Wymiar Hausdorffa

Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.

Definicja

Niech $s>0.$ Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru $E\subseteq X$ określamy miarę zewnętrzną

$H_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {diam} (A_{i})^{s}\right\},$

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów $\{A_{i}\}_{i},$ które pokrywają $E$ i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej $\delta .$

Gdy $\delta$ maleje, to $H_{\delta }^{s}(E)$ rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika $s$):

$H^{s}(E)=\lim _{\delta \to 0}~H_{\delta }^{s}(E).$

Łatwo sprawdzić, że:

• $H^{s}(E)=0\implies H^{t}(E)=0\quad {}$ dla każdego $t>s;$
• $H^{s}(E)=\infty \implies H^{t}(E)=\infty \quad {}$ dla każdego $t<s.$

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

$\dim _{H}(E)=\inf\{s\colon H^{s}(E)=0\}=\sup\{s\colon H^{s}(E)=\infty \}.$

Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze nie mniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937) udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932) wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez $\log(\varepsilon ).$

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry’ego Wallmana; patrz też rosyjskie tłumaczenie, gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

Praktyczna metoda wyznaczania

Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia:

Niech $A_{\infty }$ będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań $w_{1},\dots ,w_{k},$ będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa $a_{1},\dots ,a_{k}.$ Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego $i\neq j$ zachodzi $w_{i}(A_{\infty })\cap w_{j}(A_{\infty })=\emptyset .$ Wtedy wymiar Hausdorffa $\dim _{H}(A_{\infty })$ jest równy liczbie $r$ będącej rozwiązaniem równania:

$|a_{1}|^{r}+\ldots +|a_{k}|^{r}=1.$

Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary $H^{s}{:}$

$H^{s}(A_{\infty })=H^{s}(w_{1}(A_{\infty }))+\ldots +H^{s}(w_{k}(A_{\infty })),$

$H^{s}(A_{\infty })=|a_{1}|^{s}H^{s}(A_{\infty })+\ldots +|a_{k}|^{s}H^{s}(A_{\infty }),$

$1=|a_{1}|^{s}+\ldots +|a_{k}|^{s}.$

Przykład: dywan Sierpińskiego:

Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa $a_{i}=1/3.$ Wtedy rozwiązaniem równania

$8\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{r}=1$

jest $r={\frac {\log(8)}{\log(3)}}\approx 1{,}8928.$

Dla kostki Mengera będzie to więc $\log(20)/\log(3),$ dla piramidy Sierpińskiego $\log(4)/\log(2)=2,$ a dla zbioru Cantora $\log(2)/\log(3).$