Invertibilna matrica

U linearnoj algebri, n-sa-n (kvadratna) matrica $A$ je invertibilna ili nesingularna ili regularna ako postoji n-sa-n matrica $B$, takva da

$AB=BA=I_{n}\$

gde $I_{n}$ označava n-sa-n jediničnu matricu a množenje je uobičajeno množenje matrica. Ako je ovo slučaj, onda je matrica $B$ jedinstveno definisana matricom $A$ i naziva se inverzom matrice $A$, što se označava sa $A^{-1}$. Sledi iz teorije matrica da ako je

$AB=I\$

za kvadratne matrice $A$ i $B$, onda je takođe

$BA=I\ .$

Kvadratna matrica koja nije invertibilna se naziva singularnom. Uobičajeno je da su elementi matrica realni ili kompleksni brojevi, ali ove definicije mogu biti date za matrice nad bilo kojim prstenom.

Invertovanje matrice $A$ je postupak pronalaženja matrice $B$ takve da zadovoljava uslove za invertibilnu matricu matrice $A$.

Svojstva invertibilnih matrica

Neka je $A$ kvadratna matrica dimenzije n-sa-n nad poljem $K$ (na primer poljem $R$ realnih brojeva). U tom slučaju su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

• $A$ je invertibilna.
• $A$ se može Gaus-Žordanovom eliminacijom svesti na n-sa-n jediničnu matricu $I_{n}$.
• $A$ ima n pivot pozicija.
• det $A$ ≠ 0.
• Rang $A$ = n.
• Jednačina $Ax=0$ ima samo trivijalno rešenje $x=0$
• Jednačina $Ax=b$ ima tačno jedno rešenje za svako $b$ u $K^{n}$.
• Kolone $A$ su linearno nezavisne.
• Kolone $A$ grade bazu $K^{n}$.
• Linearno preslikavanje iz $x$ u $Ax$ je bijekcija iz $K^{n}$ u $K^{n}$.
• Postoji n-sa-n matrica $B$ takva da je $AB=I_{n}$.
• Transponovana matrica $A^{T}$ je invertibilna matrica.
• Matrica puta njoj transponovana matrica, $A^{T}\times A$ je invertibilna matrica.
• Broj 0 nije sopstvena vrednost $A$.

Uopšteno, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica u tom prstenu.

Inverz invertibilne matrice $A$ je i sam invertibilan, i

$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$.

Inverz invertibilne matrice $A$ pomnožen skalarom $k$, različitim od nule daje proizvod inverza skalara i matrice

$\left(kA\right)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$.

Za invertibilnu matricu A, transponat inverza je inverz transponata:

$(A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }\,$

Proizvod dve invertibilne matrice $A$ i $B$ iste veličine je i sam invertibilan, i jednak

$\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

(Obratiti pažnju da je redosled činilaca obrnut.) Zbog toga, skup invertibilnih n-sa-n matrica gradi grupu, poznatu pod imenom opšta linearna grupa Gl(n).

Izračunavanje inverzne matrice

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )$

Literatura

• Cormen, Thomas H.; Charles E. Leiserson, Ron L. Rivest, Clifford Stein (2001) [1990]. „28.4: Inverting matrices”. Introduction to Algorithms (2nd izd.). MIT Press and McGraw-Hill. str. pp. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.