சராசரி

கணிதம் மற்றும் புள்ளியியலில், சராசரி (Average) என்பது ஒரு தரவின் தன்மையைக் கிட்டத்தட்ட அதேயளவில் சுட்டிக்காட்டும் ஒரு தனிஎண் மதிப்பாகும். இம்மதிப்பை மையமாகக் கொண்டு தரவின் மதிப்புகள் அமையும் என்பதால் மையப்போக்கு அளவை (measure of central tendency)எனவும் சராசரி அழைக்கப்படுகிறது.

சராசரி வகைகள்

கீழ்க்காணும் ஐந்தும் சராசரியின் முக்கிய வகைகளாகும்:

• கூட்டுச்சராசரி
• இடைநிலையளவு
• முகடு
• பெருக்கல் சராசரி
• இசைச் சராசரி

இவை ஐந்தில் தரவின் தன்மைக்குப் பொருத்தமான சராசரி காணப்படும். பொதுவாக கூட்டுச் சராசரி ஏற்புடைய சராசரியாகக் கருதப்பட்டாலும், கோட்டமுடைய பரவல்களுக்கு அது பொருத்தமாக இராது. கோட்டமுடைய பரவல்களில் சமவாய்ப்பு மாறியின் பெரும்பான்மையான மதிப்புகளை விட அதன் சில மதிப்புகள் மிக அதிகமானவையாகவும், வேறு சில மிகக் குறைவானவையாகவும் இருக்கும். இதனால் கணக்கிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரியின் மதிப்பானது அப்பரவலின் தன்மையைச் சரியானபடிச் சுட்டும் அளவாக இருக்காது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் கூட்டுச் சராசரியை விட இடைநிலையளவு பொருத்தமான அளவையாக இருக்கும். ஏனெனில் இடைநிலையளவு காணும்முறை எல்லையோர மதிப்புகளால் பாதிக்கப்படுவதில்லை.

கணக்கிடுதல்

இரு எண்களின் கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி, இசைச்சராசரிகளின் ஒப்பீடு. இடையிட்ட குத்துக்கோடுகள் இசைச் சராசரிகளின் அணுகுகோடுகள்.

கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி, இசைச் சராசரி ஆகிய மூன்றும் பெரும்பாலும் அதிகமாகப் பயன்படும் சராசரிகளாகும். இவை பித்தாகரசின் சராசரிகள் எனப்படுகின்றன.

கூட்டுச் சராசரி

முதன்மைக் கட்டுரை: கூட்டுச் சராசரி

a_i, i = 1, ..., n என்ற n எண்கள் தரப்பட்டிருந்தால் அவற்றின் கூட்டுச் சராசரி:

$AM={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}.$

2, 8 இன் கூட்டுச் சராசரி = (2 + 8) / 2 = 5. இம்மதிப்பு 2 ஐ விடக் குறைவாகவோ 8 ஐவிட அதிகமாகவோ அமையாது.

பெருக்கல் சராசரி

முதன்மைக் கட்டுரை: பெருக்கல் சராசரி

n எதிரிலா எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, அந்த எண்களின் பெருக்கற்தொகையின் வர்க்கமூலம் ஆகும்.

a₁, a₂, ..., a_n ஆகிய n எண்களின் பெருக்கல் சராசரி:

${\text{GM=}}{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.$

எடுத்துக்காட்டு: 2, 8 இன் பெருக்கல் சராசரி,

$GM={\sqrt {2\cdot 8}}=4.$

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட எண்களின் பெருக்கல் சராசரியை அந்த எண்களின் மடக்கைகளின் கூட்டுச் சராசரியின் எதிர்மடக்கையாகக் கருதலாம்.

இசைச் சராசரி

முதன்மைக் கட்டுரை: இசைச் சராசரி

a₁, a₂, ..., a_n ஆகிய n பூச்சியமில்லா எண்களின் இசைச் சராசரி, அந்த எண்களின் தலைகீழிகளின் கூட்டுச் சராசரியின் தலைகீழியாகும்:

$HM={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}.$

எடுத்துக்காட்டு: A லிருந்து B -க்குச் சென்ற பயணத்தின் வேகம் 60 கிமீ/மணி, B லிருந்து A -க்குத் திரும்பிய பயணத்தின் வேகம் 40 கிமீ/மணி எனில், மொத்தப் பயணத்தின் சராசரி வேகம்:

${\frac {2}{1/60+1/40}}=48.$

AM, GM, HM மூன்றுக்கிடையேயுள்ள சமனின்மை

தரப்பட்ட நேர் எண்களின் கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி, இசைச் சராசரி ஆகிய மூன்றுக்கும் இடையேயுள்ள சமனின்மைத் தொடர்பு:

$AM\geq GM\geq HM.\,$

இச்சமனின்மை ஆங்கில எழுத்துக்களின் வரிசைப்படி அமைந்துள்ளதால் இதனை நினைவில் கொள்வது எளிது.

முகடு

முதன்மைக் கட்டுரை: முகடு (கணிதம்)

தரவின் முகடு அல்லது ஆகாரம் (mode) என்பது அத்தரவில் அடிக்கடி காணப்படும் மதிப்பாகும். இது எளிதாகக் கணிக்கக் கூடிய சராசரி. மற்ற சராசரிகள் போலன்றி எண்வடிவில் அமையாத தரவுகளுக்கு முகடு காணலாம்.

ஒரு தரவிற்கு ஒரேயொரு முகடு மட்டுமே இருக்கும் என்றில்லை. ஏனென்றால் சமமான அளவில் அதிகமாக காணப்படும் மதிப்புகள் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்டதாக அத்தரவில் இருக்கலாம். தரவு நிகழ்வெண் பரவலாக இருந்தால் சமமான மிக அதிகமான நிகழ்வெண் கொண்ட மதிப்புகள் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்டு இருக்கலாம். சில சமயங்களில் பரவலின் சமவாய்ப்பு மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளுமே இவ்வாறு சம நிகழ்வெண் கொண்டிருக்கலாம். ஒரேயொரு முகடுடைய தரவு ஒரு முகட்டுத் தரவு என்றும் இரு முகடுகளையுடைய தரவு இரு முகட்டுத் தரவு என்றும் இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட முகடுகளையுடைய தரவு பல முகட்டுத் தரவு என்றும் அழைக்கப்படும்.

இடைநிலையளவு

முதன்மைக் கட்டுரை: இடைநிலையளவு

தரவின் இடைநிலையளவு அல்லது இடையம் என்பது தரவின் மதிப்புகளை ஏறு அல்லது இறங்கு வரிசையில் வரிசைப்படுத்தினால் நடுவில் உள்ள மதிப்பைக் குறிக்கும். மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றையாக இருந்தால், நடுவில் உள்ள மதிப்பு இடைநிலையளவாக அமையும். மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை இரட்டையாக இருந்தால், நடுவில் உள்ள இரண்டு மதிப்புகளின் கூட்டுச்சராசரி இடைநிலையளவாக அமையும். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தரவின் உயர்பாதியைக் கீழ்பாதியிலிருந்து பிரிக்கும் மதிப்பாக இடைநிலையளவு இருக்கும்.

சார்புகளின் சராசரி மதிப்புகள்

சராசரி எனும் கருத்துருவை சார்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். நுண்கணிதத்தில் தொகையிடக்கூடிய சார்பு ƒ இன் சராசரி மதிப்பு, [a,b] இடைவெளியில் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\overline {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$