Tensor de Einstein

Em geometria diferencial, o tensor de Einstein (também tensor de traço revertido de Ricci), nomeado em relação a Albert Einstein, é usado para expressar a curvatura de uma variedade de Riemann. Em relatividade geral, o tensor de Einstein aparece nas equações de campo de Einstein para a gravitação descrevendo a curvatura do espaço-tempo.

Definição

O tensor de Einstein $\mathbf {G}$ é um tensor de ordem definido sobre variedades riemannianas. Ele é definido como

$\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,$

sendo $\mathbf {R}$ o tensor de Ricci, $\mathbf {g}$ o tensor métrico e $R$ o escalar de curvatura de Ricci. Em notação com índices, o tensor de Einstein tem a forma

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.$

Propriedades

O tensor de Einstein é simétrico, visto que o tensor de Ricci e o tensor métrico são simétricos,

$G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$.

O tensor de Einstein tem divergência nula, como pode-se demonstrar combinando as equações de campo de Einstein ao fato de que o tensor de energia-momento tem divergência nula

$G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0\,.$.

Referências

• Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini (1994). Gravitation and Spacetime Second edition ed. [S.l.]: W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-96501-5 
• Martin, John Legat (1995). General Relativity: A First Course for Physicists. Col: Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics Revised edition ed. [S.l.]: Prentice Hall. ISBN 0-13-291196-5