பின்னப்பகுதி

கணிதத்தில் ஒரு எதிர்மமிலா மெய்யெண்ணின் பின்னப்பகுதி (fractional part) என்பது அவ்வெண்ணின் முழுஎண் பகுதி போக மீதமுள்ள பகுதியைக் குறிக்கும்.

$x,$ ஒரு எதிர்மமிலா மெய்யெண் எனில்,

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0$.

இதிலுள்ள $\lfloor x\rfloor$ என்பது, x ஐ விடச் சிறிய முழுஎண்களுக்குள் மிகப்பெரிய முழு எண்ணைக் குறிக்கிறது. அதாவது, x இன் கீழ்மட்டச் சார்பாகும்.

இரும அல்லது பதின்மம் போன்ற இடஞ்சார் குறியீட்டு எண்முறையில் வழமையாக எழுதப்படும் ஒரு நேர்ம மெய்யெண்ணுக்கு, அதன் பின்னப்புள்ளிக்கு வலப்பக்கம் அமைவது பின்னப்பகுதியாகும்.

ஒரு எதிர்ம எண்ணின் பின்னப்பகுதி மாறுபட்ட வழிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது:

• பின்னப்பகுதிக்கு வலப்பக்கம் அமையும் பகுதியாக:

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor$ (Graham, Knuth & Patashnik 1992),

$\operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor$ (Daintith 2004),

• ஒற்றைச் சார்பாக:

$\operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}$

இதிலுள்ள, $\lceil x\rceil$ என்பது x ஐ விடப் பெரிய முழுஎண்களுக்குள் மிகச் சிறிய முழுஎண்ணை, அதாவது மீச்சிறு முழுஎண் சார்பைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

• −1.3 என்ற எதிர்ம என்ணுக்கு முதல் வரையறைப்படி பின்னப்பகுதி 0.7 ஆகவும், இரண்டாவது வரையறைப்படி 0.3 ஆகவும், மூன்றாவது வரையறைப்படி −0.3 ஆகவும் இருக்கும்.

முதல்வரையறைப்படி அனைத்து மெய்யெண்களையும் $n+r$வடிவில் எழுதலாம். இதில் $n$ ஆனது பின்னப்புள்ளிக்கு இடப்பக்கமுள்ள எண்ணைக் குறிக்கும்; வலப்பக்கமுள்ள பின்னப்பகுதி $r$ இன் மதிப்பு 1 ஐ விடச் சிறிய எதிர்மமில்லா மெய்யெண்ணாக இருக்கும். $x$ ஒரு நேர்ம விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால், $x$ இன் பின்னப்பகுதியை $p/q$ ($p,$ $q$ முழுஎண்கள்; $0\leq p<q$) வடிவில் எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x = 1.05 எனில், இதன் பின்னப்பகுதியான 0.05 ஐ 5 / 100 = 1 / 20 என எழுதலாம்.

ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணையும் ஒரு தனித்த தொடரும் பின்னமாக எழுதலாம். அந்த மெய்யென்ணின் முழுஎண் பகுதி மற்றும் அதன் பின்னப்பகுதியின் தலைகீழியின் கூட்டலாக எழுதலாம். மீண்டும் அத்தலைகீழியை அதன் முழுஎண் பகுதி மற்றும் பின்னப்பகுதியின் தலைகீழியின் கூட்டலாக எழுதலாம். இதேமுறையில் தொடர எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மெய்யெண்ணானது ஒரு தனித்த தொடரும் பின்னமாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு:

3.245 (= 349/200) இன் தொடரும் பின்னம் காணல்
படி	மெய்யெண்	முழுஎண் பகுதி	பின்னப்பகுதி	சுருக்கப்பட்டது	f இன் தலைகீழி	சுருக்கப்பட்டது
1	r = 349/200	i = 3	f = 349/200 − 3	= 49/200	1/f = 200/49	= 44/49
2	r = 44/49	i = 4	f = 44/49 − 4	= 4/49	1/f = 49/4	= 121/4
3	r = 121/4	i = 12	f = 121/4 − 12	= 1/4	1/f = 4/1	= 4
4	r = 4	i = 4	f = 4 − 4	= 0	நிறுத்துக
3.245 அல்லது 349/200 இன் தொடரும் பின்னம் [3; 4, 12, 4]: $3+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}}}$

மேற்கோள்கள்

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1992), Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, p. 70, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-201-14236-8
• John Daintith (2004). A Dictionary of Computing. Oxford University Press.

வெளியிணைப்புகள்

• "Fractional Part." From MathWorld