Skewesovo číslo

Skewesove čísla sú v teórii čísel prirodzených čísel. Po prvýkrát ich použil juhoafrický matematik Stanley Skewes. Obe Skewesove čísla boli v dobe svojho vynájdenia najmenšími známymi hornými odhadmi pre riešenie dvoch súvisiacich problémov teórie čísel.

Prvé Skewesovo číslo býva často nazývané iba Skewesovo číslo.

Hodnota prvého Skewesovho čísla je e^ee79 s približnou hodnotou

10^{108,85 × 1033}, hodnota druhého Skewesovho čísla je 10^1010963.

História vzniku

Skewesova čísla vznikli ako horné odhady pre riešenie nasledujúceho problému:

Nech π(x) značí počet prvočísiel menších než x a Li(x) logaritmický integrál, tj. hodnotu $\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}$. Napríklad z vety o prvočíslach plynie asymptotický vzťah $\,\pi (x)\sim {\hbox{Li}}(x)$ (tj. $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{{\hbox{Li}}(x)}}=1$), ktorý zhruba vraví, že „hodnoty funkcií π a Li sú pre veľké argumenty x približne rovnaké“. Prirodzenou otázkou preto je, ktorá z týchto funkcií je väčšia?

Pre malé prirodzené čísla x prevažuje funkcia Li, ako možno ľahko spočítať. Skewesov učiteľ John Edensor Littlewood dokázal v roku 1914, že tomu tak nie je pre všetky čísla – existuje n prirozené také, že π(n)>Li(n), a teda nejmenšie také n (Littlewood dokázal dokonca viac – funkcia (π - Li)(x) mení v obore prirodzených čísel znamienko nekonečnekrát). Problémom Littlewoodovho dôkazu bolo, že bol „neefektívny“, nebolo z neho možné určiť (ani približne) hodnotu n.

Stanley Skewes vymyslel prvý efektívny dôkaz v roku 1933. Dokázal, že za předpokladu Riemannovej hypotézy je nejmenšie n, pre ktoré π(n)>Li(n), menšie než $\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{79}}}$ (približne $10^{10^{8,85\times 10^{33}}}$). Tento horný odhad dostal názov Skewesovo číslo (neskôr premenované na prvé Skewesovo číslo).

V roku 1955 Skewes dokázal vynechať predpoklad Riemannovej hypotézy, v takom prípade bol schopný odhadnúť veľkosť n hodnotou $10^{10^{10^{1000}}}$ nazvanou druhé Skewesovo číslo.

Pozri aj

• Googol