Ogled vira Skalarni potencial

{{short description|koncept v vektorski analizi in fiziki, kadar je razlika potencialne energije odvisna le od lege}}
{{drugipomeni4|splošnem opisu funkcije, ki se uporablja v matematiki in fiziki za opis konservativnih polj|skalarni potencial v elektromagnetizmu|električni potencial|vse druge uporabe|potencial}}

'''Skalárni potenciál''' v [[matematična fizika|matematični fiziki]] opisuje razmere v katerih je [[potencialna razlika|razlika]] [[potencialna energija|potencialnih energij]] [[telo (fizika)|teles]] v dveh različnih legah odvisna le od njunih leg in ne od poti, ki ju naredita pri gibanju iz ene lege v drugo. Je [[skalarno polje]] v [[trirazsežni prostor|trirazsežnem prostoru]] – brezsmerna vrednost ([[skalar]]), ki je odvisna samo od svoje lege. Znan zgled je [[gravitacijska potencialna energija|gravitacijska (potencialna) energija]].

[[slika:Electrodynamics vector calculus review gradient.svg|thumb|right|400px|[[Vektorsko polje]] (desno) in ustrezen skalarni potencial (levo).]]

''Skalarni [[potencial]]'' je osnovni [[koncept]] v [[vektorska analiza|vektorski analizi]] in [[fizika|fiziki]] (pridevnik ''skalarni'' se pogosto izpušča, če ni nevarnosti zamenjave z [[vektorski potencial|vektorskim potencialom]]). Skalarni potencial je zgled [[skalarno polje|skalarnega polja]]. Za dano [[vektorsko polje]] <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math> je skalarni potencial <math> P \!\, </math>{{efn|Skalarni potencial je običajno označen z malo grško črko <math> \varphi \!\, </math>.}} definiran tako, da velja:{{r|gold-1980}}

: <math> \mathbf{\vec{F}} = - \mathbf{\vec{\nabla}} P = - \left(
\frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial P}{\partial z} \right) \!\, , </math>

kjer je <math> \mathbf{\vec{\nabla}} P \!\, </math> [[gradient]] potenciala <math> P \!\, </math>, drugi del enačbe pa je po dogovoru [[negativno število|negativna]] vrednost za [[funkcija (matematika)|funkcijo]] v [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnih koordinatah]] <math> x, y, z \!\, </math>.{{efn|Drugi del te enačbe velja samo za [[kartezični koordinatni sistem|kartezične koordinate]], drugi [[koordinatni sistem|koordinatni sistemi]], kot so [[cilindrični koordinatni sistem|cilindrične]] ali [[sferni koordinatni sistem|sferne koordinate]], bodo imeli bolj zapletene predstavitve, ki izhajajo iz [[izrek o gradientu|osnovnega izreka o gradientu]].}} V nekaterih primerih lahko matematiki pri definiciji potenciala uporabijo [[pozitivno število|pozitivni]] predznak pred gradientom.<ref>Glej [http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/findpot/] za zgled kjer je potencial definiran brez negativne vrednosti. Drugi viri, kot je {{sktxt|Leithold|1976}}, se izogibajo uporabi izraza ''potencial'' pri reševanju funkcije iz njenega gradienta.</ref> Zaradi te definicije potenciala <math> P \!\, </math> v smislu gradienta je smer vektorskega polja <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math> v kateri koli [[točka (geometrija)|točki]] smer najstrmejšega zmanjšanja potenciala <math> P \!\, </math> v tej točki, njena velikost pa je stopnja tega zmanjšanja na enoto [[dolžina|dolžine]].

Da bi se lahko vektorsko polje <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math> opisalo le v smislu skalarnega potenciala, mora biti katera koli od naslednjih enakovrednih izjav resnična:

# <math>- \int_{a}^{b} \mathbf{\vec{F}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\vec{l}} = P(\mathbf{\vec{b}}) - P(\mathbf{\vec{a}}) \!\, , </math> kjer integracija poteka preko [[Jordanov izrek o krivulji|Jordanovega loka]], ki poteka od lege <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> do lege <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>, <math> P(\mathbf{\vec{b}}) \!\, </math> pa je ovrednoten <math> P \!\, </math> v legi <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>.
# <math> \oint \mathbf{\vec{F}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\vec{l}} = 0 \!\, , </math> kjer [[integral]] poteka skozi poljubno sklenjeno [[pot]], drugače znano kot [[Jordanova krivulja]].
# <math> {\nabla} \times {\mathbf{\vec{F}}} = 0 \!\, . </math>

Prvi od teh pogojev predstavlja [[izrek o gradientu|osnovni izrek o gradientu]] in velja za katero koli vektorsko polje, ki je gradient [[odvedljiva funkcija|odvedljivega]] skalarnega polja [[funkcija ene spremenljivke|z eno vrednostjo]] <math> P \!\, </math>. Drugi pogoj je zahteva za vektorsko polje <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math>, da ga je mogoče izraziti kot gradient skalarne funkcije. Tretji pogoj ponovno izrazi drugi pogoj v smislu [[rotor]]ja vektorskega polja <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math> z uporabo [[Stokesov izrek|osnovnega izreka o rotorju]]. Vektorsko polje <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math>, ki izpolnjuje te pogoje, je [[potencialno vektorsko polje|potencialno]] (konservativno).

[[slika:Mass potential well increasing mass.gif|thumb|right|250px|[[gravitacijski potencial|Gravitacijska potencialna]] jama z naraščajočo [[masa|maso]], kjer velja <math> \mathbf{\vec{F}} = - \mathbf{\vec{\nabla}} P \!\, </math>.]]

Skalarni potenciali so pomembni na mnogih področjih fizike in [[tehnika|tehnike]]. [[Gravitacijski potencial]] je skalarni potencial, povezan z [[gravitacija|gravitacijo]] na enoto [[masa|mase]] – [[pospešek]] zaradi [[polje (fizika)|polja]], kot funkcija lege. Gravitacijski potencial je gravitacijska potencialna energija na enoto mase.

V [[elektrostatika|elektrostatiki]] je [[električni potencial]] skalarni potencial, povezan z [[električno polje|električnim poljem]], to je z [[elektrostatska sila|elektrostatsko silo]] na enoto [[električni naboj|električnega naboja]]. Električni potencial je v tem primeru [[elektrostatska potencialna energija]] na enoto naboja.

V [[dinamika tekočin|dinamiki tekočin]] imajo potencialna [[kompleksno lamelarno vektorsko polje|lamelarna vektorska polja]] skalarni potencial le v posebnem primeru, ko gre za [[harmonična funkcija|Laplaceovo polje]].

Nekatere vidike [[jedrska sila|jedrske sile]] je mogoče opisati z [[Jukavov potencial|Jukavovim potencialom]].

Potencial ima vidno vlogo v [[Lagrangeeva mehanika|Lagrangeevih]] in [[Hamiltonova mehanika|Hamiltonovih]] formulacijah [[klasična mehanika|klasične mehanike]]. Poleg tega je skalarni potencial osnovna [[fizikalna količina|količina]] v [[kvantna mehanika|kvantni mehaniki]].

Vsako vektorsko polje nima skalarnega potenciala. Tista, ki ga imajo, se imenujejo [[potencialno vektorsko polje|potencialna]] (konservativna), kar ustreza pojmu [[konservativna sila|konservativne sile]] v fiziki. Zgledi nekonservativnih sil vključujejo torne sile, [[magnetna sila|magnetne sile]] in v mehaniki tekočin [[solenoidalno vektorsko polje|solenoidalno polje]] [[hitrost]]i. S [[Helmholtzev razstavitveni izrek|Helmholtzevim razstavitvenim izrekom]] pa je mogoče vsa vektorska polja opisati v smislu skalarnega potenciala in ustreznega [[vektorski potencial|vektorskega potenciala]]. V [[elektrodinamika|elektrodinamiki]] sta elektromagnetni skalarni in vektorski potencial skupaj znana kot [[elektromagnetni potencial]] – [[elektromagnetni četverec potenciala|(elektromagnetni) četverec potenciala]].

== Pogoji integrabilnosti ==

Če je <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math> [[potencialno vektorsko polje|potencialno (vektorsko) polje]] (imenovano tudi ''konservativno'' ali ''polje brez [[rotor]]ja'') in imajo njegove komponente [[zvezna funkcija|zvezne]] [[parcialni odvod|parcialne odvode]], je njegov ''potencial'' glede na referenčno točko <math> \mathbf{\vec{r}}_{0} \!\, </math> definiran s členi [[krivuljni integral|krivuljnega integrala]]:

: <math> V(\mathbf{\vec{r}}) = - \int_{C} \mathbf{\vec{F}}(\mathbf{\vec{r}}) \cdot \, \mathrm{d} \mathbf{\vec{r}} = - \int_{a}^{b} \mathbf{\vec{F}}(\mathbf{\vec{r}}(t)) \cdot \mathbf{\vec{r}}'(t) \, \mathrm{d} t \!\, , </math>

kjer je <math> C \!\, </math> [[parametrizacija (geometrija)|parametrizirana]] pot od <math> \mathbf{\vec{r}}_{0} \!\, </math> do <math> \mathbf{\vec{r}} \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{r}}(t), a \leq t \leq b, \mathbf{\vec{r}}(a) = \mathbf{\vec{r}}_{0}, \mathbf{\vec{r}}(b) = \mathbf{\vec{r}} \!\, . </math>

Dejstvo, da je krivuljni integral odvisen od poti <math> C \!\, </math> samo skozi njeni končni točki <math> \mathbf{\vec{r}}_{0} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{r}} \!\, </math>, je v bistvu značilnost neodvisnosti od poti potencialnega vektorskega polja. [[izrek o gradientu|Osnovni izrek o krivuljnih integralih]] implicira, da če je <math> P \!\, </math> definiran na ta način, potem je <math> \mathbf{\vec{F}} = - \mathbf{\vec{\nabla}} P \!\, </math>, tako da je <math> P \!\, </math> skalarni potencial konservativnega vektorskega polja <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math>. Skalarnega potenciala ne določa samo vektorsko polje – res, na gradient funkcije ne vpliva, če se ji doda konstanto. Če je <math> P \!\, </math> definiran v smislu krivuljnega integrala, dvoumnost <math> P \!\, </math> odraža svobodo pri izbiri referenčne točke <math> \mathbf{\vec{r}}_{0} \!\, </math>.

== Nadmorska višina kot gravitacijska potencialna energija ==

{{glavni|gravitacijski potencial}}

[[slika:Gravity field near earth.gif|thumb|right|Enakomerno [[gravitacijsko polje]] blizu [[zemeljsko površje|Zemljinega površja]]]]
[[slika:GravityPotential.jpg|thumb|right|300px|Graf [[dvorazsežni prostor|dvorazsežne]] rezine [[gravitacijski potencial|gravitacijskega potenciala]] v in okrog enakomernega [[sfera|krogelnega]] [[telo (fizika)|telesa]]. [[Prevoj]]i preseka ležijo na površini telesa.]]

Zgled je (skoraj) enakomerno [[gravitacijsko polje]] blizu Zemljinega površja. Njegova [[gravitacijska potencialna energija|potencialna enargija]] <math> U \!\, </math> je enaka:

: <math> U = m g h \!\, , </math>

kjer je <math> h \!\, </math> [[nadmorska višina]]. To pomeni, da je gravitacijska potencialna energija na [[izočrte|konturni karti]] sorazmerna z nadmorsko višino. Na konturni karti je [[dvorazsežni prostor|dvorazsežni]] negativni gradient nadmorske višine dvorazsežno vektorsko polje, katerega vektorji so vedno ortogonalni na konture in prav tako ortogonalni na smer gravitacije. Toda na hribovitem območju, ki ga predstavlja konturna karta, trirazsežni negativni gradient <math> U \!\, </math> vedno kaže naravnost navzdol v smeri gravitacije – <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math>. Vendar se žoga, ki se [[kotaljenje|kotali]] po hribu navzdol, ne more premakniti neposredno navzdol zaradi [[normalna sila|normalne sile]] površine hriba, ki izniči komponento gravitacije, pravokotno na površino hriba. Komponenta gravitacije, ki ostane za premikanje žoge, je vzporedna s površino:

: <math> \mathbf{\vec{F}}_{\mathrm{S}} = - m g \ \sin \theta \!\, , </math>

kjer je <math> \theta \!\, </math> kot [[naklon]]a, komponenta <math> \mathbf{\vec{F}}_{\mathrm{S}} \!\, </math>, pravokotna na gravitacijo, pa je:

: <math> \mathbf{\vec{F}}_{\mathrm{P}} = - m g \ \sin \theta \ \cos \theta = - \frac{1}{2} m g \sin 2 \theta \!\, . </math>

Ta sila <math> \mathbf{\vec{F}}_{\mathrm{P}} \!\, </math>, vzporedna s tlemi, je največja pri <math> \theta = 45^{\circ} \!\, </math>.

