Teorema da decomposição de Doob–Meyer – Wikipédia, a enciclopédia livre

O teorema da decomposição de Doob–Meyer é um teorema em cálculo estocástico que afirma as condições sob as quais um submartingale pode ser decomposto de forma única como a soma de um martingale e um processo crescente previsível. Recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob e ao matemático francês Paul-André Meyer.

História

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Em 1953, Doob publicou o teorema da decomposição de Doob, que dá uma única decomposição para certos martingales de tempo discreto.^[1] O matemático norte-americano conjeturou uma versão de tempo contínuo do teorema e, em duas publicações em 1962 e 1963, Meyer provou tal teorema, que se tornou conhecido como decomposição de Doob–Meyer.^[2]^[3] Em homenagem a Doob, o matemático francês usou o termo "classe D" para se referir à classe de supermartingales para os quais seu teorema da decomposição única se aplicava.^[4]

Supermartingales de classe D

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Um submartingale càdlàg $Z$ é de classe D se $Z_{0}=0$ e a coleção:

$\{Z_{T}\mid {\text{T um tempo de parada de valor finito}}\}$

for uniformemente integrável.^[4]

Teorema

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Considere $Z$ um submartingale càdlàg de classe D. Então, existe um processo único, crescente e previsível $A$ com $A_{0}=0$ tal que $M_{t}=Z_{t}-A_{t}$ é um martingale uniformemente integrável.^[4]

Referências

↑ Doob, Joseph L. (1990). Stochastic processes (em inglês). [S.l.]: Wiley
↑ Meyer, P. A. (Junho 1962). «A decomposition theorem for supermartingales». Illinois Journal of Mathematics (em inglês). 6 (2): 193–205. ISSN 0019-2082
↑ Meyer, P. A. (Março 1963). «Decomposition of supermartingales: The uniqueness theorem». Illinois Journal of Mathematics (em inglês). 7 (1): 1–17. ISSN 0019-2082
↑ ^a ^b ^c E., Protter, Philip (2004). Stochastic integration and differential equations 2nd ed. Berlin: Springer. ISBN 3540003134. OCLC 52943083

v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos