Universo de von Neumann
Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.
Definição de V
[editar | editar código-fonte]V é definida por recursão transfinita.
- O primeiro nível é o conjunto vazio:
- .
- Para um ordinal α, sendo o conjunto das partes de :
- Para um ordinal limite β:
- .
É importante ressaltar que existe uma fórmula da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa "".
Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:
- Para β um ordinal:
- .
- Finalmente, sendo V a união de todos os Vα:
- .
O uso do símbolo de união na última linha constitui
um abuso da linguagem, de modo que
deve ser interpretado como "existe um ordinal
tal que
".
Note-se que para cada ordinal α, Vα é um conjunto; porém V não é um conjunto.
A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:
V e Zermelo-Fraenkel
[editar | editar código-fonte]Na presença dos demais axiomas de ZF, o enunciado é equivalente ao Axioma da Fundação. Dessa maneira, conjuntos mal fundados, como . não pertencem a V e sua não existência pode ser provada em ZF. Além disso, todos os elementos de V são conjuntos, de modo que os denominados átomos, elementos primitivos ou Urelemente (elementos que não são conjuntos) não pertencem a V.
Se omitirmos o Axioma da Fundação de ZF, denominada ZF−, então V é um modelo interno. Como para a construção de V não é necessário o Axioma da Fundação, dessa maneira é demonstrada a consistência relativa do Axioma da Fundação com relação aos demais axiomas de ZF, se eles são consistentes. Ainda podemos acrescentar a ZF− axiomas contraditórios com o Axioma da Fundação, p.ex. o Axioma de anti-fundação de Aczel, mas então V não é mais um modelo dessa teoria.
Sendo o conjunto dos números naturais e primeiro ordinal transfinito, é a classe dos conjuntos hereditariamente finitos. é um modelo de ZF menos o Axioma do infinito. Em temos todos os números naturais, mas não . Os conjuntos em são suficientes para fazer a maior parte da teoria de números, análise matemática, etc., ou seja a "matemática habitual". é um modelo da Teoria de conjuntos de Zermelo, denominada Z mas como a definição de precisa do Axioma da substituição, esse método não pode ser usado para definir um modelo interno de Z. Se é um cardinal inacessível, então é um modelo de ZF e, portanto, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser provada em ZF, se ZF é consistente.