Grup poliedric
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
Simetrie involutivă Cs, (*) [ ] = |
Simetrie ciclică Cnv, (*nn) [n] = |
Simetrie diedrală Dnh, (*n22) [n,2] = | |
Grup poliedric, [n,3], (*n32) | |||
---|---|---|---|
Simetrie tetraedrică Td, (*332) [3,3] = |
Simetrie octaedrică Oh, (*432) [4,3] = |
Simetrie icosaedrică Ih, (*532) [5,3] = |
În geometrie un grup poliedric este oricare din grupurile de simetrie ale poliedrelor platonice.
Grupuri
[modificare | modificare sursă]Există trei grupuri poliedrice:
- Grupul tetraedric de ordinul 12, grupul de simetrie rotațională al tetraedrului regulat. Este izomorf cu A4.
- Clasele de conjugare(d) ale T sunt:
- identitatea
- 4 × rotație cu 120° în sens trigonometric, ordin 3
- 4 × rotație cu 120° în sens orar, ordin 3
- 3 × rotație cu 180°, ordin 2
- Grupul octaedric de ordinul 24, grupul de simetrie rotațională al cubului și octaedrului regulat. Este izomorf cu S4.
- Clasele de conjugare ale O sunt:
- identitatea
- 6 × rotație cu ±90° în jurul vârfurilor, ordin 4
- 8 × rotație cu ±120° în jurul centrelor triunghiurilor, ordin 3
- 3 × rotație cu 180° în jurul vârfurilor, ordin 2
- 6 × rotație cu 180° în jurul mijloacelor laturilor, ordin 2
- Grupul icosaedric de ordinul 60, grupul de simetrie rotațională al dodecaedrului regulat și al icosaedrului regulat. Este izomorf cu A5.
- Clasele de conjugare ale I sunt:
- identitatea
- 12 × rotație cu ±72°, ordin 5
- 12 × rotație cu ±144°, ordin 5
- 20 × rotație cu ±120°, ordin 3
- 15 × rotație cu 180°, ordin 2
Aceste simetrii se dublează la 24, 48, respectiv 120 pentru grupurile de reflexie complete. Simetriile de reflexie au 6, 9 și respectiv 15 plane de oglindire. Simetria octaedrică, [4,3] poate fi văzută ca reunirea a 6 plane de oglindire de simetrie tetraedrică [3,3] și a 3 plane de oglindire de simetrie diedrală Dih2, [2,2 ]. Simetria piritoedrică este o altă dublare a simetriei tetraedrice.
Clasele de conjugare ale simetriei tetraedrice complete, Td≅S4, sunt:
- identitatea
- 8 × rotație cu 120°
- 3 × rotație cu 180°
- 6 × reflexie în plan față de două axe
- 6 × rotație improprie cu 90°
Clasele de conjugare ale simetriei piritoedrice, Th, le cuprind pe cele ale lui T, cu cele două clase de 4 combinate și fiecare cu inversare:
- identitatea
- 8 × rotație cu 120°
- 3 × rotație cu 180°
- inversiunea
- 8 × rotație improprie cu 60°
- 3 × reflexie în plan
Clasele de conjugare ale grupului octaedric complet, Oh≅S4 × C2, sunt:
- inversiunea
- 6 × rotație improprie cu 90°
- 8 × rotație improprie cu 60°
- 3 × reflexie în plan perpendicular pe o axă, cu 4 poziții
- 6 × reflexie în plan perpendicular pe o axă, cu 2 poziții
Clasele de conjugare ale grupului icosaedric complet, Ih≅A5 × C2, sunt:
- inversiunea
- 12 × rotație improprie cu 108°, ordin 10
- 12 × rotație improprie cu 36°, ordin 10
- 20 × rotație improprie cu 60°, ordin 6
- 15 × reflexie, ordin 2
Grupuri poliedrice chirale
[modificare | modificare sursă]Nume (Orb.) |
Notația Coxeter |
Ordin | Structură abstractă |
Puncte de rotație #valență |
Diagrame | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Stereografic | |||||||
T (332) |
[3,3]+ |
12 | A4 | 43 32 |
||||
Th (3*2) |
[4,3+] |
24 | A4×2 | 43 3*2 |
||||
O (432) |
[4,3]+ |
24 | S4 | 34 43 62 |
||||
I (532) |
[5,3]+ |
60 | A5 | 65 103 152 |
Grupuri poliedrice complete
[modificare | modificare sursă]Weyl Schoe. (Orb.) |
Notația Coxeter |
Ordin | Structură abstractă |
Număr Coxeter (h) |
Oglinzi (m) |
Diagrame ale oglindirilor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Stereografic | ||||||||
A3 Td (*332) |
[3,3] |
24 | S4 | 4 | 6 | ||||
B3 Oh (*432) |
[4,3] |
48 | S4×2 | 8 | 3 6 |
||||
H3 Ih (*532) |
[5,3] |
120 | A5×2 | 10 | 15 |
Bibliografie
[modificare | modificare sursă]- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)