Vizualizare sursă pentru „Icositetraedru pentagonal”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Icositetraedru pentagonal
| image_up = [[Fișier:Pentagonalicositetrahedroncw.jpg|140px]] [[Fișier:Pentagonalicositetrahedronccw.jpg|140px]]
| caption = Cele două forme chirale, ''cw'' și ''ccw''<br/>(animații [[:Fișier:Pentagonalicositetrahedroncw.gif|''cw'']] și [[:Fișier:pentagonalicositetrahedronccw.gif|''ccw'']], și [[:Fișier:Pentagonal icositetrahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru Catalan]]
| euler = 2
| faces = 24
| edges = 60
| vertices = 38 = 6 + 8 + 24
| vertex_config =
| face_config = V3.3.3.3.4 ([[pentagon |pentagoane]] neregulate)
| schläfli =
| wythoff =
| coxeter = {{CDD|node_fh|4|node_fh|3|node_fh}}
| conway = gC
| symmetry = [[Simetrie octaedrică|O]], {{sfrac|1|2}}BC<sub>3</sub>, [4,3], 432
| rotsymmetry =
| surface_area = &approx; 19,300 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura dualului)
| volume = &approx; &nbsp; 7,447 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura dualului)
| angle = 136° 18′ 33″
| dual = [[Cub snub]]
| properties = [[Poliedru convex]], [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]], [[chiralitate (matematică) |chiral]]
| net = Pentagonalicositetrahedron net.png
}}
{{multiple image
 | align = right | total_width = 300
 | image1 = Polyhedron snub 6-8 left max.png |width1=1
 | image2 = Polyhedron snub 6-8 right max.png |width2=1
| footer = Duale: Cuburi snub, pe stânga și pe dreapta
}}
[[Fișier:TRIBONACCI.jpg|thumb|290px|O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira]]
În [[geometrie]] un '''icositetraedru pentagonal''' este un [[poliedru Catalan]] cu 24 de [[față (geometrie) |fețe]]. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui [[poliedru arhimedic]]. Dualul icosaedrului pentagonal este [[cub snub |cubul snub]]. Este [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]]. 

Are două forme [[chiralitate (matematică) |chirale]] („enantiomorfe”).

== Construcție ==
Icositetraedrul pentagonal poate fi construit dintr-un cub snub. Pe cele șase fețe pătrate ale cubului snub se adaugă [[piramidă pătrată |piramide pătrate]], iar pe cele opt fețe triunghiulare care nu au o muchie comună cu un pătrat se adaugă piramide triunghiulare. Înălțimile piramidelor sunt alese astfel încât să fie coplanare cu celelalte 24 de fețe triunghiulare ale cubului snub. Rezultatul este icositetraedrul pentagonal.

== Coordonate carteziene ==

Se notează cu <math>t\approx 1,839\,286\,755\,21</math> constanta tribonacci. Atunci [[coordonate carteziene |coordonatele carteziene]] pentru cele 38 de vârfuri ale icositetraedrului pentagonal centrat în [[origine (matematică) |origine]], sunt:
* cele 12 [[permutare |permutări]] pare ale (±1, ±(2t+1), ±t<sup>2</sup>) cu un număr impar de semne minus;
* cele 12 [[permutare |permutări]] impare ale (±1, ±(2t+1), ±t<sup>2</sup>) cu un număr impar de semne minus;
* cele 6 puncte (±t<sup>3</sup>, 0, 0), (0, ±t<sup>3</sup>, 0) și (0, 0, ±t<sup>3</sup>);
* cele 8 puncte (±t<sup>2</sup>, ±t<sup>2</sup>, ±t<sup>2</sup>).

== Geometrie ==
Fețele pentagonale au patru unghiuri de <math>\arccos((1-t)/2)\approx 114,812\,074\,477\,90^{\circ}</math> și unul de <math>\arccos(2-t)\approx 80,751\,702\,088\,39^{\circ}</math>. Pentagonul are trei laturi scurte de lungime 1 și două laturi lungi de lungime <math>(t+1)/2\approx 1,419\,643\,377\,607\,08</math>. Unghiul ascuțit este situat între laturile lungi. Unghiul diedru este de <math>\arccos(-1/(t^2-2))\approx 136,309\,232\,892\,32^{\circ}</math>.

Dacă dualul său, cubul snub, are lungimea laturii {{mvar|a}}, suprafața și volumul icositetraedrului pentagonal sunt:<ref>{{en icon}} {{Mathworld |urlname=PentagonalIcositetrahedron |title=Pentagonal icositetrahedron}}</ref>
:<math>\begin{align} A &= 3\sqrt{\frac{22(5t-1)}{4t-3}}~a^2 &&\approx 19,299\,94~a^2 \\ V &= \sqrt{\frac{11(t-4)}{2(20t-37)}}~a^3 &&\approx 7,4474~a^3 \end{align}</math>

== Proiecții ortogonale ==
Icositetraedrul pentagonal are trei [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]] particulare, două centrate pe vârfuri și una centrată pe mijlocul laturilor.
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[3]
|[4]<sup>+</sup>
|[2]
|-
!Imagini
|[[Fișier:Dual snub cube_A2.png|120px]]
|[[Fișier:Dual snub cube_B2.png|120px]]
|[[Fișier:Dual snub cube_e1.png|120px]]
|-
!Imagini<br/>duale
|[[Fișier:Snub cube_A2.png|120px]]
|[[Fișier:Snub cube_B2.png|120px]]
|[[Fișier:Snub cube_e1.png|120px]]
|}

=== Variații ===
Variații [[figură izoedrică |izoedrice]] cu aceeași simetrie octaedrică chirală pot fi construite cu fețe pentagonale având 3 lungimi de muchii.

Variația prezentată poate fi construită prin adăugarea de piramide pe 6 fețe pătrate și pe 8 fețe triunghiulare ale unui [[cub snub]] astfel încât noile fețe sunt formate din 3 triunghiuri coplanare fuzionate în fețe pentagonale identice.
{| class=wikitable width=480 style="text-align:center;"
|- valign=top
|[[Fișier:Pentagonal_icositetrahedron_variation0.png|160px]]<br/>Cub snub augmentat cu piramide și cu fețele compuse coplanare
|[[Fișier:Pentagonal_icositetrahedron_variation.png|160px]]<br/>Icositetraedru pentagonal
|[[Fișier:Pentagonal_icositetrahedron_variation_net.png|160px]]<br/>Desfășurată
|}

== Poliedre și pavări înrudite ==
[[Fișier:Spherical pentagonal icositetrahedron.png|thumb|Icositetraedru pentagonal sferic]]
Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și [[pavare |pavări]] [[snub]] cu [[configurația feței |configurațiile feței]] (V3.3.3.3.''n''). Aceste figuri există în [[spațiu hiperbolic |planul hiperbolic]] pentru orice ''n''. Aceste figuri [[figură izoedrică |tranzitive pe fețe]] au [[simetrie de rotație]] (''n''32) în [[notația orbifold]], existând în planul euclidian pentru orice ''n''.
{{Tabel snub}}

Icositetraedru pentagonal este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor duale snub cu configurația feței V3.3.4.3.''n''.
{{Tabel snub4}}

Icositetraedrul pentagonal este unul dintr-o familie de duale ale poliedrelor uniforme legate de cub și octaedrul regulat.
{{Trunchieri octaedrice}}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | first=Robert | last=Williams | title=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design | publisher=Dover Publications, Inc | year=1979 | isbn=0-486-23729-X}} (Section 3-9)
* {{en icon}} {{Citation |last=Wenninger |first=Magnus |authorlink=Magnus Wenninger |title=Dual Models |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-54325-5 |mr=730208 |year=1983 |doi=10.1017/CBO9780511569371}} (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 28, Pentagonal icositetrahedron)
* {{en icon}} John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), ''The Symmetries of Things'', {{ISBN|978-1-56881-220-5}} [https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20080714211254/http://polyhedra.org/poly/show/38/pentagonal_icositetrahedron Pentagonal Icositetrahedron] – Interactive Polyhedron Model

{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre Catalan]]
[[Categorie:Poliedre chirale]]