Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Bernoullijeva lemniskata in njeni dve gorišči. Bernoullijeva lemniskata je nožiščna krivulja pravokotne hiperbole Bernoullijeva lemniskata je ravninska krivulja , ki jo definirata dve dani točki
F
1
{\displaystyle F_{1}\,}
F
2
{\displaystyle F_{2}\,}
gorišči . Točki sta na razdalji
2
a
{\displaystyle 2a\,}
P
F
1
⋅
P
F
2
=
a
2
{\displaystyle PF_{1}\cdot PF_{2}=a^{2}\,}
Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju I. (1654 – 1705), ki jo je prvi opisal v letu 1694 kot modifikacijo elipse .
Enačba Bernoullijeve lemniskate v polarnem koordinatnem sistemu je:
r
2
=
2
a
2
cos
2
θ
.
{\displaystyle r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta \!\,.}
V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Bernoullijeve lemniskate:
(
x
2
+
y
2
)
2
=
2
a
2
(
x
2
−
y
2
)
.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})\!\,.}
Parametrična oblika enačbe je:
x
=
a
2
cos
(
t
)
sin
(
t
)
2
+
1
;
y
=
a
2
cos
(
t
)
sin
(
t
)
sin
(
t
)
2
+
1
.
{\displaystyle x={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(t)}{\sin(t)^{2}+1}};\qquad y={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(t)\sin(t)}{\sin(t)^{2}+1}}\!\,.}
Bipolarna oblika enačbe za Bernoullijevo lemniskato je:
r
r
′
=
a
2
.
{\displaystyle rr'=a^{2}\!\,.}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
[ uredi | uredi kodo ]
d
y
d
x
=
{
neomejeno
kadar je
y
=
0
in
x
≠
0
±
1
kadar je
y
=
0
in
x
=
0
x
(
a
2
−
x
2
−
y
2
)
y
(
a
2
+
x
2
+
y
2
)
kadar je
y
≠
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\begin{cases}{\mbox{neomejeno}}&{\mbox{kadar je }}y=0{\mbox{ in }}x\neq 0\\\pm 1&{\mbox{kadar je }}y=0{\mbox{ in }}x=0\\{\frac {x(a^{2}-x^{2}-y^{2})}{y(a^{2}+x^{2}+y^{2})}}&{\mbox{kadar je }}y\neq 0\end{cases}}}
d
2
y
d
x
2
=
{
neomejeno
kadar je
y
=
0
and
x
≠
0
0
kadar je
y
=
0
in
x
=
0
3
a
6
(
y
2
−
x
2
)
y
3
(
a
2
+
2
x
2
+
2
y
2
)
3
kadar je
y
≠
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\begin{cases}{\mbox{neomejeno}}&{\mbox{kadar je }}y=0{\mbox{ and }}x\neq 0\\0&{\mbox{kadar je }}y=0{\mbox{ in }}x=0\\{\frac {3a^{6}(y^{2}-x^{2})}{y^{3}(a^{2}+2x^{2}+2y^{2})^{3}}}&{\mbox{kadar je }}y\neq 0\end{cases}}}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
[ uredi | uredi kodo ]
d
x
d
y
=
{
neomejeno
kadar je
2
x
2
+
2
y
2
=
a
2
±
1
kadar je
x
=
0
in
y
=
0
y
(
a
2
+
2
x
2
+
2
y
2
)
x
(
a
2
−
2
x
2
−
2
y
2
)
v ostalih primerih
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\begin{cases}{\mbox{neomejeno}}&{\mbox{kadar je }}2x^{2}+2y^{2}=a^{2}\\\pm 1&{\mbox{kadar je }}x=0{\mbox{ in }}y=0\\{\frac {y(a^{2}+2x^{2}+2y^{2})}{x(a^{2}-2x^{2}-2y^{2})}}&{\mbox{v ostalih primerih }}\end{cases}}}
d
2
x
d
y
2
=
{
neomejeno
kadar je
2
x
2
+
2
y
2
=
a
2
0
kadar je
x
=
0
in
y
=
0
3
a
6
(
x
2
−
y
2
)
x
3
(
a
2
−
2
x
2
−
2
y
2
)
3
v ostalih primerih
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} y^{2}}}={\begin{cases}{\mbox{neomejeno}}&{\mbox{kadar je }}2x^{2}+2y^{2}=a^{2}\\0&{\mbox{kadar je }}x=0{\mbox{ in }}y=0\\{\frac {3a^{6}(x^{2}-y^{2})}{x^{3}(a^{2}-2x^{2}-2y^{2})^{3}}}&{\mbox{v ostalih primerih}}\end{cases}}}
Ko sta znana prva dva odvoda, ni težko določiti ukrivljenost Bernoullijeve lemniskate:
κ
=
±
3
(
x
2
+
y
2
)
1
/
2
a
−
2
,
{\displaystyle \kappa =\pm 3(x^{2}+y^{2})^{1/2}a^{-2}\!\,,}
kjer je [[predznak]g izbran glede na smer gibanja vzdolž krivulje. Značilnost lemniskate je, da je velikost ukrivljenosti v vsaki njeni točki sorazmerna z razdaljo te točke od izhodišča.
