Necentralna porazdelitev t

Necentralna t porazdelitev
oznaka
parametri	$\nu \!$ prostostne stopnje (realno število) $\mu \!$ parameter necentralnosti (realno število)
interval	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {\nu ^{\nu /2}\exp \left\{-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(t^{2}+\nu )}}\right\}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^{2}+\nu )^{(\nu +1)/2}}}$ $\times \int \limits _{0}^{\infty }x^{\nu }\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right\}dx$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
pričakovana vrednost	$\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}{\text{ za }}\nu >1\!$ ${\text{ za }}\nu \leq 1{\text{ ne obstoja }}\!$
mediana
modus
varianca	${\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}{\text{ za }}\nu >2\!$ ${\text{ za }}\nu \leq 2{\text{ ne obstoja }}\!$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Necentralna t porazdelitev je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki je posplošitev Študentove t porazdelitve.

Definicija

Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

${\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\nu /V}}$

kjer je

• $Z\!$ normalno porazdeljena slučajna spremenljivka s pričakovano vrednostjo $0\!$ in varianco $1\!$
• $V\!$ slučajna spremenljivka, ki ima porazdelitev porazdelitev hi-kvadrat z $\nu \!$ prostostnimi stopnjami
• $Z\!$ and $V\!$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti necentralne t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za necentralno t porazdelitev je

$f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\exp \left\{-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(t^{2}+\nu )}}\right\}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^{2}+\nu )^{(\nu +1)/2}}}$

$\times \int \limits _{0}^{\infty }x^{\nu }\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right\}dx$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je za $\nu >1\!$ enaka

$\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\!$ ,

za $\nu \leq 1\!$ ne obstoja

Varianca

Varianca je za $\nu >2\!$ enaka

${\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}\!$ ,

za $\nu \leq 2\!$ ne obstoja

Momenti

K-ti moment je za $\nu >k\!$ enak

$\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)\!$

za $\nu \leq k\ \!$ ne obstoja.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je $\mu =0\!$ postane necentralna t porazdelitev enaka Študentovi t porazdelitvi.
• Kadar ima slučajna spremenljivka $Z=T^{2}\!$ necentralno F porazdelitev, potem ima $T\!$ necentralno t porazdelitev.
• Slučajna spremenljivka $Z\!$ ima normalno porazdelitev, če velja $Z=\lim _{\nu \to \infty }T\!$, kjer pa ima $T\!$ necentralno t porazdelitev.

Zunanje povezave

• Vzorčni primeri in simulacija (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev