Vizualizare sursă pentru „Rombicuboctaedru”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Rombicuboctaedru
| image_up = Rhombicuboctahedron.jpg
| caption = ([[:Fișier:Rhombicuboctahedron.gif|animație]] și [[:Fișier:Rhombicuboctahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru arhimedic]]<br/>([[poliedru uniform]])
| euler = 2
| faces = 26 (8 [[triunghi]]uri, 6 [[pătrat]]e, 12 [[dreptunghi]]ulare)
| edges = 48
| vertices = 24
| vertex_config = 3.4.4.4
| schläfli = rr{4,3} sau <math>r\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br/>t<sub>0,2</sub>{4,3}
| wythoff = 3 4 &#124; 2
| coxeter = {{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}
| conway = eC sau aaC<br/>aaaT
| symmetry = [[Simetrie octaedrică|O<sub>h</sub>]], B<sub>3</sub>, [4,3], (*432), ordin 48
| rotsymmetry = [[Simetrie octaedrică|O]], [4,3]<sup>+</sup>, (432), ordin 24
| surface_area = &approx; 21,464 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; &nbsp; 8,714 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 3-4: 144° 44′ 08″ (144,74°)<br/>4-4: 135°
| dual = [[Icositetraedru romboidal]]
| properties = [[Poliedru cvasiregulat]], [[poliedru convex |convex]] cu fețe [[poligon regulat |poligoane regulate]], [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]] și [[figură izotoxală|laturi]]
| vertex_figure = Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg
| net = Polyhedron small rhombi 6-8 net.svg
}}
În [[geometrie]] '''rombicuboctaedrul''' sau '''micul rombicuboctaedru''' este un [[poliedru arhimedic]]. Are 26 de [[față (geometrie) |fețe]] [[poligon regulat |regulate]] (8 [[triunghi]]ulare și 6 [[pătrat]]e și 12 [[dreptunghi]]ulare), 48 de [[latură (geometrie) |laturi]] (muchii) identice. Există 24 de vârfuri identice, cu un triunghi, un pătrat și două dreptunghiuri care se întâlnesc la fiecare. (De observat că această formă poate avea pătratele ca fețe dreptunghiulare, dar pentru a fi un poliedru arhimedic ele trebuie să fie pătrate.) [[Poliedru]]l are [[simetrie octaedrică]], ca și [[cub]]ul și [[octaedru]]l. [[Poliedru dual|Dualul]] său este [[icositetraedru romboidal |icositetraedrul romboidal]] sau icositetraedrul trapezoidal, deși fețele acestuia nu sunt [[trapez]]e adevărate.

Are indicele de [[poliedru uniform]] U<sub>10</sub>,<ref>{{en icon}} {{mathworld|urlname=UniformPolyhedron|title=Uniform Polyhedron}}</ref> indicele Coxeter C<sub>22</sub> și indicele Wenninger W<sub>13</sub>.

== Nume ==
{{imagine multiplă
 | align = left | total_width = 360
 | image1 = Nonuniform rhombicuboctahedron as rectified rhombic dodecahedron max.png
 | image2 = Rhombicuboctahedron in rhombic dodecahedron max.png
 | image3 = Nonuniform rhombicuboctahedron as core of dual compound max.png
}}
[[Johannes Kepler]] în ''Harmonices Mundi'' (1618) a numit acest poliedru ''rombicuboctaedru'', fiind prescurtarea de la ''romb cuboctaedric trunchiat'', unde ''romb cuboctaedric'' era numele dat de el [[dodecaedru rombic |dodecaedrului rombic]].<ref>{{en icon}} ''Harmonies Of The World'' by Johannes Kepler, Translated into English with an introduction and notes by E. J. Aiton, A. M. Duncan, J. V. Field, 1997, {{isbn|0-87169-209-0}}, p.&nbsp;119)</ref> Există diferite trunchieri ale unui dodecaedru rombic într-un rombicuboctaedru [[topologie |topologic]]: în mod evident [[rectificare (geometrie) |rectificarea]] (la stânga), cea care creează un [[poliedru uniform]] (în centru) și rectificarea [[poliedru dual |dualului]] [[cuboctaedru]]lui (la dreapta), care este nucleul [[compus poliedric |compusului]] dual.

Poate fi numit și un [[cub]] sau [[octaedru]] ''[[Expandare (geometrie) |expandat]]'' sau ''[[Cantelare |cantelat]]'', din operațiunile de trunchiere pe oricare [[poliedru uniform]].

[[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png|thumb|Dual: Icositetraedru romboidal]]
== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unui rombicuboctaedru centrat în [[origine (matematică) |origine]], cu lungimea laturii de 2, sunt toate [[permutare |permutările]]
:(±1, ±1, ±(1 + {{sqrt|2}})).

Dacă rombicuboctaedrul are lungimea laturii 1, dualul său, icositetraedrul romboidal are lungimea laturii
:<math>\frac{2}{7}\sqrt{10-\sqrt{2}} \quad</math> și <math>\quad \sqrt{4-2\sqrt{2}}.</math>

== Arie și volum ==
[[Arie |Aria]] ''A'' și [[volum]]ul ''V'' ale unui rombicuboctaedru cu lungimea laturii ''a'' sunt:
:<math>\begin{align}
A &= \left(18+2\sqrt{3}\right)a^2 &&\approx 21,464\,1016~a^2 \\
V &= \frac{12+10\sqrt{2}}{3} a^3 &&\approx 8,714\,045\,21~a^3.
\end{align}</math>

== Relații geometrice ==
[[Fișier:P2-A5-P3.gif|left|thumb|Rombicuboctaedrul poate fi considerat fie un cub [[expandare (geometrie) |expandat]] (fețele albastre), fie un [[octaedru]] expandat (fețele roșii)]]
Există variante distorsionate ale rombicuboctaedrului, care, deși unele dintre fețe nu sunt poligoane regulate, sunt totuși uniforme pe vârfuri. Unele dintre acestea pot fi realizate prin tăierea laturilor unui cub sau unui octaedru, apoi tăierea colțurilor, astfel încât poliedrul rezultat să aibă șase fețe pătrate și douăsprezece dreptunghiulare. Acestea au [[simetrie octaedrică]] și formează o serie continuă între cub și octaedru, analogă cu distorsionările [[rombicosidodecaedru]]lui sau distorsionărilor tetraedrice ale [[cuboctaedru]]lui. Totuși, rombicuboctaedrul are și un al doilea set de distorsionări, cu șase fețe dreptunghiulare și șaisprezece trapezoidale, care nu au simetrie octaedrică ci simetrie T<sub>h</sub>, deci sunt invariante sub aceleași [[rotație (matematică) |rotații]] ca și [[tetraedru]]l, însă cu [[reflexie (matematică) |reflexii]] diferite.

Rombicuboctaedrul este folosit în trei [[Fagure (geometrie)|teselări uniforme ale spațiului]]: [[fagure cubic cantelat |fagurele cubic cantelat]], [[fagure cubic runcitrunchiat |fagurele cubic runcitrunchiat]] și [[fagure cubic alternat runcinat |fagurele cubic alternat runcinat]].

{|class="wikitable floatright" style="text-align:center;"
|-
|rowspan=2|[[Fișier:Exploded rhombicuboctahedron.png|150px]]
|[[Fișier:Small rhombicuboctahedron.png|90px]]<br/>Rombicuboctaedru
|-
|[[Fișier:Pseudorhombicuboctahedron.png|90px]]<br/>[[Pseudoroombicuboctaedru]]
|}
=== Divizare ===
Există trei perechi de plane paralele, [[intersecție (matematică) |intersecțiile]] lor cu un rombicuboctaedru fiind [[octogon |octogoane]] regulate. Rombicuboctaedrul poate fi divizat de oricare pereche pentru a obține o [[prismă octogonală]] centrală cu fețe regulate și două [[cupolă pătrată |cupole pătrate]], care sunt [[poliedru Johnson |poliedre Johnson]]; este deci o ''orto[[bicupolă |bicupolă]] pătrată alungită''. Aceste poliedre pot fi reasamblate după rotirea unei [[cupolă (geometrie) |cupole]] cu 45° pentru a da un nou poliedru, numit ''[[girobicupolă pătrată alungită]]'' sau ''[[pseudorombicuboctaedru]]'', cu simetria unei antiprisme pătrate. În acesta, toate vârfurile sunt la fel cu cele ale unui rombicuboctaedru, cu [[figura vârfului]] 3.4.4.4, adică în fiecare vârf se întâlnesc un triunghi și trei pătrate, dar nu sunt toate identice față de întregul poliedru, deoarece unele sunt mai aproape de axa de simetrie decât altele.

