Gama rozdelenie
Gama rozdelenie je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti s dvoma parametrami. Jeho špeciálnymi prípadmi sú exponenciálne rozdelenie a -rozdelenie. Patrí k pravostranne (pozitívne) zošikmeným rozdeleniam.
Gama rozdelenie sa používa na modelovanie pravdepodobnosti doby čakania, tiež sa používa v poistnej matematike pri modelovaní výšky poistných plnení. Na tento účel sa používa aj exponenciálne rozdelenie, no pretože gama rozdelenie je na rozdiel od neho závislé od dvoch parametrov, je vhodnejšie a pri tomto modelovaní aj viac flexibilnejšie. Napriek tomu neodhaduje dobre pravdepodobnosť extrémne vysokých poistných plnení.
Definícia
[upraviť | upraviť zdroj]Nech je náhodná veličina a nech a . Hovoríme, že táto náhodná veličina má gama rozdelenie s parametrami a , ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:
kde označenie označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:
Parameter nazývame parameter tvaru a zase paramater škály.
Označenie:
Ďalšie vyjadrenia
[upraviť | upraviť zdroj]Jedna z dôležitých vlastností gama rozdelenia je tá, že pokiaľ máme dve, prípadne viac, náhodných premenných, ktoré majú gama rozdelenie, tak ich súčet má tiež gama rozdelenie, menia sa iba parametre.
Nech a sú dve náhodné veličiny, ktoré sú nezávislé, pričom každá z nich má gama rozdelenie s parametrami a , ďalej nech pre parametre platí nasledovné: , a . Potom náhodná veličina , má tiež gama rozdelenie s parametrami
Majme nezávislých náhodných premenných , pričom každá z nich má gama rozdelenie a parametrami . Pre parametre platí: a pre . Potom náhodná veličina nasledovného tvaru:
má tiež gama rozdelenie s parametrami .
Vzťah k iným rozdeleniam
[upraviť | upraviť zdroj]Z definície vyplýva, že pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti položíme parameter , tak dostaneme hustotu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia s parametrom , teda:
Pokiaľ vo vyjadrení hustoty pravdepodobnosti gama rozdelenia položíme parameter , pričom je celé kladné číslo a druhý parameter , tak dostaneme -rozdelenie s stupňami voľnosti, teda
Vlastnosti
[upraviť | upraviť zdroj]Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:
Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej :
Pre koeficient šikmosti platí nasledovný vzťah:
Momentová vytvárajúca funkcia má nasledovný tvar:
pre .
Pre charakteristickú funkciu náhodnej veličiny s gama rozdelením zase platí nasledovné:
pričom pre parametre platí: , a .
Poznámky
[upraviť | upraviť zdroj]- V závislosti od literatúry sa používa rôzne značenie parametrov tohto rodelenia. Namiesto gréckych písmen a sa zvyknú používať písmená našej abecedy, a (pričom v niektorej literatúre potom parameter zodpovedá a parameter zodpovedá ).
Zdroje
[upraviť | upraviť zdroj]- RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
- ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA - vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
- PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.
- BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.
- HARMAN, Radoslav. Stochastické simulačné metódy [online]. [Cit. 2012-03-24]. Kapitola Generovanie realizácií spojitých náhodných premenných a vektorov. Dostupné online. [nefunkčný odkaz]