تصادفی متغیر

اصطلاح	term
تصادفی متغیر ساحہ حیطہ	random variable domain range

فائل:Random varaible mapping.png

تصویر 1

تصادفی متغیر اپنے نام کے باوجود نہ تو حادثاتی (یا اتفاقی) ہوتا ہے اور نہ متغیر۔ بلکہ یہ ایک دالہ ہے جس کا ساحہ نمونہ فضا اور حیطہ اعداد ہوتے ہیں۔ جیسا کہ تصویر 1 میں دکھایا گیا ہے، نمونہ فضا S کے ہر نتیجہ کے ساتھ ایک عدد مخصوص کر دیا گیا ہے۔ دالہ کی تعریف کے مطابق ایک سے زیادہ "نتائج" کے لیے ایک ہی عدد مخصوص کرنا ممکن ہے، البتہ ایک نتیجہ کے لیے ایک سے زیادہ عدد مخصوص کرنے کی اجازت نہیں۔

نمونہ فضا پر تصادفی متغیر تعریف کر کے واقعات کو تصادفی متغیر کے استعمال سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ تصادفی متغیر کی بدولت گوناں گوں نمونہ فضاؤں کی خصوصیات ریاضی کی یکساں زبان میں بیان کی جا سکتی ہیں، مسائل کے حل کے لیے ریاضی آلات تیار کیے جا سکتے ہیں اور مسلئہ اثباتی ڈھونڈے جا سکتے ہیں۔

مثال 1

فرض کرو کہ ایک سکہ ہوا میں اچھالا جاتا ہے۔ اس کی نمونہ فضا Head اور Tail پر مشتمل ہے۔ ہم کہتے ہیں X کہ ایک تصادفی متغیر ہے جو قدر 1 لیتا ہے اگر نتیجہ Head ہو اور قدر 0 لیتا ہے اگر نتیجہ Tail ہو۔ $X=\left\{{\begin{matrix}1,&{\texttt {if\,Head}}\\0,&{\texttt {if\,Tail}}\end{matrix}}\right\}$

اب تصادفی متغیر کے استعمال سے بیان $\ (X=1)$ سے مراد واقعہ $\ \{Head\}$ ہو گا۔

یہ زور دینے کے لیے کہ تصادفی متغیر دالہ ہوتا ہے، نمونہ فضا S پر "تصادفی متغیر" X کو یوں

$X(\omega )\,,\,\omega \in S$

بھی لکھا جاتا ہے۔ اس مثال میں $\ S=\{Head,Tail\}$

مثال 2

ایک ریڈیو پروگرام کو فون کر کے سامعین ایشیا میں اپنی پسند کی جگہ بتاتے ہیں۔ تصادفی متغیر A ایشیا میں کسی بھی جگہ کی بلندی ہے۔ چونکہ ایشیا میں سب سے بلند جگہ ایورسٹ چوٹی ہے جس کی بلندی 8848 میٹر ہے اور سب سے پست جگہ بحرِ مردار ہے جس کی پستی 418 میٹر ہے، اس لیے تصادفی متغیر A کا حیطہ اعداد کا وقفہ $\ [-418,8848]$ ہے۔ اب اگر خابر کی کوئی سامع اسلام آباد میں واقع شکر پریاں کا مقام چنتی ہے، تو

