Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Вимірна функція Формула
f
−
1
(
E
)
=
{
x
∈
X
|
f
(
x
)
∈
E
}
∈
Σ
,
∀
E
∈
T
{\displaystyle f^{-1}(E)=\{x\in X|\;f(x)\in E\}\in \Sigma ,\;\;\forall E\in \mathrm {T} }
Підтримується Вікіпроєктом
Вікіпедія:Проєкт:Математика
Вимірні функції — певний клас функцій заданих на множинах з мірою . Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей .
Нехай
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
алгебрами підмножин . Тоді функція
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
F
/
G
{\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}}
прообраз довільної множини із
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
∀
B
∈
G
,
f
−
1
(
B
)
∈
F
,
{\displaystyle \forall B\in {\mathcal {G}},\;f^{-1}(B)\in {\mathcal {F}},}
де
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
B
{\displaystyle B}
Якщо
X
{\displaystyle \,X}
Y
{\displaystyle \,Y}
топологічні простори , і алгебри
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
борелівські σ-алгебри відповідних просторів. Нехай задана функція
f
:
(
X
,
F
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
Функція
f
{\displaystyle f}
∀
c
∈
R
,
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
≤
c
}
∈
F
{\displaystyle \forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\leq c\}\in {\mathcal {F}}}
Функція
f
{\displaystyle f}
∀
a
,
b
∈
R
{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} }
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
{
x
∈
X
∣
f
(
x
)
∈
|
a
,
b
|
}
∈
F
{\displaystyle \{x\in X\mid f(x)\in |a,b|\}\in {\mathcal {F}}}
де
|
a
,
b
|
{\displaystyle |a,b|}
Якщо
f
:
(
X
,
F
)
→
(
R
+
∪
+
∞
,
B
(
R
+
∪
+
∞
)
)
{\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} _{+}\cup +\infty ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}\cup +\infty ))}
тоді й лише тоді коли вона є поточковою границею деякої поточково неспадної послідовності
f
n
{\displaystyle f_{n}}
простих вимірних функцій. Нехай
(
X
,
F
)
=
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
(
Y
,
G
)
=
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
дійсної прямої разом з борелівською σ-алгеброю . Тоді вимірна функція
f
:
(
R
,
B
(
R
)
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
борелівською .
Вимірна функція
f
:
(
Ω
,
F
)
→
(
Y
,
G
)
{\displaystyle f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}
Ω
{\displaystyle \Omega }
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
Нехай
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
неперервна функція . Тоді вона вимірна відносно борелівської σ-алгебри на числовій прямій .
Нехай
f
:
(
X
,
F
)
→
(
R
,
B
(
R
)
)
,
{\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )),}
f
(
x
)
=
1
A
(
x
)
,
x
∈
X
{\displaystyle f(x)=\mathbf {1} _{A}(x),\;x\in X}
індикатор множини
A
∉
F
.
{\displaystyle A\not \in {\mathcal {F}}.}
f
{\displaystyle f}