Norma (matematika)

Norma (oznaka $||{\overrightarrow {a}}||\,$ za vektor ${\overrightarrow {a}}\,$) je v matematiki funkcija, ki vsakemu neničelnemu vektorju v vektorskem prostoru pripiše pozitivno dolžino. Norma se imenuje seminorma, če pripiše dolžino 0 tudi neničelnim vektorjem. Norma posplošuje pojem dolžine vektorja.

Če sta $A\,$ in $B\,$ dve točki v ravnini, je norma vektorja ${\overrightarrow {AB}}\,$ razdalja med točkama $A\,$ in $B\,$ ali ${\overrightarrow {AB}}$, kar zapišemo kot $||{\overrightarrow {AB}}||\,$.

Definicija

Norma vektorja

Za dani vektorski prostor $V\,$ nad podobsegom $F\,$ kompleksnih števil je norma funkcija $p\colon V\to \mathbb {R}$, ki zadošča naslednjim pogojem

1. $\forall x\in V,p(x)\geqslant 0\,$
2. $p(x)=0\Rightarrow x=0_{V}\,$
3. $\forall (x,y)\in V^{2},p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)\,$
4. $\forall \alpha \in \mathbb {R} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x)\,$.

Če ima vektorski prostor normo, se prostor imenuje normirani vektorski prostor.

Normo elementa $x\,$ iz vektorskega prostora $\mathbb {R} \,$ označujemo z $||x||\,$.

Če ima vektor $x\,$ normo enako 1 ($||x||=1\,$), ga imenujemo normalni ali normirani vektor.

Poljuben neničelni vektor $x\,$ lahko normiramo, če ga delimo z njegovo normo. Tako ima vektor $\,$ ${\frac {x}{\|x\|}}$ normo, ki je enaka 1.

Lastnosti norme

1. $\mid \|x\|-\|y\|\mid \leq \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|$
2. $(\|x\|-\|y\|)^{2}\leq \|x+y\|^{2}\leq (\|x\|+\|y\|)^{2}$
3. ${\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]$
4. $\|0_{V}\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0$
5. $0=\|x-x\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Rightarrow \|x\|\geqslant 0$.

Primeri

Evklidska norma

V n-razsežnem Evklidskem prostoru $R^{n}\,$ je dolžina vektorja ${\vec {x}}=[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]\,$ določena z

$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\,$

To daje običajno razdaljo od izhodišča do točke $x\,$, kar nam da tudi Pitagorov izrek. Evklidska norma je najbolj pogosto uporabljena norma, čeprav uporabljamo še več norm.

V prostoru $C^{n}\,$ je najblj pogosto uporabljana norma

$\|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.$.

Vedno pa lahko normo zapišemo kot kvadratni koren iz notranjega produkta

$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {x}}}}.$.

Evklidsko normo imenujemo tudi Evklidska dolžina. Množica vrhov vektorjev, ki imajo konstantno dolžino, pa tvori površino n-razsežnostne krogle (hipersfera), pri tem pa je n razsežnost Evklidskaga prostora.

P norma

Posebna skupina norm je p-norma, ki je za $p\geq 1\,$ enaka

$\|\mathbf {x} \|_{p}:={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}\,$.

Če je $p=2\,$, dobimo Evklidsko normo, ki se izračuna kot

$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\,$.

To normo imenujemo tudi druga norma.

Če je $p=1\,$, dobimo normo z uporabo geometrije taksijev. To razdaljo imenujemo tudi Manhattanska razdalja. To vrsto norme imenujemo tudi prva norma.

To lahko razširimo tudi na vrednost $p=\infty \,$, kar nam da

$\ \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\right\}\,$

To je limita p-norm za končni p. Norma $L^{\infty }\,$ je znana tudi kot uniformna norma ali razdalja Čebiševa (tudi neskončna norma).

Za $p=\infty \,$ dobimo neskončno normo ali normo maksimuma. Množica vektorjev norme maksimuma, ki imajo konstantno vrednost $c\,$, tvori hiperkocko z robovi dolžine $2c\,$

Zunanje povezave

• Definicija norme na ProofWiki (angleško)