Books by Luiz de Carvalho
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O livro trata de uma exposição didatica dos teoremas de Gödel.
Papers by Luiz de Carvalho
In science and engineering, there are \paradoxical" cases when we have some arguments in favor of... more In science and engineering, there are \paradoxical" cases when we have some arguments in favor of some statement A (so, the degree to which A is known to be true is positive (non-zero)), and we also have some arguments in favor of its negation :A, and we do not have enough information to tell which of these two statements is correct. Traditional fuzzy logic, in which \truth values" are described by numbers from the interval 0; 1], easily describes such \paradoxical" situations: the degree a to which the statement A is true and the degree 1 ? a to which its negation :A is true can be both positive. In this case, if we use traditional fuzzy &?operations (min or product), the \truth value" a&(1 ? a) of the statement A&:A is positive, indicating that there is some degree of inconsistency in the initial beliefs. When we try to use fuzzy logic to formalize expert reasoning in humanities, we encounter the problem that in humanities, in addition to the above-described paradoxical situations caused by the incompleteness of our knowledge, there are also true paradoxes, i.e., statements that are perceived as true and false at the same time. For such statements, A&:A =\true". The corresponding equality a&(1 ? a) = 1 is impossible in traditional fuzzy logic (where a&(1 ? a) is always 0:5), so, in order to formalize such true paradoxes, we must extend the set of truth values from the interval 0; 1]. In this paper, we show that such an extension can be achieved if we allow truth values to be complex numbers.
Dennis e Vitória Helen , Meus Filhos amados! O Eterno Retorno é um mecanismo cosmológico de Aut... more Dennis e Vitória Helen , Meus Filhos amados! O Eterno Retorno é um mecanismo cosmológico de Auto-Referência e Recursão em duas faces, onde o indivíduo, ao "compreender" que na "vida" é possível que tudo seja uma "repetição", os sentimentos, as emoções, os afetos, as ações… vão e voltam, da mesma forma, mudando apenas o figurino, pode então afirmar incondicionalmente a vida ou então "quebrar-se" e abraçar o niilismo.
Entregar até dia 28/10/2009 na aula.
Desde o seu surgimento, nos anos 50, a Teoria Gerativa tem enfatizado o caráter recursivo da sint... more Desde o seu surgimento, nos anos 50, a Teoria Gerativa tem enfatizado o caráter recursivo da sintaxe como uma das características cruciais das línguas humanas. São freqüentes também na literatura as analogias, baseadas nessa propriedade em particular, entre o sistema numérico e a língua (cf. Chomsky, 1998; 2007, dentre outros). Entretanto, apesar do seu uso bastante difundido na literatura, o conceito de recursividade, aplicado tanto ao domínio da língua quanto a outros campos, não tem recebido uma definição clara e unívoca. Percebe-se que, até pouco tempo atrás, não havia na literatura uma preocupação manifesta por esclarecer os pontos obscuros associados à noção. Essa situação tem começado a mudar recentemente com a publicação de alguns trabalhos que visam a discutir os alcances e limites do conceito, tanto no seio da Teoria Lingüística quanto no que diz respeito a sua aplicação nas Ciências Cognitivas de um modo geral (Arsenijevic & Hinzen, 2010; Lobina & García-Albea, 2009; Tomalin, 2007). Parker (2006a; 2006b) destaca que as definições apresentadas na Teoria Lingüística são freqüentemente "opacas". Esse parece não ser, contudo, um problema exclusivo da lingüística uma vez que, segundo a autora, na Ciência da Computação, da qual a lingüística herdou a noção, as definições careceriam de um fio condutor comum. Também na Matemática, campo no qual o termo foi originalmente cunhado, registra-se uma situação similar (cf. Soare, 1996). Pode-se afirmar assim que recursividade é um termo potencialmente problemático (Parker, 2006a e 2006b; Lobina & García-Albea, 2009; dentre outros). Nesse sentido, este capítulo tem como objetivos: explorar essa noçãotradicionalmente considerada como uma propriedade central nas línguas naturais -e discutir, em que medida e sob quais aspectos, a recursividade poderia desempenhar um papel no modo como a língua interage com outros domínios cognitivos. Cabe, pois, formular as seguintes questões: A que se refere exatamente o termo recursividade no âmbito da lingüística? Em que sentido pode-se falar de recursividade em outros domínios cognitivos fora da linguagem? Pode-se oferecer uma definição PUC-Rio -Certificação Digital Nº 0710538/CA
Proposition 1.1.8. A predicate P (x, m) is Σ 1 1 if and only if there is a recursive sequence of ... more Proposition 1.1.8. A predicate P (x, m) is Σ 1 1 if and only if there is a recursive sequence of recursive trees {T m } m<ω such that T m ⊆ ω <ω × ω <ω and P (x, m) ⇔ ∃y∀n((x n, y n) ∈ T m ).
