Potensmängd

Potensmängden (en. power set) till en mängd $M$ är mängden av alla delmängder till $M$ ^[1] inklusive den tomma mängden och mängden $M$ själv. Potensmängden till $M$ skrivs ofta ${\mathcal {P}}(M)$ , $P(M)$ eller $2^{M}$ . Om $M$ är en ändlig mängd med |M| = n element är antalet delmängder som kan bildas av $M$ lika med | ${\mathcal {P}}(M)$ | = 2ⁿ.^[2]^[3]

Att P(M) är en mängd närhelst M är en mängd, är innebörden i potensmängdsaxiomet.

Exempel

Om S är mängden {x, y, z}, är delmängderna av S

{} (också betecknad $\emptyset$ , tomma mängden)
{x}
{y}
{z}
{x, y}
{x, z}
{y, z}
{x, y, z}

och potensmängden av $S=\left\{x,y,z\right\}$ är

{\mathcal {P}}(S)=\left\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\right\}\,\!

I exemplet startade vi med en mängd med tre element och såg att potensmängden innehöll fler element, nämligen 2³=8. Detta är inget unikt för denna mängd. Alla mängder, ändliga såväl som oändliga, har fler delmängder än de har element. Om vi bildar potensmängden till en mängd får vi alltså en med fler (2ⁿ) element, vilket är ett grundläggande argument för Cantors sats.

Se även

Referenser

^ Potensmängd i Nationalencyklopedin.
^ Weisstein, Eric W., Power Set på Wolfram MathWorld.
^ Att |P(M)|=2ⁿ följer enkelt ur att om vi har en mängd N med ett element mindre än M, d.v.s. |N|=n-1, så är |P(M)|=2|P(N)|, eftersom "det n:te" elemetet antingen kan läggas till eller ej i varje mängd som ingår i P(N), och |P(Ø)|=1.

[1] Potensmängd i Nationalencyklopedin.

[2] Weisstein, Eric W., Power Set på Wolfram MathWorld.

[3] Att |P(M)|=2ⁿ följer enkelt ur att om vi har en mängd N med ett element mindre än M, d.v.s. |N|=n-1, så är |P(M)|=2|P(N)|, eftersom "det n:te" elemetet antingen kan läggas till eller ej i varje mängd som ingår i P(N), och |P(Ø)|=1.

[1]

[2]

[3]