Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)

O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se $G$ é um grupo finito e $H$ é subgrupo de $G$ então a ordem (quantidade de elementos) de $H$ divide a ordem de $G.$ Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.

Teorema 0.1

Se $\star$ é uma relação de equivalência em $S$ então $S=\bigcup [a],$ onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde $[a]\neq [b]$ implica $[a]\cap [b]=\emptyset .$ Ou seja, $\star$ particiona $S$ em classes de equivalência.

Demonstração Seja $a\in S.$ Note que $a\in [a].$ Portanto, é claro que $S={\underset {a\in S}{\bigcup }}[a].$

Suponhamos que $[a]\cap [b]\neq \emptyset$ e provemos que $[a]=[b].$

Seja $c\in [a]\cap [b].$

Então $c\star a$ e $c\star b.$

Por um lado ${\begin{cases}c\star a\Leftrightarrow a\star c\\c\star b\end{cases}}\Rightarrow a\star b\Rightarrow a\in [b]$

Por outro ${\begin{cases}c\star a\\c\star b\Leftrightarrow b\star c\end{cases}}\Rightarrow b\star a\Rightarrow b\in [a].$

Seja $x\in [a].$

Então $x\star a.$

Mas $a\star b,$ logo $x\star b$ e assim $x\in [b].$

Portanto $[a]\subset [b].$ Seja $y\in [b].$

Então $y\star b.$ Mas $b\star a,$ logo $y\star a$ e assim $y\in [a].$

Portanto $[b]\subset [a].$

E, dessa forma, $[a]=[b].$ $\Box$

Demonstração do Teorema de Lagrange

Seja $\star$ a relação de equivalência definida por $a\star b$ se $ab^{-1}\in H.$

Temos que $[a]=Ha=\{ha~|~h\in H\}.$

Seja $k$ o número de classes de distintas de $G$ - chamemo-as de $Ha_{1},\ldots ,Ha_{k}.$

Pelo Teorema 0.1, $G=Ha_{1}\cup \ldots \cup Ha_{k}$ e sabemos que $Ha_{i}\cap Ha_{j}=\emptyset ,$ se $i\neq j.$

Provemos que qualquer $Ha_{i}$ possui $|H|$ elementos.

Seja $\varphi :H\to Ha_{i}$ uma função tal que $\varphi (h)=ha_{i},~\forall h\in H$

Provemos que $\varphi$ é bijetora.

Note que $\varphi$ é injetora pois $\varphi (h)=ha_{i}=h'a_{i}=\varphi (h')$ implica $h=h'$ e é sobrejetora pela definição de $Ha_{i}.$

Potanto, $\varphi$ é bijetora e, assim, $|Ha_{i}|=|H|.$

Como $G=Ha_{1}\cup \ldots \cup Ha_{k}$ e tais $Ha_{i}$ são disjuntos com $|H|$ elementos, teremos que $|G|=k|H|.$

Portanto, $|H|$ divide $|G|.$ $\Box$

Ver também

• Wikilivros