Радіан

Радіа́н (у математиці та фізиці) — це одиниця вимірювання площинних кутів в Міжнародній системі одиниць SI.

одиниця вимірювання кута^d
безрозмірнісна одиниця^d
похідна одиниця SI, що має власну назву і основна одиниця UCUM^d

Радіан
Кут 1 радіан відтинає дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола
Загальна інформація
Система одиниць	Похідні одиниці SI
Одиниця	кута
Позначення	рад або rad
Розмірність	безрозмірнісна, як відношення довжини дуги до радіуса 1 м/м
Перерахунок в інші системи
1 рад в...	дорівнює...
мілірадіанах	1000 мрад
обертах	1/2π оберта
градусах	180/π ≈ 57.296°
градах	200/π ≈ 63.662 гон
Радіан у Вікісховищі

Один радіан — це площинний кут, утворений двома радіусами, так, що довжина дуги між ними дорівнює радіусу кола. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.

Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання та має позначення рад (міжнародне — rad), але, зазвичай, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити від величин, виражених в радіанах.

Пояснення

Повна довжина кола дорівнює 2πr, де r — радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:

${2\pi }$ рад $=360^{\circ }$,

1 рад (або $p^{\circ }$) = ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''$.

${360^{\circ }}={2\pi }$ рад,

${1^{\circ }}={\frac {2\pi }{360}}$ рад $={\frac {\pi }{180}}$ рад.

Властивості

Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,$

що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.

При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.

Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:

$\cos(x)\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}$

Розмірність

Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіана, як відношення довжини кола до радіуса. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м⁻¹ (м/м, тобто метр на метр — чисельник і знаменник можливо скоротити, тобто він має розмірність 1).

Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots .$

Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена змісту — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x³/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірнісним.

Кутові швидкості теорії електричних машин прийнято вимірювати в електричних радіанах в секунду (ел. рад/с). Зв'язок між кутовими швидкостями ел. рад/с та в механічних одиницях (рад/с) встановлюється окремими залежностями.

Див. також

• Стерадіан,
• Тригонометрія,
• Полярна система координат
• Гон

Джерела

• Алєксєєв, В. М. Математика: Довідковий повторювальний курс [Текст] : [навч. посібник] / В. М. Алєксєєв, Р. П. Ушаков;за ред. М. Й. Ядренка. — К. : Вища школа, 1992. — 494 с. — ISBN 5-11-000094-1
• Математика для вступників до вузів [Текст] : навчальний посібник / В. В. Семенець, М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарев та ін. — Харків : СМІТ, 2002. — 1120с. — ISBN 966-7714-88-8. — ISBN 966-95983-1-1

Посилання

• Радіан // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 165. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• «Углы, градусы и радианы» — переклад статті Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians | BetterExplained (англ.)