Sólido de revolução

Em matemática, engenharia e manufatura, um sólido de revolução é uma figura sólida obtida pela rotação de um plano de curva em torno de alguma linha reta (o eixo), que se situa no mesmo plano.

Rotação de uma curva. A superfície formada é uma superfície de revolução

Revolução de poliedros (Matemateca Ime-Usp)

Supondo que a curva não cruze o eixo, o volume do sólido será igual ao comprimento do círculo descrito pelo centróide da figura, multiplicado pela área da figura (segundo oteorema do centroide de Papo-Guldino).

Um disco representante é um elemento de volume tridimensional de um sólido de revolução. O elemento é criado pela rotação de um segmento de linha (de comprimento $w$ ) em torno de algum eixo (localizado r unidades de distância), para que um volume cilíndrico de $π r 2 w$ unidades seja fechado.

Encontrando o volume

Dois métodos comuns para encontrar o volume de um sólido de revolução são: O método de disco e o método de integração por camada . Para aplicar estes métodos, é mais fácil desenhar o gráfico em questão; identificar a área que está sendo girada em torno do eixo de revolução; determinar o volume de um disco em forma de fatia de um sólido, com espessura $δx$ , ou uma camada cilíndrica de largura $δx$ ; e, em seguida, encontrar o limite da soma destes volumes como $δx$ aproximando-se de 0, um valor que pode ser encontrado através da escolha de uma integral apropriada.

Método dos discos

Disco de integração sobre o eixo y

O método dos discos é usado quando a fatia que foi desenhada é perpendicular ao eixo de revolução; isto é, quando a integração é paralela ao eixo de revolução.^[1]

O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de $f (x)$ e $g (x)$ e as linhas de $x = a$ e $x = b$ sobre o eixo x é dada por

V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx\,.

Se $g (x) = 0$ (e.g. rotacionando uma área entre a curva e o eixo x), esta se reduz a:

V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.

O método pode ser visualizado considerando um fino retângulo horizontal entre y e $f (y)$ na parte superior e $g (y)$ na parte inferior, e tendo sobre o eixo y a forma de um anel (ou disco no caso em que $g (y) = 0$ ), com raio externo $f (y)$ e raio interno $g (y)$ . A área de um anel é $π(R 2 - r 2)$ , onde R é o raio exterior (neste caso, $f (y)$ ), e r é o raio interno (neste caso, $g (y)$ ). O volume de cada disco infinitesimal é, portanto, $π f (y) 2 dy$ . O limite de Riemann é a soma dos volumes dos discos entre a e b tornando-se integral (1).

Método do cilindro

A integração de camadas

O método das camadas cilíndricas é utilizado quando a fatia que foi desenhada é paralela ao eixo de revolução; isto é, quando a integração é perpendicular ao eixo de revolução.

O volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas de $f (x)$ e $g (x)$ e as linhas de $x = a$ e $x = b$ sobre o eixo y é dada por:

V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.

Se $g (x) = 0$ e.g. rotacionando uma área entre a curva e o eixo y, esta se reduz a:

V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.

Sólidos em repouso

Sólidos rotacionando formando Sólidos de revolução

O método pode ser visualizado considerando um fino retângulo vertical em x com altura $f (x) - g (x)$ , e tendo sobre o eixo y, a forma de uma camada cilíndrica. A área lateral da superfície de um cilindro é $2π rh$ , onde r é o raio (neste caso, x), e h é a altura (neste caso $f (x) - g (x)$ ). Somando-se todas as áreas de superfície ao longo do intervalo teremos o volume total.

Forma paramétrica

Matemática e arte: estudo de um vaso como um sólido de revolução por Paolo Uccello. Século 15

Quando uma curva é definida por sua forma paramétrica $(x (t), y (t))$ em algum intervalo $[a, b]$ , os volumes dos sólidos gerados por rotacionarem a curva em torno do eixo x ou do eixo y são dados por:^[2]