След матрицы
След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если элементы матрицы , то её след . Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)[1].
В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: (от англ. trace — след), и (от нем. Spur — след).
В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: .
Определение
[править | править код]Под следом квадратной матрицы размера понимают:
где — элементы главной диагонали:
.
Свойства
[править | править код]- Линейность .
- .
- Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: .
- , где означает операцию транспонирования.
- .
- Если тензорное произведение матриц A и B, то .
- След матрицы равен сумме её собственных значений.
- Определитель квадратной матрицы можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие . Например .
Геометрическое свойство
[править | править код]- ,
- где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.
- Следствия:
- для малых α
- Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Лисовский, Фёдор Викторович. Новый англо-русский словарь по электронике: в двух томах, около 100000 терминов и 7000 сокращений. — Москва: ABBYY Press, 2009. — 2 volumes с. — ISBN 9785391000051, 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.
Ссылки
[править | править код]- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Trace of a square matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|