（2016） 離復号法と呼ばれる方法をとることにした．これは，各符 ＊ 3 この定理の証明では，符号化関数としてランダムな写像のクラスを 考えると，そのクラスの中に少なくとも一つは通信路容量を達成す る符号が存在するというような間接的なロジックを用いている． ＊ 4 符号語全体の集合を符号と呼んでいる． （55） 571 特集 B 誤り訂正技術Ⅰ 〜基礎編〜 号語 w がそれぞれ復号領域 R (w) = {x|d (x, w) ≤ t, x ∈{0, 1, 号は数少ない最大距離分離符号の一つのクラスで，そのよ ···, q – 1} } をもっていて，その領域内に受信語 y が入ってき うな意味で理想的な符号であることがわかる． n た時にその中心の符号語 w に復号すると捉えることもでき 二つ目の目標である計算量が少ない限界距離復号のアル る．ただし，どの符号語の復号領域にも受信語 y が含まれ ゴリズムについては，リード・ソロモン符号を含む BCH ないときもあり，その場合は復号失敗となる．また，逆に 符号（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem code）のクラスには 二つ以上の符号語の復号領域が重なっていては困るので， いくつかのすぐれた復号アルゴリズムが提案されている． 二つの異なる符号語間のハミング距離の最小値である最小 最初に提案されたものは Peterson 法で n 3 のオーダの計算 ハミング距離を dmin とした場合， 量で限界距離復号が可能である．さらに後の節で述べる ユークリッド復号法（杉山−平澤−笠原−滑川法）は n 2 の  d −1  t =  min  2  オーダの計算量の効率の良い復号法として知られている． 以上より，リード・ソロモン符号とその復号法が代数的 符号がめざす初期の目標を達成した優れた符号であること と復号領域の半径 t は設定されている． ４．代数的符号がめざす目標とリード・ソロモ ン符号 線形符号と限界距離復号の組合せで通信路符号化復号シ ステムを考えていく場合，最終目標である通信路符号化定 理の手前の実用的中間目標として次の二つが考えられる． （1）最小ハミング距離が大きな線形符号を構成する． （2）復号領域内の受信語を正しく復号する効率的な復号 アルゴリズムを構成する． がご理解いただけたであろう．その詳細について次の節か ら述べていく． ５．リード・ソロモン符号の概要としくみ リード・ソロモン符号は q 元のシンボル{0, 1, ···, q – 1} を 用いた，つまり位数 q の有限体 F q ＊ 7 上の，ブロック線形 符号で巡回符号＊ 8 でもある． 以降では，情報系列m，符号語w，受信語yにおいてmi, wi, yi ∈Fq とし，典型的なパラメータ設定である，符号長n = q – 1 まずはじめの目標で，最小ハミング距離はどこまで大きく のリード・ソロモン符号を考える．まず，生成行列 G と検 できるのであろうか．これはq元符号の場合，n次元空間を構 査行列 H は，ある原始元を α とすると，以下のように表現 成するq 個の点の中のq 個の点に，互いの距離をなるべく離 される． n k して符号語を割り振る問題を考えることになる．情報系列長 kで符号長nを固定したもとでの最小ハミング距離の重要な一 つの限界として以下のシングルトン限界が知られている． dmin ≤ n − k + 1. (1) この限界の直感的な解釈を試みる．まず，線形符号の性 質として，任意の符号語から見た他のすべての符号語の距 離構造と，全シンボルが 0 の符号語から見た他のすべての 符号語の距離構造は同じとなる．そのため，最小ハミング 距離は，全ゼロの符号語以外で非ゼロのシンボルが一番少 ない符号語の非ゼロシンボルの数と等しく，これを最小ハ  1 1 1 1   n−1  1 α ⋯ α   ( ) 2 2 n − 1 G = 1 α  ⋯ α   ⋮ ⋮  1   ( k−1)( n−1)  k−1 ⋯ α  1 α 1 α ⋯ α n−1     1 α 2 ⋯ α 2( n−1)   H=  1 ⋮ ⋮    1 α n− k ⋯ α ( n− k)( n−1)  ミング重みと呼んでいる．組織符号＊ 5 を考えると，k シン 先に述べたように生成行列 G により符号化の計算を表現 ボルの情報部分の 1 シンボルだけが非ゼロの時，冗長部の すると w = mG となる．