Тіло (алгебра)

Алгебричні структури
Групо-подібні Група Напівгрупа / Моноїд Стійки і квандли Квазігрупа і Петля Абелева група Магма Група Лі Теорія груп
Кільце-подібні Кільце Rng Напівкільце Near-ring Групове кільце Комутативне кільце Область цілісності Поле Тіло Lie ring Теорія кілець
Ґратко-подібні Ґратка Напівґратка Доповнена ґратка Лінійний порядок Алгебра Гейтінга Булева алгебра Діаграма ґраток Теорія порядку
Модуле-подібні Модуль Група з операторами Векторний простір Лінійна алгебра
Алгебра-подібні Алгебра Асоціативна Неасоціативна Композитна алгебра Алгебра Лі Градуйована Біалгебра Алгебра Гопфа

Тіло — алгебрична структура, всі елементи якої утворюють абелеву групу щодо дії додавання, а всі елементи, крім нуля,— мультиплікативну групу і, крім того, обидві групові операції зв'язані між собою законами дистрибутивності. Якщо множення в тілі комутативне, то тіло називається комутативним або полем.

Формальне визначення

Множина $K$ з заданими на ній алгебраїчними операціями додавання і множення називається тілом, якщо виконуються умови:

1. $a+b=b+a\,$   (комутативність додавання);
2. $(a+b)+c=a+(b+c)\,$   і   $(ab)c=a(bc)\,$   (асоціативність множення);
3. Існують такі елементи $0,1\in K\,$, що для довільного $a\in K$ виконується $a+0=0+a=a1=1a=a\,$  (існування нейтральних елементів);
4. $a(b+c)=ab+ac\,$   і   $(a+b)c=ac+bc$  (дистрибутивність);
5. Для довільного $x\in K$ існують $y,z\in K$, такі, що $y+x=x+y=0$   і   $zx=xz=1$  ( існування зворотного елемента).

Остання умова виділяє тіло як особливу структуру серед кілець — тіло є кільцем із діленням.

Властивості

• Теорема Веддерберна — довільне скінченне тіло є скінченним полем.
• Кожне тіло є алгеброю з діленням над своїм центром. Зокрема тіло є центральною простою алгеброю над своїм центром.
• Якщо S є простим модулем над кільцем R, то множина всіх ендоморфізмів S є тілом. Довільне тіло можна задати в такий спосіб за допомогою деякого простого модуля

Приклади

• Тіло кватерніонів $\mathbb {H}$.
• Тіло дісних чисел $\mathbb {R}$

Див. також

• Поле (алгебра)
• Теорема Сколема — Нетер
• Центральна проста алгебра

Джерела

• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)