== Proiecții ortogonale ==
Rombicuboctaedrul are șase [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]] particulare, centrate pe un vârf, pe două tipuri de laturi și pe trei tipuri de fețe: una triunghiulară și două pătrate. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B<sub>2</sub> și A<sub>2</sub>.
{|class=wikitable width=640 style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
!Centrată pe
!Vârf
!Latura 3-4
!Latura 4-4
|Fața<br/>pătrată 1
|Fața<br/>pătrată 2
|Fața<br/>triunghi
|-
!Imagine
|
|
|
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 from blue max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 from red max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 from yellow max.png|100px]]
|-
!Cadru de sârmă
|[[Fișier:Cube t02 v.png|100px]]
|[[Fișier:Cube t02 e34.png|100px]]
|[[Fișier:Cube t02 e44.png|100px]]
|[[Fișier:Cube t02 f4b.png|100px]]
|[[Fișier:3-cube t02 B2.svg|100px]]
|[[Fișier:3-cube t02.svg|100px]]
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[2]
|[2]
|[2]
|[2]
|[4]
|[6]
|-
!Dual
|[[Fișier:Dual cube t02 v.png|100px]]
|[[Fișier:Dual cube t02 e34.png|100px]]
|[[Fișier:Dual cube t02 e44.png|100px]]
|[[Fișier:Dual cube t02 f4b.png|100px]]
|[[Fișier:Dual cube t02 B2.png|100px]]
|[[Fișier:Dual cube t02.png|100px]]
|}

== Pavare sferică ==
Rombicuboctaedrul poate fi reprezentat și ca o [[pavare sferică]] și proiectat în plan printr-o [[proiecție stereografică]]. Această proiecție este [[transformare conformă |conformă]], păstrând [[unghi]]urile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca [[arc de cerc |arce de cerc]].
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|- valign=top
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t02.png|160px]]
|[[Fișier:rhombicuboctahedron stereographic projection square.png|160px]]<br/>(6) centrată pe pătrat
|[[Fișier:Rhombicuboctahedron stereographic projection square2.png|160px]]<br/>(6) centrată pe pătrat
|[[Fișier:rhombicuboctahedron stereographic projection triangle.png|160px]]<br/>(8) centrată pe triunghi
|-
![[Proiecție ortogonală]]
!colspan=3|[[Proiecție stereografică |Proiecții stereografice]]
|}

== Simetrie piritoedrică ==
O formă cu jumătate din simetria rombicuboctaedrului, {{CDD|node_1|3|node|4|node_1}}, există cu [[simetrie piritoedrică]], [4,3<sup>+</sup>], (3*2), cu [[diagramă Coxeter |diagrama Coxeter]] {{CDD|node_h|3|node_h|4|node_1}}, [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] s<sub>2</sub>{3,4} și poate fi numit ''octaedru snub cantic''. Această formă poate fi vizualizată prin colorarea alternativă a marginilor celor 6 pătrate. Aceste pătrate pot fi apoi distorsionate în [[dreptunghi]]uri, în timp ce cele 8 triunghiuri rămân echilaterale. Cele 12 fețe pătrate diagonale vor deveni [[trapez isoscel |trapeze isoscele]]. La limită, dreptunghiurile pot fi reduse la laturi, trapezele devin triunghiuri, iar un [[icosaedru]] se formează, printr-o construcție ''octaedru snub'', {{CDD|node_h|3|node_h|4|node}}, s{3,4}. ([[Compus de două icosaedre |Compusul de două icosaedre]] este construit din cele două poziții alternate.)
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
! colspan=10|Variante cu simetrie piritoedrică
|-
|[[Fișier:Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png|160px]]<br/>Cu geometrie uniformă<br/>{{CDD|node_h|3|node_h|4|node_1}}
|[[Fișier:Cantic snub octahedron.png|160px]]<br/>Cu geometrie neuniformă
|[[Fișier:Rhombicuboctahedron pyritohedral.png|160px]]<br/>Cu geometrie neuniformă
|[[Fișier:Rhombicuboctahedron pyritohedral2.png|160px]]<br/>La limită, un [[icosaedru]]<br/>octaedru snub, {{CDD|node_h|3|node_h|4|node}},<br/>într-una din cele două poziții
|[[Fișier:Rhombicuboctahedron pyritohedral compound.png|160px]]<br/>[[Compus de două icosaedre]]<br/> în cele două poziții alternate
|}