__________________________________________________________________________ RESUMO: O presente tex... more __________________________________________________________________________ RESUMO: O presente texto tem o intuito de explicitar princípios e regras da Lógica Clássica no contexto de uma obra clássica da literatura infantil, Alice no País das Maravilhas de Lewis Carroll. A obra analisada nos permite desenvolver uma compreensão crítica a respeito de objetivo freqüentes do ensino de matemática e orientações pedagógicas que frisam a importância de "desenvolver o raciocínio lógico", inclusive o PCN Matemática das séries iniciais. Trata-se de um estudo de filosofia da lógica, no âmbito da Educação Matemática. A ênfase aqui será nos princípios da lógica Clássica, sobretudo no Princípio da Identidade, já que a matemática se estrutura e desenvolve-se tendo como base nesta lógica. A obra de Carroll em análise possui tanto uma grande riqueza de apelos lógicos como também de coisas sem lógica e fantásticas que incita a criatividade e fantasia através das aventuras de Alice no universo maravilhoso da imaginação, do sonho e da infância. Essa abertura propicia abordar um conceito de infância e de Educação que preza pelo desenvolvimento integral da criança, no que diz respeito a aspectos intelectual e emocional.
I discuss some questions of quantum physics, for instance the validity and limitations of the bas... more I discuss some questions of quantum physics, for instance the validity and limitations of the basic language of set theory to deal with problems related to elementary particles. I also present a sketch of a formalization of a "metaphysics of structures", which might be useful for a kind of "ontic structural realism", and briefly review the concept of quasi-truth, which underlies my way of understanding scientific theories and the scientific activity.
Paraconsistent logics are logics that can be used to base inconsistent but non-trivial systems. I... more Paraconsistent logics are logics that can be used to base inconsistent but non-trivial systems. In paraconsistent set theories, we can quantify over sets that in standard set theories (that are based on classical logic), if consistent, would lead to contradictions, such as the Russell set, R = {x : x / ∈ x}. Quasi-set theories are mathematical systems built for dealing with collections of indiscernible elements. The basic motivation for the development of quasi-set theories came from quantum physics, where indiscernible entities need to be considered (in most interpretations). Usually, the way of dealing with indiscernible objects within classical logic and mathematics is by restricting them to certain structures, in a way so that the relations and functions of the structure are not sufficient to individuate the objects; in other words, such structures are not rigid. In quantum physics, this idea appears when symmetry conditions are introduced, say by choosing symmetric and anti-symmetric functions (or vectors) in the relevant Hilbert spaces. But in standard mathematics, such as that built in Zermelo-Fraenkel set theory (ZF), any structure can be extended to a rigid structure. That means that, although we can deal with certain objects as they were indiscernible, we realize that from outside of these structures these objects are no more indiscernible, for they can be individualized in the extended rigid structures: ZF is a theory of individuals, distinguishable objects. In quasi-set theory, it seems that there are structures that cannot be extended to rigid ones, so it seems that they provide a natural mathematical framework for expressing quantum facts without certain symmetry suppositions. There may be situations, however, in which we may need to deal with inconsistent bits of information in a quantum context, even if these informations are concerned with ways of speech. Furthermore, some authors think that superpositions may be understood in terms of paraconsistent logics, and even the notion of complementarity was already treated by such a means. This is, apparently, a nice motivation to try to merge these two frameworks. In this work, we develop the technical details, by basing our quasi-set theory in the paraconsistent system C1. We also elaborate a new hierarchy of paraconsistent calculi, the paraconsistent calculi with indiscernibility. For the finalities of this work, some philosophical questions are outlined, but this topic is left to a future work.
Within a weak subsystem of second-order arithmetic W K L 0 , that is 0 2 -conservative over PR A,... more Within a weak subsystem of second-order arithmetic W K L 0 , that is 0 2 -conservative over PR A, we reformulate Kreisel's proof of the Second Incompleteness Theorem and Boolos' proof of the First Incompleteness Theorem.
Any set numerated in T is r.e. The question arises if the converse of this is true, in other word... more Any set numerated in T is r.e. The question arises if the converse of this is true, in other words, if every r.e. set can be numerated in T. If T is Σ j-sound, then, of course, the answer is "yes" (Corollary 1.4). If T is not Σ 1 -sound, the answer is still "yes" although this is not so obvious. This is the first and most important result of this chapter. We also prove some refinements of this result.
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