Naj je <math> \Delta h \!\, </math> enotni interval nadmorske višine med konturama na konturni karti in naj bo <math> \Delta x \!\, </math> [[razdalja]] med dvema konturama. Potem velja:

: <math> \theta = \tan^{-1}\frac{\Delta h}{\Delta x} \!\, , </math>

tako, da je:

: <math> F_{\mathrm{P}} = - m g \frac{\Delta x \, \Delta h}{\Delta x^{2} + \Delta h^{2}} \!\, . </math>

Vendar pa je na konturni karti gradient obratno sorazmeren z <math> \Delta x \!\, </math>, kar ni podobno sili <math> \mathbf{\vec{F}}_{\mathrm{P}} \!\, </math> – nadmorska višina na konturni karti ni ravno dvorazsežno potencialno polje. Velikosti sil so različne, vendar so smeri sil enake na konturni karti kot tudi na hribovitem območju Zemljinega površja, ki ga predstavlja konturna karta.

== Tlak kot vzgonski potencial ==

V [[mehanika tekočin|mehaniki tekočin]] je [[tekočina]] v [[statično ravnovesje|statičnem ravnovesju]], vendar v prisotnosti enakomernega gravitacijskega polja, prežeta z enakomerno silo [[vzgon]]a, ki izniči gravitacijsko silo – tako tekočina ohranja svoje ravnovesje. Ta sila vzgona <math> \mathbf{\vec{F}}_{\mathrm{v}} \!\, </math> je negativni gradient [[tlak]]a:

: <math> \mathbf{\vec{F}}_{\mathrm{v}} = - \mathbf{\vec{\nabla}} p \!\, . </math>

Ker sila vzgona kaže navzgor, v smeri, ki je nasprotna gravitaciji, se tlak v tekočini povečuje navzdol. Tlak v statičnem vodnem telesu narašča sorazmerno z [[globina|globino]] pod [[gladina|gladino]] vode. Površine stalnega tlaka so ravnine, vzporedne s površino, ki se jih lahko označi kot ravnino ničelnega tlaka.

Če ima tekočina navpični [[vrtinec]] (katerega vrtilna os je pravokotna na površino), potem vrtinec povzroči padec v tlačnem polju. Površina tekočine znotraj vrtinca je povlečena navzdol, tako kot vse površine enakega tlaka, ki še vedno ostanejo vzporedne s površino tekočine. Učinek je najmočnejši znotraj vrtinca in hitro upada z oddaljenostjo od vrtilne osi vrtinca.

Silo vzgona zaradi tekočine na trdno telo, potopljeno in obdano s to tekočino, je mogoče dobiti z integracijo gradienta negativnega tlaka vzdolž površine telesa:

: <math> \mathbf{\vec{F}}_{\mathrm{v}} = - \oint_{S} \nabla p \cdot \, \mathrm{d} \mathbf{\vec{S}} \!\, . </math>

== Skalarni potencial v evklidskem prostoru ==

V trirazsežnem [[evklidski prostor|evklidskem prostoru]] <math> \mathbb{R}^{3} \!\, </math> je skalarni potencial potencialnega vektorskega polja <math> \mathbf{\vec{E}} \!\, </math> dan z

: <math> \Phi(\mathbf{\vec{r}}) = \frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{\nabla \cdot \mathbf{\vec{E}}(\mathbf{\vec{r}}')}{\| \mathbf{\vec{r}} - \mathbf{\vec{r}}' \|} \, \mathrm{d} V(\mathbf{\vec{r}}') \!\, , </math>

kjer je <math> \mathrm{d} V(\mathbf{\vec{r}}') \!\, </math> infinitezimalni prostorninski element glede na <math> \mathbf{\vec{r}} \!\, </math>. Potem velja:

: <math> \mathbf{\vec{E}} = - \mathbf{\vec{\nabla}} \Phi = - \frac{1}{4 \pi} \nabla \int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{\nabla \cdot \mathbf{\vec{E}}(\mathbf{\vec{r}}')}{\| \mathbf{\vec{r}} - \mathbf{\vec{r}}' \|} \, \mathrm{d} V(\mathbf{\vec{r}}') \!\, . </math>

To velja pod pogojem, da je <math> \mathbf{\vec{E}} \!\, </math> [[zvezna funkcija|zvezno]] in asimptotično izgine na nič proti neskončnosti, upada hitreje kot <math> 1/r \!\, </math> in, če [[divergenca]] <math> \mathbf{\vec{E}} \!\, </math> prav tako izgine proti neskončnosti, upada hitreje kot <math> 1/r^{2} \!\, </math>

Zapisano na drug način naj je:

: <math> \Gamma(\mathbf{\vec{r}}) = \frac{1}{4\pi}\frac{1}{\| \mathbf{\vec{r}} \|} \!\, </math>

[[Newtonov potencial]]. To je [[fundamentalna rešitev]] [[Laplaceova enačba|Laplaceove enačbe]], kar pomeni, da je [[Laplaceov operator]] <math> \Gamma \!\, </math> enak negativni [[Diracova funkcija delta|Diracovi funkciji delta]]:

: <math> \nabla^{2} \Gamma(\mathbf{\vec{r}}) + \delta(\mathbf{\vec{r}}) = 0 \!\, . </math>

Potem je skalarni potencial divergenca [[konvolucija|konvolucije]] <math> \mathbf{\vec{E}} \!\, </math> z <math> \Gamma \!\, </math>:

: <math> \Phi = \nabla \cdot (\mathbf{\vec{E}} * \Gamma) \!\, . </math>

Konvolucija potencialnega vektorskega polja z rotacijsko [[refrakcijski potencial|invariantnim potencialom]] je prav tako potencialna. Za potencialno vektorsko polje <math> \mathbf{\vec{G}} \!\, </math> se lahko pokaže, da velja:

: <math> \nabla^{2} \mathbf{\vec{G}} = \nabla (\nabla \cdot{} \mathbf{\vec{G}}) \!\, . </math>

Zato:

: <math> \nabla (\nabla \cdot (\mathbf{\vec{E}} * \Gamma)) = \nabla^{2}(\mathbf{\vec{E}} * \Gamma) = \mathbf{\vec{E}} * \nabla^{2} \Gamma = - \mathbf{\vec{E}} * \delta = - \mathbf{\vec{E}} \!\, , </math>

kot je zahtevano.

Na splošno formula:

: <math> \Phi = \nabla \cdot (\mathbf{\vec{E}} * \Gamma) \!\, </math>

velja v <math> n \!\, </math>-razsežnem evklidskem prostoru (<math> n > 2 \!\, </math>) z Newtonovin potencialom, potem danim kot:

: <math> \Gamma(\mathbf{\vec{r}}) = \frac{1}{n(n-2)\omega_{n} \| \mathbf{\vec{r}} \|^{n-2}} \!\, , </math>

kjer je <math> \omega_{n} \!\, </math> [[prostornina]] [[enotska krogla|enotske]] <math> n \!\, </math>-[[hipersfera|krogle]]. Dokaz je enak. Druga možnost je [[integracija po delih]] (ali, bolj strogo, značilnosti konvolucije), ki da:

: <math> \Phi(\mathbf{\vec{r}}) = -\frac{1}{n\omega_{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}} \frac{\mathbf{\vec{E}} (\mathbf{\vec{r}}') \cdot (\mathbf{\vec{r}} - \mathbf{\vec{r}}')}{\| \mathbf{\vec{r}} - \mathbf{\vec{r}}' \|^{n}} \, \mathrm{d} V(\mathbf{\vec{r}}') \!\, . </math>

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* [[izrek o gradientu]]
* [[električni potencial]]
* [[magnetni skalarni potencial]]
* [[vektorski potencial]]
* [[Helmholtzev razstavitveni izrek]]
* [[ekvipotencial]]
{{div col end}}

== Opombe ==

{{seznam opomb}}

== Sklici ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="gold-1980">{{sktxt|Goldstein|1980|pp=3–4}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Goldstein|first1= Herbert|authorlink1= Herbert Goldstein|title= Classical Mechanics|date= 1980|edition= 2.|pages= 3–4|ISBN= 978-0-201-02918-5}}
* {{citat|last1= Leithold|first1= Louis|authorlink1= Louis Leithold|title= The Calculus with Analytic Geometry|date= 1976|edition= 3.|page= 1199|publisher= Harper & Row|isbn= 0060439483}}
{{refend}}

{{škrbina-fizika}}

{{DEFAULTSORT:skalarni potencial}}

[[Kategorija:Potenciali]]
[[Kategorija:Vektorski račun]]
[[Kategorija:Fizikalne količine]]
<!-- [[Kategorija:Skalarne fizikalne količine]] -->