== Poliedre înrudite ==
Rombicuboctaedrul face parte dintr-o familie de poliedre uniforme legate de cubul și octaedrul regulat.
{{Trunchieri octaedrice}}

=== Variante de simetrie ===
Acest poliedru este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre [[cantelare |cantelate]] cu figura vârfului (3.4.''n''.4) și continuă ca pavări ale [[spațiu hiperbolic |planului hiperbolic]]. Aceste figuri [[figură izogonală |tranzitive pe vârfuri]] au simetria (*''n''32) în [[notația orbifold]].

{{Tabel expandate mic}}

{{Tabel expandate4}}

=== Aranjamentul vârfurilor ===
Are același [[aranjamentul vârfurilor |aranjament al vârfurilor]] cu trei [[poliedru uniform |poliedre uniforme]] neconvexe: [[hexaedru trunchiat stelat |hexaedrul trunchiat stelat]], [[micul rombihexaedru]] (având în comun fețele triunghiulare și șase fețe pătrate) și [[micul cubicuboctaedru]] (având în comun douăsprezece fețe pătrate).
{|class="wikitable" width=400 style="text-align:center"
|- style="vertical-align:top"
|[[Fișier:Small rhombicuboctahedron.png|100px]]<br/>Rombicuboctaedrul
|[[Fișier:Small cubicuboctahedron.png|100px]]<br/>[[Micul cubicuboctaedru]]
|[[Fișier:Small rhombihexahedron.png|100px]]<br/>[[Micul rombihexaedru]]
|[[Fișier:Stellated truncated hexahedron.png|100px]]<br/>[[Hexaedru trunchiat stelat |Hexaedrul trunchiat stelat]]
|}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | first=Robert | last=Williams | title=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design | publisher=Dover Publications, Inc | year=1979 | isbn=0-486-23729-X}} (Section 3-9)
* {{en icon}} {{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra|location=United Kingdom|publisher=Cambridge|pages=79–86 ''Archimedean solids''|isbn=0-521-55432-2}}
* {{en icon}} {{cite journal |last1=Coxeter |first1=H.S.M. |author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter |title=Uniform Polyhedra |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences |volume=246 |date=May 13, 1954 |pages=401–450 |doi=10.1098/rsta.1954.0003 |issue=916 |last2=Longuet-Higgins |first2=M.S. |last3=Miller |first3=J.C.P.|bibcode = 1954RSPTA.246..401C |s2cid=202575183 }}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=SmallRhombicuboctahedron |title=Rhombicuboctahedron}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=ArchimedeanSolid |title=Archimedean solid}}
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
* {{en icon}} [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=D9tM7OPpTeb5fdRIwHgyGnGQuG8Er0hjmb3YtRZaHYQAAns6eVm2BFtWBcy9fTY8oFG11608c05WEHBOIwUgR9mWjE9aHectfR7dboSNgfU8YAeliUFlMaH63asg2zGgf6foy68Hxg4VxIsKuxmBG9yNlpLAO1A9euZZPJ7&name=Rhombicuboctahedron#applet Editable printable net of a rhombicuboctahedron with interactive 3D view]
* {{en icon}} ''[http://demonstrations.wolfram.com/RhombicuboctahedronStar/ Rhombicuboctahedron Star]'' by Sándor Kabai, Wolfram Demonstrations Project.
* {{en icon}} [http://www.hbmeyer.de/flechten/rhku/indexeng.htm Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting]
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/sirco.htm sirco]'''
{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre arhimedice]]
[[Categorie:Pavări trunchiate]]