Kleins fyrgrupp

Kleins fyrgrupp, ofta betecknad V, är i matematiken gruppen $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$, en direkt produkt av den cykliska gruppen C₂, med sig själv. Den är isomorf med den dihedrala gruppen $D_{2}$.

Eftersom gruppen innehåller fyra element fick den namnet Vierergruppe av Felix Klein i ett verk från 1884. Kleins fyrgrupp och den cykliska gruppen med fyra element, $\mathbb {Z} _{4}$, är de enda grupper, upp till isomorfi, vilka har fyra element. Kleins fyrgrupp är den minsta grupp, som inte är cyklisk.

Kleins fyrgrupp kan exemplifieras med gruppen $\{1,3,5,7\}$ med operatorn multiplikation modulo 8, eller uttryckas som en permutationsgrupp:

$V=\{(1),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}\,$

och är som sådan en normal delgrupp till den alternerande gruppen $A_{4}$ och den symmetriska gruppen S₄

Cayleytabellen för Kleins fyrgrupp är:

*	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	1	k	j
j	j	k	1	i
k	k	j	i	1

De tre element med ordning 2 i gruppen är utbytbara; automorfigruppen är gruppen av permutationer av tre element.

Referenser

• Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. sid. 70. ISBN 91-44-01262-4