別の角度からこの符号化計算と生 n – k シンボルがすべて非ゼロであっても符号語のハミング 成された符号の性質を見るために，ベクトルの多項式表現 重みは n – k + 1 となり，これより大きくできないので，シ についてまず説明する． ングルトン限界が直感的に導かれる． このシングルトン限界を達成する符号があれば，最小ハ 符号理論では情報系列を Fq 上のベクトル m = (m0, m1, ···, ＊ 7 大変大雑把ではあるが，有限体（ガロア体）も実数体や複素数体と ミング距離の意味で理想的な符号であり，それを満たす符 同様に四則演算が可能な代数であり，有限の集合の元に対して四 号は最大距離分離符号＊ 6 と呼ばれる．リード・ソロモン符 則演算が定義され閉じている体系と考えていただければよい．有 ＊ 5 符号語 w の k シンボルが情報系列 m と一致し，残りの n – k シンボ のべき乗のみで 0 元以外のすべての元が表現可能という点である． ルが冗長部となるような符号は組織符号と呼ばれている．例えば， 生成行列 G の右 k × k が単位行列の場合がそれに対応する． ＊ 6 最大距離分離符号は，その他いくつかの点でも理論的に優れた性 質を持っている．例えば，符号のハミング重みの分布を正確に知 ることができる． 572 （56） 限体に関する本稿で用いる重要な性質は，原始元と呼ばれる元 α つまり Fq の場合，{1, α, α 2, ···, α q–1} で 0 以外の q – 1 個のすべての元 が表現できる．ここで α 0 = 1 である．この節以降の演算は Fq 上の 演算であることに注意されたい． ＊ 8 符号語を巡回シフトさせた系列もまた符号語になるという性質を 持つ線形符号の部分クラスの符号． 映像情報メディア学会誌 Vol. 70, No. 4（2016） 3．リード・ソロモン符号とその復号法 mk – 1) で表現する以外に Fq 上の多項式＊ 9 による以下の表現 号語に対して s = 0 となっている．この計算も注意深く見て も多く用いられる． みると，情報系列を拡張したベクトル m + をフーリエ変換 して得られた符号 w を逆フーリエ変換して ＊ 10 k 次から m( x) = m0 + m1 x + w2 x 2 + ⋯ + mk−1 x k−1. n – 1 次の係数 mk, ···, mn – 1 のみを復元していると解釈する 同様に符号語 w = (w0, w1, ···, wn – 1) も以下のように多項式 で表現される． ことができる．つまり， s0 = w(α ) = w(α − ( n−1) ) = nmn−1 , w( x) = w0 + w1 x + w2 x 2 + ⋯ + wn−1 x n−1. s1 = w(α 2 ) = w(α − ( n−2) ) = nmn−2 , それでは，リード・ソロモン符号の構造や仕組みを付録 A の有限体上のフーリエ変換の視点から眺めてみよう．情報 系列の後ろに n – kシンボルの 0を連接して m+ = (m0, m1, ···, mk – 1, 0, ···, 0) とすることで，形式的にn次元ベクトルとする ことができる．符号化計算 w = mG をよく眺めてみると，こ の拡張された n 次元ベクトルの情報系列 m+ をフーリエ変換 ⋮ ⋮ sn− k−1 = w(α n− k ) = w(α − k ) = nmk . mk, = ··· = mn – 1 = 0 とおいていたので，逆フーリエ変換で 計算された s0 から sn – k – 1 はもちろんすべて 0 となる． ６．リード・ソロモン符号の復号 前節で，リード・ソロモン符号が最大距離分離符号に したものが符号語wとなっていることがわかる． この n 次元ベクトル m に対応する多項式は，k 次から なっていることを示した．つまり，リード・ソロモン符号 n – 1 次の係数 mk = ··· = mn – 1 = 0 の多項式であり，やはり先 が，復号に限界距離復号法を用いた場合に，最も性能の良 ほどの k – 1 次の多項式 m (x)として表現されるので，情報 い符号であることを示したことになる． + 系列から符号語 w へのフーリエ変換は以下のようにも表現 次は，そのシングルトン限界に達する最小ハミング距離 dmin = n – k + 1 に対して， できる． w = (m(1), m(α ),⋯, m(α n−1 )). (2) さて，このように符号語は情報系列の有限体上のフーリ  d −1  n − k =  t =  min  2   2  エ変換として構成されるという視点から，リード・ソロモ の誤りまで訂正可能で，計算量が実用的な限界距離復号の ン符号の最小ハミング距離（最小ハミング重み）について考 構成法について説明していく．具体的にはユークリッド復 察してみよう．式（2）で表現したように wj = m(α ) となる 号法（杉山−平澤−笠原−滑川法）と呼ばれる n 2 のオーダ ので，w j = 0 となる場合は α が情報系列多項式の方程式 の計算量の効率の良い復号法について説明する．この復号 m(x) = 0 の根となっていることになる．m(x) は k–1 次の多 法は，その仕組みがわかり易く，実用的にも広く利用され 項式であったので，その根は{1, α, ···, α ている．この節では 2 t = n – k として以降述べていく． j j } の中の高々 k–1 n–1 個である．よって w j = 0 となる符号語のシンボルは高々 符号語 w (x) は通信路を通して伝送され，受信語 y (x) = y0 k–1 個となるため，n シンボルの符号語の非ゼロ w i ≠ 0 の + y 1 x + y 2 x 2 + ··· + y n–1 x n–1 として受信されるが，いくつか シンボルの数，つまり最小ハミング距離（最小ハミング重 のシンボルで誤りが起こっているかもしれない．その誤り み）は dmin ≥ n–k+1 となることがわかる．この結果と式（1） の起こり方を以下のFq 上の多項式を用いて表すことにする． のシングルトン限界 dmin ≤ n–k+1 から，リード・ソロモン 1 符号の最小ハミング距離は dmin = n − k + 1 j (3) j j e( x) = e j x 1 + e j x 2 + ⋯ + e j x l . 2 ( 4) l この多項式は l 個の誤りが第 j1+1 番目，第 j2+1 番目，…， 第 j l +1 番目のシンボルに起こったことを表現している． となり，リード・ソロモン符号は最大距離分離符号になっ この l 箇所の誤り位置のインデックスの集合を ε を以下のよ ていることが示される．このようにリード・ソロモン符号 うに定義する． はハミング距離から構造を見た場合，大変望ましい性質を 有していることがわかる． ε = { j1 , j2 ,⋯, jl }. 次に，リード・ソロモン符号の検査行列 H を符号語に乗 限界距離復号はこの誤りの個数 l ≤ t である場合に正しい復 じて得られる s = wH⊤ を考えてみよう．この n – k 次元ベク 号が可能であり，以降はその条件を満たしているとして説 トル s = (s0, s1, ···, sn – k – 1) は，すでに述べたように任意の符 明を行っていく． この多項式 e (x)を用いて受信語 y (x)は以下のように表現 ＊ 9 係数が Fq の元である多項式で，演算としては整数環と同様な性質 を持ち，大まかに言えば和差積について閉じている代数系であり， される． Fq 上の多項式環と呼ばれる．符号はこの多項式環の部分代数系で あるイデアルともみなせる． ＊ 10 正確には逆フーリエ変換の定数倍していることになる． （57） 573 特集 B 誤り訂正技術Ⅰ 〜基礎編〜 この多項式 η (x) は，誤り位置が求まった後，誤りの数値を y( x) = w( x) + e( x). 求めるために利用されるので，誤り数値多項式と呼ばれる． つまり，符号語の中で j ∉ε の位置のシンボルは誤りなく これらの二つの多項式 σ (x) と η (x) の性質について考えて 受信されているが，j ∈ε の位置の受信語シンボルは以下の みる．多項式 σ (x) の次数は誤りの個数なので l となり， ように符号語から変化して誤って受信されていることを表 η (x) の次数は l – 1 となり，互いに素であることも容易にわ している． かる．これらをまとめると次のような性質となる． （1）deg (σ (x)) ≤ t, deg (η (x)) ≤ t – 1. y j = w j + e j ( j ∈ε.) （2）σ (x)と η (x)は互いに素. さて，受信語に検査行列を乗じて計算される 2t 次元ベク トル s = yH⊤ はシンドロームと呼ばれている．受信語に誤 （3）σ (0) = 1. また逆に，与えられたシンドローム s (x) に対してこのよ りが生じていなければ，それは符号語そのままであるので， うな性質を満たす二つの多項式 σ (x)と η (x) は一意に決定で 先に述べたようにシンドローム s = 0 となっている．誤りが きることも示される．したがって，式（8）から多項式 σ (x)と 生じた場合は s ≠ 0 となり，検査行列を乗じることがフーリ η (x) を求める効率的アルゴリズムを構成できるかが次の課 エ逆変換に対応することに注意するとシンドローム s は以 題となる．そのためにはまず，mod x2t に注意して式（8）を 下のように表される． 以下のように書換える． si = y(α i+1 ) = e(α i+1 ) (i = 0,⋯, 2t − 1) σ ( x) s( x) + φ ( x) x 2t = η( x). (10) このシンドローム s も以下のように多項式表現でき，シン この式の σ (x)と η (x) は，付録 B の多項式環のユークリッド ドローム多項式と呼ばれている．さらに si が e (x)のフーリ 互除法を用い，初期値を a0 (x) = x2 t, a1 (x) = s (x) とおき，再 エ逆変換であることを用いると最右辺のように書ける． 帰的な計算により求めることができる．このことからこの 復号法はユークリッド復号法と呼ばれている． s( x) = s0 + s1 x + s2 x 2 + ⋯ + s2t−1 x 2t−1 2t = ∑ε e ∑ α ij i−1 x j (5) . i=1 j∈ るためにすべての根を求めたい．シンプルな方法としては， ＊ 11 また，s (x) は以下のようにも書換えられる s( x) = e jα ∑ε 1 − α j∈ ． σ (x)に j = 0 から n – 1 の α – j を順番に代入し，σ (α –j) = 0 とな j j このアルゴリズムによって誤り位置多項式 σ (x) が得られ たので，次のステップは誤り位置のインデックスを特定す x mod x 2t . (6) これから述べる限界距離復号法の基本方針は，このシンド る j をすべて求めれば誤り位置が特定される．この方法は Chien 探索と呼ばれている． 次は，その位置に対応する誤り数値 ej (j ∈ε) を求めたい． ロームの情報を用いて，誤り位置集合 ε をまず特定し，次に そこで，式（7）を用い σ (x) の形式的な微分 σ ′(x) を求めて それぞれの誤り値 ej (j ∈ε) を求め，その値を受信語 y(x) から みると以下となる． 減ずることにより復号を行うことをめざす． まず誤りの位置を特定するため，以下のような多項式を 考える． σ ( x) = σ ′( x) = − ∑ε α ∏ ε (1 − α j j∈ h x). (11) h≠ j , h∈ この式と誤り数値多項式 η (x) を用いることで，誤りの数 ∏ (1 − α j x). (7) 値 e j (j ∈ε) は以下ですべて求めることができる．この方法 は Forney アルゴリズムと呼ばれている． j ∈ε この多項式を用いた方程式 σ (x) = 0 は α (j ∈ε) すべてを –j の位置のインデックス j ∈ε を特定できる．この多項式は誤 η(α − j ) ( j ∈ε ) (12) σ ′(α − j ) この誤り数値 ej ∈ε を受信語 y (x) から減ずることにより復号 り位置多項式と呼ばれている． は完了する． 根とする方程式なので，この根を求めれば，すべての誤り この式（7）と式（6）との両辺をそれぞれ乗じると以下の 式が得られる． σ ( x) s( x) = η( x) mod x 2t , (8) ７．むすび リード・ソロモン符号のしくみについて有限体上のフー リエ解析の視点から説明し，効率的な限界距離復号法であ るユークリッド復号法について，多項式環の拡張ユーク ここで η( x) = ej = ∑ε e α ∏ ε (1 − α j j j∈ h x). (9) h≠ j , h∈ ＊ 11 直感的には式（5）を等比級数と見なすことで，このような書換え が可能であることが理解されよう． 574 （58） リッド互除法より解説を行った．紙面の都合で説明が粗く なってしまった部分もあったかもしれないが，数理的に美 しい符号の構造と巧みな復号法の一端を感じていただけた ら幸いである． （2016 年 4 月 9 日受付） 映像情報メディア学会誌 Vol. 70, No. 4（2016） 3．リード・ソロモン符号とその復号法 〔文 献〕 1）今井秀樹，符号理論，信学会（1990） 2）平沢茂一，西島利尚，符号理論入門，培風館（1999） 3）J. Justesen and T. Hohold: "A Course in Error-Correcting Codes", European Mathematical Society Publishing House（2004） 4）S. Lin and D.J. Costello: "Error Control Cod-ing", Prentice Hall（1983） 5）W.W. Peterson, E.J. Weldon: "Error-Correcting Codes", The MIT Press（1972） 基本的な計算は，ai (x) を ai+1 (x) で割った商多項式 qi+1 (x) と剰余多項式 ai+2 (x) が deg ai+1 (x) < deg ai+2 (x) の条件の下 で唯一に決まることに基づいている，次のステップでは， ai+1 (x) を ai+2 (x) で割り，同様の計算を再帰的に実行してい くことになる． ai ( x) = ai+1 ( x) qi+1 ( x) + ai+2 ( x), ai+1 ( x) = ai+2 ( x) qi+2 ( x) + ai+3 ( x), ⋮ ⋮ ＜付録 A ＞ 有限体上のフーリエ変換 この復号法では多項式 σ (x)と η (x) を求めるために，初期 値を a0 (x) = x2t, a1 (x) = s (x) として上記の再帰計算を実行 なじみのある複素数体上の（離散）フーリエ変換と同様な し，剰余多項式の次数がはじめて t – 1 以下となった時に停 変換が，有限体上でも定義可能である．Fq 上の n 次元ベク 止する＊ 13．その時の剰余多項式を aI (x) とする．求めたい トル m = (m0, m1, ···, mn – 1) を考える．ここで，n は q を割り 式（10）を満たす多項式 σ (x)と η (x) は以下で計算される．γ 切る数とし，α ∈Fq を位数 n の元 ＊ 12 とする．この n 次元ベ クトル m から以下で定義する n 次元ベクトル w = (w0, w1, ···, wn – 1) への写像をフーリエ変換と呼ぶ． n−1 wj = ∑ は σ (0) = 1 とするための定数である． σ ( x) = γ b22 ( x), η( x) = γ aI ( x), (13) ここで miα ij ( j = 0, 1,…, n − 1) i= 0  b ( x) b ( x)  12 =  11  b21 ( x) b22 ( x) また，n 次元ベクトル m を以下の多項式 m( x) = m0 + m1 x + m2 x 2 + ⋯ + mn−1 x n−1 で表すと，フーリエ変換 w は以下のようにも表現される． w = (m(1), m(α ),⋯, m(α n−1 )). 次に，w から元の n 次元ベクトル m を復元するフーリエ 逆変換は以下で定義される． m i = n−1 n−1 ∑w α − ij j (i = 0, 1,…, n − 1) j =0 また，w の多項式表現 w( x) = w0 + w1 x + w2 x 2 + ⋯ + wn−1 x n−1 を用いると，逆フーリエ変換も以下のように表現される． m = n−1 (w(1), w(α −1 ),⋯, w(α − ( n−1) )) I −1 0 ∏  1 i=1 1 − qI − i  . ( x) この式で σ (x)と η (x) が求まる仕組みを簡単に説明する． ユークリッド互除法の 1 ステップが次の行列計算  a ( x)   q ( x) 1   a ( x)   i  =  i+1   i+1   a ( x)  1 0  ai+2 ( x) i+1 で表現できることから，I 回のステップを逆にたどってま とめると以下となる．  a ( x)  b ( x) b ( x)   a0 ( x) 12 .  I −1  =  11   aI ( x)   b21 ( x) b22 (xx)  a1 ( x)  これより， b22 ( x) a1 ( x) + b21 ( x) a0 ( x) = aI ( x) の関係式が求まり，求めたい式（10）とこの式を見比べる と，σ (x)と b22 (x) が η (x) と aI (x) がそれぞれ対応すること より，式（13）で二つの多項式が求まることがわかる． ＊ 13 最大公約多項式を求めるための通常のユークリッド互除法は剰余 ＜付録 B ＞ 多項式環上のユークリッド互除法 多項式が 0 となる一つ前で停止する． まつしま 整数環の二つの数 a0 と a1 の最大公約数を求めるアルゴリ ズムとしてユークリッド互除法はよく知られている．同様 な方法で多項式環の二つの多項式 a0 (x) と a1 (x) の最大公約 多項式を求めることができる． ＊ 12 α n = 1 であり，どのような l < n においても α l ≠ 1 である場合，α を 位数 n の元と呼ぶ． としやす 松嶋 敏泰 1978 年，早稲田大学理工学部工業経 営学科卒業．1980 年，同大大学院修士課程修了．同年， 日本電気（株）入社．1986 年，早稲田大学大学院理工 学研究科博士後期課程入学．1989 年，横浜商科大学講 師．1991 年，同大学助教授．1992 年，早稲田大学理 工学部工業経営学科（現 経営システム工学科）助教授． 1997 年，同大学教授，2007 年，同大学基幹理工学 部・応用数理学科教授，現在に至る．情報理論と学習理論とその応用に関 する研究に従事．2001 年，ハワイ大学客員研究員．2010 年，カリフォル ニア大学バークレイ校客員教員．工学博士． （59） 575