Контрпример

Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект X₀ из множества M, для которого свойство A не выполняется».

Часто найти контрпример вручную очень сложно. В таких случаях можно воспользоваться компьютером. Программа для нахождения контрпримера может просто перебирать элементы множества M и проверять выполнения свойства A. Более сложный, но и более эффективный, подход заключается в построении контрпримера «по частям». При этом при выборе очередной «части» сразу отбрасываются варианты, которые заведомо не ведут к опровержению рассматриваемого утверждения. Это позволяет значительно ускорить работу, зачастую на порядки.

Необходимо помнить, что отсутствие контрпримера не служит доказательством гипотезы. Доказательство такого рода можно строить, только если рассматриваемое множество конечно. В этом случае, достаточно перебрать все его элементы, и, если контрпримера среди них нет, то утверждение будет доказано.

Классические контрпримеры в математике

• Функция Дирихле — пример функции, разрывной в каждой точке.
• Функция Вейерштрасса — пример всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
• Функция Кантора — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.

Контрпримеры в других отраслях знания

• В книге Й. Стоянова "Контрпримеры в теории вероятностей" высказано утверждение "В русском языке нет слова, содержащего подряд пять согласных букв". Контрпримером к нему служит слово "контрпример".

Литература

• Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения: как доказываются теоремы. М.: Наука, 1967.
• Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действительного переменного. М.: Наука, 1975.
• Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 1980.
• Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Факториал, 1999.
• Щетников А. И., Щетникова А. В. Роль контрпримеров в развитии основных понятий математического анализа. — Новосибирск: АНТ, 1999.
• Romano J. P., Siegel A. F. Counterexamples in probability and statistics. Chapman & Hall, NY, 1986.
• Steen L. A., Seebach J. A. (Jr.). Counterexamples in topology. Springer, NY, 1978.
• Wise G. L., Hall E. B. Counterexamples in probability and real analysis. Oxford UP, 1993.