Produktregeln används inom matematisk analys för att finna derivatan av produkten av två eller flera funktioner . För två funktioner kan regeln formuleras som[ 1]
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}
eller med Leibniz notation
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
d
u
d
x
⋅
v
+
u
⋅
d
v
d
x
{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}}
Med differentialnotation, kan detta skrivas som
d
(
u
v
)
=
u
d
v
+
v
d
u
{\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}
Med Leibniz notation, är derivatian av tre funktioner
d
d
x
(
u
⋅
v
⋅
w
)
=
d
u
d
x
⋅
v
⋅
w
+
u
⋅
d
v
d
x
⋅
w
+
u
⋅
v
⋅
d
w
d
x
{\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}
vilket kan generaliseras till k funktioner
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}
d
d
x
[
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
]
=
∑
i
=
1
k
(
(
d
d
x
f
i
(
x
)
)
∏
j
≠
i
f
j
(
x
)
)
=
(
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
)
(
∑
i
=
1
k
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)}
Tillämpa produktregeln för att derivera
x
2
sin
(
x
)
{\displaystyle x^{2}\sin(x)}
Med
f
(
x
)
=
x
2
⇒
f
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f(x)=x^{2}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2x}
g
(
x
)
=
sin
(
x
)
⇒
g
′
(
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle g(x)=\sin(x)\quad \Rightarrow \quad g'(x)=\cos(x)}
ger produktregeln för två funktioner
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
=
2
x
sin
(
x
)
+
x
2
cos
(
x
)
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)}
Antag h (x ) = f (x )g (x ) och att f och g båda är differentierbara i x . Vi vill visa att h är differentierbar i x och att dess derivata ges av
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
För att åstadkomma detta, adderas
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}
(vilket är noll och således inte ändrar värde) till täljaren för att möjliggöra dess faktorisering och sedan tillämpas egenskaper hos gränsvärden .
h
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
[
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
]
⋅
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
]
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
⋅
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
⏟
* Se anmärkning nedan
+
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
⋅
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{* Se anmärkning nedan}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{aligned}}}
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}
kan härledas från satsen att differentierbara funktioner är kontinuerliga.
