Уравнение Бете — Солпитера

Уравнение Бете — Солпитера, названое в честь Х. Бете и Э. Солпитера, описывает связанные состояния двухчастичной квантовополевой системы в релятивистски ковариантной форме. Уравнение было впервые опубликовано в 1950 году в конце статьи Ёитиро Намбу, но без вывода.

Интегральная форма записи уравнения Бете — Солпитера

Основным методом решения задач со взаимодействием, бесспорно, является теория возмущений, однако это далеко не единственный метод. Существуют, так называемые, непертурбативные методы и один из них ведет к уравнению Бете — Солпитера. Рассматривается система двух связанных фермионов. В свободной теории, как известно, для одночастичной волновой функции $\psi _{a}$ (где $a$ — спинорный индекс) пропагатор определяется следующим образом:

$\psi (x_{2})=-i\int {d\sigma {(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\!\!/(x_{1})\psi (x_{1})}$,

Тут используется запись с использованием «перечёркнутых матриц», $n(x_{1})$ — 4-х вектор внешней нормали. Интегрирование ведется по поверхности объёма, включающего в себя событие $x_{2}$, $S_{F}$. — фейнмановский пропагатор. В случае невзаимодействующих частиц он определяется как решение следующего уравнения:

$(i\nabla \!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta ^{4}(x'-x)\qquad (1)$,

Аналогично пропагатору для одночастичной волновой функции, можно определить пропагатор для двучастичной волновой функции следующим выражением:

$\psi _{ab}(x_{3},x_{4})=\int {d\sigma {(x_{1})}d\sigma {(x_{2})}S^{ab}{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}\qquad (2)$,

Здесь $\psi _{ab}$ — спинор, обладающий двумя спинорными индексами $a,b$. В случае невзаимодействующих частиц, двучастичная волновая функция распадается в произведение одночастичных, а пропагатор в произведение пропагаторов:

$S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})$

Однако это самый тривиальный случай. Теперь же «включим» электромагнитное взаимодействие между двумя частицами. Если бы мы следовали идеологии теории возмущений, то получили бы, следуя Фейнману, $S^{ab}$ представляется в виде:

$S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma$

Под $\Sigma$ понимается сумма всевозможных диаграмм, получаемых из теории возмущения. Основная идея, приводящая к уравнению заключается в том, что всю сумму диаграмм мы обозначаем, как некоторое ядро $K$. Мы будем называть диаграмму приводимой, если после удаления двух фермионных линий она становится несвязной. Тогда $K$ можно представить в виде суммы двух вкладов: вклада приводимых диаграмм и вклада неприводимых диаграмм ${\overline {K}}$. Можно показать, что выражение для $S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})$ может быть переписано как:

$S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int {d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d^{4}x_{8}\cdot iS_{F}^{a}(x_{3},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{4},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1},x_{2})}$

Подставляя это выражение в $(2)$ получаем уравнение Бете — Солпитера:

$\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi _{ab}(x_{1},x_{2})+\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}\cdot iS_{F}^{a}(x_{1},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{2},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad (3)$

В этом выражении $\varphi _{ab}$ — свободная двучастичная волновая функция, то есть волновая функция в отсутствии взаимодействия между частицами. Таким образом, получили интегральное уравнение Фредгольма II рода.

Интегро-дифференциальная форма записи уравнения Бете — Солпитера. Запись в p-пространстве

Подействуем теперь на уравнение Бете-Солпитера операторами $(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})$, в силу $(1)$ получим следующее выражение:

$(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=-\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}$

Соответственно вместо интегрального уравнения типа Фредгольма, мы получаем интегро-дифференциальное уравнение на двухчастичную волновую функцию $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$. Ещё одной возможной формой записи уравнения Бете-Солпитера, является запись в импульсном пространстве, а именно, определим преобразование Фурье двухчастичной волновой функции $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$ следующим образом:

$\chi _{ab}(p_{1},p_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi _{ab}{(x_{1},x_{2})}}$

Фурье преобразования самого уравнения Бете-Солпитера запишется следующим образом:

${\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}$

В левой части можно перенести градиенты на экспоненту при помощи интегрирования по частям. Также добавим в правую часть две дельта-функции. Получим:

${\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\right]\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=$$=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\delta ^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta ^{4}(x'_{4}-x_{4}){\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}$

Используя импульсное представление дельта-функций со штрихованными переменными мы можем переписать ядро ${\overline {K}}^{ab}$ в импульсном представлении, а именно:

${\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})={\frac {1}{(2\pi )^{8}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})}$

Используя это, мы получаем уравнение Бете-Солпитера в импульсной форме:

$({\cancel {p}}_{1}-m_{a})({\cancel {p}}_{2}-m_{b})\chi _{ab}(p_{1},p_{2})=-\int {d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}{\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi _{ab}(p'_{1},p'_{2})}$

Другие представления

В связи со своей общностью и тем, что оно применяется во многих разделах теоретической физики, уравнение Бете — Солпитера можно встретить в разных формах. Одной из форм, часто используемой в физике высоких энергий, является:

$\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\;K(P,p,k)\,S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})$,

где $\Gamma$ — амплитуда Бете — Солпитера, $K$ описывает взаимодействие двух частиц, а $S$ — их пропагатор.

Так как данное уравнение может быть получено путём отождествления связанных состояний с полюсами S-матрицы, то его можно связать с квантовым описанием процессов рассеяния и функциями Грина.

Даже для простых систем, таких как позитроний, уравнение не может быть решено точно, хотя в принципе оно сформулировано точно. К счастью, классификация состояний может быть проведена без использования точного решения. Если одна частица гораздо массивнее другой, то задача значительно упрощается, и в этом случае решается уравнение Дирака для лёгкой частицы, находящейся, во внешнем потенциале, создаваемом тяжёлой частицей.

Литература

• W. Greiner, J. Reinhardt. Quantum Electrodynamics. — 3rd. — Springer (publisher), 2003. — ISBN 978-3-540-44029-1.
• N. Nakanishi. A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation (англ.) // Progress of Theoretical Physics. — 1969. — Vol. 43. — P. 1–81. — doi:10.1143/PTPS.43.1.
• Н.Н Боголюбов, Д.В Ширков, Введение в теорию квантованных полей,1973