Картина взаємодії

Картина взаємодії (картина Дірака) — спосіб опису квантовомеханічних явищ, проміжний між картиною Шредінгера й картиною Гейзенберга. Така картина закладає залежність від часу й до хвильових функцій, і до операторів.

Перехід до картини взаємодії

Для переходу до картини взаємодії необхідно гамільтоніан системи розділити на дві частини:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}},$

• ${\hat {H}}_{0}$ — гамільтоніан системи без врахування взаємодії між певними її частинами,
• ${\hat {V}}$ відповідає за опис цієї взаємодії.

Часто таке розділення виконують із тих міркувань, що задача з гамільтоніаном ${\hat {H}}_{0}$ розв'язується точно, а ${\hat {V}}$ є малим збуренням. Зокрема, якщо вихідний гамільтоніан ${\hat {H}}$ явно залежить від часу, то часто залежність від часу переносять на ${\hat {V}}$, залишаючи ${\hat {H_{0}}}$ незалежним від часу.

Оператор еволюції

Унітарний оператор еволюції ${\hat {U}}_{0}(t)$ вводиться таким чином:

$|\psi _{S}(t)\rangle ={\hat {U}}_{0}(t)|\psi _{I}(t)\rangle ,$

де $|\psi _{S}(t)\rangle$ — хвильова функція в картині Шредінгера. Якщо гамільтоніан ${\hat {H_{0}}}$ явно не залежить від часу, то:

${\hat {U}}_{0}(t)=e^{-{\frac {i{\hat {H_{0}}}t}{\hbar }}},$

що випливає з рівняння:

$i\hbar {\frac {d{\hat {U}}_{0}}{dt}}={\hat {H}}_{0}{\hat {U}}_{0}.$

Рівняння руху для операторів

Часова залежність закладається до операторів фізичних величин за допомогою оператора еволюції (аналогічно до картини Гейзенберга):

${\hat {A}}_{I}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t){\hat {A}}{\hat {U}}_{0}(t).$

Далі, якщо записати повну похідну від оператора ${\hat {A}}_{I}(t)$:

${\frac {d{\hat {A}}_{I}(t)}{dt}}={\frac {\partial {\hat {A}}_{I}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}e^{\frac {i{\hat {H}}_{0}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}_{0}t}{\hbar }}}-{\frac {i}{\hbar }}e^{\frac {i{\hat {H}}_{0}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}_{0}t}{\hbar }}}{\hat {H}}_{0}={\frac {\partial {\hat {A}}_{I}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}{\hat {A}}_{I}(t)-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {A}}_{I}(t){\hat {H}}_{0}.$

Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор, маємо рівняння руху для операторів:

$i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{I}(t)}{dt}}=i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{I}(t)}{\partial t}}+[{\hat {A}}_{I}(t),{\hat {H}}_{0}].$

Якщо оператор ${\hat {A}}_{I}$ явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:

$i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{I}}{dt}}=[{\hat {A}}_{I},{\hat {H}}_{0}].$

Рівняння для хвильових функцій

Записавши оператор взаємодії ${\hat {V}}$ у картині взаємодії:

${\hat {V}}_{I}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t){\hat {V}}{\hat {U}}_{0}(t),$

можна отримати рівняння для хвильових функцій:

$i\hbar {\frac {\partial |\psi _{I}(t)\rangle }{\partial t}}={\hat {V}}_{I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .$

Зв'язок із картинами Шредінгера й Гейзенберга

Картина взаємодії — проміжна між картинами Шредінгера й Гейзенберга. Перехід від картини Шредінгера до картини взаємодії виконується за допомогою оператора еволюції ${\hat {U}}_{0}$, що задається опорним гамільтоніаном ${\hat {U}}_{0}$. Перейти від картини взаємодії до картини Гейзенберга можна, ввівши ще один оператор еволюції ${\hat {\sigma }}$, який діє наступним чином:

$|\psi _{I}(t)\rangle ={\hat {\sigma }}(t)|\psi _{H}\rangle$

і задається рівнянням:

$i\hbar {\frac {d{\hat {\sigma }}(t)}{dt}}={\hat {V}}_{I}(t){\hat {\sigma }}(t).$

Таким чином, можна ввести повний оператор еволюції ${\hat {U}}(t)={\hat {U}}_{0}(t){\hat {\sigma }}(t)$, який переводить хвильову функцію з картини Гейзенберга до картини Шредінгера через картину взаємодії:

$|\psi _{S}(t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi _{H}\rangle ={\hat {U}}_{0}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .$

Див. також

• Картина Шредінгера
• Картина Гейзенберга

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.