$\ A({\hbox{Shakar parian}})=517$

تصویر 2

تصویر 2

مثال 3

ایک برقی مزاحم میں حرارت کی وجہ سے برقیہ کے ارتعاش کی وجہ سے جارِ برقی پیدا ہوتا ہے۔ اس مظاہر کو حرارتی شور کہا جاتا ہے۔ اس کی وجہ سے پیدا ہونے والے برقی جُہد (voltage) کو بہت حساس آلے کی مدد سے مزاحم کے کناروں کے پار پڑھا جا سکتا ہے۔ چونکہ اس شور کا ماخذ تصادفی ہے، اس لیے ہر تجربہ پر مختلف برقی جُہد پڑھا جائے گا۔ یہ برقی جُہد V ایک تصادفی متغیر ہے۔ اس مثال میں نمونہ فضا پچیدہ طبیعیاتی عمل کی مرہون منت ہے اور اس کی نمونہ فضا عام آدمی کے لیے واضح بھی نہیں، مگر یہ تصادفی متغیر (برقی جُہد) آلے پر پڑھا جا سکتا ہے۔ اس مثال سے اصطلاح "تصادفی متغیر" کی وجہ تسمیہ پتہ چلتی ہے۔ اوپر ہم نے "تصادفی متغیر" کی تعریف ایک دالہ کے طور پر کی تھی، جو مسلماتی تعریف ہے۔ اس مثال سے پتہ چلا کہ عام مشاہدے میں "تصادفی متغیر" اس طرح کے بھی ہوتے ہیں، جن میں نمونہ فضا واضح نہ ہوتے ہوئے بھی "تصادفی متغیر" کو تجربہ میں ناپا جا سکتا ہے۔

اصطلاح	term
اقدار توزیع تفاعل کمیت تَراكُمی دو رقمی متوقع قدر تَفاوُت	values distribution function mass cumulative binomial expected value variance

متفرد تصادفی متغیر

ایسے تصادفی متغیر کو متفرد کہا جاتا ہے، اگر اس کی تمام ممکنہ اقدار متفرد مجموعہ ہوں۔

مثال

دو چھ اطرافی طاس، سبز اور سرخ رنگ کے، کو اچھالا جاتا ہے۔

• تصادفی متغیر S سبز اور سرخ طاس کے اعداد کی جمع ہے۔ اس کا حیطہ $\{2,3,\cdots ,12\}$ ہو گا۔
• تصادفی متغیر D سبز اور سرخ طاس کے اعداد کا فرق ہے۔ اس کا حیطہ $\{-5,-4,\cdots ,4,5\}$ ہو گا۔
• تصادفی متغیر M سبز اور سرخ طاس کے اعداد کا اکبر ہے۔ اس کا حیطہ $\{1,2,3,4,5,6\}$ ہو گا۔

یہ تینوں تصادفی متغیر متفرد ہیں۔

توزیع احتمال

تفصیلی مضمون: توزیع احتمال

متفرد تصافی متغیر X کی احتمال کمیت تفاعل $\ p_{X}(.)$ کسی بھی عدد x کے لیے یوں تعریف ہوتی ہے

$p_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr({\hbox{all }}s\in S:X(s)=x)$

یعنی $\ p_{X}(x)$ اس احتمال کے برابر ہے کہ تصادفی متغیر X کی قدر x بنے۔ یہاں S نمونہ فضا ہے، جو تصادفی متغیر X کا ساحہ ہے۔ غور کرو کہ

$p_{X}(x)\geq 0$

$p_{X}(x)\leq 1$

$\ \sum _{x}p_{X}(x)=1$

اب متفرد تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل یوں تعریف ہو گی

$F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\sum _{x:X(s)\leq x}p(x)$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x کے برابر یا اس سے کم ہو۔ غور کرو کہ

$F_{X}(x)\geq 0,\forall x$

$F_{X}(-\infty )=0$

$F_{X}(\infty )=1$

متفرد تصادفی متغیر X کے لیے اس کے "احتمال کمیت تفاعل" $\ p_{X}(x)$ اور "تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل" $\ F_{X}(x)$، دونوں کو "توزیعِ احتمال" پکارا جاتا ہے۔

فائل:Binomial distribution pmf.png

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت تفاعل $\ p_{X}(.)$

تصویر 3: دو رقمی توزیع کی تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل $\ F_{X}(.)$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال

تفصیلی مضمون: دو رقمی توزیع احتمال

بعض اوقات ایک ہی تجربہ کو متعدد بار دہرایا جاتا ہے (جیسے سکے کو بار بار فضا میں اچھالا جائے)۔ ایسے بار بار آزمائش میں فرض کرو کہ:

• دو ممکنہ نتائج ہیں، "کامیابی" اور "ناکامی"
• ہر آزمائش پر "کامیابی" کا احتمال p ہے اور "ناکامی" کا احتمال $\ 1-p$
• آزمائش کی تعداد n ہے
• ہر آزمائش دوسری آزمائشوں سے آزاد ہے

فرض کرو کہ تصادفی متغیر X ہے، جو ان n آزمائشوں میں "کامیابی" کی تعداد ظاہر کرتا ہے۔ اس متفرد تصادفی متغیر کا حیطہ

$\{0,1,2,\cdots ,n\}$

ہے اور توزیعِ احتمال

$p_{X}(x)={\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}$

اس توزیع احتمال کو "دو رقمی توزیع" کے نام سے پکارا جاتا ہے۔ ( یہاں ! کی علامت عامِلیہ کو ظاہر کرتی ہے۔)

متوقع قدر

تفصیلی مضمون: متوقع قدر

تصادفی متغیر X کی متوقع قدر اس کی احتمال کمیت تفاعل $\ p_{X}(.)$ سے وزن شدہ اوسط کو کہتے ہیں اور اس متوقع قدر $\ E(X)$ کو یوں تعریف کیا جاتا ہے

$\ E(X)=\sum _{i}x_{i}p_{X}(x_{i})$

متوقع قدر کو تصافی متغیر X کی احتمال کمیت تفاعل کا مرکزِ کشش ثقل سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کی متوقع قدر $\ E(X)$

$E(X)=\sum _{x=0}^{n}xp_{X}(x)=np$

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق $E(X)=np=40\times 0.5=20$

متوقع قدر کو تصادفی متغیر کا اوسط بھی کہا جاتا ہے۔

تفاوت

تفصیلی مضمون: تفاوت

تصادفی متغیر کا اپنی متوقع قدر سے ممکنہ انحراف کی مقدار کو جانچنے کے لیے، تصادفی متغیر کا تَفاوُت استعمال ہوتا ہے۔ اگر تصادفی متغیر X کی متوقع قدر کو

$\ \mu =E(X)$

لکھا جائے، تو X کا تَفاوُت (variance) یوں تعریف کیا جاتا ہے

$\ {\hbox{var}}(X)=E\left((X-\mu )^{2}\right)=E(X^{2})-\mu ^{2}$

جہاں $\ E(X^{2})=\sum _{i}x_{i}^{2}p_{X}(x_{i})$ غور کرو کہ $\ E(X^{2})$ متغیر $\ x^{2}$کی وزن شدہ اوسط ہے، جہاں وزن تصادفی متغیر X کی احتمال کمیت تفاعل $\ p_{X}(.)$ سے کیا گیا ہے۔

اس تَفاوُت کے مربع جزر کو تصادفی متغیر کا معیاری انحراف کہا جاتا ہے، جو یہ بتاتا ہے کہ تصادفی متغیر کی ممکنہ اقدار کا اپنی متوقع قدر کے گرد پھیلاؤ کتنا سمجھا جا سکتا ہے۔ معیاری انحراف (standard deviation)

$\ {\hbox{std. dev.}}(X)={\sqrt {{\hbox{var}}(X)}}$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا

$\ {\hbox{var}}(X)=np(1-p)$

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق تَفاوُت ${\hbox{var}}(X)=np(1-p)=40\times 0.5\times (1-.5)=10$ اور معیاری انحراف $\ {\hbox{std. dev. (X)}}=10^{\frac {1}{2}}\approx 3.16$

تصادفی متغیر کا تفاعل

دی گئی دالہ $\ g(.)$، تو کسی تصادفی متغیر X کے لیے،

$\ Y=g(X)$

بھی ایک تصادفی متغیر ہو گا اور اس کی تَراكُمی توزیع احتمال یوں لکھی جا سکتی ہے، تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال کے استعمال سے :

$F_{Y}(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr(g(X)\leq y)$

مزید دیکھیے

• احصائی آزادی
• کثیر اعداد کا قانون

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات